Fergusonova kubika a spline křivky

KMA / NGM

F. Ježek (JEZEK@KMA.ZCU.CZ)

ObsahFergusonova kubikaDefinice spline křivkyZákladní rovnice kubické spline křivkyOkrajové podmínky

Fergusonova kubika Základní segment kubické uniformní spline křivkyDáno:

počáteční a koncový boduniformní parametrizacetečné vektory v počátečním a koncovém bodě

1 , +ii PPrr

1 , +′′ ii PPrr

1 , 1 +== + itit ii

Fergusonova kubika Rovnice Fergusonovy kubiky:

Bázové funkce)()( )()( )( 312110 itFPitFPitFPitFPtP iiii −′+−′+−+−= ++

rrrrr

233

232

231

230

)(2)(

32)(

132)(1,0

kkkFkkkkF

kkkFkkkF

k

−=

+−=

+−=

+−=

>∈<

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

x

F0 F

1

F2

F3

Fergusonova kubika

Lagrangeova a spline interpolace

Globální – Lagrangeova interpolace

Spl

ine

inte

rpol

ace

•Globální interpolace•Stupeň závisí na počtu opěrných bodů•Globální „mimika“

•Interpolace po částech (spline)•Stupeň nezávisí na počtu opěrných bodů•Lokální „mimika“

„Spline stroj“

Spline je „matematický model chovánípružného laťkového křivítka“

Definice kubické spline křivkyDáno:

Opěrné body interpolační křivky (rovinné nebo prostorové), jejich polohové vektory značíme

ParametrizaceOkrajové podmínky (jedna z následujících variant)

vetknutívolné koncekřivka je uzavřená

nPPr

Lr

,,0

nttt <<< L10

nPP ′′rr

a 0

oPP nrrr

=′′=′′ 0

Definice kubické spline křivkyDefinice pomocí spline funkce

Kubická spline křivka je dána vektorovou funkcíSložky této vektorové funkce jsou kubickými spline funkcemi parametru a splňují okrajovépodmínky

>∈< nttttP , ),( 0

r

Definice kubické spline křivkyPřímá definice

Kubická spline křivka je dána vektorovou funkcíJejí složky jsou po částech kubické polynomySplňuje interpolační podmínky:Splňuje okrajové podmínky:Je třídy , tedy má spojité derivace do druhého řádu

>∈< nttttP , ),( 0

r

niPtP ii ,,0 ,)( Lrr

==

2C

Definice kubické spline křivkyParametrizace spline křivky

uniformní(konstantní krok parametru)

neuniformníchordálová (krok parametru je úměrný vzdálenosti)

obloukem („nerealizovatelný ideál“) – rovnoměrný pohyb…..

1,,0 ,11 −==−+ nitt ii L

1,,0 |,||)()(| 11 −=−≈− ++ nitttPtP iiii Lrr

Základní rovnice kubické spline křivky

Výpočet kubického uniformního splinu:určíme tečné vektory ve všech uzlech, tj.

generujeme jednotlivé Fergusonovy obloukynPP ′′r

Lr

,,0

3P′r

0P′r

1P′r

2P′r

4P′r

5P′r

6P′r

0P

1P2P

3P 4P

5P

6P

Základní rovnice kubické spline křivky

Základní vztah pro uniformní kubický spline (zajišťuje spojitost do druhéderivace):

Vztah je odvozen na základě výpočtu podmínek pro dotyk dvou Fergusonových kubik při spojitosti až do druhé derivace

1,,1 ),(34 1111 −=−=′+′+′ −++− niPPPPP iiiii Lrrrrr

Okrajové podmínky Vetknutí – doplnění dvou triviálních rovnic (je znám vektor první derivace v počátečním a koncovém bodě)Volné konce

Uzavřená křivka - cykličnost)(32

)(32

11

0110

−− −=′+′

−=′+′

nnnn PPPP

PPPPrrrr

rrrr

)(34

)(34

1001

110

−− −=′+′+′

−=′+′+′

nnn

nn

PPPPP

PPPPPrrrrr

rrrrr

Spline – příklady (3D)

0

2

4

6

8

10

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0

5

10

15

20

−20

24

68

10

2

4

6

8

10

12

14

16

180

5

10

15

20

25

Chordálová parametrizaceChordálová parametrizace Silně neuniformní parametrizacet=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 20 21];

Silně neuniformní parametrizacet=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 20 21];

Velký kro

k parametru