Měření úhlů

• Úhly lze měřit ve dvou různých jednotkách

Stupňová míra

Oblouková míra

r = 1 x

φ

Jednotková kružnice

Stupňová míra rozděluje celý úhel (kruh) na 360 jednotek – stupňů. Jeden stupeň dále dělí na 60 minut a 360 vteřin:

0360061

Oblouková míra využívá délky oblouku, který úhel vytíná na jednot-kové kružnici (x). Jelikož obvod jed-notkové kružnice je O = 2πr = 2π, velikost plného kruhu je v obloukové míře roven 2π. Jednotka obloukové míry se nazývá radián (rad) a je rovna takovému úhlu, pro který platí x = 1.

rad180

1

rad 2360

π

Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (gdermog@seznam.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA.

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme

do vaší budoucnosti

Měření úhlů

• Obecně lze mezi stupni a radiány převádět pomocí trojčlenky:

180

stupně rad

yx

180rad

stupně

xy

1512

180rad

12

112294180

Příklad rad 4

rad 20

763

180

36

rad x

0 30 45 1809060 270

6

360

03

4

2

2

3 2

Goniometrické funkce

• Základní definice goniometrických funkcí vychází z jednotkové kružnice

r = 1 x

φ

Jednotková kružnice

cos xcos φ

sin xsin φ

V argumentu goniometrických funkcí je tedy úhel. Protože pravoúhlé troj-úhelníky o shodných vrcholových úh-lech jsou podobné, lze říci, že

cos

sin

přilehlá odvěsna

přepona

přepona

protilehlá odvěsna

Goniometrické funkce

Funkce sinus RD fxxf sin)(

• Lichá : sin (-x) = - sin (x)

• Periodická : minimální perioda T = 2π

• Omezená : -1 ≤ sin (x) ≤ 1

• Je prostá na intervalu a obdobných, ne však na celém Df

• Není monotónní na celém Df

2,

2

r = 1

x

φ

sin xsin φ

-π-2π π

2π

1

-1

π/2-π/2

Goniometrické funkce

Funkce cosinus RD fxxf cos)(

• Sudá : cos (-x) = cos (x)

• Periodická : minimální perioda T = 2π

• Omezená : -1 ≤ cos (x) ≤ 1

• Je prostá na intervalu a obdobných, ne však na celém Df

• Není monotónní na celém Df

,0

r = 1

x

φ

cos x -π-2π π

1

-1

π/2-π/2

2sincos

xx

Graf lze nakreslit stejně jako pro sinus, otočíme-li kružnici o devadesát stupňů.

Goniometrické funkce

2

1 2

3

2

1

Funkce tangens

x

xxxf

cos

sintan)(

•

• Lichá : tan (-x) = tan (x)

• Periodická : min. p. T = π

• Není omezená

• Je prostá na

• Rostoucí na

ZRD k

kf ,

2

12

2,

2

2,

2

Goniometrické funkce

2

1 2

3

2

1

Funkce cotangens

x

xxxf

sin

coscot)(

•

• Lichá : cot (-x) = cot (x)

• Periodická : min. p. T = π

• Není omezená

• Je prostá na

• Klesající na

ZRD kkf ,

,0

,0

Hodnoty goniometrických funkcí

x

sin x

cos x

tan x

cot x

0

1

2

1

6

0 3

4

2

2

32

0

n.def.

2

2

3

3

2

3 1 0 1 0

2

1

2

2

2

310 1 0

1

1 033

3

3 n.def.

n.def. n.def.

n.def.0 0

0

V následující tabulce jsou funkční hodnoty goniometrických funkcí pro nejčastěji používané úhly. Tyto hodnoty plynou z jednoduchých geomet-rických vztahů na jednotkové kružnici – ověřte si doma.

Součtové vzorce

1cossin 22 xx

yxyxyx

yxyxyx

yxyxyx

yxyxyx

sinsincoscos)cos(

sinsincoscos)cos(

sincoscossin)sin(

sincoscossin)sin(

xxx

xxx22 sincos2cos

cossin22sin

Součtové vzorce

2sin

2sin2coscos

2cos

2cos2coscos

2sin

2cos2sinsin

2cos

2sin2sinsin

yxyxyx

yxyxyx

yxyxyx

yxyxyx

Pozn.: vzorce pro extrémní případy (např. sin x + sin x) musí také platit! To je dobré pro ověřování, zda jste si na tvar vzorce vzpomněli správně . Obdobných vzorců lze odvodit značné množství. Lze je nalézt v libovolném přehledu matematiky.

Goniometrické rovnice

• Goniometrickou rovnicí nazveme každou rovnost, ve které se neznámá vyskytuje v argumentu goniometrické funkce. Nejjednodušší případy jsou

ax

ax

cos

sin

kde -1 ≤ a ≤ +1. Tyto rovnice mají nekonečně mnoho řešení (kořenů) v dů- sledku periodičnosti funkcí sinus a cosinus. Pokud |a| > 1, nemá rovnice žádné řešení (kořen). Postup řešení:

• Zjistíme kořeny v intervalu . K tomu užijeme zobrazení na jednotko- vé kružnici, tabulku nebo kalkulačku. Kořeny jsou dva, resp. pro |a|=1 jeden.

• Všechny další kořeny pak díky známé nejmenší periodě určíme jako

2,0

Z kkxkxx 2,2 21

Příklad Řešte rovnice sin x = 1, cos x = -1, sin x = 1/√2, cos x = ½ .

Goniometrické rovnice

• Rovnice ve tvaruax tan

řešíme obdobně:

• Zjistíme kořeny v intervalu . K tomu užijeme tabulku nebo kalkulačku.

• Všechny další kořeny pak díky známé nejmenší periodě určíme jako

2,

2

Z kkxx ,0 • Při řešení rovnice ve tvaru

0,cot aax vyjdeme z faktu, že:

axa

xx

1tan

tan

1cot

Goniometrické rovnice

• Složitější rovnice řešíme kombinacemi substitucí a součtových vzorců

Příklad2

12sin xVyřešte rovnici

kxky

kxky

y

x

12

112

6

1112

72

6

72

1sin

2

12sin

12

11

Zavedeme substituci y = 2x

y1

sin y = - ½

y2

Goniometrické rovnice

• Složitější rovnice řešíme kombinacemi substitucí a součtových vzorců

Příklad 01cos3cos2 2 xxVyřešte rovnici

2

1cos)

1cos)2

1,1

0)2

1)(1(2

0132 2

xb

xa

yy

yy

yy

Zavedeme substituci y = cos x

x1

cos x= - ½

y2

Dořešte doma…

Goniometrické rovnice

• Složitější rovnice řešíme kombinacemi substitucí a součtových vzorců

Příklad 02sin4cossin2 22 xxxVyřešte rovnici

Musíme rovnici upravit na takový tvar, ve kterém by se vyskytoval buď pouze sinus, nebo pou-ze cosinus. K tomu využijeme vzorce sin2 x + cos2 x = 1.

0)3

1)(1(3

0143

sin01sin4sin3

02sin4sin1sin2

02sin4cossin2

sin1cos

2

2

22

22

22

yy

yy

xyxx

xxx

xxx

xx

3

1sin

1sin

x

x

Goniometrické rovnice

• Složitější rovnice řešíme kombinacemi substitucí a součtových vzorců

Příklad Rcbacxbxa ,,cossinVyřešte rovnici

Podle součtového vzorce pro sinus platí sin ( x + x0 ) = sin x cos x0 + cos x sin x0. Protože čísla a,b jsou obecně různá, je třeba je zahrnout do nějaké konstanty A spolu se sin x0, cos x0 :

bxA

axA

0

0

sin

cos

Takovou parametrizaci lze zvolit vždy nehledě na velikost a, b, neboť

a

bxbx

x

a

x

aA 00

00

tansincoscos

a tangens má obor hodnot všechna reálná čísla a navíc je na intervalu (-π/2,+ π/2) prostý. Levou stranu rovnice lze tedy po dosazení za a a b přepsat jako:

cxxAxxA cossinsincos 00

Goniometrické rovnice

A

cxx

cxxA

cxxAxxA

cxxAxxA

0

0

00

00

sin

sin

sincoscossin

cossinsincos

Za pomoci součtového vzorce A.sin ( x + x0 ) = A.sin x cos x0 + A.cos x sin x0 potom :

dále pak řešíme substitucí y = x + x0 . Řešení existuje ovšem pouze v tom případě, že c ≤ A. Rovnice tohoto jsou ve fyzice velmi časté.

DÚ xxx sin1cotcos Vyřešte rovnici

Harmonické funkce

Tyto funkce mají ve fyzice velkou důležitost. Koeficient a ovlivňuje „výšku“ grafu, parametr b minimální periodu a společně s parametrem c posun grafu podél osy x.

-π-2π π

2π1

-1

2

-2

3

• Harmonickou nazveme funkci ve tvaru

cbxaxf

cbxaxf

cos)(

sin)(

xxf sin)(

xxf sin5.2)(

Harmonické funkce

-π-2π π

2π

1

-1 xxf sin)(

3sin)(

xxf

-π-2π π

2π

1

-1

xxf sin)(

xxf 2sin)(

-π-2π π

2π

1

-1

Harmonické funkce

xxf sin1

1)( xxf 2sin

2

1)( xxf 3sin

3

1)(

Cyklometrické funkce

Funkce arcussinus

xxf arcsin)( • Funkce inverzní k sin x na intervalu (-π/2, π/2)

•

• Omezená

• Prostá

• Rostoucí

1,1 fD

2

1

11

2

1

2

2

Cyklometrické funkce

Funkce arcuscosinus

xxf arccos)( • Funkce inverzní k cos x na intervalu (0, π)

•

• Omezená

• Prostá

• Klesající

1,1 fD

0

11

Cyklometrické funkce

2

1

Funkce arcustangens

xxf arctan)(

2

1

•

•

• Omezená

• Prostá na

• Rostoucí

RD f

2,

2

fH

Cyklometrické funkce

Funkce arcuscotangens

xxf arccot)(

•

•

• Omezená

• Prostá na

• Klesající

RD f

,0fH

Vzorce pro cyklometrické funkce

...

1arccotarccos,

1arctanarcsin

11arcsinarcsinarcsin

2arccosarcsin

)arccot(cot,2

)arctan(tan

0)arccos(cos,2)arcsin(sin

22

22

atd

x

xx

x

xx

xyyxyx

xx

kkxxxkxxx

xxxxxx

Z

Pozn.: obdobných vzorců je spousta, lze je nalézt v libovolné matematické příručce (netřeba je znát zpaměti ).

Shrnutí

• Stupňová x oblouková míra

• Jednotková kružnice

• Funkce sin x, cos x

• Funkce tan x, cotan x

• Součtové vzorce

• Řešení goniometrických rovnic

• Harmonické funkce

• Cyklometrické funkce arcsin x, arccos x

• Cyklometrické funkce arctan x, arccot x

• Součtové vzorce pro cyklometrické funkce