Oddělovací axiomy v bezbodové topologii

transcript

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Definice “frame”

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

Hausdorffovavlastnost

(Uplna) regularita

Normalita

Oddelovacı axiomy v bezbodove topologii

Karel Ha

Matematicko-fyzikalnı fakulta,Univerzita Karlova v Praze

20. cervna 2013

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Klasicky prıpadv bodove topologii

Oddelovacı axiomy Ti (pro i = 0, 1, 2, 3, 312 , 4) se tykajı

oddelovanı:

I bodu od jinych bodu

I bodu od uzavrenych mnozin

I uzavrenych mnozin od jinych uzavrenych mnozin

Vztahy v klasicke topologii

(T4)&(T1) =⇒ (T3 12)&(T1) =⇒ (T3)&(T1) =⇒

=⇒ (T2) =⇒ (T1) =⇒ (T0)

Prıdanı axiomu (T1) u tretı implikace je nezbytne!

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

oddelovanı:

(T4)&(T1) =⇒ (T3 12)&(T1) =⇒ (T3)&(T1) =⇒

=⇒ (T2) =⇒ (T1) =⇒ (T0)

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

oddelovanı:

(T4)&(T1) =⇒ (T3 12)&(T1) =⇒ (T3)&(T1) =⇒

=⇒ (T2) =⇒ (T1) =⇒ (T0)

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

oddelovanı:

(T4)&(T1) =⇒ (T3 12)&(T1) =⇒ (T3)&(T1) =⇒

=⇒ (T2) =⇒ (T1) =⇒ (T0)

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

oddelovanı:

(T4)&(T1) =⇒ (T3 12)&(T1) =⇒ (T3)&(T1) =⇒

=⇒ (T2) =⇒ (T1) =⇒ (T0)

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

oddelovanı:

(T4)&(T1) =⇒ (T3 12)&(T1) =⇒ (T3)&(T1) =⇒

=⇒ (T2) =⇒ (T1) =⇒ (T0)

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

oddelovanı:

(T4)&(T1) =⇒ (T3 12)&(T1) =⇒ (T3)&(T1) =⇒

=⇒ (T2) =⇒ (T1) =⇒ (T0)

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Co je to “frame”?

Motivace

I casto stacı aproximace

I konstruktivnı formy dukazu (axiom vyberu na“vytvarenı” bodu)

Bezbodovy prıstup: mısto bodu pouze otevrene mnoziny

Definice

Frame je uplny svaz L splnujıcı

a ∧∨B =

∨a ∧ b | b ∈ B

pro a ∈ L a B ⊆ L.

Prıklad

Svaz otevrenych mnozin Ω(X) topologickeho prostoru Xtvorı frame.

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Motivace

Definice

a ∧∨B =

∨a ∧ b | b ∈ B

Prıklad

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Motivace

Definice

a ∧∨B =

∨a ∧ b | b ∈ B

Prıklad

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Motivace

Definice

a ∧∨B =

∨a ∧ b | b ∈ B

Prıklad

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Motivace

Definice

a ∧∨B =

∨a ∧ b | b ∈ B

Prıklad

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Motivace

Definice

a ∧∨B =

∨a ∧ b | b ∈ B

Prıklad

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Axiom T0

Definice (T0)

Pro kazda x 6= y existuje otevrena mnozina U takova, zex ∈ U 63 y nebo x 6∈ U 3 y.

Predpokladejme, ze je vzdy splnen.(Ztotoznenı bodu nerozlisitelnych otevrenymi mnozinami.)

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Axiom T0

Definice (T0)

Pro kazda x 6= y existuje otevrena mnozina U takova, zex ∈ U 63 y nebo x 6∈ U 3 y.

Predpokladejme, ze je vzdy splnen.(Ztotoznenı bodu nerozlisitelnych otevrenymi mnozinami.)

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Subfitness

Definice (T1)

Pro kazda x 6= y existuje otevrena mnozina Ux takova, zex ∈ Ux 63 y.

x yUxUy

Definice (Sfit)

a 6≤ b ⇒ ∃c, a ∨ c = 1 6= b ∨ c

Slabsı vlastnost: (T1)⇒ (Sfit)

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Subfitness

Definice (T1)

x yUxUy

Definice (Sfit)

a 6≤ b ⇒ ∃c, a ∨ c = 1 6= b ∨ c

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Subfitness

Definice (T1)

x yUxUy

Definice (Sfit)

a 6≤ b ⇒ ∃c, a ∨ c = 1 6= b ∨ c

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Hausdorffuv axiom

Definice (T2)

Pro kazda x 6= y existujı disjunktnı otevrene mnoziny U, Vtakove, ze x ∈ U, y ∈ V .

V bezbodove topologii je nekolik alternativ...

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Hausdorffuv axiom

Definice (T2)

Pro kazda x 6= y existujı disjunktnı otevrene mnoziny U, Vtakove, ze x ∈ U, y ∈ V .

V bezbodove topologii je nekolik alternativ...

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Axiomy Hausdorffova typu

Dowker-Straussuv prıstup:

Definice (DS-Haus)

a 6≤ b, a 6≥ b ⇒ ∃u 6≤ a, v 6≤ b, u ∧ v = 0

Isbelluv prıstup:

Definice (I-Haus)

Existuje zobrazenı α : L→↑ ∆(0) takove, ze

α∇ = (U 7→ U ∨∆(0))

Zobrazenı ∆,∇ blıze popsany v bakalarske praci.

Platı (I-Haus)⇒ (DS-Haus).

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Definice (DS-Haus)

a 6≤ b, a 6≥ b ⇒ ∃u 6≤ a, v 6≤ b, u ∧ v = 0

Isbelluv prıstup:

Definice (I-Haus)

α∇ = (U 7→ U ∨∆(0))

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Definice (DS-Haus)

a 6≤ b, a 6≥ b ⇒ ∃u 6≤ a, v 6≤ b, u ∧ v = 0

Isbelluv prıstup:

Definice (I-Haus)

α∇ = (U 7→ U ∨∆(0))

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Definice (DS-Haus)

a 6≤ b, a 6≥ b ⇒ ∃u 6≤ a, v 6≤ b, u ∧ v = 0

Isbelluv prıstup:

Definice (I-Haus)

α∇ = (U 7→ U ∨∆(0))

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Definice (DS-Haus)

a 6≤ b, a 6≥ b ⇒ ∃u 6≤ a, v 6≤ b, u ∧ v = 0

Isbelluv prıstup:

Definice (I-Haus)

α∇ = (U 7→ U ∨∆(0))

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Dalsı varianty

(T<)&(S2)

(T 2) ≡ (T<) (S2)

(T ′2) (DS-Haus)

(S) (Sw)

(Sww) (S′2)

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Dalsı varianty

(T<)&(S2)

(T 2) ≡ (T<) (S2)

(T ′2) (DS-Haus)

(S) (Sw)

(Sww) (S′2)

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Regularita

Definice (T3)

Pro kazde x a kazdou uzavrenou A 63 x existujı disjunktnıotevrene mnoziny V1, V2 takove, ze x ∈ V1, A ⊆ V2.

Pozorovanı:

(T3)⇐⇒ ∀U ∈ Ω(X) : U =⋃V ∈ Ω(X) | V ⊆ U

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Regularita

Definice (T3)

Pro kazde x a kazdou uzavrenou A 63 x existujı disjunktnıotevrene mnoziny V1, V2 takove, ze x ∈ V1, A ⊆ V2.

Pozorovanı:

(T3)⇐⇒ ∀U ∈ Ω(X) : U =⋃V ∈ Ω(X) | V ⊆ U

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Regularita

Znacenı V ≺ U pro V ⊆ U

(lze popsat bezbodove)

Definice (Reg)

Frame L je regularnı, pokud

a =∨x ∈ L | x ≺ a

pro a ∈ L.

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Regularita

Znacenı V ≺ U pro V ⊆ U (lze popsat bezbodove)

Definice (Reg)

a =∨x ∈ L | x ≺ a

pro a ∈ L.

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Regularita

Znacenı V ≺ U pro V ⊆ U (lze popsat bezbodove)

Definice (Reg)

a =∨x ∈ L | x ≺ a

pro a ∈ L.

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Uplna regularita

Definice (T3 12)

Pro kazde x a kazdou uzavrenou A 63 x existuje spojitafunkce ϕ : X → I takova, ze

1. ϕ(x) = 0

2. ϕ[A] = 1

Definice (CReg)

Frame L je uplne regularnı, pokud

a =∨x ∈ L | x ≺≺ a

pro a ∈ L.

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Uplna regularita

Definice (T3 12)

Pro kazde x a kazdou uzavrenou A 63 x existuje spojitafunkce ϕ : X → I takova, ze

1. ϕ(x) = 0

2. ϕ[A] = 1

Definice (CReg)

Frame L je uplne regularnı, pokud

a =∨x ∈ L | x ≺≺ a

pro a ∈ L.

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Definice (T4)

Pro kazde dve disjunktnı uzavrene A,B existujı disjunktnıotevrene mnoziny V1, V2 takove, ze A ⊆ V1, B ⊆ V2.

Prımocary preklad. . .

Definice (Norm)

a∨b = 1 ⇒ ∃u, v : u∧v = 0 & a∨u = 1 = b∨v

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Definice (T4)

Definice (Norm)

a∨b = 1 ⇒ ∃u, v : u∧v = 0 & a∨u = 1 = b∨v

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Definice (T4)

Definice (Norm)

a∨b = 1 ⇒ ∃u, v : u∧v = 0 & a∨u = 1 = b∨v

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Situacev bezbodove topologii

Vztahy v bezbodovem kontextu

(Norm)&(Sfit)

⇒ (CReg) ⇒ (Reg) ⇒⇒ (I-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ (DS-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ ostatnı axiomy Hausdorffova typu

Subfitness v podobne roli jako (T1)

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

(Norm)&(Sfit)

⇒ (CReg) ⇒ (Reg) ⇒⇒ (I-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ (DS-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ ostatnı axiomy Hausdorffova typu

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

(Norm)&(Sfit) ⇒ (CReg)

⇒ (Reg) ⇒⇒ (I-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ (DS-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ ostatnı axiomy Hausdorffova typu

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

(Norm)&(Sfit) ⇒ (CReg) ⇒ (Reg)

⇒⇒ (I-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ (DS-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ ostatnı axiomy Hausdorffova typu

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

(Norm)&(Sfit) ⇒ (CReg) ⇒ (Reg) ⇒⇒ (I-Haus)&(Sfit)

⇒⇒ (DS-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ ostatnı axiomy Hausdorffova typu

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

(Norm)&(Sfit) ⇒ (CReg) ⇒ (Reg) ⇒⇒ (I-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ (DS-Haus)&(Sfit)

⇒⇒ ostatnı axiomy Hausdorffova typu

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

(Norm)&(Sfit) ⇒ (CReg) ⇒ (Reg) ⇒⇒ (I-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ (DS-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ ostatnı axiomy Hausdorffova typu

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

(Norm)&(Sfit) ⇒ (CReg) ⇒ (Reg) ⇒⇒ (I-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ (DS-Haus)&(Sfit) ⇒⇒ ostatnı axiomy Hausdorffova typu

Oddelovacı axiomy

Karel Ha

Klasicky prıpad

Axiomy oddelovanı

T0Subfitness

(Uplna) regularita

Normalita

Dekujiza

pozornost!

Oddělovací axiomy v bezbodové topologii

Science