Uvodni sat

-vježba računanja-

Praktikum iz osnova fizike A

Igor Miklavčić, pred.

igor.miklavcic@fizika.unios.hr

vrijeme trajanja oko 90 minuta

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera

Odjel za fiziku

Vježbajmo što točnije mjeriti dužine

• Uzmite olovku i uz tijelo prislonite centimetarsku

ljestvicu mjerila. Probajte što točnije izmjeriti duljinu tog

tijela. Nekoliko puta očitajte kolika je duljina mjerene

dužine.

Kolika je duljina? Jeste li je mogli očitati?

6?

7? 6,5?

6,7 cm ?

6,9?

• Matematička točnost često se iskazuje velikim brojem

znamenki, primjerice 5:6=0,83333333333333333333.

• U fizici se mjerni podatak ispisuje onim znamenkama koje

su označene na mjernoj ljestvici i dopiše im se procijenjena

znamenka.

(signifikantne ili pouzdane znamenke = očitane i procijenjena)

l = 6,7 cm

ili

l = 6,7 cm

Vježba 2

• Iskažite rezultat mjerenja u centimetrima?

• l = 1,27 cm

• Kako biste radili procjenu za uređaje s digitalnim displejom?

Izračun srednje vrijednosti:

=l

mjerenje

jedinica

l

m

1. 1,562

2. 1,558

3. 1,560

4. 1,563

5. 1,559

==

=

n

l

l

n

i 1 =++++

5

559,1563,1560,1558,1562,1m 5604,1

5

802,7=

1,5604 ?

=++++

5

54321 lllll

No kako ne možemo iskazati rezultat većom točnošću od

mjerenih podataka moramo zaokružiti našu srednju vrijednost na

četiri signifikantne znamenke:

ml 560,1=Ne zaboravimo zaokruživanje (jednostavno i parno-neparni brojevi):

no u slučaju:

1,5605 = 1,561

1,5606 = 1,561

1,5607 = 1,561

1,5608 = 1,561

1,5609 = 1,561

Kad bi bilo:

1,5600 = 1,560

1,5601 = 1,560

1,5602 = 1,560

1,5603 = 1,560

1,5604 = 1,560

Signifikantne znamenke

(značajne, pouzdane):

PRAVILA:

• 1. Sve znamenke različite od nule su značajne znamenke.

npr. broj 384 ima tri značajne znamenke, a broj 1,8316 pet značajnih znamenki.

• 2. Nule koje se nalaze na početku broja nisu značajne.

npr. broj 0,0052 ima samo dvije značajne znamenke (5 i 2).

• 3. Nule na kraju broja su značajne ako se nalaze iza decimalnog zareza.

npr. broj 2,560 ima četiri značajne znamenke, a broj 0,051690 ima pet značajnih

znamenaka (znamenke 5, 1, 6, 9 i 0 desno od decimalnog zareza).

• 4. Nule između drugih značajnih znamenki su također značajne.

npr. broj 12 004 ima pet značajni znamenki

• 5. Prema dogovoru, ako broj nema decimalnog zareza, nule na kraju broja nisu

značajne (ali nije uvijek tako, već prema dogovoru)

npr. broj 3200 ima samo dvije značajne znamenke (3 i 2).

Stoga je bolje zapisivati brojeve u eksponencijalnom obliku

npr. F = 3200 N = 3,2∙103 N ako imamo 2 signifikantne znamenke

tj. F = 3200 N = 3,200∙103 N ako imamo 4 signifikantne znamenke

Dozvoljen je i oblik 3,200 E 3

Uobičajeno je zapisivati brojeve u eksponencijalnom obliku kao

3,200∙103 N, a ne 32,00∙102 N iako se radi o istom broju

Matematičke operacije je jednostavnije izvoditi s brojevima u eksponencijalnom

obliku.

Ali –upisivanjue u tablicu je najčešće u jedinicama u kojima smo direktno mjerili.

Za vježbu:

http://www.chem.tamu.edu/class/fyp/mathrev/mr-sigfg.html

http://chemistry.about.com/od/chemistry-test-questions/tp/Significant-Figures-

Scientific-Notation-Test-Questions.htm

http://www.physicslessons.com/quiz/quiz1.html

http://www.sciencegeek.net/APchemistry/APtaters/chap02counting.htm

Signifikantne (pouzdane)

znamenke:Pomnožimo dva rezultata naših mjerenja npr. duljine a i širine b:

P = a x b = 9,3426 m x 34,1 m =

P = 318,58266 m2

Na koliko znamenaka ćemo sada zaokružiti naš rezultatmjerenja površine?

P = a x b = 319 m2

Zašto?

Važno je zapamtiti, ukoliko izvodimo više računskih operacija

gore navedeni postupak traženja pouzdanih znamenaka

primjenjujemo samo na krajnji rezultat kako ne bismo dobili

preveliku grešku zaokruživanja.

• Kod zbrajanja ili oduzimanja rezultat se iskazuje na onoliko

decimalnih mjesta, koliko ih ima član s najmanjim brojem decimala.

• primjer:

• Kod množenja ili dijeljenja rezultat se zaokružuje na onoliki broj

značajnih znamenki, koliko ih sadrži faktor s najmanjim brojem

značajnih znamenki.

primjer:

• Rezultat se zaokružuje tek nakon završenog računa

12,34 + 5,6 =

1,00257 - 0,0013 =

17,9

1,0013

1,48 * 3,2887 =

2,62 / 8,1473 =

4,87

0,322

Pogreške

Zbog nesavršenosti mjernih instrumenata i naših osjetila

nijedno mjerenje nije apsolutno točno.

• Sistemske pogreške (neispravan pribor, pogrešna metoda)

• Slučajne pogreške (nesavršenost opažača i pribora)

• Grube pogreške (omaške u mjerenju)

Preporučam Vam knjigu:

Vježbe iz fizike autorica

Vernić-Mikuličić jer imate

primjere kako računati

pogreške tj. teoriju pogrešaka

koju ćete najčešće koristiti.

Račun pogrešaka

• Najbolje je pogreške iskazivati standardnom devijacijom,

ali to iziskuje veliki broj mjerenja

• Pošto vršimo mali broj mjerenja jednostavnije je pogreške

iskazivati maksimalnom apsolutnom pogreškom Δam ili

maksimalnom relativnom pogreškom ram

• DZ

( ) ( )uzoraka broj manji za

1 ili

2

1

2

1

−

−

=

−

===

n

XX

n

XXn

i

i

n

i

i

Maksimalna apsolutna pogreška

mjerenje

jedinica

l Δl

m m

1. 1,562

2. 1,558

3. 1,560

4. 1,563

5. 1,559

=1,560l

nlll −=

Maksimalna apsolutna pogreška

mjerenje

jedinica

l Δl

m m

1. 1,562 -0,002

2. 1,558 0,002

3. 1,560 0,000

4. 1,563 -0,003

5. 1,559 0,001

=1,560 Δlm= 0,003l

nlll −=

No prisjetimo se par slajdova prije

Važno je zapamtiti, ukoliko izvodimo više računskih operacija

gore navedeni postupak traženja pouzdanih znamenaka

primjenjujemo samo na krajnji rezultat kako ne bismo dobili

preveliku grešku zaokruživanja.

Maksimalna apsolutna pogreška

mjerenje

jedinica

l Δl

m m

1. 1,562 -0,0016

2. 1,558 0,0024

3. 1,560 0,0004

4. 1,563 -0,0026

5. 1,559 0,0014

=1,560 Δlm= 0,0026 = 0,003l

n

n

ll

lll

−=

−=

5604,1

Naš konačni rezultat iskazujemo u obliku l = (1,560 + 0,003) m

Ili u excelu funkcija average

Maksimalna relativna pogreška

• Kada bismo htjeli procijeniti koliko je neki rezultat mjerenja

točan, onda nam maksimalna apsolutna pogreška nije mjera

za to.

• Primjer:

l = (15,60 + 0,03) m i d = (1,56 + 0,03) m

Ne možemo reći kako je točnost obaju rezultata jednaka iako je

maksimalna apsolutna pogreška jednaka. Zato uzimamo u

obzir maksimalnu relativnu pogrešku

%100

=

a

ar mam

Maksimalna relativna pogreška

• Izračunajmo maksimalnu relativnu pogrešku za prethodni primjer:

l = (15,60 + 0,03) m i d = (1,56 + 0,03) m

%100

=

l

lr mlm

%10060,15

03,0

= %2,0=

%100

=

d

dr m

dm%100

56,1

03,0

= %2=

Broj znamenaka u postotku ovisi o signifikantnim znamenkama

s kojima smo računali, no najčešće izražavamo kao 2% a ne 1,923%)

Postotna pogreška:

Kako izračunati odstupanje od tablične vrijednosti

neku veličinu koju smo tražili tj. postotnu

pogrešku?

Naboj elektrona iz tablice iznosi:

A naša mjerenja su dala rezultat:

Ce tab

19

. 10602,1 −=

Ce 19105,1 −=

=ep =

−

−

−−

%10010602,1

105,110602,1

19

1919

% 6=−

%100.

.

tab

tab

e

ee

Utjecaj pogrešaka izmjerenih veličina

na izvedene veličine • Pri mnogim mjerenjima neće nam biti dovoljno da neposredno

izmjerimo jednu ili više veličina. Često ćemo rezultat izračunati tek

pomoću izmjerenih veličina.

• Primjer je izračun površine

P = a x b

Pitamo se kako pogreške pri mjerenju a i b utječu na P?

Odgovor se nalazi u već spomenuto knjizi Vježbe iz fizike autorica

Vernić-Mikuličić.

%100

+

=

b

b

a

ar mm

Pm

abbaP mm +=

Crtanje grafova:

• Kod crtanja grafova važno je odrediti što nam

ide na apcisu (x -os), a što na ordinatu (y -os).

Obično nam je to uvijek zadano u zadatku.

• Primjer:

• nacrtajte krivulju F = f (d).

• Tada ćemo na apcisu staviti d, a na ordinatu F

(jer je F funkcija od d).

Neka su nam ovo rezultati mjerenja:

Tablica 1.

mjerenje

jedinica

d F

cm N

1. 1,0 10

2. 2,0 21

3. 3,0 33

4. 4,0 39

5. 5,0 48

Nacrtajmo krivulju F = f (d).

Graf F-d

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5

d (cm)

F (

N)

Graf: ovisnost F o d

Možemo li sve točke spojiti jednim pravcem?

?

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5

F (

N)

d (cm)

Graf F-d

Vidimo kako sve točke ne leže točno na pravcu, već ima malo

odstupanje. Kako naći pravac koji najbolje odgovara tj. najbolje

aproksimira sve mjerene rezultate?

Metoda najmanjih kvadrata

d F d2

1,0 10 10 1,0

2,0 21 42 4,0

3,0 33 99 9,0

4,0 39 156 16

5,0 48 240 25

3,0 30,2 109,4 11

9,0

90,6

Fd

=d =F = Fd =2d

=2

d

= Fd

Ne zaboravite kako su ovi brojevi zaokruženi, a kako ćemo ih koristit

u daljnjem računu …

Tablica:

Ako opća jednadžba pravca glasi bxay +=

tada je jednadžba pravca za naš slučaj bdaF +=

Pomoću metode najmanjih kvadrata možemo odrediti koeficijente a i b.

F = f (d)

Izračun koeficijenta smjera pravca:

22

xy x yk

x x

− =

−

tj. =a

Izračun odsječka na osi ordinati:

l y k x= −

=b

DZ

a ili

==−

−=

−

−

2

8,18

911

6,904,10922 dd

FdFdN /m 4,9

b ili

tj.=−=−=− 2,282,3034,92,30laF N 0,2

DZ

bdaF +=

N 0,24,9 += dF

Naša jednadžba pravca sada glasi:

Za provjeru svog računa - u excelu dodamo na grafu trendline – prikaži jednadžbu pravca

Naravno, ovo vrijedi samo ako je veza linearna,

za kvadratnu, eksponencionalnu ili neku drugu vezu

postoje male prilagodbe.

Crtanje grafova - veličina

• Mjerilo odabiremo takvo da čitav dijagram stane na format kojim

raspolažemo

• Preveliki grafikon (veliko mjerilo) navodi da se vrijednosti s grafikona

očitavaju točnije od stvarnog mjerenja i dovode do rasipanja podataka

iz čega je teže zaključiti ovisnosti

• Točnost crtanja iznosi + 0,5 mm

• Točnost mjerenja u našem praktikumu je otprilike od 1% do 10%

• Primjer:

maksimalni mjereni iznos je 132 N (100%, za x os)

točnost mjerenja 2%

točnost crtanja + 0,5 mm (uvijek isto)

tada nam x osi od 132 N (100%) odgovara 0,5*(100/2) = 25 mm

analogijom računamo i za y os

• Pitanja?

• Hvala na pozornosti

Igor Miklavčić