1

Kinematika

Tato vdní disciplina popisuje a zkoumá pohyb hmotných tles, aniž ji zajímají píiny tohoto pohybu.

Pojem hmotného bodu

Název hmotný bod (bodové tleso) používáme pro modelový hmotný objekt (o hmotnosti m), jehož

rozmry (objem) jsou zanedbateln malé, matematicky nekonen malé.

Zavedení polohového vektoru

Jestliže v dané kartézské soustav souadnic má hmotný bod okamžitou polohu (v ase t) :

)z,y,x(A = ,

potom definujeme polohový vektor (prvodi) tohoto hmotného bodu jako vektor s poátením bodem

v poátku 0 soustavy souadnic a s koncovým bodem v míst A hmotného bodu (viz obr.) :

dráha

s

z

x

y

j

i

k ro

r

A ( )x, y, z

z k·

m

y·j

x i·0

Pro matematické vyjádení polohového vektoru pak mžeme využít libovolnou ze tí standardních

možností zápisu vektor, které znáte z matematické analýzy :

2

)z,y,x(r =

zápis prvodie pomocí souadnic

kzjyixr

⋅+⋅+⋅= zápis prvodie pomocí složek

rrr o ⋅=

zápis prvodie pomocí jednotkového vektoru

Pro výše použitý jednotkový vektor prvodie platí rovnž známá vektorová rovnice :

rr

ro

= jednotkový vektor prvodie

A také velikost prvodie musí být v souladu s obecnými vztahy pro vektory :

222 zyxrr ++==

velikost prvodie

V kinematice vždy sledujeme pohyb hmotného bodu po njaké dráze s , hmotný bod tedy mní

v prbhu asu svoji polohu, mní se proto i jeho polohový vektor – potom všechny výše uvedené

veliiny musí být jednoznan definovány v každém asovém okamžiku - jsou to tedy funkce asu

( vektorové funkce, pouze v pípad velikosti prvodie funkce skalární ).

Když pak dokážeme nalézt polohový vektor jako takovou funkci (a tento problém eší dynamika) :

k)t(zj)t(yi)t(x)t(rr ⋅+⋅+⋅==

Znamená to vlastn nalezení parametrických rovnic dráhy pohybu :

)t(zz

)t(yy

)t(xx

===

parametrické rovnice dráhy

To je první výhoda používání polohového vektoru hmotného bodu. Druhou a hlavní výhodou je však

možnost „kompletn“ vyjádit základní kinematické veliiny - rychlost a zrychlení pohybu - jako

veliiny vektorové :

Pipomeme si ale nejprve, co znáte ze stední školy o definici rychlosti : Je to podíl velikosti (délky)

∆ s ásti dráhy (úseku, elementu dráhy, viz obr.) a asu (asového intervalu) ∆ t , za který hmotný bod

uvedenou dráhu urazí, tedy :

ts

v∆∆=

3

Podíl tchto veliin lze dobe popsat jako dráhu probhnutou za (zvolenou) jednotku asu. Je to vlastn

slovní vyjádení této veliiny : Rychlost je (íseln) rovna dráze (velikosti, délce dráhy) vykonané (uražené,

ubhnuté) za jednotku asu.

s

s∆s

∆s

ds

Použitý symbol (∆ ) u dráhy a asu – velké ecké písmeno delta – se vždy používá k oznaení zvolené

ásti njaké veliiny (jinak eeno intervalu , úseku , elementu ).

U veliin, které jsou matematickými spojitými funkcemi, je pak vhodnjší použít termín zmna veliiny

– pípadn pírstek nebo úbytek této veliiny.

To je také pípad délky vykonané dráhy, která je zejmou (rostoucí) spojitou funkcí asu :

)t(ss =

A proto její libovolná ást (úsek) je pírstkem této funkce za zvolený asový interval 12 ttt −=∆ ,

tj. je rovna rozdílu hodnot funkce v koncovém a poátením bod tohoto asového intervalu :

1212 ss)t(s)t(ss −=−=∆

Nebo v ponkud obecnjší form, bez použití index :

)t(s)tt(ss −+= ∆∆

Zvolená ást veliiny – v našem pípad úsek njaké dráhy - mže být libovoln velikou ástí celé dráhy

(a teba i dráha celá). Pak ovšem vypoítaná rychlost je spojená s celým takto vybraným úsekem – je to

prmrná rychlost na tomto úseku dráhy. (Napíklad na stokilometrové dráze z Plzn do Prahy nás mohou zajímat

prmrné rychlosti na úsecích délky nkolika kilometr, desítek kilometr, i na celé dráze.)

Pozn. : Písmeno s se tedy používá k oznaení probhnuté délky dráhy, i k oznaení geometrické kivky této dráhy.

Veliina prmrná rychlost tedy hodnotí rychlost hmotného bodu na celém úseku dráhy ∆ s , ale vbec

nic nám neíká o „lokálním“ pohybovém stavu v jednotlivých menších úsecích této dráhy.

Pro detailní popis pohybu se proto zavádí další veliina - okamžitá rychlost - která má zejmý smysl

rychlosti v daném ase . V uritém asovém okamžiku je hmotný bod také na uritém míst dráhy, tj.

v njakém jejím bod.

4

Pro výpoet takové rychlost pak ale jist volíme co možná nejmenší ást dráhy – o délce ádov metry,

spíše však decimetry, centimetry, milimetry…..a potom musíme vydlit tuto dráhu píslušným asem

potebným k jejímu probhnutí - ten bude urit také velmi malý .

Abychom se piblížili geometrické pedstav bodu dráhy, ve kterém urujeme rychlost - jako nekonen

malého objektu - ml by být zvolený úsek dráhy vlastn také nekonen malý, tedy „prakticky“

nulový - stejn jako potebný as.

Nulové hodnoty ovšem do vztahu pro rychlost nemžeme pímo dosadit, protože zlomek by neml smysl

- budeme se proto k nulové dráze a nulovému asu tedy pouze pibližovat – a díky matematické analýze

se k nim mžeme piblížit nekonen blízko .

Shrme tyto úvahy :

Pro výpoet okamžité rychlosti použijeme stejný vzorec jako pro rychlost prmrnou, tj. bude to podíl

ásti dráhy a asu potebného k jejímu vykonání. Do tohoto vzorce však budeme (myšlenkov) postupn

dosazovat stále menší a menší úseky dráhy, co nejvíce se pibližující k nule (a píslušné asy, které se

také budou blížit k nule). Výsledkem bude ada – posloupnost - hodnot rychlosti, které se budou

pibližovat k njaké mezní hodnot - k naší požadované okamžité rychlosti.

Pro tuto mezní hodnotu se v matematice používá pojem limita a její hodnota (a podmínky procesu jejího

vytváení) se formáln zapisuje standardním zpsobem :

ts

limv0t ∆

∆∆ →

=

V pípad existence funkcí v itateli a ve jmenovateli využijeme ovšem znalosti pírstk tchto funkcí :

12

12

tt0t tt)t(s)t(s

limt

)t(s)tt(slimv

12 −−=−+=

→→ ∆∆

∆

Pi tomto procesu pibližování k mezní, limitní hodnot nabývají tedy ásti veliin v itateli i jmenovateli

zlomku velmi malé hodnoty. Nejsou pímo nulové, ale k nule se pibližují libovoln blízko – jsou to tzv.

nekonen malé hodnoty .

K pojmenování takové nekonen malé ásti urité veliiny se pak používá matematického pojmu

diferenciální (elementární) ást (interval, úsek, veliina, element), nebo jednoduše diferenciál , zejména

je-li tato veliina spojitou matematickou funkcí nebo její spojitou promnnou.

K oznaení diferenciál používáme písmeno d , nkdy δ nebo ∂ a z pedešlého textu je zejmé, že

mohou být také napsány jako limity :

( ) ( ))t(s)t(slim)t(s)tt(slimslimds 12tt0t0t 12

−=−+==→→→

∆∆∆∆

)tt(limtlimdt 12tt0t 12

−==→→

∆∆

Okamžitá rychlost bude tedy definována jako podíl diferenciálních ástí (diferenciál) dráhy a asu :

5

dtds

ts

limv0t

==→ ∆

∆∆ okamžitá rychlost (velikost)

Matematický postup pibližování se k limitní hodnot podílu úseku dráhy a asového intervalu ale nic

nemní na smyslu tohoto podílu – každý len ady, i sama limita, má stále význam velikosti (délce)

dráhy probhnuté za jednotku asu.

Tedy okamžitá rychlost hmotného bodu vyjádená jako podíl diferenciálních ástí dráhy a asu má stejný

smysl jako prmrná rychlost – je rovna dráze (délce, velikosti dráhy) uražené za jednotku asu - ale

je definována v daném míst dráhy, tj. v daném ase.

Výše jsme již uvážili, že délka vykonané dráhy je spojitou funkcí asu a také nezávisle promnná – as –

je samozejm ekvivalentní spojité funkci, proto je tato okamžitá rychlost podílem skutených (úplných)

diferenciál (funkcí) a mže být chápána jako asová zmna (pírstek) délky dráhy za jednotku asu.

Pro praktický výpoet je potom nejdležitjší, že vytvoená definice okamžité rychlosti je souasn

také matematickou definicí derivace (délky) dráhy podle asu :

)t(sdtd

dtds

v ==

Samozejm vím, že jsem pedchozími ádky lehce znudil ty z vás, kteí už zcela bžn derivují a

integrují, chtl jsem ale zopakovat pro fyziku dležité pojmy jako pírstek funkce a diferenciál , které

dále použijeme u funkce vektorové, a chtl jsem také zdvodnit , pro fyzikové derivaci funkce asto

radji nahrazují podílem diferenciál , který má obecnjší platnost .

Už v termodynamice poznáte, že opravdu existují fyzikální veliiny, která jsou sice nekonen malé, ale

nejedná se o skutené diferenciály funkcí - z jednoduchého dvodu, že píslušné funkce prost neexistují.

Takové je nap. teplo dQ potebné k (nekonen) malému ohátí plynu - nelze totiž najít funkci Q

(stavových veliin plynu), která by popsala celkové ohátí plynu, protože toto teplo závisí také na

konkrétním termodynamickém procesu ohevu. Pi exaktním popisu se pro tuto veliinu používá také

odlišné oznaení – Q - je to tzv. neúplný diferenciál . Závrem tedy shrneme :

Na formální znak derivace – tj. zlomek s diferenciálními veliinami - mžeme vždy pohlížet jako na

skutený podíl (skutený zlomek) dvou (nekonen) malých veliin, ale ne vždy se také jedná o

matematickou derivaci.

Nyní se už podívejme, jak lze definovat okamžitou rychlost pomocí polohového vektoru :

Jde totiž o to, že okamžitá rychlost je typická fyzikální vektorová veliina - tj. má nejen velikost – tu

jsme již stanovili - ale má také uritý smr (a orientaci).

6

Veškerá lidská zkušenost s mechanickým pohybem nás pitom pesvduje, že (okamžitá) rychlost má

vždy smr teny dráhy v daném míst. Jak ale nalezneme její souvislost s polohovým vektorem

hmotného bodu ?

Již pi definici prvodie jsme si uvdomili, že prvodi není njaký konstantní vektor, ale že se jedná o

vektorovou funkci asu, nebo s hmotným bodem, pohybujícím se po njaké dráze, se také souasn

pohybuje koncový bod tohoto vektoru.

Tak jako jsme výše definovali zmnu „obyejné“ skalární funkce pomocí rozdílu jejích hodnot

v koneném a v poátením bod, mžeme stejn definovat zmnu (pírstek) vektorové funkce –

našeho polohového vektoru – tato zmna bude ovšem také vektorová veliina :

1212 rr)t(r)t(r)t(r)tt(rr

−=−=−+= ∆∆ pírstek (zmna) prvodie

Následující obrázek nám ukazuje, že tento vektor je senou dráhy hmotného bodu mezi místy 1r

a 2r

.

s

∆s

∆r

r ( )t r ( )t +dt

0

dr = ds

τv

s

tena

Je zejmé, že délka seny je velikostí tohoto vektoru a že se pibližn rovná délce ásti dráhy mezi

obma uvažovanými místy :

sr ∆∆ =

Rovnost je tím lépe splnna, ím je sena kivky kratší a zejm tedy platí pesn v limit pro nekonen

malý asový interval t∆ , kdy oba krajní body seny splynou do jednoho bodu - sena potom pejde na

tenu kivky v tomto bod.

Pak se vektor pírstku prvodie blíží nule a vzniká vlastn diferenciál této vektorové funkce :

rlimrd0t

∆∆ →

= diferenciál prvodie

7

Také je možno formáln napsat :

)t(r)tdt(rrd

−+=

V tomto mezním pípad, kdy se sena zmní na tenu, splývá diferenciál prvodie s diferenciálním

elementem dráhy a oba tvoí nekonen malou ást dráhy hmotného bodu - jejich velikosti jsou tedy

shodné :

dsrd =

A je také zejmé, že oba tyto diferenciály jsou také ástí pímky teny – mohou být tedy zakresleny jako

dv (nekonen malé) shodné úseky – ale diferenciál prvodie je navíc vektor, tj. orientovaná úseka

(ve smru pohybu hmotného bodu) - asto se také nazývá orientovaným elementem dráhy a k jeho

oznaení se mže použít stejné písmeno, jako je oznaení kivky ( s , nkdy také l ) :

ldsdrd

== orientovaný element (kivky) dráhy

Tena (a také normála) je v každém míst kivky jednoznan definována (její výpoet je matematická

záležitost), proto u dráhy hmotného bodu vždy mžeme poítat s existencí jednotkového teného

vektoru τ (orientaci volíme ve smru pohybu, viz obr.), s jehož pomocí lze standardn vyjádit

diferenciál prvodie – orientovaný element dráhy :

ττ ⋅=⋅= dsrdrd

Nyní se vrátíme k vektoru okamžité rychlosti , který rovnž leží na ten dráhy , a lze ho tedy také

vyjádit pomocí jednotkového teného vektoru kivky a známé velikosti okamžité rychlosti :

ττ ⋅=⋅=

dtds

vv

Jestliže je možno zacházet s derivací funkce jako s obyejným podílem diferenciál, proveme tedy

naznaené násobení :

dtds

dtds

vττ

⋅=⋅=

Podle horní rovnice v rámeku však nyní vznikl v itateli diferenciál prvodie a dostáváme tak velmi

efektní možnost pímé exaktní definice vektoru okamžité rychlosti pomocí prvodie hmotného bodu :

tr

limdtrd

v0t ∆

∆∆

→== okamžitá rychlost (vektor)

8

Tento vektor tak obsahuje kompletní informaci o rychlosti pohybu hmotného bodu – jeho velikost je

shodná se dívjší skalární definicí okamžité rychlosti (jako dráhy uražené za jednotku asu), ale navíc

má nyní smr teny dráhy a jednoznanou orientaci (ve smru pohybu hmotného bodu)

Okamžitá rychlost hmotného bodu jako podíl diferenciál prvodie a asu mže být chápána (ve shod

se smyslem podílu skalárních diferenciál) jako asová zmna prvodie (za jednotku asu),

matematicky je to pak derivace prvodie podle asu.

Pozn. : Pro zkrácení zápisu se k formálnímu oznaení derivace nkdy používá pouze árka nad písmenem

funkce, pípadn teka , zejména jde-li o asovou derivaci :

rdtrd

v

==

Derivace vektoru (vektorové funkce) je stejn jako sám vektor formální matematický výraz , který

konkrétn znamená derivaci všech souadnic vektoru :

)z,y,x()dtdz

,dtdy

,dtdx

()v,v,v(v zyx

=== zápis vektoru rychlosti pomocí souadnic

Pípadn zapsáno pomocí složek :

kzjyixkdtdz

jdtdy

idtdx

kvjvivv zyx

⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=

Pozn. : Tento složkový zápis je teoreticky velmi významný – ukazuje, že libovolný obecný kivoarý pohyb (jeho rychlost)

lze rozložit do tí jednoduchých pohyb, které se konají na souadných osách, tj. do tí pímoarých pohyb – je to vlastn

zdvodnní principu skládání pohyb . Uvažme, že vlastn také element dráhy ( rd

) se rozkládá na ti elementy na osách

(dx, dy, dz) a na další stránce uvidíme, že totéž platí i pro zrychlení pohybu.

Zápis vektoru rychlosti pomocí jednotkového vektoru už známe - z nj jsme vlastn vycházeli :

τ⋅= vv zápis vektoru rychlosti pomocí jednotkového vektoru

kde τ je jednotkový tený vektor v daném míst dráhy a velikost rychlosti v je urena známým

vztahem pro velikost vektoru :

2z

2y

2x vvvv ++= velikost vektoru rychlosti

A souasn pro velikost rychlosti samozejm platí díve odvozená skalární definice :

dtds

v =

9

Analogickým zpsobem , jako jsme definovali vektor okamžité rychlosti, mžeme dále definovat vektor

okamžitého zrychlení hmotného bodu - tj. jako asovou zmnu vektoru rychlosti :

dtvd

tv

lima0t

==→ ∆

∆∆ okamžité zrychlení (vektor)

A stejn dobe lze popsat význam – slovní hodnocení - této veliiny : (okamžité) zrychlení je (íseln)

rovno zmn (pírstku) rychlosti za jednotku asu (v daném ase, v daném míst dráhy).

Do defininího vztahu lze také hned dosadit pedchozí vztah pro okamžitou rychlost :

2

2

dtrd

vdtd

dtvd

a

===

Nebo formáln :

rdt

rdv

dtvd

a2

2

====

Analogické je také vyjádení vektoru zrychlení v souadnicích a složkách :

)z,y,x()dt

zd,

dt

yd,

dt

xd()v,v,v()

dtdv

,dt

dv,

dtdv

()a,a,a(a2

2

2

2

2

2

zyxzyx

zyx

=====

kzjyixkvjvivkajaiaa zyxzyx

⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=

A také jeho velikost :

2z

2y

2x aaaa ++=

Je však vynechán zápis pomocí jednotkového vektoru, nebo urení smru tohoto vektoru, na rozdíl od

smru rychlosti, již není triviální.

Smr vektoru zrychlení mžeme totiž vidt pímo z definice této veliiny (jako podílu diferenciálu

rychlosti a diferenciálu asu), kterou pípadn upravíme s využitím možnosti manipulovat s podílem

diferenciál jako s obyejným zlomkem :

vddt1

dtvd

a

⋅==

Tato vektorová rovnice nám íká, že smr zrychlení je dán smrem diferenciálu rychlosti , tj. zmny

(pírstku) rychlosti - nebo násobení skalárem má vliv pouze na velikost vektoru a nemní jeho smr.

10

v t( )

v ( )t+dts

a

dv

dv

dráha

Jestliže si pak nakreslíme do obrázku pírstek rychlosti jako rozdíl vektor rychlostí ve dvou

(nekonen) blízkých bodech dráhy :

)t(v)tdt(vvd

−+=

a uvážíme-li rzné možnosti velikostí a smr tchto vektor (v dsledku nerovnomrnosti pohybu a

rzného možného zakivení dráhy), pak je jist zejmé, že vektor okamžitého zrychlení mže mít

v prostoru zcela libovolný smr.

Protože u dráhy pohybu jako geometrické kivky lze v každém bod vždy jednoznan urit tenu a

normálu , provádí se velmi asto rozklad vektoru zrychlení do tchto dvou smr (v rovin kivky

v daném míst, jinak v prostoru je nutno pidat tetí smr – binormálu).

Jde vlastn o rozklad vektoru zrychlení do dvou kartézských os na tenou a normálovou složku :

naaaaa nn

⋅+⋅=+= τττ rozklad vektoru zrychlení

1n ==τ

kde τ je jednotkový tený vektor (použitý již u vektoru rychlosti) a n

je jednotkový normálový

vektor (viz obr.)

a

R

S

τ

s

an

aτ

n

tena

normála

dráha

oskulaníkružnice

s

11

Pro stanovení obou tchto složek zrychlení využijeme známý zápis rychlosti pomocí jednotkového

teného vektoru :

τ⋅= vv

a vypoítáme zrychlení s využitím pravidla o derivaci souinu (které platí jak pro souin dvou skalár

(funkcí), tak i pro souin skaláru a vektoru a rovnž pro souin dvou vektor, skalární i vektorový, jak se

mžete sami pesvdit rozepsáním vektorových výraz do souadnic) :

dtd

vdtdv

)v(dtd

dtvd

aτττ

⋅+⋅=⋅==

První len obsahuje jednotkový tený vektor a skalární výraz - je to již tedy evidentn tená složka

zrychlení. Jasn pitom vidíme, že derivace velikosti rychlosti podle asu neuruje celé zrychlení, ale

pouze tuto jednu složku.

Upravujme dále druhý len pomocí formálního pojetí jednotkového teného vektoru jako složené funkce :

))t(s()t( τττ ==

Pak mžeme totiž použít pravidel o derivaci složené funkce :

vdsd

dtds

dsd

dtd ⋅=⋅= τττ

Podívejme se nyní, jak vypadají tyto veliiny v libovolném míst dráhy hmotného bodu a jaký je jejich

vztah k oskulaní kružnici polomru R :

R

S

dα

τ ( )t+dt

τ ( )t

dτdα

ds

s

s

dráha

oskulaníkružnice

dτ

n

S pomocí obrázku pedevším uvažme, jaký smr má vektor τd - musí míit práv do stedu této

oskulaní kružnice, tj. má smr jednotkového normálového vektoru n

kivky – proto tedy je možno

vektor τd zapsat pomocí jeho velikosti a tohoto jednotkového vektoru :

ndd

⋅= ττ

12

Ješt využijme stejného úhlu αd v podobných trojúhelnících vytvoených tenými vektory a polomry

oskulaní kružnice na poátku a konci asového intervalu d t (viz. obr.) :

Rds

1d

d == τϕ

asovou zmnu jednotkového teného vektoru lze pak jednoduše vyjádit :

nRv

vdsn

Rds

vdsn

dvds

ndv

dsd

dtd

⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅= ττττ

Tento výsledek dosadíme do výchozího vztahu pro zrychlení :

nRv

vdtdv

dtd

vdtdv

a

⋅⋅+⋅=⋅+⋅= τττ

A v koneném tvaru :

nRv

dtdv

a2

⋅+⋅= τ rozklad vektoru zrychlení

Pro velikosti složek vektoru zrychlení tedy dostáváme :

dtdv

a =τ velikost tené složky zrychlení („tené zrychlení“)

Rv

an

2

= velikost normálové složky zrychlení („normálové zrychlení“)

Pomocí tchto složek pak také mžeme jednoduše vyjádit velikost vektoru zrychlení, nebo to jsou

kartézské složky :

22nt aaa += velikost zrychlení

Z uvedených rovnic je zejmé, že zrychlení kivoarého pohybu není nikdy nulové. I v pípad

rovnomrného pohybu (tj. konstantní rychlostí v, jako nap. rovnomrný kruhový pohyb), kdy je sice

tené zrychlení rovno nule :

0dtdv

a ==τ

je ale v dsledku zakivení dráhy (existence polomru kivosti R) vždy nenulové zrychlení normálové

(dostedivé) , samozejm pokud je nenulová rychlost :

0Rv

a2

n ≠=

A toto zrychlení pak uruje i celkové zrychlení (jeho velikost) :

0Rv

aa2

n ≠==

13

Dále si blíže všimneme kruhového pohybu , jako speciálního pípadu pohybu kivoarého, velmi asto

využívaného v technických aplikacích i v teoretických úvahách :

Kruhový (rotaní) pohyb

Aniž opt zkoumáme píiny takového pohybu (v dynamice uvidíme, že na hmotný bod musí psobit

konstantní dostedivá síla), konstatujeme pouze, že dráhou hmotného bodu je kružnice o polomru R se

stedem v njakém bod S .

K popisu kruhového pohybu pak vtšinou zavádíme úhlové veliiny (viz obr.) :

xS

R s

v

ϕ

Využíváme pitom geometrické definice úhlu (v radiánech) pomocí dráhy s opsané (vykonané) na

obvodu kružnice o polomru R (kladný smr odetu úhlu volíme standardn proti smru hodinových

ruiek) :

[ ] [ ]−== radRsϕ definice úhlu

která matematicky také znamená jednoznané piazení (vztah) veliin vykonané dráhy s a úhlu

opsaného prvodiem :

ϕ⋅= Rs

Tuto rovnici derivujme podle asu, tj. derivujme její pravou i levou stranu :

dtd

Rdtds ϕ⋅=

14

Máme již njaké zkušenosti s diferenciály, mžeme proto uvážit, že vzniklé asové zmny dráhy a úhlu

znamenají samozejm na jedné stran dráhu vykonanou na obvodu za jednotku asu , tj. obvodovou

rychlost v, která je zejm ekvivalentní obyejné „dráhové“ okamžité rychlosti (skalární) a na stran

druhé pak dostáváme úhel opsaný prvodiem za jednotku asu , tj. úhlovou rychlost :

dtds

v = obvodová rychlost

dtdϕω = úhlová rychlost

Objevili jsme tak další jednoznaný vztah mezi dráhovými a úhlovými veliinami, nyní rychlostí :

ω⋅= Rv

Tuto rovnici znovu derivujeme :

dtd

Rdtdv ω⋅=

Na levé stran vzniká známá veliina teného zrychlení aτ a na stran pravé je pak asová zmna

úhlové rychlosti, tj. úhlové zrychlení :

dtdv

a =τ tené zrychlení

dtdωε = úhlové zrychlení

A máme tetí vztah pro dráhové a úhlové veliiny, tentokrát pro zrychlení :

ετ ⋅= Ra

Jelikož lze i dostedivé zrychlení vyjádit pomocí úhlové rychlosti :

222

n RR

)R(Rv

a ωω ⋅=⋅==

znamená to, že kruhový (rotaní) pohyb je úhlovými veliinami (, , ) dostaten popsán – tj. umíme

z nich jednoznan urit všechny dráhové veliiny (dráhu, rychlost a zrychlení – tedy vlastn pouze

jejich velikosti s, v, a).

15

Uvažme ovšem, že dráhové veliiny jsou ale obecn vektory . Pak se naskýtá otázka, zda by bylo možno

definovat vektorov také úhlové veliiny - v první ad úhel opsaný prvodiem.

Základní podmínkou je zde jist nalezení smru takového vektoru, který by bylo možno jednoznan

piadit tomuto úhlu, tj. vlastn i celému kruhovému (rotanímu) pohybu. Tuto vlastnost má pímka

procházející stedem kruhové dráhy a kolmá k rovin pohybu, tj. rotaní osa .

x

y

zα

m

R0

sϕ

dϕ

osa rotace

ϕ

ω

ε

r

v

n

Jednotkový normálový vektor n

, kolmý k rovin rotace, definuje proto jednoznan smr této osy a

také hledaný smr vektoru úhlu - jeho orientace se potom standardn volí tak, aby z konce normálového

vektoru bylo vidt pohyb po kružnici v kladném smyslu a jeho velikost pak jist stanovíme rovnou

(kladné) velikosti opsaného úhlu :

ϕϕ =

Pro vektor úhlu tedy mžeme použít zápis pomocí jeho velikosti a jednotkového vektoru :

n

⋅= ϕϕ vektor opsaného úhlu

Potom se i další úhlové veliiny stanou „automaticky“ vektorovými veliinami :

16

dtdϕω

= vektor úhlové rychlosti

Ped dalším krokem uvážíme, že smr vektoru úhlové rychlosti je uren smrem diferenciálu úhlu, tj.

smrem pírstku (zmny) úhlu – to ale znamená zmnu smru osy rotace - což je jist velmi zásadní

zmna rotaního pohybu, která sice obecn mže být skuten jakákoliv , ale napíklad u nesíslného

potu rotujících strojních souástí s pevnými ložisky se v bžném provozu ani neoekává (rzné hídele,

kola, turbiny, motory…).

To je jednoduchý pípad tzv. pevné osy , která udržuje konstantní smr v prostoru a nepipustí proto

jinou možnost než ϕϕ d . Úhlová rychlost bude potom také ve smru osy rotace (a její orientace bude

stejná jako orientace diferenciálu úhlu, tj. z konce vektoru bude vidt pírstek úhlu v kladném smyslu) :

ϕω

.

Analogicky vypoítáme vektor úhlového zrychlení :

dtdωε

= vektor úhlového zrychlení

Jeho smr je opt jednoznaný pouze u pevné osy , kdy pak vlastn všechny úhlové veliiny budou ležet

v jedné pímce – v ose rotace :

ϕωε

Pi rotaním pohybu hmotného bodu (i tlesa) se vždy snažíme umístit vztažnou soustavu souadnic tak,

aby její poátek ležel na ose rotace, pitom není nutné, aby byl pímo ve stedu kruhového pohybu (viz.

obr.) :

Pak lze totiž popsat vztah mezi dráhovými a vektorovými veliinami skuten jednoduchými, hezkými

rovnicemi, jak laskavý tená dále nahlédne.

Vyjádeme nejprve polomr kruhového pohybu hmotného bodu (viz. obr.):

αsinrR ⋅=

Potom pro obvodovou rychlost dostaneme :

ωαω ⋅⋅=⋅= sinrRv

To je ale velikost vektorového souinu a vektor rychlosti tak mže být vyjáden vztahem (zkontrolujte na

obrázku smr vektoru) :

rv

×= ω obvodová rychlost

17

Dále vypoítáme vektor zrychlení jako derivaci tohoto výrazu, s využitím znalosti derivace souinu a

známých výraz pro úhlové zrychlení a obvodovou rychlost :

)r(rvrdtrd

rdtd

)r(dtd

dtvd

a

××+×=×+×=×+×=×== ωωεωεωωω

Uvážíme-li podle obrázku smry výsledných vektor, dostáváme vlastn rozklad vektoru zrychlení na

tenou a normálovou složku (psát závorku není nutné, jestliže pijmeme dohodu, že postupné

matematické operace se konají zprava doleva) :

ra

×= ετ tené zrychlení

ran

××= ωω normálové zrychlení

Opt vidíme, že u kruhového rovnomrného pohybu, který má konstantní obvodovou i úhlovou rychlost,

je tené zrychlení nulové :

0ra =×= ετ

A celkové zrychlení je ureno pouze zrychlením normálovým (dostedivým) :

0nRv

raa2

n ≠⋅=××== ωω

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

konec kapitoly K. Rusák, verze 02/2006

rev. 02/2007

1

Dynamika hmotného bodu

Dynamika zkoumá pohyb (hmotného bodu a reálných tles) v souvislosti s jeho píinami – silami, které

mají pvod ve vzájemném psobení mezi hmotnými objekty.

Základem dynamiky a vlastn celé klasické mechaniky jsou Newtonovy zákony (1687):

1) Zákon setrvanosti

Tleso setrvává v klidu nebo v pohybu rovnomrném pímoarém, pokud není nuceno psobením

okolních tles tento svj stav zmnit

Tato jednoduchá vta obsahuje závažná a principiální tvrzení :

• Konstatování klidu nebo pohybu rovnomrného pímoarého je vlastn výsledkem hodnocení

rychlosti tlesa, která – jak víme – musí být stanovena pomocí polohového vektoru, definovaného v

njaké soustav souadnic. Pojem klidu nebo pohybu tak závisí na volb soustavy souadnic – je

tedy relativní. Z hlediska zákona setrvanosti jsou pak klid a pohyb rovnomrný pímoarý zcela

ekvivalentní - což je v dobrém souladu s tím, že oba tyto stavy jsou vlastn popsány konstantním

vektorem rychlosti (v klidu nulovým)

• Protože platí princip skládání pohyb (blíže viz další kapitola), je zejmé, že kdyby konstatování

takového pohybu nebo klidu njakého tlesa platilo souasn ve dvou vztažných soustavách, tj.

v obou soustavách by tleso mlo konstantní vektor rychlosti, pak by vzájemný pohyb soustav musel

být také popsán konstantním vektorem rychlosti – byl by to tedy také rovnomrný pímoarý pohyb.

Takové soustavy souadnic , kdy se jedna vi druhé pohybuje rovnomrným pímoarým

pohybem , se nazývají inerciální a zákon setrvanosti vlastn také tvrdí, že tyto soustavy existují .

• Psobení jiného tlesa (okolního) na tleso sledované – to je vlastn obecná definice síly .

• Je proto možno konstatovat, že v klidu nebo v pohybu rovnomrném pímoarém nepsobí na

tleso žádná síla (tedy nulová síla – tomu je ale matematicky ekvivalentní stav, kdy na tleso psobí více sil , ale

mají nulovou výslednici - jejich úinky se pak navzájem vyrovnávají, je to tzv. „ rovnovážný stav tlesa“ )

• Jakmile zane síla (okolní tlesa) psobit, nastane zmna stavu (pohybového = dynamického) tlesa

- a to je tedy výsledek psobení síly (doposud konstantní vektor rychlosti tlesa se zane mnit - tím vznikne

nenulové zrychlení – o jeho velikosti pak pojednává následující zákon síly).

2

Newton se domníval, že existuje njaká význaná, základní inerciální vztažná soustava souadnic –

absolutní prostor , který je základní podmínkou, pedpokladem všech (mechanických) dj. Newton také

pedpokládal existenci absolutního asu , stejn rovnomtn plynoucího ve všech soustavách.

2) Zákon síly (pohybová rovnice)

amF

⋅=

Slovní vyjádení : Okamžité zrychlení tlesa je pímo úmrné psobící síle (a nepímo úmrné

setrvané hmotnosti tlesa).

Protože se jedná o úmru vektorových veliin, znamená tento vztah nejen skutenou pímou úmru

velikosti zrychlení a velikosti psobící síly, ale také stejný smr a orientaci tchto veliin (viz obr.).

sm

a

dv

v

F

dráha

Pi psobení síly tedy tleso (hmotný bod) v souladu s prvním zákonem zmní svj pohybový stav – z

pohybu rovnomrného pímoarého na pohyb zrychlený. Protože velikost a smr psobící síly mohou

být obecn jakékoliv – bude takové i odpovídající zrychlení pohybu. Libovolná bude tedy i zmna

rychlosti v daném míst dráhy, což znamená nejen zmnu velikosti rychlosti ale i zmnu jejího smru – tj.

zmnu teny dráhy. Psobící síla proto mže vytvoit jakýkoliv nerovnomrný kivoarý pohyb.

Pozn. : Z minulé kapitoly víme, že se mechanické pohyby jednoduše skládají (sítají se jako vektory), proto se stejn

jednoduše také skládají síly – jednoznaní pvodci tchto pohyb.

Pohybová rovnice je rovnicí vektorovou , tj. je to formální matematický vztah, který se pi konkrétním

výpotu musí rozepsat do vektorových souadnic:

2

2

2

2

2

2

dtzd

zz

td

ydyy

tdxd

xx

mamF

mamF

mamF

⋅=⋅=

⋅=⋅=

⋅=⋅=

3

Nebo zjednodušen pomocí formálního zápisu derivací :

z

y

x

Fzm

Fym

Fxm

=⋅

=⋅=⋅

pohybové rovnice

Dostáváme tedy ti skalární rovnice. Jsou to parciální diferenciální rovnice 2. ádu s nenulovou pravou

stranou. Pro jejich ešení je nutno zadat psobící sílu (souadnice) a hmotnost tlesa.

Výsledkem jejich ešení pak budou souadnice prvodie jako funkce asu , tedy vlastn parametrické

rovnice dráhy hmotného bodu :

)t(zz

)t(yy

)t(xx

===

parametrické rovnice

Z nich - jak víme z minulé kapitoly – je pak možno stanovit všechny kinematické veliiny pohybu

hmotného bodu. Sestavení a vyešení pohybových rovnic je proto základním úkolem dynamiky .

Konkrétní ešení výše uvedených diferenciálních rovnic závisí samozejm na matematickém tvaru

pravých stran – tj. na psobící síle - a mže být velmi komplikované (staí si pedstavit nap. obyejnou

brzdicí sílu, která je v rzných pípadech (vzájemné tení dvou pevných tles, tení pevného tlesa

s kapalinou, s plynem) úmrná rzným mocninám rychlosti).

Jako jednoduchou aplikaci si v následujících ádcích ukážeme ešení pohybových rovnic v pípad

konstantní síly psobící ve smru pohybu hmotného bodu :

Konstantní velikost a nemnný smr a má pak podle pohybové rovnice také zrychlení i zmna rychlosti

hmotného bodu – vzniká proto pímoarý, rovnomrn zrychlený pohyb . Jestliže položíme pímku

dráhy s napíklad do osy x , mžeme vektory síly a prvodie zapsat následovn :

)0,0,F()0,0,F(F x ==

)0,0,s()0,0,x(r ==

Stejný smr osy x mají potom i vektory rychlosti a zrychlení :

)0,0,v()0,0,v(v x ==

)0,0,a()0,0,a(a x ==

4

A ze tí pohybových rovnic je nenulová pouze jediná, pro x-ové souadnice :

xFxm =⋅

Pomocí výše uvedeného zápisu souadnic mžeme ob strany této rovnice napsat :

FFdt

sdm

dtdv

mamxm x2

2==⋅=⋅=⋅=⋅

V tomto nejjednodušším možném pípad, kdy pohybová rovnice neobsahuje žádné další derivace

souadnic, mžeme provést její vyešení postupnou pímou integrací : z rovnice lze totiž ihned stanovit

konkrétní velikost zrychlení :

.konstmF

a ==

A protože zrychlení je derivace rychlosti :

dtdv

a =

Mžeme zptn pejít k rychlosti obráceným postupem – pomocí neuritého integrálu (tzv. primitivní

funkce, nezapomeneme pitom piíst možnou konstantu) :

1Cav +=

Protože zrychlení je konstantní, mžeme ho z integrálu vytknout a zbylý integrál z jedniky je roven

promnné (tj. asu) v první mocnin :

111 CtaC1aCav +⋅=+⋅=+=

Tento vztah pro rychlost hmotného bodu (pi pímoarém, rovnomrn zrychleném pohybu) platí zcela

obecn – jeho integraní konstanta pak umožuje „pizpsobit“, specifikovat tuto rychlost pro

jakékoliv konkrétní podmínky pohybu - tzv. okrajové podmínky ešené úlohy :

Nejastji se používají poátení podmínky pohybu, kdy stanovíme pro poátek sledované dráhy

konkrétní hodnoty všech promnných veliin :

• poátení as ot (vtšinou volíme nulový , tj. 0t = , což je výhodné, ale není to nezbytné)

• poátení rychlost hmotného bodu ov , tj. rychlost v poátením ase : )t(vv oo =

• poátení dráhu hmotného bodu os , tj. dráhu v poátením ase . )t(ss oo =

Pozn. : Je zejmé, že takto mže být zadáno i jakékoliv jiné místo dráhy a že v obecném trojrozmrném pípadu pjde o

stanovení vektoru rychlosti a prvodie tohoto místa dráhy.

5

Integraní konstantu pak uríme tím zpsobem, že poátení podmínky (použijme nulový poátení as)

dosadíme do obecného vztahu :

1o C0av +⋅=

Dostáváme ihned :

o1 vC =

A vzniká nám tak známý stedoškolský vztah pro rychlost rovnomrn zrychleného pímoarého pohybu :

ovtav +⋅= rychlost rovnomrn zrychleného pohybu

Pozn. : Naše pohybová rovnice je vhodná i pro ukázku ešení diferenciálních rovnic metodou

separace promnných (oddlení promnných veliin) :

Použijeme výchozí vztah pro zrychlení jako derivaci asu :

dtdv

a =

Rovnici vynásobíme diferenciálem asu (a pípadn pehodíme strany) :

dtadv ⋅=

Tím jsme dosáhli stavu, že na levé stran rovnice je pouze funkce (závisle) promnné – rychlosti v a

na druhé stran je pouze funkce (nezávisle) promnné – asu t , piemž levá strana (a tedy i jí rovná

strana pravá) má fyzikální význam diferenciálního pírstku (velikosti) rychlosti za as (asový

interval) dt .

Vždy, když u diferenciální rovnice dokážeme oddlit promnné veliiny, pokraujeme v ešení tak,

že udláme uritý integrál levé i pravé strany. Z matematické analýzy byste mli vdt, že tento

matematický úkon vytvoí v definovaných mezích (limitní) souet integrované veliiny – na levé i

pravé stran rovnice – a rovnost zstane zachována, pitom v našem pípad má výsledek i jasný

význam : když integrujeme – sítáme – (diferenciální) pírstky rychlosti, dostaneme celkový

pírstek rychlosti (na njakém úseku dráhy hmotného bodu).

Práv separace promnných pak umožuje, aby každý integrál - na levé i pravé stran rovnice - ml

pouze jedinou integraní promnnou a aby v této promnné byl také vyjáden integraní obor –

tj. uvažovaný úsek dráhy hmotného bodu.

Nezanedbatelnou výhodou této metody je také to, že když se pi definování integraních mezí

použijí okrajové podmínky pohybu, ihned se tím „automaticky“ stanoví i integraní konstanty :

Konkrétn v našem pípad je na pravé stran integraní promnnou as - uvážíme tedy, že se pi

pohybu hmotného bodu na sledovaném úseku dráhy bude mnit od poáteního asu ot (to bude

dolní mez integrálu, v našem pípad nula) do njakého koneného asu t (horní mez integrálu) ,

který považujeme za libovolný, obecný, a proto k nmu nepíšeme žádný index (vzniká tím sice

formální chyba - že je konkrétní hodnota horní meze integrálu oznaena stejn jako integraní

promnná – správnji bychom tedy mli horní mez nazvat nap. 1t a teprve na závr v diskusi

6

prohlásit, že ji považujeme za libovolnou veliinu a proto ji peznaíme na t - ale tímto zkráceným

postupem zrychlíme náš výpoet.)

Na levé stran pak je integraní promnnou rychlost hmotného bodu, která se bude mnit od

poátení hodnoty ov do konené rychlosti v (a dláme stejnou formální chybu v oznaení horní

meze, ale opt tím šetíme as) :

⋅=t

0

v

v

dtadvo

Jak známo, k výpotu uritého integrálu také potebujeme primitivní funkci (tj. neuritý integrál

integrované veliiny), do které postupn dosadíme horní a dolní mez integraní promnné a výsledky

odeteme – což se formáln zapisuje jako :

[ ] [ ] t0

vv tav

o⋅=

Po dosazení na obou stranách potom dostaneme :

)0t(avv o −⋅=−

Nakonec tedy vzniká stejná rovnice, jako u pímé integrace :

ovtav +⋅=

Dále pokraujeme analogickým zpsobem :

Protože nyní již známe rychlost pohybu a je to derivace dráhy podle asu :

ovtadtds

v +⋅==

Mžeme dráhu vypoítat jako integrál této rychlosti (opt neuritý integrál a další integraní konstanta) :

2o2 C)vta(Cvs ++⋅=+=

Integrál soutu je souet integrál a integrované funkce jsou velmi jednoduché :

2o2

2o2o Ctvta21

CvtaC)vta(s +⋅+⋅=++⋅=++⋅=

Integraní konstantu pak opt stanovíme tím zpsobem, že do vzniklého obecného vztahu dosadíme

okrajové podmínky (v našem pípad dosadíme poátení dráhu v poátením ase – nulovém) :

2o2

o C0v0a21

s +⋅+⋅=

ešením je :

o2 sC =

A dostáváme vztah pro dráhu rovnomrn zrychleného pímoarého pohybu :

7

oo2 stvta

21

s +⋅+⋅= dráha rovnomrn zrychleného pohybu

Pozn. : Opt lze použít metodu separace promnných : napíšeme výchozí vztah pro rychlost jako

derivaci dráhy :

ovtadtds +⋅=

Rovnici vynásobíme diferenciálem asu :

dt)vta(ds o ⋅+⋅=

A tím jsme opt dosáhli stavu, že na levé stran rovnice je pouze funkce (závisle) promnné – dráhy

s a na druhé stran je pouze funkce (nezávisle) promnné – asu t , piemž ob strany rovnice mají

smysl – tentokrát diferenciálního pírstku dráhy za as dt .

Dále opt udláme uritý integrál obou stran – na každé stran tak dostaneme celkovou délku

ubhnuté dráhy a rovnost se nezmní. Integraní konstantu opt vytvoíme pi stanovení integraních

mezí :

Na pravé stran je integraní promnná as a bude se mnit od nuly do libovolné hodnoty t , na levé

stran pak je integraní promnnou dráha , která bude narstat od poátení hodnoty so do konené

velikosti s :

⋅+⋅=t

0o

s

s

dt)vta(dso

Meze integrál opt dosazujeme do primitivních funkcí

[ ] [ ] t

0o2

21s

s tvtaso

⋅+⋅⋅=

Dostaneme :

)0v0a(tvtass o2

21

o2

21

o ⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅=−

A vzniká samozejm stejná rovnice jako pímou integrací :

oo2

21 stvtas +⋅+⋅⋅=

Pohybové rovnice budete také probírat na cviení a s nkterými dalšími standardními zpsoby ešení

diferenciálních rovnic se ješt seznámíte koncem semestru v tématu „Kmity a vlnní“.

8

Nyní dále pokroíme ve výkladu druhého Newtonova zákona : asto je výhodné místo rychlosti

používat obecnjší veliinu, která závisí i na hmotnosti a která tedy „kompletnji“ popisuje pohybový

stav tlesa (hmotného bodu) :

vmp ⋅= hybnost (hmotného bodu)

sm

a

dp

dv

vp = m v·

F

dráha

Pro asovou zmnu této veliiny platí (rovnici derivujeme) :

amdtvd

mdtpd

⋅=⋅=

Protože jsme tím dostali pravou stranu pohybové rovnice – je zejmé, že s využitím vektoru hybnosti

mžeme tedy napsat zákon síly ve formáln jednodušším tvaru :

dtpd

F

= zákon síly (druhý tvar)

Slovní vyjádení : asová zmna hybnosti je rovna (je úmrná) psobící síle .

Je to i pvodní Newtonova formulace 2. zákona a je velmi pozoruhodné, že tento tvar pohybové rovnice

platí i ve speciální teorii relativity (na rozdíl od pedchozího „technického“ tvaru pohybové rovnice,

používajícího veliinu zrychlení).

3) Zákon akce a reakce

Jestliže jedno tleso psobí na druhé tleso njakou silou ( F

) , pak také souasn psobí druhé

tleso na první tleso silou stejn velikou, ale opan orientovanou ( F

− ).

9

1. tleso 2. tlesoF F

Tento zákon nám nap. vysvtluje, pro tleso na podložce nemní svj pohybový stav (zstane v klidu),

i když na nj psobí gravitaní síla.. Obecn ovšem nezáleží na tom, jestli jsou tlesa v „dotyku“, nebo na

sebe psobí „na dálku“.

Zásadní dležitosti pak nabývá tento zákon pi popisu soustav hmotných bod a reálných tles (eší

problém vnitních sil).

Uveme dále pro ilustraci nkolik praktických a zajímavých sil :

1) Tíha tlesa

Se znalostí pohybové rovnice:

amF

⋅=

nyní dobe chápeme název zemské tíhové zrychlení pro gravitaní tíhovou konstantu g, a i možnost

vektorového zápisu tíhové síly tlesa :

gmG

⋅= tíha tlesa

Pitažlivá síla Zem musí ovšem splovat gravitaní zákon (uveme zatím jen známý skalární tvar,

vektorov pozdji) :

22 rM

rmM

gr mFG ⋅⋅=⋅== ⋅ κκ

Porovnáním s pedchozím vztahem pro tíhu dostaneme vztah pro zemské tíhové zrychlení a mžeme také

vypoítat jeho velikost na povrchu Zem, když dosadíme hodnoty gravitaní konstanty, hmotnosti a

polomru Zem :

2rM

rM s/m81,9g 2

z2 ≈⋅=⋅= κκ

M

m

F Ggr =

g

rz

r

10

2) Dostedivá síla

Víme již, že celkové zrychlení hmotného bodu lze vyjádit pomocí tené a dostedivé složky :

naaa += τ

Když tento vztah dosadíme do pohybové rovnice :

nnn FFamam)aa(mamF

+=⋅+⋅=+⋅=⋅= τττ

Vzniknou také dv složky sily , složka (síla) tená a normálová (nebo také dostedivá, protože smuje

do stedu kivosti dráhy). Zatímco první z nich mže být u kivoarého pohybu i nulová (rovnomrný

pohyb), síla dostedivá je vždy nenulová :

τττ

⋅⋅=⋅=dtdv

mamF tená síla

nRv

mamFF2

ndn

⋅⋅=⋅== dostedivá síla

R

S

τ

s

n

dráha

oskulaníkružnice

s

Fn F

Fτm

Fn

Nebo vyjádíme jen velikosti tchto sil :

dtdv

mamF ⋅=⋅= ττ Rv

mamFF2

ndn ⋅=⋅==

11

Vidíme, že tená síla uruje pouze zmnu velikosti rychlosti, aniž mní její smr), zatímco síla

dostedivá pak „formuje“ kivku dráhy – pravá rovnice jasn ukazuje jak se v závislosti na velikosti této

síly (pi dané hmotnosti a rychlosti) vytvoí odpovídající polomr kivosti dráhy pohybu.

Velmi asto je dostedivá síla realizována jako síla tzv. vazby (nap. kolejnice u vlaku, závs kyvadla).

3) Odstedivá síla

Tento termín se používá ve dvou pípadech :

• jako název pro reakci k dostedivé síle (je to síla, kterou psobí tleso nap. na svj závs)

• jako název pro setrvanou sílu v neinerciální soustav (viz dále)

4) Pružná síla

Tato síla vzniká a psobí v první fázi deformace reálných tles, kterou mžeme považovat za zvláštní

„jednorázový“ pohyb tlesa , a která koní bu destrukcí tlesa, i klidovým stavem zdeformovaného

tlesa (v rovnováze s vnjší psobící silou), nebo mohou také vzniknout periodické pohybové stavy tlesa

– kmity a vlnní (budeme probírat pozdji).

5) Tecí síla

Je velmi zvláštní druh síly psobící pouze mezi vzájemn se dotýkajícími tlesy, který má asto zásadní

význam v technických aplikacích. Tato síla vždy psobí proti smru (možného) pohybu styné plochy,

spolupsobí pi zmnách pohybového stavu tles, ale sama o sob nikdy pohyb nevytváí. Její velikost v

astém pípad smykového tení závisí na kolmé síle nF

psobící na styné plochy, také na materiálu a

struktue tchto ploch (to vyjaduje koeficient tení f ), pípadn na pohybovém stavu :

nt FfF ⋅=

Fn

Ft

v

12

Shrnutí : Pojmem síla tedy podle 1. Newtonova zákona oznaujeme vzájemné reálné (skutené)

psobení jednoho tlesa na tleso druhé. Výsledkem tohoto psobení – úinkem síly – je zmna

pohybového stavu tlesa podle 2. Newtonova zákona (vlastn obou tles, viz 3. Newtonv zákon) – to je

tedy pohybový úinek síly .

Síla také mže zpsobit deformaci tlesa, pitom mžeme zkoumat jeho pružnost a pevnost , které

ovšem úzce souvisí se speciálním pohybem tlesa, pípadn jeho ástí, pi deformaci.

asto také pozorujeme, že psobící síla nemá na njaké tleso žádný pohybový úinek – v tomto pípad

ale vždy dochází k psobení dalších tles - a jejich úinky na sledované tleso se vyrovnávají – vzniká

rovnovážný stav tlesa (blíže viz kapitola „Dynamika soustavy hmotných bod“). Tyto stavy zkoumá

statika a jsou jist zásadn dležité zejména ve stavebnictví, pi návrhu stroj, … I tento stav rovnováhy

tlesa je nedíln spojen s jeho (možnými) pohybovými stavy.

Zmnu pohybového stavu tlesa proto právem považujeme za skuten základní úinek síly.

Z teoretického i aplikaního hlediska jsou pak dležité jeho následující speciální pípady :

Pohybový úinek síly pi otáivém pohybu (otáivý úinek síly) :

Prostudujme situaci na obrázku, kde síla F

zpsobuje otáivý kruhový pohyb hmotného bodu m kolem

stedu O ( tímto bodem tedy prochází njaká osa rotace kolmá k nákresn) :

α

α

F

m

s

Fn

M b

r

p

v

ω

R

d0

13

Ze stední školy víte, že otáivý úinek síly (ležící v rovin otáení) je úmrný její velikosti a kolmé

vzdálenosti od osy rotace a kvantitativn ho popisujeme veliinou moment síly :

τα FRsinRFdFM ⋅=⋅⋅=⋅=

Vidíme, že na rotaní pohyb má vliv pouze tená složka síly, tj. složka kolmá k polomru otáení.

Normálová složka se jen snaží zmnit polomr otáení, v nejobecnjší prostorové situaci by mohla ješt

existovat tetí složka síly, rovnobžná s osou, která by se snažila tuto osu vychýlit.

Když do stedu otáení O umístíme poátek soustavy souadnic, pak polomr otáení je souasn

prvodiem hmotného bodu a moment síly mžeme definovat vektorov :

FrM

×=

Velikost tohoto vektoru je ve shod s pedchozím skalární definicí a navíc – jeho smr udává nyní smr

osy rotace – a tento smr má i úhlová rychlost rotace ω - moment síly je tedy jednoznan spojený

s dsledkem svého psobení (povšimnte si na obrázku, že jsou shodné i orientace tchto vektor).

Dále - pi znalosti pojm „oskulaní kružnice“ , pípadn „polomr kivky“ nám musí být jasné, že i bez

existence skutené rotaní osy lze mluvit o kruhovém pohybu hmotného bodu alespo lokáln -

v kterémkoliv míst obecného kivoarého pohybu.

Psobením vhodné síly se pitom stedem tohoto kruhového (rotaního) pohybu mže stát jakýkoliv bod

v prostoru, proto jsme oprávnni definovat a zkoumat moment síly vzhledem k libovolnému bodu O ,

do nhož pak umístíme poátek vztažné soustavy :

FrM

×= moment síly (vzhledem k bodu O)

Pozn. : Pak ovšem – když by se jednalo o skutený rotaní pohyb s pevnou osou rotace - a poátek soustavy souadnic by byl

nkde na ose rotace – nebude vektor momentu síly rovnobžný s touto osou - a rotaci bude ovlivovat pouze jeho

rovnobžná složka (viz pohybová rovnice rotaního pohybu v kapitole „Dynamika soustavy hmotných bod“)

Analogickou veliinu jako je moment síly používáme také pro zhodnocení výsledku psobení síly – tj.

pro zhodnocení „míry otáivého pohybu“ hmotného bodu :

vmrprb

×=×= moment hybnosti (vzhledem k bodu O)

Pozn. : Jak vidíte na obrázku – smr a orientace momentu hybnosti také souhlasí s úhlovou rychlostí rotace (a v pípad

podle pedchozí poznámky pjde opt jen o jeho rovnobžnou složku)

Dležitý vztah dostaneme, jestliže vypoítáme asovou zmnu (derivaci) této veliiny, s využitím

pravidel o derivaci souinu funkcí:

)r()vmv()r()vm()vmr( dtpd

dt)vm(d

dtrd

dtd

dtbd

×+×=×+×=×=

14

Zatímco výraz v první závorce je zejm nulový (rovnobžné vektory), ve druhé závorce vznikla asová

derivace hybnosti, která se podle pohybové rovnice rovná psobící síle. Dostáváme tedy :

Frdtbd

×=

Nebo-li :

Mdtbd

= pohybová rovnice rotaního pohybu (hmotného bodu)

Slovní vyjádení : asová zmna momentu hybnosti hmotného bodu je rovna (je úmrná) momentu

psobící síly.

Název této rovnice poukazuje na její zásadní význam pro popis rotaního pohybu hmotného bodu.

Veliiny moment síly a moment hybnosti jsou však definovány zcela obecn , vzhledem k libovolnému

bodu prostoru , proto tato rovnice platí i pro jakýkoliv pohyb hmotného bodu v libovoln zvolené

soustav souadnic (inerciální). To bude pozdji využito pi studiu dynamiky soustav hmotných bod .

asový úinek síly:

Provedeme nyní zajímavou úpravu pohybové rovnice :

Fmdtvd

=⋅

Vynásobíme rovnici diferenciálem asu :

dtFvdm ⋅=⋅

Tím je vlastn provedena separace promnných a diferenciální rovnici nyní integrujeme uritým

integrálem (na njaké ásti dráhy) – tj. provedeme jak integraci levé strany v mezích její promnné

(vektor rychlosti) od poátení rychlosti 1v

do konené rychlosti 2v

- tak také integraci pravé strany

v mezích její promnné (asu) od poáteního asu t1 do koneného asu t2 (vidíte také, že poátení

as nemusí být nulový) :

⋅=⋅2

1

2

1

t

t

v

v

dtFvdm

Pravá strana rovnice, vyjadující „spolupsobení“ síly a jejího asového trvání , se definuje jako nová

fyzikální veliina :

⋅=2

1

t

t

dtFI

impulz síly

15

Pozn. : Na rozdíl od uritých integrál, které jsme použili pi ukázkovém ešení pohybové rovnice, se

nyní integrují vektorové veliiny - vektorový zápis ale jako vždy pouze znamená, že jde o ti

„paralelní“ obyejné rovnice (integrály) pro ti skalární veliiny - souadnice vektoru :

⋅=2

1

t

txx dtFI

⋅=2

1

t

tyy dtFI

⋅=2

1

t

tzz dtFI

Dsledek psobení této veliiny potom dobe popisuje druhá strana rovnice. Jde o jednoduchý integrál

pírstk rychlosti (ale opt vektorová veliina) :

[ ] 121212 )(2

1

2

1

2

1

ppvmvmvvmvmvdmvdmI vv

v

v

v

v

−=−=−⋅=⋅=⋅==

Výsledek není samozejm nijak pekvapivý – psobením síly pece dochází ke zmn rychlosti

hmotného bodu, tedy i ke zmn jeho hybnosti - vznikla však velmi užitená rovnost celkové zmny

hybnosti a psobícího impulzu síly (zmna hybnosti se tedy dje vždy ve smru impulzu síly) :

pppI 12

∆=−= impulz síly a zmna hybnosti

Specifická situace nastane pi psobení konstantní síly – tu lze totiž vytknout a zbylý integrál nám dá

asový interval jejího psobení :

[ ] tF)tt(FtFdtFdtFI 12tt

t

t

t

t

2

1

2

1

2

1

∆⋅=−⋅=⋅=⋅==

A krom jednoduchého výpotového vztahu je zejmé, že celková zmna hybnosti a rovnž zmna

rychlosti nastane nyní nejen ve smru impulzu síly, ale pímo ve smru psobící síly :

vmptFI

∆∆∆ ⋅==⋅=

(Další úinek síly - dráhový úinek síly – bude probrán ve zvláštní kapitole.)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

konec kapitoly K. Rusák, verze 02/2006

rev. 02/2007

⋅=2

1

t

t

dtFI

1

Inerciální a neinerciální soustavy

Vrame se nyní k relativním pojmm klidu a pohybu obsaženým v Newtonov zákonu setrvanosti, které

závisejí na volb vztažné soustavy souadnic.

Pedstavme si dva kartézské souadné systémy S a S’, které se vi sob pohybují njakým

jednoduchým zpsobem - napíklad tak, že S je v klidu (vi nákresn) a S’ se pohybuje smrem

(šikmo) vpravo, piemž jejich osy zstávají stále rovnobžné (tak vypadá posuvný pohyb , nebo-li

translace ).

V obou tchto systémech pak budeme sledovat jeden a tentýž hmotný bod m , který se zcela nezávisle

na souadných systémech pohybuje v prostoru (viz obr).

r

m

x

y

z

x'

y'

z'

S

R

dx

dx'

O

Na obrázku jsou vyznaeny ti polohové vektory :

)z,y,x(r = prvodi hmotného bodu v soustav S

)z,y,x(r ′′′=′ prvodi hmotného bodu v soustav S’

)R,R,R(R zyx=

prvodi bodu O’ v soustav S

Vidíme, že zejm platí :

Rrr +′= vztah mezi prvodii v soustav S a S’

2

Proveme derivaci této rovnice :

dtRd

dtrd

dtrd

+= ′

A uvažme význam vzniklých len :

vdtrd

= rychlost hmotného bodu v soustav S

vdtrd

dtrd

′== ′′′ rychlost hmotného bodu v soustav S’

udtRd

= unášivá rychlost soustavy S’ (vzhledem k S)

Název unášivé rychlosti pochází z popisu situace, kdy je hmotný bod v klidu v soustav S’ (nap. sedící

cestující ve vozidle), ale stejn se pak pohybuje vi soustav S , protože je árkovanou soustavou

(vozidlem) „unášen” rychlostí u .

Pozn. : Povšimnte si také ve druhé rovnici toho detailu, že rychlost v árkované soustav musí být samozejm poítána

z mení v této soustav, tj. že pírstek dráhy (jeho ti souadnice) musí být zmen na osách této soustavy , a proto je

píslušný matematický výraz – diferenciál árkovaného prvodie - oznaen ješt další árkou, jako diferenciál

definovaný (mený) v soustav S’. Z obrázku je dobe vidt, že rovnost obou diferenciál (árkovaných a

neárkovaných, mených v S a v S’ ) nastane pouze za podmínky rovnobžnosti souadných os obou soustav, což

je práv pípad našeho posuvného pohybu soustavy S’ (pokud by ovšem soustava S’ konala napíklad rotaní

pohyb, byla by situace úpln jiná - viz výklad na závr této kapitoly).

Pak tedy pro rychlosti hmotného bodu platí podobná rovnice jako pro prvodie :

uvv +′= vztah mezi rychlostmi v soustav S a S’

Další derivací pak dostáváme vztah pro zrychlení:

dtud

dtvd

dtvd

+= ′

Významy jednotlivých len rovnice budou analogické :

adtvd

= zrychlení hmotného bodu v soustav S

adtvd

′=′ zrychlení hmotného bodu v soustav S’

udtud a

= unášivé zrychlení soustavy S’

3

Pro zrychlení hmotného bodu platí potom rovnice :

uaaa +′= vztah mezi zrychleními v soustav S a S’

Získané vztahy využijme dále pro rozbor dvou základních pípad pohybu soustavy S’ :

1) rovnomrný pímoarý pohyb soustavy S’

Unášivá rychlost je v tomto pípad konstantní :

.konstu =

Uvažme pak situaci, že v soustav S pro njaké tleso platí 1. Newtonv zákon - tedy že se toto tleso

bez psobení sil pohybuje v soustav S rovnomrným pímoarým pohybem, nebo je v klidu. Jeho

rychlost je tedy konstantní , vetn nuly :

.konstv =

Z výše uvedených pevodních vztah pro rychlosti mezi obma soustavami pak plyne, že rychlost tlesa

v soustav S’ bude také konstantní – to znamená, že i v této soustav se tleso pohybuje rovnomrným

pímoarým pohybem, nebo je v klidu :

.konstuvv =−=′

Zákon setrvanosti tedy platí v soustav S , i v soustav S’. Takové souadné soustavy se pak nazývají inerciální (inercie = setrvanost).

Nalezneme nyní konkrétní matematický transformaní vztah mezi souadnicemi inerciálních soustav.

Využijeme nejprve výše odvozenou obecn platnou rovnici pro prvodie :

Rrr +′=

Jestliže pijmeme ist formální pedpoklad, že soustava S je „prvotní“ („stará“) a soustava S’ je

„druhotná“ („nová“), pak by v pevodním vztahu mly stát „nové souadnice“ na levé stran rovnice :

Rrr −=′

Vektorovou rovnici mžeme rozepsat do tí rovnic skalárních :

z

y

x

Rzz

Ryy

Rxx

−=′

−=′−=′

4

Unášivá rychlost soustavy S’ je vlastn rychlostí pohybu jejího poátku O’ v soustav S. Uvažme

dále, že tento pohyb je možno rozložit na ti jednoduché pohyby na souadných osách x, y a z (viz

odstavec „Kinematika hmotného bodu“) a že konstantní unášivá rychlost znamená konstantní souadnice

jejího vektoru - a tyto souadnice udávají jednotlivé konstantní rychlosti pohyb na tchto osách :

)u,u,u(u zyx=

Na každé souadné ose soustavy S se tedy dje obyejný pímoarý rovnomrný pohyb , jehož rovnice

je nejstarší fyzikální rovnicí, kterou znáte : tvs ⋅=

Tento jednoduchý vztah platí ovšem za pedpokladu , že v ase t = 0 je dráha nulová, tj. že bod O’

je v míst bodu O , jinak eeno - že v nulovém ase ob soustavy splývají . Potom tedy pro všechny

ti souadnice bodu O’ v soustav S - tj. pro vykonané dráhy na souadných osách x, y, z , bude :

tuR xx ⋅=

tuR yy ⋅=

tuR zz ⋅=

Tyto ti skalární vztahy mže také pípadn nahradit jedna vektorová rovnice (ale dále ji nepoužijeme) :

tuR ⋅=

Když získané skalární výrazy dosadíme do obecných rovnic, vzniknou hledané konkrétní transformaní

vztahy mezi obma inerciálními soustavami :

tuzz

tuyy

tuxx

z

y

x

⋅−=′

⋅−=′⋅−=′

Galileovy transformace

Nebo vektorov :

turr ⋅+′=

K tomu pistupuje „samozejmý“ vztah mezi asy :

tt ′=

Pro obrácený pevod souadnic, z nové soustavy S’ do staré S , je pak vhodné, aby na levých stranách

transformaních rovnic byly souadnice neárkované :

tt

tuzz

tuyy

tuxx

z

y

x

′=⋅+′=

⋅+′=⋅+′=

Galileovy transformace obrácené (inverzní)

5

Pozn. : Tyto transformaní rovnice, které jsou zejm neoddliteln spojeny s principy klasické mechaniky, byly zásadn

popeny Einsteinovou (speciální) teorií relativity a nahrazeny v ní jinými vztahy pro inerciální systémy, tzv.

Lorentzovými transformacemi.

Prozkoumejme dále také platnost 2. Newtonova zákona v soustav S’. Pedpokládejme tedy, že pro

hmotný bod v soustav S již neplatí zákon setrvanosti, ale že se psobením njakých tles zaal

pohybovat podle zákona síly :

amF

⋅=

A podívejme se, zda bude tato rovnice platit i v árkované soustav. Pi konstantní unášivé rychlosti

soustavy S’ je ovšem její unášivé zrychlení nulové :

0)konst(adtd

dtud

u ===

A z pevodních vztah plyne rovnost zrychlení hmotného bodu v obou inerciálních soustavách :

aaaa u =−=′

Pohybová rovnice v S’ má tedy tvar :

FFam)aa(mam u ′==⋅=−⋅=′⋅

Vidíme jasn, že v obou soustavách jsou stejná zrychlení i stejné psobící síly.

Pohybová rovnice platí tedy v nezmnném tvaru v každé inerciální soustav – tj. je (formáln) stejná

ve všech inerciálních soustavách .

Ješt jinak eeno :

Pohybové rovnice jsou invariantní vi Galileov transformaci.

Tato skvlá vlastnost pohybových rovnic, která velmi zjednodušuje matematické výpoty a umožuje

také jinou, elegantní definici inerciálních soustav – jako soustav, ve kterých platí Newtonovy zákony ,

však zcela znemožuje nalezení oné základní, význané inerciální soustavy, pedpokládané Newtonem –

tj. absolutního prostoru .

Nyní diskutujme druhý dležitý pípad pohybu soustavy S’ :

2) nerovnomrný kivoarý (posuvný) pohyb soustavy S’

Unášivá rychlost soustavy S’ je nyní obecn promnnou veliinou, tj. mže se mnit jak velikost , tak

také smr a orientace jejího vektoru :

.konstu ≠

6

Soustava S’ se tedy pohybuje nerovnomrným kivoarým pohybem vi inerciální soustav S

(pozor - stále to musí být translace – posuvný pohyb , pi kterém osy soustavy zachovávají svj smr -

to je pece nutný pedpoklad platnosti používaných transformaních vztah).

Pozn. : O translaci, pípadn rotaci se mluví zejména pi popisu obecného pohybu pevných tles , ostatn každá soustava

souadnic je vždy spojena s njakým hmotným tlesem , jak si uvdomíme pozdji ve speciální teorii relativity.

Jiná definice popisuje translaci jako takový pohyb, pi kterém všechny body tlesa (zde souadných os) se pohybují

po geometricky stejných drahách .

Názorn si mžeme translaci pedstavit jako napí. pohyb kurzoru poítaové myši na obrazovce, lodiky na Ruském

kole, balistického kyvadla, auta po kivoaré dráze – nesmlo by se ale v zatákách natáet do smru svého pohybu.

Pi kivoarém pohybu árkované soustavy je ovšem její unášivé zrychlení nenulové :

0adtud

u ≠=

Potom i v pípad konstantní rychlosti njakého tlesa v soustav S - tj. jestliže by v S pro toto tleso

platil zákon setrvanosti - podle obecných pevodních vztah ale v soustav S’ rychlost tlesa už

konstantní nebude :

.konstuvv ≠−=′

Zákon setrvanosti tedy v S’ neplatí , árkovaná soustava je nyní neinerciální soustavou a protože je

unášivé zrychlení nenulové , bude zrychlení hmotného bodu v soustav S’ odlišné od zrychlení v S :

uaaa −=′

A pohybová rovnice v S’ má potom tvar :

F*FFamam)aa(mam uu ′=+=⋅−⋅=−⋅=′⋅

V neinerciální soustav již tedy pohybová rovnice není invariantní , nebo zmnila svj tvar – na

její pravé stran se krom pvodní psobící síly objevuje nová síla závisející na unášivém zrychlení

soustavy :

uam*F

⋅−= setrvaná síla (v neinerciální soustav)

Tato síla vlastn nutí tleso pokraovat, setrvávat v pvodním pohybu, nevyjaduje však psobení

žádného dalšího hmotného objektu (tak jsou definovány skutené síly v Newtonových zákonech), proto

se setrvaná síla také nazývá silou zdánlivou , nebo fiktivní .

Je to ovšem síla naprosto reáln psobící, jak každý z nás sám na sob pociuje ve zrychlujícím nebo

brzdícím dopravním prostedku. (Pvod této síly vysvtluje Obecná teorie relativity.)

7

Celkem tedy : V inerciálních systémech vždy invariantní pohybová rovnice, která má na pravé stran

pouze skutenou sílu, v neinerciálním systému neplatí !

Abychom získali platný matematický vztah , musíme na pravou stranu rovnice pidat k pvodní skutené

síle ješt sílu setrvanou :

*FFFam +=′=′⋅ pohybová rovnice v neinerciální soustav

Nezapomeme, že vztah pro setrvanou sílu byl odvozen za pedpokladu nerovnomrného kivoarého

pohybu neinerciální soustavy S’ . Mžeme proto dobe uplatnit znalosti z kinematiky o zrychlení

takového pohybu a o jeho rozkladu na tenou a normálovou složku :

a) Jako speciální pípad pohybu neinerciální soustavy S’ lze vylenit (translaní) rovnomrný

kivoarý pohyb, který se koná s konstantní velikostí (ale s promnlivým smrem) unášivé rychlosti:

.konstu =

Pi tomto pohybu sice neexistuje tené zrychlení , ale vždy je nenulové zrychlení dostedivé, dané

zakivením dráhy, které pak tedy tvoí celé unášivé zrychlení soustavy :

naaR

unu

2 ⋅==

Píslušná setrvaná síla má samozejm opaný smr (viz obrázek), odtud také její název :

rmamF n*n

××⋅−=⋅−= ωω odstedivá síla

Velikost odstedivé síly je ovšem stejná jako velikost síly dostedivé :

Ru

n*n

2mFF ⋅==

b) V pípad (translaního) nerovnomrného kivoarého pohybu soustavy S’ se již bude mnit jak

velikost , tak také smr a orientace unášivé rychlosti :

.konstu ≠

A krom stále existujícího normálového zrychlení se objeví ješt navíc tené zrychlení :

τaaa nu +=

Odstedivá síla tak bude doplnna další setrvanou silou míící proti smru teného zrychlení (viz obr.) :

8

τττ

⋅⋅−=⋅−= dtdu* mamF Eulerova (setrvaná) síla

Její velikost je samozejm stejná jako velikost tení síly :

dtdu* mFF ⋅== ττ

Z vlastní zkušenosti (opt z dopravních prostedk, které dokáží brzdit a zrychlovat i v zatákách)

mžeme jist potvrdit, že ob síly skuten existují (viz obr.).

Fn* = - m · an

Fτ* = - m · aτ

R

S

τu

s

n

dráha

oskulaníkružnice

s

m

auan

aτ

c) Nejjednodušším (translaním) pohybem neinerciální soustavy S’ je nerovnomrn rychlený

pímoarý pohyb (je to ovšem také pouze speciální pípad nerovnomrného kivoarého pohybu), který

je možno charakterizovat promnnou velikostí unášivé rychlosti a jejím konstantním smrem a orientací

ve smru pohybu na pímce dráhy – což lze formáln zapsat jako nemnnost teného vektoru :

.konstu ≠ .konst=τ

Unášivé zrychlení má také smr pímky dráhy :

ττ ⋅=⋅=dtdu

uu aa

Setrvanou sílu pak uríme dosazením tohoto zrychlení do základní definice :

9

τ⋅⋅−=⋅−= dt

duu mam*F

A je zejmé, že se vlastn principiáln jedná o tenou Eulerovu setrvanou sílu .

V nejobecnjším pípad je ovšem pohyb neinerciální soustavy S’ (stejn jako obecný pohyb tlesa –

viz kapitola „Dynamika tuhého tlesa“) vždy vytváen spojením pohybu translaního s pohybem

rotaním . Proto na závr prozkoumáme ješt tetí základní pípad pohybu neinerciální soustavy S’ :

3) rotaní pohyb soustavy S’

Pedpokládejme, že inerciální soustava S je v klidu vi nákresn a neinerciální soustava S’ se otáí

úhlovou rychlostí ω kolem spolených os z = z’, piemž poátky obou soustav splývají (O = O’).

u v

v'

ω

ω

m

x

y

x'

y'

z = z'

S

Opt sledujeme prvodie jediného hmotného bodu m v soustav S i S’ . Protože poátky obou soustav

splývají, jsou tyto vektory totožné :

rr ′=

10

Souadnice tohoto vlastn jediného vektoru jsou ovšem rzné v obou soustavách, ale hlavn jsou rzné

jeho asové zmny (pírstky), tedy i derivace podle asu v tchto soustavách.

Jestliže si nejprve pedstavíme, že hmotný bod je vi árkované soustav v klidu (tj. je se soustavou S’

napíklad pevn spojený), pak nám bude zejmé, že je touto soustavou unášen a že spolen s ní koná

kruhový pohyb . Jeho unášivá rychlost je tedy rovna obvodové rychlosti kruhového pohybu :

ru ×= ω

Obecn se ovšem hmotný bod mže v soustav S’ ješt navíc pohybovat njakou rychlostí v ′ , potom

podle principu skládání rychlostí je jeho výsledná rychlost v klidové soustav S rovna soutu obou

tchto rychlostí :

rvv ×+′= ω skládání rychlostí v soustav S

Rychlosti hmotného bodu jsou ovšem ureny asovými pírstky – derivacemi - píslušných prvodi

v obou soustavách :

rtdrd

dtrd

×+= ′′ ω

Z dvodu rovnosti prvodi mžeme pak psát :

rtdrd

dtrd

×+= ′ ω

Vytvoili jsme tedy rovnici platnou pro jeden a tentýž vektor prvodie ve dvou rzných soustavách,

inerciální S a neinerciální S’ , která vysvtluje „celkový“ pírstek prvodie (asovou zmnu,

derivaci) v inerciální soustav S jako souet jeho vlastního pírstku v S’ a pírstku od unášivého

rotaního pohybu v soustav S’.

Posunout do poátku mžeme ovšem vektor jakékoliv fyzikální veliiny a tím se tento vektor dostane do

stejné situace jako prvodi a stejným zpsobem (jako vektory) se budou skládat jeho pírstky od

rotaního pohybu i od jeho vlastní zmny v S’.

Dostaneme tak velmi obecný vztah mezi derivacemi libovolného vektoru A

ve dvou rzných vztažných

soustavách – v inerciální S a v neinerciální soustav S’ , rotující úhlovou rychlostí ω :

AdtAd

dtAd

×+= ′ ω

Pedstava, že jakákoliv vektorová fyzikální veliina se chová stejn jako polohový vektor z mechaniky je

ovšem ponkud nezvyklá, celkem ale jde pouze o maximáln názorné „odvození“ obecného, velmi

11

nenázorného vztahu z matematické analýzy, platícího pro libovolné vektorové spojité funkce, který

dokonce ani nepotebuje pedpoklad spolených poátk a rotaních os obou soustav.

My tento vztah využijeme pro výpoet zrychlení hmotného bodu v neinerciální soustav . Nejprve ho

aplikujeme na vektor rychlosti v soustav S’ :

vdtv´d

dtvd ′×+= ′′

ω

Na pravé stran rovnice hned dostáváme hledané zrychlení :

vadtvd

dtvd ′×−==′ ′′′

ω

V prvním lenu na pravé stran dosadíme za árkovanou rychlost z poáteního základního vztahu pro

skládání rychlostí a provedeme derivace podle standardních pravidel pro derivace :

vrv)rv(adtrd

dtd

dtvd

dtd ′×−×−×−=′×−×−=′

ωωωω ω

Na pravé stran rovnice vznikly nyní známé veliiny zrychlení , úhlového zrychleni a rychlosti

hmotného bodu v soustav S , tedy neárkované veliiny :

vvraa ′×−×−×−=′ ωωε

A pro rychlost v S použijeme ješt jednou vztah pro skládání rychlostí a provedeme roznásobení a

sdružení len v poslední rovnici :

v2)r(rav)rv(raa ′×−××−×−=′×−×+′×−×−=′ ωωωεωωωε

Po vynásobení hmotností dostaneme ihned pohybovou rovnici v rotující soustav :

FFFFFvm2)r(mrmamam *3

*2

*1 ′=+++=′×⋅⋅−××⋅−×⋅−⋅=′⋅

ωωωε

Vidíme, že krom skutené síly F

psobící v inerciální soustav musíme do pohybové rovnice

v neinerciální rotující soustav zapoítat další celkem ti zdánlivé síly :

rmFF **1

×⋅−== ετ Eulerova (setrvaná) síla

)r(mFF *n

*2

××⋅−== ωω odstedivá síla

Krom tchto dvou oekávaných a známých sil existuje ješt další síla napohled ponkud

komplikovaných vlastností :

vm2FF *C

*3 ′×⋅−==

ω Coriolisova síla

12

Vzorec nám ukazuje, že tato síla se objevuje pouze v pípad vlastního pohybu hmotného bodu

v neinerciální soustav rychlostí, která není rovnobžná s osou rotace (viz obr.).

osa rotace

v'

m

SFC*

Fn*

Z dvodu relativn malé velikosti Coriolisovu sílu na povrchu Zem v bžném život pímo

nepociujeme, pesto je to veliina dobe mitelná a za uritých okolností mže mít v njaké technické

aplikaci výrazný vliv.

(Mže napíklad zpsobit vír vytékající kapaliny, odlišného smyslu na severní i jižní polokouli, odklánt

dráhu padající stely, stáet rovinu matematického kyvadla …)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

konec kapitoly K. Rusák, verze 03/2006

rev. 02/2007

1

Práce a energie

Pro svoji zásadní dležitost bývá mechanická práce vysvtlována jako jeden z dsledk psobení síly na

hmotný objekt (hmotný bod) – tzv. dráhový úinek síly.

Ze stední školy znáte základní definici fyzikální veliiny mechanické práce , kterou vykoná konstantní

síla F psobící na hmotný bod m na pímé dráze délky s pod konstantním úhlem α (vzhledem

k pímce dráhy, viz obr.):

αcossFA ⋅⋅=

[ ] [ ]J1Joule1 =

Síla je samozejm vektor a jestliže definujeme i dráhu jako vektor (je to úseka, staí jí piadit

orientaci, napíklad ve smru pohybu), potom je výše uvedený vztah vlastn skalárním souinem dvou

vektor :

sFA

⋅= mechanická práce

Pro výpoet práce v reálných podmínkách, kdy dráha pohybu je libovolná (spojitá) kivka a psobící síla

není konstantní, ale libovolná (spojitá) vektorová funkce místa, musíme nyní tento vztah zobecnit :

Kivku dráhy rozdlíme (myšlenkov) na velký poet ( N ) úsek o velikostech (viz. obr):

N4321 s.......,,s,s,s,s ∆∆∆∆∆

s

F

Fk

F3

F2

F1

∆s1∆sk

∆s3∆s2

ds = dr

F

s

s

α

2

Z dvodu jejich velkého potu jsou tyto úseky dráhy nepatrné , proto je lze pibližn považovat za

úseky (pesn to bude platit až v limit pro jejich nekonený poet) a pidáním orientace ve smru

pohybu z nich mžeme vytvoit vektory :

N4321 s.......,,s,s,s,s ∆∆∆∆∆

Práv proto, že každý z tchto úsek je velmi malý (v limit pak nekonen malý), nemže se na nm

píliš mnit ani velikost síly ani její smr (je to spojitá funkce) - psobící sílu na celém úseku je tedy

možno považovat za konstantní vektor :

N4321 F.........,,F,F,F,F

Nyní je ale situace na tchto úsecích dráhy stejná jako v úvodní definici - konstantní síla psobí na pímé

dráze - a mžeme proto na každém úseku vypoítat vykonanou práci podle základního vztahu :

111 sFA

∆∆ ⋅=

222 sFA

∆∆ ⋅=

333 sFA

∆∆ ⋅=

NNN sFA

∆∆ ⋅=

A celkovou práci vykonanou na celé dráze s , potom získáme setením všech tchto jednotlivých

(dílích , elementárních) prací :

==

⋅==++++≈N

1kkk

N

1kkN321 sFAA.....AAAA

∆∆∆∆∆∆

Podmínky tohoto výpotu a tedy i uvedený vzorec platí ovšem tím pesnji , ím menší jsou jednotlivé

úseky dráhy, tedy ím vtší je jejich poet. Exaktní vztah proto dostaneme až v limit pro nekonený

poet úsek N.

V tomto pípad pak ale nekonená suma nekonen malých len je vlastn matematickou definicí

uritého integrálu :

⋅=⋅==∞→ s

N

1kkk

NsdFsFlimA

∆

Jestliže dále využijeme znalostí z kinematiky, že diferenciální úsek dráhy je roven diferenciálu prvodie,

mžeme také psát :

⋅=⋅=ss

rdFsdFA

mechanická práce na obecné dráze

Defininím oborem tohoto uritého integrálu je zkoumaná kivka dráhy s , matematicky se tedy jedná o

tzv. kivkový integrál .

3

Výraz za znakem integrálu je elementární práce , vykonaná na diferenciálním úseku dráhy, a jde vlastn o

diferenciální vyjádení jednotlivých len pvodní sumy :

rdFdA

⋅= elementární práce

Celková práce vykonaná na dané dráze je tedy integrálem (limitním soutem) elementárních prací.

Dále : Pi konání práce v reálné situaci, když napíklad chceme posunout tleso po pedepsané dráze,

vždy musíme pitom svojí silou pekonávat njaké jiné síly. Tyto síly jsou asto dsledkem psobení

rzných silových polí na dané tleso (napíklad gravitaní pole, elektrické a magnetické pole, pole

pružných sil, pole tecích sil, …)

Zabývejme se proto v dalších ádcích pedevším výpotem práce v „obyejném“ gravitaním poli naší

Zem, ve kterém všichni žijeme :

Práce v gravitaním poli, potenciální energie

Centrální tleso hmotnosti M (hmotný bod) , umístné ve vakuu v poátku soustavy souadnic, psobí

na druhé, zkušební tleso hmotnosti m, které je v míst r

, silou :

ormM rF 2

⋅⋅−= ⋅κ Newtonv gravitaní zákon

kde κ je univerzální gravitaní konstanta a or

je jednotkový vektor prvodie :

[ ]SI., 1110676 −=κ rr

or =

M

0

m

x

y

z

- ro

ro

r

F

4

Po dosazení jednotkového vektoru dostaneme jiný tvar gravitaního zákona :

rF 3rm.M

⋅⋅−= κ

asto používaným pojmem je intenzita gravitaního pole :

orM

mF rK 2

⋅⋅−== κ

Slovní vyjádení : Intenzita gravitaního pole je (íseln) rovna síle psobící na zkušební tleso

jednotkové hmotnosti.

Je zejmé, že na povrchu Zem ( zrr = ) je tato veliina rovna gravitaní tíhové konstant

(zemskému tíhovému zrychlení) :

orM

mF rg 2

z

⋅⋅−== κ

Nebo skalárn :

2rM

mF s.m80665,9g 2

z

−≈⋅== κ

Nyní pokrome dále a konkrétn vypoítejme práci , kterou vykonáme v gravitaním poli pi (velmi

pomalém) posunutí tlesa o hmotnosti m (hmotného bodu) po njaké zadané dráze (kivce) s z jejího

poáteního bodu 1r

do koncového bodu 2r

.

Protože silové pole psobí na tleso silou F

, musíme my (tedy vnjší síla - vnjší vzhledem k danému

poli) psobit na tleso silou stejn velikou a opan orientovanou, tj. F

− , abychom sílu pole pekonali .

Pozn. : Pesnji vzato, musíme psobit ješt malou pídavnou silou navíc pro uvedení tlesa do pohybu, kterou lze ale zejm

v limit - pi požadavku velmi pomalého posunu - zanedbat.

Základní vztah pro práci vykonanou vnjší silou v silovém poli pi pohybu tlesa na dráze s proto bude :

( ) ⋅−=2

1

r

sr

rdFA

práce vnjší síly v silovém poli

Je zejmé, že stejný integrál, ale bez záporného znaménka u síly, by vyjádil práci silového pole na této

dráze :

( )ArdFA

2

1

r

sr

−=⋅=′

práce síly pole

5

Nyní dosadíme za gravitaní sílu a vytkneme konstanty ped integrál :

( ) ( )

⋅=⋅⋅⋅−−=2

1

2o

2

1

2

r

srr

rdrr

sror

mM mMrd)r(A

κκ

Situace pi výpotu práce je znázornna na obrázku.

Upravíme dále skalární souin v integrálu, pitom využijeme známé velikosti jednotkového vektoru :

αα cosrd1cosrdrrdr oo ⋅⋅=⋅⋅=⋅

r2

r1

s

ro

ro

r ( t + dt )r ( t )

αα

0

F

Z obrázku je zejmé, že skalární souin je prmtem diferenciálu prvodie rd

do smru prvodie r

(do smru jeho jednotkového vektoru) a že je tedy vlastn roven diferenciálu velikosti prvodie dr :

drcosrdrdro =⋅=⋅ α

Tím se výrazn zjednoduší výpoet vykonané práce, nebo integrál již neobsahuje vektorové veliiny :

[ ]1212

2

1

2

1

2 rmM

rmM

r1

r1r

rr1

r

rrdr )(mMmMmMA κκκκκ +−=+−=−==

Z výsledku vidíme, že vykonaná práce vbec nezávisí na dráze (na jejím tvaru), ale závisí pouze na

poátením a koncovém bodu dráhy.

Dále si pedstavme, že bychom umožnili zptný pohyb tlesa z koncového bodu do bodu poáteního a

již bychom tento pohyb nijak neovlivovali, tj. nechali bychom pracovat sílu gravitaního pole - pak

by vykonaná práce byla stejn veliká – a my tak svoji pvodn vykonanou práci „dostaneme zpt“ :

ArdFrdF2

1

1

2

r

r

r

r

=⋅−=⋅

6

Vnjší silou pvodn vykonaná práce A je tedy jakoby uschována - zakonzervována v koncovém

bodu dráhy 2r

a tleso (vlastn pesn eeno silové pole) má v tomto míst schopnost vykonat stejn

velikou práci (pi návratu do výchozího místa).

Silové pole s takovou význanou vlastností, která umožuje zachování,

zakonzervování vykonané práce, se nazývá konzervativní silové pole .

Tato schopnost tlesa vykonat práci , spojená s jeho (koncovou) polohou , se nazývá potenciální

energie tlesa (hmotného bodu) a její velikost se definuje jako velikost této práce , tj. práce vykonané

tlesem pi pesunu do polohy poátení.

(Tuto práci spojujeme s daným tlesem, v principu ji ovšem konají síly pole – a rovná se také práci

vykonané námi - vnjší silou - pi pvodním pohybu z poáteního do koncového bodu).

Protože vykonaná práce nezávisí na tvaru dráhy mezi obma body, poátením a koncovým, je

potenciální energie jednoznanou funkcí místa 2r

(tento koncový bod pvodn zvolené dráhy je

ovšem jako obecn promnná veliina ve funkci zcela libovolným bodem v prostoru, píšeme ho tedy

obecn dále bez indexu) a samozejm je také funkcí místa 1r

(zde je namíst ponechání indexu,

nebo tento bod je sice také obecn zcela libovolný, ale pi ešení daného problému se pedem zvolí a ve

funkci dále vystupuje jako konstanta, matematicky to je vlastn parametr funkce).

Bodové tleso (hmotný bod) má tedy v daném míst r

vzhledem k místu 1r

potenciální energii :

1rmM

rmM

1p )r,r(W κκ +−= gravitaní potenciální energie (obecný tvar)

Kvli zásadnímu významu této veliiny zopakujme znovu : gravitaní potenciální energie je definována

jako práce, kterou vykoná gravitaní pole pi pohybu tlesa z daného místa r

do

zvoleného výchozího místa 1r

(a je také rovna práci , kterou musí nejprve vykonat vnjší

síla pi pesunu tlesa opaným smrem - z výchozího místa do daného místa).

Poznámka : Ze stední školy si jist pamatujete jednoduchý vzorec pro potenciální energii :

hgmWp =

Není tento vztah v rozporu s naším posledním vzorcem?

Ukažte si na cviení, že nikoliv, a že jde pouze o jeho limitní tvar.

7

A dále - zejména v teoretických výpotech se pro potenciální energii vtšinou volí výchozí místo

v nekonenu , tj. matematicky zapsáno :

∞→1r

V této limit je potom ve vztahu pro potenciální energii druhý len nulový - zbavíme se tak závislosti na

poátením stavu tlesa (na jeho poátení poloze) a dostáváme velmi jednoduchý tvar :

rmM

p )r(W κ−= gravitaní potenciální energie (speciální tvar)

Stanovme opt význam : je to práce, kterou vykoná gravitaní pole pi pohybu tlesa z daného místa

r

do nekonena (a je také rovna práci, kterou musí nejprve vykonat vnjší síla pi pesunu

tlesa opaným smrem - z nekonena do daného místa).

S využitím posledního vztahu mžeme nyní snadno zapsat pvodní vykonanou práci (vnjší silou) pi

pesunu tlesa mezi dvma místy :

1p2p1p2prmM

rmM

r

r

WW)r(W)r(WrdFA12

2

1

−=−=+−=⋅−=

κκ

Práce potebná pro pemístní tlesa mezi dvma místy je tedy rovna rozdílu potenciálních energií

mezi tmito místy. (Formáln stejný vztah platí pi jakékoliv volb výchozího místa 1r

, dokažte sami.)

asto používanou veliinou v gravitaním poli je také :

mWp)r( =ϕ gravitaní potenciál

Význam gravitaního potenciálu je opt velmi názorný : Je to potenciální energie tlesa jednotkové

hmotnosti - tedy práce gravitaního pole potebná k penesení tlesa jednotkové hmotnosti

z daného místa do nekonena.

Pak lze zapsat vykonanou práci také pomocí rozdílu potenciál mezi dvma místy :

)(mWWA 121p2p ϕϕ −⋅=−=

Porovnejte píští semestr tento gravitaní potenciál s potenciálem elektrostatickým, který je kvli jeho

astému používání v elektrotechnice samozejm daleko známjší fyzikální veliinou.

Dále zavedeme pojem kinetické energie.

8

Kinetická energie

Nyní si budeme všímat zmny pohybového stavu hmotného bodu, spojené s konáním práce mezi dvma

místy dráhy. Nejprve upravíme pohybovou rovnici :

dtvdmamF

==

Abychom dostali vztah pro elementární práci, vynásobíme rovnici skalárn diferenciálem prvodie:

vvdmrdmrdFdtvd

⋅=⋅=⋅

K úprav vzniklého skalárního souinu na pravé stran použijeme vztah pro velikost vektoru :

vvv2 ⋅=

Tuto rovnici derivujeme podle asu, nebo jednodušeji diferencujeme :

vvd2vdvvvddvv2 ⋅=⋅+⋅=

Dostaneme :

vdvdvv ⋅=

Což dosadíme do vztahu pro elementární práci :

dvvmvvdmrdF =⋅=⋅

Aby bylo možno jednoznan stanovit souvislost s veliinami pedchozího odstavce, budeme dále

pedpokládat, že práce se opt koná v silovém poli gravitaní síly F

.

Výše uvedenou elementární práci na diferenciální dráze rd

nech tedy koná síla gravitaního pole a z

rovnice (z její pravé strany) vidíme, že dsledkem je vznik diferenciálu, tj. pírstku rychlosti hmotného

bodu.

Konání práce silovým polem má tedy za následek zvyšování rychlosti tlesa (pedstavte si napíklad

volný pád v gravitaním poli Zem).

Pedpokládejme konkrétn , že konáním práce psobící silou pole F

na njaké dráze mezi poátením

bodem 1r

a koncovým bodem 2r

se zvýší rychlost tlesa (hmotného bodu) z hodnoty 1v

na 2v

.

Vykonaná práce tedy bude (její oznaení je ve shod s oznaením práce gravitaního pole v pedchozím

odstavci o potenciální energii) :

⋅=′2

1

r

r

rdFA

Po dosazení za elementární práci mžeme lehce provést výpoet uritého integrálu :

[ ] 212

1222

1v

v2

21

v

v

v

v

r

r

vmvmvmdvvmdvvmrdFA 2

1

2

1

2

1

2

1

−====⋅=′

9

Vidíme, že stejn jako u potenciální energie, ani tato práce nezávisí na tvaru dráhy , dokonce ani

nezávisí na poloze poáteního a koncového bodu dráhy - dležitý je pouze poátení a koncový

pohybový stav tlesa (poátení a konená rychlost).

Mžeme konstatovat, že vykonaná práce je opt uskladnna, zakonzervována , tentokrát ovšem

v pohybovém stavu tlesa – a to má tedy v tomto stavu opt schopnost vykonat stejn velikou práci (pi

návratu do pvodního pohybového stavu, tj. pi zabrzdní tlesa).

Tato schopnost tlesa vykonat práci , spojená s jeho pohybovým stavem se pak nazývá kinetická

energie tlesa. Abychom, stejn jako u potenciální energie, vylouili závislost na poátením stavu tlesa

(nyní pohybovém), pedpokládejme poátení nulovou rychlost (v1 = 0). Potom je druhý len na pravé

stran roven nule a kinetická energie je tedy definována jednoduchým vztahem :

221

k vm)v(W = kinetická energie (hmotného bodu)

Kvli zásadnímu významu této veliiny opt zopakujme : Kinetická energie je definována jako práce,

kterou tleso (hmotný bod) hmotnosti m vykoná, když bude zabrzdno z rychlosti v do

klidového stavu (a kterou njaká psobící síla, napíklad silové pole, musí nejprve vykonat

pi uvedení tlesa z klidu do pohybu touto rychlostí v).

Pozn. : Nyní, pi znalosti kinetické energie, už jist rozumíme požadavku na velmi pomalé posouvání tlesa na dráze

pi definici energie potenciální.

S využitím veliiny kinetické energie pak také mžeme pepsat vztah pro práci psobící síly (silového

pole) do tvaru :

1k2k1k2k2

1212

221

r

r

WW)v(W)v(WvmvmrdFA2

1

−=−=−=⋅=′

Práce potebná pro pemístní tlesa mezi dvma místy (psobící silou - silovým polem) je tedy

rovna rozdílu kinetických energií mezi tmito místy.

Z pedchozího odstavce ale také víme, že práci pi pemístní tlesa lze rovnž vyjádit rozdílem

potenciálních energií mezi tmito místy ….. až nyní tedy vlastn matematicky uplatníme pedpoklad, že

tleso se pohybuje v silovém (gravitaním) poli :

2p1p

r

r1k2k

r

r

WWrdFAWWrdFA2

1

2

1

−=⋅−−=−=−=⋅=′

10

Dostáváme tak vztah pro potenciální a kinetické energie hmotného bodu v poátením a koncovém bodu

dráhy :

2p1p1k2k WWWW −=−

Po peskupení len vznikne velmi zásadní rovnice pro souet obou energií v tchto bodech :

2k2p1k1p WWWW +=+

Poátení a koncové body dráhy, stejn jako dráha sama, jsou ovšem v prostoru (v silovém poli) obecn

zcela libovolné , potom tedy mžeme konstatovat, že :

Souet potenciální a kinetické energie má v jakémkoliv míst

konzervativního silového pole stále stejnou hodnotu .

Tento souet se nazývá celková mechanická energie a dospli jsme tak k velmi dležitému zákonu

mechaniky :

.konstWWW kp =+= zákon zachování celkové mechanické energie

Uvedený zákon byl odvozen pro hmotný bod , platí ovšem i pro všechny hmotné objekty (které jsou

vlastn z hmotných bod – atom - složeny).

Jediným pedpokladem zákona zachování energie je konzervativní silové pole.

Krom gravitaního pole je konzervativní také pole elektrostatické a pole pružných sil , výpoty

v tchto polích jsou tak díky platnosti zákona zachování mechanické energie velmi pohodlné.

Konzervativnost bohužel nejeví napíklad pole magnetické a pole tecích sil.

Dležitost konzervativnosti silového pole podtrhuje ješt následující krátký odstavec .

Další vlastnosti konzervativního pole

Víme už, že v takovém silovém poli nezávisí vykonaná práce pi pesunu tlesa z místa 1r

do místa 2r

na tvaru dráhy. Jestliže tedy zvolíme dv rzné dráhy (kivky) s1 a s2 spojující oba body (viz obr.),

pak musí být práce na tchto drahách naprosto stejné :

11

⋅=⋅2

21

2

11

r

)s(r

r

)s(r

rdFrdF

nezávislost práce na dráze

r2

r1

s1

s2

U pravého integrálu pak pehodíme meze - tím zmní znaménko - a pevedeme ho na levou stranu :

0rdFrdF1

22

2

11

r

)s(r

r

)s(r

=⋅+⋅

Nyní lze oba integrály na levé stran rovnice seíst (spojit) do jediného integrálu po výsledné kivce,

složené z obou jednotlivých kivek s = s1 + s2 (jde o tzv. uzavenou kivku a integrál má

speciální oznaení) :

0rdF21 sss

=⋅+=

integrál po uzavení kivce s

Protože ob pvodní kivky byly libovolné a spojovaly libovolné dva body, platí integrál pro jakoukoliv

uzavenou kivku v prostoru silového pole a nepíšeme proto žádné oznaení této kivky :

=⋅ 0rdF

celková práce na libovolné uzavené dráze (je nulová)

Slovní vyjádení : Celková vykonaná práce na uzavené dráze (pi obhu uzavené kivky, tj. pi návratu

do výchozího místa ) je nulová.

Pozn. : Pitom samozejm na nkterých ástech dráhy je vykonaná práce kladná a na jiných ástech dráhy je záporná)

Tento vztah po mnoho staletí velmi znesnadoval nadšeným vynálezcm konstrukci mechanického vn

pracujícího stroje - perpertua mobile (1. druhu).

12

V konzervativním elektrostatickém poli je výše uvedený vztah základem Kirchhofova zákona o obhu

uzavené smyky elektrického obvodu (souet naptí zdroj a úbytk naptí na odporech je nulový –

nebo všechno to jsou práce v elektrickém poli, kladné i záporné).

V termodynamice mají podobnou vlastnost stavové veliiny (to jsou stavové promnné jako tlak, objem,

teplota, ale jde hlavn o stavové funkce jako je vnitní energie, entropie, entalpie, volná energie, atd.,

obecn termodynamické potenciály), uzavenou kivkou zde ovšem není skutená dráha v prostoru, ale

stejn geometricky uzavená kivka kruhového dje v grafu stavových promnných (napíklad v pV-

diagramu).

V píštím semestru (FYA2) si ješt ukážeme další vztahy , ve tvaru diferenciálních operátorových rovnic

pro intenzitu a potenciál elektrostatického pole, které jsou ekvivalentní výše uvedeným integrálním

vztahm :

ϕgradE −=

0Erot =

V našem gravitaním poli pak platí analogické rovnice pro gravitaní intenzitu (nebo sílu) :

ϕgradK −=

0Krot =

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

konec kapitoly K. Rusák, verze 02/2006

rev. 02/2007

1

Dynamika soustavy hmotných bod

Tento velmi dležitý fyzikální pojem slouží ke studiu a modelování pohybu reálných objekt složených z

nepatrných hmotných ástic (tlesa pevná, kapalná i plynná), nebo soustav tles, jejichž velikosti lze pro

pibližné ešení zanedbat (slunení soustava).

Definujme základní parametry soustavy hmotných bod :

1. hmotný bod …. hmotnosti 1m …. má polohu 1r

…. rychlost 1v

…. a hybnost 111 vmp =

2. hmotný bod …. hmotnosti 2m …. má polohu 2r

…. rychlost 2v

…. a hybnost 222 vmp =

3. hmotný bod …. hmotnosti 3m …. má polohu 3r

…. rychlost 3v

…. a hybnost 333 vmp =

4. hmotný bod …. hmotnosti 4m …. má polohu 4r …. rychlost 4v

…. a hybnost 444 vmp

=

……..

k-tý hmot.bod …. hmotnosti km …. má polohu kr

…. rychlost kv

…. a hybnost kkk vmp =

……..

N-tý hmot.bod …. hmotnosti Nm …. má polohu Nr

…. rychlost Nv

…. a hybnost NNN vmp =

m4

m3

m2m1F1

E

F2E

F3E

F4E

F23

F34 F43

F32

F14

F41

F13

F42

F24

F31

F21 F12

Uvažme dále, jaké síly psobí na libovolný hmotný bod soustavy (napíklad na druhý, viz obr.) :

1) od objekt vn soustavy – tzv. vnjší síly ( E2F

)

2) od ostatních hmotných bod soustavy – tzv. vnitní síly ( 2N423212 F,.....,F,F,F

)

2

Pro každý hmotný bod pak napíšeme Newtonovu pohybovou rovnici (v njaké inerciální souadné

soustav) :

1413121111

NE F.....FFFFF

dtpd

+++++==

2423212222

NE F.....FFFFF

dtpd

+++++==

3432313333

NE F.....FFFFF

dtpd

+++++==

4342414444

NE F.....FFFFF

dtpd

+++++==

………

NkkkkE

kkk F.....FFFFF

dtpd

+++++== 321

………

N)N(NNNE

NNN F.....FFFFF

dtpd

1321 −+++++==

Dostáváme tak celkem N rovnic, které všechny seteme dohromady (tj. seteme všechny jejich levé

strany a všechny jejich pravé strany) :

=

≠=

+++++=++++N

1j

N

kj1k

jkE

NE

3E

2E

1N321 FF....FFF

dtpd

....dtpd

dtpd

dtpd

Poslední len na pravé stran je formáln zapsaný souet všech vnitních sil v naší soustav hmotných

bod.

Podle 3. Newtonova zákona ke každé jednotlivé vnitní síle v tomto soutu vždy existuje její stejn

veliká a opan orientovaná reakce (viz obr.) :

kjjk FF

−=

Souet tchto dvou sil je tedy vždy nulový :

0FF kjjk =+

Protože nezáleží na poadí sítanc, mžeme si pedstavit, že setení všech vnitních sil se uskutení

práv po tchto dvojicích , což vede k jednoznanému výsledku celého tohoto soutu :

0)FF(FN

1j

N

kj1k

kjjk

N

1j

N

kj1k

jk =+= =

≠==

≠=

souet všech vnitních sil je nulový

3

Protože vnitní síly soustavy hmotných bod ve vtšin pípad neznáme a pro jejich velký poet ani

nelze poítat s jejich napíklad zmením, potom jejich výsledná „nulovost“ vlastn otevírá jedinou

možnou cestu , jak pokraovat v ešení naší „soutové rovnice“ , která má nyní výrazn zjednodušenou

pravou stranu :

EN

E3

E2

E1

N321 F....FFFdtpd

....dtpd

dtpd

dtpd

++++=++++

Jestliže definujme nové fyzikální veliiny :

===

===++++=N

1k

kk

N

1kkk

N

1kkN321 dt

rdmvmpp....pppP

celková hybnost soustavy

=

=++++=N

1k

Ek

EN

E3

E2

E1

E FF....FFFF

výsledná vnjší síla

Potom po úprav levé strany rovnice, za použití základních pravidel o derivaci (soutu funkcí), vznikne

velmi jednoduchý vztah, podobný „obyejné“ pohybové rovnici pro (jeden) hmotný bod :

EFdtPd

= 1. vta impulzová

Slovní vyjádení : asová zmna celkové hybnosti soustavy hmotných bod (za jednotku asu) je rovna

výsledné vnjší síle.

Nebo jinak : Zmnu celkové hybnosti soustavy je možno dosáhnout pouze pomocí vnjších sil, tj. sil

psobících z okolí soustavy.

Tedy jakkoliv velké síly vnitní (jakékoliv povahy – mechanické, elektromagnetické, chemické, …a

jakéhokoliv charakteru – síly psobící pomalu, rychle, explosivn,… ) nikdy nedokážou zmnit

celkovou hybnost soustavy (i když samozejm zmní jednotlivé hybnosti hmotných bod).

Pozn. : Nezapomeme, že tento významný a jednoduchý teoretický vztah byl dosažen jen díky platnosti tetího Newtonova

zákona - zákona akce a reakce.

Bohužel formální jednoduchost první impulzové vty je „vykoupena“ komplikovaností veliin na

obou stranách rovnice (jsou tvoeny soutem obrovského potu jednotlivých len – u reálných tles ádu

Avogadrova ísla) , a proto také není ihned zejmé, jaký je její praktický význam.

Situace se více vyjasní teprve po zavedení pojmu hmotný sted (tžišt) soustavy :

4

Uvažme, že v 1. vt impulzové jsou vlastn všechny vnjší síly nahrazeny jedinou výslednou silou - a

všechny hybnosti soustavy nahrazuje jediná výsledná hybnost .

Pokusme se proto také všechny hmotné body nahradit jediným hmotným bodem , kterému bychom

piadili výslednou hybnost a ve kterém by bylo psobišt výsledné síly.

Tento myšlený hmotný bod - hmotný sted (tžišt) soustavy – který bude „reprezentovat“ celou soustavu

hmotných bod, musí mít rovnž definovanou svoji hmotnost - jist ji položíme rovnou celkové

hmotnosti všech hmotných bod soustavy :

=

=++++==N

1kkN321o mm....mmmmm hmotnost tžišt

Jestliže dále oznaíme :

or

poloha (prvodi) tžišt

Pak mžeme stanovit rychlost tžišt jako derivaci jejího prvodie :

dtrd

v oo

= rychlost tžišt

Také hybnost tžišt mžeme standardn podle definice vyjádit jako :

dtrd

mvmp ooo

=⋅= hybnost tžišt

A podle výchozí úvahy se tato hybnost musí rovnat celkové hybnosti soustavy :

Ppo

= hybnost tžišt je rovna celkové hybnosti

Po dosazení na obou stranách :

=

=N

1k

kk

o

dtrd

mdtrd

m

A použitím základních pravidel o derivacích dostaneme rovnici :

=

=N

1kkko rm

dtd

rmdtd

Z rovnosti derivací pak plyne rovnost funkcí – ale až na libovolnou konstantu :

=

+=N

1kkko konstrmrm

5

Pi standardní volb nulové konstanty pak obdržíme bžn používaný vztah pro polohu hmotného

stedu (tžišt) soustavy hmotných bod :

=

=N

kkko rm

mr

1

1

poloha hmotného stedu (tžišt) soustavy

Pvodn libovolná konstanta vlastn znamenala, že za psobišt výsledné síly by bylo možno považovat

jakýkoliv bod v prostoru, ale volba nulové konstanty pináší následující význanou vlastnost tžišt

soustavy hmotných bod :

K jejímu objasnní použijeme tzv. tžišovou soustavu souadnic (mžeme ji oznait S’ ), tj. takovou

soustavu kartézských os, jejíž poátek O’ položíme práv do tžišt soustavy hmotných bod (viz obr.) :

S

m1

m2

m3m4

m5

mk

O

V této vztažné soustav je ale prvodi tžišt nulový :

=

′=′=N

1kkko rm

m1

r0

A tedy platí (po vynásobení rovnice hmotností) :

0rmN

1kkk =′

=

Nyní ješt vynásobíme sumu vektorov zprava - tj. každý její len - vektorem tíhového zrychlení :

0grmN

1kkk =×′

=

6

A po pesunu skaláru ve vektorovém souinu vznikne už velmi názorný vztah :

0gmr k

N

1kk =×′

=

Protože souiny tíhového zrychlení a hmotností jednotlivých bod jsou tíhy tchto hmotných bod,

mžeme nakonec napsat :

0Gr k

N

1kk =×′

=

rovnováha moment tíhových sil vzhledem k tžišti

Tento vztah znamená, že souet moment tíhových sil všech hmotných bod soustavy vzhledem

k tžišti je nulový . Tíhové (gravitaní) síly jsou vnjší síly dané soustavy a dostáváme tak jednu

z podmínek klidové rovnováhy tlesa (viz následující kapitola „Aplikace impulsových vt“).

Jak v následující kapitole dále uvidíte, je druhou podmínkou rovnovážného stavu ješt rovnováha

psobících sil, tedy nulový souet všech vnjších sil , což se dá zajistit podepením tlesa v tžišti

(nebo jeho zavšením v tžišti - uvažte, že tím se nezmní nulovost moment) - pak soustava hmotných

bod (tleso) musí zstat v klidu (viz obr.).

G6

m1 m6

Tžišt je tak „rovnovážným bodem“ tlesa, proto mžeme do nj jednoduše umístit vektor (celkové)

tíhy tlesa jako výslednice gravitaních tíhových sil psobících na všechny body tlesa – a to bez

dodateného silového momentu (ten bychom museli pidat pi umístní tíhy do njakého jiného bodu -

viz opt následující kapitola). Tedy :

Tžišt tlesa je nejjednodušší psobišt gravitaní tíhy tlesa.

A také :

Tžišt je „rovnovážným bodem“ tlesa.

7

Dále uvažme : jestliže jsme definovali tžišt jako hmotný bod, ve kterém je soustedna hmotnost celé

soustavy hmotných bod, jehož hybnost je rovna celkové hybnosti a na který psobí výslednice vnjších

sil - potom 1. vta se stává také pohybovou rovnicí tohoto hmotného bodu - tedy tžišt soustavy :

Eo Fdtpd

dtPd

==

Nebo zapsáno pomocí polohového vektoru tžišt :

Eo Ftd

rdm

=⋅2

2

pohybová rovnice tžišt

Slovní vyjádení : Tžišt se pohybuje jako hmotný bod o hmotnosti celé soustavy, na který psobí

výsledná vnjší síla.

Vyešením této pohybové rovnice potom mžeme získat dráhu tžišt soustavy hmotných bod

(pípadn jeho okamžitou rychlost a zrychlení).

Dráha jediného bodu, by bodu význaného, nemže ovšem popsat obecn složitý pohyb celé soustavy -

krom specifického pípadu , když by se všechny hmotné body soustavy pohybovaly stejným

zpsobem (stejnou rychlostí) na geometricky stejných drahách jako tžišt.

Takový pohyb soustavy hmotných bod (tlesa) je pak zcela uren pohybem tžišt a oznauje se jako

posuvný pohyb – translace tlesa. Mžeme tedy konstatovat :

První vta impulzová, jako pohybová rovnice tžišt, uruje translaci soustavy hmotných bod.

Nebo jinak :

Dráhy hmotných bod tlesa (a tžišt) mohou být pi translaci jak pímoaré (nap. vozidlo pohybující

se na pímé dráze), tak i kivoaré (nap. zavšené lodiky na Ruském kole, balistické kyvadlo, kurzor

poítaové myši na obrazovce).

Obecn je ale pohyb tles složitjší než pouhá translace : Všimnme si napíklad automobilu jedoucího

po silnici – jeho tžišt pitom sice sleduje tvar silnice - pohybuje se tedy po njaké spojité kivce dráhy ,

která uruje možnou translaci, ale auto jako celek rozhodn translaci nekoná, nebo jeho natáení pi

zmnách smru jízdy je vlastn „lokální“ rotaní pohyb .

S využitím znalostí o geometrii kivek lze prjezd auta zatákou popsat jako rotaci kolem svislé osy ,

která prochází stedem píslušné oskulaní kružnice (kivky dráhy tžišt). Tento popis nám sice zjevn

První impulzová vta je „pohybovou rovnicí translace“.

8

ukazuje zásadn dležitou spojitost translaního pohybu (tžišt) s pohybem rotaním, ale jeho

matematické vyjádení by bylo velmi komplikované .

Pozn. : Nebo krom dráhy tžišt bychom museli stanovit ješt „dráhu“ stedu oskulaní kružnice, která by asi pinesla

njaké potíže, napíklad svou nespojitostí (v inflexních bodech dráhy tžišt), a rozhodn by neplatil základní tvar

rovnice pro rotaci kvli neinerciální soustav souadnic spojené se stedem oskulaní kružnice.

Naštstí je ale také možné si namísto této „skutené rotace“ pedstavit , že automobil v zatáce koná

translaní pohyb (daný pohybem tžišt) a pitom se souasn natáí - tj. rotuje - kolem svislé osy,

která prochází tžištm .

Ukazuje se, že takový „ rozklad obecného pohybu “ (pevného) tlesa na translaci (danou pohybem

tžišt) a rotaci (kolem osy jdoucí tžištm) je vždy proveditelný - u nejsložitjších prostorových

pohyb je samozejm dráha tžišt tvoena 3-rozmrnou kivkou a smr rotaní osy je obecn odlišný

v každém míst této dráhy .

Obecný pohyb tlesa je složený z translace a rotace kolem osy jdoucí tžištm.

Pozn. : Nahrazení rotaní osy jdoucí stedem oskulaní kružnice myšlenou osou v tžišti je pitom jist velmi výhodná, nebo

u obecného kivoarého pohybu se poloha stedu oskulaní kružnice i její polomr neustále mní. Matematický

dkaz nezávislosti této rotace na translaci a z toho plynoucí jednoznanosti rozkladu obecného pohybu je proveden

v následující kapitole.

Naše první impulzová vta jako „pohybová rovnice translace“ tedy popisuje pouze „jednu ást“

obecného pohybu soustavy hmotných bod (tlesa).

To znamená, že pro popis „druhé ásti“ obecného pohybu soustavy - pohybu rotaního - bude ješt nutno

sestavit njakou analogickou „pohybovou rovnici rotace“.

Neml by to být zásadn obtížný úkol, protože jsme již díve, v kapitole „Dynamika hmotného bodu“

odvodili tzv. pohybovou rovnici pro rotaci jednoho hmotného bodu :

Mdtbd

=

Tato rovnice jist platí pro libovolný hmotný bod soustavy, uvdomme si tedy nejprve, jak máme

formáln pesn definovat moment jeho hybnosti a moment síly , která na nj psobí :

dtrd

mrvmrprb kkkkkkkkk

×=×=×= moment hybnosti k-tého bodu soustavy

kkk FrM

×= moment síly psobící na k-tý bod soustavy

9

Pohybovou rovnici pro rotaci nyní napíšeme pro každý hmotný bod soustavy (v njaké inerciální soustav

souadnic) a stejn jako pi odvození první impulzové vty rozdlíme psobící sílu na vnitní a vnjší :

....FrFrFr)F....FFF(rFrMdtbd

311211E

111N3121E

111111 +×+×+×=++++×=×==

....FrFrFr)F....FFF(rFrMdtbd E

NE +×+×+×=++++×=×== 322122222321222222

2

....FrFrFr)F....FFF(rFrMdtbd E

NE +×+×+×=++++×=×== 233133333231333333

3

...FrFrFr)F....FFF(rFrMdtbd E

NE +×+×+×=++++×=×== 244144444241444444

4

……….

...FrFrFr)F....FFF(rFrMdtbd

kkkkE

kkkNkkE

kkkkkk +×+×+×=++++×=×== 2121

……….

...FrFrFr)F....FFF(rFrMdtbd

NNNE

NNN)N(NNE

NNNNNN +×+×+×=++++×=×== − 211121

Dostáváme tak celkem N rovnic, které opt všechny seteme dohromady :

=

≠=

×+×++×+×+×=++++N

1j

N

kj1k

jkkE

NNE

33E

22E

11N321 FrFr....FrFrFr

dtbd

....dtbd

dtbd

dtbd

Poslední len na pravé stran je formáln zapsaný souet moment všech vnitních sil v naší soustav

hmotných bod. Tento souet je stejn nulový , tak jako byl nulový souet všech vnitních sil, nebo ke

každému momentu njaké jednotlivé vnitní síly existuje stejn veliký a opan orientovaný moment její

reakce (pokuste se dokázat s využitím obrázku) :

kjjjkk FrFr ×=×

O

d

mk mj

10

Soutová rovnice se tedy zjednoduší na tvar :

ENN

E33

E22

E11

N321 Fr....FrFrFrdtbd

....dtbd

dtbd

dtbd

×++×+×+×=++++

Jestliže dále nov definujeme celkový moment hybnosti soustavy hmotných bod a výsledný moment

všech vnjších sil jako :

==

×==+++++=N

1k

kkk

N

1kkN4321 dt

rdmrbb....bbbbB

celkový moment hybnosti

=

×=×++×+×+×=N

1k

Ekk

ENN

E33

E22

E11

E FrFr.....FrFrFrM

výsledný moment vnjších sil

Potom za použití základních pravidel o derivaci vznikne z naší soutové rovnice další velmi dležitý

vztah, na první pohled dosti podobný „obyejné“ rovnici pro rotaci (jednoho) hmotného bodu - to je

dobré pro zapamatování, ale nepehlédnte odlišnosti :

EMdtBd

= 2. vta impulzová

Slovní vyjádení : asová zmna celkového momentu hybnosti soustavy hmotných bod je rovna

výslednému momentu vnjších sil.

Podle první vty již víme, že jakkoliv veliké vnitní síly (jakékoliv povahy a jakéhokoliv charakteru)

nikdy nedokážou zmnit celkovou hybnost soustavy - a nyní také vidíme, že tyto síly nedokážou

zmnit ani celkový moment hybnosti soustavy (i když samozejm zmní jednotlivé momenty

hybnosti hmotných bod).

Nalezený vztah – druhá vta impulzová - má zásadní dležitost zejména pi zkoumání rotaního

pohybu soustav hmotných bod, piemž v pípad rotace tuhého tlesa kolem pevné osy lze levou stranu

rovnice ješt výrazn zjednodušit (viz kapitola „Dynamika tuhého tlesa“).

Její konkrétní použití pro popis rotace jako druhé ásti obecného pohybu soustav hmotných bod pak

bude specifikováno v následující kapitole „Aplikace impulzových vt“.

Mžeme tedy zjednodušen tvrdit :

Druhá impulzová vta je „pohybovou rovnicí rotace“.

11

Uvdomme si závrem, že jak 2. vtu impulzovou – tak i 1.vtu – jsme získali díky platnosti tetího

Newtonova zákona (akce a reakce) a že platí v libovolné inerciální vztažné soustav souadnic .

Ob impulzové vty jsou tedy invariantní (nemnné) vzhledem ke Galileov transformaci – jak

jinak, vždy byly odvozeny pímo z Newtonových pohybových rovnic.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

konec kapitoly K. Rusák, verze 03/2006

rev. 02/2007

1

Aplikace impulzových vt

Na základ všech Newtonových zákon jsme odvodili dva základní vztahy klasické mechaniky -

impulzové vty – které mají zásadní dležitost pro studium mechanického pohybu nejen vybraných

soustav hmotných bod, ale vlastn veškerého hmotného svta kolem nás.

V první ad nyní dokoníme analýzu obecného pohybu tles, zapoatou v minulé kapitole :

a) Obecný pohyb soustavy hmotných bod (tlesa)

Dospli jsme již k zásadnímu poznatku, že obecný pohyb soustavy hmotných bod (tlesa) lze vytvoit ze

dvou relativn jednoduchých pohyb – translace a rotace kolem osy jdoucí tžištm.

Translaci tlesa ve zvolené (inerciální) soustav souadnic pak dokonale a bez problém popisuje první

impulzová vta .

Jestliže si dále uvdomíme, že druhá impulzová vta popisuje rotaci kolem osy jdoucí poátkem

zvolené (inerciální) souadné soustavy, potom tedy pro požadovanou rotaci kolem osy procházející

tžištm musíme tuto impulsovou vtu napsat a používat v takové vztažné soustav souadnic, jejíž

poátek leží v tžišti – a to je pece naše známá a (pro stanovení rovnováhy gravitaních sil) již v minulé

kapitole použitá - tžišová soustava souadnic .

A nyní tvrd narazíme na jednu zásadní potíž : druhá impulzová vta byla odvozená a platí pouze

v inerciálních soustavách - ale tžišovou soustavu nelze obecn považovat za inerciální , nebo

tžišt jako hmotný bod se pod vlivem vnjších sil mže pohybovat po libovolné kivoaré dráze, tj.

s libovolným zrychlením.

Musíme proto zjistit, jak se zmní druhá impulzová vta v neinerciální tžišové soustav – tedy také

jak se zmní pohyb , který tento vztah popisuje (rotace kolem osy jdoucí tžištm) - v závislosti na

zrychleném pohybu tžišt (tj. na translaci tlesa ).

Strun eeno – jak závisí rotaní pohyb (kolem osy jdoucí tžištm) na translaci tlesa.

Provedeme proto nyní pevod - transformaci - druhé vty impulzové do tžišové souadné soustavy :

Nejprve napišme známý standardní tvar 2. vty impulsové v njaké inerciální soustav souadnic S :

EMdtBd

=

Dále musíme dosadit za celkový moment hybnosti a výsledný moment vnjších sil. Podle defininích

vztah (z minulé kapitoly) platí :

2

==

×==++++=N

1k

kkk

N

1kkN321 dt

rdmrbb....bbbB

==

×==×++×+×+×=N

1k

Ekk

N

1k

Ek

ENN

E33

E22

E11

E FrMFr.....FrFrFrM

Pro dosazení použijeme konkrétn poslední výrazy na pravých stranách, které obsahují prvodie, a

dostaneme :

==

×=×N

1k

Ekk

N

1k

kkk Fr

dtrd

mrdtd

A nyní pevedeme tento vztah do tžišové soustavy souadnic S’ (viz obr.) :

S

m1

m2

m3m4

m5

mk

O

Pipomeme si obecný pevodní vztah mezi prvodii hmotného bodu v obou soustavách, který jsme

odvodili v kapitole „Inerciální a neinerciální soustavy“ :

rRr ′+=

Jestliže uvážíme, že vektorem R

spojujícím poátky obou soustav je zde prvodi tžišt or

, pak pro

každý hmotný bod mžeme psát (viz obr.) :

kok rrr ′+=

A tento vztah dosadíme do výše pipraveného tvaru 2. vty (v rámeku) :

3

==

×′+=

′+

×′+N

1k

Ekko

N

1k

kokko F)rr(

dt)rr(d

m)rr(dtd

Upravme výraz na levé stran roznásobením dvojlen :

′

×′+

×′+

′

×+

× ====

N

k

kkk

N

k

okk

N

k

kko

N

k

oko dt

rdmr

dtd

dtrd

mrdtd

dtrd

mrdtd

dtrd

mrdtd

1111

Ve druhém lenu provedeme vytknutí a ve tetím lenu pesuneme skaláry (hmotnosti) a také vytkneme :

′

×′+

×′+

′

×+

× ====

N

1k

kkk

N

1k

okk

N

1k

kko

N

1k

oko dt

rdmr

dtd

dtrd

)rm(dtd

dtrd

mrdtd

dtrd

mrdtd

Nyní je zejmé, že oba tyto leny musí být nulové , nebo v tžišové soustav vždy platí (viz výše

vlastnosti tžišt) :

0rmN

1kkk =′

=

Na levé stran rovnice tedy zbudou jen dva leny :

===

×′+=

′

×′+

×N

1k

Ekko

N

1k

kkk

N

1k

oko F)rr(

dtrd

mrdtd

dtrd

mrdtd

Pokraujme dále v úpravách provedením derivace prvního lenu levé strany a roznásobením dvojlenu na

stran pravé :

=====

×′+×=

′

×′+×+×N

1k

Ekk

N

1k

Eko

N

1k

kkk

N

1k2o

2

ko

N

1k

ok

o FrFrdtrd

mrdtd

dt

rdmr

dtrd

mdtrd

První len nalevo je opt nulový (rovnobžné vektory) a vzniklý druhý len se vyruší s prvním lenem

pravé strany, jak nahlédneme po vytknutí a s využitím pohybové rovnice tžišt (tj. 1. vty impulsové) :

====

×=×=⋅×=⋅×=⋅

×=×

N

k

Eko

N

k

Eko

Eo

oo

oN

kko

N

k

oko FrFrFmr

dt

rdmr

dt

rdmr

dt

rdmr

112

2

2

2

112

2

Dostáváme tedy (již bez závorek) :

==

×′=′

×′N

1k

Ekk

N

1k

kkk Fr

dtrd

mrdtd

4

Což je formáln naprosto stejná rovnice jako výchozí vztah, pouze v árkovaných souadnicích, tj.

v souadnicích tžišové soustavy :

EMdtBd ′=

′

Vidíme, že z dvodu specifických vlastností hmotného stedu se tvar druhé vty impulzové po pechodu

do S’ vbec nezmnil - tento fyzikální zákon je tedy invariantní pi transformaci do tžišové souadné

soustavy - a v této soustav pak popisuje rotaci vzhledem k ose jdoucí poátkem soustavy – tžištm .

Jinak eeno : protože se pohyb tžišt na výsledném vztahu vbec neprojevuje, nemá tedy vliv ani na

pohyb, který tento vztah popisuje, nebo-li :

Vlastní pohyb tžišt nemá vliv na rotaci soustavy hmotných bod kolem osy jdoucí tžištm.

A ješt jinak eeno : rotaní pohyb soustavy hmotných bod kolem osy jdoucí tžištm (který popisuje

2. impulzová vta) je zcela nezávislý na vlastním pohybu tžišt (popsaném 1. impulzovou vtou) – tj.

na translaním pohybu tlesa..

Tento principiální poznatek lze pak velmi úinn využit pi popisu a sledování pohyb soustav hmotných

bod :

Jakýkoliv obecný pohyb soustavy hmotných bod (tlesa) je vždy možné popsat jako složený ze

dvou dílích jednoduchých nezávislých pohyb , a to :

• z translace - posuvného pohybu tlesa, který je uren vlastním pohybem tžišt - jako

hmotného bodu o hmotnosti celé soustavy na který psobí výsledná vnjší síla . Pi tomto pohybu

se všechny hmotné body soustavy pohybují stejným zpsobem (stejnou rychlostí) na

(geometricky) stejných drahách jako tžišt . Pro nalezení tohoto pohybu je poteba vyešit

pohybovou rovnici tžišt – tj. první vtu impulzovou :

Eo Ftd

rdm

=⋅2

2

• z rotace - rotaního pohybu tlesa kolem osy jdoucí tžištm – zpsobené výsledným

momentem vnjších sil . Ke stanovení tohoto pohybu je poteba v tžišové soustav ešit 2. vtu

impulzovou :

EMdtBd

=

5

T

TT

osa rotace

dráha tžišt

Prostudujme dále nkolik speciálních aplikací obou impulzových vt, kde získaných znalostí o obecném

pohybu soustav hmotných bod dobe využijeme :

b) Rovnováha tlesa (klidová)

Rovnováhu tlesa obvykle ztotožujeme s jeho klidovým stavem (lze ale také ešit i rovnováhu

pohybujícího se objektu, napíklad cyklisty v zatáce). Klidový stav tlesa ovšem znamená, že

nedochází ani ke translanímu , ani k rotanímu pohybu tlesa, tj. musí být rovna nule jak hybnost ,

tak i moment hybnosti :

0P =

0B =

asové zmny nulových funkcí jsou samozejm také nulové :

0dtBd

0dtPd ==

A z impulzových vt pak plyne i nulovost soutu všech vnjších sil i soutu všech moment tchto sil :

0F....FFFF EN

E3

E2

E1

E =++++=

podmínky rovnováhy tlesa

0M....MMMM EN

E3

E2

E1

E =++++=

Rovnováha tlesa vyžaduje tak nejen nulovou výslednici vnjších sil ale také nulový výsledný moment

vnjších sil (samozejm vzhledem k tžišti - ale uvažte, že neexistence rotaního pohybu musí znamenat

i nulový silový moment vzhledem k libovolnému bodu).

Rovnováha tlesa znamená nejen rovnováhu vnjších sil, ale i rovnováhu jejich moment.

Uvedené vztahy jsou základem statické mechaniky (statiky)

6

c) Uzavená (izolovaná) soustava

Takové oznaení používáme pro soustavu hmotných bod, na kterou z okolí nepsobí žádná vnjší síla .

Je tedy nulová jak výslednice vnjších sil, tak výsledný vnjší silový moment :

0F E =

0M E =

Nesíslné množství aplikací pak využívá toho, že uvedené vztahy mohou být splnny i ve speciálním

pípadu - kdy na soustavu bude psobit více vnjších sil (minimáln dv), sice nenulových – které ale

budou mít dohromady nulovou výslednici a také nulový výsledný silový moment (to jsou vlastn

podmínky rovnováhy tlesa podle pedchozího odstavce) :

0F....FFFF EN

E3

E2

E1

E =++++=

0M....MMMM EN

E3

E2

E1

E =++++=

Podle impulzových vt jsou pak také nulové asové zmny celkové hybnosti (také hybnosti tžišt, která

se jí rovná) a celkového momentu hybnosti :

0dtBd

0dtpd

0dtPd o ===

A aplikace základních znalostí o derivacích nám dává jednoduchý výsledek – asovou nemnnost tchto

veliin :

.konstp....pppP N321 =++++=

zákon zachování hybnosti

konstb....bbbB N321 =++++=

zákon zachování momentu hybnosti

konstpo =

zákon setrvanosti (tžišt)

Tyto zákony asto umožují ešení komplikovaných pohyb soustav hmotných bod, aniž by bylo nutno

detailn sledovat chování jednotlivých bod.

Pozn. : Stav klidové rovnováhy tlesa je zejm speciálním pípadem nalezených zákon zachování, pro nulovou hodnotu

pravých stran.

7

d) Ekvivalentní soustava sil

Vnjší síly psobící na njaké tleso mohou být také podle poteby nahrazeny jiným souborem sil , který

ale musí mít na tleso stejný pohybový úinek – tj. bude vytváet stejný rotaní i translaní pohyb.

Z toho ovšem pak podle impulzových vt plyne, že tato nová soustava sil musí mít stejnou výslednici a

také stejný výsledný silový moment jako pvodní vnjší síly (vzhledem ke stejnému bodu).

Speciáln potom, pi velmi astém požadavku na maximální zjednodušení vnjších sil, mžeme

jakkoliv poetný soubor sil nahradit jedinou silou - jejich výslednicí (vektorovým soutem) a mžeme ji

umístit v libovolném míst – a jediným silovým momentem o velikosti rovné výslednému momentu

pvodních sil vzhledem k tomuto požadovanému bodu.

Proto tedy - jestliže za psobišt jediné výsledné síly zvolíme bod „rovnováhy tlesa“ - vi nmuž mají

pvodní síly výsledný moment rovný nule , bude ekvivalentní soustavu sil tvoit pouze tato jediná

výslednice.

Nalezení takového vztažného bodu je proto nutnou souástí návodu na skládání rovnobžných sil , které

jste provádli již na stední škole.

Speciáln v gravitaním poli (Zem) je bodem rovnováhy tžišt tlesa, protože jsme v minulé kapitole

odvodili, že souet moment tíhových sil všech hmotných bod je vzhledem k nmu nulový :

0Gr k

N

1kk =×′

=

tžišt jako „bod rovnováhy“ gravitaních sil

Výslednice gravitaních sil – tíha tlesa - má tedy v tžišti psobišt bez jakéhokoliv pídavného

silového momentu.

Pi dodržování stejných princip lze samozejm provádt také opaný proces - rozklad tíhy tlesa

(napíklad tíhu njakého nosníku rozložíme na jednotlivé oprné pilíe).

V konkrétních technických aplikacích ale vztažný bod vtšinou není možno zvolit, je již uren

napíklad skutenou osou rotace a nemusí to vbec být rovnovážný bod - pak je ovšem vždy nezbytné

pipojit k výslednici sil také nenulový silový moment .

K jeho vytvoení se asto používá tzv. dvojice sil , tj. dv stejn veliké, opan orientované síly, neležící

na stejné pímce (viz obr.).

8

d

O

Výhoda je zejmá – pipojením dvojice sil se nezmní výslednice všech sil - a navíc - její silový moment

je stejný vi jakémukoliv bodu prostoru (pokuste se o dkaz) :

FdM

×= moment dvojice sil

Tak napíklad i jen jedinou na tleso (v míst A ) psobící sílu mžeme nahradit jinou silou – stejn

velikou, ale psobící v jiném míst B - jde tedy vlastn o posunutí síly do jiného psobišt , ale musíme

pipojit dvojici sil se stejným momentem jako mla pvodní síla vzhledem k tomuto novému bodu (viz

obr.).

d

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

konec kapitoly K. Rusák, verze 03/2006

rev. 02/2007

1

Dynamika pevného tlesa

Dále se budeme podrobnji vnovat tuhé soustav hmotných bod jako modelu pevného tlesa. Tento

speciální pípad soustavy hmotných bod lze jednoduše charakterizovat nemnnými vzdálenostmi mezi

jednotlivými body, které jsou dsledkem jejich konstantních prvodi. Tžišt tuhé soustavy má tedy

také nemnnou, konstantní polohu :

.konstrmm1

rN

1kkko =⋅=

=

tžišt tuhého tlesa

Pro pohyb pevného tlesa samozejm platí všechny rovnice , odvozené v pedchozích kapitolách pro

obecnou soustavu hmotných bod :

Pi studiu chování tlesa za rzných podmínek lze výhodn využít rozkladu obecného pohybu

tlesa na posuvný pohyb daný pohybem tžišt a na rotaní pohyb kolem osy jdoucí tžištm.

Rovnž jsou platné z obecného pohybu odvozené podmínky klidové rovnováhy tlesa, kdy

nedochází ani k translanímu, ani k rotanímu pohybu tlesa.

Stejn tak mžeme využívat vztahy odvozené pro izolovanou (uzavenou) soustavu , na kterou

nepsobí žádné vnjší síly.

A samozejm používáme také ekvivalentní soustavy sil , které mají stejnou výslednici i stejný

výsledný silový moment jako pvodní vnjší síly.

Dále si ukážeme, jak nemnný tvar tles umožní zavedení nové fyzikální veliiny - momentu

setrvanosti tlesa - a jak tato veliina výrazn zjednoduší druhou impulzovou vtu.

Nejprve se budeme zabývat kinetickou energii tlesa s využitím práv znalostí o rozkladu obecného

pohybu na pohyb translaní a pohyb rotaní .

Nejjednodušší jist bude výpoet v pípad translace tlesa :

1) Kinetická energie pi posuvném pohybu tlesa , kdy se všechny jeho body pohybují stejnou rychlostí

jako tžišt, tj. platí :

vvv ok ==

Kinetickou energii tlesa potom vypoítáme, s využitím tohoto vztahu, jako souet kinetických energií

všech hmotných bod (dále bude vytknut kvadrát rychlosti) :

2

== =

⋅=⋅=⋅=N

1kk

N

1k

221

N

1k

2k2

12kk2

1kin mvvmvmW

Jestliže použijeme vztah pro celkovou hmotnost tlesa, dostaneme nakonec :

221

kin vmW = kinetická energie tlesa pi translaci

Z tohoto vztahu je zejmé, že kinetická energie tlesa pi translaci je rovna kinetické energii tžišt .

Ponkud složitjší než u translace jsou vždy výpoty spojené s rotací :

2) Kinetická energie pi rotaním pohybu tlesa kolem osy procházející tžištm (a pedpokládejme

jako díve nejjednodušší pípad pevné osy), která bude samozejm opt vyjádena jako souet

kinetických energií všech hmotných bod, s využitím známého vztahu pro obvodovou rychlost

kruhového pohybu:

kk rv ×= ω

α

mk

Rk

0

s

ω

rk

vk

Pro výpoet kinetické energie potebujeme ovšem jen velikost tohoto vektoru (viz obr.) :

kkk Rsinrrv ⋅=⋅⋅=×= ωαωω

kde Rk je polomr kruhového pohybu, tj. kolmá vzdálenost hmotného bodu od osy rotace. Kinetická

energie všech hmotných bod tedy bude (dosadíme a vytkneme konstanty):

== =

⋅⋅⋅=⋅==N

1k

2kk

221

N

1k

N

1k

2kk2

12kk2

1kin )Rm()R(mvmW ωω

3

Nyní je práv as pro zavedení nové fyzikální veliiny :

=

⋅=N

kkk RmJ

1

2 moment setrvanosti tlesa

Pozn. : Povšimnte si, že tato skalární veliina je urena rozložením hmotných bod vzhledem k dané ose otáení, pi jiné

ose otáení (u stejného tlesa) nabývá tedy zcela odlišné hodnoty.

Vzniklá ponkud nepehledná situace, kdy jedno tleso má vlastn nekonen mnoho moment setrvanosti (pro

nekonen mnoho možných os rotace), pak byla v teoretické mechanice vyešena zavedením tenzoru setrvanosti.

S využitím momentu setrvanosti pak vztah pro kinetickou energii rotace nabude jednoduchého tvaru,

který je formáln podobný vzorci pro translaci :

221

kin JW ω= kinetická energie tlesa pi rotaci

Celkem pak, pro obecný pohyb tlesa, lze kinetickou energii vyjádit jako souet obou pedchozích

výraz pro energie jeho translaního a rotaního pohybu :

2212

21

kin JvmW ω+= kinetická energie pevného tlesa (pi obecném pohybu)

Jak ale získáme potebné veliiny (v a ) pro dosazení do této rovnice?

Bude nutno najít a vyešit „pohybové rovnice tlesa“ - pro jeho pohyb translaní i rotaní :

Z pedchozích kapitol víme, že translace tlesa je urena pohybem tžišt . Proto rychlost v translaního

pohybu tlesa, rovnou rychlosti pohybu tžišt, získáme vyešením pohybové rovnice tžišt, kterou již

známe z obecných vztah pro soustavu hmotných bod :

E2o

2

Fdt

rdm

=⋅ pohybová rovnice tžišt

Pozn. : Pipomeme, že uvedená rovnice vznikla z první impulzové vty poté, když jsme definovali tžišt a piadili jsme

mu vlastnosti celé soustavy (tlesa) – hmotnost , hybnost a psobící sílu. Tžišt tlesa se podle této rovnice pohybuje

jako hmotný bod o hmotnosti celého tlesa, na který psobí výsledná vnjší síla.

Pohybová rovnice tžišt je proto první pohybovou rovnicí tlesa.

4

Dále už také víme, že existuje matematický vztah popisující rotaní pohyb tlesa :

EMdtBd

= 2. vta impulzová

Poznali jsme, že tato rovnice byla sice odvozena pro inerciální souadné soustavy, ale že „náhodou“

(z dvodu vhodn zvolených vlastností tžišt) platí také v soustav tžišové - a mže tedy vždy

jednoznan popisovat rotaci kolem osy jdoucí tžištm .

Potebná úhlová rychlost se v této rovnici ale pímo nevyskytuje , naším dalším úkolem proto bude

„transformace“ 2.vty do nových promnných – úhlových veliin :

Napíšeme základní tvar 2.vty impulsové s rozepsáním jednotlivých moment hybnosti :

=

=N

1k

Ek Mb

dtd

A provedeme rozklad všech vektor do složky rovnobžné s osou rotace a do složky kolmé k této ose -

správn v prostoru vlastn do dvou složek kolmých k ose rotace - ovšem na obrázku provedeném v

„poloperspektivním“ zobrazení je pro jednoduchost zakreslena pouze jediná kolmice k ose (druhá by

vedla kolmo k nákresn), stejn tak i rovnice obsahuje pouze jednu kolmou složku :

EN

1k

E||k

||k MM)bb(

dtd

⊥=

⊥ +=+

bk

bk

M E

M E

M E

bk

Rk

s

ε

ω

vk

αα

mk

T=0

rk

5

Levou stranu upravíme podle pravidla o derivaci soutu funkcí :

EE||

N

1k

N

1kk

||k MMb

dtd

bdtd

⊥= =

⊥ +=+

Osy složek jsou v pípad pevné osy rotace stabiln stanoveny (je to vlastn náš kartézský tžišový

souadný systém), proto složky vektor i jejich asové zmny mají stejný smr (tchto os).

Z rovnosti vektor na pravé a levé stran rovnice pak plyne i rovnost jejich složek, tedy platí :

E||

N

1k

||k Mb

dtd

=

= E

N

1kk Mb

dtd

⊥=

⊥ =

Vnujme se dále rovnobžným složkám : Vypoítejme rovnobžnou složku momentu hybnosti

libovolného hmotného bodu (postaí její velikost) :

kkkkkkkkkk||k vmRsin)1vmr(sinvmrsinbb ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅×=⋅= ααα

Použijeme ješt vztah pro velikost obvodové rychlosti kruhového pohybu :

kkkkk Rsinrrvv ⋅=⋅⋅=×== ωαωω

Po jejím dosazení bude rovnobžná složka momentu hybnosti :

2kkkkk

||k RmRmRb ⋅⋅=⋅⋅⋅= ωω

Protože na levé i pravé stran rovnice jsou velikosti rovnobžných vektor, lze psát tuto rovnici

vektorov :

ω

⋅⋅= 2kk

||k Rmb

Tento vztah pak dosadíme do rovnice pro asovou zmnu rovnobžné složky momentu hybnosti :

E||

N

1k

||k Mb

dtd

=

=

A upravíme její levou stranu s využitím definice momentu setrvanosti tlesa pro rotaci kolem dané osy :

εωωωω ⋅=⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅=

===J

dtd

J)J(dtd

)Rm(dtd

Rmdtd

bdtd N

1k

2kk

N

1k

2kk

N

1k

||k

Vzniká tak jednoduchá rovnice, formáln podobná (dobré pro zapamatování) obyejné Newtonov

pohybové rovnici :

6

E||MJ

=⋅ε pohybová rovnice pro rotaci tlesa kolem pevné osy

Slovní vyjádení : úhlové zrychlení rotaního pohybu tlesa je pímo úmrné rovnobžné složce

výsledného momentu vnjších sil (a nepímo úmrné momentu setrvanosti tlesa).

Odvodili jsme tak :

ve specifické form pro rotaní pohyb kolem pevné osy jdoucí tžištm tlesa (obrovský poet

technických aplikací však dodává této „zjednodušené“ rovnici vysoký stupe dležitosti).

Pozn. : Kolmá složka (kolmé složky) momentu vnjších sil se snaží pouze zmnit polohu osy rotace (vyvrátit ji), u teoretické

pevné osy ovšem bezvýsledn.

Pechod k reálnému tlesu

Již dávno je známo, že reálná tlesa se skládají z atom (molekul, iont) o rozmrech pibližn 10-10 m,

což je jist velmi dobrá pedstava soustavy hmotných bod.

Jejich obrovský poet - ádu Avogadrova ísla (1023 na 1 mol) - sice prakticky znemožuje výpoty

matematických sout (sum), dovolí nám však pedstavu hmoty jako kvazispojitého prostedí .

Pak lze definovat veliinu ( dV je zvolený libovolný nepatrný element objemu a dm je jeho hmotnost) :

dVdm=ρ hustota hmoty

Slovní vyjádení : hustota hmoty je (íseln) rovna hmotnosti jednotkového objemu v daném míst

zkoumaného tlesa (obecn je to skalární funkce místa).

Potom tleso rozdlené na veliký (nekonený) poet objemových element je vlastn limitním pípadem

soustavy hmotných bod o hmotnostech :

dVdm ⋅= ρ

A všechny díve probrané matematické sumy pecházejí v této limit nekoneného potu objemových

element na urité (objemové) integrály , napíklad :

⋅=V

dVm ρ celková hmotnost tlesa

druhou pohybovou rovnici tlesa

7

⋅⋅=V

o dVrm

r ρ 1 tžišt tlesa

⋅⋅=V

dVRJ ρ2 moment setrvanosti

Tyto integrály, eventuáln i další podobné výrazy pro celkovou hybnost a celkový moment hybnosti,

mohou být samozejm aplikovány nejen na pevná tlesa, ale i na kvazispojité prostedí kapalin a plyn

(kdy ovšem nemá smysl napíklad veliina momentu setrvanosti).

Doplnk 1 : Steinerova vta

Již pi zavedení momentu setrvanosti jsme si uvdomili jednoznanou závislost této veliiny na

rozložení hmotných bod soustavy (tlesa) – konkrétn na jejich vzdálenosti od uvažované ose rotace. Je

zejmé, že s rostoucí vzdáleností tlesa od osy rotace, se moment setrvanosti výrazn zvyšuje (ve vzorci

jsou kvadráty vzdálenosti hmotných bod od osy) a to neomezen – a naopak pi pibližování tlesa

k rotaní ose musí klesat k njaké nenulové minimální hodnot (krom nereálného pípadu, kdy by

všechny hmotné body tlesa ležely pesn v ose rotace).

Pi rozboru tohoto problému se opt projeví výjimenost hmotného stedu tlesa, protože pi zadaném

smru – tj. pro všechny možné rovnobžné osy rotace - je nejmenší práv moment setrvanosti k ose

procházející tžištm .

Pedstavme si tedy njakou osu rotace o a jinou osu rotace o′ s ní rovnobžnou (viz obrázek) :

α

mk

x

xka

z

y

yk

zk

o' o

Rk

0T

rk

Rk

8

Podle definice platí pro moment setrvanosti vzhledem k ose o (viz první ást této kapitoly) :

=

⋅=N

1k

2kk RmJ

kde kR je kolmá vzdálenost hmotného bodu km od osy rotace o .

Potom pro moment setrvanosti vzhledem k jiné rovnobžné ose o′ bude platit analogicky:

=

′⋅=′N

1k

2kk )R(mJ

Kolmou vzdálenost kR′ stejného hmotného bodu od druhé osy rotace vyjádíme s využitím souadnic na

obrázku :

2k

2k

2k y)xa()R( ++=′

Tento výraz mžeme upravit umocnním a seskupením len :

k2

k22

kk2

k22

k2

k2

k xa2Rayxa2xay)xa()R( ++=+++=++=′

Nebo podle obrázku platí :

2k

2k

2k yxR +=

Nyní dosadíme do vztahu pro árkovaný moment setrvanosti , roznásobíme a rozdlíme leny :

= === =

⋅+⋅+⋅=++⋅=′⋅=′N

1k

N

1kkk

2kk

N

1k

2k

N

1k

N

1kk

2k

2k

2kk xa2mRmam)xa2Ra(m)R(mJ

V prvním a tetím lenu na pravém stran lze vytknout konstanty :

= ==

⋅+⋅+⋅=′N

1k

N

1kkk

2kk

N

1kk

2 xma2RmmaJ

Dále mžeme v prvním lenu seíst hmotnosti všech hmotných bod do celkové hmotnosti tlesa, druhý

len je pímo pvodní moment setrvanosti vi ose jdoucí tžištm a tetí len je nulový, nebo

v tžišové soustav platí vektorová rovnice (plynoucí z nulového prvodie tžišt) :

0rmN

1kkk =

=

A tato rovnice je ekvivalentní tem skalárním rovnicím pro jednotlivé souadnice :

0xmN

1kkk =

= 0ym

N

1kkk =

= 0zm

N

1kkk =

=

Dostáváme tak jednoduchý vztah :

9

2amJJ ⋅+=′ Steinerova vta

Tento vztah nám dobe dokazuje minimální hodnotu momentu setrvanost pro osu jdoucí tžištm ,

nebo jakákoliv jiná (rovnobžná) osa má moment setrvanosti zvtšený o souin hmotnosti tlesa a

kvadrátu vzdálenosti obou os (což je vlastn moment setrvanosti tžišt tlesa k ose rotace).

Steinerova vta také výrazn zjednodušuje výpoty moment setrvanosti k libovolným rotaním osám

(pi znalosti momenty setrvanosti vi osám jdoucím tžištm tlesa).

Doplnk 2 : Kyvadla

Fyzické kyvadlo

Nazýváme tak jakékoliv tleso , které je otoné (ideáln bez tení) kolem pevné vodorovné osy

neprocházející tžištm. Je jasné, že v klidové rovnovážné poloze je tžišt tlesa v nejnižší možné poloze

(a je to místo jeho stabilní rovnováhy).

Jestliže kyvadlo z rovnovážné polohy vychýlíme (do njaké krajní polohy) a následn uvolníme, objeví se

moment vnjší síly (tíhy tlesa), který psobí „proti výchylce“ – a vrací kyvadlo zpt do rovnovážné

polohy.

Bhem tohoto pohybu se ovšem potenciální energie kyvadla vzniklá jeho vychýlením pemuje podle

zákona zachování mechanické energie na energii kinetickou , takže se kyvadlo v dolní poloze nezastaví,

ale pokrauje v pohybu na druhou stranu, dokud se jeho kinetická energie zase nepemní zpt na energii

potenciální (ve druhé krajní poloze) a opt se vrací k rovnovážné poloze, ….atd. - tak vzniká periodický

kmitavý pohyb kyvadla.

Tento pohyb je ovšem principiáln pohybem rotaním , a tedy pi jeho exaktním (kvantitativním) ešení

musíme vycházet z rovnice pro rotaní pohyb tlesa kolem pevné osy :

E||MJ

=⋅ε

Nejprve uríme smr a orientaci vektorových veliin v této rovnici, pitom využijeme našich znalostí

vektorového zápisu úhlových veliin (z kapitoly „Kinematika hmotného bodu“).

Na následujícího obrázku (který je pro vtší názornost v perspektivním zobrazení) je kyvadlo zakresleno

pi výchylce doprava, kdy tžišt stoupá do pravé krajní polohy.

10

ϕ

ϕ

ω

ε

osarotace

0

T

zv

G

ϕ

l

M E M E=

Poátek vztažné inerciální soustavy O je umístn na pevné rotaní ose o (do které mžeme položit

jednu ze souadných os, napíklad osu z), polohový vektor tžišt T je oznaen jako l

.

Kladný smr odetu opsaného úhlu je standardn zvolen proti smru hodinových ruiek (viz obr.).

Základní výhodou pevné osy je to, že v ní leží všechny vektorové úhlové veliiny rotujícího tlesa (tj.

všech jeho bod) – vektor opsaného úhlu ϕ , úhlová rychlost ω a úhlové zrychlení ε .

Pi rychlosti tžišt v

podle obrázku (tleso se práv vychyluje z rovnovážné polohy doprava a jeho

tžišt stoupá vzhru) je kladná orientace vektor ω a ϕ definována podle standardní volby - aby

spolu s vektorem polomru kruhového pohybu (zde l

) a vektorem rychlosti v

tvoily pravotoivý

systém - tj. oba vektory smují z nákresny k nám (v perspektiv na obrázku zprava doleva) – a stejn

tak zvolíme kladný smr (rotaní) osy z .

11

Rotace tlesa se ovšem zpomaluje (a nakonec se v pravém krajním bod zastaví), úhlová rychlost ω

tedy klesá – proto je orientace vektoru úhlové zrychlení ε práv opaná – v záporném smru osy z (do

nákresny, viz obr.).

Poznámka : Zopakujte si za D.cv. vektorové definice úhlových veliin a promyslete, jak se budou pi

dalším pohybu kyvadla mnit jejich velikosti i orientace.

Jak víme z pedchozí kapitoly, je práv tžišt nejjednodušším psobištm tíhy tlesa, která je jedinou

vnjší silou. Její moment je pak :

GlM E

×=

Uvážíme-li podle obrázku, že oba vektory l

a G

leží v jedné rovin (nákresn), kolmé k ose rotace,

pak podle definice vektorového souinu také vektor silového momentu má pesn smr této osy (viz

obrázek). Je tedy vektor silového momentu pímo roven své složce rovnobžné s osou rotace (a také

samozejm svojí z – ové složce)

E||

E MM

=

A jeho velikost je (jako velikost vektorového souinu) :

ϕϕ singmlsinGlMM E||

E ⋅⋅=⋅⋅==

Orientace tohoto vektoru je ale opaná než orientace vektoru úhlové rychlosti ω a opsaného úhlu ϕ -

má smr záporné ásti rotaní osy, tj. osy z (smuje do nákresny, viz obrázek). Proto je jeho z-ová

souadnice záporná a v absolutní velikosti rovná velikosti vektoru (souadnice na ostatních osách x a y

jsou samozejm nulové), tedy :

ϕsingml)M()M( zE

||zE ⋅⋅−==

Vidíme také, že orientace rovnobžné složky momentu síly je naprosto stejná jako vektoru úhlového

zrychlení ε - oba vektory tedy mají záporné z-ové souadnice (a nulové souadnice x a y).

Tyto výsledky jsou v dokonalé shod s pohybovou rovnicí (jak jinak) :

E||MJ

=⋅ε

protože pi vždy kladném momentu setrvanosti J znamená tato rovnice pímou úmru vektor ε a

E||M

- tj. jejich stejný smr a orientaci.

Abychom mohli pohybovou rovnici pro rotaci konkrétn vyešit, musíme ji rozepsat do souadnic :

12

Protože souadnice vektor již máme rozmyšlené, je nám jasné, že dostaneme jedinou nenulovou rovnici,

pro z-ové souadnice :

ϕε singmlJ ⋅⋅−=⋅

Úhlové zrychlení mžeme standardn vyjádit jako druhou derivaci opsaného úhlu :

ϕϕsingml

td

dJ

2

2

⋅⋅−=⋅

Pevedení na levou stranu a osamostatnní druhé derivace vede ke standardnímu tvaru diferenciální

rovnice :

0sinJ

gml

td

d2

2

=⋅⋅+ ϕϕ

Pokud zavedeme novou veliinu :

Jgml2 ⋅=ω

a použijeme matematického formalismu pro oznaení derivace, vznikne nejjednodušší možný tvar

rovnice :

0sin2 =⋅+ ϕωϕ pohybová rovnice fyzického kyvadla (obecná)

Její ešení není jednoduché, nebudeme ho provádt, také z dvodu, že zásadní význam má zjednodušený

tvar této rovnice – za pedpokladu malých výchylek kyvadla (matematicky nekonen malých), tj. :

0→ϕ

Pak totiž platí pro funkci sinus : ϕϕ ≅sin

A dostaneme :

02 =⋅+ ϕωϕ pohybová rovnice fyzického kyvadla (pro malé výchylky)

Tato rovnice je formáln matematicky stejná s rovnicí lineárního harmonického oscilátoru, kterou

budeme teprve probírat v kapitole „Kmity a vlny“ .

0yy 2 =⋅+ ω

Pitom si ukážeme, že jejím obecným ešením pro výchylku y hmotného bodu je známá sinusovka :

)tsin(A)t(yy oϕω +⋅==

V tomto vztahu je A amplituda kmit - maximální hodnota výchylky, o je fázová konstanta a je

úhlová frekvence vyjádená pomocí doby kmitu T nebo pomocí frekvence kmit f :

13

f2T2 ⋅== ππω

ešení naší pohybové rovnice fyzického kyvadla tedy musí také být formáln stejná sinusovka, ale pro

úhlovou výchylku :

)tsin(A)t( oϕωϕϕ +⋅== ešení pohybové rovnice kyvadla (pro malé výchylky)

Fyzické kyvadlo tedy pi malých výchylkách koná tzv. harmonické kmity s úhlovou frekvencí :

Jgml ⋅=ω úhlová frekvence fyzického kyvadla (pro malé výchylky)

Doba kmitu fyzického kyvadla je pak :

gmlJ

22

T⋅

⋅== πωπ

doba kmitu fyzického kyvadla (pro malé výchylky)

Doba kmitu je asovou periodou pohybu daného kmitavého pohybu, tj. dobou za kterou se opakuje

njaký (libovolný) pohybový stav - u kyvadla ji lze názorn popsat jako dobu pohybu kyvadla z jedné

krajní polohy do druhé a zpt .

asto se také používá veliina doba kyvu – jako doba, za kterou se uskutení jeden kyv, tj. pohyb

kyvadla z jedné krajní polohy do druhé :

gmlJ

2T

Tk ⋅⋅== π doba kyvu fyzického kyvadla (pro malé výchylky)

Nezapomeme, že uvádné vztahy platí pesn pouze v limit pro nekonen malé výchylky kyvadla. Pi

nenulových výchylkách se tyto doby odchylují, nap. :

pi amplitud kmit A = 1° ….. o 0,002 %

5° ..….. 0,05 %

10° …... 0,2 %

Pi praktických experimentech (mení) se doporuují maximální výchylky (amplitudy) do 5°.

Speciálním, mezním pípadem fyzického kyvadla je tzv. matematické kyvadlo , které tvoí malá kulika

hmotnosti m na velmi lehkém závsu délky l , teoreticky mžeme íci, že to je „hmotný bod na

nehmotném tuhém vlákn“ (viz obrázek).

14

0

m

G

ϕ

l

Všechny výše uvedené vzorce zstávají v platnosti a navíc mžeme lehce vypoítat moment setrvanosti

tohoto kyvadla (viz definici v první ásti této kapitoly) :

2N

1k

2kk lmRmJ ⋅=⋅=

=

Po dosazení do vztahu pro dobu kmitu dostaneme :

gl

2gml

lm2

gmlJ

2T2

⋅=⋅

⋅⋅=⋅

⋅= πππ

Dostáváme tak velmi zajímavý výsledek, že kmitání matematického kyvadla vbec nezávisí na

hmotnosti , ale je funkcí pouze délky jeho závsu :

gl

2T ⋅= π doba kmitu matematického kyvadla (pro malé výchylky)

Další veliinou (parametrem) v získaném vztahu je gravitaní tíhové zrychleni (gravitaní konstanta),

naskýtá se tak možnost jeho stanovení ze zmené doby kmitu a z délky závsu kyvadla.

Protože matematické kyvadlo je spíše abstraktní teoretický pojem a pokusy o jeho realizaci vedou

k výrazným nepesnostem, používá se k takovému mení gravitaní konstanty kyvadlo fyzické.

Základní nevýhodou fyzického kyvadla je ovšem to, že do vzorce pro dobu kmitu potebujeme znalost

momentu setrvanosti. To lze ale obejít následujícím zpsobem :

15

Jestliže máme k dispozici fyzické kyvadlo s momentem setrvanosti J (a dalšími parametry m a l ) a toto

kyvadlo má uritou dobu kmitu podle výše uvedeného vztahu :

gmlJ

2T⋅

⋅= π

Pak jist existuje njaké (a to jediné) matematické kyvadlo s takovou délkou (ozname ji lred ), že jeho

doba kmitu je stejná :

gl

2T red⋅= π

Z rovnosti tchto vztah pak plyne :

mlJ

lred ⋅= redukovaná délka fyzického kyvadla

Slovn : Redukovaná délka fyzického kyvadla je taková délka (myšleného) matematického kyvadla,

které má stejnou dobu kmitu jako dané fyzické kyvadlo.

Pi její znalosti bychom pak jist mohli ze zmené doby kmitu kyvadla urit gravitaní tíhové

zrychlení v daném míst. Redukovanou délku jakéhokoliv fyzického kyvadla lze jist principiáln

vypoítat podle uvedeného vzorce z hmotnosti kyvadla, z jeho momentu setrvanosti a ze vzdálenosti

tžišt od osy otáení. Takový výpoet by ale byl zatížen znanou chybou , plynoucí z pesnosti zmení

tvaru kyvadla, pesnosti jeho výroby a z vlastností použitého materiálu (homogenita), proto se stanovení

redukované délky provádí následujícím experimentálním postupem :

Pedstavme si, že u daného fyzického kyvadla ve vzdálenosti lred od osy otáení (na opanou stranu od

tžišt) vytvoíme druhou osu otáení – vznikne tzv. reverzní kyvadlo (kyvadlo se dvma osami). Pak je

možno dokázat, že doba kmitu kolem této druhé osy bude pesn stejná jako kolem osy první .

Pozn. : Pokuste se sami odvodit - ukažte, že redukovaná délka pro kmity kolem druhé osy je stejná jak pro první osu, pitom

použijte Steinerovu vtu.

Je tedy také zejmé, že k libovolné ose rotace fyzického kyvadla (krom osy jdoucí tžištm) vždy

existuje druhá „reverzní“ osa se stejnou dobou kmitu.

Každé fyzické kyvadlo (tj. každé tleso) má proto nekonen mnoho možných dvojic rotaních os se

stejnými dobami kmitu (doba kmitu jedné dvojice os se samozejm liší od doby kmitu jiné dvojice).

16

Práv tuto úvahu mžeme dobe experimentáln využít : když u daného fyzického kyvadla nalezneme

jakékoliv dv rzné osy , které mají stejné doby kmitu , pak jejich vzdálenost je rovná redukované délce

tohoto kyvadla.

Tyto hodnoty mžeme pak dosadit do vzorce pro matematické kyvadlo :

gl

2T red⋅= π

A z nj lehce vypoítáme gravitaní tíhové zrychlení :

2red

2

T

l4g

⋅=

π

Hledání dvou os se stejnými dobami kmit je ovšem také jist zatíženo mnohými nepesnostmi, nebo

musíme posunovat osy, kontrolovat jejich rovnobžnost a mit jejich vzdálenost (a doby kmitu).

Proto se v praxi postupuje tak, že tyto osy se pedem vyrobí a pesn se stanoví jejich nemnná

vzdálenost. Pi experimentu se pak mí pouze doby kmitu kolem obou os a mní se moment

setrvanosti kyvadla (njakou posuvnou ástí na kyvadle), až se nalezne shoda jejich dob kmitu (a

tato doba se spolu se vzdáleností os dosadí do uvedené rovnice - viz úloha ve fyzikálním praktiku).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(konec kapitoly) K. Rusák, verze 03/2006

rev. 03/2007 – pidán Doplnk 1 (Steinerova vta a Doplnk 2 (kyvadla)

1

Základní postuláty a Lorentzovy transformace Do základ své speciální teorie relativity (1905) položil Albert Einstein pouze dva jednoduché principy (postuláty) :

1) Všechny fyzikální zákony mají ve všech inerciálních soustavách stejný tvar (musí být invariantní)

2) Rychlost svtla ve vakuu je ve všech inerciálních soustavách konstantní

(bez ohledu na rychlost zdroje a pozorovatele) Je zejmé, že v klasické fyzice základní „elektromagnetické“ zákony - Maxwellovy rovnice - pi

pechodu z jedné inerciální soustavy do druhé zmní svj tvar (vždy jen napíklad ze stacionárních

náboj v jedné souadné soustav se v druhé soustav stanou proudy).

Matematicky pak takový pechod mezi dvma inerciálními soustavami popisují Galileovy transformace.

Je proto jasné, že porušení prvního Einsteinova principu zpsobují práv tyto transformaní vztahy.

r

m

x

y

z

x'

y'

z'

S

RO

Pipomeme si jejich tvar. V klasické mechanice jsme je odvodili za pedpokladu, že se jedna inerciální

soustava S’ pohybuje vi druhé inerciální soustav S posuvným (translaním) pohybem konstantní

unášivou rychlostí u

(a že v poátením nulovém ase ob soustavy splývají) :

2

tt

tuzz

tuyy

tuxx

z

y

x

=′⋅−=′

⋅−=′⋅−=′

Galileovy transformace

Jednoduchou derivací prvodi jsme také nalezli vztah mezi rychlostmi v obou inerciálních soustavách :

uvv −=′ skládání rychlostí (v klasické mechanice)

Je zejmé, že pi platnosti této rovnice je porušen i druhý Einsteinv princip . Kdyby se totiž

pohyboval svtelný paprsek v soustav S podél osy x rychlostí c , pak by v soustav S’ byla jeho

rychlost jiná než rychlost svtla :

cucc ≠−=′

Tedy : Pro splnní postulát speciální teorie relativity budou muset pechod mezi inerciálními

soustavami popisovat jiné transformaní vztahy.

Pokusíme se je nyní odvodit pímým použitím obou Einsteinových postulát pro nejjednodušší situaci

dvou inerciálních soustav - kdy unášivá rychlost je rovnobžná se spolenými x-ovými osami a

zbývající osy jsou rovnobžné (viz obr.) :

r

m

y

z

x ≡ x'

y'

z'S

RO

Potom budou mít klasické Galileovy transformace tvar :

3

tt

zz

yy

tuxx

==′=′

⋅−=′

Galileovy transformace (zjednodušené)

Tyto rovnice vlastn pedstavují matematicky nejjednodušší vztah linearity mezi promnnými

veliinami prostorových souadnic a asu, který zaruuje jednoznané piazení míst a as - tzv.

událostí - v obou soustavách.

Pedpokládejme, že nový vztah pro x-ové souadnice také bude vyjadovat lineární vztah mezi

nimi, ale s jiným koeficientem :

)tux(kx ⋅−⋅=′

Transformaní vztah je také fyzikálním zákonem , proto podle prvního Einsteinova principu musí mít

obrácený transformaní vztah (pro druhou soustavu) stejný tvar se stejným koeficientem (pouze

s opaným znaménkem unášivé rychlosti, nebo tato rychlost je z hlediska druhé soustavy, tj. S vi S’

– také opaná) :

)tux(kx ′⋅+′⋅=

Pro zmnu rovností u souadnic ostatních dvou os , kolmých na smr unášivé rychlosti, nebyl nalezen

žádný fyzikální dvod, proto bude stále platit :

zz

yy

=′=′

asové souadnice však rozhodn stejné nebudou . Jestliže totiž dosadíme za árkované x z první

rovnice, dostaneme :

tuktukxktuk)tux(k)tu)tux(k(kx ′⋅⋅+⋅−=′⋅⋅+⋅−=′⋅+⋅−= 222

Vzniklá rovnice umožuje vytvoit zjevn netriviální pevodní vztah mezi asy v obou soustavách :

x)(tktukk1 2

⋅+⋅=′⋅

−

V následujícím kroku použijeme druhý Einsteinv postulát o nemnné rychlosti svtla. Využijeme také

již díve uvedený pedpoklad, že ob soustavy jsou totožné na poátku odet obou as , tj. pro :

4

0tt =′=

Nech v tomto ase nula v míst jejich spolených poátk zableskne výbojka a v obou soustavách je

pak mena rychlost svtla , které se podle druhého principu musí šíit vždy stejnou rychlostí - a

stejnou ve všech smrech - proto v každé soustav bude pozorována stejná “svtelná koule” - tj. kulová

vlnoplocha elektromagnetického vlnní (viz. obr.).

SS =

Když tedy bude v soustav S zmen v njakém ase polomr této kulové vlnoplochy - což je vlastn

dráha svtla za tento as na libovolném paprsku, vycházejícím z poátku, napíklad i na ose x – pak

musí platit :

tcx ⋅=

Protože v soustav S’ je rychlost svtla stejná , musí pro árkované souadnice platit analogicky :

tcx ′⋅=′

Do této rovnice dosadíme z pedchozích vztah :

)x)(tk(c)tux(kukk ⋅+⋅⋅=⋅− ⋅

− 21

Upravíme pro výpoet x-ové souadnice :

tkutkc)ck(xukk ⋅⋅+⋅⋅=⋅−⋅ ⋅

− 21

A dostaneme :

5

)ck(

k

)ck(

tkutkc

uk

2k1

cku

uk

2k1tcx

⋅−

+

⋅−

⋅⋅+⋅⋅

⋅−

⋅

⋅−

⋅⋅==

Porovnání získané rovnice se vztahem pro polomr svtelné koule v soustav S nám dá podmínku pro

velikost zlomku :

121=

⋅−

+

⋅−

⋅

)ck(

k

ukk

cku

Z ní pak postupn dostáváme :

k/ckkukk

cku −⋅−=+ ⋅

−⋅ 21

kuc/cukk1

cku 2

⋅⋅−= ⋅−⋅

2222222 1 cckc)k(uk −⋅=⋅−−=

A vypoítáme neznámý koeficient :

2

222

2

1

12

c

uucck

−−==

Po odmocnní :

22

2

2 11

1

1cu

c

uk

−−==

Po dosazení tohoto výsledku do pedchozích rovnic pro x’ a t’ dostaneme transformaní vztahy mezi

inerciálními soustavami ve speciální teorii relativity :

22

2

22

cu1

cxut

cu1

tux

t

zz

yy

x

−

⋅−

−

⋅−

=′

=′=′

=′

Lorentzovy transformace

6

Jak jsme již uvážili, transformaní vztahy pro obrácený pevod souadnic musí být formáln úpln stejné,

liší se pouze znaménkem unášivé rychlosti :

22

2

22

cu1

cxut

cu1

tux

t

zz

yy

x

−

′⋅+′

−

′⋅+′

=

′=′=

=

Lorentzovy transformace inverzní

Tyto transformaní vztahy byly prvn objeveny Kramerem (v ponkud odlišném tvaru) v 80. letech 19.

století pi rozboru vlnové rovnice, pak je odvodil Holland (1900), když zkoumal podmínky invariance

Maxwellových rovnic v inerciálních systémech a intenzivn je používal Lorentz pi rozvíjení své

elektronové teorie elektromagnetických jev v pohybujících se tlesech (1904) a také Poincare (1906).

Lorentz (Hendrik Antoon) však z tchto transformaních vztah nevyvodil žádné zásadní závry, snažil

se je vysvtlit v rámci klasické fyziky . Za jedinou správnou inerciální soustavu , s jedin správnými

souadnicemi, považoval stále klidový absolutní prostor , ve kterém platí základní tvar Maxwellových

rovnic. V ostatních inerciálních soustavách, které se pohybují vi absolutnímu prostoru, jsou pak

souadnice nesprávné , zkreslené zkracováním mítek a zpomalováním hodin (které matematicky

plynou z transformaních vztah).

Zásadní krok vped udlal až Albert Einstein , když zavrhnul výlunost absolutního prostoru a asu a

pokládal všechny inerciální soustavy za rovnocenné pro (nejen) elektromagnetické zákony a

souadnice v tchto soustavách považoval za objektivní a správné .

Vzájemná souvislost prostorových a asových souadnic a jejich závislost na pohybovém stavu

souadného systému - pak pro Einsteina znamenala zcela nové pojetí prostoru a asu , které

samozejm ovlivnilo zásadním zpsobem fyzikální obraz celého našeho svta.

Díve než se budeme obdivovat úžasným relativistickým efektm, seznámíme se s základními

používanými pojmy teorie relativity a všimneme si nkolika pímých dsledk Lorentzových

transformací :

Soustava souadnic je samozejm pedevším matematický pojem , který jsme poznali nejprve

v analytické geometrii jako (takka) nehmotný systém narýsovaných pímek a mítek.

Všechny fyzikální veliiny poínaje délkou, asem, atd. jsou však veliinami mitelnými , tj. musíme o

nich vždy uvažovat v souvislosti s realizací jejich zmení .

7

Fyzikální soustava souadnic je tedy zejm njaká mechanická soustava micích tyí jist

nezanedbatelné hmotnosti , protože bude asi obsahovat mnoho dalších konstrukních prvk jako rzné

vzpry a píky, které musí zajistit, aby se micí tye neprohýbaly a aby svíraly pedepsané úhly.

Dále musí souadnicová soustava obsahovat pesné hodiny pro mení asu, jak dále uvidíme, ne pouze

jedny. Nesmíme zapomenout na zajištní pracovních a životních podmínek pro pítomnost njakého

aktivního initele (optimáln asi lovka), který provádí vlastní mení – tzv. pozorovatel .

Fyzikáln tedy musíme soustavu souadnic chápat jako (dosti) hmotné tleso , vtšinou tvoící nedílný

celek s njakým jiným tlesem, které chceme sledovat (pedstavte si její realizaci na Zemi, ve vlaku,

v letadle, na oblíbené raket …).

V souadné soustav (nepiklad S ) zmené prostorové souadnice x, y, z a as t pak vypovídají o

tom, že na uritém míst a v uritém ase se nco stalo - je to tzv. událost v soustav S . Všechny tyi

souadnice jsou principiáln stejn dležité, proto se vtšinou formáln matematicky spojují do

tyrozmrného asoprostoru (x, y, z, t).

Uvažme ješt jednu okolnost pi stanovení (zmení) njaké události v soustav S : Jak prostorové

souadnice, tak i as musejí být opravdu zmeny v této soustav , tj. pozorovatel musí odeíst souadnice

na jejích micích tyích a také as na hodinách soustavy.

Co to je ale za hodiny ? Mžeme si napíklad pedstavit, že si pozorovatel pinese s sebou na místo

sledované události svoje hodinky a tam na nich odete as, jak vlastn všichni bžn v život dláme ?

V teorii relativity to ale nelze udlat !

Podle poslední rovnice Lorentzových transformací totiž asový údaj závisí na unášivé rychlosti soustavy.

Kdyby tedy pozorovatel penášel své hodiny nenulovou rychlostí po soustav S , už by to nebyly hodiny

této soustavy - patily by do soustavy jiné.

Vlastní hodiny každé souadné soustavy (tedy i každého tlesa), které mají mit její vlastní as , musí

být proto stále v klidu vi této soustav - musí být stále na stejném míst této soustavy.

V teorii relativity asto sledujeme nkolik událostí v rzných místech zvolené soustavy a pitom

urujeme jejich asy – tedy podle pedchozích úvah v míst každé události potebujeme mít pedem

pipravené vlastní hodiny.

V každé soustav souadnic musí tedy existovat ne jedny hodiny, ale celý soubor vlastních hodin ,

vhodn rozmístných v místech oekávaných událostí, stejn rychle jdoucích a samozejm vzájemn

synchronizovaných .

8

Píprava takového souboru se pedpokládá dvma možnými zpsoby :

a) Všechny vhodné hodiny (jdoucí stejn rychle) mžeme shromáždit na jednom míst soustavy,

synchronizovat je (seídit na stejný údaj) a nekonen pomalu je posunout na potebná místa. To je

jist teoreticky vynikající, ale pro skutenou realizaci bychom urit použili druhý zpsob :

b) Nebo vhodné hodiny naped rozmístíme na potebná místa a potom je synchronizujeme s njakými

klidovými hodinami soustavy (aspo jedny jist v soustav musejí být) - s využitím konstantní

rychlosti svtla ( tj. elektromagnetického signálu) a zmené délky jeho dráhy.

Všimnme si dále, že z Lorentzových transformací pímo plyne (aby ml zlomek smysl) zásadní

podmínka pro unášivou rychlost souadné soustavy:

cu ≤

Každá soustava je ale hmotné tleso a naopak každé tleso mže být souadnou soustavou, proto tuto

nerovnost považujeme za základní podmínku na rychlost tlesa ve speciální teorii relativity :

Ze tvaru Lorentzových transformací je také ihned vidt jejich vynikající vlastnost - že pro nízké rychlosti

(ve srovnání s rychlostí svtla) pecházejí na klasické Galileovy transformace :

tt

tuxx

cucu

cxut

cucu

tux

→=′

⋅− →=′

<<−

⋅−

<<−⋅−

22

2

22

1

1

Pro takové nízké rychlosti tedy v bžném život a v bžných technických aplikacích mžeme dále

používat klasickou Newtonovu mechaniku, jejíhož píjemného souladu s našimi intuitivními pedstavami

o okolním svt si pak už jist budeme velmi vážit.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

konec kapitoly K. Rusák, verze 03/2006

rev. 03/2007

rychlost svtla ve vakuu je mezní rychlostí pohybu hmotných tles

1

asoprostorové „paradoxy“

Lorentzovy transformace , nové pevodní vztahy mezi souadnicemi inerciálních systém, vetn asu,

pinášejí s sebou také nové „asoprostorové“ vztahy , které odporují dosavadní lidské zkušenosti s

„makrosvtem“ kolem nás – a v tomto smyslu tak opravují použití pojmu paradoxy .

Tyto asoprostorové vztahy však pravdiv a objektivn popisují prostor a as „za hranicemi“ našeho

lidského svta, nemají tedy nic spoleného s fikcí, zdáním, nebo omyly … , jsou pouze projevem díve

neznámého „relativního“ charakteru prostorových a asových vlastností materiálních objekt.

Všechny diskutované asoprostorové jevy jsou popisovány ve zjednodušeném uspoádání dvou

inerciálních soustav, definovaném v minulé kapitole - kdy ob soustavy v nulovém ase splývají a

unášivá rychlost soustavy S’ je rovnobžná se spolenými x-ovými osami (viz obr.) :

y

z

x ≡ x'

y'

z'

O

S

1) Kontrakce (zkrácení) délek

Pedstavme si njaké tleso - napíklad ty, které je v klidu v inerciální soustav souadnic S . Jev

kontrakce se bude týkat pouze x-ových souadnic, proto je na obrázku z celé soustavy znázornna pouze

tato osa a ty je na ní nakreslena jako nehybná úseka délky L .

Souadnice koncových bod x1 a x2 jsou jist konstanty nezávislé na ase , kdy jsou zmeny

pozorovatelem v soustav S , a pro délku tye zejm platí :

12 xxxL −== ∆ délka tye v S – klidová (vlastní) délka

Nyní uríme délku tye ve druhé inerciální soustav S’, která se jako obvykle pohybuje unášivou

rychlostí u . Osa x’ této soustavy je podle pedchozího obrázku geometricky totožná s osou x , je však

2

zakreslena opticky oddlen , abychom si dobe uvdomili její pohyb uvedenou rychlostí vzhledem k ose

x (viz obr.).

Sx

u

L

( )x1 , 'x '

't ( )x2 , ' 't

x1 x2

S'

Pro stanovení délky v soustav S’ je opt nutno zmit souadnice koncových bod tye na árkované

ose , tj. x1’ a x2’ a pro délku tye musí (podle 1. postulátu) opt platit stejný vztah :

12 xxxL ′−′=′=′ ∆ délka tye v S’

Protože se ale osa x’ vi tyi pohybuje , tyto souadnice se s asem neustále mní – a proto je nutné,

aby byly zmeny souasn - tedy v jednom stejném okamžiku (ase) t’ .

Pro výpoet souadnic koncových bod pak s výhodou využijeme inverzní Lorentzovy transformace,

které obsahují árkovaný as (nyní tedy stejný) :

222

221

cu1

tux2

cu1

tux1

x

x

−

′⋅+′

−

′⋅+′

=

=

A dosadíme do prvního vztahu, pro délku tye v soustav S :

222212

221

222

cu1L

cu1

xx

cu1

tux

cu1

tux12 xxL

−′

−

′−′

−

′⋅+′

−

′⋅+′ ==−=−=

Výraz pod odmocninou je vždy menší než jedna, Proto je zmená délka tye v soustav S’ , pohybující

se vi tyi, vždy menší než klidová (vlastni) délka :

LcuLL <−⋅=′ 221 kontrakce délky

Ve shod s Einsteinem považujeme výsledek mení za existující objektivní vlastnost tlesa (tye),

tedy konstatování „délka tye je namena 45 cm“ je ekvivalentní vt „délka tye je 45 cm“ .

3

Jestliže si uvdomíme relativnost klidu a pohybu (tedy, že také ty - soustava S - se pohybuje vi

soustav S’ ) a pedstavíme si sebe jako pozorovatele v S’ , mžeme konstatovat obecnjším zpsobem,

bez konkrétního oznaování soustav :

Délka pohybujícího se tlesa je (namíme ji) vždy menší než jeho délka

klidová - tj. zmená v klidové soustav tlesa.

Dále uvažujme o rozmrech tlesa na osách kolmých na smr pohybu. Pedstavíme si proto naši ty

položenou na osách y a z a aplikujeme Lorentzovy transformace :

zzzzzz

yyyyyy

1212

1212

′=′−′=−=′=′−′=−=

∆∆∆∆

Vidíme, že na tchto osách ke zmnám délek nedochází. Mžeme tedy ješt doplnit pedchozí

konstatování :

Kontrakce délek nastává jen ve smru pohybu tles.

Poznamenejme na závr, že v našich úvahách bychom mohli také používat pojem událost , definovaný v

kapitole „Základní postuláty” :

Mení souadnic koncových bod tye na ose x’ by tedy v tomto smyslu byly dv souasné události

na dvou rzných místech této osy - o asoprostorových souadnicích ( x1’, t’ ) a ( x2’, t’ ) - které by

zejm vyžadovaly použití dvou vlastních hodin soustavy S’ (a také dvou pozorovatel).

Takové dosti “tžkopádné” mení by asi mohlo být za uritých podmínek nahrazeno napíklad

fotografováním tlesa, které by jist zvládl jeden pozorovatel s jednmi hodinami

Pozn. : Fotoaparát by asi musel být umístn pesn na kolmé centrální ose tye, aby vzdálenosti ke koncovým bodm byly

stejné - tj. aby byla i stejná doba chodu svtelných paprsk do objektivu).

Proces fotografování pak pibližn souhlasí s obyejným pozorováním lidským okem, tzn. pohybující se

tleso bychom “vidli zkrácené“ ve smru jeho pohybu.

Nelaskavý tená na tomto míst asi projeví zklamání z teorie relativity, vždy klasická fyzika pináší

asto výraznjší prostorové efekty (viz “ty do vody ponoená zdá se býti zalomená” , apod.), pokraujte

ale prosím ve tení, situace se znan vylepší

4

2) Dilatace (prodloužení) asu

Pedstavme si nyní, že na njakém obecném míst (x, y, z) soustavy S probhne uritý dj (proces),

který má dobu trvání t . Jestliže oznaíme jako t1 as píslušný zaátku tohoto dje a t2 as jeho

konce , pak si mžeme uvdomit, že jsme vlastn definovali dv události v asoprostoru, které se staly

na tomto jednom míst - tzv. soumístné události v soustav S (pedpokládejme, že tyto události se

staly na x-ových osách - potom ostatní dv souadnice jsou nulové v obou soustavách – nebudeme je

nezapisovat) :

( x, t1 ) …… zaátek dje – první událost v soustav S

( x, t2 ) …… konec dje – druhá událost v soustav S

asy tchto událostí jsou tedy zmeny na jednom míst soustavy S , tj. na jednch nehybných hodinách

H v tomto míst. Tím je zarueno, že se jedná skuten o vlastní as soustavy S . Pro dobu trvání dje,

jinak eeno pro asový interval mezi tmito událostmi, mžeme napsat :

12 ttt −=∆ klidová doba trvání - asový interval v soustav S

Nyní se pokusíme urit, jaký asový interval mezi tmito událostmi namí pozorovatel ve druhé

pohybující se soustav S’ . Když oznaíme asy tchto událostí t1‘ a t2‘ , bude analogicky :

12 ttt ′−′=′∆ doba trvání - asový interval v soustav S’

Na obrázku jsou z obou soustav zakresleny opt pouze oddlené x-ové osy. Pro názornost si mžeme

pedstavit soustavu S napíklad jako nádraží a soustavu S’ jako projíždjící vlak. Dv soumístné

událostmi na nádraží (v S ) jsou pak napíklad rozsvícení zeleného svtla na semaforu a následné

rozsvícení erveného svtla na stejném semaforu (viz obr.) .

Protože se osa x’ (vlak) pohybuje, jsou místa tchto událostí v S’ obecn rzná, tj. x1’ a x2’

(napíklad rozsvícení zeleného svtla na semaforu se stane na úrovni poátku vlaku a když se rozsvítí

svtlo ervené, je semafor na úrovni konce vlaku ) - v soustav S’ tedy vznikly dv nesoumístné

události :

( x1’, t1‘ ) …… první událost v soustav S’

( x2’, t2‘) …… druhá událost v soustav S’

5

0'

0'

0

0 x

x '

x '

x

u

u

S - nádraží

H

H2'

H2'

H1'

H1'

S - nádraží

S - vlak '

S - vlak '

1. událost

2. událost

( )x , t2

( )x2 , ' 't2

(x , 1t )

(x1 1 , ' 't )

H

místo událostí v S

místa událostí v S'

místo událostí v S

Stanovení asu každé událostí ovšem vždy vyžaduje nehybné hodiny na míst této událostí. V soustav

S’ tedy potebujeme dvoje synchronizované hodiny ( H1’ na míst x1’ a H2’ na míst x2’ ) ,

zatímco v soustav S staí pouze jedny hodiny (H na míst x ) (viz obr.) .

Pro asové souadnice použijeme dále Lorentzovy transformace, nyní se bude hodit jejich základní tvar,

který dosadíme do vztahu pro árkovaný asový interval :

222212

22

21

22

22

cu1

t

cu1

tt

cu1

cxut

cu1

cxut12 ttt

−−

−

−

⋅−

−

⋅− ==−=′−′=′ ∆∆

Výraz pod odmocninou je vždy menší než jedna, proto dobu trvání njakého dje - tj. asový interval

mezi dvma soumístnými událostmi, namíme v pohybující se soustav S’ vždy vtší než v

klidové soustav S :

ttcu

t ∆>=′∆−

∆221

dilatace asu

6

Jestliže si opt - jako u kontrakce délek - uvdomíme relativnost klidu a pohybu a pedstavíme-li si sebe

jako pozorovatele ve vlaku, pak mžeme oprávnn konstatovat, že nádraží se pohybuje unášivou

rychlostí vi nám (vlaku), a dilataci asu lze tedy také popsat obecnji, bez konkrétního oznaování

soustav :

Dobu trvání njakého dje probíhajícího na pohybujícím se tlese (tj. asový

interval mezi dvma soumístnými událostmi na tomto tlese) namíme vždy vtší než

v klidové soustav tlesa.

V uebnicích se velmi asto doba trvání dje aplikuje na chod vlastních hodin soustavy - pedpokládá se,

že asový interval t odpovídá jednomu „tiknutí“ hodin (tj. nap. dob kmitu mechanického

kyvadla, i period elektrických kmit) – pak prodloužení tohoto intervalu znamená vlastn

zpomalení chodu hodin. Tedy :

Hodiny v pohybující se soustav jdou (tikají) z hlediska klidové soustavy pomaleji.

Jev dilatace asu je dnes možno považovat za spolehliv ovený na mnoha experimentech, napíklad :

a) Záení pohybujících se atom

Jestliže atomm (molekulám, iontm) dodáváme zvnjšku energii (zahátím, nárazy jiných ástic,

záením) zanou tyto atomy samy vyzaovat elektromagnetické vlnní , které má pesné a stálé

frekvence, dané pouze energetickými hladinami elektronového obalu atomu. Periody tohoto vlnní pak

dokonale odpovídají definici vlastní doby trvání (je to asový interval mezi opakujícími se hodnotami –

napíklad mezi maximálními hodnotami elektrické intenzity ve vlnní).

Záící atomy, jako relativn lehké ástice, lze snadno uvést do pohybu (napíklad také pouhým zahátím)

a klidový laboratorní detektor pak musí podle vztahu pro dilataci asu pijímat vlnní, které bude mít

zvtšenou periodu , tj. také vtší vlnovou délku (viz známý vztah T/cfc =⋅=λ ).

Vlnová délka bude proto ve spektru posunutá k vyšším hodnotám, pro oblast viditelného svtla je to

smrem k ervené barv – tak vzniká tzv. “rudý posuv” spektrálních ar .

Prokazatelné mení bylo vykonáno již v roce 1938.

b) Doba života pohybujících se mikroástic

Mediáln známý je pípad ástic zvaných mezony µµµµ , které se dají dobe pipravit v laboratoích jako

tém klidové ástice s dobou života 2,2 . 10-6 sec. Vznikají ale také psobením kosmického záení v

7

horních vrstvách atmosféry (více než 10 km nad zemí) jako superrychlé ástice (0,9994.c) a jsou potom

bez problém detekovány na povrchu Zem.

Bez existence teorie relativity by tak ale vznikla velká záhada , nebo i kdyby se µ -mezony pohybovaly

pímo rychlostí svtla, za dobu svého života by mohly urazit maximáln dráhu :

m660102,2103tcs 68 =⋅⋅⋅=⋅= −

a nemly by tedy žádnou šanci dorazit až k 10 kilometr vzdálenému pozemskému detektoru.

Jejich doba života je však podle výše uvedeného výkladu jejich vlastní asový interval , protože je

zmená v jejich klidové souadné soustav, která se nyní ale spolu s nimi pohybuje vi Zemi vysokou

rychlostí 0,9994 c .

Doba života mezon v pozemské soustav se proto podle vztahu pro dilataci asu výrazn zvtší (asi

ticetinásobn) na hodnotu :

.sec105,63t 6

)9994,0(1

102,22

6 −−

⋅ ⋅==′−

∆

která je již více než dostatená pro pekonání uvedené vzdálenosti k povrchu Zem.

c) Pímé mení asu na pohybujících se tlesech

Ohromující pesnost tzv. atomových hodin (10-13 sec.) umožnila už v roce 1977 pímé ovení dilatace

asu. Pitom se údaj stacionárních hodin na Zemi porovnal s údajem hodin v letadle , které obletlo

zemkouli (bylo to bžné dopravní letadlo). Pi jeho rychlosti zdaleka nedosahující 1000 km/hod. stail

dokonce i let podstatn kratší, aby mohlo být spolehliv konstatováno, že hodiny v letadle se zpožují –

tedy jdou pomaleji oproti pozemským hodinám o nkolik desítek nanosekund (10-9 sec.).

Vzorec pro dilataci asu je proto dnes tímto zpsobem oven s pesností ádu desetin procenta (bylo

ovšem nutno odseparovat asovou diferenci podle obecné teorie relativity)

Zdá se, že takové pímé mení potvrzuje pedstavy zejména autor sci-fi o kosmickém cestování, kdy

totiž kosmonaut po návratu zjistí, že jeho souasníci zestárli na Zemi mnohem více nežli on, pípadn že

již ani nežijí.

Laskavý tená se ovšem na tomto míst jist dostane do rozpak - vždy pece platí relativnost klidu a

pohybu - kosmonaut tak mže bez rozpak tvrdit, že ne on, ale Zem od jeho rakety “odlétla” a pak se

vrátila a tak že tedy on musí být starší než “pilétnuvší” pozemšané – tak vzniká tzv. paradox dvojat .

ešení tohoto problému není zcela jednoduché …

Je zejmé, že hrátky s asem, které v klasické fyzice nemají obdoby, jsou daleko efektnjší než zmny

délek. A to ješt zdaleka není všechno - v dalším výkladu objevíme problém nesrovnateln dležitjší než

spor o to, kdo bude staešinou :

8

3) Relativnost souasnosti

V prvním odstavci o kontrakci délek jsme již poznali dv souasné události, které nastaly na rzných

místech, tj. souasné nesoumístné události . asoprostorové souadnice takových událostí mžeme v

soustav S zapsat (pedpokládáme opt události na x-ových osách, nepíšeme tedy ostatní nulové

souadnice) :

( x1, t1 ) ……… událost . 1 v soustav S

( x2, t2 ) ..……. událost . 2 v soustav S

A souasnost tchto událostí lze potom charakterizovat rovností jejich as , jinak také nulovým

asovým intervalem :

21 tt = 0ttt 12 =−=∆

Nyní si položíme otázku, jaké jsou tyto události ve druhé soustav S’ , zda jsou také souasné ?

Napíšeme nejprve obecn jejich souadnice :

( x1‘, t1‘ ) ………. událost . 1 v soustav S’

( x2‘, t2‘ ) ………. událost . 2 v soustav S’ A prozkoumáme souasnost událostí tak, že s využitím Lorentzových transformací vypoítáme jejich

asový interval :

2212

2

2212

212

22

211

22

222

cu1

)xx(cu

cu1

)xx(cutt

cu1

cxut

cu1

cxut12 ttt

−

−−

−

−−−

−

⋅−

−

⋅− ==−=′−′=′∆

Protože pouze první ást itatele výsledného zlomku je nulová, dostáváme celkem obecn nenulový

výraz :

0ttt22

122

cu1

)xx(cu12 ≠=′−′=′

−

−−∆

V soustav S’ již tedy události nejsou souasné , jedna z nich nastane díve než druhá. Která z nich to

bude, záleží na místech událostí a. na volb soustavy S’ (smru její unášivé rychlosti) :

Napíklad pro x2 - x1 > 0 a u > 0 dostaneme (viz vzorec) : t2’ - t1’ < 0

a tedy t2’ < t1’ , nebo-li jako první se stane událost . 2

A jist pro u < 0 to bude opan, nebo-li první bude událost . 1

9

V rzných souadných soustavách mže tedy jako první nastat kterákoliv z pvodn souasných událostí.

Lze proto obecn konstatovat :

Souasnost nesoumístných událostí je relativní, tj. existuje pouze v jedné

souadné soustav - v jiných soustavách pak tyto události souasné nejsou.

Z výsledného vztahu ovšem vidíme, že existuje také možnost , aby byl asový interval vždy nulový - tj.

aby události byly vždy souasné - tak tomu bude jedin za platnosti podmínky :

x1 = x2 ,

nebo-li že ob události se stanou na jednom míst , tedy :

Pouze souasnost soumístných událostí je absolutní - tj. tyto události jsou

souasné v každé souadné soustav.

Ten nejhorší problém už vlastn naznaují pedchozí rovnice, zaslouží si však být uveden zcela

samostatn :

4) Obrácení asového sledu událostí

Prozkoumejme nakonec dv nesouasné nesoumístné události v soustav S . Jejich asoprostorové

souadnice budou opt obecn :

( x1, t1 ) ………. událost . 1 v soustav S

( x2, t2 ) ………. událost . 2 v soustav S

A nesouasnost událostí lze potom charakterizovat nerovností jejich as , jinak také nenulovým

asovým intervalem :

21 tt ≠ 0ttt 12 ≠−=∆

Pedpokládejme napíklad, že jako první nastane událost . 1 , tj. že bude platit :

21 tt < tedy také 012 >−=∆ ttt

Pro asový interval v soustav S’ pak z Lorentzových transformací dostaneme :

2212

212

22

211

22

222

cu1

)xx(cu)tt(

cu1

cxut

cu1

cxut12 ttt

−

−−−

−

⋅−

−

⋅− =−=′−′=′∆

10

První ást itatele výsledného zlomku již není nulová , ale podle pedpokladu je to kladné íslo, druhý

len pak zejm mže být kladný nebo záporný. Celý zlomek tedy mže být jak kladný, tak i záporný

(v závislosti na smru unášivé rychlosti soustavy S’ a na místech událostí).

Práv druhá možnost je vysoce alarmující. Jestliže bychom totiž dostali záporný výsledek :

0ttt 12 <′−′=′∆ tedy také 12 tt ′<′

Pak to znamená, že existuje souadná soustava, ve které nejprve nastane událost . 2 a teprve pak

událost . 1 – tedy že asový sled událostí je v této soustav opaný .

asový sled událostí obecn není absolutní - tj. existuje soustava souadnic,

ve které se události stanou v opaném poadí.

Toto šokující zjištní je samozejm pímým dsledkem pedchozí relativnosti souasnosti a vyvolalo

zejména mezi filozofy veliký rozruch.

Obecn je totiž možno rozlišit dv kategorie událostí :

a) Události bez vzájemného vztahu .

b) Události s kauzálním (píinným) vztahem - kdy první událost je píinou a druhá událost je

jejím dsledkem. Pitom doposud ješt nikdo nepopel princip kauzality , který tvrdí, že vždy

píina pedchází dsledku.

Celý vývoj svta , jeho historie, je vlastn neustálý, spojitý sled píin a jejich následk. Pak se ovšem

jako zcela absurdní jeví pedstava, že by v njaké soustav nejprve nastal dsledek a teprve potom by se

udála jeho píina …….

Skuten by tedy historie mohla jít nkde pozpátku ?

Prozkoumejme tento problém. Nejprve si položme otázku, zda je možno kauzalitu popsat matematicky ?

Kupodivu je odpov kladná :

Nutným pedpokladem toho, aby události .1 byla píinnou a událost .2 byla jejím dsledkem , je

bezesporu to, aby z místa x1 první události do místa x2 události druhé dorazila njaká informace

o tom, co se v prvním míst stalo.

Teprve potom totiž mže nastat ve druhém míst njaká adekvátní reakce na první událost - napíklad

když v Sarajevu zastelili Ferdinanda, tak teprve poté, až se to ve Vídni dozvdli, mohl císa kvli tomu

vyhlásit válku.

11

Uvažme, že nejrychlejší možný penos informace se realizuje elektromagnetickými vlnami rychlostí

svtla . Potom za pedpokladu, že vzdálenost obou míst je x2 - x1 ( pedpokládejme > 0 ), bude

nejkratší možná doba penosu informace :

cxx 12 −

A teprve po uplynutí této doby mže nastat nco, co bude souviset s první událostí - co bude na ni

njak reagovat - jinak eeno bude jejím dsledkem.

asový rozdíl mezi kauzálními událostmi musí být tedy vtší než minimální doba penosu informace

mezi místy tchto událostí :

cxx 12

12 tt −− > podmínka kauzality

Pravou stranu mžeme ješt zmenšit vynásobením íslem menším než jedna a nerovnost se nezmní :

cu

cxx 12

12 tt ⋅> −−

A pevedeme na levou stranu :

012cu )xx(tt 212 >−⋅−−

Dostali jsme tak itatel zlomku ze vztahu pro asový interval nesoumístných událostí v árkované

soustav a protože jmenovatel je také kladný, bude tento asový intervalu také vždy vtší než nula , tj.

první bude opt událost . 1 :

0ttt22

122

12

cu1

)xx(cu)tt(12 >=′−′=′

−

−−−∆

O vývoj svta si tedy v teorii relativity nemusíme dlat starosti, asová posloupnost kauzáln spojených

událostí se nemže nikdy obrátit.

Speciální teorie relativity není v rozporu s principem kauzality

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

konec kapitoly K. Rusák, verze 03/2005

rev. 03/2007

20.6.2007 - oprava nerovností na str. 9

1

Relativistická energie

V klasické mechanice jsme se podrobn seznámili s obecným pojmem (mechanická) energie - jako

schopnosti tlesa vykonat mechanickou práci.

Tato schopnost byla jednoznan spojena se stavem tlesa – bu s jeho polohou ( potenciální energie ),

nebo s jeho pohybovým stavem, ureným velikostí rychlosti ( kinetická energie ).

Velikost energie pak byla stanovena jako velikost vykonané práce tlesem pi jeho návratu do

definovaného poáteního stavu - a byla také rovna pvodn vykonané práci (vnjší silou) pi zmn

stavu tlesa z poáteního na stav konený (konenou polohu, nebo rychlost).

Pro konzervativní silové pole jsme pak odvodili jeden z nejzákladnjších zákon klasické fyziky (krom

Newtonových ) – zákon zachování celkové mechanické energie .

Budeme jist právem oekávat, že smysl tak zásadní fyzikální veliiny, jako je energie, se ve speciální

teorii relativity nezmní.

Pokusme se proto nyní vypoítat kinetickou energii tlesa (hmotného bodu) hmotnosti m , jako práci

(njaké síly F

), která je (v dané inerciální souadné soustav) potebná pro uvedení tlesa z klidu do

pohybu rychlostí v .

Tato práce se samozejm koná na urité dráze mezi poátení bodem 1r

a koncovým bodem 2r

, víme

však, že v pípad kinetické energie velikost vykonané práce nezávisí ani na tvaru dráhy, ani na jejích

krajních bodech , ale je dána pouze poátením a konených pohybovým stavem (poátení rychlost je

nulová , konená rychlost má velikost v) :

⋅=⋅=⋅==v

0

v

v

r

rkin rdFrdFrdFAE

2

1

2

1

Dosame za sílu z relativistické pohybové rovnice a užijme dále definici rychlosti :

⋅=⋅=⋅=⋅=v

0

v

0dtrd

v

0dtpd

v

0kin vpdpdrdrdFE

Pi pedpokládané existenci kinetické energie nesmí tato práce záviset na tvaru dráhy, proto zvolme dráhu

tak, aby umožnila co nejjednodušší výpoet (ale nebude to samozejm dokonalý dkaz) - takovou dráhu

vytváí jist pímoarý pohyb hmotného bodu, pi kterém platí :

vpd ↑↑

2

Pak má skalární souin v integrálu jednoduchý tvar a mžeme také lehce stanovit velikost pírstku

hybnosti (diferencujeme souin m . v ) :

dvvmvdmv)dvmvdm(v)mv(dvdpvpd 2 ⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅=⋅=⋅=⋅

Dostáváme tedy pro kinetickou energii :

⋅⋅+⋅=⋅=vv

kin )dvvmvdm(vpdE0

2

0

K úprav druhého lenu v integrálu použijeme vztah pro okamžitou hmotnost, který byl odvozen

v pedešlé kapitole „Relativistická dynamika“ :

22o

cv1

mm−

=

Tuto rovnici umocníme a pevedeme na jednoduchý zlomek :

22

22o

22

2o

vc

cm

cv1

m2m−⋅

−==

Po vynásobení jmenovatelem a pevedení na levou stranu dostaneme :

22o

222 cm)vc(m ⋅=−⋅

Vzniklou rovnici nyní diferencujeme (nebo lze udlat derivaci podle asu a potom vynásobit

diferenciálem asu), pitom použijeme znalosti o derivaci souinu dvou funkcí, složené funkce a o

derivaci konstanty (pravá strana) :

0)dvv2(m)vc(dmm2 222 =⋅−⋅+−⋅⋅

Bžnou úpravou rovnice dále dostáváme :

)vc(dmdvvm 22 −⋅=⋅⋅

A výsledek mžeme dosadit do vztahu pro kinetickou energii :

⋅=−⋅+⋅=⋅⋅+⋅=v

0

v

0

2222v

0

2kin cdm)vc(dmvdm)dvvmvdm(E

Po vytknutí konstantní rychlosti svtla pak vznikne velmi jednoduchý výraz :

⋅=v

0

2kin dmcE

3

V klasické fyzice by takový vztah – integrál pírstk hmotnosti tlesa na njaké dráze - byl velmi

podivný - a byl by samozejm nulový , nebo hmotnost tlesa je v klasické fyzice konstantní veliinou.

V teorii relativity už ale známe závislost hmotnosti tlesa na rychlosti (jako rostoucí funkci této

rychlosti) - je proto zejmé, že meze integrálu urují poátení klidovou hmotnost (pi nulové rychlosti)

a konenou okamžitou hmotnost (pi rychlosti v ) :

[ ] 202v0

2v

0

2kin c)(mc)v(mmcdmcE ⋅−⋅=⋅=⋅=

Zapsáno zjednodušen :

2o

2kin cmcmE ⋅−⋅= kinetická energie

Z pedchozí kapitoly také víme, že pi rychlosti tlesa blížící se rychlosti svtla roste jeho okamžitá

hmotnost nade všechny meze :

∞ →==→− cvcv

mo)v(mm221

Dosadíme-li tuto hmotnost do posledního vztahu, bude nám ihned jasné, že stejný závr mžeme

vyslovit i pro práci vykonanou pi urychlování tlesa, tedy pro jeho kinetickou energii :

∞ →⋅−⋅=⋅−⋅=→− cvo

cv

mokin cmccmc)v(mE o 22

1

2222

Ob tyto nekonené limity vyjadují zjevn nereálnou situaci, mžeme je proto považovat za rozumné

fyzikální zdvodnní mezní rychlosti tles (rovné rychlosti svtla) ve speciální teorii relativity.

Dále promyslíme význam pravé strany získané rovnice pro kinetickou energii :

Jelikož to je vztah pro kinetickou energii - proto každý z obou len na pravé stran musí mít také

fyzikální rozmr a hlavn fyzikální smysl njaké energie.

Konkrétn druhý len na pravé stran obsahuje krom konstanty pouze klidovou hmotnost, je tedy

jednoznan spojený s klidovým stavem tlesa v dané inerciální soustav a vyjaduje proto veškerou

energii tlesa (hmotného bodu) v tomto stavu :

2cmE oo ⋅= klidová energie tlesa

4

Tato energie je jist tvoena potenciální energií tlesa v pípadném vnjším silovém poli a musí

obsahovat také veškerou vnitní energii která je „skrytá“ v tlese, jako je i jenom „obyejná“

mechanická energie všech ástic tlesa (viz v termodynamice vnitní energie plynu) - ale celou hodnotu

klidové energie pedstavuje až ta energie, která by se uvolnila až pi dokonalé pemn hmoty na energii

– pi tzv. anihilaci hmoty – podle zákona zachování hmoty a energie (viz dále).

Pozn. : Na ástice v tlese také ovšem psobí rzné síly „nemechanické“ podstaty – jde zejména o síly, které tleso „drží

pohromad“ – tj. jsou to síly vytváející vázané stavy ástic tlesa. Potenciální energie tchto sil (v absolutní

hodnot) se oznaují jako vazební energie :

Existují tedy vazební energie všech ástic ve struktue celého tlesa (vazební energie krystalické mížky) a energie

všech „subástic“ ve struktue každé ástice hmoty - tj. vazební energie atom v molekule (chemická energie),

vazební energie elektron v atomu (celková ionizaní energie atomu) a vazební energie nukleon v atomovém

jádru (jaderná energie).

Nejvyšší hodnotou se vyznauje posledn jmenovaná jaderná vazební energie – je v rozmezí 1,1 až 8,6 MeV na

jeden nukleon jádra – pesto však ve srovnání s klidovou energií nukleonu (931 MeV) je zanedbateln malá

(pibližn od 1 ‰ do 1 %).

Význam prvního lenu pravé strany poznáme až po jeho osamostatnní :

okinokin EEcmEcmc)v(m +=⋅+=⋅=⋅ 222

Je to tedy celkový souet kinetické energie a klidové energie tlesa, a protože už vlastn jiný druh

energie (než tyto dv energie - tlesa v klidu a tlesa v pohybu) neexistuje , musí tento souet vyjadovat

veškerou možnou energii tlesa :

2cmEEE okin ⋅=+= celková energie tlesa

Vztah pro kinetickou energii pak bude mít jednoduchý tvar :

okin EEE −= kinetická energie (vyjádená pomocí celkové a klidové energie)

Jestliže ješt vypustíme prostední ást rovnice pro celkovou energii , dostaneme pak nejznámjší vztah

teorie relativity a možná celé moderní fyziky :

2cmE ⋅= Einsteinv vztah pro celkovou energii

Tento vztah pímé úmry hmoty (hmotnosti) a energie s ní spojené - tchto dvou základních projev

objektivní reality našeho svta - mže být chápán jako vyjádení :

„ekvivalence“ hmoty a energie

5

Pozn.: V kvantové fyzice, kde i energie elektromagnetického pole je spojena s ásticemi (fotony) – tj. s objekty, které si

obvykle pedstavujeme pod pojmem „hmota“ - je pak vhodnjší Einsteinv vztah interpretovat jako ekvivalenci

hmotnosti a energie.

Speciální teorie relativity nás tak pivádí nejen k jinému chápání prostoru a asu – základních

parametr vývoje svta (nejsou to již absolutní, nezávislé pojmy, ale jsou nyní vzájemn propojené do

výsledného asoprostoru a navíc neoddliteln spjaté s pohybující se hmotou ) - ale tato teorie mní i náš

pohled na veškerou podstatu svta kolem nás – tím, že vzájemn spojuje jeho formy projevu - hmotu

a energii .

Vdecký pohled na svt kolem nás – jako na hmotu a energii vyvíjející se v prostoru a ase – je tedy

dnes úpln jiný než ped rokem 1905 …..

Ve fyzice již nemže platit zákon zachování hmoty a oddlen vedle nj zákon zachování energie , ale

je nutno používat obecný zákon zachování hmoty a energie .

Ekvivalence hmoty a energie není rozhodn pouze teoretický vztah, ale v souasnosti je již

mnohonásobn experimentáln potvrzena, zejména v procesech mikrosvta.

Jako první byl zde objeven hmotnostní úbytek jader :

Již ze stední školy víte, že podle souasného standardního modelu je jádro atomu tvoeno nukleony

dvojího druhu - kladnými protony a neutrálními neutrony a mže být formáln oznaeno :

XAZ nepiklad pro uhlík : C12

6

Nukleonové íslo A udává celkový poet nukleon a protonové íslo Z je pak poet proton v jáde

(stejn je také elektron v elektronovém obalu neutrálního atomu). Poet neutron v jáde mžeme tedy

vyjádit rozdílem A – Z .

Jestliže pak porovnáme celkovou (klidovou) hmotnost jádra mj s hmotnostmi jednotlivých nukleon, tj.

s (klidovou) hmotností proton mp a s (klidovou) hmotností neutron mn (jako samostatných, volných

ástic), zjistíme z pohledu klasické fyziky neuvitelnou vc, že souet hmotností všech nukleon

daného jádra je vtší než hmotnost jádra , z nich vytvoeného.

Mžeme si pedstavit, že pi „sestavení“ jádra z jeho stavebních prvk – nukleon - nastane úbytek

hmotnosti :

0≠−⋅−+⋅= jnp mm)ZA(mZm∆ hmotnostní úbytek jádra

6

Na rozdíl od poáteního souboru volných samostatných nukleon je ale výsledné jádro atomu velmi

stabilní kompaktní útvar, který „drží pohromad“ obrovskými pitažlivými silami psobícími mezi

nukleony ( jaderné síly , tzv. silná interakce ).

Práce tchto sil pi vzniku jádra (pi vzájemném piblížení nukleon) vytváí pak vazební energii

jádra E - a tato energie dokonale spluje Einsteinv vztah :

2cmE ⋅= ∆ vazební energie jádra

Pokles hmotnosti je tedy podle Einsteinova vztahu pesn „vykompenzován“ vzniklou „ekvivalentní“

vazební energií jádra.

Akoliv je hmotnostní úbytek jádra velni malý – asi 1% hmotnosti jádra - podle Einsteinova vztahu,

obsahujícímu kvadrát rychlosti svtla, tomu ale odpovídá obrovské množství energie - ádov

megaelektronvolty (MeV) - tj. milionkrát více než vazební energie elektron v atomu.

A jen menší ást této vazební energie (napíklad 10 %) mžeme získat k našemu prospchu (i zkáze)

pomocí vhodných jaderných reakcí - nejznámjší jsou etzová štpná reakce a termonukleární

syntéza jader.

Úspšné svtové demonstrace jejich úink dávají tušit nesmírnou hodnotu energie která by vznikla pi

100 % - ní pemn hmoty na ekvivalentní energii – pi tzv. anihilaci hmoty – prokázané na ásticích

mikrosvta napíklad reakcí elektronu a pozitronu, ve vtším mítku pak díkybohu zatím používané

pouze autory sci-fi píbh.

Vytvome ješt na závr velmi užitený vztah mezi celkovou energií tlesa a jeho hybností. Použijeme

v minulé kapitole odvozený vztah pro okamžitou hmotnost :

22o

cv1

mm−

=

který dosadíme do Einsteinova vztahu :

2

cv1

m2 ccmE22

o ⋅=⋅=−

Po umocnní a vydlení rovnice kvadrátem rychlosti svtla dostaneme :

22

22o

2

2

cv1

cm

cE

−⋅=

Další úpravou bude, že v itateli zlomku piteme a odeteme výraz 2vm2o ⋅ (tím se itatel nezmní) .

Po formálním peskupení len pak dostaneme :

7

22

22o

22o

22

22o

22

22o

22o

22o

22

22o

2

2

cv1

vmcm

cv1

vm

cv1

vmvmcm

cv1

cm

cE

−⋅−⋅

−⋅

−⋅−⋅+⋅

−⋅ +===

První len je ovšem kvadrát hybnosti, kterou jsme definovali v relativistické dynamice jako :

22o

cv1

vmvmp−

⋅=⋅=

a druhý len upravíme vytknutím a následným vykrácením :

22o

2cv1

)cv1(cm2cE cmpp 22

2222o

2

2⋅+=+=

−−⋅

Po vynásobení kvadrátem rychlost svtla tak dostaneme :

42o

222 cmcpE ⋅+⋅= vztah celkové energie a hybnosti

Tento vztah lze napíklad výhodn použít v kvantové fyzice pro stanovení energie fotonu , který má

nulovou klidovou hmotnost (jako „pedstavitel“ elektromagnetického vlnní neexistuje v klidu ) , tedy

má i nulovou klidovou energii. Pak bude tedy velmi jednoduše :

cpE ⋅= celková energie fotonu

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

konec kapitoly K. Rusák, verze 04/2005

rev. 04/2007

Vnitřní energie ideálního plynu podle kinetické teorie

Kinetická teorie plynu, která v první polovině 19.století dokázala úspěšně spojit klasickou fenomenologickou termodynamiku s mechanikou, považuje plyn za soustavu velkého počtu nepatrných hmotných částic – molekul, které jsou v neustálém pohybu (tzv. neuspořádaný pohyb), a pomocí mechanických vlastností těchto částic (jejich hmotnosti, rychlosti, hybnosti, mechanické energie) vysvětluje termodynamické veličiny plynu (tlak a teplotu plynu, jeho vnitřní energii, a také pojem tepelné energie).

Nejjednodušší je aplikace kinetické teorie na ideální plyn, jehož chování jsme popsali v minulé otázce. Zopakujme si jeho základní vlastnost – že molekuly tohoto plynu na sebe vzájemně nepůsobí žádnými silami (případně je možno dodat – kromě nepatrných okamžiků vzájemných pružných srážek molekul).

Důsledkem nulových sil mezi molekulami ideálního plynu je potom také nulová potenciální energie každé molekuly (neboť tato energie je stanovena prací působící síly, jak je známo z mechaniky).

Z toho dále plyne, že celková mechanická energie (každé) molekuly je tedy tvořena pouze její energií kinetickou, a že vnitřní energie plynu jako součet všech energií všech jeho molekul je pak dána celkovou kinetickou energií těchto molekul.

Pro maximální možné zjednodušení budeme ještě navíc předpokládat, že molekuly plynu jsou prakticky hmotné body – pak totiž můžeme zanedbat rotační pohyb molekuly a samozřejmě i energii tohoto pohybu.

Toto zanedbání bude zřejmě velmi dobře vyhovovat pro „jednoatomové“ molekuly (He, Ne, Ar, … a také například pro v plazmatu běžně se vyskytující ionizované atomy), jejichž vlastní moment setrvačnosti je jistě zanedbatelně malý.

U větších molekul, skládajících se ze dvou a více atomů pak ovšem bude nutno započítat i kinetickou energii rotace molekuly, případně i energii jejích kmitů.

Neuspořádaný pohyb molekul plynu a jejich stále probíhající vzájemné srážky (a samozřejmě i srážky se stěnami nádoby) vede k tomu, že okamžité rychlosti molekul – jejich směry i velikosti – se neustále mění. Jistě si umíme představit, jak se nějaká vybraná molekula po několika „vhodných srážkách“ téměř zastaví, nebo jak naopak dojde k mnohonásobnému zvýšení její rychlosti (i když jsou to méně pravděpodobné situace), proto můžeme předpokládat, že v jakémkoliv čase mají molekuly plynu různé rychlosti v celém intervalu možných velikostí – tj. od nuly do nekonečna.

Z důvodu obrovského počtu částic (řádu Avogadrova čísla) není ovšem možno sledovat pohyb každé částice a určovat její rychlost, případně její polohu. Přitom rychlosti částic určitě závisejí i na celkovém stavu plynu – například při zahřívání se jistě zvyšuje podíl rychlejších částic.

Metodami matematické statistiky se podařilo r. 1852 Maxwellovi (James Clerk Maxwell) stanovit tzv. rozdělení rychlostí (jednoatomových) molekul ideálního plynu ve stavu termodynamické rovnováhy :

Pro počet dN molekul z celkového počtu N), které mají velikosti svých rychlostí v zadaném intervalu (v, v + dv) platí :

dvvekT2

mN4dN 2kT2mv

23 2

(m je hmotnost jedné molekuly, k je Boltzmannova konstanta a T je absolutní teplota.)

1

Podíl obou diferenciálů, který má smysl počtu částic v jednotkovém intervalu rychlostí (v místě dané rychlosti v - lze také použít termín hustota částic na ose rychlostí) - se pak označuje jako rozdělovací funkce :

2kT2mv

23

vekT2

mN4dvdNvf

2

Maxwellova rozdělovací funkce

0

f(v)

v

Pro celý soubor N částic (molekul) plynu je pak možno vypočítat střední rychlost molekul jako aritmetický průměr z rychlostí všech molekul :

Nvvvvvv N321

s

Za použití rozdělovací funkce lze převést tento součet jako vážený aritmetický průměr na určitý integrál přes celý obor rychlostí a relativně lehce vypočítat (jde o tzv. Laplaceův integrál) :

mTk8dvvfv

N1dNv

N1v

00

střední rychlost molekul

Také se počítá střední kvadratická rychlost molekul jako aritmetický průměr ze všech kvadrátů jednotlivých rychlostí molekul :

mkT3dvvfv

N1

Nv...vvv

0

22N

22

212

střední kvadratická rychlost

2

Její odmocnina se pak nazývá efektivní rychlost :

mkT3vef efektivní rychlost

Je zajímavé, že obě tyto rychlosti se příliš neliší (asi o 10 %) od tzv. nejpravděpodobnější rychlosti , která určuje polohu maxima rozdělovací funkce (viz obr) :

mkT2vP nejpravděpodobnější rychlost

Fyzikálně nejdůležitější je efektivní, či střední kvadratická rychlost , protože se používá pro výpočet střední energie jedné molekuly :

mkT3m

21vm

21vm

21 2

ef2

Po vykrácení dostáváme jeden ze zásadních výsledků kinetické teorie, totiž že střední energie molekuly ideálního plynu nezávisí na hmotnosti plynu, tj. na druhu plynu :

Tk23

střední energie jedné molekuly

A celková kinetická energie všech částic (molekul) dohromady bude :

Tk23NNEkin

Jestliže vyjádříme počet částic N pomocí látkového množství a použijeme definice univerzální plynové konstanty R , tj. :

kNRNN AA

Potom dostaneme :

TR23Tk

23NE Akin

Protože ideální plyn nemá žádnou potenciální energii, tvoří námi vypočítaná kinetická energie veškerou vnitřní energii U plynu :

TR23EU kin vnitřní energie ideálního plynu

3

Poznámka : Pro reálný plyn by vnitřní energie byla ovšem určena oběma složkami energie :

potkin EEU

Vidíme, že vnitřní energie ideálního plynu je funkcí dvou stavových veličin – teploty a látkového množství :

T,UU

A tedy při zadaném konstantním množství plynu je vnitřní energie dána pouze teplotou plynu, což nás přivádí k určení významu teploty jako fyzikální veličiny:

Teplota je mírou kinetické energie neuspořádaného pohybu částic látky za stavu termodynamické rovnováhy (u ideálního plynu je přímo úměrná celkové energii).

Teplota je stavová veličina, která charakterizuje rovnovážný stav celé termodynamické soustavy (jako celku, tzv. makrostav , uvnitř soustavy jsou pak mikrostavy jednotlivých částic).

Podmínka termodynamické rovnováhy je samozřejmě velmi omezující , proto se ve fyzice definuje teplota i při tzv. lokální termodynamické rovnováze (v daném místě soustavy).

Poznámka : Přesto však někdy teplota neexistuje, např. elektrický výboj v zářivce je typickým silně nerovnovážným

systémem: elektrony mají teplotu 25000 K, ionty a molekuly pouze 350 K, nelze pak stanovit celkovou teplotu

Vraťme se zpět k vnitřní energii :

Protože je vnitřní energie jednoznačně určena stavovými veličinami – teplotou a látkovým množstvím – je sama také jednoznačně přiřazena danému stavu - a je ji proto možno rovněž považovat za stavovou veličinu (vidíme ovšem určitý rozdíl, proto se někdy stavové veličiny rozlišují na stavové proměnné a stavové funkce, případně termodynamické potenciály).

Jestliže se nám podařilo určit přesný funkční vztah pro vnitřní energii, můžeme nyní vypočítat její nekonečně malý přírůstek (změnu), tzv. úplný diferenciál , jako matematický diferenciál funkce dvou proměnných :

dTTUdU)T,(dUdU

Při daném množství plynu pak jednodušeji :

dTR23dT

dTdU)T(dUdU

Dále můžeme určit celkovou změnu vnitřní energie - při nějakém termodynamickém procesu – např. při přechodu ze stavu 1 (určeného stavovými veličinami p1, V1, T1, ) do stavu 2 (p2, V2, T2, ) :

2

1

2

1

T

T12

2

1

TTR23dTR

23dTR

23dUU

4

Po roznásobení vidíme, že změna vnitřní energie je jednoduše dána rozdílem vnitřních energií v počátečním a koncovém stavu :

1212 UUTR23TR

23U

Termodynamický proces můžeme graficky znázornit jako křivku spojující počáteční a koncový stav v nějaké „soustavě souřadnic“ stavových veličin, např. v oblíbeném p-V diagramu :

p

V

1

2

p(V)

p'(V)

Pak můžeme konstatovat, že náš výpočet změny vnitřní energie při určitém termodynamickém procesu nezávisí na „dráze“ – integrační cestě (křivce procesu), ale závisí pouze na počátečním a koncovém stavu.

Pro dva různé procesy (vedoucí od 1. do 2.stavu), tj. pro dvě různé křivky p(V) a p’(V) spojující tyto stavy, tedy bude platit rovnost integrálů :

2

1

2

1)p()p(

dUdU

Převedeme na levou stranu a upravíme :

0dUdU

0dUdU

1

2

2

1

2

1

2

1

)p()p(

)p()p(

A protože se jedná o libovolné dva stavy a libovolné křivky mezi těmito stavy, dostáváme na levé straně rovnice integrál platný pro libovolnou uzavřenou křivku :

5

0dU

Celková změna vnitřní energie je tedy nulová při jakékoliv uzavřené integrační cestě (křivce) – tj. při tzv. uzavřeném („kruhovém“) termodynamickém procesu.

Vnitřní energie plynu je tak formálně matematicky podobná potenciální energii v konzervativním silovém poli. Vnitřní energie se proto řadí mezi tzv. termodynamické potenciály a vzniklo nám pro ni několik ekvivalentních podmínek :

U je stavová veličina

existuje úplný diferenciál dU

konstUd2

1 (změna vnitřní energie závisí pouze na počátečním a koncovém stavu).

0Ud avřeném procesu se vnitřní energie nezmění) (při uz

Tyto vztahy jsou teoreticky velmi užitečné a umožňují jednoznačné a pohodlné rozlišení stavových a

„nestavových“ veličin v termodynamice, jak uvidíme i v další kapitole. Povšimněte si také formální

podoby s podmínkami konzervativnosti silových polí .

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(konec kapitoly) K. Rusňák, verze 01/2005

6

Teplo, práce a 1. věta termodynamiky

Teplo ( tepelná energie)

Nyní již víme, že látka (plyn) s vyšší teplotou obsahuje částice (molekuly), které se pohybují s vyššími rychlostmi a můžeme posoudit, co se stane při styku s látkou o teplotě nižší.

Je zřejmé, že ve vzájemných srážkách se budou pomalejší částice urychlovat a rychlejší částice budou zpomalovat, tzn. že rychlejší částice budou předávat část své kinetické energie částicím pomalejším. Vnějším důsledkem tohoto „mikroskopického“ procesu bude zvyšování teploty chladnější látky, tj. nárůst její vnitřní energie (a ochlazování látky teplejší, pokles její vnitřní energie).

Tento jev pak popisujeme slovy, že teplo přechází z látky teplejší na látku chladnější. Fyzikální veličinu teplo ( tepelná energie) tedy definujeme :

Teplo je mikroskopickým způsobem (srážkami částic látky) předávaná část vnitřní energie látky.

Poznámka: Proces přenosu tepla by zřejmě pokračoval tak dlouho, dokud by se teploty obou těles nevyrovnaly – pak by nastal rovnovážný stav, kdy už by se teploty dále neměnily – stav termodynamické rovnováhy. Přechod tepla z látek teplejších na látky chladnější je tedy jedním ze základních procesů, které vedou termodynamickou soustavu k tomuto stavu.

Vidíme tedy jasně, že na rozdíl od vnitřní energie není teplo spojené se stavem látky, ale je to veličina spojená s nějakým termodynamickým procesem (ohřívání nebo ochlazování).

Teplo není stavová veličina , je to veličina procesní .

Protože víme, že vnitřní energie je úměrná teplotě a množství látky, jistě nás nepřekvapí principiálně stejná závislost pro energii tepelnou, která je její částí :

Už ze střední školy znáte vztah pro teplo Q potřebné k ohřátí látky o hmotnosti m z teploty T1 na teplotu T2 (jinak řečeno - o teplotní rozdíl T ) :

TmcTTmcQ 12

Koeficient úměry c se nazývá měrná tepelná kapacita a má význam množství tepla potřebného k ohřátí jednotkové hmotnosti o jednotkový teplotní rozdíl [J.kg-1.K-1]. Není to ovšem obecně konstanta, jak se vždy předpokládalo v početních příkladech, ale proměnná veličina závisející na stavu látky a i na způsobu ohřevu :

)V,p,T(cc

1

Proto je nutné přejít k velmi malým – diferenciálním veličinám, tj. vyjádřit nejprve množství tepla potřebné k ohřátí látky o diferenciální teplotní rozdíl :

dTmcdQ

A teprve potom můžeme vypočítat celkové teplo potřebné k ohřevu látky z teploty T1 na teplotu T2, obecně řečeno při nějakém termodynamickém procesu ze stavu 1 (p1, V1, T1) do stavu 2 (p2, V2, T2), jako „součet“ těchto diferenciálních veličin – tj. integrál :

2

1

T

T

T

T

2

1

2

1

dTcmdTmcdQQ

Samozřejmě, v případě konstantní měrné tepelné kapacity musíme dostat původní středoškolský vztah :

2

1

T

T12 TTmcdTmcQ

Podobně jako ve stavové rovnici i při výpočtu tepla se často (u plynů) používá místo hmotnosti veličina látkové množství , pro kterou platí (viz kapitola „Ideální plyn“) :

molMm

Pak bude mít vztah pro diferenciální teplo tvar :

dTCdTMcdTmcdQ mol

Jde tedy principiálně o stejný vztah přímé úměry, ale s jiným koeficientem C, který se nyní nazývá molární tepelná kapacita [J.mol-1.K-1]

Již v kapitole „Ideální plyn“ jsme si uvědomili, že proces zahřívání plynu je složitější než u pevné látky či kapaliny : při zvyšování teploty může plyn zvětšovat svůj objem (roztažnost plynu) nebo tlak (rozpínavost plynu) nebo obecně objem i tlak současně.

Jak poznáte v kapitole následující, při zvětšování svého objemu koná plyn mechanickou práci, na kterou se pak mění část dodávaného tepla a ohřev plynu není tolik „efektivní“ jako při udržování konstantního objemu, tzn. na ohřev daného množství látky o jednotkový teplotní interval se spotřebuje větší množství tepla - molární tepelná kapacita bude tedy větší.

Definujeme proto dva mezní způsoby ohřívání plynu :

a) při konstantním objemu plynu, tj. při izochorickém ději (roztažnost plynu podle zákona Boyle-Mariottova), kdy plyn nepracuje a veškeré dodané teplo se spotřebuje na jeho ohřev :

dTCdQ V izochorický ohřev

Potom molární tepelná kapacita při konstantním objemu má nejmenší možnou hodnotu stejně jako potřebné diferenciální teplo a také celkové potřebné (dodané) teplo při izochorickém ohřevu z teploty T1 na teplotu T2 :

2

2

1

2

1

T

T

T

TV dTCdQQ

b) při konstantním tlaku plynu, tj. při izobarickém ději (rozpínavost plynu opět podle zákona Boyle-Mariottova), kdy se část dodané tepelné energie mění na práci plynu. Rovnice pro teplo má stejný tvar, ale s jinou (větší) molární tepelnou kapacitou :

dTCdQ p izobarický ohřev

Je tedy vždy :

Vp CC

a molární tepelná kapacita při konstantním tlaku má maximální možnou hodnotu, stejně jako dodané diferenciální teplo i celkové dodané teplo při izobarickém ohřevu z T1 na T2 :

2

1

2

1

T

T

T

Tp dTCdQQ

Jak uvidíme později, pro ideální plyn bude platit :

RCC Vp Meyerův vztah

Při nějakém obecném procesu, kdy by došlo k menším objemovým změnám než v případě b), by tedy molární tepelná kapacita i dodané teplo byly jistě mezi uvedenými mezními hodnotami.

Vidíme, že velikost dodaného tepla při nějakém termodynamickém procesu závisí na způsobu (druhu) tohoto procesu.

Různé termodynamické procesy při ohřevu plynu z teploty T1 na teplotu T2 – obecně při přechodu ze stavu 1 (p1, V1, T1) do stavu 2 (p2, V2, T2) - je možno znázornit jako různé křivky , např. p(V) a p’(V) spojující oba stavy – viz obrázek.

3

Odlišná množství dodané tepelné energie při těchto procesech zapíšeme matematicky :

2

1

2

1)p()p(

dQdQ

A po převodu pravého integrálu na levou stranu (jako jsme to již dělali u vnitřní energie, tam se ovšem jednalo o rovnici), dostaneme zásadní výsledek, a to že teplo přijaté látkou při kruhovém termodynamickém ději je vždy různé od nuly :

0QdQ

Pro teplo dostáváme tedy vztahy analogické jako u vnitřní energie, ale s opačnými výsledky.

Všimněme si ještě odlišnosti diferenciálů těchto veličin : zatímco dU je skutečný diferenciál funkce U, v případě tepla neexistuje funkce Q, kterou bychom mohli diferencovat. Přesto však existuje nekonečně malá veličina přijatého tepla dQ, pro kterou máme exaktní vzorec – matematicky je to tzv. neúplný diferenciál (často se i odlišně označuje – jako Q ).

Pro procesní veličinu teplo (přijaté látkou – termodynamickou soustavou) tak můžeme napsat čtyři ekvivalentní tvrzení :

Q není stavová veličina (je to procesní veličina)

dQ není úplný diferenciál (dQ je neúplný diferenciál)

2

1.konstdQ (teplo přijaté látkou závisí na druhu

procesu)

0dQQ (teplo přijaté při kruhovém ději je vždy různé od nuly)

Poznámka: Z matematického hlediska může být přijaté teplo kladné i záporné – bude tím označen směr přenosu tepelné energie :

0dQ,Q teplo přijaté látkou, odevzdané okolím

0dQ,Q teplo odevzdané látkou, přijaté okolím

4

Práce plynu

Důsledkem tlaku plynu je vznik sil působících na všechny plochy ohraničující objem plynu (stěny nádoby), přičemž musí platit :

SFp definice tlaku

Rovnice je skalární, tlaková síla F je vždy kolmá na plochu S , na kterou působí (to platí pro plyny i pro kapaliny). Aby však tato síla konala nějakou práci, muselo by se její působiště, tj. plocha (stěny plynu), ještě pohybovat po nějaké dráze.

Na obrázku je znázorněna praktická realizace této podmínky – válec s pohyblivým pístem :

Na plochu pístu S vyvíjí tlak plynu sílu F podle horního vztahu :

SpF

Za stavu klidu – termodynamické rovnováhy – je tato síla vyrovnávána vnějšími silami. Má-li ovšem začít nějaký termodynamický proces spojený s prací plynu, musí se samozřejmě rovnováha poněkud narušit, aby se mohl píst dát do pohybu (směrem vpravo).

Je zřejmé, že přitom se původní objem V plynu bude zvětšovat, a dojde tedy k poklesu tlaku a také síly působící na píst. Při výpočtu práce tedy musíme nejprve vypočítat elementární práci dA ři nekonečně pmalé dráze – při posunu pístu dl (viz obr., dráha i síla jsou rovnoběžné) :

dlFdA

Dosadíme za sílu :

dlSpdA

Součin plochy a elementárního posunu je ale objem vyšrafovaný na obrázku, který představuje přírůstek (změnu) původního objemu V plynu – matematicky to je diferenciál tohoto objemu :

dVdlS

5

Vztah pro elementární práci tedy bude velmi jednoduchý :

dVpdA elementární práce plynu

Tato „transformace“ dráhy pístu na změnu objemu plynu je velmi efektivní – jednak jsme vyjádřili práci plynu pomocí jeho stavových veličin a také se „automaticky“ prozradí, kdo koná práci : pokud bude diferenciál objemu záporný, znamená to zmenšení objemu plynu, tedy pohyb pístu doleva a práce plynu je záporná – plyn „podléhá“ práci, kterou konají opačné vnější síly z okolí.

Po stanovení elementární práce pak můžeme pokračovat výpočtem celkové práce plynu při nějakém termodynamickém procesu ze stavu plynu 1 (p1, V1, T1) do stavu 2 (p2, V2, T2), která bude dána integrálem :

2

1

V

V

2

1

2

1dVVpdVpdAA

V průběhu tohoto procesu se tlak plynu obecně mění (byl by konstantní pouze ve zvláštním případě děje izobarického), což je na p-V diagramu znázorněno křivkou p(V) spojující stav 1 a 2. Tato křivka tedy charakterizuje daný termodynamický proces a protože náš integrál má v tomto grafu velikost rovnou plošnému obsahu obrazce pod křivkou, vidíme jasně závislost vykonané práce A na druhu procesu (protože pro nějakou jinou křivku p´(V) - tj. pro jiný proces - bude i tento obsah jiný).

Práce plynu je tedy jednoznačně procesní veličina a matematické vztahy budou analogické jako u plynem přijatého tepla. Nejprve zapíšeme závislost práce na integrační cestě :

2

1

2

1)p()p(

dAdA

Po převodu pravého integrálu na levou stranu nás bude vzniklý integrál po uzavřené křivce informovat, že práce vykonaná plynem při kruhovém ději je vždy různá od nuly :

0AdA

6

Diferenciál dA také samozřejmě není úplným diferenciálem (neexistuje funkce stavu A) a pro práci plynu dostáváme tedy opět známou čtveřici vztahů :

A není stavová veličina (je to procesní veličina)

dA není úplný diferenciál (dA je neúplný diferenciál)

2

1.konstdA (vykonaná práce závisí na druhu

procesu)

0dAA (práce vykonaná při kruhovém ději je vždy různá od nuly)

Poznámka: Také práce může být kladná i záporná – jak jsme již dříve konstatovali :

0dA,A práce vykonaná plynem

0dA,A práce vykonaná okolím

1. věta termodynamiky

Definice tepelné energie jako přijaté nebo odevzdané části energie vnitřní nám také ukazuje jasný vztah obou těchto veličin : Přijme-li (odevzdá-li) plyn určité množství tepla, musí se to projevit vzrůstem (poklesem) vnitřní energie o stejnou hodnotu. Stejnou jednoznačnou závislost ovšem odhalíme ve vztahu vnitřní energie a práce termodynamické soustavy (plynu) : Jediným „zdrojem“ síly, která posunuje píst ve válci a koná tak mechanickou práci jsou nárazy pohybujících se molekul na tento píst. Při každé takové srážce se (původně nehybný) píst dá do pohybu (a koná práci) a naopak rychlost molekuly poklesne (podle zákona zachování hybnosti), poklesne tedy i její kinetická energie.

Přesně podle definice mechanické energie (zde kinetické) jako schopnosti vykonat práci se tak bude kinetická energie molekul plynu – tj. vnitřní energie – přeměňovat na vykonanou práci stejné velikosti. Jestliže bude plyn konat zápornou práci, tj. skutečnou práci konají síly okolí a píst se posunuje doleva, bude tento pohyb „proti“ nalétávajícím molekulám zvyšovat jejich rychlost, tj. zvyšovat vnitřní energii plynu.

Celkem tedy můžeme konstatovat, že teplo dodávané plynu zvyšuje jeho vnitřní energii a práce plynem konaná ji o stejnou hodnotu snižuje :

7

dAdQdU 1.věta termodynamiky (diferenciální tvar)

Odvodili jsme tak základní zákon termodynamiky (v diferenciálním tvaru), tzv. 1.větu termodynamiky , která neznamená nic jiného než zákon zachování energie termodynamické soustavy (plynu).

Nezapomeňte, že u všech veličin připouštíme kladné i záporné hodnoty, což u změny vnitřní energie znamená jen to, zda jde o její zvýšení nebo snížení, přírůstek nebo úbytek, ale u tepla a práce to však znamená směr „toku, přenosu“ příslušné formy energie (viz obrázek – tzv. konvence tepelného stroje).

Matematiký diferenciální tvar 1. věty můžeme samozřejmě integrovat pro libovolný termodynamický proces probíhající ze stavu 1 do stavu 2 :

2

1

2

1

2

1dAdQdU

A dostaneme vztah celkové změny vnitřní energie při tomto procesu a celkového dodaného tepla a celkové vykonané práce :

AQU 1.věta termodynamiky (integrální tvar)

Principiálně jde ovšem o stejnou závislost, která nyní nepopisuje malé diferenciální veličiny, ale celý termodynamický proces. U obou tvarů 1.věta termodynamiky si můžeme uvědomit, že práce s opačným znaménkem, tj. –A (-dA) je práce vnějších sil a pak slovní formulace může znít : Zvýšení vnitřní energie termodynamické soustavy je tvořeno součtem dodaného tepla a práce vykonané vnějšími silami (okolím termodynamické soustavy).

Z matematického hlediska může být na levé straně rovnice také dodané teplo a dostaneme tak ekvivalentní tvar 1.věty :

dAdUdQAUQ

který lze také velmi hezky vyjádřit : Teplo dodané plynu (termodynamické soustavě) se spotřebuje na zvýšení jeho vnitřní energie a na konání práce plynem.

A třetí varianta je „technicky“ nejdůležitější : 8

dUdQdAUQA

protože nám říká, že plyn může konat práci buď přeměnou z dodaného tepla, nebo na úkor své vnitřní energie. Nebo stručněji a obecněji :

Práci je možno konat pouze přeměnou z jiných forem energie.

Tuto větičku se snažili popřít desítky urputných vynálezců 19.století, aby samozřejmě nakonec

rezignovaly : Nelze sestrojit „perpetum mobile“ (1.druhu), stroj věčně pracující, který by konal

mechanickou práci a nespotřebovával přitom ekvivalentní množství nějaké jiné energie.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

9(konec kapitoly) K. Rusňák, verze 01/2005

1

Tepelné stroje a 2. vta termodynamiky

Vzorec pro práci plynu a 1.vta termodynamiky jasn ukazují možnost konstrukce tzv. tepelného stroje , který by využíval dodávané tepelné energie ke konání mechanické práce.

Práce stroje je obecn chápána ne jako jednorázový akt, ale jako (libovoln) dlouho trvající spojitý proces, složený z uritých, pravideln se opakujících (pracovních a pomocných) dj – tzv. periodicky (cyklicky) pracující stroj .

Jestliže takový tepelný stroj pracuje s njakou plynovou náplní, pak požadavek opakujících se, periodických termodynamických proces vede k tomu, že po urité dob – period opakování – se plyn musí nutn dostat do stejného stavu – tzn. že kivka takového procesu (nap. v p-V diagramu) musí být uzavená.

Periodicky pracující tepelný stroj využívá pi své innosti uzavený (kruhový) termodynamický proces (cyklus).

Tato podmínka nám velmi zjednoduší aplikaci 1.vty termodynamiky, nebo použijeme-li její diferenciální tvar :

dUdQdA −=

a integrujeme-li ho pes uzavenou integraní cestu :

−= dUdQdA

Pak poslední výraz bude nulový (stavová veliina) a dostáváme :

QA = vykonaná práce a dodané teplo pi kruhovém procesu

Práce vykonaná plynem pi kruhovém termodynamickém procesu se tak pímo rovná dodanému teplu.

Zdálo se, že tento vztah otevírá nadjnou možnost praktické konstrukce tepelného stroje, pracujícího na základ kruhového dje, ádn podle zákona zachování energie (žádné perpetuum mobile), s úžasnou 100% - ní úinností pemny dodaného tepla na mechanickou práci.

O to vtší bylo zklamání tvrc prvních parních stroj, jejichž využití tepelné energie dosahovalo pouze nepatrné ásti této hodnoty a zásadní zvýšení úinnosti nepinášelo ani další zdokonalování konstrukce stroj. „Nco podivného“ stále bránilo dokonalé pemn tepelné energie na mechanickou práci a další vývoj ukázal, že jde o pekážky velmi principiální a že tepelný stroj s úinností 100% je stejn nereálný jako stroj, který by konal práci „z nieho“ – tj. odporoval by zákonu zachování energie (perpetuum mobile).

Jádro problému bylo v tom, že 1.vta termodynamiky – zákon zachování energie – se ukázala být pouze nutnou podmínkou existence (realizace) termodynamických proces, nikoliv však podmínkou postaující, nebo lze popsat velké množství proces splujících tento zákon, které však nikdy reáln neprobhnou.

Typickými „nikdy neprobíhajícími procesy“ jsou neexistující zptné dje nevratných proces, které jsme poznali v minulé kapitole. Mezi všemi možnými nevratnými dji se pak považuje za principiáln nejvýznamnjší skupina samovolných (pirozených) proces , které bhem konené relaxaní doby pivedou každou izolovanou nerovnovážnou soustavu do stavu termodynamické rovnováhy :

2

1) Pechod tepla z tlesa teplejšího na tleso chladnjší.

2) Expanze plynu do místa nižšího tlaku (do vakua).

3) Difúze plynu.

4) Pemna mechanické energie makroskopických tles na teplo.

Všechny tyto dje jsou zpsobeny i spojeny s „tepelným“ pohybem ástic hmoty, proto byl proces penosu tepla považován za teoreticky nejdležitjší, zejména když se také ukázalo, že práv smr pechodu tepla omezuje úinnost práce tepelného stroje.

Proto fyzikové v polovin 19.století usilovn hledali kritéria, kterými by doplnili 1.vtu termodynamiky, a upesnili tak podmínky realizace termodynamických proces – tak vznikla 2.vta termodynamiky.

2.vta termodynamiky existuje v nkolika variantách (které se od sebe ješt mohou lišit v rzných uebnicích) – od formulace „technické“ týkající se innosti tepelného stroje až po formulaci velmi teoretickou :

1) Není možno sestrojit periodicky pracující stroj, který by nezpsoboval nic jiného, než že by ochlazoval tepelnou láze a konal rovnocennou práci. (William Thomson = lord Kelvin – 1851, Max Planck)

2) Není možno sestrojit perpetum mobile druhého druhu. (Friedrich Wilhelm Ostwald)

3) Teplo nemže samovoln pecházet ze studenjšího tlesa na teplejší. (Rudolf Julius Emanuel Clausius - 1850)

4) V každém libovolném okolí libovolného poáteního stavu termicky homogenního systému existují stavy, k nimž se není možno libovoln piblížit adiabatickou zmnou stavových parametr. (Constantin Carathéodory, ecký matematik - 1909)

Neexistující tepelný stroj, který by dokonale pemoval tepelnou energii na práci, je tedy nazván perpetum mobile druhého druhu (perpetum mobile prvního druhu je neexistující stroj, který „nedodržuje“ zákon zachování energie)

Souvislost takového stroje se smrem pechodu tepelné energie dobe poznáme, jestliže prostudujeme innost ideálního „vzorového“ tepelného stroje, pracujícího na principu Carnotova vratného kruhového dje (cyklu), který je sestaven ze ty jednoduchých vratných proces ideálního plynu (viz obrázek).

p

VV1

T1

p1

V3V4 V2

T2

1

4

3

2

3

Popišme nyní podrobn jednotlivé „vtve“ tohoto cyklu, podmínky jejich realizace a vzájemnou pemnu energií (viz také minulá kapitola) :

1. Izotermická expanze

Pi teplot T1 = konst. dochází k izotermické expanzi plynu ze stavu 1 (p1,V1,T1) do stavu 2 (p2,V2,T1) podle stavové rovnice :

2211 VpVp ⋅=⋅

Podmínkou realizace tohoto izotermického procesu, která zaruí jeho konstantní teplotu, je dokonalý tepelný styk plynu se zdrojem tepla, tzv. ohívaem :

Konstantní teplota pak znamená, že se nemní vnitní energie plynu a podle 1.vty se tedy dodané teplo pímo pemuje na práci stejné velikosti :

dQdUdQdA =−=

Potom celková práce vykonaná plynem a teplo dodané plynu pi celé expanzi bude (viz minulá kapitola) :

0VV

lnTRVdV

TRdVpQA1

21

V

V1

2

111

2

1

>⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅== νν

2. Adiabatická expanze

Adiabatická expanze plynu ze stavu 2 (p2,V2,T1) do stavu 3 (p3,V3,T2) probíhá podle stavové rovnice :

κκ3322 VpVp ⋅=⋅

Tento proces musí probíhat pi dokonalé tepelné izolaci , která zaruí nulovou výmnu tepla s okolím :

Plyn tedy koná práci pouze na úkor své vnitní energie :

4

dUdUdQdA −=−=

Celková vykonaná práce plynem se potom projeví snížením vnitní energie plynu, tj. poklesem teploty plynu z T1 na T2 :

( ) 0TTCdTCUA2

1

T

T12VV2 >−⋅⋅−=⋅⋅−=−= νν∆

3. Izotermická komprese

Pi teplot T2 = konst. dochází k izotermické kompresi plynu ze stavu 3 (p3,V3,T2) do stavu 4 (p4,V4,T2) podle stavové rovnice :

4433 VpVp ⋅=⋅

Konstantní teplotu plynu musí opt zaruit dokonalý tepelný styk s jímaem tepla, tzv. chladiem :

Konstantní teplota plynu opt znamená, že vnitní energie plynu se nemní a podle 1.vty se opt práce plynu rovná dodanému teplu :

dQdUdQdA =−=

Ob tyto veliiny jsou ovšem nyní – pi stlaování plynu – záporné. Práci tedy konají vnjší síly a je „dodávána“ do plynu a záporné teplo znamená, že tepelná energie je plynu odebírána a pechází z plynu do okolí – do chladie.

Pi celé kompresi vykonaná práce a dodané teplo budou :

0VV

lnTRVdV

TRdVpQA3

42

V

V2

4

323

4

3

<⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅== νν

(Dodané teplo je oznaeno v poadí jako druhé v Carnotov cyklu, rovnž pi druhé teplot)

4. Adiabatická komprese

Adiabatická komprese plynu ze stavu 4 (p4,V4,T2) do poáteního stavu 1 (p1,V1,T1) probíhá podle stavové rovnice :

5

κκ1144 VpVp ⋅=⋅

Plyn je opt dokonale tepeln izolován od okolí :

Matematický zápis pro vykonanou práci podle 1.vty je stejný jako pi adiabatické expanzi :

dUdUdQdA −=−=

Nyní je ovšem práce plynu záporná, protože pi kompresi ji konají vnjší síly – práce je „dodávána“ do plynu a za celou kompresi se projeví zvýšením vnitní energie a zvýšením teploty z T2 na pvodní hodnotu T1 :

( ) 0TTCdTCUA1

2

T

T21VV4 <−⋅⋅−=⋅⋅−=−= νν∆

Vykonaná práce pi adiabatické kompresi je tedy pesn opaná než pi expanzi – zvýšení vnitní energie je tak pesn stejné, jako bylo její snížení a celková zmna vnitní energie je nulová, jako u každého kruhového termodynamického procesu.

Plyn se navrátil do poáteního stavu, kivka dje se uzavela a práce tepelného stroje mže dále pokraovat libovolným potem opakování tohoto cyklu.

Nyní provedeme celkovou bilanci energií :

a) Celkem nezajímavý je pohled na vnitní energii plynu, která z pvodní hodnoty odpovídající poátení teplot :

1V1 TCU ⋅⋅= ν

poklesla pi adiabatické expanzi na hodnotu :

2V2 TCU ⋅⋅= ν

A pi adiabatické kompresi do poáteního stavu plynu se vnitní energie opt vrátila na pvodní hodnotu, jak se sluší na stavovou veliinu. b) Celkovou práci plynem vykonanou pi celém kruhovém Carnotov cyklu dostaneme jako souet všech dílích prací :

6

( ) ( )21V3

4212V

1

21

4321

TTCVV

lnTRTTCVV

lnTR

AAAAA

−⋅⋅−⋅⋅⋅+−⋅⋅−⋅⋅⋅=

=+++=

νννν

Práce pi adiabatických djích (A2, A4) se vyruší, potom :

3

42

1

2131 V

VlnTR

VV

lnTRAAA ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=+= νν

K úprav tohoto vztahu použijeme stavové rovnice jednotlivých dj Carnotova cyklu :

κκ

κκ

1144

4433

3322

2211

VpVp

VpVp

VpVp

VpVp

⋅=⋅

⋅=⋅⋅=⋅

⋅=⋅

Všechny rovnice vynásobíme :

κκκκ1144332244332211 VpVpVpVpVpVpVpVp ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

Po vykrácení všech tlak vydlíme rovnici souinem všech objem (V1.V2.V3.V4), a dostaneme tak :

( ) ( ) 113

142 VVVV −− ⋅=⋅ κκ

Po odstranní exponent mžeme stanovit pomr objem :

2

1

3

4VV

VV =

který dosadíme do vztahu pro celkovou práci :

( )211

2

3

42

1

21 TT

VV

lnRVV

lnTRVV

lnTRA −⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= ννν

c) Celkové teplo dodané plynu pi Carnotov cyklu se skládá pouze ze dvou len – dodaných tepel pi izotermických djích, nebo pi adiabatických procesech k tepelným výmnám nedochází :

21 QQQ +=

Pi výpotu uplatníme rovnost tepla a práce pi izotermickém dji a pak mžeme použít výsledek pedchozí rovnice :

7

( ) ATTVV

lnRVV

lnTRVV

lnTR

AAQQQ

211

2

3

42

1

21

3121

=−⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

=+=+=

ννν

Na konkrétním kruhovém termodynamickém dji jsme si tak ovili obecn platný vztah pro kruhové cykly o rovnosti celkové vykonané práce a celkového pijatého tepla :

AQ = V em ale potom spoívá onen problém nedokonalé pemny dodaného tepla na práci?

Práce vykonaná tepelným strojem se sice rovná celkovému pijatému teplu :

21 QQQA +==

Ale toto celkové teplo je složeno ze dvou ástí (Q1, Q2) a pouze prvn uvedené Q1 je kladné, neboli je to teplo skuten pijaté strojem z tepelného zdroje o teplot T1 – z ohívae (kde se vytváí tepelná energie, nap. spalováním paliva nebo pemnou z jiné energie). Druhá ást celkového tepla Q2 je záporná, tedy je to teplo odevzdané strojem do chladie, pro využití strojem – pemnu na práci – je to ovšem energie „ztracená“. Napíšeme-li skuten pijaté teplo na jednu stranu rovnice :

21 QAQ −=

vidíme názorn, jak stroj s touto dodanou energií naložil : pemnil ji sice na mechanickou práci, ale uritou ást dodaného tepla odevzdal „bez užitku“ do chladie (viz obrázek).

Tepelný stroj

T1

T2

Q2

Q1

A

chladi

ohíva

Je zejmé, že pro dokonalou pemnu dodaného tepla na mechanickou práci by teplo vydané chladii mlo být nulové, tj. tepelný stroj by ml pouze odebírat teplo z ohívae a neml by žádné teplo vydávat, nepoteboval by pak spolupsobení tlesa nižší teploty – chladie (o této možnosti mluví první formulace 2.vty).

8

Ukázalo se však, že z podmínky uzavenosti pracovního cyklu (+ samozejm energetický zisk) vyplývá nutnost, aby plyn vždy ást dodaného tepla odevzdal do okolí (viz Clausiv integrál v další otázce) – pitom je nutné spolupsobení tlesa nižší teploty, tj. chladie.

Dokonalé pemny tepla v práci by samozejm bylo dosaženo, kdyby teplo ztracené v chladii mohlo samovoln pejít do ohívae, a tak by se vrátilo do pracovního cyklu. To by ovšem vyžadovalo pechod tepla z tlesa chladnjšího na teplejší (a o tomto „nesmyslu“ hovoí další formulace 2.vty).

Tepelný stroj tedy nebude nikdy dokonale pemovat tepelnou energii na mechanickou práci a bude vždy vyžadovat existenci (minimáln) dvou spolupsobících tles – ohívae vyšší teploty a chladie nižší teploty.

Teoretická úinnost tepelného stroje je pak definována v souladu s bžným chápáním jako pomr strojem vydávané energie – celkové mechanické práce (neuvažují se ztráty) – a energie stroji dodávané ve form tepla :

1QA=η úinnost tepelného stroje

Pro Carnotv cyklus dosadíme získané výrazy pro celkovou práci a teplo skuten pijaté od ohívae :

( )

1

21

211

2

1VV

lnTR

TTVV

lnR

QA

⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅==

ν

νη

a dostaneme tak známý vztah :

1

21T

TT −=η úinnost vratného Carnotova cyklu

Je vidt, že úinnost je vždy menší než 100% a že je dána pouze teplotami ohívae a chladie a vbec nezávisí na druhu plynu, ani na detailním prbhu Carnotova cyklu (na délce jeho jednotlivých vtví).

Další rozbory ukazují (viz poznámku za Carnotovou vtou a Clausiv integrál pro vratné cykly v píští kapitole), že vratný Carnotv cyklus má ze všech možných vratných kruhových proces nejvyšší možnou úinnost. Podmínka vratnosti je dležitá, nevratné dje v pracovních cyklech tepelných stroj vždy snižují jejich úinnost (staí si pedstavit nevratnou expanzi plynu, nap. pi velmi rychlém pohybu pístu - plyn nestaí expandovat a tlak na píst bude menší než v rovnovážném stavu a zmenší se tedy i vykonaná práce).

9

Pednosti Carnotova cyklu shrnuje Carnotova vta :

Úinnost všech vratných Carnotových cykl (pracujících se stejnými teplotami) je stejná a závisí pouze na tchto teplotách :

1

21

1 TTT

QA −==η

A úinnost libovolného uzaveného nevratného cyklu pracujícího s týmiž teplotami je vždy menší :

1

21

1 TTT

QA −<=η

Pozn. : Carnotovu vtu je možno ješt doplnit zhodnocením úinnosti libovolného uzaveného vratného cyklu , který by pracoval také se stejnými dvma teplotami, ale lišil by se od Carnotova cyklu – mohl by být vytvoen napíklad kombinací libovolného potu známých vratných (izo)dj, nebo v principu jakoukoliv uzavenou kivkou kvazistatického dje v p-V diagramu. (Jednoduchý píklad dostaneme, když dv izotermy spojíme ne dvma adiabatami, ale se dvma izochorami.) Základní odlišnost obecných uzavených vratných cykl od cyklu Carnotova tkví v tom, že zatímco realizace Carnotova kruhového dje vyžaduje pouze jeden ohíva teploty T1 a jeden chladi teploty T2 , pak pro vytvoení libovolného jiného dje potebujeme další tepelné rezervoáry – tedy další chladie a ohívae, nutné pro realizaci neadiabatických proces - asto speciálních vlastností (napíklad požadujeme tepelné rezervoáry s pomalu se mnící teplotou, abychom zajistili izochorický kvazistatický ohev a ochlazení plynu). Pracovní teplota plynu je tedy obecn spojit promnná veliina. Tyto vratné obecné cykly vlastn nepracují „se dvma“ teplotami T1 a T2 , ale „mezi“ teplotou maximální (T1 ) a minimální (T2 ) . Pro kvalifikovaný odhad pak staí uvážit, že jakýkoliv další ohíva znamená další teplo dodané plynu (pi stejné vykonané práci, viz také T-S diagram v další kapitole) a tedy nižší úinnost cyklu. Pesný dkaz je možno provést pomocí Clausiova integrálu pro vratné cykly – opt v píští kapitole.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

konec kapitoly K. Rusák, verze 01/2005

ást. rev. 04/2007

1

Druhá vta termodynamiky a její matematické vyjádení

Pipomeme si nejprve znalosti z minulé kapitoly „Tepelné stroje a vznik 2.vty termodynamiky“ :

Jakýkoliv termodynamický proces musí sice vždy splovat zákon zachování energie – 1. vtu

termodynamiky - ale tento zákon se ukazuje pouze jako nutná podmínka existence (realizace)

termodynamického procesu, není však podmínkou postaující - nebo lze najít velké množství proces

splujících 1. vtu, které nikdy reáln neprobhnou (zptné dje nevratných proces).

Proto vznikla 2.vta termodynamiky, která dopluje 1.vtu v tomto smyslu, že upesuje podmínky

realizace termodynamických dj.

Seznámili jsme se již také s nkolika variantami slovní formulace této 2.vty – od formulace „technické“

(popisující schopnost tepelného stroje vykonávat práci pemnou z dodaného tepla) až po formulaci velmi

„teoretickou“ (vzniklou pozdji) :

1) Není možno sestrojit periodicky pracující stroj, který by nezpsoboval nic jiného, než že by

ochlazoval tepelnou láze a konal rovnocennou práci. (William Thomson = lord Kelvin – 1851,

Max Planck)

2) Není možno sestrojit perpetum mobile druhého druhu. (Friedrich Wilhelm Ostwald)

3) Teplo nemže samovoln pecházet ze studenjšího tlesa na teplejší. (Rudolf Julius Emanuel

Clausius - 1850)

4) V každém libovolném okolí libovolného poáteního stavu termicky homogenního systému

existují stavy, k nimž se není možno libovoln piblížit adiabatickou zmnou stavových

parametr. (Constantin Carathéodory, ecký matematik - 1909)

Pi studiu Carnotova vratného cyklu jsme pak detailn poznali, že problém nedokonalé pemny

dodaného tepla na práci spoívá v tom, že práce vykonaná tepelným strojem se sice (podle 1. vty) rovná

celkovému pijatému teplu :

21 QQQA +==

ale toto celkové teplo je složeno ze dvou ástí a pouze prvn uvedené Q1 je kladné, neboli je to teplo

skuten pijaté strojem z tepelného zdroje o teplot T1 – z ohívae (kde se vytváí tepelná energie,

nap. spalováním paliva nebo pemnou z jiné energie) a druhé teplo Q2 je záporné - je to teplo

odevzdané strojem do chladie teploty T2 - pro využití strojem, tedy pemnu na práci - je to ovšem teplo

„ztracené“.

2

Napíšeme-li skuten pijaté teplo na jednu stranu rovnice :

21 QAQ −=

vidíme názorn, jak stroj s dodanou energií naložil : pemnil ji sice na mechanickou práci, ale uritou

ást tepla odevzdal „bez užitku“ do chladie (viz obrázek).

Tepelný stroj

T1

T2

Q2

Q1

A

chladi

ohíva

Je zejmé, že pro dokonalou pemnu dodaného tepla na mechanickou práci by teplo vydané do chladie

mlo být nulové, tj. tepelný stroj by ml pouze odebírat teplo z ohívae a neml by žádné teplo vydávat,

nepoteboval by pak spolupsobení tlesa nižší teploty – chladie (o této nemožnosti mluví první

formulace 2.vty).

Dokonalé pemny tepla v práci by samozejm bylo také dosaženo, kdyby teplo ztracené v chladii

mohlo samovoln pejít do ohívae, a tak by se vrátilo do pracovního cyklu. To by ovšem vyžadovalo

pechod tepla z tlesa chladnjšího na teplejší (a o tomto „nesmyslu“ hovoí další formulace 2.vty).

Tepelný stroj tedy nebude nikdy dokonale pemovat tepelnou energii na mechanickou práci a

bude vždy vyžadovat existenci (minimáln) dvou spolupsobících tles – ohívae vyšší teploty a

chladie nižší teploty.

Teoretickou úinnost tepelného stroje jsme pak definovali jako pomr strojem vydávané energie –

celkové mechanické práce (neuvažují se ztráty) – a energie stroji dodávané ve form tepla :

1QA=η úinnost tepelného stroje

3

Podle Carnotovy vty pak platí :

1

21

1 TTT

QA −==η úinnost vratného Carnotova cyklu

1

21

1 TTT

QA −<=η úinnost nevratného cyklu

Nyní pokroíme dále a ukážeme, že z podmínky uzavenosti pracovního cyklu vyplývá nutnost, aby

plyn vždy ást dodaného tepla odevzdal do okolí – pitom je nutné spolupsobení tlesa nižší teploty, tj.

chladie :

Provedeme následující matematické úpravy : použijeme vztah pro celkovou práci v Carnotov cyklu :

21 QQA +=

a dosadíme jej do první rovnice v rámeku :

1

21

1

21T

TTQ

QQ −=+

Vynásobíme jmenovateli obou zlomk :

( ) ( )21112111

211211

TQTQQTQT

TTQQQT

⋅−⋅=⋅+⋅−⋅=+⋅

První leny obou stran se vyruší. Rovnici nakonec dlíme souinem obou teplot a oba vzniklé leny dáme

na levou stranu :

0TQ

TQ

2

2

1

1 =+

Vznikl zajímavý vztah se dvma leny, které se vztahují ke dvma (izotermickým) procesm v Carnotov

cyklu, ve kterých je plynem pijímáno teplo - a vždy se jedná o podíl vratn pijatého tepla a teploty, pi

které bylo teplo pijímáno (v technické termomechanice se nazývají redukovaná tepla). Teploty jsou

samozejm vždy kladné, ale druhé teplo je záporné, proto je dosaženo nulové pravé strany.

Pozn. : K úprav druhého výchozího vztahu – nerovnosti pro nevratné cykly – lze použít stejný

matematický postup a vznikla by opt nerovnost :

0TQ

TQ

2

2

1

1 <+

4

Získaný vztah nyní zobecníme pedstavou njakého vratného pracovního cyklu, ve kterém by se plynu

pedávalo teplo ve více izotermických procesech spojených adiabatami (takový myšlený stroj by ml

více ohíva a chladi) - pak by zejm platilo (mžeme použít písmeno na oznaení jednotlivých

ástí celkového dodaného tepla) :

0...TQ

TQ

TQ

3

3

2

2

1

1 =+++ ∆∆∆

Zapsáno strunji pomocí matematické sumy :

0TQ

k

k =∆

A tento tvar nám dobe pomže pi závrené úvaze :

V nejobecnjším pípad by libovolný vratný pracovní cyklus neml žádné izotermické ásti a teplo

by se plynu dodávalo spojit pi promnlivé teplot (viz obr.).

∆Q1

∆Q2∆Q3 ∆Q4

dQT1

T2T3 T4

T

Pak použijeme pedstavu, že uzavenou kivku pracovního procesu rozdlíme na velký poet (N) malých

úsek , na kterých mžeme považovat teplotu plynu za pibližn konstantní a pro vratn dodaná tepla na

tchto úsecích bude zejm opt platit analogická rovnice :

0TQ

k

k =∆

(Pro exaktní dkaz tohoto tvrzení se protjší izotermické ásti formáln propojí adiabatami do Carnotova

cyklu - z celé obecné kivky tak vznikne N/2 Carnotových cykl a rovnice pro jejich dodaná tepla se

setou všechny dohromady).

Vratn dodaná tepla na malých úsecích jsou také velmi malá - v limit nekonen malých úsek jsou pak

tato tepla diferenciáln malé - a suma pejde na integrál (po uzavené integraní cest) :

5

= 0T

dQ Clausiv integrál pro uzavené vratné cykly

Pozn . : I když jsme v našich úvahách vyšli z vratného Carnotova cyklu, dospli jsme k obecnému vztahu

platnému pro libovolný uzavený vratný cyklus. Vratný Carnotv cyklus se od jiných vratných

uzavených cykl sice odlišuje svojí vyšší úinností, ale hodnota Clausiova integrálu je pro n

pro všechny stejná - rovná nule.

V pípad nevratných cykl zstává ovšem stále v platnosti výchozí nerovnost a vznikne proto také

nerovnice :

< 0T

dQ Clausiv integrál pro nevratné cykly

Spojíme-li oba vztahy dohromady, dostaneme obecnou charakteristiku jakéhokoliv pracovního

uzaveného dje, která se považuje za matematický tvar 2.vty termodynamiky, :

≤ 0T

dQ matematické vyjádení 2.vty termodynamiky

Tento vztah totiž exaktn zdvoduje nemožnost dokonalé pemny dodaného tepla na práci :

a) Protože absolutní teplota plynu je vždy kladná, pak pro vytvoení nulové výsledné hodnoty integrálu

nemohou být všechna tepla dQ kladná (tj. skuten pijatá), ale musí vždy existovat také tepla

dQ záporná - tedy plynem bez pracovního užitku odevzdaná do okolí (do chladie).

b) V pípad záporné hodnoty Clausiova integrálu (tedy pro nevratné cykly) pak záporná tepla dQ

mají vyšší podíl – plyn tedy bhem cyklu odevzdá více tepla, vykonaná práce se proto zmenší, a tím

se zmenší i úinnost tohoto nevratného pracovního cyklu (Carnotova vta).

Plynu dodané teplo se tedy nikdy nemže stoprocentn pemnit na práci –

perpetum mobile 2. druhu neexistuje.

6

Pomocí Clausiova integrálu také lehce dokážeme, že vratný Carnotv cyklus má ze všech možných

vratných uzavených cykl nejvyšší úinnost :

Pedpokládejme tedy njaký obecný vratný uzavený proces probíhající mezi teplotami T1 a T2 - tzn.

jehož pracovní teplota se mže libovoln spojit mnit mezi maximální hodnotou T1 a minimální

hodnotou T2 .

Celkové teplo skuten pedané plynu (tj. kladné hodnoty) mžeme vypoítat integrací po té ásti

(ástech) cyklu – oznaíme ji indexem 1 – na které je 0dQ > :

=11 dQQ

Celkové teplo, které plyn odevzdá do okolí, pak bude zase vypoítáno integrálem po (zbylé) ásti cyklu –

oznaíme ji indexem 2 – na které je 0dQ < :

=22 dQQ

Potom rozdlíme Clausiv integrál (rovnající se nule) také na dva integrály po uvedených ástech cyklu

1 a 2 :

=+= 0T

dQT

dQTdQ

21

Tedy pro všechny vratné uzavené cykly platí :

0TdQ

TdQ

21=+

Diferenciální tepla v integrálech pak mžeme nahradit celkovými teply podle následující úvahy : Protože

T1 je maximální možná teplota, pi které se v cyklu dodává plynu teplo, musí platit nerovnost :

1

11 T

QTdQ ≥

A analogicky - protože T2 je minimální možná teplota, pi které v cyklu plyn odevzdává teplo do okolí,

bude platit nerovnost (jsou to záporné výrazy) :

2

22 T

QT

dQ ≥

Proto po dosazení tchto vztah dostaneme :

0TQ

TQ

2

2

1

1 ≤+

7

A nyní si už jen pedstavme stejné úpravy, jaké jsme dlali na zaátku této kapitoly, ale v obráceném

poadí – výsledkem bude vztah pro úinnost :

1

21

1

21

1 TTT

QQQ

QA −≤+==η

Dokázali jsme tedy jednoznan, že :

Carnotv vratný cyklus má ze všech možných vratných uzavených cykl

nejvyšší možnou úinnost .

V následující kapitole pak bude ukázáno, že s pomocí nové stavové veliiny entropie je možno

formulovat onu dodatenou podmínku realizace termodynamického dje – tedy 2. vtu termodynamiky

– bez toho, aniž bychom ji museli spojovat s pracovním cyklem tepelných stroj :

Nevratné pirozené tepelné procesy probíhající v izolovaných soustavách (penos tepla z látek teplejších

na látky chladnjší, rozpínání plynu dok míst nižšího tlaku,…). jsou totiž spojeny s neustálým rstem

entropie - a neexistující zptné smry tchto dj by tedy musel charakterizovat její pokles.

Rst njaké veliiny lze jednoduše matematicky lze vyjádit nerovností :

0dS >

A proto mžeme konstatovat :

Princip rstu entropie v izolované soustav je nejobecnjší

matematickou formulací 2.vty termodynamiky.

Uvážíme-li ješt, že pi vratných adiabatických procesech se entropie nemní (pírstek entropie je

nulový), pak libovolné procesy v izolované soustav - vratné i nevratné - jsou charakterizovány vztahem :

0dS ≥ princip rstu entropie v izolované soustav, matematický tvar 2.vty

V izolované soustav tedy probíhají pouze takové procesy, pi nichž entropie soustavy vzrstá nebo

zstává nezmnna.

Druhá možnost (konstantní entropie) se vztahuje k vratným procesm, které – jak víme – souvisejí

s rovnovážnými stavy termodynamické soustavy. Pipomeme si ješt znalosti o nevratných pirozených

procesech v izolované soustav – že tyto procesy pivádjí soustavu práv do rovnovážného stavu.

8

Je tedy zejmé, že entropie izolované soustavy vzrstá za souasného pibližování k rovnovážnému stavu

a pi jeho dosažení se už dále nemní, což znamená, že dosáhla svého maxima.

Dostali jsme se tak k dalšímu dležitému poznatku :

V termodynamické rovnováze je entropie izolované soustavy maximální.

Princip rstu entropie je nejjednodušším matematickým vyjádením 2.vty termodynamiky, neposkytuje

však bližší vysvtlení, pro vlastn tento zákon platí. Teprve Ludwig Boltzmann na základ kinetické

teorie 2.vtu objasnil a ukázal, že je vlastn statistickým zákonem - to znamená, že platí jen pro

soubory s velmi mnoha ásticemi, na které lze aplikovat matematickou statistiku - na rozdíl od 1.vty

termodynamiky - která je obecným, univerzálním zákonem .

Na tyásticovém plynu budeme v píští kapitole demonstrovat, že stav termodynamické rovnováhy

izolované soustavy je charakterizován nejen maximální entropií, ale i nejvyšší možnou pravdpodobností

a že tedy entropie je zejm rostoucí funkcí pravdpodobnosti stavu soustavy.

Boltzmann také jako první (1877) uril tvar této funkce :

wlnkS ⋅= .)konst( + vztah entropie a pravdpodobnosti

(V tomto vztahu je použita tzv. termodynamická pravdpodobnost w - poet mikrostav daného stavu

soustavy, k je Boltzmannova konstanta).

Uvážíme-li ješt, že nerovnovážný stav uzavené soustavy znamená také vtší uspoádanost

(„poádek“) soustavy, pak pechod soustavy k rovnovážnému stavu je spojem se ztrátou této

uspoádanosti (v soustav vznikne „nepoádek“).

Celkem tedy platí :

Smr nevratných proces je odvodnn vývojem termodynamické soustavy

od mén pravdpodobných stav ke stavm pravdpodobnjším

(od uspoádanjších stav ke stavm mén uspoádaným).

Zptný (opaný) smr tchto proces není principiáln nemožný, je však

zanedbateln málo pravdpodobný.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

konec kapitoly K. Rusák, verze 05/2007

1

Entropie Pi pohledu na Clausiv integrál pro vratné cykly :

= 0T

dQ

si díve i pozdji jist uvdomíme, že nulová hodnota integrálu njaké veliiny pi kruhovém termodynamickém procesu je základním znakem toho, že se jedná o stavovou veliinu. Vzpomeme na vnitní energii U, pro jejíž pírstek dU platilo :

= 0dU

Je tedy možno definovat novou stavovou veliinu – a zavedl ji práv Clausius roku 1850 a nazval ji entropie S (z etiny „udávat smr“) – za znakem integrálu je tedy její pírstek :

TdQ

dS = definice entropie

Pozor !! Není tedy definována velikost entropie v njakém stavu plynu, ale její pírstek pi nepatrné, diferenciální vratné zmn stavu jako podíl vratn pijatého tepla a teploty plynu (kterou lze samozejm pi této nepatrné zmn stavu považovat vždy za konstantní). Podle našich dívjších poznatk o stavových veliinách mžeme dále konstatovat, že celková zmna entropie plynu pi njakém procesu (vratném) nezávisí na kivce procesu, ale pouze na poátením a koncovém stavu a je dána rozdílem entropií v tchto stavech :

12

2

1

2

1

SSdSdSS

.)vrp(.)vrp(

−=== ′

∆

Dále pak velmi malý pírstek entropie jako stavové veliiny musí být úplným diferenciálem (stavové funkce S ). Jak vidíte z definice entropie, tento úplný diferenciál je vlastn vytvoen z diferenciálu neúplného ( dQ ) pouhým vynásobením faktorem 1/T .

2

Jestliže budeme chtít vypoítat zmnu entropie pímo z definice, musíme pedevším vyjádit diferenciální dodané teplo, napíklad pomocí první termodynamické vty :

dAdUdQ +=

Další použití této rovnice je velmi snadné u ideálního plynu, nebo v pípad vratných zmn mžeme jednoduše dosadit známé vztahy :

dTCdU V ⋅⋅= ν dVpdA ⋅=

A dostaneme:

dVpdTCdQ V ⋅+⋅⋅= ν

Za tlak ve druhém lenu lze dosadit ze stavové rovnice ideálního plynu, která také platí v pípad vratných proces :

VdVTR

dTCdQ V⋅⋅⋅+⋅⋅= νν

Pak nekonen malá zmna entropie bude :

VdVR

TdTC

)V

dVTRdTC(

T1

TdQ

dS VV

⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅== νννν

A zmna entropie pi njakém vratném termodynamickém procesu ze stavu 1 do stavu 2 :

⋅⋅+⋅⋅==−=2

1

2

1

V2

112 V

dVR

TdTC

dSSSS νν∆

Druhý integrál lze ihned provést :

1

22

1

VVV

lnRT

dTCS ⋅⋅+⋅⋅= νν∆

Pokud molární tepelná kapacita nezávisí na teplot, lze vypoítat i první integrál :

)VV

lnRTT

lnC(S1

2

1

2V ⋅+⋅⋅= ν∆ zmna entropie (pi vratných procesech ideál. plynu)

Zmna entropie je tedy pímo úmrná množství plynu. Výsledek se ješt výrazn zjednoduší pi procesu izochorickém, pípadn izotermickém (jeden ze len bude nulový).

3

Stejn jako ostatní stavové veliiny, je entropie také vhodná k popisu stav termodynamických soustav. V technické termodynamice se asto používá k výpotu vratn dodaného tepla, nebo z její definice plyne pro diferenciální dodané teplo :

dSTdQ ⋅= Celkové teplo dodané pi njakém vratném termodynamickém dji ze stavu 1 do stavu 2 je pak samozejm integrálem z tohoto výrazu :

⋅==2

.vr1

2

.vr1

dSTdQQ dodané teplo vyjádené pomocí entropie

Jestliže stavy plynu a kivku termodynamického dje zakreslíme v T-S diagramu - tzv. tepelný diagram , pak je toto teplo graficky znázornno plochou pod kivkou daného procesu (viz obr.)

Tepelný diagram

Nejjednodušším možným zpsobem – úsekami rovnobžnými s osami – je v tepelném diagramu znázornn vratný Carnotv kruhový cyklus, který se stává ze dvou dj izotermických a dvou dj adiabatických – tj. izoentropických. Protože dodaná tepla nám ukazují plochy pod kivkami, vidíme jasn jejich nulovost u izoentropických dj znázornných svislými úsekami a je možno také dobe znázornit celkovou vykonanou práci , která je rovna soutu obou tepel (druhé teplo je záporné !!) dodaných pi izotermických djích (viz další obrázek vlevo) :

(šrafy) (šrafy)

(žlutá) (žlutá)

4

Vedlejší, pravý obrázek je pak možno považovat za grafickou ilustraci tvrzení o maximální úinnosti vratného Carnotova cyklu ze všech možných vratných kruhových cykl pracujících mezi stejnými teplotami T1 a T2 (které bylo matematicky dokázáno v poznámce ped zaátkem odstavce o entropii) : Je vidt, že postaí i jen ástená zmna Carnotova cyklu – nahrazení adiabat jinými dji – a jejich kivky pak už nebudou svislé, ale šikmé – a tím se zvtší celkové dodané teplo pi stejné vykonané práci - tzn. sníží se úinnost cyklu.

Pozn. : Obecn nižší úinnost nevratného cyklu oproti cyklu vratnému jsme již vysvtlili pomocí Clausiova integrálu, který nám také obecn objasnil nemožnost dokonalé pemny tepla na práci.

Dále je možno veliinu entropie využít tak, že do 1. vty termodynamiky, napsané pro pírstek vnitní

energie :

dAdQdU −= pírstek vnitní energie (obecn)

dosadíme v pípad vratných dj dosadit výše uvedený vztah pro dodané teplo (souasn se vztahem

pro vykonanou prác):

dSTdQ ⋅= dVpdA ⋅=

A dostaneme rovnici, která se v uebnicích asto oznauje jako „spojená formulace první a druhé vty

termodynamiky“ :

dVpdSTdU ⋅−⋅= Spojená formulace první a druhé vty termodynamiky

Tento vztah vlastn vyjaduje pírstek vnitní energie - jako diferenciálu funkce dvou promnných -

entropie a objemu :

)V,S(UU =

Matematické vyjádení diferenciálu této funkce je ovšem obecn :

dVVU

dSSU

dUSV

⋅

∂∂+⋅

∂∂=

Porovnáním obou diferenciál dostaneme zajímavá vyjádení základních stavových veliin - a tyto vztahy

dokazují význam entropie jako stavové veliiny a také dležitost vnitní energie jako jednoho z tzv.

termodynamických potenciál (je jím i entropie, více viz další kapitoly) :

5

VSU

T

∂∂=

SVU

p

∂∂−=

Význam nové stavové veliiny entropie je však ješt vtší – pomocí entropie lze obecn zformulovat onu dodatenou podmínku, kterou (krom platnosti 1.vty) musí splovat termodynamický proces, a matematicky vyjádit nevratnost tepelných proces : Víme, že v tepeln izolovaných soustavách probíhají adiabatické dje charakterizované nulovou tepelnou výmnou :

0dQ =

Lehce vyešíme vratný adiabatický dj, jehož pijaté teplo pímo uruje pírstek entropie, který je zde ovšem nulový :

0TdQ

dS ==

Samozejm je i nulová celková zmna entropie pi vratném adiabatickém procesu ze stavu 1 do stavu 2 :

==−=2

112 0dSSSS∆

a tedy dostáváme :

21 SS =

Pi vratném adiabatickém procesu zstává entropie konstantní, je to dj izoentropický :

.konstS =

Nevratný adiabatický dj je ovšem ponkud složitjší problém. I v tomto pípad je samozejm pijaté teplo plynem nulové :

0dQ =

Ale to nám o entropii nic neíká – pírstek entropie lze stanovit pouze pomocí vratn pijatého tepla.

Uríme nejprve zmnu entropie nevratného dje obecn, pro libovolný proces :

Pedstavme si, že se z poáteního (libovolného) stavu 1 dostaneme njakým nevratným procesem do koneného stavu 2 a z tohoto stavu pejdeme zpt do stavu 1 procesem vratným.

6

Kruhový dj, který oba procesy dohromady vytváejí, je ovšem celkov nevratný, Clausiv integrál je proto záporný :

0TdQ <

Napišme levou stranu jako souet integrál pes ob ásti uzaveného cyklu :

0TdQ

TdQ 1

2

2

1.)vr(.)nevr(

<+

Druhý integrál je po vratné cest - jeho hodnota je proto rovna celkovému pírstku entropie, tj. rozdílu entropií v koncovém a poátením stavu :

−==1

221

1

2.)vr(.)vr(

SSdST

dQ

Po jeho dosazení a pevedení na druhou stranu rovnice dostáváme obecný vztah pro libovolný nevratný dj mezi dvma (rovnovážnými) stavy plynu (ze stavu 1 do stavu 2) :

>=−2

112

.)nevr(

TdQ

SSS ∆ zmna entropie pi nevratném dji

Rozdíl obou stran nerovnice, tj. rozdíl pírstku entropie a integrálu z podílu nevratn pijatého tepla a teploty, je možno považovat za jakousi „míru nevratnosti“ termodynamického dje (pro vratný proces by tento rozdíl byl ovšem nulový).

Uvážíme-li nyní speciální pípad nevratného dje v tepeln izolované soustav - tj. nevratný adiabatický dj , kdy je tepelná výmna nulová :

0dQ =

Pak bude integrál na pravé stran nulový a pro zmnu entropie dostáváme :

7

0S >∆

Nevratný adiabatický dj již tedy není izoentropický, ale probíhá za neustálého rstu entropie. Pro (diferenciáln) malou nevratnou adiabatickou zmnu lze tedy analogicky psát :

0dS >

Jestliže si uvdomíme, že v izolovaných soustavách jsou probíhající nevratné pirozené tepelné procesy samozejm adiabatické, pak jsme vlastn objevili matematické kritérium, které dobe charakterizuje možný smr tchto proces (smr penosu tepla – z látek teplejších na látky chladnjší, smr rozpínání plynu,…).

Opané (zptné) smry pirozených proces možné nejsou a jejich neexistence je zejm spojena s nemožností poklesu entropie v izolované termodynamické soustav. Rst entropie (v izolované soustav) je proto možno považovat za ono hledané další kritérium realizace termodynamického procesu, které v maximální obecnosti (už bez zjevné souvislosti s tepelnými stroji) dopluje zákon zachování energie (1.vta).

Princip rstu entropie (v izolované soustav) je nejobecnjší matematickou formulací 2.vty termodynamiky.

Uvážíme-li ješt, že pi vratných adiabatických procesech se entropie nemní (pírstek entropie je nulový), pak libovolné procesy v izolované soustav jsou charakterizovány vztahem :

0dS ≥ princip rstu entropie v izolované soustav, matematický tvar 2.vty termodynamiky

V izolované soustav mohou tedy probíhat pouze takové procesy, pi nichž entropie soustavy vzrstá nebo zstává nezmnna. Druhá možnost (konstantní entropie) se vztahuje k vratným procesm, které – jak víme – souvisejí s rovnovážnými stavy termodynamické soustavy. Pipomeme si také další znalosti o nevratných pirozených procesech v izolované soustav – že tyto procesy pivádjí soustavu práv do rovnovážného stavu.

Entropie izolované soustavy tedy vzrstá za souasného pibližování k rovnovážnému stavu a pi jeho dosažení se už dále nemní, což znamená, že dosáhla svého maxima.

Dostali jsme se tak k dalšímu dležitému poznatku :

V termodynamické rovnováze je entropie izolované soustavy maximální.

Poznámka: Mohlo by se zdát, že obecná platnost tchto formulací je znan omezena podmínkou izolace soustavy. Pi fyzikálních analýzách svta kolem nás i v technických aplikacích však ale tém vždy (aniž si to teba i uvdomujeme) používáme izolované (uzavené, osamocené) soustavy tím, že zanedbáváme vliv nkterých okolních tles (protože nedokážeme sledovat psobení nekoneného potu vnjších objekt). A pokud studovaná termodynamická soustava ješt není izolovaná, vždy ji mžeme zahrnout jako podmnožinu do njaké vtší soustavy skuten izolované (nap. pracovní plynová nápl tepelného stroje samozejm není uzavená, ale spolu s ohívaem, chladiem a „píjemcem práce“ vytvoí rozumnou izolovanou soustavu).

8

Entropie a pravdpodobnost

Princip rstu entropie je matematickým vyjádením 2.vty termodynamiky, neposkytuje však bližší vysvtlení, pro vlastn tento zákon platí. Teprve Boltzmann na základ kinetické teorie objasnil 2.vtu termodynamiky a ukázal, že je vlastn statistickým zákonem - to znamená, že platí jen pro soubory s velmi mnoha prvky, na které lze aplikovat matematickou statistiku - na rozdíl od 1.vty termodynamiky, která je obecným, univerzálním zákonem . Podle kinetické teorie je termodynamická soustava (plyn) skuten souborem obrovského potu nepatrných ástic – molekul (neuspoádan se pohybujících rznými smry i rychlostmi). Takzvané stavové veliiny (teplota, tlak, vnitní energie, …) ovšem nepopisují vlastnosti (stavy) jednotlivých mikroskopických ástic (tj. jejich polohy a rychlosti), ale popisují stav soustavy jako celku – tzv. makrostav soustavy. Tyto - makroskopické - stavové veliiny jsou pak (nkdy) jednoznan spojeny se statistickými stedními hodnotami dané soustavy ástic (jak jsme vidli v minulých kapitolách, pomocí stední kvadratické rychlosti je možno stanovit vnitní energii soustavy, tlak i teplotu, …, ovšem jen ve stavu termodynamické rovnováhy). V jakémkoliv makrostavu soustavy má ovšem každá ástice njaký svj stav – je možno íci mikrostav (polohu a rychlost) - a soubor mikrostav všech ástic (polohy a rychlosti všech ástic) vytváí mikrostav soustavy. Když bychom tedy chtli znázornit mikrostav soustavy, museli bychom nakreslit polohy všech ástic soustavy (a ješt ke každé ástici pipojit její rychlost).

Pozn. : Pi teoretickém popisu stav hmotných ástic se namísto rychlosti používá veliina hybnost (tím se do výpot zahrne i hmotnost ástice) – stav jedné ástice pak bude uren její polohou a hybností – tedy dvma vektory :

)z,y,x(r = a )p,p,p(p zyx=

nebo jinak eeno šesti skalárními veliinami – souadnicemi tchto vektor. Proto se zavádí formální šestirozmrný fázový prostor s kartézskými osami x, y, z, px , py , pz , nebo v tomto prostoru je pak stav jedné ástice znázornn také pouze jedním bodem :

)p,p,p,z,y,x( zyx

Mikrostav soustavy N ástic je tedy ve fázovém prostoru znázornn soustavou také N bod. Rzné makrostavy soustavy – kterým odpovídají nap. rzné energie soustavy – jsou pak spojeny s rzným rozložením (rozdlením) tchto bod ve fázovém prostoru, které lze popsat jejich hustotou (koncentrací) – tzv. rozdlovací funkcí f :

φddN

f =

kde dN je poet bod – obraz stav ástic – v elementu fázového prostoru (kartézský element, obecn by mohl být i jiný) :

zyx dpdpdpdzdydxd ⋅⋅⋅⋅⋅=φ

Stav termodynamické rovnováhy pak popisuje Boltzmannova rozdlovací funkce :

Tkásticeenergie

ekonstf ⋅−

⋅=

V pípad ideálního plynu pak lze vhodnou volbou elementu fázového prostoru a integrací podle prostorových souadnic dojít až ke známé Maxwellov rozdlovací funkci, kterou jsme použili v kapitole „Vnitní energie a teplota podle kinetické teorie“ :

9

( ) vekT2

mN4

dvdN

vf kT2mv

23 2

⋅⋅

⋅==

−

ππ

Každý mikrostav soustavy – tj. rozložení ástic v prostoru (ve smyslu poznámky pesn vzato ve fázovém prostoru) – tedy jist náleží k njakému makrostavu soustavy. Pedstavme si nyní, že pozmníme konkrétní mikrostav tím zpsobem, že vzájemn zamníme libovolné dv ástice. Zmní se tím makrostav soustavy – tj. její energie, tlak, …atd. ? Urit ne ! Všechny ástice (molekuly daného plynu) jsou pece stejné, takže nezáleží na tom, která konkrétní ástice je na daném míst (a má danou rychlost), ale je dležité, zda tam njaká molekula vbec je.

Jeden makrostav soustavy tedy mže být realizován více rznými mikrostavy.

Abychom stejn jako Boltzmann objevili onen zásadní statistický zákon, musíme prozkoumat mikro- a makrostavy termodynamické soustavy pi njakém nevratném procesu, kdy dochází k rstu entropie soustavy. Kvli nesmírnému potu ástic (molekul) nemáme ovšem naprosto žádnou šanci znázornit mikrostavy i jen napíklad jednoho gramu skutené látky (plynu), jedinou možností je tedy pracovat se soustavou o malém potu ástic a pak se pokusit o teoretické zobecnní. Podíváme se tedy tímto zpsobem, co se dje s termodynamickou soustavou (plynem) pi jednom z pírodních nevratných proces – pi expanzi plynu do vakua. Nejprve podrobn popíšeme tento proces : Nech máme tzv. izolovanou soustavu - pevnou, uzavenou a tepeln izolovanou nádobu, která je rozdlená pepážkou na dv (stejné) ásti (viz obr.) :

poátení stav - ped expanzí konený stav - po expanzi

V poátením stavu je levá ást naplnna plynem o tlaku p, který je podle stavové rovnice uren potem ástic plynu (koncentrací), pravá ást je prázdná (nulový tlak, vakuum). Pak odstraníme pepážku a plyn bude proudit z levé ásti nádoby do ásti pravé - tlak tedy bude v levé ásti klesat a v pravé ásti bude stoupat – takto se realizuje expanze plynu - nerovnovážný termodynamický proces Po urité dob se ovšem tlaky vlevo o vpravo vyrovnají, proudní plynu ustane a vznikne konený stav termodynamické rovnováhy. charakterizovaný konstantním tlakem (v pípad stejných ástí nádoby to bude poloviní tlak – p/2 ), Tento proces je zaruen nevratný – plyn se nikdy sám nevrátí zpt do levé ásti nádoby ! (nelze pedpokládat žádný vnjší zásah – je to pece izolovaná soustava ). Nyní se pokusíme urit mikro- a makrostavy, jestliže by plyn byl tvoen soustavou malého potu – napíklad 4 (ty) ástic (molekul) – oznaíme je a, b, c, d.

10

V poátením (makro)stavu jsou všechny ástice vlevo, vpravo není žádná , tomu odpovídá jediný mikrostav : 1. makrostav (4 ástice vlevo, 0 vpravo) poet mikrostav : w = 1

a, b, c, d Po otevení pepážky mohou molekuly pecházet vpravo - vzniká další makrostav : 2. makrostav (3 ástice vlevo, 1 vpravo) poet mikrostav : w = 4

b, c, d a a, c, d b a, b, d c a, b, c d

Stejný poet molekul vlevo i vpravo pak odpovídá konenému rovnovážnému stavu : 3. makrostav (2 ástice vlevo, 2 vpravo) poet mikrostav : w = 6

a, b c, d a, c b, d a, d b, c b, c a, d b, d a, c c, d a, b

Neuspoádaný pohyb molekul však nelze zastavit, mže proto vzniknou další stav, kdy se plyn vlastn ásten pesouvá do pravé ásti : 4. makrostav (1 ástice vlevo, 3 vpravo) poet mikrostav : w = 4

a b, c, d b a, c, d c a, b, d d a, b, c

A v principu se všechny molekuly mohou pemístit do pravé ásti soustavy : 5. makrostav (0 ástice vlevo, 4 vpravo) poet mikrostav : w = 1

a, b, c, d

11

Neuspoádaný pohyb ovšem stále pokrauje – a tak se opakovan realizují výše uvedené stavy, plyn se tedy mže pemístit také do levé ásti nádoby – tím se ovšem dostává zpt do poáteního stavu, jinak eeno samovoln probhne zptný proces – ten, o kterém jsme tvrdili, že je z dvod nevratnosti expanze absolutn vylouený !!! Objevili jsme tedy vratnou expanzi plynu !! A stejn vratný mže zejm být i pechod tepla z tlesa teplejšího na tleso chladnjší – teplo bude pecházet i obrácen, z tlesa chladného na tleso teplé - a další pirozené, tzv. nevratné procesy …… Ano, je tomu tak ….. ale jen u naší tymolekulové soustavy. Uvažme : ím se vlastn „ídí“ chování jednotlivých ástic soustavy : Podle kinetické teorie je pohyb ástic neuspoádaný, to znamená, že velikost rychlost, její smr, dráhu jednotlivých ástic – tj. jejich pesuny v nádob - nemžeme nijak ovlivnit , proto je vytvoení njakého uspoádání ástic – mikrostavu – zcela náhodný proces (jev) a každý mikrostav proto vzniká (nastane) se stejnou pravdpodobností a trvá také stejnou dobu - to je základní princip statistické mechaniky :

Všechny mikrostavy termodynamické soustavy mají stejnou pravdpodobnost.

Mikrostavy jsou tedy stejn pravdpodobné, ale makrostavy sestávají z rzného potu mikrostav - proto (matematické) pravdpodobnosti jejich výskytu jsou rzné. Mžeme je lehce vypoítat jako pomr potu píznivých jev – mikrostav daného stavu a potu všech možných jev – všech mikrostav soustavy. V našem píkladu soustavy 4 ástic je celkový poet mikrostav 24. Potom pravdpodobnost 1. a 5. makrostavu (kdy je všechen plyn v jedné ásti nádoby) je :

%17,4241

PP 51 ===

Pravdpodobnost nerovnovážného 2. a 4. makrostavu iní :

%7,16244

PP 42 ===

A pravdpodobnost 3. makrostavu, kdy je plyn rovnomrn rozložen v celé nádob (tj. rovnovážný stav) :

%0,25246

P3 ==

Pozn. : Pi výpotu každé pravdpodobnosti se vždy opakuje stejný celkový poet ástic, proto se ve fyzice asto používá veliina termodynamická pravdpodobnost w , rovná pímo potu mikrostav daného stavu.

Mžeme konstatovat, že v naší soustav s malým potem ástic má rovnovážný stav nejvyšší pravdpodobnost ( P3 ) a nerovnovážný stavu odpovídající zptnému návratu plynu do levé ásti nádoby má pak pravdpodobnost 6 x menší ( P5 ) – tj. nejnižší ze všech možných stav. Tato pravdpodobnost je ale stejn dosti vysoká (pes 4 %), takže zptný návrat tymolekulového plynu do poáteního stavu je zcela reálný. Podívejme se ovšem dále, jak se bude mnit chování termodynamické soustavy, když budeme poet jejích ástic zvtšovat :

12

Protože pi celkovém potu ástic N a potu ástic v levé ásti n1 a v pravé ásti n2 je poet mikrostav roven potu kombinací n1 - té tídy z N prvk (bez zetele k uspoádání ve skupin), nebo také n2 - té tídy z N prvk :

=

⋅−=

⋅=

−⋅=

=

22221111

nN n

N!n)!nN(

!N!n!n

!N)!nN(!n

!NnNC 1

Potom mžeme lehce urit poty mikrostav a pravdpodobnosti stav pro libovolný vyšší poet ástic. Jestliže zvolíme napíklad N = 100, pak poet mikrostav plynu , který by se navrátil zpt do levé ásti je stále roven jedné :

1!0!100

!100100100C N

N =⋅

=

=

Ale poet mikrostav rovnovážného stavu bude podstatn vyšší :

29Nn 1001,1

!50!50!100

50100C

1⋅=

⋅=

=

A jak vidíme, je skuten vyšší, ale neoekávan vyšší ! Zatímco pi tyásticovém plynu byla pravdpodobnost návratu plynu do levé ásti jen 6-krát menší než pravdpodobnost vytvoení rovnovážného stavu, nyní jde o nepedstavitelný pomr ádu 1029 (a to je ješt celkový poet 100 ástic smšn malý oproti skuteným potm ástic hmoty – ádu Avogadrova ísla). Tedy :

Plyn se tedy pi expanzi nikdy nevrátí zpt do levé ásti nádoby – ne proto, že by tento proces nebyl teoretiky možný – ale protože je zanedbateln málo pravdpodobný.

Pozn. : Porovnejte s pravdpodobností výhry Sportce, kdy je poet možných kombinací „pouze“ :

71040,1!43!6

!49649 ⋅=

⋅=

Dále uvažme, že z obecného kombinaního vzorce pímo vyplývá, že pro rovnovážný stav plynu má poet mikrostav soustavy – tedy i pravdpodobnost makrostavu - vždy nejvyšší možnou hodnotu. Mžeme tedy obecn konstatovat :

Stav termodynamické rovnováhy uzavené soustavy je tedy charakterizován nejen maximální entropií, ale i nejvyšší možnou pravdpodobností. Entropie je zejm rostoucí funkcí pravdpodobnosti stavu soustavy (Boltzmannv princip).

Rakouský fyzik Ludwig Boltzmann také první uril r. 1877 tvar této funkce :

wlnkS ⋅= .)konst( + vztah entropie a pravdpodobnosti

13

(V tomto vztahu je použita tzv. termodynamická pravdpodobnost w - poet mikrostav daného stavu soustavy, k je Boltzmannova konstanta). Uvažme ješt, že nerovnovážný stav uzavené soustavy (nap. když je plyn shromáždn jen v jedné ásti prostoru) znamená také vtší uspoádanost („poádek“) soustavy.

Pechod soustavy k rovnovážnému stavu je pak spojem se ztrátou této uspoádanosti (v soustav vznikne „nepoádek“). Tento pechod k rovnováze je nevratný – poádek v izolované soustav se „sám od sebe“ neobnoví - museli bychom zrušit izolaci soustavy a umožnit vnjším silám , aby svou prací obnovily uspoádanost, tedy snížily entropii (napíklad pomocí njakého pístu stlaí plyn do jedné ásti objemu soustavy). Pozn. : Jestliže tedy fyzik íká svému kolegovi, že práv jde snižovat entropii, nemyslí tím nic

neslušného, pouze dospl k zásadnímu rozhodnutí, že je nezbytné uklidit pracovní stl, knihovnu, nebo adresáe poítae.

Shrme tedy naše poznatky o statistickém (pravdpodobnostním) smyslu druhé vty termodynamiky :

Smr nevratných proces je odvodnn vývojem termodynamické soustavy od mén pravdpodobných stav ke stavm pravdpodobnjším (od uspoádanjších stav ke stavm mén uspoádaným).

Zptný (opaný) smr tchto proces není principiáln nemožný, je však zanedbateln málo pravdpodobný.

Pozn. : Z kombinaního vztahu pro mikrostavy je také vidt, že jejich poty jsou ješt dosti vysoké

v uritém (relativn malém) okolí rovnovážného stavu. To je dvodem uritých fluktuací (asov promnných zmn) stavových veliin (nap. tlaku) v okolí rovnovážného stavu soustavy. Tyto zmny jsou za „normálního“ stavu nemitelné a mají význam pouze v soustavách s malým potem ástic. (Nap. v kosmickém prostoru, nebo ve vakuové komoe pi dolní hranici ultravakua, kdy 1 cm3 plynu obsahuje jen asi 1000 ástic - molekul).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

konec kapitoly K. Rusák, verze 04/2006

rev. 04/2007

1

Kmity hmotného bodu

Jsou speciálním případem obecného mechanického pohybu hmotného bodu, při kterém se tento bod

pohybuje v omezené oblasti kolem tzv. rovnovážné polohy . Tímto výrazem označujeme místo stabilní

rovnováhy, ve kterém na hmotný bod nepůsobí žádná síla , eventuálně je nulová výslednice působících

sil. Do rovnovážné polohy klademe pokud možno počátek soustavy souřadnic - potom polohový vektor

hmotného bodu je současně jeho výchylkou z rovnovážné polohy.

Základním druhem kmitavého pohybu jsou tzv. netlumené harmonické kmity , které vzniknou, jestliže

na hmotný bod působí síla úměrná jeho výchylce (tj. lineární závislost), ale opačně orientovaná :

rkFrr

⋅−= pružná síla

Příkladem takové síly je síla pružiny (konstanta k je pak tuhost pružiny). Pro praktické aplikace je jistě

velmi důležitou skutečností, že tato síla je spojena s tzv. pružnou deformací , kterou pozorujeme u

pevných těles (také u kapalin a plynů) při relativně malých působících silách (matematicky ji vyjadřuje

Hookův zákon ).

y m y

F

0

Těleso (hmotný bod) zavěšené na obyčejné pružině se ovšem většinou pohybuje pouze po přímce

procházející osou pružiny. Pak je vhodné ztotožnit tuto přímku s některou ze souřadných os a dostaneme

tak nejjednodušší případ jednorozměrných kmitů .

Souřadnice ve vektorové rovnici pro pružnou sílu jsou potom samozřejmě nenulové pouze na této ose,

například na ose y :

),y,(r),F,(F 0000 == rr

Dostaneme tedy skalární rovnici pro y-souřadnice (ostatní souřadnice dávají nulové rovnosti) :

ykF ⋅−=

A pohybová rovnice bude nenulová také pouze pro tuto souřadnici, tj. vzniká jediná skalární rovnice :

yktd

ydm F ⋅−==⋅

2

2

2

Po vydělení hmotností m a převedení na levou stranu dostaneme :

02

2=⋅+ y

m

k

dt

yd

Podíl kladných konstant ve druhém členu se označuje jako kvadrát jiné konstanty, jejíž význam vyplyne

z dalšího textu :

m

k=2ω úhlová frekvence

Pak se pohybová rovnice změní na známý tvar :

0ydt

yd 22

2=+ ω pohybová rovnice lineárního harmonického oscilátoru

Nebo s formálním zápisem derivací :

02 =+ yy ω&&

Tento vztah je homogenní lineární diferenciální rovnicí druhého řádu s konstantními koeficienty ,

kterou lze řešit jak v reálném, tak i v komplexním oboru proměnné y. V každém oboru je pak možno

obecné řešení této rovnice sestavit jako lineární kombinaci dvou nezávislých partikulárních řešení .

Jedním partikulárním řešením v reálném oboru je :

tsinA)tsin(A)t(yy ωω =⋅⋅==

Je to funkce všeobecně známá z analytické geometrie, definovaná na celém oboru reálných čísel.

Veličina A je amplituda kmitů, výraz za znakem sin , argument funkce sinus, někdy uváděný v závorce,

je fázový úhel , zjednodušeně fáze kmitů :

t⋅= ωϕ

Jak známo, v proměnné ϕ je tato funkce periodická s periodou 2π. Připomeňme, že periodou funkce

je takový (nejmenší) interval proměnné, po kterém se průběh funkce opakuje (viz obr.)

3

0

0

t

y = A· sin ωt

y = A· sin φ

φ

Je zřejmé, že jako funkce času musí být výchylka y(t) také periodická. Časový interval T, po kterém

se průběh výchylky opakuje, se nazývá periodou kmitů . Za tuto dobu proběhne jeden kmit, je to tedy

také doba kmitu (viz obr.). Převrácenou hodnotou je potom počet kmitů za jednotku času , tj.:

Tf

1= frekvence kmitů jednotkou je ]Hz[]s[][ 1s1 == −

Porovnáním odpovídajících period fáze a času vznikne vztah :

T⋅= ωπ2

Můžeme tak najít smysl veličiny ω jako frekvence vyjádřené f - násobkem úhlu 2π :

fT

⋅== ππω 22

úhlová frekvence

Jak dále uvidíme, ve vztahu ke kruhovému pohybu by bylo možno nazývat tuto veličinu také úhlovou

rychlostí , při popisu kmitů to ovšem není označení příliš vhodné.

Druhým reálným partikulárním řešením rovnice kmitů je funkce :

tcosA)t.cos(A)t(yy ωω ⋅=⋅==

Středoškolské znalosti postačují ke konstatování, že jde o stejnou funkci - sinusovku, pouze posunutou

na ose fáze o úhel π/2 (viz obr.). Vyjadřuje tedy stejný druh kmitání (se stejnou frekvencí, periodou a

amplitudou), pouze fázově a tedy i časově posunutý.

4

0

t

y = A · cos ωt

Pro popis harmonických kmitů má tak stejné oprávnění jak funkce sinus, tak funkce kosinus. Ostatně,

pomocí součtových vzorců lze druhé partikulární řešení v případě potřeby převést na tvar řešení prvního :

)tsin(AtcosA)t(yy 2πωω +⋅=⋅==

Obě partikulární řešení jsou však lineárně nezávislá , proto můžeme vyjádřit obecné řešení pohybové

rovnice kmitů (v reálném oboru) jako jejich lineární kombinaci (C a D jsou libovolná reálná čísla):

tcosDtsinC)t(yy ωω ⋅+⋅== obecné řešení rovnice kmitů

Význam této rovnice odhalíme tak, že místo konstant C a D (které jsou libovolné), zvolíme jiné (také

libovolné) konstanty A a φo pomocí vztahů :

o

o

cosAC

sinAD

ϕϕ

⋅=⋅=

Po dosazení dostaneme :

tcossinAtsincosA)t(yy oo ωϕωϕ ⋅⋅+⋅⋅==

A s využitím součtových vzorců přejde tato rovnice na nejznámější tvar harmonických kmitů :

)tsin(A)t(yy oϕω +⋅== obecné řešení rovnice kmitů (jiný tvar)

Vidíme, že obecné řešení představuje opět známou sinusovku (stejné frekvence a amplitudy), ale se

složitější fází :

ot ϕωϕ += obecná fáze kmitů

Tato obecná sinusovka již neprochází počátkem souřadnic, neboť v počátečním čase ( t = 0 ) již velikost

fáze není nulová, ale je dána fázovou konstantou (počáteční fází) φo . Pro (základní) nulový bod

funkce musí potom platit :

ot ϕω +=0

A graf funkce tedy protíná časovou osu v místě :

5

ωϕot −=

Vhodnou volbou počáteční fáze φo lze proto obecnou sinusovku umístit (posunout) do libovolné polohy

na ose proměnné (viz obr.) :

0

0

y = A · sin (ωt + φo )

y = A · sin (φ + φo )

φ /ωo

φo

φ

t

Víme již, že funkce cos se od funkce sin liší pouze fázovým posuvem, proto může být obecné řešení

napsáno rovněž ve tvaru :

)tcos(A)t(yy oϕω +⋅== obecné řešení rovnice kmitů (další tvar)

Všechny tvary obecného řešení obsahují vždy dvě (integrační) konstanty A a ϕo ( C a D ) . Jejich

stanovením můžeme popsat kmity libovolné amplitudy A a libovolné polohy na ose času, určené

počáteční fází ϕo (a frekvence je určena hodnotami parametrů k a m).

Při řešení konkrétního případu kmitů se potom velikost integračních konstant určuje pomocí tzv.

okrajových podmínek (jako jsou například počáteční podmínky - zadáme polohu a rychlost hmotného

bodu v počátečním čase, většinou pro t = 0).

6

Komplexní zápis kmitů

V rovině kartézských souřadnic xy si představme rovnoměrný kruhový pohyb hmotného bodu U na

poloměru A úhlovou rychlostí ω (v kladném smyslu). Počátek soustavy souřadnic nechť je ve středu

kružnice, poloměr A je pak současně velikostí průvodiče hmotného bodu.

y

yA

O

φ

ω

x

x

U u=

Pro úhel opsaný průvodičem za čas t platí podle kinematiky :

ot ϕωϕ +⋅=

Vidíme, že tento výraz je formálně shodný s obecnou fází harmonických kmitů .

Dále platí pro průmět poloměru A do osy y, tj. pro y-ovou souřadnici bodu U :

)t.sin(AsinAy oϕωϕ +⋅=⋅=

A pro průmět poloměru A do osy x, tj. pro x-ovou souřadnici bodu U je potom analogicky:

)tcos(AcosAx oϕωϕ +⋅=⋅=

Tento kruhový pohyb s úhlovou rychlostí ω je tedy formálně (matematicky) zcela jednoznačně

přiřazen harmonickému kmitavému pohybu stejné úhlové frekvence.

Toto přiřazení bude ještě dále rozvinuto následovně :

Bod U v rovině xy můžeme považovat za komplexní číslo a napišme pak jeho matematický tvar :

yixu ⋅+=

Dosaďme za obě souřadnice výše uvedené průměty a použijme Eulerův vztah matematiky :

)t(ii oeAeA)sini(cosAsinAicosAu ϕωϕϕϕϕϕ +⋅⋅⋅ ⋅=⋅=⋅+⋅=⋅⋅+⋅=

7

Vzniklý komplexní výraz s argumentem rovným fázi kmitů je samozřejmě formálně (matematicky) také

zcela jednoznačně přiřazen harmonickému kmitavému pohybu stejné fáze.

Skutečná výchylka hmotného bodu je potom v tomto komplexním výrazu obsažena jako jeho

imaginární, případně reálná část.

Tento komplexní tvar harmonických kmitů se většinou upravuje následovně :

titii)t(i eAeeAeAu oo ⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅ ⋅=⋅⋅=⋅= ωωϕϕω ))

Přitom se definuje veličina :

oieAA ϕ⋅⋅= komplexní amplituda kmitů

Komplexní amplituda zde vystupuje jako velmi významná veličina, protože obsahuje dva ze tří

parametrů kmitů – amplitudu A a fázovou konstantu ϕo , které jsou zásadně důležité v různých

aplikacích, kdy frekvence je zadanou veličinou (určenou hodnotami veličin k a m ).

x

y

A

A

φo

O

Harmonické kmity lze tedy zapsat ve tvaru :

tieAu ⋅⋅⋅= ω)) komplexní tvar kmitů

Výhodou tohoto zápisu kmitů je relativní jednoduchost matematických operací s komplexními výrazy.

Například při skládání kmitů je nesrovnatelně jednodušší a rychlejší sečtení komplexních čísel, než

použití poněkud těžkopádných goniometrických součtových vzorců pro reálné sinusovky.

Na závěr uvidíme, jak celý tento odstavec o komplexní formě kmitů, který vlastně začal poněkud divným

porovnáváním dvou naprosto odlišných mechanických pohybů – kmitavého a kruhového, dostane jasný

matematický podklad.

8

Zodpovíme totiž logickou otázku, jak dalece souvisí tento nově definovaný komplexní tvar kmitů s

pohybovou rovnicí lineárního harmonického oscilátoru :

Pro rychlou odpověď stačí pouze znalost pravidel o derivacích - jak reálná , tak i imaginární část

komplexního tvaru kmitů, které obě představují reálné kmity (výchylku) hmotného bodu, jsou přece

řešením (partikulárním) diferenciální pohybové rovnice. Komplexní výraz je ale vytvořen jejich

formálním matematickým součtem, nebo spíše lineární kombinací :

yixu ⋅+=)

Proto komplexní tvar kmitů je také řešením stejné diferenciální rovnice, dokonce řešením obecnějším,

v komplexním oboru čísel.

Toto tvrzení můžeme rovněž zdůvodnit obecnou teorií diferenciálních rovnic :

Víme, že každá lineární homogenní diferenciální rovnice s konstantními koeficienty má v komplexním

oboru partikulární řešení (integrál) :

teCy ⋅⋅= α

Přitom C je libovolná komplexní (integrační) konstanta a α je kořenem tzv. charakteristické rovnice ,

která vznikne dosazením tohoto řešení do diferenciální rovnice.

Obecné řešení diferenciální rovnice n-tého řádu lze potom napsat jako lineární kombinaci n nezávislých

partikulárních řešení :

......eCeCeCy t.t.t. +⋅+⋅+⋅= 321321

ααα

Dosaďme tedy nyní výše uvedený partikulární integrál do naší diferenciální rovnice. Po vykrácení

exponencielních výrazů dostaneme :

022 =+ ωα charakteristická rovnice

Tato charakteristická rovnice je kvadratická a má proto dvě řešení :

ωα ⋅±= i,21

Existují tedy dvě partikulární řešení a obecné řešení pohybové rovnice lineárního harmonického

oscilátoru má v komplexním oboru tvar :

t..i2

t..i1 eCeCy ωω −+ ⋅+⋅= obecné řešení (v komplexním oboru)

Toto obecné řešení obsahuje dvě libovolné integrační konstanty (komplexní), jak je typické pro

diferenciální rovnici druhého řádu.

Obecné řešení musí samozřejmě obsahovat všechna předchozí speciální řešení – matematicky to

znamená, že obecné řešení můžeme na ně převést vhodnou volbou integračních konstant :

9

a) Jestliže například zvolíme :

02

1

=⋅= ⋅

C

eAC oi ϕ

Potom jejich dosazením dostaneme přímo komplexní tvar kmitů, včetně komplexní amplitudy :

titiit..i2

t..i1 eA0eeAeCeCy o ⋅⋅⋅⋅⋅−+ ⋅=+⋅⋅=⋅+⋅= ωωϕωω

Současně také vidíme, že náš komplexní tvar kmitů sice není nejobecnějším řešením pohybové rovnice,

ale je řešením optimálním .

Obecné řešení je totiž zřejmě fyzikálně nevhodné – jeho dvě komplexní - tedy čtyři reálné - konstanty

jsou nadbytečné, neboť popis skutečných (reálných) kmitů vyžaduje pouze dvě reálné konstanty

(amplitudu A a fázovou konstantu ϕo)

b) Bez problémů je ovšem také možno pracovat i se zápornou exponencielou - se druhou částí obecného

řešení – to znamená, že můžeme zvolit :

oi2

1

eAC

0Cϕ⋅−⋅=

=

Této možnosti využili fyzikové při zápisu pravděpodobnostní vlny (vlnové funkce) v kvantové fyzice.

c) Podívejme se ještě, že vhodnou volbou konstant lze převést obecné komplexní řešení i na reálné

harmonické kmity - tj. na reálnou sinusovku :

Upravme nejprve obecný tvar pomocí Eulerovy matematické identity :

)tsinit(cosC)tsinit(cosCeCeCy 21t..i

2t..i

1 ωωωωωω ⋅−⋅+⋅+⋅=⋅+⋅= −+

A vytkněme ve výrazu goniometrické funkce :

tsin)CC(itcos)CC(y 2121 ωω ⋅−⋅+⋅+=

Laskavý čtenář celkem lehce nahlédne, že když bychom integrační konstanty zvolili ve tvaru :

2

AiCC 21 ⋅−=−= (kde A je libovolné reálné číslo)

Pak dostaneme naše první reálné partikulární řešení :

tsinAy ω⋅=

A po volbě integračních konstant ve tvaru :

2

ACC 21 ==

10

Vznikne naše druhé reálné partikulární řešení :

tcosAy ω⋅=

A pro převod na reálnou obecnou sinusovku postačí zvolit komplexní konstanty C1 a C2 jako :

)DiC(2

1C1 ⋅−⋅= )DiC(

2

1C2 ⋅+⋅= (kde C a D jsou libovolná reálná čísla)

Po dosazení do obecného řešení v rámečku pak totiž dostaneme :

tcosDtsinCy ωω ⋅+⋅=

Což je vlastně – jak víme z úvodních stránek této otázky – obecné řešení pohybové rovnice harmonického

oscilátoru v reálném oboru – obecně posunutá sinusovka :

)tsin(AtcosDtsinCy oϕωωω +⋅=⋅+⋅=

Celkem můžeme konstatovat, že žádný matematický rozpor, či problém, nám nebrání v tom, abychom

reálné, skutečné kmity – výchylky hmotného bodu - popisovali komplexními výrazy (funkcemi), které ač

matematicky složitější, jsou „uživatelsky“ rozhodně příjemnější.

Jejich výhodu pak oceníme později, při skládání kmitů a vlnění .

Rychlost a zrychlení kmitavého pohybu

Již v úvodu jsme konstatovali, že kmity jsou pouze speciálním případem mechanického pohybu. Lze

tedy standardním způsobem počítat základní kinematické veličiny rychlost a zrychlení podle vztahů:

2

2

dt

rd

dt

vda

dt

rdv

rrr

rr

==

=

V našem jednorozměrném případě to ovšem budou skalární výrazy (y–ové souřadnice těchto vektorů).

Použijme pro výpočet zjednodušený tvar kmitů bez fázové konstanty, aby bylo jasně vidět vzniklé fázové

odchylky vypočítaných veličin :

tsinA)t(yy ω⋅==

Potom bude rychlost hmotného bodu:

)tsin(vtcosA)tsinA(vv mdtd

dtdy

y 2πωωωω +⋅=⋅=⋅===

11

Rychlost je opět harmonická funkce času stejné frekvence, ale fázově posunutá oproti kmitům o čtvrt

periody („předbíhá“ kmity) , s amplitudou - tj. maximální hodnotou rychlosti :

ωAvm =

Další derivací pak získáme zrychlení hmotného bodu:

)tsin(atsinA)tcosA(a mdtd

dtdv πωωωωω +⋅=−=⋅== 2

I zrychleni je harmonická funkce času stejné frekvence, ale fázově posunutá oproti kmitům o půl periody

(„předbíhá“ kmity) a s amplitudou - tj. maximální hodnotou zrychlení :

2ωAam =

Prohlédněte si na obrázku znázorněné časové závislosti výchylky, rychlosti a zrychlení a uvědomte si

jejich fázové posuny, které by ovšem bylo možno znázornit také na obrázku komplexních amplitud (jak je

obvyklé v elektrotechnice, při studiu proudů a napětí ve střídavých obvodech).

a a = )m · sin (ωt + π

v = v )m · sin (ωt + /π 2

0t

y = A· sin ωt

y, v, a

Energie kmitavého pohybu

Jednoduchý je výpočet kinetické energie podle známého vzorce z mechaniky, do kterého dosadíme za

rychlost výraz z předchozího odstavce:

tcosAm)tcosA(mvmWk ωωωω 222212

212

21 ⋅=⋅== kinetická energie

Energii potenciální lze vypočítat, jen pokud je pole pružné síly konzervativní. Zřejmě tomu tak skutečně

je, neboť k natažení (stlačení) pružiny je nutno vykonat určitou práci, kterou při uvolnění pružiny

„dostaneme“ zpátky.

Pro obecný důkaz bychom ale museli zkoumat práci na libovolné dráze v prostorově rozloženém silovém

poli pružné síly (takové pole by vytvořila i např. jediná pružina volně otočná kolem bodu upevnění).

12

V našem jednorozměrném případě pak máme jedinou možnost - počítat práci potřebnou k posunutí

hmotného bodu po přímé dráze na ose y z počátečního místa y1 do koncového místa y2 :

∫∫ ⋅−=⋅−=2

1

2

1

y

y

r

r

rdFrdFArrrr

r

r

y1 y2

y

F - F

0

Dosadíme tedy výrazy, vyjadřující pohyb pouze na ose y :

ykF

),y,(r

),F,(F

⋅−===

00

00r

r

do skalárního součinu vyjadřujícího elementární práci :

dyFdyFdzFdyFdxFrdF yzyx ⋅=⋅=⋅+⋅+⋅=⋅ rr

A dostaneme:

[ ] 212

1222

1y

y2

21

y

y

y

y

y

y

ykykykdyykdy)yk(dyFA2

1

2

1

2

1

2

1

−=⋅=⋅⋅=−−=⋅−= ∫∫∫

Vykonaná práce v poli pružné síly zjevně splňuje (v rámci možností jednorozměrného případu)

podmínky konzervativnosti - nezávisí na dráze , ale pouze na počátečním a koncovém bodu, a při

pohybu zpět bude mít opačné znaménko, tj. „dostaneme “ ji zpátky.

Pro zjednodušení výrazu zvolíme počáteční bod v rovnovážné poloze, pak tedy v koncovém bodě y2

bude mít hmotný bod potenciální energii vzhledem k bodu 0 (koncový bod je libovolný, napíšeme ho

tedy bez indexu) :

221

pp yk)y(W)r(W ==r potenciální energie pružné síly (jednorozm.)

Pro konkrétní výpočet dosadíme za výchylku (postačí opět zjednodušený tvar bez fázové konstanty) a

upravíme pomocí vztahu pro úhlovou frekvenci :

13

tsinAm)tsinA(kykWp ωωω 222212

212

21 ⋅=⋅==

Povšimněte si, že potenciální i kinetická energie jsou nezáporné funkce času, nejsou sice harmonické, ale

jsou periodické , s poloviční periodou, tj. během jednoho kmitu dosahují dvakrát svého maxima (ne však

ve stejném čase).

Nakonec vypočítáme celkovou mechanickou energii harmonického pohybu :

tcosAmtsinAmWWW 22221222

21

kp ωωωω ⋅+⋅=+=

Můžeme vytknout a použít známého trigonometrického vzorce:

.konstAm)tcost(sinAmW ==+⋅= 22212222

21 ωωωω

Celková mechanická energie je tedy konstantní, jak se sluší na konzervativní silové pole. Jestliže

dosadíme ze vztahů pro úhlovou frekvenci a pro amplitudu rychlosti :

m

k=2ω

ωAvm =

Pak dostaneme jiné vyjádření celkové energie :

2m2

122122

21

kp vmAkAmWWW ===+= ω celková energie

Tento vztah nám dobře ukazuje, jak se potenciální energie „přelévá“ do energie kinetické a naopak, takže

v místě maximální výchylky (amplitudy) je celková energie rovna energii potenciální (a kinetická energie

je tedy nulová) a v místě maximální rychlosti je pak celková energie rovna energii kinetické (a

potenciální je nulová - jaké je to místo?).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(konec kapitoly) K. Rusňák, verze 01/2005, doplněno 04/2006, rev. 04/2008

1

Tlumené kmity

V praxi téměř vždy brání pohybu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými tělesy.

Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vyskytuje tzv. viskózní tření , kdy

je velikost třecí síly úměrná rychlosti :

dt

rdBvBFt

rrr

⋅−=⋅−=

y m y

F

v

Ft

0

Potom je nutno přidat tuto sílu k pružné síle oscilátoru. V našem jednorozměrném případě tak vznikne

rovnice :

dt

dyByk

dt

ydm ⋅−⋅−=⋅

2

2

Jednoduchými úpravami a použitím standardního označení derivací dostaneme :

0=⋅+⋅+ ym

ky

m

By &&&

Označme v této rovnici, stejně jako u netlumených kmitů :

2ω=m

k vlastní úhlová frekvence

Název „vlastní“ u úhlové frekvence označuje její příslušnost k netlumené sestavě „pružina–hmotný bod“,

bez působení brzdicích třecích sil . S touto vlastní frekvencí by tedy kmital náš hmotný bod jako

netlumený lineární harmonický oscilátor.

Dále zavedeme v pohybové rovnici novou konstantu b, která vyjadří intenzitu účinku brzdicích sil (je

úměrná brzdnému zrychlení) :

bm

B2= konstanta útlumu

A dostaneme tak konečný, nejjednodušší tvar pohybové rovnice :

02 2 =++ yyby ω&&& pohybová rovnice tlumených kmitů

2

Je to lineární homogenní diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty . Připomeňme, že

každá taková rovnice má partikulární řešení (integrál) :

t.eCy α⋅=

Přitom C je libovolná (integrační) konstanta a α je kořenem tzv. charakteristické rovnice , která vznikne

dosazením tohoto řešení do diferenciální rovnice.

Obecné řešení diferenciální rovnice n-tého řádu je pak lineární kombinací n nezávislých partikulárních

řešení :

......eCeCeCy t.t.t. +⋅+⋅+⋅= 321321

ααα

Tolik k obecné teorii. Dosaďme nyní výše uvedený partikulární integrál do naší diferenciální rovnice a po

vykrácení exponencielních výrazů dostaneme charakteristickou rovnici :

02 22 =++ ωαα b

Tato rovnice je kvadratická, můžeme tedy hned napsat její standardní řešení :

2221 ωα −±−= bb,

Existují tak dvě partikulární řešení a obecné řešení bude mít tvar :

t.t. eCeCy 2121

αα ⋅+⋅=

O konkrétním tvaru tohoto matematického výrazu pak rozhodne velikost konstant b a ω :

1) případ malého tlumení ( b <<<< ωωωω )

Za této podmínky vznikne pod odmocninou záporný výraz a oba kořeny charakteristické rovnice jsou

proto komplexní čísla :

2221 b.ib, −±−= ωα

Tento výraz ještě zjednodušíme označením :

221 b−= ωω úhlová frekvence tlumených kmitů

(Důvod tohoto názvu poznáme z dalších řádků.)

Pak tedy bude :

12,1 .ib ωα ±−=

A obecné řešení zapíšeme :

)eCeC(eeCeCy t..it..it.bt)..ib(t)..ib( 11112121

ωωωω −+−−−+− ⋅+⋅⋅=⋅+⋅=

3

Vidíme, že toto řešení je také komplexní, má tvar součinu reálného členu a komplexního výrazu

v závorce , který ovšem již umíme identifikovat – je to komplexní vyjádření obyčejných, netlumených

harmonických kmitů s úhlovou frekvencí ω1 .

Pro vyhodnocení skutečných výchylek převedeme raději toto komplexní vyjádření na „obyčejnou“

obecnou sinusovku (stačí vhodně zvolit integrační konstanty - viz minulá kapitola „Netlumené kmity“,

strana 9), první reálný člen samozřejmě ponecháme.

Vztah pro skutečnou výchylku tlumených kmitů bude mít potom tvar :

)tsin(eAy o1t.b ϕω +⋅⋅= −

tlumené kmity

I když získaný vztah obsahuje funkci sinus, dokonce se standardním tvarem fáze, nemůžeme ho označit

jako harmonické kmity, protože před sinem není konstantní amplituda, ale klesající exponenciela, která

sinusovku určitým způsobem „deformuje“.

Jestliže by ovšem tlumení nebylo „příliš vysoké“ – což by se projevilo tak, že hmotný bod by vykonal

„větší počet“ výkyvů na obě strany, než by se jeho maximální výchylka „silně přiblížila“ k nulové

rovnovážné poloze (viz následující obrázek) – pak bychom takové kmity mohli interpretovat jako

kvaziharmonické (přibližně harmonické) , které sice mají stálou úhlovou frekvenci ω1 , ale proměnnou

amplitudu , klesající s časem podle vztahu :

t.b1 eAA −⋅= amplituda tlumených kmitů

y

t

A = A 1 · e- b·t

y = )· sin (ω t + φ1 o A · e ·- b·t

T1

4

Pozn. : Pro grafické znázornění kmitů bylo nutno pomocí okrajových podmínek úlohy konkrétně vypočítat konstanty A a φ v obecné rovnici kmitů (jsou to tedy dvě integrační konstanty, jako v každém řešení diferenciální rovnice druhého řádu). Nejjednodušší je definovat počáteční podmínky pohybu : nechť například vychýlíme hmotný bod (tj. natáhneme pružinu) do nějaké počáteční klidové polohy (například jednotkové) a pak ho vypustíme s počáteční nulovou rychlostí - velikosti výchylky a rychlosti hmotného bodu v počátečním (nulovém) čase tedy budou :

]m[1.konsty)0(y o ===

]s/m[0.konstv)0(v o ===

Nyní napíšeme obecnou rovnici pro výchylku :

)tsin(eAy o1t.b ϕω +⋅⋅= −

A její derivací určíme vztah pro rychlost :

)t(coseA)t(sine)b(Av o11t.b

o1t.b

dtdy ϕωωϕω +⋅⋅⋅++⋅⋅−⋅== −−

Do těchto rovnic pak dosadíme stanovenou počáteční výchylku a počáteční rychlost :

oo10.b

o sinA)0.sin(eA1y ϕϕω ⋅=+⋅⋅== −

ϕωϕϕωωϕω

cosAsinAb

)0.(coseA)0.(sine)b(A0v

1o

o110.b

o10.b

o

⋅⋅+⋅⋅−=+⋅⋅⋅++⋅⋅−⋅== −−

Dostaneme tak dvě rovnice pro dvě neznámé integrační konstanty. Pro jejich řešení platí :

osin

1A

ϕ=

btg 1

oωϕ =

Goniometrické funkce ovšem neumožňují jednoduché explicitní vyjádření integračních konstant, řešme proto jen případ velmi malého tlumení ( b << ω ), kdy můžeme přibližně psát :

ωω ≅1 1tg o >>ϕ

⇒ 2oπϕ ≅ 1A ≅

Konkrétní vztah pro výchylku pak bude mít jednoduchý tvar :

)t(sine1y21

t.b πω +⋅⋅= −

Nebo-li :

tcosey 1t.b ω⋅= −

Aby bylo zaručeno velmi malé tlumení pohybu, byl pro znázornění této funkce na předchozím obrázku použit poměr ω : b = 40 : 1 .

Z výše uvedeného vztahu pro ω1 :

ωωω <−= 221 b

je dobře vidět, že úhlová frekvence ω1 tlumených kmitů je menší než vlastní úhlová frekvence ω

(kterou by měl oscilátor, kdyby nebyl tlumen).

Doba kmitu je tedy větší – jinak řečeno - tlumené kmitání je pomalejší než netlumené :

T2

b

22T

2211 =≥

−==

ωπ

ω

πωπ

5

Běžně používané označení perioda pro T1 zde není příliš vhodné, protože tlumený pohyb vlastně -

matematicky přesně vzato - není periodický – průběh funkce se přece kvůli klesající amplitudě nikdy

neopakuje .

Pozn. : Tlumené kmity jsou tedy také pseudoperiodickým pohybem : nulové body za sebou sice následují po době rovné polovině doby kmitu T1 , stejně taková je i doba mezi dvěma po sobě následujícími krajními výchylkami, ale například pohyb oscilátoru z nulové polohy do krajní výchylky trvá kratší než dobu než pohyb z této krajní výchylky zpět do nulové polohy.

Brzdicí síla tedy kmity harmonického oscilátoru zpomalí a postupně zmenšuje jejich amplitudu . Velikost

konstanty útlumu b má proto zásadní vliv na vzniklý pohyb hmotného bodu.

Protože doba kmitu T1 je periodou funkce sinus, můžeme jednoduše vypočítat poměr dvou po sobě

následujících maximálních výchylek na jednu stranu - tedy výchylek v časech t a t + T1 :

1

1

T.b

o11)Tt.(b

o1t.b

1e

))Tt(sin(eA

)tsin(eA

)Tt(y

)t(y ++−

−=

++⋅⋅+⋅⋅=

+ ϕωϕω

Tento (bezrozměrný) poměr se označuje jako útlum λ a vidíme, že je stejný pro libovolná dvě

stejnolehlá maxima - pro daný tlumený oscilátor je tedy charakteristickou, konstantní veličinou (stejně

jako konstanta útlumu b) :

1T.b

1e

)Tt(y

)t(y +=+

=λ útlum

Jeho přirozený logaritmus se nazývá logaritmický dekrement δ tlumených kmitů :

11

b2Tbln

ωπλδ =⋅== logaritmický dekrement

Se znalostí těchto veličin je pak možno u daného oscilátoru jednoduše stanovit konstantu útlumu,

potřebnou pro vyřešení pohybové rovnice (přímé experimentální určení této konstanty z její definice totiž

jistě není jednoduchou záležitostí - musíme mít prostředky pro měření jak brzdné síly, tak rychlosti tělesa

i jeho hmotnosti) :

Postačí pouze oscilátor rozkmitat a ze změřené periody kmitů a z poměru stejnolehlých maxim ihned

přímo vypočítáme konstantu útlumu :

11 T

ln

Tb

λδ ==

6

Jelikož amplituda určuje celkovou mechanickou energii kmitů, je zřejmé, že u tlumených kmitů dochází

k postupnému poklesu této energie, v limitě až na nulovou hodnotu, kdy kmity vymizí.

Úbytek celkové energie je způsoben prací brzdicí síly a tato práce se u třecích sil „bez užitku“ mění na

tepelnou energii.

Protože viskózní třecí síla, úměrná rychlosti, neovlivní mechanickou energii hmotného bodu (při

výpočtu potenciální energie se uvažuje nekonečně pomalý pohyb, kdy je tato síla nulová, a při výpočtu

energie kinetické hraje roli pouze rychlost), můžeme pro stanovení energie tlumených kmitů využít vztah,

odvozený v minulé kapitole pro volně kmitající hmotný bod :

2221

kp AmWWW ω=+=

Do této rovnice pak pouze dosadíme parametry tlumených kmitů – jejich úhlovou frekvenci a amplitudu :

t.b22212

12t.b212

121

212

1 eAm)eA(mAmW −− ⋅=⋅== ωωω

Vznikne tak použitelný vztah pro celkovou mechanickou energii tlumeného oscilátoru :

t.b22212

1 eAmW −⋅= ω energie tlumeného oscilátoru

Je dobře vidět, že celková energie tlumeného oscilátoru je exponenciálně klesající funkcí času, limitně se

blížící nulové hodnotě, stejně jako výchylka tlumených kmitů.

Přitom úbytek celkové energie tlumeného oscilátoru za jednotku času můžeme lehce vypočítat jako

časovou derivaci této funkce :

Wb2)b2(eAm)eAm(td

d

td

Wd t.b22212

1t.b22212

1 ⋅−=−⋅⋅=⋅= −− ωω

Během jedné periody kmitů tedy dojde ke ztrátě energie o (kladné) velikosti :

11111

Wb42Wb2TWb2T

td

WdW

ωπ

ωπ ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=

Namísto této veličiny se ale úbytek energie tlumených kmitů většinou charakterizuje relativní veličinou

kvalita oscilátoru (quality factor) Q , která se definuje jako 2π – násobek podílu střední hodnoty

celkové energie oscilátoru (v jedné periodě kmitů) a ztráty této energie během jedné periody kmitů :

1

stř

W

W2Q ⋅= π kvalita oscilátoru

7

Po dosazení z předchozí rovnice dostaneme :

W

W

b2Wb4

W2

W

W2Q stř11stř

1

stř ⋅=⋅⋅⋅=⋅= ω

πωππ

Velký praktický význam, zejména v elektronice, má případ velmi malého tlumení , kdy konstanta

tlumení je daleko menší než vlastní frekvence oscilátoru :

ω<<b velmi malé tlumení

V tomto případě během jedné periody se amplituda kmitů a tedy i energie zmenší jen nepatrně a proto

střední hodnota energie během této periody je přibližně rovna okamžité energii (v kterémkoliv místě

periody) :

WWstř ≅

A stejně tak frekvence nucených kmitů je přibližně rovna vlastní frekvenci oscilátoru :

ωωω ≅−= 221 b

Potom ovšem bude :

b2W

W

b2W

W

b2Q stř1 ωωω =⋅=⋅=

A pro kvalitu oscilátoru tedy dostáváme velmi jednoduchý vztah, který obsahuje pouze základní

koeficienty z pohybové rovnice :

b2Q

ω= kvalita oscilátoru (při velmi malém tlumení)

Je zřejmé, že kvalita oscilátoru je potom velmi vysoká :

12

>>=b

Qω

A je také dobře vidět rozumný smysl této veličiny : oscilátor s vysokou kvalitou Q - musí mít (při

dané frekvenci) malou konstantu tlumení b - jeho amplituda tedy bude s časem klesat jen velmi pomalu –

a proto takový oscilátor vydrží kmitat velmi dlouhou dobu , než se utlumí.

8

2) případ silného tlumení ( b >>>> ωωωω )

Nyní je pod odmocninou kladný výraz a kořeny charakteristické rovnice jsou tedy reálné a oba dva jsou

zřejmě záporné:

02221 <−±−= ωα bb,

A obecné řešení je potom také reálným výrazem :

t.2

t.1

21 eCeCy αα ⋅+⋅= silné tlumení

Tato funkce jako superpozice (součet) dvou záporných exponenciel je monotónně klesající a

asymptoticky se blíží nulové hodnotě (viz obr.).

Vychýlíme-li tedy silně tlumený oscilátor, vrací se zvolna zpět do rovnovážné polohy, aniž by překmitnul

do opačné výchylky. Takový pohyb se nazývá aperiodický .

y

t

b = ω

b > ω

Pozn. : Pro grafické znázornění kmitů určíme opět integrační konstanty, nyní to jsou konstanty C1 a C2 , pomocí stejných okrajových podmínek jako u malého tlumení (tj. jednotková počáteční výchylka hmotného bodu a jeho nulová počáteční rychlost), které dosadíme do obecné rovnice pro výchylku a do z ní vypočítaného vztahu pro rychlost :

t.2

t.1

21 eCeCy αα ⋅+⋅=

t.22

t.11dt

dy 21 eCeCv αα αα ⋅⋅+⋅⋅==

Tak dostaneme :

210.

20.

1o CCeCeC1y 21 +=⋅+⋅== αα

22110.

220.

11o CCeCeC0v 21 αααα αα ⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅==

9

Řešení těchto dvou rovnic je :

21

21C αα

α−

−=

21

12C αα

α−=

Dostáváme tak konkrétní vztah pro výchylku, do kterého pak dosadíme zvolenou konstantu útlumu a vlastní úhlovou frekvenci (jsou obsažené v konstantách C1 a C2 , viz výše) :

t.t. 2

21

11

21

2 eey ααα

αααα

α ⋅+⋅−= −−

Pro výpočet křivky v uvedeném grafu byl použit poměr b : ω = 10 : 8 . Pro zajímavost můžeme ještě zhodnotit extrémní (limitní) případ velmi silného tlumení, kdy by konstanta útlumu byla nesrovnatelně větší než úhlová frekvence (b >> ω) - a kdy by tedy platilo :

0bb 221 ≈−+−= ωα

b2bb 222 ⋅−≈−−−= ωα

Pak by integrační konstanty měly velikost :

1C)b2(0

)b2(1

21

2 === −−−−

−−

ααα

0C)b2(0

02

21

1 === −−− ααα

A výchylka hmotného bodu by prakticky zůstávala na počáteční hodnotě :

1e0e1eey t.b2t.0t.t. 2

21

11

21

2 =⋅+⋅≈⋅+⋅−= −−−

ααα

αααα

α

Velmi silné brzdicí síly by tedy nedovolily návrat hmotného bodu do nulové polohy (v konečném čase).

3) mezní případ tlumení ( b = ωωωω )

Za těchto podmínek existuje jediný kořen charakteristické rovnice :

b, −=21α

A dostaneme tedy jediné partikulární řešení :

t.beCy −⋅=

Druhé nezávislé partikulární řešení pak muselo být nalezeno zcela jiným matematickým postupem -

uvedeme zde pouze výsledek :

t.betCy −⋅⋅=

Lineární kombinací těchto výrazů pak opět vytvoříme obecné řešení diferenciální rovnice pro případ

mezního tlumení :

t.b21

t.b2

t.b1 e)tCC(etCeCy −−− ⋅⋅+=⋅⋅+⋅= mezní tlumení

10

Výchylka nemění znaménko, pohyb je opět aperiodický, funkce však klesá k nule nejrychlejším

možným způsobem, jde o tzv. mezní aperiodický pohyb (viz obr.).

Je to případ nejdokonalejšího tlumení kmitavého pohybu.

Pozn. : Pro grafické znázornění kmitů určíme opět integrační konstanty C1 a C2 , pomocí stejných okrajových podmínek jako u malého tlumení, tj. jednotková počáteční výchylka hmotného bodu a jeho nulová počáteční rychlost, které dosadíme do obecné rovnice pro výchylku a do z ní vypočítaného vztahu pro rychlost :

t.b21 e)tCC(y −⋅⋅+=

( ) t.b212

t.b2

t.b21dt

dy e)tCC(bCeCe)b()tCC(v −−− ⋅⋅+⋅−=⋅+⋅−⋅⋅+==

Tak dostaneme opět dvě rovnice, pro počáteční výchylku :

10.b

21o Ce)0CC(1y =⋅⋅+== −

A pro počáteční rychlost :

( ) 120.b

212o CbCe)0CC(bC0v ⋅−=⋅⋅+⋅−== −

Řešení těchto dvou rovnic je :

1C1 =

bCbC 12 =⋅=

Konkrétní vztah pro výchylku, znázorněnou na obrázku, je tedy :

t.be)b1(y −⋅+=

Z obrázku vidíme, že zmenšení konstanty tlumení z původní již relativně dosti malé hodnoty b = 10 / 8 · ω na hodnotu právě rovnou vlastní úhlové frekvenci , tj. b = ω, skutečně vede k výrazně rychlejšímu poklesu výchylky. Další zmenšení brzdicích sil by pak již způsobilo překmit výchylky na druhou stranu - a tedy by došlo ke vzniku kmitavého pohybu podle bodu 1).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(konec kapitoly) K. Rusňák, verze 01/2005, rev. 04/2006,

02/2008 – vzorová řešení pohybové rovnice pro všechny tři případy kmitů, určení integračních konstant, nové grafy,

výpočet celkové energie oscilátoru, zavedení útlumu, log. dekrementu a kvality oscilátoru

1

Nucené kmity Se zmenšováním amplitudy v předchozím případě tlumených kmitů (při malém tlumení) klesá k nule

také celková energie pohybu a za nějaký čas kmity vymizí . Mají-li se tedy tlumené kmity udržet, je nutné

ztracenou energii doplňovat prací vnější síly . To je případ buzeného harmonického oscilátoru .

y m y

F Ft

Fb

0

Pro dosažení konstantní výsledné amplitudy kmitů je zřejmě nutné nepřerušované průběžné působení síly,

spojitě sledující pohyb hmotného bodu, průběh síly musí tedy být periodický. Nejjednodušší taková

budicí síla bude mít sinusový průběh s úhlovou frekvencí Ω

tsinFF ob Ω⋅= harmonická budicí síla

Přidáme-li tuto sílu k pružné síle a k viskózní třecí síle, vznikne pohybová rovnice :

tsinFdt

dyByk

dt

ydm o Ω⋅+⋅−⋅−=⋅

2

2

Po analogických úpravách jako u tlumeného oscilátoru :

tsinm

Fy

m

ky

m

By o Ω⋅=⋅+⋅+ &&&

Zavedeme-li dále v rovnici také stejné konstanty jako u tlumeného oscilátoru :

2ω=m

k vlastní úhlová frekvence

bm

B2= konstanta útlumu

Dostaneme tak konečný tvar rovnice :

tsinm

Fyyby o Ωω ⋅=++ 22 &&& pohybová rovnice nucených kmitů

2

Kromě pravé strany je tato rovnice shodná s diferenciální rovnicí tlumených kmitů - je to tzv.

nehomogenní diferenciální rovnice . Připomeňme si opět matematické znalosti : obecné řešení takové

rovnice se skládá z obecného řešení příslušné homogenní diferenciální rovnice a z jednoho

partikulárního řešení nehomogenní rovnice.

Obecné řešení homogenní (bez pravé strany) diferenciální rovnice již známe , je to rovnice tlumených

kmitů (budeme uvažovat jen malé tlumení, jinak by vlastně nešlo o kmity).

Partikulární řešení nehomogenní rovnice (s pravou stranou) se často hledá zkusmo. V tomto případě je

však i fyzikální důvod (viz níže) pro řešení ve tvaru :

)tsin(Ay oΦΩ +⋅= partikulární řešení

Obecné řešení nucených kmitů při malém tlumení bude mít tedy tvar :

)tsin(A)tsin(eCy oot.b ΦΩϕω +⋅++⋅⋅= −

1 obecné řešení nuc. kmitů

Dvě části řešení jsou vlastně důsledkem dvou vlivů na pohyb hmotného bodu : prvním je spolupůsobení

třecí a pružné síly - důsledkem jsou tlumené kmity , vyjádřené prvním členem řešení. Průběh těchto kmitů

dobře známe a víme, že po nějaké době (tzv. přechodový stav) prakticky vymizí.

Pak zůstane nenulový pouze druhý člen (partikulární řešení), který je způsoben druhým vlivem - budicí

silou (protože obsahuje její parametr Ω ). Vidíme, že jde o harmonický kmitavý pohyb stejné frekvence

jako má budicí síla (ne však stejné amplitudy a fáze).

Obecné řešení v ustáleném stavu je tedy určeno pouze partikulárním řešením diferenciální rovnice :

)tsin(Ay oΦΩ +⋅= nucené kmity v ustáleném stavu

Veličiny A a Φo jsou vlastně integračními konstantami partikulárního řešení a musí být nalezeny tak, aby

toto řešení vyhovělo úplné nehomogenní diferenciální rovnici – dosadíme ho tedy do této rovnice :

Potřebujeme nejprve jeho derivaci :

)tcos(Adt

dyoΦΩΩ +⋅⋅=

A ještě druhou derivaci :

)tsin(Adt

ydo

22

2ΦΩΩ +⋅⋅−=

A nyní můžeme dosadit do pohybové rovnice :

tsinm

F)tsin(A)tcos(bA2)tsin(A o

o2

oo2 ΩΦΩωΦΩΩΦΩΩ ⋅=+++++−

3

Rovnost levé a pravé strany rovnice znamená vlastně rovnost dvou funkcí času, která musí být splněna

pro libovolnou hodnotu proměnné t . Pro naše dvě neznámé A a Φo potřebujeme vytvořit dvě „obyčejné“

- nečasové rovnice. Dosadíme tedy postupně dva různé konkrétní časy :

ΩΦot −= ………... potom bude 0t o =+ΦΩ a také ot ΦΩ −=

Ωπ

ΩΦ

⋅+−=

2t o …. potom bude

2t o

πΦΩ =+ a také o2t ΦπΩ −=

A vzniknou tak dvě rovnice pro dvě neznámé :

)2

sin(m

F)

2sin(A)

2cos(bA2)

2sin(A

)sin(m

F)0sin(A)0cos(bA2)0sin(A

oo22

oo22

ΦππωπΩπΩ

ΦωΩΩ

−⋅=++−

−⋅=++−

Rovnice upravíme pomocí známých hodnot trigonometrických funkcí :

oo22

oo

cosm

FAA

sinm

FbA2

ΦωΩ

ΦΩ

⋅=+−

⋅−=

Jestliže pak první rovnici vydělíme rovnicí druhou, vykrátí se amplituda A a dostaneme ihned vztah pro

fázovou konstantu Φo (viz dále).

K nalezení druhé neznámé A ještě umocníme obě rovnice na druhou a sečteme :

( ) ( ) ( ) o2

2o

o2

2o22222 cos

m

Fsin

m

F1AAbA2 ΦΦωΩΩ ⋅

+⋅

⋅−=+−+

Na levé i pravé straně můžeme provést vytknutí :

( ) ( )o2

o2

2o22222 cossin

m

F)()b2(A ΦΦωΩΩ +⋅

=+−+⋅

Nalevo umocníme dvojčlen a na straně pravé použijeme vztah pro součet kvadrátu sinu a kosinu :

( ) 1m

F)(b4A

2o222222 ⋅

=−+⋅ ΩωΩ

4

Rovnici nakonec odmocníme a tak pro amplitudu nucených kmitů (a pro jejich fázový posuv oproti

kmitům budicí síly) dostáváme vztahy :

22222o

b4)(

1

m

FA

ΩΩω +−⋅= 22

2

ΩωΩΦ

−−= b

tg o

Povšimněte si v následujících grafech obou těchto funkcí :

)(AA Ω= )( ΩΦΦ =

zejména závislosti amplitudy nucených kmitů na frekvenci budicí síly - tzv. rezonanční křivka :

A

Ω

Ω

AO

Amax

0

0

π

π/2

Φ

Rezonanční křivka začíná na nenulové počáteční hodnotě Ao , což je vlastně amplituda při nulové

frekvenci Ω – jinak řečeno je to maximální výchylka Ao (hmotného bodu na pružině tuhosti k ) při

nekonečně pomalém nárůstu vnější budicí síly - až do jejího maxima Fo . Je jasné, že přitom musí platit

pro pružinu (pro pružnou sílu) rovnice :

oo AkF ⋅=

5

Když si představíme, že bychom nataženou pružinu s hmotným bodem v této maximální výchylce

uvolnili (od budicí síly, i od síly třecí) - pak by se hmotný bod zřejmě rozkmital netlumenými kmity,

které by měly vlastní frekvenci ω a právě tuto amplitudu Ao (stačí uvážit zachování energie kmitů).

Počáteční amplituda rezonanční křivky se tedy také rovna amplitudě vlastních kmitů oscilátoru (tj.

kmitů našeho hmotného bodu na dané pružině, bez působení tlumicí i budicí síly) :

k

FA o)0(o ==Ω počáteční amplituda = amplituda vlastních kmitů

Stejný výraz bychom samozřejmě měli také dostat přímým dosazením nulové budicí frekvence Ω do

obecného vztahu pro amplitudu nucených kmitů (zkuste sami).

Z tohoto vztahu je také ihned vidět, že pro velmi vysoké frekvence budicí síly (Ω → ∞) klesá amplituda

limitně až k nule - tj. kmity zanikají (pro jakkoliv vysokou budicí sílu a při nenulovém tlumení, jde

vlastně o minimum rezonanční křivky).

Název „rezonanční křivka“ pak souvisí s jevem rezonance , který typicky nastává u nucených kmitů a

který je charakterizován silným nárůstem amplitudy kmitů a vznikem výrazného maxima při určité

hodnotě frekvence budicí síly – je to tzv. rezonanční frekvence Ωrez .

Tuto velmi důležitou veličinu stanovíme dále standardním matematickým postupem pro hledání extrému

funkce :

0d

Ad =Ω

Z důvodu konstantního čitatele a monotónní funkce ve jmenovateli (odmocnina) postačí ovšem derivovat

pouze výraz pod odmocninou:

084 222 =+−− ΩΩωΩ b)(

Vyloučíme-li Ω = 0 (to jistě není hledané maximum), dostaneme :

02 222 =++− bΩω

Druhé, nenulové řešení je tedy :

22 2brezmax −== ωΩΩ rezonanční frekvence

6

Maximální hodnotu amplitudy pak lehce získáme dosazením této frekvence do obecného vztahu pro

amplitudu :

)b(b))b((m

F

b)(m

FA o

rezrez

o222222222222 242

1

4

1

−+−−⋅=

+−⋅=

ωωωΩΩω

Provedeme-li matematické úkony ve výrazu pod odmocninou a použijeme-li ještě vztah pro úhlovou

frekvenci tlumených kmitů :

221 b−= ωω

dostaneme nakonec velmi jednoduchý výraz :

1

omax bm2

FA

ω= maximum amplitudové rezonance

Při zkoumání nucených kmitů se - podobně jako u kmitů tlumených - často používá veličina kvalita

oscilátoru Q, která charakterizuje úbytek energie kmitů (je definována jako 2π – násobek podílu střední

hodnoty celkové energie oscilátoru v jedné periodě kmitů a ztráty této energie během jedné periody

kmitů, viz minulá kapitola „Tlumené kmity“) :

1

stř

W

W2Q ⋅= π kvalita oscilátoru

Jev rezonance má velký význam zejména za podmínek velmi malého tlumení , kdy konstanta tlumení je

značně menší než vlastní frekvence oscilátoru (takové jsou většinou elektrické rezonanční LCR obvody) :

ω<<b velmi malé tlumení

V tomto případě je rezonanční frekvence prakticky rovná vlastní frekvenci oscilátoru :

ωωΩ ≅−= 22 2brez

A stejně tak frekvence nucených kmitů :

ωωω ≅−= 221 b

7

Kvalita oscilátoru je pak za těchto podmínek velmi vysoká a lze pro ni odvodit jednoduchý vzorec (viz

opět minulou kapitolu) :

1b2

Q >>= ω kvalita oscilátoru (při velmi malém tlumení)

A pro maximální amplitudu kmitů při rezonanci můžeme potom psát (a provedeme malou úpravu) :

Qm

F

b2m

F

mb2

F

mb2

FA

2o

2oo

1

omax ⋅=⋅=≅=

ωω

ωωω

Dosadíme-li za vlastní úhlovou frekvenci její definiční vztah :

m

k2 =ω

vznikne na pravé straně ještě počáteční amplituda (viz výše její definiční vztah) a celkem tak obdržíme

velmi jednoduchý a velmi zásadní vztah :

QAA omax ⋅= maximum amplitudové rezonance

Při rezonanční frekvenci (která se přibližně rovná vlastní frekvenci oscilátoru) dojde tedy při vnějším

buzení ke Q– násobnému zesílení amplitudy vlastních kmitů oscilátoru.

Za velmi malého tlumení (tedy pro vysoké Q ) je rezonanční jev navíc velmi „ostrý“ - tj. amplitudové

maximum je velmi úzké - jeho pološířka ∆Ω (šířka křivky maxima v polovině jeho výšky) je nepřímo

úměrná hodnotě kvality Q :

Q

1≈Ω∆

Potom tedy při postupně rostoucí frekvenci budicí síly (např. postupné zvyšování otáček motoru)

amplituda kmitů roste nejprve jen zvolna, ale pak velmi náhle - při malé změně frekvence (v malém

frekvenčním intervalu) - nastane rychlý nárůst amplitudy do jejího maxima.

Využití amplitudové rezonance : V elektrických rezonančních obvodech při vysoké kvalitě oscilátor

přesně „ najde, vybere a zesílí “ kmity své rezonanční frekvence – a to z celého spektra frekvencí, které

jsou na něj přivedeny, například z antény (to je vstupní obvod nějakého přijímače, změnou jeho

rezonanční frekvence pak probíhá „ladění“ přijímače).

8

Je to také nežádoucí jev : rezonance strojních součástí (kritické otáčky hřídele), rezonance staveb (viz

účinek hlasité hudby na hradby Jericha …… a proč se asi používá známý povel „zrušit krok“ pro

pochodový útvar na mostě ?)

Příklad aplikace : oscilační sériový obvod LCR s vnějším budicím střídavým zdrojem (viz obr.) :

t.sinUU m Ω⋅=

Nebo pro dosažení zcela identické výsledné rovnice lze předpokládat :

)tsin(UU m 2

πΩ +⋅=

R

L

C

U

Podle 2. Kirchhofova zákona potom platí (Q je náboj na kondenzátoru) :

C

Q

dt

dIL)tsin(UIR m +⋅−+⋅=⋅

2

πΩ

Rovnici derivujeme podle času :

dt

dQ

Cdt

IdL)tcos(U

dt

dIR m ⋅+⋅−+⋅⋅=⋅ 1

2 2

2πΩΩ

Ještě využijeme definici proudu jako náboje přeneseného (průřezem vodiče) za jednotku času a jeho

souvislosti s přírůstkem náboje na kondenzátoru :

dt

dQI −=

A po jednoduchých úpravách rovnice dostaneme :

t.sinL

UI

LCI

L

RI m ΩΩ ⋅⋅=⋅+⋅+ 1

&&&

9

Pro elektrický proud v obvodu tedy platí formálně shodná rovnice jako pro mechanické nucené kmity.

Pro konstanty tak dostáváme :

bL

R2=

21 ω=CL

m

F

L

U om =⋅ Ω

Matematický vztah pro elektrický proud v ustáleném stavu bude proto také stejný jako pro výchylku

mechanických kmitů :

)tsin(II om ΦΩ +⋅=

A jeho amplitudu vypočítáme ze vztahu pro amplitudu mechanických kmitů :

222222222 1

1

4

1

ΩΩ

Ω

ΩΩω )L

R()

LC(

L

U

b)(m

FI mom

+−⋅=

+−⋅=

Dostaneme tak známý vztah - Ohmův zákon pro střídavý obvod :

221R)L.

C.(

UI mm

+−=

ΩΩ

Pro fázový posuv pak bude platit :

RC.

L.btg o

ΩΩ

ΩωωΦ

12

22

−==

−−= KKK

Z těchto rovnic tedy vyplývají všechny známé vztahy pro impedance a fázové posuvy ve střídavých

obvodech, včetně rezonanční frekvence a kvality oscilátoru.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(konec kapitoly) K. Rusňák, verze 01/2005, rev. 04/2006, 02/2007, 04/2008

1

Skládání rovnoběžných kmitů

Principiálně se nejedná o žádný nový problém, ať jsou kmity rovnoběžné, nebo různoběžné (viz další

kapitola), vždy vlastně jde o obyčejné skládání mechanických pohybů , které je běžné v technické praxi

a často užívané ve školních příkladech (plavec plave přes řeku, vrh svislý a šikmý, pohyb po spirále, …).

Uvědomme si, že podle 2. Newtonova zákona je každý pohyb důsledkem určité působící síly a podle

principu superpozice jsou všechny pohyby, které chceme skládat, vzájemně zcela nezávislé .

Proto tedy můžeme každý jednotlivý (dílčí) pohyb vypočítat zcela samostatně, pouze z pohybové

rovnice s příslušnou silou (která ho způsobuje) - a závěrem pak všechny dílčí pohyby v libovolném

pořadí složíme (sečteme).

Nyní si tedy představme určitou modelovou situaci, kdy na jediný hmotný bod působí dvě nezávislé

pružné síly ve stejném směru (osy y ). Předpokládejme obecně různé síly, tj. s různými konstantami

pružnosti :

ykF

ykF

⋅−=⋅−=

22

11

Výsledkem samostatného působení každé této síly na hmotný bod jsou potom kmity obecně vzájemně

odlišných vlastností :

)t(sinAy

)t(sinAy

2222

1111

ϕωϕω

+⋅=+⋅=

Kde pro úhlové frekvence platí standardní výrazy :

m

k121 =ω

m

k222 =ω

V tomto jednoduchém případě dvou jednorozměrných pohybů v jedné ose, získáme výsledný pohyb

prostým skalárním součtem obou jednotlivých výchylek hmotného bodu - a bude to opět

jednorozměrný pohyb ve stejné ose ( y ) :

)t(sinA)t(sinAyyy 22211121 ϕωϕω +⋅++⋅=+=

Hlavním parametrem, který rozhodne o konkrétním výsledku tohoto součtu, je frekvence obou dílčích

kmitů. Rozlišíme proto dva zásadní případy :

2

1) Skládání rovnoběžných kmitů stejné frekvence

V tomto případě tedy bude :

ωωω == 21

Výchozí kmity jsou potom popsány rovnicemi :

)t(sinAy

)t(sinAy

222

111

ϕωϕω

+⋅=+⋅=

A pro výsledný pohyb platí rovnice :

)t(sinA)t(sinAyyy 221121 ϕωϕω +⋅++⋅=+=

Jde zřejmě o nejjednodušší možný případ skládání rovnoběžných kmitů. Již při diskusi pohybové rovnice

harmonického oscilátoru jsme došli k závěru, že součtem dvou sinusovek stejné frekvence je opět

sinusovka nezměněné frekvence (má ale jinou amplitudu a fázovou konstantu).

Použijeme tedy opakovaně součtové vzorce :

( ) ( )( ) ( )

)t(sinA

sinAtcoscosAtsin

sinAsinAtcos.cosAcosAtsin

sintcoscostsinAsintcoscostsinAy

22112211

222111

ϕωϕωϕω

ϕϕωϕϕωϕωϕωϕωϕω

+⋅==⋅+⋅=

=+⋅++⋅==⋅+⋅+⋅+⋅=

Výpočet tak potvrzuje, že výsledný pohyb je skutečně opět harmonickým pohybem stejné frekvence

jako výchozí kmity. Jeho amplituda a fázová konstanta jsou určeny dvěma vztahy, které jsme použili

při výpočtu (viz výše) :

2211

2211

ϕϕϕϕϕϕ

sinAsinAsinA

cosAcosAcosA

+=+=

Dostáváme dvě rovnice pro dvě neznámé ( A, ϕ ) , jejich vyřešení se ale nebudeme věnovat. Je zřejmé, že

používání goniometrických funkcí s reálnými výchylkami vede k cíli poněkud těžkopádnou cestou.

Ukažme si dále, jak naopak použití komplexních funkcí při skládání kmitů je velmi jednoduché a

elegantní :

Nejprve oběma jednotlivým kmitům přiřadíme komplexní tvary (komplexní funkce) :

ti2

tii2

)t(i22

ti1

tii1

)t(i11

eAeeAeAu

eAeeAeAu

22

11

⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅

⋅=⋅⋅=⋅=

⋅=⋅⋅=⋅=ωωϕϕω

ωωϕϕω

Potom komplexní tvar výsledných kmitů bude jejich součtem :

ti21

ti2

ti121 e)AA(eAeAuuu ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅+=⋅+⋅=+= ωωω

3

Vidíme, že právě stejná frekvence kmitů umožňuje vytknutí exponenciely a sečtení obou komplexních

amplitud do výsledného komplexního čísla - které opět - jako každé komplexní číslo - může být zapsáno

ve tvaru komplexní amplitudy, obsahující (nyní skalární) amplitudu výsledných kmitů A a jejich fázovou

konstantu φ :

tiititi21 eeAeAe)AA(u ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅=⋅=⋅+= ωϕωω

Vzniklý standardní tvar komplexního zápisu kmitů tedy opakovaně a velmi jednoduše dokazuje, že

výsledné kmity jsou opět harmonické se stejnou frekvencí jako oba původní kmity.

Přitom výsledná komplexní amplituda je součtem obou počátečních komplexních amplitud :

21 AAA += výsledná komplexní amplituda

To znamená, že výslednou amplitudu a fázovou konstantu relativně jednoduše vypočítáme z hodnot

těchto veličin u počátečních výchozích kmitů :

2121

ϕϕϕ ⋅⋅⋅ ⋅+⋅=⋅ iii eAeAeA výsledná komplexní amplituda

Sčítání komplexních čísel samozřejmě znamená standardní sečtení jejich reálných a imaginárních částí.

V tomto případě komplexních exponenciel je možno také s výhodou použít jejich grafické znázornění a

sečtení jako vektorů , neboť amplituda kmitů je absolutní hodnotou komplexního čísla (délkou úsečky,

vektoru) a fázová konstanta je jeho argumentem (úhlem, který vektor svírá s osou x) :

x

y A

A

A1A1

AAA

A2

ϕ2ϕ

2

4

Amplitudu výsledných kmitů je pak možno jednoduše odečíst z grafu jako délku výsledného vektoru,

nebo ji lze také vypočítat pomocí kosinové věty :

)(cosAAAAA 122122

21

2 2 ϕϕ −++=

Ze vztahu vidíme výraznou závislost výsledné amplitudy na rozdílu fázových konstant kmitů, tj. na

fázovém rozdílu obou kmitů :

12 ϕϕ − fázový rozdíl kmitů

Použití komplexních amplitud ve spojení s grafickou metodou umožňuje tedy velmi rychlé stanovení

výsledných parametrů kmitů, tj. výsledné (skalární) amplitudy A a výsledné fázové konstanty ϕ .

Použití komplexních amplitud je také velmi výhodné pro řešení následujícího problému :

Maximum a minimum výsledné amplitudy :

Zejména v technických aplikacích jsou důležité extrémní výsledné pohybové stavy, tj. stavy s maximální,

nebo minimální amplitudou kmitů (u mechanických konstrukcí z toho plyne maximální, nebo minimální

namáhání materiálu , v elektrických obvodech jde o zesílení, nebo zeslabení výsledného signálu, je to

také princip činnost mnoha interferenčních a difrakčních přístrojů, atd.).

Právě z grafického znázornění komplexních amplitud je ihned jasné, že pro maximální výslednou

amplitudu musí být oba počáteční vektory souhlasně rovnoběžné, tj. musí platit (viz obr.) :

x

y

A1

AAA 2

ϕ

ϕϕϕ == 12

Nebo jinak :

012 =−ϕϕ

Dostáváme podmínku pro fázový rozdíl obou kmitů. Připustíme-li obecně jeho libovolnou velikost,

můžeme zobecnit :

πϕϕ 2012 .n±=− n = 0,1,2,3… (celé číslo)

Nebo v nejjednodušším tvaru :

5

πϕϕ n212 ±=− podmínka maxima

Slovně : Fázový rozdíl obou kmitů je roven sudému násobku čísla π, kmity jsou tedy „ve fázi“.

Stejně lehce vidíme z grafu podmínku minimální amplitudy - počáteční vektory musí být nesouhlasně

rovnoběžné :

x

y

A

A1

AAA 2

ϕ1

ππϕϕ 212 .n±=−

A tedy v konečném tvaru :

πϕϕ )n( 1212 +±=− podmínka minima

Slovně : Fázový rozdíl kmitů je roven lichému násobku čísla π, kmity jsou tedy „v protifázi“.

Poznámka k oběma podmínkám : Znak „plus mínus“ v obou vztazích zdůrazňuje, že nezáleží na kladné,

či záporné hodnotě fázového rozdílu. Pokud definujeme číslo n jako celé, kladné i záporné, můžeme také

tento znak vypustit, nebo lze použít na levé straně rovnic absolutní hodnotu fázového rozdílu.

.

2) Skládání rovnoběžných kmitů různé frekvence

Výchozí kmity mají tedy různé frekvence, obecně i amplitudy a fázové konstanty :

)t(sinAy

)t(sinAy

2222

1111

ϕωϕω

+⋅=+⋅=

A výsledný pohyb je opět jejich součtem :

)t(sinA)t(sinAyyy 22211121 ϕωϕω +⋅++⋅=+=

6

Na rozdíl od předchozích kmitů stejné frekvence tento součet nelze vyjádřit nějakou harmonickou funkcí,

nelze ho ani převést na jinou analytickou funkci, dokonce obecně ani nejeví periodičnost .

Tato vlastnost je u kmitů dosti závažná, zjistíme tedy v dalších řádcích podmínky periodičnosti.

Použijeme obecnou matematickou definici periody funkce jako (nejmenšího) intervalu nezávisle

proměnné, po kterém se (vždy) opakuje hodnota funkce (a její průběh, viz obr.) :

y

t

T

Jestliže tedy funkce )(ty má mít nějakou periodu T, musí zřejmě vždy platit :

)Tt(y)t(y +=

Dosaďme sem naši funkci vytvořenou součtem kmitů různé frekvence :

))Tt((sinA))Tt((sinA

)t(sinA)t(sinA

222111

222111

ϕωϕωϕωϕω

++⋅+++⋅==+⋅++⋅

Jediná možnost zajištění periodičnosti u těchto komplikovaných průběhů je zřejmě rovnost sinusovek

stejné frekvence na obou stranách rovnice, tj. :

))Tt((sinA)t(sinA

))Tt((sinA)t(sinA

222222

111111

ϕωϕωϕωϕω++⋅=+⋅

++⋅=+⋅

Dostáváme rovnost funkcí o známé periodě (2π) . Rovnost periodické funkce pro dvě hodnoty nezávisle

proměnné ovšem znamená, že tyto hodnoty se liší právě o periodu, nebo o její libovolný násobek. Z toho

tedy plynou následující podmínky pro fáze uvedených sinusovek :

πϕωϕωπϕωϕω2

2

22222

11111

n)Tt(t

n)Tt(t

+++=++++=+

kde n1 a n2 jsou libovolná celá čísla

7

Po úpravě :

πωπω

20

20

22

11

nT

nT

+=+=

Členy s frekvencemi převedeme na levou stranu a obě rovnice vydělíme :

ππ

ωω

2

2

2

1

2

1

n

n

T

T =

Vznikne tak jednoduchá podmínka periodičnosti :

2

1

2

1

n

n=ωω

podmínka periodičnosti

Úhlové frekvence výchozích kmitů musí být tedy v poměru libovolných celých čísel.

Toto konstatování můžeme samozřejmě vyslovit i pro jejich frekvence nebo periody , neboť platí

známé vztahy :

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

T

T

T1

T1

f

f

f2

f2 ====ππ

ωω

Zdálo by se, že jsme pro kmity různé frekvence vyčerpali matematické možnosti jejich popisu. Ukázala se

však možnost exaktního řešení následujícího speciálního případu :

3) Skládání rovnoběžných kmitů blízké frekvence

Zde jde vlastně o předchozí problém součtu kmitů různé frekvence , který byl v principu neřešitelný :

)t(sinA)t(sinAyyy 22211121 ϕωϕω +⋅++⋅=+=

Použijeme však přídavný předpoklad blízkých frekvencí obou kmitů, který se velmi často vyskytuje

v technických i teoretických aplikacích (velmi zajímavé a principiální jevy vznikají při vzájemném

působení mírně rozladěných oscilátorů (mechanických i elektronických, vzpomeňte také na nucené

kmity) a zejména pak při interferenci vlnění blízkých frekvencí – vlnové grupy, spektrální analýza) :

2121 ωωωω →≠ ,

Vzpomeňme ještě na minulý odstavec, že situace při skládání kmitů různé frekvence je velmi

komplikovaná a zjednodušme dále tento problém předpokladem stejných amplitud a stejných fázových

konstant , které v principu nemohou změnit výsledek „působení“ různých frekvencí :

8

021

21

====

ϕϕAAA

Pak totiž dostaneme jednodušší vztahy :

)tsintsin(AtsinAtsinAy 2121 ωωωω +⋅=⋅+⋅=

A není tedy problémem použití klasických součtových vzorců pro goniometrické funkce ( sinα + sinβ ) :

2

t)(cos

2

t)(sinA2)

2

ttcos

2

ttsin2(Ay 21212121 ωωωωωωωω −⋅+⋅=−⋅+⋅=

Jestliže označíme :

o21

21

2

2

ωωω

ωωω

=−

=+

Pak lze jednoduše zapsat výsledek :

tsintcosAy o ωω ⋅⋅= 2 kmity blízké frekvence

Můžeme konstatovat, že výsledek skládání dvou kmitů blízké frekvence má složitý průběh – matematicky

to nejsou harmonické kmity - ale protože zjevně platí :

2121

2ωωωωω ≈≈=+

02 o

21 →=− ωωω ⇒ ∞→==

ooo

2

f

1T

ωπ

lze tento výsledek interpretovat jako přibližně harmonické kmity prakticky stejné frekvence jako

výchozí kmity, s velmi pomalu proměnnou sinusovou amplitudou (protože perioda To je veliká)

tcosAA oω⋅=′ 2 amplituda kmitů blízké frekvence

Tedy můžeme psát :

tsinAy ω⋅′= kmity blízké frekvence

9

Kmity lze také označit jako kvaziharmonické . Sinusová amplituda nízké frekvence tvoří jakousi

obalovou křivku pro kmity vysoké frekvence (viz obr.). Takový výsledek dostaneme také

v elektrotechnice při amplitudové modulaci .

y

t

A = 2A·cos ω t o

y = · sin ωt A

Z obrázku vidíme, že periodické změny amplitudy (maxima) se opakují s poloviční periodou , tj.

s frekvencí :

212121o

oor

r ff2

f2f2

2

1

22f2

T

2

T

1f −=−=−⋅=⋅====

πππωω

ππω

Dostáváme jednoduchý vztah pro frekvenci periodických změn amplitudy, v akustice nazývaných rázy :

21r fff −= frekvence rázů

Vymizení rázů je tedy velmi přesným indikátorem shody frekvencí dvou kmitů.

Proto lidské ucho i bez „hudebního sluchu“ dobře pozná shodu frekvencí dvou tónů a je tedy například

možno podle kalibrovaného zdroje (ladičky) dokonale naladit struny hudebního nástroje i sladit

dohromady celý orchestr).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(konec kapitoly) K. Rusňák, verze 01/2005, rev. 05/2008

1

Vlnní pružného prostedí Vznik vlnní a jeho popis

V minulých kapitolách jsme dosti podrobn probrali rzné druhy kmit jako speciální pohyb hmotného bodu. Ve svt kolem nás však vtšinou nekmitají jednotlivé hmotné body (a ani vlastn neexistují), ale kmitavé stavy pozorujeme u celých velkých makroskopických tles – pevných, kapalných i plynných …. a pi popisu tchto pohybových stav pak používáme pojem vlnní. Všechna reálná tlesa jeví vždy uritou „míru“ pružnosti - asto se používá termín pružné hmotné prostedí.

Poznámka: O pružnosti pevných látek nás pesvduje Hookev zákon :

eE ⋅=σ

To je vztah pímé úmry mezi normálovým naptím (tlakem) a relativní deformací tlesa, tj. :

ll

ESF ∆⋅=

Protože deformace je vlastn výchylka njakého hmotného bodu tlesa (viz obrázek - levý koncový bod tlesa) z rovnovážné polohy, znamená tato rovnice základní vztah pro pružnou sílu (skalárn, bez znaménka minus) :

l.konstllSE

F ∆∆ ⋅=⋅=

Fyzikálním modelem každého tlesa je soustava hmotných bod a speciáln modelem pružného hmotného prostedí bude soustava pružn vázaných hmotných bod , ve které mezi každými dvma sousedními body psobí pružná vazbová síla, která je úmrná jejich vzdálenosti (jakoby mezi tmito body byla natažena pomyslná pružina).

2

To ovšem znamená, že na každý hmotný bod psobí njaká výslednice pružných sil, jde tedy o soustavu pružn vázaných (lineárních harmonických) oscilátor .

V rovnovážném, klidovém stavu je jist souet všech pružných sil na libovolný hmotný bod roven nule. Když ovšem vychýlíme tento bod z rovnovážné polohy (a on pak vlastn zane kmitat), porušíme rovnováhu sil nejen u vychýleného bodu, ale i u bod sousedních – ty se tedy zanou také pohybovat – a tak vyvolávají pohyb dalších svých soused ….. …. poátení výchylka (kmity, rozruch) se tak „šíí“ na všechny strany …. až po njakém ase budou kmitat všechny body soustavy.

Pojem vlnní oznauje kmitání celé soustavy pružn vázaných hmotných bod.

Fyzikální popis vlnní tedy musí obsahovat matematický vztah pro kmity každého bodu soustavy. Uvažme pedevším, že výchylka konkrétního hmotného bodu z jeho rovnovážné polohy mže mít obecn v prostoru zcela libovolný smr – oznaíme ji tedy jako vektor – a bude jist záviset na poloze hmotného bodu a bude se také mnit s asem :

( ) ( )t,z,y,xut,ruu == obecná rovnice vlnní

Obecné vlnní v prostoru tedy musí být popsáno vektorovou funkcí ty promnných. Ve speciálním, jednodušším pípad mže ovšem existovat dvourozmrné vlnní (na ploše) :

( )t,y,xuu =

A matematicky nejjednodušší tvar bude jist mít vlnní bodové ady (viz obrázek, kterou lze dobe realizovat jako strunu, ty, vzduchový sloupec …) :

( )t,xuu =

Tento zápis lze ješt dále zjednodušit v pípad lineárn polarizovaného vlnní , kdy jsou výchylky všech hmotných bod navzájem rovnobžné. Vektory výchylek tedy leží stále v jedné rovin (tzv. rovina

3

polarizace), mají v prostoru stále stejný smr, a jestliže známe tento smr, mžeme pak urovat jen velikost výchylky, tj. skalár :

( )t,xuu = lineárn polarizovaného vlnní (nejjednodušší tvar rovnice vlnní)

Ze stední školy už vlastn znáte dva druhy lineárn polarizovaného vlnní :

- píné vlnní (kmity jsou kolmé k bodové ad)

- podélné vlnní (kmity jsou rovnobžné s bodovou adou)

Sestavme nyní rovnici vlnní pro tento nejjednodušší pípad lineárn polarizovaného a harmonického vlnní bodové ady:

Poznámka: Pi zcela exaktním pístupu by ml sestavení rovnice vlnní pedcházet teoretický rozbor lineární soustavy oscilátor, kde by bylo matematicky nalezen tvar kmit každého oscilátoru – viz další kapitola „Lineární etzec oscilátor“.

Bodovou adu ztotožníme s osou x a budeme pedpokládat, že výše zmínný poátení rozruch nastane v bod 0 této osy jako dsledek psobení njakého zdroje kmit. Pedpokládejme dále, že tento zdroj bude pohybovat s bodem 0 nejjednoduššími harmonickými kmity :

tsinAu0 ω⋅= kmity zdroje

4

Pružnými vazbami (mezi jednotlivými hmotnými body) se postupn uvádjí do pohybu (rozkmitávají se) sousední body - íkáme, že rozruch (harmonické kmity) se šíí (postupuje) od zdroje po ose x njakou rychlostí c ……. vzniká tak postupné vlnní v bodové ad .

Sledujme jeho šíení v kladném smru osy x a položme si otázku, jaká bude výchylka libovolného hmotného bodu m v míst o souadnici x : Tento bod ovšem nezane kmitat souasn se zapnutím zdroje, ale s asovým zpoždním – až po uplynutí urité doby, za kterou se kmity (rozruch) dostanou do daného místa.

K urení této doby musíme znát již zmínnou rychlost šíení rozruchu c – je to rychlost šíení urité výchylky, která je dána uritou velikostí fáze kmit – mžeme ji tedy oznait jako rychlost postupu místa stejné fáze – tzv. fázová rychlost vlnní.

Potom bude asové zpoždní kmit v míst x dáno probhnutou drahou (délky x) a konstantní fázovou rychlostí podle vztahu (pro rovnomrný pohyb) :

cx

t =′ asové zpoždní kmit

Až po uplynutí této doby nastane v míst x stejná výchylka jako v poátku, ale ve zpoždném (posunutém) ase :

( ) ( )ttsinAt,xuu ′−⋅== ω

Po dosazení za asové zpoždní vznikne základní matematický zápis postupného harmonického lineárn polarizovaného vlnní v bodové ad (postupujícího v kladném smru osy x) :

( )

−⋅=cx

tsinAt,xu ω

A po roznásobení dostaneme další používaný tvar :

( )

⋅−⋅⋅=c

xtsinAt,xu

ωω

Proveme podrobnjší rozbor rovnice vlnní jako funkce dvou promnných :

1) Pro x = konst. tato rovnice vyjaduje harmonické kmity hmotného bodu v míst x – tak byla rovnice vlnní vlastn vytvoena. Pro toto zadané místo je celý druhý len v závorce konstantní a vytváí vlastn fázovou konstantu kmit :

( ) ( ) ( )tutsinAc

xtsinAt,xu 0 =+⋅⋅=

⋅−⋅⋅= ϕωωω

5

Vidíme, že fázová konstanta je záporná :

cx

0⋅−= ωϕ

To nám jasn potvrzuje, že kmity v míst x jsou skuten zpoždné oproti kmitm zdroje v poátku osy x (viz obr.) :

Z obrázku je vidt, že „poátek“ sinusovky je posunutý (opoždný) o as t´, pro který platí (je to nulový bod funkce sinus) :

0c

xt =⋅−′⋅ ωω

Vypoítáme-li z rovnice tento as, mžeme spokojen konstatovat, že je práv roven asovému zpoždní kmit v míst x - což byl také náš výchozí pedpoklad pi sestavení rovnice kmit :

ωϕ0

cx

t −==′

Rovnice vlnní tedy popisuje výchylku hmotných bod v libovolném míst – jsou to (harmonické) kmity stejné frekvence a amplitudy jako kmity v poátku osy x, ale fázov zpoždné v dsledku asového zpoždní pi postupu vlnní (fázovou rychlostí c).

Není vlastn ani principiáln dležité , aby v poátku osy x (v bod 0 ) byl zdroj kmit – mže být kdekoliv jinde (vlevo na ose x), dležitý je smr postupu vlnní – zleva doprava, (v kladném smru osy x) – který vytváí ono fázové zpoždní kmit v míst x oproti bodu 0 (obecnji – oproti bodu vzdálenému o x).

Pak je také zejmé, že v pípad opaného postupu vlnní (se zdrojem nkde daleko v pravé ásti osy x) budou kmity v míst x naopak pedbíhat kmity v bod 0 … druhý len v argumentu sinu musí proto zmnit znaménko :

6

( )

⋅+⋅⋅=c

xtsinAt,xu

ωω vlnní postupující v záporném smru osy x

2) Pro t = konst. bude rovnice vlnní ukazovat výchylky všech hmotných bod v jednom daném ase, bude to tedy jakási „fotografie“ vlnní v tomto ase, která nám ukáže prostorové rozložení našeho vlnní.

Pro daný as t je nyní v závorce konstantní první len (oznaíme ho jiným písmenem, nebo to není standardní fázová konstanta asových kmit) :

( )xuc

xsinA

cx

tsinA)t,x(u =

⋅−⋅=

⋅−⋅⋅= ωαωω

Budu doufat, že laskavý tená správn matematicky zhodnotí tento výraz a konstatuje, že jde opt o obecnou sinusovku, ale nyní s promnnou x.

Periodu této sinusovky oznaíme (bude to vzdálenost mezi místy stejné fáze vlnní, tzv. vlnová délka) a stanovíme ji z obecné definice periody funkce jako (nejmenšího) intervalu promnné, po kterém se vždy opakuje hodnota (prbh) funkce :

( ) ( )λ+= xuxu

Máme tedy :

( )

+⋅−⋅=

⋅−⋅cx

sinAc

xsinA

λωαωα

Hodnoty funkce sinus se opakují s periodou 2, tj. rozdíl obou argument (v závorkách) se musí rovnat této period :

( ) πλωαωα 2cx

cx =

+⋅−−

⋅−

Po úprav :

πλω2

c=⋅

A s využitím znalostí o úhlové frekvenci mžeme stanovit vztahy pro vlnovou délku :

Tcfc

f2c2c2 ⋅==

⋅⋅=⋅⋅=

ππ

ωπλ vlnová délka

7

Vlnová délka je perioda „prostorové ásti“ rovnice vlnní, je to vzdálenost míst stejné fáze kmit. Z posledního výrazu pak mžeme vidt další fyzikální smysl této veliiny – je to dráha (vzdálenost), kterou probhne vlnní za dobu periody T (za kterou se uskutení práv jeden celý kmit a na probhnuté dráze se tedy rozloží práv jedna kompletní vlna).

Nkdy se také používá veliina :

λσ 1= vlnoet

jako podíl jednotkové délky a délky jedné vlny – mžeme ji tedy také chápat jako poet vln na jednotkové vzdálenosti.

Vrame se nyní k poslednímu tvaru naší rovnice vlnní :

( )

⋅−⋅⋅=c

xtsinAt,xu

ωω

A provedeme poslední formální úpravu – podíl úhlové frekvence a fázové rychlosti oznaíme jako novou konstantu :

σπλππω ⋅⋅=⋅=⋅⋅== 2

2c

f2c

k úhlový vlnoet

Název této veliiny vyplývá z její velikosti, rovné 2-násobku obyejného vlnotu.

Vznikl tak nejznámjší, formáln nejjednodušší tvar rovnice postupného harmonického vlnní v bodové ad :

8

( ) ( )xktsinAt,xu ⋅−⋅⋅= ω

Na závr tohoto odstavce mžeme posoudit rzné varianty rovnice vlnní, nap. jak by se zmnila v pípad, že by kmity zdroje obsahovaly njakou nenulovou fázovou konstantu :

( )00 tsinAu ϕω +⋅⋅=

Pak by se zejm tato konstanta beze zmny „penesla“ do kmit v dalších místech bodové ady :

( ) ( )0xktsinAt,xu ϕω +⋅−⋅⋅=

Nezapomete také na úvahy pi rozboru rovnice vlnní, že v pípad opaného postupu vlnní (v záporném smru osy x) nastane zmna znaménka u prostorové ásti argumentu :

( ) ( )xktsinAt,xu ⋅+⋅⋅= ω

Protože rovnice vlnní je v podstat rovnicí kmit, lze pro ni psát analogický komplexní zápis jako pro kmity :

( ) ( )0xktieAt,xu ϕω +⋅±⋅⋅±⋅= komplexní tvar vlnní

Poslední úvaha o variantách rovnice vlnní by se týkala možnosti, že kmity zdroje by nebyly harmonické, ale mly by zcela obecný prbh (i neperiodický), popsaný njakou libovolnou funkcí asu :

( )tfu0 =

Pak by samozejm v bodové ad vzniklo také neharmonické postupné vlnní, které by popisovala stejná funkce f s argumentem, který by vyjadoval asové zpožování nebo pedbíhání kmit v míst x oproti místu 0 :

( )

±=cx

tft,xu neharmonické postupné vlnní

Vlnní v prostoru

Umístíme-li zdroj kmit v njakém míst 3-rozmrného pružného hmotného prostedí, pak se ovšem vzniklý rozruch šíí pomocí pružných vazeb ástic na všechny sousední body , tj. do všech smr v prostoru, do všech bod tohoto prostedí.

9

Místa, do nichž se vlnní rozšíí v rzných smrech za tutéž dobu, leží jist na njaké spojité ploše – tzv. vlnoplocha . Výchylky (kmity) všech bod na vlnoploše jsou stejn asov (tedy i fázov) zpoždné oproti místu zdroje, mají tedy stejnou velikost i stejnou fázi.

Vlnoplocha je geometrické místo kmit stejné fáze

Poznámka: Vlnoplochy existují v každém ase, je jich tedy nekonen mnoho, zakreslujeme však jen nkteré, nap. takové, které jsou od sebe vzdáleny o vlnovou délku.

Pi popisu vlnní také užíváme pojem paprsek – rozumíme tím pímku, která leží ve smru postupu vlnní v daném míst. Paprsky jsou kolmé k vlnoplochám, jsou to vlastn jednoduché bodové ady.

Vlnoplochy mají obecn libovolný tvar. Je-li však hmotné prostedí izotropní – tj. vlnní se šíí ve všech smrech (od zdroje) stejnou fázovou rychlostí – pak vznikají kulové vlnoplochy – a vlny (vlnní) také nazýváme kulové - jde vlastn o nejastjší tvar vlnoploch v pírod.

Uvažme dále, že ve velké vzdálenosti od zdroje mají kulové vlnoplochy velký polomr – v menší objemové ásti prostedí je tedy lze považovat za rovinné vlnoplochy. To platí tím pesnji, ím menší ást objemu sledujeme a v limit pro nekonen malou (diferenciální) ást prostoru mžeme vlastn jakékoliv vlnoplochy považovat za rovinné. Rovinné vlnní (vlny) se tak stává teoreticky nejdležitjším druhem vlnní. Odvodíme proto rovnici tohoto vlnní.

Pedstavme si nejjednodušší situaci, že rovinné vlnní postupuje ve smru osy x . Tato osa je tedy jedním z jeho paprsk a rovinné vlnoplochy jsou k ní kolmé. Do obrázku zakreslíme pouze dv vlnoplochy – jednu jdoucí poátkem 0 (je to vlastn roviny yz) a druhou ve vzdálenosti x od poátku :

Víme, že na vlnoplochách mají všechny body stejnou výchylku, kmitají se stejnou fází. Na první vlnoploše jdoucí poátkem 0 mají tedy všechny hmotné body stejnou fázi jako v bod 0 a všechny body na druhé vlnoploše mají stejnou fázi jako bod na ose x, tj. stejné fázové zpoždní jako tento bod. Situace na celé této vlnoploše je tedy stejná jako v míst x na bodové ad (na ose x, i na jakémkoliv paprsku). Potom rovnice vlnní v bodové ad, která popisuje kmity v libovolných místech osy x, je také souasn rovnicí pro vlnoplochy jdoucí tmito místy a je tedy nejjednodušší rovnicí prostorového vlnní, rovnicí postupného rovinného vlnní (lineárn polarizovaného), jdoucího ve smru osy x :

10

( ) ( ) ( )xktsinAt,xut,z,y,xu ⋅−⋅⋅== ω rovinná vlna ve smru osy x

Poznámka : Rovinnou postupnou vlnu také samozejm popisují všechny obecnjší tvary, které jsme doplnili u bodové ady – tj. s pídavnou fázovou konstantou, zmna znaménka pi opaném postupu vlnní, komplexní tvar, neharmonické vlnní.

Vlnová rovnice

Rovnice jakéhokoliv vlnní je principiáln vždy rovnicí popisující pohyb hmotných bod (dané látky, soustavy) a je ji tedy možno nalézt ešením Newtonových pohybových rovnic. Sestavení tchto rovnic však jist není jednoduchá záležitost. Pružné hmotné prostedí, které je pedpokladem pro existenci vlnní, je speciální soustavou hmotných bod, která se pohybuje „nestandardním“ zpsobem – vlnní jist nelze vyjádit pomocí translace a rotace a použít impulzových vt, protože tyto vty neobsahují vnitní vazební síly, které jsou pro vznik a existenci vlnní zásadn dležité. Exaktní stanovení pružných vazbových sil je pak velmi komplikované, nebo tyto síly závisejí na struktue látky a vlastnostech jejích ástic.

Je proto velmi výhodné, že se podailo nalézt „ekvivalentní pohybovou rovnici“, která neobsahuje materiálové a strukturní parametry pružného prostedí – tzv. vlnovou rovnici.

Provedeme odvození této rovnice pro základní druh vlnní - rovinné vlny postupující ve smru osy x :

( ) ( )xktsinAt,xu ⋅−⋅⋅= ω

Proveme nejprve dvakrát derivaci (parciální) podle asu :

( )

( )xktsinAt

u

xktcosAtu

22

2⋅−⋅⋅⋅−=

∂∂

⋅−⋅⋅⋅=∂∂

ωω

ωω

A potom dvakrát derivaci podle souadnice :

( ) ( )

( ) ( )xktkAx

u

xktkAxu

⋅−⋅⋅−⋅−=∂∂

⋅−⋅⋅−⋅=∂∂

ω

ω

sin

cos

22

2

Ze druhé asové derivace vyjádíme funkci sinus :

( )2

2

2 t

u

A

1xktsin

∂∂⋅

⋅−=⋅−⋅

ωω

a dosadíme do posledního vztahu pro druhou prostorovou derivaci :

11

( ) 2

2

2

2

2

2

22

2

2 1

t

uk

t

u

AkA

x

u

∂∂⋅=

∂∂⋅

⋅−⋅−⋅−=

∂∂

ωω

Jestliže použijeme defininí vztah pro úhlový vlnoet :

ck

ω=

dostaneme po vykrácení :

2

2

22

2

t

u

c

1

x

u

∂∂⋅=

∂∂

vlnová rovnice (nejjednodušší tvar)

Tato rovnice je skuten ekvivalentní k pohybové rovnici, nebo na její jedné (pravé) stran vystupuje druhá derivace výchylky podle asu, tj. zrychlení kmitající ástice (elementu) hmoty, psobící síly se však podailo vyjádit druhou parciální derivací podle souadnice a fázovou rychlostí vlnní (ta jediná závisí na vlastnostech prostedí).

Rovnice vlnní je pak ešením vlnové rovnice. Je velmi pozoruhodné, že vlnovou rovnici spluje i postupné neharmonické vlnní libovolného tvaru (zkuste sami dosazení) :

±=cx

tfu

Bez odvozování si uvedeme, že vlnová rovnice ješt mže být dále zobecnna pro lineárn polarizované postupné vlnní v libovolném smru – pak se na levé stran objeví další parciální derivace podle y a z :

2

2

22

2

2

2

2

2

t

u

c

1

z

u

y

u

x

u

∂∂⋅=

∂∂+

∂∂+

∂∂

Levou stranu je možno formáln zjednodušit využitím Laplaceova operátoru :

2

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

uu

∂∂+

∂∂+

∂∂=∆

Pak dostaneme :

2

2

2 t

u

c

1u

∂∂⋅=∆

A v nejobecnjším pípad nepolarizovaného vlnní, kdy výchylky hmotných bod je nutno vyjádit jako vektory, se vlnová rovnice stane rovnicí vektorovou :

12

2

2

2 t

u

c

1u

∂∂⋅=

∆ vlnová rovnice (obecný tvar)

Matematicky jde o parciální diferenciální rovnici 2.ádu. Zásadn dležité pak je, že i když byla tato rovnice odvozena pro rovinné vlny, platí pro jakékoliv vlnní, nebo jako každá rovnice s diferenciály platí jen pro diferenciální – nekonen malou – ást prostoru, pro dané (prakticky bodové) místo, kdy lze jakoukoliv vlnoplochu považovat za rovinnou.

Skládání (interference) vlnní

Protože vlnní je ve své podstat kmitání hmotných bod, nemže nás pekvapit, že existuje jev skládání (nkolika) vlnní od rzných zdroj, který neznamená nic jiného než skládání nkolika rzných kmit (výchylek) v uritém (libovolném) míst.

Podle principu superpozice mechanických pohyb se napíklad dv okamžité výchylky hmotného bodu v daném míst od dvou vlnní (tyto výchylky jsou ureny rovnicemi vlnní) setou – v nejobecnjším pípad vektorov – do výsledné výchylky hmotného bodu a vznikne rovnice výsledného vlnní :

( ) ( ) ( )t,z,y,xut,z,y,xut,z,y,xu 21 +=

Nejjednodušší bude ovšem interference dvou stejn lineárn polarizovaných rovinných vln stejné vlnové délky postupující ve stejném smru osy x. Pak totiž sítáme pouze skaláry, a protože rovinné vlny se popisují stejnými rovnicemi jako bodové ady, mžeme tento problém pevést na interferenci vlnní v bodové ad :

Pedpokládejme tedy, že v bodové ad existují na dvou místech (O1 a O2) dva zdroje vlnní, které kmitají se stejnou periodou, mají stejný smr kmitání a stejné fáze (nebo alespo konstantní fázový rozdíl) – to jsou tzv. koherentní zdroje :

( )( ) ( )022222

111

tsinAunebotsinAOu

tsinAOu

ϕωωω

+⋅⋅=⋅=⋅=

V kladném smru osy x se potom šíí dv stejn lineárn polarizovaná vlnní stejné vlnové délky. Fázová zpoždní obou vlnní v libovolném bod m daná probhnutými drahami obou vlnní ( x1, x2 ) pak urují rovnice obou vlnní, tj. okamžité výchylky v tomto bod :

13

( ) ( )( ) ( )222

111

xktsinAt,xu

xktsinAt,xu

⋅−⋅⋅=⋅−⋅⋅=

ωω

Výsledná výchylka bodu m je pak jejich skalárním soutem :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )221121 xktsinAxktsinAt,xut,xut,xu ⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅=+= ωω

Ve sledovaném bod m, tj. pro zadané hodnoty x1 a x2 tato rovnice znamená „obyejné“ skládání dvou rovnobžných kmit stejné frekvence s rznými amplitudami (A1, A1) a s rznými fázovými konstantami :

22

11

xk

xk

⋅−=⋅−=

ϕϕ

A mžeme tak v plné míe aplikovat naše dívjší poznatky o skládání rovnobžných kmit :

Výsledné kmity (vlnní) jsou opt harmonické, stejné frekvence (vlnové délky) s výslednou amplitudou a fázovou konstantou, které se urí nap. grafickou metodou pomocí komplexních amplitud.

Velmi asto zajímají fyziky i techniky, stejn jako pi skládání kmit, extrémní výsledky :

a) Víme, že pro maximum interference platí podmínka na fázový rozdíl kmit :

...2,1,0n,2n21 =⋅±=− πϕϕ

Jestliže dosadíme za fázové konstanty a úhlový vlnoet :

( )( )

( ) πλπ

ππ

2nxx2

2nxxk

2nxkxk

12

12

21

⋅±=−⋅⋅⋅±=−⋅

⋅±=⋅−−⋅−

Pak po vynásobení vlnovou délkou (a vykrácení) dostaneme :

λ⋅±=− nxx 12

nebo :

2n2nxx 21

λλ ⋅=⋅=− podmínka maxima interference

Výraz na levé stran je rozdíl vykonaných drah – dráhový rozdíl vlnní – a pro dosažení maximální výchylky (rovné soutu obou amplitud) musí být roven celoíselnému násobku vlnové délky (sudému násobku poloviny vlnové délky).

14

b) Pro interferenní minimum pak z obecné podmínky na fázový rozdíl kmit platí :

( ) ...2,1,0n,1n221 =⋅+±=− πϕϕ

Dostaneme analogicky :

( ) ( ) πλπ ⋅+±=−⋅⋅

1n2xx2

12

a nakonec :

( )2

1n2xx 21λ⋅+=−

Dráhový rozdíl vlnní se tedy musí rovnat lichému násobku poloviny vlnové délky.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

(konec kapitoly) K. Rusák, verze 01/2005