Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel HanzlíkObchodní akademie a Střední odborná škola logistická, Opava, příspěvková organizace.Materiál byl vytvořen v rámci projektu OP VK 1.5 – EU peníze středním školám,registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0809.

Pravděpodobnost opačného jevu3. dubna 2013 VY_32_INOVACE_110218_Pravdepodobnost_opacneho_jevu_DUM

obr. 1

Opačný jev• V předchozím dvoudílném výukovém materiálu jsme se zabývali problematikou pravděpodobnosti náhodného jevu. Tímto jsme pomyslně vstoupili do úvodu teorie pravděpodobnosti.• Následující výukový materiál nás blíže seznamuje s novým pojmem opačný jev.• Opačný jev k jevu nastává právě tehdy, když nenastává jev .

obr. 1

Klasická definice pravděpodobnostiPřipomeňme si znovu klasickou definici pravděpodobnosti, pomocí níž budeme řešit matematické úlohy i ve výukovém materiálu o opačném jevu.Pravděpodobnost jevu v náhodném pokusu s konečnou množinou všech výsledků, které jsou stejně možné, je rovna podílu počtu výsledků příznivých jevu a počtu všech možných výsledků pokusu:

• Pravděpodobnost libovolného jevu je nezáporné číslo nejvýše rovno jedné:

Pravděpodobnost opačného jevuSjednocením libovolného jevu a jevu k němu opačnému je množina 𝞨 všech možných výsledků, takže platí Zároveň však platí neboť jevy a se vylučují .Z toho vyplývá, že .Pro pravděpodobnost jevu opačného k jevu platí:

obr. 2

Pravděpodobnost opačného jevu – praktická část

Následující čtyři matematické úlohy se blíže zabývají problematikou opačného jevu a určením jeho pravděpodobnosti.Úlohy jsou situovány do reálných situací z běžného života (házení hrací kostkou, výběr hracích karet, výběr náhodných skupin z třídního kolektivu).

obr. 2

Nabídka úloh a jejich řešeníÚloha 1 Řešení úlohy 1

ShrnutíÚloha 2Řešení úlohy 2

Úloha 4 Řešení úlohy 4

Řešení úlohy 3

Úloha 3

Úloha 1 Určete pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami nepadne žádná šestka.

zpět do nabídky úloh

obr. 3

Řešení úlohy 1Nejdříve si označíme jevy:jev – „na dvou kostkách padne číslo 6“jev - „na dvou kostkách nepadne žádná šestka“Všech možných výsledků při házení dvěma kostkami je podle kombinatorického pravidla součinu , neboť jde o počet všech uspořádaných dvojic sestavených z čísel 1, 2, …, 6. Platí: Určíme počet výsledků příznivých jevu , „na dvou kostkách padne číslo 6“. Na kostkách padnou čísla: možnosti (permutace ze dvou různých prvků) možnosti možnosti možnosti možnosti možnost (pouze 1 uspořádaná dvojice ze dvou stejných prvků)Celkem je 11 možností. Zjistili jsme tak, že .

pokračování

obr. 3

Řešení úlohy 1Podle klasické definice pravděpodobnosti platí:Pro pravděpodobnost opačného jevu ,„na dvou kostkách nepadne žádná šestka“ ,platí:

Pravděpodobnost, že na dvou kostkách nepadne žádná šestka, je 0,694 4 (69,44 %).

zpět do nabídky úloh

obr. 3

Úloha 2Určete pravděpodobnost, že při hodu třemi kostkami nepadne součet třináct.

zpět do nabídky úloh

obr. 4

Řešení úlohy 2Nejdříve si označíme jevy:jev – „na třech kostkách padne součet třináct“jev - „na třech kostkách nepadne součet třináct“Všech možných výsledků při házení třemi kostkami je podle kombinatorického pravidla součinu , neboť jde o počet všech uspořádaných trojic sestavených z čísel 1, 2, …, 6. Platí:Určíme počet výsledků příznivých jevu „na třech kostkách padne součet 13“. Na třech kostkách padnou čísla: možnosti (číslo 1 může být na třech různých kostkách) možností (permutace ze tří různých prvků) možností možnosti3 možnostiCelkem tedy 21 možností. Zjistili jsme tak, že .

pokračování

obr. 4

Řešení úlohy 2 zpět do nabídky úlohPodle klasické definice pravděpodobnosti platí:Pro pravděpodobnost opačného jevu , „na třech kostkách nepadne součet 13“,platí:Pravděpodobnost, že na třech kostkách nepadne součet třináct, je 0,902 8 (90,28 %).

obr. 4

Úloha 3Určete pravděpodobnost, že při vytažení tří karet z úplné sady 32 mariášových karet to nebudou samí králové.

zpět do nabídky úloh

obr. 5

Řešení úlohy 3 pokračováníNejdříve si označíme jevy:jev – „vytažené 3 karty ze sady 32 mariášových karet jsou samí králové“jev - „vytažené 3 karty ze sady 32 mariášových karet nejsou samí králové“Počet všech možných výsledků je roven počtu tříčlenných neuspořádaných skupin vybraných ze 32 karet, tj. počtu všech tříčlenných kombinací ze 32 prvků:Počet výsledků příznivých jevu ,„vytažené tři karty ze sady 32 mariášových karet jsou samí králové“ ,je: . Ze 4 králů v sadě vybereme tři, z ostatních 28 karet nevybereme žádnou (podle kombinatorického pravidla se jedná o součin dvou různých kombinací vyjadřujících počty obou případů).

obr. 5

Řešení úlohy 3Podle klasické definice pravděpodobnosti platí:Pro pravděpodobnost opačného jevu , „vytažené tři karty ze sady 32 mariášových karet nebudou samí králové“ ,platí:

Pravděpodobnost, že po vytažení tří karet ze sady 32 mariášových karet to nebudou samí králové, je 0,999 2 (99,92 %). Jedná se o téměř jistý jev.

zpět do nabídky úloh

obr. 5

Úloha 4Ve třídě je 15 chlapců a 17 dívek. Jaká je pravděpodobnost, že mezi pěti náhodně vybranými zástupci to nebudou samé dívky?

zpět do nabídky úloh

obr. 6

Řešení úlohy 4

pokračováníNejdříve si označíme jevy:jev – „mezi pěti vybranými zástupci ze třídy to budou samé dívky“jev - „mezi pěti vybranými zástupci ze třídy to nebudou samé dívky“Počet všech možných výsledků je roven počtu pětičlenných neuspořádaných skupin vybraných ze 32 žáků, tj. počtu všech pětičlenných kombinací ze 32 prvků:Počet výsledků příznivých jevu ,„mezi pěti vybranými zástupci ze třídy to budou samé dívky“, je: . Ze 17 dívek ve třídě vybereme pět, z patnácti chlapců nevybereme žádného (podle kombinatorického pravidla se jedná o součin dvou různých kombinací vyjadřujících počty obou případů).

obr. 6

Řešení úlohy 4Podle klasické definice pravděpodobnosti platí:Pro pravděpodobnost opačného jevu ,„mezi pěti náhodně vybranými zástupci ze třídy to nebudou samé dívky“ ,platí:

Pravděpodobnost, že mezi pěti náhodně vybranými zástupci ze třídy to nebudou samé dívky, je 0,969 3 (96,93 %).

zpět do nabídky úloh

obr. 6

ShrnutíČtyři matematické úlohy z různých oblastí ve zkratce vystihují pojem opačný jev. Tento jev spočívá v tom, že daný náhodný jev nenastane.Pravděpodobnost opačného jevu se vypočítá pomoci pravděpodobnosti toho náhodného jevu, ke kterému určujeme opačný jev.V teorii pravděpodobnosti se ještě budeme zaobírat pravděpodobností sjednocení jevů a pravděpodobností nezávislých jevů.

obr. 1

CITACE ZDROJŮPoužitá literatura:1) HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s. r. o., 2000, s. 211. ISBN 80-7196-165-5. 2) CALDA, Emil. Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU, 3. díl. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s r. o., 2000, s. 216, 218. ISBN 80-7196-109-4.

CITACE ZDROJŮ Použité obrázky:1) KJELL, André. File:Hexahedron.gif - Wikimedia Commons [online]. 6 January 2005 [cit. 2013-04-03]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hexahedron.gif 2) File:Blender3D CubePlaneCollision2.gif - Wikimedia Commons [online]. 13 February 2007 [cit. 2013-04-03]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Blender3D_CubePlaneCollision2.gif 3) SCHEICHER, Roland. File:Craps.jpg - Wikimedia Commons [online]. 6 August 2006 [cit. 2013-04-03]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Craps.jpg 4) File:Three Dices Get Together.jpg - Wikimedia Commons [online]. 19 December 2009 [cit. 2013-04-03]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Three_Dices_Get_Together.jpg

CITACE ZDROJŮ Použité obrázky: 5) File:Gruuthuse, carte da gioco dal xvi al xix secolo, 02.JPG - Wikimedia Commons [online]. 10 February 2013 [cit. 2013-04-03]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gruuthuse,_carte_da_gioco_dal_xvi_al_xix_secolo,_02.JPG 6) File:Galiano School, Junior Class.JPG - Wikimedia Commons [online]. 22 March 2010 [cit. 2013-04-03]. Dostupné pod licencí Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Galiano_School,_Junior_Class.JPG Všechny úpravy psaného textu byly prováděny v programu MS PowerPoint.

Konec prezentace. Děkuji Vám za pozornost.

Mgr. Daniel Hanzlík