ALGEBRAICKÉ FUNKCE a DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ … · číslu x funkce f přiřazuje...

Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích

P e d a g o g i c k á f a k u l t a

ALGEBRAICKÉ FUNKCE

a

DIFERENCIÁLNÍ POČETFUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ

skripta

RNDr. Vladimíra Petrášková, Ph.D.

Mgr. Hana Štěpánková, Ph.D.

České Budějovice 2014

Recenzenti:Doc. RNDr. Josef Blažek, CSc., Prof. RNDr. Jindřich Klůfa, CSc.

c© Hana Štěpánková, Vladimíra Petrášková, 2014

Obsah

Předmluva 5

Algebraické funkce 7

1 Reálná funce jedné reálné proměnné 81.1 Pojem funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Příklady některých důležitých funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Grafy funkcí a některá shodná zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Řešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Operace s funkcemi 192.1 Aritmetické operace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Polynomy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Racionální funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4 Operace skládání funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5 Operace zúžení (parcializace) funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.6 Řešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.7 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Vlastnosti funkcí 343.1 Sudost, lichost, periodičnost funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2 Řešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Injektivnost a bijektivnost funkcí, inverzní a monotonní funkce 404.1 Injektivnost a bijektivnost funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2 Operace invertování (prosté) funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3 Monotonie funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4 Funkce n-tá odmocnina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.5 Funkce mocnina s racionálním exponentem . . . . . . . . . . . . . . . 474.6 Řešené úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.7 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5 Supremum a infimum reálných čísel a funkce 585.1 Suprémum a infimum množiny reálných čísel . . . . . . . . . . . . . . 585.2 Suprémum a infimum funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.3 Řešené úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 64

6 Limita a spojitost funkce 646.1 Limita funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.2 Věty o limitách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.3 Spojitost funkce v bodě, na intervalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.4 Řešené příklady na limitu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.5 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7 Derivace funkce 767.1 Fyzikální a gometrická interpretace derivace . . . . . . . . . . . . . . 767.2 Věty o derivaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.3 Věty o střední hodnotě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.4 L’Hospitalovo pravidlo a derivace n-tého řádu . . . . . . . . . . . . . 837.5 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

8 Elementární funkce 868.1 Funkce logaritmická, exponenciální a obecná mocnina . . . . . . . . . 868.2 Goniometrické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.3 Cyklometrické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968.4 Řešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.5 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

9 Průběh funkce 1059.1 Monotonie funkce a lokální extrémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059.2 Konvexnost, konkávnost a inflexní body . . . . . . . . . . . . . . . . 1079.3 Asymptoty funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119.4 Vyšetřování průběhu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1139.5 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

10 Výsledky cvičení 119

Literatura 132

Předmluva

Hlavním cílem předkládaného textu je, aby čtenáři umožnil nejen se seznámitse základními pojmy užívanými při studiu reálných funkcí jedné reálné proměnné,se základními algebraickými funkcemi a s diferenciálním počtem funkcí jedné pro-měnné, ale také získané poznatky si hlouběji osvojit a upevnit řešením úloh. Tentoučební text je koncipován tak, aby byl srozumitelný pro široký okruh studentů při-cházejících z různých typů středních škol.

Úkolem první části učebního textu je seznámení čtenáře s pojmem funkce v oborureálných čísel a s pojmy s tímto pojmem bezprostředně svázanými. Speciálně s ur-čováním funkcí užitím operací, což dovolí definovat polynomy a racionální funkce.Třetí a čtvrtá kapitola se věnují důležitým vlastnostem funkcí. Pátá kapitola se za-bývá pojmy suprémum a infimum množiny reálných čísel a suprémum a infimumreálné funkce jedné reálné proměnné.

Druhá část textu seznámí čtenáře s pojmy, které souvisejí s diferenciálním po-čtem funkcí jedné reálné proměnné. Do této části je vložena i kapitola Elementárnífunkce, ve které jsou shrnuty vlastnosti funkcí goniometrických, exponenciáních, lo-garitmických a cyklometrických. Závěr druhé části je věnován vyšetřování průběhufunkce a aplikačním příkladům na derivaci funkce.

Každá kapitola obsahuje teorii, řešené úlohy a úlohy k procvičování (ty by mělřešit čtenář sám). Řešené úlohy by měly sloužit jako vzory postupů a úvah. Převážnáčást úloh k procvičování je opatřena výsledky. Výsledky nejsou uvedeny v těch pří-padech, kde by jejich uvedení bylo již řešením úlohy. V některých případech jsouvýsledky doplněny nebo nahrazeny návody k řešení a znázorněny na obrázcích, vy-tvořených v programu GeoGebra. Obrázky nejsou uvedeny ke každé úloze, k níž byjejich uvedení mělo smysl, protože by se tím příliš rozrostl rozsah knihy. Čtenář by sevšak měl zamyslet, lze-li k úloze obrázek nakreslit, a pokud ano, tak to také udělat.Úlohy označené hvězdičkou považují autorky za obtížnější.

Autorky chtějí také touto cestou poděkovat všem recenzentům prof. RNDr. Jin-dřichu Klůfovi, CSc. a Doc. RNDr. Josefu Blažkovi, CSc. za přečtení textu a cennépřipomínky.

V Českých Budějovicích v říjnu 2014

Hana Štěpánková a Vladimíra Petrášková

∼∼∼∼∼

Nikdy nepovažujte své studium za povinost, ale za závidění hodnou příležitost naučitse poznávat osvobozující účinky krásy ve sféře ducha, abyste z toho vy získali osobnípotěšení, a společenství, k němuž budete později patřit, výhody. (A. Einstein)

.

7

Algebraické funkce

V úvodním kursu matematické analýzy budeme pracovat s funkcemi, které při-řazují reálným číslům opět reálná čísla. Měli bychom tedy především vědět něcoo těchto reálných číslech. Odpověď na to, co jsou reálná čísla, není jednoduchá,proto nebudeme touto odpovědí začínat. Připomeneme si pouze, co o reálných čís-lech víme, a znalosti doplníme.

Budeme pracovat s pojmem množina a se základními operacemi na množinách,sjednocením, průnikem, rozdílem a kartézským součinem, a se vztahy být prvkemmnožiny a být podmnožinou. Předpokládáme dále, že čtenář zná význam logickýchspojek negace (¬), konjunkce (∧), disjunkce (∨), implikace (⇒) a ekvivalence (⇔)a obecného a existenčního kvantifikátoru (∀, ∃).

Dále předpokládáme základní znalosti o číselných oborech: znalost základníchvlastností přirozených, celých, racionálních a reálných čísel předevím v souvislostis obvyklými aritmetickými operacemi a uspořádáním, a zobrazení těchto čísel na čí-selné ose. U přirozených čísel předpokládáme znalost a použití principu matematickéindukce. Připomeňme dále, že každé racionální číslo lze zapsat jediným způsobemjako zlomek

p

q, kde p je číslo celé, q je číslo přirozené různé od a čísla p, q jsou

nesoudělná.

Úmluva o označení

Písmeny N,Z,Q,R označíme postupně množinu všech přirozených, celých, raci-onálních a reálných čísel. Nulu považujeme za prvek N.

Intervaly v množině R reálných čísel označíme obvyklým způsobem. Pro libo-volná a, b ∈ R, a < b je 〈a, b〉 množina vech x ∈ R takových, že a ≤ x ≤ b, tj.〈a, b〉 = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b}, a podobně〈a, b) = {x ∈ R; a ≤ x < b}(a, b〉 = {x ∈ R; a < x ≤ b}(a, b) = {x ∈ R; a < x < b}〈a,∞) = {x ∈ R; a ≤ x}(a,∞) = {x ∈ R; a < x}(−∞, b〉 = {x ∈ R; x ≤ b}(−∞, b) = {x ∈ R; x < b}(−∞,∞) = R

Konečnou množinu označíme výčtem jejích prvků ve složených závorkách {. . .}.

8

1 Reálná funce jedné reálné proměnné

1.1 Pojem funkce

Pojem funkce převezmeme z teorie množin.

Definice 1.1. Množinu f nazveme reálnou funkcí jedné reálné proměnné (dále jenfunkcí), platí-li

1. každý prvek množiny f je uspořádanou dvojicí [x, y] reálných čísel x, y,

2. (∀x, y1, y2 ∈ R)(([x, y1] ∈ f ∧ [x, y2] ∈ f)⇒ y1 = y2).

Tedy podle 1., je množina funkcí buď rovna prázdné množině nebo je tvořenauspořádanými dvojicemi reálných čísel.

Díváme-li se na množinu dvojic [x, y] ∈ f jako na předpis, podle něhož je reál-nému číslu x přiřazeno reálné číslo y, znamená podmínka 2. to, že každému reálnémučíslu x funkce f přiřazuje nejvýše jedno reálné číslo y.

Místo [x, y] obvykle píšeme y = f(x), f(x) nazýváme funkční hodnotou funkce fv bodě x.

Definice 1.2. Je-li f funkce, množinu všech prvních složek uspořádaných dvojic,které jsou jejími prvky, nazveme definiční obor funkce f a označíme D(f), tj.

D(f) = {x ∈ R, (∃y ∈ R)[x, y] ∈ f}.

Příklad 1.1. Množina {[1, 2], [3, 4]} je funkcí, její definiční obor je množina {1, 3}.Množina {[1, 2], [1, 4]} není funkcí.Množina {[1, 2], [4, 2]} je funkcí, její definiční obor je množina {[1, 4]}.

Z definice plyne

Věta 1.1. O rovnosti dvou funkcíPro libovolné funkce f , g platí

f = g ⇔ (D(f) = D(g) ∧ (∀x ∈ D(f))(f(x) = g(x)).

Funkci f můžeme tedy jednoznačně určit např. tak, že určíme D(f) a popíšeme,jak k libovolnému x ∈ D(f) stanovíme f(x). Říkáme, že funkce f je určena definič-ním oborem a ”předpisem”. Tento ”předpis” mívá často formu rovnice.

Příklad 1.2. a) f : D(f) = R, f(x) = 1 + 2x nebo f : D(f) = R, y = 1 + 2x,

b) g: D(g) = R, g(x) = x2 pro x ≥ 0, g(x) = 1x2pro x < 0.

1.2 Příklady některých důležitých funkcí 9

Zápis, kterým chceme (jednoznačně) určit funkci, je tedy tvořen popisem mno-žiny D(f) a uvedení ”předpisu” pro funkční hodnotu f(x) pro každý prvek x z mno-žiny D(f).

Přijmeme také úmluvu o maximálním možném definičním oboru funkce. Máme-li ”předpis”, který určuje jak k reálnému číslu x vytvořit (nejvýše jednu) funkčníhodnotu f(x), a není-li určen definiční obor funkce f , předpokládáme, žetento definiční obor je maximální možný, tj. že je to množina, která obsahujevšechna reálná čísla x, pro která lze nalézt f(x) podle daného ”předpisu”.

Příklad 1.3. Určete definiční obor u těchto funkcí a zjistěte zda jsou si funce rovny:a) f1 : f1(x) = 1, b) f2 : f2(x) =

x

x.

Řešení. a) Maximálním možným definičním oborem funkce f1 je množina R.b) Maximálním možným definičním oborem funkce f2 je množina R− {0}.Tedy funkce f1 a f2 si nejsou rovny.

Definice 1.3. Množinu všech druhých složek uspořádaných dvojic, které jsou prvkyfunkce, nazveme obor hodnot funkce f a označíme H(f), tj.

H(f) = {y ∈ R, (∃x ∈ R)[x, y] ∈ f}.

Příklad 1.4. Funkce f = {[1, 2], [3, 4]} má obor hodnot množinu {2, 4}.Funkce f = {[1, 2], [4, 1]} má obor hodnot množinu {1, 2}.Funkce f1 : f1(x) = 1 má obor hodnot množinu {1}.Funkce f2 : f2(x) =

x

xmá obor hodnot množinu {1}.

Pro funkci f = ∅ platí D(f) = H(f) = ∅.

1.2 Příklady některých důležitých funkcí

1. Konstantní funkce

Nechť c je libovolné reálné číslo. Konstantní funkce kc s hodnotou c je určena takto:D(kc) = R, kc(x) = c.Platí H(kc) = {c}.

Obr. 1: Graf konstantní funkce k3(x) = 3


2. Identická funkce (ozn. id)

Funkce identická je definovaná takto: D(id) = R, id(x) = x.Platí H(id) = R.Graf je znázorněn na obrázku 2.

Obr. 2: Graf identické funkce Obr. 3: Graf funkce sgn

3. Funkce signum (ozn. sgn )

D(sgn ) = R, sgn (x) = 1 pro x > 0, sgn (0) = 0, sgn (x) = −1 pro x < 0.Platí H(sgn ) = {−1, 0, 1}.Funkce sgn charakterizuje znaménko reálného čísla.Graf je znázorněn na obrázku 3.

4. Funkce absolutní hodnota

Je definována jako funkce f , pro kterou platí: D(f) = R,f(x) = x pro x > 0, f(0) = 0, f(x) = −x pro x < 0.Platí H(f) = 〈0,∞).Funkční hodnotu této funkce v bodě x označujeme |x|.Tedy |x| = x pro x ≥ 0, |x| = −x pro x ≤ 0.Funkce absolutní hodnota popisuje vzdálenost reálného čísla x od počátku na číselnéose. Její graf je na obrázku 4.

Obr. 4: Graf funkce absolutní hodnota


Věta 1.2. Vztahy s absolutní hodnotouPro libovolná reálná a, b platí:

1. |a| ≥ 0,

2. |a| = | − a|,

3. −|a| ≤ a ≤ |a|,

4. Je-li K ≥ 0 libovolné reálné číslo, platí:|a| ≤ K ⇔ −K ≤ a ≤ K, |a| ≥ K ⇔ (a ≤ −K ∨ a ≥ K),

Obr. 5: |a| ≤ K, kde K = 2 Obr. 6: |a| ≥ K, kde K = 2

5. |a+ b| ≤ |a|+ |b|, |a+ b| = |a|+ |b| ⇔ sgn a · sgn b ≥ 0,

6. |a| − |b| ≤ |a− b|, |a| − |b| ≤ |a+ b|,

7. ||a| − |b|| ≤ |a− b|, ||a| − |b|| ≤ |a+ b|,

8. |a · b| = |a| · |b|,

9. je-li b 6= 0, platí∣

∣

∣

∣

1b

∣

∣

∣

∣

=1|b| , a tedy

∣

∣

∣

a

b

∣

∣

∣=

|a||b| ,

10. |a| = max(a,−a),−|a| = min(a,−a), kde pro libovolná x, y ∈ R označujememax(x, y) = x, je-li x ≥ y, max(x, y) = y, je-li x ≤ ymin(x, y) = y, je-li x ≥ y, min(x, y) = x, je-li x ≤ y,

11. |a| · sgn a = a.

5. Funkce celá část (reálného čísla)

Je definována jako funkce f , pro kterou platí: D(f) = R,f(x) je největší celé číslo menší nebo rovné x.Platí H(f) = Z.Funkční hodnotu této funkce v bodě x označujeme [x].Podle definice tedy platí(∀x)([x] ∈ Z ∧ x− 1 < [x] ≤ x < [x] + 1) a [x] = x ⇔ x ∈ Z.Graf je znázorněn na obrázku 7.

Věta 1.3. Pro libovolné k ∈ Z platí [x+ k] = [x] + k.


6. Funkce necelá část (reálného čísla)

Je definována jako funkce f , pro kterou platí: D(f) = R, f(x) = x− [x].Platí H(f) = 〈0, 1).Podle definice tedy platí f(x) = 0 ⇔ x ∈ Z.Graf je znázorněn na obrázku 8.

Obr. 7: Graf funkce celá část Obr. 8: Graf funkce necelá část

7. Dirichletova funkce (ozn. χ)

D(f) = R, χ(x) = 1 pro x ∈ Q, χ(x) = 0 pro x ∈ R−Q.Platí H(χ) = {0, 1}.

Grafem Dirichletovy funkce jsou některé body navzájem rovnoběžných přímek,přesněji body [u, 0] pro u ∈ R − Q na ose x a body [v, 1] pro v ∈ Q na přímcerovnoběžné s osou x a procházející např. bodem [0, 1]. Protože mezi každými dvěmareálnými čísly existuje jak číslo racionální, tak číslo iracionální, nelze Dirichletovufunkci výstižně charakterizovat kartézským grafem.

8. *Riemannova funkce (ozn. ℜ)D(ℜ) = R, ℜ(x) = 0 pro x ∈ R−Q,

ℜ(x) = 1q, je-li x =

p

q, kde p ∈ Z, q ∈ N, p, q jsou nesoudělná čísla.

(Definice Riemannovy funkce využívá jednoznačnosti vyjádření racionálního čísla ve

tvaru zlomkup

q, kde p ∈ Z, q ∈ N, p, q jsou nesoudělná čísla.)

Platí H(ℜ) = {0} ∪{

1q, q ∈ N− {0}

}

, tj. obor hodnot Riemannovy funkce je tvo-

řen nulou a všemi převrácenými hodnotami přirozených čísel různých od nuly. Pří-klady některých funkčních hodnot Riemannovy funkce: ℜ(1

2) = ℜ(3

2) = ℜ(−5

2) = 1

2.

Riemannovu funkci stejně jako Dirichletovu funkci nelze výstižně charakterizovatkartézským grafem.

1.3 Grafy funkcí a některá shodná zobrazení 13

1.3 Grafy funkcí a některá shodná zobrazení

Práci s funkcemi nám usnadňují grafy funkcí, předeším kartézské grafy. Předpo-kládáme, že čtenář je s pojmem kartézského grafu obeznámen.Připomeňme, že z toho jak byla charakterizována funkce, vyplývá, že graf funkce

má s každou přímkou rovnoběžnou s osou x nejvýše jeden společný bod.

Při konstrukci kartézských grafů (dále jen grafů) některých funkcí a úvahácho nich užíváme shodných zobrazení. Předpokládejme, že už máme zkonstruovángraf funkce f , viz obr. 9.Potom graf funkce g1 : g1(x) = −f(x) získáme z grafu funkce f osovou souměr-

ností podle osy x, viz obr. 10.

Obr. 9: Graf funkce f Obr. 10: Graf funkce g1

Graf funkce g2 : g2(x) = f(−x) získáme z grafu funkce f osovou souměrnostípodle osy y, viz obr. 11.A podobě graf funkce g3 : g3(x) = f(x − a) + b, kde a, b ∈ R, získáme z grafu

funkce f posunutím určeným vektorem [a, b], viz obr. 12.

Obr. 11: Graf funkce g2 Obr. 12: Graf funkce g3, pro [a, b] = [−2, 1]

1.3 Grafy funkcí a některá shodná zobrazení 14

Dále je výhodné si uvědomit, že pro graf funkce g4 : g4(x) = |f(x)| platí, že provšechna x, pro která je f(x) > 0, je graf g4 totožný s grafem funkce f a pro všechna x,pro která je f(x) < 0, je graf g4 souměrný podle osy x s grafem funkce f , viz obr. 13.

Pro graf funkce g5 : g5(x) = f(|x|) platí, že pro všechna x ≥ 0 je graf g5 totožnýs grafem funkce f a pro všechna x < 0 je graf g5 souměrný podle osy y s grafemfunkce f , viz obr. 14.

Obr. 13: Graf funkce g4 Obr. 14: Graf funkce g5

Graf funkce g6 : g6(x) = −f(−x) je (středově) souměrný podle počátku s grafemfunkce f , viz obr. 15.

Obr. 15: Graf funkce g6

1.4 Řešené příklady 15

1.4 Řešené příklady

Příklad 1.5. Určete maximální možný definiční obor D(f) a obor hodnot H(f)

funkce f , jestliže f : f(x) =2

(x+ 1)(x+ 2).

Řešení. Maximálním možným definičním oborem funkce je množina R− {−1,−2}.Dále H(f) = (−∞,−8〉 ∪ (0,∞), protože rovnice y = 2

(x+ 1)(x+ 2)má právě pro

libovolné aspoň y ∈ (−∞,−8〉 ∪ (0,∞) jedno řešení.Pro x ∈ D(f) je totiž této rovnici ekvivalentní rovnice yx2 + 3xy + 2y − 2 = 0,která zřejmě nemá řešení pro y = 0; pro y 6= 0 je rovnice yx2 + 3xy + 2y − 2 = 0kvadratickou rovnicí s diskriminantem D = y2 + 8y = y(y + 8), která má aspoňjedno reálné řešení právě pro y ∈ (−∞,−8〉 ∪ (0,∞).Příklad 1.6. Dokažte, že je-li K ≥ 0 libovolné reálné číslo, platí

|a| ≤ K ⇔ −K ≤ a ≤ K.

Řešení. 1) Předpokládejme, že |a| ≤ K.Je-li a ≥ 0, pak z tohoto předpokladu plyne, že a ≤ K, a tedy −K ≤ 0 ≤ a ≤ K.Je-li a < 0, pak podle předpokladu je −a ≤ K, tedy −K ≤ a < 0 ≤ K. V oboupřípadech tedy platí −K ≤ a ≤ K.2) Předpokládejme, že −K ≤ a ≤ K (a tedy také K ≥ −a ≥ −K).Je-li a ≥ 0, pak z tohoto předpokladu plyne, že |a| = a ≤ K. Je-li a < 0, pak|a| = −a ≤ K.

Příklad 1.7. Zdůvodněte, že číslo |a − b| popisuje vzdálenost čísel a, b na číselnéose.

Řešení. Stačí si uvědomit, že funkce f(x) = |x| popisuje vzdálenost čísla x od po-čátku na číselné ose a že graf funkce g(x) = |x−b| vzniká z grafu funkce f posunutímurčeným vektorem [b, 0].

Příklad 1.8. Řešte v R rovnici ||x − 1| − 1| = 1 početně i graficky (na základěznalosti grafů f : f(x) = |x|, g : g(x) = 1 a užitím vhodných shodných zobrazení).Řešení. Užijeme definice absolutní hodnoty: abychom zmenšili počet absolutníchhodnot v rovnici, uvažujeme místo dané rovnice dvojici rovnic|(x− 1)− 1| = 1 pro x ≥ 1, |(1− x)− 1| = 1 pro x < 1,tj.|x− 2| = 1 pro x ≥ 1, |x| = 1 pro x < 1.Odtud dostaneme pro x ≥ 2 rovnici x− 2 = 1, pro 1 ≤ x < 2 rovnici 2− x = 1, pro0 ≤ x < 1 rovnici x = 1 a pro x < 0 rovnici −x = 1. Snadno zjistíme, že řešenímpůvodní rovnice jsou čísla 3,1,-1.

Jiné řešení. Užijeme geometrického významu absolutní hodnoty: číslo |x− 1| má odčísla 1 vzdálenost 1, tedy |x− 1| = 2 nebo |x− 1| = 0. V prvním případě má číslo xod čísla 1 vzdálenost 2, je to tedy číslo 3 nebo -1, v druhém případě má číslo x odčísla 1 vzdálenost 0, je to tedy číslo 1.

1.5 Cvičení 16

Grafické řešení. Sestrojíme postupně graf funkce f : f(x) = |x|,f1 : f1(x) = f(x− 1)− 1 (posunutí grafu funkce f určené vektorem [1, 1]),f2 : f2(x) = |f1(x)| ( část grafu f1, která má záporné funkční hodnoty zobrazímev osové souměrnosti podle osy x, zbývající část grafu neměníme), najdeme společnébody grafů funkcí f2 a g : g(x) = 1 a vyhledáme jejich souřadnice na ose x, viz obr.16.

Obr. 16: Grafické řešení příkladu 1.8

Příklad 1.9. Řešte v R nerovnici|2x− 7|2x− 7 ≥ |x− 3|.

Řešení. Levá strana nerovnice je definovaná pro x 6= 72a může nabýt pouze hodnot

±1. Protože pravá strana nerovnice je nezáporné číslo, může nabýt levá strana pouzehodnoty 1, a to pouze v případě, že x > 7

2. Je-li tedy x > 7

2, musí být 1 ≥ |x − 3|,

tj. číslo x musí mít od čísla 3 vzdálenost nejvýše rovnou 1. Řešením jsou tedy číslaz intervalu (7

2, 4〉.

Příklad 1.10. Dokažte, že pro libovolné celé číslo k platí [x+ k] = [x] + k.

Řešení. Pro libovolné reálné číslo x platí [x] ≤ x < [x] + 1. Jestliže k této soustavěnerovnic přičteme k ∈ Z, dostaneme [x]+k ≤ x+k < [x]+k+1, a to podle definicecelé části čísla x+ k znamená právě to, že [x+ k] = [x] + k.

1.5 Cvičení

1. Řešte zpaměti, řešení znázorněte na číselné ose:

a) |x| < 32, b) |x| ≥ 1

2,

c) |x− 2| ≤ 3, d) |x+ 3| > 7,e) |1 + x| < 0, f) |5− x| > −1.2. Zapište pomocí absolutní hodnoty, že číslo x má od čísla 5 vdálenost 7

4.

1.5 Cvičení 17

3. Zapište pomocí absolutní hodnoty, že číslo x se od čísla 3 liší

a) o méně než 13, b) nejvýše o 1

2,

c) alespoň o 4, d) více než o 110.

4. Řešte v R:

a) |x2 + x| = x, b) |x2 − x| = −2x,c) |5− x| − |x− 3| = 2|x+ 1|, d) |2x2 − 4x+ 1| = 2x2 + 1,e)

∣

∣

∣

∣

x+ 1x− 1 = 1

∣

∣

∣

∣

, f) |2x− 3| = 3− 2x,g) |5x− x2 − 6| = x2 + 5x+ 6.

5. Řešte v R (snažte se o co nejstručnější postup):

a)

∣

∣

∣

∣

x

1− x

∣

∣

∣

∣

≤ 1, b)|5x+ 1|x− 2 ≥ 3, c)

|x|1− |x| ≥

12,

d)

∣

∣

∣

∣

2− x

1− 2x

∣

∣

∣

∣

< 1, e)

∣

∣

∣

∣

1− 3xx+ 4

∣

∣

∣

∣

≥ 1, f)x− 3|x+ 2| ≤ 1,

g)|x− 3|x+ 2

≤ 1, h)|x− 5|5− x

≥ (x− 5)5.

6. Řešte v R:

a) ||x+ 1| − 3| = 1, b) |2− |1− |x||| = 1, c) |3− |2− x|| ≤ 2x.

7. Řešte v R zpaměti:

a) |x+ 2| = |x− 2|, b)|x+ 2|x− 2 > 0, c)

x+ 3|x+ 3| ≤ −1.

8. Nakreslete grafy funkcí:

a) f : f(x) = |x+ 1|+ |x− 1|, b) h : h(x) = |x− 3|+ 2|x| − 2|x+ 1| − x+ 1.

9. Ze znalosti grafu funkce f : f(x) = |x| nakreslete (užitím shodných zobrazení)graf funkce g, platí-li:

a) g : g(x) = |x+ 3|, b) g : g(x) = ||x| − 2|, c) g : g(x) = ||x+ 2| − 1|.Určete shodná zobrazení, kterých jste použili.

10. Řešte graficky (nakreslete grafy funkcí určené pravou a levou stranou rovnice) audělejte početní kontrolu:

a) |x+ 2| ≥ |x|+ 1, b) |x+ 2| < 3− |x− 1|, c) ||x| − 2| ≤ |x|.

11. Nakreslete kartézský graf rovnosti x − |x| = y − |y| (tj. množiny všech uspo-řádaných dvojic [x, y], které uvedené rovnosti vyhovují).Návod: Postupujte podle jednotlivých kvadrantů.

1.5 Cvičení 18

12. Pro všechna x ∈ R platí |x + 3| <12

⇒ |4x + 13| < 3. Ověřte graficky

a dokažte početně.

13. Určete graficky i početně všechna čísla δ taková, aby pro všechna x ∈ R platilo

|x| ≤ δ ⇒ |3x− 2| ≤ 4.

14. Určete (graficky i početně) všechna čísla δ taková, aby pro všechna x ∈ R

platilo, jestliže číslo x má od čísla c vzdálenost menší než δ, platí |2x + 3| < 7,víte-li, že

a) c = 1, b) c = 2, c) c = −3.

*15. Najděte všechna x ∈ R, která jsou řešením nerovnice |x + 1| < ax s para-metrem a ∈ R.

16. Zapište užitím funkce celá část tvrzenía) ”k je největší celé číslo, které je menší než číslo −π”b) ”k je nejmenší přirozené číslo, které je větší než číslo 56

√273”.

17. Zapište užitím funkce celá část předpis pro funkci, která popisuje zaokrouh-lování nezáporných desetinných čísel na celá čísla.

18. Zapište užitím funkce celá část předpis pro funkci , která každému číslu x ∈ R

přiřazuje jeho vzdálenost od nejbližšího celého čísla.

19. Zapište užitím funkce celá část předpis pro funkci, která popisuje (idealizovaný)tarif telefonického volání stanovený tak, že za každou (i načatou) minutu volání za-platíte 3 Kč. Nakreslete graf takové funkce.

20. Určete D(f) a H(f), jestliže pro funkci f platí

a) f(x) = [x], b) f(x) =1[x]

, c) f(x) =[

1[x]

]

.

21. Platí některý ze uvedených vztahů pro všechny x, y ∈ R? Své tvrzení dokažte.

a) [x+ y] = [x] + [y],b) [x+ y] ≤ [x] + [y],c) [x+ y] ≥ [x] + [y].

22. Řešte v R rovnici sgn (x− [x]) = 0 a nakreslete graf funkce, je-li předpis pro nidán levou stranou této rovnice.

23. Nakreslete graf funkce f , pro kterou platí

a) f(x) = [x− [x]], b) f(x) = x · sgn (x),a určete ji jiným (jednodušším) předpisem. Jaký je maximální definiční obor oboufunkcí?

19

2 Operace s funkcemi

V této kapitole budeme studovat funkce, které vytvoříme užitím různých operacíz funkcí uvedených v kapitole 1.2.

2.1 Aritmetické operace

Ze známých (daných) funkcí můžeme vytvářet nové funkce. Pak říkáme, že tatonová funkce je určena jistou operací z daných funkcí. K nejdůležitějím operacímpatří operace aritmetické.

Definice 2.1. Nechť f , g jsou dané funkce. Funkci h takovou, že

1. D(h) = D(f) ∩D(g), h(x) = f(x) + g(x)nazveme součtem funkcí f , g a označíme f + g,

2. D(h) = D(f) ∩D(g), h(x) = f(x) · g(x)nazveme součinem funkcí f , g a označíme f · g,

3. D(h) = D(f)− {x ∈ R, f(x) = 0}, h(x) =1

f(x)

nazveme převrácenou hodnotu funkce f a označíme1f.

Podle této definice umíme libovolným dvěma funkcím f , g přiřadit novou funkcih, jejich součet, případně součin. Říkáme, že máme na množině funkcí definovánuoperaci sčítání, případně násobení. Každé funkci f s výjimkou konstantní funkces hodnotou 0 (tzv. nulové funkce) umíme přiřadit novou funkci, její převrácenouhodnotu. Tím máme na množině funkcí definovány tzv. aritmetické operace.Rozdíl a podíl funkcí můžeme definovat takto:

f − g = f + (k−1 · g), kde k−1 je konstantní funkce s hodnotou -1,f

g= f · 1

g.

Poznámka 2.1. Užitím aritmetických operací můžeme ze známých funkcí (kon-stantních a identické funkce) definovat třídy důležitých funkcí: polynomy a racio-nální funkce.

2.2 Polynomy

Speciálními případy polynomů jsou konstantní funkce, funkce id, funkce přímáúměrnost, lineární funkce, ryze kvadratická funkce a funkce n-tá mocnina, kde n ∈ N.

Funkce přímá úměrnost je určena: D(f) = R, f(x) = ax, kde a ∈ R − {0}.Grafem je přímka procházející body [0, 0], [1, a] tj. přímka procházející počátkem sesměrnicí a. Pro a = 1 je přímá úměrnost rovna funkci id.Lineární funkce f je určena: D(f) = R, f(x) = ax+ b, kde a ∈ R−{0}, b ∈ R.

Grafem je přímka, která vznikne posunutím přímé úměrnosti y = ax. Toto posunutí

2.2 Polynomy 20

a) pro a = 2 b) pro a = −12

Obr. 17: Graf přímé úměrnosti

je určeno vektorem [0, b].

Ryze kvadratická funkce f je určena: D(f) = R, f(x) = ax2, kde a ∈ R− {0}.Grafem je parabola s vrcholem v počátku a procházející body [1, a], [−1, a]; osaparaboly splývá s osou y.

a) pro a = 1 b) pro a = 12

c) pro a = −2

Obr. 18: Graf ryze kvadratické funkce

Kvadratická funkce f je určena: D(f) = R,f(x) = ax2 + bx+ c, kde a ∈ R− {0}, b, c ∈ R.Grafem je parabola, která vznikne posunutím ryze kvadratické funkce f(x) = ax2.

Posunutí je určeno vektorem[

− b

2a,−b2 − 4ac

4a

]

.

To vyplývá z úpravy

y = ax2 + bx+ c = a

(

x+b

2a

)2

− b2

4a+ c = a

(

x+b

2a

)2

− b2 − 4ac4a

.

Funkce n-tá mocnina fn, n ∈ N je určena indukcí na základě operace násobenía funkce id : f1 = id, fn+1 = fn · id.

2.2 Polynomy 21

Odtud plyne, že D(fn) = R pro všechna n ∈ N. Obvyklé označení: fn = xn, n je tzn.exponent (mocnitel). Grafem fn je pro n ≥ 2 tzv. parabola n-tého stupně, grafemf1 je přímka. Grafy všech funkcí fn mají společné body [0, 0], [1, 1]. Pro n sudé jegraf fn souměrný podle osy y, pro n liché je graf fn souměrný podle počátku.

a) pro n = 1 b) pro n = 2 a n = 4 c) pro n = 3 a n = 5

Obr. 19: Graf funkce n-tá mocnina

Věta 2.1. (počítání s mocninami s celými kladnými exponenty):Pro libovolná x, y ∈ R a m,n ∈ N platí:

1. xm · xn = xm+n,

2. Je-li m > n, x 6= 0, je xm

xn= xm−n,

3. (xm)n = (x · y)m,

4. xm · xm = (x · y)m.

Poznámka 2.2. Tvrzení 2. ve větě 2.1 motivuje rozšíření definice funkcí n-tá moc-

nina i na exponent 0. Volíme-li m = n, x ∈ R − {0} je xm

xn= xm−n = x0 = 1.

Ukazuje se výhodným definovat 00 = 1.Můžeme tedy k funkcím n-tá mocnina, kde n ∈ N, přidat funkci nultá mocnina,která je rovna konstantní funkci s hodnotou 1 (má tedy definiční obor R). Tvrzenívěty 2.1 pak platí i pro m = 0 nebo n = 0, a tvrzení 2. této věty platí i pro m = n.

Definice 2.2. Definujeme funkci nultá mocnina f0 : D(f0) = R, f0(x) = 1.

Věta 2.2. (počítání s mocninami s celými nezápornými exponenty): Pro libovolnáx, y ∈ R a m,n ∈ N platí:

1. xm · xn = xm+n,

2. Je-li m > n, x 6= 0, je xm

xn= xm−n,

3. (xm)n = (x · y)m,

2.3 Racionální funkce 22

4. xm · xm = (x · y)m.Definice 2.3. Polynomem n-tého stupně, n ∈ N nazveme funkci Pn, pro kterouplatí: D(Pn) = R,

Pn(x) = anxn + an−1x

n−1 + an−2xn−2 + · · ·+ a1x+ a0 =

n∑

k=0

akxk,

kde a0, a1, . . . , an−2, an−1, an ∈ R, an 6= 0.

Čísla a0, a1, . . . , an−2, an−1, an se nazývají koeficienty polynomu.Konstantní funkce s hodnotou 0 se nazývá nulový polynom a není mu přiřazenstupeň.

Speciálně : polynomy stupně 0 jsou konstantní funkce s nenulovou hodnotou, po-lynomy 1. stupně jsou lineární funkce, polynomy 2. stupně jsou kvadratické funkce;funkce n-tá mocnina je zvlátním případem polynomu n-tého stupně.Každý polynom tedy vznikl z konstantních funkcí a identické funkce konečným

počtem operací sčítání a násobení.Součtem polynomů je polynom, součinem polynomů je polynom, říkáme, že třída

polynomů je uzavřená na operace sčítání a násobení.Nulovým bodem (kořenem) polynomu nazveme číslo c ∈ R takové, že platí

P (c) = 0.

O polynomech platí tato důležitá tvrzení:

Věta 2.3. Polynom n-tého stupně, n ∈ N, má nejvýše n nulových bodů.

Věta 2.4. Nechť P je polynom m-tého stupně, Q je polynom n-tého stupně,P (x) = amx

m + · · ·+ a1x+ a0, Q(x) = bnxn + · · ·+ b1x+ b0,

a nechť k > max(m,n). Platí-li pro k různých reálných čísel c1, c2, . . . , ck, že P (ci) =Q(ci), i = 1, 2, . . . , k, platí P = Q.

Důsledek 2.1. Nechť P je polynom m-tého stupně, Q je polynom n-tého stupně,P (x) = amx

m + · · ·+ a1x+ a0, Q(x) = bnxn + · · ·+ b1x+ b0.

Potom platí P = Q ⇔ (m = n ∧ (∀i = 0, 1, . . . , n) ai = bi),tj. dva polynomy jsou si rovny, mají-li týž stupeň a u každé mocniny xi stejné ko-eficienty ai = bi.

2.3 Racionální funkce

Racionální funkcí nazveme každou funkci, která je podílemP

Qpolynomů P , Q,

kde Q není nulový polynom. Nechť polynom P má stupeň m, polynom Q má stupeňn,

P (x) = amxm + ... + a1x− a0, Q(x) = bnx

n + ...+ b1x+ b0

a polynom Q má k reálných kořenů c1, c2, . . . , ck, 0 ≤ k ≤ m, c1 < c2 < · · · < ck.

Potom pro racionální funkciP

Qplatí:

2.3 Racionální funkce 23

D

(

P

Q

)

= R−{x ∈ R, Q(x) = 0} = (−∞, c1)∪(c1, c2)∪· · ·∪(ck−1, ck)∪(ck,∞),P (x)Q(x)

=amx

m + am−1xm−1 + ...+ a1x+ a0

bnxn + bn−1xn−1 + ... + b1x+ b0,

kde n,m ∈ N a a0, a1, ..., an, b0, b1, ..., bm ∈ R.

Speciálními případy racionálních funkcí jsou všechny polynomy a dále nepříméúměrnosti, lineární lomené funkce a celé záporné mocniny.

Funkce nepřímá úměrnost f je určena:D(f) = R− {0}, f(x) =

a

x, kde a ∈ R− {0}.

Grafem nepřímé úměrnosti je hyperbola, souřadnicové osy jsou jejími asymptotami.

a) pro a = 1, a = 2 b) pro a = −1, a = −12

Obr. 20: Graf nepřímé úměrnosti

Lineární lomená funkce f je určena takto: jsou-li a, b, c, d ∈ R taková, žead − bc 6= 0, pak

D(f) = R− {x ∈ R, cx+ d = 0}, f(x) =ax+ b

cx+ d.

Podmínka ad− bc 6= 0 vylučuje případ, kdy jmenovatel by byl nulovým polyno-mem a dále případy, kdy f by byla částí některé konstantní funkce.Je-li c = 0, je f lineární funkce.Je-li c 6= 0, graf funkce f získáme posunutím grafu nepřímé úměrnosti určené

rovnicí y =bc− ad

c2· 1x. Posunutí je určeno vektorem

[

−d

c,a

c

]

.

To vyplývá z úpravy y =ax+ b

cx+ d=1c· ax+ b

x+ dc

=1c

(

a+b− ad

c

x+ dc

)

=a

c+

bc−adc2

x+ dc

.

2.4 Operace skládání funkcí 24

Funkce celá záporná mocnina fk, k ∈ Z− N je definována jako podíl fk =1f−k

,

kde f−k je (−k)-tá mocnina (−k ∈ N).

Tedy D(fk) = R− {0}, fk(x) = xk =1

x−k.

a) pro k = −2, k = −4 b) pro k = −3, k = −5

Obr. 21: Graf funkce celá záporná mocnina

Z definice celé záporné mocniny a věty o počítání s mocninami s celými nezá-pornými exponenty plynou tvrzení následující věty.

Věta 2.5. (počítání s mocninami s celými exponenty): Pro libovolná x, y ∈ R−{0}a m,n ∈ Z platí:

1. xm · xn = xm+n,

2. xm

xn ,

3. (xm)n = mmn,

4. xm · xm = (x · y)m.

2.4 Operace skládání funkcí

Další způsob, jak z daných funkcí získávat funkce nové, popisuje operace skládánífunkcí.

Definice 2.4. Nechť jsou dány funkce f , g. Funkci h takovou, žeD(h) = {x ∈ D(g), g(x) ∈ D(f)}, h(x) = f(g(x)),

nazýváme složením funkcí g, f (v tomto pořadí) a označujeme g ◦ f .Funkci g nazýváme vnitřní, funkci f nazýváme vnější a funkci h nazýváme složenoufunkcí.

2.4 Operace skládání funkcí 25

Příklad 2.1. a) Funkce h1, kde h1(x) = |2x− 1| je složenou funkcí; vnitřní funkceje lineární funkce g : g(x) = 2x− 1, vnější funkcí je funkce absolutní hodnota.b) Funkce h2, kde h2(x) = (2x− 1)3 je složenou funkcí; vnitřní funkce je stejná jakov předcházejícím příkladu a), vnější funkce je třetí mocnina.c) Funkce h3, kde h3(x) = 2x3−1 je složenou funkcí; vnitřní funkce je třetí mocnina,vnější funkce je lineární funkce f : f(x) = 2x− 1.

Příklady 2.1 b) a c) ukazují, že výsledek složení dvou funkcí záleží na pořadí, vekterém funkce skládáme.

Věta 2.6. (1) Operace skládání funkcí není komutativní.(2) Operace skládání funkcí je asociativní.

Důkaz. (1) Zvolme např. funkce f, g tak, že f(x) = x3, g(x) = 2x+1, definiční oboryobou funkcí jsou maximální možné, tedy R. Označíme h1 = g ◦ f , h2 = f ◦ g. Potomh1(1) = 27, h2(1) = 3, tedy h1 6= h2.(2) Označme h1 = (f1 ◦ f2) ◦ f3, h2 = f1 ◦ (f2 ◦ f3). Dokážeme, že h1 = h2.

x ∈ D(h1) ⇔ x ∈ D(f1 ◦ f2) ∧ (f1 ◦ f2)(x) ∈ D(f3) ⇔⇔ x ∈ D(f1) ∧ f1(x) ∈ D(f2) ∧ f2(f1(x)) ∈ D(f3).

x ∈ D(h2) ⇔ x ∈ D(f1) ∧ f1(x) ∈ D(f2 ◦ f3) ⇔⇔ x ∈ D(f1) ∧ f1(x) ∈ D(f2) ∧ f2(f1(x)) ∈ D(f3).

Tedy pro x ∈ D(h1) = D(h2) jeh1(x) = f3(f1 ◦ f2)(x) = f3(f2(f1(x))), h2(x) = (f2 ◦ f3)(f1(x)) = f3(f2(f1(x)))

�

Poznámka 2.3. Množinové vyjádření funkce h = g ◦ f je

h = {[x, y] ∈ R× R, (∃z ∈ R)([x, z] ∈ g ∧ [z, y] ∈ f)}.

Odtud lze také dokázat asociativnost skládání funkcí.

Odtud lze také dokázat asociativnost skládání funkcí.Nechť, h1 = (f1 ◦ f2) ◦ f3, h2 = f1 ◦ (f2 ◦ f3).[x, y] ∈ h1 ⇔ (∃z1)([x, z1] ∈ f1 ◦ f2 ∧ [z1, y] ∈ f3) ⇔⇔ (∃z1, z2)([x, z2] ∈ f1 ∧ [z2, z1] ∈ f2 ∧ [z1, y] ∈ f3) ⇔⇔ (∃z2)([x, z2] ∈ f1 ∧ [z2, y] ∈ f2 ◦ f3) ⇔ [x, y] ∈ h2.

2.5 Operace zúžení (parcializace) funkce 26

2.5 Operace zúžení (parcializace) funkce

Definice 2.5. Nechť f je funkce, A je množina taková, že platí A ⊆ R. Potomfunkce f ↓ A je definována takto: D(f ↓ A) = D(f) ∩A, f ↓ A(x) = f(x).Funkci f ↓ A nazýváme zúžením (parcializací) funkce na množinu A.

Poznámka 2.4. Je-li A ⊆ D(f), je zřejmě D(f ↓ A) = A a funkční hodnoty funkcef ↓ A jsou pro každé x ∈ A rovny f(x).

Příklad 2.2. Nechť pro funkci f platí f(x) =|x|x. Potom f = sgn ↓ R− {0}.

Poznámka 2.5. Místo zúžení (parcializace) funkce na množinu, říkáme někdy takéomezení funkce na množinu.

Obr. 22: Graf funkce f : f(x) = x2 zúžené na interval 〈0,∞)


Příklad 2.3. Dokažte, že pro funkce fm, fn, kde fm(x) = xm, fn(x) = xn, m > n,m,n ∈ N platí:

1. je-li x > 1, je xm > xn,

2. je-li 0 < x < 1, je xm < xn.

Řešení. Nechť m > n ≥ 1. Potom xm = xn · xm−n. Označme k = m− n.1. Pro x > 1 dokážeme indukcí podle k ∈ N, že je xk > 1. Pro k = 1 je tvrzenízřejmé. Dokážeme pro všechna k ≥ 1 platnost implikace: xk > 1 ⇒ xk+1 > 1:nerovnost x > 1 vynásobíme kladným číslem xk, získáme nerovnost xk+1 > xk, alepodle indukčního předpokladu je xk > 1.Tedy pro všechna k ≥ 1 platí xk = xm−n > 1. Požadované tvrzení získáme z tétonerovnosti, jestliže ji vynásobíme kladným číslem xn.

2. Pro 0 < x < 1 podle dokázaného tvrzení 1. platí(

1x

)m

>

(

1x

)n

, protože1x> 1.

Odtud xm < xn.


Příklad 2.4. Je dána funkce f : f(x) =x− 1x− 2.

Určete maximální možný definiční obor, předpis a graf u funkcí g1, g2, . . . , g8, kde

g1 : g1(x) = f(0) g2 : g2(x) = f(x) + 1

g3 : g3(x) = −f(x) g4 : g4(x) =1

f(x)g5 : g5(x) = f(x+ 1) g6 : g6(x) = f(−x)g7 : g7(x) = f( 1

x) g8 : g8(x) = f(f(x))

Řešení. D(f) = R− {2}g1 : f(0) =

0− 10− 2 =

12, g1 je konstantní funkce, D(g1) = R, g1(x) =

12.

g2: g2 je součet funkce f a konstantní funkce s hodnotou 1,

D(g2) = R−{2}, g2(x) =x− 1x− 2 +1 =

2x− 3x− 2 , graf g2 je získán posunutím určeným

vektorem [2, 2] z grafu nepřímé úměrnosti y =1x.

g3: g3 je součin konstantní funkce s hodnotou −1 a funkce f ,D(g3) = D(f)∩R = R−{2}, g3(x) = −x− 1

x− 2 =1− x

x− 2, graf g3 je získán posunutím

určeným vektorem [−1, 2] z grafu nepřímé úměrnosti y = −1y.

g4: g4 je převrácená hodnota funkce f , D(g4) = {x ∈ D(f), f(x) 6= 0} = R−{1, 2},g4(x) =

1x− 1x− 2

=x− 2x− 1, graf g4 je získán posunutím určeným vektorem [1, 1] z grafu

nepřímé úměrnosti y = −1xa zúžením na množinu R− {2}, viz obr. ?? a).

g5: g5 je funkce složená, vnitřní funkce je lineární (určená rovnicí y = x+ 1), vnější

funkce je f , D(g5) = {x ∈ R, x+1 ∈ D(f)} = R−{1}, g5(x) =1

x+1−1x+1−2

=x

x− 1, graf

g5 je získán posunutím určeným vektorem [1, 1] z grafu nepřímé úměrnosti y =1y.

g6: g6 je funkce složená, vnitřní funkce je lineární (−id), vnější funkce je f ,

D(g6) = {x ∈ R, −x ∈ D(f)} = R − {2}, g6 =−x− 1−x− 2 =

x+ 1x+ 2

, graf g6 je získán

posunutím určeným vektorem [−2, 1] z grafu nepřímé úměrnosti y = −1x.

g7: g7 je funkce složená, vnitřní funkce je nepřímá úměrnost (určená rovnicí y =1x),

vnější funkce je f , D(g7) = {x ∈ R− {0}, 1x∈ D(f)} = R− {0, 1

2},

g7 =1x− 1

1x− 2 =

1− x

1− 2x , graf g7 je získán posunutím určeným vektorem[

12, 12

]

z grafu

nepřímé úměrnosti y = − 14xa následným zúžením na množinu R− {0}.

g8: g8 je funkce složená, vnitřní i vnější funkce je f ,

D(g8) = {x ∈ D(f),x− 1x− 2 ∈ D(f)} = R − {2, 3}, g8 =

x−1x−2 − 1x−1x−2 − 2

=13− x

, graf g8


je získán posunutím určeným vektorem [3, 0] z grafu nepřímé úměrnosti y = −1x

a následným zúžením na množinu R− {2}, viz obr. 23 b).

a) funkce g4 b) funkce g8

Obr. 23

Příklad 2.5. Určete maximální možný D(f), platí-li

f(x) = g

(

2− x

3 + x

)

, D(g) = (−∞,−2).

Řešení. Pro definiční obor složené funkce musí platit x 6= −3 (podmínka pro definičníobor vnitřní funkce) a

2− x

3 + x< −2 (funkční hodnoty vnitřní funkce musí patřit do

definičního oboru funkce vnější). Pro x ∈ (−∞,−3) je tento požadavek ekvivalentnís nerovnicí 2 − x > −6 − 2x (tj. x > −8), pro x ∈ (−3,∞) je tento požadavekekvivalentní s nerovnicí 2− x < −6− 2x (tj. x < −8). Odtud D(f) = (−8,−3).Příklad 2.6. Jsou dány funkce f : f(x) = sgn (x), g : g(x) = x2 − 7x+ 6.Určete funkce (definiční obor, předpis, graf) h1, h2, h3, h4, pro které platí

h1(x) = f(f(x)), h2(x) = f(g(x)), h3(x) = g(f(x)), h4(x) = g(g(x)).

Řešení. D(f) = D(g) = R, odtud D(h1) = D(h2) = D(h3) = D(h4) = R.h1(x) = sgn (sgn (x)) = sgn (1) = 1 pro x > 0,h1(x) = sgn (0) = 0 pro x = 0,h1(x) = sgn (−1) = −1 pro x < 0, tedy h1(x) = sgn (x).Graf funkce h1 viz obr. 3 str. 10.

h2(x) = sgn (x2 − 7x+ 6) = sgn ((x− 1)(x− 6)), tedyh2(x) = 1 pro x ∈ (−∞, 1) ∪ (6,∞),h2(x) = 0 pro x = {1, 6},h2(x) = −1 pro x ∈ (1, 6).


h3(x) = sgn 2(x)− 7sgn (x) + 6, tedyh3(x) = 0 pro x > 0,h3(x) = 6 pro x = 0,h3(x) = 14 pro x < 0.

h4(x) = (x2 − 7x+ 6)2 − 7(x2 − 7x+ 6) + 6 = x4 − 14x3 + 54x2 − 35x.

a) funkce h2 b) funkce h3

Obr. 24

Příklad 2.7. Pro funkci h platí h : h(x) = f(g(x)). Určete funkci f (definiční obor,předpis) platí-li

a) h(x) =|x|3 − x2 − 1

x4 + x2 + |x|+ 1 , g(x) = |x|,

b) h(x) =|2x− 1|x+ 2

, g(x) = 2x− 1.

Řešení. a) Protože h(x) =|x|3 − x2 − 1

x4 + x2 + |x|+ 1 =|x|3 − |x|2 − 1

|x|4 + |x|2 + |x|+ 1,

je f(x) =x3 − x2 − 1

x4 + x2 + x+ 1(dosadíme-li do předpisu pro f(x) za x funkční hodnoty

g(x) = |x|, dostaneme h(x)). D(f) = R, protože 0 < x4 + x2 + x + 1 pro všechnax ∈ R: pro x > −1 je x+1 > 0 a x4 > 0, x2 > 0, pro x = −1 je x4+x2+x+1 = 2 > 0a pro x < −1 platí −x > 1, tedy (−x)2 = x2 > −x, tj. x2 + x > 0 a dále je zřejměx4 + 1 > 0.

b) Protože x+ 2 =12(2x− 1) + 2 + 1

2=12((2x− 1) + 5), platí

f(x) =|x|

12(x+ 5)

=2|x|(x+ 5)

, D(f) = R− {−5}.

Příklad 2.8. Pro funkci h platí h : h(x) = f(g(x)). Určete funkci g (definiční obor,předpis) platí-li

a) h(x) =x2 + 2x− 1

x+ 1, f(x) =

x2 − 2x

.

Řešení. h(x) =x2 + 2x− 1

x+ 1=

x2 + 2x+ 1− 2x+ 1

=(x+ 1)2 − 2

x+ 1, odtud g(x) = x+ 1,

D(g) = R.

2.7 Cvičení 30

2.7 Cvičení

1. Nakreslete graf funkce f :a) f : f(x) = x2 − x+ 2,b) f : f(x) = −x2 + x− 2,c) f : f(x) = −x2 + |x| − 2

a určete shodná zobrazení, kterými lze tento graf (příp. jeho část) získat z grafu ryzekvadratické funkce F : F (x) = x2.

2. Nakreslete graf funkce f :f : f(x) = (x− 3)(x+ 2).

Dále nakreslete graf funkce g, kdea) g : g(x) = |x− 3|(x+ 2)b) g : g(x) = (x− 3)|x+ 2|

a určete shodná zobrazení, kterými lze tyto grafy získat z grafu funkce f .

3. Rozhodněte a zdůvodněte, které z čísel a, b je větší, jestliže

a) a = 5, 3261131, b = 5, 3261132,a) a = 5, 3261131, b = 5, 3261132.

4. Rozhodněte a zdůvodněte, které z čísel m,n je větší, jestliže víte, že

a) 7, 1236m < 7, 1236n,a) 0, 0029m < 0, 0029n.

5. Zapište číslo a s použitím nejvýše jedné zlomkové čáry a bez užití exponentů,jestliže

a) a =

(

12

)−3, b) a =

1(

12

)2 , c) a =

(

(

12

)2)−3

,

d) a =3−2

(

13

)−2 , e) a =

(

13

)2

32, f) a =

(

23

)2

3−2 · 22 .

6. Dokažte, že je-li m > n, m,n ∈ N a x ∈ (0,∞) platí:a) je-li x > 1, je x−m < x−n,b) je-li 0 < x < 1, je x−m > x−n.

7. Je dána funkce f : f(x) =x

1− x.

a) Určete nepřímou úměrnost, z jejíhož grafu lze posunutím získat graf funkce f .Posunutí určete vektorem.b) Řešte v R graficky nerovnici f(x) ≥ 1 a výsledek ověřte výpočtem.

2.7 Cvičení 31

8. Pro funkci f platí f(x) =|x|1− |x| .

a) Určete shodná zobrazení, kterými lze graf f získat z grafu vhodné nepřímé úměr-nosti (určete ji rovnicí).b) Řešte v R graficky nerovnici f(x) ≥ 1 a výsledek ověřte výpočtem.

9. Je dána funkce f(x) =

x

2+ 1

x− 1 .

a) Určete předpisem nepřímou úměrnost, z jejíhož grafu lze posunutím získat graffunkce f . Posunutí určete vektorem.b) Řešte v R graficky nerovnici f(x) < |x| a výsledek ověřte výpočtem.

10. Pro funkci f platí f(x) =2x+ 3|x− 2| .

a) Určete shodná zobrazení, kterými lze graf funkce f získat z grafu vhodné nepříméúměrnosti (určete ji rovnicí).b) Řešte v R graficky soustavu nerovnic −1 ≤ f(x) ≤ 1 a výsledek ověřte výpočtem.

11. Určete předpis pro funkci f , jejíž graf získáme z grafu ryze kvadratické funkceF : F (x) = 5x2 tak, že graf zobrazíme

a) posunutím určeným vektorem [-1,-1],b) posunutím určeným vektorem [-1,-1] a potom osovou souměrností podle osy y,c) posunutím určeným vektorem [-1,-1] a potom takto získaný graf zobrazíme osovousouměrností podle osy x,d) posunutím určeným vektorem [-1,-1] a potom body [x, y] takto získaného grafu,kde y < 0, zobrazíme osovou souměrností podle osy x (ostatní body grafu nezmě-níme),e) posunutím určeným vektorem [-1,-1] a potom body [x, y] takto získaného grafu,kde y > 0, zobrazíme osovou souměrností podle osy x (ostatní body grafu nezmě-níme),f) posunutím určeným vektorem [−1,−1] a potom část takto získaného grafu prox ≥ 0 nezměníme a část tohoto grafu pro x < 0 nahradíme tak, aby vzniklý graf bylsouměrný podle osy y,g) posunutím určeným vektorem [-1,-1], a potom část takto získaného grafu prox ≤ 0 nezměníme a část tohoto grafu pro x > 0 nahradíme tak, aby vzniklý graf bylsouměrný podle osy y.

12. Nakreslete graf funkce f , platí-li

f : f(x) = x3 − 1, pro x ∈ 〈−1, 32〉,

f(x) = −2 pro x ∈ (−∞,−1),f(x) = x+

78

pro x ∈ (32,∞),

2.7 Cvičení 32

a užitím tohoto grafu a shodných zobrazení nakreslete graf funkce g, jestližea) g(x) = −f(x), b) g(x) = f(−x), c) g(x) = |f(x)|,d) g(x) = f(|x|), e) g(x) = f(−|x|), f) g(x) = f(x− 2) + 1.

13. Je dána funkce f : f(x) =1− x

1 + x.

Určete funkce (maximální možný definiční obor, předpis, graf) g1–g8, kdeg1 : g1(x) = f(0), g2 : g2(x) = f(x) + 1,

g3 : g3(x) = −f(x), g4 : g4(x) =1

f(x),

g5 : g5(x) = f(x+ 1), g6 : g6(x) = f(−x),

g5 : g5(x) = f

(

1x

)

, g6 : g6(x) = f(f(x)).

14. Je dána funkce f : f(x) =11− x

.

Určete funkce f2, f3 s maximálními možnými definičními oboryD(f2), D(f3), platí-lia) f2(x) = f(f(x)), b) f3(x) = f(f(f(x))).

15. Určete maximální možný D(f), platí-li

a) f(x) = g

( |x|x

)

, D(g) = 〈0, 1〉,b) f(x) = g(x2), D(g) = (4,∞),c) f(x) = g(−x2 + 5x+ 3), D(g) = 〈0,∞),d) f(x) = g

(

1− x

1 + x

)

, D(g) = (−∞, 0).

16. Pro funkci f platíf : f(x) = −1, pro x ≥ 0,

f(x) = 2 pro x < 0.Určete funkce h1, h2, (definiční obor, předpis, graf), jestliže platí h1(x) = f(g(x)),h2(x) = g(f(x)) a

a) g(x) =3− x

x+ 2, b) g(x) =

3− |x||x|+ 2.

17. Jsou dány funkce

a) f : f(x) = 2x− 1, g : g(x) = x2,b) f : f(x) = sgn (x− 1), g : g(x) = x2,c) f : f(x) = sgn (x− 1), g : g(x) = −x2 − 2x+ 2,d) f : f(x) = 0 pro x ≤ 0, g : g(x) = 0 pro x ≤ 0,

f(x) = x pro x > 0, g(x) = −x2 pro x > 0,

e) f : f(x) =12(x+ |x|), g : g(x) = x pro x < 0,

g(x) = x2 pro x ≥ 0,f) f : f(x) = 1 pro |x| ≤ 1, g : g(x) = 2− x2 pro |x| ≤ 2,

f(x) = 0 pro |x| > 1, g(x) = 2 pro |x| > 2.

2.7 Cvičení 33

Určete funkce (definiční obor, předpis) h1, h2, h3, h4, pro které platí h1(x) = f(f(x)),h2(x) = f(g(x)), h3(x) = g(f(x)), h4(x) = g(g(x)). Nakreslete grafy funkcí h1, h2, h3a také graf h4 s výjimkou případů c) a f).

18. Pro funkci h platí h(x) = f(g(x)).

a) Určete funkci f (definiční obor, předpis, graf), platí-li

h(x) =|x+ 1|x+ 2

, b) g(x) = x+ 1,

b) Určete funkci g (definiční obor, předpis, graf), platí-li

h(x) =|x+ 2|x+ 1

, b) f(x) =|x+ 1|

x.

19. Pro funkci f platí f : f(x) = x3 − 1, D(f) = 〈−32, 1〉. Určete D(g), jestliže

a) g(x) = −f(x), b) g(x) = f(−x), c) g(x) = −f(−x),d) g(x) = f(|x|), e) g(x) = f(−|x|), f) g(x) = f(x− 2) + 1.

20. Je dána funkcef . Určete D(g) pomocí D(f), jestliže

a) g(x) = −f(x), b) g(x) = f(−x), c) g(x) = −f(−x),d) g(x) = f(|x|), e) g(x) = f(−|x|), f) g(x) = f(x− 2) + 1.

34

3 Vlastnosti funkcí

3.1 Sudost, lichost, periodičnost funkce

Definice 3.1. Funkce f se nazývá sudá (resp. lichá) platí-li(∀x ∈ D(f)) f(−x) = f(x) (resp. (∀x ∈ D(f)) f(−x) = −f(x)).

Poznámka 3.1. Z definice 3.1 vyplývá, že obraz definičního oboru sudé nebo lichéfunkce na číselné ose je souměrný podle počátku (s každým reálným číslem obsahujei číslo opačné) .

Příklad 3.1. a) Funkce druhá mocnina je sudá. Pro každé x platí f(−x) = (−x)2 =x2 = f(x). Viz obr. 18 a) str. 20b) Funkce sgn je lichá. Pro x > 0 je sgn (−x) = −1 = −sgn (x), pro x < 0 jesgn (−x) = 1 = −sgn (x) a konečně sgn (−0) = 0 = −sgn (0).Znázornění viz obr. 3 str. 10.c) Funkce celá část není ani sudá ani lichá, protože existuje x takové, že [−x] 6= [x]a [−x] 6= −[x] (např. x = 1

2).

Definice 3.2. Funkce f se nazývá periodická s periodou p 6= 0, platí-li(∀x ∈ D(f))(f(x+ p) = f(x) ∧ f(x− p) = f(x)).Existuje-li nejmenší číslo p0 > 0 takové, že funkce f je periodická s periodou p0,nazveme toto číslo p0 nejmenší kladná perioda funkce f.

Poznámka 3.2. Z definice 3.2 vyplývá, že definiční obor funkce periodické s peri-odou p 6= 0 s každým reálným číslem obsahuje i číslo x+ p a x− p.

Příklad 3.2. a) Funkce necelá část je periodická s nejmenší kladnou periodou 1.Protože platí [x + k] = [x] + k, je-li k ∈ Z (srov. řešená úloha 1.10), platí také prokaždé x : x+ 1− [x+ 1] = x+ 1− ([x] + 1) = x− [x]. Viz obr. 8 str. 12.b) Funkce sgn není periodická. Kdyby byla periodická s periodou p 6= 0, pak by pla-tilo sgn (0+ p) = sgn (0), ale sgn (p) = ±1 podle toho,zda p je kladné nebo záporné.c) Dirichletova funkce je periodická s libovolnou nenulovou racionální periodou, alenení periodická s žádnou iracionální periodou.Protože neexistuje nejmenší kladné racionální číslo, nemá Dirichletova funkce nejmenšíkladnou periodu.

Poznámka 3.3. Z definic 3.1 a 3.2 plyne.

1. Graf sudé funkce je osově souměrný podle osy y.

2. Graf liché funkce je středově souměrný podle počátku (tj. bod [0,0]).

3. Graf periodické funkce s periodou p je totožný s grafem funkce, která vzniklaz původní funkce posunutím určeným libovolným z vektorů [kp, 0], kde k ∈ Z.Viz obr. 25.


4. Je-li funkce sudá, lichá nebo periodická, stačí ji vyšetřovat pouze na části jejíhodefiničního oboru.Je-li funkce f sudá nebo lichá, vyetřujeme ji např. naD(f)∩〈0,∞), je-li funkcef periodická s periodou p > 0, vyetřujeme ji např. na D(f) ∩ 〈0, p).

Obr. 25: Graf periodické funkce s periodou 2


Příklad 3.3. Funkce n-tá mocnina, kde n ∈ N, je sudá pro n sudé a je lichá pro nliché. Dokažte.

Řešení. Nechť k ∈ N. Je-li n = 2k, je (−x)n = (−x)2k = ((−x)2)k = (x2)k = x2k =xn.Je-li n = 2k+1, je (−x)n = (−x)2k+1 = ((−x)2k) · (−x) = −x2k ·x = −x2k+1 = −xn.

Příklad 3.4. Riemannova funkce ℜ je sudá a periodická s nejmenší kladnou perio-dou 1. Dokažte .

Řešení. Tvrzení, že je funkce sudá vyplývá z definice Riemannovy funkce a z toho, žečísla vzájemně opačná jsou současně racionální nebo současně iracionální. Opačnáracionální čísla lze jediným způsobem vyjádřit ve tvaru p

q, −p

q, kde p ∈ Z (tedy

−p ∈ Z), q ∈ N a p, g jsou nesoudělná. Hodnota Riemannovy funkce pro takováčísla je stejná (1

q).

Zbývá dokázat, že ℜ je periodická. Protože funkce ℜ je sudá, vyšetřujeme pouzeℜ(x+ 1). Je-li x ∈ R−Q, je (x+ 1) ∈ R−Q, proto ℜ(x) = 0 = ℜ(x+ 1).Je-li x ∈ Q, x = p

q, p ∈ Z, q ∈ N a p, q jsou nesoudělná, je x + 1 = p+q

q, p + q ∈ Z

a p + q, q jsou nesoudělná (každý společný dělitel čísel p + q, q je také společnýmdělitelem čísel p, q), proto ℜ(x) = 1

q= ℜ(x+ 1).

Číslo 0 < p < 1 není periodou funkce ℜ: pro p ∈ R−Q je 1 = ℜ(0) 6= ℜ(0 + p) = 0,pro p ∈ Q je p = p1

q1, p1 ∈ Z, q1 ∈ N a p1, q1 jsou nesoudělná je p1 ∈ N, q1 ∈ N−{1},

a tedy 1 = ℜ(0) 6= ℜ(p) = 1q1

< 1.


Příklad 3.5. Pro funkci f platí: D(f) = R, (∀x ∈ (0, 1〉)f(x) = x, f je periodickás nejmenší kladnou periodou 2 a jea) sudá, b) lichá.Nakreslete graf takové funkce a určete ji definičním oborem a předpisem. Kolik máúloha řešení?

Řešení. a) Aby funkce f byla sudá, musí být její graf souměrný podle osy y; funkčníhodnotu v 0 můžeme určit libovolně, např. f(0) = 0. Získáme tak graf funkcef ↓ 〈−1, 1〉, pro x ∈ 〈−1, 1〉 je f(x) = |x|.Graf funkce f je plně určen grafem f ↓ 〈−1, 1〉 a zadanou vlastností periodičnosti,f(−1) = f(1) = 1, graf f ↓ 〈2k−1, 2k+1〉 (pro libovolné k ∈ Z) získáme posunutímgrafu f ↓ 〈−1, 1〉 určeným vektorem [2k, 0].

Obr. 26: Graf periodické funkce s periodou 2

Vzhledem k možnosti libovolné volby funkční hodnoty v 0, má úloha nekonečněřešení. Popsané řešení můžeme určit předpisemf(x) = |x− 2k| pro x ∈ (2k − 1, 2k + 1), f(2k − 1) = 1 pro libovolné k ∈ Z.Ověříme požadované vlastnosti: zřejmě D(f) = R a (∀x ∈ (0, 1〉)f(x) = x (v před-pisu volíme k = 0).Ověříme sudost funkce: nechť x ∈ (2k − 1, 2k + 1), k ∈ Z; pak−x ∈ (−2k−1,−2k+1) = (2(−k)−1, 2(−k)+1), a tedy f(−x) = |−x−2(−k)| =|x− 2k| = f(x), a dále f(−(2k − 1)) = f(2(−k + 1)− 1) = 1.Ověříme periodičnost funkce: nechť x ∈ (2k − 1, 2k + 1), k ∈ Z; pak x + 2 ∈(2k+1, 2k+3) = (2(k+1)− 1, 2(k+1)+ 1), a tedy f(x+2) = |x+2− 2(k+1)| =|x − 2k| = f(x) a x − 2 ∈ (2k − 3, 2k − 1) = (2(k − 1) − 1, 2(k − 1) + 1), a tedyf(x−2) = |x−2−2(k−1)| = |x−2k| = f(x), a dále f(2k−1+2) = f(2(k+1)−1) = 1.b) Aby funkce byla lichá , musí být její graf souměrný podle počátku , a tedy . Zís-káme tak graf funkce , pro je . Pak ale není splněna podmínka , že je periodická speriodou , protože , úloha tedy nemá řešení .

3.3 Cvičení 37

3.3 Cvičení

1. Rozhodněte, zda funkce f je sudá nebo lichá a své tvrzení dokažte, jestliže

a) f(x) = x+1x,

b) f(x) =11 + x

− 2x2+11− x

,

c) f(x) =11 + x

− 2x+11− x

,

d) f(x) = g(x) +1

g(x), kde g je sudá funkce,

e) f(x) = g(g(x)), kde g je lichá funkce.

Ve všech případech stanovte definiční obor funkce f .

2. Existuje funkce, která je současně sudá i lichá? Pokud ano, určete takovou funkci.

3. Vyšetřete paritu (tj. sudost nebo lichost) funkce k-tá mocnina pro k ∈ Z, k ≤ 0.

4. Nechť f1, f2 jsou libovolné sudé funkce, g1, g2 jsou libovolné liché funkce. Ur-čete paritu funkce

a) f1 + f2, b) f1 + g1,c) g1 + g2, d) f1 · f2,e) f1 · g1, f) g1 · g2.

Ve všech případech stanovte definiční obor funkce s využitím daných D(f1), D(f2),D(g1), D(g2).

5. Určete sudou funkci f a lichou funkci g tak, aby funkce f + g bylaa) sudá, b) lichá.

6. Pro funkci f platía) f(x) = 1− x, D(f) = (0,∞),b) f(x) = x3 + 2, D(f) = (−∞, 0),c) f(x) = [x], D(f) = 〈0, 3〉,d) f(x) = 1 + 2x− x2 pro x ∈ 〈0, 1), f(x) =

1xpro x ∈ 〈−∞,−1).

1) Sestrojte graf funkce g tak, aby platiloD(f) ⊆ D(g) a (∀x ∈ D(f)) je g(x) = f(x)a funkce g byla sudá. Určete funkci g definičním oborem a předpisem a ověřte, žemá požadovanou paritu.

2) Co lze říci o počtu řešení dané úlohy?

3.3 Cvičení 38

7. Pro funkci f platí

a) f(x) = 1− x, D(f) = (0,∞),b) f(x) = x3 + 2, D(f) = (−∞, 0),c) f(x) = [x], D(f) = 〈0, 3〉,d) f(x) = 1 + 2x− x2 pro x ∈ 〈0, 1), f(x) =

1xpro x ∈ 〈−∞,−1).

1) Sestrojte graf funkce g tak, aby platiloD(f) ⊆ D(g) a (∀x ∈ D(f)) je g(x) = f(x)a funkce g byla lichá. Určete funkci g definičním oborem a předpisem a ověřte, žemá požadovanou paritu.2) Co lze říci o počtu řešení dané úlohy?

8. Je dána funkce f definičním oborem a předpisem: D(f) = 〈0, 3〉, f(x) = |x− 2|.Určete a zdůvodněte, zda existujea) lichá, b) sudá,funkce g taková, že platí D(f) ⊆ D(g), (∀x ∈ D(f)) je g(x) = f(x)? Pokud takováfunkce g existuje, nakreslete její graf a určete ji definičním oborem a předpisem.

9. Je-li f libovolná lichá funkce, co platí pro f(0)?

10. Nechť f1, f2 jsou libovolné sudé funkce, g1, g2 jsou libovolné liché funkce. Nechťh je složená funkce, pro kterou platí

a) h(x) = f1(f2(x)), b) h(x) = f1(g1(x)),c) h(x) = g1(f1(x)), d) h(x) = g1(g2(x)).

Určete a zdůvodněte paritu funkce h a stanovte definiční obor funkce s využitímdaných D(f1), D(f2), D(g1), D(g2).

11. Nechť každá z funkcí f1, f2, . . . , fn, kde n ∈ N je sudá nebo lichá. Nechť profunkci f platí f(x) = fn(. . . (f2(f1(x))) . . . ), tj. funkce f je složená z daných funkcí.Vyslovte tvrzení o paritě funkce v závislosti na paritě funkcí f1, f2, . . . , fn a tvrzenídokažte indukcí podle n.

12. a) Dokažte, že funkce f : f(x) =13x − 1

3[x]: je periodická s nejmenší klad-

nou periodou p = 3.b) Určete nejmenší kladnou periodou p funkce f : f(x) = 2x − [2x] a své tvrzenídokažte.

13. Dokažte, že funkce f : f(x) = (−1)[x] je periodická (určete nejmenší kladnouperiodu p). Nakreslete graf této funkce.

14. Dokažte, že funkce f : f(x) = [x]−2[x

2

]

je periodická (určete nejmenší kladnou

periodu p). Nakreslete graf této funkce.

3.3 Cvičení 39

15. Nechť funkce f je periodická s nejmenší kladnou periodou p. Určete nejmenšíkladnou periodu q, kterou lze zaručit pro funkci g (dokažte, že funkce g je periodickás touto periodou), jestliže platí

a) g(x) = f 2(x), b) g(x) = f(5x),

c) g(x) = f(x

2

)

, d) g(x) = f(ax), a ∈ R− {0},e) g(x) = 2f

(x

2

)

+ 3f(x

3

)

,

f) g(x) = af

(

r1s1x

)

+ bf

(

r2s2x

)

, a, b ∈ R− {0}, r1, r2 ∈ Z, s1, s2 ∈ N,

r1, s1nesoudělná, r2, s2nesoudělná.

16. Pro funkci f platí: D(x) = R, f je periodická s nejmenší kladnou periodou2 a je lichá. Dále platí

a) (∀x ∈ (0, 1)) f(x) = x,b) (∀x ∈ 〈0, 1)) f(x) = x,c) (∀x ∈ 〈0, 1〉) f(x) = x.

Nakreslete graf takové funkce a určete ji definičním oborem a předpisem. Kolik máúloha řešení?

17. Pro funkci f platí: D(x) = R, f je periodická s nejmenší kladnou periodou2, je lichá a (∀x ∈ (1, 2)) f(x) = x2.

a) Načrtněte graf f pro x ∈ (−3, 3)− Z,b) Určete a zdůvodněte f(0), a f(k), kde k ∈ Z,c) Určete předpis pro funkci f a ověřte, že má požadované vlastnosti.

18. Dokažte, že platí, je-li graf funkce f souměrný podle přímek x = a, x = b,kde a < b, je funkce f periodická. Určete nejmenší kladnou periodu p, kterou lzezaručit.

40

4 Injektivnost a bijektivnost funkcí, inverzní amonotonní funkce

4.1 Injektivnost a bijektivnost funkcí

Definice 4.1. Funkci f nazveme injektivní (prostou), jestliže platí(∀x1, x2 ∈ D(f))(x1 6= x2) ⇒ f(x1) 6= f(x2)).

Úmluva: Řekneme-li, že funkce f je injektivní (prostá) v množině M ⊆ D(f),rozumíme tím, že funkce f ↓ M je injektivní (prostá).

Poznámka 4.1. Je-li funkce f určena definičním oboremD(f) a rovnicí y = f(x), jepožadavek injektivnosti f v M ⊆ D(f) zřejmě ekvivalentní požadavku, aby rovnicey = f(x) měla pro každé y ∈ R v množině M nejvýše jedno řešení x.

Příklad 4.1. a) Nepřímé úměrnosti jsou prosté funkce. Je-li f(x) =a

x, a 6= 0, pak

z f1(x) = f2(x), tj.a

x1=

a

x2plyne a

x2 − x1x1x2

= 0, a tedy x1 = x2.

(Jiné zdůvodnění: Volme libovolné y ∈ R. Pro y 6= 0 má rovnice y = a

xvždy jediné

řešení x =a

y. Pro y = 0 rovnice y =

a

xnemá řešení.)

b) Absolutní hodnota není prostá funkce, protože např. |1| = |−1|. (Jiná formulacezdůvodnění: Rovnice y = |x| má pro y = 1 dvě řešení x = 1, x = −1.)

Poznámka 4.2. Z definice prosté funkce plyne, že její graf má s libovolnou přímkourovnoběžnou s osou x společný nejvýše jeden bod. Viz obr. 27 a 28.

Obr. 27: Graf funkce, která není prostá Obr. 28: Graf funkce prosté

Definice 4.2. Definice 4.2 : Nechť A,B jsou libovolné množiny. Platí-li pro funkcif , že je injektivní, D(f) = A a H(f) = B, říkáme, že f je bijekce mezi A,B nebo fje vzájemně jednoznačné zobrazení A na B.

4.1 Injektivnost a bijektivnost funkcí 41

Příklad 4.2. a) Funkce id je zřejmě vzájemně jednoznačné zobrazení R na R.b) Nepřímá úměrnost je vzájemně jednoznačné zobrazení R − {0} na R − {0}.(rovnice má pro jediné řeení , pro řeení neexistuje , tedy je prostá a . Srov. první zvýe uvedených příkladů .)

Věta 4.1. (injektivnost a bijektivnost složených funkcí):Nechť f, g, h jsou funkce takové, že h = g ◦ f , tj. g je vnitřní funkce, f je vnějšífunkce, h je funkce vzniklá jejich složením. Potom platí:

1. jsou-li funkce f, g prosté (injektivní), je funkce h také prostá (injektivní).

2. je-li funkce g bijekce mezi A,B a f bijekce mezi B,C, je h bijekce mezi A,C.

Důkaz. 1. Nechť x1 6= x2, x1, x2 ∈ D(h) ⊆ D(g). Protože funkce g je prostá, jeg(x1) 6= g(x2) a g(x1), g(x2) ∈ D(f). Protože také funkce h je prostá, platí h(x1) =f(g(x1)) 6= f(g(x2)) = h(x2).2. Platí D(g) = A, H(g) = B = D(f), H(f) = C. Podle definice složené funkce platíD(h) = A. Podle bodu 1. je h injektivní. Zbývá dokázat, že H(h) = C. Volíme-lilibovolné y ∈ C = H(f), existuje z ∈ D(f) = B takové, že f(z) = y. ProtožeB = H(g), existuje x ∈ D(g) = A takové, že g(x) = z, a tedy y = f(g(x)) = h(x).

�

Poznámka 4.3. Uvažujme o (kartézském) grafu funkce f . Zaměníme-li označeníos x, y můžeme se ptát, zda pozměněný graf opět představuje graf funkce. Odpověďje kladná, pokud každá přímka rovnoběžná s osou y (při předešlém označení s osoux) protne graf nejvýše v jednom bodě, tj. pokud funkce byla prostá. Záměna os jeznázorněna na obr. 29 a 30. Tato skutečnost vede k definici nové operace, kterou lzezískat z prosté funkce funkci novou.

Obr. 29: Záměna os u grafu prosté funkce

4.2 Operace invertování (prosté) funkce 42

Obr. 30: Záměna os u grafu funkce, která není prostá

4.2 Operace invertování (prosté) funkce

Věta 4.2. Nechť funkce f je prostá. Potom množinaf−1 = {[x, y] ∈ R× R, [y, x] ∈ f} je také funkce.

Důkaz. Volíme libovolně dvojice [x, y1], [x, y2] ∈ f−1. Potom [y1, x], [y2, x] ∈ f aprotože f je prostá funkce, platí y1 = y2.

�

Definice 4.3. Nechť f je prostá funkce. Potom funkci f−1, kdef−1 = {[x, y] ∈ R× R, [y, x] ∈ f}

nazýváme funkcí inverzní k funkci f .

Poznámka 4.4. Grafy funkce f a funkce k ní inverzní f−1 jsou v kartézském systémusouřadnic se stejně velikými jednotkami na obou osách souměrně sdružené podlepřímky y = x, viz obr. 31.

Obr. 31: Grafy vzájemně inverzních funkcí

4.2 Operace invertování (prosté) funkce 43

Příklad 4.3. 1) Z definice ihned plyne, že id−1 = id.2) K lineární funkci f : f(x) = 2x−1 existuje inverzní funkce f−1 : f−1(x) = 1

2x+ 1

2,

která je rovněž lineární (předpis získáme podle definice záměnou proměnných vrovnici y = 2x − 1 a vyřešením takto získané rovnice x = 2y − 1 vzhledem kproměnné y, D(f−1 = H(f)).

Věta 4.3. (vlastnosti inverzních funkcí):Nechť f je prostá funkce, f−1 je funkce k ní inverzní. Potom platí:

1. D(f−1) = H(f) a H(f−1) = D(f),

2. (∀x ∈ D(f−1))(∀y ∈ D(f))(y = f−1(x)⇔ f(y) = x),

3. f−1 je prostá funkce,

4. funkce f je inverzní k funkci f−1, tj. (f−1)−1 = f .

Důkaz. Tvrzení 1., 2. a 4. vyplývají přímo z definice inverzní funkce.Abychom dokázali vlastnost 3., zvolíme libovolně x1, x2 ∈ D(f−1) = H(f) tak, abyx1 6= x2. Potom označíme-li y1 = f−1(x1), y2 = f−1(x2), je f(y1) = x1 6= x2 = f(y2)a protože f je funkce, je také y1 6= y2.

�

Poznámka 4.5. Vzhledem k tvrzení 4 věty 4.3 říkáme, že funkce f a f−1 jsouvzájemně inverzní.

Věta 4.4. Nechť f, g jsou libovolné funkce. Potom platí

g = f−1 ⇔ (∀x ∈ D(f))g(f(x)) = x ∧ (∀x ∈ D(g))f(g(x)) = x,

tj. dvě funkce jsou navzájem inverzní, je-li výsledkem jejich složení (v každém pořadí)identická funkce zúžená na definiční obor funkce vnitřní.

Důkaz. 1) Předpokládejme, že platí g = f−1, tj. k funkci f existuje inverzní funkcef−1, a touto inverzní funkcí je funkce g. Potom pro libovolné x ∈ D(f) existujejediné y takové, že f(x) = y, a tedy x = f−1(y) = g(y) = g(f(x)). Druhá částtvrzení plyne z toho, že f je inverzní funkcí k f−1 a z právě dokázaného tvrzení.2) Nyní předpokládejme, že platí (∀x ∈ D(f))g(f(x)) = x∧(∀x ∈ D(g))f(g(x)) = x.Nejdříve dokážeme, že f je prostá funkce: je-li f(x1) = f(x2), je g(f(x1)) = g(f(x2)),a z první části předpokladu g(f(x1)) = x1, g(f(x2)) = x2, tedy x1 = x2. Protok funkci f existuje inverzní funkce f−1. Dále z první části předpokladu dostávámeH(f) ⊆ D(g) (protože (∀x ∈ D(f))f(x) ∈ D(g)), a z jeho druhé části D(g) ⊆ H(f)(protože pro x ∈ D(g) je x = f(g(x)) ∈ H(f)). Odtud plyne D(g) = H(f) =D(f−1). Z druhé části předpokladu dále plyne g(x) = f−1(x) (srov. vlastnost 2. zvěty 4.3). Dostáváme tedy výsledek g = f−1.

�

Důsledek 4.1. Nechť f je prostá funkce a g je funkce taková, že H(g) ⊆ D(f).Potom platí (∀x ∈ D(g))f−1(f(g(x))) = g(x).

4.3 Monotonie funkcí 44

Důkaz. Z asociativnosti skládání funkcí a věty 4.4 plyne: g ◦ f ◦ f = g ◦ (f ◦ f−1 = g,protože podle věty 4.4 je f ◦f−1 = id ↓ D(f) a je-li h(f) ⊆ D(g), je g◦id ↓ D(f) = g(dokažte podrobně).

�

4.3 Monotonie funkcí

Definice 4.4. Říkáme, že funkce f je

1. rostoucí, právě když platí (∀x1, x2 ∈ D(f))(x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)),

2. klesající, právě když platí (∀x1, x2 ∈ D(f))(x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)),

3. neklesající, právě když platí (∀x1, x2 ∈ D(f))(x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2)),

4. nerostoucí, právě když platí (∀x1, x2 ∈ D(f))(x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2)).

Je-li funkce f neklesající nebo nerostoucí, nazýváme f monotónní.Je-li funkce f rostoucí nebo klesající, nazýváme f ryze monotónní.Příklady grafů funkcí s různou monotonií jsou na obr. 32–35.

Obr. 32: Graf rostoucí funkce Obr. 33: Graf klesající funkce

Obr. 34: Graf neklesající funkce Obr. 35: Graf nerostoucí funkce

4.3 Monotonie funkcí 45

Úmluva: Řekneme-li, že funkce f je rostoucí, klesající, neklesající, nerostoucí, mo-notónní, ryze monotónní v množině M ⊆ D(f), rozumíme tím, že funkce f ↓ M jerostoucí, klesající, neklesající, nerostoucí, monotónní, ryze monotónní.

Poznámka 4.6. Ryze monotónní funkce je zřejmě injektivní (prostá).

Příklad 4.4. a) Funkce celá část je neklesající. Zvolíme-li libovolně x1, x2 tak, žex1 < x2, je [x1] ≤ x1 < x2 a podle definice celé části čísla x2 platí [x1] ≤ [x2]. Protoženapříklad [1] = [3

2], není tato funkce rostoucí.

b) Funkce přímá úměrnost určená f(x) = ax, a < 0, je klesající, protože zvolíme-lilibovolně x1, x2 tak, že x1 < x2, je f(x2)−f(x1) = a(x2−x1) < 0, tedy f(x2) < f(x1).

c) Dirichletova funkce χ není monotónní. Existují totiž dvě dvojice čísel x1 < x2 ax2 < x3 takové, že χ(x1) > χ(x2) a χ(x2 < χ(x3). Stačí vzít x1 = 1, x2 =

√2,

x3 = 2.

Věta 4.5. (monotonie složené funkce):Nechť f, g, h jsou funkce takové, že h = g ◦ f , tj. g je vnitřní funkce, f je vnějšífunkce, h je funkce vzniklá jejich složením. Potom jsou-li funkce f, g monotónní, jefunkce h také monotónní.Speciálně: Funkce h je nerostoucí, právě když je právě jedna z funkcí f, g, nerostoucí.

Důkaz. Nechť x1 < x2, x1, x2 ∈ D(g). Předpokládejme, že obě funkce f, g, jsouneklesající ( resp. nerostoucí). Potom podle definice platí g(x1) ≤ g(x2) ( resp.g(x1) ≥ g(x2)) a opět podle definice je f(g(x1)) ≤ f(g(x2)) v obou případech.Předpokládáme-li, že f je neklesající a g je nerostoucí (resp. f nerostoucí a g ne-klesající), je g(x1) ≥ g(x2) ( resp. g(x1) ≤ g(x2)) a f(g(x1)) ≥ f(g(x2)) v oboupřípadech.

�

Věta 4.6. (monotonie inverzní funkce):Je-li funkce f rostoucí (resp. klesající) v M ⊆ D(f), je funkce f−1 rostoucí (resp.klesající) v množině Mf = {f(x), x ∈ M}, tj. operace invertování zachovává mono-tonii funkce i druh této monotonie.

Důkaz. Zvolíme libovolně x1, x2 ∈ Mf , x1 < x2. Potom existují y1, y2 ∈ M tak, žex1 = f(y1), x2 = f(y2), f(y1) < f(y2). Dále platí y1 = f−1(x1), y2 = f−1(x2). Je-li frostoucí v M , pak y1 < y2 (kdyby platilo y1 ≥ y2, platilo by také f(y1) ≥ f(y2) a toby byl spor). Tedy f−1 je rostoucí v Mf . Obdobně je-li f klesající v M , je y1 > y2(případ y1 ≤ y2 vede opět ke sporu), a tedy f−1 je klesající v Mf .

�

Poznámka 4.7. Množinu Mf nazýváme také obraz množiny M funkcí f .

4.4 Funkce n-tá odmocnina 46

4.4 Funkce n-tá odmocnina

Opearce invetování (prosté) funkce nám umožní definovat funkce druhá, třetí,obecně n-tá odmocnina pro libovolné přirozené číslo n ≥ 2. Důkazy níže uvedenýchvět jsou dostupné v lit. [9].

Definice 4.5. Je-li n liché přirozené číslo, je funkce n√ inverzní funkce k funkci

n-tá mocnina. Je-li n sudé přirozené číslo, je funkce n√ inverzní funkce k funkci n-tá

mocnina zúžené na interval 〈0,∞).Pro n ∈ N sudé je D( n

√) = 〈0,∞), pro n ∈ N liché je D( n√) = R.

Grafy funkcí n-tá odmocnina pro n = 2, 3, 4, 5 jsou na obr. 36 a 37.

Obr. 36 Obr. 37

Věta 4.7. Pro n liché je n√ lichá funkce.

Poznámka 4.8. Stačí tedy vyšetřovat vlastnosti funkcí n√ na intervalu 〈0,∞) a

pro n liché převedeme vlastnosti symetricky.

Věta 4.8. Pro libovolnou funkci n√ zúženou na interval 〈0,∞) platí:

1. graf prochází body [0, 0], [1, 1],

2. je rostoucí,

3. není shora omezená, oborem hodnot je interval 〈0,∞).

Věta 4.9. vlastnosti čísel n√x pro x ≥ 0

Nechť x, y ∈ 〈0,∞), m,n, k ∈ N. Potom platí:

1. n√x ≥ 0,

2. n√xm = ( n

√x)m, speciálně n

√xn = x,

4.5 Funkce mocnina s racionálním exponentem 47

3. kn√xkm = n

√xm,

4. n√

m√x = m

√

n√x = nm

√x,

5. n√x · y = n

√x · n

√y,

6. n

√

1x=1n√xpro x 6= 0,

7. n

√

x

y=

n√x

n√ypro y 6= 0.

Definice 4.6. Funkce vzniklé z konstantních funkcí, funkce id a funkcí n√ užitím

konečného počtu aritmetických operací a operace skládání nazýváme (elementární)it algebraické funkce.

4.5 Funkce mocnina s racionálním exponentem

Vraťme se ještě k definici funkcí n-tá mocnina pro n ∈ N a funkcí nultá a celá zá-porná mocnina. Definice funkcí mocnina s celým kladným exponentem byla názornáa názorná byla i platnost věty o počítání s těmito mocninami. Za motivaci k rozšířenípojmu funkce mocnina i na exponent nula a celé záporné exponenty můžeme vzítpožadavek platnosti věty o počítání s mocninami pro všechny celočíselné exponenty.

Potom musí platit 1 =xm

xm= xm−m − x0,

1xm=

x0

xm= x−m pro všechna x 6= 0.

Obdobně, chceme-li rozšířit platnost věty pro počítání s mocninami i na racionální

exponenty, musí pro p ∈ Z, q ∈ N platit xp = xp

gq =

(

xp

q

)q

, tj. xp

q = q√xp pro x > 0.

Z těchto skutečností vychází následující definice.

Definice 4.7. Funkce mocnina s racionálním exponentemp

q, kde p ∈ Z, q ∈ N, je

definována jako funkce f taková, že

D(f) = (0,∞), f(x) = q√xp.

Funkční hodnotu této funkce v bodě x označujeme xp

q . Tedy xp

q = q√xp pro x > 0.

Poznámka 4.9. Protože každé racionální číslo lze sice jednoznačně vyjádřit ve tvarup

q, kde p ∈ Z, q ∈ N, p, q jsou nesoudělná čísla, ale vyjádření téhož racionálního čísla

ve tvarup

q, kde p ∈ Z, q ∈ N, p, q nejsou nesoudělná čísla je nekonečně mnoho,

musíme zodpovědět otázku, zda je definice mocniny s racionálním exponentem ko-rektní, tj. zda pro různá vyjádření

p1q1,p2q2, p1, p2 ∈ Z, q1, q2 ∈ N stejného racionálního

čísla platí, že pro libovolné x > 0 je xp1q1 = q1

√xp1 = q2

√xp2 = x

p2q2 . Ale za uvedených

okolností musí platit, že p1 · q2 = p2 · q1. Vzhledem k této skutečnosti a pravidlům opočítání s odmocninami pro libovolné x > 0 platí

xp1q1 = q1

√xp1 = q1q2

√xp1q2 = q1q2

√xp2q1 = q2

√xp2 = x

p2q2 .

4.5 Funkce mocnina s racionálním exponentem 48

Příklad 4.5. a) x12 =

√x, b) x− 1

2 =√x−1 =

1√x, c) x

24 = 4

√x2 =

√x.

Poznámka 4.10. Snadno se přesvědčíme (srov. větu 4.9), že pro libovolná racionálníčísla r, s a pro libovolná x, y ∈ (0,∞) platí

1. xr · xs = xr+s,

2.xr

xs= xr−s,

3. (xr)s = xrs,

4. xr · yr = (x · y)r,

tj. s mocninami s racionálními exponenty se počítá na stejně jako s mocninami sceločíselnými exponenty.

Uvedená definice mocniny s racionálním exponentem usnadňuje počítání s od-mocninami, protože s odmocninami je často výhodné počítat jako s mocninami sracionálními exponenty na intervalu (0,∞) a výsledek, je-li takový postup opráv-něný, rozšířit užitím znalosti hodnot funkce v bodě 0, případně užitím vlastnostilichosti funkcí lichá odmocnina i na interval (−∞, 0〉.

Můžeme se ptát, proč je v definici mocniny s racionálním exponentem definičníobor funkcí omezen na kladná reálná čísla. Důvod se objeví, zkoumáme-li podrobnějidůsledky nabízející se možnosti definovat mocninu s exponentem

p

q, kde p ∈ Z,

q ∈ N, na maximálním možném definičním oboru složené funkce p-tá mocnina aq-tá odmocnina při zachování pravidel pro počítání s mocninami s racionálnímiexponenty.

V takovém případě by např. funkce f1 : f1(x) =(

x− 12

)− 23

a f2 : f2(x) = x13 měly

různé definiční obory (D(f1) = (0,∞), D(f2) = R), ačkoliv −12· (−23) =13.

4.6 Řešené úlohy 49

4.6 Řešené úlohy

Příklad 4.6. Funkce nepřímá úměrnost f(x) = ax, a > 0, je klesající v (−∞, 0) a v

(0,∞), ale není monotónní (v D(f) = (−∞, 0) ∪ (0,∞)). Dokažte.Řešení. Zvolíme-li libovolně x1, x2 tak, že x1 < x2, je rozdíl

f(x2) − f(x1) = a

(

1x2

− 1x1

)

= ax1 − x2x1x2

záporný pro kladná x1, x2 nebo pro

záporná x1, x2.Pro čísla −1 < 1 < 2 je f(−1) = −a < a = f(1) a a = f(1) =>

a

2= f(2) .

Příklad 4.7. Dokažte, že

1) Každá ryze monotónní funkce je prostá.2) Existuje prostá funkce, která není ryze monotónní (dokonce na žádném intervalu).

Řešení. 1) Tvrzení je důsledkem vlastností uspořádání reálných čísel a definice mo-notonie. Je-li x1, x2 ∈ R, x1 6= x2 pak buď x1 < x2 nebo x1 > x2 a je-li funkcef ryze monotónní, je v každém z těchto případů f(x1) 6= f(x2) (protože platí buďf(x1) < f(x2) nebo f(x1) > f(x2)).

2) Funkce f : f(x) = x pro x ∈ Q a f(x) = x pro x ∈ R − Q je prostá, alenení ryze monotónní dokonce na žádném intervalu: nechť x1 6= x2; je-li x1, x2 ∈ Q,pak f(x1) = x1 6= x2 = f(x2) a obdobně pro x1, x2 ∈ R − Q; je-li např. x1 ∈ Q,x2 ∈ R − Q, je f(x1) = x1 ∈ Q, f(x2) = −x2 ∈ R − Q, tedy f(x1) 6= f(x2); pro-tože v každém intervalu existují jak čísla racionální tak čísla iracionální a funkceje zřejmě rostoucí v množině Q a klesající v množině R − Q, není monotónní nažádném intervalu.

Příklad 4.8. Pro funkci f platí f(x) =2x+ 33x+ 2

. Určete, zda existuje funkce k ní

inverzní, a pokud ano, určete ji definičním oborem a předpisem.

Řešení. Bude-li platit, že pro libovolné b ∈ R existuje nejvýše jedno

x ∈ D(f) = R− {−23}, které je řešením rovnice b = 2x+ 3

3x+ 2, je funkce f prostá.

Z rovnice b =2x+ 33x+ 2

dostaneme po úpravě rovnici x(3b − 2) = 3 − 2b, která pro

b =23nemá řešení a pro ostatní b má jediné řeení x =

3− 2b3b− 2. Odtud plyne, že

funkce f je prostá a také,že H(f) = R− {23}. Existuje tedy funkce f−1 inverzní k f

a platí D(f) = H(f) = R− {23}, f−1 =

3− 2x3x− 2.

Poznámka 4.11. Existenci funkce f−1 lze zdůvodnit také ryzí monotonií funkce f ;v uvedeném příkladu ovem funkce f není ryze monotónní (v D(f)).

Příklad 4.9. Pro funkci f platí f : f(x) =−3− 2x1 + x

, D(f) = 〈−2, 2)− {−1}.Dokažte, že f je injektivní, určete H(f) a definičním oborem a předpisem určetefunkci g inverzní k f .


Řešení. Rovnice y =−3− 2x1 + x

má pro každé y ∈ R−{−2} jediné řešení x = −y + 3y + 2

,

pro y = −2 rovnice řešení nemá, funkce f je tedy injektivní.Protože, snadno zdůvodníme, že f je rostoucí na 〈−2,−1) a na (−1, 2) (ale nikoliv vD(f)). Odhadneme tedy H(f) = 〈f(−2),∞)∪ (f(−1), f(2)) = 〈−1,∞)∪ (−∞, 7

3).

Odhad bude správný, dokážeme-li, že pro libovolné y ∈ 〈−1,∞) ∪ (−∞, 73) má

rovnice y =−3− 2x1 + x

řešení v 〈−2,−1) ∪ (−1, 2). Vzhledem k tomu, co už bylozjištěno při důkazu injektivnosti funkce, stačí ověřit, že pro y ∈ 〈−1,∞) ∪ (−∞, 7

3)

je x = −y + 3y + 2

∈ 〈−2,−1) ∪ (−1, 2).

Nechť y ∈ 〈−1,∞), tj y ≥ −1. Pak y + 2 ≥ 1, 0 < 1y + 2

≤ 1, a tedy pro

x = −y + 3y + 2

= −1− 1y + 2

platí −2 ≤ x < −1, tj. x ∈ 〈−2,−1).

Nechť y ∈ (−∞,−73). Pak y + 2 < −1

3,1

y + 2< −3 a tedy −1 < x < 2, tj.

x ∈ (−1, 2). Platí tedy H(f) = 〈−1,∞) ∪ (−∞,−73) = D(g) a g(x) = −x+ 3

x+ 2.

Příklad 4.10. Nechť funkce hn vznikla složením funkcí f1, f2, . . . , fn,tj. hn(x) = fn(fn−1(. . . (f1(x)) . . . )), kde n ∈ N. Nechť každá z funkcí f1, f2, . . . , fnje monotónní. Dokažte, že také hn je monotónní, a je nerostoucí, právě když mezifunkcemi f1, f2, . . . , fn je lichý počet nerostoucích funkcí.

Řešení. Tvrzení dokážeme indukcí podle n. Pro n = 1 je tvrzení zřejmé.Dokážeme, že z toho, že tvrzení platí pro libovolně zvolené n, platí i pro n + 1.Nechť každá z funkcí f1, f2, . . . , fn je monotónní a hn+1(x) = fn+1(hn(x)). Podleindukčního předpokladu je funkce hn monotónní, a je nerostoucí, právě když mezifunkcemi f1, f2, . . . , fn je lichý počet nerostoucích funkcí.Je-li tedy fn+1 neklesající, je podle věty 5.5 o vlastnostech složených funkcí (viz str.45), hn+1 monotónní, a je nerostoucí, právě když hn je nerostoucí, tj. mezi funkcemif1, f2, . . . , fn, fn+1 je lichý počet nerostoucích funkcí.Je-li fn+1 nerostoucí, je podle téže věty, hn+1 monotónní, a je nerostoucí, právěkdyž hn je neklesající, tedy opět mezi funkcemi f1, f2, . . . , fn, fn+1 je lichý početnerostoucích funkcí.

Příklad 4.11. Nechť funkce f je definovaná v R, je klesající v (−∞, 1〉 a rostoucív 〈1,∞). Vyšetřete monotonii složené funkce h : h(x) = f(g(x)), jestliže platíg : g(x) = (x− 2)2.Nakreslete graf funkce h pro f : f(x) = |x− 1| a funkci g.Řešení. a) Zřejmě D(h) = R. Funkce g je v intervalu (−∞, 2〉 klesající, v 〈2,∞)rostoucí. (To dokážeme snadno např. podle definice monotonie.)Řešením nerovnice g(x) = (x−2)2 ≥ 1 jsou x ∈ (−∞, 1〉∪〈3,∞), tedy pro taková xjsou hodnoty g(x) z množiny, kde je funkce f rostoucí, pro x ∈ 〈1, 3〉 jsou hodnotyg(x) z množiny, kde je funkce f klesající. Odtud, a podle věty 4.5 str. 45, dostáváme,


že h je v intervalu (−∞, 1〉 klesající, v x ∈ 〈1, 2〉 rostoucí, v x ∈ 〈2, 3〉 klesající a v〈3,∞) rostoucí.Pro f : f(x) = |x− 1| je h : h(x) = |(x− 2)2 − 1| = |(x− 1)(x− 3)|.Graf funkce h je na obr. 38

Obr. 38: Graf funkce h

Příklad 4.12. Dokažte, že je-li prostá funkce f lichá, je f−1 také lichá.

Řešení. Nechť y = f−1(x), potom x = f(y) a −x = −f(y) protože f je lichá, platí−x = f(−y), tedy −y = f−1(−x). Odtud f−1(−x) = −f−1(x), tj. f−1 je lichá.

Příklad 4.13. Nechť funkce f je monotónní v R a není konstantní v R a pro funkcig platí

a) g(x) = −f(x),b) g(x) = f(−x),c) g(x) = −f(−x).

Dokažte, že funkce g je monotónní v R a druh monotonie určete.

Řešení. Ve všech případech vznikla funkce g složením monotónních funkcí. V případěa) klesající funkce −id a monotónní funkce f , v případě b) složením stejných funkcíjako v a), ale v opačném pořadí a v případě c) složením tří funkcí −id, f a −id.Podle řešené úlohy 4.10 je funkce g monotónní a v případech a), b) má monotoniiopačnou k monotonii funkce f , v případě c) souhlasnou s monotonií funkce f .

Příklad 4.14. Dokažte, že pro všechna reálná čísla x platí√x2 = |x|.

Řešení. Pro x ≥ 0 jsou funkce druhá mocnina a druhá odmocnina vzájemně inverzní,jejich složením je id ↓ 〈0, ∞) , tedy

√x2 = x = |x|. Pro x < 0 můžeme psát

√x2 =

√

(−x)2 = −x = |x| (jde o složení tří funkcí: −id ↓ (−∞, 0), druhé mocninyzúžené na (0,∞) a √ ↓ (0,∞); posledně jmenované dvě funkce jsou vzájemně in-verzní, tedy vzhledem k asociativnosti operace skládání jde nakonec o složení funkcí−id ↓ (−∞, 0) a id ↓ (0, ∞)).


Příklad 4.15. Určete maximální definiční obor funkce f , pro kterou platí

a) f (x) = 3√

3x2 −√1− 8x2, b) f (x) =

√

3x2 −√1− 8x2.

Řešení. a) Musí platit 1− 8x2 ≥ 0, tj. |x| ≤ 1

2√2. Tedy D (f) =

⟨

− 1

2√2,1

2√2

⟩

.

b) Musí platit 1 − 8x2 ≥ 0 a zároveň 3x2 −√1− 8x2 ≥ 0. První nerovnice platí

pro |x| ≤ 1

2√2. Druhá nerovnice má stejná řešení jako nerovnice 9x4 ≥ 1− 8x2. Po

úpravě získáme nerovnici 9(

x2 − 19

)

(x2 + 1) ≥ 0, která platí pro |x| ≥ 13. Tedy

D (f) =

⟨

− 1

2√2,−13

⟩

∪⟨

13,1

2√2

⟩

.

Příklad 4.16. Řešte v R:

a) 5 +√x2 − 5 = x,

b) x+√

(x+ 3)2 = −3,

c)

√2x2 − 8x

> −1.

Řešení. a) Nutnou podmínkou pro to, aby číslo x bylo řešením rovnice, je platnostrovnosti x2 − 5 = (x− 5)2, tj.x = 3. Ale zkouškou snadno zjistíme, že číslo 3 nenířešením dané rovnice.

b) Řešení rovnice jsou totožná s řešeními rovnice |x+ 3| = −x − 3. Podle definiceabsolutní hodnoty tato rovnost platí, právě když je x + 3 ≤ 0, tj. řešením jsouvšechna čísla z intervalu (−∞, −3〉 .c) Řešení nerovnice má smysl hledat pouze mezi čísly, pro které je definována její levástrana, tj . pro která platí 2x2−8 ≥ 0∧x 6= 0. Hledáme tedy řešení pouze v 〈2, ∞)∪(−∞, −2〉 . Všechna čísla z intervalu 〈2, ∞) jsou zřejmě řešením dané nerovnice(zlomek na levé straně je pro tato čísla nezáporný). Řešení dané nerovnice v intervalu(−∞, −2〉 jsou v tomto intervalu totožná s řešeními nerovnice

√2x2 − 8 < −x, a

tedy i nerovnice 2x2 − 8 < x2 (na obou stranách nerovnice jsou nezáporná čísla afunkce druhá mocnina zúžená na 〈0, ∞) je rostoucí). Řešením nerovnice 2x2−8 < x2

jsou čísla splňující podmínku|x| < 2√2. Řešením nerovnice 2x2−8 < x2 v intervalu

(−∞, −2〉 jsou x ∈ (−2√2,−2〉.

Řešením dané nerovnice jsou čísla ze sjednocení intervalů (−2√2,−2〉 ∪ 〈2,∞).

4.7 Cvičení 53

4.7 Cvičení

1.Rozhodněte a zdůvodněte, zda funkce druhá mocnina, třetí mocnina, celá část,Dirichletova a Riemannova jsou nebo nejsou injektivní.

2. Určete aspoň čtyři různé funkce takové, že jejich definiční obor je R, jsou prosté,ale nejsou ryze monotónní.

3. Dokažte:a) Každá jednoprvková funkce je rostoucí i klesající.b) Každá konstantní funkce je neklesající i nerostoucí.

4. Může být některá ryze monotónní funkce

a) sudá, b) lichá, c) periodická s periodou p?

5. Dokažte podle definice, že funkce f je monotónní v množině M a druh mono-tonie určete:

a) f : f(x) = x3 M = R,b) f : f(x) = x3 + x+ 1 M = R,

c) f : f(x) = ax2 + bx+ c, kde a ∈ R, a > 0, M1 = (−∞,− b

2a〉,M2 = 〈− b

2a,∞),

d) f : f(x) = ax2 + bx+ c, kde a ∈ R, a < 0, M1 = (−∞,− b

2a〉,M2 = 〈− b

2a,∞).

6. Rozhodněte podle definice o monotonii funkce f na maximálních možných in-tervalech definičního oboru a tyto intervaly a druh monotonie určete:

a) f : f(x) =2x+ 3x− 2 , b) f : f(x) =

2x+ 3x+ 2

,

c) f : f(x) =3− 2xx+ 2

, d) f : f(x) =3− 2xx− 2 .

Dokažte, že žádná z těchto funkcí není monotónní v D(f).


a) f : f(x) =a

x, a < 0,

b) f : f(x) =ax+ b

cx+ d, a, b, c, d ∈ R, ad− bc 6= 0.


a) f : f(x) =1x2k

, k ∈ N, b) f : f(x) =1

x2k−1, k ∈ N.

4.7 Cvičení 54

9. Je dána funkce f : f(x) =2x+ 3x− 2 .

a) Nakreslete graf f a určete nepřímou úměrnost a posunutí, kterým lze z této ne-přímé úměrnosti získat graf f .

b) Nakreslete graf funkce g : g(x) =2x+ 3|x− 2| a určete shodná zobrazení, kterými lze

získat graf funkce g z grafu funkce f .c) Řešte graficky soustavu nerovnic −1 ≤ g(x) ≤ 1 a určete body, pro které platíg(x) = 1, g(x) = −1; ověřte početně.d) Podle definice monotonie dokažte, že funkce g je rostoucí v (−∞, 2).


a) Nakreslete graf f a určete nepřímou úměrnost a posunutí, kterým lze z této ne-přímé úměrnosti získat graf f .b) Řešte graficky nerovnici f(x) < |x|.c) Nakreslete graf funkce g : g(x) =

|2x+ 3|x− 1 a určete shodná zobrazení, kterými lze

získat graf funkce g z grafu funkce f .d) Podle definice monotonie určete maximální možné intervaly monotonie funkce g.e) Určete všechny hodnoty c ∈ R, pro které má rovnice g(x) = c právě jedno řešení.


a) Nakreslete graf f a určete nepřímou úměrnost a posunutí, kterým lze z této ne-přímé úměrnosti získat graf f .

b) Nakreslete graf funkce g : g(x) =2x+ 1|x− 3| a určete shodná zobrazení, kterými lze

získat graf funkce g z grafu funkce f .

c) Řešte graficky soustavu nerovnic g(x) ≤ x3 ∧ |x| ≤ 32.

d) Podle definice určete maximální možné intervaly monotonie funkce g.

12. Nechť funkce f je monotónní v R a pro funkci g platí, že graf g je vzhledemke grafu f

a) souměrně sdružený podle osy x,b) souměrně sdružený podle osy y,c) souměrně sdružený podle počátku.

Určete druh monotonie funkce g v R a své tvrzení dokažte.Nakreslete graf funkce g pro f : f(x) = 2x− 1.

13. Nechť funkce f je monotónní v množině A a pro funkci g platí:

a) g(x) = −f(x),b) g(x) = f(−x),

4.7 Cvičení 55

c) g(x) = −f(−x).

Určete maximální možnou množinu B, na které lze zaručit monotonii funkce g astanovte druh této monotonie v závislosti na druhu monotonie funkce f .Nakreslete graf funkce g pro f : f(x) = |x− 1|.

14. Nechť funkce f je definovaná a monotónní v R a pro funkci g platí:

a) g(x) = f(|x|),b) g(x) = f(−|x|),c) g(x) = |f(x)|.

Určete maximální možné množiny, na kterých lze zaručit monotonii funkce g a sta-novte druh této monotonie v závislosti na druhu monotonie funkce f .Nakreslete graf funkce g pro f : f(x) = 2x− 1.

15. Najděte maximální možné intervaly monotonie (a určete její druh) funkce f ,určete a zdůvodněte H(f) a stanovte počet řešení rovnice f(x) = c v závislosti naparametru c ∈ R, platí-li

a) f(x) =x− 3x+ 2

, b) f(x) =|x− 3|x+ 2

,

c) f(x) =x− 3|x+ 2| , d) f(x) =

∣

∣

∣

∣

x− 3x+ 2

∣

∣

∣

∣

,

e) f(x) =|x| − 3|x|+ 2 , f) f(x) =

−|x| − 3−|x|+ 2 ,

Svá tvrzení zdůvodněte také jinak, než tvarem grafu funkce f .

16. Nechť funkce f je definovaná v R, klesající v (−∞, 1〉, rostoucí v 〈1,∞).Vyšetřete monotonii složené funkce h : h(x) = f(g(x)), jestliže platí

a) g(x) = x2 − 4x+ 5, b) g(x) =1− x

1 + x,

Nakreslete graf funkce h pro f : f(x) = |x− 1|.

17. Nechť funkce f je definovaná a klesající v R a c je jediný takový bod, ve kterémplatí f(c) = 0. Určete a zdůvodněte monotonii funkce g na maximálních možnýchintervalech, platí-li

a) g(x) =1

f(x), b) g(x) = f 2(x),

c) g(x) = f 3(x), d) g(x) = f

(

1f(x)

)

,

e) g(x) = f 3(f(x)), f) g(x) = f 2(f(x)),

Nakreslete graf funkce g , jestliže f : f(x) = −x− 1.

4.7 Cvičení 56

18. Vyšetřete existenci inverzní funkce k funkci f : f(x) = −x · |x|.Pokud inverzní funkce existuje, určete ji definičním oborem a předpisem a nakresletejejí graf.

19. Pro funkci f platí f(x) =2x− 13x− 1 a D(f) je maximální možný.

Najděte maximální možné intervaly monotonie funkce f , určete její druh a své tvr-zení zdůvodněte.Je-li funkce f injektivní, určete inverzní funkci g k funkci f předpisem a definičnímoborem.Nakreslete do téhož systému souřadnic grafy obou funkcí f , g.

20. Zdůvodněte existenci inverzní funkce g k dané funkci f a určete definiční oborD(g) a předpis pro funkční hodnoty funkce g, platí-li

a) f(x) = 2x+ 3, b) f(x) = x3 − 1,c) f(x) =

1x− 2 , d) f(x) = x2 − 2x+ 3,

e) f(x) =√4− x, f) f(x) = x2 − 2x+ 3, pro x ∈ (−∞, 1〉.

21*. Najděte dva kořeny rovnice f(x) = f

(

x+ 8x− 1

)

, kde f je libovolná funkce

taková, že D(f) = R.

a) Může mít daná rovnice více kořenů? Najděte všechny kořeny takové rovnice, platí-li f(x) = x2 − 12x+ 3.b) Kdy má daná rovnice právě dva kořeny? Zdůvodněte.

22. Řešte v R:

a)√3x+ 1 = 2 +

√x− 1, b) 1−

√2x+ 2 =

√2x− 5,

c) x+√2 + x = 4, d) x+

√x = 6,

e) x 3√x− 6 3

√x2 + 9 = 0, f) 3

√

2xx+ 1

+ 3

√

x+ 12x

= 2,

g)√x2 − 8x+ 12 <

√5, h)

√3x− 7 <

√−x2 + 7x− 10,

i)1− x√x+ 5

≤ −1, j)

√8− 2x2x− 1 > x+ 1,

4.7 Cvičení 57

23. Funkce f je určená maximálním možným definičním oborem D (f) a předpisem

a) y =√x2, b) y = (

√x)2 ,

c) y = 3√x3, d) y = ( 3

√x)3 ,

e) y =√x2 − 6x+ 9, f) y =

√x+

√−x,

g) y = 3√x+ 3

√−x, h) y =√

3√x,

Určete D(f), zjednodušte předpis pro danou funkci a nakreslete její graf.

24. Rozhodněte a zdůvodněte (bez užití kalkulátoru), které z čísel a, b je větší.

a) a = 8√99, 98, b = 8

√99, 99,

b) a = 8√0, 023, b = 8

√0, 024,

c) a = 8√99, 98, b = 9

√99, 98,

d) a = 8√0, 023, b = 9

√0, 023,

25. Určete maximální možný D (f), vyšetřete a zdůvodněte maximální možné in-tervaly monotonie funkce f (pokud je to možné, užijte ke zdůvodnění monotonieznalosti o skládání monotónních funkcí), jestliže platí

a) f (x) =√x− x2, b) f (x) =

2

x+√x2 − 2

,

c) f (x) =

√

1 + x

1− x, d) f (x) =

√

1−√x+ 5,

e) f (x) = 5√

1−√x+ 5, f) f (x) = 4

√2x2 − x− 3,

g) f (x) = 4√2x2 − x+ 1, h) f (x) =

√

1−√

x+ 5x− 1 .

26. Zdůvodněte existenci inverzní funkce g k dané funkci f a určete definiční oborD (g) a předpis pro funkční hodnoty funkce g, platí-li

a) f : f(x) = −x2, D(f) = (−∞, 0〉,b) f : f(x) =

√1− x2, D(f) = 〈0, 1〉,

c) f : f(x) =√1− x2, D(f) = 〈−1, 0〉,

d) f : f(x) = x, pro x ∈ (−∞, 1),

f(x) = x2, pro x ∈ 〈1, 4〉,f(x) =

√x+ 14, pro x ∈ (4,∞).

58

5 Supremum a infimum reálných čísel a funkce

5.1 Suprémum a infimum množiny reálných čísel

Jak bylo řečeno v úvodu, předpokládáme, že známe obvyklé vlastnosti reálnýchčísel, které se týkají operací sčítání, násobení a relace uspořádání. Rozumíme tím tyvlastnosti, které reálná čísla s uvedenými operacemi a uspořádáním charakterizujíjako uspořádané těleso. Jsme také intuitivně srozuměni se skutečností, že tyto vlast-nosti jsou analogické jako u racionálních čísel, která jsou (narozdíl od čísel reálných)našim představám bližší.Avšak existuje vlastnost uspořádání reálných čísel, kterou nemá obvyklé uspo-

řádání čísel racionálních, a o kterou se opírají nejdůležitější výsledky matematickéanalýzy. Jde o existenci tzv. supréma a infima množiny.

Definice 5.1. Nechť A ⊆ R. Reálné číslo M nazveme největším prvkem množinyA, platí-li M ∈ A ∧ (∀x ∈ A) x ≤ M . Označíme M = maxA.Reálné číslo m nazveme nejmenším prvkem množiny A, platí-lim ∈ A ∧ (∀x ∈ A)m ≤ x. Označíme m = minA.

Věta 5.1. Množina A ⊆ R má nejvýše jeden největší a nejvýše jeden nejmenšíprvek.

Definice 5.2. Nechť A ⊆ R. Reálné číslo K nazveme majorantou množiny A, platí-li (∀x ∈ A) x ≤ K. Reálné číslo k nazveme minorantou množiny A, platí-li(∀x ∈ A) k ≤ x.

Poznámka 5.1. Existuje-liM = maxA (resp. m = minA), jeM majorantou (resp.m minorantou) množiny A.

Definice 5.3. Existuje-li aspoň jedna majoranta K množiny A, říkáme také, žemnožina A je omezená shora (majorantou nebo konstantou K). Existuje-li aspoňjedna minoranta k množiny A, říkáme také, že množina A je omezená zdola (mino-rantou nebo konstantou k).

Příklad 5.1. a) Je-li A uzavřený interval 〈0, 1〉, je každé číslo K ≥ 1 majorantouA a každé číslo k ≤ 0 minorantou A.Zřejmě číslo 1 je nejmenší majorantou A a je současně největším prvkem A, číslo 0je největší minorantou A a je současně nejmenším prvkem A.b) Je-li A otevřený interval (0, 1), je množina všech majorant (resp.minorant) Astejná jako u intervalu 〈0, 1〉, ale nejmenší majoranta (0, 1) není největším prvkem(0, 1) (max(0, 1) neexistuje) a největší minoranta (0, 1) není nejmenším prvkem (0, 1)(min(0, 1) neexistuje).c) Je-li A = R, je množina všech majorant i množina všech minorant prázdná.d) Je-li A = ∅, je její majorantou každé reálné číslo. Toto tvrzení se stane zřejmým,připomeneme-li si, že zápis (∀x ∈ A) x ≤ K je zkratkou pro zápis (∀x)(x ∈ A ⇒x ≤ K). Pro každé x je totiž implikace x ∈ ∅ ⇒ x ≤ K pravdivá pro libovolnéreálné K. Stejným způsobem zdůvodníme, že je-li A = ∅, je její minorantou každéreálné číslo.

5.1 Suprémum a infimum množiny reálných čísel 59

Definice 5.4. Nechť A ⊆ R. Existuje-li nejmenší prvek množiny všech majorantmnožiny A, označme ho s, nazýváme ho suprémem množiny A a píšeme s = supA.Existuje-li největší prvek množiny všech minorant množiny A, označme ho i, nazý-váme ho infimem množiny A a píšeme i = inf A.

Poznámka 5.2. Množina A ⊆ R má zřejmě nejvýše jedno suprémum a nejvýšejedno infimum.

Příklad 5.2. a) sup〈0, 1〉 = sup(0, 1) = 1, inf〈0, 1〉 = inf(0, 1) = 0, protože 1 jezřejmě nejmenší majoranta a 0 zřejmě největší minoranta obou množin.b) supR, inf R neexistují, protože množina všech majorant i množina všech minorantmnožiny R je prázdná množina.c) sup ∅, inf ∅ neexistují, protože množina všech majorant i množina všech minorantprázdné množiny je množina R, která nemá ani největší ani nejmenší prvek.

Poznámka 5.3. Z definic vyplývají tvrzení následujících vět.

Věta 5.2. Nechť A ⊆ R.1) Existuje-li maxA =M , potom existuje supA =M .2) Existuje-li supA = s a s ∈ A, potom existuje maxA = s.

Věta 5.3. Nechť A ⊆ R.1) Existuje-li minA = m, potom existuje inf A = m.2) Existuje-li inf A = i a i ∈ A, potom existuje minA = i.

Věta 5.4. Nechť A ⊆ R, s ∈ R. Potom platí s = supA, právě když jsou současněsplněny podmínky

1) (∀x ∈ A) x ≤ s,2) (∀ε > 0)(∃x0 ∈ A) s− ε < x0.

Věta 5.5. Nechť A ⊆ R, i ∈ R. Potom platí 1 = inf A, právě když jsou současněsplněny podmínky

1) (∀x ∈ A) i ≤ x,2) (∀ε > 0)(∃x0 ∈ A) x0 < i+ ε.

Poznámka 5.4. Věty 5.4 a 5.5 vyslovují nutnou a postačující podmínku pro to,aby číslo s ∈ R (resp. i ∈ R) bylo suprémem (resp. infimem) množiny. Někdy jsoupojmy suprémum, infimum definovány jako čísla splňující příslušné podmínky 1), 2).Potom tvrzení, že suprémum (resp.infimum) množiny je její nejmenší majorantou(resp. největší minorantou) je větou, kterou je třeba dokázat.

Poznámka 5.5. Zřejmě nutnou podmínkou existence supréma (resp. infima) mno-žiny reálných čísel je, aby tato množina byla neprázdná a shora (resp. zdola) omezená.Pro reálná čísla a jejich uspořádání požadujeme, aby tato nutná podmínka byla taképodmínkou postačující.Platí tedy:Každá neprázdná shora omezená množina reálných čísel má (v mno-

žině reálných čísel) suprémum.Každá neprázdná zdola omezená množina reálných čísel má (v mno-

žině reálných čísel) infimum.

5.2 Suprémum a infimum funkce 60

5.2 Suprémum a infimum funkce

Definice 5.5. Říkáme, že funkce f je omezená shora (konstantou K), platí-li(∃K ∈ R)(∀x ∈ D(f)) f(x) ≤ K.Říkáme, že funkce f je omezená zdola (konstantou K), platí-li(∃K ∈ R)(∀x ∈ D(f)) f(x) ≥ K.Dále říkáme, že funkce f je omezená, je-li omezená shora i zdola.

Úmluva: Řekneme-li, že funkce f je shora (resp. zdola) omezená v množině A ⊆D(f), příp. omezená v množině A ⊆ D(f), rozumíme tím, že je shora (resp. zdola)omezená, příp. omezená funkce f ↓ A.Tedy např. funkce f je shora (resp. zdola) omezená v množině A ⊆ D(f), platí-li(∃K ∈ R)(∀x ∈ A) f(x) ≤ K (resp. (∃K ∈ R)(∀x ∈ D(f)) f(x) ≥ K).

Příklad 5.3. a) Funkce f : f(x) = −x2 je omezená shora (platí (∀x) je −x ≤ 0).b) Funkce f : f(x) =

x2 + 1x2

je omezená zdola (platí (∀x) je x2 + 1x2

≥ 1).c) Funkce necelá část je omezená (platí (∀x) je 0 ≤ x− [x] ≤ 1).d) Funkce f : f(x) =

a

xnení omezená shora ani zdola, protože

(∀K ∈ R)(∃x ∈ D(f))

(

x =a

|K|+ 1 ∧ f(x) = |K|+ 1 > K

)

a (∀K ∈ R)(∃x ∈ D(f))

(

x =a

−|K| − 1 ∧ f(x) = −|K| − 1 < K

)

.

Věta 5.6. Funkce f je omezená v A, právě když platí(∃K > 0)(∀x ∈ D(f)) |f(x)| ≤ K.

Důkaz. Tvrzení implikace s předpokladem (∃K > 0)(∀x ∈ D(f)) |f(x)| ≤ K jezřejmé.Dokážeme obrácenou implikaci. Podle předpokladu, že f je omezená v A a podledefinice platí (∃K1, K2 ∈ R)(∀x ∈ D(f))K1 ≤ f(x) ≤ K2.Položíme-li K = max(|K1|, |K2|, 1), platí, že K > 0 a pro všechna x ∈ A je−K ≤ −|K1| ≤ K1 ≤ f(x) ≤ K2 ≤ |K2| ≤ K, tj. (∃K > 0)(∀x ∈ D(f)) |f(x)| ≤ K.

�

Poznámka 5.6. Srovnáme-li definice omezenosti shora, omezenosti zdola a ome-zenosti funkce, s odpovídajícími definicemi omezenosti shora, omezenosti zdola aomezenosti množiny, vidíme, že funkce f je shora (resp. zdola) omezená, příp. ome-zená, je-li shora (resp. zdola) omezená, příp .omezená množina H(f).Stejný přístup zachováme i při definici pojmů maximum a minimum funkce,

suprémum a infimum funkce.

Definice 5.6. Nechť f je funkce a pro množinu A platí A ⊆ D(f).Existuje-li největší prvek M množiny H(f ↓ A), nazveme ho maximem funkce f namnožině A a označíme M = max

Af(x).

Existuje-li nejmenší prvek m množiny H(f ↓ A), nazveme ho minimem funkce f na


množině A a označíme m = minA

f(x).

Je-li A = D(f), píšeme M = max f(x) (resp. m = min f(x)).

Definice 5.7. Nechť f je funkce a pro množinu A platí A ⊆ D(f).Existuje-li nejmenší prvek s množiny všech majorant množinyH(f ↓ A) (tj. nejmenšíprvek všech konstant omezujících množinu H(f ↓ A) shora), nazveme ho suprémemfunkce f na množině A a označíme s = sup

A

f(x).

Existuje-li největší prvek i množiny všech minorant množiny H(f ↓ A) ( tj. největšíprvek všech konstant omezujících množinu H(f ↓ A) zdola), nazveme ho infimemfunkce f na množině A a označíme i = inf

Af(x).

Je-li A = D(f), píšeme s = sup f(x) (resp. i = inf f(x)).

Úmluva: Je-li funkce f posloupností {an}∞n=n0, píšeme max{an}∞n=n0, min{an}∞n=n0,sup{an}∞n=n0, inf{an}∞n=n0.

Poznámka 5.7. Analogicky tedy můžeme formulovat nutné a postačující podmínkypro to, aby číslo s (resp. číslo i) bylo suprémem (resp. infimem) funkce v množiněA a nutné a postačující podmínky pro to, aby číslo s (resp. číslo i) bylo suprémem(resp. infimem) posloupnosti {an}∞n=n0.

5.3 Řešené úlohy

Příklad 5.4. Určete max f(x), min f(x), sup f(x), inf f(x), jestliže f : f(x) = x2.

Řešení. max f(x) ani sup f(x) neexistují, protože funkce f není shora omezená, tj.množina H(f) není shora omezená: pro libovolné K > 0 najdeme x = K + 1, prokteré platí f(x) = x2 > K.min f(x) = inf f(x) = 0, protože f(0) = 0 a (∀x) f(x) ≥ 0, tedy min f(x) = 0.Situaci dokumentuje obr. 39

Obr. 39


Příklad 5.5. Určete maxA

f(x), minA

f(x), supA

f(x), infA

f(x), jestliže

f : f(x) = x− [x], A = (2, 3〉.Řešení. Pro x ∈ (2, 3) je f(x) = x − 2 a f(3) = 3, tedy (∀x ∈ (2, 3〉) 0 ≤ f(x) < 1.Odtud ihned dostaneme, že min

Af(x) = f(3) = 0 = inf

Af(x), a pokud bude platit, že

supA

f(x) = 1, tak maxA

f(x) neexistuje. Dokážeme, že supA

f(x) = 1. K tomu už stačí

pouze ukázat, že pro libovolné ε > 0, najdeme x0 ∈ (2, 3〉 takové, že x0− [x0] > 1−ε.

Je-li ε < 1, stačí volit např. x0 = 2 +(1− ε) + 1

2= 3 − ε

2, je-li ε ≥ 1, lze zvolit

libovolné x0 ∈ (2, 3〉. Graf funkce f je na obr. 40.

Obr. 40

Příklad 5.6. Určete maxA

f(x), minA

f(x), supA

f(x), infA

f(x), jestliže

f : f(x) =1|x| , A = {x ∈ R, |x| ≥ 2}.

Řešení. Funkce f je sudá, tedy H(f ↓ A) = H(f ↓ 〈2,∞)) = H(f ↓ (−∞,−2〉),viz obr. 41. Řešení úlohy je proto stejné jako např. řešení úlohy: Určete max f(x),

min f(x), sup f(x), inf f(x), jestliže f : f(x) =1x, kde D(f) = 〈2,∞).

Tato funkce f je klesající (dokažte), tedy max f(x) = f(2) =12= sup f(x).

Dále platí, že v D(f) je f(x) > 0, tedy dokážeme-li, že inf f(x) = 0, pak min f(x)neexistuje. K tomu, abychom dokázali, že inf f(x) = 0, už stačí pouze ukázat, že

pro libovolné ε > 0, najdeme x0 ∈ 〈2,∞) takové, že f(x0) =1x0

< ε. Můžeme např.

zvolit x0 = max{2, 1ε + 1}.

Obr. 41


Příklad 5.7. Určete funkci f tak, aby D(f) = R a aby platilo:a) neexistuje sup f(x), existuje inf f(x),b) existuje sup f(x) /∈ H(f), existuje inf f(x) ∈ H(f),c) neexistuje ani sup f(x), ani inf f(x),d) existuje sup f(x), existuje inf f(x) /∈ H(f),e) existuje sup f(x) /∈ H(f), existuje inf f(x) /∈ H(f).

Ve všech případech určete, co lze říci o max f(x), min f(x) a nakreslete graf funkcef .

Řešení Ve všech případech jde o jedno z více možných řešení.a) Např. f : f(x) = x2; sup f(x), max f(x) neexistují, inf f(x) = min f(x) = 0, vizřešený příklad 5.4.

b) f : f(x) = − 1|x|+ 1; sup f(x) = 0, max f(x) neexistuje, inf f(x) = min f(x) =

−1. Graf funkce je na obr. 42.c) f : f(x) = x (tj. fce id); sup f(x), max f(x), inf f(x), min f(x) neexistují. Graffunkce id je na obr. 2 str. 10.

d) f : f(x) =1

|x|+ 1; sup f(x) = max f(x) = 1, inf f(x) = 0, min f(x) neexistuje.Graf funkce je na obr. 43.

e) f : f(x) = sgn (x) · |x||x|+ 1; sup f(x) = 1, = max f(x) neexistuje, inf f(x) = −1,

min f(x) neexistuje. Graf funkce je na obr. 44.

Obr. 42 Obr. 43

Obr. 44

64

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Správné pochopení pojmu funkce, znalost základních algebraických funkcí a jejichvlastností, kterým je věnována první kapitola, je velice důležité pro celý diferenci-ální počet funkcí jedné i více proměnných. V dalších oddílech se budeme postupněseznamovat s novými pojmy, které patří do oblasti diferenciálního počtu, jako např.limita, spojitost, derivace, asymptoty,. . . a průběh funkce.

V této druhé části budeme používat značení, které jsme podrobně popsali v prvníčásti Algebraické funkce úvodní kapitola. Navíc přidáme množinu rozšířených reál-ných čísel R⋆ = R∪{−∞,+∞}. Vidíme, že jde o množinu reálných čísel doplněnouo dva prvky, kterými jsou −∞ a +∞.

6 Limita a spojitost funkce

Pojem limity funkce patří k základním pojmům diferenciálního počtu. Mít limituje lokální vlastnost funkce. Zabýváme se reálnou funkcí jedné reálné proměnné v ry-zím okolí bodu, v němž limitu určujeme. Ryzím okolím bodu rozumíme okolí, kroměbodu samého. To znamená, že limita funkce nezávisí na funční hodnotě funkce vtomto bodě. Funkční hodnota v tomto bodě se může od limity lišit a dokonce funkcenemusí být v tomto bodě ani definována. Jak vypočítat hodnotu limity nějaké funkcenám napoví níže uvedené definice, věty a tvrzení. Důkazy vět, které zde nejsou uve-deny, jsou dostupné v litaratuře [7, 4].

Spojitost funkce může mít jak lokální tak i globální charakter. Pokud budemezkoumat spojitost funkce v bodě, znamená to, že limita funkce v daném bodě jerovna funkční hodnotě v tomto bodě. Pomocí spojitosti funkce v bodě pak můžemenadefinovat spojitost funkce na intervalu. Problematikou spojitosti funkce se budemezabývat v druhé části této kapitoly.

6.1 Limita funkce

Nejprve se seznámíme s pojmem okolí bodu a jeho typy.

Definice 6.1. Jsou-li a, δ ∈ R, δ > 0, pak interval Uδ(a) = (a − δ, a + δ) nazvemeokolím bodu a, interval U+δ (a) = (a, a+δ) pravým okolím bodu a a interval U

−δ (a) =

(a− δ, a) levým okolím bodu a.Množina Pδ(a) = Uδ(a)\{a} = (a − δ, a) ∪ (a, a + δ) se nazývá δ-prstencové okolíbodu a.Pokud a = ±∞, δ ∈ R, δ > 0 pak Pδ(+∞) = Uδ(+∞) = (

1δ,+∞) nazveme δ-okolím

bodu +∞ a Pδ(−∞) = Uδ(−∞) = (−∞,−1δ) nazveme δ-okolím bodu −∞.

Rozdíl je tedy v tom, že prstencové okolí bodu a neobsahuje samotný bod a.Skutečnost, že se jedná o některé okolí bodu a, když a ∈ R nebo a = ±∞, můžeme

6.1 Limita funkce 65

popisovat i pomocí nerovností. To je podrobně rozebráno níže v devíti uvedenýchpříkladech.

Definice 6.2. Nechť f je funkce, a, A ∈ R⋆. Říkáme, že funkce f má v bodě a limituA a píšeme lim

x→af(x) = A, jestliže je splněna podmínka

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ Pδ(a))(f(x) ∈ Uε(A)). (6.1)

Poznámka 6.1. Podle definice okolí můžeme rovnici (6.1) rozepsat 9-ti možnostmi.

1. a ∈ R A ∈ R tedy (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x)(0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)−A| < ε)Příklad: lim

x→0|sgn (x)| = 1

2. a ∈ R A =∞ tedy (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x)(0 < |x− a| < δ ⇒ f(x) >1ε)

Příklad: limx→0

1|x| =∞

3. a ∈ R A = −∞ tedy (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x)(0 < |x− a| < δ ⇒ f(x) < −1ε)

Příklad: limx→0

− 1|x| = −∞

4. a =∞, A ∈ R tedy (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x)(x >1δ⇒ |f(x)−A| < ε)

Příklad: limx→∞

1x= 0

5. a =∞, A =∞ tedy (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x)(x >1δ⇒ f(x) >

1ε)

Příklad: limx→∞

x =∞

6. a =∞, A = −∞ tedy (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x)(x >1δ⇒ f(x) < −1

ε)

Příklad: limx→∞(−x) = −∞

7. a = −∞, A ∈ R tedy (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x)(x < −1δ⇒ |f(x)−A| < ε)

Příklad: limx→−∞

1x= 0

8. a = −∞, A =∞ tedy (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x)(x < −1δ⇒ f(x) >

1ε)


(−x) =∞

9. a = −∞, A = −∞ tedy (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x)(x < −1δ⇒ f(x) < −1

ε)


x = −∞

6.2 Věty o limitách 66

Poznámka 6.2. Analogicky definujeme limitu zprava, resp. zleva. V definici 6.2nahradíme Pδ(a) pravým prstencovým okolím P+δ (a) = (a, a + δ), resp. levým prs-tencovým okolím P−

δ (a) = (a− δ, a).

Věta 6.1. Nechť f je funkce, a ∈ R, A ∈ R⋆. Potom limx→a

f(x) = A právě tehdy,

když limx→a+

f(x) = limx→a−

f(x) = A.

Důkaz. Tvrzení „⇒” je zřejmé, neboť Pδ(a) = P+δ (a) ∪ P−δ (a).

„⇐” Nechť tedy limx→a+

f(x) = A. Dle definice (∀ε > 0)(∃δ1 > 0)(∀x ∈ P+δ1 (a))(f(x) ∈Uε(A) a lim

x→a−f(x) = A je dle definice (∀ε > 0)(∃δ2 > 0)(∀x ∈ P−

δ2(a))(f(x) ∈ Uε(A).

Položíme δ = min(δ1, δ2) a pak (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ Pδ(a))(f(x) ∈ Uε(A) neboťP+δ1 (a) ⊇ P+δ (a) ∧ P−

δ2(a) ⊇ P−

δ (a).�

Příklad 6.1. Dokažte, že limx→a

k = k, kde k ∈ R.

Řešení. V definici 6.2 rovnici (6.1) rozepíšeme takto(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x)(0 < |x− a| < δ ⇒ |k − k| < ε).Ke každému ε > 0 potřebujeme najít δ > 0 tak, aby pro všechna x taková, že0 < |x − a| < δ platilo |k − k| < ε. Vidíme, že stačí zvolit libovolně δ ≤ ε, např.δ = ε.

Příklad 6.2. Dokažte, že limx→0

|sgn (x)| = 1.

Řešení. Podle definice funkce sgn a příkladu 6.1 jelimx→0+

|sgn (x)]| = limx→0+

1 = 1 a limx→0−

|sgn (x)]| = limx→0−

| − 1| = 1.

Věta 6.2. Nechť f je funkce, a ∈ R, A ∈ R⋆. Funkce f má v bodě a nejvýše jednulimitu a nejvýše jednu limitu zprava a zleva.

6.2 Věty o limitách

Věty o nerovnostech

Věta 6.3. Věta o limitě sevřené funkceNechť f , g a h jsou funkce, a ∈ R, A ∈ R⋆. Nechť (∃δ1 > 0) tak, že (∀x ∈ Pδ1(a))platí f(x) ≤ h(x) ≤ g(x). Nechť existuje lim

x→af(x) = A a lim

x→ag(x) = A. Potom

existuje limx→a

h(x) a platí limx→a

h(x) = limx→a

f(x) = limx→a

g(x) = A.

Důkaz. Rozepišme předpoklady věty, zaměříme se pouze na případ že A ∈ R.Platí (∃δ1 > 0) tak, že (∀x ∈ Pδ1(a)) je splněna nerovnost f(x) ≤ h(x) ≤ g(x).Existuje lim

x→af(x) = A ⇒ (∀ε > 0)(∃δ2 > 0)(∀x ∈ Pδ2(a))(A− ε < f(x) < A+ ε),

existuje limx→a

g(x) = A ⇒ (∀ε > 0)(∃δ3 > 0)(∀x ∈ Pδ3(a))(A− ε < g(x) < A+ ε).

Máme dokázat, že existuje limx→a

h(x) a její hodnota je A.


Tedy, že (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ Pδ(a))(A − ε < h(x) < A + ε). Proto volímeδ = min(δ1, δ2, δ3). Pak, je-li x ∈ Pδ(a) ⇒ A − ε < f(x) < h(x) < g(x) < A + ε,tzn. h(x) ∈ Uε(A).Důkaz pro A = ±∞ najdeme např. v literatuře [7].

�

Příklad 6.3. Určete limx→∞

sin xx.

Řešení. Pro všechna x ∈ R platí −1x

≤ sin xx

≤ 1x. Dále lim

x→∞

1x= lim

x→∞−1x= 0.

Potom podle věty 6.3 platí, že limx→∞

sin xx= 0.

Věta 6.4. Nechť f , g jsou funkce, a ∈ R⋆. Nechť existuje limx→a

f(x) a limx→a

g(x) a platí

limx→a

f(x) < limx→a

g(x). Potom (∃δ > 0) tak, že x ∈ Pδ(a)⇒ f(x) < g(x).

Věta 6.5. Věta: Nechť f , g jsou funkce, a ∈ R⋆. Nechť existuje limx→a

f(x) a limx→a

g(x)

a nechť (∃δ > 0) tak, že x ∈ Pδ(a)⇒ f(x) ≤ g(x). Potom platí limx→a

f(x) ≤ limx→a

g(x).

Věta 6.6. (Věta o limitě součinu ”nulové” funkce a omezené funkce)Nechť f , g jsou funkce, a ∈ R⋆. Nechť lim

x→af(x) = 0 a nechť (∃δ > 0) a (∃K ∈ R) tak,

že (∀x ∈ Pδ(a))⇒ |g(x)| ≤ K. Potom existuje limx→a

f(x)·g(x) a je limx→a

f(x)·g(x) = 0.

Věta 6.7. Nechť limx→a

f(x) = A, kde a ∈ R⋆, A ∈ R.

Potom (∃δ > 0)(∃K > 0)(∀x ∈ Pδ(a))|f(x)| ≤ K.

Jinými slovy: jestliže funkce f má v bodě a vlastní limitu, pak existuje Pδ(a), nanemž je funkce f omezená.

Věty o součtu, součinu a převrácené hodnotě funkce

Na začátku kapitoly jsme rozšířili množinu reálných čísel o dva prvky +∞ a ∞.V následující definici uvedeme početní operace s nimi.

Definice 6.3. Je-li A ∈ R, definujme:A +∞ =∞, A+ (−∞) = −∞, ∞+∞ =∞, (−∞) + (−∞) = −∞,A · ∞ =∞ pro (A > 0), A · ∞ = −∞ pro (A < 0), ∞ ·∞ =∞, ∞ · (−∞) = −∞,A

∞ = 0,∞A=∞ pro (A > 0). Výraz

A

0pro A ∈ R⋆ − {0} není definován.

Výrazy∞+(−∞), 0·∞,00,∞∞ jsou tzv. neurčité výrazy (nemůžeme o jejich hodnotě

rozhodnout).

Věta 6.8. (Věta o limitě součtu funkcí)Jestliže lim

x→af(x) = A, lim

x→ag(x) = B, kde a, A,B ∈ R⋆ a výraz A + B je definován

(není tedy roven ∞−∞), potom existuje limx→a(f(x) + g(x)) = A +B.


Věta 6.9. (Věta o limitě součinu funkcí) Jestliže limx→a

f(x) = A, limx→a

g(x) = B,

kde a, A,B ∈ R⋆ a výraz A ·B je definován (není tedy roven 0 · ∞), potom existujelimx→a(f(x) · g(x)) = A · B.

Příklad 6.4. Vypočtěte: a) limx→2(x3 − 3x2 + 5), b) lim

x→∞(x3 − 3x2 + 5).

Řešení. Protože limx→2

x = 2, limx→23 = 3 a lim

x→25 = 5 navíc

a) výraz (2·2·2−3·2·2+5) je definován, pak podle věty 6.8 a 6.9 je limx→2(x3−3x2+5) =

(2 · 2 · 2− 3 · 2 · 2 + 5) = 25.b) výraz (∞ ·∞ · ∞ − 3 · ∞ · ∞ + 5) což je (∞−∞) není definován, takže podlevěty 6.8 nemůžeme prozatím o výsledku limity rozhodnout (dořešeno viz pozn. 6.4).

Věta 6.10. Věta o limitě převrácené funkceJe-li lim

x→af(x) = A, potom

1. Je-li navíc A 6= 0, pak existuje limx→a

1f(x)

=1A.

2. Je-li navíc A = 0 a v některém Pδ(a) platí (∀x ∈ Pδ(a))f(x) > 0, pak existuje

limx→a

1f(x)

=∞.

3. Je-li navíc A = 0 a v některém Pδ(a) platí (∀x ∈ Pδ(a))f(x) < 0, pak existuje

limx→a

1f(x)

= −∞.

4. Je-li navíc A = 0 a v každém Pδ(a) platí (∃x1, x2 ∈ Pδ(a))(f(x1) > 0∧f(x2) <

0, pak limita limx→a

1f(x)

neexistuje.

Poznámka 6.3. Na základě výše uvedených vět můžeme říci, že existuje-li limx→a

f(x) =

A, limx→a

g(x) = B, a, A,B ∈ R⋆ a výrazy A−B,A

Bjsou definovány. Potom existuje i

limx→a(f(x)− g(x)) = A− B a lim

x→a

f(x)g(x)

=A

B.

Poznámka 6.4. Vrátíme-li se k příkladu 6.4 b) a upravíme-li zadanou funkci, do-

staneme x3 − 3x2 + 5 = x3(

1− 3x+5x3

)

. Pak podle vět 6.8–6.10 a poznámky 6.3

je limx→∞(x3 − 3x2 + 5) = lim

x→∞x3(

1− 3x+5x3

)

=∞(1− 0 + 0) =∞.

Příklad 6.5. Vypočtěte limity

a) limx→1

x2 − 12x2 − x− 1, b) lim

x→∞

x2 − 12x2 − x− 1, c) lim

x→∞

(2x− 5)2 · (3x− 4)8(5x+ 10)10

.

Řešení. a) Z vět 6.8–6.10 a poznámky 6.3 vyplývá, že


limx→1(x2 − 1) = 0 a lim

x→1(2x2 − x− 1) = 0, Výraz 0

0ale není definován.

Zkusíme nejprve zadanou funkcix2 − 1

2x2 − x− 1 upravit.Vzhledem k tomu, že výrazy (x2 − 1) i (2x2 − x − 1) mají pro x = 1 hodnotu 0,měly by jít oba rozložit na součinový tvar (x − 1) · (...). Zpaměti, nebo vydělenímpolynomu polynomem, tedy rozložíme a upravíme

(x− 1)(x+ 1)(x− 1)(2x+ 1) =

(x+ 1)(2x+ 1)

.

Protože limx→1(x+1) = 2, lim

x→1(2x+1) = 3 a výraz

23je definován, získáváme výsledek

limx→1

x2 − 12x2 − x− 1 = limx→1

x+ 12x+ 1

=23.

b) Je zřejmé, že pokud bychom chtěli k výpočtu limity použít definici 6.3, věty

6.8–6.10 a poznámku 6.3 obdržíme neurčitý výraz∞

∞−∞ . Nejprve tedy zadanoufunkci upravíme. Při výpočtu limity funkce v nevlastním bodě zpravidla pomůževytknutí nejvyšší mocniny jak v čitateli, tak i ve jmenovateli.

limx→∞

x2 − 12x2 − x− 1 = limx→∞

x2(1− 1x2)

x2(2− 1x− 1

x2)= lim

x→∞

1− 1x2

2− 1x− 1

x2

=1− 02− 0− 0 =

12.

c) limx→∞

(2x− 5)2 · (3x− 4)8(5x+ 10)10

= limx→∞

x2(2− 5x)2 · x8(3− 4

x)8

x10(5 + 10x)10

= limx→∞

(2− 5x)2 · (3− 4

x)8

(5 + 10x)10

=

(2− 0)2 · (3− 0)8(5 + 0)10

=4 · 38510.

Příklad 6.6. Je dána racionální funkce

f : f(x) =anx

n + an−1xn−1 + an−2x

n−2 + ...+ a1x+ a0bmxm + bm−1xm−1 + bm−2xm−2 + ...+ b1x+ b0

,

kde n,m ∈ N a a0, a1, ..., an, b0, b1, ..., bm ∈ R. Určete hodnotu limity funkce f prox → ∞.Řešení. Racionální funkci jsme podrobně zkoumali v kapitole 2. Proveďme nynídiskusi nad limitou pro x → ∞. Fukci f úpravíme jako v příkladě 6.5b. Tedy

f : f(x) =xn(

an +an−1x+

an−2x2+ ...+

a1xn−1 +

a0xn

)

xm

(

bm +bm−1x+

bm−2x2+ ...+

b1xm−1 +

b0xm

) ,

a) pokud n = m pak

limx→∞

(

an +an−1x+

an−2x2+ ...+

a1xn−1 +

a0xn

)

(

bm +bm−1x+

bm−2x2+ ...+

b1xm−1 +

b0xm

) =an + 0 + ... + 0bm + 0 + ... + 0

=anbm

,

b) pokud n < m pak


limx→∞

(

an +an−1x+

an−2x2+ ...+

a1xn−1 +

a0xn

)

xm−n

(

bm +bm−1x+

bm−2x2+ ... +

b1xm−1 +

b0xm

) =an + 0 + ... + 0

∞(bm + 0 + ... + 0)= 0,

c) pokud n > m pak

limx→∞

xn−m(

an +an−1x+

an−2x2+ ...+

a0xn

)

(

bm +bm−1x+

bm−2x2+ ...+

b0xm

) =∞(an + 0 + ... + 0)bm + 0 + ... + 0

= sgn

(

anbm

)

· ∞.

V matematické analýze se nesetkáváme jen s funkcemi, které vzniknou aritmetic-kými operacemi z jiných funkcí, ale i s funkcemi složenými. Výpočet limity složenéfunkce nám umožňuje následující věta.

Věta 6.11. Věta o limitě složené funkceNechť f , g, h jsou funkce takové, že h : h(x) = f(g(x)), a, c, A ∈ R⋆.

1. Nechť existuje limx→a

g(x) = c.

2. Nechť (∃δ > 0)(x ∈ Pδ(a)⇒ g(x) 6= c).

3. Nechť existuje limx→c

f(x) = A.

Potom existuje limx→a

h(x) a je rovna A.

Výpočet limity složené funkce probíhá tedy tak, že nejdříve spočítáme hodnotulimity vnitřní funkce (tj. c), ověříme druhý předpoklad věty 6.11 a nakonec určímehodnotu limity vnější funkce v získaném bodě c.

Příklad 6.7. Vypočtěte limitu limx→∞

√

4x+ 2x− 7 .

Řešení. Zadaná funkce je funkce složená. Označíme ji podle věty 6.11 jako funkci h.

Vniřní funkce g(x) =4x+ 2x− 7 je lineární lomenná funkce a vnější funkce f(x) =

√x.

1. limx→∞

4x+ 2x− 7 = limx→∞

(4 +30

x− 7) = 4 + 0 = 4

2. Druhý předpoklad věty 6.11 je zřejmě splněn, neboť funkce g nenabývá hod-noty 4 v žádném bodě svého def. oboru.Tím spíše (∃δ > 0)(x ∈ Pδ(∞)⇒ g(x) 6= 4).

3. limx→4

√x =

√4 = 2.

A proto podle věty 6.11 je limx→∞

√

4x+ 2x− 7 = 2.

6.3 Spojitost funkce v bodě, na intervalu 71

6.3 Spojitost funkce v bodě, na intervalu

Jak již bylo v úvodu této kapitoly zmíněno, v druhé části se budeme zabývatspojitostí funkce a to jak v bodě (lokální vlastnost), tak i na intervalu (globálnívlastnost). Nejprve nadefinujeme, co znamená, že funkce je spojitá v některém boděsvého definičního oboru, uvedeme několik vlastností spojitých funkcí a pak prozkou-máme funkce spojité na intervalu, resp. na množině.

Definice 6.4. Nehcť f je funkce a a ∈ R. Říkáme, že funkce f je spojitá v bodě a,jestliže lim

x→af(x) = f(a). Říkáme, že funkce f je v bodě a spojitá zprava (resp.zleva),

jestliže limx→a+

f(x) = f(a) (resp. limx→a−

f(x) = f(a)).

Věta 6.12. Funkce f je v bodě a, a ∈ R spojitá právě tehdy, je-li v a spojitá zpravai zleva.

Věta 6.13. Nechť f , g jsou funkce, a ∈ R. Nechť funkce f a g jsou spojité v boděa. Potom funkce (f + g) i (f · g), jsou spojité v bodě a. Je-li navíc f(a) 6= 0, je ifunkce

1fspojitá v bodě a.

Poznámka 6.5. Na základě výše uvedené věty platí, že pokud jsou funkce f a gspojité v bodě a, potom i funkce (f − g) je spojitá v bodě a. Je-li f(a) 6= 0, je ifunkce

g

fspojitá v bodě a.

Věta 6.14. Věta o spojitosti složené funkceNechť f , g, h jsou funkce, h = g ◦ f , a ∈ R. Nechť funkce g je spojitá v bodě a afunkce f je spojitá v bodě g(a). Potom funkce h je spojitá v bodě a.

Definice 6.5. Říkáme, že funkce f je spojitá v intervalu I, je-li spojitá v každémvnitřním bodě intervalu I a spojitá zprava v počátečním bodě intervalu I a spojitázleva v koncovém intervalu I, pokud některý z bodů patří do intervalu I. Je-limnožina M sjednocením intervalů, potom říkáme, že funkce f je spojitá v množiněM , jestliže je spojitá v každém z daných intervalů.

Příklad 6.8. Určete ve kterých bodech je funkce f : f(x) =1xspojitá.

Řešení. Funkce f je spojitá v každém bodě svého definičního oboru D(f) = R−{0}.

Věta 6.15. Nechť f , g jsou funkce a a ∈ R. Nechť limx→a

g(x) = c a funkce f je spojitá

v bodě c. Pak platí, že limx→a

f(g(x)) = f(c).

V kapitole ?? jsem se zabývali monotonií funkce. Uvedli jsme si i některé vlast-nosti monotonních funkcí. V kapitole ?? jsme zase řešili otázku supréma a infimafunkce. A to kdy je funkce omezená shora resp. zdola. Využijeme-li těchto znalostí,můžeme zformulovat následující větu.


Věta 6.16. Věta o limitě monotonní funkceNechť a, b ∈ R⋆, a < b a f je monotonní funkce v intervalu (a, b). Potom existujílim

x→a+f(x), lim

x→b−f(x).

Speciálně

1. a) Je-li funkce f neklesající a shora omezená ⇒ limx→b−

f(x) = sup(a,b)

f(x).

b) Je-li funkce f neklesající a není shora omezená ⇒ limx→b−

f(x) =∞.c) Je-li funkce f neklesající a zdola omezená ⇒ lim

x→a+f(x) = inf

(a,b)f(x).

d) Je-li funkce f neklesající a není zdola omezená ⇒ limx→a+

f(x) = −∞.

2. a) Je-li funkce f nerostoucí a shora omezená ⇒ limx→a+

f(x) = sup(a,b)

f(x).

b) Je-li funkce f nerostoucí a není shora omezená ⇒ limx→a+

f(x) =∞.c) Je-li funkce f nerostoucí a je zdola omezená ⇒ lim

x→b−f(x) = inf

(a,b)f(x).

d) Je-li funkce f nerostoucí a není zdola omezená ⇒ limx→b−

f(x) = −∞.

Příklad 6.9. Určete limity funkce f : f(x) = ln x v krajních bodech definičníhooboru.Řešení. Definiční obor funkce f je interval (0,+∞). Přirozený logaritmus je funkceneklesající v celém def. oboru a není omezená ani shora ani zdola. Vzhledem k větě6.16, hodnoty limit jsou lim

x→0+ln x = −∞ a lim

x→∞ln x =∞.

Vlastnosti funkcí spojitých na intervalu

Věta 6.17. Weierstrassova větaNechť a, b ∈ R. Nechť funkce f je definovaná a spojitá v intervalu 〈a, b〉. Potom jefunkce f na tomto intervalu omezená a nabývá v něm svého maxima a minima.

Poznámka 6.6. Ukažme si na příkladech, že je velice podstatné, aby byly splněnyvšechny předpoklady Weierstrassovy věty. Jinak věta nemusí platit.

a) Funkce f(x) =1xje spojitá na intervalu (0, 2), ale není zde ohraničená (in-

terval (0, 2) není uzavřený).b) Funkce necelá část f(x) = x− [x] je na intervalu 〈0, 2〉 ohraničená, ale nenabývázde svého maxima (není splněn předpoklad spojitosti).

Věta 6.18. Darbouxova věta, nebo věta o nabývání mezihodnotNechť a, b ∈ R. Nechť funkce f je definovaná a spojitá v intervalu 〈a, b〉 a f(a) <f(b). Potom platí (∀d ∈ R)(f(a) < d < f(b))(∃c ∈ (a, b) takové, že f(c) = d).


Obr. 45: Znázornění Weierstrassovy věty

Věta 6.19. Nechť I je interval (libovolného typu). Nechť funkce f je definovaná aspojitá v I. Potom množina f(I) = {y, y ∈ R, ∃x ∈ I, y = f(x)} je opět intervalnebo jednoprvková množina. Množina f(I) je jednoprvková právě tehdy, když funkcef je konstantní v intervalu I.

Příklad 6.10. a) Je-li funkce f spojitá v I a není shora ani zdola omezená, potomf(I) = R.

b) Je-li funkce f spojitá v intervalu 〈a, b〉, potom f(I) =

⟨

min〈a,b〉

f(x),max〈a,b〉

f(x)

⟩

.

Poznámka 6.7. Všechny tzv. základní elementární funkce (tj. mnohočleny, expo-nenciální a logaritmické funkce, goniometrické a cyklometrické funkce, obecná moc-nina) a funkce, které znich vzniknou konečným počtem aritmetických operací, jsouspojité na svých definičních oborech.

6.4 Řešené příklady na limitu funkce 74

6.4 Řešené příklady na limitu funkce

Příklad 6.11. Vypočtěte limity.

a) limx→6

x− 6√x+ 3− 3, b) lim

x→1

(

1x− 1 −

3x3 − 1

)

, c) limx→3

√x+ 1− 2

2x2 − 5x− 3.

Řešení. a) Odstraníme odmocninu, zkrátíme a dostáváme:

limx→6

(

x− 6√x+ 3− 3 ·

√x+ 3 + 3√x+ 3 + 3

)

= limx→6

(x− 6)(√x+ 3 + 3)

x+ 3− 9 = limx→6

√x+ 3 + 31

= 6.

b) Převedeme na společný jmenovatel, upravíme a vypočteme:

limx→1

(

1x− 1 −

3x3 − 1

)

= limx→1

x2 + x+ 1− 3x3 − 1 = lim

x→1

x2 + x− 2x3 − 1 =

= limx→1

(x− 1)(x+ 2)(x− 1)(x2 + x+ 1)

= limx→1

x+ 2x2 + x+ 1

= 1.

c) Odstraníme odmocninu, jmenovatel rozložíme na součin a dostáváme:

limx→3

√x+ 1− 2

2x2 − 5x− 3 = limx→3

√x+ 1− 2

2x2 − 5x− 3 ·√x+ 1 + 2√x+ 1 + 2

=

= limx→3

x+ 1− 4(x− 3)(2x+ 1)(

√x+ 1 + 2)

= limx→3

1

(2x+ 1)(√x+ 1 + 2)

=128

.

Příklad 6.12. Vypočtěte limity.

a) limx→∞(√x2 + x−√

x), b) limx→∞(√x2 + x− x).

Řešení. V obou případech máme neurčitý výraz typu „∞−∞”. Použijeme úpravu,jako v příkladě 6.5b (str.68) a dostáváme.

a) limx→∞(√x2 + x−√

x) = limx→∞

x(√

1 + 1x− 1√

x) =∞ · 1 =∞.

b) limx→∞(√x2 + x− x) = lim

x→∞x(√

1 + 1x− 1) =∞ · 0 =???.

Obdrželi jsme neurčitý výraz, zkusíme funkci ještě upravit, odstraníme odmocninu.

limx→∞

x(√

1 + 1x− 1) ·

√

1 + 1x+ 1

√

1 + 1x+ 1= lim

x→∞x · (1 +

1x− 1)

√

1 + 1x+ 1= lim

x→∞

1√

1 + 1x+ 1=12.

6.5 Cvičení 75

6.5 Cvičení

1. Vypočtěte následující limity.

a) limx→1

x2 + 7x− 8x2 + 6x− 7 b) lim

x→0

(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x)x

c) limx→−2

x2 − x− 6x3 + 3x2 + 2x

d) limx→1

x2 + 7x+ 8x2 + 6x− 7

e) limx→1

x3 − 3x+ 2x4 − 4x+ 3 f) lim

x→√3

x4 + x2 − 12x4 − 2x2 − 3

2. Určete hodnoty limit ve vlastních bodech.

a) limx→0

√1 + x−

√1− x

xb) lim

x→3

√x+ 13− 2

√x+ 1

x2 − 9c) lim

x→3

√x+ 1−

√2x− 2

x− 3 d) limx→1

x2 − 1√x− 1

e) limx→2

√3x− 2− 2

√x− 1√

2x− 2f∗) lim

x→1

x− 11− 3

√x

3. Vypočtěte limity v nevlastních bodech.

a) limx→∞

x4 + 2x+ 1004x2 + x+ 5

b) limx→−∞

4x3 − 5x2 + 6x− 85x3 − 4

c) limx→∞

4x3 − 5x2 + 6x− 85x6 − 2x2 + 3 d) lim

x→∞

(x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4)(x− 5)(5x− 1)5

e) limx→∞

(5x+ 4)8(3x− 10)3(7x− 1)11 f) lim

x→−∞

(5x+ 4)8(3x− 10)3(7x− 1)10

4. Vypočtěte:

a) limx→∞(√x2 + 1−

√x2 − 1) b) lim

x→∞(√x2 + 1−

√2x2 − 1)

c) limx→∞

3√2x3 + x− 1−√

x

xd) lim

x→∞

5√2x3 + x− 1− 5

√x√

x− x

5. Určete hodnotu limity funkce v závislosti na parametru k, kde k ∈ R.

limx→∞

(2x− 3)20(3x2 + 2)k(2x+ 1)30

.

6. Funkci f dodefinujte v zadaném bodě tak, aby byla spojitá v celém R.

a) f : f(x) =x2 − 4x− 2 v bodě 2, b) f : f(x) =

x2 − 1x3 − 1 v bodě 1.

7. Určete definiční obor funkce g a vypočítejte limity v nevlastních bodech. Vy-počítejte jednostranné limity v bodech nespojitosti.

a) g : g(x) =x2 − 1

x2 + x− 6 b) g : g(x) =5− 2x2

x2 − 4x+ 3.

76

7 Derivace funkce

Spolu s pojmy limita a spojitost funkce patří i derivace funkce mezi základnípojmy diferenciálního počtu. Nejprve si přiblížíme pojem derivace z fyzikálního ageometrického hlediska. Poté uvedeme důležité věty o derivaci funkce a její využitívzhledem k vlastnostem funkce.

7.1 Fyzikální a gometrická interpretace derivace

Fyzikální interpretace derivace

Nechť je známá závislost dráhy daného pohybu na čase v =s

t. Potom

s(t)− s(t0)t− t0

udává průměrnou rychlost tohoto pohybu v časovém intervalu 〈t0, t〉.A lim

t→t0

s(t)− s(t0)t− t0

udává okamžitou rychlost v čase t = t0.

Geometrická interpretace derivace

Jestliže vyšetřujeme graf funkce f , udává výrazf(x)− f(a)

x− asměrnici přímky pro-

cházející body [x, f(x)] a [a, f(a)], tzn. sečny grafu fukce f . Pokud se x blíží k bodu

a, tj. limx→a

f(x)− f(a)x− a

, směrnice sečny přejde ve směrnici tečny k funkci f v bodě

[a, f(a)].

Obr. 46: Geometrický význam derivace funkce

Definice 7.1. Nechť f je funkce a a ∈ D(f). Říkáme, že funkce f má v bodě a

derivaci, jestliže existuje limx→a

f(x)− f(a)x− a

.

7.1 Fyzikální a gometrická interpretace derivace 77

Značíme f ′(a). Hodnotu f ′(a) nazýváme derivací funkce f v bodě a.Je-li f ′(a) ∈ R, mluvíme o vlastní derivaci funkce f .Je-li f ′(a) = ±∞, mluvíme o nevlastní derivaci funkce f .

Poznámka 7.1. Nahradíme-li ve výše uvedené definici limitu limitou zprava (resp.zleva)mluvíme o derivaci zprava, značíme f ′

+(a) (resp. derivaci zleva, značíme f′−(a)).

Definice 7.2. Množina všech a ∈ D(f), pro které existuje vlastní derivace f ′(a),tvoří definiční obor funkce nazývané derivace funkce f , tj.D(f ′) = {x ∈ D(f) : existujef ′(x) ∈ R} ⊆ D(f).

Podobně jako u limity funkce i u derivace funkce uvedeme větu o vztahu jedno-stranných derivací a oboustrané derivace funkce.

Věta 7.1. Nechť f je funkce, a ∈ R. Funkce f má v bodě a derivaci f ′(a) právětehdy, má-li v bodě a derivaci zprava f ′

+(a) a derivaci zleva f′−(a) a platí f

′+(a) =

f ′−(a). Potom je f

′(a) = f ′+(a) = f ′

−(a).

Příklad 7.1. Podle definice derivace funkce určete derivaci zadané funkce f v boděa ∈ R.a) f : f(x) = c, kde c ∈ R, b) f : f(x) = x, c) f : f(x) = xn, kde n ∈ N.

Řešení. a) f ′(a) = limx→a

f(x)− f(a)x− a

= limx→a

c− c

x− a= 0,

b) f ′(a) = limx→a

f(x)− f(a)x− a

= limx→a

x− a

x− a= 1,

c) f ′(a) = limx→a

f(x)− f(a)x− a

= limx→a

xn − an

x− a=

= limx→a

(x− a)(xn−1 + xn−2a+ ... + xan−2 + an−1)x− a

= n · an−1.

Poznámka 7.2. Výsledky předchozího příkladu můžeme zapsat:a) (c)′ = 0 b) (x)′ = 1 c) (xn)′ = n · xn−1 pro n ∈ N, x ∈ R.

Příklad 7.2. Podle věty 7.1 rozhodněte, zda má funkce f(x) = |x| derivaci v boděa = 0. Jestliže ano, hodnotu derivace určete.

Řešení. Vzhledem k definici funkce absolutní hodnota čísla zkusíme určit jedno-stranné derivace.

f ′+(0) = lim

x→0+

|x|x= lim

x→0+

x

x= 1, f ′

−(0) = limx→0−

|x|x= lim

x→0−

−x

x= −1.

Protože jednostranné derivace zadané funkce jsou různé, derivace funce f(x) = |x|v bodě 0 neexistuje.

7.2 Věty o derivaci 78

7.2 Věty o derivaci

V této kapitole uvedeme několik vět o derivaci funkce v bodě. Důkazy těchtovět nebudeme zmiňovat. Zvídavý čtenář si je může dohledat např. v literatuře [4].Ke každé větě uvedeme řešený příklad.

Věta 7.2. Nechť f je funkce, a ∈ R. Nechť existuje vlastní derivace f ′(a). Potomje funkce f v bodě a spojitá.

Důkaz. Předpokládejme, že existuje vlastní derivace funkce f v bodě a, tj.

f ′(a) = limx→a

f(x)− f(a)x− a

= A ∈ R a máme dokázat, že limx→a

f(x) = f(a).

Tedy limx→a

f(x) = limx→a(f(x)− f(a) + f(a)) = lim

x→a

(

f(x)− f(a)x− a

(x− a) + f(a))

=

= A · 0 + f(a) = f(a).�

Poznámka 7.3. 1. Obrácená věta neplatí: Ze spojitosti v daném bodě neplyneexistence derivace. Např. funkce absolutní hodnota je v bodě 0 spojitá, ale derivacetéto funkce v bodě 0 neexistuje (viz příklad 7.2).

2. Neméně důležitý je i předpoklad existence vlastní derivace. Kdyby f ′(a) = ∞nebo f ′(a) = −∞, tak funkce nemusí být spojitá. Např. znaménková funkce sgn (x)má v bodě x = 0 nevlastní derivaci ∞, neboťf ′+(0) = lim

x→0+sgn x− 0x− 0 =

1+0= +∞, f ′

−(0) = limx→0−

sgn x− 0x− 0 =

−1−0 = +∞,

ale spojitá v bodě 0 není, viz obr. 3 str. 10.

Věta 7.3. Věta o derivaci součtu, součinu a převrácené hodnotyNechť f, g jsou funkce, a ∈ R. Nechť existují vlastní derivace funkce f, g v bodě a.Potom

1. existuje (f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a),

2. existuje (f · g)′(a) = f(a) · g′(a) + f ′(a) · g(a),

3. je-li navíc g′(a) 6= 0 existuje(

1g

)′(a) = − g′(a)

g2(a).

Poznámka 7.4. Na základě výše uvedené věty 7.3 platí:nechť f, g jsou funkce, a ∈ R. Nechť existují derivace funkce f, g v bodě a. Potom

je-li g′(a) 6= 0 existuje(

f

g

)′(a) =

f ′(a) · g(a)− f(a) · g′(a)g2(a)

.

Dále platí (c · f)′(a) = c · f ′(a), kde c ∈ R.

Nyní si ukážeme, jak při výpočtu derivace funkce můžeme využit větu 7.3, po-známku 7.2 a 7.4.


Příklad 7.3. Vypočtěte derivace těchto funkcí:

a) f : f(x) = 3 · x5 + 4 · x3 + 101, b) f : f(x) =2x5 − 5x2 + 6

x3 − 2 .

Řešení. a) f ′(x) = 3 · (x5)′ + 4 · (x3)′ + (101)′. Vzhledem k poznámce 7.2 pak dostá-váme: f ′(x) = 3 · 5x4 + 4 · 3x2 + 0 = 15x4 + 12x2 pro x ∈ R.

b) Použijeme pravidlo pro derivaci podílu (viz poznámka 7.4) a upravíme:

f ′(x) =(2x5 − 5x2 + 6)′ · (x3 − 2)− (2x5 − 5x2 + 6) · (x3 − 2)′

(x3 − 2)2 =

=(10x4 − 10x) · (x3 − 2)− (2x5 − 5x2 + 6) · (3x2)

(x3 − 2)2 =4x7 − 15x4 − 18x2 + 20x

(x3 − 2)

pro x ∈ R− { 3√2}.

Věta 7.4. Věta o derivaci složené funkceNechť f, g, h jsou funkce, a ∈ R a h = g ◦ f . Nechť existuje vlastní derivace funkceg v bodě a a funkce f v bodě g(a). Potom existuje vlastní derivace funkce h v boděa, přičemž h′(a) = (g ◦ f)′(a) = f ′(g(a)) · g(a).Příklad 7.4. Najděte derivace funkcía) h : h(x) = (2x8 + x6 + 10)10 b) h : h(x) = 3

√x3 − x2.

Řešení. a) Vidíme, že funkce h je složená funkce. Označme funkce f a g, jejichžsložením funkce h vznikla, v souladu s větou 7.4. Tedy f : f(x) = x10 a g : g(x) =2x8 + x6 + 10. Pak derivace f ′(x) = 10x9 a g′(x) = 16x7 + 6x5. Derivace složenéfunkce h je h′(x) = 10(2x8 + x6 + 10)9 · (16x7 + 6x5) pro x ∈ R.

b) Jako v případě a) označme funkce f, g. Máme f : f(x) = 3√x a g : g(x) = x3−x2.

Derivace f ′(x) =1

3 3√x2a g′(x) = 3x2 − 2x. Pak h′(x) =

1

3 3√

(x3 − x2)2· (3x2 − 2x)

pro x ∈ R− {0, 1}. Navíc f ′(0) neexistuje, neboť

f ′+(0) = lim

x→0+

3√x3 − x2 − 0x− 0 = lim

x→0+3

√

1− 1x= 3√

1− (∞) = −∞,

f ′−(0) = lim

x→0−

3√x3 − x2 − 0x− 0 = lim

x→0−3

√

1− 1x= 3√

1− (−∞) =∞.

Zbývá dořešit f ′(1), tj. podle definice 7.1 je f ′(1) = limx→1

3√x3 − x2 − 0x− 1 .

Úpravami a s využitím vět 6.10 a 6.11 dostáváme

f ′(1) = limx→1

3√x3 − x2

x− 1 = limx→1

3

√

x2(x− 1)(x− 1)3 = limx→1

3

√

x2

(x− 1)2 =3

√

10+=∞.

Funce h je znázorněna na obr. 47.

Následující věta nám dává návod, jak zjistit body, ve kterých by mohla funkcespojitá na uzavřeném intervalu mít extrém. Na příkladě za větou pak ukážeme, jakprakticky body extrému najít.


Obr. 47: Graf funkce h Obr. 48: Graf funkce f

Věta 7.5. Nechť a, b ∈ R a f je funkce. Nechť f je spojitá na intervalu 〈a, b〉.Potom funkce f nabývá svého minima (resp. maxima) v bodě c ∈ 〈a, b〉, pro kterýplatí některá z podmínek

1. c = a nebo c = b,

2. c ∈ (a, b) ∧ f ′(c) neexistuje,

3. c ∈ (a, b) ∧ f ′(c) = 0.

Příklad 7.5. Najděte globální maximum a minimum funkce f : f(x) = x4−4x2+16na intervalu 〈−1, 2〉.Řešení. Podle věty 7.5 jsou body podezřelé z extrému krajní body zadaného intervalu(tj. x1 = −1 a x2 = 2) a také body, kde derivace funkce f buď neexistuje nebo jerovna 0. Body, kde by derivace funkce neexistovala nejsou. Derivace funkce f jef ′(x) = 4x3 − 8x pro x ∈ R. Položíme-li derivaci rovnu 0, dostáváme 4x(x2 − 2) =0 ⇔ x = 0 ∨ x = ±

√2. Všechny body z intervalu 〈−1, 2〉, kde funkce f tedy může

mít extrém jsou x1 = −1, x2 = 0, x3 =√2, x4 = 2. Nyní už stačí jen vypočítat v

každém z těchto bodů hodnotu funkce f a vybrat největší a nejmenší z nich. Protožef(−1) = 13, f(0) = 16, f(

√2) = 12 a f(2) = 16, nabývá funkce f svého ostrého

minima v bodě√2 a svého neostrého maxima v bodech 0 a 2, viz obr. 48.

Věta 7.6. Věta o derivaci inverzní funkceNechť f je spojitá a ryze monotónní na intervalu I, x0 ∈ I je vnitřní bod. Jestližeexistuje derivace inverzní funkce g v bodě y0 = f(x0), potom existuje derivace funkcef v bodě x0 (ozn. f ′(x0)) a navíc platí

1. je-li g′(y0) 6= 0 (včetně ±∞), pak f ′(x0) =1

g′(y0),

2. je-li g′(y0) = 0 a funkce f je rostoucí v intervalu I, pak f ′(x0) =∞,

3. je-li g′(y0) = 0 a funkce f je klesající v intervalu I, pak f ′(x0) = −∞.

7.3 Věty o střední hodnotě 81

Příklad 7.6. Najděte derivaci funkce f : f(x) = 3√x.

Řešení. Tato funkce je spojitá a rostoucí v R. Je inverzní k funkci g : g(x) = x3.Funkce g má derivaci v libovolném bodě D(g) = R.

Potom, podle věty 7.6 f ′(x) =1(y3)

=13y2, kde y = 3

√x pak f ′(x) =

1

3 3√x2pro

x 6= 0. Pokud x = 0, potom g′(x) = 0, funkce f je rostoucí, pak f ′(0) =∞.Skutečnost, že f ′(0) = ∞ vyjadřuje, že tečna ke grafu funkce f v bodě 0 by mělasvislý směr, funkce f se tedy přimyká k ose y, viz obr. 49.

Obr. 49: Graf funkce f : f(x) = 3√x

7.3 Věty o střední hodnotě

Nejprve uvedeme postačující podmínku monotonie v bodě a pak zmíníme tři tzv.věty o střední hodnotě. Jsou to věty 7.8–7.10.

Věta 7.7. Postačující podmínka monotonie v boděNechť f je funkce, a ∈ R, nechť existuje f ′(a) a je f ′(a) > 0 (včetně f ′(a) = ∞).Potom je funkce f rostoucí v bodě a.Analogicky nechť f je funkce, a ∈ R, nechť existuje f ′(a) a je f ′(a) < 0 (včetněf ′(a) = −∞). Potom je funkce f klesající v bodě a.

Věta 7.8. Rolleova větaNechť f je funkce, a, b ∈ R. Nechť platí

1. funkce f je spojitá v 〈a, b〉,

2. pro každé x ∈ (a, b) existuje derivace f ′(x) (vlastní nebo nevlastní),

3. f(a) = f(b) = 0.

Pak existuje c ∈ (a, b) takové, že f ′(c) = 0.

7.3 Věty o střední hodnotě 82

Důkaz. Je-li funkce f na intervalu 〈a, b〉 konstantní rovna 0 pak c ∈ (a, b) libovolné.Nechť tedy existuje x0 ∈ (a, b) tak, že f(x0) 6= 0. Předpokládejme, že f(x0) > 0.Podle Weierstrassovy věty (viz str. 72) je na intervalu 〈a, b〉 zaručena existenceabsolutního maxima. Existuje tedy c ∈ 〈a, b〉 v němž má funkce f maximum. Protožef(c) ≥ f(x0) > 0, je c ∈ (a, b). Vzhledem k větě 7.7 nemůže být f ′(c) > 0 anif ′(c) < 0. Díky předpokladu 2 Rolleovy věty musí být f ′(c) = 0.

�

Věta 7.9. Lagrangeova větaNechť f je funkce, a, b ∈ R. Nechť platí

1. funkce f je spojitá v 〈a, b〉,

2. pro každé x ∈ (a, b) existuje derivace f ′(x) (vlastní nebo nevlastní).

Potom existuje c, c ∈ (a, b) takové, že f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a.

Důkaz. Body [a, f(a)] a [b, f(b)] proložíme lineární funkci g. Její předpis je g : g(x) =f(b)− f(a)

b− a(x− a)+ f(a). Potom funkce ϕ : ϕ(x) = f(x)− g(x) je spojitá na 〈a, b〉,

má derivaci ϕ′(x) = f ′(x) − f(b)− f(a)b− a

v každém bodě intervalu (a, b) a platí

ϕ(a) = ϕ(b) = 0. Vidíme, že funkce ϕ splňuje předpoklady Rolleovy věty. Existuje

tedy c ∈ (a, b), v němž ϕ′(c) = 0. Tj. f ′(c)− f(b)− f(a)b− a

= 0 odtud již tvrzení přímo

plyne.�

Obr. 50: Rolleova věta Obr. 51: Lagrangeova věta

Poznámka 7.5. Z geometrického hlediska nám Rolleova věta říká, že existuje alspoňjeden vnitřní bod intervalu 〈a, b〉, vněmž je tečna ke grafu funkce f rovnoběžná sosou x. Lagrangeova věta zobecňuje větu Rolleovu a říká, že existuje alespoň jeden

7.4 L’Hospitalovo pravidlo a derivace n-tého řádu 83

vnitřní bod intervalu 〈a, b〉, vněmž je tečna ke grafu funkce f rovnoběžná s přímkouproloženou body [a, f(a)] a [b, f(b)]. Tyto skutečnosti jsou znázorněny na obrázcích50 a 51.

Věta 7.10. Cauchyova větaNechť f a g jsou funkce, a, b ∈ R. Nechť platí

1. funkce f a g jsou spojité v 〈a, b〉,

2. pro každé x ∈ (a, b) existuje derivace f ′(x) (vlastní nebo nevlastní),

3. pro každé x ∈ (a, b) existuje vlastní derivace g′(x) 6= 0.

Potom existuje c, c ∈ (a, b) takové, že f ′(c)g′(c)

=f(b)− f(a)g(b)− g(a)

.

Důkaz. Důkaz Cauchyovy věty je analogický jako důkaz věty Lagrangeovy. Tentokrátfunkce ϕ je ϕ : ϕ(x) = [g(b) − g(a)][f(x)− f(a)] − [f(b)− f(a)][g(x) − g(a)]. Tatopomocná funkce opět splňuje předpoklady Rolleovy věty. Existuje tedy c ∈ (a, b), vněmž ϕ′(c) = 0. Odtud již tvrzení přímo plyne.

�

7.4 L’Hospitalovo pravidlo a derivace n-tého řádu

V kapitole 6 jsme se seznámili s limitou funkce. Uvedli jsme si několik tvrzení,která využíváme při výpočtech. V kapitole 7 se zase zabýváme derivací funkce. Protoaž nyní uvedeme pravidlo, které je velmi silným nástrojem k výpočtu limit, ale kekterému je též zapotřebí znát i derivaci funkce.

Věta 7.11. L’Hospitalovo pravidlo

Nechť f a g jsou funkce, a ∈ R⋆. Nechť existuje limx→a

f ′(x)g′(x)

a nechť je splněna jedna

z následujících podmínek

1. limx→a

f(x) = limx→a

g(x) = 0,

2. limx→a

g(x) = ±∞.

Potom existuje limx→a

f(x)g(x)

a platí limx→a

f(x)g(x)

= limx→a

f ′(x)g′(x)

.

Tato věta platí i pro jednostranné limity. Důkaz věty 7.11 se se opírá o výšeuvedenou Cauchyovu větu.

Příklad 7.7. Vypočtěte limitu limx→2

x2 − 5x+ 6x2 − 3x+ 2.

Řešení. Limitu spočítáme pomocí L’Hospitalova pravidla. Máme zde splněnu pod-mínku 1. věty 7.11, takže

limx→2

x2 − 5x+ 6x2 − 3x+ 2 = , ,

00” = (L′H) = lim

x→2

2x− 52x− 3 =

−11= −1.

7.4 L’Hospitalovo pravidlo a derivace n-tého řádu 84

Více příkladů na užití L’Hospitalova pravidla uvádíme v závěru kapitoly 8.

Všiměme si, že L’Hospitalovo pravidlo využíváme na neurčité výrazy typu „00”

nebo „∞∞”. Můžeme je aplikovat ale i na výrazy „0 · ∞,∞−∞, 00,∞0, 1∞”, které

vhodnou úpravou převedeme na jeden z výrazů „00,∞∞”. Např. typ „0 · ∞”, tj.

limx→a

f(x) = 0, limx→a

g(x) = ∞. Pak limx→a

f(x)g(x) = limx→a

f(x)1

g(x)

, což je typ „00”. Neur-

čité výrazy exponenciálního typu „00,∞0, 1∞” nejprve upravíme (viz př. 8.6 d str.102) a vzhledem ke spojitosti funkce ex použijeme L’Hospitalovo pravidlo na limituexponentu.

Věta 7.12. Důsledek L’Hospitalova pravidlaNechť f je funkce, a ∈ R. Nechť funkce f je spojitá v bodě a a nechť existujelimx→a

f ′(x). Potom existuje f ′(a) a platí f ′(a) = limx→a

f ′(x).

Důkaz. Funkce f je spojitá, tj. limx→a

f(x) = f(a). Derivace f ′(a) = limx→a

f(x)− f(a)x− a

=

, ,00” = (podleL′H) = lim

x→a

f ′(x)1= lim

x→af ′(x).

�

Příklad 7.8. Určete derivaci funkce f : f(x) = 5√x.

Řešení. Derivace f ′(x) =15x− 4

5 =1

5 5√x4pro x 6= 0. V případě x = 0 použijeme

větu 7.12, pak f ′(0) = limx→0

1

5 5√x4=10+=∞.

Všimněme si, že první derivace f ′ je opět reálnou funkcí jedné reálné proměnné.Nabízí se tak otázka, jak vypadá derivace už zderivované funkce v nějakém boděa. Pokud tato derivace existuje nazýváme jí druhou derivací funkce f v bodě a aznačíme jí f ′′(a). Tuto myšlenku můžeme opakovat a tak se dostáváme k derivacivyšších řádů.

Definice 7.3. Nechť f je funkce, a ∈ R a n ≥ 1, n ∈ N. n-tou derivaci funkce f vbodě a označíme f (n)(a) a definujeme takto:

1. f (0)(a) = f(a),

2. f (n)(a) = (f (n−1))′(a).

Definice 7.4. Derivace n-tého řádu f (n)(x) je určena :

1. D(f (n)) = {x ∈ R, existuje vlastnf (n)(x)},

2. f (n)(x) = (f (n−1))′(x).

7.5 Cvičení 85

Příklad 7.9. Najděte pátou a n-tou derivaci funkce f : f(x) =1x.

Řešení. Pro každé x ∈ R− {0} platí: f ′(x) = − 1x2, f ′′(x) =

2x3, f ′′′(x) = − 6

x4,

f ′′′′(x) = f (4) =24x5, f ′′′′′(x) = f (5) = −120

x6, . . . , f (n) = (−1)n n!

xn+1.

7.5 Cvičení

1. Pomocí definice derivace funkce určete hodnotu první derivace funkce v danémbodě a.

a) f : f(x) = x2, a = 5 b) f : f(x) =1x, a = 2

2. Derivujte a upravte.

a)f : f(x) =x3

3+

x2

2− 2x b)f : f(x) =

1x+2x2+3x3

c)f : f(x) =1 + x− x2

1− x+ x2d)f : f(x) =

√1 + x2

e)f : f(x) = x · 3√x2 − 5 f∗)f : f(x) = (2− xn)3, kde n ∈ R

3. Vypočítejte derivaci funkce f a určete D(f) a D(f ′).

a)f : f(x) =√3 + x2 b)f : f(x) =

x− 3√x2 + 1

c)f : f(x) =√x− 5 d)f : f(x) =

√

x+√

x+√x

4. Určete rovnici tečny ke grafu funkce f v bodě dotyku [x0, ?].

a)f : f(x) = 3√x2 − x, x0 = 1 b)f : f(x) =

x2 − 1(x+ 3)2

, x0 = 1

c)f : f(x) = 2x3 + 1, x0 = 0 d)f : f(x) =1

x2 + 1, x0 = 1

5. Určete rovnici tečny ke grafu funkce f : f(x) = (x − 2)5 − 4, která je rovno-běžná s přímkou y = 5x− 3.

6. Určete rovnici tečny ke grafu funkce f : f(x) =1

2√3x2 −

√3x + 5, která svírá s

osou x úhel 60◦.

86

8 Elementární funkce

V této kapitole zavedeme základní elementární funkce - logaritmické, exponen-ciální, goniometrické, cyklometrické funkce a obecnou mocninu. Mezi elementárnífunkce řadíme i polynomy a funkce racionální. Těm jsme se podrobně věnovali už vkapitole 2 (viz str. 19).

8.1 Funkce logaritmická, exponenciální a obecná mocnina

Zavedení funce logaritmické a exponenciální je velmi problematické, neboť nelzearitmetickými operacemi zevést mocniny s iracionálním exponentem. Můžeme po-stupovat různými způsoby. Podíváme-li se do odborné literatury, taky tomu tak je.Např. funkci logaritmickou můžeme definovat jako primitivní funkci k funkci f.rac1xa pak jako inverzní funkci zavést funkci exponenciální. Tento postup však vyžadujeznalosti integrálního počtu. Proto nyní zavedeme logaritmickou funkci existenčnívětou a funkci exponenciální jako funkci k ní inverzní. Funkci obecnou mocninu pakdefinujeme jak pomocí funkce logaritmické tak i funkce exponenciální.

Věta 8.1. Existuje právě jedna funkce zvaná přirozený logaritmus (značíme ln) stěmito vlastnostmi:

1. D(ln) = (0,∞),

2. (∀x, y ∈ D(ln)) : ln(x · y) = ln x+ ln y,

3. limx→0

ln(x+ 1)x

= 1.

Poznámka 8.1. Vlastnost 3 ve větě 8.1 neznamená nic jiného než, že derivacefunkce ln má bodě x = 0 hodnotu 1 (ozn. (ln)′x=0 = 1).

Věta 8.2. Funkce přirozený logaritmus má tyto další vlastnosti. Pro ∀x, y ∈ (0,∞),∀k ∈ Z platí:

1. ln 1 = 0,

2. lnx

y= ln x− ln y,

3. ln xk = k · lnx,

4. existuje vlastní derivace v libovolném bodě D(ln): (ln)′ =1x,

5. funkce přirozený logaritmus je spojitá a rostoucí v (0,∞),

6. ln x < 0 ⇔ x ∈ (0, 1), ln x > 0 ⇔ x ∈ (1,∞),

7. limx→∞ln x =∞, lim

x→0+ln x = −∞,

8.1 Funkce logaritmická, exponenciální a obecná mocnina 87

8. H(ln) = R.

Důkaz.1. Použijeme vlastnost 2 z věty 8.1. Píšeme ln 1 = ln(1 · 1) = ln 1 + ln 1 = 2 ln 1,dostáváme ln 1 = 2 ln 1 ⇒ ln 1 = 0.2. Platí x =

x

y· y, podle vlastnosti 2 8.1 tedy lnx = ln x

yy = ln

x

y+ ln y, odkud

lnx

y= ln x− ln y.

3. Důkaz vlastnosti 3 provedeme matematickou indukcí pro k ∈ N. V případě, žek ∈ Z− platí −k ∈ N.I. k = 1 ⇒ lnx = 1 · ln xII. k → k + 1 ⇒ ln xk+1 = ln xk + ln x = k ln x+ ln x = (k + 1) ln x.4. Podle definice derivace funkce, s využitím vlastnosti 2 věty 8.2, vlastnosti 3 věty8.1 a věty o limitě složené funkce (viz str. 70) dostáváme

(ln x)′ = limx→c

lnx− ln cx− c

= limx→c

lnx

c

c ·(x

c− 1) =

1c.

5. Z již dokázané vlastnosti 4 této věty vidíme, že existuje pro ∀x ∈ (0,∞) vlastníderivace, navíc (ln)′ > 0. Pak fukce ln je spojitá a rostoucí v (0,∞).6. Z vlastnosti 1 a 5 této věty přímo plyne vlatnost 6.7. Funkce ln je rostoucí a není omezená shora ani zdola (důkaz bychom provedlisporem) v intervalu (0,∞) . Podle věty o limitě monotónní funkce (viz str. 72) platítato vlastnost 7.8. Funkce ln je spojitá v (0,∞), tudíž zobrazuje tento interval na interval. Vzhledemk tomu, že funkce ln není v (0,∞) omezená, je H(ln) = R.

�

Funkce přirozený logaritmus je znázorněna na obrázku 52.

Obr. 52: Přirozený logaritmus

Nyní zavedeme funkci exponenciální, jako funkci inverzní k funkci přirozený lo-garitmus.


Věta 8.3. Funkce ln je v (0,∞) rostoucí a spojitá a zobrazuje tento interval na R. Kfunkci ln tedy existuje funkce inverzní (nazývaná exponenciála), značíme exp(x) =ex s těmito vlastnostmi:

1. D(ex) = R, H(ex) = (0,∞),

2. funkce ex je spojitá a rostoucí v R,

3. funkce ex má v R inverzní funkci ln, tj.: (∀x ∈ R)y = ex ⇔ ∀y ∈ (,∞) : x =ln y,

4. pro (∀x ∈ R) existuje vlastní derivace: (ex)′ = ex,

5. e0 = 1, e1 = e,

6. (∀x, y ∈ R) : ex+y = ex · ey,

7. (∀x ∈ R)(∀k ∈ Z) : (ex)k = ekx,

8. (∀x ∈ R) : e−x =1ex,

9. limx→∞ex =∞, lim

x→−∞ex = 0.

Číslo e, je tzv. Eulerova konstanta. Je to hodnota limity posloupnosti(

1 + 1n

)n

viz např. [9] str. 42. Lze o ní dokázat, že je to číslo iracionální viz např. [11] str. 89.

Představu o funkci exponenciální si můžeme udělat z jejího grafu (viz obr. 53).Víme, že funkce inverní k libovolné prosté funkci má graf souměrný s touto funkcípodle osy I. a III. kvadrantu (tj. přímky y = x).

Obr. 53: Exponenciála

Důkaz. Vlastnost 1.-3. plyne z věty o inverzní funkci.

4. Podle věty o derivaci inverzní funkce platí: (ex) =1

(ln y)′=11y

= y = ex (neboť


ex = y ⇔ x = lny).5. Z vlastnosti 3 přímo plyne: e0 = 1⇔ ln 1 = 0; e1 = e⇔ ln e = 1.6. Položme ex = X, tj. x = lnX, ey = Y , tj. y = lnY . Potom lnXY = lnX+ lnY =x+ y. Podle bodu 3. platí XY = e(x+y), tj. ex.ey = ex+y.7. Položme ex = X, tj. x = lnX. Potom lnXk = k lnX = kx. Podle bodu 3. platíXk = ekx, tj. (ex)k = ekx.8. Platí x+ (−x) = 0, tj. e0 = 1 = e(x+(−x)) = ex · e−x.9. Funkce exponenciální je rostoucí v R, H(exp) = (0,∞), není shora omezená, pakpodle věty o limitě monotónní funkce (str. 72) platí lim

x→∞ex =∞.

Dále limx→−∞

ex = limx→∞e−y = lim

x→∞

1ey=1∞ = 0.

�

Exponenciélní funkce, jejímž základem je Eulerova konstanta a kterou jsme za-vedli jako inverzní funkci k funkci přirozený logaritmus není jedinou exponenciálnífunkcí. Podívejme se na exponenciální funkce s jiným číselným základem.

Definice 8.1. Definice: Nechť a ∈ (0,∞), a 6= 1. Funkci f , pro kterou platí f : x →ax = ex·ln a nazýváme obecná exponenciála.

Věta 8.4. Funkce obecná exponenciála má tyto vlastnosti:

1. D(f) = R,

2. pro ∀x ∈ R existuje vlastní derivace: (ax)′ = ax ln a,

3. je spojitá v R,

4. pro a > 1 je rostoucí v R a pro 0 < a < 1 je klesající v R,

5. pro a > 1 je limx→∞

ax = ∞, limx→−∞

ax = 0 a pro 0 < a < 1 je limx→∞

ax = 0,

limx→−∞

ax =∞,

6. H(f) = (0,∞).

Důkaz věty 8.4 plyne z definice 8.1 a vlastností exponenciální funkce. Grafy jsouznázorněny na obrázku 54.

Věta 8.5. Nechť a ∈ (0,∞), a 6= 1. Funkce f : x → ax je spojitá a ryze monotónní vR a zobrazuje R na (0,∞). Existuje k ní v R tedy funkce inverzní, kterou nazývámeobecný logaritmus (logaritmus o základě a), značíme f : x → loga x. Tato funkcemá následující vlastnosti:

1. D(f) = (0,∞), H(f) = R,

2. pro ∀x ∈ (0,∞) je loga x =ln xln a,

3. pro ∀x ∈ (0,∞) existuje vlastní derivace: (loga x)′ =1

x ln a,


4. je spojitá v (0,∞),

5. pro a > 1 je rostoucí v (0,∞) a pro 0 < a < 1 je klesající v (0,∞),

6. pro a > 1 je limx→∞loga x = ∞, lim

x→0+loga x = −∞ a pro 0 < a < 1 je

limx→∞loga x = −∞, lim

x→0+loga x =∞,

7. pro ∀x, y ∈ (0,∞) je loga(xy) = loga x+ loga y.

Důkaz. Důkaz vlastností 1 a 2 věty 8.5 plyne z vlastností inverzní funkce. Ostatnívlastnosti plynou z 2 a z vlastností přirozeného logaritmu. Grafy jsou na obrázku55.

�

Obr. 54: Obecná exponenciála ax Obr. 55: Obecný logaritmus loga x

V poslední části této kapitoly se budeme věnovat funkci obecná mocnina.

Definice 8.2. Nechť x ∈ (0,∞), a ∈ R. Funkci f , pro kterou platí f : x → xa =ea·ln x nazýváme obecná mocnina.

Věta 8.6. Funkce obecná mocnina má následující vlastnosti:

1. D(f) = (0,∞),

2. pro ∀x ∈ (0,∞) existuje vlastní derivace: (xa)′ = axa−1,

3. je spojitá v D(f),

4. pro a > 0 je rostoucí v (0,∞), pro a < 0 je klesající v (0,∞), pro a = 0 jefunkce konstantní s hodnotou 1,

5. pro a > 0 je limx→∞

xa = ∞, limx→0+

xa = 0 a pro a < 0 je limx→∞

ax = 0, limx→0+

ax =∞,

6. H(f) = (0,∞) pro a 6= 0, H(f) = {1} pro a = 0.

8.2 Goniometrické funkce 91

Obr. 56: Obecná mocnina

8.2 Goniometrické funkce

S goniometrickými funkcemi se setkáváme už na základní škole. Tam je zavádímepomocí pravúhlého trojúhelníku. Na střední škole pak zavádíme funkce goniome-trické pomocí jednotkové kružnice. Podívejme se tedy na tyto funkce z hlediskamatematické analýzy a uveďme jejich základní vlastnosti.

Věta 8.7. Existuje právě jedna funkce zvaná sinus (značíme sin) a kladné reálnéčíslo π s těmito vlastnostmi:

1. D(sin) = R

2. sin 0 = 0, funkce sinus je rostoucí v 〈0, π2〉,

3. pro ∀x, y ∈ R je sin(x+ y) + sin(x− y) = 2 sin x · sin(π2− y)

4. limx→0

sin xx= 1.

Pomocí funkce sinus, můžeme definovat daší goniometrickou funkci, funkci kosi-nus.

Definice 8.3. Funkci f , pro kterou platí f : x → sin(π2− x) nazveme kosinus a

značíme cos, tzn. sin(π2− x) = cosx.

Věta 8.8. Funkce sin má tyto vlastnosti:

1. sin je funkce lichá,

2. funkce sin je rostoucí v 〈−π2, π2〉,

3. sin π2= 1, sin−π

2= −1,


4. sin je periodická funkce s periodou 2π,

5. pro ∀x, y ∈ R je sin(x± y) = sin x cos y ± cos x sin y,

6. pro ∀x, y ∈ R je sin2 x+ cos2 x = 1,

7. pro ∀x, y ∈ R je sin x− sin y = 2 cos(x+ y

2

)

· sin(

x− y

2

)

,

8. funkce sin je spojitá v R,

9. pro ∀x ∈ R existuje vlastní derivace: (sin x)′ = cosx,

10. H(sin) = 〈−1, 1〉.

Důkaz. 1. Vlastnost 1 plyne přímo z vlastnosti 3 věty 8.7, kde volíme x = 0 ay = x ⇒ sin x+ sin(−x) = 0 ⇒ sin(−x) = − sin x.2. Druhá vlastnost plyne z bodu 2 věty 8.7 a z lichosti funkce sin.3. Položíme-li ve vzorci 3 věty 8.7 x = π

2, y = 0 ⇒ sin π

2+ sin π

2= 2 sin π

2sin π

2⇒

2 sin π2= 2 sin π

2sin π

2⇒ sin π

2= 1.

4. Volbou x = x+ π2, y = π

2v bodu 3 věty 8.7 dostáváme sin(x+π) = − sin x, potom

sin(x+ 2π) = − sin(x+ π) = sin x.5. Volíme-li x = x, y = y a x = y, y = x v bodu 3 věty 8.7 obdržíme soustavu dvourovnic

sin(x+ y) + sin(x− y) = 2 sin x · cos ysin(y + x) + sin(y − x) = 2 sin y · cosx

Sečtením obou rovnic dostáváme sin(x+ y) = sin x · cos y + sin y · cosx,odečtením rovnic dostaneme sin(x− y) = sin x · cos y − sin y · cos x.6. Platí1 = sin π

2= sin((π

2− x) + x) = sin(π

2− x) cosx+ cos(π

2− x) sin x = cos2 x+ sin2 x.

7. Vlastnost 7 plyne přímo z vlastnosti 3 věty 8.7 položme-li x = x−y

2, y = x+y

2.

8. Funkce je spojitá v R, tzn. musí platit limx→csin x = sin c ⇔ lim

x→c(sin x− sin c) = 0.

Podle vlastnosti 6 dokazované věty platísin2 x ≤ 1 ⇒ | sinx| ≤ 1, tj. −1 ≤ sin x ≤ 1, funkce sin je omezená.

Z vlastnosti 7 věty 8.8, z bodu 4 věty 8.7, podle věty o limitě složené funkce (vizstr. 70) a věty o limitě součinu ”nulové” a omezené funkce (viz str. 67) dostáváme

limx→c

sin(x−c2)

x−c2

(x−c2) · cos(x+c

2) = lim

x→c

sin(x−c2)

x−c2

(x−c2) · sin(π

2− x+c

2) = 0 · ”Omezená” = 0.

9. Z definice derivace a podle věty o limitě složené funkce je

(sin x)′ = limx→c

sin x− sin cx− c

= limx→c

2 cos(x+c2) · sin(x−c

2)

x− c= lim

x→c

sin(x−c2)

x−c2

cos(x+c2) =

= 1 · cos c = cos c.10. Dále funkce sin je spojitá, tudíž zobrazuje R na interval. Vzhledem k vlastnosti3 věty 8.8 a podle Darbouxovy věty (viz str. 72) platí H(sinx) = 〈−1, 1〉.

�


Věta 8.9. Funkce cos má tyto vlastnosti:

1. D(cos) = R, H(cos) = 〈−1, 1〉,

2. cos je funkce rostoucí v 〈−π, 0〉 a klesající 〈0, π〉,

3. cos 0 = 1, cosπ = −1,

4. funce cos je sudá a periodická s periodou 2π,

5. pro ∀x, y ∈ R je cos(x± y) = cosx cos y ± sin x sin y,

6. pro ∀x, y ∈ R je cosx+ cos y = 2 cos(x+ y

2

)

· cos(

x− y

2

)

,

7. pro ∀x, y ∈ R je cosx− cos y = −2 sin(x+ y

2

)

· sin(

x− y

2

)

,

8. funkce cos je spojitá v R,

9. pro ∀x ∈ R existuje vlastní derivace: (cosx)′ = − sin x.Důkaz věty 8.9 vyplývá z definice funkce cos a věty 8.8. Grafy funkce sinus a

kosinus jsou znázorněny na obrázcích 57 a 58.

Obr. 57: Graf funkce sinus

Obr. 58: Graf funkce kosinus

Další goniometrické funkce, kterým se budeme věnovat jsou funkce tangens (zna-číme tg ) a kotangens (značíme cotg ). Grafy těchto funkcí jsou znázorněny na ob-rázcích 59 a 60.


Věta 8.10. Funkce tangens, definovaná předpisem tg x =sin xcosx

, má následující

vlastnosti:

1. D(tg ) = R− {x ∈ R, x = π2(2k + 1), k ∈ Z},

2. tangens je funkce lichá, tg 0 = 0,

3. tangens je funkce periodická s periodou π,

4. tangens je funkce spojitá v D(f),

5. limx→π

2−tg x =∞, lim

x→π2+tg x = −∞,

6. H(tg ) = R,

7. pro každý bod z D(f) existuje vlastní derivace funkce tangens a platí

(tg x)′ =1cos2 x

,

8. v každém intervalu I = (−π2(2k + 1), π

2(2k + 1)) ⊆ D(f) je funkce tangens

rostoucí.

Obr. 59: Graf funkce tangens

Definice 8.4. Funkce kotangens je definovaná předpisem cotg x =1tg x=cosxsin x

.

Vlastnosti funkce kotangens ponéchame čtenáři jako domácí cvičení. Všechnymůžeme jednoduše odvodit z definice funkce kotangens a již zmíněných vlastnostífunkcí sinus, kosinus a tangens.


Obr. 60: Graf funkce kotangens

Na závěr kapitoly uvádíme přehled vztahů mezi goniometrickými funkcemi.

sin x = cos(π2− x), cos x = sin(π

2− x),

tg x = cotg (π2− x), cotg x = tg (π

2− x),

sin2 x+ cos2 x = 1, tg x · cotg x = 1,sin 2x = 2 sinx cos x, cos 2x = cos2 x− sin2 x,∣

∣

∣sin

x

2

∣

∣

∣=

√

1− cosx2

,∣

∣

∣cos

x

2

∣

∣

∣=

√

1 + cosx2

,

sin(x± y) = sin x cos y ± cosx sin y,cos(x± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y,

tg (x± y) =tg x± tg y1∓ tg xtg y ,

cotg (x± y) =cotg xcotg y ∓ 1cotg y ± cotg x ,

sin x+ sin y = 2 sinx+ y

2· cos x− y

2,

sin x− sin y = 2 cos x+ y

2· sin x− y

2,

cosx+ cos y = 2 cosx+ y

2· cos x− y

2,

cosx− cos y = −2 sin x+ y

2· sin x− y

2,

tg x± tg y = sin(x± y)cosx cos y

,

cotg x± cotg y = sin(y ± x)sin x sin y

,

cosx+ sin x =√2 sin(π

4+ x) =

√2 cos(π

4− x),

cosx− sin x =√2 cos(π

4+ x) =

√2 sin(π

4− x),

8.3 Cyklometrické funkce 96

8.3 Cyklometrické funkce

Nabízí se otázka existence funkce inverzní k libovolné z goniometrických funkcí.Víme, že funkce inverzní existuje pouze k funkci, která je prostá. Funkce gonio-metrické jsou periodické, tedy nejsou prosté na svých definičních oborech. Funkceinverzní můžeme definovat tak, že goniometrické funkce zúžíme na intervaly, kdejsou tyto funkce ryze monotonní a tedy prosté. V následující tabulce uvádíme výběrintervalů a označení inverzních funkcí arcsin, arccos, arctg a arccotg. Tyto inverznífunkce nazýváme souhrně funkce cyklometrické.

funkce f D(f) H(f) inverzní funkcesin 〈−π

2, π2〉〈−1, 1〉 arcsin

cos 〈0, π〉〈−1, 1〉 arccostg (−π

2, π2) (−∞,∞) arctg

cotg (0, π) (−∞,∞) arccotg

Věta 8.11. Funkce arcsin (čti arkussinus), definovaná jako funkce inverzní k funkcisinus na intervalu 〈−π

2, π2〉, má tyto vlastnosti:

1. D(arcsin) = 〈−1, 1〉, H(arcsin) = 〈−π2, π2〉,

2. funkce arcsin je rostoucí a spojitá v 〈−1, 1〉,

3. arcsin je funkce lichá,

4. pro ∀x ∈ (−1, 1) existuje vlastní derivace: (arcsin x)′ = 1√1− x2

,

5. (arcsin x)′−1+ = (arcsin x)′1− =∞.

Důkaz. Vlastnost 1 a 2 plynou z vlastností inverzní funkce.3. Pro ∀x ∈ 〈−1, 1〉 je arcsin(−x) = y ⇔ (−x) = sin y ⇔ x = sin(−y) ⇔ −y =arcsin x ⇔ y = − arcsin x.4. Podle věty o derivaci inverzní funkce platí (arcsinx)′ =

1(sin y)′

=1cos y

.

Vzhledem k tomu, že pro ∀y ∈ R je cos y =√

1− sin2 y v 〈−π2, π2〉 a dále x = sin y

dostáváme dokazovanou vlastnost.5. Vlastnost 5 dokážeme opět pomocí derivace inverzní funkce.

�

Graf funkce arkussinus (viz obr. 61) je symetrický s grafem funkce sinus zúženéna interval 〈−π

2, π2〉 podle osy I. a III. kvadrantu (tj. přímka y = x).

Věta 8.12. Funkce arccos (čti arkuskosinus), definovaná jako funkce inverzní kfunkci kosinus na intervalu 〈0, π〉, má tyto vlastnosti:

1. D(arccos) = 〈−1, 1〉, H(arccos) = 〈0, π〉,


2. funkce arccos je spojitá a klesající v 〈−1, 1〉,

3. pro ∀x ∈ 〈−1, 1〉 je arcsin x+ arccosx = π

2,

4. pro ∀x ∈ (−1, 1) existuje vlastní derivace: (arccosx)′ = − 1√1− x2

,

5. (arccos x)′−1+ = (arcsin x)′1− = −∞.

Důkaz. Vlastnost 1 a 2 plyne z vlastností inverzní funkce.3. Pro ∀x ∈ 〈−1, 1〉 je y = arccosx ⇔ x ∈ 〈0, π〉, x = cos y = sin(π

2− y), přičemž

(π2− y) ∈ 〈−π

2, π2〉, tj. arcsin x = π

2− y, y = arccosx ⇒ arcsin x+ arccosx = π

2.

Vlastnost 5 a 6 plyne z věty o derivaci inverzní funkce.�

Graf funkce arkuskosinus (viz obr. 62) je symetrický s grafem funkce kosinuszúžené na interval 〈0, π〉 podle osy I. a III. kvadrantu (tj. přímka y = x).

Obr. 61: Graf funkce arkussinus Obr. 62: Graf funkce arkuskosinus

Příklad 8.1. Určete definiční obor a limity v krajních bodech definičního oboru

funkce f : f(x) = arcsin1 + x

1− 2x .

Řešení. Vzhledem k tomu, že definiční obor funkce arcsin je interval 〈−1, 1〉, musí býtsplněna podmínka −1 ≤ 1 + x

1− 2x ≤ 1. Dořešením této soustavy nerovnic obdržímeD(f) = (−∞, 0〉 ∪ 〈2,∞).Zbývá nám dořešit limity v krajních bodech D(f). Protože funkce arcsin je spojitá,použijeme-li větu o limitě složené funkce (viz str. 70), dostáváme

limx→±∞

arcsin1 + x

1− 2x = limx→±∞

arcsin1x+ 1

1x− 2 = arcsin(−

12) = −π

6.

Navíc funkce f je spojitá v D(f). Pak limx→0−

arcsin1 + x

1− 2x = arcsin 1 =π

2

a limx→2+

arcsin1 + x

1− 2x = arcsin(−1) = −π

2.

Pro názornost uvádíme graf funkce f , viz obr. 65 str. 99.


Věta 8.13. Funkce arctg (čti arkustangens), definovaná jako funkce inverzní kfunkci tangens na intervalu (−π

2, π2), má tyto vlastnosti:

1. D(arctg ) = R, H(arctg ) = (−π2, π2),

2. funkce arctg je rostoucí a spojitá v R,

3. arctg je funkce lichá,

4. limx→∞arctg x =

π

2, limx→−∞

arctg x = −π

2,

5. pro ∀x ∈ R existuje vlastní derivace: (arctg x)′ =1

1 + x2.

Důkaz. Vlastnost 1 a 2 plyne z vlastností inverzní funkce.3. Pro ∀x ∈ R je y = arctg (−x) ⇔ −x = tg y ⇒ x = tg (−y) ⇔ −y = arctg x ⇔y = −arctg x.4. Funkce arctg je rostoucí v R, dále H(arctg ) = (−π

2, π2). Podle věty o limitě

monotónní funkce je limx→∞arctg x = supH(f) = π

2a lim

x→−∞arctg x = infH(f) = −π

2.

5. Věta o derivaci inverzní funkce (viz str. 80) nám říká, že

(arctg x)′ =1

(tg x)′=11

cos2 x

= cos2 x. Protože x = tg y =sin ycos y

pak

x2 =sin ycos2 y

=1− cos2 xcos2 x

⇒ cos2 x = 11 + x2

, tak (arctg x)′ =1

1 + x2.

�

Věta 8.14. Funkce arccotg (čti arkuskotangens), definovaná jako funkce inverzník funkci kotangens na intervalu (0, π), má tyto vlastnosti:

1. D(arccotg ) = R, H(arccotg ) = (0, π),

2. funkce arccotg je klesající a spojitá v R,

3. pro ∀x ∈ R je arctg x+ arccotg x =π

2,

4. limx→∞arccotg x = 0, lim

x→−∞arccotg x = π,

5. pro ∀x ∈ R existuje vlastní derivace: (arccotg x)′ = − 11 + x2

.

Důkaz. Vlastnost 1 a 2 plyne z vlastností inverzní funkce.

3. Protože x = cotg y =cos ysin y

=sin(π

2− y)

cos(π2− y)

= tg (π2− y)⇔ arccotg x = (π

2− y) pak

pro ∀x ∈ R je arctg x+ arccotg x =π

2,

Vlastnost 4. plyne z věty o limitě monotonní funkce.5. Plyne z vlastnosti 4. této věty a vlastnosti 5 věty 8.13.

�


Obr. 63: Graf funkce arkustangens Obr. 64: Graf funkce arkuskotangens

Grafy funkcí arkustangens a arkuskotangens jsou znázorněny na obrázcích 63 a64. Je zde naznačena symetrie podle přímky y = x se zúženou funkcí tangens akotangens na příslušný interval.

Příklad 8.2. Je dána funkce f : f(x) = arctg (lnx). Určete její definiční obor,limity v krajních bodech definičního oboru a monotonii.

Řešení. Protože D(arctg ) = R a D(ln) = (0,∞), je D(f) = (0,∞).Protože lim

x→0+ln x = −∞, lim

y→−∞arctg y = −π

2a funkce arctg je spojitá, pak podle

věty o limitě složené funkce je limx→0+

arctg (ln x) = −π

2.

Analogicky limx→∞ln x =∞, lim

y→∞arctg y =

π

2a funkce arctg je spojitá, pak

limx→∞arctg (ln x) =

π

2.

Funkce ln je rostoucí a arctg také. Složením dvou rostoucích funkcí dostáváme opětfunkci rostoucí. Funkce f je tedy rostoucí na svém definičním oboru, viz obr. 66.

Obr. 65: Graf funkce z př. 8.1 Obr. 66: Graf funkce z př. 8.2


Pro přehlednost uveďme derivace elementárních funkcí.

c′ = 0, kde c ∈ R,(xa)′ = axa−1, pro x ∈ R+, a ∈ R,

je-li a ∈ N, platí derivace pro x ∈ R,(ex)′ = ex, pro x ∈ R,

(ln x)′ =1x, pro x > 0,

(ax)′ = ax · ln a, pro x ∈ R, a > 0,(sin x)′ = cos x, pro x ∈ R,(cosx)′ = − sin x, pro x ∈ R,

(tg x)′ =1cos2 x

, pro x ∈ (−π2+ kπ, π

2+ kπ),

(cotg x)′ = − 1sin2 x

, kde k ∈ Z pro x ∈ (kπ, π + kπ), kde k ∈ Z

(arcsin x)′ =1√1− x2

, pro x ∈ (−1, 1),

(arccosx)′ = − 1√1− x2

, pro x ∈ (−1, 1),

(arctg x)′ =1

1 + x2, pro x ∈ R,

(arccotg x)′ = − 11 + x2

, pro x ∈ R,


Příklad 8.3. Určete definiční obor zadané funkce a existuje-li, stanovte její inverznífunkci předpisem a definičním oborem.

a) f : f(x) =

√

log(

1− 2x+ 1x− 1

)

b) g : g(x) = 1 + arctg (3x− 4)

Řešení. a) Funkce f je složená z funkcí: druhá odmocnina, dekadický logaritmus alineární lomenná funkce. Pro funkci f tedy musí platit

log(1− 2x+ 1x− 1 ) ≥ 0 ∧ 1− 2x+ 1

x− 1 > 0 ∧ x 6= 1.Dořešením těchto tří podmínek dostáváme D(f) = 〈−1

2, 1).

Funkce 1 − 2x+ 1x− 1 je na intervalu 〈−1

2, 1) rostoucí, taktéž i funkce log a √ jsou

rostoucí na svých definičních oborech. Složením tří rostoucích funkcí získáme zasefunkci rostoucí ⇒ existuje funkce inverzní k funkci f označíme jí f−1. Předpis zís-


káme záměnou proměnných x a y a vyjádřením proměnné y.

f−1 : x =

√

log(

1− 2y + 1y − 1

)

=

√

log(

−1− 3y − 1

)

x2 = log(

−1− 3y − 1

)

10x2

= 1− 3y − 1

10x2 − 1 = − 3

y − 1f−1 : y = − 3

10x2 − 1 + 1.

Definiční obor inverzní funkce je D(f−1) = H(f) = 〈f(−12), lim

x→1−f(x)) = 〈0,∞).

b) Vzhledem k tomu, že funkce g je složená z funkce arctg a dvou lineárních funkcía všechnzy mají def. obor R je D(g) = R. Funkce g je ryze monotonní a tudíž prostána R ⇒ existuje funkce inverzní ozn. g−1. Předpis získáme stejným postupem jakov a).

g−1 : x = 1 + arctg (3y − 4)x− 1 = arctg (3y − 4)

tg (x− 1) = 3y − 4

g−1 : y =13(arctg (x− 1) + 4).

Protože funkce g je klesající na R je definiční obor inverzní funkce D(g−1) = H(g) =( limx→∞

g(x), limx→−∞

g(x)). Podle věty o limitě složené funkce (viz str. 70) dostáváme

D(g−1) = (1− π2, 1 + π

2).

Příklad 8.4. Určete definiční obor funkce f : f(x) = ln | cosx|. Zjistěte, zdaje tatofunkce periodická, sudá, resp. lichá. Určete derivaci funkce f i s jejím definičnímoborem.Řešení. Funkce f je složená z funkce přirozený logaritmus, absolutní hodota a funkcecos. Musí být splněna podmínka | cosx| > 0. Pak D(f) = R−{π

2+ kπ}, kde k ∈ Z.

Vzhledem k tomu, že funkce cos je funkce sudá je i funkce f sudá. Neboť f(−x) =ln | cos(−x)| = ln | cosx| = f(x). Podle derivace složené funkce je

pro ∀x ∈ (−π2+ 2kπ, π

2+ 2kπ) : f ′(x) =

1cosx

· (− sin x) = −tg x,

pro ∀x ∈ (π2+ 2kπ, 3

2π + 2kπ) : f ′(x) =

1− cosx · (− sin x) = tg x a D(f ′) = D(f).

Příklad 8.5. Vypočtěte derivace těchto funkcí:

a)(

13

)x

, b) ex(x2 − 2x+ 2), c) ln(

tgx

2

)

, d) arctg√x2 − 1.


Řešení. a)((

13

)x)′=(

13

)x

· ln 13, pro x ∈ R,

Dle derivace součinu dostávámeb) (ex(x2 − 2x+ 2))′ = ex(x2 − 2x+ 2) + ex(2x− 2) = x2ex, pro x ∈ R.Dle derivace složené funkce a úpravě obdržíme

c)(

ln(

tgx

2

))′=1tg x2

· 1cos2 x

2

· 12=1sin x

, pro x ∈ (2kπ, (2k + 1)π), kde k ∈ Z.

d) (arctg√x2 − 1)′ = 1

1 + (√x2 − 1)2

· 1

2√x2 − 1

·2x = 1

x√x2 − 1

, pro x ∈ (∞,−1)∪(1,∞).

Příklad 8.6. Vypočtěte limity:

a) limx→0

x2

1− cos x , b) limx→∞e−xx2, c) lim

x→0

(

1x− 1tg x

)

, d) limx→0+

(

1x

)tg x

.

Řešení. a) Zadanou limitu vypočítáme dvěma způsoby. S i bez užití L’Hospitalovapravida.

1) limx→0

x2

1− cos x = limx→0x2

1− cosx · 1 + cos x1 + cos x

= limx→0

x2(1 + cosx)1− cos2 x =

= limx→0

x2

sin2 x· (1 + cosx) = 12 · (1 + 1) = 2

2) limx→0

x2

1− cos x =, ,00” = (L′H) = lim

x→0

2xsin x

=, ,00” = (L′H) = lim

x→0

2cosx

=21= 2

b) limx→∞e−xx2 =, , 0 ·∞. Tento neurčitý výraz upravíme do tvaru podílu (viz str. 84),

abychom mohli využít L’Hospitalovo pravidlo. Dvojnásobným užitím L’Hospitalova

pravidla dostaneme limx→∞

x2

ex=, ,

∞∞” = (L

′H) = limx→∞

2xex=, ,

∞∞” = (L

′H) =

limx→∞

2ex=2∞ = 0.

c) Zadanou limitu nejprve upravíme a pak použijeme L’Hospitalovo pravidlo.

limx→0

(

1x− 1tg x

)

= limx→0

(

1x− cos xsin x

)

= limx→0

sin x− x cosxx sin x

=, ,00” = (L′H) =

= limx→0

cosx− cosx+ x sin xsin x+ x cos x

= limx→0

x sin xsin x+ x cos x

=, ,00” = (L′H) =

= limx→0

sin x+ x cos xcosx+ cosx− x sin x

=02= 0.

d) Po dosazení máme neurčitý výraz exponenciálního typu. Upravíme pode vztahu

f(x)g(x) = eg(x)·ln(f(x)), limx→0+

(

1x

)tg x

= limx→0+

etg x·ln1x . Protože funkce ex je spojitá,

přejdeme na výpočet limity exponentu. Při určení této limity budem kombinovatklasické úpravy a L’Hospitalovo pravidlo.

limx→0+

tg x · ln 1x= lim

x→0+ln 1

x1tg x

=, ,∞∞” = (L

′H) = limx→0+

x · (− 1x2)

− 1tg 2x

· 1cos2 x

= limx→0+

sin2 xx=

limx→0+

sin xx

· sin x = 1 · 0 = 0. Výsledná limita je e0 = 1.

8.5 Cvičení 103

8.5 Cvičení

1. Načrtněte grafy, určete definiční obory a obory hodnot logaritmických funkcí:

a) g : g(x) = log2(x− 2)− 1b) g1 : g1(x) = log2(|x| − 2)− 1 c) g2 : g2(x) = log2 |x− 2| − 1d) g3 : g3(x) = | log2(x− 2)| − 1 e) g4 : g4(x) = | log2(x− 2)− 1|

2. Načrtněte grafy, určete definiční obory a obory hodnot goniometrických funkcí:

a) f : f(x) = cos(2x) b) f : f(x) = 2 · cosxc) f : f(x) = |2 · cosx| d) f : f(x) = cos

(

x− π

4

)

e) f : f(x) = 2 cos(

x− π

4

)

3. Určete definiční obory těchto funkcí:

a) y = arcsin2x1 + x

b) y = arccos(

lnx

10

)

c) y = arcsin(1− x) + ln ln x d) y = arcsin x+ x√1− x2

4. Řešte v R.

a) arcsin(2x− 1) = π

6b) arccos(x2 − 5x+ 5) = π

c) arctg (|x− 4| − 2) = π

4

5. Určete, zda zadaná fukce je sudá nebo lichá.

a) f : f(x) =√ex2 + 5 b) f : f(x) = ln

2− x

2 + x

c) f : f(x) =3x + 13x − 1 d) f : f(x) = arctg (|x|+ 6)

6. Nčrtněte graf funkce a určete její nejmenší periodu.

a) f : f(x) = 3 sin(x− π3) b) f : f(x) = cos(3x) + 1

c) f : f(x) = |tg (x− π4)| d) f : f(x) = sin2 x+ cotg

x

2

7. Existuje-li, určete inverzní funkci k daným funkcím předpisem a definičním obo-rem.

a) f : f(x) = 2− log 13(x+ 3) b) f : f(x) = ex−1 + 3

c) f : f(x) = sin(x2 − 1) d) f : f(x) = 1 + arctg (3x− 4)

8. Řešte v R.

a) log x2 log√x + log x−2 = 3, b) 3 · 4log x − 25 · 2log x + 8 = 0

c) 3log 1

2(x2−5x+7)

< 1, d) log 12(4− x) ≥ log 1

22− log 1

2(x− 1),

e) (2x+ 1)log(2x+1)−3 ≤ 0, 01, f⋆) loga x+ loga(x+ 1) < loga(2x+ 6), a > 0.

8.5 Cvičení 104

9. Vypočtěte limity bez užití L’Hospitalova pravidla.

a) limx→π

2

1sin x+ cosx

, b) limx→0

sin 3xsin 2x

,

c) limx→0

2x− sin xsin x+ 5x

, d) limx→0

1− cos3 xx sin 2x

,

e) limx→0

√tg x+ 1−√

1− tg xsin x

, f) limx→0

√1 + tg x−

√1 + sin x

x3,

g) limx→0

ln(1 + xex)

ln(1 +√1 + x2)

, h) limx→∞

ln(x2 − x+ 1)ln(x10 + x+ 1)

.

10. Derivujte a upravte:

a) f(x) = e−x2 , b) f(x) = e√x2+7,

c) f(x) = 3√x2 · ex, d) f(x) = ln(x2 + 1) · ex2+1,

e) f(x) = xx2 , f) f(x) = ln(x3 − 9x2),

g) f(x) = cos(ln x3), h) f(x) = arctgx− 1x

,

i) f(x) = ln 1x+

√x2−1 , j) f(x) = x

√1− x2 + arcsin x,

11. Pomocí L’Hospitalova pravidla vypočítejte limity:

a) limx→−3

tg (πx)x+ 3

, b) limx→0

x · 2x2x − 1 ,

c) limx→3

ln(x2 − 8)x2 − 3x , d) lim

x→0

tg x− sin xx3

,

e) limx→0+

x · cotg x, f) limx→0+

lnx · tg x,g) lim

x→0+

√x · ln x, h) lim

x→0x · e 1x

12. Vypočtěte následující limity:

a) limx→0

tg x− x

x− sin x, b) limx→0

arcsin 2x− 2 arcsin xx3

,

c) limx→1

(

1x− 1 −

1ln x

)

, d) limx→0

(

1x− 1ex − 1

)

,

e) limx→0(1 + x2)cotg x

2

, f) limx→∞

(

x2 + 1x2 − 2

)x2

,

g) limx→1

x

11− x , h) lim

x→∞

(

2πarctg x

)x

.

105

9 Průběh funkce

V této kapitole shromáždíme poznatky, které nám pomohou zjistit chování funkcev jejím definičním oboru. Budou to pojmy: monotonie funkce, extrémy funkce, kon-vexnost a konkávnost funkce, inflexní body a asymptoty funkce.

9.1 Monotonie funkce a lokální extrémy

Věta 9.1. Vztah 1.derivace a monotonie funkceNechť f je funkce a I je interval (libovolného typu). Nechť funkce f je spojitá v I.Nechť v každém vnitřním bodě intervalu I existuje f ′(x). Potom platí:

1. je-li pro každý vnitřní bod I f ′(x) > 0, je funkce f rostoucí v I,

2. je-li pro každý vnitřní bod I f ′(x) < 0, je funkce f klesající v I,

3. je-li pro každý vnitřní bod I f ′(x) ≥ 0, je funkce f neklesající v I,

4. je-li pro každý vnitřní bod I f ′(x) ≤ 0, je funkce f nerostoucí v I,

5. je-li pro každý vnitřní bod I f ′(x) = 0, je funkce f konstantní v I.

Důkaz. Dokážeme pouze bod 1. Ostatní body dokazujeme analogicky.Máme dokázat, že z uvedených předpokladů plyne:

(∀x1, x2 ∈ I)(x1 6= x2) platí (f(x1)− f(x2))(x1 − x2) > 0.Označme J uzavřený interval s krajními body x1, x2. Vzhledem k tomu, že J ⊂ I,funkce f splňuje všechny předpoklady Lagrangeovy věty (viz str. 82) na intervalu

J , pak existuje je vnitřní bod c intervalu J takový, že f ′(c) =f(x1)− f(x2)

x1 − x2> 0.

Tedy (f(x1)− f(x2))(x1 − x2) =f(x1)− f(x2)

x1 − x2· (x1 − x2)2 > 0.

�

Příklad 9.1. Určete intervaly, na nichž jsou funkce ryze monotonní.

a) f : f(x) = x3 − 12x, b) f : f(x) =x2

x+ 3, c) f : f(x) = x · e−x.

Řešení. Ke zjištění intervalů monotonie využijeme větu 9.1. Vypočteme derivacifunkce f , zjistíme body, ve kterých je derivace rovna 0 a následně určíme, na kte-rých intervalech je derivace kladná či záporná. Pro názornost zavedeme značení: fcerostoucí ր, funkce klesající ց.a) Platí f(x) = 3x2− 12 = 3(x2− 4) = 3(x− 2)(x+ 2). Vidíme, že derivace má dvanulové body -2 a 2. Pro (∀x ∈ R) tedy

interval (−∞,−2) (−2, 2) (2,∞)znaménko f ′ + − +monotonie f ր ց ր

.

9.1 Monotonie funkce a lokální extrémy 106

b) Podle derivace podílu je f ′(x) =2x(x+ 3)− x2 · 1

(x+ 3)2=

x(x+ 6)(x+ 3)2

. Derivace má dva

nulové body 0 a -6 a jeden bod, kde není definovaná -3. Pro (∀x ∈ R− {−3}) tedy

interval (−∞,−6) (−6,−3) (−3, 0) (0,∞)znaménko f ′ + − − +monotonie f ր ց ց ր

.

c) Přes derivaci součinu dostáváme f ′(x) = 1 · e−x + x · (−1)e−x = e−x(1 − x).Tentokrát má derivace jen jedn nulový bod 1. Navíc výraz e−x > 0 pro (∀x ∈ R).Znaménko derivace bude záviset jen na výrazu (1− x). Pro (∀x ∈ R) tedy

interval (−∞, 1) (1,∞)znaménko f ′ + −monotonie f ր ց

.

Definice 9.1. Nechť f je funkce, c ∈ R. Říkáme, že funkce f má v bodě c lokálnímaximum (resp. lokální minimum), jestliže existuje okolí Uδ(c) tak, že pro(∀x ∈ Uδ(c)) je f(x) ≤ f(c) (resp. (∀x ∈ Uδ(c)) je f(x) ≥ f(c)).

Poznámka 9.1. Pokud v definici 9.1 nahradíme neostrou nerovnost ostrou, hovo-říme o tzv. ostrél mokálním maximu (resp. ostrém lokálním minimu).

Věta 9.2. Nutná podmínka pro lokální extrémMá-li funkce f v bodě c extrém, potom f ′(c) = 0 nebo f ′(c) neexistuje.

Důkaz. Důkaz provedeme sporem. Předpokládejme, že f ′(c) existuje a je f ′(c) > 0nebo f ′(c) < 0 tzn. funkce f je v bodě c rostoucí nebo klesající, co« je spor, neboťjsme předpokládali, že má v bodě c extrém.

�

Poznámka 9.2. Výše uvedená věta je pouze podmínka nutná, nikoliv postačující.

Příklad 9.2. Je dána funkce f : f(x) = x3. Derivace f ′(x) = 3x2 má hodnotu 0v bodě x = 0, ale funkce f lokální extrém v tomto bodě nemá. Je v celém svémdefiničním oboru rostoucí.

Věta 9.3. Postačující podmínka pro extrémNechť f je funkce, c ∈ R. Nechť existuje δ > 0 takové, že funkce f má v každémbodě Pδ(c) vlastní derivaci a v bodě c je spojitá. Platí-li

pro každé x ∈ P−δ (c) je f

′(x) > 0, a pro každé x ∈ P+δ (c) je f′(x) < 0,

potom funkce f má v bodě c lokální maximum.Platí-li

pro každé x ∈ P−δ (c) je f

′(x) < 0, a pro každé x ∈ P+δ (c) je f′(x) > 0,

potom funkce f má v bodě c lokální minimum.

9.2 Konvexnost, konkávnost a inflexní body 107

Příklad 9.3. Najděte lokální extrémy funkce f : f(x) = 2x3 − 6x2 + 5.

Řešení. Nutná podmínka pro extrém: f ′(x) = 6x2 − 12x = 6x(x − 2) = 0 ⇔x = 0 ∨ x = 2.Postačující podmínka pro extrém:

interval (−∞, 0) (0, 2) (2,∞)znaménko f ′ + − +monotonie f ր ց ր

.

Podle změny znaménka derivace vidíme, že v bodě x = 0 má funkce lokální ma-ximum a v bodě x = 2 lokální minimum. Funkce f je znázorněna na obrázku 67.

Obr. 67

9.2 Konvexnost, konkávnost a inflexní body

Mezi další vlastnosti funkce patří pojmy konvexnost a konkávnost, které popisujízakřivení grafu funkce.

Definice 9.2. Říkáme, že funkce f je v intervalu I ⊂ R

1. ryze konvexní, jestliže pro (∀x1, x2, x3 ∈ I) takové, že x1 < x2 < x3, platí

f(x2) <f(x3)− f(x1)

x3 − x1(x2 − x1) + f(x1),

2. ryze konkávní, jestliže pro (∀x1, x2, x3 ∈ I) takové, že x1 < x2 < x3, platí

f(x2) >f(x3)− f(x1)

x3 − x1(x2 − x1) + f(x1),

3. konvexní, jestliže pro (∀x1, x2, x3 ∈ I) takové, že x1 < x2 < x3, platí

f(x2) ≤f(x3)− f(x1)

x3 − x1(x2 − x1) + f(x1),

4. konkávní, jestliže pro (∀x1, x2, x3 ∈ I) takové, že x1 < x2 < x3, platí

f(x2) ≥f(x3)− f(x1)

x3 − x1(x2 − x1) + f(x1),


Obr. 68: Funkce ryze konvexní Obr. 69: Funkce ryze konkávní

Věta 9.4. Nechť f je funkce, I je interval. Nechť funkce f je spojitá na intervaluI a nechť v každém vnitřním bodě intervalu I existuje její druhá derivace. Potomplatí:

1. je-li v každém vnitřním bodě intervalu I f ′′(x) > 0, je funkce f v I ryzekonvexní,

2. je-li v každém vnitřním bodě intervalu I f ′′(x) < 0, je funkce f v I ryzekonkávní,

3. je-li v každém vnitřním bodě intervalu I f ′′(x) ≥ 0, je funkce f v I konvexní,

4. je-li v každém vnitřním bodě intervalu I f ′′(x) ≤ 0, je funkce f v I konkávní,

5. je-li v každém vnitřním bodě intervalu I f ′′(x) = 0, je funkce f v I lineární.

Důkaz. Ukážeme důkaz první části věty 9.4, další tvrzení dokazujeme analogicky.1. Je-li f ′′(x) > 0 v I, potom funkce f ′ je rostoucí v I. Zvolme libovolně(x1, x2, x3 ∈ I) tak, že x1 < x2 < x3. Potom funkce f splňuje v intervalu 〈x1, x2〉 av 〈x2, x3〉 předpoklady Lagrangeovy věty, tzn. že existuje c ∈ 〈x1, x2〉 a d ∈ 〈x2, x3〉tak, že platí f ′(c) =

f(x2)− f(x1)x2 − x1

a f ′(d) =f(x3)− f(x2)

x3 − x2. Vzhledem k tomu, že

funkce f ′ je rostoucí, platíf(x2)− f(x1)

x2 − x1= f ′(c) < f ′(d) =

f(x3)− f(x2)x3 − x2

, což jsme

měli dokázat.�

Příklad 9.4. Určete intervaly, na nichž je funkce f(x) =ln xxkonvexní a konkávní.

Řešení. Nejprve určíme definiční obor, první a druhou derivaci funkce f .

Tedy D(f) = (0,∞), podle derivace podílu je f ′(x) =1− lnx

x2z toho

f ′′(x) =− 1

x· x2 − (1− ln x) · 2x

x4=2 lnx− 3

x3.


Druhá derivace má jeden nulový bod e32 . Pro ∀x ∈ D(f) tedy

interval (0, e32 ) (e

32 ,∞)

znaménko f ′′ − +zakřivení f konkávní konvexní

.

Definice 9.3. Konvexnost, konkávnost v bodě a inflexní bodNechť funkce f má v bodě a vlastní derivaci f ′(a). Nechť ∃δ > 0 tak, že

1. x ∈ Pδ(a) ⇒ f(x) < f(a) + f ′(a)(x − a) (resp. f(x) > f(a) + f ′(a)(x − a)).Potom říkáme, že funkce f je v bodě a ryze konkávní (resp. ryze konvexní),

2. v P−δ (a) platí jedna z uvedených nerovností a v P

+δ (a) platí druhá nerovnost.

Potom říkáme, že funkce f má v bodě a inflexní bod.

Věta 9.5. Nechť f je funkce, a ∈ R a nechť existuje f ′′(a). Potom platí

1. je-li f ′′(a) > 0, je funkce f v bodě a ryze konvexní,

2. je-li f ′′(a) < 0, je funkce f v bodě a ryze konkávní.

Vidíme, že funkce nemusejí být jen konvexní nebo konkávní v celém svém defi-ničním oboru. Následující věty popisují body, kde daná funkce mění své zakřivení.Analogickou změnu jsme popsali v kapitole 9.1. Týkala se změny monotonie a uká-zala na lokální extrémy funkce.

Věta 9.6. Nutná podmínka pro inflexiJe-li a inflexní bod funkce f , potom f ′′(a) = 0 nebo f ′′(a) neexistuje. (přitom existujef ′(a) ∈ R).

Důkaz. Důkaz provedeme sporem. Předpokládejme, že druhá derivace existuje af ′′(a) 6= 0. Potom f ′′(a) > 0 nebo f ′′(a) < 0, tzn. že funkce f je v bodě a konvexnínebo konkávní, což je spor.

�

Věta 9.7. Postačující podmínka pro inflexní bodNechť f ′′(a) = 0 a existuje nějaké Uδ(a) tak, že v ∀x ∈ P−

δ (a) je f ′′(x) < 0 a v∀x ∈ P+δ (a) je f

′′(x) > 0 (nebo naopak). Potom funkce f má v bodě a inflexní bod.

Příklad 9.5. Zjistěte inflexní body funkcí: a) f : f(x) = x3, b) g : g(x) = x4.

Řešení. U obou funkcí nejprve zjistíme body, které vyhovují nutné podmínce proinflexi. Pak podle změny znaménka druhé derivace o inflexních bodech rozhodneme.a) Platí f ′(x) = 3x2, f ′′(x) = 6x. Nutné podmínce vyhovuje x = 0. Protože prox < 0 je f ′′(a) < 0 a pro x > 0 je f ′′(a) > 0 má funkce f v bodě 0 inflexní bod.b) Platí g′(x) = 4x3, g′′(x) = 12x2. Nutnou podmínku splňuje také bod 0, ale prox ∈ R − {0} je f ′′(x) > 0. Ke změně znaménka druhé derivace nenastává, tedy 0není inflexní bod.


Zavedením druhé derivace funkce se můžeme ješte vrátit k lokálním extrémům auvést další postačující podmínku pro lokální extrém.

Věta 9.8. Postačující podmínka pro extrémNechť f je funkce, a ∈ R. Nechť f ′(a) = 0.

1. Jestliže f ′′(a) > 0, pak funkce f má v bodě a ostré lokální minimum.

2. Jestliže f ′′(a) < 0, pak funkce f má v bodě a ostré lokální maximum.

Důkaz. Je-li f ′′(a) > 0, je funkce f ′ v bodě a rostoucí, tzn. takové, že pro x ∈ P−δ (a)

platí f ′(x) < f ′(a) = 0 a pro x ∈ P+δ (a) platí f′(x) > f ′(a) = 0. Vzhledem k tomu,

že funkce f je spojitá v bodě a, je splněna postačující podmínka pro lokální extrém,konkrétně lokální minimum.

�

Příklad 9.6. Je dána funkce f : f(x) = 2x3 − 6x2 + 5.Určete intervaly, na nichž je funkce konvexní a konkávní, a rozhodněte o inflexníchbodech.

Řešení. U funkce f jsme určili intervaly monotonie a lokální extrémy (viz str. 107příklad 9.3). Nyní rozhodneme o intervalech zakřivení.Protože f ′′(x) = 12x − 12 = 12(x − 1), dostáváme intervaly (−∞, 1) a (1,∞), nanichž má druhá derivace různé znaménko.Platí

interval (−∞, 1) (1,∞)znaménko f ′′ − +zakřivení f konkávní konvexní

.

Nutná a postačující podmínka pro inflexi je splněna v bodě x = 1. Jde tedy o inflexníbod funkce f . Situace je znázorněna na obrázku 70.

Obr. 70

9.3 Asymptoty funkce 111

Příklad 9.7. Vyšetřete průběh funkce f : f(x) = xe(−1

x2).

Řešení. Nejprve určíme definiční obor funkce f a její limity v krajních bodech D(f).Zřejmě D(f) = (−∞, 0) ∪ (0,∞), lim

x→±∞xe(−

1

x2) = ±∞, lim

x→0xe(−

1

x2)=0.

Dále spočítáme první a druhou derivaci funkce f . Užitím pravidla pro derivaci sou-činu a podle derivace složené funkce dostáváme

f ′(x) = e(−1

x2) + x · e(− 1

x2) · 2

x3= e(−

1

x2)

(

1 +2x2

)

a

f ′′(x) = e(−1

x2) ·(

2x3

)

·(

1 +2x2

)

+ e(−1

x2) ·(

− 4x3

)

= 2e(−1

x2) · 2− x2

x5. Funkce f je

rostoucí na intervalech (−∞, 0) a (0,∞) neboť f ′(x) > 0 pro (∀x ∈ D(f)). Oprotitomu druhá derivace funkce f má různá znaménka v D(f).Tedy

interval (−∞,−√2) (−

√2, 0) (0,

√2) (

√2,∞)

znaménko f ′′ + − + −zakřivení f konvexní konkávní konvexní konkávní

.

Podle věty 9.7 jsou body ±√2 inflexními body funkce f .

Obr. 71

9.3 Asymptoty funkce

Mezi další vlastnosti funkcí patří jejich asymptoty. Tímto pojmem rozumímepřímky, ke kterým se funkce f „přimyká”. Z geometrického hlediska bychom tytopřímky mohli považovat za tečny funkce f v nevlastím bodě.

Definice 9.4. Nechť funkce f je definovaná na intervalu (a,∞), a ∈ R, (resp.(−∞, a)). Přímku y = kx + q, kde k, q ∈ R nazýváme asymptotou se směrnicífunkce f pro x → ∞ (resp. x → −∞), je-li lim

x→∞(f(x) − (kx + q)) = 0 (resp.

limx→−∞

(f(x)− (kx+ q)) = 0).

9.3 Asymptoty funkce 112

Věta 9.9. Nutná a postačující podmínka pro existenci asymptoty se směr-nicíPřímka y = kx + q, kde k, q ∈ R je asymptotou funkce f pro x → ∞ právě tehdy,když

limx→∞

f(x)x= k ∈ R a lim

x→∞(f(x)− kx) = q ∈ R.

Analogické tvrzení můžeme zformulovat i pro x → −∞. Důkaz provedeme prox → ±∞.

Důkaz. Z definice asymptoty funkce f plyne, že přímka y = kx + q je asymptotou

právě tehdy, když limx→±∞

(f(x)− kx) = q. Odtud limx→±∞

(

f(x)x

− k

)

= limx→±∞

q

x= 0.

Zřejmě limx→±∞

f(x)x= k.

�

Příklad 9.8. Najděte asymptoty funkce f : f(x) =√1 + x2.

Řešení. Vidíme, že D(f) = R. Má tedy smysl pátrat po asymptotách se směrnicífunkce f pro x → ±∞. Podle věty 9.9 pro x → ∞ je

k = limx→∞

f(x)x= lim

x→∞

√1 + x2

x= lim

x→∞

x√

1x2+ 1

x= 1 ∈ R,

q = limx→∞(f(x)− kx) = lim

x→∞(√1 + x2 − x)

√1 + x2 + x√1 + x2 + x

= limx→∞

1 + x2 − x2√1 + x2 + x

=1∞ =

0. Funkce f má tedy asymptotu y = x pro x → ∞. Stejným postupem odhalíme,že i pro x → −∞ má funkce f svoji asymptotu y = −x. Celá situace je znázorněnana obrázku 72.

Obr. 72: Asymptoty funkce f(x) =√1 + x2

Definice 9.5. Nechť funkce f je definovaná na intervalu (a, b), b ∈ R , přičemžlimx→b−

f(x) = ∞ nebo −∞. Pak říkáme, že funkce f má vertikální asymptotu, tj.přímku x = b v bodě b.

9.4 Vyšetřování průběhu funkce 113

Analogicky můžeme nadefinovat vertikální asymptotu v levém krajním bodě in-tervalu (a, b). Tyto vertikální asymptoty také označujeme jako asymptoty bez směr-nice.Příkladem funkce, která má asymptotu bez směrnice je funkce cotg . Tato funkce

má hned několik asymptot bez směrnice a těmi jsou přímky y = kπ, kde k ∈ Z,podobně i funkce tg .

9.4 Vyšetřování průběhu funkce

Vyšetřování průběhu funkce f shrneme do osmi bodů:

1. Určíme definiční obor D(f) a body nespojitosti vyšetřované funkce.

2. Zjistíme, zda je funkce sudá, lichá nebo periodická.

3. Vypočítáme průsečíky funkce f se souřadnicovými osami.

4. Stanovíme hodnoty limit funkce f v krajních bodech definičního oboru.

5. Vypočítáme první derivaci f ′, podle jejího zanménka odvodíme intervaly mo-notonie a rozhodneme o lokálních extrémech.

6. Vypočítáme druhou derivaci f ′′, stanovíme intervaly, kde je funkce konvexní,konkávní, a rozhodneme o existenci inflexních bodů.

7. Určíme asymptoty funkce f .

8. Nakreslíme graf funkce a určíme obor hodnot H(f).

Příklad 9.9. Vyšetřete průběh funkce f : f(x) =1

1− x2.

Řešení. 1) Definiční obor D(f) = R− {±1}.2) Protože f(−x) =

11− (−x)2

=1

1− x2= f(x), funkce f je sudá. Této vlastnosti

můžeme využít v dalších úvahách.

3) Průsečíky s osou x zjistíme z rovnice1

1− x2= 0. Ta není slněna pro žádné

x ∈ D(f). Průsečík s osou y zjistíme, když položíme x = 0. Dostaneme [0, 1].

4) Ze sudosti plyne limx→−∞

11− x2

= limx→∞

11− x2

= 0,

limx→−1−

11− x2

= limx→1+

11− x2

= −∞ a limx→−1+

11− x2

= limx→1−

11− x2

=∞.

5) Určíme první derivaci: f ′(x) = −(1−x2)−2(−2x) = 2x(1− x2)2

. Položíme f ′(x) = 0.

Stacionární bod je x = 0. Platí

interval (−∞,−1) (−1, 0) (0, 1) (1,∞)znaménko f ′ − − + +monotonie f ց ց ր ր

.


V bodě x = 0 má funkce lokální minimum. Hodnota lokálního minima je f(0) = 1.

6) Druhá derivace je f ′′(x) =2x(1− x2)2 − 2x(1− x2)(−2x)

(1− x2)4=2− 2x2 + 8x2(1− x2)3

=

2(1 + 3x2)(1− x2)3

. Tedyinterval (−∞,−1) (-1,1) (1,∞)

znaménko f ′′ − + −zakřivení f konkávní konvexní konkávní

.

Žádné x nesplňuje nutnou podmínku pro inflexi, tedy funkce f nemá inflexní bod.7) Vzhledem k hodnotám jednostranných limit funkce f v bodech ±1, viz bod 4),jsou přímky x = −1 a x = 1 vertikálními asymptotami funkce f . Zbývá vyřešit, zdamá funkce f asymptoty se směrnicí pro x → ±∞.k = lim

x→±∞

11−x2

x= lim

x→±∞

1x(1− x2)

= 0, q = limx→±∞

11− x2

= 0.

Přímka y = 0 je asymptotou funkce pro x → ±∞.8) Funkce f je spojitá a monotonní v každém z uvedených intervalů (viz bod 5)),proto H(f) = (−∞, 0) ∪ 〈1,∞) a nakreslíme graf funkce, viz obr.73.

Příklad 9.10. Vyšetřete průběh funkce f : f(x) = x+ 2arctg 1x.

Řešení. 1) Definiční obor D(f) = R− {0}.2) Protože funkce arctg je funkce lichá, platíf(−x) = −x+ 2arctg 1

(−x)= −x− 2arctg 1

x= −f(x). Funkce f je lichá.

3) Průsečíky s osou x zjistíme z rovnice x + 2arctg 1x= 0. Pak 2arctg 1

x= −x, to

není slněno pro žádné x ∈ D(f).Průsečíky s osou y také neexistují, neboť v 0 není funkce f definovaná.4) lim

x→−∞(x+ 2arctg 1

x) = −∞ + 0 = −∞, lim

x→∞(x+ 2arctg 1

x) =∞+ 0 =∞.

Dále limx→0(x+ 2arctg 1

x) = neex., neboť lim

x→0+(x+ 2arctg 1

x) = 0 + 2π

2= π

a limx→0

−

(x+ 2arctg 1x) = 0− 2π

2= −π.

5) Určíme první derivaci: f ′(x) = 1 + 21

1 + 1x2

(

− 1x2

)

= 1− 2x2 + 1

=x2 − 1x2 + 1

.

Položíme f ′(x) = 0. Stacionární body tedy jsou x = ±1. Platí

interval (−∞,−1) (−1, 0) (0, 1) (1,∞)znaménko f ′ + − − +monotonie f ր ց ց ր

.

V bodě x = −1 má funkce lokální maximum a v bodě x = 1 lokální minimum.Hodnoty lokálních extrémů jsou f(−1) = −1− π

2a f(1) = 1 + π

2.

6) Druhá derivace je f ′′(x) =2x(x2 + 1)− (x2 − 1)2x

(x2 + 1)2=

4x(x2 + 1)2

, proto f ′′(x) = 0


právě tehdy, když x = 0. Tedyinterval (−∞, 0) (0,∞)

znaménko f ′′ − +zakřivení f konkávní konvexní

.

Zadaná funkce nemůže mít v bodě 0 inflexní bod, neboť ten není v D(f).7) Vzhledem k hodnotám jednostranných limit funkce f v bodě 0, viz bod 4), nenípřímka x = 0 vertikální asymptotou funkce f . Zbývá vyřešit, zda má funkce fasymptoty se směrnicí pro x → ±∞.k = lim

x→±∞

x+ 2arctg 1x

x= lim

x→±∞

(

1 + 2arctg 1

x

x

)

= 1,

q = limx→±∞

(x+ 2arctg 1x− x) = 2 · 0 = 0.

Přímka y = x je asymptotou funkce pro x → ±∞.8) Funkce f je spojitá a monotonní v každém z uvedených intervalů (viz bod 5)).Určíme H(f) = (−∞,−1− π

2〉 ∪ 〈1 + π

2,∞) a nakreslíme graf funkce, viz obr.74.

Obr. 73 Obr. 74

Na závěr kapitoly uvedem i několik aplikačních příkladů. Je mnoho oblastí, kdese dá využít znalostí diferenciálního počtu. Např. v geometrii, biologii, chemii, fyziceatd.

Příklad 9.11. Kladné číslo a > 0 rozložte na dva sčítance tak, aby součet jejichn-tých mocnin (n ∈ N, n ≥ 2) byl nejmenší.Řešení. Provedeme matematizaci zadání. Neznámé sčítance označíme x a y. Podlezadání platí a = x + y (tj. y = a − x), pak funkce f : f(x) = xn + (a − x)n, kdex ∈ 〈0, a〉, má být minimální. Hledáme extrém funkce f . Určíme první derivaci:f ′(x) = nxn−1 + n(a− x)n−1(−1) = n(xn−1 − (a− x)n−1). Derivaci položíme rovnunule a zjistíme stacionární body. Tedy n(xn−1 − (a− x)n−1) = 0,pak (a− x− x)((a− x)n−2 + ... + xn−2) = 0 právě tehdy, když a− 2x = 0.Stacionární bod funkce f je x = a

2. Vzhledem k tomu, že f(0) = an, f(a) = an a

f(a2) = an

2n−1 je ve stacionárním bodě minimum funkce f .Kladné čílo rozložíme a = a

2+ a2.

Pozn. Lokální extrém v bodě x = a2můžeme zdůvodnit i tak, že na intervalu 〈0, a

2〉

je funkce f klesající a na 〈a2, a〉 je funkce rostoucí.


Příklad 9.12. Určete rozměry válce maximálního objemu, který lze zhotovit zkmene tvaru kužele o výce h a poloměru podstavy R.

Řešení. Řešení rostorových úloh nám obvykle usnadní nakreslení vhodného obrázku,viz obr.75. Pak provedeme matematizaci zadání.Výšku hledaného válce označíme v a poloměr jeho podstavy r.

Z podobnosti trojúhelníkú vidíme, žeh

R=

v

R− rz toho v =

h(R− r)R

.

Objem válce je V = πr2v. Do tohoto vzorce dosadíme uvedný vztah a dostaneme

V (r) = πr2h(R− r)

Rpro r ∈ (0, R). U funkce V hledáme maximum.

Funkci upravíme a určíme první derivaci. V (r) = π hR(Rr2 − r3),

pak V ′(r) = π hR(2Rr − 3r2) = π h

Rr(2R− 3r).

Derivaci položíme rovnu nule a zjistíme stacionární body. Tedy π hRr(2R − 3r) = 0

právě tehdy, když (2R − 3r) = 0 pak r = 23R. Vzhledem k tomu, že funkce V je na

intervalu (0, 23R) rostoucí a na (2

3R,R) klesající, bude maximální objem válce pro

r = 23R a v = 1

3h.

Obr. 75: Středový řez daným kuželem Obr. 76: Silážní jáma

Příklad 9.13. Silážní jáma má tvar kvádru a objem 200m3. Délka jámy musí býtčtyřnásobkem šířky a 1m2 dna je dvakrát levnější než 1m2 stěny. Jaké musí býtrozměry silážní jámy, aby stavba byla co nejlevnějí. (Extrém zdůvodněte.)

Řešení. Zobrazení silážní jámy vidíme na obrázku 76. Délku jámy označíme a, šířku

b a výšku c. Ze zadání musí a = 4b, dále V = 4b · b · c = 200. Odtud c =2004b2=50b2.

Cenu na zhotovení jámy označíme C a platí C = ab + 2 · 2ac + 2 · 2bc, dosadímevztahy pro a a c a získáme funkci, u které budeme hledat minimum.

Tedy C(b) = 4b2 + 2 · 8b50b2+ 2 · 2b50

b2. Funkci upravíme a určíme první derivaci.

C(b) = 4b2 +1000b, odtud C ′(b) = 8b − 1000

b2. Položíme C ′(b) = 0, dostaneme

stacionární bod b = 5. Jde-li o maximum ověříme pomocí druhé derivace funkce C(viz věta 9.8 str. 110). Platí C ′′(b) = 8 + d2000

b3, pak C ′′(5) = 8 + d2000

125> 0.

Cena silážní jámy bude nejmenší při rozměrech a = 20m, b = 5m a c = 2m.

9.5 Cvičení 117

9.5 Cvičení

1. Určete intervaly, na nichž je funkce f ryze monotonní:

a) f : f(x) = x2 + 4x+ 5, b) f : f(x) = x3 − 12x− 6,c) f : f(x) = 1

4x4 − 2x3 + 9

2x2, d) f : f(x) = 6x+ 5

2x2 − 1

3x3,

e) f : f(x) = e2x + 2e3−x, f) f : f(x) = 2x · arccotg x+ ln(1 + x2)− πx.

2. Najděte lokální extrémy u těchto funkcí:

a) f : f(x) = x2 − 2x+ 7, b) f : f(x) = x4 − 4x3 + 4x2,c) f : f(x) =

x− 1x

, d) f : f(x) = 3− 2 3√x2,

e) f : f(x) = x · e 1x , f) f : f(x) = 9x− 25arctg x.

3. Určete intervaly, v nichž je funkce konvexní resp. konkávní, rozhodněte o in-flexních bodech:

a) f : f(x) = 2x+ 3x2 − x3

3, b) f : f(x) = x(1− x2),

c) f : f(x) =x

1 + x2, d) f : f(x) =

1x+ ln x2.

4. Určete asymptoty ke grafu funkce:

a) f : f(x) = x− arctg x, b) f : f(x) =x3

x2 − 1 .

5. Vyšetřete průběh funkce a nakreslete její graf:

a) f : f(x) = x4 − 4x3, b) f : f(x) =x4

(x+ 1)3,

c) f : f(x) = e2x−x2 , d) f : f(x) =x2

ln x,

e) f : f(x) = arcsin2x1 + x2

, f) f : f(x) = 3√1− x3.

6. Jedna strana pravoúhlého pozemku se přimyká ke břehu kanálu, další tři stranyjsou ohrazeny plotem. Jaké by měly být rozměry pozemku, aby se jeho obsah rovnal800m2 a délka plotu byla co nejmení?

7. Do nádoby válcového tvaru máme dát 1000 litrů vody. Jaké by měla mít roz-měry, aby její povrch (bez víka) byl nejmenší?

8. Vypočtěte rozměry obdélníka vepsaného do kružnice daného poloměru r tak,aby jeho obsah byl maximální (svůj výpočet zdůvodněte).

9. Ze čtverce papíru o délce strany a vystřihněte v rozích malé čtverečky tak, žekrabice složená ze zbytku papíru bude mít co největší objem.

9.5 Cvičení 118

10. Experimentální sedování růstu rostliny vedlo k sestavení modelu růstu danéhovztahem

h(m) =√m− m

2,

kde h je výška rostliny v metrech a m je čas v měsících.a) Jaká je maximální výška rostliny a kdy jí rostlina dosáhne?b) Jaká je rychlost růstu ve třetím měsíci? (převzato z publikace [8] str. 39)

11. Epidemiologové popsali šíření vlny chřipky v oblasti výskytu matematickýmmodelem

n(t) = −0, 3t3 + 10t2 + 300t+ 250,kde t je počet dní od počátku epidemie (0 ≤ t ≤ 30), n(t) je počet nemocnýchodpovídající času t. Analyzujte šíření chřipky a zjistěte, kdy má děj nejdynamičtějšícharakter. (převzato z publikace [8] str. 40)

12. Do elipsy s klavní poloosou a a vedlejší poloosou b vepište obdélník se stra-nami rovnoběžnými s poloosami tak, aby jeho obsah byl maximální.

13. Počítačová firma uvádí na trh nový výrobek. Model týdenního zisku P (x) (v tis.Kč) v závislosti na ceně x jednoho kusu (v tis. Kč), je dán vzorcem

P (x) = 1, 269x− 0, 12x3.

Pro jakou cenu nabývá zisk extrémních hodnot?Srovnej tyto hodnoty s hodnotou P (80).

∼∼∼∼∼

Všechny dobré zásady jsou již napsány. Nyní ještě zbývá je uskutečnit. (B. Pascal)

119

10 Výsledky cvičení

Kapitola 1.5

1. a) (−32, 32), b) (−∞,−1

2)〉 ∪ 〈1

2,∞), c) 〈−1, 5〉, d) (−∞,−10)∪ (4,∞), e) ∅,

f) R.2. |x− 5| = 7

4.

3. a) |x− 3| < 13, b) |x− 3| < 1

2, c) |x− 3| ≥ 4, d) |x− 3| > 1

10.

4. a) 0, b) 0, 1, c) 0, -2, d) 0, e) 0, f) (−∞, 32〉, g) (−∞, 2〉 ∪ 〈3,∞).

5. a) (−∞, 12), b) (2,∞), c) (−1, 1

3〉∪〈1

3, 1), d) (−∞,−1)∪(1,∞), e) (−∞,−4)∪

(−4,−34〉 ∪ 〈5

2,∞), f) R− {−2}, g) (−∞,−2) ∪ 〈1

2,∞), h) 〈4, 5).

6. a) -5, -3, 1, 3, b) -4, -2, 0, 2, 4, c) 〈1,∞).7. a) 0, b) (2,∞), c) (−∞,−3).8. graf viz obr. 77.9. graf viz obr. 78.10. graf a) a b) viz obr. 79, a) (−∞,−1

2〉, b) nemá řešení, c) (−∞,−1

2〉 ∪ 〈1

2,∞).

11. osa x, osa y, y = x pro x < 0 a každý bod I. kvadrantu, viz obr. 80.13. 0 ≤ δ ≤ 1.14. a) 0 < δ < 1, b) neexistuje, c) 0 < δ < 2.15. pro a > 1 je x ∈ ( 1

a−1 ,∞), pro −1 < a < 0 je x ∈ (− 1a+1

, 1a−1),

pro a ≤ −1 je x ∈ (−∞,−1), pro 0 ≤ a ≤ 1 takové x neexistuje.16. a) k = [−π], b) k = [ 56

√273] + 1.

17. y = [x+ 0, 5].18. y = min(x− [x], [x] + 1− x) = |x− [x+ 0.5]|.19. y = −3[−x].20. a) R,Z, b) R− {0, 1}, {± 1

n, n ∈ N− {0}}, c) R− 〈0, 1), {−1, 0, 1}.

21. a) ne, b) ne, c) ano.22. x ∈ Z, graf funkce sgn (x− [x]) viz obr. 81.23. a) f(x) = 0, R, b) f(x) = |x|, R.

Kapitola 2.7

1. a) posunutí [12, 74], b) osová souměrnost podle osy x a posunutí [1

2, 74], c) graf f

je souměrný podle osy y; f ↓ 〈0,∞) získáme posunutím [12, 74] grafu F a omezením

získaného grafu na 〈0,∞.2. a) g ↓ 〈3,∞) = f ↓ 〈3,∞), g ↓ (−∞, 3〉: osová souměrnost podle osy x sf ↓ (−∞, 3〉, b) g ↓ 〈−2,∞) = f ↓ 〈−2,∞), g ↓ (−∞,−2〉: osová souměrnostpodle osy x s f ↓ (−∞,−2〉.3. a) a, b) b.4. a) n, b) m.5. a) 8, b) 4, c) 64, d) 1

81, e) 1

81, f) 1.

6. Návod: Srovnej řešenou úlohu 2.3.

7. a) y = −1x, posunutí [1,-1], b) 〈1

2, 2).

8. a) graf f je souměrný podle osy y; f ↓ 〈0, 1)∪ (1,∞) : y = −1xzúženo na (0,∞),

120

a) b)

Obr. 77: Grafy k příkladu 8 kapitola 1.5


a) b)


121

Obr. 80: Graf k př. 11 kapitola 1.5 Obr. 81: Graf k př. 12 kapitola 1.5

posunutí [1,−1], b) (−1,−12〉 ∪ 〈1

2, 1).

9. a) y =32x, posunutí [1, 1

2], b) (−∞, 1) ∪ (2,∞).

10. a) f ↓ (2,∞): y = 7xzúženo na (0,∞), posunutí [2, 2], f ↓ (−∞, 2): y =

7x

zúženo na (−∞, 0), posunutí [2, 2], osová souměrnost podle osy x, b) 〈−5,−13〉.

11. a) y = 5x2 + 10x + 4, b) y = 5x2 − 10x + 4, c) y = −5x2 − 10x − 4, d)y = |5x2 + 10x + 4|, e) y = −|5x2 + 10x + 4|, f) y = 5x2 + 10|x| + 4, g)y = 5x2 − 10|x|+ 4.12. Graf fce f je na obr. 82, grafy funkcí g b) viz obr. 83, d) viz obr. 84, e) viz obr. 83.

Obr. 82 Obr. 83

13. D(g1) = R, g1(x) = 1, D(g2) = R−{−1}, g2(x) =21 + x

, D(g3) = R−{−1},

g3(x) =x− 1x+ 1

, D(g4) = R − {±1}, g4(x) =1 + x

1− x, D(g5) = R − {−2}, g5(x) =

122

Obr. 84 Obr. 85

−x

x+ 2, D(g6) = R − {1}, g6(x) =

1 + x

1− x, D(g7) = R − {−1, 0}, g2(x) =

x− 1x+ 1

,

D(g8) = R− {−1}, g8(x) = x.

14. D(f2) = R− {0, 1}, f2(x) =x− 1x, D(f3) = R− {0, 1}, f3(x) = x.

15. a) (0,∞), b) (−∞,−2) ∪ (2,∞), c) 〈−12, 3〉, d) (−∞,−1) ∪ (1,∞).

16. a) D(h1) = R − {−2}, h1(x) = −1 pro x ∈ (−2, 3〉, h1(x) = 2 pro x ∈(−∞,−2) ∪ (3,∞), D(h2) = R, h2(x) = 4 pro x ≥ 0, h2(x) =

14pro x < 0,

b) D(h1) = R, h1(x) = −1 pro |x| ≤ 3, h1(x) = 2 pro |x| > 3, D(h2) = R,

h2(x) =23pro x ≥ 0, h2(x) =

14pro x < 0.

17. Definičním oborem všech funkcí ve všech případech je množina R. a) h1(x) =4x − 3, h2(x) = 2x2 − 1, h3(x) = 4x2 − 4x + 1, h4(x) = x4, b) h1(x) = 0 prox > 1, h1(x) = −1 pro x ≤ 1, h2(x) = 0 pro x = ±1, h2(x) = −1 pro |x| < 1,h2(x) = 1 pro ostatní x, h3(x) = 0 pro x = 1, h3(x) = 1 pro ostatní x, h4(x) = x4,c) h1(x) = 0 pro x > 1, h1(x) = −1 pro x ≤ 1, h2(x) = 0 pro x = −1, h2(x) = −1pro ostatní x, h3(x) = −1 pro x > 1, h3(x) = 2 pro x = 1, h3(x) = 3 pro x < 1,h4(x) = −x4 − 4x3 + 2x2 − 4x− 6, d) h1 = f , h2 = 0 (konstantní funkce), h3 = g,h4 = 0 (konstantní funkce), e) h1 = f , h2(x) = x2 pro x ≥ 0, h2(x) = 0 pro x < 0,h3 = h2, h4(x) = x4 pro x ≥ 0, h4(x) = x pro x < 0, f) h1(x) = 1, h2(x) = 1 pro1 ≤ |x| ≤

√3, h2(x) = 0 pro ostatní x, h3(x) = 1 pro |x| ≤ 1, h3(x) = 2 pro |x| > 1,

h4(x) = −x4 + 4x2 − 2 pro |x| ≤ 2, h4(x) = −2 pro |x| > 2.18. a) R− {−1}, f(x) = |x|

x+ 1, b) R, g(x) = x+ 1.

19. a) 〈−32, 1〉, b) 〈−1, 3

2〉, c) 〈−1, 3

2〉, d) 〈−1, 1〉, e) 〈−3

2, 32〉, f) 〈1

2, 3〉.

20. a) D(g) = D(f), b) D(g) souměrně sdružený s D(f) podle počátku na osex, D(g) = {x ∈ R, −x ∈ D(f)}, c) totéž jako b), d) totéž jako a), e) D(g)souměrný podle počátku na ose x, D(g) ∩ 〈0,∞) = D(f) ∩ 〈0,∞), D(g) = {x ∈R, |x| ∈ D(f)}, f) D(g) souměrný podle počátku na ose x, D(g) ∩ 〈−∞, 0〉 =D(f) ∩ 〈−∞, 0〉, D(g) = {x ∈ R, −|x| ∈ D(f)}, g) D(g) vznikne z D(f) posunu-tím na ose x o 2, D(g) = {x ∈ R, x− 2 ∈ D(f)}.

123

Kapitola 3.3

1. a) lichá, R−{0}, b) sudá, R−{−1, 0, 1}, c) ani sudá, ani lichá, R−{−1, 0, 1},d) sudá, {x ∈ D(g), g(x) 6= 0}, e) lichá, {x ∈ D(g), g(x) ∈ D(g)}.2. Ano; každá taková funkce je částí konstantní nulové funkce a má definiční oborsouměrný podle počátku; speciálně funkce (prázdná množina) je sudá a zároveň li-chá.3. Parita funkce je shodná s paritou čísla k.4. a) sudá, D(f1)∩D(f2), b) obecně ani sudá, ani lichá (např. f1(x) = x2, g1(x) =x), D(f1) ∩ D(g1), c) lichá, D(f1) ∩ D(g1), d) sudá, D(f1) ∩ D(f2), e) lichá,D(f1) ∩D(g1), f) sudá, D(g1) ∩D(g2).5. a) např. f(x) = 1, g(x) = 0 (konstantní funkce), b) f(x) = 0 (konstantní funkce),g(x) = x.6. a) nekonečně řešení, např. g(x) = 1− |x|, D(g) = R, b) nekonečně řešení, např.g(x) = −|x|3+2,D(g) = R, c) nekonečně řešení, např. g(x) = [|x|],D(g) = 〈−3, 3〉,nebo g(x) = [|x|], D(g) = R, d) jediné řešení g(x) = 1 + 2|x| − x2, pro |x| < 1,g(x) =

1−|x| pro |x| ≥ 1, D(g) = R, graf viz obr. 86.

7. a) dvě řešení: D(g) = R− {0}, g(x) = −1− x pro x ∈ (−∞, 0) nebo D(g) = R,g(x) = −1− x pro x ∈ (−∞, 0), g(0) = 0, graf druhého řešení viz obr. 87, b) dvěřešení, např. D(g) = R− {0}, g(x) = x3 − 2 pro x ∈ (0,∞), c) nekonečně řešení,např. D(g) = 〈−3, 3〉, g(x) = −[−x] pro x ∈ 〈−3, 0), d) žádné řešení, e) dvěřešení, např. D(g) = R − {0}, g(x) = −1 + 2x + x2 pro x ∈ (−1, 0), g(x) = 1

xpro

x ≥ 1.8. a) ne, b) ano; nekonečně řešení, např. D(g) = 〈−3, 3〉, g(x) = ||x| − 2|.9. f(0) není definována nebo f(0) = 0.10. Definiční obor všech funkcí tvoří všechna reálná čísla, která patří do definičníhooboru vnitřní funkce a taková, že funkční hodnoty vnitřní funkce v těchto číslechpatří do definičního oboru funkce vnější. a) sudá, b) sudá, c) sudá, d) lichá.11. Funkce f je vždy sudá nebo lichá. f je lichá, právě když jsou všechny funkcef1, f2, . . . , fn liché.12. a) podle definice dokážeme periodičnost pro p = 3; na 〈0, 3) má funkce jedinýnulový bod, tedy p = 3 je nejmení kladnou periodou, b) p = 1

2.

13. p = 214. p = 215. a) p, b)

p

5, c) 2p, d)

p

|a| , e) 6p, f) s1, s2p.16. a) jediné řešení f(x) = x − 2k pro x ∈ (2k − 1, 2k + 1), f(2k − 1) = 0, k ∈ Z,b) jediné řešení stejné jako v a), c) žádné řešení.17. f(k) = 0, b) f(x) = (x−2k)2 pro x ∈ (1+2k, 2+2k), f(x) = −(x−2(k+1))2pro x ∈ (2k, 1 + 2k), f(k) = 0, k ∈ Z.18. p = 2(b− a), Návod: Graf f je souměrný podle přímky x = a, platí-lif(a+ |x− a|) = f(a− |x− a|), tj f(x) = f(2a− x).

124

Obr. 86 Obr. 87

Kapitola 4.7

1. ne, ano, ne, ne, ne.

2. f : f(x) =1xpro x 6= 0, f(0) = 0.

3. –4. a) ano, b) ano, c) ne.5. a) rostoucí, b) rostoucí, c) klesající v M1, rostoucí v M2, d) rostoucí v M1,klesající v M2.6. a) klesající v (−∞, 2), (2,∞), b) rostoucí v (−∞,−2), (−2,∞),c) klesající v (−∞,−2), (−2,∞), d) rostoucí v (−∞, 2), (2,∞).7. a) rostoucí v (−∞, 0), (0,∞), ale není monotónní v D(f), b) c = a = 0: ne-rostoucí i neklesající v R, c = 0, ad > 0: rostoucí v R, c = 0, ad < 0: klesajícív R, c 6= 0, ad−bc > 0: rostoucí v (−∞,−d

c), (−d

c,∞), ale není monotónní v D(f),

c 6= 0, ad− bc < 0: klesající v (−∞,−dc), (−d

c,∞), ale není monotónní v D(f).

8. a) rostoucí v (−∞, 0), klesající v (0,∞), b) klesající v (−∞, 0), (0,∞), ale nenímonotónní v D(f).

9. a) y =7x, posunutí [2, 2], b) g ↓ (2,∞) = f ↓ (2,∞), g ↓ (−∞, 2): souměrnost

podle osy x s f ↓ (−∞, 2), c) x ∈ 〈−5,−13〉, g(−5) = −1, g(−1

3) = 1 viz obr. 88.

10. a) y =5x, posunutí [1, 2], c) g ↓ (−3

2,∞) = g ↓ (−3

2,∞), (−∞,−3

2): souměrnost

podle osy x s f ↓ (−∞,−32), d) rostoucí v (−∞,−3

2), klesající v (−3

2, 1), (1,∞),

e) c ∈ (2,∞).11. a) y =

7x, posunutí [3, 2], b) g ↓ (3,∞) = f ↓ (3,∞), g ↓ (−∞, 3): souměr-

nost podle osy x s f ↓ (−∞, 3), c) viz obr. 89, d) rostoucí v (−∞, 3), klesající v(3,∞).12. a) opačný než f b) opačný než f , c) stejný jako f .13. a) B = A, opačný než f , b) B = {x ∈ R, −x ∈ A}, opačný než f ,c) B = {x ∈ R, −x ∈ A}, stejný jako f .14. D(g) = R ve všech případech; g má druh monotonie a) stejný jako f v 〈0,∞),opačný než f v (−∞, 0〉, b) stejný jako f v (−∞, 0〉, opačný než f v 〈0,∞),

125

c) stejný jako f v množině {x ∈ R, f(x) ≥ 0}, opačný než f v množině{x ∈ R, f(x) ≤ 0}.15. a) rostoucí v (−∞,−2), (−2,∞); R−{1}; 1 řešení pro c 6= 1, 0 řešení pro c = 1,b) klesající v (−∞,−2), (−2, 3〉, rostoucí v 〈3,∞); (−∞,−1) ∪ 〈0,∞);2 řešení pro c ∈ (0,∞), 1 řešení pro c ∈ (−∞,−1) ∪ {0}, 0 řešení pro c ∈ 〈−1, 0),c) klesající v (−∞,−2), rostoucí v (−2,∞); (−∞, 1); 2 řešení pro c ∈ (−∞,−1),1 řešení pro c ∈ 〈−1, 1), 0 řešení pro c ∈ 〈−1,∞),d) rostoucí v (−∞,−2), 〈3,∞), klesající v (−2, 3〉; 〈0,∞);2 řešení pro c ∈ (0, 1) ∪ (1,∞), 1 řešení pro c ∈ {0, 1}, 0 řešení pro c ∈ (−∞, 0),e) klesající v (−∞, 0〉, rostoucí v 〈0,∞); 〈−3

2, 1); 2 řešení pro c ∈ (−3

2, 1),

1 řešení pro c = −32, 0 řešení pro c ∈ (−∞,−3

2) ∪ (1,∞),

f) rostoucí v (−∞,−2), (−2, 0〉, klesající v 〈0, 2), (2,∞), (−∞,−32〉 ∪ (1,∞);

2 řešení pro c ∈ (−∞,−32) ∪ (1,∞); 1 řešení pro c = −3

2, 0 řešení pro c ∈ (− 3

2,1).

Obr. 88 Obr. 89

16. a) klesající v (−∞, 2〉, rostoucí v 〈2,∞), b) rostoucí v (−∞,−1), 〈0,∞),klesající v (−1, 0〉.17. Návod: f(x) > 0 v (−∞, c), f(x) < 0 v (c,∞), a) D(g) = R− {c}, rostoucí v(−∞, c), (c,∞), b) D(g) = R, klesající v (−∞, c〉, rostoucí v 〈c,∞) c) D(g) = R,klesající, d) D(g) = R − {c}, klesající v (−∞, c), (c,∞), e) D(g) = R, rostoucí,f) D(g) = R, monotonii z daných údajů nelze určit.18. D(g) = R, g(x) = −sgn (x) ·

√

|x|.19. a) rostoucí v −∞, 1

3), (13,∞); f injektivní; D(g) = R− {2

3}, g(x) = x− 1

3x− 2.

20. a) f je prostá, D(g) = H(f) = R, g(x) =x− 32, b) f je prostá,

D(g) = H(f) = R, g(x) = 3√x+ 1, c) f je prostá, D(g) = H(f) = R − {0},

g(x) =1 + 2x

x, d) f není prostá, inverzní funkce g neexistuje, e) f je prostá,

D(g) = H(f) = 〈0,∞), g(x) = 4 − x2, f) f je prostá, D(g) = H(f) = 〈2,∞),g(x) = 1−

√x− 2.

126

21*. a) 4, -2, b) ano, 4, -2, 10, 2, c) je-li f injektivní.22. a) 3

2b) nemá řešení, c) 2, d) 4, e) ±3

√3, f) 1; Návod: Užijte vhodnou

substituci, g) (1, 2〉 ∪ 〈6, 7), h) 〈73, 3), i) 〈4,∞), j) 〈−2,− 4

√7) ∪ (1, 4

√7).

23. a) R, y = |x| b) 〈0, ∞) , y = x, c) R, y = x, d) R, y = x, e) R, y = |x−3|,f) {0}, y = 0, g) R, y = 0, h) 〈0,∞), y = 6

√x.

24. a) b, b) b, c) a, d) b, Návod: užijte monotonii funkce n-tá mocnina.25. a) D(f) = 〈0, 1〉 , rostoucí v

⟨

0, 12

⟩

, klesající v⟨

12, 1⟩

, b) D(f) = R − {1},neklesající i nerostoucí v (−∞, 0〉 , klesající v 〈0, 1), (1,∞), c)D(f) = 〈−1, 1) ,rostoucí, d) D(f) = 〈−5,−4〉 , klesající, e) D(f) = 〈−5, ∞) , klesající,f) D(f) =

(

−∞, −1〉 ∪⟨

32, ∞) , klesající v (−∞, −1〉 , rostoucí v

⟨

32, ∞) ,

g) D(f) = R, klesající v (−∞, 14〉, rostoucí v 〈1

4,∞), h) D(f) = (−∞,−5〉, ros-

toucí.26. a) D(g) = (−∞, 0〉, g(x) = −√−x, b) D(g) = 〈0, 1〉, g(x) =

√1− x2, c)

D(g) = 〈0, 1〉, g(x) = −√1− x2, d) D(g) = R, g(x) = x pro x ∈ (−∞, 1),

g(x) =√x pro x ∈ 〈1, 16〉, g(x) = (x− 14)2 pro x ∈ (16,∞).

Kapitola 6.5

1. a) 98, b) 6, c) −5

2, d) neex. (pro x → 1− je −∞, pro x → 1+ je ∞), e) 12 ,

f) 74.

2. a) 1, b) − 116, c) −1

4, d) 4, e) −1

2, f ∗) -3.

3. a) ∞, b) 45, c) 0, d) 5

8·33711, e) −∞, f) 1

55.

4. a) 0, b) −∞, c) 3√2, d) 0.

5. pro k = 5 je limita 35

210, pro k > 5 je limita ∞, pro k < 5 je limita 0.

6. a) 4, b) 23.

7. a) pro x → ±∞ je 1, pro x → −3− je ∞, pro x → −3+ je −∞, pro x → 2−je −∞, pro x → 2+ je ∞, b) pro x → ±∞ je −2, pro x → 1− je ∞, prox → 1+ je −∞, pro x → 3− je ∞, pro x → 3+ je −∞.

Kapitola 7.5

1. a) 10, b) −14.

2. a) x2+ x− 2, R, b) − 1x2

− 4x3

− 9x4, x 6= 0, c) 2− 4x

(1− x+ x2)2, R, d)

x√1 + x2

,

R, e)5(x2 − 3)3 3√

(x2 − 5)2, x 6= ±

√5, f) 3(2− xn)2(−nxn−1), R.

3. a)x√3 + x2

, D(f) = D(f ′) = R, b)1 + 3x

√

(x2 + 1)3, D(f) = D(f ′) = R, c)

1

2√x− 5, D(f) = 〈5,∞), D(f ′) = (5,∞), d) 1

8· 1 + 2

√x+ 4

√x√

x+√x

√x ·√

x+√x ·√

x+√

x+√x,

D(f) = 〈0,∞), D(f ′) = (0,∞).4. a) x+ 3y − 1 = 0, b) x− 8y − 1 = 0, c) y − 1 = 0, d) x+ 2y − 2 = 0.5. t1 : y = 5x− 10, T = [1,−5], t2 : y = 5x− 18, T = [3,−3].6. y =

√3x+ 5− 6

√3, T = [6, 5].

127

Kapitola 8.5

1. a) D(g) = (2,∞), H(g) = R, b) D(g1) = (−∞,−2) ∪ (2,∞), H(g1) = R,c) D(g2) = (−∞,−2)∪(−2,∞), H(g2) = R, d) D(g3) = (2,∞), H(g3) = 〈−1,∞),e) D(g4) = (2,∞), H(g4) = 〈0,∞).2. a) D(f) = R, H(f) = 〈−1, 1〉, b) D(f1) = R, H(f1) = 〈−2, 2〉,c) D(f2) = R, H(f2) = 〈0, 2〉, d) D(f3) = R, H(f3) = 〈−1, 1〉,e) D(f4) = R, H(f4) = 〈−2, 2〉.3. a) 〈−1

3, 1〉, b) 〈10

e, 10e〉, (1, 2〉, d) 〈−1, 1〉.

4. a) K = {34}, b) K = {2, 3}, c) K = {1, 7}.

5. a) sudá, b) lichá, c) lichá, d) sudá.6. Bez grafu. a) 2π, b) 2

3π, c) π, d) 2π.

7. a) f−1 : y = (13)2−x−3, D(f−1) = R, b) f−1 : y = ln(x−3)+1, D(f−1) = (3,∞),

c) f−1 neexistuje, funkce f není prostá, d) f−1 : y = 13(tg (x − 1) + 4), D(f−1) =

〈−π2+ 1, π

2+ 1〉.

8. a) K = { 110, 103}, b) K = {103, 10log2 13}, c) x ∈ (−∞, 2) ∪ (3,∞),

d) x ∈ (1, 2〉 ∪ 〈3, 4), e) x ∈ 〈92, 992〉, f ⋆) pro a > 1 je x ∈ (0, 3), pro 0 < a < 1 je

x ∈ (3,∞).9. a) 1, b) 3

2, c) 1

6, d) 3

4, e) 1, f) 1

4, g) 0, h) 1

5.

10. a)−2xe−x2 , b) e√x2+7· x√

x2 + 7, c)

ex(2 + x)

3 3√xe2x

, d) 2xex2+1

(

1x2 + 1

+ ln(x2 + 1))

,

e)12x

x2 (ln x+ 1), f)

3(x− 6)x(x− 9), g) −

3x· sin(ln x3), h) 1

2x− 1, i) −1√

x2 − 1,

j) 2√1− x2.

11. a) π, b) 1ln 2, c) 2, d) 1

2, e) 1, f) 0, g) 0, h) neex. (pro x → 0+ je ∞,

pro x → 0− je 0).12. a) 2, b) 1, c) −1

2, d) 1

2, e) e, f) e3, g) 1

e, h) e−

2π .

Kapitola 9.5

1. a) klesající (−∞,−2), rostoucí (−2,∞), b) rostoucí (−∞,−2), (2,∞), klesající(−2, 2), c) rostocí (−∞, 0), klesající (0,∞), d) klesající (−∞,−1), (5,∞), ros-toucí (−1, 5), e) klesající (−∞, 1), rostoucí (1,∞), f) rostoucí (−∞, 0), klessající(0,∞).2. a) v x = 1 lok.min., b) v x1 = 0 a x2 = 2 lok. min., v x3 = 1 lok.max., c) lok.extrémy nejsou, d) v x = 0 lok. max., e) v x = 1 lok. min., f) v x1 = −4

3lok.

max., v x2 = 43lok.min. .

3. a) konvexní na (−∞,−3), konkávní na (3,∞), inflexe v x = 3, b) konkávnína (−∞, 2

3), konvexní na (2

3,∞), inflexe v x = 2

3, c) konkávní na (−∞,−

√3) a

(0,√3), konvexní na (−

√3, 0) a (

√3,∞), inflexe v x1 = −

√3, x2 = 0, x3 =

√3,

d) konkávní na (−∞, 0) a (1,∞), konvexní na (0, 1), inflexe v x = 1.4. a) y = x+ π

2pro x → −∞, y = x− π

2pro x → ∞, b) x = −1, x = 1, y = x pro

x → ±∞.5. a) D(f) = R, [0,0] a [0,4] lim

x→±∞f(x) =∞, f ′(x) = 4x2(x− 3),

128

interval (−∞, 0) (0, 3) (3,∞)znaménko f ′ − − +monotonie f ց ց ր

,

v x = 3 lok. minimum, f ′′(x) = 12x(x− 2),

interval (−∞, 0) (0, 2) (2,∞)znaménko f ′′ + − +zakřivení f konvexní konkávní konvexní

,

v x = 0 a x = 2 inflexe, asymptoty neex., H(f) = 〈−27,∞), graf viz obr. 90 a).b) D(f) = R− {−1}, [0,0], lim

x→±∞f(x) = ±∞, lim

x→−1+f(x) =∞, lim

x→−1−

f(x) = −∞,

f ′(x) =x3(x+ 4)(x+ 1)4

,

interval (−∞,−4) (−4,−1) (−1, 0) (0,∞)znaménko f ′ + − − +monotonie f ր ց ց ր

,

v x = −4 lok. maximum., v x = 0 lok. minimum, f ′′(x) =12x2

(x+ 1)5,

interval (−∞,−1) (−1, 0) (0,∞)znaménko f ′′ − + +zakřivení f konkávní konvexní konvexní

,

inflexe neex., asymptoty x = −1, y = x − 3 pro x → ±∞, H(f) = (−∞,−25627

〉 ∪〈0,∞), graf viz obr. 90 b).c) D(f) = R, [0,1], lim

x→±∞f(x) = 0, f ′(x) = (2− 2x)e2x−x2 ,

interval (−∞, 1) (1,∞)znaménko f ′ + −monotonie f ր ց

,

v x = 1 lok. maximum, f ′′(x) = 2(2x2 − 4x+ 1)e2x−x2,

interval (−∞, 1−√22) (1−

√22, 1 +

√22) (1 +

√22,∞)

znaménko f ′′ + − +zakřivení f konvexní konkávní konvexní

,

v x = 1 ±√22inflexe, asymptota y = 0 pro x → ±∞, H(f) = (0, e), graf viz

obr. 90 c).d) D(f) = (0, 1)∪ (1,∞), průsečíky s osami neex., lim

x→0+f(x) = 0, lim

x→1−

f(x) = −∞,

limx→1+

f(x) =∞, limx→∞

f(x) =∞, f ′(x) =x(2 ln x− 1)ln2 x

,

interval (0, 1) (1,√e) (

√e,∞)

znaménko f ′ − − +monotonie f ց ց ր

,

129

v x =√e lok. min., f ′′(x) =

2 ln2 x− 3 lnx+ 2ln3 x

,

interval (0, 1) (1,∞)znaménko f ′′ − +zakřivení f konkávní konvexní

,

inflexe neex., asymptota x = 1, H(f) = (−∞, 0) ∪ 〈2e,∞), graf viz obr. 90 d).e) D(f) = R, funkce je lichá, vlastnosti budou symetrické, [0,0], lim

x→±∞f(x) = 0,

f ′(x) =2(1− x2)

(1 + x2)√

(x2 − 1)⇒ pro x ∈ (−∞,−1)∪ (1,∞) je f ′(x) = − 2

x2 + 1a pro

x ∈ (−1, 1) je f ′(x) =2

x2 + 1, v bodech ±1 existují jen jednostranné derivace, jsou

to tzv. úhlové body,

interval (−∞,−1) (−1, 1) (1,∞)znaménko f ′ − + −monotonie f ց ր ց

,

v x = −1 lok. min., v x = 1 lok. max., f ′′(x) =4x

(1 + x2)2pro x ∈ (−∞,−1)∪(1,∞),

f ′′(x) = − 4x(1 + x2)2

pro x ∈ (−1, 1),

interval (−∞,−1) (−1, 0) (0, 1) (1,∞)znaménko f ′′ − + − +zakřivení f konkávní konvexní konkávní konvexní

,

v x = 0 je inflexe, asymptota y = 0 pro x → ±∞, H(f) = (−π2, π2), graf viz

obr. 90 e).

f) D(f) = R, [0,1] a [1,0], limx→±∞

f(x) = ∓∞, f ′(x) =−x2

3√

(1− x3)2pro x 6= 1,

f ′(x) = −∞,

interval (−∞, 0) (0, 1) (1,∞)znaménko f ′ − − −monotonie f ց ց ց

,

lok. extrém neex., f ′′(x) = − 2x3√

(1− x3)5pro x 6= 1,

interval (−∞, 0) (0, 1) (1,∞)znaménko f ′′ + − +zakřivení f konvexní konkávní konvexní

,

v x = 0 a x = 1 jsou inflexe, asymptota y = −x pro x → ±∞, H(f) = R,graf viz obr. 90 f).6. Rozměry kanálu jsou 40m a 20m.7. v = 10

3√π, r = 10

3√π.

8. a = b = r√2, půjde o čtverec.

130

9. Rozměry krabice budou 23a × 2

3a × 1

6a.

10. a) Maximální výška rosliny je 0, 5m v čase 1 měsíc, b) -0,211.11. t = 11, 11.12. Rozměry obdélníka jsou 2a√

2× 2a√

2.

13. Pro x = 1, 9 nastává maximum. P (1, 9) = 1, 63932, P (80) = −613, 632.

131

a) f : f(x) = x4 − 4x3 b) f : f(x) =x4

(x+ 1)3

c) f : f(x) = e2x−x2 d) f : f(x) =x2

ln x

e) f : f(x) = arcsin2x1 + x2 f) f : f(x) = 3

√1− x3

Obr. 90

LITERATURA 132

Literatura

[1] Aksamit, P., Mráz, F.: Sbírka příkladů pro učitelské studium. Jihočeská univer-zita v Českých Budějovicích, 1995.

[2] Berman, G. N.: Sbornik zadač po kursu matematičeskogo analiza.Moskva, 1962.

[3] Děmidovič, B.P.: Sbornik zadač i upra«něnij po matematičeskomu analizu.Moskva, 1966.

[4] Došlá, Z., Kuben, J.: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Masarikovauniverzita v Brně, 2003.

[5] Frolíková, J.: Matematická analýza pro učitelské studium I.semestr. Praha,1984.

[6] Grebenča, M. K., Novoselov, S. I.: Učebnice matematické analysy I. Praha,1955.

[7] Jarník, V.: Diferenciální počet I. Praha, 1974.

[8] Nýdl, V., Klufová, R.: Matematika (část 2 - Matematická analýza). České Bu-dějovice, 1998.

[9] Petrášková, V., Zmeškalová, E.: Posloupnosti. České Budějovice, 1999.

[10] Prágerová, A.: Cvičení z matematiky. SNTL Praha, 1987.

[11] Veslý, J.: Matematická analýza pro učitele 1, 2. Druhé vydání, MATFY-ZPRESS, Praha, 2001.

Date post:	16-Jul-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	4 times
Download:	1 times

ALGEBRAICKÉ FUNKCE a DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ … · číslu x funkce f přiřazuje...

Documents