GEODETICKÉ VÝPOČTY I.€¦ · Geodetické výpočty I. TABELACE FCE A LINEÁRNÍ INTERPOLACE...

GEODETICKÉ VÝPOČTY I.

TABELACE FUNKCE

LINEÁRNÍ INTERPOLACE

SPŠS Č.Budějovice Obor Geodézie a Katastr nemovitostí

2.ročník

Geodetické výpočty I. TABELACE FCE A LINEÁRNÍ INTERPOLACE

TABELACE FUNKCE

Tabelace funkce se v minulosti často využívala z důvodu usnadnění výpočtů složitějších funkcí, jejichž hodnoty byly pro funkci sestaveny do přehledné tabulky, kde se výsledky funkcí vyhledávali nebo dopočítávali (lineární interpolací) ze zapsaných hodnot. V současnosti lze již většinu funkcí vypočítat díky moderní technice bez větších obtíží a tak se tabelace funkcí nyní již tak příliš jako v minulosti nevyužívá. Nyní se s nimi můžeme potkat ještě pro speciální funkce a určité případy i např. nematematické povahy.


TABELACE FUNKCE – ukázka tabelace fce

Tabelace distribuční funkce normálního rozdělení

Tabulka obsahuje hodnoty G(t) pro argument t. Tabelovaná hodnota G(t) je pravděpodobnost výskytu chyby mezi 0 a t-násobkem směrodatné odchylky.


TABELACE FUNKCE

• Funkce (fce) proměnné y je zapisována ve tvaru y = f(x), kde x je nezávislá proměnná - argument.

• Dvojice proměnných x a y sestaveny do tabulek tak, že v jednom sloupci jsou vzestupně nebo sestupně upořádány argumenty (x) a v druhém sloupci je k nim vypočtena funkce y = f(x)

• Rozdílu mezi dvěma sousedními argumenty (x)se nazývá tabulkový krok = k

• Rozdílu jim odpovídajících fcí se nazývá tabulková diference y, mohou být v tabulce uvedeny v dalším sloupci


TABELACE FUNKCE

• Tabulka může být sestavena pro více funkcí – pro jeden sloupec argumentů může být více sloupců fcí

•čím je tabulkový krok argumentu menší tím je výpočet funkce podrobnější

• tabulkový krok je volen podle potřeby podrobnosti funkce a podle výsledné obsáhlosti tabulky

arg

um

ent

1. f

ce

2. f

ce

3. f

ce

4. f

ce

tabulkový krok 10 gon


TABELACE FUNKCE

Najděte v tabulce hodnoty fcí: sin 30 gon = .................... cos 60 gon = ................... tan 50 gon = ................... Najděte pro který úhel platí, že sin x = 0,89101 hledáme x = ............ cotg x = 0,32492 hledáme x = ............

arg

um

ent

1. f

ce

2. f

ce

3. f

ce

4. f

ce



TABELACE FUNKCE

Najděte v tabulce hodnoty: sin 30 gon = 0,45399 cos 60 gon = 0,58779 tan 50 gon = 1,00000 Najděte pro který úhel platí, že sin x = 0,89101 hledáme x = 70 gon cotg x = 0,32492 hledáme x = 80 gon

arg

um

ent

1. f

ce

2. f

ce

3. f

ce

4. f

ce



TABELACE FUNKCE

Funkce může být lineární nebo nelineární

arg

um

ent

lin. f

ce

y=

kon

st.

nel

in.f

ce

y

- n

ení

kon

sta

ntn

í

y = 1 / x2


TABELACE FUNKCE Funkce může být tabelována i tak, že argument je rozdělen na dvě části dle desetinných míst a tabulka je pak sestavena následovně:

fce

argument 0,0x

arg

um

ent

x,x

• jednotky a první desetinné místo argumentu x,x je v levém sloupci tabulky

• druhé desetinné místo argumentu 0,0x je v horním řádku tabulky

• uvnitř tabulky jsou vyčísleny hodnoty fce pro jednotlivý argument x,xx

• hodnota fce pro argument 2,57 se hledá v řádku pro x,x = 2,5 a ve sloupci pro 0,0x = 7 (0,07) a je 16,97



Tabelace funkce x3

Najděte v tabulce hodnoty y=x3 pro

argument : 1,45 tzn. hledáte 1,453 = ............ 2,70 tzn. hledáte 2,703 = ............ 3,16 tzn. hledáte 3,163 = ............ Najděte pro hodnotu funkce y = x3 hodnotu argumentu 18,40 tzn. hledáte 3 18,40 = ........ 3,582 tzn. hledáte 3 3,582 = ........



Tabelace funkce x3

Najděte v tabulce hodnoty x3 pro

argument : 1,45 tzn. hledáte 1,453 = 3,049 2,70 tzn. hledáte 2,703 = 19,68 3,16 tzn. hledáte 3,163 = 31,55 Najděte pro hodnotu fce y = x3

hodnotu argumentu 18,40 tzn. hledáte 3 18,40 = 2,64 3,582 tzn. hledáte 3 3,582 = 1,53


LINEÁRNÍ INTERPOLACE - PRINCIP

Lineární interpolace je metoda prokládání křivek za použití lineárních funkcí (přímek). Používá se v řadě technických oborů pro zpřesnění hodnoty tabelovaných funkcí, pro interpolaci vrstevnic při konstrukci výškopisu apod. Jedná se o jednoduchou formu interpolace.

lineární interpolace je přímka mezi těmito dvěma body. Pro dané x můžeme na této přímce určit hodnotu y určovného bodu . Z podobnosti trojúhelníků resp. úměrou můžeme sestavit rovnici vzájemných vztahů

Pokud jsou dány dva známé body souřadnicemi

Vyřešením této rovnice pro y, která je neznámou v rovnici pro x dostaneme:


LINEÁRNÍ INTERPOLACE LINEÁRNÍCH A NELINEÁRNÍCH FUNKCÍ

• interpolací lineární fce nedochází k chybám v určení hodnoty y z důvodu zjednodušení (linearizace) fce • interpolací nelineární fce dochází k chybám v určení hodnoty y z důvodu zjednodušení (linearizace) fce – velikost chyby závisí na průběhu fce, na kroku mezi body (x0 a x1) proložení lineární fce a na poloze určovaného bodu x v intervalu


LINEÁRNÍ INTERPOLACE FCE – POSTUP

-1

-0.5

0

0.5

1

0

10

0

20

0

30

0

40

0

0.8

1

60

80

10

0

12

0

14

0

x (gon) sin x

60 0.809017

80 0.951057

100 1.000000

120 0.951057

140 0.809017

Tabelace fce y = sin x pro argument x s tabulkovým krokem 20 gon

y = sin x


LINEÁRNÍ INTERPOLACE FCE – POSTUP

0.8

1

60

80

10

0

12

0

14

0

x (gon) sin x

60 0.809017

80 0.951057

100 1.000000

120 0.951057

140 0.809017


y

0.142040

0.048943

-0.048943

-0.142040

92

,5

y= ? 1. určí se tabulková diference k tabulkovému kroku v místě hledané fce => y se znaménkem

Zadání: Určete hodnotu sin x pro x = 92,5 gon.

2. určí se tabulkový krok argumentu x1 – x0 = k = 20

y = y1 – y0 = 0,048943

3. určí se rozdíl daného argumentu x = 92,5 gon k nejbližšímu nižšímu argumentu x0 = 80,0 gon

92,5

x – x0 = 92,5 – 80,0 = 12,5 gon

5. vypočte se hledaná fce y, tak, že se k fci y0, která odpovídá nejbližšímu nižšímu argumentu přičte oprava

4. určí se interpolační oprava (y – y0) k fci y0, která odpovídá nejbližšímu nižšímu argumentu


LINEÁRNÍ INTERPOLACE FCE – POZNÁMKA

0.8

1

60

80

10

0

12

0

14

0

x (gon) sin x

60 0.809017

80 0.951057

100 1.000000

120 0.951057

140 0.809017


y

0.142040

0.048943

-0.048943

-0.142040

92

,5

y= ?

92,5

Výpočtem z interpolace tabelované fce sin x byla určena výsledná hodnota

Pokud, ale vypočteme hodnotu sin 92,5 gon na kalkulačce, získáme hodnotu

0,993058

Odchylka 0,993058 – 0,981646 = 0,011412 vzniká z důvodu zjednodušení fce sin x na přímku v intervalu x (80, 100). Tento příklad byl sestaven takto úmyslně pro ukázku nutnosti volby správného intervalu tabulkového kroku. Princip výpočtu zůstává stejný.


LINEÁRNÍ INTERPOLACE FCE

Zadání: Pro argument 37 gon vypočtěte metodou lineární interpolace hodnoty jednotlivých fcí uvedených v tabulce. a

rgu

men

t

1. f

ce

2. f

ce

3. f

ce

4. f

ce


tabulkový krok argumentu x1 – x0 = k

tabulková diference y = y1 – y0

rozdíly argumentů x – x0

Postup:

interpolační oprava

výsledek


LINEÁRNÍ INTERPOLACE FCE

Zadání: Pro argument 37 gon vypočtěte metodou lineární interpolace hodnoty jednotlivých fcí uvedených v tabulce. a

rgu

men

t

1. f

ce

2. f

ce

3. f

ce

4. f

ce


tabulkový krok argumentu k = 10

y = y1 – y0

x – x0 = 37 – 30 = 7 gon

30 0.45399 0.89101 0.50953 1.96261

40 0.58779 0.80902 0.72654 1.37638

y 0.13380 -0.08199 0.21701 -0.58623

interp.oprava 0.09366 -0.05739 0.15191 -0.41036

37 0.54765 0.83362 0.66144 1.55225


LINEÁRNÍ INTERPOL.ARGUMENTU – POSTUP

0.8

1

60

80

10

0

12

0

14

0

x (gon) sin x

60 0.809017

80 0.951057

100 1.000000

120 0.951057

140 0.809017


y

0.142040

0.048943

-0.048943

-0.142040

x =

?

y= 0,984514 1. určí se tabulková diference k tabulkovému kroku v místě hledané fce => y se znaménkem

Zadání: Určete hodnotu x pro sin x = 0,984514 v int. 80-100

2. určí se tabulkový krok argumentu x1 – x0 = k = 20

y = y1 – y0 = 0,048943

3. určí se rozdíl dané fce y = sin x = 0,984514 k nejbližší nižší hodnotě fce y0 = sin x0 = 0,951057

X = ?

y – y0 = 0,984514 - 0,951057 = 0,033457

5. vypočte se hledaný argument x, tak, že se x0 přičte oprava

4. určí se interpolační oprava argumentu (x – x0) k x0, která odpovídá nejbližšímu nižšímu argumentu


LINEÁRNÍ INTERPOLACE ARGUMENTU

Zadání: Pro fci y = sin a = 0,16523 vypočtěte metodou lineární interpolace hodnotu argumentu x a

rgu

men

t

1. f

ce


tabulkový krok argumentu x1 – x0 = k

tabulková diference y = y1 – y0

rozdíl fcí y – y0

Postup:


výsledek


LINEÁRNÍ INTERPOLACE ARGUMENTU

Zadání: Pro fci y = sin a = 0,16523 vypočtěte metodou lineární interpolace hodnotu argumentu x a

rgu

men

t

1. f

ce


tabulkový krok argumentu x1 – x0 = k = 10

tabulková diference y = y1 – y0 = 0,15259

rozdíl fcí y – y0 = 0,00880

Postup:


výsledek = 10 + 0,5767 = 10,5767 gon


LINEÁRNÍ INTERPOLACE VRSTEVNIC

Interpolace vrstevnic je úloha, při které se interpolují (vyhotovují) vrstevnice v daném území na základě znalosti polohy a výšky podrobných bodů terénu.



Pro správnou interpolaci vrstevnic je nutné zobrazit čáry terénní kostry jako spádnice, údolnice, hřebenové linie, sedla apod. Interpoluje se právě po těchto hranách nebo při čtvercové síti podrobných bodů ve směru největšího spádu.



Provede se číselná nebo grafická interpolace na spádnicích. Hledají se místa, kde daná vrstevnice protíná interpolovanou spádnici. Tzn. pokud máme na spádnici dva změřené body hodnotě např. 512.1 a 514.8 – tak mezi nimi budou probíhat vrstevnice 513 a 514 a právě pozici těchto vrstevnic na dané spádnici interpolací hledáme.



Po provedené interpolaci vzniká výsledný vrstevnicový plán. V současnosti jsou vrstevnice často generovány digitálně z DMT (Digitálního modelu terénu). Při zpracování vrstevnic se též využívá upravený postup interpolace. Některé software pro tvorbu vrstevnic Atlas DMT, ArcGIS, nadstavby na KOKEŠ, Microstation apod.



Interpolace vrstevnic je úloha, při které se interpolují (vyhotovují) vrstevnice v daném území na základě znalosti polohy a výšky podrobných bodů terénu. Používá se číselná a grafická interpolace .



Číselná interpolace -na polohopisném plánu mám vyneseny i výškopisné body pro zobrazení výškopisu:

- bod s výškou 65.1 m - bod s výškou 63.2 m

- na pravítku zjistíme hodnotu délky mezi těmito body = 59 mm

- vypočteme rozdíl výšek daných bodů 65.1 – 63.2 = 19 dm

- vypočteme hodnotu délky odpovídající 1 dm = 3.1 mm

- vypočteme hodnoty na pravítku pro jednotlivé vrstevnice – 64 m – 63.2 m = 0,8 m = 8 dm a z toho vyplývá, že poloha vrstevnice 64 bude ležet na hodnotě 8 x 3.1 mm = 24.8 mm



Grafické interpolace -na polohopisném plánu mám vyneseny i výškopisné body pro zobrazení výškopisu:


- jedna z možností grafické interpolace je přiložit libovolně měřítko na hodnotu 4.2 na bod s výškou 64.2 a pak dalším trojúhelníkem propojíme hodnotu 6.8 na měřítku s bodem o výšce 66.8

- pak pomocí dalšího pravítka využít podobnost trojúhelníků a pomocí rovnoběžek této spojnice, které procházejí hodnotami 5 a 6 na měřítku, vynést polohu vrstevnic 65 a 66 na spojnici bodů 66.8 a 64.2



Grafické interpolace -na polohopisném plánu mám vyneseny i výškopisné body pro zobrazení výškopisu:


- jedna z možností grafické interpolace je přiložit libovolně měřítko na hodnotu 4.2 na bod s výškou 64.2 a pak dalším trojúhelníkem propojíme hodnotu 6.8 na měřítku s bodem o výšce 66.8

- pak pomocí dalšího pravítka využít podobnost trojúhelníků a pomocí rovnoběžek této spojnice, které procházejí hodnotami 5 a 6 na měřítku, vynést polohu vrstevnic 65 a 66 na spojnici bodů 66.8 a 64.2


REKAPITULACE

TABELACE FUNKCE A LINEÁRNÍ INTERPOLACE

• TABELACE FUNKCÍ

• LINEÁRNÍ INTERPOLACE FUNKCÍ

• LINEÁRNÍ INTERPOLACE ARGUMENTU

• LINEÁRNÍ INTERPOLACE VRSTEVNIC

• Domácí úkol č.7 LINEÁRNÍ INTERPOLACE

• Následuje: SOUŘADNICOVÉ SOUSTAVY

Date post:	20-Dec-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	5 times
Download:	0 times

GEODETICKÉ VÝPOČTY I.€¦ · Geodetické výpočty I. TABELACE FCE A LINEÁRNÍ INTERPOLACE...

Documents