7.11.2016

1

Analytická geometrie

Vektory

Parametrické vyjádření přímky, roviny

Obecná rovnice nadroviny

Vektorový prostor

Nechť jsou dány následující matematické objekty:

1)

2)

VVV :3)

Číselné těleso T.

Neprázdná množina V.

VVT :4)

Zobrazení

Zobrazení

Řekneme, že V je vektorový prostor nad tělesem T s vektorovými operacemi

, právě když platí axiomy vektorového prostoru : a

S1) Komutativní zákon pro vektorové sčítání :

abbaba VV

S2) Asociativní zákon pro vektorové sčítání :

cbacbacba )()(VVV

součet vektorů

součin čísla a vektoru

7.11.2016

2

Vektorový prostor

S3) Existence nulového vektoru :

aaa θθ VV

S3) Existence opačného vektoru :

θ baab VVOpačný vektor k vektoru a značíme obvykle unárním mínus, tj. a = -b.

N1) Asociativní zákon pro násobení vektoru číslem:

N2) Násobení jedničkou :

aaa )()( VTT

aaa 1V

Vektorový prostor Tn

Buď T číselné těleso, n přirozené číslo, množina V pak množina n-tic

ve tvaru:

na ,,, 321

kde α1 až αn jsou čísla z tělesa T. Definujme operace jako

n

nn

a

ba

,,,

,,

321

2211

Jelikož všechny operace se provádějí jako standardní po složkách a

složky jsou čísla, axiomy vektorového prostoru jsou splněny (čísla je

evidentně splňují). Speciálně pro tělesa R nebo C značíme prostory Rn

nebo Cn. Na střední škole se studenti setkávají s vektorovými prostory

R2 nebo R3.

7.11.2016

3

Vektorový prostor šipek

Buď T = R reálné číselné těleso, množina V množina všech

geometrických orientovaných úseček. Její prvky jsou tedy jakési „šipky“.

Definujme operace takto:

a

ba

součet definujeme pomocí rovnoběžníkového pravidla

násobení definujeme jako γ-násobné prodloužení

Platí v takto definovaném prostoru axiomy? Bezesporu ano. Stejně se dá defino-

vat prostor šipek i v 3D. Prostor šipek je vhodný zejména při vizualizaci.

Lineární kombinace

Buď V vektorový prostor nad tělesem T. Souborem vektorů délky n

rozumíme uspořádanou n-tici (tj. závisí na pořadí):

nxxxx ,,, 321

nn

n

i

ii xxxxxx

332211

1

Říkáme, že vektor x je lineární kombinací souboru ( x1, … , xn ), právě

když existuje taková n-tice ( α1, … , αn ) čísel z tělesa T tak, že

Čísla αi nazýváme koeficienty lineární kombinace. Jsou-li všechna

nulová, říkáme takové kombinaci triviální a výsledek je nulový vektor.

7.11.2016

4

Lineární obal

Nechť nxxxx ,,, 321je soubor vektorů z V. Množinu

všech lineárních kombinací tohoto souboru nazýváme jeho line-

árním obalem a značíme

nxxxx ,,, 321

Lineární obal

1)

2)

3) Proházíme-li vektory v souboru, jeho lineární obal se nezmění.

4)

Nechť nxxxx ,,, 321 je soubor vektorů z V. Platí:

nxxxx ,,,θ 321

yxxxxxxxx

xxxx

nn

n

,,,,,,,

,,,y

321321

321

n

n

n

xxxx

xxxxy

xxxxy

,,,x

,,,x

,,,,x

321

321

321

T

Pozn. Lineární obal souboru vektorů je rovněž vektorovým prostorem.

Předchozí věta ukazuje, že operace na něm jsou uzavřené a platí-li axiomy na

celém prostoru, tím spíše platí na jeho podmnožině (což lineární obal je).

7.11.2016

5

Báze a dimenze

Nechť nxxxx ,,, 321 je soubor vektorů z V. Pokud platí

říkáme, že prostor V má konečnou bázi a soubor

1)

2)

Soubor je lineárně nezávislý

nxxxx ,,, 321V

nxxxx ,,, 321

nazýváme bází prostoru V.

Nechť V je vektorový prostor. Pokud existuje takové přirozené číslo n, že existuje n-

členný LN soubor vektorů z V a libovolný n+1 prvkový soubor vektorů z V je lineárně

závislý, říkáme, že prostor V má konečnou dimenzi a definujeme dim V = n .

Pokud takové číslo neexistuje, tj. lze najít LN soubor vektorů o zcela libovolném

počtu prvků, říkáme, že prostor V má nekonečnou dimenzi a definujeme dim V = ∞.

Buď V vektorový prostor. Platí

Ve V existuje n-členná báze. dim NV n

Báze a dimenze prostoru Tn

Tvrdíme, že dim Tn = n. K tomu je třeba nalézt nějakou bázi o n členech.

Soubor vektorů nn eeee ,,, 321 ve tvaru

1,0,0,0

0,1,0,0

0,0,1,0

0,0,0,1

3

2

1

ne

e

e

e

je tzv. standardní bází Tn . Soubor je LN zcela zjevně, n-členný je také a každý

vektor lze pomocí něj vyjádřit jako

n

i

iin ex1

321 ,,,

7.11.2016

6

Zvolíme-li bázi, pak se nám operace s jakýmkoliv vektorovým prostorem redukují

na operace s n-ticemi číslic – souřadnicemi. To znamená, že všechny vektorové

prostory o shodné konečné dimenzi a s tělesem T jsou v algebře ekvivalentní s

prostorem Tn.

Souřadnice

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 151412 13

12

3456

78

12

3

2

(2,4)

(4,2)

(6,6)

Věta zajišťuje, že můžeme

používat podobné nákresy jako

tento. Předpokládáme při nich

automaticky, že souřadnice v obou

prostorech jsou ve standardních

bázích.

Skalární součin vektorů

výsledkem je reálné číslo (skalár)

v rovině:

2211 ... bababa

v prostoru dim n:

);(

);(

21

21

bbb

aaa

1 2

1 2

( ; ;...; )

( ; ;...; )

n

n

a a a a

b b b b

ba.

ba

ba

.

. cos

odchylka vektorů

1 1 2 2. . . ... .n na b a b a b a b

7.11.2016

7

Vektorový součin

- je definován jen v prostoru dim 3 (ne v rovině)

- výsledkem je vektor

ba

baw

)..;.;..( 122131132332 babababababaw

- pro výsledný vektor w platí

w a w b

a b S

Obsah S rovnoběžníku určeného vektory a, b

je velikost vektorového součinu

GeoGebra – Vectory v R2

Velikost (norma )vektoru je určena skalárním součinem.

A = (1,3)

B = (3,1)

u = A

v = B

w2 = B – A

w = u + v

dotprod = u*v

mu = Length[u]

Velikost vektorového součinu ( sgn) crossprod = u ⊗ w

7.11.2016

8

R. Descartes: Geometrie, 1637 (český překlad 1947, 2010)

Geometrie představuje první revoluci v geometrii od antiky, spočívající v řešení geometrických problémů algebraickými prostředky.

Poprvé se zde objeví naše neznámá x, rovnice křivek v dnešní podobě.

Na rozdíl od antické názorné geometrie, která pracuje s

obrazy bodů, přímek a rovinných útvarů, analytická

geometrie řeší úlohy početně. Tak lze zkoumat i složitější

křivky, řešení jsou libovolně přesná a lze je hledat v

prostorech o více dimenzích.

a 0 b

y

x

y

x

z

1D

2D

3D

Jednoznačné určením bodu v prostoru

pomocí souřadnic – uspořádané n-tice

reálných čísel..

„Všechny úlohy geometrie lze snadno převést

na takové, k jejichž řešení stačí znát pouze

délky některých úseček.“

R. Descartes: Géométrie, kniha I, s.297,

1637.

Afinní prostor Eukleidovský prostor

1 2

1 2

2

( ; ;...; )

( ; ;...; )

n

n

i i

A a a a

B b b b

AB a b

7.11.2016

9

Eukleidovský prostor

V – Vektorový prostor (zaměření) – neprázdná množina bodů

"An affine space is nothing more than a vector space whose origin we try to

forget about, by adding translations to the linear maps“

Marcel Berger

;

Existuje bod , pro který je zobrazení

:

vzájemně jednoznačné.

P P V v B A

O

P V a A O

1 2

1 2

2

( ; ;...; )

( ; ;...; )

n

n

i i

A a a a

B b b b

AB a b

Eukleidovský podprostor

Uvažujme eukleidovský prostor s množinou bodů P a zaměřením V.

Podprostor je množina bodů z P tvaru

kde O je bod z P, and W je vektorový podprostor V.

;O w w W

Podprostor je jednoznačně určen

svým zaměřením a jedním bodem.

Dimenze eukleidovského prostoru = dimenze zaměření.

7.11.2016

10

X1

A

u

3.u

X1 = A + u X2

X2 = A + 2.u

X3

X3 = A + 3.u

Parametrická rovnice přímky

Přímka je dána bodem A a směrovým vektorem u.

Parametrická rovnice přímky

X1

A

u X1 = A + u X2

X2 = A + 2.u

X3

X3 = A + 3.u X4

X4 = A + 1/2 . u

X5

X5 = A + (-1) . u X6

X6 = A + (- 3/2) . u

• Všechny body X = A + t.u , kde t je z R, leží na přímce.

• Všechny body této přímky lze takovým způsobem vyjádřit.

RtutAXpX ;

p

7.11.2016

11

Dělící poměr ;

je kladné pro bod ležící vně ůsečky ,

je záporné pro bod ležící uvnitř ůsečky .

AC

BC

C AB

C AB

Číslo, které jednoznačně udává polohu bodu na přímce vzhledem ke

dvěma pevně daným bodů.

Definice: Nechť A, B, C jsou tři kolineární body. Potom číslo φ definované

vztahem

Nazýváme dělícím poměrem bodu C vzhledem k bodům A,B.

Poznámka: Pro libovolný bod C = A + t (B - A) na přímce existuje

vzájemně jednoznačný vztah mezi hodnotou parametru t a dělícím

poměrem.

( )C A C B

1

t

t

Barycentrické souřadnice Vyjadřují polohu vzhledem k daným bodům nezávisle na soustavě souřadnic.

( )

(1 )

1

1 1

C A C B

C A B

C A B

https://www.geogebra.org/m/adNf29qr#material/nHPcvHMX

( )

(1 )

C A t B A

X t A tB

Bod C leží na přímce AB právě tehdy, když existují dvě čísla b1, b2

taková, že platí:

Čísla b1, b2 nazýváme barycentrickými souřadnicemi vzhledem k

bodům A, B.

1 2C b A b B

7.11.2016

12

Příklad

GeoGebra-primka.ggb

https://www.geogebra.org/m/adNf29qr#material/nHPcvHMX

Lineární kombinace Nechť V je vektorový prostor nad R.

Vektor x V je dán uspořádanou n-ticí. 1 2, , , nx x x x

1 1 2 2

1

n

i i n n

i

x a e a e a e a e

Vektor x je lineární combinací vektorů e1, … , en, právě tehdy když

existuje uspořádaná n-tice ( α1, … , αn ) reálných čísel pro něž

Afinní kombinace bodů (barycentrické souřadnice)

Pro lib. bod A v afinním (eukleidovském) prostoru (O, <e1, e2, …en>)

1

1 1 2 2

1 1 2 2

1

; kde

... 1

n

i i i i

i

n n

n

n n i

i

A O x O a e e E O

A O a E O a E O a E O

A a E a E a E O a

7.11.2016

13

Afinní kombinace bodů O, E1,…, En

1 1 2 2

1 1 2

0

0

1

2

...

..

1

. , 1

n n

n

n n i

i

n

i

i

A a E a E a E O

A a E a E a E O kd

a

a e a

Libovolný bod A v afinním prostoru (O,<e1, e2, …en>)

můžeme vyjádřit jako lineární kombinaci bodů

Konvexní kombinace bodů O, E1,…, En (SIMPLEX)

- Afinní kombinace bodů pro nezáporné koeficienty

1 1 2 2 0

0

... , where 0 and 1n

n n i i

i

A a E a E a E a O a a

i ie E O

Konvexní kombinace bodů O, E1,…, En

1

4

1 1 2 2 3 3 4 4 0

0

, kde 0i i

i

A a E a E a E a E a O a a

https://www.geogebra.org/book/title/id/adNf29qr#material/Z8nDZR2v

7.11.2016

14

v

X1

X2

X3 = A + 2u + 3v

u 2u

X1 = A + 2u

X2 = A + 3v

X3

3v 2u + 3v

A

© RNDr. Jiří Kocourek

Parametrická rovnice roviny

A

v

u

RstvsutAXX ,;

• Všechny body X = A + t·u + s·v, kde t,s jsou

libovolná reálná čísla, leží v jedné rovině.

• Všechny body této roviny lze vyjádřit

takovým způsobem.

© RNDr. Jiří Kocourek

Parametrická rovnice roviny

Vektorový součin

7.11.2016

15

... kolmý (normálový) vektor k přímce p

(v rovině až na násobek určen jednoznačně)

p

];[ 21 ppP

];[ yxX

P ... pevně zvolený bod na přímce p

X ... libovolný bod přímky p

);( ban

n

)( PX

nPXpX

(pokud X≠P)

0 nPX

(platí i pro X=P)

021 bpyapx

021 bpapbyax cbpap 21

0 cbyaxpX

označíme:

Obecná rovnice přímky

P ... pevně zvolený bod v rovině X ... libovolný bod roviny

],,[ 321 pppP

],,[ zyxX

),,( cban

... kolmý (normálový) vektor) n

)( PX

(pokud X≠P)

0 nPX

(platí i pro X=P)

0321 cpbpapczbyax

dcpbpap 321

0 dczbyaxX

0321 cpzbpyapx

označíme:

nPXX

Obecná rovnice roviny

7.11.2016

16

P ... pevně zvolený bod v rovině X ... libovolný bod roviny

],,[ 321 pppP

],,[ zyxX

),,( cban

... kolmý (normálový) vektor

k rovině (v prostoru až na

násobek určen jednoznačně)

n

)( PX

Obecná rovnice roviny v prostoru 000;,,, cbaRdcba

0 dczbyaxX

Poznámka:

p

X

P

Pro přímku v prostoru neplatí:

V prostoru nelze vyjádřit přímku obecnou rovnicí !

Například rovnice

n

nPXpX

0532 yx je v prostoru rovnicí roviny, nikoli přímky.

7.11.2016

17

GeoGebra – Rovina ve 3D

A = (1,3,2)

B = (3,1,0)

O = (0,0,0)

u = A

v = B

w = u + 2v

a = Plane[A,B,O]

n = NormalovyVektor[a]

dotprod = n*u

Pří

kazy

v G

eoG

ebře

7.11.2016

18

Průsečnice rovin

: 2 0 (CFH)

: 1 0 (BDG)

x y z

x y z

3 1; ; ,

2 2r t t t R