Syntetická geometrie IIApollóniovy úlohy
Michal Zamboj
Pedagogická fakulta
2021www2.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
Apollónios z Pergy
Apollónios z Pergy, cca 3.-2. st. p.n.l
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
Apolloniovy úlohy
Jsou dány 3 ruzné kruhové útvary - kružnice, prímka(nekonecný polomer), bod (nulový polomer)Úkolem je sestrojit kruhový útvar, který se dotýká všechzadaných útvaru.
Doplnující pravidla• Bod se prímky nebo kružnice „dotýká“, když na nich leží.• Body v nekonecnu nepovažujeme za rešení.• Rovnobežné prímky se „dotýkají“ v nekonecnu,
ruznobežky ne.Pozn. Pokud bod leží na prímce, nebo kružnici, tak se nekdyúlohy nazývají Pappovy úlohy.
dodatecné materiály:http://apolloniovyulohy.webz.cz/
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
Metody rešení
MnB množina bodu dané vlastnostiS stejnolehlostM mocnost bodu ke kružniciKI kruhová inverze• nekdy taky posunutí, dilatace a pod.
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
1. BBB
a) A,B,C kolineární - 1 rešení (prímka)b) A,B,C nekolineární - 1 rešení (kružnice opsaná) - MnB
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
2. ppp
a) p,q, r konkurentní - 1 rešení (bod)b) p‖q‖r - 0 rešeníc) p‖q ∦ r - 2 rešení - MnB, posunutíd) p,q, r vzájemne ruznobežné, nekonkurentní - 4 rešení
(kružnice vepsaná, kružnice pripsané) - MnB
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
3. BBp
a) A,B ∈ p - 1 rešení (prímka p)b) (A ∈ p) ∧ (B /∈ p) - 1 rešení - MnB
c) (A,B /∈ p) ∧ (←→AB‖p) - 1 rešení - MnB
d) (A,B /∈ p) ∧ (←→AB ∦ p) ∧ (AB ∩ p = ∅) - 2 rešení - M, KI
e) (A,B /∈ p) ∧ (←→AB ∦ p) ∧ (AB ∩ p 6= ∅) - 0 rešení
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
4. BBk
a) A,B ∈ k - 1 rešení (kružnice k )b) A ∈ k ,B /∈ k - 1 rešení - MnBc) A a B vne/ uvnitr k - 2 rešení - M, KId) A vne, B uvnitr - 0 rešení
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
5. Bpp
a) (p‖q) ∧ (A ∈ p) ∧ (A /∈ q) - 1 rešení - MnBb) (p‖q) ∧ (A ∈ pásu p,q) - 2 rešení - MnB + posunutíc) (p‖q) ∧ (A /∈ pásu p,q) - 0 rešeníd) (p ∦ q) ∧ (A ∈ p.q) - 1 rešení (bod A)e) (p ∦ q) ∧ (A ∈ p) ∧ (A /∈ q) - 2 rešení - S, KIf) (p ∦ q) ∧ (A /∈ p,q) - 2 rešení - S, KI
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
6. ppk
• p‖q a dále podle polohy kružnic a prímek (8 možností) 0-4rešení - MnB• p ∦ q a dále podle polohy kružnic a prímek (5 možností) 4,
6, 8 rešení - S
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
7. Bpk
• A ∈ p ∩ k - podle polohy prímky a kružnice (2 možnosti) 1,nebo∞ rešení• A ∈ p ∧ A /∈ k - podle polohy prímky a kružnice (3
možnosti) 1, nebo 2 rešení - S• A ∈ k ∧ A /∈ p - podle polohy prímky a kružnice (3
možnosti) 1, nebo 2 rešení - S• A /∈ p, k - podle polohy prímky a kružnice, a podle polohy
bodu a kružnice (7 možnosti) 0 - 4 rešení - KI, dilatace
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
8. pkk
• Sk = Sl - podle polohy prímky a kružnic (2 možnosti) 0nebo 4 rešení - MnB• Sk 6= Sl - podle polohy kružnic a prímky (0-2 prusecíky s
každou z kružnic) - 0-8 nebo∞ rešení - KI, dilatace(prevod na Bpk, BBp)
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
9. kkk
• Sk = Sl = Sm - 0 rešení• Sk = Sl - 0-8 rešení - MnB• Sk 6= Sl 6= Sm 6= Sk - 0-8 rešení - KI (prevod na pkk, nebo
na soustredné kružnice), dilatace (prevod na Bkk, BBk,BBB)
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
10. Bkk
• Sk = Sl - podle polohy bodu (4 možnosti) 0, 2 nebo 4rešení - MnB• Sk 6= Sl podle polohy kružnic (5 možností) a dále podle
polohy bodu 0-4 rešení - KI
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
Apolloniova kružnice
Veta (Apolloniova kružnice)
Necht’ jsou v rovine dány dva ruzné body A,B a císlo0 < λ 6= 1.Množinou všech bodu X dané roviny, pro než platí|AX | : |BX | = λ, je kružnice k sestrojená nad prumerem CD,kde C a D jsou body prímky
←→AB, splnující vztah
|AC||BC|
=|AD||BD|
= λ.
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
Apolloniova kružnice
Veta (Apolloniova kružnice)
Dukaz (⇒)
1. najdeme body C,D na prímce←→AB, splnující |AC|
|BC| =|AD||BD| = λ.
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
Apolloniova kružnice
Veta (Apolloniova kružnice)
Dukaz (⇒)
2. necht’ pro X platí |AX ||BX | = λ. Dokážeme, že X leží na
Thalétove kružnici nad prumerem CD .
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
Apolloniova kružnice
Veta (Apolloniova kružnice)
Dukaz (⇒)
Bodem B vedeme rovnobežku s AX →4XYZ.
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
Apolloniova kružnice
Veta (Apolloniova kružnice)
Dukaz (⇒)
4ACX uu∼ 4BCY ⇒ AXBY = AC
BC = λ = AXBX ⇒ |BY | = |BX |
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
Apolloniova kružnice
Veta (Apolloniova kružnice)
Dukaz (⇒)
4ADX uu∼ 4BDZ ⇒ AXBZ = AD
BD = λ = AXBX ⇒ |BZ | = |BX |
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
Apolloniova kružnice
Veta (Apolloniova kružnice)
Dukaz (⇒)
2^(BXC) + 2^(BXD) = 180⇒ X leží na Thalétove kružnici.
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
Apolloniova kružnice
Veta (Apolloniova kružnice)
Dukaz (⇐)
Necht’ X leží na kružnici nad prumerem CD.
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
Apolloniova kružnice
Veta (Apolloniova kružnice)
Dukaz (⇐)
Ze stejných trojúhelníku jak v „⇒“ platí |BY | = |BZ | a tedy Xleží na Thalétove kružnici se stredem B a polomerem|BY | = |BZ | = |BX |.
Michal Zamboj Syntetická geometrie II
Apolloniova kružnice
Veta (Apolloniova kružnice)
Dukaz (⇐)
Konecne λ =|AX ||BY |
=|AX ||BX |
.
Michal Zamboj Syntetická geometrie II