Aplikovaná matematika III (NMAF073)Aplikovaná matematika III (NMAF073) Mirko Rokyta (KMA MFF UK)...

Aplikovaná matematika III (NMAF073) Mirko Rokyta (KMA MFF UK)

ZS 2019/20

1 Číselné a mocninné řady 1 1.1 Základní pojmy 1 1.2 Kritéria konvergence 1 1.3 Neabsolutní konvergence 2 1.4 Přerovnávání řad 2 1.5 Součin řad 3 1.6 Mocninné řady 3

2 Maticový a vektorový počet II 5 2.1 Úvod 5 2.2 Vlastní čísla a vlastní vektory 7

3 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 9 3.1 Úvod - opakování 9 3.2 Lineární DR n-tého řádu s (ne)konstantními koeficienty 9 3.3 Speciální typy ODR 12 3.3.1 Bernoulliho rovnice 12 3.3.2 Eulerova rovnice 13 3.4 Řešení ODR pomocí Taylorových řad 13 3.5 Soustavy ODR 1. řádu 14

4 Křivkový integrál 19 4.1 Křivky a jejich parametrizace 19 4.2 Křivkový integrál 1. a 2. druhu 20 4.3 Křivkový integrál a potenciál vektorového pole 21

5 Plošný integrál 23 5.1 Plošný integrál 1. druhu v R3 23

5.2 Plošný integrál 2. druhu v R3 24

6 Věty Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova věta 26 6.1 Úvod 26 6.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce 26 6.3 Greenova a Stokesova věta 28

Tento učební text vznikl jako doplněk k přednášce Aplikovaná matematika III (NMAF073), kterou jsem v zimním semestru akademického roku 2019/20 vedl na MFF UK a je rozšířením a úpravou textu, který vznikl v letech 2010/11, 2013/14 a 2017/2018, kdy jsem tuto přednášku také měl. Text rozhodně není úplným záznamem přednášky, obsahuje pouze definice a znění všech vět a tvrzení a některé příklady a poznámky. Neobsahuje komentáře, podrobnější poznámky a příklady a také důkazy vět a tvrzení, apod. Text rovněž neprošel podrobným korekturním čtením, proto je možné, že obsahuje překlepy či chyby. Upozornění na jakýkoli nedostatek bude vítáno na adrese [email protected] Text je možno nalézt v elektronické podobně na http://www.karlin.mff.cuni.cz/~rokyta/vyuka/ ©M. Rokyta, 2011-2020

mailto:[email protected]

http://www.karlin.mff.cuni.cz/~rokyta/vyuka/

M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 1: Císelné a mocninné rady 1M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 1: Císelné a mocninné rady 1

1 Císelné a mocninné rady

1.1 Základní pojmy

Definice. Necht’ an ∈ C je posloupnost komplexních císel. Pro m ∈ N položme

sm = a1 + a2 + · · ·+ am.

Císlo sm nazveme m-tým cástecným souctem rady∑

∞

n=1 an. Prvek an budeme nazývat n-tým clenem

rady∑

∞

n=1 an. Souctem nekonecné rady∑

∞

n=1 an nazveme limitu posloupnosti sm, pokud tato limita

existuje. Soucet rady budeme znacit symbolem∑

∞

n=1 an. Rekneme, že rada konverguje, je-li její soucet

konecné císlo. V jiném prípade rekneme, že rada diverguje.

Veta 1.1 (nutná podmínka konvergence rady). Jestliže rada∑

∞

n=1 an konverguje, pak lim an = 0.

Poznámka. Práve uvedená nutná podmínka konvergence se používá predevším ve tvaru "Jestliže lim an 6= 0nebo lim an neexistuje, potom rada

∑

∞

n=1 an diverguje."

Veta 1.2. (i) Necht’ α ∈ C, α 6= 0. Potom∑

∞

n=1 an konverguje, práve když∑

∞

n=1 αan konverguje.

V tom prípade platí∞∑

n=1

αan = α∞∑

n=1

an .

(ii) Necht’∑

∞

n=1 an a∑

∞

n=1 bn jsou konvergentní rady. Potom∑

∞

n=1(an + bn) konverguje, a platí

∞∑

n=1

(an + bn) =∞∑

n=1

an +∞∑

n=1

bn .

1.2 Kritéria konvergence

Veta 1.3 (srovnávací kritérium). Necht’ n0 ∈ N. Dále necht’∑

∞

n=1 an a∑

∞

n=1 bn jsou dve rady splnující

0 ≤ an ≤ bn pro každé n ∈ N, n ≥ n0.

(i) Je-li∑

∞

n=1 bn konvergentní, je rovnež∑

∞

n=1 an konvergentní.

(ii) Je-li∑

∞

n=1 an divergentní, je rovnež∑

∞

n=1 bn divergentní.

Veta 1.4 (limitní srovnávací kritérium). Necht’∑

∞

n=1 an a∑

∞

n=1 bn jsou rady s nezápornými cleny a

limn→+∞ an/bn = c ∈ R⋆.

(i) Necht’ c ∈ (0,∞). Potom∑

∞

n=1 an konverguje, práve když konverguje∑

∞

n=1 bn.

(ii) Necht’ c = 0. Pak konverguje-li∑

∞

n=1 bn, konverguje i∑

∞

n=1 an.

(iii) Necht’ c = ∞. Pak konverguje-li∑

∞

n=1 an, konverguje i∑

∞

n=1 bn.

Veta 1.5 (Cauchyovo odmocninové kritérium). Necht’∑

∞

n=1 an je rada s nezápornými cleny. Potom platí:

(i) Existuje-li q ∈ (0, 1) takové, že

∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 : n√an ≤ q,

potom∑

∞

n=1 an konverguje.

(ii) Je-li lim n√an < 1, pak je

∑

∞


http://www.karlin.mff.cuni.cz/˜rokyta/vyuka/


(iii) Je-li lim n√an > 1, pak neplatí lim an = 0 a

∑

∞

n=1 an je divergentní.

Veta 1.6 (d’Alembertovo podílové kritérium). Necht’∑

∞

n=1 an je rada s kladnými cleny.

(i) Existuje-li q ∈ (0, 1) takové, že

∃n0 ∈ N ∀n ∈ N, n ≥ n0 :an+1

an≤ q,

potom∑

∞

n=1 an konverguje.

(ii) Je-li lim an+1

an< 1, pak je

∑

∞


(iii) Je-li lim an+1

an> 1, pak neplatí lim an = 0 a

∑

∞

n=1 an je divergentní.

Veta 1.7 (integrální kritérium). Necht’ f je nezáporná, nerostoucí a spojitá na 〈n0,+∞), kde n0 ∈ N.

Necht’ pro posloupnost reálných císel an∞n=1 platí an = f(n) pro n ≥ n0. Pak

∫

∞

n0

f(x) dx < +∞ ⇐⇒∞∑

n=1

an konverguje.

Veta 1.8. Necht’ α ∈ R. Rada∑

∞

n=11nα konverguje práve tehdy, když α > 1.

Veta 1.9 (Raabeovo kritérium). Necht’∑

∞

n=1 an je rada s kladnými cleny.

(i) Je-li limn(

anan+1

− 1)

> 1, pak je∑

∞


(ii) Je-li limn(

anan+1

− 1)

< 1, pak je∑

∞

n=1 an divergentní.

Definice. Rekneme, že rada∑

∞

n=1 an je absolutne konvergentní, pokud rada∑

∞

n=1 |an| konverguje.

Veta 1.10. Je-li rada∑

∞

n=1 an absolutne konvergentní, je rovnež konvergentní.

1.3 Neabsolutní konvergence

Veta 1.11 (Abel-Dirichletovo kritérium). Necht’ an∞n=1 je posloupnost a bn∞n=1 je omezená monotónní

posloupnost. Jestliže je splnena nekterá z následujících podmínek, pak je∑

∞

n=1 anbn konvergentní.

(A)∑

∞

n=1 an je konvergentní,

(D) limn→∞ bn = 0 a∑

∞

n=1 an má omezenou posloupnost cástecných souctu.

Veta 1.12 (Leibniz). Necht’ an∞n=1 je posloupnost splnující

• ∀n ∈ N : an ≥ 0,

• ∀n ∈ N : an ≥ an+1,

• lim an = 0.

Potom je rada∑

∞

n=1(−1)nan konvergentní.

1.4 Prerovnávání rad

Definice. Necht’ p : N → N je bijekce. Prerovnáním rady∑

∞

n=1 an rozumíme radu∑

∞

n=1 ap(n).

Veta 1.13. Necht’∑

∞

n=1 an je absolutne konvergentní rada a∑

∞

n=1 ap(n) je její prerovnání. Pak rada∑

∞

n=1 ap(n) je absolutne konvergentní a má stejný soucet jako∑

∞

n=1 an.



1.5 Soucin rad

Definice. Cauchyovým soucinem rad∑

∞

n=1 an a∑

∞

m=1 bm budeme rozumet radu

∞∑

k=1

(

k∑

i=1

ak+1−ibi

)

.

Veta 1.14 (Mertens). Necht’ rady∑

∞

n=1 an,∑

∞

m=1 bm konvergují, pricemž alespon jedna z nich konver-

guje absolutne. Potom∞∑

k=1

(

k∑

i=1

ak+1−ibi

)

=

(

∞∑

n=1

an

)

·(

∞∑

m=1

bm

)

.

Veta 1.15 (Abel). Necht’∑

∞

n=1 an,∑

∞

m=1 bm jsou konvergentní rady, takové, že i jejich Cauchyuv soucin

konverguje. Pak platí∞∑

k=1

(

k∑

i=1

ak+1−ibi

)

=

(

∞∑

n=1

an

)

·(

∞∑

m=1

bm

)

.

Shrnutí

Vztah absolutni konvergence a konvergence

an ≥ 0 AK ⇐⇒ K

an ∈ C AK =⇒ K

Aritmetické operace s radami

operace stací, když

násobek konstantou rada konverguje

asociativita (uzávorkování) rada konverguje

soucet, rozdíl obe rady konvergují

prerovnání (komutativita) rada konverguje absolutne

násobení dvou rad obe rady konvergují,

alespon jedna z nich absolutne

1.6 Mocninné rady

Definice. Mocninnou radou o stredu z0 ∈ C rozumíme radu∑

∞

k=0 ak(z − z0)k, kde z ∈ C a ak ∈ C pro

každé k ∈ N ∪ 0.

Veta 1.16. Necht’∑

∞

k=0 ak(z − z0)k je mocninná rada. Pak existuje nezáporný prvek R ∈ R

∗ takový, že

• pro každé z ∈ C, |z − z0| < R, uvedená rada konverguje absolutne,

• pro každé z ∈ C, |z − z0| > R, uvedená rada diverguje.

Platí

R =1

limk→∞

k√

|ak|,

pokud limita ve jmenovateli zlomku vpravo existuje. Výrazu 1/0 zde prirazujeme hodnotu R = +∞ a výrazu

1/∞ prirazujeme hodnotu R = 0.



Poznámka. Platí také

R =1

limk→∞

∣

∣

∣

ak+1

ak

∣

∣

∣

,

pokud limita ve jmenovateli zlomku vpravo existuje. Výrazu 1/0 zde opet prirazujeme hodnotu R = +∞ a

výrazu 1/∞ prirazujeme hodnotu R = 0.

Definice. Prvek R z predchozí vety nazýváme polomerem konvergence rady∑

∞

k=0 ak(z − z0)k. Kruh

v komplexní rovine KR(z0) := z ∈ C; |z − z0| < R nazýváme kruhem konvergence, a kružnici

KR(z0) := z ∈ C; |z − z0| = R nazýváme konvergencní kružnicí dané rady.

Poznámka.

V dalším textu budeme používat pojem derivace komplexní funkce konplexní promenné, který je defi-

nován formálne zcela stejne jako pojem derivace reálné funkce reálné promenné.

Tedy, rekneme, že f : C → C má derivaci v bode z ∈ C, pokud existuje limita

f ′(z) := limw→z

f(w)− f(z)

w − z∈ C .

Na rozdíl od reálných funkcí nedefinujeme v tomto prípade pojem nevlastní limity (derivace), ani pojmy

jednostranná limita (derivace).

Veta 1.17. Necht’ R > 0 je polomerem konvergence mocninné rady∑

∞

n=0 an(z − z0)n. Definujme

f(z) :=∞∑

n=0

an(z − z0)n, |z − z0| < R.

Potom rada∑

∞

n=1 nan(z − z0)n−1 konverguje pro |z − z0| < R a platí

f ′(z) =∞∑

n=1

nan(z − z0)n−1, |z − z0| < R.

Veta 1.18. Necht’ f je jako ve Vete 1.17. Potom má f derivace všech rádu pro z ∈ C, |z− z0| < R, a platí:

f (k)(z) =∞∑

n=k

n(n− 1) . . . (n− k + 1)an(z − z0)n−k.

Speciálne platí f (k)(z0) = k!ak.

Poznámka.

Mocninnou radu lze tedy uvnitr kruhu konvergence libovolnekrát derivovat (a integrovat) clen po clenu,

aniž se zmení polomer konvergence. Stejne tak lze provádet uvnitr kruhu konvergence všechny výše sepsané

aritmetické operace, vcetne prerovnání rady.

Veta 1.19 (Abel). Necht’ f je jako ve Vete 1.17 a necht’ císelná rada∑

∞

n=0 an(z − z0)n konverguje pro

nejaké z ∈ C, ležící na konvergencní kružnici, tedy pro z = z0 + Reiϕ, ϕ ∈ 〈0, 2π). Potom existuje vlastní

limita limr→R− f(z0 + reiϕ) a platí:

∞∑

n=0

an(z − z0)n =

∞∑

n=0

anRneinϕ = lim

r→R−

f(z0 + reiϕ) .

Speciálne, pokud konverguje císelná rada∑

∞

n=0 anRn, je

∑

∞

n=0 anRn = limx→R− f(x), a podobne je

∑

∞

n=0(−1)nanRn = limx→−R+ f(x) za predpokladu, že císelná rada

∑

∞

n=0(−1)nanRn konverguje.

Príklady: Nekterá z použití teorie císelných a mocninných rad:

• Rozvíjení funkcí do Taylorových rad pomocí integrovaní rady (ln(1 + x), arctg x).

• Scítání nekterých císelných (i mocninných) rad (ln 2, π4 = arctg 1).

• Hledání rešení ODR ve tvaru rady.


M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 2: Maticový a vektorový pocet II 5M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 2: Maticový a vektorový pocet II 5

2 Maticový a vektorový pocet II

2.1 Úvod

Opakování z 1. rocníku

Oznacení. Množinu všech reálných resp. komplexních matic rozmeru m × n budeme znacit Mm×n(R)resp. Mm×n(C). Nekdy budeme též používat znacení Mm×n(K), kde K bude znacit bud’ R nebo C.

Poznámka. Pro násobení matic (pokud je definováno, tj. souhlasí rozmery matic) platí:

A · (B ·C) = (A ·B) ·C ,

A ·B 6= B ·A (obecne) .

Pokud je A ·B = B ·A, ríkáme, že matice A, B komutují.

Poznámka. Pro scítání a násobení matic a násobení matic skalárem λ ∈ K platí:

A · (B+C) = A ·B+A ·C ,

(B+C) ·A = B ·A+C ·A ,

λ (A+B) = λA+ λB ,

λ (A ·B) = (λA) ·B ,

pokud jsou všechny aritmetické operace definovány (tj. zejména souhlasí rozmery matic).

Poznámka. • Pripomente si nekteré základní termíny: jednotková matice I, diagonální matice, inverzní

matice (A−1), regulární matice, singulární matice, transponovaná matice (AT ).

• . . . i nekteré další základní termíny:

– symetrická matice: A = AT

– ortogonální matice: A ·AT = AT ·A = I

– hermitovsky sdružená matice: AH := A

T

– hermitovská matice: A = AH

– unitární matice: A ·AH = AH ·A = I

Cvicení. Ukažte, že platí následující identity (vždy, když je násobení matic definováno alespon na jedné

strane uvažovaných rovností):

(A ·B)T = BT ·AT ,

(A ·B)H = BH ·AH ,

a pro regulární matice A,B:

(A ·B)−1 = B−1 ·A−1 .

Tvrzení 2.1. Bud’ A ∈ Mn×n(K) ctvercová matice. Potom

A je regulární ⇐⇒ sloupce A jsou LN ⇐⇒⇐⇒ rádky A jsou LN ⇐⇒⇐⇒ h(A) = n ⇐⇒ dimNA = 0 ⇐⇒⇐⇒ detA 6= 0.

Zde NA := ~x ∈ Kn;A~x = 0, a h(A) oznacuje hodnost matice A.



Pozn. Obecne pro A ∈ Mn×n(K) platí

dimNA + h(A) = n .

Zacátek 2. rocníku

Definice (Norma matice). Bud’ A ∈ Mn×n(K) ctvercová matice. Pro jakoukoli normu vektoru ~x ∈ Kn

definujeme odpovídající normu matice A takto:

‖A‖ := sup~x ∈ K

n

~x 6= 0

‖A~x‖‖~x‖ . (1)

Pozn. Zvolíme-li napríklad eukleidovskou normu ‖~x‖2 = ∑nj=1 |xj |2, potom

‖A‖2 ≤n∑

i,j=1

|aij |2.

Pozn. Prímo z definice normy matice plyne, že

‖A~x‖ ≤ ‖A‖ ‖~x‖ pro každé ~x ∈ Kn .

Proto je

‖AB~x‖ ≤ ‖A‖ ‖B~x‖ ≤ ‖A‖ ‖B‖ ‖~x‖ pro každé ~x ∈ Kn ,

a tedy

‖AB‖ ≤ ‖A‖ ‖B‖ .Speciálne

‖A2‖ ≤ ‖A‖2 odkud plyne ‖An‖ ≤ ‖A‖n ∀n ∈ N .

Veta 2.2 (O maticových radách). Necht’ mocninná rada∑

∞

k=0 akzk má polomer konvergence R > 0. Bud’

dále A ∈ Mn×n(K) matice, pro jejíž normu platí ‖A‖ < R. Potom

f(A) :=∞∑

k=0

akAk

konverguje, f(A) ∈ Mn×n(K). Navíc platí

‖f(A)‖ ≤∞∑

k=0

|ak| ‖A‖k ,

kde císelná rada napravo konverguje.

Príklad 1. • Exponenciála matice je definována radou

eA = exp(A) :=

∞∑

k=0

Ak

k!, (2)

která konverguje pro každou matici A ∈ Mn×n(K).

• Pokud matice A,B ∈ Mn×n(K) komutují, platí

eA · eB = eA+B .

• Speciálne tedy vždy platí eA · e−A = e−A+A = I, neboli: každá matice tvaru eA je regulární (at’

byla A jakákoli ctvercová matice), a e−A je matice k ní inverzní.

Príklad 2. Ukažte: je-li A diagonální matice, která má na diagonále prvky λ1, . . . , λn, je exp(A) také

diagonální matice, mající na diagonále prvky eλ1 , . . . , eλn .



2.2 Vlastní císla a vlastní vektory

Definice. Rekneme, že císlo λ ∈ C je vlastním císlem matice A ∈ Mn×n(K), pokud existuje nenulový

vektor ~x ∈ Cn takový, že

A~x = λ~x .

Vektor ~x ∈ Cn pak nazýváme vlastním vektorem matice A, odpovídajícím vlastnímu císlu λ ∈ C.

Veta 2.3. Císlo λ ∈ C je vlastním císlem matice A ∈ Mn×n(K) práve tehdy, když je korenem tzv.

charakteristického polynomu matice A,

PA(λ) := det(A− λI) , (3)

tj. reší rovnici det(A− λI) = 0.

(K dukazu: z tvrzení 2.1 plyne, že det(A − λI) 6= 0 ⇐⇒ rovnice (A − λI)~x = 0 má pouze nulové

rešení.)

Poznámka. • Každá matice má alespon jedno vlastní císlo (dusledek základní vety algebry).

• Ruzné matice mohou mít stejná vlastní císla.

• Pro pevné vlastní císlo λ ∈ C platí: Každý násobek jeho vlastního vektoru je opet jeho vlastním

vektorem. Soucet dvou jeho vlastních vektoru je opet jeho vlastním vektorem.

• . . . =⇒ pro pevné vlastní císlo λ ∈ C je

Nλ := ~x ∈ Cn ; A~x = λ~x (= NA−λI)

lineární podprostor Cn. Nazýváme jej vlastním podprostorem matice A, príslušným císlu λ.

Veta 2.4. Bud’ λ ∈ C vlastní císlo matice A. Potom

1 ≤ dimNλ ≤ m(λ) ,

kde m(λ) je násobnost (multiplicita) císla λ jakožto korene charakteristického polynomu.

Cvicení. Bud’ A ∈ Mn×n(R) reálná symetrická matice a Q(~x) := (A~x, ~x), ~x ∈ Rn, odpovídající kvadrat-

ická forma. Najdete nejmenší a nejvetší hodnotu této kvadratické formy na jednotkové sfére v Rn. Pro jaké

vektory se tyto hodnoty nabývají?

Rešení.

Jde o nalezení globálních extrému funkce Q(~x) na kompaktní množine Sn := ~x ∈ R

n; ‖~x‖2 = 1.

Použitím metody Lagrangeových multiplikátoru zjistíme, že hledáme ty hodnoty ~x ∈ Sn, pro které je

∂

∂xk(A~x, ~x)− λ

∂

∂xk(‖~x‖2 − 1) = 0 , k = 1, . . . , n .

Tento systém rovnic je ekvivalentní vektorové rovnici A~x = λ~x (ukažte to podrobne). Hodnota Q(~x) v

takových vektorech je pak Q(~x) = (A~x, ~x) = (λ~x, ~x) = λ‖~x‖2 = λ.

Rozmyslete si, že tedy platí:

• Reálná symetrická matice A ∈ Mn×n(R) má pouze reálná vlastní císla.

• Kvadratická forma Q(~x) := (A~x, ~x) nabývá na jednotkové sfére nejvetší hodnoty λmax, rovné ne-

jvetšímu vlastnímu císlu matice A, a to ve vlastním vektoru, který tomuto vlastnímu císlu odpovídá.



• Kvadratická forma Q(~x) nabývá na jednotkové sfére nejmenší hodnoty λmin, rovné nejmenšímu

vlastnímu císlu matice A, a to ve vlastním vektoru, který tomuto vlastnímu císlu odpovídá.

Definice. Rekneme, že ctvercové matice stejného stupne A,B ∈ Mn×n(K) jsou si podobné (píšeme

A ≈ B), pokud existuje regulární matice P ∈ Mn×n(K) taková, že

B = P−1

AP .

Poznámka. • A ≈ A

• A ≈ B =⇒ B ≈ A

• A ≈ B, B ≈ C =⇒ A ≈ C

Tvrzení 2.5. Bud’ A ∈ Mn×n(K) podobná diagonální matici, tj. necht’ existují diagonální matice D ∈Mn×n(K) a regulární matice P ∈ Mn×n(K) takové, že

D = P−1

AP .

Potom:

• Diagonála matice D je tvorena vlastními císly matice A, a tedy matice A a D mají stejná vlastní

císla i stejný charakteristický polynom.

• Sloupce matice P jsou tvoreny vlastními vektory matice A, usporádanými ve stejném poradí jako

odpovídající vlastní císla na diagonále matice D.

Poznámka. Pozor, první z výše uvedených tvrzení neplatí obrácene: matice, mající stejné charakteristické

polynomy ješte nemusí být podobné. Napríklad

(

1 10 1

)

a

(

1 00 1

)

.

(Ukažte to).

Tvrzení 2.6. Vlastní vektory matice A, které odpovídají ruzným vlastním císlum, jsou lineárne nezávislé.

Veta 2.7. Necht’ A ∈ Mn×n(K) je matice stupne n. Potom následující výroky jsou ekvivalentní:

1. A je podobná nejaké diagonální matici.

2. V Cn existuje báze složená pouze z vlastních vektoru matice A.

3. Pro každé vlastní císlo λ matice A je dimNλ = m(λ).

Definice. Rekneme, že A ∈ Mn×n(K) je diagonalizovatelná, pokud je podobná nejaké diagonální matici.


M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 3: Obycejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 9M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 3: Obycejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 9

3 Obycejné diferenciální rovnice a jejich soustavy

3.1 Úvod - opakování

Opakování z 1. rocníku

Definice. Rovnice se separovanými promennými je rovnice tvaru

y′ = g(y) · h(t). (1)

Návod k rešení:

• Pokud g(c) = 0, je funkce y(t) = c rešením rovnice.

• Na intervalech, kde g(y) 6= 0 uvažtey′

g(y) = h(t) s následným∫

dyg(y) =

∫

h(t) dt.

• Nutná je diskuse o možnostech navazování rešení predchozích dvou typu!

Definice. Lineární ODR prvního rádu je rovnice tvaru

y′ + p(t)y = q(t), (2)

kde p, q jsou spojité funkce na daném intervalu (a, b), a, b ∈ R∗, a < b.

Návod k rešení:

• Násobte rovnici výrazem eP (t), kde P je primitivní funkce k p na (a, b).

• Upravte na levé strane do tvaru derivace soucinu.

• Integrujte.

Definice. Lineární diferenciální rovnice druhého rádu s konstantními koeficienty je rovnice tvaru

Ay′′ +By′ + Cy = f(t), (3)

kde A, B, C ∈ R, A 6= 0, a funkce f(t) je spojitá na intervalu (a, b). Pokud je f identicky nulová na (a, b),nazýváme rovnici (3) homogenní.

Prípad I:

f ≡ 0, rovnice: Ay′′ +By′ + Cy = 0, obecné rešení yh

Pokud charakteristická rovnice Aλ2 +Bλ+ C = 0 má:

1. dva ruzné reálné koreny λ1 6= λ2:

yh(t) = c1eλ1t + c2e

λ2t

2. jeden dvojnásobný reálný koren λ:

yh(t) = c1eλt + c2te

λt

3. dva komplexne sdružené koreny α± iβ, β 6= 0:

yh(t) = eαt(c1 cosβt+ c2 sinβt)



Prípad II:

f 6≡ 0, rovnice: Ay′′ +By′ + Cy = f(t)

Pro rešení y(t) platí:

y(t) = yh(t) + yp(t),

kde yh(t) je obecné rešení homogenní rovnice (viz predchozí prípad) a yp(t) je jedno (jakékoliv), tzv.

partikulární rešení rovnice Ay′′ +By′ + Cy = f(t).

Nekterá partikulární rešení lze "uhodnout" podle tvaru pravé strany.

• Je-li f(t) = P (t)eαt, kde α ∈ R a P je polynom, potom existuje polynom Q, st Q = st P , že

1. α 6= λ1, α 6= λ2 =⇒ yp(t) = Q(t)eαt,

2. α 6= λ1, α = λ2 =⇒ yp(t) = tQ(t)eαt,

3. α = λ1 = λ2 =⇒ yp(t) = t2Q(t)eαt.

• Je-li f(t) = eαt(P (t) cosβt+R(t) sinβt), (P , R polynomy), existují polynomy Q, S, stupne nejvýše

max(st P, st R), takové, že

1. α+ iβ 6= λ1, α+ iβ 6= λ2 =⇒ yp(t) = eαt(Q(t) cosβt+ S(t) sinβt),

2. α+ iβ = λ1, α+ iβ 6= λ2 =⇒ yp(t) = teαt(Q(t) cosβt+ S(t) sinβt).

Konec opakování.

3.2 Lineární DR n-tého rádu s (ne)konstantními koeficienty

Budeme se zabývat rovnicemi tvaru

an(t)y(n) + an−1(t)y

(n−1) + · · ·+ a1(t)y′ + a0(t)y = f(t), (4)

kde a0, . . . , an a f jsou funkce spojité na daném intervalu (a, b), an(t) 6= 0 pro t ∈ (a, b) (lineární diferen-

ciální rovnice n-tého rádu s nekonstantními koeficienty). Jsou-li všechny funkce a0, . . . , an konstantní

na intervalu (a, b), jde o lineární diferenciální rovnici n-tého rádu s konstantními koeficienty, (f(t)nemusí být konstantní).

Homogenní rovnicí k rovnici (4) rozumíme rovnici


(n−1) + · · ·+ a1(t)y′ + a0(t)y = 0. (5)

Veta 3.1. Necht’ t0 ∈ (a, b) a z0, . . . , zn−1 ∈ R. Pak existuje práve jedno maximální rešení y rovnice (4)

resp. (5), které splnuje tzv. pocátecní podmínky

y(t0) = z0, y′(t0) = z1, . . . , y

(n−1)(t0) = zn−1.

Toto rešení je navíc definováno na celém intervalu (a, b).

Veta 3.2 (o strukture všech rešení).

(i) Maximální rešení rovnice (5) jsou definována na celém R a tvorí vektorový podprostor prostoru

Cn(a, b) dimenze n. Jeho jakoukoli bázi nazýváme fundamentálním systémem rovnice (5).

(ii) Necht’ yp je maximální rešení rovnice (4). Pak funkce y je jejím maximálním rešením, práve když ji

lze zapsat ve tvaru y = yp + yh, kde yh je vhodné rešení rovnice (5).



I. Hledání fundamentálního systému

Pro rovnici (5) s konstantními koeficienty lze použít tzv. metodu charakteristického polynomu. Pro

rovnici (5), kde alespon jeden z koeficientu je nekonstatní, nelze obecne explicite najít její fundamentální

systém. (V nekterých speciálních prípadech to lze, jak uvidíme pozdeji) .

Definice. Necht’ jsou koeficienty homogenní rovnice (5) konstantní. Charakteristickým polynomem rov-

nice (5) rozumíme polynom

P (λ) = anλn + an−1λ

n−1 + · · ·+ a1λ+ a0.

Veta 3.3. Necht’ jsou koeficienty homogenní rovnice (5) konstantní. Necht’ λ1, . . . , λs jsou všechny ruzné

reálné koreny charakteristického polynomu P , s násobnostmi r1, . . . , rs. Necht’ α1+β1i, . . . , αℓ+βℓi jsou

všechny navzájem ruzné koreny polynomu P , s kladnou imaginární cástí a násobnostmi q1, . . . , qℓ.

Pak funkceeλ1t, teλ1t, . . . tr1−1eλ1t,

...

eλst, teλst, . . . trs−1eλst,eα1t cosβ1t, teα1t cosβ1t, . . . tq1−1eα1t cosβ1t,eα1t sinβ1t, teα1t sinβ1t, . . . tq1−1eα1t sinβ1t,

...

eαℓt cosβℓt, teαℓt cosβℓt, . . . tqℓ−1eαℓt cosβℓt,eαℓt sinβℓt, teαℓt sinβℓt, . . . tqℓ−1eαℓt sinβℓt

tvorí fundamentální systém homogenní rovnice (5) (s konstantními koeficienty).

II. Hledaní partikulárního rešení

Veta 3.4 (o uhodnutí partikulárního rešení). Necht’ (4) je rovnice s konstatními koeficienty. Necht’

f(t) = eαt · (P (t) cosβt+Q(t) sinβt) ,

kde α, β ∈ R a P,Q jsou polynomy. Pak existuje rešení rovnice (4) ve tvaru

yp(t) = tmeαt · (R(t) cosβt+ S(t) sinβt) ,

kde R,S jsou vhodné polynomy stupne ne vetšího než maxstupen P , stupen Q a m ∈ N ∪ 0 udává,

jakou násobnost má císlo α+ iβ jakožto koren charakteristického polynomu.

Následující Lemma je základem tzv. metody variace konstant pro hledání partikulárního rešení lineární

(nehomohenní) ODR, a to jak s konstantními tak s nekonstantními koeficienty.

Lemma 3.5. Necht’ y1, . . . , yn tvorí fundamentální systém homogenní rovnice (5) (s obecne nekonstatními

koeficienty). Potom matice

U(t) =

y1(t) y2(t) . . . yn(t)y′1(t) y′2(t) . . . y′n(t)

......

. . ....

y(n−1)1 (t) y

(n−1)2 (t) . . . y

(n−1)n (t)

je regulární pro každé t ∈ R.



Veta 3.6 (variace konstant). Necht’ y1, . . . , yn tvorí fundamentální systém rovnice (5) (s obecne nekonst.

koeficienty), U(t) bud’ jako v predchozí vete. Necht’ c1(t), . . . , cn(t) reší soustavu

U(t) ·

c′1(t)...

c′n−1(t)c′n(t)

=

0...

0f(t)/an

.

Pak funkce

yp(t) := c1(t)y1(t) + · · ·+ cn(t)yn(t)

je (partikulární) rešení rovnice (4).

3.3 Speciální typy ODR

3.3.1 Bernoulliho rovnice

Definice. Bernoulliovou rovnicí nazýváme ODR tvaru

y′ + a(t)y = b(t)yα , α ∈ R, α 6= 0, 1 , (6)

kde a, b ∈ C(J), J ⊂ R je otevrený interval.

Návod k rešení: Pro α = 0 nebo α = 1 jde o lineární ODR 1. rádu. Pro jiná α zavedeme novou funkci

z = z(t) substitucí

y(t) = z(t)1

1−α ,

která prevede rovnici (6) na lineární ODR 1. rádu. Pozor, v prípade, že α je necelocíselné, je potreba dát

pozor na definicní obor obecné mocniny yα.

Cvicení. Rešte rovnici y′ = y2 + yt

jako Bernoulliovu. Porovnejte s postupem z prechozího paragrafu.

Prohlédnete si grafy rešení, y(t) = 2t2c−t2

, pro hodnoty c = 10, 0, −10.



3.3.2 Eulerova rovnice

Definice. Eulerovou rovnicí nazýváme lineární ODR s nekonstantními koeficienty tvaru

antny(n) + an−1t

n−1y(n−1) · · ·+ a1ty′ + a0y = f(t) , n ∈ N , (7)

kde a0, . . . an ∈ R, an 6= 0, f ∈ C(J), J ⊂ R je otevrený interval neobsahující nulu.

Poznámka. Pro t = 0 rovnice (7) degeneruje. Rovnici tedy uvažujeme separátne pro t > 0 a pro t < 0.

V dalších našich úvahách budeme rešit Eulerovu rovnici pouze pro t > 0, pro záporná t bychom

postupovali obdobne.

Poznámka. Jde o lineární rovnici (i když s nekonstantními koeficienty), pro její rešení proto platí príslušná

teorie. Jde tedy o nalezení n prvkového fundamentálního systému pro homogenní rovnici (s f = 0), a poté

o nalezení jednoho (partikulárního) rešení rovnice s pravou stranou. Pro nalezení partikulárního rešení lze

použít napr. metodu variace konstant. Eulerova rovnice tedy bude vyrešena, nalezneme-li její fundamentální

systém.

Metoda nalezení FS Eulerovy rovnice

• Použijeme ansatz y = tλ, který vede k tzv. charakteristickému polynomu pro Eulerovu ODR.

• Je-li λ ∈ R korenem tohoto polynomu násobnosti p, jsou odpovídajícími prvky fundamentálního sy-

stému pro t > 0 funkce

tλ lnk t, k = 0, . . . , p−1.

• Je-li α + iβ (β > 0) korenem tohoto polynomu násobnosti p, jsou odpovídajícími prvky fundamen-

tálního systému funkce

tα lnk t · cos(β ln t) , tα lnk t · sin(β ln t),

k = 0, . . . , p−1.

Poznámka. Eulerovu rovnici dostaneme napr. pri hledání sféricky symetrických rešení Laplaceovy rovnice

∆u = 0 v celém Rn, n ≥ 2. Je-li u sféricky symetrická, je u(x) = w(r), kde r = |x| > 0. Funkce w pak

(jak lze ukázat) splnuje Eulerovu rovnici

r2w′′(r) + (n−1)r w′(r) = 0 .

Jejím rešením (proved’te) a zpetným dosazením dostaneme (c1, c2 ∈ R):

n = 2 =⇒ u(|x|) = c1 + c2 ln |x| , x ∈ R2 \ 0 ,

n > 2 =⇒ u(|x|) = c1 +c2

|x|n−2, x ∈ R

n \ 0 .

3.4 Rešení ODR pomocí Taylorových rad

Veta 3.7. Uvažujme lineární rovnici n-tého rádu,


(n−1) + · · ·+ a1(t)y′ + a0(t)y = f(t) (8)

na intervalu J ⊂ R, t0 ∈ J . Dají-li se koeficienty a pravá strana rovnice (8) rozložit do Taylorových rad na

nejakém okolí Uδ(t0), pricemž an(t0) 6= 0, lze každé rešení rovnice (8) rozložit na nejakém okolí Uη(t0) do

Taylorovy rady.



Rešení: Uvážíme ansatz y(t) =∑

∞

k=0 ak(t− t0)k, který formálne n-krát proderivujeme clen po clenu

a dosadíme do rovnice. Jsou-li k (8) zadány pocátecní podmínky (v bode t0), dosadíme uvedený ansatz i do

nich.

Poznámky k rešení:

• Nejsou-li koeficienty aj a pravá strana f ve tvaru mocninné rady, je potreba rozložit do rady i je.

• Po formálním provedení všech algebraických operací s radami porovnáme koeficienty u stejných

mocnin t.

• Tím dostaneme soustavu nekonecne mnoha rovnic pro nekonecne mnoho koeficientu ak, k = N∪0.

Jejím vyrešením nalezneme hledanou funkci y(t) ve tvaru mocninné rady. Na záver urcíme polomer

konvergence této rady.

• V prípade homogenní rovnice (f ≡ 0) mužeme ruznou volbou pocátecních podmínek obdržet ruzná

rešení. Jejich lineární (ne)závislost je možno overit napr. pomocí Wronskiánu.

3.5 Soustavy ODR 1. rádu

Uvažujme soustavu (obecných) diferenciálních rovnic 1. rádu, vyrešených vzhledem k 1. derivaci, ve tvaru

x′1 = f1(t, x1, x2, . . . , xn),

x′2 = f2(t, x1, x2, . . . , xn),

...

x′n = fn(t, x1, x2, . . . , xn),

(9)

kde fj , j = 1, . . . , n, jsou dané funkce definované na jisté neprázdné otevrené množine G ⊂ R× Rn.

Vektorový tvar soustavy (9):

~x′(t) = ~f(t, ~x(t)),

kde ~x(t) =(

x1(t), x2(t), . . . , xn(t))T

, ~x′(t) =(

x′1(t), x′

2(t), . . . , x′

n(t))T

, ~f =(

f1, f2, . . . , fn)T

.

Definice.

• Rešením soustavy (9) rozumíme vektorovou funkci ~x =(

x1, . . . , xn)T

definovanou na otevreném

neprázdném intervalu J ⊂ R s hodnotami v Rn takovou, že pro každé t ∈ J existují vlastní derivace

x′j(t), j = 1, . . . , n, a platí (9).

• Pocátecní úlohou pro (9) rozumíme úlohu, kdy hledáme rešení ~x soustavy (9) splnující navíc predem

zadanou podmínku ~x(t0) = ~x 0, kde [t0, ~x0] je daný bod z G (tzv. pocátecní podmínka).

• Maximální rešení soustavy (9) je takové rešení ~x definované na intervalu J , které již nelze prodloužit,

tj. je-li ~y rešení definované na intervalu I , J ⊂ I a ~y(t) = ~x(t) pro každé t ∈ J , pak J = I .

Uvažujme nyní soustavu lineárních diferenciálních rovnic 1. rádu ve tvaru

x′1 = a11(t)x1 + · · ·+ a1n(t)xn + b1(t),

x′2 = a21(t)x1 + · · ·+ a2n(t)xn + b2(t),

...

x′n = an1(t)x1 + · · ·+ ann(t)xn + bn(t),

(10)

kde n ∈ N, aij : (α, β) → R, bi : (α, β) → R, i, j ∈ 1, . . . , n, jsou spojité funkce.



Vektorový tvar lineární soustavy (10) je:

~x′ = A(t)~x+~b(t),

kde

A(t) =

a11(t) . . . a1n(t)a21(t) . . . a2n(t)

.... . .

...

an1(t) . . . ann(t)

, ~b(t) =

b1(t)...

bn(t)

.

Veta 3.8 (o existenci a jednoznacnosti rešení). Necht’ α, β ∈ R⋆, α < β, t0 ∈ (α, β) a ~x 0 ∈ R

n. Necht’

A : (α, β) → Mn×n(R), ~b : (α, β) → Rn jsou spojitá zobrazení. Potom existuje práve jedno maximální

rešení ~x soustavy (10) splnující ~x(t0) = ~x 0. Toto rešení je definováno na celém intervalu (α, β).

Definice. Homogenní soustavou k soustave (10) rozumíme soustavu

~x′ = A(t)~x. (11)

Veta 3.9. Necht’ n ∈ N, α, β ∈ R⋆, α < β, a A : (α, β) → Mn×n(R) je spojité zobrazení. Potom množina

všech maximálních rešení soustavy (11) tvorí vektorový podprostor prostoru C1((α, β),Rn). Dimenze tohoto

podprostoru je rovna n. Jakoukoli bázi tohoto podprostoru, (složenou z vektorových funkcí ~x1, . . . , ~xn),

nazýváme fundamentálním systémem rovnice (11).

Veta 3.10. Necht’ α, β ∈ R⋆, α < β. Necht’ A : (α, β) → Mn×n(R), ~b : (α, β) → R

n jsou spojitá

zobrazení. Necht’ ~xP je jedno (partikulární) rešení (10) na intervalu (α, β). Potom každé rešení ~x soustavy

(10) na intervalu (α, β) má tvar ~xP + ~xH , kde ~xH je rešení homogenní soustavy (11).

Definice. Necht’ vektorové funkce ~x1, . . . , ~xn tvorí fundamentální systém rovnice (11). Oznacme

Φ(t) =

x11(t) . . . xn1 (t)x12(t) . . . xn2 (t)

.... . .

...

x1n(t) . . . xnn(t)

.

Matici Φ pak nazýváme fundamentální maticí soustavy (11).

Lemma 3.11. Necht’ Φ je fundamentální matice soustavy (11). Pak Φ(t) je regulární pro každé t ∈ (α, β).

Veta 3.12 (variace konstant). Necht’ α, β ∈ R⋆, α < β, t0 ∈ (α, β) a ~x 0 ∈ R

n. Pak maximální rešení ~xrovnice (10) s pocátecní podmínkou ~x(t0) = ~x 0 má tvar

~x(t) = Φ(t)Φ−1(t0)~x0 +Φ(t)

∫ t

t0

Φ−1(s)~b(s) ds, t ∈ (α, β),

kde Φ je fundamentální matice soustavy (11).

Veta 3.13 (regularita rešení lineární homogenní rovnice s konstantními koeficienty). Necht’ A ∈ Mn×n a

vektorová funkce ~x : R → Rn je rešením soustavy ~x′ = A~x. Pak ~x je trídy C∞ a pro každé k ∈ N platí

~x(k)(t) = Ak~x(t) pro t ∈ R.

• Vztah mezi soustavou rovnic 1. rádu a jednou rovnicí vyššího rádu

Necht’

y(n) = f(t, y, y′, . . . , y(n−1)) (12)



je rovnice n-tého rádu a necht’ je y(t) její rešení pro t ∈ J ⊂ R.

Potom je vektorová funkce ~x(t) =(

y(t), y′(t), . . . , y(n−1)(t))

rešením soustavy

~x′(t) = ~F (t, ~x) , (13)

na intervalu J , kde Fj(t, ~x) = xj+1, j = 1, . . . , n− 1, Fn(t, ~x) = f(t, x1, x2, . . . , xn).

(A) Rešení soustav lineárních rovnic pomocí upravování

Soustavu rovnic upravujeme takovým zpusobem, abychom získali jednu rovnici vyššího rádu s jednou

neznámou funkcí. Tento zpusob je vhodný pro soustavy s nemnoha (napr. se dvema) rovnicemi, nebo tehdy,

obsahuje-li matice soustavy rovnic hodne nulových prvku (je tzv. rídká). Uvedeným zpusobem je možno

rešit i nehomogenní soustavy.

Príklad 1. Najdete všechna maximální rešení soustavy

y′ = 3y − 5z − 3et

z′ = y − z − et

(B) Rešení soustav lineárních rovnic pomocí vlastních císel a vlastních vektoru

Veta 3.14. Necht’ matice A ∈ Mn×n(R) má n lineárne nezávislých vlastních vektoru ~q 1, . . . ~q n, které po

rade prísluší vlastním císlum λ1, . . . , λn. Potom funkce

eλ1t~q 1, . . . , eλnt~q n (14)

tvorí fundamentální systém lineární homogenní soustavy (s konstantními koeficienty)

~x′ = A~x.

Poznámka. Tvrzení predchozí vety umožní sestavit fundamentalní systém dané lineární homogenní soustavy

(s konstantními koeficienty), která je reprezentována diagonalizovatelnou maticí A ∈ Mn×n(R) mající

n vlastních císel a n-tici jim odpovídajících vlastních vektoru. Prípad, kdy matice A ∈ Mn×n(R) není

diagonalizovatelná, lze také rešit pomocí tzv. Jordanova kanonického tvaru, kterým jsme se však v kapitole

o maticích nezbývali.

Poznámka. Z tvaru rešení, které je uvedeno ve Vete 3.12, a sice, že maximální rešení ~x rovnice (10) s

pocátecní podmínkou ~x(t0) = ~x 0 má tvar

~x(t) = Φ(t)Φ−1(t0)~x0 +Φ(t)

∫ t

t0

Φ−1(s)~b(s) ds, t ∈ (α, β),

plyne, že

~xP (t) = Φ(t)

∫ t

t0

Φ−1(s)~b(s) ds, t ∈ (α, β), (15)

je partikulární rešení (11), pricemž Φ je fundamentální matice soustavy (10).

Príklad 2. Najdete obema metodami (pomocí úprav i pomocí vlastních císel a vektoru) rešení soustavy

x′ = x+ 3y + et , (16)

y′ = 2x+ 2y − et . (17)

Sestavte v obou prípadech fundamentální matici soustavy; porovnejte jejich tvar.



Rešení.

a) Metoda postupných úprav: Pokusíme se prevést systém na jednu rovnici druhého rádu pro funkci x.

Derivováním rovnice (16) dostaneme x′′ = x′ + 3y′ + et. Dosazení za y′ z (17) by nebylo dobré, protože

bychom se tím nezbavili funkce y. Je proto správným krokem nejprve pomocí (16) vyloucit z (17) funkci y:

odectením dvojnásobku (16) od trojnásobku (17) dostaneme 3y′ − 2x′ = 4x − 5et. Odtud dosadíme za y′

do rovnice x′′ = x′ + 3y′ + et a dostaneme po úprave

x′′ − 3x′ − 4x = −4et . (18)

Príslušnou homogenní soustavu vyrešíme metodou charakteristického polynomu, což dá pro x fundamen-

tální systém e−t, e4t.

Partikulární rešení pro x hledáme ve tvaru cet, což dá xp =23e

t. Z rovnice (16) pak lze vyjádrit y pomocí

x a jeho derivace, což umožní y dopocítat. Celkove vyjde

x(t) = c1e−t + c2e

4t +2

3et , (19)

y(t) = −2

3c1e

−t + c2e4t − 1

3et . (20)

Fundamentální matice Φ(t) a vektor partikulárních rešení (xp, yp)T mají tedy tvar

Φ(t) =

(

e−t e4t

−23e

−t e4t

)

,

(

xpyp

)

=

(

23e

t

−13e

t

)

, (21)

nebot’ vektorový zápis (19)–(20) je

(

x(t)y(t)

)

=

(

e−t e4t

−23e

−t e4t

)

·(

c1c2

)

+

(

23e

t

−13e

t

)

.

b) Metoda vlastních císel a vektoru: Matice soustavy (16)–(17) je A =

(

1 32 2

)

, charakteristický poly-

nom je tedy det(A−λI) = (1−λ)(2−λ)−6 = λ2−3λ−4 (porovnejte s charakterisktickým polynomem v

metode a) — proc musí být stejné?). Pro vlastní císlo λ = −1 je A−λI =

(

2 32 3

)

, tedy vlastním vektorem

je napríklad ~v1 = (−3, 2)T . Pro vlastní císlo λ = 4 je A − λI =

(

−3 32 −2

)

, tedy vlastním vektorem je

napríklad ~v2 = (1, 1)T . To dává fundamentální matici

Φ(t) =

(

−3e−t e4t

2e−t e4t

)

.

Porovnejte tento tvar s tvarem fundamentální matice, který jsme obdrželi pri aplikaci predchozí metody

výpoctu. Obe matice se liší pouze konstantou, kterou je vynásoben první sloupec. To však koresponduje s

našimi znalostmi: sloupce konstant ve fundamentální matici jsou (v prípade ruzných vlastních císel) tvoreny

vlastními vektory matice A, a ty jsou skutecne urceny až na multiplikativní konstantu.

Vektor partikulárních rešení mužeme spocíst napríklad pomocí (15). Postupne dostáváme (pocítejte po-

drobne)

Φ−1(t) =1

5

(

−et et

2e−4t 3e−4t

)

,

tedy pro~b(t) = (et,−et)T je Φ−1(t)~b(t) = 15(−2e2t,−e−3t).

Zvolíme t0 = 0 a dostaneme

∫ t

0Φ−1(s)~b(s) ds =

(1

5(1− e2t),

1

15(e−3t − 1)

)

.



Konecne,

Φ(t)

∫ t

0Φ−1(s)~b(s) ds =

(

23e

t − 3e−t − 115e

4t

−13e

t + 2e−t − 115e

4t

)

.

Vektor na pravé strane je vektorem (nejakých) partikulárních rešení. Cásti, obsahující e−t a e4t jsou však

prvky fundamentálního systému (oduvodnete), tedy je v prípade hledání partikulárního rešení není nutno

uvažovat. Proto je jednodušším vektorem partikulárních rešení vektor (srovnejte s (21))

(

xpyp

)

=

(

23e

t

−13e

t

)

.


M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 4: Krivkový integrál 19M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 4: Krivkový integrál 19

4 Krivkový integrál

4.1 Krivky a jejich parametrizace

Definice. Krivkou budeme rozumet zobrazení~ϕ : 〈a, b〉 → Rn (n ∈ N, a, b ∈ R, a < b) takové, že

~ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn) je trídy C1, tj. ϕ′i je spojité na〈a, b〉, i = 1, . . . , n, pricemž v krajních bodech〈a, b〉 sym-

bol ϕ′i(x) znací príslušnou jednostrannou derivaci.Geometrickým obrazemkrivky ϕ rozumíme množinu

〈~ϕ〉 = ~ϕ(〈a, b〉) ⊂ Rn.

Bod ~ϕ(a) nazývámepocátecním a bod~ϕ(b) koncovým bodem krivky ~ϕ.

Definice. Bud’ ~ϕ : 〈a, b〉 → Rn krivka v R

n. Je-li vektor~ϕ′(t) = (ϕ′1(t), . . . , ϕ

′n(t)) nenulový, nazýváme

jej tecným vektoremk této krivce v bode ~ϕ(t) a vektor

~τ(~ϕ(t)) :=~ϕ′(t)

‖~ϕ′(t)‖

jednotkovým tecným vektoremk této krivce v bode ~ϕ(t).


n. Pro jednotkový tecný vektor~τ(~ϕ(t)) definujeme vektory

~n(~ϕ(t)) := (~τ(~ϕ(t)))′ , ~ν(~ϕ(t)) :=~n(~ϕ(t))

‖~n(~ϕ(t))‖

(pro~n(~ϕ(t)) 6= 0) a nazýváme je poradenormálovým vektorem a jednotkovým normálovým vektoremke krivce ~ϕ v bode ~ϕ(t).

Cvicení. Overte, že platí~n(~ϕ(t)) · ~τ(~ϕ(t)) = 0, tedy že uvedené vektory jsou kolmé.

Poznámka. • V Rn pron ≥ 3 je takto definovaný normálový vektor~n pouze jedním z(n−1) lineárne

nezávislých normálových vektoru, které k dané krivce (v bode, kde existuje tecný vektor) existují. VR

2 je normálový vektor ke krivce (pokud existuje) urcený jednoznacne až na násobek konstantou.

• V R2 lze definovat normálový vektor ješte takto:~n(~ϕ(t)) = ±(τ2(~ϕ(t)),−τ1(~ϕ(t))), kde~τ(~ϕ(t)) je

(jednotkový, ale obecne jakýkoli) tecný vektor.

• V R3 lze ke dvojicijednotkový tecný vektor~τ a jednotkový normálový vektor~ν definovat tzv.vektor

binormály ~β predpisem~β := ~τ×~ν. Vektory~τ , ~ν, ~β pak tvorí trojici vzájemne kolmých jednotkovýchvektoru vR

3.


n. Rekneme, že krivka ~ϕ je

• jednoduchá (prostá), pokud~ϕ je prosté zobrazení na〈a, b〉;

• uzavrená, pokud~ϕ(a) = ~ϕ(b);

Uzavrenou krivku, takovou, že~ϕ|(a,b) je prosté zobrazení, nazýváme nekdyJordanovou krivkou .

Definice. • Zobrazení~ω : 〈a, c〉 → Rn nazývámesouctem krivek ~ϕ : 〈a, b〉 → R

n a ~ψ : 〈b, c〉 → Rn,

pokud platí:~ω(t) = ~ϕ(t) pro t ∈ 〈a, b〉, ~ω(t) = ~ψ(t) pro t ∈ 〈b, c〉. Píšeme~ω = ~ϕ ⊕ ~ψ. (Pro soucetkrivek platí:〈~ϕ⊕ ~ψ〉 = 〈~ϕ〉 ∪ 〈~ψ〉.)

• Krivku ~ω : 〈−b,−a〉 → Rn nazývámeopacnouke krivce ~ϕ : 〈a, b〉 → R

n, pokud

ω(t) = ϕ(−t) , t ∈ 〈−b,−a〉 .

Píšeme~ω = ⊖~ϕ. (Krivka⊖~ϕ je "opacne probíhaná" krivka ~ϕ, a platí〈⊖~ϕ〉 = 〈~ϕ〉.)

http://www.karlin.mff.cuni.cz/rokyta/vyuka/


4.2 Krivkový integrál 1. a 2. druhu

Definice. Bud’ ~ϕ : 〈a, b〉 → Rn krivka splnující ~ϕ ′ 6= 0 alespon s.v. na〈a, b〉. Bud’te dále funkcef :

〈~ϕ〉 → R a vektorové pole~T : 〈~ϕ〉 → Rn definovány alespon s.v. na〈~ϕ〉. Definujme (pokud integrály

vpravo existují):

• krivkový integrál prvního druhu z f pres~ϕ:∫

ϕ

f ds :=

∫ b

a

f(

~ϕ(t)) ‖~ϕ ′(t)‖ dt ,

• krivkový integrál druhého druhu z ~T pres~ϕ:∫

ϕ

~T d~ϕ :=

∫ b

a

~T(

~ϕ(t)) · ~ϕ ′(t) dt .

Poznámka. •∫

ϕ1 ds =

∫ b

a‖~ϕ ′(t)‖ dt . . . délka krivky.

• Integrál p res opacnou krivku :∫

⊖ϕ

f ds =

∫

ϕ

f ds ,

∫

⊖ϕ

~T d~ϕ = −

∫

ϕ

~T d~ϕ .

• Integrál p res soucet krivek :∫

ϕ⊕ψ

f ds =

∫

ϕ

f ds+

∫

ψ

f ds ,

∫

ϕ⊕ψ

~T d(~ϕ⊕ ~ψ) =

∫

ϕ

~T d~ϕ+

∫

ψ

~T d~ψ .

Poznámka. • Souvislost integrálu 1. a 2. druhu:∫

ϕ

f ds =

∫ b

a

f(

~ϕ(t)) ‖~ϕ ′(t)‖ dt =

=

∫ b

a

f(

~ϕ(t))~ϕ ′(t)

‖~ϕ ′(t)‖· ~ϕ ′(t) dt =

∫

ϕ

(f~τ) d~ϕ.

• Souvislost integrálu 2. a 1. druhu:∫

ϕ

~T d~ϕ =

∫ b

a

~T(

~ϕ(t)) · ~ϕ ′(t) dt =

=

∫ b

a

(~T · ~τ)(

~ϕ(t))‖~ϕ ′(t)‖ dt =

∫

ϕ

(~T · ~τ) ds.

Veta 4.1(nezávislost na parametrizaci). Bud’te ~ϕ : 〈a, b〉 → Rn, ~ψ : 〈c, d〉 → R

n prosté krivky vRn

takové, že〈ϕ〉 = 〈ψ〉. Potom∫

ϕ

f ds =

∫

ψ

f ds , (1)

∫

ϕ

~T d~ϕ = ±

∫

ψ

~T d~ψ , (2)

pokud existuje vždy alespon jeden z dvojice integrálu v (1) resp. (2).Pritom v (2) je znaménko "plus", pokud~ϕ(a) = ~ψ(c), ~ϕ(b) = ~ψ(d), v opacném prípade je v (2)

znaménko "minus".



4.3 Krivkový integrál a potenciál vektorového pole

Definice. Rekneme, že množinaG ⊂ Rn je souvislá, pokud pro každou dvojici bodu~x, ~y ∈ G existuje

krivka ~ϕ : 〈a, b〉 → G (tj. 〈ϕ〉 ⊂ G) taková, že~ϕ(a) = ~x, ~ϕ(b) = ~y.

Definice. Bud’ G ⊂ Rn otevrená a souvislá množina, bud’~T : G→ R

n vektorové pole naG. Rekneme, že~T má (klasický)potenciálnaG, pokud existuje funkceU ∈ C1(G) (potenciál~T ), taková, že

~T (~x) = ∇U(~x) ∀~x ∈ G .

Pozorování: Potenciál je urcen jednoznacne až na konstantu.

Veta 4.2. Bud’G ⊂ Rn otevrená a souvislá množina, bud’~T : G→ R

n vektorové pole naG s potenciálemU ∈ C1(G). Bud’ dále~ϕ : 〈a, b〉 → G krivka vG. Potom

∫

ϕ

~T d~ϕ = U(

~ϕ(b))

− U(

~ϕ(a))

.

Dusledek 4.3.Je-li v situaci prechozí vety~ϕ Jordanova krivka, platí∫

ϕ

~T d~ϕ = 0 .

Definice (nezávislost na ceste). Bud’ G ⊂ Rn otevrená a souvislá množina, bud’~T : G → R

n spojitévektorové pole naG. Rekneme, že integrál druhého druhu z~T nezávisí na ceste vG, pokud pro libovolnédve krivky ~ϕ : 〈a, b〉 → G, ~ψ : 〈c, d〉 → G takové, že~ϕ(a) = ~ψ(c), ~ϕ(b) = ~ψ(d) platí

∫

ϕ

~T d~ϕ =

∫

ψ

~T d~ψ .

Veta 4.4.Bud’G ⊂ Rn otevrená a souvislá množina, bud’~T : G→ R

n spojitévektorové pole naG. Potomnásledující tri podmínky jsou ekvivalentní:

1. ~T má potenciálU vG.

2. Integrál druhého druhu z~T nezávisí na ceste vG.

3.∫

ϕ~T d~ϕ = 0 pro každou Jordanovu krivku~ϕ vG.

Navíc: je-li splnena podmínka 2, je funkce

U~a(~x) :=

∫

ϕ(~a;~x)

~T d~ϕ , ~x ∈ G , (3)

(kde~a ∈ G je pevný, aϕ(~a; ~x) je jakákoli krivka spojující body~a, ~x) potenciálem~T v G. Naopak, každýpotenciál pole~T vG je tvaru (3).

Opakování:

Definice(rotace trírozmerného pole). Bud’ ~T : G ⊂ R3 → R

3,G otevrená.Rotací ~T v bode~a ∈ G nazvu

rot ~T (~a) :=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~e1 ~e2 ~e3

∂∂x

∂∂y

∂∂z

T1 T2 T3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(~a) =

=

(

∂T3

∂y−∂T2

∂z,∂T1

∂z−∂T3

∂x,∂T2

∂x−∂T1

∂y

)

(~a) ,

vždy když existují (vlastní) príslušné parciální derivace.



Poznámka(rotace dvourozmerného pole). Bud’ ~T : G ⊂ R2 → R

2, G otevrená. Pro výpocet rotace~T lzeformálne pracovat ve 3 dimenzích položenímT3 ≡ 0, a ∂

∂z≡ 0:

rot ~T (~a) :=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~e1 ~e2 ~e3

∂∂x

∂∂y

0

T1 T2 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(~a) =

=

(

0, 0,∂T2

∂x−∂T1

∂y

)

(~a) .

Klademe tedy pro~T : G ⊂ R2 → R

2,

rot ~T (~a) :=∂T2

∂x(~a) −

∂T1

∂y(~a) .

Tvrzení 4.5. Bud’ n = 2 nebon = 3. Bud’ dáleG otevrená a souvislá množina vRn, ~T : G ⊂ R

n → Rn

vektorové pole, které má vG potenciálU ∈ C2(G). Potom

rot ~T = 0 vG .

POZOR! Tvrzení neplatí naopak. Tj. existují vektorová pole v otevrených a souvislých množinách,která mají nulovou rotaci a pritom nemají potenciál. Viz následující príklad.

Cvicení. Uvažte~T (x, y) =(

− yx2+y2

, xx2+y2

)

v R2\0, a krivku ~ϕ, která probíhá proti smeru hodinových

rucicek obvod kružnice o polomerur > 0 a stredu0.Je

∫

ϕ~Td~ϕ = 2π (nezávisle na velikostir > 0). Proto podle Vety 4.4 nemá~T v R

2 \ 0 potenciál (a

nemá jej ani v žádné otevrené a souvislé podmnožineR2 \ 0, která obsahuje nejakou kružnici o polomeru

r > 0 a stredu0).Pritom rot ~T = 0 všude vR2 \ 0.

Poznámka.Bud’ ~T ∈ C2(G), kdeG je otevrená a souvislá množina. Potom platí implikace "existuje po-tenciál k ~T v G =⇒ rot ~T = 0 v G", zatímco implikace "rot ~T = 0 v G =⇒ existuje potenciál k~T vG" platí jen ve speciálních otevrených a souvislých množináchG, v tzv. množinách, kde "každá Jordanovakrivka lze stáhnout do bodu".

Cvicení. Ukažte, že vektorové pole z predchozího príkladu má potenciálU(x, y) = arctg yx

na množineR

2 ∩ x > 0 a na množineR2 ∩ x < 0. Tyto dve množiny mají tu vlastnost, že v nich "každá Jordanova

krivka lze stáhnout do bodu".


M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 5: Plošnýintegrál 23M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III – kap. 5: Plošnýintegrál 23

5 Plošný integrál

5.1 Plošný integrál 1. druhu vR3

Definice. Rekneme, žeS ⊂ R3 je hladká2-plocha (hladká dvoudimenzionální plocha), pokud existuje

zobrazení

~ϕ : Ω ⊂ R2 → R

3 , Ω otevrená, ~ϕ(Ω) = S,

~ϕ :

x = ϕ1(u, v) ,y = ϕ2(u, v) ,z = ϕ3(u, v) ,

(1)

pricemž~ϕ ∈ C1(Ω), ~ϕ je prosté naΩ, a

hodnost matice

(

D(ϕ1, ϕ2, ϕ3)

D(u, v)

)

= 2 ∀ (u, v) ∈ Ω . (2)

Poznámka. • Budeme psát~ϕu ≡ ∂~ϕ∂u

=(

∂ϕ1

∂u, ∂ϕ2

∂u, ∂ϕ3

∂u

)

apod.

• Podmínka (2)ríká, že (∀(u, v) ∈ Ω) jsou vektory~ϕu a ~ϕv, které mají geometrický význam tecnýchvektoru k plošeS v bode ~ϕ(u, v), lineárne nezávislé, a tvorí tedy bázi dvojrozmerného tecného pros-toru kS v bode ~ϕ(u, v).

• Vektorový soucin ~ϕu × ~ϕv je paknenulovýa má smer normálového vektoru k plošeS; jeho velikost‖~ϕu × ~ϕv‖ je císelne rovna plošnému obsahu rovnobežníka se stranami~ϕu a ~ϕv. PlochaS je takori-entovánapolem jednotkových normálových vektoru~ν(~ϕ(u, v)) := ~ϕu×~ϕv

‖~ϕu×~ϕv‖. V situaci, kdy plocha

S je orientována normálami~ν, píšemeS = (S, ~ν).

Definice. Bud’ S ⊂ R3 hladká2-plocha parametrizovaná zobrazením~ϕ : Ω ⊂ R

2 → R3. Bud’ f definovaná

naS, taková, žef(~ϕ(u, v)) má smysl alespon pro s.v. hodnoty(u, v) ∈ Ω. Definujemeplošný integrál 1.druhu z f pres plochuS jako

∫

S

f dS :=

∫

Ωf(~ϕ(u, v)) ‖~ϕu × ~ϕv‖(u, v) du dv , (3)

pokud existuje integrál na pravé strane (napríklad v Lebesgueove smyslu).

Tvrzení 5.1(nezávislost na parametrizaci). Bud’S⊂ R3 hladká2-plocha parametrizovaná dvema ruznými

zobrazeními:

• ~ϕ : Ω ⊂ R2 → R

3, Ω otevrená,~ϕ(Ω) = S, (~ϕu × ~ϕv)(u, v) 6= 0 ∀(u, v) ∈ Ω;

• ~ψ : G ⊂ R2 → R

3,G otevrená,~ψ(G) = S, (~ψs × ~ψt)(s, t) 6= 0 ∀(s, t) ∈ G;

Bud’ f definovaná naS, taková, žef(~ϕ(u, v)) má smysl alespon pro s.v. hodnoty(u, v) ∈ S a f(~ψ(s, t))má smysl alespon pro s.v. hodnoty(s, t) ∈ G. Potom

∫

S

f dS =

∫

G

f dS , (4)

pokud existuje alespon jeden z obou integrálu.

Cvicení(Grammuv determinant). Jiný zpusob výpoctu tzv. "metrickéhoclenu"‖~ϕu × ~ϕv‖ se opírá o násle-dující identitu (determinant vpravo se nazýváGrammuv):

‖~ϕu × ~ϕv‖2 =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

~ϕu · ~ϕu ~ϕu · ~ϕv

~ϕv · ~ϕu ~ϕv · ~ϕv

∣

∣

∣

∣

∣

∣

. (5)

Dokažte tuto identitu.



Cvicení. • Spoctete povrch plochy, která je popsána parametrizací:

~ϕ :

x = (R+ r cosu) cos v ,y = (R+ r cosu) sin v ,z = r sinu ,

(6)

u, v ∈ (0, 2π), 0 < r < R. O jakou jde plochu?

[Rešení:Jde o torus (pneumatiku, anuloid, . . . ) a povrch by vám mel vyjít 4π2rR = 2πr · 2πR.]

• Parametrizujte kouli vR3 a spoctete její povrch.

Cvicení. Ukažte: je-li plochaS zadána explicitne, jako graf hladké funkceψ : Ω ⊂ R2 → S, tedy pokud je

S := [x, y, z] ∈ R3 ; z = ψ(x, y) ; (x, y) ∈ Ω, platí

∫

S

f dS =

∫

Ωf(x, y, ψ(x, y))

√

1 + |∇ψ|2 dx dy . (7)

[Návod: Z explicitního zadání plochy pomocíz = ψ(x, y) lze vyrobit parametrizaci~ϕ: (x = x, y = y, z = ψ(x, y)), (x, y) ∈ Ω. Zbytek plyne prímým výpoctem.]

5.2 Plošný integrál 2. druhu vR3

Definice. Bud’ S ⊂ R3 hladká2-plocha parametrizovaná zobrazením~ϕ : Ω ⊂ R

2 → R3 a orientovaná

polem jednotkových normálových vektoru~ν(~ϕ(u, v)) := ~ϕu×~ϕv‖~ϕu×~ϕv‖

. Bud’ ~T vektorové pole definované naS,

takové, že~T (~ϕ(u, v)) má smysl alespon pro s.v. hodnoty(u, v) ∈ S. Definujemeplošný integrál 2. druhuz ~T pres (orientovanou) plochu(S, ~ν) jako

∫

(S,~ν)

~T d~S :=

∫

Ω

~T (~ϕ(u, v)) · (~ϕu × ~ϕv) (u, v) du dv , (8)

pokud existuje integrál na pravé strane (napríklad v Lebesgueove smyslu).

Definice (souhlasná a nesouhlasná orientace). Bud’ S ⊂ R3 hladká2-plocha parametrizovaná dvema

ruznými zobrazeními:

• ~ϕ : Ω ⊂ R2 → R

3, Ω otevrená,~ϕ(Ω) = S, (~ϕu × ~ϕv)(u, v) 6= 0 ∀(u, v) ∈ Ω;

• ~ψ : G ⊂ R2 → R

3,G otevrená,~ψ(G) = S, (~ψs × ~ψt)(s, t) 6= 0 ∀(s, t) ∈ G.

Položme~ν(~ϕ(u, v)) :=

~ϕu × ~ϕv

‖~ϕu × ~ϕv‖, ~µ(~ψ(s, t)) :=

~ψs × ~ψt

‖~ψs × ~ψt‖.

Rekneme, že plochy(S, ~ν) a (S, ~µ) jsou souhlasne resp. nesouhlasne orientované, pokud je~ν = ~µ

resp.~ν = −~µ (ve všech bodech plochyS).

Tvrzení 5.2(nezávislost na parametrizaci). Bud’S⊂ R3 hladká2-plocha parametrizovaná dvema ruznými

zobrazeními,~ϕ : Ω ⊂ R2 → R

3 a ~ψ : G ⊂ R2 → R

3 (viz znacení z predchozí definice). Bud’~T poledefinované naS, takové, že~T (~ϕ(u, v)) má smysl alespon pro s.v. hodnoty(u, v) ∈ S a ~T (~ψ(s, t)) má smyslalespon pro s.v. hodnoty(s, t) ∈ G. Potom (pokud existuje alespon jeden z obou integrálu)

∫

(S,~ν)

~T d~S = ±

∫

(S,~µ)

~T d~S , (9)

kde znaménko "plus" resp. "minus" je v prípade, že orientace(S, ~ν) a (S, ~µ) je souhlasná resp. nesouhlasná.



Poznámka.Bud’ S = (S, ~ν) hladká orientovaná2-plocha,~ν := ~ϕu×~ϕv‖~ϕu×~ϕv‖

, ~ϕ je parametrizující zobrazení.Pak platí následující vztahy mezi integrály prvního a druhého druhu:

∫

(S,~ν)

~T d~S =

∫

S

~T · ~ν dS ,

∫

S

f dS =

∫

(S,~ν)f~ν d~S , (10)

kdef resp.~T mají stejný význam jako v definicích príslušných integrálu, (3) resp. (8). Na základe techtorovností se také nekdy formálne píšed~S = ~ν dS, (pak tedy je i~ν d~S = ~ν · ~ν dS = dS).

Poznámka.Nekdy také píšeme formálned~S = (dy dz, dx dz, dx dy). Pak pro~T = (P,Q,R) lze psát∫

(S,~ν)

~T d~S =

∫

S

P dy dz +Qdxdz +Rdxdy . (11)

Napr. zápis∫

Sx2 dy dz + z2 dx dy tedy ukazuje, že jde o plošný integrál 2. druhu

∫

(S,~ν)~T d~S, kde ~T =

(x2, 0, z2).


M. Rokyta, MFF UK: Aplik. mat. III – kap. 6: Vety Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta 26M. Rokyta, MFF UK: Aplik. mat. III – kap. 6: Vety Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta 26

6 Vety Gauss-Ostrogradského, Greenova a Stokesova veta

6.1 Úvod

Definice (zobecnená plocha). Rekneme, žeS ⊂ Rn (n ≥ 2) je zobecnená (n−1)-plocha, pokudS je

konecným sjednocením hladkých(n−1)-ploch,(n−2)-ploch,. . . ,2-ploch, hladkých krivek a bodu. Jsou-liSj , j = 1, . . . , k všechny hladké(n−1)-plochy z tohoto sjednocení, definujeme plošné integrály 1. resp. 2.druhu z funkcef resp. pole~T jako

∫

S

f dS =

k∑

j=1

∫

Sj

f dS , resp.∫

S

~T d~S =

k∑

j=1

∫

Sj

~T d~S ,

mají-li výrazy na prave strane smysl.

Poznámka(zobecnená krivka). V prípade, žen = 2, zahrnuje predchozí definice i krivkový integrál. Vtomto prípade tedy chápeme krivku jako "1-plochu" (~ϕ ≡ S) a krivkový integrál pres jako "plošný integrálpres1-plochu". Tato dohoda nám umožní formulovat následující vety v jednotném tvaru. Pod zápisem

∫

S

f dS resp.∫

S

~T d~S

pak rozumíme∫

ϕ

f ds resp.∫

ϕ

~T d~ϕ .

6.2 Gauss-Greenovy-Ostrogradského vzorce

Úmluva

V následujících vetách budeme predpokládat:

• Ω je omezená souvislá otevrená množina vRn, n ≥ 2, její hranice∂Ω je zobecnená(n−1)-plochave smyslu predchozí definice a poznámky.

• Všechny integrované (skalárníci vektorové) funkce jsou (pro jednoduchost) spojité spolu se všemipotrebnými derivacemi naΩ.

• Symbolem~ν oznacujeme jednotkový vektorvnejší normály k Ω, v bodech∂Ω, ve kterých existuje.

Veta 6.1. Pro f : Ω ⊂ Rn → R, resp.~T : Ω ⊂ R

n → Rn platí (za predpokladu predchozí úmluvy):

Gauss-Green-Ostrogradský, pro k ∈ 1, . . . , n:

∫

Ω

∂f

∂xkdx =

∫

∂Ωfνk dS . (1)

Veta o divergenci:∫

Ωdiv ~T dx =

∫

∂Ω

~T · ~ν dS . (2)

Veta 6.2. Pro u, v : Ω ⊂ Rn → R platí (za predpokladu predchozí úmluvy):

Integrace per partes (po složkách), pro k ∈ 1, . . . , n:

∫

Ωu

∂v

∂xkdx =

∫

∂Ωu v νk dS −

∫

Ωv

∂u

∂xkdx . (3)



Integrace per partes (vektorove):∫

Ωu∇v dx =

∫

∂Ωu v ~ν dS −

∫

Ωv∇u dx. (4)

Veta 6.3. Pro u, v : Ω ⊂ Rn → R platí (za predpokladu predchozí úmluvy):

1. Greenova formule:∫

Ω∇u∇v dx =

∫

∂Ωv

∂u

∂~νdS −

∫

Ωv ∆u dx , (5)

kde ∂u∂~ν

:= ∇u · ~ν je derivace ve smeru vektoru~ν.

2. Greenova formule:∫

Ω

(

u ∆v−v ∆u)

dx =

∫

∂Ω

(

u∂v

∂~ν−v

∂u

∂~ν

)

dS . (6)

Dusledek 6.4.Pro u : Ω ⊂ Rn → R platí (za predpokladu predchozí úmluvy):

∫

Ω∆u dx =

∫

∂Ω

∂u

∂~νdS . (7)

Dále platí (je-li~ν jednotkový vektorvnejší normályk Ω):∫

∂Ω~ν dS = 0 . (8)

Poznámky k dukazum vzorcu(1)–(8):

• Vzorec (1) považujeme za základní. Všimnete si jeho analogie se známým Newton-Leibnizovýmvztahem v 1D, platným napr. prof ∈ C1(〈a, b〉),

∫ b

a

f ′ dx = f(b) − f(a) . (9)

Interval (a, b) v (9) hraje roli množinyΩ ve vztahu (1), jeho hranicí jsou dva bodya a b. Hodnotyv hranicních bodechf(b) af(a) na pravé strane (9) jsou násobeny hodnotami1 a−1, které lze chápatjako hodnoty "vnejší jednotkové normály k intervalu(a, b)", v bodecha a b. S využitím této úvahy aFubiniovy vety není težké vzorec (1) v prípade jednoduchých oblastí odvodit.

• Vztah (2) plyne z (1): dosad’tef := Tk v (1) a sectete presk.

• Vztah (3) plyne z (1): dosad’tef := uv v (1) a derivujte soucin na levé strane.

• Vztah (4) je jen vektorovým zápisem vztahu (3).

• Vztah (5) plyne z (3): místou dosad’te∂u

∂xka takto vzniklé rovnosti sectete presk.

• Vztah (6) plyne z (5): napište si modifikaci vztahu (5), tak, že prohodíteroli u av. Potom odectete (5)a tento modifikovaný vztah.

• Vztah (7): položtev = 1 v (5).

• Vztah (8): položteu = v = 1 v (4).



6.3 Greenova a Stokesova veta

Veta 6.5(Green). Bud’ n=2 . Pro ~T : Ω ⊂ R2 → R

2 platí (za predpokladu predchozí úmluvy, tj. speciálne∂Ω je sjednocení konecného poctu hladkých krivek a bodu):

∫

Ω

(

∂T1

∂x1+

∂T2

∂x2

)

dx =

∫

∂Ω

~T · ~ν dϕ , (10)

∫

Ω

(

∂T2

∂x1−

∂T1

∂x2

)

dx =

∫

∂Ω

~T · ~τ dϕ , (11)

kde~ν je vnejší normálový vektor (kΩ) a ~τ tecný vektor ke krivce∂Ω, která "obíhá"Ω tak, že máΩ "po levéruce".

Poznámka.Jiný zápis predchozích dvou vztahu (10), (11) (stále jsme vRn pron = 2) je

∫

Ωdiv ~T dx =

∫

∂Ω

~T · ~ν dϕ , (12)

∫

Ωrot ~T dx =

∫

∂Ω

~T · ~τ dϕ , (13)

kde rot ~T = ∂T2

∂x1− ∂T1

∂x2je "dvourozmerná rotace dvourozmerného pole~T = (T1, T2)" (tretí souradnice

trirozmerné rotace pole~T = (T1, T2, 0)). Zobecnením vztahu (13) do trí dimenzí je tzv. Stokesova veta.

Veta 6.6(Stokes). Bud’ (S, ~ν) ⊂ R3 hladká orientovaná2-plocha taková, že∂S = 〈~ϕ〉, kde~ϕ je Jordanova

krivka, obíhající(S, ~ν) v kladném smyslu, tj. v souladu "s pravidlem palce pravé ruky". Potom (platí-listále úmluva z pocátku této kapitoly)

∫

(S,~ν)rot ~T · ~ν dS =

∫

ϕ

~T · ~τ dϕ =

∫

ϕ

~T d~ϕ . (14)

Poznámka(integrální reprezentace divergence). Necht’Kr(x0) ⊂ Rn je koule o stredux0 ∈ R

n a polomerur ∈ (0, R), a ~T ∈ C1(KR(x0)), pak

div ~T (x0) = limr→0+

1

λn(Kr(x0))

∫

∂Kr(x0)

~T · ~ν dS . (15)

Poznámka(integrální reprezentace rotace). Necht’ (S, ~ν) ≡ Sr(x0) ⊂ R3 je dvourozmerný orientovaný

kruh o stredux0 ∈ R3 a polomerur ∈ (0, R), který leží v rovine rovnobežné z nekterou dvojicí souradných

rovin (xy, xz neboyz), s hranicí∂S = 〈~ϕ〉, orientovanou v souladu se Stokesovou vetou. Necht’ dále~T ∈ C1(KR(x0)). Pak

(

rot ~T · ~ν)

(x0) = limr→0+

1

λ2(Sr(x0))

∫

ϕ

~T · ~τ dϕ . (16)

. . . a to je vše v ZS 2019/20


Date post:	23-Jan-2021
Category:	Documents
Upload:	others
View:	1 times
Download:	0 times

Aplikovaná matematika III (NMAF073)Aplikovaná matematika III (NMAF073) Mirko Rokyta (KMA MFF UK)...

Documents