ARITMETIKA - TERCIE
Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově
Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia
Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve
vyučování matematiky na gymnáziu
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
Prostějov 2009
2 Aritmetika - tercie
Úvod
Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny
střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí.
Cílová skupina:
Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.
Aritmetika - tercie 3
Obsah Druhá mocnina a druhá odmocnina............................................................................................ 7
Co je druhá mocnina .............................................................................................................. 7
Co je druhá mocnina .......................................................................................................... 8
Varianta A .......................................................................................................................... 8
Co je druhá mocnina .......................................................................................................... 9
Varianta B .......................................................................................................................... 9
Co je druhá mocnina ........................................................................................................ 10
Varianta C ........................................................................................................................ 10
Druhá mocnina a druhá odmocnina.......................................................................................... 11
Umocňujeme zpaměti a porovnáváme ................................................................................. 11
Umocňujeme zpaměti a porovnáváme ............................................................................. 13
Varianta A ........................................................................................................................ 13
Umocňujeme zpaměti a porovnáváme ............................................................................. 14
Varianta B ........................................................................................................................ 14
Umocňujeme zpaměti a porovnáváme ............................................................................. 15
Varianta C ........................................................................................................................ 15
Druhá mocnina a druhá odmocnina.......................................................................................... 17
Odhadujeme a počítáme druhé mocniny .............................................................................. 17
Odhadujeme a počítáme druhé mocniny .......................................................................... 18
Varianta A ........................................................................................................................ 18
Odhadujeme a počítáme druhé mocniny .......................................................................... 19
Varianta B ........................................................................................................................ 19
Odhadujeme a počítáme druhé mocniny .......................................................................... 20
Varianta C ........................................................................................................................ 20
Druhá mocnina a druhá odmocnina.......................................................................................... 23
Co je druhá odmocnina ........................................................................................................ 23
4 Aritmetika - tercie
Co je druhá odmocnina .................................................................................................... 24
Varianta A ........................................................................................................................ 24
Co je druhá odmocnina .................................................................................................... 25
Varianta B ........................................................................................................................ 25
Co je druhá odmocnina .................................................................................................... 26
Varianta C ........................................................................................................................ 26
Druhá mocnina a druhá odmocnina.......................................................................................... 27
Odmocňujeme zpaměti a porovnáváme ............................................................................... 27
Odmocňujeme zpaměti a porovnáváme ........................................................................... 28
Varianta A ........................................................................................................................ 28
Odmocňujeme zpaměti a porovnáváme ........................................................................... 29
Varianta B ........................................................................................................................ 29
Odmocňujeme zpaměti a porovnáváme ........................................................................... 30
Varianta C ........................................................................................................................ 30
Druhá mocnina a druhá odmocnina.......................................................................................... 31
Odhadujeme a počítáme druhé odmocniny .......................................................................... 31
Odhadujeme a počítáme druhé odmocniny ...................................................................... 32
Varianta A ........................................................................................................................ 32
Odhadujeme a počítáme druhé odmocniny ...................................................................... 33
Varianta B ........................................................................................................................ 33
Odhadujeme a počítáme druhé odmocniny ...................................................................... 34
Varianta C ........................................................................................................................ 34
Pythagorova věta a její využití ................................................................................................. 35
Seznamujeme se s Pythagorovou větou ............................................................................... 35
Seznamujeme se s Pythagorovou větou ........................................................................... 37
Varianta A ........................................................................................................................ 37
Seznamujeme se s Pythagorovou větou ........................................................................... 38
Aritmetika - tercie 5
Varianta B ........................................................................................................................ 38
Seznamujeme se s Pythagorovou větou ........................................................................... 39
Varianta C ........................................................................................................................ 39
Pythagorova věta a její využití ................................................................................................. 41
Pythagorova věta v rovině .................................................................................................... 41
Pythagorova věta v rovině ................................................................................................ 42
Varianta A ........................................................................................................................ 42
Pythagorova věta v rovině ................................................................................................ 43
Varianta B ........................................................................................................................ 43
Pythagorova věta v rovině ................................................................................................ 44
Varianta C ........................................................................................................................ 44
Pythagorova věta a její využití ................................................................................................. 46
Pythagorova věta v prostoru ................................................................................................. 46
Pythagorova věta v prostoru ............................................................................................. 48
Varianta A ........................................................................................................................ 48
Pythagorova věta v prostoru ............................................................................................. 50
Varianta B ........................................................................................................................ 50
Pythagorova věta v prostoru ............................................................................................. 52
Varianta C ........................................................................................................................ 52
Mocniny s přirozeným mocnitelem .......................................................................................... 54
Co je třetí mocnina ............................................................................................................... 54
Co je třetí mocnina ........................................................................................................... 55
Varianta A ........................................................................................................................ 55
Co je třetí mocnina ........................................................................................................... 56
Varianta B ........................................................................................................................ 56
Co je třetí mocnina ........................................................................................................... 57
Varianta C ........................................................................................................................ 57
6 Aritmetika - tercie
Mocniny s přirozeným mocnitelem .......................................................................................... 58
Co je mocnina s přirozeným mocnitelem ............................................................................. 58
Co je mocnina s přirozeným mocnitelem ......................................................................... 59
Varianta A ........................................................................................................................ 59
Co je mocnina s přirozeným mocnitelem ......................................................................... 60
Varianta B ........................................................................................................................ 60
Co je mocnina s přirozeným mocnitelem ......................................................................... 61
Varianta C ........................................................................................................................ 61
Mocniny s přirozeným mocnitelem .......................................................................................... 62
Pravidla pro počítání s mocninami ....................................................................................... 62
Pravidla pro počítání s mocninami ................................................................................... 64
Varianta A ........................................................................................................................ 64
Pravidla pro počítání s mocninami ................................................................................... 65
Varianta B ........................................................................................................................ 65
Pravidla pro počítání s mocninami ................................................................................... 66
Varianta C ........................................................................................................................ 66
Mocniny s přirozeným mocnitelem .......................................................................................... 67
Zápis čísla v desítkové soustavě ........................................................................................... 67
Zápis čísla v desítkové soustavě ....................................................................................... 68
Varianta A ........................................................................................................................ 68
Zápis čísla v desítkové soustavě ....................................................................................... 69
Varianta B ........................................................................................................................ 69
Zápis čísla v desítkové soustavě ....................................................................................... 70
Varianta C ........................................................................................................................ 70
Aritmetika - tercie 7
Druhá mocnina a druhá odmocnina
Co je druhá mocnina
Druhá mocnina čísla a je součin
(čteme „á na druhou“)
Druhá mocnina je vždy nezáporné číslo, tedy buď kladné číslo, nebo nula.
Druhá mocnina čísla a čísla k němu opačného se sobě rovnají.
Umocnit číslo na druhou mocninu znamená vypočítat jeho druhou mocninu.
8 Aritmetika - tercie
Co je druhá mocnina
Varianta A
Vypočítej:
a) b) c)
Výsledek řešení:
a)
b)
c)
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Vypočítej:
a) b) c) [ ]
2) Vypočítej:
a) b) c) [ ]
3) Vypočítej:
a) b) c) [ ]
4) Vypočítej:
a) b) c) [ ]
Aritmetika - tercie 9
Co je druhá mocnina
Varianta B
Vypočítej:
a)
b)
c)
Výsledek řešení:
a)
b)
c)
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Vypočítej:
a)
b)
c)
[a)
b)
c)
]
2) Vypočítej:
a)
b)
c)
[a)
b)
c)
]
3) Vypočítej:
a)
b)
c)
[a)
b)
c)
]
4) Vypočítej:
a)
b)
c)
[a)
b)
c)
]
10 Aritmetika - tercie
Co je druhá mocnina
Varianta C
Vypočítej:
a) b) c)
Výsledek řešení:
a)
b) 0,04
c)
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Vypočítej:
a) b) c)
[a) 0, 0016 b) 0, 0001 c) - 0, 0049]
2) Vypočítej:
a) b) c)
[a) 0, 81 b) 0, 25 c) - 0, 0009]
3) Vypočítej:
a) b) c)
[a) 0,018 b) - 0,128 c) - 0, 00108]
4) Vypočítej:
a) b) c)
[a) 0,175 b) - 0, 05 c) - 0, 00054]
Aritmetika - tercie 11
Druhá mocnina a druhá odmocnina
Umocňujeme zpaměti a porovnáváme
Umocňujeme na druhou číslo „končící nulami“
1) vynecháme „koncové nuly“
2) vzniklé číslo umocníme
3) k výsledku připíšeme dvojnásobný počet nul, než jsme vynechali
1)
2)
3)
Umocňujeme na druhou desetinné číslo „začínající nulami“
1) vynecháme vše před první nenulovou číslicí
2) vzniklé číslo umocníme
3) doplníme nuly tak, aby výsledek měl dvojnásobný počet desetinných míst než původní
číslo
1)
2)
3)
Pro všechna čísla a, b platí:
12 Aritmetika - tercie
Číslo se zvětší (zmenší) jeho druhá mocnina se zvětší (zmenší)
Desetkrát stokrát
Stokrát desettisíckrát
Tisíckrát milionkrát
Pro všechna nezáporná čísla a, b platí:
Když je , pak je také .
…
…
…
Pozor na umocňování záporných čísel!!
… ale …
… ale …
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Aritmetika - tercie 13
Umocňujeme zpaměti a porovnáváme
Varianta A
Vypočítej:
a) b) c) d) e)
Výsledek řešení:
a) b) c)
d) e)
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Vypočítej:
a) b) c) d) e)
[a) 16 b) 1 600 c) 160 000 d) 16 000 000 e) 1 600 000 000]
2) Vypočítej:
a) b) c) d) e)
[a) 25 b) 2 500 c) 250 000 d) 25 000 000 e) 2 500 000 000]
3) Vypočítej:
a) b) c) d) e)
[a) 441 b) 4, 41 c) 44 100 d) 0, 0441 e) 0,000 441]
4) Vypočítej:
a) b) c) d) e)
[a) 576 b) 5, 76 c) 57 600 d) 0, 0576 e) 0,000 576]
14 Aritmetika - tercie
Umocňujeme zpaměti a porovnáváme
Varianta B
Vypočítej:
a) b) c) d)
Výsledek řešení:
a) b)
c) d)
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Vypočítej:
a) b) c) d)
[a) 0, 04 b) 0,000 4 c) 0,000 004 d) 0,000 000 04]
2) Vypočítej:
a) b) c) d)
[a) 0, 16 b) 0, 0016 c) 0,000 016 d) 0,000 000 16]
3) Vypočítej:
a)
b)
c)
[a)
b)
c)
]
4) Vypočítej:
a)
b)
c)
[a)
b)
c)
]
Aritmetika - tercie 15
Umocňujeme zpaměti a porovnáváme
Varianta C
Vypočítej a výsledky porovnej:
Výsledek řešení:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Vypočítej a výsledky porovnej:
[
]
16 Aritmetika - tercie
2) Vypočítej a výsledky porovnej:
[
]
3) Vypočítej a výsledky porovnej:
[
]
4) Vypočítej a výsledky porovnej:
[
]
Aritmetika - tercie 17
Druhá mocnina a druhá odmocnina
Odhadujeme a počítáme druhé mocniny
Úloha 1:
Odhadujeme, čemu se přibližně rovná druhá mocnina čísla 45,35.
1) dané číslo zaokrouhlíme tak, abychom uměli zpaměti určit jeho druhou mocninu:
2) určíme druhou mocninu zaokrouhleného čísla:
3) zápis výsledku provedeme takto:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
18 Aritmetika - tercie
Odhadujeme a počítáme druhé mocniny
Varianta A
Odhadni zpaměti druhou mocninu následujícího čísla: 57
Výsledek řešení:
1) dané číslo zaokrouhlíme tak, abychom uměli zpaměti určit jeho druhou mocninu:
2) určíme druhou mocninu zaokrouhleného čísla:
3) zápis výsledku provedeme takto:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Odhadni zpaměti druhou mocninu následujícího čísla: 43 [ ]
2) Odhadni zpaměti druhou mocninu následujícího čísla: 66 [ ]
3) Odhadni zpaměti druhou mocninu následujícího čísla: 121,65
[ ]
4) Odhadni zpaměti druhou mocninu následujícího čísla: 153,45
[ ]
Aritmetika - tercie 19
Odhadujeme a počítáme druhé mocniny
Varianta B
Odhadni a vypočítej:
a) b)
Výsledek řešení:
a) b)
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Odhadni a vypočítej:
a) b) [a) 10,19 b) 26,31]
2) Odhadni a vypočítej:
a) b) [a) 10,94 b) 61,09]
3) Odhadni a vypočítej:
a) b) [a) 6,76 b) 18,72]
4) Odhadni a vypočítej:
a) b) [a) 34,81 b) 56,05]
20 Aritmetika - tercie
Odhadujeme a počítáme druhé mocniny
Varianta C
Vypočítej obsah vybarveného obrazce:
Výsledek řešení:
Obsah vybarveného obrazce je
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
8,6 m
4,3 m 4,3 m
4,3 m
Aritmetika - tercie 21
Příklady k procvičení:
1) Vypočítej obsah vybarveného obrazce:
[ ]
2) Vypočítej obsah vybarveného obrazce:
[ ]
3) Vypočítej obsah vybarveného obrazce:
[ ]
5,5 m
1,8 m
1,8 m
5,5 m 5,5 m
5,5 m
8,7 m
3,1 m
3,1 m
8,7 m
5,1 m
2,3 m
2,3 m
5,1 m
22 Aritmetika - tercie
4) Vypočítej obsah vybarveného obrazce:
[ ]
1,2 m
1,2m
4,8 m
4,8 m
4,8 m
4,8 m
Aritmetika - tercie 23
Druhá mocnina a druhá odmocnina
Co je druhá odmocnina
Čtvercové číslo je takové přirozené číslo, které je druhou mocninou nějakého přirozeného
čísla.
Druhá mocnina čísla 11 je 121.
Číslu 11 říkáme druhá odmocnina z čísla 121.
Zapisujeme:
Čteme: 11 se rovná druhé odmocnině z čísla 121.
Druhá odmocnina z nezáporného čísla a je takové nezáporné číslo b, pro které platí:
Druhou odmocninu z čísla a zapisujeme symbolem .
Znaku říkáme odmocnítko.
znamená totéž, jako
protože
protože
protože
Druhá odmocnina z žádného záporného čísla neexistuje. Druhá odmocnina je vždy nezáporné
číslo.
Záporné číslo tedy nemůžeme odmocnit druhou odmocninou.
24 Aritmetika - tercie
Co je druhá odmocnina
Varianta A
Vypočítej:
a) b) c)
Výsledek řešení:
a) b) c)
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Vypočítej:
a) b) c) [6, 8, 2]
2) Vypočítej:
a) b) c) [7, 4, 10]
3) Vypočítej:
a) b) c) [8, -3, 6]
4) Vypočítej:
a) b) c) [3, -21, 5]
Aritmetika - tercie 25
Co je druhá odmocnina
Varianta B
Vypočítej:
a)
b)
c)
Výsledek řešení:
a)
b)
c)
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Vypočítej:
a)
b)
c)
[a)
, b)
, c)
]
2) Vypočítej:
a)
b)
c)
[a)
, b)
, c)
]
3) Vypočítej:
a)
b)
c)
[a)
, b)
, c)
]
4) Vypočítej:
a)
b)
c)
[a)
, b)
, c)
]
26 Aritmetika - tercie
Co je druhá odmocnina
Varianta C
Vypočítej:
a) b) c)
Výsledek řešení:
a) b) c)
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Vypočítej:
a) b) c)
[a) 0, 7; b) 0, 04; c) 0, 9]
2) Vypočítej:
a) b) c)
[a) 0, 6; b) 0, 05; c) 0, 1]
3) Vypočítej:
a) b) c)
[a) 1, 1; b) 10; c) 0, 3]
4) Vypočítej:
a) b) c)
[a) 3, 9; b) 10; c) 0, 3]
Aritmetika - tercie 27
Druhá mocnina a druhá odmocnina
Odmocňujeme zpaměti a porovnáváme
Odmocňujeme dvěma číslo „končící nulami“.
1) vynecháme sudý počet „koncových nul“
2) vzniklé číslo odmocníme
3) k výsledku připíšeme poloviční počet nul, než jsme vynechali
Pro všechna nezáporná čísla a, b platí:
Odmocňujeme dvěma desetinné číslo „začínající nulami“.
1) posuneme desetinnou čárku o sudý počet míst doprava
2) vzniklé číslo odmocníme
3) ve výsledku posuneme desetinnou čárku doleva o poloviční počet míst, než jsme ji
posunuli v prvním kroku doprava
Číslo se zvětší (zmenší): Jeho druhá odmocnina se zvětší (zmenší):
Stokrát desetkrát
Desettisíckrát stokrát
Milionkrát tisíckrát
Pro všechna nezáporná čísla a, b platí:
Když je , pak je také .
28 Aritmetika - tercie
Odmocňujeme zpaměti a porovnáváme
Varianta A
Vypočítej:
a) b) c) d)
Výsledek řešení:
a) b)
c)
d)
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Vypočítej:
a) b) c) d)
[a) 5, b) 50, c) 500, d) 5 000]
2) Vypočítej:
a) b) c) d)
[a) 6, b) 60, c) 600, d) 6 000]
3) Vypočítej:
a) b) c) d)
[a) 12, b) 120, c) 0, 12, d) 1 200]
4) Vypočítej:
a) b) c) d)
[a) 11, b) 110, c) 0, 11, d) 1 100]
Aritmetika - tercie 29
Odmocňujeme zpaměti a porovnáváme
Varianta B
Vypočítej:
a)
b)
c)
Výsledek řešení:
a)
b)
c)
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Vypočítej:
a)
b)
c)
[a)
, b)
c)
]
2) Vypočítej:
a)
b)
c)
[a)
, b) c)
]
3) Vypočítej:
a) b) c)
[a) 0, 13; b) 0, 17; c) 0,004]
4) Vypočítej:
a) b) c)
[a) 0, 18; b) 0, 19; c) 0,005]
30 Aritmetika - tercie
Odmocňujeme zpaměti a porovnáváme
Varianta C
Porovnejte velikosti čísel:
Výsledek řešení:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Porovnejte velikosti čísel: [ ]
2) Porovnejte velikosti čísel: [ ]
3) Porovnejte velikosti čísel:
[
]
4) Porovnejte velikosti čísel:
[
]
Aritmetika - tercie 31
Druhá mocnina a druhá odmocnina
Odhadujeme a počítáme druhé odmocniny
Odhadněte:
Určíme nejbližší čtvercové číslo: 81, 100, 121, 144, je to číslo 100
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
32 Aritmetika - tercie
Odhadujeme a počítáme druhé odmocniny
Varianta A
Odhadni odmocninu čísla 79,8 pomocí nejbližšího čtvercového čísla.
Výsledek řešení:
Nejbližší čtvercové číslo je 81.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Odhadni odmocninu čísla 95,7, pomocí nejbližšího čtvercového čísla. [10]
2) Odhadni odmocninu čísla 53,2, pomocí nejbližšího čtvercového čísla. [7]
3) Odhadni odmocninu čísla 170,9, pomocí nejbližšího čtvercového čísla. [13]
4) Odhadni odmocninu čísla 285,2, pomocí nejbližšího čtvercového čísla. [17]
Aritmetika - tercie 33
Odhadujeme a počítáme druhé odmocniny
Varianta B
Vypočítej, výsledek zaokrouhli na jednotky.
Výsledek řešení:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Vypočítej, výsledek zaokrouhli na jednotky. [8]
2) Vypočítej, výsledek zaokrouhli na jednotky. [9]
3) Vypočítej, výsledek zaokrouhli na jednotky. [6]
4) Vypočítej, výsledek zaokrouhli na jednotky. [6]
34 Aritmetika - tercie
Odhadujeme a počítáme druhé odmocniny
Varianta C
Vypočítej s pomocí tabulek výsledek zaokrouhli na desetiny.
Výsledek řešení:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Vypočítej, výsledek zaokrouhli na desetiny. [45,9]
2) Vypočítej, výsledek zaokrouhli na desetiny. [53,7]
3) Vypočítej, výsledek zaokrouhli na desetiny. [1,9]
4) Vypočítej, výsledek zaokrouhli na desetiny. [1,6]
Aritmetika - tercie 35
Pythagorova věta a její využití
Seznamujeme se s Pythagorovou větou
PYTHAGOROVA VĚTA
Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu obsahů
čtverců sestrojených nad jeho odvěsnami.
Pro pravoúhlý trojúhelník ABC s přepnou o délce c a s odvěsnami o délkách a, b platí:
a
b
c
C
B
A
36 Aritmetika - tercie
Třikrát tatáž Pythagorova věta.
VĚTA OBRÁCENÁ K PYTHAGOROVĚ VĚTĚ
Jsou-li a, b, c délky stran trojúhelníku a platí-li pro ně , pak je trojúhelník
pravoúhlý a c je délka jeho přepony.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
a
b
c =?
a = ?
b
c
a
b = ?
c
Aritmetika - tercie 37
Seznamujeme se s Pythagorovou větou
Varianta A
Vypočítej délku přepony v pravoúhlém trojúhelníku, ve kterém jsou dány délky odvěsen.
Výsledek zaokrouhli na desetiny.
Výsledek řešení:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Vypočítej délku přepony v pravoúhlém trojúhelníku, ve kterém jsou dány délky odvěsen.
Výsledek zaokrouhli na desetiny. [ ]
2) Vypočítej délku přepony v pravoúhlém trojúhelníku, ve kterém jsou dány délky odvěsen.
Výsledek zaokrouhli na desetiny. [ ]
3) Vypočítej délku přepony v pravoúhlém trojúhelníku, ve kterém jsou dány délky odvěsen.
Výsledek zaokrouhli na desetiny centimetru. [ ]
4) Vypočítej délku přepony v pravoúhlém trojúhelníku, ve kterém jsou dány délky odvěsen.
Výsledek zaokrouhli na desetiny centimetru. [ ]
38 Aritmetika - tercie
Seznamujeme se s Pythagorovou větou
Varianta B
Vypočítej délku odvěsny v pravoúhlém trojúhelníku, ve kterém je dána délka odvěsny a
přepony. Výsledek zaokrouhli na desetiny.
Výsledek řešení:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Vypočítej délku odvěsny v pravoúhlém trojúhelníku, ve kterém je dána délka odvěsny a
přepony. Výsledek zaokrouhli na desetiny. [ ]
2) Vypočítej délku odvěsny v pravoúhlém trojúhelníku, ve kterém je dána délka odvěsny a
přepony. Výsledek zaokrouhli na desetiny. [ ]
3) Vypočítej délku odvěsny v pravoúhlém trojúhelníku, ve kterém je dána délka odvěsny a
přepony. Výsledek zaokrouhli na desetiny centimetru.
[ ]
4) Vypočítej délku odvěsny v pravoúhlém trojúhelníku, ve kterém je dána délka odvěsny a
přepony. Výsledek zaokrouhli na desetiny centimetru.
[ ]
Aritmetika - tercie 39
Seznamujeme se s Pythagorovou větou
Varianta C
Uvedené údaje jsou délky stran trojúhelníku, rozhodni, zda je to pravoúhlý trojúhelník.
Výsledek řešení:
1) V trojúhelníku musí platit, že součet dvou menších stran musí být větší než strana třetí.
2) V pravoúhlém trojúhelníku platí Pythagorova věta.
1)
2)
Trojúhelník není pravoúhlý.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Uvedené údaje jsou délky stran trojúhelníku, rozhodni, zda je to pravoúhlý trojúhelník.
[ano]
2) Uvedené údaje jsou délky stran trojúhelníku, rozhodni, zda je to pravoúhlý trojúhelník.
[ne]
40 Aritmetika - tercie
3) Uvedené údaje jsou délky stran trojúhelníku, rozhodni, zda je to pravoúhlý trojúhelník.
[ne]
4) Uvedené údaje jsou délky stran trojúhelníku, rozhodni, zda je to pravoúhlý trojúhelník.
[ano]
Aritmetika - tercie 41
Pythagorova věta a její využití
Pythagorova věta v rovině
Pythagorovu větu používáme k výpočtům neznámých údajů délek v pravoúhlých
trojúhelnících umístěných v rovině.
Úloha 1:
Vypočítej výšku k základně rovnoramenného trojúhelníku ABC. Délka základny je 8,8 cm,
délka ramene je 7,2 cm.
Výška je kolmá k základně AB, proto je odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku ASC. Bod S je
střed základny AB. Využijeme Pythagorovu větu.
Výška k základně AB má délku přibližně 5,7 cm.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
A B
C
4,4 cm 4,4 cm
7,2 cm
S
42 Aritmetika - tercie
Pythagorova věta v rovině
Varianta A
Délky stran obdélníku jsou 14cm a 2,8cm. Vypočítej délku jeho úhlopříčky, výsledek
zaokrouhli na desetiny.
Výsledek řešení:
Délka úhlopříčky obdélníku je 14,3 cm.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Délky stran obdélníku jsou 12cm a 21,3cm. Vypočítej délku jeho úhlopříčky, výsledek
zaokrouhli na desetiny. [24,4cm]
2) Délky stran obdélníku jsou 8,2cm a 30cm. Vypočítej délku jeho úhlopříčky, výsledek
zaokrouhli na desetiny. [31,1cm]
3) Obsah čtverce je . Vypočítej délku jeho úhlopříčky, výsledek zaokrouhli na
desetiny. [22,6dm]
4) Obsah čtverce je . Vypočítej délku jeho úhlopříčky, výsledek zaokrouhli na
desetiny. [25,5cm]
14cm
2,8cm
u
Aritmetika - tercie 43
Pythagorova věta v rovině
Varianta B
Rovnoramenný trojúhelník má délku základny 12 cm a ramena dlouhá 10 cm. Vypočítej
výšku k základně.
Výsledek řešení:
Výška v rovnoramenném trojúhelníku je 8 cm.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Rovnoramenný trojúhelník má délku ramen 28,5 cm a výšku k základně dlouhou 13cm.
Vypočítej délku základny. Výsledek zokrouhli na desetiny. [50,7cm]
2) Rovnoramenný trojúhelník má délku základny 6,2cm a výšku k základně dlouhou 8,5cm.
Vypočítej délku ramen. Výsledek zokrouhli na desetiny. [9cm]
3) Vypočítej obvod a obsah rovnoramenného trojúhelníku ABC se základnou AB, ve kterém
mají ramena délku 26cm a výška k základně je 10cm. [100cm, ]
4) Vypočítej obvod a obsah rovnoramenného trojúhelníku ABC se základnou AB, ve kterém
mají ramena délku 20cm a výška k základně je 16cm. [64cm, ]
10cm 10cm
12cm
v
44 Aritmetika - tercie
Pythagorova věta v rovině
Varianta C
Vypočítej obvod lichoběžníku na obrázku, výsledek zaokrouhli na setiny metru.
Výsledek řešení:
Obvod lichoběžníku je 79,16 m.
36 m
19 m
9 m 8 m
d
x y
36 m
19 m
9 m 8 m
Aritmetika - tercie 45
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Vypočítej obvod lichoběžníku na obrázku, výsledek zaokrouhli na setiny metru.
[96,49 m]
2) Vypočítej obvod lichoběžníku na obrázku, výsledek zaokrouhli na setiny metru.
[78,78 m]
3) Kosočtverec má stranu délky a úhlopříčku délky . Vypočítej
délku druhé úhlopříčky. (výsledek zaokrouhli na desetiny) [41,2 cm]
4) Vypočítej délku strany kosočtverce, jehož úhlopříčky mají délky , .
(výsledek zaokrouhli na desetiny) [52 cm]
37 m
15 m
9 m 7 m
42 m
20 m
15 m 13 m
46 Aritmetika - tercie
Pythagorova věta a její využití
Pythagorova věta v prostoru
Pythagorovu větu používáme k výpočtům neznámých údajů délek v pravoúhlých
trojúhelnících umístěných v prostoru.
Úloha 2:
Vypočítej velikost stěnové a tělesové úhlopříčky v kvádru ABCDEFGH, s rozměry
uvedenými na obrázku.
Podstava ABCD je obdélník, úhlopříčka BD je přepona pravoúhlého trojúhelníku ABD (i
trojúhelníku BCD).
Využijeme Pythagorovu větu.
A B
C D
E F
G H
4 cm
3 cm
8 cm
A B
C D
4 cm
3 cm
Aritmetika - tercie 47
Tělesová úhlopříčka HB je úhlopříčkou obdélníku DBFH.
Využijeme Pythagorovu větu.
Stěnová úhlopříčka BD má délku 5 cm, tělesová úhlopříčka HB má přibližně délku 9,4 cm.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
B D
H F
8 cm
48 Aritmetika - tercie
Pythagorova věta v prostoru
Varianta A
Vypočti tělesovou úhlopříčku v krychli, jejíž hrana má délku 8 cm. Zaokrouhli na desetiny.
Výsledek řešení:
Délka tělesové úhlopříčky je 13,9 cm.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Vypočti tělesovou úhlopříčku v krychli, jejíž hrana má délku 12 cm. Zaokrouhli na
desetiny. [20,8 cm]
2) Vypočti tělesovou úhlopříčku v krychli, jejíž hrana má délku 14 cm. Zaokrouhli na
desetiny. [24,2 cm]
8 cm
Aritmetika - tercie 49
3) Vypočti tělesovou úhlopříčku v krychli, jejíž obsah pláště je . Zaokrouhli na
desetiny. [10,4 cm]
4) Vypočti tělesovou úhlopříčku v krychli, jejíž obsah pláště je . Zaokrouhli na
desetiny. [12,1 cm]
50 Aritmetika - tercie
Pythagorova věta v prostoru
Varianta B
Vypočítej tělesovou úhlopříčku kvádru s rozměry stran .
Výsledek zaokrouhli na desetiny.
Výsledek řešení:
Délka tělesové úhlopříčky kvádru je 11 cm.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Vypočítej tělesovou úhlopříčku kvádru s rozměry stran .
Výsledek zaokrouhli na desetiny. [9,4 cm]
2) Vypočítej tělesovou úhlopříčku kvádru s rozměry stran .
Výsledek zaokrouhli na desetiny. [12,1 cm]
A B
C D
E F
G H
5 cm
4 cm
9 cm
Aritmetika - tercie 51
3) Kvádr s obdélníkovou podstavou o rozměrech 3,2 cm a 3,8 cm má tělesovou úhlopříčku
délky 9,1 cm. Vypočítej výšku kvádru. Výsledek zaokrouhli na desetiny.
[7,6 cm]
4) Kvádr s obdélníkovou podstavou o rozměrech 2,3 cm a 2,8 cm má tělesovou úhlopříčku
délky 6,7 cm. Vypočítej výšku kvádru. Výsledek zaokrouhli na desetiny.
[5,6 cm]
52 Aritmetika - tercie
Pythagorova věta v prostoru
Varianta C
Vypočítej obvod a obsah trojúhelníku BCE v krychli o hraně 4 cm.
Výsledek řešení:
Obvod trojúhelníku BCE je 16,6 cm a jeho obsah je .
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
4 cm
A B
C D
E F
G H
Aritmetika - tercie 53
Příklady k procvičení:
1) Vypočítej obvod a obsah trojúhelníku ASE v krychli o hraně 5 cm, kde bod S je středem
dolní podstavy krychle. [14,7 cm; ]
2) Vypočítej obvod a obsah trojúhelníku BFS v krychli o hraně 6 cm, kde bod S je středem
dolní podstavy krychle. [17,6 cm; ]
3) Vypočítej výšku stanu tvaru čtyřbokého jehlanu se čtvercovou podstavou, jestliže platí
[1,46 m]
4) Věž chrámu je odchýlena od původní svislé osy o 220 cm. Její původní výška byla 48 m.
V jaké výšce se nyní nachází nejvyšší bod této věže? [47,95 m]
54 Aritmetika - tercie
Mocniny s přirozeným mocnitelem
Co je třetí mocnina
Třetí mocnina čísla a je součin
Čteme: á na třetí
Třetí mocnina kladného čísla je kladné číslo.
Třetí mocnina nuly je nula.
Třetí mocnina záporného čísla je záporné číslo.
Číslo se zvětší (zmenší): Jeho třetí mocnina se zvětší (zmenší)
Desetkrát tisíckrát
Stokrát milionkrát
Aritmetika - tercie 55
Co je třetí mocnina
Varianta A
Vypočítej:
a) b) c)
Výsledek řešení:
a)
b)
c)
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Vypočítej:
a) b) c) [ ]
2) Vypočítej:
a) b) c) [ ]
3) Vypočítej:
a) b) c) [ ]
4) Vypočítej:
a) b) c) [ ]
56 Aritmetika - tercie
Co je třetí mocnina
Varianta B
Vypočítej:
a)
b)
c)
Výsledek řešení:
a)
b)
c)
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Vypočítej:
a)
b)
c)
[a)
b)
c)
]
2) Vypočítej:
a)
b)
c)
[a)
b)
c)
]
3) Vypočítej:
a)
b)
c)
[a)
b)
c)
]
4) Vypočítej:
a)
b)
c)
[a)
b)
c)
]
Aritmetika - tercie 57
Co je třetí mocnina
Varianta C
Vypočítej:
a) b) c)
Výsledek řešení:
a)
b)
c)
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Vypočítej:
a) b) c)
[a) 0,000 064 b) - 0,000 001 c) - 0,434]
2) Vypočítej:
a) b) c)
[a) 0,729 b) - 0,125 c) - 0,000 027]
3) Vypočítej:
a) b) c)
[a) 0,019 b) - 10 c) - 0,027]
4) Vypočítej:
a) b) c)
[a) - 0,061 b) - 20 c) - 0,001]
58 Aritmetika - tercie
Mocniny s přirozeným mocnitelem
Co je mocnina s přirozeným mocnitelem
MOCNINA S PŘIROZENÝM MOCNITELEM
Pro každé přirozené číslo n je n-tá mocnina čísla a součin, ve kterém je n činitelů a.
n krát
a – je základ mocniny
n – je mocnitel
čteme: á na n-tou
- šestá mocnina čísla 3.
- čtvrtá mocnina čísla (- 0,2)
Pro každé číslo a se a na prvou rovná a.
a n Příklad
kladné přirozené kladné
0 přirozené 0
záporné sudé kladné
záporné liché záporné
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Aritmetika - tercie 59
Co je mocnina s přirozeným mocnitelem
Varianta A
Zapiš jako mocninu:
a) b) c)
Výsledek řešení:
a) b)
c)
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Zapiš jako mocninu:
a) b)
[a) b) ]
2) Zapiš jako mocninu:
a) b)
[a) b) ]
3) Zapiš jako mocninu, se základem 2:
[ ]
4) Zapiš jako mocninu, se základem 3:
[ ]
60 Aritmetika - tercie
Co je mocnina s přirozeným mocnitelem
Varianta B
Porovnej čísla podle velikosti:
a) b) c)
Výsledek řešení:
a) b) c)
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Porovnej čísla podle velikosti:
a) b)
[a) b) ]
2) Porovnej čísla podle velikosti:
a) b)
[a) b) ]
3) Porovnej čísla podle velikosti:
a) b)
[a) b) ]
4) Porovnej čísla podle velikosti:
a) b)
[a) b) ]
Aritmetika - tercie 61
Co je mocnina s přirozeným mocnitelem
Varianta C
Zapiš jako součin mocnin prvočísel následující číslo:
a) 24 b) 140
Výsledek řešení:
a)
b)
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Zapiš jako součin mocnin prvočísel následující číslo: 98
[ ]
2) Zapiš jako součin mocnin prvočísel následující číslo: 108
[ ]
3) Zapiš jako součin mocnin prvočísel následující číslo: 4500
[ ]
4) Zapiš jako součin mocnin prvočísel následující číslo: 3240
[ ]
62 Aritmetika - tercie
Mocniny s přirozeným mocnitelem
Pravidla pro počítání s mocninami
SOUČIN MOCNIN SE STEJNÝM ZÁKLADEM
a – libovolné číslo
m, n – přirozená čísla
Mocniny se stejným základem násobíme tak, že jejich základ umocníme na součet mocnitelů.
PODÍL MOCNIN SE STEJNÝM ZÁKLADEM
m, n – přirozená čísla
Mocniny se stejným (nenulovým) základem dělíme tak, že jejich základ umocníme na rozdíl
mocnitele dělence a mocnitele dělitele.
MOCNINA SOUČINU
a, b – libovolná čísla
n – přirozené číslo
Součin umocníme, když umocníme každého činitele.
Aritmetika - tercie 63
MOCNINA PODÍLU
a – libovolné číslo
n – přirozené číslo
Podíl umocníme, když umocníme dělence i dělitele.
Zlomek umocníme, když umocníme čitatele i jmenovatele.
a – libovolné číslo
n – přirozené číslo
MOCNINA MOCNINY
a – libovolné číslo
m, n – přirozená čísla
Mocninu umocníme, když základ mocniny umocníme na součin mocnitelů.
PRAVIDLA PRO POČÍTÁNÍ S MOCNINAMI:
64 Aritmetika - tercie
Pravidla pro počítání s mocninami
Varianta A
Zjednoduš a vypočítej:
a) b)
Výsledek řešení:
a)
b)
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Zjednoduš a vypočítej:
a) b) [a) 648, b) 96]
2) Zjednoduš a vypočítej:
a) b) [a) 625, b) 405]
3) Zjednoduš a vypočítej:
a) b) [a) 486, b) 0,0001]
4) Zjednoduš a vypočítej:
a) b) [a) 1250, b) 0]
Aritmetika - tercie 65
Pravidla pro počítání s mocninami
Varianta B
Zapiš podíl mocnin jako jednu mocninu:
a) b)
Výsledek řešení:
a) b)
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Zapiš podíl mocnin jako jednu mocninu:
a) b)
[a) b)
]
2) Zapiš podíl mocnin jako jednu mocninu:
a) b)
[a) b)
]
3) Zapiš jako jednu mocninu:
a) b) [a) b) ]
4) Zapiš jako jednu mocninu:
a) b) [a) b) ]
66 Aritmetika - tercie
Pravidla pro počítání s mocninami
Varianta C
Zapiš jako jednu mocninu:
a) b)
Výsledek řešení:
a) b)
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Zapiš jako jednu mocninu:
a) b)
[a) b)
]
2) Zapiš jako jednu mocninu:
a) b)
[a) b)
]
3) Zapiš jako jednu mocninu:
[
]
4) Zapiš jako jednu mocninu:
[
]
Aritmetika - tercie 67
Mocniny s přirozeným mocnitelem
Zápis čísla v desítkové soustavě
Mocnitel je stejný jako počet nul.
Každé kladné číslo větší nebo rovno 10 můžeme zapsat ve tvaru , kde a je číslo větší
nebo rovno 1 a menší než 10 a n je přirozené číslo.
Zkrácený zápis čísla v desítkové soustavě = rozvinutý zápis čísla v desítkové soustavě.
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
68 Aritmetika - tercie
Zápis čísla v desítkové soustavě
Varianta A
Napiš pomocí mocnin o základu 10 rozvinutý zápis čísla: 6 085
Výsledek řešení:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Napiš pomocí mocnin o základu 10 rozvinutý zápis čísla: 5 229
[ ]
2) Napiš pomocí mocnin o základu 10 rozvinutý zápis čísla: 7 436
[ ]
3) Napiš pomocí mocnin o základu 10 rozvinutý zápis čísla: 169 528
[ ]
4) Napiš pomocí mocnin o základu 10 rozvinutý zápis čísla: 431 824
[ ]
Aritmetika - tercie 69
Zápis čísla v desítkové soustavě
Varianta B
Zapiš číslo vyjádřené rozvinutým zápisem:
Výsledek řešení:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Zapiš číslo vyjádřené rozvinutým zápisem:
[350 059]
2) Zapiš číslo vyjádřené rozvinutým zápisem:
[986 020]
3) Zapiš číslo vyjádřené rozvinutým zápisem:
[- 5 397 012]
4) Zapiš číslo vyjádřené rozvinutým zápisem:
[- 2 045 109]
70 Aritmetika - tercie
Zápis čísla v desítkové soustavě
Varianta C
Zapiš číslo, jehož zápis ve tvaru je následující: .
Výsledek řešení:
Příklad:
Varianta A
Varianta B
Varianta C
Příklady k procvičení:
1) Zapiš číslo, jehož zápis ve tvaru je následující: .
[21 390]
2) Zapiš číslo, jehož zápis ve tvaru je následující: .
[442 000]
3) Zapiš číslo, jehož zápis ve tvaru je následující: .
[8 070 000]
4) Zapiš číslo, jehož zápis ve tvaru je následující: .
[3 009 000]
