ATOMY

+

MOLEKULY

Atom vodíku Klasicky nestabilní, pak jsme studovali v rámci staré kvantové mechaniky

--Bohrův model

Teď úplně kvantově:

Hodnoty a vlastní stavy energie

dostaneme z bezčasové Schrodingerovy rovnice

−ℏ2

2𝑚𝛻2 + 𝑉 𝑟 𝜓 𝑟 = 𝐸𝜓 𝑟

kde

𝑉 𝑟 = −𝑒2

4𝜋𝜀0𝑟

Vidíme, že potenciální energie je radiálně symetrická:

závisí jen na 𝑟---přejdeme do sférických souřadnic

a použijeme výsledky získané při studiu momentu hybnosti

1

2𝑚−ℏ2

1

𝑟

𝜕2

𝜕𝑟2𝑟 +

𝐿 2

𝑟2𝜓 𝑟, 𝜃, 𝜙 −

𝑒2

4𝜋𝜀0𝑟𝜓 𝑟, 𝜃, 𝜙 = 𝐸𝜓 𝑟, 𝜃, 𝜙

Řešení tedy budeme hledat ve tvaru, který separuje proměnné, radiální od úhlových:

𝜓 𝑟, 𝜃, 𝜙 = 𝑅 𝑟 𝑌𝑙,𝑚 𝜃, 𝜙

protože, jak víme 𝐿 2𝑌𝑙,𝑚 𝜃, 𝜙 = ℏ2𝑙 𝑙 + 1 𝑌𝑙,𝑚 𝜃, 𝜙

takže v kinetické energii můžeme nahradit 𝐿 2 → ℏ2𝑙 𝑙 + 1

Hamiltonián komutuje s 𝐿 2 (proč?)

Pro dané 𝑙 fungujou všechny funkce 𝑌𝑙,𝑚 𝜃, 𝜙 stejně dobře pro všechna

𝑚, která jdou od −𝑙 do +𝑙 a je jich tudíž 2𝑙 + 1, jak už víme

Takže pro dané 𝑙 má Hamiltonián 2𝑙 + 1stavů s toutéž energií.

Říkáme, že je 2𝑙 + 1 krát degenerovaný.

Tato degenerace je důsledkem sférické symetrie elektrostatického potenciálu.

Obecně se symetrií jsou spojené degenerace.

Za chvíli uvidíme, že speciálně pro Coulombův potenciál je degenerace ještě vyšší

Proto úhlovou část nyní můžeme zkrátit z obou stran a dostaneme

z parciální diferenciální rovnice pro 𝜓 𝑟, 𝜃, 𝜙

obyčejnou diferenciální rovnici pro radiální část 𝑅 𝑟

ℏ2

2𝑚−

1

𝑟

d2

d𝑟2𝑟 +

𝑙 𝑙 + 1

𝑟2𝑅 𝑟 −

𝑒2

4𝜋𝜀0𝑟𝑅 𝑟 = 𝐸𝑅 𝑟

Dosazení 𝜓 𝑟, 𝜃, 𝜙 = 𝑅 𝑟 𝑌𝑙,𝑚 𝜃, 𝜙

tedy dá

ℏ2

2𝑚−

1

𝑟

d2

d𝑟2 𝑟 +𝑙 𝑙 + 1

𝑟2 𝑅 𝑟 𝑌𝑙,𝑚 𝜃, 𝜙 −𝑒2

4𝜋𝜀0𝑟𝑅 𝑟 𝑌𝑙,𝑚 𝜃, 𝜙 = 𝐸𝑅 𝑟 𝑌𝑙,𝑚 𝜃, 𝜙

Na úhlovou část 𝑌𝑙,𝑚 𝜃, 𝜙 nyní už nepůsobí žádná derivace

Na pravou stranu rovnice převedem ℏ2

2𝑚:

−1

𝑟

d2

d𝑟2𝑟 +

𝑙 𝑙 + 1

𝑟2𝑅 𝑟 −

2𝑚

ℏ2

𝑒2

4𝜋𝜀0𝑟𝑅 𝑟 =

2𝑚𝐸

ℏ2𝑅 𝑟

Úprava druhého členu na levé straně: 2𝑚

ℏ2

𝑒2

4𝜋𝜀0= 2

𝑒2

4𝜋𝜀0ℏ𝑐

𝑚𝑐

ℏ= 2

𝛼

ƛ𝑒=

2

𝑎𝐵

kde 𝑎𝐵 je Bohrův poloměr a ƛ𝑒 je redukovaná Comptonova délka elektronu,

které jsme zavedli v Bohrově modelu atomu

Výraz 2𝑚𝐸

ℏ2 na pravé straně má rozměr délky na mínus druhou (proč?)

kterou označíme 𝑎, takže 2𝑚𝐸

ℏ2 = −1

𝑎2 Proč znaménko mínus?

Význam této délky hned uvidíme

Po všech těchto úpravách získá rovnice pro radiální část vlnové funkce tvar:

−1

𝑟

d2

d𝑟2𝑟 +

𝑙 𝑙 + 1

𝑟2𝑅 𝑟 −

2

𝑎𝐵𝑟𝑅 𝑟 = −

1

𝑎2𝑅 𝑟

Jako u harmonického oscilátoru se nejprve podíváme na chování řešení

pro velká 𝑟

První operaci na levé straně můžeme přepsat

1

𝑟

d2

d𝑟2 𝑟 =d2

d𝑟2 +2

𝑟

d

d𝑟 je to vidět?

Pro velká 𝑟 je druhý člen potlačen faktorem 1/𝑟,

kterým je taky potlačen člen na levé straně rovnice od Coulombovy interakce;

člen od momentu hybnosti je potlačen ještě více členem 1/𝑟2

Takže pro velká 𝑟 se rovnice výrazně zjednoduší na

d2

d𝑟2 𝑅 𝑟 =1

𝑎2 𝑅 𝑟

Tato rovnice má dvě nezávislá řešení (proč?) exp ±𝑟

𝑎

Z nich vybereme řešení se znaménkem mínus (proč?)

Takže jsme zjistili, že zavedená délka 𝑎 vztahem 2𝑚𝐸

ℏ2 = −1

𝑎2

je škála, na které se mění řešení ve velkých vzdálenostech

Tohle chování plyne z tunelovací formule jako pro harmonický oscilátor.

Mocniny 1/𝑟 a 1/𝑟2, které potlačily ostatní členy na velkých vzdálenostech,

naopak dominujou na krátkých vzdálenostech,

takže ještě vyšetříme chování řešení pro malá 𝑟

Tam teda hlavní roli bude hrát člen úměrný 1/𝑟2, který pochází od členu

𝐿 2

2𝑚𝑟2 v kinetické energii od momentu hybnosti.

Existuje taky klasicky a říká se mu centrifugální bariera

Pro malá 𝑟 je důležitější než Coulombova interakce

Takže pro malá 𝑟 má rovnice tvar −1

𝑟

d2

d𝑟2 𝑟 +𝑙 𝑙 + 1

𝑟2 𝑅 𝑟 = 0

Dosazením zjistíme, že dvě nezávislá řešení téhle rovnice jsou 𝑟𝑙 a 𝑟−𝑙−1

Doporučuju ověřit

Z nich vybereme 𝑟𝑙 Proč ne to druhé?

Tohle dává smysl, protože klesá k nule rychleji s vyšší hodnotou 𝑙

v silnější centrifugální barieře

Když teď dáme dohromady chování pro malá a velká 𝑟, dostaneme

𝑅 𝑟 = 𝑟𝑙 exp −𝑟

𝑎

To je tedy přibližné řešení, ale zase jako u harmonického oscilátoru

ho zkusíme dosadit do přesné rovnice

1

𝑟

d2

d𝑟2 𝑟 𝑟𝑙 exp −𝑟

𝑎= 𝑟𝑙 exp −

𝑟

𝑎

1

𝑎2 −2 𝑙 + 1

𝑎𝑟+

𝑙 𝑙 + 1

𝑟2

= 𝑅 𝑟1

𝑎2 −2 𝑙 + 1

𝑎𝑟+

𝑙 𝑙 + 1

𝑟2

Doporučuju

ověřit

Takže dosazení do diferenciální rovnice po zkrácení 𝑅 𝑟 dá

−1

𝑎2 −2 𝑙 + 1

𝑎𝑟+

𝑙 𝑙 + 1

𝑟2 +𝑙 𝑙 + 1

𝑟2 −2

𝑎𝐵𝑟= −

1

𝑎2

Zbylé dva členy dají 𝑎 = 𝑙 + 1 𝑎𝐵

První a třetí člen v závorce se odečtou s členy mimo, kvůli chování pro malá a velká 𝑟

Z definice délky 𝑎 2𝑚𝐸

ℏ2= −

1

𝑎2 dostaneme

𝐸 = −ℏ2

2𝑚𝑎2= −

ℏ2

2𝑚𝑎𝐵2

1

𝑙 + 1 2

Jelikož ℏ2

2𝑚𝑎𝐵2

= Ry (doporučuju ověřit)

dostali jsme 𝐸 = −Ry

𝑙 + 1 2 což je Bohrova formule pro 𝑛 = 𝑙 + 1

Bohr ve staré kvantové mechanice předpokládal 𝑛 = 𝑙 a pohyb po kruhové dráze,

tj. s přesně danou hodnotou radiální vzdálenosti a nulovou radiální rychlostí.

Vidíme, že v úplně kvantovém výpočtu jednak kvůli neurčitosti momentu hybnosti

je jeho kvadrát 𝑙 𝑙 + 1 ℏ2 a ne 𝑙2ℏ2

A jednak kvůli relacím neurčitosti v radiálním směru je příspěvek k energii

též od radiálního pohybu

Ale pozoruhodně stejně vyjde tentýž tvar energie, jen s posunutím 𝑙 o jedničku.

není jediné řešení. 𝑅 𝑟 = 𝑟𝑙 exp −𝑟

𝑎

Po inspiraci harmonickým oscilátorem ho můžem zkusit vynásobit

mocninou 𝑟𝑛𝑟 pro nějaké 𝑛𝑟

= 𝑟𝑙 exp −𝑟

𝑎

𝑟𝑛𝑟

𝑎2 −2 𝑛𝑟 + 𝑙 + 1 𝑟𝑛𝑟−1

𝑎+ 𝑛𝑟 + 𝑙 + 1 𝑛𝑟 + 𝑙 𝑟𝑛𝑟−2

Pak úplně stejným výpočtem jako bez 𝑛𝑟 dostaneme

1

𝑟

d2

d𝑟2 𝑟 𝑟𝑙+𝑛𝑟 exp −𝑟

𝑎=

V diferenciální rovnici převedeme všechny členy na levou stranu a vynásobíme -1

1

𝑟

d2

d𝑟2𝑟 −

𝑙 𝑙 + 1

𝑟2+

2

𝑎𝐵𝑟−

1

𝑎2𝑅 𝑟 = 0

Takže po dosazení do levé strany dostaneme

= 𝑟𝑙 exp −𝑟

𝑎×

×𝑟𝑛𝑟

𝑎2 −2 𝑛𝑟 + 𝑙 + 1 𝑟𝑛𝑟−1

𝑎+ 𝑛𝑟 + 𝑙 + 1 𝑛𝑟 + 𝑙 𝑟𝑛𝑟−2 − 𝑙 𝑙 + 1 𝑟𝑛𝑟−2 +

2𝑟𝑛𝑟−1

𝑎𝐵−

𝑟𝑛𝑟

𝑎2

První a poslední člen se opět odečtou, protože změna mocniny 𝑟 nezměnila

exponenciální chování na velkých vzdálenostech

Druhý a předposlední člen se taky odečtou, pokud tentokrát 𝑎 = 𝑛𝑟 + 𝑙 + 1 𝑎𝐵

Zavádí se tzv. hlavní kvantové číslo 𝑛 = 𝑛𝑟 + 𝑙 + 1, takže 𝑎 = 𝑛𝑎𝐵

𝐸𝑛 = −Ry

𝑛2 odtud Tedy přesně Bohrova formule

Pro vodíkupodobný atom, tj. 𝑍 protonů v jádře a jeden elektron,

by pravá strana byla vynásobená faktorem 𝑍2

Prostřední dva členy se neodečtou 𝑟𝑙 exp −𝑟

𝑎𝑛 𝑛 − 1 − 𝑙 𝑙 + 1 𝑟𝑛𝑟−2

Ale tak jako u harmonického oscilátoru tento zbylý člen můžeme zlikvidovat přičtením

𝑐𝑛𝑟−1𝑟𝑛𝑟−1 k původnímu 𝑟𝑛𝑟

×𝑟𝑛𝑟−1

𝑎2 −2 𝑛 − 1 𝑟𝑛𝑟−2

𝑎+ 𝑛 − 1 𝑛 − 2 𝑟𝑛𝑟−3 − 𝑙 𝑙 + 1 𝑟𝑛𝑟−3 +

2𝑟𝑛𝑟−2

𝑎𝐵−

𝑟𝑛𝑟−1

𝑎2

Tím se k levé straně rovnice přičte

= 𝑟𝑙 exp −𝑟

𝑎× 𝑐𝑛𝑟−1 ×

První a poslední člen se opět odečtou. Druhý a předposlední se tentokrát neodečtou,

a proto mohou zlikvidovat předchozí zbylý člen. K tomu musí platit

2𝑐𝑛𝑟−1 −𝑛 − 1

𝑎+

1

𝑎𝐵+ 𝑛 𝑛 − 1 − 𝑙 𝑙 + 1 = 0

Ze vztahu 𝑎 = 𝑛𝑎𝐵 dostáváme −𝑛 − 1

𝑎+

1

𝑎𝐵= −

1

𝑛𝑎𝐵

a odtud 𝑐𝑛𝑟−1 = −𝑛𝑎𝐵

𝑛 𝑛 − 1 − 𝑙 𝑙 + 1

2 záporný

Prostřední dva členy se zase neodečtou a zase je zlikvidujeme přidáním

dalšího členu

𝑐𝑛𝑟−2𝑟𝑛𝑟−2 jehož koeficient 𝑐𝑛𝑟−2 vyjde kladný

atd. až do nulté mocniny, tj. konstanty

Takže jako u harmonického oscilátoru se střídají znaménka koeficientů, což dá vlnky v 𝑅

Na rozdíl od Hermitových polynomů harmonického oscilátoru

ale mocniny mají obojí paritu Ale 𝑅 má smysl jen pro kladná 𝑟, takže nejvyšší mocnina 𝑛𝑟

je zase počet nul funkce 𝑅, tj. počet průsečíků s vodorovnou osou

Proto se 𝑛𝑟 nazývá radiální kvantové číslo.

Jako u harmonického oscilátoru dostaneme teda polynomy se střídavými znaménky

Nazývají se Laguerrovy polynomy a taky byly známy už v 19. století

před kvantovou mechanikou

Ještě jednou se podíváme na vztah 𝑛 = 𝑛𝑟 + 𝑙 + 1

Tady jsme začali s daným 𝑙 a měnili 𝑛𝑟, čímž se měnilo 𝑛

Můžeme ale uvažovat obráceně: zvolíme 𝑛, tj. energii stavu 𝐸𝑛 = −Ry

𝑛2

Vidíme, že 𝑙 může být 0 až 𝑛 − 1. Pro každý z nich je degenerace 2𝑙 + 1

Takže degenerace energie 𝐸𝑛 je 2𝑙 + 1

𝑛−1

𝑙=0

= 𝑛2

Pro zajímavost: součet aritmetické posloupnosti byl údajně první Gaussův výsledek

Tato vyšší degenerace než jsme čekali pouze ze sférické symetrie

je důsledkem vyšší symetrie pohybu v Coulombově potenciálu,

která se projevuje už klasicky tím, že oběžné dráhy (elipsy) jsou uzavřené

Třetí Keplerův zákon naznačuje, že energie závisí jen na dlouhé poloose.

Pro danou dlouhou poloosu při větší excentricitě se bude částice klasicky víc

pohybovat v radiálním směru. Kvantově mechanicky 𝑅 získá víc vlnek

protože vlnky v radiálním a v úhlovém směru přispívají k energii stejně

SFÉRICKÉ FUNKCE

Radiální funkce

Ukazuje se, že závisejí

na 𝑛, 𝑙:

𝑅𝑛,𝑙 𝑟

Počet nul 𝑛 − 𝑙 − 1

Na cvičení 2𝑠

PRAVDĚPODOBNOST NALEZENÍ VE VZDÁLENOSTI r

Prostorové rozložení

pravděpodobnosti výskytu nalezení

elektronu v atomu popisuje orbitál

Více-elektronové atomy Připomínám: jedna vlnová funkce všech proměnných, antisymetrická při záměně

Nejjednodušší dvou-elektronový—atom helia

−ℏ2

2𝑚𝛻1

2 + 𝛻22 +

𝑒2

4𝜋𝜀0−

2

𝑟1−

2

𝑟2+

1

𝑟 1 − 𝑟 𝟐𝜓f 𝑟 1, 𝑆𝑧,1, 𝑟 2, 𝑆𝑧,2 =

= 𝐸𝜓f 𝑟 1, 𝑆𝑧,1, 𝑟 2, 𝑆𝑧,2

Indexy 1,2 u Laplaciánu označují částici, na jejíž proměnné působí, tj. např

𝛻12 =

𝜕2

𝜕𝑥12 +

𝜕2

𝜕𝑦12 +

𝜕2

𝜕𝑧12

Index f označuje fermiony, tj. antisymetrii 𝜓f 𝑟 2, 𝑆𝑧,2, 𝑟 1, 𝑆𝑧,1 = −𝜓f 𝑟 1, 𝑆𝑧,1, 𝑟 2, 𝑆𝑧,2

Dvou-částicová Schrodingerova rovnice pro dvou-částicovou vlnovou funkci

Na cvičení základní stav v Bohrově modelu

To se právě stane pro základní stav atomu He

𝜓z.s. He 𝑟 1, 𝑆𝑧,1, 𝑟 2, 𝑆𝑧,2 = 𝜓z.s. He 𝑟 1, 𝑟 2 |↑ 1|↓ 2 − |↓ 1|↑ 2

zatímco prostorová část 𝜓z.s. He 𝑟 1, 𝑟 2 je symetrická

𝜓z.s. He 𝑟 1, 𝑟 2 = 𝜓z.s. He 𝑟 2, 𝑟 1

Jak jsme viděli, nejjednodušší takovou funkcí

je součin se stejnou funkcí pro obě částice:

𝜓z.s. He 𝑟 1, 𝑟 2 = 𝜓z.s. He 𝑟 1 𝜓z.s. He 𝑟 2

Požadavek, aby toto bylo co nejlepší přiblížení k základnímu stavu, vede

zpět na jedno-částicovou Schrodingerovu rovnici

Už jsme viděli, že antisymetrie může být dána spinovou částí.

−ℏ2

2𝑚𝛻2 + 𝑉 𝑟 𝜓 𝑟 = 𝐸𝜓 𝑟

kde ale potenciální energie je nyní

Podobně taky pro další atomy: Li, Be, B,…

𝑉 𝑟 = −𝑒2

4𝜋𝜀0𝑟+ d3𝑟 1 𝜓 𝑟 1

2𝑒2

4𝜋𝜀0 𝑟 − 𝑟 1

První člen je potenciální energie od jádra. Druhý člen je působení druhého elektronu

Hustota náboje druhého elektronu je −𝑒 𝜓 𝑟 12, tj. sama závisí na hledané funkci

Je nutné řešit self-konsistentně

Zjednodušený tvar potenciální energie

𝑉 = −𝑍 − 𝜎 𝑒2

4𝜋𝜀0𝑟+

𝛽ℏ2

2𝑚𝑟2

Parametr 𝜎 popisuje stínění náboje jádra,

druhý člen deformaci potenciálu díky ostatním elektronům

Vede na energii stavů elektronů v atomu:

𝐸𝑛,𝑙 = −𝑍 − 𝜎 2Ry

𝑛∗2

kde 𝑛∗ = 𝑛∗ 𝑛, 𝑙 je rostoucí funkce 𝑙

Použijeme na cvičení pro výpočet

ionizačních energií atomů

ŘAZENÍ HLADIN A STRUKTURA

PERIODICKÉ TABULKY

NA JEDNO MÍSTO MAX 2 ELEKTRONY – SPIN !

VÝSLEDNÁ PERIODICKÁ TABULKA

V Bohrově modelu atomu, tj. ve staré kvantové mechanice:

foton se emitoval nebo absorboval

při přeskoku mezi hladinami s frekvencí odpovídající rozdílu energií

Vliv elektromagnetického pole

Atom a harmonické oscilátory elektromagnetického pole odděleně

—vlastní stavy energie, které jsme potkali,

tj. daný počet fotonů pro el-mag pole a vlastní stavy atomu tady

Ovšem při započtení interakce toto už nebudou vlastní stavy

a musíme se podívat na jejich časový vývoj

Ovšem Bohrův model neuměl nijak spočítat, jak rychle se to děje

Začneme elektrostatikou 𝐹 = 𝑄𝐸 𝐸 = −𝛻𝜑

takže potenciální energie je 𝑄𝜑

Když máme i magnetické pole, pak síla je 𝐹 = 𝑄 𝐸 + 𝑣 × 𝐵

𝐵 = 𝛻 × 𝐴

𝐸 = −𝛻𝜑 −𝜕𝐴

𝜕𝑡

a magnetické pole je dáno vektorovým potenciálem

který se objeví taky v elektrické intenzitě

potenciální energie pak dostane také druhý člen

𝑄 𝜑 − 𝑣 ∙ 𝐴

Ta už se uplatnila v samotné stavbě atomu—viz 𝑉 𝑟 = −𝑒2

4𝜋𝜀0𝑟

Pro emisi a absorpci: časová změna…váže dohromady elektřinu a magnetismus

tj. na skalární potenciál se váže samotný náboj, na vektorový pohyb náboje

Interakce elektronu v atomu a el-mag pole

-viz Maxwellův posuvný proud

a Faradayova elektromagnetická indukce

Právě vazba rychlosti částice na vektorový potenciál dá emisi a absorpci

Přepíšeme pomocí hybnosti a veličiny nahradíme operátory:

Tj. interakční Hamiltonián, který přidáme k původnímu Hamiltoniánu, má tvar

𝐻 I = −𝑄𝑝

𝑚∙ 𝐴

S takhle pozměněným Hamiltoniánem budeme řešit časovou Schrodingerovu rovnici

už nebude stacionární, nýbrž s časem se k němu budou přidávat

jiné původní vlastní stavy

Růst jejich zastoupení s časem dá rychlost přechodu

Za počáteční stav zvolíme vlastní stav původního Hamiltoniánu

Tento stav už nebude vlastním stavem pozměněného Hamiltoniánu

Pozoruhodně doba přechodu vyjde podobně jako doba kolapsu klasického

atomu podle Larmorovy formule spočítané na cvičení

Pro jednoduchost uvážíme dvě hladiny s energiemi 𝐸1, 𝐸2 a fotony

jenom s odpovídající úhlovou frekvencí, tj. splňující

𝐸2 − 𝐸1 = ℏ𝜔 = ℎ𝜈

Výsledek :

Pak jsou možné tři procesy, graficky:

ABSORPCE EMISE

SAMOVOLNÁ EMISE

VYNUCENÁ

Označíme 𝑢 𝜔 hustotu energie záření

Počáteční stav: elektron ve spodním stavu a jeden foton

Pak pravděpodobnost absorpce a přechodu na horní hladinu

je daná tzv. Einsteinovým koeficientem 𝐵12

Einstein zavedl fenomenologicky,

před vybudováním kvantové teorie

𝑛1 pravděpodobnost, že elektron je ve spodním stavu

Pak rychlost absorpce je dána 𝐵12𝑛1𝑢 𝜔

Matematický popis

1. Absorpce:

Naopak, když je elektron na počátku na horní hladině, pak může přeskočit na

spodní a emitovat foton a to dvojím způsobem:

-vynucenou emisí, jejíž rychlost je daná Einsteinovým koeficientem 𝐵21 jako

𝐵21𝑛2𝑢 𝜔

-spontánní emisí, jejíž rychlost je daná Einsteinovým koeficientem 𝐴21

a nezáleží na hustotě energie záření

𝐴21𝑛2

2. Emise

Rovnice pro časový vývoj

Zahrnutí všech tří procesů dá

d𝑛1

d𝑡= −

d𝑛2

d𝑡= −𝐵12𝑛1𝑢 𝜔 + 𝐵21𝑛2𝑢 𝜔 + 𝐴21𝑛2

Rovnováha

0 =d𝑛1

d𝑡= −

d𝑛2

d𝑡= −𝐵12𝑛1𝑢 𝜔 + 𝐵21𝑛2𝑢 𝜔 + 𝐴21𝑛2

𝑢 𝜔 𝐵12𝑛1 − 𝐵21𝑛2 = 𝐴21𝑛2

𝑢 𝜔 =𝐴21

𝐵12𝑛1𝑛2

− 𝐵21

Potřebujeme 𝑛1

𝑛2 v rovnováze

Dostaneme z Boltzmannova rozdělení

Z úměry dostaneme rovnost, když vydělíme součtem exponenciál pro všechny stavy

𝑍 jako Zustandsumme = stavová suma

Připomeňme Boltzmannovo rozdělení P(E) ~ exp –

𝐸

kBT

𝑍 = exp –𝐸

kBTstavy

Potom P(E) =

exp –𝐸kBT

𝑍

aby součet pravděpodobností byl jednička, tj. jistota, že elektron je

v nějakém stavu

Pro naše dvě hladiny

𝑛1 = 𝑃 𝐸1 =exp –

𝐸1kBT

𝑍

𝑛2 = 𝑃 𝐸2 =exp –

𝐸2kBT

𝑍

Vydělení zkrátí sumu 𝑍 𝑛1

𝑛2=

exp –𝐸1kBT

exp –𝐸2kBT

= exp𝐸2 − 𝐸1

kBT= exp

ℏ𝜔

kBT

𝑢 𝜔 =𝐴21

𝐵12𝑛1𝑛2

− 𝐵21

=𝐴21

𝐵12expℏ𝜔 kBT

− 𝐵21

Takže

Ovšem jestliže jsou fotony v rovnováze, pak mají Planckovo spektrální rozdělení,

které jsme potkali při studiu černého tělesa:

𝑢 𝜔 = 𝑁 𝜔 ℏ𝜔 𝑛 =𝑁 𝜔 ℏ𝜔

expℏ𝜔 kBT

− 1

Porovnání s 𝑢 𝜔 =𝐴21

𝐵12expℏ𝜔 kBT

− 𝐵21

dá 𝐵12 = 𝐵21 𝐴21

𝐵21= 𝑁 𝜔 ℏ𝜔

kvůli tomu, že spontánní emise je daná

interakcí náboje se základním stavem

všech fotonových modů.

VYNUCENOU EMISI VYUŽÍVAJÍ LASERY

LIGHT AMPLIFICATION BY STIMULATED EMISSION OF RADIATION

POTŘEBUJEME :

AKTIVNÍ PROSTŘEDÍ

( TAM LZE DOSÁHNOUT INVERZNÍ POPULACI =

VYŠŠÍ OBSAZENÍ HORNÍ HLADINY )

ZDROJ ENERGIE

UMOŽŇUJÍCÍ ČERPÁNÍ ELEKTRONŮ DO HORNÍ

HLADINY

DUTINOVÝ REZONÁTOR

VYBÍRÁ VLNOVOU DÉLKU ZESILOVANÉHO

ZÁŘENÍ

Další fotony se vyzáří koherentně s původními

ČT

YŘ

HL

AD

INO

VÉ

SC

HÉ

MA

FUNKCE

REZONÁTORU

DIODOVÝ LASER

NEODYMOVÝ

LASER

METODY ČERPÁNÍ :

ELEKTRICKÝ VÝBOJ

HeNe, Ar+, CO2 LASER

ABSORPCE SVĚTLA

RUBÍNOVÝ LASER ( VÝBOJKA )

NEODYMOVÉ SKLO ( VÝBOJKA )

BARVIVOVÉ LASERY ( LASER )

CHEMICKÁ REAKCE

HF LASER, EXCIMERNÍ LASER ( XeF )

ELEKTRICKÝ PROUD

POLOVODIČOVÝ LASER ( AlGaAs )

OBŘÍ MIKROVLNNÝ MASER )*

MOLEKULÁRNÍ MRAKY

ČERPANÉ HORKOU

MLADOU HVĚZDOU

NEJBĚŽNĚJŠÍ

MOLEKULY VYKAZUJÍCÍ

MASEROVÁNÍ :

OH, H2O, CH3OH, SiO

TYPICKÉ ZESÍLENÍ 100

ŠPIČKOVÉ I 1000

)* Maser je analogie laseru, jen pracující v mikrovlnné oblasti.

Nemusí být kosmických rozměrů. Lze např. pracovat se čpavkem.