Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Fakulta pedagogická Katedra matematiky
Bakalářská práce
Vlastnosti kružnice
Vypracoval: Veronika Šulová Vedoucí práce: prof. RNDr. Pavel Pech, CSc.
České Budějovice 2014
Prohlášení
Prohlašuji, že svoji bakalářskou práci na téma Vlastnosti kružnice jsem
vypracoval(a) samostatně pouze s použitím pramenů a literatury uvedených v seznamu
citované literatury.
Prohlašuji, že v souladu s § 47b zákona č. 111/1998 Sb. v platném znění
souhlasím se zveřejněním své bakalářské práce, a to v nezkrácené podobě,
elektronickou cestou ve veřejně přístupné části databáze STAG provozované
Jihočeskou univerzitou v Českých Budějovicích na jejích internetových stránkách, a to
se zachováním mého autorského práva k odevzdanému textu této kvalifikační práce.
Souhlasím dále s tím, aby toutéž elektronickou cestou byly v souladu s uvedeným
ustanovením zákona č. 111/1998 Sb. zveřejněny posudky školitele a oponentů práce i
záznam o průběhu a výsledku obhajoby kvalifikační práce. Rovněž souhlasím s
porovnáním textu mé kvalifikační práce s databází kvalifikačních prací Theses.cz
provozovanou Národním registrem vysokoškolských kvalifikačních prací a systémem
na odhalování plagiátů.
V Českých Budějovicích ................... ………………………….
Anotace
Bakalářská práce se zabývá několika vybranými vlastnostmi kružnice. V první
části jsou shrnuty vlastnosti kružnice probírané na základních školách. Druhá část
obsahuje některé vlastnosti kružnice, které jsou obsaženy ve středoškolském učivu.
Třetí část bakalářské práce je věnována pár vybraným vlastnostem kružnice, které jsou
zde popsány a ke každé vlastnosti jsou uvedeny jednoduché řešené příklady.
Annotation
The bachelor thesis deals with a number of selected properties of a circle. The
first section summarizes the properties of the circle discussed in elementary schools.
The second part contains some properties of circles that are contained in the secondary
curriculum. The third part of the thesis is devoted to a few selected properties of the
circle, which are described and each are given a simple solution examples.
Tyto řádky bych chtěla věnovat upřímnému poděkování vedoucímu své bakalářské práce panu prof. RNDr. Pavlu Pechovi, CSc. za jeho odborné vedení, cenné rady, nápady a trpělivost.
Obsah 1. Úvod ........................................................................................................... 5
2. Vlastnosti kružnice ve výuce na základní škole ........................................... 6
2.1 Kružnice a kruh .................................................................................... 6
2.2 Kružnice a přímka ................................................................................ 7
2.3 Dvě kružnice ........................................................................................ 9
2.4 Kružnice opsaná a vepsaná trojúhelníku ............................................. 11
2.5 Koule ................................................................................................. 12
3. Vlastnosti kružnice ve výuce na střední škole ............................................ 13
3.1 Kružnice a kruh .................................................................................. 13
3.2 Úhly příslušné ke kružnici .................................................................. 14
3.3 Mocnost bodu ke kružnici .................................................................. 16
3.4 Stejnolehlost kružnic .......................................................................... 17
4. Vybraná témata ......................................................................................... 18
4.1 Úhly příslušné ke kružnici .................................................................. 18
4.2 Stejnolehlost ...................................................................................... 23
4.3 Mocnost bodu ke kružnici .................................................................. 33
4.4 Části kruhu ......................................................................................... 38
5. Závěr ......................................................................................................... 43
6. Citovaná literatura ..................................................................................... 44
5
1. Úvod
Toto téma bakalářské práce jsem si vybrala proto, že kružnice je jeden z
nejzajímavějších geometrických útvarů. Vlastností kružnic je mnoho, ale v této práci
jsou uvedeny jen ty nejznámější a nejvyužívanější z nich.
Práce začíná shrnutím vlastností kružnice, které se vyučují na druhém stupni
základních škol. Všechny jsou zde popsány a doplněny názornými obrázky. Převážně
jsou zde jednoduše definovány prvky týkající se kružnic. Jako je například vysvětlení
poloměru a průměru kružnice, vztahy kružnice a přímky a vzájemný vztah dvou
kružnic. Toto téma jsem zpracovávala pouze z učebnic, podle kterých se v současné
době vyučuje na základních školách.
Následuje výčet několika témat týkajících se kružnice, které jsou probírány na
středních školách. Témata jsou zde opět jednoduše popsány a doplněny obrázky. Zde
jsou odborněji definovány prvky kružnice a vztahy kružnice k ostatním geometrickým
prvkům. Také je zde uvedeno několik vlastností kružnice na středoškolské úrovni. Na
toto téma jsem čerpala z učebnic pro gymnázia.
Poslední část zahrnuje několik známých vlastností kružnic, které jsou zde
podrobněji vysvětleny. Každá vlastnost je doplněna o pár jednoduchých, ale zajímavých
řešených příkladů.
6
2. Vlastnosti kružnice ve výuce na základní škole
2.1 Kružnice a kruh Kružnice
Kružnici značíme 푘 a zapisujeme 푘(푆; 푟), kde 푆 je střed kružnice a 푟 je poloměr
kružnice, při tom 푟 > 0.
Kružnici 푘(푆; 푟) tvoří všechny takové body 퐴, pro které platí |퐴푆| = 푟. (1)
Obrázek 1
Kruh
Kruh značíme 퐾 a zapisujeme 퐾(푆; 푟), kde 푆 je střed kruhu a 푟 je poloměr
kruhu, při tom 푟 > 0.
Kruh 퐾(푆; 푟) tvoří všechny takové body 퐴, pro které platí |퐴푆| ≤ 푟. (1)
Obrázek 2
7
Průměr a poloměr kružnice
Poloměr kružnice značíme 푟. Je to úsečka 퐴푆, kde 퐴 je libovolný bod kružnice a
푆 je střed kružnice.
Obrázek 3
Průměr kružnice značíme 푑. Je to úsečka 퐴퐵, kde 퐴,퐵 jsou dva různé body
kružnice a zároveň 푆 ∈ 퐴퐵.
Obrázek 4
2.2 Kružnice a přímka Sečna kružnice
Kružnice a přímka mají dva společné body.
Obrázek 5
8
Tečna kružnice
Kružnice a přímka mají jeden společný body a to je tzv. bod dotyku, který
značíme 푇.
Obrázek 6
Vnější přímka kružnice
Kružnice a přímka nemají žádný společný bod.
Obrázek 7
9
2.3 Dvě kružnice Dvě kružnice, které nemají společný střed, mohou mít společné právě dva body,
právě jeden bod, nebo nemají žádný společný bod.
Obrázek 8
Obrázek 9
Obrázek 10
10
Dvě kružnice, které mají společný střed, se nazývají soustředné. Soustředné
kružnice nemají buď žádný společný bod, nebo mají nekonečně mnoho společných
bodů, v takovém případě říkáme, že kružnice jsou totožné.
Obrázek 11
Obrázek 12
Pokud kružnice mají jeden společný bod, nazýváme takový bod bodem dotyku a
značíme 푇. Jestliže |푆 푆 | = 푟 + 푟 , kde 푆 ,푆 jsou středy kružnic a 푟 ,푟 jsou
poloměry kružnic, pak mluvíme o vnějším bodu dotyku a jestliže |푆 푆 | = 푟 − 푟 , kde
푆 ,푆 jsou středy kružnic a 푟 ,푟 jsou poloměry kružnic, pak mluvíme o vnitřním bodu
dotyku.
11
Obrázek 13
Obrázek 14
2.4 Kružnice opsaná a vepsaná trojúhelníku Kružnice opsaná trojúhelníku
Osy všech stran trojúhelníku se protnou v jednom bodě. Je to střed kružnice
opsané trojúhelníku. (2)
Obrázek 15
12
Kružnice vepsaná trojúhelníku
Osy vnitřních úhlů trojúhelníku se protínají v jednom bodě. Je to střed kružnice
vepsané trojúhelníku. (2)
Obrázek 16
2.5 Koule Koule je množina všech bodů v prostoru, které mají od jejího středu 푆
vzdálenost menší nebo rovnou poloměru 푟. (3)
Povrch koule
푆 = 4휋푟 , kde 푟 je poloměr koule
Objem koule
푉 = 휋푟 , kde 푟 je poloměr koule
13
3. Vlastnosti kružnice ve výuce na střední škole
3.1 Kružnice a kruh Kružnice je definována charakteristickou vlastností svých bodů:
Je dán bod 푆 a kladné číslo 푟. Kružnice 푘(푆; 푟) je množina všech bodů (roviny),
které mají od bodu 푆 vzdálenost 푟. (4)
Množina všech bodů (roviny), které mají od bodu 푆 vzdálenost menší nebo
rovnou 푟, se nazývá kruh 퐾(푆; 푟). (4)
Body, jejichž vzdálenost od 푆 je menší než 푟 se nazývají vnitřní oblast (vnitřek)
kruhu. Body, jejichž vzdálenost od 푆 je větší než 푟 se nazývají vnější oblast (vnějšek)
kruhu.
Pata kolmice vedené ze středu kružnice na sečnu 퐴퐵 je středem tětivy 퐴퐵. Tečna
kružnice je kolmá k poloměru, který spojuje bod dotyku se středem kružnice. (4)
Obrázek 17
14
Obrázek 18
Dvě kružnice
Soustředné kružnice jsou kružnice, které mají společný střed. Soustředné
kružnice nemají buď žádný společný bod, nebo mají nekonečně mnoho společných
bodů (pak se nazývají totožné).
Nesoustředné kružnice jsou kružnice, které mají různé středy. Nesoustředné
kružnice mají nejvýše dva společné body.
3.2 Úhly příslušné ke kružnici Středový úhel
Úhel, jehož vrcholem je střed 푆 kružnice 푘 a ramena procházející krajními body
oblouku 퐴퐵 kružnice 푘, se nazývá středový úhel příslušný k tomu oblouku 퐴퐵, který
v tomto úhlu leží. (4)
15
Obrázek 19
Středový úhel kružnice 푘, který je příslušný k menšímu oblouku 퐴퐵 se nazývá
konvexní úhel. Středový úhel kružnice 푘, který je příslušný k většímu oblouku 퐴퐵 se
nazývá nekonvexní úhel. Středový úhel kružnice 푘, který je příslušný k půlkružnici se
nazývá přímý úhel.
Obvodový úhel
Každý úhel 퐴푉퐵, jehož vrchol 푉 je bodem kružnice 푘 a ramena procházejí
krajními body oblouku 퐴퐵 kružnice 푘 (푉 ≠ 퐴, 푉 ≠ 퐵), se nazývá obvodový úhel
příslušný k tomu oblouku 퐴퐵, který v tomto úhlu leží. (4)
Obrázek 20
Velikost středového úhlu je rovna dvojnásobku velikosti obvodového úhlu příslušného k témuž oblouku. (4)
16
Thaletova věta
Všechny úhly nad průměrem kružnice jsou pravé.
Obrázek 21
Úsekový úhel příslušný k danému oblouku je shodný s obvodovými úhly
příslušnými k témuž oblouku.
3.3 Mocnost bodu ke kružnici Libovolnému bodu 푀 roviny lze přiřadit reálné číslo 푚, pro něž platí:
1. |푚| = |푀퐴| ∙ |푀퐵|, kde 퐴,퐵 jsou průsečíky dané kružnice 푘 s libovolnou sečnou procházející bodem 푀.
2. 푚 > 0 pro body 푀 uvnitř kružnice; 푚 = 0 pro body 푀 ∈ 푘; 푚 < 0 pro body 푀 uvnitř kružnice.
Číslo 푚 se nazývá mocnost bodu 푀 ke kružnici 푘. (4)
Obrázek 22
17
Obrázek 23
Je-li 푣(푣 ≥ 0) vzdálenost bodu 푀 od středu 푆 kružnice 푘, pak pro mocnost 푚
platí 푚 = 푣 − 푟 . (4)
Obrázek 24
3.4 Stejnolehlost kružnic Obrazem kružnice 푘(푂; 푟) ve stejnolehlosti 퐻(푆, 휘) je kružnice 푘´(푂´; |휘| ∙ 푟);
přitom bod 푂´ je obrazem bodu 푂. (4)
Jsou-li dány dvě kružnice s různými poloměry, pak existují právě dvě
stejnolehlosti, které zobrazí jednu kružnici na druhou. (4)
Společná tečna dvou kružnic (pokud existuje) je buď rovnoběžná se spojnicí
středů kružnic, nebo prochází středem některé stejnolehlosti, zobrazující jednu kružnici
na druhou. (4)
18
4. Vybraná témata V této kapitole jsou uvedeny některé známé vlastnosti kružnice, které jsou zde
vysvětleny a doplněny několika řešenými příklady.
4.1 Úhly příslušné ke kružnici Věta o obvodovém a středovém úhlu
Nechť body 퐴,퐵, 퐶 leží na kružnici 푘 se středem v bodě 푆. Pak platí, že velikost
úhlu ∢퐴푆퐵 je dvojnásobkem velikosti úhlu ∢퐴퐶퐵.
Důkaz
Obrázek 25
Jelikož součet všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180°, platí:
ퟐ휸 + 흋 = ퟏퟖퟎ°
ퟐ휶 + ퟐ휷 + ퟐ휸 = ퟏퟖퟎ°.
Z těchto dvou rovnic plyna, že:
ퟐ휸 + 흋 = ퟐ휶+ ퟐ휷 + ퟐ휸
흋 = ퟐ휶 + ퟐ휷
흋 = ퟐ(휶 + 휷).
19
Thaletova věta
(Speciální případ věty o obvodové a středovém úhlu) Všechny obvodové úhly
kružnice sestrojené nad jejím průměrem jsou pravé.
Důkaz:
Obrázek 26
Jelikož součet všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180°, platí:
ퟐ휶 + ퟐ휷 = ퟏퟖퟎ°
ퟐ(휶 + 휷) = ퟏퟖퟎ°
휶 + 휷 = ퟗퟎ°.
20
Úsekový úhel kružnice
Úsekový úhel kružnice je úhel, který svírá libovolná sečna 퐴퐵 kružnice 푘
s tečnou 푡 kružnice 푘, jejímž bodem dotyku je jeden z průsečíků sečny 퐴퐵 s kružnicí 푘.
Velikost úsekového úhlu kružnice 푘 příslušnému k sečně 퐴퐵, kde 퐴, 퐵 jsou
průsečíky kružnice 푘 a sečny 퐴퐵, je rovna polovině velikosti středového úhlu kružnice
푘 příslušnému k oblouku 퐴퐵.
Důkaz:
Obrázek 27
Jelikož součet všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180°, platí:
ퟐ휶 +흎 = ퟏퟖퟎ°.
Zároveň je zřejmé, že:
휶 +흋 = ퟗퟎ°.
Z těchto dvou rovnic plyne, že:
ퟐ(휶 + 흋) = ퟐ휶+ 흎
ퟐ휶 + ퟐ흋 = ퟐ휶+ 흎
ퟐ흋 = 흎.
21
Příklad
Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů v trojúhelníku, jehož vrcholy jsou na
ciferníku hodino v bodech 2, 6, 9.
Řešení:
Je zřejmé, že velikost úhlu mezi sousedními hodinami je 30°. Z toho snadno
vypočítáme velikosti úhlů mezi body 2 a 6, 6 a 9, a 9 a 2. Tyto úhly jsou středovými
úhly kružnice a vnitřní úhly trojúhelníku jsou k těmto středovým úhlům úhly obvodové.
Mají tedy poloviční velikost.
Obrázek 28
22
Příklad 2
V pravidelném šestiúhelníku 퐴퐵퐶퐷퐸퐹 vypočítejte velikosti vnitřních úhlů 퐵퐷퐹,
퐴퐶퐹.
Řešení:
Vidíme, že vnitřní úhel mezi sousedními vrcholy je vždy 60°. Díky tomu
vypočteme velikosti středových úhlu kružnice opsané šestiúhelníku a z nich vypočteme
velikost obvodových úhlů, což jsou vnitřní úhly šestiúhelníku.
Obrázek 29
23
4.2 Stejnolehlost Geometrické zobrazení v rovině, které pevnému bodu 푆 přiřazuje týž bod 푆 a
každému bodu 푋 ≠ 푆 bod 푋´ tak, že platí (푋´푋푆) = 휅, kde 휅 ≠ 0,1 je pevně zvolené
reálně číslo, se nazívá stejnolehlost (homotetie). Bod 푆 se nazývá střed stejnolehlosti,
číslo 휅 koeficient stejnolehlosti. Značíme Η(푆, 휅) (popř. Η , ). (5)
Stejnolehlost dvou kružnic
Věta:
Obrazem kružnice 푘(푆, 푟) ve stejnolehlosti Η(푂, 휅) je kružnice 퐾´(푆´, |휅|푟).
Důkaz:
Kružnici 푘(푆, 푟) můžeme popsat jako množinu 푘 = {푋 ∈ 피 ; |푆푋| = 푟}.
Množina 푘 se ve stejnolehlosti Η(푂, 휅) zobrazí na množinu 푘´, pro kterou platí
푘´ = {푋´ ∈ 피 ; |푆´푋´| = |휅| ∙ |푆푋| = |휅|푟 = 푟´}. Vidíme, že 푘´ je množina všech bodů
푋´ v rovině, pro které platí, že mají od bodu 푆´ stejnou vzdálenost. Z toho plyne, že se
jedná o kružnici.
Věta:
Každé dvě kružnice jsou stejnolehlé.
Uvažme kružnice 푘 (푆 , 푟 ) a 푘 (푆 , 푟 ). 푂 je střed stejnolehlosti a 휅 koeficient
stejnolehlosti. Z předchozí věty plyne, že 푟 = |휅| ∙ 푟 , tedy 휅 = a 휅 = − . Střed
stejnolehlosti 푂 leží na ↔ 푆 푆 a z definice stejnolehlosti plyne, že pro 휅 > 0 neleží bod
푂 mezi body 푆 푆 a pro 휅 < 0 leží bod 푂 mezi body 푆 푆 .
24
1.
푆 ≠ 푆 a 푟 ≠ 푟 ; kružnice ležící vně sebe
Obrázek 30
Pro dvě kružnice o různých poloměrech ležících vně sebe existují právě dvě
stejnolehlosti, které zobrazují jednu na druhou Η (푂, 휅) a Η (푃, 휅).
푆 ≠ 푆 a 푟 ≠ 푟 ; kružnice se navzájem dotýkají; vnější dotyk
Obrázek 31
Pro dvě kružnice s různými poloměry, které mají společný vnější bod dotyku,
existují dvě stejnolehlosti, které zobrazují jednu kružnici na druhou Η (푂, 휅) a
Η (푃, 휅). Přičemž platí, že 푃 splývá s bodem dotyku 푇 kružnic.
25
푆 ≠ 푆 a 푟 ≠ 푟 ; kružnice se navzájem dotýkají; vnitřní dotyk
Obrázek 32
Pro dvě kružnice s různými poloměry, které mají společný vnitřní bod dotyku,
existují dvě stejnolehlosti, které zobrazují jednu kružnici na druhou Η (푂, 휅) a
Η (푃, 휅). Přičemž platí, že 푂 splývá s bodem dotyku 푇.
푆 ≠ 푆 a 푟 ≠ 푟 ; kružnice se protínají
Obrázek 33
Pro dvě kružnice o různých poloměrech, které se navzájem protínají, existují
právě dvě stejnolehlosti, které zobrazují jednu na druhou Η (푂, 휅) a Η (푃, 휅).
26
푆 ≠ 푆 a 푟 ≠ 푟 ; jedna kružnice leží uvnitř druhé
Obrázek 34
Pro dvě kružnice o různých poloměrech ležících vně existují právě dvě
stejnolehlosti, které zobrazují jednu na druhou Η (푂, 휅) a Η (푃, 휅).
2.
푆 ≠ 푆 a 푟 = 푟 ; kružnice ležící vně sebe
Obrázek 35
Pro dvě kružnice se stejnými poloměry, které leží vně sebe, existuje právě jedna
stejnolehlost Η(푂, 휅), která zobrazuje jednu kružnici na druhou.
27
푆 ≠ 푆 a 푟 = 푟 ; kružnice mají společný bod dotyku
Obrázek 36
Pro dvě kružnice se stejnými poloměry, které se navzájem dotýkají, existuje
právě jedna stejnolehlost Η(푂, 휅), která zobrazuje jednu kružnici na druhou. Přičemž
platí, že střed stejnolehlosti 푂 splývá s bodem dotyku 푇.
푆 ≠ 푆 a 푟 = 푟 ; kružnice se protínají
Obrázek 37
Pro dvě kružnice se stejnými poloměry, které se protínají, existuje právě jedna
stejnolehlost Η(푂, 휅), která zobrazuje jednu kružnici na druhou.
28
3.
푆 = 푆 a 푟 ≠ 푟 ; kružnice soustředné
Obrázek 38
Pro dvě soustředné kružnice s různými poloměry existuje právě jedna
stejnolehlost Η(푂, 휅), která zobrazuje jednu kružnici na druhou. Přičemž platí, že střed
stejnolehlosti 푂 splývá se středem kružnic 푆.
푆 = 푆 a 푟 = 푟 ; kružnice totožné
Obrázek 39
Pro dvě totožné kružnice existuje jedna stejnolehlost, která zobrazuje jednu
kružnici na druhou. Přičemž platí, že střed stejnolehlosti 푂 splývá se středem kružnic 푆.
29
Stejnolehlost se dobře uplatňuje při konstrukci tečen dvou kružnic. Jsou-li dány
dvě nesoustředné kružnice, pro které platí, že jedna je obrazem druhé v určité
stejnolehlosti, pak tečna jedné z kružnic procházející středem stejnolehlosti je zároveň i
tečna druhé kružnice.
Obrázek 40
Je zřejmé, že trojúhelník 푂푆 푇 je pravoúhlý. Z definice stejnolehlosti plyne, že
musí být pravoúhlý i trojúhelník 푂푆 푇 . Z toho vyplývá, že 푇 je bodem dotyku
kružnice 푘 a přímky 푂푇 .
30
Příklad 1
Sestrojte společné tečny dvou nesoustředných kružnic 푘 (푆 , 푟 ) a 푘 (푆 , 푟 ) s
různými poloměry 푟 ≠ 푟 .
Řešení:
Tečny těchto kružnic musíme vést středem stejnolehlosti, která zobrazuje jednu
kružnici na druhou. Sestrojíme přímku, která prochází středy kružnic 푘 , 푘 . Na této
přímce někde leží střed stejnolehlosti. Dále libovolně zvolíme bod 푋 na kružnici 푘 a
vedeme tímto bodem a bodem 푆 přímku 푝 . Bodem 푆 vedeme rovnoběžku 푝 s
přímkou 푝 . Tam kde přímka 푝 protne kružnici 푘 se nazází bod 푋 . Průsečík přímek
푆 푆 a 푋 푋 je střed stejnolehlosti, nazveme jej 푂. Dále příklad řešíme jako konstrukci
tečny ke kružnice z daného bodu. Nad úsečkou 푂푆 ses trojíme Thaletovu kružnici 푡. V
místě, kde kružnice Thaletova kružnice protne kružnici 푘 , se nachází bod dotyku 푇 .
Přímka 푂푇 je tečna 푡 kružnic 푘 a 푘 .
Varianta 1 (Střed stejnolehlosti neleží na úsečce 푆 푆 .)
Obrázek 41
31
Varianta 2 (Střed stejnolehlosti leží na úsečce 푆 푆 .)
Obrázek 42
Příklad 2
Je dána kružnice 푘(푆, 푟) a různoběžky 푎 a 푏, kterých se kružnice nedotýká.
Sestrojte kružnici 푘´, která se dotýká kružnice 푘 a různoběžek 푎 a 푏.
Řešení:
Ke kružnici 푘 sestrojíme tečnu 푎´, která je rovnoběžná s přímkou 푎 a tečnu 푏´,
která je rovnoběžná s přímkou 푏. Průsečíky přímek 푎, 푏 a 푎´, 푏´ vedeme přímku 푝. Tam,
kde přímka 푝 protne kružnici 푘 leží střed stejnolehlosti, nazveme jej 푂. Střed kružnice
푘´ je průsečík přímky 푆푂 a osy úhlu, který svírají přímky 푎, 푏. Tento bod nazveme 푆´ a
vedeme jím kolmice na přímky 푎, 푏. Tím dostaneme body dotyku a sestrojíme kružnici
푘´.
32
Obrázek 43
Příklad 3
Je dána kružnice 푘(푆, 푟) a bod 푂 uvnitř kružnice 푘.Veďte bodem 푂 tětivu 퐴퐵,
jejíž délka je bodem 푂 rozdělena v poměru 3:1.
Řešení:
Sestrojíme kružnici 푘´, která je obrazem kružnice 푘 ve stejnolehlosti se středem
v bodě 푂 a koeficientem 휆 = − . Průsečíky kružnic 푘 a 푘´ jsou krajiní body hledaných
tětiv, tedy 퐴 a 퐴 . Bod 퐵 (resp. 퐵 ) je průsečík přímky 퐴 푂 (resp. 퐴 푂) a kružnice 푘.
Obrázek 44
33
4.3 Mocnost bodu ke kružnici Nechť je dána kružnice 푘(푆, 푟) a bod 푀, který na kružnici 푘 neleží. Nechť 푝 a 푝´
jsou dvě tečny kružnice 푘, které procházejí bodem 푀. Body 퐴, 퐵 a 퐴´, 퐵´ jsou průsečíky
těchto sečen s kružnicí 푘. Pak platí |푀퐴| ∙ |푀퐵| = |푀퐴´| ∙ |푀퐵´| = 푘, kde 푘 je
konstantní číslo větší než 0.
Obrázek 45
Obrázek 46
34
Jestliže bod 푀 leží vně kružnice 푘, pak trojúhelníky 퐴푀퐵´ a 퐴´푀퐵 jsou podle
věty 푢푢 podobné (|∢푀퐴퐵´| = |∢푀퐴´퐵|, jelikož se jedná o obvodové úhly příslušné ke
stejnému oblouku kružnice), proto platí | || ´|
= | ´|| |
.
Jestliže bod 푀 leží uvnitř kružnice 푘, trojúhelníky 퐴푀퐵´ a 퐴´푀퐵 jsou rovněž
podobné podle věty 푢푢, a proto také platí | || ´|
= | ´|| |
.
Nechť je dána kružnice 푘(푆, 푟) a bod 푀, který leží vně kružnice 푘. Nechť 푠 je
libovolná sečna kružnice 푘, která zároveň prochází bodem 푀 a body 퐴 a 퐵 jsou její
průsečíky s kružnicí 푘, a přímka 푡 je tečna kružnice 푘 s bodem dotyku 푇. Potom platí
|푀퐴| ∙ |푀퐵| = |푀푇| = 푘.
Obrázek 47
Trojúhelníky 퐴푀푇 a 퐵푀푇 jsou podobné podle věty 푢푢 (|∢푀퐴푇| = |∢푀푇퐵|,
neboť jde o obvodový a úsekový úhyl příslušné ke stejnému oblouku kružnice). Proto
platí: | || |
= | || |
.
35
Označme 푑 vzdálenost bodu 푀 od středu kružnice 푘. Je-li 푀 vnější bod kružnice
푘, pak platí
|푀퐴| ∙ |푀퐵| = |푀퐴´| ∙ |푀퐵´| = |푀푇| = 푑 − 푟 .
Je-li 푀 vnitřím bodem kružnice 푘, pak platé
|푀퐴| ∙ |푀퐵| = |푀퐴´| ∙ |푀퐵´| = 푟 − 푑 .
Číslo 푘 = 푑 − 푟 se nazývá mocnot bodu ke kružnici a platí, že pro 푀 ležíci
vně kružnice je 푘 > 0, pro 푀 ležící uvnitř kružnice je 푘 < 0 a pro 푀 ležící na kružnici
je 푘 = 0.
Příklad 1
Je dána úsečka 퐴퐵, |퐴퐵| = 11푐푚. Na této úsečce leží bod 푀 tak, že |푀퐴| =
5푐푚 a |푀퐵| = 6푐푚. Dále je dán bod 퐶 ležící mimo úsečku 퐴퐵 a platí, že |푀퐶| = 3푐푚.
Kružnice 푘 je kružnice opsaná trojúhelníku 퐴퐵퐶. Bod 퐷 je druhý průsečík přímky 푀퐶 s
kružnicí 푘. Určete vzdálenost bodu 퐷 od bodu 푀.
Řešení:
Obrázek 48
Pro vzdálenosti bodů platí rovnost |푀퐴| ∙ |푀퐵| = |푀퐶| ∙ |푀퐷|. Tedy |푀퐷| =| |∙| |
| |. Po dosazení |푀퐷| = ∙ = 10푐푚.
36
Příklad 2
Je dána přímka 푝 a dva různé body 퐴 a 퐵, které na přímce 푝 neleží. Sestrojte
kružnici 푘, které prochází body 퐴, 퐵 a dotýká se přímky 푝. (Apolloniova úloha)
Řešení:
Body 퐴, 퐵 vedeme přímku 푞. Průsečík přímky 푝 a 푞 označíme 푀. Pomocí
Thaletovy kružnice sestrojíme pravoúhlý trojúhelník 푀퐵퐶, tak že 퐶퐴 je jeho výška na
stranu 푐. Z mocnosti bodu ke kružnici víme, že |푀퐴| ∙ |푀퐵| = |푀푇| a z věty o výšce
platí 푏 = 푐 ∙ 푐 . V našem případě platí, že 푐 = |푀퐵|, 푐 = |푀퐴| a tedy 푏 = |푀푇| .
Díky tomu sestrojíme bod 푇, což je bod dotyku kružnice 푘 a přímkou 푝. Kružnice 푘
prochází body 퐴, 퐵, 푇.
Varianta 1.
Obrázek 49
37
Varianta 2.
Obrázek 50
38
4.4 Části kruhu Délka kružnice
Délka kružnice je dána vzorcem 표 = 2휋푟, kde 표 je délka kružnice (také obvod
kruhu) a 푟 je poloměr kružnice (kruhu).
Délka kruhového oblouku
Délka kruhového oblouku je dána vzorcem 푙 = 푟 ∙ 훼, kde 푙 je délka kruhového
oblouku, 푟 je poloměr kružnice (kruhu) a 훼 je velikost příslušného středového úhlu v
radiánech. Též platí vzorec 푙 = 훼´, kde 훼´ je velikost příslušného středového úhlu ve
stupních.
Obrázek 51
Obsah kruhu
Obsah kruhu je dán vzorcem 푆 = 휋 ∙ 푟 , kde 푆 ej obsah kruhu a 푟 je poloměr
kruhu.
Obsah kruhové výseče
Obsah kruhové výseče je dán vztahem 푆 = 푟 ∙ 훼, kde 훼 je velikost
příslušného středového úhlu v radiánech. Platí též vzorec 푆 = 훼´, kde 훼´ je velikost
příslušného středového úhlu ve stupních. Dále platí vztah, podle kterého lze vypočítat
39
obsah kruhové výseče, pokud známe délku příslušného kruhového oblouku a poloměr
kruhu 푆 = 푟 ∙ 푙, kde 푙 je délka příslušného kruhového oblouku.
Obrázek 52
Obsah kruhové úseče
Obsah kruhové úseče je dán vztahem 푆 = 푟 ∙ (훼 − sin훼), kde 훼 je velikost
příslušného středového úhlu v radiánech. Zároveň platí vzorec 푆 = 푟 ∙ ( ´ − sin훼´),
kde 훼´je velikost příslušného středového úhlu ve stupních.
Obrázek 53
40
Mezikruží
Mezikruží je geometrický útvar v rovině, který je rozlišený dvěma soustřednými
kružnicemi. Je to množina všech bodů 푥, které mají od bodu 푆 vzdálenost 푟 ≤ 푥 ≤ 푅,
kde 푆 je střed kružnic, 푟 je poloměr menší z nich a 푅 je poloměr větší z nich.
Obvod obsahu mezikruží je dán vztahem 푙 = 2휋 ∙ (푟 + 푅). Tento vztah je
odvozen ze součtu obvodů kružnic ohraničujících mezikruží.
푙 = 푂 + 푂
푙 = 2휋푟 + 2휋푅
푙 = 2휋 ∙ (푟 + 푅).
Obsah mezikruží je dán vztahem 푆 = 휋 ∙ (푟 + 푅 ). Tento vztah je odvozen z
rozdílu obsahů kružnic, které ohraničují mezikruží.
푆 = 푆 − 푆
푆 = 휋푅 − 휋푟
푆 = 휋 ∙ (푅 − 푟 ).
41
Příklad 1
Je dána kružnice 푘(푆, 푟). Vypočítejte délku kruhového oblouku, obsah kruhové
výseče a obsah kruhové úseče. Jestliže příslušný středový úhel má velikost 훼 = .
Řešení:
Obrázek
Délka kruhového oblouku je 푙 = 푟 ∙ 훼, tedy 푙 = 푟 ∙ .
Obsah kruhové výseče je 푆 = 푟 ∙ 훼, tedy 푆 = 푟 ∙ = 푟 .
Obsah kruhové úseče je 푆 = 푟 ∙ (훼 − sin 훼), tedy 푆 = 푟 ∙ − sin =
푟 ∙ − √ = 푟 ∙ √ .
42
Příklad 2
Vypočítejte obsah mezikruží, které ohraničují kružnice 푘 (푆, 푅) a 푘 (푆, 푟), pro
které platí 푟 < 푅. Obvod kružnice 푘 je 푂 = 10푐푚 a kružnice 푘 má dvakrát větší
poloměr než kružnice 푘 .
Řešení:
푂 = 10푐푚
푅 = 2푟
푆 = 휋 ∙ (푅 − 푟 ) =?
10 = 2휋푟; 푟 = 푐푚
푅 = 2 = 푐푚
푆 = 휋 ∙ (푅 − 푟 ); 푆 = 휋 ∙ − = 휋 ∙ = 푐푚 .
43
5. Závěr Při psaní této práce jsem zjistila, že vlastností kružnice je velmi mnoho a zmínit
všechny v bakalářské práci je pravděpodobně nemožné. Proto jsem uvedla jen ty
nejznámější, které se vyučují na základní, středních a vysokých školách.
Velmi mě překvapilo, že téměř nikdo, komu jsem o tomto tématu pověděla, si
nedokázal vybavit jedinou vlastnost, která přísluší kružnici. Zároveň jsem neobjevila
žádnou literaturu, která by byla věnovánu pouze kružnici, jejím prvkům a vlastnostem.
Na sestavení této práce jsem tedy čerpala pouze z literatury, která pojednává o geometrii
v rovině, kde jsem vyhledávala kapitoly věnované kružnici a kruhu.
Myslím, že by tato bakalářská práce mohla dobře posloužit studentům
matematiky na pedagogických školách pro připomenutí základních vlastností kružnice a
kruhu a pro získání povědomí o tom, co ve své učitelské praxi budou na základních a
středních školách o kružnici vyučovat.
44
6. Citovaná literatura 1. Odvárko, Oldřich a Kadleček, Jiří. Matematika pro 8. ročník ZŠ, 3. díl.
Praha 4 : Nakladatelství Prometheus, 2000.
2. —. Matematika pro 6. ročník ZŠ, 3. díl. Praha 4 : Nakladatelství Prometheus,
2011.
3. —. Matematika pro 9. ročník ZŠ, 2. díl. Praha 4 : Nakladatelství Prometheus,
2013.
4. Pomykalová, Eva. Matematika pro gymnázia Planimetrie. Praha 4 :
Nakladatelství Prometheus, 2008.
5. Lávička, Miroslav. Geomerie 1.- Základy geometrie v rovině. Plzeň :
Západočeská univerzita v Plzni, 2002.
