Bojtár Imre MECHANIKA - MSc -...

Bojtár Imre

MECHANIKA - MSc

Elektronikusan letölthető előadásvázlat építőmérnök hallgatók számára.

http://www.epito.bme.hu/me/htdocs/oktatas/oktatas.php

Kiadó: BME Tartószerkezetek Mechanikája Tanszék Budapest, 2010

ISBN 978-963-313-009-4

Bojtár: Mechanika MSc Előadásvázlat

10.06.20. 2

BEVEZETÉS Ez az előadásvázlat a BME Építőmérnöki Karán az MSc képzésben oktatott Mechanika-MSc című tantárgy előadásainak anyagát tartalmazza, követve a 14 hetes képzésben elhangzott legfontosabb tudnivalókat. Célja, hogy a hallgatók számára vezérfonalat nyújtson a tárgy alapjainak elsajátításához. Az anyag összeállításánál a szakmai tárgyak igényeit tekintettem a legfontosabbnak. A modern szerkezettervezési eljárásoknak az építőmérnöki gyakorlatban is egyre inkább szükségük van a nemlineáris viselkedés leírására alkalmas numerikus módszerekre, ezek használatához pedig a mechanikai háttér ismerete szükséges. Ebben a jegyzetben a nemlineáris feladatok vizsgálatához szükséges elméleti alapok összefoglalása található. Ismertetem a nagy alakváltozások követéséhez szükséges alakváltozási- és feszültségtenzorokat, bemutatok néhány fontos anyagmodellt, részletesen tárgyalom az alapvető mechanikai egyenletek erős- és gyenge alakját és a kétféle felírási mód közötti kapcsolatot. Az erő- és elmozdulásmódszer alapelveinek bemutatása után a feszültségfüggvények használatán alapuló számítási mód segítségével a pontosan megoldható alapfeladatok családját tárgyalom, majd ezt követően részletesen bemutatom a hajlított gerendák, lemezek és héjak különböző változatainak alapvető egyenleteit. Köszönöm a Tartószerkezetek Mechanikája Tanszék minden dolgozójának szíves tanácsát és megjegyzését. Külön köszönet illeti dr. Tarnai Tibort, dr. Gáspár Zsoltot, dr. Bagi Katalint, dr. Kovács Flóriánt és Bibó Andrást fontos és hasznos észrevételeikért. Fontos megemlíteni azt is, hogy a rajzokat Vilmos Zoltán építőmérnök hallgató készítette. Mottó: Wir müssen wissen. Wir werden wissen. /Tudnunk kell, tehát tudni fogunk./ David Hilbert


10.06.20. 3

1. Előadás: Matematikai és mechanikai alapok A jegyzet anyagának megértését segíti, ha az egyes mechanikai tartalmú részek tanulmányozása előtt áttekintjük, hogy milyen matematikai eszköztárra lesz szükségünk. Az előadásvázlat anyagának tanulása előtt nyomatékosan javasoljuk a jegyzet Függelékének tanulmányozását. Fontosságuk miatt külön is felhívjuk a figyelmet három olyan matematikai műveletre illetve tételre, amelyekre az egész anyagban gyakran lesz szükségünk Ezek a következők: alapműveletek tenzorokkal, gradiensképzés, Gauss integráltétele. Mechanikai alapfogalmak

A legfontosabb matematikai alapfogalmakra történt hivatkozás után a nemlineáris mechanikai feladatok vizsgálatához szükséges fogalmak tárgyalását kezdjük el. Mivel általános esetben tetszőleges jellegű mozgások leírását kell majd megoldanunk, ezért a mechanikai alapfeltételek rögzítése után először a mechanikai mozgások követésére alkalmas leírási módokat kell majd megismernünk. Alapfeltevések Egy mérnöki szerkezet vizsgálatának módját alapvetően befolyásolja anyagának modellezése. A valóságban minden anyag atomok (molekulák) halmazából áll, és szilárdsági tulajdonságait végső soron az dönti el, hogy ezek az elemi részecskék milyen erősen és milyen térbeli rendezettséggel kapcsolódnak egymáshoz. Egy harmadik alapvető tényező a mikroszerkezetben lévő hibák száma és eloszlása. Ez azt jelenti, hogy igazán pontos információink csak akkor lesznek egy anyag mechanikai viselkedéséről, ha a külső hatásokra adott választ az anyag elemi részecskéinek szintjén keressük. Tudásunk – és numerikus lehetőségeink - mai szintjén azonban ezt a módszert nem tudjuk alkalmazni gyakorlati feladatok megoldására. Éppen ezért olyan egyszerűsítést kell alkalmaznunk, ami a lehetőségek szerint megpróbálja legalább közelítőleg figyelembe venni az elemi struktúra jellegzetességeit. Ma a leggyakrabban alkalmazott ilyen közelítés a „kontinuum-modell”, éppen ezért a következőkben mi is ezt fogjuk alkalmazni. Ennek a modellezésnek az a célja, hogy az anyag (szilárd test vagy folyadék) makroszintű viselkedéséről adjon a lehetőségek szerint pontos leírást. A kontinuummechanika legfontosabb alapfeltevése az, hogy a mechanikai vizsgálat tárgyát képező testet (akár szilárd anyag, akár folyadék) kontinuum-számosságú pontok („anyagi részecskék”, „anyagi pontok”) halmaza alkotja. A test minden mechanikai jellemzője (tömeg, fizikai jellemzők, stb.) leírható a kontinuumot alkotó ponthalmaz térben és időben folytonos függvényeivel. A kontinuumnak tekintett test belsejében vagy peremén csak véges számú geometriai vagy szilárdságtani diszkontinuitást (repedés, lyuk, zárvány, stb.) engedünk meg, ezek a kontinuummechanika szokásos eljárásaival még kezelhetők. A kontinuummechanika időbeli változásokat vizsgál. A jellegzetes állapotok definiálásához példaként tekintsünk egy olyan (tetszőleges dimenziójú) testet1, amelyet a t = 0

1 Ez lehet egy valóban szilárd test, de lehet egy adott térfogatú folyadék is.


10.06.20. 4

időpillanatban 0Ω állapotú belső tartománnyal és 0Γ peremmel jellemezhetünk (lásd az 1.1.

ábrát):

1.1. ábra: Kiindulási és pillanatnyi állapot

A test 0Ω -lal jellemzett (t = 0 időhöz tartozó) helyzetét a továbbiakban kezdeti állapotnak

(vagy „kiindulási konfiguráció”-nak) fogjuk nevezni. A mechanikai egyenletek megfogalmazásához feltétlenül szükségünk lesz egy olyan helyzetre is, amihez viszonyítva fel tudjuk írni azokat. Ezt hívják a mechanikában hivatkozási állapotnak (vagy más néven „referencia konfiguráció”-nak). Ebben a jegyzetben – hacsak külön fel nem hívjuk a figyelmet az ettől való eltérésre – az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy a kezdeti (kiindulási) és a hivatkozási (referencia) állapot mindig megegyezik! Egy harmadik rendszert alkothatunk annak feltételezésével, hogy általános esetben a vizsgált anyagi test deformálatlan2 állapota különbözik mind az időbeli folyamatokat jellemző kezdeti, mind az alapegyenletekhez szükséges hivatkozási állapottól. A vizsgálatok egyszerűsítése miatt most ettől a különbségtételtől is eltekintünk, a deformálatlan állapotot szintén azonosnak tekintjük a kezdeti konfigurációval. A test mechanikai állapotának a külső hatások miatt bekövetkező változása az időben lejátszódó folyamat. Egy tetszőleges t időpontbeli állapothoz tartozó helyzetet jellemeztünk a fenti ábrán Ω jellel. Természetesen a hozzá tartozó perem is változott, ezt jelöltük most Γ -val. Ezt a helyzetet hívják a mechanikában pillanatnyi állapotnak (egyes szerzők deformált állapotként említik).

2 A deformálatlan állapot létének feltételezése természetesen erős egyszerűsítés, hiszen egy testnek soha nincs ilyen helyzete a valóságban. Ennek ellenére mechanikai modelljeinkben elfogadjuk ezt, mert a vizsgálni kívánt külső hatások okozta változásokat mindig jelentősebbnek gondoljuk az eredetileg is meglévő deformációkhoz képest.


10.06.20. 5

A kezdeti és a pillanatnyi konfigurációhoz tartozó anyagi pontok koordinátáit az ábrán jelképesen X és x koordinátákkal jelöltük. A két állapot közötti változást (magának a testnek az u elmozdulás-függvénnyel leírható időbeli mozgását) az ( )x =Φ X, t függvény jellemzi.

A továbbiakban ezeknek a változóknak az értelmezésével foglalkozunk.

Euler3- és Lagrange4-koordináták

Mechanikai feladatok jellemzésére a kezdeti és pillanatnyi konfigurációkban kétféle koordináta-rendszert használunk. Az egyiket a kezdeti, a másikat a pillanatnyi állapothoz rögzítjük, úgy ahogy az előbbi pontban láttuk.

a./ Az X ei iX= rendszer a továbbiakban az anyagi pont helyzetét jelöli a kezdeti

(hivatkozási) állapotban, értéke nem változik az időben. A mechanikában ezt anyagi vagy más néven Lagrange-koordinátáknak nevezik. b./ Az x ei ix= rendszer jelzi az anyagi pont helyzetét a pillanatnyi állapotban. Ennek

térbeli vagy más néven Euler-koordináta a neve. A mozgás jellemzésére a két bázis közötti kapcsolatot leíró függvényt kell megadnunk. Erre a célra szolgál az ( )x Φ X,t= (1.1) összefüggés, amely a test (a test pontjainak) transzformálását végzi a hivatkozási állapotból a pillanatnyi állapotba. A kétféle koordináta-rendszer és a közöttük felírható transzformáció illusztrálására bemutatunk egy egyszerű példát. Legyen egy deformált 3D test metszetének alakja az ábrán látható paralelogramma. A kezdeti alak egy 1 2 1L L× × oldalhosszúságú téglatest volt, ennek

2D metszetét vékony vonallal ábrázoltuk. 1.2. ábra: Koordinátatranszformáció

3 Leonhard Euler (1707 – 1783) svájci származású matematikus, a legnagyobb tudósok egyike. Életéről lásd a tanszéki honlapon levő életrajzot: „Euler és a kihajlás vizsgálata”. 4 Joseph Louis Lagrange (eredeti nevén Giuseppe Lodovico Lagrangia, 1736 - 1813) olasz származású, de élete nagy részében Franciaországban élő kiváló matematikus.


10.06.20. 6

A (síkbeli) változást az időfüggő ( )t tθ = ω szögváltozás okozza, itt ω az ismertnek (és konstansnak) feltételezett szögsebesség, t pedig az idő. Az eredetileg vízszintes szálak az elmozdulás során is vízszintesek és változatlan hosszúságúak maradnak. A harmadik irányban a méret változatlan marad. Határozzuk meg egy 0X∈ Ω pont időfüggő helyzetét / 4 és 1t = π ω = esetén. Legyenek a

vizsgált pont koordinátái t = 0-nál a következők: [ ]1 2/ 2 / 2 1L L .

A keresett térbeli (Euler) koordináták:

1 1 2 1 2

2 2 2

3 3

tg ( ) / 2,

/ 2,

1.

P P P

P P

P P

x X X L L

x X L

x X

= + θ = +

= =

= =

(1.2)

A mechanikai folyamatok modellezésének különböző lehetőségei A nemlineáris mechanikai jelenségek matematikai leírására alapvetően két különböző lehetőségünk van. Ha egyenleteinkben a független változók az anyagi koordináták és az idő függvényei, akkor anyagi vagy más néven Lagrange-féle leírási módról beszélünk, ha pedig a független változók a térbeli koordináták és az idő, akkor térbeli vagy más néven Euler-féle leírási módot használunk. A kétféle leírási mód elméletileg teljesen egyenértékű, a gyakorlati számításoknál (például a végeselemes modellezésnél) azonban jelentős különbségek adódhatnak a kétféle technika között. Bár éles határt megszabni nem lehet, mert sokféle szempontot kell figyelembe venni a választásnál, de a szilárd testek nemlineáris feladatainál többnyire a Lagrange-, míg áramlástani problémáknál legtöbbször az Euler-féle leírásmódot használják5.

Elmozdulás, sebesség és gyorsulás

A következőkben megadjuk azokat az alapvető összefüggéseket, amelyek segítségével a testek mozgásának mechanikai jellemzői számíthatók. Elsőként az elmozdulás függvényének számítását mutatjuk be. Az elmozdulásokat az egyes anyagi pontoknál a kétféle bázis koordinátáinak a különbsége fogja megadni (megadjuk indexes alakban is): ( )( , ) ( ,0), , , ( , )u x- X Φ X Φ X u X ei i i i j it t u u X t X= = − = =φ − . (1.3)

Az elmozdulások ismeretében a sebesség függvénye is számítható. Anyagi (Lagrange) leírásmód esetén a transzformáló függvény idő szerinti deriválása egyszerűen végrehajtható, mivel a Lagrange-koordináták nem függnek az időtől. Ezt a műveletet az anyagi változók idő szerinti deriválásának, vagy rövidebben anyagi idő szerinti deriválásnak (vagy más néven anyagi deriválásnak) nevezzük.

( , ) ( , )

( , ) .Φ X u X

v X ut t

tt t

∂ ∂= = =

∂ ∂ɺ (1.4)

5 Létezik olyan numerikus technika is, amely mindkettőt egyszerre használja, mi azonban az MSc képzésben ezzel nem foglalkozunk, ez a későbbi PhD-tanfolyamok témája.


10.06.20. 7

A következő mozgásjellemző a gyorsulás függvénye. Ha itt is az anyagi idő szerinti deriváltat használjuk, akkor az eredmény a következő:

2

2

( , ) ( , )( , )

v X u Xa X v

t tt

t t

∂ ∂= = =

∂ ∂ɺ . (1.5)

A gyorsulás-függvény számítását megadjuk arra az esetre is, amikor a sebességfüggvényt térbeli koordinátákkal fejezték ki. Ilyen esetben a térbeli koordinátákkal felírt ( )v x , t sebességfüggvényt először a Lagrange-

koordináták segítségével kell megadni, ehhez pedig az ( )x =Φ X, t transzformáló függvényt

használjuk. Így az új alak: ( )( )v Φ X , ,t t , és most már alkalmazhatjuk az anyagi idő szerinti

deriválást, figyelembe véve a láncszabály szerinti deriválást:

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,x x x Xi i i j i i

jj j

Dv t v t v t t v vv

Dt t x t t x

∂ ∂ ∂Φ ∂ ∂= + = +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂, (1.6)

A /iv t∂ ∂ tagot hívják térbeli idő szerinti deriváltnak. Tenzor alakban is felírjuk ugyanezt a

deriválást:

( ) ( ) ( )grad

v x, v x, vv v v v

TD t t

Dt t t

∂ ∂= + ⋅∇ = + ⋅∂ ∂

. (1.7)

Példaként megadjuk a sebességfüggvény (bal) gradiensének tenzorát kétdimenziós esetre részletesen is (háromdimenziós esetre ugyanilyen módon számítható):

( ) , ,

, ,

grad .v = vx x y xT

x y y y

v v

v v

∇ =

(1.8)

Megjegyezzük, hogy ez a számítási módszer általánosítható: ha például egy térbeli koordinátákkal felírt ( )x,f t skalár, vagy egy (ugyancsak Euler-változókat használó)

( )x ,i j tσ tenzor deriválását kell elvégezni, az anyagi idő szerinti deriváltak a következők

lesznek:

grad ,v vii

Df f f f fv f f

Dt t x t t

∂ ∂ ∂ ∂= + = + ⋅∇ = + ⋅∂ ∂ ∂ ∂

(1.9)

grad .σ σ

v σ v σi j i j i jk

k

Dv

Dt t x t t

∂ ∂ ∂ ∂= + = + ⋅∇ = + ⋅∂ ∂ ∂ ∂

σ σ σ (1.10)

Deformációgradiens6-tenzor:

A nemlineáris mechanika alakváltozás- és feszültségtenzorainak előállításához szükségünk lesz a Lagrange- és az Euler-koordináták közötti differenciális kapcsolatra. Ezt az összefüggést

0( ) gradΦ x

F Φ ΦX X

T∂ ∂= = = ∇ =∂ ∂

(1.11)

alakban szokták megadni, ahol a nabla operátor „nulla” indexe az anyagi koordináták szerinti deriválásra utal7. Az F tenzort deformációgradiens-tenzornak hívják, matematikailag ez a

6 Egyes könyvekben alakváltozás-gradiensnek is nevezik.


10.06.20. 8

( )Φ X, t mozgásfüggvény Jacobi8-mátrixa. Ez a nemlineáris mechanika egyik legfontosabb tenzora. Megjegyezzük, hogy igen gyakori alkalmazása miatt a továbbiakban sokszor röviden csak „gradiens-tenzor” néven említjük. Ez az elnevezés matematikailag természetesen nem pontos, de eléggé elterjedt. Ha egy hivatkozási állapotot leíró rendszerben a dX hosszúságú elemi vonaldarab új hosszát a pillanatnyi koordináta-rendszerben kívánjuk meghatározni, akkor erre a célra a gradiens-tenzort használva az alábbi összefüggést kapjuk: x F Xd d= ⋅ . (1.12) Fontossága miatt a deformáció-gradiens tenzort részletesen is felírjuk. Derékszögű koordináta-rendszerben elemei a következők:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

Z

z

Y

z

X

zZ

y

Y

y

X

yZ

x

Y

x

X

x

F . (1.13)

Ugyanez hengerkoordináta-rendszerben:

1

1

F

r r r

R R Zr

r rR R Zz z z

R R Z

β β β

∂ ∂ ∂ ∂ ∂Θ ∂ ∂ ∂ ∂ =

∂ ∂Θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂Θ ∂

. (1.14)

A gradiens-tenzor determinánsát J-vel jelöljük a továbbiakban, mechanikai számításokban többnyire Jacobi-determináns néven fogunk rá hivatkozni: J = det(F) . (1.15) Erre a determinánsra például akkor is szükség lesz, amikor a kétféle rendszerben számított (például térfogati, területi) integrálok közötti kapcsolatot kell megteremtenünk:

0

0f d f J dΩ Ω

Ω= Ω∫ ∫ . (1.16)

Megjegyezzük, hogy a Jacobi-determináns anyagi idő szerinti deriváltját is használni fogjuk a mechanikai alapegyenletek átalakításakor. A láncszabályt alkalmazva:

:DJ J

JDt

∂= =

∂& &F

F (1.17)

A determináns gradiens-tenzor szerinti deriválásánál felhasználjuk a Függelék (F.53) alatti

képletét: FF

TJJ −∂=

∂. Ezt behelyettesítve és felhasználva a Függelék (F.24)-es képletét:

7 Megjegyezzük, hogy ebben az előadásvázlatban a bal gradienst fogjuk használni, de tudnunk kell, hogy a szakirodalom ebben nem egységes. 8 Carl Gustav Jacob Jacobi (1804 – 1851) német matematikus. Elsősorban lineáris algebrával és függvénytannal foglalkozott.


10.06.20. 9

( ) ( ) 1 1

: : : :grad

,tr grad div , ahol .

F F= F LF = F F L = I v=

Φ X= v v L = F FF

X

T T T TDJJ J J J J

Dt

tJ J

t

− − −

− −

= =

∂∂= =

∂ ∂

& &

& (1.18)

Megjegyezzük, hogy az 1.3 alatti képlet felhasználásával a deformáció-gradiens tenzor számítása kicsit másképpen is felírható: ( , )tu x - X x u X Φ X= ⇒ = + =

(1.19) Ezt figyelembe véve:

( )grad ( , ) gradt∂

= = + = + = +∂

xF X u X I u I H

X. (1.20)

Az ebben az egyenletben szereplő H tenzort elmozdulás-gradiens tenzornak szokás nevezni (I az egységtenzort jelenti). A deformáció-gradiens tenzor használatára bemutatunk egy egyszerű kétdimenziós példát. Legyen a kétfajta bázis közötti kapcsolat (a transzformációs függvény) a következő:

1 1 2 2 1 2

3 14 2 , 2

2 2x X X x X X= − − = + − .

Az 0Ω tartományt a következő ábrán látható, egységoldalú négyzet jelenti. A vázlaton

feltüntettük az Ω tartományt is. A kezdeti konfigurációban egy egységnyi hosszúságú 0a , a

pillanatnyi konfigurációban pedig egy ugyancsak egységnyi hosszúságú b vektort vettünk

fel: ( [ ]0

1 1, 1 0

2 2a b = =

).

1.3. ábra: Gradiens-tenzor alkalmazása


10.06.20. 10

Határozzuk meg a gradiens-mátrixot és inverzét, valamint a pillanatnyi konfigurációban a, a kezdeti konfigurációban pedig 0b vektorának értékét. Mátrixjelöléseket fogunk használni.

Az (1.13) képlet felhasználásával a következőt kapjuk:

1

1 22 1

5 5, .3 13 4

2 25 5

F F − − − −

= = − − −

Az egyes vektorok:

1/ 20

2 11/ 2 31

, 5 .3 1121/ 2

2 2

aa F a− − − = = = = −

1/ 2

10 0

1 21 11 25 5 , .

3 4 0 35 5

5 5

bb F b− − = = =− =

− −

Nanson9-képlet

A későbbiekben a feszültségtenzorok számításánál lesz szükségünk az anyagi és a pillanatnyi rendszerben vizsgált elemi területhez tartozó normálisok közötti kapcsolat felírására. Ezt az összefüggést hívják Nanson-képletnek: 1

0 .0n n FdA J dA−= ⋅ (1.21)

Bizonyításához rendeljünk vektorokat az elemi tartományokhoz:

dA = n dA, dA 0 = n 0dA 0 . (1.22)

Egy elemi térfogat a két különböző bázisban: 0 0 .A x = A XdV d d J dV J d d= ⋅ = ⋅ (1.23)

Mivel x = F Xd d⋅ , így

00n F X= n X.dA d J dA d (1.24)

Innen rendezés után adódik a Nanson-képlet. A mechanikai mozgás vizsgálatához szükséges feltételek: A mozgások vizsgálatához kapcsolódó legfontosabb alapfogalmak bemutatása után összefoglaljuk a transzformáló függvény lényeges tulajdonságait: - A ),( tXΦΦΦΦ függvény minden esetben folytonosan differenciálható kell, hogy legyen, így a függvény egyértelmű kapcsolatot teremt a referencia és a pillanatnyi állapot között (fizikai jelentés: nincsenek szakadások),

- A Jacobi-determinánsnak mindig pozitív ( 0J > ) értékűnek kell lennie (fizikai jelentés: véges térfogat nem tűnik el).

Merevtestszerű forgás és eltolódás

9 Edward John Nanson (1850 – 1936) angol matematikus.


10.06.20. 11

Egy test mozgásának különleges esete az az állapot, amikor a testben a mozgás során semmilyen megnyúlás vagy szögtorzulás nem keletkezik. Ezt a mozgásváltozatot hívjuk merevtestszerű helyváltoztatásnak. A mechanikai modellezésben mindig két hatás kombinációjaként vizsgáljuk, egy merevtestszerű eltolódás és egy hasonló fizikai tartalmú elfordulás összegeként: ( , ) ( ) ( )x X R X xTt t t= ⋅ + (1.25)

ahol az xT vektor a merevtestszerű eltolódást, míg az ( )R Xt ⋅ tag a merevtestszerű

elfordulást jelzi. Az ortogonális R tenzort

TR R=I (1.26) a nagy mozgásokhoz tartozó forgató (vagy rotációs) tenzornak nevezik. A forgató tenzorok segítségével írható le két – egymáshoz képest elforgatott – bázis közötti transzformáció. Például egy tenzor oda-vissza történő transzformálása a következőképpen hajtható végre:

ˆ ˆ,T TD= R DR D= R DR (1.27)

Szögsebesség A forgó mozgás hatásának leírásához szükségünk lesz a szögsebesség definiálására is. Ehhez a szögsebességtenzort fogjuk használni, azt pedig az alábbi módon definiáljuk. A merevtestszerű mozgás idő szerinti deriválását felírva: ( ) ( ), ( )x X = R t X+x Tt t⋅&& & , (1.28)

és ebbe a képletbe behelyettesítve a Lagrange-koordináták helyébe az Euler-változókat, az alábbi egyenlethez jutunk: ( ) ( )v=x = R R x x x Ω x x xT

T T T T⋅ ⋅ − + = ⋅ − +&& & & , (1.29)

ahol Ω a – ferdén szimmetrikus – szögsebességtenzor. 1.1 Példa Egy háromszög három sarokpontjának mozgásegyenletei a következők („a” és „b” ismert állandók):

1.4. ábra: Háromszög elforgatása

Az első ábra a t = 0, a második a t = 1 időponthoz tartozó állapotot mutatja.

1 1 2 2( ) ( ) 0, ( ) 2(1 ) cos , ( ) 2(1 ) sin ,2 2

t tx t y t x t at y t at

π π= = = + = +


10.06.20. 12

3 3( ) (1 )sin , ( ) (1 ) cos ;2 2

t tx t bt y t bt

π π=− + = +

Számítsuk ki a deformáció-gradiens tenzort, és vizsgáljuk meg, hogy milyen „a” és „b” mellett lesz pozitív a Jacobi-determináns: Írjuk fel először az elem egy belső pontjának pillanatnyi koordinátáit a háromszög

területkoordinátáinak10 segítségével ( ii

AAξ = ):

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) .x x t x t x t y y t y t y tξ ξ ξ ξ ξ ξ= + + = + +

A kezdeti konfigurációnál (t = 0 pillanatban):

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 .,X X X X Y Y Y Yξ ξ ξ ξ ξ ξ= + + = + +

Helyettesítsük be ide a deformálatlan konfiguráció koordinátáit:

1 3 2 1 2 30, 2, 0, 1 .X X X Y Y Y= = = = = = A két kifejezésből azt kapjuk, hogy:

2 3 2 3

12 , , .

2X Y X Yξ ξ ξ ξ= = → = =

Helyettesítsük be ezeket (és a mozgásegyenleteket is) az általános pont koordinátáit meghatározó kifejezésekbe:

( , ) (1 ) cos (1 ) sin ,

2 2

t tx t X at Y bt

π π= + − +X

( , ) (1 )sin (1 ) cos .

2 2

t ty t X at Y bt

π π= + + +X

A deformációgradiens-tenzor mátrixa innen már számítható:

(1 )cos (1 )sin

2 2 .

(1 )sin (1 ) cos2 2

=

x x t tat bt

X YFy y t t

at btX Y

∂ ∂ + − + ∂ ∂ = ∂ ∂ + + ∂ ∂

π π

π π

A determináns: det( ) (1 )(1 ) .J at bt= = + +F Ha a>0 és b>0, akkor a determináns mindig pozitív. Ha a=b=0, akkor 1,J = ez a deformáció nélküli forgás esete. Ha

/(1 ) ,b a at= − + akkor J szintén konstans marad (ekkor a mechanikai változást izochor11-nak nevezik).

1.2 Példa Vizsgáljunk meg az origó körül állandó ω szögsebességgel forgó elemet. Határozzuk meg a gyorsulásvektort anyagi és térbeli leírásmóddal, valamint számítsuk ki a deformációgradiens mátrixát!

cos sin

( ) ( ) .sin cos

x R Xx t t X

t ty t t Y

− = ⇒ =

ω ωω ω

A sebességvektor: sin cos

.cos sin

x

y

v x t t X

v y t t Y

ω ωω

ω ω− −

= = −

&

&

A gyorsulásvektor anyagi koordinátákkal:

10 Lásd például a végeselemes technikában használt lokális koordinátarendszereket. 11 Állandó térfogatú.


10.06.20. 13

2 cos sin.

sin cosx x

y y

a v t t X

a v t t Y

ω ωω

ω ω−

= = − −

&

&

Ha a sebességet térbeli koordinátákkal kívánjuk megadni, akkor először az X és Y anyagi koordinátákat ki kell fejeznünk x és y térbeli koordináták segítségével:

sin cos cos sin

.cos sin sin cos

x

y

v t t t t x y

v t t t t y x

ω ω ω ωω ω

ω ω ω ω− − −

= = − −

Az idő szerinti derivált a gyorsuláshoz:

/ / /

/ / /v v

v v = x x y

x yy x y

v t v x v xDv v

v t v y v yDt t

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + ⋅∇ + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂

[ ]0

0 0 .0x y y xv v v vωω

ω

= + = − −

Ha a sebességekre előbb kapott összefüggést ide behelyettesítjük, akkor az

2x

y

a x

a yω

=−

eredményt kapjuk, ami a centripetális gyorsulás vektora.

A deformáció-gradiens:

cos sin

.sin cos

t t

t t

ω ωω ω

− ∂= ∂

xF =

X

Felhasznált irodalom: 1./ Holzapfel, G. A.: Nonlinear Solid Mechanics, Wiley 2001. 2./ Fung, Y. C.: Foundation of Solid Mechanics, Prentice Hall, 1965, 1994, 2007. 3./ Mang, H. – Hofstetter, G. : Festigkeitslehre, Springer, 2000. 4./ Belytschko, T. – Liu, W.K. – Moran, B. : Nonlinear finite elements for continua and structures, John Wiley, 2000. 5./ Wriggers, P. : Nonlinear Finite Element Methods, Springer, 2008. 6./ Ibrahimbegovic, A. : Nonlinear Solid Mechanics, Springer, 2009.


10.06.20. 14

2. Előadás: Az alakváltozás fogalma, kis és nagy alakváltozások, alakváltozás-tenzorok

Az alakváltozás fogalmának definiálása

Az alakváltozások a mérnöki munka legfontosabb paraméterei közé tartoznak. Kiemelkedő jelentőségüket elsősorban az okozza, hogy az összes mérnöki változó közül ezeket lehet a legkönnyebben és legpontosabban laboratóriumi mérésekkel ellenőrizni, hiszen nagyságukat a próbatesteken vagy akár valós mérnöki szerkezeten hosszmérések segítségével meg lehet állapítani. Laboratóriumi 1D húzókísérletek segítségével egyszerűen lehet mérni például a próbatest adott irányban történő megnyúlását12. A méretváltozás segítségével definiálható alakváltozást az 0l eredeti (x irányú) hossz segítségével a következőképpen számítjuk:

0

,x

l

lλ = (2.1)

ahol 0 ,l l l l= +∆ ∆ pedig a mért x irányú hosszváltozás. A xλ -et az „x” irányú nyúlásnak

nevezzük (angol neve „stretch”), és főleg a polimerek, kompozitok és bioanyagok mechanikájában használatos mérőszám olyan esetek vizsgálatánál, amikor a létrejövő nyúlások jelentősek, összevethetők akár a szerkezet eredeti méreteivel is. A xλ

nyúlásparaméter abszolút értéke mindig egynél nagyobb, dimenziója – lévén egyszerű arány – nincs. Másféle 1D alakváltozások A klasszikus építő- és gépészmérnöki gyakorlatban az előző pontban használt nyúlás helyett inkább annak eggyel csökkentett értékével szokás dolgozni. Jelölésére szintén görög kisbetűt, az ε -t használják a mérnökök:

1x x

l

lε λ

∆= − = . (2.2)

Ennek a paraméternek a neve: mérnöki alakváltozás. Olyankor használják, amikor értéke egynél kisebb, a l l∆ > esetben inkább az előbb bemutatott xλ nyúlással dolgoznak a

mérnökök. Megjegyezzük, hogy néha szükség lehet az úgynevezett logaritmikus13 (vagy más néven valódi, vagy természetes) alakváltozás használatára is. Ezt az elemien kicsiny szálak

12 Megjegyezzük, hogy nagy alakváltozásoknál a felhasznált és/vagy vizsgált anyagok fizikai természete miatt többnyire valóban csak megnyúlást vizsgálnak, összenyomódást nagyon ritkán, és ezért a mi szóhasználatunk is ehhez alkalmazkodik. 13 Fogalmát Paul Ludwik német gépészmérnök (1838 – 1934) vezette be 1909-ben (lásd: Ludwik, P.: „Elemente der Technologischen Mechanik”, Springer, Berlin, 1909). Később a magyar származású amerikai tudós, Nádai Árpád (1883 – 1963) is sokat foglalkozott alkalmazásának különböző lehetőségeivel, ő nevezte el „természetes” alakváltozásnak (Nadai, A.: „Plastic Behavior of Metals in the Strain-Hardening Range”. Part I. J. Appl. Phys., Vol. 8, pp. 205-213, 1937). A német Heinrich Hencky (1885 – 1951) háromdimenziós változatát is kidolgozta („Über die Form des Elastizitätsgesetzes bei ideal elastischen Stoffen”. Zeit. Tech. Phys., Vol. 9, pp. 215-220, 1928), ez azonban nem terjedt el a mérnöki gyakorlatban.


10.06.20. 15

hosszváltozására alkalmazott „mérnöki” alakváltozás hossznövekményre vett integrálja segítségével számítják:

0 0

ln lnl

x x x

l

dl dl lde e

l l l= ⇒ = = =∫ λ . (2.3)

A logaritmikus alakváltozást elsősorban a nagy méretváltozások, illetve az anyagok határteherbíráshoz közeli állapotainak leírására használják. Megjegyezzük, hogy ha az alakváltozások kicsik (a határ körülbelül: 0,02ε < ), akkor a mérnöki és a valódi

alakváltozás jó közelítéssel egyenlőnek tekinthető14:

2 3

0

0 0

ln ln(1 ) ln(1 ) .... ,2 ! 3 !

x xx x x

l l le

l l

ε εε ε

−= = + = + = − + − (2.4)

vagyis ha 0 , akkor .x x xeε ε→ →

2.1 Példa

Az egyetlen irányban mért alakváltozások önmagukban sokszor nem elegendőek többdimenziós feladatok helyes modellezésére. Ezt illusztrálja a következő feladat. Az ábrán látható 1 1∗ –es méretű, négyzet alakú 2D próbatestet x irányban húzzuk, y irányban nyomjuk, a terhelés hatására létrejött új mérete így: 2 0,5∗ . A megváltozott alak szintén az ábrán látható. Vizsgáljuk meg az átló x′ tengely irányú alakváltozását különböző típusú 1D alakváltozás paraméterekkel! 2.1. ábra: 2D alakváltozás vizsgálata

a./ Mérnöki alakváltozás használatával: 2,062

1 0,4577 ;1, 414xε ′ = − =

A koordinátatengelyek irányában a mérnöki alakváltozások: 2

1 1,0 ,1xε = − =

0,51 0,5;

1yε = − =− Ha ezt a két nyúlást egy 2 x 2-es mátrixba helyezzük és a

Függelék (F.45)-ös képletében megadott transzformáció segítségével kiszámítjuk az átló nyúlását ( x xl ′ és a többi hasonló paraméter az iránykoszinuszokat jelöli), akkor a

következőt kapjuk (most csak egyetlen elem fontos számunkra):

14 Ez tulajdonképpen a természetes alakváltozás függvényének érintő egyenessel való közelítését jelenti.


10.06.20. 16

0 0

0 0x x x x y x x x xyTx

y xy y y y x y y y

l l l lT T

l l l l′ ′ ′ ′′

′ ′ ′ ′

ε εε ∗ = = ⇒ ε ε∗ ∗

%

2 2 1 11 ( 0,5) 0,25

2 2x x x x x y yl lε ε ε′ ′ ′= + = + − =% (eredeti szögekkel számítva),

2 22 0,5

ˆ 1 ( 0,5) 0,911372,062 2,062xε ′ = + − =

(pillanatnyi konfiguráció

szögeivel számítva). Ezek a transzformációk nem adtak jó eredményt.

b./ Logaritmikus alakváltozás használatával: 2,062

ln 0,3771, 414xe ′ = = .

A tengelyirányú logaritmikus nyúlások segítségével kiszámított transzformált alakváltozások:

1 1ln(2) ln(0,5) 0

2 2xe ′ = + =% , (eredeti szögekkel),

2 22,0 0,5

ˆ ln(2) ln(0,5) 0,611162,062 2,062xe ′ = + =

(megváltozott szögekkel).

Ezekkel a transzformációkkal sem kaptunk helyes eredményt. c./ Az eltérések oka az, hogy nagy alakváltozásoknál az eddig bemutatott változók már nem használhatók transzformációra (nem tenzormennyiségek). Ha az eredetileg négyzet alakú tárcsa oldalainak elmozdulása kicsiny lenne, akkor az átló közelítő

alakváltozása transzformációval is számítható, az 0

0x

y

ε ε

tenzor jól jellemezné a

tárcsa deformációit.

3D alakváltozás-tenzorok Az 1D alakváltozások bevezetésénél a logaritmikus jellemző kivételével véges méretű kezdeti l hosszak változását vizsgáltuk. Két- illetve három dimenzióban ettől eltérően az elemi hosszak ( , ,...dx dX ) megváltozása segítségével definiálják az alakváltozásokat. Kicsiny alakváltozások esetén egyféle, nagy alakváltozások esetén többféle alakváltozás-tenzor használatos. Az alakváltozás-tenzorokkal szemben támasztott legfontosabb követelmény, hogy ha a test csak merevtestszerű eltolódást és/vagy elfordulást végez, akkor az alakváltozás-tenzor valamennyi elemének zérusnak kell lennie! A továbbiakban először a tetszőlegesen nagy alakváltozások esetén használható tenzorokat mutatjuk be. Green-Lagrange-féle15 alakváltozás-tenzor (E) A nagy alakváltozások vizsgálatára numerikus számításokban talán leggyakrabban használt tenzor egy elemi hosszúságú anyagi vektor ( Xd ) hossznégyzetének megváltozását méri.

15 Egyes – főleg francia – munkákban néha Green-Saint Venant-féle tenzorként is említik. Adhémar Jean Claude Barre de Saint-Venant (1797 – 1886) kiváló francia tudós volt, ő foglalta össze először a szilárdságtan különböző tételeit összefüggő rendszerré.


10.06.20. 17

Legyen definíció szerint E az a tenzor, amely bármely dX-re megadja a hossznégyzet változását a következő módon: 2 2 2 .X E Xds dS d d− = ⋅ ⋅ (2.5) A képletben dS az eredeti, ds pedig a pillanatnyi állapotban számított hosszat jelenti. Meghatározása a gradiens-tenzor segítségével történik (a (2.6/a képletben a negyedik és ötödik tagot mátrix alakban írtuk fel):

2 ( ) ( ) (F X) (F X) X F F ( )x x = F X F X = X F F XT T T Tds d d d d d d d d X d d= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ , (2.6/a) 2 X X = X I XdS d d d d= ⋅ ⋅ ⋅ → ( 2 ,X F F - I) X= X E XTd d d d⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (2.6/b)

így az alakváltozás-tenzor definíciója:

1

( ) .2

E= F F -IT ⋅ (2.7)

A Green-Lagrange-tenzor mindig szimmetrikus. A fentiekben elmondott transzformációk megértését segíti a következő ábra vázlata: 2.2. ábra: Transzformáció az anyagi rendszerből a pillanatnyi állapotba A Green-Lagrange-tenzor számítása közvetlenül az elmozdulásokból Az u eltolódásfüggvény segítségével kapott összefüggések a nagy alakváltozásokra érvényes geometriai egyenleteket szolgáltatják. A gradiens-tenzor és az elmozdulás-függvény közötti összefüggést felhasználva E és u kapcsolata (a második felírási módnál felhasználjuk az első fejezet 1.20-as képletében megadott elmozdulás-gradiens tenzort):

( ) ( )0 0 0 0

1 1( ) ( ) .

2 2E= u u + u u H H H HT T T T∇ +∇ ∇ ⋅ ∇ = + + ⋅ (2.8/a)

Gyakorlásul megadjuk a tenzor számításának indexes felírási módját is:


10.06.20. 18

1

2i j k k

i jj i i j

u u u uE

X X X X

∂ ∂ ∂ ∂ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ . (2.8/b)

A másodrendű tenzor hat darab független skalár eleme a definíció figyelembevételével: 2 2 2 2 2 2

11 22

1 1, ,

2 2

u u v w v u v wE E

X X X X Y Y Y Y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2.9)

2 2 2

33

1,

2

w u v wE

Z Z Z Z

∂ ∂ ∂ ∂ = + + + ∂ ∂ ∂ ∂ 12

1,

2

u v u u v v w wE

Y X X Y X Y X Y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

13 23

1 1, .

2 2

u w u u v v w w v w u u v v w wE E

Z X X Z X Z X Z Z Y Y Z Y Z Y Z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + + = + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

A Green-Lagrange-tenzor teljesíti az alakváltozás-tenzorokra a bevezetőben előírt feltételt, hiszen elemei zérussá válnak az Tx = R X + x⋅ (2.10)

merevtestszerű mozgás esetén. Mivel ilyenkor F = R , az alakváltozás tenzor zérus lesz:

1 1

( ) ( ) .2 2

E= R R -I I -I 0T ⋅ = = (2.11)

Megjegyezzük, hogy egydimenziós esetben a Green-Lagrange-tenzor 11E eleme kifejezhető

az 1D elemhosszakkal, illetve a korábban már bemutatott egydimenziós alakváltozás jellemzőivel:

2 2

2011 2

0

1 1(1 ) ( 1).

2 2 2x x x

l lE

lε ε λ

−= = + = − (2.12)

Az Almansi16-Hamel17-féle alakváltozási tenzor Ha az elemi szál hossznégyzetének változását a pillanatnyi (euleri) rendszer segítségével fejezzük ki, akkor a Green-Lagrange-tenzor „párjaként” az Almansi-Hamel-féle alakváltozás-tenzort definiáljuk (Euler-Almansi-féle alakváltozás-tenzornak is nevezik):

2 2 112

2x e x e I -F FTds dS d d − − − = ⋅ ⋅ → = ⋅ .

(2.13) Látható, hogy itt is a gradiens-tenzort használjuk alapvető változóként, csak most az inverzére van szükségünk. Az elmozdulások segítségével felírható geometriai egyenletek:

( ) ( ) ( )1

2e u u- u u

T T = ∇ +∇ ∇ ⋅ ∇ . (2.14)

Ez a tenzor is szimmetrikus. Egydimenziós állapotban az Almansi-Hamel-tenzor eleme is kifejezhető a klasszikus 1D jellemzőkkel:

16 Emilio Almansi (1869 – 1948) olasz matematikus és mechanikus, elsősorban a nemlineáris rugalmasságtan különböző feladataival foglalkozott. 17 Georg Karl Wilhelm Hamel (1877 – 1954) német matematikus és mechanikus, főleg az elméleti mechanika és az áramlástan különböző kérdéseinek vizsgálatáról ismert.


10.06.20. 19

2 2

2011 2 2 2

1(1 ) 12 (1 ) .

2 (1 ) 2

x x

xx

l le

l

ε ελ

ε−

+−= = = −

+ (2.15)

Ennek az „inverz” transzformációval előállított tenzornak a megértéséhez nyújt segítséget a következő ábra: 2.3. ábra: Transzformáció a pillanatnyi bázisból az anyagi rendszerbe 2.2. Példa

Egy hba −− méretekkel rendelkező tárcsát ( ( és )h a b⟨⟨ ) az alábbi mozgásegyenletekkel deformálunk ( 0e adott paraméter):

0 0, , ;e e

x X Y y Y X z Zb a

= + = + =

Az inverz alak: ;,,20

20

020

020

zZyeba

bax

eba

ebYy

eba

eax

eba

baX =

−+

−−=

−−

−=

Határozzuk meg a Green-Lagrange- és az Almansi-Hamel-féle alakváltozástenzor zérustól különböző elemeit!


10.06.20. 20

2.4. ábra: Deformációs tenzor elemeinek számítása A három, egymásra merőleges irányú eltolódás:

;0,, 00 =−==−==−= ZzwXa

eYyvY

b

eXxu

A zérustól különböző alakváltozás-komponensek a két tenzor esetén:

Green-Lagrange: ;22

,2

1,

2

1 0012

2

022

2

011 a

e

b

eE

b

eE

a

eE +=

=

=

Almansi-Hamel: ,)(

)(

2

1;

)(

)(

2

122

0

220

20

20

20

22220

220

20

20

20

11

−

+−

−−=

−

+−

−−=

eab

aee

eab

ee

eab

bee

eab

ee

;)(

)()(22

0

30

20

012

eab

bae

eab

baee

−

++

−

+=

További alakváltozás-tenzorok Az eddig említett – és az építőmérnöki nemlineáris feladatoknál is gyakran használt – alakváltozás-tenzorok mellett másféle változatokat is alkalmaznak a mechanikában. Ilyen például az úgynevezett jobb Cauchy18-Green-féle alakváltozás-tenzor:

C F FT= ⋅ . (2.16) Az elnevezés onnan származik, hogy a képletben itt az F tenzor a szorzat jobb oldalán szerepel. Az „alakváltozás-tenzor” helyett találóbb elnevezés a „deformációs” (vagy „nyúlási”) tenzor név, hiszen a tenzor elemei többnyire egynél nagyobb számok. Egyes művekben szokás jobb Cauchy-tenzorként, vagy Green-tenzorként is említeni. C inverzét Piola19-féle alakváltozási tenzornak hívják és B-vel jelölik:

( ) 11 1B=C F F F FT T−− − −= = (2.17)

Megjegyezzük, hogy C használatával is felírható az E Green-Lagrange-féle alakváltozás-tenzor:

( )1.

2E= C-I (2.18)

Az E és C tenzorok közös neve a mechanikában: anyagi alakváltozás-tenzorok. Egy másik változat a bal Cauchy-Green-féle (vagy Finger20-féle) alakváltozás-tenzor21: b = F FT⋅ . (2.19)

18 Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) világhírű francia matematikus, a mechanika nagyon sokat köszönhet tudományos eredményeinek. Az ő életéről is olvasható életrajz („Cauchy és az egyensúlyi egyenletek”) a tanszéki honlapon. 19 Gabrio Piola (1794 – 1850) olasz fizikus. Elsősorban szilárdságtani kutatásairól ismert. 20 Josef Finger (1841 – 1925) kiváló osztrák matematikus. 21 Megjegyezzük, hogy egyes szerzők b helyett B-vel jelölik, ez sajnos gyakran okoz zavart a Piola-tenzorral való összecserélhetősége miatt.


10.06.20. 21

A képletben az F tenzor a szorzat bal oldalán szerepel. Itt is pontosabb név a „deformációs” tenzor. A b tenzor használatával az e Almansi-Hamel-tenzor az alábbi formát ölti:

( )11

2e= I -b− . (2.20)

Az e és b közös neve: térbeli alakváltozás-tenzorok. Megjegyezzük, hogy az itt bemutatott változatokat elsősorban a polimerek mechanikájában és a biomechanikában alkalmazzák. Kis alakváltozások Kis alakváltozások esetén az alakváltozások másodrendű tenzorát εεεε -nal jelölik. Ez a tenzor az eddigiekből a legegyszerűbben a Green-Lagrange-tenzor másodrendű elemeinek elhanyagolásával állítható elő. Mivel kis alakváltozások esetén a Lagrange-koordináták megegyeznek az Euler-koordinátákkal, az egyszerűség kedvéért ebben az esetben nagy X helyett általában kis x szimbólumot használunk. A tenzor főátlóbeli elemei a fajlagos mérnöki nyúlásokat, az alsó- és felső háromszög elemei pedig a mérnöki szögtorzulásokat jelölik. A 2.21 alatti egyenletnél a második mátrixban minden egyes elemet a hozzá rendelhető geometriai egyenlettel adtunk meg (összevetve ezeket a korábban hasonló módon bemutatott Green-Lagrange-tenzor elemeivel, azonnal észrevehető a másodrendű hatások elhanyagolása):

1 11 12 22 2

1 1 1 1.

2 2 2 21 1 1 12 2 2 2

x x y x z

y x y y z

z x z y z

u u v u w

x y x z x

v u v v w

x y y z y

w u w v w

x z y z z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

ε γ γ

ε γ ε γ

γ γ ε

(2.21/a)

Ugyanez az összefüggés az elmozdulások (illetve az elmozdulás-gradiens tenzor) segítségével tömörebb alakban:

( ) ( )1 1( ) .

2 2ε = u u H HT T∇ +∇ = + (2.21/b)

Megjegyezzük, hogy az építőmérnöki feladatok nagy részében a kis alakváltozások megfelelő közelítést jelentenek, ezért ezt a tenzort sokszor használjuk különféle mechanikai számításokban. Néhány (részben emlékeztető jellegű) megjegyzés:

- A tenzor egyes elemeinek mechanikai jelentésével már a BSc Szilárdságtanban foglalkoztunk (lásd a [ ]4 alatt említett tankönyv vonatkozó részeit).

- Az εεεε tenzor komponenseit gyakran másféleképpen jelölik. A szakirodalomban szokásos, és egyes fejezetekben általunk is használt egyéb felírási módok:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

.xx x y x z

y x y y z

z x z y z

= =

ε ε ε ε ε εε ε ε ε ε ε εε ε ε ε ε ε

A különböző jelölési módok egymás közötti cseréjekor a szögtorzulásoknál mindig ügyelnünk kell az ½-es szorzó figyelembevételére, a Voigt-féle kinematikus szabály (lásd a Függeléket) pontosan ennek betartására születetett.


10.06.20. 22

2.3. Példa Vizsgáljunk meg néhány elemi mechanikai változást és számítsunk ki néhány alapvető alakváltozás-tenzort.

a./ Tiszta nyúlás: 1 2 3, , ,x X y Y z Z= = =λ λ λ ahol iλ a tengelyirányú nyúlásokat

jelenti. Számítsuk ki a jellemző alakváltozási tenzorokat! A feladathoz tartozó gradiens-tenzor:

1

2

3

0 0

0 0

0 0

F =

λλλ

.

A Green-Lagrange-féle alakváltozás-tenzor és az Almansi-Hamel-féle alakváltozás-tenzor:

( )

( )

( )

21

22

23

11 0 0

21

0 1 02

10 0 1

2

E=

− − −

λ

λ

λ

,

( )

( )

( )

21

22

23

11 0 0

21

0 1 0 .2

10 0 1

2

e

λ

λ

λ

−

−

−

− = − −

b./ Tiszta nyírás egy egységnyi oldalélű kockán (lásd a 2.5. ábrát): , , .x X k Y y Y z Z= + = = 2.5. ábra: Tiszta nyírás vizsgálata A deformáció-gradiens tenzor, a jobb Cauchy-tenzor és az Almansi-Hamel-féle tenzor:

2

2

1 0 1 0 1 0

0 1 0 , 1 0 , 1 0 .

0 0 1 0 0 1 0 0 1

F = C = b =

k k k k

k k k

+ +

2.4. Példa


10.06.20. 23

Vizsgáljuk meg, hogy a 2.1 példában szereplő, négyzet alakú tárcsánál hogyan használható fel a Green-Lagrange-féle alakváltozás-tenzor az átló alakváltozásának számítására!

Legyenek a mozgásegyenletek az alábbi alakúak: (1 ) , (1 / 2)x X t y Y t= + = − . Vizsgáljuk a pillanatnyi konfigurációt a 1=t pillanatban. A gradiens tenzor most 2 2∗ -es méretű lesz:

.5,00

02

=F

Az alakváltozás-tenzor:

.375,00

05,1

10

01

25,00

04

2

1

−=

−

=E

Ellenőrizzük, mit ad eredményül E használata a két koordináta-tengely, illetve az átló irányában, ha a hossznégyzetek különbségeit számoljuk (mindig az eredeti bázisban adott vektor-koordinátákkal dolgozunk!):

x irány: [ ] 30

1

375,00

05,1012312 22 =

−⇔=− ;

y irány: [ ] 75,01

0

375,00

05,110275,015,0 22 −=

−⇔−=− ;

x)

irány (átló):

( ) [ ] ;25,21

1

375,00

05,111225,22)5,02(

222 =

−⇔=−+

A tenzor mindhárom esetben pontosan követi a változásokat. Vizsgáljuk meg most, hogy a főátló irányába transzformált tenzor használata milyen eredményt ad (itt is fontos megjegyzés, hogy a szögeknél mindig az eredeti konfigurációt kell használni, hiszen a Green-Lagrange-tenzor ehhez az állapothoz kapcsolt!!). Csak az 1,1 indexű elemet számoljuk ki, mert a többi elemre most nincsen szükség.

;425,2

22

22

22

22

375,00

05,1

22

22

22

22

∗∗

∗=

−

−

−

Az „x’ „ irányt most bázisiránynak tekintjük, és ennek megfelelően írjuk fel a Xdvektort:

[ ] ;25,20

24

25,202225,2225,4 =

∗∗

∗⇔=−

Alakváltozás-sebesség tenzor (D)

Az alakváltozások megváltozásának jellemzésére használják. Számításához először az L betűvel jelölt másodrendű sebességgradiens-tenzort kell meghatározni:

( ) grad , ,v

L v v v L xx

Td d

∂= = ∇ = = ⋅∂

(2.22)


10.06.20. 24

vagy ugyanez indexes jelöléssel:

,ii j i i j j

j

vL dv L dx

x

∂= =

∂. (2.23)

A sebesség gradiens tenzor szimmetrikus és ferdén szimmetrikus részre osztható:

1 1

( ) ( )2 2

L L L L LT T= + + − , ( ) ( )1 1

2 2i j i j j i i j j iL L L L L= + + − . (2.24)

Az alakváltozás-sebesség tenzor az L tenzor szimmetrikus része:

1

( )2

D L LT= + , 1

2i j

i jj i

v vD

x x

∂ ∂ = + ∂ ∂ . (2.25)

A ferdén szimmetrikus tag neve spin22 tenzor:

1

( )2

W L - LT= , 1

2i j

i jj i

v vW

x x

∂ ∂ = − ∂ ∂ . (2.26)

Az alakváltozás-sebesség tenzor egy elemi anyagi szakasz hossznégyzetének változási sebességét méri23:

2( ) ( ( , ) ( , ))x X x Xds d t d tt t

∂ ∂= ⋅ =

∂ ∂ (2.27)

( ) ( )2 2 2v

x v x x x L x x L L L-L x x L L xx

T T Td d d d d d d d d d∂

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ + + ⋅ = ⋅ + ⋅ =∂

2 .x D xd d= ⋅ ⋅ Merevtestszerű mozgás esetén természetesen: .D 0, W Ω= =

Az alakváltozás-sebesség tenzor és a Green-Lagrange-tenzor növekményének kapcsolata A tenzor eredeti definícióját felhasználva:

v v X

Lx X x

∂ ∂ ∂= = ⋅∂ ∂ ∂

. (2.28)

Ezt a képletet átalakíthatjuk, mivel:

( )

,,

X

v

X

XF

∂∂=

∂

∂∂∂=

t

t

ΦΦΦΦ& (2.29)

és így végül: .1−⋅= FFL & (2.30) Az alakváltozás-sebesség tenzor a sebesség-gradiens tenzor szimmetrikus része, így ide behelyettesíthetjük ezt a képletet, hogy megkapjuk a D és F közötti kapcsolatot:

( ) ( )11 1

2 2D L L F F F FT T T− −= + = ⋅ + ⋅& & . (2.31)

A Green-Lagrange-féle alakváltozás-tenzor idő szerinti deriváltja pedig:

( ) ( ).2

1

2

1FFFFI-FFE ⋅+⋅=⋅= TTT

Dt

D &&& (2.32)

Ugyanez az alak kapható D jobbról-balról történő beszorzásával:

22 Impulzus-momentum. 23 A levezetésnél felhasználtuk, hogy 2 és 0L L W x W x =T d d− = ⋅ ⋅ .


10.06.20. 25

( )1.

2F D F F F F FT T T⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅& & (2.33)

Így végül:

FDFE ⋅⋅= T& , Ti j k i k l l jE F D F=ɺ . (2.34)

az inverz forma pedig:

1D F E FT− −= ⋅ ⋅ɺ , 1Ti j i k k l l jD F E F− −= ɺ . (2.35)

2.5.Példa Számítsuk ki E és D tenzorát egy kombinált nyújtás-elforgatás hatására!

A mozgásegyenletek („a” és „b” ismert konstansok, mindkettő pozitív szám):

( ) (1 ) cos (1 ) sin ,2 2

X,t t

x t at X bt Y= + − +π π

( ) (1 ) sin (1 ) cos .2 2

X,t t

y t at X bt Y= + + +π π

Egyszerűsítsük a jelöléseket, majd vizsgáljuk meg a t=0 és a t=1 időpillanatokat:

( ) 1 , ( ) 1 , cos , sin ;2 2

t tA t A at B t B bt c s= = + = = + = =

π π

A deformáció-gradiens tenzor:

.F =

x xAc B sX Y

y y A s B c

X Y

∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂

A Green-Lagrange-tenzor:

( )1

2E= F F -IT ⋅ =

2 2

2 2

1 0 2 01 1.

0 12 2 0 2

Ac As Ac Bs at a t

Bs Bc As Bc bt b t

− + − = − +

A t = 0 pillanatban E = 0, t=1-nél pedig:

2

2

/ 2 0.

0 / 2

+E=

a a

b b

+

A deformáció-sebesség tenzor számításához először határozzuk meg a sebességeket, mint anyagi idő szerinti deriváltakat:

2 2xv ac As X bs Bc Yπ π = − − +

, ( ) .

2 2yv as Ac X bc Bs Yπ π = + + −

A t =0 pillanatban x=X, y=Y, c=1, s=0, A = B = 1 és így D értéke:

( )0 0 12 , .

0 1 02

2

L = v D = W =T

a a

bb

ππ

π

− − ∇ = →

A t = 1 pillanathoz használjuk a deformáció-gradiens tenzort:


10.06.20. 26

1 1 2 2, ,

2 2

F F =ac As b s BcBc Bs

As AcABa s Ac b c Bs

−

− − − = − + −

&

π π

π π

1L = F F−⋅ =&2 2

2 2

0 1( )1.

1 02( )

Bac Abs cs Ba Ab

AB cs Ba Ab Bas Abc

π − + − = + − +

A két mátrixból az első (szimmetrikus) tag lesz a deformáció-sebesség tenzor, míg a második (ferdén szimmetrikus) mátrix az úgynevezett spin tenzor. A keresett pillanatban D értéke:

01

.01

D=a ab

b aba b ab

+ ++ + +

2.6. Példa Egy rögzített pont körül Θ szöggel elforgatunk egy kétdimenziós testet. Vizsgáljuk meg, mi történik, ha meghatározzuk meg a kicsiny (lineáris) alakváltozások értékét az anyagi koordináta-rendszer segítségével és elemezzük a számítás hibájának értékét! A mozgás egyenlete:

cos sin cos 1 sin

, .sin cos sin cos 1

x= R X x

y

ux X X

uy Y Y

Θ − Θ Θ− − Θ ⋅ → = = Θ Θ Θ Θ−

Az alakváltozások jelen esetben:

1

cos 1, cos 1 , 0 .2

y yx xx y x y

u uu u

X Y Y Xε ε γ

∂ ∂ ∂ ∂= = Θ− = = Θ− = + = ∂ ∂ ∂ ∂

Ha Θ értéke nagy, akkor ennél a modellnél a nyúlások zérustól jelentősen különbözők lesznek annak ellenére, hogy most csak merevtestszerű elfordulást végez a test24! Numerikus számításoknál egyébként gyakori kérdés, mekkora lehet maximum az elfordulás, hogy a mérnöknek még ne kelljen áttérnie nemlineáris analízisre (nagy alakváltozásokra)? Vizsgáljuk etxε − Taylor-sorba fejtve:

2 2

4cos 1 1 ( ) 1 .2 2x OεΘ Θ

= Θ− = − + Θ − ≈−

A hiba az elfordulások négyzetével arányos. Ha pl. 210− nagyságrendű alakváltozásokkal dolgozunk és 1%-os a hibahatárunk (ez gyakori mérnöki alaphelyzet), akkor az elfordulásoknak szintén max. 210− rendűeknek kell lenniük.

2.7. Példa

24 Természetesen a nagy alakváltozások Green-Lagrange-tenzora zérus

(például: ( )( )2 211 cos 1 0,5 cos 1 sin 0,E = Θ − + Θ − + Θ = stb.).


10.06.20. 27

Egy 2D tárcsaelem az ábrán látható változás-sorozaton megy keresztül. Határozzuk meg D értékét az egységnyi időlépcsőkkel eltérő különböző fázisokban! a./ Az első fázisból a másodikba (nyírás):

11 0 1, , ;

0 1 0 0 0 1F F = F

at a at− − = =

& ( , ) , ( , ) 0 1 .X Xx t X atY y t Y t= + = ≤ ≤

2.6. ábra: Összetett alakváltozási folyamat vizsgálata

1 0 01.

0 0 02-L =F F D=

a a

a

⋅ = →

&

Számítsuk ki most a Green-Lagrange-féle alakváltozás-tenzort is:

( ) 2 2

01 1.

2 2TE = F F-I

at

at a t

⋅ =

Ennek időbeli változása:

2

01.

22E=

a

a a t

&

Megjegyzendő, hogy 22E& nem zérus, jóllehet 2 2D értéke nulla.

b./ Második fázisból a harmadikba: ( , ) , ( , ) (1 ) , 1 2 , 1 .X Xx t X aY y t bt Y t t t= + = + ≤ ≤ = − Határozzuk meg itt is D mellett a Green-Lagrange-féle tenzort és változását.

11 0 0 11, , ,

0 1 0 0 11F = F F

a bt a

bt b bt− + −

= = + + &

1 0 01,

01L =F F

bbt−

⋅ = + &

0 01.

01D=

bbt

+

( ) 2

0 0 01 1 1, .

( 2) 0 2 ( 1)2 2 2E= F F-I E=T a

a a bt bt b bt

⋅ = + + +

&

c./ Harmadik fázisból a negyedikbe:


10.06.20. 28

( , ) (1 ) , ( , ) (1 ) , 2 3 , 2 .X Xx t X a t Y y t b Y t t t= + − = + ≤ ≤ = −

11 (1 ) 0 1 ( 1)1, , ,

0 1 0 0 0 11F = F = F

a t a b a t

b b−− − + − = + +

&01

,0 01

L =a

b

− +

01

02(1 )D=

a

ab

− −+

,

2

0 0 01 1,

( 2) 0 2 ( 1)2 2E= E=

a

a a bt bt b bt

+ + +

&

d./ Negyedik fázisból az ötödikbe: ( , ) , ( , ) (1 ) , 3 4 , 3 .X Xx t X y t b bt Y t t t= = + − ≤ ≤ = −

11 0 0 0 1 0 0 01 1, , ,

0 1 0 0 1 01 1F = F = F L =

b bt

b bt b bb bt b bt− + − = + − − −+ − + −

&

D = L . A Green-Lagrange-féle alakváltozás-tenzor az ötödik konfigurációban zérus lesz, mivel itt ( 4 nélt = − ) F = I . Érdekes kiszámítani a deformáció-sebesség tenzor idő szerinti integrálját a teljes sorozatot figyelembe véve: 4

0

0 0 0 0 0 01 1( )

0 0 ln(1 ) 0 0 ln(1 )2 2(1 )D

a at dt

a b a bb

− = + + + = + − − ++

∫

= 0 1

1 02(1 )

ab

b

+

.

Az integrál zérustól különböző, pedig az ötödik fázis az eredeti állapottal megegyező, vagyis D nem pontos jellemzője a teljes deformációnak.

Az F gradienstenzor szorzat alakú (poláris) felbontása Nagy alakváltozásokkal járó egyes folyamatokban – különösen akkor, ha jelentős forgási hatások is vannak – sokszor célszerű a gradiens tenzort szorzat alakban felbontani. Ezt a következőképpen hajtják végre: F = R U , ⋅ (2.36) ahol 1 és-R R U = UT T= . (2.37) Amikor az euleri bázisban óhajtjuk kiszámítani egy vonaldarab hosszát, akkor ezzel a felbontással az alábbi módon adhatjuk meg egy elemi szakasz hosszát:

x R U Xd d= ⋅ ⋅ , (2.38) ahol a szimmetrikus U a nyúlási alakváltozásokat jellemzi (megjegyezzük, hogy az U – I másodrendű tenzort Biot25

-féle alakváltozási tenzornak nevezik), R pedig a merevtestszerű elfordulásokat jellemzi. A két vonalelem, dx és dX kapcsolatának leírásához a pillanatnyi és

25 Maurice Anthony Biot (1905 – 1985) belga-amerikai fizikus. A pórusokkal lazított, de egyébként rugalmas (poroelasztikus) anyagokban lezajló folyamatok modellezésének kiváló kutatója volt, továbbá viszkoelasztikus anyagokkal és irreverzibilis termodinamikával is sokat foglalkozott. Magyarul is megjelent Kármán Tódorral együtt írt kiváló könyve: Matematikai módszerek, Műszaki Könyvkiadó, 1967.


10.06.20. 29

referencia konfigurációkban nem szükséges a merevtestszerű eltolódás ismerete (ha csak ilyen hatásunk lenne, akkor F=I és dx=dX). A szorzat alakú felbontás egyes komponenseinek számítása (mátrix jelöléseket is felhasználva):

( ) ( ) ( )1

T T T 12RU R U U R R U U U UU , .T T -F F = = = U = F F R =F UT ⋅ = → ⋅ ⋅

(2.39) Megjegyezzük, hogy U segítségével például a jobb Cauchy-Green-, vagy a Green-Lagrange-féle tenzorok is egyszerűen megadhatók:

( )2 21, )

2C U E U I= = − . (2.40)

2.8. Példa A poláris felbontásra mutatunk példát. Vizsgáljuk meg az előző előadás 1.1-es feladatában már látott háromszögelemet, ahol az egyes csomópontok mozgásai a következő függvényekkel írhatók le: 1 1 2 2( ) 2 , ( ) 2 , ( ) 2 , ( ) 2 2 ,x t a at y t at x t at y t a at= + = = = − 3 3( ) 3 , ( ) 0 .x t at y t= =

Számítsuk ki U és R elemeit a t=1 és a t=0,5 pillanatban!

Használjuk fel ismét a iξ területkoordinátákat:

( ) 1 1 2 2 3 3,, ( ) ( ) ( )x t x t x t x tξ ξ ξ ξ= + + ( ) 1 1 2 2 3 3, ( ) ( ) ( ) .y t y t y t y tξ ξ ξ ξ= + +

A t = 0 pillanatban ezek megegyeznek a Lagrange-koordinátákkal:

( ) 1 1 2 2 3 3 1, ,x t X X X X aξ ξ ξ ξ ξ= = + + = ( ) 1 1 2 2 3 3 2, 2 .y t Y Y Y Y aξ ξ ξ ξ ξ= = + + =

A t = 1 időpillanatban:

1 2 3( 1) 3 2 3 3 3 1 32 2

X,X Y Y

x a a a X Y a aa a

ξ ξ ξ = + + = + + − − = −

( ) 1 2 3,1 2 0 0 2 .Xy a Xξ ξ ξ= + + =

Innen a deformáció-gradiens tenzor:

( )1

2120 0,5 4 0 2 0

.2 0 0 0, 25 0 0,5

F = U = F FT− → ⋅ = =

Az R rotációs tenzor:

1 0 0,5 0,5 0 0 1.

2 0 0 2 1 0R F U−

− − = ⋅ = =

Vizsgáljuk meg most a t = 0,5 pillanatot:

( ) 1 2 3, 2 1,5 2 1,5 (1 ) 1,5 0,5 0,25 ,2 2

XX Y X Y

x t a a a a a a a X Ya a a a

ξ ξ ξ= + + = + + − − = + −

( ) 1 2 3,0,5 0 0,5 .2

XX Y

y a a a a X Ya a

ξ ξ ξ= + + = + = +

A deformáció –gradiens tenzor:

( )1

2120,5 0, 25 1,25 0,375 1,0932 0,2343

.1 0,5 0,375 0,3125 0, 2343 0,5076

F = U = F FT− → ⋅ = =


10.06.20. 30

Megjegyezzük, hogy egy mátrix négyzetgyökének kiszámításához az alábbi lépések szükségesek: a./ Határozzuk meg az TF F⋅ mátrix sajátértékeit és sajátvektorait.

b./ A iλ sajátértékeknek vegyük a négyzetgyökét s helyezzük el őket egy

diagonál mátrixba: 1 2, .H =% λ λ

c./ A sajátvektorokat oszloponként helyezzük el egy A mátrixba. d./ A nyúlási tenzor ezek segítségével: TU = A H A .⋅ ⋅%

Ennél a feladatnál:

0,9436 0,3310 1,1754 0

, .0,3310 0,9436 0 0,42539

A = H−

= − − %

Végül a szintén meghatározandó rotációs mátrix: 1

1 0,5 0, 25 1,0932 0,2343 0,6247 0,7809.

1 0,5 0,2343 0,5076 0,7809 0,6247R FU

−

− − − = = =

2.9. Példa:

Legyen egy mechanikai feladatnál a gradiens-tenzor mátrixa adott: ,F =c as ac s

s ac as c

− − + +

ahol cos , sin ésc s a= Θ = Θ konstans. Határozzuk meg a nyúlási és rotációs tenzort, ha

a= 0,5 és .2πΘ =

Az adott értékekkel: 0,5 1

.1 0,5

F =− −

Legyen most 1,25 1

.1 1,25

C=F F =T ⋅

A C mátrix sajátértékei és sajátvektorai: [ ]1 1

10, 25 , 1 1 ,

2yTλ = = − 2 2, 25,λ =

[ ]2

11 1 .

2yT = Innen:

0,5 0.

0 1,5H =

% A nyúlási tenzor értéke:

1 1 0,5 0 1 1 2 11 1 1.

1 1 0 1,5 1 1 1 222 2U = A H AT −

⋅ ⋅ = = − %

A rotációs mátrix: 1 0,5 1 2 1 0 12.

1 0,5 1 2 1 03R = F U−

− − − − ⋅ = = −

Felhasznált irodalom: 1./ Holzapfel, G. A.: Nonlinear Solid Mechanics, Wiley 2001. 2./ Fung, Y.: Foundation of Solid Mechanics, Prentice Hall, 1965, 1994. 3./ Thomas, G. B. – Weir, M. D. – Hass, J. – Giordano, F. R. : Thomas-féle kalkulus I-III. Typotex, 2006. 4./ Kaliszky S. – Kurutzné K. M. – Szilágyi Gy.: Szilárdságtan, Egyetemi Tankönyv, 2000.


10.06.20. 31

5./ Belytschko, T. – Liu, W.K. – Moran, B. : Nonlinear finite elements for continua and structures, John Wiley, 2000.

3. Előadás: Az alakváltozások főértékei, az alakváltozások felbontása fizikai tartalmuk alapján. A kis alakváltozásokhoz kapcsolódó alapvető tételek

Főnyúlások, fajlagos főalakváltozások: A test minden egyes pontjában található három olyan (egymásra merőleges) tengely, amely tengelyekhez nem tartoznak nyírási alakváltozások. Ezeket a tengelyeket alakváltozási főirányoknak, a velük megegyező irányú nyúlásokat pedig deformációs tenzorok esetében főnyúlásoknak, alakváltozás tenzoroknál pedig fajlagos főalakváltozásnak nevezzük26. Vizsgáljunk meg például egy-egy vonalelemet a kezdeti és a pillanatnyi bázisban, jelölje ezek irányvektorát és0n n . Legyen és0t t ezekre merőleges, de egyébként tetszőleges irányú

vektor. A két eredeti irányvektor akkor esik egybe a főirányokkal, ha (most E tenzort használva példaként): 0 és 0 ,0 0 0 0n E n n E t⋅ ⋅ ≠ ⋅ ⋅ = (3.1)

illetve 0 és 0 .n e n n e t =⋅ ⋅ ≠ ⋅ ⋅ Az alakváltozás-tenzorokra felírt egyenletekből következik, hogy E és C, valamint e és 1b− főirányai megegyeznek. Ha például a deformációs tenzorokat a főtengelyek irányába vetítjük, akkor ugyanazt az értéket kell kapnunk, mintha a főnyúlások négyzetét szoroznánk az adott normálvektorral:

2 1 20 és0 0n C= n n b n .− −⋅ ⋅ =λ λ (3.2)

Innen kapjuk a főnyúlások meghatározására szolgáló sajátérték-feladatokat:

( ) ( )20 és 0.20 0C- I n b - I n =⋅ = ⋅λ λ (3.3)

A sajátérték-feladatokhoz tartozó karakterisztikus egyenletek általános alakja:

3 21 2 3

ˆ ˆ ˆ 0 ,I I I− + − + =λ λ λ (3.4)

ahol az iI együtthatók a feladat invariánsai. Például a deformációs tenzorok esetében:

( ) ( )2 2 21 1 2 2

1 1tr tr tr tr tr tr ,

2 22C = b , C C b bI vagy I I vagy I = = − = −

3 3det( ) det( .C b)I vagy I= = (3.5)

Ugyanezek az invariánsok természetesen a sajátértékek segítségével is számíthatók. Például a Green-Lagrange-tenzor főértékeivel27:

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )1 1 2 3 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1

3 1 2 3

3 2 3 4 4 ,

1 2 1 2 1 2 .

,I E E E I E E E E E E E E E

I E E E

= + + + = + + + + + +

= + + + (3.6)

26 A mérnöki gyakorlatban az egyszerűség kedvéért gyakran mindkét esetben ugyanazt a „főnyúlás” elnevezést használják. 27 Az átalakításnál a 2C I E= + kapcsolati összefüggést vettük figyelembe.


10.06.20. 32

A 3.4 alatti karakterisztikus egyenletben szereplő ˆ" "λ jelölés arra utal, hogy az egyenlet általános alakú, alkalmas bármelyik sajátérték számítására. Megjegyezzük, hogy ha a (3.4)-es egyenlettel nem a deformációs tenzorok, hanem valamelyik alakváltozás-tenzor főértékeit kívánjuk meghatározni, akkor nem a főnyúlások négyzeteit, hanem a fajlagos főalakváltozásokat kapjuk eredményként. A 3.2 alatti sajátérték-feladatok karakterisztikus egyenleteinek megoldásából adódik a 3-3 darab főnyúlás (vagy fajlagos főalakváltozás), majd ezek segítségével a 3-3 darab főirány vektor. Megjegyezzük, hogy a főnyúlások segítségével a Green-Lagrange- és az Almansi-Hamel-féle tenzorok főértékei (fajlagos főalakváltozásai) is számíthatók ( iλ a b tenzor, 0iλ

pedig a C tenzor sajátértékeinek négyzetgyökét jelöli):

( ) ( )2 20

1 11 és 1 .

2 2i i i iE eλ λ−= − = − (3.7)

A főértékek és főirány vektorok felhasználásával felépíthetők az alakváltozás tenzorok is (emlékezzünk a Függelékben a spektrál-felbontásról leírtakra):

2 2 201 01 01 02 02 02 03 03 03 ,⊗ + ⊗ + ⊗C= n n n n n nλ λ λ 2 2 2

1 1 1 2 2 2 3 3 3 ,b = n n n n n nλ λ λ⊗ + ⊗ + ⊗ (3.8)

1 01 01 2 02 02 3 03 0 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3, .E E E e e e⊗ + ⊗ + ⊗ ⊗ + ⊗ + ⊗E= n n n n n n e= n n n n n n

Abban az esetben, ha az alakváltozások kicsik, a „főalakváltozások” elnevezés helyett elfogadottabb a „főnyúlás” név használata. Az ε tenzor sajátértékei ebben az esetben ezeket a főnyúlásokat jelentik, értéküket pedig (elsősorban más mechanikai számításokhoz való kapcsolódásuk miatt) szokás matematikai nagyságuk szerinti sorrendbe rendezni: 1 2 3ε ≥ ε ≥ ε (3.9)

3.1 Példa Határozzuk meg a második előadás 2.3/b példájában szereplő nyírási feladatnál a deformációs tenzorokhoz tartozó főnyúlásokat és a főirányokat! A gradiens-tenzort, valamint a C és b tenzorokat már a 2.3-as példában kiszámítottuk:

2

2

1 0 1 0 1 0

0 1 0 , 1 0 , 1 0 .

0 0 1 0 0 1 0 0 1

F = C = b =

k k k k

k k k

+ +

A sajátérték-feladatokhoz tartozó determinánsok a C és b tenzor esetében: 2 2 20

2 2 20

2 20

1 0 1 0

1 0 0, 1 0 0

0 0 1 0 0 1

k k k

k k k

−λ + − λ

+ −λ = −λ =

−λ −λ

.

A karakterisztikus egyenlet felírásából azonnal észrevehető, hogy a két sajátértékfeladat ugyanazokat a sajátértékeket szolgáltatja, mivel az invariánsok értéke megegyezik: 2 2

0,1 1 0,2 2 0,3 33 , 3 , 1I I k I I k I I= = + = = + = = .

Ennek figyelembevételével: 2 2

0,i iλ = λ .

A főnyúlások (most már csak egyféle módon jelölve őket):


10.06.20. 33

2 2 21,2 3

1 11 1 , 1

2 4k k kλ = + ± + λ = .

A főirányok már különbözőek lesznek. A sajátértékfeladat felhasználásával adódó koordináták a kezdeti és a pillanatnyi állapotban:

21 2

0,(1,2) 0,(3) 3

2 2

21 2

(1,2) (3) 3

2 2

1 11

2 4, ,

1 12 1

2 4

1 11

2 4, .

1 12 1

2 4

e e

e

e e

e

k k

n n

k k k

k k

n n

k k k

+ ± + = =

+ ± +

+ − ± + = =

+ +m

Az eltérés nagyságrendjének érzékeltetésére k=0,5-nél megadjuk a behelyettesítés után kapott numerikus értékeket:

1 2

0,(1) 1 2 0,(2) 1 2

(1) 1 2 (2) 1 2

1, 28 , 0,781 ,

0,615 0,788 , 0,788 0,615 ,

0,788 0,615 , 0,615 0,788 .

e e e e

e e e e

n n

n n

λ = λ =

= + = −

= + = −

3.2 Példa

Egy egységnyi oldalú kocka pontjai az x tengellyel párhuzamosan tolódnak el:

.1u ek y=

Határozzuk meg az ésε E tenzorokat, a lineáris rotációs tenzort, a „z” tengely körül 45 fokkal elforgatott rendszerben számított E tenzort, valamint a lineáris alakváltozás-tenzor főértékeit és főirányait! 3.4. ábra: Nyírási hatások

a./ A kis alakváltozások tenzorai:

0

0 0 0 02 20 0 0

0 0 0 0 , 0 0 .2 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 1u e e R

k k

k kk k

− ∇ = ⊗ = →ε= =


10.06.20. 34

b./ A Green-Lagrange-féle alakváltozás tenzor (a Tu)(u) 00( ∇⋅∇ taggal kell

bővíteni):

.

000

022

02

0

2

=kk

k

E

Az elforgatáshoz szükséges vektorok az új bázisban:

[ ] [ ] [ ] .100,0112

1,011

2

1321

TTT =−== eee

Az elforgatás elemenként:

[ ] ,42

0

1

1

2

1

000

0

00

2

1011

2

1 22

1111

kkkk

k

E +=

=⋅⋅= eEe

.,4

,42

2

2121

2

2222 stbk

Ekk

E =⋅⋅=+−=⋅⋅= eEeeEe

c./ A lineáris alakváltozás-tenzorhoz tartozó sajátérték-feladat determinánsa:

2

2

02

0 0 ( ) 0 .2 40 0

k

k k

−ε

−ε = → −ε −ε + =

−ε

Innen:

1 3 2, , 0 .2 2

k kε = ε = − ε =

A főirányok:

[ ] [ ] [ ]0 1 0 3 0 2

1 11 1 0 , 1 1 0 , 0 0 1 .

2 2= = − =n n n

Alakváltozás-tenzorok felbontása fizikai hatások alapján A Függelékben a matematikai összefoglalónál már említettük, hogy minden másodrendű tenzor felbontható két speciális tenzor összegére:

dev ,A I Aα= + (3.10)

ahol 1

tr3

A .α = Az első tag neve: gömbi tenzor, a másodiké deviátor tenzor.

Alakváltozás-tenzorokra alkalmazva a fentieket: , , ,E E E ε ε ε D D Dg d g d g d= + = + = + stb. (3.11)

A gömbi tag a test adott pontjában létrejövő bázisirányú átlagos nyúlásokat, a deviátoros rész pedig a pontban létrejövő nyírási alakváltozásokat (szögtorzulásokat) jellemzi. A gömbi tagot mechanikai tartalma alapján hidrosztatikus alakváltozás tenzornak is nevezik.


10.06.20. 35

Fontos tudnunk, hogy egyes esetekben (pl. rugalmasan összenyomhatatlan vagy képlékeny anyagoknál) az alakváltozás-tenzorok ilyen típusú felbontása nem alkalmas különleges állapotok (pl. az izochor – magyarul térfogatállandó – mozgás) leírására (a változást leíró növekmény tenzoroké ( D,E& ) azonban igen!), ezért ilyenkor szorzatalakú felbontást használnak28. Például (itt J a gradiens-tenzor determinánsa):

,F F Fg d= ⋅ ahol 1 1

3 3 .F I , F Fg dJ J−

= = (3.12)

Alakváltozás-tenzorok és geometriai egyenletek különböző típusú közelítések esetén

a./ Nagy alakváltozások (most csak a Lagrange-leírásmódot használjuk a továbbiakban):

( )0 0 0 0

1( ) ( ) .

2E= u u + u uT T∇ +∇ ∇ ⋅ ∇ (3.13)

b./ Kis elmozdulások és kis alakváltozások: Szokásos feltétel a „kicsi” jelzőre az alakváltozásoknál és elmozdulásoknál:

( ) 01,021≤= E:EE , ( ) 1,01,0 0

21

<<∇≤= uR:RR . (3.14)

Ilyenkor ∇≅∇ 0 , a Lagrange- és az Euler-féle leírásmód jó közelítéssel megegyezik Xx≅( ).

A szimmetrikus (kis- vagy más néven linearizált mechanikai állapothoz tartozó) alakváltozási tenzor (egyúttal a geometriai egyenlet) és az ugyanehhez az állapothoz rendelt ferdén szimmetrikus rotációs tenzor29 :

( )[ ] ( )[ ] .2

1,

2

1uuRuueE ∇−∇=∇+∇=≅≅ ∗∗ TTεεεε

(3.15) Kapcsolat más tenzorokkal ebben az esetben (H az (1.20)-as képletből):

, .F = I H = I ε R U I ε + + + ≅ + (3.16) A nagy alakváltozások forgatási tenzora és a kis alakváltozású rotációs tenzor közötti kapcsolat: (-1R F U I + + R)(I - ) R I + Rnagy nagy= ⋅ ≅ → ≅ε εε εε εε ε (3.17)

Az εεεε tenzor elemeit (illetve a geometriai egyenleteket) most újból felírjuk:

=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

=

z

w

z

v

y

w

z

u

x

w

y

w

z

v

y

v

y

u

x

v

x

w

z

u

x

v

y

u

x

u

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

εεεε .

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

εγγ

γεγ

γγε

zyzxz

zyyxy

zxyxx

(3.18)

28 Ezt a fajta felbontást John P. Flory amerikai kutató javasolta („Thermodynamic relations for high elastic materials”, Transactions of the Faraday Society, Vol. 57, pp. 829-838, 1961). 29 Emlékeztetőül megjegyezzük, hogy a lineáris rotációs tenzor antimetrikus, de nem szükségszerűen ortogonális.


10.06.20. 36

c./ Kis alakváltozások, tetszőleges elmozdulások Az a.) és b.) pontban említett változatok határeseteket jelentenek, a kettő között azonban más gyakorlati változatok is előfordulhatnak. Ha például az alakváltozások kicsik, de az eltolódások és elfordulások tetszőlegesek, az alakváltozás tenzorra és így a geometriai egyenletekre különböző típusú közelítések adhatók. Például kiindulva a „pontos” Green-Lagrange-tenzorból, írjuk fel azt a következőképpen (lásd még az (1.20)-as képletet):

( ) ( )1 1

2 2E ε H H=ε ε R ε RT= + + − ⋅ + , (3.19)

ahol R a „b” pontban felírt lineáris rotációs tenzor. Figyelembe véve az εεεεεεεεεεεε <<⋅ feltételt,

az új tenzorra egy lehetséges approximáció:

[ ] .2

1~RR-R-RE ⋅⋅⋅+≅ εεεεεεεεεεεε (3.20)

Megjegyezzük, hogy építőmérnöki feladatoknál főleg a különböző rúd- és kábelszerkezetek vizsgálatakor fordul elő gyakran ennek a modellnek a használata, de ide sorolható például egy tengely irányban viszonylag merev, elfordulási hatásokkal szemben azonban csekély ellenállással rendelkező rúdszerű test (például egy horgászbot) vizsgálata.

d./ Kis alakváltozások, viszonylag nem nagy ( )0,01 0,02R≤ ≤ elfordulások:

Ennél a közelítési változatnál az R⋅εεεε tag elhanyagolásával élnek:

1

.2

E ε - R R≅ ⋅

(3.21)

e./ Kis elfordulások, tetszőleges deformáció: Az RR ⋅ tagot most elhanyagoljuk (mivel εεεε<<⋅RR ):

( ).2

1εεεεεεεεεεεεεεεεεεεε ⋅⋅+⋅+≅ R-RE

( (3.22)

Kompatibilitási egyenletek kis alakváltozásoknál A geometriai egyenletekből az elmozduláskomponensek kiküszöbölésével jutunk a kompatibilitási egyenletekhez30:

( ) .0=×∇×∇ Tεεεε (3.23) Indexes jelölési móddal31: , , , , 0i j k l k l i j i k j l j l i kε + ε − ε − ε = . (3.24)

Skalár változókkal:

30 Megjegyezzük, hogy ezeket az egyenleteket először a nagy francia tudós, Saint Venant fogalmazta meg 1860-ban. 31 Az indexes számítási mód alapján adódó 81 egyenletből az alakváltozás-tenzor szimmetriája miatt redukálódik az egyenletek száma összesen az itt bemutatott hatra.


10.06.20. 37

.,,2

2

2

22

2

2

2

22

2

2

2

22

yzzyxzzxxyyxzyzyzxzxyxyx

∂

ε∂+

∂

ε∂=

∂∂

γ∂

∂

ε∂+

∂

ε∂=

∂∂

γ∂

∂

ε∂+

∂

ε∂=

∂∂

γ∂ (3.25)

22

2

2 , 2 ,

2 .

y z z x x y z x x y y z xz

x y y z z x y

z x y z x y x y z x y z

y z x y z x

∂γ ∂γ ∂γ ∂γ ∂γ ∂γ ∂ ε∂ ε∂ ∂ + − = + − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂γ ∂γ ∂γ ∂ ε∂ + − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Ezek az egyenletek azt fejezik ki, hogy az alakváltozások függvényei között szigorú matematikai kapcsolat létezik. Ha például egy háromdimenziós testnél az alakváltozások meghatározása során a gondolatban végtelen sok kis elemi hasábra felosztott tartománynál a hat alakváltozási komponenst egymástól függetlenül határozzuk meg, akkor az egyes (ezen alakváltozások hatására deformálódott) hasábokból nem tudunk „összerakni” egy folytonosan deformálódott tömör testet, számtalan „hézag” vagy éppen „átfedés” fog jelentkezni a csatlakozó felületek között. A kompatibilitási egyenletek éppen ennek az ellentmondásnak a kiküszöbölésére születtek. Megjegyezzük, hogy a gyakorlatban ezeket az egyenleteket elsősorban a különböző mechanikai megoldási technikák (erőmódszer, feszültségfüggvényes eljárások) bemutatásakor fogjuk majd használni. Alakváltozás-tenzorok előállítása hengerkoordináta-rendszerben

Írjuk fel először a Green-Lagrange-féle változatot, majd utána a kicsiny alakváltozásokhoz

tartozó tenzort.

A számításhoz használt hengerkoordináta-rendszert láthatjuk a 3.1-es ábrán. Az egyes változók közötti kapcsolat: , ,r R u z Z w= + ϑ = θ+ α = + , (3.26) ahol u az R irányban, w pedig a Z irányban létrejövő eltolódás, α pedig a szög változása.


10.06.20. 38

3.1. ábra: A hengerkoordináta-rendszer alapvető paraméterei Az anyagi rendszerben levő P pont környezetének elemien kicsiny távolságban levő bármely tetszőleges Q pontjánál az elemi szál hossznégyzete az alábbi módon számítható: 2 2 2 2 2dS dR R d dZ= + θ + . (3.27) Ugyanezt a számítást megismételhetjük a pillanatnyi konfigurációban is p környezetét figyelembe véve: 2 2 2 2 2ds dr r d dz= + ϑ + . (3.28) Figyelembe véve, hogy (most indexes jelöléssel):

i ii i j i j j

j j

u udx dX dX dX

X X

∂ ∂= + = δ + ∂ ∂

, (3.29)

az egyes növekmények az Euler-féle rendszerben a következőképpen írhatók fel:

1 ,

1 ,

1 .

u u udr dR d dZ

R Z

d dR d dZR Z

w w wdz dR d dZ

R Z

∂ ∂ ∂ = + + θ+ ∂ ∂θ ∂

∂α ∂α ∂α ϑ = + + θ+ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂ ∂ = + θ+ + ∂ ∂θ ∂

(3.30)

Helyettesítsük be ezeket a tagokat az előző egyenletbe, ahol az elemi hossz távolságát az euleri rendszerben számítottuk, és határozzuk meg a két rendszerben kapott értékek különbségét, rögtön egyenlővé téve ezt a kifejezést a Green-Lagrange-tenzor komponenseivel:

2 2 2 2 2 22 2(

2( )).

i j i j R R Z Z

R Z Z R

ds dS E dX dX E dR E R d E dZ

E dR R d E Rd dZ E dZ dR

θθ

θ θ

− = = + θ + +

+ θ + θ + (3.31)

A Green-Lagrange-féle alakváltozás-tenzor egyes elemei ennek megfelelően:

( )2 2 2

21,

2R R

u u wE R u

R R R R

∂ ∂ ∂α ∂ = + + + + ∂ ∂ ∂ ∂

(3.32)

2

2 2 2 22

2 2

1

1 11 ,

2

u uE

R R

u u w u

R R R

θθ

∂α = + + + ∂θ

∂ ∂ ∂α + + + + + ∂θ ∂θ ∂θ

( )2 2

21

2Z Z

w u wE R u

Z Z Z Z

∂ ∂ ∂α ∂ = + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ,

( ) ( )2 21

2R

u u u w wE R u R u

R R R R Rθ

∂ ∂α ∂ ∂ ∂α ∂α ∂ ∂ = + + + + + + ∂θ ∂ ∂ ∂θ ∂ ∂θ ∂ ∂θ ,

( ) ( )2 21

2Z

w u u w wE R u R u

R Z Z Z Zθ

∂α ∂ ∂ ∂ ∂α ∂α ∂ ∂ = + + + + + + ∂ ∂θ ∂θ ∂ ∂θ ∂ ∂θ ∂ ,

( )21

2Z R

u w u u w wE R u

R Z R Z R Z R Z R

∂ ∂ ∂ ∂ ∂α ∂α ∂ ∂ = + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ .


10.06.20. 39

Ha most is végrehajtjuk azt a linearizálást, amit a derékszögű koordinátarendszerben felírt ε tenzornál már elvégeztünk, vagyis , ,R r Z z→ θ→ϑ → , (3.33) tovább tekintetbe vesszük, hogy a ϑ irányú v eltolódásfüggvény segítségével

v

rα = , (3.34)

akkor a kis alakváltozások tenzorának elemei a hengerkoordináta-rendszerben a következők lesznek:

1

, ,r z

u u v w

r r r zϑ

∂ ∂ ∂ε = ε = + ε =

∂ ∂ϑ ∂, (3.35)

1 1 1 1 1

, , .2 2 2r z z r

u v v v w w u

r r r z r r zϑ ϑ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ε = + − ε = + ε = + ∂ϑ ∂ ∂ ∂ϑ ∂ ∂

Abban a különleges esetben, amikor – kis alakváltozásokat feltételezve – az alábbi feltételek

is fennállnak:

0, 0, 0u v

wz z

∂ ∂= = =

∂ ∂, (3.36)

az egyszerű sík alakváltozási állapothoz jutunk. Ilyenkor a kis alakváltozások tenzorának független elemei a következők lesznek:

1

, , 0,r z

u u v

r r rϑ

∂ ∂ε = ε = + ε =

∂ ∂ϑ (3.37)

1 1

, 0, 0.2r z z r

u v v

r r rϑ ϑ

∂ ∂ ε = + − ε = ε = ∂ϑ ∂

Egy másik speciális változathoz jutunk forgásszimmetrikus mechanikai feladatok esetében. Ilyenkor a feltételek:

0, 0, 0u w

v∂ ∂

= = =∂ϑ ∂ϑ

. (3.38)

Ezt figyelembe véve az alakváltozás-komponensek:

, , ,r z

u u w

r r zϑ

∂ ∂ε = ε = ε =

∂ ∂ (3.39)

1

0, 0, .2r z z r

w u

r zϑ ϑ

∂ ∂ ε = ε = ε = + ∂ ∂

A gyakorlás kedvéért megadjuk a hengerkoordináta rendszerben számítható kis alakváltozások tenzorának egy másik számítási módját is: Számítsuk ki először a sugár-és érintő irányú egységvektorokat transzformálás segítségével:

1 2 1 2 3( ) cos sin , sin cos , .e e e e e e e er zϑϑ = ϑ + ϑ = − ϑ + ϑ = (3.40)

A szükséges deriváltak:

1 2 1 2sin cos , cos sin .e e

e e e e e err

ϑϑ

∂ ∂= − ϑ + ϑ = = − ϑ − ϑ = −

∂ϑ ∂ϑ (3.41)

Hengerkoordináta-rendszerben az elmozdulásvektor és a ∇ operátor az egységvektorok segítségével:

1

, .u e e e e e er r z z r zu u ur r zϑ ϑ ϑ

∂ ∂ ∂= + + ∇ = + +

∂ ∂ϑ ∂ (3.42)

Bojtár: Mechanika MSc

10.06.20.

Innen (a deriválásoknál a tömörség kedvéért az

∇ = − +

Ennek felhasználásával az

alakváltozás-tenzor egyes elemei:

, , , , ,; ( ); ; ( ) ;r r r r z z z r r r ru u u u u u uϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑε ε ε ε ε= = + = = = − +

1 1 1

2 2z z z z r z z r r z z rϑ ϑ ϑ ϑε = ε = + ε = ε = +

A kis alakváltozások tenzorának előállítása 2Drendszerben

Hengerkoordináták esetében matematikailag általánosabb előállítási módot alkalmaztunk, most azonban – a két dimenzióképét felhasználva állítjuk elő a tenzor elemeit.

Innen (a deriválásoknál a tömörség kedvéért az indexes jelölésmódot

, , ,

, , ,

, , ,

1 1 1( ) ( ) .u

r r r z r

r r z

r z z z z

u u u

u u u u ur r r

u u u

ϑ

ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ

ϑ

∇ = − +

Ennek felhasználásával az

=∇+∇= )(2

1 Tu)(uεεεεr r r z

r z

z r z z

ϑ

ϑ ϑ ϑ

ϑ

ε ε ε

ε ε ε

ε ε ε

egyes elemei:

, , , , ,1 1 1

; ( ); ; ( ) ;2r r r r z z z r r r ru u u u u u u

r rϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑε ε ε ε ε = = + = = = − +

, , , ,

1 1 1; ( ) .

2 2z z z z r z z r r z z ru u u urϑ ϑ ϑ ϑ

ε = ε = + ε = ε = +

A kis alakváltozások tenzorának előállítása 2D

Hengerkoordináták esetében matematikailag általánosabb előállítási módot alkalmaztunk, két dimenzió adta egyszerűsítések miatt – az elemi hasábok elmozdulási

képét felhasználva állítjuk elő a tenzor elemeit.

Előadásvázlat

40

használjuk):

( ) ( ) .

(3.43)

(3.44)

, , , , ,1 1 1

; ( ); ; ( ) ;2r r r r z z z r r r ru u u u u u u

r rϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ = = + = = = − +

, , , ,; ( ) .z z z z r z z r r z z ru u u uε = ε = + ε = ε = + (3.45)

A kis alakváltozások tenzorának előállítása 2D polárkoordináta-

Hengerkoordináták esetében matematikailag általánosabb előállítási módot alkalmaztunk, az elemi hasábok elmozdulási


10.06.20. 41

3.2. ábra: Alakváltozások polárkoordináta-rendszerben Megjegyezzük, hogy az alakváltozás-tenzorra itt kapott elemeket természetesen az előző pontban felírt eredmények további egyszerűsítésével is számíthatjuk, de most inkább a grafikus alapú „szemléletesebb” módszert választottuk. Az ábrák vázlatait felhasználva:

,1)()(

,Θ∂∂

+=Θ

ΘΘ∂∂

+Θ

Θ−Θ+=ε+ε=ε

∂∂=ε ΘΘΘ

v

rr

u

rd

dv

rd

rddur

r

u vur (3.46)

( ) 1u vr r r r

u d v v u v v

r d r r r r rε γ γ γΘ Θ Θ Θ

∂ Θ ∂ ∂ ∂∂Θ= = + = + − = + −Θ ∂ ∂Θ ∂

.

Mivel most nincs z irányú változás, az összes többi tenzorkomponens zérus. A kis alakváltozások tenzorának előállítása gömbkoordináta-rendszerben Tartályok, héjak és más különleges szerkezetek vizsgálatánál szükség lehet ilyen típusú leírásmódra. Csak a kis alakváltozások tenzorának számítását mutatjuk be az ábrán látható , ,r α θ bázisban32 a levezetés részleteinek mellőzésével (u, v, és w a három bázisiránynak megfelelő eltolódásfüggvényeket jelentik): 3.3. ábra: Gömbkoordináta-rendszer

32 Egy elemi szál hossznégyzete ebben a rendszerben: ( ) ( )2 22 2 2 2 2sindS dr r d r d= + θ α + θ .


10.06.20. 42

1 1 cotg

, , ,sinr

u v u v uw

r r r r r rθ α

∂ ∂ ∂ θε = ε = + ε = + +

∂ ∂θ θ ∂α (3.47)

1 1 1 1

, ,2 sin 2r r

u v v u w w

r r r r r rα θ

∂ ∂ ∂ ∂ ε = − + ε = − + θ ∂α ∂ ∂θ ∂

1 1 cotg 1

.2 sin

v v w

r r rαθ

∂ θ ∂ ε = − + ∂θ θ ∂α

Kis alakváltozások számítása általános görbevonalú koordináta-rendszerben Az ábrán látható teljesen általános, görbevonalú (de ortogonális) koordinátarendszerben felvett 1 2 3, ,s s s tengelyeknek megfelelő ii egységvektorokra is igaz az alábbi állítás:

3.4. ábra: Görbevonalú koordinátarendszer i ij k j k⋅ = δ . (3.48)

Ha ezt a kifejezést deriváljuk, akkor a következő azonosságokat kapjuk:

0,i i i

i i ij j kj k j

m m ms s s

∂ ∂ ∂⋅ = ⋅ = − ⋅

∂ ∂ ∂. (3.49)

Részletesen felírva az egyes egységvektorok 1 2 3, ,s s s irányú deriváltjait, a következőt kapjuk:

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 21 2 31 2 3

3 3 3 3 3 3

, , .

i i i i i i

i i i i i i

i i i i i i

K K Ks s s

∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂

(3.50)

Az egyes mátrixok a következő elemeket tartalmazzák (az indexekben a vesszők utáni tagok az adott változók szerinti parciális deriválásokra utalnak):


10.06.20. 43

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2 2

3 3 3

1, 1 1, 2 1, 3 1, 1 1, 2 1, 3

2, 1 2, 2 2, 3 2, 1 2, 2 2, 31 2

3, 1 3, 2 3, 3 3, 1 3, 2 3, 3

1, 1 1, 2 1, 3

3

, ,

i i i i i i i i i i i i



i i i i i i

i

s s s s s s

s s s s s s

s s s s s s

s s s

K K

K

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

=3 3 3

3 3 3

2, 1 2, 2 2, 3

3, 1 3, 2 3, 3

,i i i i i

i i i i i i

s s s

s s s

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

(3.51/a)

vagy tömörebb jelöléssel (a mátrix sorszámára és a „kimaradó” indexre utaló számozással):

13 12 23 22 33 32

13 11 23 21 3 33 311 2

12 11 22 21 32 31

0 0 0

0 , 0 , 0 .

0 0 0

k k k k k k

K k k K k k K k k

k k k k k k

− − − = − = − = − − − −

(3.51/b)

Ezeket a tenzorokat hívják az adott bázis görbületi tenzorainak. Segítségükkel végezhető el minden – az adott bázishoz tartozó – fontos mechanikai művelet, így például az alakváltozások számítása az eltolódásokból. Mielőtt tovább folytatnánk ezek meghatározását, gyakorlásul megadjuk a korábbiakban már vizsgált hengerkoordináták esetén ezen görbületi tenzorok értékét:

1 2 3

1 2 3

, ,

sin cos , cos sin , .i i i i i i i ix y x y z

s r s r s z∂ = ∂ ∂ = ∂ϑ ∂ = ∂

= ϑ + ϑ = ϑ − ϑ =

31 2

0 1/ 0

0, 1/ 0 0 .

0 0 0

r

K K K r

= = = −

(3.52)

Természetesen a számítás gömbkoordináta-rendszer esetén is hasonló módon végezhető el, de ennek részleteire most nem térünk ki. Folytassuk az alakváltozás-komponensek számítását. Deriváljuk most az 1 1 2 2 3 3u i i iu u u= + + (3.53)

alakban megadható elmozdulásvektort az egyes koordináták szerint:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

31 21 2 3 1 3 12 2 13 2 1 13 3 11 3 2 11 1 12

1 1 1 1

31 21 2 3 1 3 22 2 23 2 1 23 3 21 3 2 21 1 22

2 2 2 2

31 21 2 3 1 3 32 2 33 2

3 3 3 3

,

,

ui i i i i i

ui i i i i i

ui i i i i

uu uu k u k u k u k u k u k

s s s s

uu uu k u k u k u k u k u k

s s s s

uu uu k u k u

s s s s

∂∂ ∂∂= + + + − + − + −

∂ ∂ ∂ ∂

∂∂ ∂∂= + + + − + − + −

∂ ∂ ∂ ∂

∂∂ ∂∂= + + + − +

∂ ∂ ∂ ∂( ) ( )1 33 3 31 3 2 31 1 32 .ik u k u k u k− + −

(3.54)

Az alakváltozások most már egyszerűen számolhatók:


10.06.20. 44

111 1 3 12 2 13

1 1

2 112 2 1 1 13 3 11 3 22 2 23

1 2 1 2

3 113 3 1 2 11 1 12 3 32 2 33

1 3 1 3

222 2

2

,

1 1,

2 2

1 1,

2 2

ui

u ui i

u ui i

ui

uu k u k

s s

u uu k u k u k u k

s s s s

u uu k u k u k u k

s s s s

u

s

∂∂ε = ⋅ = + −

∂ ∂

∂ ∂∂ ∂ε = ⋅ + ⋅ = + + − + − ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂ε = ⋅ + ⋅ = + + − + − ∂ ∂ ∂ ∂

∂∂ε = ⋅ =

∂ 1 23 3 212

3 223 3 2 2 21 1 22 1 33 3 31

2 3 2 3

333 3 2 31 1 32

3 3

,

1 1,

2 2

.

u ui i

ui

u k u ks

u uu k u k u k u k

s s s s

uu k u k

s s

+ −∂

∂ ∂∂ ∂ε = ⋅ + ⋅ = + + − + − ∂ ∂ ∂ ∂

∂∂ε = ⋅ = + −

∂ ∂

(3.55)

Felhasznált irodalom: 1./ Sokolnikoff, I. S. : Mathematical Theory of Elasticity, McGraw Hill, New York, 1956. 2./ Mang, H. – Hofstetter, G.: Festigkeitslehre, Springer, Wien, 2000. 3./ Taber, L. A. : Nonlinear Theory of Elasticity, World Scientific, New Jersey, 2004. 4./ Bezuhov, N. I. : Bevezetés a rugalmasságtanba és képlékenységtanba, Tankönyvkiadó, Budapest, 1952. 5./ Nayfeh, A. H. – Pai, P. F. : Linear and Nonlinear Structural Mechanics, Wiley, 2004.


10.06.20.

4. Előadás: A különböző feszültségtíp

A leggyakrabban használt feszültségtípusok definíciói Az alakváltozások mellett a mechanikai számítások másik fontos paramétere a Fogalmát Cauchy francia matematikus vezette be 1822Kirchhoff33 és sokan mások is definiáltak feszültségsokféleség itt is csak a nagy változások tartományát jellemzi, kis alakváltozású testeknél csak egyetlen tenzortípust használunk). A feszültség fogalmát a fontosabb feszültségtípusoknál az anyag belsejében keletkező megoszló erőrendszerhez kapcsolják valamifelírásakor felhasználják a

Emlékeztetőül34

biztosító megoszló erőrendszernek egy elemi területre vonatkozó h

definiáltuk az n

Ennek felhasználásával javasolta bevezetni amely tenzor a test terhelési folyamatának egy pillanatnyi állapotán normálisú dA feszültségállapotát leíró

n σ σ n⋅ = ⋅ =

A (4.1) egyenletben megismételt kifejezést felhasználva tekintsük át a műszaki számításokban használt fontosabb feszültség

4.1. ábra. Feszültségek definíciójának értelmezése 33 Gustav Robert Kirchhoff (1824 kérdésekkel, például a vékony lemezek elméletével. előadását) munkáját folytatva születettek meg a kettőjük nevéhez kapcsolódó feszültségtenzordefiníciók. 34 További részletekről lásd a [7

: A különböző feszültségtípusok definíciói, főfeszültségek

A leggyakrabban használt feszültségtípusok definíciói

Az alakváltozások mellett a mechanikai számítások másik fontos paramétere a francia matematikus vezette be 1822-ben, majd őt követően

és sokan mások is definiáltak feszültség-tenzorokat (megjegyezzük, hogy a kféleség itt is csak a nagy változások tartományát jellemzi, kis alakváltozású testeknél csak

egyetlen tenzortípust használunk).

A feszültség fogalmát a fontosabb feszültségtípusoknál az anyag belsejében keletkező megoszló erőrendszerhez kapcsolják valamilyen határátmenet segítségével. A kapcsolat felírásakor felhasználják a Cauchy által bevezetett összefüggést:

34: az egyensúlyban lévő test tetszőleges metszeténél az egyensúlyt biztosító megoszló erőrendszernek egy elemi területre vonatkozó h

normálishoz tartozó t feszültségvektor fogalmát:

Ennek felhasználásával javasolta bevezetni Cauchy a feszültségtenzoramely tenzor a test terhelési folyamatának egy pillanatnyi állapotá

elemi síkon működő df elemi erővektor és a pont környezetének feszültségállapotát leíró feszültségtenzor között teremt összefüggést :

σ σ n⋅ = ⋅ = n i j jnσ =σ ⇒ n σ f =tdA d dA⋅ =

A (4.1) egyenletben megismételt kifejezést felhasználva tekintsük át a műszaki számításokban használt fontosabb feszültség-változatokat:

4.1. ábra. Feszültségek definíciójának értelmezése

(1824 – 1887). Kiváló német fizikus. Sokat foglalkozott mechanikai kérdésekkel, például a vékony lemezek elméletével. Piola olasz matematikus (lásd a 2. hét előadását) munkáját folytatva születettek meg a kettőjük nevéhez kapcsolódó feszültségtenzor

]7 -ben tanult alapvető összefüggéseket.

Előadásvázlat

45

usok definíciói, főfeszültségek

Az alakváltozások mellett a mechanikai számítások másik fontos paramétere a feszültség. ben, majd őt követően Piola,

tenzorokat (megjegyezzük, hogy a kféleség itt is csak a nagy változások tartományát jellemzi, kis alakváltozású testeknél csak

A feszültség fogalmát a fontosabb feszültségtípusoknál az anyag belsejében keletkező lyen határátmenet segítségével. A kapcsolat

az egyensúlyban lévő test tetszőleges metszeténél az egyensúlyt biztosító megoszló erőrendszernek egy elemi területre vonatkozó határátmenetéből

feszültségvektor fogalmát: 0

limf f

tA

d

A dA∆ →

∆= =

∆.

feszültségtenzor fogalmát, amely tenzor a test terhelési folyamatának egy pillanatnyi állapotában egy tetszőleges,

és a pont környezetének között teremt összefüggést :

σ f =tdA d dA (4.1)

A (4.1) egyenletben megismételt kifejezést felhasználva tekintsük át a műszaki

4.1. ábra. Feszültségek definíciójának értelmezése

1887). Kiváló német fizikus. Sokat foglalkozott mechanikai olasz matematikus (lásd a 2. hét

előadását) munkáját folytatva születettek meg a kettőjük nevéhez kapcsolódó feszültségtenzor-


10.06.20. 46

a./ Cauchy-féle (vagy más néven „igazi” vagy „fizikai”) feszültségtenzor:

Jelölése:σ . Definíciója a feszültségvektor és a feszültségtenzor közötti kapcsolatot leíró klasszikus Cauchy-összefüggés segítségével történik (lásd a fenti ábrát):

n σ f =tdA d dA⋅ = . (4.2) A tenzor szimmetrikus, a számításához szükséges változókat mindig a pillanatnyi konfigurációban írjuk fel. A tenzor szimmetriája a pillanatnyi állapotban a pont körül felvett elemi hasáb nyomatéki egyensúlyából következik, a tenzor elemeinek valós fizikai tartalmuk van.

b./ Nominális (vagy más néven „első Piola-Kirchhoff-”) feszültségtenzor: Jelölése: P. Definíciója: 0 0dA d dA⋅ =0 0n P f =t . (4.3)

A P tenzor meghatározása szintén a pillanatnyi állapothoz tartozó df erővektort veszi alapul, azonban a kiindulási állapothoz tartozó felületet és normálvektort alkalmazza, ezért a tenzor nem szimmetrikus, és általában elemeinek nincs valós fizikai jelentése. Ezt a tenzort mindig a Lagrange-bázis változóinak segítségével értelmezzük35. Megjegyezzük, hogy egyes könyvek a transzponáltját hívják első Piola-Kirchhoff-tenzornak, sajnos a rá vonatkozó jelölésrendszer nem egységes. Ebben a vázlatban az egyszerűség kedvéért vegyesen fogjuk használni mindkét elnevezést.

c./ Második Piola-Kirchhoff-feszültségtenzor: Jelölése: S. Ennek a tenzornak sincs fizikai tartalma. Definiálására többféle változat is található a szakirodalomban. Egyes szerzők szerint (lásd például a [ ]5 alatti

irodalmat) a Jacobi-determinánssal megszorzott Cauchy-féle feszültségtenzor (lásd az ún. Kirchhoff-féle tenzort néhány sorral lejjebb) segítségével állítható elő, ilyenkor a gradienstenzor inverzének segítségével végrehajtott transzformáció megtartja az eredeti feszültségtenzor szimmetrikus jellegét, de az új feszültségtenzor most már a kezdeti konfigurációhoz köthető: 1S= F F TJ − −σσσσ . (4.4/a)

Más szerzők szerint (lásd például [ ]6 -ot) a második Piola-Kirchhoff-féle tenzor azért

jött létre, mert a mérnökök az első Piola-Kirchhoff-féle tenzor nemszimmetrikus jellegének módosítását akarták elérni. Megtartották az a és b pontokban alkalmazott Cauchy-féle feszültségi összefüggést, csak az erővektort módosították a gradienstenzor inverzével, így érve el az eredeti konfigurációhoz való kapcsolódást: 0 0dA d dA⋅ = ⋅ ⋅-1 -1

0 0n S F f = F t (4.4/b)

Még egyszer hangsúlyozzuk azt a fontos különbséget a nominális tenzorhoz képest, hogy ez a tenzor szimmetrikus.

35 A matematikusok P-t (a deformációgradiens-tenzorhoz hasonlóan) az úgynevezett kétpont-tenzorok csoportjába sorolják, mivel két különböző állapot (a pillanatnyi és a kiindulási konfiguráció) változóit kapcsolja össze.


10.06.20. 47

Kis alakváltozások esetén a fenti feszültségtenzorok jó közelítéssel azonosnak tekinthetők. Ilyenkor (külön jelzős név nélkül) a feszültségtenzor elnevezést és a σ szimbólumot szokás használni:

σ P S≅ ≅ . (4.5) A feszültségtenzor egyes elemeinek mechanikai jelentése (a fizikai tartalommal bíró változatokra (a Cauchy-tenzorra, vagy a kis alakváltozásoknál használt feszültségtenzorra használják) az alábbi módon fogalmazható meg:

4.2. ábra. Feszültségvektor felbontása

A feszültségtenzor segítségével egy n normálisú felületelemhez rendelt elemi t n

feszültségvektort gyakorlati okokból két komponensre szokás bontani. A normális irányú összetevőt normálfeszültségnek:

=σ ⇒⋅⋅=⋅ nntn n σσσσ normálfeszültség, (4.6) míg a felület síkjába eső másik komponenst nyírófeszültségnek nevezzük:

=τ ⇒⋅⋅=⋅ nmtm n σσσσ nyírófeszültség. (4.7) A (4.7)-es képletben szereplő m vektor valamilyen előre rögzített irányt jelöl. Az egyes – fizikai tartalmú – tenzoroknál ennek megfelelően a főátlóban lévő elemeket normálfeszültségi, míg a többit nyírófeszültségi komponensnek tekintjük. Szokásos jelöléseik ennek megfelelően:

x xy xz xx xy xz 11 12 13

yx y yz yx yy yz 21 22 23

zx zy z zx zy zz 31 32 33

σ τ τ σ σ σ σ σ σ

σ τ σ τ σ σ σ σ σ σ

τ τ σ σ σ σ σ σ σ

= = =

. (4.8)

Az itt szereplő elemek fizikai tartalma ugyanaz, csupán többféle – egyaránt szokásos – jelölési móddal tüntettük fel őket.

A feszültségek közötti transzformáció A korábban ismertetett Nanson-képlet segítségével adhatjuk meg a szükséges transzformációkat. Például a Cauchy-, illetve a nominális feszültségek közötti kapcsolatot a df vektor felírásával adhatjuk meg:

00f n σ n Pd dA dA= ⋅ = ⋅ . (4.9)

Írjuk be ide n értékét a Nanson-képlet segítségével:

1 10 0 ,0 0n F σ n P P F σJ dA dA J− −⋅ ⋅ = ⋅ → = ⋅ (4.10)

illetve:

1

σ F PJ

= ⋅ . (4.11)

A nominális feszültségtenzor és a második Piola-Kirchhoff-tenzor közötti kapcsolat:


10.06.20. 48

000 ) dAdAdAd TT000 nSFnS(F)S(nFf ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅= , (4.12/a)

000 dAdAdAd TT000 nSFnPPnf ⋅⋅=⋅=⋅= . (4.12/b)

Ezek felhasználásával a többi összefüggés:

11, , .P S F σ F S F S F σ FT T TJ

J− −= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ (4.13)

Mechanikai számításokban használt egyéb feszültségtenzorok

Nemlineáris feladatok vizsgálatánál néha találkozhatunk másféle feszültségtenzor-típusokkal is:

a./ Korotációs tenzor Úgynevezett „együttforgó” feszültségtenzor (nagy elfordulásokat végző rendszereknél használatos szimmetrikus tenzor, amit a Cauchy-tenzor elforgatásával állítanak elő:

σ R σ RT= ⋅ ⋅ . (4.14)

b./ Kirchhoff-feszültségtenzor Igen nagy rugalmas vagy képlékeny alakváltozások esetén használatos, szimmetrikus tenzor. Szintén a Cauchy-tenzorból származtatják, azt szorozzák a gradiens-tenzor determinánsával: σσσσττττ J= . (4.15) c./ Mandel36-feszültségtenzor Képlékeny anyagoknál használatos, nem szimmetrikus: ,SC ⋅=ΣΣΣΣ (4.16) ahol C a jobb Cauchy-Green alakváltozás-tenzor. d./ Biot-feszültségtenzor: SUPRTB ⋅=⋅= T , (4.17) ahol U és R az F gradiens-tenzor poláris felbontásából kapott tenzorok. A Biot-tenzor nem szimmetrikus.

A fontosabb feszültségtenzorok közötti transzformációk összefoglaló táblázata (U és R a

gradiens-tenzor poláris felbontásából származtatott tenzorok):

36 Leonard Mandel (1927 – 2001) német származású amerikai fizikus.


10.06.20.

4.1 Példa Vizsgáljuk meg a (4.3)állapothoz tartozó Cauchy Forgassuk a hasábot adott „befagyasztott” állapotban vannak, fizikailag mindig ugyanazt a hatást fejtik ki az elemi hasábra. Ezek után vizsgáljuk meg a különböző feszültségtenzo

kiindulva a ωπ= 2t pillanatban (itt

4.3. ábra. Legyen a kezdeti állapot tenzora:

A kiindulási állapotban

A deformált állapotban először számítsuk ki a

deformációs gradienst:

A determináns: Júj állapotban a Cauchy

A többi (gyakorlati szempontból fontos) feszültségtenzor:

P F

=S

illetve (mivel R=

Vizsgáljuk meg a (4.3)-as ábrán látható 2D elemi hasábot, ahol adottak egy pillanatnyi Cauchy-feszültségtenzor értékei.

Forgassuk a hasábot adott ω szögsebességgel, és tegyük fel, hogy a feszültségek „befagyasztott” állapotban vannak, fizikailag mindig ugyanazt a hatást fejtik ki az elemi hasábra. Ezek után vizsgáljuk meg a különböző feszültségtenzorokat a

pillanatban (itt ω a forgatás szögsebessége):

4.3. ábra. Elforgatott testen működő feszültségek

Legyen a kezdeti állapot tenzora:

0σt = = .0

00

0

σ

σ

y

x

A kiindulási állapotban F= I, így

ˆS P σ σ= = = =

σ

σ0

0

0

0

y

x .

A deformált állapotban először számítsuk ki a π= 2t

deformációs gradienst:

.01

10

2/cos2/sin

2/sin2/cos

−=

ππ

π−π=F

.1)(det == FJ Mivel a feszültség értéke fizikailag nem változott, az új állapotban a Cauchy-féle feszültség:

σ = .0

00

0

σ

σ

x

y

A többi (gyakorlati szempontból fontos) feszültségtenzor:

1P F σJ −= =0

0

0

01

1000

0

σ−=

σ

σ

− yx

y

,0

0

01

10

0

00

00

σ

σ=

−

σ−

σ=⋅= −

y

x

Ty

xTFP

=F): ˆ .σ = S

Előadásvázlat

49

as ábrán látható 2D elemi hasábot, ahol adottak egy pillanatnyi

szögsebességgel, és tegyük fel, hogy a feszültségek „befagyasztott” állapotban vannak, fizikailag mindig ugyanazt a hatást fejtik ki az elemi

rokat a t =0 helyzetből

Elforgatott testen működő feszültségek.

ω2 pillanathoz tartozó

Mivel a feszültség értéke fizikailag nem változott, az

,0

0

σ x


10.06.20. 50

4.2 Példa Vizsgáljuk az ábrán látható húzott rúdelem feszültségállapotát leíró tenzorokat!

Legyenek a koordináták közötti kapcsolatok a következők:

.,,000

Zb

bzY

a

ayX

l

lx ===

4.4. ábra. Húzott oszlop vizsgálata

A gradiens-tenzor: .

00

00

00

0

0

0

=

bb

aa

ll

F

A determináns és az inverz tenzor:

000 lba

ablJ = ,

=−

bb

aa

ll

0

0

0

1

00

00

00

F .

Az egyes feszültségtenzorok: σ =

σ

000

000

00x

,

.

000

000

00

000

000

00

00

00

0000

0

0

0

000

σ

=

σ

=ba

ab

bb

aa

ll

lba

abl

x

x

P

Az egyetlen nemzérus elem kapcsolata a Cauchy-tenzor első elemével:

.000

11 xx A

A

ba

abP σ=σ= A második Piola-Kirchhoff-tenzorból csak az első ((1,1)

indexű) elemet adjuk meg: 011

0x

l AS

lAσ= .


10.06.20. 51

A feszültségtenzorok felbontása deviátoros és hidrosztatikus (gömbi) komponensekre Ez a művelet elsősorban a fizikai tartalommal bíró változatoknál hasznos (lásd a matematikai alapokat a Függelékben a másodrendű tenzorok felbontásáról). Például a Cauchy-tenzornál:

σ σ σhid dev= + , ahol

0 0

0 0 , ( ) / 3

0 0

átl

átl átl x y zhid

átl

σ σ = σ σ = σ +σ +σ σ

(4.18/a)

, , ,

x xy xz

yx y yz x x átl y y átl z z átldev

zx zy z

S

S S S S S

S

τ τ

σ = = τ τ = σ −σ = σ −σ = σ −σ τ τ

. (4.18/b)

A felbontás első komponensét hidrosztatikus, vagy gömbi (vagy pedig néha átlagos) feszültségtenzornak nevezik. Ez a tenzor a vizsgált pont környezetének átlagos normálfeszültségét adja meg. A második komponens neve deviátor (vagy deviátoros) tenzor (számítási módja: eredeti feszültségtenzor mínusz hidrosztatikus feszültségtenzor), egy térbeli pont átlagos nyírófeszültségi viszonyairól ad információt. Megjegyezzük, hogy kis alakváltozású testeknél a deviátoros tenzort s szimbólummal jelöljük.

A feszültségtenzor sajátértékei és sajátvektorai: főnormálfeszültségek, főirányok. Az alakváltozástenzor vizsgálatánál elmondottakhoz hasonlóan számíthatók a feszültségtenzorok sajátértékei (lásd még: matematikai alapok, Függelék). Az általánosított sajátérték-feladat a Cauchy-tenzorra felírva:

(σ− )I n 0.σ ⋅ = (4.19) Karakterisztikus egyenlete:

.0322

13 =−σ+σ−σ III (4.20)

Az egyenlet 3 gyöke a három sajátérték, amelyeket mechanikai tartalmuk alapján fő-normálfeszültségnek, vagy rövidebben főfeszültségnek nevezünk: .321 σ≥σ≥σ (4.21)

A karakterisztikus egyenlet együtthatói a feszültségtenzor invariánsai:

=σ+σ+σ= 3211I tr σ , 2 22

1 ((tr ) tr( ))2 σ σI = − = 323121 σσ+σσ+σσ , (4.22)

=σσσ= 3213I detσ .

A főirányokat a sajátvektorok adják, számításuk a szokásos matematikai lépésekkel oldható meg. A sajátvektorok – a főirányok – homogén izotrop anyagnál megegyeznek a megfelelő alakváltozás-tenzor főirányaival.

Megjegyezzük, hogy mechanikai szempontból a főfeszültségek olyan síkokhoz tartozó normálfeszültségek, mely síkoknál nincs nyírófeszültségi komponens.


10.06.20. 52

Maximális nyírófeszültségek

A normálfeszültségek szélsőértékeinek kiszámítása mellett ugyanilyen fontos az anyagban keletkező maximális nyírófeszültségek meghatározása is, hiszen egyes esetekben – például képlékeny vizsgálatoknál – ezek szerepe alapvető fontosságú. A nyírófeszültségek szélsőértékének meghatározásához írjuk fel a főfeszültségek terében egy adott „n” normálisnál a nyírófeszültségek négyzetét az „n” normálisú síkhoz tartozó teljes feszültség illetve a normálfeszültség segítségével. Legyen most mindhárom főfeszültség egymástól különböző:

,23

23

22

22

21

21

2 nnntn σ+σ+σ= (4.23)

és mivel

2 2 2n 1 1 2 2 3 3σ σ n σ n σ n= + + és 2 2 2

n n nτ σ= −t , (4.24)

továbbá felhasználva az iránykoszinuszokra ismert

2 2 21 2 3n n n 1+ + = (4.25)

összefüggést, a nyírófeszültségekre az alábbi képletet kapjuk:

( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 2 2

n 1 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 3τ σ σ n σ σ n σ σ σ n σ σ n σ = − + − + − − + − + . (4.26)

Ez a képlet azt mutatja, hogy a nyírófeszültség csak két koordináta ( 1 2,n n ) értékétől függ. A

szélsőérték feltételei:

( ) ( ) ( ) ( ) 2

2 2 2 2n1 3 1 1 3 1 2 3 2 3 1 1 3

1

τa) 2 σ σ n σ σ n σ σ n σ 2n σ σ

n

∂ = − − − + − + − = ∂

(4.27)

( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 21 3 1 1 3 1 3 1 2 3 22 σ σ n σ σ 2 σ σ n σ σ n 0 = − − − − + − = .

Hasonlóan:

( ) ( ) ( ) ( )( ) 2

2 2n2 3 2 2 3 1 3 1 2 3 2

2

τb) 2 σ σ n σ σ 2 σ σ n σ σ n 0

n

∂ = − − − − + − = ∂. (4.28)

Keressük a nyírófeszültségeket az egyes koordinátasíkokban.

( )2 21 2 2 3 2

ha 0

Legyen 0, 0, ekkor "b" alapján σ σ (1 2 ) 0.n n n

≠

= ≠ ⇒ − − =14243

(4.29)

Innen: 2 31 1

2 2n n=± =± , (4.30)

és így egy lehetséges szélsőérték:

( )22n 2 3 n

1τ σ σ τ

4= − ⇒ 2 3

1σ σ

2= − . (4.31)

( )2 22 1 1 3 1

ha 0

Legyen 0, 0, akkor "a" alapján σ σ (1 2 ) 0n n n

≠

= ≠ ⇒ − − =14243

. (4.32)

Innen: 1 31 1

2 2n n=± =± , (4.33)

és így egy másik lehetséges szélsőérték:

( )22n 1 3

1τ σ σ

4= − ⇒ n 1 3

1τ σ σ

2= − . (4.34)

Hasonlóan a harmadik változat:


10.06.20. 53

1 2 3 n 1 21 1

0 τ σ σ22

n n n= = ± = ⇒ = − .

(4.35) Mindezek alapján a nyírófeszültség maximuma (figyelembe véve a főfeszültségek között szokásos matematikai sorrendet):

max 1 31

τ σ σ2= − . (4.36)

A feszültségdeviátor-tenzor invariánsai Nemlineáris feladatoknál (különösen a képlékenységtanban) gyakran van szükség a torzulási hatásokat mérő deviátoros tenzor egyes invariánsaira is. Ezeket elvileg a feszültségdeviátor-tenzor sajátérték-feladatának karakterisztikus egyenletéből származtatjuk37:

3 21 2 3 0s J s J s J− − − = , (4.37)

ahol az egyes invariánsok: 1 30 , det s .J J= = (4.38)

A mechanikai szerepe miatt fontos 2J invariáns részletesen:

2 2 2 2 2 22

1( ) ( ) ( )

6 x y y z z x x y y z z xJ = σ − σ + σ − σ + σ − σ + τ + τ + τ = (4.39)

[ ]213

232

221 )()()(

6

1σ−σ+σ−σ+σ−σ= .

Ez a változó a képlékenységtan egyik legfontosabb paramétere.

Az oktaéderes feszültségek

4.5. ábra. Oktaéder lapjain működő feszültségek. Ha a főfeszültségek terében felveszünk egy oktaédert (lásd a 4.5. ábrát), akkor annak lapjain működő normál- és nyírófeszültségeket az alábbi módon lehet meghatározni:

1321233

222

211 3

1)(

3

1Innnokt =σ+σ+σ=σ+σ+σ=σ , (4.40)

37 Fontos tudnunk, hogy a második deviátoros invariáns a karakterisztikus egyenletben alkalmazott előjelváltás miatt mindig pozitív


10.06.20. 54

2 2 2 2 21 2 3 1 2 3

1 1( ) ( )

3 9oktτ = σ +σ +σ − σ +σ +σ = (4.41)

2 2 21 2 2 3 3 1

1( ) ( ) ( )

9 = σ −σ + σ −σ + σ −σ ,

21

22

12 )3(3

2

3

2IIJokt −==τ . (4.42)

Ezeket a változókat főleg a képlékenységtanban használják, de más nemlineáris feladatoknál is gyakran találkozunk velük.

Haigh38-Westergaard39-tér

Nemlineáris feladatok megoldásánál sokszor kell olyan számításokat végeznünk, ahol egyes függvények a főfeszültségeket mint alapváltozókat használják. Haigh és Westergaard azt

javasolta, hogy ilyen feladatoknál sokszor előnyös a ( )1 2 3, ,σ σ σ értékek helyett fizikai

tartalmú koordinátákkal dolgoznunk, ezért a ( )1 2 3, ,P σ σ σ pontot célszerűbb egy

hidrosztatikus és egy deviátoros összetevő kombinációjaként előállítani. Az alábbiakban bemutatjuk ennek a számításnak a részleteit40.

4.6. ábra. A Haigh-Westergaard-tér

38 Bernard Parker Haigh (1884-1940) angol mérnök, rugalmasságtannal és törésmechanikával foglalkozott. 39 Harald Malcolm Westergaard (1888 – 1950), dán származású, de élete nagy részében Amerikában élő mechanikus. Jelentős műveket alkotott a törésmechanikában és az elméleti rugalmasságtanban. 40 Megjegyezzük, hogy az origón átmenő deviátoros síkot π -síknak hívják.


10.06.20.

Az ábrán látható módon először felveszünk két alapvető geometria jellemzőt. Ezek közül az egyik az úgynevezett hhidrosztatikus tengely azon pontok mértani helye, ahol:

a deviátoros sík pedig az alábbi módon írható fel

ahol „c” az origótól mért távolság, futó paraméterként kezelve az egyenletben. Egy P ),,( 321 σσσ pont

segítségével az alábbi módon adhatók meg:

ON OP nξ = = ⋅ = σ σ σ ⋅ =

Ez a koordináta a hidrosztatikus hatástmeghatározzuk az NP vektort: = -OPNP

Ennek segítségével a nyírási (deviátoros) hatásokat

==ρ NP

A harmadik koordinátát

irányában vetített főfeszültségi koordináta

cos ( , , ) (2, 1, 1) (2 ) .ρ θ= ⋅ − − = − − =

4.7. ábra: A koordinátatengelyek képe a deviátoros síkon. Innen:

Az ábrán látható módon először felveszünk két alapvető geometria jellemzőt. Ezek közül az hidrosztatikus tengely, a másik pedig a

hidrosztatikus tengely azon pontok mértani helye, ahol: 321 σ=σ=σ ,

pedig az alábbi módon írható fel:

c3321 =σ+σ+σ ,

” az origótól mért távolság, futó paraméterként kezelve az egyenletben.

pont új koordinátái ( , , )ξ ρ Θ ennek a két geometriai helynek a

segítségével az alábbi módon adhatók meg:

1 2 3

1 1 1( , , ) ( , , )

3 3 3ON OP nξ = = ⋅ = σ σ σ ⋅ =

11 2 3

1( ) 3 .

3 3átl

I= σ +σ +σ = = σ

hidrosztatikus hatást jellemzi. A másik koordinátához előszvektort:

,,(),,(),,( 21321 sssátlátlátl =σσσ−σσσ=ON-

nyírási (deviátoros) hatásokat jellemző másik koordináta:

oktJsss τ==++ 32)( 22

123

22

21 .

A harmadik koordinátát ( )tθ− tartalmazó tag a deviátoros síkra a hidrosztatikus tengely

vetített főfeszültségi koordináta-tengelyek képe alapján:

1 2 3 1 2 3 1

1 1 3cos ( , , ) (2, 1, 1) (2 ) .

6 6s s s s s s sρ θ= ⋅ − − = − − =

4.7. ábra: A koordinátatengelyek képe a deviátoros síkon.

Előadásvázlat

55

Az ábrán látható módon először felveszünk két alapvető geometria jellemzőt. Ezek közül az deviátoros sík lesz. A

(4.43)

(4.44)

” az origótól mért távolság, futó paraméterként kezelve az egyenletben.

ennek a két geometriai helynek a

(4.45)

jellemzi. A másik koordinátához először

.)3s (4.46)

másik koordináta:

(4.47)

tartalmazó tag a deviátoros síkra a hidrosztatikus tengely

1 2 3 1 2 3 1

1 1 3cos ( , , ) (2, 1, 1) (2 ) .

2s s s s s s sρ θ= ⋅ − − = − − = (4.48)

4.7. ábra: A koordinátatengelyek képe a deviátoros síkon.


10.06.20. 56

1

2

3cos .

2

s

Jθ= (4.49)

Trigonometriai átalakítással:

33

22

3 3cos3

2

J

Jθ= , 0

3

π≤ θ ≤ . (4.50)

Az új koordináta-hármassal jellemezhető teret hívják alkotói neve után Haigh-Westergaard-térnek. Ezt az új koordináta-változatot sokszor előnyösen használják a numerikus képlékenységtani számításokban. Objektív mértékek megadása a feszültségtenzoroknál Nagy elfordulásokat végző rendszerek nemlineáris vizsgálatánál néha szükség van különleges feszültségfogalmak alkalmazására. Ilyen változatok bevezetésének indoklásához vizsgáljuk meg az alábbi kis feladatot. Tételezzük fel, hogy egy olyan anyagmodellt41 kívánunk használni, ahol a feszültségek időbeli változása lineáris függvénye az alakváltozás-sebességeknek (gyakorlásul feltüntetjük az indexes alakot is):

:σ

C D, i jD Di j k l k l

DDC D

Dt Dtσ σσ

= = . (4.51)

A képletben szereplő C Dσ tenzor a feszültségek időbeli változását és az alakváltozás-sebességeket összekötő, ismertnek feltételezett anyagmodell képleteit tartalmazza. Vizsgáljuk meg, hogy ez az összefüggés valóban betölti-e az anyagmodell szerepét, vagyis mindig egyértelműen megadja-e a két tenzor kapcsolatát. A következő ábra bal oldali képén egy kezdeti konfigurációban 0xσ =σ feszültséggel rendelkező rúdelem látható (minden más

feszültségkomponens zérus). 4.8. ábra. Forgó rúd állandó belső feszültséggel Tételezzük fel, hogy a külső hatások következtében a rúd 90 fokkal elfordul, de a hossza nem változik meg (D = 0), benne ugyanaz a feszültség van, mint a kezdeti állapotban. Ez a feszültség (most 0yσ =σ ) azonban egy rögzített koordináta-rendszerben megadott

feszültség-tenzornál már változást jelent, így a tenzor anyagi idő szerinti deriváltja nem lesz

41 Az anyagmodellekkel részletesen majd csak később foglalkozunk, most elegendő annyit tudni róluk, amit a BSc-Szilárdságtanban tanultunk: a mechanikai anyagmodellek az energiaértelemben megfelelően párt alkotó feszültség és alakváltozástenzorok összekapcsolását biztosítják.


10.06.20. 57

zérus. Az előbbi anyagmodellnél tehát a jobb oldalon szereplő alakváltozás-sebesség tenzora nulla, de /σD Dt nem az, vagyis így az egyenlet nem megfelelő, mindenképpen korrigálni kell. Az előbb bemutatott σ ε kapcsolattal tehát az az alapvető gond, hogy valamilyen módon figyelembe kell vennünk benne a nagy elfordulások hatását. A nemlineáris mechanikában ezt a feladatot a feszültségtenzor objektív sebességének (vagy más, tömörebb elnevezéssel egy objektív feszültség-tenzornak) a bevezetésével oldják meg. Sokféle ilyen objektív változat létezik, mi csak néhányat mutatunk be közülük.

a./ Jaumann42-sebességtenzor Jaumann a következő objektív modellt javasolta (indexes jelöléssel is megadjuk):

,σ

σ W σ σ W i jJ T J Ti j i k k j i k k j

DDW W

Dt Dt∇ ∇ σ= − ⋅ − ⋅ σ = − σ −σ , (4.52)

ahol W a (2.26) egyenletben definiált ferdén szimmetrikus spin tenzor. A bal oldalon szereplő tenzor felső indexében a ∇ jel az objektív sebességre utal, a J betű pedig Jaumann nevének szimbóluma. Ezt az objektív tenzort kell ezek után az anyagmodell egyenletébe helyettesíteni: :σ C D,J J J D

i j i j k l k lC D∇ σ ∇ σ= σ = . (4.53)

A két egyenlet összevetéséből:

:σ

σ +W σ +σ W =C D+W σ+σ WJ T J TD

Dt∇ σ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . (4.54)

A második egyenlőség utáni első tag a tényleges anyagi viselkedést, a második és harmadik pedig együttesen az elfordulás hatását modellezi. b./ Truesdell43-sebességtenzor Truesdell javaslata a következő:

div( ) , i j k i jT T Ti j i j k j i k

k k k

D v v vD

Dt Dt x x x∇ ∇ σ ∂ ∂ ∂= + − ⋅ − ⋅ σ = + σ − σ −σ

∂ ∂ ∂σ

σ v σ L σ σ L .

(4.55) A képletben szereplő L tenzor a sebességgradiens-tenzor, korábban a (2.22) képlettel definiáltuk, v pedig a sebességek vektora. c./ Green-Naghdi44-féle sebességtenzor

,σ

σ Ω σ σ Ω i jG T G Ti j i k k j i k k j

DD

Dt Dt∇ ∇ σ= − ⋅ − ⋅ σ = −Ω σ −σ Ω , (4.56)

ahol az Ω tenzort a rotációs tenzor segítségével számíthatjuk (a jobb oldal első tagjánál idő szerinti deriváltat kell figyelembe vennünk): Ω=R R T⋅& . (4.57)

42 Gustav Jaumann (1863 – 1924) magyarországi születésű osztrák fizikus. Sokat foglalkozott kontinuummechanikai vizsgálatokkal és a tenzorszámítás különböző kérdéseivel. 43 Clifford Ambrose Truesdell (1919 – 2000) amerikai matematikus. Sokat tett a modern termodinamikai elméletek mechanikai alkalmazásának bevezetéséért. 44 Paul M. Naghdi (1924 – 1994) amerikai gépészmérnök, élete nagy részében a Berkeley Egyetem tanára. Főleg áramlástannal és anyagmodellezéssel foglalkozott.


10.06.20.

Egyszerű összehasonlítással kimutatható, hogy például a megegyeznek, ha az anyagban nincs deformáció. Alakváltozások jelenlétében azonban a két érték eltérő lehet, így a fizikai alapokon megkövetelhető azonosság csak akkor biztosítható a kétféle modell között, ha modellben. 4.3 Példa Vizsgáljunk meg egy testet, amely az nézzük meg, hogyan alkalmazható rá például a kiszámítani a fizikai feszültségek tenzorát. A test kezdeti konfiguráció

Az elfordulást a következő tenzorok jellemzik (lásd az 1.2 példát):

( ) ( ) .x R Xt t= ⇒ =

A sebességvektor:


a v

a v

A gradiens-tenzor, valamint inverze és idő szerint deriváltja a következőképpen adható meg:

cos , sin .

F R = F FX

c t s t

∂= = = =

∂

= =ω ωA sebesség-gradiens

L=F F

Innen a spin-tenzor:

Egyszerű összehasonlítással kimutatható, hogy például a Truesdell- és a megegyeznek, ha az anyagban nincs deformáció. Alakváltozások jelenlétében azonban a két érték eltérő lehet, így a fizikai alapokon megkövetelhető azonosság csak akkor biztosítható a kétféle modell között, ha különböző anyagmodelleket használunk a kétféle sebesség

Vizsgáljunk meg egy testet, amely az x-y síkban az origó körül ω szögsebességgel forog és nézzük meg, hogyan alkalmazható rá például a Jaumann-féle sebességmodell, hogyan lehet kiszámítani a fizikai feszültségek tenzorát.

kezdeti konfigurációját a következő ábra bal oldali képén láthatjuk:

4.9. ábra. Elforduló test vizsgálata

Az elfordulást a következő tenzorok jellemzik (lásd az 1.2 példát):cos sin

( ) ( ) .sin cos

x t t X

y t t Y

− = ⇒ =

ω ωω ω

A sebességvektor: sin cos

.cos sin

x

y

v x t t X

v y t t Y

ω ωω

ω ω− −

= = −

&

&


2 cos sin.

sin cosx x

y y

a v t t X

a v t t Y

ω ωω

ω ω−

= = − −

&

&

tenzor, valamint inverze és idő szerint deriváltja a következőképpen

1cos sin, , , ahol

sin cos

cos , sin .

xF R = F F

X

t t c s s c

t t s c c s

c t s t

−− − − ∂= = = = − −∂ = =

&ω ωω ω

ω ωgradiens tenzor az F tenzor segítségével számítható:

1 0 1

1 0L=F F

s c c s

c s s c− − − −

⋅ = ω =ω − − & .

tenzor:

( ) 0 11

1 02W L LT − = − =ω

.

Előadásvázlat

58

és a Jaumann-sebességek megegyeznek, ha az anyagban nincs deformáció. Alakváltozások jelenlétében azonban a két érték eltérő lehet, így a fizikai alapokon megkövetelhető azonosság csak akkor biztosítható a

használunk a kétféle sebesség-

szögsebességgel forog és sebességmodell, hogyan lehet

a következő ábra bal oldali képén láthatjuk:

Az elfordulást a következő tenzorok jellemzik (lásd az 1.2 példát):

.

.

tenzor, valamint inverze és idő szerint deriváltja a következőképpen

, , , aholF R = F Ft t c s s c

t t s c c s

− − − = = = = − −

& ω

tenzor segítségével számítható: 0 1


10.06.20. 59

A Jaumann-féle modell most a következő lesz (mivel D = 0, az alakváltozásokat jellemző rész hiányzik):

σ

W σ + σ WTD

Dt= ⋅ ⋅ .

Helyettesítsük be ide a már kiszámított mátrixokat:

20 1 0 1

21 0 1 0

σ x x y x x y x y x y

y x y y x y x y x y

D

Dt

σ τ σ τ − τ σ −σ − − = ω + ω =ω τ σ τ σ σ −σ τ

.

A számítás eredményeként három darab közönséges differenciálegyenletet kaptunk re,xσ − ra ray x yésσ − τ − :

2 , 2 , ( )x y x yx y x y x y

d d d

dt dt dt

σ σ τ= − ωτ = ωτ = ω σ −σ .

A figyelembe veendő kezdeti feltételek: 0(0) , (0) 0, (0) 0x x y x yσ = σ σ = τ = .

Ha ezt a három differenciálegyenletet külön-külön megoldjuk, akkor a következő eredményt kapjuk az időfüggő feszültségtenzorra:

2

0

2σ x

c c s

c s s

=σ

.

Ellenőrizzük a bal felső elemet:

( )

( )2

0 0cos

2cos sin 2xx x x y

d tdt t

dt dt

ωσ=σ = σ ω − ω ω =− ωτ ,

vagyis a megoldás helyes volt. Ezt az eredményt egyébként ebben esetben (sokkal egyszerűbben) úgy is megkaphattuk volna, ha egy

0 0

ˆ0 0

σ x σ=

korotációs feszültségtenzorból kiindulva a Cauchy-feszültségeket a ˆσ = R σ R T⋅ ⋅ összefüggéssel számoljuk. Megjegyezzük még, hogy ha csak merevtest-szerű elfordulásokat vizsgálunk, akkor a Jaumann-, Truesdell-, Green-Naghdi- és a ko-rotációs feszültségváltozások azonosak lesznek.

4.4 Példa Vizsgáljuk meg az ábrán látható nyírt test viselkedését a háromféle bemutatott sebességmodellel. Használjunk egy egyszerű, rugalmas izotrop anyagmodellt45, az elem mozgásáról pedig tételezzük fel, hogy az alábbi egyenleteknek megfelelően történik:

45 Szilárdságtanból tanultuk, hogy ebben az esetben két anyagállandóra lesz szükségünk. Ezek ebben a példában a nyírási rugalmassági modulus (G) és a Lamé-paraméter (λ ) lesznek, lásd a Kaliszky-Kurutzné-Szilágyi-féle „Szilárdságtan” tankönyvet. Maga az anyagmodell a közismert Hooke-modell azon változata, amikor az alakváltozásokat a hidrosztatikus és deviátoros hatások összegeként adjuk meg.


10.06.20. 60

,x X tY y Y= + = 4.10. ábra. Nyírt test vizsgálata

A gradiens-tenzor:

11 0 1 1, ,

0 1 0 0 0 1F F F

t t− − = = =

& .

A sebesség-gradiens tenzor illetve szimmetrikus és ferdén szimmetrikus két komponense a következők lesznek:

1 0 1 0 1 0 11 1, ,

0 0 1 0 1 02 2L FF D W− = = = = − & .

A Jaumann-modell egyenlete a rugalmas anyagmodell felhasználásával a következő lesz (a J index a Jaumann-modellhez illesztett anyagi paraméterekre utal):

( )tr 2σ = D I D W σ σ WJ J TGλ + + ⋅ + ⋅& .

Írjuk fel részletesen ezt az egyenletet és vegyük figyelembe véve, hogy tr D = 0:

0 1 0 1 0 11 1

1 0 1 0 1 02 2x x y x x y x x yJ

y x y y x y y x y

Gσ τ σ τ σ τ

= + + τ σ σ σ σ σ− −

& &

& &.

Most is három differenciálegyenletet kaptunk:

1

, , ( )2

x y x y Jx y x y x y

d d dG

dt dt dt

σ σ τ= τ = −τ = σ −σ .

A Jaumann-modellhez tartozó megoldások: (1 cos ), sinJ J

x y x yG t G tσ =−σ = − τ = .

Vizsgáljuk meg most a Truesdell-modellt. Ebben az esetben: tr 2 (trσ = D D L σ σ L D) σT J TGλ + + ⋅ + ⋅ −& . Részletesen kifejtve:

0 1 0 1 0 0

1 0 0 0 1 0x x y x x y x x yT

y x y y x y y x y

Gσ τ σ τ σ τ

= + + τ σ σ σ σ σ

& &

& &.

A differenciálegyenletek:

2 , 0 ,x y x y Tx y y

d d dG

dt dt dt

σ σ τ= τ = = −σ .

A Truesdell-modellhez tartozó megoldások (az új indexek új anyagi változókra utalnak): 2 , 0,T T

x y x yG t G tσ = σ = τ = .

A Green-Naghdi-modellhez először a poláris felbontás segítségével meg kell határoznunk az R forgató tenzort. A 2.8 példában már bemutattuk az ehhez szükséges lépéseket (mátrix diagonizálása, sajátértékek, stb.), most itt csak az eredményeket közöljük ( iµ a sajátértékeket jelöli):


10.06.20. 61

2 2

2

1 2 4, , ( 1,2)

1 2F FT

i

t t t ti

t t

+ ± += µ = = +

.

Megadjuk a zárt formában46 felírt megoldást47:

( )

( )

24 cos 2 ln cos sin 2 sin ,

2 cos 2 2 2 tg 2 ln cos tg , tg .2

Gx y

Gx y

G

tG

σ =−σ = β β+β β− β

τ = β β− β β− β β =

A következő ábrán az idő függvényében ábrázoltuk a háromféle modell által szolgáltatott nyírófeszültség változását (a nyírási rugalmassági modulussal normált értéke látható a függőleges tengelyen). Mindhárom esetben ugyanazokat a rugalmas anyagi jellemzőket használtuk. Az eredmény arra hívja fel a figyelmet, hogy ilyen esetekben az anyagi paramétereket mindig a modellhez illesztve kell meghatározni, mert különben élesen eltérő eredményeket kapunk ugyanannak a feladatnak a vizsgálatakor.

4.11. ábra: Azonos anyagállandók hatása a különböző objektív modelleknél Befejezésül megjegyezzük, hogy ma már léteznek olyan törekvések is, amelyek megkísérlik másféle modellalkotással, objektív sebességek bevezetése nélkül kiküszöbölni a rotációs hatások okozta nehézségeket (lásd például Matolcsi és Ván munkáját48), de ezekre most nem térünk ki, csak az említett szakirodalmat ajánljuk az olvasónak.

46 Ennél a modellváltozatnál meglehetősen nehézkes a megoldás, célszerűbb numerikus eljárást használni, vagy esetleg valamilyen matematikai programot segítségül hívni. 47 Dienes 1979-es munkája alapján: „On the analysis of rotation and stress rate in deforming bodies”, Acta Mechanica, Vol. 32, pp. 217-232. 48 Matolcsi, T. – Ván, P.: Can material time derivative be objective?, Physics Letters, A 353, pp. 109 – 112, 2006.


10.06.20. 62

Felhasznált irodalom: 1./ Sokolnikoff, I. S.: Mathematical Theory of Elasticity, McGraw Hill, 1956. 2./ Mang, H. – Hofstetter, G.: Festigkeitslehre, Springer, 2000. 3./ Taber, L.: A.: Nonlinear Theory of Elasticity, World Scientific, 2004. 4./ Fung, Y. C.: Foundation of Solid Mechanics, Prentice Hall, 1965, 1994. 5./ Holzapfel, G. A.: Nonlinear Solid Mechanics, Wiley 2001. 6./ Belytschko, T. – Liu, W. K. – Moran, B.: Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures, John Wiley, 2000. 7./ Kaliszky S. – Kurutzné K. M. – Szilágyi Gy.: Szilárdságtan, Egyetemi Tankönyv, 2000.


10.06.20. 63

5. Előadás: A mechanikai anyagmodell

A nemlineáris mechanika alapvető változóinak (elmozdulásoknak, alakváltozásoknak, feszültségeknek) bemutatása után elkezdjük a legfontosabb mechanikai egyenletek tárgyalását. Először a gyakorló mérnök számára legismertebb egyenlettípussal, nevezetesen az anyagmodellekkel foglalkozunk ezen és a következő előadáson49. Az anyagmodell az anyag válasza az őt érő külső hatásokra. Ennek megfelelően a mérnöki gyakorlatban többféle anyagmodellt is használhatunk, például: - optikai anyagmodellt (pl. fényelnyelési és fény-visszaverődési tulajdonságok), -elektromosságtani anyagmodellt (szigetelő vagy vezető képesség, mágnesezhetőség), - hőtani anyagmodellt (hővezetési és hőszigetelési képesség), - stb. A mechanikai anyagmodell az anyag mechanikai hatásokra adott válasza.

Az anyagmodellek származtatása kétféle megközelítés alapján lehetséges:

- makromechanikai (fenomenológiai50) modellek: a modell megalkotása makroszintű laboratóriumi vizsgálatok (1D, 2D és 3D mérések) eredményeként adódik, a mért fizikai jelenségeket matematikai formában összegző egyenletek szolgáltatják az anyagmodellt. A mérések alapvetően az anyag adott irányú megnyúlására/összenyomódására irányulnak és az elmozdulásokból származtatott alakváltozásokat kívánják összekapcsolni az anyagban keletkező feszültségekkel. - mikromechanikai51 modellek: az anyag atomi (molekuláris, mono- vagy polikristály szintű, esetleg mikroszintű, mint pl. szemcsés közegek független szemcséi, stb.) viselkedésének megértéséből kíván következtetni a makroszintű viselkedésre. A mikroszintű modelleket a mikrofizikai mérések, numerikus szimulációk és elméleti hipotézisek együttese segítségével alkotják meg, majd ún. homogenizációs eljárások segítségével transzformálják makroszintre.

Ebben a jegyzetben kizárólag makromechanikai modellekkel foglalkozunk.

49 Megjegyezzük, hogy ezzel a témakörrel később még külön tárgy keretében is foglalkozhatnak az érdeklődők, lásd a „Mechanikai anyagmodellek” című előadássorozatot. 50 A mérnöki gyakorlatban ma a makroszintű laboratóriumi mérések tapasztalataira épülő matematikai modelleket nevezik így. Maga a fenomenológia kifejezés a phainomenon („fenomén”, szó szerint a „megmutatkozó”, „a jelenség”) és a logosz („tan”) görög szavak összetételéből származik. Először Kant (1724 – 1804), a híres német filozófus használta, aki szerint „az igazi ismeretet a jelenség megismerése adja”. 51 Megjegyezzük, hogy tudományfilozófiai szempontból természetesen egy valódi mikrofizikai mérésre alapuló mikromechanikai anyagmodell is fenomenológiai modellnek számít, hiszen Kant definíciója erre az esetre is érvényes, azonban a ma elterjedt elnevezési gyakorlat pillanatnyilag ettől eltér.


10.06.20. 64

Az anyagmodellekben szereplő változók A klasszikus fenomenológiai modellek az alakváltozások és a feszültségek kapcsolatát írják le. A megfelelő párok kiválasztásához a termodinamika első főtörvényét kell felhasználnunk, amely az energia-megmaradás általános elvét fejezi ki: környezetétől elszigetelt rendszerben – bármilyen folyamatok is mennek végbe a rendszeren belül – az energiák összege állandó52. Az első főtörvény többféle matematikai alakban is felírható, mi most az alábbi tömör formában adjuk meg:

QPUK +=+ && , (5.1) ahol K a kinetikus energia, U a belső energia, P a külső erők teljesítménye, Q pedig a külső hőhatás. Az egyenlet bal oldala a szerkezet teljes belső energiájának időbeli megváltozását, a jobb oldal pedig a külső energia megváltozását jelenti. Az egyes komponensek Lagrange- és Euler-rendszerben is felírhatók. A továbbiakban a nullával indexelt tagok a Lagrange-, a nulla nélküliek pedig az Euler-rendszerben adott változók.

dVdVKV V

vvvv∫ ∫ ⋅ρ=⋅ρ=0

2

1

2

100 , ∫ ∫ρ=ρ=

0

00

V V

dVudVuU , (5.2)

dVdAdVdAPVAVA

vfvTvfvT 00 ∫∫∫∫ ⋅+⋅=⋅+⋅= 00

00

, (5.3)

∫ ∫ ∫∫ ρ+⋅−=ρ+⋅−=0 0

000

A V VA

dVrdAdVrdAQ nqnq 00 . (5.4)

Ezekben a képletekben v a sebesség vektora, ρ a sűrűség, u (most nem elmozdulást jelöl!) az egységnyi tömeghez tartozó belső energia, T és f a felületi és térfogati erőket jelentik, q a szerkezetből kifelé irányítottnak felvett (egységnyi felülethez tartozó) hőáram-vektor, n egy elemi felület normálvektora, az r függvény pedig a szerkezet belsejében levő, egységnyi tömegre vonatkozó hőforrás-változás (a hőforrás jelen esetben energia dimenziójú, a rendszer belsejében levő belső hőtermelő eszköz (pl. elektromos melegítő, kazán, stb.). Az időbeli változást leíró tagok:

( )1 1( ) (

2 2V V V

d dK dV dV dV dV

dt dtρ ρ ρ ρ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ = ∫ ∫ ∫v v v v) v v v v v v& & & & (5.5)

(v σ f)V

dV= ⋅ ⋅∇ +∫ .

52 Ha a rendszer nem zárt, akkor a rendszer energiája pontosan annyival nő, amennyivel a környezeté csökken (a változás természetesen fordított irányban is érvényes). Megjegyezzük, hogy ennek az alapvető elvnek a megformálása sok tudós nevéhez fűződik: első nyomai már milétoszi Thalész munkáiban felbukkantak, Galilei is említi egy változatát egyik publikációjában. Első – matematikailag is megformált – leírását Gottfried Wilhelm Leibnitznél találjuk, majd Antoine Lavoisier, Pierre-Simon Laplace, Benjamin Thompson (ismertebb nevén Sir Rumford) és Thomas Young is sokat foglalkozott vele. Young volt egyébként az első, aki az „energia” kifejezést a ma szokásos értelemben használta a főtörvénnyel kapcsolatban. A XIX. század második felében is sok tudós (Gaspard-Gustave Coriolis, Jean-Victor Poncelet, Julius Robert von Mayer, stb.) végzett ezzel kapcsolatos kutatásokat.


10.06.20. 65

A növekményi alak felírásakor felhasználtuk a 0/)( =ρ dtdVd összefüggést (ez a fizika tömeg-megmaradási tétele, a 7. előadásban részletesen foglalkozunk vele), és a ρ =ρ ⋅∇v a=σ +f& egyenletet. Az 5.5 alatti kifejezés Lagrange-rendszerben is felírható, a gyorsulás függvényét ennél a változatnál a nominális feszültségtenzor divergenciájának (és a térfogati erők vektorának) segítségével fejezhetjük ki:

0

0)0 0v (P fV

K dV= ⋅ ⋅∇ +∫& . (5.6)

A két operátor )( 0∇∇ és az Euler- és Lagrange-koordináták alkalmazásában tér el

egymástól (lásd a második előadás összefoglalóját). A képletekben szereplő matematikai műveletek (lásd a Függelék (F.76), az első előadás (1.11), (1.20), a második előadás (2.22), (2.25), (2.26) és (2.29) alatti képleteit, illetve részben a harmadik előadás hivatkozásait):

) (v (σ σ v) σ: v ,⋅ ⋅∇ = ∇⋅ ⋅ − ∇ (5.7)

0 0 ( 0v (P ) P v) P: v⋅ ⋅∇ = ∇ ⋅ ⋅ − ∇ , (5.8)

( ) 0 0σ: v σ: D W σ : D, P: v P: u P:FT∇ = + = ∇ = ∇ = ɺɺ . (5.9)

Ezek felhasználásával K idő szerinti deriváltja:

[ ](σ v) σ:D f vV

K dV= ∇⋅ ⋅ − + ⋅ =∫ɺ (5.10)

0

0 0( 0P v) P:F f vT

V

dV = ∇ ⋅ ⋅ − + ⋅ ∫ ɺ .

A belső energia idő szerinti deriváltja mindkét bázisban (most is felhasználtuk a tömegmegmaradás tételét az első derivált zérus értékűvé tételében):

∫∫ ∫ ρ=ρ=

ρ+ρ=0

00)(VV V

dVudVudVuudVdt

dU &&&& . (5.11)

A külső hatásoknál a felületi integrálokat alakítsuk át térfogati integrálokká a Gauss-tétel (vagy más néven divergencia-tétel, lásd a Függelék (F.80)-as képletét) segítségével:

[ ]∫ ∫ ∫ ⋅+⋅⋅∇=⋅+⋅⋅=A V V

dVdVdAP vfv)vfvn σσσσσσσσ ( . (5.12)

Ugyanez Lagrange-változókkal:

[ ]∫ ∫∫ ⋅+⋅⋅∇=⋅+⋅⋅=0 00

0000 (V VA

dVdVdAP vfv)PvfvPn 000 . (5.13)

A hőhatások is átalakíthatók ugyanígy:

∫∫ ⋅∇−ρ=⋅∇−ρ=0

.)()( 000

VV

dVrdVrQ 0qq (5.14)

Minden tagot behelyettesítve az első főtörvény eredeti képletébe, az egyszerűsítések után a következő alakra jutunk a kétféle bázisban:

ruV

ρ−ρ∫ &( : ) 0σ D q dV− + ∇ ⋅ = = 0000 )(0

dVruV

0T qF:P ⋅∇+−ρ−ρ∫ && . (5.15)

Mivel tetszőleges térfogatra érvényesek a fenti összefüggések, lokális alakjuk is felírható (az energia változását a bal oldalra tettük át): =ρu& :σ D + q⋅∇−ρ r , (5.16)

0T qF:P ⋅∇−ρ+=ρ 000 ru && . (5.17)

Az anyagmodellek szempontjából a legfontosabb következtetés a fenti egyenletekből az, hogy az energia megváltozásának számításakor a Cauchy-feszültség az alakváltozás-sebesség tenzorral, a nominális (első Piola-Kirchhoff) feszültségtenzor pedig a gradiens-tenzor idő szerinti deriváltjával kapcsolható össze. További átalakításokkal (lásd a Függelék (F.23)-as és (F.24)-es képleteit):


10.06.20. 66

: )-1σ D σ : (D W) σ : L σ : (F F= + = = ⋅ =ɺ (5.18)

) ( ) )-T -T -T T TF : (σ F σ F :F (σ F :F= ⋅ = ⋅ = ⋅ =ɺ ɺ ɺ

1) ( )-1 -1 T T(F σ :F F σ :F P:FT T J −= ⋅ = ⋅ =ɺ ɺ ɺ . A második Piola-Kirchhoff feszültségtenzornak is megkereshető az alakváltozástenzor párja:

)-1P:F σ:D σ:(F E FT TJ J −= = ⋅ ⋅ =ɺ ɺ (5.19)

( ) ( ) )-T T -1 -1 -1F E) :(F σ F σ :(E FT T TJ J= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =ɺ ɺ

( ) ) )-1 -1 -1 -TF σ :(E F E:(F σ F E:S S:EJ J= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =ɺ ɺ ɺ ɺ . Ezekkel a változókkal például most már felírható az első főtörvény egy alternatív változata Lagrange-rendszerben:

0qE:S ⋅∇−ρ+=ρ 000 ru && . (5.20)

Összefoglalva az energiaelvben kapcsolt fontosabb alakváltozás-feszültség párokat: Tσ:D P:F S:EJ = =& & . (5.21) Az anyagmodellekben szereplő folyamatok irányítottsága Az irányítottságot a termodinamika második főtörvényének53 segítségével lehet jellemezni. Ez a törvény többféle módon is felírható, mi most a számunkra legcélszerűbb változatát, az úgynevezett Clausius54-Duhem55 egyenlőtlenséget fogjuk használni. Ez a matematikai alak az entrópia56 változása segítségével jellemzi a mechanikai folyamatokat. Hétköznapi mérnöki jelenségekre alkalmazva az alábbi egyenlőtlenség azt jelenti, hogy reverzibilis („megfordítható”, például rugalmas tulajdonságú) anyagok terhelési folyamata esetében a belső rendezetlenség57 (vagyis az entrópia) állandó értékű, irreverzibilis (meg nem fordítható, pl. képlékeny, morzsolódó) jelenségeket tartalmazó anyagoknál pedig az entrópia nő:

∫≥η−η=η∆2

1

12 T

Qd, (5.22)

53 Eredeti formájában a második főtörvényt Nicolas Leonard Sadi Carnot (1796 – 1832), a kiváló francia fizikus és hadmérnök publikálta 1824-ben (arcképe látható ezen az oldalon). Gyakran nevezik őt a „termodinamika atyjának”. 54 Rudolf Julius Emanuel Clausius (1822 – 1888) német fizikus és matematikus, a termodinamika egyik legjelentősebb kutatója. Az entrópia fogalmát is ő javasolta használni. 55 Pierre Maurice Marie Duhem (1861 – 1916) francia fizikus és matematikus. Termodinamikai vizsgálatok mellett sokat foglalkozott rugalmasságtannal és hidrodinamikával. 56 Az entrópia az anyag belsejében létrejövő rendezetlenség mértékére jellemző változó. Maga a szó görög eredetű, a „valami felé fordulást”, vagyis lényegében az „irányítottságot” jelzi. Többféle változatát használják, a Clausius kidolgozta klasszikus termodinamikai entrópia mellett a statisztikus termodinamika (Ludwig Boltzmann, Josiah Willard Gibbs, James Clark Maxwell) és az információelmélet (Claude E. Shannon, 1948) is alkalmazza jelenségei leírására. 57 Az általunk vizsgált mechanikai feladatoknál a mikroszerkezet épen maradásához, vagy tönkremeneteléhez (és tönkremeneteli módjához) köthető a rendezetlenség jellemzése.


10.06.20. 67

ahol η az egységnyi tömegre jutó (termodinamikai) entrópiát jelöli, Q az egységnyi tömegre vonatkoztatott hőváltozás, T pedig a hőmérséklet Kelvin-fokban, „1” és „2” pedig két egymást követő állapotot jelölnek. A képletben az egyenlőség a reverzibilis (vagyis megfordítható), a nagyobb jel pedig az irreverzibilis (vissza nem fordítható) folyamatokra vonatkozik. Az első főtörvénynél alkalmazott paraméterekkel időbeli változásként kifejezve a fenti egyenlőtlenséget a következő kifejezéseket kapjuk (mindkét bázist használva):

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ρ

+⋅−≥ηρρ

+⋅−≥ηρV A V V A V

dVT

rdA

TdV

dt

ddV

T

rdA

TdV

dt

d

0 0 0

00

000, 00 n

qn

q. (5.23)

A felületi integrálok Gauss-tétel segítségével történő átalakításával:

∫ ∫ ≥

⋅∇+

ρ−ηρ≥

⋅∇+ρ−ηρ

V V

dVTT

rdV

TT

r0)(,0)( 00

00

0

0qq&& . (5.24)

A tetszőleges térfogatra értelmezett lokális alakok a kétféle bázisban:

,0)(1

≥⋅∇ρ+−η

TT

r q& 0)(

10

0

≥⋅∇ρ+−η

TT

r 0q& .

(5.25) A divergencia-művelet kifejtésével (csak az Euler-bázisra írjuk fel, a Lagrange-változókra csak alkalmazzuk az eredményét) a baloldal második tagja átírható:

2

1 1( )q

q q TT T T

∇⋅ = ∇⋅ − ⋅∇ (5.26)

Ezek figyelembevételével (5.25) új alakja:

0 0 0 02 20 0

1 1 1 10, 0,q q q q

r rT T

T T T T T Tη− + ∇⋅ − ⋅∇ ≥ η− + ∇ ⋅ − ⋅∇ ≥

ρ ρ ρ ρ& & (5.27)

Mivel a hő sohasem fog a hidegebb helyről a melegebb felé áramlani, ezért mindig igaz az alábbi két feltétel58:

0 00, 0q qT T⋅∇ ≤ ⋅∇ ≤ . (5.28)

Ennek a fizikai megfigyelésnek és az eredeti ((5.23) alatti) feltételnek a figyelembevételével (5.27) módosítható:

0 00

1 10, 0q q

r r

T T T Tη− + ∇⋅ ≥ η− + ∇ ⋅ ≥

ρ ρ& & . (5.29)

További egyenleteinkben a második főtörvény ezen alakját fogjuk használni. Az anyagmodellek előállításánál figyelembe veendő további alapelvek a./ Koordináta invariancia: Az anyagi viselkedést leíró modelleknek függetleneknek kell lenniük az alkalmazott koordinátarendszerektől, ezért az egyenleteket tenzor formában kell megadni. b./ Történetfüggés: Általános esetben egy adott időpontban az anyagban keletkező feszültségek nem csak a deformáció, a hőmérséklet és az esetleges disszipációs hatások pillanatnyi értékeitől

58 Az (5.28)-as egyenlet lényegében azt fejezi ki, hogy a hőmérséklet-gradiens és a hőáram előjele mindig különböző.


10.06.20. 68

függenek, hanem ezen változók adott időpillanatig tartó teljes történetétől. Ezt az elvet hívják a mechanikában történetfüggésnek59. Egyszerűsített esetekben ez a történetfüggés elhanyagolható: pl. ideálisan rugalmas anyagnál csak a pillanatnyi deformációtól, termoelasztikus anyagnál pedig a deformációk mellett csak a pillanatnyi hőmérséklettől függ a feszültség. c./ Lokális hatás60: Az anyag egy tetszőleges pontjában számított anyagi változók (pl. feszültségek) nem függnek jelentős mértékben a pont egy meghatározott környezetén kívül levő független változóktól (pl. jelen esetben a környezeten kívül levő alakváltozásoktól). Matematikai formában: ha egy adott P pont mozgását és hőmérsékletét r(X,t) és T(X,t) függvények határozzák meg és a pont egy kicsiny környezetében levő mozgást és hőmérsékletet ( , ) és ( , )r X Xt T t függvényekkel jelöljük61, akkor:

, ) , ) ( .... , ( ) ( , ) ( ....r

r(X r(X X- X) X, X X- X)X X

Tt t T t T t

∂ ∂= + ⋅ + = + ⋅ +

∂ ∂ (5.30)

A lokális hatások elvének figyelembevételével a vizsgált pont mozgási és hőmérsékleti állapotát a pont elemien kicsiny (lokális) környezetének figyelembevételével lehet meghatározni. Jelenlegi tárgyalási módunkban csupán az első deriváltat fogjuk számításba venni az anyagi hatásoknál, a magasabb rendűeket elhanyagoljuk. Megjegyezzük, hogy a mechanikában néha az „egyszerű anyagok” jelzőt kapcsolják ehhez a leírási módhoz. A lokális hatások és az előbb említett történetfüggés elvét figyelembe véve például a termoelasztikus anyag legáltalánosabb anyagmodelljeire az alábbi összefüggések írhatók fel: ( , ), , ), ( , ),σ σ X, F, q q(X,F, X,F,T T T T u u T T= ∇ = ∇ = ∇ ),( TT ∇η=η F,X, (5.31) A feszültségek, a hőáram, az energia és az entrópia függvényeit alapvetően az itt felsorolt változók meghatározzák. Megjegyezzük, hogy az egyenletekben szereplő X paraméter lehetővé teszi az inhomogenitás hatásának figyelembevételét. Ugyancsak fontos megjegyzés, hogy néha a hőmérséklet helyett a rendezetlenséget választják független változónak az alapegyenletekben, ilyenkor az (5.31) alatti képletek a következő alakúak lesznek: ( , ), , ), ( , ), ( , )σ σ X, F, q q(X,F, X,F, X,F,u u T T= η ∇η = η ∇η = η ∇η = η ∇η (5.32) d./ Egyidejűség: Ha egy változó szerepel az anyagot jellemző egyenletek valamelyikében, szerepelnie kell a többi egyenletben is, hacsak jelenléte nem sért valamilyen alapvető fizikai törvényt (a „c” pont végén megadott állapotjellemző függvények jól illusztrálják ezt az elvet). Ha például új

59 Szokás néha „útfüggő”, vagy „terheléstörténet-függő” anyagúnak is nevezni az erre különösen érzékeny szerkezeteket. 60 Megjegyezzük, hogy a mechanikai jelenségek leírása egyes esetekben célszerűbb lehet úgynevezett „nemlokális” kontinuummechanikai modellek alapján, lásd erre vonatkozólag a Függelékben olvasható megjegyzéseket. 61 Itt X Xés a deformálatlan test két egymáshoz elemien közeli két pontját jelölik.


10.06.20.

hatást akarunk beépíteni a modellekbe (pl. valamilyen kémiai vagy elektromos paramétert), akkor azt mind a négy kapcsolati függvényben szerepeltetni kell. e./ Anyagi objektivitás: Az anyagmodellnek invariánsmozgásával szemben. Az elv fontossága miatt matematikai jellemzésével részletesebben foglalkozunk. Vizsgáljuk meg például az 5.1rendszereket. 5.1. ábra: Különböző mozgó megfigyelő rendszerek Helyezzünk el mindegyik bázis (helyzetű megfigyelőt. Az helyben marad, de természetesen ez már nem így lesz a másik megfigyelő esetében, számára p elmozdul, ha a két bázis relatív helyzete változik. Alapvető kérdés, hogyan kapcsolhatók össze a r∗ helyzetvektorok. Jelöljük a két bázis egymáshoz képesti eltolódását eltolódásvektorral, relatív elfordulását pedig egy rotációs tenzorral. Mivel az levő elfordulni látja ( )Q rt

r Q r +b∗ = ⋅ . Fontos megjegyeznünk, hogy az ábra alapján látszólag adódó összefüggés most téves (lásd a következő magyarázó példákat)! 5.1 Példa 5.2. ábra: Kilencven fokos elfordítás

62 Természetesen jelenlegi vizsgálatainkban elhanyagolunk minden relativisztikus hatást.

hatást akarunk beépíteni a modellekbe (pl. valamilyen kémiai vagy elektromos paramétert), akkor azt mind a négy kapcsolati függvényben szerepeltetni kell.

:

invariánsnak62 kell lennie a térbeli referencia rendszer merevtestszerű mozgásával szemben. Az elv fontossága miatt matematikai jellemzésével részletesebben

Vizsgáljuk meg például az 5.1-es ábrán látható (A-val és A∗

5.1. ábra: Különböző mozgó megfigyelő rendszerek

Helyezzünk el mindegyik bázis (O-val és O∗ -gal jelölt) kezdőpontjában egy rögzített helyzetű megfigyelőt. Az A rendszerben rögzített p pont az O-ban levő megfigyelő számára helyben marad, de természetesen ez már nem így lesz a másik megfigyelő esetében, számára

elmozdul, ha a két bázis relatív helyzete változik.

Alapvető kérdés, hogyan kapcsolhatók össze a p pont helyzetét a két rendszerben leíró helyzetvektorok. Jelöljük a két bázis egymáshoz képesti eltolódását

eltolódásvektorral, relatív elfordulását pedig egy Q(t) (ugyancsak időfüggő) ral. Mivel az r vektor állandó az A-ban levő megfigyelő számára, az

( )Q rt ⋅ értékkel. Így a p pont helyzetét megadó két vektor kapcsolata

. Fontos megjegyeznünk, hogy az ábra alapján látszólag adódó összefüggés most téves (lásd a következő magyarázó példákat)!

5.2. ábra: Kilencven fokos elfordítás

Természetesen jelenlegi vizsgálatainkban elhanyagolunk minden relativisztikus hatást.

Előadásvázlat

69

hatást akarunk beépíteni a modellekbe (pl. valamilyen kémiai vagy elektromos paramétert),

kell lennie a térbeli referencia rendszer merevtestszerű mozgásával szemben. Az elv fontossága miatt matematikai jellemzésével részletesebben

A∗ -gal jelölt) hivatkozási

5.1. ábra: Különböző mozgó megfigyelő rendszerek

gal jelölt) kezdőpontjában egy rögzített ban levő megfigyelő számára

helyben marad, de természetesen ez már nem így lesz a másik megfigyelő esetében, számára

pont helyzetét a két rendszerben leíró r és helyzetvektorok. Jelöljük a két bázis egymáshoz képesti eltolódását b(t) időfüggő

) (ugyancsak időfüggő) ortogonális ban levő megfigyelő számára, az A∗ -ban

pont helyzetét megadó két vektor kapcsolata:

. Fontos megjegyeznünk, hogy az ábra alapján látszólag adódó r r + b∗ =

Természetesen jelenlegi vizsgálatainkban elhanyagolunk minden relativisztikus hatást.


10.06.20. 70

0 1 1 4 4;

1 0 0 0 1r∗

− = + =

5.3. ábra: 180 fokos elfordítás

1 0 1 4 3.

0 1 0 0 0r∗

− = + = −

A vektorok objektivitási vizsgálata a következőt mutatja: Az A∗ -ben levő megfigyelő számára egy a vektort csak az elfordulás hatása változtat meg, a két rendszer eltolódásának nincs hatása:

a Q a∗ = ⋅ . (5.33) Az ábra vázlatainak felhasználásával: 5.4. ábra: Vektorok objektivitásának vizsgálata

, , )2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1a=r r a r r r Q r b , r Q r b, a r r Q (r r Q a∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗− = − = ⋅ + = ⋅ + = − = ⋅ − = ⋅ (5.34)

5.2 Példa Mutassuk ki, hogy a két rendszerben ugyanazt kapjuk az a vektor hosszára és egy másik b vektorral bezárt szögére!

2 2( ) ( ) ( (T Ta a Q a) (Q a)=(a Q Q a)=a Q Q) a =a a =ds ds∗ ∗ ∗= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( ) (T Ta Q a , b Q b , a b Q a) (Q b) =(a Q Q b)=a (Q Q) b =a b .∗ ∗ ∗ ∗= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

5.3 Példa Vizsgáljuk meg, hogy a sebesség objektív mennyiség-e?

.v r Q r +Q r +b =Q v + Q r +b v v∗ ∗ ∗= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ≠& && && &


10.06.20. 71

A sebesség nem objektív mennyiség.

A tenzorok vizsgálata a vektorokéhoz hasonlóan végezhető el: Egy tetszőleges másodrendű T tenzor objektív jellegének eldöntésére alkalmazzuk az A rendszerben a T tenzort az alábbi transzformációra: b T a= ⋅ . Az objektivitás azt igényli, hogy

az A∗ bázisban ez b T a∗ ∗ ∗= ⋅ módon legyen felírható. A két vektorra az előzőekben bemutatott transzformáció alkalmazható:

) ( ) .T T Tb Q b =Q (T a) =Q T (Q a Q T Q a T Q T Q∗ ∗ ∗ ∗= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ (5.35) Ez a másodrendű tenzor objektivitásának feltétele. Kivételek: Vannak olyan másodrendű tenzorok, amelyekre nem érvényes a fenti összefüggés. Ilyen például a deformáció-gradiens tenzor (F) is. Legyen például az ábrán látható ∗AésA rendszerek t=0 időpillanatban azonosak, és tételezzük fel, hogy ekkor a test még deformálatlan állapotban van (dR vektor jellemzi a testet). 0>t pillanatban a két rendszer már szétválik egymástól, legyen az A jelűé a test megváltozott alakja, itt dr vektor az új jellemző. A másik rendszerben: .rQr dd ⋅=∗ 5.5. ábra: Tenzorok vizsgálata Mindkét rendszerben igaz, hogy a t = 0 helyzetből kiindulva: RFr,RFr dddd ⋅=⋅= ∗∗ . (5.36) Behelyettesítve az előbbi egyenletbe: r Q (F R) (Q F) R F Q Fd d d∗ ∗= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ , (5.33) vagyis a deformáció-gradiens tenzor vektorként transzformálódik. Hasonló a nominális feszültségtenzor viselkedése is, ez is vektorként transzformálódik: P Q P∗ = ⋅ . (5.37) Megjegyezzük, hogy ezeket a tenzorokat (F-et és P-t) a matematikusok az úgynevezett két-pont tenzorok csoportjába szokták sorolni, mert az a sajátosságuk, hogy elemeiket (más tenzorok szokásos felírási módjától eltérően) két különböző bázis (jelenleg ezek a Lagrange- és Euler-rendszerek) összekapcsolásával származtattuk. Minden két-pont tenzor vektor módjára transzformálódik.

5.4 Példa

Igazoljuk, hogy a D alakváltozás-sebesség tenzor objektív mennyiség!


10.06.20. 72

)(2

1 TLLD += [ ]Tv)(v ∇+∇=2

1.

Ha D objektív, akkor 1

( )2

T∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = ∇ + ∇ D v v ,

és a két tenzor közötti kapcsolat: D Q D QT∗ = ⋅ ⋅ módon adható meg. A bizonyításnál vizsgáljuk először a gradiens operátor transzformálását:

r Q r r Q r r Q .Td d és d d d∗ ∗ ∗= ⋅ = ⋅ = ⋅ Az elemi dr vektor másképp is felírható:

,rrr

rrr ∗∗

∗∗ ∇⋅=∂

∂⋅= ddd

ahol r

∗∗

∂∇ =

∂.

Az előző egyenletek felhasználásával63: rQ ∗∇= , illetve ∇⋅=∇∗ Q Megjegyzendő, hogy a gradiens-operátor vektorként transzformálódik. Térjünk vissza ezek után az alakváltozás-sebesség tenzor vizsgálatához:

v r Q r Q r b r Q r Q bT T∗ ∗= = ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ +& && && & & , illetve ( (v r) Q v) QT T∗ ∗ ∗ ∗∇ = ∇ ⋅ + ∇ ⋅ =& Q Q Q ( v) QT T⋅ + ⋅ ∇ ⋅& . Ennek transzponáltja:

( )v Q Q Q ( v) QT T T T∗ ∗∇ = ⋅ + ⋅ ∇ ⋅& .

Helyettesítsük be ezt a két utolsó egyenletet ∗D elsőként felírt képletébe:

1

)2

D Q Q Q Q Q ( v +( v) Q Q D QT T T T T∗ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ∇ ∇ ⋅ = ⋅ ⋅ & & ,

hiszen

Q Q Q QT T⋅ + ⋅ =& & ( ) 0Q QTd

dt⋅ = .

Ezzel igazoltuk az alakváltozás-sebesség tenzor objektív voltát. Megjegyezzük, hogy az alakváltozás-sebesség tenzortól eltérően a sebesség-gradiens tenzor viszont nem objektív:

( ) ( ) ( )( )11 1 ,L FF F F QF QF F Q Ω QLQ Ω QQT T T∗ −∗ − ∗ ∗ −= = = + = + ⇐ =& && & &

(5.38) vagyis L QLQT∗ ≠ . (5.39) Az eddigi vizsgálatok összefoglalása: Helyzetvektor: r Q r +b∗ = ⋅ (5.40/a)

Skalár: c c∗ = (5.40/b)

Vektor: a Q a∗ = ⋅ (5.40/c)

63 Ellenőrzésként: Qr

rQrQr =∂∂⋅=∇⋅=∇∗ .


10.06.20. 73

Másodrendű tenzor: T∗ = ⋅ ⋅T Q T Q (5.40/d)

Deformáció-gradiens: F =Q F∗ ⋅ (5.40/e) A bemutatott matematikai hátteret már fel lehet használni az anyagmodellek objektivitásának elemzésére. Az eddigi bevezetés figyelembevételével ugyanis megállapítható, hogy egy testen belül a Cauchy-feszültségtenzor is objektív mennyiség64, így a „c” pontban megadott kapcsolati egyenletek szintén objektívek! Vizsgáljunk meg például az alábbi egyszerű anyagmodellt:

(( )σ g F)σσσσ= . (5.41)

Megjegyezzük, hogy szokás – az A rendszerben kísérletekből meghatározandó - ( )g σσσσ -t

„válaszfüggvény”-nek is nevezni. Az anyagmodellnek teljesíteni kell az objektivitási feltételt, az A∗ rendszerben felírt:

)( )σ g (Fσσσσ∗ ∗= , (5.42)

kapcsolatnak, és az egyes paramétereknek (σ σés ∗ , valamint F Fés ∗ ) az előírt transzformációkkal kell kapcsolatban állniuk:

( )Q σ Q =g (Q F)Tσσσσ⋅ ⋅ ⋅ . (5.43)

Teljesen hasonló összefüggést kapunk, ha a Q elfordulás tenzort az F tenzor poláris felbontásából kapott R rotációs tenzor transzponáltjával helyettesítjük:

( )R σ R g (R F)T Tσ⋅ ⋅ = ⋅ . (5.44)

Megjegyezzük, hogy ha a poláris felbontás másik tenzor-komponensénél figyelembe vesszük az alábbi felbontást:

1 T= ⋅ = ⋅-U R F R F , (5.45) akkor az előző egyenlet átalakítható

( )σ R g (U) RTσ= ⋅ ⋅ (5.46)

alakba. U tenzornak a jobb Cauchy-, vagy a Green-Lagrange alakváltozás tenzorral való kapcsolatát felhasználva innen még további kapcsolati egyenletek kaphatók:

( ) ( )σ R f (C) R σ R h (E) RT Tvagyσ σσ σσ σσ σ= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ . (5.47)

Az első és második Piola-Kirchhoff feszültségtenzor is bevonható ebbe a körbe, hiszen:

1 1σ F P F S FTJ J− −= ⋅ = ⋅ ⋅ . (5.48) Például az első Piola-Kirchhoff tenzort felhasználva

1 1( ) ( )F P R g (U) R (R F) P g (U) RT T TJ J− −σ σ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ (5.49)

alakot kapjuk, és ha itt felhasználjuk az T ⋅ =R F U (5.50)

illetve a )det(det(det(det(det UU)R)U)RF ==⋅==J (5.51)

kifejezéseket, akkor az első Piola-tenzorra az alábbi eredményt kapjuk:

(P)P g (U) RT= ⋅ , ahol 1det( -(P) ( )g (U) U)U g (U)σ= . (5.52)

Megfelelő átalakításokkal itt is bevonható a C és E alakváltozástenzor: (P) (P)P f (C) R P h (E) RT Tvagy= ⋅ = ⋅ . (5.53)

64 Hiszen mind a metszeterők, mind az elemi felületek azok, így a felhasználásukkal definiált feszültségtenzor is az.


10.06.20. 74

A második Piola-Kirchhoff feszültségtenzor is hasonló módon kapcsolható a különböző alakváltozástenzorokhoz: - -

(P)S P F g (U) R FT T T= ⋅ = ⋅ ⋅ . (5.54)

Felhasználva az S tenzor szimmetriatulajdonságait: - -1 -1( ((P) (P) (P) (S)S S (R F ) (g (U)) F R) (g (U)) U g (U)) g (U)T T T T T T T= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = . (5.55)

Az S tenzor C vagy E segítségével is felírható: (E)h(C)fS (S)(S) == . (5.56)

Nagy alakváltozások esetére valamennyi fontosabb feszültség és alakváltozástenzor kapcsolati változatát megadtuk. Természetesen kis alakváltozások esetén az összes fenti változat azonos alakra redukálódik. f./ Összeférhetőség az alapvető fizikai egyenletekkel: Az anyagmodelleknek nem szabad megsérteniük az alapvető fizikai egyenleteket. Vizsgáljuk meg például a termodinamika első és második főtörvényének hatását a termoelasztikus anyag modelljeinek létrehozására. Alkalmazzunk most Lagrange-leírásmódot a Green-Lagrange alakváltozás tenzor és a második Piola-Kirchhoff feszültségtenzor felhasználásával. Az anyagmodell egyenletek (5.31) és (5.32) felhasználásával: ),(,),(,),,), TTTTuuTTTT ∇η=η∇=∇=∇= E,X,E,X,E,(X,qqE,S(X,S 00 , (5.57)

vagy ha az entrópiát független változónak használjuk a hőmérséklet helyett, akkor ),(,),(,),,), η∇η=η∇η=η∇η=η∇η= E,X,E,X,E,q(X,qE,S(X,S 0 TTuu (5.58)

alakban írhatók fel. Egy általános termoelasztikus anyagban a feszültségek csak az alakváltozások és a hőmérséklet (vagy az entrópia) függvényei lehetnek. Mivel a terhelés során nincs disszipált – vagyis elnyelt – energia, az alapegyenletek (a két termodinamikai főtétel lokális változatban, lásd az (5.17) és (5.21) alatti egyenleteket) a következő alakúak lesznek:

01

,00

00 =⋅∇ρ+−η=⋅∇+ρ−ρ 00 qq-E:S

TT

rru &&& . (5.59)

Ha innen elimináljuk az r hőforrásokat és a hőáramvektort, akkor a következő egyenlethez jutunk:

.0E:S =+−ηρ &&& )(0 uT (5.60)

Helyettesítsük be ide az előbb felvett anyagmodelleket, először azt az alakot, amikor a hőmérsékletet használtuk független változónak, majd vezessük be az úgynevezett Helmholtz65-féle szabad energia66 függvényét

65 Hermann von Helmholtz (1821 – 1894). Német tudós, élettannal, fizikával és tudományfilozófiával foglalkozott. Tőle származik a „biomechanika” elnevezés. 66 A mechanikában szabad energiának nevezik az alakváltozási energia módosított változatát. Kétféle alakban használják, az 1882-ben publikált Helmholtz-féle az entrópia és a hőmérséklet szorzatából kapott energiahatással módosít, míg a Josiah Willard Gibbs (1839 – 1903) amerikai tudós (vegyész, fizikus, matematikus) által 1873-ban javasolt változat u pV Tψ= + − η% alakú (itt p a


10.06.20. 75

η−=ψ Tu (5.61) alakban, és módosítsuk az energiára használt harmadik függvényt ),( TT ∇ψ=ψ E,X, (5.62) új függvénnyel. Az alapegyenletek összevont (r és q függvényét nem tartalmazó) alakjába helyettesítsük be a szabad energiát:

0E:S =+η+ψρ− &&& )(0 T . (5.63)

Írjuk be most a szabad energia változását leíró komponenseket:

0000 =∇⋅∂∇ψ∂

ρ−

∂ψ∂

+ηρ

∂ψ∂

ρ− TT

TT

&&& -E:E

S . (5.64)

Ha az alakváltozásokat és a hőmérsékletet független változóknak tételezzük fel, akkor ez az egyenlet három további egyenletet eredményez:

0,,0 =∂∇ψ∂

∂ψ∂

−=η∂ψ∂

ρ=TTE

S . (5.65)

Az első két egyenlet a termoelasztikus anyag komplex modellje, az utolsó pedig azt fejezi ki, hogy a szabad energia független a hőmérséklet-gradienstől. Ha az anyagban lezajló folyamatok izotermálisak ( E)X,(,0 ψ=ψ=T& ), akkor szokás a szabad energiától függő alakváltozási energiasűrűség függvény bevezetése: 0(X,E)W =ρ ψ . (5.66)

Mivel a deformálatlan test 0ρ sűrűsége nem függ az alakváltozásoktól, a feszültségekre

vonatkozó anyagmodell:

E

S∂∂=

W. (5.67)

Ha az entrópiát választjuk független változónak a hőmérséklet helyett, akkor az összevont alapegyenlet alakja:

0000 =η∇⋅η∂∇∂

ρ−η

η∂∂−ρ+

∂∂

ρ &&& uuT

uE:

E-S . (5.68)

Egymástól független entrópia és alakváltozás esetén ismét három egyenletet kapunk:

0,,0 =η∂∇∂

η∂∂=

∂∂

ρ=uu

Tu

ES . (5.69)

Az első két egyenlet ismét a termoelasztikus anyag komplex modelljét szolgáltatja, harmadik pedig az u függvény entrópia-gradienstől való függetlenségére utal. Ha az anyag viselkedése izentróp E))X,(,0( uu ==η& , akkor újból bevezethető az alakváltozási energiasűrűség, és ismét az előbb már bemutatott modellhez jutunk:

E

SE)X,∂∂=⇒ρ=

WuW 0( . (5.70)

Azokat az anyagokat, amelyek kapcsolati egyenletei így származtathatók, a mechanikában hiperelasztikus (vagy Green-féle) anyagoknak nevezzük. A második Piola-Kirchhoff feszültség tenzorra levezett anyagmodell a megfelelő átalakításokkal a Cauchy-féle és az első Piola-Kirchhoff tenzorra is felírható:

rendszerben lévő átlagos nyomás, V pedig a térfogat). Helmholtz modelljét főleg a fizikai, Gibbsét pedig főleg kémiai folyamatoknál használják.


10.06.20. 76

1 ,σ F F P FE E

T TW WJ − ∂ ∂

= ⋅ ⋅ = ⋅∂ ∂

. (5.71)

Megjegyezzük, hogy másféle alakok is előállíthatók. Például az első Piola-Kirchhoff tenzort is használhatjuk annak figyelembevételével, hogy az E:S & feszültségteljesítmény helyettesíthető TF:P & szorzattal (lásd a korábbi levezetéseket). Így a tenzor a

TFP∂

∂=

W (5.72)

anyagmodellből származtatható.

Kis alakváltozások hatása A termodinamikai főtörvények ebben az esetben az alábbi alakúak: u&ρ :σ ε= +ɺ q⋅∇−ρ r , q⋅∇−ρ=ηρ rT & . (5.73) A két egyenlet összevonásából:

:σ εɺ )( η−ρ= && Tu . (5.74) Speciális esetek:

a./ Izentróp deformáció ( 0=η& ): Most is bevezethető a uW ρ= (5.75) módon definiált (egységnyi térfogatra eső) alakváltozási energia függvény, amely segítségével (állandó sűrűséget feltételezve) : W&& =εεεεσσσσ: . (5.76) Ha ezen túlmenően még a hőmérséklet hatását is elhagyjuk, akkor W csak az alakváltozástenzor függvénye lesz, s így:

: :W W∂ ∂

= ⇒ =∂ ∂

& &σ ε ε σσ ε ε σσ ε ε σσ ε ε σε εε εε εε ε

. (5.77)

Ez a kis alakváltozású rugalmas anyagok hiperelasztikus anyagmodellje. A W függvényt laboratóriumi kísérletek eredményei alapján lehet megalkotni. b./ Izotermális deformáció ( 0=T& ): Vezessük be a szabad energia függvényét: η−=ψ⇒η−=ψ &&& TuTu . (5.78) Innen a: =εεεεσσσσ &: ψρ & (5.79) egyenlethez jutunk, és ha most is felhasználjuk a ρψ=W (5.80) alakváltozási energia függvényt, akkor az „a” pontban már ismert W&& =εεεεσσσσ: (5.81) összefüggéshez jutunk. Ha W most sem függ a hőmérséklettől, akkor az anyagmodell egyenlete formailag is megegyezik a hiperelasztikus modellre levezetett változattal.


10.06.20. 77

A Drucker67-féle stabilitási posztulátumok kis alakváltozású rendszereknél 5.6. ábra: A Drucker-posztulátumok illusztrálása Vizsgáljuk meg a bal oldali ábrán látható, V térfogatú és A felülettel rendelkező, nyugalomban levő tetszőleges anyagú testet. Az alkalmazott felületi és térfogati erőket jelölje p és q. Az adott állapothoz tartozó elmozdulásokat, feszültségeket és alakváltozásokat jelölje u, εεεεσσσσ és , egy tetszőleges külső hatásra létrejövő változásokat (jobb oldali ábra) pedig jelölje

εεεεσσσσ &&&&& és,u,q,p . Drucker posztulátuma a következőt állítja egy anyag viselkedéséről: egy anyag akkor tekinthető stabilnak, ha a külső hatásokra bekövetkező változások során teljesülnek az alábbi feltételek:

a./ ∫∫ >⋅+⋅VA

dVdA 0uqup &&&& b./ ∫∫ ≥⋅+⋅VA

dVdA 0uqup &&&& . (5.82)

A „b” feltételben szereplő ∫ most egy terhelési-tehermentesítési ciklusra utal. Az első

feltételt a „kis változás”, a másodikat pedig a „ciklikus terhelés” anyagi stabilitási feltételének hívják. Mindkét feltétel felírható az alakváltozások és feszültségek függvényeinek deriváltjaira is (ebben az esetben nem kell térfogati integrált alkalmaznunk, mert bármely térfogatrészre igaznak kell lennie az állításnak). A továbbiakban lineáris algebrai jelölésekkel:

(5.83)

A második egyenletben szereplő zárójeles tag a nemrugalmas alakváltozásokat jelenti. Rugalmas anyagok néhány változatát mutatja az alábbi ábra. Az első három vázlaton Drucker-értelemben stabil, a másik kettőn nem-stabil anyagi viselkedés látható:

67 Daniel C. Drucker (1918 – 2001) amerikai gépészmérnök, képlékenységtani kutatásairól ismert.

( ).. / 0,

. / 0

T

Trug

a

b

σ ε>

σ ε − ε ≥

&&

& &&


10.06.20.

5.7. ábra: Stabil és instabil anyagi viselkedés Ha figyelembe vesszük a hiperelasztikus anyagok definíciójára a korábbiakban bevezetett összefüggést, akkor a kifejezéshez jutunk:

∂σ ∂ ∂

σ= ε= ε ⇒ ε ε > ⇒ ε ε >∂ε ∂ε∂ε ∂ε∂ε

& & & & & &&

Az utolsó tagban szereplő

deriváltjait tartalmazó negyedrendű tenzor. A mechanikában pozitív definit volta biztosíték azstabilitására:

2 2 2 2 2 2

2x x y x z x xy x yz x zx

W W W W W W

H

szimm

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ε ∂ε ∂ε ∂ε ∂ε ∂ε ∂γ ∂ε ∂γ ∂ε ∂γ

=

68 Ludwig Otto Hesse (1811 – 1874) német matematikus.

5.7. ábra: Stabil és instabil anyagi viselkedés

Ha figyelembe vesszük a hiperelasztikus anyagok definíciójára a korábbiakban bevezetett összefüggést, akkor a Drucker-féle stabilitási posztulátum alkalmazásával az alábbi

( )2 2

0 0T

TW WH

∂σ ∂ ∂σ= ε= ε ⇒ ε ε > ⇒ ε ε > ∂ε ∂ε∂ε ∂ε∂ε

& & & & & &

Az utolsó tagban szereplő H az energia-függvény alakváltozások szerinti második parciális

it tartalmazó negyedrendű tenzor. A mechanikában Hesse68

volta biztosíték az energiafüggvényből származtatott anyagmodell

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2

2 2 2 2

2

2 2 2

2

2 2

2

2

.

x x y x z x xy x yz x zx

y y z y xy y yz y zx

z z xy z yz z zx

xy xy yz xy zx

yz yz zx

W W W W W W

W W W W W

W W W W

W W W

W Wszimm

W

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ε ∂ε ∂ε ∂ε ∂ε ∂ε ∂γ ∂ε ∂γ ∂ε ∂γ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ε ∂ε ∂ε ∂ε ∂γ ∂ε ∂γ ∂ε ∂γ

∂ ∂ ∂ ∂∂ε ∂ε ∂γ ∂ε ∂γ ∂ε ∂γ

∂ ∂ ∂∂γ ∂γ ∂γ ∂γ ∂γ

∂ ∂∂γ ∂γ ∂γ

∂∂γ2

zx

1874) német matematikus.

Előadásvázlat

78

Ha figyelembe vesszük a hiperelasztikus anyagok definíciójára a korábbiakban bevezetett alkalmazásával az alábbi

0 0σ= ε= ε ⇒ ε ε > ⇒ ε ε > . (5.84)

függvény alakváltozások szerinti második parciális 68-mátrix néven ismerik,

energiafüggvényből származtatott anyagmodell

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2

2

x x y x z x xy x yz x zx

y y z y xy y yz y zx

z z xy z yz z zx

xy xy yz xy zx

yz yz zx

W W W W W W

W W W W W

W W W W

W W W

W W

W

∂ε ∂ε ∂ε ∂ε ∂ε ∂ε ∂γ ∂ε ∂γ ∂ε ∂γ

∂ε ∂ε ∂ε ∂ε ∂γ ∂ε ∂γ ∂ε ∂γ

∂ε ∂ε ∂γ ∂ε ∂γ ∂ε ∂γ

∂γ ∂γ ∂γ ∂γ ∂γ

∂γ ∂γ ∂γ

∂γ2zx

. (5.85)


10.06.20. 79

Kis alakváltozású, lineárisan rugalmas, hőmérséklettől nem függő anyagok modelljei

A W alakváltozási energiasűrűség ilyenkor kvadratikus függvénye az alakváltozás tenzornak, és így a deriváltjaként származtatott : , ,σ D ε i j i j k l k lD D= σ = ε σ = ε (5.86)

anyagmodell általános esetben egy negyedrendű (81 elemet tartalmazó) tenzorral adható meg. (Megjegyezzük, hogy a mechanikában sajnos ugyanazt a D jelölést használják az anyagmodell kapcsolati egyenletének és az alakváltozás-sebesség tenzornak a megadására, csak egy adott szövegkörnyezet alapján azonosítható a pontos jelentés!). A most megadott anyagmodellt általánosított Hooke69-modellnek hívják a mechanikában. Mivel ésσ ε is szimmetrikus tenzorok, így 81 helyett elegendő 36 független elem. Ha a termodinamikai alapelveket (rugalmas viselkedés esetén zárt terhelési ciklusban nem generálhat vagy nyelhet el energiát a modell) is figyelembe vesszük, a független elemek száma 21-re csökken. Ha az anyagmodellt tenzorok helyett - Voigt70-jelölésrendszerre áttérve - vektor-mátrix kapcsolattal adjuk meg, akkor a feszültség- és alakváltozástenzor hat független elemét tartalmazó εεεεσσσσ és vektorokat egy 6 x 6-os szimmetrikus anyagi merevségi mátrix kapcsolja össze, amely a szimmetria miatt pontosan 21 elemmel adható meg. Az ilyen anyagot anizotrop viselkedésűnek nevezzük. Ha az anyagban található 3 olyan egymásra merőleges irány, amely irányokban az anyagi viselkedés azonosnak tekinthető, akkor az anyagot ortotropnak hívják (tipikus példája az élő fa szerkezete). Ebben az esetben 9 darab állandóra van szükség a kapcsolati egyenletek felírásához. Voigt-jelölésrendszerrel:

10 0 0

10 0 0

10 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

y z z y y x z x y z z x y x z y

y z y z y z

xx y x z z y z x x z z y z x x y

yz x z x z x

zx z x y y z y z x z yx x y y x

y z

x y x y x yx z

y zx y

z x

x y

E E C E E C E E C

E E C E E C E E C

E E C E E C E E C

G

G

G

−ν ν ν + ν ν ν + ν ν

σ ν + ν ν −ν ν ν + ν ν σ

σν + ν ν ν + ν ν −ν ν=

τ τ τ

x

y

z

y z

x z

x y

ε ε ε γ γ γ

, (5.87)

ahol zyx

xzzyyxzxxzyzzyxyyx

EEEC

ννν−νν−νν−νν−=

21 .

69 Robert Hooke (1635 – 1703) kiváló angol fizikus, csillagász és biológus. Nevéhez fűződik a rugalmas viselkedés első pontos kísérleti modellezése. Életrajza a tanszéki honlapon olvasható „Hooke és a rugalmas anyagmodell” címen, arcképe látható ezen az oldalon. 70 Woldemar Voigt (1850 – 1919) német fizikus, sokat foglalkozott kristályok mechanikai vizsgálatával. Ő használta először a „tenzor” elnevezést a fizikában.


10.06.20. 80

A szimmetria-feltételek miatt teljesülni kell az alábbi egyenlőségeknek: (5.88)

CEECEECEECEECEECEE yx

zyyxzx

zy

yzxyxz

yx

zyzxyz

xz

yxxzyz

xz

xzzxyx

zy

zyxzxy νν+ν=

νν+ννν+ν=

νν+ννν+ν=

νν+ν,, .

Természetesen inverz alakban is felírható az ortotrop anyagmodell:

10 0 0

10 0 0

10 0 0

10 0 0 0 0

10 0 0 0 0

10 0 0 0 0

y x z x

x y z

x y z y

x y zx x

y yx z y z

z zx y z

y z y z

x z x zy z

x y x y

z x

x y

E E E

E E E

E E E

G

G

G

ν ν − −

ν ν − −

ε σ ε σν ν − − ε σ=

γ τ γ τ

γ τ

. (5.89)

A szimmetria-feltételekből most az alábbi egyenlőségeket kapjuk:

y

xy

x

yx

x

zx

z

xz

z

yz

y

zy

EEEEEE

ν=

νν=

νν=

ν,, . (5.90)

A kettős indexű Poisson71-tényező értelmezése: ijij εν−=ε .

Megjegyezzük, hogy (főleg numerikus alkalmazásoknál) a D tenzort (mátrixot) anyagi merevségi, inverzét pedig anyagi hajlékonysági mátrixnak is nevezik. Ha az anyagi viselkedésnek egyáltalán nincs kitüntetett iránya, akkor izotrop anyagról beszélünk. Ebben az esetben a kapcsolati egyenletek két anyagállandó segítségével adhatók meg:

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

1 20 0 0 0 0 ,2 (1 )(1 2 )

1 20 0 0 0 0

21 2

0 0 0 0 02

x x

y y

z z

y z y z

x z x z

x y x y

EC C

− ν ν ν ν −ν νσ ε

ν ν − νσ ε − ν σ ε

= = τ γ + ν − ν − ν τ γ τ γ − ν

, (5.91)

illetve az inverz alak:

71 Siméon Denis Poisson (1781 – 1840) kiváló francia matematikus, életrajza „Poisson és a Poisson-tényező” címen olvasható a tanszéki honlapon.


10.06.20. 81

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 01

0 0 0 2(1 ) 0 0

0 0 0 0 2(1 ) 0

0 0 0 0 0 2(1 )

x x

y y

z z

y z y z

x z x z

x y x y

E

ε σ −ν −ν ε σ−ν −ν ε σ −ν −ν

= γ τ+ ν γ τ+ ν γ τ+ ν

. (5.92)

A gyakorlati mérnöki munkának nagyon sokszor van szüksége ezen általános térbeli változatok speciális eseteire. Ilyen például a

a./ sík feszültségi állapot:

2

1 0 1 01

1 0 , 1 01

1 0 0 2(1 )0 0

2

x x x x

y y y y

x y x y x y xy

E

E

σ ν ε ε −ν σ σ = ν ε ε = −ν σ − ν τ − ν γ γ + ν τ

,

(5.93) illetve a b./ sík alakváltozási állapot:

1 0 1 01

1 0 , 1 0(1 )(1 2 )

1 2 0 0 20 0

2

x x x x

y y y y

x y x y x y x y

E

E

σ −ν ν ε ε − ν −ν σ + ν σ = ν −ν ε ε = −ν − ν σ + ν − ν τ − ν γ γ τ

. (5.94)

Megjegyezzük, hogy sík feszültségi állapot esetén az alakváltozási állapot térbeli, de a merőleges alakváltozási komponens nem független:

( ) ( )1z x y x yE

−ν −νε = σ +σ = ε + ε

−ν, (5.95)

a másik két szögtorzulás ( y z z xésγ γ ) értéke pedig zérus. Sík alakváltozási állapot esetén

pedig a feszültségi állapot térbeli: ( ) , 0z x y y z z xσ =ν σ +σ τ =τ = . (5.96)

Egy másik gyakori eset a hengerkoordináta-rendszerben felírt, forgásszimmetrikus viselkedést követő anyagmodell (a komponensek értelmezését lásd az ábrán): 5.8. ábra: Feszültségek hengerkoordináta- rendszerben forgásszimmetria esetén.


10.06.20. 82

1 0

1 0

1 0(1 )(1 2 )

1 20 0 0

2

r r

z z

r z r z

E

θ θ

−ν ν ν σ ε ν − ν ν σ ε = ν ν −ν σ ε+ ν − ν − ν τ γ

, (5.97)

illetve az inverz alak:

τ

σ

σ

σ

ν+

ν−ν−

ν−ν−

ν−ν−

=

γ

ε

ε

ε

θθ

zr

z

r

zr

z

r

E

)1(2000

01

01

01

1 . (5.98)

Felhasznált irodalom: 1./ Taber, L.: A.: Nonlinear Theory of Elasticity, World Scientific, New Jersey, 2004. 2./ Fung, Y.C: Foundation of Solid Mechanics, Prentice Hall, 1965, 1994. 3./ Bojtár I.: Mechanikai anyagmodellek, BME, 2007. 4./ Fung, Y. C. – Pin Tong: Classical and computational solid mechanics, World Scientific, 2001.


10.06.20. 83

6. Előadás: Mechanikai anyagmodellek: képlékeny illetve időfüggő anyag modellezése

Irreverzibilis hatások modellezése A – minden anyagra jellemző – kezdeti rugalmas viselkedést a külső terhek növekedése

miatt egy bizonyos teherszint felett alapvetően irreverzibilis jelenségek váltják fel. Az anyag - belső szerkezeti felépítési módjától függő módon – elveszti teherbíró képességét, tönkremegy. Az anyagi struktúra felbomlása alapvetően kétféle különböző módon következhet be:

a./ a mikroszerkezetben (kristályos területek határán, polikristályok között, amorf anyagi részekben egyes sávjaiban keletkező feszültségkoncentrációknál, stb.) létrejövő belső csúszások, torzulások miatt –az anyag képlékennyé válik. Ilyenkor az anyag megőrzi belső folytonosságát, de szerkezetében visszafordíthatatlan torzulások jönnek létre. b./ a mikroszerkezetben levő elemi (atomi vagy molekulaszintű) kötések szakadnak. Először mikrorepedések jönnek létre, majd ezek összefűződve makrorepedéseket alkotnak. Az anyag elveszti folytonosságát, különálló részek halmazává válik. A tönkremenetelnek ezt a módját fellazuló-morzsolódó viselkedésnek hívjuk. A kétféle alaptípus jellegzetes egytengelyű feszültség-alakváltozás diagramjai láthatók az ábrán: 6.1. ábra: Képlékeny és fellazuló anyagok

Az anyagi viselkedés a valóságban nagyon sokszor ezen két alapeset kombinációja, mert a külső körülmények (hőmérséklet, feszültségi állapot típusa, stb.) az anyag mechanikai állapotát át tudják formálni. Jelen előadás keretében azonban csak a képlékeny viselkedés modellezésének alapvető kérdéseire térünk ki, a fellazuló-morzsolódó anyagok tulajdonságainak leírásával, illetve a kétféle alapeset kombinációjával a „Mechanikai anyagmodellek” c. tárgy foglalkozik a későbbiekben.

Az anyag belső szerkezete az őt érő külső hatások következtében még akkor is alakváltozást végez (és általában veszít eredeti teherbíró képességéből), ha a külső aktív terhelések (erők, hőmérséklet) egyébként állandó értékűek. Az anyagnak ezt az időtől függő minőségváltozását viszkozitásnak hívják a mechanikában. Ez a fejezet bemutatja a legegyszerűbb viszkózus anyagmodellek különböző változatait is.


10.06.20. 84

A./ Képlékeny anyagmodellek:

A képlékeny anyagi tulajdonságok legfontosabb jellemzője az irreverzibilitás és a terhelési

úttól függő anyagi viselkedés.

- Irreverzibilitás: képlékeny állapotban az anyagban vissza nem fordítható fizikai változások következnek be a belső mikroszerkezet deformációi miatt. A vissza nem fordítható jelenségek az anyagmodelleknél a ciklikus terhelések során halmozódó maradó képlékeny alakváltozásokban tükröződnek elsősorban. - Terhelési úttól való függés: A képlékeny anyagok modellezésénél feltétlenül figyelembe kell vennünk a terhek változásának sorrendjét, mert a létrejövő képlékeny alakváltozások kialakulásának egymásutánisága befolyásolja az alakváltozások és feszültségek létrejöttének módját és a tenzorok elemeinek tényleges értékét.

A képlékeny anyagmodellek alapvető osztályai: - Deformációs (vagy más néven Hencky72-Nádai73) elmélet:

ˆ ( ):Fσ σ εσ σ εσ σ εσ σ ε= . (6.1) A modell a teljes alakváltozás- és feszültségtenzort kapcsolja össze egy feszültségfüggő anyagi merevségi tenzor. Alapvetően egyparaméteres, monoton növekvő terhelések esetén történő határteherbírás vizsgálatra kidolgozott változat. - Növekmény (vagy más néven Prandtl74-Reuss75) elmélet: ( ):d F dσ σ εσ σ εσ σ εσ σ ε= % . (6.2) A modell az alakváltozás- és feszültségtenzorok növekményeit kapcsolja össze egy feszültségfüggő tenzor segítségével. A kapcsolati egyenletek csak növekményi alakban alkalmazhatók, és általános terhelési viselkedés (többparaméteres teher, ciklikus terhelés, stb.) leírására is alkalmasak.

A képlékeny anyagmodellek létrehozásához szükséges fizikai hatások modellezése

- folyási feltétel: annak a fizikai jelenségnek matematikai leírása, amely megmutatja, hogy az anyag különböző feszültségkombinációk esetén mikor kerül rugalmasból képlékeny állapotba, - keményedési feltétel: a már képlékeny állapotba került anyag viselkedésének modellezése a külső teher további növekedése esetén.

72 Heinrich Hencky (1885 – 1951) német gépészmérnök, elsősorban a képlékenységtanban alkotott maradandót. Életrajza (Mises és Huber életének leírásával együtt) a tanszéki honlapon olvasható „Huber, Mises, Hencky és a fémek képlékenységtana” címen. 73 Nádai Árpád (1883 – 1963) magyar gépészmérnök, a fémek képlékeny viselkedésének kutatója. 74 Ludwig Prandtl (1875 – 1953) német fizikus, az aerodinamika és a képlékenységtan kiváló tudósa. 75 Reuss Endre (1900 – 1968) magyar gépészmérnök, a BME professzora és hosszú ideig a Gépészmérnöki Kar dékánja. Elsősorban képlékenységtani vizsgálatairól ismert.


10.06.20. 85

Folyási feltételek A rugalmas-képlékeny állapotváltozást általában a feszültségtenzor és az anyagra jellemző állandók ( )kH segítségével adják meg:

( , ) 0σ kF H = . (6.3)

Most csak az izotróp anyagok esetén használt változatokkal foglalkozunk, ortotróp folyási feltételeket a „Mechanikai anyagmodellek” c. tárgy mutat be. Izotróp anyagoknál a folyási feltételt a teljes feszültségtenzor helyett a feszültségi invariánsok segítségével adják meg. Ha az anyag képlékeny tulajdonságai érzékenyek a hidrosztatikus hatásokra, akkor az első invariánst ( 1I ) is figyelembe veszik, egyébként csak a deviátoros hatásokat építik be a folyási feltételbe. Jellemző változatok: 2 3( , , ) 0kF J J H = , → fémes anyagokra jellemző függvény, (6.4/a)

1 2 3( , , , ) 0kF I J J H = , → nemfémes anyagokra jellemző függvény. (6.4/b)

Fémes anyagok alapvető folyási feltételei: a./ Huber76- Mises77 - Hencky-féle feltétel: Az anyag akkor kerül képlékeny állapotba, ha a deviátoros feszültségtenzor második invariánsa elér egy kísérletileg meghatározott állandót.

2 2 2 2 22 1 2 2 3 1 3

1( ) ( ) ( ) 0

6F J k k = − = − + − + − − = σ σ σ σ σ σ . (6.5)

A főfeszültségek terében a folyási felület a hidrosztatikus tengely körül felvett, két irányban nyitott, a deviátoros síkon kör vezérgörbéjű henger. Egy tetszőleges főfeszültségi síkkal való metszete ellipszis, lásd az alábbi ábrákat.

6.2.ábra: HMH folyási feltétel

76 Makszimillian Titusz Huber (1872 – 1950) kiváló lengyel tudós, elsősorban képlékenységtannal illetve ortotrop lemezek viselkedésének vizsgálatával foglalkozott. 77 Richard Edler von Mises (1883 – 1953) osztrák tudós, a képlékenységtan mellett a mechanika számos más területén is jelentőset alkotott.


10.06.20. 86

A képletben szereplő k állandó kapcsolata a 0σ egytengelyű folyási határfeszültséggel:

3

0σ=k . (6.6)

A folyási feltétel egyébként a teljes feszültségtenzor illetve a Haigh-Westergaard-tér komponenseivel is kifejezhető:

2 2 2 2 2 2 21( ) ( ) ( ) 6 6 6 0

6 x y x z z x x y y z z x k − + − + − + + + − = σ σ σ σ σ σ τ τ τ . (6.7)

2 0kρ − = . (6.8) b./ Tresca78-féle feltétel: Az anyag akkor kerül képlékeny állapotba, ha a főnyíró-feszültség elér egy kísérletileg meghatározott állandót.

01 2

0max 2 3

03 1

1( ) 0

2 21

( ) 02 21

( ) 02 2

F k

− ± =

= − = − ± =

− ± =

σσ σ

στ σ σ

σσ σ

. (6.9)

A Haigh-Westergaard-koordinátákkal:

sin( ) 2 0 , 03 3

F k = Θ+ − = ≤Θ≤

π πρ . (6.10)

A folyási felület ebben az esetben is két irányban nyitott, a deviátoros síkon szabályos hatszög metszetű hasáb palástjával jellemezhető alakzat.

6.3. ábra: Tresca folyási feltétele A főfeszültségi síkokkal való metszet is hatszög. Megjegyezzük, hogy a Huber-Mises-Hencky-feltétel külső burkolófelülete (görbéje) a Tresca-feltétel függvényének.

78 Henri Edouard Tresca (1814 – 1884) kiváló francia gépészmérnök, a „méter” etalonjának tervezője.


10.06.20. 87

Nemfémes anyagok alapvető folyási feltételei:

a./ Mohr-feltétel: Az anyag akkor kerül képlékeny állapotba, amikor a nyírófeszültség értéke egy adott pontban eléri az ugyanott lévő normálfeszültségtől függő határértéket: ( )h=τ σ . (6.11)

A jobb oldalon szereplő függvényt a kísérletekből kell meghatározni. A függvényt Mohr79 grafikus ábrázolásában (a feszültségi Mohr-körökkel együtt) az alábbi vázlat ábrázolja:

6.4. ábra: Mohr folyási feltétele

Az ábra szerint a képlékeny állapot akkor következik be, amikor a legnagyobb kör érinti a burkoló görbét. A legegyszerűbb burkoló görbét egy egyenes felvételével kapjuk, ez a mechanikában Mohr-Coulomb80-feltételnek ismert folyási korlát:

1 3

t 0 ,

1 sin 1 sin1 0 .

2 cos 2 cos

F c g

Fc c

= − + Φ=

+ Φ − Φ= − − =

Φ Φ

τ σ

σ σ (6.11)

2 sin 3 sin( ) cos( )sin 6 cos 0 , 03 3 3

F c = Φ+ Θ+ + Θ+ Φ− Φ= ≤Θ≤

π π πξ ρ . (6.12)

A képletekben szereplő Φésc az anyag belső kohéziója és súrlódási szöge (ezt a modellt alapvetően a talajmechanikában használják).

79 Christian Otto Mohr (1835 – 1918) német építőmérnök, a szilárdságtan kiváló tudósa. Életrajza „Mohr és az anyag szilárdsági feltétele” címen olvasható a tanszéki honlapon. 80 Charles-Augustin de Coulomb (1736 – 1806) francia fizikus. Elsősorban elektromosságtannal foglalkozott, de sok kiváló munkát publikált mechanikai kutatásokból is.


10.06.20. 88

6.5. ábra: Mohr és Coulomb folyási feltétele A bal oldali ábra a normál- és nyírófeszültségek közötti kapcsolatot ábrázolja a két anyagi paraméter függvényében, a másik pedig a főfeszültségek terében mutatja be a folyási felületet. A függvény a hidrosztatikus tengely pozitív iránya felé zárul, a nyomófeszültségek irányában nyitott. Deviátoros metszete harmadrendűen szimmetrikus hatszög. b./ Prager81-Drucker-feltétel: Az anyag akkor kerül képlékeny állapotba, amikor a deviátoros feszültségek és a hidrosztatikus hatás együttese elér egy kritikus értéket:

1 2 0,

2sin 6 cos; .

3 (3 sin ) 3 (3 sin )

F I J k

ck

= + − =

Φ Φ= =

− Φ − Φ

α

α. (6.13)

A képlet a Mohr-Coulomb-feltételhez hasonlóan a kohéziót és a belső súrlódási szöget tartalmazza anyagállandóként. A deviátoros metszet kör, a felület a húzási főfeszültségi térrészben itt is záródik.

81 William Prager (1903 -1980) német származású, élete nagy részében Amerikában élő matematikus.

σ


10.06.20. 89

6.6. ábra: Prager-Drucker feltétel A Haigh-Westergaard-térben felírt alak:

6 2 0F k= αξ+ρ− = . (6.14)

Keményedési feltételek:

- Izotróp keményedés: a folyási felület a teher növekedésének hatására izotróp módon növekszik egy alakváltozási korláttal megadott határig.

6.7. ábra: Izotróp keményedés - Kinematikus keményedés: a folyási felület a terhelés növekedésének hatására a terhelés „irányába” elmozdul egy ugyancsak alakváltozási korláttal megadott határig:

6.8. ábra: Kinematikus keményedés


10.06.20. 90

- Vegyes keményedés: az izotróp és a kinematikus keményedés kombinációja:

6.9. ábra: Vegyes keményedés - A folyási felület alapvető tulajdonságai: a./ A folyási felület mindig konvex (a felülethez húzott egyetlen érintősík sem metszi a felületet). b./ A képlékeny alakváltozás növekmények merőlegesek a folyási felületre (normalitási törvény):

pl Fd

∂ε =λ

∂σ. (6.15)

A képletben szereplő λ a hosszat befolyásoló, a terhelés történetétől függő paraméter82. Értékét mindig az aktuális anyagmodellben kell meghatározni.

A deformációs elmélet anyagmodelljei:

- Útfüggetlen modellek, egyparaméteres, monoton növekvő terhelés esetén határteherbírás számítására alkalmasak. - Alapelv:

rug képl= +ε ε ε , ahol 1rug D−=ε σ , 1 2 3( , , )képl f I J J=ε . (6.16)

A növekmény elmélet anyagmodelljei:

- Útfüggő modellek, többparaméteres, ciklikusan változó terhelés követésére is alkalmasak. - Alapelv:

rug képld d d= +ε ε ε . (6.17) A növekményi forma felhasználásával egy x,y,z rendszerben az alábbi módon építhető fel az anyagmodell. Írjuk fel az általános folyási feltételt mátrixos alakban: ( , ) ( ) ( ) 0k kF H f k H= − =σ σ . (6.18)

82 Megjegyezzük, hogy sok munkában növekményi alakját használják ( dλ jelöléssel).


10.06.20. 91

Ezt differenciálva megkapjuk a képlékeny állapot feltételét jelző (dF = 0) egyenletet:

0 0,

1ahol , , ....., és .

Tk

k

Tk

x y xy k

F Fd dH a d A

H

F F F F Fa A dH

H

∂ ∂+ = ⇒ − =

∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = =− ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

σ σ λσ

σ σ σ τ λ

(6.19)

Az a vektor neve a képlékenységtanban: folyási vektor. Írjuk fel most az alakváltozások növekményeire vonatkozó feltételt:

-1rug képld d d D d a= + = ⋅ +ε ε ε σ λ . (6.20)

Itt a képlékeny alakváltozás növekmény számításánál az előzőekben bevezetett normalitási

törvény segítségével helyettesítettük be. Szorozzuk be balról az egyenletet Ta D vel− , majd

Ta dσ helyére írjuk be az Aλ tagot. Így az egyenletből kifejezhető λ :

T

T

a Dd

A a Da=+

λ ε . (6.21)

Helyettesítsük be ezt az alakváltozás növekményeket kifejező előző egyenletbe és rendezzük a kifejezést a feszültségnövekményekre83:

T

T

Daa Dd D d

A a Da

= − =

+ σ ε epD dε . (6.22)

Ez a képlet a (kis alakváltozásokra vonatkozó) általános rugalmas-képlékeny anyagmodell, Dep pedig a rugalmas-képlékeny anyagi merevségi mátrix. Értéke a rugalmas anyagi viselkedés modellezésétől (D), a folyási felület típusától (a) és a keményedés modellezésétől (A) függ. A Haigh-Westergaard-tér koordinátáinak felhasználása a folyási vektor számítására Ebben az esetben a folyási feltételt

1 2( , , )F f I J= Θ (6.23)

alakban kell megadni. A folyási vektor:

211 2 31 2 3

1 2

T JIF F Fa C a C a C a

I J

∂∂∂ ∂ ∂ ∂Θ= + + = + +∂ ∂ ∂ ∂Θ ∂∂σ σ σ

. (6.24)

Ha figyelembe vesszük, hogy

23 32322

33 1

2cos3

JI I

JJ

∂∂∂Θ =− −

∂ Θ ∂ ∂ σ σ σ, (6.25)

akkor a folyási vektor komponensei:

[ ] 211 2

2

11 1 1 0 0 0 , 2 2 2 ,

2

T Tx y z yz xz xy

JIa a s s s

J

∂∂ = = = = ∂ ∂

τ τ τσ σ

(6.26)

2 2 23 2 2 23 , , ,

3 3 3T

y z yz x z xz x y xy

I J J Ja s s s s s s∂ = = − + − + − +∂

τ τ τσ

(6.27)

83 Felhívjuk az olvasó figyelmét, hogy a (6.21) és (6.22)-es egyenletekben szereplő

Ta Da szorzat

eredménye természetesen skalár.


10.06.20.

2( ), 2( ), 2( )xz xy x yz xy yz y xz yz xz z xys s s− − −τ τ τ τ τ τ τ τ τ

A konstansok:

1 2 31 2

, ,F F tg F F

C C CI J

∂ ∂ Θ ∂ ∂= = − =∂ ∂ ∂Θ Θ ∂Θ

A négy bemutatott folyási feltétel

1 2 3

1 3 2

1 2

3

1 2 3

0, 2cos (1 3 ), ;

sin

3

3 sin cos sin

, 1, 0 .

Tresca C C tg tg C

HMH C C C

MC C C tg tg tg tg

C

PD C C C

→ = = Θ + Θ Θ =

→ = = =

Φ→ = = Θ + Θ Θ + Φ Θ− Θ

=

→ = = =α A folyási vektorok ezzel a módosítással egyszerűbben számíthatók, és így nem okoz nehézséget egy numerikus modellnél a gyors váltás sem az egyes anyagmodellek között.

B./ Viszkózus modellek

Minden anyag viselkedésére hatással van azanyagok (pl. a kőzetek), ahol ez évszázadokban vagy évezredekben mérhető, egy lágy polimernél azonban órák is elegendők jelentős szerkezeti változások bekövetkeztéhez. Ennek a különbségnek az oka a mikroszerke Viszkózus jelenségek alapvető jellemzői 1D húzókísérletek tapasztalatai alapján: A jelenségek leírásához használnunk kell az alakváltozások és feszültségek időbeli változását is:

6.10. ábra: Viszkózus hatások különböző típusai

84 A viszkózus hatásokat leíró elemi modelleknél felhasználtuk a

fejezetét. A további részletek után é

2( ), 2( ), 2( )xz xy x yz xy yz y xz yz xz z xys s s − − − τ τ τ τ τ τ τ τ τ .

1 2 3 31 2 2 2

3 3 1, ,

2cos3

F F tg F FC C C

I J J J

∂ ∂ Θ ∂ ∂= = − =∂ ∂ ∂Θ Θ ∂Θ

.

négy bemutatott folyási feltétel esetére:

1 2 3

2

1 3 2

1 2

2

1 2 3

3 sin0, 2cos (1 3 ), ;

cos3

0, 3;

sin, cos (1 3 ) sin ( 3 ) 3 ,

3

3 sin cos sin;

2 cos3

, 1, 0 .

Tresca C C tg tg CJ

HMH C C C

MC C C tg tg tg tg

J

PD C C C

Θ→ = = Θ + Θ Θ =

Θ

→ = = =

Φ→ = = Θ + Θ Θ + Φ Θ− Θ

Θ+ Θ ΦΘ

→ = = =

A folyási vektorok ezzel a módosítással egyszerűbben számíthatók, és így nem okoz nehézséget egy numerikus modellnél a gyors váltás sem az egyes anyagmodellek között.

B./ Viszkózus modellek84.

Minden anyag viselkedésére hatással van az idő, legfeljebb az időlépték változik, vannak anyagok (pl. a kőzetek), ahol ez évszázadokban vagy évezredekben mérhető, egy lágy polimernél azonban órák is elegendők jelentős szerkezeti változások bekövetkeztéhez. Ennek a különbségnek az oka a mikroszerkezet átalakításához szükséges idő különböző léptéke.

Viszkózus jelenségek alapvető jellemzői 1D húzókísérletek tapasztalatai

A jelenségek leírásához használnunk kell az alakváltozások és feszültségek időbeli változását

A viszkózus hatásokat leíró elemi modelleknél felhasználtuk a [ ]2 alatti tankönyv vonatkozó

fejezetét. A további részletek után érdeklődőknek javasoljuk a könyv részletes tanulmányozását.

Előadásvázlat

92

(6.28)

3 sin0, 2cos (1 3 ), ;

cos3

, cos (1 3 ) sin ( 3 ) 3 ,MC C C tg tg tg tg

Θ

→ = = Θ + Θ Θ + Φ Θ− Θ (6.29)

A folyási vektorok ezzel a módosítással egyszerűbben számíthatók, és így nem okoz nehézséget egy numerikus modellnél a gyors váltás sem az egyes anyagmodellek között.

idő, legfeljebb az időlépték változik, vannak anyagok (pl. a kőzetek), ahol ez évszázadokban vagy évezredekben mérhető, egy lágy polimernél azonban órák is elegendők jelentős szerkezeti változások bekövetkeztéhez. Ennek

zet átalakításához szükséges idő különböző léptéke.

Viszkózus jelenségek alapvető jellemzői 1D húzókísérletek tapasztalatai

A jelenségek leírásához használnunk kell az alakváltozások és feszültségek időbeli változását

alatti tankönyv vonatkozó

részletes tanulmányozását.


10.06.20. 93

, .d d

dt dt= =& &ε σ

ε σ (6.30)

Vizsgáljuk meg (6.30) figyelembevételével a (6.10) ábra függvényeit: a./ állandó, 0= =&σ σ feltétel mellett („a” ábra) a próbatest alakváltozásai tovább nőnek (ez a jelenség a kúszás). A kúszás – ellentétben a képlékeny tulajdonságok vizsgálatánál tapasztaltakkal – bármilyen feszültségszinten felléphet. Az alakváltozás egy része a feszültség felléptekor azonnal létrejön (ezt tekintjük rugalmas alakváltozásnak: rugε ), másik része késve alakul ki (ez a viszkózus alakváltozás: vε). Maga a függvény két jellegzetes szakaszból áll, az első része magasabb fokú görbével jellemezhető és viszonylag kevés időt igényel (ez az úgynevezett elsődleges kúszás), a másik szakasz jó közelítéssel egyenes és jóval hosszabb idejű a folyamat (másodlagos kúszás). A másodlagos kúszás során ε& állandónak tekinthető. b./ állandó , 0= =&ε ε feltétel („b” ábra) a próbatest rögzítését jelenti egy bizonyos teherszint után. Ilyenkor az anyagban egy idő után a feszültségek értéke csökken (ez a jelenség az ernyedés vagy más néven relaxáció). c./ Ha a kísérleteket állandó vagy állandó= =& &ε σ feltételek mellett hajtjuk végre („c” és „d” ábrák), akkor azt tapasztaljuk, hogy az anyagmodell függvénye változik, vagyis a viszkózus anyagnál az alakváltozás vagy a feszültség sebességét növelve az anyag belső ellenállása nő. d./ A tehermentesítés hatása szintén megvizsgálható, lásd a következő ábrát. Az alakváltozás egy része azonnal megszűnik (rugalmas rész), másik része csak fokozatosan csökken, egy része pedig végleg megmarad. 6.11. ábra: Tehermentesítés hatása

Viszkoelasztikus anyagmodellek:


10.06.20. 94

Az anyagot rugalmas és viszkózus hatások együttese építi fel, képlékeny jelenségek nincsenek. - Maxwell85-féle modell:

6.12. ábra: Maxwell modell

rug v rug v rug v; ,E

= = = + ⇒ = =&σ σ

σ σ σ ε ε ε ε εµ

. (6.31)

A viszkózus alakváltozásra felírt képletet Newton javasolta. A nevezőben szereplő µ

paraméter neve viszkozitási állandó, dimenziója 2/Ns m . A teljes és a rugalmas

alakváltozásokat idő szerint deriválva kapjuk a végleges Maxwell-modellt:

E= +&

&σ σ

εµ

. (6.32)

Relaxáció vizsgálata esetén 0 és 0= =&ε ε ε , így a modell :

d E

0dt+ =σ

σµ

. (6.33)

A sorba kapcsolt modellnél t = 0 pillanatban 0 0E= =σ σ ε . Ennek a kezdeti feltételnek a

figyelembe vételével a feszültség értéke (lásd az ábrát):

0

Et

e−

= µσ σ . (6.34)

6.13. ábra: Relaxáció hatása Kúszásnál t = 0 pillanatban 0=σ σ kezdeti feszültséget alkalmazunk és feltételezzük, hogy

ez a továbbiakban nem változik: 0=&σ . Így az egyenlet:

0d

dt=σεµ

. (6.35)

85 James Clerk Maxwell (1831 – 1879) világhírű skót matematikus és fizikus.


10.06.20.

Figyelembe véve a

megoldása (lásd ezt is az előző ábrán):

Tehermentesítéskor a fajlagos nyúlás értéke

megmarad. - Kelvin86-Voigt-féle modell Ennél a modellnél a rugalmas viselkedést jellemző rugót és a viszkózus hatást modellező dugattyút nem sorban, hanem Ennek megfelelően természetesen az anyagmodell

= = = + ⇒ = =ε ε ε σ σ σ σ ε σ µ εígy maga a modell:

86 William Thomson, ismertebb nevénmérnök.

00 00, ,t

E= = = =

σσ σ ε ε kezdeti feltételt, a differenciálegyenlet

megoldása (lásd ezt is az előző ábrán):

00 0 1

Et t

= + = +

σε ε ε

µ µ.

Tehermentesítéskor a fajlagos nyúlás értéke 0ε -lal csökken, a 00t

σµ

tag visz

modell:

Ennél a modellnél a rugalmas viselkedést jellemző rugót és a viszkózus hatást modellező dugattyút nem sorban, hanem párhuzamosan kapcsoljuk:

Ennek megfelelően természetesen az anyagmodell viselkedése is változik:

6.14. ábra: Kelvin-Voigt-modell

, ,rug v rug v rug vE= = = + ⇒ = =ε ε ε σ σ σ σ ε σ µ ε

E= + &σ ε µ ε .

ismertebb nevén Lord Kelvin (1824 – 1907) kiváló ír matematikus, fizikus és

Előadásvázlat

95

kezdeti feltételt, a differenciálegyenlet

(6.36)

0t tag viszont változatlanul

Ennél a modellnél a rugalmas viselkedést jellemző rugót és a viszkózus hatást modellező

viselkedése is változik:

= = = + ⇒ = = &ε ε ε σ σ σ σ ε σ µ ε , (6.37)

(6.38)

1907) kiváló ír matematikus, fizikus és


10.06.20. 96

Kúszás esetén ( 00, , 0t = = =&σ σ σ , lásd az „a” ábrát) a differenciálegyenlet 0d E

dt+ =

σεεµ µ

alakú lesz. A kezdeti feltételeket ( 0, 0vt = = =ε ε alakban) figyelembe véve a differenciálegyenlet megoldása:

0 1E

t

eE

− = −

µσε . (6.39)

Ha 0t idő után a 0σ állandó feszültséget megszüntetjük, akkor a 0t t> időhöz tartozó

differenciálegyenlet: 0d E

dt+ =ε

εµ

. Ennek megoldása:

E

t

Ke−

= µε . (6.40) A K állandót abból a feltételből lehet meghatározni, hogy az alakváltozás kétféle képletből számított értéke a 0t t= pillanatban megegyezik. A tehermentesítés után ε értéke

exponenciálisan csökken. Relaxáció vizsgálatánál 1t t= ideig működtessünk 0=σ σ állandó feszültséget. Ennek

hatására

01 1

Et

eE

− = −

µσε (6.41)

alakváltozás jön létre. Rögzítsük ennek értékét és vizsgáljuk a feszültség változását. Mivel

1tt> esetben ,0=ε& a feszültség hirtelen csökken, majd megőrzi

1

1 1 0 1E

t

E e−

= = −

µσ ε σ (6.42)

értékét. Összegezve: a két alapmodell közül a Maxwell-féle a relaxáció, a Kelvin-Voigt-féle pedig a kúszás leírására alkalmas elsősorban. Bonyolultabb modellek a kétféle alapváltozat különböző típusú kombinációiból hozhatók létre. Viszkoplasztikus modellek Az anyagot tökéletesen képlékeny és tökéletesen viszkózus hatások együtteseként modellezik. Egyszerű változatokra példákat mutat az alábbi ábra:

6.15. ábra: Viszkoplasztikus modellek


10.06.20. 97

A „b” ábra változatát mutatjuk be részletesen. - Bingham87 modell: 6.16. ábra: Bingham modellje Alapelv: 0 illetvef f f< ⇒ = ≥ ⇒ = + &σ σ ε σ σ σ σ µε , vagyis az anyag alakváltozásai a

folyási határnál kisebb feszültségek esetén zérus értékűek, képlékeny állapotban pedig az anyag folyási határa az anyag viszkozitása következtében megnő. A dinamikus folyási határ értékére többféle modell használható. Például két különböző (az ábrán is látható) változat:

1

0 0

1 vagy 1n

f d f s f d f s

= + = +

& &

& &

ε εσ σ σ σ

γ ε, (6.43)

ahol 0 0, és n& &γ ε kísérletekből meghatározandó anyagállandók.

Felhasznált irodalom: 1./ Taber, L.: A.: Nonlinear Theory of Elasticity, World Scientific, New Jersey, 2004. 2./ Kaliszky S. – Kurutzné K. M. – Szilágyi Gy.: Szilárdságtan, Egyetemi Tankönyv, 2000. 3./ Bojtár I.: Mechanikai anyagmodellek, Egyetemi jegyzet, 2007. 4./ Kaliszky S.: Képlékenységtan, Akadémiai Kiadó, 1975.

87 Eugene Cook Bingham, (1878 – 1945) amerikai fizikus és vegyész, a reológia kiváló szakértője. Magát a „reológia” szót is ő alkotta az 1920-as években.


10.06.20. 98

7. Előadás: A mechanika alapvető egyenletei

A mechanikai anyagmodellek bemutatása után ez az előadás a nemlineáris mechanikai számításokhoz szükséges további alapvető összefüggéseket mutatja be. Elsőként a nagy alakváltozások számítását lehetővé tevő változatokat tárgyaljuk, majd bemutatjuk ezek szűkített halmazát, ahol kizárólag kis alakváltozások és rugalmas viselkedés létrejöttét fogadjuk el. A Reynolds88-féle transzport egyenlet Az alapegyenletek bemutatásakor szükségünk van adott tartományok felett értelmezett integrálok anyagi idő szerinti deriváltjára. Ebben a számításban jelent segítséget a Reynolds által bevezetett összefüggés. Egy időtől függő f függvényt tartalmazó integrál-kifejezés anyagi idő szerinti deriváltját a következőképpen definiálhatjuk:

0

1lim ( ) ( ,x , + x )

t t t

t

Df d f t t d f t d

Dt t+ ∆

∆ →Ω Ω Ω

Ω= ∆ Ω− Ω ∆

∫ ∫ ∫ , (7.1)

ahol tΩ egy t időpillanatban az adott helyzetű térbeli tartományt (anyagi pontok összességét)

jelenti, t t+∆Ω pedig ugyanezen tartomány t t+∆ időpontbeli helyzetére utal. Alakítsuk át a

jobb oldalon szereplő tagokat az eredeti hivatkozási tartományra való áttéréssel:

0 0

0 00

1lim ( , ) ( , ) ( , ( , )X + X + X ) X

t

Df d f t t J t t d f t J t d

Dt t∆ →Ω Ω Ω

Ω= ∆ ∆ Ω − Ω

∆ ∫ ∫ ∫ . (7.2)

Mivel ezzel a változtatással a tartomány független lett az időtől, tovább alakítható az egyenlet:

( )0 0

0 0( , ) ( , )Ω Ω Ω

∂ ∂ ∂ Ω= Ω = + Ω ∂ ∂ ∂ ∫ ∫ ∫X XD f J

f d f t J t d J f dDt t t t

. (7.3)

Figyelembe véve az első előadáson a gradienstenzor determinánsának idő szerinti deriválásával kapcsolatban elhangzottakat, az egyenlet tovább módosítható:

0

0div vD f

f d J f J dDt tΩ Ω

∂ Ω = + Ω ∂ ∫ ∫ . (7.4)

Ha visszatérünk a pillanatnyi konfigurációhoz, akkor megkapjuk a Reynolds-féle transzport egyenletet:

( , )

divx

vD Df t

f d f dDt DtΩ Ω

Ω = + Ω ∫ ∫ . (7.5)

A tömegmegmaradás egyenlete

88 Osborne Reynolds (1842 – 1912) ír származású matematikus és mechanikus. A folyadékok dinamikájának tanulmányozásában alkotott jelentőset.


10.06.20. 99

Az Ω tartományon (ez most egyaránt lehet térfogat, vagy felület) számítandó ( )Ωm tömeget a ( , )x tρ sűrűségfüggvény segítségével definiáljuk:

( )( ) ,xm t dΩ

Ω = ρ Ω∫ . (7.6)

A tömegmegmaradás törvénye azt mondja ki, hogy a tömeg értéke nem változik a vizsgált tartományon belül (nincs semmilyen tömegáramlás a szomszédos tartományok felé)89:

0Ω

= ρ Ω=∫Dm D

dDt Dt

. (7.7)

A Reynolds-féle átalakítást felhasználva és emellett figyelembe véve azt a tényt, hogy a tömegmegmaradás független a tartománytól, a következőt kapjuk:

div div 0v v =Dm D D

dDt Dt DtΩ

ρ ρ = +ρ Ω ⇒ +ρ ∫ . (7.8)

Az utolsó változatot nevezzük a tömegmegmaradás egyenletének90. Lagrange-koordinátákkal való leírás esetén az egyenletet más formában szokták megadni:

0 0

0 0 0 0 0( ) 0 ( ( , , ) ( , ) ( )Φ X ) X Xd d J d t t J tΩ Ω Ω

ρ Ω= ρ Ω ⇒ ρ −ρ Ω = ⇒ ρ =ρ∫ ∫ ∫ . (7.9)

Megjegyezzük, hogy ha az anyag összenyomhatatlan, akkor a sűrűség anyagi idő szerinti deriváltja zérus, és a tömegmegmaradás egyenlete a következő alakú lesz: div 0v = . (7.10) A mozgásmennyiség (impulzus) egyenlete

Definiáljuk a rendszerre ható külső erők vektorát a bρ tömegerők (például egységnyi térfogatra jutó gravitációs erők) és az egységnyi felületre jutó t felületi erők segítségével az alábbi módon:

( ) ( , ) , )f b x t(xt t d t dSΩ Γ

= ρ Ω+∫ ∫ . (7.11)

A mozgásmennyiség definíciója:

( ) , )Ω

= ρ Ω∫p v(xt t d . (7.12)

A mozgásmennyiség tétele szerint a mozgásmennyiség anyagi idő szerinti deriváltja egyenlő a rendszerre ható erővel91:

p

f v b tD D

d d dSDt Dt

Ω Ω Γ

= ⇒ ρ Ω = ρ Ω +∫ ∫ ∫ . (7.13)

Alkalmazzuk Reynolds képletét az egyenlet bal oldalára:

89 Első (filozófiai) megfogalmazása a görög Epikurosztól (341 – 270) származik. Nasir al-Din al-Tusi (1201 – 1274) perzsa tudós műveiben bukkan fel újból, majd a XVIII. században egymástól függetlenül több tudós is (Antoine-Laurent de Lavoisier (1743 – 1794) 1789-ben, Mihail Vasziljevics Lomonoszov (1711 – 1765) pedig 1748-ban) megfogalmazta ma használatos alakját. 90 Megjegyezzük, hogy a tömegmegmaradás elvének figyelembevételével a Reynolds-tétel speciális

változatához jutunk: D Df

f d dDt DtΩ Ω

ρ Ω = ρ Ω∫ ∫ . Ezt az alakot mi is használni fogjuk egyes

átalakításoknál (például (7.14)-ben). 91 Abu Ali Sina Balkhi (980 – 1037) perzsa tudós (Európában ismertebb nevén Avicenna) 1000 körül kelt írásaiban található a törvény első változata. Bár René Descartes (1596 – 1650) és Galileo Galilei (1564 – 1642) munkái is hivatkoznak rá, mai formája a XVII. század végén jött létre John Wallis (1616 – 1703) és Isaac Newton (1643 – 1727) munkássága nyomán.


10.06.20. 100

( ) div( divv v

v v v) v v vD D D D D

d d d dDt Dt Dt Dt DtΩ Ω Ω Ω

ρ ρ Ω= ρ + ρ Ω= ρ + +ρ Ω= ρ Ω

∫ ∫ ∫ ∫ .(7.14)

Az utolsó előtti integrálban szereplő (sebességvektorral szorzott) tag értéke zérus, hiszen ez nem más, mint a tömegmegmaradás törvényének megfogalmazása. Az erők vektorát a Gauss-integráltétel segítségével alakítjuk át (most Ω-t térfogatként értelmezzük):

t nS S V

dS dS dV= ⋅ = ⋅∇∫ ∫ ∫σ σσ σσ σσ σ . (7.15)

Behelyettesítve valamennyi átalakítást a (7.13)-as egyenletbe, megkapjuk a mozgásmennyiség változását kifejező egyenletet:

∫ −ρ−ρV Dt

Db

v( ⋅∇σσσσ ⇒=0)dV =ρ

Dt

D v⋅∇ +σσσσ bρ .

(7.16) Ez az egyenlet is felírható Lagrange-változók segítségével. Ha a Cauchy-féle feszültség-tenzort használjuk:

)

( , ) divv(X,

Xt

tt

∂=

∂ρρρρ +− )),,(( 1 ttxΦΦΦΦσσσσ ),(),( tt XbXρ , (7.17)

míg az első Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzor alkalmazásával:

0 0 0

, )t

t

∂ρ = ⋅∇ ρ

∂v(X

P + b . (7.18)

Az impulzusmomentum egyenlete Ezt a tételt a mechanikában az impulzus-tétel párjaként szokás alkalmazni. Ha a mozgásmennyiség tételében szereplő tagok mindegyikét vektoriálisan szorozzuk egy tetszőleges x vektorral, akkor a mechanika impulzusmomentum-tételének92 matematikai alakjához jutunk:

x v x b x tD

d d dDt Ω Ω Γ

×ρ Ω = ×ρ Ω+ × Γ∫ ∫ ∫ . (7.19)

A tétel azt mondja ki, hogy egy zárt rendszerben az x p× összefüggéssel definiált impulzusmomentum változása a terhek hatásától függ. A kontinuummechanikában ezt az összefüggést a feszültség-tenzorok szimmetriájának vizsgálatára használják. Alakítsuk át például a impulzusmomentum tétel jobb oldalán szereplő utolsó tagot Euler-bázisban a Cauchy-féle feszültségtenzor segítségével:

( )( ) ( ) : TLC

S S V

dS dS dV× = × ⋅ = × ⋅∇ +∫ ∫ ∫x t x σ n x σ ε σ% . (7.20)

A vizsgálat során a Γ peremet S határfelületként értelmezzük, továbbá felhasználjuk a matematika – integráltétel segítségével előállítható – azon összefüggését, amely egy vektor és vektor-tenzor-szorzat vektoriális szorzatára alkalmazott felületi integrál átalakítására vonatkozik:

( )( ) ( ) : TLC

S V

dS dV× ⋅ = × ⋅∇ +∫ ∫a A n a A ε A% . (7.21)

92 A tételt a mechanikában az úgynevezett Noether-tétel egy változataként értelmezik. A Noether-tétel azt mondja ki, hogy a térben minden irány egyenértékű bármely másikkal. (Amalie „Emmy” Noether (1882 – 1935) német matematikus volt.)


10.06.20. 101

A képletben a vektor, A másodrendű tenzor, εLC% pedig a harmadrendű tenzorként definiált

Levi-Civita-féle permutációs tenzort jelöli (lásd a Függelék vonatkozó részét). Ha ezt az átalakítást felhasználva beírjuk a módosított alakot az impulzusmomentum-tétel képletébe, akkor a következőt kapjuk:

( ) : 0x v b σ ε σTLC

V V

dV dV× ρ −ρ − ⋅∇ = =∫ ∫& % . (7.22)

Az első integrál zárójelben lévő része éppen az impulzus-tétel nullára rendezett alakját fejezi ki, ezért az egész kifejezésnek zérusnak kell lennie. Mivel a Levi-Civita-tenzor Cauchy-feszültségekkel való kétpont-szorzata nem függ a tartománytól93, ezért az alábbi alakban is felírható a kapott összefüggés: : 0 0ε σT

LC i j k k j= ⇒ ε σ =% . (7.23)

A második tag ugyanazt a kifejezést jelenti, csak indexes változatban. Ha elvégezzük a kijelölt műveleteket és figyelembe vesszük a Levi-Civita tenzor elemeinek jelentését, akkor a következő három egyenlethez jutunk: 32 23 13 31 21 120, 0, 0− = − = − =σ σ σ σ σ σ . (7.24)

Az eredmény azt jelenti, hogy az impulzusmomentum tétel értelmében a feszültségtenzor vegyes indexű elemei páronként megegyeznek, vagyis a Cauchy-feszültségtenzor szimmetrikus. Megjegyezzük, hogy ennek segítségével azonnal belátható a második Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzor szimmetrikus volta is, hiszen ez mindig

1S F σ F TJ − −= ⋅ ⋅ (7.25) módon állítható elő a Cauchy-tenzorból, és a gradienstenzor inverzével mindkét oldalról történő szorzás ezt a szimmetriát nem rontja el. Más a helyzet az első Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzorral, hiszen ennek származtatási egyenlete

1P F σJ −= ⋅ (7.26) azonnal nyilvánvalóvá teszi, hogy a nem szimmetrikus gradienstenzorral való módosítás „tönkreteszi” a szimmetrikus jelleget. Ha például a Cauchy-tenzor szimmetriafeltételébe behelyettesítjük az első Piola-Kirchhoff-tenzort, akkor a következőt kapjuk eredményül:

( )1 1σ σ F P = F P F P P FTT T TJ J− −= ⇒ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ . (7.27)

Az utolsó egyenlet olyan összefüggést ír le, amely kétdimenziós esetben egy, háromdimenziós feladatnál pedig három nem-triviális feltételi egyenletet szolgáltat a mátrixok elemei közötti összefüggésekre (mindig a Cauchy-mátrix szimmetria-feltételeivel azonos számút). Például kétdimenziós feladatnál ez az egyenlet a következő lesz: 11 12 12 22 21 11 22 21F P F P F P F P+ = + . (7.28)

Az impulzusmomentum-tételből adódó feltétel tehát erre a mátrixra a nem-szimmetrikus jelleg mellett egy olyan feltételt is megfogalmaz, amit akkor kell figyelembe vennünk, ha a P tenzort anyagmodellekbe kívánjuk beépíteni.

Az energiamérleg egyenlete

93 Emlékeztetőül: egy harmadrendű tenzor másodrendű tenzorral való kétpont-szorzata egy vektor lesz. Az itt vizsgált esetben az eredményül kapott vektor mindhárom eleme zérus.


10.06.20. 102

Az energiamérleg elve azt jelenti, hogy a vizsgált rendszerben a teljes energia megváltozása (a teljesítmény) egyenlő a tömeg- és felületi erők munkaváltozásának (teljesítményének) illetve a rendszerben figyelembe vehető hő (hőforrás, hőáram) hatásának összegével94: hőkülsőkinbelsőteljes PPPPP +=+= . (7.29) Az egyes tagok részletesen:

dVDt

DPdVW

Dt

DP

VV

kinbelsőbelső ∫∫ ⋅ρ=ρ= vv2

1, , (7.30)

∫ ∫ ∫∫ ⋅−Ωρ=⋅+ρ⋅=V S SV

hőkülső dSdrPdSdVP qntvbv , . (7.31)

A képletekben q az egységnyi felületen kiáramló hőt, r pedig az egységnyi térfogatra vonatkozó hőforrást jelenti. Ez a mérlegegyenlet már szerepelt az anyagmodellek egyes tulajdonságainak bemutatásakor, mint a termodinamika első főtétele. A teljes egyenlet részletesen (a korábban alkalmazott u jelölés helyett most (az ötödik előadáson bevezetett) belsőW jelölést használjuk):

∫ ∫ ∫ ∫∫ ⋅−ρ+⋅+ρ⋅=

⋅ρ+ρV V V SS

belső dSdVrdSdVdVWDt

Dqntvbvvv

2

1. (7.32)

Az egyes tagok tovább módosíthatók a Reynolds-képlet 3. lábjegyzetben említett speciális változatának illetve a Gauss-féle integráltételnek a segítségével (az anyagmodelleknél már bemutatottakhoz hasonlóan végezve az átalakításokat):

1 1 ( )

2 2

v vv v

belsőbelső

V V

D DW DW dV dV

Dt Dt Dt

⋅ ρ + ρ ⋅ = ρ + ρ = ∫ ∫ (7.33)

v

vbelső

V

DW DdV

Dt Dt

= ρ + ρ ⋅ ∫ ,

( )S S V

dS dS ( ) dV⋅ = ⋅ ⋅ = + ⋅∇ ⋅∫ ∫ ∫v t n v D: vσ σ σσ σ σσ σ σσ σ σ . (7.34)

Itt D most az alakváltozás-sebesség tenzort jelenti (megjegyezzük, hogy az átalakítás során felhasználtuk a Függelékben megadott div( ) div : grad= ⋅ +A u A u A uT összefüggést). Behelyettesítve ezeket az előbbi összevont alakba, és a hőhatásoknál is alkalmazva a Gauss-tételt, majd az egészet nullára rendezve a következőt kapjuk:

∫ −ρV

belső

Dt

DW:D( −⋅∇+ qσσσσ

Dr

Dt+ ⋅ −

vv (ρ ρρ ρρ ρρ ρ ⋅∇ −σσσσ 0=ρ dV)b) . (7.35)

A zárójelbe tett utolsó három tag a mozgásmennyiség tételét írja le, ezért ez zérus lesz a kifejezésben. Ezek után – figyelembe véve, hogy a kifejezésnek bármilyen tartomány esetén igaznak kell lennie – az integrál elhagyásával kapjuk az energiamérleg végső alakját:

D:belsőDW

Dtρ = q +−∇ ⋅σσσσ rρ . (7.36)

Ha a hőhatásoktól eltekintünk, akkor az egyszerűsített változat:

D:belsőDW

Dtρ = σσσσ . (7.37)

Az általános alak Lagrange-rendszerben is megadható:

94 Milétoszi Thálész (624 – 546) görög filozófusnál olvashatunk első változatáról, majd Galilei munkáiban fordult elő. Első matematikai megfogalmazása Gottfried Wilhelm Leibnitztől (1646 – 1716) származik (lásd az ötödik fejezet negyedik lábjegyzetét).


10.06.20. 103

0 0

( , ):

belsőW tr

t

∂ρ = −∇ ⋅ ρ

∂T

0

XF P q +& % , ahol 1 Tq F qJ −= ⋅% . (7.38)

Ebben a képletben a 1 Tq F qJ −= ⋅% hőáram az eredeti rendszer egységnyi felületére vonatkozik, ezért volt szükséges az átalakítás a korábban már használt Nanson-formula (lásd az első és negyedik előadást) segítségével. Megjegyezzük, hogy az anyagmodelleknél tanultak szerint az :TF P& tag a Green-Lagrange alakváltozástenzor időbeli változást kifejező alakjának és a második Piola-Kirchhoff feszültségtenzornak a szorzatával is helyettesíthető, vagyis ilyenkor a jobb oldal első tagjának E:S& -t kell írnunk. Az alapegyenletek „gyenge” változata Lagrange-féle leírásmódban

Gyakorlati feladatok megoldásánál az előbb bemutatott, úgynevezett „erős” egyenleteket sokszor „gyenge” (vagy másféle elnevezéssel: „variációs”) változatukkal helyettesítik. A gyenge változat diszkretizált alakját nagyon sokszor használják különböző közelítő megoldásokban (lásd például a „végeselemes modellezés” numerikus technikáit). A gyenge változatot először a Lagrange-leírásmód esetére mutatjuk be. Írjuk fel újból a mozgásmennyiség egyenletét, a sebesség deriváltjának helyébe most a gyorsulásvektort írva (

au=&& ):

0 0 0⋅∇ + − =P b a 0ρ ρρ ρρ ρρ ρ . (7.39)

Szorozzuk meg ezt a kifejezést egy elmozdulásmező variációjával és integráljuk az egész (kezdeti) tartományon:

(0

⋅δ∫Ω

u 0 0 0 0d 0⋅∇ + − Ω =P b a) ρ ρρ ρρ ρρ ρ , (7.40)

Az 0Ω tartomány 0Γ határán az alábbi perem-, kezdeti- és folytonossági feltételeket vesszük

figyelembe (ha a tartománynál két indexet kell használnunk, a kezdeti állapotra utaló „nulla” felső indexbe kerül):

a./ peremfeltételek:

t előírt terhek a határ 0tΓ részén ( 0 0

0t uΓ =Γ −Γ ), (7.41/a)

u előírt elmozdulások a határ 0uΓ részén. (7.41/b)

b./ kezdeti feltételek (nulla időpillanatban az egész tartományra vonatkoznak, továbbá kielégítik a peremfeltételeket):

0 0( ,0) ( ) , ( ,0) ( )P X P X u X v X= =& , (7.42)

c./ folytonossági (szakadásmentességi) feltétel95:

00n P⋅ = a határ 0

bΓ részén. (7.43)

A mozgásmennyiség egyenletében szereplő első tag átalakítása96 (megadjuk indexes alakban is a jobb ellenőrizhetőség kedvéért):

0 0 0

0 0 0 0 0

(d ( d : d

Ω Ω Ω

∂ δδ ⋅ ⋅∇ Ω = ∇ ⋅ δ ⋅ Ω − Ω

∂∫ ∫ ∫u)

u P u P) PX

. (7.44/a)

95 Az ( )f X szimbólum jelentése a következő: ( )

0( ) lim ( ) ( )f X f X f X

ε→= + ε − − ε .

96 Újból emlékeztetünk a Függelékre: div( ) div : grad= ⋅ +A u A u A uT


10.06.20. 104

0 0 0

0 0 0

((

Ω Ω Ω

∂ ∂ δ∂δ Ω = δ Ω − Ω∂ ∂ ∂∫ ∫ ∫

))j i i

i i j i j ij j j

P uu d u P d P d

X X X (7.44/b)

Ebben a kifejezésben a jobb oldal második tagja átalakítható

0

0:F PT dΩ

Ω∫ δ (7.45)

alakra, az első tagot pedig a Gauss-tétel és a peremekre előírt feltételek segítségével módosítjuk97:

00

0 00 0u n P u n P

b

d dΓ Γ

δ ⋅ ⋅ Γ + δ ⋅ ⋅ Γ∫ ∫ . (7.46)

Itt a második tag a folytonossági feltétel miatt zérus ( 0n P 0⋅ = ), az elsőt pedig tovább

finomíthatjuk, ha a virtuális elmozdulásmező egyes peremrészeken való zérus értékét is figyelembe vesszük:

dim .

00

00 0

1

( )0u n P u e )(e tti

n

i i ii

d d=Γ Γ

δ ⋅ ⋅ Γ = δ ⋅ ⋅ Γ∑∫ ∫ . (7.47)

(7.47)-ben a peremfeltételeket részekre osztottuk: dim.n a feladat dimenziószámát jelenti,

térbeli esetben például 3. Figyelembe véve az átalakításokat – és rendezve az egyes tagokat – a tétel (előjelváltással) az alábbi formában adható meg:

0 0

0 0 0:F P u bT d dΩ Ω

Ω − ⋅ Ω −∫ ∫δ ρ δ 0)( 0

0

0

3

1 00

0 =Ωρ⋅δ+Γ⋅⋅δ ∫∑ ∫Ω= Γ

ddi

it

iii aut)(eeu . (7.48)

Ez az egyenlet az előbb bemutatott mechanikai egyenletek úgynevezett gyenge alakja, a mechanikában a virtuális munkák tétele néven ismert. Az első tagot belső-, a második és harmadik tagot külső-, az utolsó (negyedik) tagot pedig kinetikus virtuális munkának nevezik. Az alapegyenletek „gyenge” változata Euler-féle leírásmódban A variációs alak előállítása nagyon hasonló az előzőhöz, a különbség alapvetően az, hogy a variálandó próbafüggvényt most nem az elmozdulások, hanem a sebességek szolgáltatják. A kiindulási egyenlet most is az impulzus- tétel, ezt szorozzuk a virtuális sebességekkel és integráljuk az egész (pillanatnyi helyzethez tartozó) tartományon:

0j ii i i

j

v b v dxΩ

∂σδ +ρ −ρ Ω = ∂ ∫ & . (7.49)

Alakítsuk át az első tagot:

( ) ( )j i ii i j i j i

j j j

vv d v d

x x xΩ Ω

∂σ ∂ δ∂δ Ω = δ σ − σ Ω ∂ ∂ ∂

∫ ∫ . (7.50)

A jobb oldali integrálban szereplő első tagot tovább alakítjuk a Gauss-tétel, valamint a perem- illetve folytonossági feltételek segítségével:

( )b

i j i i j j i i j j ij

v d v n d v n dxΩ Γ Γ

∂δ σ Ω = δ σ Γ+ δ σ Γ

∂∫ ∫ ∫ . (7.51)

97 Emlékeztetőül a (folytonossági feltétellel bővített) Gauss-tétel: ,

b

i i i i i ig d n g d n g dΩ Γ Γ

Ω = Γ + Γ∫ ∫ ∫ .


10.06.20. 105

A jobb oldal első tagja a folytonossági feltétel miatt zérus. A második integrálnál kihasználjuk az előírt terheléseket, így:

( )dim .

1ti

n

i j i i iij

v d v t dx =Ω Γ

∂δ σ Ω = δ Γ

∂ ∑∫ ∫ . (7.52)

Ha ezt most visszahelyettesítjük az átalakítás első lépésébe, akkor a következő eredményre jutunk:

( )dim.

ti

nj i i

i i i j iij j

vv d v t d d

x x=Ω Γ Ω

∂σ ∂ δδ Ω = δ Γ − σ Ω∂ ∂∑∫ ∫ ∫ . (7.53)

Visszaírva ezt is az impulzus-tételre épülő integrálba, az eredmény: ( ) dim.

1

0ti

ni

j i i i i i i iij

vd v b d v t d v v d

x =Ω Ω Γ Ω

∂ δσ Ω− δ ρ Ω− δ Γ + δ ρ Ω =

∂ ∑∫ ∫ ∫ ∫ & . (7.54)

Ezt az egyenletet hívják a mechanikában a virtuális teljesítmények elvének. Hangsúlyozzuk, hogy az előbb bemutatott, virtuális munkát leíró egyenlettel együtt ez a kifejezés is nélkülözhetetlen lesz a nemlineáris feladatok végeselemes vizsgálatánál! Az integrál első tagját belső-, második és harmadik tagját külső-, utolsó tagját pedig kinetikus teljesítménynek nevezik a mechanikában.

7.1 Példa

A gyenge alak Lagrange-rendszerbeli felvételének illusztráló példájaként vizsgáljunk meg egy 1D feladatot és vezessük le ott a variációs változatot. Ebben az esetben a mozgásmennyiség skalár változókkal felírt egyenlete a következő

kifejezés lesz (a képletben 0A a kezdeti állapothoz tartozó keresztmetszeti felület):

( )0 0 0 0 0,0

XA P A b A u+ρ −ρ =&& .

Perem-, kezdeti és folytonossági feltételek:

a./ peremfeltételek: 0 0( , ) ( , ) , , ,u x tu X t u X t X n P t X= ∈Γ = ∈Γ ,

b./ kezdeti feltételek (az egész tartományra vonatkoznak):

0 0( ) , ( )u X v X , vagy 0 0( ) , ( )v X P X .

Megjegyezzük, hogy a kezdeti feltételekhez tartozó függvények n illetve nt uΓ − Γ −

kielégítik a peremfeltételeket. c./ folytonossági feltétel: 0 0 , ( , )a bA P X X X= ∈ , ahol „a” és „b” az 1D feladat

perempontjai. A variációs feladat:

( )0 , 0 0 0 0( ) 0b

a

X

X

X

u A P A b A u dXδ +ρ −ρ =∫ && .

Az első tag átalakítása: ( )0 , 0 , 0( )b b b

a a a

X X X

X X

X X X

u A P dX u A P dX u A P dXX

∂δ = δ − δ

∂∫ ∫ ∫ .

A jobb oldalon szereplő két tagból az első tovább alakítható: ( ) ( )0 0

b aX Xu A P u A Pδ − δ .


10.06.20. 106

Itt a második tagban szereplő uδ a uΓ határon zérus. Az első tag átalakítva:

( ) ( )00 0

b txX

u A P u A tΓ

δ = δ .

Végül a gyenge alak a behelyettesítések elvégzése után:

( ) ( )0, 0 0 0 0 0 0 0

b

ta

X

X x

X

u A P u A u u A b dX u A tΓ

δ + δ ρ −δ ρ − δ =∫ && .

Az alapegyenletek szilárd testek, kis alakváltozások, rugalmas anyagok és kvázi-statikus terhelés esetén

Ez a fajta speciális csoportosítás jelentős egyszerűsítés az előző teljesen általános változatokhoz képest, gyakorlati fontossága miatt azonban kiemelt figyelmet érdemel.

a./ A tömegmaradás egyenlete: A Lagrange-koordinátákkal kifejezett változat ebben az esetben a 0ρ=ρ alakra

redukálódik, s így a továbbiakban nincs kitüntetett szerepe a számításokban. b./ A mozgásmennyiség egyenlete: A terhek kvázistatikus jellege és a tehetetlenségi erők elhanyagolhatósága miatt az egyenlet a ⋅∇σ b =0+ρ (7.55) formában adható meg. Ezt az egyenletet a mechanikában egyensúlyi, vagy más néven Cauchy-egyenletnek nevezik. Skalár alakban három parciális differenciálegyenlettel adható meg. Fontossága miatt megadjuk ezek részletes értékét:

xyx xzx

yx y yzy

zyzx zz

τσ τ0

x y z

τ σ τ0 Sσ g 0

x y z

ττ σ0

x y z

b

b

b

∂ ∂ ∂+ + + = ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ + + + = ⇒ + =

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

+ + + = ∂ ∂ ∂

ρ

ρ

ρ

. (7.56)

A skalár egyenletek után a numerikus számítások céljára hasznos lineáris algebrai alakban is megfogalmaztuk az egyenleteket. Itt S egy 3 6× méretű, differenciálási utasításokat tartalmazó operátor-mátrix, σ a

feszültségtenzor 6 független elemét Voigt szerinti rendben tartalmazó vektor, g pedig

a tömegerők vektora, elemeit a sűrűség és a fajlagos tömegerők szorzatából számítjuk. Azokat a feszültségmezőket, melyek kielégítik ezeket az egyenleteket - továbbá megfelelnek az adott feladathoz tartozó statikai peremfeltételeknek -, a mechanikában statikailag lehetséges feszültségeknek nevezzük. Megjegyezzük, hogy ezeket az egyenleteket egy elemi hasáb egyensúlyának vizsgálatából is levezethetjük, lásd az alábbi ábra vázlatát:


10.06.20.

7.1. ábra: 3D egyensúly vizsgálata az elemi hasábon Az „x” irányú vetületösszegből az első, az „pedig a harmadik egyenlet adódik a megfelelő egyszerűsítések után. Illusztrálásul bemutatjuk egy vetületi egyenlet számítását:

0 0,ix x

x xz

F dx dy dz dy dx dz dz dx dy g dx dy dz

x y z

= ⇒ + + + =

∂ ∂⇒ + + + =∂ ∂ ∂

∑

σ τ

Megjegyezzük, hogy a feszültségtenzor szimmetrikus jellegét igazoló számítás most egyszerű nyomatéki egyensúly felhasználásával is ellenőrizhető. Ismét bemutatunk egy példát az egyik nyírófeszültségi pár vizsgálatára

7.1. ábra: 3D egyensúly vizsgálata az elemi hasábon

” irányú vetületösszegből az első, az „y” irányúból a második, a „pedig a harmadik egyenlet adódik a megfelelő egyszerűsítések után.

Illusztrálásul bemutatjuk egy vetületi egyenlet számítását:

xy xzτ τ

0 0,y z

0.

xix x

xyx xzx

F dx dy dz dy dx dz dz dx dy g dx dy dzx

gx y z

∂∂ ∂= ⇒ + + + =

∂ ∂ ∂

∂∂ ∂⇒ + + + =∂ ∂ ∂

σ

τσ τ

Megjegyezzük, hogy a feszültségtenzor szimmetrikus jellegét igazoló számítás most nyomatéki egyensúly felhasználásával is ellenőrizhető. Ismét bemutatunk az egyik nyírófeszültségi pár vizsgálatára:

Előadásvázlat

107

7.1. ábra: 3D egyensúly vizsgálata az elemi hasábon

” irányúból a második, a „z” irányúból pedig a harmadik egyenlet adódik a megfelelő egyszerűsítések után.

0 0,ix xF dx dy dz dy dx dz dz dx dy g dx dy dz= ⇒ + + + =

Megjegyezzük, hogy a feszültségtenzor szimmetrikus jellegét igazoló számítás most nyomatéki egyensúly felhasználásával is ellenőrizhető. Ismét bemutatunk


10.06.20. 108

0

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

ix

y yzy z y yz

zyzy z zy z

xzxz xy xz

M

dz dy dz dyg dxdydz g dxdydz dy dxdz dy dxdz

y y

dz dy dz dydxdz dz dxdy dz dxdy dxdy

z z

dy dz dydzdy dzdy dx dzdy

x

= =

∂σ ∂τ = − + σ + − τ +

∂ ∂ ∂τ ∂σ −σ − σ + + τ + +σ + ∂ ∂

∂τ τ − τ − τ + + ∂

∑

2

0 .

xyxy

yz zy yz zy

dzdx dxdy

x

dxdydz dxdydz

∂τ τ + −

∂ −τ + τ = ⇒ τ = τ

c./ Az energiamérleg egyenlete: Amint azt az ötödik előadásban láttuk, a jelenlegi feltételek esetén (ez megfelel az izentróp deformációnak és a hőmérsékleti hatások elhanyagolásának) az energiamérleg egyenletéből a

:W W

σ ε ε σσ ε ε σσ ε ε σσ ε ε σε εε εε εε ε∂ ∂

= ⋅ ⇒ =∂ ∂

& & (7.57)

hiperelasztikus anyagmodell következik. Ez adja meg jelen esetben a feszültségek és alakváltozások kapcsolatát leíró kapcsolati (vagy más néven fizikai) egyenleteket. d./ Geometriai egyenletek: Ezek az egyenletek az alakváltozások és az elmozdulások kapcsolatát írják le. Az előzőekben azért nem említettük őket külön, mert a különböző alakváltozás tenzorok bevezetésekor (második hét, illetve a henger- és polárkoordinátás változat a harmadik hét előadásában,) ezt már megtettük. Most megismételjük a kis alakváltozások definíciójára derékszögű koordinátarendszerben már egyszer megadott összefüggéseket:

εεεε

1 11 12 22 2

1 1 1 1

2 2 2 21 1 1 12 2 2 2

x x y x z

y x y y z

z x z y z

u u v u w

x y x z x

v u v v w

x y y z y

w u w v w

x z y z z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

ε γ γ

γ ε γ

γ γ ε

. (7.58)

A geometria egyenletek ebben az esetben tehát a hat darab független alakváltozás-komponenst kapcsolják össze a három elmozdulás-függvénnyel a differenciálási utasítások segítségével. Szokás a geometriai egyenleteket is mátrix-egyenlet segítségével megadni: L uε = , (7.59)

ahol az ε vektor az alakváltozástenzor hat független elemét tartalmazza (Voigt előírásainak megfelelően rendezve), u az elmozdulások vektora, L pedig egy 6 3× -


10.06.20. 109

as, differenciálási utasításokat tartalmazó mátrix. Elemei közvetlen kapcsolatban vannak a Cauchy-egyenletnél megadott S mátrixszal:

TS L= . (7.60)

Azokat az (általánosított) alakváltozás-mezőket, amelyek megfelelnek a geometriai egyenletekben megadott kapcsolati előírásoknak - és emellett kielégítik az adott feladat elmozdulási peremfeltételeit -, geometriailag lehetséges alakváltozásoknak nevezzük.

Egyensúlyi egyenletek polárkoordináta-rendszerben Az x,y,z rendszerben felírt egyensúlyi egyenleteket transzformációs összefüggésekkel is átalakíthatjuk polárkoordinátás változattá. Egyszerűen felírhatjuk azonban őket vetületi egyenletek felhasználásával is. Például az ábra jelöléseit felhasználva (kétdimenziós esetben) egyszerűen megadható a sugárirányú vetületi egyenlet:

7.2. ábra: Az egyensúly vizsgálata poláris koordináta-rendszerben

+Θ

σ−Θ

Θ

Θ∂

σ∂+σ−Θσ−Θ+

∂

σ∂+σ Θ

ΘΘ 2

sin2

sin)(d

drd

drddrddrrdrr r

rr (7.61)

cos cos 02 2

rr r r

d dd dr dr F r dr dΘ

Θ Θ

∂τ Θ Θ+ τ + Θ − τ + Θ= ∂Θ

.

Figyelembe véve, hogy kis szögeknél: 12

cos,22

sin ⇒ΘΘ

⇒Θ ddd

, továbbá elhanyagolva a

magasabbrendűen kicsiny tagokat, az egyenlet egyszerűsíthető. Ugyanígy felírható a sugárra merőleges vetületi egyenlet is, és így végül a két egyensúlyi feltétel az alábbi formában adható meg:

01

=+σ−σ

+Θ∂

τ∂+

∂

σ∂ ΘΘr

rrr Frrr

, (7.62)

021

=+τ

+∂

τ∂+

Θ∂

σ∂Θ

ΘΘΘ Frrrrr . (7.63)


10.06.20. 110

Egyensúlyi egyenletek hengerkoordináta-rendszerben A kétdimenziós polárkoordináta-rendszerhez hasonlóan írható fel mindhárom egyensúlyi egyenlet (a hengerkoordináta-rendszer megegyezik a harmadik előadáson bemutatottal):

01

=+σ−σ

+∂

τ∂+

Θ∂

τ∂+

∂

σ∂ ΘΘr

rrzrr Frzrr

, (7.64)

021

=+τ

+∂

τ∂+

Θ∂

σ∂+

∂

τ∂Θ

ΘΘΘΘF

rzrrrzr

, (7.65)

01

=+τ+

∂

σ∂+

Θ∂

τ∂+

∂

τ∂ Θz

zrzzzrF

rzrr. (7.66)

Kompatibilitási egyenletek A kompatibilitási egyenleteket is bemutattuk már az alakváltozásoknál (a geometriai egyenletekből származtatjuk őket az elmozdulás-komponensek kiküszöbölésével). Ismétlésül a hat kompatibilitási egyenlet:

2

2

2

2 2 2xy y x

2 2

2 22yz yz

2 2

2 2 2zx x z

2 2

ε ε

x y x y

εε

y z y z

ε ε

z x z x

∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂= +

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂

ε

ε

ε

. (7.67)

22

2

, ,

.

y z z x x y z x z y y z xz

x y y z z x y

z x y z x y x y z x y z

y z x y z x

∂ε ∂ε ∂ε ∂ε ∂ε ∂ε ∂ ε∂ ε∂ ∂ + − = + − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ε ∂ε ∂ε ∂ ε∂ + − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Megjegyezzük, hogy a most bemutatott alak nem pontosan ugyanaz, mint amit az alakváltozások tárgyalásakor felírtunk. Gyakorlásul most az alakváltozástenzor jelöléseit használtuk, és ebben az esetben a szögtorzulásoknál egy kettes szorzót kell mindig figyelembe venni! A mechanika különböző megoldási technikáinál (lásd a következő előadások anyagát) ezek az összefüggések fontos kiindulási eszközül szolgálnak. A kompatibilitási egyenletek hengerkoordináta-rendszerben is felírhatók:

,0,01111

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

=∂

ε∂−

∂

ε∂−

∂∂

γ∂=

∂

ε∂−

∂

γ∂+

∂

ε∂−

Θ∂

ε∂−

Θ∂∂

γ∂ΘΘ

rzzrrrzrzrzrzrzrzzrzz

(7.68)

,021111

22

2

22

22

=∂

ε∂−

Θ∂

γ∂+

∂

ε∂+

Θ∂

ε∂−

∂

ε∂−

∂Θ∂

γ∂ΘΘΘΘ

rrrrrrrrrrrrr


10.06.20. 111

,01

2

11

2

112

2

=Θ∂

ε∂−

∂

γ∂+

∂

γ∂−

∂

γ∂+

Θ∂

γ∂

∂∂

−Θ∂∂

ε∂ ΘΘΘ zzrzrzz

rzrzrrzrr

,02

1

2

111

2

112

2

=γ−∂

γ∂+

∂

γ∂−

∂

γ∂−

Θ∂

γ∂+

∂

γ∂

∂∂

−∂Θ∂

ε∂Θ

ΘΘΘΘz

zrzrzrr

rrrzrrrzrzr

( ) .01

2

11

2

12

2

=ε−ε∂∂

−Θ∂

γ∂−

Θ∂

γ∂−

∂

γ∂+

∂

γ∂

Θ∂∂

−∂∂

ε∂Θ

ΘΘΘΘr

zzrrz

zrrrzrrrz

A polárkoordinátás (síkbeli) változat lényegesen egyszerűbb (lásd az előző egyenletcsoport harmadik egyenletét):

Θ∂

γ∂+

Θ∂∂

γ∂=

∂

ε∂−

∂

ε∂+

Θ∂

ε∂+

∂

ε∂ ΘΘΘΘ rrrr

rrrrrrrrr 2

2

2

2

22

2 11121. (7.69)

Felhasznált irodalom: 1./ Kaliszky S. – Kurutzné K. M. – Szilágyi Gy.: Szilárdságtan, Egyetemi Tankönyv, 2000. 2./ Fung: Foundation of Solid Mechanics, Prentice Hall, 1965, 1994. 3./ Belytschko, T. – Liu, W.K. – Moran, B. : Nonlinear finite elements for continua and structures, John Wiley, 2000. 4./ Bezuhov, N. I. : Bevezetés a rugalmasságtanba és a képlékenységtanba, Tankönyvkiadó,1952.


10.06.20. 112

8. Előadás: Munkatételek98, felcserélhetőségi tételek Ismétlés A különböző típusú munkafogalmak definiálását illetve a hozzájuk kapcsolódó munkatételek (virtuális99 erők és elmozdulások tétele) megfogalmazását a BSc Szilárdságtan tárgy már megtette. Emlékeztetőül a (kis alakváltozású rendszerekre) már korábban felírt két tétel (a koncentrált dinámok hatását a továbbiakban az egyszerűség kedvéért elhagyjuk): a./ Virtuális elmozdulások tétele:

Egy erőrendszer akkor és csakis akkor statikailag lehetséges, ha bármely virtuális elmozdulás-rendszeren végzett munkája zérus. Más megfogalmazásban: egyensúlyban levő erőrendszer által végzett virtuális munkák összege zérus:

0k bW W Wδ = δ + δ = , (8.1)

ahol

,t u g u g bt

k

S V

W dA dVδ = ⋅δ + ⋅δ = ρ∫ ∫ (külső virtuális munka), (8.2)

:b

V

W = − ∫δ σδ σδ σδ σ δ dVεεεε (belső virtuális munka). (8.3)

A virtuális elmozdulások tétele az erőrendszerek egyensúlyának szükséges és elégséges feltétele. A tétel bármilyen anyagú szilárd testre érvényes. Az egyenletekben t a felületi, g pedig a térfogati erőket jelenti. b./ Virtuális erők tétele: Egy elmozdulás-rendszer akkor és csakis akkor geometriailag lehetséges, ha bármely virtuális erőrendszeren végzett kiegészítő munkája zérus. Más megfogalmazásban:

98 A „mechanikai munka” elnevezést először Gaspard-Gustave de Coriolis (1792 – 1843) francia matematikus és gépészmérnök használta (Coriolis: „Calcul de l'Effet des Machines”, Párizs, 1829). 99 A „Függelék”-ben rövid összefoglaló olvasható a variációszámítás alapvető definícióiról illetve a virtuális elmozduláshoz kapcsolódó kommentárokról. Javasoljuk ennek tanulmányozását.


10.06.20. 113

kompatibilis elmozdulásrendszer által végzett virtuális kiegészítő munkák összege zérus:

0k bW W Wδ = δ + δ =% % % , (8.4)

ahol

,u t u g g bt

k

S V

W dA dVδ = ⋅δ + ⋅δ = ρ∫ ∫% (külső virtuális kiegészítő munka), (8.5)

:ε σb

V

W dVδ = − δ∫% (belső virtuális kiegészítő munka). (8.6)

A virtuális erők tétele az elmozdulások és alakváltozások kompatibilitásának szükséges és elégséges feltétele. Bármilyen anyagú szilárd testre érvényes, amely kis elmozdulást végez.

Nagy alakváltozások esetén a virtuális elmozdulások tétele mechanikai jelentését tekintve nem, de egyes változóit tekintve formálisan módosul. A módosítás attól függ, hogy Lagrange-, vagy Euler-rendszerben írjuk fel az alapvető egyenleteket.

A virtuális elmozdulások tétele100 Euler-bázisban Az előző előadásban az alapvető egyenletek erős és gyenge alakjának elemzésekor bemutattuk, hogy az Euler-bázisban a megmaradási egyenletekből a virtuális teljesítmények elvének nevezett variációs elvhez jutunk. Ez az elv a nemlineáris végeselemes számításoknál kiválóan megfelel az igen gyors változásokkal járó áramlástani feladatok (folyadékok, gázok) vizsgálatánál. Olyan – szilárd testeket vizsgáló – mechanikai feladatoknál azonban, ahol mindenképpen szükséges az Euler-féle leírásmód (például nagyon nagy alakváltozásokkal – gyűrődésekkel – járó terhelések vizsgálatakor), előnyösebb az impulzus-megmaradási feltételből kiinduló átalakítást nem a sebességmező, hanem az elmozdulásmező variálásával végrehajtani, és így a – Lagrange-leírásmódnál is felhasznált – virtuális munkák tételét létrehozni ebben a bázisban. Ennek az átalakítás-variációnak nincs elvi akadálya, hiszen a variációs feladat létrehozásánál nincs semmilyen megkötés a tesztfüggvény típusára. Bár a virtuális elmozdulások elméleti alapjaival már a BSc Szilárdságtanban részletesen foglalkoztunk, most tekintsük át újból a fontosabb jellemzőket, illetve azokat a sajátosságokat, amelyek a nagy változások leírásmódjához kapcsolódnak.

100 A virtuális elmozdulások tételét elsőként a kiváló svájci matematikusok, Johann Bernoulli (1667 – 1748) és fia, Daniel Bernoulli (1700 – 1782) fogalmazták meg. Johann Bernoulli a francia Pierre Varignon-nak írt, 1715. február 26-i keltezésű levelében írt először virtuális elmozdulás-rendszerekről és azok mechanikai alkalmazásairól (Varignon: „Nouvelle Mécanique”, Vol. 2, pp. 174, Párizs,1725). Fia főleg a variációs elv alkalmazásaival járult hozzá a módszer népszerűsítéséhez. Ő hívta fel egyébként Euler figyelmét erre a mechanikai modellezési lehetőségre. Megjegyezzük, hogy magát a „virtuális elmozdulás” elnevezést először Lagrange (róla lásd az első előadás 4. lábjegyzetét) használta (Lagrange: „Mecanique Analytique”, 1788, Párizs).


10.06.20. 114

8.1. ábra: Kezdeti és pillanatnyi konfiguráció

Magának a virtuális elmozdulásnak a definíciója nem változik a nemlineáris feldatok esetében sem. A (8.1) ábrán látható kezdeti és pillanatnyi (de időben rögzített!) konfigurációt felhasználva a pillanatnyi konfiguráció kicsiny megváltoztatásával állítjuk elő a virtuális elmozdulásrendszert: u u u = wδ = − ε

), (8.7)

ahol ε kicsiny, nullához tartó paraméter. Írjuk fel most az elmozdulás-variáció gradiens-számításához szükséges alapvető képleteket: ( ) ( ) ( ) ( ), .u u u u u u u u∇ δ =∇ −∇ δ ∇ =∇ −∇ ⇒ δ ∇ =∇ δ

) ) (8.8)

Ha figyelembe vesszük101, hogy

1 10u u i i

k jj k

u uF F

x X− −∂ ∂

∇ = ∇ ⇔ =∂ ∂

, (8.9)

akkor ( ) ( ) 1 10u u F i i

k jj k

u uF

x X− −∂δ ∂δ

∇ δ = ∇ δ ⇔ =∂ ∂

. (8.10)

A mechanikai feladatoknál szükség lehet a deformációgradiens-tenzor, illetve az adott bázis jellemzőjének tartott alakváltozás-tenzor (jelen esetben az Almansi-Hamel-féle tenzor) variációjának ismeretére is. Írjuk fel most ezeket102:

( ) ( ) ( ) ( )-1 1 1 10 , ,F u F F u

jii k k i k j

k i

uuF F F

X x− − −

∂ δ∂ δδ = ∇ δ δ = − ∇ δ ⇔ δ = δ = −

∂ ∂. (8.11)

Az Almansi-Hamel-tenzor variációjának számítását megkönnyíti a Green-Lagrange-féle alakváltozástenzor variációjának ismerete. Számítsuk ki először ezt103:

( ) ( )0 0

1 1( ) ( )

2 2E F F F F F u F u

TT T T T δ = δ + δ = ∇ δ + ∇ δ , (8.12)

majd ennek felhasználásával az Almansi-Hamel-tenzort:

101 A fontosabb képleteket indexes alakban is megadjuk. Emlékeztetőül a vektormezőkre – általunk

használt – gradiens definíció: ( )grad u uT

= ∇⊗ (lásd a Függelék vonatkozó részét). 102 A második képlethez: ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1

0F F I F F FF F u F F u− − − − − − −δ − ⇒ δ = − δ = − ∇ δ = − ∇ δ .

103 Ezt is felírjuk indexes változatban:1

2k k

i j k j k ii j

u uE F F

X X

∂ ∂δ = + ∂ ∂

.


10.06.20. 115

( )( )

( )( ) ( )( )

1 10 0

1( ) ( )

2

1 1

2 2

e F EF F u u F

u u

TT T

T j ii j

i j

u ue

x x

− − − −δ = δ = ∇ δ +∇ δ =

∂δ ∂δ= ∇ δ +∇ δ ⇔ δ = + ∂ ∂

. (8.13)

Az alapvető variációs változatok megadása után a gyenge alak felírásához ugyanazokat a lépéseket hajtjuk végre, mint az előző előadásban a virtuális teljesítmény elvének megfogalmazásakor, de ahogy a bevezetőben említettük, most nem sebesség, hanem elmozdulás-variációt alkalmazunk. Megjegyezzük, hogy a vizsgált pillanatnyi konfigurációhoz tartozó perem- és kezdeti feltételek104 ugyanazok, mint amiket a korábbiakban alkalmaztunk: Peremfeltételek: az tartományon, az tartományon.u u t tu tS S= =

Kezdeti feltételek (nulla időpontban a tartomány egészére vonatkoznak):

( ) ( ) ( ) ( )0 00 0, , ,u x u X u x u X

t tt t= == =& & .

Nem ismételjük meg harmadszor is a mozgásmennyiség megmaradási tételére épülő átalakítás-sorozatot, csak a végeredményt adjuk meg ( g b= ρ ):

( ) ( ): 0σ u g u u t utV S

dV dS∇ δ − −ρ ⋅δ − ⋅δ = ∫ ∫&& . (8.14)

Ez az egyenlet tovább finomítható, ha az elmozdulás-variáció gradiense helyett az Almansi-Hamel-féle alakváltozás-tenzor variációjának értékét írjuk be a képletbe105:

( ): 0σ e g u u t utV S

dV dSδ − −ρ ⋅δ − ⋅δ = ∫ ∫&& . (8.15)

Ez a kifejezés az Euler-bázisban megfogalmazott virtuális munkatétel, vagy más néven a nagy változásokat leíró pillanatnyi konfigurációra vonatkozó virtuális elmozdulások tétele. A kis elmozdulásoknál felírt változathoz hasonlóan ez a megfogalmazás is független az anyagi viselkedéstől, tehát bármilyen anyag esetében alkalmazható.

A virtuális elmozdulások tétele Lagrange-rendszerben

Lagrange-rendszerben már az előző fejezetben megadtunk egy lehetséges felírási módot. Most az előírt felületi erők alakját kicsit egyszerűsítjük egyetlen formális integrállá, és a néhány sorral korábban az Euler-rendszerre jellemző alakot használjuk a könnyebb összehasonlíthatóság végett:

( )0 0

0 0 0 0 0: 0P F g u u t ut

T

V S

dV dS δ − −ρ ⋅δ − ⋅δ = ∫ ∫&& . (8.16)

Ugyanez az egyenlet a második Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzor segítségével is megadható106:

( )0 0

0 0 0 0 0: 0S E g u u t utV S

dV dSδ − −ρ ⋅δ − ⋅δ = ∫ ∫&& (8.17)

104 Kezdeti feltételeknek most elmozdulási és sebesség-értékeket választottunk. 105 A (8.14)-es egyenlet átalakításánál figyelembe vettük az elmozdulásgradiens-tenzor szimmetrikus és antimetrikus tenzorok összegére való felbonthatóságát, továbbá azt a tényt, hogy a szimmetrikus Cauchy-féle feszültségtenzornak az antimetrikus tenzorral való kétpont-szorzata zérus. 106 A transzformáció az első Piola-Kirchoff-tenzor átalakításából is kiindulhat, de felhasználhatjuk a

:σ δ :e SdV = 0dVEδ összefüggést is, közvetlenül az Euler-féle alakból kiindulva.


10.06.20. 116

ahol S a második Piola-Kirchhoff-féle feszültség-, E pedig a Green-Lagrange-alakváltozástenzor.

8. 1 Példa

Vizsgáljuk meg a virtuális elmozdulások tételének segítségével egy tehermentes állapotában L oldalhosszúságú (homogén, izotrop, lineárisan rugalmas anyagú) kocka triaxiális terhelés hatására kialakuló mechanikai állapotát. A felületi terhelés intenzitása a három tengely irányában 321 , péspp , az új (egyelőre ismeretlen) oldalhosszakat jelöljük LésLL 321 , ηηη-lel. A változások tetszőlegesen nagyok lehetnek. A tömeg- és tehetetlenségi erőket elhanyagoljuk, az anyagállandókat (E, G,ν ) ismerjük. A tételt most Lagrange-rendszerben írjuk fel.

A mozgásokat leíró alapegyenletek és a kezdeti feltételek: ⇒−=−=−=⇒η=η=η= 333222111333222111 ,,,, XxuXxuXxuXxXxXx

333222111 )1(,)1(,)1( XuXuXu −η=−η=−η= .

8.2. ábra: A kocka térfogatváltozása

.0)0(,0)0(,0)0( 332211 ====== XuXuXu

Számítsuk ki először a mozgásegyenletek segítségével a Green-Lagrange alakváltozás tenzor elemeit (megjegyezzük, hogy a főértékek most megegyeznek a nemzérus komponensekkel) :

,)1(2

1,)1(

2

1,)1(

2

1 23333

22222

21111 −η==−η==−η== EEEEEE

0312312 === EEE .

A virtuális elmozdulások tételének Lagrange-rendszerben való felírásához a Green-Lagrange-tenzor mellett még szükségünk van a második Piola-Kirchhoff-tenzor elemeire. Ezeket a – fizikai tartalmú – Cauchy-feszültségtenzor segítségével írjuk fel: A gradiens-tenzor és inverze:


10.06.20. 117

11

12 1 2 3

23

3

10 0

0 01

0 0 , 0 0 ,

0 01

0 0

F F J−

η η = η = =η η η η η

η

.

Innen:

2 3 3 1 1 211 1 1 22 2 2 33 3 3

1 2 3

, ,S S S S S Sη η η η η η

= = σ = = σ = = ση η η

,

ahol felhasználtuk a korábban levezetett (lásd a negyedik előadást)

1 TS J F F− −= σ

összefüggést. Megjegyezzük, hogy most a feladat sajátossága miatt kicsit tömörebben is kiszámíthatók a második Piola-Kirchhoff-tenzor elemei. Először megadjuk a jelenlegi helyzetnek megfelelő determináns-számítás másféle változatát:

0

0

,dV

JdV= =

ρρ

majd ezt felhasználva indexes alakban írjuk fel az átváltást:

0 jij i l k

k l

XXS

x x

∂ρ ∂= σρ ∂ ∂

.

A feladat eredménye (elemekre bontva a számításból adódó értékeket):

,1

11

3212

1

321210

1

2

1

10111 σ

η

ηη=σ

η

ηηη=

η=σ

ρ

ρ==

dV

dV

dx

dXSS

33

213332

2

13222 , σ

η

ηη==σ

η

ηη== SSSS .

Következő lépésként magukat a Cauchy-feszültségeket kell meghatároznunk. Ehhez a számításához szükségünk lesz az Almansi-Hamel-féle alakváltozás tenzorra is, ez azonban kifejezhető a Green-Lagrange-féle alakváltozás tenzor segítségével. A kétféle alakváltozás-tenzor kapcsolatát a gradiens-tenzor felhasználásával lehet megadni:

EFF-FFe)FF-IeI-FFE -1T-T-1T-T −⋅⋅=⇒⋅=⋅= )(2

1(

2

1)(

2

1és .

A deformáció-gradiens tenzort már az előbb felírtuk, így az Almansi-Hamel-tenzor három nemzérus eleme egyszerűen számítható:

2 211 1 1 1 22 2 2 22 2 2 2

1 1 2 2

1 1 1 1( 1) , ( 1) ,

2 2e e E e e E= = η − = = = η − =

η η η η

233 3 3 32 2

3 3

1 1( 1)

2e e E= = η − =

η η.

A Cauchy-tenzor elemeit ezek után a Hooke-féle anyagmodell segítségével kapjuk, mivel lineárisan rugalmas anyagi viselkedést tételeztünk fel a modellről. A Hooke-modell egyenletei itt is érvényesek, hiszen most az anyagi linearitást a nagy alakváltozásokra is kiterjesztettük:

,)(211

,)(211 3212232111

++ν−ν

+ν+

=σ

++ν−ν

+ν+

=σ eeeeE

eeeeE


10.06.20. 118

++ν−ν

+ν+

=σ )(211 32133 eeee

E.

Helyettesítsük be a Cauchy-feszültségekre kapott értékeket a (második) Piola-Kirchhoff-feszültségek számítására levezetett összefüggésekbe és írjuk be ide az Almansi-Hamel-féle alakváltozásokra kapott eredményeket is:

2 31 1 1 2 32 2 2 2

1 1 1 2 3

1 1 1 1,

1 1 2

ES E E E E

η η ν= + + + η + ν η − ν η η η

1 32 2 1 2 32 2 2 2

2 2 1 2 3

1 1 1 1

1 1 2

ES E E E E

η η ν= + + + η + ν η − ν η η η

,

2 23 3 1 2 32 2 2 2

3 3 1 2 3

1 1 1 1

1 1 2

ES E E E E

η η ν= + + + η + ν η − ν η η η

.

Írjuk be most E helyére a nyírási rugalmassági modulust, a Green-Lagrange-alakváltozások helyére pedig azok részletes értékét:

2 31 2 2 2

1 1 2 3

1 1 11 ,

1 2

GS

η η − ν= + ν − −ν + η − ν η η η

1 32 2 2 2

2 2 1 3

1 1 11

1 2

GS

η η −ν= + ν − −ν + η − ν η η η

,

2 13 2 2 2

3 3 2 1

1 1 11

1 2

GS

η η −ν= + ν − −ν + η − ν η η η

.

A belső virtuális munka számításához szükséges kifejezés:

1 1 2 2 3 3S E = S E S E S E⋅δ δ + δ + δ , ahol 1 1 1 2 2 2 3 3 3, ,E E Eδ =η δη δ = η δη δ =η δη .

A teljes térfogati integrál ezek után:

( )0

30 1 1 2 2 3 3S E

V

dV S E S E S E L− ⋅δ =− δ + δ + δ∫ .

A külső virtuális munka integráljának számításához az alábbi egyenleteket kell figyelembe venni:

1 1 1 2 2 2 3 3 3, ,u X u X u Xδ = δη δ = δη δ = δη ,

(1) (2) (3)1 2 3, ,q p q p q p=− =− =− ,

(1) (1) (2) (3)0 2 3 1 0 3 1 2 0 1 2 3

0

, ,A

q q p q p q pA= =−η η =−η η = −η η .

A külső virtuális munka ezeknek megfelelően:

( )(1) ( 2) (3)0 0 0

(1) (1) (2) (2) (3) (3) 3 (1) (2) (3)0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 2 0 3

A A A

q u dA q u dA q u dA L q q qδ + δ + δ = δη + δη + δη∫ ∫ ∫

A belső és külső virtuális munka összegének zérus voltát felhasználva:

( ) ( ) ( )(1) (2) (3)1 1 0 1 2 2 0 2 3 3 0 3 0S q S q S q− η + δη + − η + δη + − η + δη = .

Ennek a kifejezésnek bármilyen 1 2 3, ,δη δη δη variációra teljesülnie kell, így a három

zárójeles tag zérus voltát felhasználva három független nemlineáris egyenlethez


10.06.20. 119

jutunk. Ezekbe helyettesítsük be a II. Piola-Kirchhoff-feszültségekre illetve a felületi terhekre korábban kapott értékeket:

12 2 21 2 3

1 1 11 ,

1 2

Gp

− ν+ ν − − ν + =− − ν η η η

22 2 22 1 3

1 1 11

1 2

Gp

− ν+ ν − − ν + =− − ν η η η

,

32 2 23 2 1

1 1 11

1 2

Gp

− ν+ ν − − ν + =− − ν η η η

.

Ebből a három ismeretlenes nemlineáris egyenletrendszerből határozható meg a

keresett 1 2 3, ésη η η . Megjegyezzük, hogy az egyenletrendszer 23

22

21

11,

1

ηηηés

ismeretlenjeit x,y és z paraméterekkel helyettesítve ez a feladat lineáris egyenletrendszerre vezethető vissza. A paraméteres megoldás zárt alakban is felírható, de nehézkes volta miatt előnyben részesítik a numerikus esetekre alkalmazott számításokat. Ha a 1 2 3p p p p= = = hidrosztatikus állapotot vizsgáljuk, akkor 1 2 3η = η = η = η és

így az egyenletrendszer helyett egyetlen kifejezéssel van dolgunk:

2

1 11

1 2G p + ν− =− − ν η

,

amelynek megoldása:

1

1 2(1 2 )p

E

η =

+ − ν

.

Ha a nyírási rugalmassági modulus helyett a K térfogatváltozási modulust107 használjuk anyagállandónak, akkor az alábbi összefüggéshez jutunk (lásd az alatta levő 8.3-as ábrát):

2

1 11

3 2

p

K

= − η

.

8.3. ábra: A lineáris és a nemlineáris térfogatváltozás összehasonlítása

107 A térfogatváltozási modulus a hidrosztatikus feszültség és térfogatváltozás közötti kapcsolatot fejezi ki. A rugalmassági modulus és a Poisson-tényező ismeretében a következőképpen számítható:

/(3 6 )K E= − ν .


10.06.20. 120

Az ábrán látható lineáris közelítés úgy értelmezhető, mint az raη− kapott képlet sorba fejtett kifejezése szerinti, a magasabb rendű tagokat elhanyagoló vizsgálat:

3

1 (1 2 ) 1 (1 2 ) ...2

p p

E E −η= − ν − − ν +

.

Megjegyezzük, hogy az 1=η értékhez végtelen nagy térfogatváltozási-modulus és 5,0=ν értékű Poisson-tényező tartozik.

8.2. Példa Vizsgáljuk meg, hogy hogyan lehet egy 1D nemlineáris feladat végeselemes modellezéséhez szükséges alapegyenleteket megadni a Lagrange-féle leírásmód alapján

Az 1D szerkezet végeselemes számítását a Lagrange-féle leírásmódnál felírt virtuális munkák tétele segítségével végezzük el. Az [ ],a bX X tartományban elhelyezkedő

szerkezetet a végeselemes technikában szokásos módon 1,..., ee n= elemre osztjuk.

Egy elemen m darab csomópontot veszünk fel, így összesen nN csomópontunk lesz.

Az I-edik csomópont koordinátáját jelöljük IX -vel, az egy elemen belüli 1 ,e emX X

tartományt pedig eΩ -vel.

8.4. ábra. Az 1D szerkezet elemekre osztása Az egyszerűség kedvéért az „1”-es csomópont lesz az előírt elmozdulás perempontja és az Nn jelű pont pedig az előírt feszültségeké (megjegyezzük, hogy a végeselemes

technikában szokásos módon ezeket a peremfeltételeket majd csak a modellezés utolsó fázisában vesszük figyelembe). Az elmozdulásfüggvény és variációjának szokásos végeselemes közelítése:

1 1

( , ) ( ) ( ), ( ) ( )N Nn n

I I I II I

u X t N X u t u X N X uδ δ= =

= =∑ ∑ ,

ahol ( )IN X a 0C -folytonos bázisfüggvényeket, ( )Iu t pedig a csomóponti

elmozdulásokat jelöli. A bázisfüggvényeknek most is ki kell elégíteniük az ( )I J I JN X δ= feltételt. Fontos tudnunk, hogy a csomóponti változók mindig a t

paraméter függvényei, még a kvázi-statikus feladatoknál is (t jelentheti a „valódi” időt, de lehet egy egyszerű monoton növekvő változó, például teherparaméter). Ettől csak a csomóponti virtuális elmozdulások esetében van eltérés, Iuδ értékei nem

függnek az időtől. A most bevezetett közelítések segítségével írjuk fel a virtuális munka egyes komponenseit (az 1D esetre itt felhasznált, nemlineáris hatásokat tartalmazó virtuális munkatételt korábban már részletesen levezettük!):


10.06.20. 121

, 0 , 01 1

b bN N

a a

X Xn nT bb

b X I I X I II IX X

W u A P dX u N A P dX u f u fδ δ δ δ δ= =

= = = =∑ ∑∫ ∫ ,

( ) ( )0 00 0 0 0 0 0

1

b bN

ta at

X XnT k

k x I I I xIX X

W u A b dX u A t u N A dX N A t u fδ δ ρ δ δ ρ δΓ

=Γ

= + = + =

∑∫ ∫ ,

0 0 0 01 1

( )b bN N

a a

X Xn nT T kin

kin I I J JI JX X

W u A u dX u N A u t N dX u M a u f= =

δ = δ ρ = δ ρ = δ =δ∑ ∑∫ ∫ɺɺ ɺɺ .

A kinetikus virtuális munka képletében szereplő tömegmátrix képlete:

0 0 0 0vagyb b

a a

X XT

I J I J

X X

M A N N dX M A N N dX= ρ = ρ∫ ∫ .

Az a vektor a gyorsulási jellemzőket tartalmazza ( a u= ɺɺ ). A virtuális munkatétel képletébe behelyettesítve ezeket az összefüggéseket, a következő egyenletrendszert kapjuk:

( )1

0,Nn

b k kinI I I I

I

u f f f u ra=

δ − + = ∀δ −∑ .

Ez az egyenlet valóban mindig zérus, hiszen I=1-nél 1uδ zérus a peremfeltételek

miatt, míg a többi csomópontnál a zárójeles kifejezés lesz nulla. Elhagyva a tetszőleges virtuális elmozdulásfüggvényt, mátrix alakban a következő szemidiszkrét (a térben diszkrét, az időben azonban folytonos) egyenletrendszert írhatjuk fel:

k bf f f M a= − = .

Ezt a kifejezést a mozgás egyenletének hívják a mechanikában, és alapvető fontosságú a nemlineáris feladat végeselemes vizsgálatában. Az egyenletrendszerben az előírt elmozdulási peremfeltételt már figyelembe vettük. Matematikai jellegét tekintve 1Nn − darab másodrendű közönséges differenciálegyenletből áll,

amelyeknek független változója a t idő- (vagy teher-) paraméter. Megjegyezzük, hogy a számításokban az M tömegmátrix gyakran nem diagonál (ezt hívják a mechanikában konzisztens tömegmátrixnak), így a mozgásegyenlet nem egyezik meg pontosan az f = M a alakú II. Newton-törvénnyel, mivel az I-edik csomópontnál levő erő is okozhat gyorsulást a J-edik csomópontnál. Fontos tudnunk, hogy ha a konzisztens tömegmátrix helyett diagonál felépítésű tömegmátrixot kívánunk használni, akkor a szakirodalomban ajánlott többféle lehetőség valamelyikét kell választanunk (lásd részletesebben a „Nemlineáris végeselemmódszer” című MSc tárgy vonatkozó fejezeteit). A fenti mozgásegyenlethez előírt kezdeti feltételeket legtöbbször a csomóponti elmozdulás-és sebességváltozók figyelembevételével adjuk meg: 0 0(0) ( ), , (0) ( ),I I I Iu u X I re u u X I re= ∀ − = ∀ −ɺ ɺ .

Megjegyezzük, hogy egy t = 0 pillanatban nyugalomban lévő és deformálatlan testnél ezek a kezdeti feltételek az (0) 0 (0) 0 ( )I Iu és u I re= = ∀ −ɺ alakot öltik.

Ha a kezdeti feltételek sokkal bonyolultabbak (például időben változó értékeket írunk elő), akkor a csomóponti elmozdulások és sebességek értékeinek a kezdeti adatokhoz történő illesztését a legkisebb négyzetek módszere segítségével külön ki kell


10.06.20. 122

számítanunk. Ilyenkor az ( )u X kezdeti adathalmaz és a végeselemes interpolációból

adódó ( ) (0)I IN X u∑ értékek különbségének négyzetét minimalizáljuk:

( )( )2

0 0 0

10 (0) ( ) ( ) min

2

b

a

X

I IIX

M u u N X u X A dX = − ρ = ∑∫ !

A sűrűséget hagyományosan azért szokták beépíteni a fenti kifejezésbe, hogy a tömegmátrixot felhasználhassák a számításban. A minimumfeltételt alkalmazva a hibára a következőt kapjuk:

0 0 0( ) (0) ( ) ( ) 0(0)

b

a

X

K I IIK X

MN X u N X u X A dX

u

∂ = − ρ = ∂ ∑∫ .

Ha itt felhasználjuk a tömegmátrix korábbi definícióját, akkor az egyenlet az alábbi alakra hozható:

0 0 0(0) , ahol ( ) ( )b

a

X

K K

X

M u g g N X u X A dX= = ρ∫ .

A kezdeti sebességek csomóponti értékeinek illesztését teljesen hasonló módon kell számítani. Mivel ennél a példánál az alapvető cél az volt, hogy a virtuális munkatétel segítségével illusztráljuk a végeselemes módszer használatát, nem térünk ki a gyakorlati számításoknál gyakrabban alkalmazott technikára, azaz az egy elem szintjén végzett műveletek végrehajtásának elemzésére. Erre vonatkozóan újból az előbb említett „Nemlineáris végeselemmódszer” című tárgyra hívjuk fel a figyelmet.

8.3 Példa Vizsgáljuk meg, hogy egy általános nemlineáris mechanikai feladatnál hogyan lehet a számítás iterációs algoritmusát megadni a virtuális elmozdulások tételével.

Tételezzük fel, hogy az egyszerűség kedvéért most is kizárjuk a dinamikus hatásokat, de egyébként az alakváltozások jelen esetben is tetszőlegesek lehetnek (második Piola-Kirchhoff feszültségtenzort, Green-Lagrange alakváltozástenzort és Lagrange leírásmódot használunk).


10.06.20. 123

8.5. ábra:Iterációs algoritmus A terheket fokozatosan rakjuk rá a szerkezetre a fenti ábrán látható módon. Az ábrán látható P általános teherszimbólum, t pedig jelenthet időváltozót, de képviselhet valamilyen általános teherparamétert is. A példa további részében időparaméterként hivatkozunk rá. Az első időlépésben 011011 , PPPttt −=∆−=∆ ( a”0” indexű tagok

általában zérus értékűek), egy általános lépésnél pedig

nnnnnn PPPttt −=∆−=∆ ++ 11 , .

A számítás első lépése a 11 ttt ∆== időértékhez tartozó elmozdulás, alakváltozás és feszültség kiszámítása: 111111 SSEEuu ∆=∆=∆= ,, . Egy általános lépésnél ezeknek a tagoknak a számítási módja az előzőekben említett változókéhoz hasonló módon történik: 1 1 1 1 1 1, ,u u u E E E S S Sn n n n n n n n n+ + + + + += + ∆ = + ∆ = + ∆ .

Az ismeretlen 1n1n1n SEu +++ ∆∆∆ ,, véges növekmények számítására a virtuális elmozdulások tételét hívjuk segítségül108:

1 1

0 0 0

( )1 1 0 0 0 0 0 0S : E g u t u

n nt

nn n

V V S

dV dV dS+ +

∗+ +− δ + ⋅δ + ⋅δ =∫ ∫ ∫ .

Itt 1 1( )E E En n n+ +δ = δ + ∆ δ . Behelyettesítve a növekményi alakokat a tételbe és

rendezve az egyenletet:

[ ]0

1 1 1 1 0) )S : E S : ( E S : ( En n n n n n

V

dV+ + + +∆ δ + ∆ δ +∆ ∆ δ =∫

1

0 00

( )0, 1 0 0 0 0g u t u S : E

nt

nn n n

V VS

dV dS dV+

∗+= ⋅δ + ⋅δ − δ∫ ∫ ∫

Feltételezve, hogy ismerjük a ntt = időponthoz tartozó megoldásokat, ez az

egyenlet csak két ismeretlent ( n+1 1( )S Enés +∆ ∆ δ ) tartalmaz (megjegyezzük, hogy

esetleges dinamikus hatások esetén egy harmadik ismeretlent is figyelembe kell venni, hiszen

10gn+

∗ elemei ilyenkor 10 0b b

n n++∆ -től függnek, ahol a növekményi tag

ismeretlen). A második Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzor növekménye az anyagmodellek által meghatározott (általában nemlineáris) módon függ az alakváltozásoktól (D az anyagi merevség tenzora, most a nemlinearitás miatt az alakváltozás-tenzor függvénye):

1

1 ,E

E

S D(E): En

n

n d+

+∆ = ∫

ahol 1 1 1aS E E En n n n+ + +∆ ∆ = − nemlineáris függvénye.

108 A g vektor feletti csillag arra utal, hogy szükség esetén az esetleges dinamikai terhet ennél az elemnél kell figyelembe venni.


10.06.20. 124

Felhívjuk a figyelmet, hogy itt természetesen még csak En az ismert mennyiség,

1En+∆ az ismeretlen 1un+∆ nemlineáris függvénye (emlékeztetőül hivatkozunk a

Green-Lagrange-tenzor definíciójára, lásd a második előadást). Így 1Sn+∆ maga is

1un+∆ nemlineáris függvény lesz (még akkor is, ha D maga nem függne esetleg E-

től). Mindezeket figyelembe véve végeredményben a virtuális elmozdulások tételének előbb felírt egyenlete az ismeretlen 1un+∆ elmozdulás-növekmény nemlineáris

függvénye lesz. Ennek a változónak iterációs meghatározására például alkalmazható Newton eljárása. A módszer elvét a következő ábra szemlélteti egyváltozós függvény esetére (a mechanikai modell lehet például egy nemlineáris viselkedésű húzott rúd). Az iteráció alapelve:

∑+

=++

++ ∆+=

1

1

)(1

)0(1

)1(1

m

i

inn

mn uuu

8.6. ábra: Az algoritmus részletei Megjegyezzük, hogy az ábrán R-rel jelölt tagokat reziduum-nak (maradékvektor, hibavektor) nevezzük. Többváltozós rendszerre alkalmazva a Newton-eljárást:

)1(1

)(1

)1(1

1

1

)(1

)0(1

)1(1 , +

++++

+

=++

++ ∆+=∆+= ∑ m

nm

nm

n

m

i

inn

mn illetve uuuuuu .

Az ismeretlen )1(1++∆ m

nu számítására ismét felhasználjuk a virtuális elmozdulások

tételét. Az előző alkalmazásban szereplő 1 1: )S ( En n+ +∆ ∆ δ tagot a linearizálás

érdekében elhagyjuk, így az új egyenlet az új változókkal:


10.06.20. 125

0 0

( 1) ( 1) ( ) ( 1)1 1 1 1 0 0, 1 0: : )S E S ( E g um m m m

n n n n n

V V

dV dV+ + + ∗+ + + + + ∆ δ + ∆ δ = ⋅δ + ∫ ∫

1

0

( ) ( ) ( )0 1 1 0:t u S E

n

t

n m mn n

S V

dS dV+ + ++ ⋅δ − δ∫ ∫ .

Az itteni )1(1++∆ m

nS tag az

( 1)1

( )1

:E

E

D(E) E

mn

mn

d

++

+

∫ kifejezés )(1

mn+u -hez tartozó linearizált

változatából számítható (itt )()( )1(1

)1(1

)(1

)(1

++

++++ == m

nm

nm

nm

n és uEEuEE ):

( 1) ( ) ( 1) ( ) ( )1 1 1 1 1: , ( ) ,S D E D D Em m m m m

n n n n nahol és+ ++ + + + +∆ = ∆ =

)()()()( )(1

)1(1

)(1

)(1

)1(1

)1(1

mn

mn

mn

mn

mn

mn +

++++

++

++ −∆+=−=∆ uEuuEuEuEE .

A Green-Lagrange-tenzor definíciós képletével kifejezhetjük a fenti egyenletekben

szereplő )( )1(1++δ∆ m

nE alakváltozást. )1(1++∆ m

nu -nek a virtuális elmozdulások tétele

segítségével történő meghatározása után )1(1++m

nu is számítható, majd ezt követően )1(

1++m

nE számítása következik, végül a feszültségtenzort módosítjuk:

( 1)1

(0)1

( ) ( )( 1) (0) (0) (0)1 1 1 1( : , ,

E

E

S S D E) E E E S S

mn

n n

n

S Smn n n n n nd ahol

++

+

++ + + += + = =∫

Megjegyezzük, hogy a feszültségmódosítás integrál-kifejezését szokás trapézszabállyal közelíteni:

( ) ( )( 1)

1

(0)1

(0) ( 1) ( 1) (0)1 1 1 1

1( : :

2

E

E

D E) E D D E E

mn

n

m mn n n nd

++

+

+ ++ + + +≈ + −∫ , )(,)( )1(

1)1(

1)0(1

)0(1

++

++++ == m

nm

nnn EDDEDD .

A virtuális erők tétele109 Fontos különbség az előző tételhez képest, hogy a virtuális erők tétele csak kis elmozdulások esetén alkalmazható (az anyagmodellek természetesen tetszőlegesek lehetnek). Ezért most nem írjuk fel újból az előadás elején az „ismétlés” pontban megadott tételt, de egy példában kitérünk egy lehetséges alkalmazására. 8.3 Példa Vizsgáljuk meg az ábrán látható, belső nyomással terhelt vastag falú hengert, és határozzuk meg annak a belső nyomásnak az értékét, amelynek hatására ismert értékű sugárirányú eltolódás jön létre. Az ábra egy teljesen általános terhelést mutat, jelen példában azonban csak a belső nyomás hatását vizsgáljuk.

109 A virtuális erők tételét először a kiváló francia mérnök és fizikus, Benoit Paul Emile Clapeyron (1799 – 1864) fogalmazta meg. Clapeyron évtizedeken keresztül volt Gabriel Lamé barátja és munkatársa, nagyon sok mérnöki feladaton dolgoztak közösen. Lamé híres szilárdságtani könyvében („Lecons sur la Théorie Mathámatique de l’Élasticité des Corps Solides, Párizs, 1852”) közli Clapeyron levezetéseit, megjegyezve, hogy a módszert Clapeyron jóval korábban dolgozta ki, de ez a tétel első publikációja.


10.06.20. 126

8.7. ábra: Belső-külső nyomással terhelt vastagfalú cső Írjuk fel hengerkoordináta-rendszerben a virtuális erők tételét:

∫ +γδτ+γδτ+γδτ+εδσ+εδσ+εδσ− ϑϑϑϑϑϑV

rzrzzzrrzzrr dV)(

( ) ( ) 0e

r r z z r r z z

V A

g u g u g u dV p u p u p u dAϑ ϑ ϑ ϑ+ δ + δ + δ + δ + δ + δ =∫ ∫ .

Jelen esetben 0, 2 0, 2 0, 2 0,r r z z z r z ru = = = = = = =ϑ ϑ ϑ ϑ ϑγ ε γ ε γ ε

illetve 00,0 =σ=σ=σ ϑϑ rzzr és .

Mivel a példában 0,00 =σ=σ zígy , vagyis síkbeli, szimmetrikus feszültségállapotot

kell vizsgálnunk. Jelöljük - tru u -val, és írjuk fel újból a virtuális erők tételének

egyszerűsödött alakját:

( ) 0e

r r

V A

dV pu dAϑ ϑ− δσ ε + δσ ε + δ =∫ ∫ .

Az alakváltozások és feszültségek kapcsolata:

)(1

,)(1

ϑϑϑ σ+νσ−=ενσ−σ=ε rrr EE.

Behelyettesítve ezeket a virtuális erők tételébe:

1 1

( ) ( ) 0e

r r r

V A

dV p u dAE Eϑ ϑ ϑ

− δσ σ −νσ + δσ −νσ +σ + δ = ∫ ∫ .

Az utolsó tagban u a megoszló teher irányában létrejövő elmozdulást jelenti. A feszültségek és a belső nyomás kapcsolatát rugalmasságtani megoldások alapján (lásd pl. Bezuhov: Bevezetés a rugalmasságtanba és képlékenységtanba c. könyvét vagy Handbook of the solutions of elasticity c. munkát) írhatjuk fel:

.

1

1

,

1

1

2

2

2

2

−

+

=σ

−

−

=σ ϑ

i

a

ba

i

a

ba

r

r

r

pr

r

r

r

pr

r

A virtuális feszültségek és a virtuális terhelés ennek megfelelően:


10.06.20. 127

2 2

2 2

1 1

, ,

1 1

a ab b

r b

a a

i i

r rp p

r rp p

r r

r r

ϑ

− δ + δ δσ = δσ = δ =δ

− −

.

Figyelembe véve, hogy hrAésdrhrdV ie π=π= 22 , majd minden egyes tagot

behelyettesítve a virtuális erők tételébe, eredményül kapjuk az alábbi egyenletet: 2

2

1(1 ) (1 ) 0

1

i ab b b

ia

i

r rp p u p

E rr

r

− −ν + + ν δ + δ = −

.

Elosztva bpδ -vel kifejezhetjük a keresett belső nyomást az előírt elmozdulás

függvényében:

2

2

1

.

1 (1 )

a

ib

i a

i

r

r Ep u

r r

r

−

=

− ν + +ν

Az idegen munkák tétele Vizsgáljunk meg két különböző, nem összetartozó („idegen”) valódi erőrendszert, kis elmozdulásokkal és alakváltozásokkal, valamint lineárisan rugalmas anyagi viselkedéssel. Az egyes munkák számításánál most koncentrált dinámok hatását is figyelembe vesszük. Az első rendszer elemeit „egyes”, a másikét „kettes” indexszel jelöljük. 111

-111111 e,uDqgf ⇒⋅=⇒⇒ σσσσεεεεσσσσ,, , (8.18)

222-1

22222 e,uDqgf ⇒⋅=⇒⇒ σσσσεεεεσσσσ,, . (8.19)

Számítsuk ki először az „első” halmaz általánosított erőinek a „második” halmaz általánosított elmozdulás rendszerén végzett idegen munkáját, majd ugyanezt végezzük el fordítva: a „második” rendszer adja az általánosított erőket, az „első” pedig az általánosított elmozdulásokat:

∫ ∫∫ ⋅−=⋅+⋅+⋅=V

B

A

K dVWdVdAW 21212121 uguqef εεεεσσσσ,21,21 , , (8.20)

∫ ∫∫ ⋅−=⋅+⋅+⋅=V

B

A

K dVWdVdAW 12121212 uguqef εεεεσσσσ,12,21 , . (8.21)

A virtuális elmozdulások tételét mindkét esetben figyelembe véve: 0,0 ,21,21,12,12 =+=+ BKBK WWWW . (8.22)

Írjuk fel most részletesen BW ,12 értékét:

∫ ∫ ∫ ∫ =⋅⋅−=⋅⋅−=⋅−=⋅−=V V V V

B dVdVdVdVW 1-1

212-1

1221 DD σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσεεεεεεεεσσσσ )(,12

∫ =⋅−=V

BWdV ,2112 εεεεσσσσ (8.23)

Ebből az egyenletből és az előző munkatételekből újabb kapcsolati összefüggést írhatunk fel: KK WW ,21,12 = (8.24)


10.06.20. 128

A mechanikában ezt az egyenlőséget Betti110-tételnek, vagy más néven külső idegen munkák egyenlőségének hívják. Az itt használt gondolatmenettel összesen 10 tétel fogalmazható meg: a./ Virtuális munkatétel alapján: 12, 12, 12, 21,, ,12,B 21,BW = WK B K KW W W W=− = . (8.25)

b./ Virtuális kiegészítő munkatétel alapján: 12, 21, 12, 21,, ,12,K 12,BW =-W B B K KW W W W= =% % % % % % . (8.26)

c./ Vegyes tételek alapján: 12, 21, 12, 21, 12, 21,, ,12,K 21,BW =-W ,B B K K K KW W W W W W= = − =% % % % . (8.27)

Mindhárom csoportban vastaggal kiemeltünk egy tételt („a”/2, „b”/1, „c”/2), ezekkel gyakorlati fontosságuk miatt külön foglalkozunk. Felcserélhetőségi tételek Az alábbi három tételnél feltételezzük, hogy g és q zérus. a./ Külső elmozdulások felcserélhetősége (Maxwell111-féle felcserélhetőségi tétel):

Az alkalmazott két erőrendszer mindegyikét alkossa egyetlen egy egységdinám (erő vagy nyomaték): 1 21 1F és F= = . Felhasználva a „b/1” alatti tételt és behelyettesítve

ezt az erőrendszert: 12, 12, 1 2 2 1- 12 21e =eK BW W e F e F= ⇒ = ⇒% % . (8.28)

A tételben szereplő változónál az első index a helyet, a második index az okot jelöli, lásd az alábbi ábrát: 8.8. ábra: Maxwell tétele A tételt elsősorban elmozdulási hatásábrák készítésére használják. b./ Belső erők felcserélhetősége (Kossalka112-féle első felcserélhetőségi tétel): A tételt statikailag határozatlan tartóknál alkalmazzák igénybevételek számítására. Az alkalmazott elmozdulások legyenek egységnyi értékűek. 12, 21, 1 2 2 1 12 21S =MB BW W M S u= ⇒ − ϑ =− ⇒ . (8.29)

A tétel magyarázatához ad segítséget az alábbi ábra:

110 Enrico Betti (1823 -1892) kiváló olasz matematikus. 111 James Clerk Maxwell (1831 – 1879) skót matematikus és fizikus, a legnagyobb tudósok egyike. Sokat foglalkozott mechanikai témájú feladatokkal is. 112 Kossalka János (1871–1944) kiváló magyar hídépítő mérnök. Ő tervezte például az Árpád-hidat is.


10.06.20. 129

8.9.ábra: Kossalka első tétele c./ Belső erő és külső elmozdulás felcserélhetősége (Kossalka-féle második felcserélhetőségi tétel): Az első rendszerben az alkalmazott elmozdulás, a másodikban pedig az alkalmazott erő legyen egységnyi: 12, 21, 2 1 1 2 12 21S =eK BW W S u e f=− ⇒ = ⇒% . (8.30)

A tétel magyarázatához lásd az alábbi ábrát: 8.10. ábra: Kossalka második tétele A tételt igénybevételi hatásábra kinematikus módon történő készítéséhez használják, hiszen ilyenkor az igénybevételi hatásábra egy adott keresztmetszetben az igénybevételnek megfelelő egységnyi relatív elmozdulásból származó lehajlási ábra lesz.

Elmozdulási hatásábrák Egy tartószerkezet valamely K pontjának ( )K Cη elmozdulási hatásábráját a tartón

végigmenő függőleges egységerő hatásából úgy számítjuk, hogy a K ponton a C elmozdulásnak megfelelő Q =1 terhet (erőt, erő-párt, nyomatékot, nyomaték-párt) működtetünk, és meghatározzuk a tartón végigmenő egységerő támadáspontjainak függőleges eltolódási ábráját (lásd a Maxwell-féle felcserélhetőségi tételt). Ez a függőleges eltolódási ábra megadja a keresett elmozdulási hatásábrát.


10.06.20. 130

8.11. ábra: Virtuális dinámok felvétele elmozdulási hatásábrákhoz

8.4 Példa Határozzuk meg a tartó „C” csuklóba befutó rudak végeinek „nagyított” relatív elfordulási hatásábráját:

Megoldás:

A relatív elfordulási hatásábra számításához a C csuklóban elhelyezett egységnyi nyomaték-párból keletkező függőleges eltolódási ábrát kell kiszámítanunk. Ezt a nyomatékábrát és a ingarudakban keletkező rúderőket a lenti ábrán már megrajzoltuk. A hajlítási merevség az egész tartón állandó, az inerciasugár négyzete 1,6.

8.12. ábra: Elfordulási hatásábra számításának első lépése

A függőleges eltolódási ábrát úgy fogjuk meghatározni, hogy először kiszámítjuk a „3” jelű pont abszolút mozgásait (függőleges eltolódását és abszolút elfordulását), ezt követően meghatározzuk a C csuklónál keletkező relatív elfordulást és végül ezek ismeretében az összes többi pont függőleges eltolódását.


10.06.20. 131

A Cϑ relatív elfordulás meghatározásához az egységnyi nyomaték-párból kapott

igénybevételeket kell „önmagukkal” integrálni, hiszen ilyenkor a virtuális hatást ugyancsak egy egységnyi nyomaték-párral kell megadnunk. Megjegyezzük, hogy az inerciasugár négyzetére azért van szükségünk, hogy az ingarudakban keletkező normálerők hatását is ugyanúgy xEI nagyítással tudjuk figyelembe venni (mivel a

rugalmassági modulus ugyanakkora a gerendánál és az ingarudaknál, annak hatása a

nagyításnál kiejthető, az A

I x hányados pedig nem más, mint az inerciasugár

négyzete).

2288,163

1

3

136,1)

6

2

6

2

6

2

6

2(326,1

3

2

2

131112

3

2

2

16kNmC =⋅⋅++⋅⋅+

⋅+⋅⋅+

⋅=ϑ

A „3”-as pont nagyított függőleges eltolódásának számításához a pontba függőleges egységerőt iktatunk, majd az ebből kapott igénybevételeket integráljuk az egységnyi nyomaték-párból kapott hatásokkal:

8.13. ábra: Függőleges eltolódás számítása

33 25,2)

2

2

6

2

2

2

6

2(236,1

2

1

22

36kNme y =−⋅⋅+

⋅⋅

=

A „3”-as pont nagyított abszolút elfordulásának meghatározásához a pontba egységnyi nyomatékot helyezünk:

8.14. ábra: Elfordulás számítása

3

3 1 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 13 ( ) ( )

2 2 3 8 2 8 8 2 2 2 8 8 3

⋅ ⋅ϕ = − + ⋅ + + + −

⋅ ⋅

1 3 1 1 2 2 3 2 2 2 1 16 1 1,6 3 2( ) 1,6 3

4 2 4 3 6 24 6 24 3 12

⋅ ⋅ ⋅ ⋅− ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅.

23 5105,1 kNm−=ϕ .


10.06.20. 132

A többi pont eltolódásának meghatározása:

1

3 12, 25 1,51 6 5 7,56( )

2 2ye⋅

= + ⋅ − ⋅ = ↓⋅

2

3 12,25 1,51 3 2 5,28( )

2 2ye⋅

= + ⋅ − ⋅ = ↓⋅

4

1 3 12, 25 1,51 3 3 1,5 1 5,28( )

2 2 2ye⋅

= − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ = − ↑⋅

5

1 32,25 1,51 6 3 4,5 4 3 1 1,5 21,06( )

2 4ye = − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ = − ↑

6

3 32, 25 1,51 9 7,5 7 3 4,5 16,288 3 3 1,5 3,024( )

2 4ye = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = ↓

7

3 32,25 1,51 12 10,5 10 9 4,5 16, 288 6 18,1( )

2 4ye = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ = ↓

8

3 32, 25 1,51 15 1,5 13 12 6 16,288 9 24,192( )

2 4ye = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ = ↓ .

A relatív elfordulási hatásábra alakja:

8.15. Az elfordulási hatásábra

Felhasznált irodalom: 1./ Kaliszky S. – Kurutzné K. M. – Szilágyi Gy. : Szilárdságtan, Egyetemi Tankönyv, 2000. 2./ Fung: Foundation of Solid Mechanics, Prentice Hall, 1965, 1994. 3./ Bezuhov, N. I. : Bevezetés a rugalmasságtanba és a képlékenységtanba, Tankönyvkiadó, 1952. 4./ Mang, H. – Hofstetter, G. : Festigkeitslehre, Springer, 2000. 5./ Holzapfel, G. A. : Nonlinear solid mechanics, Wiley, 2000.


10.06.20. 133

9. Előadás: Energiatételek

A különböző mechanikai feladatok vizsgálatánál a mérleg- illetve egyenlőtlenség formájában megfogalmazott alapvető egyenletek (tömeg-, energia-, impulzus- és impulzusmomentum-megmaradás, entrópia-változási feltétel) mellett a megoldáshoz nagyon gyakran használnak variációs elveket. Ezeket vagy ortogonalitási113, vagy stacionaritási114 feltételként fogalmazzák meg. Ebben az előadásban a stacionaritási feltételek körébe sorolható energiatételekkel foglalkozunk. Megjegyezzük, hogy a mechanika ismer a most bemutatott változatoknál lényegesen általánosabb variációs elveket is (ilyen pl. az Onsager115-elv, ami a statisztikus mechanikában, a Gyarmati116-elv, amely az irreverzibilis folyamatok termodinamikájában használatos), de ezeket mi itt nem tárgyaljuk. A témakör átfogó ismertetése illetve az egyes részletek mélyebb megismerése után érdeklődőknek magyar nyelven Verhás [ ]2 alatti könyvét illetve Kurutzné [ ]3 alatti jegyzetét ajánljuk, angol

nyelven pedig az [ ]5 , illetve a [ ]8 sorszámmal hivatkozott művek hasznosak ebből a

szempontból. A továbbiakban elsősorban a rugalmas anyagú rendszerek (szerkezetek, közegek) viselkedését leíró klasszikus variációs elvekkel foglalkozunk, a nem rugalmas (képlékeny) anyagú szerkezetek modellezésének kérdését csak az előadás végén érintjük nagyon röviden.

113 Az általunk vizsgált feladatok körében az ortogonalitási feltétel két függvénytér adott tartományon számított szorzatintegráljának zérusértékűségét jelenti. Ezt a feltételt használtuk az előző fejezet virtuális munkatételeinek levezetésekor. Megjegyezzük, hogy szokás az ortogonalitási feltételrendszert „direkt” variációs módszernek is nevezni. 114 A stacionaritási feltétel a vizsgált fizikai rendszer lokális vagy globális szélsőértékének meghatározására vonatkozó matematikai összefüggéseket szolgáltatja. A mi feladatainknál ezek általában függvények szorzatának integráljaira vonatkozó megállapításokat jelentenek. A stacionaritási feltételeket szokás „inverz” variációs módszernek is nevezni. 115 Lars Onsager ( 1903 – 1976) norvég származású amerikai vegyész illetve fizikus. 116 Gyarmati István (1929 – 2002) kiváló magyar fizikus, a termodinamika nemzetközileg elismert kutatója.


10.06.20. 134

A mechanikában használatos feltételrendszernek megfelelően a legáltalánosabb, úgynevezett vegyes variációs elvek körében három mezőváltozó függvény117 alkalmazható: az elmozdulások ( , , uiu u ), az alakváltozások ( , , εi jε ε ) és a feszültségek ( , , σi jσ σ ). Ha

ezeket a variációs elvek funkcionáljában egymással variáljuk, akkor a következő változatokhoz jutunk: Típus Mezőváltozók A variációs elv neve 1./ Egyváltozós Elmozdulások Teljes potenciális energia 2./ Egyváltozós Feszültségek Teljes kiegészítő potenciális energia 3./ Egyváltozós Alakváltozások Nincs elfogadott elnevezése 4./ Kétváltozós Elmozdulások és Hellinger-Reissner-elv118 feszültségek 5./ Kétváltozós Elmozdulások és Nincs elfogadott elnevezése alakváltozások 6./ Kétváltozós Alakváltozások és Nincs elfogadott elnevezése feszültségek 7./ Háromváltozós Elmozdulások, Veubeke-Hu-Washizu-elv119 feszültségek és

alakváltozások Megjegyezzük, hogy a fenti táblázatban felsorolt hétféle elv közül numerikus számítások céljára az elmúlt mintegy hatvan évben összesen négy vált be, azok közül is kiemelkedik gyakorlati használhatóságával a potenciális energia minimumtétele. Nem véletlen, hogy az eddig tanult numerikus technikáink jelentős része erre épült.

117 Az egyszerűség kedvéért itt a kis geometriai változásoknál szokásos feszültség- és alakváltozás-szimbólumokat használjuk, de a későbbiekben bemutatunk nagy alakváltozások esetén használatos variációs elvet is. 118 Az elv alapvető ötlete Ernst David Hellinger (1883 – 1950) német matematikustól származik. Kapcsolódó publikációja: „Die allgemeine Ansätze der Mechanik der Kontinua”, Encyklopedia der Mathematischen Wissenschaften, Vol. 4, ed. F. Klein – C. Müller, Teubner Verlag, Leipzig, 1914. Mérnöki feladatokra történő első alkalmazása Georg Prange (1885 – 1941) német matematikusnál olvasható: „Der Variations- und Minimalprinzipe der Statik der Baukonstruktionen”, Habilitationsschrift, Techn. Univ. Hanover, 1916. Az elv általánosítását és a mechanikai peremfeltételekkel való pontos kapcsolatrendszer tisztázását Eric Reissner (1913 - 1996) német származású amerikai kutató végezte el: „On variational theorem in elasticity”, Journal of Mathematics and Physics”, Vol. 29, pp. 90-95, 1950. 119 A kínai Hu Haichang (1928 – ) munkája: „On some variational principles in the theory of elasticity and the theory of plasticity”, Sci. Sinica, Vol. 4, pp. 33-54, Peking, 1954. A japán Kyuichiro Washizu (1921 – 1981) cikke: „On the variational principles of elasticity and plasticity”, Aeroelastic and Structures Research Laboratory, Technical Report 25-18, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, March, 1955. Kevésbé ismert, hogy Baudouin M. Fraeijs de Veubeke (1917-1976) belga kutató négy évvel korábban már bemutatta ugyanezt az elvet. Cikke: „Diffusion des inconnues hyperstatiques dans les voilures à longeron couplés”, Bull. Serv. Technique de L'Aéronautique No. 24, Imprimeríe Marcel Hayez, Bruxelles, pp. 1-56, 1951.


10.06.20. 135

A továbbiakban a mechanikai alapegyenletekhez kapcsolódó energiaelvek bemutatásakor

- először azt vizsgáljuk, hogy hogyan lehet az alapegyenletek segítségével egy általános variációs elvet „előállítani” (ennek technikáját a BSc tanulmányokból már ismert potenciális energia függvényen illusztráljuk), - ezt követően a többféle lehetséges elv közül a legáltalánosabb, a Veubeke-Hu-Washizu-funkcionált mutatjuk be (megjegyezzük, hogy a másik - gyakorlatilag fontos – többváltozós elvet, a Hellinger-Reissner-funkcionált a numerikus technikáknál elemezzük részletesen, lásd a Bojtár-Gáspár: „A végeselemmódszer matematikai alapjai” című jegyzetet), majd - harmadik lépésként a gyakorlati feladatok vizsgálatához leginkább szükséges „egyszerűsített” változatokat (potenciális energia, kiegészítő potenciális energia) tárgyaljuk.

Különböző variációs elvekhez tartozó funkcionálok felépítésének általános és alapvető lépései120 Ebben a pontban a variációs elvek felépítésének általános szempontjait foglaljuk össze. Az általános algoritmushoz illusztrációként azt a variációs elvet fogjuk használni, amelyet (másféle felépítési technikával létrehozva) már ismerünk: a teljes potenciális energia függvényének felépítése segítségével magyarázzuk el a többváltozós elvek létrehozásának módját. A rugalmasságtan – a jelen esetben használt feltételrendszerrel egyező módon felírt – alapvető összefüggéseit a 9.1 ábrán vázoltuk. Az ismert tömegerők valamint az előírt

elmozdulások és terhek ˆˆ, ,b u t függvényeiből121 kell az öt darab mezőegyenlet felhasználásával az elmozdulások, alakváltozások és feszültségek , ,u ε σ függvényeit meghatároznunk.

120 Megjegyezzük, hogy az ebben a pontban bemutatott elemzést a „Végeselemmódszer matematikai alapjai” c. tárgy 11-ik fejezetében is ismertetjük, mivel a vegyes variációs elvek technikájának bemutatásakor ismétlését szükségesnek tartottuk. 121 Az egyszerűség kedvéért itt és a továbbiakban a korábban használatos bρ jelölés helyett a b szimbólumot fogjuk használni, vagyis a sűrűségfüggvény és az egységnyi tömegre vonatkozó tömegerő helyett azok szorzataként az egységnyi térfogatra vonatkozó erőt alkalmazzuk. Dimenzió:

( ) ( ) ( )3 3/ / /kg m kN kg kN m⋅ = .


10.06.20. 136

9.1.ábra. A rugalmasságtan alapegyenletei kis alakváltozások esetén

1./ Első lépésként az ismeretlen mechanikai mezőváltozók , ,i i j i ju elmozdulás alakváltozás feszültség→ ε → σ →

közül kell kiválasztani annyit, amennyit alapvető variálandó paraméterként használni kívánunk (szokás a kiválasztottakat néha – főleg az elméleti végeselemes irodalomban – „alap”-változóknak122 is hívni, ellentétben a többi, „másodlagos” („segéd”, „származtatott”, stb.) függvénnyel). A kiválasztott alap-változók számától függően lesz egy-, két- vagy hárommezős a variációs elv. Fontos megjegyeznünk, hogy az ismert adatnak tekintett függvények (tömeg-, felületi-, vonalmenti- és koncentrált terhek, valamint peremfeltételi adatok) soha nem lehetnek variálandó mennyiségek (ezeket egyszerűen „adat”-mezőknek nevezik). 2./ Lépés: Az alapváltozó(k)ból az ún. „erős” kapcsolati egyenletekkel előállítjuk a másodlagos változókat. Ha egy alapváltozóra peremfeltételt is előírtunk, akkor azt a feltételt tekinthetjük „erősnek” vagy „gyengének”. Az „erős peremfeltétel” elnevezést akkor használjuk, amikor az alapváltozót csak azon függvények halmazából választjuk, amelyek teljesítik ezeket a peremfeltételeket. Ha egy másodlagos változót két alapváltozóból is előállítunk (vagy két összekapcsolódó alapváltozó esetén az egyikből számíthatjuk a másikat, azt másodlagosnak tekintve), akkor azoknak elvileg meg kellene egyezniük. Az ezt kimondó egyenletet, valamint az eddig ki nem elégített egyenleteket „gyenge” egyenleteknek tekintjük, és ezeket csak „átlagos értelemben” teljesítjük. Az „átlagos értelemben való teljesülés” egyébként azt jelenti, hogy minden, a tartományon felvett – legalább szakaszonként differenciálható – függvényre (az ún. Lagrange-szorzók függvényeire) legyenek ezek a kifejezések ortogonálisak. 3./ Lépés: A Lagrange-szorzók123 célszerű megválasztásával és megfelelő átalakítások után megkapjuk a keresett funkcionál első variációjának zérus voltát (vagyis a keresett funkcionál stacionaritását) előíró 0δΠ = egyenletet (többváltozós esetben egyenleteket). Ebből előállítható maga a funkcionál is.

122 Néha használatos a „mesterváltozó” elnevezés is, egyes ábrákon mi is ezt alkalmaztuk. 123 Emlékeztetőül: A Lagrange-szorzók alkalmazásának módszere része a BSc-mérnökhallgatók matematikai alapképzésének, lásd a Thomas-féle „Kalkulus” III. kötetének 321-330. oldalakon található tananyagot. Megjegyezzük, hogy a Lagrange-szorzós technikát variációs elvek kidolgozására elsőként Kurt Otto Friedrichs német matematikus (1901-1982) alkalmazta, ő egyébként két másik kiváló német matematikus, David Hilbert (1862-1943) és Richard Courant (1888-1972) tanítványa volt.


10.06.20. 137

4./ Lépés: A „kész” variációs elv numerikus eredményeket adó közelítő (például végeselemes) számítási technikájának kidolgozása a megfelelő bázisfüggvények, elemek, stb. felvételével. Ez már a számítások technikai részéhez tartozó feladat. A fenti lépéseket alkalmazzuk illusztrálásul a teljes potenciális energia funkcionáljának előállítására. Ebben az esetben az egyes változók közötti – korábbi tanulmányaink alapján minden részletében ismertnek tekinthető – kapcsolati hálózatot mutatja be a következő ábra: 9.2. ábra. A potenciális energia függvényének származtatása kis alakváltozások esetén

A kiválasztott alapváltozó most az iu elmozdulásmező. Megjegyezzük, hogy az egész S

felület két tartomány összege: az uS részen előírt elmozdulásokat, az tS felületen pedig előírt

erőket veszünk figyelembe. A „második lépésben” az elmozdulási peremfeltételek alapján a megengedett elmozdulásmezők tartományát szűkítjük, majd az „erős” geometriai és anyagegyenletekkel a alapváltozóból számítjuk az alakváltozásokat és feszültségeket (ebben az illusztráló bemutatásban kizárólag indexes jelölésekkel dolgozunk):

( ), ,

1( n), ( n)

2u u uij i j j i ij i j k l klu u V D Vε = + − σ = ε − . (9.1)

Most „gyenge” kapcsolati egyenlet lesz az egyensúlyi egyenlet és a statikai peremfeltétel (ezeket jelöltük az előbbi ábrán szaggatott kapcsolati vonallal). Ezek Lagrange-szorzós alakja (az első egyenlet az egyensúly, a másik a peremfeltétel megfogalmazása):

( ), 0ui j j i i

V

b dVσ + λ =∫ , ( )ˆ 0t

uij j i i

S

n t dSσ λ− =∫ . (9.2)


10.06.20. 138

A „harmadik lépésben” alkalmazzuk először a Gauss-tételt a térfogati integrál átalakítására a 9.2 alatti első egyenlet bal oldalának első tagjánál (a képletben szereplő jn a felületi

normálisvektort jelöli), továbbá felhasználjuk a Függelék (F.76) alatti harmadik egyenletét:

, ,u u ui j j i i j i j i j j i

V V S

dV dV n dSσ λ = − σ λ + σ λ∫ ∫ ∫ (9.3)

A feszültségtenzor szimmetrikus jellegét felhasználva ez az egyenlőség tovább módosítható:

( ), , ,

1

2u u ui j j i i j i j j i i j j i

V V S

dV dV n dSσ λ = − σ λ + λ + σ λ∫ ∫ ∫ (9.4)

A kifejezés további átalakításához, a variálás bevezetéséhez a jobb oldal első tagjának a geometriai egyenletekhez való hasonlóságát kell felhasználni124, vagyis legyen a továbbiakban

i iuλ → δ , (9.5)

Ez a lépés azt jelenti, hogy a Lagrange-szorzót az elmozdulásmező (első) variációjának tekintjük. Helyettesítsük be ezt a (9.4) alatti egyenletbe125:

,u u u ui j j i i j i j i j j i

V V S

u dV dV n u dSσ δ = − σ δε + σ δ∫ ∫ ∫ . (9.6)

A 9.6 alatti egyenlet utolsó tagjában a felületi integrált bontsuk két részre ( uS és tS ). Az uS

részen azonban az elmozdulás-függvény variációja ( )iuδ zérus, így ez a tag csak az tS

részen integrált tagra szűkíthető:

t

u ui j j i i j j i

S S

n u dS n u dSσ δ = σ δ∫ ∫ . (9.7)

Ez a kifejezés azonban a (9.2) alatti második egyenlet két tagra bontása segítségével a következőképpen is felírható:

ˆ

t t

ui j j i i i

S S

n u dS t u dSσ δ = δ∫ ∫ . (9.8)

Követve a ( ) ( ) ( ) ( )9.8 9.7 9.6 (9.3) 9.2a→ → → → visszahelyettesítéseket, megkapjuk a teljes

potenciális energia első varációjának zérus voltát előíró egyenlet126:

( ) ˆ 0ut

u uTPE i j i j i i i i

V V S

dV b u dV t u dSδΠ = σ δε − δ − δ =∫ ∫ ∫ . (9.9)

Megjegyezzük, hogy itt az első integrál alatt a felső indexek azt mutatják, hogy a feszültség és az alakváltozás is az elmozdulás-függvénytől függ. Az első variációs alakból most már egyszerűen előállítható maga a teljes potenciális energia funkcionálja:

( ) 1 ˆu2

t

u uTPE i j i j i i i i

V V S

dV b u dv t u dSΠ = σ ε − −∫ ∫ ∫ (9.10)

Az első tagnál részletezzük a variációs, illetve a teljes alak közötti kapcsolatot:

124 Hasonló „a posteriori” módosítás nélkül általában csak jóval nehézkesebben lehet gyakorlatilag használható variációs alakhoz jutni. Ezt maga Fraeijs de Veubeke, ennek a levezetéstípusnak első mechanikai alkalmazója is így vélte. 125 Az új alaknál kihasználtuk az alakváltozások és elmozdulások közötti erős kapcsolati egyenletet, ennek variációjaként született a jobb oldal első tagjánál feltüntetett alakváltozás-komponens

variáció: ( ) ( ), , , ,

1 1

2 2u ui j i j j i i j i j j iu u u uε = + ⇒ δε = δ +δ .

126 Megemlítjük (9.9)-nek a nyolcadik fejezetben lévő (8.15)-ös képlettel való hasonlóságát.


10.06.20. 139

1 1 1

2 2 2

1 1 1 1.

2 2 2 2

u u u u u ui j i j i j i j i j i j

V V V

u u u u u u u u u ukl klij i j i j i j kl kl i j i j i j i j

V V V V V

dV dV dV

D dV dV dV dV dV

δ σ ε = δσ ε + σ δε =

δε ε + σ δε = δε σ + σ δε = σ δε

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (9.11)

Az átalakításnál felhasználtuk a ijkl klijD D= szimmetriafeltételt.

A variációs alak megfogalmazása után következhet a negyedik lépés, a numerikus vizsgálatok technikájának kidolgozása. Erre most az illusztráló példa esetében természetesen nem térünk ki, hiszen ez már a végeselemes technika feladata.

Veubeke-Hu-Washizu-funkcionál nagy alakváltozások esetén

A munkatételekhez hasonlóan az energiaelvű variációs megfogalmazásokat is fel lehet írni

nagy alakváltozások segítségével. Nem részletezzük az előállítás előbb bemutatott lépéseit, csak a végeredményt közöljük. Megjegyezzük, hogy az itt bemutatott összefüggéseket is természetesen elsősorban a numerikus számításoknál (a többmezős jellegre való tekintettel az úgynevezett „vegyes” („mixed”) végeselemes technikában) használják. A Veubeke-Hu-Washizu-funkcionál (továbbiakban VHW-funkcionál) variációs alakja (Euler-rendszerhez tartozó változókat használva) a következő:

( , ,v DVH WδΠ =σ)_

∫ δV

:D ( )σ D dV + ∫ δV

( : ( ( ) ))σ D v D dV− −

ˆ

tV S V

dV dS dV− δ ⋅ − δ ⋅ + δ ⋅ρ∫ ∫ ∫v b v t v v& = 0. (9.12)

A második sor első két tagja a külső, az utolsó (harmadik) tag pedig a kinetikus teljesítményt jelöli.

A VHW-funkcionál három mezőváltozót használ: a sebességet ( ),( tXv ), a

deformációsebesség-tenzort ( ),( tXD ) és a nagy alakváltozásokhoz tartozó Cauchy-feszültségtenzort ( ( , )σ X t ). A két utóbbi komponensnél a felülvonás azt jelzi, hogy ezeket a sebességmezőtől független approximációként kezeljük. Ennek megfelelően tehát a felülvonás nélküli D a kinematikai egyenletekből számítható deformációsebesség-tenzort jelöli, (megkülönböztetésül D -től), a felülvonás nélküli feszültségtenzor ( )(Dσσσσ ) pedig az anyagmodell egyenleteken keresztül az approximált alakváltozás-sebességektől függ.

A funkcionált gyakran használják másféle feszültség- és alakváltozás-tenzorokkal, továbbá

a virtuális teljesítmények helyett a virtuális munkákra vonatkozó alakot is alkalmazhatjuk (Lagrange-bázist használunk a következő képletnél, az eltolódásfüggvény mellett a felülvonással jelölt első Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzort, illetve az ugyancsak felülvonással jelölt deformációgradiens-tenzort használva független változónak):

0 0

0 0( ) : : ( ( ) )u,F,P F P(F) P F u FVH W K Kin

V V

dV dV W W δΠ = = δ + δ − −δ + δ ∫ ∫ = 0. (9.13)

A funkcionálban a deformáció-gradiens tenzort valamint az első Piola-Kirchhoff feszültségtenzort használtuk az elmozdulásmező mellett független változóként (a felülvonás szimbólumok jelentése hasonló az előbb említettekéhez). A külső és a kinetikus virtuális munkát most csak tömör alakban, szimbolikusan jelöltünk.


10.06.20. 140

Az alakváltozás- és feszültségjellemzők megváltoztatásával bemutatunk egy harmadik használatos alakot is (csak a belső virtuális energiára vonatkozó tagot írjuk fel):

0 0

0 0( ) ( ( ) )E:S E S: E u EB

V V

dV dV δΠ = δ + δ − ∫ ∫ . (9.14)

Ebben a változatban a Green-Lagrange alakváltozástenzort és a második Piola-Kirchhoff feszültségtenzort használtuk (az elmozdulásmező mellett) független változónak.

Az általános elvek illusztráló jellegű bemutatása után szűkítsük az alkalmazási területeket

statikai feladatokra és konzervatív rendszerekre (egyelőre a nagy alakváltozások körében). Ilyenkor a Green-Lagrange-alakváltozástenzort egy potenciálfüggvénybe beépítve szerepeltethetjük a belső hatásoknál127:

0 0

0 0( ) ( ) : ( )u,S,E E S E EVH W K

V V

W dV dV WΠ = + − −∫ ∫ . (9.15)

A következő (harmadik) lépésben további egyszerűsítések után eljutunk a gyakorlatban sűrűbben használt, kis alakváltozásokkal operáló energiaelvekhez.

A VHW-funkcionál egyszerűsített változatai kis alakváltozású, kvázistatikus, konzervatív terhelésű szerkezeteknél

Ebben az esetben a (9.12)-nek illetve(9.13)-nak megfelelő szokásos alak ( u tS S S∪ =figyelembevételével)128:

ˆ( ) ( ) : ( )u,σ,ε ε σ ε-ε g u t ut

VHW

V V V S

W dV dV dV dSΠ = + − ⋅ − ⋅∫ ∫ ∫ ∫ . (9.16)

A (9.5) alatti VHWΠ -ben a független változó – így szabadon variálható – , ,u σ ε . A

stacionaritási feltétellel meghatározott – úgynevezett „gyenge” – megoldásnál a funkcionálnak nyeregpontja van. Tényleges számítási célokra a VHW-funkcionált viszonylag ritkán, inkább csak kutatási feladatokban alkalmazzák. Numerikus alkalmazására a „Végeselemmódszer matematikai alapjai” c. tárgyban mutatunk be példákat. Megjegyezzük, hogy ugyanott tárgyaljuk a többmezős funkcionálok egy másik – jelen előadás bevezetésében már említett, de terjedelmi okokból most nem részletezett – kétváltozós modelljét, a Hellinger-Reissner-funkcionált is. A mindennapi mérnöki munkában a VHW-funkcionál eredeti változatánál fontosabb és gyakorlati feladatok megoldására is kiválóan használható a belőle származtatható két speciális változat, a teljes potenciális energia, illetve a kiegészítő potenciális energia funkcionálja. A kompatibilitási és az elmozdulási peremfeltételi egyenleteket kielégítő folytonos elmozdulásmezők halmazán a

ˆ( )ε t u g utV S V

W dV dS dV− ⋅ − ⋅∫ ∫ ∫ (9.17)

teljes potenciális energiának minimuma, az (előírt elmozdulásokkal kiegészített)

127 A W szimbólum itt a belső alakváltozási energiát jelöli az ötös és hetes fejezetekben használt szimbólumokhoz illeszkedve. Mivel a BSc Szilárdságtanban W-t alapvetően a munka definícióra használtuk, ennek a változónak a pontos értelmezése is csak a szövegkörnyezet alapján dönthető el. 128 Ezekben az energiafüggvényekben a tömegerők vektoránál – mint ahogy azt a hetedik fejezet második felében is tettük– b helyett áttérünk a BSc Szilárdságtanban szokásosan használt g szimbólumra, továbbá az ott megszokott módon a munkát jelöljük W-vel. D az anyagi merevségi mátrixot jelenti.


10.06.20. 141

( )σ u t u guV S V

W dV dS dV− + ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫% % % (9.18)

negatív kiegészítő potenciális energiának – az egyensúlyi és reakció-eloszlási egyenleteket kielégítő egyensúlyi mezők felett – pedig maximuma van. A fentieket jól szemlélteti a nyeregpont geometriai formája is. ( )σW% a fajlagos belső kiegészítő potenciális energiát jelöli. Természetesen mindkét esetben feltétel a fizikai egyenletek teljesülése. A továbbiakban: - az anyagot lineárisan rugalmasnak tekintjük (a kivételeket külön jelezzük), és

- nem foglalkozunk dinamikai hatásokkal.

A BSc Szilárdságtanban tanultakra hivatkozva ismételjük át a számunkra fontos energiafüggvényeket: A./ A potenciális energia Külső potenciál: a vizsgált testre ható külső erők potenciális energiája. Csak konzervatív (kizárólag a helytől függő energiafüggvénnyel rendelkező) erőknek lehet külső potenciális energiája. A külső potenciális energia a külső munka ellentettje:

ˆf e t u g u . t

K K

S V

W dS dVΠ = − =− ⋅ − ⋅ − ⋅∫ ∫ (9.19)

Belső potenciál: a testben keletkező alakváltozások potenciális energiája. A feszültségeknek az alakváltozásokon végzett belső munkája ellentettjeként számítjuk.

1

: :2

ε D εB B

V

W dVΠ =− = ∫ . (9.20)

Teljes potenciál: a külső és a belső potenciál összege. .BK Π+Π=Π (9.21) B./ A potenciális energia állandóértékűségének tétele A potenciális energia állandóértékűségének tétele azt mondja ki, hogy egy lineárisan rugalmas test geometriailag lehetséges általánosított elmozdulás-alakváltozás-rendszerei közül az a tényleges, vagyis a test egyensúlyi helyzetének megfelelő rendszer, amelynél a teljes potenciális energiája állandó értékű, más szóval stacionárius. A tétel a rugalmas test egyensúlyát fejezi ki.

1ˆ : : !2

f e t u g u ε D εtS V V

dS dV dV stacionáriusΠ=− ⋅ − ⋅ − ⋅ + =∫ ∫ ∫ (9.22)

Stabilis egyensúlyi állapotban lévő szerkezetek esetén a potenciális energiára vonatkozó fenti tételt a potenciális energia minimumtétele néven használjuk: Lineárisan rugalmas anyagú testek esetén az összes geometriailag lehetséges elmozdulás/alakváltozás-rendszer közül az a tényleges, vagyis a test stabilis egyensúlyi helyzetének is megfelelő rendszer, amelynél a teljes potenciális energiának minimuma van. C./ A potenciális energia és állandóértékűségi tételének alkalmazásai


10.06.20. 142

A potenciális energiát mindig a geometriailag lehetséges elmozdulás-rendszerek függvényében írjuk fel, tehát mindig annyi változós függvény, mint amennyi a test elmozdulási szabadságfoka. Rugalmas testekből álló szerkezetnél a megoldás közelítő függvényekkel történik. A tételt elsősorban statikailag határozatlan szerkezetek vizsgálatára használjuk. Mivel a függvényben az általánosított elmozdulások az ismeretlenek, ezt az eljárást az elmozdulás-módszer típusú megoldási technikákhoz soroljuk. D./ A kiegészítő potenciális energia Külső kiegészítő potenciál: a testre ható külső elmozdulások kiegészítő potenciális energiája, a külső kiegészítő munka ellentettje. Csak elmozdulás jellegű terhekből származhat:

.e f u t u gu

K K

S V

W dS dVΠ =− =− ⋅ − ⋅ − ⋅∫ ∫%% % % % (9.23)

Belső kiegészítő potenciál: a testben keletkező feszültségek kiegészítő potenciális energiája, a belső kiegészítő munka ellentettje. A belső kiegészítő potenciál felírásánál felhasználjuk a lineárisan rugalmas anyag viselkedését leíró általános Hooke-modellt ( 1 :ε D σ−= ):

11: : .

2σ D σB B

V

W dV−Π =− = ∫%% (9.24)

A teljes kiegészítő potenciál a külső és belső kiegészítő potenciálok összege:

.~~~

BK Π+Π=Π (9.25)

E./ A kiegészítő potenciális energia minimumának tétele A kiegészítő potenciális energia minimumának tétele szerint egy lineárisan rugalmas anyagú test statikailag lehetséges erő-feszültség-rendszerei közül az a tényleges, vagyis a test geometriailag lehetséges helyzetének megfelelő rendszer, amelynél a teljes kiegészítő potenciális energia minimális. A tétel a rugalmas test kompatibilitási feltételét fejezi ki.

1

: : min!2

-1e f - u q u g σ D σuS V V

dS dV dVΠ=− ⋅ ⋅ − ⋅ + =∫ ∫ ∫% % % % (9.26)

Rugalmas testek kiegészítő potenciális energiafüggvénye véges számú feszültség (igénybevétel) függvénnyel írható le. A megoldás során ezek a függvények általában ismeretlen együtthatójú polinomokkal közelíthetők. A tételt a statikailag határozatlan szerkezetek vizsgálatára használjuk. A kiegészítő potenciális energiát a statikailag lehetséges erőrendszerek függvényében kell felírni, így a kiegészítő potenciális energia mindig annyi változós függvény, mint ahányszorosan statikailag határozatlan a szerkezet.

Kiegészítő megjegyzések a munka és energiatételekhez:

A továbbiakban bemutatunk néhány olyan tételt, amelyek az energiatételek további egyszerűsítési lehetőségeit, a mechanikai feladatoknál végrehajtandó számítások sajátos körülményeit figyelembe vevő modelljeit illusztrálják. A./ Clapeyron129-munkatétel (saját munkák tétele):

129 Benoit Paul Emile Clapeyron (1799 – 1864) francia mérnök és fizikus, a termodinamika tudománya megalapítóinak egyike.


10.06.20. 143

A virtuális elmozdulások- és erők tételei az egyensúlyi és kompatibilitási állapotot vizsgálják. Az energiaminimum-tételek is ezeket a helyzeteket elemzik, azzal a különbséggel, hogy míg a munkatételek virtuális (illetve virtuális kiegészítő) munkákra vonatkoznak, addig az energiatételek a szerkezet tényleges állapotának energiaszintjét adják meg a deformálatlan, terheletlen állapothoz képest. A Clapeyron-féle munkatétel kis elmozdulásokat végző, lineárisan rugalmas testek statikus terhelési folyamat közben létrejövő állapotváltozását vizsgálja. Tételezzük fel például, hogy a terhek nagysága zérus értékről kiindulva fokozatosan éri el végleges értékét. Az alábbi ábrán bal oldalán egy p tehervektor i-edik elemének ( iP ) és a

hozzá tartozó ie elmozdulás-komponensnek a kapcsolatát ábrázoltuk, míg jobb oldalon a

belső saját munkával egyenlővé tehető belső energia - fajlagos – értéke látható. Természetesen mindegyik erő-elmozdulás (illetve feszültség-alakváltozás) kapcsolat lineáris a kiindulási feltétel miatt. A külső és belső saját munka értéke ebben az esetben az alábbi módon számítható:

,

1 1 ˆ2 2

f e t ut

K S

S

W dS= ⋅ + ⋅∫ , ,

1:

2σ εB S

V

W dV= ∫ . (9.27)

9.3. ábra: Clapeyron-féle munkatétel Statikus terhelési folyamat esetén a kinetikus energia elhanyagolható. A Clapeyron-féle munkatétel szerint ilyen esetben az energiamegmaradás elvének megfelelően a külső erők által végzett munka teljes egészében rugalmas energiává alakul, vagyis kis elmozdulásokat végző lineárisan rugalmas anyagú test statikus terhelési folyamatai során a külső saját munka egyenlő a belső saját munkával:

1 1 1ˆ :2 2 2

f e t u σ εtS V

dS dV⋅ + ⋅ =∫ ∫ . (9.28)

A virtuális erők tétele a fenti tétellel formailag azonos (az anyagmodellre alkalmazott szigorító kitételtől eltekintve), de ott a virtuális erők nem a saját maguk, hanem „idegen” elmozdulásokon végeznek munkát, ezért megkülönböztetésül a mechanikában gyakran használják a „saját munkák” illetve „idegen munkák” tétele elnevezést is. Két további megjegyzés a tételhez: a./ A Clapeyron-tételt kis elmozdulásokat végző rugalmas testre mutattuk be, de elvileg a tétel bármilyen statikus terhelésű szilárd testre alkalmazható. b./ Fontos tudnunk, hogy a külső potenciál nem egyenlő a külső saját munkával! A

sajátmunka-tételben a tényleges erők és elmozdulások értéke szerepel, míg a potenciális energia kifejezésében minden tag ismeretlen elmozdulások függvényében kerül felírásra.


10.06.20. 144

B./ Castigliano130 első tétele Ez a tétel a potenciális energia minimumtételének speciális változata. Véges szabadságfokú rendszereknél a teljes potenciális energia felírható n darab elmozdulás-komponens (

neee ....,,, 21 ) segítségével, így a minimumfeltétel

0,........,0,021

=∂Π∂

=∂Π∂

=∂Π∂

neee (9.29)

alakú lesz. Ha a testre csak az neee ....,...,, 21 ismeretlen elmozdulások helyén működnek

adott nfff ...,...,, 21 külső erők, akkor a külső erők potenciálja:

)........( 2211 nnK efefef ++−=Π . (9.30)

Ennek az i-edik elmozdulás szerinti deriváltja:

.0, =∂

Π∂+−=

∂Π∂

−=∂

Π∂

i

Bi

ii

i

K

ef

eígyf

e (9.31)

Ennek alapján adódik a Castigliano első tétele néven ismert összefüggés:

nife i

i

B ...,,...2,1, ==∂

Π∂. (9.32)

A tétel pontos megfogalmazása: lineárisan rugalmas anyagú testek esetén a belső alakváltozási energiának egy elmozdulás szerinti deriváltja egyenlő az elmozdulás helyén ható külső erő elmozdulás irányú vetületével. C./ Castigliano második tétele Ez a tétel a kiegészítő potenciális energia minimumtételének egy speciális változataként szokták definiálni, de lényegében a virtuális erők tételével azonosítható. Ha a teljes kiegészítő potenciált n darab külső dinám függvényeként írjuk fel, akkor a minimumfeltétel az alábbi alakú lesz:

0~

...,...,0~

,0~

21

=∂Π∂

=∂Π∂

=∂Π∂

nfff. (9.33)

Ebből levezethető Castigliano második tétele:

nief i

i

B ...,,...2,1,~

==∂

Π∂. (9.36)

A tétel megfogalmazása: Lineárisan rugalmas anyagú testek esetén a belső kiegészítő energiának egy külső dinám szerinti deriváltja egyenlő a dinám helyén keletkező elmozdulás erő irányú vetületével. Alkalmazhatóságának két feltétele van: a./ Az összes külső és belső erő ismert legyen (például egy statikailag határozott

tartón az adott terhek figyelembevételével meghatároztuk a reakciókat is, stb.) b./ A támaszoknál az elmozdulások zérus értékűek.

130 Carlo Alberto Castigliano (1847 – 1884) olasz vasútépítő mérnök. Sokat foglalkozott matematikai és fizikai kérdések – többek között a rugalmas mechanikai rendszerek energiaviszonyainak – elemzésével.


10.06.20. 145

Ennek a tételnek és a virtuális erőkre vonatkozó munkatételnek a kapcsolata viszonylag egyszerűen belátható. Az általánosság megsértése nélkül ezt most egy egyszerű feladaton illusztráljuk. Vizsgáljuk meg például az ábrán látható szerkezetet, ahol a iP erő alatti ie

eltolódást kívánjuk meghatározni: 9.4. ábra. Elmozdulás számítása Az elmozdulás számításához a virtuális erők tételének alkalmazásánál a vizsgált metszetbe egy virtuális erőt helyezünk el (legyen ez most maga a iP erő!), és felírjuk a virtuális

kiegészítő munkák azonosságát (az indexismétlés nem jelent összegzést, most csak a változók sorszámát jelzi):

1 1

i i tényleges virtuális i tényleges virtuálisil l

Pe M M dl e M M dlEI PEI= ⇒ =∫ ∫ . (9.37)

Ha Castigliano második tételét alkalmazzuk ugyanerre a feladatra, akkor a következőt kell tennünk az elmozdulás számításához: a külső erők függvényében felírjuk a belső komplementer energiát, majd deriváljuk azt iP szerint.

21 1

2tényleges

i tényleges ténylegesi i il l

Me M dl M dl

P EI P EI P

∂∂Π ∂= = =∂ ∂ ∂∫ ∫%

. (9.38)

Mivel azonban a tartón működő egyetlen darab iP erő hatására keletkező virtuális

nyomatékábra iP -vel elosztott értéke mindig megegyezik a teljes erőrendszerből kapott

nyomatéki ábra iP szerinti deriváltjával, vagyis:

tényleges virtuális

i i

M M

P P

∂=

∂, (9.39)

így a kétféle számítási mód formálisan is azonos matematikai kifejezésre vezet. Megjegyzés: Castigliano II. tételének azt a változatát, amelynél a kiegészítő belső energiát nemlineárisan rugalmas anyagmodell segítségével számítják, a mechanika szakirodalma Crotti131-Engesser132 tételnek nevezi (lásd a későbbi kommentárt az energiatételek nemlineáris anyagmodellek esetére történő alkalmazásáról). D./ Castigliano harmadik tétele

131 Crotti (? – 1886) olasz matematikus és mérnök, először ő publikálta az említett elvet 1879-ben. 132 Friedrich Engesser (1848 – 1931) kiváló német tervezőmérnök, sokat foglalkozott rudak képlékeny kihajlásával. Néhány évvel Crotti után – tőle függetlenül – fogalmazta meg a róluk elnevezett tételt.


10.06.20. 146

Ez a tétel szintén a kiegészítő potenciális energia minimumtételének sajátos változata. Ha a kiegészítő energiát olyan külső erők függvényében írjuk fel, amelyeknek helyén sehol nem keletkezik elmozdulás, akkor a II. tétel az alábbi alakú lesz:

nif i

B ...,,...2,1,0~

==∂

Π∂. (9.40)

Ilyen gyakorlati eset például a statikailag határozatlan szerkezetek számításánál fordulhat elő, akkor a zérus elmozdulásokkal rendelkező erők éppen a szerkezetek iX fölös kapcsolati erői

(vagy esetleg igénybevételei) lesznek:

niX i

B ...,,...2,1,0~

==∂

Π∂. (9.41)

Az eddigiekben leírt kiegészítő tételeket táblázatban foglaltuk össze.

9.1 Példa


10.06.20. 147

Vizsgáljuk meg [ ]7 alapján az ábrán látható szerkezetet és Castigliano első tételének

segítségével határozzuk meg a rúderőket. 9.4. ábra: Rúdszerkezet vizsgálata

A belső energia számításánál az egyszerűsítés kedvéért használjuk ki a szimmetriát, így elegendő 1, 2 és 3 jelű rudakról beszélnünk:

2

22

22

23

3

3322

2

2221

1

11 u

l

AEu

l

AEu

l

AEB ++=Π .

A „B” pont függőleges elmozdulása megegyezik 1u -gyel. Castigliano első tételét alkalmazva:

1

33

3

33

1

22

2

221

1

11

1

22u

uu

l

AE

u

uu

l

AEu

l

AE

uP B

B ∂

∂+

∂

∂+=

∂

Π∂= .

Az egyes elmozdulások közötti összefüggések:

31

32

1

2313212 cos,cos,cos,cos α=

∂

∂α=

∂

∂α=α=

u

u

u

uuuuu .

Ezeket behelyettesítve:

α+α+= 3

2

3

332

2

2

22

1

111 cos2cos2

l

AE

l

AE

l

AEuPB .

Innen:

32

3

332

2

2

22

1

111 cos2cos2, α+α+==

l

AE

l

AE

l

AEC

C

Pu B .

A keresett rúderők:

33

3332

2

222

1

111 cos,cos, α=α==

C

P

l

AES

C

P

l

AES

C

P

l

AES BBB

9.2 Példa

Határozzuk meg Castigliano II. tételének felhasználásával az ábrán látható szerkezet B pontjának függőleges és vízszintes eltolódását a függőleges P erő hatásából! A két rúd normálmerevsége azonos.


10.06.20. 148

9.5. ábra: A „B” csomópont eltolódásainak számítása Számítsuk ki először a függőleges eltolódást. A komplementer belső energia:

2 21 1

2 2BC BC BD BD

b

S l S l

EA EAΠ = +% .

A rúderők a függőleges P erőből: 0,732 , 0,518BC BDS P S P= = .

Behelyettesítés után:

2 20.535 0, 268

2 2BC BD

b

P l P l

EA EAΠ = +% .

A függőleges eltolódás:

( )0,536 0, 2680,536 0,268b BC BD

By BC BD

Pl Pl Pe l l

P EA EA EA

∂Π= = + = +∂

%.

A vízszintes eltolódás meghatározásához a B pontra egy fiktív vízszintes H erőt iktatunk be, majd meghatározzuk a rúderőket a két erő együttes hatásából:

0,732 0,732 , 0,518 0,897BC BDS P H S P H= + = − .

A kiegészítő potenciális energia ebben az esetben:

2 2(0,732 0,732 ) (0,518 0,897 )

2 2BC BD

b

P H l P H l

EA EA

+ −Π = +% .

A keresett eltolódás:

0,732(0,732 0,732 ) 0,897(0,518 0,897 )b BC BD

Bx

P H l P H le

H EA EA

∂Π + −= = −∂

%.

A következő lépésben a fiktív segéderő értékére nullát helyettesítünk, így a végeredmény:

20,732 0,897 0,518Bx BC BD

Pe l l

EA = − ⋅ .

Megjegyezzük, hogy a második feladatnál alkalmazott technika általános: ha olyan eltolódást keresünk a II. Castigliano-tétel segítségével, ahol nincs erő (vagy nem olyan irányú, mint a keresett eltolódás), akkor mindig egy fiktív erővel kell kiegészíteni a terhelést, így kell számítani a módosított komplementer belső energiát és végrehajtani a deriválást. Az utolsó lépésként133 az eredményben zérusra választjuk a kiegészítő erőt. 9.3 Példa

133 Megjegyezzük, hogy a számítás egyszerűsíthető, ha a deriválást az integrálást (vagy összegzést) megelőzően elvégezzük, és már behelyettesítjük a zérus értéket a fiktív erőnél.


10.06.20. 149

Castigliano II. tételének segítségével [ ]7 alapján számítsuk ki az ábrán látható szerkezetnél

az erő irányú eltolódást. Az anyagi paraméterek ( ν,E ) adottak, a rúd keresztmetszete kör, a d átmérő állandó. 9.6. ábra: Elmozdulás számítása A BC szakaszon a belső kiegészítő energia változása:

∫ =−−=∂

Π∂ aBCB

EI

PadyyPy

EIP0

3,

3)()(

1~

.

A CD szakaszon már a csavarás hatását is figyelembe kell venni:

EI

Pb

EI

bPadxxPx

EIabPa

EIP

bCDB

3

)1(2))((

1)(

)1(2~ 3

0

2

00

, +ν+

=−−+ν+

=∂

Π∂∫ .

Az utolsó (DG) szakaszon:

∫ ∫+

+=++=∂

Π∂ c bDGB

EI

abPc

EA

PcdzaPa

EIdzbPb

EIEA

Pc

P0 0

22, )(

)(1

)(1

~.

Az egész szerkezetre:

PPPP

DGBDGBBCBB

∂

Π∂+

∂

Π∂+

∂

Π∂=

∂

Π∂ ,,,~~~

.

Behelyettesítve a hajlítási és csavarási inerciát, az eredmény:

[ ]2222334

3)1(48)(48)(163

4cdbabacba

Ed

Pe

P zBB +ν+++++

π==

∂

Π∂.

9.4 Példa: A Crotti-Engesser-tétel segítségével határozzuk meg az ábrán látható szerkezetnél az erő alatti függőleges eltolódást.

A rúd anyaga nemlineárisan rugalmas: 21ε=σ K , ahol K ismert anyagállandó. Valamennyi

rúd keresztmetszete A.


10.06.20. 150

9.7. ábra: Eltolódás számítása

A szerkezet teljes belső kiegészítő energiája:

( )32

312

2

02

21

02

2

23

2~

σ+σ=

σ

σ+σ

σ=Π ∫∫

σσ

K

Abd

Kd

KAbB .

Az egyes rudak közötti statikai egyensúlyból következik, hogy

22

3

213

5~2,

KA

bP

A

P

A

PB =Π⇒=σ=σ .

A keresett eltolódás:

22

25~

KA

bP

Pe B

V =∂

Π∂= .

Megjegyezzük, hogy ez a feladat is megoldható a virtuális erők tételének alkalmazásával, hiszen a munkatétel is alkalmas bármilyen anyagi viselkedés követésére. Ha ezt akarjuk használni, akkor először ki kell számítanunk a valódi teherből a rudakban keletkező alakváltozásokat:

2 21 22 2

" " : , " " : 2AB rúd Ab CB rúd AbK K

σ σ.

Írjuk fel most a virtuális kiegészítő belső munkát (figyelembe véve a virtuális erőből keletkező virtuális feszültségeket):

2 21 2

1 22 22bW Ab Ab

K K

σ σδ = δσ + δσ% .

Helyettesítsük be ide a feszültségeknek a külső erőktől való függését, azzal az egyszerűsítéssel élve, hogy a virtuális erő legyen maga a függőleges P teher:

( )3

3 32 2 2 2

522 2b

b P bW P P

A K A Kδ = + =% .

A külső virtuális kiegészítő munka:

k V VW Pe Peδ = δ =% .

A kétféle munka egyenlőségét felírva már ki tudjuk számítani – az előzővel azonos – végeredményt. 9.5 Példa: Castigliano III. tételének segítségével [ ]7 alapján határozzuk meg az ábrán látható tartó „A”

pontbeli nyomatékát.


10.06.20. 151

9.8. ábra: Nyomaték számítása Használjuk fel a szimmetriát az ábrán látható módon. Mivel az „A” pontban nincs elfordulás, alkalmazhatjuk Castigliano III. tételét:

0~=

∂

Π∂=ϕ

A

BA M

.

Írjuk fel a nyomaték függvényét AM segítségével: )cos1(2

Θ−+−=PR

MM Az .

∫π

Θ−

Θ−+−=∂Π∂

−=∂∂ 2

0

)1()cos1(2

1~

,1 dRPR

MEIM

ígyM

MMivel A

A

B

A

z .

Innen a keresett eredmény:

)cos2

(2

,)2

1(2

Θ−π

=π−=

PRMilletve

PRM zA .

Energiatételek nemlineárisan rugalmas, illetve rugalmas képlékeny anyagú szerkezetek vizsgálatára A potenciális energia illetve a kiegészítő potenciális energia minimumtételeinél hangsúlyoztuk, hogy lineárisan rugalmas anyagú szerkezetek vizsgálatára érvényesek. Greenberg134 azonban már 1949-ben kimutatta, hogy bizonyos korlátozásokkal a tételek kiterjeszthetők nemlineárisan rugalmas anyagú, sőt képlékeny szerkezetek vizsgálatára is. Ilyen esetekben az energiafüggvények konvexitását kell megkövetelnünk (lásd a Drucker-féle stabilitási posztulátumokat az anyagmodelleknél). Ennek alapján nemlineárisan rugalmas anyagú szerkezeteknél gyakorlati feladatokra alkalmas változatot pl. Crotti és Engesser dolgozott ki a róluk elnevezett tétel formájában (lásd a korábbi példát). Megjegyezzük, hogy lineárisan rugalmas anyagoknál a belső alakváltozási energiafüggvények kvadratikus jellege automatikusan biztosította a konvexitást. Rugalmas-képlékeny anyagú szerkezetek vizsgálatára az energiatételeknek két változata használatos: A./ Greenberg minimumtétele:

ˆ( ) ( )u ε g u t utV V S

dV dV dSΠ = Ψ − ⋅ − ⋅∫ ∫ ∫&& && & & & . (9.42)

Az u& kompatibilis sebességmezők közül az a valódi, mely minimalizálja a fenti funkcionált, amely a potenciális energia változását jellemzi. A jobb oldal első tagja a rugalmas-képlékeny anyagú szerkezet belső energiáját jelöli.

134 Herbert Greenberg (1921 – 2007) amerikai matematikus, a variációs elvek képlékenységtani alkalmazásáról ismert.


10.06.20. 152

B./ Hodge135 – Prager minimumtétele:

( ) ( )σ σ u quV S

dV dSΠ = Ψ − ⋅∫ ∫& &%% && & % . (9.43)

A statikai feltételeket és a képlékenységtani előírásokat kielégítő feszültség-sebesség mezők közül az az igazi, amely minimalizálja a kiegészítő potenciális energia változását leíró funkcionált. Jelen változatban a tömegerők változását nem vettük figyelembe.

A belső kiegészítő potenciális energia származtatása a potenciális energia függvényéből A komplementer energia függvényét a virtuális erők tételének felhasználása nélkül, közvetlenül a potenciális energiára építve is előállíthatjuk, ha alkalmazzuk a konjugált függvények számítására alkalmas ún. Legendre136-Fenchel137 transzformációt.

Maga a transzformáció a következőképpen definiálható: minden tetszőleges ϕ

konvex függvénynek előállítható az úgynevezett konjugált ∗ϕ függvénye:

[ ]( ) max ( ) ,d

p px x ahol pdx

∗ ϕϕ = −ϕ = . (9.44)

Ha a belső kiegészítő potenciális energia előállítására alkalmazzuk a tételt, akkor BΠ~

mint konjugált függvény a következő egyszerű számítással adódik (lásd a 9.9-es ábrát), hiszen

( )εσ

ε

∂Π=∂

:

: ( )σ ε - εBΠ = Π% . (9.45)

9.9. ábra:

Kiegészítő potenciális energia

Felhasznált irodalom:

135 Philip Gibson Hodge (1920 - ) amerikai gépészmérnök, a képlékenységtan kiváló kutatója. 136 Adrien-Marie Legendre (1752 – 1833) kiváló francia matematikus, főleg számelmélettel, függvénytannal és matematikai statisztikával foglalkozott. 137 Werner Fenchel (1905 – 1988) német matematikus, elsősorban geometriai feladatok vizsgálatát tárgyaló munkáiról ismert.


10.06.20. 153

1./ Kaliszky S. – Kurutzné K. M. – Szilágyi Gy.: Szilárdságtan, Egyetemi Tankönyv, 2000. 2./ Verhás J.: Termodinamika és reológia, Műszaki Könyvkiadó, 1985. 3./ Kurutzné K. M.: Klasszikus és módosított variációs elvek, Egyetemi Jegyzet, 2005. 5./ Felippa, A. C.: A survey of parametrized variational principles and applications to computational mechanics, Comp. Methods Appl. Mech. Eng., Vol. 113, pp. 109 – 139, 1994. 6./ Fung: Foundation of Solid Mechanics, Prentice Hall, 1965, 1994. 7./ Ugural, A.C. – Fenster, S.K.: Advanced Strength and Applied Elasticity, Edward Arnold Publ., 1984. 8./ Reddy, J. N.: Energy Principles and Variational Methods in Applied Mechanics, John Wiley, 2002. 9./ Richards, T. H.: Energy Methods in Stress Analyis, John Wiley 1977. 10./ Belytschko, T. – Liu, W.K. – Moran, B.: Nonlinear finite elements for continua and structures, John Wiley, 2000. 11./ Budynas, R. G. : Advanced Strength and Applied Stress Analysis, McGraw-Hill, 1999.

10. Előadás: Szilárdságtani feladatok megoldási módszerei

A feladatok osztályozásának matematikai szempontjai a feladat megfogalmazásának alapján

A következőkben áttekintjük azokat a matematikai megfogalmazási és megoldási típusokat, amelyeket a mechanika szilárdságtani feladatainak elemzésénél használni szoktunk. A mostani témakör alapvetően időfüggetlen (kvázistatikus terhelésű) és rugalmas anyagú szilárd testek mechanikai vizsgálatával foglalkozik, így alkalmazási köre is értelemszerűen szűkebb, mint a korábban vizsgált feladatoké (a korábbi változatokkal való kapcsolatra természetesen utalunk). Az építőmérnöki mechanikában nagyon fontos ennek a speciális témakörnek a szerepe, ezért kell külön is foglalkoznunk vele.

A./ Peremérték típusú feladatmegfogalmazás138 („erős” alak): 0 0, , ,L LLu f u D f H u D Lu f= ∈ ∈ ⇒ ∈ = . (10.1)

Ebben a feladatmegfogalmazásban az ismert L operátor az ismeretlen u függvények készletét leképezi az ismert f függvények halmazára. Az L operátor általános esetben nemlineáris. Mechanikai feladatoknál ez a feladatmegfogalmazás általában differenciálegyenletek vagy differenciálegyenlet-rendszerek felírását jelenti. Megjegyezzük, hogy a (10.1) alatti egyenletben 0u a feladat megoldását jelöli..

B./ Variációs típusú feladatmegfogalmazás („gyenge” alak):

F(u) = 0( ) LI u d u DΩ

Ω ⇒ ∈∫ . (10.2)

A funkcionál nemlineáris operátorú peremértékfeladat esetén is megfogalmazható, de végleges alakja alapvetően függ az operátor típusától. Mechanikai feladatoknál ez a változat szerepelt korábban a virtuális teljesítmények (munkák) integrálegyenleténél, mint az erős változatból létrehozott alak, és már azt is bemutattuk, hogy a variációs megfogalmazásokhoz tartoznak az energiaelvű mechanikai feladatok is (lásd a 9. hét anyagát).

138 Megjegyezzük, hogy az ebben a fejezetben használt lineáris algebrai fogalmak definícióiról rövid összefoglaló található a „Függelék”-ben.


10.06.20. 154

A különböző matematikai megfogalmazású feladatok megoldásainak egyenértékűsége

A matematikailag különböző módon megfogalmazott mechanikai feladatok megoldásai egymásnak megfeleltethetők. A 7. előadásban („A mechanika alapvető egyenletei”) általános esetre már ismertettük az alapképletek egymást helyettesítő „erős” és „gyenge” változatát. Ez a kapcsolat természetesen a most tárgyalt „egyszerűbb” változatok esetén is igaz, például az egyensúlyi feladatoknál felírható Lu = f peremértékfeladat az L operátor pozitív volta miatt mindig megfeleltethető az

1

( ) , ,2

F u Lu u f u= − (10.3)

funkcionálnak (a peremérték-feladat 0u megoldása ebben az esetben a funkcionál minimumát

adja és megfordítva: a funkcionál minimumát biztosító függvény megoldása a peremérték-feladatnak).

A példaként említett kapcsolat bizonyítása (lineáris operátorok esetére): Legyen 0 Lu D∈ egy rögzített, LDη∈ pedig egy tetszőleges függvény és t egy

tetszőleges paraméter. Vegyük fel a keresett ismeretlen u függvényt most az alábbi módon: 0u u t= +η , (10.4)

majd vizsgáljuk az F(u) fukcionál változását a t paraméter szerint:

0 0 0 0

1( ) ( ) ( ), ,

2F u F u t L u t u t f u t= +η = +η +η − +η = (10.5)

20 0 0 0 0

1 1 1 1, , , , , ,

2 2 2 2Lu u t Lu t L u t L f u t f= + η + η + η η − − η .

Vizsgáljuk meg az első deriváltat, felhasználva az L operátor szimmetrikus jellegét:

0 , , ,dF

Lu t L fdt= η + η η − η . (10.6)

a.) Legyen 0u megoldása az L u = f feladatnak, azaz

0Lu f= . (10.7)

Ekkor t = 0 esetén:

0 0 0, , 0dF

Lu f t Ldt

− = ⇒ = η + η η = , (10.8)

azaz 0u u= esetén az F funkcionál stacionárius és

2

2, 0

d FL

dt= η η > . (10.9)

Mivel L pozitív operátor, az F funkcionálnak valóban minimuma van. b.) „Fordított” gondolatmenettel: legyen F-nek minimuma t = 0-nál:

0 00

, , , 0, Lt

dFLu f Lu f D

dt =

= η − η = − η = ∀η∈ . (10.10)

Mivel az utolsó tag a minimum miatt zérus, az ortogonalitási tételből az következik, hogy 0u megoldása a peremérték-feladatnak.


10.06.20. 155

Mechanikai illusztráló példák:

a.) Axiálisan terhelt állandó normálmerevségű rúd modelljei:

- peremértékfeladat: 2

2( ) ,

d uEA p x

dx− = (10.11)

- variációs feladat: 2

min.2 l l

EA dudx pu dx

dx − → ∫ ∫ (10.12)

b.) Tengelyére merőlegesen terhelt állandó hajlítómerevségű hajlított gerenda modelljei:

- peremértékfeladat: 4

4

( ),

d w p x

dx EI= (10.13)

- variációs feladat: 22

2min.

2 l l

EI d wdx p wdx

dx

− →

∫ ∫ (10.14)

A feladatokhoz tartozó peremfeltételeket természetesen mindegyik feladattípusnál ki kell elégíteni. Megjegyezzük, hogy az egyes feladatokban használt deriválások eltérő fokszáma miatt a keresett függvények általában különböző folytonossági osztályhoz tartoznak.

A feladatok osztályozásának matematikai szempontjai a feladat megoldásának alapján:

A./ Pontos megoldások A peremérték-feladatok legegyszerűbb változatainál lehet csak őket alkalmazni. A differenciálegyenletek közvetlen integrálhatóságára és a peremfeltételek pontos figyelembevételére építő megoldásokat alkalmaznak.

Mechanikai példák:

- hajlított gerenda, egyszerű terhek, merevségi viszonyok illetve peremfeltételek esetén, - húzott-nyomott rúd, egyszerű terhek, merevségi viszonyok illetve peremfeltételek esetén, - központosan nyomott rúd stabilitásvizsgálata, stb.

A gyakorlati feladatok nagy részében a „pontos” megoldások nem használhatók a geometriai, anyagtulajdonsági, terhelési és peremfeltételi adatok változékonysága miatt.

B./ Közelítő megoldások A közelítő megoldások nagyon jelentősek a mechanikában, a problémák döntő többsége csak így vizsgálható. Mechanikai feladatoknál használt fontosabb csoportjaik: B1./ A peremértékfeladatok fordított/félfordított megoldásai


10.06.20. 156

A feladat feltételezett megoldását vesszük fel egy „Ansatz” (egy matematikai „sejtés”) és a peremfeltételek segítségével, majd pedig fokozatos módosítással-próbálgatással közelítjük a „pontos” eredményt. Tipikus mechanikai példák az ilyen vizsgálati technikára a 2D és 3D rugalmasságtani és törésmechanikai feladatok feszültségfüggvényes megoldásai. B2./ A peremértékfeladat diszkretizált megoldása („differenciamódszer”) A módszer a differenciálegyenleteket differenciaegyenletekké alakítja át. A peremértékfeladathoz tartozó (1, 2D vagy 3D) tartományt jellegének megfelelő ráccsal lefedve az egyes rácspontokban (illetve környezetükben) keressük a feladat ismeretlen függvényeinek diszkrét értékeit. Tranziens illetve egyensúlyi feladatok vizsgálatára egyaránt alkalmas, de bonyolult geometria és peremfeltételrendszer illetve jelentős mértékben változó szilárdsági viszonyok esetén alkalmazása nehézkessé válik. B3./ Hibavektor típusú feladatmegfogalmazás Ez tekinthető ma a leghatékonyabb numerikus technikának mind nemlineáris, mind lineáris operátorú feladatok vizsgálatára. Tárgyalása túllép a „Mechanika MSc” témakörén, ezért részletes elemzését a „Végeselemmódszer matematikai alapjai” c. tárgy keretében adjuk meg, most csak egy tömör, egyszerűsített összefoglalót adunk róluk. A hibafeltételt többnyire kétféle különböző kritérium alapján szokás felvenni:

a./ Vetületi, vagy más néven ortogonalitási feltétel: A kiszemelt hibavektor egy altérre legyen ortogonális. 0 0, , 0Lu D Lu f Lu f v∈ = ⇒ − = . (10.15)

Az L operátor általános esetben nemlineáris. Ezt a megoldási módot nemlineáris operátorú vagy stacionaritási feltétellel nem rendelkező lineáris operátorú peremértékfeladatoknál alkalmazzák elsősorban (lásd Galjorkin139-módszer). b./ Hossz- vagy más néven stacionaritási feltétel: A hibavektor kiválasztása után felírt bilineáris alak értéke legyen minimális. Egy lehetséges felírási módja:

0

1, ( ) , , .

2Lu D Lu f F u Lu u f u stac∈ = ⇒ = − = (10.16)

Itt L lineáris és pozitív operátor. Ez a vizsgálati módszer főleg lineáris egyensúlyi feladatok elemzésénél hatékony (lásd a Ritz140-módszer technikáját). Akár az „a”, akár a „b” módszert alkalmazzuk, a hibafeltételek alapján történő számítás végső soron egy inhomogén (vagy homogén), lineáris (vagy nemlineáris) egyenletrendszer megoldásához vezet.

139 Borisz Grigorjevics Galjorkin (1871 – 1945) kiváló fehérorosz mérnök. 140 Walter Ritz (1878 – 1909) tragikusan fiatalon elhunyt híres svájci fizikus. Ritz és Galjorkin életrajza a tanszéki honlapon megtalálható.


10.06.20. 157

Megjegyezzük, hogy a mechanikai feladatokhoz kapcsolódó nemlineáris egyenletrendszerek megoldási technikáiról a 8. előadásban egyensúlyi feladatok esetére már ismertettünk egy algoritmust. Kifejezetten részletesen ezeket a matematikai eljárásokat csak a végeselemek technikájával foglalkozó tárgyaknál, ott is elsősorban a nemlineáris feladatok körében mutatjuk majd be (Newton-Raphson141 módszer, feltételes szélsőértékek módszere: Lagrange-szorzók és büntetőfüggvények használata, explicit-implicit időintegrálási technikák, stb). A „Nemlineáris végeselemmódszer” c. tárgyban foglalkozunk azokkal a speciális iterációs technikákkal is, amelyek az egyes tranziens jelenségek leírásához (elsősorban az időintegrálási lépésekhez) szükségesek (Runge142-Kutta143-, Euler-, Newmark144-módszerek, stb).

A feladatok osztályozása mechanikai szempontok alapján A mechanikai szempontok szerinti osztályozás alapvetően a feladatban szereplő elsődleges ismeretlen változó jellegétől függ (maguk a feladatok matematikai formájukat tekintve természetesen lehetnek peremérték vagy pedig variációs feladatok). Három nagy csoportot különböztetünk meg: A./ Elmozdulás típusú ismeretlen változókat tartalmazó feladatok

Az ismeretlen változók mozgás jellegűek: elmozdulás-, sebesség- vagy gyorsulásmezők, esetleg (ritkábban) alakváltozásmezők. Az egyensúlyi feladatok vizsgálatának körén belül (itt a sebességmező a kvázistatikus terhelési folyamatok miatt zérus) ezt a változatot elmozdulásmódszernek nevezik. A peremfeltételeknek az extenzív változókra kell vonatkozniuk. B./ Erő típusú ismeretlen változókat tartalmazó feladatok Az ismeretlen változók kapcsolati erő-, igénybevétel- vagy feszültségmező jellegűek. Az egyensúlyi feladatoknál ezt a változatát erőmódszernek nevezzük. A peremfeltételeknek az intenzív változókkal kell kapcsolatot teremteniük.

C./ Vegyes módszerek

Az ismeretlen függvények extenzív és intenzív típusú komponenseket egyaránt tartalmaznak. Az egyensúlyi feladatoknál ezt a technikát vegyes módszernek nevezik. A peremfeltételeket mindkét változótípus esetében ki kell elégíteni. Ezt az eljárást a „Végeselemmódszer matematikai alapjai” című jegyzetben tárgyaljuk.

141 Joseph Raphson (1648 – 1715) angol matematikus. Newtontól függetlenül dolgozta ki iterációs eljárását nemlineáris feladatok vizsgálatára. 142 Carl David Tolme Runge (1856 – 1927) német matematikus és fizikus. Elsősorban numerikus analízissel foglalkozott. 143 Martin Wilhelm Kutta (1867 – 1944) német matematikus, differenciálegyenletekkel illetve aerodinamikai vizsgálatokkal kapcsolatos munkáiról ismert. 144 Nathan Mortimore Newmark (1910 – 1981) amerikai építőmérnök. Sokat tett a modern numerikus módszerek statikai és szilárdságtani számításokba történő bevezetéséért.


10.06.20. 158

Az elmozdulásmódszer alapegyenletei kis alakváltozású, lineárisan rugalmas anyagú egyensúlyi feladatoknál Az adott feltételek esetén 15 darab ismeretlen háromváltozós függvényt (6 feszültség-, 6 alakváltozás- és 3 eltolódásfüggvényt) 15 egyenlet (Cauchy-egyenletek, geometriai egyenletek és az anyagmodellek összefüggései) valamint a peremfeltételek kapcsolnak össze. Az elmozdulásmódszer feladatmegfogalmazási gondolatmenete (skalár egyenleteket használva az illusztráláshoz) a következő: Első lépésként helyettesesítsük be az anyagmodellek feszültségekre kifejezett alakjába a geometriai egyenletekkel felírt elmozduláskomponenseket:

x y zσ λ 2 ,σ λ 2 ,σ λ 2 ,u v w

e G e G e Gx y z

∂ ∂ ∂= + = + = +

∂ ∂ ∂ (10.17)

xy yz zxτ , τ , τ .v u w v u w

G G Gx y y z z x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = + = + = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (10.18)

A képletekben G a nyírási rugalmassági modulus,λ a Lamé-állandónak nevezett anyagi

paraméter (G-vel és a Poisson-tényezővel kifejezve:2

1 2

Gνλ=− ν

), e pedig most az alakváltozás-

tenzor első skalár invariánsát jelöli, ezt kivételesen ebben a fejezetben az eredeti levezetés iránti tiszteletből hagytuk meg ilyen alakban:

1 x y z

u v we I

x y z

∂ ∂ ∂′= =ε + ε + ε = + +

∂ ∂ ∂. (10.19)

Alakítsuk most át az egyensúlyi egyenletrendszer első egyenletét. Ehhez deriváljuk x szerint

xσ , majd y szerint x yτ , és z szerint x zτ képletét:

2 2 2 2 2

2 2 22 , ,x y x zx u e v u w uG G G G G

x x x y x y y z x z z

∂τ ∂τ∂σ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +λ = + = +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂. (10.20)

Helyettesítsük be ezeket a képleteket az első Cauchy-egyenletbe:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 20x

e u v w u u uG G g

x x x y x z x y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂λ + + + + + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

. (10.21)

Az első zárójelben szereplő kifejezés átalakítható:

2 2 2

2

u v w u v w e

x x y x z x x y z x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

, (10.22)

a második zárójeles tag pedig a Laplace-operátorral írható fel tömören:

2 2 2

2 2 2

u u uu

x y z

∂ ∂ ∂+ + =∆

∂ ∂ ∂. (10.23)

Hasonlóan átalakítva a második és a harmadik egyenletet, végül a következő egyenletrendszerhez jutunk:


10.06.20. 159

( )

( )

( )

0,

0,

0.

x

y

z

eG G u g

xe

G G v gy

eG G w g

z

∂+ + ∆ + =

∂∂

+ + ∆ + =∂∂

+ + ∆ + =∂

λ

λ

λ

(10.24)

Ezeket az egyenleteket a mechanikában Navier145-Lamé146-egyenleteknek hívják. Ez a rendszer (a feladathoz tartozó peremfeltételekkel együtt) az elmozdulásmódszer alapvető peremértékfeladati alakja.

Navier-t ábrázolja a bal oldalon, Lamé-t pedig a jobb oldalon látható kép.

Megjegyzés: Ha kvázistatikus folyamatok helyett dinamikai vizsgálatokra van szükségünk, a fenti egyenletrendszernek csak a jobb oldala lesz más, az egyes gyorsulásfüggvényeknek a tömeg (sűrűség) függvénnyel való szorzatát kell az egyensúlyt kifejező zérus helyére írni:

( )

( )

( )

2

2

2

2

2

2

λ ,

,

.

x

y

z

e uG G u g

x t

e vG G v g

y t

e wG G w g

z t

ρ

λ ρ

λ ρ

∂ ∂+ + ∆ + =

∂ ∂∂ ∂

+ + ∆ + =∂ ∂

∂ ∂+ + ∆ + =

∂ ∂

(10.25)

A Navier-Lamé-egyenletek felírása a potenciális energia minimumfeltétele felhasználásával Az egyszerűség kedvéért csak egységnyi vastagságú tárcsán síkbeli feszültségállapot esetére mutatjuk be a levezetést, de ez nem csorbítja az általánosság érvényét. A felhasznált változók és a geometriai egyenlet mátrix alakban:

, ,x

y

g ug u

g v

= = σ=

,x

y

x y

σ σ τ

=εx

y

x y

ε

ε

γ

,:

0

0,

x

L u L y

y x

ε

∂ ∂ ∂= ⋅ = ∂ ∂ ∂

∂ ∂

, (10.26)

A potenciális energia minimumfeltétele jelen esetben:

145 Claude Louis Marie Henri Navier (1785 – 1836) híres francia építőmérnök, a modern gerendaelmélet létrehozója, az első színvonalas építőmérnök-képzés megszervezője. 146 Gabriel Lamé (1795 – 1870) francia matematikus, sokat foglalkozott mechanikai feladatokkal is. Lamé és Navier részletes életrajza a tanszéki honlapon megtalálható.


10.06.20. 160

1

min.2

T T

A A

dA g u dAσ εΠ= − =∫ ∫ (10.27)

Helyettesítsük be az alakváltozások helyére a geometriai egyenleteket, a feszültségeket pedig írjuk fel a sík feszültségi állapot 3x3-as D anyagi merevségi mátrixának és az alakváltozásoknak segítségével (lásd az „Anyagmodellek”-ről szóló előadást!):

1 1

2 2T T T T

A A

Lu g u dA D Lu g u dAσ ε Π = − = − = ∫ ∫ (10.28)

1

( ) min .2

T T T

A

u L D Lu g u dA= − =∫

Az állandóértékűség feltétele (a kvadratikus alak pozitív definit):

1

( )2

T T T

A A

u u L D Lu dA g u dAδΠ = δ −δ =∫ ∫ 0T T T

A A

u L D L u dA g u dAδ − δ =∫ ∫ .(10.29)

Az egyensúlyi feltételnek az egész A tartományon belül teljesülni kell, ezért:

0T T Tu L D L g u − δ = . (10.30)

Mivel uδ tetszőleges (de nem zérus) variáció, így:

TL D Lu g= . (10.31)

Behelyettesítve L és D megfelelő értékeit, az előbbiekben bemutatott egyenletekhez jutunk. Megjegyezzük, hogy az TL D L mátrixot merevségi mátrixnak nevezik a mechanikában.

A Navier-Lamé-egyenletek hengerkoordináta rendszerben Az egyenleteket tranziens feladatok esetére írjuk fel, egyensúlyi problémák esetén valamennyi egyenlet jobb oldala zérussal egyenlő.

( )2

2

22 2 ,r r

r

ue GG G g

r r z tβ∂ ω∂ ω ∂∂

λ + − + + =ρ∂ ∂ β ∂ ∂

( ) ,221

22

2

t

ug

rG

zG

e

rG zr

∂

∂ρ=+

∂

ω∂+

∂

ω∂−β∂∂

+λ ββ

(10.32)

( )2

22)(

22

t

ug

r

Gr

rr

G

z

eG z

zr

∂

∂ρ=+

β∂

ω∂+ω

∂∂

−∂∂

+λ β .

A képletekben szereplő ω paraméterek elfordulásokat jelölnek:

β∂

∂−+

∂

∂=ω

∂

∂−

∂

∂=ω

∂

∂−

β∂

∂=ω ββ

ββ r

zzrz

r

u

rr

u

r

u

r

u

z

u

z

uu

r

1

2

1,

2

1,

1

2

1. (10.33)

A Navier-Lamé-egyenletek átalakítása biharmonikus differenciál-egyenletekké: Műszaki számítások során a feladatok numerikus megoldásánál gyakran előnyösebb az előbbiekben bemutatott egyenletek átírása biharmonikus változattá. Ezt abban az esetben

lehet egyszerűen megtenni, ha eltekintünk a tömegerőktől. Bevezetve a Gk λ= jelölést, a

következő kiindulási egyenleteket kapjuk:


10.06.20. 161

( ) ( ) ( ) .01,01,01 =∆+∂∂

+=∆+∂∂

+=∆+∂∂

+ wz

ekv

y

eku

x

ek (10.34)

Deriváljuk az első összefüggést x, a másodikat y, a harmadikat z szerint, majd az egyenleteket adjuk össze és most már az alakváltozás-invariánsra alkalmazott Laplace-operátor segítségével írjuk fel az új egyenletet. A következőt kapjuk (felhasználva az úgynevezett

Young-féle x x

∂ ∂∆ = ∆

∂ ∂ tételt):

( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 21 1 1 0.

e u e v e wk k k

x x y y z z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + ∆ + + + ∆ + + + ∆ =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(10.35/a)

( )1 0 ( 2) 0k e e e k+ ∆ +∆ = ⇒ ∆ + = . (10.35/b)

Mivel 2k ≠ − , így ,0=∆e vagyis e harmonikus függvény. Alkalmazzuk ennek ismeretében most a Laplace-operátort újból az első differenciálegyenletre:

( ) ( )1 ( 1) ( 1) 0 1 0.e e e

k k k e k ux x x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∆ + = + ∆ = + ∆ = ⇒ ∆ + +∆∆ = ∂ ∂ ∂ ∂ (10.36)

Így végül:

,0204

4

22

4

4

4

=∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂==∆∆

y

u

yx

u

x

uu (10.37/a)

illetve teljesen hasonlóan a másik két eltolódásfüggvényre: 0,0 =∆∆=∆∆ wv . (10.37/b)

A Navier-Lamé-egyenletek alkalmazása mechanikai feladatok megoldására Az elmozdulásmódszerre alapuló megoldási technikát már a XIX. században sikerrel alkalmazták sok fontos feladat vizsgálatára. Az első jelentős eredményt Kelvin (adataira vonatkozóan lásd a VI. fejezet lábjegyzetét) publikálta147. Végtelen kiterjedésű, lineárisan rugalmas közegben elhelyezkedő koncentrált erő hatására keletkező elmozdulások (illetve feszültségek) függvényét határozta meg. A javasolt (sok lépését tekintve erősen heurisztikus) levezetés részletei iránt érdeklődőknek Todhunter és Pearson [ ]8 alatti kiváló művét ajánljuk tanulmányozásra (II. kötet, XIV.

fejezet, „Sir William Thomson munkássága” címmel), most csak cikkének végeredményét közöljük. A vizsgált kontinuum x,y,z tengelyekkel jelölt koordinátarendszerének kezdőpontjában elhelyezkedő F erővektor hatására az x koordinátájú pontban keletkező u

eltolódásvektor és az ugyanott létrejövő σ feszültségtenzor értéke az alábbi módon

számítható:

( )

3

3 2

1 3 4,

16 (1 )

1 3(1 2 ) ,

8 (1 )

T

TT T T T

F xu F x

G R R

F xI F x F x xF xx

R R

− ν= + π −ν

σ = − ν − − − π −ν

(10.38)

147 Sir William Thomson (Lord Kelvin): „Note on the Integration of the Equations of Equilibrium of an Elastic Solid”, Cambridge and Dublin Mathematical Journal – Math. and Phys. Papers, Vol. 1. pp. 97-99, 1848.


10.06.20.

ahol R az origó és a vizsgált pont között távolság,

rugalmassági modulus és Kelvin után egy olasz mérnök, potenciálelmélet alkalmazásával. Ő is felszínén működő nyírási A gyakorló mérnökök körében mindkettőjüknél ismertebb a francia Valentine Boussinesq149 (több mint 700 oldalas) tanulmányábanrészletesen kitért a rugalmas féltérreeltolódások és feszültségekZ erők vizsgálatához két potenciálfüggvényt (alakja a következő:

U , V Z log( r z ), r ( x y z ) .

Bevezetve a 1 2κ = −eredményeket kapta az eltolód

2 U V

4 G u X 1 z z ,r z x z x= + − + − +π κ κ

2 U V

4 G v Y 1 z z ,r z y z y= + − + − +π κ κ

2 U V

4 G w Z z 1 z .r z z z z= + − + − − +π κ κ

Viszonylag egyszerűen kimutatrugalmasságtan elmozdulásokra vonatkozó

1 e 1 e 1 e

u 0, v 0, w 0.+ = + = + =∆ ∆ ∆κ κ κ

A (10.40) alatti kifejezésekből deriválással a következőt kapjuk:

Az eltolódásfüggvényeklevezette, hogy minden irányába mutat és nagysága az alábbi módon számítható:

A megoldásból kapott feszültség a féltér felső síkjára vonatkozó feszültségi peremfeltkielégíti, vagyis értéke zérus minden

148 V. Cerutti: „Ricerche intorno all’ equilibrio dLincei, Serie 3a, Memorie della Classe di scienze fisiche, Vol.XIII, pp. 81149 Kiváló francia mérnök és matematikus (1842 látható ezen az oldalon. 150 Joseph Valentine Boussinesq: des solides élastiques, principalement au calcul des déformations et des pressions que produisent, dans ces solides, des effort quelconques exercés sur une petite partie de leur surface ou de leur interieur, Gaitiers-Villars, Párizs, 1885

az origó és a vizsgált pont között távolság, I egy egységmátrix,

i modulus és ν a Poisson-tényező.

után egy olasz mérnök, Cerutti148 foglalkozott a elmozdulásokat felhasználó potenciálelmélet alkalmazásával. Ő is rugalmas végtelen félteret vizsgált, a féltér szabad

nyírási hatásra.

érnökök körében mindkettőjüknél ismertebb a francia Joseph neve, aki 1885-ben publikált hatalmas terjedelmű

(több mint 700 oldalas) tanulmányában150 számos más feladat között rugalmas féltérre ható koncentrált erőkből keletkező

eltolódások és feszültségek számítására. Az origóban elhelyezkedő X, Yerők vizsgálatához két potenciálfüggvényt (U-t és V-t) vett fel, ezek

2 2 2 1 2xX yYU , V Z log( r z ), r ( x y z ) .

r z

+= = + = + +

+2ν paramétert (ν a Poisson-tényező), eltolódások függvényeire:

2 U V4 G u X 1 z z ,

r z x z x

∂ ∂ ∂ ∂ = + − + − + ∂ ∂ ∂ ∂ π κ κ

2 U V4 G v Y 1 z z ,

r z y z y

∂ ∂ ∂ ∂ = + − + − + ∂ ∂ ∂ ∂ π κ κ

2 U V4 G w Z z 1 z .

r z z z z

∂ ∂ ∂ ∂ = + − + − − + ∂ ∂ ∂ ∂ π κ κ

Viszonylag egyszerűen kimutatható, hogy ezek a függvények kielégítik az elméleti rugalmasságtan elmozdulásokra vonatkozó differenciálegyenleteit:

1 e 1 e 1 eu 0, v 0, w 0.

x y z

∂ ∂ ∂+ = + = + =∂ ∂ ∂

∆ ∆ ∆κ κ κ

alatti kifejezésekből deriválással a következőt kapjuk:

3

xX yY zZe

2 r

+ += −

κπµ

.

eltolódásfüggvények és a lineárisan rugalmas anyagmodell segítségével , hogy minden x-y síkban elhelyezkedő pontnál az elemi feszültségvektor

nyába mutat és nagysága az alábbi módon számítható:

4

3z xX yY zZ

2 r

+ +π

. (10.43)

A megoldásból kapott feszültség a féltér felső síkjára vonatkozó feszültségi peremfeltkielégíti, vagyis értéke zérus minden 2 20, 0z x y= + ≠ pontban.

. Cerutti: „Ricerche intorno all’ equilibrio de’ corpi elastici isotropi”, Reale Accademia dei Lincei, Serie 3a, Memorie della Classe di scienze fisiche, Vol.XIII, pp. 81-122

Kiváló francia mérnök és matematikus (1842 – 1929), Saint-Venant tanítványa, az ő fényképe

Joseph Valentine Boussinesq: Application des potentiels á l’étude de l’équilibre et du mouvement des solides élastiques, principalement au calcul des déformations et des pressions que produisent,

es solides, des effort quelconques exercés sur une petite partie de leur surface ou de leur Villars, Párizs, 1885. A hivatkozott munka a 276-295. oldalakon található.

Előadásvázlat

162

egy egységmátrix, G a nyírási

foglalkozott a elmozdulásokat felhasználó vizsgált, a féltér szabad

Joseph ben publikált hatalmas terjedelmű

számos más feladat között erőkből keletkező

X, Y és t) vett fel, ezek

2 2 2 1 2/U , V Z log( r z ), r ( x y z ) .= = + = + + (10.39)

, Boussinesq az alábbi

(10.40/a)

(10.40/b)

(10.40/c)

ható, hogy ezek a függvények kielégítik az elméleti

(10.41)

(10.42)

és a lineárisan rugalmas anyagmodell segítségével Boussienesq feszültségvektor az origó

. (10.43)

A megoldásból kapott feszültség a féltér felső síkjára vonatkozó feszültségi peremfeltételt

e’ corpi elastici isotropi”, Reale Accademia dei 122, Róma, 1882.

tanítványa, az ő fényképe

Application des potentiels á l’étude de l’équilibre et du mouvement des solides élastiques, principalement au calcul des déformations et des pressions que produisent,

es solides, des effort quelconques exercés sur une petite partie de leur surface ou de leur 295. oldalakon található.


10.06.20. 163

Az átlagos normálfeszültség:

( )átl . x y z 3

1 3 3 xX yY zZGe

3 3 6 r

− − + += + + = =

κ κσ σ σ σ

κ π. (10.44)

Ha az erők számát növeljük, vagyis egy X ,Y ,Zν ν ν módon jelölt erőhármast alkalmazunk több

pontban a felszínen (az erőcsoportok koordinátái rendre ( ), ,0 1,2,3,...=ν νξ η ν értékűek),

akkor ebben az esetben például az átlagos normálfeszültség az alábbi módon számítható:

( )

3

átl

2 22

2 2

6 rx X y Y z Z

31

( 3x r X 3xy Y 3xz Z 3xy Xr

( 3y r ) Y 3yz Z ) ....

= + + +−

+ − + + + +

+ − + +

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑

ν ν ν

ν ν ν ν ν ν ν ν

ν ν ν ν

πσ

κ

ξ ξ ξ η

η η

(10.45)

Hasonló kifejezésekhez jutunk más feszültségértékek esetén is.

Megjegyezzük, hogy Cerutti és Boussinesq levezetéseire építve sok másféle – elsősorban talajmechanikai alkalmazású - megoldás is született az elmúlt évtizedekben. Kiváló összefoglalás olvasható ezekről Kézdi [ ]7 alatti munkájában151.

Az itt felsoroltak mellett külön felhívjuk a figyelmet az amerikai Mindlin (életrajzi adatait lásd később a 13. fejezetben) 1936-ban illetve 1953-ban publikált munkájára, ahol ő a féltér belsejében elhelyezkedő erők hatására oldott meg a fentiekhez hasonló problémát, vagy a modernebb munkák közül megemlítjük még Pan-Chou 1976-ban közölt eredményeit, amelyben rétegesen izotrop közegre vizsgálták ugyanezt a kérdést. Kacsanov és szerzőtársai

[ ]9 alatti példatára részletesen ismerteti mindkét szerző eredményeit.

Végezetül megjegyezzük, hogy Cserhalmi munkája (lásd a [ ]6 -os művet) a Lamé-egyenletek

további speciális alkalmazási lehetőségeire is közöl példákat. Az erőmódszer alapegyenletei kis alakváltozású, lineárisan rugalmas anyagú egyensúlyi feladatoknál Az erőmódszer alapegyenleteinek felírásánál a kompatibilitási egyenletekből indulnak ki. Írjuk fel például az elsőt,

2 2 22

y yzz2 2

ε γε2

z y y zyz

y z

∂ ∂ ∂∂+ = =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

ε, (10.46)

és helyettesítsük be ide az anyagmodell egyenleteit:

( ) ( )2 22 2 2

y yzz2 2 2 2

σ τσ S S1 ν ν 2 1 ν

z y z y y z

∂ ∂∂ ∂ ∂ + + − + = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ . (10.47)

Ebben az egyenletben (ismételten hagyománytiszteletből) S a feszültségtenzor első skalár invariánsát jelenti: 1 x y zS I σ σ σ= = + + . Fejezzük ki most a második és harmadik Cauchy-

egyenletből y zτ derivált függvényét, majd deriváljuk a második Cauchy-egyenletet y, a

harmadikat pedig z szerint:

151

Felhívjuk a figyelmet, hogy Kézdi könyvében a Boussinesq-féle feladat ismertetésekor egy későbbi – feszültségfüggvényes megoldáson alapuló – számítást említ, ez azonban – bár végeredménye azonos az itt ismertetettel – nem az eredeti elmozdulásmódszerre épülő levezetés.


10.06.20. 164

yz y xy yz z xzy z

τ σ τ τ σ τg , g ,

z y x y z x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − − − = − − −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(10.48)

,2 2 2 2 22

yz y xy y yz xzz z2 2

τ σ τ g τ τσ g

y z y x y y y z z x z z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂= − − − = − − −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂. (10.49)

Adjuk össze azt a két egyenletet és – a későbbi átalakítások kedvéért – kicsit rendezzük át őket:

xx

2 22yz y xy yz xz z

2 2

σg

x

2 22 2yz y yx z x z x

2 2 2

τ σ τ gσ τ g2 ,

z y x z y z yz y

τ σ gσ σ g g g2 2 .

y z x y z xx y z

∂− −

∂

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ = − − − + − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − − − + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

(10.50)

Behelyettesítve ezt az alakot a kompatibilitási egyenlet anyagmodellekkel átalakított formájába:

( ) ( )2 2 22 2y z y z x

2 2 2 2 2

yx z x

σ σ σ σ σν S S

1 ν y z z y x

gg g g2

x y z x

∂ + ∂ + ∂∂ ∂− + + + − = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂= − + + + ∂ ∂ ∂ ∂

(10.51)

Helyettesítsük itt y zσ +σ értékét xS σ− -szel:

2

yx z xx 2

gg g g1 1 S∆S ∆σ 2 .

1 ν 1 ν x y z xx

∂∂ ∂ ∂∂ − − = − + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂∂ (10.52)

A másik két kompatibilitási egyenletből teljesen hasonló módon állítható elő két újabb, ehhez kapcsolódó egyenlet:

2y yx z

y 2

2yx z z

z 2

g gg g1 1 S∆S ∆σ 2 ,

1 ν 1 ν y x y z y

gg g g1 1 S∆S ∆σ 2 .

1 ν 1 ν z x y z z

∂ ∂ ∂ ∂∂− − = − + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂∂− − = − + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(10.53)

Adjuk össze ezt a három egyenletet és fejezzük ki belőlük S∆ -t:

y yx z x z

yx z

g gg g g g1 13 S ∆S ∆S 3 2 ,

1 ν 1 ν x y z x y z

gg g1∆S .

1 x y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∆ − − = − + + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+= − + + − ∂ ∂ ∂

υυ

(10.54)

Ha ezt visszahelyettesítjük például a három közül az első egyenletbe, némi átalakítás után a következő egyenletet kapjuk:

2y yx z x z x

x 2

2yx z x

x 2

2yx z x

x 2

g gg g g g g1 ν 1 1 S∆σ 2 ,

1 ν 1 ν x y z 1 ν x x y z x

gg g g1 1 S1 2 ∆σ ,

x y z 1 ν x 1 ν x

gg g gν 1 S2 ∆σ .

1 ν x y z x 1 ν x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ ∂− ⋅ + + − − = − + + + − + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + − − = + ∂ ∂ ∂ − ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− + + − = + − ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂

(10.55)


10.06.20. 165

Hasonló módon megismételhetjük S∆ behelyettesítését a második és harmadik egyenletbe, és így végül újabb két egyenlethez jutunk a normálfeszültségek és a tömegerők közötti kapcsolat leírására. A nyírófeszültségekre vonatkozó egyenleteket hasonló módon kapjuk. Deriváljuk például a második Cauchy-egyenletet z, a harmadikat pedig y szerint (éppen fordítva, mint az előbb), majd adjuk össze őket:

2 2 2 22 2

2 2.y x y z z x z yy yz z

gg

x z y z z x y y y z y z

∂ τ ∂ τ ∂ τ ∂ τ∂ σ ∂∂ σ ∂ + + + + + =− + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (10.56)

Helyettesítsük be most az anyagmodellek egyenleteit az ötödik kompatibilitási egyenletbe (lásd a kilencedik előadást), majd ebbe az egyenletbe írjuk be az előzőleg a Cauchy-egyenletek átalakításával kapott alakot:

2 2

,1

y z z x x yx S

y z y z x x y z

∂τ ∂τ ∂τ∂ σ ν ∂ ∂ − = − + + ∂ ∂ + ν ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (10.57)

2 2 22 2

20

1y z z x x yx S

y z x x y x z y z

∂ τ ∂ τ ∂ τ∂ σ ν ∂+ − − − =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ν ∂ ∂. (10.58)

Innen:

21

.1

yzy z

ggS

y z y z

∂∂∂ ∆τ + = − + + υ ∂ ∂ ∂ ∂ (10.59)

A másik két (még föl nem használt) kompatibilitási egyenlet segítségével újabb két képlethez jutunk. Összefoglalva a hat egyenletet:

2yx z x

x 2

2y yx z

y 2

2yx z z

z 2

2

2

gg g g1 S ν∆σ 2 ,

1 ν x 1 ν x y z x

g gg g1 S ν∆σ 2 ,

1 ν 1 ν x y z

gg g g1 S ν∆σ 2 ,

1 ν 1 ν x y z

1,

1

1

1

y xx y

x z

y y

z z

g gS

x y x y

∂ ∂ ∂ ∂∂+ = − + + − + ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂∂+ = − + + − + ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂∂+ = − + + − + ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂∆ + = − + + ∂ ∂ ∂ ∂

∂∆ +

+

τυ

τυ

2

,

1.

1

xz

yzy z

ggS

x z x z

ggS

y z y z

∂∂ = − + ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂∆ + = − + + ∂ ∂ ∂ ∂ τ

υ

(10.60)

Ezeket az összefüggéseket Beltrami152-Michell153-egyenleteknek hívjuk, a peremfeltételekkel kiegészítve ezek alkotják az erőmódszer peremértékfeladatát. Megjegyezzük, hogy a tömegerők nélküli alakot szokás Beltrami-egyenleteknek nevezni.

Eugenio Beltrami arcképe.

152 Eugenio Beltrami (1835 – 1899) olasz matematikus, elsősorban geometriával foglalkozott. 153 John Henry Michell (1863 – 1940) kiváló ausztrál matematikus. Beltrami és Michell részletes életrajza a tanszéki honlapról letölthető.


10.06.20. 166

John Henry Michell fényképe.

Dinamikai feladatoknál az egyenleteket át kell rendezni, minden eddig használt változó az egyenletek bal oldalára írandó, a jobb oldalon szerepelnek a gyorsulási hatások:

,)1(21

21

122

2

2

2

ν−

ν−σ

∂

∂ρ=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

ν−ν

+∂

∂+

∂

∂ν+

+σ∆ StGz

g

y

g

x

g

x

g

x

Sx

zyxxx

,)1(21

21

122

2

2

2

ν−

ν−σ

∂

∂ρ=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

ν−ν

+∂

∂+

∂

∂ν+

+σ∆ StGz

g

y

g

x

g

y

g

y

Sy

zyxyy

,)1(21

21

122

2

2

2

ν−

ν−σ

∂

∂ρ=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

ν−ν

+∂

∂+

∂

∂ν+

+σ∆ StGz

g

y

g

x

g

z

g

z

Sz

zyxzz

,1

12

22

tGx

g

y

g

yx

S yxyxyx

∂

τ∂ρ=

∂

∂+

∂

∂+

∂∂∂

ν++τ∆ (10.61)

,1

12

22

tGy

g

z

g

zy

S zyzyzy

∂

τ∂ρ=

∂

∂+

∂

∂+

∂∂∂

ν++τ∆

.1

12

22

tGz

g

x

g

xz

S xzxzxz

∂

τ∂ρ=

∂

∂+

∂

∂+

∂∂∂

ν++τ∆

A Beltrami-Michell-egyenletek hengerkoordináta-rendszerben

A képleteket újból a dinamikai vizsgálatoknak megfelelően írjuk fel. Abban az esetben, ha egyensúlyi feladatokat kívánunk vizsgálni, akkor az egyenletek jobb oldala zérus.

( ) =

∂

∂++

β∂

∂+

∂

∂

ν−ν

+∂

∂+

β∂

τ∂−σ−σ−

∂

∂ν+

+σ∆ βββ z

g

r

gg

rr

g

r

g

rrr

S zrrrrrr

1

12

42

1

3222

2

ν−

ν−σ

∂

∂ρ= S

tG r)1(2

322

2

,

( ) +

+

β∂

∂+

β∂

τ∂+σ−σ+

β∂

∂+

∂∂

ν++σ∆ ββ

ββ r

gg

rrr

S

rr

S

rrr

r1

24211

1

3222

2

ν−

ν−σ

∂

∂ρ=

∂

∂++

β∂

∂+

∂

∂

ν−ν

+ ββ S

tGz

g

r

gg

rr

g zrr

)1(2

31

1 22

2

, (10.62)

ν−

ν−σ

∂

∂ρ=

∂

∂++

β∂

∂+

∂

∂

ν−ν

+∂

∂+

∂

∂ν+

+σ∆ β StGz

g

r

gg

rr

g

z

g

z

Sz

zrrzz

)1(2

31

12

1

322

2

2

2

,

( ) ,1421

1

32

2

22 tGr

g

r

gg

rrr

S

rrrr

rrr∂

τ∂ρ=−

∂

∂+

β∂

∂+τ−σ−σ

β∂∂

+

β∂∂

∂∂

ν++τ∆ βββ

βββ

,121

1

32

2

22

2

tG

g

rz

g

rrz

S

rzzzrz

z∂

τ∂ρ=β∂

∂+

∂

∂+

τ−

β∂

τ∂+

∂β∂∂

ν++τ∆ βββ

β


10.06.20. 167

.2

1

32

2

22

2

tGr

g

z

g

rrzr

S zrzrzrzzr

∂

τ∂ρ=

∂

∂+

∂

∂+

τ−

β∂

τ∂−

∂∂∂

ν++τ∆ β

Megjegyezzük, hogy a fenti egyenletek előállításánál természetesen a Laplace-operátort is polárkoordinátás változatban kell használnunk (lásd az első előadást, illetve a Függeléket). ------------------------------------------ Az erőmódszer mechanikai feladatokra történő alkalmazására majd a következő fejezetben mutatunk példákat a módszer egy speciális, de a gyakorlat számára igen előnyösen használható változatának, az úgynevezett feszültségfüggvényes technikának segítségével.


1./ Bezuhov, N. I. : Bevezetés a rugalmasságtanba és a képlékenységtanba, Tankönyvkiadó, 1952. 2./ Muszhelisvili, N. : Some basic problems of mathematical theory of elasticity. P. Nordhoff. 1953. 3./ Sokolnikoff, I. S.: Mathematical theory of elasticity. McGraw Hill, 1956. 4./ Bojtár I. – Gáspár Zs.: Végeselemmódszer építőmérnököknek, Terc, 2003. 5./ Roller B.: A statika művelődéstörténete, BME, 1992. 6./ Cserhalmi I. : Makroelemek alkalmazása rugalmasságtani feladatok megoldásánál, BME, 1986. 7./ Kézdi Á. : Talajmechanika-II., Tankönyvkiadó, 1970. 8./ Todhunter, I – Pearson, K. : A history of the theory of elasticity and of the strength of materials, Cambridge, 1892-93. 9./ Kachanov, M. – Shafiro, B. – Tsukrov, I. : Handbook of Elasticity Solutions, Kluwer Academic Publishers, 2003.


10.06.20. 168

11. Előadás: Feszültségfüggvények alkalmazása rugalmas anyagú szerkezetek vizsgálatára Feszültségfüggvényes megoldások

A Beltrami-Michell-egyenletek megoldása speciális változatának, de az erőmódszeres vizsgálati technika önálló alkalmazásának is tekinthetők a feszültségfüggvényes vizsgálatok. Ezt a számítási változatot a továbbiakban kizárólag kis alakváltozású egyensúlyi feladatok vizsgálatára alkalmazzuk, ebben a fejezetben csak ezzel foglalkozunk.

Elsőként a gyakorlatban legsűrűbben használt 2D eljárást mutatjuk be. Írjuk fel újból kétdimenziós esetre a mechanikai alapegyenleteket (egyensúlyi-, geometriai- és anyagmodell-egyenletek láthatók a következő sorokban). A tömegerőket az egyszerűség kedvéért hanyagoljuk el a megoldásban.

0, 0 ,

, , ,

x y y x yx

x y x y

x y x y

u v u v

x y y x

∂τ ∂τ ∂σ∂σ+ = + =

∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ε = ε = γ = +∂ ∂ ∂ ∂

(11.1)

.)1(2

,)(1

,)(1

yxyxxyyyxx EEEτ

ν+=γνσ−σ=ενσ−σ=ε

A 2D esethez tartozó kompatibilitási egyenletet is használni fogjuk:

.2

2

2

22

xyyxyxyx

∂

ε∂+

∂

ε∂=

∂∂

γ∂ (11.2)

Helyettesítsük be ide az anyagegyenleteket:

.)1(2)()(2

2

2

2

2

yxxy

yxxyyx ∂∂

τ∂ν+=νσ−σ

∂

∂+νσ−σ

∂

∂ (11.3)

Deriváljuk az első statikai egyenletet x, a másodikat y szerint, majd ezek után adjuk össze és vonjuk ki őket egymásból:

.0,2,0,02

2

2

2

2

2

2

22

2

222

2

2

=∂

σ∂−

∂

σ∂

∂

σ∂−

∂

σ∂−=

∂∂

τ∂=

∂

σ∂+

∂∂

τ∂=

∂∂

τ∂+

∂

σ∂

yxyxyxyyxyxx

yxyxyxyyxyxx (11.4)

A harmadik egyenletet helyettesítsük be az anyagegyenleteket is figyelembe vevő kompatibilitási egyenletbe:

2 2 22 2 2

2 2 2 2 2 2(1 ) .y y yx x x

y y x x x y

∂ σ ∂ σ ∂ σ∂ σ ∂ σ ∂ σ−ν + − ν =− + ν + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(11.5)

Egyszerűsítések után innen a következő egyenletet kapjuk: ( ) .0=σ+σ∆ yx (11.6)

A korábbi egyenletekből ehhez társíthatjuk a


10.06.20. 169

02

2

2

2

=∂

σ∂−

∂

σ∂

yx

yx (11.7)

egyenletet, így a normálfeszültségekre most egy kétismeretlenes egyenletrendszer áll rendelkezésünkre. Vezessünk most be egy olyan F(x,y) függvényt, melyet a továbbiakban feszültségfüggvénynek nevezünk, és a feszültségekkel való kapcsolatát az alábbi módon definiáljuk:

.,,2

2

2

2

2

yx

F

x

F

y

Fyxyx ∂∂

∂−=τ

∂

∂=σ

∂

∂=σ (11.8)

Ha a feszültségfüggvényt behelyettesítjük mindkét előbb kapott normálfeszültségi egyenletbe, akkor a második egyenlet automatikusan teljesül, míg az első egy homogén biharmonikus differenciálegyenletté alakul:

.0204

4

22

4

4

4

=∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂==∆∆

y

F

yx

F

x

FF (11.9)

Ez az egyenlet egyesíti magában az egyensúlyi, geometriai és anyagegyenleteket, és az eddigi 8 ismeretlen (2D) helyett egyetlen egy meghatározására vezeti vissza a feladat megoldását. Az itt bemutatott feszültségfüggvényt a mechanikában Airy154-függvénynek nevezik. Megjegyezzük, hogy a segítségével kapott megoldásnak természetesen a statikai peremfeltételeket is ki kell elégítenie.

Feszültségfüggvény és differenciálegyenlete síkbeli polárkoordináta-rendszerben

Valamennyi alapvető mechanikai egyenletet a korábbi előadásokon már felírtunk polár-koordináta-rendszerben is. Az előbb bemutatott levezetést (kompatibilitási egyenletbe helyettesített anyagmodellek valamint a statikai egyenletek derivált változatainak felhasználása a tömegerők elhanyagolása mellett) megismételve jutunk a feszültségfüggvény és differenciálegyenlete polárkoordinátás változatához. Megjegyezzük, hogy a levezetés megismétlése helyett a derékszögű koordináta-rendszerben kapott eredmények egyszerű transzformálásával is előállíthatók a szükséges összefüggések:

,cossin

sincos1

β∂∂∂∂

ββ

β−β=

∂∂∂∂

⇒

∂∂∂∂

β∂∂

β∂∂

∂∂

∂∂

=

β∂∂∂∂

Fr

F

r

r

ry

Fx

F

y

Fx

F

yxr

y

r

x

Fr

F

(11.10)

hiszen .sincos β=β= ryésrx A második deriváltak az elsők felhasználásával állíthatók elő:

=β

β

β∂∂

−β∂∂

β∂∂

−β

β

β∂∂

−β∂∂

∂∂=

∂

∂sinsin

1cos

1cossin

1cos

2

2 F

rr

F

r

F

rr

F

rx

F (11.11)

154 George Biddell Airy (1801 – 1892) angol csillagász és matematikus, aki mechanikai számításokkal is foglalkozott. Életéről lásd bővebben a tanszéki honlapon található életrajzot, fényképe ezen az oldalon látható.


10.06.20. 170

2 2 22 2 2

2 2 2 2

2 1 1 2cos sin cos sin sin sin cos .

F F F F F

r r r r r r r

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= β− β β+ β+ β+ β β∂ ∂ ∂β ∂β ∂ ∂β

Hasonlóan az y szerinti második derivált: (11.12) 2 2 2 2

2 2 22 2 2 2 2

2 1 1 2sin sin cos cos cos sin cos .

F F F F F F

y r r r r r r r

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= β+ β β+ β+ β− β β

∂ ∂ ∂ ∂β ∂β ∂ ∂β

A vegyes második derivált szintén az elsőkből számítható:

+ββ∂∂

−βββ∂

∂−β−β

β∂∂∂

−ββ∂

∂=

∂∂∂

cossin1

cossin1

)cos(sin1

cossin2

2

222

2

22

22

r

F

r

F

rr

F

rr

F

yx

F

)cos(sin1 222

β−ββ∂∂

+F

r. (11.13)

A másodrendű deriváltat meghatározó tagok összeadásából a következőt kapjuk:

.11

2

2

22

2

2

2

2

2

β∂

∂+

∂∂

+∂

∂=

∂

∂+

∂

∂=∆

F

rr

F

rr

F

y

F

x

FF (11.14)

Ennek segítségével már előállíthatjuk a differenciálegyenletet:

.01111

2

2

22

2

2

2

22

2

=

β∂

∂+

∂∂

+∂

∂

β∂

∂+

∂∂

+∂

∂=∆∆

F

rr

F

rr

F

rrrrF (11.15)

A feszültségek transzformációs képlettel számíthatók (emlékeztetőül lásd a Függelék (F.45) alatti képletét):

,2sincossin,2sinsincos 2222 βτ−βσ+βσ=σβτ+βσ+βσ=σ β yxyxyxyxr (11.16)

.2cos2sin)(2

1βτ+βσ−σ−=τ β yxyxr

Behelyettesítve ide a feszültségeknek a feszültségfüggvénnyel való kapcsolatát, egyszerűsítések után a végső képletek:

,1

,,11

2

2

2

2

2

β∂∂

∂∂−=τ

∂

∂=σ

β∂

∂+

∂∂

=σ ββF

rrr

FF

rr

F

r rr (11.17)

Megjegyezzük, hogy tengelyszimmetria esetén a feszültségek számítása és maga a differenciálegyenlet még tovább egyszerűsödik, a feszültségfüggvény csak r-től függ:

2

2

1, , 0 ,r r

dF d F

r dr drβ βσ = σ = τ = (11.18)

4 3 2

4 3 2 2 3

2 1 10 .

d F d F d F dF

dr r dr r dr r dr+ − + = (11.19)

Ez az egyenlet egyébként nem más, mint az úgynevezett Euler-féle differenciálegyenlet polárkoordinátás alakja (a mechanikai feladathoz most már egy közönséges differenciálegyenlet tartozik parciális helyett!).

Az Euler-egyenlet általános megoldásának felírásához az egyenletet 4r -nel megszorozzák:

4 3 2

4 3 24 3 2

2 0d F d F d F dF

r r r rdr dr dr dr+ − + = , (11.20)

majd a megoldást mcrF = alakban keresik. Ezt behelyettesítve az

044 234 =+− mmm (11.21)


10.06.20. 171

egyenlethez jutunk, melynek két darab kétszeres gyöke van: m = 0,0,2,2. Ilyen esetben a

megoldást rrc m ln alakkal kiegészítik, és így a végeredmény:

rrcrcrccF lnln 24

2321 +++= . (11.22)

Az ismeretlen ic együtthatókat a vizsgált feladat peremfeltételeiből kell meghatározni.

Feszültségfüggvény és differenciálegyenlete hengerkoordináta-rendszerben, tengelyszimmetrikus esetben Az általános esettel most nem foglalkozunk, csak a gyakorlati feladatok számára fontos tengelyszimmetrikus változatot mutatjuk be, levezetés nélkül, csak a végeredményre koncentrálva. A differenciálegyenlet:

2 2 2 2

2 2 2 2

1 10 .

F F FF

r r r rr z r z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∆∆ = + + + + = ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ (11.23)

Az egyes feszültségkomponensek:

,)2(,1

,2

2

2

2

∂

∂−∆ν−

∂∂=σ

∂∂

−∆ν∂∂=σ

∂

∂−∆ν

∂∂=σ β

z

FF

zr

F

rF

zr

FF

z zr (11.24)

.)1(2

2

∂

∂−∆ν−

∂∂=τ

z

FF

rzr

Megjegyezzük, hogy a Laplace-operátor hengerkoordináta-rendszerben használatos általános alakját már korábban is használtuk (a Függelékben is megtalálható), most annak tengelyszimmetrikus (β -tól független) alakját alkalmaztuk:

.1

2

2

2

2

zrrr ∂

∂+

∂∂

+∂

∂=∆ (11.25)

A feszültségfüggvény definiálásának általános módja

Az Airy-féle feszültségfüggvényt Maxwell illetve (tőle függetlenül) Morera155 általánosította a következő módon (a tömegerőktől most is eltekintünk):

Egyszerű számítással ellenőrizhető, hogy a kis alakváltozások esetén használatos szimmetrikus σσσσ feszültségtenzor divergenciája (lásd az egyensúlyi egyenleteket) zérus : div 0 .=σσσσ (11.26) Ez a feltétel statikailag nem más, mint a Cauchy-egyenletek tömör matematikai kifejezése, tehát a statikailag lehetséges feszültségmező definiálása. Maxwell kimutatta, hogy egy tetszőleges, de szimmetrikus F tenzorból

rot (rot )F T =σσσσ (11.27) módon képezett feszültségtenzor kielégíti ezt a divergencia-feltételt156, tehát statikailag lehetséges feszültségeket eredményez. Ezt az F tenzort tekinthetjük a legáltalánosabb 3D

155 Giacinto Morera (1856 – 1907) olasz mérnök és matematikus. Sokat foglalkozott dinamikus rendszerek matematikai vizsgálatával és nem-folytonos mechanikai rendszerek elemzésével. 156 Megjegyezzük, hogy hasonló elemzés található Tarnai „Kompatibilitási egyenletek” című, honlapon található segédletében is.


10.06.20. 172

feszültségfüggvénynek (a matematikusok által használt nevén „vektorpotenciálnak” is nevezik). A belőle számítható egyes térbeli feszültségkomponensek részletes alakja az eredeti definícióból levezetve (a képletekben a rotáció számításából adódó sorrendben tüntettük fel az egyes tagokat, továbbá nem használtuk ki az F tenzor szimmetriáját):

2 2 2 22 22 2

2 2 2 2

2 2 22

2 2

, ,

,

z y y z z x x zy xz zx y

y x x y yxz

F F F FF FF F

z y z z y y z x z z x x

F F FF

y x y y x x

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂σ = − − + σ = − − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂σ = − − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 2 2 2 2 222

2 2, ,x y z y x z x y x z y zyz

x y x z

F F F F F FFF

z x z z y x y y z x z y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂∂τ = − + + − τ = − − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 2 22

2

y x x z y zxy z

F F FF

y z x z y x x

∂ ∂ ∂∂τ =− + + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ . (11.28)

Ha ez az F feszültségfüggvény-tenzor diagonálmátrixú, akkor az úgynevezett Maxwell-féle 3D feszültségfüggvényekhez jutunk:

2 22 22 2

2 2 2 2 2 2, , ,y yx xz z

x y z

F FF FF F

z y x z x y

∂ ∂∂ ∂∂ ∂σ = + σ = + σ = +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (11.29)

.,,222

zx

F

yz

F

yx

Fzxyzyx ∂∂

∂−=τ

∂∂∂−=τ

∂∂∂−=τ

Ha az F feszültségfüggvény-tenzornak a főátlóbeli elemi zérus értékűek, akkor Morera feszültségfüggvényeit kapjuk:

2 2 2

2 , 2 , 2 ,y z x z x yx y z

F F F

y z x z y x

∂ ∂ ∂σ =− σ =− σ =−

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (11.30)

, ,x y z y x z x y x z y zx y x z

F F F F F F

z z x y y z y x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ τ = − + + τ = − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

.y x x z y zy z

F F F

x z y x

∂ ∂ ∂∂ τ = + − ∂ ∂ ∂ ∂

Ha az F tenzor gömbtenzor (diagonálmátrix azonos értékű elemekkel), akkor kapjuk a „klasszikus” Airy-féle feszültségfüggvényeket:

,,,2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

y

F

x

F

z

F

x

F

y

F

z

Fzyx

∂

∂+

∂

∂=σ

∂

∂+

∂

∂=σ

∂

∂+

∂

∂=σ (11.31)

.,,222

zx

F

yz

F

yx

Fzxyzyx ∂∂

∂−=τ

∂∂∂−=τ

∂∂∂−=τ

Ennek a feszültségfüggvény-tenzornak síkbeli változatát vezettük le a 2D mechanikai alapegyenletek segítségével. Ha a most bemutatott Maxwell-féle általános összefüggést akarjuk használni az Airy-féle modell előállítására, akkor a következőképpen kell eljárnunk: Először kiszámítjuk az F gömbtenzor rotációját (ennek a műveletnek a végrehajtására lásd a „Függelék” vonatkozó képletét), majd vesszük az így kapott mátrixnak a transzponáltját (az egyszerűség kedvéért jelöljük ezt most B-vel):


10.06.20. 173

[ ] [ ] [ ]

0

rot 0 0 0 0 0 0 0

0

F

yz

F F Fz x

xy

∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ = + + − = ∂ ∂ ∂∂ − ∂ ∂

( )

0 0

0 rot 0

0 0

F BT

F F F F

z y z y

F F F F

z x z xF F F F

y x y x

∂ ∂ ∂ ∂ − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − ⇒ = = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − ∂ ∂ ∂ ∂

(11.32)

A következő lépésben ennek a B tenzornak határozzuk meg a rotációját. Az egyes elemek azonnal megadják a megfelelő feszültségkomponens meghatározásának képletét (természetesen mi csak a kétdimenziós változatot vizsgáltuk, ennek figyelembevételével kell értelmezni az összefüggéseket):

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

rot B σx xy xz

yx y yz

zx zy z

F F F F

z y x y x z

F F F F

y x z x y z

F F F F

z x z y y x

∂ ∂ ∂ ∂ + − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + − = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ − − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ

(11.33)

Komplex függvények használata feszültségfüggvények céljára

Komplex változók157 segítségével az Airy-féle feszültségfüggvények olyan típusú feladatok megoldására is alkalmassá tehetők, amelyeket a „hagyományos” algebrai polinomok segítségével nem, vagy csak nehézkesen lehet kezelni. Ilyen alkalmazási terület például a törésmechanika különböző feszültség-szingularitási problémáinak kezelése. Most csak az alapegyenletek megfogalmazásával foglalkozunk, a további részletek tárgyalása a „Törésmechanika” c. tárgy feladata. Vegyünk fel egy tetszőleges

1 1

( ) ( , ) ( , ) Re( ) ( ) , Im( ) ( )2 2

z p x y iq x y p qi

ϕ = + → = ϕ = ϕ + ϕ = ϕ = ϕ − ϕ (11.34)

analitikus158 komplex függvényt a fenti alakban. A parciális deriváltak:

( ) , ( )z p q z p q

z i i z ix z x x x y z y y y

∂ϕ ∂ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ϕ ∂ϕ ∂ ∂ ∂′ ′= = ϕ = + = = ϕ = +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

. (11.35)

Az egyes komponensek a Cauchy-Riemann159-feltételeket is teljesítik, hiszen:

157 Emlékeztetőül: exp( ), exp( ) ,z x iy r i z x iy r i= + = Θ = − = − Θ illetve

1 1Re( ) ( ), Im( ) ( )

2 2x z z z y z z z

i= = + = = − .

158 Egy függvény analitikus, ha a vizsgált tartomány bármely pontjában Taylor-sorba fejthető.


10.06.20. 174

, .p q p q

x y y x

∂ ∂ ∂ ∂= =−

∂ ∂ ∂ ∂ (11.36)

További deriválással, valamint a kapott tagok összeadásával-kivonásával bizonyítható, hogy 0 , 0 ,p q∆ = ∆ = (11.37) azaz minden analitikus ( )zϕ függvény valós (p) és képzetes (q) része harmonikus160 függvény. Goursat161, majd őt követően Muszhelisvili162 bizonyították be, hogy az alábbi függvényre teljesül a biharmonikus jelző:

( ) ( )1Re ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .

2z z z z z z z z zΦ = ϕ + Ψ = ϕ + ϕ + Ψ + Ψ (11.38)

Az egyes parciális deriváltak:

( ) ( )2

2

1 1, 2 2 ,

2 2z z z z

x x

∂Φ ∂ Φ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ′ ′′ ′′= ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + Ψ + Ψ = ϕ + ϕ + Ψ + ϕ + ϕ + Ψ∂ ∂

(11.39)

( ) ( )2

2

1, 2 2 .

2 2

iz z z z

y y

∂Φ ∂ Φ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ′ ′′ ′′= −ϕ + ϕ + ϕ − ϕ + Ψ − Ψ =− − ϕ + ϕ + Ψ − ϕ + ϕ + Ψ∂ ∂

A második deriváltakat felhasználva:

( )2 2

2 22 4 Re( ) Re( ) 0 0

F

x y

∂ Φ ∂ ′ ′ ′ ′∆Φ= + = ϕ + ϕ = ϕ ⇒ ∆ ϕ = ⇒ ∆∆Φ =∂ ∂

.

(11.40) A feszültségkomponensek számításához szükség lesz a vegyes második deriváltra is:

( )2

.2

iz z

x y

∂ Φ ′′ ′′ ′′ ′′= ϕ + ϕ + Ψ − Ψ∂ ∂

(11.41)

A feszültségek és a feszültségfüggvények közötti kapcsolatot komplex függvények alkalmazása esetén az alábbi formában szokták megadni (ezeket hívják a mechanikában Koloszov163-Muszhelisvili-egyenleteknek): , , ,4Re( ) , 2 2 2( ) ,x y y x x y xx yy x yi i z′ ′′ ′′σ +σ =∆Φ = ϕ σ −σ + τ =Φ −Φ − Φ = ϕ +Ψ (11.42)

Bár itt nem részleteztük előállításuk módját, de a teljesség kedvéért megadjuk az elmozdulások számítására alkalmas harmadik Koloszov-egyenletet is: 2 ( ) ,x yG u iu z ′ ′+ = κϕ− ϕ −ψ (11.43)

3ahol (sík feszültségi állapot) 3 4 (sík alakváltozási állapot)

1vagy

− νκ = κ = − ν

+ ν.

Emlékeztetőül megjegyezzük, hogy a fenti egyenletekben az egyes tagok jobb alsó indexei után

159 Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 – 1866) német matematikus, az analízis és a differenciálgeometria kiváló tudósa. 160 Egy függvény akkor harmonikus, ha a Laplace-operátort a függvényre alkalmazva zérust kapunk. 161 Edouard Jean-Baptiste Goursat (1858 – 1936) francia matematikus, az analízis és a komplex függvénytan jeles tudósa. 162 Nikoloz Muszhelisvili (1891 – 1976) híres grúz matematikus, Koloszov tanítványa. Elsősorban a komplex függvénytan törésmechanikai alkalmazásáról és az ehhez kapcsolódó vizsgálatokról ismert (keresztnevének orosz változata különböző művekben: Nyikolaj Ivanovics). Koloszov és Muszhelisvili fényképe látható a (11.44) képlet felett (Koloszov képe a bal oldalon). 163 Jurij Vasziljevics Koloszov (1867 – 1936) orosz matematikus és mérnök. Ő oldotta meg először komplex feszültségfüggvények segítségével a törésmechanika alapfeladatát: a berepedt tárcsában keletkező szinguláris feszültségmezők számítását.


10.06.20. 175

elhelyezett vessző a változó deriválására utal, vagyis

például 2

, 2xxx

∂ ΦΦ =

∂.

Sokszor a számításokban előnyösebb ezek polárkoordináta-rendszerben felírt változatait használni:

4Re( ), 2 2( )exp(2 ),r r ri z iβ β β′ ′′ ′′σ +σ = ϕ σ −σ + τ = ϕ +Ψ β (11.44)

2 ( ) ( ) exp( ) .rG u iu z iβ ′ ′+ = κϕ− ϕ −Ψ − β (11.45)

Megjegyezzük, hogy van olyan komplex feszültségfüggvény is, amely bizonyos körülmények (például a mechanikailag teljesen szimmetrikus feladatoknál előforduló feszültség eloszlási előírások) megléte esetén egymaga teljesíti a szükséges feltételeket (ilyen például a Westergaard (lásd a 4. előadás lábjegyzetét) által vizsgált feladatcsoport is, ezeket szintén a „Törésmechanika” c. tárgy előadássorozatában ismertetjük. A különböző mechanikai tartalmú biharmonikus differenciálegyenletek vizsgálatának kapcsolata Főleg a laboratóriumi vizsgálatok iránt érdeklődőknek hasznos tudni arról, hogy a különböző fizikai tartalmú, de matematikai formájukat tekintve hasonló feladatok megoldásának vizsgálatára igen érdekes „kapcsolt” kísérletek születtek a mechanikai kutatóközpontokban. A három legtöbbet vizsgált kapcsolt mechanikai feladatpár a következő feladatokat vonta össze:

a./ Tárcsa biharmonikus differenciálegyenlete: 2

20 ,...x

FF

y

∂∆∆ = ⇒ σ =

∂

b./ Lemez164 biharmonikus differenciálegyenlete: ( , )

( , )p x y

w w x yD

∆∆ = ⇒ ,

c./ Lassú áramlású viszkózus folyadék biharmonikus differenciálegyenlete:

0 ,...uy

∂ψ∆∆ψ = ⇒ =

∂

ahol u a folyadék részecskéinek eltolódásfüggvénye Wieghardt165 volt az első kutató, aki lemez- és tárcsafeladatok laboratóriumi vizsgálatával hasonlította össze az „a” és a „b” alatti feladatok egyes paramétereit (elsősorban a tárcsák feszültségeloszlásának elemzésére törekedett). Southwell166 mintegy ötven évvel később ugyancsak lemezeket vizsgált laboratóriumi körülmények között, de ő a folyadék mozgásának jellemzőit számította, vagyis a „b” és „c” egyenletek összehasonlításával dolgozott.

164 Ennek a feladatnak itt bemutatott matematikai egyenletét a BSc „Tartók statikája” c. tárgy keretében ismertettük. Az egyenletben p(x,y) a terhelés-, w(x,y) pedig a lemezsíkra merőleges eltolódás függvénye. D az izotróp lemez skalár merevségi paramétere. 165 Karl Wieghard német mérnök (1874 – 1924). Kapcsolódó publikációja: „Über ein Verfahren, verwickelte theoretische Spannungsverteilungen in elastischen Körpen auf experimentellem Wege zu finden”, Teubner, Berlin, 1908.


10.06.20. 176

Harmadikként egy ugyancsak angol kutató, T. Richards167 neve érdemel említést, ő tárcsák feszültségkoncentrációs jelenségeit vizsgálta folyadékok mozgásának elemzésére építve, vagyis az „a” és „c” egyenletek összehasonlításával dolgozott.

11.1 Példa Vizsgáljuk meg az ábrán látható, egyik végén befogott faltartó feszültségeloszlását az Airy-féle feszültségfüggvények segítségével. Első lépésként a feszültségfüggvényben levő ismeretlen együtthatókat határozzuk meg a tárcsa peremén általunk kiválasztott feszültségi feltételekből:

11.1. ábra: Faltartó vizsgálata

Vegyük fel a feszültségfüggvényt az alábbi polinom formájában:

.),( 54

323

22

21 ycyxcyxcxcyxF +++=

Felhasználva a biharmonikus differenciálegyenlet adta feltételt:

34322

4

44

4

4

4

5

10242,120,0 ccFyc

yx

Fyc

y

F

x

F−=⇒=∆∆⇒=

∂∂

∂=

∂

∂=

∂

∂,

így a feszültségfüggvény módosított kiindulási alakja:

)5

(),(5

323

22

21

yyxcyxcxcyxF −++= .

Az egyes feszültségek:

,222,)46( 33212

232

32

2

ycyccx

Fyyxc

y

Fyx ++=∂

∂=σ−=

∂

∂=σ

232

2

62 xycxcyx

Fyx −−=

∂∂∂−=τ .

A felső és alsó él menti statikai peremfeltételek a következők:

,02

32,0

2

32 2

322/

2322/

=−−=τ=−−=τ−==

xhcxcxhcxchyyxhyyx

166 Southwell, R. V. : „Use of an analogue to resolve Stokes’s paradox”, Nature, Vol. 181, pp. 1257-1258, 1958. 167 Richards, T. H.: „Analogy between the slow motion of a viscous fluid and the extension and flexure of plates: geometric demonstration by means of Moire-fringes, British J. of Appl. Physics, Vol. 11, pp. 244-253, 1960.


10.06.20.

2/=σ

=hyy

Három független egyenletet felhasználva kiszámíthatók az e

A feszültségek végleges alakja:

3

(h

qx =σ

A feszültségfüggvényes megoldásnál mindig megvizsgálni a megoldás pontosságát. Például most a bal oldali véglapon a nyírófeszültségek értékére

vízszintes normálfeszültség már nem lesz zérus:

vetületösszege nullával egyenlő:

részletes elemzéssel kell eldöntenünk, elfogadhatófeszültségfüggvény további finomításával (például bevonásával) kell pontosítanunk a megoldást.

11.2 Példa

Vizsgáljuk meg az ábrán látható, sík feszültségi állapotban lévő, egységnyi vastagságú, végtelen kiterjedésű, középen Ezt a feladatot G. Kirsch

168 Gustav Kirsch (1841 – 1901) német mérnök. A lyukkal gyengített tárcsa feszültségeinek vizsgálata tette ismertté nevét.Bedürfnisse der Festigkeitslehre”, Zeitschr. Ver. Deutschen Ing., Vol. 42, pp. 797

2,4

12 212/

3321 −=σ−=++=

−=ccqhchcc

hyy

Három független egyenletet felhasználva kiszámíthatók az együtthatók:

3321 ,

4

3,

4 h

qc

h

qc

qc =−=−= .

A feszültségek végleges alakja:

33

32 ,2

2

3

2),46( y

h

qy

h

qqyyx yxy τ+−−=σ−

A feszültségfüggvényes megoldásnál mindig célszerű további ellenőrzésselmegvizsgálni a megoldás pontosságát. Például most a bal oldali véglapon a nyírófeszültségek értékére x = 0 helyettesítéssel valóban zérust kapunk, de a

vízszintes normálfeszültség már nem lesz zérus: σ

vetületösszege nullával egyenlő: / 2 / 2

330

/ 2 / 2

4h h

x xh h

qdy y dy

h=− −

σ =− =∫ ∫részletes elemzéssel kell eldöntenünk, elfogadható-e ez a hiba, vagy a feszültségfüggvény további finomításával (például bevonásával) kell pontosítanunk a megoldást.

Vizsgáljuk meg az ábrán látható, sík feszültségi állapotban lévő, egységnyi vastagságú, végtelen kiterjedésű, középen lyukkal gyengített tárcsa feszültségeloszlását.

G. Kirsch168 oldotta meg először 1898-ban.

11.2. ábra: Húzott tárcsa vizsgálata

1901) német mérnök. A lyukkal gyengített tárcsa feszültségeinek vizsgálata tette ismertté nevét. Vonatkozó publikációja: „Die Theorie der Elastizität und die

edürfnisse der Festigkeitslehre”, Zeitschr. Ver. Deutschen Ing., Vol. 42, pp. 797

Előadásvázlat

177

.04

1 332 =− hch

gyütthatók:

23

6

2

3xy

h

qx

h

q−= .

célszerű további ellenőrzéssel megvizsgálni a megoldás pontosságát. Például most a bal oldali véglapon a

valóban zérust kapunk, de a

330

4 yh

qxx −=σ=

, bár

3 0dy y dyσ =− = . Szükség esetén

e ez a hiba, vagy a feszültségfüggvény további finomításával (például újabb peremfeltételek

Vizsgáljuk meg az ábrán látható, sík feszültségi állapotban lévő, egységnyi vastagságú, feszültségeloszlását.

1901) német mérnök. A lyukkal gyengített tárcsa feszültségeinek Die Theorie der Elastizität und die

edürfnisse der Festigkeitslehre”, Zeitschr. Ver. Deutschen Ing., Vol. 42, pp. 797-807, 1898


10.06.20. 178

Nagyméretű tárcsánál ∞→r esetén elvárható, hogy a megoldás a külső terhelő feszültséghez tartson, vagyis 0=τ=σ=σ yxyx ésp .

Fejezzük ki a feladatban használt – és polárkoordináta-rendszerben felírt – feszültségkomponenseket a vízszintes terhelő komponens segítségével:

),2cos1(2

1sin,)2cos1(

2

1cos 22 ϑ−=ϑσ=σϑ+=ϑσ=σ ϑ pp xxr

ϑ−=ϑϑσ−=τ ϑ 2sin2

1cossin pxr .

A lyuktól távoli tartományokban uralkodó tiszta húzás jól jellemezhető egy egyszerű feszültségfüggvénnyel:

)2cos1(4

1sin

2

1

2

1 22220 ϑ−σ=ϑσ=σ= rryF xxx .

A lyuk környezetének vizsgálatára alkalmas feszültségfüggvényt ennek mintájára célszerű felépíteni. Kirsch szerint egy lehetséges ajánlás erre a függvényre: .2cos)()(),( 21 ϑ−=ϑ rFrFrF Helyettesítsük be ezt a biharmonikus differenciálegyenlet polárkoordinátás alakjába:

02cos)(41

)(1

2

2

22

2

1

2

2

2

=ϑ

−++

+=∆∆ rF

rdr

d

rdr

drF

dr

d

rdr

dF

Mivel ennek minden ϑ szögre teljesülnie kell, a feltételből két egyenlet adódik:

0)(41

,0)(1

2

2

22

2

1

2

2

2

=

−+=

+ rF

rdr

d

rdr

drF

dr

d

rdr

d.

Az első egyenlet ugyanaz, mint a polárkoordinátákkal felírt, szimmetrikus esetre vonatkozó biharmonikus alak (Euler-féle differenciálegyenlet), így megoldása is megegyezik az előzőekben levezetettel:

rrcrcrccrF lnln)( 24

23211 +++= .

A második egyenletet részletesen kifejtve a következőt kapjuk:

0992 232

22

232

3

42

4

=+−+dr

dF

rdr

Fd

rdr

Fd

rdr

Fd.

Ez az egyenlet is nagyon hasonlít az Euler-féle egyenletre, megoldását szintén mcr alakban keressük. Behelyettesítve a differenciálegyenletbe, az

01644 234 =+−− mmmm egyenlethez jutunk, melynek megoldásai: m = 0,-2,2 és 4. Így

48

272652

1)( rcrc

rccrF +++= .

Behelyettesítve a feszültségfüggvény végleges alakját az egyes feszültségkomponensekre kapott korábbi polárkoordinátás összefüggésekbe:

,2cos264

)ln21(2 746

25

4322 ϑ

++−+++=σ c

r

c

r

crcc

r

cr

Ezeknek a feszültségeknek ∞→r esetén a bevezetőben megadott feszültségkomponensekhez kell tartaniuk, azok értékét és képlettel kifejezett alakját is felvéve. A feszültségeknek emellett ki kell elégíteniük a lyuk szabad peremén figyelembeveendő peremfeltételt is, nevezetesen: ϑ=τ=σ ϑ ,0rr bármilyen értékére.

Mindezeket figyelembe véve a paraméterek:


10.06.20.

84 cc ==

A keresett feszültségek függvényei

+−=σ

21

2

2apr

Az eredmények értékelésénél felhívjuk a figyelmet a nyomófeszültségrefeszültségkoncentrációra! Megjegyezzük, hogy minél inkább eltér a körtől az ellipszis irányába a kivágás alakja (az ellipszis hosszabbik tengelye legyen merőleges a húzás irányára), a feszültség koncentrációjaelvileg végtelen kiterjedésű tárcsára vonatkozik, hiszen a tárcsa méreteit sehol nem vettük figyelembe. Véges méretű tárcsáknál a koncentráció értéke csökken. Fenti kérdések részleteit lásd a „

Megemlítjük, hogy az előbb bemutatott fenti feladat általánosítható, vagyis kör alakú lyuk helyett vizsgálható egy ellipszis alakú nyílás környezete. Még összetettebbé válhat a feladat, ha a tárcsára a vnyírófeszültségek működhetnek (lásd a 11.3

11.3. ábra: Ellipszis alakú lyuk környezetének vizsgálata

Ilyen esetekben az ellipszis hosszabbik főtengelyénél a feszültségek lényegesen koncentrációja mutatható ki, mint a kör esetében. Ha az ellipszis végtelenül vékony repedéssé fajulna el, akkor a lokális feszültségcsúcs nagysága a végtelenhezérzékeltetik a következő ábra

4,

2,

4,

2,0 6

2

53

2

2pa

cpa

cp

cpa

c −===−==

keresett feszültségek függvényei tehát:

−+=σ

ϑ

+− ϑ 2

12

,2cos3412

4

4

2

2 ap

r

a

r

a

.2sin3212 4

4

2

2

ϑ

−+−=τ ϑ

r

a

r

apr

Az eredmények értékelésénél felhívjuk a figyelmet a nyomófeszültségre (tisztán húzott szerkezetünk van!), illetve a

zültségkoncentrációra! Megjegyezzük, hogy minél inkább eltér a körtől az ellipszis irányába a kivágás alakja (az ellipszis hosszabbik tengelye legyen merőleges a húzás irányára), a feszültség koncentrációja! Ugyancsak fontos megjegyzés, hoelvileg végtelen kiterjedésű tárcsára vonatkozik, hiszen a tárcsa méreteit sehol nem vettük figyelembe. Véges méretű tárcsáknál a koncentráció értéke csökken. Fenti kérdések részleteit lásd a „Törésmechanika” c. tárgy keretein belül.

gemlítjük, hogy az előbb bemutatott Koloszov-Muszhelisvili-egyenletekfenti feladat általánosítható, vagyis kör alakú lyuk helyett vizsgálható egy ellipszis alakú

Még összetettebbé válhat a feladat, ha a tárcsára a végtelenben tetszőleges normálnyírófeszültségek működhetnek (lásd a 11.3-as ábrát):


Ilyen esetekben az ellipszis hosszabbik főtengelyénél a feszültségek lényegesen mutatható ki, mint a kör esetében.

Ha az ellipszis végtelenül vékony repedéssé fajulna el, akkor a lokális feszültségcsúcs végtelenhez tart. A feszültségcsúcsok körhöz képesti gyors növekedését jól

érzékeltetik a következő ábra trajektóriahálózatai:

Előadásvázlat

179

.4

, 7

4 pc −=

ϑ

+ 2cos31

4

4

r

a,

Az eredmények értékelésénél felhívjuk a figyelmet a 0=ϑ -nál keletkező (tisztán húzott szerkezetünk van!), illetve a 2/π±=ϑ -nél fellépő

Megjegyezzük, hogy minél inkább eltér a körtől az ellipszis irányába a kivágás alakja (az ellipszis hosszabbik tengelye legyen merőleges a húzás irányára), annál inkább nő

! Ugyancsak fontos megjegyzés, hogy fenti levezetés elvileg végtelen kiterjedésű tárcsára vonatkozik, hiszen a tárcsa méreteit sehol nem vettük figyelembe. Véges méretű tárcsáknál a koncentráció értéke csökken. Fenti

” c. tárgy keretein belül.

egyenletek felhasználásával a fenti feladat általánosítható, vagyis kör alakú lyuk helyett vizsgálható egy ellipszis alakú

égtelenben tetszőleges normál- és


Ilyen esetekben az ellipszis hosszabbik főtengelyénél a feszültségek lényegesen nagyobb

Ha az ellipszis végtelenül vékony repedéssé fajulna el, akkor a lokális feszültségcsúcs tart. A feszültségcsúcsok körhöz képesti gyors növekedését jól


10.06.20.

11.4. ábra: Kör és ellipszis alakú

lyuk környezetének trajektóriahálózata

Az ilyen típusú bemetszések, lyukak és repedések környezetének vizsgálatával szintén a „Törésmechanika” c. tárgy foglalkozik. 11.3 Példa

Számítsuk ki az ábrán látható,

11.5. ábra: A szimmetria miatt ismét alkalmazhatjuk az

négyparaméteres megoldást (emlékeztetőül:

feszültségek:

1

r r

c cdF d F

r dr r dr rσ = = + + + σ = = − + + + τ =

A peremfeltételek:

Az első két feltételből:

A harmadik feltételegyensúlyi feltételt. A negyedik feltétel:

Integrálás és egyszerűsítés után:

−

Behelyettesítve a

4c

z ilyen típusú bemetszések, lyukak és repedések környezetének vizsgálatával szintén a ” c. tárgy foglalkozik.

Számítsuk ki az ábrán látható, körgyűrű-szelet alakú, tisztán hajlított tárcsa

ábra: Körgyűrű-szelet alakú tárcsa hajlításának vizsgálata

A szimmetria miatt ismét alkalmazhatjuk az Euler

négyparaméteres megoldást (emlékeztetőül: 1 2 3 4( ) ln lnF r c c r c r c r r= + + +

22 2

3 4 4 3 4 42 2 22 2 ln , 2 2 ln 3 , 0.r r

c cdF d Fc c r c c c r c

r dr r dr rβ βσ = = + + + σ = = − + + + τ =

A peremfeltételek: illetvenálrrésnélrr ir ,0 0 −=−==σ

0o o

i i

r r

r r

b dr és r b dr Mβ βσ = σ =∫ ∫ .

feltételből: 2

03422

22

22

ln21(,ln

2 rcc

r

r

rr

rrc

i

o

io

oi +−=

−=

harmadik feltétel automatikusan teljesül, mivel a feszültségfüggvény teljesíti ezt az egyensúlyi feltételt. A negyedik feltétel:

drbrccrrcr

cor

ir

=

+++−∫ )32(ln2 434

2

Integrálás és egyszerűsítés után:

( ) rccrrrrcr

rc oiioo

i

o −++−+ )((lnlnln 243

2242

Behelyettesítve a racésrec −− 32 az előzőekben kapott két feltételt:

2222224 4)(),(

2iioio rrrrKaholrr

bK

M−−=−=

Előadásvázlat

180

z ilyen típusú bemetszések, lyukak és repedések környezetének vizsgálatával szintén a

alakú, tisztán hajlított tárcsa feszültségeit.

alakú tárcsa hajlításának vizsgálata

Euler-egyenletnél használt 2 2

1 2 3 4( ) ln lnF r c c r c r c r r= + + + ). A

3 4 4 3 4 42 2 ln , 2 2 ln 3 , 0.r rc c r c c c r cβ βσ = = + + + σ = = − + + + τ =

illetve

422

2

)(2

)ln21()lnc

rr

rrr

io

iio

−

+−.

automatikusan teljesül, mivel a feszültségfüggvény teljesíti ezt az

M= .

b

Mri =− )2 .

az előzőekben kapott két feltételt:

22 )(lni

oo r

rr .


10.06.20.

A másik két paraméter ezek figyelembev

2c

A feszültségek képletei mindezek figyelembevételével:

r o i

r

β

σ = − −

σ = − + + − −

τ =

A feszültségek függvényét tünteti fel egy metszetben az alábbi ábra 11.6. ábra: Sugár- és érintő irányú feszültségek változása 11.4 Példa Számítsuk ki a sík feszültségi ábrán látható külső és belső terhelés hatásából! 11.7. ábra: Kör alakú tárcsa sugár irányú külső és belső terheléssel

A feladat megoldásához az alábbi feszültségfüggvény javasolható:

169 Megjegyezzük, hogy erősen görbült tartók (főleg gerendák) hajlításával először a német Winkler (lásd a 12/9-es lábjegyzetet(1847-1931) foglalkozott.

A másik két paraméter ezek figyelembevételével:

[ )ln21(,ln4 2

322

2 ooi

ooi rr

bK

Mc

r

rrr

bK

M−+−==

A feszültségek képletei mindezek figyelembevételével: 2 2

2 22

2 22 2 2 2

2

4ln ln ln ,

4ln ln ln ( ) ,

0 .

i o o or o i

i i

i o o oo i o i

i i

r

r r r rM rr r

bK r r r r

r r r rM rr r r r

bK r r r rβ

β

σ = − −

σ = − + + − −

τ =

A feszültségek függvényét tünteti fel egy metszetben az alábbi ábra

Számítsuk ki a sík feszültségi állapotban lévő, vastag falú, kör alakú tárcsa feszültségeit az ábrán látható külső és belső terhelés hatásából!

külső és belső terheléssel


2lnF A r Cr B= + + .

Megjegyezzük, hogy erősen görbült tartók (főleg gerendák) hajlításával először a német lábjegyzetet), majd őt követően az ugyancsak német

Előadásvázlat

181

])ln21(2ii rr +− .

2 2 2 2ln ln ln ( ) ,o i o ir r r r

σ = − + + − −

A feszültségek függvényét tünteti fel egy metszetben az alábbi ábra169:

állapotban lévő, vastag falú, kör alakú tárcsa feszültségeit az


Megjegyezzük, hogy erősen görbült tartók (főleg gerendák) hajlításával először a német Emil émet Julius Carl von Bach


10.06.20. 182

A három ismeretlen állandót a feszültségek, illetve a rájuk felírható peremfeltételek segítségével határozzuk meg. A feszültségek polárkoordinátás alakban (a szimmetria figyelembevételével):

2

12 , 0 ,r r

F AC

r r r

∂= = + =

∂ βσ τ

2

2 22 .

F AC

r r

∂= = − +

∂βσ

A feszültségi peremfeltételek és a figyelembevételükkel kapott egyenletek:

2 2

, ,

2 , 2 .

r a r br a r b

a b

p p

A AC p C p

a b

= == − = −

+ = − + = −

σ σ

Az együtthatók értékei:

( )2 2 2 2

2 2 2 2

1, .

2a b a ba b p p p a p b

A Cb a b a

− − −= =

− −

A keresett érintő- és sugár irányú feszültségek:

( )( )

( )( )

2 2 2 22 2 2 2

2 2 2 22 2 2 2 2 2, .a b a ba b a b

r

p p a b p p a bp a p b p a p b

b a b ar b a r b a

− −− −= + = −

− −− −βσ σ

Három megjegyzés: a./ A két feszültségérték összege a tárcsa bármelyik pontjában állandó. b./ Ha nincs belső lyuk (a = 0), akkor mindegyik pontban r bσ σ p .= = −β

c./ Ha van egy akármilyen pici belső lyuk ( , de 0a b a ≠ ), akkor az érintő

irányú feszültség azonnal kétszeresére nő ( bσ 2p= −β )!

Csavarási feladatok vizsgálata feszültségfüggvények segítségével.

Vizsgáljuk meg az ábrán látható, végein T csavaró-nyomatékokkal terhelt rúd csavarási feladatát.

11.8. ábra: Csavarás vizsgálata feszültségfüggvényekkel

A keresztmetszet tömör és tetszőleges alakú. A számításnál a csavart rudak Saint-Venant modelljét használjuk, nevezetesen:


10.06.20. 183

- a csavart keresztmetszetek síkjukban merev lapok, merőlegesen azonban szabadon

deformálódhatnak („szabad csavarás”), - a csavarónyomatékok a rúd véglapjaira nyírófeszültségek formájában adódnak át, ezek

eloszlása megegyezik a többi keresztmetszetben keletkező nyírófeszültségével. A keresztmetszetek z tengely körüli állandó fajlagos relatív elfordulását jelöljük zκ -vel.

Vegyük fel a koordináta-rendszer kezdőpontját az egyik (rögzített) véglap súlypontjában, így egy tetszőleges helyen levő lap elfordulása a z tengely körül: z z zϕ = κ . Egy metszeten belül

levő P pont elmozdulásai: , , ( , , ) .z z z z zu y z y v x z x w w x y= −ϕ = −κ = ϕ =κ = κ (11.46)

Az elmozdulások között szereplő ( , , )zw x y κ a keresztmetszet saját síkjára merőleges

eltolódásának ismeretlen függvényét jelöli („öblösödési” függvény). Az eltolódások felhasználásával a geometriai egyenletek:

0, 0, 0, 0,x y z x y

u v w u v

x y z y x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ε = = ε = = ε = = γ = + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (11.47)

, .z x z z y z

w u w w v wy x

x z x y z y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂γ = + = −κ γ = + = + κ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (11.48)

A kompatibilitási egyenlet a két utolsó geometriai egyenlet segítségével kapható: az elsőt y, a második x szerint deriváljuk, majd kivonjuk őket egymásból.

2 .z x z yzy x

∂γ ∂γ− =− κ

∂ ∂ (11.49)

Helyettesítsük be most az alakváltozásokat az anyagmodell egyenleteibe. Csak két nyírófeszültségi komponens lesz zérustól különböző:

, .z x z x z z y z y z

w wG G y G G x

x y

∂ ∂ τ = γ = −κ τ = γ = + κ ∂ ∂ (11.50)

Az egyensúlyi egyenletek ennek figyelembevételével:

0, 0 , 0 .z x z y z x z y

z z x y

∂τ ∂τ ∂τ ∂τ= = + =

∂ ∂ ∂ ∂ (11.51)

Az első két egyenlet automatikusan teljesül, mivel a feszültségek nem változnak a z tengely mentén, a harmadik pedig úgy elégíthető ki, ha feltételezünk egy speciális F(x,y) feszültségfüggvényt, amelyből az egyes nemzérus nyírófeszültség-komponensek az alábbi módon számíthatók:

, .z x z y

F F

y x

∂ ∂τ = τ = −

∂ ∂ (11.52)

Megjegyezzük, hogy bár magát az eredeti csavarási feladat megoldását Saint-Venant vezette le még a XIX. században, gyakran nevezik ezt az F függvényt Prandtl-féle feszültségfüggvénynek is, utalva arra a széleskörű laboratóriumi munkára, amit Ludwig Prandtl (adatait lásd korábban az ötödik fejezetben) végzett csavarási feladatok modellezése terén. Az anyagmodellek segítségével a nyírófeszültségekből kapott szögtorzulásokat beírva a kompatibilitási egyenletekbe, a következő egyenletet kapjuk:

2 2

2 22 .z

F FG

x y

∂ ∂+ = − κ

∂ ∂ (11.53)


10.06.20. 184

Ezt az egyenletet Poisson-féle differenciálegyenletnek hívják. Megjegyezzük, hogy a keresztmetszet egy tetszőleges pontjában keletkező eredő nyírófeszültség értéke mindig az F feszültségfüggvény gradienséből számítható, hiszen:

( )1/ 222

1/ 22 2 .z z x z y

F Fgrad F

x y

∂ ∂ τ = τ + τ = + = ∂ ∂ (11.54)

A számítások során statikai kerületi feltételként kell figyelembe vennünk, hogy a terheletlen felületű keresztmetszet határvonalán az eredő nyírófeszültségnek egybe kell esniük a határvonal adott pontbeli érintőjével, vagyis a feszültségfüggvénynek a kontúrvonal mentén konstansnak kell lennie. Mivel ez a konstans érték a feszültségszámításoknál szükséges deriválások során eltűnik, az egyszerűség kedvéért zérusnak vehető (kivéve olyan speciális –de most nem tárgyalt – eseteket, mint például a belül üregekkel rendelkező keresztmetszetek!), vagyis a határvonalon: F = 0. (11.55) A rúd véglapjára vonatkozó Saint-Venant-feltétel szerint itt a nyírófeszültségek eredője a csavarónyomatékkal egyenlő. Felírva két vetületi és nyomatéki egyenletet:

( , ) 0 , ( , ) 0 ,z x z y

A A

FdA dxdy F x y dx dA F x y dy

y

∂τ = = = τ =− =

∂∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ (11.56)

( ) .z y z x

A A

F Fx y dA x y dA T

x y

∂ ∂ τ − τ =− + = ∂ ∂ ∫ ∫ (11.57)

Az első két egyenlet a feszültségfüggvény határpontokon felvett zérus értékei miatt teljesül (( , )F x y az F függvénynek a határvonal megfelelő pontjaiban felvett értékeit jelöli), a

harmadiknál pedig figyelembe véve a

( )F

Fx x Fx x

∂ ∂= +

∂ ∂ (11.58)

azonosságot, az első tagot átírhatjuk

( )F

x Fx Fx x

∂ ∂= −

∂ ∂ (11.59)

alakba, így integrálja:

( )A A A

Fx dA Fx F dA F dA

x x

∂ ∂ = − =− ∂ ∂∫ ∫ ∫ (11.60)

értékű lesz (az első tag a vetületi egyenleteknél említettek miatt zérus). A második tag integrálása ugyanígy végrehajtható, így végül az egyensúlyi egyenlet:

2 ( , )A

F x y dA T=∫ . (11.61)

Megjegyezzük még, hogy szükség esetén a w öblösödési függvényt a 11.48. alatti kompatibilitási feltételből lehet meghatározni. Érdekes megoldási változat található egyébként erről a csavarási feladatról Filonyenko-Borodics [ ]7 alatti könyvében, ő az

öblösödési függvény meghatározásából indul ki, és csak utána vizsgálja a fajlagos elfordulás illetve a nyírófeszültségek értékeit.

11.4 Példa: Határozzuk meg az ábrán látható egyenlő oldalú háromszögben keletkező nyírófeszültségek értékét.


10.06.20. 185

11.9. ábra: Háromszög keresztmetszet csavarása

Írjuk fel az oldalélek egyenleteit:

).(3

,)()3(3

2,)()3(

3

2élalsó

hyélbalaz

a

hyéljobbaz

a

hy −=−−=+=

Vegyük fel a feszültségfüggvényt ezek segítségével („c” ismeretlen állandó):

2 2

( , ) (3 ) (3 ) .3 3 3

h h hF z y c y z a y z a y

a a

= − + + − +

Összeszorozva és rendezve:

.27

4

3

44),( 32

2

322

2

23

+−−−= hz

a

hhyyz

a

hycyzF

Figyelembe véve, hogy 3/2ha = , a feszültségfüggvényben már csak h szerepel. Behelyettesítve a második deriváltakat a Poisson-féle differenciálegyenletbe, c-re a következő értéket kapjuk:

.)1(4 xh

Ec κ

ν+=

Vegyük most figyelembe az egyensúlyt kifejező egyenletet. Ehhez fel kell írnunk az

integrálási határokat is. A jobb oldali élen: ,)23(6

hyh

az j −= a bal oldali élen:

)23(6

hyh

azb −−= . Így:

.153

427

42

3/

3/

42

2

2323∫ ∫

−

=

+−

+−=h

h

bz

jz

ahcdydzz

hy

a

hhhyycT

Felhasználva az a és h közötti összefüggést:

45

)1(

3

160

3

80

aE

T

a

Tc x

ν+=κ⇒= .

A nyírófeszültségek képletei:

,2

33

3

1605

zaya

T

z

Fyx

+−=

∂∂=τ

)333(3

80 225

zayya

Txz −−−=τ .

.203max

a

T=τ

A legnagyobb nyírófeszültség az oldalélek középpontjaiban keletkezik, lásd az ábra vázlatát:


10.06.20.

11.

11.5 Példa Határozzuk meg az ábrán látható négyszög alakú keresztmetszet csavarásból keletkező nyírófeszültségeit! 11.11. ábra: Csavart négyszög keresztmetszet geometriai adatai

A feladatot először oldotta meg 1843meglehetősen bonyolult

F

Felhasználva az egyensúlyra vonatkozó (11.61) alatti feltételt, meghatározható a fajlagos elfordulás:

ahol

A feszültségek képletének vizsgálatából kiszámítható, hogy a legnagyobb nyírófeszültségek az „értéke:

170 Stokes: „Cambridge Phil. Soc. Trans.

11.10. ábra: Nyírófeszültség változása

Határozzuk meg az ábrán látható négyszög alakú keresztmetszet csavarásból keletkező

11.11. ábra: Csavart négyszög keresztmetszet geometriai adatai

A feladatot először Sir George Gabriel Stokes170, a hidrodinamika kiváló tudósa oldotta meg 1843-ban, részben saját kísérleteire hivatkozva. Az általa ajánlott meglehetősen bonyolult – feszültségfüggvény a következő:

( 1) / 23 3

1,3,5

4 1 ch( / )( 1) 1 cos

1 ch( / 2 )nx

n

E n y b n zF

n n h b b

∞−

=

κ π π= − − π + ν π

∑Felhasználva az egyensúlyra vonatkozó (11.61) alatti feltételt, meghatározható a fajlagos elfordulás:

31

2 (1 )2 ( , ) ,x

A

TF x y dA T

k Ehb

+ ν= ⇒ κ =∫

1 5 51,3,5,..

1 192 11 th

3 2n

b n hk

h n b

∞

=

π = − π ∑ .

A feszültségek képletének vizsgálatából kiszámítható, hogy a legnagyobb ültségek az „A” és „B” pontban (lásd a 11.11-es ábrát) keletkeznek. Ezek

max 22

T

k hbτ = ,

Stokes: „Cambridge Phil. Soc. Trans.”, Vol. 8, 1843.

Előadásvázlat

186

Határozzuk meg az ábrán látható négyszög alakú keresztmetszet csavarásból keletkező

11.11. ábra: Csavart négyszög keresztmetszet geometriai adatai

, a hidrodinamika kiváló tudósa ban, részben saját kísérleteire hivatkozva. Az általa ajánlott –

4 1 ch( / )( 1) 1 cos

1 ch( / 2 )

n y b n z

n n h b b

π π

.

Felhasználva az egyensúlyra vonatkozó (11.61) alatti feltételt, meghatározható a

2 (1 )2 ( , ) ,

A feszültségek képletének vizsgálatából kiszámítható, hogy a legnagyobb es ábrát) keletkeznek. Ezek


10.06.20. 187

ahol

2 1 2 21,3,5...

8 1/ 1

ch( /(2 ))n

k k k kn n h b

∞

=

= ⇐ = −π π∑ .

Ennek a feladatnak ettől eltérő felépítésű, de végeredményét tekintve ezzel megegyező érdekes megoldását találja az olvasó Rekacs [ ]8 alatti művében.

Megjegyezzük, hogy ha 2 1, akkor 1/ 1/ 3h b k k>> = → ,

és így a maximális nyírófeszültség:

max 23

31

3

T Tb

hb hbτ ≈ = .

Ezt a képletet használtuk a BSc Szilárdságtanban a nyitott vékonyfalú szelvényekből álló keresztmetszet csavarásának elemzésekor.

Felhasznált irodalom: 1./ Bezuhov, N. I.: Bevezetés a rugalmasságtanba és a képlékenységtanba, Tankönyvkiadó, 1952. 2./ Muszhelisvili, N.: Some basic problems of mathematical theory of elasticity. P. Nordhoff., 1953. 3./ Kaliszky S. – Kurutzné K. M. – Szilágyi Gy.: Szilárdságtan, Egyetemi Tankönyv, 2000. 4./ Roller B.: A statika művelődéstörténete, Műegyetemi Kiadó, 2000. 5./ Meleshko, V. V. : Selected topics in the history of the two-dimensional biharmonic problem, ASME, Appl. Mech. Rev., Vol. 56, pp. 33- 85, 2003. 6./ Love, A. E. H.: A treatise on the mathematical theory of elasticity, New York, 1944. 7./ Filonyenko-Borodics, M. M.: Theory of elasticity, Dover Publ., 1965. 8./ Rekacs, V. G. : Manual of the theory of elasticity, Mir Publ., 1979.


10.06.20. 188

12. Előadás: Hajlított gerendák 2D modelljei kis elmozdulások és dinamikus hatások esetén. Rugalmasan ágyazott gerendák

A gerendák minden lehetséges mechanikai részletre kiterjedő viselkedésének modellezése a szerkezet látszólagos „egyszerűsége” ellenére még ma sem teljesen megoldott, vizsgálatuk az aktívan kutatott területek közé tartozik. Mérnöki szempontokat és igényeket figyelembe vevő számításuk ma lényegében háromféle modell segítségével történik:

- Bernoulli-Navier-féle „klasszikus” modell171: a számítás alapvetően a hajlítás hatásának figyelembevételére épül. Elsősorban homogén és izotrop anyagú, tömör keresztmetszetű gerendák vizsgálatára alkalmas.

- Nyírási modellek: a hajlítás mellett a nyírási torzulások hatását is figyelembe veszik az alapvető egyenletek megformálásánál. Első változatukat már Saint-Venant megfogalmazta a XIX. század második felében, legismertebb képviselőjüket, az úgynevezett Timoshenko-féle (lásd a négyes számú lábjegyzetet) lineáris változatot172 1921-ben publikálták. Ez a modell jól használható réteges felépítésű gerendák mechanikai jellemzőinek számítására.

- Kontinuummechanikai modellek: 2D vagy 3D szilárdságtani elméletek alapján

felépített változatok tartoznak ebbe a családba. Elsősorban bonyolult geometria, erősen változó és/vagy szabálytalan belső üregrendszerrel terhelt keresztmetszet, jelentős geometriai és anyagi nemlinearitás esetén használják. Különösen előnyös akkor, amikor az anyagi nemlinearitást különböző minőségű rétegekben kell követnünk.

Megjegyezzük, hogy mindhárom leírásmód végeselemes modellezésére láthatunk példát a párhuzamosan futó MSc tárgyakban. Az első kettővel a „Végeselemes modellezés matematikai alapjai”, a harmadikkal a „Végeselemes modellezés – nemlineáris feladatok vizsgálata” c. tárgy foglalkozik. A továbbiakban kizárólag kétdimenziós, homogén, izotrop és lineárisan rugalmas anyagú gerendák alapvető egyenleteinek erős alakjaival foglalkozunk. A figyelembe veendő mozgások kicsik, de az egyenleteknél figyelembe vesszük a dinamikai hatásokra létrejövő eltolódásokat (kis rezgéseket) is. Megjegyezzük, hogy a kezdeti feltételeket (t =0 pillanathoz tartozó sebesség és igénybevétel-függvényeket) mindegyik modellnél ismertnek tételezzük fel.

2D hajlított gerenda Bernoulli173-Navier-féle („klasszikus”) modellje

171 Érdemes elolvasni a modell létrehozásának mintegy 400 éves történetét bemutató összefoglalót. „Bernoulli, Navier és a klasszikus gerendaelmélet” címmel megtalálható a Tanszék honlapján. 172 Timoshenko, S. P. : „On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars”, Philosophical Magazine, Vol. 41, pp. 744-746, 1921. 173 Jacob Bernoulli (1654 – 1705) svájci matematikus, a híres matematikus-dinasztia első képviselője, életéről az 1. sz. lábjegyzetben említett összefoglalóban olvashatunk.


10.06.20. 189

A 12.1 ábra változatai a gerendamodellnél használt koordinátarendszert, a létrejövő elmozdulásokat és a belső igénybevételeket ábrázolják (z tengely az ábra síkjára merőleges). A vizsgált rúd teljes hosszát L-lel jelöljük, 1 2 3, ésu u u a gerenda egy tetszőleges pontjánál az

x, y és z – jobbkezes rendszert alkotó – tengelyeknek174 megfelelő eltolódások, s belső lokális koordináta pedig a tengelyvonal mentén értelmezett ívhossz. A modell alapfeltételezése szerint azok a keresztmetszetek, melyek a deformáció mentes állapotban merőlegesek a rúd súlyponti tengelyére, a deformálódott állapotban is síkok maradnak és továbbra is merőlegesek lesznek a tengelyre, vagyis ebben a modellben nincs nyírási szögtorzulás ( 12 0ε = ). A gerenda keresztmetszeti súlypontjának tengelyirányú u

eltolódását szintén elhanyagoljuk, így egyetlen változó (v(s,t), az y tengely irányú eltolódás) jellemzi a rúd elmozdulásait.

12.1. ábra: A Bernoulli-Navier-modell alapvető változói A dinamikus állapot y irányban felírt egyensúlyi egyenlete (Newton második törvénye):

2 3 2cosF ds q ds mdsv′ Θ + = ɺɺ , (12.1)

174 A x,y és z tengelyek jelölésére a továbbiakban gyakran használjuk az 1,2 és 3 sorszámozást. Megjegyezzük, hogy az erők és nyomatékok vektorai a tengelyek irányában pozitívak. Ennek megfelelően 1F normálerőt, 2F nyíróerőt, 3M pedig hajlítónyomatékot jelent, stb.


10.06.20. 190

ahol 3Θ a keresztmetszet elfordulási szöge, 2q az y tengellyel párhuzamos külső megoszló

terhelés függvénye, a „vessző” szimbólum az s változó szerinti parciális deriválást

helyettesíti ( s∂

∂ ), az eltolódásfüggvény feletti pont pedig az idő szerinti deriváltra utal. Az

2F nyíróerő és az m fajlagos tömeg a nyírófeszültség és a sűrűségfüggvény segítségével

számítható175:

2 12 , .A A

F dA m dA= σ = ρ∫ ∫ (12.2)

A két nyíróerő közötti felezőponton átmenő, a síkra merőleges z tengellyel párhuzamos tengelyre felírt nyomatéki egyensúlyi egyenlet176:

( )3 2 2 2 3 3

1 1

2 2M ds F ds F F ds ds J ds′ ′+ + + = Θɺɺ . (12.3/a)

ahol: 23 11 3, ( ), .

A A

M y dA J y dA forgási inercia sűrűség=− σ = ρ ρ ⇒∫ ∫ (12.3/b)

Kis mozgások feltételezése esetén:

3 3 3 3sin , cos 1 , v′Θ =Θ Θ = Θ = . (12.4)

Ezeket a közelítéseket alkalmazva az egyensúlyi egyenletekben és elhanyagolva a magasabb

rendű 22

1

2F ds′ tagot, az összevont egyensúlyi egyenlet:

( )2 2 3 2 3 3 2 3,F q mv M F J v M q mv J v ′′ ′ ′ ′′ ′+ = + = ⇒ − + = −ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ . (12.5)

A következő lépés a nyomaték és az eltolódás összekapcsolására szolgáló egyenlet felírása. Ehhez először a keresztmetszet egy tetszőleges pontjának eltolódásait adjuk meg:

1 3 2 3 3sin , (1 cos ) , 0 .u y yv u v y v u′=− θ = − = − − θ = = (12.6)

Az alakváltozások a geometriai egyenletekből számíthatók:

1 1 211 12 22 33 13 23, 0, 0

u u uy v

s y s

∂ ∂ ∂′′ε = =− ε = + = ε = ε = ε = ε =∂ ∂ ∂

. (12.7)

Fontos tudnunk, hogy az itt kapott alakváltozások nem pontosak, hiszen a fizikai realitásként létező Poisson-hatás miatt 3322 εε és nem lehet zérus értékű! A Bernoulli-Navier-modell így

csak olyan gerendáknál alkalmazható, ahol ez a hiba még nem jelentős. A hiba természetesen jelentkezik a

1121121

)1(ε

ν−ν−

ν−=σ

E (12.8)

módon számítható (lásd az 5. előadás anyagmodelljeit) normálfeszültségben is. A (12.8) képlet helyett – elfogadva a 03322 =σ=σ közelítő feltételt – a

0, 121111 =σ′′−=ε=σ vyEE (12.9) feszültség-komponenseket használja a Bernoulli-Navier-modell. Ha az itt kapott normálfeszültséget beírjuk 3M korábbi képletébe, akkor a nyomaték és az eltolódásfüggvény

kapcsolatára adódó egyenlet:

∫ ∫=⇐′′=′′=A A

dAyIvEIdAyvEM .223 (12.10)

Helyettesítsük be végül ezt az egyenletet a dinamikai egyensúly összevont képletébe: )()( 32 ′′−=+′′′′− vJvmqvEI &&&& . (12.11)

175 Az előbb említett 12 0ε = állításból adódó ellentmondásra még visszatérünk. 176 A külső terhek nyomatékát jó közelítessel zérusnak tekinthetjük erre a pontra.


10.06.20. 191

A megoldás során (az alkalmazott megoldási módszer mechanikai típusától függően) peremfeltételi előírásokat adhatunk meg raMésreFpedigvagyrevésrev −−−′− 32 .

Itt jegyezzük meg, hogy az 2F nyíróerő a bevezetésben felírt nyírófeszültségi integrál

12 12( )és ígyε σ zérus volta miatt nullára adódna. Ezt az ellentmondást úgy kerüljük el, hogy

a nyíróerő számítására az egyensúlyi egyenletet használjuk fel: .)( 32 vJvEIF ′+′′′−= && (12.12)

Ebben a pontban az alapvető (”erős”) differenciálegyenleteket az egyensúlyi-, geometriai- és anyagegyenletek felhasználásával fogalmaztuk meg. A következő pontban másféle technikát alkalmazunk, bemutatjuk a „fordított” eljárást, vagyis először a feladat variációs („gyenge”) alakját adjuk meg, és abból vezetjük le az alapegyenleteket. 2D gerenda modellek a nyírási alakváltozás hatásának figyelembevételével A nyírási modellek a „klasszikus” gerendaelmélet előzőekben leírt ellentmondásait kívánják feloldani. Az alapvető változókat ismét az ábrán tüntettük fel: a tengely eltolódásait most is zérusnak tekintjük, viszont bevezetünk egy új változót, amely a rúdtengelynél keletkező nyírási elfordulásokat fogja jellemezni177: ),(6 tsγ , továbbá egy )(3 yg 178-nal jelölt nyírási

öblösödési függvényt, amely a keresztmetszet nyírás hatására létrejövő torzulását írja le: Az egyes eltolódások: 0,sin)cos1(,cossin 33363233631 =Θγ+Θ−−=Θγ+Θ−= ugyvugyu . (12.13)

177 A nyírási szögelfordulás indexében szereplő „6”-os szám a Voigt-féle, vektorba történő átrendezés esetén a vektor hatodik elemének helyére utal: 6 12γ ε→ . 178 A hármas index a hármas számú koordináta-tengelyre utal.


10.06.20. 192

12.2. ábra: Nyírási hatások figyelembevétele A kis elmozdulásokra alkalmazott közelítéseket itt is alkalmazva és a nemlineáris tagokat elhanyagolva a következő összefüggéseket kapjuk: .0,, 32631 ==γ+′−= uvugvyu (12.14)

Megjegyezzük, hogy a nyírási elfordulás tulajdonképpen az 1u eltolódási függvény y = 0

helyén előírt deriváltját jelenti. A geometriai egyenletek:

31 1 211 3 6 12 6 22 33 13 23, , 0 .

dgu u uy v g

s y s dy

∂ ∂ ∂′′ ′ε = =− + γ ε = + = γ ε = ε = ε = ε =∂ ∂ ∂

(12.15)

A mozgásegyenletek megadásához most variációs elvre térünk át. Írjuk fel a kinetikus energia és a teljes potenciális energia különbsége variációjának179 időintegrálját (ezt a mechanikában a Hamilton180-elv egyenletének hívják):

( )0

0t

b kK dtδ −δΠ +δΠ =∫ , (12.16)

ahol

( )2 11 11 12 12

0 0 0

, , u uL L L

k b

A A

q v ds dAds K dAdsδΠ = δ δΠ = σ δε +σ δε δ = − ρ ⋅δ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ɺɺ . (12.17)

A képletben szereplő u a teljes eltolódásvektort jelöli: 1 2 3 3 6 3 6( ) ( )u e e e e e u = e ex y z x y x yu u u y v g v y v g v′ ′= + + = − + γ + ⇒ − + γ +ɺɺ ɺɺ ɺɺɺɺ . (12.18)

3 6( )u = e ex yy v g v′δ − δ + δγ + δ . (12.19)

Behelyettesítve a kinetikai energia variációjának képletébe:

( ) ( )2 23 6 3 6 3 6

0

L

A

K v v y v yg v g yg v dAds ′ ′ ′δ =− ρ δ + − γ δ + γ − δγ = ∫ ∫ ɺɺ ɺɺ ɺɺɺɺ ɺɺ (12.20)

( ) ( )3 13 6 33 6 13 6

0

,L

mv v J v I v I I v ds ′ ′ ′= − δ + − γ δ + γ − δγ ∫ ɺɺ ɺɺ ɺɺɺɺ ɺɺ

ahol 2 2

3 13 3 33 3, , ,A A A A

m dA J y dA I yg dA I g dA= ρ = ρ = ρ = ρ∫ ∫ ∫ ∫ . (12.21)

Tovább alakítva a kinetikai energia integrálját (parciálisan integrálva a (12.20)-as egyenlet utolsó kifejezésében szereplő második tagot):

179 Az energiafüggvények átalakítását a hetedik fejezetben tárgyaltuk, de a „Függelék” is ismerteti őket, éppen a Hamilton-elvvel kapcsolatban. 180 William Rowan Hamilton (1805 – 1865) ír matematikus, fizikus és csillagász. Fontos felfedezései voltak az optikában, dinamikában és az algebrában. Az 1834-ben megfogalmazott Hamilton-elv („On a General Method in Dynamics”,Phil. Trans. of Royal Society, Part I, pp. 247-308, 1834, Part II, pp. 95-144, 1835) mechanikai változata (az elvet a fizika más területein is használják) kifejezetten mozgások vizsgálatára alkalmas, állítása szerint egy testnek az erők hatására létrejöhető (geometriailag lehetséges) pályái közül az valósul meg, melynek befutásakor a mozgási és a potenciális energia különbsége variációjának idő szerinti integrálja állandó értékű. A tétel a virtuális munkák elvéből is megfogalmazható. További részleteket lásd a „Függelék”-ben.


10.06.20. 193

3 13 6 33 6 13 6 3 13 6

0 0

( ) ( ) ( ) ( )

LL

K mv J v I v I I v ds J v I v ′ ′ ′ ′ ′δ =− − + γ δ + γ − δγ − − γ δ ∫ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺɺɺ ɺɺ ɺɺ . (12.22)

Helyettesítsük most be az alakváltozások képleteit a belső energia variációjába:

( )11 11 3 6 12 3, 6 3 3 6 2 6

0 0

( )L L

b y

A

y v g g dAds M v m f ds′′ ′ ′′ ′δΠ = −σ δ +σ δγ +σ δγ = δ + δγ + δγ∫ ∫ ∫ ,(12.23)

ahol

33, 3 11 3 11 3 2 12 3,, , ,y y

A A A

dgg M y dA m g dA f g dA

dy= =− σ = σ = σ∫ ∫ ∫ . (12.24)

Az előzőekben már alkalmazott parciális integrálási technika ismétlésével az energia variációja tovább módosítható:

3 2 3 6 3 3 3 6

0 0

( )

LL

b M v f m ds M v M v m ′′ ′ ′ ′δΠ = δ + − δγ + δ − δ + δγ ∫ . (12.25)

Helyettesítsünk most be minden részletesen kiszámított komponenst az energia-variáció idő szerinti integráljába (a stacionaritási feltétel miatt ennek értéke zérus). Megjegyezzük, hogy a végső integrálban a teljes potenciális energia variációját írtuk fel elsőként, majd ebből vonjuk ki a kinetikus energia variációját.

3 13 6 3 2 33 6 13 3 2 6

0

( ) ( )L

mv J v I M q v I I v m f ds ′ ′ ′ ′′ ′ ′− + γ + − δ + γ − − + δγ + ∫ ɺɺ ɺɺ ɺɺɺɺ ɺɺ

(12.26)

3 3 3 13 6 3 6 0( ) 0

LM v M J v I v m ′ ′ ′+ δ − − + γ δ + δγ = ɺɺ ɺɺ .

Ebből az integrálból adódik végül a két mozgásegyenlet:

3 2 3 13 6 3 2 33 6 13( ) ( ) ,M q mv J v I m f I I v′′ ′ ′ ′ ′ ′− + = − + γ − = γ −ɺɺ ɺɺ ɺɺɺɺ ɺɺ . (12.27)

A gerendavégeken ( 0,s s L= = ) alkalmazható peremfeltételek a (12.26)-os egyenletnek megfelelően:

3 3 13 6

3

6 3

, vagy ,

, vagy ,

, vagy .

v M J v I

v M

m

′ ′− + − γ′

γ

ɺɺ ɺɺ

. (12.28)

Ha összehasonlítjuk a (12.27)-ben felírt első mozgásegyenletet a Bernoulli-Navier-modellnél felírt hasonló változattal, akkor azt látjuk, hogy a nyírási hatásokat is figyelembe vevő modellnél a forgási hatás 3 13 6J v I′ − γɺɺ ɺɺ módon számítható. Ezt felhasználva – egy z tengely

irányú nyomatéki egyensúlyi egyenletben – a következőt kapjuk (lásd még a (12.2) ábra alsó vázlatát): 3 2 3 13 6M F J v I′ ′+ = − γɺɺ ɺɺ . (12.29)

Ebből az egyenletből következik, hogy a (12.28)-as képletben elsőként említett peremfeltétel hogyan használható fel a nyíróerő meghatározására. Vizsgáljuk meg most a feszültségek értékeit: 11 11 3 6 12 12 3, 6( ) , yE E yv g G Gg′′ ′σ = ε = − − γ σ = ε = γ . (12.30)

Behelyettesítve ezeket a nyomatékokra korábban felírt, (12.24) alatti összefüggésekbe a következőket kapjuk: 3 13 6 3 13 33 6 2 44 6, ,M EIv F m F v F f F′′ ′ ′′ ′= − γ = − + γ = γ , (12.31)

ahol


10.06.20. 194

2 2 313 3 33 3 44 3,, , , y

A A A A

I y dA F Eyg dA F Eg dA F Gg dA= = = =∫ ∫ ∫ ∫ . (12.32)

Beírva ezeket a tagokat a mozgásegyenletekbe, a végső egyenletrendszer 6v re és ra− γ − :

13 6 2 3 13 6( ) ( ) ( ) ( )EIv F q J v I mv′′ ′′ ′ ′′ ′ ′ ′− γ − = − γ −ɺɺ ɺɺɺɺ , (12.33)

13 33 6 44 6 13 33( ) ( )F v F F I v I′′ ′ ′ ′ ′− γ + γ = − γɺɺ ɺɺ . (12.34)

Az egyenletek tényleges megoldásai természetesen 3g felvételétől függenek.

12.1 Példa: Harmadfokú nyírási modell

Vegyük fel 3g függvényét egy harmadfokú polinom formájában (itt ic -k ismeretlen

állandók): 2 3

3 1 2 3g c y c y c y= + + . (12.35)

Az egyszerűség kedvéért tételezzünk fel izotróp, prizmatikus gerendát négyszög keresztmetszettel és h magassággal. Fogadjuk el továbbá, hogy a felső és alsó élen nincsenek megoszló nyíróerők, így

12 12 / 20

y h=±σ = τ = . (12.36)

Ebből az következik, hogy (figyelembe véve az előző pontban 12σ -re felírt képletet):

3, / 20y y h

g=±

= . (12.37)

A 6γ nyírási szögelfordulás definíciójából adódik, hogy 12 60y=ε = γ , ebből pedig az

adódik, hogy: 3, 01y y

g=

= .

Ezeket a feltételeket felhasználva a polinom együtthatóinak számítására, azt kapjuk, hogy:

31 2 3 32 2

4 41, 0,

3 3c c c g y y

h h

−= = = ⇒ = − .

(12.38) A függvényt most már be lehet írni az előzőekben megadott egyenletekbe az eltolódás és a nyírási szögelfordulás meghatározásához.

2D Timoshenko181-modell („lineáris nyírási modell”).

A Timoshenko-modell a nyírási alakváltozásokat konstansnak tételezi fel, így egy metszetben az eredő nyíróerő:

2 12 6 12 6,A

F dA k GA= σ = γ ε =γ∫ . (12.39)

Itt k egy korrekciós tényező, 6γ pedig egy (Timoshenko javasolta) átlagos, jellemző nyírási

alakváltozás. A nyírási alakváltozási energia ebben az esetben:

22 6 6

1 1

2 2nyírásE F k GA= γ = γ . (12.40)

Vizsgáljuk meg most részletesebben k és 6γ jelentését. Számítsuk ki először a nyíróerő és az

alakváltozási energia értékét másféleképpen, a geometriai egyenletek szolgáltatta összefüggések segítségével:

181 Sztyepán Prokofjevics Tyimosenko (angol névváltozatban: Stephen P. Timoshenko) (1878 – 1972) ukrán származású mérnök, a modern mérnöki mechanika megteremtőinek egyike.


10.06.20. 195

2 12 3, 6 6 ,y

A A

F dA Gg dA GA= σ = γ = γ∫ ∫ ɶ (12.41)

2 2 212 12 3, 6 6

1 1 1ˆ

2 2 2nyírás y

A A

E dA Gg dA GA= σ ε = γ = γ∫ ∫ . (12.42)

Ezekben az egyenletekben 6γɶ az 12ε alakváltozás-komponens geometriai átlaga, 6γ pedig a

(12.42) alatti nyírási energiából számítható átlagos érték:

2 26 3, 6 3,

26 6ˆ, .

y y

A A

g dA g dA

A A

γ γ

γ = γ =∫ ∫

ɶ (12.43)

Ha összehasonlítjuk a nyíróerő és a nyírási energia kétféleképpen kiszámított értékeit, akkor meghatározhatjuk 6 és kγ paramétereket:

2

23,3,2 2

6 6 66 6 2 2

6 6 63, 3,

ˆ,

ˆ

yy

AA

y y

A A

g dAg dA

kg dA A g dA

γ γ γ γ = = γ = = =

γ γ γ

∫∫

∫ ∫ɶ ɶ

ɶ. (12.44)

Az első képlet azt mutatja, hogy 6γ az 12ε nyírási alakváltozás energiaértelmű átlaga, a

második pedig azt, hogy k a 6γɶ nyírási alakváltozásnak geometriai, a 6γ alakváltozásnak

pedig energia átlaga. Megjegyezzük, hogy például négyszög keresztmetszetű gerendák esetében k = 5/6. Szintén fontos kommentár, hogy több kutató vizsgálatai kimutatták k fenti képletéről, hogy csak az itt is alkalmazott feltételek megléte esetén elfogadható, jelentős nemlineáris hatások (pl. nagy mozgásokkal járó nagyfrekvenciás rezgések esetén) módosításra szorul. A Timoshenko-modell nyíróerő számítási módjának a geometriai egyenletekkel való összevetéséből következik, hogy ennél a modellnél: 3g y= , (12.45)

ezért is szokás lineáris nyírási gerenda-modellnek nevezni ezt a változatot. Ha ezt a 3g

függvényt helyettesítjük be a keresztmetszeti paraméterek eredeti képleteibe, akkor a következőt kapjuk: 13 33 3 13 33 44, , .I I J F F EI F k GA= = = = = (12.46)

Ha ezekkel a paraméterekkel írjuk fel a két alapvető mozgásegyenletet, akkor az eredmény (állandó keresztmetszetű gerendát feltételezve): 6 2 3 3 6 6 6 3 3 6,EIv EI q J v J mv EI v EI k GA J v J′′′′ ′′′ ′′ ′ ′′′ ′′ ′− γ − = − γ − − γ + γ = − γɺɺ ɺɺɺɺ ɺɺ ɺɺ . (12.47)

Ha a második egyenletet újból deriváljuk, majd kivonjuk az elsőből, akkor a második mellé egy átalakított első egyenlet társítható: 6 6 3 3 6 6 2,EI v EI k GA J v J kGA q mv′′′ ′′ ′ ′− γ + γ = − γ γ + =ɺɺɺɺ ɺɺ . (12.48)

A két egyenlet össze is vonható. Deriváljuk az elsőt s szerint, majd a második egyenletet használjuk fel 6γ különböző (s és t szerinti) deriváltjainak kiszámítására. Ezeket rendre az

első egyenletbe helyettesítve kiküszöbölhetjük ezt a változót. Az új összevont egyenlet:

( )4

32 2 3 24

JEI vEIv mv q q J v m q mv

kGA kGA t

∂′′′′ ′′ ′′ ′′− − − = − − − ∂ && && && && . (12.49)


10.06.20. 196

A mechanikai szakirodalomban gyakran használják a 63 γ−Θ=Ψ teljes elfordulási szöget.

A kis alakváltozások körében maradva a nyírási szögtorzulást ilyenkor így kell kifejezni: .6 Ψ−′=γ v (12.50)

Ha ezt helyettesítjük be a két mozgásegyenletből álló rendszer utolsó változatába, akkor az új alak:

( )

( )3

2

EI k GA v J ,

k GA v q mv .

′′ ′Ψ + −Ψ = Ψ

′′ ′−Ψ + =

&&

&& (12.51)

Ez a variáns csak formailag különbözik az előzőekben levezett változattól. Réteges keresztmetszetű gerendák vizsgálata a nyírási alakváltozás figyelembevételével A számítás alapelve ugyanaz, mint amit az előzőekben alkalmaztunk, az elemzés az N rétegből álló szendvics-keresztmetszet 3g függvényének meghatározására irányul.

12.3. Réteges gerenda metszete Tételezzük fel, hogy az i-edik réteg elmozdulásai az előzőekben elmondottaknak megfelelően jellemezhetők:

( ) ( ) ( ) ( )1 3 6 2 3 0i i i iu yv g , u v , u .′=− + γ = = (12.52)

Az egyes rétegekben keletkező alakváltozások:

( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 211 3 6 12 3 6

22 33 13 23 0

i i ii i i i

,y

i i i i

u u uyv g , g ,

s y s

.

∂ ∂ ∂′′ ′ε = = − + γ ε = + = γ

∂ ∂ ∂

ε =ε = ε = ε =

(12.53)

Használjunk minden egyes rétegnél harmadfokú függvényt )(3ig megadására:

( ) ( ) ( )2 33 2 3i i ig y c y c y= + + . (12.54)

Tételezzük fel, hogy az egyes rétegek között nincs csúszás, így az 1u eltolódás és a 12σ nyírófeszültség megoszlása folytonos:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

11 1 1 1

112 1 12 1

12 12

, , ( , , ) 0, 1,2,...., 1,

, , , , 0, 1, 2,...., 1,

itt .

i ii i

i ii i

i i i

u s y t u s y t i N

s y t s y t i N

G

++ +

++ +

− = = −

σ −σ = = −

σ = ε

(12.55)


10.06.20. 197

Azt is az elfogadható feltételek közé soroljuk, hogy az alsó és felső élen nincs nyíróerő, vagyis 012 =σ az 11 +== Nyyésyy síkoknál. Ebből az is következik, hogy

( ) ( ) ( ) ( )112 1 12 1, , 0, , , 0 .N

Ns y t s y t+ε = ε = (12.56)

Figyelembe véve valamennyi eddigi feltételt, 2N darab egyenletet tudunk felírni 2N

ismeretlen ( ( ) ( )2 3 , 1, 2,...,i ic és c i N= ) meghatározására:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 12 3 2 31 2 1 3 1 2 1 3

1 1 1 1 12 21 2 1 3 1 2 1 3

1 12 21 2 1 3 1 2 1 3

0, 1,2,...., 1 ,

2 3 2 3 ,

2 3 1 , 2 3 1 .

1,2,...., 1 ,

i i i ii i i i

i i i i i i i i i ii i i i

N NN N

y c y c y c y c i N

G y c G y c G y c G y c G G

y c y c y c y c

i N

+ ++ + + +

+ + + + ++ + + +

+ +

+ − − = = −

+ − − = −

+ =− + =−

= −

(12.57)

Az együtthatók meghatározását szolgáló illusztráló példát láthatunk az ábrán:

12.4. ábra: Háromrétegű gerenda metszete

A rétegek nyírási rugalmassági modulusai: ( ) ( ) ( )1 3 210G G G= = . Az egyenletrendszerek felírása és megoldása (a szimmetria miatt az elvileg hat ismeretlenes feladat most csak három ismeretlent tartalmaz) után az egyes rétegekhez tartozó függvények:

( ) ( ) ( )1 2 32 3 3 2 33 3 32 2 2

3 8 19 3 8, ,

3 3 3g y y y g y y g y y y

h h h h h= + + = − = − + . (12.58)

Ezek a függvények használhatók a Timoshenko-modell korábban bemutatott egyenleteiben, először k és 6γ , majd pedig az elmozdulások és elfordulások számítására.

Rugalmasan ágyazott gerenda vizsgálata.

A továbbiakban kizárólag a Bernoulli-Navier-modellt fogjuk használni kvázistatikus módon terhelt, és egyszerű Winkler182-ágyazattal megtámasztott gerendák elmozdulásainak és igénybevételeinek vizsgálatára.

182 E. Winkler (1835 -1888) német mérnök, hajlított szerkezetek, főleg többtámaszú gerendák vizsgálatával foglalkozott. Vonatkozó munkája: „ Vorträge über Eisenbahnbau”, Prága, 1875.


10.06.20. 198

12.5. ábra: Rugalmasan ágyazott gerenda

Az alapvető differenciálegyenletek a terhelt és terheletlen szakaszokon (k az ágyazási együttható, v az eltolódás függvénye):

4 4

4 4, 0 .

d v d vEI kv p EI kv

dx dx+ = + = (12.59)

A megoldást a xv e= alakban keresve a homogén változat számára behelyettesítés után a következő egyenletet kapjuk:

4 0k

a vEI

+ = . (12.60)

Ebből

1/ 4

(1 ) 1, ahol4

ka i i

EI

=± β ± ⇐ = − β = . (12.61)

Az általános megoldás: [ ] [ ]cos sin cos sinx xv e A x B x e C x D xβ −β= β + β + β + β , (12.62)

ahol A,B,C és D ismeretlen állandók, meghatározásuk egy adott feladatnál figyelembe vehető peremfeltételektől függ. A./ Koncentrált erővel terhelt végtelen hosszú gerenda

12.6. ábra: Egyetlen erővel terhelt gerenda A szimmetria miatt elegendő a szerkezet egyik felét vizsgálni. A peremfeltétel: , és deriváltjai 0x v→ ∞ → . (12.63) Ezt felhasználva A = B = 0 , és így a megoldás a ( )cos sinxv e C x D x−β= β + β (12.64)

alakra redukálódik. További feltételek az elfordulásra és a most az egyszerűség kedvéért T-vel jelölt nyíróerőre (utóbbit P-től végtelen közel jobbra értelmezzük):

3

(0) 0 , (0) ezekből2 8 2

P P Pv T EIv C D

EI k

β′ ′′′= =− = − ⇒ = = =β

. (12.65)

A keresett eltolódásfüggvény:

( )cos sin 2 sin2 2 4

x xP Pv e x x e x

k k−β −β β β π = β + β = β +

. (12.66)


10.06.20. 199

Az elfordulás, nyomaték és nyíróerő számításához vezessük be az alábbi függvényeket (mindegyiket 0x> esetre értelmeztük):

( )1 1( ) cos sin ,2

x Pf x e x x v f

k−β β

β = β + β ⇒ = (12.67)

2

2 1 2

1( ) sin

2x P

f x e x f v fk

−β β′ ′β = β =− ⇒ Θ= = −β

, (12.68)

( ) 2 13 32( ) cos sin

2 4x f f P

f x e x x M EIv f−β ′ ′′′′β = β − β = =− ⇒ = =−

β β β, (12.69)

( ) 3 2 14 42 3

3

cos2 2 4 2

x f f f Pf x e x T EI v f−β ′ ′′ ′′′

′′′β = β = − = − = ⇒ =− =−β β β

. (12.70)

Tájékoztatásul megadjuk táblázatos formában a különböző függvények értékeit: B./ Fél-végtelen gerenda

12.7. ábra: Fél-végtelen gerenda, bal oldali végén terhelve Most a kezdőpontban koncentrált erőt és egy nyomatékot helyeztünk el. A peremfeltételek és az együtthatók:

3 2

, ,2 2

A AA

P M MEIv M EIv T P C D

EI EI

+ β′′ ′′′= =− = ⇒ = =−β β

. (12.71)

Az eltolódásfüggvény valamint az elfordulás, nyomaték és nyíróerő:

[ ] ( )4 33

2cos (cos sin ) ( ) ( )

2

x

A A

ev P x M x x Pf x M f x

EI k

−β β= β + β β − β = β + β β ⇒

β (12.72)


10.06.20. 200

( )2(0) ,Av P M

k

β= + β [ ]

2

1 4

2( ) 2 ( )APf x M f x

k

βΘ =− β + β β , (12.73)

21 3 2

( )( ) , ( ) 2 ( )A A

Pf xM M f x T Pf x M f x

k

β= + β =− β + β β . (12.74)

C./ Véges méretű gerendák Vizsgáljuk meg az ábrán látható, középen egy koncentrált erővel terhelt gerendát és hasonlítsuk össze a C és E pontok lehajlásait. 12.8. ábra: Két pont lehajlásának arányai Ilyen feladatoknál is a megoldásfüggvényben szereplő négy állandó meghatározása a cél. Jelen esetben a következő 0x≥ esetére négy peremfeltételt tudjuk felhasználni erre a célra:

( / 2) 0, ( / 2) / 2, (0) 0, (0) 0.v L EIv L P EIv EIv′ ′′′ ′′ ′′′= = = = (12.75) Az innen adódó négyismeretlenes egyenletrendszer megoldása után a középső és a szélső pontok eltolódásai:

2 cos ch 2 cos( / 2) ch( / 2),

2 sin sh sin shC E

P L L P L Lv v

k L L k L L

β + β + β β β β= =

β + β β + β. (12.76)

A két elmozdulás arányában osztályozni lehet a rugalmas ágyazaton nyugvó gerendákat (lásd az ábrán feltüntetett függvényt):

4cos( / 2) ch( / 2)

2 cos chE

C

v L L

v L L

β β=

+ β + β. (12.77)

Azokat a gerendákat, amelyeknél:

a./ 1Lβ < , rövid gerendáknak nevezzük (a végpont elmozdulása közel egyenlő a középpontéval, a gerenda viselkedése merev), b./ 1 3L<β < , közepes hosszúságú gerendáknak nevezzük,


10.06.20. 201

c./ 3Lβ > , hosszú gerendáknak nevezzük (a végkeresztmetszet eltolódására már nincs jelentős hatással a középső erő). Ezt az osztályozást egyébként másféle terhek alkalmazása esetén is használják a mechanikában. Megjegyezzük, hogy egyes szerzők a határt a pontosság növelése érdekében 1 és 3 helyett 0,6-re illetve 5-re javasolják felvenni. D./ Egyenletes távolságokban rugalmasan alátámasztott gerenda

12.9. ábra: Pontonként alátámasztott gerenda Egyszerűsíti a számítást, ha a diszkrét rugórendszert folytonos ágyazással és így a diszkrét rugóerőket ( ii KvR = , K a rugóállandó) szakaszonként állandó megoszló

ágyazási reakcióval helyettesítjük (lásd a „b” ábrarész szaggatott vonallal megrajzolt szakaszai helyett feltüntetett folytonos görbét). Megjegyezzük, hogy részletesebb elemzéssel kimutatható, hogy ez a helyettesítés csak az )4/( βπ≤a korlát betartása esetén ad elfogadható pontosságú eredményeket. A helyettesítő állandó egyszerűen számítható:

.a

Kkqvkv

a

K

a

R=⇒=== (12.78)

12.2 Példa:

Határozzuk meg az ábrán látható nagyon hosszú gerenda egy tetszőleges pontjának elmozdulás-függvényét, illetve a maximális lehajlást. A gerenda keresztmetszete 10x15 cm méretű téglalap (10 cm a szélesség), anyagának rugalmassági modulusa 200 GPa. A terhelés 4 m hosszan működik, intenzitása 175 kN/m. A rugalmas ágyazás együtthatója k = 14 Mpa.


10.06.20. 202

12.10. ábra: Megoszló teherrel terhelt gerenda vizsgálata Egy tetszőleges A pont dxpPx = terhelés hatására létrejövő v∆ eltolódása183:

( )2

−β∆ = β β + βxp dxv e cos x sin x

k.

A teljes eltolódás integrálással számítható:

( ) ( )0 02 2

−β −β= β β + β + β β + β =∫ ∫a b

x xA

p dx p dxv e cos x sin x e cos x sin x

k k

( ) ( ) ( )4 42 22 2

−β −β= − β − β = − β − β a bp p

e cos a e cos b f a f b .k k

Az egyes paraméterek: 1

4/1

39

64/1

888,015,01,0102004

121014

4−=

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅=

=β mEI

k.

Vizsgáljuk az eltolódás értékét pontosan középen, így a és b értékei megegyeznek: a = b = 2 m, vagyis

.776,1,552,3 =β=β=β baL A legnagyobb eltolódás mindezek figyelembevételével:

( ) ( )1752 0 0345 0 0345 0 0129

2 14000= − − − − = ⋅maxv , , , m.

A megoszló reakció legnagyobb értéke:

./6,1800129,01014 6max mkNvk =⋅⋅=


1./ Ugural, A.C. – Fenster, S.K.: Advanced Strength and Applied Elasticity, Edward Arnold, 1984. 2./ Budynas, R.G.: Advanced Strength and Applied Stress Analysis, McGraw-Hill,1999. 3./ Kaliszky S. – Kurutzné K. M. – Szilágyi Gy.: Szilárdságtan, Egyetemi Tankönyv, 2000. 4./ Nayfeh, A. H. – Pai, P. F.: Linear and nonlinear structural mechanics, John Wiley, 2004.

183 Megjegyezzük, hogy itt az elemi hosszon ható megoszló terhet koncentrált erővel helyettesítettük és a (12.66)-os képletet alkalmaztuk.


10.06.20. 203

13. Előadás: Felületszerkezetek mechanikai modellezése. Lemezek alapvető egyenletei

A következő két előadás felületszerkezetek vizsgálatával foglalkozik. Először egy általános bevezetés segítségével bemutatjuk az ilyenkor használatos koordinátarendszereket184 és mechanikai változókat, majd ezek után a lemezek illetve héjak mechanikai alapegyenleteinek ismertetése következik. Megjegyezzük, hogy a vizsgált téma természetéből adódóan a tenzorjelölések mellett gyakran használunk mátrixokat is az egyenletek felírásánál. Általános megjegyzések: A./ Kezdeti görbületek185: Az ábrán a felületszerkezetek nemlineáris vizsgálatához szükséges koordinátarendszerek láthatók egy héjszerkezeti elemen illusztrálva. Az x,y,z görbe vonalú ortogonális rendszer a deformálatlan hivatkozási rendszert jelöli (az ábrán például x és y feszíti ki a deformálatlan felületet, z pedig merőleges rá). A vázlaton a ζηξ ,, bázis tartozik a deformált alakhoz (a

megváltozott állapotban ηξ és a terhelt felületelem tengelyei). A harmadik (a,b,c jelzésű) rögzített derékszögű globális koordinátarendszert elsősorban a kezdeti görbületek számítására fogjuk használni.

13.1. ábra: A kezdeti és a pillanatnyi állapothoz tartozó bázisok

Az egyes bázisoknál az alábbi egységvektor rendszereket használjuk: 184 Különösen fontosak lesznek ezek az alapfogalmak akkor, amikor a későbbikben nemlineáris hatások elemzésével is kiegészítjük az itt leírtakat. 185 Lásd a [ ]4 alatti honlapot és a „Függelék”-et.


10.06.20. 204

x,y,z cbacba iiiiiijjj ,,,,;,,,,;,, 321321 ⇒⇒ζηξ⇒ . (13.1)

A következő ábrán egy általános (elemi méretű) héjelem látható, a deformáció előtti és utáni állapotban. Az egyik pontnál berajzoltuk az eltolódások u,v,w értékét is. Megjegyezzük, hogy a „kalappal” jelölt bázisok a deformált rendszer további módosításához tartoznak (például amikor nyírási szögtorzulások hatását is figyelembe vesszük a mechanikai modellnél).

13.2. ábra: Héjelem a kezdeti és a pillanatnyi bázisban

Az ábrán kijelölt, a deformálatlan helyzethez tartozó „A” pont P helyzetvektorát ismertnek tételezzük fel, így teremtve kapcsolatot az a,b,c és az x,y,z rendszerek között: ,),(),(),( 321 cba yxpyxpyxp iiiP ++=

(13.2) ahol

( ) ( ) ( )

1 1 2 3 1 2 3

1 2 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2

3

P Pj i i i j i i i

j j j i i + i

,x a ,x b ,x c ,y a ,y b ,y c

,x ,y ,x ,y a ,x ,y ,x ,y b ,x ,y ,x ,y c

p p p , p p p ,x y

p p p p p p p p p p p p .

∂ ∂= = + + = = + +∂ ∂

= × = − + − −

(13.3)

Megjegyezzük, hogy ebben a fejezetben is használjuk a jobb alsó indexnél a deriválásra utaló vesszős szimbólumot. A bázisvektorok közötti kapcsolat mátrixok segítségével:

1 1 2 3

2 1 2 3

3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

j i

j= j i

j i

,x ,x ,x a

,y ,y ,y babc

,x ,y ,x ,y ,x ,y ,x ,y ,x ,y ,x ,y c

p p p

j T i p p p

p p p p p p p p p p p p

= = = − − −

. (13.4)

Az ortogonális transzformáló tenzort jelöltük most T-vel (mátrix alakban T ). Az x,y,z

rendszer bázisvektorainak deriváltjaira lesz szükségünk, ha az eredeti, deformálatlan szerkezet alakját jellemző, úgynevezett görbületi tenzorok előállításánál, ezért a következő lépésben ezek számítását mutatjuk be. Felhasználva a

0 m mj j j jj jj j j j j jm m n n

m m n m n m, ,x y x x y y

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂⋅ = ⋅ = ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (13.5)

összefüggéseket (az indexismétlések most nem jelentenek összegzést!), a következőt kapjuk:


10.06.20. 205

0 01 2, 0 , ahol

j j jK j K j ,

x y z

∂ ∂ ∂= ⋅ = ⋅ =

∂ ∂ ∂

(13.6)

0 01 1 1 2 1 3 5 1

00 0 01 2 2 2 3 5 611

0 03 1 3 2 3 3 1 61

0

0

01 2

j j j j j j

K j j j j j j

j j j j j j

,x ,x ,xT

,x ,x ,x

,x ,x ,x

k kT

K T k kx

k k

⋅ ⋅ ⋅ − ∂ ⇒ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = − − ∂ ⋅ ⋅ ⋅

, (13.7)

0 01 1 1 2 1 3 4 62

00 0 02 2 2 2 3 4 22

0 03 1 3 2 3 3 62 2

0

0

01 2

j j j j j j

K j j j j j j

j j j j j j

,y ,y ,yT

,y ,y ,y

,y ,y ,y

k kT

K T k ky

k k

⋅ ⋅ ⋅ −∂

⇒ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = − − ∂ ⋅ ⋅ ⋅

. (13.8)

A két 0K tenzort (mátrixot) kezdeti görbületi tenzornak (mátrixnak) nevezik a felületszerkezetek mechanikájában. Az egyes elemek részletesen:

310 3 1

1 1 3 3 1, 2, 3, 3, 2,1

( )j j

j j jj xx x y x y

j

Tk T p p p p p

x x x=

∂∂ ∂= ⋅ = − ⋅ = − = − − −

∂ ∂ ∂∑

2, 3, 1, 1, 3, 3, 1, 2, 2, 1,( ) ( )xx x y x y xx x y x yp p p p p p p p p p− − − − , (13.9) 3 3

2 20 03 32 22 2 3 3 61 2 3 3

1 1

, ,j jj j

j j j jj jj j

j j

T Tk T k T

y y y x x x= =

∂ ∂∂ ∂∂ ∂= ⋅ = − ⋅ = − = ⋅ = − ⋅ = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∑ ∑

3 31 10 03 1 2 1

62 1 3 3 5 1 2 21 1

, ,j j j j

j j j jj jj j

j j

T Tk T k T

y y y x x x= =

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= ⋅ = − ⋅ =− = ⋅ = − ⋅ =−

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∑ ∑

3

10 2 14 1 2 2

1

.j j

j j jj

j

Tk T

y y y=

∂∂ ∂= ⋅ = − ⋅ =−

∂ ∂ ∂∑

A görbületi mátrixok elemei közül 0 0 061 1 5,k k és k az első az x tengely (pontosabban –x) körüli

kezdeti csavarási görbületet, a másik kettő pedig az y illetve z tengelyek körüli kezdeti

spirális és hajlítási görbületet jelenti. Hasonlóan: 062k az y tengely körüli csavarási görbületet,

02k az –x körüli spirális, és 0

4k pedig a z körüli hajlítási görbületet jelöli.

Ha 0 0 0 061 62 4 5 0k k k k= = = = , akkor x és y tengelyeket főtengelyeknek, 0 0

1 2- -k t és k t pedig

főgörbületeknek nevezik. Megjegyezzük, hogy héjaknál és lemezeknél /j z∂ ∂ mindig zérus, mert az egyenes vonalú z tengely merőleges a hivatkozási felületre. Megjegyezzük, hogy mivel P a deformálatlan állapothoz tartozó „A” referenciapont helyzetvektora, ezért ha a deformálatlan felület elegendően sima, akkor

0 0, , 1 , 2 , 61 , 3 , 3 62és mivel illetve

PP P j P j P P j P jx y y x x y y x x yk k

x

∂= = = = ⇒ = − ⋅ = − ⋅ =

∂. (13.10)

B./ Síkbeli alakváltozások és a görbületek megváltozásai. Az előző pontban bemutatott (13.2) számú ábrán a referenciafelület egy elemét ábrázoltuk

alakváltozások előtti és utáni állapotban. A rajzon ˆ ˆésξ η jelöli x és y deformálódott

tengelyeit, ˆ ˆ1 2i iés pedig ˆ ˆésξ η tengelyek egységvektorait. Ha például 6γ -tal jelöljük a

síkbeli nyírási deformációt ( 6 61 62γ = γ + γ ), akkor kimondható, hogy ésξ η csak akkor

egyezik meg ˆ ˆésξ η tengelypárokkal, ha 6γ zérus.


10.06.20. 206

Az ábrán feltüntetett „A”, „B” és „C” sarokpontokhoz tartozó eltolódások az alábbi módon írhatók fel:

„A” 1 1 2 3 ,u j j ju v w⇒ = + + (13.11)

„B” 12 1 1

uu u udx

x

∂⇒ = + = +

∂

0 0 0 0 0 0, 5 1 1 , 5 61 2 , 1 61 3( ) ( ) ( )j j jx x xu vk wk v uk wk w uk vk dx + − + + + + + − − , (13.12)

„C” 13 1 1

uu u udy

y

∂⇒ = + = +

∂

0 0 0 0 0 0, 4 62 1 , 4 2 2 , 62 2 3( ) ( ) ( )j j jy y yu vk wk v uk wk w uk vk dy + − + + + + + − − . (13.13)

Ezekben a képletekben u, v és w az „A” referenciapont x, y és z irányú eltolódásait jelölik. Az ábrán látható élhossz-változások az előbbi képletek bemutatásával:

1 2 1j u uA B dx′ ′ = + − =

(13.14) 0 0 0 0 0 0

, 5 1 1 , 5 61 2 , 1 61 3(1 ) ( ) ( )j j jx x xu vk wk v uk wk w uk vk dx = + − + + + + + − − ,

2 3 1j u uA C dy′ ′ = + − =

(13.15)

0 0 0 0 0 0, 4 62 1 , 4 2 2 , 62 2 3( ) (1 ) ( ) .j j jy y yu vk wk v uk wk w uk vk dy = − + + + + + + − −

Jelöljük a ˆ ˆésξ η tengelyek irányába eső fajlagos alakváltozásokat 1 2e és e -vel:

1 1A B dx

edx

′ ′−= =− + (13.16)

0 0 2 0 0 2 0 0 2, 5 1 , 5 61 , 1 61(1 ) ( ) ( )x x xu vk wk v uk wk w uk vk+ + − + + + + + − − ,

2 1A C dy

edy

′ ′−= =− + (13.17)

0 0 2 0 0 2 0 0 2, 4 62 , 4 2 , 62 2( ) (1 ) ( )y y yu vk wk v uk wk w uk vk+ − + + + + + + − − .

Az alakváltozások segítségével most már az ˆ ˆ1 2i iés egységvektorok is számíthatók (a

„kalap” szimbólum az elforgatott koordinátarendszerre utal, lásd az előző oldalon levő ábrát):

ˆ 11 1 12 2 13 311

ˆ ˆ ˆ(1 )

i j j jA B

T T Te dx

′ ′= = + +

+, ˆ 21 1 22 2 23 32

2

ˆ ˆ ˆ(1 )

i j j jA C

T T Te dy

′ ′= = + +

+, (13.18)

ahol

0 0 0 0 0 0

, 5 1 , 5 61 , 1 6111 12 13

1 1 1

1ˆ ˆ ˆ, , ,1 1 1

x x xu vk wk v uk wk w uk vkT T T

e e e

+ − + + + − += = =

+ + + (13.19)

0 0

, 4 6221

2

ˆ ,1

yu vk wkT

e

− +=

+

0 0 0 0, 4 2 , 62 2

22 232 2

1ˆ ˆ,1 1

y yv uk wk w uk vkT T

e e

+ + + − −= =

+ +.

A nyírási deformáció (13.18) segítségével186:

1 1ˆ ˆ6 61 62 11 21 12 22 13 231 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆsin ( ) sin ( )i i T T T T T T− −γ = γ + γ = ⋅ = + + . (13.20)

Megjegyezzük, hogy a képletben szereplő 1sin− szimbólum azonos az arcsin jelöléssel. A két összetevő ( 61 62ésγ γ ) közötti kapcsolat a síkbeli nyírási alakváltozások dualitása

segítségével írható fel ( 12 21ε = ε ). Mivel

186 A ,ξ η bázis ortogonális, de a ˆ ˆ,ξ η bázis általában nem az, ezért ( )1 2

ˆ ˆ cos / 2i i⋅ = π − γ . Innen

adódik (13.20).


10.06.20. 207

12 1 61 21 2 62(1 ) sin / és (1 ) sin /e dx dx e dy dyε = + γ ε = + γ , (13.21)

így a két komponens közötti kapcsolati egyenlet:

1 61 2 62(1 )sin (1 )sine e+ γ = + γ . (13.22)

A deformált elemre merőleges harmadik egységvektor a másik kettő ismeretében számítható:

ˆ ˆ1 23 3 31 1 32 2 33 3

ˆ ˆ1 2

ˆ i ii i j j j

i iT T T

×= = = + +

×, (13.23)

ahol

31 12 23 13 22 0 32 13 21 11 23 0 33 11 22 12 21 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) / , ( ) / , ( ) / ,T T T T T R T T T T T R T T T T T R= − = − = − (13.24)

2 2 2ˆ ˆ0 12 23 13 22 13 21 11 23 11 22 12 21 61 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) cosi iR T T T T T T T T T T T T= − + − + − = × = γ .

Az ˆ ˆ1 2i iés valamint 3i egységvektorok felhasználásával felírható az x,y,z illetve , ,ξ η ζ

rendszerek közötti kapcsolat. Mátrixokkal:

11 12 13ˆ1 1 11

ˆ2 2 21 22 23 22

ˆ3 3 33 31 32 33

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ,

ˆ ˆ ˆ

i i j j

i i j j

i i j j

T T T

T T T T

T T T

= Γ⋅ = ⋅ = Γ⋅

(13.25)

ahol 1

61 61 62 61

62 62 62 61

66

cos sin 0 cos sin 01

sin cos 0 sin cos 0cos

0 0 1 0 0 cos

=

− γ γ γ − γ Γ γ γ = − γ γ γ γ

. (13.26)

Az irányvektorok változásait (a vektorok előbb megadott képleteit valamint a transzformáló mátrix ortogonalitási tulajdonságát – inverze egyenlő a transzponáltjával – kihasználva) az előző pontban bemutatott módon lehet kiszámítani. Mivel

0i i i ii i

i i i i i ij j j jk kj j k j k j, , ,

x y x x y y

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂⋅ = ⋅ = ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (13.27)

így a változásokat megadó deriváltak az alábbi módon számíthatók:

1 1 1 2 1 3

1 2 1 2 2 2 31

3 1 3 2 3 3

i i i i i ii

K i , i i i i i i

i i i i i i

,x ,x ,x

,x ,x ,x

,x ,x ,x

ahol Kx

⋅ ⋅ ⋅ ∂ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ∂

⋅ ⋅ ⋅

(13.28)

5 1

05 61 1

1 61

0

0

0

T T

k kT

k k T T K T .x

k k

− ∂ = − − = + ∂

1 1 1 2 1 3

2 2 1 2 2 2 32

3 1 3 2 3 3

i i i i i ii

K i , i i i i i i

i i i i i i

,y ,y ,y

,y ,y ,y

,y ,y ,y

ahol Ky

⋅ ⋅ ⋅∂ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ∂ ⋅ ⋅ ⋅

(13.29)

4 62

04 2 2

62 2

0

0

0

T T

k kT

k k T T K T .y

k k

− ∂ = − − = + ∂

A K mátrixok ismét a görbületeket tartalmazzák, de most a deformált állapotban adják meg ezek értékét. Az egyes elemek:


10.06.20. 208

30 0 01

1 3 1 3 21 61 22 1 23 51

ii m,x m

m

k T T T k T k T k ,x =

∂= − ⋅ = − − + +∂ ∑ (13.30)

30 0 02

2 3 2 3 11 2 12 62 13 41

ii m,y m

m

k T T T k T k T k ,y =

∂= − ⋅ = − + − −∂ ∑

30 0 02

61 3 2 3 11 61 12 1 13 51

ii m,x m

m


∂= − ⋅ = − + − −∂ ∑

3

0 0 0162 3 1 3 21 2 22 62 23 4

1

ii m,y m

m

k T T T k T k T k ,y =

∂= − ⋅ = − − + +∂ ∑

3

0 0 015 2 1 2 31 61 32 1 33 5

1

ii m,x m

m


∂= ⋅ = − + +∂ ∑

3

0 0 024 1 2 1 31 2 32 62 33 4

1

ii m,y m

m


∂= − ⋅ = − − + +∂ ∑

Megjegyezzük, hogy a fenti görbületek nem jelentenek valódi változásokat, hiszen a deriválást a deformálatlan dx és dy értékek alapján végeztük, és nem a ηξ és tengelyek mentén létrejövő valódi hosszakkal számoltunk. Ha ,0216261 ===γ=γ ee akkor 21 késk az ξ−η és körüli hajlítási görbületeket jelöli,

6261 késk a ηξ− és tengelyek körüli csavarási görbületeket adja meg, 54 késk pedig az

ξη és tengelyek ζ tengely szerinti „spirális” görbülete. C./ Ortogonális virtuális elfordulások A ζηξ ,, bázis i j egységvektorainak a iδΘ virtuális merevtestszerű elfordulások

következtében létrejövő variációi187:

1 3 2 1

2 3 1 2

3 2 1 3

0

0

0

i i

i i

i i

,

δ δΘ −δΘ δ = −δΘ δΘ δ δΘ −δΘ

ahol (13.31)

1 3 2 2 3 31 21 22 33 2332

2 1 3 3 1 11 31 12 32 13 33

3 2 1 1 2 21 11 22 12 23 13

i i i i

i i i i

i i i i

T T T T T T ,

T T T T T T ,

T T T T T T .

δΘ = ⋅δ =− ⋅δ = δ + δ + δ

δΘ = ⋅δ =− ⋅δ = δ + δ + δ

δΘ = ⋅δ =− ⋅δ = δ + δ + δ

(13.32)

C/1. Virtuális elfordulások a nyírási alakváltozások elhanyagolása esetén Vékony felületszerkezeteknél (az esetleges normálerők mellett) alapvetően a hajlítási hatások a jelentősek, a nyírási hatások kicsik és így elhanyagolhatók. Ez jelen esetben

066261 =γ=γ=γ feltételt jelenti és így:

,ˆ,ˆ, 22112211 iiii TTTTilletve ==== iiii (13.33)

valamint ΓΓΓΓ is egységmátrix lesz. Ha figyelembe vesszük, hogy ebben az esetben

187 A virtuális elfordulások számításánál felhasználtuk a ( )i i T j T jδ = Θ =Θ =δ összefüggést,

valamint a kiindulási bázisra érvényes 0jδ = feltételt. Ennek segítségével (13.32) végül Ti T Tδ =δ

módon számítható.


10.06.20. 209

1213

222

221

213

212

211 =++=++ TTTTTT (13.34)

feltétel is teljesül, akkor az él-alakváltozások variációiból a következőt kapjuk:

,)()()( 061

01,13

061

05,12

01

05,111 vkukwTwkukvTwkvkuTe xxx −−δ+++δ++−δ=δ (13.35)

0 0 0 0 0 02 21 , 4 62 22 , 4 2 23 , 62 2( ) ( ) ( )y y ye T u vk wk T v uk wk T w uk vkδ = δ − + + δ + + + δ − −

Írjuk fel 21 ii és variációit a transzformációs képletek variációinak segítségével:

1 1 11 2 12 3 13i j j jT T Tδ = δ + δ + δ = (13.36)

0 0 0 0 0 0, 5 1 1 , 5 61 2 , 1 61 3

1

1( ) ( ) ( )

1j j jx x xu k v k w v k u k w w k u k v

e = δ − δ + δ + δ + δ + δ + δ − δ − δ − +

11

1

,1

ie

e

δ−

+

2 1 21 2 22 3 23i j j jT T Tδ = δ + δ + δ = (13.37)

0 0 0 0 0 0, 4 62 1 , 4 2 2 , 62 2 3

2

1( ) ( ) ( )

1j j jy y yu k v k w v k u k w w k u k v

e = δ − δ + δ + δ + δ + δ + δ − δ − δ − +

22

21i

e

e

δ−

+.

Behelyettesítve ezeket a képleteket a virtuális elfordulásokra felírt

1 3 2 2 3 1,i i i iδΘ = ⋅δ δΘ = − ⋅δ összefüggésekbe és felhasználva az egységvektorokra és

variációikra felírt eddigi kapcsolati egyenleteket, a következőt kapjuk eredményül: 0 0 0 0

1 2 31 , 5 1 32 , 5 61(1 ) ( ) ( )x xe T u k v k w T v k u k w+ δΘ + δ − δ + δ + δ + δ + δ + (13.38)

0 033 , 1 61( ) 0 ,xT w k u k v+ δ − δ − δ =

0 0 0 02 1 31 , 4 62 32 , 4 2(1 ) ( ) ( )y ye T u k v k w T v k u k w− + δΘ + δ − δ + δ + δ + δ + δ +

(13.39) 0 0

33 , 62 2( ) 0 .yT w k u k v+ δ − δ − δ =

C/2. Virtuális elfordulások a nyírási alakváltozások figyelembevétele esetén Ha 6γ nem zérus, akkor a

2 2 2 2 2 211 12 13 21 22 13ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1T T T T T T+ + = + + = (13.40)

egyenlőség, valamint T elemeinek számítására alkalmazott képletekből kiindulva az élek nyúlásainak variációira az alábbi összefüggéseket tudjuk felírni:

1 11 11 12 12 13 13

2 21 211 22 22 23 23

ˆ ˆ ˆ ,

ˆ ˆ ˆ ,

e T t T t T t

e T t T t T t

δ = δ + δ + δ

δ = δ + δ + δ (13.41)

ahol 0 0 0 0

11 , 5 1 , 5 1(1 )x xt u vk wk u k v k wδ =δ + − + =δ − δ + δ , (13.42)

0 0 0 012 , 5 61 , 5 61( )x xt v uk wk v k u k wδ =δ + + =δ + δ + δ ,

0 0 0 013 , 1 61 , 1 61( ) ,x xt w uk vk w k u k vδ =δ − − =δ − δ − δ

0 0 0 021 , 4 62 , 4 62( ) ,y yt u vk wk u k v k wδ =δ − + =δ − δ + δ

0 0 0 022 , 4 2 , 4 2(1 ) ,y yt v uk wk v k u k wδ =δ + + + =δ + δ + δ

0 0 0 023 , 62 62 , 62 2( ) .y yt w uk vk w k u k vδ =δ − − =δ − δ − δ


10.06.20. 210

Írjuk fel most az ˆ ˆ1 2i iés egységvektorok variációit:

ˆ ˆ1 11 2 12 3 13 11 11

1( ) ,

1i j j j it t t e

eδ = δ + δ + δ − δ

+ (13.43)

ˆ ˆ1 21 2 22 3 23 22 22

1( ) .

1i j j j it t t e

eδ = δ + δ + δ − δ

+ (13.44)

Mivel ˆ ˆ6 1 2sin i iγ = ⋅ , variációja a szükséges helyettesítések után:

ˆ ˆ ˆ ˆ6 61 2 1 2( ) / cosi i i iδ γ = δ ⋅ + ⋅δ γ = (13.45)

21 6 11 11 22 6 12 12 23 6 13 13

6 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( sin ) ( sin ) ( sin )

cos (1 )

T T t T T t T T t

e

− γ δ + − γ δ + − γ δ= +

γ +

11 6 21 21 12 6 22 22 13 6 23 23

6 2


cos (1 )

T T t T T t T T t

e

− γ δ + − γ δ + − γ δ+

γ +.

Az egyes komponensek variációi:

2 62 6 61 1 62 261

1 61 2 62

(1 )cos sin sin,

(1 )cos (1 )cos

e e e

e e

+ γ δ γ − γ δ + γ δδ γ =

+ γ + + γ (13.46)

1 61 6 61 1 62 262

1 61 2 62

(1 )cos sin sin.

(1 )cos (1 )cos

e e e

e e

+ γ δ γ + γ δ − γ δδ γ =

+ γ + + γ (13.47)

Az elfordulások variációi végül (felhasználva a ˆ ˆ3 31 20i i =i i⋅ ⋅ = értéket):

61 62ˆ ˆ1 2 3 3 32 1

6 6

cos sin

cos cosi i i i i i

γ γδ Θ = δ ⋅ = δ ⋅ − δ ⋅ =

γ γ (13.48)

6131 21 32 22 33 23

6 2

cos( )

cos (1 )T t T t T t

e

γ= δ + δ + δ −

γ +62

31 11 32 12 33 13

6 1

sin( )

cos (1 )T t T t T t

e

γδ + δ + δ

γ +.

61 62ˆ ˆ2 1 3 3 32 1

6 6

sin cos

cos cosi i i i i i

γ γδ Θ = −δ ⋅ = δ ⋅ − δ ⋅ =

γ γ (13.49)

6131 21 32 22 33 23

6 2

sin( )

cos (1 )T t T t T t

e

γ= δ + δ + δ −

γ +62

31 11 32 12 33 13

6 1

cos( )

cos (1 )T t T t T t

e

γδ + δ + δ

γ +.

( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ3 1 2 2 1 62 61 1 2 2 16

1 1

2 2cosi i i i i i i iδ Θ = δ ⋅ −δ ⋅ = δ γ −δ γ + δ ⋅ −δ ⋅ =

γ (13.50)

21 6 11 11 22 6 12 12 23 6 13 13

6 1


2cos (1 )

T T t T T t T T t

e

− γ δ + − γ δ + − γ δ= −

γ +

11 6 21 21 12 6 22 22 13 6 23 2362 61

6 2


2cos (1 )

T T t T T t T T t

e

− γ δ + − γ δ + − γ δ− +δ γ −δ γ

γ + .

D./ A görbületek variációi A (13.48-13.50) alatti variációkat, valamint a (13.28), (13.29) és (13.31) alatti összefüggéseket figyelembe véve integráljuk ezen változók és egy tetszőleges m nyomaték szorzatát a deformálatlan „A” területű elemen (X és Y jelen esetben x és y peremértékeit jelentik)188:

188 Megjegyezzük, hogy mindegyik egyenletben alkalmaztunk parciális integrálást, lásd például (13.51)-ben 3 1, xmi i− δ tag átalakítását.


10.06.20. 211

1 1, 3 3 1,( )i i i ix x

A A

m k dx dy m dx dyδ = − ⋅δ − ⋅δ =∫ ∫ (13.51)

1, 3 3 1 3, 1 3 1 0i i i i i i i i

x X

x x xA y

mm m dx dy m dy

x

=

=

∂ = − ⋅δ + ⋅δ + ⋅δ − ⋅δ = ∂∫ ∫

5 1 2 61 3 2 0 ,x Xx

A y

mmk mk dx dy m dy

x==

∂ = δ Θ − δ Θ + δ Θ + δ Θ ∂∫ ∫

2 2, 3 3 2,( )i i i iy y

A A

m k dx dy m dx dyδ = − ⋅δ − ⋅δ =∫ ∫ (13.52)

2, 3 3 2 3, 2 3 2 0i i i i i i i i y Yy y y

A x

mm m dx dy m dx

y==

∂ = − ⋅δ + ⋅δ + ⋅δ − ⋅δ = ∂ ∫ ∫

4 2 1 62 3 1 0 ,y Yy

A x

mmk mk dx dy m dx

y==

∂ = δ Θ + δ Θ − δ Θ + δ Θ ∂ ∫ ∫

61 1 5 2 1 3 1 0

x X

xA A y

mm k dx dy mk mk dx dy m dy ,

x

=

=

∂ δ = δΘ + δΘ − δΘ − δΘ ∂ ∫ ∫ ∫ (13.53)

62 1 4 1 2 3 2 0

y Y

yA A x

mm k dx dy mk mk dx dy m dx ,

y

=

=

∂δ = − δΘ + δΘ + δΘ + δΘ ∂ ∫ ∫ ∫ (13.54)

4 3 2 2 62 1 3 0

y Y

yA A x

mm k dx dy mk mk dx dy m dx ,

y

=

=

∂δ = − δΘ − δΘ − δΘ + δΘ ∂ ∫ ∫ ∫ (13.55)

5 3 1 1 61 2 3 0

x X

xA A y

mm k dx dy mk mk dx dy m dy .

x

=

=

∂ δ = − δΘ − δΘ − δΘ − δΘ ∂ ∫ ∫ ∫ (13.56)

Ezeket az egyenleteket tömör mátrix formában is megadhatjuk (a képletekben I az

egységmátrix):

61 1 1

1 2 21

5 3 3 0

x X

A A y

x

km

m k dx dy I mK dx dy m dyx

k

=

=

−δ δΘ δΘ ∂ δ =− + δΘ + δΘ ∂ δ δΘ δΘ

∫ ∫ ∫ , (13.57)

2 1 1

62 2 22

4 3 3 0

y Y

A A x

y

km

m k dx dy I mK dx dy m dxy

k

=

=

−δ δΘ δΘ ∂ δ =− + δΘ + δΘ ∂ δ δΘ δΘ

∫ ∫ ∫ . (13.58)

Integrálva a fenti két egyenletet kapjuk a végeredményt:

61 1 1 2 1 1

1 2 1 2 62 2 2 2

5 3 3 4 3 3

k k

k K , k K .x y

k k

−δ δΘ δΘ −δ δΘ δΘ ∂ ∂ δ = δΘ − δΘ δ = δΘ − δΘ ∂ ∂

δ δΘ δΘ δ δΘ δΘ

(13.59)

A fenti egyenletek azt mutatják, hogy a görbületek variációi az eltolódásoktól, valamint azok első és második deriváltjaitól függenek:

, , , , , , , , , , , , , , ,, , , , , , , , , , , , , , , , ,j x x x y y y xx xx xx yy yy yy xy xy xyk u v w u v w u v w u v w u v w u v wδ ⇐ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ

E./ Lokális elmozdulások és a Jaumann-alakváltozások Az ebben a pontban közölt levezetések a későbbiekben a nemlineáris felületszerkezetei vizsgálatoknál lesznek fontosak, a lineáris elemzéseknél kihagyhatók.


10.06.20. 212

Az ábra az AB deformálatlan szakaszt, majd terhelés utáni új alakját ( BA ′′ ) ábrázolja. Az „A” és „B” pontok helyzetvektorai:

[ ]dxzkzkdxx

z AA

BBoA 20611

013 )1(, jjR

RRRjRR +++=

∂

∂+=+= , (13.60)

ahol 1jR=

∂

∂

xo . Az ábrán látható xd~ él-hosszt az alábbiak szerint számítjuk:

( )0 01 1 61 21

11R R j j jA B

ABdx dx , zk zk dx

dx = − =τ = = + + τ

%%%

, (13.61)

ahol

( ) ( )2 20 01 611 zk zkτ = + + . (13.62)

13.3. ábra: Görbült vonalszakasz kezdeti és deformált állapota

Megjegyezzük, hogy 1~1 jj = csak abban az esetben teljesül, ha 0

61k kezdeti csavarási görbület

értéke zérus. Az „A” pont elmozdulásvektora, illetve x szerinti deriváltja Voigt jelölésekkel: [ ] .33 jzizJwvuu −+= (13.63)

[ ] ( )01 1 1 61 2 1 1,x ,x ,x

uu v w J u v w K J z k i k i j j

x

∂= + + + + − τ ∂

% . (13.64)

A ξɶ tengely menti lokális alakváltozás (ismét tenzorjelöléssel):

1 1

11 1 1 1

11,

uu j u i

ui j i

dx dx dxx

dx x

∂ + + − ⋅ − ∂ ∂ε = = ⋅ + ⋅ −τ ∂

ɶ ɶ

ɶ ɶ ɶ

ɶ ɶ

ɶ (13.65)

ahol 1iɶ a ξɶ tengely irányába eső egységvektor. Ha a feladatnál elhanyagoljuk a nyírási

hatásokat, az A és B′ ′ pontok helyzetvektorai:

3 ,R R iA O z′ ′= + (13.66)

( )1 1 1 61 21R

R R R i iAB A Adx e zk zk dx

x′

′ ′ ′∂ = + = + + + + ∂

, (13.67)


10.06.20. 213

ahol

1 1/ (1 )R iO x e′∂ ∂ = + . (13.68)

Az előbb említett 1iɶértékét is ki tudjuk számítani ezeknek a helyzetvektoroknak a

segítségével:

( )1 1 1 61 21

11 ,

R -Ri i iB A e zk zk

A B′ ′ = = + + + τ′ ′

ɶɶ

(13.69)

ahol

2 21 1 61(1 ) ( )e zk zkτ = + +ɶ . (13.70)

Megjegyezzük, hogy ha a lokális elmozdulásokból keletkező lokális elfordulások hatása elhanyagolható, akkor az egységvektor képlete egyszerűsödik:

( )0 01 1 1 61 21

11i i ie zk zk = + + + τ

ɶ . (13.71)

Ez az egyszerűsítés lényegében a kis alakváltozások hatásának elfogadását jelenti. Ha az egységvektorra és elmozdulás-deriváltra kapott képleteket behelyettesítjük az 11ε

alakváltozásra felírt összefüggésbe, akkor a következőt kapjuk:

0 0 0 01 111 , 5 1 11 , 5 61 12

1(( ) ( )x x

e zku vk wk T v uk wk T

+ +ε = − + + + + +

ττɶ (13.72)

0 0 0 0 0 061, 1 61 13 1 11 , 5 1 21 , 5 61 22( ) ) (( ) ( )x x x

zkw uk vk T zk T u vk wk T v uk wk T+ − − + + + − + + + + +

ττɶ

0 0 0, 1 61 23 61 21 1 1 1 1( ) ) 1i j j ixw uk vk T zk T+ − − + + − ⋅ + ⋅ − =ɶ ɶ ɶ ɶ [ ]1 1

1 11

1e zk

e zk+ +

+ + +ττɶ

[ ]611 1 2 61(1 ) 1 1i i

zke zk

τ+ + ⋅ + − = −

ττ τɶ

ɶ.

Sorfejtés és elhanyagolások után az alábbi egyszerűsített változatát szokás használni a fenti képletnek:

[ ]0111111 )1( kekze +−+=ε . (13.73)

Megjegyezzük, hogy ebben az egyszerűsített változatban nem szerepel 061k , így a ξξ

~és

tengelyek menti tengelyirányú alakváltozások megegyeznek ( 11~ ii = ). Az ( 11 e+ ) tényezőre

azért van szükség, mert 1k nem valódi görbület ( 01k viszont igen), és t−ε11 a deformálatlan

hosszhoz viszonyítva definiáltuk. Ha 1e kicsiny ( 11 1 ≅+ e ), akkor a most felírt redukált alak még tovább egyszerűsíthető:

)( 011111 kkze −+=ε . (13.74)

Mivel a merevtestszerű mozgásokból nem keletkezik alakváltozás, a ζ tengelyt rögzíteni lehet, és a hozzá nagyon közeli pontok elmozdulásait az alábbi módon is fel lehet írni:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

01 1 2 20

02 2 1 10

03 3

u x, y,z,t u x, y,t z x, y,t x, y ,

u x, y,z,t u x, y,t z x, y,t x, y ,

u x, y,z,t u x, y,t .

= + Θ −Θ

= − Θ −Θ

=

(13.75)

Ezekben az egyenletekben ( )3,2,10 =iui azoknak a referenciapontoknak a lokális

koordinátarendszerhez viszonyított elmozdulásait jelenti, amelyek a referenciafelületen vannak. 21 ΘΘ és a megfigyelt héjelem ηξ és tengelyekhez viszonyított elfordulásait


10.06.20. 214

jelenti, 2010 ΘΘ és pedig ugyanezekhez a tengelyekhez viszonyított kezdeti elfordulás

értéke. Mivel a ζηξ ,, lokális koordinátarendszer a megfigyelt héjelemhez illesztett rendszer és a ηξ, sík érintősíkja a deformálódott referenciafelületnek, akkor erre a lineáris változatra felírhatók az alábbi összefüggések:

0 0 0 0 01 2 3 1 2 10 20 3 3 0u u u u / x u / y ,= = = Θ =Θ =Θ =Θ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = (13.76)

0 0 0 01 2 1 2

1 2 6

0 02 1 1 21 2 61 62 6 61 62

0 0 0 0 0 0 020 10 10 201 2 61 62 6 61 62

u u u ue , e , ,

x y y x

k , k , k , k , k k k ,x y x y

k , k , k , k , k k k .x y x y

∂ ∂ ∂ ∂= = γ = +∂ ∂ ∂ ∂

∂Θ ∂Θ ∂Θ ∂Θ= = − = − = = +∂ ∂ ∂ ∂

∂Θ ∂Θ ∂Θ ∂Θ= = − = − = = +∂ ∂ ∂ ∂

A felületszerkezetek vizsgálatánál használatos, úgynevezett Jaumann-féle alakváltozás a deformált rendszerhez tartozó lokális elmozdulásvektor segítségével az alábbi formában adható meg:

,)( 1101111332211 ε≡−+=⋅

∂

∂=ε⇒++= kkze

xuuu l

Jl iu

iiiu (13.77)

vagyis a Jaumann-féle alakváltozás megegyezik 11ε alakváltozás korábban számított értékével. Lemezek189 vizsgálata A továbbiakban bemutatjuk a lemezek kis geometriai változásokhoz tartozó, statikus és dinamikus hatásokat egyaránt figyelembe venni képes alapegyenleteit. Először azzal a modelltípussal foglalkozunk, amikor a nyírás hatását (a Bernoulli-Navier-gerendamodellhez hasonlóan) nem vesszük figyelembe, majd áttekintjük a nyírási hatások modellezési technikáját is. A./ Kirchhof-Love-féle „klasszikus” lemezmodell A vizsgálat során feltételezzük, hogy a deformálódott keresztmetszetek síkok maradnak és alakváltozás után is merőlegesek a referenciasíkra (ez a nyírás hatásának elhanyagolását jelenti).

A/1. Derékszögű négyszög alaprajzú lemezek A lemez mérete 0 0x a és y b≤ ≤ ≤ ≤ között változik. A 13.4. ábra a deformáció előtt és után egy elemi hasáb segítségével ábrázolja a változásokat (h a lemez vastagsága).

Egy tetszőleges pont (kicsiny) eltolódásai az alábbi módon számíthatók:

(13.78)

ahol u, v és w a referenciapont x, y és z irányú elmozdulásai. Az alakváltozások:

189 A lemez fogalmának mechanikai definícióját a BSc „Tartók Statikája” című tárgy adta meg.

1 2 , 2 1 , 3, , ,x yu u z u zw u v z v zw u w= + Θ = − = − Θ = − =


10.06.20. 215

(13.79)

13.4. ábra: Elemi hasáb deformáció előtt és után

1 212 , , ,2 ,y x xy

u uu v zw

y x

∂ ∂ε = + = + −

∂ ∂ 33 13 23 0 .ε = ε = ε =

A lemezelméletnek azt a változatát, amikor a fenti feltételeket elfogadjuk, Kirchhoff-Love190-modellnek (vagy más néven „klasszikus” modellnek) nevezzük. Az elmozdulásvektor és idő szerinti deriváltjai (a j egységvektorok az x ,y, z rendszerhez tartoznak) az alábbi egyenletekkel adhatók meg:

1 1 2 2 3 3 , 1 , 2 3, ( ) ( ) ,u j + j + j u= j j jx yu u u u zw v zw w= − + − +ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ (13.80)

illetve u variációja:

( ) ( ), 1 , 2 3u = j j jx yu z w v z w wδ δ − δ + δ − δ + δ . (13.81)

A gyorsulásvektor és az elmozdulás-variáció segítségével már felírható a rendszer kinetikus energiájának variációja a Hamilton-elv képletéhez:

0 1 , 0 1 , 0(( ) ( )u u x y

z A A

K dAdz I u I w u I v I w v I w wδ = − ρ ⋅δ =− − δ + − δ + δ +∫ ∫ ∫ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ (13.82)

2 , 1 , 2 , 1 ,( ) ( ) )x x y yI w I u w I w I v w dA+ − δ + − δ =ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ

0 1 , 0 1 , 0 2 , 1 , 2 , 1 ,( ) ( ) ( ) ( )x y x x y y

A

I u I w u I v I w v I w I w I u I w I v w dA − − δ + − δ + − − − − δ − ∫ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ

190

Augustus Edward Hough Love (1863 – 1940) angol fizikus, sokat foglalkozott szilárdságtani kérdésekkel. Kiváló mechanikai tankönyvei nagyban hozzájárultak a mérnökképzés színvonalának emeléséhez. Kirchhoff és Love életrajza és a lemezmodell létrejöttének történetét bemutató összefoglaló a Tanszék honlapján olvasható „Kirchoff, Love és a klasszikus lemezmodell” címen. A lap jobb oldalán látható kettőjük fényképe (baloldalt Kirchhoff).

1 211 , , 22 , ,, ,x xx y yy

u uu zw v zw

x y

∂ ∂ε = = − ε = = −

∂ ∂


10.06.20. 216

2 , 1 2 , 100

,y bx a

x yxy x y

I w I u wdy I w I uv wdx==

==

− − δ − − δ ∫ ∫ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ

ahol

[ ] 20 1 2 1 .

z

I I I z z dz = ρ ∫ (13.83)

Megjegyezzük, hogy 1 0I = , ha a sűrűség állandó, és a referenciasík megegyezik a

középsíkkal. Számítsuk ki most a potenciális energia variációját az alakváltozások segítségével191 (itt, és a további képletekben 3q a z irányú megoszló terhelést jelenti):

[ ]11 11 22 22 33 33 23 23 13 13 12 12 3t

z A A

dAdz q wdAδ Π = σ δ ε + σ δ ε + σ δ ε + σ δ ε + σ δ ε + σ δ ε − δ =∫ ∫ ∫

11 , , 22 , , 12 , , 3( ) ( ) ( 2 )x xx y yy y xy

A z A

u z w v z w u v z w dz dA q wdA = σ δ − δ + σ δ − δ + σ δ + δ − δ − δ = ∫ ∫ ∫

1 6 2 6 1 2 6 32x y y x xx yy xy

A

N u N u N v N v M w M w M w q w dA = − δ + δ + δ + δ − δ − δ − δ − δ = ∫

1, 6, 2, 6, 1, 2, 6, 3( ) ( ) ( 2 )x y y x xx yy xy

A

N N u N N v M M M q w dA = − + δ + + δ + + + − δ + ∫

1 6 1, 6, 1 , 0( 2 )

x a

x y x xy

N u N v M M w M w dy=

= + δ + δ + + δ − δ + ∫ (13.84)

( , ) (0,0),( , )6 2 2, 6, 2 , 6 ( , ) ( ,0),(0, )0

( 2 ) 2 ,y b x y a b

y x y x y a byx

N u N v M M w M w dx M w= =

== + δ + δ + + δ − δ − δ ∫

ahol

[ ] [ ] [ ] [ ]1 2 3 11 22 12 1 2 3 11 22 12

z z

N N N dz és M M M z dz= σ σ σ = σ σ σ∫ ∫ . (13.85)

13.5. ábra: Igénybevételek

A feszültségek és az alakváltozások kapcsolata mátrix alakban:

191 A jobb oldalon levő első integrál az általános alak, utána következik a jelenlegi modellnek megfelelő változat.


10.06.20. 217

1

211

622

112

2

6

2

2

,x

,y

,x ,xx,y ,x

, y , yy,xx

,y ,x ,xy,yy

,xy

uN

vNu w

u vND v z w D

wMu v w

wM

wM

σ + σ = − ⇒ = − σ + − −

% . (13.86)

Helyettesítsük be most a gerendamodellezésnél is használt Hamilton-féle variációs elv képletébe az eddig kiszámított energiavariációkat. Emlékeztetőül (lásd még az előző fejezetet illetve a „Függelék” D pontját):

( )0

0t

b k K dtδΠ + δΠ −δ =∫ . (13.87)

Ha a wésvu δδδ , elmozdulás-variációkat zérussal tesszük egyenlővé, továbbá a külső

potenciálnál figyelembe vesszük a lineáris csillapítás hatását is ( iµ csillapítási

együtthatókkal), akkor a következő három mozgásegyenletet kapjuk:

1 6 0 1 1

6 2 0 1 2

,x , y ,x

,x , y , y

N N I u I w u,

N N I v I w v,

+ = − +µ

+ = − +µ

&& && &

&& && & (13.88)

( ) ( )1 6 2 3 0 2 1 1 322,xx ,xy ,yy ,x , y,x , y

M M M q I w I w I u I w I v w .+ + = + − − − − +µ&& && && && && &

Ahogy azt már a gerendamodell bemutatásánál említettük, a fenti egyenletek tényleges megoldása során alkalmazott peremfeltételek a megoldási módszer típusától függenek:

1 6 1, 6, 1 2 ,0, 0 vagy ; 0 vagy ; 0 vagy 2 ;x y xx a u N v N w M M I u I w= ⇒ δ = δ = δ = + − +&& &&

, 1illetve 0 vagy .xw Mδ = (13.89)

6 2 2, 6, 1 2 ,0, 0 vagy ; 0 vagy ; 0 vagy 2 ;y x yy b u N v N w M M I v I w= ⇒ δ = δ = δ = + − +&& &&

, 2illetve 0 vagyyw Mδ = . (13.90)

( ) 6, (0,0),( , ),( ,0),(0, ) 0 vagyx y a b a b w M= ⇒ δ = (13.91)

A belső potenciális energia felírásánál az előző ábrán látható 21 QésQ keresztirányú nyíróerő-komponenseket is figyelembe vehetjük192. Ekkor a variáció függvénye:

1 , 6 , 2 , 6 , 1 , 2 ,(t x y y x xx yy

A

N u N u N v N v M w M wδΠ = δ + δ + δ + δ − δ − δ −∫ (13.92)

6 , 6 , 3 1 , 2 , 1 , 2 , )xy yx x y x yM w M w q w Q w Q w Q w Q w dA− δ − δ − δ + δ + δ − δ − δ =

1, 6, 2, 6, 1, 2, 3 1, 6, 1 ,( ) ( ) ( ) ( )x y y x x y x y x

A

N N u N N v Q Q q w M M Q w=− + δ + + δ + + − δ − + − δ −∫

2, 6, 2 , 1 6 1 6, 1 , 0( ) ) ( ( ) )

x a

y x y y x xy

M M Q w dA N u N v Q M w M w dy=

=− + − δ + δ + δ + + δ − δ +∫

( , ) (0,0),( , )

6 2 2 6, 2 , 6 ( , ) ( ,0),(0, )0( ( ) ) 2

y b x y a b

x y x y a byx

N u N v Q M w M w dx M w= =

==+ δ + δ + + δ − δ − δ∫ .

Ha ezt helyettesítjük be a Hamilton-féle variációs elv képletébe, és yx wéswwvu ,,,,, δδδδδ

variációk zérus értékét vesszük figyelembe, akkor az átalakított mozgásegyenletek új alakban:

192 A módosítás az összenergiát nem változtatja meg.


10.06.20. 218

1 6 0 1 1

6 2 0 1 2

1 2 3 0 3

6 2 2 2 1

1 6 1 2 1

,x , y ,x

,x , y , y

,x , y

,x ,y , y

,x , y ,x

N N I u I w u,

N N I v I w v,

Q Q q I w w,

M M Q I w I v,

M M Q I w I u.

+ = − +µ

+ = − +µ

+ = + +µ

− − + = −

+ − = − +

&& && &

&& && &

&& &

&& &&

&& &&

(13.93)

Az ehhez a változathoz illeszkedő peremfeltételek:

1 6 1 6, , 10, 0 vagy ; 0 vagy ; 0 vagy ; 0 vagy ,y xx a u N v N w Q M w M= ⇒ δ = δ = δ = + δ = (13.94)

6 2 2 6, , 20, 0 vagy ; 0 vagy ; 0 vagy ; 0 vagy ,x yy b u N v N w Q M w M= ⇒ δ = δ = δ = + δ = (13.95)

( ) 6, (0,0), ( , ), ( ,0), (0, ) 0 vagy .x y a b a b w M= ⇒ δ = (13.96)

Megjegyezzük, hogy ha a most bemutatott öt egyenlet közül az elsőt balról (vektoriálisan) megszorozzuk 1j × -tel, a másodikat ×2j -tel, a harmadikat ×3j -tel, a negyediket 1j × -tel és

az ötödiket ×2j -tel, majd összeadjuk őket és még hozzájuk adjuk a )( 663 NN −×j

zérusértékű tagot, akkor az átalakított egyenleteket az alábbi tömör mátrixegyenletek formájában írhatjuk fel:

1 2, ,F MF M

I j F j F IF Mx y x yβ βα α

α β

∂ ∂∂ ∂+ = + + × + × =

∂ ∂ ∂ ∂ (13.97)

ahol

1 1 6 2 1 3 6 1 2 2 3, ,F j j j F j j jN N Q N N Qα β= + + = + + 6 1 1 2 ,M j jM Mα = − +

(13.98)

2 1 6 2 2 , 1 1 2 , 1 2, ( ) ( ) ,M j j I j jM y xM M I w I v I w I uβ = − + = − + − +&& && && && (13.99)

0 1 , 1 1 0 1 , 2 2 3 0 3 3( ) ( ) ( ) .I j j jF x yI u I w u I v I w v q I w w= − +µ + − +µ + + +µ&& && & && && & && & (13.100)

Mivel ennél a „klasszikus” modellnél a keresztirányú nyírási alakváltozást zérusnak tételeztük fel, az öt mozgási alapegyenletből az utolsó kettő adja 21 QésQ értékét. Ezeket felhasználva:

2 2, 6, 2 , 1

1 1, 6, 2 , 1

,

.

y x y

x y x

Q M M I w I v

Q M M I w I u

= + + −

= + + −

&& &&

&& && (13.101)

Mivel az általunk most vizsgált lemez homogén – izotróp, ebben az esetben a feszültségek és a fajlagos igénybevételek az alábbi anyagi paraméterek segítségével számolhatók:

11 , ,

22 , ,2

12 , , ,

1 0

1 0 ,1

0 0 (1 ) / 2 2

x xx

y yy

y x xy

u wE

v z w

u v w

σ ν σ = ν − − ν σ − ν +

(13.102)

1 ,

2 ,2

6 , ,

1 0

1 0 ,1

0 0 (1 ) / 2

x

y

y x

N uEh

N v

N u v

ν = ν − ν − ν +

(13.103)

1 ,3

2 ,2

6 ,

1 0

1 0 .12(1 )

0 0 (1 ) / 2 2

xx

yy

xy

M wEh

M w

M w

ν =− ν − ν − ν

(13.104)


10.06.20. 219

Ha ezeket az igénybevétel-elmozdulás kapcsolati egyenleteket behelyettesítjük az első három

mozgásegyenletbe, akkor azok a következő alakot öltik ( 12/0 321 hIésI ρ== értékkel

számolva, mivel feltételezzük, hogy a sűrűség állandó és a referenciafelület a középsík): 3

, , 12

3

, , 22

1 1(1 ) (1 ) ,

1 2 2

1 1(1 ) (1 ) ,

1 2 2

xx xy yy

yy xy xx

Ehu v u hu u

Ehv u v hv v

+ + ν + −ν =ρ +µ − ν

+ + ν + −ν =ρ +µ − ν

&& &

&& &

(13.105)

33

3 , , 32

1( ) .

12(1 ) 12 xx yy

Ehw q hw h w w w∆∆ = −ρ + ρ + −µ

−ν&& && && &

A lemez síkjába eső és rá merőleges eltolódások ennél a modellnél függetlenek egymástól. Egyensúlyi feladatok esetén az első két egyenlet jobb oldala zérus, és a harmadiknál is csak a külső (általában megoszló) terheket kell figyelembe venni. Megjegyezzük, hogy ezeknél a feladatoknál az utolsó egyenletet szokás a klasszikus elmélet Kirchhoff-Love differenciálegyenletének nevezni. A/2. Különleges alaprajzok: kör alaprajzú lemezek

Az ábrán látható R sugarú, h vastagságú lemezt vizsgáljuk. 13.6. ábra: Kör alakú lemez Egy elemi méretű résznél193:

1 22 1

1 1, ,

j jj jdx dr dy r d

y r y r

∂ ∂= = Θ⇒ = = −

∂ ∂. (13.106)

A 3,21 jj,j bázisvektorok minden más térbeli deriváltja zérus. A kezdeti görbületek közül

193 A képlet levezetésénél vegyük figyelembe a (13.2) és (13.3) alatt leírtakat:

1 2cos sin cos sin , sin cosa b a b a bP r i r i j i i j r i r i= Θ + Θ → = Θ + Θ = − Θ + Θ , vagyis:

1

2

1sin cos ,a b

ji i j

r

∂= − Θ + Θ =

∂Θstb.


10.06.20. 220

00 0 0 0 0 01 2 61 62 5 41

10, 0, .k k k k k K k

r= = = = = = =

Az elmozdulásvektor:

( )1 1 2 2 3 3 , 1 , 2 3u = j j j j j jr

zu u u u zw v w w

r Θ + + = − + − +

. (13.107)

Deriváltjai:

, , 1 , , , 2 , 32( ) ,

uj j jr r r r r r

z zu zw v w w w

x r rΘ Θ

∂ = − + − + + ∂ (13.108)

, , , 1 , , , 2 , 3

1 1 1,

uj j jr r

z zu zw v w v w u zw w

y r r r r rΘ Θ Θ Θ ΘΘ Θ

∂ = − − + + − + − + ∂ (13.109)

, 1 , 2

1.

uj jrw w

z r Θ

∂= − −

∂ (13.110)

Az alakváltozások:

11 1 , ,

22 2 , , ,

12 2 1 , , , ,

33 13 23

,

1 1( ) ,

1 2(2 ) ,

0 .

uj

uj

u uj j

r rr

r

r r

u zwx

v u z w wy r r

v u v z w wx y r r

Θ ΘΘ

Θ Θ Θ

∂ε = ⋅ = −

∂∂ ε = ⋅ = + − + ∂

∂ ∂ ε = ⋅ + ⋅ = + − − − ∂ ∂ ε =ε = ε =

(13.111)

Az elmozdulásvektor idő szerinti második deriváltját illetve variációját helyettesítsük be a kinetikus energia előzőekben is használt képletébe:

0 1 , 0 1 , 0 2 , 1 ,

1(( ) ( ) ( )r r r

A

K I u I w u I v I w v I w w I w I u wr Θδ = − − δ + − δ + δ + − δ +∫ && && && && && && && (13.112)

2 , 1 ,

1 1( ) )I w I v w r dr d

r r Θ Θ+ − δ Θ =&& &&

0 1 , 0 1 , 0 2 , 1 ,

1 1(( ) ( ) ( ( )r r r

A

I u I w u I v I w v I w I rw I rur rΘ= − − δ + − δ + − − −∫ && && && && && && &&

2 , 1 , 2 , 1 2 , 100

1 1 1( ) ) )

or R

r

rr

I w I v w r dr d I w I u wr d I w I v wdrr r r

Θ=Θ=

Θ Θ ΘΘ=Θ =

− − δ Θ− − δ Θ− − δ ∫ ∫&& && && && && &&

.

Helyettesítsük be az alakváltozásokat is a potenciális energia függvényébe:

1 , 6 , 2 , 6 , 1 , 2 ,2

1 1 1(t r r rr

A

N u N u N v N v M w M wr r rΘ Θ ΘΘδΠ = δ + δ + δ + δ − δ − δ −∫

6 , 6 , 2 6 2 , 6 , 3 1 ,2

1 1 1 1 1 2r r r rM w M w N u N v M w M w q w Q w

r r r r r rΘ Θ Θ− δ − δ + δ − δ − δ + δ − δ + δ +

2 , 1 , 2 ,

1 1)rQ w Q w Q w r dr d

r rΘ Θ+ δ − δ − δ Θ =

1 , 6, 2 2, 6 , 6( ) ( )r r

A

rN N N u N rN N vΘ Θ= − + − δ + + + δ +∫


10.06.20. 221

1 , 2, 3 1 , 6, 1 2 , 2, 6, 2

1(( ) ) (( ) ) (r r r rrQ Q q w rM M rQ M w M rM rQ

rΘ Θ Θ+ + − δ − + − − δ − + − +

6 , 1 6 1 6, 1 ,

0

12 ) ) ( )

r R

rr

M w dr d N u N v Q M w M w r dr

=

Θ Θ=Θ

+ δ Θ+ δ + δ + + δ − δ Θ+ ∫ (13.113)

( , ) (0,0),( , )

6 2 2 6, 2 , 6 ( , ) ( ,0),(0, )0

1( ) 2 .

or R o

r r R or

N u N v Q M w M w dr M wr

Θ=ΘΘ = Θ

Θ Θ = ΘΘ=

+ δ + δ + + δ − δ − δ ∫

A feszültségkomponensek:

11 , ,

222 , , ,

212 , , , ,

( ) / ( ) /

( ) / (2 2 ) /

r rr

r

r r

u w

D v u r z w rw r

u rv v r rw w rΘ ΘΘ

Θ Θ Θ

σ σ = + − + σ + − −

. (13.114)

Az igénybevételek:

,1

,2

, ,6

,12

, ,22

, ,6

( ) /

( ) /

( ) /

(2 2 ) /

r

r

rr

r

r

uN

v u rN

u rv v rND

wM

w rw rM

rw w rM

Θ

Θ

ΘΘ

Θ Θ

+ + −

= − − + − −

% . (13.115)

Ha ismét behelyettesítjük az energiafüggvényeket a Hamilton-féle variációs elvbe és figyelembe vesszük rwéswwvu ,,,, δδδδδ Θ zérus voltát, akkor a következő

mozgásegyenleteket kapjuk a kör alakú lemezre:

61 1 20 1 , 1

1,r

NN N NI u I w u

r r r

∂∂ −+ + = − +µ

∂ ∂Θ&& && & (13.116)

6 62 10 , 2

21,

N NN II v w v

r r r r Θ

∂ ∂+ + = − +µ

∂ ∂Θ&& && & (13.117)

1 2 13 0 3

1,

Q Q Qq I w w

r r r

∂ ∂+ + = + +µ

∂ ∂Θ&& & (13.118)

6 62 22 , 1

21,

M MM IQ w I v

r r r r Θ

∂ ∂− − − + = −∂ ∂Θ

&& && (13.119)

61 1 21 2 , 1

1.r

MM M MQ I w I u

r r r

∂∂ −+ + − = − +

∂ ∂Θ&& && (13.120)

A peremfeltételek:

61 6 1

10, 0 ; 0 ; 0, ;

Mr a u vagy N v vagy N w vagy Q

r

∂= ⇒δ = δ = δ = +

∂Θ

, 10 .rw vagy Mδ = (13.121)

6 2 2 6,0, 0 ; 0 ; 0,o ru vagy N v vagy N w vagy Q MΘ= Θ ⇒δ = δ = δ = +

, 20w vagy MΘδ = . (13.122)

6( , ) (0,0), ( , ), ( ,0), (0, ) 0, .o or R R w vagy MΘ = Θ Θ ⇒ δ = (13.123)

Ha a lemez anyaga izotróp, akkor az igénybevételek számítása a klasszikus anyagi paraméterek segítségével adható meg:


10.06.20.

N u

N v u r

N u rv v r

M w

M w rw r

M rw w r

Ha ezeket az igénybevétel

és ötödik mozgásegyenletbe és figyelembe vesszük, hogy

elimináljuk QésetQ −1

hatásokra csak az inercia

12 1

Megjegyezzük, hogy itt természetesen a koordin

operátort kell alkalmaznunk (lásd a „

A/3. Általános alakú lemezek

Az ábrán látható lemez görbült határfelületének megfelelően ilyenkor y, z koordinátarendszert

YyXx ≤≤≤≤ 0,0 feltételeket. A kezdeti görbületek:

0 0 0 0 0 0 0 01 2 61 62 5 2 5 1 4 2 4 1k k k k k k k k= = = = = = − = = −

Az x,y,z rendszerben használt egységvektorok összes többi deriváltja zérus. Az elmozdulásvektor komponensei m

1 2 , 2 1 , 3u u z u zw u v z v zw u w= + Θ = − = − Θ = − =

Az elmozdulás-deriváltak a görbületek figyelembevételével:

, , 5 5 , 1 , , 5 5 , 2 , 3( ) ( )u

x xx y x yx x xu zw k v zk w v zw k u zk w wx

∂= − − + + − + − +

∂

1 ,

2 ,2

6 , ,

1 0

1 0 ( ) / ,1

0 0 (1 ) / 2 ( ) /

r

r

N uEh

N v u r

N u rv v rΘ

Θ

ν = ν + − ν − ν + −

1 ,

2 , ,2

6 , ,

1 0

1 0 ( ) / .1

0 0 (1 ) / 2 ( ) /

rr

r

r

M wEh

M w rw r

M rw w rΘΘ

Θ Θ

ν = ν + − ν − ν −

Ha ezeket az igénybevétel-elmozdulás függvényeket helyettesítjük be a harmadik, negyedi

és ötödik mozgásegyenletbe és figyelembe vesszük, hogy 01 ésI =tQ −2 , akkor az új mozgásegyenlet (az első kettő a vízszintes

hatásokra csak az inercia-tagoknál módosul):

( )3 3

3 32.

1212 1

Eh hw q hw w w

ρ∆∆ = −ρ + ∆ −µ

−ν&& && &

Megjegyezzük, hogy itt természetesen a koordinátarendszer típusának megfelelő poláris

operátort kell alkalmaznunk (lásd a „Függelék”-et: 2 2

2 2 2

1 1

r r r r

∂ ∂ ∂∆ = + +∂ ∂ ∂Θ

A/3. Általános alakú lemezek

13.7. ábra: Általános alakú lemez

Az ábrán látható lemez görbült határfelületének megfelelően ilyenkor koordinátarendszert célszerű használni. A határokra alkalmazzuk az

feltételeket. A kezdeti görbületek:

0 0 0 0 0 0 0 01 2 1 21 2 61 62 5 2 5 1 4 2 4 10, , , , .

j j j jj j j jk k k k k k k k

x x y y

∂ ∂ ∂ ∂= = = = = = − = = −

∂ ∂ ∂ ∂rendszerben használt egységvektorok összes többi deriváltja zérus. Az

elmozdulásvektor komponensei megegyeznek a derékszögű lemeznél bemutatottal:

1 2 , 2 1 , 3, , .x yu u z u zw u v z v zw u w= + Θ = − = − Θ = − =

deriváltak a görbületek figyelembevételével:

0 0 0 0, , 5 5 , 1 , , 5 5 , 2 , 3( ) ( )j j jx xx y x yx x xu zw k v zk w v zw k u zk w w= − − + + − + − +

Előadásvázlat

222

1 0 ( ) / ,

0 0 (1 ) / 2 ( ) /

N v u r

N u rv v r

(13.124)

22 , ,

2

1 0 ( ) / .

0 0 (1 ) / 2 ( ) /

M w rw r

M rw w r

(13.125)

elmozdulás függvényeket helyettesítjük be a harmadik, negyedik

12/32 hIés ρ= , valamint

(az első kettő a vízszintes

(13.126)

átarendszer típusának megfelelő poláris ∆ 2 2

2 2 2

1 1

r r r r

∂ ∂ ∂∆ = + +∂ ∂ ∂Θ

).

Az ábrán látható lemez görbült határfelületének megfelelően ilyenkor görbült ortogonális z, célszerű használni. A határokra alkalmazzuk az

0 0 0 0 0 0 0 01 2 1 21 2 61 62 5 2 5 1 4 2 4 10, , , , .

j j j jj j j jk k k k k k k k

x x y y= = = = = = − = = − (13.127)

rendszerben használt egységvektorok összes többi deriváltja zérus. Az egegyeznek a derékszögű lemeznél bemutatottal:

1 2 , 2 1 , 3, , .u u z u zw u v z v zw u w= + Θ = − = − Θ = − = (13.128)

, , 5 5 , 1 , , 5 5 , 2 , 3( ) ( )j j jx xx y x yx x xu zw k v zk w v zw k u zk w w= − − + + − + − +

,(13.129)


10.06.20. 223

0 0 0 0, , 4 4 , 1 , , 4 4 , 2 , 3( ) ( )

uj j jy xy y y yy x yu zw k v zk w v zw k u zk w w

y

∂= − − + + − + − +

∂, (13.130)

1 2

uj jx yw w

z

∂=− −

∂ . (13.131)


0 011 1 , 5 , 5 ,

0 022 2 , 4 , 4 ,

0 0 0 012 2 1 , , 4 5 , , 4 , 5 ,

( ) ,

( ) ,

( ) ,

uj

uj

u uj j

x xx y

y yy x

y x xy yx y x

u k v z w k wx

v k u z w k wy

u v k v k u z w w k w k wx y

∂ε = ⋅ = − − −

∂∂

ε = ⋅ = − − −∂

∂ ∂ε = ⋅ + ⋅ = + − + − + − +

∂ ∂

(13.132)

33 13 23 0 .ε = ε = ε =

A kinetikus energia variációja:

0 1 , 0 1 , 0 2 , 1 ,(( ) ( ) ( )x y x x

A

K I u I w u I v I w v I w w I w I u wδ =− − δ + − δ + δ + − δ +∫ && && && && && && && (13.133)

2 , 1 , 0 1 , 0 1 ,( ) ) (( ) ( )y y x y

A

I w I v w dA I u I w u I v I w v+ − δ =− − δ + − δ +∫&& && && && && &&

0 2 , 1 , 2 , 1 , 2 , 1 0( ) ( ) )

x X

x x y y x xy

I w I w I u I w I v w dA I w I u wdy=

= + − − − − δ − − δ − ∫&& && && && && && &&

2 , 1 0.

y Y

y yx

I w I v wdx=

= − − δ ∫ && &&

A potenciál variációja:

1 , 6 2 , 6 , 1 , 2 , 6 , 6 ,(t x y y x xx yy xy yx

A

N u N u N v N v M w M w M w M wδΠ = δ + δ + δ + δ − δ − δ − δ − δ +∫

0 0 0 0 0 0 0 0

4 2 4 6 4 2 , 4 6 , 5 6 5 1 5 6 , 5 1 ,x y x yk N u k N v k M w k M w k N u k N v k M w k M w+ δ − δ − δ + δ + δ − δ − δ + δ −

3 1 , 2 , 1 , 2 , )x y x yq w Q w Q w Q w Q w dA− δ + δ + δ − δ − δ =

0 0 0 0

1, 6, 4 2 5 6 2, 6, 4 6 5 1 1, 2, 3(( ) ( ) ( )x y y x x y

A

N N k N k N u N N k N k N v Q Q q w= − + − − δ + + + + δ + + − δ −∫

0 0 0 01, 6, 1 4 2 5 6 , 2, 6, 2 4 6 5 1 ,( ) ( ) )x y x y x yM M Q k M k M w M M Q k M k M w dA− + − − − δ − + − + + δ +

1 6 1 6, 1 , 0( ( ) )x Xy x x

y

N u N v Q M w M w dy==+ δ + δ + + δ − δ +∫

( , ) (0,0),( , )

6 2 2 6, 2 , 0 6 ( , ) ( ,0),(0, )( ( ) ) 2 .

x y X Yy Yx y y x y X Y

x

N u N v Q M w M w dx M w==

= =+ δ + δ + + δ − δ − δ∫ (13.134)

A feszültségek:

0 011 , 5 , 5 ,

0 022 , 4 4 ,

0 0 0 012 , , 4 5 , , 4 , 5 ,

x xx y

y yy x

y x xy yx y x

u k v w k w

D v k u z w k w

u v k v k u w w k w k w

σ − − σ = + − + σ + − + + − +

, (13.135)

és az igénybevételek:


10.06.20. 224

0, 51

0, 42

0 0, , 4 56

0, 5 ,1

0, 4 ,2

0 0, , 4 , 5 ,6

x

y

y x

xx y

yy x

xy yx y x

u k vN

v k uN

u v k v k uND

w k wM

w k wM

w w k w k wM

− + + − +

= − +

− − − − + −

% . (13.136)

A képletekben szereplő ésD Dɶ mátrixok az anyagi merevségeket, vagyis az

anyagmodelleket képviselik. Most is behelyettesítjük az energiafüggvények variációit a Hamilton-féle variációs elv képletébe, majd , ,, , , x yu v w w és wδ δ δ δ δ zérus értékét

figyelembe véve felírjuk az általános mozgásegyenleteket: 0 0 0 0

1, 6, 4 2 5 6 0 1 , 1 6, 2, 4 6 5 1,x y x x yN N k N k N I u I w u N N k N k N+ − − = − +µ + + + =&& && & (13.137)

0 1 , 2 1, , 3 0 3, ,y x yI v I w v Q Q q I w w= − +µ + = + +µ&& && & && & (13.138) 0 0

6, 2, 4 6 5 1 2 2 , 1 ,x y yM M k M k M Q I w I v− − − − + = −&& && (13.139) 0 0

1, 6, 4 2 5 6 1 2 , 1 .x y xM M k M k M Q I w I u+ − − − = − +&& && (13.140)

A szükséges peremfeltételek: (13.141)

1 6 1 6, , 1 ;0, 0, vagy ; 0 vagy ; 0 vagy ; 0 vagyy xx X u N v N w Q M w M= ⇒δ = δ = δ = + δ =

6 2 2 6, , 20, 0 vagy ; 0 vagy ; 0 vagy ; 0 vagy ,x yy Y u N v N w Q M w M= ⇒δ = δ = δ = + δ =

6( , ) (0,0),( , ),( ,0),(0, ) 0, vagy .x y X Y X Y w M= ⇒ δ =

Szorozzuk meg a mozgásegyenletek közül az elsőt (ismét vektoriálisan) ×1j -tel, a másodikat

×2j -tel, a harmadikat ×3j -tel, a negyediket ismét ×1j -tel, az ötödiket ×2j -tel, majd adjuk

össze az egyenleteket, kiegészítve az összeget a )( 663 NN −×j értékkel. Formailag

ugyanazokhoz a mátrixegyenletekhez jutunk, amelyeket a derékszögű négyszög lemezeknél már bemutattunk. A 21 QésQ nyíróerőket újból a két utolsó mozgásegyenletből határozhatjuk meg, így az első három egyenlet az u, v és w elmozdulásfüggvények meghatározására használhatók. A nyíróerők képletei:

,1,21056

04,6,22 vIwIMkMkMMQ yxy &&&& −++++= (13.142)

uIwIMkMkMMQ xyx &&&& 1,26052

04,6,11 −+−−+= . (13.143)

Fontos megjegyzés, hogy a derékszögű és köralakú lemezek egyenletei az itt bemutatott általános egyenletekből egyszerűsítéssel megkaphatók. Például

a./ négyszög lemezeknél 005

04 ==kk egyszerűsítés alkalmazható,

b./ köralakú lemezeknél pedig: 0 05 40, 1/ , , , ,k k r dx dr dy rd dA r dr d= = = = Θ = Θ

, , ,

( ) ( ) ( )1 1 1, , .i i i

i x i x i x

rN rQ rMN Q M

r r r r r r

∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂


10.06.20. 225

B./ Lemezmodell nyírási hatásokkal B/1. A vizsgálatnál alkalmazott görbevonalú koordinátarendszer Az ábrán egy elemi szál változása látható.

13.8. ábra: Nyírási hatások figyelembevétele

Az x,y,z görbevonalú bázis koordinátái 0 , 0x X y Y≤ ≤ ≤ ≤ határok között változnak. Egy tetszőleges pont elmozdulásainak számításánál most a nyírási hatást is figyelembe vesszük:

1 2 5 , 5

2 1 4 , 4

3

( ) ,

( ) ,

.

x

y

u u z g z u zw g

u v z g z v zw g

u w

= + Θ + γ = − + γ

= − Θ + γ = − + γ

=

(13.144)

A g(z) függvény – a nyírási hatásokat is figyelembe vevő gerendamodellekhez hasonlóan – a nyírási torzulásokat adja meg, 4 5ésγ γ pedig a nyírási szögelfordulás (lásd a következő

ábrát): 13.9. ábra: A nyírási torzulás

Az elmozdulásvektor deriváltjai:

0 0 0 0 0, , 5 5 , 5, 5 4 1 , , 5 5 ,( ) (

ujx xx y x x yx xu zw k v zk w g gk v zw k u zk w

x

∂= − − + + γ − γ + − + − +

∂


10.06.20. 226

04, 5 5 2 , 3)j jx xg gk w+ γ + γ + , (13.145)

0 0 0 0 0, , 4 4 , 5, 4 4 1 , , 4 4 ,( ) (

ujy xy y y y yy xu zw k v zk w g gk v zw k u zk w

y

∂= − − + + γ − γ + − + − +

∂

04, 4 5 2 , 3) ,j jy yg gk w+ γ + γ + (13.146)

, 5 , 1 , 4 , 2( ) ( ) .u

j jz x z yg w g wz

∂= γ − + γ −

∂ (13.147)


0 0 011 1 , 5 , 5 , 5, 5 4( ) ( ),

uj x xx y xu k v z w k w g k

x

∂ε = ⋅ = − − − + γ − γ

∂ (13.148)

0 0 022 2 , 4 , 4 , 4, 4 5

0 0 0 012 2 1 , , 4 5 , , 4 , 5 ,

( ) ( ),

( )

uj

u uj j

y yy x y

y x xy yx y x

v k u z w k w g ky

u v k v k u z w w k w k wx y

∂ε = ⋅ = + − + + γ + γ

∂

∂ ∂ε = ⋅ + ⋅ = + − + − + − + +

∂ ∂

0 0 04, 5, 5 5 4 4( ) ,x yg k k+ γ + γ + γ − γ

13 3 1 5 23 3 2 4 33, , 0 .u u u u

j j j jz zg gx z y z

∂ ∂ ∂ ∂ε = ⋅ + ⋅ = γ ε = ⋅ + ⋅ = γ ε =

∂ ∂ ∂ ∂

Az időszerinti deriváltak és az elmozdulás-variáció meghatározása után előállíthatók az energiavariációk:

0 1 , 3 5 0 1 , 3 4 0 2 , 1 4 5 ,(( ) ( ) ( )x y x x

A

K I u I w I u I v I w I v I w w I w I u I wδ = − − + γ δ + − + γ δ + δ + − − γ δ +∫ && && &&&& && && && && && &&

2 , 1 4 4 , 3 4 , 5 5 5 3 4 , 5 4 4( ) ( ) ( ) ) ,y y x yI w I v I w I u I w I I v I w I dA+ − − γ δ + − + γ δγ + − + γ δγ&& && &&&& && && && && && (13.149)

ahol

[ ] 23 4 5 .

z

I I I g zg g dz = ρ ∫ (13.150)

1 , 6 , 2 , 6 , 1 , 2 , 6 , 6 ,(t x y y x xx yy xy yx

A

N u N u N v N v M w M w M w M wδΠ = δ + δ + δ + δ − δ − δ − δ − δ +∫

0 0 0 04 2 4 6 4 2 , 5 1 , 1 , 2 , 1 , 2 , 3x y x y x yk N u k N v k M w k M w Q w Q w Q w Q w q wδ − δ − δ + δ + δ + δ − δ − δ − δ +

0 0 0 02 1 5 6 4 4 6 4, 2 4, 1 2 4 6 5 5 6 5,( ) ( )x y yq m k m k m m q m k m k m+ − − δγ + δ γ + δ γ + + + δγ + δ γ +

(13.151) 0 0 0 0

1 5, 1, 6, 4 2 5 6 2, 6, 4 6 5 1) (( ) ( )x x y y x

A

m dA N N k N k N u N N k N k N v+ δ γ = − + − − δ + + + + δ +∫

0 0 01, 2, 3 1, 6, 1 4 2 5 6 , 2, 6, 2 4 6( ) ( ) (x y x y x y xQ Q q w M M Q k M k M w M M Q k M+ + − δ − + − − − δ − + − + +

0 0 0 0 05 1 , 6, 2, 1 5 6 4 2 4 6, 1, 2 4 6 5) ( ) (y x y y xk M w m m m k m k q m m m k m k+ δ + + + + − δγ + + + + −

1 5 1 6 1 6, 1 , 1 5 6 4 0) ) ( ( ) )x Xy x x

y

q dA N u N v Q M w M w m m dy==− δ γ + δ + δ + + δ − δ + δ γ + δ γ +∫

( , ) (0,0),( , )

6 2 2 6, 2 , 2 4 6 5 0 6 ( , ) ( ,0),(0, )( ( ) ) 2

x y X Yy Yx y y x y X Y

y

N u N v Q M w M w m m dx M w==

= =+ δ + δ + + δ − δ + δ γ + δ γ − δ∫

Itt

[ ] [ ] [ ] [ ]1 2 6 11 22 12 1 2 , 13 23, z

z z

m m m g q q g dz= σ σ σ = σ σ∫ ∫ (13.152)

magasabbrendű komponenseket jelölnek.

A hajlítási és nyírási feszültségek:


10.06.20. 227

0 011 , 5 , 5 ,

0 022 , 4 , 4 ,.

0 0 0 012 , , 4 5 , , 4 , 5 ,

(x xx y

y yy xhajl

y x xy yx y x

u k v w k w

D v k u z w k w

u v k v k u w w k w k w

σ − − σ = + − + + σ + − + + − +

(13.153) 0

5, 5 4

04, 4 5

0 04, 5, 5 5 4 4

) ,x

y

x y

k

g k

k k

γ − γ

+ γ + γ γ + γ + γ − γ

23 4,.

13 5

.znyírD g

σ γ = σ γ

(13.154)


0, 51

0, 42

0 0, , 4 56

0, 5 ,1

0, 4 ,2

0 0, , 4 , 5 ,6

05, 5 41

04, 4 52

0 04, 5, 5 5 4 4

ˆ ,

x

y

y x

xx y

yy xh

xy yx y x

x

y

x y

u k vN

v k uN

u v k v k uN

w k wM

w k wDM

w w k w k wM

km

km

k km

− + + − +

− + − −= − − + − γ − γ γ + γ γ + γ + γ − γ

1 5

2 4

.ny

qD

q

γ = γ

) (13.155)

A különböző D mátrixok ismét az anyagmodelleket jelentik.

A Hamilton-féle variációs elv képletébe behelyettesített energia-variációknál 4 5 , ,, , , , , y xu v w w és wδ δ δ δγ δγ δ δ

zérussá tételéből hét darab mozgásegyenletet kapunk a csillapítás szokásos figyelembevételével:

0 01, 6, 4 2 5 6 0 1 , 3 5 1 ,x y xN N k N k N I u I w I u+ − − = − + γ +µ&&&& && & (13.156)

0 06, 2, 4 6 5 1 0 1 , 3 4 2 ,x y yN N k N k N I v I w I v+ + + = − + γ +µ&&&& && & (13.157)

1, 2, 3 0 3 ,x yQ Q q I w w+ = + +µ&& & (13.158) 0 0

6, 2, 1 5 6 4 2 5 4 3 4 , 4 4 ,x y ym m m k m k q I I v I w+ + + − = γ + − +µ γ&& &&& && (13.159) 0 0

1, 6, 2 4 6 5 1 5 5 3 4 , 5 5 ,x y xm m m k m k q I I u I w+ − − − = γ + − +µ γ&& &&& && (13.160) 0 0

6, 2, 4 6 5 1 2 2 , 1 4 4x y yM M k M k M Q I w I v I− − − − + = − − γ&&&& && , (13.161) 0 0

1, 6, 4 2 5 6 1 2 , 1 4 5 .x y xM M k M k M Q I w I u I+ − − − = − + + γ&&&& && (13.162)

A peremfeltételek: (13.163)

1 6 1 6, , 10, 0 ; 0 ; 0 ; 0 ;y xx X u vagy N v vagy N w vagy Q M w vagy M= ⇒δ = δ = δ = + δ =

4 6 5 10 ; 0 .vagy m vagy mδ γ = δ γ =

6 2 2 6, , 20, 0 ; 0 ; 0 ; 0 ;x yy Y u vagy N v vagy N w vagy Q M w vagy M= ⇒δ = δ = δ = + δ =

4 2 5 60 ; 0 .vagy m vagy mδ γ = δ γ =


10.06.20. 228

6( , ) (0,0), ( , ), ( ,0), (0, ) 0 .x y X Y X Y w vagy M= ⇒δ =

Ismét alkalmazhatjuk a korábbiakban szokásos beszorzást, összeadást valamint 3 6 6( )j N N× −

taggal való kiegészítést. Az első három egyenletet 1j × -tel, 2j × -tel illetve 3j × -tel szorozzuk,

majd a hatodik és hetedik egyenlet következik ( 1j × -tel és 2j × -tel szorozzuk őket).

A végső mátrixegyenlet formailag megegyezik a klasszikus derékszögű lemeznél bemutatottal, azzal a kivétellel, hogy az egyenletben szereplő FI és MI tartalma más:

0 1 , 3 5 1 1 0 1 , 3 4 2 2 3 0 3 3( ) ( ) ( ) ,I j j jF x yI u I w I u I v I w I v q I w w= − + γ +µ + − + γ +µ + + +µ&& &&&& && & && && & && &

(13.164)

2 , 1 4 4 1 2 , 1 4 5 2( ( )I )j jM y xI w I v I I w I u I= − − γ + + + γ&& &&&& && && && . (13.165)

A hatodik és hetedik egyenletet 1 2Q és Q számítására használhatjuk, így a maradék öt

egyenlet u,v,w valamint 4 5ésγ γ meghatározására szolgál. 1 2Q és Q jelen esetben az

egységnyi hosszra eső keresztirányú nyíróerő intenzitást jelenti:

[ ] [ ]1 2 13 23 ,z

Q Q dz= σ σ∫ (13.166)

vagyis geometriai átlagként kell őket figyelembe venni, míg 21 qésq energiaértelmű átlagot jelent ugyanarra a változóra. Ha g = z (vagyis elsőrendű vagy más néven lineáris nyírási elmélettel dolgozunk), akkor 1 1 2 2Q q és Q q= =

B/2. Négyszög és kör alaprajzú lemezek

Négyszög alakú lemezeknél 0 04 5 0k k= = feltétellel kell számolnunk. Kör alakú lemezeknél

kicsit összetettebb az átváltás: 0 05 40, 1/ , , ,k k r dx dr dy rd= = = = Θ (13.167)

illetve

, , , ,

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1, , ,i i i i

i x i x i x i x

rN rQ rM rmN Q M m

r r r r r r r r

∂ ∂ ∂ ∂= = = =

∂ ∂ ∂ ∂. (13.168)

Az alapegyenleteket felírjuk kör alaprajz esetére:

61 1 20 1 , 3 5 1

6 62 10 , 3 4 2

1,

21,

r

NN N NI u I w I u

r r rN NN I

I v w I vr r r r Θ

∂∂ −+ + = − + γ +µ

∂ ∂Θ∂ ∂+ + = − + γ +µ

∂ ∂Θ

&&&& && &

&&&& && &

(13.169)

1 2 13 0 3

1,

Q Q Qq I w w

r r r

∂ ∂+ + = + +µ

∂ ∂Θ&& &

6 62 42 5 4 , 3 4 4

61 1 21 5 5 4 , 3 5 5

21,

1,r

m mm Iq I w I v

r r r rmm m m

q I I w I ur r r

Θ

∂ ∂+ + − = γ − + +µ γ

∂ ∂Θ∂∂ −

+ + − = γ − + +µ γ∂ ∂Θ

&& &&& &&

&& &&& &&

6 62 22 , 1 4 4

61 1 21 2 , 1 4 5

21,

1.r

M MM IQ w I v I

r r r rMM M M

Q I w I u Ir r r

Θ

∂ ∂− − − + = − − γ∂ ∂Θ

∂∂ −+ + − =− + + γ

∂ ∂Θ

&&&& &&

&&&& &&

A peremfeltételek kör alaprajzú lemez esetén: (13.170)


10.06.20. 229

61 6 1 , 1

10, 0 vagy ; 0 vagy ; 0 vagy ; 0 vagy ;r

Mr a u N v N w Q w M

r

∂= ⇒δ = δ = δ = + δ =

∂Θ

4 6 5 10 vagy ; 0 vagy ,m mδγ = δγ =

0 6 2 2 6, , 20, 0 vagy ; 0 vagy ; 0 vagy ; 0 vagy ;ru N v N w Q M w MΘΘ = Θ ⇒δ = δ = δ = + δ =

4 2 5 60 vagy ; 0 vagy .m mδγ = δγ =

0 0 6( , ) (0,0),( , ),( ,0),(0, ) 0 vagy .r a a w MΘ = Θ Θ ⇒δ =

B/3 Különböző nyírási-torzulási függvények

Ha például a g(z) függvényt harmadrendű polinomnak választjuk, akkor az úgynevezett harmadrendű nyírási lemezelmélethez jutunk:

3

2

4( ) .

3

zg z z

h= − (13.171)

Ha a függvény lineáris, vagyis ( ) ,g z z= (13.172) akkor a lineáris nyírási lemezelméletről, más néven Reissner194-Mindlin195-Hencky-lemezmodellről beszélünk a mechanikában. Ennél a változatnál

23 4 13 5 1 1 2 2 1 1 2 2

6 6 3 1 4 5 2

, , , , , ,

, , .

q Q q Q m M m M

m M I I I I I

ε = γ ε = γ = = = =

= = = = (13.173)

A nyíróerők:

0 0

2 2, 6, 4 6 5 1 2 , 1 2 4 4 4

0 01 1, 6, 4 2 5 6 2 , 1 2 5 5 5

,

.

y x y

x y x

Q M M k M k M I w I v I

Q M M k M k M I w I u I

= + + + + − − γ −µ γ

= + − − + − − γ −µ γ

&& &&& &&

&& &&& &&(13.174)

Ha izotróp rétegekből álló szendvics lemezt kívánunk vizsgálni, akkor a réteges keresztmetszetű gerendánál alkalmazott technika segítségével lehet felépíteni g(z) függvényét. Ha például a gerendáknál bemutatott három rétegből álló metszetet tekintjük egy lemez felépítésének, akkor a keresett függvény:

2 3 3

2 2

3 8 19( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 3 3 3 3 3

h h z z h h zg z U z U z z U z U z z

h h h = + − + + + + + − − − +

(13.175)

2 3

2

3 8( ) ( ) ,

3 2 3

h h z zU z U z z

h h

+ − − − − +

ahol U(x) a Heaviside196-féle egységfüggvény ( 0 0( ) 1, , 0U t t ha t t egyébként értéke− = ≥ ).

Megjegyezzük, hogy rétegelt lemezeknél 54 γγ és között nemlineáris kapcsolatot szokás

feltételezni, de ezzel a hatással most nem foglalkozunk.

194 Eric Reissner (1913 - 1996) német származású amerikai tudós. Elsősorban az aeronautikában alkalmazható felületszerkezetek vizsgálatával foglalkozott. 195 Raymond David Mindlin (1906 – 1987) amerikai mechanikus és fizikus. A gyakorlati és elméleti mechanika számos területén alkotott jelentős műveket. Az ő fényképe látható ezen az oldalon. 196 Oliver Heaviside (1850 – 1925) angol villamosmérnök és matematikus. Komoly eredményeket ért el az elméleti villamosságtan kutatásában.


10.06.20. 230

Klasszikus lemez analitikus megoldása derékszögű négyszög alaprajz esetén.

Határozzuk meg egy derékszögű négyszög alaprajzú, a x b méretű, peremein csuklós megtámasztású lemez w(x,y) eltolódásfüggvényét. A lemez vastagsága állandó, anyaga izotróp és lineárisan rugalmas, a terhelés kvázi-statikus.

Az analitikus megoldást Navier javaslata alapján írjuk fel. Navier a keresett eltolódásfüggvényt végtelen sorok segítségével javasolta megadni:

( )1 1

mnm n

m x n yw x, y W sin sin

a b

∞ ∞

= =

π π= ∑ ∑ . (13.176)

A képletben szereplő nmW paraméterek ismeretlen állandókat jelentenek. A külső terhelést

szintén végtelen sor alakjában kell felírni, hogy a biharmonikus differenciálegyenlet teljes egészében átalakítható legyen:

( )1 1

, sin sinz mnm n

m x n yq x y P

a b

∞ ∞

= == ∑ ∑

π π. (13.177)

A nmP együtthatókat a tényleges terhelés adataiból a kettős Fourier197-

sorok segítségével lehet meghatározni: Segédlet a kettős Fourier-sorok alkalmazására Határozzuk meg egy (2a) x (2b) tartományon értelmezett és ismert f(x,y) függvény sorba fejtett alakjának nmF együtthatóit:

( )1 1

, sin sinmnm n

m x n yf x y F

a b

π π∞ ∞

= == ∑ ∑ . (13.178)

Szorozzuk be mindkét oldalt sink y

dyb

π függvénnyel, majd integráljuk y = 0-tól b-

ig: ( )1 10 0

, sin sin sin sinb b

mnm n

k y m x n y k yf x y dy F dy

b a b b

π π π π∞ ∞

= == ∑ ∑∫ ∫ . (13.179)

Az integrálásban ha

0

sin sin 0,b n y k y

n k dyb b

≠ ⇒ =∫π π

(13.180)

ha pedig

2

0

sin2

b n y bn k dy

b= ⇒ =∫

π. (13.181)

Megismételve a szorzást és az integrálást x irányban, az eredmény:

2

0

sin .2

a m x adx

a

π=∫ (13.182)

Így a függvény együtthatói a következőképpen számíthatók:

( )0 0

4, sin sin

a b

mnm x n y

F f x y dxdyab a b

π π= ∫ ∫ . (13.183)

197 Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) kiváló francia matematikus és fizikus. Elsősorban hőtani kutatásairól és az általa kidolgozott matematikai sorokról ismert. Arcképe látható ezen az oldalon.


10.06.20. 231

Ennek az eredménynek a felhasználásával sok gyakorlati terhelési esetre zárt alakban megadhatók a keresett nmP együtthatók. Például:

a./ Konstans terhelés:

02

16, ( , 1,3,5,...)mn

pp m n

mn= =π

b./ Lineáris megoszló teher:

02

8 cos( , 1,3,5,...)mn

p mp m n

mn= − =

π

π

c./ Parciális megoszló teher:

( )

02

16sin sin

sin sin2 2

, 1,2,3,...

mn

p m np

a bmnm c n d

a b

m n

=

⋅

=

πξ πη

π

π π

d./ Koncentrált erő:

( )4sin sin , 1,2,3,...mn

P m np m n

ab a b

πξ πη= =

e./ Féloldali parciális teher:


10.06.20. 232

( )

( )( )

02

02

8, 1,3,5,...

, 2,6,10,...16

1,3,5,...

mn

mn

pp m n

mn

mpp

nmn

π

π

= =

== =

f./ Élteher:

( )04sin , 1,2,3,...mn

p mp m n

an a

πξ

π= =

Ha a végtelen sorokkal felírt közelítést a lemez statikus vizsgálatához szükséges biharmonikus differenciálegyenletbe helyettesítjük, akkor a következő alakot kapjuk:

( )

4 4 2 2 4 4 4

4 2 2 4

22 2

42 2

4 22 2

2 2

2 1sin sin sin sin

, :

1,

mn mn

mnmn

mn

m m n n m x n y m x n yW P

a b D a ba a b b

PW így a megoldás

m nD

a b

Pw x y

D m n

a b

π π π π π π π

π

π

+ + =

= +

= +

1 1sin sin .

m n

m x n y

a b

π π∞ ∞

= =∑ ∑

(13.184)

A fenti egyenletben

( )3

212 1

EhD =

−ν. (13.185)

Az eltolódás függvényébe most már a terheléstől függő állandókat kell behelyettesítenünk. Az eltolódásfüggvény segítségével – további deriválásokkal – természetesen az igénybevételek is számíthatók:

( )

2 22

11 1

2 22

21 1

212

1 1

sin sin ,

sin sin ,

1 cos cos .

mnm n

mnm n

mnm n

m n m x n yM D W

a b a b

n m m x n yM D W

b a a b

mn m x n yM D W

ab a b

∞ ∞

= =

∞ ∞

= =

∞ ∞

= =

π π = π + ν

π π = π + ν

π π= −π − ν

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

(13.186)


10.06.20. 233


1./ Nayfeh, A. H. – Pai, P. F.: Linear and nonlinear structural mechanics, John Wiley, 2004. 2./ Szilard, R.: Theory and analysis of plates, Prentice Hall, 1974. 3./ Timoshenko, S. P. – Woinowsky-Krieger, S.: Lemezek és héjak elmélete, Műszaki Könyvkiadó, 1966. 4./ http://en.wikipedia.org/wiki/Curvature 5./ Thomas, G. B. – Weir, M. D. – Hass, J. – Giordano, F. R. : Thomas-féle Kalkulus, III. kötet, Typotex, 2007. 6./ Szőkefalvi N. Gy. – Gehér L. – Nagy P.: Differenciálgeometria, Műszaki Könyvkiadó, 1979.

14. Előadás: Rugalmas héjak alapvető mechanikai egyenletei

A héjak alapvetően abban különböznek a lemezektől, hogy rendelkeznek kezdeti görbülettel (kivéve az úgynevezett „síkhéj” mechanikai modellt, amely kis elmozdulások esetén egyszerűen a membrán- és lemez hatás nem kapcsolt összegzését jelenti). Szerepük már az ókortól kezdve igen jelentős volt a mérnöki alkotások között (gondoljunk akár a római Pantheon gyönyörű kupolájára – lásd az alábbi képet –, vagy a keleti építészet komplexen összefüggő térbeli szerkezeteire): A modern felületszerkezetek első változatai a XIX. század végén jelentek meg, először többnyire valamilyen térbeli acél merevítéssel ellátott üveg- vagy acélburkolatú héjként (ezeket az első változatokat sokan inkább a burkolt térbeli keretszer-kezetek közé sorolják), majd később, a XX. század közepétől már a merész ívelésű vasbeton héjak jelentették az „igazi” tervezési és kivitelezési kihívást a héjakat szeretők számára. A kezdeti változatok között megemlítjük az orosz Suhov198 1890-es években létrehozott hatalmas szerkezeteit (lásd a következő képeken a Nyizsnij-Novgorodban 1895-ban megépült óriási merevített

198 Vlagyimir Grigorjevics Suhov (1853 – 1939) orosz építőmérnök, elsősorban héjak, tartályok és nagyméretű térbeli szerkezetek tervezésével foglalkozott.


10.06.20. 234

héjat, vagy az 1897-ben ugyanott épült kettősen görbült felületszerkezetet (utóbbiról kivitelezés közben készült a kép)): A XX. század sok nagyszerű alkotása közül talán az egyik legszebbként a kiváló finn építész, Saarinen199 new-yorki repülőtéri csarnokát mutatjuk illusztráló példának, mellette egy gyönyörű (merevített) gömbhéj képe látható (egy amerikai Disney-parkban található): Rengeteg magyar és idegen nyelvű könyv foglalkozik a mérnöki héjszerkezetek matematikájával és mechanikájával, valamint a gyakorlati építés kérdéseivel. Külön felhívjuk a figyelmet az irodalomjegyzékben [ ] [ ]3 11− alatt felsorolt művekre. A honlapok

közül a [ ] [ ]6 és 7 alatti a legszebb alkotásokat és a legismertebb felületszerkezeti tervezőket

mutatja be, míg a [ ]8 alatt a héjakkal kapcsolatos legfrissebb kutatásokról olvashatók

hasznos információk. A továbbiakban – a lemezeknél már bemutatott alapelveket felhasználva – bemutatjuk az ismertebb héjelméletek alapvető egyenleteit, illetve néhány fontosabb héjszerkezet kezdeti görbületeinek számítását. Klasszikus (Kirchhoff-féle) lineáris héjelmélet

Az alábbi hat ábrán hat különböző geometriájú héjat láthatunk:

199 Eero Saarinen (1910 – 1961) finn építész, a XX. század egyik meghatározó építész egyénisége. Ő tervezte például a Missouri folyót Saint Louis-nál áthidaló hatalmas ívet is.


10.06.20. 235

- általános vezérgörbéjű hengerhéjat, - kör vezérgörbéjű hengerhéjat, - spirál alakban csavarodó héjat, - kónikus héjat, - vezérgörbével előállított hengerszimmetrikus héjat, illetve - gömbhéjat.

14.1. ábra: Általános és kör vezérgörbéjű hengerhéj

14.2. ábra: Spirál alakú héj és kónikus héj


10.06.20. 236

14.3. ábra: Hengerszimmetrikus héj és gömbhéj A héjszerkezetek más változatait is ábrázolhatnánk, egészen a teljesen szabálytalan alaprajzú és geometriájú kettősen görbült változatig. Mindegyikben közös, hogy a deformáció előtti referenciafelületüket x,y,z görbült ortogonális koordinátarendszerben ábrázoljuk 1 2 3j , j , j

egységvektorok segítségével (a z tengely mindig merőleges a referenciafelületre). Szükség lesz a,b,c inercia-rendszerre is ( i , i , ia b c bázisvektorokkal), a kettő között pedig a már

ugyancsak bemutatott T transzformációs tenzor írja le a kapcsolatot (lásd a 13. hét előadását). A./ Hengerhéjak Vizsgáljuk meg az első ábrán látható általános hengerhéjat. A héj felülete ebben az esetben egy úgynevezett generátorfüggvény transzformálásával állítható elő. A vezérgörbe egy tetszőleges pontjának P helyzetvektora a következőképpen adható meg:

( ) ( )

( ) ( )2 2 2 2, , , ,

,

így ,

P = i i

P

b cB C

dx dx dy d B d C d d B CΘ Θ Θ Θ

Θ + Θ

= = = Θ + Θ = Θ +. (14.1)

Az egységvektorok:

, ,1 2 3 1 22 2 2 2

, , , ,

, , .P

j i j i i j j ja b c

B C

y B C B C

Θ Θ

Θ Θ Θ Θ

∂= = = + = ×

∂ + + (14.2)

A transzformációs mátrix és a kezdeti görbületek mátrixa ezeknek az egységvektoroknak a segítségével előállítható. Ha a generátor kör (lásd a 14.1. ábra jobb oldali képét), akkor P értéke (r a héj sugara, h pedig egy x irányú távolság): P = i i ia b ch r sin r cos dx dh, dy r d ,+ Θ + Θ ⇒ = = Θ (14.3)

illetve az egységvektoroké: 1 2 3, cos sin , sin cos .j i j i i j i ia b c b c= = Θ − Θ = Θ + Θ (14.4)

A kezdeti görbületek az előző előadáson felírt összefüggések segítségével számíthatók:

0 0 0 0 0 01 61 5 62 4 2

10k k k k k , k .

r= = = = = = (14.5)

A spirális szerkezetű héjnál (14. 2. ábra bal oldali képe) a helyzetvektor: cos( ) sin( ) ( tan cot )P = i i ia b cr r r rΘ−Φ + Θ−Φ + Θ Ψ + Φ Ψ , (14.6)


10.06.20. 237

2 2

2 2

( ) ( tan ) ,cos

( ) ( cot ) .sin

rdx rd rd d

rdy rd rd d

= Θ + Θ Ψ = ΘΨ

= Φ + Φ Ψ = ΦΨ

(14.7)

Az egységvektorok:

1 sin( )cos cos( ) cos sin ,P

j i i ia b cx

∂= =− Θ−Φ Ψ + Θ−Φ Ψ + Ψ

∂ (14.8)

2 sin( )sin cos( )sin cos ,P

j i i ia b cy

∂= = Θ−Φ Ψ − Θ−Φ Ψ + Ψ

∂ (14.9)

.)sin()cos(3 ba iij Φ−Θ+Φ−Θ= (14.20)

A transzformációs tenzor előállításához szükséges kezdeti görbületek:

2 2

0 0 0 0 0 04 5 1 2 61 62

cos sin sin 20, , , .

2k k k k k k

r r r

Ψ Ψ Ψ= = = = = = − (14.21)

Felhívjuk a figyelmet, hogy ez az első – általunk tárgyalt – felületszerkezet, ahol 0 061 62ésk k

értéke nem zérus. B./ Kónikus héj

A kónikus héjnál (14. 2. ábra jobb oldali képe) a helyzetvektor, az egységvektorok, és a görbületek: 0sin cos sin sin ( cos ) , sin ,P = i i ia b cx x C x dx dx dy x dα Θ + α Θ + − α ⇒ = = α Θ (14.22)

1 sin cos sin sin cos ,P

j i i ia b cx

∂= = α Θ + α Θ − α

∂ (14.23)

2 sin cos ,P

j i ia by

∂= =− Θ + Θ

∂ (14.24)

.sinsincoscoscos213 cba iiijjj α+Θα+Θα=×= (14.25)

0 0 0 0 0 01 61 5 62 2 4

1 10, , .

tank k k k k k

x x= = = = = =

α (14.26)

C./ Vezérgörbével generált forgásszimmetrikus héj

A 14.3 ábra bal oldali képén látható héjnál a pozícióvektor és az egységvektorok:

2 2 2,sin cos , ( ) ( ) 1 ,P = i i ia b c aa r r dx da dr da r+ Θ + Θ ⇒ = + = + (14.27)

, ( ( )),dy r d itt r r a= Θ =

1 , ,2,

1( sin cos ) ,

1

Pj i i ia a b a c

a

r rx r

∂= = + Θ + Θ

∂ + (14.28)

2 cos sin ,P

j i ib cy

∂= = Θ − Θ

∂ (14.29)

.)cossin(1

1,

2,

213 cbaa

a

rr

iiijjj Θ+Θ+−+

=×= (14.30)

A transzformációs mátrix és kezdeti görbületek ezek felhasználásával az eddig is használ alapelveknek megfelelően számolhatók.


10.06.20. 238

D./ Gömbhéj

A helyvektor, az egységvektorok és a görbületek (a 14.3. ábra jobb oldali vázlatán látható a héj képe):

sin cos sin sin cos , , sin ,P = i i ia b cr r r dx r d dy r dΘ Φ + Θ Φ + Θ ⇒ = Θ = Θ Φ (14.31)

1 cos cos cos sin sin ,P

j i i ia b cx

∂= = Θ Φ + Θ Φ − Θ

∂ (14.32)

2 sin cos ,P

j i ia by

∂= =− Φ + Φ

∂ (14.33)

.cossinsincossin213 cba iiijjj Θ+ΦΘ+ΦΘ=×= (14.34)

0 0 0 0 0 061 5 62 1 2 4

1 1 10, , , .

tank k k k k k

r r r= = = = = =

Θ (14.35)

E./ Kettősen görbült (általános) héj

Általános esetre is a 13. hét előadásán bemutatott kezdeti görbületeket kell kiszámítanunk, ha a héj további elemzését akarjuk elvégezni. Vizsgáljunk egy állandó h vastagságú, 0 , 1x y Y≤ ≤ ≤ ≤ tartományban elhelyezkedő héjat. Egy tetszőleges pontjának eltolódásvektora: 1 1 2 2 3 3 2 1 1 2 3( ) ( ) .u = j j + j j j ju u u u z v z w+ = + Θ + − Θ + (14.36)

A képletben u, v és w a három tengely irányában létrejövő eltolódások értéke, 1 2ésΘ Θ

pedig a deformálódott állapothoz tartozó két elfordulás. Az elfordulások értelmezését segíti az alábbi ábra:

14.4. ábra: Az elfordulások értelmezése


10.06.20. 239

A kezdeti görbületek miatt 1 , 2 , ,y xw és wΘ ≠ Θ ≠ bár az elfordulásokat jelen vizsgálatban

kicsinek tételezzük fel. Így az ábra (és az előző előadás 13.19 alatti egyenletei) alapján a lineáris tagok figyelembevételével:

1 1 0 023 231 , 62 2

22 22

ˆtan tan ,

ˆ y

T Tw u k vk

T T− −Θ = = = − − (14.37)

1 1 0 013 132 , 1 61

11 11

ˆtan tan

ˆ x

T Tw u k vk

T T− −Θ = − =− = − + + . (14.38)

Az előzőekhez hasonlóan a 1tan− szimbólum az arctan jelöléssel egyenértékű. Az elmozdulásvektor deriváltjai:

0 0 0 0 0 0, 2, 5 1 5 1 , 1, 5 2 5 611 2

( ) ( )u

j jx x x xu z vk z k wk v z uk z k wkx

∂= + Θ − + Θ + + − Θ + + Θ + +

∂

0 0 0 0, 1 2 1 61 1 61 3

( ) .jxw uk z k vk z k+ − − Θ − + Θ (14.39)

0 0 0 0 0 0, 2, 4 1 4 62 , 1, 4 2 4 21 2

( ) ( )u

j jy y y yu z vk z k wk v z uk z k wky

∂= + Θ − + Θ + + − Θ + + Θ + +

∂

0 0 0 0, 62 2 62 2 1 2 3

( ) ,jyw uk z k vk z k+ − − Θ − + Θ (14.40

2 1 1 2 .u

j jz

∂=Θ −Θ

∂ (14.41)

Az alakváltozások: (14.42)

0 0 011 1 , 5 1 2, 5 1

0 0 022 2 , 4 2 1, 4 2

0 0 0 0 012 2 1 , , 4 5 6 2, 1, 4 1 5 2

( ) ,

( ) ,

( ) ,

uj

uj

u uj j

x x

y y

y x y x

u k v k w z kx

v k u k w z ky

u v k v k u k w z k kx y

∂ε = ⋅ = − + + Θ + Θ

∂∂

ε = ⋅ = + + + −Θ + Θ∂∂ ∂

ε = ⋅ + ⋅ = + − + + + Θ −Θ + Θ + Θ∂ ∂

0 0 0 033 13 61 1 1 2 23 2 1 62 20, ( ), ( ) .z k k z k kε = ε = Θ − Θ ε = Θ − Θ

A fenti alakváltozás-komponensek felírásánál feltételeztük a 2/06

062

061 kkk ==

egyenlőséget, ami a lineáris héjelmélet sima és deformálatlan felületeire igaz. Mivel a keresztirányú nyírási deformációkat az ún. klasszikus elméletben zérusnak tekintik, így

0 0 0 013 61 1 1 2 23 2 1 62 2( ) ( ) 0.z k k z k kε = Θ − Θ =ε = Θ − Θ = (14.43)

Az elmozdulásvektor idő szerinti deriváltjait illetve variációját felírva kiszámíthatjuk a kinetikus energia variációját:

0 1 2 0 1 1 0(( ) ( )u u A z A

K dz dA I u I u I v I v I w wδ = − ρ ⋅δ = − + Θ δ + − Θ δ + δ +∫ ∫ ∫ ɺɺ ɺɺɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ (14.44)

2 2 1 2 2 1 1 1( ) ( ) ) ,I I u I I v dA+ Θ + δ Θ + Θ − δ Θɺɺ ɺɺɺɺ ɺɺ

ahol 210 , IésII értékeit már a 13. heti előadáson meghatároztuk.

A belső potenciál is felírható a korábbi lemezfeladatokhoz hasonlóan: (14.45)

11 11 22 22 12 12 1 , 6 , 2 , 6 ,( ) (b x y y x

A z A

dz dA N u N u N v N vδ Π = σ δε + σ δε + σ δε = δ + δ + δ + δ +∫ ∫ ∫0 0

1 2, 2 1, 6 2, 6 1, 4 2 4 6x y y xM M M M k N u k N v+ δ Θ − δ Θ + δ Θ − δ Θ + δ − δ + 0 0 0 0 0 04 2 2 4 6 1 5 6 5 1 5 6 2 5 1 1k M k M k N u k N v k m k M+ δ Θ + δ Θ + δ − δ + δ Θ + δ Θ +


10.06.20. 240

0 0 01 1 2 2 6 6 1 2 2 1 1 2 2 1)k N w k N w k N w Q Q Q Q dA+ δ + δ + δ + δ Θ − δ Θ − δ Θ + δ Θ =

0 0 0 0 01, 6, 4 2 5 6 1 1 62 2 2, 6, 4 6(( ) (x y y x

A

N N k N k N k Q k Q u N N k N= − + − − + + δ + + + +∫

0 0 0 0 0 05 1 61 1 2 2 1, 2, 1 1 2 2 6 6 1, 6,) ( ) (x y x yk N k Q k Q v Q Q k N k N k N w M M+ + + δ + + − − − δ + + −

0 0 0 01 4 2 5 6 2 2, 6, 2 4 6 5 1 1) ( ) )y xQ k M k M M M Q k M k M dA− − − δ Θ − + − + + δ Θ +

0 01 62 6 6 2 6 1 6, 1 2 0(( ) ( ) ( ) )x X

y x

y

N k M u N k M v Q M w M dy==+ + δ + + δ + + δ + δ Θ +∫

0 06 1 6 2 61 6 2 6, 2 1 0(( ) ( ) ( ) ) y Y

x y

x

N k M u N k M v Q M w M dx==+ + δ + + δ + + δ − δ Θ −∫

( , ) (0,0),( , )6 ( , ) ( ,0),(0, )2 .x y X Y

x y X YM w ==− δ

Az anyagmodell egyenlete:

0 0 011 , 5 1 2, 5 1

0 0 022 , 4 2 1, 4 2

0 0 0 0 012 , , 4 5 6 2, 1, 4 1 5 2

.x x

y y

y x y x

u k v k w k

D v k u k w z k

u v k v k u k w k k

σ − + Θ + Θ σ = + + + −Θ + Θ σ + − + + Θ −Θ + Θ + Θ

(14.46)

Az igénybevételek az anyagmodell segítségével: 0 0

, 5 11

0 0, 4 22

0 0 0, , 4 5 66

02, 5 11

01, 4 22

0 02, 1, 4 1 5 26

.

x

y

y x

x

y

y x

u k v k wN

v k u k wN

u v k v k u k wND

kM

kM

k kM

− + + + + − + + = Θ + Θ −Θ + Θ Θ −Θ + Θ + Θ

ɶ (14.47)

Az eddig alkalmazott módszert követve a Hamilton-féle variációs elvet használjuk fel a mozgásegyenletek előállítására:

0 0 0 01, 6, 4 2 5 6 1 1 62 2 0 1 2

0 0 0 06, 2, 4 6 5 1 61 1 2 2 0 1 1

,

,

x y

x y

N N k N k N k Q k Q I u I

N N k N k N k Q k Q I v I

+ − − + + = + Θ

+ + + + + = − Θ

ɺɺɺɺ

ɺɺɺɺ (14.48)

0 0 01, 2, 1 1 2 2 6 6 0 ,x yQ Q k N k N k N I w+ − − − = ɺɺ

0 02, 6, 4 6 5 1 2 2 1 1

0 01, 6, 4 2 5 6 1 2 2 1

,

.

y x

x y

M M k M k M Q I I v

M M k M k M Q I I u

− − − − + = Θ −

− − − − = Θ +

ɺɺ ɺɺ

ɺɺ ɺɺ

A peremfeltételek:

0 01 62 6 6 2 60, 0 vagy ; 0 vagy ;x X u N k M v N k M= ⇒ δ = + δ = + (14.49)

1 6, 2 10 vagy ; 0, vagy .yw Q M Mδ = + δΘ =

0 06 1 6 2 61 60, 0 vagy ; 0 vagy ;y Y u N k M v N k M= ⇒ δ = + δ = +

2 6, 1 20 vagy ; 0, vagy .xw Q M Mδ = + δΘ =

6( , ) (0,0),(0, ),( ,0),( , ) 0 vagy .x y Y X X Y w M= ⇒ δ =

Szorozzuk meg a mozgásegyenletek közül az elsőt ×1j -tel, a másodikat ×2j -tel, a

harmadikat ×3j -tel, a negyediket ismét ×1j -tel, az ötödiket ×2j -tel, majd adjuk össze őket


10.06.20. 241

és használjuk fel a 13. előadáson a j egységvektorok deriváltjaira bemutatott összefüggéseket. A következő tömör formájú mátrixegyenletekhez jutunk:

,

FFIFx y

βα ∂∂+ =

∂ ∂ 1 2 ,

MMj F j F IMx y

βαα β

∂∂+ + × + × =

∂ ∂ (14.50)

ahol

1 1 6 2 1 3 6 2 2, ,1 2 3F j j j F j j jN N Q N N Qα β= + + = + + (14.51)

6 1 1 2 2 1 6 2, ,M j j M j jM M M Mα β= − + = − + (14.52)

0 1 2 1 0 1 1 2 0 3( ) ( ) ,I j j jF I u I I v I I w= + Θ + − Θ +ɺɺ ɺɺɺɺ ɺɺ ɺɺ (14.53)

2 1 1 1 2 2 1 2( ) ( ) .I j jM I I v I I u= Θ − + Θ +ɺɺ ɺɺ ɺɺ (14.54)

Megjegyezzük, hogy a második mátrixegyenletből hiányzó tagot (a „z” tengely körüli nyomatéki egyensúlyt kifejező tagot) a linearitás miatt szokták kihagyni, ezért az innen hiányzó 3j egységvektor együtthatóját nullának feltételezzük:

0 0 0 06 6 1 6 2 6 62 2 61 1 0 .N N k M k M k M k M− + − + − = (14.55)

A keresztirányú nyíróerőket ( 1 2- -Q et és Q t ) most a negyedik és ötödik mozgásegyenletből

lehet kifejezni:

0 02 2, 6, 4 6 5 1 2 1 1

0 01 1, 6, 4 2 5 6 2 2 1

,

.

y x

x y

Q M M k M k M I I v

Q M M k M k M I I u

= + + + + Θ −

= + − − − Θ −

ɺɺ ɺɺ

ɺɺ ɺɺ (14.56)

F./ Mozgásegyenletek kör vezérgörbéjű hengerhéjnál

Megismételjük a hengerhéjaknál már megadottt paramétereket:

0 0 0 0 0 01 61 5 62 4 2

10dy a d , k k k k k , k ,

a= Θ = = = = = =

(14.57) ahol most az a paraméter jelenti a hengerhéj sugarát. Az elfordulások (az általános, kettősen görbült héjalaknál megadott szögelfordulási képletből kiindulva):

1 , 2 ,, .y xv

w wa

Θ = − Θ =− (14.58)

A nyíróerők:

1 2, 6, 2 , 1 2 1, 6, 2 , 1( ) , ,y x y x y xv

Q M M I w I v Q M M I w I ua

= + + − − = + + −ɺɺ

ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ (14.59)

és az alakváltozások:

, ,11 , , 22 , , 12 , , ,, ( ), (2 ).y x

x xx y yy y x xy

v vwu zw v z w u v z w

a a aε = − ε = + − − ε = + − − (14.60)

Megjegyezzük, hogy ebben az esetben , ,, , /x y y x x xw w w a wΘ Θ= = = .


,1

,2

, ,6

1 ,

2 , ,

6, ,

/

.

/

2 /

x

y

y x

xx

yy y

x y x

uN

v w aNu vN

DM w

M w v aM w v a

+ + = − − + − +

ɶ (14.61)


10.06.20. 242

A nyíróerők meghatározása utáni három mozgásegyenlet:

1, 6, 0 1 , ,x y xN N I u I w+ = −ɺɺ ɺɺ (14.62)

6, 2, 6, , 0 1 2 1 2 ,2

1 2 1 1( ) ( ) ( ) ,x y x y yN N M M I I I v I I w

a a aa+ + + = + + − +ɺɺ ɺɺ

1, 6, 2, 2 0 1 2 , , 1 2 , 2 ,1 1

2 ( ) ( ) .xx xy yy x x y yM M M N I w I u I w I v I w I va a

+ + − = + − + − +ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ


1 6 6 1 6,0, 0 vagy ; 0 vagy / ; 0 vagy ;yx X u N v N M a w Q M= ⇒ δ = δ = + δ = +

, 10 vagy ;xw Mδ =

6 2 2 6,0, 0 vagy ; 0 vagy ; 0 vagy xy Y u N v N w Q M= ⇒ δ = δ = δ = + ;

, 2 ;( / ) 0 vagyyw v a Mδ − =

6( , ) (0,0),(0, ),( ,0),( , ) 0 vagy ;x y Y X X Y w M= ⇒ δ =

Héjelmélet a nyírási hatások figyelembevételével Ennél az elméleti változatnál hozzáadjuk az elmozdulás-vektorhoz a nyírási hatásokat: 1 1 2 2 3 3 2 5 1 1 4 2 3( ) ( ) ,u j j j j j ju u u u z g v z g w= + + = + Θ + γ + − Θ + γ + (14.64)

ahol 4 5ésγ γ a héj nyírás következtében létrejövő extra elfordulások, g pedig a nyírási

torzulás függvénye . Megjegyezzük, hogy az előző ábra vázlata és a hozzá kapcsolódó számítási mód a 21 ΘΘ és elfordulásokról továbbra is érvényes. A g nyírási torzulási függvényekre ugyanazokat a változatokat lehet alkalmazni, mint amilyeneket a gerenda- illetve lemezmodelleknél már használtunk. Megjegyezzük, hogy lineáris nyírási torzulás esetén Reissner-Mindlin-héjmodellről beszélünk. Az elmozdulásvektor deriváltjai:

0 0 0 0, 2, 5 1 5 1 5, 5 4 1( )

ujx x xu z vk z k wk g gk

x

∂= + Θ − + Θ + + γ − γ +

∂ (14.65)

0 0 0 0, 1, 5 2 5 61 4, 5 5 2( )jx x xv z uk z k wk g gk+ − Θ + + Θ + + γ + γ +

0 0 0 0 0 0, 1 2 1 61 1 61 1 5 61 4 3( ) .jxw uk z k vk z k gk gk+ − − Θ − + Θ − γ − γ

0 0 0 0, 2, 4 1 4 62 5, 4 4 1( )

ujy y yu z vk z k wk g gk

y

∂= + Θ − + Θ + + γ − γ +

∂ (14.66)

0 0 0 0, 1, 4 2 4 2 4, 4 5 2( )jy y yv z uk z k wk g gk+ − Θ + + Θ + + γ + γ +

0 0 0 0 0 0, 62 2 62 2 1 2 62 5 2 4 3( ) .jyw uk z k vk z k gk gk+ − − Θ − + Θ − γ − γ

( )2 , 5 1 1 , 4 2 .( )u

j jz zg gz

∂= Θ + γ + −Θ + γ

∂ (14.67)


( )0 0 0 011 1 , 5 1 2, 5 1 5, 5 4( ) ,

uj x x xu k v k w z k g k

x

∂ε = ⋅ = − + + Θ + Θ + γ − γ

∂ (14.68)


10.06.20. 243

( )0 0 0 022 2 , 4 2 1, 4 2 4, 4 5( ) ,

uj y y yv k u k w z k g k

y

∂ε = ⋅ = + + + −Θ + Θ + γ + γ

∂ (14.69)

0 0 012 2 1 , , 4 5 6 2, 1,(

u uj j y x y xu v k v k u k w z

x y

∂ ∂ε = ⋅ + ⋅ = + − + + + Θ −Θ +

∂ ∂ (14.70)

0 0 0 04 1 5 2 4, 5, 5 5 4 4) ( ) ,x yk k g k k+ Θ + Θ + γ + γ + γ − γ

0 0 0 013 , 5 1 5 61 4 23 , 4 62 5 2 4 33( ) , ( ) , 0 .z zg g k k g g k kε = γ − γ + γ ε = γ − γ + γ ε = (14.71)

A kinetikus energia variációja az elmozdulásvektor deriváltjainak és variációjának felhasználásával számítható:

0 1 2 3 5 0 1 1 3 4 0(( ) ( )u uA z A

K dz dA I u I I u I v I I v I w wδ =− ρ ⋅δ =− + Θ + γ δ + − Θ + γ δ + δ +∫ ∫ ∫ ɺɺ ɺɺɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺɺɺ ɺɺ

2 2 1 4 5 2 2 1 1 4 4 1 3 4 2 5 5 5( ) ( ) ( )I I u I I I v I I u I I+ Θ + + γ δ Θ + Θ − − γ δ Θ + + Θ + γ δ γ +ɺɺ ɺɺ ɺɺɺɺ ɺɺ ɺɺɺɺ ɺɺ ɺɺ

3 4 1 5 4 4( ) ) .I v I I dA+ − Θ + γ δ γɺɺɺɺ ɺɺ (14.72)

Az 0 5, ....,I I paraméterek definícióját a korábbiakban már megadtuk. A belső energia

variációja:

11 11 22 22 12 1 13 13 23 23 1 ,( ) (b x

A z A

dz dA N uδ Π = σ δ ε + σ δ ε + σ δ ε + σ δ ε + σ δ ε = δ +∫ ∫ ∫ (14.73)

6 , 2 , 6 , 1 2, 2 1, 6 2, 6 1,y y x x y y xN u N v N v M M M M+ δ + δ + δ + δ Θ − δ Θ + δ Θ − δ Θ +

0 0 0 0 0 0 0 04 2 4 6 4 2 2 4 6 1 5 6 5 1 5 6 2 5 1 1k N u k N v k M k M k N u k N v k M k M+ δ − δ + δ Θ + δ Θ + δ − δ + δ Θ + δ Θ + 0 0 0 0 0 0 01 1 2 2 6 6 2 1 5 6 4 1 61 2 2 4 6 4,( ) xk N w k N w k N w q m k m k s k s k m+ δ + δ + δ + − − − − δ γ + δ γ +

0 0 0 02 4, 1 2 4 6 5 1 1 2 62 5 6 5, 1 5,( )y y xm q m k m k s k s k m m+ δ γ + + + − − δ γ + δ γ + δ γ +

0 0 01 2 2 1 1 2 2 1 1, 6, 4 2 5 6 1 1) (( x y

A

Q Q Q Q dA N N k N k N k Q+ δ Θ − δ Θ − δ Θ + δ Θ = − + − − + +∫

0 0 0 0 0 062 2 2, 6, 4 6 5 1 61 1 2 2 1, , 1 1) ( ) (y x x yk Q u N N k N k N k Q k Q v Q Q k N+ δ + + + + + + δ + + − −

0 0 0 02 2 6 6 1, 6, 1 4 2 5 6 2) ( )x yk N k N w M M Q k M k M− − δ + + − − − δ Θ −

0 0 0 0 02, 6, 2 4 6 5 1 1 6, 2, 1 5 6 4 2 1 61( ) (y x x yM M Q k M k M m m m k m k q s k− + − + + δ Θ − + + + − + +

0 0 0 0 0 02 2 4 1, 6, 2 4 6 5 1 1 1 2 62 5 1 62 6) ( ) ) (( )x y

y

s k m m m k m k q s k s k dA N k M u+ δ γ − + − − − + + δ γ + + δ +∫0

6 2 6 1 6, 1 2 1 5 6 4 0( ) ( ) )x Xy xN k M v Q M w M m m dy=

=+ + δ + + δ + δ Θ + δ γ + δ γ +

0 06 1 6 2 61 6 2 6, 2 1 2 4(( ) ( ) ( )x

x

N k M u N k M v Q M w M m+ + δ + + δ + + δ − δ Θ + δ γ +∫( , ) (0,1),( , )

6 5 60 ( , ) ( ,0),(0, )) 2 .

x y X Yy Yy x y X Y

m dx M w==

= =+ δ γ − δ

A képletben 1 2s és s az egyes nyírófeszültség-komponensek eredőjét jelentik:

1 13 2 23, .z z

s g dz s g dz= σ = σ∫ ∫ (14.74)

A feszültségek és az alakváltozások kapcsolata:


10.06.20. 244

0 0 0, 5 1 2, 5 1

110 0 0

22 , 4 2 1, 4 2.

0 0 0 0 012, , 4 5 6 2, 1, 4 1 5 2

(

x x

y yhajl

y x y x

u k v k w Q k

D v k u k w z k

u v k v k u k w Q k k

− + + Θ σ σ = + + + −Θ + Θ + σ + − + + −Θ + Θ + Θ

05, 5 4

04, 4 5

0 04, 5, 5 5 4 4

) ,

x

y

x y

k

g k

k k

γ − γ + γ + γ γ + γ + γ − γ

(14.75)

0 023 4 62 5 2 4

,. 0 013 5 1 5 61 4

.znyír

k kD g g

k k

σ γ γ + γ = − σ γ γ + γ (14.76)


0 0, 5 1

0 01 , 4 2

2 0 0 0, , 4 5 6

60

2, 5 110

2 1, 4 2

0 062, 1, 4 1 5 2

1 05, 5 4

20

4, 4 560 0

4, 5, 5 5 4 4

x

y

y x

x

y

y x

x

y

x y

u k v k w

N v k u k wN

u v k v k u k wN

kM

M D k

M k km

km

km

k k

− + + + + − + +

Θ + Θ

= −Θ + Θ Θ −Θ + Θ + Θ γ − γ γ + γ

γ + γ + γ − γ

ɶ ,

42

510 062 5 2 42

0 01 1 5 61 4

ˆ .

q

qD

k ks

s k k

γ γ = γ + γ γ + γ

(14.77)

A mozgásegyenleteket ismételten a Hamilton-elv felhasználásával kapjuk. Ezek az egyenletek bármilyen héjtípus esetére alkalmazhatók, csak a kezdeti görbületek lesznek különbözőek.

0 0 0 01, 6, 4 2 5 6 1 1 62 2 0 1 2

0 0 0 06, 2, 4 6 5 1 61 1 2 2 0 1 1

,

,

x y

x y

N N k N k N k Q k Q I u I

N N k N k N k Q k Q I v I

+ − − + + = + Θ

+ − + + + = − Θ

ɺɺɺɺ

ɺɺɺɺ (14.78)

0 0 01, 2, 1 1 2 2 6 6 0 ,x yQ Q k N k N k N I w+ − − − = ɺɺ

0 0 0 06, 2, 1 5 6 4 2 1 61 2 2 5 4 3 4 1

0 0 0 01, 6, 2 4 6 5 1 1 1 2 62 5 5 3 4 2

,

,

x y

x y

m m m k m k q s k s k I I v I

m m m k m k q s k s k I I u I

+ + + − + + = γ + − Θ

+ − − − + + = γ + + Θ

ɺɺɺɺɺɺ

ɺɺɺɺɺɺ

0 02, 6, 4 6 5 1 2 2 1 1

0 01, 6, 4 2 5 6 1 2 2 1

,

.

y x

x y

M M k M k M Q I I v

M M k M k M Q I I u

− − − − + = Θ −

+ − − − = Θ +

ɺɺ ɺɺ

ɺɺ ɺɺ


10.06.20. 245


0 01 62 6 6 2 60, 0 vagy ; 0 vagy ;x X u N k M v N k M= ⇒ δ = + δ = +

1 6, 2 1 4 6 5 10 vagy ; 0 vagy ; 0 vagy ; 0 vagy ;yw Q M M m mδ = + δΘ = δ γ = δ γ =

0 06 1 6 2 61 60, 0 vagy ; 0 vagy ;y Y u N k M v N k M= ⇒ δ = + δ = +

2 6, 1 2 4 2 5 60 vagy ; 0 vagy ; 0 vagy ; 0 vagy .xw Q M M m mδ = + δΘ = δ γ = δ γ =

6( , ) (0,0),(0, ),( ,0),( , ) 0 vagy .x y Y X X Y w M= ⇒ δ =

Felhasznált irodalom: 1./ Nayfeh, A. H. – Pai, P. F.: Linear and nonlinear structural mechanics, John Wiley, 2004. 2./ Szilard, R.: Theory and analysis of plates, Prentice Hall, 1974. 3./ Timoshenko, S. P. – Woinowsky-Krieger, S.: Lemezek és héjak elmélete, Műszaki Könyvkiadó, 1966. 4./ Flügge, W.: Stresses in shells, Springer, 1973. 5./ http://en.wikipedia.org/wiki/Thin-shell_structure 6./ http://en.structurae.de/structures/stype/index.cfm?ID=1009 7./ http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_thin_shell_structures 8./ http://www.iass-structures.org/ 9./ Menyhárd I.: Héjszerkezetek számítása és szerkesztése, Műszaki Könyvkiadó, 1968. 10./ Csonka P.: Héjszerkezetek, Akadémiai Kiadó, 1981. 11./ Hegedűs I.: Héjszerkezetek, BME, 1999. 12./ Novozsilov, V. V.: Thin Elastic Shells, Lowe Publ., 1958. 13. Koiter, W. T.: Theory of Thin Shells, Springer, 1969.


10.06.20. 246

Függelék Bojtár Imre: Mechanika MSc c.

előadásvázlatához


10.06.20. 247

A./ Matematikai összefoglaló A következő oldalakon – természetesen csak ismétlő jelleggel, hiszen nem lehet célunk a már ismertnek feltételezett matematikai tudásanyag újbóli tanítása – összefoglaljuk a legfontosabb matematikai változókat, valamint a gyakoribb matematikai egyenleteket és eljárásokat. Megjegyezzük, hogy itt mindazon matematikai fogalmakat összegyűjtöttük, amelyek egyáltalán előfordulhatnak a következőkben bemutatott téma tanulmányozása során, többségükre azonban viszonylag ritkán lesz szükségünk. A tárgy tanulmányozása során használt matematikai változók és jelöléseik Matematikai típusaik szerint felsoroljuk azokat a változókat, amelyeket munkánk során használni fogunk: Skalárok Ezeket többnyire a hőmérséklet, tömeg, sűrűség, stb. jelölésére alkalmazzuk és az alábbi változótípusokkal jelöljük őket: , , , , ....a b c α , β ,γ

Vektorok Az erő, az elmozdulás, a sebesség, stb. fogalmának használatakor lesz rájuk. Többnyire vastag kisbetűket használunk azonosításukra200: f, u , v, ... Néhány fontos megjegyzés:

- Egyes feladatoknál szükségünk lesz a vektorok indexes jelölésének használatára. Általános esetben 3D euklideszi térben fogalmazzuk meg a egyenleteinket201, ezért az alábbi jelölési technikát fogadjuk el az indexes és vastag kisbetűs vektorjelölések között: iiuuuu eeeeu =++= 332211 , (F.1)

ahol az ie vektorok a három darab – koordinátatengely irányú – egységvektort

jelentik, az iu skalárok pedig az u vektor tengelyirányú skalár vetületei. A kapcsolat

tömör felírásakor felhasználtuk az úgynevezett Einstein-féle szummakonvenciót, ami azt jelenti, hogy az azonos indexeket tartalmazó tagokat össze kell adni az adott kifejezés értelmezésekor (lásd magát az előbbi definíciót). Megjegyezzük, hogy ebben az előadásvázlatban az indexek értéke alapértelmezésben mindig egytől háromig változik. Ha ettől eltérünk bármilyen irányban (kevesebb vagy több lesz a futó index végértéke), akkor azt külön jelölni fogjuk. Ugyancsak mindig felhívjuk a figyelmet arra, ha egy egyenletben vagy képletben az azonos indexeket tartalmazó tagoknál nem tekintjük érvényesnek a szumma-konvenciót.

200 Kivéve természetesen az indexes, vagy mátrixos jelölési módot, ahol nincs vastag betűs kiemelés. 201 Megjegyezzük, hogy elsősorban jobbkezes koordináta-rendszert használunk.


10.06.20. 248

- Az egységvektorok skaláris szorzatából kapott számhalmazt Kronecker202-delta tenzornak fogjuk hívni és jelölésére a görög delta betűt használjuk, két indexszel ellátva: jiji δ=⋅ee . (F.2)

A skaláris szorzatból kapott kilenc számból három darab egységnyi értékű (amikor i = j), az összes többi szám értéke zérus. - A vektorokkal végzett műveletek nagyon fontosak lesznek számunkra. Az összeadás, kivonás, skalárral való szorzás mellett az előbb már említett skalár szorzatra203: u v i iu v⋅ = , (F.3)

egy vektor hosszának

( )1/ 21/ 2( 0i iu u= ⋅ = ≥u u u) (F.4)

módon történő számítására, illetve a vektoriális szorzatra

( )u v = e e e ei i j j i j i ju v u v× × = × (F.5)

hívjuk fel emlékeztetőül a figyelmet, megemlítve még a hármas szorzat wv)(u ⋅× (F.6) fontosságát is. - Használni fogjuk a három futó indexszel ellátott, úgynevezett permutációs (vagy más néven Levi-Civita204-) szimbólumot. Matematikai jele: kjiε . A szimbólum

elemeinek értéke:

1, ha az indexek sorrendje:123, 231 vagy 312,

1, ha az indexek sorrendje:132, 213 vagy 321,

0, ha vannak egyforma indexek.i j k

ε = −

.

Megjegyezzük, hogy a permutációs szimbólum segítségével például a vektoriális szorzás is egyszerűsíthető, hiszen mivel az egységvektorok vektoriális szorzata: i j i j k k× = εe e e , (F.7)

a vektoroké pedig:

( )i i j j i j i j i j k i j k k ku v u v u v w× × = × =ε =w =u v = e e e e e e , (F.8)

ahol 1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1, , .w u v u v w u v u v w u v u v= − = − = −

A skalárt eredményező hármas szorzat számítására is felhasználható a Levi-Civita-szimbólum: ( ) ( ) ( )2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3i j k i j kV u v w u v u v w u v u v w u v u v w× ⋅ =ε = − − − − −(u v) w = . (F.9)

- A vektorok jelölésére a hagyományos lineáris algebrai szimbólumrendszert is használni fogjuk, mindig egyszer aláhúzva a vektorként jelölt értéket:

202 Leopold Kronecker (1823 – 1891) német matematikus, főleg számelmélettel foglalkozott. Tőle származik a következő kijelentés: „Isten teremtette az egész számokat, az összes többi az ember műve.” 203 A két vektor közé tett ponttal jelöljük ezt a műveletet. 204 Tullio Levi-Civita (1873 – 1941) olasz matematikus, főleg tenzorszámítással foglalkozott, de mechanikai munkái is jelentősek.


10.06.20. 249

1

2

3

i

u

u u u

u

= =

u = , (F.10/a)

vagy például ugyanez sorvektorként:

[ ]1 2 3Tu u u u= . (F.10/b)

Másodrendű tenzorok205 Többnyire a mechanikai feszültségek és alakváltozások megadására fogjuk őket használni. Jelölésükre a vastagon szedett nagybetűket, vagy a vastagon szedett görög betűket használjuk (kivéve most is az indexes illetve mátrixos jelölést), például: , , ....σ, ε A,B Fontos megjegyzések a jegyzetben használt tenzorokhoz:

- A másodrendű tenzort az alábbiak szerint definiáljuk: =a B c , (F.11) ahol a B tenzor az a és c vektorok között kapcsolatot leíró lineáris operátor. A másodrendű tenzor 3 x 3, vagyis összesen kilenc elemet tartalmaz, szokásos indexes jelölési módja így: i jB . A két vektor közötti kapcsolat indexes és lineáris algebrai

írásmóddal: , .i i j ja B c a B c= = (F.12)

- Gyakran fogjuk használni egyenleteinkben két vektor tenzor- (más elnevezéssel direkt-, mátrix-, diád-) szorzatát. Ennek szimbolikus alakja:

vu⊗ , (F.13)

205 A „tenzor” elnevezés latin eredetű (tensi: nyújtani, feszíteni), mechanikai alkalmazásokból terjedt el más szakterületekre is. Első matematikai definíciója William Rowan Hamiltontól (lásd az első fejezet lábjegyzetét) származik 1846-ból, mechanikai alkalmazásként pedig először Woldemar Voigt (lásd az 5. fejezet lábjegyzetét) 1898-as publikációjában olvashatunk róla. A tenzorszámítás jórészt ma is használatos matematikai technikáját Gregorio Ricci-Curbastro (1853 -1925, olasz matematikus) dolgozta ki az 1890-es években. Fogalmát ma már a természettudományok számos területén használják, legáltalánosabb definícióját pedig a matematika csoportelméleti (az algebrai struktúrák elemzésével foglalkozó tudományág) meghatározása szerint szokták megadni: eszerint a tenzorok olyan mennyiségek, amelyek az önábrázolás direkt szorzatai szerint transzformálódnak. A direkt szorzatban előforduló tényezők száma szerint nevezzük a tenzorokat első-, másod-, harmad- stb. rendűnek. Más tudományterületek (absztrakt algebra, geometriai vektoralgebra, kategóriaelmélet, matematikai fizika, lineáris algebra) ettől eltérő definíciókat is használnak. Mi ebben a tárgyban feladataink jellege miatt elsősorban a lineáris algebrában szokásos meghatározást fogadjuk el, az itteni Függelékben közölt definíció ehhez illeszkedik. Megjegyezzük, hogy egyes műszaki munkákban is szokás a vektorokat elsőrendű-, a skalárokat pedig nulladrendű tenzorokként definiálni. Mi nem követjük ezt a jelölésmódot, és a tenzor elnevezést csak a másod- illetve magasabbrendű változatokra fogjuk használni.


10.06.20. 250

a művelet eredménye pedig egy másodrendű tenzor, melynek elemei az i ju v (vagy

másképpen: Tu v ) szorzattal értelmezhetők. A tenzorszorzat nem kommutatív, vagyis ha u v≠ , akkor

( )( ) ( )( )u v v u, u v w x w x u v⊗ ≠ ⊗ ⊗ ⊗ ≠ ⊗ ⊗ . (F.14)

- Minden másodrendű tenzor megadható diádok lineáris kombinációjával: jijiA eeA ⊗= . (F.15)

Az ilyen típusú felbontásra mechanikai feladatoknál sokszor van szükség. - A tenzorok lineáris algebrai – mátrixos – megadását is használni fogjuk egyenleteinkben. Ilyenkor vagy kapcsos zárójelbe tett vastag betűvel, vagy kettős aláhúzással (és vékony betűvel) jelöljük a tenzort (többnyire ezt a jelölést használjuk!):

[ ]11 12 13

21 22 23

31 32 33

.A

A A A

A A A A

A A A

= =

(F.16)

Megjegyezzük, hogy a mátrix elemeinek jelölésére szokás kisbetűket is használni (

11 12, , stb .a a ).

- Egy tenzor szimmetrikus, ha megegyezik transzponáltjával ( S =ST ), és ferdén

szimmetrikus, ha megegyezik transzponáltja ellentettjével ( B = BT− ). A ferdén szimmetrikus tenzor főátlójában zérus elemek vannak. Minden tenzor egyértelműen felbontható egy szimmetrikus és egy ferdén szimmetrikus tenzor összegére:

( ) ( )1 1ahol ,

2 2A =S +B, S = A + A B = A AT T− . (F.17)

- Egy tenzor nyomának (rövidítése „tr”, vagy „sp”) definícióját a tenzorszorzat segítségével adják meg. Az vu⊗ szorzatnál az eredményül kapott másodrendű

tenzor mátrix alakjának főátlóbeli elemeit összeadva az u v i iu v⋅ = skalárhoz

jutunk, amit a tenzorszorzat nyomának fogunk hívni: tr (u v) = u v i iu v⊗ ⋅ = . (F.18)

Ezt felhasználva a másodrendű tenzor nyomának az alábbi módon számítható skalárt nevezzük:

( ) ( ) ( )tr tr tr .j jA = e e e e e ei j i j i j i i j i i j i j i iA A A A A⊗ = ⊗ = ⋅ = δ = (F.19)

- Egységtenzort állíthatunk elő a Kronecker-delta és az egységvektorok segítségével: ;jjjiji eeeeI ⊗=⊗δ= (F.20)

- Minden tenzor felbontható egy úgynevezett gömbi és egy deviátoros tenzor összegére:

1 1

ahol tr3 3

A = G + D, G = I, = A = i iAα α . (F.21)

A deviátoros rész (D) előállításának alapelve: ( ) ( ) ( )1dev tr

3I• = • − • .


10.06.20. 251

- Két tenzor úgynevezett „kétpontos” szorzatánál a műveleti jel egy kettőspont, az eredmény a kettős belső összeadás miatt skalár. Az értelmezés a következő:

= A : B i j i jc A B= . (F.22)

Megjegyezzük, hogy a kétpontos tenzorszorzat szintén számítható a nyom segítségével:

tr( ) tr( )T TA:B B:A A B B A = = = . (F.23) A másodrendű tenzorok kétpontos szorzatának tulajdonságaiból adódnak a következő összefüggések:

( ) ( ) ( ): : :A BC B A C= AC BT T= (F.24)

- A tenzorokkal az összeadás, kivonás és szorzás művelete értelmezhető, az osztásé nem. A szorzás műveleténél ügyelni kell a szimbólumok típusára, például két tenzor úgynevezett skaláris szorzatánál belső indexek szerint összegezve újabb tenzort kapunk, a szorzás szimbóluma ilyen esetben egy pont a két tenzor között (kivéve természetesen az indexes jelölést): , .i j j k i kA B C C A BC = A B,⋅ = = (F.25)

Ugyanez érvényes vektor és tenzor skaláris szorzatára: , .i i j jv A u v Auv A u,= ⋅ = = (F.26)

Megjegyezzük, hogy sokszor az egyszerűség kedvéért elhagyjuk a „pontot”, csak egyszerűen egymás mellé írjuk a tenzorok, vagy a vektor jelét: C = A B A B, ⋅ = v A u A u= ⋅ = . (F.27)

- A különböző mechanikai egyenletek értelmezésénél használják a tenzorok alábbi minősítését (az értelmezés az A tenzorra vonatkozik): - pozitív szemi-definit tenzor ( 0≥⋅Avv minden 0v ≠ vektorra), pozitív definit tenzor ( 0v Av⋅ > minden 0v ≠ vektorra), negatív szemi-definit tenzor ( 0≤⋅Avv minden 0v ≠ vektorra), negatív definit tenzor ( 0v Av⋅ < minden 0v ≠ vektorra).

- Egy tenzor normája egy nem-negatív valós szám, értékét kétpontos szorzat segítségével határozhatjuk meg:

0)()( 2/12/1 ≥== jiji AAA:AA . (F.28)

A tenzor determinánsa szintén skalár, számításánál a tenzor mátrix alakját használjuk:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

det det A detA =

a a a

a a a

a a a

=

. (F.29)

Egy tenzort akkor és csakis akkor nevezünk szingulárisnak, ha determinánsa zérus. Ha determinánsa zérustól különböző, akkor nem-szinguláris tenzornak hívjuk. Ebben az esetben kiszámítható az inverz tenzor (jele: -1A ), melynek a következő tulajdonságai vannak: 1 1 .A A A A I-1 -1A A A A = I, − −= = = (F.30)

Ha az (azonos méretű) A és B tenzor egyaránt invertálható, akkor igaz a következő állítás:

( ) 1 1 1A B B A− − −= . (F.31)


10.06.20.

- Egy tenzort egységtenzort ad eredményül: Ilyen tenzorral transzformálva két, egymáshoz képest transzformálás után sem a vektorok hossza, sem a köztük levő szög nem változik, vagyis: Ezt a transzformációt ábrázolja a következő ábra:

- Voigt206 szabálya:fogjuk használni, a mechanikai egyenletek felírásánál lesz igen hasznos. A szabály megkülönbözteti a feszültségalakváltozástenzorok ( a./ Kinetikus

=σσσσ 11 12

21 22

σ σ σ σ

b./ Kinematikus

=εεεε

ε

ε

21

11

206 Woldemar Voigt (1850 – 1919) német fizikus, elsősorban kristályfizikai kutatásairól ismert.

Egy tenzort ortogonális tenzornak hívunk, ha a transzponáltjával való szorzata egységtenzort ad eredményül:

Q Q = Q Q = IT T . Ilyen tenzorral transzformálva két, egymáshoz képest θ szöget bezáró vektort, a transzformálás után sem a vektorok hossza, sem a köztük levő szög nem változik,

Q u Q v = u v⋅ ⋅ .

Ezt a transzformációt ábrázolja a következő ábra:

F.1. ábra: Ortogonális transzformáció

szabálya: szimmetrikus másodrendű tenzorok vektorba rendezésére fogjuk használni, a mechanikai egyenletek felírásánál lesz igen hasznos. A szabály megkülönbözteti a feszültség- (kinetikus Voigt-szabályalakváltozástenzorok (kinematikus Voigt-szabály) elemeinek átrendezését:

Kinetikus Voigt-szabály:

1111 12

2221 22

12

σ σ σ ⇒ σ= σ σ σ σ

, =σσσσ ⇒

σσσ

σσσ

σσσ

333231

232221

131211

Kinematikus Voigt-szabály:

ε

ε

ε

=ε⇒

ε

ε

12

22

11

22

12

2

, =εεεε ε⇒

εεε

εεε

εεε

333231

232221

131211

1919) német fizikus, elsősorban kristályfizikai kutatásairól ismert.

Előadásvázlat

252

ponáltjával való szorzata

(F.32) szöget bezáró vektort, a

transzformálás után sem a vektorok hossza, sem a köztük levő szög nem változik,

(F.33)

szimmetrikus másodrendű tenzorok vektorba rendezésére fogjuk használni, a mechanikai egyenletek felírásánál lesz igen hasznos. A szabály

szabály), illetve az lemeinek átrendezését:

σ

σ

σ

σ

σ

σ

=σ⇒

12

13

23

33

22

11

. (F.34)

ε

ε

ε

ε

ε

ε

=ε

12

13

23

33

22

11

2

2

2 . (F.35)

1919) német fizikus, elsősorban kristályfizikai kutatásairól ismert.


10.06.20. 253

Magasabbrendű tenzorok Elsősorban az anyagmodellek bemutatásakor illetve használatakor lesz rájuk szükségünk. Vastag nagybetűkkel207 fogjuk őket jelölni: C, D,…. Megjegyzések a magasabbrendű tenzorokhoz:

- Egy n-ed rendű tenzor általános alakja:

1 2 1 2..... e e ...... en ni i i i i iA ⊗ ⊗ ⊗ . Mechanikai

számításainkban elsősorban negyedrendű tenzorokra lesz szükségünk, ezeknek 43 81= elemük van, hiszen indexes jelöléssel alakjuk i j k lA módon írható fel.

- Ha két másodrendű tenzort (A és B) tenzorszorzattal kapcsolunk össze, akkor egy negyedrendű D tenzort kapunk: D = A B i j k l i j k lD A B⊗ ↔ = .

- Egy negyedrendű tenzor (A) és egy másodrendű tenzor (B) kétpont szorzata egy másodrendű tenzort ad eredményül: jilklkji BA ee B:A ⊗= .

- Egy harmadrendű tenzor (A) és egy másodrendű tenzor (B) kétpont szorzata egy vektort ad eredményül: A :B ei j k j k iA B= .

Tenzorok sajátértékei és sajátvektorai A mechanikai feladatoknál gyakran lesz szükségünk a sajátértékek számítására. A tenzorok viszonylag kicsiny mérete miatt a számításoknál elegendő az általánosított sajátértékfeladat karakterisztikus egyenletének megoldásával számítani a sajátértékeket. Az alábbi egyenletekben most összegzés nélkül használjuk az indexek ismétlését (λ az A tenzor keresett sajátértéke, n a keresett sajátvektora): ˆ ˆ ˆ( ) 0 det( ) 0i i i i i iλ λ λ= → − = → − = →An n A I n A I

3 21 2 3 0,I I Iλ λ λ→ − + − = (F.36)

ahol a karakterisztikus egyenlet együtthatóit a tenzor első, második és harmadik invariánsának nevezzük:

11 1 2 3 2 1 2 1 3 2 3( ) tr , ( ) tr det ,I Iλ λ λ λ λ λ λ λ λ= = + + = = + +-A A A A A (F.37)

;)det()( 3213 λλλ== AAI

Az (F.36)-os egyenlet megoldására többféle módszer ismert. Alkalmazható Cardano208 képlete vagy valamelyik modern matematikai szoftver (Mathematica, Maple, stb.), de akár zsebszámológéppel is számíthatók az egyenlet gyökei a Simo-Hughes-féle algoritmus segítségével (lásd az elméleti részleteket a [ ]15 alatti könyvben). Az algoritmus lépései:

- Számítsuk ki az (F.37) alatti képletben felsorolt mindhárom invariánst. - Számítsuk ki az alábbi segédváltozókat:

( ) ( ) ( )3 2 31 1 2 3 1 2

1 12 9 27 , 3 , arccos / .

54 9r I I I I q I I r qθ= − + − = − =

207 Egyes könyvek speciális betűtípusokat használnak erre a célra. Ebben a jegyzetben ettől eltekintünk, de – megkülönböztetésül a másodrendű tenzoroktól – mindig pontosan megadjuk, hogy milyen tenzorral dolgozunk. 208 Gerolamo Cardano (1501 – 1576) olasz matematikus. Elsősorban a harmadfokú egyenlet megoldására kidolgozott képletéről és kardántengely megalkotásáról ismert.


10.06.20. 254

- Az egyes sajátértékek a segédváltozók és az invariánsok felhasználásával a következőképpen határozhatók meg:

( ) ( )

( )

1 1 2 1

3 1

1 12 cos / 3 , 2 cos 2 / 3 ,

3 31

2 cos 2 / 3 .3

q I q I

q I

λ θ λ θ π

λ θ π

= − + = − + +

= − − + (F.38/a)

A sajátértékek számítása után a sajátvektorok a Simo-Hughes-algoritmus segítségével a következőképpen adódnak:

- Abban az esetben, ha mindhárom sajátérték különböző, akkor:

( )2 313 2

1 3

ˆ ˆ .2

n n A A Iii i i

i i i

II

I I

λλ

λ λ λ

⊗ = − − + − + (F.38/b)

- Ha két sajátérték egyenlő, (például: i j kλ λ λ≠ = ), akkor

ˆ ˆ ˆ ˆ .n n I n nj j i i⊗ = − ⊗ (F.38/c)

- Ha mindhárom sajátérték egyforma, akkor ˆ ˆ .n n Ii i⊗ = (F.38/d)

Itt, a tenzorok sajátértékeinek vizsgálatánál említjük meg azt is, hogy sajátértékek és a hozzájuk tartozó sajátvektorok segítségével elvégezhető minden tenzor úgynevezett spektrálfelbontása:

ii

iiii nnnnAAIA ˆˆˆ)ˆ(3

1∑=

⊗λ=⊗== , (F.39)

és ugyancsak itt jegyezzük meg, hogy a Cayley209-Hamilton210-tétel értelmében minden tenzor kielégíti saját karakterisztikus egyenletét211: .032

21

3 =−+− IAAA III (F.40)

Vektorok és tenzorok transzformációja Mechanikai számításokban nagyon gyakran van szükség két különböző koordinátarendszer közötti transzformáció végrehajtására. Ezeket a műveleteket egy T másodrendű transzformációs mátrix segítségével lehet elvégezni. T ortogonális mátrix ( 1T TT− = ), elemeit a koordinátarendszerek közötti szögek koszinuszainak segítségével lehet kiszámítani (lásd a következő ábrát): cos ( , )e e e ei j i j i jT = θ = ⋅% % . (F.41)

209 Arthur Cayley (1821 – 1895) angol matematikus, főleg lineáris algebrai kutatásokkal foglalkozott. 210 Sir William Rowan Hamilton (1805 – 1865) ír matematikus és fizikus. Optikával, dinamikával és algebrával foglalkozott. 211 Ahol ⋅ ⋅3A =A A A , stb.


10.06.20. 255

F.2. ábra: Koordinátarendszerek közötti szögek értelmezése A két koordinátarendszer egységvektorai közötti transzformációs kapcsolat: e Te e e T e eT

i i ji j i i i j jT T= = ⇔ = =% % % . (F.42)

Egy tetszőleges u vektor esetén, amely a két különböző bázisban ,u e u ei i i iu u= ⋅ = ⋅%% (F.43)

a fenti módon írható fel, a következőképpen adható meg a transzformáció: u T u u TuT= ⇔ =% % . (F.44) Fontos megjegyeznünk, hogy jelen értelmezésben u és u% fizikailag ugyanazt a vektort jelenti, csupán két különböző koordinátarendszerben ábrázoljuk a koordinátáikat. Ugyanezt a transzformációt természetesen arra is felhasználhatjuk, ha egy darab adott vektort akarunk ugyanabban a koordinátarendszerben elforgatni . Ilyenkor a transzformáló mátrix és inverze az oda-vissza forgatás céljára használhatók. Példaként mutatjuk a következő ábra vázlatát: F.3. ábra: Vektor transzformációja és elforgatása

Az első esetben az (x,y) rendszerben (1,1) koordinátákkal rendelkező vektor koordinátáit transzformáljuk a ( , )ξ η bázisba, majd megismételjük a transzformációt vissza a ( , )ξ η bázisból vissza az (x,y) rendszerbe:


10.06.20. 256

2 / 2 2 / 2 12,

10 2 / 2 2 / 2

1 2 / 2 2 / 2 2.

1 02 / 2 2 / 2

T xT

y

xT

y

ξ = ⇒ = η −

ξ − = ⇒ = η

A második esetben csak az (x,y) rendszert használjuk. Elforgatjuk a ( )2,0

koordinátájú vektort az (x,y) síkban eredeti helyzetéhez képest 45 fokkal az óramutató irányában és a számítással most megkapjuk az elforgatott vektor koordinátáit ugyanabban a rendszerben:

. det

1 2 / 2 2 / 2 2.

1 02 / 2 2 / 2elforg ere iu Tu

− = = =

Ha az elforgatást az „ellenkező” (jelen esetben az óramutató járásával ellentétes) irányban akarjuk elvégezni, akkor a transzformáló mátrix inverzét kell használnunk:

det .

2 / 2 2 / 2 12

10 2 / 2 2 / 2

Tere i elforgu T u

= = =

− .

Másodrendű tenzorok esetén a transzformáció (a vektorokéhoz hasonló értelmezésekkel) a következőképpen hajtható végre:

A T AT A TATT T= ⇔ =% % . (F.45)

Mechanikai feladatoknál gyakran használatos függvénytípusok és néhány alapvető matematikai művelet

Mechanikai feladatainkban leggyakrabban az alábbi függvénytípusokkal fogunk találkozni212: - a független változó skalár: ,)(,)(,)( ttt AAuu ==Φ=Φ (skalár-skalár, skalár-vektor, és skalár-tenzor függvények), - a független változó vektor: ,)(,)(,)( uAAuvvu ==Φ=Φ (vektor-skalár, vektor- vektor, vektor-tenzor függvények)), - a független változó tenzor: ( ) , ( ) , ( )A u u A B B AΦ =Φ = = , (tenzor-skalár, tenzor- vektor, tenzor-tenzor függvények). A következőken emlékeztetőül felírjuk néhány gyakoribb függvénytípus gradiensének számítási módját. Vektor-skalár függvény gradiense Egy folytonos ( )xΦ skalár mező (ilyen például a hőmérséklet vagy az anyag sűrűsége) az x helyen Taylor213-sorba fejthető az alábbi módon:

( ) ( ) ( ) ,x x x xd d o dΦ + = Φ + Φ + (F.46)

212 A felsorolásban dőlt betűvel kiemeltekre külön is kitérünk az összefoglalóban. 213 Brook Taylor (1685 – 1731) angol matematikus. Függvénytani vizsgálatai tették híressé nevét.


10.06.20. 257

ahol (és a további hasonló képletekben is) az ( )o • tag az úgynevezett Landau214-szimbólum.

Ennek a tagnak mindig gyorsabban kell zérushoz tartania, mint ahogy 0xd → . A jobb oldalon szereplő dΦ tagot a ( )xΦ függvény teljes differenciáljának hívják. Ez a tag jellemzi az x valamint az x + dx helyek között a függvény változását:

1 2 31 2 3

xx i

i

d d dx dx dx dxx x x x

∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂ΦΦ= ⋅ = = + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

. (F.47)

Megjegyezzük, hogy a továbbiakban gyakran fogjuk használni az alábbi tömör és egyszerű

jelölést: , iix

∂Φ=Φ

∂ .

Vezesük be most a nabla215-operátort az alábbi tartalommal:

1 2 31 2 3

( ) ( ) ( ) ( )( ) .e e e ei

ix x x x

∂ • ∂ • ∂ • ∂ •∇ • = = + +

∂ ∂ ∂ ∂ (F.48)

Ennek felhasználásával a teljes differenciál és a függvény gradiense végül az alábbi alakban írható fel:

d d , gradx e iix

∂ΦΦ = ∇Φ⋅ Φ =∇Φ =

∂. (F.49)

Tenzor-skalár függvény gradiense Számítsuk ki egy nemlineáris, sima ( )AΦ =Φ tenzor-skalár függvény gradiensét, ahol A egy másodrendű tenzor. Az előző ponthoz hasonlóan Taylor-sorba fejtve:

,)()()( AAAA dodd +Φ+Φ=+Φ (F.50) ahol a teljes differenciál részletes alakja:

( ) ( )

: trA A

A AA A

T

d d d ∂Φ ∂Φ Φ = = ∂ ∂

. (F.51)

A Landau-szimbólum most: ( )

0lim 0A

A

Ad

o d

d→= .

A keresett gradiens egy másodrendű tenzor lesz:

( )( )

11 13

31 33

.

grad . . .

.

a a

a a

AA

A

∂Φ ∂Φ ∂ ∂ ∂Φ Φ = = ∂ ∂Φ ∂Φ ∂ ∂

. (F.52)

Ennek a műveletnek az illusztrálására bemutatunk egy kis példát:

Bizonyítsuk be, hogy egy A másodrendű tenzor esetén igaz az alábbi egyenlőség:

det

det .A

A AA

T−∂=

∂ (F.53)

A bizonyításhoz felhasználjuk a determinánsok számításánál alkalmazott

214 Lev Davidovics Landau (1908 – 1968) szovjet fizikus. Elsősorban a szélsőséges hőmérsékletek fizikájával foglalkozott. 215 Az elnevezés az ógörög „hárfa” szóból származik. Hamilton (lásd a 10. lábjegyzetet) használta először és a hárfára hasonlító alakja miatt adta neki ezt a nevet.


10.06.20. 258

( )det det detAB A B= (F.54)

tételt. Ennek segítségével felírhatjuk az alábbi egyenlőséget:

( ) ( ) ( )1 1det d det d det det dA+ A A I+A A A I+A A− − = = . (F.55)

Az utolsó tag nagyon hasonlít a sajátérték-feladatnál alkalmazott összefüggésre, azzal

a kivétellel, hogy most A helyett 1 dA A− szerepel a zárójelben és 1= −λ . Ennek figyelembevételével írjuk most fel az invariánsokat tartalmazó karakterisztikus egyenletet:

( ) ( ) ( )11 2 3det d 1 ( d d d-1 -1 -1I+A A A A) A A A AI I I− = + + + =

( ) ( )1 tr d d-1A A Ao= + + (F.56)

Az elhanyagolásnál azt vettük figyelembe, hogy a második invariáns négyzetesen, a harmadik pedig köbösen függ dA –tól, így mindkettő kellően kicsinynek tekinthető a további számításoknál. Használjuk most fel a gradiens-számításnál is alkalmazott sorfejtést216 (csak most

( )AΦ skalár helyett detA tenzort használva), így az alábbi egyenlőséghez jutunk:

( ) ( )detdet d det tr d d

AA+ A A+ A A

A

T

o ∂ = + ∂

. (F.57)

Ugyanerre a kifejezésre van egy másik eredményünk is, amit a sajátérték-feladatos átalakítással kaptunk ((F.55)-be behelyettesítve (F.56)-ot):

( ) ( ) ( )1det d det 1 tr d dA+ A A A A Ao− = + + =

( ) ( )1det tr det d d .oA A A A A−= + + (F.58)

Ezeket összehasonlítva (és felhasználva a kétpontszorzásra mondottakat):

det

:d det : d .A

A = A A AA

T−∂∂

(F.59)

Ennek alapján az eredeti (F.53) állítás helyessége belátható.

Tenzor-tenzor függvény gradiense Az előző pontokban bemutatott gondolatmenet segítségével az A(B) függvény Taylor-sora és a teljes differenciál:

( )( ) ( ) ( ), : .

A BA B B A B A B A B

Bd d o d d d

∂+ = + + =

∂ (F.60)

A függvény gradiense:

( )( )

gradA B

A BB

∂=

∂. (F.61)

Egyéb fontos változók és műveletek Felsorolásszerűen összegyűjtöttük néhány olyan műveleti utasítás képletét, amelyekre egyes mechanikai vizsgálatoknál szükség lesz:

216 Lásd az (F.50) és (F.51)-es egyenleteket.


10.06.20. 259

- Nabla-operátor hengerkoordináta-rendszerben:

1

, ,T

r r zβ ∂ ∂ ∂

∇ = ∂ ∂ ∂ . (F.62)

- Laplace217-operátor: 2

2 22

( ); ( )

ix

∂ •∆=∇⋅∇=∇ ∇ • =

∂.

(F.63) - Laplace-operátor hengerkoordináta-rendszerben:

2

2

2

2

22

2 )()(1)(1)()(

zrrrr ∂

•∂+

β∂

•∂+

∂•∂

+∂

•∂=•∆ . (F.64)

- Hesse218-operátor: 2 ( )

( ) e ei ji jx x

∂ •∇⊗∇ • = ⊗

∂ ∂. (F.65)

- Irány menti (Gateaux219-féle) derivált:

Vizsgáljunk egy ( )xΦ skalár függvényt a 3D térben. A

( ) ( )1 2 3, , állandóx x x xΦ = Φ = értékű helyeket szintfelületnek hívják. A szintfelületen

x elemien kicsiny közelében (tőle legfeljebb d x távolságban) lévő pontoknál d 0Φ = . A felületre merőleges normális vektort a gradiens-képzés segítségével számíthatjuk (most sorvektor formájában írtuk fel):

1 2 3

gradx x x x

∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂ΦΦ= → ∂ ∂ ∂ ∂

. (F.66)

Ha a szintfelületen egy adott x pontnál a normális irányú egységvektorra van szükségünk, akkor ezt az eredményt már csak normálnunk kell (lásd még a következő ábrát):

grad

gradn

Φ=

Φ. (F.67)

F.4. ábra: Irány menti derivált

217 Pierre-Simon de Laplace (1749 – 1827) kiváló francia matematikus. Csillagászattal és mechanikai számításokkal is sokat foglalkozott. 218 Ludwig Otto Hesse (1811 – 1874) német matematikus. Főleg lineáris algebrával és az invariánsok használatával foglalkozott. 219 René Eugéne Gateaux (1889 – 1914) kiváló francia matematikus. Az első világháborúban halt meg 25 éves korában.


10.06.20. 260

Vegyünk fel az x pontnál egy olyan u vektort, amely gradΦ irányával θ szöget zár be. A grad uΦ ⋅ (F.68)

módon definiált szorzatot a ( )xΦ függvény u vektor irányába eső irány menti vagy

más néven Gateaux-féle deriváltjának nevezik. Az u vektor irányának (rögzített x körüli) változtatásával az irány menti derivált maximumát akkor kapjuk amikor cos 1θ = , vagyis u és n iránya megegyezik. Minimumot cos 1θ = − -nél, vagyis az ellenkező irány esetén kapunk. Az irány menti derivált azon speciális esetét, amikor az n irányú esetet számítjuk, normál deriváltnak szokták nevezni. Ebben az esetben: grad gradnΦ⋅ = Φ . (F.69)

- Vektormező gradiense: A vektorok gradiensének számítására kétféle változatot használ a szakirodalom. Az egyik változatot jobb gradiensnek nevezik:

( )

1 1 1

1 2 31

2 2 22

1 2 3 1 2 33

3 3 3

1 2 3

grad ,u u e eT i

i jj

u u u

x x xu

u u u uu

x x x x x x xu

u u u

x x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ = ∇⊗ = ⊗ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(F.70/a)

míg a másik változat neve bal gradiens220:

( ) [ ]

31 2

1 1 11

31 21 2 3

2 2 2 2

31 2

3 3 3 3

grad . (F.70 / b)uT

uu u

x x xx

uu uu u u

x x x x

uu u

x x x x

∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂

= = ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

Megjegyezzük még, hogy a vektormező gradiensének jelölésére sokszor használják a

diadikus szorzat nélküli szimbolikus képletet is: ( )gradu uT

= ∇

. Vigyázni kell, hogy

semmiképpen ne keverjük a vektormező divergenciájára vonatkozó jelöléssel (lásd néhány sorral lejjebb: div = ∇⋅u u ).

- Vektorok szorzatának gradiense: ( ) ( ) ( )grad( ) grad gradu v u v v uT T T

⋅ = + . (F.71)

- Másodrendű tenzor gradiense: ( )grad A A e e eT i j

i j kk

A

x

∂= ∇⊗ = ⊗ ⊗

∂. (F.72)

- Vektormező divergenciája: 31 2

1 2 3

div .u u i

i

u uu u

x x x x

∂ ∂∂ ∂= ∇ ⋅ = = + +

∂ ∂ ∂ ∂ (F.73)

Ha ez az érték zérus, a vektormezőt divergencia-mentesnek szokták mondani.

220 Megjegyezzük, hogy egyes művekben a ésu u∇⊗ ⊗∇ jelölésváltozatokkal is találkozhatunk.


10.06.20. 261

- Másodrendű tenzor divergenciája221: div A A ei ji

j

A

x

∂= ⋅∇ =

∂. (F.74)

- Vektormező divergenciája hengerkoordináta-rendszerben:

1 1

div ( )u u zr

u ur u

r r r z

∂ ∂∂= ∇⋅ = + +

∂ ∂ ∂β

β. (F.75)

- Divergenciaszámításra vonatkozó hasznos összefüggések:

div( ) div grad ,

div( ) div grad ,

div( ) div : grad ,

div( ) grad : div .

u u u

A A A

A u A u A u

AB A B A B

T

φ =φ + ⋅ φ

φ =φ + ⋅ φ

= ⋅ +

= +

(F.76)

- Vektormező rotációja:

3 32 1 2 1

2 3 3 1 1 2

rot 1 2 3u u e e e e eji j

i

u u uu u u u

x x x x x x x

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂=∇× = × = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

. (F.77)

Ha ez az érték zérus-vektor, akkor a vektormezőt rotáció-mentesnek (néha pedig konzervatívnak) mondják. - Vektormező rotációja hengerkoordináta-rendszerben:

( )1 1rotu u e e ez r z r

r z

u ruu u u u

r z z r r rβ β

ββ β

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∇× = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ . (F.78)

- Másodrendű tenzor rotációja:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

31 32 23 3321 22

31 32 13 3311 12

11 21 12

0

rot 0

0

A A

z ya a a

a a az x

a a a

y x

a a a aa a

z y z y z y

a a a aa a

z x z x z xa a a

y x y

∂ ∂ − ∂ ∂

∂ ∂ = ∇× = − = ∂ ∂ ∂ ∂− ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂− + − + − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

= − − −∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

− + −∂ ∂ ∂

13 2322

.

a aa

x y x

∂ ∂∂

+ − + ∂ ∂ ∂

(F.79)

Integráltételek

A mechanika alapegyenleteinek felírásakor, a munka- és energiatételek használatakor és még számos más mechanikai feladatnál van fontos szerepük a matematika integrálegyenleteinek.

221 Megjegyezzük, hogy egyes művekben ugyanezt A∇⋅ módon jelölik. Előfordul az is, hogy (F.74) transzponáltját használják a tenzor divergenciájának számítására: ( / )ei j i iA x∂ ∂ .


10.06.20. 262

A matematikai eszköztár ismétlését ezekkel zárjuk.

- Divergenciatétel (Gauss222-tétel): Legyen u(x) és A(x) egy V térfogaton (3D konvex zárt tartományban) értelmezett sima vektor- és tenzormező. A tartományt S felület határolja (lásd a következő vázlatot):

F.5. ábra: Divergenciatétel

Erre a tartományra igaz az alábbi két tétel:

div , divu n u A n AS V S V

dS dV dS dV⋅ = ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫ . (F.80)

- Gauss-Osztrogradszkij223-(Green224) tétel: Amennyiben a divergenciatétel képleteinél A = IΦ helyettesítést alkalmazzuk és

figyelembe vesszük, hogy ( )div gradIΦ = Φ , akkor az alábbi tételhez jutunk:

grad ;nS V

dS dVΦ = Φ∫ ∫ (F.81)

- Green tételei:

Amennyiben az (F.81)-es képletnél Φ helyébe gradc Φ kifejezést írunk (c ismert skalár), akkor a megfelelő behelyettesítések és átalakítások végrehajtása után a Green-féle első integráltételhez jutunk:

( )grad grad grad nV S

c c dV c dS∆Φ + ⋅ Φ = Φ⋅∫ ∫ . (F.82/a)

222 Carl Fridrich Gauss (1777-1855) német matematikus és fizikus, a világ legnagyobb tudósainak egyike. 223 Mihail Vasziljevics Osztrogradszkij (1801 – 1862) orosz matematikus, elsősorban függvénytannal foglalkozott. 224 George Green (1793 – 1841) kiváló angol fizikus, az energiaelvű számítások népszerűsítője a mechanikában.


10.06.20. 263

Ha az egyenletben felcseréljük c-t és Φ -t, majd az így kapott egyenletet kivonjuk (F.82/a)-ból, megkapjuk a második Green-integráltételt:

( ) ( )grad grad nV S

c c dV c c dS∆Φ −Φ∆ = Φ −Φ ⋅∫ ∫ . (F.82/b)

- Stokes225-tétel: Ez a tétel nyitott felületekre és zárt vonalakra vonatkozó integrálokat kapcsol össze, lásd az F.6 ábrát. Vezessünk be egy (a felületen lévő ) C görbéhez tartozó, dx-szel jelölt érintővektort, és egy felülethez tartozó n normálvektort. A görbe az ábrán látható jobbkezes irányítottsággal rendelkezik. A felületen levő sima u vektormezőre érvényes az alábbi tétel:

rotu x u nC S

d dS⋅ = ⋅∫ ∫ . (F.83)

Ha a felület zárt, akkor a bal oldal zérusra redukálódik.

F.6. ábra: A felület rajza a Stokes-tételhez

Variációszámítási alapfogalmak A mechanika variációs feladatainál (például a munka- és energiatételek alkalmazásánál) szükségünk van az ehhez kapcsolódó matematikai fogalmak használatára. A számunkra fontos változók és tételek:

- Variációs operátor: Jele δ , mindig egy adott matematikai mennyiség megváltozására utal. Értelmezését egy u skalár függvénynek egy egyszerű mechanikai feladatra való alkalmazásán illusztráljuk:

Legyen u = u(x) egy nyugalomban lévő mechanikai rendszer valamelyik állapotjellemző függvénye, és tételezzük fel, hogy a vizsgált rendszer teljes külső S határfelületének egy 1S -gyel jelölt részén a függvény előírt értékű, vagyis ott u u= .

Vezessünk be egy kicsinynek tekintett α paraméter segítségével egy

225 Sir George Gabriel Stokes (1819 – 1903) angol matematikus és fizikus. Áramlástani vizsgálatai jelentősek.


10.06.20. 264

u u v= +α (F.84) függvényt, amely a vizsgált rendszer egészére érvényes. A v függvénynél előírjuk, hogy homogén peremfeltételeket226 teljesítő legyen az 1S tartományban, azaz

10 .v S en= → − (F.85)

Az vα tagot az u függvény egy adott állapotához tartozó variációjának nevezzük. A variációk száma végtelen, de mindegyiküknek teljesítenie kell az 1S -re vonatkozó

peremfeltételt. Bármilyen v függvényt is veszünk fel, 0α = esetén az eredeti függvényhez jutunk. Ebből az állításból következik, hogy bármelyik rögzített x esetén vα valóban u adott konfigurációjának változása, variációja. Ezt a variációt fogjuk a továbbiakban uδ -val jelölni: u vδ = α . (F.86)

uδ matematikai neve az u függvény első variációja. Ha az u függvény első deriváltjának variációját akarjuk kiszámítani, akkor a következőt kapjuk eredményül:

( )d vdu dv d u

dx dx dx dx

α δ δ = α = =

(F.87)

Legyen most például a vizsgálandó függvényünk ( ), ,F F x u u′= . Rögzített x érték

esetén írjuk fel először az alábbi növekmény számításának lépéseit:

( )

( ) ( )( )2 2 22

2

( , , ) ( , , ) , ,

2....... ( , , ) ( ),

2! 2!

F FF F x u v u v F x u u F x u u v v

u u

v v vF F F FF x u u v v O

u u u u u

∂ ∂′ ′ ′ ′ ′∆ = +α +α − = + α + α +′∂ ∂

′α α α∂ ∂ ∂ ∂′ ′+ + + − = α + α + α′ ′∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(F.88)

ahol az utolsó tag a korábban már használt Landau-szimbólum. Az F függvény első variációja ennek segítségével:

0

lim

.

F F F F FF v v v v

u u u u

F Fu u

u u

α→

∆ ∂ ∂ ∂ ∂ ′ ′δ = α = α + = α + α = ′ ′α ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

′= δ + δ′∂ ∂

(F.89)

Gyakorlásképpen megmutatjuk ugyanennek az eredménynek egy másik előállítási módját:

( )

0

,.

dF u v u v F F F FF v v u u

d u u u uα=

′ ′+ α +α ∂ ∂ ∂ ∂′ ′δ = α = α + α = δ + δ ′ ′α ∂ ∂ ∂ ∂ (F.90)

Harmadik előállítási változatként felhívjuk a figyelmet az F függvény első variációjának és a teljes deriváltnak az analógiájára. A teljes derivált jelen esetben:

226 Gyakran felvetődő kérdés a virtuális elmozdulások tételének reakciószámításra történő alkalmazásakor, hogy a támaszpontokat elmozdító virtuális elmozdulások megsértik-e a homogén peremfeltételekre vonatkozó előírást. Fontos tudnunk, hogy az ilyen jellegű elmozdulás-rendszerek egy teljesen külön feladatot jelentenek, ilyenkor a szerkezet egészére ható egyensúlyi erőrendszeren értelmezzük a virtuális külső munka zérus értékűségét, és nem az eredeti (rugalmas) szerkezet egyensúlyát jelentő virtuális elmozdulás-rendszert vizsgáljuk (gondoljunk ennél az utóbbinál például a potenciális energia stacionaritási tételének alkalmazására, amikor már szigorú követelmény a virtuális elmozdulás-rendszernél az előírt elmozdulások figyelembevétele).


10.06.20. 265

F F F

dF dx du dux u u

∂ ∂ ∂ ′= + +′∂ ∂ ∂

. (F.91)

Mivel – definíciószerűen – az x értékét a variációszámításnál rögzítettük, így dx = 0, vagyis a teljes derivált egyszerű módosításából azonnal megkapjuk a függvény első variációját. - Elemi variációszámítási műveletek:

( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

11 1 2 1 21 1 12

2 2

, ,

, ,

( , , ) ,

n n

u v w

F F F F F F F F F F

F F F F FF n F F

F F

G G u v w G G G G

−

δ ± = δ ± δ δ = δ ⋅ + ⋅δ

δ ⋅ − ⋅δδ = δ = δ = ⇒ δ = δ + δ + δ

(F.92)

0 0 0 0

( ) ( ),a a a adu dv d d

v u u dx v dx v dx u dxdx dx dx dx

δ = α = α = δ δ = α = α = δ

∫ ∫ ∫ ∫ .

Példa: Írjuk fel az ( , , , , , , , )x x y yF F x y u v u v u v= függvény variációját (itt

, .x

uu stb

x

∂=∂

): x x y yx x y y

F F F F F FF u v u v u v

u v u v u v

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂δ = δ + δ + δ + δ + δ + δ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂.

Példa: Számítsuk ki az ( , , )b

a

F x u u dx′∫ függvény variációját:

( , , )b b b

a a a

F FF x u u dx F dx u u dx

u u

∂ ∂ ′ ′δ = δ = δ + δ ′∂ ∂ ∫ ∫ ∫ .

A funkcionálanalízis néhány alapvető fogalma Az energiatételek alkalmazásánál, a peremérték-feladatok és a variációs megfogalmazások között kapcsolatok elemzésénél szükségünk lesz a funkcionálanalízis néhány alapvető fogalmának használatára. A részletesebb magyarázatokra igény tartóknak a [ ]9 alatti művet

ajánljuk. A számunkra fontosabb összefüggések és tételek:

- Operátor, lineáris operátor: Operátoron olyan előírást értünk, amely egy halmaz elemeihez hozzárendeli egy másik (vagy esetleg ugyanazon) halmaz elemeit:

:T X Y→ . Az operátort lineárisnak nevezzük, ha a T operátor D tartománya lineáris tér és teljesülnek az alábbi feltételek:

( ) ( ) ( ), , , , skalárokT x y T x T y x y Dα β α β α β+ = + ∈ .

- Skaláris szorzat: Ha az X valós lineáris tér minden x,y elempárjához hozzárendelhető egy ,x y valós szám, amelyre igazak az alábbi feltételek:

, , , , , , , , , ( valós szám),

, 0, , 0 (ha 0),

x y y x x y z x z y z x y x y

x x x x x

= + = + α = α α

≥ = =

akkor az ,x y számot az x és y vektorok skaláris szorzatának nevezzük. A mi

mechanikai feladatainknál ez a skaláris szorzat általában függvényekre értelmezett szorzatintegrál alakjában lesz értelmezhető, például:


10.06.20. 266

, ( ) ( )b

a

x y x t y t dt= ∫ . (F.93)

Megjegyezzük, hogy ha az x,y vektorok skaláris szorzata zérust ad ( ), 0x y = ,

akkor az elemeket egymásra ortogonálisaknak mondjuk.

- Az L lineáris operátort szimmetrikusnak nevezzük, ha teljesül rá az alábbi feltétel: , ,Lu v Lv u= . (F.94)

- Az L lineáris operátor pozitív, ha szimmetrikus és minden u-ra:

, 0Lu u ≥ .

Az egyenlőség csak u = 0 esetén teljesülhet.

- A kvadratikus funkcionál minimumtétele: Ha L szimmetrikus operátor, akkor az Lu=f egyenlettel definiált peremérték-feladatnak létezik egy másik, az eredeti peremérték-feladattal matematikailag egyenértékű variációs megfogalmazása:

1

( ) , ,2

F u Lu u f u= − . (F.95)

Amennyiben a peremérték-feladatnak van egy (peremfeltételeket is kielégítő) 0u

megoldása, akkor ez a megoldás stacionáriussá teszi az adott F(u) funkcionált. Ha az operátor pozitív, akkor a funkcionálnak minimuma van. A tétel fordítva is megfogalmazható: a funkcionált minimalizáló (vagy stacionáriussá tevő) 0u függvény mindig megoldása lesz az eredeti peremérték-

feladatnak. A görbület definíciója Mivel ezen tárgy felületszerkezetekkel foglalkozó két fejezetében kiemelten fontos szerephez jut a görbület fogalma, emlékeztetőül – nagyon röviden – megismétlünk néhány alapfogalmat (további fontos részletek találhatók felületekről és a görbületek számításának technikájáról a [ ]10 alatti honlapon, az [ ]11 sorszámú BSc tankönyv 12. és 13. fejezetében,

illetve a [ ]12 alatti könyvben).

A görbület fogalma A görbületnek a matematikában többféle meghatározása létezik. Mi a továbbiakban az egyik legegyszerűbb, de mérnöki céljainkra megfelelő változatot használjuk, nevezetesen a görbület egy adott felület adott pontjában az ott érintő síktól (görbék esetén az adott pontban érintő egyenestől) való eltérést méri. Illusztráló példaként ([ ]10 alapján) egy síkgörbén mutatjuk be a görbület értelmezését:


10.06.20.

a./ Általános definíció F. 7 Az F.7/a ábra alapján látható, hogy a elfordul. Görbületnek nevezzük az ívhossz szerinti koordináta a képletben):

A „b” ábrán a P pontban egy kör alkotta görbeszakasznál számítjuk a görbületet, amely ebben az esetben az r sugár reciprokával egyenlő:

A főgörbület fogalma

Ha egy felület adott pontján átmenő minden egyes görbénél kiszámítjuakkor ezen értékek minimumát és maximumát az adott ponthoz tartozó főgörbületeknek hívjuk és 1 2,k k változókkal jelöljük:

Az F.8-as ábrán ([ ]10 alapján) bemutatjuk egy elliptikus hiperboloid nyeregpontjához tartozó

főgörbületi síkokat: F.8. ábra: Főgörbületek

Főgörbületi síkok

a./ Általános definíció b./ Kör görbülete

F. 7. ábra: A görbület fogalmának definiálása

alapján látható, hogy a T egységvektor a görbén mozogva folyamatosan nek nevezzük az egységnyi elmozduláshoz tartozó elfordulás

ívhossz szerinti koordináta a képletben):

Td

kds

= .

pontban egy kör alkotta görbeszakasznál számítjuk a görbületet, amely sugár reciprokával egyenlő:

1

körkr= .

Ha egy felület adott pontján átmenő minden egyes görbénél kiszámítjuakkor ezen értékek minimumát és maximumát az adott ponthoz tartozó főgörbületeknek

változókkal jelöljük:

1 max 2 min,k k k k= =

10 alapján) bemutatjuk egy elliptikus hiperboloid nyeregpontjához tartozó

Előadásvázlat

267

b./ Kör görbülete

egységvektor a görbén mozogva folyamatosan elfordulás mértékét (s az

(F.96)

pontban egy kör alkotta görbeszakasznál számítjuk a görbületet, amely

(F.97)

Ha egy felület adott pontján átmenő minden egyes görbénél kiszámítjuk a görbületek értékét, akkor ezen értékek minimumát és maximumát az adott ponthoz tartozó főgörbületeknek

(F.98)

alapján) bemutatjuk egy elliptikus hiperboloid nyeregpontjához tartozó

Normálisvektor

Érintősík


10.06.20. 268

B./ Mechanikai rendszerek modellezésének lehetséges változatai A különböző mechanikai modellezési stratégiák alapfeltevéseinek ismerete segít a közöttük történő választásban. Az alábbi – teljesnek semmiképpen nem tekinthető – felsorolás ezt kívánja megkönnyíteni.

- Klasszikus kontinuummechanikai modellezés A legfontosabb jellemzője ennek a modelltípusnak a folytonosság feltételezése. Folytonos maga az anyag, amit vizsgálunk (egymáshoz végtelenül közel elhelyezkedő pontok sokasága építi fel) és folytonosak azok a matematikai függvények (elmozdulás, sebesség, gyorsulás, feszültség, alakváltozás), amelyeket a közeg (szerkezet) mechanikai számításánál figyelembe veszünk. Szingularitásokat (torzulások a folytonos alakváltozási és feszültségmezőkben lyukaknál, repedéseknél, koncentrált erőknél, stb.) ez a modell alapvetően nem kíván figyelembe venni, legfeljebb ezen helyek izolált (elkülönített) kezelésével. A folytonosság feltételezésének másik fontos következménye, hogy ezzel a modellel nem tudunk fragmentációs (széttöredezési, szétesési) jelenségeket követni, hiszen ilyen jelenségeknél maga a vizsgált tartomány hull szét különböző részekre. Fenti megállapítások azt jelentik, hogy ezt a modellezést olyan esetekben célszerű választani, amikor sem térben, sem időben nem kérdőjelezhető meg a vizsgált szerkezet anyagi folytonossága. Homogén anyagú rugalmas, képlékeny és viszkózus jelenségek (vagy ezek kombinációjának) modellezésére használható elsősorban a kontinuummechanikai leírásmód. Megjegyezzük, hogy történetileg a klasszikus kontinuummechanika tekinthet vissza a legrégebbi alkalmazásra, már a XVIII. században ilyen modellekkel dolgozott Euler vagy a francia mechanikai iskola számos képviselője. - Diszkrét elemes modellezés227 A mechanikai modellezés kontinuummechanikától alapvetően eltérő másik „végletét” a diszkrét elemes modellezés jelenti. Ebben a leírásmódban az anyag egyáltalán nem folytonos, hanem elkülönült részek halmazából áll, és ezen részek kölcsönhatását leíró matematikai egyenletek segítségével kell a mechanikai viselkedést modellezni. A részecskék méretétől függően az atomi szinttől kezdve a bolygó méretű halmazelemekig számtalan változat létezik ma már. A diszkrét elemes mechanika elsősorban az eleve laza (laza talaj, darabos termények, porok, stb.) vizsgálatára, vagy a terhelés során széttöredező (fragmentálódó) anyagok elemzésére használható előnyösen. Néhány – mérnöki szempontból érdekesebb – változat:

o Molekuláris dinamika Ez a legrégibb modell, 1957-ben alkotta meg Berni Alder és Thomas Wainwright. Kezdetben főleg az anyag atomfizikai szintű viselkedésének

227 Megjegyezzük, hogy az MSc tárgyak között a Tartószerkezetek Mechanikája Tanszéken ezzel a témakörrel külön előadás foglalkozik „Diszkrét elemes modellezés” címmel.


10.06.20. 269

leírására használták, de ma már makro-modellezésben is találkozhatunk vele. A részecskéket kör (gömb) alakú szemcsék modellezik, a szemcsék között kizárólag nyomóerők adódhatnak át, és a részecskék általában nem képesek összetapadásra.

o Kör (gömb) alakú (makroméretű) részecskékből álló halmazok Elsősorban abban különbözik az előző változattól, hogy a részecskék szilárd anyagot is képesek modellezni, összetapadhatnak, szétválhatnak és szükség esetén esetleg újból összetapadhatnak, vagyis a legkülönbözőbb kapcsolati erők közvetítésére alkalmas a kötésük. Peter Cundall amerikai építőmérnök fejlesztett ki ilyen típusú modelleket 1979-től kezdődően.

o Poligon (poliéder) alakú (makroméretű) részecskékból álló halmazok Elvileg megegyezik a második változattal, de tetszőleges alakú szemcséket képes figyelembe (ez a tényleges számításnál nagyon komoly eltéréseket jelent, ezért is szokták élesen elkülöníteni az előzőtől!). Ugyancsak Peter Cundall modelljei voltak az első használható változatok.

- Átmeneti modellek Az átmeneti modellek a kontinuummechanikai feltételrendszer („minden folytonos”) és a diszkrét elemekkel történő leírás („minden diszkrét”) közötti átmenet különböző változatait jelentik. Sokféle formájuk van, csupán néhányat említünk közülük:

o Cosserat-kontinuum Az 1900-as évek elején a kiváló francia matematikus, Eugene Cosserat (1866 – 1931) mérnök testvérével együtt a klasszikus kontinuum-mechanika módosítását javasolta, elméletükben az egyes anyagi pontokhoz az eltolódási szabadságfokok mellett elfordulási változókat is hozzá lehet rendelni. Inhomogenitások jellemzésére, kisméretű szerkezet modellezésére az utóbbi évtizedekben sokan használják, numerikus alkalmazásai is léteznek.

o Mindlin-kontinuum Raymond David Mindlin (1906 – 1987) amerikai mérnök a Cosserat-kontinuum általánosítását javasolta 1936-ban. Az egyes pontokhoz rendelt kinematikai szabadságfokok száma itt lényegesen nagyobb, a feszültség- és alakváltozástenzorok sem szimmetrikusak többé, így a matematikai leírásmód lényegesen bonyolultabbá válik. Szemcseméret szintű mechanikai vizsgálatoknál (például talajmechanikában) használják.

o Nemlokális kontinuum A klasszikus kontinuummechanikával ellentétben itt nem lehet végtelen kicsi méretű elemi cellákkal végzett műveletekre építeni a fizikai


10.06.20. 270

egyenleteket, az elemi tartományok véges méretűek. A feszültségek és alakváltozások számításánál mindig egy adott környezet térfogati átlagát veszik figyelembe. Ez a modell kiválóan alkalmas makroszinten is heterogén anyagok (betonok, kőzetek, stb.) vizsgálatára, és széleskörűen használják repedések környezetének elemzésére. Az első változatokat a fizikában Voigt publikálta 1893-ban, de mérnöki gyakorlati alkalmazásokra csak a huszadik század hatvanas éveinek került sor (kiemelkedő Eringen és Bazant amerikai kutatók munkássága ezen a téren).

o Perydinamikai-kontinuum A legújabb (2000 környékén keletkezett, és ma még elsősorban csak elméleti jellegű) modell a hagyományos kontinuummechanikai modell differenciál-egyenletrendszer jellegű matematikai bázisát integrálegyenletekkel helyettesíti, így elkerülhetők a rendszerben jelenlevő szingularitások (pl. a repedések) elkülönített kezelése. Eddig elsősorban törésmechanikai alkalmazásai ismertek.

Az átmeneti modellek mindegyike a kontinuummechanikában alkalmazott szoros feltételrendszert kívánja feloldani valamilyen módon: a szabadságfok növelésével, a heterogenitás figyelembevételével, a szinguláris feszültségi helyek számításba történő bevonásával, stb.

C./ Megjegyzések a szilárdságtan munka- és energiatételeihez A BSc Szilárdságtanban megismerkedtünk a különböző munkafogalmakkal és ezek variációs egyenletekben (munkatételekben) való alkalmazásával. Most két – ott elhangzott – munka- és egy energiatételhez fűzünk megjegyzést, hogy hangsúlyozzuk ezek fontosságát:

a./ Virtuális elmozdulások tétele

Írjuk fel a vizsgált mechanikai szerkezet S határoló felületére felírt munka képletét, és alakítsuk át a Cauchy-összefüggés segítségével a felületen működő t erőket feszültségekké :

i i j i j i j i i j

S S S

t u dS n u dS u n dSδ = σ δ = σ δ∫ ∫ ∫ . (F.99)

A Gauss-tétel alkalmazásával írjuk ezt át térfogati integrállá:

( ) , ,,j i i j j i i j i j i j i i jjS V V V

u n dS u dV u dV u dVσ δ = σ δ = σ δ + σ δ∫ ∫ ∫ ∫ . (F.100)

Az utolsó egyenlőségben szereplő két integrál közül most csak a másodikkal foglalkozzunk, megjegyzésünk szempontjából az első nem fontos. Alakítsuk át ezt a következőképpen:

( ) ( ), , , , ,

1 1

2 2j i i j j i i j i j j i i j i j j i i j i j

V V V V

u dV u u dV u u dV dVσ δ = σ δ +σ δ = σ δ + δ = σ δε∫ ∫ ∫ ∫ .

(F.101) Látható, hogy a munka értékének számításakor a – tetszőleges (!) – elmozdulások kicsiny variációját használtuk. Ez azt igazolja, hogy a virtuális elmozdulások tételének alkalmazásakor a – tetszőleges anyagi viselkedés mellett – az


10.06.20. 271

alakváltozások típusa is tetszőleges lehet, vagyis a tételt alkalmazhatjuk nagy alakváltozások esetében is. b./ Virtuális erők tétele Ismételjük meg az előbb bemutatott eljárást virtuális erők esetében:

i i j i j i j i i j

S S S

t u dS n u dS u n dSδ = δσ = δσ∫ ∫ ∫ . (F.102)

Újból felhasználjuk a Gauss-tételt:

( ) , ,,j i i j j i i j i j i j i i jjS V V V

u n dS u dV u dV u dVδσ = δσ = δσ + δσ∫ ∫ ∫ ∫ . (F.103)

Most is csak a második integrál fontos számunkra:

( ) ( ), , , , ,

1 1

2 2j i i j j i i j i j j i i j i j j i i j i j

V V V V

u dV u u dV u u dV dVδσ δ = δσ + δσ = δσ + = δσ ε∫ ∫ ∫ ∫ .(F.104)

Az itt kapott képlet nagyon hasonló az előzőhöz, de tartalmát tekintve van egy lényeges különbség: a feszültségek kicsiny variációját szorozzuk az elmozdulás-gradiens segítségével kapott alakváltozás-tenzorral. Ez azonban csak akkor ad fizikailag értelmes értékét, ha a két mennyiség energia-értelemben egymással kompatibilis, vagyis a virtuális erők tételét kizárólag kicsiny alakváltozások esetében lehet alkalmazni. Az elmondottak illusztrálására nézzük a következő egyszerű példát: Példa: Az ábrán egy eredeti helyzetéből elmozdult, de már egyensúlyban lévő, merev gerendát látunk, amire függőleges koncentrált erő és egy spirálrugó hatására keletkező támasznyomaték228 működik:

F.9. ábra: Virtuális erők tételének vizsgálata Számítsuk ki a komplementer energia értékét: 0k yM v FδΠ = δΠ = θδ + δ =% % .

Írjuk fel a gerendára vonatkozó egyensúlyi egyenletet: cos 0yM F l+ θ = .

Ugyanez virtuális dinámokkal: cos 0yM F lδ +δ θ = .

Fejezzük ki innen Mδ értékét és írjuk be a kiegészítő munka képletébe:

( )cos 0yl v FδΠ = −θ θ+ δ =% .

228 Megjegyezzük, hogy a feladat szempontjából most közömbös, hogy a támaszrugó lineáris, vagy nemlineáris fizikai viselkedésű.


10.06.20. 272

Az eltolódás és elfordulás közötti (zárójelben lévő kifejezésből adódó) kapcsolati egyenlet csak akkor igaz, ha mozgás kicsiny, hiszen ilyen esetben cos 1 és .v lθ ≈ = θ Minden más esetben nem kompatibilisek egymással a tétel alapján vizsgálható elmozdulások. c./ Castigliano második tétele Ez az eljárás – a virtuális erők tételéhez hasonlóan – arra alkalmas, hogy egy statikai terhekkel, előírt deformációkkal és támaszmozgásokkal terhelt, rugalmas anyagú szerkezet valamely pontjában a létrejövő eltolódás- vagy elfordulásvektor tetszőleges irányú komponensét meghatározzuk. Jelölje például 1 2, ,......, mP P P a szerkezetre ható koncentrált terheket229. A terhek

támadáspontjai a terheletlen, deformálatlan állapothoz képest elmozdulhatnak. Jelölje a továbbiakban 1 2, ,......, mu u u a támadáspontokban a terheknek megfelelő irányú

elmozdulás-komponenseket230. A szerkezet statikailag határozott vagy határozatlan egyaránt lehet. A reakciókat jelölje 1 2 1, ,.., , ,...,n n n rR R R R R+ + , ahol r a statikai határozatlanság foka, n pedig annyi,

ahány független egyensúlyi egyenlet írható fel az adott szerkezetnél (például általános síkbeli erőrendszer esetén n=3 , általános térbeli erőrendszernél pedig n=6). Az 1 2, ,.., nR R R reakciók legyenek olyanok, hogy statikailag határozott megtámasztást

biztosítsanak (ez lényegében egy statikailag határozott „törzstartó” felvételének tekinthető), 1,...,n n rR R+ + pedig az r darab „redundáns” reakció. A támaszoknál

legyenek adottak az előírt 1 2 1, ,...., , ,....,n n n re e e e e+ +ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ támaszmozgások231. Célunk a iP

teher támadáspontjánál létrejövő iu elmozdulás meghatározása.

A terheletlen állapothoz viszonyított kiegészítő potenciált a 1 2, ,......, mP P P statikai

terhek és az 1,...,n n rR R+ + redundánsok, mint független változók függvényében

írhatjuk fel (a törzstartó reakcióit a statikai terhekből és a redundánsokból egyensúlyi egyenletek segítségével ki tudjuk fejezni):

1 1( ,..., , ,...., )m n n rP P R R+ +Π = Πɶ ɶ (F.105)

Vizsgáljuk meg, hogyan változik a külső és belső kiegészítő potenciál, ha a iP terhet

iP∆ -vel megváltoztatjuk. A keresett állapothoz tartozó iu elmozdulás a iP∆

tehernövekményen i iu P∆ kiegészítő munkát végez. A törzstartó reakcióin, amelyek

1 2, ,..., nR R R∆ ∆ ∆ mértékben változnak meg azért, hogy a megváltozott teherrel fenn

tudják tartani az egyensúlyt, az előírt támaszmozgások végeznek kiegészítő munkát, így a külső potenciál növekménye:

1

n

k i i j jj

u P e R=

∆Π = − ∆ − ∆∑ɶ ɶ (F.106)

229 Megjegyezzük, hogy a tétel megoszló terhekre is általánosítható, de ezzel most az egyszerűség kedvéért nem foglalkozunk. 230 Ha iP erő, akkor iu eltolódást, ha pedig iP nyomaték, akkor iu elfordulást jelent. 231 Mint látni fogjuk, a „törzstartó” támaszainál ezeknek zérus értékűeknek kell lenniük ahhoz, hogy a tétel érvényes legyen.


10.06.20. 273

A belső kiegészítő potenciál szintén megváltozik, hiszen a szerkezeten ébredő feszültségek és a reakciók iP változása miatt módosulnak:

1 2 1 1 1

1 2 1 1 1

( , ,..., , , ,... , ... )

( , ,..., , , ,... , ... )

b b i i i i m n n r

b i i i m n n r

P P P P P P P R R

P P P P P P R R

− + + +

− + + +

∆Π = Π + ∆ −

−Π

ɶ ɶ

ɶ (F.107)

Mivel a iP -hez tartozó, általunk keresett állapotba vivő 1 1,...., , ,....,m n ru u e e +ɶ ɶ

elmozdulás-rendszernek kompatibilisnek kell lennie, teljesül a kiegészítő potenciális energia tétele, vagyis igaz a

0 0k b

i i iP P P

∂Π ∂Π∂Π= ⇒ + =

∂ ∂ ∂

ɶ ɶɶ (F.108)

összefüggés. Követeljük meg most azt is, hogy mindazoknál a támaszoknál, amelyek a törzstartón szerepelnek, az jeɶ előírt támaszmozgások zérus értékűek legyenek. Ekkor a külső

kiegészítő potenciál megváltozásából a törzstartó támaszaihoz tartozó rész zérus:

1

0n

j jj

e R=

∆ =∑ɶ , (F.109)

és így:

0 0lim lim 0,i i b

P Pi i

P u

P P∆ → ∆ →

∆ ∆Π − + = ∆ ∆

ɶ (F.110)

azaz:

( )1 2 1, ,..., , ,....b m n n r

ii

P P P R Ru

P+ +∂Π

=∂

ɶ. (F.111)

Ezt az összefüggést nevezzük Castigliano második tételének. Néhány további megjegyzés: - Ahhoz, hogy a tételt használni tudjuk, először a reakciókat és a belső erőket ki

kell fejeznünk a terhek és – statikailag határozatlan tartó esetén – a redundáns erők függvényében. Határozott szerkezetek esetén a szokásos egyensúlyi egyenletek, határozatlan tartón pl. erőmódszer (vagy a kiegészítő potenciális energia tétele) segítségével állapíthatjuk meg, hogyan függenek a reakciók és a belső erők iP -től. Csak ezután kezdhetünk hozzá a tétel alkalmazásához.

- Az előírt támaszmozgásoknak a törzstartó támaszainál zérus értékűeknek kell

lenniük. Ha tehát a vizsgált szerkezet határozott, akkor egyik támasz sem mozdulhat el, ha pedig statikailag határozatlan, akkor csak olyan támaszmozgás-rendszer esetén érvényes a tétel, amikor az el nem mozduló támaszokkal határozott törzstartót lehet kialakítani.

- Ha a szerkezet anyaga lineárisan rugalmas és nincsenek a tartón kezdeti alakváltozások, akkor a belső potenciál és a belső kiegészítő potenciál egyenlő. A szakirodalomban ezért néha nem a belső kiegészítő potenciált, hanem a belső potenciált, tehát a szerkezet anyagában felhalmozódott alakváltozási energiát használják a tételben.


10.06.20. 274

D./ A Hamilton-elv232 A fizika számos területén (klasszikus mechanika, elektromosságtan, kvantummechanika, stb.) alkalmazzák azt az (eredetileg mozgások vizsgálatára kidolgozott) variációs elvet, amelynek első változatát először Pierre-Louis Moreau de Maupertius (1698 – 1759) francia matematikus és filozófus dolgozta ki, később Euler és Lagrange is foglalkozott vele, de ma ismert alakjában William Rowan Hamilton ír matematikustól származik (publikációja adatait lásd a 12. fejezetben). Az elv fizikai lényege eredeti formájában a következő: A Hamilton-elv a mozgás természetéről tett állítás, amiből egy erőhatás alatt álló test pályája meghatározható, illetve a kölcsönhatás és átalakulás egyenletei levezethetők. A befutott pálya az elv szerint olyan, amelynek mentén számított hatás stacionárius, azaz a pálya kicsiny odébb tolására nem változik. Ha egy anyagi részecske pályáját a t idő függvényében ( )x t -vel, sebességét ( )x t& -vel jelöljük,

akkor a segítségükkel felírható ún. Lagrange-függvény ( ( ( ), ( ), )L x t x t t& ezek függvénye233

lesz. A részecske 0 1ést t időpontok (illetve 0 1( ) ( )x t és x t helyek) között befutott „valódi”

pályáját úgy találhatjuk meg, hogy a Lagrange-függvénnyel felírt

1

0

( ( ), ( ), )t

t

S L x t x t t dt= ∫ & (F.112)

hatásintegrál stacionaritási feltételét: stac.S = (F.113) vizsgáljuk234. Megjegyezzük, hogy az L Lagrange-függvény a fizika egyes területein sokféle alakban felírható. Az általános modellekkel nem foglalkozunk, csak a mi szilárdtest-mechanikai feladataink számára fontos változatot adjuk meg, ennek felépítését azonban az alábbiakban kissé részletesebben fogjuk elemezni. Vizsgáljunk meg egy kis rezgéseket végző szilárd testet Euler-bázisban és írjuk fel a mozgásegyenletét ( ig a rendszerre ható tömegerőket jelenti, iu az elmozdulásokat jelöli, ρ a

pillanatnyi sűrűség és t az időváltozó):

2

, 2i

ji j i

ug

t

∂σ + = ρ

∂ (F.114)

Alkalmazzunk erre a rendszerre a testet határoló uS részfelületen235 homogén

peremfeltételeket teljesítő iuδ virtuális elmozdulásmezőt, és írjuk fel a térfogati és felületi

erők által végzett virtuális munkát:

232 Egyes fizikai munkák a „stacionárius hatás elv”-ének, vagy röviden „hatáselv”-nek is nevezik. 233 Beleértve az explicit időfüggést is. 234 Megjegyezzük, hogy ha a rendszerben konzervatív erők (ilyen például a gravitációs és nem ilyenek a súrlódási erők) hatnak, akkor a mozgási energia és a helyzeti energia különbségeként megválasztott Lagrange-függvény a helyes Newton-törvényekhez vezet. 235 Az tS részfelületen pedig most is erő jellegű peremfeltételeket írunk elő it értékkel.


10.06.20. 275

i i i i

V S

g u dV t u dSδ + δ∫ ∫ . (F.115)

A második integrált alakítsuk át a peremfeltételek és a Gauss-tétel segítségével:

( ) , ,,i i i j j i i j i i j j i i j i jjS S V V V

t u dS n u dS u dV u dV u dVδ = σ δ = σ δ = σ δ + σ δ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . (F.116)

Használjuk most fel az (F.114) alatti egyenletet, a geometriai egyenleteket valamint a feszültségtenzor szimmetriáját az (F.116)-ben lévő utolsó egyenlőség utáni két tag átalakítására. Ez a két tag az átalakítás után:

2

2i

i i i j i j

V V

ug u dV dV

t

∂ρ − δ + σ δε ∂ ∫ ∫ . (F.117)

Ezt visszaírva megkapjuk a mozgásokra érvényes variációs egyenletet:

2

2i

i j i j i i i i

V V S

udV g u dV t u dS

t

∂σ δε = −ρ δ + δ ∂ ∫ ∫ ∫ . (F.118)

A bal oldal nem más, mint az elemi alakváltozási energia variációja:

2

2e ib i i i i

V V S

udV g u dV t u dS

t

∂δΠ = −ρ δ + δ ∂ ∫ ∫ ∫ . (F.119)

Ez tovább alakítható a külső terhekre vonatkozó peremfeltételek segítségével:

2

2

t

e ib i i i i

V V S

udV g u dV t u dS

t

∂δΠ = −ρ δ + δ ∂ ∫ ∫ ∫ . (F.120)

Következő lépésként vegyük figyelembe, hogy a iuδ virtuális elmozdulások az időnek is

függvényei és ennek megfelelően integráljuk az (F.119) alatti egyenletet két tetszőleges, de egymást követő időpont között:

1 1 1 1

0 0 0 0

2

2

t

t t t te ib i i i i i

t V t V t S t V

udV dt g u dV dt t u dS dt u dV dt

t

∂δΠ = δ + δ − ρ δ

∂∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (F.121)

Parciális integrálással számítsuk ki a jobb oldal utolsó tagjának határozott integrálját (jelöljük J-vel):

1 1

00

t t

i i ii i

V t Vt

u u uJ u dV u dV dt

t t t t

∂ ∂ ∂δ ∂ρ = ρ δ − ρ + δ ∂ ∂ ∂ ∂ ∫ ∫ ∫ . (F.122)

A második tagnál a zárójelben levő, idő szerinti sűrűségderivált a tömegmegmaradásból következő

( )i

i

u

t x

∂ ρ∂ρ= −

∂ ∂

& (F.123)

feltétel miatt elhagyható, hiszen ha (F.123)-at visszaírjuk a zárójelbe, akkor a második zárójeles tag egy nagyságrenddel kisebb lesz, mint az ott szereplő első komponens. Ha azt is figyelembe vesszük, hogy a kezdeti és végső időpontban az elmozdulás-variációk értéke zérus, akkor a J kifejezés értéke a következő lesz:

1 1 1

0 0 0 0

1

2

t t t t

i i i i i i

t V t V t V t

u u u u u uJ dV dt dV dt dV dt K dt

t t t t t t

∂ ∂δ ∂ ∂ ∂ ∂= − ρ =− ρ δ = − δ ρ =− δ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .(F.124)

K-val a vizsgált rendszer kinetikus energiáját jelöltük. Írjuk ezt vissza az (F.120) alatti egyenletbe, és vegyük figyelembe, hogy a rendszer teljes belső potenciális energiája az elemi energia térfogati integráljaként kapható:


10.06.20. 276

( )1 1 1

0 0 0 t

t t t

b i i i i

t t V t S

K dt g u dV dt t u dS dtδ Π − = δ + δ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . (F.125)

Figyelembe véve, hogy a jobb oldalon most a test teljes külső potenciális energiájának ellentettje szerepel, végül a variációs egyenlet a következő alakú lesz:

( )1

0

0t

teljes

t

K dtδ Π − =∫ . (F.126)

Az (F.126)-os képlet szerint tehát jelen esetben az L Lagrange-függvény: teljesL K=Π − . (F.127)

Megjegyezzük, hogy sok munkában ennek a függvénynek az ellentettjével (negatív L-lel) végzik el a számításokat. Ez – mivel csak stacionaritási feltételt vizsgálunk – nem okoz gondot a feladat megoldásánál. Az (F.127) alatti formában tehát a Hamilton-elv azt mondja, hogy egy dinamikai feladatnál az uS részfelületen előírt peremfeltételeket kielégítő, valamint a kezdeti és végső időpontban

a test adott helyzetének megfelelő állapotokat teljesítő dinamikai pályák közül az lesz az igazi, amelyik az adott Lagrange-függvényt stacionáriussá teszi. E./ A feszültség- és alakváltozás-szimbólumok változása a mechanika történetében Mivel – főleg történeti okokból – egyes könyvekben az általunk használt szimbólumoktól eltérő jelölésekkel is találkozhatunk, amikor a szerzők a feszültségeket, vagy az alakváltozásokat használják a különféle egyenletekben, ezért ebben a pontban röviden bemutatjuk a két alapvető mechanikai változó jelölésének az elmúlt évszázadokban használatos ismertebb változatait. A tenzorok szimmetrikus voltát mindig feltételezzük, ezért csak a főátlót és a fölötte levő elemeket adjuk meg. Valamennyi tenzor a kicsiny változásokhoz tartozó állapotok leírásához tartozik. a./ Alakváltozások

- Stokes236 jelölése a XIX. század közepéről: .

. .

x x x y x z

y y y z

z z

e e e

e e

e

ε

=

.

Sok mai munkában is előfordul ez a változat.

- Lord Kelvin237 jelölése a XIX. század végén: .

. .

e c b

f a

g

ε =

.

A fizikusok sokáig használták, de a mérnökök körében nem terjedt el.

236 Cambridge Phil. Soc, Trans, Vol. 8, Math. and Phys. papers, Vol 1. pp. 75., 1845. Stokes-ról lásd a 23-as lábjegyzetet. 237 „Elements of a Mathematical Theory of Elasticity”, Phil. Transactions, Vol. 146, pp. 481-498, London, 1859. Kelvin-ről lásd a 6. fejezet lábjegyzetét.


10.06.20. 277

- Kirchhoff238 szimbólumrendszere: .

. .

x y z

y z

z

x x x

y y

z

ε =

.

Csak fizikusok illetve az elméleti rugalmasságtannal foglalkozók alkalmazták néhány évtizedig a XIX. században.

- Saint-Venant239 jelölése: .

. .

x x y x z

y y z

z

g g

g

δε δ

δ

=

.

Bár a kiváló francia tudós a XIX. század közepén és második felében szinte minden más kortársánál többet tett a szilárdságtan akkori eredményeinek összefoglaló jellegű tisztázásáért és az elméleti alapok „rendbetételéért”, azonban ezt a jelölést rajta kívül szinte senki nem alkalmazta.

- Pearson240 jelölése: .

. .

x x y x z

y y z

z

s

s

s

σ σε σ

=

.

Pearson munkái ma is az aktívan használt anyagok közé tartoznak, ezt a sajátos alakváltozásrendszer-jelölést azonban nem használta néhány kortárs angol szerzőn kívül senki.

- Kármán Tódor241 alakváltozásai:

1 1

2 21

.2

. .

x x y x z

y y z

z

=

ε γ γ

ε ε γ

ε

.

Ezt az 1910-ben bevezetett jelölésrendszert alkalmazza ma világszerte a mechanikát használók döntő többsége!

b./ Feszültségek

- Kelvin és Kirchhoff jelölései (a vonatkozó publikációk megegyeznek az

alakváltozásoknál említettekkel): .

. .

x y z

y z

z

X X X

Y Y

Z

σ =

.

238 „Vorlesungen über mathematische Physik”, Band I„Mechanik”, pp. 110-124, 1876. Kirchoff adatait lásd a 4. fejezet lábjegyzetében. Külön életrajz is olvasható róla a tanszéki honlapon. 239 „Théorie de l’élasticité des corps solides de Clebsch”, Párizs, 1883. Saint-Venant-ról lábjegyzet található a második fejezetben illetve életrajz a tanszéki honlapon. 240 Karl Pearson (1857 – 1936) kiváló angol matematikus, a matematikai statisztika tudományának egyik megalapítója, a [ ]14 alatti mű egyik szerzője. Jelölésrendszerét az idézett mű első kötetének

„B” függelékében vezette be (pp. 881-885). 241 Szőllőskislaki Kármán Tódor (Theodore von Kármán, 1881 – 1963) magyar származású – Műegyetemen végzett – kiváló mérnök és fizikus. Az aerodinamika és aeronautika területén alkotott jelentőset. Hivatkozott munkája: „Festigkeitsprobleme im Maschinenbau”,(in: „Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften”, Band IV., Heft 3.), 1910.


10.06.20. 278

Ezt a jelölést nagyon sokáig, egészen a XX. század közepéig használta a német, francia és orosz nyelvű szakirodalom.

- Kelvin242 és Tait másik javaslata a feszültségek jelölése: .

. .

P U T

Q S

R

σ =

.

Fizikusok használták a XIX. század végén.

- Lamé243 indítványa: 1 3 2

2 1

3

.

. .

N T T

N T

N

σ =

.

A betűjelek a normál- és nyírófeszültségi komponensekre utalnak. Csak a francia szakirodalomban használták, ott is csak a XIX. században. - Saint-Venant javaslata (a publikáció megegyezik az alakváltozás-jelöléseknél

idézettel): .

. .

x x x y x z

y y y z

z z

t t t

t t

t

σ

=

.

Egyes fizikusoknál ma is előbukkan, de mérnökök csak elvétve használják. - Pearson indítványa (a publikáció megegyezik az alakváltozás-jelöléseknél idézettel):

.

. .

xx xy xz

yy yz

zz

σ

=

.

Matematikusok munkáiban a XX. század elejéig előfordult, mérnökök ritkán használták.

- Kármán Tódor feszültségei (hivatkozás, mint előbb): x xy xz

yx y yz

zx zy z

σ τ τ

σ τ σ τ

τ τ σ

=

.

Ezt az 1910-ben bevezetett jelölésrendszert alkalmazza ma a mechanikát használók többsége!

Néhány további történeti megjegyzés a mechanikai alapváltozókkal kapcsolatban:

- A „nyírás” elnevezést először Kelvin és Tait használta a [ ]37 alatti lábjegyzetben

idézett munkában.

- A Young-modulust először Navier említi ezen a néven, de széles körben ugyancsak Kelvin és Tait publikációja nyomán terjedt el. Kármántól származik viszont az „E” betűvel való jelölés, ezt ma szerte a világon így használják. A „G” jelölést a nyírási rugalmassági modulusnak Saint-Venant adta (bár főleg Kármán hatására terjedt el ezzel a jelöléssel).

242 A szerzőtárs: Peter Guthrie Tait angol mérnök: „General Theory of the Equilibrium of an Elastic Solid”, Treatise on Natural Philosophy, Part II, pp.573-741, 1883. 243 „Lecons sur la mathématique de l’élasticité des corps solides”, Párizs, 1852. Lamé életének adatairól lásd a 10. fejezet lábjegyzetét és a tanszéki honlapon lévő életrajzot.


10.06.20. 279

- Az anyagmodellek ma szokásos felírási módját (negyedrendű kapcsolati tenzorok felhasználásával) először Pearson alkalmazta [ ]14 alatti munkájában, tőle vették

át aztán később más szerzők.

Felhasznált irodalom: 1./ Holzapfel, G. A.: Nonlinear Solid Mechanics, Wiley 2001. 2./ Kurutzné dr. Kovács Márta: Klasszikus és módosított variációs elvek, BME, 2005. 3./ Scharle P.: Bevezetés a tenzorszámításba, ÉTI, 1978. 4./ http://hu.wikipedia.org/wiki/Tenzor 5./ Thomas, G. B. – Weir, M. D. – Hass, J. – Giordano, F. R.: Thomas-féle Kalkulus, I-II. Typotex, 2006. 6./ Reddy, J. N.: Energy Principles and Variational Methods in Applied Mechanics, John Wiley, 2002. 7./ Richards, T. H.: Energy Methods in Stress Analyis, John Wiley 1977. 8./ Mang, H. – Hofstetter, G. : Festigkeitslehre, Springer, 2000. 9./ Popper Gy.: A végeselem-módszer matematikai alapjai, Műszaki Könyvkiadó, 1985. 10./ http://en.wikipedia.org/wiki/Curvature 11./ Thomas, G. B. – Weir, M. D. – Hass, J. – Giordano, F. R. : Thomas-féle Kalkulus, III. kötet, Typotex, 2007 12./ Szőkefalvi N. Gy. – Gehér L. – Nagy P. : Differenciálgeometria, Műszaki Könyvkiadó, 1979. 13./ Love, A. E. H. : A treatise on the mathemathical theory of elasticity, Dover Publ., 1927. 14./ Todhunter, I. – Pearson, K. : A history of the theory of elasticity and of the strength of materials, Cambridge Univ. Press, 1886-1893. 15./ Simo, J. C. – Hughes, T. J. R. : Computational Inelasticity, Springer, 1998. 16./ Ibrahimbegovic, A.: Nonlinear Solid Mechanics, Springer, 2009. 17./ Kozák I. – Szeidl, Gy. : Tenzorszámítás indexes jelölésmódban, Miskolci Egyetem, 2009. 18./ Fung, Y. C. – Pin Tong: Classical and computational solid mechanics, World Scientific, 2007.

Date post:	14-Aug-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	5 times
Download:	0 times

Bojtár Imre MECHANIKA - MSc -...

Documents