České vysoké učení technické v Praze Fakulta stavební

Katedra speciální geodézie

Měření a hodnocení výškové lokální sítě na Pražském hradě

Bakalářská práce

2008 Jan Vaněček

1

Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci vypracoval samostatně s využitím konzultací

s Ing. Tomášem Jiřikovským a Ing. Lenkou Línkovou, literatury a internetových zdrojů

uvedených v seznamu literatury.

V Praze dne …………. ..... Jan Vaněček

….…...……………….

2

Na tomto místě bych chtěl poděkovat za odborné vedení, připomínky a odborné rady

při zpracování bakalářské práce vedoucímu Ing. Tomáši Jiřikovskému, bez kterého by tato

práce nemohla vzniknout. Dále nemohu opomenout Ing. Lenku Línkovou, která zastoupila

Ing. Jiřikovského v době jeho nepřítomnosti ve škole, a poděkovat jí za její rady.

Nakonec bych chtěl hlavně poděkovat svým rodičům, kteří mě po celou dobu studia

podporovali a díky nimž jsem se mohl plně soustředit na studium.

3

Abstrakt:

V této bakalářské práci se zabývám měřením a zpracováním lokální výškové sítě na

Pražském hradě, které se konalo na podzim roku 2007. V první části práce se zaměřuji na

technologický postup měření a zpracování jednotlivých měření včetně charakteristik

přesnosti. V druhé části práce se věnuji vyrovnání výškové sítě metodou MNČ a na závěr

porovnání použitého digitálního nivelačního přístroje s optickým nivelačním přístrojem.

Klíčová slova: nivelace, digitální nivelační přístroje, vyrovnání výškové sítě, Pražský hrad,

bakalářská práce

Abstract:

I`m concerned with a leveling and elaboration of a local height grid in the Prague castle

in this bachelor thesis. I aim at a technological process of leveling and a processing of

a measured data in the first part of the text. In the second part of the text, I aim at an

adjustment of the height grid and comparison of a digital and an optical level instrument.

Keywords: leveling, digital level instruments, adjustment of height grid, The Prague castle,

bachelor thesis

4

1 Úvod ........................................................................................................................ 6

2 Nivelační měření na Pražském hradě .................................................................. 7

2.1 Metodika měření ........................................................................................... 7

2.1.1 Geometrická nivelace ze středu ................................................................ 7

2.1.2 Metoda velmi přesné nivelace .................................................................. 8

2.1.3 Zaměření geotechnických vrtů ................................................................. 9

2.2 Jednotlivá měření ............................................................................................. 9

2.2.1 Použité přístroje a pomůcky ................................................................... 10

2.2.2 Měření dne 26. 10. 2007 ......................................................................... 10

2.2.3 Měření dne 6. 11. 2007 ........................................................................... 10

2.2.4 Měření dne 27. 11. 2007 ......................................................................... 11

2.2.5 Měření dne 12. 12. 2007 ......................................................................... 11

2.2.6 Měření dne 17. 4. 2008 ........................................................................... 11

3 Test nivelačního přístroje podle ČSN ISO 17123 ............................................. 12

3.1 Stručný obsah normy ČSN ISO 17123-2 ...................................................... 12

3.1.1 Postup 1: Zjednodušený test ................................................................... 12

3.1.2 Postup 2: Úplný test ................................................................................ 13

3.2 Výsledky testu nivelačního přístroje ............................................................. 16

3.2.1 Postup měření ......................................................................................... 16

3.2.2 Výpočty a zhodnocení výsledků testu .................................................... 16

4 Program na převod zápisníku Trimble ............................................................. 18

4.1 Struktura programu Převod ........................................................................... 19

4.2 Použití programu Převod ............................................................................... 20

5 Zpracování a vyrovnání měření ......................................................................... 22

5.1 Zpracování naměřených hodnot .................................................................... 22

5.1.1 Rozbor přesnosti po měření .................................................................... 22

5.1.2 Výpočet výběrové směrodatné kilometrové odchylky ........................... 23

5.1.3 Testování hypotéz o shodě směrodatných odchylek .............................. 23

5.2 Vyrovnání sítě ................................................................................................ 24

5

5.2.1 Vyrovnání zprostředkujících veličin ...................................................... 24

5.2.2 Vyrovnání vlastních měření .................................................................... 26

5.2.3 Výpočet výšek bočně určených bodů ..................................................... 28

5.2.4 Výpočet v programu Matlab ................................................................... 28

5.2.5 Porovnání etap měření v bazilice sv. Jiří ................................................ 29

6 Porovnání digitálního a klasického nivelačního přístroje ................................ 30

6.1 Porovnání podle testu přístrojů dle normy ČSN ISO 17123-2 ...................... 30

6.2 Porovnání přístrojů podle měřených převýšení ............................................. 30

6.2.1 T – test (Studentův test) .......................................................................... 31

6.2.2 T – test (Studentův test) pro párové hodnoty.......................................... 33

6.3 Zhodnocení porovnání nivelačních přístrojů ................................................. 33

7 Závěr ..................................................................................................................... 35

Literatura ...................................................................................................................... 36

Seznam obrázků ............................................................................................................ 37

Seznam tabulek ............................................................................................................. 37

Seznam příloh ............................................................................................................... 38 

6

1 Úvod

Pracovníci Katedry speciální geodézie se již dlouhou dobu věnují sledování posunů a

deformací objektů v lokalitě Pražského hradu a spolu s kolegy z Katedry geotechniky

sledují geotechnické vrty, které se také nacházejí na Pražském hradě. Tyto vrty a okolní

objekty byly do nedávné doby měřeny pouze odděleně nebo v souvislosti s nejbližším

okolím (např. sledování posunů zdi Na Valech, Matheyova pilíře apod.). Na podzim roku

2007 se proto rozběhl projekt, který řeší propojení všech geotechnických vrtů a vybraných

nivelačních bodů do jedné lokální výškové sítě a určení polohových souřadnic těchto vrtů a

bodů.

První výšková měření, která proběhla v rámci tohoto projektu, jsou předmětem mé

bakalářské práce. Věnuji se konkrétně jednotlivým výškovým měřením, která proběhla ke

konci roku 2007. Dále se v textu zabývám zpracováním měření včetně vyrovnání sítě a na

závěr porovnáním nivelačního přístroje Zeiss-Jena Ni007 a digitálního nivelačního přístroje

Trimble Zeiss DiNi 12T.

7

2 Nivelační měření na Pražském hradě

2.1 Metodika měření

2.1.1 Geometrická nivelace ze středu

Metoda geometrické nivelace ze středu je nejpřesnější, nejpoužívanější a také

nejjednodušší metodou určování výškových rozdílů. Její princip je patrný z Obr. 2.1. Mezi

body A, B, jejichž převýšení chceme určit, se přibližně doprostřed postaví nivelační přístroj.

Na bodech A, B se postaví nivelační latě. Na lati umístěné na bodě A se odečte čtení „vzad“

zA a na lati postavené na bodě B čtení „vpřed“ pB, pokud uvažujeme směr postupu měření

od A do B. Nivelované převýšení je potom

AB B A A Bh H H z pΔ = − = − . (2.1)

Jak již bylo řečeno, tato metoda nivelace má mnoho výhod. Její největší předností je

odstranění hlavní přístrojové chyby, nevodorovnosti záměrné přímky. Dále se tímto

postupem vyloučí vliv zakřivení Země, chyba z přeostření dalekohledu a v určitých

případech vliv refrakce a to, když jsou záměry vzad a vpřed přibližně stejně vysoko nad

terénem.

Vzhledem k požadavkům na přesnost měřených výškových rozdílů vyplývajících

z širokého uplatnění nivelace existují různé druhy nivelace, které pomocí vhodných

přístrojů, pomůcek a měřického postupu umožňují co nejefektivněji docílit požadované

přesnosti. Druhy nivelace podle zvyšujících se nároků na přesnost jsou tyto:

1. technická nivelace (TN)

2. přesná nivelace (PN)

Obr. 2.1 Princip geometrické nivelace ze středu

8

3. velmi přesná nivelace (VPN)

4. zvlášť přesná nivelace (ZPN)

2.1.2 Metoda velmi přesné nivelace

Při měření byla snaha dodržet zásady měření pro VPN pro II. řád ČSNS, tyto

požadavky jsou uvedeny např. v Metodickém návodu pro práci v Základním výškovém

bodovém poli [2]. Mezi tyto požadavky patří např.:

− základní měřickou metodou je geometrická nivelace ze středu

− měří se rektifikovaným přístrojem a rektifikovanými latěmi

− používá se pevný stativ

− přístroj a latě se nechají přizpůsobit teplotě okolního vzduchu

− latě se staví svisle na nivelační podložky

− k měření se použije dvojice (pár) nivelačních latí.

− nivelační pořad se zaměří tam a zpět

− nivelační oddíl se rozměří a rozdělí na sudý počet sestav

− pořadí nivelačních latí, které se staví na značku, se v opačném směru zamění

− směr zpět se měří v jiný den a v jinou denní dobu než směr tam

− největší přípustná délka záměry je 40 m, výška záměry nad terénem přitom

nesmí klesnout pod 0.8 m.

Avšak kvůli specifickým podmínkám na Pražském hradě nebyly některé z těchto

požadavků dodrženy. Jednalo se například o případy, kdy nivelace probíhala na schodech

nebo uvnitř budov, při tom byly porušeny tyto zásady měření:

− byl použit skládací stativ

− v některých případech nebyla dodržena výška záměry nad terénem

− nivelační oddíly byly zaměřeny tam a zpět bezprostředně po sobě.

Dále byly při měření dodržovány tyto zásady:

− jednotlivé oddíly byly rozměřovány měřickým kolečkem s přesností na 0.1 m,

oddíl byl rozdělen na sudý počet sestav nebo byl zaměřen jako jediná sestava

− před každým měřením byla provedena kontrola vodorovnosti záměrné přímky

přístroje Förstnerovou metodou, zjištěná oprava byla zaváděna během měření

pomocí software přístroje

− mezi jednotlivými sestavami byl stativ přístroje vždy otáčen o 180° ve směru

měření (bylo realizováno postavením označené nohy stativu doleva nebo

doprava kolmo ke směru měření), při měření zpět byla tato postavení zaměněna.

9

2.1.3 Zaměření geotechnických vrtů

Jednou z nejdůležitějších problematik je zaměření geotechnických vrtů, které se odvíjí

již od samotné konstrukce vrtu. Vlastní vrt je pod úrovní terénu krytý litinovým poklopem.

Vršek vrtu tvoří plastové osazení, ve kterém jsou šrouby k uchycení plastového krytu a

ocelový trn sloužící k umístění visacího zámku.

Vlastní zaměření vrtu probíhalo na speciální přípravek, který se vkládal do vrtu. My

jsme měli k dispozici dva tyto přípravky,

krátký a dlouhý, které jsme používali

v závislosti na hloubce vrtu. V případě vrtu

MPD01 (u katedrály sv. Víta) jsme použili

oba přípravky. Přípravek umístěný ve vrtu

nemá příliš velkou stabilitu, proto jsme se

snažili umisťovat přípravek vždy stejným

způsobem, aby značka na přípravku

směřovala k trnu pro zámeček. Ze stejného

důvodu jsme u každého vrtu zaměřili

převýšení i na ocelový trn pro zámeček,

tento bod jsme označili vždy číslem vrtu a

příponou Ex např. MPD01Ex.

2.2 Jednotlivá měření

Na podzim roku 2007 bylo na Pražském hradě měřeno celkem 4 krát, z toho dvě měření

byla provedena v prostorách baziliky a kláštera sv. Jiří, kde se v dubnu 2008 provedlo i třetí

měření. Toto třetí měření u sv. Jiří je také součástí mé práce. Větší počet měření se

nepovedlo uskutečnit z několika důvodů. Jedním z důvodů byl fakt, že nivelační bod, ke

kterému celá síť bude vztažena, nebyl v době měření vybudován. Tento bod by měl být

zřízen v lokalitě na Opyši a stabilizován hloubkovou stabilizací. Dalším důvodem byl

i nedostatek času pro měření.

Od konce dubna probíhají na Pražském hradě měření určování polohy metodou GPS,

měření polygonových pořadů a nivelační měření. Tato výšková měření již nejsou

z časových důvodů do mé práce zahrnuta.

Obr. 2.2 Geotechnický vrt MPD02

10

2.2.1 Použité přístroje a pomůcky

Pro měření byl vybrán digitální nivelační přístroj Trimble Zeiss DiNi 12T, u kterého

udává výrobce jednotkovou směrodatnou kilometrovou odchylku σ0 = 0.3 mm při použití

dvojice invarových nivelačních latí s čárovým kódem. Použili jsme konkrétně nivelační

přístroj katedry Speciální geodézie, výrobní číslo 701882. Dále jsme použili těžký skládací

stativ Trimble. Skládací stativ jsme zvolili s ohledem ke specifickým podmínkám Pražského

hradu (nivelace po schodech apod.).

Byly použity tyto nivelační latě s čárovým kódem od firmy Zeiss: dvojice invarových

nivelačních latí 3 m dlouhé s opěrkami (výrobní čísla: L1: 15912 a L2: 15415) a jedna

dvoumetrová invarová nivelační lať s čárovým kódem bez opěrek (výrobní číslo: 10322).

2.2.2 Měření dne 26. 10. 2007

První měřený pořad byl veden z Hradčanského náměstí z vrtu číslo VB011 přes

I. nádvoří Pražského hradu, kolem Matheyova pilíře, kde je zbudován vrt MPD02. Dále

jsme pokračovali po mostě přes Jelení příkop, okolo Míčovny až ke Královskému

letohrádku na vrt MPD05. Tohoto měření se zúčastnili Ing. Tomáš Jiřikovský, Ing. Zuzana

Fulková a Jan Vaněček.

Měřeno bylo od 8:00 přibližně do 15:00. Observační podmínky byly vhodné pro

nivelační měření: polojasno, bezvětří, 8 °C.

Použili jsme v předchozím odstavci

uvedenou dvojici nivelačních latí L1 a L2.

2.2.3 Měření dne 6. 11. 2007

Tento den byl nivelační pořad veden

z I. nádvoří Pražského hradu z nivelačního

bodu číslo 95 na II. nádvoří a Vikářskou

ulicí, ve které se nachází u katedrály

sv. Víta vrt číslo MPD01. Dále jsme

pokračovali Jiřskou ulicí až ke vchodu do

Jižních zahrad. Na tomto měření se podíleli

Ing. Tomáš Jiřikovský, Ing. Zuzana

Fulková, Jan Vaněček a Petr Vymetálek.

Měření proběhlo mezi 8:30 a 14:00

hod. Počasí tento den vypadalo následovně: Obr. 2.3 Vikářská ulice 6. 11. 2007

11

zataženo, 5 °C a silný vítr, kterým bylo měření především v okolí katedrály sv. Víta

ovlivněno. Opět jsme použili dvojici nivelačních latí L1 a L2.

2.2.4 Měření dne 27. 11. 2007

Tento den bylo poprvé měřeno v bazilice a klášteře sv. Jiří. Měření bylo navázáno na

vrt číslo MPD01 ve Vikářské ulici. Na nádvoří kláštera byl zaměřen vrt MPD04a, avšak vrt

MPD04, který se nachází uvnitř kláštera pod severní věží, nebyl zaměřen, protože se nám

nepovedlo otevřít kryt vrtu.

Při měření se objevily problémy při přechodu z vnitřních prostor kláštera ven, dva

oddíly proto musely být zaměřeny opakovaně. Tato situace byla pravděpodobně způsobena

velkým rozdílem teplot uvnitř a mimo budovu. Při měření uvnitř objektu, konkrétně pod

severní věží baziliky, bylo nutné svítit přenosnou zářivkou na lať, aby byl nivelační přístroj

schopen odečíst čtení na lati.

Měřili Ing. Tomáš Jiřikovský a Jan Vaněček od 8:00 do 12:00 hod. Při měření byla

použitá dvoumetrová nivelační lať bez opěrek, protože podmínky měření uvnitř kláštera

neumožňují použití delších latí.

Počasí tento den vypadalo následovně: zataženo, mírný vítr, venkovní vzduch měl

teplotu 4 °C a uvnitř budovy byla teplota 11 °C.

2.2.5 Měření dne 12. 12. 2007

Tento den bylo podruhé měřeno v klášteře sv. Jiří. Postup byl totožný s postupem jako

v předchozím případě s tím rozdílem, že byl rovněž zaměřen vrt MPD04.

Měření provedli Ing. Tomáš Jiřikovský a Ing. Pavla Formanová. Měření proběhlo od

12:00 do 16:00 hod. a za povětrnostních podmínek: zataženo, bezvětří, 5.9 °C venku a

11.1 °C uvnitř.

2.2.6 Měření dne 17. 4. 2008

Tento den bylo provedeno poslední měření v klášteře sv. Jiří. Postup měření byl shodný

jako v případě měření druhé etapy dne 12. 12. 2007.

Tentokrát bylo měřeno od 8:00 do 11:30 hod. a zúčastnili se jej Ing. Tomáš Jiřikovský,

Ing. Zuzana Fulková a Jan Vaněček. Počasí tento den bylo proměnlivé, zpočátku bylo

polojasno, později se objevily dešťové přeháňky, teplota vzduchu byla 15 °C.

12

3 Test nivelačního přístroje podle ČSN ISO 17123

Česká státní norma 17123 Optika a optické přístroje – Terénní postupy pro zkoušení

geodetických a měřických přístrojů uvádí terénní postupy pro určování a vyhodnocování

přesnosti geodetických přístrojů a jejich příslušenství při použití pro stavební a

zeměměřické práce. Postupy uvedené v této normě jsou míněny jako kontrola vhodnosti

přístroje pro daný úkol.

Norma se dělí na tyto části:

1. Teorie

2. Nivelační přístroje

3. Teodolity

4. Elektrooptické dálkoměry

5. Elektronické tachymetry

6. Rotační lasery

7. Optické provažovače

Tato norma přejímá anglickou verzi mezinárodní normy ISO 17123:2001, v České

republice vyšla v roce 2005.

Test digitálního nivelačního přístroje jsem provedl podle části 2, proto nyní uvedu její

stručný obsah, který se týká testu.

3.1 Stručný obsah normy ČSN ISO 17123-2

Text normy uvádí dva postupy, pro zjednodušený test a úplný test. Použil jsem úplný

test, proto postup zjednodušeného testu uvádím pouze okrajově.

3.1.1 Postup 1: Zjednodušený test

Zjednodušený postup zkoušky poskytuje odhad, zda přesnost daného vybavení je

odpovídající mezní odchylce.

Tento postup zkoušky je obvykle určen ke kontrolování přesnosti přístrojů užitých

v aplikacích, kde jsou běžné nestejné délky záměr.

Zjednodušený postup zkoušky je založen na omezeném počtu měření. Proto nemůže být

získána směrodatná odchylka. Jestliže je požadován přesnější odhad přesnosti nivelačního

přístroje v polních podmínkách, je nutné použít plný postup zkoušky.

13

3.1.2 Postup 2: Úplný test

Plný postup zkoušky je určen ke zjištění nejlepší dosažitelné přesnosti nivelačního

přístroje a jeho příslušenství v polních podmínkách. Postup je založen na rovnajících se

délkách záměr, aby byla splněna podmínka geometrické nivelace ze středu, proto nemůže

být tímto postupem zjištěna chyba sklonu záměrné osy nivelačního přístroje. Avšak tato

chyba nemá žádný vliv na výslednou výběrovou směrodatnou odchylku, protože se

měřickým postupem vyloučí.

Doporučené délky záměr jsou 30 m. Délky jiné než 30 m mohou být použity tam, kde

je jiná délka požadována projektem nebo při určení míry přesnosti nivelačního přístroje

v příslušných vzdálenostech.

Test tímto postupem je určen ke zjištění přesnosti specifického nivelačního přístroje.

Tato přesnost je vyjádřena v rámci výběrové směrodatné odchylky dvakrát měřeného

pořadu dlouhého 1 km: SISO-LEV.

Dále může být tento postup použit pro určení:

− přesnosti v použití nivelačních přístrojů jedním nivelačním týmem s jedním

nivelačním přístrojem a jeho příslušenstvím v určitém čase

− přesnosti v použití jednoho nivelačního přístroje v průběhu času

− přesnosti v používání každého z několika nivelačních přístrojů k tomu, aby

umožnily srovnání jejich příslušných dosažitelných přesností získaných při

podobných polních podmínkách.

a. konfigurace testu:

Pro udržení minimálního vliv refrakce by měla být vybrána horizontálně rovná oblast.

Povrch by měl být kompaktní, nejvhodnější je beton nebo asfalt. V případě vlivu přímého

slunečního osvitu musí být přístroj zastíněný slunečníkem.

Dva nivelační body A a B, by měly být postaveny v přibližné vzdálenosti d = 60 m od

sebe. Pro zajištění spolehlivých výsledků musí být nivelační latě ve stabilní pozici a

spolehlivě fixovány během celé zkoušky včetně opakování měření.

Nivelační přístroj musí být postaven přibližně ve stejné vzdálenosti mezi nivelačními

body, A a B ( 1 30 32

m m= ± ), pro zajištění redukování vlivu refrakce a sklonu záměrné osy

(Obr. 3.1).

14

b. měření:

Před zahájením měření je nutné počkat, než se přístroj přizpůsobí teplotě okolí. Čas

požadovaný na temperaci je přibližně dvě minuty na jeden stupeň Celsia rozdílu teplot

přístroje a vzduchu. Dále musí uživatel před měřením zkontrolovat chybu sklonu záměrné

přímky.

Měření je provedeno dvakrát. První část se skládá z dvaceti měření sestávajících se

z jednoho čtení vzad xAj (na nivelační lať v místě A) a jednoho čtení vpřed xBj (na nivelační

lať v místě B). Po každém měření musí být změněn horizont přístroje. Po deseti měřeních

zpět a vpřed ( j = 1, ..., 10) se pořadí čtení obrátí na dalších deset měření (j = 11, …, 20).

Pak budou nivelační latě na bodech A a B vyměněny a procedura bude zopakována

dvacetkrát stejným způsobem jako první část měření.

c. výpočet:

Z naměřených čtení vzad a vpřed se pomocí následujících vzorců určí výběrová

směrodatná odchylka SISO-LEV.

j Aj Bjd x x= − , 1,...40j = , kde jd jsou jednotlivá převýšení mezi body A a B. (3.1)

20

11 20

jj

dd ==

∑ kde 1d je aritmetický průměr převýšení z první části měření. (3.2)

40

212 20

jj

dd ==

∑ , kde 2d je aritmetický průměr převýšení z druhé části měření. (3.3)

1 2d dδ = − (3.4)

Rozdíl δ nemá vliv na určení výběrové směrodatné odchylky, ale lze z odhadnout

indexovou chybu dvou nivelačních latí.

Obr. 3.1 Konfigurace základny pro úplný test

15

1

2

; 1,..., 20

; 21,..., 40j j

j j

r d d j

r d d j

= − =

= − =, kde rj jsou opravy od průměrů. (3.5)

Potom suma kvadrátů oprav: 40 20 40

2 2 2

1 1 21j j j

j j jr r r

= = =

= +∑ ∑ ∑ (3.6)

Počet stupňů volnosti se určí: ( )2 20 1 38ν = ⋅ − = (3.7)

Výběrovou směrodatnou odchylku s převýšení mezi body vzdálenými 60 m je možné

určit ze vztahu:

402

1j

j

rs

ν==∑

. (3.8)

Výběrová směrodatná odchylka SISO-LEV dvakrát měřeného převýšení 1km dlouhého

pořadu se určí ze vztahu: 1000602ISO LEV

s msm− = ⋅ . (3.9)

Ve všech vzorcích jsou použity hodnoty počtu měření doporučené v této normě.

d. testy statistických hypotéz:

Všechny statistické testy jsou prováděné na hladině spolehlivosti 1 0.95α− = . Pro hodnoty

doporučené v normě je počet stupňů volnosti roven 38ν = .

Testované statistické hypotézy:

1. Testem určíme, zda odpovídá výpočtem určená výběrová směrodatná odchylka s základní

směrodatné odchylce σ určené výrobcem daného přístroje.

nulová hypotéza: s σ≤

alternativní hypotéza: s σ>

Nulová hypotéza není zamítnuta v případě, pokud je splněn vztah:

( )21s α ν

σν−Χ

≤ ⋅ , (3.10)

kde pro dané hodnoty ( )20.95 38 53.38χ = , jinak nulovou hypotézu zamítáme a

přijímáme alternativní hypotézu.

2. Testem určíme, zda dvě experimentálně zjištěné směrodatné odchylky ze dvou různých

měření patří do stejného základního souboru.

nulová hypotéza: 1 2s s=

alternativní hypotéza: 1 2s s≠

Nulová hypotéza není zamítnuta, jestliže je splněn vztah:

16

( ) ( )

22

1 / 2 1 221 / 2 1 2 1

1 ,,

s FF s α

α

ν νν ν −

−

≤ ≤ , (3.11)

kde pro dané hodnoty je hodnota F-rozdělení rovna ( )0.975 38,38 1.91F = , Pokud

nerovnost (3.11) neplatí, nulovou hypotézu zamítáme a přijímáme alternativní

hypotézu.

3. Testujeme, zda se indexová chyba dvojice nivelačních latí rovná nule:

nulová hypotéza: 0δ =

alternativní hypotéza: 0δ ≠

Nulová hypotéza není zamítnuta v případě, pokud je splněn vztah:

( )1 / 2s tδ αδ ν−≤ ⋅ , (3.12)

kde 10ssδ = . (3.13)

Pro dané hodnoty je hodnota Studentova t-rozdělení rovna 0.975 (38) 2.02t = .

3.2 Výsledky testu nivelačního přístroje

3.2.1 Postup měření

Vlastní test byl proveden 27. 3. 2008 ve sklepních prostorech Stavební fakulty ČVUT.

Testován byl digitální nivelační přístroj Trimble DiNi 12T v. č. 701882, kterým bylo

měřeno rovněž na Hradě, jak jsem uvedl v odstavci 2.2.1. Dále byla použita dvojice 2 m

dlouhých invarových latí s čárovým kódem (lať č. 1 - č.: 10333, lať č. 2 – č.: 10322).

Základna pro měření byla zvolena podle požadavků normy. Pro čtení na latích byl

vybrán způsob zpět – vpřed – vpřed – zpět proto, aby byla dodržena shodnost s měřením na

Hradě, kde se při měření využívá program přístroje Typ pořadu ZVVZ. Tento způsob také

napodobuje měření s klasickým optickým přístrojem, kde se na lati odečítá čtení na dvou

stupnicích. Do výpočtu byl použit průměr z těchto dvou čtení vzad nebo vpřed.

3.2.2 Výpočty a zhodnocení výsledků testu

Měřené hodnoty a tabulka s výpočty převýšení a oprav od průměrů jsou v příloze č. 2.

Vypočtené hodnoty průměrných převýšení 1. a 2. části:

1 26.30d = mm

2 26.34d = mm.

Rozdíl průměrných převýšení: 0.04δ = mm.

17

Výběrová směrodatná odchylka: 0.11s = mm.

Výběrová směrodatná kilometrová odchylka: 0.31ISO LEVs − = mm.

Výsledné hodnoty byly otestovány testy statistických hypotéz podle normy. Použil jsem

test č. 1 a test č. 3. Číselné hodnoty statistických testů:

- test č. 1: Dosazením hodnoty SISO-LEV do (3.10) dostaneme nerovnost:

0.31 0.36≤ .

Nerovnost je splněna, proto nemůžeme zamítnout nulovou hypotézu.

- test č. 3: Z (3.13) dostaneme výběrovou směrodatnou odchylku 0.03sδ = mm,

kterou dosadíme do (3.12) a dostaneme nerovnost:

0.04 0.07≤ .

Nerovnost je splněna, proto nemůžeme zamítnout nulovou hypotézu.

Z uvedených hodnot a především ze statistického testu č. 1 vyplývá, že experimentálně

určená směrodatná odchylka odpovídá směrodatné kilometrové odchylce, kterou udává

výrobce přístroje (σ = 0.3 mm). Z testu č. 3 můžeme usoudit, že indexová chyba dvojice

použitých latí se rovná nule.

18

4 Program na převod zápisníku Trimble

Jednou z největších výhod digitálního nivelačního přístroje je možnost registrace

měřených hodnot, to umožňuje samozřejmě i námi použitý nivelační přístroj. Pro načtení

zápisníku z přístroje a jeho zpracování slouží software výrobce Trimble Geomatics Office.

Tento software jsem ale neměl k dispozici, a proto byl zápisník z přístroje načten

v textovém formátu txt, který byl dále zpracován.

Struktura zápisníku je celkem jednoduchá a přehledná, avšak je zde spousta informací a

znaků vkládaných přístrojem, které znemožňují měřená data zkopírovat nebo oddělit od

zbytku nějakým efektivním způsobem (Obr. 4.1). Kopírování naměřených dat ze zápisníku

po jedné hodnotě není pohodlné ani příliš efektivní, proto jsem se rozhodl napsat

jednoduchý program, který by zápisník načetl, vybral naměřené hodnoty a tyto hodnoty

vypsal do textového souboru.

Obr. 4.1 Ukázka části zápisníku přístroje DiNi 12T

19

4.1 Struktura programu Převod

Pro napsání programu jsem si vybral programovací jazyk C++. Vlastní zdrojový kód

jsem napsal a kompilaci provedl a v programu Ultimate++ na platformě MS Windows XP.

Princip programu spočívá v postupném načítání řádků ze vstupního souboru, jejich

zpracovávání a uložení do paměti. Po načtení celého vstupního souboru dojde k vypsání

uložených dat do výstupního souboru.

Jako základní jednotku pro ukládání naměřených dat jsem zvolil jednu nivelační

sestavu, pro kterou jsem vytvořil objekt typu struct, do kterého se ve formě řetězců (string)

ukládají čísla bodů, čtení vzad a vpřed, délky záměr a případně i boční záměry. Dále jsou

jednotlivé sestavy ukládány do standardního kontejneru typu vector, který reprezentuje

jeden nivelační pořad (označení pořad odpovídá značení v zápisníku). Tyto pořady se

ukládají do výsledného objektu typu struct, který obsahuje opět tři kontejnery typu vector,

jeden pro ukládání pořadů typu ZVVZ, druhý pro pořady typu ZV a třetí pro měřená

převýšení, která jsou mimo pořady.

Celé zpracování se děje po jednotlivých pořadech. Pokud program načte návěští

v zápisníku „Pocatek poradu ZVVZ“ apod., které slouží i k rozpoznání typu pořadu, vytvoří

kontejner typu vector pro daný typ pořadu a ukládá do něj jednotlivé sestavy až do chvíle,

než narazí na návěští „Konec poradu“. Podle typu pořadu se zpracovávají i jednotlivé

sestavy, protože pro daný typ mají jednotnou strukturu dat. Výjimku tvoří měřená převýšení

mimo pořady, která se ukládají vždy po jednom do výsledného objektu typu vector

určeného pro tato měření.

Při zpracování zápisníku je programem přeskočena hlavička zápisníku a informace

o výšce počátečního a koncového bodu pořadu, celkové převýšení a celková délka pořadu,

které přístroj během měření počítá. Pokud bylo při měření opakované čtení nebo celé

stanovisko, program přeskočí špatné hodnoty, které jsou v zápisníku označeny u čísla bodu

sledem znaků ###, a načte jen správné hodnoty čtení. Pokud bychom chtěli hodnoty

opakovaných měření porovnat, museli bychom je vyhledat v zápisníku.

Po načtení všech dat ze vstupního souboru vypíše program tato data do výstupního

souboru v textovém formátu. Program vytváří výstupní soubor sám, název tohoto souboru je

proto vždy vystup.txt.

20

4.2 Použití programu Převod

Program Převod je konzolovou aplikací, z čehož vyplývá, že se musí spouštět

v Příkazovém řádku (Obr. 4.2). Při spouštění programu je nutné zadat vstupní soubor –

zápisník, který má být převeden. Program umí najednou zpracovat pouze jeden soubor,

proto, pokud chceme převést více zápisníků, musíme program spustit pro každý zápisník

zvlášť. Jak jsem již zmínil v předcházejícím odstavci 4.1, program pokaždé vytvoří výstupní

soubor vystup.txt, který obsahuje převedený zápisník a který se vytvoří v adresáři, kde byl

program Převod spuštěn.

Obr. 4.2 Ukázka spuštění programu Převod v Příkazovém řádku MS Windows

21

Obr. 4.3 Ukázka výstupu převedeného zápisníku programem Převod

Výstupní soubor má takovou strukturu, aby mohl být snadno načten do některého

tabulkového procesoru (MS Excel, OpenOffice.org Calc apod.) nebo matematického

software (Matlab, Octave), kde již může být proveden výpočet celého měření.

22

5 Zpracování a vyrovnání měření

5.1 Zpracování naměřených hodnot

Naměřené hodnoty jsem ze zápisníků přístroje převedl do programu MS Excel do

formy přehledných tabulek. Vypočetl jsem nivelovaná převýšení v jednotlivých oddílech,

délku těchto oddílů a rozdíl převýšení při měření tam a zpět. Bočně zaměřené body jsem

uvažoval jako volné nivelační pořady a vypočetl převýšení od počátečního bodu nivelačního

oddílu, ve kterém byl boční bod zaměřen, z měření tam i zpět. Nakonec jsem vypočetl

uzávěry uzavřených nivelačních polygonů.

5.1.1 Rozbor přesnosti po měření

V rozboru po měření byl testován rozdíl δ převýšení tam-zpět mezní odchylkou rozdílu

δM, kterou jsem zvolil tak, že odpovídá mezní odchylce pro II. řád Základního výškového

bodového pole, která je uvedena např. v [2] a má tvar:

2.25M Rδ = ⋅ , (5.1)

kde R je délka oddílu v kilometrech. Tento test byl prováděn už během měření z hodnot,

které byly vypočteny přístrojem, a v případě nesplnění nerovnosti:

Mδ δ≤ , (5.2)

byl daný oddíl znovu přeměřen. Tyto opakované oddíly potom nebyly zahrnuty do dalších

výpočtů.

Dále byly testovány uzávěry U v uzavřených nivelačních polygonech mezním

uzávěrem, který je určen opět pro II. řád Základního výškového bodového pole podle [2]:

2.25MU F= ⋅ , (5.3)

kde F je délka uzavřeného polygonu v km. Uzávěry musí splňovat nerovnost:

MU U≤ . (5.4)

Celkem byly změřeny čtyři uzavřené nivelační polygony (Tab. 5.1), z toho tři byly

stejné, protože se jedná o uzavřený polygon měřený na nádvoří kláštera sv. Jiří, který byl

zaměřen ve třech etapách. Z tabulky je zřejmé, že všechny uzávěry splňují nerovnost (5.4) a

že největší uzávěr má hodnotu 0.11 mm. Velikost uzávěrů závisí pravděpodobně i na tom,

že se jedná o krátké nivelační polygony, kdy maximální délka je 300 m.

23

Tab. 5.1 Přehled uzávěrů

Uzávěry v uzavřených polygonech

polygon mezi body U [mm] F [km] UM [mm]

2417-95-3A-5A-2417 0.09 0.29425 1.22

J8-J9-J10-J7-J8 1) 0.11 0.11879 0.78

J8-J9-J10-J7-J8 2) 0.05 0.11663 0.77

J8-J9-J10-J7-J8 3) -0.09 0.11896 0.78

5.1.2 Výpočet výběrové směrodatné kilometrové odchylky

Z rozdílů δ převýšení tam-zpět jsem vypočetl výběrovou směrodatnou kilometrovou

odchylku obousměrné nivelace, která se např. podle [2] určí:

2

10

1

1 12

Rni

iR in Rδσ

=

= ⋅ ⋅∑ , (5.5)

kde nR je počet nivelačních oddílů. Pro tato měření má hodnotu 10 0.337σ = mm.

Také je možné určit výběrovou směrodatnou kilometrovou odchylku z uzávěrů

v uzavřených nivelačních polygonech. Vzorec má tvar:

2

20

1

1 Fni

iF i

Un F

σ=

= ⋅∑ , (5.6)

kde nF je počet uzavřených polygonů. Z hodnot uzávěrů uvedených v Tab. 5.1 je hodnota

směrodatné odchylky 20 0.223σ = mm.

5.1.3 Testování hypotéz o shodě směrodatných odchylek

Předchozím výpočtem byly z měření získány dvě výběrové směrodatné odchylky, které

mají rozdílné hodnoty. Pro jejich porovnání je možné použít test statistické hypotézy

o rovnosti dvou směrodatných odchylek, tzv. F – test, který je popsán např. v [4].

Nulová hypotéza má tvar: 1 2 2 20 0 0:H σ σ= , alternativní hypotéza: 1 2 2 2

1 0 0:H σ σ≠ .

Testovacím kritériem bude veličina:

1 2

02 2

0

F σσ

= , (5.7)

která má F rozdělení (Fisherovo – Snedecorovo). Kritická hodnota má pro jednostranný test

a zvolenou hladinu významnosti α tvar 1 2( , )F n nα ′ ′ , kde 1n´ a 2n´ jsou stupně volnosti

testovaných veličin. Nulovou hypotézu zamítáme v případě F Fα> .

24

Pro α = 0.05 jsou číselné hodnoty: F = 2.29 a Fα=0.05 = 8.61. Nemůžeme tudíž nulovou

hypotézu zamítnout a předpokládáme rovnost směrodatných odchylek dvou základních

souborů, do kterých náleží testované výběrové směrodatné odchylky.

Dále je možné otestovat hypotézu, zda výběrová směrodatná kilometrová odchylka

odpovídá základní směrodatné kilometrové odchylce σ, kterou udává výrobce, testuje se zda

výběrová směrodatná odchylka odpovídá základní směrodatné odchylce. Podle [4]

testujeme nulovou hypotézu: 0 0: iH σ σ= , alternativní hypotéza: 1 0: iH σ σ≠ . Testovacím

kritériem je veličina, která má χ2- rozdělení:

20

iinχ σ

σ′

= ⋅ , (5.8)

kde in´ je počet stupňů volnosti a iσ0 je výběrová směrodatná odchylka. Při zvolené hladině

významnosti α budeme nulovou hypotézu zamítat v případě, že bude 2 21 / 2αχ χ −< nebo

2 2/ 2αχ χ> .

Při volbě α = 0.05 a dosazení číselných hodnot do (5.8) dostaneme: Tab. 5.2 Číselné hodnoty statistického testu

test 1σ0 test 2σ0

χ 2 45.43 χ 2 1.658

χ 21-α/2 21.48 χ 2

1-α/2 0.216

χ 2α/2 54.32 χ 2

α/2 9.350

Z hodnot uvedených v Tab. 5.2 je patrné, že ani v jednom případě nemůžeme zamítnout

nulovou hypotézu. Výběrové směrodatné kilometrové odchylky vypočtené ze souboru

měření tudíž odpovídají základní směrodatné kilometrové odchylce, kterou udává výrobce

přístroje.

5.2 Vyrovnání sítě

5.2.1 Vyrovnání zprostředkujících veličin

Metoda nejmenších čtverců (MNČ) je jedním ze způsobů vyrovnání, tj. způsobu jak

určit nejlepší odhad skutečné hodnoty měřené veličiny. MNČ je metoda, která při vyrovnání

klade požadavek minimalizace čtverců oprav měřených veličin 2 miniv →∑ . Tato

podmínka vyrovnání je v geodézii používaná nejčastěji, a to především z důvodů výpočtu.

Další možné podmínky vyrovnání jsou např. podle [4]:

25

a) minimalizace největší absolutní hodnoty opravy - { }max miniv →

b) minimalizace sumy absolutních hodnot oprav - miniv →∑ V geodézii se nejčastěji používá aplikace metody MNČ na vyrovnání zprostředkujících

veličin, tedy takových veličin, které je možné vyjádřit funkcí hledaných neznámých.

Označíme-li vektor měřených veličin L a vektor neznámých X a vektory vyrovnaných

měřených veličin a neznámých ,L X , můžeme napsat tento funkční vztah mezi hledanými

neznámými a měřenými veličinami:

( )L L v f X= + = , (5.9)

kde v jsou opravy měřených veličin. Jestliže za měřené veličiny budeme považovat

nivelovaná převýšení a za neznámé zvolíme výšky bodů, jsou funkce ( )f X v rovnici (5.9)

lineární a můžeme psát rovnice oprav:

v A X L= ⋅ − , (5.10)

kde matice A je matice plánu, která obsahuje derivace funkcí ( )f X podle jednotlivých

neznámých:

( ) ( )

( ) ( )

1 1

1

1

n

m m

n

f X f XX X

A

f X f XX X

⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟

∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

L

M O M

L

, (5.11)

kde m je počet měření (funkcí ( )f X ) a n je počet neznámých výšek. V tomto případě, kdy

jsou funkce ( )f X jednoduché, obsahuje matice A pouze hodnoty 0, 1 a -1. Jestliže na

rovnici oprav (5.10) aplikujeme podmínku MNČ minTv P v⋅ ⋅ → , kde P je matice váhových

koeficientů jednotlivých měření, dostaneme soustavu normálních rovnic:

T TA P A X A P L⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ . (5.12)

Součin TA P A⋅ ⋅ se často v literatuře označuje N – matice soustavy normálních rovnic,

součin TA P L⋅ ⋅ je možné potom označit n – vektor soustavy normálních rovnic. Soustava

normálních rovnic bude mít potom tvar:

N X n⋅ = . (5.13)

Řešením této soustavy získáme vyrovnané hodnoty neznámých - výšek bodů. Vyrovnané

hodnoty měřených veličin, v našem případě převýšení, určíme z vyrovnaných neznámých:

L L v A X= + = ⋅ . (5.14)

26

Po určení vyrovnaných neznámých je možné určit aposteriorní charakteristiky přesnosti

vyrovnaných neznámých i vyrovnaných měření plynoucí ze zavedení podmínky MNČ.

Aposteriorní jednotková směrodatná odchylka se vypočte podle:

0

Tapost v P v

fσ ⋅ ⋅

= , (5.15)

kde f je počet stupňů volnosti, nadbytečných měření.

Charakteristikou přesnosti vyrovnaných neznámých je kovarianční matice vyrovnaných

neznámých

1xQ N −= (5.16)

a směrodatné odchylky jednotlivých vyrovnaných neznámých

0i ii

apostx xQσ σ= ⋅ ,

(5.17)

kde iixQ jsou prvky na hlavní diagonále kovarianční matice.

Směrodatné odchylky vyrovnaných měření se určí stejným postupem z kovarianční

matice vyrovnaných měření, která se určí

TxLQ A Q A= ⋅ ⋅ . (5.18)

5.2.2 Vyrovnání vlastních měření

Při vyrovnání měření jsem použil postup vyrovnání, který je popsán v předcházejícím

odstavci, ale s jednou úpravou. Jako neznámé jsem zvolil výšky všech bodů v síti a sestavil

matici plánu A. V případě takovéto volby se jedná o volnou síť, matice N je singulární a

soustava normálních rovnic nejde vyřešit. Jedním ze způsobů řešení je fixace výšky

některého bodu na určité hodnotě pomocí tzv. pseudoměření. To znamená, že do výpočtu

přidáme ještě jedno měření, za které prohlásíme výšku určitého bodu Hfix se směrodatnou

odchylkou σfix.

Pro pseudoměření je nutné sestavit opět matici plánu Afix. V tomto případě jde pouze

o řádkový vektor, a obsahuje pouze 0 a jednu 1 na místě i, kde i je index bodu, na kterém

fixujeme výšku

( )0, 0,1,0, 0fixA = K K (5.19)

Váhová matice Pfix je pouze skalár a má tvar

2

1fix

fix

Pσ

= . (5.20)

Matice soustavy normálních rovnic N a vektor n se potom určí

27

T T

fix fix fix

T Tfix fix fix

N A P A A P A

n A P L A P H

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅. (5.21)

Řešení soustavy se dále provede standardním postupem podle (5.13).

Při vyrovnání sítě jsem provedl výpočet najednou pro měření provedená ve dnech 26.

10., 6. 11. a 27. 11. 2007. Pro tento výpočet jsem zvolil jako výchozí bod VB011Ex, na

kterém jsem výšku fixoval na hodnotě 100 m se směrodatnou odchylkou 0.1 mm. Druhou a

třetí etapu měření v bazilice sv. Jiří jsem vyrovnával každou samostatně tak, že za výchozí

bod jsem zvolil bod MPD01Ex. Výšku a směrodatnou odchylku výšky tohoto bodu jsem

převzal z prvního výpočtu vyrovnání.

Důležitým parametrem vyrovnání byla volba váhových koeficientů jednotlivých

převýšení. Jelikož klasická volba váhových koeficientů, kdy se váhy převýšení volí nepřímo

úměrné délce oddílu v km, neodpovídá situaci na Pražském hradě, kde jsou nivelační oddíly

krátké (maximální délky do 400 m), zvolil jsem váhové koeficienty nepřímo úměrné počtu

nivelačních sestav v nivelačním oddíle.

Ze všech měření jsem určil průměrnou délku nivelační sestavy sns = 26 m. Z jednotkové

směrodatné kilometrové odchylky, kterou udává výrobce, je možné určit směrodatnou

odchylku převýšení v jedné sestavě při měření tam a zpět

[ ]0 1000

nsns

s mσ σ= ⋅ , (5.22)

která pro danou průměrnou délku sestavy má hodnotu σns = 0.05 mm.

Kovarianční matice měření (jednotlivých převýšení) se určí

21

2

0

0

ns

L

ns n

nQ

n

σ

σ

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

L

M O M

L

, (5.23)

kde ni je počet nivelačních sestav v oddíle. Jestliže máme kovarianční matici měření, snadno

z ní určíme váhovou matici

1LP Q−= , (5.24)

která potom vstupuje do vyrovnání.

Pro porovnání různých způsobů volby váhových koeficientů jsem první výpočet

vyrovnání provedl třikrát pokaždé s jinou volbou vah. Nejprve jsem volil váhy nepřímo

úměrné počtu nivelačních sestav, podruhé jsem zvolil váhy rovné 1 a pro třetí výpočet jsem

váhy zvolil nepřímo úměrné délce oddílu v km. Z porovnání výsledků je zřejmé, že volba

vah nemá pro toto měření téměř žádný vliv. Rozdíly vyrovnaných výšek se většinou

28

pohybují v tisícinách milimetru. Pouze u jedné výšky rozdíl přesáhl 0.1 mm, jedná se o bod

MPD04a. Tento rozdíl mohl být způsoben způsobem měření, kdy převýšení na tento bod

bylo měřeno ze dvou stanovisek, jednou byla délka 28 m a podruhé pouze 9 m, ale jednalo

se vždy pouze o jednu sestavu, proto se zde mohl projevit rozdíl ve volbě vah. Výsledky

porovnání jsou v příloze č. 5.

5.2.3 Výpočet výšek bočně určených bodů

Bočně určené body byly vypočteny tak, že byly převedeny na volný nivelační pořad,

který začíná na počátečním bodě A daného nivelačního oddílu A-C a končí na bočně

určeném bodě B. Převýšení tedy dostaneme jako aritmetický průměr z převýšení tam a zpět

2

T ZAB AB

ABh hh Δ −Δ

Δ = . (5.25)

Tomuto převýšení je následně připočtena poměrná část opravy z vyrovnání, která přísluší

převýšení daného oddílu, ze kterého je bod bočně určen

AC ABAB AB

AC

v nh hn⋅

Δ = Δ + , (5.26)

kde vAC je oprava z vyrovnání daného oddílu, nAB je počet nivelačních sestav k bočně

určenému bodu a nAC je počet sestav celého oddílu. Výška bočně určeného bodu je potom

B A ABH H h= + Δ (5.27)

a směrodatná odchylka výšky se určí ze směrodatné odchylky počátečního bodu A

2 2B A ABH H hσ σ σΔ= + , (5.28)

kde AHσ je směrodatná odchylka výšky počátečního bodu A a

ABhσΔ je směrodatná

odchylka převýšení ΔhAB, která se určí

ABh ns ABnσ σΔ = ⋅ , (5.29)

kde σns se určí podle (5.22).

5.2.4 Výpočet v programu Matlab

Pro vlastní výpočet vyrovnání jsem zvolil program Matlab. Tento program disponuje

velkým množstvím funkcí pro operace s maticemi, které se hodí pro výpočet vyrovnání.

Celý výpočet jsem rozdělil do dvou skriptů (tzv. m – file), první pro výpočet prvního

vyrovnání a druhý pro výpočet vyrovnání a porovnání etap měření v bazilice sv. Jiří.

V těchto dvou skriptech jsem použil funkci pro vyrovnání výškové sítě. Tuto funkci jsem

napsal tak, aby fungovala obecně pro jakýkoliv počet bodů a jakýkoliv bod, na kterém se

29

fixuje výška. Tato volba má výhodu i ve výpočtu, protože je velmi rychlé a jednoduché

provést změnu například bodu, na kterém se fixuje výška.

Všechny skripty a funkce pro výpočet programu Matlab jsou na přiloženém CD.

5.2.5 Porovnání etap měření v bazilice sv. Jiří

Výšky bodů v jednotlivých etapách jsem vypočetl zvlášť, přičemž jsem jako pevný bod

bral bod MPD01Ex. Tento bod jsem zvolil z toho důvodu, že jsou k němu všechna měření

připojena a není přímo v bazilice sv. Jiří. Posuny na jednotlivých bodech jsem neurčoval,

protože to není předmětem této bakalářské práce, určil jsem pouze rozdíly mezi

jednotlivými etapami za účelem vyhledání hrubých chyb měření. Z těchto rozdílů je zřejmé,

že ve druhé etapě byla pravděpodobně hrubou chybou měření ovlivněna výška bodu

MPD04aEx, která se od ostatních etap liší téměř o 50 mm. Ostatní rozdíly se pohybují

v rámci desetin milimetru.

Porovnání jednotlivých etap jsou v příloze č. 5.

30

6 Porovnání digitálního a klasického nivelačního přístroje

V této kapitole bych chtěl provést porovnání dvou nivelačních přístrojů, které se

používají při měření na Pražském hradě. Jedná se o přístroj Trimble Zeiss DiNi 12T, se

kterým byla provedena měření zpracovávaná v této práci, a nivelační přístroj Zeiss-Jena

Ni007 (výrobní číslo 194047).

6.1 Porovnání podle testu přístrojů dle normy ČSN ISO 17123-2

V kapitole 3 jsem uvedl postup testu přístroje podle normy ČSN ISO 17123-2 a

výsledky tohoto testu pro přístroj DiNi 12T. Stejným způsobem byl testován i přístroj

Ni007, tento test provedl Petr Vymetálek, který mi také poskytl výsledky tohoto testu.

Testem určená výběrová směrodatná kilometrová odchylka má hodnotu 007 0.67NiISO LEVs mm− =

a podle testu statistické hypotézy 1 (více odstavec 3.1.2) tato hodnota odpovídá hodnotě,

kterou udává výrobce přístroje (σ = 0.7 mm). Kompletní výsledky testu Ni007 jsou v příloze

č. 6.

Porovnání přístrojů vychází z testu statistické hypotézy o rovnosti směrodatných

odchylek, který jsem popsal v odstavci 3.1.2. Po dosazení číselných hodnot do (3.11)

dostáváme tuto nerovnost

2

2

0.670.524 4.671 1.910.31

⎛ ⎞≤ = ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

,

která neplatí, proto zamítáme nulovou hypotézu a přijímáme alternativní hypotézu 007DiNi Ni

ISO LEV ISO LEVs s− −≠ . Z toho plyne, že digitální přístroj DiNi 12T má menší výběrovou

směrodatnou kilometrovou odchylku než klasický nivelační přístroj Ni007.

6.2 Porovnání přístrojů podle měřených převýšení

Část měření, která jsou zpracovávána v rámci této práce, se shoduje s měřením, které

provedli dne 17. 10. 2007 doc. J. Procházka a Ing. L. Línková nivelačním přístrojem Ni007.

Přehled těchto oddílů je vyznačen na přehledové mapce, která je přílohou č. 1.

Převýšení, která byla určena klasickým přístrojem, jsem přepočetl tak, aby odpovídala

oddílům měřeným digitálním přístrojem. Dále jsem vypočetl směrodatné odchylky těchto

převýšení. Směrodatná odchylka převýšení je

ABh s ABnσ σΔ = ⋅ , (6.1)

31

kde nAB je počet nivelačních sestav v oddíle a σs je směrodatná odchylka převýšení v sestavě

měřené tam a zpět, která má podle [7] hodnotu σs = 0.07 mm.

Tab. 6.1 Porovnávaná převýšení a jejich směrodatné odchylky

převýšení DiNi 12T Ni 007 Δh1 - Δh2

[mm] z bodu na bod Δh1 [m] σ1 [mm] Δh2 [m] σ2 [mm]

VB11 8 0.09443 0.07 0.09429 0.10 0.14

8 2417 0.01172 0.07 0.01176 0.12 -0.04

2417 5A 1.11884 0.10 1.11853 0.17 0.31

5A 3A -2.53794 0.10 -2.53796 0.16 0.02

5A MPD02 -0.63783 0.05 -0.63794 0.07 0.11

3A 95 0.32572 0.07 0.32574 0.12 -0.02

95 2417 1.09338 0.10 1.09347 0.16 -0.09

95 100 1.21855 0.10 1.21888 0.16 -0.33

100 132 0.12264 0.07 0.12270 0.14 -0.05

100 131 0.43094 0.05 0.43085 0.10 0.09

132 MPD01 -0.46639 0.07 -0.46657 0.07 0.18

6.2.1 T – test (Studentův test)

Tímto testem se testuje hypotéza, zda dva výběry s výběrovými průměry 1x , 2x a

výběrovými směrodatnými odchylkami σ1, σ2 jsou výběry ze dvou základních souborů, pro

které platí rovnost jejich středních hodnot. Test je uveden např. v [4]. Testovaná nulová

hypotéza má tvar: ( ) ( )0 1 2:H E x E x= .

Nejprve je nutné určit, zda si výběrové směrodatné odchylky odpovídají, podle toho se

pak volí testovací kritérium. Test směrodatných odchylek se provádí F – testem, postup

tohoto testu je uveden v odstavci 5.1.3. Tímto testem nebyly testovány jednotlivé

směrodatné odchylky daných převýšení, ale pouze jejich kvadratický průměr, který se

vypočte podle:

21,2

11,2

i

n

i

n

σσ ==

∑. (6.2)

Testovaná veličina se potom určí

32

2 222 2

1

0.1280.077

F σσ

= = (6.3)

a má číselnou hodnotu F = 2.78. Kritické hodnoty pro jednostranný test a hladiny

významnosti α = 0.05 a α = 0.01 mají velikosti F0.05 = 2.98 a F0.01 = 4.85. Z porovnání

testované veličiny a kritických hodnot je zřejmé, že nemůžeme zamítnout nulovou hypotézu

na hladině významnosti 5% ani 1%. Domníváme se tedy, že přesnost určení jednotlivých

převýšení různými přístroji se významně neliší.

Testovací kritérium T – testu má tvar

1 2

2 21 2

1 2

x xt

n nσ σ

−=

+

, (6.4)

kde n1, n2 jsou počty prvků ve výběrech 1 a 2. Veličina t má Studentovo rozdělení

s ( )1 2 2n n+ − stupni volnosti. Nulovou hypotézu budeme zamítat při / 2t tα> .

Kritické hodnoty pro všechna rozdělení a pro danou hladinu významnosti jsem převzal ze

statistických tabulek, např. z [4] nebo [5].

Tento test aplikujeme na dvě dvojice převýšení, která mají největší rozdíl, jedná se

převýšení mezi body 95-100 a 2417-5A. Pokud pro tento test pro obě dvojice převýšení

nezamítneme nulovou hypotézu, budeme předpokládat, že bychom nulovou hypotézu

nezamítli ani pro ostatní dvojice převýšení, jejichž rozdíly jsou menší. Pokud test vyjádříme

číselně, dostaneme tyto hodnoty: Tab. 6.2 Hodnoty T – testu pro dvě vybraná převýšení

z bodu na bod Δh1 - Δh2

[mm] n1 σ1 [mm] n2 σ2 [mm] t t0.05

95 100 -0.33 2 0.10 2 0.16 2.54 4.30

2417 5A 0.31 3 0.10 3 0.17 2.73 2.78

Z hodnot uvedených v Tab. 6.2 je zřejmé, že pro obě dvojice převýšení je splněna

nerovnost pro přijetí nulové hypotézy T – testu. Nemůžeme tedy zamítnout nulovou

hypotézu, a proto lze předpokládat, že převýšení určená digitálně a klasicky jsou výběry ze

dvou základních souborů, jejichž střední hodnoty se rovnají.

Toto porovnání je pouze orientační, protože vzhledem k velikosti testovaného souboru

a počtu nadbytečných měření mají statistické testy malou sílu a hodně se zde projevuje vliv

náhodných chyb měření.

33

6.2.2 T – test (Studentův test) pro párové hodnoty

Tento test slouží k porovnání rozdílu dvojic (xi, yi), kdy dvojice jsou z náhodného

vektoru (X, Y). Testuje se nulová hypotéza ( ) ( )0 :H E X E Y= . Tento test jsem převzal z [8]

a upravil pro porovnání dvojic měřených převýšení.

Označí-li se rozdíly dvojic převýšení (h1i, h2i) 1 2i i ih hδ = − , kde i = 1,…n a směrodatná

odchylka tohoto rozdílu 2 21 2i i iδσ σ σ= + , je možné vypočítat průměrný rozdíl a

směrodatnou odchylku průměrného rozdílu. Průměrný rozdíl se určí váženým průměrem,

kde jako váhy jsou převrácené hodnoty kvadrátů směrodatných odchylek jednotlivých

rozdílů:

2

1i

i

pδσ

= , (6.5)

potom i i

i

ppδ

δ⋅

= ∑∑

(6.6)

a ( )

( ) ( )

2

1i i

i

pp nδ

δ δσ

⋅ −=

⋅ −∑∑

. (6.7)

Testovaným kritériem je veličina

tδ

δσ

= , (6.8)

která má Studentovo t – rozdělení s k = n – 1 stupni volnosti. Abychom nezamítali nulovou

hypotézu, musí platit nerovnost / 2 / 2t t tα α− ≤ ≤ .

Jestliže se dosadí číselné rozdíly převýšení do výše uvedených vzorců, dostáváme pro

hodnotu průměru 0.065δ = mm a jeho směrodatnou odchylku 0.041δσ = mm. Testované

kritérium má hodnotu t = 1.60 a kritická hodnota tα/2 = 2.23 pro hladinu významnosti

α = 0.05, z čehož plyne, že nemůžeme zamítnout nulovou hypotézu a považujeme dvojice

převýšení za různé výběry ze dvou základních souborů, jejichž střední hodnoty se rovnají.

6.3 Zhodnocení porovnání nivelačních přístrojů

Z porovnání, která jsem provedl, lze usoudit, že digitální nivelační přístroj Trimble

Zeiss DiNi 12T má vyšší přesnost (nižší jednotkovou směrodatnou kilometrovou odchylku)

než klasický nivelační přístroj Zeiss-Jena Ni007. Měřená převýšení těmito přístroji si

vzájemně celkem odpovídají, což je vidět už z rozdílů převýšení. Dále jsem také

34

provedenými testy statistických hypotéz nevyvrátil hypotézu o rovnosti středních hodnot

základních souborů, i když tyto testy byly provedeny na souboru o malém rozsahu.

Vzhledem k těmto skutečnostem můžu vyslovit závěr, že pro měření na Pražském hradě je

možné nahradit klasický nivelační přístroj digitálním s tím, že digitální přístroj má

srovnatelnou nebo dokonce větší přesnost než klasický nivelační přístroj.

Digitální přístroj má oproti klasickému přístroji další výhody, které způsobují to, proč

se digitální nivelační přístroje stále více prosazují. Jednou nespornou výhodou digitálního

přístroje je registrace měřených dat, která eliminuje hrubé chyby z nesprávné ruční

registrace. Další výhodou je jistě i automatické odečítání na lati, které výrazně zrychluje

práci, avšak má i svá úskalí a omezení. Automatické odečítání je velmi citlivé na světelné

podmínky, lať musí být dobře osvětlena a již malý stín způsobí, že přístroj hlásí chybu.

Dalším problémem může být, že při čtení na kódové stupnici neexistuje možnost, jak

zkontrolovat čtení a je nutné věřit hodnotě, kterou určí přístroj.

35

7 Závěr

V této bakalářské práci jsem se především věnoval výškovým měřením na Pražském

hradě, která byla provedena pomocí digitálního nivelačního přístroje. Zaměřil jsem se na

jednotlivá měření a problémy, které se během nich vyskytly.

Pro převod digitálního zápisníku z přístroje jsem napsal jednoduchý program, který

podle mého názoru výrazně zrychlí a zpřehlední tuto fázi zpracování měření. Z rozdílů

měřených převýšení tam a zpět a z uzávěrů uzavřených nivelačních polygonů jsem určil

výběrové směrodatné kilometrové odchylky. Testy statistických hypotéz potvrdily, že tyto

odchylky odpovídají základní směrodatné odchylce, kterou udává výrobce. Tuto skutečnost

potvrdil i test přístroje, který jsem provedl podle normy ČSN ISO 17123-2.

Výšky všech bodů jsem určil vyrovnání metodou MNČ a dále aposteriorní

charakteristiky přesnosti vplývající z vyrovnání. Výšku výchozího bodu jsem zvolil na

100 m. Při výpočtu jsem neuvažoval vliv sbíhavosti hladinových ploch, tudíž k jednotlivým

převýšením nebyly připočteny korekce ze sbíhavosti hladinových ploch. Vypočtené výšky

jsou proto v místním systému a ne v systému Bpv.

V závěrečné části práce jsem provedl porovnání digitálního nivelačního přístroje a

klasického optického přístroje. Z tohoto porovnání jsem vyvodil závěr, že daný digitální

přístroj má vyšší přesnost než daný klasický přístroj. Z výsledků porovnání měřených

převýšení plyne, že si převýšení měřená digitálně a klasicky odpovídají. Myslím si, že je

možné nahradit klasický přístroj digitálním. Pokud vezmeme v úvahu i výhody digitálního

přístroje jako takového, je použití digitálního nivelačního přístroje přínosem po stránce

nejen přesnosti měření, ale i po stránce ekonomické.

36

Literatura

[1] BLAŽEK, Radim, SKOŘEPA, Zdeněk. Geodézie 3. 2. přeprac. vyd. Praha :

Vydavatelství ČVUT, 2004. 162 s. ISBN 80-01-03100-4.

[2] Zeměměřický úřad. Metodický návod pro práce v Základním výškovém bodovém

poli. [s.l.] : [s.n.], 2003. 46 s.

[3] ČNI. ČSN ISO 17123-2 : Optika a optické přístroje - Terénní postupy pro zkoušení

geodetických a měřických přístrojů. [s.l.] : [s.n.], 2005.

[4] HAMPACHER, Miroslav, RADOUCH, Vladimír. Teorie chyb a vyrovnávací počet

10. 1. dotisk vyd. Praha : Vydavatelství ČVUT, 2000. 159 s. ISBN 80-01-01704-4.

[5] HAMPACHER, Miroslav, RADOUCH, Vladimír. Teorie chyb a vyrovnávací počet

20. 1. dotisk vyd. Praha : Vydavatelství ČVUT, 2000. 140 s. ISBN 80-01-01703-6.

[6] ČEPEK, Aleš. Úvod do C++. 1. vyd. Praha : Vydavatelství ČVUT, 2004. 265 s.

Dostupný z WWW: <http://gama.fsv.cvut.cz/~cepek/uvodc++/uvodc++-2004-09-

11.pdf>.

[7] ČECH, Václav, JIŘIKOVSKÝ, Tomáš. Nivelace : Určení svislých posunů stavebního

objektu metodou přesné nivelace s nestejně dlouhými záměrami. [s.l.] : [s.n.], 2007. 13

s.

[8] BEDNÁŘ, Josef. Testování statistických hypotéz. [s.l.] : [s.n.], 2006. 8 s. Dostupný

z WWW: <http://mathonline.fme.vutbr.cz/download.aspx?id_file=479>.

37

Seznam obrázků

Obr. 2.1 Princip geometrické nivelace ze středu .............................................................. 7 

Obr. 2.2 Geotechnický vrt MPD02 ................................................................................... 9 

Obr. 2.3 Vikářská ulice 6. 11. 2007 ................................................................................ 10 

Obr. 3.1 Konfigurace základny pro úplný test ................................................................ 14 

Obr. 4.1 Ukázka části zápisníku přístroje DiNi 12T ...................................................... 18 

Obr. 4.2 Ukázka spuštění programu Převod v Příkazovém řádku MS Windows ........... 20 

Obr. 4.3 Ukázka výstupu převedeného zápisníku programem Převod ........................... 21 

Seznam tabulek

Tab. 5.1 Přehled uzávěrů ................................................................................................ 23 

Tab. 5.2 Číselné hodnoty statistického testu .................................................................. 24 

Tab. 6.1 Porovnávaná převýšení a jejich směrodatné odchylky ..................................... 31 

Tab. 6.2 Hodnoty T – testu pro dvě vybraná převýšení.................................................. 32 

38

Seznam příloh

1. Přehled nivelačních pořadů a nivelačních bodů měřených na podzim roku 2007

2. Měřená a vypočtená data k testu přístroje Trimble DiNi 12T

3. Vyrovnané výšky bodů

4. Porovnání výšek bodů pro různé volby váhových koeficientů při vyrovnání

5. Porovnání jednotlivých etap měření v bazilice sv. Jiří

6. Data k testu nivelačního přístroje Zeiss-Jena Ni007

7. CD se všemi dokumenty a skripty pro výpočet v programu Matlab

+ U

%

+ U

+ U

+ U

+ U%+ U+ U

+ U

+ U

+ U

+ U

+ U

+ U

+ U

+ U

%

+ U

+ U

+ U

+ U

% %+ U

+ U

+ U

+ U+ U

+ U+ U+ U+ U+ U

+ U%+ U

+ U

+ U

2 35

8

J4J3

J2J1

J5J7

J9J8

J662

87

84

95

100

131

132

133

103

145

195

166

165

164

102

120

119

114

2417

MPD

01M

PD04

MPD

05

MPD

02

VB01

1

+ U

nive

lačn

í bod

%ge

otec

hnic

ký v

rt

digi

tálně

dig.

+ o

ptic

ky

1:2

500

050

100

150

200

m

zdro

j: ht

tp://

geop

orta

l.cen

ia.c

z

Příloha č. 1: Přehled nivelačních bodů a pořadů měřených na podzim 2007

1S

Příloha č. 2: Měřená a vypočtená data k testu přístroje Trimble DiNi 12T

První polovina měření (i = 1,…20):

1 2 3 4 5 6 j XAj XBj dj rj rj

2 mm mm mm mm mm2

1 1524.11 1497.91 26.19 0.10 0.011 2 1523.85 1497.59 26.26 0.04 0.001 3 1523.61 1497.25 26.35 -0.06 0.003 4 1523.58 1497.17 26.41 -0.11 0.012 5 1523.70 1497.38 26.32 -0.03 0.001 6 1522.84 1496.65 26.19 0.10 0.011 7 1522.53 1496.17 26.37 -0.07 0.004 8 1522.97 1496.76 26.21 0.09 0.008 9 1523.34 1496.91 26.43 -0.13 0.017 10 1523.48 1497.10 26.39 -0.09 0.007 11 1524.37 1498.19 26.18 0.12 0.014 12 1524.64 1498.32 26.32 -0.02 0.000 13 1525.00 1498.72 26.28 0.02 0.000 14 1525.26 1498.89 26.37 -0.08 0.006 15 1525.64 1499.39 26.25 0.05 0.002 16 1525.87 1499.72 26.15 0.15 0.022 17 1526.09 1499.92 26.17 0.13 0.017 18 1526.46 1500.11 26.35 -0.05 0.003 19 1526.81 1500.46 26.35 -0.05 0.003 20 1527.06 1500.64 26.42 -0.12 0.014 Σ 30491.16 29965.19 525.97 -2.8E-14 0.15676

Druhá polovina měření (i = 21,…40):

7 8 9 10 11 12 j XAj XBj dj rj rj

2 mm mm mm mm mm2

1 1527.12 1500.75 26.38 -0.04 0.002 2 1527.15 1500.79 26.36 -0.02 0.001 3 1527.37 1501.09 26.27 0.06 0.004 4 1527.76 1501.37 26.38 -0.05 0.002 5 1527.85 1501.44 26.41 -0.07 0.006 6 1528.05 1501.89 26.17 0.17 0.029 7 1528.45 1502.41 26.04 0.29 0.084 8 1529.16 1502.74 26.42 -0.08 0.007 9 1529.39 1503.26 26.13 0.21 0.044 10 1529.68 1503.35 26.33 0.01 0.000 11 1529.97 1503.66 26.31 0.03 0.001 12 1530.14 1503.88 26.26 0.07 0.006 13 1530.46 1504.03 26.43 -0.10 0.009 14 1530.68 1504.37 26.31 0.03 0.001 15 1530.93 1504.62 26.32 0.02 0.000 16 1531.19 1504.85 26.35 -0.01 0.000 17 1531.56 1505.07 26.49 -0.15 0.023 18 1531.64 1505.29 26.35 -0.01 0.000 19 1532.16 1505.70 26.46 -0.13 0.017 20 1532.62 1506.07 26.55 -0.21 0.046 Σ 30593.28 30066.58 526.70 -1.4E-14 0.2809

Vypočtené průměry a směrodatné odchylky

d1= 26.30 mm d2= 26.34 mm

δ= 0.04 mm s= 0.11 mm

siso-lev= 0.31 mm

Příloha č. 3: Vyrovnané výšky všech bodů

Výšky bodů měřených ve dnech 26. 10., 6. 11. a 27. 11. 2007:

číslo bodu H [m] σH [mm] číslo bodu H [m] σH [mm]95 99.0128 0.2 MPD05Ex 81.8230 0.3 100 100.2313 0.2 J6 98.4945 0.2 132 100.3540 0.2 J8 98.9708 0.2 133 100.2487 0.2 J9 98.8404 0.2 62 98.0152 0.2 J10 98.8178 0.2 103 96.4121 0.2 J7 98.9159 0.2 145 83.4259 0.3 MPD04a 98.5529 0.2

VB011 100.1665 0.1 MPD04aEx 98.3032 0.2 114 101.6427 0.1 MPD01DL 100.3525 0.2 8 100.0944 0.1 J5 98.4805 0.2

2417 100.1061 0.1 J4 98.3980 0.2 3 98.6870 0.2 J3 98.8499 0.2 5 101.2250 0.2 J2 98.4656 0.2 2 98.5040 0.2 J1 98.5031 0.2

102 91.2000 0.2 131 100.6622 0.2 87 82.3911 0.3 195 84.6265 0.3

MPD01KR 100.0957 0.2 84 93.1743 0.2 MPD01Ex 99.8876 0.2 119 93.1807 0.2 VB011Ex 100.0000 0.1 120 92.0742 0.2 MPD02 100.7667 0.2 164 90.0531 0.2

MPD02Ex 100.5872 0.2 165 88.8276 0.2 MPD05 82.0324 0.3 166 87.6619 0.2

Výšky bodů měřených 12. 12. 2007 – 2. etapa sv. Jiří:

číslo bodu H [m] σH [mm]J6 98.4946 0.2

133 100.2488 0.2 J8 98.9708 0.2 J9 98.8404 0.2 J10 98.8178 0.2 J7 98.9160 0.2

MPD04a 98.5533 0.2 MPD04aEx 98.2541 0.2 MPD01KR 100.0957 0.2 MPD01Ex 99.8876 0.2

J5 98.4809 0.2 J4 98.3983 0.2 J3 98.8503 0.2 J2 98.4660 0.2 J1 98.5035 0.2

MPD04 98.2781 0.2

Výšky bodů měřených 17. 4. 2008 – 3. etapa sv. Jiří:

číslo bodu H [m] σH [mm]J6 98.4941 0.2

133 100.2487 0.2 J8 98.9706 0.2 J9 98.8402 0.2 J10 98.8173 0.2 J7 98.9156 0.2

MPD04a 98.5530 0.2 MPD04aEx 98.3027 0.2 MPD01KR 100.0957 0.2 MPD01Ex 99.8876 0.2

J5 98.4806 0.2 J4 98.3977 0.2 J3 98.8499 0.2 J2 98.4653 0.2 J1 98.5029 0.2

MPD04 98.2776 0.2

Příloha č. 4: Porovnání výšek bodů pro různé volby váhových koeficientů

vyrovnaná výška [m]

číslo bodu váha 1/ns váhy 1 váhy délka pořadu v km

rozdíl "1"-"2"

[mm]

rozdíl "1"-"3"

[mm]95 99.012764 99.012767 99.012771 -0.003 -0.007 100 100.231309 100.231313 100.231316 -0.004 -0.007 132 100.353951 100.353954 100.353957 -0.003 -0.006 133 100.248703 100.248706 100.248710 -0.003 -0.007 62 98.015216 98.015219 98.015222 -0.003 -0.006 103 96.412136 96.412139 96.412142 -0.003 -0.006 145 83.425888 83.425891 83.425895 -0.003 -0.007

VB011 100.166520 100.166520 100.166520 0.000 0.000 114 101.642725 101.642725 101.642725 0.000 0.000 8 100.094430 100.094430 100.094430 0.000 0.000

2417 100.106145 100.106145 100.106145 0.000 0.000 3 98.687046 98.687040 98.687053 0.006 -0.007 5 101.224988 101.224985 101.225000 0.003 -0.012 2 98.504009 98.504002 98.504015 0.007 -0.006

102 91.200009 91.200002 91.200015 0.007 -0.006 87 82.391144 82.391137 82.391150 0.007 -0.006

MPD01KR 100.095653 100.095656 100.095660 -0.003 -0.007 MPD01Ex 99.887563 99.887566 99.887580 -0.003 -0.017 VB011Ex 100.000000 100.000000 100.000000 0.000 0.000 MPD02 100.766698 100.766695 100.766710 0.003 -0.012

MPD02Ex 100.587158 100.587155 100.587170 0.003 -0.012 MPD05 82.032354 82.032348 82.032360 0.006 -0.006

MPD05Ex 81.823004 81.822998 81.823010 0.006 -0.006 J6 98.494478 98.494481 98.494485 -0.003 -0.007 J8 98.970753 98.970756 98.970760 -0.003 -0.007 J9 98.840377 98.840375 98.840380 0.002 -0.003 J10 98.817781 98.817774 98.817779 0.007 0.002 J7 98.915944 98.915953 98.915955 -0.009 -0.011

MPD05a 98.552914 98.552907 98.552812 0.007 0.102 MPD05aEx 98.303161 98.303154 98.303150 0.007 0.011 MPD01DL 100.352533 100.352536 100.352540 -0.003 -0.007

J5 98.480528 98.480531 98.480535 -0.003 -0.007 J4 98.397958 98.397961 98.397965 -0.003 -0.007 J3 98.849858 98.849861 98.849865 -0.003 -0.007 J2 98.465578 98.465581 98.465585 -0.003 -0.007 J1 98.503133 98.503136 98.503140 -0.003 -0.007

Příloha č. 5: Porovnání jednotlivých etap měření v bazilice sv. Jiří

Porovnání 1. a 2. etapy měření v bazilice sv. Jiří

číslo bodu 1. etapa 2. etapa ΔH [mm] H [m] H [m] 133 100.24870 100.24876 -0.06

MPD01KR 100.09565 100.09573 -0.08 MPD01Ex 99.88756 99.88756 0.00

J6 98.49448 98.49460 -0.13 J8 98.97075 98.97082 -0.07 J9 98.84038 98.84039 -0.01 J10 98.81778 98.81783 -0.05 J7 98.91594 98.91596 -0.01

MPD04a 98.55291 98.55326 -0.35 MPD04aEx 98.30316 98.25407 49.09 MPD01DL 100.35253

J5 98.48053 98.48087 -0.35 J4 98.39796 98.39827 -0.32 J3 98.84986 98.85030 -0.45 J2 98.46558 98.46599 -0.42 J1 98.50313 98.50351 -0.38

MPD04 98.27811

Porovnání 1. a 3. etapy měření v bazilice sv. Jiří

číslo bodu 1. etapa 3. etapa ΔH [mm] H [m] H [m]

133 100.24870 100.24872 -0.02 MPD01KR 100.09565 100.09573 -0.08 MPD01Ex 99.88756 99.88756 0.00

J6 98.49448 98.49407 0.41 J8 98.97075 98.97058 0.17 J9 98.84038 98.84023 0.15 J10 98.81778 98.81735 0.43 J7 98.91594 98.91561 0.34

MPD04a 98.55291 98.55302 -0.10 MPD04aEx 98.30316 98.30269 0.47 MPD01DL 100.35253

J5 98.48053 98.48059 -0.07 J4 98.39796 98.39767 0.29 J3 98.84986 98.84992 -0.07 J2 98.46558 98.46527 0.31 J1 98.50313 98.50295 0.19

MPD04 98.27762

Porovnání 2. a 3. etapy měření v bazilice sv. Jiří

číslo bodu 2. etapa 3. etapa ΔH [mm] H [m] H [m] J6 98.49460 98.49407 0.54

133 100.24876 100.24872 0.04 J8 98.97082 98.97058 0.24 J9 98.84039 98.84023 0.16 J10 98.81783 98.81735 0.48 J7 98.91596 98.91561 0.35

MPD04a 98.55326 98.55302 0.25 MPD04aEx 98.25407 98.30269 -48.62 MPD01KR 100.09573 100.09573 0.00 MPD01Ex 99.88756 99.88756 0.00

J5 98.48087 98.48059 0.28 J4 98.39827 98.39767 0.61 J3 98.85030 98.84992 0.38 J2 98.46599 98.46527 0.73 J1 98.50351 98.50295 0.57

MPD04 98.27811 98.27762 0.49

Příloha č. 6: Data k testu nivelačního přístroje Zeiss-Jena Ni007

Měřené hodnoty a opravy od průměrů

1 4 5 6 7 10 11 12

j dj rj rj

2 j

dj rj rj2

mm mm mm2 mm mm mm2 1 76.50 -0.14 0.020 1 76.63 -0.29 0.0863 2 76.65 -0.29 0.085 2 76.00 0.33 0.1097 3 76.58 -0.22 0.047 3 76.28 0.06 0.0032 4 76.48 -0.12 0.014 4 76.43 -0.09 0.0088 5 76.63 -0.27 0.071 5 76.03 0.31 0.0938 6 76.20 0.16 0.025 6 76.75 -0.42 0.1754 7 76.10 0.26 0.067 7 76.40 -0.07 0.0047 8 76.35 0.01 0.000 8 76.18 0.16 0.0244 9 76.30 0.06 0.003 9 76.25 0.08 0.0066 10 76.13 0.23 0.055 10 76.23 0.11 0.0113 11 75.98 0.38 0.147 11 76.50 -0.17 0.0285 12 76.23 0.13 0.018 12 75.85 0.48 0.2316 13 76.28 0.08 0.007 13 76.43 -0.09 0.0088 14 76.50 -0.14 0.020 14 76.68 -0.34 0.1182 15 76.33 0.03 0.001 15 76.53 -0.19 0.0375 16 76.23 0.13 0.018 16 76.40 -0.07 0.0047 17 76.38 -0.02 0.000 17 76.40 -0.07 0.0047 18 75.98 0.38 0.147 18 76.43 -0.09 0.0088 19 76.60 -0.24 0.058 19 76.05 0.28 0.0791 20 76.80 -0.44 0.195 20 76.23 0.11 0.0113 Σ 1527.18 -2.4E-13 0.997844 Σ 1526.63 -5.7E-14 1.057344

Vypočtené průměry a směrodatné odchylky

d1= 76.34 mm d2= 76.33 mm

δ= 0.03 mm s= 0.23 mm

siso-lev= 0.67 mm