SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE

STAVEBNÁ FAKULTA

Doc. Ing. Juraj Veselský, PhD.

FYZIKA

Vybrané state

2006

© Doc. Ing. Juraj Veselský, PhD.

Lektori: Prof. RNDr. Jozef Zámečník, PhD. Doc. Ing. Peter Dieška, CSc.

OBSAH ÚVOD 3 1 TERMIKA 5

1.1 Úvod 5 1.2 Tepelný pohyb a jeho prejavy 6 1.3 Tepelná rovnováha a 0. zákon termodynamiky 9 1.4 Teplota a jej meranie 11 1.5 Stavová rovnica ideálneho plynu. Daltonov zákon 15 1.6 Teplo, hmotnostná tepelná kapacita, skupenské teplo 21 1.7 Práca plynu. I. zákon termodynamiky 24 1.8 Molárna tepelná kapacita. Mayerova rovnica 28 1.9 Termodynamické procesy 30 1.9.1 Vratné a nevratné procesy 30 1.9.2 Izobarický proces 31 1.9.3 Izochorický proces 32 1.9.4 Izotermický proces 32 1.9.5 Adiabatický proces 33 1.10 II. zákon termodynamiky 35 1.11 Carnotov cyklus 37 1.12 Tepelné čerpadlá a chladiace stroje 39 1.13 Prenos tepla 41 1.13.1 Prenos tepla vedením 41 1.13.2 Prenos tepla prúdením 49 1.13.3 Prestup tepla cez stenu 50 1.13.4 Prenos tepla žiarením 53 Súhrn 55

2 KMITY 62

2.1 Úvod 62 2.2 Netlmený harmonický pohyb 62 2.3 Tlmený harmonický pohyb 67 2.4 Vynútené kmity. Rezonancia 71 2.5 Skladanie kmitov 74 2.5.1 Skladanie rovnobežných kmitov 74 2.5.2 Skladanie kolmých kmitov 77 2.6 Spriahnuté kyvadlá 79

Súhrn 84

3 VLNY 88 3.1 Úvod 88 3.2 Základné druhy vlnenia. Vlnová rovnica 88 3.3 Odvodenie vlnovej rovnice struny 92 3.4 Skladanie vĺn 94 3.4.1 Princíp superpozície. Fázová a grupová rýchlosť 94 3.4.2 Huygensov princíp. Odraz a lom vlnenia 97 3.4.3 Polarizácia vlnenia 102 3.4.4 Interferencia vlnenia 104 3.4.5 Stojaté vlnenie 106 3.5 Intenzita vlnenia 111 3.6 Zvuk 112 3.6.1 Základné poznatky 112 3.6.2 Intenzita a hlasitosť zvuku 114 3.6.3 Dopplerov efekt 116

Súhrn 120 4 ELEKTRINA A MAGNETIZMUS 127

4.1 ELEKTROSTATIKA 127 4.1.1 Úvod 127 4.1.2 Elektrický náboj 128 4.1.3 Coulombov zákon 129 4.1.4 Elektrické pole. Intenzita elektrického poľa 132 4.1.5 Gaussov zákon 134 4.1.6 Práca síl v elektrickom poli. Elektrický potenciál. Napätie 138 4.1.7 Elektrická kapacita. Kondenzátory 143 4.1.8 Elektrické pole v reálnom prostredí 147 4.1.9 Energia elektrického poľa 155

Súhrn 156 4.2 JEDNOSMERNÝ ELEKTRICKÝ PRÚD 161

4.2.1 Úvod 161 4.2.2 Elektrický prúd. Vektor hustoty elektrického prúdu 161 4.2.3 Elektrický odpor. Ohmov zákon 164 4.2.4 Elektrická vodivosť tuhých látok 170 4.2.5 Elektromotorické a svorkové napätie 178 4.2.6 Práca a výkon jednosmerného elektrického prúdu 181 4.2.7 Kirchhoffove zákony 182 4.2.8 RC obvod 185 Súhrn 187

4.3 MAGNETICKÉ POLE 191

4.3.1 Úvod 191 4.3.2 Vektor magnetickej indukcie 191 4.3.3 Pohyb elektrického náboja v elektrickom a magnetickom poli 194 4.3.4 Elektrický prúd a magnetické pole. Biotov – Savartov zákon 196

4.3.5 Ampérov zákon 199 4.3.6 Silové pôsobenie magnetického poľa na vodič, cez ktorý

preteká elektrický prúd 202 4.3.7 Moment sily pôsobiaci na prúdovú slučku v magnetickom

poli. Magnetický dipólový moment 204 4.3.8 Magnetické pole v látke 206 4.3.9 Magnetický tok a Gaussov zákon pre magnetizmus 212 Súhrn 214

4.4 ELEKTROMAGNETICKÉ JAVY 218

4.4.1 Úvod 218 4.4.2 Faradayov zákon elektromagnetickej indukcie 218 4.4.3 Generátory a alternátory 222 4.4.4 Vlastná indukcia 224 4.4.5 RL obvod 226 4.4.6 Energia magnetického poľa 228 4.4.7 Vzájomná indukcia. Transformátor 230 4.4.8 Maxwellove rovnice 232 4 4.9 Elektromagnetické vlnenie 235 Súhrn 238

4.5 STRIEDAVÝ ELEKTRICKÝ PRÚD 241

4.5.1 Úvod 241 4.5.2 Zdroj striedavého napätia v obvode s rezistorom 241 4.5.3 Zdroj striedavého napätia v obvode s kondenzátorom 242 4.5.4 Zdroj striedavého napätia v obvode s cievkou 243 4.5.5 Sériový RLC obvod so striedavým zdrojom 244 4.5.6 Efektívna hodnota a výkon striedavého harmonického prúdu 248 4.5.7 Netlmený oscilačný obvod a generovanie elektromagnetických vĺn 250 Súhrn 253

LITERATÚRA 255

1 TERMIKA

1.1 Úvod

Mechanika sa zaoberá pohybom materiálnych objektov, ktoré možno zredukovať na

hmotný bod a dokonale tuhé teleso. V prvom prípade sa vôbec neuvažovala vnútorná

štruktúra a objem látkového telesa. V druhom prípade sa vnútorná štruktúra uvažovala len

z hľadiska rozloženia hmotnosti, prejavujúcom sa v zmene hustoty v objeme zaberanom

telesom, pričom toto rozloženie nezáviselo od času. Teda ani v druhom prípade sa

neuvažovali vlastnosti a pohyb stavebných častíc (atómov, resp. molekúl), z ktorých je teleso

zložené.

V tejto kapitole sa budeme zaoberať látkovými objektami, ktoré pozostávajú z mnohých

častíc, pričom bude treba prihliadať aj na vlastnosti častíc a formu ich pohybu. Látky pri

normálnych podmienkach existujú v jednom z troch skupenstiev: plynnom, tuhom alebo

kvapalnom.

Plyn je tvorený atómami alebo molekulami, ktoré sa nachádzajú ďaleko od seba a ktoré

sa voľne pohybujú cez celý objem látky. Keďže molekuly sú ďaleko od seba, interakcia

medzi nimi je veľmi slabá. Plynné látky nemajú ani tvarovú, ani objemovú stálosť. Vyplnia

vždy celý objem nádoby, v ktorej sú umiestnené a sú ľahko stlačiteľné. Model molekulárneho

pohybu v plynoch je takýto: každá molekula sa prevažnú dobu pohybuje bez toho, aby

narazila na inú molekulu. Keď sa zrazí s inou molekulou zmení smer svojho pohybu.

Vzdialenosť, ktorú prejde medzi dvomi zrážkami je sto až tisíc krát väčšia ako je priemer

molekuly.

Atómy alebo molekuly, ktoré vytvárajú tuhú látku sú usporiadané veľmi tesne a nemôžu

sa voľne pohybovať cez materiál. Vykonávajú malé kmity okolo rovnovážnych polôh. Tuhé

látky si zachovávajú objem a tvar, ktorý je možné zmeniť len pôsobením pomerne veľkých

síl. Všetky tuhé látky možno rozdeliť na kryštalické a amorfné v závislosti od toho, či sú

atómy alebo molekuly usporiadané pravidelne alebo nie. Väčšina tuhých látok sú látky

kryštalické, ktorých atómy, molekuly alebo ich súbory vytvárajú pravidelné, periodicky sa

opakujúce trojrozmerné útvary. Hovoríme, že sa vyznačujú translačnou symetriou.

Charakteristickou vlastnosťou kryštálu je teda existencia usporiadania na veľkú vzdialenosť

(ďalekodosahové usporiadanie). Amorfné tuhé látky nemajú usporiadanie na veľkú

vzdialenosť. Existuje však v nich istá usporiadanosť v bezprostrednej blízkosti (na

vzdialenosti niekoľkých susedných atómov) vybraného atómu alebo molekuly. Hovoríme, že

štruktúra amorfných tuhých látok sa vyznačuje usporiadaním na malú vzdialenosť

(krátkodosahové usporiadanie).

Stavebné častice v kvapalných látkach sú usporiadané tiež tesne, ale môžu sa vzájomne

pomerne voľne pohybovať. Atómy, resp. molekuly nie sú viazané na jedno miesto. Kvapaliny

sú málo stlačiteľné a nemajú tvarovú stálosť – nadobudnú vždy tvar nádoby, v ktorej sú

umiestnené. Ich voľný povrch je vždy kolmý na smer intenzity silového poľa, v ktorom sa

nachádzajú.

Model ideálneho plynu. Najjednoduchším modelom sústavy mnohých častíc je ideálny

plyn. Je to plyn, ktorý pozostáva z bodových hmotných častíc s danou hmotnosťou, medzi

ktorými nejestvujú sily pôsobiace na diaľku a pri ich zrážke sa uplatňujú zákony platné pre

zraz tuhých gúľ. Najviac sa svojimi vlastnosťami približujú k tomuto modelu zriedené plyny.

6

Jednoduchosť modelu ideálneho plynu ho robí vhodným modelovým materiálom pre

pochopenie správania sa sústav tvorených mnohými časticami.

Vlastnosti takejto sústavy mnohých častíc by sme principiálne mohli vyšetrovať aj tak, že

by sme napísali pre každú časticu pohybovú rovnicu a riešili by sme takúto sústavu rovníc.

Postupovali by sme podobne ako v dynamike hmotného bodu. Avšak tento postup je

technicky nerealizovateľný, a to z dôvodu obrovského množstva častíc a teda aj rovníc.

Uvedomme si, že v 1 cm3 vzduchu je 2,7.10

19 molekúl. Z tohoto, ale aj z iných dôvodov je

tento spôsob skúmania sústavy mnohých častíc nevyhovujúci.

Z vyššie uvedeného vyplýva, že z hľadiska skúmania sústavy mnohých častíc je oveľa

výhodnejšie pracovať s informáciami, ktoré majú zovšeobecnený charakter a vzťahujú sa na

veľký počet častíc a nie na jednotlivé častice. Teda treba použiť metódu, ktorú nazývame

štatistická metóda. Na zisťovanie vlastností sústavy mnohých častíc teda používame

štatistické zákonitosti a pracujeme potom so strednými hodnotami rôznych fyzikálnych

veličín. Nakoniec mnohé vlastnosti častíc sa dajú vysvetliť len použitím kvantovej

mechaniky, ktorá v svojej podstate tiež využíva štatistické zákonitosti.

Sústavu mnohých častíc však možno vyšetrovať ešte aj ináč ako bolo opísané. Táto ďalšia

metóda sa nazýva termodynamická. Pri tejto metóde sa neprihliada na vnútornú štruktúru

sústavy. Pri tejto metóde sa zavádzajú pojmy a fyzikálne veličiny, ktoré sa vzťahujú na

sústavu ako celok. Experimentálne skúmania stanovujú potom vzťahy medzi týmito

veličinami. Termodynamická metóda je charakteristická svojou všeobecnosťou a umožňuje

skúmať javy bez poznania ich vnútorných mechanizmov. Naproti tomu štatistická metóda

pomáha pochopiť, vytvoriť si obraz podstaty javov a dáva do súvisu správanie sa jednotlivých

častíc, resp. súborov častíc a sústavy ako celku. Obidve metódy, termodynamická a

štatistická, sa navzájom vhodne dopĺňajú.

1.2 Tepelný pohyb a jeho prejavy

V úvode sme uviedli, že atómy a molekuly, z ktorých sa skladajú látkové objekty

vykonávajú pohyb. V tuhých látkach je to kmitavý pohyb viazaný na rovnovážnu polohu –

uzol kryštalickej mriežky. V kvapalinách a plynoch nie je pohyb častíc viazaný na nejaký

pevný bod – častice sa môžu premiestňovať v celom objeme telesa. Tento pohyb je z nášho

pohľadu náhodný, chaotický a nazývame ho tepelným pohybom. Pohyb jednotlivej častice nie

je možné pozorovať. Avšak prejavy tohoto mikroskopického pohybu veľkého počtu častíc

možno pozorovať aj na makroskopickej úrovni. Jeho dôsledkom je Brownov pohyb,

ohrievanie telies, rozťažnosť látok, difúzia, tlak plynu na steny nádoby a pod. Kým nebola

známa existencia mikroskopického pohybu molekúl, spomínané javy sa vysvetľovali

predstavou určitého „fluida“, ktoré bolo nazvané teplo a stav látok, ktorý s teplom súvisel bol

nazvaný teplota. Presnejšie definície týchto veličín uvedieme neskôr.

Brownov pohyb. Je to jeden z prvých dôkazov tepelného pohybu častíc. V r. 1928

anglický botanik Brown zistil, že peľové zrniečka prítomné vo vode, ktorú skúmal pod

mikroskopom nie sú v pokoji, ale sú v ustavičnom trhavom pohybe, ktorého smer sa

nepravidelne mení. Brown sa spočiatku domnieval, že tento pohyb je prejavom života

zrniečok. Ukázalo sa však, že podobný pohyb vykonávajú aj iné čiastočky – nemusia to byť

peľové zrniečka. Okrem toho sa zistilo, že rýchlosť pohybu sa zväčšuje s teplotou. Nakoniec

bolo prijaté vysvetlenie, že tento Brownov pohyb je spôsobený tepelným pohybom molekúl

vody.

Ako príklad súvisu tepelného pohybu s makroskopickou veličinou si uvedieme odvodenie

vzťahu pre tlak plynu na stenu nádoby, v ktorej sa nachádza. Použijeme na to jednoduchý

model: Uvažujme, že plyn sa nachádza v nádobe tvaru kocky (obr. 1.1). Molekuly plynu

7

vykonávajú náhodilý, chaotický tepelný pohyb, všetky s rovnakou rýchlosťou v. Pri tomto

pohybe časť molekúl neustále naráža na vybranú stenu nádoby a pôsobí na ňu silou. Pri

odvodzovaní vzťahu pre veľkosť tejto sily budeme predpokladať, že molekuly dopadajú na

stenu kolmo a pružne sa od nej odrážajú. Pri kolmom dopade

molekuly na stenu, stena udelí molekule impulz sily rovný zmene

jej hybnosti

00 vv mm ppI ,

kde p je hybnosť molekuly po odraze od steny, p0 – hybnosť

molekuly pri dopade na stenu, m – hmotnosť molekuly, v – rých-

losť po odraze a v0 – rýchlosť pri dopade. Ak uvážime, že pri

dokonale pružnom kolmom odraze 0vv , možno impulz sily

vyjadriť ako vvv mmm 2I a jeho veľkosť ako vmI 2 .

Ďalej predpokladajme, že za časový interval dt dopadne na

stenu tNd molekúl. Potom impulz sily, ktorý udelí stena moleku-

lám vyjadruje vzťah

vmNtFI td2dd c ,

z ktorého sila F je

,2d

d21 v

vmN

t

mNF t (1.1)

kde N1 je počet molekúl, ktoré dopadli na stenu za dobu 1 s.

Zo zákona akcie a reakcie však vyplýva, že rovnako veľkou silou pôsobia aj molekuly na

stenu nádoby.

Ďalej predpokladajme, že zo všetkých molekúl umiestnených v kockovej nádobe jedna

šestina smeruje k stene (kocka má šesť stien), na ktorú tlak skúmame. Nech VNNV je

koncentrácia molekúl (počet molekúl nachádzajúcich sa v jednotke objemu) a nech sa všetky

molekuly pohybujú rýchlosťou v. Potom na stenu nádoby s plochou S za jednu sekundu

dopadnú všetky molekuly, ktoré sa k nej pohybujú a ktoré sa nachádzajú vo vzdialenosti

menšej alebo rovnej veľkosti rýchlosti v (na obr. 1.1 tieňovaná oblasť), teda

61

vSNN V . (1.2)

Potom, po dosadení vzťahu (1.2) do vzťahu (1.1), sila F pôsobiaca na stenu nádoby je

6

2 2vSmNF V

a tlak, definovaný ako SFp

k2

3

2

2

1

3

2ENmNp VV v , (1.3)

kde 2

21

k vmE je kinetická energia molekuly plynu.

Obr. 1.1. Tlak plynu na

stenu nádoby je dôsledkom

tepelného pohybu molekúl.

V

N

S

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

8

V predchádzajúcich úvahách sme predpokladali, že všetky molekuly sa pohybujú tou istou

rýchlosťou. V skutočnosti tomu tak nie je. Molekuly majú rôzne rýchlosti – existuje ich určité

štatistické rozdelenie. Predpokladajme v ďalšom, že 1VN molekúl sa pohybuje rýchlosťou v1,

2VN rýchlosťou v2, atď. Potom tlak

,3

2

3

2

1

2

212

221

2212

11

n

i

iViVV mNmNmNp vvv ... (1.4)

kde VNn .

Zavedieme teraz pojem strednej kvadratickej rýchlosti: Stredná kvadratická rýchlosť sv

molekúl plynu je rýchlosť, ktorú by museli mať všetky molekuly plynu, aby sa jeho celková

kinetická energia rovnala skutočnej kinetickej energii. Teda musí platiť

2s

1

2

21

2

1vv mNmN V

n

i

iVi

, (1.5)

z čoho stredná kvadratická rýchlosť je

i

iViV

NN

2s

1vv . (1.6)

Potom vzťah (1.4) pre tlak plynu na stenu nádoby možno (po dosadení vyjadrenia (1.5) do

neho) upraviť nasledujúco

ks3

2ENp V , (1.7)

kde ksE je stredná kinetická energia molekúl plynu.

Vo vzťahu (1.7) možno vyjadriť koncentráciu VN molekúl plynu cez ich celkový počet

N v nádobe a objem nádoby V. Potom

ks3

2E

V

Np

a

ks3

2NEpV , (1.8)

čo je vyjadrením Boylovho – Mariottovho zákona, ktorý poznáme skôr v tvare

konšt,00 VppV (1.9)

ktorého slovné znenie je: súčin tlaku a objemu plynu je pri nezmenenej teplote ( konštT )

konštantný.

Príklad 1.1. Tenká sklenená valcová rúrka dĺžky L je na jednom konci zatavená.

V rúrke je vzduch oddelený od vonkajšieho vzduchu stĺpcom ortuti dĺžky 18 cm. Rúrka je

otočená otvoreným koncom nahor, pričom ortuť dosahuje k otvoru rúrky. Aká bola dĺžka

vzduchového stĺpca uzavretého v rúrke, keď pri prevrátení rúrky vytečie tretina ortuti von?

Hustota ortuti je13,6.103 kg.m

-3 a atmosférický tlak je 0,1 MPa.

9

Riešenie: Pri riešení budeme vychádzať z Boylovho – Mariottovho zákona

2211 VpVp ,

a keďže 11 SV a 22 SV , platí aj vzťah

2211 pp . (P1)

Tlaky p1 a p2 možno vyjadriť takto

ghpp 01 ,

ghpp 3

202

a dĺžku 2 ako

h3

112 .

Po dosadení posledných troch vzťahov do

vzťahu (P1) a krátkej úprave dostaneme finálny

vzťah pre určenie pôvodnej dĺžky vzduchového

stĺpca uzavretého v rúrke

m 126015

m 0,18 . 2

s . m 9,81 m . kg 13,6.10 5.

Pa101

15

2

5 2-3-3

50

1 ,.

.

h

g

p

.

1.3 Tepelná rovnováha a 0. zákon termodynamiky

V časti 1.2 sme rozoberali jeden z makroskopických prejavov tepelného pohybu – tlak

plynu na stenu nádoby. Pri odvodzovaní vzťahu pre tlak plynu sme vychádzali zo zákonov

mechaniky. Najprv sme použili veľmi jednoduchý model, v ktorom sme predpokladali, že

všetky molekuly sústavy sa pohybujú rovnakou rýchlosťou a teda, že majú rovnaké kinetické

energie. Potom sme model trocha skomplikovali, keď sme predpokladali, že 1VN molekúl sa

pohybuje rýchlosťou v1 (teda má kinetickú energiu 212

1 vm ), 2VN molekúl sa pohybuje

rýchlosťou v2 (má kinetickú energiu 222

1 vm ) atď. Potom sme zaviedli pojem strednej

kvadratickej rýchlosti sv a strednej kinetickej energie ksE . To sme už používali metódy

štatistickej fyziky. Dávali sme do súvisu spriemerované molekulárne vlastnosti

s makroskopickou veličinou tlakom. Neskôr uvidíme podobný súvis priemerných

molekulárnych vlastností s teplotou.

Makroskopický opis pracuje s veličinami, ktoré sú na inej úrovni ako veličiny opisujúce

pohyb jednotlivých molekúl. Na tejto úrovni nie je priama odvolávka na molekulárne veličiny

sústavy. Takýto makroskopický opis interakcie sústavy s jej okolím sa nazýva

termodynamika. Hoci termodynamika nezávisí od našich znalostí molekulárnej štruktúry

látky, interpretácia termodynamického prístupu pomocou spriemerovaných molekulárnych

Obr. 1.2. K príkladu 1.1. Po otočení rúrky

vytečie jedna tretina ortuti von.

h

p

p

p

p

L L

l

l

a) b)

1

1

2

2

0

0

2h 3

10

veličín častokrát pomáha objasniť o čo vlastne ide – urobiť si jasnejší obraz o skúmaných

javoch. S niektorými makroskopickými veličinami, ktoré sa používajú v termodynamike sme

sa už stretli. Napríklad s tlakom p plynu, ktorým plyn pôsobí na steny nádoby. Ďalej plyn

zaberá objem V. Množstvo plynu je špecifikované látkovým množstvom – počtom mólov n.

Túto veličinu, ako aj teplotu T a vnútornú energiu U budeme definovať neskôr. Tieto veličiny

charakterizujú stav termodynamickej sústavy, a preto sa nazývajú stavové veličiny (častokrát

aj stavové parametre). Pod termodynamickou sústavou rozumieme súbor častíc, ktoré tvoria

látkové objekty alebo prostredie, nachádzajúce sa v určitom vymedzenom priestore. Ak si

takáto sústava nevymieňa častice s okolím nazývame ju uzavretou, v opačnom prípade je

otvorená. Uzavretá sústava, ktorá si nevymieňa energiu s okolím sa nazýva izolovaná.

Predpokladáme, že stavová veličina, napríklad tlak p, má tú istú hodnotu v celej sústave.

Takýmto spôsobom sa jedna hodnota tlaku aplikuje na celú sústavu. Ak každá stavová

veličina sústavy je stála v čase, hovoríme, že sústava je v rovnovážnom stave. Ak je sústava

izolovaná, zostane trvale v rovnovážnom stave. Avšak stavové veličiny danej sústavy môžu

byť zmenené interakciou s inou sústavou.

Majme dve sústavy A a B, ktoré môžu spolu interagovať a sú izolované od okolia – sú

obklopené adiabatickou izoláciou (obr. 1.3). Výsledkom interakcie týchto dvoch sústav je

stav, v ktorom sú obidve sústavy v rovnovážnom stave a hovoríme, že sústavy sú v tepelnej

rovnováhe. Teda dve sústavy sú v tepelnej rovnováhe vtedy, keď ich dáme do kontaktu a ich

stavové veličiny sa nemenia.

Dve sústavy môžu byť v tepelnej rovnováhe i keď nie sú v priamom kontakte. Majme dve

sústavy A a B, ktoré môžu interagovať so sústavou C. Nech Sústava A je v tepelnej

rovnováhe so sústavou C a nech aj sústava B je v tepelnej rovnováhe so sústavou C, ktorá sa

nachádza v tom istom stave ako v predchádzajúcom prípade (obr. 1.4a). Experimenty

ukazujú, že sústavy A a B sú tiež v tepelnej rovnováhe (obr. 1.4b). Tento výsledok je

obsahom tvrdenia nultého zákona termodynamiky: Dve sústavy, z ktorých každá je v tepelnej

rovnováhe s treťou sústavou, sú tiež v tepelnej rovnováhe.

Pojem teploty je tesne spätý práve so stavom tepelnej rovnováhy dvoch sústav. Dve

sústavy v tepelnej rovnováhe majú tú istú teplotu. Ak dáme do kontaktu dve sústavy a ich

stavové parametre sa menia, potom sústavy nemajú rovnakú teplotu. Po dosiahnutí tepelnej

rovnováhy, však teplota obidvoch sústav bude rovnaká. Tieto úvahy nám umožňujú merať

teplotu. Predstavme si, že jedna sústava je teplomer. Teda, keď dáme teplomer do kontaktu

s inou sústavou, ktorej teplotu chceme zmerať, musíme počkať, kým nenastane medzi

teplomerom a sústavou tepelná rovnováha a potom teplota teplomeru je rovnaká ako teplota

sústavy. Keď teda dáme do kontaktu teplomer so sústavou A a potom do kontaktu so sústavou

B (samozrejme v obidvoch prípadoch treba počkať na dosiahnutie tepelnej rovnováhy)

Obr. 1.3. Dve sústavy sú v tepelnej

rovnováhe vtedy, keď ich dáme do

kontaktu a ich stavové veličiny sa

nemenia.

Obr. 1.4. a) Sústava A je v tepelnej rovnováhe so

sústavou C a aj sústava B je v tepelnej rovnováhe so

sústavou C. b) Sústavy A a B sú tiež v tepelnej

rovnováhe.

A B

A

A

C

CB

B

a) b)

11

a teplomer ukáže tú istú hodnotu, potom sústavy A a B sú v tepelnej rovnováhe a majú

rovnakú teplotu.

1.4 Teplota a jej meranie

Teplota je jednou zo základných fyzikálnych veličín a je veľmi dôležitou veličinou

opisujúcou stav termodynamickej sústavy. Teplota je spojená s našimi pocitmi, čo je teplé

a čo je chladné. Keď máme pocit, že niečo je „teplé“, hovoríme, že má vysokú teplotu

a naopak, keď niečo je „studené“, hovoríme, že teplota je nízka. Takto nás to naučili naši

rodičia. Neskôr uvidíme, že pojem teploty je úzko spätý s energiou stavebných častíc látok

(sústavy mnohých častíc).

Ľudské pocity rozhodne nemôžu byť „dobrým teplomerom“. Teda teplotu ako veličinu,

ktorá má charakterizovať stav látok s ohľadom na energiu častíc, z ktorých látka pozostáva,

možno objektívne zmerať len tak, že nájdeme také priamo merateľné veličiny, ktoré sa s ňou

dostatočne citlivo a pokiaľ možno lineárne menia. Takýmito veličinami sú napr. objem látok,

tlak plynov, ale aj elektrický odpor a iné.

Na určovanie teploty telies sa používajú rôzne stupnice teploty. Najrozšírenejšou je

Celziova teplotná stupnica. Základnými teplotami v tejto stupnici sú: a) Bod mrazu vody,

ktorý má v tejto stupnici hodnotu 0 °C. Je to teplota, pri ktorej je v rovnováhe ľad a voda pri

normálnom tlaku ( Pa10013251 5., ). b) Bod varu vody, 100 °C, teplota rovnovážneho stavu

vody a jej nasýtených pár tiež pri normálnom tlaku. Teplotu v Celziovej teplotnej stupnici

budeme označovať t.

Najznámejšími teplomermi sú teplomery využívajúce závislosť dĺžky ortuťového stĺpca

od teploty. Teda dĺžke stĺpca ortuti možno priradiť teplotu. Keď predpokladáme lineárnu

závislosť možno postaviť úmeru

. C ................

C 100

0

0100

t-

................

Potom teplota v °C je

C 1000100

0

.

t . (1.10)

Principiálne môžeme použiť i inú teplomernú látku, napr. lieh. Aj keď necháme základné

teplotné body ako predtým, zistíme však, že táto teplotná stupnica sa odlišuje od stupnice

ortuťového teplomeru. Takto zostrojené teplotné stupnice sa nazývajú empirické a závisia od

použitej teplomernej látky.

Iným typom teplomeru je teplomer plynový, ktorého stupnica nezávisí od druhu plynu, ak

je plyn dostatočne zriedený a jeho teplota varu je nízka. Taký plyn sa svojimi vlastnosťami

blíži k ideálnemu plynu. Najlepšie tieto predpoklady spĺňajú vodík a hélium. Tlak p a objem

V takéhoto plynu závisia od teploty t, keď pri meraní tlaku ponecháme konštantný objem a pri

meraní objemu zasa konštantný tlak, podľa vzťahov

konšt , 10 Vtpp p (1.11)

a

konšt. ,10 ptVV V (1.12)

12

Vzťah (1.11) nazývaný aj Charlesov zákon a vzťah (1.12) nazývaný Gay-Lussacov zákon

vyjadrujú lineárnu závislosť tlaku a objemu plynu v závislosti od teploty. V týchto vzťahoch

00 a Vp sú tlak a objem plynu pri teplote 0 °C, p je koeficient

teplotnej rozpínavosti plynu a V koeficient objemovej rozťažnosti

plynu.

Z experimentov bolo zistené, že ak sa vlastnosti skúmaného

plynu približujú vlastnostiam ideálneho plynu sú koeficienty p a

V rovnaké a platí

K15,273

1 Vp .

Avšak, keby sme sa blížili k teplote C 15,273 t , tlak aj

objem plynu by sa blížil tiež k nule. Anglický fyzik W. Thomson,

známy ako Lord Kelvin, priradil hodnote –273,15 °C hodnotu „0“

(absolútnu nulu), čím zaviedol novú teplotnú stupnicu, nazvanú po

ňom Kelvinova teplotná stupnica, ktorá je totožná s termody-

namickou teplotnou stupnicou. Táto stupnica nemá záporné teploty

a oproti Celziovej je len posunutá o hodnotu 273,15 (obr. 1.5).

Teplota v nej sa značí T a udáva sa v K (kelvinoch). Dielik 1 K je

rovný dieliku 1 °C. Preto pre teplotu v termodynamickej (Kelvino-

vej) stupnici a aj pre teplotný rozdiel, či už v termodynamickej, či

v Celziovej teplotnej stupnici sa používa značka K. Súvis medzi termodynamickou teplotou a

Celziovou možno vyjadriť vzťahom

K15,273 tT . (1.13)

Teplotu 273,15 K býva zvykom značiť ako 0T , teda K15,2730 T .

Teplotnú stupnicu založenú na rovnováhe dvoch fáz vody pri bode tuhnutia a pri bode

varu ovplyvňuje vonkajší tlak. Preto v sústave SI ako základný teplotný bod sa berie teplota

trojného bodu vody, ktorá má hodnotu 273,16 K, teda v Celziovej teplotnej stupnici 0,01 °C.

Trojný bod vody je stav, pri ktorom sú všetky tri fázy vody v rovnováhe. Fázový diagram

vody je na obr. 1.6 a technická realizácia trojného bodu vody na obr. 1.7.

Obr. 1.5. Kelvinova a

Celziova teplotná stup-

nica.

Obr. 1.6. Fázový diagram vody.

Obr. 1.7. Technická realizácia

trojného bodu.

Krivka su

blimácie

Krivka topenia

VODA

ĽAD

PARA

Trojný bod

p

t

°C1000,010

6,11.10

1,01.10

2

5

Krivka n

asýten

ých p

ár (v

aru)

TEPLOMER

VODA

PARA

ĽAD

K °C

0

100

200

-100

-200

0,01273,16

-273,15

100400

300

13

Pomocou vzťahu (1.13) možno vzťahy (1.11) a (1.12) prepísať do tvaru

konšt , 0

0 VT

Tpp (1.14)

a

konšt. ,0

0 pT

TVV (1.15)

Pretože meranie teploty pomocou absolútnych teplomerov, t. j. teplomerov schopných

realizovať termodynamickú stupnicu teploty, je nákladné a prácne, zavádza sa tzv. praktická

teplotná stupnica (v súčasnosti je platná Medzinárodná teplotná stupnica 1990 – ITS-90).

Táto je charakterizovaná definíciou pevných teplotných bodov, popisom prístrojov nutných

pre realizáciu stupnice, uvedením interpolačných a extrapolačných rovníc medzi teplotnými

bodmi atď. Takáto stupnica sa realizuje a udržuje v národných meracích strediskách (na

Slovensku v Slovenskom metrologickom ústave) a odtiaľ sa potom pomocou etalónových

teplomerov prenáša na iné meradlá teploty.

Teplotná rozťažnosť látok. Temer všetky látky, tuhé, kvapalné i plynné, zväčšujú svoj

objem so vzrastom teploty. Zmena objemu plynu v závislosti od teploty je obsahom Gay-

-Lussacovho zákona [vzťah (1.12)]. Pri tuhých látkach má zmysel okrem objemovej

rozťažnosti hovoriť aj o dĺžkovej teplotnej rozťažnosti, a to v tom prípade, keď prevláda jeden

rozmer telesa – teleso má tvar tyče. Závislosť dĺžky tyče od teploty t možno vyjadriť vzťahom

tΔ 1 0 , (1.16)

kde 0 je dĺžka pevnej tyče pri nejakej základnej teplote t0, 0Δ ttt je zmena teploty a je

koeficient teplotnej dĺžkovej rozťažnosti definovaný vzťahom

td

d1

0

. (1.17)

Závislosť objemu tuhých telies V od teploty približne určuje vzťah

tVV Δ 1 0 , (1.18)

kde V0 je objem telesa pri teplote t0, 0Δ ttt je teplotný rozdiel a je koeficient objemovej

teplotnej rozťažnosti definovaný takto

t

V

V d

d1

0

. (1.19)

Koeficient objemovej teplotnej rozťažnosti súvisí pri izotropných telesách s koeficientom

dĺžkovej teplotnej rozťažnosti vzťahom

3 . (1.20)

Meranie teploty, druhy teplomerov. Existuje veľké množstvo fyzikálnych veličín, ktoré sa

využívajú na meranie teploty. Teplomery, ktoré využívajú objemovú, resp. dĺžkovú

14

rozťažnosť sme už spomenuli. Nazývajú sa spoločným názvom dilatačné teplomery. Ako

pracovná látka môže slúžiť kvapalina, ale aj pevná látka – existujú kovové dilatačné

teplomery.

Elektrické odporové teplomery. Sú založené na zmene elektrického odporu kovov alebo

polovodičov v dôsledku zmeny teploty. Pre závislosť elektrického odporu kovov od teploty,

v nie príliš širokom intervale teplôt, možno použiť vzťah

tRRt 10 ,

kde Rt je odpor pri teplote t, R0 – odpor pri teplote 0 °C a – teplotný koeficient odporu. Pre

širší teplotný interval, resp. pri presnejších meraniach treba uvažovať závislosť s vyššími

mocninami t

320 1 tttRRt .

Konštanty R0, , , sa zisťujú experimentálne.

Hlavné požiadavky kladené na kovy vhodné pre výrobu odporových teplomerov sú: veľký

teplotný koeficient odporu a jeho dlhodobá stálosť, veľká rezistivita, dobré mechanické

vlastnosti, ľahká výroba s veľkou chemickou čistotou a stálosť v prevádzke. Zo všetkých

kovov najlepšie spĺňa tieto požiadavky platina (chemická značka Pt), preto platinový

odporový teplomer sa používa na realizáciu Medzinárodnej teplotnej stupnice ITS-90.

V prevádzke sa používajú Pt odporové teplomery s jednoduchšou konštrukciou. Výhodou

odporových teplomerov je možnosť diaľkového prenosu údajov o teplote, čo je dôležité

najmä pri automatizovaní rôznych technologických procesov.

Druhú skupinu odporových teplomerov tvoria termistory, ktoré sú vyrábané

z polovodičových materiálov. Najčastejšie sa používajú oxidy alebo sulfidy Mn, Ni, Co, Ti,

Cu, Zn. Na rozdiel od kovov elektrický odpor polovodičov so vzrastajúcou teplotou

exponenciálne klesá podľa vzťahu

00

T

B

T

BexpRRt ,

kde Rt je odpor pri teplote t (T), T – termodynamická teplota odpovedajúca Celziovej teplote t,

R0 – odpor pri teplote t0 (T0), a B – materiálová konštanta.

Termistory sú oveľa citlivejšie ako kovové odporové teplomery. Napríklad pri vzraste

teploty o 200 K klesne odpor termistora o niekoľko rádov, kým odpor platinového teplomera

vzrastie len 2-krát. Termistory môžu mať veľmi malé rozmery (napr. perličkový termistor má

priemer asi 0,5 mm), takže sú vhodné na dynamické merania teploty. Na druhej strane však

majú menšiu stabilitu (s časom sa menia ich vlastnosti) a opakovateľnosť meraní.

Termočlánky sú založené na termoelektrickom (Seebeckovom) jave, ktorý spočíva v tom,

že keď sú dva spoje dvoch rôznych kovov umiestnené v prostrediach s rôznymi teplotami,

vznikne medzi nimi elektrické napätie. Toto napätie, ktoré nazývame termoelektrickým,

závisí od rozdielu teplôt spojov. Jeden spoj nazývame „teplý“ alebo merací – s teplotou t

a druhý „studený“ alebo referenčný – s teplotou t0 (obr. 1.8). Keď referenčný spoj udržujeme

na teplote 0 °C, môžeme závislosť termoelektrického napätia od teploty vyjadriť vzťahom

2CtBtAU ,

kde konštanty A, B a C sa určia meraním. V bežnej praxi sa najčastejšie používajú

termočlánky zhotovené z nasledujúcich dvojíc kovov: meď – konštantan (Cu-ko, T typ

15

termočlánku), železo – konštantan (Fe-ko, J typ), nikelchróm – nikel (NiCr-Ni, K typ),

platinarhodium – platina (PtRh-Pt, S, R typ – podľa obsahu Pt v zliatine PtRh).

Termočlánky sú veľmi praktické teplomery, lebo sa veľmi ľahko zhotovujú a nepotrebujú

pomocný elektrický obvod, ktorý je nevyhnutný pri meraní teploty pomocou odporových

teplomerov. Na druhej strane však vyžadujú realizáciu referenčnej teploty, najčastejšie 0 °C

(túto teplotu realizujeme zmesou chemicky čistej vody a ľadu). Moderné prístroje majú

zabudovaný pomocný obvod na meranie teploty pomocou odporových teplomerov

i elektronicky realizovanú referenčnú teplotu.

Ako posledné, v tomto skrátenom a neúplnom prehľade teplomerov, spomenieme

radiačné teplomery. Tieto sú založené na využití zákonov žiarenia telies. Tieto zákony však

platia presne len pre tzv. absolútne čierne teleso, ktoré má zo všetkých telies najväčšiu

absorpciu (100 %) a teda aj najväčšiu vyžarovaciu schopnosť. Najbežnejšie radiačné

teplomery (pyrometre) sú pyrometre na monochromatické žiarenie a pyrometre na celkové

žiarenie (totálne). Ťažisko presnosti merania pomocou pyrometrov je v správnom

naciachovaní.

1.5 Stavová rovnica ideálneho plynu. Daltonov zákon

S niektorými makroskopickými veličinami, ktoré sa používajú v termodynamike sme sa

už stretli. Napríklad s tlakom p plynu, ktorým plyn pôsobí na steny nádoby. Ďalej plyn zaberá

objem V a má teplotu T. Množstvo plynu je špecifikované látkovým množstvom – počtom

mólov n. Tieto veličiny charakterizujú stav termodynamickej sústavy, a preto sa nazývajú

stavové veličiny

V ďalšom, skôr než sa budeme venovať samotnej téme, uvedieme niektoré definície a

poznatky.

V mechanike sme množstvo látky posudzovali podľa jej hmotnosti. Množstvo látky však

môžeme posudzovať i podľa počtu častíc, z ktorých sa teleso skladá. Takéto posudzovanie

látkového množstva je zaužívané v termodynamike. Definícia jednotky takto zavedeného

látkového množstva je nasledujúca: 1 mol je také látkové množstvo, ktoré obsahuje toľko entít

(atómov, molekúl, iónov) koľko je atómov v 0,012 kg uhlíka izotopu C126 .

Hmotnosť 1 mólu látky sa nazýva molárna hmotnosť, ktorá vyjadrená v gramoch je

číselne rovná relatívnej molekulovej hmotnosti látky.

Poznámka: Relatívna molekulová hmotnosť rM látky je hmotnosť molekuly látky vydelená hmotnosťou

1/12 atómu uhlíka izotopu C12

6 . Ľahko ju vyhľadáme v periodickej tabuľke prvkov, pretože je číselne rovná

súčtu relatívnych atómových hmotností prvkov, z ktorých je molekula zložená. Napr. pre kyslík O2 nájdeme

v tabuľke údaj O16

8 ; jeho relatívna atómová hmotnosť je 16r A a relatívna molekulová hmotnosť

Obr. 1.8. Meranie teploty pomocou termočlánku.

U

U

Cu

Cu Cukoko

0

00

0

00

t

tt

t

t

tt

t

16

32162r .M , lebo molekula kyslíka pozostáva z dvoch atómov. Relatívna molekulová hmotnosť vody H2O

je 181612r .M . Teda molárna hmotnosť kyslíka je M = 32 g/mol a molárna hmotnosť vody M = 18 g/mol.

Keď teda poznáme molárnu hmotnosť, možno látkové množstvo (počet mólov) určiť

pomocou vzťahu

M

mn , (1.21)

kde m je hmotnosť danej látky.

Podľa Avogadrovho zákona je v rovnakých objemoch ľubovoľných plynov pri rovnakej

teplote a tlaku rovnaký počet molekúl. Inými slovami, 1 mol plynu zaberá pri rovnakej teplote

a tlaku rovnaký objem. Keď K152730 ,TT a Pa10013251 50 .,pp , 1 mol ideálneho

plynu zaujíma objem ..molm 2,414.102 -13-3m0 V Teplota T0 a tlak p0 majú prívlastok nor-

málny – sú to tzv. normálne podmienky.

1 mol hociktorej plynnej látky obsahuje vždy rovnaký počet molekúl a možno predpokla-

dať, že to platí aj pre každú chemicky homogénnu látku v ktoromkoľvek skupenstve. Tento

počet udáva Avogadrova konštanta

-123A mol 100226 .,N .

Keď poznáme počet N častíc, z ktorých je látka vytvorená, možno látkové množstvo určiť

tiež podľa vzťahu

AN

Nn . (1.22)

V časti 1.3 sme spomínali, že stav termodynamickej sústavy je opísaný stavovými

veličinami a že ak sa tieto stavové veličiny nemenia v čase, sústava je v rovnovážnom stave.

Keď však nejakým spôsobom zmeníme jednu stavovú veličinu, má to za následok zmenu

iných stavových veličín. Z toho vyplýva, že je medzi nimi vzájomný súvis, ktorý môže byť

vyjadrený matematickým vzťahom. Tento vzťah sa nazýva stavová rovnica. Táto rovnica

môže byť veľmi zložitá pre niektoré látky, ale pre našu modelovú látku – ideálny plyn – je

pomerne jednoduchá.

Niektoré vzťahy (získané experimentálne) platné medzi stavovými veličinami ideálneho

plynu už poznáme. Sú to:

1. Boylov – Mariottov zákon, ktorý hovorí, že súčin tlaku p a objemu V daného

látkového množstva n plynu je pri konštantnej teplote T nemenný

konštpV (n = konšt; T = konšt).

2. Charlesov zákon, ktorý tvrdí, že podiel tlaku p a termodynamickej teploty T je

konštantný, alebo inými slovami medzi tlakom a teplotou existuje lineárna závislosť, keď sa

nemení látkové množstvo n plynu a jeho objem V je konštantný

konštT

p (n = konšt; V = konšt).

3. Gay-Lussacov zákon, ktorý tvrdí, že podiel objemu V a termodynamickej teploty T je

konštantný, alebo inými slovami medzi objemom a teplotou existuje lineárna závislosť, keď

sa nemení látkové množstvo n plynu a jeho tlak p je konštantný

konštT

V (n = konšt; p = konšt).

17

Uvažujme dané látkové množstvo n plynu nachádzajúceho sa v stave charakterizovanom

stavovými veličinami p0, V0 a T0. Chceme tento plyn dostať do stavu charakterizovaného

stavovými veličinami p, V a T. Môžeme to urobiť tak, že plyn najprv stlačíme na požadovanú

hodnotu V pri nezmenenej teplote 0T , pričom sa tlak zmení na hodnotu p . Potom pri

konštantnom objeme V zmeníme jeho teplotu na T a tlak p na p, čo možno vyjadriť

rovnicami

,00 VpVp

T

p

T

p

0

.

Keď z prvej rovnice vyjadríme p a dosadíme toto vyjadrenie do druhej, dostaneme rovnicu

konšt,0

00 T

Vp

T

pV (1.23)

ktorá sa nazýva stavová rovnica ideálneho plynu.

Stavovú rovnicu môžeme prepísať do iného tvaru. Objem plynu V0 môžeme vyjadriť

pomocou molárneho objemu Vm0 a počtu mólov n: m00 nVV . Keď za východzí stav zvolíme

normálne podmienky a dosadíme ich do vzťahu (1.23), dostaneme

nRT

nVp

T

pV

0

m00

alebo po úprave

,nRTpV (1.24)

čo je druhý tvar stavovej rovnice ideálneho plynu. Konštanta R sa nazýva molárna plynová

konštanta a jej hodnota je

mol.K

J 3148

K273,15

.molm 414.10 22, . Pa 1,01325.10 -13-35

0

m00 ,T

VpR .

Stavovú rovnicu budeme niekedy používať v diferenciálnom tvare

.TnRpVVp ddd (1.25)

Príklad 1.2. Plynu, ktorý má pri teplote 20 °C a tlaku 100 kPa objem 3 l, zmeníme pri

konštantnej teplote objem a tlak. Potom ho pri konštantnom tlaku ohrejeme na teplotu 100 °C

a napokon pri konštantnej teplote zmeníme objem na 2 . Nájdite konečný tlak.

Riešenie: Celý proces stavovej zmeny plynu pozostáva z troch zmien: 1) izotermickej –

T = konšt, 2) izobarickej – p = konšt, 3) izotermickej – T = konšt.

Pre prvú zmenu platí Boylov – Mariottov zákon

212211 ; TTVpVp .

18

Pre druhú zmenu platí zákon Gay-Lussacov

323

3

2

2 ppT

V

T

V ; .

Tretí dej je znovu izotermický a platí

434433 TTVpVp ; .

Riešením uvedených rovníc dostaneme hľadaný tlak

Pa10 . 91,1 K293,15

K15,373 .

m 10 . 2

m 10 . 3 Pa 10 5

33-

3-35

1

3

4

11

4

3

2

11

4

334

T

T

V

Vp

V

V

V

Vp

V

Vpp .

Ukážeme si, že termodynamická teplota úzko súvisí so strednou kinetickou energiou

molekúl plynu. V časti 1.2 sme odvodili súvis medzi súčinom tlaku p a objemu V a strednou

kinetickou energiou Eks molekúl plynu, vzťah (1.8)

ks3

2NEpV .

Keď tento vzťah dosadíme do stavovej rovnice ideálneho plynu (1.24) dostaneme

nRTNE ks3

2,

z čoho

TN

R

N

nRTE

Aks

2

3

2

3 ,

keď sme za n dosadili: ANNn . Podiel konštánt R a NA definuje novú konštantu

-123A J.K 103811 .,NRk , ktorá sa nazýva Bolzmannova konštanta. Potom posledný

vzťah možno napísať ako

kTE2

3ks . (1.26)

Stredná kinetická energia molekúl je tiež 2s0ks

2

1vmE (m0 je hmotnosť jednej

molekuly). Potom strednú kvadratickú rýchlosť vs molekúl plynu pri danej teplote možno

vypočítať pomocou vzťahu

M

RT

m

kT 33

0s v .

Vzťah (1.26) platí len pre jednoatómové molekuly. Ak molekula obsahuje viac atómov

treba použiť vzťah

kTi

E2

ks , (1.27)

19

kde i je počet stupňov voľnosti molekuly. Počet stupňov voľnosti je počet súradníc potrebných

na jednoznačné určenie polohy molekuly v priestore. Jednoatómová molekula (možno ju

považovať za hmotný bod) má tri stupne voľnosti svojho pohybu. Na určenie svojej polohy

potrebuje totiž tri súradnice. Dvojatómová molekula má päť stupňov voľnosti: tri súradnice

jedného atómu a dve súradnice druhého. Tretia súradnica druhého atómu vyplýva zo známej

vzájomnej vzdialenosti atómov. Troj a viacatómová molekula má v dôsledku známych

vzdialeností medzi atómami šesť stupňov voľnosti.

Ak plyn hmotnosti m obsahuje N molekúl, celková energia tepelného pohybu molekúl sa

určí zo vzťahu

RTM

miNkT

iE

22ksc . (1.28)

Príklad 1.3. Aký počet molekúl vzduchu sa nachádza v miestnosti s rozmermi 10 m x

5 m x 3 m pri teplote 23 °C a tlaku 0,1 MPa? Aká je hmotnosť vzduchu nachádzajúceho sa

v miestnosti? (Molárna hmotnosť vzduchu je 0,029 kg/mol.)

Riešenie: Miestnosť možno považovať za veľkú nádobu s objemom cbaV .. . Vzduch

budeme považovať za ideálny plyn. Potom platí stavová rovnica ideálneho plynu

nRTpV , (P1)

kde látkové množstvo n možno vyjadriť vzťahom ANNn . Po dosadení do vzťahu (P1)

a malých úpravách dostaneme vzťah pre počet molekúl N

(molekúl). 10673 K.296,15.KJ.mol 8,314

mol .6,022.10m Pa.150101 27

1-1-

-12335A .,

.

RT

pVNN

Hmotnosť vzduchu v miestnosti určíme zo vzťahu

kg 177kg.mol 0290mol 6,022.10

10673 1-

1-23

27

A

,..,

MN

NnMm .

Daltonov zákon: V zmesi plynov, ktoré chemicky nereagujú, každý plyn sa správa tak,

ako keby sám vypĺňal celý priestor. Výsledný tlak p takejto zmesi plynov sa rovná súčtu

parciálnych tlakov pi jednotlivých zložiek tvoriacich plynnú zmes

i

ipp . (1.29)

K tomuto zákonu možno dospieť jednoduchou úvahou. Majme k nádob, v ktorých sa

nachádza k rôznych plynov s látkovými množstvami ni a rovnakou teplotou T. Tieto plyny

budeme postupne vpúšťať pri nezmenenej teplote T do nádoby s objemom V. Látkové

množstvo n zmesi plynov v nádobe s objemom V je dané súčtom látkových množstiev ni

jednotlivých plynov

i

i

i

ik

i

i pRT

V

RT

Vpnn

1

.

20

Zmes plynov pôsobí na steny nádoby tlakom p. Potom platí aj vzťah

i

ipRT

V

RT

pVn ,

z ktorého vyplýva vzťah (1.29).

Pomocou Daltonovho zákona možno odvodiť vzťah pre výpočet molárnej hmotnosti

zmesi chemicky nereagujúcich plynov

V

RT

M

m...

M

m...

M

m

M

mp...p...ppp

k

k

i

iki

2

2

1

121

, (1.30)

kde V a T sú objem a teplota zmesi plynov a mi a Mi sú hmotnosť a molárna hmotnosť

jednotlivých zložiek tvoriacich plynnú zmes. Zo vzťahu (1.30) vyplýva, že molárna hmotnosť

zmesi, ktorá má hmotnosť m je

k

i i

i

M

m

mM

1

zmesi . (1.31)

Príklad 1.4. Suchý vzduch obsahuje približne 79 % (hmotnostných) dusíka a 21 %

kyslíka. Aká je molárna hmotnosť vzduchu?

Riešenie: Označme hmotnosť vzduchu ako m, jeho látkové množstvo ako n a molárnu

hmotnosť ako M . Podobne pre N2 použijeme označenie mN, nN a NM a pre O2 – mO, nO a

OM . Platí, že látkové množstvo zmesi sa rovná súčtu látkových množstiev zložiek

ON nnn . (P1)

Keď teraz uvážime, že látkové množstvá počítame podľa vzťahov

O

OO

N

NN

M

mn

M

mn

M

mn ;; ,

môžeme vzťah (P1) napísať ako

O

O

N

N

M

m

M

m

M

m .

Riešením tejto rovnice dostaneme vzťah umožňujúci vypočítať molárnu hmotnosť

vzduchu

1-

1-1-ONO

O

N

N

mol . kg 0290

mol . kg 0,032

0,21

mol . kg 0,028

0,79

1

210 790,

,,

M

m

M

m

m

M

m

M

m

mM .

21

1.6 Teplo, hmotnostná tepelná kapacita, skupenské teplo

Predstavme si, že chceme zvýšiť teplotu vody v nádobe. V bežnej reči hovoríme, že

chceme vodu ohriať. Môžeme to urobiť tak, že nádobu s vodou postavíme na sporák a

zapálime pod ňou plyn – ohrievame ju plameňom1. Iným spôsobom môžeme vodu ohriať tak,

že nádobu s vodou vložíme do prostredia s vyššou teplotou (alebo do nej vložíme predmet

s vyššou teplotou). V obidvoch prípadoch prichádza k prenosu energie do vody. Tento prenos

jestvuje však len dovtedy, kým existuje rozdiel teplôt medzi vodou a nejakou časťou

prostredia, ktoré ju obklopuje. Táto skutočnosť nám umožní definovať teplo ako energiu, ktorá

sa vymieňa medzi telesami s rôznou teplotou. Táto výmena prebieha na molekulárnej úrovni.

Ak hovoríme o teple, máme vždy na mysli energiu, ktorá do sústavy (napr. spomínanej

vody) prichádza alebo zo sústavy odchádza. Nie je správne hovoriť o „teple v sústave“ alebo

o „teple sústavy“. Správne sa vyjadrujeme tak, že „teplo dodávame do sústavy alebo

odoberáme zo sústavy“.

Množstvo tepla Q, ktoré prijme látka hmotnosti m, keď ju ohrejeme z teploty T0 na teplotu

T vypočítame podľa vzťahu

,Δ0 TmcTTmcQ (1.32)

kde c je hmotnostná tepelná kapacita. Tento vzťah je platný iba v tom prípade, keď c môžeme

považovať v teplotnom intervale T za konštantné. Presnejší je vzťah

.TmcQ dd (1.33)

Vzťah (1.33) definuje hmotnostnú tepelnú kapacitu c

Tm

Qc

d

d . (1.34)

Hmotnostná tepelná kapacita je teda teplo, ktoré musíme dodať 1 kg látky, aby sme zvýšili jej

teplotu o 1 K. Jednotkou hmotnostnej tepelnej kapacity 1 J.kg-1

.K-1

. Poznámka: Namiesto TΔ a Td možno písať tΔ a td pretože rozdiely teplôt v termodynamickej

a Celziovej teplotnej stupnici sú rovnaké.

Hmotnostná tepelná kapacita závisí od teploty. Táto zmena je však vo väčšine praktických

prípadov zanedbateľná. Teplo do sústavy (látkového objektu) možno dodávať pri

konštantnom tlaku – hovoríme o hmotnostnej tepelnej kapacite pri konštantnom tlaku ,pc

alebo pri konštantnom objeme – hmotnostná tepelná kapacita pri konštantnom objeme .Vc Pri

tuhých látkach a kvapalinách ccc Vp . To značí, že pri týchto látkach nemusíme

hmotnostné tepelné kapacity pri konštantnom tlaku a konštantnom objeme rozlišovať. Iné je

to pri plynoch. Pri nich je nutné rozlišovanie, lebo pomer 1,61,3 Vp cc .

Súčin cm nazývame tepelnou kapacitou C telesa (látky) hmotnosti m

T

QC

d

d .

1 Zapálením plynu vychádzajúceho z horáku sporáka zápalkou iniciujeme chemickú reakciu – oxidáciu. Pri tejto

reakcii molekuly novovznikajúceho plynu vyžarujú svetlo vo viditeľnej oblasti. Plameň je teda zviditeľnený

plyn.

22

Tepelná kapacita telesa je množstvo tepla, ktoré musíme dodať, aby sme danému telesu zvýšili

teplotu o 1 K.

Vzťahy (1.32) a (1.33) používame na zisťovanie hmotnostnej tepelnej kapacity látok. Keď

látku s neznámou hmotnostnou tepelnou kapacitou 1c , známou hmotnosťou 1m a známou

teplotou 1t , ponoríme do kvapaliny (najčastejšie vody), ktorá má hmotnostnú tepelnú kapacitu

2c , hmotnosť 2m a teplotu 2t nastane medzi kvapalinou

a vloženou látkou výmena tepla a keď je táto sústava

izolovaná od okolia, platí, že teplo, ktoré odovzdá jedna

látka sa rovná teplu, ktoré prijme druhá látka

21 QQ

222111 ttcmttcm , (1.35)

keď teplota 21 tt . Teplota t je teplota, ktorú majú obidve

látky po dosiahnutí tepelnej rovnováhy. V skutočnosti treba

súčin 22cm nahradiť tzv. tepelnou kapacitou kalorimetra

(kalorimeter je v podstate nádoba, obr. 1.9, v ktorej sa

zmiešavanie látok uskutočňuje), ktorá rešpektuje aj tepelnú

kapacitu ostatných súčiastok kalorimetra – samotnej nádoby,

miešačky a teplomera. Vzťah (1.35) sa nazýva

kalorimetrická rovnica. Okrem zisťovania hmotnostnej

tepelnej kapacity možno kalorimetrickú rovnicu použiť aj na zistenie výslednej teploty, keď

zmiešavame látky s rôznymi teplotami, ale známymi inými veličinami vystupujúcimi vo

vzťahu.

Fázou nazývame fyzikálne homogénnu časť sústavy, ktorá sa odlišuje svojimi

fyzikálnymi vlastnosťami od jej iných častí a oddelenú od nich zreteľnou hranicou. Ako

príklady dvojfázových sústav možno uviesť kvapalinu a nasýtenú paru, kvapalinu a kryštál,

ale i dve kryštalické modifikácie tej istej látky nachádzajúce sa vo vzájomnom styku.

V sústave, v ktorej sa fázy nachádzajú v rovnováhe, zmena vonkajších podmienok (napr.

dodanie alebo odobranie tepla) spôsobí, že isté množstvo látky prechádza z jednej fázy na

druhú (topenie, var, zmena modifikácie, napr. grafitu na diamant atď.). Hovoríme, že

Obr. 1.9. Schéma vodného kalo-

rimetra.

Obr. 1.10. Závislosť teploty rôznych fáz vody od množstva dodaného tepla.

m

m

c

c

t

t

1

1

1

2

2

2

200 400 600 800 3000 3200

150

125

100

75

50

25

0

-25

t°C

Q

fázová zmena

fázová zmena

ľad - voda

voda

(kvapalina)

voda - para

paraľad

kJ

23

prichádza k fázovej zmene (fázovému prechodu). Jednoduchá látka v závislosti od teploty

a tlaku sa môže vyskytovať v troch fázach – skupenstvách: tuhom, kvapalnom a plynnom.

V prípade sústavy látok je situácia zložitejšia.

Keď ohrievame tuhú látku, jej teplota postupne narastá až po istú hodnotu, ktorú

nazývame teplota topenia (obr. 1.10). Pri tejto teplote sa začne tuhá látka topiť – mení sa na

kvapalinu. Ak ide o kryštalickú látku, táto teplota sa nezmení, pokým sa všetka tuhá látka

neroztopí. Dodávaná tepelná energia sa spotrebuje na pretrhanie väzieb (nie úplne) medzi

atómami, resp. molekulami a na vzrast ich vzájomnej potenciálnej energie. Množstvo tepla

potrebné na zmenu jednotkovej hmotnosti tuhej látky na kvapalinu sa nazýva hmotnostné

skupenské teplo topenia t . Jeho jednotkou je 1 J.kg-1

. Množstvo tepla potrebné na zmenu

tuhej látky s hmotnosťou m sa nazýva skupenské teplo topenia a vypočíta sa zo vzťahu

tt mL . (1.36)

Opačný dej ako topenie je tuhnutie. Ak ochladzujeme kvapalinu, ktorá vznikla

z kryštalickej látky, klesá stredná kinetická energia jej častíc a po dosiahnutí teploty tuhnutia

začne tuhnúť – kryštalizuje. V kvapaline sa začnú účinkom väzbových síl vytvárať

kryštalizačné jadrá. Vzniká sústava voľne sa pohybujúcich kryštálikov, až pokým celá látka

nestuhne. Takto vzniká polykryštalická látka. Ak sa v kvapaline vytvorí len jedno

kryštalizačné jadro, ku ktorému sa postupne pripájajú ďalšie častice látky, vznikne

monokryšlál. Kryštalizácia prebieha pri tej istej teplote ako topenie a uvoľňuje sa pritom

teplo, ktoré nazývame skupenské teplo tuhnutia Lt. Množstvo tepla, ktoré sa uvoľní pri

stuhnutí jednotkovej hmotnosti látky sa nazýva hmotnostné skupenské teplo tuhnutia t . Jeho

hodnota je rovnaká ako hodnota hmotnostného skupenského tepla topenia. Pri ďalšom

ochladzovaní teplota tuhej fázy (ak je látka kryštalická) začne klesať len vtedy, keď celá

kvapalná fáza sa zmenila na tuhú. V prípade nekryštalických látok namiesto bodu tuhnutia

existuje interval tuhnutia.

Podobne ako pri ohrievaní tuhej látky aj pri ohrievaní kvapaliny jej teplota narastá, pokým

nedosiahne teplotu, pri ktorej je tlak nasýtených pár rovný vonkajšiemu tlaku. Vtedy nastáva

intenzívne odparovanie v celom objeme kvapaliny. Tvoria sa bubliny nasýtenej pary, ktoré

vystupujú na povrch. Tento jav nazývame var kvapaliny a príslušnú teplotu teplotou varu. Pri

vare, dodávané teplo sa spotrebuje na pretrhanie väzieb medzi molekulami. Množstvo tepla

potrebné na zmenu jednotkovej hmotnosti kvapaliny na paru pri danej teplote sa nazýva

hmotnostné skupenské teplo vyparovania v . Množstvo tepla potrebné na zmenu kvapaliny

s hmotnosťou m na paru sa nazýva skupenské teplo vyparovania a vypočítame ho zo vzťahu

vv mL . (1.37)

Para, ktorá je nasýtená pri nejakej teplote, stáva sa presýtenou pri nižšej teplote. Preto pri

znížení teploty nasýtenej pary, para kondenzuje. Pri kondenzácii para odovzdáva skupenské

teplo kondenzácie. Hmotnostné skupenské teplo kondenzácie sa rovná hmotnostnému

skupenskému teplu vyparovania tej istej látky pri tej istej teplote.

Príklad 1.5. Na zmeranie teploty vody hmotnosti 0,1 kg sme použili teplomer, ktorý po

ponorení do vody ukázal teplotu 40 °C. Aká je skutočná teplota vody, keď tepelná kapacita

teplomera je 2,3 J.K-1

a pred ponorením do vody ukazoval teplotu miestnosti 21 °C?

(cvody = 4186 J.kg-1

.K-1

)

24

Riešenie: Po ponorení teplomera do vody sa teploty vody i teplomera vyrovnajú, teda teplota,

ktorú ukazuje teplomer je teplota po ustálení. Pôvodná teplota vody bola teda vyššia. Teplomer po

ponorení do vody prijal teplo

tt ttCQ ,

kde tt je pôvodná teplota teplomera.

Voda sa ochladila z pôvodnej teploty tv na teplotu t a odovzdala teplo

ttcmQ vvvv .

Ak predpokladáme dokonalú tepelnú izoláciu, platí

0vt QQ

0 vvvt ttcmttC .

Riešením tejto rovnice dostaneme vzťah pre určenie skutočnej teploty vody

C 40,1C 40C 21-C 40 . K. kg .J 4186 . kg 0,1

K.J 2,3

1-1-

-1

tvv

v tttcm

Ct .

1.7 Práca plynu. I. zákon termodynamiky

Energia, ktorá sa vymieňa medzi sústavou a jej okolím v dôsledku rozdielu teplôt, ako

sme už spomínali, sa nazýva teplo. Existuje však aj iný spôsob výmeny energie medzi

sústavou a okolím. Tento sa uskutočňuje konaním práce, či už sústavou, či okolím. Táto práca

môže byť konaná pôsobením elektrických a magnetických síl, ale my sa zameriame na

konanie mechanickej práce silami, ktorými pôsobí sústava na svoje

okolie. Pretože práca je súčin sily a posunutia jej pôsobiska, práca

vykonaná sústavou je vždy spojená s pohybom nejakej časti okolia.

V ďalšom budeme uvažovať prácu, ktorú koná sústava – súvisí to

s praktickými aplikáciami, prácou parného alebo aj spaľovacieho

motora. V týchto prípadoch je práca konaná plynom a posúva sa

mechanická časť (piest) okolia. Prácu budeme považovať za kladnú

keď ju koná sústava.

Uvažujme plyn uzavretý vo valci s pohyblivým piestom. Plyn

môže konať prácu tým, že sa rozťahuje a vytláča piest. Sila

pôsobiaca na piest je spôsobená tlakom plynu. Počítajme prácu,

ktorú vykoná plyn (sústava), keď sa piest (okolie) posunie o malú

hodnotu ds (obr. 1.11). Silu pôsobiacu na piest možno vyjadriť ako

súčin tlaku a plochy piesta pSF a potom práca

spSsFW ddd . Avšak súčin sSd je rovný zmene objemu Vd sústavy. Teda elementárnu

prácu, ktorú vykoná sústava možno vyjadriť vzťahom

VpW dd . (1.38)

Pri expanzii, teda pri zväčšovaní objemu plynu ( 0d V ) sila, ktorou pôsobí plyn na piest má

ten istý smer ako posunutie a práca konaná plynom (sústavou) je kladná ( 0d W ). Keď sa

objem plynu zmenšuje (pri kompresii) ( 0d V ) má sila opačný smer ako posunutie piesta

Obr. 1.11. Plyn zväčšova-

ním svojho objemu koná

prácu.

ds

dQ

S

pF

dU

dW´

25

a práca konaná systémom je záporná ( 0d W ). Z uvedeného vyplýva, ak sa objem plynu

nemení, plyn nemôže konať prácu.

Pre konečný proces, pri ktorom sa objem mení kvázistaticky z hodnoty V1 na hodnotu V2

prácu sústavy dostaneme integráciou

2

1

d

V

V

VpW . (1.39)

Aby sme tento integrál vypočítali, musíme poznať ako sa počas procesu mení tlak plynu

v závislosti od jeho objemu. Prácu plynu pri základných termodynamických procesoch

budeme podrobnejšie preberať v časti 1.9.

Doteraz sme rozoberali dva druhy prenosu energie do (resp. zo) sústavy – teplo a prácu.

Pri rozoberaní práce, ktorú koná plyn (sústava), sme uviedli, že je kladná pri jeho expanzii

a pri kompresii je záporná. Podobný dohovor treba urobiť aj z hľadiska tepla prijímaného,

resp. odovzdávaného sústavou. Táto znamienková konvencia je

znázornená schematicky na obr. 1.12, na ktorom je kladný smer

prenosu energie vyznačený šipkou. Teplo Q je kladné, keď je do

sústavy dodávané z okolia, obr. 1.12a a obr. 1.12c. Teplo je

záporné, ak je odoberané zo sústavy, obr. 1.12b a obr. 1.12d. Práca

W sústavy je kladná, keď konaním práce je energia prenášaná do

okolia (expanziou plynu), obr. 1.12a a obr.1.12b a je záporná, keď

konaním práce je energia prenášaná do sústavy (okolie koná prácu

– stlačením plynu), obr. 1.12c a obr. 1.12d. Keď označíme teplo

odoberané zo sústavy ako Q a prácu vykonanú vonkajšími silami

W, platia relácie: WW a QQ .

Hodnota práce vykonanej sústavou nezávisí len od

začiatočného a konečného stavu sústavy, ale tiež od spôsobu

(procesu) zmeny stavu. Táto skutočnosť je znázornená na

obr. 1.13., na ktorom sú znázornené v p-V diagrame tri procesy prechodu sústavy zo

začiatočného stavu (1) do konečného (2). Ak označíme procesy a, b, c, potom platí

cba WWW .

Obr. 1.13. Teplo dodávané

do sústavy a práca, ktorú

koná sústava závisia od ter-

modynamického procesu.

Obr. 1.12. Znamienková konvencia. Teplo Q je kladné, keď je do sústavy

dodávané z okolia (a, c). Teplo je záporné, ak je odoberané zo sústavy (b, d).

Práca W sústavy je kladná, keď konaním práce je energia prenášaná do

okolia (expanziou plynu) (a, b) a je záporná, keď konaním práce je energia

prenášaná do sústavy (okolie koná prácu – stlačením plynu) (c, d).

SÚSTAVA SÚSTAVA

SÚSTAVA SÚSTAVA

W > 0

W < 0

W > 0

W < 0

Q > 0

Q > 0 Q < 0

Q < 0´

´

´

´

a) b)

c) d)

(1)

(2)a

bc

p

V

26

Práca, ktorú vykoná sústava pri prechode zo začiatočného stavu do konečného závisí tiež od

procesu prechodu.

Podobne aj dodávaním tepla Q do sústavy, prechádza sústava zo stavu (1) do stavu (2). Aj

v tomto prípade potrebné množstvo tepla potrebné na uskutočnenie tohoto prechodu závisí od

procesu (spôsobu) dodávania tepla

cba QQQ .

Teplo dodávané do sústavy, ktoré spôsobuje prechod sústavy zo začiatočného stavu do

konečného závisí tiež od procesu prechodu.

Zovšeobecnenie založené na mnohých experimentoch však tvrdí, že rozdiel aa WQ

nezávisí od spôsobu prechodu zo začiatočného do konečného stavu a je rovnaký aj pre

procesy označené ako „b“ a „c“. Teda všeobecne rozdiel WQ nezávisí od spôsobu

prechodu zo začiatočného do konečného stavu. Tento rozdiel závisí len od začiatočného

a konečného stavu. Zopakujme si, Q je teplo dodané z okolia do sústavy a W je práca

vykonaná sústavou. Rozdiel WQ predstavuje teda energiu, o ktorú sa zvýšila energia

sústavy. Túto energiu nazývame vnútorná energia a označujeme ju symbolom U. Potom

možno písať

UWQ Δ .

Túto rovnicu možno prepísať pre diferenciálne zmeny ako

WUQ ddd (1.40)

a táto rovnica je vyjadrením I. zákona termodynamiky, ktorý možno interpretovať ako zákon

zachovania energie: Teplo dodané do sústavy sa rovná zvýšeniu vnútornej energie U sústavy

a práci W , ktorú vykonala sústava.

Dôležitým poznatkom je tiež to, že vnútorná energia U závisí len na začiatočnom

a konečnom stave sústavy a nie na spôsobe prechodu medzi nimi. Vnútorná energia je teda

stavovou veličinou. Práca a teplo nie sú stavové veličiny, lebo

závisia od spôsobu prechodu medzi začiatočným a konečným

stavom.

Keď sústava vykoná kruhový proces, t. j. taký proces, pri

ktorom sa vráti do pôvodného stavu, musí nielen prijímať energiu

od okolia, ale ju aj do okolia odovzdávať, a to tak, že celková

energia prijatá sústavou je nulová. Matematicky to možno vyjadriť

podmienkou

0dU .

Ak platí takáto podmienka, možno ľahko dokázať, že príslušná

veličina je stavová veličina. Ako sme už spomenuli, stavové

veličiny sú také veličiny, ktoré závisia len od stavu sústavy a nie aj od spôsobu ako sa do toho

stavu dostala. Keď si zvolíme (obr. 1.14) dve rôzne cesty prechodu zo stavu (1) do stavu (2),

musí platiť rovnica

1

2

2

b1

1

2

2

a1

0dddd UUUU .

Z tejto rovnice vyplýva, že

Obr. 1.14. Vnútorná ener-

gia je stavovou veličinou.

(1)

(2)

a b

p

V

27

2

a1

2

b1

dd UU ,

čo značí, že nezávisí na ceste (spôsobe) prechodu, ale len na stave.

Vnútornú energiu sústavy možno interpretovať pomocou predstáv na molekulárnej úrovni.

Pre zriedený plyn, alebo pre ideálny plyn, možno zanedbať vzájomnú potenciálnu energiu

molekúl. Potom vnútorná energia je rovná súčtu kinetických energií molekúl. Nárast

vnútornej energie ideálneho plynu sa prejaví v náraste celkovej kinetickej energie molekúl

a teda nárastom teploty, viď vzťah (1.26). Pre hustejší plyn, alebo aj iné komplikovanejšie

sústavy nemožno vzájomné potenciálne energie molekúl, resp. atómov zanedbať a aj tieto,

okrem energie ďalších interakcií, prispievajú do vnútornej energie.

Elementárnu prácu plynu sme vyjadrili vzťahom VpW dd . Keď toto vyjadrenie

dosadíme do vzťahu (1.40), I. zákon termodynamiky má tvar

VpUQ ddd . (1.41)

Príklad 1.6. Dusík s hmotnosťou 30 g sa nachádza v nádobe s pohyblivým piestom.

Jeho tlak je 0,2 MPa a teplota 15 °C. Po ohriatí pri stálom tlaku, plyn nadobudol objem 15 l.

(Hmotnostná tepelná kapacita dusíka -1-1 KJ.kg 742 .Vc a pomer 41, Vp cc ). Nájdite:

a) teplo, ktoré prijal plyn,

b) zmenu vnútornej energie plynu,

c) prácu, ktorú vykonal plyn.

Riešenie: a) Teplo, ktoré prijal plyn určíme zo vzťahu

1212 TTcmTTmcQ Vp . (P1)

Neznámu teplotu T2 určíme zo stavovej rovnice ideálneho plynu. Plyn sme ohriali pri

stálom tlaku, teda platí 21 pp a stavová rovnica má tvar

221 RTM

mVp .

Z nej vyjadríme

mR

MVpT 21

2

a dosadíme do rovnice (P1)

.J 1,52.10 K288 molJ.K 8,314 . kg 3.10

kg.mol 2,8.10 . m 10 . 1,5 . Pa 2.10 .

KJ.kg 10 . 7,42 . 1,4 . kg 103

3

1-1-2-

1-2-32-5

1-1-221

21

-

TmR

MVpcmQ V

.

...

b) Prírastok vnútornej energie určíme zo vzťahu

1

2112 Δ T

mR

MVpmcTTmcU VV .

28

Číselne

.J 10081

K288.molJ.K 8,314 . kg 3.10

kg.mol 2,8.10 . m 1,5.10 . Pa 2.10 . KJ.kg 7,42.10 . kg 103Δ

3

1-1-2-

-1-23-251-1-22

.,

..

U

c) Na výpočet práce, ktorú vykonal plyn použijeme I. zákon termodynamiky

ΔUQW

a číselne

J 10334J 10081J 10521 233 .,.,.,W .

1.8 Molárna tepelná kapacita. Mayerova rovnica

Prvý zákon termodynamiky v tvare (1.41)

VpUQ ddd

a stavová rovnica ideálneho plynu vyjadrená v diferenciálnom tvare (1.25)

TnRpVVp ddd

umožňujú získať ďalšie dôležité kvantitatívne vzťahy medzi termodynamickými veličinami.

Dvoma významnými z nich sú molárna tepelná kapacita pri stálom objeme VCm a molárna

tepelná kapacita pri stálom tlaku pCm . Sú definované ako množstvo tepla potrebné na

ohriatie jedného mólu látky o 1 K pri stálom objeme, resp. pri stálom tlaku.

Z I. zákona termodynamiky vyplýva, že pri stálom objeme ( 0d V )

UQ V dd

a potom molárna tepelná kapacita pri stálom objeme je

VVV

T

U

nT

Q

nC

d

d1

d

d1m . (1.42)

V termodynamike býva zvykom dávať podiel dvoch nekonečne malých veličín do

zátvorky [viď (1.42)] a index za zátvorkou označuje veličinu, ktorá zostáva konštantná pri

výpočtoch alebo pri meraní tohoto podielu.

Keď je tlak konštantný ( 0d p ), z I. zákona termodynamiky vyplýva

pVUVpUQ pp dddd . (1.43)

Funkcia

pVUH (1.44)

29

vystupujúca vo vzťahu (1.43) sa nazýva entalpia. Potom molárna tepelná kapacita pri stálom

tlaku je

ppp

T

H

nT

Q

nC

d

d1

d

d1m . (1.45)

V ďalšom odvodíme súvis medzi molárnymi tepelnými kapacitami ideálneho plynu.

Z I. zákona termodynamiky vyplýva, že

VpUQ p ddd (1.46)

a

UQ V dd . (1.47)

Ďalej zo stavovej rovnice ideálneho plynu pri konštp vyplýva, že

TnRVp dd . (1.48)

Keď teraz dosadíme (1.47) a (1.48) do (1.46) dostaneme rovnicu

TnRQQ Vp ddd ,

z ktorej, keď ju vydelíme Tnd dostaneme hľadaný súvis medzi pCm a VCm

RT

Q

nT

Q

n Vp

d

d1

d

d1,

teda

RCC Vp mm . (1.49)

Vzťah (1.49) sa nazýva Mayerova rovnica.

Ak rovnicu (1.49) vydelíme molárnou hmotnosťou M príslušného plynu, dostaneme súvis

medzi jeho hmotnostnými tepelnými kapacitami cp a cV

M

Rcc Vp . (1.50)

Príklad 1.7. V uzavretej nádobe, ktorej objem je 2,5 l sa nachádza 10 g hélia s teplotou

20 °C. Manometer ukazuje tlak 2,43 MPa. Nádobu potom prenesieme do miestnosti, kde je

teplota 10 °C. Po istej dobe manometer ukazuje ustálenú hodnotu tlaku. Zistite tlak, ktorý

ukazuje manometer, pokles energie tepelného pohybu molekúl plynu a množstvo tepla, ktoré

plyn odovzdal okoliu. (Hmotnostná tepelná kapacita hélia -1-1.KJ.kg 3116Vc .)

Riešenie: Keďže ide o zmenu, pri ktorej je objem konštantný, tlak hélia po ustálení teploty

vypočítame z Charlesovho zákona

Pa10 . 35,2 K293,15

K283,15 . Pa 10 . 43,2 66

1

212

T

Tpp .

30

Pokles energie tepelného pohybu molekúl plynu (uvážime, že molekuly hélia sú

jednoatómové) určíme zo vzťahu (viď vzťah 1.26)

M

ttmR

M

TkmNTNkE

2

3

2

Δ 3Δ

2

3Δ 12A

ksc

. (P1)

Číselne

J 312

kg.mol 10 . 4 . 2

K20-10 . .molJ.K 8,314 . kg 10 . 3Δ

1-3-

-1-1-2

ksc E .

Teplo, ktoré plyn odovzdal okoliu vypočítame zo vzťahu

J 312 Kkg.10 .1.10.KJ.kg 3116Δ -2-1-1 TmcQ V .

Keď porovnáme tento vzťah so vzťahom (P1), vidíme, že

J 312sc EQ . (P2)

Z I. zákona termodynamiky vyplýva, že keď je objem plynu konštantný, teplo, ktoré plyn

odovzdá okoliu, rovná sa úbytku vnútornej energie plynu

UQ Δ .

A teda so zreteľom na vzťah (P2)

scΔΔ EU .

Vidíme, že prírastok (úbytok) vnútornej energie plynu sa rovná prírastku (úbytku) celkovej

energie tepelného pohybu molekúl plynu.

1.9 Termodynamické procesy

1.9.1 Vratné a nevratné procesy

Mnohokrát sme už spomínali, že stav termodynamickej sústavy je určený stavovými

veličinami. Ak sa stavové veličiny zmenia, hovoríme, že sústava prešla do iného stavu. Nech

sa sústava (napr. ideálny plyn) nachádza v začiatočnom stave (1) charakterizovanom

stavovými veličinami 1p , 1V , 1T a nech prejde do konečného stavu (2) charakterizovaného

stavovými veličinami 2p , 2V , 2T . Medzi týmito stavmi, teda medzi stavom (1) a stavom (2),

prechádza sústava sledom rôznych stavov. Sled týchto stavov (spôsob prechodu) nazývame

cestou, po ktorej sústava prechádza, alebo hovoríme, že prebieha termodynamický proces.

Termodynamické procesy častokrát znázorňujeme v tzv. stavových diagramoch, najčastejšie

v p-V diagrame, v ktorom na jednu os vynášame objem a na druhú tlak.

Aby termodynamický proces prebiehal, musí nutne existovať rozdiel tlakov, resp. teplôt

medzi sústavou a okolím. Ak sa vonkajšie veličiny menia pomaly a v takej malej miere, že je

možné nazerať na taký proces ako na postupnosť rovnovážnych stavov, nazývame ho

kvázistatický. V takomto prípade obrátenie smeru zmien vonkajších veličín spôsobí obrátenie

priebehu procesu. Taký proces potom nazývame vratný (reverzibilný).

31

Prakticky všetky procesy v prírode prebiehajú tak rýchle, že ich nemožno považovať za

kvázistatické. V tomto prípade nemožno zmeniť proces tak, aby prebiehal naspäť po rovnakej

stavovej ceste. Takéto procesy nazývame nevratné (ireverzibilné). Prírodné procesy

prebiehajú samovoľne len jedným smerom – k stavu termodynamickej rovnováhy.

Prax ukazuje, že termodynamické úvahy založené na vratných zmenách nevedú

k podstatným odchýlkam, čo sa týka plynu, od skutočného správania. V parách a plynoch

vzniká tepelná rovnováha veľmi rýchlo. V nasledujúcich častiach termodynamická sústava

bude tvorená ideálnym plynom a budeme považovať všetky termodynamické procesy za

vratné.

1.9.2 Izobarický proces

Je to proces prebiehajúci pri konštantnom tlaku: konšt,p resp. 0d p . Stavová rovnica

má pri tomto procese tvar

TnRVpT

V

T

Vdd resp.

1

1 , .

Pri tomto procese, keď sa zväčšuje objem, musíme do sústavy dodávať teplo a naopak pri

zmenšovaní objemu musíme teplo zo sústavy odoberať. Elementárne množstvo tepla

vypočítame podľa I. zákona termodynamiky

TnCTRCnTnRTnCVpUQ pVV ddddddd mmm

a keď sústava prejde zo stavu (1) do stavu (2)

12mm d2

1

TTnCTnCQ p

T

T

p . (1.51)

Prácu, ktorú vykoná sústava pri prechode zo stavu (1) do stavu (2), ppp 21 ,

vypočítame takto

12

2

1

2

1

dd VVpVpVpW

V

V

V

V

. (1.52)

Obr. 1.16. Izobarický proces znázornený v p, T

súradniciach.

Obr. 1.15. Izobarický proces znázornený v p, V

súradniciach. Tieňovaná plocha je rovná práci

vykonanej sústavou.

p

1 2

(1) (2)

T T T

p

VV V1 2

(1) (2)

W´

32

Práca v súradniciach p, V (obr. 1.15) je rovná vytieňovanej ploche.

V súradniciach p, T je izobarický proces znázornený na obr. 1.16. Práca vyjadrená

v týchto súradniciach je

12

2

1

2

1

dd TTnRTnRVpW

T

T

V

V

. (1.53)

Vzťahy (1.52) a (1.53) sú rovnocenné. Od jedného z nich ku druhému prejdeme pomocou

stavovej rovnice. Aj tu sme použili stavovú rovnicu: TnRVp dd . V ďalšom budeme preto

procesy znázorňovať len v p, V súradniciach.

1.9.3 Izochorický proces

Je to proces prebiehajúci pri konštantnom objeme:

konšt,V resp. 0d V . Stavová rovnica má pri tomto

procese tvar

TnRpVT

p

T

pdd resp.

1

1 , .

Pri tomto procese elementárne množstvo tepla, ktoré

prijme sústava vypočítame nasledujúco

,dddd m TnCVpUQ V

lebo 0d Vp a keď sústava prejde zo stavu (1) do

stavu (2)

12mm d2

1

TTnCTnCQ V

T

T

V . (1.54)

Plyn v tomto prípade prácu nekoná, lebo sa nemení

objem. Znázornenie izochorického procesu v súradni-

ciach p, V je na obr. 1.17.

1.9.4 Izotermický proces

Tento proces prebieha pri konštantnej teplote: konšt,T resp. 0d T . Stavová rovnica

má pri tomto procese tvar

0dd resp. 11 pVVpnRTpVVp , .

Elementárne množstvo tepla, ktoré prijme sústava pri tomto procese vypočítame takto

VpVpUQ dddd , (1.55)

Obr. 1.17. Izochorický proces znázor-

nený v p, V súradniciach.

p

p

p

1

2

V

(1)

(2)

33

lebo 0dd m TnCU V . Zo vzťahu (1.55) vyplýva, že energia, ktorú plyn prijme vo forme

tepla sa mení na prácu vykonanú sústavou, teda pri prechode sústavy zo stavu (1) do stavu (2)

platí

.lnln1

2

1

211

112

1

2

1

dV

VnRT

V

VVpdV

V

VpVpWQ

V

V

V

V

(1.56)

Znázornenie izotermického procesu v súradniciach p, V je na obr. 1.18.

1.9.5 Adiabatický proces

Tento proces prebieha pri dokonalej tepelnej izolácii sústavy od okolia, teda nie je možná

výmena tepla medzi sústavou a okolím, teda 0d Q . Stavová rovnica má pri tomto procese

tvar

TnRpVVpT

pV

T

Vpddd resp.

1

11 , .

I. zákon termodynamiky má v tomto prípade tvar

0ddm VpTnC V . (1.57)

Keďže UTnC V ddm je zo vzťahu (1.57) zrejmé, že plyn v tomto prípade koná prácu na

úkor vnútornej energie. Teda, keď plyn koná prácu, ochladzuje sa a keď konajú prácu

vonkajšie sily jeho teplota narastá a teda aj vnútorná energia.

Prácu, ktorú vykoná plyn pri prechode zo stavu (1) do stavu (2), vypočítame takto

12mm

2

1

2

1

dd TTnCTnCVpW V

T

T

V

V

V

. (1.58)

Odvodíme teraz súvis medzi tlakom a objemom pri adiabatickom procese. Budeme

vychádzať z I. zákona termodynamiky a zo stavovej rovnice ideálneho plynu

0ddm VpTnC V

TnRpVVp ddd .

Obr. 1.18. Izotermický proces v p, V súrad-

niciach.

Obr. 1.19. Adiabatický proces v p, V súradni-

ciach.

p

VV V1 2

(1)

(2)W´

p

VV V1 2

(1)

(2)W´

34

Z prvej rovnice vyjadríme dT a dosadíme do druhej. Po malej úprave a keď použijeme

Mayerovu rovnicu RCC Vp mm dostaneme

0ddm

m pVVp

C

C

V

p.

Podiel Vp CC mm sa nazýva Poissonova konštanta a označíme ho ; Vp CC mm . Po

separácii premenných dostaneme rovnicu

p

p

V

V dd

a jej integráciou

p

p

V

Vp

p

V

V

11

dd

získame po jednoduchej úprave hľadaný súvis medzi tlakom a objemom

pVVp 11 . (1.59)

Táto rovnica sa nazýva Poissonova rovnica.

Analogickým postupom, vylúčením tlaku, resp. objemu by sme dostali súvisy medzi V a T

a medzi p a T.

Adiabatický proces v súradniciach p, V je znázornený na obr. 1.19.

Odvodíme ešte vzťah pre výpočet práce plynu pri adiabatickom procese s využitím

Poissonovej rovnice

1

2

11

1

2

11111 11

11

dd2

1

2

1

V

VnRT

V

VVpV

V

VpVpW

V

V

V

V

. (1.60)

Reálne procesy obsahujú v sebe prvky izotermických procesov (konanie práce v dôsledku

dodaného tepla) i adiabatických procesov (konanie práce na úkor vnútornej energie), preto

každý reálny proces môžeme simulovať dvomi ideálnymi procesmi – izotermickým

a adiabatickým.

Príklad 1.8. Máme stlačiť vzduch z objemu 9 l na objem 1,5 l . Môžeme ho stlačiť

izotermicky alebo adiabaticky. Ktorý dej je z energetického hľadiska výhodnejší? 41, .

Riešenie: Aby sme mohli odpovedať na otázku, vypočítame prácu, ktorú musíme vykonať

pri izotermickom i pri adiabatickom stlačení.

Práca pri izotermickom stlačení

2

11111 ln

dd

2

1

2

1

V

VVp

V

VVpVpW

V

V

V

V

T .

Práca pri adiabatickom stlačení

35

1

1

21112

11

1111 1

1

1

dd

2

1

2

1

V

VVpVV

Vp

V

VVpVpW

V

V

V

V

Q .

Obe práce porovnáme tak, že urobíme ich podiel

6840

m 10 . 9

m 10 . 1,51

m 10 . 1,5

m 10 . 9ln 411

1

ln 1

1 1

411

33-

33-

33-

3-3

1

1

2

2

1

1

1

211

1

211

,

,ln

,

V

V

V

V

V

VVp

V

VVp

W

W

Q

T .

Z výsledku vyplýva, že izotermické stlačenie je z energetického hľadiska výhodnejšie.

1.10 II. zákon termodynamiky

Prvý zákon termodynamiky je vlastne zákon zachovania energie a hovorí o prenose

(výmene) energie medzi sústavou a okolím. V typickom termodynamickom procese je teplo

Q dodávané do sústavy a sústavou je konaná práca .W Na taký proces možno nazerať ako na

proces transformujúci energiu – energia vchádza do sústavy ako teplo a opúšťa ju vo forme

práce, ktorú koná sústava. Expanzia plynu pri konštantnom tlaku vo valci je toho

jednoduchým príkladom. Ale podľa I. zákona termodynamiky je možný aj opačný proces –

energia je do sústavy dodávaná prácou W vonkajších síl a opúšťa sústavu ako teplo Q .

Premena práce na teplo prebieha spontánne, samovoľne, keď je práca konaná

disipatívnymi silami, napr. trením. Pri brzdení automobilu konajú prácu trecie sily medzi

brzdovými platničkami a brzdovým kotúčom. Platničky i kotúč sa ohrievajú a v dôsledku

rozdielu ich teploty a teploty okolia je energia odvádzaná vo forme tepla do okolia.

Opačný proces, premena tepla na prácu je z nášho pohľadu veľmi dôležitý. Neprebieha

však spontánne. Ešte nikdy sa nestalo, že by sa teplo uvoľnené pri brzdení premenilo opäť na

kinetickú energiu automobilu. Aby sa dalo teplo meniť na prácu, je potrebné najprv zostrojiť

na to potrebné zariadenie, stroj.

Uvažujme proces znázornený na obr. 1.20. Kovový valec s pohyblivým piestom obsahuje

ideálny plyn v nejakom začiatočnom stave charakterizovanom p1, V1 s teplotou T rovnajúcou

sa teplote okolia. Nech plyn expanduje izotermicky, kryjúc stratu vnútornej energie

dodávaním tepla z okolia. Plyn koná prácu posúvaním piesta. V tomto prípade (pri

Obr. 1.20. Izotermická expanzia plynu. Keď tlak plynu

klesne na hodnotu vonkajšieho tlaku proces sa zastaví –

plyn prácu viac nekoná.

Obr. 1.21. Aby sa proces konania

práce plynom mohol opakovať, je

nutné, aby prebiehal cyklický proces.

Qp pV

T TPIEST

VALEC

0i i

(1)

(2)

p

VVV

W´

1 2

36

izotermickom procese), ako vyplýva z I. zákona termodynamiky, teplo dodané do sústavy

bolo transformované na prácu vykonanú sústavou, WQ .

Z praktického hľadiska je takáto premena tepla na prácu neuspokojivá. Je to jednorazová

záležitosť. Totiž, keď tlak plynu vo valci klesne na hodnotu vonkajšieho tlaku, proces sa

zastaví – práca sa viac nekoná. Plyn mohol konať v tomto prípade prácu len preto, lebo bol

v začiatočnom stave stlačený (jeho tlak bol väčší ako tlak okolia). Aby sa proces konania

práce plynom mohol opakovať, je nutné stlačiť plyn do pôvodného stavu. To si vyžaduje, aby

sa istá časť práce získaná počas expanzie použila na opätovné stlačenie plynu.

Predpokladajme, že plyn navrátime do pôvodného stavu po inej stavovej ceste (možno ho

izotermicky stlačiť pri nižšej teplote, než pri akej prebiehala expanzia), pri ktorej spotrebu-

jeme menšiu prácu ako bola práca vykonaná plynom. Takýmto spôsobom prichádzame

k predstave cyklicky pracujúceho tepelného stroja, ktorý by opakovane menil teplo na prácu.

Takýto, všeobecný, kvázistatický cyklus znázornený v p, V súradniciach je na obr. 1.21.

Všetky cyklicky pracujúce tepelné stroje majú niektoré spoločné vlastnosti. Pracovná

látka (vo vyššie opísanom prípade ideálny plyn) podlieha cyklickým procesom. Teplo sa

vymieňa medzi pracovnou látkou a okolím najmenej pri dvoch rôznych teplotách. Pracovná

látka prijíma isté množstvo tepla Q1 pri vyššej teplote a odovzdáva iné množstvo tepla 2Q

okoliu pri nižšej teplote počas pracovného cyklu. Rozdiel týchto tepiel sa rovná práci, ktorú

vykonal stroj počas cyklu

21 QQW

a účinnosť takéhoto stroja je daná vzťahom

1

2

1

21

1

1Q

Q

Q

QQ

Q

W

. (1.61)

Rovnicu (1.61) sme dostali z úvah založených na I. zákone termodynamiky aplikovanom

na cyklický proces. Bolo urobených mnoho pokusov zostrojiť tepelný stroj, ktorý by pracoval

so 100 percentnou účinnosťou. Teda taký stroj, ktorý by všetko teplo získané zo zásobníka

tepla premenil na ekvivalentnú prácu, 1QW . Všetky takéto pokusy zlyhali.

Ako sme už uviedli, že pokým prácu možno zmeniť na teplo bezo zbytku (napríklad

spomínaným trením), opačný proces, menenie tepla na prácu, má silne obmedzujúce

podmienky.

Táto skutočnosť je obsahom II. zákona termodynamiky, ktorý má niekoľko

ekvivalentných formulácií:

a) Planckova formulácia: Nemožno zostrojiť cyklicky pracujúci tepelný stroj, ktorý by

nič iné nerobil, len odoberal teplo zo zásobníka a menil ho na prácu.

b) Clausiova formulácia: Pri styku dvoch telies s rôznymi teplotami prechádza teplo

samovoľne vždy len z telesa teplejšieho na chladnejšie.

c) Nemožno zostrojiť perpetum mobile 2. druhu – stroj, ktorý by odoberal teplo

z jediného prostredia a menil ho na mechanickú prácu.

Všetky uvedené formulácie II. zákona termodynamiky sú ekvivalentné. Tepelný stroj

v Planckovej formulácii nemôže fungovať, pretože odoberaním tepla zo zásobníka sa

zásobník ochladzuje a príde doba, keď jeho teplota a teplota stroja budú rovnaké a ďalšie

teplo zo zásobníka sa už podľa Clausiovej formulácie neodoberie. Ak je správna Clausiova

formulácia, potom je správna aj Planckova formulácia a naopak.

II. zákon termodynamiky nie je kvantitatívny zákon. Uvedené formulácie sú kvalitatívne,

ktoré vlastne tvrdia, že niektoré druhy procesov sú nemožné. Tento zákon však netvrdí, že nie

je možné teplo meniť na prácu. Tvrdí len, že táto premena neprebieha samovoľne. Musia byť

37

splnené niektoré ďalšie podmienky a ako uvidíme v ďalšej stati pri Carnotovom cykle musia

existovať dva zásobníky tepla s rôznymi teplotami 21 TT . Vzniká otázka, s akou najväčšou

účinnosťou možno trvale meniť teplo na prácu. Tento problém rozriešil Carnot, ktorý

teoreticky navrhol stroj, ktorý by zo všetkých tepelných strojov pracoval s najväčšou

účinnosťou (pozor, nie 100%-nou).

1.11 Carnotov cyklus

Carnot nahradil reálne procesy prebiehajúce v tepelných strojoch ideálnymi vratnými

procesmi, a to izotermickým a adiabatickým. Ako sme už spomínali, keď má stroj trvale

pracovať, musí v ňom prebiehať cyklický (kruhový) proces. Na obr. 1.22 je znázornený p-V

diagram cyklického procesu navrhnutého Carnotom. Cyklus sa skladá zo štyroch ideálnych

procesov:

1. izotermickej expanzie, z 21 ,

2. adiabatickej expanzie, z 32 ,

3. izotermickej kompresie, z 43 ,

4. adiabatickej kompresie, zo 14 .

Carnotov stroj musí mať dva zásobníky tepla – jeden s teplotou 1T a druhý s nižšou

teplotou 2T . Z obrázku vidíme, že pri izotermickej expanzii sa z teplejšieho zásobníka

odoberá teplo 1Q a pri izotermickej kompresii sa odovzdáva druhému zásobníku teplo 2Q .

Celý proces je schematicky znázornený na obr. 1.23. V súhlase s I. zákonom termodynamiky

rozdiel prijatého a odovzdaného tepla sa musí rovnať práci vykonanej strojom: WQQ 21 .

Teplo 1Q prijaté pri expanzii plynu (procesy 21 a 32 ) možno vyjadriť takto

AATT WUWUQ 11111 ΔΔ

a teplo 22 QQ prijaté pri kompresii ako

AATT WUWUQQ 222222 ΔΔ .

Obr. 1.23. Termodynamická schéma

Carnotovho (tepelného) stroja.

Obr. 1.22. Carnotov cyklus sa skladá zo

štyroch ideálnych procesov: 1) izotermickej

expanzie, 2) adiabatickej expanzie, 3) izoter-

mickej kompresie a 4) adiabatickej kompresie.

CARNOTOV STROJ

Q

Q´

W´

1

1

2

2

T

T

ZÁSOBNÍK TEPLA

ZÁSOBNÍK TEPLA

pp

p

p

p

V

V

V

V

V

11

W

1

1

1

2

2 2

22

3 3 3

44 4

Q

Q

T

T

,

,

,

,

´

38

Indexy T a A pri veličinách značia, že ide o izotermický, resp. adiabatický proces.

Práca vykonaná plynom pri jednom cykle je potom

ATAT WWWWQQW 221121 ,

lebo pri kruhovom procese je zmena vnútornej energie rovná nule

0ΔΔΔΔ 2211 ATAT UUUU .

Izotermické práce možno vyjadriť podľa vzťahu (1.56) nasledujúco

1

2111

V

VnRTQW T ln ,

3

4222

V

VnRTQW T ln

a adiabatické práce podľa vzťahu (1.58)

)( 12m1 TTnCW VA

)( 21m2 TTnCW VA .

Potom práca vykonaná plynom v jednom cykle je

3

42

1

212211

V

VnRT

V

VnRTWWWWW ATAT lnln

a účinnosť Carnotovho stroja je

1

2

1

21

1

1Q

Q

Q

QQ

Q

W

,

ale aj

1

21

3

42

1

21

3

42

1

21

1

V

VT

V

VT

V

VnRT

V

VnRT

V

VnRT

ln

ln

ln

lnln

. (1.62)

Avšak zo vzťahov pre jednotlivé procesy, teda 2211 VpVp , 3322 VpVp , 4433 VpVp ,

1144 VpVp , keď vynásobíme pravé a ľavé strany dostaneme rovnosť

4

3

1

2

V

V

V

V

a potom vzťah (1.62) vyjadrujúci účinnosť Carnotovho stroja možno upraviť do tvaru

1

21

T

TT . (1.63)

39

Tento vzťah možno použiť na definíciu termodynamickej teplotnej stupnice nezávislej od

použitej látky. Stačí zvoliť jednu základnú teplotu, napr. 01 TT . Potom 00 TTT a

ľubovolná teplota T je určená vzťahom

10TT . (1.64)

1.12 Tepelné čerpadlá a chladiace stroje

V predchádzajúcej časti sme rozoberali tepelný stroj pracujúci podľa ideálneho

Carnotovho cyklu (Carnotov stroj). Tento umožňoval meniť teplo na mechanickú prácu. Keď

obrátime chod takého stroja vznikne chladiaci stroj alebo tepelné čerpadlo. V tomto prípade

však nezískavame mechanickú prácu, ale naopak, stroju ju musíme dodávať.

V Carnotovom stroji pracujúcom v obrátenom

zmysle prichádza najprv k adiabatickej expanzii

plynu z teploty T1 na teplotu T2. Plyn sa teda

ochladí. Potom nasleduje izotermická expanzia, pri

ktorej je odoberané teplo Q2 z chladnejšieho

zásobníka. Potom nasleduje adiabatická kompre-

sia, pri ktorej sa teplota plynu zvýši z T2 na T1 a

posledný proces v cykle je izotermická kompresia,

pri ktorej plyn odovzdá teplo 1Q teplejšiemu

zásobníku, ktorý je v tomto prípade chladičom.

Termodynamická schéma chladiaceho stroja je

znázornená na obr. 1.24a. Do chladiaceho stroja

(chladničky) treba dodávať z okolia energiu W.

Najčastejšie je to elektrická energia, ktorá

pomocou elektromotora poháňa kompresor, ktorý

zabezpečuje tok chladiaceho média cez chladiaci

Obr. 1.24. Termodynamické schémy: a) chladiaceho stroja,

b) tepelného čerpadla.

Obr. 1.25. Princíp činnosti chladiaceho

stroja, ale i tepelného čerpadla.

KOMPRESOR

ODPAROVAČ

ŠKRTIACA KLAPKA

KONDENZÁTOR

Q´ Q´

Q Q

W W

1 1

1 1

2 2

2 2

T T

T T

ZÁSOBNÍK TEPLA

ZÁSOBNÍK TEPLA

ZÁSOBNÍK TEPLA

ZÁSOBNÍK TEPLA

CHLADIACI STROJ

TEPELNÉČERPADLO

a) b)

40

okruh, obr. 1.25, pričom na ochladzovanie sa používa škrtiaci efekt: Tento efekt nastáva, keď

tekutina s vysokým tlakom prúdi cez pórovitú membránu alebo cez zmenšený prierez

(škrtiacu klapku, redukčný ventil) do oblasti s nízkym tlakom. Keď kvapalina s teplotou

blízkou bodu varu prechádza cez škrtiacu klapku do priestoru s nízkym tlakom (do

odparovača), nastáva jej var. Na svoj var pri teplote T2 prijíma z okolitého prostredia, z vnútra

chladničky, teplo 2Q . Pary vriacej kvapaliny odsáva z odparovača kompresor. Stlačené pary

tlačí kompresor do kondenzátora pár (meandrovitá trubička umiestnená na zadnej strane

chladničky), kde v dôsledku vysokého tlaku kondenzujú aj pri vyššej teplote T1 (teplote

okolitého prostredia, napr. kuchyne). Pri kondenzácii odovzdáva chladiace médium okolitému

prostrediu teplo 1Q . Skondenzovaná kvapalina potom znovu prechádza cez redukčný ventil

do odparovača, kde nastáva jej var. Celý tento proces sa opakuje.

Kvalita chladiaceho zariadenia sa posudzuje na základe koeficienta využiteľnosti

(efektivity) chk . Je to podiel odobratého tepla 2Q z chladeného priestoru a dodanej práce W

W

Qk 2

ch . (1.65)

Tento koeficient býva väčší ako jednotka a čím je vyšší, tým je chladiace zariadenie

efektívnejšie.

Tepelné čerpadlá pracujú na rovnakom princípe ako chladiace stroje. Odoberajú teplo

z prostredia s nižšou teplotou a odovzdávajú ho prostrediu s vyššou teplotou.

Termodynamická schéma tepelného čerpadla je totožná s termodynamickou schémou

chladiaceho stroja, obr. 1.24b a tak isto aj obr. 1.25 opisuje princíp činnosti tepelného

čerpadla. Koeficient využiteľnosti (efektivity) tepelného čerpadla je podiel tepla 1Q

odovzdaného v chladiči (okoliu) a dodanej práce W

1č

W

Qk

. (1.66)

Aj o tomto koeficiente platí to, čo pri chladiacich zariadeniach – čím je vyšší, tým je tepelné

čerpadlo efektívnejšie – lacnejšie z hľadiska prevádzky.

Príklad 1.9. Akú energiu treba dodať ideálnemu chladiacemu stroju, ktorý pracuje

podľa Carnotovho cyklu, keď zmrazí 0,3 kg vody s teplotou 20 °C na ľad s teplotou –5 °C?

Predpokladáme, že teplota okolia je konštantná a rovná 20 °C. Aký je koeficient využiteľnosti

tohto stroja? Pozn.: Stroj odvádza teplo potrebné na zmrazenie z chladeného priestoru teploty

–5 °C. ( -1-1ľ

-1-1v .KJ.kg 2093c ;.KJ.kg 4186 c ; -15

t J.kg 10343 ., )

Riešenie: Aby stroj zmrazil vodu na požadovanú teplotu, musí z nej odobrať teplo 2Q ,

ktoré určíme podľa vzťahu

ľtv2 QLQQ , (P1)

kde 0vvv tmcQ je teplo, ktoré musí zdroj odobrať vode teploty C 20v t , aby ju

ochladil na 0 °C, tt mL – skupenské teplo tuhnutia vody a ľľľ 0 tmcQ – teplo, ktoré

treba odobrať, aby ľad nadobudol teplotu C 5ľ t . Po dosadení do vzťahu (P1) dostaneme

41

ľľtvv2 00 tmcmtmcQ

K5 . .KJ.kg 2093 . kg 30J.kg 3,34.10 . kg 30 K20 . .KJ.kg 4186 . kg 0,3 -1-1-15-1-1 ,,

J ,28.101 5 .

Ďalej vieme, že stroj pracuje medzi teplotami C 5ľ2 tt a C 20v1 tt . Účinnosť

stroja pracujúceho s týmito teplotami zásobníkov je

08530 K293,15

K268,15 K293,15

1

21 ,T

TT

.

Ale účinnosť možno určiť aj pomocou tepiel, ktoré stroj prijme z jedného zásobníka a

odovzdá ho druhému. Teda

.Q

QQ

1

21

Z tohoto vzťahu možno určiť množstvo tepla 1Q , ktoré odovzdá chladiaci stroj okoliu

J 1,40.10,085301

J ,28.101

1

55

21

QQ .

Energia, ktorú musíme dodať chladiacemu stroju je potom rozdiel tepla dodaného do

okolia a tepla odobratého z vody

kJ 12J 12.10J ,28.101J 1,40.10 35521 QQW .

Koeficient využiteľnosti (efektivity) je

0,71J 12.10

J 1,28.103

52

ch W

Qk .

1.13 Prenos tepla

Teplo sa môže prenášať medzi systémami (látkami) týmito tromi spôsobmi: vedením

(kondukciou), prúdením (konvekciou) a žiarením (radiáciou). V niektorých prípadoch je

dominantný len jeden mechanizmus, ale niekedy musíme uvažovať dva, ba dokonca všetky

tri. Podrobnejšie sa budeme venovať jednotlivým mechanizmom prenosu tepla

v nasledujúcom texte.

1.13.1 Prenos tepla vedením

Pri prenose tepla vedením je teplo prenášané medzi dvoma sústavami cez prostredie, ktoré

ich spája. V tomto prípade žiadna časť prostredia (ako celok) sa nepohybuje. Takýmto

prostredím môže byť napríklad pevná tyč, alebo aj tekutina, v ktorej neprichádza k prúdeniu.

42

Uvažujme homogénnu pevnú tyč s dĺžkou a prierezom S, ktorá spája dve telesá

s teplotami T1 a T2 (obr.1.26). Teplo prechádza tyčou z telesa s vyššou teplotou, povedzme T1,

na teleso s nižšou teplotou T2. Zo skúsenosti vieme, že teplota pozdĺž tyče sa bude s časom aj

s miestom meniť. Isté sú teploty koncov tyče: v mieste x = 0 je teplota T1 a v mieste x je

teplota T2. V ľubovoľnom mieste x tyče musí byť teplota medzi T1 a T2. Táto teplota sa mení

s časom, ale po dostatočne dlhom čase sa ustáli. Hovoríme, že nastal stacionárny stav

(ustálený stav). Ak by bola tyč z bočných strán dokonale tepelne izolovaná, aby

neprichádzalo k odvodu tepla z povrchu tyče, teplota pozdĺž tyče by lineárne klesala

(obr. 1.27). V takomto prípade hovoríme o jednodimenzionálnom vedení tepla. Množstvo

tepla Q, ktoré prejde pri uvedených podmienkach cez

tyč za čas je priamo úmerné rozdielu teplôt na

koncoch tyče T T1 2 , priamo úmerné prierezu S a

nepriamo úmerné dĺžke (hrúbke, ak ide o dosku

alebo stenu) a závisí od materiálu, z ktorého je tyč

zhotovená

21 TTSQ

. (1.67)

V tomto vzťahu vystupuje veličina , ktorá

charakterizuje materiál (ale nie jeho tvar alebo

rozmery) z hľadiska vedenia tepla. Nazýva sa koeficient tepelnej vodivosti. Číselne sa rovná

teplu, ktoré prejde za 1 s cez kocku materiálu s rozmermi hrán 1m, ak na protiľahlých stenách

udržujeme teplotný rozdiel 1 K. Jeho jednotka v sústave SI je 1 W/m.K.

Vyššie napísaná rovnica je definičnou rovnicou pre koeficient tepelnej vodivosti. Na jej

základe sú navrhnuté experimentálne metódy na určenie koeficienta tepelnej vodivosti

rôznych materiálov. Koeficienty tepelnej vodivosti niektorých typických látok sú uvedené

v tabuľke 1.1.

V nasledujúcom texte si rozoberieme fyzikálnu podstatu vedenia tepla. Mechanizmus

vedenia tepla v plynoch je pomerne jednoduchý. Molekuly plynu sú v neustálom chaotickom

pohybe (tepelnom pohybe) bez ohľadu na to, či v plyne je, alebo nie je prítomný teplotný

gradient. Vieme, že stredná kinetická energia Eks molekúl plynu súvisí s jeho teplotou T

vzťahom kTmE 2sks

2

1v . V tomto vzťahu m je hmotnosť molekúl plynu a k – Boltzman-

nova konštanta. Ak v plyne existuje teplotný gradient, molekuly v oblasti s vyššou teplotou

budú mať väčšiu energiu ako molekuly v oblasti s nižšou teplotou. Pri vzájomnej interakcii

(zrážke) molekula s vyššou energiou stratí časť energie a naopak, molekula s nižšou energiou,

Obr. 1.26. Vedenie tepla cez homo-

génnu tyč, ktorej konce sa stýkajú

s telesami s teplotami T1 a T2.

Obr. 1.27. Teplotný profil pozdĺž tyče z obr. 1.26 pre

rôzne časy od okamihu styku tyče s telesami. Takéto

teplotné profily by boli dosiahnuté, ak by bola tyč

adiabaticky izolovaná od okolia. Pre časy platí relácia

1 2 3 .

T

T2

1

x = 0 x = l

1

2

3

43

energiu získa. V dôsledku veľkého množstva zrážok molekúl existuje v plyne prenos energie

(tepla) z oblasti s vyššou teplotou do oblasti s nižšou teplotou.

Fyzikálny mechanizmus vedenia tepla v kvapalinách je kvalitatívne podobný vedeniu

tepla v plynoch. Situácia je však komplikovanejšia, pretože molekuly v kvapaline sú

podstatne tesnejšie pri sebe a pri ich interakcii sa prejavuje vplyv medzimolekulových síl na

výmenu energie medzi nimi.

V pevných látkach sa teplo môže viesť dvomi spôsobmi:

a) pomocou odovzdávania energie medzi kmitajúcimi atómami nachádzajúcimi sa v uzlových

bodoch mriežky – hovoríme o mriežkovej tepelnej vodivosti alebo aj o fonónovej tepelnej

vodivosti. Fonóny sú kvázičastice s energiou hfE a hybnosťou vhfp . Predstavujú

kvantá energie, po ktorých sa môže meniť energia hypotetických navzájom nezávislých

(kvantovomechanických) oscilátorov nahradzujúcich systém reálnych vzájomne viazaných os-

cilátorov (atómov) tuhej látky; h je Planckova konštanta, f – frekvencia oscilátora a v – rých-

losť šírenia sa fonónov, ktorá sa rovná približne rýchlosti šírenia sa zvuku v danej tuhej látke;

b) transportom tepla pomocou voľných elektrónov – hovoríme o elektrónovej tepelnej

vodivosti. V dobrých elektrických vodičoch sa nachádza veľké množstvo voľných elektrónov.

Elektróny sa v látke pohybujú chaotickým tepelným pohybom a dokonca sa hovorí o týchto

elektrónoch ako o elektrónovom plyne. Tieto elektróny môžu prenášať tepelnú energiu

z oblasti s vyššou teplotou do oblasti s nižšou teplotou rovnakým mechanizmom ako sme

opísali pri plynoch.

Vo všeobecnosti je mriežková tepelná vodivosť menšia ako elektrónová tepelná vodivosť,

a preto dobré elektrické vodiče sú aj dobrými tepelnými vodičmi (napr. meď, hliník,

striebro,...) a elektrické izolanty nie sú obvykle dobrými vodičmi tepla. V čistých kovoch je

tepelná vodivosť pri ľubovoľných teplotách spôsobená v podstate elektrónmi. Jestvuje

dokonca súvis medzi elektrickou konduktivitou kovov a ich koeficientom tepelnej vodivosti

. Tento súvis vyjadruje Franzov – Wiedemannov zákon, ktorý hovorí, že pre nie príliš nízke

teploty je podiel koeficienta tepelnej vodivosti a konduktivity priamo úmerný teplote, pričom

koeficient úmernosti je univerzálnou konštantou, čo značí, že nie je závislý od chemickej

individuality kovu. Tento zákon má tvar

,3

π22

Te

k

kde k je Boltzmannova konštanta a e elementárny elektrický náboj.

Podľa údajov uvedených v tab. 1.1 vidno, že najlepšími vodičmi tepla sú kovy. Nekovy

vedú teplo podstatne horšie. Tepelná vodivosť kvapalín je asi 1000-krát menšia než kovov

a najmenšia je tepelná vodivosť plynov (v tenkých vrstvách alebo malých objemoch, aby

neprichádzalo k prúdeniu). Vzduchom (alebo inými plynmi) vyplnené póry v tuhých látkach

značne zmenšujú ich tepelnú vodivosť, čo sa využíva pri výrobe materiálov, ktoré nemajú

dobre prepúšťať teplo (duté tehly, pórobetón, penový polystyrén, rohože zo sklenej vaty atď.).

Pri týchto materiáloch musíme dbať na to, aby sa do pórov nedostala voda (vlhkosť) lebo tým

sa podstatne zhoršujú ich tepelnoizolačné vlastnosti.

Vráťme sa ku vzťahu pre množstvo tepla, ktoré prejde za čas cez pevnú tyč, ktorej konce

udržujeme na rozdielnych teplotách. Teplo, ktoré prejde za jednu sekundu cez tyč nazývame

tepelným tokom

21 TT

SQ

. (1.68)

Jednotkou tepelného toku je 1 W.

44

Tabuľka 1.1. Niektoré fyzikálne vlastnosti vybraných materiálov

Materiál

kg/m3

cp

kJ/kg.K

W/m.K

a

10-5

. m2/s

Kovy

Striebro (čisté) 10524 0,234 419 17,0

Meď (čistá) 8954 0,383 386 11,3

Hliník (čistý) 2707 0,896 204 8,41

Dural 2787 0,883 164 6,66

Nikel (čistý) 8906 0,446 93 2,34

Železo (čisté) 7897 0,452 73 2,05

Oceľ (1% C) 7801 0,473 43 1,17

Oceľ (18% Cr, 8% Ni) 7817 0,460 16,3 0,453

Olovo (čisté) 11373 0,130 35 2,37

Nekovové tuhé látky

Kremeň 2300 0,669 6,7k osi 0,232 13,0 k osi

Mramor 2500 – 2700 0,800 2,07 – 2,94 0,104 – 0,136

Pieskovec 2160 – 2300 0,710 1,83 0,112 – 0,119

Polymetylmetakrylát 1200 1,47 0,190 0,0108

Betón 2100 – 2300 0,840 1,05 – 1,16 0,0595 – 0,0600

Plná pálená tehla 1700 –2000 0,92 0,73 – 0,99 0,0467 – 0,0538

Plynobetón 400 – 900 0,840 0,17 – 0,35 0,0463 – 0,0506

Sklo (okenné) 2700 0,840 0,78 0,0340

Sklená vata 24 0,7 0,038 0,0226

Penový polystyrén 40 1,55 0,042 0,0677

Kvapaliny (20 °C)

Ortuť 13 600 0,139 8,69 0,460

Voda 998 4,18 0,602 0,0144

Motorový olej 888 1,88 0,145 0,00869

Freon 12, CCl2F2 1330 0,966 0,073 0,00568

Plyny (normálny tlak)

Vodík (20 °C) 0,0841 14,3 0,178 14,8

Helium (20 °C) 0,171 5,20 0,137 15,4

Vzduch (20 °C) 1,21 1,01 0,0257 2,10

Vodné pary (107 °C) 0,586 2,06 0,0246 2,04

Oxid uhličitý (20 °C) 1,85 0,862 0,0161 1,01

Ak stotožníme os x s osou tyče a orientujeme ju súhlasne rovnobežne so smerom klesania

teploty, možno veľkosť tepelného toku vyjadriť pomocou diferenciálnych veličín takto

x

TS

. (1.69)

Znamienko mínus vo vzťahu vyjadruje skutočnosť, že tok tepla je opačný ako nárast

teploty (derivácia je záporná). Ak podelíme tepelný tok plochou prierezu tyče, dostaneme

novú veličinu, ktorú nazývame hustota tepelného toku

x

Tq

. (1.70)

45

Jednotkou hustoty tepelného toku je 1 W/m2.

Hustota tepelného toku je vektorová veličina a možno ju v prípade jednorozmerného toku

tepla (v smere osi x) vyjadriť ako

iqx

T

, (1.71)

kde i je jednotkový vektor orientovaný v kladnom smere osi x. V trojdimenzionálnom prípade

T grad q . (1.72)

Posledný vzťah sa nazýva Fourierov zákon. Je to základný zákon vedenia tepla v izotropných

telesách, podľa ktorého vektor hustoty tepelného toku je úmerný gradientu teploty, má však

opačný smer.

Príklad 1.10. Betónová stena je 20 cm hrubá, 5 m dlhá a 2,6 m vysoká. Teplota

povrchov steny je 20 °C a 6 °C. Vypočítajte teplotný gradient v stene, tepelný tok cez stenu a

teplo, ktoré prejde cez stenu za 1 deň. (b = 1,16 W.m-1

.K-1

)

Riešenie: Teplotný gradient

K/m.70m 0,2

C 6-C 20Δ 21

d

tt

d

T.

Tepelný tok cez stenu

W 10 061 K.m70 . m 5 . m 2,6 KW.m 161 Δ

31-1-1- .,.., d

TS .

Teplo, ktoré prejde cez stenu za jeden deň

Q 1,06 . 10 W . 24 . 60 . 60 s = 91,6 . 10 J.3 6

V nasledujúcej časti odvodíme rovnicu vedenia tepla, pričom budeme vychádzať práve

z Fourierovho zákona.

Rovnica vedenia tepla

Uvažujme jednodimenzionálne vedenie tepla podľa obr. 1.28. Keď ide o stacionárne

(ustálené) vedenie tepla, t.j. keď sa teplota v tyči nemení s časom, problém je jednoduchý a

požadované riešenie dostaneme jednoduchým

integrovaním rovnice pre tepelný tok

x

TS

.

Avšak, ak sa teplota v tyči mení s časom, alebo ak

existujú v nej tepelné zdroje, je situácia kom-

plikovanejšia. V tomto prípade možno pre element

Obr. 1.28. K odvodeniu rovnice vede-

nia tepla.

q qx x+ xd

x dx

Sw

46

hrúbky dx urobiť nasledujúcu energetickú bilanciu: Energia (teplo), ktorá prichádza do

elementu zľava plus teplo produkované tepelnými zdrojmi v elemente dx je rovné zmene

vnútornej energie elementu plus energii, ktorá opúšťa element pravým okrajom. Kvôli

jednoduchosti budeme pracovať s energiami prichádzajúcimi, resp. produkovanými za 1 s –

teda s výkonmi. Tieto energie možno matematicky vyjadriť takto:

Energia prichádzajúca do elementu zľava

x

TSΦx

.

Energia generovaná zdrojmi v elemente

xwS d G ,

kde w je energia generovaná zdrojmi za 1 s v jednotkovom objeme.

Zmena vnútornej energie elementu

xT

ScΦT d

,

kde je hustota a c – hmotnostná tepelná kapacita materiálu, z ktorého je tyč zhotovená, je čas.

Energia opúšťajúca pravú časť elementu

x

x

T

xx

TSΦ xx d d .

Ako bolo spomenuté vyššie, prírastky energie (tepla) vnútri elementu sa musia rovnať

teplu, ktoré z elementu odchádza plus teplo spotrebované na zvýšenie vnútornej energie

elementu

x

x

T

xx

TSx

TScxwS

x

TS d d d

.

Po úprave dostaneme

c

w

x

T

xc

T

1. (1.73)

Táto rovnica sa nazýva jednorozmerná rovnica vedenia tepla. Platí aj pre neizotropné

prostredie s vnútornými zdrojmi tepla.

V prípade trojdimenzionálneho vedenia tepla rovnica má tvar

c

wT

c

T

1, (1.74)

kde kjizyx

je nabla (Hamiltonov operátor). Ak je prostredie homogénne a

v prostredí sa nevyskytujú vnútorné zdroje tepla, vyššie uvedené rovnice sa zjednodušia.

47

Vtedy TTT 2 a w = 0. V jednorozmernom prípade bude mať potom

rovnica vedenia tepla tvar

2

2

x

Ta

T

(1.75)

a v prípade trojrozmerného vedenia tepla tvar

TaT 2

. (1.76)

V týchto rovniciach vystupujúca veličina ac

sa nazýva tepelná difuzivita (koeficient

teplotnej vodivosti). Jej jednotka je 1 m2/s. Tepelná difuzivita charakterizuje dynamiku

vyrovnávania teplôt v látke: Ak napríklad v nejakom mieste látky zvýšime teplotu, v látke

s vyššou tepelnou difuzivitou príde rýchlejšie k vyrovnaniu teplôt. Poznámka: Význam tepelnej difuzivity spočíva aj v tom, že pomocou nej môžeme usudzovať na hodnoty

veličín charakterizujúcich mikroprocesy v látke. Podľa kinetickej teórie plynov sa dá koeficient tepelnej

vodivosti plynov vyjadriť vzťahom

,v 3

1

Vc

kde cV je hmotnostná tepelná kapacita plynu pri konštantnom objeme, – hustota plynu, v – stredná rýchlosť a

– stredná voľná dráha molekúl plynu. Ak použijeme tento vzťah na vyjadrenie elektrónovej, resp. fonónovej

zložky koeficienta tepelnej vodivosti tuhých látok dostaneme

,eeee 3

1v c

resp.

.ffff 3

1v c

V týchto vzťahoch: ce, cf sú hmotnostné tepelné kapacity elektrónového, resp. fonónového plynu, – hustota

tuhej látky, ve, vf – stredné rýchlosti elektrónov, resp. fonónov, e , f – stredné voľné dráhy elektrónov, resp.

fonónov.

Z týchto vzťahov potom dostaneme pre príslušné tepelné difuzivity vyjadrenie

eee3

1va

fff3

1va .

Pri známej hodnote rýchlosti zvuku v príslušnej tuhej látke (čo nie je problém zmerať) a známej tepelnej

difuzivite môžeme pomocou týchto vzťahov vypočítať strednú voľnú dráhu elektrónov a fonónov.

Príklad 1.11. Uvažujte ustálené jednorozmerné vedenie tepla cez stenu, ktorej jeden

povrch má teplotu T1 a druhý teplotu T2. Stena má hrúbku d a koeficient tepelnej vodivosti

materiálu, z ktorého je stena zhotovená je . Vypočítajte rozloženie teploty v stene.

Riešenie: Pri riešení budeme vychádzať z rovnice vedenia tepla

c

wT

c

T

1.

48

V našom prípade ide o ustálené vedenie tepla, preto 0

T. Materiál steny je izotropný a

v stene nie sú zdroje tepla w = 0. Potom rovnica vedenia tepla nadobudne tvar

2 0T

a keďže ide o jednorozmerné vedenie tepla (povedzme v smere osi x), rovnica sa ešte

zjednoduší a má tvar

0d

d2

2

x

T.

Dvojnásobným integrovaním tejto rovnice dostaneme funkciu

T x C C1 2 .

Integračné konštanty C1 a C2 určíme z okrajových podmienok:

v mieste x = 0, T = T1

v mieste x = d, T = T2.

Teda

T

T TT T

d

1 2

2 12 1

0

C C C

C d + C

1 2

1 1

.

.

Pre rozloženie teploty v stene dostaneme napokon vzťah

T xT T

dx T

2 1

1 .

Vidíme, že teplota v stene lineárne klesá, pri predpoklade, že T1 > T2, z teploty T1 na teplotu

T2.

Príklad 1.12. Vypočítajte množstvo tepla, ktoré za ustáleného tepelného toku prejde za

dobu plášťom dutého valca, keď teplota vnútorného povrchu je T1 a vonkajšieho T2 a

rozmery valca sú (dĺžka), r1 (vnútorný polomer) a r2

(vonkajší polomer), obr. 1.30.

Riešenie: Pri riešení budeme vychádzať zo vzťahu

d

d

r

TSQ ,

kde r

T

d

d je gradient teploty. Separáciou premenných

dostaneme rovnicu

rr

Qr

S

QT d

π2 d

d

.

Obr. 1.29. K príkladu č.1.11.

Obr. 1.30. Radiálny tok tepla v dutom

valci.

T

T

d

x

y

z

q

2

1

q

l

dr1r

r

r

2

T

T2

1

49

Jej integráciou

2

1

2

1

d

π2d

r

r

T

Tr

rQT

dostaneme vzťah pre rozdiel teplôt

1

212 ln

π2 r

rQTT

,

z ktorého teplo prechádzajúce plášťom valca je

12

21

ln π2

rr

TTQ

. (1.77)

A aká je teplota vo vzdialenosti r (r1 < r < r2)? Túto teplotu vypočítame zo vzťahu

11 ln

π2 r

rQTT

. (1.78)

1.13.2 Prenos tepla prúdením

V predchádzajúcom texte sme hovorili aj o vedení tepla v kvapalinách a plynoch. V tejto

súvislosti musíme predpokladať, že objemové elementy týchto látok ostávajú v pokoji.

V skutočnosti, ak ide o väčšie objemy týchto látok, túto podmienku nemôžeme zabezpečiť.

Totiž, ak teplota v kvapaline alebo plyne nie je všade rovnaká, v dôsledku závislosti ich

hustoty od teploty prichádza k porušeniu mechanickej rovnováhy – prichádza k prúdeniu.

Napríklad pri ohrievaní kvapaliny zdola, dolné vrstvy, ktoré majú vyššiu teplotu, a teda nižšiu

hustotu, si ustavične vymieňajú miesto s vyššie položenými chladnejšími a teda hustejšími

vrstvami. Je zrejmé, že pri takomto pohybe, ktorý môže byť aj zintenzívnený, napr. pomocou

čerpadla, prechádza teplo z miest s vyššou teplotou do miest s nižšou teplotou vo väčšej miere

ako by to bolo pri prenose tepla len vedením. V prípade prúdenia tekutiny v dôsledku

gradientu hustoty hovoríme o prirodzenom prúdení a v prípade použitia čerpadla alebo

ventilátora hovoríme o vynútenom prúdení.

Na prenose tepla prúdením sa zakladá ústredné vykurovanie budov, pri ktorom sa teplo

prenáša horúcou vodou alebo prehriatou vodnou parou.

Zo skúseností vieme, že horúci predmet sa skôr ochladí, ak naň budeme fúkať vzduch

z ventilátora, než keď ho umiestnime do pokojného vzduchu. Ak by sme umiestnili predmet

namiesto do vzduchu, napr. do vody, očakávame, že rýchlosť chladnutia predmetu bude iná.

Vysvetlíme si teraz pomocou fyzikálnych

predstáv proces prenosu tepla prúdením a ukážeme

ako tento proces súvisí s prenosom tepla vedením.

Uvažujme ohriatu dosku znázorenú na obr. 1.31.

Teplota povrchu dosky je TD a teplota tekutiny T0.

Tekutina (plyn alebo kvapalina) prúdi okolo dosky

rýchlosťou v0. Na povrchu dosky je však tenká

vrstva tekutiny, ktorá je tam viazaná medzi-

molekulovými silami, a teda jej rýchlosť je nulová.

Okrem toho v dôsledku vnútorného trenia sa

Obr. 1.31. Prenos tepla prúdením z dosky.

TOK TEKUTINY

0

q MEDZNÁVRSTVA

T

T0

D

DOSKA

50

rýchlosť prúdenia tekutiny vo vzdialenejších vrstvách od povrchu dosky bude meniť tak, ako

je znázornené na obr. 1.31. Pretože rýchlosť prúdenia vrstiev tekutiny tesne pri doske je

nulová, v tomto mieste musí byť uskutočňovaný prenos tepla len vedením – na výpočet

potrebujeme poznať koeficient tepelnej vodivosti tekutiny a teplotný gradient na povrchu

dosky. Prečo potom, keď teplo je prenášané v tejto vrstve vedením, hovoríme o prenose

prúdením a prečo potrebujeme uvažovať rýchlosť prúdenia tekutiny? Dôvod je ten, že ak sa

tekutina pohybuje väčšou rýchlosťou, teplotný gradient na povrchu steny je väčší a tým je

väčší prenos tepla z dosky do okolia. Vidíme, že tento proces je zložitejší ako pri čistom

vedení tepla. Na základe skúseností môžeme pre hustotu tepelného toku vystupujúceho

z dosky použiť vzťah

q T T D 0 . (1.79)

Konštanta úmernosti sa nazýva koeficient prestupu tepla. Nie je to však materiálová

konštanta v pravom slova zmysle, lebo jej hodnota závisí nielen od druhu stýkajúcich sa látok,

ale aj od opracovania (drsnosti) dosky a ako už bolo spomenuté od toho, akou rýchlosťou sa

tekutina pohybuje. Ako vidno problém je zložitý, a preto táto konštanta sa najčastejšie určuje

experimentálne. Jednotkou koeficienta prestupu tepla je 1 W.m-2

.K-1

. Približné hodnoty

koeficientov prestupu tepla pre niektoré prípady sú uvedené v tab. 1.2.

Tabuľka 1.2. Približné hodnoty koeficientov prestupu tepla

Situácia (W.m-2

.K-1

)

Prirodzené prúdenie T = 30 K

Vertikálna doska 0,3 m vysoká vo vzduchu 4,5

Vodorovný valec, priemer 5 cm, vo vzduchu 6,5

Vodorovný valec, priemer 2 cm, vo vode 890

Nútené prúdenie

Vzduch prúdiaci rýchlosťou 2 m/s vo výške 0,2 m nad

štvorcovou doskou 12

Vzduch prúdiaci rýchlosťou 35 m/s vo výške 0,75 m nad

štvorcovou doskou 75

Vzduch prúdiaci rýchlosťou 50 m/s cez rúru s priemerom 5 cm 180

Voda tečúca cez rúru s priemerom 2,5 cm (prietok 0,5 l s ) 3 500

1.13.3 Prestup tepla cez stenu

V stavebníctve je veľmi dôležité vedieť určiť teplo, ktoré

prechádza cez stenu z interiéru do exteriéru, prípadne naopak.

Uvažujme napríklad zimné obdobie, v ktorom je teplota Ti

vzduchu v interiéri vyššia ako teplota Te vzduchu v exteriéri

(obr. 1.32). Pre jednoduchosť budeme najprv uvažovať

jednovrstvovú stenu a jednorozmerný tok tepla. V tesnej

blízkosti steny, či už v interiéri alebo v exteriéri je prudký spád

teploty v dôsledku príčin opísaných v časti pojednávajúcej

o prenose tepla prúdením. Teda povrchová teplota Tip steny

v interiéri bude nižšia ako je teplota vzduchu Ti a naopak, na

vonkajšej strane bude teplota Tep povrchu steny vyššia ako je

teplota Te. V prípade ustáleného stavu musí platiť, že veľkosť

Obr. 1.32. Prestup tepla cez

stenu.

T

T

T

T

d

q

i

ip

ep

e

51

hustoty tepelného toku qi, ktorý vchádza do steny na strane interiéru sa musí rovnať veľkosti

hustoty tepelného toku qs, ktorý stenou prechádza a tiež veľkosti hustoty tepelného toku qe,

ktorý zo steny vychádza na strane exteriéru. Teda

q q q qi s e .

Potom možno písať

q T T i i ip hustota tepelného toku vstupujúca do steny

qd

T T

ip ep hustota tepelného toku prechádzajúca stenou

q T T e ep e hustota tepelného toku vychádzajúca zo steny

V týchto vzťahoch i, e sú koeficienty prestupu tepla na vnútornej a vonkajšej strane steny,

– koeficient tepelnej vodivosti materiálu, z ktorého je stena zhotovená a d – hrúbka steny.

Z týchto rovníc vyjadríme teplotné rozdiely

T T qi ipi

1

T Td

qip ep

T T qep ee

1

a sčítaním rovníc dostaneme vzťah

T Td

q R qi ei e

0

1 1

. (1.80)

Na základe analógie s vedením elektrického prúdu1 sa výraz v zátvorke vzťahu (1.80),

ktorý sme označili ako R0 nazýva tepelný odpor steny (konštrukcie) pri prechode tepla. Jeho

jednotkou je 1 m2.K.W

-1. Skladá sa z troch členov

R R R R0 i e , (1.81)

kde Rii

1

a Re

e

1

sú odpory pri prestupe tepla na vnútornej a vonkajšej strane steny a

Rd

je tepelný odpor samotnej konštrukcie. Ako bolo už spomenuté, hodnoty koeficientov

prestupu tepla závisia od mnohých parametrov. Pri praktických výpočtoch sa v stavebníctve

používajú tieto hodnoty:

-12i W . K .m 130,R

-12e W . K .m 040,R v zimnom období

-12e W . K .m 070,R v letnom období.

1 Ohmov zákon pri vedení elektrického prúdu má tvar U = R.I, kde U je napätie na vodiči, I – prúd pretekajúci

vodičom a R – elektrický odpor. Príčinou elektrického prúdu vo vodiči je napätie na vodiči. Príčinou toku tepla

cez stenu je teplotný rozdiel na povrchoch steny.

52

V praxi sa často používa pri posudzovaní tepelných vlastností konštrukcií veličina, ktorá

sa nazýva koeficient prechodu tepla k. Je definovaná vzťahom

kR R R R

1 1

0 i e

. (1.82)

Je to vlastne recipročná hodnota odporu konštrukcie pri prechode tepla. Jeho jednotkou je

1 W.m-2

.K-1

.

Ak je stena zhotovená z viacerých vrstiev (napríklad omietka, betón, tepelná izolácia,

omietka), tepelný odpor steny je súčtom tepelných odporov jednotlivých vrstiev

eiei0

11

j j j

jj

dRRRR .

V tomto vzťahu Rj, dj, j sú tepelný odpor, hrúbka a koeficient tepelnej vodivosti príslušnej

vrstvy.

Príklad 1.13. Betónovú stenu hrúbky 20 cm obložíme zvonku penovým polystyrénom

hrúbky 5 cm. Vypočítajte koľkokrát sa znížia tepelné straty a teplotu na rozhraní polystyrénu

a betónu, keď teplota vzduchu vnútri je 25 C a vonku –10 C.

b = 1,16 W. m-1

.K-1

, p = 0,031 W. m-1

.K-1

, -12i W . K .m 130,R , -12

e W . K .m 040,R .

Riešenie: Najprv vypočítame tepelné odpory konštrukcie pri prechode tepla. Tepelný

odpor betónovej steny (obr. 1.33a)

..,.,.

,., 1-21-2

1-1-

1-2

eb

biebi0b

K.Wm 3420K.Wm 040KW.m 1,16

m 20K.Wm 130

Rd

RRRRR

Tepelný odpor betónovej steny s polystyrénom (obr. 1.33b)

..,.,

,., 1-2

1-1-

1-2

p

p0bp0bepbi0bp

K.Wm 951KW.m 0310

m 050K.Wm 3420

dRRRRRRRR

Tepelné straty cez stenu, keďže nám ide len o relatívne určenie („koľkokrát sa znížia“),

môžeme vyjadriť pomocou hustoty tepelného toku cez betónovú stenu

qT T

Rb

i e

0b

a hustoty tepelného toku cez betónovú stenu obloženú polystyrénom

qT T

Rbp

i e

0bp

.

53

Pomer týchto dvoch hustôt tepelného toku vyjadruje koľkokrát sa znížia tepelné straty

705K.Wm 3420

K.Wm 9511-2

-12

0b

0bp

bp

b ,.,

.,

R

R

q

q (krát).

Teplotu na rozhraní betónu a

polystyrénu určíme zo skutočnosti,

že pri ustálenom prechode tepla

cez stenu je hustota tepelného toku

vo všetkých vrstvách steny

rovnaká. Platí

qT T

R

bp ep

p

qT T

R

ep e

e

qT T

R

i e

0bp

.

Riešením týchto rovníc pre Tbp dostaneme

ei0bp

p

pe

eei0bp

peebp TT

R

dR

TTTR

RRTT

C 19,7=C 1025 .K.Wm 951

KW.m 0,031

m 050K.Wm 040

+C 101-2

1-1-

1-2

,

.

,.,

.

Tepelné straty cez betónovú stenu, ak ju obložíme polystyrénom klesnú 5,70-krát. Teplota na

rozhraní betónu a polystyrénu bude 19,7 °C.

1.13.4 Prenos tepla žiarením

Prenos tepla vedením a prúdením vyžadoval materiálne prostredie. Jestvuje však aj

mechanizmus prenosu tepla, ktorý takéto prostredie nevyžaduje a ním sa môže teplo šíriť aj vo

vákuu. Tento mechanizmus sa nazýva žiarenie alebo radiácia. Prenos tepla žiarením môže

byť v niektorých prípadoch rozhodujúcim mechanizmom prenosu tepla. V tomto prípade ide

o prenos energie prostredníctvom elektromagnetického vlnenia. Z hľadiska prenosu tepla nás

bude zaujímať len elektromagnetické vlnenie (žiarenie), ktoré sa šíri ako dôsledok rozdielu

teplôt – tzv. tepelné žiarenie. Všetky látkové objekty emitujú energiu zo svojho povrchu.

O tom sa môžeme ľahko presvedčiť, keď teleso má dostatočne vysokú teplotu – napríklad

žiariaca pahreba alebo rozžeravené železo. Avšak i pri podstatne nižších teplotách povrchy

telies emitujú energiu. Napríklad vyžarovanie cítime aj v blízkosti radiátora ústredného

kúrenia.

Obr. 1.33. K príkladu 1.13. a) betónová stena, b) betónová

stena obložená penovým polystyrénom.

T T

TT

TT

TT

T T

d d d

qq

i i

ip ip

epep

ee

b

b

b b

a)

p

p

b bpbp

RR0b 0bp

b)

54

Termodynamické úvahy vedú k uzáveru, že ideálny tepelný žiarič, nazývaný absolútne

čierne teleso, emituje energiu s výkonom úmerným štvrtej mocnine absolútnej teploty T telesa

a ploche S povrchu telesa

P ST 4 . (1.83)

Tento vzťah sa nazýva Stefan – Boltzmannov zákon a platí len pre absolútne čierne teleso.

Konštanta = 5,67 . 10-8

W.m-2

.K-4

sa nazýva Stefan – Boltzmannova konštanta.

Dobrou aproximáciou absolútne čierneho telesa je kúsok kovu pokrytý uhlíkovou alebo

zlatou čerňou. Iné typy povrchov nevyžarujú toľko energie ako čierne teleso. Aby sme vzali

túto skutočnosť do úvahy zavádzame do vzťahu pre výkon emitovaného žiarenia konštantu,

ktorú nazývame emisivita a značíme gréckym písmenom . Potom

P ST 4 . (1.84)

Povrchy telies súčasne absorbujú i emitujú žiarenie. Uvažujme napríklad teleso s teplotou

T1 obklopené stenou, ktorá má teplotu T2 (obr. 1.34). Experiment ukazuje, že teploty telesa

a steny sa po určitom čase vyrovnajú. Z toho vyplýva predchádzajúce tvrdenie, že

v ustálenom stave (v stave termodynamickej rovnováhy) teleso i obklopujúca stena musia

emitovať i absorbovať žiarenie s tým istým výkonom. Takže dobre absorbujúci povrch je aj

dobre emitujúcim povrchom ( 1) a zle absorbujúci (ale dobre odrážajúci) povrch je i zle

emitujúcim povrchom ( 0 ).

Predpokladajme, že teleso na obr. 1.34 je udržiavané na

vyššej teplote ako obklopujúca stena, T1 > T2. Potom

emitovaný výkon telesom je vyšší ako pohlcovaný a medzi

telesom a stenou existuje tepelný tok, ktorý možno vyjadriť

vzťahom

S T T 14

24 .

Pretože tento tepelný tok závisí od štvrtej mocniny

absolútnej teploty, je väčší pri vyšších teplotách a veľkých

teplotných rozdieloch.

Keďže prenos tepla žiarením je veľmi často tesne spätý

s prenosom tepla konvekciou, častokrát vyjadrujeme hustotu

radiačného tepelného toku vzťahom podobným vzťahu pre

konvekčnú hustotu tepelného toku

q T Tr r 1 2 .

V tomto vzťahu r je koeficient prestupu tepla žiarením a T1 a T2 sú teploty telesa a

prostredia, do ktorého teplo prestupuje. Potom celková hustota tepelného toku spôsobená

obidvomi mechanizmami, prúdením i žiarením, je

q T T k r 1 2 .

Podľa tohto vzťahu sa môžu počítať napríklad tepelné straty konvekciou a radiáciou

z parovodu.

V mnohých prípadoch možno teplotnú závislosť koeficienta prestupu tepla konvekciou k

zanedbať. Avšak pri koeficiente prestupu tepla žiarením r je táto závislosť výrazná a pri

výpočtoch ju treba uvažovať.

Obr. 1.34. Izolovaná sústava,

teleso s teplotou T1 a obklopu-

júca stena s teplotou T2. Obidva

objekty vyžarujú a pohlcujú

energiu. Po istom čase sa ich

teploty vyrovnajú.

55

Súhrn

1.2 Tepelný pohyb a jeho prejavy

Brownov pohyb. Brown zistil, že peľové zrniečka prítomné vo vode, ktorú skúmal pod

mikroskopom nie sú v pokoji, ale sú v ustavičnom trhavom pohybe, ktorého smer sa

nepravidelne mení. Tento pohyb je spôsobený tepelným pohybom molekúl vody.

Tlak plynu na stenu nádoby je ďalším prejavom tepelného pohybu molekúl. Možno ho

vyjadriť vzťahom

ks3

2ENp V , (1.7)

kde ksE je stredná kinetická energia molekúl plynu

2s2

1ks vmE ,

sv – stredná kvadratická rýchlosť molekúl, m – hmotnosť molekuly a NV – koncentrácia

molekúl.

1.3 Tepelná rovnováha a 0. zákon termodynamiky

Dve sústavy sú v tepelnej rovnováhe vtedy, keď ich dáme do kontaktu a ich stavové veličiny

sa nemenia.

Nultý zákon termodynamiky: Dve sústavy, z ktorých každá je v tepelnej rovnováhe s treťou

sústavou, sú tiež v tepelnej rovnováhe.

1.4 Teplota a jej meranie

Teplota je jednou zo základných fyzikálnych veličín a je veľmi dôležitou veličinou

opisujúcou stav termodynamickej sústavy. Teplota je spojená s našimi pocitmi, čo je teplé

a čo je chladné. Keď máme pocit, že niečo je „teplé“, hovoríme, že má vysokú teplotu

a naopak, keď niečo je „studené“, hovoríme, že teplota je nízka. Pojem teploty je úzko spätý

s energiou stavebných častíc látok.

Na určovanie teploty telies sa používajú rôzne stupnice teploty. Najrozšírenejšou je Celziova

teplotná stupnica. Teplota v nej sa značí °C. Kelvinova teplotná stupnica, ktorá je totožná

s termodynamickou teplotnou stupnicou nemá záporné teploty a oproti Celziovej je len

posunutá o hodnotu 273,15. Teplota v nej sa značí T a udáva sa v K (kelvinoch). Dielik

1 K je rovný dieliku 1 °C. Preto pre teplotu v termodynamickej (Kelvinovej) stupnici a aj pre

teplotný rozdiel, či už v termodynamickej, či v Celziovej teplotnej stupnici sa používa

značka K. Súvis medzi termodynamickou teplotou a Celziovou možno vyjadriť vzťahom

K273,15 tT . (1.13)

Základný teplotný bod v termodynamickej teplotnej stupnici je teplota trojného bodu vody,

ktorá má hodnotu 273,16 K, v Celziovej teplotnej stupnici 0,01 °C. Trojný bod vody je stav,

pri ktorom sú všetky tri fázy vody v rovnováhe.

Teplotná rozťažnosť látok. Temer všetky látky, tuhé, kvapalné i plynné, zväčšujú svoj objem

so vzrastom teploty. Závislosť dĺžky tyče od teploty t možno vyjadriť vzťahom

tΔ 1 0 , (1.16)

56

kde 0 je dĺžka pevnej tyče pri nejakej základnej teplote t0, 0Δ ttt je zmena teploty a je

koeficient teplotnej dĺžkovej rozťažnosti.

1.5 Stavová rovnica ideálneho plynu. Daltonov zákon

Množstvo plynu je špecifikované látkovým množstvom – počtom mólov n. Jednotkou

látkového množstva je 1 mol: je to také látkové množstvo, ktoré obsahuje toľko entít (atómov,

molekúl, iónov) koľko je atómov v 0,012 kg uhlíka izotopu C126 . Látkové množstvo (počet

mólov) určujeme podľa vzťahu

M

mn , (1.21)

kde m je hmotnosť danej látky a M je molárna hmotnosť.

Keď poznáme počet N častíc, z ktorých je látka vytvorená, možno látkové množstvo určiť tiež

podľa vzťahu

,AN

Nn (1.22)

kde AN je Avogadrova konštanta.

Stavová rovnica ideálneho plynu má tvar

konšt,0

00 T

Vp

T

pV, (1.23)

alebo (druhý tvar)

,nRTpV (1.24)

kde p, V, T sú tlak, objem a termodynamická teplota v danom stave plynu, 000 TVp ,, tlak,

objem a termodynamická teplota v základnom stave, n – látkové množstvo a R – molárna

plynová konštanta.

Termodynamická teplota úzko súvisí so strednou kinetickou energiou molekúl plynu

kTE2

3ks . (1.26)

kde k je Bolzmannova konštanta.

Daltonov zákon: V zmesi plynov, ktoré chemicky nereagujú, každý plyn sa správa tak, ako

keby sám vypĺňal celý priestor. Výsledný tlak p takejto zmesi plynov sa rovná súčtu

parciálnych tlakov pi jednotlivých zložiek tvoriacich plynnú zmes

i

ipp . (1.29)

1.6 Teplo, hmotnostná tepelná kapacita, skupenské teplo

Teplo je energia, ktorá sa vymieňa medzi telesami s rôznou teplotou. Táto výmena prebieha

na molekulárnej úrovni. Množstvo tepla Q, ktoré prijme látka hmotnosti m, keď ju ohrejeme

z teploty T0 na teplotu T vypočítame podľa vzťahu

TmcTTmcQ Δ0 , (1.32)

kde c je hmotnostná tepelná kapacita. Poznamenávame, že tT ΔΔ .

57

Množstvo tepla potrebné na zmenu tuhej látky s hmotnosťou m na kvapalinu sa nazýva

skupenské teplo topenia a vypočíta sa zo vzťahu

tt mL , (1.36)

kde t sa nazýva hmotnostné skupenské teplo topenia.

Tuhnutie prebieha pri tej istej teplote ako topenie a uvoľňuje sa pritom teplo, ktoré nazývame

skupenské teplo tuhnutia Lt. Množstvo tepla, ktoré sa uvoľní pri stuhnutí jednotkovej

hmotnosti látky sa nazýva hmotnostné skupenské teplo tuhnutia .t Jeho hodnota je rovnaká

ako hodnota hmotnostného skupenského tepla topenia.

Množstvo tepla potrebné na zmenu kvapaliny s hmotnosťou m na paru (resp naopak pary na

kvapalinu) sa nazýva skupenské teplo vyparovania (kondenzácie) a vypočítame ho zo vzťahu

,vv mL (1.37)

kde v sa nazýva hmotnostné skupenské teplo vyparovania (kondenzácie).

1.7 Práca plynu. I. zákon termodynamiky

Pre konečný proces, pri ktorom sa objem mení kvázistaticky z hodnoty V1 na hodnotu V2

prácu sústavy (plynu) vypočítame podľa vzťahu

,d2

1

V

V

VpW (1.39)

kde p je tlak.

I. zákon termodynamiky má tvar

WUQ ddd (1.40)

a možno ho interpretovať ako zákon zachovania energie: Teplo Q dodané do sústavy sa rovná

zvýšeniu vnútornej energie U sústavy a práci ,W ktorú vykonala sústava.

1.8 Molárna tepelná kapacita. Mayerova rovnica

Molárna tepelná kapacita pri stálom objeme je

VVV

T

U

nT

Q

nC

d

d1

d

d1m . (1.42)

Molárna tepelná kapacita pri stálom tlaku je

ppp

T

H

nT

Q

nC

d

d1

d

d1m , (1.45)

kde funkcia

pVUH (1.44)

sa nazýva entalpia.

Súvis medzi pCm a VCm

RCC Vp mm (1.49)

sa nazýva Mayerova rovnica.

58

1.9 Termodynamické procesy

Aby termodynamický proces prebiehal, musí nutne existovať rozdiel tlakov, resp. teplôt

medzi sústavou a okolím. Ak sa vonkajšie veličiny menia pomaly a v takej malej miere, že je

možné nazerať na taký proces ako na postupnosť rovnovážnych stavov, nazývame ho

kvázistatický. V takomto prípade obrátenie smeru zmien vonkajších veličín spôsobí obrátenie

priebehu procesu. Taký proces potom nazývame vratný (reverzibilný).

Prakticky všetky procesy v prírode prebiehajú tak rýchle, že ich nemožno považovať za

kvázistatické. V tomto prípade nemožno zmeniť proces tak, aby prebiehal naspäť po rovnakej

stavovej ceste. Takéto procesy nazývame nevratné (ireverzibilné). Prírodné procesy

prebiehajú samovoľne len jedným smerom – k stavu termodynamickej rovnováhy.

Izobarický proces je proces prebiehajúci pri konštantnom tlaku: konšt,p resp. 0d p .

Teplo, ktoré sústava môže prijať pri tomto procese vypočítame podľa vzťahu

12mm d2

1

TTnCTnCQ p

T

T

p (1.51)

a prácu, ktorú vykoná sústava podľa vzťahu

12

2

1

2

1

dd VVpVpVpW

V

V

V

V

. (1.52)

Izochorický proces je proces prebiehajúci pri konštantnom objeme: konšt,V resp. 0d V .

Teplo, ktoré sústava môže prijať pri tomto procese vypočítame podľa vzťahu

12mm d2

1

TTnCTnCQ V

T

T

V . (1.54)

Prácu pri tomto procese sústava nekoná (nemení objem).

Izotermický proces je proces prebiehajúci pri konštantnej teplote: konšt,T resp. 0d T .

Teplo, ktoré sústava pri tomto procese prijíma sa mení na prácu vykonanú sústavou

1

2

1

211

112

1

2

1

dV

VnRT

V

VVpdV

V

VpVpWQ

V

V

V

V

lnln . (1.56)

Adiabatický proces je proces prebiehajúci pri dokonalej tepelnej izolácii sústavy od okolia,

teda nie je možná výmena tepla medzi sústavou a okolím, teda 0d Q . Teplo teda sústava

nemôže prijať ani odovzdať. Prácu, ktorú vykoná plyn pri prechode zo stavu (1) do stavu (2),

vypočítame nasledujúco

12mm

2

1

2

1

dd TTnCTnCVpW V

T

T

V

V

V

. (1.58)

Súvis medzi tlakom a objemom pri tomto procese vyjadruje Poissonova rovnica

pVVp 11 . (1.59)

59

Práca plynu pri adiabatickom procese s využitím Poissonovej rovnice sa dá vyjadriť vzťahom

1

2

11 11

d2

1

V

VnRTVpW

V

V

. (1.60)

1.10 II. zákon termodynamiky

Prácu možno zmeniť na teplo bezo zbytku (napríklad trením), opačný proces, menenie tepla

na prácu, má silne obmedzujúce podmienky. Táto skutočnosť je obsahom II. zákona

termodynamiky, ktorý má niekoľko ekvivalentných formulácií:

Planckova formulácia: Nemožno zostrojiť cyklicky pracujúci tepelný stroj, ktorý by nič iné

nerobil, len odoberal teplo zo zásobníka a menil ho na prácu.

Clausiova formulácia: Pri styku dvoch telies s rôznymi teplotami prechádza teplo samovoľne

vždy len z telesa teplejšieho na chladnejšie.

Nemožno zostrojiť perpetum mobile 2. druhu – stroj, ktorý by odoberal teplo z jediného

prostredia a menil ho na mechanickú prácu.

1.11 Carnotov cyklus

skladá sa zo štyroch ideálnych procesov: 1. izotermickej expanzie, z ,21 2. adiabatickej

expanzie, z ,32 3. izotermickej kompresie, z ,43 4. adiabatickej kompresie, zo .14

Stroj pracujúci v takomto cykle vykoná v jednom cykle prácu

3

42

1

212211

V

VnRT

V

VnRTWWWWW ATAT lnln

a jeho účinnosť je

1

21

T

TT . (1.63)

1.12 Tepelné čerpadlá a chladiace stroje

Tepelný stroj pracujúci podľa ideálneho Carnotovho cyklu (Carnotov stroj) mení teplo na

mechanickú prácu. Keď obrátime chod takého stroja vznikne chladiaci stroj alebo tepelné

čerpadlo. V tomto prípade však nezískavame mechanickú prácu, ale naopak, stroju ju musíme

dodávať.

1.13 Prenos tepla

Prenos tepla vedením. Pri prenose tepla vedením je teplo prenášané medzi dvomi systémami

cez prostredie, ktoré ich spája. V tomto prípade žiadna časť prostredia (ako celok) sa

nepohybuje. Takýmto prostredím môže byť napríklad pevná tyč, alebo aj tekutina, v ktorej

neprichádza k prúdeniu. Množstvo tepla Q, ktoré prejde cez tyč za čas je priamo úmerné

rozdielu teplôt na koncoch tyče T T1 2 , priamo úmerné prierezu S a nepriamo úmerné

dĺžke a závisí od materiálu, z ktorého je tyč zhotovená

21 TTSQ

. (1.67)

Veličina charakterizuje materiál (ale nie jeho tvar alebo rozmery) z hľadiska vedenia tepla.

Nazýva sa koeficient tepelnej vodivosti.

60

Teplo, ktoré prejde za jednu sekundu cez tyč nazývame tepelným tokom

21 TT

SQ

. (1.68)

Ak stotožníme os x s osou tyče a orientujeme ju súhlasne rovnobežne so smerom klesania

teploty, možno veľkosť tepelného toku vyjadriť pomocou diferenciálnych veličín

x

TS

. (1.69)

Znamienko mínus vo vzťahu vyjadruje skutočnosť, že tok tepla je opačný ako nárast teploty

(derivácia je záporná). Ak podelíme tepelný tok plochou prierezu tyče, dostaneme novú

veličinu, ktorú nazývame hustota tepelného toku

x

Tq

, (1.70)

ktorú možno v trojdimenzionálnom prípade vyjadriť vzťahom

T grad q . (1.72)

Tento vzťah sa nazýva Fourierov zákon.

Rovnica vedenia tepla v trojdimenzionálnom priestore má tvar

c

wT

c

T

1. (1.74)

V tejto rovnici c je hmotnostná tepelná kapacita, – hustota, w – výkon tepelných zdrojov

v jednotke objemu. Ak je prostredie homogénne a v prostredí sa nevyskytujú vnútorné zdroje

tepla, vyššie uvedená rovnica sa zjednoduší na tvar

TaT 2

. (1.76)

V tejto rovnici vystupujúca veličina ca sa nazýva tepelná difuzivita (koeficient

teplotnej vodivosti).

Prenos tepla prúdením. V prípade prúdenie tekutiny v dôsledku gradientu hustoty hovoríme

o prirodzenom prúdení a v prípade použitia čerpadla alebo ventilátora hovoríme o vynútenom

prúdení. Na základe skúseností môžeme pre hustotu tepelného toku prestupujúceho z jedného

prostredia (napr. plynného) do druhého (napr. pevného) použiť vzťah

q T T D 0 , (1.79)

kde konštanta úmernosti sa nazýva koeficient prestupu tepla.

Prestup tepla cez stenu. V ustálenom stave platí nasledujúci súvis medzi teplotami vzduchu

v interiéri iT a exteriéri eT , hustotou tepelného toku q a vlastnosťami oddeľujúcej steny

61

T Td

q R qi ei e

0

1 1

. (1.80)

Výraz v zátvorke, ktorý sme označili ako R0 sa nazýva tepelný odpor steny (konštrukcie) pri

prechode tepla. Skladá sa z troch členov

R R R R0 i e , (1.81)

kde Rii

1

a Re

e

1

sú odpory pri prestupe tepla na vnútornej a vonkajšej strane steny a

Rd

je tepelný odpor samotnej konštrukcie.

Prenos tepla žiarením. Jestvuje mechanizmus prenosu tepla, ktorý nevyžaduje materiálne

prostredie a ním sa môže teplo šíriť aj vo vákuu. Tento mechanizmus sa nazýva žiarenie alebo

radiácia. Termodynamické úvahy vedú k uzáveru, že ideálny tepelný žiarič, nazývaný

absolútne čierne teleso, emituje energiu s výkonom úmerným štvrtej mocnine absolútnej

teploty T telesa a ploche S povrchu telesa

P ST 4 . (1.83)

Tento vzťah sa nazýva Stefan – Boltzmannov zákon a platí len pre absolútne čierne teleso.

Konštanta = 5,67 . 10-8

W.m-2

.K-4

sa nazýva Stefan – Boltzmannova konštanta.

Iné typy povrchov nevyžarujú toľko energie ako čierne teleso. Aby sme vzali túto skutočnosť

do úvahy zavádzame do vzťahu pre výkon emitovaného žiarenia konštantu, ktorú nazývame

emisivita a značíme gréckym písmenom . Potom

P ST 4 . (1.84)