ロボティックスRobotics先端工学基礎課程講義

小泉 憲裕

2017/6/2

講義情報

http://www.medigit.mi.uec.ac.jp/lect_robotics.html

http://www.medigit.mi.uec.ac.jp/lect_robotics.html

順運動学順運動学とは

剛体リンク系としてあらわされるマニピュレータでは絶対座標系からみたエンドエフェクタ（手先効果器）の位置と姿勢を関節角θから求める。

0 0

0 0 1 2 1

1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1

nn n

n n n

R pH H H H H

O

1 2 n

姿勢 位置

逆運動学逆運動学とは

手先効果器の位置・姿勢から関節角θをもとめること。

0 0

0 ( ) ( )1

n n

n

R pH

O

1 2 n

姿勢 位置

第6回ヤコビ行列と静力学

ヤコビ行列ロボットのヤコビ行列とは

手先の微小変位（速度）と関節角座標における微小変位（速度）を関係づける

1J r

r f

r J f

J

r x y z 　

1 2 n

7n は冗長

ヤコビ行列と特異点ロボットの特異点

ヤコビ行列が正則でないときは逆行列が存在しないため変換ができない。

1J r

r f

r J f

J

関節がすこし変化したとき手先がどの程度変化するか？

1J r r J

微小変位は線形関係：

：非線形関係

ヤコビ行列：

ヤコビ行列ヤコビ行列

12

1l 2l

0z

x

y

x

y

1l

2l

1

2

[ ]Tr x y

ヤコビ行列ヤコビ行列

x

y

1l

2l

1

2

[ ]Tr x y

1 1 2 1 2cos cos( )x l l

y

[ , ]Tr x y と は

非線形関係

1 1 12 1 2 1 1

12 1 2

cos cos( ) sin

sin( )

C C S

S J

、 、 、

としてヤコビ行列 は、

1 2 1 1 2 12

2 12

1 2

x x

l S l SJ

l Cy y

　　　　　　

　　　　　　　　

r J 微小変位は線形関係：

ヤコビ行列と特異点特異点

r J

1 2

1 2

1 1 2 12

2 12

x x

Jy y

l S l S

l C

　　　　

　　　　　

ヤコビ行列と特異点特異点

r J

1 2 2

0 0J

l l l

r f

r J f

J

http://astamuse.com/ja/drawing/JP/992/39/988/A/000012.png

1l

2l

det 0J

ヤコビ行列と静力学ヤコビ行列と静力学

ヤコビ行列ツイストとは

基礎ヤコビ行列はvとω（ツイスト）と関節角度の速度の関係をあらわす。

BJ オイラー角にみられる特異点の問題を解消したい v

ツイスト

基礎ヤコビ行列基礎ヤコビ行列とは

基礎ヤコビ行列はvとω（ツイスト）と関節角度の速度の関係をあらわす。

なおかつ簡単な計算で求めることができる

v: 並進速度

Ω: つむじ風の回転

基礎ヤコビ行列同次変換行列

0 0 0 1

O O

O A

A

R pH

http://www.rugbysensor.com/images/doujitrMatrix_01.jpg

O

A H

1 1

O A

O

A

r qH

同じ式を4×4に拡大した同次変換行列を用いてシンプルにあらわす

O O O A

Ar p R q

基礎ヤコビ行列同次変換行列の微分 http://www.rugbysensor.com/images/doujitrMatrix_01.jpg

O

A H

0 0 0 0

[ ]

0 0 0 0 0 0 0 1

[ ]

R pdH

dt

v R p

H

歪対称（交代）行列

基礎ヤコビ行列同次変換行列の微分 http://www.rugbysensor.com/images/doujitrMatrix_01.jpg

O

A H

[ ]v p p

v

[ ]d

H Hdt

ツイスト

つむじ風の回転と並進速度

基礎ヤコビ行列同次変換行列の微分 http://www.rugbysensor.com/images/doujitrMatrix_01.jpg

O

A H[ ]

dH H

dt

[ ]

[ ]

1

( ) (0)

( ) (0)

(3)

( ) (0)

t

t

H t e H

H t H H

H e SE

H H t H

剛体の位置・姿勢変化はかならず定数ベクトルωとvによって移動できる

Endヤコビ行列と静力学

参考文献1. ロボット制御入門：川村貞夫著（Ohmsha）

2. ロボットシステム入門：松日楽信人、大明準治著（ohmsha）

3. メカトロニクス：三浦宏文著（ohmsha）

4. やさしい産業用ロボット読本：川崎重工編（日本能率協会）

5. はじめてのロボット創造設計：坪内孝司、大隅久、米田完（講談社）

6. ロボットモーション：内山勝、中村仁彦（岩波書店）

7. http://www.tuhep.phys.tohoku.ac.jp/~watamura/kougi/GP2012_11.pdf

8. http://www.mech.tohoku-gakuin.ac.jp/rde/contents/course/robotics/manipulator.html