24. 4. 2006 1

FII-03 Speciální elektrostatická pole. Kapacita.

24. 4. 2006 2

Hlavní body• Elektrický náboj a pole ve vodičích• Pole elektrického dipólu• Chování elektrického dipólu ve vnějším

elektrickém poli• Příklad na jímání náboje.• kapacita x napětí = náboj.• Různé typy kondenzátorů.• Sériové zapojení kondenzátorů.• Paralelní zapojení kondenzátorů.

24. 4. 2006 3

Nabitý plný vodič I• Vodiče obsahují volné nosiče náboje jedné nebo

obou polarit. Nabít je znamená, přinést do nich nějaké přebytečné náboje jedné z polarit.

• Speciálním případem jsou kovy :• každý atom, který je součástí kovu, si ponechává vnitřní

elektrony ve své blízkosti. Ale elektrony valenční, slaběji vázané, jsou sdíleny celým kovem. Ty jsou volnými nosiči náboje. Působí-li na ně elektrická (nebo i jiná) síla mohou se v kovu volně pohybovat.

• Je relativně snadné kovu volné elektrony přidat nebo ubrat.

24. 4. 2006 4

Nabitý plný vodič II• Přidání elektronů znamená nabití kovu záporně• Odebrání elektronů je ekvivalentní nabití tělesa

kladně. • Pro naše účely můžeme mezery po chybějících

elektronech považovat za volné kladné náboje +1e. V oblasti polovodičů se nazývají díry.

• Nabitý vodič efektivně obsahuje přebytečné kladné nebo záporné náboje, které jsou navíc volné.

24. 4. 2006 5

Nabitý plný vodič III• Přebytečné náboje se odpuzují a protože jsou

volné a mohou se v rámci vodiče volně pohybovat, musí skončit na povrchu.

• Rovnováha, které je nakonec díky pohyblivosti nábojů dosaženo, je charakteristická tím, že výslednice sil, působících na každý náboj, je rovna nule.

• Znamená to, že uvnitř vodiče je nulové pole a celý jeho objem včetně povrchů je ekvipotenciální oblastí (a existují síly, které drží náboje v látce).

24. 4. 2006 6

Dutá vodivá slupka I• V rovnováze opět :

• přebytečné náboje musí skončit na povrchu • uvnitř je nulové pole a celé těleso je

ekvipotenciální oblastí.• Tyto podmínky mají hlubokou souvislost s

platností Gaussovy věty.• Pro důkaz se vraťme ke Gaussově větě :

24. 4. 2006 7

Opět Gausova věta I• Mějme kladný bodový náboj Q a kulovou Gaussovu

plochu o poloměru r centrovanou v náboji. Předpokládejme nyní radiální pole :

• Siločáry jsou všude paralelní ke vnějším normálám, takže celkový tok je :

• Případ p2 by znamenal závislost toku na r, což

odporuje experimentu!

prkQrE )(

pe QrSrE 21

0)(

24. 4. 2006 8

Opět Gausova věta II• Platnost Gaussovy věty p = 2.• Užitím pojmu prostorového úhlu lze ukázat

• platnost pro bodový náboj umístěný kdekoli uvnitř kulové plochy.

• platnost pro každou uzavřenou plochu.• Z každého bodu objemu totiž vidíme každou

uzavřenou plochu pod celkovým prostorovým úhlem 4.

24. 4. 2006 9

Dutá vodivá slupka II• Vezměme nejprve kulové těleso. Hustota náboje

na jeho povrchu musí být ze symetrie konstantní.• Ze symetrie dále plyne, že intenzity vyvolané

elementárními ploškami se ve středu koule kompenzují a .

• V jiných bodech se ale budou kompenzovat a pole bude nulové pouze v případě, že p = 2.

• S použitím pojmu prostorového úhlu lze totéž dokázat pro jakoukoli uzavřenou plochu.

0E

24. 4. 2006 10

Dutá vodivá slupka III• Závěr: existence nulového pole v jakémkoli

bodě uvnitř nabité vodivé slupky libovolného tvaru je ekvivalentní platnosti Gaussovy věty.

• To je principem :• experimentálního důkazu Gaussovy věty s

velkou přesností : p – 2 = 2.7 3.1 10-16.• stínění a zemnění (např. Faradayova klec)

24. 4. 2006 11

Pole v blízkosti nabité plochy závisí na hustotě náboje

• Vezmeme malý válec a ponoříme jej do vodiče, aby osa válce byla k vodiči kolmá.

• Elektrické pole :• uvnitř vodiče je nulové• vně je kolmé k povrchu plochy

• Nenulový tok prochází pouze vnější podstavou

• Pozor na hrany! není obecně konstantní!0

E

24. 4. 2006 12

Elektrický dipól I• Látky mohou vytvářet nenulové elektrické pole, i

když je v nich celkový náboj vykompenzován.• Musí obsahovat takzvané multipóly, tedy částice

(oblasti), v nich jsou těžiště kladného a záporného náboje v různých bodech.

• Vytvářená pole obecně nejsou centrosymetrická a mizí rychleji než pole bodového náboje.

24. 4. 2006 13

Elektrický dipól II• Nejjednoduším multipólem je elektrický dipól :

• Skládá se ze dvou nábojů o stejné absolutní hodnotě ale různého znaménka +Q and –Q.

• Jejich vzájemnou polohu lze popsat vektorem .• Definujeme dipólový moment.

• Elektrické dipóly (multipóly) jsou důležité, protože jsou příčinou elektrického chování elektricky neutrální (i mikrosopicky!) hmoty.

l

lQp

24. 4. 2006 14

Elektrický dipól III• Pomocí dipólových momentů vysvětlujeme

tedy základní chování látek ve vnějším elektrickém poli.

• Oblasti látek (částice) mohou mít buď vlastní nebo indukovaný dipólový moment.

• Interakce dipólových momentů je také příčinou některých slabších ale důležitých meziatomových vazeb.

24. 4. 2006 15

Chování elektrického dipólu ve vnějším poli

• V homogenních elektrických polích působí na dipóly momenty síly , které se je snaží natočit do směru pole, tedy ztotožnit směr dipólového momentu se směrem vektoru elektrické intenzity (siločar).

• V polích nehomogenních jsou dipóly také taženy nebo posunovány.

24. 4. 2006 16

Příklady některých polí• Pole homogenně nabité koule• Pole paralelních stejnoměrně nabitých rovin• Princip elektrostatické kopírky (xeroxu)

24. 4. 2006 17

Jímání náboje I• V 18. Století byli lidé fascinováni prvními

elektrickými jevy, zvláště velkými výboji.• Baviči si všimli, že různá tělesa nabitá na stejné

napětí obsahovala různá „množství elektřiny“ (nyní bychom řekli, byla nabita různým nábojem) a produkovala různě silné výboje.

24. 4. 2006 18

Jímání náboje II• Vyvstal problém, jak pojmout co možná

největší náboj, při maximálním dostupném napětí.

• Nejprve se šlo cestou větších a větších nádob, ale později se nalezlo lepší řešení!

• Mějme vodivou kouli o poloměru ri=1 m.• Můžeme pojmout libovolný náboj?

24. 4. 2006 19

Jímání náboje III• Odpověď je NE!• V praxi jsme limitováni mezní intenzitou. V

suchém vzduchu je to Em 3106 V/m.• Mezní intenzita závisí na vlastnostech okolí

vodiče, ale jistá hodnota by existovala i ve vakuu. • Je-li dosaženo mezní intenzity vodič se bude

samovolně vybíjet (užívá se při studiu struktury).• Schopnost samovybíjení se zvětšuje u členitých

povrchů. Protože u výčnělků se intenzita zvětšuje.

24. 4. 2006 20

Jímání náboje IV• Z Gaussovy věty plyne, že intenzita E=0

uvnitř koule a E=kQ/ri2 těsně u jejího

povrchu.• Z obecného vztahu lze z intenzity určit

potenciál těsně u povrchu koule =kQ/ri .• Kombinací dostaneme : = riE pro r > ri

• Maximální napětí a náboj na kouli tedy je : = 3 106 V Qmax = 3.3 10-4 C.

24. 4. 2006 21

Jímání náboje V• Mezní napětí navíc značně přesahuje maximum,

cca 105 V, které bylo tehdy možno vygenerovat.• Na naší kouli by tedy pro toto napětí byl náboj :

Q = Uri /k = 105/9 109 = 1.11 10-5 C.• Původně se dal zvětšit pouze zvětšením koule ri.• Potom někdo (v Leydenu) udělal “zázrak”! Kouli o

poloměru ri umístil do nepatrně větší koule o poloměru ro, kterou uzemnil.

• Výboje se výrazně zvětšily, tedy nové uspořádání neslo při stejném napětí větší náboj!

24. 4. 2006 22

Jímání náboje VI• Vnitřní koule, nabitá nábojem +Q, vytvořila

náboj –Q na vnitřním povrchu vnější koule a náboj +Q na povrchu vnějším. Po jejím uzemnění byl však kladný náboj odveden do země, takže na vnější kouli zůstal náboj –Q, a to na jejím vnitřním povrchu.

• Výsledek: Potenciál vnitřní koule klesl, přičemž náboj zůstal zachován!

24. 4. 2006 23

Jímání náboje VII• Potenciál způsobený vnitřní koulí :

i = kQ/ri pro r ri ; i = kQ/r pro r > ri

• Potenciál způsobený vnější koulí :o = -kQ/ro pro r ro ; o = -kQ/r pro r > ro

• Z principu superpozice :(r) = i(r)+ o(r)

• Pro r ro bude potenciál bude nulový!

24. 4. 2006 24

Jímání náboje VIII• Potenciál na vnitřní kouli je tedy současně

napětím mezi koulemi :Ui = kQ(1/ri – 1/ro) = kQ(ro – ri)/riro

• Pro ro = 1.01 m a U = 105 V Q = 1.12 10-3 C tedy náboj vzrostl 101 krát!

• Zařízení, které jsme sestrojili se nazývá kondenzátor.

• (Qmax = 3 10-4 C jsme však takto nezvýšili! )

24. 4. 2006 25

Kapacita• Napětí U mezi dvěma vodiči nabitými na

náboj +Q a –Q je obecně úměrné tomuto náboji :

Q = C U• Kladná konstanta úměrnosti C se nazývá

kapacita. Fyzikálně je to schopnost příslušného uspořádání vodičů jímat náboj.

• Jednotkou kapacity je Farad 1 F = 1 C/V

24. 4. 2006 26

Různé typy kondenzátorů• Je mnoho důvodů vyrábět elektronickou

součástku, která má schopnost jímat náboj – kondenzátor.

• Kapacita kondenzátoru by neměla záviset na okolí.• Hlavní užití je pro jímání náboje a potenciální

energie a některé doprovodné jevy související s nabíjením a vybíjením.

• Nejčastěji se užívá deskových, válcových, kulových a svitkových kondenzátorů.

24. 4. 2006 27

Dvě paralelní nabité roviny • Dvě velké paralelní roviny jsou vzdáleny d.

Jedna je nabita s plošnou hustotou druhá s hustotou -.

• Intenzita mezi deskami bude Ei a intenzita vně Eo. Co platí?• A) Ei= 0, Eo=/0

• B) Ei= /0, Eo=0• C) Ei= /0, Eo=/20

24. 4. 2006 28

Určení kapacity kondenzátoru I• Obecně najdeme závislost náboje Q na

napětí U a vyjádříme kapacitu jako konstantu úměrnosti.

• Mějme například deskový kondenzátor s rovnoběžnými deskami o ploše S a vzdálenosti d, nabité na náboj +Q a -Q:

• Z Gaussovy věty : E = /0 = Q/0S• Také : E=U/d Q = 0SU/d C = 0S/d

24. 4. 2006 29

Určení kapacity kondenzátoru II• Pro potenciál na jedné kouli ve vesmíru

platí :Ui = kQ/ri C = ri/k

• Druhá „elektroda“ tohoto kondenzátoru by bylo nekonečno nebo spíše zem, protože je blíže. Jeho kapacita by ale silně závisela na přítomnosti vodičů v jeho blízkém okolí.

24. 4. 2006 30

Určení kapacity kondenzátoru III

• V případě našeho kulového kondenzátoru jsme měli :Ui = kQ(1/ri – 1/ro) = kQ(ro – ri)/riro

To odpovídá kapacitě :

Srovnejte se vztahem pro kondenzátor deskový!

)(4

)(0

io

oi

io

oi

rrrr

rrkrrC

24. 4. 2006 31

Nabíjení kondenzátoru • Kondenzátor nabíjíme

• budˇ propojíme jednu elektrodu kondenzátoru s kladným a druhou se záporným pólem zdroje stejnosměrného napětí. Po dosažení rovnováhy bude každá elektroda kondenzátoru mít stejný potenciál jako elektroda zdroje s ní spojená a napětí na kondenzátoru bude rovné napětí zdroje.

• nebo uzemníme jednu elektrodu a na druhou přivedeme náboj. Po dosažení rovnováhy zůstane na uzemněné elektrodě jen náboj opačné polarity.

• Podrobné chování veličin v čase si ukážeme později.

24. 4. 2006 32

Sériové zapojení kondenzátorů I• Mějme kondenzátory C1 a C2 zapojené do

série. Můžeme je nahradit jedinou kapacitou:

• Nabijeme-li jednu elektrodu, ostatní se nabijí indukcí a náboj na všech sériově zapojených kondenzátorech musí být stejný :Q = Q1 = Q2

21

21

CCCCCs

24. 4. 2006 33

Sériové zapojení kondenzátorů II• K sobě připojené elektrody jsou na stejném

potenciálu. Celkové napětí na všech sériově zapojených kondenzátorech musí být tedy součtem napětí na jednotlivých kondenzátorech

U = U1 + U2

21

21 111CCQ

UQU

QU

Cs

24. 4. 2006 34

Paralelní zapojení kondenzátorů I • Mějme dva kondenzátory C1 a C2 zapojené paralelně.

Můžeme je nahradit jediným kondenzátorem s kapacitou Cp :

Cp = C1 + C2

• Celkový náboj se rozdělí na jednotlivé kondenzátoryQ = Q1 + Q2

• Napětí na všech kondenzátorech je stejnéU = U1 = U2

Cp = Q/U = Q1/U+ Q2/U = C1 + C2

24. 4. 2006 35

Mezní náboj• Kapacita deskového kondenzátoru (ve vakuu)

může být zvětšena buď zvětšením ploch desek nebo jejich přiblížením. Pouze první způsob však povede ke snížení intenzity elektrického pole a tedy i ke zvýšení mezního náboje, který kondenzátor může pojmout!

• Z tohoto hlediska by bylo lepší uzemnit vnitřní a nabít vnější kouli v našem Leydenském příkladu.

Prostorový úhel I• Mějme povrch koule o poloměru r. Z jejího

středu vidíme element plochy dS pod prostorovým úhlem d :

2rdSd

442

2

rr

Celý povrch vidíme pod úhlem :

Prostorový úhel IIJe-li ve středu koule bodový náboj Q, je

elementární tok intenzity ploškou dS :

2

coscosr

dSkQdSESdEd e

0

4

QkQdkQe

Protože poslední zlomek je d, je celkový tok:

^

Intenzity v okolí zakřivenějších povrchů jsou větší

• Mějme velkou a malou vodivou kouli o poloměrech R a r, které jsou vodivě spojeny např. drátkem. Když tento útvar nabijeme, rozloží se přebytečný náboj na Q a q tak, aby byl všude stejný potenciál :

rR

rR

Rr

SQ

RSrs

Rr

Ss

RQrq

rkq

RkQ

2

2

2

2

2

2

44;

^

• Hustota náboje na menší kouli je tedy větší!

Potenciál elektrického dipólu I• Mějme náboj –Q v počátku a +Q v bodě,

určeném vektorem . Jaký je potenciál v bodě ? Použijeme princip superpozice a gradient :

)()(

)()()(

rkQgradld

rkQ

rkQ

ldrrr

ld

r

Potenciál elektrického dipólu II• První dva pomalu klesající výrazy se zruší :

33)(r

rpkr

rldQkr

• Potenciál je tedy symetrický podle své osy a bod v polovině spojnice nábojů je inverzním středem symetrie.

• Potenciál klesá jako 1/r2!^

Elektrický dipól – Moment síly• Mějme homogenní pole s intenzitou .

Síly na oba náboje přispívají ve shodném smyslu k momentu síly :

sin2

2 QElT

• Obecně je moment síly vektorový součin:

EpT

^

E

Elektrický dipól - tah• Mějme nehomogenní elektrické pole, jehož

intenzita se mění jen v jednom směru dipól paralelní se siločárami (-Q v počátku).

dxdEQdlQEQE

dlQEQEF

)0()0(

)()0(

• Obecně :pEgradF

^

E

Vektorový součin I Ať Definice (ve složkách)

Velikost vektoru

kjijki bac

sinbac

Velikost vektorového součinu je rovna obsahu rovnoběžníku tvořeného vektory .

bac

ba,

c

Vektorový součin II

zyx

zyx

zyx

bbbaaauuu

c

Vektor je kolmý k rovině vytvořené vektory a a společně vytváří pravotočivý systém.

ijk = {1 (sudá permutace), -1 (lichá), 0 (eq.)}

^

c

a

b