1 Úvod

Finanční matematikou rozumíme soubor obecných matematických metoduplatněných v oblasti financí. Základní pojmy ve finanční matematice:

1. Úrok je cena půjčky. Věřitel, který půjčku poskytne, si účtuje úrokjako cenu za riziko, které takto podstupuje. Z hlediska dlužníka jeúrok cena, kterou za půjčku (jako za jiný předmět obchodu) zaplatí.

2. Úroková míra je výše úroku uvedená v procentech za určité období,nejčastěji za rok. Např., 5% p.a. značí úrok 5 procent, který budepřipsán na konci roku.

3. Míra zisku (výnosnost, výnosové procento) je úroková míra většinouna roční bázi realizovaná při investování.

4. Doba splatnosti (úroková doba) je doba, po kterou je kapitál uložen čizapůjčen.

5. Úrokové období je doba, na jejímž konci je připsán úrok z vkladu.Obecně nemusí být stejně dlouhé jako doba splatnosti.

6. Úročení je způsob výpočtu úroku. Z hlediska doby splatnosti dělímeúročení na jednoduché, složení a smíšené. Z hlediska doby výplatyúroků rozdělujeme úročení na předlhůtní (anticipativní) a polhůtní(dekursivní).

2 Jednoduché úročení

Předpoklady: úrokové období je jeden rok, doba splatnosti bývá obvyklekratší než jeden rok, je-li delší, počítáme pak úrok ze stále stejného počá-tečního kapitálu (nepočítáme tedy úroky z úroků).

Výpočet jednoduchého úroku

u = Pit (1)

kde P je základní kapitál pro výpočet úroku (výše půjčky), i je úroková míravyjádřená desetinným číslem a t je čas v letech, po které je základní kapitáluložen (půjčen). Ze vzorce (1) je zřejmé, že závislost výše úroku na čase jelineární.

Vzorec (1) lze také přepsat do tvaru

u = Pp

100k

360,

1

kde p je úroková míra jako počet procent za rok, k je počet dní.

Pro vyjádření doby splatnosti ve dnech se v evropských zemích používajítzv. standardy:

• ACT/365 (anglický standard) znamená, že každý měsíc má skutečnýpočet dní (ACT) a rok má 365 dní v roce

• ACT/360 (francouzský standard) znamená, že každý měsíc má sku-tečný počet dní (ACT) a rok má 360 dní v roce

• 30E/360 (německý standard) znamená, že každý měsíc má 30 dní arok má 360 dní v roce

Výpočet úroku pomocí úrokových čísel(UC) a úrokového dělitele (UD):

UC =Pk

100, UD =

360p

u =Pk100360p

=UC

UD.

Tohoto způsobu výpočtu úroku se používá při účtování na běžných a kon-tokorentních účtech, a při výpočtech splatných částek směnek.

2.1 Jednoduché polhůtní úročení

Zde je navíc předpokládáno, že příslušný úrok je vyplacen na konci dobysplatnosti.

Základní rovnice jednoduchého polhůtního úročení:

S = P + u = P (1 + it) = P (1 +p

100k

360), (2)

kde S je splatná částka a P je základní kapitál (půjčka).

Současná a budoucí hodnota kapitáluVzhledem k inflaci se hodnota peněz v čase mění. Při výpočtech, kde potře-bujeme porovnávat finanční částky v různých časech, je pravidlem vztaho-vat všechny tyto částky k jedinému časovému okamžiku. Je-li tímto časovýmokamžikem ”teď”, nazývají se hodnoty přepočtených částek současnými hod-notami. Jestliže jsou částky přepočítány do nějakého budoucího časovéhobodu, nazývají se pak jejich hodnoty budoucími hodnotami. V případě jed-noduchého úročení je tedy splatná částka S budoucí hodnotou počátečníhokapitálu P a, naopak, kapitál P je současnou hodnotou splatné částky S.

2

2.2 Jednoduché předlhůtní úročení

Zde je, na rozdíl od předchozí podkapitoly, předpokládáno, že úrok je vy-placen hned na začátku doby splatnosti. Takový úrok se nazývá diskont(značíme D) a počítá se ze splatné částky S. Částka P je rovna částce Ssnížené o diskont. Příslušná úroková míra se nazývá diskontní míra d.

Výpočet diskontu:

D = Sdt

Výpočet splatné částky

P = S(1− dt) = S(1− pD

100tz360), (3)

kde pD je diskontní míra v procentech a tz zbytková doba splatnosti vednech.

Vztah mezi polhůtní úrokovou mírou i a diskontní mírou d získáme porov-náním částek S ze vzorců (2) a (3). Obdržíme vztahy

i =d

1− dtd =

i

1 + it, (4)

které nacházejí využití při porovnání výhodnosti krátkodobých půjček, anižbychom museli počítat splatné částky.

3 Aplikace jednoduchého úročení

Jednoduchého úročení je v praxi využíváno v polhůtním i diskontním prin-cipu. Krátkodobé cenné papíry (doba splatnosti kratší než jeden rok) bývajípřed svou dobou splatnosti obchodovány na diskontním principu, zatímcopři tvorbě uzávěrek běžných či kontokorentních účtů se používá polhůtníhoúročení.

3.1 Aplikace jednoduchého úročení s diskontním principem

• Pokladniční poukázky, depozitní certifikátyCena P těchto krátkodobých cenných papírů před dobou splatnosti sevypočte podle vzorce

P = S(1− dt), (5)

kde S je nominální hodnota cenného papíru, d je roční diskontní míra.

3

• SměnkyCena směnky SD před dobou splatnosti se opět vypočte podle vzorce(5), kde S je směnečná částka (ozn. S), která je vždy uvedena přímona směnce. Pro směnku tedy platí

SD = SC(1− dt) = S(1− pD

100tz360).

Chceme-li zjistit, jaká bude celková vyplacená částka v den eskontu zavíce směnek s různými směnečnými částkami a různými zbytkovýmidobami splatnosti při stejné diskontní míře, pak je pro výpočet dis-kontu výhodnější pracovat s úrokovými čísly a úrokovým dělitelem.Pro i-tou směnku, i = 1, . . . , n bude výše diskontu rovna

Di =Si.tzi

100.1360pD

=UCi

UD,

pro celkový diskont pak

D =∑n

i=1 UCi

UD=

pD∑n

i=1 Si.tzi

36000.

Vyplacenou částku za všechny směnky dohromady pak vypočteme po-mocí vzorce

n∑i=1

SDi =n∑

i=1

Si −∑n

i=1 UCi

UD=

=n∑

i=1

Si −pD

∑ni=1 Si.tzi

36000.

Určení střední doby splatnosti tS a středního data splatnosti TS smě-nek:

pD∑m

i=1 Si.(tS − tzi)36000

=pD

∑nj=1 Sj .(tzj − tS)

36000

tS =

∑mi=1 Sitzi +

∑nj=1 Sjtzj∑m

i=1 Si +∑n

j=1 Sj.

TS = datum eskontu + tS .

4

3.2 Aplikace polhůtního úročení

V této podkapitole bude ukázáno na příkladech, jak se provádí uzávěrkaběžného a kontokorentního účtu na konci roku. Předpokládám roční úročení,tj. patřičný úrok je na účet připsán na konci roku. Veškeré úroky budoupočítány pomocí úrokových čísel a úrokových dělitelů.

• Běžné účtyExistují tři způsoby, jak provádět uzávěrku na běžném účtu:

1. Zůstatkový způsobZůstatky na účtu jsou úročeny vždycky za dobu, po kterou sku-tečně na účtu ležely. Pro úrok u, který bude na konci roku připsánna účet, platí při úrokové míře i

u =∑n

i=1 UCi

UD,

kde UCi, i = 1, . . . , n jsou úroková čísla za i-tou dobu, po kterouležel zůstatek na účtu. Při standardu 30E/360 určíme počet dníza každé i-té období podle vztahu

30(M2 −M1) +D2 −D1. (6)

2. Postupný způsobÚroky z jednotlivých položek jsou počítány za dobu od data, kdyse na účtu objevily (toto datum nepočítáme) až do konce roku.U položek ze sloupce ”Dal” budou mít příslušná úroková číslakladné znaménko, u položek ze sloupce ”Má dáti” záporné zna-ménko. Při standardu 30E/360 se počty dní opět počítají podlevzorce (6). Výše úroku připsaného na účet na konci roku pak činí

u =∑

UCDal −∑

UCMdti

UD.

3. Zpětný způsobPostup výpočtu úroku je opačný než u v předchozím případě.Úroky jsou počítány od zvoleného data epochy (např. 1.1.) aždo data změny na účtu, znaménka úrokových čísel pro položky”Dal” jsou záporná a pro položky ”Má dáti” kladná. Úrokovéčíslo náležející zůstatku ze dne 31.12. má však kladné znaménko.Celkový připsaný úrok bude

u =∑

UCMdti−∑

UCDal+UC31.12.UD .

Konečný zůstatek dostaneme sečtením zůstatku ze dne 31.12. a vy-počteného úroku u.

5

• Kontokorentní účetNa takovém účtu je krátkodobě povoleno přejít z kladných zůstatkůna záporné, je tedy o jakousi půjčku ze strany banky nazvanou konto-koretní úvěr.

Další pojmy:

– úvěrový rámec (UR) - maximální povolený debet (záporný zůsta-tek) na účtu

– kreditní úrok - úrok z kladných zůstatků připsaný ve prospěchmajitele účtu

– debetní úrok - úrok ze záporných zůstatků, které nejsou větší nežsjednaný úvěrový rámec

– pohotovostní provize - náklady vzniklé v důsledku sjednaného,avšak nečerpaného úvěru; patří sem pohotovostní provize z ne-čerpaného úvěrového rámce (NU)

– provize za překročení úvěrového rámce (PR) - sankční úrok ipřesto, že překročení bylo povoleno

Výpočty: Provádíme uzávěrku na konci roku s tím, že ic je kreditníúroková míra, id debetní úroková míra a dále známe procentuální sazbypohotovostní provize z nečerpaného úvěru pNU a sankčního úroku pře-kročení úvěru pPR. Kreditní a debetní úroky se vypočítají zůstatkovýmzpůsobem (viz předchozí podkapitola), pohotovostní provize z nečer-paného úvěrového rámce podle vzorce

uNU =t.UR100 −

∑t

j=1Uj

100

UD

a provize za překročení úvěrového rámce se spočítá pomocí vztahu

uPR =

∑t

j=1Uj

100 − t.UR100

UD

4 Složené úročení

Předpoklady: počáteční kapitál ve výši K0, úrokové období je roční, dobasplatnosti je n roků, kde n je celé kladné číslo, úroky jsou připsány vždy nakonci roku při roční úroková míře i, tj. jedná se o polhůtní složené úročení.Předlhůtní složené úročení nemá v praxi využití, nebudu se jím tedy zabývat.

Odvození základní rovnice polhůtního složeného úročení:

6

Rok Stav na konci roku1 K1 = K0(1 + i)2 K2 = K1(1 + i) = K0(1 + i)2

3 K3 = K2(1 + i) = K0(1 + i)3

. .

. .n Kn = K0(1 + i)n

Základní rovnice pro složené úročení je uvedena v posledním řádku, tedy

Kn = K0(1 + i)n, (7)

kde Kn je splatná částka na konci n-tého roku. Částky Ki, i = 1, . . . , n nakonci i-tého roku tvoří geometrickou posloupnost s kvocientem 1 + i, kterýse nazývá úrokovací faktor neboli úročitel. Interpretace úročitele: budoucíhodnota jednotkového kapitálu na konci roku

Z hlediska času je částka Kn budoucí hodnotou počátečního kapitálu K0a, naopak, částka K0 je současnou hodnotou splatné částky Kn. Současnouhodnotu K0 vypočítáme ze základní rovnice (7):

K0 = Kn1

(1 + i)n= Kn(

11 + i

)n,

podíl 11+i se nazývá diskontní faktor neboli odúročitel. V literatuře se častoznačí jako v, tj.

v =11 + i

,

K0 = Knvn,

a je interpretován jako současná hodnota jednotkového kapitálu počítaná zaobdobí jednoho roku.

4.1 Složené úročení s častějším připisováním úroků

Předpoklady: počáteční kapitál ve výši K0, doba splatnosti je tvořena víceúrokovými obdobími kratšími než jeden rok, jejichž počet je vyjádřen celýmkladným číslem, úroky jsou připsány vždy na konci úrokového období přiroční úrokové míře i.

Příklady úrokových období (m značí počet úrokových období v jednom roce):

7

Úrokové období m

roční 1pololetní 2čtvrtletní 4měsíční 12týdenní 52denní 365

Je-li úrokové období kratší než jeden rok a je-li i roční úroková míra, musímeve výpočtech tuto úrokovou míru vydělit příslušnou hodnotou m.

Odvození splatné částky na konci n-tého roku:

Část roku (m) Stav kapitálu na konci části roku1m K 1

m= K0(1 + i

m)2m K 2

m= K 1

m(1 + i

m) = K0(1 + im)2

3m K 3

m= K 2

m(1 + i

m) = K0(1 + im)3

. .

. .m−1

m Km−1m= Km−2

m(1 + i

m) = K0(1 + im)

m−1

mm Km

m= K0(1 + i

m)m = K1

. .2mm K 2m

m= K0(1 + i

m)2m = K2

. .3mm K 3m

m= K0(1 + i

m)3m = K3

. .

. .nmm Knm

m= K0(1 + i

m)nm = Kn

V posledním řádku tabulky nalezneme rovnici pro výpočet splatné částkypo n letech.

4.2 Smíšené úročení

Předpoklady: počáteční kapitál ve výši K0, doba splatnosti zde není vyjá-dřena celým kladným číslem, je dána jako součet celého počtu úrokovýchobdobí (nm) a zbytku (l), který je kratší než jedno úrokové období, po dobunm jsou úroky připisovány vždy na konci úrokového období a v dalším ob-dobí znovu úročeny, pouze na konci doby splatnosti (za dobu l) se úročíjednoduše, uvažujeme roční úrokovou míru i.

Splatná částka při smíšeném úročení

Kn = K0(1 +i

m)nm(1 + il),

8

kde n = nm + l.

4.3 Efektivní úroková míra, úroková intenzita

Efektivní úroková míra ie je roční úroková míra, která poskytne za jeden rokstejný úrok jako roční úroková míra i s častějším připisováním úroků. Platí

1 + ie = (1 +i

m)m

ie = (1 +i

m)m − 1.

Je-li úrokové období nekonečně malé, tj. budou-li úroky připisovány spojitě,platí

1 + ie = limm→0(1 + im)

m = limm→0[(1 + 1mi)

mi ]i = ei

ie = ei − 1

Efektivní úroková míra odpovídající spojitému úročení se nazývá úrokováintenzita. Splatná částka při spojitém úročení:

Kn = K0ein.

Využití efektivní úrokové míry: při porovnávání úrokových měr s různoufrekvencí připisování úroků. Při častějším připisování úroků je odpovídajícíefektivní úroková míra rostoucí, svého maxima dosahuje v případě spojitéhoúročení.

4.4 Nominální a reálná úroková míra

Nominální úroková míra - přímo napsaná ve smlouvách, v nabídkách ban-kovních produktů nebo přímo na cenných papírech (dluhopisech).Reálná úroková míra - úroková míra, k jejímuž určení se počítá s mírouinflace.

Máme-li počáteční kapitál K0, bude splatná částka za jeden rok při nomi-nální roční úrokové míře i činit podle (2)

K1 = K0(1 + i).

Uvažujeme-li míru inflace ii, bude platit:

9

K0(1 + i)11 + ii

= K0(1 + ir),

kde ir je reálná úroková míra. Úpravou rovnice dostaneme vztah

i = ir + ii + irii,

zvaný Fisherova rovnice. Součin irii se někdy pro svoje nízké hodnoty zane-dbává a Fisherova rovnice se zapisuje ve zkráceném tvaru

i.= ir + ii.

4.5 Hrubá a čistá výnosnost

Hrubá výnosnost je úroková míra realizovaná při investování. Čistá výnos-nost je hrubá výnosnost snížená o daň. Je-li d daňová sazba, i hrubá výnos-nost, pak čistá výnosnost je

i = i(1− d).

Čistý konečný kapitál je v případě jednoduchého úročení vyjádřen jako

Kn = K0[1 + i(1− d)t],

v případě složeného úročení

Kn = K0[1 + (1− d)i]n.

5 Investiční rozhodování

Základní pojmy:

1. hodnota peněz - nezůstává v čase stejná, mění se vlivem inflace nebomírou zisku

10

2. finanční toky (cash flows) - realizované nebo očekávané pohybypeněžních prostředků v různých časových okamžicích investičníchprojektů, dělíme je napříjmy - finanční toky s kladným znaménkemvýdaje - finanční toky se záporným znaménkem

3. investice - je systém finančních toků rozložených v čase, při výpočtechobvykle vztahujeme všechny finanční toky k jednomu časovému bodu,tzv. referenčnímu datu, přičemž použijeme úročení, jdeme-li časovědopředu (zajímají nás budoucí hodnoty) a diskontování při pohybudozadu (zajímají nás současné hodnoty)

4. ocenění investice - pomocí investičních pravidel určíme, zda je vhodnéinvestovat či ne pravidla pro ocenění investic:pravidlo (čisté) současné hodnotypravidlo vnitřní míry výnosnostipravidlo doby návratnosti

5. hodnotová rovnice - rovnice, v níž porovnáváme dané finanční tokyvztažené k referenčnímu datu a řešíme podle příslušné neznámé.

5.1 Pravidlo současné hodnoty

Nechť C0, C1, . . . , Cn jsou finanční toky vztažené k určité investici, kde C0značí počáteční výdaj (pořizovací cenu investice) a i je požadovaná úrokovámíra požadovaná investorem v rámci investic se srovnatelnými parametry.Pak současná hodnota (present value, PV) finančních toků C1, . . . , Cn je

PV =n∑

j=1

Cj

(1 + i)j=

n∑j=1

Cjvj

Pravidlo současné hodnoty spočívá v porovnání hodnot PV a C0 a podletoho, která z hodnot je větší, se doporučuje investovat nebo neinvestovat.

• je-li PV > C0, pak investuj,

• je-li PV < C0, pak neinvestuj,

• je-li PV = C0, pak nelze podle tohoto pravidla rozhodnout.

Započítáme-li do sočasné hodnoty také částku C0, dostaneme tzv. čistousoučasnou hodnotu (net present value, NPV):

11

NPV =n∑

j=0

Cj

(1 + i)j=

n∑j=0

Cjvj

Pravidlo čisté současné hodnoty:

• je-li NPV > 0, pak investuj,

• je-li NPV < 0, pak neinvestuj,

• je-li NPV = 0, pak nelze podle tohoto pravidla rozhodnout.

5.2 Pravidlo vnitřní míry výnosnosti

Vnitřní míra výnosnosti i? je odhadována z rovnice

n∑j=0

Cj

(1 + i?)j= 0,

a následně porovnána s mírou zisku běžně dostupnou na kapitálovém trhu vrámci investic se srovnatelnými parametry. Při použití tohoto pravidla záležítaké na průběhu funkce popisující závislost čisté současné hodnoty na mířezisku. Proto

• je-li i? > i a zároveň je NPV (na levé straně rovnice výše) klesajícífunkcí míry zisku, pak investuj

• je-li i? < i a zároveň je NPV rostoucí funkcí míry zisku, pak investuj

5.3 Pravidlo doby návratnosti

Doba návratnosti je doba, za kterou postupně splatí kumulované příjmyinvestovaný kapitál. Při použití tohoto pravidla preferujeme investici s nej-kratší dobou návratnosti. Vypočtenou dobu návratnosti porovnáváme seznámou dobou návratnosti v rámci stejného typu investice.

5.4 Investiční kritéria

Investoři při výběru vhodné investice sledují zpravidla následující tři hle-diska:

1. výnosnost, s níž souvisí ocenění investice dle tří pravidel výše

12

2. riziko (bývá vyjádřeno směrodatnou odchylkou, existují různé stupnicerizika)

3. likviditu, tj. rychlost, s jakou lze investici zpět proměnit v hotovost.

Tato tři kritéria se většinou vzájemně vylučují, proto musí investor udělatmezi nimi kompromis. Výnosnost investice vždy bývá spjata s rizikem, že jínedosáhneme. Příslušné riziko může nabývat určitých hodnot vypočtenýchjako směrodatné odchylky od průměrné výnosnosti. Pro lepší představu orizikovosti jednotlivých typů investic existuje stupnice rizika např.:

nemovitosti, drahé kovy, starožitnostipokladniční poukázky, peněžní vklady,státní obligace, komunální obligacedepozitní cetifikáty, podílové listy, pojistkysměnky, prioritní akcieobyčejné akcietermínové obchody

Jednotlivé typy investic jsou seřazeny podle rostoucího rizika.

Podobně jako pro riziko, existuje také stupnice likvidity:peněžní prostředky (tuzemské, devizy, valuty)zlato, vklady, pokladniční poukázky, podílové listydepozitní certifikáty, obligace, akcie kotované na burzeobligace a akcie nekotované na burzenemovitosti, starožitnosti, podnikatelské projekty

Uvedené investice jsou seřazeny od těch vysoce likvidních až po nejménělikvidní.

6 Spoření

Cílem této kapitoly je odvodit potřebné vztahy pro výpočet naspořenýchčástek. Předpoklady: určitou částku ukládáme v pravidelných časových in-tervalech (na počátku nebo na konci) po dobu jednoho nebo několika úro-kových období. Zajímá nás, jak velká bude konečná naspořená částka, pří-padně jakou část z ní zaujímají úložky a úroky z nich. Rozlišujeme částkuuloženou (součet všech úložek) a částku naspořenou (součet částky uloženéa příslušných úroků). Z hlediska počtu úrokových období dělíme spořenína krátkodobé a dlouhodobé, případně kombinované. Podle toho, spoříme-listanovenou částku na počátku pravidelného časového intervalu nebo na jeho

13

konci, mluvíme o spoření předlhůtním nebo polhůtním. Kombinací těchtovýše uvedených rozlišení získáme několik typů spoření, jejichž splatné částkybudou odvozeny v následujících podkapitolách.

6.1 Krátkodobé předlhůtní spoření

Předpoklady: částku ve výši xKč ukládáme na počátku každém-tiny danéhoúrokového období (tj. úroky budou připsány až na konci úrokového období)při úrokové míře i.

Odvození naspořené částky S′x:Pořadí úložky Doba splatnosti úložky Úrok

1 m 1m

1m

imm

2 (m− 1) 1m1m

im(m− 1)

3 (m− 2) 1m1m

im(m− 2)

. . .m 1

m1m

im

Hodnoty úroků z jednotlivých úložek (ve třetím sloupci tabulky) tvoří arit-metickou posloupnost s diferencí d = 1

m . im . Sečtením těchto hodnot dosta-

neme výši celkového úroku:

u = mxm+12m i

Částka uložená činí mx Kč, částka naspořená S′x pak je

S′x = mx+mxm+12m i = mx

(1 + m+1

2m i)

.

Výraz(1 + m+1

2m i)vyjadřuje naspořenou částku, činí-li uložená částka 1 Kč,

tj. ukládámeli pravidelně počátkem každé m-tiny úrokového období částku1m Kč.

6.2 Krátkodobé polhůtní spoření

Předpoklady: částku ve výši x Kč ukládáme na konci každé m-tiny danéhoúrokového období při úrokové míře i.

Odvození naspořené částky Sx

Pořadí úložky Doba splatnosti úložky Úrok1 mm−1

m1m

im(m− 1)

2 (m− 2) 1m1m

im(m− 2)

3 (m− 3) 1m1m

im(m− 3)

. . .m− 1 1

m1m

im

m 0 0

14

Hodnoty úroků z jednotlivých úložek tvoří opět aritmetickou posloupnost sdiferencí d = 1

mim . Celkový úrok má hodnotu

u = mxm−12m i

Částka uložená činí mx Kč, částka naspořená Sx pak je

Sx = mx+mxm−12m i = mx

(1 + m−1

2m i)

Výraz(1 + m−1

2m i)vyjadřuje naspořenou částku, činí-li uložená částka 1 Kč,

tj. ukládámeli pravidelně počátkem každé m-tiny úrokového období částku1m Kč.

6.3 Dlouhodobé předlhůtní spoření

Předpoklady: spoříme částku a Kč na začátku zvoleného úrokového obdobípo dobu n úrokových období (tj. úroky z úložek jsou znovu úročeny) přiúrokové míře i.

Odvození naspořené částky S′:Pořadí úložky Počet období, po která je

úložka úročenaHodnota úložky na koncin-tého období

1 n a(1 + i)n

2 (n− 1) a(1 + i)n−1

3 (n− 2) a(1 + i)n−2

. . .n 1 a(1 + i)

Hodnoty ve třetím sloupci tabulky) tvoří geometrickou posloupnost s kvoci-entem q = (1+ i). Sečtením těchto hodnot dostaneme přímo výši naspořenéčástky:

S′ = a(1 + i)(1 + i)n − 1

i(8)

Výraz (1 + i) (1+i)n−1i se nazývá střadatel předlhůtní a lze jej interpretovat

jako naspořenou částku, kterou získáme, spoříme-li na počátku každéhoúrokového období 1 Kč po dobu n úrokových období při úrokové míře i.Označení: (1 + i) (1+i)n−1

i = s′in

Zkrácený zápis rovnice (8): S′ = as′in

15

6.4 Dlouhodobé polhůtní spoření

Předpoklady: spoříme částku a Kč na konci zvoleného úrokového období podobu n úrokových období při úrokové míře i.

Odvození naspořené částky S′:Pořadí úložky Počet období, po která je

úložka úročenaHodnota úložky na koncin-tého období

1 n− 1 a(1 + i)n−1

2 (n− 2) a(1 + i)n−2

3 (n− 3) a(1 + i)n−3

. . .n 0 a

Hodnoty ve třetím sloupci tabulky) tvoří geometrickou posloupnost s kvoci-entem q = (1 + i). Sečtením těchto hodnot dostaneme opět výši naspořenéčástky:

S = a(1 + i)n − 1

i(9)

Výraz (1+i)n−1i se nazývá střadatel polhůtní a lze jej interpretovat jako

naspořenou částku, kterou získáme, spoříme-li na konci každého úrokovéhoobdobí 1 Kč po dobu n úrokových období při úrokové míře i. Označení:(1+i)n−1

i = sin

Zkrácený zápis rovnice (9): S = asin

Vztah mezi střadatelem předlhůtním a polhůtním: s′in = (1 + i)sin

6.5 Kombinace krátko- a dlouhodobého spoření

Předpoklady: částku ve výši x Kč ukládáme buď na počátku nebo na koncikaždé m-tiny daného úrokového období po dobu n úrokových období (tj.úroky jsou připsány na konci každého úrokového období) při úrokové mířei.

Odvození naspořených částek: do konce prvního úrokového období naspo-říme na principu krátkodobého spoření částky S′x a Sx. Na obě částky pakpohlížíme jako na úložky při dlouhodobém polhůtním spoření trvajícím núrokových období. Příslušné vztahy pro naspořenou částku v předlhůtním apolhůtním případě jsou následující:

16

S′ = mx

(1 +

m+ 12m

i

)sin

S = mx

(1 +

m− 12m

i

)sin

7 Důchody

Důchodem rozumíme systém plateb realizovaných v pravidelných časovýchintervalech. V této kapitole budou odvozeny současné hodnoty určitých typůdůchodů a v některých případech o budoucí hodnoty.

Předpoklady: částka a, která se též nazývá anuita, je vyplácena v pravidel-ných časových intervalech. U důchodů nás zajímá především jeho současnáhodnota D, která je rovna součtu všech současných hodnot jednotlivýchbudoucích plateb. Počítá se též koncová hodnota důchodu jakožto budoucíhodnota všech výplat. Místo úrokového období je zde zaveden pojem vý-platní období. Důchody lze rozlišovat podle několika hledisek:

• dle celkové doby výplat - důchod dočasný a věčný

• dle toho, je-li výplata uskutečněna na začátku či na konci pravidelnéhointervalu - důchod předlhůtní a polhůtní

• dle toho, odkdy se s výplatami začíná - důchod bezprostřední a odlo-žený

• dle toho, je-li výplatní období dlouhé právě jeden rok nebo je kratšínež jeden rok - důchody roční a področní

7.1 Důchod dočasný

Předpoklady: částka a Kč je vyplácena po dobu n výplatních období

7.1.1 Důchod bezprostřední předlhůtní roční

Předpoklady: částka a Kč je vyplácena od nynějška počátkem každého rokupři úrokové míře i.

Odvození současné hodnoty bezprodstředního předlhůtního důchodu:

Pořadí výplaty Současná hodnota1 a2 a.v3 a.v2

. .n a.vn−1

17

Sečtením hodnot v pravém sloupci tabulky dostaneme současnou hodnotudůchodu PV:

PV = a(1 + i)1− (1 + i)−n

i= a1− vn

iv= a1− vn

d, (10)

kde v = 11+i je diskontní faktor z kapitoly 4 a d je diskontní míra z kapitoly

2.2. Výraz 1−vn

d se jmenuje zásobitel předlhůtní, značíme ho a′in nebo an| alze jej interpretovat jako současnou hodnotu důchodu s anuitami ve výši 1Kč vyplácenými počátkem každého roku po dobu n let při úrokové míře i.

Zkrácený zápis pro vztah (10): PV = a.an| = a.a′in.Vztah pro budoucí hodnotu důchodu se odvodí jako součet plateb úročenýchke konci n-tého roku:

FV = a(1 + i)(1 + i)n − 1

i

Tento vztah také vyjadřuje hodnotu naspořené částky pro dlouhodobépředlhůtní spoření. Pro výraz (1+ i) (1+i)n−1

i existuje druhé označení (prvníbylo s′in), a sice sn|.

7.1.2 Důchod bezprostřední polhůtní roční

Předpoklady: částka a Kč je vyplácena od nynějška koncem každého rokupři úrokové míře i.

Odvození současné hodnoty bezprodstředního polhůtního důchodu:

Pořadí výplaty Současná hodnota1 av2 a.v2

3 a.v3

. .n a.vn

Sečtením hodnot v pravém sloupci tabulky dostaneme současnou hodnotudůchodu PV:

PV = a1− (1 + i)−n

i= a1− vn

i(11)

Výraz 1−vn

i se jmenuje zásobitel polhůtní, značíme ho ain nebo an| a lze

jej interpretovat jako současnou hodnotu důchodu s anuitami ve výši 1 Kčvyplácenými koncem každého roku po dobu n let při úrokové míře i.

18

Zkrácený zápis pro vztah (11): PV = a.an| = a.ain.

Vztah pro budoucí hodnotu důchodu se odvodí jako součet plateb úročenýchke konci n-tého roku:

FV = a(1 + i)n − 1

i

Tento vztah je stejný jako vztah pro hodnotu naspořené částky v případědlouhodobého polhůtního spoření. Pro výraz (1+i)n−1

i existuje též druhéoznačení (první bylo si

n), a sice sn|.

Výpočet počtu výplatních období n:

Ze vzorce (11) pro n dostaneme

n = −ln(1− PV i

a )

ln(1 + i).

Aby měl výraz v čitateli zlomku smysl, musí platit 1− PV ia > 0, odtud je

a > PV i.

Hodnoty n tedy jsou

n =

{− ln(1−

PV ia)

ln(1+i) je-li a > PV i,

∞ je-li a ≤ PV i.

7.1.3 Důchod bezprostřední předlhůtní področní

Předpoklady: částka a Kč je vyplácena od nynějška počátkem každé m-tinyroku při úrokové míře i, výplatní (úrokové) období je právě jedna m-tinaroku.

Odvození současné hodnoty PV:

Pořadí výplaty Současná hodnota1 a

2 a.v1m

3 a.v2m

. .

n a.v(n−1)m

m

Současná hodnota důchodu PV je:

19

PV = a1− (1 + i

m)−nm

1− im

(12)

kde výraz1−(1+ i

m)−nm

1− im

se značí symbolem amn| ima můžeme jej interpretovat

jako současnou hodnotu jednotkového důchodu vypláceného počátkem každém-tiny roku po dobu n let při úrokové míře i.

Zkrácený zápis pro současnou hodnotu: PV = a.amn| im.

Budoucí hodnota důchodu FV:

FV = a(1 +i

m)(1 + i

m)nm − 1

im

= asmn| im

7.1.4 Důchod bezprostřední polhůtní področní

Předpoklady: částka a Kč je vyplácena od nynějška koncem každé m-tinyroku při úrokové míře i, výplatní (úrokové) období je právě jedna m-tinaroku.

Odvození současné hodnoty PV:

Pořadí výplaty Současná hodnota

1 a.v1m

2 a.v2m

3 a.v3m

. .n a.v

nmm

Současná hodnota důchodu PV je:

PV = a1− (1 + i

m)−nm

im

(13)

kde výraz1−(1+ i

m)−nm

im

se značí symbolem amn| ima můžeme jej interpretovat

jako současnou hodnotu jednotkového důchodu vypláceného koncem každém-tiny roku po dobu n let při úrokové míře i.

Zkrácený zápis pro současnou hodnotu: PV = a.amn| im

Budoucí hodnota důchodu FV:

FV = a(1 + i

m)nm − 1

im

= asmn| im

20

Pro področní důchody existují ještě přibližné vztahy. Pro předlhůtní dů-chody přibližně platí

PV.= ma(1 +

m+ 12m

i)an|i

FV.= ma(1 +

m+ 12m

i)sn|i

Pro polhůtní področní důchody přibližně platí

PV.= ma(1 +

m− 12m

i)an|i

FV.= ma(1 +

m− 12m

i)sn|i

Jestliže budeme zkracovat výplatní období délky 1m až na nulu, dostanemepřípad spojitého důchodu, pro jehož současnou a budoucí hodnotu platí:

PV = a

∫ n

0e−itdt =

a

i(1− e−in)

FV = a

∫ n

0eitdt =

a

i(ein − 1)

7.2 Důchod věčný

Předpokládejme, že platby v hodnotě a Kč jsou vypláceny v pravidelnýchintervalech stále (do nekonečna), proto je věčný důchod limitním případemvšech předchozích uvedených typů důchodů. Uvedu vztah pro výpočet sou-časné hodnoty věčného bezprostředního ročního důchodu předlhůtního apolhůtního. Pro předlhůtní důchod platí

PV = a+ av + av2 + · · · = a11− v

=a

d,

kde d je je diskontní míra z kapitoly 2.2. Jiný přístup k odvození současnéhodnoty je pomocí limity:

PV = limn→∞

a1− vn

d=

a

d

Pro polhůtní důchod dostaneme vztahy

PV = av + av2 + · · · = av11− v

=a

i,

21

PV = limn→∞

a1− vn

i=

a

i

7.3 Důchod odložený

Na rozdíl od bezprostředního důchodu zde budeme předpokládat období vdélce k výplatních období, o které budou jednotlivé platby opožděny. Součas-nou hodnotu odloženého důchodu získáme diskontováním současných hod-not všech výše uvedených důchodů. V případě področních důchodů je třebadiskontovat o km výplatních období.

Příklady odložených důchodů a jejich současné hodnoty:

1. dočasný roční předlhůtní důchod

PV = avk 1−vn

d = ak|an|

2. dočasný roční polhůtní důchod

PV = avk 1−vn

i = ak|an|

3. dočasný področní předlhůtní důchod

PV = avkm 1−(1+im)−mn

1− 11+ i

m

4. dočasný področní polhůtní důchod

PV = avkm 1−(1+im)−mn

im

5. věčný předlhůtní důchod

PV = avk

d

6. věčný polhůtní důchod

PV = avk

i

Využití důchodů: splácení dluhu, výpočty pojištění

8 Splácení úvěrů

Předpoklady: dluh ve výši D splácíme polhůtními ročními anuitami ve výšia při neměnné roční úrokové míře i.

Splátka (a) se skládá z úroku (U) a úmoru (M), platí a = U+M a vypočtemeji ze vztahu (11), tj.

a = Di1−vn .

22

Pro splácení dluhů se sestavují umořovací plány, což jsou tabulky obsahujícístav dluhu za jednotlivá období, hodnoty úroků, úmorů a anuit.

Umořovací plán pro splácení dluhu se stejnými splátkami:

Rok Splátka Úrok Úmor Stav dluhu0 D = a.an|1 a a(1− vn) a.vn a.an−1|2 a a(1− vn−1) a.vn−1 a.an−2|3 a a(1− vn−2) a.vn−2 a.an−3|. . . . .

n− 1 a a(1− v2) a.v2 a.vn a a(1− v) a.v 0∑

n.a n.a−D D -

V praxi často nastane případ, že poslední splátka je menší než všechnypředchozí. Předpokládejme, že tuto nižší splátku uhradíme v (n + 1)-nímroce a označíme ji b. Pro současnou hodnotu úvěru tedy platí

D = av + av2 + . . .+ avn + bvn+1

Počet roků, po které je úvěr splácen určíme ze vztahu (11):

n =ln(1−D.i

a)

ln v

a pro výši poslední splátky máme

b =D−a 1−vn

ivn+1 .

Umořovací plán pro splácení dluhu s nestejnými splátkami, ale s konstantnímúmorem :

Je-li počet období pro splácení dluhu n, bude výše úmoru činit Dn .

Rok Splátka Úrok Úmor Stav dluhu0 D = n.D

n

1 Dn (i.n+ 1) n.D

n .i Dn

Dn (n− 1)

2 Dn [i(n− 1) + 1] (n− 1).

Dn .i D

nDn (n− 2)

3 Dn [i(n− 2) + 1] (n− 2).

Dn .i D

nDn (n− 3)

. . . . .n− 1 D

n (2i+ 1) 2Dn .i D

nDn

n Dn (i+ 1)

Dn .i D

n 0∑D

(n+12 .i+ 1

)Dn+1

2 .i D -

23

8.1 Hypotéční úvěr

Tento úvěr bývá poskytován v souvislosti s pořízením nemovitosti, kteráslouží jako zástava po dobu splácení úvěru. Velikost poskytnuté půjčky jev současné době až sto procent, dříve banky poskytovaly maximálně 70procent z požadované částky. Úvěr se poskytuje na dobu 5-30 let a býváobvykle splácen měsíčními anuitami, jejichž výši vypočteme ze vztahu (13),tj.

PV = a1− (1 + i

m)−nm

im

.

Pokud jde o úrokovou míru, existuje dnes možnost ji zafixovat na určitý po-čet roků, konkrétně na 1-15 let, výjimečně až na 30 let. Za určitých podmíneklze využít státní podpory (dotace), jejíž výše závisí na velikosti úrokové mírypro hypotéční úvěry, viz následující tabulku:

Úroková míra Podpora> 10% 4%> 9% 3%> 8% 2%> 7% 1%< 7% 0

Podpora se vyjadřuje v procentech a vypočte se jako rozdíl mezi splátkamiodpovídajícími sjednané úrokové míře a úrokové míře snížené o procenta zpodpory. Státní podpora se poskytuje na dobu maximálně 10 let a nemusíse vztahovat na celou výši půjčky. To však záleží na typu pořizované nemo-vitosti a také na tom, je-li do půjčky zahrnuta též cena pozemku. Podporase tedy vztahuje na půjčky ve výši

• 1,5 mil. Kč na výstavbu nebo koupi rodinného domku s jedním bytem

• 2 mil. Kč na výstavbu nebo koupi rodinného domku se dvěma byty

• 12 000 Kč za 1 m2 celkové podlahové plochy bytu, nejvýše však800 000 Kč na jeden byt v bytovém domě s více než dvěma byty

• 12 000 Kč za 1 m2 celkové podlahové plochy bytu, nejvýše však800 000 Kč na jeden byt, pokud přístavbou, vestavbou, půdní nástav-bou nebo stavebními úpravami vznikne nový byt s podlahovou plochounejméně 40 m2.

V prvních třech případech je možné podporu uplatnit na částku zvýšenouo dalších 200 000 Kč, je-li hypotéční úvěr použit též na nákup pozemku,

24

na němž se má nová nemovitost nacházet. Toto zvýšení platí bez ohledu napočet bytů v domě.

Výpočet splátky při uplatnění státní podpory:Nechť D je výše poskytnutého hypotéčního úvěru a Dp jeho část, na niž sebude uplatňovat státní podpora. Nechť i je úroková míra zafixovaná na celoudobu splácení úvěru po dobu n let a is je úroková míra snížená o procentaz přiznané podpory. Splátky úvěru budou realizovány vždy koncem každéhoměsíce. Teoreticky pro hodnoty D a Dp platí:

D > Dp.

Nechť D > Dp. Pak výslednou anuitu a můžeme spočítat dvěma způsoby:

1. Pomocí vztahu (13) vypočteme anuitu a0 pro celkový dluh D:

a0 =D

1−(1+ im)−nm

im

.

Pro dluh Dp vypočítáme splátku ai při úrokové míře i a splátku ap přisnížení úrokové míře is. Rozdíl ai − ap pak vyjadřuje absolutní výšipodpory. Tuto hodnotu potom odečteme od splátky a0, čímž obdržímesplátku a sníženou o přiznanou státní podporu.

ai =Dp

1−(1+ im)−nm

im

ap =Dp

1−(1+ ism)−nm

ism

a = a0 − (ai − ap)

2. Dluh D rozdělíme na část Dp, na kterou se bude vztahovat státnípodpora a na část D−Dp, na ni se podpora nevztahuje. Pro obě částidluhu vypočítáme anuity ap a ab s příslušnými úrokovými mírami apoté je sečteme.

ap =Dp

1−(1+ ism)−nm

ism

ab =D −Dp

1−(1+ im)−nm

im

25

a = ap + ab

Nechť D = Dp. Pak

ai = a0

ap =D

1−(1+ ism)−nm

ism

.

Výslednou anuitu a určíme ze vztahu

a = a0 − ap.

9 Obligace

Obligace (dluhopis) je dlouhodobý cenný papír se stanovenou dobou splat-nosti, který vyjadřuje závazek emitenta (dlužníka) vůči oprávněnému maji-teli (věřiteli) splatit k určitému datu půjčku a proplatit úroky ve stanovenýchtermínech. Z tohoto důvodu je obligace dlouhodobým cenným papírem s fix-ním výnosem.Nominální hodnota (F ) obligace je částka vytištěná na cenném papíru a jevyplacena na konci doby splatnosti. Cena obligace je skutečná tržní hodnota,za kterou je obchodována na kapitálových trzích. Přesně v den splatnosti jecena obligace rovna nominální hodnotě. Kurz obligace je cena vyjádřená vprocentech z nominální hodnoty, např. je-li cena obligace 11 038 Kč a jejínominální hodnota 10 000 Kč, bude hodnota kurzu činit 110,38 procent.Kupónová platba (C) je sjednaný úrok vyplácený v pravidelných intervalech.Kupónová sazba (c) je kupónová platba vyjádřená v procentech z nominálníhodnoty, platí tedy C = cF . Kupónové období (nejčastěji roční nebo polo-letní) je období, na jehož konci je vyplacena kupónová platba.Vzhledem ke kupónovým platbám dělíme obligace na klasické (konečný po-čet kupónových plateb), bezkupónové (neexistují kupónové platby, obligacese chová jako dlouhodobý depozitní certifikát) a na konzoly (nekonečněmnoho kupónových plateb).

Příklady obligací:

• státní obligace - emitovány při deficitu státního rozpočtu, např. po-vodňové dluhopisy v roce 1997

26

• komunální obligace - emitovány při potřebě peněz na straně městskésprávy

• podnikové obligace

9.1 Cena obligace

Cena obligace se vypočítá jako součet všech budoucích plateb diskontova-ných k současnému datu, neboli cena obligace je současná hodnota (PV):

PV =C

1 + i∗+

C

(1 + i∗)2+ · · ·+ C

(1 + i∗)n−1+

C + F

(1 + i∗)n(14)

Úpravou tohoto vztahu a dosazením za C dostaneme stručnější vyjádřenípro cenu obligace:

PV = F

[can|i∗ +

11 + i∗)n

].

Mezi tržní cenou obligace a nominální hodnotou mohou nastat situace:

PV = F právě tehdy, když i∗ = c tzv. prodej za nominální hodnotuPV > F právě tehdy, když i∗ < c tzv. prodej s prémiíPV < F právě tehdy, když i∗ > c tzv. prodej s diskontem

Vztah (14) je použitelný pouze v případě, že cenu obligace počítáme v datu,kdy nastala výplata kupónové platby. Cena obligace odhadovaná datu, kteréleží v období mezi dvěma kupónovými platbami, se vypočte jako součettržní hodnoty a poměrné části kupónové platby naběhlé od poslední minulévýplaty kupónu. Tomuto naběhlému úroku se říká alikvotní úrokový výnos(AUV) a doba, po kterou se tento výnos vyplácí, se nazývá výnosové ob-dobí. Čím více se blížíme k datu výplaty kupónové platby, tím vyšší budetento výnos a s tím souvisí tzv. datum ex-kupon. To je den, počínaje jím aždo nejbližšího budoucího data výplaty kupónu (tzv. ex-období) je obligaceobchodována již bez tohoto kupónu a příslušná platba připadne tomu, kdoobligaci vlastnil před datem ex-kupon. Nový majitel už tedy nemá na tutokupónovou platbu nárok. Místo toho zaplatí za obligaci tržní cenu sníženouo poměrnou část kupónu za dobu od daného data do data výplaty nejbližšíhobudoucího kupónu jako kompenzaci za ušlou kupónovou platbu. U nás bývádatum ex-kupon nejčastěji stanoveno 30 dní před datem výplaty kupónu. Vpraxi se rozlišuje den, v němž byl obchod s obligací uzavřen a den, kdy došlok vypořádání obchodu, tj. zaplacení ceny obligace. Potom výnosové období

27

začíná dnem výplaty posledního minulého kupónu (nebo dnem emise obli-gace, pokud nebyl ještě žádný kupón proplacen) a končí dnem vypořádáníobchodu. Je-li obchod s obligací uzavřen po datu ex-kupon, začíná výno-sové období označované jako záporné výnosové období dnem vypořádáníobchodu a končí dnem výplaty nekbližšího budoucího kupónu.

9.1.1 Výpočet ceny obligace před datem ex-kupon

Celý výpočet má tři kroky:

1. vypočteme ceny PV1, PV2 obligace podle vztahu(14) po řadě k datuposlední minulé a nejbližší budoucí výplaty kupónové platby:

PV1 = F

[can|i∗ +

11 + i∗)n

]

PV2 = F

[can−1|i∗ +

11 + i∗)n−1

]

2. interpolací cen PV1 a PV2 určíme cenu k datu vypořádání obchodu(PV ′), pro počet dní se obvykle používá standard 30E/360:

PV ′ = PV1 +360(R2 −R1) + 30(M2 −M1) +D2 −D1

360(PV2 − PV1),

kde R1M1D1 je datum poslední minulé výplaty kupónu a R2M2D2 jedatum vypořádání obchodu, k němuž počítáme cenu obligace.

3. vypočteme alikvotní úrokový výnos za příslušné výnosové období apřičteme jej k ceně PV ′ získané v kroku 2:

AUV = C360(R2 −R1) + 30(M2 −M1) +D2 −D1

360PV = PV ′+AUV

9.1.2 Výpočet ceny obligace po datu ex-kupon

První a druhý krok výpočtu je zcela stejný jako v předchozím případě, vetřetím kroku vypočteme výši kupónové platby za příslušné záporné výnosovéobdobí a odečteme ji od interpolované ceny získané v kroku 2.

28

9.2 Výnosy z obligace

U obligací se můžeme setkat se třemi druhy výnosů:

1. kupónový výnos rk

rk =C

F

2. běžný výnos rB

rB =C

PV

3. výnos do splatnosti i∗, odhadujeme jej pomocí finančního kalkulátorunebo počítače ze vztahu (14), tj.

PV =C

1 + i∗+

C

(1 + i∗)2+ · · ·+ C

(1 + i∗)n−1+

C + F

(1 + i∗)n

9.3 Durace

Durace je definována jako střední (průměrná) doba života obligace a vypo-čítá se jako vážený průměr všech období, v nichž došlo k výplatě kupónovýchplateb, přičemž váhami zde jsou současné hodnoty všech kupónových pla-teb a v posledním období také diskontovaná nominální hodnota. Duraci tedyvypočteme ze vztahu

D =

∑nj=1 j C

(1+i∗)j +F

(1+i∗)n∑nj=1

C(1+i∗)j +

F(1+i∗)n

.

Pro duraci bezkupónové obligace platí D = n a pro konzolu je durace rovnazlomku 1+i∗

i∗ , který dostaneme limitním přechodem pro n jdoucí k nekonečnu,

Dkonzoly = limn→∞Dn,

kde Dn je durace klasické obligace.

Pomocí durace měříme citlivost změny ceny obligace v závislosti na změněve výnosnosti do splatnosti. Pro vyšetřování citlivosti se používá přibližnývztah

29

∆PV (i∗)PV (i∗)

.= −D∆i∗1 + i∗

,

jehož odvození vychází z Taylorova rozvoje funkce PV (i∗):

PV (i ∗+∆i∗) .= PV (i∗) + 11!

dPV (i∗)di∗

∆i∗ (15)

dPV (i∗)di∗

=−C

(1 + i∗)2+

−2C(1 + i∗)3

+ · · ·+ −n(C + F )(1 + i∗)n+1

dPV (i∗)di∗

(−1)(1 + i∗) = C

1 + i∗+

2C(1 + i∗)2

+ · · ·+ n(C + F )(1 + i∗)n

−dPV (i∗)di∗

1 + i∗PV (i∗)

=C1+i∗ +

2C(1+i∗)2 + · · ·+

n(C+F )(1+i∗)n

PV (i∗)= D

dPV (i∗)di∗

= −DPV (i∗)1 + i∗

Dosadíme do vztahu (15)

PV (i ∗+∆i∗) .= PV (i∗) + 11!(−D)

PV (i∗)1 + i∗

∆i∗

PV (i ∗+∆i∗)− PV (i∗) .= −DPV (i∗)1 + i∗

∆i∗

∆PV (i∗)PV (i∗)

.= −D∆i∗1 + i∗

.

10 Akcie

Akcie je dlouhodobý cenný papír obchodovatelný na kapitálovém trhu, snímž jsou spojena práva majitele

• podílet se na řízení akciové společnosti (účast a hlasování na valnéhromadě, právo kontroly)

• na zisk společnosti (rozdělený do dividend)

30

• na podíl likvidačního zůstatku při zániku společnosti

• přednosti na nákup nových (mladých) akcií (předkupní nebo odběrníprávo)

Majitel akcie (akcionář) není věřitelem tak jako v případě majitele obligace,nýbrž spoluvlastníkem celé akciové společnosti.

Nominální hodnota akcie je podíl na majetku akciové společnosti vyjádřenývlastnictvím akcie. S nominální hodnotou souvisí pojem základní jmění (zá-kladní kapitál), které je dáno součtem nominálních hodnot všech prodaných(upsaných) akcií. Nadřazenějším pojmem je vlastní jmění, v němž je zahr-nuto základní jmění, emisní ažio (kladný rozdíl mezi tržní cenou a nominálníhodnotou akcie při její emisi), fondy ze zisku a nerozdělený zisk (nepoužitýna fondy nebo dividendy), který bývá obvykle převeden do dalšího období.Potřebné finanční zdroje (úvěry) akciové společnosti tvoří cizí jmění (kapi-tál). Vzhledem k tomu, že výplata dividend závisí na hospodaření společnostia není tedy předem zaručena, řadíme akcie mezi dlouhodobé cenné papíry snezaručeným výnosem.

Emise akcií je jejich umístění na kapitálovém trhu, a to buď formou veřejnénabídky prodeje akcií nebo neveřejného prodeje (pro omezený počet inves-torů). Pokud jde o veřejnou nabídku prodeje, pak existují možnosti prodejeaukcí (dražbou) nebo tenderem (veřejná soutěž s nastavenou minimální ce-nou, která je investory zvyšována, ale k prodeji dojde jen tehdy, sejde-li senabídka s poptávkou).

Příklady akcií:

• obyčejná (kmenová) akcie - klasická, s výše uvedenými právy

• prioritní akcie - může být bez hlasovacího práva, ale se stanovenouvýší dividendy (v případě, že společnost vykazuje zisk); výplata takovédividendy stojí hned za splácením úvěru a výplatou kupónových platebz obligací emitovaných společností

• zaměstnanecká akcie - musí znít na konkrétní jméno majitele a můžebýt předávána pouze mezi zaměstnanci společnosti

10.1 Cena akcie

Cena akcie je tržní hodnota, za kterou je obchodována na kapitálovém trhupodle aktuálního stavu nabídky a poptávky. Někdy se též používá termínukurz akcie, jeho hodnota je však stejná jako hodnota ceny. Cenu akcie ovliv-ňují různé faktory, především prosperita akciové společnosti, kvalita jejíhořízení, perspektiva daného oboru do budoucna, politická situace atd. Kromětěchto faktorů hraje důležitou roli také psychologie investorů.

31

Stanovením ceny akcie se zabývají metody fundamentální analýzy, technickéanalýzy a psychologické analýzy. Fundamentální analýza vychází z předpo-kladu, že na kapitálovém trhu jsou dostupné všechny informace důležité proodhad kursů a chování akcií. Výsledkem této analýzy je výpočet vnitřníhodnoty akcie, jakožto její správné ceny. Technická analýza zase vycházíz výzkumu vývoje kurzů a objemu obchodů na kapitálovém trhu, technici(chartisté) se snaží v těchto záznamech identifikovat určité trendy a speci-ální formace a pomocí nich pak předpovídat vývoj cen akcií v krátkém ob-dobí. Psychologická analýza je založena na analýze chování investorů. Nížeuvedené modely pro stanovení ceny akcie budou z oblasti fundamentálníanalýzy.

10.2 Dividendový diskontní model

V tomto modelu je vnitřní hodnota akcie odhadována jako součet všech dis-kontovaných budoucích plateb, tj. dividend a výnosu z prodeje akcie. Obecněpředpokládáme, že výše dividendy vyplacená na konci jednotlivých roků nenístejná. Vnitřní hodnota (V H) akcie, u níž byly dividendy vypláceny po dobun let a na konci n-tého roku byla akcie prodána, vypadá

V H =D11 + i

+D2

(1 + i)2+ · · ·+ Dn + Pn

(1 + i)n

V H =n∑

j=1

Dj

(1 + i)j+

Pn

(1 + i)n.

kde D1, . . . , Dn jsou vyplacené dividendy za jednotlivé roky a i je úrokovámíra v rámci investic se srovnatelnými parametry. Budeme-li uvažovat ne-konečné vyplácení dividend, dostaneme pro vnitřní hodnotu akcie vztah

V H =D11 + i

+D2

(1 + i)2+ · · · =

∞∑j=1

Dj

(1 + i)j.

Je-li výše dividendy neměnná, tj. D1 = D2 = · · · = D, platí

V H =D

1 + i+

D

(1 + i)2+ · · · = D

i.

10.2.1 Modely růstu

U těchto modelů předpokládáme, že dividendy vykazují konstantní temporůstu, tj.

32

Dj = Dj−1(1 + g),

kde g je míra růstu. Nechť D1 = D0(1+ g). Vnitřní hodnota akcie pak budemít tvar

V H =D0(1 + g)1 + i

+D0(1 + g)2

(1 + i)2+ · · · = D0(1 + g)

i− g=

D1i− g

.

Ve výpočtu výše byl hledán součet nekonečné geometrické řady, pro jehožexistenci je nutné udat podmínku, a to i > g. Při splnění této podmínkyexistuje též vnitřní hodnota akcie.

Obecnějším růstovým modelem je dvoustupňový dividendový diskontní mo-del. Zde předpokládáme, že tempo růstu dividend je g1 v prvních n letech,poté se změní na g2. Odvození vnitřní hodnoty je provedeno přes vyjádřeníceny akcie na konci n-tého roku Pn jakožto současné hodnoty vyplácenýchdividend na konci roku n+ 1, n+ 2,. . .

V H =D0(1 + g1)1 + i

+D0(1 + g1)2

(1 + i)2+ · · ·+ D0(1 + g1)n

(1 + i)n+

Pn

(1 + i)n

V H =D1

i− g1

[1−

(1 + g11 + i

)n]+

Pn

(1 + i)n. (16)

Tady zatím skončíme. Nyní vyjádříme cenu akcie Pn jako součet diskonto-vaných dividend vyplácených v budoucích letech. Jejich tempo růstu budeg2.

Pn =Dn(1 + g2)1 + i

+Dn(1 + g2)2

(1 + i)2+ · · · =

=Dn(1 + g2)

i− g2=

D0(1 + g1)n(1 + g2)i− g2

Pn =D1(1 + g1)n−1(1 + g2)

i− g2.

Získaný výsledek platí za podmínky i > g2 ze stejných důvodů jako v před-chozím modelu. Tento výsledek dosadíme do vztahu (16) do Pn a dostaneme.

V H = D1

1−(1+g11+i

)n

i− g1+(1 + g1)n−1(1 + g2)(i− g2)(1 + i)n

.

33

Vedle dvoustupňového modelu existuje ještě třístupňový model, který sepoužívá v případě náhlého skoku v míře růstu. Do modelu se pak vložímezifáze postupného poklesu z hodnoty g1 v čase T1 na hodnotu g2 v časeT2.

10.3 Ziskový model

V tomto modelu hraje důležitou úlohu P/E poměr (price/earnings ratio),poměr ceny akcie k jednotkovému zisku. Je to jeden z ukazatelů souvisejícíchs akciovými kurzy, který můžeme interpretovat jako dobu, za kterou se akciezaplatí.Základem pro tento model je tzv. normální poměr P/E, ozn. (P/E)norm, cožje odhad průměrné hodnoty poměru. Pro odhad vnitřní hodnoty pak platí

V H1 = (P/E)norm.E1,

kde E1 je odhad očekávaného zisku v příštím roce. Základní metodou odhadunormálního poměru je dividendový diskontní model s konstatním růstem.Pro hodnotu poměru platí

(P/E)norm =d1

i− g,

kde d1 je tzv. výplatní poměr (poměr výše dividendy na jednu akcii a jed-notkového zisku po zdanění), v tomto případě odhadnutý pro příští rok, tj.d1 = D1

E1. Normální poměr se také odhaduje pomocí metod matematické

statistiky nebo srovnáním s tržním P/E poměrem.

10.4 Předkupní právo a jeho cena

V úvodu kapitoly o akciích bylo uvedeno, že s vlastnictvím akcií je spo-jeno, mimo jiné, předkupní (odběrní) právo na mladé akcie. Toto právo býváuplatněno v době, kdy dochází ke zvyšování základního jmění (kapitálu)akciové společnosti. Navýšení základního jmění se nejčastěji řeší emisí no-vých (mladých) akcií, na jejichž nákup mají stávající akcionáři přednostníprávo. S jednou drženou akcií je spojeno obvykle jedno právo. Na nákupjedné mladé akcie však jedno předkupní právo nestačí, počet práv je dánupisovacím poměrem, což je poměr základního jmění a navýšení základníhojmění. S těmito právy pak akcionář obdrží mladé akcie za tzv. upisovacícenu, která bývá o něco nižší než tržní cena. Také s mladou akcií je spojenojedno předkupní právo, ale jen určitou dobu, kterou uzavírá datum-ex před-kupní právo, zkráceně ex-datum. Tímto dnem počínaje se akcie prodávají

34

již bez předkupního práva, to se obchoduje samostatně. Z toho však plyne,že i předkupní právo má svoji cenu v závislosti na tom, jestli už ex-datumnastalo či ne.

Cena práva v době před ex-datemOdvození ceny vychází z následující úvahy: investor má dvě možnosti, buďkoupit mladou akcii za tržní cenu PVpřed nebo koupit patřičný počet práva mladou akcii za upisovací cenu. V době před ex-datem se tyto mladé akcieprodávají ještě včetně jednoho budoucího předkupního práva. Tato úvahase matematicky zapíše takto:

PVpred = NR+ S +R, (17)

kde N je upisovací poměr, S upisovací cena a R cena předkupního práva.Cenu práva získáme vyjádřením R z rovnice výše:

R =PVpred − S

N + 1.

Cena práva v době po ex-datuV této době se mladé akcie již neprodávají s nárokem na předkupní právo,proto se rovnice (17) zjednoduší na tvar

PVpo = NR+ S. (18)

Vyjádřením R z rovnice dostaneme opět cenu práva

R =PVpo − S

N.

V rámci akciové společnosti je možné stanovit, že v roce, v němž došlo knavýšení základního jmění, již nebudou vyplaceny dividendy (D). Tento faktmůže být zohledněn i v rovnicích (17), (18) způsobem

PVpred = NR+ S +R+D

PVpo = NR+ S +D,

takže pro cenu práva v době před a po ex-datu budou

R =PVpred − S −D

N + 1

R =PVpo − S −D

N.

35

Teď předpokládejme, že akcionář nebude chtít vkládat další kapitál do mla-dých akcií. Rozhodne se prodat určitý počet předkupních práv a za získanépeníze pak koupí odpovídající počet mladých akcií. Označme počet proda-ných práv x a počet všech práv k. Pak platí

Rx =k − x

NS

x =Sk

NR+ S

Hodnotu x je nutno zaokrouhlit tak, aby číslo k−x bylo dělitelné upisovacímpoměrem.

10.5 Výnos z akcií

Rozlišujeme dvojí výnos z akcií:

1. dividendový výnos (běžný výnos)

rB =D

P0,

kde D je výše dividendy a P0 tržní cena, za niž byla akcie koupena.

2. akciový výnos (celkový výnos)

rC =P1 − P0 +D

P0

nebo v případě, že je uplatněno předkupní právo

rC =P1 − P0 +D +R

P0,

kde P0 tržní cena, za niž byla akcie koupena a P1 tržní cena, za nižbyla akcie prodána. Celkový výnos popisuje výnos za dobu držení ak-cie omezenou datem nákupu akcie a datem jejího prodeje. Pro lepšíorientaci se však celkový výnos přepočítává na roční bázi, a to pomocíjednoduchého úročení a pomocí složeného úročení. První možnost vy-chází z přepokladu, že počáteční kapitál P0 můžeme po celý rok opa-kovaně investovat s tím, že získané výnosy již znovu neinvestujeme.Přepočet pomocí složeného úročení, naopak, předpokládá opakovanéinvestování nejen počátečního kapitálu, ale i výnosů. Oba vztahy procelkový výnos na roční bázi jsou uvedeny níže:

36

rjCp.a. =

P1 − P0 +D

P0n

rsCp.a. =

(P1 +D

P0

) 1n

− 1

Výnos z dividend stejně jako kapitálový výnos (výnos z prodeje ak-cií) bývá zdaněný příslušnou daňovou sazbou. Je-li dD daňová sazbapro dividendy a dK sazba pro kapitálový výnos, dostaneme pro čistýakciový (celkový) výnos vztah

rC =(P1 − P0)(1− dK) +D(1− dD)

P0.

11 Termínové obchody

Obchody, jejchž předmětem jsou především cenné papíry, úrokové míry, mě-nové kurzy nebo komodity, můžeme dělit podle časového hlediska na ob-chody promptní (spotové), tj. takové, jejichž vyřízení netrvá déle než třidny, a forwardové (budoucí), tzv. forwardové kontrakty, které jsou uzavřenyokamžitě, ale k jejich vyřízení dochází až za určitou, předem dohodnutoudobu (obvykle ne delší než jeden rok).

Forwardový kontrakt je definován jako smlouva mezi dvěma partnery o bu-doucím nákupu či prodeji určitého zboží s tím, že v okamžiku uzavřenísmlouvy jsou závazně sjednány všechny podmínky jednoznačně vymezujícíbudoucí obchod, které nelze měnit bez vzájemného souhlasu obou stran. Po-kud jde o obchodní podmínky, jedná se především o druh a množství zboží,termín budoucího obchodu a budoucí cenu zboží, tzv. termínovou cenu.Důvody, které vedou obchodní partnery k uzavírání forwardových kontraktů,spočívají jednak v zajištění se proti nepříznivému vývoji cen, jednak v mož-nosti realizovat bezrizikový zisk formou arbitráže. Zajišťovací důvody souvisíse spekulací na pohyb cen. Např. očekává-li se zdražení určité cizí měny,můžeme tuto měnu teď nakoupit a zároveň uzavřít forwardový kontrakt naprodej této měny za dohodnutou termínovou cenu. Bude-li v době prodejekurz cizí měny nižší než termínová cena, znamená to pro nás zisk, v opač-ném případě ztrácíme. Arbitráž je taková situace na trhu, kdy v případěprovedení určité transakce existuje možnost provést jinou transakci založe-nou na prodeji a následném nákupu (nebo opačně) za podmínek sjednanýchve forwardovém kontraktu, přičemž výnosnosti (ceny) obou transakcí mohoubýt různé. V případě, že se rozhodneme pro takovou transakci, u níž budenakonec výnosnost větší, realizujeme zisk na základě rozdílu ve výnosnos-tech (cenách) obou transakcí. Tento zisk bývá označován jako bezrizikový.

37

Kdyby na trhu možnost arbitráže neexistovala, byly by výnosy z obou trans-akcí stejné.Při uzavírání forwardových kontraktů se obchodní partneři opírají pouzeo předpovědi cenového vývoje, protože není v silách člověka přesně určitbudoucí hodnoty cen, úrokových měr nebo kurzů. Z tohoto hlediska patřítermínové obchody do skupiny investic s vysokým rizikem.V následujících podkapitolách budou odvozeny termínové ceny pro forwar-dové kontrakty týkající se měnových kurzů, úrokových měr a ceny akcie.Budeme přitom vždy předpokládat, že na trhu neexistuje arbitráž. Výslednétermínové ceny pak můžeme považovat za ”spravedlivé”.

11.1 Forwardové kontrakty na měnové kurzy

Předmětem těchto obchodů je nákup nebo prodej zahraniční měny ve stano-veném množství, realizovaný ve sjednaném termínu podle dohodnutého bu-doucího kurzu, tzv. termínového měnového kurzu. Termínový měnový kurzbývá odvozen z hodnot aktuálního měnového kurzu a z hodnot úrokovýchměr pro domácí a cizí měnu.

Předtím, než začneme odvozovat, zastavím se u pojmu měnový kurz. Mě-nový kurz je poměr, v němž se směňují dvě různé měny, obvykle cizí a do-mácí, a který tedy vyjadřuje cenu jedné měny pomocí druhé měny. Měnovýkurz bývá rozlišován pro devizy (bezhotovostní cizí měna v podobě zůstatkuna účtu, v podobě směnky či šeku) a pro valuty (bankovky a mince v cizíměně), pak mluvíme o devizovém a valutovém kurzu. Stanovení (kotace)kurzů může být dvojí:

• přímá kotace, kdy kurz udává, kolik stojí jednotka cizí měny v měnědomácí, např. 31,030 CZK/EUR,

• nepřímá kotace, kdy kurz udává, kolik stojí jednotka domácí měny vměně cizí, např. 1/31,030 EUR/CZK = 0,032 EUR/CZK.

U kurzů bývá také uvedeno, zda se vztahují na nákup cizí měny bankounebo na její prodej bankou, potom rozlišujeme kurz nákup (bid) nebo kurzprodej (ask, offer). Někdy se používá kurz střed, který je roven aritmetic-kému průměru kurtu pro nákup a prodej. Rozdíl mezi kurzem pro nákup aprodej bývá označován jako spread (rozpětí).

Termínový měnový kurz (TK) pro nákup zahraniční měny se vypočte podlevztahu

TKNCZK/EUR = AKN

CZK/EUR

1 + iCZKT

1 + iEURT,

38

kde AKNCZK/EUR je aktuální měnový kurz, iCZK je úroková míra pro ko-

runový vklad, iEUR je úroková míra pro účet v eurech a T je doba meziuzavřením a vypořádáním obchodu v letech. Odvození vztahu spočívá v ná-sledující úvaze:V čase t=0 máme tolik korun, kolik je jich potřeba na nákup jednoho euradle aktuálního kurzu AKN

CZK/EUR. Tuto částku ponecháme na účtu s úro-kovou mírou iCZK po dobu T , na konci této doby pak bude hodnota částkyrovna AKN

CZK/EUR(1 + iCZKT ) Kč. Druhou možností je prodat koruny

v čase t=0 za eura podle kurzu AKNCZK/EUR, tj. máme nyní jedno euro,

které uložíme na účet s úrokovou mírou iEUR a držíme na tomto účtu podobu T . Na konci této doby činí hodnota jednoho eura 1 + iEURT , což je(1 + iEURT )TKN

CZK/EUR korun. Aby nemohlo dojít k arbitráži, musí se

výrazy AKNCZK/EUR(1 + iCZKT ) a (1 + iEURT )TKN

CZK/EUR sobě rovnat,tj.

AKNCZK/EUR(1 + iCZKT ) = (1 + iEURT )TKN

CZK/EUR

a odtud

TKNCZK/EUR = AKN

CZK/EUR

1 + iCZKT

1 + iEURT.

Termínový měnový kurz pro prodej se odvodí obdobným způsobem. Dosta-neme vztah

TKPCZK/EUR = AKP

CZK/EUR

1 + iCZKT

1 + iEURT.

11.2 Swapový kontrakt

Swapový kontrakt vzniká kombinací aktuálního a forwardového kontraktu.Jde o okamžitý prodej jedné měny za druhou s následným zpětným odkou-pením ve sjednaném budoucím termínu při dohodnutém kurzu. Rozdíl mezitermínovým a aktuálním kurzem se nazývá swapová sazba a vyjadřuje, kolikmůžeme jedné měny získat nebo ztratit na každou jednotku druhé měny. Proswapovou sazbu Sw platí:

Sw = TKA/B −AKA/B = AKA/B(iA − iB)t1 + iBt

,

nebo

39

Sw = TKA/B −AKA/B = AKA/B(pA − pB)k360001 + pBk

,

kde k je počet dní, pA a pB jsou úrokové míry vyjádřené v procentech zarok. Je zřejmé, že hodnoty swapové sazby mohou být kladné nebo záporné.Je-li

• Sw > 0, což nastane právě tehdy, když iA > iB, říkáme, že termínovýkurz má prémii

• Sw < 0, což nastane právě tehdy, když iA < iB, říkáme, že termínovýkurz má diskont.

Swapovou sazbu lze rovněž vyjádřit na roční bázi, tj. v procentech p.a. . Tatoswapová sazba je pak definována jako rozdíl mezi výnosností výše uvedenéhoswapového kontraktu a úrokovou mírou v měně B. Označme KT0 počátečníkapitál v měně A, který bude v čase T0 směněn za měnu B, držen v tétoměně až do doby T1 a v čase T1 zpětně směněn do měny A. Kapitál KT1 včase T1 bude mít hodnotu

KT1 =KT0

AKA/B(1 +

pB

100k

360)TKA/B,

kde pB je úroková míra v měně B, k je počet dní. Teď uvažujme pouzečástky KT0 a KT1, obě v měně A. Obecně lze říci, že je-li částka KT0 inves-tovaným počátečním kapitálem a částka KT1 získaným kapitálem z prodejeinvestice za dobu KT0 dní, představuje příslušná úroková míra výnosnosttéto investice. Podle principu jednoduchého úročení platí:

KT1 = KT0(1 +p′100

k

360) (19)

a z toho pro p′ dostaneme

p′ =(KT1

KT0− 1)100.360

k.

Dosadíme za KT1 ze vztahu 9190:

p′ =(

KT0(1+p′100

k360 )

KT0− 1)100.360

k.

40

Pro swapovou sazbu na roční bázi pSw platí:

pSw = p′ − pB,

dosazením za p′ dostaneme vztah

pSw =Sw(36000 + pBk)

kAKA/B.

Přičteme-li zpět úrokovou míru pB ke swapové sazbě pSw, získáme míruvýnosnosti p′ termínového swapového kontraktu. Porovnáním této míry vý-nosnosti a úrokové míry pro měnu A zjistíme, zda je výhodnější držet kapitálKT0 v měně A nebo jej prodat za měnu B a v budoucím termínu opět koupitza měnu A.

11.3 Křížové kurzy

Křížovými kurzy budeme rozumět kurzy cizích měn vypočtené z kurzů do-mácí měny vůči těmto cizím měnám. Uvažujme aktuální kurzy AKCZK/EUR

a AKCZK/USD. Chceme odvodit křížový kurz AKUSD/EUR, tedy zajímá nás,kolik dolarů bude stát jedno euro. Z daného kurzu AKCZK/USD je zřejmácena jednoho dolaru v korunách. Potom jedna koruna stojí

1CZK =1

AKCZK/USD

dolarů. Dále známe cenu jednoho eura v korunách (viz kurz AKCZK/EUR).Jedno euro pak bude stát

1AKCZK/USD

AKCZK/EUR

dolarů, neboli pro křížový kurz AKUSD/EUR bude platit

AKUSD/EUR =AKCZK/EUR

AKCZK/USD.

Křížové kurzy, stejně jako aktuální nebo termínové, mohou být specifikoványpro nákup nebo prodej. Chybí-li tato specifikace, pracujeme s kurzy střed.Pro kurz AKN

USD/EUR (nákup) platí

41

AKNUSD/EUR =

AKNCZK/EUR

AKPCZK/USD

.

Odvození tohoto křížového kurzu pro nákup eur za dolary vychází z násle-dující úvahy: prodám bance jedno euro dle aktuálního kurzu AKN

CZK/EUR,tj. banka nakupuje jedno euro, proto kurz pro nákup a dostanu za něj odpo-vídající částku v korunách. Tyto koruny prodám jiné bance za dolary podlekurzu AKP

CZK/USD, tj. tato banka prodává dolary, proto kurz prodej a do-stanu odpovídající množství dolarů, které rovněž odpovídá jednomu euru.Při odvozování křížového kurzu AKP

USD/EUR je potřeba si uvědomit, že

AKPUSD/EUR =

1

AKNEUR/USD

.

Odvození se tedy provede pro kurz AKNEUR/USD stejným způsobem jako v

předchozím případě s tím, že hodnota kurzu AKNEUR/USD se převrátí.

11.4 Termínová úroková míra

Termínová úroková míra se týká budoucích vkladů či půjček, které jsousjednány v rámci forwardových kontraktů. Při jejím odvození vyjdeme zedvou investičních možností:

1. uložíme (půjčíme si) kapitál K0 při úrokové míře i na celou dobu t

2. uložíme (půjčíme si) tentýž kapitál při úrokové míře i1 na obdobít1, (t1 < t) a zároveň uzavřeme forwardový kontrakt na budoucí vklad(půjčku) na období t2, (t2 < t) při termínové úrokové míře i2,t1 + t2 = t

Za předpokladu, že nelze provádět arbitráž, by měly být obě investiční va-rianty stejně výhodné, tj. na konci doby t by budoucí hodnota počátečníhokapitálu K0 měla být stejná pro obě investiční možnosti. Budoucí hodnotaKt kapitálu K0 v prvním případě je rovna

Kt = K0(1 + it),

zatímco budoucí hodnota téhož kapitálu v rámci druhé investiční variantybude vypadat

Kt = K0(1 + i1t1)(1 + i2t2).

42

Termínovou úrokovou sazbu potom vypočítáme tak, že porovnáme pravéstrany výše uvedených vztahů, tj.

K0(1 + it) = K0(1 + i1t1)(1 + i2t2)

a odtud vyjádříme proměnnou i2

i2 =1+it1+i1t1

− 1t2

. (20)

Uvedeme-li úrokové míry přímo v procentech (místo i, i1, i2 bude p, p1, p2) auvedeme-li jednotlivá časová období ve dnech, tj. t = k

360 , t1 =k1360 , t2 =

k2360 ,

bude mít vztah (20) tvar

p2 =(pk − p1k1)36000(36000 + p1k1)k2

.

11.5 Termínová cena cenného papíru

Při odvozování této termínové cena vyjdeme opět ze dvou investičních vari-ant:

1. v čase T1 uložíme kapitál P na účet s úrokovou mírou i a držíme jejaž do doby T1

2. v čase T0 koupíme za tentýž kapitál cenný papír a zároveň uzavřemeforwardový kontrakt na prodej tohoto cenného papíru za termínovoucenu FP k termínu T1. Během doby držby nám mohou plynout výnosyV z cenného papíru, např. dividendy, kupónové platby, úroky.

Výpočet termínové ceny vychází opět z předpokladu nemožnosti arbitráže,takže výše kapitálu v čase T1 musí být v obou investičních případech stejná:

T0(1 + it) = FP + V,

kde t je délka období od T0 do T1 v letech. Odečtením výnosů z pravé stranydostaneme pro termínovou cenu vztah

FP = T0(1 + it)− V. (21)

Vyjádříme-li opět úrokovou míru v procentech a dobu t ve dnech, změní sevztah (21) na

43

FP = T0(1 +p

100k

360)− V.

11.6 Futures

Futures neboli termínové kontrakty jsou forwardové kontrakty ve standar-dizované podobě, což znamená, že obchodník si pro svoje obchodní účelyvybírá z předem stanovené nabídky termínových kontraktů a nemůže si tedyse svým partnerem dohodnout vlastní podmínky pro budoucí obchod. Tatostandardizace pak vede k tomu, že termínové kontrakty jsou samy předmě-tem obchodu, který zpravidla vyřizuje centrální zprostředkovatel (clearinghouse). Důvody, proč se s futures obchoduje, jsou především spekulační azajišťovací, tedy v podstatě stejné jako u forwardových kontraktů. Zde jevšak navíc možnost se např. v případě nepříznivého vývoje cen z kontraktuvyvázat následujícím způsobem:

• vlastníme kontrakt na prodej určitého zboží v daném množství za sta-novenou cenu

• podaří se nám koupit kontrakt na nákup téhož druhu a množství zbožíza nižší cenu,

takže se nacházíme zároveň v prodejní i nákupní pozici, ze které nás můžezprostředkovatel vyvázat a v tomto případě ještě vyplatí zisk z cenovéhorozdílu daného zboží. Počet takových nevyvázaných obchodů se v obchodníterminologii označuje jako open interest a bývá obvykle zveřejován v nabíd-kách termínových kontraktů.

11.7 Opce

Opce je odvozený cenný papír (finanční derivát), jehož majitel (kupce opce)má právo, nikoli však závazek koupit nebo prodat zboží, k němuž se opceváže, za předem stanovenou prováděcí cenu. Na druhé straně prodejce opceje vždy povinnen splnit příkaz ze strany kupce. Říkáme, že kupce opce jeve volné pozici (long-position), protože má právo volby, zatímco prodejceopce je v těsné pozici (short-position). Jestliže kupec opce smí opci uplatnitpouze v jediný den, tzv. den platnosti opce, mluvíme o evropské opci, může-li být opce uplatněna kdykoli do jejího data platnosti, je řeč o americkéopci. V dalším textu budu pracovat výhradně s opcí evropskou, která budedefinována pro nákup (call option) nebo pro prodej (put option) akcie.

Majitel (kupce) kupní opce má právo se rozhodnout, zda opci uplatní a koupíakcii za prováděcí cenu (X) nebo nekoupí. Jeho rozhodnutí bude záviset na

44

vývoji kurzu dané akcie. Je-li možné spekulovat na růst kurzu tak, že tržnícena akcie (S) bude vyšší než prováděcí, rozhodne se nejspíše opci uplatnit.Jeho zisk (Z) pak můžeme vyjádřit jako kladný rozdíl mezi tržní a prováděcícenou akcie snížený o cenu teto kupni opce (c), tj.

Z = max(0, S −X)− c.

Naopak, majitel (kupce) prodejní opce se rozhodne opci uplatnit v případě,že prováděcí cena akcie (X) bude vyšší než cena tržní (S). Zisk pak vyjá-dříme opět jako kladný rozdíl mezi oběma cenami snížený o cenu prodejníopce (p), tj.

Z = max(0, X − S)− p.

Oba vztahy pro zisk kupce opcí vyjadřují současně ztrátu prodejce opcí,zisk prodejce činí nejvýše tolik, kolik je cena opce a ta bývá obvykle několikprocent z tržní ceny akcie.

Cena opce se stanovuje podle Black-Scholesova vzorce, jehož odvození vy-chází z náhodného charakteru chování kurzů akcií.

Black-Scholesův vzorec pro cenu kupní opce (call):

cT−t = ST−tΦ(d1)−Xe−itΦ(d2),

d1 =ln(ST−t/X) + (i+ σ2/2)t

σ√

t

d2 =ln(ST−t/X) + (i− σ2/2)t

σ√

t= d1 − σ

√t,

kde cT−t je cena kupní opce v čase T − t, ST−t je tržní cena akcie v časeT − t, X je prováděcí cena akcie, i je úroková míra bezrizikové investice(např. vklad v bance), σ je směrodatná odchylka výnosnosti akcie a Φ(.) jedistribuční funkce standardizovaného normálního rozdělení N(0, 1).

Black-Scholesův vzorec pro cenu prodejní opce (put):

pT−t = Xe−itΦ(−d2)− ST−tΦ(−d1),

kde pT−t je cena prodejní opce v čase T − t.

Investor může vytvářet též kombinace opcí nebo kombinace opcí a akcií vět-šinou s cílem zajistit se proti ztrátě z investice. Vhodnou kombinací je např.

45

spread, který spočívá v nákupu a prodeji stejného počtu kupních (prodej-ních) opcí s různými prováděcími cenami. Příkladem je

• bullish spread (býčí spread) - nákup kupní opce s prováděcí cenou X1a současně prodej kupní opce s prováděcí cenou X2, přičemž X1 < X2.

• bearish spread (medvědí spread) - nákup prodejní opce s prováděcí ce-nou X1 a současně prodej prodejní opce s prováděcí cenou X2, přičemžX1 > X2

• butterfly spread (motýlí spread) - nákup kupní opce s prováděcí cenouX1, prodej dvou kupních opcí s prováděcí cenou X2 a nákup kupníopce s prováděcí cenou X3, přičemž X1 < X2 < X3.

12 Základy teorie portfolia

Portfolio ve finanční terminologii znamená soubor různých investic, např.cenné papíry, hotovost, vklady u banky, nemovitosti . . ., které investor vy-tváří za účelem rozložit riziko spojené s investováním a současně maximali-zovat zisk z těchto investic. Moderní teorie portfolia má své základy v článkuJ.R. Hickse s názvem ”Application of Mathematical Methods to the Theoryof Risk” z roku 1934, v němž autor poukazuje na využití teorie pravděpo-dobnosti při investičním rozhodování. Za počátek teorie portfolia však bývápovažován článek H. Markowitze z roku 1952 s názvem ”Portfolio selection”.V něm autor předpokládá, že investor má k dispozici určitý kapitál, kterýinvestuje např. do cenných papírů na počátku předem zvoleného časovéhoobdobí, na jeho konci tyto cenné papíry prodá a výnos z nich použije provlastní spotřebu nebo je reinvestuje, tzn. že získané prostředky znovu inves-tuje. Na investování Markowitz pohlíží jako na aktivitu, při níž si investorvybírá mezi investicemi s různými očekávanými výnosy a s různou mírourizika, že těchto výnosů nedosáhne. Při rozhodování mu nezbývá nic jinéhonež zvolit kompromis mezi těmito dvěma kritérii, přičemž důležitou úlohuhraje také jeho postoj k finančnímu riziku.

Důvod vytváření portfolia spočívá především ve zhodnocení kapitálu, v kraj-ním případě aspoň v udržení jeho hodnoty a v rozložení rizika nedosaženíočekávaného výnosu. Při vhodné skladbě portfolia je možné dosáhnout toho,že riziko celého portfolia bude nižší než rizika jednotlivých investic, čemuž seodborně říká diverzifikace portfolia. Kombinací různých typů investic (např.akcie a finanční deriváty) lze též dosáhnout zajištění jeho hodnoty proti kle-sajícím cenám či jiným nepříznivým podmínkám. Při spekulaci na pokles cenněkterých cenných papírů má investor možnost zahrnout do portfolia takécenné papíry, které si se souhlasem jejich majitele vypůjčí za účelem jejichprodeje a následného nákupu za výhodnější cenu. Investor tak v případě, že

46

ceny skutečně poklesnou, realizuje zisk. Celá operace spojená s půjčovánímcenných papírů má název krátký prodej (sell short).Pro jednoduchost dále předpokládejme, že investor hodlá svůj kapitál inves-tovat pouze do cenných papírů. V klasických modelech teorie portfolia bývávýnos z cenného papíru popsán náhodnou veličinou. Jeho střední hodnotaudává očekávaný výnos, tj. takový, který můžeme v případě dobře fungují-cího trhu v nejbližší době (ne delší než jeden rok) v podstatě očekávat a jehorozptyl je druhou mocninou rizika, že očekávaného výnosu nedosáhneme.Riziko cenného papíru je tedy kvantifikováno pomocí směrodatné odchylky,která spolu s očekávaným výnosem tvoří základní charakteristiky nezbytnépro práci s investicemi. Existují dva způsoby, kterými lze odhadnout tytozákladní charakteristiky odhadnout:

1. způsob ex post

2. způsob ex ante

Při aplikaci prvního z obou způsobů vycházíme z historických dat, vypočí-táme tedy průměrný výnos za určité minulé období a odpovídající směro-datnou odchylku pro každý cenný papír. Vycházíme přitom z předpokladu,že očekávaný výnos z portfolia za dobu jeho trvání vznikne jako součetkrátkodobých výnosů, které jsou v průměru stejné, jako byly v době předsestavením portfolia. Pro očekávaný výnos R cenného papíru platí

R =1T

T∑t=1

rt,

kde rt je jednodenní, příp. vícedenní kapitálový výnos určený podle vzorce

rt =Pt − Pt−1

Pt−1, t = 1, . . . , T.

Hodnoty Pt−1 a Pt označují uzavírací ceny cenného papíru ve dnech t− 1 at. Riziko vypočítáme jako směrodatnou odchylku od hodnoty R, tj.

σ =

√√√√ 1T − 1

T∑t=1

(rt −R)2.

Pokud jde o druhý přístup kvantifikace základních charakteristik - ex ante,vycházíme zde z budoucích odhadů pravděpodobností pro určité hodnotyočekávaného výnosu. Potom tedy platí

47

R =m∑

i=1

ripi,

kde m značí počet odhadovaných hodnot nebo počet expertů, z nichž každýuvede jeden odhad spolu s pravděpodobností. Pro riziko získané přístupemex ante platí

σ =

√√√√ n∑i=1

(ri −R)2pi.

Pro portfolio složené z n cenných papírů se rovněž zjišťují základní cha-rakteristiky. Očekávaný výnos portfolia je váženým průměrem očekávanýchvýnosů jednotlivých cenných papírů s tím, že váhy jsou relativními podílytěchto cenných papírů na portfoliu, součet vah je roven jedné. Riziko port-folia se měří pomocí kovarianční matice, protože obecně výnosy z cennýchpapírů nemusí být vzájemně nezávislé náhodné veličiny.

Očekávaný výnos portfolia Rp:

Rp =n∑

j=1

Rjxj

Riziko portfolia σp:

σp =

√√√√ n∑j=1

n∑k=1

σjkxjxk

Kovarianční matici je možno přepočítat na korelační matici, kde hodnotykorelačních koeficientů ρjk mají v oblasti investování následující interpre-tace:

• je-li korelační koeficient ρjk blízko jedné, znamená to, že roste-li vý-nosnost j-tého cenného papíru, poroste výnosnost i k-tého cennéhopapíru stejným tempem

• je-li korelační koeficient ρjk blízko minus jedné, znamená to, že roste-li výnosnost j-tého cenného papíru, klesá výnosnost k-tého cennéhopapíru stejným tempem

• pohybuje-li se korelační koeficient ρjk okolo nuly, jsou výnosnosti oboucenných papírů nekorelované, tj. nelze mezi nimi identifikovat určitouzávislost

48

Z hlediska tvorby portfolia bývá žádoucí zařadit do něj cenné papíry s nega-tivně korelovanými výnosy, neboť klesající výnos z jednoho cenného papírumůže vykompenzovat růst výnosu jiného cenného papíru. Zařazení cennýchpapírů s negativně korelovanými výnosy do portfolia podporuje vznik jehodiverzifikace.

12.1 Markowitzův a Sharpeho model

Investor při sestavování portfolia tedy sleduje dva protichůdné cíle - maxi-malizovat očekávaný výnos a minimalizovat riziko, že tohoto očekávanéhovýnosu nedosáhne a snaží se najít takové portfolio, které je optimální zhlediska jeho preferencí. Zpravidla bude preferovat portfolio s vyšším oče-kávaným výnosem před portfoliem s nižším výnosem a pokud jde o riziko,tak dá určitě přednost nižšímu riziku před vyšším. To ale nutně neznamená,že investor riziko zcela odmítne (pokud se nerozhodne pro tzv. bezrizikovouinvestici, jakou je např. vklad v bance, ale ani ta není zcela bez rizika). Po-stoje investorů k finančnímu riziku jsou různé, k riziku mohou mít menší čivětší averzi, v některých modelech je předpokládán neutrální postoj k rizikua našli bychom i takové odvážné investory, kteří riziko záměrně vyhledávajís cílem dosáhnout silně nadprůměrného zisku.

Investorovy představy o vhodném portfoliu vzhledem k jeho postoji k rizikubývají znázorňovány pomocí tzv. křivek indiference. Jsou to množiny bodův rovině představujících stejně preferovaná portfolia s různými kombinacemihodnot očekávaného výnosu a rizika. Na vodorovné ose zobrazovací rovinyjsou vyneseny hodnoty rizika, na svislé hodnoty očekávaného výnosu. Křivkymohou mít různý tvar, který závisí na postoji k riziku. Pro investora s averzík riziku, jsou křivky rostoucí a konvexní. Čím je vyšší averze k riziku, tímstrměji křivky rostou.

Matematicky se výběr optimálního portfolia řeší jako úloha stochastickéhoprogramování se dvěma účelovými funkcemi. Její formulace je následující:

Rp =n∑

j=1

Rjxj −→ max (22)

σp =

√√√√ n∑j=1

n∑k=1

σjkxjxk −→ min

za podmínek

n∑j=1

xj = 1

xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , n.

49

Přípustná množina uvedené úlohy se zakresluje do téže zobrazovací rovinypodobně jako indiferenční křivky a je tvořena všemi možnými kombinacemijednotlivých akcií. Pro n cenných papírů má přípustná množina deštníkovýtvar. Nás však budou zajímat jen taková portfolia, která poskytují maxi-mální možný očekávaný výnos při různých úrovních rizika a minimální ri-ziko při různých hodnotách výnosu. Taková množina se nazývá efektivní(eficientní) a leží na severozápadní hranici přípustné množiny.

Matematická úloha (22) však obecně neposkytuje řešení, které by optima-lizovalo zároveň obě účelové funkce. Důvodem je skutečnost, že roste-li vý-nosnost cenného papíru poroste také jeho riziko. Má-li investor velkou averzik riziku, zvolí takové řešení, které poskytuje nižší riziko, ale současně i nižšívýnos. Naopak, odvážnější investor ve snaze vydělat co nejvíce bude musetpočítat s vyšším rizikem. Nelze tedy jednoznačně říci, které z efektivníchportfolií je optimální, záleží pouze na investorových preferencích, které te-oreticky znázorňují indiferenční křivky. V bodě, kde se jedna z křivek do-tkne efektivní množiny, se nachází optimální portfolio. V praxi však investoržádné křivky nekreslí, ale přímo si zvolí dolní hranici očekávaného výnosuportfolia s cílem minimalizovat riziko. Matematicky pak řeší úlohu známoujako Markowitzův model:

σp =

√√√√ n∑j=1

n∑k=1

σjkxjxk −→ min

za podmínek

n∑j=1

Rjxj ≥ τ

n∑j=1

xj = 1

xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , n,

kde hodnota τ označuje požadovanou výši očekávaného výnosu portfolia,čemuž bude v zobrazovací rovině pro přípustnou množinu odpovídat polo-přímka vycházející z bodu τ na ose pro očekávaný výnos rovnoběžná s osoupro riziko. Optimální řešení uvedeného problému pak bude představovatprůsečík efektivní množiny a polopřímky.

Druhou možností, jak řešit problém (22), je předem zvolit horní hranici rizikaportfolia s cílem maximalizovat jeho očekávaný výnos. Takto dostanemeúlohu známou pod názvem Sharpeho model:

Rp =n∑

j=1

Rjxj −→ max

50

za podmínek √√√√ n∑j=1

n∑k=1

σjkxjxk ≤ τ

n∑j=1

xj = 1

xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , n.

12.2 Model CAPM

Druhým důležitým krokem ve vývoji teorie portfolia bylo zavedení modeluoceňování kapitálových aktiv, ve zkratce CAPM (Capital Asset Pricing Mo-del), který rozšiřuje portfolio o bezrizikovou investici a zavádí přímku kapi-tálového trhu CML (Capital Market Line) pro analýzu celého portfolia vesrovnání s tržním portfoliem a přímku cenného papíru SML (Security MarketLine), která slouží k oceňování jednotlivých cenných papírů. Za bezriziko-vou investici považujeme bankovní vklad nebo půjčku (pro nákup dalšíchcenných papírů) s předem danou úrokovou mírou označenou rF , která před-stavuje výnosnost, k níž se vztahuje nulové riziko. Zařazením bezrizikovéinvestice se stejnou úrokovou mírou pro vklady i úvěry do portfolia dojdeke změně tvaru efektivní množiny z křivky na polopřímku začínající v bodě[0, rF ], která je tečnou k původní efektivní množině. Bod dotyku M repre-zentuje optimální portfolio, kterým je zde tržní portfolio, tj. takové, kterése skládá ze všech investic dostupných na kapitálovém trhu, jejichž podílyodpovídají tržním hodnotám, jakými se na kapitálovém trhu podílejí. Zís-kaná polopřímka se nazývá přímka kapitálového trhu (Capital Market Line),stručně přímka CML a její matematické vyjádření je

rp = rF +rM − rF

σMσp,

kde rM , σM jsou očekávaný výnos a riziko tržního portfolia a rp, σp jsou cha-rakteristiky zkoumaného portfolia. Tržní portfolio lze matematicky naléztmaximalizováním sklonu (směrnice) přímky CML, proto se tržní portfoliotaké někdy nazývá tangenciální. Příslušná optimalizační úloha má tvar

rM − rF

σM−→ max

za podmínek

n∑j=1

xj = 1

51

xj ≥ 0, j = 1, . . . , n,

kde xj jsou relativní podíly rizikových investic na portfoliu a není tedy mezinimi zahrnuta bezriziková investice. Podel CAPM, v němž předpokládáme,že bezriziková úroková míra je shodná pro vklady i půjčky, náleží k obecněj-šímu Tobinově modelu, kde obecně sazba pro vklady je různá od sazby propůjčky.

Přímka SML (Seciruty Market Line) se týká konkrétního cenného papírua vyjadřuje vztah jeho dodatečného očekávaného výnosu (očekávaného vý-nosu sníženého o bezrizikovou úrokovou míru) k dodatečnému očekávanémuvýnosu tržního portfolia. Matematické vyjádření přímky SML je

r = rF + (rM − rF )β, (23)

kde β je charakteristika cenného papíru popisující, jak se změní dodatečnýočekávaný výnos tohoto cenného papíru vzhledem k jednotkové změně doda-tečného očekávaného výnosu tržního portfolia.Míru (faktor) beta vypočtemeosamostatněním ze vztahu (23) a interpretujeme způsobem:

1. je-li β = 0, pak rM.= rF

2. je-li 0 < β < 1, pak tempo změny dodatečného očekávaného výnosucenného papíru je pomalejší než v případě tržního portfolia

3. je-li β = 1, pak r − rF = r − rM , tj. dodatečný očekávaný výnoscenného papíru je přibližně roven dodatečnému očekávanému výnosutržního portfolia

4. je-li β > 1, pak tempo změny dodatečného očekávaného výnosu cen-ného papíru je rychlejší než v případě tržního portfolia

Další významnou charakteristikou cenného papíru je míra nerovnováhy alfa(faktor alfa), která poskytuje informaci o tom, je-li cenný papír na trhu pod-hodnocen či nadhodnocen. Předpokládáme, že body na přímce SML udá-vají hodnoty dodatečného očekávaného výnosu cenného papíru pro případrovnováhy na trhu, tj. vyrovná-li se poptávka s nabídkou. Tuto hodnotu vý-nosu pak můžeme, aspoň teoreticky, považovat za spravedlivou a totéž pakbude platit pro cenu uvažovaného cenného papíru, předpokládáme-li, že cenase rovná součtu diskontovaných hodnot budoucích výnosů. Ve skutečnostise však dodatečný očekávaný výnos cenného papíru spíše pohybuje v okolípřímky SML, resp. provádějí se jeho měření a z pozorovaných hodnot sepak metodou lineární regrese vypočítají míra alfa i míra beta. Takto určenámíra alfa může nabývat kladných i záporných hodnot. V případě kladných

52

hodnot vykazuje cenný papír vyššího výnosu než je průměrná míra zisku nakapitálovém trhu a je tedy obchodován za nižší cenu neboli podhodnocen.V opačném případě cenný papír dosahuje podprůměrného výnosu, je tedyobchodován za vyšší cenu neboli nadhodnocen.

Model, z něhož jsou odhadovány míry alfa i beta, má tvar

r − rF = α+ β(rM − rF ) + ε, (24)

kde r, rF , rM jsou pozorované hodnoty a ε označuje chybu, které se do-pustíme, jestliže míry alfa a beta odhadujeme právě pomocí tohoto modelu.Vypočítáme-li na obou stranách vztahu (24) směrodatné odchylky, dosta-neme vztah

σ =√

β2σ2M + σ2ε ,

který ukazuje, jakým způsobem je rozloženo riziko cenného papíru. Jedna zesložek βσM odpovídá systematickému riziku, které souvisí s rizikem tržníhoportfolia, tedy riziko cenného papíru se bude vyvíjet podle situace na trhu.Druhá ze složek σε popisuje individuální riziko cenného papíru, které s trhemnesouvisí, ale spíše vyplývá z vnitřní situace v odvětví, odkud cenný papírpochází.

53

Doporučená literatura:

Radová, J., Dvořák, P.: Finanční matematika pro každého. Grada, Praha,1997.Tepper, T., Kápl, M.: Peníze a vy. Prospektrum, Praha, 1994Cipra, T.: Praktický průvodce finanční a pojistnou matematikou. HZ, Praha,1998.Cipra, T.: Matematika cenných papírů. HZ, Praha, 2000.Baxter, M., Rennie, A.: Financial Calculus. An Introduction to DerivativePricing. Cambridge University Press, Cambridge, 1996.

54

Obsah

1 Úvod 1

2 Jednoduché úročení 1

2.1 Jednoduché polhůtní úročení . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Jednoduché předlhůtní úročení . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Aplikace jednoduchého úročení 3

3.1 Aplikace jednoduchého úročení s diskontním principem . . . . 3

3.2 Aplikace polhůtního úročení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4 Složené úročení 6

4.1 Složené úročení s častějším připisováním úroků . . . . . . . . 7

4.2 Smíšené úročení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.3 Efektivní úroková míra, úroková intenzita . . . . . . . . . . . 9

4.4 Nominální a reálná úroková míra . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.5 Hrubá a čistá výnosnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5 Investiční rozhodování 10

5.1 Pravidlo současné hodnoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.2 Pravidlo vnitřní míry výnosnosti . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.3 Pravidlo doby návratnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.4 Investiční kritéria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6 Spoření 13

6.1 Krátkodobé předlhůtní spoření . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6.2 Krátkodobé polhůtní spoření . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6.3 Dlouhodobé předlhůtní spoření . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

6.4 Dlouhodobé polhůtní spoření . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6.5 Kombinace krátko- a dlouhodobého spoření . . . . . . . . . . 16

55

7 Důchody 17

7.1 Důchod dočasný . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7.1.1 Důchod bezprostřední předlhůtní roční . . . . . . . . . 17

7.1.2 Důchod bezprostřední polhůtní roční . . . . . . . . . . 18

7.1.3 Důchod bezprostřední předlhůtní področní . . . . . . 19

7.1.4 Důchod bezprostřední polhůtní področní . . . . . . . . 20

7.2 Důchod věčný . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7.3 Důchod odložený . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

8 Splácení úvěrů 22

8.1 Hypotéční úvěr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

9 Obligace 26

9.1 Cena obligace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

9.1.1 Výpočet ceny obligace před datem ex-kupon . . . . . 28

9.1.2 Výpočet ceny obligace po datu ex-kupon . . . . . . . 28

9.2 Výnosy z obligace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

9.3 Durace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

10 Akcie 30

10.1 Cena akcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

10.2 Dividendový diskontní model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

10.2.1 Modely růstu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

10.3 Ziskový model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

10.4 Předkupní právo a jeho cena . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

10.5 Výnos z akcií . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

11 Termínové obchody 37

11.1 Forwardové kontrakty na měnové kurzy . . . . . . . . . . . . 38

11.2 Swapový kontrakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

11.3 Křížové kurzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

11.4 Termínová úroková míra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

11.5 Termínová cena cenného papíru . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

11.6 Futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

11.7 Opce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

56

12 Základy teorie portfolia 46

12.1 Markowitzův a Sharpeho model . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

12.2 Model CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

57