Fraktálová geometrie

Matematické modely

vymezit zkoumaný systém zjistit základní veličiny na nichž závisí vývoj systému

v čase tvorba matematického modelu: vzájemný vztah

základních veličin výstupem matematického modelu jsou data popisující

chování zkoumaného systému ověření výstupních dat na reálném systému korekce matematického modelu

Matematické modely

Výstupem může být i geometrický útvar Příklady z oblasti biologie

• Program pro syntetický život Tierra

• Matematický model DNA generovaný počítačem

• Matematický model jednoduché „evoluce“

• Vězňovo dilema – spolupráce nebo zrada? Některé geometrické útvary mají zvláštní vlastnosti,

nazýváme je fraktály

Fraktálová geometrie

Benoit Mandelbrot, Gaston Julia Základní literatura : The Fractal Geometry of Nature La fractale, fractus, fraction výzkum začneme na jednoduchém fraktálu Kochové

křivce (Helge von Koch, 1904)

křivka je spojitá, nikde sama sebe neprotíná celá křivka je uvnitř kružnice opsané původnímu

trojúhelníku křivka má nekonečnou délku, i když je „uzavřena“ v

kružnici, délka hranice :

o ... obvod trojúhelníku

n … počet „dělení“ trojúhelníku

Vlastnosti Kochové křivky

n

n 3

4olims

Vlastnosti Kochové křivky

Každá část křivky obsahuje sebe sama, z každé části lze obnovit celou křivku – tato vlastnost se nazývá :

vnitřní homotetie

(self-similarity)

Jakou má Kochové křivka dimenzi?

dimenze 0 : body dimenze 1 : přímky dimenze 2 : roviny dimenze 3 : prostory dimenze d : dimenze Kochové křivky?

Jakou má Kochové křivka dimenzi?

1< d <2

Je nutná nová definice dimenze ! Útvary klasické eukleidovské geometrie mají celočíselnou

(topologickou) dimenzi Velice zjednodušeně : topologická dimenze označuje počet

parametrů, kterými můžeme popsat každý bod na geometrickém útvaru

přímka : každý bod lze popsat jediným parametrem, má tedy dimenzi 1,

každá křivka v rovině má rovněž dimenzi 1, každý bod lze totiž obecně popsat: x=x(t), y=y(t), kde parametr t probíhá určitý interval

rovina : rovina má tedy dimenzi 2

Rt,utAX

Rs,t,vsutAX

• Úsečku o topologické dimenzi 1 rozdělíme na N stejných úseček. Koeficient stejnolehlosti pro jednu úsečku bude tedy

• Když budeme místo úsečky dělit čtverec (dimenze 2) na N shodných čtverců, koeficient stejnolehlosti pro jeden čtverec bude bude

N

1r

2

1

N

1r

Jiná definice dimenze

• Pro krychli tedy platí :

• Není problém definovat krychli s eukleidovskou dimenzí větší než 3, nazveme ji d, pak analogicky platí :

• Z toho vyjádříme d :

Dostali jsme vzorec pro výpočet homotetické

(Hausdorffovy – Besicovitchovy) dimenze, která se

někdy nazývá fraktálová

3

1

N

1r

d

1

N

1r

r1

log

Nlogd

Definice fraktálů

Mandelbrot : „Fraktály se charakterizují intuitivním a pracovním způsobem prostřednictvím obrázků či množin, které by se mohly označit za fraktální, a přitom se vyhýbáme jejich definování matematickým a kompaktním způsobem“

Definice fraktálů

Mandelbrot : „A fractal is by definition a set for which the Hausdorff Besicovitch dimension strictly exceeds the topological dimension.“

Překlad : „Fraktál je podle definice množina, pro kterou je Hausdorffova-Besicovitchova dimenze vyloženě větší než topologická dimenze.“

Výpočet fraktálové dimenze Kochové křivky

„Klasická“ křivka : když použijeme menší a menší měřítko, délka

se blíží k nějaké konečné hodnotě

Kochové křivka :

tzn., při zmenšování měřítka je délka nekonečná

(Richardsonův empirický zákon – pobřeží Bretaně)

n

n 3

4olims

Výpočet fraktálové dimenze Kochové křivky

N = 4

d =1,26

3

1r

3log

4logd

Mandelbrotova množina : fraktál všech fraktálů

Množina komplexních čísel : Množina komplexních čísel obsahuje všechna reálná

čísla Navíc obsahuje tzv. imaginární jednotku i platí algebraický tvar komplexního čísla je a+b.i, kde a,b

jsou libovolná reálná čísla sčítání a násobení provádíme stejně jako čítání a

násobení dvojčlenů v R každé komplexní číslo lze znázornit v rovině jako bod o

souřadnicích [a;b]

1i2

Mandelbrotova množina : fraktál všech fraktálů

iterace … opětovné užití téhož početního obratu, výsledek početního obratu je vstupem pro následující opakování téhož obratu

iterace v C … • počáteční hodnota z = 0+0i tj. bod o souřadnicích [0;0]

• c je testované komplexní číslo

• pokud c konverguje tj. blíží se bodu [0;0], označíme je černě

• pokud diverguje označíme jej barevně, např. podle „rychlosti“ divergence

cz.zz

Mandelbrotova množina : fraktál všech fraktálů

Výsledkem otestování všech bodů roviny je fraktálový útvar,

který se nazývá Mandelbrotova množina (M-set).

Vlastnosti : celá množina leží v kruhu o poloměru 2 množina je souvislá fraktální dimenze hranice množiny je 2, jedná se tedy o fraktál obsahuje údaje o všech tzv. Juliových množinách každou část lze „zvětšovat“ do nekonečna, vždy se objeví

nové a nové strukrury

Mandelbrotova množina : fraktál všech fraktálů

Využití : umění modelace fázových přechodů – magnetizace a demagnetizace počítačové benchmarky

Další zajímavé fraktály

Cantorův prach (Cantorovo mračno) Sierpinského koberec Mengerova houba Fraktálové rozhraní Newtonovy metody Počítačová grafika – imaginární krajiny

Použitá literatura

Gleick, J. : Chaos. Ando, Praha, 1996

Coveney, P., Highfield, R. : Mezi chaosem a řádem, Mladá fronta, Praha, 2003

Prigodine, I., Stengersová I. : Řád z chaosu. Mladá fronta, Praha, 2001

Mandelbrot, B. : Fraktály. Mladá fronta, Praha, 2003

Mandelbrot, B. : The Fractal Geometry Of Nature. W. H. Freeman And Company, New York, 2000

Burger, E. B., Starbird M. : The Heart Of Mathematics, Key College Publishing, Emeryville, California, 2000

Děkuji Vám za pozornost