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LA GEOMETRIE GRECQUE Martine Bosc Marie-Renée Fleury Programme C4 Croisements entre enseignements Langues et cultures de l'Antiquité Questions de sciences dans l'Antiquité.
LA GEOMETRIE GRECQUE
Martine BoscMarie-Renée Fleury
Programme C4
Croisements entre enseignements
Langues et cultures de l'Antiquité
Questions de sciences dans l'Antiquité.
Quelques savants grecs
Archimède
Euclide
Pythagore
Hippocrate
Ératosthène
Platon
ThalèsHippias
La place de la géométrie dans les sciences grecques
« Le quadrivium pythagoricien »qui sera enseigné à l’académie de Platon
DISCRET CONTINU
NOMBRES GRANDEURS
Arithmétique Musique Géométrie Astronomie
La géométrie est enseignée à l’école à Athènes dès le Ve siècle avant notre ère
Vers – 330, la géométrie devient la spécialité mathématique par excellence.
La géométrie dans les éléments d’Euclide
Euclide (-320 ; -260)représenté avec son compas par Juste de Gand (XVe)
Sur les 13 volumes, 5 sont consacrés à la géométrie (plane) et 3 à la stéréométrie (espace)
Le plus ancien ouvrage de mathématiques connu rédigé dans un souci de rigueur scientifique et logique. Synthèse des mathématiques connues à son époque.
Ératosthène (-296 , -216)Astronome, arithméticien et géomètre
α = 7,2°
Ératosthène Aujourd’hui
Alexandrie-Syène 787 km 800 km
Circonférence de la Terre : 6266 km 6378 km
auteur du premier système héliocentrique
Archimède, ingénieur ET géomètre(-287 ; -212)
La circonférence d’un cercle
Le volume de la sphère
La spirale
Le tunnel de SamosUne activité utilisant les théorèmes de Pythagore et Thalès,
les agrandissements-réductions, …
S (Source d’Agiades)
V(Ville de Samos)
Mont Kastro
Échelle: 1/3 000 000
Plan d’Eupalinos Activité Élèves répartis par groupe de 4
Chaque groupe de 4 sera partagé en 2 binômes dans un 2e temps.
Une carte de Samos par groupe (A3)1. Effectuer les tracé permettant de
calculer la longueur du tunnel2. Le professeur partage la carte en 2 et
distribue des bristols pour la construction des petits triangles semblables
3. Chaque binôme dessine sa partie du tunnel
4. Autoévaluation par assemblage des 2 morceaux
5. Calcul de la durée du percement sachant que les travaux avançaient d’environ 3 cm par jour.
LES TROIS GRANDS PROBLÈMES DE L’ANTIQUITÉ
La quadrature du cercle
La duplication du cube
La trisection de l’angle
• 1837 : Wantzel montre que ces 3 problèmes ne sont pas constructibles à la règle et au compas.
• 1882 : von Lindemann montre la transcendance de π
Pourquoi la règle et le compas ? La droite est la figure la plus simple.
Le cercle est la figure la plus parfaite.
Est constructible, une figure que l’on peut construire en utilisant exclusivement la règle (non graduée) et le compas.
Livre I Éléments d’Euclide (vers -450 ; -380)DEMANDES (AXIOMES)1. Conduire une droite d’un point quelconque à un point quelconque.2. Prolonger indéfiniment, selon sa direction, une droite finie.3. D’un point quelconque, et avec un intervalle quelconque, décrire une circonférence de cercle.
• proposition 1
« sur une droite donnée et terminée, construire un triangle équilatéral »
• proposition 9
« couper en deux également un angle rectiligne donné »
• proposition 18
« couper en 2 également une droite donnée et terminée »
• proposition 23
« construire un angle égal à un angle donné »
• proposition 46
« sur une ligne droite donnée, construire un carré »
• ....
Remarque : Euclide appelle droite donnée (et terminée) un segment
Exemples de constructions à la règle et au compas
à partir du livre I des Éléments d’Euclide
Vers – 440, Hippocrate perd tous ses biens lors d’une attaque de
pirates et se rend à Athènes. Il y fréquente les savants et devient
géomètre.
Cherchant à résoudre le problème de la quadrature du cercle, il fut le
1er à arriver à quarrer des aires non polygonales : 3 lunules. En 1766
le finlandais Wallenius montra qu’il n’y a que 5 lunules quarrables.
«Les géomètres de la Grèce antique, collection, Les génies de la science n°21
Les lunules d’Hippocrate de Chios
ABC est un triangle rectangle isocèle
inscrit dans le demi-cercle. S = S1 + S2
ABCD est un trapèze tel que AB = AD = DC
et BC² = 3AB²
S = S1 + S2 + S3
EHBK est un trapèze tel que
EZ² = 𝟑
𝟐KB² ; S = S1 + S2 + S3
𝑨𝑳
La quadrature des lunules d’Hippocrate
Démonstration du premier cas
𝑳𝟏 𝑨
𝑳𝟐
𝑳𝟏 + 𝑳𝟐𝑨 =
𝑨 = 𝟒𝑳Aire d’un disque Théorème de PythagoreCercle circonscrit à un triangle rectangle
LA DUPLICATION DU CUBE
Ce problème dit de Délos posé par les sophistes grecs au VIe siècle avant J.-C. : les habitants, victimes d'une épidémie de peste, firent appel à l'oracle de Delphes qui leur dit qu'il fallait doubler l'autel consacré à Apollon, autel dont la forme était un cube parfait. Les architectes allèrent trouver Platon pour savoir comment faire. Ce dernier leur répondit que le dieu n'avait certainement pas besoin d'un autel double, mais qu'il leur faisait reproche, par l'intermédiaire de l'oracle, de négliger la géométrie.
Le problème revient à construire à la règle et au compas : 𝟑𝟐.
N’arrivant pas à le résoudre, les mathématiciens grecs proposèrent des solutions utilisant d'autres outils :
a x
Trouver x tel quex3 = 2a3
LA DUPLICATION DU CUBE
2 solutions par ajustement avec un instrument :
La machine de Platon (-428 ; -348) Le mésolabe d’Ératosthène de Cyrène (-276 ; -194)
Hippocrate de Chios découvrit qu'il suffisait de trouver deux moyennes proportionnelles (x et y) entre a (la longueur du côté) et 2a pour résoudre le problème.
En effet, si 𝒂
𝒙=
𝒙
𝒚=
𝒚
𝟐𝒂alors 𝒙𝟑= 𝟐𝒂𝟑
Mais comment déterminer ces moyennes proportionnelles?
OA : côté du cubeà dupliquer
OB = 2OA(OB) ꓕ (OA)
La machine de PlatonFonctionnement et justification
Ajustement de l’équerre: - Sommet E de l’angle droit sur (OB)- B sur la tige coulissante- A sur le côté de l’équerre parallèle
à la tige coulissante- F sur (OA)
OE : côté du cubede volume double𝑶𝑨
𝑶𝑬=
𝑶𝑬
𝑶𝑭=
𝑶𝑭
𝑶𝑩𝑶𝑬𝟑=2𝑶𝑨𝟑
Tangente d’un angle ou triangles semblables :
équerre
Tige coulissante
D’où
machine platon 1.ggb
Le mésolabe d’ÉratosthèneTrouver deux moyennes proportionnelles
Le triangle TEA est fixe ; les triangles KZM et LHN sont mobiles ils glissent le long de [AB].
Le point G est le milieu de LH O est l'intersection de (KZ) et (LN) R est l'intersection de (KM) et (TE)
Le mésolabe d’ÉratosthèneUn outil pour trouver 2 moyennes proportionnelles
Pour trouver les deux moyennes proportionnelles entre SA et LG, on faitglisser les triangles KZM et LHN sous le triangle TAE de telle sorte que lespoints A, R, O et G soient alignés.TR et KO sont les 2 moyennes proportionnelles cherchées.
𝐋𝐆
𝐊𝐎= 𝐊𝐎
𝐓𝐑= 𝐓𝐑
𝐒𝐀
KO3 = 2a3
Théorème de Thalès ou triangles semblables
mesolabe.ggb
LA TRISECTION DE L’ANGLE
Étude des cas particuliers des angles plats et droits
Le trisecteur articulé d’Archimède ( -287; -212)
La quadratrice d’Hippias (Ve siècle avant notre ère)
L’instrument de Bergery (1835)
L’origami d’Abe (1980)
La trisection de l’angle selon Archimède
Positionner le trisecteur de sorte l’angle bleu soit l’angle à triséquer. L’angle vert sera alors le tiers de l’angle bleu
articulations
Angle a à triséquer
Angle 𝒂
𝟑
Règle munie de 2 graduations
La trisection de l’angle selon Archimède
Justification : angles d’un triangle
trisection Archimède.ggb
LA QUADRATRICE D’HIPPIASCette quadratrice est une courbe mécanique inventée par Hippias d’Élis (seconde moitié du Ve siècle avant notre ère) pour trisecter un angle
Un siècle plus tard, Dinostrate, utilisa la courbe pour résoudre le problème de la quadrature du cercle
Roberval aurait été le premier à remarquer au début du XVIIe siècle que la courbe pouvait être étendue au-delà du premier quadrant.
La trisection de l’angle avec la quadratrice d’Hippias
Le carré ABCD, le quart de cercle de rayon AB et la quadratrice GD (en rouge) étant donnés, -Tracer l’angle à triséquer : un des côtés est AB, l’autre côté coupe la quadratrice en F- A’ est le projeté de F sur (AD)- les points H et H’ partagent [AA’] en 3 segments égaux- K est le point de la quadratrice se projetant en H
-AK est une trisectrice de l’angle BAF.
H’
Par définition de la quadratrice,l’ordonnée y du point F est proportionnel à l’angle q (r = 2q /p sin(q) => y = 2q /p )
Donc triséquer q revient à triséquer [AA’]
Q
Le trisecteur de BergeryInstrument décrit en 1835 dans « Géométrie appliquée à l’industrie »
• A,B,C et D sont alignés et tels que AB = BC = CD
• Demi-cercle de diamètre [BD]• Perpendiculaire à (AD) passant
par B
Trisecteur fabriqué pour expérimentation
Le trisecteur de BergeryFonctionnement
On positionne le trisecteur de sorte que :- La réglette passe par le
sommet de l’angle- Le demi-cercle est
tangent à l’un des côtés de l’angle
- Le point n’appartenant pas au demi-cercle est sur l’autre côté de l’angle
Les demi-droites bleues partagent l’angle en 3 angles égaux
Soit à trisecter l’angle rouge
LE COMPAS TRISECTEUR DE LAISANT1875
Propriétés des losanges
Tracer un angle 𝒙𝑶𝒚tel que - O est l’un des
coins de la feuille- [Ox) est l’un des
bords de la feuille-
L’origami d’Abe(1980)
construction
x
Par pliage, tracer 2 droites (d) et (d ’) parallèles au bord de la feuille formant 2 bandes de même largeur.
L’origami d’Abeconstruction
Plier la feuille selon une droite (Δ) amenant B en B’ sur [Oy) et le point O en un point O’ sur (d).
L’origami d’Abeconstruction
Sur une feuille translucide
Plier la feuille selon une droite (Δ’) pour superposer (OO’) et (Oy).
Les droites (OO’) et (Δ’)sont les trisectrices de l’angle 𝐱𝐎𝐲
L’origami d’Abeconstruction
