Mechanika tuhého tělesa

Tuhé těleso ...• nelze zanedbat rozměry a tvar tělesa, uvažujeme

otáčivý pohyb tělesa ...• zanedbáváme deformační účinky sil ...

Tuhé těleso je IDEÁLNÍ těleso, jehož tvar ani objem se nemění účinkem libovolně velkých sil.

... charakterizováno hmotností m a geometrickými rozměry, které vymezují určitý objem ...... tvořeno soustavou vzájemně pevně vázaných hmotných bodů ...

Pohyb tuhého tělesa ...• každý pohyb tuhého tělesa lze složit z -

- pohybu posuvného (translace)= všechny body se pohybují stejnou rychlostí po vzájemně rovnoběžných trajektoriích

- pohybu otáčivého (rotace)= všechny body tělesa se pohybují stejnouúhlovou rychlostí po soustředných kružnicích, jejichž středy leží na ose otáčení

• v praxi - skládání obou pohybů v jeden ...

? Jaký je vztah mezi obvodovou a úhlovou rychlostí ?

Translace Rotace

Moment síly vzhledem k ose otáčení ...

• Otáčivý účinek síly na dané těleso závisí na:

-

-

-

• Otáčivý účinek síly na dané těleso vyjadřuje fyzikální veličina moment síly M vzhledem k určité ose otáčení.

... fyzikální veličina s velikostí

FdM

... d je rameno síly = vzdálenost vektorové přímky, na níž leží síla F, od osy ...

„Moment síly tedy určuje jak moc - a jestli vůbec - se tuhé těleso otáčí kolem své osy.“

Moment síly = vektor ležící v ose otáčení, tj. kolmý k síle i k ramenu síly ... !

• Směr určíme dle pravidla pravé ruky:

• Jednotkou momentu síly je newtonmetr (N.m) ...• Působí-li na těleso více sil, je celkový otáčivý účinek

určen výsledným momentem

• ... pro výpočet působiště výslednice sil, těžiště tělesa, … lze užít momentovou větu:

Otáčivý účinek sil působících na tuhé těleso se navzájem ruší, je-li vektorový součet momentů všech sil vzhledem k ose otáčení nulový, tj.

Pozor, vektorový součet ... !!!

.0...21 nMMMM

• praxe:

- (rovno)ramenné váhy - založeny na momentu sil, které působí na

každé misce ...

- utahování šroubu ...

? Proč rukou ohnutou v lokti můžeme zdvihnut těžší břemeno než rukou nataženou ?

Na čtvercovou desku, otáčivou kolem nehybné osy o jdoucí jejím středem kolmo k rovině desky, působí postupně síly F1, F2, F3, F4. Všechny síly mají stejnou velikost F.

a) Která síla má na desku největší otáčivý účinek?

b) Která síla má na desku nulový otáčivý účinek?

c) Které síly mají na desku stejný otáčivý účinek?

• Čtvercová deska o straně délky 2 m je otáčivá kolem osy ojdoucí vrcholem A čtverce a kolmé k jeho rovině. Ve vrcholu B působí síla F1 o velikosti 40 N, ve vrcholu C síla F2 o velikosti 50 N, ve vrcholu D síla F3 o velikosti 30 N. Určete a) velikosti momentů jednotlivých sil vzhledem k ose otáčení, b) velikost a směr výsledného momentu sil, c) velikost výslednice sil F1 a F2.

Skládání sil ...

• ... působících na tuhé těleso = nahrazení dvou a více sil jednou silou (výslednicí), která má na těleso

• ... tj. hledáme sílu, která má stejnou velikost, jako jednotlivé zadané síly po složení ...

• ... ale která má navíc i stejný moment sil vůči ose otáčení jako je výsledný moment zadaných sil ...

nFFFF

...21

SÍLY PŮSOBÍCÍ V JEDNOM BODĚ

VIZ POČÁTEK ROKU !!!

Skládání různoběžných sil ...

• Účinek síly se nemění posunutím působiště po vektorové přímce ... !!!

síly přeneseme po vektorových přímkách do společného působiště C,

složíme pomocí vektorového rovnoběžníku,

výslednici přenášíme po její vektorové přímce do bodu ležícího na spojnici bodů A a B ...

(které nepůsobí v témže bodě ...)

Rovnoběžné síly ...

• ... nejprve síly „zrůznoběžníme“ (aby bylo možné najít jejich

společné působiště), pak postupujeme stejně jako se skládají různoběžné síly ....= síly působí na tuhé těleso → můžeme přidat další dvě síly ... (nemohou tuhé těleso deformovat ... viz definice tuhého tělesa!!!)

→ nezmění se pohybový stav tělesa ....

(ležící na různých vektorových přímkách ...)

a) Rovnoběžné síly stejného směru ...

- výpočet:

Nemají-li dané síly F1, F2 na těleso otáčivý účinek, jejich momenty se vzhledem

k ose otáčení procházející bodem O navzájem ruší ... M1=M2 → F1d1=F2d2

b) Rovnoběžné síly různého směru ...

• výsledná síla má směr větší síly ...

- výpočet:

+ Rovnoběžné síly pomocí „grafické finty“ ...• ... naneseme každou ze dvou sil na vektorovou

přímku druhé síly a změníme směr jedné z nich +spojíme koncové body pomocných (nově nanesených) sil ...

Rozklad sil...

• stejná pravidla jako pro skládání ...

- rozklad na různoběžné složky = zvolíme směry složek, dopočteme jejich velikosti (goniometrické fce !!!) ...

- rozklad na rovnoběžné složky ...

.dFdF

tj.

,

,

2211

21

21

MM

FFF

Skládání/rozklad sil v praxi ...

• Architektura:

- mosty, klenby,

prutové konstrukce ...

• Určete velikost a polohu působiště výslednice dvou rovnoběžných sil o velikosti 70 N a 40 N, jejichž vzájemná vzdálenost je 2,2 m. Síly jsou

a) stejného směru, b) opačného směru.

• Těleso o hmotnosti 5 kg visí uprostřed lana, jehož koncové body jsou upevněny v téže vodorovné rovině ve vzdálenosti 4 m od sebe. Závěs tělesa je o 0,6 m níže než koncové body lana. Určete, jak velkou silou je napínáno lano. Hmotnost lana

zanedbejte.

Dvojice sil ...

= dvě síly, stejně velké, rovnoběžné, opačně orientované, působící ve dvou různých bodech tělesa otáčivého kolem nehybné osy ...

Nelze je nahradit jedinou silou – výslednice je nulová ... ZPŮSOBUJÍ VŠAK

- volant,

ždímání hadru,

utahování šroubů ...

• otáčivý účinek vyjádřen momentem dvojice sil D ... ... moment síly F1 je M1 = F1.r, pro sílu F2 je M2 = F2.r

• ... moment dvojice sil D = M1+M2

• Protože F1 = F2 = F

→

• Analogicky M1 = F1.(d+x), M2 = -F2.x

D = M1+M2, F1 = F2 = F

→ (platí obecně)

... d = rameno dvojice sil

... D k rovině v níž leží síly, směr určíme pomocí pravidla pravé ruky

FdrFD 2.

FdD

• Ve vrcholech čtvercové desky o straně délky 0,4 m působí dvě dvojice sil. Ve vrcholech A a C síly F1, F1’, z nichž každá má velikost 40 N, ve vrcholech B a D síly F 2, F 2’ kolmé k úhlopříčce BD. Vypočtěte

a) velikost momentu dvojice sil působících ve vrcholech A, C

b) velikost sil F2, F2’, při níž se otáčivé účinky všech sil

navzájem ruší.

?Proč má křídlová matka „křídla“?

Těžiště tělesa ...

• Tuhé těleso složeno z velkého počtu bodů ...

• Na každý bod tělesa tíhová síla ≈ hmotnosti daného bodu tělesa

• Výslednice všech rovnoběžných tíhových sil udává celkovou tíhovou sílu tělesa ...

• ... leží na těžnici = spojnice “bodu závěsu” a těžiště tělesa = půso-biště tíhové síly, jeho poloha dána rozložením látky v tělese ...

• Stejnorodá tělesa se středem souměrnosti =

• ... s osou souměrnosti =

• Těžiště může ležet i mimo látku tělesa ... !!! (dutá tělesa ...)

• Určování těžiště:• 1. experimentálně - postupným zavěšováním tělesa

za různé jeho body ... ... těžiště leží na průsečíku zaznamenaných těžnic

• 2. výpočtem - celkový moment sil působících na dané těleso vzhledem k těžišti musí být roven nule ...

Rovnovážná poloha tuh. tělesa• rovnováha = pohybový účinek všech sil se navzájem

ruší, těleso je v klidu

podmínky rovnováhy:

(rovnováha sil = výslednice všech sil působících na těleso je nulová = těleso se nepohybuje/neposouvá ... )

(rovnováha momentů sil = těleso otáčivé kolem nehybné osy je v rovnovážné poloze, je-li výsledný moment všech sil působících na těleso nulový = těleso se neotáčí ... )

Vychýlení tělesa z rovnovážné polohy → nastává 1 ze 3 situací → dělení rovnovážných poloh:

1) stálá ( )

- těleso se vrací zpět do rovnovážné polohy- těžiště těles v nejnižším možném bodě, těleso má nejmenší potenciální energii- návrat způsobuje tíhová síla resp. její moment-

Nutno chápat lokálně, ne absolutně !!!

2) vratká ( ) - po vychýlení tělesa se výchylka zvětšuje – těleso se samo do rovnovážné polohy nevrátí ...- zvětšování výchylky způsobuje tíhová síla- potenciální tíhová energie je maximální, při vychýlení se zmenšuje → přechod do rov. pol. stabilní -

3) volná ( ) - po vychýlení zůstává těleso v libovolné nové poloze -výchylka se nezvětšuje ani nezmenšuje- potenciální energie se nemění (nemění se původní výška těžiště nad vodorovnou rovinou ...)

Stabilita tělesa ...• ... určena prací, kterou musíme vykonat, abychom

těleso přemístili z rovnovážné polohy

• ... těžiště tělesa vystoupí o r – h

• → stabilita tělesa je tím větší čím: ---

)( hrmgW

• Na vodorovné podlaze leží deska tvaru čtverce o straně 1,4 m a o hmotnosti 20 kg. Jakou práci musíme vykonat, abychom desku postavili do svislé polohy na jednu její stranu? Deska je homogenní, tloušťku desky neuvažujte.

Kinetická energie tuh. těl. ...• pohyb tuhého tělesa = posuvný nebo otáčivý ...• celková kinetická energie tělesa =

• - posuvný : všechny body tělesa stejnou rychlost →

• - otáčivý : všechny body se pohybují stejnou úhlovou rychlostí po kružnicích se středy, jež leží na ose otáčení ...

2

21

222

2

2

12

1)...(

2

1

2

1...

2

1

2

1mvmmmvvmvmvmE nnk

)...(2

1

2

1...

2

1

2

1

2

1...

2

1

2

1

22

22

2

11

2

2222

22

22

11

22

22

2

11

nn

nn

nnk

rmrmrm

rmrmrm

vmvmvmE

• → kinetická energie závisí na

• Rozložení látky vzhledem k ose rotace vyjadřuje moment setrvačnosti J tuhého tělesa vzhledem k ose otáčení ...

• (... jednoduché případy viz. uč. str. 172)

• → kinetická energie tuhého tělesa otáčejícího se kolem nehybné osy úhlovou rychlostí ω je dána vztahem

kde J je moment setrvačnosti vzhledem k dané ose otáčení ...

2

22

22

2

11

kg.m][

...

J

rmrmrmJ nn

,2

1 2JEk

• Koná-li těleso současně posuvný pohyb i otáčivý pohyb kolem osy procházející těžištěm tělesa: kinetická energie dána součtem energie posuvného a otáčivého pohybu ...

• (J0 =) ... viz kolo automobilu

2

0

2

2

1

2

1JmvEk

• Velký moment setrvačnosti → velká kinetická energie: látka symetricky rozložená kolem osy a přitom co nejdále od osy (J ~ r2 !!! ): = setrvačníky

- osa setrvačníku zachovává v prostoru stálý směr

→ stabilizace lodí, družic …

… zatáčkoměry, kompasy u letadel ...

- ale i jízdní kolo ... (pohodlná jízda možná až od určité rychlosti ...)

- nebo

• Ve vrcholech krychle o straně 0,2 m, zhotovené z drátu o zanedbatelně malé hmotnosti, jsou umístěny kuličky o hmotnostech 0,1 kg. Vypočtěte moment setrvačnosti této soustavy

• a) vzhledem k ose O1 rovnoběžné se stranami a jdoucí středem krychle,

• b) vzhledem k ose O2 jdoucí jednou hranou krychle.

• Kuličky považujte za hmotné body.

• Střela o průměru 7,62 mm a hmotnosti 10 g byla vypálena ze samopalu rychlostí 800 m.s–1, přičemž jí byla udělena rotace s frekvencí 500 Hz. Moment setrvačnosti střely vzhledem k její rotační ose je 5,9.10–8 kg.m2. Určete kinetickou energii a) posuvného pohybu střely,

• b) rotačního pohybu střely.

• Proč se střela uvádí do rotačního pohybu?

• Určete kinetickou energii plného homogenního válce o poloměru R a hmotnosti m, který se valí po rovině bez prokluzování rychlostí o velikosti v.