FYZIKA I - vsb.czhomel.vsb.cz/~uhl72/fyzika_I_dalkari_fbi_new.pdfRychlost při pohybu podél osy x...

Uhlaacuteř Fyzika I (2017)

FYZIKA I

KOMBINOVANEacute STUDIUM FBI

Radim Uhlaacuteř

1

FYZIKA IUacuteVOD

Postaveniacute fyziky ve vědě a jejiacute členěniacute

Slovo fyzika pochaacuteziacute z řeckeacuteho slova fysis = přiacuteroda V antice byla fyzika chaacutepaacutena jako filozofiepřiacuterody (jako protiklad k uměleacutemu světu vytvořeneacutem člověkem technice ndash řecky techneacute) dnes jetakto chaacutepaacutena jen zčaacutesti (např termiacuten Natural Philosophy) Filosofie se stala samostatnou vědou olidskeacutem myšleniacute a světě vůbec Matematiku nepovažujeme za přiacuterodniacute vědu Speciaacutelniacutemizaacutekonitostmi na vyššiacutech uacuterovniacutech organizace hmoty se zabyacutevajiacute dalšiacute přiacuterodniacute a společenskeacute vědy ndashchemie biologie psychologie sociologie (obr U1) Fyzika maacute uacutezkeacute sepětiacute s matematikou ndashvyužiacutevaacute jejich metod a takeacute matematiku obohacuje novyacutemi myšlenkami a pojmy (např objeviteldiferenciaacutelniacuteho a integraacutelniacuteho počtu je Isaac Newton - fyzik) Fyzika je v současnosti vědou ozaacutekladniacutech nejobecnějšiacutech zaacutekonech přiacuterody a přitom je takeacute v uacutezkeacutem vztahu s filosofiiacute

Podstatnyacute rozdiacutel mezi filosofiiacute a fyzikou k fyzikaacutelniacutem poznatkům nedochaacuteziacuteme pouhyacutem myšleniacutemavšak konfrontaciacute s vyacutesledky měřeniacute a zkoumaacuteniacute Fyzika použiacutevaacute vědeckou metodu pro hledaacuteniacutebdquopravidel herldquo v přiacuterodě a je založena na pozorovaacuteniacute usuzovaacuteniacute a experimentu

Fyzikaacutelniacute vyacutezkum je dnes velmi naacutekladnyacute zejmeacutena pokud jde o

experimentaacutelniacute zařiacutezeniacute jimiž jsou urychlovače zařiacutezeniacute pro vyacutezkum termojadernyacutech reakciacute prokosmickyacute vyacutezkum Znaacutemeacute je napřiacuteklad Evropskeacute středisko pro jadernyacute vyacutezkum (CERN)

Motivaciacute fyzikaacutelniacuteho vyacutezkumu je ukojeniacute zvědavosti snaha o hlubšiacute poznaacuteniacute přiacuterody a šance napředem neočekaacutevanyacute užitek (např uměleacute družice) Neviacuteme tedy jakyacute užitek bude miacutet lidstvo zobjevu noveacute elementaacuterniacute čaacutestice cesty na Mars apod

Fyzika je velmi rozsaacutehlaacute vědniacute discipliacutena a je nutno přiznat že žaacutednyacute fyzik ji nemůže ovlaacutedat v celeacutešiacuteři

2

Děleniacute fyziky

Podle metody vyacutezkumu a zaměřeniacute

bull teoretickaacute fyzikabull experimentaacutelniacute fyzikabull aplikovanaacute fyzika

Podle druhu jevů jimiž se zabyacutevaacute

bull mechanika (včetně gravitačniacuteho pole)bull elektřina a magnetismusbull termika resp termodynamikabull optika

Podle fyzikaacutelniacutech soustav ktereacute fyzika zkoumaacute

bull fyzika molekulovaacute atomovaacute jadernaacute a čaacutesticovaacutebull fyzika pevnyacutech laacutetekbull fyzika tekutin (kapalin a plynů)bull fyzika plazmatu

Dalšiacute důležiteacute děleniacute je na fyziku klasickou a kvantovou Klasickaacute fyzika studuje zaacutekonitostimakrosvěta (svět našich rozměrů a smysloveacuteho vniacutemaacuteniacute) kvantovaacute fyzika studuje zaacutekonitostimikrosvěta Je obecnějšiacute než klasickaacute fyzika tzn v makrosvětě odpoviacutedajiacute (korespondujiacute)zaacutekonitosti kvantoveacute fyziky zaacutekonitostem fyziky klasickeacute - princip korespondence Podobněmůžeme rozlišit fyziku nerelativistickou a relativistickou Jevy ktereacute popisuje speciaacutelniacute teorierelativity se projevujiacute tehdy pohybujiacute-li se čaacutestice nebo tělesa rychlostmi bliacutezkyacutemi rychlosti světlave vakuu (c = 29979middot108 mmiddots-1) Opět platiacute princip korespondence - při rychlostech podstatněmenšiacutech než je rychlost světla ve vakuu přechaacutezejiacute zaacutekony relativistickeacute mechaniky v zaacutekonymechaniky nerelativistickeacute

Vědeckaacute indukce a dedukce ve fyzice

Zobecňovaacuteniacutem zjištěnyacutech faktů z experimentů a pozorovaacuteniacute se formulujiacute fyzikaacutelniacute zaacutekony často vmatematickeacute formě Tomuto poznaacutevaciacutemu procesu se řiacutekaacute vědeckaacute indukce

Řešeniacutem rovnic ktereacute reprezentujiacute fyzikaacutelniacute zaacutekon se předpoviacutedajiacute vyacutesledky experimentu ndash procesvědeckeacute dedukce Napřiacuteklad teoretickyacute předpoklad uvolněniacute značneacute energie při vyacutebuchu jaderneacutebomby byl experimentaacutelně potvrzen (Alamogordo Noveacute Mexiko 1945)

3

MECHANIKA

se zabyacutevaacute vztahem mezi hmotou siacutelou a pohybem

Pohyb ndash každyacute děj každaacute změna kteraacute probiacutehaacute s materiaacutelniacutem objektem jako celkem nebo v něm

FYZIKAacuteLNIacute POHYB MECHANICKYacute POHYB MOLEKULOVYacute POHYB ELEKTRICKYacute PROUD atd - tiacutemto pohybem se zabyacutevaacute mechanika

Mechanickyacute pohyb ndash změna polohy těles vzhledem k jinyacutem tělesům neměniacute se zaacutekladniacute vlastnostitěles (hmotnost chemickeacute složeniacute skupenstviacute apod)

Klasickaacute mechanika (Galileo Galilei 1564-1642 Isaac Newton 1643-1727)

předpoklad rychlosti ltlt než rychlost světla ve vakuu

1 KINEMATIKA

se zabyacutevaacute popisem pohybu tělesa nepaacutetraacuteme po přiacutečinaacutech pohybu a jeho změn

Odhliacutežiacuteme-li od tvaru a rozměrů pohybujiacuteciacuteho se tělesa pracujeme s abstrakciacute ndash hmotnyacute bod Tato možnost je daacutena charakterem řešeneacuteho probleacutemu nelze vždy použiacutet

Hmotnyacute bod ndash 1 vlastnost poloha 2 vlastnost hmotnost

Trajektorie ndash souhrn poloh v niacutež se h b během pohybu vyskytoval

Zaacutekon pohybu ndash poloha h b na trajektorii v zaacutevislosti na čase

Draacuteha s [m] ndash deacutelka křivky kterou h b za určitou dobu prošel Často v podobě funkce času

Poloha hmotneacuteho bodu se uvaacutediacute vzhledem k tzv vztažneacute soustavě

vztažnaacute soustava = souřadnyacute systeacutem (např karteacutezskyacute) + tuheacute těleso s niacutem spojeneacutevše doplněno hodinami

Pohyb hmotneacuteho bodu podeacutel přiacutemky

Polohovyacute vektor r = xVektor posunutiacute d ndash pro jeho x-ovou složku platiacute d = dx = Δx = x(t2) - x(t1) = x2 ndash x1 = Δr

4

Průměrnaacute rychlost

vp=dΔ t

=Δ rΔ t

(1)

Pro jejiacute x-ovou souřadnici platiacute

vp=vx p=Δ xΔ t

=x2minusx1

t2minust1

jednotka rychlosti ms-1

Pohyb h b v kladneacutem směru osy x

obr 11

Pohyb hmotneacuteho bodu v zaacuteporneacutem směru osy x

obr 12

v x p=Δ xΔ t

=minus3minus5

3=minus83

msdotsminus1

5

Graf zaacutevislosti polohy hmotneacuteho bodu na čase

V praxi se často použiacutevaacute průměrnaacute velikost rychlosti

vs=celkovaacute draacuteha

celkovaacute doba pohybu=

s(t2)minuss(t1)

t2minust1

=Δ sΔ t

(2)

kde t2 gt t1

Pro přiacutemočaryacute pohyb v jednom směru (trajektorie čaacutest přiacutemky) je průměrnaacute velikost rychlosti totožnaacute s velikostiacute rychlosti posunutiacute

Graf zaacutevislosti draacutehy na čase

Okamžitaacute rychlost (pro pohyb podeacutel osy x)

v=v x= limΔ trarr0

Δ xΔ t

=d xd t

(3)

Derivace funkce x v daneacutem okamžiku udaacutevaacute směrnici tečny grafu funkce a současně okamžitou

6

rychlost

Znameacutenko okamžiteacute rychlosti je daacuteno směrem pohybu

S růstem sklonu grafu zaacutevislosti x na t roste velikost okamžiteacute rychlosti

Průměrneacute a okamžiteacute zrychleniacute (pro pohyb podeacutel osy x)

Rychlost kvantifikuje rychlost změny polohy v čase zrychleniacute rychlost změny rychlosti v čase

Průměrneacute zrychleniacute [mmiddots-2]

ap=ax p=v2xminusv1x

t2minust1

=Δ vx

Δ t(4)

Přiacuteklad Astronaut testuje pohonnou jednotku pro pohyb v kosmickeacutem prostoru a pohybuje se přiacutemočaře Kolega uvnitř orbitaacutelniacute stanice naměřil tyto uacutedaje

Najděte průměrneacute zrychleniacute v intervalech 1-3 s 5-7 s 9-11 s

Okamžiteacute zrychleniacute [mmiddots-2]

a=ax= limΔ trarr0

Δ v x

Δ t=

d v x

d t=

dd t (

d xd t )=

d2 x

d t2 (5)

7

Přiacuteklad Poloha čaacutestice pohybujiacuteciacute se podeacutel osy x zaacutevisiacute na čase takto

x = 4 (m) ndash 27 (mmiddots-1) t + 1 (mmiddots-3) t3

Určete vx a ax Je v některeacutem okamžiku rychlost čaacutestice nulovaacute Popište pohyb čaacutestice

Přiacuteklad Rychlost při pohybu podeacutel osy x zaacutevisiacute na čase takto

vx = 60 (mmiddots-1) + 05 (mmiddots-3) t2

Určete změnu rychlosti v časoveacutem intervalu od 1 s do 3 s Ve stejneacutem intervalu najděte průměrneacutezrychleniacute V okamžiku 1 s spočiacutetejte okamžiteacute zrychleniacute použijete-li jako Δ t hodnoty a) 01 s b)001 s c) 0001 s Odvoďte vzorec pro zaacutevislost okamžiteacuteho zrychleniacute na čase a jeho užitiacutemspočtěte okamžiteacute zrychleniacute v čase 1 s

Pozn Znameacutenko okamžiteacute rychlosti a znameacutenko okamžiteacuteho zrychleniacute je určeno charakterem pohybu

Obr 13a

Pohyb hmotneacuteho bodu s konstantniacutem zrychleniacutem podeacutel přiacutemky

Platiacute axp = ax proto

ax=v2xminusv1x

t2minust 1

=Δ v x

Δ t

Bude-li t1 = 0 označme t2 jako t počaacutetečniacute rychlost je v1x = v0x a okamžitaacute v čase t vx Proto

ax=v xminusv0 x

tminus0

Pro okamžitou rychlost platiacute

8

v x=v0 x+ax t (6)

Jinyacute přiacutestup (x0 = x(0))

ax=d vx

d t=konst

d vx=ax d t

v x=int ax d t=axint d t=ax t+v0 x

vx=d xd t

d x=v x d t

x=int vx d t=int (ax t+v0 x)d t=12

ax t2+v0 x t+x0

x=12

ax t2+v0 x t+x0

(7)

Přiacuteklad Řidič spatřiacute policejniacute vůz a začne rovnoměrně brzdit Na draacuteze 100 m zpomaliacute z 90 kmh na 60 kmh (a) Určete velikost zrychleniacute automobilu za předpokladu že bylo během brzděniacute konstantniacute(b) Jak dlouho řidič v teacuteto faacutezi pohybu brzdil(c) Za jak dlouho se zastaviacute

9

Přiacuteklad Nakreslete grafy zaacutevislosti rychlosti zrychleniacute a x-oveacute souřadnice na čase pro pohyb rovnoměrnyacute přiacutemočaryacute rovnoměrně zrychlenyacute a rovnoměrně zpomalenyacute Předpoklaacutedejte že se hmotnyacute bod pohybuje jen a) v kladneacutem směru osy x b) jen v zaacuteporneacutem směru osy x

Pohyb v rovině a prostoru

Polohu hmotneacuteho bodu určujeme polohovyacutem vektorem r

r=x i+ y j+z k=(x y z) (8)

kde xi yj zk jsou jeho průměty do souřadnicovyacutech os a x y z jeho souřadnice

r=r (t) je vektorovou funkciacute času Posunutiacute čaacutestice v intervalu Δ t=t2minust 1 je

Δ r=r2minusr1=(x2minusx1) i+( y2minus y1) j+(z2minusz1)k=Δ x i+Δ y j+Δ z k Ekvivalentniacute zaacutepis

Δ r=r2minusr1=(x2minusx1 y2minus y1 z2minusz1)=(Δ x Δ y Δ z )

Průměrnaacute a okamžitaacute rychlost

Pro průměrnou rychlost v časoveacutem intervalu od t1 do t 2=t1+ Δ t platiacute

vp=Δ rΔ t

(9)

10

Průměrnaacute rychlost maacute stejnyacute směr a stejnou orientaci jako vektor posunutiacute Δ r

Okamžitaacute rychlost je derivaciacute polohoveacuteho vektoru podle času

v= d rd t

=(d xd t

d yd t

d zd t

) (10)

Okamžitaacute rychlost maacute směr tečny k trajektorii

Průměrneacute a okamžiteacute zrychleniacute

Pro průměrneacute zrychleniacute v časoveacutem intervalu od t1 do t2=t1+Δ t platiacute

ap=Δ vΔ t

(11)

Při přechodu Δ trarr0 se průměrneacute zrychleniacute bliacutežiacute sveacutemu limitniacutemu přiacutepadu okamžiteacutemu

11

zrychleniacute

a= d vd t

=(ax a y az) (12)

Rozklad zrychleniacute do složek (v rovině)

Vzaacutejemnyacute pohyb v rovině

Přiacuteklad Kompas na palubě letadla ukazuje že letadlo směřuje k vyacutechodu Palubniacute rychloměrudaacutevaacute hodnotu rychlosti 215 kmh vzhledem k okolniacutemu vzduchu Vane staacutelyacute jižniacute viacutetr rychlostiacute65 kmh (a) Jakaacute je rychlost letadla vzhledem k Zemi Vypočiacutetejte nejen jejiacute velikost ale stanovtetakeacute jejiacute směr (b) Jakyacute kurs musiacute pilot udržovat maacute-li letět skutečně na vyacutechod

12

Křivočaryacute pohyb ndash zrychleniacute hmotneacuteho bodu

obr 14

Poloměr oskulačniacute kružnice je poloměr křivosti trajektorie v bodě A

Derivujeme vektor rychlosti podle pravidla o derivovaacuteniacute součinu funkciacute

a=d vd t

=d (v τ )

d t=

d vd t

τ+vd τ

d t=

d vd t

τ+vd sd t

d τ

d s=

d vd t

τ +v2 d τ

d s

Interpretujme podiacutel d τ

d s

13

Podle obraacutezku 15 platiacute

d τ=d sR

τ ν=d sR

ν

odtud pro zrychleniacute dostaneme

a= d vd t

τ+v2

Rν

Zrychleniacute při obecneacutem křivočareacutem pohybu ležiacute v oskulačniacute rovině a maacute tzv tečnou složku at a normaacutelovou složku an

a=a t+an (13)

Někdy se použiacutevaacute termiacuten dostřediveacute zrychleniacute ad = anobr 16

Klasifikace pohybů podle tvaru trajektorie

bull přiacutemočaryacutebull křivočaryacute

Klasifikace pohybů podle charakteru zaacutevislosti velikosti rychlosti na čase

bull rovnoměrnyacute velikost rychlosti konstantniacute (v = konst)bull nerovnoměrnyacute

Zaacutevislost velikosti rychlosti a draacutehy na čase u pohybu rovnoměrneacuteho (přiacutemočaryacute i křivočaryacute)

v=v0=konst (14)

s=s0+vt (15)

v0 a s0 jsou počaacutetečniacute hodnoty draacutehy a velikosti rychlosti

14

Zaacutevislost draacutehy a velikosti rychlosti na čase u pohybu rovnoměrně zrychleneacuteho (přiacutemočaryacute i křivočaryacute)

v=v0+a t t (16)

s=s0+v0 t+12

a t t2

(17)

v0 a s0 jsou počaacutetečniacute hodnoty velikosti rychlosti a draacutehy at je velikost tečneacute složky zrychleniacute pro kterou platiacute

a t=|d vd t |

Zaacutevislost draacutehy a velikosti rychlosti na čase u pohybu rovnoměrně zpomaleneacuteho (přiacutemočaryacute ikřivočaryacute)

v=v0minusa t t (18)

s=s0+v0 tminus12

a t t2

(19)

v0 a s0 jsou počaacutetečniacute hodnoty velikosti rychlosti a draacutehy at je velikost tečneacute složky zrychleniacute

Pohyb hmotneacuteho bodu po kružnici

Trajektoriiacute je kružnice Osa otaacutečeniacute prochaacuteziacute středem kružnice a je kolmaacute na rovinu ve ktereacute se tato kružnice nachaacuteziacute Počaacutetek vztažneacute soustavy bude ve středu kružniceObr 17

15

Pro popis pohybu hmotneacuteho bodu po kružnici poloměru r (obecně i po prostoroveacute křivce) se použiacutevajiacute tyto veličiny

uacutehlovaacute draacuteha φ (vektorovaacute veličina)

φ=φβ kde β je jednotkovyacute vektor ve směru osy orientovaacuten podle pravidla praveacute ruky

[φ] = rad proto φ=sr

kde s je draacuteha uraženaacute v časoveacutem intervalu od t1 do t2

otočeniacute (jako vektor lze chaacutepat pouze při rotaci kolem pevneacute osy)

Δϕ=ϕ (t2)minusϕ (t1)=ϕ 2minusϕ 1 (20)

Otočeniacute proti směru otaacutečeniacute hodinovyacutech ručiček je kladneacute Otočeniacute ve směru otaacutečeniacute hodinovyacutech ručiček je zaacuteporneacute

průměrnaacute uacutehlovaacute rychlost ωp v časoveacutem intervalu Δt od t1 do t2 je definovanaacute vztahem

ωp=ϕ 2minusϕ 1

t2minust1

=Δϕ

Δ t (21)

okamžitaacute uacutehlovaacute rychlost ω

ω=d φd t

=d (φβ )

d t=

dφd t

β+ φdβd t

=dφd t

β=d sr d t

β=vrβ

[ω] = rad∙s-1

Proto ω=vr

a

v=ωr (22)

Z obraacutezku je zřejmeacute že platiacute

v=ωtimesr

okamžiteacute uacutehloveacute zrychleniacute ε

ε=dωd t

=d vr d t

β=a t

rβ

Pro jeho velikost dostaneme

ε=at

r (23)

16

průměrneacute uacutehloveacute zrychleniacute ϵ p

ϵ p=ΔωΔ t (24)

Pozn Diskuze o orientaci uacutehloveacuteho zrychleniacute pro zrychlenyacute a zpomalenyacute pohyb po kružnici

Rovnoměrnyacute pohyb po kružnici

Velikost rychlosti je konstantniacute Přestože se velikost rychlosti neměniacute maacute hmotnyacute bod zrychleniacute protože rychlosti měniacute svůj směr

Tečnaacute složka zrychleniacute je nulovaacute protože se neměniacute velikost rychlosti Celkoveacute zrychleniacute (obr 18) je proto rovno dostřediveacutemu zrychleniacute a jehož velikost je daacutena vztahem

a=ad=v2

r (25)

obr 18

Hmotnyacute bod oběhne celyacute obvod kružnice (vzdaacutelenost 2πr) za dobu T

T=2π r

v (26)

zvanou doba oběhu neboli perioda Frekvence f převraacutecenaacute hodnota periody

f =1T

(27)

[f] = s-1

Za dobu T uraziacute hmotnyacute bod uacutehlovou draacutehu ϕ=2π proto platiacute pro uacutehlovou rychlost vztah

17

ω=2πT

=2π f (28)

Ze vztahu (26) vyjaacutedřiacuteme rychlost a vzhledem k platnosti vztahu (28) dostaneme

v=ωr (29)

Z obraacutezku 17 je zřejmeacute že platiacute

v=ωtimesr (30)

Pozn 1 Diskuze o orientaci uacutehloveacuteho zrychleniacute pro zrychlenyacute a zpomalenyacute pohyb po kružnici 2 Diskuze o zaacutevislosti uacutehloveacute draacutehy a rychlosti na čase pro rovnoměrně zrychlenyacute a zpomalenyacute pohyb

Rovnoměrně zrychlenyacute pohyb po kružnici

Velikost uacutehloveacuteho zrychleniacute je konstantniacute Pro zaacutevislost velikosti obvodoveacute rychlosti v draacutehy s uacutehloveacute rychlosti ω a uacutehloveacute draacutehy φ na čase platiacute

v=v0+a t t=v0+ϵR t (31)

s=s0+v0 t+ 12

a t t2=s0+v0 t+1

2ϵRt2

(32)

ω=ω0+ϵ t(33)

ϕ=ϕ0+ω0 t+12ϵt2

(34)

ε je velikost uacutehloveacuteho zrychleniacute

18

Rovnoměrně zpomalenyacute pohyb po kružnici

v=v0minusa t t=v0minusϵR t (35)

s=s0+v0 tminus12

a t t2=s0+v0 tminus1

2ϵRt2

(36)

ω=ω0minusϵ t(37)

ϕ=ϕ0+ω0 tminus12ϵt2

(38)

19

DYNAMIKANEWTONOVY POHYBOVEacute ZAacuteKONY

Snažiacuteme se popsat zaacutekony podle nichž předměty měniacute svou rychlost jestliže jsou něčiacutemovlivňovaacuteny Newton nazval přiacutečinu změny pohybu ndash slovem siacutela (řecky dynamos) Siacutela nabyacutevaacutesmyslu ve spojeniacute s Newtonovyacutemi zaacutekony Pro vyloučeniacute uacutevah o otaacutečiveacutem pohybu budeme pracovats modelem hmotneacuteho bodu neboli čaacutestice

Zaacutekon setrvačnosti (1 Newtonův zaacutekon)

Každaacute čaacutestice setrvaacutevaacute ve sveacutem stavu klidu nebo rovnoměrneacuteho přiacutemočareacuteho pohybu pokud adokud neniacute vtištěnyacutemi silami donucena tento svůj stav změnit

Vtištěneacute siacutely ndash tzv praveacute siacutely jsou čaacutestici bdquovtištěnyldquo jinyacutemi tělesy můžeme vždy udat původce teacutetosiacutely (konkreacutetniacute těleso) můžeme pojmenovat interakci tělesa s okoliacutem (druhy interakciacute gravitačniacuteelektromagnetickeacute slabaacute silnaacute)

Volnaacute čaacutestice ndash v raacutemci přesnosti provaacuteděnyacutech měřeniacute nelze zjistit vliv okolniacutech objektů napohybovyacute stav

Dalšiacute formulace zaacutekona setrvačnosti Je-li volnaacute čaacutestice v klidu vzhledem ke zvoleneacute vztažneacutesoustavě pak v něm setrvaacute Pohybuje-li se staacutelou rychlostiacute bude v tomto pohybu neustaacutelepokračovat

Vztažneacute soustavy v nichž platiacute zaacutekon setrvačnosti se nazyacutevajiacute inerciaacutelniacute vztažneacute soustavyDanaacute vztažnaacute soustava může byacutet inerciaacutelniacute do určiteacute miacutery pro určiteacute experimenty V mnohyacutechpřiacutepadech vztažnaacute soustava pevně spojenaacute s povrchem Země se projevuje jako inerciaacutelniacute v jinyacutechnikoliv (např důkaz otaacutečeniacute Země kolem sveacute osy vyvolaacutevaacute otaacutečeniacute roviny kyvu kyvadla ndashFoucaultův kyvadlovyacute pokus (deacutelka kyvadla 67 m hmotnost 28 kg) r 1851) Stejnaacute vztažnaacutesoustava je považovaacutena za inerciaacutelniacute studujeme-li napřiacuteklad zrychlenyacute pohyb vagoacutenu a člověka vněm na kolečkovyacutech brusliacutech (zanedbaacutevaacuteme odporoveacute siacutely na něj působiacuteciacute) Obr (a) V inerciaacutelniacutevztažneacute soustavě Sin pevně spojeneacute s povrchem Země na člověka působiacute nulovaacute vyacuteslednaacute siacuteladokud nenaraziacute na stěnu Protože předpoklaacutedaacuteme že byl v čase 0 s v klidu vůči S in bude proto vklidu až do okamžiku kdy na něj naraziacute stěna vagoacutenu (b) Člověk se bude pohybovat staacutelourychlostiacute vůči soustavě Sin dokud na něj nenaraziacute stěna vagoacutenu (c) Člověk se bude pohybovatrovnoměrně přiacutemočaře dokud na něj nenaraziacute stěna vagoacutenu Pro všechny přiacutepady z obraacutezku platiacute

V soustavě pevně spojeneacute s vagoacutenem se bude pohybovat s opačnyacutem zrychleniacutem než je a Původcemtohoto zrychleniacute je setrvačnaacute siacutela kteraacute neniacute vyvolaacutena interakciacute s okoliacutem Proto je tato soustavaneinerciaacutelniacute z hlediska řešenyacutech pohybů

Je možneacute že dokonale inerciaacutelniacute soustava neexistuje vždy však můžeme požadovanyacute stupeň inerciaacutelnosti zajistit vhodnyacutem vyacuteběrem vztažneacute soustavy

Vyacuteslednaacute siacutela (vyacuteslednice) je vektorovyacute součet všech sil ktereacute ve zvoleneacute vztažneacute soustavě na čaacutestici působiacute V inerciaacutelniacute vztažneacute soustavě se jednaacute pouze o siacutely praveacute vyjadřujiacuteciacute miacuteru interakce s okoliacutem V neinerciaacutelniacute soustavě naviacutec o siacutely nepraveacute (setrvačnaacute odstředivaacute Coriolisova a Eulerova siacutela)

20

Hmotnost Stejnaacute vyacuteslednice uděluje některyacutem různyacutem tělesům různaacute zrychleniacute Např kop do miacutečefotbaloveacuteho nebo medicinbalu Co je odlišuje

Nechť jedno těleso maacute jednotkovou hmotnost m0 = 1 kg Jestliže uděliacuteme tělesu zrychleniacute 1 mmiddots -2lze považovat siacutelu takeacute za jednotkovou tedy maacute velikost 1 N U druheacuteho tělesa bylo naměřenozrychleniacute 025 mmiddots-2 přitom siacutela byla stejnaacute pak platiacute

mX

m0

=a0

aX

Odtud dostaneme mX =

Hmotnost určuje poměr mezi silou působiacuteciacute na těleso a udiacutelenyacutem zrychleniacutem

Zaacutekon siacutely (2 Newtonův zaacutekon)

Změna pohybu je uacuteměrnaacute vyacuteslednici sil FV působiacuteciacute na čaacutestici a nastaacutevaacute podeacutel přiacutemky v niacutež siacutelaFV působiacute

FV=sumF=d pd t

(39)

Pozn změna pohybu = změna množstviacute pohybu Pozn Vyacuteslednice v neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavě je určena volbou vztažneacute soustavy Vyberu-lirůzneacute neinerciaacutelniacute vztažneacute soustavy mohu ziacuteskat různeacute vyacutesledneacute siacutely působiacuteciacute na čaacutestici za danyacutechpodmiacutenek

21

Množstviacute pohybu podle Newtona (hybnost)

p=m v (40)

[p] = kgmiddotmmiddots-1

Je-li hmotnost čaacutestice konstantniacute je možneacute formulovat 2 Newtonův zaacutekon takto

Vyacuteslednice sil působiacuteciacute na čaacutestici vyvolaacutevaacute zrychleniacute čaacutestice stejneacuteho směru a orientace jako vyacuteslednice

FV=sumF=m a (41)

Uvedenaacute rovnice je takeacute pohybovaacute rovnice ve vektoroveacutem tvaru Jejiacutem řešeniacutem je zaacutevislost polohoveacuteho vektoru čaacutestice na čase

Složkovyacute tvar pohyboveacute rovnice

sum F x=ma x sum F y=ma y sum F z=ma z

Pro jednoznačneacute řešeniacute je nutneacute znaacutet počaacutetečniacute podmiacutenky tj polohu a rychlost v nějakeacutem

okamžiku FV=m a=m d2 r

d t2 r (t0)=r0 v (t0)=v0

Zaacutekon akce a reakce (3 Newtonův zaacutekon)

Jestliže těleso A působiacute silou (akce) na těleso B působiacute silou (reakce) těleso B na těleso A Tyto siacutely majiacute stejnou velikost ale opačnou orientaci Siacutely akce a reakce působiacute na různaacute tělesa

22

Tiacutehovaacute a gravitačniacute siacutela

Maacute-li rotace Země vliv na pohyb těles soustava pevně spojena s povrchem Země neniacute inerciaacutelniacute

Tiacutehovaacute siacutela FG je vyacuteslednice siacutely gravitačniacute Fg a odstřediveacute Fod kteraacute je vyvolanaacute rotaciacute ZeměTiacuteha G je vyvolanaacute působeniacutem tiacutehoveacute siacutely na těleso a projevuje se jako tlakovaacute siacutela kterou tělesopůsobiacute na podložku nebo tahovaacute siacutela kterou těleso působiacute na zaacutevěs

Přiacuteklad meloun na stole pohyb dešťoveacute kapky cyklistaMeloun na stole

23

Pohyb dvou spojenyacutech tělesPřiacuteklad Vyjaacutedřete zrychleniacute těles o hmotnostech M a m a siacutelu napiacutenajiacuteciacute lano Lano a kladka majiacute zanedbatelnou hmotnost

Přiacuteklad Vyjaacutedřete zrychleniacute těles o hmotnostech M a m a siacutelu napiacutenajiacuteciacute lano Lano a kladka majiacute zanedbatelnou hmotnosttzv Atwoodův padostroj

Odporoveacute siacutely

1 Pohyb tělesa v plynu nebo kapalině ndash siacutela odpor prostřediacute jenž maacute opačnou orientaci než okamžitaacute rychlost a jejiacute velikost zaacutevisiacute nabull velikosti rychlosti pohybujiacuteciacuteho se tělesabull geometrickyacutech vlastnostech tělesabull fyzikaacutelniacutech vlastnostech tělesa a prostřediacute v němž se pohybuje

24

Pro velikost odporoveacute siacutely platiacute empiricky ziacuteskaneacute vzorcea) pomalyacute pohyb kuličky resp bubliny v tekutině Fodp = c1 v kde c1 je konstanta uacuteměrnostib) rychlejšiacute pohyb (vznikaacute turbulentniacute prouděniacute tekutiny v okoliacute tělesa) Fodp = frac12 CD ρSvSv2 kde ρSv je hustota tekutiny S uacutečinnyacute průřez tělesa (obsah největšiacuteho řezu tělesa rovinou kolmou k relativniacute rychlosti) a CD součinitel odporu

Pozn Vyacutepočet mezniacute rychlosti při paacutedu ve vzduchu

25

c) při dalšiacutem zvyšovaacuteniacute rychlosti neplatiacute ani tento zaacutekonPokus

26

FPTF

PTF

PT

Ft

FG

FN

F

směr pohybu

2 Statickeacute třeniacute ndash Jako odezva na siacutelu F působiacute na kostku statickaacute třeciacute siacutela Fs dokud se při překročeniacute jisteacute hodnoty siacutely F kostka bdquoneutrhneldquoMaximaacutelniacute velikost siacutely Fs je

Fsmax = fs Nkde fs je koeficient statickeacuteho třeniacute a N velikost siacutely kterou působiacute těleso kolmo na styčnou plochu spodložkoupozn tzv svar za studena

3 Dynamickeacute třeniacute ndash deformace hrbolů na styčnyacutech plochaacutech po sobě smyacutekajiacuteciacutech se těles jejich kmitaacuteniacute střiacutedavyacute vznik a zaacutenik svarů (opakovaacuteniacute kontaktů a smyků) a posleacuteze takto vyvolanyacute přiacuterůstek vnitřniacute energie těles Vznikaacute odporovaacute siacutela tzv dynamickaacute (kinetickaacute) třeciacute siacutela (siacutela smykoveacuteho třeniacute)

Pozn FPT je vyacuteslednaacute siacutela kterou působiacute podložka na těleso

Pro velikost siacutely Ft platiacute empirickyacute zaacutekon

Ft = f FN

kde f je koeficient smykoveacuteho třeniacute a FN velikost siacutely kterou působiacute těleso kolmo na styčnou plochus podložkou

Je-li FN nebo rychlost přiacuteliš velkaacute i tento zaacutekon selhaacutevaacute

V tabulkaacutech nemaacute smysl uvaacutedět koeficienty třeniacute neboť velikost siacutely je velmi ovlivněna nečistotami(oxidy) mastnotou apod

27

Přiacuteklad Žena taacutehne po zasněženeacutem vodorovneacutem chodniacuteku naloženeacute saacuteně o hmotnosti 75 kg Rychlost saacuteniacute je konstantniacute Koeficient dynamickeacuteho třeniacute mezi skluzniciacute a sněhem je 01 a uacutehel φ maacute velikost 42deg Jakaacute je velikost tahoveacute siacutely provazu

28

MECHANICKAacute PRAacuteCE VYacuteKON ENERGIE

Zaacutekon zachovaacuteniacute energie Existuje veličina nazyacutevanaacute energiiacute kteraacute se neměniacute v průběhu mnohazměn jež podstupuje přiacuteroda Energie nevznikaacute ani nezanikaacute jen se jedna forma může měnit vjinou

Energie je určena stavem fyzikaacutelniacute soustavy (objektu)Stav = soubor podmiacutenek (definovaacuten hodnotami stavovyacutech veličin) v nichž se objekt nachaacuteziacute

Studovat budeme vztah mezi kinetickou energiiacute a veličinou praacutece

Nechť F je vyacuteslednice sil působiacuteciacutech na hmotnyacute bod Platiacute 2 Newtonův zaacutekon

F=mdvd t

Po vynaacutesobeniacute diferenciaacutelem dr dostaneme

F d r=m d vd rd t

=m v d v=mv τ0 d (v τ0 )=mv τ0 (τ0 d v+ v d τ0 )=mv d v

protože d τ 0perp τ0 Vektor τ0 je jednotkovyacute vektor se stejnyacutem směrem a orientaciacute jako vektor okamžiteacute rychlosti

Takže

F d r=mv d v

intr1

r1

F d r=intv1

v2

mv dv=12

mv22minus

12

mv12=Ek2minusEk1=ΔEk

Praacutece je definovaacutena vztahem

W=intr1

r1

F d r (42)

a kinetickaacute energie

Ek=12

mv2 (43)

[W] = [Ek] = J (joule)

Je-li F = konst a trajektoriiacute je čaacutest přiacutemky (viz obr) pak

29

W=intr1

r2

F d r=Fx2 cosφminusFx1 cosφ=(x2minusx1) F cosφ=Fs cosφ (44)

neboť r1 = (x1 0) r2 = (x2 0) a F = (Fcos φ Fsin φ )

Kinetickaacute energie je veličina stavovaacute (popisuje určityacute stav čaacutestice) praacutece charakterizuje určityacute proces (přechod z jednoho stavu do druheacuteho)

Průměrnyacute vyacutekon

Pp=ΔWΔ t

(45)

Okamžityacute vyacutekon

P=dWd t

=F d rd t

=Fv (46)

[P] = J∙s-1 = W (watt)

koňskaacute siacutela = 1 HP = 746 W

V praxi často použiacutevanaacute jednotka energie

1 kilowatthodina = 1 kW∙h = 36 MJ

Praacutece tiacutehoveacute siacutely

bull při pohybu směrem vzhůru mezi body A a B (hB gt hA) W = mg(-hB + hA) kde v zaacutevorce jsousouřadnice bodů na vertikaacutelniacute ose orientovaneacute vzhůru praacutece tiacutehoveacute siacutely je zaacutepornaacute

bull při pohybu směrem dolů mezi body A a B (hB gt hA) W = mg(hB ndash hA) kde v zaacutevorce jsou

30

φx

yF

souřadnice bodů na vertikaacutelniacute ose

Praacutece tiacutehoveacute siacutely nezaacutevisiacute na tvaru trajektorie ale pouze na počaacutetečniacute a koncoveacute poloze hmotneacuteho bodu Tiacutehoveacute siacutely vytvaacuteřejiacute tzv konzervativniacute siloveacute pole

Přiacuteklad Těleso sjiacuteždiacute po nakloněneacute rovině o uacutehlu sklonu 30deg z bodu A do bodu B Určete rychlost tělesa v bodě B je-li AB = 2 m koeficient smykoveacuteho třeniacute 001 a rychlost tělesa v bodě A je nulovaacute Vypočtěte praacuteci kterou vykonala při tomto pohybu tiacutehovaacute siacutela a siacutela smykoveacuteho třeniacute

Potenciaacutelniacute energie (potentia ndash možnost přiacuteležitost)

Je určena vzaacutejemnou polohou hmotnyacutech bodů a charakterem jejich vzaacutejemneacute interakce

Potenciaacutelniacute energii přisuzujeme např pružně deformovanyacutem tělesům stlačenyacutem plynům tělesům zvednutyacutem do určiteacute vyacutešky nad povrchem Země apod

Při paacutedu h b z vyacutešky h konaacute tiacutehovaacute siacutela praacuteci mgh Řiacutekaacuteme že h b ztratil potenciaacutelniacute energii mgh

Tiacutehovaacute potenciaacutelniacute energie Ep je jednoznačně určena polohou až na aditivniacute konstantu Voliacute se vevybraneacutem bodě nulovaacute hodnota potenciaacutelniacute energie zpravidla na povrchu Země nebo při řešeniacuteuacuteloh v bdquonejnižšiacute poloze hmotneacuteho bodu či těžiště tělesaldquo Množina bodů v nichž maacute těleso stejnoupotenciaacutelniacute energii je ekvipotenciaacutelniacute hladina Při posouvaacuteniacute h b po ekvipotenciaacutelniacute hladiněnekonaacute tiacutehovaacute siacutela praacuteci

Potenciaacutelniacute energiiacute hmotneacuteho bodu v tiacutehoveacutem poli Země v určiteacutem miacutestě je praacutece kterou vykonaacutetiacutehovaacute siacutela při přemiacutestěniacute hmotneacuteho bodu z daneacuteho miacutesta do ktereacutehokoliv miacutesta v němž maacute nulovoupotenciaacutelniacute energii

Při pohybu h b v konzervativniacutem siloveacutem poli platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute mechanickeacute energie

Ek + Ep = konst (zaacutekon zachovaacuteniacute mechanickeacute energie)

Jestliže na h b resp těleso působiacute nekonzervativniacute siacutely např siacutely třeniacute odporu vzduchu čaacutest

31

mechanickeacute energie se měniacute ve vnitřniacute energii okolniacutech těles Tato vnitřniacute energie nemůže byacutet beze zbytku znovu přeměněna na mechanickou energii ndash mluviacuteme o disipaci (rozptylovaacuteniacute) energie

Vraťme se k praacuteci tiacutehoveacute siacutely

a) při pohybu hmotneacuteho bodu (tělesa) směrem vzhůru mezi body A a B (hB gt hA) W = Fd = = mg(hB ndash hA)cos 180deg = mg(ndashhB + hA) = ndash (Ep(B) ndash Ep(A)) = ndashΔEp

b) při pohybu hmotneacuteho bodu (tělesa) směrem dolů mezi body A a B tedy z bodu B do bodu A (hB gt hA) W = Fd = mg(hB ndash hA)cos 0deg = mg(ndashhB + hA) = ndash (Ep(A) ndash Ep(B)) = ndashΔEp

Znamenaacute to že mechanickaacute praacutece vykonanaacute tiacutehovou silou se rovnaacute uacutebytku tiacutehoveacute potenciaacutelniacute energie hmotneacuteho bodu (tělesa)

Přiacuteklad Jakou nejmenšiacute rychlostiacute musiacute vjet cyklista do svisleacute kruhoveacute smyčky poloměru 5 m aby jiacute bez nehody projel Těžiště kola a cyklisty je ve vyacutešce 12 m Třeniacute a odpor vzduchu zanedbejte

Impulz siacutely

Podobnost veličin hybnost a kinetickaacute energie ndash obě jsou určeny hmotnostiacute h b a jeho rychlostiacute V čem se z fyzikaacutelniacuteho pohledu lišiacute

Konstantniacute vyacuteslednaacute siacutela F působiacuteciacute po dobu Δ t=t2minust1 uděliacute čaacutestici impulz

I=F Δ t=m aΔ t=m(v2minusv1)=m v2minusm v1= p2minusp1=Δ p (47)

Je-li siacutela časově proměnnaacute pak platiacute rovněž

I=intt1

t2

F d t=intt1

t2 d pd t

d t=intt 1

t 2

d p= p2minus p1=Δ p

Vyacuteznam určiteacuteho integraacutelu

Raacutez dvou těles ndash zpravidla neznaacutemyacute časovyacute průběh siacutely použiacutevaacute se středniacute siacutela a platiacute

32

Fs=1Δ tintt1

t2

F d t=IΔ t

(48)

Impulz je určen dobou po kterou siacutela působiacute (časovyacute uacutečinek siacutely) kinetickaacute energie drahou na ktereacute působiacute (draacutehovyacute uacutečinek siacutely)

Přiacuteklad Siacutela působiacuteciacute na těleso o hmotnosti 119 kg působiacute ve směru osy x a platiacute Fx = A + B t kdeA = 10 N B = 2 Ns-1 Jakyacute impuls uděliacute siacutela tělesu v prvniacutech dvou sekundaacutech sveacuteho působeniacute

MECHANIKA TUHEacuteHO TĚLESA

tuheacute těleso ndash soustava hmotnyacutech bodů jejichž vzaacutejemnaacute vzdaacutelenost se neměniacutePohyb tuheacuteho tělesa je obecně složenyacutem pohybem z translačniacuteho (posuvneacuteho) pohybu arotačniacuteho pohybu (kolem pevneacute ndash např kola automobilu přiacutepadně kolem volneacute osy ndash zeměkouleumělaacute družice apod)

Počet h b tvořiacuteciacutech tuheacute těleso bdquovelkyacuteldquo - rozloženiacute hmotnosti spojiteacute

Hustota tělesa v daneacutem bodě

ρ=d mdV

(49)

středniacute hustota

ρs=mV

(50)

kde m je hmotnost tělesa [ρ]=kgsdotmminus3

Podobně se definuje hustota plošnaacute a deacutelkovaacute ndash miacutesto objemu obsah plochy resp deacutelka Pozor na změnu jednotky

Těžiště soustavy hmotnyacutech bodů a tuheacuteho tělesa

Pro soustavu N hmotnyacutech bodů platiacute

r T=

sumi=1

N

mi r i

sumi=1

N

mi

(51)

Je-li hustota hmotnyacutech bodů dostatečně velkaacute abychom mohli hovořit o spojiteacutem rozloženiacute hmoty

33

pak

r T=int r d m

int d m (52)

Těžiště jako průsečiacutek těžnic

Přiacuteklad Určete polohu těžiště soustavy hmotnyacutech bodů o hmotnostech m1 = 12 kg m1 = 25 kg a m1 = 34 kg ktereacute jsou umiacutestěneacute ve vrcholech rovnostranneacuteho trojuacutehelniacuteku o straně 140 cm

34

Přiacuteklad Určete polohu těžiště homogenniacute polokoule poloměru RPřiacuteklad Určete polohu těžiště homogenniacute desky zanedbatelneacute tloušťky tvaru půlkruhu poloměru r

1 impulzovaacute věta

mi hmotnost i-teacuteho h b soustavyFi vyacuteslednice vnějšiacutech sil působiacuteciacutech na i-tyacute hmotnyacute bodFivn vyacuteslednice vnitřniacutech sil kteryacutemi ostatniacute h b působiacute na i-tyacute h b

Pohybovaacute rovnice i-teacuteho bodu je

mi a i=Fi vn+Fi

pak pohybovaacute rovnice tělesa

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

Fi vn+sumi=1

N

Fi

Podle zaacutekona akce a reakce je součet vnitřniacutech sil nulovyacute vektor proto

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

Fi

Nyniacute využijeme definičniacute vztah těžiště (celkovaacute hmotnost soustavy h b m)

r T=

sumi=1

N

mi r i

sumi=1

N

mi

=

sumi=1

N

mi r i

m

Derivujme podle času

vT=

sumi=1

N

mi v i

m

Derivujme ještě jednou

aT=

sumi=1

N

mi ai

m

Vynaacutesobme hmotnostiacute

m aT=sumi=1

N

mi a i=FV=sumi=1

N

Fi (53)

35

Věta o pohybu těžiště

Pozn Je-li soustava izolovanaacute je rychlost pohybu těžiště konstantniacute (směr velikost i orientace)

Jsou-li hmotnosti mi konstantniacute lze proveacutest tuto uacutepravu

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

mi

d v i

d t=

dd t sumi=1

N

mi v i=dd t sumi=1

N

pi=d pd t

Takže platiacute

FV=d pd t

(54)

36

Těžiště soustavy h b resp tělesa se pohybuje tak jako by se pohyboval h b s hmotnostiacute celeacute soustavy resp tělesa kdyby na něj působila siacutela rovnajiacuteciacute se vektoroveacutemu součtu všech vnějšiacutech sil působiacuteciacutech na soustavu resp na těleso

1 impulzovaacute věta Vektorovyacute součet všech vnějšiacutech sil působiacuteciacutech na těleso se rovnaacute časoveacute změně celkoveacute hybnosti tělesa

1 impulzovaacute věta je fyzikaacutelně ekvivalentniacute větě o pohybu těžiště Zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti Je-li těleso izolovaneacute pak

d pd t

=orArr p=konst (55)

Zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti a sraacutežky těles

Předpoklaacutedaacuteme intenzivniacute siloveacute působeniacute sraacutežejiacuteciacutech se těles po relativně kraacutetkou dobu Jestliže jsou vnějšiacute siacutely zanedbatelně maleacute ve srovnaacuteniacute se silami jimiž na sebe působiacute navzaacutejemtělesa při sraacutežce považujeme soustavu těles za izolovanou a v tom přiacutepadě platiacute zaacutekon zachovaacuteniacutehybnosti Jestliže na tělesa působiacute pouze konzervativniacute siacutely platiacute naviacutec zaacutekon zachovaacuteniacute celkoveacutemechanickeacute energie soustavy a jednaacute se o pružnou sraacutežku O nepružneacute sraacutežce hovořiacutemenezachovaacutevaacute-li se celkovaacute mechanickaacute energie soustavy sraacutežejiacuteciacutech se těles (působeniacutenekonzervativniacutech sil)

Pružnaacute přiacutemaacute (čelniacute) sraacutežka

Rychlosti těles před sraacutežkou ležiacute v jedneacute přiacutemce

Zaacutekon zachovaacuteniacute hybnosti (pro x-oveacute složky hybnosti)

m1 v x 1 i+m2 vx 2i=m1 v x 1 f+m2 vx 2f (56)

Zaacutekon zachovaacuteniacute mechanickeacute energie

12

m1 v x 1 i2

+12

m2 vx 2 i2

=12

m1 v x 1 f2

+12

m2 vx 2f2

(57)

Neznaacutemeacute rychlosti těles po sraacutežce (index f) ziacuteskaacuteme řešeniacutem teacuteto soustavy Nejprve přepišme obě rovnice do tvarů

m1(v x 1iminusv x 1f)=minusm2(vx 2 iminusvx 2f )

37

m1(v x 1 i2

minusvx 1f2

)=m2 (vx 2i2

minusvx 2f2

)

m1(v x 1 iminusvx 1f)(v x 1 i+v x 1f)=minusm2(vx 2iminusv x 2 f)(vx 2i+v x 2 f)

Posledniacute rovnici vyděliacuteme prvniacute a po několika uacutepravaacutech dostaneme

v x 1f=m1minusm2

m1+m2

vx 1 i+2m2

m1+m2

vx 2i

v x 2 f=2m1

m1+m2

v x 1 i+m2minusm1

m1+m2

v x 2 i (58)

Pozn Pohyb těžiště neniacute sraacutežkou nikterak ovlivněn Celkovaacute hybnost se neměniacute a je rovna takeacutehybnosti hmotneacuteho bodu kteryacute by se nachaacutezel v těžišti a měl hmotnost rovnajiacuteciacute se součtuhmotnostiacute obou těles

v T=m1 vx 1i+m2 v x 2 i

m1+m2

(59)

Protože se hybnost zachovaacutevaacute těžiště se pohybuje rovnoměrně přiacutemočaře

Dokonale nepružnaacute přiacutemaacute sraacutežkaNa obraacutezku je znaacutezorněna dokonale nepružnaacute teacuteměř přiacutemaacute nepružnaacute sraacutežka

Přiacuteklad Určete rychlost tělesa ktereacute vzniklo spojeniacutem dvou jejich dokonale nepružnou přiacutemou sraacutežkou (viz obr)

38

Přiacuteklad Balistickeacute kyvadlo pro měřeniacute rychlosti střely Dřevěnyacute hranol maacute hmotnost 54 kg a kulka vystřelenaacute z testovaneacute zbraně 95 g Kulka zasaacutehne hranol a zůstane v něm Největšiacute vyacuteška vyacutestupu těžiště soustavy hranol-kulka je 63 cm Jakou rychlost měla kulka těsně před sraacutežkou s hranolem

Praxe ukazuje že siacutela neniacute veličinou kteraacute by mohla sloužit k formulaci pohybovyacutech rovnic rotace tuheacuteho tělesa

39

Naopak vhodnou veličinou je moment siacutely

M=rtimesF (60)

Pro velikost momentu siacutely platiacute

M=rFsinα=Fa (61)

[M] = Nmiddotm

Pozn Pravidlo praveacute ruky

Moment siacutely je miacuterou otaacutečiveacuteho uacutečinku siacutely působiacuteciacute na těleso

Uvažujme nyniacute jeden hmotnyacute bod kteryacute maacute hybnost p = mv a jeho poloha je popsaacutena polohovyacutem vektorem r Moment hybnosti h b je definovaacuten vztahem

b=rtimes p (62)

Derivujme moment hybnosti podle času

40

d bd t

=dd t

(rtimesm v )=d rd t

timesm v+ rtimesd (m v )

d t=vtimesm v+ rtimes

d ( m v )

d t=rtimesF=M

Podobně lze postupovat pro soustavu hmotnyacutech bodů

sum M=M V=d bd t

(63)

Pokud je těleso izolovaneacute platiacute zaacutekon zachovaacuteniacute momentu hybnosti

d bd t

=orArr b=konst (64)

Kinetickaacute energie tělesa při otaacutečiveacutem pohybu

Považujme těleso (např kotoučovaacute pila) rotujiacuteciacute kolem pevneacute osy za soustavu čaacutestic pohybujiacuteciacutech se různyacutemi rychlostmi Kinetickaacute energie takoveacuteho tělesa je součet kinetickyacutech energiiacute jednotlivyacutech čaacutestic

Ek=12

m1v12+

12

m2 v22+=sum

i=1

N 12

mi v i2=sum

i=1

N 12

mi(ω r i)2=

12(sum

i=1

N

mi r i2)ω

2

Veličina

J=sumi=1

N

mi r i2 (65)

zaacutevisiacute na rozloženiacute hmoty tělesa vzhledem k ose otaacutečeniacute a nazyacutevaacute se moment setrvačnosti tělesa vzhledem k daneacute ose otaacutečeniacute

[J] = kgmiddotm2

Kinetickou energii můžeme nyniacute vyjaacutedřit jednoduššiacutem vyacuterazem

Ek=12

J ω2 (66)

V tělesech se spojitě rozloženou hmotou nahrazujeme součet integraacutelem pak

41

Vektorovyacute součet momentů všech vnějšiacutech sil působiacuteciacutech na těleso nebo soustavu h b se rovnaacute časoveacute změně celkoveacuteho momentu hybnosti tělesa resp soustavy

J=intr2 d m (67)

Pozn Při vyacutepočtu momentu setrvačnosti je třeba volit hmotnyacute element tak aby vzdaacutelenost r ktereacutehokoli z jeho bodů od osy rotace byla stejnaacute Integračniacute meze je nutno volit tak abychom hmotnyacutemi elementy vyplnili celeacute těleso

Pozn Jestliže se jednaacute o homogenniacute těleso pak pro bdquoobjemovaacuteldquo bdquoplošnaacuteldquo a bdquodeacutelkovaacuteldquo tělesa platiacute

ρ=d mdV

=mV

σ=d md S

=mS

τ=d md l

=mL

(68)

kde V S a L je celkovyacute objem celkovaacute plocha a deacutelka tělesa ρ σ a τ objemovaacute plošnaacute a deacutelkovaacute hustota

42

Obr 19 Momenty setrvačnosti některyacutech homogenniacutech těles

43

Steinerova věta

Moment setrvačnosti tělesa vzhledem k libovolně zvoleneacute ose o je součtem jeho momentu setrvačnosti JT vzhledem k ose o rovnoběžneacute s osou o prochaacutezejiacuteciacute těžištěm tělesa a součinu hmotnosti tělesa a druheacute mocniny vzdaacutelenosti os o a o

J=J T+md2 (69)

DůkazUmiacutestiacuteme počaacutetek soustavy souřadnic do těžiště tělesa

Moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose vedeneacute bodem P můžeme vyjaacutedřit takto

J=intr2 d m=int ((xminusa)2+( yminusb)2)d m

J=int (x2+ y2

)d mminus2aint x d mminus2bint y d m+int(a2+b2

)d m

Druhyacute a třetiacute integraacutel představujiacute až na naacutesobeniacute konstantou x-ovou a y-ovou souřadnici těžiště ndash jsou tedy nuloveacute Součet x2 + y2 je druhou mocninou vzdaacutelenosti elementu dm od osy otaacutečeniacute proto prvniacute integraacutel představuje moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm A konečně vyacuteraz a2 + b2 je vzdaacutelenost bodů T a P (os o a o)

Přiacuteklad Vypočiacutetejte moment setrvačnosti tyče vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute kolmo koncem tyče jestliže znaacuteme jejiacute moment setrvačnosti vzhledem k ose prochaacutezejiacuteciacute těžištěm tyče (viz obr 19)

Moment siacutely a uacutehloveacute zrychleniacute tuheacuteho tělesa

Představme si těleso složeneacute z mnoha hmotnyacutech bodů Osa splyacutevaacute s osou z souřadneacuteho systeacutemu a prvniacute vybranyacute bod hmotnosti m1 rotuje kolem osy po kružnici s poloměrem r1 Vyacuteslednaacute siacutela F1 kteraacute na tuto čaacutestici působiacute maacute v radiaacutelniacutem směru složku F1rad v tangenciaacutelniacutem směru složku F1tan a ve směru osy z složku F1z Pohybovaacute rovnice pro tečnou složku zrychleniacute maacute tento tvar

F1 tan=m1 a1 tan (70)

44

V odstavci pojednaacutevajiacuteciacutem o pohybu hmotneacuteho bodu po kružnici byl odvozen vztah mezi velikostiacute tečneacute složky zrychleniacute a uacutehlovyacutem zrychleniacutem a t=ϵR kde R je poloměr kružnice Vynaacutesobme obě strany rovnice (70) poloměrem kružnice r1 a použijme zmiacuteněnyacute vzorec pro tečnou složku zrychleniacute ziacuteskaacuteme moment vyacutesledneacute siacutely vzhledem k ose z

F1 tan r1=M1z=m1 a1 tan r1=m1ϵr12 (71)

Siacutely F1rad a F1z neovlivňujiacute rotaci tuheacuteho tělesa kolem osy z protože jejich moment vzhledem k ose z je nulovyacute Vektor celkoveacuteho momentu vzhledem k ose z je tedy M = (0 0 M1z) Ve vztahu (71) se vyskytuje veličina m1 r1

2 - moment setrvačnosti J1 hmotneacuteho bodu vzhledem k ose z

Sečtěme momenty vyacuteslednyacutech sil působiacuteciacutech na všechny body tělesa a dostaneme vztah

sumi=1

N

M i z=(sumi=1

N

mi r i2)ϵ=J ϵ (72)

kteryacute můžeme přepsat do vektoroveacuteho tvaru pro obecnou polohu pevneacute osyM V=J ϵ (73)

kde MV je vyacuteslednyacute silovyacute moment J moment setrvačnosti tělesa vzhledem k daneacute ose a ϵ

uacutehloveacute zrychleniacute tělesa Vztah (73) představuje pohybovou rovnici pro otaacutečivyacute pohyb tuheacuteho tělesa kolem pevneacute osy

Podle 2 impulsoveacute věty (vztah (63) ) vztahu (73) a za předpokladu že je moment setrvačnosti konstantniacute a osa rotačniacute je současně osou symetrie tělesa platiacute

45

M V=J ϵ=Jdωd t

=d(J ω)

d t=

d bd t

(74)

což znamenaacute že

b=J ω (75)

Jestliže rotačniacute osa neniacute osou symetrie tělesa pak těleso namaacutehaacute osu (např ložiska) Proto senapřiacuteklad kola automobilů vyvažujiacute olůvky Během rotace nesymetrickeacuteho tělesa kolem pevneacute osyvykresluje vektor momentu hybnosti kolem rotačniacute osy kužel Protože se moment hybnosti měniacutemusiacute existovat nenulovyacute moment siacutely přestože se nemusiacute měnit uacutehlovaacute rychlost Může tedy nastatsituace ve ktereacute je uacutehlovaacute rychlost rotace tělesa konstantniacute a přesto působiacute nenulovyacute momentvnějšiacutech sil Napřiacuteklad u nevyvaacuteženeacuteho kola automobilu vyvolaacutevaacute tento moment třeniacute v ložisciacutechcož je opotřebovaacutevaacute

46

MECHANICKEacute KMITAacuteNIacute

Mnoheacute rovnice ktereacute se objevujiacute v různyacutech odvětviacutech fyziky jsou často teacuteměř stejneacute Popisujiacuteanalogickeacute jevy Napřiacuteklad šiacuteřeniacute zvukovyacutech vln je v mnoheacutem podobneacute šiacuteřeniacute světelnyacutech vlnDiferenciaacutelniacute rovnice druheacuteho řaacutedu s konstantniacutemi koeficienty popisuje pohyb zaacutevažiacute na pružiněkyvadla s malou vyacutechylkou oscilace naacuteboje v elektrickeacutem obvodu či ladičky vytvaacuteřejiacuteciacute zvukoveacutevlny vibrace elektronů v atomu vytvaacuteřejiacuteciacute světelneacute vlny atd

Kmitavyacutem pohybem nebo kraacutetce kmitaacuteniacutem (oscilaciacute) nazyacutevaacuteme obecně takovyacute pohyb hmotneacuteho bodu (nebo tělesa) při němž hmotnyacute bod nepřekročiacute konečnou vzdaacutelenost od jisteacute tzv rovnovaacutežneacute polohy

kmitaacuteniacute periodickeacute po stejneacutem časoveacutem intervalu T opakujiacuteciacute se časovyacute průběh kmitaacuteniacute

T perioda [T] = s

f frekvence f =1T

[f] = Hz = s-1

oscilaacutetor hmotnyacute bod či těleso konajiacuteciacute kmitavyacute pohybvyacutechylka (elongace) poloha hmotneacuteho bodu či tělesa vzhledem k rovnovaacutežneacute poloze

Harmonickyacute oscilaacutetor

Těleso zavěšeneacute na pružině a pružina za těchto předpokladů1 Pružina je dokonale lineaacuterniacute tzn pro velikost siacutely pružnosti platiacute Fp=k∣y∣ kde k je tuhost pružiny s jednotkou Nmiddotm-1 a y vyacutechylka2 V průběhu kmitaacuteniacute nedochaacuteziacute k přeměně mechanickeacute energie oscilaacutetoru na tepelnou energii napřiacuteklad v důsledku působeniacute odporovyacutech sil Předpoklaacutedaacuteme tedy netlumeneacute kmitaacuteniacute3 Pružina maacute zanedbatelnou hmotnost

Pohybovaacute rovnice tělesa

a) Jestliže na pružinu zavěsiacuteme těleso (zaacutevažiacute) hmotnosti m pružina zvětšiacute svou deacutelku o y0 a souřadnice jejiacuteho konce bude 0 Nechť těleso visiacute v klidu na pružině (obr Km 1) Pohybovaacute rovnicetělesa bude v tomto přiacutepadě miacutet tento tvar

Fp0+FG=o

47

Velikost siacutely pružnosti je Fp0=k∣y0∣

Ve složkoveacutem zaacutepise dostaneme

k∣y0∣minusmg=0

b) Vnějšiacute silou stlačiacuteme pružinu s tělesem tak aby byla poloha tělesa určena souřadniciacute A a těleso bylo v klidu Přestane-li poteacute tato vnějšiacute siacutela působit těleso bude konat netlumeneacute harmonickeacute kmitaacuteniacute popsaneacute pohybovou rovniciacute (obr Km 2)

Fp0+FG+Fp=m a

k∣y0∣minusmgminusky=ma y

kde ay je y-ovaacute souřadnice zrychleniacute a y je souřadnice určujiacuteciacute polohu tělesa Znameacutenko souřadnicesiacutely pružnosti Fp je vždy opačneacute vzhledem ke znameacutenku souřadnice y proto maacute souřadnice siacutelypružnosti tvar -ky Všimněte si (obr Km 2) že siacutela pružnosti Fp zaacutevisiacute pouze na poloze tělesanikoliv na jeho pohyboveacutem stavu

Našim ciacutelem je popsat pohyb tzn určit zaacutevislost y na čase Upravme proto složkovyacute tvar pohyboveacute rovnice

ma y=minusky

md2 y

d t2+ky=0

d2 y

d t2+

km

y=0 (76)

Ziacuteskali jsme diferenciaacutelniacute rovnici 2 řaacutedu s konstantniacutemi koeficienty jejiacutež řešeniacute je možneacute upravit do tvaru

y=A sin(ω t+ϕ 0) (77)

kde

48

ω=2πT

=radic km

(78)

je uacutehlovaacute frekvence ϕ=ω t+ϕ0 faacuteze pohybu a ϕ 0 počaacutetečniacute faacuteze Na obr Km 3 vidiacutete časoveacuteprůběhy vyacutechylek pro různeacute hodnoty počaacutetečniacute faacuteze a znaacutezorněniacute analogie mezi harmonickyacutemkmitaacuteniacutem lineaacuterniacuteho oscilaacutetoru a rovnoměrneacuteho pohybu hmotneacuteho bodu po kružnici

Rychlost kmitaveacuteho pohybu

Rychlost (y-ovou souřadnici rychlosti) dostaneme derivaciacute souřadnice podle času

v y=d yd t

=Aω cos(ω t+ϕ 0) (79)

Amplituda rychlosti je v m=A ω Pro velikost rychlosti platiacute

v=∣v y∣ (80)

Zrychleniacute kmitaveacuteho pohybu

Zrychleniacute (y-ovou souřadnici zrychleniacute) dostaneme derivaciacute rychlosti podle času

49

a y=d v y

d t=minusA ω

2 sin(ω t+ϕ 0) (81)

Amplituda zrychleniacute je am=A ω2 Pro velikost zrychleniacute platiacute

a=∣a y∣ (82)

Na obr Km 4 jsou zakresleny časoveacute zaacutevislosti souřadnice souřadnice rychlosti a zrychleniacute pro přiacutepad kdy je počaacutetečniacute faacuteze ϕ 0=

π2

rad

Mechanickaacute energie harmonickeacuteho oscilaacutetoru

Potenciaacutelniacute energie harmonickeacuteho oscilaacutetoru při vyacutechylce y1 je rovna praacuteci kterou vykonaacute siacutelapružnosti při přemiacutestěniacute tělesa z polohy o souřadnici y1 do rovnovaacutežneacute polohy v bodě o souřadnici0 Siacutela pružnosti je Fp = -ky a proto

W y1rarr0=Ep( y1)=inty1

0

minusky d y= 12

ky12

Obecně platiacute

50

Ep( y )=12

ky2=

12

kA2 sin2(ω t+ϕ0) (83)

Kinetickou energii harmonickeacuteho oscilaacutetoru lze vyjaacutedřit s využitiacutem vzorce (77) takto

Ek=12

mv2=

12

m(d yd t

)2

=12

mA2ω

2 cos2(ω t+ϕ0)=

12

kA 2 cos2(ω t+ϕ 0) (84)

Pro celkovou mechanickou energii proto platiacute

E=Ek+Ep=12

kA2 (85)

Mechanickaacute energie harmonickeacuteho oscilaacutetoru je tedy na čase nezaacutevislaacute Na obraacutezku jsou znaacutezorněny potenciaacutelniacute a kinetickaacute energie harmonickeacuteho oscilaacutetoru jako funkce času

51

Kyvadla

Fyzickeacute kyvadlo

je tuheacute těleso otaacutečiveacute kolem pevneacute osy kteraacute kteraacute neprochaacuteziacute těžištěm

Studujme rotaci tuheacuteho tělesa po vychyacuteleniacute tělesa z rovnovaacutežneacute polohy působiacute na těleso momenttiacutehoveacute siacutely a moment reakce osy na tiacutehu tělesa Pohybovaacute rovnice rotačniacuteho pohybu nabyacutevaacute prototento tvar

M FG+M FR

=J ϵ

Moment reakčniacute siacutely maacute nulovou velikost neboť tato siacutela samozřejmě prochaacuteziacute rotačniacute osou Přepišme pohybovou rovnici rotačniacuteho pohybu do složkoveacuteho tvaru

minusmghsin θ=Jd2θ

d t2

v němž znameacutenko minus vyjadřuje opět skutečnost že moment tiacutehoveacute siacutely působiacute proti uacutehloveacute vyacutechylce Jestliže je uacutehel θ malyacute natolik aby platil vztah sin θ asymp θ můžeme upravit pohybovou rovnici do tvaru

d2θ

d t2+

mghθJ

=0 (86)

kteryacute je velmi podobnyacute rovniciacutem (76) (lineaacuterniacute harmonickyacute oscilaacutetor) Řešeniacute rovnice (86) je možneacuteupravit do tvaru

θ=θm sin(ω t+ϕ 0) (87)

kde

52

ω=2πT

=radicmghJ

(88)

je uacutehlovaacute frekvence ϕ=ω t+ϕ0 faacuteze pohybu a ϕ 0 počaacutetečniacute faacuteze J moment setrvačnosti tělesaa h vzdaacutelenost těžiště tělesa od rotačniacute osy Perioda kmitaacuteniacute fyzickeacuteho kyvadla je

T=2πradic Jmgh

(89)

Matematickeacute kyvadlo

je abstraktniacute objekt tvořenyacute hmotnyacutem bodem o hmotnosti m a nehmotnyacutem pevnyacutem vlaacuteknem deacutelky l (obr Km 5) I pro periodu kmitaacuteniacute matematickeacuteho kyvadla platiacute vztah (89) kde

J=ml2

Nakonec pro periodu kmitaacuteniacute matematickeacuteho kyvadla platiacute

T=2πradic ml2

mgl=2πradic l

g (90)

neboť h = l

PoznRedukovanaacute lR deacutelka je deacutelka matematickeacuteho kyvadla ktereacute kmitaacute se stejnou periodou jako fyzickeacutekyvadlo

53

2πradic Jmgh

=2πradiclR

g

takže

lR=J

mh (91)

Tlumeneacute kmitaacuteniacute

Jestliže nedochaacuteziacute u reaacutelnyacutech oscilaacutetorů ke kompenzaci ztraacutet mechanickeacute energie z vnějšiacuteho zdrojeneplatiacute zaacutekon zachovaacuteniacute mechanickeacute energie Současně klesaacute amplituda kmitaacuteniacute Řiacutekaacuteme že kmityjsou tlumeny Přiacutečinou je odpor prostřediacute (vzduchu kapaliny apod) vnitřniacute třeniacute v materiaacutelu tělesatvořiacuteciacuteho pružnou vazbu (např pružina) Předpoklaacutedejme působeniacute odporu prostřediacute a že je velikostodporoveacute siacutely přiacutemo uacuteměrnaacute velikosti rychlosti kmitaacuteniacute v

Fo=rv kde r je koeficient odporu[r] = kgmiddots-1

Vnějšiacute silou stlačiacuteme pružinu s tělesem tak aby byla poloha tělesa určena souřadniciacute A0 a tělesobylo v klidu Přestane-li poteacute vnějšiacute siacutela působit těleso bude konat tlumeneacute harmonickeacute kmitaacuteniacutepopsaneacute touto pohybovou rovniciacute (obr Km 6)

Fp0+FG+Fp+Fo=m a

k∣y0∣minusmgminuskyminusrv y=ma y

kde vy je y-ovaacute souřadnice rychlosti ay je y-ovaacute souřadnice zrychleniacute a y je souřadnice určujiacuteciacutepolohu tělesa Znameacutenko souřadnice siacutely pružnosti Fp je vždy opačneacute vzhledem ke znameacutenkusouřadnice y proto maacute souřadnice siacutely pružnosti tvar -ky a znameacutenko souřadnice odporoveacute siacutely Fo

je vždy opačneacute vzhledem ke znameacutenku souřadnice rychlosti vy proto maacute souřadnice odporoveacute siacutelytvar -rvy

54

may=minuskyminusrv y

md2 y

d t2+r

d yd t

+ky=0

d2 yd t 2 +

rm

d yd t

+km

y=0 (92)

y=A0 eminusrt2m sin(ω t+ϕ 0)=A0 eminusbt sin (ω t+ϕ 0)

(93)

kde

ω =radicω2minus

r2

4m2(94)

je uacutehlovaacute frekvence tlumeneacuteho oscilaacutetoru ω uacutehlovaacute frekvence netlumeneacuteho oscilaacutetoru

ϕ=ω t+ϕ 0 faacuteze pohybu ϕ 0 počaacutetečniacute faacuteze a b=r

2mkonstanta uacutetlumu Jestliže je tlumeniacute

slabeacute tzn ω≫r

2m platiacute ω simω Je-li naopak tlumeniacute silneacute a to tak že je vyacuteraz po

odmocninou ve vztahu (94) menšiacute nebo roven nule vznikne aperiodickyacute pohyb (km7) kteryacutem sedaacutele nebudeme zabyacutevat Pro bdquoběžnouldquo hodnotu ωgtb tlumeniacute je na obr Km 8 znaacutezorněnazaacutevislost vyacutechylky na čase

55

Energie tlumeneacuteho oscilaacutetoru

Během tlumeneacuteho kmitaacuteniacute dochaacuteziacute k poklesu mechanickeacute energie oscilaacutetoru kterou můžeme vyjaacutedřit v tomto tvaru

E= 12

mv2+

12

ky2

Vyjaacutedřeme rychlost změny mechanickeacute energie v čase

d Ed t

=mvd vd t

+kyd yd t

=minusrv2 (95)

Dochaacuteziacute tedy k nerovnoměrneacutemu poklesu energie v čase

56

MECHANICKEacute VLNĚNIacute

UacutevodVlny na vodniacute hladině zvuk zemětřeseniacute - jednaacute se o přiacuteklady mechanickeacuteho vlněniacute Vlněniacute vznikaacutetam kde je systeacutem vychyacutelen z rovnovaacutehy a tento rozruch se může šiacuteřit z jedneacute čaacutesti systeacutemu najinou Tomuto šiacuteřeniacute rozruchu prostorem od miacutesta k miacutestu řiacutekaacuteme postupneacute vlněniacute Tento rozruchmůže byacutet nejrůznějšiacute povahy deformace pružneacuteho tělesa (např zemětřeseniacute) změna hustoty (napřzvuk) teploty intenzit elektromagnetickeacuteho pole (např světlo) Přitom vlněniacute přenaacutešiacute energiiNapřiacuteklad energie světelnyacutech vln zahřiacutevaacute povrch Země energie seizmickyacutech vln může narušitzemskou kůru

V teacuteto kapitole se budeme zabyacutevat mechanickyacutem vlněniacutem ktereacute se šiacuteřiacute hmotnyacutem prostřediacutemKrystal si můžeme představit jako soustavu pravidelně uspořaacutedanyacutech vzaacutejemně svaacutezanyacutechlineaacuterniacutech harmonickyacutech oscilaacutetorů (obr Vln1) Jejich vazba je zprostředkovaacutenamezimolekulaacuterniacutemi silami Napřiacuteklad při vychyacuteleniacute jednoho oscilaacutetoru či objemoveacuteho elementu serovnovaacuteha narušiacute a začnou se pohybovat i sousedniacute objemoveacute elementy - rozruch se šiacuteřiacute jistoukonečnou rychlostiacute na všechny strany S podobnyacutem mechanismem se setkaacutevaacuteme u všech laacutetekpevneacuteho kapalneacuteho a plynneacuteho skupenstviacute Miacutestniacute rozruch (deformace komprese) se vlivemmezimolekulaacuterniacutech sil přenaacutešiacute do ostatniacutech miacutest

Rozlišujeme vlněniacute přiacutečneacute (obr vln2 a) podeacutelneacute (obr vln2 b) a (obr vln2 c) smiacutešeneacute (vyacutechylka z rovnovaacutežneacute polohy maacute podeacutelnou i přiacutečnou komponentu) Ve všech přiacutepadech na obraacutezku vln2 dochaacuteziacute k šiacuteřeniacute rozruchu tedy narušeniacute rovnovaacutežneacuteho stavu systeacutemu (provaacutezek v klidu a rovnyacute kapalina ve stavu se stacionaacuterniacutem rozloženiacutem tlaku kapalina s klidnou a vodorovnou hladinou) Rychlost šiacuteřeniacute rozruchu se nazyacutevaacute faacutezovaacute rychlost vlněniacute Jejiacute velikost je určena mechanickyacutemi vlastnostmi prostřediacute kteryacutem se vlněniacute šiacuteřiacute

57

Vlněniacute přenaacutešiacute energii ale nepřenaacutešiacute hmotu z jednoho miacutesta na druheacute

Matematickyacute popis lineaacuterniacuteho postupneacuteho vlněniacute

Prostřediacute je omezeno na tzv přiacutemou bodovou řaduNechť je homogenniacute provaz na jednom sveacutem konci upevněn a visiacute svisle dolů Předpoklaacutedejme žezačne upevněniacute konat netlumeneacute harmonickeacute kmitaacuteniacute s nulovou počaacutetečniacute faacuteziacute a amplitudou Ajehož vyacutechylka bude zaacuteviset na čase takto

y=A sin (ω t)

58

Tento kmitavyacute rozruch se začne v důsledku vzniku napětiacute mezi vychylujiacuteciacutemi se uacuteseky provazu šiacuteřitpodeacutel osy x (viz obr vln2a) tzv faacutezovou rychlostiacute vφ Do bodu o souřadnici Do Do bodu o souřadnici bodu Do bodu o souřadnici o Do bodu o souřadnici souřadnici Do bodu o souřadnici x Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici vlna Do bodu o souřadnici dostane Do bodu o souřadnici zadobu Do bodu o souřadnici xvφ a Do bodu o souřadnici proto Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici vyacutechylka Do bodu o souřadnici v Do bodu o souřadnici bodě Do bodu o souřadnici o Do bodu o souřadnici souřadnici Do bodu o souřadnici x Do bodu o souřadnici a Do bodu o souřadnici v Do bodu o souřadnici čase Do bodu o souřadnici t Do bodu o souřadnici určena Do bodu o souřadnici vztahem Do bodu o souřadnici

y (x t)=A sinω(tminust )=A sinω(tminusxvϕ

)=A sin 2π(tTminus

xT vϕ

)=A sin 2π (tTminus

xλ)

y=A sin(ω tminuskx )(96)

Veličina Do bodu o souřadnici λ Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici vlnovaacute Do bodu o souřadnici deacutelka Do bodu o souřadnici kterou Do bodu o souřadnici lze Do bodu o souřadnici interpretovat Do bodu o souřadnici jako Do bodu o souřadnici nejmenšiacute Do bodu o souřadnici vzdaacutelenost Do bodu o souřadnici měřenaacute Do bodu o souřadnici ve Do bodu o souřadnici směru Do bodu o souřadnici šiacuteřeniacutevlny Do bodu o souřadnici na Do bodu o souřadnici ktereacute Do bodu o souřadnici dochaacuteziacute Do bodu o souřadnici k Do bodu o souřadnici opakovaacuteniacute Do bodu o souřadnici tvaru Do bodu o souřadnici vlny Do bodu o souřadnici V Do bodu o souřadnici homogenniacutem Do bodu o souřadnici prostřediacute Do bodu o souřadnici Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici vlnovaacute Do bodu o souřadnici deacutelka Do bodu o souřadnici takeacute Do bodu o souřadnici rovnavzdaacutelenosti Do bodu o souřadnici o Do bodu o souřadnici kterou Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici posune Do bodu o souřadnici čelo Do bodu o souřadnici vlny Do bodu o souřadnici za Do bodu o souřadnici dobu Do bodu o souřadnici jedneacute Do bodu o souřadnici periody Do bodu o souřadnici k Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici uacutehlovyacute vlnočet Do bodu o souřadnici Všimněme Do bodu o souřadnici siže Do bodu o souřadnici y Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici funkciacute Do bodu o souřadnici dvou Do bodu o souřadnici proměnnyacutech Do bodu o souřadnici času Do bodu o souřadnici a Do bodu o souřadnici souřadnice Do bodu o souřadnici x y Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici nazyacutevaacute Do bodu o souřadnici vlnovaacute funkce

Odraz vlněniacute

Předpoklaacutedejme Do bodu o souřadnici že Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici bdquobodovou Do bodu o souřadnici řadouldquo Do bodu o souřadnici šiacuteřiacute Do bodu o souřadnici postupneacute Do bodu o souřadnici lineaacuterniacute Do bodu o souřadnici vlněniacute Do bodu o souřadnici Tato Do bodu o souřadnici bodovaacute Do bodu o souřadnici řada Do bodu o souřadnici může Do bodu o souřadnici končitbuď Do bodu o souřadnici pevnyacutem Do bodu o souřadnici nebo Do bodu o souřadnici volnyacutem Do bodu o souřadnici koncem Do bodu o souřadnici Vlněniacute Do bodu o souřadnici ktereacute Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici dostalo Do bodu o souřadnici na Do bodu o souřadnici konec Do bodu o souřadnici bodoveacute Do bodu o souřadnici řady Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici vraciacute Do bodu o souřadnici zpět Do bodu o souřadnici =dochaacuteziacute Do bodu o souřadnici k Do bodu o souřadnici odrazu Do bodu o souřadnici vlněniacute Do bodu o souřadnici Je-li Do bodu o souřadnici konec Do bodu o souřadnici řady Do bodu o souřadnici pevnyacute Do bodu o souřadnici působiacute Do bodu o souřadnici bdquoukotveniacuteldquo Do bodu o souřadnici bodoveacute Do bodu o souřadnici řady Do bodu o souřadnici reakčniacute Do bodu o souřadnici siloukteraacute Do bodu o souřadnici změniacute Do bodu o souřadnici vyacutechylku Do bodu o souřadnici předposledniacuteho Do bodu o souřadnici bodu Do bodu o souřadnici v Do bodu o souřadnici řadě Do bodu o souřadnici v Do bodu o souřadnici opačnou Do bodu o souřadnici Vlněniacute Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici tedy Do bodu o souřadnici odraacutežiacute Do bodu o souřadnici na Do bodu o souřadnici pevneacutemkonci Do bodu o souřadnici s Do bodu o souřadnici opačnou faacuteziacute (obr Do bodu o souřadnici odr1a) Do bodu o souřadnici Naopak Do bodu o souřadnici na Do bodu o souřadnici volneacutem Do bodu o souřadnici konci Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici vlněniacute Do bodu o souřadnici odraacutežiacute Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici stejnou Do bodu o souřadnici faacuteziacute Do bodu o souřadnici (obrodr1b)

Interference vlněniacute

Danou Do bodu o souřadnici oblastiacute Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici může Do bodu o souřadnici šiacuteřit Do bodu o souřadnici vlněniacute Do bodu o souřadnici z Do bodu o souřadnici různyacutech Do bodu o souřadnici zdrojů Do bodu o souřadnici Jestliže Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici tato Do bodu o souřadnici vlněniacute Do bodu o souřadnici v Do bodu o souřadnici některyacutech Do bodu o souřadnici miacutestechsetkajiacute Do bodu o souřadnici a Do bodu o souřadnici potom Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici zase Do bodu o souřadnici rozchaacutezejiacute Do bodu o souřadnici chovajiacute Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici tak Do bodu o souřadnici jako Do bodu o souřadnici by Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici spolu Do bodu o souřadnici vůbec Do bodu o souřadnici nesetkala Do bodu o souřadnici Tento Do bodu o souřadnici faktnazyacutevaacuteme Do bodu o souřadnici princip nezaacutevislosti šiacuteřeniacute vlněniacute Do bodu o souřadnici U Do bodu o souřadnici překryacutevajiacuteciacutech Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici vln Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici vyacutechylky Do bodu o souřadnici vektorově Do bodu o souřadnici sčiacutetajiacutea Do bodu o souřadnici vytvaacuteřejiacute Do bodu o souřadnici jednu Do bodu o souřadnici vyacuteslednou Do bodu o souřadnici vlnu Do bodu o souřadnici (princip superpozice) Do bodu o souřadnici ndash Do bodu o souřadnici platiacute Do bodu o souřadnici za Do bodu o souřadnici předpokladu Do bodu o souřadnici že Do bodu o souřadnici vlastnostiprostřediacute Do bodu o souřadnici nejsou Do bodu o souřadnici ovlivněny Do bodu o souřadnici vyacutechylkou Do bodu o souřadnici Jevy Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici sklaacutedaacuteniacutem Do bodu o souřadnici vlněniacute Do bodu o souřadnici podle Do bodu o souřadnici principu Do bodu o souřadnici superpozice Do bodu o souřadnici spojeneacutese Do bodu o souřadnici nazyacutevajiacute Do bodu o souřadnici interferenčniacute jevy Do bodu o souřadnici a Do bodu o souřadnici obecně Do bodu o souřadnici hovořiacuteme Do bodu o souřadnici o Do bodu o souřadnici interferenci vlněniacute Do bodu o souřadnici Interference Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici vněkteryacutech Do bodu o souřadnici miacutestech Do bodu o souřadnici projevuje Do bodu o souřadnici zvyacutešeniacutem Do bodu o souřadnici amplitudy Do bodu o souřadnici (dochaacuteziacute Do bodu o souřadnici k Do bodu o souřadnici zesiacuteleniacute Do bodu o souřadnici vlněniacute) Do bodu o souřadnici v Do bodu o souřadnici jinyacutech Do bodu o souřadnici miacutestechdochaacuteziacute Do bodu o souřadnici ke Do bodu o souřadnici zmenšeniacute Do bodu o souřadnici amplitudy

Sklaacutedajiacuteciacute Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici vlněniacute Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici mohou Do bodu o souřadnici lišit Do bodu o souřadnici vlnovou Do bodu o souřadnici deacutelkou Do bodu o souřadnici frekvenciacute Do bodu o souřadnici amplitudou Do bodu o souřadnici faacuteziacute Do bodu o souřadnici směrem Do bodu o souřadnici šiacuteřeniacutesměrem Do bodu o souřadnici kmitaacuteniacute Do bodu o souřadnici Zaměřiacuteme Do bodu o souřadnici pozornost Do bodu o souřadnici na Do bodu o souřadnici vlněniacute Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici stejnou Do bodu o souřadnici frekvenciacute Do bodu o souřadnici a Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici stejnou Do bodu o souřadnici faacuteziacute Do bodu o souřadnici nebo Do bodu o souřadnici stejnyacutemfaacutezovyacutem Do bodu o souřadnici rozdiacutelem Do bodu o souřadnici Takovaacute Do bodu o souřadnici vlněniacute Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici nazyacutevajiacute Do bodu o souřadnici koherentniacuteObr Do bodu o souřadnici odr1

59

Uvažujme Do bodu o souřadnici sklaacutedaacuteniacute Do bodu o souřadnici dvou Do bodu o souřadnici lineaacuterně Do bodu o souřadnici polarizovanyacutech Do bodu o souřadnici vln Do bodu o souřadnici (kmity Do bodu o souřadnici stejnyacutem Do bodu o souřadnici směrem Do bodu o souřadnici ndash Do bodu o souřadnici např Do bodu o souřadnici kolmo Do bodu o souřadnici krovině Do bodu o souřadnici naacutekresny Do bodu o souřadnici (obr Do bodu o souřadnici int1) Do bodu o souřadnici o Do bodu o souřadnici stejneacute Do bodu o souřadnici vlnoveacute Do bodu o souřadnici deacutelce Do bodu o souřadnici a Do bodu o souřadnici frekvenci Do bodu o souřadnici kteraacute Do bodu o souřadnici vysiacutelajiacute Do bodu o souřadnici dva Do bodu o souřadnici zdroje Do bodu o souřadnici Z1 Do bodu o souřadnici a Do bodu o souřadnici Z2 Do bodu o souřadnici a Do bodu o souřadnici šiacuteřiacutese Do bodu o souřadnici stejnou Do bodu o souřadnici faacutezovou Do bodu o souřadnici rychlostiacute Do bodu o souřadnici do Do bodu o souřadnici bodu Do bodu o souřadnici M Do bodu o souřadnici prostoru Do bodu o souřadnici kteryacute Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici od Do bodu o souřadnici zdroje Do bodu o souřadnici vlněniacute Do bodu o souřadnici vzdaacutelen Do bodu o souřadnici o Do bodu o souřadnici hodnoty Do bodu o souřadnici x1 Do bodu o souřadnici ax2 Do bodu o souřadnici Může Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici jednat Do bodu o souřadnici o Do bodu o souřadnici podeacutelneacute Do bodu o souřadnici vlněniacute Do bodu o souřadnici proto Do bodu o souřadnici v Do bodu o souřadnici dalšiacutem Do bodu o souřadnici textu Do bodu o souřadnici budeme Do bodu o souřadnici označovat Do bodu o souřadnici vlnovou Do bodu o souřadnici funkcipiacutesmenem Do bodu o souřadnici u Do bodu o souřadnici V Do bodu o souřadnici bodě Do bodu o souřadnici M Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici popsaacuteno Do bodu o souřadnici kmitaacuteniacute Do bodu o souřadnici souvisejiacuteciacute Do bodu o souřadnici s Do bodu o souřadnici vlnou Do bodu o souřadnici ze Do bodu o souřadnici zdroje Do bodu o souřadnici Z1 Do bodu o souřadnici funkciacute

u1=A1sin (ω tminuskx1)

a Do bodu o souřadnici kmitaacuteniacute Do bodu o souřadnici souvisejiacuteciacute Do bodu o souřadnici s Do bodu o souřadnici vlnou Do bodu o souřadnici ze Do bodu o souřadnici zdroje Do bodu o souřadnici Z2 Do bodu o souřadnici funkciacute

u2=A2 sin (ω tminuskx2)

Vyacutesledneacute Do bodu o souřadnici kmitaacuteniacute Do bodu o souřadnici v Do bodu o souřadnici bodě Do bodu o souřadnici M Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici určiacute Do bodu o souřadnici podle Do bodu o souřadnici principu Do bodu o souřadnici superpozice Do bodu o souřadnici jako Do bodu o souřadnici algebraickyacute Do bodu o souřadnici (u Do bodu o souřadnici polarizovanyacutechvln) Do bodu o souřadnici součet Do bodu o souřadnici jednotlivyacutech Do bodu o souřadnici vyacutechylek

60

u=u1+u2

Očekaacutevejme Do bodu o souřadnici v Do bodu o souřadnici bodě Do bodu o souřadnici M Do bodu o souřadnici vyacutesledneacute Do bodu o souřadnici kmitaacuteniacute Do bodu o souřadnici ve Do bodu o souřadnici tvaru

u=A sin (ω tminusϕ0) (97)

Upravme Do bodu o souřadnici funkce Do bodu o souřadnici pro Do bodu o souřadnici u Do bodu o souřadnici u1 Do bodu o souřadnici a Do bodu o souřadnici u2 Do bodu o souřadnici užitiacutem Do bodu o souřadnici vzorce Do bodu o souřadnici sin(αminusβ)=sin αcosβminuscosα sinβ Do bodu o souřadnici vytkněmesinω t a Do bodu o souřadnici cosω t a Do bodu o souřadnici vyacuterazy Do bodu o souřadnici před Do bodu o souřadnici těmito Do bodu o souřadnici siny Do bodu o souřadnici a Do bodu o souřadnici kosiny Do bodu o souřadnici porovnejme Do bodu o souřadnici Dostaneme

A sin ϕ=A1sin kx1+A2 sin kx2 (98)

aA cos ϕ=A1 cos kx1+A 2 coskx2 (99)

Rovnice Do bodu o souřadnici Do bodu o souřadnici (98) Do bodu o souřadnici a Do bodu o souřadnici (99) Do bodu o souřadnici umocniacuteme Do bodu o souřadnici na Do bodu o souřadnici druhou Do bodu o souřadnici a Do bodu o souřadnici sečteme Do bodu o souřadnici po Do bodu o souřadnici uacutepravě Do bodu o souřadnici dostaneme

A=radicA12+A 2

2+2A1 A2cos (kx2minuskx1) (100)

Jestliže Do bodu o souřadnici rovnici Do bodu o souřadnici (98) Do bodu o souřadnici vyděliacuteme Do bodu o souřadnici rovniciacute Do bodu o souřadnici (99) Do bodu o souřadnici ziacuteskaacuteme Do bodu o souřadnici novou Do bodu o souřadnici počaacutetečniacute Do bodu o souřadnici faacutezi Do bodu o souřadnici ϕ 0

tgϕ 0=A1sin kx1+A2sin kx2

A1coskx1+A2cos kx2

(101)

Pro Do bodu o souřadnici uacutehlovyacute Do bodu o souřadnici vlnočet Do bodu o souřadnici platiacute Do bodu o souřadnici k=2πλ

Do bodu o souřadnici tudiacutež Do bodu o souřadnici pro Do bodu o souřadnici faacutezovyacute Do bodu o souřadnici rozdiacutel Do bodu o souřadnici platiacute Do bodu o souřadnici

Δϕ=kx2minuskx1=2πλ

(x2minusx1) (102)

Faacutezovyacute Do bodu o souřadnici rozdiacutel Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici tedy Do bodu o souřadnici roven Do bodu o souřadnici 2πλ

- Do bodu o souřadnici naacutesobku Do bodu o souřadnici draacutehoveacuteho Do bodu o souřadnici rozdiacutelu Do bodu o souřadnici x2 Do bodu o souřadnici ndash Do bodu o souřadnici x1 Do bodu o souřadnici

61

Podmiacutenka pro maximum amplitudy (viz (100)) Do bodu o souřadnici cos(kx2minuskx1)=1 Do bodu o souřadnici odtud

Do bodu o souřadnici ∣kx2minuskx1∣=2 lπ l=012

2πλ ∣x2minusx1∣=2 l π

∣x2minusx1∣=lλ=2l λ2

(103)

Je-li Do bodu o souřadnici draacutehovyacute Do bodu o souřadnici rozdiacutel Do bodu o souřadnici roven Do bodu o souřadnici celočiacuteselneacutemu Do bodu o souřadnici naacutesobku Do bodu o souřadnici vlnoveacute Do bodu o souřadnici deacutelky Do bodu o souřadnici tj Do bodu o souřadnici sudeacutemu Do bodu o souřadnici naacutesobku Do bodu o souřadnici polovinyvlnoveacute Do bodu o souřadnici deacutelky Do bodu o souřadnici dosahuje Do bodu o souřadnici vyacuteslednaacute Do bodu o souřadnici amplituda Do bodu o souřadnici vlněniacute Do bodu o souřadnici maximaacutelniacute Do bodu o souřadnici hodnoty Do bodu o souřadnici (konstruktivniacute Do bodu o souřadnici interference)kteraacute Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici podle Do bodu o souřadnici vzorce Do bodu o souřadnici (100)

A=A1+A2 (104)

Podmiacutenka pro minimum amplitudy (viz (100)) Do bodu o souřadnici cos(kx2minuskx1)=minus1 Do bodu o souřadnici odtud

Do bodu o souřadnici ∣kx2minuskx1∣=(2 l+1)π l=012

2πλ∣x2minusx1∣=(2 l+1)π

∣x2minusx1∣=(2l+1) λ2

(105)

Je-li Do bodu o souřadnici draacutehovyacute Do bodu o souřadnici rozdiacutel Do bodu o souřadnici roven Do bodu o souřadnici licheacutemu Do bodu o souřadnici naacutesobku Do bodu o souřadnici poloviny Do bodu o souřadnici vlnoveacute Do bodu o souřadnici deacutelky Do bodu o souřadnici dosahuje Do bodu o souřadnici vyacuteslednaacute Do bodu o souřadnici amplituda Do bodu o souřadnici vlněniacute Do bodu o souřadnici minimaacutelniacute Do bodu o souřadnici hodnoty Do bodu o souřadnici (destruktivniacute Do bodu o souřadnici interference) Do bodu o souřadnici kteraacute Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici podle Do bodu o souřadnici vzorce Do bodu o souřadnici (100)

A=∣A1minusA2∣ (106)

Stojateacute vlněniacute

Stojateacute Do bodu o souřadnici vlněniacute Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici zvlaacuteštniacutem Do bodu o souřadnici přiacutepadem Do bodu o souřadnici vlněniacute Do bodu o souřadnici ktereacute Do bodu o souřadnici vznikaacute Do bodu o souřadnici interferenciacute Do bodu o souřadnici dvou Do bodu o souřadnici vlněniacute Do bodu o souřadnici o Do bodu o souřadnici stejneacute Do bodu o souřadnici amplitudě Do bodu o souřadnici a Do bodu o souřadnici frekvenci Do bodu o souřadnici postupujiacuteciacutech Do bodu o souřadnici proti Do bodu o souřadnici sobě Do bodu o souřadnici (obr Do bodu o souřadnici 1st)

K Do bodu o souřadnici nalezeniacute Do bodu o souřadnici vyacutesledneacute Do bodu o souřadnici vlny Do bodu o souřadnici lze Do bodu o souřadnici použiacutet Do bodu o souřadnici princip Do bodu o souřadnici superpozice Do bodu o souřadnici Za Do bodu o souřadnici těchto Do bodu o souřadnici podmiacutenek Do bodu o souřadnici lze Do bodu o souřadnici psaacutet Do bodu o souřadnici vlnoveacute Do bodu o souřadnici funkceobou Do bodu o souřadnici vlněniacute Do bodu o souřadnici ve Do bodu o souřadnici tvarech Do bodu o souřadnici

u1=A sin (ω tminuskx) (107)

a

u2=A sin (ω t+kx) (108)

Vlnovaacute Do bodu o souřadnici funkce Do bodu o souřadnici stojateacuteho Do bodu o souřadnici vlněniacute Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici určena Do bodu o souřadnici principem Do bodu o souřadnici superpozice Do bodu o souřadnici tedy

62

u=u1+u2=A(sin (ω tminuskx)+sin(ω t+kx ))=2A cos kx sinω t (109)

Při Do bodu o souřadnici uacutepravě Do bodu o souřadnici byla Do bodu o souřadnici použita Do bodu o souřadnici identita

sinα+sinβ=2sinα+β

2cos

αminusβ

2

Vyacutesledneacute Do bodu o souřadnici vlněniacute Do bodu o souřadnici maacute Do bodu o souřadnici tedy Do bodu o souřadnici stejnou Do bodu o souřadnici frekvenci Do bodu o souřadnici jako Do bodu o souřadnici obě Do bodu o souřadnici interferujiacuteciacute Do bodu o souřadnici vlněniacute Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici harmonickeacute Do bodu o souřadnici a Do bodu o souřadnici maacute Do bodu o souřadnici amplitudu

Ast=2A cos kx=2A cos 2πxλ

(110)

jejiacutež Do bodu o souřadnici hodnota Do bodu o souřadnici zaacutevisiacute Do bodu o souřadnici za Do bodu o souřadnici danyacutech Do bodu o souřadnici podmiacutenek Do bodu o souřadnici pouze Do bodu o souřadnici na Do bodu o souřadnici souřadnici Do bodu o souřadnici x Do bodu o souřadnici Amplituda Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici maximaacutelniacute Do bodu o souřadnici v Do bodu o souřadnici miacutestech Do bodu o souřadnici kteryacutem Do bodu o souřadnici řiacutekaacuteme Do bodu o souřadnici kmitny Do bodu o souřadnici Funkce Do bodu o souřadnici kosinus Do bodu o souřadnici maacute Do bodu o souřadnici maximaacutelniacute Do bodu o souřadnici hodnotu Do bodu o souřadnici 1 Do bodu o souřadnici proto Do bodu o souřadnici Amax=2A a Do bodu o souřadnici z Do bodu o souřadnici podmiacutenky Do bodu o souřadnici

∣cos2π xλ∣=1

vyplyacutevaacute Do bodu o souřadnici pro Do bodu o souřadnici souřadnice Do bodu o souřadnici kmiten Do bodu o souřadnici vztah Do bodu o souřadnici

2πxλ=plusmnkπ

x=plusmnk λ2

k=012

Snadno Do bodu o souřadnici lze Do bodu o souřadnici dokaacutezat Do bodu o souřadnici že Do bodu o souřadnici vzdaacutelenost Do bodu o souřadnici dvou Do bodu o souřadnici sousedniacutech Do bodu o souřadnici kmiten Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici rovna Do bodu o souřadnici polovině Do bodu o souřadnici vlnoveacute Do bodu o souřadnici deacutelky

Body Do bodu o souřadnici v Do bodu o souřadnici nichž Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici amplituda Do bodu o souřadnici staacutele Do bodu o souřadnici nulovaacute Do bodu o souřadnici nazyacutevaacuteme Do bodu o souřadnici uzly Do bodu o souřadnici V Do bodu o souřadnici nich Do bodu o souřadnici musiacute Do bodu o souřadnici byacutet Do bodu o souřadnici splněna Do bodu o souřadnici podmiacutenka

cos 2πxλ=0

ze Do bodu o souřadnici ktereacute Do bodu o souřadnici vyplyacutevaacute Do bodu o souřadnici že

2π xλ=plusmn(2k+1) π

2

x=plusmn(2k+1) λ4

k=012

Vzdaacutelenost Do bodu o souřadnici dvou Do bodu o souřadnici sousedniacutech Do bodu o souřadnici uzlů Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici opět Do bodu o souřadnici λ2

63

Šiacuteřeniacute vlněniacute v prostoru

Nechť Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici vlněniacute Do bodu o souřadnici šiacuteřiacute Do bodu o souřadnici v Do bodu o souřadnici izotropniacutem prostřediacute Do bodu o souřadnici ktereacute Do bodu o souřadnici maacute Do bodu o souřadnici ve Do bodu o souřadnici všech Do bodu o souřadnici směrech Do bodu o souřadnici stejneacute Do bodu o souřadnici fyzikaacutelniacute Do bodu o souřadnici vlastnostitedy Do bodu o souřadnici i Do bodu o souřadnici faacutezovou Do bodu o souřadnici rychlost Do bodu o souřadnici vlněniacute Do bodu o souřadnici Z Do bodu o souřadnici bodoveacuteho Do bodu o souřadnici zdroje Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici rozšiacuteřiacute Do bodu o souřadnici vlněniacute Do bodu o souřadnici do Do bodu o souřadnici vzdaacutelenosti Do bodu o souřadnici vt Do bodu o souřadnici ve Do bodu o souřadnici všechsměrech Do bodu o souřadnici Body Do bodu o souřadnici do Do bodu o souřadnici kteryacutech Do bodu o souřadnici vlněniacute Do bodu o souřadnici dospělo Do bodu o souřadnici za Do bodu o souřadnici dobu Do bodu o souřadnici t Do bodu o souřadnici tvořiacute Do bodu o souřadnici plochu Do bodu o souřadnici kteraacute Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici nazyacutevaacute Do bodu o souřadnici vlnoplocha Do bodu o souřadnici Vpřiacutepadě Do bodu o souřadnici bodoveacuteho Do bodu o souřadnici zdroje Do bodu o souřadnici vlněniacute Do bodu o souřadnici v Do bodu o souřadnici izotropniacutem Do bodu o souřadnici prostřediacute Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici vlnoplochou Do bodu o souřadnici kulovaacute Do bodu o souřadnici plocha Do bodu o souřadnici Vlnoplochulze Do bodu o souřadnici rovněž Do bodu o souřadnici definovat Do bodu o souřadnici jako Do bodu o souřadnici množinu Do bodu o souřadnici bodů Do bodu o souřadnici ktereacute Do bodu o souřadnici kmitajiacute Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici stejnou Do bodu o souřadnici faacuteziacute Do bodu o souřadnici Křivka Do bodu o souřadnici kteraacute Do bodu o souřadnici udaacutevaacute Do bodu o souřadnici směršiacuteřeniacute Do bodu o souřadnici vlněniacute Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici nazyacutevaacute Do bodu o souřadnici paprsek Do bodu o souřadnici V Do bodu o souřadnici prostřediacute Do bodu o souřadnici izotropniacutem Do bodu o souřadnici jsou Do bodu o souřadnici paprsky Do bodu o souřadnici rovnoběžneacute Do bodu o souřadnici s Do bodu o souřadnici normaacutelouvlnoplochy Do bodu o souřadnici v Do bodu o souřadnici daneacutem Do bodu o souřadnici bodě Do bodu o souřadnici Jestliže Do bodu o souřadnici zkoumaacuteme Do bodu o souřadnici tvar Do bodu o souřadnici vlnoplochy Do bodu o souřadnici ve Do bodu o souřadnici velkeacute Do bodu o souřadnici vzdaacutelenosti Do bodu o souřadnici od Do bodu o souřadnici zdrojevlněniacute Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici možneacute Do bodu o souřadnici vlnoplochy Do bodu o souřadnici v Do bodu o souřadnici určiteacute Do bodu o souřadnici čaacutesti Do bodu o souřadnici prostoru Do bodu o souřadnici považovat Do bodu o souřadnici za Do bodu o souřadnici rovinneacute

Huygensův princip Do bodu o souřadnici Všechny Do bodu o souřadnici body Do bodu o souřadnici vlnoplochy Do bodu o souřadnici do Do bodu o souřadnici nichž Do bodu o souřadnici dospělo Do bodu o souřadnici vlněniacute Do bodu o souřadnici v Do bodu o souřadnici určiteacutem Do bodu o souřadnici okamžiku Do bodu o souřadnici sestaacutevajiacute Do bodu o souřadnici bodovyacutemi Do bodu o souřadnici zdroji Do bodu o souřadnici elementaacuterniacuteho Do bodu o souřadnici vlněniacute Do bodu o souřadnici z Do bodu o souřadnici nichž Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici šiacuteřiacute Do bodu o souřadnici vlněniacute Do bodu o souřadnici v Do bodu o souřadnici tzv Do bodu o souřadnici elementaacuterniacutechvlnoplochaacutech Do bodu o souřadnici Obalovaacute Do bodu o souřadnici plocha Do bodu o souřadnici těchto Do bodu o souřadnici elementaacuterniacutech Do bodu o souřadnici vlnoploch Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici pak Do bodu o souřadnici vyacuteslednou Do bodu o souřadnici vlnoplochou

Nechť Do bodu o souřadnici na Do bodu o souřadnici rovinneacute Do bodu o souřadnici rozhraniacute Do bodu o souřadnici dvou Do bodu o souřadnici prostřediacute Do bodu o souřadnici 1 Do bodu o souřadnici a Do bodu o souřadnici 2 Do bodu o souřadnici dopadaacute Do bodu o souřadnici rovinnaacute Do bodu o souřadnici vlna Do bodu o souřadnici Pomociacute Do bodu o souřadnici Huygensova Do bodu o souřadnici principu Do bodu o souřadnici lze Do bodu o souřadnici vysvětlit

1 Zaacutekon odrazu Uacutehel Do bodu o souřadnici odrazu Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici rovnaacute Do bodu o souřadnici uacutehlu dopadu

64

2 Snellův zaacutekon lomu

sinα1

sinα2

=v1

v2

Je-li v1 lt v2 hovořiacuteme o lomu od kolmice v opačneacutem přiacutepadě o lomu ke kolmici Uacutehly α1 a α2 se nazyacutevajiacute uacutehel dopadu a uacutehel lomu

Dosahuje-li uacutehel lomu hodnotu 90deg pak přiacuteslušnyacute uacutehel dopadu nazyacutevaacuteme uacutehlem meznyacutem a značiacuteme αm Podle Snellova zaacutekona platiacute

sinαm=v1

v2

Pro uacutehly α1 gt αm nastaacutevaacute uacuteplnyacute (totaacutelniacute) odraz kdy se vlněniacute nedostane do prostřediacute 2

Dopplerův jev

Pravděpodobně jste si všimli že vyacuteška toacutenu policejniacute houkačky kteraacute je daacutena frekvenciacute rostepokud se policejniacute vůz k vaacutem bliacutežiacute a naopak klesaacute pokud se vzdaluje Jednaacute se o přiacuteklad změnyfrekvence určeneacute charakterem relativniacuteho pohybu zdroje vlněniacute a detektoru vlněniacute (např lidskeacuteucho) Tento jev byl poprveacute popsaacuten v roce 1842 rakouskyacutem fyzikem Christianem Dopplerem a je poněm pojmenovaacuten Experimentaacutelně byl tento jev potvrzen roku 1845 Buys Ballot v Holandskupoužil lokomotivu kteraacute taacutehla otevřenyacute vagoacuten s několika trumpetisty

Dopplerův jev se projevuje nejen u zvukovyacutech vln ale takeacute u elektromagnetickyacutech vln včetněmikrovln raacutediovyacutech vln a viditelneacuteho světla Použiacutevaacute se napřiacuteklad k měřeniacute rychlosti auta policiiacuteradarovaacute jednotka vysiacutelaacute svazek mikrovln jisteacute frekvence směrem k přijiacuteždějiacuteciacutemu autu Mikrovlnyktereacute se odraziacute od kovovyacutech součaacutestiacute auta zpět majiacute vyššiacute frekvenci uacuteměrnou rychlosti pohybu autavůči radaroveacute jednotce Pokud se vůz nepohybuje přiacutemo k radaroveacute jednotce nebo přiacutemo od niacute neniacutenaměřenaacute rychlost přesnaacute ndash naměřenaacute rychlost je menšiacute než skutečnaacute bohužel

65

Detektor v pohybu zdroj v klidu

Posluchač se pohybuje rychlostiacute vL vzhledem ke stacionaacuterniacutemu zdroji S Zdroj emituje zvukoveacutevlněniacute s frekvenciacute fS a vlnovou deacutelkou λ=v f S Na obraacutezku jsou znaacutezorněny vlnoplochy jejichžvzdaacutelenost je λ a ktereacute se pohybujiacute vzhledem k posluchači rychlostiacute v+ vL Frekvence s jakouvlnoplochy přichaacutezejiacute k posluchači což je současně frekvence vniacutemanaacute posluchačem je

f L=v+ vL

λ=

v+ vL

v f S

=(1+vL

v) f S (111)

Pozn Jestliže by se posluchač vzdaloval od zdroje vlněniacute vzaacutejemnaacute rychlost by měla velikostvminusvL a frekvence vniacutemanaacute posluchačem by byla tentokraacutet nižšiacute než frekvence f zvuku

vysiacutelaneacuteho zdrojem

f L=vminusvL

λ=

vminusvL

v f S

=(1minusvL

v) f S (112)

Zdroj a detektor v pohybu

66

Nechť se pohybuje takeacute zdroj vlněniacute rychlostiacute vS Rychlost šiacuteřeniacute vlněniacute v daneacutem prostřediacute v (zdevzduch) neniacute ovlivněna pohybem zdroje ale je určena vlastnostmi prostřediacute Ale vlnovaacute deacutelka neniacute

rovna podiacutelu v f S Během jedneacute periody uraziacute vlna vzdaacutelenost vT =vf S

a zdroj vlněniacute

vzdaacutelenost vS T =vS

f S

Současně je vlnovaacute deacutelka vzdaacutelenostiacute mezi vlnoplochami kteryacutem přiacuteslušiacute

stejnaacute faacuteze a je určena relativniacutem pohybem zdroje vlněniacute a samotneacuteho vlněniacute Z obraacutezku je patrneacuteže se vlnovaacute deacutelka lišiacute před a za zdrojem Vpravo od zdroje platiacute pro vlnovou deacutelku tento vztah

λfront=vf S

minusvS

f S

=vminusvS

f S

(113)

Vlevo od zdroje platiacute

λ behind=v+vS

f S

(114)

Pro vyjaacutedřeniacute frekvence kterou vniacutemaacute posluchač za zdrojem (vlevo od zdroje) dosadiacuteme (114) do prvniacuteho vzorce v (111)

f L=v+ v L

λbehind=

v+ vL

(v+ vS) f S

f L=v+ vL

v+ vS

f S (115)

Pozn Nechť je posluchač v klidu a zdroj se pohybuje směrem k posluchači Pak vS lt 0 a podle (115) platiacute f L=[v (v+vS)] f S Posluchač tedy slyšiacute zvuk o vyššiacute frekvenci

67

TERMODYNAMIKANultyacute zaacutekon termodynamiky

Termodynamika se zabyacutevaacute přenosem energie prostřednictviacutem tepelneacute vyacuteměny mechanickeacute praacutecedalšiacutemi aspekty pojmu energie a tiacutem jak se přenos energie projevuje na vlastnostech hmotyAxiomatickou baacuteziacute termodynamiky jsou termodynamickeacute zaacutekony (spolu s dalšiacutemi postulaacutetytermodynamiky) Představujiacute experimentaacutelně ověřeneacute tvrzeniacute Předmětem zaacutejmu může byacutetnapřiacuteklad motor v automobilu v němž vznikaacute tepelnaacute energie chemickou reakciacute kysliacuteku a par palivave vaacutelciacutech motoru Vzniklyacute plyn působiacute na piacutesty ve vaacutelciacutech tlakovou silou a konaacute tak mechanickoupraacuteci kteraacute se využije k pohonu automobilu Popsanyacute jev je přiacutekladem termodynamickeacuteho děje

Centraacutelniacutem pojmem termodynamiky je teplota Mnoho měřitelnyacutech vlastnostiacute hmoty zaacutevisiacute nateplotě - např deacutelka kovoveacute tyče tlak paacutery v bojleru schopnost vodiče veacutest elektrickyacute proud barvavelmi horkeacuteho tělesa Naacuteš smysl pro teplotu neniacute vždycky věrohodnyacute Napřiacuteklad za studeneacutehozimniacuteho dne se naacutem zdaacute kovoveacute zaacutebradliacute studenějšiacute než dřevěneacute neboť kovoveacute odvaacutediacute energii zprstu rychleji než dřevěneacute

Teplota souvisiacute s kinetickou energiiacute molekul laacutetky ale tato souvislost je velmi komplikovanaacute snad svyacutejimkou ideaacutelniacuteho plynu Teplotu však budeme nyniacute definovat aniž bychom diskutovali pohybmolekul Jednaacute se o makroskopickou definici teploty

Kteroukoli z měřitelnyacutech vlastnostiacute předmětů ktereacute zaacutevisiacute na teplotě (na horkosti či studenosti)můžeme použiacutet jako zaacuteklad přiacutestroje kteryacute naacutem pomůže zaveacutest pojem teploty Přiacuteklady dvoupřiacutestrojů ktereacute se použiacutevajiacute k měřeniacute teploty (teploměry) jsou zobrazeny na obr ter1 a ter2

Obr ter1

Obr ter2

68

Při měřeniacute teploty se teploměr uvede do kontaktu s měřenyacutem tělesem Napřiacuteklad se teploměr ponořiacutedo šaacutelku s horkyacutem čajem Teploměr se přitom zahřeje a čaj v důsledku interakce s teploměremnepatrně ochladiacute Systeacutem (čaj a teploměr) dosaacutehne po určiteacute době stavu tepelneacute rovnovaacutehy vektereacutem interakce mezi teploměrem a čajem nezpůsobuje žaacutedně změny vlastnostiacute systeacutemu

Jestliže mezi dva systeacutemy vložiacuteme tzv tepelnyacute izolant (např dřevo izolačniacute pěna skelnaacute vata)vzaacutejemneacute ovlivňovaacuteniacute probiacutehaacute mnohem pomaleji Ideaacutelniacute tepelnyacute izolant dokonce braacuteniacute dvěmasysteacutemům aby dosaacutehli termodynamickeacute rovnovaacutehy Materiaacutel kteryacute umožňuje tepelnou interakcimnohem rychlejšiacute než je tomu u tepelneacuteho izolantu se nazyacutevaacute tepelnyacute vodič

Nultyacute zaacutekon termodynamiky Je-li systeacutem C v tepelneacute rovnovaacuteze se systeacutemy A a B pak A a Bjsou v tepelneacute rovnovaacuteze navzaacutejem (obr ter3)

Dva systeacutemy jsou v tepelneacute rovnovaacuteze pouze tehdy majiacute-li stejnou teplotu Jestliže se teploty dvousysteacutemů lišiacute nemohou byacutet v tepelneacute rovnovaacuteze

Pro vyjaacutedřeniacute hodnoty teploty se použiacutevajiacute různeacute teplotniacute stupnice ktereacute se lišiacute stavy tepelneacuterovnovaacutehy jimž je přiřazena určitaacute hodnota teplotybull Celsiova teplotniacute stupnice (t) 0degC ndash rovnovaacutežnyacute stav ledu a vody při normaacutelniacutem tlaku nad hladinou (101325 hPa) 100degC ndash teplota varu vody tj rovnovaacutežnyacute stav vody a jejiacute syteacute paacutery za normaacutelniacuteho tlakubull termodynamickaacute (Kelvinova) teplotniacute stupnice (T) 0 K ndash absolutniacute nula současně platiacuteΔT=Δ t

V praxi se můžete setkat s Fahrenheitovou teplotniacute stupniciacute Převodniacute vztah z Celsiovy teplotniacute

stupnice TF=(95t +32) F∘

Obr ter3

69

Teplotniacute roztažnost

Kovoveacute viacutečko na zavařovačce můžeme uvolnit tak že na ni pustiacuteme proud horkeacute vody Viacutečko i skleněnaacute zavařovačka se roztahujiacute avšak atomy kovu se od sebe vzdaacuteliacute viacutece než atomy skla

Teplotniacute roztažnost materiaacutelů je fyzikaacutelniacute jev spočiacutevajiacuteciacute ve změně rozměrů tělesa při změně jeho teploty Projevy teplotniacute roztažnosti je nutno braacutet v uacutevahu v mnoha situaciacutech např

bull expanzniacute mezery v konstrukci mostu mezi kolejnicemibull vhodnyacute materiaacutel zubniacute vyacuteplně tzn se stejnou teplotniacute roztažnostiacute jako okolniacute zubovinabull letadlo Concorde trup musel odolat prodlouženiacute letadla o 125 cm vyvolaneacutemu zahřaacutetiacutem

trupu během letu nadzvukovou rychlostiacute

Teploměry a termostaty byacutevajiacute založeny na rozdiacutelneacute teplotniacute roztažnosti mezi dvěma kovy ktereacute tvořiacute bimetalovyacute proužek (obr ter 4)

Obr ter4

Teplotniacute deacutelkovaacute roztažnost

Změniacute-li se teplota kovoveacute tyče o ΔT=TminusT 0 jejiacute deacutelka l0 se změniacute o hodnotu

Δ l=l(T )minusl0(T 0)=αΔT l0 (116)

kde α je charakteristika materiaacutelu zvanaacute teplotniacute součinitel deacutelkoveacute roztažnosti

[α] = K-1 = degC-1

Deacutelku tyče po změně teploty můžeme vyjaacutedřit podle vztahu (116) takto

l=l0(1+αΔT ) (117)

Ve většině praktickyacutech přiacutepadů lze považovat teplotniacute součinitel deacutelkoveacute roztažnosti jako konstantniacuteveličinu protože jen slabě zaacutevisiacute na teplotě Rovnice (116) se vztahuje na každyacute deacutelkovyacute element tělesa proto se měniacute takeacute objem těles se změnou teploty

Teplotniacute objemovaacute roztažnost

U tekutin je popis objemoveacute roztažnosti jedinyacutem rozumnyacutem způsobem popisu teplotniacute roztažnosti Změniacute-li se teplota pevneacute laacutetky nebo tekutiny objemu V0 o hodnotu ΔT=TminusT 0 změna objemu bude

70

ΔV =V (T )minusV (T 0)=V minusV 0=V 0βΔT (118)

kde β je teplotniacute součinitel objemoveacute roztažnosti materiaacutelu tělesa Platiacute

β=3α (119)

Hustota vody je maximaacutelniacute při teplotě kolem 4 degC proto se při teplotaacutech nad 4 degC roztahuje s rostouciacute teplotou ale mezi 0 degC a 4 degC se zahřaacutetiacutem smršťuje Tato anomaacutelie vody je důvodem proč vodniacute naacutedrže zamrzajiacute shora dolů Když voda chladne napřiacuteklad z teploty 10 degC klesaacute ke dnu Při ochlazovaacuteniacute pod 4 degC se staacutevaacute řidšiacute a stoupaacute ke hladině kde může zamrznout Proto nezamrzne voda v dostatečně hlubokeacute naacutedrži uacuteplně a může v niacute přetrvaacutevat život v podobě jak ho znaacuteme

Vnitřniacute energie termodynamickeacute soustavy

Robert Brownbull Všechna makroskopickaacute tělesa jsou tvořeny čaacutesticemi (atomy molekulami ionty) ktereacute vykonaacutevajiacute neustaacutelyacute neuspořaacutedanyacute pohybbull Makroskopickeacute vlastnosti těles jsou determinovaacuteny vzaacutejemnyacutem působeniacutem (interakciacute) těchto čaacutestic

Termodynamickou soustavou (systeacutemem) nazveme množinu makroskopickyacutech těles kteraacute maacutepotenciaacutel si vyměňovat energii se svyacutem okoliacutem Termodynamickeacute soustavě přiacuteslušiacute kinetickeacuteenergie soustavy Ek pohybujiacuteciacute se jako celek potenciaacutelniacute energie Ep jako důsledek přiacutetomnosti poliacutevnějšiacutech sil (např gravitačniacute pole) a vnitřniacute energie U E=Ek+Ep+U

Vnitřniacute energie se sklaacutedaacute z bull kinetickeacute energie chaotickeacuteho pohybu molekul (translačniacuteho i rotačniacuteho)bull potenciaacutelniacute energie vzaacutejemneacute interakce molekul prostřednictviacutem silovyacutech poliacutebull mechanickeacute energie kmitaveacuteho pohybu atomů v molekulebull energie elektronovyacutech obalů atomů a iontůbull energie elektromagnetickyacutech poliacute v molekulaacutech atomech iontech

Stavem soustavy budeme rozumět souhrn vnějšiacutech podmiacutenek v nichž se soustava nachaacuteziacute a souhrntěch jedinečnyacutech vlastnostiacute soustavy ktereacute jsou na sobě nezaacutevisleacute

Termodynamickeacute soustavě kteraacute je popsaacutena proměnnyacutemi p V T se řiacutekaacute chemickyacute systeacutem Vnejjednoduššiacutem přiacutepadě je stav soustavy určen jedniacutem vnějšiacutem (objem V) a jedniacutem nezaacutevislyacutemvnitřniacutem parametrem (teplota T přiacutepadně tlak p)

Vnějšiacute parametry jsou takoveacute makroskopickeacute veličiny ktereacute jsou určovaacuteny vztahem zvoleneacutesoustavy k okolniacutem tělesům kteraacute působiacute na soustavu (např siacutely vnějšiacuteho pole objem)

Vnitřniacute parametry jsou takoveacute makroskopickeacute veličiny ktereacute určujiacute strukturu a složeniacute soustavyJsou to ty veličiny ktereacute jsou při danyacutech vnějšiacutech parametrech charakteristickeacute jen pro danousoustavu (např teplota tlak hustota)

71

Stavoveacute veličiny jednoznačně popisujiacute stav soustavy Jsou tedy určeny okamžityacutem stavem a jsounezaacutevisleacute na tom jakyacutemi stavy soustava prošla v minulosti

Jestliže se parametry soustavy neměniacute v čase stav soustavy nazyacutevaacuteme stacionaacuterniacute

Změna vnějšiacutech parametrů maacute za naacutesledek změnu vnitřniacutech parametrů kteraacute nenastaacutevaacute okamžitěPo ustaacuteleniacute vnějšiacutech a vnitřniacutech parametrů nastaacutevaacute rovnovaacutežnyacute stav v němž neexistujiacutemakroskopickeacute stacionaacuterniacute toky (difuacutezniacute tok tepelnyacute tok elektrickyacute proud apod) Doba kteraacuteuplyne od ukončeniacute změny vnějšiacutech parametrů do vzniku noveacuteho rovnovaacutežneacuteho stavu se nazyacutevaacuterelaxačniacute doba

Rovnovaacutežnyacute stav je v každeacutem okamžiku jednoznačně popsaacuten stavovyacutemi veličinami Po narušeniacute rovnovaacutehy dochaacuteziacute ke dvěma druhům dějůbull kvazistatickeacute ndash změna parametrů nekonečně pomalaacute (ideaacutelně posloupnost rovnovaacutežnyacutech stavů)bull nestatickeacute ndash stav soustavy v daneacutem okamžiku nelze jednoznačně popsat stavovyacutemi veličinamirozlišujeme pomaleacute děje (rovnovaacuteha v daneacutem miacutestě nastane dřiacuteve než nastane rovnovaacutežnyacute stav vceleacute soustavě) a rychleacute (turbulentniacute) kdy relaxačniacute doba v určiteacutem miacutestě soustavy je srovnatelnaacute srelaxačniacute dobou celeacuteho systeacutemu ndash např vyacutebuch

Vnitřniacute energie je v chemickyacutech systeacutemech funkciacute stavovyacutech veličin p V T tj U=f ( pV T )To znamenaacute že jednomu stavu odpoviacutedaacute praacutevě jedna hodnota vnitřniacute energie U

Jedniacutem z uacutekolů fenomenologickeacute termodynamiky kteraacute popisuje chovaacuteniacute makroskopickyacutechsoustav aniž se bere v uacutevahu mikrostruktura soustavy je naleacutezt minimaacutelniacute počet vnějšiacutech anezaacutevislyacutech vnitřniacutech parametrů jednoznačně určujiacuteciacutech stav soustavy a zaacuteroveň naleacutezt rovnicektereacute by dovolovaly pomociacute tohoto minimaacutelniacuteho počtu parametrů určit ostatniacute parametry soustavy

Statistickaacute fyzika je čaacutestiacute teoretickeacute fyziky kteraacute odvozuje makroskopickeacute vlastnosti laacutetek z jejichatomoveacute struktury Maacuteme na mysli takoveacute makroskopickeacute vlastnosti (tlak teplota magnetizaceelektrickaacute vodivost) ktereacute jsou determinovaacuteny interakciacute velkeacuteho počtu čaacutestic (atomů molekul)Ze zkušenosti viacuteme že tyto makroskopickeacute vlastnosti zaacutevisiacute na teplotě a zabyacutevaacute se jimitermodynamika

Praacutece a teplo jako veličiny přenosu energie

Změna stavu soustavy je způsobena přenosem energie mezi soustavou a okolniacutemi tělesy Přenosenergie probiacutehaacute buď konaacuteniacutem mechanickeacute praacutece W nebo přenosem tepla Q

Tělesa studenějšiacute (s nižšiacute teplotou) se při styku s tělesy teplejšiacutemi zahřiacutevajiacute Mechanismus zahřiacutevaacuteniacutelze vysvětlit předaacuteniacutem čaacutesti energie z tělesa o vyššiacute teplotě (s vyššiacute energiiacute) tělesu o nižšiacute teplotěMěniacute se přitom vnitřniacute energie těles

Teplo je energie vyměněnaacute mezi systeacutemem a okoliacutem jako důsledek teplotniacuteho rozdiacutelu mezi nimi

Sir James Joule (1818-1889) studoval jak lze ohřaacutet vodu konaacuteniacutem mechanickeacute praacutece Na obr ter4arotujiacuteciacute lopatky konajiacute mechanickou praacuteci a Joule zjistil že přiacuterůstek teploty je přiacutemo uacuteměrnyacutevykonaneacute praacuteci Teplotu lze zvyacutešit takeacute tiacutem že se naacutedoba s vodou uvede do styku s horkyacutem tělesem(obr ter4b)

72

Obr Ter4

Teplo a mechanickaacute praacutece spolu souvisiacute v tom smyslu že se teplo může měnit v praacuteci a naopak

Pozn Zaacutekladniacute jednotkou tepla je joule J Pozn Nejdřiacuteve byla jedna kalorie definovaacutena jako množstviacute tepla ktereacute zvyacutešiacute teplotu 1 g vody ze145degC na 155degC Od roku 1948 se kalorie definuje jako 4186 J bez dalšiacuteho odkazu na vlastnostivody

Prvniacute zaacutekon termodynamiky

Teplo soustavě dodaneacute se spotřebuje na zvyacutešeniacute vnitřniacute energie a na praacuteci kterou soustava vykonaacute na vnějšiacutech tělesech

Q=ΔU+W (120)

Ze zkušenosti viacuteme že neexistuje neustaacutele pracujiacuteciacute stroj tzv perpetuum mobile prvniacuteho druhu kteryacute by konal kladnou praacuteci aniž by byla dodaacutevaacutena alespoň stejně velkaacute čaacutest energie v jakeacutekoliv formě

Pozn W souvisiacute se vzaacutejemnou makroskopickou interakciacute soustavy a okoliacute Q souvisiacute se vzaacutejemnou mikroskopickou interakciacute soustavy a okoliacuteZnameacutenkovaacute konvence

73

Pozn Diferenciaacutelniacute tvar prvniacuteho zaacutekona termodynamiky je

d Q=d U+d W (121)

Kinetickaacute teorie plynů

Plyn stejně jako laacutetka jakeacutehokoliv skupenstviacute je složena z obrovskeacuteho množstviacute atomů molekul čiiontů Fenomenologickaacute termodynamika nepojednaacutevaacute vůbec o atomech V jejich zaacutekonechvystupujiacute pouze makroskopickeacute veličiny jako objem tlak a teplota Přesto je všeobecně znaacutemo žeplyn je souhrn obrovskeacuteho množstviacute atomů a molekul (tj skupin atomůvaacutezanyacutech k sobě) Tlak vyvolanyacute plynem jistě souvisiacute s nepřetržityacutem bdquobubnovaacuteniacutemldquo jeho molekulna stěny naacutedoby Schopnost plynu vyplnit zcela objem naacutedoby je zase spojena s možnostiacute volneacutehopohybu molekul A konečně teplota a vnitřniacute energie plynu určitě souvisiacute s kinetickou energiiacute těchtomolekul Když vyjdeme z těchto představ jistě ziacuteskaacuteme noveacute poznatky o plynech Tentomolekulovyacute přiacutestup nazyacutevaacuteme kinetickou teorii plynů Z tohoto hlediska se jeviacute přirozeneacute měřitvelikost soustav počtem atomů či molekul Protože bychom pracovali s přiacuteliš velkyacutemi hodnotamizavaacutediacute se veličina laacutetkoveacute množstviacute

n=N

N A

(122)

[n] = mol

N A=6022sdot1023molminus1

NA je Avogadrova konstanta N počet čaacutestic (molekul atomů iontů)

Soustava kteraacute obsahuje praacutevě tolik čaacutestic kolik je atomů ve 12 g nuklidu uhliacuteku 12C maacute laacutetkoveacute množstviacute 1 mol

Molaacuterniacute hmotnost je definovaacutena podiacutelem hmotnosti soustavy a jejiacuteho laacutetkoveacuteho množstviacute

M=mn

(123)

74

[M] = kgmiddotmol-1

Relativniacute atomovaacute hmotnost je podiacutelem hmotnosti atomu a atomoveacute hmotnostniacute jednotky

Ar=ma

u (124)

u=166sdot10minus27kg

u je rovna jedneacute dvanaacutectině klidoveacute hmotnosti atomu uhliacuteku 12C

Relativniacute molekulovaacute hmotnost je rovna součtu relativniacutech atomovyacutech hmotnostiacute atomů tvořiacuteciacutech molekulu současně platiacute

M r=mm

u (125)

kde mm je hmotnost molekulyOdvoďme vztah mezi relativniacute molekulovou a molaacuterniacute hmotnostiacute

m=Nmm n= NN A

Mm=mn=

Nmm

N N A

=N Amm=NAuM r=10minus3sdotM r [kgsdotmolminus1

]

Zabyacutevejme se daacutele ideaacutelniacutem plynem Plyn se nazyacutevaacute ideaacutelniacutem jsou-li splněny naacutesledujiacuteciacute podmiacutenky

bull molekuly se sraacutežejiacute jako dokonale pružneacute koulebull objem samotnyacutech molekul je zanedbatelnyacute ve srovnaacuteniacute s celkovyacutem objemem plynubull molekuly na sebe nepůsobiacute přitažlivyacutemi ani odpudivyacutemi silami silově spolu interagujiacute

pouze v okamžiku sraacutežky

Přestože se v přiacuterodě nesetkaacuteme s opravdovyacutem ideaacutelniacutem plynem všechny reaacutelneacute plyny se k němubliacutežiacute při niacutezkyacutech hustotaacutech což odpoviacutedaacute většiacutem vzdaacutelenostem mezi molekulami Studiumideaacutelniacuteho plynu naacutem tak umožňuje snaacuteze nahleacutednout do chovaacuteniacute skutečnyacutech plynů v tomto limitniacutempřiacutepadě Za ideaacutelniacute plyn lze považovat vodiacutek a helium za normaacutelniacutech podmiacutenek

Bylo experimentaacutelně zjištěno že když umiacutestiacuteme do naacutedob stejneacuteho objemu různeacute plyny stejneacuteholaacutetkoveacuteho množstviacute a stejneacute teploty naměřiacuteme v naacutedobaacutech prakticky stejneacute tlaky Jestliže tentoexperiment provedeme při sniacuteženeacute hustotě pak i rozdiacutel v tlaciacutech je ještě menšiacute Takeacute jineacuteexperimenty potvrzujiacute že se reaacutelneacute plyny při niacutezkyacutech hustotaacutech chovajiacute podle vztahu

pV=nRT (126)

kteryacute se nazyacutevaacute stavovaacute rovnice ideaacutelniacuteho plynu

75

R je plynovaacute konstanta kteraacute maacute pro všechny plyny ktereacute se řiacutediacute stavovou rovniciacute ideaacutelniacuteho plynustejnou hodnotu 831 Jmiddotmol-1middotK-1

Praacutece plynu

Plyn působiacute na kolmo na piacutest silou o velikosti F V důsledku siloveacuteho působeniacute dojde k přemiacutestěniacute piacutestu o ds Siacutela přitom vykonala elementaacuterniacute praacuteci

d W=F d s=pS d s=p d V (127)

Celkovaacute praacutece vykonanaacute při změně objemu z V1 na V2

W=intV 1

V 2

p d V (128)

Praacuteci plynu lze naacutezorně vyjaacutedřit tzv pracovniacutem diagramem (p-V diagram)

76

Praacutece je čiacuteselně rovna obsahu plochy pod přiacuteslušnyacutem uacutesekem křivky zaacutevislosti p=f (V ) v p-Vdiagramu Z pracovniacuteho diagramu je zřejmeacute že praacutece je kromě zaacutevislosti na počaacutetečniacutem akonečneacutem stavu soustavy zaacutevislaacute takeacute na cestě po niacutež změna stavu soustavy probiacutehaacute

Zaacutekladniacute rovnice kinetickeacute teorie plynů

Diskutujme interakce molekul plynu se stěnami naacutedoby tvaru krychle (deacutelka strany l) obsahujiacuteciacuteideaacutelniacute plyn Nechť na stěnu naraziacute molekula ideaacutelniacuteho plynu o hmotnosti m Poněvadž se jednaacute opružnyacute raacutez neměniacute se velikost rychlosti molekuly pouze jejiacute směr Podle obr 1Kt je zřejmeacute žestěna uděliacute molekule impulz

I=F Δ t=2mvx

kde F je velikost středniacute siacutely kterou vybranaacute stěna působiacute na molekulu Všimněte si že se přinaacuterazu neměniacute y-ovaacute složka rychlosti molekuly Doba mezi dvěma po sobě naacutesledujiacuteciacutemi naacuterazymolekuly na danou stěnu je (mezitiacutem může narazit na kteroukoliv jinou stěnu avšak x-ovaacute složkarychlosti přesto neměniacute svou velikost)

Δ t=2lvx

takže

F 2lvx

=2mvx

F=mv x

2

l

Molekuly 1N plynu majiacute ve směru osy x různeacute rychlosti v1x v2x vNx Poněvadž jsmepředpoklaacutedali stejnorodeacute prostřediacute jsou hmotnosti všech molekul stejneacute Celkovaacute středniacute siacutelakterou působiacute všechny molekuly na pravou stěnu maacute velikost

F=mv1x

2

l+

mv2x2

l++

mvNx2

l

tedy

77

F=ml sumi=1

N

v ix2=

mNl

sumi=1

N

v ix2

N=

mNl

v x2=

mNl

v2

3=

mN3l

vk2

Při uacutepravě vzorce byla využita naacutesledujiacuteciacute uacutevaha Pro každou molekulu platiacute že v2=vx

2+v y

2+v z

2 Protože je v krychli mnoho molekul a všechny se pohybujiacute naacutehodnyacutemi směry jsou středniacute hodnoty

kvadraacutetů jednotlivyacutech složek rychlostiacute stejneacute a majiacute hodnotu v x2=v y

2=v z

2=

13

v2

vk je středniacute kvadratickaacute rychlost Podle principu molekulaacuterniacuteho chaosu působiacute stejně velkaacute siacutelana kteroukoliv stěnu krychle a tudiacutež platiacute pro tlak působiacuteciacute na stěnu

p=F

l2=

N

3l3mvk

2=

N3V

mv k2 (129)

Pomociacute středniacute kvadratickeacute rychlosti vyjaacutedřiacuteme středniacute kinetickou energii jedneacute molekuly plynu

Ek=12

mvk2

přepišme vzorec (129) pro tlak do konečneacuteho tvaru

p=23

NV

Ek (130)

kteryacute je zaacutekladniacute rovniciacute kinetickeacute teorie plynůZe stavoveacute rovnice ideaacutelniacuteho plynu vyjaacutedřeme teplotu a dosaďme tlak z rovnice (130)

T= pVnR

=23

NV

EkVnR

=23

NV

Ek

VN A

NR=

23

N A

REk=

23

1k

Ek (131)

Pro ideaacutelniacute plyn platiacute že teplota je přiacutemo uacuteměrnaacute středniacute kinetickeacute energii molekuly ideaacutelniacuteho

plynu k je Boltzmannova konstanta k=R

N A

=138sdot10minus23 JsdotKminus1

Pro středniacute kinetickou energii molekuly tedy platiacute

Ek=32

kT (132)

78

Vnitřniacute energie ideaacutelniacuteho plynu

U ideaacutelniacuteho plynu je vnitřniacute energie U daacutena součtem kinetickyacutech energiiacute jednotlivyacutech molekul plynu Podle vzorce (132) platiacute

U=N Ek=N32

kT=N32

RN A

T=32

nRT (133)

Vztah (133) však podle experimentů vyhovuje pouze jednoatomovyacutem plynům U viacuteceatomovyacutechnelze zanedbat přiacutespěvek rotačniacuteho pohybu molekul ke kinetickeacute energii Pozn Počet stupňů volnosti molekuly je počet nezaacutevislyacutech parametrů ktereacute určujiacute energiimolekuly Energie posuvneacuteho pohybu molekuly je určena třemi parametry vxvyvz energie rotačniacutehopohybu dalšiacutemi třemi parametry ωx ωy ωz Jednoatomoveacute Do bodu o souřadnici molekule Do bodu o souřadnici přiřazujeme Do bodu o souřadnici 3 Do bodu o souřadnici stupně Do bodu o souřadnici volnostidvouatomoveacute Do bodu o souřadnici 5 Do bodu o souřadnici stupňů Do bodu o souřadnici volnosti Do bodu o souřadnici a Do bodu o souřadnici 3 Do bodu o souřadnici a Do bodu o souřadnici viacuteceatomoveacute molekule Do bodu o souřadnici 6 Do bodu o souřadnici stupňů Do bodu o souřadnici volnosti Do bodu o souřadnici Podleekvipartičniacuteho teoreacutemu je Do bodu o souřadnici energie Do bodu o souřadnici molekuly Do bodu o souřadnici rozdělena Do bodu o souřadnici na Do bodu o souřadnici všechny Do bodu o souřadnici stupně Do bodu o souřadnici volnosti Do bodu o souřadnici rovnoměrněproto Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici vnitřniacute Do bodu o souřadnici energie Do bodu o souřadnici ideaacutelniacuteho Do bodu o souřadnici plynu Do bodu o souřadnici určena Do bodu o souřadnici vztahem

U=i2

nRT (134)

kde Do bodu o souřadnici i Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici počet Do bodu o souřadnici stupňů Do bodu o souřadnici volnosti Do bodu o souřadnici molekuly

Aplikace prvniacuteho zaacutekona termodynamiky na děje v ideaacutelniacutech plynech

Izochorickyacute děj (V = konst n = konst)

W Do bodu o souřadnici = Do bodu o souřadnici 0 Do bodu o souřadnici neboť Do bodu o souřadnici W=int p d VPodle Do bodu o souřadnici prvniacuteho Do bodu o souřadnici zaacutekona Do bodu o souřadnici termodynamiky Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici proto Do bodu o souřadnici Q=ΔU resp Do bodu o souřadnici d Q=d U Zaveďme Do bodu o souřadnici molaacuterniacute tepelnou kapacitu při staacuteleacutem objemu

CV=[ d Qnd T ]

V=konst(135)

Podle Do bodu o souřadnici prvniacuteho Do bodu o souřadnici zaacutekona Do bodu o souřadnici termodynamiky d Q=d U a Do bodu o souřadnici vztahu Do bodu o souřadnici (134) Do bodu o souřadnici je

CV=[ d Qnd T ]

V=konst

=[ d Und T ]

V=konst

=iR2

(136)

Takže

d Q=d U=CV nd T=iR2

nd T

a Do bodu o souřadnici po Do bodu o souřadnici integraci

79

Q=intT 1

T 2

CV nd T=CV n(T 2minusT 1)=iR2

n(T 2minusT 1) (137)

Pozn Do bodu o souřadnici Měrnaacute Do bodu o souřadnici tepelnaacute Do bodu o souřadnici kapacita Do bodu o souřadnici při Do bodu o souřadnici staacuteleacutem Do bodu o souřadnici objemu Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici definovaacutena Do bodu o souřadnici takto

cV=[ d Qm d T ]

V=konst

Graf Do bodu o souřadnici vyjadřujiacuteciacute Do bodu o souřadnici tlak Do bodu o souřadnici plynu Do bodu o souřadnici staacuteleacute Do bodu o souřadnici hmotnosti Do bodu o souřadnici jako Do bodu o souřadnici funkci Do bodu o souřadnici jeho Do bodu o souřadnici termodynamickeacute Do bodu o souřadnici teploty Do bodu o souřadnici nebo Do bodu o souřadnici jeho Do bodu o souřadnici objemu Do bodu o souřadnici při Do bodu o souřadnici izochorickeacutem Do bodu o souřadnici ději Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici nazyacutevaacute Do bodu o souřadnici izochora

Izotermickyacute děj (T = konst n = konst)

Viacuteme Do bodu o souřadnici že Do bodu o souřadnici d Q=d U+d W=nCV d T+ pd V a Do bodu o souřadnici současně Do bodu o souřadnici d T=0 Do bodu o souřadnici proto

d Q=d W= pd V

W=intV 1

V 2

p d V

pV =nRT

p= nRTV

Opět Do bodu o souřadnici integraciacute Do bodu o souřadnici dostaneme Do bodu o souřadnici vztah Do bodu o souřadnici pro Do bodu o souřadnici praacuteci Do bodu o souřadnici při Do bodu o souřadnici izotermickeacutem Do bodu o souřadnici ději

W=nRTintV 1

V 2 d VV

=nRT lnV 2

V 1

(138)

Izoterma Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici křivka Do bodu o souřadnici kteraacute Do bodu o souřadnici vyjadřuje Do bodu o souřadnici zaacutevislost Do bodu o souřadnici tlaku Do bodu o souřadnici na Do bodu o souřadnici objemu Do bodu o souřadnici při Do bodu o souřadnici konstantniacute Do bodu o souřadnici teplotě

80

Izobarickyacute děj (p = konst n = konst)

Platiacute Do bodu o souřadnici prvniacute Do bodu o souřadnici věta Do bodu o souřadnici termodynamiky Do bodu o souřadnici (diferenciaacutelniacute Do bodu o souřadnici tvar)

d Q=d U+d W=nCV d T+ pd V

Diferencujme Do bodu o souřadnici stavovou Do bodu o souřadnici rovnici Do bodu o souřadnici pV=nRT

p dV +V d p=nR d Tp d V=nR d T

Posledniacute Do bodu o souřadnici vyacuteraz Do bodu o souřadnici dosaďme Do bodu o souřadnici do Do bodu o souřadnici prvniacute Do bodu o souřadnici věty Do bodu o souřadnici termodynamiky

d Q=nCV dT +nR d T=n(CV+R)d T=nC p dT po Do bodu o souřadnici integraci

Q=intT 1

T 2

n(CV+R)d T=n(CV+R)(T 2minusT 1)=nC p (T 2minusT 1) (139)

kde Do bodu o souřadnici Cp Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici molaacuterniacute tepelnaacute kapacita při staacuteleacutem tlaku Do bodu o souřadnici Platiacute Do bodu o souřadnici tzv Do bodu o souřadnici Mayerův Do bodu o souřadnici vztah

Cp=CV+R (140)

Vzorec Do bodu o souřadnici pro Do bodu o souřadnici praacuteci Do bodu o souřadnici při Do bodu o souřadnici ději Do bodu o souřadnici izobarickeacutem Do bodu o souřadnici dostaneme Do bodu o souřadnici snadno Do bodu o souřadnici integraciacute Do bodu o souřadnici vztahu Do bodu o souřadnici d W=nR d T

81

W=intT 1

T 2

nR d T=nR(T 2minusT 1) (141)

Adiabatickyacute děj (Q = 0 n = konst)

Jednaacute Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici o Do bodu o souřadnici takovyacute Do bodu o souřadnici děj Do bodu o souřadnici při Do bodu o souřadnici němž Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici nevyměňuje Do bodu o souřadnici žaacutedneacute Do bodu o souřadnici teplo Do bodu o souřadnici mezi Do bodu o souřadnici soustavou Do bodu o souřadnici a Do bodu o souřadnici okoliacutem Do bodu o souřadnici Buď Do bodu o souřadnici jesoustava Do bodu o souřadnici velmi Do bodu o souřadnici dobře Do bodu o souřadnici izolovanaacute Do bodu o souřadnici nebo Do bodu o souřadnici děj Do bodu o souřadnici probiacutehaacute Do bodu o souřadnici tak Do bodu o souřadnici rychle Do bodu o souřadnici že Do bodu o souřadnici vyacuteměna Do bodu o souřadnici nestačiacute Do bodu o souřadnici proběhnout Do bodu o souřadnici Pro Do bodu o souřadnici dějadiabatickyacute Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici prvniacute Do bodu o souřadnici věta Do bodu o souřadnici termodynamiky Do bodu o souřadnici v Do bodu o souřadnici diferenciaacutelniacutem Do bodu o souřadnici tvaru

d U=minusd W (142)

Soustava Do bodu o souřadnici tedy Do bodu o souřadnici konaacute Do bodu o souřadnici praacuteci Do bodu o souřadnici na Do bodu o souřadnici uacutekor Do bodu o souřadnici sveacute Do bodu o souřadnici vnitřniacute Do bodu o souřadnici energie Do bodu o souřadnici

Do Do bodu o souřadnici vztahu Do bodu o souřadnici (142) Do bodu o souřadnici dosaďme Do bodu o souřadnici vzorce Do bodu o souřadnici (127) Do bodu o souřadnici (136) Do bodu o souřadnici tlak Do bodu o souřadnici přepišme Do bodu o souřadnici do Do bodu o souřadnici tvaru Do bodu o souřadnici zlomku Do bodu o souřadnici nRTV

a Do bodu o souřadnici daacutele Do bodu o souřadnici

upravujme

nCV dT+nRTV

d V=0 1T

nCV

Td T+

nRV

dV =0

Nyniacute Do bodu o souřadnici rovnici Do bodu o souřadnici integrujme

nCV ln T+nR ln V=A 1n

CV lnT +R ln V=An=ln K

V Do bodu o souřadnici posledniacutem Do bodu o souřadnici vztahu Do bodu o souřadnici jsme Do bodu o souřadnici přeznačili Do bodu o souřadnici integračniacute Do bodu o souřadnici konstantu Do bodu o souřadnici An

na Do bodu o souřadnici ln K Do bodu o souřadnici Pokračujme Do bodu o souřadnici v Do bodu o souřadnici uacutepravaacutech

ln T CV+ln V R=ln K

lnT CV V R=ln K

K=TCV V R

Umocniacuteme Do bodu o souřadnici na Do bodu o souřadnici 1

CV Do bodu o souřadnici integračniacute Do bodu o souřadnici konstantu Do bodu o souřadnici opět Do bodu o souřadnici přeznačiacuteme Do bodu o souřadnici a Do bodu o souřadnici dostaneme

K1=TVR

CV Nyniacute Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici zbaviacuteme Do bodu o souřadnici konstanty Do bodu o souřadnici R Použijme Do bodu o souřadnici Mayerův Do bodu o souřadnici vztah

82

R=CpminusCV

RCV

=C p

CV

minus1

RCV

=κminus1

kde Do bodu o souřadnici κ Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici Poissonova konstanta Do bodu o souřadnici pro Do bodu o souřadnici kterou Do bodu o souřadnici tedy Do bodu o souřadnici platiacute

κ=C p

CV(143)

Poissonova konstanta je většiacute než 1

Vraťme se k odvozovaacuteniacute

K1=TV κminus1

Současně platiacute stavovaacute rovnice ideaacutelniacuteho plynu pV = nRT ze ktereacute vyjaacutedřiacuteme termodynamickouteplotu

T=pVnR

a dosaďme ji do vztahu pro K1

K1=pVnR

V κminus1=

pV κ

nR

Platiacute tedy Poissonova rovnice

pV κ=K1nR=konst (144)

Praacuteci plynu při adiabatickeacutem ději odvodiacuteme takto

dW=minusdU=minusnCV dT

W=minusintU 1

U 2

d U=nCV (T 1minusT 2)

Při Do bodu o souřadnici izotermickeacutem Do bodu o souřadnici ději Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici zajištěna Do bodu o souřadnici dokonalaacute Do bodu o souřadnici vyacuteměna Do bodu o souřadnici tepla Do bodu o souřadnici mezi Do bodu o souřadnici uvažovanou Do bodu o souřadnici soustavou Do bodu o souřadnici a Do bodu o souřadnici jejiacutemokoliacutem Do bodu o souřadnici (tzv Do bodu o souřadnici diatermaacutelniacute Do bodu o souřadnici izolace) Do bodu o souřadnici Naopak Do bodu o souřadnici adiabatickyacute Do bodu o souřadnici děj Do bodu o souřadnici předpoklaacutedaacute Do bodu o souřadnici dokonalou Do bodu o souřadnici tepelnou Do bodu o souřadnici izolaci(tzv Do bodu o souřadnici adiabatickaacute Do bodu o souřadnici izolace) Do bodu o souřadnici Již Do bodu o souřadnici bylo Do bodu o souřadnici zmiacuteněno Do bodu o souřadnici vyacuteše Do bodu o souřadnici že Do bodu o souřadnici adiabatickyacutem Do bodu o souřadnici dějem Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici rovněž Do bodu o souřadnici velmi Do bodu o souřadnici rychleprobiacutehajiacuteciacute Do bodu o souřadnici děj Do bodu o souřadnici Ve Do bodu o souřadnici skutečnosti Do bodu o souřadnici jsou Do bodu o souřadnici obě Do bodu o souřadnici izolace Do bodu o souřadnici těžko Do bodu o souřadnici dosažitelneacute Do bodu o souřadnici Z Do bodu o souřadnici tohoto Do bodu o souřadnici hlediska Do bodu o souřadnici popisujemereaacutelnyacute Do bodu o souřadnici děj Do bodu o souřadnici v Do bodu o souřadnici ideaacutelniacutem Do bodu o souřadnici plynu Do bodu o souřadnici (děj Do bodu o souřadnici polytropickyacute) Do bodu o souřadnici rovniciacute

pV n=konst (145)

Jestliže platiacute

83

bull n = 0 je p = konst a jednaacute se o izobarickyacute dějbull n = 1 je pV = konst a jednaacute se o izotermickyacute dějbull n = κ je p = konst a jednaacute se o adiabatickyacute dějbull n reg Do bodu o souřadnici yen Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici pVyen = konst Do bodu o souřadnici a Do bodu o souřadnici jednaacute Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici o Do bodu o souřadnici izochorickyacute Do bodu o souřadnici děj

Srovnaacuteniacute Do bodu o souřadnici p-V Do bodu o souřadnici diagramů Do bodu o souřadnici izotermickeacuteho Do bodu o souřadnici a Do bodu o souřadnici adiabatickeacuteho Do bodu o souřadnici děje

KRUHOVEacute DĚJE

Kruhovyacute děj Do bodu o souřadnici (KD) Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici takovaacute Do bodu o souřadnici posloupnost Do bodu o souřadnici stavů Do bodu o souřadnici soustavy Do bodu o souřadnici (např Do bodu o souřadnici u Do bodu o souřadnici tepelnyacutech Do bodu o souřadnici strojů Do bodu o souřadnici pracovniacute Do bodu o souřadnici laacutetkyjako Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici voda Do bodu o souřadnici paacutera Do bodu o souřadnici palivovaacute Do bodu o souřadnici směs) Do bodu o souřadnici po Do bodu o souřadnici jejichž Do bodu o souřadnici proběhnutiacute Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici konečnyacute Do bodu o souřadnici stav Do bodu o souřadnici soustavy Do bodu o souřadnici shodnyacutes Do bodu o souřadnici počaacutetečniacutem Do bodu o souřadnici Průběh Do bodu o souřadnici KD Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici obvykle Do bodu o souřadnici znaacutezorňuje Do bodu o souřadnici v Do bodu o souřadnici p-V Do bodu o souřadnici diagramu Do bodu o souřadnici V Do bodu o souřadnici jednom Do bodu o souřadnici cyklu Do bodu o souřadnici KD Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici celkovaacutezměna Do bodu o souřadnici vnitřniacute Do bodu o souřadnici energie Do bodu o souřadnici soustavy Do bodu o souřadnici nulovaacute

∮dU=0 (146)

Podle Do bodu o souřadnici prvniacuteho Do bodu o souřadnici zaacutekona Do bodu o souřadnici termodynamiky Do bodu o souřadnici

d Q=d U+d W

∮d Q=∮d W(147)

Tudiacutež Do bodu o souřadnici kruhovyacute Do bodu o souřadnici děj Do bodu o souřadnici umožňuje Do bodu o souřadnici trvalou Do bodu o souřadnici přeměnu Do bodu o souřadnici tepla Do bodu o souřadnici v Do bodu o souřadnici mechanickou Do bodu o souřadnici praacuteci

Předpoklaacutedejme Do bodu o souřadnici že Do bodu o souřadnici KD Do bodu o souřadnici probiacutehaacute Do bodu o souřadnici po Do bodu o souřadnici křivce Do bodu o souřadnici MANBM Do bodu o souřadnici (obr Do bodu o souřadnici KR1) Do bodu o souřadnici Během Do bodu o souřadnici expanze Do bodu o souřadnici soustavy Do bodu o souřadnici pokřivce Do bodu o souřadnici MAN Do bodu o souřadnici vykonaacute Do bodu o souřadnici soustava Do bodu o souřadnici kladnou Do bodu o souřadnici praacuteci Do bodu o souřadnici W1 Do bodu o souřadnici kteraacute Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici čiacuteselně Do bodu o souřadnici rovna Do bodu o souřadnici obsahu Do bodu o souřadnici plochy Do bodu o souřadnici MANDCBěhem Do bodu o souřadnici komprese Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici praacutece Do bodu o souřadnici W2 Do bodu o souřadnici lt Do bodu o souřadnici 0 Do bodu o souřadnici a Do bodu o souřadnici a Do bodu o souřadnici jejiacute Do bodu o souřadnici absolutniacute Do bodu o souřadnici hodnota Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici čiacuteselně Do bodu o souřadnici rovna Do bodu o souřadnici obsahu Do bodu o souřadnici obrazceMBNDC Do bodu o souřadnici Protože Do bodu o souřadnici expanze Do bodu o souřadnici proběhla Do bodu o souřadnici při Do bodu o souřadnici vyššiacutech Do bodu o souřadnici tlaciacutech Do bodu o souřadnici ve Do bodu o souřadnici srovnaacuteniacute Do bodu o souřadnici s Do bodu o souřadnici tlaky Do bodu o souřadnici během Do bodu o souřadnici komprese Do bodu o souřadnici je∣W 1∣gt∣W 2∣ Do bodu o souřadnici Tedy Do bodu o souřadnici celkovaacute Do bodu o souřadnici praacutece Do bodu o souřadnici W=W 1+W 2 je Do bodu o souřadnici kladnaacute Do bodu o souřadnici a Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici konaacutena Do bodu o souřadnici na Do bodu o souřadnici uacutekor Do bodu o souřadnici soustavě Do bodu o souřadnici dodaneacuteho

tepla Do bodu o souřadnici Q = Q1 Do bodu o souřadnici + Do bodu o souřadnici Q2 gt Do bodu o souřadnici 0 Do bodu o souřadnici Bude-li Do bodu o souřadnici cyklus Do bodu o souřadnici obraacutecenyacute Do bodu o souřadnici pak Do bodu o souřadnici W Do bodu o souřadnici lt Do bodu o souřadnici 0 Do bodu o souřadnici a Do bodu o souřadnici Q Do bodu o souřadnici lt Do bodu o souřadnici 0 Do bodu o souřadnici V Do bodu o souřadnici průběhu Do bodu o souřadnici jednoho Do bodu o souřadnici cyklu Do bodu o souřadnici jesoustavě Do bodu o souřadnici odvedeno Do bodu o souřadnici teplo Do bodu o souřadnici Q Do bodu o souřadnici V Do bodu o souřadnici obou Do bodu o souřadnici přiacutepadech Do bodu o souřadnici dochaacuteziacute Do bodu o souřadnici k Do bodu o souřadnici tomu Do bodu o souřadnici že Do bodu o souřadnici soustava Do bodu o souřadnici přijiacutemaacute Do bodu o souřadnici teplo Do bodu o souřadnici odohřiacutevače Do bodu o souřadnici a Do bodu o souřadnici odevzdaacutevaacute Do bodu o souřadnici teplo Do bodu o souřadnici chladiči Do bodu o souřadnici Budiž Do bodu o souřadnici Q1 Do bodu o souřadnici teplo Do bodu o souřadnici soustavě Do bodu o souřadnici dodaneacute Do bodu o souřadnici ohřiacutevačem Do bodu o souřadnici a Do bodu o souřadnici Q2 Do bodu o souřadnici teplosoustavou Do bodu o souřadnici odevzdaneacute Do bodu o souřadnici chladiči

84

V Do bodu o souřadnici tepelneacutem stroji Do bodu o souřadnici probiacutehaacute Do bodu o souřadnici s Do bodu o souřadnici pracovniacute laacutetkou Do bodu o souřadnici (např Do bodu o souřadnici voda Do bodu o souřadnici paacutera Do bodu o souřadnici palivovaacute Do bodu o souřadnici směs) Do bodu o souřadnici kruhovyacute Do bodu o souřadnici děj Do bodu o souřadnici zauacutečelem Do bodu o souřadnici trvaleacuteho Do bodu o souřadnici konaacuteniacute Do bodu o souřadnici praacutece Do bodu o souřadnici tepelnyacutem Do bodu o souřadnici strojem Do bodu o souřadnici nebo Do bodu o souřadnici trvaleacuteho Do bodu o souřadnici odebiacuteraacuteniacute Do bodu o souřadnici tepla Do bodu o souřadnici z Do bodu o souřadnici chladiacuteciacuteho Do bodu o souřadnici prostoruK Do bodu o souřadnici tepelnyacutem Do bodu o souřadnici strojům Do bodu o souřadnici patřiacute Do bodu o souřadnici napřiacuteklad Do bodu o souřadnici spalovaciacute Do bodu o souřadnici a Do bodu o souřadnici parniacute Do bodu o souřadnici turbiacuteny Do bodu o souřadnici parniacute Do bodu o souřadnici stroje Do bodu o souřadnici piacutestoveacute Do bodu o souřadnici spalovaciacutemotory Do bodu o souřadnici chladiciacute Do bodu o souřadnici stroje Do bodu o souřadnici (Q Do bodu o souřadnici lt Do bodu o souřadnici 0) Do bodu o souřadnici tepelnaacute Do bodu o souřadnici čerpadla

Diskutujme Do bodu o souřadnici tepelnyacute Do bodu o souřadnici motor Do bodu o souřadnici tedy Do bodu o souřadnici stroj Do bodu o souřadnici jehož Do bodu o souřadnici užitečnyacutem Do bodu o souřadnici vyacutestupem Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici mechanickaacute Do bodu o souřadnici praacutece Do bodu o souřadnici kteroukonaacute Do bodu o souřadnici soustava Do bodu o souřadnici na Do bodu o souřadnici okoliacute Do bodu o souřadnici Uacutečinnost Do bodu o souřadnici tepelneacuteho Do bodu o souřadnici motoru Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici podiacutelem Do bodu o souřadnici užitku Do bodu o souřadnici a Do bodu o souřadnici investice Do bodu o souřadnici ve Do bodu o souřadnici formě Do bodu o souřadnici energie

η=WQ1

(148)

Podle vztahu (147) platiacute

W=Q1+Q2 (149)

Uacutečinnost tepelneacuteho motoru lze tedy napsat ve tvaru

η=Q1+Q2

Q1(150)

Uacutečinnost Do bodu o souřadnici tepelneacuteho Do bodu o souřadnici motoru Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici největšiacute Do bodu o souřadnici u Do bodu o souřadnici Carnotova cyklu Do bodu o souřadnici kteryacute Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici sklaacutedaacute Do bodu o souřadnici ze Do bodu o souřadnici čtyř Do bodu o souřadnici vratnyacutech Do bodu o souřadnici dějů Do bodu o souřadnici sideaacutelniacutem Do bodu o souřadnici plynem Do bodu o souřadnici (vratnyacute Do bodu o souřadnici neboli Do bodu o souřadnici reverzibilniacute Do bodu o souřadnici děj Do bodu o souřadnici - Do bodu o souřadnici průběh Do bodu o souřadnici děje Do bodu o souřadnici lze Do bodu o souřadnici libovolně Do bodu o souřadnici malou Do bodu o souřadnici změnou Do bodu o souřadnici některeacutestavoveacute Do bodu o souřadnici veličiny Do bodu o souřadnici kdykoliv Do bodu o souřadnici změnit Do bodu o souřadnici na Do bodu o souřadnici děj Do bodu o souřadnici opačnyacute Do bodu o souřadnici jednaacute Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici o Do bodu o souřadnici děj Do bodu o souřadnici ideaacutelniacute Do bodu o souřadnici v Do bodu o souřadnici přiacuterodě Do bodu o souřadnici se Do bodu o souřadnici nevyskytujiacuteciacute)izotermickeacute expanze adiabatickeacute expanze izotermickeacute komprese a adiabatickeacute komprese(obr Do bodu o souřadnici kr2) Do bodu o souřadnici Uacutečinnost Do bodu o souřadnici Carnotova Do bodu o souřadnici cyklu Do bodu o souřadnici je

η=Q1+Q2

Q1

=T1minusT 2

T 1

(151)

kde Do bodu o souřadnici T1 Do bodu o souřadnici je Do bodu o souřadnici teplota Do bodu o souřadnici ohřiacutevače Do bodu o souřadnici a Do bodu o souřadnici T2 Do bodu o souřadnici teplota Do bodu o souřadnici chladiče

85

Použitaacute literatura

Halliday D Resnick R amp Walker J (2000) Fyzika Brno VUTIUM Prometheus

Hlavička A Bělař A Krmešskyacute J amp Špelda A (1971) Fyzika pro pedagogickeacute fakulty Praha SPN

Kvasnica J Havraacutenek A Lukaacuteč P amp Sprušil B (2004) Mechanika Praha Academia

Maršaacutek Z (2000) Termodynamika a statistickaacute fyzika [Vysokoškolskeacute skriptum] Praha ČVUT

Young Do bodu o souřadnici H Do bodu o souřadnici D Do bodu o souřadnici Freedman Do bodu o souřadnici R Do bodu o souřadnici A Do bodu o souřadnici amp Do bodu o souřadnici Lewis Do bodu o souřadnici Ford Do bodu o souřadnici A Do bodu o souřadnici (2012) Do bodu o souřadnici University Physics with Modern Physics (13th Edition) Do bodu o souřadnici San Do bodu o souřadnici Francisco Do bodu o souřadnici Addison-Wesley

86

Radim Uhlaacuteř
1 KINEMATIKA

Page 2: FYZIKA I - vsb.czhomel.vsb.cz/~uhl72/fyzika_I_dalkari_fbi_new.pdfRychlost při pohybu podél osy x závisí na čase takto: vx = 60 (m·s-1) + 0,5 (m·s-3) t2. Určete změnu rychlosti

FYZIKA IUacuteVOD

Postaveniacute fyziky ve vědě a jejiacute členěniacute

Slovo fyzika pochaacuteziacute z řeckeacuteho slova fysis = přiacuteroda V antice byla fyzika chaacutepaacutena jako filozofiepřiacuterody (jako protiklad k uměleacutemu světu vytvořeneacutem člověkem technice ndash řecky techneacute) dnes jetakto chaacutepaacutena jen zčaacutesti (např termiacuten Natural Philosophy) Filosofie se stala samostatnou vědou olidskeacutem myšleniacute a světě vůbec Matematiku nepovažujeme za přiacuterodniacute vědu Speciaacutelniacutemizaacutekonitostmi na vyššiacutech uacuterovniacutech organizace hmoty se zabyacutevajiacute dalšiacute přiacuterodniacute a společenskeacute vědy ndashchemie biologie psychologie sociologie (obr U1) Fyzika maacute uacutezkeacute sepětiacute s matematikou ndashvyužiacutevaacute jejich metod a takeacute matematiku obohacuje novyacutemi myšlenkami a pojmy (např objeviteldiferenciaacutelniacuteho a integraacutelniacuteho počtu je Isaac Newton - fyzik) Fyzika je v současnosti vědou ozaacutekladniacutech nejobecnějšiacutech zaacutekonech přiacuterody a přitom je takeacute v uacutezkeacutem vztahu s filosofiiacute

Podstatnyacute rozdiacutel mezi filosofiiacute a fyzikou k fyzikaacutelniacutem poznatkům nedochaacuteziacuteme pouhyacutem myšleniacutemavšak konfrontaciacute s vyacutesledky měřeniacute a zkoumaacuteniacute Fyzika použiacutevaacute vědeckou metodu pro hledaacuteniacutebdquopravidel herldquo v přiacuterodě a je založena na pozorovaacuteniacute usuzovaacuteniacute a experimentu

Fyzikaacutelniacute vyacutezkum je dnes velmi naacutekladnyacute zejmeacutena pokud jde o

experimentaacutelniacute zařiacutezeniacute jimiž jsou urychlovače zařiacutezeniacute pro vyacutezkum termojadernyacutech reakciacute prokosmickyacute vyacutezkum Znaacutemeacute je napřiacuteklad Evropskeacute středisko pro jadernyacute vyacutezkum (CERN)

Motivaciacute fyzikaacutelniacuteho vyacutezkumu je ukojeniacute zvědavosti snaha o hlubšiacute poznaacuteniacute přiacuterody a šance napředem neočekaacutevanyacute užitek (např uměleacute družice) Neviacuteme tedy jakyacute užitek bude miacutet lidstvo zobjevu noveacute elementaacuterniacute čaacutestice cesty na Mars apod

Fyzika je velmi rozsaacutehlaacute vědniacute discipliacutena a je nutno přiznat že žaacutednyacute fyzik ji nemůže ovlaacutedat v celeacutešiacuteři

2

Děleniacute fyziky

3

MECHANIKA

1 KINEMATIKA

4

vp=dΔ t

=Δ rΔ t

(1)

vp=vx p=Δ xΔ t

=x2minusx1

t2minust1

obr 11

obr 12

v x p=Δ xΔ t

=minus3minus5

3=minus83

msdotsminus1

5

s(t2)minuss(t1)

t2minust1

=Δ sΔ t

(2)

kde t2 gt t1

v=v x= limΔ trarr0

Δ xΔ t

=d xd t

(3)

6

rychlost

ap=ax p=v2xminusv1x

t2minust1

=Δ vx

Δ t(4)

a=ax= limΔ trarr0

Δ v x

Δ t=

d v x

d t=

dd t (

d xd t )=

d2 x

d t2 (5)

7

Obr 13a

ax=v2xminusv1x

t2minust 1

=Δ v x

Δ t

ax=v xminusv0 x

tminus0

8

v x=v0 x+ax t (6)

ax=d vx

d t=konst

d vx=ax d t

vx=d xd t

d x=v x d t

ax t2+v0 x t+x0

x=12

ax t2+v0 x t+x0

(7)

9

r=x i+ y j+z k=(x y z) (8)

vp=Δ rΔ t

(9)

10

v= d rd t

=(d xd t

d yd t

d zd t

) (10)

ap=Δ vΔ t

(11)

11

zrychleniacute

a= d vd t

=(ax a y az) (12)

12

obr 14

a=d vd t

=d (v τ )

d t=

d vd t

τ+vd τ

d t=

d vd t

τ+vd sd t

d τ

d s=

d vd t

τ +v2 d τ

d s

13

d τ=d sR

τ ν=d sR

ν

a= d vd t

τ+v2

Rν

a=a t+an (13)

v=v0=konst (14)

s=s0+vt (15)

14

v=v0+a t t (16)

s=s0+v0 t+12

a t t2

(17)

a t=|d vd t |

v=v0minusa t t (18)

s=s0+v0 tminus12

a t t2

(19)

15

ωp=ϕ 2minusϕ 1

t2minust1

=Δϕ

Δ t (21)

ω=d φd t

=d (φβ )

d t=

dφd t

β+ φdβd t

=dφd t

β=d sr d t

β=vrβ

[ω] = rad∙s-1

Proto ω=vr

a

v=ωr (22)

v=ωtimesr

ε=dωd t

=d vr d t

β=a t

rβ

ε=at

r (23)

16

ϵ p=ΔωΔ t (24)

a=ad=v2

r (25)

obr 18

T=2π r

v (26)

f =1T

(27)

[f] = s-1

17

ω=2πT

=2π f (28)

v=ωr (29)

v=ωtimesr (30)

v=v0+a t t=v0+ϵR t (31)

s=s0+v0 t+ 12

a t t2=s0+v0 t+1

2ϵRt2

(32)

ω=ω0+ϵ t(33)

ϕ=ϕ0+ω0 t+12ϵt2

(34)

18

s=s0+v0 tminus12

2ϵRt2

(36)

ω=ω0minusϵ t(37)

(38)

19

20

mX

m0

=a0

aX

FV=sumF=d pd t

(39)

21

p=m v (40)

FV=sumF=m a (41)

d t2 r (t0)=r0 v (t0)=v0

22

23

24

25

26

FPTF

PTF

PT

Ft

FG

FN

F

směr pohybu

Ft = f FN

27

28

F=mdvd t

F d r=m d vd rd t

Takže

F d r=mv d v

intr1

r1

F d r=intv1

v2

mv dv=12

mv22minus

12

W=intr1

r1

F d r (42)

Ek=12

mv2 (43)

29

W=intr1

r2

Pp=ΔWΔ t

(45)

P=dWd t

=F d rd t

=Fv (46)

[P] = J∙s-1 = W (watt)

30

φx

yF

31

Impulz siacutely

I=intt1

t2

F d t=intt1

t2 d pd t

d t=intt 1

t 2

32

Fs=1Δ tintt1

t2

F d t=IΔ t

(48)

ρ=d mdV

(49)

ρs=mV

(50)

r T=

sumi=1

N

mi r i

sumi=1

N

mi

(51)

33

pak

r T=int r d m

int d m (52)

34

mi a i=Fi vn+Fi

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

Fi vn+sumi=1

N

Fi

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

Fi

r T=

sumi=1

N

mi r i

sumi=1

N

mi

=

sumi=1

N

mi r i

m

vT=

sumi=1

N

mi v i

m

aT=

sumi=1

N

mi ai

m

m aT=sumi=1

N

mi a i=FV=sumi=1

N

Fi (53)

35

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

mi

d v i

d t=

dd t sumi=1

N

mi v i=dd t sumi=1

N

pi=d pd t

Takže platiacute

FV=d pd t

(54)

36

d pd t

=orArr p=konst (55)

12

m1 v x 1 i2

+12

m2 vx 2 i2

=12

m1 v x 1 f2

+12

m2 vx 2f2

(57)

37

m1(v x 1 i2

minusvx 1f2

)=m2 (vx 2i2

minusvx 2f2

)

v x 1f=m1minusm2

m1+m2

vx 1 i+2m2

m1+m2

vx 2i

v x 2 f=2m1

m1+m2

v x 1 i+m2minusm1

m1+m2

v x 2 i (58)

m1+m2

(59)

38

39

M=rtimesF (60)

M=rFsinα=Fa (61)

[M] = Nmiddotm

b=rtimes p (62)

40

d bd t

=dd t

(rtimesm v )=d rd t

d ( m v )

d t=rtimesF=M

sum M=M V=d bd t

(63)

d bd t

=orArr b=konst (64)

Ek=12

m1v12+

12

m2 v22+=sum

i=1

N 12

mi v i2=sum

i=1

N 12

mi(ω r i)2=

12(sum

i=1

N

mi r i2)ω

2

Veličina

J=sumi=1

N

mi r i2 (65)

[J] = kgmiddotm2

Ek=12

J ω2 (66)

41

J=intr2 d m (67)

ρ=d mdV

=mV

σ=d md S

=mS

τ=d md l

=mL

(68)

42

43

Steinerova věta

J=J T+md2 (69)

J=int (x2+ y2

)d m

44

sumi=1

N

M i z=(sumi=1

N

mi r i2)ϵ=J ϵ (72)

45

M V=J ϵ=Jdωd t

=d(J ω)

d t=

d bd t

(74)

b=J ω (75)

46

T perioda [T] = s

f frekvence f =1T

[f] = Hz = s-1

Fp0+FG=o

47

k∣y0∣minusmg=0

Fp0+FG+Fp=m a

ma y=minusky

md2 y

d t2+ky=0

d2 y

d t2+

km

y=0 (76)

y=A sin(ω t+ϕ 0) (77)

kde

48

ω=2πT

=radic km

(78)

v y=d yd t

=Aω cos(ω t+ϕ 0) (79)

v=∣v y∣ (80)

49

a y=d v y

d t=minusA ω

2 sin(ω t+ϕ 0) (81)

a=∣a y∣ (82)

π2

rad

0

minusky d y= 12

ky12

Obecně platiacute

50

Ep( y )=12

ky2=

12

kA2 sin2(ω t+ϕ0) (83)

Ek=12

mv2=

12

m(d yd t

)2

=12

mA2ω

2 cos2(ω t+ϕ0)=

12

kA 2 cos2(ω t+ϕ 0) (84)

E=Ek+Ep=12

kA2 (85)

51

Kyvadla

M FG+M FR

=J ϵ

d t2

d2θ

d t2+

mghθJ

=0 (86)

kde

52

ω=2πT

=radicmghJ

(88)

T=2πradic Jmgh

(89)

J=ml2

T=2πradic ml2

mgl=2πradic l

g (90)

neboť h = l

53

2πradic Jmgh

=2πradiclR

g

takže

lR=J

mh (91)

Fp0+FG+Fp+Fo=m a

54

md2 y

d t2+r

d yd t

+ky=0

d2 yd t 2 +

rm

d yd t

+km

y=0 (92)

(93)

kde

ω =radicω2minus

r2

4m2(94)

55

E= 12

mv2+

12

ky2

d Ed t

=mvd vd t

+kyd yd t

=minusrv2 (95)

56

57

y=A sin (ω t)

58

)=A sin 2π(tTminus

xT vϕ

xλ)

Odraz vlněniacute

59

60

u=u1+u2

A=radicA12+A 2

A1coskx1+A2cos kx2

(101)

(x2minusx1) (102)

61

(103)

A=A1+A2 (104)

(105)

a

u2=A sin (ω t+kx) (108)

62

2cos

αminusβ

2

(110)

∣cos2π xλ∣=1

2πxλ=plusmnkπ

x=plusmnk λ2

k=012

cos 2πxλ=0

2

x=plusmn(2k+1) λ4

k=012

63

64

sinα1

sinα2

=v1

v2

sinαm=v1

v2

Dopplerův jev

65

f L=v+ vL

λ=

v+ vL

v f S

=(1+vL

v) f S (111)

f L=vminusvL

λ=

vminusvL

v f S

=(1minusvL

v) f S (112)

66

f S

λfront=vf S

minusvS

f S

=vminusvS

f S

(113)

λ behind=v+vS

f S

(114)

f L=v+ v L

λbehind=

v+ vL

(v+ vS) f S

f L=v+ vL

v+ vS

f S (115)

67

Obr ter1

Obr ter2

68

Obr ter3

69

Obr ter4

[α] = K-1 = degC-1

l=l0(1+αΔT ) (117)

70

β=3α (119)

71

72

Obr Ter4

Q=ΔU+W (120)

73

d Q=d U+d W (121)

n=N

N A

(122)

[n] = mol

M=mn

(123)

74

[M] = kgmiddotmol-1

Ar=ma

u (124)

M r=mm

u (125)

m=Nmm n= NN A

Mm=mn=

Nmm

N N A

]

pV=nRT (126)

75

Praacutece plynu

W=intV 1

V 2

p d V (128)

76

I=F Δ t=2mvx

Δ t=2lvx

takže

F 2lvx

=2mvx

F=mv x

2

l

F=mv1x

2

l+

mv2x2

l++

mvNx2

l

tedy

77

F=ml sumi=1

N

v ix2=

mNl

sumi=1

N

v ix2

N=

mNl

v x2=

mNl

v2

3=

mN3l

vk2

2+v y

2+v z

2=v z

2=

13

v2

p=F

l2=

N

3l3mvk

2=

N3V

mv k2 (129)

Ek=12

mvk2

p=23

NV

Ek (130)

T= pVnR

=23

NV

EkVnR

=23

NV

Ek

VN A

NR=

23

N A

REk=

23

1k

Ek (131)

N A

Ek=32

kT (132)

78

U=N Ek=N32

kT=N32

RN A

T=32

nRT (133)

U=i2

nRT (134)

CV=[ d Qnd T ]

V=konst(135)

CV=[ d Qnd T ]

V=konst

=[ d Und T ]

V=konst

=iR2

(136)

Takže

d Q=d U=CV nd T=iR2

nd T

79

Q=intT 1

T 2

cV=[ d Qm d T ]

V=konst

d Q=d W= pd V

W=intV 1

V 2

p d V

pV =nRT

p= nRTV

W=nRTintV 1

V 2 d VV

=nRT lnV 2

V 1

(138)

80

Q=intT 1

T 2

Cp=CV+R (140)

81

W=intT 1

T 2

d U=minusd W (142)

upravujme

nCV dT+nRTV

d V=0 1T

nCV

Td T+

nRV

dV =0

ln T CV+ln V R=ln K

lnT CV V R=ln K

K=TCV V R

K1=TVR

82

R=CpminusCV

RCV

=C p

CV

minus1

RCV

=κminus1

κ=C p

CV(143)

K1=TV κminus1

T=pVnR

K1=pVnR

V κminus1=

pV κ

nR

W=minusintU 1

U 2

pV n=konst (145)

83

KRUHOVEacute DĚJE

∮dU=0 (146)

d Q=d U+d W

∮d Q=∮d W(147)

84

η=WQ1

(148)

W=Q1+Q2 (149)

η=Q1+Q2

Q1(150)

η=Q1+Q2

Q1

=T1minusT 2

T 1

(151)

85

86

Radim Uhlaacuteř
1 KINEMATIKA

Page 3: FYZIKA I - vsb.czhomel.vsb.cz/~uhl72/fyzika_I_dalkari_fbi_new.pdfRychlost při pohybu podél osy x závisí na čase takto: vx = 60 (m·s-1) + 0,5 (m·s-3) t2. Určete změnu rychlosti

Děleniacute fyziky

3

MECHANIKA

1 KINEMATIKA

4

vp=dΔ t

=Δ rΔ t

(1)

vp=vx p=Δ xΔ t

=x2minusx1

t2minust1

obr 11

obr 12

v x p=Δ xΔ t

=minus3minus5

3=minus83

msdotsminus1

5

s(t2)minuss(t1)

t2minust1

=Δ sΔ t

(2)

kde t2 gt t1

v=v x= limΔ trarr0

Δ xΔ t

=d xd t

(3)

6

rychlost

ap=ax p=v2xminusv1x

t2minust1

=Δ vx

Δ t(4)

a=ax= limΔ trarr0

Δ v x

Δ t=

d v x

d t=

dd t (

d xd t )=

d2 x

d t2 (5)

7

Obr 13a

ax=v2xminusv1x

t2minust 1

=Δ v x

Δ t

ax=v xminusv0 x

tminus0

8

v x=v0 x+ax t (6)

ax=d vx

d t=konst

d vx=ax d t

vx=d xd t

d x=v x d t

ax t2+v0 x t+x0

x=12

ax t2+v0 x t+x0

(7)

9

r=x i+ y j+z k=(x y z) (8)

vp=Δ rΔ t

(9)

10

v= d rd t

=(d xd t

d yd t

d zd t

) (10)

ap=Δ vΔ t

(11)

11

zrychleniacute

a= d vd t

=(ax a y az) (12)

12

obr 14

a=d vd t

=d (v τ )

d t=

d vd t

τ+vd τ

d t=

d vd t

τ+vd sd t

d τ

d s=

d vd t

τ +v2 d τ

d s

13

d τ=d sR

τ ν=d sR

ν

a= d vd t

τ+v2

Rν

a=a t+an (13)

v=v0=konst (14)

s=s0+vt (15)

14

v=v0+a t t (16)

s=s0+v0 t+12

a t t2

(17)

a t=|d vd t |

v=v0minusa t t (18)

s=s0+v0 tminus12

a t t2

(19)

15

ωp=ϕ 2minusϕ 1

t2minust1

=Δϕ

Δ t (21)

ω=d φd t

=d (φβ )

d t=

dφd t

β+ φdβd t

=dφd t

β=d sr d t

β=vrβ

[ω] = rad∙s-1

Proto ω=vr

a

v=ωr (22)

v=ωtimesr

ε=dωd t

=d vr d t

β=a t

rβ

ε=at

r (23)

16

ϵ p=ΔωΔ t (24)

a=ad=v2

r (25)

obr 18

T=2π r

v (26)

f =1T

(27)

[f] = s-1

17

ω=2πT

=2π f (28)

v=ωr (29)

v=ωtimesr (30)

v=v0+a t t=v0+ϵR t (31)

s=s0+v0 t+ 12

a t t2=s0+v0 t+1

2ϵRt2

(32)

ω=ω0+ϵ t(33)

ϕ=ϕ0+ω0 t+12ϵt2

(34)

18

s=s0+v0 tminus12

2ϵRt2

(36)

ω=ω0minusϵ t(37)

(38)

19

20

mX

m0

=a0

aX

FV=sumF=d pd t

(39)

21

p=m v (40)

FV=sumF=m a (41)

d t2 r (t0)=r0 v (t0)=v0

22

23

24

25

26

FPTF

PTF

PT

Ft

FG

FN

F

směr pohybu

Ft = f FN

27

28

F=mdvd t

F d r=m d vd rd t

Takže

F d r=mv d v

intr1

r1

F d r=intv1

v2

mv dv=12

mv22minus

12

W=intr1

r1

F d r (42)

Ek=12

mv2 (43)

29

W=intr1

r2

Pp=ΔWΔ t

(45)

P=dWd t

=F d rd t

=Fv (46)

[P] = J∙s-1 = W (watt)

30

φx

yF

31

Impulz siacutely

I=intt1

t2

F d t=intt1

t2 d pd t

d t=intt 1

t 2

32

Fs=1Δ tintt1

t2

F d t=IΔ t

(48)

ρ=d mdV

(49)

ρs=mV

(50)

r T=

sumi=1

N

mi r i

sumi=1

N

mi

(51)

33

pak

r T=int r d m

int d m (52)

34

mi a i=Fi vn+Fi

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

Fi vn+sumi=1

N

Fi

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

Fi

r T=

sumi=1

N

mi r i

sumi=1

N

mi

=

sumi=1

N

mi r i

m

vT=

sumi=1

N

mi v i

m

aT=

sumi=1

N

mi ai

m

m aT=sumi=1

N

mi a i=FV=sumi=1

N

Fi (53)

35

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

mi

d v i

d t=

dd t sumi=1

N

mi v i=dd t sumi=1

N

pi=d pd t

Takže platiacute

FV=d pd t

(54)

36

d pd t

=orArr p=konst (55)

12

m1 v x 1 i2

+12

m2 vx 2 i2

=12

m1 v x 1 f2

+12

m2 vx 2f2

(57)

37

m1(v x 1 i2

minusvx 1f2

)=m2 (vx 2i2

minusvx 2f2

)

v x 1f=m1minusm2

m1+m2

vx 1 i+2m2

m1+m2

vx 2i

v x 2 f=2m1

m1+m2

v x 1 i+m2minusm1

m1+m2

v x 2 i (58)

m1+m2

(59)

38

39

M=rtimesF (60)

M=rFsinα=Fa (61)

[M] = Nmiddotm

b=rtimes p (62)

40

d bd t

=dd t

(rtimesm v )=d rd t

d ( m v )

d t=rtimesF=M

sum M=M V=d bd t

(63)

d bd t

=orArr b=konst (64)

Ek=12

m1v12+

12

m2 v22+=sum

i=1

N 12

mi v i2=sum

i=1

N 12

mi(ω r i)2=

12(sum

i=1

N

mi r i2)ω

2

Veličina

J=sumi=1

N

mi r i2 (65)

[J] = kgmiddotm2

Ek=12

J ω2 (66)

41

J=intr2 d m (67)

ρ=d mdV

=mV

σ=d md S

=mS

τ=d md l

=mL

(68)

42

43

Steinerova věta

J=J T+md2 (69)

J=int (x2+ y2

)d m

44

sumi=1

N

M i z=(sumi=1

N

mi r i2)ϵ=J ϵ (72)

45

M V=J ϵ=Jdωd t

=d(J ω)

d t=

d bd t

(74)

b=J ω (75)

46

T perioda [T] = s

f frekvence f =1T

[f] = Hz = s-1

Fp0+FG=o

47

k∣y0∣minusmg=0

Fp0+FG+Fp=m a

ma y=minusky

md2 y

d t2+ky=0

d2 y

d t2+

km

y=0 (76)

y=A sin(ω t+ϕ 0) (77)

kde

48

ω=2πT

=radic km

(78)

v y=d yd t

=Aω cos(ω t+ϕ 0) (79)

v=∣v y∣ (80)

49

a y=d v y

d t=minusA ω

2 sin(ω t+ϕ 0) (81)

a=∣a y∣ (82)

π2

rad

0

minusky d y= 12

ky12

Obecně platiacute

50

Ep( y )=12

ky2=

12

kA2 sin2(ω t+ϕ0) (83)

Ek=12

mv2=

12

m(d yd t

)2

=12

mA2ω

2 cos2(ω t+ϕ0)=

12

kA 2 cos2(ω t+ϕ 0) (84)

E=Ek+Ep=12

kA2 (85)

51

Kyvadla

M FG+M FR

=J ϵ

d t2

d2θ

d t2+

mghθJ

=0 (86)

kde

52

ω=2πT

=radicmghJ

(88)

T=2πradic Jmgh

(89)

J=ml2

T=2πradic ml2

mgl=2πradic l

g (90)

neboť h = l

53

2πradic Jmgh

=2πradiclR

g

takže

lR=J

mh (91)

Fp0+FG+Fp+Fo=m a

54

md2 y

d t2+r

d yd t

+ky=0

d2 yd t 2 +

rm

d yd t

+km

y=0 (92)

(93)

kde

ω =radicω2minus

r2

4m2(94)

55

E= 12

mv2+

12

ky2

d Ed t

=mvd vd t

+kyd yd t

=minusrv2 (95)

56

57

y=A sin (ω t)

58

)=A sin 2π(tTminus

xT vϕ

xλ)

Odraz vlněniacute

59

60

u=u1+u2

A=radicA12+A 2

A1coskx1+A2cos kx2

(101)

(x2minusx1) (102)

61

(103)

A=A1+A2 (104)

(105)

a

u2=A sin (ω t+kx) (108)

62

2cos

αminusβ

2

(110)

∣cos2π xλ∣=1

2πxλ=plusmnkπ

x=plusmnk λ2

k=012

cos 2πxλ=0

2

x=plusmn(2k+1) λ4

k=012

63

64

sinα1

sinα2

=v1

v2

sinαm=v1

v2

Dopplerův jev

65

f L=v+ vL

λ=

v+ vL

v f S

=(1+vL

v) f S (111)

f L=vminusvL

λ=

vminusvL

v f S

=(1minusvL

v) f S (112)

66

f S

λfront=vf S

minusvS

f S

=vminusvS

f S

(113)

λ behind=v+vS

f S

(114)

f L=v+ v L

λbehind=

v+ vL

(v+ vS) f S

f L=v+ vL

v+ vS

f S (115)

67

Obr ter1

Obr ter2

68

Obr ter3

69

Obr ter4

[α] = K-1 = degC-1

l=l0(1+αΔT ) (117)

70

β=3α (119)

71

72

Obr Ter4

Q=ΔU+W (120)

73

d Q=d U+d W (121)

n=N

N A

(122)

[n] = mol

M=mn

(123)

74

[M] = kgmiddotmol-1

Ar=ma

u (124)

M r=mm

u (125)

m=Nmm n= NN A

Mm=mn=

Nmm

N N A

]

pV=nRT (126)

75

Praacutece plynu

W=intV 1

V 2

p d V (128)

76

I=F Δ t=2mvx

Δ t=2lvx

takže

F 2lvx

=2mvx

F=mv x

2

l

F=mv1x

2

l+

mv2x2

l++

mvNx2

l

tedy

77

F=ml sumi=1

N

v ix2=

mNl

sumi=1

N

v ix2

N=

mNl

v x2=

mNl

v2

3=

mN3l

vk2

2+v y

2+v z

2=v z

2=

13

v2

p=F

l2=

N

3l3mvk

2=

N3V

mv k2 (129)

Ek=12

mvk2

p=23

NV

Ek (130)

T= pVnR

=23

NV

EkVnR

=23

NV

Ek

VN A

NR=

23

N A

REk=

23

1k

Ek (131)

N A

Ek=32

kT (132)

78

U=N Ek=N32

kT=N32

RN A

T=32

nRT (133)

U=i2

nRT (134)

CV=[ d Qnd T ]

V=konst(135)

CV=[ d Qnd T ]

V=konst

=[ d Und T ]

V=konst

=iR2

(136)

Takže

d Q=d U=CV nd T=iR2

nd T

79

Q=intT 1

T 2

cV=[ d Qm d T ]

V=konst

d Q=d W= pd V

W=intV 1

V 2

p d V

pV =nRT

p= nRTV

W=nRTintV 1

V 2 d VV

=nRT lnV 2

V 1

(138)

80

Q=intT 1

T 2

Cp=CV+R (140)

81

W=intT 1

T 2

d U=minusd W (142)

upravujme

nCV dT+nRTV

d V=0 1T

nCV

Td T+

nRV

dV =0

ln T CV+ln V R=ln K

lnT CV V R=ln K

K=TCV V R

K1=TVR

82

R=CpminusCV

RCV

=C p

CV

minus1

RCV

=κminus1

κ=C p

CV(143)

K1=TV κminus1

T=pVnR

K1=pVnR

V κminus1=

pV κ

nR

W=minusintU 1

U 2

pV n=konst (145)

83

KRUHOVEacute DĚJE

∮dU=0 (146)

d Q=d U+d W

∮d Q=∮d W(147)

84

η=WQ1

(148)

W=Q1+Q2 (149)

η=Q1+Q2

Q1(150)

η=Q1+Q2

Q1

=T1minusT 2

T 1

(151)

85

86

Radim Uhlaacuteř
1 KINEMATIKA

Page 4: FYZIKA I - vsb.czhomel.vsb.cz/~uhl72/fyzika_I_dalkari_fbi_new.pdfRychlost při pohybu podél osy x závisí na čase takto: vx = 60 (m·s-1) + 0,5 (m·s-3) t2. Určete změnu rychlosti

MECHANIKA

1 KINEMATIKA

4

vp=dΔ t

=Δ rΔ t

(1)

vp=vx p=Δ xΔ t

=x2minusx1

t2minust1

obr 11

obr 12

v x p=Δ xΔ t

=minus3minus5

3=minus83

msdotsminus1

5

s(t2)minuss(t1)

t2minust1

=Δ sΔ t

(2)

kde t2 gt t1

v=v x= limΔ trarr0

Δ xΔ t

=d xd t

(3)

6

rychlost

ap=ax p=v2xminusv1x

t2minust1

=Δ vx

Δ t(4)

a=ax= limΔ trarr0

Δ v x

Δ t=

d v x

d t=

dd t (

d xd t )=

d2 x

d t2 (5)

7

Obr 13a

ax=v2xminusv1x

t2minust 1

=Δ v x

Δ t

ax=v xminusv0 x

tminus0

8

v x=v0 x+ax t (6)

ax=d vx

d t=konst

d vx=ax d t

vx=d xd t

d x=v x d t

ax t2+v0 x t+x0

x=12

ax t2+v0 x t+x0

(7)

9

r=x i+ y j+z k=(x y z) (8)

vp=Δ rΔ t

(9)

10

v= d rd t

=(d xd t

d yd t

d zd t

) (10)

ap=Δ vΔ t

(11)

11

zrychleniacute

a= d vd t

=(ax a y az) (12)

12

obr 14

a=d vd t

=d (v τ )

d t=

d vd t

τ+vd τ

d t=

d vd t

τ+vd sd t

d τ

d s=

d vd t

τ +v2 d τ

d s

13

d τ=d sR

τ ν=d sR

ν

a= d vd t

τ+v2

Rν

a=a t+an (13)

v=v0=konst (14)

s=s0+vt (15)

14

v=v0+a t t (16)

s=s0+v0 t+12

a t t2

(17)

a t=|d vd t |

v=v0minusa t t (18)

s=s0+v0 tminus12

a t t2

(19)

15

ωp=ϕ 2minusϕ 1

t2minust1

=Δϕ

Δ t (21)

ω=d φd t

=d (φβ )

d t=

dφd t

β+ φdβd t

=dφd t

β=d sr d t

β=vrβ

[ω] = rad∙s-1

Proto ω=vr

a

v=ωr (22)

v=ωtimesr

ε=dωd t

=d vr d t

β=a t

rβ

ε=at

r (23)

16

ϵ p=ΔωΔ t (24)

a=ad=v2

r (25)

obr 18

T=2π r

v (26)

f =1T

(27)

[f] = s-1

17

ω=2πT

=2π f (28)

v=ωr (29)

v=ωtimesr (30)

v=v0+a t t=v0+ϵR t (31)

s=s0+v0 t+ 12

a t t2=s0+v0 t+1

2ϵRt2

(32)

ω=ω0+ϵ t(33)

ϕ=ϕ0+ω0 t+12ϵt2

(34)

18

s=s0+v0 tminus12

2ϵRt2

(36)

ω=ω0minusϵ t(37)

(38)

19

20

mX

m0

=a0

aX

FV=sumF=d pd t

(39)

21

p=m v (40)

FV=sumF=m a (41)

d t2 r (t0)=r0 v (t0)=v0

22

23

24

25

26

FPTF

PTF

PT

Ft

FG

FN

F

směr pohybu

Ft = f FN

27

28

F=mdvd t

F d r=m d vd rd t

Takže

F d r=mv d v

intr1

r1

F d r=intv1

v2

mv dv=12

mv22minus

12

W=intr1

r1

F d r (42)

Ek=12

mv2 (43)

29

W=intr1

r2

Pp=ΔWΔ t

(45)

P=dWd t

=F d rd t

=Fv (46)

[P] = J∙s-1 = W (watt)

30

φx

yF

31

Impulz siacutely

I=intt1

t2

F d t=intt1

t2 d pd t

d t=intt 1

t 2

32

Fs=1Δ tintt1

t2

F d t=IΔ t

(48)

ρ=d mdV

(49)

ρs=mV

(50)

r T=

sumi=1

N

mi r i

sumi=1

N

mi

(51)

33

pak

r T=int r d m

int d m (52)

34

mi a i=Fi vn+Fi

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

Fi vn+sumi=1

N

Fi

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

Fi

r T=

sumi=1

N

mi r i

sumi=1

N

mi

=

sumi=1

N

mi r i

m

vT=

sumi=1

N

mi v i

m

aT=

sumi=1

N

mi ai

m

m aT=sumi=1

N

mi a i=FV=sumi=1

N

Fi (53)

35

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

mi

d v i

d t=

dd t sumi=1

N

mi v i=dd t sumi=1

N

pi=d pd t

Takže platiacute

FV=d pd t

(54)

36

d pd t

=orArr p=konst (55)

12

m1 v x 1 i2

+12

m2 vx 2 i2

=12

m1 v x 1 f2

+12

m2 vx 2f2

(57)

37

m1(v x 1 i2

minusvx 1f2

)=m2 (vx 2i2

minusvx 2f2

)

v x 1f=m1minusm2

m1+m2

vx 1 i+2m2

m1+m2

vx 2i

v x 2 f=2m1

m1+m2

v x 1 i+m2minusm1

m1+m2

v x 2 i (58)

m1+m2

(59)

38

39

M=rtimesF (60)

M=rFsinα=Fa (61)

[M] = Nmiddotm

b=rtimes p (62)

40

d bd t

=dd t

(rtimesm v )=d rd t

d ( m v )

d t=rtimesF=M

sum M=M V=d bd t

(63)

d bd t

=orArr b=konst (64)

Ek=12

m1v12+

12

m2 v22+=sum

i=1

N 12

mi v i2=sum

i=1

N 12

mi(ω r i)2=

12(sum

i=1

N

mi r i2)ω

2

Veličina

J=sumi=1

N

mi r i2 (65)

[J] = kgmiddotm2

Ek=12

J ω2 (66)

41

J=intr2 d m (67)

ρ=d mdV

=mV

σ=d md S

=mS

τ=d md l

=mL

(68)

42

43

Steinerova věta

J=J T+md2 (69)

J=int (x2+ y2

)d m

44

sumi=1

N

M i z=(sumi=1

N

mi r i2)ϵ=J ϵ (72)

45

M V=J ϵ=Jdωd t

=d(J ω)

d t=

d bd t

(74)

b=J ω (75)

46

T perioda [T] = s

f frekvence f =1T

[f] = Hz = s-1

Fp0+FG=o

47

k∣y0∣minusmg=0

Fp0+FG+Fp=m a

ma y=minusky

md2 y

d t2+ky=0

d2 y

d t2+

km

y=0 (76)

y=A sin(ω t+ϕ 0) (77)

kde

48

ω=2πT

=radic km

(78)

v y=d yd t

=Aω cos(ω t+ϕ 0) (79)

v=∣v y∣ (80)

49

a y=d v y

d t=minusA ω

2 sin(ω t+ϕ 0) (81)

a=∣a y∣ (82)

π2

rad

0

minusky d y= 12

ky12

Obecně platiacute

50

Ep( y )=12

ky2=

12

kA2 sin2(ω t+ϕ0) (83)

Ek=12

mv2=

12

m(d yd t

)2

=12

mA2ω

2 cos2(ω t+ϕ0)=

12

kA 2 cos2(ω t+ϕ 0) (84)

E=Ek+Ep=12

kA2 (85)

51

Kyvadla

M FG+M FR

=J ϵ

d t2

d2θ

d t2+

mghθJ

=0 (86)

kde

52

ω=2πT

=radicmghJ

(88)

T=2πradic Jmgh

(89)

J=ml2

T=2πradic ml2

mgl=2πradic l

g (90)

neboť h = l

53

2πradic Jmgh

=2πradiclR

g

takže

lR=J

mh (91)

Fp0+FG+Fp+Fo=m a

54

md2 y

d t2+r

d yd t

+ky=0

d2 yd t 2 +

rm

d yd t

+km

y=0 (92)

(93)

kde

ω =radicω2minus

r2

4m2(94)

55

E= 12

mv2+

12

ky2

d Ed t

=mvd vd t

+kyd yd t

=minusrv2 (95)

56

57

y=A sin (ω t)

58

)=A sin 2π(tTminus

xT vϕ

xλ)

Odraz vlněniacute

59

60

u=u1+u2

A=radicA12+A 2

A1coskx1+A2cos kx2

(101)

(x2minusx1) (102)

61

(103)

A=A1+A2 (104)

(105)

a

u2=A sin (ω t+kx) (108)

62

2cos

αminusβ

2

(110)

∣cos2π xλ∣=1

2πxλ=plusmnkπ

x=plusmnk λ2

k=012

cos 2πxλ=0

2

x=plusmn(2k+1) λ4

k=012

63

64

sinα1

sinα2

=v1

v2

sinαm=v1

v2

Dopplerův jev

65

f L=v+ vL

λ=

v+ vL

v f S

=(1+vL

v) f S (111)

f L=vminusvL

λ=

vminusvL

v f S

=(1minusvL

v) f S (112)

66

f S

λfront=vf S

minusvS

f S

=vminusvS

f S

(113)

λ behind=v+vS

f S

(114)

f L=v+ v L

λbehind=

v+ vL

(v+ vS) f S

f L=v+ vL

v+ vS

f S (115)

67

Obr ter1

Obr ter2

68

Obr ter3

69

Obr ter4

[α] = K-1 = degC-1

l=l0(1+αΔT ) (117)

70

β=3α (119)

71

72

Obr Ter4

Q=ΔU+W (120)

73

d Q=d U+d W (121)

n=N

N A

(122)

[n] = mol

M=mn

(123)

74

[M] = kgmiddotmol-1

Ar=ma

u (124)

M r=mm

u (125)

m=Nmm n= NN A

Mm=mn=

Nmm

N N A

]

pV=nRT (126)

75

Praacutece plynu

W=intV 1

V 2

p d V (128)

76

I=F Δ t=2mvx

Δ t=2lvx

takže

F 2lvx

=2mvx

F=mv x

2

l

F=mv1x

2

l+

mv2x2

l++

mvNx2

l

tedy

77

F=ml sumi=1

N

v ix2=

mNl

sumi=1

N

v ix2

N=

mNl

v x2=

mNl

v2

3=

mN3l

vk2

2+v y

2+v z

2=v z

2=

13

v2

p=F

l2=

N

3l3mvk

2=

N3V

mv k2 (129)

Ek=12

mvk2

p=23

NV

Ek (130)

T= pVnR

=23

NV

EkVnR

=23

NV

Ek

VN A

NR=

23

N A

REk=

23

1k

Ek (131)

N A

Ek=32

kT (132)

78

U=N Ek=N32

kT=N32

RN A

T=32

nRT (133)

U=i2

nRT (134)

CV=[ d Qnd T ]

V=konst(135)

CV=[ d Qnd T ]

V=konst

=[ d Und T ]

V=konst

=iR2

(136)

Takže

d Q=d U=CV nd T=iR2

nd T

79

Q=intT 1

T 2

cV=[ d Qm d T ]

V=konst

d Q=d W= pd V

W=intV 1

V 2

p d V

pV =nRT

p= nRTV

W=nRTintV 1

V 2 d VV

=nRT lnV 2

V 1

(138)

80

Q=intT 1

T 2

Cp=CV+R (140)

81

W=intT 1

T 2

d U=minusd W (142)

upravujme

nCV dT+nRTV

d V=0 1T

nCV

Td T+

nRV

dV =0

ln T CV+ln V R=ln K

lnT CV V R=ln K

K=TCV V R

K1=TVR

82

R=CpminusCV

RCV

=C p

CV

minus1

RCV

=κminus1

κ=C p

CV(143)

K1=TV κminus1

T=pVnR

K1=pVnR

V κminus1=

pV κ

nR

W=minusintU 1

U 2

pV n=konst (145)

83

KRUHOVEacute DĚJE

∮dU=0 (146)

d Q=d U+d W

∮d Q=∮d W(147)

84

η=WQ1

(148)

W=Q1+Q2 (149)

η=Q1+Q2

Q1(150)

η=Q1+Q2

Q1

=T1minusT 2

T 1

(151)

85

86

Radim Uhlaacuteř
1 KINEMATIKA

Page 5: FYZIKA I - vsb.czhomel.vsb.cz/~uhl72/fyzika_I_dalkari_fbi_new.pdfRychlost při pohybu podél osy x závisí na čase takto: vx = 60 (m·s-1) + 0,5 (m·s-3) t2. Určete změnu rychlosti

vp=dΔ t

=Δ rΔ t

(1)

vp=vx p=Δ xΔ t

=x2minusx1

t2minust1

obr 11

obr 12

v x p=Δ xΔ t

=minus3minus5

3=minus83

msdotsminus1

5

s(t2)minuss(t1)

t2minust1

=Δ sΔ t

(2)

kde t2 gt t1

v=v x= limΔ trarr0

Δ xΔ t

=d xd t

(3)

6

rychlost

ap=ax p=v2xminusv1x

t2minust1

=Δ vx

Δ t(4)

a=ax= limΔ trarr0

Δ v x

Δ t=

d v x

d t=

dd t (

d xd t )=

d2 x

d t2 (5)

7

Obr 13a

ax=v2xminusv1x

t2minust 1

=Δ v x

Δ t

ax=v xminusv0 x

tminus0

8

v x=v0 x+ax t (6)

ax=d vx

d t=konst

d vx=ax d t

vx=d xd t

d x=v x d t

ax t2+v0 x t+x0

x=12

ax t2+v0 x t+x0

(7)

9

r=x i+ y j+z k=(x y z) (8)

vp=Δ rΔ t

(9)

10

v= d rd t

=(d xd t

d yd t

d zd t

) (10)

ap=Δ vΔ t

(11)

11

zrychleniacute

a= d vd t

=(ax a y az) (12)

12

obr 14

a=d vd t

=d (v τ )

d t=

d vd t

τ+vd τ

d t=

d vd t

τ+vd sd t

d τ

d s=

d vd t

τ +v2 d τ

d s

13

d τ=d sR

τ ν=d sR

ν

a= d vd t

τ+v2

Rν

a=a t+an (13)

v=v0=konst (14)

s=s0+vt (15)

14

v=v0+a t t (16)

s=s0+v0 t+12

a t t2

(17)

a t=|d vd t |

v=v0minusa t t (18)

s=s0+v0 tminus12

a t t2

(19)

15

ωp=ϕ 2minusϕ 1

t2minust1

=Δϕ

Δ t (21)

ω=d φd t

=d (φβ )

d t=

dφd t

β+ φdβd t

=dφd t

β=d sr d t

β=vrβ

[ω] = rad∙s-1

Proto ω=vr

a

v=ωr (22)

v=ωtimesr

ε=dωd t

=d vr d t

β=a t

rβ

ε=at

r (23)

16

ϵ p=ΔωΔ t (24)

a=ad=v2

r (25)

obr 18

T=2π r

v (26)

f =1T

(27)

[f] = s-1

17

ω=2πT

=2π f (28)

v=ωr (29)

v=ωtimesr (30)

v=v0+a t t=v0+ϵR t (31)

s=s0+v0 t+ 12

a t t2=s0+v0 t+1

2ϵRt2

(32)

ω=ω0+ϵ t(33)

ϕ=ϕ0+ω0 t+12ϵt2

(34)

18

s=s0+v0 tminus12

2ϵRt2

(36)

ω=ω0minusϵ t(37)

(38)

19

20

mX

m0

=a0

aX

FV=sumF=d pd t

(39)

21

p=m v (40)

FV=sumF=m a (41)

d t2 r (t0)=r0 v (t0)=v0

22

23

24

25

26

FPTF

PTF

PT

Ft

FG

FN

F

směr pohybu

Ft = f FN

27

28

F=mdvd t

F d r=m d vd rd t

Takže

F d r=mv d v

intr1

r1

F d r=intv1

v2

mv dv=12

mv22minus

12

W=intr1

r1

F d r (42)

Ek=12

mv2 (43)

29

W=intr1

r2

Pp=ΔWΔ t

(45)

P=dWd t

=F d rd t

=Fv (46)

[P] = J∙s-1 = W (watt)

30

φx

yF

31

Impulz siacutely

I=intt1

t2

F d t=intt1

t2 d pd t

d t=intt 1

t 2

32

Fs=1Δ tintt1

t2

F d t=IΔ t

(48)

ρ=d mdV

(49)

ρs=mV

(50)

r T=

sumi=1

N

mi r i

sumi=1

N

mi

(51)

33

pak

r T=int r d m

int d m (52)

34

mi a i=Fi vn+Fi

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

Fi vn+sumi=1

N

Fi

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

Fi

r T=

sumi=1

N

mi r i

sumi=1

N

mi

=

sumi=1

N

mi r i

m

vT=

sumi=1

N

mi v i

m

aT=

sumi=1

N

mi ai

m

m aT=sumi=1

N

mi a i=FV=sumi=1

N

Fi (53)

35

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

mi

d v i

d t=

dd t sumi=1

N

mi v i=dd t sumi=1

N

pi=d pd t

Takže platiacute

FV=d pd t

(54)

36

d pd t

=orArr p=konst (55)

12

m1 v x 1 i2

+12

m2 vx 2 i2

=12

m1 v x 1 f2

+12

m2 vx 2f2

(57)

37

m1(v x 1 i2

minusvx 1f2

)=m2 (vx 2i2

minusvx 2f2

)

v x 1f=m1minusm2

m1+m2

vx 1 i+2m2

m1+m2

vx 2i

v x 2 f=2m1

m1+m2

v x 1 i+m2minusm1

m1+m2

v x 2 i (58)

m1+m2

(59)

38

39

M=rtimesF (60)

M=rFsinα=Fa (61)

[M] = Nmiddotm

b=rtimes p (62)

40

d bd t

=dd t

(rtimesm v )=d rd t

d ( m v )

d t=rtimesF=M

sum M=M V=d bd t

(63)

d bd t

=orArr b=konst (64)

Ek=12

m1v12+

12

m2 v22+=sum

i=1

N 12

mi v i2=sum

i=1

N 12

mi(ω r i)2=

12(sum

i=1

N

mi r i2)ω

2

Veličina

J=sumi=1

N

mi r i2 (65)

[J] = kgmiddotm2

Ek=12

J ω2 (66)

41

J=intr2 d m (67)

ρ=d mdV

=mV

σ=d md S

=mS

τ=d md l

=mL

(68)

42

43

Steinerova věta

J=J T+md2 (69)

J=int (x2+ y2

)d m

44

sumi=1

N

M i z=(sumi=1

N

mi r i2)ϵ=J ϵ (72)

45

M V=J ϵ=Jdωd t

=d(J ω)

d t=

d bd t

(74)

b=J ω (75)

46

T perioda [T] = s

f frekvence f =1T

[f] = Hz = s-1

Fp0+FG=o

47

k∣y0∣minusmg=0

Fp0+FG+Fp=m a

ma y=minusky

md2 y

d t2+ky=0

d2 y

d t2+

km

y=0 (76)

y=A sin(ω t+ϕ 0) (77)

kde

48

ω=2πT

=radic km

(78)

v y=d yd t

=Aω cos(ω t+ϕ 0) (79)

v=∣v y∣ (80)

49

a y=d v y

d t=minusA ω

2 sin(ω t+ϕ 0) (81)

a=∣a y∣ (82)

π2

rad

0

minusky d y= 12

ky12

Obecně platiacute

50

Ep( y )=12

ky2=

12

kA2 sin2(ω t+ϕ0) (83)

Ek=12

mv2=

12

m(d yd t

)2

=12

mA2ω

2 cos2(ω t+ϕ0)=

12

kA 2 cos2(ω t+ϕ 0) (84)

E=Ek+Ep=12

kA2 (85)

51

Kyvadla

M FG+M FR

=J ϵ

d t2

d2θ

d t2+

mghθJ

=0 (86)

kde

52

ω=2πT

=radicmghJ

(88)

T=2πradic Jmgh

(89)

J=ml2

T=2πradic ml2

mgl=2πradic l

g (90)

neboť h = l

53

2πradic Jmgh

=2πradiclR

g

takže

lR=J

mh (91)

Fp0+FG+Fp+Fo=m a

54

md2 y

d t2+r

d yd t

+ky=0

d2 yd t 2 +

rm

d yd t

+km

y=0 (92)

(93)

kde

ω =radicω2minus

r2

4m2(94)

55

E= 12

mv2+

12

ky2

d Ed t

=mvd vd t

+kyd yd t

=minusrv2 (95)

56

57

y=A sin (ω t)

58

)=A sin 2π(tTminus

xT vϕ

xλ)

Odraz vlněniacute

59

60

u=u1+u2

A=radicA12+A 2

A1coskx1+A2cos kx2

(101)

(x2minusx1) (102)

61

(103)

A=A1+A2 (104)

(105)

a

u2=A sin (ω t+kx) (108)

62

2cos

αminusβ

2

(110)

∣cos2π xλ∣=1

2πxλ=plusmnkπ

x=plusmnk λ2

k=012

cos 2πxλ=0

2

x=plusmn(2k+1) λ4

k=012

63

64

sinα1

sinα2

=v1

v2

sinαm=v1

v2

Dopplerův jev

65

f L=v+ vL

λ=

v+ vL

v f S

=(1+vL

v) f S (111)

f L=vminusvL

λ=

vminusvL

v f S

=(1minusvL

v) f S (112)

66

f S

λfront=vf S

minusvS

f S

=vminusvS

f S

(113)

λ behind=v+vS

f S

(114)

f L=v+ v L

λbehind=

v+ vL

(v+ vS) f S

f L=v+ vL

v+ vS

f S (115)

67

Obr ter1

Obr ter2

68

Obr ter3

69

Obr ter4

[α] = K-1 = degC-1

l=l0(1+αΔT ) (117)

70

β=3α (119)

71

72

Obr Ter4

Q=ΔU+W (120)

73

d Q=d U+d W (121)

n=N

N A

(122)

[n] = mol

M=mn

(123)

74

[M] = kgmiddotmol-1

Ar=ma

u (124)

M r=mm

u (125)

m=Nmm n= NN A

Mm=mn=

Nmm

N N A

]

pV=nRT (126)

75

Praacutece plynu

W=intV 1

V 2

p d V (128)

76

I=F Δ t=2mvx

Δ t=2lvx

takže

F 2lvx

=2mvx

F=mv x

2

l

F=mv1x

2

l+

mv2x2

l++

mvNx2

l

tedy

77

F=ml sumi=1

N

v ix2=

mNl

sumi=1

N

v ix2

N=

mNl

v x2=

mNl

v2

3=

mN3l

vk2

2+v y

2+v z

2=v z

2=

13

v2

p=F

l2=

N

3l3mvk

2=

N3V

mv k2 (129)

Ek=12

mvk2

p=23

NV

Ek (130)

T= pVnR

=23

NV

EkVnR

=23

NV

Ek

VN A

NR=

23

N A

REk=

23

1k

Ek (131)

N A

Ek=32

kT (132)

78

U=N Ek=N32

kT=N32

RN A

T=32

nRT (133)

U=i2

nRT (134)

CV=[ d Qnd T ]

V=konst(135)

CV=[ d Qnd T ]

V=konst

=[ d Und T ]

V=konst

=iR2

(136)

Takže

d Q=d U=CV nd T=iR2

nd T

79

Q=intT 1

T 2

cV=[ d Qm d T ]

V=konst

d Q=d W= pd V

W=intV 1

V 2

p d V

pV =nRT

p= nRTV

W=nRTintV 1

V 2 d VV

=nRT lnV 2

V 1

(138)

80

Q=intT 1

T 2

Cp=CV+R (140)

81

W=intT 1

T 2

d U=minusd W (142)

upravujme

nCV dT+nRTV

d V=0 1T

nCV

Td T+

nRV

dV =0

ln T CV+ln V R=ln K

lnT CV V R=ln K

K=TCV V R

K1=TVR

82

R=CpminusCV

RCV

=C p

CV

minus1

RCV

=κminus1

κ=C p

CV(143)

K1=TV κminus1

T=pVnR

K1=pVnR

V κminus1=

pV κ

nR

W=minusintU 1

U 2

pV n=konst (145)

83

KRUHOVEacute DĚJE

∮dU=0 (146)

d Q=d U+d W

∮d Q=∮d W(147)

84

η=WQ1

(148)

W=Q1+Q2 (149)

η=Q1+Q2

Q1(150)

η=Q1+Q2

Q1

=T1minusT 2

T 1

(151)

85

86

Radim Uhlaacuteř
1 KINEMATIKA

Page 6: FYZIKA I - vsb.czhomel.vsb.cz/~uhl72/fyzika_I_dalkari_fbi_new.pdfRychlost při pohybu podél osy x závisí na čase takto: vx = 60 (m·s-1) + 0,5 (m·s-3) t2. Určete změnu rychlosti

s(t2)minuss(t1)

t2minust1

=Δ sΔ t

(2)

kde t2 gt t1

v=v x= limΔ trarr0

Δ xΔ t

=d xd t

(3)

6

rychlost

ap=ax p=v2xminusv1x

t2minust1

=Δ vx

Δ t(4)

a=ax= limΔ trarr0

Δ v x

Δ t=

d v x

d t=

dd t (

d xd t )=

d2 x

d t2 (5)

7

Obr 13a

ax=v2xminusv1x

t2minust 1

=Δ v x

Δ t

ax=v xminusv0 x

tminus0

8

v x=v0 x+ax t (6)

ax=d vx

d t=konst

d vx=ax d t

vx=d xd t

d x=v x d t

ax t2+v0 x t+x0

x=12

ax t2+v0 x t+x0

(7)

9

r=x i+ y j+z k=(x y z) (8)

vp=Δ rΔ t

(9)

10

v= d rd t

=(d xd t

d yd t

d zd t

) (10)

ap=Δ vΔ t

(11)

11

zrychleniacute

a= d vd t

=(ax a y az) (12)

12

obr 14

a=d vd t

=d (v τ )

d t=

d vd t

τ+vd τ

d t=

d vd t

τ+vd sd t

d τ

d s=

d vd t

τ +v2 d τ

d s

13

d τ=d sR

τ ν=d sR

ν

a= d vd t

τ+v2

Rν

a=a t+an (13)

v=v0=konst (14)

s=s0+vt (15)

14

v=v0+a t t (16)

s=s0+v0 t+12

a t t2

(17)

a t=|d vd t |

v=v0minusa t t (18)

s=s0+v0 tminus12

a t t2

(19)

15

ωp=ϕ 2minusϕ 1

t2minust1

=Δϕ

Δ t (21)

ω=d φd t

=d (φβ )

d t=

dφd t

β+ φdβd t

=dφd t

β=d sr d t

β=vrβ

[ω] = rad∙s-1

Proto ω=vr

a

v=ωr (22)

v=ωtimesr

ε=dωd t

=d vr d t

β=a t

rβ

ε=at

r (23)

16

ϵ p=ΔωΔ t (24)

a=ad=v2

r (25)

obr 18

T=2π r

v (26)

f =1T

(27)

[f] = s-1

17

ω=2πT

=2π f (28)

v=ωr (29)

v=ωtimesr (30)

v=v0+a t t=v0+ϵR t (31)

s=s0+v0 t+ 12

a t t2=s0+v0 t+1

2ϵRt2

(32)

ω=ω0+ϵ t(33)

ϕ=ϕ0+ω0 t+12ϵt2

(34)

18

s=s0+v0 tminus12

2ϵRt2

(36)

ω=ω0minusϵ t(37)

(38)

19

20

mX

m0

=a0

aX

FV=sumF=d pd t

(39)

21

p=m v (40)

FV=sumF=m a (41)

d t2 r (t0)=r0 v (t0)=v0

22

23

24

25

26

FPTF

PTF

PT

Ft

FG

FN

F

směr pohybu

Ft = f FN

27

28

F=mdvd t

F d r=m d vd rd t

Takže

F d r=mv d v

intr1

r1

F d r=intv1

v2

mv dv=12

mv22minus

12

W=intr1

r1

F d r (42)

Ek=12

mv2 (43)

29

W=intr1

r2

Pp=ΔWΔ t

(45)

P=dWd t

=F d rd t

=Fv (46)

[P] = J∙s-1 = W (watt)

30

φx

yF

31

Impulz siacutely

I=intt1

t2

F d t=intt1

t2 d pd t

d t=intt 1

t 2

32

Fs=1Δ tintt1

t2

F d t=IΔ t

(48)

ρ=d mdV

(49)

ρs=mV

(50)

r T=

sumi=1

N

mi r i

sumi=1

N

mi

(51)

33

pak

r T=int r d m

int d m (52)

34

mi a i=Fi vn+Fi

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

Fi vn+sumi=1

N

Fi

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

Fi

r T=

sumi=1

N

mi r i

sumi=1

N

mi

=

sumi=1

N

mi r i

m

vT=

sumi=1

N

mi v i

m

aT=

sumi=1

N

mi ai

m

m aT=sumi=1

N

mi a i=FV=sumi=1

N

Fi (53)

35

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

mi

d v i

d t=

dd t sumi=1

N

mi v i=dd t sumi=1

N

pi=d pd t

Takže platiacute

FV=d pd t

(54)

36

d pd t

=orArr p=konst (55)

12

m1 v x 1 i2

+12

m2 vx 2 i2

=12

m1 v x 1 f2

+12

m2 vx 2f2

(57)

37

m1(v x 1 i2

minusvx 1f2

)=m2 (vx 2i2

minusvx 2f2

)

v x 1f=m1minusm2

m1+m2

vx 1 i+2m2

m1+m2

vx 2i

v x 2 f=2m1

m1+m2

v x 1 i+m2minusm1

m1+m2

v x 2 i (58)

m1+m2

(59)

38

39

M=rtimesF (60)

M=rFsinα=Fa (61)

[M] = Nmiddotm

b=rtimes p (62)

40

d bd t

=dd t

(rtimesm v )=d rd t

d ( m v )

d t=rtimesF=M

sum M=M V=d bd t

(63)

d bd t

=orArr b=konst (64)

Ek=12

m1v12+

12

m2 v22+=sum

i=1

N 12

mi v i2=sum

i=1

N 12

mi(ω r i)2=

12(sum

i=1

N

mi r i2)ω

2

Veličina

J=sumi=1

N

mi r i2 (65)

[J] = kgmiddotm2

Ek=12

J ω2 (66)

41

J=intr2 d m (67)

ρ=d mdV

=mV

σ=d md S

=mS

τ=d md l

=mL

(68)

42

43

Steinerova věta

J=J T+md2 (69)

J=int (x2+ y2

)d m

44

sumi=1

N

M i z=(sumi=1

N

mi r i2)ϵ=J ϵ (72)

45

M V=J ϵ=Jdωd t

=d(J ω)

d t=

d bd t

(74)

b=J ω (75)

46

T perioda [T] = s

f frekvence f =1T

[f] = Hz = s-1

Fp0+FG=o

47

k∣y0∣minusmg=0

Fp0+FG+Fp=m a

ma y=minusky

md2 y

d t2+ky=0

d2 y

d t2+

km

y=0 (76)

y=A sin(ω t+ϕ 0) (77)

kde

48

ω=2πT

=radic km

(78)

v y=d yd t

=Aω cos(ω t+ϕ 0) (79)

v=∣v y∣ (80)

49

a y=d v y

d t=minusA ω

2 sin(ω t+ϕ 0) (81)

a=∣a y∣ (82)

π2

rad

0

minusky d y= 12

ky12

Obecně platiacute

50

Ep( y )=12

ky2=

12

kA2 sin2(ω t+ϕ0) (83)

Ek=12

mv2=

12

m(d yd t

)2

=12

mA2ω

2 cos2(ω t+ϕ0)=

12

kA 2 cos2(ω t+ϕ 0) (84)

E=Ek+Ep=12

kA2 (85)

51

Kyvadla

M FG+M FR

=J ϵ

d t2

d2θ

d t2+

mghθJ

=0 (86)

kde

52

ω=2πT

=radicmghJ

(88)

T=2πradic Jmgh

(89)

J=ml2

T=2πradic ml2

mgl=2πradic l

g (90)

neboť h = l

53

2πradic Jmgh

=2πradiclR

g

takže

lR=J

mh (91)

Fp0+FG+Fp+Fo=m a

54

md2 y

d t2+r

d yd t

+ky=0

d2 yd t 2 +

rm

d yd t

+km

y=0 (92)

(93)

kde

ω =radicω2minus

r2

4m2(94)

55

E= 12

mv2+

12

ky2

d Ed t

=mvd vd t

+kyd yd t

=minusrv2 (95)

56

57

y=A sin (ω t)

58

)=A sin 2π(tTminus

xT vϕ

xλ)

Odraz vlněniacute

59

60

u=u1+u2

A=radicA12+A 2

A1coskx1+A2cos kx2

(101)

(x2minusx1) (102)

61

(103)

A=A1+A2 (104)

(105)

a

u2=A sin (ω t+kx) (108)

62

2cos

αminusβ

2

(110)

∣cos2π xλ∣=1

2πxλ=plusmnkπ

x=plusmnk λ2

k=012

cos 2πxλ=0

2

x=plusmn(2k+1) λ4

k=012

63

64

sinα1

sinα2

=v1

v2

sinαm=v1

v2

Dopplerův jev

65

f L=v+ vL

λ=

v+ vL

v f S

=(1+vL

v) f S (111)

f L=vminusvL

λ=

vminusvL

v f S

=(1minusvL

v) f S (112)

66

f S

λfront=vf S

minusvS

f S

=vminusvS

f S

(113)

λ behind=v+vS

f S

(114)

f L=v+ v L

λbehind=

v+ vL

(v+ vS) f S

f L=v+ vL

v+ vS

f S (115)

67

Obr ter1

Obr ter2

68

Obr ter3

69

Obr ter4

[α] = K-1 = degC-1

l=l0(1+αΔT ) (117)

70

β=3α (119)

71

72

Obr Ter4

Q=ΔU+W (120)

73

d Q=d U+d W (121)

n=N

N A

(122)

[n] = mol

M=mn

(123)

74

[M] = kgmiddotmol-1

Ar=ma

u (124)

M r=mm

u (125)

m=Nmm n= NN A

Mm=mn=

Nmm

N N A

]

pV=nRT (126)

75

Praacutece plynu

W=intV 1

V 2

p d V (128)

76

I=F Δ t=2mvx

Δ t=2lvx

takže

F 2lvx

=2mvx

F=mv x

2

l

F=mv1x

2

l+

mv2x2

l++

mvNx2

l

tedy

77

F=ml sumi=1

N

v ix2=

mNl

sumi=1

N

v ix2

N=

mNl

v x2=

mNl

v2

3=

mN3l

vk2

2+v y

2+v z

2=v z

2=

13

v2

p=F

l2=

N

3l3mvk

2=

N3V

mv k2 (129)

Ek=12

mvk2

p=23

NV

Ek (130)

T= pVnR

=23

NV

EkVnR

=23

NV

Ek

VN A

NR=

23

N A

REk=

23

1k

Ek (131)

N A

Ek=32

kT (132)

78

U=N Ek=N32

kT=N32

RN A

T=32

nRT (133)

U=i2

nRT (134)

CV=[ d Qnd T ]

V=konst(135)

CV=[ d Qnd T ]

V=konst

=[ d Und T ]

V=konst

=iR2

(136)

Takže

d Q=d U=CV nd T=iR2

nd T

79

Q=intT 1

T 2

cV=[ d Qm d T ]

V=konst

d Q=d W= pd V

W=intV 1

V 2

p d V

pV =nRT

p= nRTV

W=nRTintV 1

V 2 d VV

=nRT lnV 2

V 1

(138)

80

Q=intT 1

T 2

Cp=CV+R (140)

81

W=intT 1

T 2

d U=minusd W (142)

upravujme

nCV dT+nRTV

d V=0 1T

nCV

Td T+

nRV

dV =0

ln T CV+ln V R=ln K

lnT CV V R=ln K

K=TCV V R

K1=TVR

82

R=CpminusCV

RCV

=C p

CV

minus1

RCV

=κminus1

κ=C p

CV(143)

K1=TV κminus1

T=pVnR

K1=pVnR

V κminus1=

pV κ

nR

W=minusintU 1

U 2

pV n=konst (145)

83

KRUHOVEacute DĚJE

∮dU=0 (146)

d Q=d U+d W

∮d Q=∮d W(147)

84

η=WQ1

(148)

W=Q1+Q2 (149)

η=Q1+Q2

Q1(150)

η=Q1+Q2

Q1

=T1minusT 2

T 1

(151)

85

86

Radim Uhlaacuteř
1 KINEMATIKA

rychlost

ap=ax p=v2xminusv1x

t2minust1

=Δ vx

Δ t(4)

a=ax= limΔ trarr0

Δ v x

Δ t=

d v x

d t=

dd t (

d xd t )=

d2 x

d t2 (5)

7

Obr 13a

ax=v2xminusv1x

t2minust 1

=Δ v x

Δ t

ax=v xminusv0 x

tminus0

8

v x=v0 x+ax t (6)

ax=d vx

d t=konst

d vx=ax d t

vx=d xd t

d x=v x d t

ax t2+v0 x t+x0

x=12

ax t2+v0 x t+x0

(7)

9

r=x i+ y j+z k=(x y z) (8)

vp=Δ rΔ t

(9)

10

v= d rd t

=(d xd t

d yd t

d zd t

) (10)

ap=Δ vΔ t

(11)

11

zrychleniacute

a= d vd t

=(ax a y az) (12)

12

obr 14

a=d vd t

=d (v τ )

d t=

d vd t

τ+vd τ

d t=

d vd t

τ+vd sd t

d τ

d s=

d vd t

τ +v2 d τ

d s

13

d τ=d sR

τ ν=d sR

ν

a= d vd t

τ+v2

Rν

a=a t+an (13)

v=v0=konst (14)

s=s0+vt (15)

14

v=v0+a t t (16)

s=s0+v0 t+12

a t t2

(17)

a t=|d vd t |

v=v0minusa t t (18)

s=s0+v0 tminus12

a t t2

(19)

15

ωp=ϕ 2minusϕ 1

t2minust1

=Δϕ

Δ t (21)

ω=d φd t

=d (φβ )

d t=

dφd t

β+ φdβd t

=dφd t

β=d sr d t

β=vrβ

[ω] = rad∙s-1

Proto ω=vr

a

v=ωr (22)

v=ωtimesr

ε=dωd t

=d vr d t

β=a t

rβ

ε=at

r (23)

16

ϵ p=ΔωΔ t (24)

a=ad=v2

r (25)

obr 18

T=2π r

v (26)

f =1T

(27)

[f] = s-1

17

ω=2πT

=2π f (28)

v=ωr (29)

v=ωtimesr (30)

v=v0+a t t=v0+ϵR t (31)

s=s0+v0 t+ 12

a t t2=s0+v0 t+1

2ϵRt2

(32)

ω=ω0+ϵ t(33)

ϕ=ϕ0+ω0 t+12ϵt2

(34)

18

s=s0+v0 tminus12

2ϵRt2

(36)

ω=ω0minusϵ t(37)

(38)

19

20

mX

m0

=a0

aX

FV=sumF=d pd t

(39)

21

p=m v (40)

FV=sumF=m a (41)

d t2 r (t0)=r0 v (t0)=v0

22

23

24

25

26

FPTF

PTF

PT

Ft

FG

FN

F

směr pohybu

Ft = f FN

27

28

F=mdvd t

F d r=m d vd rd t

Takže

F d r=mv d v

intr1

r1

F d r=intv1

v2

mv dv=12

mv22minus

12

W=intr1

r1

F d r (42)

Ek=12

mv2 (43)

29

W=intr1

r2

Pp=ΔWΔ t

(45)

P=dWd t

=F d rd t

=Fv (46)

[P] = J∙s-1 = W (watt)

30

φx

yF

31

Impulz siacutely

I=intt1

t2

F d t=intt1

t2 d pd t

d t=intt 1

t 2

32

Fs=1Δ tintt1

t2

F d t=IΔ t

(48)

ρ=d mdV

(49)

ρs=mV

(50)

r T=

sumi=1

N

mi r i

sumi=1

N

mi

(51)

33

pak

r T=int r d m

int d m (52)

34

mi a i=Fi vn+Fi

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

Fi vn+sumi=1

N

Fi

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

Fi

r T=

sumi=1

N

mi r i

sumi=1

N

mi

=

sumi=1

N

mi r i

m

vT=

sumi=1

N

mi v i

m

aT=

sumi=1

N

mi ai

m

m aT=sumi=1

N

mi a i=FV=sumi=1

N

Fi (53)

35

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

mi

d v i

d t=

dd t sumi=1

N

mi v i=dd t sumi=1

N

pi=d pd t

Takže platiacute

FV=d pd t

(54)

36

d pd t

=orArr p=konst (55)

12

m1 v x 1 i2

+12

m2 vx 2 i2

=12

m1 v x 1 f2

+12

m2 vx 2f2

(57)

37

m1(v x 1 i2

minusvx 1f2

)=m2 (vx 2i2

minusvx 2f2

)

v x 1f=m1minusm2

m1+m2

vx 1 i+2m2

m1+m2

vx 2i

v x 2 f=2m1

m1+m2

v x 1 i+m2minusm1

m1+m2

v x 2 i (58)

m1+m2

(59)

38

39

M=rtimesF (60)

M=rFsinα=Fa (61)

[M] = Nmiddotm

b=rtimes p (62)

40

d bd t

=dd t

(rtimesm v )=d rd t

d ( m v )

d t=rtimesF=M

sum M=M V=d bd t

(63)

d bd t

=orArr b=konst (64)

Ek=12

m1v12+

12

m2 v22+=sum

i=1

N 12

mi v i2=sum

i=1

N 12

mi(ω r i)2=

12(sum

i=1

N

mi r i2)ω

2

Veličina

J=sumi=1

N

mi r i2 (65)

[J] = kgmiddotm2

Ek=12

J ω2 (66)

41

J=intr2 d m (67)

ρ=d mdV

=mV

σ=d md S

=mS

τ=d md l

=mL

(68)

42

43

Steinerova věta

J=J T+md2 (69)

J=int (x2+ y2

)d m

44

sumi=1

N

M i z=(sumi=1

N

mi r i2)ϵ=J ϵ (72)

45

M V=J ϵ=Jdωd t

=d(J ω)

d t=

d bd t

(74)

b=J ω (75)

46

T perioda [T] = s

f frekvence f =1T

[f] = Hz = s-1

Fp0+FG=o

47

k∣y0∣minusmg=0

Fp0+FG+Fp=m a

ma y=minusky

md2 y

d t2+ky=0

d2 y

d t2+

km

y=0 (76)

y=A sin(ω t+ϕ 0) (77)

kde

48

ω=2πT

=radic km

(78)

v y=d yd t

=Aω cos(ω t+ϕ 0) (79)

v=∣v y∣ (80)

49

a y=d v y

d t=minusA ω

2 sin(ω t+ϕ 0) (81)

a=∣a y∣ (82)

π2

rad

0

minusky d y= 12

ky12

Obecně platiacute

50

Ep( y )=12

ky2=

12

kA2 sin2(ω t+ϕ0) (83)

Ek=12

mv2=

12

m(d yd t

)2

=12

mA2ω

2 cos2(ω t+ϕ0)=

12

kA 2 cos2(ω t+ϕ 0) (84)

E=Ek+Ep=12

kA2 (85)

51

Kyvadla

M FG+M FR

=J ϵ

d t2

d2θ

d t2+

mghθJ

=0 (86)

kde

52

ω=2πT

=radicmghJ

(88)

T=2πradic Jmgh

(89)

J=ml2

T=2πradic ml2

mgl=2πradic l

g (90)

neboť h = l

53

2πradic Jmgh

=2πradiclR

g

takže

lR=J

mh (91)

Fp0+FG+Fp+Fo=m a

54

md2 y

d t2+r

d yd t

+ky=0

d2 yd t 2 +

rm

d yd t

+km

y=0 (92)

(93)

kde

ω =radicω2minus

r2

4m2(94)

55

E= 12

mv2+

12

ky2

d Ed t

=mvd vd t

+kyd yd t

=minusrv2 (95)

56

57

y=A sin (ω t)

58

)=A sin 2π(tTminus

xT vϕ

xλ)

Odraz vlněniacute

59

60

u=u1+u2

A=radicA12+A 2

A1coskx1+A2cos kx2

(101)

(x2minusx1) (102)

61

(103)

A=A1+A2 (104)

(105)

a

u2=A sin (ω t+kx) (108)

62

2cos

αminusβ

2

(110)

∣cos2π xλ∣=1

2πxλ=plusmnkπ

x=plusmnk λ2

k=012

cos 2πxλ=0

2

x=plusmn(2k+1) λ4

k=012

63

64

sinα1

sinα2

=v1

v2

sinαm=v1

v2

Dopplerův jev

65

f L=v+ vL

λ=

v+ vL

v f S

=(1+vL

v) f S (111)

f L=vminusvL

λ=

vminusvL

v f S

=(1minusvL

v) f S (112)

66

f S

λfront=vf S

minusvS

f S

=vminusvS

f S

(113)

λ behind=v+vS

f S

(114)

f L=v+ v L

λbehind=

v+ vL

(v+ vS) f S

f L=v+ vL

v+ vS

f S (115)

67

Obr ter1

Obr ter2

68

Obr ter3

69

Obr ter4

[α] = K-1 = degC-1

l=l0(1+αΔT ) (117)

70

β=3α (119)

71

72

Obr Ter4

Q=ΔU+W (120)

73

d Q=d U+d W (121)

n=N

N A

(122)

[n] = mol

M=mn

(123)

74

[M] = kgmiddotmol-1

Ar=ma

u (124)

M r=mm

u (125)

m=Nmm n= NN A

Mm=mn=

Nmm

N N A

]

pV=nRT (126)

75

Praacutece plynu

W=intV 1

V 2

p d V (128)

76

I=F Δ t=2mvx

Δ t=2lvx

takže

F 2lvx

=2mvx

F=mv x

2

l

F=mv1x

2

l+

mv2x2

l++

mvNx2

l

tedy

77

F=ml sumi=1

N

v ix2=

mNl

sumi=1

N

v ix2

N=

mNl

v x2=

mNl

v2

3=

mN3l

vk2

2+v y

2+v z

2=v z

2=

13

v2

p=F

l2=

N

3l3mvk

2=

N3V

mv k2 (129)

Ek=12

mvk2

p=23

NV

Ek (130)

T= pVnR

=23

NV

EkVnR

=23

NV

Ek

VN A

NR=

23

N A

REk=

23

1k

Ek (131)

N A

Ek=32

kT (132)

78

U=N Ek=N32

kT=N32

RN A

T=32

nRT (133)

U=i2

nRT (134)

CV=[ d Qnd T ]

V=konst(135)

CV=[ d Qnd T ]

V=konst

=[ d Und T ]

V=konst

=iR2

(136)

Takže

d Q=d U=CV nd T=iR2

nd T

79

Q=intT 1

T 2

cV=[ d Qm d T ]

V=konst

d Q=d W= pd V

W=intV 1

V 2

p d V

pV =nRT

p= nRTV

W=nRTintV 1

V 2 d VV

=nRT lnV 2

V 1

(138)

80

Q=intT 1

T 2

Cp=CV+R (140)

81

W=intT 1

T 2

d U=minusd W (142)

upravujme

nCV dT+nRTV

d V=0 1T

nCV

Td T+

nRV

dV =0

ln T CV+ln V R=ln K

lnT CV V R=ln K

K=TCV V R

K1=TVR

82

R=CpminusCV

RCV

=C p

CV

minus1

RCV

=κminus1

κ=C p

CV(143)

K1=TV κminus1

T=pVnR

K1=pVnR

V κminus1=

pV κ

nR

W=minusintU 1

U 2

pV n=konst (145)

83

KRUHOVEacute DĚJE

∮dU=0 (146)

d Q=d U+d W

∮d Q=∮d W(147)

84

η=WQ1

(148)

W=Q1+Q2 (149)

η=Q1+Q2

Q1(150)

η=Q1+Q2

Q1

=T1minusT 2

T 1

(151)

85

86

Radim Uhlaacuteř
1 KINEMATIKA

Page 8: FYZIKA I - vsb.czhomel.vsb.cz/~uhl72/fyzika_I_dalkari_fbi_new.pdfRychlost při pohybu podél osy x závisí na čase takto: vx = 60 (m·s-1) + 0,5 (m·s-3) t2. Určete změnu rychlosti

Obr 13a

ax=v2xminusv1x

t2minust 1

=Δ v x

Δ t

ax=v xminusv0 x

tminus0

8

v x=v0 x+ax t (6)

ax=d vx

d t=konst

d vx=ax d t

vx=d xd t

d x=v x d t

ax t2+v0 x t+x0

x=12

ax t2+v0 x t+x0

(7)

9

r=x i+ y j+z k=(x y z) (8)

vp=Δ rΔ t

(9)

10

v= d rd t

=(d xd t

d yd t

d zd t

) (10)

ap=Δ vΔ t

(11)

11

zrychleniacute

a= d vd t

=(ax a y az) (12)

12

obr 14

a=d vd t

=d (v τ )

d t=

d vd t

τ+vd τ

d t=

d vd t

τ+vd sd t

d τ

d s=

d vd t

τ +v2 d τ

d s

13

d τ=d sR

τ ν=d sR

ν

a= d vd t

τ+v2

Rν

a=a t+an (13)

v=v0=konst (14)

s=s0+vt (15)

14

v=v0+a t t (16)

s=s0+v0 t+12

a t t2

(17)

a t=|d vd t |

v=v0minusa t t (18)

s=s0+v0 tminus12

a t t2

(19)

15

ωp=ϕ 2minusϕ 1

t2minust1

=Δϕ

Δ t (21)

ω=d φd t

=d (φβ )

d t=

dφd t

β+ φdβd t

=dφd t

β=d sr d t

β=vrβ

[ω] = rad∙s-1

Proto ω=vr

a

v=ωr (22)

v=ωtimesr

ε=dωd t

=d vr d t

β=a t

rβ

ε=at

r (23)

16

ϵ p=ΔωΔ t (24)

a=ad=v2

r (25)

obr 18

T=2π r

v (26)

f =1T

(27)

[f] = s-1

17

ω=2πT

=2π f (28)

v=ωr (29)

v=ωtimesr (30)

v=v0+a t t=v0+ϵR t (31)

s=s0+v0 t+ 12

a t t2=s0+v0 t+1

2ϵRt2

(32)

ω=ω0+ϵ t(33)

ϕ=ϕ0+ω0 t+12ϵt2

(34)

18

s=s0+v0 tminus12

2ϵRt2

(36)

ω=ω0minusϵ t(37)

(38)

19

20

mX

m0

=a0

aX

FV=sumF=d pd t

(39)

21

p=m v (40)

FV=sumF=m a (41)

d t2 r (t0)=r0 v (t0)=v0

22

23

24

25

26

FPTF

PTF

PT

Ft

FG

FN

F

směr pohybu

Ft = f FN

27

28

F=mdvd t

F d r=m d vd rd t

Takže

F d r=mv d v

intr1

r1

F d r=intv1

v2

mv dv=12

mv22minus

12

W=intr1

r1

F d r (42)

Ek=12

mv2 (43)

29

W=intr1

r2

Pp=ΔWΔ t

(45)

P=dWd t

=F d rd t

=Fv (46)

[P] = J∙s-1 = W (watt)

30

φx

yF

31

Impulz siacutely

I=intt1

t2

F d t=intt1

t2 d pd t

d t=intt 1

t 2

32

Fs=1Δ tintt1

t2

F d t=IΔ t

(48)

ρ=d mdV

(49)

ρs=mV

(50)

r T=

sumi=1

N

mi r i

sumi=1

N

mi

(51)

33

pak

r T=int r d m

int d m (52)

34

mi a i=Fi vn+Fi

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

Fi vn+sumi=1

N

Fi

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

Fi

r T=

sumi=1

N

mi r i

sumi=1

N

mi

=

sumi=1

N

mi r i

m

vT=

sumi=1

N

mi v i

m

aT=

sumi=1

N

mi ai

m

m aT=sumi=1

N

mi a i=FV=sumi=1

N

Fi (53)

35

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

mi

d v i

d t=

dd t sumi=1

N

mi v i=dd t sumi=1

N

pi=d pd t

Takže platiacute

FV=d pd t

(54)

36

d pd t

=orArr p=konst (55)

12

m1 v x 1 i2

+12

m2 vx 2 i2

=12

m1 v x 1 f2

+12

m2 vx 2f2

(57)

37

m1(v x 1 i2

minusvx 1f2

)=m2 (vx 2i2

minusvx 2f2

)

v x 1f=m1minusm2

m1+m2

vx 1 i+2m2

m1+m2

vx 2i

v x 2 f=2m1

m1+m2

v x 1 i+m2minusm1

m1+m2

v x 2 i (58)

m1+m2

(59)

38

39

M=rtimesF (60)

M=rFsinα=Fa (61)

[M] = Nmiddotm

b=rtimes p (62)

40

d bd t

=dd t

(rtimesm v )=d rd t

d ( m v )

d t=rtimesF=M

sum M=M V=d bd t

(63)

d bd t

=orArr b=konst (64)

Ek=12

m1v12+

12

m2 v22+=sum

i=1

N 12

mi v i2=sum

i=1

N 12

mi(ω r i)2=

12(sum

i=1

N

mi r i2)ω

2

Veličina

J=sumi=1

N

mi r i2 (65)

[J] = kgmiddotm2

Ek=12

J ω2 (66)

41

J=intr2 d m (67)

ρ=d mdV

=mV

σ=d md S

=mS

τ=d md l

=mL

(68)

42

43

Steinerova věta

J=J T+md2 (69)

J=int (x2+ y2

)d m

44

sumi=1

N

M i z=(sumi=1

N

mi r i2)ϵ=J ϵ (72)

45

M V=J ϵ=Jdωd t

=d(J ω)

d t=

d bd t

(74)

b=J ω (75)

46

T perioda [T] = s

f frekvence f =1T

[f] = Hz = s-1

Fp0+FG=o

47

k∣y0∣minusmg=0

Fp0+FG+Fp=m a

ma y=minusky

md2 y

d t2+ky=0

d2 y

d t2+

km

y=0 (76)

y=A sin(ω t+ϕ 0) (77)

kde

48

ω=2πT

=radic km

(78)

v y=d yd t

=Aω cos(ω t+ϕ 0) (79)

v=∣v y∣ (80)

49

a y=d v y

d t=minusA ω

2 sin(ω t+ϕ 0) (81)

a=∣a y∣ (82)

π2

rad

0

minusky d y= 12

ky12

Obecně platiacute

50

Ep( y )=12

ky2=

12

kA2 sin2(ω t+ϕ0) (83)

Ek=12

mv2=

12

m(d yd t

)2

=12

mA2ω

2 cos2(ω t+ϕ0)=

12

kA 2 cos2(ω t+ϕ 0) (84)

E=Ek+Ep=12

kA2 (85)

51

Kyvadla

M FG+M FR

=J ϵ

d t2

d2θ

d t2+

mghθJ

=0 (86)

kde

52

ω=2πT

=radicmghJ

(88)

T=2πradic Jmgh

(89)

J=ml2

T=2πradic ml2

mgl=2πradic l

g (90)

neboť h = l

53

2πradic Jmgh

=2πradiclR

g

takže

lR=J

mh (91)

Fp0+FG+Fp+Fo=m a

54

md2 y

d t2+r

d yd t

+ky=0

d2 yd t 2 +

rm

d yd t

+km

y=0 (92)

(93)

kde

ω =radicω2minus

r2

4m2(94)

55

E= 12

mv2+

12

ky2

d Ed t

=mvd vd t

+kyd yd t

=minusrv2 (95)

56

57

y=A sin (ω t)

58

)=A sin 2π(tTminus

xT vϕ

xλ)

Odraz vlněniacute

59

60

u=u1+u2

A=radicA12+A 2

A1coskx1+A2cos kx2

(101)

(x2minusx1) (102)

61

(103)

A=A1+A2 (104)

(105)

a

u2=A sin (ω t+kx) (108)

62

2cos

αminusβ

2

(110)

∣cos2π xλ∣=1

2πxλ=plusmnkπ

x=plusmnk λ2

k=012

cos 2πxλ=0

2

x=plusmn(2k+1) λ4

k=012

63

64

sinα1

sinα2

=v1

v2

sinαm=v1

v2

Dopplerův jev

65

f L=v+ vL

λ=

v+ vL

v f S

=(1+vL

v) f S (111)

f L=vminusvL

λ=

vminusvL

v f S

=(1minusvL

v) f S (112)

66

f S

λfront=vf S

minusvS

f S

=vminusvS

f S

(113)

λ behind=v+vS

f S

(114)

f L=v+ v L

λbehind=

v+ vL

(v+ vS) f S

f L=v+ vL

v+ vS

f S (115)

67

Obr ter1

Obr ter2

68

Obr ter3

69

Obr ter4

[α] = K-1 = degC-1

l=l0(1+αΔT ) (117)

70

β=3α (119)

71

72

Obr Ter4

Q=ΔU+W (120)

73

d Q=d U+d W (121)

n=N

N A

(122)

[n] = mol

M=mn

(123)

74

[M] = kgmiddotmol-1

Ar=ma

u (124)

M r=mm

u (125)

m=Nmm n= NN A

Mm=mn=

Nmm

N N A

]

pV=nRT (126)

75

Praacutece plynu

W=intV 1

V 2

p d V (128)

76

I=F Δ t=2mvx

Δ t=2lvx

takže

F 2lvx

=2mvx

F=mv x

2

l

F=mv1x

2

l+

mv2x2

l++

mvNx2

l

tedy

77

F=ml sumi=1

N

v ix2=

mNl

sumi=1

N

v ix2

N=

mNl

v x2=

mNl

v2

3=

mN3l

vk2

2+v y

2+v z

2=v z

2=

13

v2

p=F

l2=

N

3l3mvk

2=

N3V

mv k2 (129)

Ek=12

mvk2

p=23

NV

Ek (130)

T= pVnR

=23

NV

EkVnR

=23

NV

Ek

VN A

NR=

23

N A

REk=

23

1k

Ek (131)

N A

Ek=32

kT (132)

78

U=N Ek=N32

kT=N32

RN A

T=32

nRT (133)

U=i2

nRT (134)

CV=[ d Qnd T ]

V=konst(135)

CV=[ d Qnd T ]

V=konst

=[ d Und T ]

V=konst

=iR2

(136)

Takže

d Q=d U=CV nd T=iR2

nd T

79

Q=intT 1

T 2

cV=[ d Qm d T ]

V=konst

d Q=d W= pd V

W=intV 1

V 2

p d V

pV =nRT

p= nRTV

W=nRTintV 1

V 2 d VV

=nRT lnV 2

V 1

(138)

80

Q=intT 1

T 2

Cp=CV+R (140)

81

W=intT 1

T 2

d U=minusd W (142)

upravujme

nCV dT+nRTV

d V=0 1T

nCV

Td T+

nRV

dV =0

ln T CV+ln V R=ln K

lnT CV V R=ln K

K=TCV V R

K1=TVR

82

R=CpminusCV

RCV

=C p

CV

minus1

RCV

=κminus1

κ=C p

CV(143)

K1=TV κminus1

T=pVnR

K1=pVnR

V κminus1=

pV κ

nR

W=minusintU 1

U 2

pV n=konst (145)

83

KRUHOVEacute DĚJE

∮dU=0 (146)

d Q=d U+d W

∮d Q=∮d W(147)

84

η=WQ1

(148)

W=Q1+Q2 (149)

η=Q1+Q2

Q1(150)

η=Q1+Q2

Q1

=T1minusT 2

T 1

(151)

85

86

Radim Uhlaacuteř
1 KINEMATIKA

Page 9: FYZIKA I - vsb.czhomel.vsb.cz/~uhl72/fyzika_I_dalkari_fbi_new.pdfRychlost při pohybu podél osy x závisí na čase takto: vx = 60 (m·s-1) + 0,5 (m·s-3) t2. Určete změnu rychlosti

v x=v0 x+ax t (6)

ax=d vx

d t=konst

d vx=ax d t

vx=d xd t

d x=v x d t

ax t2+v0 x t+x0

x=12

ax t2+v0 x t+x0

(7)

9

r=x i+ y j+z k=(x y z) (8)

vp=Δ rΔ t

(9)

10

v= d rd t

=(d xd t

d yd t

d zd t

) (10)

ap=Δ vΔ t

(11)

11

zrychleniacute

a= d vd t

=(ax a y az) (12)

12

obr 14

a=d vd t

=d (v τ )

d t=

d vd t

τ+vd τ

d t=

d vd t

τ+vd sd t

d τ

d s=

d vd t

τ +v2 d τ

d s

13

d τ=d sR

τ ν=d sR

ν

a= d vd t

τ+v2

Rν

a=a t+an (13)

v=v0=konst (14)

s=s0+vt (15)

14

v=v0+a t t (16)

s=s0+v0 t+12

a t t2

(17)

a t=|d vd t |

v=v0minusa t t (18)

s=s0+v0 tminus12

a t t2

(19)

15

ωp=ϕ 2minusϕ 1

t2minust1

=Δϕ

Δ t (21)

ω=d φd t

=d (φβ )

d t=

dφd t

β+ φdβd t

=dφd t

β=d sr d t

β=vrβ

[ω] = rad∙s-1

Proto ω=vr

a

v=ωr (22)

v=ωtimesr

ε=dωd t

=d vr d t

β=a t

rβ

ε=at

r (23)

16

ϵ p=ΔωΔ t (24)

a=ad=v2

r (25)

obr 18

T=2π r

v (26)

f =1T

(27)

[f] = s-1

17

ω=2πT

=2π f (28)

v=ωr (29)

v=ωtimesr (30)

v=v0+a t t=v0+ϵR t (31)

s=s0+v0 t+ 12

a t t2=s0+v0 t+1

2ϵRt2

(32)

ω=ω0+ϵ t(33)

ϕ=ϕ0+ω0 t+12ϵt2

(34)

18

s=s0+v0 tminus12

2ϵRt2

(36)

ω=ω0minusϵ t(37)

(38)

19

20

mX

m0

=a0

aX

FV=sumF=d pd t

(39)

21

p=m v (40)

FV=sumF=m a (41)

d t2 r (t0)=r0 v (t0)=v0

22

23

24

25

26

FPTF

PTF

PT

Ft

FG

FN

F

směr pohybu

Ft = f FN

27

28

F=mdvd t

F d r=m d vd rd t

Takže

F d r=mv d v

intr1

r1

F d r=intv1

v2

mv dv=12

mv22minus

12

W=intr1

r1

F d r (42)

Ek=12

mv2 (43)

29

W=intr1

r2

Pp=ΔWΔ t

(45)

P=dWd t

=F d rd t

=Fv (46)

[P] = J∙s-1 = W (watt)

30

φx

yF

31

Impulz siacutely

I=intt1

t2

F d t=intt1

t2 d pd t

d t=intt 1

t 2

32

Fs=1Δ tintt1

t2

F d t=IΔ t

(48)

ρ=d mdV

(49)

ρs=mV

(50)

r T=

sumi=1

N

mi r i

sumi=1

N

mi

(51)

33

pak

r T=int r d m

int d m (52)

34

mi a i=Fi vn+Fi

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

Fi vn+sumi=1

N

Fi

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

Fi

r T=

sumi=1

N

mi r i

sumi=1

N

mi

=

sumi=1

N

mi r i

m

vT=

sumi=1

N

mi v i

m

aT=

sumi=1

N

mi ai

m

m aT=sumi=1

N

mi a i=FV=sumi=1

N

Fi (53)

35

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

mi

d v i

d t=

dd t sumi=1

N

mi v i=dd t sumi=1

N

pi=d pd t

Takže platiacute

FV=d pd t

(54)

36

d pd t

=orArr p=konst (55)

12

m1 v x 1 i2

+12

m2 vx 2 i2

=12

m1 v x 1 f2

+12

m2 vx 2f2

(57)

37

m1(v x 1 i2

minusvx 1f2

)=m2 (vx 2i2

minusvx 2f2

)

v x 1f=m1minusm2

m1+m2

vx 1 i+2m2

m1+m2

vx 2i

v x 2 f=2m1

m1+m2

v x 1 i+m2minusm1

m1+m2

v x 2 i (58)

m1+m2

(59)

38

39

M=rtimesF (60)

M=rFsinα=Fa (61)

[M] = Nmiddotm

b=rtimes p (62)

40

d bd t

=dd t

(rtimesm v )=d rd t

d ( m v )

d t=rtimesF=M

sum M=M V=d bd t

(63)

d bd t

=orArr b=konst (64)

Ek=12

m1v12+

12

m2 v22+=sum

i=1

N 12

mi v i2=sum

i=1

N 12

mi(ω r i)2=

12(sum

i=1

N

mi r i2)ω

2

Veličina

J=sumi=1

N

mi r i2 (65)

[J] = kgmiddotm2

Ek=12

J ω2 (66)

41

J=intr2 d m (67)

ρ=d mdV

=mV

σ=d md S

=mS

τ=d md l

=mL

(68)

42

43

Steinerova věta

J=J T+md2 (69)

J=int (x2+ y2

)d m

44

sumi=1

N

M i z=(sumi=1

N

mi r i2)ϵ=J ϵ (72)

45

M V=J ϵ=Jdωd t

=d(J ω)

d t=

d bd t

(74)

b=J ω (75)

46

T perioda [T] = s

f frekvence f =1T

[f] = Hz = s-1

Fp0+FG=o

47

k∣y0∣minusmg=0

Fp0+FG+Fp=m a

ma y=minusky

md2 y

d t2+ky=0

d2 y

d t2+

km

y=0 (76)

y=A sin(ω t+ϕ 0) (77)

kde

48

ω=2πT

=radic km

(78)

v y=d yd t

=Aω cos(ω t+ϕ 0) (79)

v=∣v y∣ (80)

49

a y=d v y

d t=minusA ω

2 sin(ω t+ϕ 0) (81)

a=∣a y∣ (82)

π2

rad

0

minusky d y= 12

ky12

Obecně platiacute

50

Ep( y )=12

ky2=

12

kA2 sin2(ω t+ϕ0) (83)

Ek=12

mv2=

12

m(d yd t

)2

=12

mA2ω

2 cos2(ω t+ϕ0)=

12

kA 2 cos2(ω t+ϕ 0) (84)

E=Ek+Ep=12

kA2 (85)

51

Kyvadla

M FG+M FR

=J ϵ

d t2

d2θ

d t2+

mghθJ

=0 (86)

kde

52

ω=2πT

=radicmghJ

(88)

T=2πradic Jmgh

(89)

J=ml2

T=2πradic ml2

mgl=2πradic l

g (90)

neboť h = l

53

2πradic Jmgh

=2πradiclR

g

takže

lR=J

mh (91)

Fp0+FG+Fp+Fo=m a

54

md2 y

d t2+r

d yd t

+ky=0

d2 yd t 2 +

rm

d yd t

+km

y=0 (92)

(93)

kde

ω =radicω2minus

r2

4m2(94)

55

E= 12

mv2+

12

ky2

d Ed t

=mvd vd t

+kyd yd t

=minusrv2 (95)

56

57

y=A sin (ω t)

58

)=A sin 2π(tTminus

xT vϕ

xλ)

Odraz vlněniacute

59

60

u=u1+u2

A=radicA12+A 2

A1coskx1+A2cos kx2

(101)

(x2minusx1) (102)

61

(103)

A=A1+A2 (104)

(105)

a

u2=A sin (ω t+kx) (108)

62

2cos

αminusβ

2

(110)

∣cos2π xλ∣=1

2πxλ=plusmnkπ

x=plusmnk λ2

k=012

cos 2πxλ=0

2

x=plusmn(2k+1) λ4

k=012

63

64

sinα1

sinα2

=v1

v2

sinαm=v1

v2

Dopplerův jev

65

f L=v+ vL

λ=

v+ vL

v f S

=(1+vL

v) f S (111)

f L=vminusvL

λ=

vminusvL

v f S

=(1minusvL

v) f S (112)

66

f S

λfront=vf S

minusvS

f S

=vminusvS

f S

(113)

λ behind=v+vS

f S

(114)

f L=v+ v L

λbehind=

v+ vL

(v+ vS) f S

f L=v+ vL

v+ vS

f S (115)

67

Obr ter1

Obr ter2

68

Obr ter3

69

Obr ter4

[α] = K-1 = degC-1

l=l0(1+αΔT ) (117)

70

β=3α (119)

71

72

Obr Ter4

Q=ΔU+W (120)

73

d Q=d U+d W (121)

n=N

N A

(122)

[n] = mol

M=mn

(123)

74

[M] = kgmiddotmol-1

Ar=ma

u (124)

M r=mm

u (125)

m=Nmm n= NN A

Mm=mn=

Nmm

N N A

]

pV=nRT (126)

75

Praacutece plynu

W=intV 1

V 2

p d V (128)

76

I=F Δ t=2mvx

Δ t=2lvx

takže

F 2lvx

=2mvx

F=mv x

2

l

F=mv1x

2

l+

mv2x2

l++

mvNx2

l

tedy

77

F=ml sumi=1

N

v ix2=

mNl

sumi=1

N

v ix2

N=

mNl

v x2=

mNl

v2

3=

mN3l

vk2

2+v y

2+v z

2=v z

2=

13

v2

p=F

l2=

N

3l3mvk

2=

N3V

mv k2 (129)

Ek=12

mvk2

p=23

NV

Ek (130)

T= pVnR

=23

NV

EkVnR

=23

NV

Ek

VN A

NR=

23

N A

REk=

23

1k

Ek (131)

N A

Ek=32

kT (132)

78

U=N Ek=N32

kT=N32

RN A

T=32

nRT (133)

U=i2

nRT (134)

CV=[ d Qnd T ]

V=konst(135)

CV=[ d Qnd T ]

V=konst

=[ d Und T ]

V=konst

=iR2

(136)

Takže

d Q=d U=CV nd T=iR2

nd T

79

Q=intT 1

T 2

cV=[ d Qm d T ]

V=konst

d Q=d W= pd V

W=intV 1

V 2

p d V

pV =nRT

p= nRTV

W=nRTintV 1

V 2 d VV

=nRT lnV 2

V 1

(138)

80

Q=intT 1

T 2

Cp=CV+R (140)

81

W=intT 1

T 2

d U=minusd W (142)

upravujme

nCV dT+nRTV

d V=0 1T

nCV

Td T+

nRV

dV =0

ln T CV+ln V R=ln K

lnT CV V R=ln K

K=TCV V R

K1=TVR

82

R=CpminusCV

RCV

=C p

CV

minus1

RCV

=κminus1

κ=C p

CV(143)

K1=TV κminus1

T=pVnR

K1=pVnR

V κminus1=

pV κ

nR

W=minusintU 1

U 2

pV n=konst (145)

83

KRUHOVEacute DĚJE

∮dU=0 (146)

d Q=d U+d W

∮d Q=∮d W(147)

84

η=WQ1

(148)

W=Q1+Q2 (149)

η=Q1+Q2

Q1(150)

η=Q1+Q2

Q1

=T1minusT 2

T 1

(151)

85

86

Radim Uhlaacuteř
1 KINEMATIKA

Page 10: FYZIKA I - vsb.czhomel.vsb.cz/~uhl72/fyzika_I_dalkari_fbi_new.pdfRychlost při pohybu podél osy x závisí na čase takto: vx = 60 (m·s-1) + 0,5 (m·s-3) t2. Určete změnu rychlosti

r=x i+ y j+z k=(x y z) (8)

vp=Δ rΔ t

(9)

10

v= d rd t

=(d xd t

d yd t

d zd t

) (10)

ap=Δ vΔ t

(11)

11

zrychleniacute

a= d vd t

=(ax a y az) (12)

12

obr 14

a=d vd t

=d (v τ )

d t=

d vd t

τ+vd τ

d t=

d vd t

τ+vd sd t

d τ

d s=

d vd t

τ +v2 d τ

d s

13

d τ=d sR

τ ν=d sR

ν

a= d vd t

τ+v2

Rν

a=a t+an (13)

v=v0=konst (14)

s=s0+vt (15)

14

v=v0+a t t (16)

s=s0+v0 t+12

a t t2

(17)

a t=|d vd t |

v=v0minusa t t (18)

s=s0+v0 tminus12

a t t2

(19)

15

ωp=ϕ 2minusϕ 1

t2minust1

=Δϕ

Δ t (21)

ω=d φd t

=d (φβ )

d t=

dφd t

β+ φdβd t

=dφd t

β=d sr d t

β=vrβ

[ω] = rad∙s-1

Proto ω=vr

a

v=ωr (22)

v=ωtimesr

ε=dωd t

=d vr d t

β=a t

rβ

ε=at

r (23)

16

ϵ p=ΔωΔ t (24)

a=ad=v2

r (25)

obr 18

T=2π r

v (26)

f =1T

(27)

[f] = s-1

17

ω=2πT

=2π f (28)

v=ωr (29)

v=ωtimesr (30)

v=v0+a t t=v0+ϵR t (31)

s=s0+v0 t+ 12

a t t2=s0+v0 t+1

2ϵRt2

(32)

ω=ω0+ϵ t(33)

ϕ=ϕ0+ω0 t+12ϵt2

(34)

18

s=s0+v0 tminus12

2ϵRt2

(36)

ω=ω0minusϵ t(37)

(38)

19

20

mX

m0

=a0

aX

FV=sumF=d pd t

(39)

21

p=m v (40)

FV=sumF=m a (41)

d t2 r (t0)=r0 v (t0)=v0

22

23

24

25

26

FPTF

PTF

PT

Ft

FG

FN

F

směr pohybu

Ft = f FN

27

28

F=mdvd t

F d r=m d vd rd t

Takže

F d r=mv d v

intr1

r1

F d r=intv1

v2

mv dv=12

mv22minus

12

W=intr1

r1

F d r (42)

Ek=12

mv2 (43)

29

W=intr1

r2

Pp=ΔWΔ t

(45)

P=dWd t

=F d rd t

=Fv (46)

[P] = J∙s-1 = W (watt)

30

φx

yF

31

Impulz siacutely

I=intt1

t2

F d t=intt1

t2 d pd t

d t=intt 1

t 2

32

Fs=1Δ tintt1

t2

F d t=IΔ t

(48)

ρ=d mdV

(49)

ρs=mV

(50)

r T=

sumi=1

N

mi r i

sumi=1

N

mi

(51)

33

pak

r T=int r d m

int d m (52)

34

mi a i=Fi vn+Fi

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

Fi vn+sumi=1

N

Fi

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

Fi

r T=

sumi=1

N

mi r i

sumi=1

N

mi

=

sumi=1

N

mi r i

m

vT=

sumi=1

N

mi v i

m

aT=

sumi=1

N

mi ai

m

m aT=sumi=1

N

mi a i=FV=sumi=1

N

Fi (53)

35

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

mi

d v i

d t=

dd t sumi=1

N

mi v i=dd t sumi=1

N

pi=d pd t

Takže platiacute

FV=d pd t

(54)

36

d pd t

=orArr p=konst (55)

12

m1 v x 1 i2

+12

m2 vx 2 i2

=12

m1 v x 1 f2

+12

m2 vx 2f2

(57)

37

m1(v x 1 i2

minusvx 1f2

)=m2 (vx 2i2

minusvx 2f2

)

v x 1f=m1minusm2

m1+m2

vx 1 i+2m2

m1+m2

vx 2i

v x 2 f=2m1

m1+m2

v x 1 i+m2minusm1

m1+m2

v x 2 i (58)

m1+m2

(59)

38

39

M=rtimesF (60)

M=rFsinα=Fa (61)

[M] = Nmiddotm

b=rtimes p (62)

40

d bd t

=dd t

(rtimesm v )=d rd t

d ( m v )

d t=rtimesF=M

sum M=M V=d bd t

(63)

d bd t

=orArr b=konst (64)

Ek=12

m1v12+

12

m2 v22+=sum

i=1

N 12

mi v i2=sum

i=1

N 12

mi(ω r i)2=

12(sum

i=1

N

mi r i2)ω

2

Veličina

J=sumi=1

N

mi r i2 (65)

[J] = kgmiddotm2

Ek=12

J ω2 (66)

41

J=intr2 d m (67)

ρ=d mdV

=mV

σ=d md S

=mS

τ=d md l

=mL

(68)

42

43

Steinerova věta

J=J T+md2 (69)

J=int (x2+ y2

)d m

44

sumi=1

N

M i z=(sumi=1

N

mi r i2)ϵ=J ϵ (72)

45

M V=J ϵ=Jdωd t

=d(J ω)

d t=

d bd t

(74)

b=J ω (75)

46

T perioda [T] = s

f frekvence f =1T

[f] = Hz = s-1

Fp0+FG=o

47

k∣y0∣minusmg=0

Fp0+FG+Fp=m a

ma y=minusky

md2 y

d t2+ky=0

d2 y

d t2+

km

y=0 (76)

y=A sin(ω t+ϕ 0) (77)

kde

48

ω=2πT

=radic km

(78)

v y=d yd t

=Aω cos(ω t+ϕ 0) (79)

v=∣v y∣ (80)

49

a y=d v y

d t=minusA ω

2 sin(ω t+ϕ 0) (81)

a=∣a y∣ (82)

π2

rad

0

minusky d y= 12

ky12

Obecně platiacute

50

Ep( y )=12

ky2=

12

kA2 sin2(ω t+ϕ0) (83)

Ek=12

mv2=

12

m(d yd t

)2

=12

mA2ω

2 cos2(ω t+ϕ0)=

12

kA 2 cos2(ω t+ϕ 0) (84)

E=Ek+Ep=12

kA2 (85)

51

Kyvadla

M FG+M FR

=J ϵ

d t2

d2θ

d t2+

mghθJ

=0 (86)

kde

52

ω=2πT

=radicmghJ

(88)

T=2πradic Jmgh

(89)

J=ml2

T=2πradic ml2

mgl=2πradic l

g (90)

neboť h = l

53

2πradic Jmgh

=2πradiclR

g

takže

lR=J

mh (91)

Fp0+FG+Fp+Fo=m a

54

md2 y

d t2+r

d yd t

+ky=0

d2 yd t 2 +

rm

d yd t

+km

y=0 (92)

(93)

kde

ω =radicω2minus

r2

4m2(94)

55

E= 12

mv2+

12

ky2

d Ed t

=mvd vd t

+kyd yd t

=minusrv2 (95)

56

57

y=A sin (ω t)

58

)=A sin 2π(tTminus

xT vϕ

xλ)

Odraz vlněniacute

59

60

u=u1+u2

A=radicA12+A 2

A1coskx1+A2cos kx2

(101)

(x2minusx1) (102)

61

(103)

A=A1+A2 (104)

(105)

a

u2=A sin (ω t+kx) (108)

62

2cos

αminusβ

2

(110)

∣cos2π xλ∣=1

2πxλ=plusmnkπ

x=plusmnk λ2

k=012

cos 2πxλ=0

2

x=plusmn(2k+1) λ4

k=012

63

64

sinα1

sinα2

=v1

v2

sinαm=v1

v2

Dopplerův jev

65

f L=v+ vL

λ=

v+ vL

v f S

=(1+vL

v) f S (111)

f L=vminusvL

λ=

vminusvL

v f S

=(1minusvL

v) f S (112)

66

f S

λfront=vf S

minusvS

f S

=vminusvS

f S

(113)

λ behind=v+vS

f S

(114)

f L=v+ v L

λbehind=

v+ vL

(v+ vS) f S

f L=v+ vL

v+ vS

f S (115)

67

Obr ter1

Obr ter2

68

Obr ter3

69

Obr ter4

[α] = K-1 = degC-1

l=l0(1+αΔT ) (117)

70

β=3α (119)

71

72

Obr Ter4

Q=ΔU+W (120)

73

d Q=d U+d W (121)

n=N

N A

(122)

[n] = mol

M=mn

(123)

74

[M] = kgmiddotmol-1

Ar=ma

u (124)

M r=mm

u (125)

m=Nmm n= NN A

Mm=mn=

Nmm

N N A

]

pV=nRT (126)

75

Praacutece plynu

W=intV 1

V 2

p d V (128)

76

I=F Δ t=2mvx

Δ t=2lvx

takže

F 2lvx

=2mvx

F=mv x

2

l

F=mv1x

2

l+

mv2x2

l++

mvNx2

l

tedy

77

F=ml sumi=1

N

v ix2=

mNl

sumi=1

N

v ix2

N=

mNl

v x2=

mNl

v2

3=

mN3l

vk2

2+v y

2+v z

2=v z

2=

13

v2

p=F

l2=

N

3l3mvk

2=

N3V

mv k2 (129)

Ek=12

mvk2

p=23

NV

Ek (130)

T= pVnR

=23

NV

EkVnR

=23

NV

Ek

VN A

NR=

23

N A

REk=

23

1k

Ek (131)

N A

Ek=32

kT (132)

78

U=N Ek=N32

kT=N32

RN A

T=32

nRT (133)

U=i2

nRT (134)

CV=[ d Qnd T ]

V=konst(135)

CV=[ d Qnd T ]

V=konst

=[ d Und T ]

V=konst

=iR2

(136)

Takže

d Q=d U=CV nd T=iR2

nd T

79

Q=intT 1

T 2

cV=[ d Qm d T ]

V=konst

d Q=d W= pd V

W=intV 1

V 2

p d V

pV =nRT

p= nRTV

W=nRTintV 1

V 2 d VV

=nRT lnV 2

V 1

(138)

80

Q=intT 1

T 2

Cp=CV+R (140)

81

W=intT 1

T 2

d U=minusd W (142)

upravujme

nCV dT+nRTV

d V=0 1T

nCV

Td T+

nRV

dV =0

ln T CV+ln V R=ln K

lnT CV V R=ln K

K=TCV V R

K1=TVR

82

R=CpminusCV

RCV

=C p

CV

minus1

RCV

=κminus1

κ=C p

CV(143)

K1=TV κminus1

T=pVnR

K1=pVnR

V κminus1=

pV κ

nR

W=minusintU 1

U 2

pV n=konst (145)

83

KRUHOVEacute DĚJE

∮dU=0 (146)

d Q=d U+d W

∮d Q=∮d W(147)

84

η=WQ1

(148)

W=Q1+Q2 (149)

η=Q1+Q2

Q1(150)

η=Q1+Q2

Q1

=T1minusT 2

T 1

(151)

85

86

Radim Uhlaacuteř
1 KINEMATIKA

Page 11: FYZIKA I - vsb.czhomel.vsb.cz/~uhl72/fyzika_I_dalkari_fbi_new.pdfRychlost při pohybu podél osy x závisí na čase takto: vx = 60 (m·s-1) + 0,5 (m·s-3) t2. Určete změnu rychlosti

v= d rd t

=(d xd t

d yd t

d zd t

) (10)

ap=Δ vΔ t

(11)

11

zrychleniacute

a= d vd t

=(ax a y az) (12)

12

obr 14

a=d vd t

=d (v τ )

d t=

d vd t

τ+vd τ

d t=

d vd t

τ+vd sd t

d τ

d s=

d vd t

τ +v2 d τ

d s

13

d τ=d sR

τ ν=d sR

ν

a= d vd t

τ+v2

Rν

a=a t+an (13)

v=v0=konst (14)

s=s0+vt (15)

14

v=v0+a t t (16)

s=s0+v0 t+12

a t t2

(17)

a t=|d vd t |

v=v0minusa t t (18)

s=s0+v0 tminus12

a t t2

(19)

15

ωp=ϕ 2minusϕ 1

t2minust1

=Δϕ

Δ t (21)

ω=d φd t

=d (φβ )

d t=

dφd t

β+ φdβd t

=dφd t

β=d sr d t

β=vrβ

[ω] = rad∙s-1

Proto ω=vr

a

v=ωr (22)

v=ωtimesr

ε=dωd t

=d vr d t

β=a t

rβ

ε=at

r (23)

16

ϵ p=ΔωΔ t (24)

a=ad=v2

r (25)

obr 18

T=2π r

v (26)

f =1T

(27)

[f] = s-1

17

ω=2πT

=2π f (28)

v=ωr (29)

v=ωtimesr (30)

v=v0+a t t=v0+ϵR t (31)

s=s0+v0 t+ 12

a t t2=s0+v0 t+1

2ϵRt2

(32)

ω=ω0+ϵ t(33)

ϕ=ϕ0+ω0 t+12ϵt2

(34)

18

s=s0+v0 tminus12

2ϵRt2

(36)

ω=ω0minusϵ t(37)

(38)

19

20

mX

m0

=a0

aX

FV=sumF=d pd t

(39)

21

p=m v (40)

FV=sumF=m a (41)

d t2 r (t0)=r0 v (t0)=v0

22

23

24

25

26

FPTF

PTF

PT

Ft

FG

FN

F

směr pohybu

Ft = f FN

27

28

F=mdvd t

F d r=m d vd rd t

Takže

F d r=mv d v

intr1

r1

F d r=intv1

v2

mv dv=12

mv22minus

12

W=intr1

r1

F d r (42)

Ek=12

mv2 (43)

29

W=intr1

r2

Pp=ΔWΔ t

(45)

P=dWd t

=F d rd t

=Fv (46)

[P] = J∙s-1 = W (watt)

30

φx

yF

31

Impulz siacutely

I=intt1

t2

F d t=intt1

t2 d pd t

d t=intt 1

t 2

32

Fs=1Δ tintt1

t2

F d t=IΔ t

(48)

ρ=d mdV

(49)

ρs=mV

(50)

r T=

sumi=1

N

mi r i

sumi=1

N

mi

(51)

33

pak

r T=int r d m

int d m (52)

34

mi a i=Fi vn+Fi

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

Fi vn+sumi=1

N

Fi

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

Fi

r T=

sumi=1

N

mi r i

sumi=1

N

mi

=

sumi=1

N

mi r i

m

vT=

sumi=1

N

mi v i

m

aT=

sumi=1

N

mi ai

m

m aT=sumi=1

N

mi a i=FV=sumi=1

N

Fi (53)

35

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

mi

d v i

d t=

dd t sumi=1

N

mi v i=dd t sumi=1

N

pi=d pd t

Takže platiacute

FV=d pd t

(54)

36

d pd t

=orArr p=konst (55)

12

m1 v x 1 i2

+12

m2 vx 2 i2

=12

m1 v x 1 f2

+12

m2 vx 2f2

(57)

37

m1(v x 1 i2

minusvx 1f2

)=m2 (vx 2i2

minusvx 2f2

)

v x 1f=m1minusm2

m1+m2

vx 1 i+2m2

m1+m2

vx 2i

v x 2 f=2m1

m1+m2

v x 1 i+m2minusm1

m1+m2

v x 2 i (58)

m1+m2

(59)

38

39

M=rtimesF (60)

M=rFsinα=Fa (61)

[M] = Nmiddotm

b=rtimes p (62)

40

d bd t

=dd t

(rtimesm v )=d rd t

d ( m v )

d t=rtimesF=M

sum M=M V=d bd t

(63)

d bd t

=orArr b=konst (64)

Ek=12

m1v12+

12

m2 v22+=sum

i=1

N 12

mi v i2=sum

i=1

N 12

mi(ω r i)2=

12(sum

i=1

N

mi r i2)ω

2

Veličina

J=sumi=1

N

mi r i2 (65)

[J] = kgmiddotm2

Ek=12

J ω2 (66)

41

J=intr2 d m (67)

ρ=d mdV

=mV

σ=d md S

=mS

τ=d md l

=mL

(68)

42

43

Steinerova věta

J=J T+md2 (69)

J=int (x2+ y2

)d m

44

sumi=1

N

M i z=(sumi=1

N

mi r i2)ϵ=J ϵ (72)

45

M V=J ϵ=Jdωd t

=d(J ω)

d t=

d bd t

(74)

b=J ω (75)

46

T perioda [T] = s

f frekvence f =1T

[f] = Hz = s-1

Fp0+FG=o

47

k∣y0∣minusmg=0

Fp0+FG+Fp=m a

ma y=minusky

md2 y

d t2+ky=0

d2 y

d t2+

km

y=0 (76)

y=A sin(ω t+ϕ 0) (77)

kde

48

ω=2πT

=radic km

(78)

v y=d yd t

=Aω cos(ω t+ϕ 0) (79)

v=∣v y∣ (80)

49

a y=d v y

d t=minusA ω

2 sin(ω t+ϕ 0) (81)

a=∣a y∣ (82)

π2

rad

0

minusky d y= 12

ky12

Obecně platiacute

50

Ep( y )=12

ky2=

12

kA2 sin2(ω t+ϕ0) (83)

Ek=12

mv2=

12

m(d yd t

)2

=12

mA2ω

2 cos2(ω t+ϕ0)=

12

kA 2 cos2(ω t+ϕ 0) (84)

E=Ek+Ep=12

kA2 (85)

51

Kyvadla

M FG+M FR

=J ϵ

d t2

d2θ

d t2+

mghθJ

=0 (86)

kde

52

ω=2πT

=radicmghJ

(88)

T=2πradic Jmgh

(89)

J=ml2

T=2πradic ml2

mgl=2πradic l

g (90)

neboť h = l

53

2πradic Jmgh

=2πradiclR

g

takže

lR=J

mh (91)

Fp0+FG+Fp+Fo=m a

54

md2 y

d t2+r

d yd t

+ky=0

d2 yd t 2 +

rm

d yd t

+km

y=0 (92)

(93)

kde

ω =radicω2minus

r2

4m2(94)

55

E= 12

mv2+

12

ky2

d Ed t

=mvd vd t

+kyd yd t

=minusrv2 (95)

56

57

y=A sin (ω t)

58

)=A sin 2π(tTminus

xT vϕ

xλ)

Odraz vlněniacute

59

60

u=u1+u2

A=radicA12+A 2

A1coskx1+A2cos kx2

(101)

(x2minusx1) (102)

61

(103)

A=A1+A2 (104)

(105)

a

u2=A sin (ω t+kx) (108)

62

2cos

αminusβ

2

(110)

∣cos2π xλ∣=1

2πxλ=plusmnkπ

x=plusmnk λ2

k=012

cos 2πxλ=0

2

x=plusmn(2k+1) λ4

k=012

63

64

sinα1

sinα2

=v1

v2

sinαm=v1

v2

Dopplerův jev

65

f L=v+ vL

λ=

v+ vL

v f S

=(1+vL

v) f S (111)

f L=vminusvL

λ=

vminusvL

v f S

=(1minusvL

v) f S (112)

66

f S

λfront=vf S

minusvS

f S

=vminusvS

f S

(113)

λ behind=v+vS

f S

(114)

f L=v+ v L

λbehind=

v+ vL

(v+ vS) f S

f L=v+ vL

v+ vS

f S (115)

67

Obr ter1

Obr ter2

68

Obr ter3

69

Obr ter4

[α] = K-1 = degC-1

l=l0(1+αΔT ) (117)

70

β=3α (119)

71

72

Obr Ter4

Q=ΔU+W (120)

73

d Q=d U+d W (121)

n=N

N A

(122)

[n] = mol

M=mn

(123)

74

[M] = kgmiddotmol-1

Ar=ma

u (124)

M r=mm

u (125)

m=Nmm n= NN A

Mm=mn=

Nmm

N N A

]

pV=nRT (126)

75

Praacutece plynu

W=intV 1

V 2

p d V (128)

76

I=F Δ t=2mvx

Δ t=2lvx

takže

F 2lvx

=2mvx

F=mv x

2

l

F=mv1x

2

l+

mv2x2

l++

mvNx2

l

tedy

77

F=ml sumi=1

N

v ix2=

mNl

sumi=1

N

v ix2

N=

mNl

v x2=

mNl

v2

3=

mN3l

vk2

2+v y

2+v z

2=v z

2=

13

v2

p=F

l2=

N

3l3mvk

2=

N3V

mv k2 (129)

Ek=12

mvk2

p=23

NV

Ek (130)

T= pVnR

=23

NV

EkVnR

=23

NV

Ek

VN A

NR=

23

N A

REk=

23

1k

Ek (131)

N A

Ek=32

kT (132)

78

U=N Ek=N32

kT=N32

RN A

T=32

nRT (133)

U=i2

nRT (134)

CV=[ d Qnd T ]

V=konst(135)

CV=[ d Qnd T ]

V=konst

=[ d Und T ]

V=konst

=iR2

(136)

Takže

d Q=d U=CV nd T=iR2

nd T

79

Q=intT 1

T 2

cV=[ d Qm d T ]

V=konst

d Q=d W= pd V

W=intV 1

V 2

p d V

pV =nRT

p= nRTV

W=nRTintV 1

V 2 d VV

=nRT lnV 2

V 1

(138)

80

Q=intT 1

T 2

Cp=CV+R (140)

81

W=intT 1

T 2

d U=minusd W (142)

upravujme

nCV dT+nRTV

d V=0 1T

nCV

Td T+

nRV

dV =0

ln T CV+ln V R=ln K

lnT CV V R=ln K

K=TCV V R

K1=TVR

82

R=CpminusCV

RCV

=C p

CV

minus1

RCV

=κminus1

κ=C p

CV(143)

K1=TV κminus1

T=pVnR

K1=pVnR

V κminus1=

pV κ

nR

W=minusintU 1

U 2

pV n=konst (145)

83

KRUHOVEacute DĚJE

∮dU=0 (146)

d Q=d U+d W

∮d Q=∮d W(147)

84

η=WQ1

(148)

W=Q1+Q2 (149)

η=Q1+Q2

Q1(150)

η=Q1+Q2

Q1

=T1minusT 2

T 1

(151)

85

86

Radim Uhlaacuteř
1 KINEMATIKA

Page 12: FYZIKA I - vsb.czhomel.vsb.cz/~uhl72/fyzika_I_dalkari_fbi_new.pdfRychlost při pohybu podél osy x závisí na čase takto: vx = 60 (m·s-1) + 0,5 (m·s-3) t2. Určete změnu rychlosti

zrychleniacute

a= d vd t

=(ax a y az) (12)

12

obr 14

a=d vd t

=d (v τ )

d t=

d vd t

τ+vd τ

d t=

d vd t

τ+vd sd t

d τ

d s=

d vd t

τ +v2 d τ

d s

13

d τ=d sR

τ ν=d sR

ν

a= d vd t

τ+v2

Rν

a=a t+an (13)

v=v0=konst (14)

s=s0+vt (15)

14

v=v0+a t t (16)

s=s0+v0 t+12

a t t2

(17)

a t=|d vd t |

v=v0minusa t t (18)

s=s0+v0 tminus12

a t t2

(19)

15

ωp=ϕ 2minusϕ 1

t2minust1

=Δϕ

Δ t (21)

ω=d φd t

=d (φβ )

d t=

dφd t

β+ φdβd t

=dφd t

β=d sr d t

β=vrβ

[ω] = rad∙s-1

Proto ω=vr

a

v=ωr (22)

v=ωtimesr

ε=dωd t

=d vr d t

β=a t

rβ

ε=at

r (23)

16

ϵ p=ΔωΔ t (24)

a=ad=v2

r (25)

obr 18

T=2π r

v (26)

f =1T

(27)

[f] = s-1

17

ω=2πT

=2π f (28)

v=ωr (29)

v=ωtimesr (30)

v=v0+a t t=v0+ϵR t (31)

s=s0+v0 t+ 12

a t t2=s0+v0 t+1

2ϵRt2

(32)

ω=ω0+ϵ t(33)

ϕ=ϕ0+ω0 t+12ϵt2

(34)

18

s=s0+v0 tminus12

2ϵRt2

(36)

ω=ω0minusϵ t(37)

(38)

19

20

mX

m0

=a0

aX

FV=sumF=d pd t

(39)

21

p=m v (40)

FV=sumF=m a (41)

d t2 r (t0)=r0 v (t0)=v0

22

23

24

25

26

FPTF

PTF

PT

Ft

FG

FN

F

směr pohybu

Ft = f FN

27

28

F=mdvd t

F d r=m d vd rd t

Takže

F d r=mv d v

intr1

r1

F d r=intv1

v2

mv dv=12

mv22minus

12

W=intr1

r1

F d r (42)

Ek=12

mv2 (43)

29

W=intr1

r2

Pp=ΔWΔ t

(45)

P=dWd t

=F d rd t

=Fv (46)

[P] = J∙s-1 = W (watt)

30

φx

yF

31

Impulz siacutely

I=intt1

t2

F d t=intt1

t2 d pd t

d t=intt 1

t 2

32

Fs=1Δ tintt1

t2

F d t=IΔ t

(48)

ρ=d mdV

(49)

ρs=mV

(50)

r T=

sumi=1

N

mi r i

sumi=1

N

mi

(51)

33

pak

r T=int r d m

int d m (52)

34

mi a i=Fi vn+Fi

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

Fi vn+sumi=1

N

Fi

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

Fi

r T=

sumi=1

N

mi r i

sumi=1

N

mi

=

sumi=1

N

mi r i

m

vT=

sumi=1

N

mi v i

m

aT=

sumi=1

N

mi ai

m

m aT=sumi=1

N

mi a i=FV=sumi=1

N

Fi (53)

35

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

mi

d v i

d t=

dd t sumi=1

N

mi v i=dd t sumi=1

N

pi=d pd t

Takže platiacute

FV=d pd t

(54)

36

d pd t

=orArr p=konst (55)

12

m1 v x 1 i2

+12

m2 vx 2 i2

=12

m1 v x 1 f2

+12

m2 vx 2f2

(57)

37

m1(v x 1 i2

minusvx 1f2

)=m2 (vx 2i2

minusvx 2f2

)

v x 1f=m1minusm2

m1+m2

vx 1 i+2m2

m1+m2

vx 2i

v x 2 f=2m1

m1+m2

v x 1 i+m2minusm1

m1+m2

v x 2 i (58)

m1+m2

(59)

38

39

M=rtimesF (60)

M=rFsinα=Fa (61)

[M] = Nmiddotm

b=rtimes p (62)

40

d bd t

=dd t

(rtimesm v )=d rd t

d ( m v )

d t=rtimesF=M

sum M=M V=d bd t

(63)

d bd t

=orArr b=konst (64)

Ek=12

m1v12+

12

m2 v22+=sum

i=1

N 12

mi v i2=sum

i=1

N 12

mi(ω r i)2=

12(sum

i=1

N

mi r i2)ω

2

Veličina

J=sumi=1

N

mi r i2 (65)

[J] = kgmiddotm2

Ek=12

J ω2 (66)

41

J=intr2 d m (67)

ρ=d mdV

=mV

σ=d md S

=mS

τ=d md l

=mL

(68)

42

43

Steinerova věta

J=J T+md2 (69)

J=int (x2+ y2

)d m

44

sumi=1

N

M i z=(sumi=1

N

mi r i2)ϵ=J ϵ (72)

45

M V=J ϵ=Jdωd t

=d(J ω)

d t=

d bd t

(74)

b=J ω (75)

46

T perioda [T] = s

f frekvence f =1T

[f] = Hz = s-1

Fp0+FG=o

47

k∣y0∣minusmg=0

Fp0+FG+Fp=m a

ma y=minusky

md2 y

d t2+ky=0

d2 y

d t2+

km

y=0 (76)

y=A sin(ω t+ϕ 0) (77)

kde

48

ω=2πT

=radic km

(78)

v y=d yd t

=Aω cos(ω t+ϕ 0) (79)

v=∣v y∣ (80)

49

a y=d v y

d t=minusA ω

2 sin(ω t+ϕ 0) (81)

a=∣a y∣ (82)

π2

rad

0

minusky d y= 12

ky12

Obecně platiacute

50

Ep( y )=12

ky2=

12

kA2 sin2(ω t+ϕ0) (83)

Ek=12

mv2=

12

m(d yd t

)2

=12

mA2ω

2 cos2(ω t+ϕ0)=

12

kA 2 cos2(ω t+ϕ 0) (84)

E=Ek+Ep=12

kA2 (85)

51

Kyvadla

M FG+M FR

=J ϵ

d t2

d2θ

d t2+

mghθJ

=0 (86)

kde

52

ω=2πT

=radicmghJ

(88)

T=2πradic Jmgh

(89)

J=ml2

T=2πradic ml2

mgl=2πradic l

g (90)

neboť h = l

53

2πradic Jmgh

=2πradiclR

g

takže

lR=J

mh (91)

Fp0+FG+Fp+Fo=m a

54

md2 y

d t2+r

d yd t

+ky=0

d2 yd t 2 +

rm

d yd t

+km

y=0 (92)

(93)

kde

ω =radicω2minus

r2

4m2(94)

55

E= 12

mv2+

12

ky2

d Ed t

=mvd vd t

+kyd yd t

=minusrv2 (95)

56

57

y=A sin (ω t)

58

)=A sin 2π(tTminus

xT vϕ

xλ)

Odraz vlněniacute

59

60

u=u1+u2

A=radicA12+A 2

A1coskx1+A2cos kx2

(101)

(x2minusx1) (102)

61

(103)

A=A1+A2 (104)

(105)

a

u2=A sin (ω t+kx) (108)

62

2cos

αminusβ

2

(110)

∣cos2π xλ∣=1

2πxλ=plusmnkπ

x=plusmnk λ2

k=012

cos 2πxλ=0

2

x=plusmn(2k+1) λ4

k=012

63

64

sinα1

sinα2

=v1

v2

sinαm=v1

v2

Dopplerův jev

65

f L=v+ vL

λ=

v+ vL

v f S

=(1+vL

v) f S (111)

f L=vminusvL

λ=

vminusvL

v f S

=(1minusvL

v) f S (112)

66

f S

λfront=vf S

minusvS

f S

=vminusvS

f S

(113)

λ behind=v+vS

f S

(114)

f L=v+ v L

λbehind=

v+ vL

(v+ vS) f S

f L=v+ vL

v+ vS

f S (115)

67

Obr ter1

Obr ter2

68

Obr ter3

69

Obr ter4

[α] = K-1 = degC-1

l=l0(1+αΔT ) (117)

70

β=3α (119)

71

72

Obr Ter4

Q=ΔU+W (120)

73

d Q=d U+d W (121)

n=N

N A

(122)

[n] = mol

M=mn

(123)

74

[M] = kgmiddotmol-1

Ar=ma

u (124)

M r=mm

u (125)

m=Nmm n= NN A

Mm=mn=

Nmm

N N A

]

pV=nRT (126)

75

Praacutece plynu

W=intV 1

V 2

p d V (128)

76

I=F Δ t=2mvx

Δ t=2lvx

takže

F 2lvx

=2mvx

F=mv x

2

l

F=mv1x

2

l+

mv2x2

l++

mvNx2

l

tedy

77

F=ml sumi=1

N

v ix2=

mNl

sumi=1

N

v ix2

N=

mNl

v x2=

mNl

v2

3=

mN3l

vk2

2+v y

2+v z

2=v z

2=

13

v2

p=F

l2=

N

3l3mvk

2=

N3V

mv k2 (129)

Ek=12

mvk2

p=23

NV

Ek (130)

T= pVnR

=23

NV

EkVnR

=23

NV

Ek

VN A

NR=

23

N A

REk=

23

1k

Ek (131)

N A

Ek=32

kT (132)

78

U=N Ek=N32

kT=N32

RN A

T=32

nRT (133)

U=i2

nRT (134)

CV=[ d Qnd T ]

V=konst(135)

CV=[ d Qnd T ]

V=konst

=[ d Und T ]

V=konst

=iR2

(136)

Takže

d Q=d U=CV nd T=iR2

nd T

79

Q=intT 1

T 2

cV=[ d Qm d T ]

V=konst

d Q=d W= pd V

W=intV 1

V 2

p d V

pV =nRT

p= nRTV

W=nRTintV 1

V 2 d VV

=nRT lnV 2

V 1

(138)

80

Q=intT 1

T 2

Cp=CV+R (140)

81

W=intT 1

T 2

d U=minusd W (142)

upravujme

nCV dT+nRTV

d V=0 1T

nCV

Td T+

nRV

dV =0

ln T CV+ln V R=ln K

lnT CV V R=ln K

K=TCV V R

K1=TVR

82

R=CpminusCV

RCV

=C p

CV

minus1

RCV

=κminus1

κ=C p

CV(143)

K1=TV κminus1

T=pVnR

K1=pVnR

V κminus1=

pV κ

nR

W=minusintU 1

U 2

pV n=konst (145)

83

KRUHOVEacute DĚJE

∮dU=0 (146)

d Q=d U+d W

∮d Q=∮d W(147)

84

η=WQ1

(148)

W=Q1+Q2 (149)

η=Q1+Q2

Q1(150)

η=Q1+Q2

Q1

=T1minusT 2

T 1

(151)

85

86

Radim Uhlaacuteř
1 KINEMATIKA

Page 13: FYZIKA I - vsb.czhomel.vsb.cz/~uhl72/fyzika_I_dalkari_fbi_new.pdfRychlost při pohybu podél osy x závisí na čase takto: vx = 60 (m·s-1) + 0,5 (m·s-3) t2. Určete změnu rychlosti

obr 14

a=d vd t

=d (v τ )

d t=

d vd t

τ+vd τ

d t=

d vd t

τ+vd sd t

d τ

d s=

d vd t

τ +v2 d τ

d s

13

d τ=d sR

τ ν=d sR

ν

a= d vd t

τ+v2

Rν

a=a t+an (13)

v=v0=konst (14)

s=s0+vt (15)

14

v=v0+a t t (16)

s=s0+v0 t+12

a t t2

(17)

a t=|d vd t |

v=v0minusa t t (18)

s=s0+v0 tminus12

a t t2

(19)

15

ωp=ϕ 2minusϕ 1

t2minust1

=Δϕ

Δ t (21)

ω=d φd t

=d (φβ )

d t=

dφd t

β+ φdβd t

=dφd t

β=d sr d t

β=vrβ

[ω] = rad∙s-1

Proto ω=vr

a

v=ωr (22)

v=ωtimesr

ε=dωd t

=d vr d t

β=a t

rβ

ε=at

r (23)

16

ϵ p=ΔωΔ t (24)

a=ad=v2

r (25)

obr 18

T=2π r

v (26)

f =1T

(27)

[f] = s-1

17

ω=2πT

=2π f (28)

v=ωr (29)

v=ωtimesr (30)

v=v0+a t t=v0+ϵR t (31)

s=s0+v0 t+ 12

a t t2=s0+v0 t+1

2ϵRt2

(32)

ω=ω0+ϵ t(33)

ϕ=ϕ0+ω0 t+12ϵt2

(34)

18

s=s0+v0 tminus12

2ϵRt2

(36)

ω=ω0minusϵ t(37)

(38)

19

20

mX

m0

=a0

aX

FV=sumF=d pd t

(39)

21

p=m v (40)

FV=sumF=m a (41)

d t2 r (t0)=r0 v (t0)=v0

22

23

24

25

26

FPTF

PTF

PT

Ft

FG

FN

F

směr pohybu

Ft = f FN

27

28

F=mdvd t

F d r=m d vd rd t

Takže

F d r=mv d v

intr1

r1

F d r=intv1

v2

mv dv=12

mv22minus

12

W=intr1

r1

F d r (42)

Ek=12

mv2 (43)

29

W=intr1

r2

Pp=ΔWΔ t

(45)

P=dWd t

=F d rd t

=Fv (46)

[P] = J∙s-1 = W (watt)

30

φx

yF

31

Impulz siacutely

I=intt1

t2

F d t=intt1

t2 d pd t

d t=intt 1

t 2

32

Fs=1Δ tintt1

t2

F d t=IΔ t

(48)

ρ=d mdV

(49)

ρs=mV

(50)

r T=

sumi=1

N

mi r i

sumi=1

N

mi

(51)

33

pak

r T=int r d m

int d m (52)

34

mi a i=Fi vn+Fi

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

Fi vn+sumi=1

N

Fi

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

Fi

r T=

sumi=1

N

mi r i

sumi=1

N

mi

=

sumi=1

N

mi r i

m

vT=

sumi=1

N

mi v i

m

aT=

sumi=1

N

mi ai

m

m aT=sumi=1

N

mi a i=FV=sumi=1

N

Fi (53)

35

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

mi

d v i

d t=

dd t sumi=1

N

mi v i=dd t sumi=1

N

pi=d pd t

Takže platiacute

FV=d pd t

(54)

36

d pd t

=orArr p=konst (55)

12

m1 v x 1 i2

+12

m2 vx 2 i2

=12

m1 v x 1 f2

+12

m2 vx 2f2

(57)

37

m1(v x 1 i2

minusvx 1f2

)=m2 (vx 2i2

minusvx 2f2

)

v x 1f=m1minusm2

m1+m2

vx 1 i+2m2

m1+m2

vx 2i

v x 2 f=2m1

m1+m2

v x 1 i+m2minusm1

m1+m2

v x 2 i (58)

m1+m2

(59)

38

39

M=rtimesF (60)

M=rFsinα=Fa (61)

[M] = Nmiddotm

b=rtimes p (62)

40

d bd t

=dd t

(rtimesm v )=d rd t

d ( m v )

d t=rtimesF=M

sum M=M V=d bd t

(63)

d bd t

=orArr b=konst (64)

Ek=12

m1v12+

12

m2 v22+=sum

i=1

N 12

mi v i2=sum

i=1

N 12

mi(ω r i)2=

12(sum

i=1

N

mi r i2)ω

2

Veličina

J=sumi=1

N

mi r i2 (65)

[J] = kgmiddotm2

Ek=12

J ω2 (66)

41

J=intr2 d m (67)

ρ=d mdV

=mV

σ=d md S

=mS

τ=d md l

=mL

(68)

42

43

Steinerova věta

J=J T+md2 (69)

J=int (x2+ y2

)d m

44

sumi=1

N

M i z=(sumi=1

N

mi r i2)ϵ=J ϵ (72)

45

M V=J ϵ=Jdωd t

=d(J ω)

d t=

d bd t

(74)

b=J ω (75)

46

T perioda [T] = s

f frekvence f =1T

[f] = Hz = s-1

Fp0+FG=o

47

k∣y0∣minusmg=0

Fp0+FG+Fp=m a

ma y=minusky

md2 y

d t2+ky=0

d2 y

d t2+

km

y=0 (76)

y=A sin(ω t+ϕ 0) (77)

kde

48

ω=2πT

=radic km

(78)

v y=d yd t

=Aω cos(ω t+ϕ 0) (79)

v=∣v y∣ (80)

49

a y=d v y

d t=minusA ω

2 sin(ω t+ϕ 0) (81)

a=∣a y∣ (82)

π2

rad

0

minusky d y= 12

ky12

Obecně platiacute

50

Ep( y )=12

ky2=

12

kA2 sin2(ω t+ϕ0) (83)

Ek=12

mv2=

12

m(d yd t

)2

=12

mA2ω

2 cos2(ω t+ϕ0)=

12

kA 2 cos2(ω t+ϕ 0) (84)

E=Ek+Ep=12

kA2 (85)

51

Kyvadla

M FG+M FR

=J ϵ

d t2

d2θ

d t2+

mghθJ

=0 (86)

kde

52

ω=2πT

=radicmghJ

(88)

T=2πradic Jmgh

(89)

J=ml2

T=2πradic ml2

mgl=2πradic l

g (90)

neboť h = l

53

2πradic Jmgh

=2πradiclR

g

takže

lR=J

mh (91)

Fp0+FG+Fp+Fo=m a

54

md2 y

d t2+r

d yd t

+ky=0

d2 yd t 2 +

rm

d yd t

+km

y=0 (92)

(93)

kde

ω =radicω2minus

r2

4m2(94)

55

E= 12

mv2+

12

ky2

d Ed t

=mvd vd t

+kyd yd t

=minusrv2 (95)

56

57

y=A sin (ω t)

58

)=A sin 2π(tTminus

xT vϕ

xλ)

Odraz vlněniacute

59

60

u=u1+u2

A=radicA12+A 2

A1coskx1+A2cos kx2

(101)

(x2minusx1) (102)

61

(103)

A=A1+A2 (104)

(105)

a

u2=A sin (ω t+kx) (108)

62

2cos

αminusβ

2

(110)

∣cos2π xλ∣=1

2πxλ=plusmnkπ

x=plusmnk λ2

k=012

cos 2πxλ=0

2

x=plusmn(2k+1) λ4

k=012

63

64

sinα1

sinα2

=v1

v2

sinαm=v1

v2

Dopplerův jev

65

f L=v+ vL

λ=

v+ vL

v f S

=(1+vL

v) f S (111)

f L=vminusvL

λ=

vminusvL

v f S

=(1minusvL

v) f S (112)

66

f S

λfront=vf S

minusvS

f S

=vminusvS

f S

(113)

λ behind=v+vS

f S

(114)

f L=v+ v L

λbehind=

v+ vL

(v+ vS) f S

f L=v+ vL

v+ vS

f S (115)

67

Obr ter1

Obr ter2

68

Obr ter3

69

Obr ter4

[α] = K-1 = degC-1

l=l0(1+αΔT ) (117)

70

β=3α (119)

71

72

Obr Ter4

Q=ΔU+W (120)

73

d Q=d U+d W (121)

n=N

N A

(122)

[n] = mol

M=mn

(123)

74

[M] = kgmiddotmol-1

Ar=ma

u (124)

M r=mm

u (125)

m=Nmm n= NN A

Mm=mn=

Nmm

N N A

]

pV=nRT (126)

75

Praacutece plynu

W=intV 1

V 2

p d V (128)

76

I=F Δ t=2mvx

Δ t=2lvx

takže

F 2lvx

=2mvx

F=mv x

2

l

F=mv1x

2

l+

mv2x2

l++

mvNx2

l

tedy

77

F=ml sumi=1

N

v ix2=

mNl

sumi=1

N

v ix2

N=

mNl

v x2=

mNl

v2

3=

mN3l

vk2

2+v y

2+v z

2=v z

2=

13

v2

p=F

l2=

N

3l3mvk

2=

N3V

mv k2 (129)

Ek=12

mvk2

p=23

NV

Ek (130)

T= pVnR

=23

NV

EkVnR

=23

NV

Ek

VN A

NR=

23

N A

REk=

23

1k

Ek (131)

N A

Ek=32

kT (132)

78

U=N Ek=N32

kT=N32

RN A

T=32

nRT (133)

U=i2

nRT (134)

CV=[ d Qnd T ]

V=konst(135)

CV=[ d Qnd T ]

V=konst

=[ d Und T ]

V=konst

=iR2

(136)

Takže

d Q=d U=CV nd T=iR2

nd T

79

Q=intT 1

T 2

cV=[ d Qm d T ]

V=konst

d Q=d W= pd V

W=intV 1

V 2

p d V

pV =nRT

p= nRTV

W=nRTintV 1

V 2 d VV

=nRT lnV 2

V 1

(138)

80

Q=intT 1

T 2

Cp=CV+R (140)

81

W=intT 1

T 2

d U=minusd W (142)

upravujme

nCV dT+nRTV

d V=0 1T

nCV

Td T+

nRV

dV =0

ln T CV+ln V R=ln K

lnT CV V R=ln K

K=TCV V R

K1=TVR

82

R=CpminusCV

RCV

=C p

CV

minus1

RCV

=κminus1

κ=C p

CV(143)

K1=TV κminus1

T=pVnR

K1=pVnR

V κminus1=

pV κ

nR

W=minusintU 1

U 2

pV n=konst (145)

83

KRUHOVEacute DĚJE

∮dU=0 (146)

d Q=d U+d W

∮d Q=∮d W(147)

84

η=WQ1

(148)

W=Q1+Q2 (149)

η=Q1+Q2

Q1(150)

η=Q1+Q2

Q1

=T1minusT 2

T 1

(151)

85

86

Radim Uhlaacuteř
1 KINEMATIKA

Page 14: FYZIKA I - vsb.czhomel.vsb.cz/~uhl72/fyzika_I_dalkari_fbi_new.pdfRychlost při pohybu podél osy x závisí na čase takto: vx = 60 (m·s-1) + 0,5 (m·s-3) t2. Určete změnu rychlosti

d τ=d sR

τ ν=d sR

ν

a= d vd t

τ+v2

Rν

a=a t+an (13)

v=v0=konst (14)

s=s0+vt (15)

14

v=v0+a t t (16)

s=s0+v0 t+12

a t t2

(17)

a t=|d vd t |

v=v0minusa t t (18)

s=s0+v0 tminus12

a t t2

(19)

15

ωp=ϕ 2minusϕ 1

t2minust1

=Δϕ

Δ t (21)

ω=d φd t

=d (φβ )

d t=

dφd t

β+ φdβd t

=dφd t

β=d sr d t

β=vrβ

[ω] = rad∙s-1

Proto ω=vr

a

v=ωr (22)

v=ωtimesr

ε=dωd t

=d vr d t

β=a t

rβ

ε=at

r (23)

16

ϵ p=ΔωΔ t (24)

a=ad=v2

r (25)

obr 18

T=2π r

v (26)

f =1T

(27)

[f] = s-1

17

ω=2πT

=2π f (28)

v=ωr (29)

v=ωtimesr (30)

v=v0+a t t=v0+ϵR t (31)

s=s0+v0 t+ 12

a t t2=s0+v0 t+1

2ϵRt2

(32)

ω=ω0+ϵ t(33)

ϕ=ϕ0+ω0 t+12ϵt2

(34)

18

s=s0+v0 tminus12

2ϵRt2

(36)

ω=ω0minusϵ t(37)

(38)

19

20

mX

m0

=a0

aX

FV=sumF=d pd t

(39)

21

p=m v (40)

FV=sumF=m a (41)

d t2 r (t0)=r0 v (t0)=v0

22

23

24

25

26

FPTF

PTF

PT

Ft

FG

FN

F

směr pohybu

Ft = f FN

27

28

F=mdvd t

F d r=m d vd rd t

Takže

F d r=mv d v

intr1

r1

F d r=intv1

v2

mv dv=12

mv22minus

12

W=intr1

r1

F d r (42)

Ek=12

mv2 (43)

29

W=intr1

r2

Pp=ΔWΔ t

(45)

P=dWd t

=F d rd t

=Fv (46)

[P] = J∙s-1 = W (watt)

30

φx

yF

31

Impulz siacutely

I=intt1

t2

F d t=intt1

t2 d pd t

d t=intt 1

t 2

32

Fs=1Δ tintt1

t2

F d t=IΔ t

(48)

ρ=d mdV

(49)

ρs=mV

(50)

r T=

sumi=1

N

mi r i

sumi=1

N

mi

(51)

33

pak

r T=int r d m

int d m (52)

34

mi a i=Fi vn+Fi

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

Fi vn+sumi=1

N

Fi

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

Fi

r T=

sumi=1

N

mi r i

sumi=1

N

mi

=

sumi=1

N

mi r i

m

vT=

sumi=1

N

mi v i

m

aT=

sumi=1

N

mi ai

m

m aT=sumi=1

N

mi a i=FV=sumi=1

N

Fi (53)

35

sumi=1

N

mi ai=sumi=1

N

mi

d v i

d t=

dd t sumi=1

N

mi v i=dd t sumi=1

N

pi=d pd t

Takže platiacute

FV=d pd t

(54)

36

d pd t

=orArr p=konst (55)

12

m1 v x 1 i2

+12

m2 vx 2 i2

=12

m1 v x 1 f2

+12

m2 vx 2f2

(57)

37

m1(v x 1 i2

minusvx 1f2

)=m2 (vx 2i2

minusvx 2f2

)

v x 1f=m1minusm2

m1+m2

vx 1 i+2m2

m1+m2

vx 2i

v x 2 f=2m1

m1+m2

v x 1 i+m2minusm1

m1+m2

v x 2 i (58)

m1+m2

(59)

38

39

M=rtimesF (60)

M=rFsinα=Fa (61)

[M] = Nmiddotm

b=rtimes p (62)

40

d bd t

=dd t

(rtimesm v )=d rd t

d ( m v )

d t=rtimesF=M

sum M=M V=d bd t

(63)

d bd t

=orArr b=konst (64)

Ek=12

m1v12+

12

m2 v22+=sum

i=1

N 12

mi v i2=sum

i=1

N 12

mi(ω r i)2=

12(sum

i=1

N

mi r i2)ω

2

Veličina

J=sumi=1

N

mi r i2 (65)

[J] = kgmiddotm2

Ek=12

J ω2 (66)

41

J=intr2 d m (67)

ρ=d mdV

=mV

σ=d md S

=mS

τ=d md l

=mL

(68)

42

43

Steinerova věta

J=J T+md2 (69)

J=int (x2+ y2

)d m

44

sumi=1

N

M i z=(sumi=1

N

mi r i2)ϵ=J ϵ (72)

45

M V=J ϵ=Jdωd t

=d(J ω)

d t=

d bd t

(74)

b=J ω (75)

46

T perioda [T] = s

f frekvence f =1T

[f] = Hz = s-1

Fp0+FG=o

47

k∣y0∣minusmg=0

Fp0+FG+Fp=m a

ma y=minusky

md2 y

d t2+ky=0

d2 y

d t2+

km

y=0 (76)

y=A sin(ω t+ϕ 0) (77)

kde

48

ω=2πT

=radic km

(78)

v y=d yd t

=Aω cos(ω t+ϕ 0) (79)

v=∣v y∣ (80)

49

a y=d v y

d t=minusA ω

2 sin(ω t+ϕ 0) (81)

a=∣a y∣ (82)

π2

rad

0

minusky d y= 12

ky12

Obecně platiacute

50

Ep( y )=12

ky2=

12

kA2 sin2(ω t+ϕ0) (83)

Ek=12

mv2=

12

m(d yd t

)2

=12

mA2ω

2 cos2(ω t+ϕ0)=

12

kA 2 cos2(ω t+ϕ 0) (84)

E=Ek+Ep=12

kA2 (85)

51

Kyvadla

M FG+M FR

=J ϵ

d t2

d2θ

d t2+

mghθJ

=0 (86)

kde

52

ω=2πT

=radicmghJ

(88)

T=2πradic Jmgh

(89)

J=ml2

T=2πradic ml2

mgl=2πradic l

g (90)

neboť h = l

53

2πradic Jmgh

=2πradiclR

g

takže

lR=J

mh (91)

Fp0+FG+Fp+Fo=m a

54

md2 y

d t2+r

d yd t

+ky=0

d2 yd t 2 +

rm

d yd t

+km

y=0 (92)

(93)

kde

ω =radicω2minus

r2

4m2(94)

55

E= 12

mv2+

12

ky2

d Ed t

=mvd vd t

+kyd yd t

=minusrv2 (95)

56

57

y=A sin (ω t)

58

)=A sin 2π(tTminus

xT vϕ

xλ)

Odraz vlněniacute

59

60

u=u1+u2

A=radicA12+A 2

A1coskx1+A2cos kx2

(101)

(x2minusx1) (102)

61

(103)

A=A1+A2 (104)

(105)

a

u2=A sin (ω t+kx) (108)

62

2cos

αminusβ

2

(110)

∣cos2π xλ∣=1

2πxλ=plusmnkπ

x=plusmnk λ2

k=012

cos 2πxλ=0

2

x=plusmn(2k+1) λ4

k=012

63

64

sinα1

sinα2

=v1

v2

sinαm=v1

v2

Dopplerův jev

65

f L=v+ vL

λ=

v+ vL

v f S

=(1+vL

v) f S (111)

f L=vminusvL

λ=

vminusvL

v f S

=(1minusvL

v) f S (112)

66

f S

λfront=vf S

minusvS

f S

=vminusvS

f S

(113)

λ behind=v+vS

f S

(114)

f L=v+ v L

λbehind=

v+ vL

(v+ vS) f S

f L=v+ vL

v+ vS

f S (115)

67

Obr ter1

Obr ter2

68

Obr ter3

69

Obr ter4

[α] = K-1 = degC-1

l=l0(1+αΔT ) (117)

70

β=3α (119)

71

72

Obr Ter4

Q=ΔU+W (120)

73

d Q=d U+d W (121)

n=N

N A

(122)

[n] = mol

M=mn

(123)

74

[M] = kgmiddotmol-1

Ar=ma

u (124)

M r=mm

u (125)

m=Nmm n= NN A

Mm=mn=

Nmm

N N A

]

pV=nRT (126)

75

Praacutece plynu

W=intV 1

V 2

p d V (128)

76

I=F Δ t=2mvx

Δ t=2lvx

takže

F 2lvx

=2mvx

F=mv x

2

l

F=mv1x

2

l+

mv2x2

l++

mvNx2

l

tedy

77

F=ml sumi=1

N

v ix2=

mNl

sumi=1

N

v ix2

N=

mNl

v x2=

mNl

v2

3=

mN3l

vk2

2+v y

2+v z

2=v z

2=

13

v2

p=F

l2=

N

3l3mvk

2=

N3V

mv k2 (129)

Ek=12

mvk2

p=23

NV

Ek (130)

T= pVnR

=23

NV

EkVnR

=23

NV

Ek

VN A

NR=

23

N A

REk=

23

1k

Ek (131)

N A

Ek=32

kT (132)

78

U=N Ek=N32

kT=N32

RN A

T=32

nRT (133)

U=i2

nRT (134)

CV=[ d Qnd T ]

V=konst(135)

CV=[ d Qnd T ]

V=konst

=[ d Und T ]

V=konst

=iR2

(136)

Takže

d Q=d U=CV nd T=iR2

nd T

79

Q=intT 1

T 2

cV=[ d Qm d T ]

V=konst

d Q=d W= pd V

W=intV 1

V 2

p d V

pV =nRT

p= nRTV

W=nRTintV 1

V 2 d VV

=nRT lnV 2

V 1

(138)

80

Q=intT 1

T 2

Cp=CV+R (140)

81

W=intT 1

T 2

d U=minusd W (142)

upravujme

nCV dT+nRTV

d V=0 1T

nCV

Td T+

nRV

dV =0

ln T CV+ln V R=ln K

lnT CV V R=ln K

K=TCV V R

K1=TVR

82

R=CpminusCV

RCV

=C p

CV

minus1

RCV

=κminus1

κ=C p

CV(143)

K1=TV κminus1

T=pVnR

K1=pVnR

V κminus1=

pV κ

nR

W=minusintU 1

U 2

pV n=konst (145)

83

KRUHOVEacute DĚJE

∮dU=0 (146)

d Q=d U+d W

∮d Q=∮d W(147)

84

η=WQ1

(148)

W=Q1+Q2 (149)

η=Q1+Q2

Q1(150)

η=Q1+Q2

Q1

=T1minusT 2

T 1

(151)

85

86

Radim Uhlaacuteř
1 KINEMATIKA

Date post:	07-Dec-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	6 times
Download:	0 times

FYZIKA I - vsb.czhomel.vsb.cz/~uhl72/fyzika_I_dalkari_fbi_new.pdfRychlost při pohybu podél osy x...

Documents