00 / 1
Obsah
Úvod do měření
1 Fyzikální veličiny a jejich jednotky 5
2 Měřicí metody 8
3 Chyby měření 11
3.1 Hrubé chyby 11
3.2 Soustavné (systematické chyby 12
3.3 Chyby měřicích přístrojů 13
3.4 Náhodné chyby 14
3.5 Chyby nepřímých měření 17
4 Vyhodnocení naměřených funkčních závislostí 19
4.1 Lineární závislost 20
4.2 Exponenciální a mocninná závislost 21
4.3 Zásady tvorby grafů 24
4.4 Grafy v Excelu 25
5 Práce v laboratoři 28
5.1 Teoretická příprava na měření 28
5.2 Testy ve fyzikálním praktiku 29
5.3 Zapojování obvodů 30
5.4 Bezpečnost práce 31
5.5 Vlastní měření 33
6 Pokyny ke zpracování naměřených hodnot 34
6.1 Příklady 36
6.2 Vypracování protokolu o měření 38
7 Měřicí přístroje a zdroje 39
00 / 2
Milí studenti,
součástí základního kursu Fyzika na fakultách FEKT a FIT VUT je kromě teoretického také
laboratorní cvičení, kterým Vás budou provázet tato skripta. Jsou rozdělena na dvě části.
V první z nich – Úvodu do měření – najdete informace o základech měření a vyhodnocení
naměřených hodnot, o přístrojích a zdrojích používaných v laboratořích fyziky a o bezpečnosti
práce v laboratoři.
Alespoň v minimální míře jsme se věnovali i samotnému průběhu laboratorních měření
a úrovni odevzdávaných protokolů. Doufáme, že po prostudování Úvodu do měření Vám bude
srozumitelnější zejména základní úkol každé experimentální činnosti, tj. důkladná analýza
všech chyb, které se při měření vyskytly. Výsledek bez uvedení přesnosti nemá smysl – nelze
jej porovnat s jiným naměřeným výsledkem. V praxi je tento postup samozřejmý. V kapitole
6 najdete dostatek příkladů vzorového zpracování včetně ukázky, jak využít při výpočtech
kalkulátoru.
Druhá část skript – Laboratorní úlohy – obsahuje podrobný popis jednotlivých úloh. Každá
z nich je nejdříve vyložena po teoretické stránce a pak je vysvětlen postup při měření
a zpracování výsledků.
Konkrétní měřicí metody a výpočty chyb jsou u úloh pouze zmíněny, je tedy nezbytné
prostudovat také Úvod do měření, kde je vysvětlení podrobné. Stejně tak je vhodné obrátit se
v případě potřeby i k další odborné literatuře, neboť skripta jsou pouze základní učební
pomůckou.
Naší snahou je, aby laboratorní měření nepředstavovala pro Vás pouze ztrátu času – věřte,
že i ve školní laboratoři můžete poznat objevitelskou radost a zažít uspokojení ze zdárného
průběhu měření. Podmínkou je ovšem pečlivá příprava a schopnost samostatného a kritického
myšlení, což je ostatně obecný požadavek pro celé vysokoškolské studium.
Rádi bychom na závěr poděkovali kolegům a doktorandům našeho ústavu: Ing. Petru
Sedlákovi, Ph.D., Ing. Knápkovi, Ing. Macků, Ing. Palai-Danymu, Ing. Škarvadovi a dalším,
kteří se velkou měrou podíleli na inovaci laboratorních úloh a na zavádění nových úloh do
fyzikálního praktika.
kolektiv autorů
V Brně, září 2010
00 / 3
1 Fyzikální veličiny a jejich jednotky
Hlavním zdrojem poznatků ve fyzice (jako ostatně v každé přírodní vědě) je pozorování
a pokus. Základním úkolem při tom je měření fyzikálních veličin. Termín fyzikální veličina
obvykle popisuje některou konkrétní vlastnost zkoumaného objektu, příp. jeho stav. Tak
například moment setrvačnosti J je mírou setrvačných vlastností tělesa v rotaci kolem dané
osy.
Fyzikální veličiny jsou dvojího charakteru:
Veličiny extenzivní neboli tzv. množství, které popisují kvantitativní vlastnosti těles
(soustav). Jejich základní vlastností je aditivnost – při skládání těles ve složitější soustavy se
tyto veličiny sečítají. Mezi extenzivní veličiny patří hmotnost, náboj, délka, teplo aj. Při měření
extenzivní veličiny se zvolí určitá její hodnota za jednotku a pak se srovnává, kolikrát je
měřená veličina větší nebo menší než tato jednotka.
Veličiny intenzivní neboli stavové, které popisují kvalitativní, jakostní vlastnosti těles
(soustav). Pro stavové veličiny je typické, že při skládání těles jednodušších ve složitější se
vzájemně vyrovnávají. Při určování jejich velikosti je nutno postupovat jinak, než
u extenzivních veličin. U veličin intenzivních se nejprve stanoví stupnice jednotlivých stavů,
které přiřadíme čísla. Při vlastním měření pak zjišťujeme, s kterou hodnotou na této stupnici
souhlasí stav měřené veličiny. Stupnici zpravidla definujeme tak, že různé stavy jednoznačně
přiřadíme k velikosti určité veličiny extenzivní - např. teplotní stupnici definujeme tak, že
teplota je přímo úměrná objemu určitého množství látky. Příkladem intenzivní veličiny je
teplota, tlak, potenciál aj.
Poněkud zvláštní postavení mezi fyzikálními veličinami má čas, který narůstá jedním
směrem (tzv. veličina protenzivní).
Měřením fyzikální veličiny se rozumí určení její velikosti ve zvolených jednotkách. Každé
fyzikální veličině přiřazujeme značku (symbol), kterou obecně označujeme X. Značky jsou
stanoveny dohodou, např. pro hmotnost značka m, pro rychlost v, pro elektrický proud I. Často
jde o první písmena anglických názvů veličin: např. mass m, velocity v.
Hodnotu fyzikální veličiny X určenou měřením vyjadřujeme rovnicí
X = {X} [X] ,
kde {X} je číselná hodnota a [X] je jednotka dané veličiny.
Hodnota veličiny nezávisí na jednotce, avšak její číselná hodnota ano.
Proto musíme vždy uvést, v jaké jednotce udáváme číselnou hodnotu veličiny.
V minulosti byly zaváděny jednotky pro různé veličiny nezávisle na sobě. Později bylo
nezbytné na základě poznané souvislosti mezi veličinami dát do vztahu i jejich jednotky. Podle
stupně poznání a technické úrovni využívala fyzika různých soustav fyzikálních jednotek.
V současné době převažuje ve světě Mezinárodní soustava jednotek SI (Système International
d´ Unités) přijatá na 11. generální konferenci pro váhy a míry v Paříži v r.1960 a uzákoněna
i u nás.
Základní, odvozené a doplňkové jednotky jsou definovány v ČSN ISO 31-0.
00 / 4
Základních jednotek je sedm:
metr (m), kilogram (kg), sekunda (s), ampér (A), kelvin (K), mol (mol) a kandela (cd).
Jejich definice je následující:
1. Metr je délka trajektorie, kterou proběhne světlo ve vakuu za 1/299 792 458 sekundy.
2. Kilogram je hmotnost mezinárodního prototypu kilogramu uloženého v Mezinárodním
úřadě pro váhy a míry v Sèvres u Paříže.
3. Sekunda je doba rovnající se 9 192 631 770 periodám záření, které odpovídá přechodu
mezi dvěma hladinami velmi jemné struktury základního stavu atomu cesia 133.
4. Ampér je stálý elektrický proud, který při průtoku dvěma rovnoběžnými přímými
a nekonečně dlouhými vodiči zanedbatelného kruhového průřezu, umístěnými ve vakuu
ve vzájemné vzdálenosti 1 metru, vyvolá mezi nimi stálou sílu o velikosti 2.10-7
newtonu
na 1 metr délky.
5. Kelvin je 16,2731 část termodynamické teploty trojného bodu vody.
6. Mol je látkové množství soustavy, která obsahuje právě tolik elementárních jedinců
(entit)1 kolik je atomů v nuklidu uhlíku C126 o hmotnosti 0,012 kilogramů.
7. Kandela je svítivost zdroje, který v daném směru vysílá monofrekvenční záření
o kmitočtu 540.1012
hertzů a jehož zářivost v tomto směru je 6831 wattu na steradián.
Odvozené jednotky se odvozují ze základních jednotek pomocí definičních rovnic.
Např. fyzikální veličina hustota je určena vztahem
V
m ,
kde m je hmotnost a V je objem tělesa. Dosadíme-li do vztahu jednotku hmotnosti (kg)
a objemu (m3), je jednotkou hustoty kilogram na metr krychlový (kg.m
-3). Odvozené jednotky
lze vyjádřit součinem mocnin jednotek základních. Toto vyjádření nazýváme rozměr fyzikální
jednotky. Některé odvozené jednotky mají vlastní názvy a značky, zpravidla podle jmen
vynikajících fyziků; např. jednotka síly se nazývá newton (N).
Základní a odvozené jednotky nazýváme souhrnným názvem hlavní jednotky.
Doplňkové jednotky
Odvozeným veličinám a jejich jednotkám, které mají rozměr roven jedné, říkáme
bezrozměrné. Jsou to tzv. doplňkové jednotky. Příkladem je rovinný úhel a jeho jednotka
radián (rad):
(rad)radián1m
m
r
,
kde je délka oblouku na kružnici o poloměru r, opsané kolem vrcholu rovinného úhlu.
Při dosazování do veličinových rovnic jednotku rad u číselné hodnoty rovinného úhlu
neuvádíme. Obdobnou jednotkou je steradián (sr) pro veličinu prostorový úhel.
1 Elementárními jedinci (entitami) mohou být např. atom, molekula, ion, elementární částice apod.
00 / 5
Kromě hlavních jednotek je možno používat jejich násobků nebo dílů, vytvořených pomocí
mocnin čísla 10. Násobky a díly jednotek se tvoří z hlavních jednotek násobením nebo dělením
vhodnou mocninou deseti (přednostně v řadě s kvocientem 103) pomocí předpon, které se
spojují s názvem jednotky v jedno slovo. Je to jiná možnost, jak vyjádřit velmi velké nebo
velmi malé hodnoty veličin.
Např.: 2,35.10-9
s = 2,35 nanosekundy = 2,35 ns.
Normalizovaná předpona značka znamená násobek
peta p 1015
tera T 1012
giga G 109
mega M 106
kilo k 103
mili m 10-3
mikro 10-6
nano n 10-9
piko p 10-12
femto f 10-15
Tab. 1.1 Nejčastěji používané předpony fyzikálních veličin
Kromě hlavních jednotek a jejich násobků a dílů lze z praktických důvodů používat
i vedlejší jednotky, např. pro čas minuta (min), hodina (h), pro objem litr ( ), pro hmotnost
tuna (t) apod. Tyto jednotky nejsou součástí soustavy SI.
Při výpočtech číselných hodnot fyzikálních veličin často potřebujeme měnit jednotky,
v nichž veličinu vyjadřujeme. Tento přepočet nazýváme převod jednotek. Převod můžeme
snadno provést například tak, že vynásobíme původní zadanou či změřenou hodnotu
převodním koeficientem.
Uveďme příklad:
Údaje 1 min a 60 s představují stejné časové intervaly. Můžeme proto psát
2 min = 2 (60 s) = 120 s
Pro počítání s jednotkami platí stejná algebraická pravidla jako pro proměnné a čísla.
00 / 6
2 Měřicí metody
Měření je základem každé experimentální vědy, kvalitní výroby a stálého technického rozvoje.
Aby měření splnilo svůj účel, musí být potřebné hodnoty měřeny co nejspolehlivěji a co
nejpřesněji. Postup, používaný při kvantifikaci (tj. stanovení číselné hodnoty) fyzikální
veličiny, nazýváme měřicí metodou. Závisí především na povaze měřené veličiny a na tom, ze
kterých vztahů vyjdeme a jakých měřicích přístrojů a uspořádání použijeme. Obvykle lze
každou veličinu měřit několika různými metodami. Při rozhodování bývá často určující
požadovaná přesnost výsledku.
Uvedeme stručnou charakteristiku některých základních metod.
Metody přímé a nepřímé
U přímých metod se velikost měřené veličiny zjišťuje přímým srovnáním veličiny
s jednotkou (měření délky čárkovým měřidlem) anebo se přímo odečítá na přístrojích (měření
času stopkami, teploty teploměrem, napětí voltmetrem...).
U nepřímých metod se hodnota měřené veličiny získává výpočtem z jiných přímo
měřených veličin.
Metody absolutní a relativní
Absolutní metoda poskytuje hodnotu měřené veličiny vyjádřenou přímo v příslušné
jednotce, např. čas v sekundách, proud v ampérech apod.
Měření relativní jsou založena na srovnání s veličinou stejných rozměrů (např. hustota
oleje se určuje porovnáním se známou hustotou vody, rovněž každé srovnávání s etalonem,
normálem nebo standardem je relativní metodou).
Metody statické a dynamické
Mezi statické zařazujeme taková měření, při nichž se nejen měřená veličina, ale i ostatní
veličiny nemění v čase a jejíž velikost odečteme na příslušném měřicím přístroji.
U dynamické metody se měřená veličina (nebo dílčí veličiny, na kterých měřená závisí)
mění s časem, a to zpravidla periodicky.
Všechna měření (statická i dynamická) ovšem provádíme pokud možno za ustáleného
stavu, tj. za stavu, kdy měřené veličiny zůstávají dostatečně dlouho neměnné. Např. při
periodickém pohybu kyvadla se snažíme, aby amplituda výchylky neklesala, stejně tak
požadujeme, aby v elektrickém obvodu neklesalo napětí zdroje v důsledku vybíjení baterie,
apod. Není-li to z nějakého důvodu možné, jsou získané hodnoty méně spolehlivé. Velmi
pomalé změny můžeme nechtě přehlédnout (měření kvazistatické). To bývá jeden
z nejčastějších zdrojů chyb měření.
Metody substituční a kompenzační
Princip substituční metody spočívá v tom, že se neznámá velikost měřené veličiny
postupně nahrazuje řadou různých známých hodnot (normálů, etalonů) této veličiny. Při užití
kompenzační metody vyrovnáváme měřenou veličinu stejně velkou hodnotou téže veličiny.
Kompenzační metoda je obvykle přesnější než substituční, protože kompenzace probíhá ve
stejném časovém okamžiku, kdežto u substituční metody hledáme vhodný normál postupně
a podmínky měření nemusí zůstat stálé.
00 / 7
Metodu kompenzační používáme např. při vážení, často se používá u elektrických
a magnetických měření. Obvykle jde o metodu nulovou, při níž je výchylka měřicího přístroje
rovna nule.
Metody interpolační a extrapolační
Při měření funkčních závislostí y = f(x) změříme pouze konečný počet hodnot
1 2, , ... ny y y odpovídající hodnotám 1 2, , ... nx x x . Často nás však zajímá hodnota 0y , která by
náležela hodnotě 0x ležící uvnitř intervalu 1 2,x x . Hledanou hodnotu zjistíme nejrychleji
interpolací. Pro lineární funkční závislosti nebo pro určení funkční hodnoty v malém intervalu
1 2,x x je výpočet hledané hodnoty velmi jednoduchý:
0 1 2 1 2 10 1 0 1
0 1 2 1 2 1
y y y y y yy y x x
x x x x x x
Obr. 2.1 Lineární interpolace Obr. 2.2 Lineární extrapolace
Interpolační metodu lze zpracovat i graficky. Tento způsob je vhodný zejména
u nelineárních závislostí, kdy je výpočet složitější. Naměřenými body v tom případě proložíme
křivku odpovídající teorii měřené funkční závislosti a hledanou hodnotu 0y , jež přísluší 0x ,
odečteme na ose y .
Jestliže z naměřených hodnot odhadujeme hodnotu 0y v bodě, který leží mimo měřený
interval, hovoříme o extrapolaci. U lineárních závislostí platí při extrapolaci pro 0y obdobný
vztah jako u lineární interpolace.
Při extrapolaci však musíme být mnohem opatrnější než při interpolaci, zejména leží-li 0x
daleko od měřeného intervalu. Mimo měřený interval mohou mít totiž podstatný vliv nové
fyzikální jevy, které se v měřeném intervalu neprojevily.
Například při měření teplotní závislosti odporu vodiče v intervalu teplot od 10 ºC do 40 ºC
naměříme lineární závislost a extrapolujeme ji do 100 ºC. Dodatečně pak zjistíme, že vodič se
roztavil při teplotě 60 ºC, takže extrapolace nad tuto hodnotu byla nepřípustná. Zpravidla se
nedoporučuje extrapolovat dále než o 20 % délky intervalu 1 2,x x .
00 / 8
Metoda postupná
Většinou provádíme řadu měření nezávisle na sobě. Při měření opakujících se dějů je však
užitečnější (a kratší), jestliže výsledek předchozího měření těsně navazuje na výsledek
následujícího měření, tj. koncová hodnota jednoho měření je zároveň počáteční hodnotou
měření dalšího. Pokud bychom zvětšili chybným údajem hodnotu prvního měření, nutně se
musela hodnota druhého měření zmenšit, čímž se tedy chyby měření částečně eliminují. Např.
při měření doby kmitu reverzního kyvadla je možno zaznamenat čas po každém desátém
kmitu, aniž bychom stopky (nebo čítač spouštěný optoelektronickou závorou) zastavovali.
Pro 50 kmitů tak dostaneme 10 údajů, které mají stále větší hodnotu.
Pro kmit 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
čas (s) 0 19,92 39,84 59,76 79,67 99,85 119,65 139,64 159,54 179,52
Při vlastním měření proběhlo našich 90 kmitů za poměrně krátkou dobu (179,52 s).
Postupná metoda však umožňuje získat za stejný čas větší soubor hodnot než 90 kmitů –
obdržíme tedy přesnější výsledek. To je důležité zejména u periodických dějů, kdy je
nebezpečí, že vlivem tlumení děj ustane ještě před naměřením dostatečného množství hodnot.
Naměřené hodnoty zaznamenáme do tabulky následujícím způsobem:
počet kmitů A
čas (s)
počet kmitů B
čas (s)
rozdíly sloupců B – A
50T (s)
0T 0,00 50T 99,85 99,85
10T 19,92 60T 119,65 99,73
20T 39,84 70T 139,64 99,80
30T 59,76 80T 159,51 99,75
40T 79,67 90T 179,52 99,85
V posledním sloupci je 5 hodnot vždy po 50 kmitech. Měřili jsme 90 kmitů, ale uvedené
výsledky nám dovolují určit pomocí této metody výsledek se stejnou přesností, jako bychom
měřili 5-krát 50T, tj. 250 kmitů.
Další zpracování výsledků je již standardní: určíme průměrnou hodnotu doby padesáti
kmitů a chybu výsledku (50 )T pro n = 5 měření a pravděpodobnost P = 0,95 (viz. str. 00-3/6)
)07,080,99(50 T s
Pro jeden kmit je výsledek i chyba 50-krát menší, tedy
(1,996 0,002) sT
Poznámka
Při měření pravidelně se opakujících veličin postačuje však mnohdy (nemáme-li velké nároky
na přesnost) změřit n-násobek dané veličiny a chybu odhadnout z použitého měřicího přístroje.
Označíme-li tedy n-násobek veličiny X symbolem nX , pak hodnota veličiny X je:
nXX
n , ale také chyba
( )( ) nXX
n
.
00 / 9
3 Chyby měření
Za daných podmínek má každá fyzikální veličina určitou hodnotu, kterou ovšem
z principiálních důvodů nemůžeme zjistit úplně přesně. Každé měření je totiž zatíženo
chybami, které jsou nejrůznějšího původu. Výsledek měření ovlivňují vlastnosti měřicích
přístrojů i samotná osoba, která měření provádí. Dalším zdrojem chyb může být zvolená
metoda měření a mnoho jiných, většinou nezjistitelných vlivů.
Přesnost měření vyjadřuje blízkost výsledku měření ke skutečné hodnotě měřené veličiny.
Skutečná – pravá – hodnota veličiny je ovšem pojem ideální. V teorii měření ji nahrazujeme
tzv. konvenčně pravou hodnotou, což je hodnota, která se skutečné blíží natolik, že jejich rozdíl
můžeme považovat za zanedbatelný. Při různých nárocích na přesnost můžeme např. za pravou
hodnotu Planckovy konstanty jednou považovat 6,6256.10-34
J.s, jindy 6,6.10-34
J.s. Při
opakovaných měřeních (po korekci soustavných chyb) klademe pravou hodnotu veličiny rovnu
aritmetickému průměru naměřených hodnot.
Přesnost, s jakou dané měření uskutečníme, musíme vždy stanovit, neboť výsledek měření
bez uvedení přesnosti nemá smysl – nelze ho totiž porovnat s jiným naměřeným výsledkem.
Součástí každého měření je tedy důkladná analýza všech chyb, které se při něm uplatnily.
Chyby měření lze roztřídit do několika kategorií, a to podle různých hledisek. Podle
původu (chyby osobní a chyby měřicích přístrojů, metody), podle charakteru (chyby náhodné
a chyby soustavné) nebo podle analytického vyjádření (chyby absolutní a relativní). Můžeme
uvést také chybu krajní (mezní), což je maximální chyba měření, ke které může za daných
podmínek dojít, nebo chybu větší než maximální – tzv. chybu nadměrnou (hrubou). Ta svědčí
o nespolehlivosti měření způsobené poruchou přístroje, omylem experimentátora apod.
Některé výše uvedené druhy chyb se vzájemně prolínají a jejich rozlišení je mnohdy
obtížné. Například soustavné chyby měření zůstávají při opakování měření za stejných
podmínek konstantní. Mění-li se však podmínky měření (často si to ani neuvědomíme), mění
se i hodnoty soustavných chyb a snadno dojde k jejich záměně s náhodnými chybami.
Uvedeme-li chybu měření (ať už soustavnou, náhodnou nebo hrubou, či jinou) v jednotkách
měřené veličiny, hovoříme o chybě absolutní. Lepší představu o přesnosti měření však dává
chyba relativní, vyjádřena jako podíl absolutní chyby a měřené veličiny. Je to bezrozměrné
číslo, což je výhodné, máme-li porovnat přesnost měření fyzikálních veličin různého druhu.
V praxi se uvádí obvykle procentuální vyjádření relativní chyby.
3.1 Hrubé chyby
Měření zatížené hrubou chybou poznáme snadno, protože dává proti ostatním měřením téže
veličiny příliš odlišnou hodnotu. Hrubé chyby vznikají nepozorností nebo únavou (na stupnici
čteme 13 místo 18), při zhoršených podmínkách měření (špatná viditelnost), může k nim dojít
také při nevhodné volbě měřicí metody a měřicích přístrojů.
Např. magnetoelektrické voltmetry s usměrňovačem pro měření střídavých napětí jsou
cejchovány v efektivních hodnotách napětí. Toto cejchování však platí jen pro napětí
harmonického průběhu. Jestliže by se takovým voltmetrem měřilo napětí neharmonického
průběhu, údaj voltmetru by byl chybný. Při zpracování měření je nutno hrubé chyby vyloučit,
aby nezkreslovaly výsledek měření.
00 / 10
3.2 Soustavné (systematické) chyby
Největší problém z hlediska posouzení přesnosti měření představují soustavné chyby, protože
jejich původ a velikost se dá určit mnohdy velmi obtížně. V praxi se navíc běžně vyskytují
soustavné chyby společně s chybami náhodnými.
Soustavnou chybou měření se rozumí chyba, jejíž hodnota se nemění, opakuje-li se měření
za stejných podmínek (což není vždy splněno). Zdroje soustavných chyb jsou různé: jejich
původem jsou měřicí metody, používané měřicí přístroje nebo osoby provádějící měření. Na
rozdíl od náhodných chyb, u kterých nedovedeme přesně popsat příčiny vzniku, lze pečlivým
rozborem měření (analýzou) soustavné chyby odhalit a odhadnout jejich velikost a znaménko
(případně je odstranit). I když nebudeme ve cvičení úlohu opakovat, můžeme svoje zkušenosti
a poznatky uplatnit u jiné úlohy, kde je použita stejná metoda měření, popřípadě stejné měřicí
přístroje.
Tak například při měření napětí voltmetrem dostáváme pro napětí hodnoty poněkud menší,
protože vnitřní odpor voltmetru není nekonečně velký. Tady můžeme chybu vyloučit početní
korekcí, nebo měření nahradit např. kompenzační metodou.
Použijeme-li při měření gravitačního zrychlení reverzním kyvadlem vzorce pro dobu kmitu
platného pro nulový rozkmit, dostáváme pro gravitační zrychlení hodnotu vždy o něco menší,
než je skutečná hodnota. Potřebujeme-li velmi přesný výsledek, opravíme dobu kmitu podle
tabulky na nulový rozkmit.
Alespoň částečné eliminace soustavných chyb se dá dosáhnout opakováním měření
různými metodami. Soustavné chyby tím dostanou charakter proměnlivých chyb se
souměrným rozložením. Po vyhodnocení způsobem obvyklým u náhodných chyb dospějeme
k přesnější hodnotě měřené veličiny. V některých případech (je-li rozptyl takto získaných
hodnot značný) vyjádříme pouze rozpětí, ve kterém leží měřená veličina intervalem
min max,X X .
Existuje celá řada testů, kterými lze zjišťovat, zda skutečné chyby opakovaných měření (za
stejných podmínek) obsahují kromě náhodné chyby i chybu soustavnou. Nejjednodušší je
sledování posloupnosti znamének chyb. Odchylky se sledem znamének – – – + – – + + – + – +
+ + (nebo obdobným) jsou náhodné, zatímco u odchylek např. + + + + + – + + – – – – – se dá
předpokládat soustavná složka, která se měnila z kladné na zápornou hodnotu.
Chyby vnáší do měření i samotný objekt měření. Mnohé materiály delším provozem mění
svoje vlastnosti (únava materiálu), takže interval, ve kterém určíme naměřenou veličinu se buď
částečně nebo vůbec nekryje s intervalem, který udávají tabulky. Např. nižší hodnoty modulů
se dají přirozeně vysvětlit a lze je v závěru protokolu zdůvodnit.
Opožděné spuštění stopek při měření času, chybný způsob odečítání hodnot ze stupnice
(tzv. paralaktická chyba), příliš hrubý odhad zlomků nejmenšího dílku – to jsou chyby osobní.
Ty se nejúčinněji odstraní automatizací měření.
Častými zdroji soustavných chyb jsou samotné měřicí přístroje, u nichž může být třeba
nerovnoměrně nanesená stupnice (ověřujeme cejchováním). Důležité je rovněž správné
nastavení přístrojů (nastavení nuly, citlivosti), a to před měřením i v průběhu měření.
Není také vhodné měřit elektronickými měřicími přístroji hned po jejich zapnutí. Jejich
vlastnosti jsou ustálené až po uplynutí dostatečně dlouhé doby.
Soustavnou chybu, která byla zjištěna, je nutno korigovat. Ve zpracování výsledku měření
se použijí opravené hodnoty měření.
00 / 11
3.3 Chyby měřicích přístrojů
Vzhledem k rozmanitému původu soustavných chyb a jejich závislosti na podmínkách měření
není ovšem mnohdy možné stanovit jejich hodnotu a opravit výsledek měření. V takovém
případě určíme (nebo pouze odhadneme) alespoň interval, ve kterém s jistotou leží chyba
jednoho měření.
Výsledek měření tedy zapíšeme ve tvaru
( )( ) , ( ) ,N r
N
u XX x u X X
x (3.1)
kde Nx je naměřená hodnota veličiny X, u(X) je mezní chyba měřidla v absolutním tvaru
a ( )r X je relativní chyba výsledku. Chyby měřidel bývají zařazeny mezi soustavné chyby.
U analogových (ručkových) měřicích přístrojů vymezíme interval, ve kterém leží
měřená veličina, z třídy přesnosti. Ta je definována jako číslo n, které udává, že mezní chyba
měření je n % z největší hodnoty zvoleného měřicího rozsahu, a to pro všechny hodnoty
odečtené na tomto rozsahu.
Velikost chyby z třídy přesnosti je jednoznačně určena zařazeným rozsahem. Na různých
rozsazích je tedy různá, zpravidla větší než desetina nejmenšího dílku dělení. Výrobce
zaručuje, že v těchto mezích leží součet všech dílčích soustavných chyb (způsobených
nepřesností výroby, oteplením přístrojů vlastní spotřebou, stárnutím materiálů, rušivými
mechanickými silami – tření, atd.) i mezní náhodná chyba. Snažíme se o co nejpřesnější
odečítání hodnot, minimálně odhadneme polovinu nejjemnějšího dělení.
Zatímco absolutní mezní chyba je pro daný rozsah konstantní, velikost relativní chyby
závisí na hodnotě měřené veličiny. Z hlediska přesnosti měření je proto volba vhodného
měřicího rozsahu velmi důležitá.
Příklad: Měřicí přístroj třídy přesnosti 0,2 má na rozsahu 1500 mA mezní absolutní chybu
3 mA (tj. 0,2 % z 1500 mA) pro všechny hodnoty. Odečítáme-li tedy na tomto rozsahu 1500
mA, je relativní chyba 0,2 %, ale při měření proudu 750 mA už 0,4 % a pro hodnotu 150 mA
dokonce 2 %. Rozsah přístroje musíme proto volit vždy tak, aby se výchylka pohybovala
pokud možno v poslední třetině nebo alespoň v druhé polovině stupnice, protože pouze tady
měříme s relativní chybou jen o něco větší než je třída přesnosti.
U číslicových měřicích přístrojů není mezní chyba dosud stanovena normami jako
u analogových třídou přesnosti. Zpravidla se však celková chyba vyjadřuje součtem dvou čísel.
První číslo je část chyby v % měřené hodnoty, druhé číslo je část chyby v % plného rozsahu
(zde se uplatní zejména chyby související s kvantováním).
Za mezní chybu vážení budeme považovat rozdíl nulových poloh před a po vážení dělený
citlivostí vah.
U stopek byla mezní chyba měření způsobená strojem a lidským faktorem odhadnuta na
0,3 s pro jeden odečet času.
U všech měření, kdy odečítáme na stupnici, můžeme za maximální chybu považovat
nejmenší dílek dělení (obvykle to bývá 1mm), někdy také jeho polovinu (stanovíme
dohodou). Přesně odečteme celé dílky a není-li měřítko opatřeno noniem, desetiny dílku
odhadneme. Úroveň svých měřicích schopností a tím i přesnost odečítání ze stupnice určí
nejlépe každý sám. Je ovšem samozřejmé, že se snažíme o co nejlepší výsledek.
00 / 12
U většiny měření se vyskytuje více druhů chyb. Např. při měření napětí voltmetrem chyba
odečítání na stupnici i chyba vymezená z třídy přesnosti. Srovnáním jejich velikostí zjistíme,
kterou z nich můžeme zanedbat.
3.4 Náhodné chyby
Opakujeme-li měření s dostatečnou rozlišovací schopností, pak i při konstantní hodnotě
měřené veličiny dostaneme výsledky, které se navzájem liší. Příčinu spatřujeme v tom, že při
každém měření působí řada víceméně nepostižitelných vlivů, které se náhodně kombinují
a způsobují náhodné (nahodilé) chyby měření.
Těmto chybám není možné se vyhnout a vynikají tím více, čím přesnější měření
provádíme. Obdobně dostaneme náhodně rozložené výsledky opakovaných měření v případě,
že měřená veličina má náhodný charakter, i kdyby samotná měření byla bez chyb.
Pravděpodobnost a statistika nám umožňuje vyřešit problém, jak z těchto různých
naměřených hodnot určit tu, která je s největší pravděpodobností skutečnou (pravou) hodnotou
naší veličiny. Kdybychom provedli velmi mnoho (a „velmi mnoho“ znamená počet n
měření, ukázalo by se, že rozložení hodnot na číselné ose vykazuje jistou zákonitost. Nejvíce
jich leží v blízkém okolí hodnoty, kterou nazýváme střední hodnota . Malé odchylky od
střední hodnoty jsou tedy daleko četnější než velké.
Většina veličin měřených ve fyzice má symetrické rozložení kolem střední hodnoty – pro
každou kladnou odchylku od střední hodnoty bychom při velkém souboru hodnot našli stejně
velkou zápornou odchylku. Takovéto rozložení se nazývá normální neboli Gaussovo
rozložení a je popsáno funkcí
2
2
1 ( )
21( ) e
2
x
p x
. (3.2)
Je to známá zvonovitá křivka (obr. 3.1), která vyjadřuje hustotu pravděpodobností hodnot
veličiny x (jsou to všechny hodnoty ix , jež by při našem měření mohla nabývat tato fyzikální
veličina). Hodnoty ix jsou diskrétní, ale pro n jsou rozloženy tak hustě, že je můžeme
aproximovat spojitým rozložením.
Funkce p(x) má jediné maximum právě v bodě x a její průběh závisí na parametru .
Čím menší je , tím vyšší a ostřejší je maximum, tj. naměřené hodnoty jsou méně rozptýleny.
Obr. 3.1 Průběh normálního rozdělení pro různé hodnoty rozptylu
00 / 13
Rozptýlenost hodnot na číselné ose vyjadřuje veličina 2 , jež se nazývá rozptyl. Je
definována jako průměrný čtverec odchylek jednotlivých hodnot od střední hodnoty :
2 21( )ix
n (3.3)
Druhá odmocnina z rozptylu se nazývá směrodatná (standardní) odchylka) ,
v některých publikacích také střední kvadratická odchylka. Patří spolu se střední hodnotou
k základním charakteristikám Gaussova rozložení.
Protože p(x) vyjadřuje rozložení pravděpodobností hodnot, dá se řešením integrálu
2
1
( ) d
x
x
p x x (3.4)
vyčíslit pravděpodobnost, s jakou se měřená veličina nachází v určitém intervalu 1 2,x x .
Definiční obor funkce (3.4) je , , v tomto intervalu se tedy veličina nachází se
100 %-ní pravděpodobností. Vymezíme-li na ose x význačné body, pak intervalu
, přísluší 68,26 %-ní pravděpodobnost výskytu náhodné veličiny, intervalu
2 , 2 pravděpodobnost 95,44 %, a v intervalu 3 , 3 leží s 99,72%-
ní pravděpodobností
skutečná hodnota měřené
veličiny (obr.3.2). Jinak
řečeno, má-li naše veličina
normální rozložení, je
téměř 100 %-ní
pravděpodobnost, že žádná
z hodnot, kterou naměříme,
se nebude odchylovat od
střední hodnoty více než
3 .
Normální Gaussovo
rozložení (rozdělení)
připouští sice teoreticky
i výskyt velmi velkých
odchylek od střední
hodnoty, ale jejich pravdě- Obr. 3.2 Normální Gaussovo rozdělení
podobnost je velmi malá.
Zkušenost ukazuje, že hodnoty náhodné veličiny nikdy nepřesáhnou určitou mez. Měříme-
li vzdálenost 10 m, není prakticky možné, abychom v důsledku náhodných chyb naměřili např.
8 m. Za maximální možnou odchylku se bere nejčastěji maxΔ 3 . Hodnoty, které přesáhnou
tuto mez, vyloučíme obvykle ze zpracování jako hrubé chyby. Je to známé pravidlo „tří
sigma“.
Soubor n hodnot pro n se ve statistice nazývá základní soubor a svými parametry
a je popsán jednoznačně. V praxi je ovšem nemožné provést „nekonečně mnoho měření“, a
to nejen z časových důvodů. U některých veličin by došlo k nevratným změnám, u jiných
měřených objektů dokonce ke zničení. Musíme se proto spokojit s menším počtem měření
a pokusit se i z tohoto tzv. náhodného výběru odhadnout parametry (tj. střední hodnotu
a rozptyl, resp. směrodatnou odchylku) základního souboru.
00 / 14
Bodovým odhadem střední hodnoty je aritmetický průměr naměřených hodnot x :
1ix x
n (3.5)
Výběrový rozptyl s2 , kterým odhadujeme rozptyl základního souboru 2
, je definován
22 ( )
1
ix xs
n
(3.6)
a výběrová směrodatná odchylka (střední kvadratická odchylka jednoho měření) s je potom
2( )
1
ix xs
n
(3.7)
Aritmetický průměr a výběrový rozptyl ovšem nejsou obecně (z hlediska základního
souboru) konstanty, neboť pro každou sadu měření bychom obdrželi poněkud jiné hodnoty jak
aritmetického průměru, tak výběrového rozptylu.
S jakou přesností můžeme považovat aritmetický průměr naměřených hodnot x za pravou
hodnotu měřené veličiny? Tuto přesnost odhadu popisuje interval spolehlivosti:
, ,,n P n P
s sx t x t
n n , (3.8)
kde x je aritmetický průměr naměřených hodnot, s je výběrová směrodatná odchylka a ,n Pt je
koeficient Studentova rozdělení.
Výraz
2( )
( 1)
ix
x xss
n nn
(3.9)
se nazývá výběrová směrodatná odchylka aritmetického průměru.
Součin ,( ) n P
sX t
n (3.10)
je chyba výsledku z n měření s pravděpodobností P (tzv. hladina spolehlivosti). Obvykle
uvádíme i relativní chybu výsledku
( )( )r
XX
x
. (3.11)
Hodnoty t jsou tabelovány v příslušných normách, zde uvedeme pouze zkrácenou tabulku t
pro vybrané hodnoty počtu měření n a některé pravděpodobnosti P.
,n Pt
n P = 0,50 P = 0,68 P = 0,95 P = 0,99
3 0,817 1,321 4,526 19,210
5 0,741 1,110 2,968 6,620
10 0,703 1,059 2,320 3,250
15 0,692 1,037 2,145 2,997
20 0,688 1,027 2,093 2,861
Tab. 3.1 Tabulka vybraných hodnot koeficientů Studentova rozdělení
00 / 15
V technické praxi je obvyklé požadovat 95 %-ní pravděpodobnost výsledku (tedy hladinu
spolehlivosti 0,95). Znamená to zároveň, že je pouze 5 %-ní riziko, že v našem intervalu se
pravá hodnota měřené veličiny nenachází. Při běžných měřeních bývají výsledky uvedeny
s hladinou spolehlivosti 0,68 (tedy s pravděpodobností 68 %). U výsledku se zapsanou chybou
vždy uvedeme zvolenou pravděpodobnost a počet měření.
Interval spolehlivosti se zužuje při rostoucím počtu měření v důsledku zmenšujících se
hodnot t a rostoucího jmenovatele n ve vztahu (3.9). Na obr. 3.3 je však vidět, že při velkých
n klesá xs jen pozvolna, takže provádění velkého počtu měření je neekonomické. Kromě toho
nelze vždy zaručit stálost měřené veličiny a podmínek měření. Za vhodný počet měření se
obvykle považuje 10 – 20.
Obr. 3.3 Závislost výběrové
směrodatné odchylky na
počtu měření
3.5 Chyby nepřímých měření
Přímo naměřené veličiny dosazujeme ve většině případů do fyzikálních vztahů, abychom
vypočetli hledanou fyzikální veličinu – jedná se o nepřímé měření. Vyvstává tedy otázka, jak
veliká je chyba výsledné veličiny, jestliže známe chyby vstupních hodnot. Předpokládejme, že
fyzikální veličina, kterou je nutno určit, souvisí s dílčími veličinami vztahem
( , , ...)V f X Y
Hodnoty veličin X,Y,... změříme přímo a standardním postupem (s. 34) určíme také jejich
chyby ( ), ( ), ...X Y Nejpravděpodobnější hodnotu hledané veličiny obdržíme, dosadíme-li
do vztahu aritmetické průměry změřených veličin, tj.
( , , ...)v f x y (3.12)
Pokud jsme některou z veličin změřili jednorázově, dosadíme tuto hodnotu (např. Ny ).
Chyba takto vypočítané veličiny je dána vztahem
22
( ) ( ) ( ) ...f f
V X Yx y
, (3.13)
kde ( )X je chyba výsledku měření veličiny X a ( )Y chyba výsledku měření veličiny Y, atd.
00 / 16
Nemusí se přitom jednat o stejný druh chyb, neboť velmi často měříme některé veličiny
pouze jednou, jiné opakovaně.
Uvedený vztah se nazývá zákon šíření chyb a uvádíme ho bez důkazu.
Ve většině případů nám však požadovaná přesnost dovolí použít jednoduššího tvaru
téhož zákona
( ) ( ) ( ) ...f f
V X Yx y
(3.14)
Pro praktickou potřebu výpočtu přesnosti výsledku uvedeme několik aplikací vzorce (3.14)
pro nejčastěji se vyskytující tvary funkce V, kde a, b, k, m jsou konstanty, a ( )X
a ( )r X absolutní a relativní chyby.
V aX ( ) ( )V a X
V aX bY ( ) ( ) ( )V a X b Y
kV aX ( ) ( )r rV k X
k mV aX bY ( ) ( ) ( )r r rV k X m Y
k
m
XV
Y
( ) ( ) ( )r r rV k X m Y
Tab. 3.2 Výpočet absolutních a relativních chyb pro nejčastěji se vyskytující funkce
Je-li tedy nepřímo měřená veličina součtem či rozdílem přímo měřených veličin,
rozhoduje o chybě výsledku větší z absolutních chyb. V zájmu ekonomického měření je třeba
volit metody měření obou veličin tak, aby ( ) ( )X Y (bez ohledu na chyby relativní). Nemá
tedy v tomto případě ani smysl některou z veličin měřit daleko přesněji (s menší absolutní
chybou) než ostatní, neboť na chybu výsledku nemá prakticky vliv.
Je-li naopak nepřímo měřená veličina součinem nebo podílem přímo měřených veličin
(a jejich mocnin), platí obdobný závěr pro relativní chyby. Pro velikost výsledné relativní
chyby je určující největší relativní chyba (exponenty se přitom objevují jako koeficienty
u příslušných relativních chyb) – tab. 3.2. Z toho také plyne, že veličiny, které se v určujícím
vzorci vyskytují s vyššími mocninami, je třeba měřit s větší přesností než ostatní.
V praxi se někdy naskytne i opačný úkol: stanovit, s jakou maximální chybou mohou být
naměřeny hodnoty výchozích veličin, aby maximální chyba výsledku (tj. nepřímo měřené
veličiny) nepřestoupila zadanou přípustnou mez. Postup se nazývá optimalizace měření.
Nejčastěji se přitom vychází ze zásady stejného vlivu, tj. z předpokladu, že všechny členy na
pravé straně rovnice (3.14) jsou stejně velké a tomuto požadavku se přizpůsobí výběr měřicích
přístrojů a metoda měření. Obvyklá přesnost v laboratorním měření je okolo 1 %.
Chceme-li posoudit pravděpodobnost, s jakou se nepřímo měřená veličina nachází ve
vypočteném intervalu, musíme uvážit, s jakou pravděpodobností máme určeny dílčí veličiny.
Nejmenší z těchto pravděpodobností je zároveň pravděpodobnost výsledku. (Je to aplikace
známé zásady – pevnost řetězu je rovna pevnosti jeho nejslabšího článku.)
00 / 17
4 Vyhodnocení naměřených funkčních
závislostí
Kromě měření konstant je častou úlohou měření zjistit, jak nějaká veličina y (závisle
proměnná, jinak řečeno funkce) závisí na jiné proměnlivé veličině x (nezávisle proměnné,
jinak řečeno argumentu).
Každá taková funkční závislost je určena tabulkou, grafem, nebo analytickým zápisem. Při
vlastním měření ke zvoleným hodnotám 1 2, , ... nx x x (rostoucím nebo klesajícím)
zaznamenáváme do tabulky naměřené hodnoty 1 2, , ... ny y y . Dvojice hodnot ,i ix y pak
vyneseme do grafu a podle přibližného tvaru křivky, spojující tyto body, rozhodneme, jakou
funkcí vyjádříme hledanou závislost ( )y y x . Může to být funkce lineární, kvadratická popř.
i funkce s vyššími mocninami x. Časté jsou také funkce exponenciální či logaritmické.
V praxi se mohou vyskytnout dva případy:
1. Měřená závislost je známa a experiment ji více nebo méně přesně potvrdí. Je nutné tedy
najít „správné“ hodnoty koeficientů v analytickém vyjádření funkce. Touto
problematikou se zabývá vyrovnávací počet.
2. Fyzikální interpretace měřené závislosti není v literatuře jednoznačně popsaná, tzn. že
nemůžeme předem znát tvar funkční závislosti – tzv. modelovou funkci. Pak je možné
pokusit se vyslovit hypotézu o funkční závislosti a ověřit výsledky jinou metodou.
Je nutno zdůraznit, že tzv. modelová funkce musí být fyzikálně opodstatněná.
Předpokládáme-li lineární závislost, není vhodné proložit naši naměřenou závislost např.
kvadratickou funkcí, i kdybychom dospěli k „lepší“ shodě s naměřenými údaji. V takovém
případě musíme výsledky měření analyzovat a pokusit se nalézt zdroj možných chyb měření.
Využití počítačů v této problematice nám umožňuje nalézt analytické vyjádření funkce,
která nejlépe reprodukuje skutečně naměřenou funkční závislost i ve složitějším tvaru (např.
polynom n-tého stupně, logaritmická či exponenciální funkce, popřípadě jejich kombinace).
Při hledání vhodné funkce nesmíme zapomenout, že naměřené hodnoty závisle i nezávisle
proměnné jsou zatíženy chybami stejně jako naměřené hodnoty konstantní veličiny (tj.
chybami hrubými, soustavnými a nahodilými). Hodnoty v tabulce jsou tedy vyjádřením
funkce, která „osciluje“ kolem funkce hledané (uvažujeme-li chyby nahodilé), popřípadě je
posunuta vůči funkci hledané (jestliže jsme neodstranili chyby soustavné). Nejvíce patrné
jsou ovšem chyby hrubé, které vyloučíme pokud možno ještě před zpracováním.
Po zadání tvaru funkce nám vhodný program sám určí potřebné koeficienty (konstanty) ve
vzorci. Správnost těchto konstant pak určuje tzv. regresní koeficient, který se při úplné shodě
teorie s praktickým měřením rovná 1. Ve Fyzikálním praktiku půjde většinou o ověření
závislostí
, e ,bx b
y a bx y y ax
00 / 18
4.1 Lineární závislost
Řada jednodušších fyzikálních zákonů a závislostí je lineární, grafem je tedy přímka vyjádřená
rovnicí
y a bx , (4.1)
kde a, b jsou konstanty.
Z vyrovnávacích metod je v tabulkových kalkulátorech nejčastěji používána metoda
nejmenších čtverců. Pracují s ní i kvalitnější programovatelné kapesní kalkulátory. Dává
dobré výsledky při normálním (gaussovském) rozložení chyb. Pokud však opomeneme
vyloučit hrubé chyby, výrazně zkreslují výsledek svým čtvercem.
Nemáme-li k dispozici program, můžeme určit hledané koeficienty graficky. Existují
grafické metody, které umožňují s dostatečnou přesností nalézt přímku, která se body
vynesenými do grafu prokládá. Zkušenější experimentátor je schopen v případech, že
požadavky na přesnost nejsou vysoké, proložit těmito body přímku „od oka“.
Na obr. 4.1 jsou zobrazeny
výsledky měření závislosti
brzdného napětí na frekvenci,
naměřené při stanovování
Planckovy konstanty. Závislost
je vyrovnána skupinovou
metodou graficky. Měření, jehož
obrazem je bod A, je zřejmě
zatíženo hrubou chybou, proto
jej do vyhodnocování
nezahrneme. Ostatní body jsou
rozděleny do dvou skupin, jsou
nalezena jejich těžiště a jimi je
proložena přímka. Bodu B byla
přisouzena dvojnásobná váha,
neboť při opakování měření jsme
obdrželi stejnou hodnotu
brzdného napětí.
Obr. 4.1 Přímka proložená naměřenými body grafickou metodou
Směrnice lineární závislosti
Prodloužíme-li přímku až po x = 0 , určíme koeficient a jako úsek na svislé ose.
Koeficient b , tj. směrnici lineární závislosti, určíme ze vzorce:
2 1
2 1
y yb
x x
. (4.2)
! Pozor ! Z geometrie jste zvyklí určovat směrnici přímky jako tangentu jejího směrového
úhlu. To ovšem platí jen tehdy, jsou-li na obou osách zvolena stejná měřítka.
00 / 19
Obr. 4.2 Směrnice – zobrazení 1 Obr. 4.3 Směrnice – zobrazení 2
Na obr. 4.2 a 4.3 je zobrazena tatáž lineární závislost. Na svislé ose je však v druhém
případě jiné měřítko než na ose vodorovné. Při použití vztahu tgb vidíme, že při
vyhodnocení téže lineární závislosti dostaneme při zobrazení v různých měřítkách různý
výsledek.
Stanovíme-li však pro obě zobrazení směrnice hodnotu b výpočtem podle vztahu (4.2):
1 2
56 mV 48 mV8,0Ω , 8,0 Ω
7,0 mA 6,0 mAb b (4.3)
vyjde podle očekávání v obou případech stejná.
Je třeba zdůraznit, že směrnice není obecně bezrozměrné číslo. Rozměr, resp. jednotku
obdržíme po dosazení rozměrů (jednotek) veličin x, y do rovnice (4.2), tak jak je vidět
v rovnici (4.3).
4.2 Exponenciální a mocninná závislost
Máme-li zpracovat výsledky měření veličiny, jejíž závislost na nezávisle proměnné veličině je
exponenciální nebo mocninná, lze vhodným zobrazením – u exponenciální funkce
semilogaritmickým, u mocninné logaritmickým – převést tyto závislosti na lineární.
Postup používáme zejména tehdy, nemáme-li přístup k automatizovanému
zpracování, neboť vyrovnání lineární závislosti zvládneme jednoduchými prostředky. Snadno
pak z grafu určíme koeficienty v původní měřené závislosti.
Tato metoda má však své výhody i v případě počítačového zpracování měření, kdy nám
koeficienty funkce v hledané závislosti určí program přímo a nemuseli bychom tedy graf
„linearizovat“. Před samotným zpracováním je nutno totiž zjistit, zda měření neobsahuje hrubé
chyby. V transformované přímce postřehneme tyto chyby snáze než v exponenciální nebo
mocninné závislosti a můžeme je vyřadit.
Mnohdy také podle zalomení přímky zjistíme, že naměřené hodnoty je vhodné rozdělit do
dvou skupin a pro každou z nich určit jiné koeficienty prokládané funkce.
00 / 20
Exponenciální funkce
má tvar ebxy a , (4.4)
po logaritmování (přirozené logaritmy) obdržíme:
ln lny a bx . (4.5)
Provedeme následující transformaci: lnY y , X x , lnA a .
Po dosazení do (4.5) je vidět, že exponenciální závislost dostala tvar lineární funkce
Y A bX .
V souřadnicích X, Y bude
tedy funkce zobrazena
přímkou.
Používáme SW nástroje
(v programu Excel
nastavíme pro jednu z os
logaritmické měřítko),
nebo semilogaritmický
papír (jedna z os má
předtištěné logaritmické
měřítko).
Obr. 4.4 Exponenciální funkce v semilogaritmickém zobrazení
U logaritmických os jsou na patřičných místech zobrazeny mocniny 10, neboť i když na
osu vynášíme logaritmus hodnoty, pro větší přehlednost připisujeme k dělícím bodům přímo
hodnoty, nikoliv jejich logaritmy. Při výpočtech musíme vzít v úvahu, že osa je dělena
v dekadických, nikoliv přirozených logaritmech.
Po vynesení bodů do semilogaritmického zobrazení provedeme podle potřeby vyrovnání
lineární závislosti a sestrojíme přímku. Směrnici této přímky, tj. koeficient b v závislosti
(4.4), obdržíme ze vztahu
2 1
2 1
log logln10
y yb
x x
. (4.6)
Do rovnice (4.6) dosazujeme souřadnice dvou dostatečně vzdálených bodů vyrovnávající
přímky. Nedosazujeme hodnoty z tabulky, ale dva body ležící na proložené přímce.
Nevolte vždy paušálně krajní body přímky, okrajové hodnoty měřeného intervalu jsou měřeny
obvykle s menší přesností.
Fyzikální rozměr koeficientu b je v tomto případě určen rozměrem jmenovatele zlomku,
neboť logaritmus veličiny je vždy bezrozměrné číslo.
Na obr. 4.4 je závislost relativního světelného toku na tloušťce pohlcujícího prostředí x při
absorpci světla, která má tvar Φ e axr
.
00 / 21
Závislost má v semilogaritmickém zobrazení (osa x má lineární a osa y logaritmické
měřítko) tvar klesající přímky. Směrnice této přímky k (přičemž k = – a) je
1log 2 log30ln10 0,54 cm
(7,0 2,0) cmk
Mocninnou závislost
jednoduchého typu by ax (4.7)
lze také transformovat na závislost
lineární. Rovnici (4.7) logaritmujeme:
log log logy a b x (4.8)
a po substituci Y = log y , X = log
x , A = log a obdržíme rovnici přímky
Y A bX . (4.9)
V tomto případě, jak sami vidíte, musejí
mít obě osy logaritmické měřítko.
Takže v Excelu nastavíte logaritmické
měřítko u obou os nebo použijete
logaritmický papír (tj. obě osy mají
logaritmické měřítko).
Na obr. 4.5 je závislost výkonu
vyzařovaného žárovkou na teplotě vlákna
této žárovky.
Podle Stefanova–Boltzmannova
zákona má být vyzařovaný výkon úměrný
čtvrté mocnině absolutní teploty:
4P S T
.
Obr. 4.5 Mocninná závislost v logaritmickém zobrazení
V logaritmickém zobrazení tedy očekáváme přímku, jejíž směrnice je 4. Ze souřadnic dvou
bodů nalezené přímky vypočítáme směrnici přímky, tj. koeficient b , podle vztahu
2 1
2 1
log log
log log
y yb
x x
.
Po dosazení obdržíme
log log 2,4 log0,24,03
log log1000 log540
Pb
T
,
což je v dobré shodě s ověřovaným Stefanovým–Boltzmannovým zákonem.
Na s. 25-28 si ukážeme postup vytvoření tohoto grafu v aplikaci MS Excel.
00 / 22
4.3 Zásady tvorby grafů
Grafické zobrazení je díky názornosti velmi časté a v odborné fyzikální literatuře je téměř
každá naměřená závislost doplněna grafem. Pro jejich zhotovování nejsou jednoznačná
pravidla – v každém oboru jsou trochu odlišné zvyklosti. Ve fyzikálním praktiku
doporučujeme držet se následujících zásad:
1. Grafy zhotovujeme na milimetrovém, popřípadě jiném speciálním grafickém papíře
(semilogaritmický, logaritmický, polární), obvykle formátu A4. V pravoúhlé soustavě
souřadnic se nezávisle proměnná vynáší na vodorovnou osu, přičemž kladné hodnoty
veličin vzrůstají vpravo a nahoru od počátku souřadnic. V polární soustavě souřadnic
musí ležet počátek čtení úhlů na vodorovné nebo svislé ose a kladný smysl úhlových
souřadnic musí odpovídat opačnému smyslu otáčení hodinových ručiček.
2. Osy grafu musejí být popsány symbolem nebo názvem veličiny. Do kulaté závorky
nebo za lomítko uvedeme i její jednotku (není-li veličina bezrozměrná). Na vnější
stranu os vyneseme stupnici, jejíž body jsou přiměřeně daleko od sebe, abychom mohli
z grafu pohodlně odečítat. Čísla se píší vodorovně, a to i u svislé osy. Pokud je to
účelné, užíváme mocnin 10 popř. násobků jednotek. Souřadnice naměřených bodů
na osách nevyznačujeme, ty lze vyhledat v tabulce.
3. Měřítka a stupnice grafu volíme tak, aby vynášené křivky zaplňovaly co největší
plochu mezi osami. Do průsečíku os klademe nuly stupnic pouze v některých případech
(chceme-li např. ukázat, že graf neprochází počátkem souřadnic). Jinak začíná stupnice
hodnotou o něco menší než je nejmenší vynášená.
4. Chyba při odečítání obou souřadnic je stejná jen v té části křivky, kde směrnice
příslušné tečny je rovna 1. V místech, kde se křivky příliš přibližují rovnoběžkám
s některou osou, je chyba odečtu jedné či druhé souřadnice z grafu větší. Tuto chybu
nelze vždy odstranit pouhou změnou měřítek stupnic na osách.
5. Jednotlivé naměřené hodnoty v grafu výrazně označíme – nejlépe křížkem. Naprosto
nevhodné jsou pouhé tečky, které po vytažení křivky většinou zmizí. Potřebujeme-li do
jednoho grafického pole vynést více křivek a mohlo by dojít k záměně bodů,
odlišujeme je různými černobílými značkami (,,,,,,). Barvy použijeme
pouze tehdy, bude-li graf tisknut barevně a také barevně rozmnožován. Ke každé křivce
zapíšeme hodnotu parametru, který ji určuje.
6. Body nespojujeme lomenou křivkou, spojnice bodů nemá zpravidla žádný
fyzikální význam. Pokud je žádoucí vytvořit spojnici bodů, prokládáme hladkou
křivku (např. pomocí křivítka). Křivku volíme tak, aby neměla fyzikálně
neopodstatněné skoky, zlomy a extrémy, byla dostatečně hladká a měla přibližně stejný
počet bodů nad a pod čarou.
7. Graf musí mít svoje číslo a stručný a výstižný název. Pokud to situace vyžaduje
uvedeme i další potřebné údaje (datum, typ vzorku, parametry a podmínky měření,
apod.). Často musíme z grafu odečíst určitou hodnotu, kterou potřebujeme pro další
zpracování měření. Tyto význačné body označíme odlišně od naměřených hodnot, a to
jak na křivce, tak na příslušné ose.
Na následujícím obrázku jsou V–A charakteristiky diody, které budete měřit při zjišťování
výstupní práce elektronu z kovu. Každou z nich jsme měřili při jiné konstantní hodnotě
žhavicího proudu žI .
00 / 23
Body, v nichž anodový proud AI dosahuje nasycení (charakteristika přejde v lineární), jsou
na křivce vyznačeny kolečkem a jejich souřadnice je vynesena na osu AI , neboť právě tyto
hodnoty aNI (v obrázku jsou vyznačeny 1 2 3, ,S S SI I I ) potřebujeme k dalším výpočtům
.
Všechny zásady uvedené na předchozí straně platí i pro počítačovou tvorbu grafů.
Grafy ovšem v tomto případě netiskneme na milimetrový papír, ale na jednobarevný, nebo
je vkládáme přímo do textu.
4.4 Grafy v MS Excelu
Vzhledem k tomu, že většina studentů používá při zpracování protokolů počítač, zmíníme se
stručně i o zpracování grafů v tabulkovém procesoru MS Excel. Nepůjde samozřejmě
o vyčerpávající návod, většina z vás základní práci s Excelem ovládá. Zdůrazníme jenom
některé kroky při tvorbě grafů, v nichž studenti nejvíce chybují.
Nejlépe si vysvětlíme postup na konkrétní úloze, kterou budete měřit v laboratorním
cvičení z fyziky v letním semestru, a to na ověřování platnosti Stefanova-Boltzmannova
zákona. Podle Stefanova-Boltzmannova zákona (S-B zákon) je vyzářený výkon úměrný čtvrté
mocnině teploty vlákna, tedy
4P konst T .
Má-li tento zákon platit, grafem musí být mocninná funkce.
Měřením a výpočty byly získány hodnoty V-A charakteristiky, příkon, odpor a teplota
vlákna žárovky a koeficient pohltivosti, které jsou uvedeny v následující tabulce:
00 / 24
U I P R R/R0 T α
V mA W Ω - K -
0,4 51 0,020 7,84 2,48 583 0,436
1,0 86 0,086 11,63 3,68 818 0,475
2,0 128 0,256 15,63 4,94 1058 0,506
4,0 193 0,772 20,73 6,56 1354 0,568
5,0 219 1,095 22,83 7,23 1473 0,576
6,0 245 1,470 24,49 7,75 1566 0,605
8,0 289 2,312 27,68 8,76 1741 0,623
10,0 332 3,320 30,12 9,53 1872 0,669
12,0 367 4,404 32,70 10,35 2010 0,668
14,0 402 5,628 34,83 11,02 2120 0,689
Sloupce veličin T a P uspořádáte v Excelu vedle sebe, vyznačíte data v tabulce a kliknutím
na ikonu vyvoláte Průvodce grafem.
V prvním dialogovém okně 1/4 vyberete typ grafu. Pro fyzikální závislosti budete vždy
volit XY bodový graf. Jednotlivé body nespojujeme lomenou křivkou, spojnice bodů nemá
zpravidla žádný fyzikální význam.
Ve druhém okně 2/4 upravujete oblast dat, ve většině situací lze toto okno přeskočit. Po
stisknutí tlačítka „další“ přejdete na okno 3/4, kde zadáte název grafu a popis os, na posledním
4/4 zadáte umístění grafu.
Takto vytvořený graf můžete snadno znovu editovat, a to tak, že na něj 2krát kliknete
a otevřete ho tím pro úpravy.
00 / 25
Pak jej můžete dále doplňovat a formátovat, tentokrát klikáním pravým tlačítkem myši.
Tak např. můžete naměřenými body proložit křivku, která odpovídá dané závislosti a podívat
se, zda opravdu platí S-B zákon, tedy že 4P konst T .
Kliknete pravým tlačítkem myši na jeden z bodů grafu (ty se podsvítí) a zvolíte „přidat spojnici
trendu“. Poté volíte „typ trendu a regrese“, v našem případě funkci mocninnou a na kartě
možnosti zaškrtnete položku „zobrazit rovnici regrese“.
V grafu se objeví rovnice vyrovnané mocninné funkce. V exponentu jsme očekávali 4, nám
vyšla mocnina 4,37. Můžeme to však považovat za dobrou shodu s teorií – chyba nepřesahuje
5 %.
Takovýmto postupem můžete upravovat i další parametry grafu. Např. měřítko os, hodnoty
maxima a minima na osách, hodnoty průsečíku, písmo, legendu grafu, aj.
Regresní funkci volíme samozřejmě podle typu fyzikální závislosti, ne podle vzhledu grafu.
Nevolíme tedy lineární závislost, ale mocninnou, neboť S-B zákon má tvar 4P konst T . Naše
body jsou v přímce jen díky logaritmickému měřítku na obou osách (viz také s. 23).
00 / 26
Obr. 6.1: Ověření platnosti Stefanova-Boltzmannova zákona
5 Práce v laboratoři
5.1 Teoretická příprava na měření
Má-li laboratorní cvičení splnit svůj účel, je bezpodmínečně nutné, aby studenti docházeli na
každé měření řádně připraveni. Nedostatečná příprava vede k mechanickému provádění
jednotlivých úkolů podle pracovního postupu bez hlubšího pochopení fyzikální podstaty
problému a zvyšuje nebezpečí poškození měřicích přístrojů. Při měření elektrických úloh může
navíc dojít k závažným úrazům.
Nejdůležitější část přípravy je přesná formulace problému, který má být řešen. Musíme si
jasně uvědomit, co je hlavní cíl měření. Ve skriptech nebo jiné doporučené literatuře je nutno
prostudovat příslušnou problematiku tak, abychom získali představu o tom, jaký výsledek
měření můžeme očekávat. Do přípravy (podle pokynů na volné listy nebo do laboratorního
sešitu) zapíšeme všechny potřebné poznámky a výpisy.
Ze základních vztahů vyplyne, které dílčí veličiny mají být změřeny. I když bývá u každé
úlohy navržen pracovní postup, předpokládá se, že hlavní zásady experimentální práce
a obecné metody měření (např. postupnou, kompenzační apod.) student už ovládá. Je nutné
tedy prostudovat i první část skript – Úvod do měření nebo nahlédnout do doporučené
literatury, kterou vám sdělí učitel.
Proměřujeme-li fyzikální závislost, je vhodné předem odhadnout interval hodnot měřených
veličin a stanovit počet a rozložení měřených bodů. Uvážíme, kterou oblast dané závislosti je
nutno proměřit hustěji.
Graf závislosti P(T)
y = 2E-14x4,3756
0,010
0,100
1,000
10,000
100 1000 10000
T/K
P/W
00 / 27
Všechny nejasnosti je nutno konzultovat s učitelem předem. Student musí počítat s tím,
že jeho příprava do cvičení bude kontrolována. Při nedostatečné přípravě nebude moci
absolvovat cvičení v řádném termínu.
Součástí každého úkolu ve fyzikálním měření je úplný a přehledný záznam o měření.
Záznam musí být srozumitelný i po delším čase, a to nejen pro studenta, který měření
prováděl, ale pro každého, kdo bude chtít měření analyzovat nebo v něm pokračovat.
Důležitost tohoto úkolu pro technickou praxi není třeba zdůvodňovat.
Poznámky se zapisují v konečné formě současně s měřením do zvláštního sešitu nebo na
zvláštní papír, který je nutno nechat podepsat vyučujícím. Přepisování zápisu „na čisto“ je
zbytečné a neodpovídá technické praxi. V záhlaví nezapomeňte uvést název a číslo úlohy
a datum měření. Záznam musí obsahovat všechny údaje, potřebné ke zpracování celého
měření. Je nutné uvést také čísla vzorků a seznam použitých přístrojů a jejich bližší
specifikaci, aby bylo možné měření podle potřeby znovu opakovat a odhalit vliv konkrétních
přístrojů.
5.2 Testy ve fyzikálním praktiku
K rychlému prověření potřebných znalostí slouží ve fyzikálním praktiku vstupní testy
zpracovávané na počítačích. V úvodní hodině se studenti dozvědí, u kterých úloh budou
v semestru zařazeny.
V přihlašovacím formuláři vyplníte uživatelské jméno, které jste obdrželi při zápisu (např.
xlospe00), heslem je Vaše ID z Průkazu studenta. Při vlastním testování mohou studenti
používat pouze kalkulátor a svou vlastní přípravu; skripta ani jiné pomůcky nejsou povoleny.
Po zadání osobních údajů se vygeneruje pět testových otázek. Každá otázka obsahuje
5 volitelných odpovědí, z nichž pouze jedna je správná. Odpovídejte samostatně kliknutím
myší na zvolenou volbu A, B, C, D nebo E přepínače ve spodní části stránky s otázkou a poté
stiskem tlačítka „Odeslat odpověď“. Bezprostředně po odeslání je zvolená odpověď
zvýrazněna tučným písmem. Zvolenou odpověď je možno opakovaně měnit, započítána je
poslední odpověď uložená před vyhodnocením testu. Pokud na danou otázku neodpovíte, je
Vám započítána špatná odpověď.
Mezi stránkami s otázkami se pohybujete pomocí pěti záložek v horní části okna. Kromě
nich je tu záložka „Test“, která obsahuje přehled aktuálně zvolených odpovědí a tlačítko
„Vyhodnotit test“, kterým je proveden přechod na vyhodnocení testu. Jednotlivé stránky testu
můžete zobrazovat v libovolném pořadí, na již navštívené stránky je možné se vracet.
V průběhu řešení testu nepoužívejte tlačítka „Zpět“, „Vpřed“ nebo „Aktualizovat“, jejich stisk
způsobí ukončení testu. Pokud zavřete okno prohlížeče, je test ukončen. Po ukončení testu již
není možné test opakovat.
V pravém horním rohu se zobrazuje čas, který zbývá do konce testování, celý test trvá
zpravidla 10 minut. Po uplynutí celkové doby nebo po stisku tlačítka „Vyhodnotit test“ na
stránce „Test“ je provedeno vyhodnocení testu. Jestliže budete odpovídat až těsně před
vypršením časového limitu, může se stát, že Vaše odpověď už nebude započítána.
Po ukončení testu si můžete výsledek prohlédnout na stránce „Test“. Ve spodní části
stránky s každou otázkou je navíc uvedeno písmeno Vámi zvolené odpovědi a písmeno
správné odpovědi. Tlačítkem „Konec prohlížení“ na stránce „Test“ nebo po vypršení časového
limitu je ukončeno prohlížení odpovědí a zobrazena stránka s celkovým výsledkem testu.
00 / 28
5.3 Zapojování obvodů
Základním předpokladem úspěšné a bezpečné práce v elektrické laboratoři je dokonalá znalost
schémat zapojovaných obvodů a pochopení fyzikálních jevů v daném úkolu.
Napsat přesný, podrobný a přitom univerzální návod na to, jak konkrétně sestavit skutečný
měřicí obvod, není prakticky možné. Přesto bude krajně účelné, aby se hlavně začátečník držel
následujících zásad pro zapojování obvodů a pro zacházení s elektrickými přístroji.
Jakékoliv elektrické zdroje (el. rozvodná síť, akumulátorové baterie, Westonův
normální článek, ale i – pokud vstup máme trvale pod napětím – výstupní svorky
transformátorů, elektronických zdrojů, generátorů nf kmitů, atd.) zapojujeme do obvodu
zpočátku pouze jednou svorkou, a to zemněnou. Druhou svorku („živou“) necháme
přímo na zdroji rozpojenou. Síťové vidlice pochopitelně nezasuneme.
Obvod začneme zapojovat obvykle od zdroje energeticky nejsilnějšího, resp. nejméně
choulostivého na přetížení. Postupně připojujeme další prvky obvodu, a to tak, abychom
se pokud možno nejkratší cestou dostali od jedné svorky ke druhé. Přijdeme-li ve
schématu do uzlu, není účelné začít zapojovat hned všechny větve. Velmi často se právě
zde dopustíme nějaké chyby. Po zapojení hlavního obvodu zapojíme postupně další,
popřípadě připojíme boční větve k hlavnímu obvodu.
Měřidla přepneme na nejvyšší rozsahy – snížíme tak riziko případného poškození
přístroje. Měřidla přepínáme na vyšší rozsah při každé změně v zapojení či
v podmínkách měření. Zkontrolujeme, nebudou-li překročeny maximální přípustné
hodnoty napětí a proudu všech prvků obvodu.
Elektronické přístroje potřebují určitou dobu k nažhavení, resp. k teplotní stabilizaci
součástí (alespoň 5 až 10 minut). U osciloskopů stáhneme úplně jas obrazovky vždy,
když neměříme (přístroj nevypínáme). Časté zapínání a vypínání elektronickým
přístrojům neprospívá.
V dvojici přívodů rozlišujeme vždy „živý“ a „zemněný“ přívod. Je nutno dát zvlášť
dobrý pozor na to, aby živý přívod nebyl zkratován např. tím, že by byl spojen se
zemněným přívodem dalšího přístroje, a tedy prostřednictvím zemnících kolíků zásuvek
zpět se zemněním původního přístroje.
Před připojením k regulovatelným zdrojům (regulační transformátor, potenciometr,
reostat apod.) se musíme přesvědčit, jsou-li skutečně nastaveny na minimum
omezované hodnoty. Nastavení na minimum nebo alespoň snížení hodnot musíme
opakovat před každou změnou v zapojení.
Po úplném sestavení obvodu je nutné celé zapojení překontrolovat a pak teprve připojit
ke zdroji. V našich laboratořích nesmí žádný student připojit elektrický obvod nebo
zařízení ke zdrojům bez vědomí vyučujícího.
Při měření pak musíme počítat s tím, že vedle prvků, užívaných ve schématu, se mohou
uplatňovat odpory, indukčnosti a kapacity spojovacích vodičů, přechodové odpory,
které vznikají na styku dvou vodičů, vnitřní odpory zdrojů, impedance voltmetrů
a ampérmetrů a také parazitní termoelektrická napětí. U každého měření musíme
posoudit, které z uvedených veličin mohou mít vliv na výsledek měření.
00 / 29
5.4 Bezpečnost práce
Pro práci ve fyzikální laboratoři FEKT VUT je stanoví laboratorní řád, s kterým se studenti
seznámí v úvodní hodině, a který musí bezpodmínečně dodržovat. Jedná se zejména
o následující zásady:
1. Dbát všech upozornění uvedených na bezpečnostních a informačních tabulkách
umístěných v laboratoři.
2. Nepoužívat žádné přístroje a zařízení bez prostudování jejich obsluhy.
3. S horkými předměty manipulovat jen pomocí vhodných pomůcek.
4. Okamžitě hlásit vyučujícímu každý úraz v laboratoři.
Velkou pozornost je třeba věnovat zejména předcházení úrazům způsobených
elektrickým proudem, neboť tuto skutečnost stále ještě mnoho lidí (i poučených) podceňuje.
Je všeobecně známo, že na každý organismus působí elektrický proud jinak. Rozhodující
veličinou není, jak se většina lidí mylně domnívá, velikost napětí, ale velikost proudu. Velikost
napětí, které je lidskému zdraví a případně i životu nebezpečné, závisí totiž na mnoha
okolnostech, takže někdy to může být 100 V, jindy až 200 V a v některých případech třeba jen
50 V. To záleží na tom, jaký je:
Povrchový odpor těla – zpravidla jde o odpor kůže v místě dotyku s vodičem. Tato
veličina mění svoji hodnotu s vlhkostí kůže a mívá hodnotu několik kΩ .
Objemový odpor lidského těla – který závisí na vzájemné geometrické poloze elektrod
(dotýkajících se vodičů), na jejich vzájemné vzdálenosti apod.
časový průběh elektrického proudu – střídavý proud 50 Hz je daleko nebezpečnější než
stejnosměrný proud téže velikosti. Kromě toho je prokázáno, že účinky střídavých
proudů vyšších frekvencí jsou menší ve srovnání se střídavými proudy nízkých kmitočtů.
Dospělý člověk snese napětí velmi vysoké frekvence až do 100 kV. Kmitočty většiny
střídavých proudů používaných v praxi jsou však bohužel takové, že způsobují člověku
největší škody na zdraví. Za bezpečný bývá považován stejnosměrný proud do 10 mA
a střídavý proud o frekvenci do 100 Hz do 3,5 mA.
Jak již bylo uvedeno, o účinku elektrického proudu rozhoduje velikost proudu, který
lidským tělem prošel. Dojde-li při veškeré opatrnosti k úrazu elektrickým proudem, je naděje
na záchranu postiženého tím větší, čím dříve je mu poskytnuta pomoc. Proto je důležité, aby
s první pomocí bylo seznámeno co nejvíce lidí bez ohledu na jejich elektrotechnickou
kvalifikaci.
Záchranné práce musejí probíhat vždy v tomto pořadí:
Vyprostit postiženého
Vyproštění je zapotřebí provést co nejrychleji, ale tak, aby nebyl proudem zasažen sám
zachránce, a to vypnutím obvodu nebo odtažením postiženého, případně odsunutím vodiče,
který úraz způsobil. K odsunutí je třeba použít suchého izolantu, v krajním případě lze vodič
uchopit rukou chráněnou několika vrstvami suché tkaniny.
Zavést oživovací pokusy
V případě, že postižený nedýchá nebo přestal dýchat, nezdržujeme se ošetřováním
vedlejších úrazů, ale zahájíme dýchání z plic do plic. Z úst odstraníme překážky, které by
mohly dýchání bránit a postiženého položíme na záda. Jeho hlavu zakloníme co nejvíce vzad
00 / 30
a otevřeme ústa. Jsou-li křečovitě stažena, neotvíráme je násilím, ale dýcháme nosem
postiženého. Provádíme-li dýchání do úst, je zapotřebí zamezit unikání vdechnutého vzduchu
nosem. Zpočátku vdechneme asi 10-krát v intervalu jedné sekundy, pak pokračujeme kolem 15
vdechů za jednu minutu. Vdechnutý vzduch vychází samovolně z plic ústy postiženého.
Jestliže umělé dýchání není účinné a nemá-li postižený hmatný tep, je třeba začít
s nepřímou srdeční masáží. Zachránce položí zápěstí pravé ruky dlaňovou stranou asi 3 až 5 cm
nad dolní okraj hrudní kosti postiženého. Levou ruku položí přes pravou a vahou vlastního těla
stlačuje rytmicky hrudní kost do hloubky asi 4 až 5 cm rychlostí 100krát za minutu. Vždy na
30 stlačení připadají 2 vdechy metodou z plic do plic. Nepřímá masáž a umělé dýchání se
provádí až do oživení postiženého nebo příchodu lékaře.
Přivolat lékaře
Ohlásit úraz odpovědnému zástupci organizace
Měření s laserem
Lasery vyvíjejí značné intenzivní záření ve viditelné i neviditelné spektrální oblasti.
Uvedené záření škodí osobám a předmětům, především svými tepelnými účinky. Záření laseru
může u člověka způsobit poranění pokožky a poškození očí. Může dojít i k poškození hlouběji
uložených tkání. Citlivost na účinky laserového záření je individuální. Při práci je nutné
dodržování následujících zásad:
Laserové záření škodí osobám a předmětům především svými tepelnými účinky – může
způsobit poškození pokožky i očí.
Vstup do laboratoře je povolen pouze studentům, kteří měří danou úlohu.
Laser zapíná a vypíná učitel. Dráha laserového paprsku je z bezpečnostních důvodů
zakrytována, takže nemůže dojít k náhodnému zasažení oka. Studenti mohou
manipulovat pouze těmi ovládacími prvky, které jsou nutné pro splnění úkolu měření.
Na sítnici oka nesmí dopadnou paprsek laseru, oko může být poraněno nejen
přímými, ale i difusně odraženými paprsky. Při měření je proto nutné sundat z ruky
všechny lesklé předměty (hodinky, prsteny apod.).
V úvodní hodině laboratorních cvičení musí být studenti prokazatelně seznámeni se
zásadami bezpečnosti práce v laserové laboratoři a používání ochranných pomůcek.
Stolní lampa, zajišťující nepřímé osvětlení měřících přístrojů, musí být neustále
rozsvícena. Při jakékoliv poruše a při nejasnostech je třeba přivolat učitele.
Měření se zářiči
S radioaktivními látkami lze pracovat pouze v dozimetrické laboratoři, tj. v místnosti 327.
Před zahájením výuky musí být studenti prokazatelně seznámeni s těmito pokyny a během
výuky je bezpodmínečně dodržovat.
Radioaktivní látky užívané při výuce jsou umístěny v olověných skříňkách nebo
zařízeních u jednotlivých úloh. Všechny skříňky se zářiči jsou označeny a trvale
uzamčeny. Zářiče vydává a po ukončení měření uschovává učitel.
V dozimetrické laboratoři je zakázáno jíst, pít a kouřit. Po skončení práce se zářiči se
doporučuje umýt si ruce v tekoucí vodě (z důvodů možnosti nepředvídaného vnějšího
zamoření).
00 / 31
Bližší pokyny ke způsobu práce s jednotlivými zářiči vydává podle potřeby zodpovědný
pracovník ve formě dodatků k tomuto řádu (Ing. Jiří Majzner).
V případě ztráty zářiče zahájit okamžitě pátrání po zářiči s použitím Geiger-Müllerova
čítače. Při jakékoliv poruše a při nejasnostech je třeba přivolat učitele.
O ztrátě zářiče informovat vedoucího ústavu a zodpovědného pracovníka.
5.5 Vlastní měření
V laboratoři se nejprve před měřením přesvědčte, zda jsou připraveny všechny potřebné
přístroje, pečlivě si je prohlédněte a seznamte se s jejich funkcí. Všimněte si a prostudujte
pokyny k úloze a do sešitu zaznamenejte všechny změny. Zapište, jaké přístroje skutečně
použijete, příp. opravte tabulky. Nebojte se s učitelem prodiskutovat pracovní postup měření,
připadá-li vám váš návrh lepší. U některých úloh mohlo dojít ke změnám, které nejsou
zachyceny ve skriptech.
Poté připravte přístroje k měření, elektrické obvody zapojte podle schématu a požádejte
učitele, aby zapojení zkontroloval. Elektrické zdroje může student zapojit až po jeho
souhlasu.
Z předběžného rozboru přesnosti měření vyplyne, jak přesně potřebujete určit hodnoty
jednotlivých dílčích veličin a tomu přizpůsobíte způsob měření. Normální laboratorní měření
jsou požadována s přesností do 1 %, někdy až do 5 %. Taková měření vyžadují kvalitní, ale
jinak běžné měřicí přístroje a vhodně zvolenou metodu. U orientačních měření připouštíme
přesnost do 10 %.
Dbejte o správné odečítání hodnot na měřicích přístrojích (pozor na osobní chyby)
a správnou manipulaci s nimi. Vždy odhadujte desetiny nejmenších dílků stupnice. Při
odečítání hodnot na stupnici musíme dát pozor na chybu z úkosu (tzv. paralaktickou chybu).
U nulových metod je potřeba opětovně kontrolovat nulovou polohu přístroje. Zvolený pracovní
postup přesně dodržujte a poznamenejte si všechny okolnosti, které by mohly mít vliv na
výsledky měření.
Chybu určujeme i u jednorázových měření, a to nejčastěji jako mezní odhad chyby.
Nezapomeňte proto zaznamenat u elektrických měřicích přístrojů třídu přesnosti.
Je důležité, aby student během celého cvičení přivykal kritickému pohledu na vlastní práci.
V laboratoři máte za úkol nejen změřit hodnoty zadaných fyzikálních veličin, ale také umět
ohodnotit správnost a přesnost naměřených výsledků.
Nesoulad mezi naměřenou hodnotou dané fyzikální veličiny a hodnotou očekávanou
(obvyklou, tabelovanou) nemusí být ani neočekávaný ani nežádoucí. Naopak – je příležitostí
k fyzikálnímu pátrání po možných zdrojích tohoto jevu a k získání dalších experimentálních
zkušeností.
00 / 32
6 Pokyny ke zpracování naměřených hodnot
Při numerických výpočtech nesmíme zapomínat, že naměřené hodnoty veličin jsou pouze
přibližná, neúplná čísla. Platné cifry (číslice) daného čísla jsou všechny od první nenulové
zleva do poslední zapsané vpravo. Poslední zapsaná cifra – získaná zpravidla odhadem desetin
dílků na stupnici – je již zatížena chybou měření. Význam mají tedy i pravostranné nuly,
protože jimi dáváme najevo, jak přesně bylo provedeno měření.
Zapíšeme-li výsledek měření bez udané chyby, považujeme za chybu jedničku na
posledním řádu zapsané číslice. Údaj d = 1,2 m tedy znamená, že měření bylo provedeno
s chybou 0,1 m – relativní chyba přibližně 10 %.
Naproti tomu tentýž výsledek zapsaný ve tvaru d = 1,200 m chápeme jako
(1,200 0,001) md , což je velmi přesná hodnota (relativní chyba zhruba 0,1 %). Výsledek
bez zapsané chyby připouštíme pouze v případě, kdy pro další výpočty postačí řádový odhad
chyby.
Chyby uvádíme na jednu platnou číslici a zaokrouhlujeme vždy nahoru. Pouze
v případě, kdy by to neúměrně zhoršilo přesnost výsledku, uvedeme chybu na dvě číslice.
Vypočítanou chybu 2( ) 3,382 10 mX zapíšeme tedy 2( ) 4 10 mX . Pokud ale vyjde
chyba například 2( ) 1,112 10 mX , zapíšeme raději 2( ) 1,2 10 mX , neboť
zaokrouhlením na 22 10 m bychom chybu prakticky zdvojnásobili.
Výsledek měření uvádíme na tolik míst, aby poslední zapsané číslo výsledku bylo
stejného řádu jako poslední číslo chyby.
správně (6,84 0,02) md
správně (6,84 0,11) md
nesprávně (6,843 0,02) md
nesprávně (6,8 0,018) md
Pro zápis naměřených i vypočtených hodnot užíváme zásadně mocnin 10, neboť do
platných čísel se nepočítají nuly plynoucí z činitele 10n . Je-li U = 14000 V určeno s platností
na 3 číslice, musíme údaj zapsat buď U = 14,0 kV nebo U = 1,40.104 V.
Musíme mít na paměti, zejména při používání kalkulaček (bez zaokrouhlování), že
nemůžeme pouhým výpočtem zvyšovat přesnost výsledku. Dosažená přesnost musí
odpovídat použitým měřicím přístrojům a metodě měření. Při sčítání a odečítání se výsledek
zaokrouhluje na poslední platné místo toho řádu, který je u všech sčítanců platný.
Příklad: 15,6 + 2,35 + 0,093 – 0,155 + 0,3 = 18,188 = 18,2 .
Při násobení a dělení je možno u výsledku zapsat nanejvýš tolik platných cifer, kolik má
číslo s nejmenším počtem platných cifer.
Příklad: 24,1523,46 = 83,56592 = 83,6 .
00 / 33
Při výpočtech uvedeme pro každý použitý vztah příklad číselného dosazení. Do rovnice
dosadíme hodnoty veličin i s příslušnými jednotkami a číselné hodnoty konstant a bez
dalších mezivýsledků uvedeme konečný výsledek.
Používáme-li pouze soustavu jednotek SI a předem známe jednotku, v níž vyjde číselná
hodnota výsledné veličiny, mohou se do rovnice dosadit číselné hodnoty veličin a jednotka
výsledné veličiny se připíše za výraz. Důsledně dbáme o to, aby rovnice byly rozměrově
homogenní.
Pro vyhodnocení přímých opakovaných měření lze s výhodou využít kalkulátoru se
statistickými funkcemi, z nichž využijeme aritmetický průměr x , který je definován
v návodech ke kalkulátorům shodně s rovnicí (3.5) a směrodatnou (standardní) odchylku
výběru s (značenou také 1n ) definovanou shodně s rovnicí (3.7). V návodech ke
kalkulátorům je upravena obvykle na tvar
22
1
( )
1n
xx
n
n
(6.1)
Postup je tedy následující:
1. Zvolíme statistický režim kalkulátoru.
2. Do paměti kalkulátoru zadáme postupně naměřené hodnoty ix (klávesou M+ nebo
DATA).
3. Klávesou x vyvoláme hodnotu aritmetického průměru.
4. Klávesou 1n vyvoláme výběrovou směrodatnou odchylku.
5. Tuto hodnotu vydělíme odmocninou z počtu měření – obdržíme výběrovou
směrodatnou odchylku průměru:
1nxs
n
(6.2)
6. V tab. 3.1 najdeme pro zvolenou pravděpodobnost P a počet měření n hodnotu
koeficientu ,n Pt a určíme chybu výsledku:
,( ) n P xX t s (6.3)
Tuto chybu zaokrouhlíme na 1, nejvýše 2 číslice.
7. Výsledek opakovaného měření pak zapíšeme ve tvaru
( )
( ) z měření při 95%, ( ) 100%r
XX x X n P X
x
(6.4)
Střední hodnotu zaokrouhlujeme na stejný řád jako chybu, neboť nemá smysl zapisovat
výsledek s větší přesností, než je hodnota chyby.
Pro snadné porovnání náhodných vlivů a chyb přístrojů nebo metody uvádíme vždy
i soustavnou relativní chybu měřidla ( )ru X a snažíme se, aby náhodná chyba byla pokud
možno menší nebo srovnatelná s chybou měřidla.
Opakování každého měření není však vždy možné a ani účelné. Pokud se při měření
uplatňují výrazněji soustavné chyby nebo je přesnost jednoho měření postačující, nesnažíme
se „udělat učiteli radost“ a naměřit obligátních deset hodnot, které navíc uměle vhodně
rozptýlíme.
00 / 34
Přesnost měření musíme ovšem posoudit i v případě jednoho měření veličiny X, a to
odhadnutou chybou ( )u X z třídy přesnosti přístrojů, z výrobní tolerance odporů, kondenzátorů
apod. Pod pojmem „jedno měření“ ovšem rozumíme jedno měření plus jedno kontrolní měření,
abychom mohli vyloučit hrubou chybu.
Odhadnutá chyba měření nám umožní zapsat správný (tj. reálný) počet platných míst
výsledku.
6.1 Příklady
Příklad 1
Při určování momentu setrvačnosti homogenní desky přímou metodou, tj. ze vztahu 2 21
0 12( )J m a b , musíme změřit její rozměry a a b. Hmotnost desky je známa bez udání
chyby, údaj m = 1,805,0 g budeme tedy chápat jako m = (1,805,0 ± 0,1) g. Vzhledem k malé
hodnotě relativní chyby ( ) 0,005 %r m ji při dalších výpočtech zanedbáme.
i a (mm) b (mm)
1 601,5
601,1mma
0,16329 mmas
( ) 0,5 mmu a
( ) 0,08 % 0,1%ru a
80,65
80,295 mmb
0,10012 mmbs
( ) 0,05 mmu a
( ) 0,06 % 0,1%ru a
2 601,0 80,70
3 601,5 80,55
4 601,5 80,50
5 601,5 80,30
6 600,0 80,15
7 601,5 80,10
8 601,5 79,80
9 600,5 79,85
10 601,0 80,35
V tabulce jsou pro srovnání uvedeny také soustavné chyby u a ur použitých měřidel
v absolutním a relativním tvaru. Rozměr a desky jsme měřili kovovým měřítkem, veličinu b
posuvkou. Chyby veličin a a b jsou podle vztahu (6.3):
( ) 2,262 0,36936 mmaa s po zaokrouhlení ( ) 0,4 mma
( ) 2,262 0,22647 mmbb s po zaokrouhlení ( ) 0,3 mmb
Hodnotu koeficientu ,n Pt pro požadovanou 95%-ní pravděpodobnost a 10 měření jsme
odečetli z tab. 3.1.
Výsledky přímých měření tedy zapíšeme ve tvaru:
(601,1 0,4) mm při 95 % a 10 ( ) 0,07 % 0,1% ra P n a
(80,3 0,3) mm při 95 % a 10 ( ) 0,37 % 0,4 % rb P n b
00 / 35
Náhodná a soustavná chyba jsou u veličiny a srovnatelné, u veličiny b je náhodná chyba
oproti soustavné o něco větší. Vzhledem k menšímu rozměru b jsou však chyby
( )ru a a ( )ru b srovnatelné. Moment setrvačnosti je:
2 2 2 2 6 2 5 20
1 11,805 601,1 80,3 10 kg.m 5531,863 10 kg.m
12 12J m a b
Chyba 0( )J je podle vztahu z tab. 3.2:
6 2 5 20
1,805( ) ( ) ( ) 601,1 0,4 80,3 0,3 10 kg.m 8 10 kg.m
6 6
mJ a a b b
Výsledek zaokrouhlíme tak, aby poslední platná cifra výsledku byla stejného řádu jako chyba.
5 20 0(5532 8) 10 kg.m při 95 % a 10 ( ) 0,2 % rJ P n J
Příklad 2
Měření elektrického odporu přímou metodou se provádí na základě Ohmova zákona, tj.
pomocí měření procházejícího proudu a příslušného úbytku napětí.
Napětí U jsme měřili voltmetrem s třídou přesnosti 0,5 o rozsahu 6 V. Naměřená hodnota
napětí byla U = 5,85 V. Ampérmetr měl rozsah 60 mA a třídu přesnosti 1, naměřená hodnota
I = 21,2 mA.
Chyby odečítání na stupnici jsme určili 1 1( ) 0,01V , ( ) 0,1mA .u U u I Chyby přístrojů
dané jejich třídou přesnosti jsou 2 2( ) 0,03 V , ( ) 0,6 mA .u U u I Je zřejmé, že chyby
odečítání na stupnici lze zanedbat vůči mezním chybám přístrojů.
Vypočítáme odpor R:
3
5,85Ω 275,943396Ω
21,2 10
UR
I
.
Relativní chyba ( )r R bude
( ) ( ) ( )( ) 0,5 % 2,8 % 3 %r
R U IR
R U I
,
odtud ( ) ( ) 8,2783Ω 9ΩrR R R .
Výsledek zapíšeme:
(276 9) , ( ) 3 %rR R
Je jasně vidět, že ne všechny přímo měřené veličiny mají stejný vliv na přesnost výsledku.
V našem příkladě byla rozhodující chyba u(I). Pro dosažení přesnějšího výsledku bychom
museli použít ampérmetr s lepší třídou přesnosti.
00 / 36
6.2 Vypracování protokolu o fyzikálním měření
Na začátku semestru určí vyučující, ze kterých měření vypracuje student protokol. Protokol
musí obsahovat:
Vyplněnou hlavičku
První list protokolu opatříte razítkem, které je k disposici v každé laboratoři nebo si ho
v elektronické podobě stáhněte z webu a ve všech kolonkách tuto tabulku vyplníte.
Název úlohy
Úkol měření
Stručné vymezení toho, co se má měřením zjistit. Podklady najdete ve skriptech nebo
v laboratoři u úlohy.
Popis metody měření
Uvedete teoretický základ užité metody (vlastními slovy, neopisujte doslova celé
pasáže skripta!!), vztahy a vzorce potřebné ke zpracování naměřených hodnot
s vysvětlením použitých symbolů. Uváděné rovnice je někdy vhodné číslovat.
Popis experimentu
Nakreslíte schéma měřicího zařízení podle povahy úlohy. Obrázky kreslete podle
pravítka, ne rukou! Uvedete použité přístroje a pomůcky (identifikace výrobním
číslem nebo evidenčním číslem).
Naměřené hodnoty a jejich zpracování
Tabulky hodnot opakovaných měření a hodnoty veličin vypočtených. Tabulka musí mít
číslo a název, veličiny v záhlaví tabulek musí mít jednotky. Rastr tabulek rýsujte podle
pravítka. U každé měřené veličiny provedete výpočet nebo odhad chyby.
Příklad výpočtu
Uvedete každý použitý vztah s číselným dosazením a poté bez dalších mezivýpočtů
výsledek. Opakuje-li se výpočet vícekrát, uvedete jeden příklad numerického dosazení.
Grafy
Měříte-li fyzikální závislosti, zpracujete do grafu. Všechny grafy musí být úhledné a na
první pohled srozumitelné (viz kapitoly 4.3 a 4.4).
Zhodnocení výsledků měření
Přehledně uvedete výsledky měření s udáním chyby. Při měření více metodami
provedete porovnání výsledků z hlediska přesnosti. Je-li to možné, provedete porovnání
s tabulkovou hodnotou. Pokud se váš výsledek liší o více než trojnásobek chyby
měření, je pravděpodobné, že vaše měření je zatíženo nějakou soustavnou chybou
(nevhodná metoda, zanedbání podstatného vlivu apod.). Možná je také hrubá chyba při
měření nebo ve výpočtu.
Poznámka: Při zpracování protokolů včetně grafů je samozřejmě možno využít PC
a vhodný textový a tabulkový procesor.
00 / 37
7 Měřicí přístroje a zdroje
Měřicí přístroje jsou zařízení určená k měření fyzikálních veličin, které jsou pomocí jiných
přístrojů nebo snímačů převedeny na elektrický signál (napětí nebo proud).
Základní elektrické veličiny, kterými jsou napětí a proud, lze měřit v zásadě dvěma typy
přístrojů, a to ručkovými (analogovými) a číslicovými (digitálními).
Ručkové měřicí přístroje pracují na principu silových působení magnetických polí, která
jsou vyvolaná velikostí procházejícího (měřeného) proudu cívkami přístroje. Základem většiny
ručkových měřících přístrojů je vlastní měřící systém, který má podle způsobu převádění
měřené elektrické veličiny na mechanický pohyb definovanou tzv. vlastní spotřebu. Jedná se
o číselné údaje veličin, které daný systém charakterizují (většinou velikostí vnitřního odporu)
a hodnotu připojené veličiny, která vyvolá maximální výchylku na stupnici. Tyto hodnoty pak
definují nejmenší měřicí rozsah přístroje. Jako příklad uvádíme pro magnetoelektrický měřicí
systém hodnoty 60 mV/10 .
Současně používané ručkové měřicí přístroje využívají většinou stejný měřicí systém
a podle způsobu a velikosti připojených rezistorů pak vytvářejí buď voltmetr nebo ampérmetr.
Ampérmetr
je měřicí přístroj určený k měření procházejícího proudu. Do obvodu se zapojuje sériově
(obr. 7.1). Jeho rozsah je možno zvětšovat paralelně k němu připojeným rezistorem, který
nazýváme bočník (obr. 7.2). Chceme-li rozsah ampérmetru zvětšit n-krát, tj. AI nI , pak
odpor bočníku je:
1
Ab
RR
n
. (7. 1)
U URZ RZ
A AI I
IA
IB
RA
RA
Rb
Obr. 7.1 Obr. 7.2
Aby ampérmetr minimálně ovlivňoval skutečnou velikost měřeného proudu, je nutné, aby
jeho vnitřní odpor byl co nejmenší.
00 / 38
Voltmetr
je měřicí přístroj určený k měření napětí v elektrických obvodech. K měřenému dvojpólu
se připojuje paralelně (viz obr. 7.3). Jeho rozsah je možno zvětšovat sériově k němu
připojeným rezistorem, který nazýváme předřadník (obr. 7.4). Chceme-li rozsah voltmetru
zvětšit n-krát, tj. VU nU , pak odpor předřadníku je:
( 1)p VR R n (7.2)
Obecným požadavkem pro měření voltmetrem je, aby jeho vnitřní odpor VR byl co možná
největší.
U
U
V
VI
I
RP
RZ
RV
RV
RZ
Obr. 7.3 Obr. 7.4
Velmi často potřebujeme při měření nastavovat v elektrických obvodech napětí nebo
procházející proud, které jsou od hodnoty napájecího zdroje odlišné. Nejjednodušší je použít
k tomu různě zapojený rezistor, který má jezdce tvořícího odbočku – prvek se nazývá
potenciometr.
Obr. 7.5 Obr. 7.6
Pro regulaci napětí směrem k nižším hodnotám napětí než má napájecí zdroj použijeme
potenciometr v zapojení napěťového děliče.
Na náhradním elektrickém schématu na obr. 7.5 jsme nastavili jezdce potenciometru tak,
že první část má odpor 1R a druhá 2R . Posunem jezdce se hodnoty 1R a 2R mění.
I
U1
2
U1
U2
R1
R2 RZ U
RZRA
A
R1 R2
00 / 39
U nezatíženého děliče napětí je jeho výstupní napětí
22 1
1 2
RU U
R R
. (7.3)
U napěťového děliče, který je na výstupu zatížen rezistorem ZR je pak výstupní napětí:
2
22
21
2
Z
Z
Z
Z
R R
R RU U
R RR
R R
. (7.4)
Pro nastavování proudu obvodem používáme potenciometru zapojeného jako reostat (obr.
7.6.) Část potenciometru 1R , přes níž proud prochází, je proměnná a tedy proud tekoucí
obvodem je ( 2R se neuplatní):
1 A Z
UI
R R R
. (7.5)
Stabilizovaný zdroj BS 525
je zdroj dvou nezávislých stabilizovaných napětí, z nichž každé je možno plynule regulovat od
0 do 30 V. Každá jednotka je vybavena plynule regulovanou ochranou proti přetížení, která
omezuje výstupní proud na předem nastavenou hodnotu. Rozmezí regulace ochrany je možno
volit od 0,05 A do 1,1 A. Pokud proudová ochrana je ve funkci, svítí LED, která je umístěna
vedle nastavovacího elementu.
Výstupní napětí je měřeno na vestavěném indikačním přístroji, a to zvlášť na každé
jednotce. Po přepnutí horního přepínače umístěného vedle indikátoru je na měřicím přístroji
indikována hodnota výstupního napětí, po stisknutí spodního je pak indikována hodnota
odebíraného proudu.
Pro přesné měření výstupního napětí je třeba použít vnější voltmetr.
Každý ze zdrojů má tři výstupní zdířky, ke kterým se připojuje zátěž. Střední svorka
(zelená) je spojena jen s kostrou přístroje. Využívá se k vytvoření symetrického napětí pomocí
dvou vnějších rezistorů.
Ke zbývajícím dvěma svorkám je připojeno výstupní napětí.
Pokud chceme ze zdroje odebírat vyšší výstupní napětí než 30 V, je možno zdroje spojit do
série. Pak ale musí být některá z výstupních svorek spojena s kostrou přístroje a obě jednotky
musí mít nastaveny stejný omezovací výstupní proud.
Poznámka
Společně s ručkovými měřicími přístroji se v laboratořích objevují i měřicí přístroje
číslicové (digitální) a také další zdroje. Pokud to bude nutné, najdete jejich popis
u jednotlivých úloh.