Geometrie

Gymnázium, SOŠ a VOŠ

Ledeč nad Sázavou

Mgr. Jarmila Zelená

Gymnázium, SOŠ a VOŠ

Ledeč nad Sázavou

Objemy a povrchy těles – hranoly,

jehlany

VY_32_INOVACE_05_3_16_M2

1

1. Hranoly

OBJEM HRANOLU vSV p

POVRCH HRANOLU plP SSS

2

Řešené příklady:

1. Je dána krychle, jejíž stěnová úhlopříčka má délku 8,5 cm. Urči délku strany

krychle. Vypočti obsah stěn krychle a kolik litrů vody se do ní vejde, pokud

bude naplněna 5 mm pod okraj.

3

cma

a

ua

au

aau

6

2

5,8

2

2

2

2

22

22

Obsah krychle vypočítáme následovně:

22

2

21636.66.6

6..6

cmS

aaaS

4

A na závěr vypočítáme objem: a = 6 cm, v = 5,5 cm

ldmcmV

vaV

vSV p

198,0198,01985,56 332

2

Délka strany krychle je 6 cm, její obsah je 216 cm2 a vejde se do ní 0,198 litrů

vody.

5

2. Vypočtěte objem a povrch pravidelného šestibokého hranolu o délce

hrany podstavy 6 cm, víte-li, že jeho výška je 20 cm.

Objem hranolu vypočteme podle vzorce V = S.v,

kde S je obsah podstavy a v je jeho výška.

Vypočteme tedy obsah pravidelného

šestiúhelníku, který se skládá ze šesti

rovnostranných trojúhelníků.

6

Nejprve si vypočteme výšku v rovnostranném trojúhelníku: cmv

v

a

a

27

36 222

A nakonec vypočteme objem šestibokého

hranolu: 361,1870202763

26

cmV

vva

V a

Jednodušší postup, pokud známe vzorec

na výpočet obsahu rovnostranného

trojúhelníku:

3

2

61,1870

4

36

cmV

vaV

7

Povrch vypočítáme podle vzorce

206,907202766

6

62

62

2

cmS

vvaS

vava

S

SSS

a

a

plp

Objem pravidelného šestibokého hranolu je 1872 cm3 a povrch 206,907 cm .

8

Jehlany

OBJEM JEHLANU vSV P

3

1

POVRCH JEHLANU plP SSS

9

Pravidelný čtyřboký jehlan

10

Řešené příklady:

1. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan podstavnou hranou délky 12 cm a výškou

5 cm. Vypočítejte:

a) výšku boční stěny

b) povrch

c) objem

d) úhlopříčku podstavy

e) délku pobočné hrany

f) úhel, který svírá boční stěna s podstavou

11

Řešení:

a)

2

22

2

avv ts

b) plP SSS

cmv

cmv

v

s

s

s

8,7

61

65 222

2

2

2

45,331

6112212

24

cmS

S

vaaS s

12

c) vSV P

3

1

d) au 2

32

2

2405123

1

3

1

cmV

vaV

cmu 212

e)

2

2

2

2tv

uh

f) 2

a

vtg t

cmh

h

97

52

212 2

2

2

´4839

6

5

tg

13

Příklady k procvičení: HRANOLY

1. Součet délek všech hran kvádru je 16,8 m. Jeho rozměry jsou v poměru

1 : 8 : 3. Vypočítejte objem a povrch takového kvádru.

[8,575 m2; 1,029 m3]

2. Zedník měl omítnout stěny a strop místnosti. Podlaha je čtverec o straně

délky 5 m, výška stěn je 280 cm. Jak velkou plochu měl omítnout?

[81 m2]

3. Kolik hektolitrů nafty je v zásobníku tvaru kvádru (rozměry 7,2 m; 3,84 m;

45 cm), je-li naplněn na 85% svého objemu.

[105,75 hl]

14

4. Podstava hranolu je pravoúhlý trojúhelník, jehož odvěsna má délku 5 cm.

Obsah největší boční stěny je 130 cm2 a výška tělesa je 10 cm. Vypočítejte

povrch a objem hranolu.

[360 cm2; 300 cm3]

5. V akváriu tvaru kvádru o rozměrech dna 25 cm a 30 cm je 9 litrů vody.

Vypočítejte obsah ploch, které jsou smáčeny vodou.

[20,7 dm2]

6. Do pískoviště (délka 3,5 m a šířka 2,8 m) přivezli 2 m3 písku. Jak vysoká

bude vrstva, když ho rovnoměrně rozhrneme po celém pískovišti?

[20,4 cm]

15

7. Podstava hranolu je pravoúhlý trojúhelník, jehož odvěsny mají délku 6,8 cm

a 5,1 cm. Výška hranolu je 7,0 cm. Vypočítejte povrch a objem.

[177,48 cm2; 121,38 cm3]

8. Silniční násep má příčný řez tvaru rovnoramenného lichoběžníku, který má

délku základen 10 m a 18 m a ramen 5 m. Kolik krychlových metrů zemin je

v náspu o délce 400 m?

[16800 m3]

9. V bazénu tvaru kvádru je 150 m3 vody. Určete rozměry dna, je-li hloubka

vody 250 cm a jeden rozměr dna je o 4 m větší než druhý.

[6 m, 10 m]

16

10. Pravidelný trojboký hranol má obsah pláště 1,5 dm2 a výšku 5 cm.

Vypočítejte jeho hmotnost, je-li vyroben z oceli o hustotě 6 900 kg m-3.

[1,49 kg]

11. Tělesová úhlopříčka pravidelného čtyřbokého hranolu svírá

s podstavou úhel o velikosti 60º. Hrana podstavy má délku 10 cm.

Vypočtěte objem tělesa. [2 449,5 cm3]

12. Pravidelný osmiboký hranol je vysoký 33 cm. Poloměr kružnice opsané

podstavě je 16 cm. Určete objem a povrch. [4 682,2 cm2; 23 894,55 cm3]

13. Zásobník tvaru krychle bez víka má mít objem 80 hl. Kolik m2 plechu je

třeba na jeho výrobu, přidáme-li 12 % povrchu na spoje a odpad?

[22,4 m2]

17

14. Kolik hl pojme vodovod, jehož podstavu tvoří pravidelný šestiúhelník o délce

hrany 1 m, je-li hloubka vodojemu 2,2 m.

[V = 57,16 hl]

18

Příklady k procvičení: JEHLANY

1. Boční hrana a hrana podstavy pravidelného čtyřbokého jehlanu svírají

úhel 68°. Délka hrany podstavy je 42 mm. Vypočítejte povrch jehlanu.

[61,32 cm2]

2. Pravidelný šestiboký jehlan má povrch 450 cm2. Vypočítejte obsah jedné

boční stěny, když obsah podstavy je 48 cm2. [67 cm2]

3. Pravidelný čtyřboký jehlan má povrch 217 cm2 a obsah jedné boční stěny

42 cm2. Vypočítejte délku hrany podstavy jehlanu. [7 cm]

19

4. Všechny stěny (včetně podstavy) pravidelného čtyřbokého jehlanu mají

stejný obvod o = 36 cm. Vypočítejte povrch a objem tohoto jehlanu.

[310,1 cm2; 321,57 cm3]

5. Nad stavbou se čtvercovým půdorysem o straně 8 m je střecha tvaru

jehlanu o výšce 5 m. Vypočítejte spotřebu plechu na pokrytí této střechy,

jestliže na spoje a odpad připočítáváme 12 %. [111,74 m2]

6. Pravidelný šestiboký jehlan má povrch 450 cm2. Vypočítejte obsah

podstavy, když obsah boční stěny je 48 cm2. [162 cm2]

7. Vypočítejte povrch a objem pravidelného pětibokého jehlanu, jehož

podstavná hrana má délku 5,8 cm a jehož výška je 7,2 cm.

[138,9 cm3; 177 cm2]

20

8. Pravidelný čtyřboký jehlan má povrch 96 cm2 a hranu podstavy dlouhou

6 cm. Vypočítejte stěnovou a tělesovou výšku. [5 cm, 4 cm]

9. Stěnová výška pravidelného čtyřbokého jehlanu měří stejně jako

podstavná hrana, jeho povrch je 192 cm2. Vypočítejte objem tohoto

jehlanu. [148 m3]

10. Pravidelný čtyřboký jehlan má objem 150 cm3 a jeho výška je 6,8 cm.

Vypočítejte délku podstavné hrany. [11 cm]

11. Je dán pravidelný šestiboký jehlan. Určete jeho objem a obsah pláště,

víte-li, že poloměr kružnice opsané podstavě je 1,8 m a výška 24 dm.

[6,734 m3; 15,552 m2]

21

12. Odlitek tvaru pravidelného pětibokého jehlanu o hraně podstavy 60 cm

a výšce 5 cm má hustotu 7,8 g / cm3. Vypočítejte jeho hmotnost.

[80,5 kg]

13. Pravidelný osmiboký jehlan má boční hranu b = 3,5 dm; její odchylka

od roviny podstavy je = 70. Určete objem a povrch jehlanu.

[4,47 dm3; 16,93 dm2]

14. Střecha tvaru pravidelného čtyřbokého jehlanu má výšku 8 m a

podstavnou hranu 4 m. Kolik procent připadlo na záhyby, jestliže se na

její pokrytí spotřebovalo 75,9 m2plechu ? [15,1 %]

15. Obvod věže tvaru pravidelného čtyřbokého jehlanu je 48 m, tělesová

výška 2,5 m. Vypočítejte cenu plechu na pokrytí, stojí-li m2 30 Kč a

počítá-li se s 12 % na spoje a záhyby. [5 242 Kč]