Geometrie
Gymnázium, SOŠ a VOŠ
Ledeč nad Sázavou
Mgr. Jarmila Zelená
Gymnázium, SOŠ a VOŠ
Ledeč nad Sázavou
Objemy a povrchy těles – hranoly,
jehlany
VY_32_INOVACE_05_3_16_M2
1
1. Hranoly
OBJEM HRANOLU vSV p
POVRCH HRANOLU plP SSS
2
Řešené příklady:
1. Je dána krychle, jejíž stěnová úhlopříčka má délku 8,5 cm. Urči délku strany
krychle. Vypočti obsah stěn krychle a kolik litrů vody se do ní vejde, pokud
bude naplněna 5 mm pod okraj.
3
cma
a
ua
au
aau
6
2
5,8
2
2
2
2
22
22
Obsah krychle vypočítáme následovně:
22
2
21636.66.6
6..6
cmS
aaaS
4
A na závěr vypočítáme objem: a = 6 cm, v = 5,5 cm
ldmcmV
vaV
vSV p
198,0198,01985,56 332
2
Délka strany krychle je 6 cm, její obsah je 216 cm2 a vejde se do ní 0,198 litrů
vody.
5
2. Vypočtěte objem a povrch pravidelného šestibokého hranolu o délce
hrany podstavy 6 cm, víte-li, že jeho výška je 20 cm.
Objem hranolu vypočteme podle vzorce V = S.v,
kde S je obsah podstavy a v je jeho výška.
Vypočteme tedy obsah pravidelného
šestiúhelníku, který se skládá ze šesti
rovnostranných trojúhelníků.
6
Nejprve si vypočteme výšku v rovnostranném trojúhelníku: cmv
v
a
a
27
36 222
A nakonec vypočteme objem šestibokého
hranolu: 361,1870202763
26
cmV
vva
V a
Jednodušší postup, pokud známe vzorec
na výpočet obsahu rovnostranného
trojúhelníku:
3
2
61,1870
4
36
cmV
vaV
7
Povrch vypočítáme podle vzorce
206,907202766
6
62
62
2
cmS
vvaS
vava
S
SSS
a
a
plp
Objem pravidelného šestibokého hranolu je 1872 cm3 a povrch 206,907 cm .
8
Jehlany
OBJEM JEHLANU vSV P
3
1
POVRCH JEHLANU plP SSS
9
Pravidelný čtyřboký jehlan
10
Řešené příklady:
1. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan podstavnou hranou délky 12 cm a výškou
5 cm. Vypočítejte:
a) výšku boční stěny
b) povrch
c) objem
d) úhlopříčku podstavy
e) délku pobočné hrany
f) úhel, který svírá boční stěna s podstavou
11
Řešení:
a)
2
22
2
avv ts
b) plP SSS
cmv
cmv
v
s
s
s
8,7
61
65 222
2
2
2
45,331
6112212
24
cmS
S
vaaS s
12
c) vSV P
3
1
d) au 2
32
2
2405123
1
3
1
cmV
vaV
cmu 212
e)
2
2
2
2tv
uh
f) 2
a
vtg t
cmh
h
97
52
212 2
2
2
´4839
6
5
tg
13
Příklady k procvičení: HRANOLY
1. Součet délek všech hran kvádru je 16,8 m. Jeho rozměry jsou v poměru
1 : 8 : 3. Vypočítejte objem a povrch takového kvádru.
[8,575 m2; 1,029 m3]
2. Zedník měl omítnout stěny a strop místnosti. Podlaha je čtverec o straně
délky 5 m, výška stěn je 280 cm. Jak velkou plochu měl omítnout?
[81 m2]
3. Kolik hektolitrů nafty je v zásobníku tvaru kvádru (rozměry 7,2 m; 3,84 m;
45 cm), je-li naplněn na 85% svého objemu.
[105,75 hl]
14
4. Podstava hranolu je pravoúhlý trojúhelník, jehož odvěsna má délku 5 cm.
Obsah největší boční stěny je 130 cm2 a výška tělesa je 10 cm. Vypočítejte
povrch a objem hranolu.
[360 cm2; 300 cm3]
5. V akváriu tvaru kvádru o rozměrech dna 25 cm a 30 cm je 9 litrů vody.
Vypočítejte obsah ploch, které jsou smáčeny vodou.
[20,7 dm2]
6. Do pískoviště (délka 3,5 m a šířka 2,8 m) přivezli 2 m3 písku. Jak vysoká
bude vrstva, když ho rovnoměrně rozhrneme po celém pískovišti?
[20,4 cm]
15
7. Podstava hranolu je pravoúhlý trojúhelník, jehož odvěsny mají délku 6,8 cm
a 5,1 cm. Výška hranolu je 7,0 cm. Vypočítejte povrch a objem.
[177,48 cm2; 121,38 cm3]
8. Silniční násep má příčný řez tvaru rovnoramenného lichoběžníku, který má
délku základen 10 m a 18 m a ramen 5 m. Kolik krychlových metrů zemin je
v náspu o délce 400 m?
[16800 m3]
9. V bazénu tvaru kvádru je 150 m3 vody. Určete rozměry dna, je-li hloubka
vody 250 cm a jeden rozměr dna je o 4 m větší než druhý.
[6 m, 10 m]
16
10. Pravidelný trojboký hranol má obsah pláště 1,5 dm2 a výšku 5 cm.
Vypočítejte jeho hmotnost, je-li vyroben z oceli o hustotě 6 900 kg m-3.
[1,49 kg]
11. Tělesová úhlopříčka pravidelného čtyřbokého hranolu svírá
s podstavou úhel o velikosti 60º. Hrana podstavy má délku 10 cm.
Vypočtěte objem tělesa. [2 449,5 cm3]
12. Pravidelný osmiboký hranol je vysoký 33 cm. Poloměr kružnice opsané
podstavě je 16 cm. Určete objem a povrch. [4 682,2 cm2; 23 894,55 cm3]
13. Zásobník tvaru krychle bez víka má mít objem 80 hl. Kolik m2 plechu je
třeba na jeho výrobu, přidáme-li 12 % povrchu na spoje a odpad?
[22,4 m2]
17
14. Kolik hl pojme vodovod, jehož podstavu tvoří pravidelný šestiúhelník o délce
hrany 1 m, je-li hloubka vodojemu 2,2 m.
[V = 57,16 hl]
18
Příklady k procvičení: JEHLANY
1. Boční hrana a hrana podstavy pravidelného čtyřbokého jehlanu svírají
úhel 68°. Délka hrany podstavy je 42 mm. Vypočítejte povrch jehlanu.
[61,32 cm2]
2. Pravidelný šestiboký jehlan má povrch 450 cm2. Vypočítejte obsah jedné
boční stěny, když obsah podstavy je 48 cm2. [67 cm2]
3. Pravidelný čtyřboký jehlan má povrch 217 cm2 a obsah jedné boční stěny
42 cm2. Vypočítejte délku hrany podstavy jehlanu. [7 cm]
19
4. Všechny stěny (včetně podstavy) pravidelného čtyřbokého jehlanu mají
stejný obvod o = 36 cm. Vypočítejte povrch a objem tohoto jehlanu.
[310,1 cm2; 321,57 cm3]
5. Nad stavbou se čtvercovým půdorysem o straně 8 m je střecha tvaru
jehlanu o výšce 5 m. Vypočítejte spotřebu plechu na pokrytí této střechy,
jestliže na spoje a odpad připočítáváme 12 %. [111,74 m2]
6. Pravidelný šestiboký jehlan má povrch 450 cm2. Vypočítejte obsah
podstavy, když obsah boční stěny je 48 cm2. [162 cm2]
7. Vypočítejte povrch a objem pravidelného pětibokého jehlanu, jehož
podstavná hrana má délku 5,8 cm a jehož výška je 7,2 cm.
[138,9 cm3; 177 cm2]
20
8. Pravidelný čtyřboký jehlan má povrch 96 cm2 a hranu podstavy dlouhou
6 cm. Vypočítejte stěnovou a tělesovou výšku. [5 cm, 4 cm]
9. Stěnová výška pravidelného čtyřbokého jehlanu měří stejně jako
podstavná hrana, jeho povrch je 192 cm2. Vypočítejte objem tohoto
jehlanu. [148 m3]
10. Pravidelný čtyřboký jehlan má objem 150 cm3 a jeho výška je 6,8 cm.
Vypočítejte délku podstavné hrany. [11 cm]
11. Je dán pravidelný šestiboký jehlan. Určete jeho objem a obsah pláště,
víte-li, že poloměr kružnice opsané podstavě je 1,8 m a výška 24 dm.
[6,734 m3; 15,552 m2]
21
12. Odlitek tvaru pravidelného pětibokého jehlanu o hraně podstavy 60 cm
a výšce 5 cm má hustotu 7,8 g / cm3. Vypočítejte jeho hmotnost.
[80,5 kg]
13. Pravidelný osmiboký jehlan má boční hranu b = 3,5 dm; její odchylka
od roviny podstavy je = 70. Určete objem a povrch jehlanu.
[4,47 dm3; 16,93 dm2]
14. Střecha tvaru pravidelného čtyřbokého jehlanu má výšku 8 m a
podstavnou hranu 4 m. Kolik procent připadlo na záhyby, jestliže se na
její pokrytí spotřebovalo 75,9 m2plechu ? [15,1 %]
15. Obvod věže tvaru pravidelného čtyřbokého jehlanu je 48 m, tělesová
výška 2,5 m. Vypočítejte cenu plechu na pokrytí, stojí-li m2 30 Kč a
počítá-li se s 12 % na spoje a záhyby. [5 242 Kč]