Т. П. Гой, О. В. Махней
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНIТА IНТЕГРАЛЬНI
РIВНЯННЯ
Навчальний посiбникдля студентiв вищих навчальних закладiв
напрямiв пiдготовки«фiзика», «прикладна фiзика»
Видання друге, виправлене та доповнене
ТЕРНОПIЛЬНАВЧАЛЬНА КНИГА – БОГДАН
УДК 517.9ББК 22.161.6
Г 59
Рекомендовано Мiнiстерством освiти i науки України(лист №1/11-5297 вiд 13.03.2013 р.)
Рецензенти:Гасюк I. М., доктор фiзико-математичних наук, професор (Прикарпат-
ський нацiональний унiверситет iм. Василя Стефаника),Сторож О. Г., доктор фiзико-математичних наук, професор (Львiв-
ський нацiональний унiверситет iм. Iвана Франка),Тацiй Р. М., доктор фiзико-математичних наук, професор (Львiвський
державний унiверситет безпеки життєдiяльностi)
Гой Т. П.Г59 Диференцiальнi та iнтегральнi рiвняння : навчальний посiбник /
Т. П. Гой, О. В. Махней. — Вид. 2-ге, випр. та доп. — Тернопiль :Навчальна книга – Богдан, 2014. — 360 с.ISBN 978-966-10-3530-9
У посiбнику у виглядi курсу лекцiй викладено основи теорiї зви-чайних диференцiальних та iнтегральних рiвнянь, а також деякiспорiдненi питання (рiвняння з частинними похiдними першогопорядку, основи стiйкостi розв’язкiв рiвнянь, елементи варiацiй-ного числення). Автори намагались поєднати строгiсть викладуматерiалу теорiї диференцiальних та iнтегральних рiвнянь з при-кладним спрямуванням її методiв, наводячи для цього численнiприклади з фiзики, механiки, iнших наук. Кожна лекцiя супро-воджується питаннями та завданнями для самостiйного розв’язу-вання.Для студентiв напрямiв пiдготовки «фiзика», «прикладна фiзи-
ка». Може бути корисним для студентiв технiчних напрямiв пiд-готовки.
УДК 517.9ББК 22.161.6
ISBN 978-966-10-3530-9 c© Т. П. Гой, О. В. Махней, 2014c© Навчальна книга – Богдан, 2014
ЗМIСТ
ПЕРЕДМОВА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
РОЗДIЛ 1. ЗВИЧАЙНI ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВ-НЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ . . . . 13
Лекцiя 1. Поняття про диференцiальнi рiвняння.Приклади задач, якi приводять до зви-чайних диференцiальних рiвнянь . . . . . 13
1. Задачi, якi приводять до диференцiальних рiвнянь . 132. Основнi означення й поняття . . . . . . . . . . . . . . 193. Складання диференцiальних рiвнянь виключеннямдовiльних сталих . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Питання до лекцiї 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Вправи до лекцiї 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Лекцiя 2. Диференцiальнi рiвняння першого поряд-ку (загальна теорiя) . . . . . . . . . . . . . . 25
1. Основнi означення й поняття . . . . . . . . . . . . . . 252. Задача Кошi. Умови iснування та єдиностi розв’язкузадачi Кошi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3. Класифiкацiя розв’язкiв диференцiального рiвнянняпершого порядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4. Геометричне тлумачення диференцiального рiвнянняпершого порядку та його розв’язкiв. Метод iзоклiн . 31
5. Механiчне тлумачення диференцiального рiвнянняпершого порядку та його розв’язкiв . . . . . . . . . . 35Питання до лекцiї 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Вправи до лекцiї 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Лекцiя 3. Деякi класи диференцiальних рiвняньпершого порядку, iнтегровних у квадра-турах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1. Рiвняння з вiдокремлюваними змiнними та звiднi доних . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2. Однорiднi рiвняння . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423. Рiвняння, звiднi до однорiдних . . . . . . . . . . . . . 45Питання до лекцiї 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4 ЗМIСТ
Вправи до лекцiї 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Лекцiя 4. Деякi класи диференцiальних рiвнянь
першого порядку, iнтегровних у квадра-турах (продовження) . . . . . . . . . . . . . 51
1. Лiнiйнi рiвняння . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512. Рiвняння Бернуллi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553. Рiвняння у повних диференцiалах . . . . . . . . . . . 584. Iнтегрувальний множник . . . . . . . . . . . . . . . . 61Питання до лекцiї 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Вправи до лекцiї 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Лекцiя 5. Неявнi диференцiальнi рiвняння першогопорядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1. Основнi означення й поняття . . . . . . . . . . . . . . 652. Окремi випадки iнтегровних неявних диференцiаль-них рiвнянь першого порядку . . . . . . . . . . . . . . 68
3. Рiвняння Лаґранжа та рiвняння Клеро . . . . . . . . 724. Задача про ортогональнi траєкторiї . . . . . . . . . . 75Питання до лекцiї 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Вправи до лекцiї 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Лекцiя 6. Основнi властивостi розв’язкiв диферен-цiальних рiвнянь першого порядку . . . . 79
1. Принцип стискаючих вiдображень . . . . . . . . . . . 792. Теорема iснування та єдиностi розв’язку задачi Кошi 833. Продовження розв’язку задачi Кошi . . . . . . . . . . 874. Коректнiсть задачi Кошi . . . . . . . . . . . . . . . . 89Питання до лекцiї 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Вправи до лекцiї 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
РОЗДIЛ 2. ЗВИЧАЙНI ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВ-НЯННЯ ВИЩИХ ПОРЯДКIВ . . . . . 92
Лекцiя 7. Диференцiальнi рiвняння вищих порядкiв 921. Основнi означення й поняття . . . . . . . . . . . . . . 922. Неповнi рiвняння . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963. Однорiднi рiвняння . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Питання до лекцiї 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104Вправи до лекцiї 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
ЗМIСТ 5
Лекцiя 8. Лiнiйнi однорiднi диференцiальнi рiвнян-ня n-го порядку . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
1. Основнi означення й поняття . . . . . . . . . . . . . . 1052. Властивостi розв’язкiв лiнiйного однорiдногорiвняння . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3. Лiнiйно залежнi та лiнiйно незалежнi функцiї . . . . 1094. Теорема про загальний розв’язок лiнiйного однорiд-ного рiвняння . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5. Формула Остроградського–Лiувiлля . . . . . . . . . . 114Питання до лекцiї 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Вправи до лекцiї 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Лекцiя 9. Лiнiйнi однорiднi диференцiальнi рiвнян-ня n-го порядку зi сталими коефiцiєнтами 118
1. Основнi означення й поняття . . . . . . . . . . . . . . 1182. Метод Ейлера. Випадок простих характеристичнихчисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3. Метод Ейлера. Випадок кратних характеристичнихчисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4. Диференцiальнi рiвняння, звiднi до рiвнянь зi стали-ми коефiцiєнтами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5. Застосування лiнiйних однорiдних диференцiальнихрiвнянь другого порядку до коливальних рухiв . . . 126Питання до лекцiї 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130Вправи до лекцiї 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Лекцiя 10. Лiнiйнi неоднорiднi диференцiальнi рiв-няння n-го порядку . . . . . . . . . . . . . . 132
1. Структура загального розв’язку лiнiйного неоднорiд-ного рiвняння . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2. Метод варiацiї довiльних сталих . . . . . . . . . . . . 1343. Метод невизначених коефiцiєнтiв . . . . . . . . . . . 1374. Застосування лiнiйних неоднорiдних рiвнянь другогопорядку до коливальних рухiв . . . . . . . . . . . . . 142Питання до лекцiї 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Вправи до лекцiї 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6 ЗМIСТ
Лекцiя 11. Лiнiйнi однорiднi рiвняння другого по-рядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
1. Канонiчна форма лiнiйного однорiдного рiвняннядругого порядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
2. Самоспряжена форма лiнiйного однорiдного рiвнян-ня другого порядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3. Побудова загального розв’язку у випадку, якщо вiдо-мий один частинний розв’язок . . . . . . . . . . . . . 152
4. Використання формули Остроградського–Лiувiллядля iнтегрування лiнiйних однорiдних рiвнянь дру-гого порядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5. Iнтегрування лiнiйних рiвнянь з допомогою степене-вих рядiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Питання до лекцiї 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Вправи до лекцiї 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Лекцiя 12. Крайовi задачi для диференцiальнихрiвнянь другого порядку . . . . . . . . . . 163
1. Основнi означення й поняття . . . . . . . . . . . . . . 1632. Iснування та єдинiсть розв’язку крайової задачi . . . 1643. Функцiя Ґрiна крайової задачi . . . . . . . . . . . . . 1664. Крайовi задачi на власнi значення . . . . . . . . . . . 170Питання до лекцiї 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173Вправи до лекцiї 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
РОЗДIЛ 3. СИСТЕМИ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕН-ЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . . . . . . . . 174
Лекцiя 13. Системи звичайних диференцiальнихрiвнянь (загальна теорiя) . . . . . . . . . . 174
1. Основнi означення й поняття . . . . . . . . . . . . . . 1742. Механiчне тлумачення нормальної системи та її роз-в’язкiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3. Зведення диференцiального рiвняння n-го порядкудо нормальної системи й обернена задача . . . . . . . 181
4. Лiнiйнi однорiднi системи . . . . . . . . . . . . . . . . 184Питання до лекцiї 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187Вправи до лекцiї 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
ЗМIСТ 7
Лекцiя 14. Лiнiйнi однорiднi системи звичайних ди-ференцiальних рiвнянь . . . . . . . . . . . . 188
1. Лiнiйно залежнi (незалежнi) сукупностi функцiй . . 1882. Формула Остроградського–Якобi . . . . . . . . . . . . 1923. Теорема про побудову загального розв’язку лiнiйноїоднорiдної системи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
4. Лiнiйнi однорiднi системи зi сталими коефiцiєнтами.Метод Ейлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194Питання до лекцiї 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203Вправи до лекцiї 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Лекцiя 15. Лiнiйнi неоднорiднi системи звичайнихдиференцiальних рiвнянь . . . . . . . . . . 204
1. Структура загального розв’язку лiнiйної неоднорi-дної системи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
2. Метод варiацiї довiльних сталих . . . . . . . . . . . . 2063. Метод невизначених коефiцiєнтiв . . . . . . . . . . . 2094. Метод Д’Аламбера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213Питання до лекцiї 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214Вправи до лекцiї 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
РОЗДIЛ 4. ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI РIВНЯННЯ ЗЧАСТИННИМИ ПОХIДНИМИ ПЕР-ШОГО ПОРЯДКУ . . . . . . . . . . . . . 216
Лекцiя 16. Лiнiйнi однорiднi рiвняння з частиннимипохiдними першого порядку . . . . . . . . 216
1. Зв’язок лiнiйного однорiдного рiвняння з частиннимипохiдними першого порядку з вiдповiдною системоюхарактеристик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
2. Побудова загального розв’язку лiнiйного однорiдногорiвняння . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
3. Задача Кошi для лiнiйного однорiдного рiвняння . . 223Питання до лекцiї 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Вправи до лекцiї 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8 ЗМIСТ
Лекцiя 17. Квазiлiнiйнi та нелiнiйнi рiвняння з ча-стинними похiдними першого порядку . 226
1. Побудова загального розв’язку квазiлiнiйного рiвнян-ня першого порядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
2. Задачi Кошi для квазiлiнiйного рiвняння першого по-рядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
3. Нелiнiйнi рiвняння з частинними похiдними першогопорядку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
4. Рiвняння Пфаффа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235Питання до лекцiї 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238Вправи до лекцiї 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
РОЗДIЛ 5. СТIЙКIСТЬ РОЗВ’ЯЗКIВ ДИФЕ-РЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ . . . . . . . 239
Лекцiя 18. Основи теорiї стiйкостi за Ляпуновим . . 2391. Основнi означення й поняття . . . . . . . . . . . . . . 2392. Дослiдження на стiйкiсть точок спокою . . . . . . . . 2433. Стiйкiсть за першим наближенням . . . . . . . . . . 2454. Критерiї Рауса–Гурвiца, Л’єнара–Шипара . . . . . . 250Питання до лекцiї 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252Вправи до лекцiї 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
Лекцiя 19. Теорема Ляпунова. Фазова площина . . . 2531. Дослiдження на стiйкiсть з використанням функцiйЛяпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
2. Класифiкацiя точок спокою автономної системи . . . 256Питання до лекцiї 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268Вправи до лекцiї 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
РОЗДIЛ 6. IНТЕГРАЛЬНI РIВНЯННЯ . . . . . . . 269Лекцiя 20. Iнтегральнi рiвняння, їх застосування та
деякi методи розв’язування . . . . . . . . . 2691. Основнi означення й поняття . . . . . . . . . . . . . . 2692. Фiзичнi задачi, якi приводять до iнтегральнихрiвнянь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
3. Зв’язок мiж iнтегральними рiвняннями та задачеюКошi для звичайних диференцiальних рiвнянь . . . . 274Питання до лекцiї 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
ЗМIСТ 9
Вправи до лекцiї 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281Лекцiя 21. Лiнiйнi iнтегральнi рiвняння . . . . . . . . 2821. Метод послiдовних наближень для рiвнянняФредгольма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
2. Метод послiдовних наближень для рiвнянняВольтерри . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
3. Метод iтерованих ядер для рiвняння Фредгольма . . 2894. Метод iтерованих ядер для рiвняння Вольтерри . . . 293Питання до лекцiї 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296Вправи до лекцiї 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
Лекцiя 22. Iнтегральнi рiвняння з виродженимиядрами та iнтегральнi рiвняння першо-го роду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
1. Iнтегральнi рiвняння Фредгольма другого роду з ви-родженими ядрами. Основнi означення й поняття . . 298
2. Теореми Фредгольма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3003. Iнтегральнi рiвняння Фредгольма першого роду й iн-тегральнi рiвняння Вольтерри першого роду . . . . . 309Питання до лекцiї 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313Вправи до лекцiї 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
РОЗДIЛ 7. ОСНОВИ ВАРIАЦIЙНОГО ЧИСЛЕН-НЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
Лекцiя 23. Найпростiшi варiацiйнi задачi . . . . . . . 3141. Предмет варiацiйного числення. Класичнi варiацiйнiзадачi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
2. Основi означення й поняття варiацiйного числення . 3183. Найпростiша задача варiацiйного числення . . . . . . 322Питання до лекцiї 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329Вправи до лекцiї 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
Лекцiя 24. Деякi узагальнення найпростiшої варiа-цiйної задачi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
1. Варiацiйна задача з кiлькома функцiями . . . . . . . 3302. Варiацiйна задача з похiдними вищих порядкiв . . . 3333. Iзопериметрична задача . . . . . . . . . . . . . . . . . 337Питання до лекцiї 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
10 ЗМIСТ
Вправи до лекцiї 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛIТЕРАТУРИ . . 346
КОРОТКI ВIДОМОСТI ПРО ВЧЕНИХ, ЯКI ЗГА-ДУЮТЬСЯ У ПОСIБНИКУ . . . . . . . . . . . 348
ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК . . . . . . . . . . . . . 355
11
ПЕРЕДМОВА
Диференцiальнi та iнтегральнi рiвняння й методи дослiджен-ня їхнiх розв’язкiв широко використовуються у рiзноманiтнихгалузях i роздiлах сучасної науки й технiки. Саме тому навчаль-на дисциплiна «Диференцiальнi та iнтегральнi рiвняння» займаєчiльне мiсце у пiдготовцi спецiалiстiв з фiзики, механiки, еле-ктронiки, хiмiї, матерiалознавства, бiологiї, машинобудуваннятощо.
Пропонований посiбник охоплює основну частину унiверси-тетської програми з диференцiальних та iнтегральних рiвняньдля студентiв напрямiв пiдготовки «фiзика», «прикладна фiзи-ка», але може бути використаний також студентами iнженерно-технiчних вищих навчальних закладiв.
Метою посiбника є ознайомлення студентiв з основними поня-ттями, твердженнями, методами та застосуваннями теорiї дифе-ренцiальних та iнтегральних рiвнянь, сприяння глибокому засво-єнню теоретичного матерiалу з допомогою розв’язаних прикла-дiв i задач рiзного рiвня складностi, пiдготовка їх до самостiйноїроботи з науковою лiтературою.
Посiбник має вигляд курсу з 24 лекцiй, якi умовно можна по-дiлити на 7 роздiлiв: «Звичайнi диференцiальнi рiвняння першо-го порядку», «Звичайнi диференцiальнi рiвняння вищих поряд-кiв», «Системи звичайних диференцiальних рiвнянь», «Дифе-ренцiальнi рiвняння з частинними похiдними першого порядку»,«Стiйкiсть розв’язкiв диференцiальних рiвнянь», «Iнтегральнiрiвняння», «Основи варiацiйного числення».
Те, що авторами названо «лекцiями», можна вважати нимиумовно — передовсiм через обсяг, який не завжди вiдповiдає двомакадемiчним годинам, а також через нерiвномiрно розподiленийматерiал. Насправдi, термiн «лекцiя» — це радше певний тема-тично об’єднаний матерiал, який може бути основою для справ-жньої лекцiї та вiдповiдного практичного заняття.
Важливi поняття, теореми, методи iлюструються приклада-ми та задачами. Кiнець розв’язаних прикладiв i задач познача-ється символом �, але у тих випадках, де було ймовiрним «за-
12 ПЕРЕДМОВА
губити» вiдповiдь серед тексту, її написано в кiнцi прикладу чизадачi.
Кожна лекцiя супроводжується питаннями для контролю тасамоконтролю засвоєння матерiалу та вправами, якi можуть бу-ти основою для проведення практичних занять з певної теми (упоєднаннi з iншими збiрниками). Посiбник може використовува-тись i як довiдник, чому сприяє детальний предметний покаж-чик.
У списку лiтератури читач знайде перелiк лiтературних дже-рел, у яких питання, висвiтленi у цьому посiбнику, викладенi по-iншому або бiльш повно.
У другому виданнi виправлено помiченi недолiки i помилкита оновлено рекомендовану лiтературу.
Сподiваємось, що цей посiбник допоможе студентам в оволо-дiннi важливими роздiлами сучасної математики, а також будекорисним для викладачiв пiд час роботи зi студентами.
Усi критичнi зауваження, рекомендацiї й побажання з вдяч-нiстю будуть сприйнятi авторами та врахованi для покращен-ня змiсту наступних видань посiбника. Усю iнформацiю просимонадсилати на e-mail: [email protected], [email protected].
174
Роздiл 3СИСТЕМИ ЗВИЧАЙНИХ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
Лекцiя 13. Системи звичайнихдиференцiальних рiвнянь (загальна теорiя)
План
1. Основнi означення й поняття.2. Механiчне тлумачення нормальної системи та її розв’язкiв.3. Зведення диференцiального рiвняння n-го порядку до нор-
мальної системи й обернена задача.4. Лiнiйнi однорiднi системи.
1. Основнi означення й поняття. Розв’язуючи багато про-блем сучасної фiзики та технiки, доводиться визначати вiдразудекiлька невiдомих функцiй з вiдповiдної кiлькостi диференцi-альних рiвнянь, тобто мати справу iз системою диференцiальнихрiвнянь. Сукупнiсть спiввiдношень вигляду⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩F1 (x, y1, y2, . . . , yn, y
′1, y
′2, . . . , y
′n) = 0,
F2 (x, y1, y2, . . . , yn, y′1, y
′2, . . . , y
′n) = 0,
· · · · · · · · ·Fn (x, y1, y2, . . . , yn, y
′1, y
′2, . . . , y
′n) = 0,
(13.1)
де y1, y2, . . . , yn — шуканi функцiї незалежної змiнної x, на-зивають системою звичайних диференцiальних рiвняньпершого порядку.
Якщо (13.1) можна розв’язати вiдносно похiдних усiх функ-цiй, то одержимо систему⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩y′1 = f1(x, y1, y2, . . . , yn),y′2 = f2(x, y1, y2, . . . , yn),
· · · · · · · · ·y′n = fn(x, y1, y2, . . . , yn),
(13.2)
яку називають нормальною.
Лекцiя 13. Системи звичайних диференцiальних рiвнянь (загальна теорiя) 175
Розв’язком системи (13.2) на деякому iнтервалi (a, b) на-зивають упорядковану сукупнiсть функцiй
y1 = y1(x), y2 = y2(x), . . . , yn = yn(x), (13.3)
визначених i неперервно диференцiйовних на цьому iнтервалi,якщо вона перетворює всi рiвняння системи (13.2) у тотожно-стi, якi справджуються для всiх значень x ∈ (a, b). Криву в(n+ 1)-вимiрному просторi (x, y1, y2, . . . , yn), яка вiдповiдає роз-в’язку (13.3), називають iнтегральною кривою системи (13.2).Задача Кошi для системи (13.2) формулюється так: серед
усiх розв’язкiв цiєї системи знайти розв’язок (13.3), який задо-вольняє умови
y1(x0) = y10, y2(x0) = y20, . . . , yn(x0) = yn0, (13.4)
де x = x0 — довiльна точка з промiжку (a, b), а y10, y20, . . . , yn0 —довiльнi наперед заданi дiйснi числа (їх називають початкови-ми даними розв’язку). Сукупнiсть чисел x0, y10, y20, . . . , yn0називають початковими даними системи (13.2), а умови(13.4) — початковими умовами системи (13.2).
З геометричної точки зору задача Кошi полягає у вiдшуканнiсеред усiх iнтегральних кривих системи (13.2) такої кривої, якапроходить через задану точку (x0, y10, y20, . . . , yn0).
Розглядаючи задачу Кошi (13.2), (13.4), природно виникаєпитання про iснування та єдинiсть її розв’язку. Виявляється, щодля iснування неперервно диференцiйовного розв’язку цiєї за-дачi досить припустити, щоб правi частини системи (13.2) бу-ли неперервними в деякому околi початкових даних (теоремаПеано). Наступна теорема гарантує iснування єдиного розв’язкузадачi Кошi (13.2), (13.4) (доведення цiєї теореми можна знайти,наприклад, у [21, с. 93–99]).
Теорема (Кошi). Нехай правi частини системи (13.2) ви-значенi в (n + 1)-вимiрному паралелепiпедi
G={(x, y1, y2, . . . , yn) : |x−x0|� a, |yj−yj0|� b, j = 1, 2, . . . , n}де a > 0, b > 0, i задовольняють у ньому такi умови:
ВIДОМОСТI ПРО ВЧЕНИХ, ЯКI ЗГАДУЮТЬСЯ У ПОСIБНИКУ 353
ОСТРОГРАДСЬКИЙ Михайло Васильович (1801–1862) —український i росiйський математик (родом з Полтавщини), член Пе-тербурзької Академiї наук та багатьох закордонних академiй наук.Розв’язав низку важливих задач математичної фiзики, теорiї звичай-них диференцiальних рiвнянь (формули Остроградського–Лiувiлля,Остроградського–Якобi), варiацiйного числення, теоретичної механi-ки. Запропонував спосiб зведення неоднорiдної крайової задачi дооднорiдної.ПЕАНО Джузеппе (Peano Giuse; 1858–1932) — iталiйський мате-
матик. Запропонував систему аксiом арифметики, довiв теорему iсну-вання розв’язку задачi Кошi для диференцiального рiвняння з непе-рервною правою частиною, першим побудував неперервну криву, якацiлком заповнює квадрат (крива Пеано).ПIКАРШарль Емiль (Picard Charles Emilе; 1856–1941) — фран-
цузький математик. Основнi працi з теорiї диференцiальних рiвнянь(дослiдження особливих точок, асимптотичнi розв’язки, метод послi-довних наближень розв’язування задачi Кошi).ПУАНКАРЕ Анрi Жюль (Poincare Henri Jules; 1854–1912) —
французький математик, фiзик, астроном i фiлософ. Автор понад 1000праць з диференцiальних рiвнянь, теорiї потенцiалiв, математичної фi-зики, небесної механiки. Один iз засновникiв якiсної теорiї диференцi-альних рiвнянь.ПУАССОН Сiмеон Денi (Poisson Simeon Denis; 1781–1840) —
французький математик, механiк i фiзик. Автор важливих праць з тео-ретичної механiки, математичної фiзики, варiацiйного числення, теорiїймовiрностей. Зокрема, ввiв так зване рiвняння Пуассона i застосувавйого до розв’язування задач гравiтацiї та електростатики. Дослiджу-вав питання теплопровiдностi, магнетизму, капiлярностi, поширеннязвукових хвиль та iн.ПФАФФ Йоганн Фрiдрiх (Pfaff Johann Friedrich; 1765–1825) —
нiмецький математик i астроном. Вiдомий дослiдженнями з теорiї ди-ференцiальних рiвнянь (рiвняння Пфаффа).РАУС Едвард Джон (Routh Edward John; 1831–1907) — англiй-
ський механiк i математик. Вiдомий працями з теоретичної механi-ки. Займався проблемами стiйкостi рiвноваги i руху (критерiй Рауса –Гурвiца). Встановив спецiальний алгоритм для визначення кiлькостiкоренiв алгебричного рiвняння, якi мають додатнi дiйснi частини (тео-рема Рауса).РIККАТI Джакопо Франческо (Riccati Jacopo Francesco; 1676–
1754) — iталiйський математик та iнженер. Основнi працi стосуютьсяiнтегрального числення й диференцiальних рiвнянь, зокрема iнтегров-
354 ВIДОМОСТI ПРО ВЧЕНИХ, ЯКI ЗГАДУЮТЬСЯ У ПОСIБНИКУ
ностi у квадратурах одного класу диференцiальних рiвнянь першогопорядку (спецiальне рiвняння Рiккатi).СИЛЬВЕСТР Джеймс Джозеф (Sylvester James Joseph; 1814–
1897) — англiйський математик. Основнi працi з алгебри (критерiйСильвестра), теорiї чисел, теорiї ймовiрностей, механiки i математи-чної фiзики.ТЕЙЛОР Брук (Taylor Brook; 1685–1731) — англiйський матема-
тик. Вивiв загальну формулу (формула Тейлора) розвинення функцiйу степеневi ряди (ряди Тейлора), започаткував математичну теорiюколивання струни. Автор робiт, присвячених перспективi, взаємодiїмагнiтiв, капiлярностi та iн.ФРЕДГОЛЬМ Ерiк Iвар (Fredholm Erik Ivar; 1866–1927) —
шведський математик. Засновник загальної теорiї лiнiйних iнтеграль-них рiвнянь (рiвняння Фредгольма, теореми Фредгольма).ФУР’Є Жан Батист Жозеф (Fourier Jean Baptiste Joseph;
1768–1830) — французький математик. Найвагомiшi результати отри-мав у математичнiй фiзицi. Зокрема, вивiв диференцiальне рiвняннятеплопровiдностi, розробив метод розв’язування цього рiвняння припевних крайових умовах (метод Фур’є). Його iдеї стали потужнимiнструментом математичного дослiдження найрiзноманiтнiших задач,пов’язаних з хвилями i коливаннями (астрономiя, акустика, радiотех-нiка та iн.).ХОПФ Еберхард (Hopf Eberhard; 1902–1983) — нiмецький i аме-
риканський математик. Основнi роботи стосуються теорiї динамiчнихсистем i диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними. Займавсятакож астрофiзикою.ШТУРМ Жак Шарль Франсуа (Sturm Jacques Charles
Francois; 1803–1855) — швейцарський математик. Основнi працi при-свяченi задачам математичної фiзики та пов’язаним з ними крайовимзадачам на власнi значення для звичайних диференцiальних рiвнянь(задача Штурма–Лiувiлля). Заклав основи теорiї коливностi розв’яз-кiв лiнiйних диференцiальних рiвнянь. Автор важливих робiт з оптикиi механiки.ЯКОБI Карл Густав Якоб (Jacobi Carl Gustav Jacob; 1804–
1851) — нiмецький математик. Йому належать вiдкриття в теорiї чи-сел, алгебрi, варiацiйному численнi, iнтегральному численнi та теорiїдиференцiальних рiвнянь. Дослiджував диференцiальнi рiвняння ди-намiки, розробив новi методи їх розв’язування.
355
ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК
Альтернатива Фредгольма 309
Багаточлен характеристичний 119– Чебишова 126
Варiацiя аргументу 320– функцiонала 320Визначник Вронського (вронскi-
ан) 110, 190– Фредгольма 300– характеристичний 195Вiдстань 319Вронскiан (визначник Вронсько-
го) 110, 190Вузол нестiйкий 260, 265– стiйкий 259, 265
Графiк руху 35
Данi початковi 26, 93, 175, 181
Екстремаль 324, 332, 334, 341– допустима 324, 332, 334, 341
ε-окiл 319– сильний 319– слабкий 319
Задача Абеля 271– варiацiйна 315– – з кiлькома функцiями 330– – з похiдними вищого порядку
333– – найпростiша 322– з закрiпленими межами 322– iзопериметрична 315, 337– Кошi 26, 67, 92, 175, 181, 223, 229– крайова 163– – на власнi значення 171– – неоднорiдна 164– – однорiдна 164
– початкова (задача Кошi) 26– про брахiстохрону 316– геодезичнi лiнiї 317– Штурма – Лiувiлля 172Залежнiсть лiнiйна 109, 189Збурення 243Значення власне 171– функцiонала 318
Iзоклiна 32Iнварiант 150Iнтеграл диференцiального рiв-
няння 29– енергiї 326– загальний 29, 95, 177– iмпульсу 326– незалежний 177– перший 177– – незалежний 177– системи 176Iнтегрант 322, 331, 333
Коефiцiєнт рiвняння 26, 106– стиснення 80Коливання вiльне 130– власне 130– гармонiчне 128– – згасаюче 129– гармонiчне накладене 143Комбiнацiя iнтегровна 177Коректнiсть задачi Кошi 89Крива iнтегральна 21, 175Критерiй Л’єнара–Шипара 250– Рауса–Гурвiца 250– Сильвестра 254
Лаґранжiан 341Лема Лаґранжа 322
356 ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК
– основна варiацiйного числення322
Лiнiї геодезичнi 317– рiвня 77– силовi 77
Максимум функцiонала 321– абсолютний 321– локальний 321– – сильний 321– – слабкий 321Метод Бернуллi 64– варiацiї довiльних сталих 52,
134, 206– виключення 182– вiдокремлення змiнних 39– Д’Аламбера 213– Ейлера 65, 194– iзоклiн 33– iтерацiй (послiдовних набли-
жень) 81– Лаґранжа 52, 134, 206– множникiв Лаґранжа 337– невизначених коефiцiєнтiв 137,
209– послiдовних наближень (iтера-
цiй) 81– степеневих рядiв 155– уведення параметра 70, 72Метрика 79, 319Мiнiмум функцiонала 321– абсолютний 321– локальний 321– – сильний 321– – слабкий 321Множник iнтегрувальний 61– Лаґранжа 341
Наближення послiдовнi 82
Обвiдна 31
Область визначення функцiонала318
Обмеження iзопериметричнi 337Оператор 80– iнтегральний Фредгольма 85,
282– лiнiйний диференцiальний 107– стискаючий 80
Площина фазова 180Поверхня iнтегральна 217Поле напрямiв 31Положення рiвноваги 244Портрет фазовий 256Порядок рiвняння 19– з частинними похiдними 216– звичайного диференцiального
19, 105Принцип варiацiйний 315– стискаючих вiдображень 81Прирiст функцiонала 320Простiр метричний 79– n-вимiрний евклiдовий 80– повний 80– фазовий 180Пряма фазова 180
Ранг крайової задачi 165– характеристичного числа 304Резольвента 292, 295, 304Резонанс 144Рiвняння Абеля 273– автономне 36– Бернуллi 55– Бесселя 150– Вольтерри 270– диференцiальне 13– – з частинними похiдними 20,
216– – звичайне 19– – сiм’ї кривих 22– Ейлера 124, 324, 341
ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК 357
– Ейлера–Пуассона 334– з вiдокремленими змiнними 39– з вiдокремлюваними змiнними
38– iнтегральне 269– – другого роду 270– – лiнiйне 270– – – неоднорiдне 271– – – однорiдне 271– – першого роду 270– – спряжене 305– квазiлiнiйне 226– Клеро 74– коливань 127– – вимушених 127, 142– – вiльних 127– Лаґерра 162– Лаґранжа 72, 125– Лежандра 153– лiнiйне другого порядку 148– – з частинними похiдними пер-
шого порядку 218– – зi сталими коефiцiєнтами 118,
137– – неоднорiдне n-го порядку 106– – – з частинними похiдними пер-
шого порядку 226– – – першого порядку 52– – однорiдне n-го порядку 106– – – з частинними похiдними пер-
шого порядку 218– – – першого порядку 52– – першого порядку 51– неявне 65– –, яке мiстить тiльки похiдну 68–, не розв’язане вiдносно похiдної
65– однорiдне 43, 102– першого порядку степеня n 69– Пфаффа 235– Рiккатi 64
– самоспряжене 151– стацiонарне 36– у повних диференцiалах 58– Фредгольма 270– характеристичне 119, 195– Чебишова 125– Чебишова–Ермiта 162Розв’язок звичайного диференцi-
ального рiвняння 20, 26, 65, 92– – загальний 29, 94– – – у параметричнiй формi 29,
95– – комплексний 107– – особливий 30, 95– – тривiальний 108– – у квадратурах 21– – частинний 30, 95– рiвняння з частинними похiдни-
ми 217– – загальний 221, 228– iнтегрального рiвняння 271, 283– – загальний 305– крайової задачi 164– системи звичайних диференцi-
альних рiвнянь 175– – асимптотично стiйкий 241, 244– – загальний 176– – збурений 242– – комплексний 186– – незбурений 242– – нестiйкий 242– – особливий 176– – стiйкий (за Ляпуновим) 241,
244– – тривiальний 185, 243– – частинний 176Рух 35, 94, 180, 240– аперiодичний згасаючий 130– усталений 181Ряд степеневий 155– узагальнений 159
358 ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК
Система автономна 181– звичайних диференцiальних рiв-
нянь першого порядку 174– лiнiйна 184– – неоднорiдна 185– – однорiдна 185– нормальна 174– першого наближення 246– рiвнянь Ейлера 332– розв’язкiв фундаментальна 112,
193– спряжена 306– стацiонарна 181Система характеристик 219, 227,
228– характеристична 219Сiдло 261Сiм’я iнтегральних кривих 21Стан спокою 36, 181
Теорема Кошi 28, 83, 94, 175– Ляпунова 248, 253– Пеано 26, 94, 175– про неперервну залежнiсть роз-
в’язкiв вiд параметру 89– про неперервну залежнiсть роз-
в’язкiв вiд початкових умов 90– Фредгольма 301, 306, 307Типи Пуанкаре 257Точка аналiтичностi рiвняння 156– нерухома 81– особлива 29, 158– – регулярна 159– простору 79, 318– рiвноваги 36– руху початкова 181– спокою 36, 181, 244Траєкторiя ортогональна 75– руху 180
Умова Лiпшiца 86– необхiдна екстремуму функцiо-
нала 321
– – i достатня лiнiйної незалежно-стi функцiй 112, 191
– – лiнiйної залежностi функцiй110, 190
– – – незалежностi розв’язкiв 111,191
– – сумiсностi системи нелiнiйнихрiвнянь з частинними похiдни-ми першого порядку 233
– повної iнтегровностi рiвнянняПфаффа 236
Умови крайовi 163– – однорiднi 164– початковi 26, 93, 175, 223, 229– розв’язностi iнтегрального рiв-
няння 307
Фокус нестiйкий 264– стiйкий 263Формула Абеля 153– Ейлера 121– Остроградського–Лiувiлля 115– Остроградського–Якобi 192Формули Пiкара 28Функцiонал 314– лiнiйний 319Функцiя аналiтична 156– власна 171, 304– Ґрiна 167– допустима 322, 331, 333, 337– Ляпунова 254– однорiдна 42
Центр 263Цикл граничний 257
Число характеристичне 119, 195– ядра характеристичне 300
Ядра iтерованi (повторнi) 291, 295Ядро вироджене 278, 298– iнтегрального рiвняння 269– спряжене 305
Навчальне видання
ГОЙ Тарас ПетровичМАХНЕЙ Олександр Володимирович
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНI ТА IНТЕГРАЛЬНI РIВНЯННЯ
Навчальний посiбникВидання друге, виправлене та доповнене
Головний редактор Богдан БуднийРедактор Володимир Дячун
Художник обкладинки Андрiй КравчукДизайн та комп’ютерна верстка Тараса Гоя,
Олександра Махнея
Пiдписано до друку 12.01.2014. Формат 60×84/16. Папiр офсетний.Гарнiтура Computer Modern Roman. Умовн. друк. арк. 20,93.
Умовн. фарбо-вiдб. 20,93.
Видавництво «Навчальна книга – Богдан»Свiдоцтво про внесення суб’єкта видавничої справи
до Державного реєстру видавцiв,виготiвникiв i розповсюджувачiв видавничої продукцiї
ДК № 4221 вiд 07.12.2011 р.
Навчальна книга – Богдан, просп. С. Бандери, 34а, м. Тернопiль, 46002Навчальна книга – Богдан, а/с 529, м. Тернопiль, 46008
тел./факс (0352)52-06-07; 52-19-66; [email protected]
ISBN 978-966-10-3530-9
9 789661 035309
