MATEMATIKA 2
INTEGRAL
1
DVOJNI INTEGRAL
Polovico valja presekamo z ravnino.Določi prostornino dobljenega telesa
2 2
u r x
u du x dx
r
h
x
y
z
r
rr
enačba ravnine: h
z xr
hz xr
0z
2. možnost:
2 22 2
2 22 2
2
0 0
32 2 2
2
0 0
2
2
3 3
r y
r y
x r yr r
x r y
rr
h h xV x dx dy
r
dyr r
h h yr y dy r y
r
h
r
2 22 2
0
0
0
2 2 2 22
2
0
22 2
3
r xr ry r x
yr r
r r
r r
h hV x dy dx xy dx
r r
h h hx r x dx x r x dx u du
r
r
r
h
r
MATEMATIKA 2
INTEGRAL
2
DVOJNI INTEGRAL
( , )z f x y
a b
( )y u x
( )y v x
D
V splošnem računamo integral funkcije dveh spremenljivk po ukrivljenem območju takole:
Območje D omejimo po širini med x=a in x=b.
Spodnji rob območja je krivulja y=u(x), zgornji pa krivulja y=v(x).
( )
( )
( , ) v xb
D a u x
f f x y dy dxDvojni integral izrazimo kot dvakratni integral, kjer so meje notranjega integrala odvisne od spremenljivke x.
Včasih je lažje integrirati v obratnem vrstnem redu, najprej po x in potem po y.
MATEMATIKA 2
INTEGRAL
3
DVOJNI INTEGRAL
Podobno obravnavamo trojne, tj. prostorske integrale:
Izrazi maso plina v valjastem stolpcu s polmerom R in višino h.
R
h
0Gostota plina upada z višino: kze
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
0
0
0
0
0
0 201 1
y R x
y R x
y R x
y R x
y R x
y R x
kz
V
x R z hkz
x R z
z hx Rkz
zx R
x R
x
khkh
R
m e dV
e dz dy dx
e dy dxk
e y ek k
d Rdx
-R R2 2R x
2 2R x
MATEMATIKA 2
INTEGRAL
4
TRIGONOMETRIČNE VRSTE
Natančnost Taylorjeve vrste naglo upada z oddaljevanjem od izhodišča, zato so za obravnavanje periodičnih funkcij primernejše vrste sestavljene iz trigonometričnih funkcij.
Pomožni izračuni:
podobno:
podobno:
sin( ) cos( ) nx mx dx:n m
sin( ) sin( ) 2sin( )cos( )n m x n m x nx mx
1 cos( ) cos( )0
2
n m x n m x
n m n m
cos( ) cos( ) 0 sin( ) sin( ) 0 nx mx dx nx mx dx
:n m 1sin( ) cos( ) sin(2 ) 0
2 nx nx dx nx dx
1 sin(2 )sin( ) sin( ) (1 cos(2 ))
2 2 4
x nxnx nx dx nx dx
cos( ) cos( ) nx nx dx
TRIGONOMETRIČNE VRSTE
MATEMATIKA 2
INTEGRAL
5
TRIGONOMETRIČNE VRSTE
Motivacija
Nastane valovanje, ki potuje po vrvici in se odbija od koncev. Ker konca mirujeta,so pri sinusnem nihanju možne le valovne dolžine oblike l=2L/n, kjer je nnaravno število.
Splošno nihanje vrvice (strune) je superpozicija osnovnih nihanj.
L
l
Elastično vrvico napnemo in izmaknemo iz ravnovesne lege.
MATEMATIKA 2
INTEGRAL
6
TRIGONOMETRIČNE VRSTE
Privzemimo, da je funkcija f 2 -periodična in da je enaka vsoti vrste
Kako bi določili koeficiente ak in bk?
trigonometrična ali Fouriereva vrsta
0 1 1 2 2
0
1
( ) ( cos sin ) ( cos 2 sin 2 ) ...
( cos sin )k k
k
f x a a x b x a x b x
a a kx b kx
0
1
( ) ( cos sin )k k
k
f x dx a dx a kx dx b kx dx
=0 =0
02 a
0
1
( ) cos cos ( cos cos sin cos )
cos c os
k k
k
m m
f x mx dx a mx dx a kx mx dx b kx mx dx
a mx mx dx a
0
1
( )sin sin ( cos sin sin sin )
sin s in
k k
k
m m
f x mx dx a mx dx a kx mx dx b kx mx dx
b mx mx dx b
MATEMATIKA 2
INTEGRAL
7
TRIGONOMETRIČNE VRSTE
Če je f(x) vsota trigonometrične vrste
(in če smemo vrsto členoma integrirati),potem za koeficiente vrste velja:
0
1
( ) ( cos sin )k k
k
f x a a kx b kx
0
1( )
2
1( )cos
1( )sin
k
k
a f x dx
a f x kx dx
b f x kx dx
MATEMATIKA 2
INTEGRAL
8
TRIGONOMETRIČNE VRSTE
(integral lihe funkcije po simetričnem intervalu)
Fouriereva vrsta trigonometričnega polinoma je vedno končna.
3( ) sinf x x
3
0
1sin 0
2a x dx
31sin cos 0ka x kx dx
3
1
1 3sin sin
4b x x dx 3
3
1 1sin sin 3
4b x x dx
31sin sin 0 za 0,2kb x kx dx k
3 3 1sin sin sin3
4 4x x x
-
3siny x
MATEMATIKA 2
INTEGRAL
9
TRIGONOMETRIČNE VRSTE
bk=0 za sode k
numerično:
b1=1.161
b3=0.232
b5=0.116
b7=0.074
b9=0.053
...
3( ) sinf x x
f liha ⇒ vsi ak=0
-
3 sin 1.161sinx x 0.232sin3x 0.161sin5 ...x