kombinatorika září, 2015

KombinatorikaOpakovací kurz 2015

Radka Hájková

1) Děti z hudební školy Písnička, mezi nimiž byla i dvojčata Dita a Zita, psaly v rámci hudební nauky písemnou práci z not. 

Kolik možností oznámkování mohla dvojčata od učitelky obdržet, jestliže víme, že dvojčata nedostala stejnou známku? (Kolik dvojic různých známek připadá v úvahu?)

20

kombinatorika září, 2015

2) Ve školní jídelně jsou dnes v nabídce tato jídla:

Polévka:  ­ slepičí vývar                    ­ zeleninová

Hlavní chod: ­ špagety             ­ rizoto         ­ guláš

Salát:  ­ rajčatový         ­ zelný

Kolik existuje různých obědů, má­li každý obsahovat polévku, hlavní jídlo a jeden salát?

12

81

3) Určete počet všech přirozených dvojciferných čísel, v jejichž dekadickém zápisu se každá číslice vyskytuje nejvýše jednou.

kombinatorika září, 2015

 Kombinatorické pravidlo součinu:

 Počet všech uspořádaných  k­tic, jejichž 1. člen lze vybrat n1 způsoby, druhý člen po výběru  prvního n2 způsoby, …, až k­tý člen po výběru všech předcházejících členů nk způsoby, je roven n1 · n2 · … · nk.

 Kombinatorické pravidlo součtu:

 Jsou­li A1, A2, …, An konečné množiny, které mají po řadě p1, p2, …, pn prvků a jsou­li každé dvě disjunktní, pak počet prvků množiny A1 U A2 U … U An je roven  p1 + p2 + … + pn.

4) Čtverec (ozn. A) o straně 3 cm je rozdělen na 9  stejných čtverečků o straně 1 cm. Určete, kolik je v daném čtverci A všech čtverců.

14

kombinatorika září, 2015

5) Je dán čtverec ABCD a na jeho každé straně n vnitřních bodů. Určete počet všech trojúhelníků XYZ, jejichž vrcholy leží v daných bodech (4n) a na různých stranách čtverce ABCD.

[4n3]

6) Maminka koupila svým 3 dcerám tři různé míče. Kolika způsoby je může mezi dcery rozdělit tak, aby každá dostala právě jeden?

[6]

kombinatorika září, 2015

7)Z místa A do místa B vedou čtyři různé turistické cesty, z místa B do místa C tři. Určete

a) kolika způsoby lze vybrat trasu z A do C,          [12]

b) kolika způsoby lze vybrat trasu z A do C a zpět,   [144]

c) kolika způsoby lze vybrat trasu z A do C a zpět tak, že z těchto sedmi cest není žádná  použita dvakrát,                                          [72]

d) kolika způsoby lze vybrat trasu z A do C a zpět tak, že z těchto sedmi cest je právě jedna použita dvakrát, [60]

e) kolika způsoby lze vybrat trasu z A do C a zpět tak, že z těchto sedmi cest jsou právě dvě použity dvakrát. [12]

8) Určete počet všech trojciferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu se každá číslice vyskytuje nejvýše jednou.

[648]

kombinatorika září, 2015

9) Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8×8 vybrat dvě různobarevná políčka tak, aby obě neležela v téže řadě ani v témže sloupci.

[768]

10) Určete počet všech nejvýše trojciferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu se může vyskytovat pouze číslice 1,2,3,4 a každá nejvýše jednou.

[40]

kombinatorika září, 2015

11) Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu není nula a ze zbývajících devíti číslic se v něm každá vyskytuje nejvýše jednou.                                      [3024]

Kolik z těchto čísel je větších než 9 000?        [336]

Kolik menších než 3 000?                   [672]

12) Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel, jejichž dekadický zápis je složen z číslic 1,2,3,4,5 (každá z nich se může opakovat), která jsou dělitelná:

a) pěti,                                      [125]

b) dvěma,                                       [250]

c) čtyřmi.                                  [125]

kombinatorika září, 2015

Zavedení pojmu n! = n × (n­1) × (n­2) × … × 3 × 2 × 1  (pro každé přirozené číslo n)

0! = 1

  4! = 24

n ! =  n × (n­1)!

…           Výsledek: 

13)S připomínkami k navrhovanému zákonu chce v parlamentě vystoupit 6 poslanců A, B, C, D, E, F. Určete počet:

a) všech možných pořadí jejich vystoupení,      [720]

b) všech pořadí, v nichž vystupuje A po E,           [360]

c) všech pořadí, v nichž vystupuje A ihned po E.  [120]

kombinatorika září, 2015

 Permutace bez opakování

 Permutace z  n prvků je každá uspořádaná  n­tice sestavená z těchto prvků tak, že každý   prvek se v ní vyskytuje právě jednou. Ozn.:  P(n)

14) Kolika způsoby může 12 členů organizace zvolit ze svého středu předsedu, místopředsedu, kulturního referenta a sportovního referenta?

[11 880]

kombinatorika září, 2015

 Variace bez opakování

 k­členná variace z  n prvků  ( )  je každá uspořádaná k­tice sestavená   z těchto prvků tak, že každý prvek se v ní vyskytuje nejvýše jednou. Ozn.:  V(k,n)

15)Kolika způsoby můžeme rozdat mezi 10 dětí 4 různé míče tak, aby každý měl nanejvýš jeden?

[5 040]

kombinatorika září, 2015

16) U výtahu, do něhož můžou nastoupit nejvýše tři osoby, stojí 5 osob. Označme je A, B, C, D, E. Kolik je všech různých trojic osob, které mohou do výtahu nastoupit? (Všechny trojice napište).

[10]

17) Ve skladu je 8výrobků, mezi nimi jsou 2 vadné. Kolika způsoby  z nich můžeme vybrat kolekci 3 výrobků, aby

a) všechny byly dobré, [20]

b) byl právě jeden vadný, [30]

c) byl nejvýš jeden vadný? [50]

kombinatorika září, 2015

 Kombinace bez opakování

 k­členná kombinace z  n prvků  ( )  je každá neuspořádaná  k­tice sestavená      z těchto prvků tak, že každý prvek se v ní vyskytuje nejvýše jednou. Ozn.:  K(k,n)

 Zavedení kombinačního čísla 

 Pro všechna celá nezáporná čísla 

n, k, k ≤ n, je    

 Určuje nám počet k­prvkových podmnožin n­prvkové množiny.

kombinatorika září, 2015

18) Je dán pravidelný pětiúhelník KLMNO. Kolik různých trojúhelníků je určeno těmito body?

[10]

19) Určete, kolika způsoby je možno ze 7 mužů vybrat šestičlennou skupinu, v níž jsou:

a) právě dvě ženy

b)aspoň dvě ženy

20) Určete, kolika způsoby je možno ze 20 osob vybrat 10, požadujeme­li, aby mezi vybranými nebyl pan A.

[92378]

kombinatorika září, 2015

 Variace s opakováním

 k­členná variace s opakováním z  n prvků  ( )  je každá uspořádaná  k­tice   sestavená z těchto prvků tak, že každý prvek se v ní vyskytuje nejvýše k­krát. Ozn.:  V'(k,n)

21) Určete počet všech trojciferných přirozených čísel.

[900]

kombinatorika září, 2015

22) Platební karta má 4­místný PIN. Kolik existuje různých kódů?

[10000]

 Permutace s opakováním

 k­členná permutace s opak z  n prvků ( )  je každá uspořádaná  k­tice sestavená z těchto  n prvků tak, že se v ní každý prvek vyskytuje alespoň jednou. Ozn.:  P' (k1, k2, …, kn)

       

kombinatorika září, 2015

23) Určete počet všech deseticiferných přirozených čísel, jejichž ciferný součet je roven třem.

Kolik z nich je sudých?

[55, 46]

Kombinace s opakováním

 k­členná kombinace s opakováním z  n prvků  ( )  je každá  neuspořádaná  k­tice  sestavená z těchto  n prvků tak, že každý prvek se v ní vyskytuje nejvýše  k­krát. Ozn.:  K'(k,n)

          

kombinatorika září, 2015

24) V sáčku jsou bílé, modré a zelené kuličky. Kolika způsoby lze vybrat 5 kuliček, jestliže v sáčku je 

a) pět kuliček každé barvy?

b) 5 bílých, 4 modré a 4 zelené kuličky?

           [a) 21, b) 19]

Pascalův trojúhelník  je schéma, které dobře znázorňuje některé vlastnosti kombinačních čísel

kombinatorika září, 2015

Vyjádřete jediným kombinačním číslem:

25) 

Binomická věta

Pro všechna čísla a, b a kažpřirozené číslo n platí: 

k­tý člen binomického rozvoj

Př.Vypočtěte užitím binomické v(1,01)4