L Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličinfast10.vsb.cz/lehner/sbsk/prk02.pdf · 2019....

Nominální napětí v pásnici

Mean

Std Std

140 160 180 200 220 240 260

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Téma 2: Pravděpodobnostní

vyjádření náhodných veličin

Přednáška z předmětu:

Spolehlivost a bezpečnost staveb

4. ročník bakalářského studia

Katedra stavební mechaniky

Fakulta stavební

Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava

Osnova přednášky

Náhodný jev, pravděpodobnost náhodného jevu

Náhodná veličina: diskrétní

spojitá

Základní pojmy teorie pravděpodobnosti: Rozdělení pravděpodobnosti:

Parametrické

Neparametrické (empirické)

Pravděpodobnostní funkce

Hustota rozdělení pravděpodobnosti

Distribuční funkce

Aproximace omezených rozdělení pravděpodobnosti,

histogramy

Náhodná veličina v pravděpodobnostním výpočtu

Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin 1 / 33

Pravděpodobnost

Náhodným jevem se rozumí opakovatelná činnost prováděná za

stejných (nebo přibližně stejných) podmínek, jejíž výsledek je nejistý a

závisí na náhodě. Příklady mohou být například házení kostkou,

střelba do terče nebo losování loterie.

Pravděpodobnost náhodného jevu je číslo, udávající s jakou jistotou

lze daný náhodný jev očekávat. Míra pravděpodobnosti náleží do

uzavřeného intervalu <0, 1>, kde nula znamená, že událost nemůže

nastat a jednička, že jev je jistý. Lze vyjádřit i procentuálně (po

vynásobení 100)

V teorii spolehlivosti konstrukcí např.

kde

Pf ... pravděpodobnost, že nastane porucha

Ps ... pravděpodobnost, že konstrukce zůstane zachovaná

Základní principy teorie pravděpodobnosti 2 / 33

1 sf PP

Náhodná veličina

Náhodná veličina je libovolná reálná funkce X definovaná na množině

elementárních jevů ω pravděpodobnostního prostoru Ω.

Náhodná veličina je určena rozdělením pravděpodobnosti.

Spojité a diskrétní veličiny: Náhodné veličiny lze rozdělit na nespojité

(diskrétní) a spojité. Diskrétní veličiny mohou nabývat pouze početný

počet hodnot (konečný i nekonečný), zatímco spojité veličiny nabývají

hodnoty z intervalu (konečného nebo nekonečného). Obor všech

hodnot náhodné veličiny se nazývá definičním oborem.

Příklad: Výskyt daného jevu lze označit hodnotou 1. Pokud k výskytu

daného jevu nedojde, náhodné veličině se přiřadí hodnota 0. Jedná

se tedy o diskrétní náhodnou veličinu, která nabývá pouze hodnoty 0

nebo 1.


Náhodná veličina

0,000

0,015

0,030

0,045

0,060

0,075

0,090

0,105

0,120

0,135

0,150

0,165

0,180

P (x )

1 2 3 4 5 6x

Pravděpodobnostní funkce hodu kostkou


Rozdělení pravděpodobnosti

diskrétní náhodné veličiny

Rozdělení pravděpodobnosti

spojité náhodné veličiny

Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny lze získat, pokud se

každé hodnotě diskrétní náhodné veličiny, popř. intervalu hodnot

spojité náhodné veličiny, přiřadí pravděpodobnost s pomocí

pravděpodobnostní funkce P(x).

Znalost pravděpodobnostní funkce lze

použít k výpočtu pravdě-

podobnosti. Např. pravdě-

podobnost, že náhodná

veličina X leží mezi

hodnotami x1 a x2 se určí:

Rozdělení pravděpodobnosti, pravděpodobnostní funkce

2

1

21

x

xx

xPxxxP

Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny je pravidlo, kterým se

každému jevu popisovanému touto veličinou přiřadí určitá

pravděpodobnost.

x P(x)

x1 P(x1)

x2 P(x2)

... ...

xn P(xn)


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/cs/b/b3/Rozdeleni_pravdepodobnosti_diskretni.svg

Distribuční funkce diskrétní veličiny

Pomocí pravděpodobnostní funkce lze zavést tzv. distribuční funkci

vztahem:

Distribuční funkce je neklesající a je spojitá zleva. Hodnoty distribuční

funkce leží v rozsahu

Pro diskrétní náhodnou veličinu X lze pro libovolné reálné číslo x vyjádřit

distribuční funkci vztahem

Vlastnosti

Jestliže hodnoty náhodné veličiny leží v intervalu <a,b), pak F(a) = 0 a

F(b) = 1.

xXPxF

10 xF

xt

tPxF


Pravděpodobnostní a distribuční funkce hodu kostkou

0,000

0,015

0,030

0,045

0,060

0,075

0,090

0,105

0,120

0,135

0,150

0,165

0,180

P (x )

1 2 3 4 5 6x

Pravděpodobnostní funkce hodu kostkou

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

F (x )

1 2 3 4 5 6x

Distribuční funkce hodu kostkou




Hustota rozdělení pravděpodobnosti

Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny se určuje

prostřednictvím funkce, kterou označujeme jako hustota rozdělení

pravděpodobnosti (hustota pravděpodobnosti).

Je-li j(x) hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X, pak platí

kde Ω je definiční obor veličiny X.

(Pro hodnoty x mimo definiční obor Ω je hustota pravděpodobnosti

nulová).

Ze znalosti hustoty pravděpodobnosti j(x) lze určit pravděpodobnost, že

náhodná veličina X bude mít hodnotu z intervalu <x1,x2>, tedy

1d

xxj

2

1

x

x

21 dxxxXxP j


Distribuční funkce spojité veličiny

Pro spojitou náhodnou veličinu s hustotou pravděpodobnosti j(x)

lze definovat distribuční funkci vztahem

Vlastnosti

Platí, že a .

Distribuční funkci lze použít k výpočtu pravděpodobnosti, neboť

Lze dokázat, že mezi hustotou pravděpodobnosti j(x) a distribuční

funkcí F(x) platí vztah

ttxF dj

0F 1F

1221 xFxFxXxP

x

xFx

d

dj


Distribuční funkce spojité veličiny




Aproximace omezených rozdělení pravděpodobnosti, histogramy

1. Původní

(originální)

rozdělení

pravděpodobnosti

2. Diskrétní (discrete)

rozdělení

pravděpodobnosti

3. Čistě diskrétní

(pure discrete)

rozdělení

pravděpodobnosti

4. Po částech

rovnoměrné

rozdělení

pravděpodobnosti

1. 2.

3. 4.

Intenzita

Pra

vděpodobn

ost

(četn

ost)


Omezení definičního oboru rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny

Neomezený obor rozdělení

pravděpodobnosti náhodné

spojité veličiny

Omezený obor rozdělení

pravděpodobnosti náhodné

spojité veličiny


Mez kluzu

Mean

Std Std

220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

(Ne)parametrické rozdělení pravděpodobnosti

Parametry - charakteristiky rozdělení náhodné veličiny

(např. m střední hodnota a s směrodatná odchylka)

2

2

2

2

1, s

m

ssm

x

exf

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti popsány

analytickou funkcí – např. obecný vzorec funkce

hustoty normálního (Gaussova) rozdělení


Mean

Std Std

140 160 180 200 220 240 260

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Neparametrické (empirické)

rozdělení pravděpodobnosti

definovány na základě měření,

často i dlouhodobých


Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny

Variable 1

Mean

Std Std

240 260 280 300 320 340 360

0.005

0.01

0.015

0.02

Charakteristiky rozdělení náhodné veličiny -

parametry

(např. střední hodnota a směrodatná

odchylka)

Důležitá spojitá rozdělení

pravděpodobnosti:

• Rovnoměrné rozdělení

• Normální rozdělení

(Gaussovo rozdělení)

• Exponenciální rozdělení

• Laplaceovo rozdělení

• Logistické rozdělení

• Maxwellovo rozdělení

• Studentovo rozdělení

• Fischerovo-Snedecorovo rozdělení

• χ² rozdělení (Chí kvadrát)

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny 14 / 33

Normální rozdělení pravděpodobnosti

2)(

2

1

2

1,

sm

ssm

x

exf

Obecný vzorec funkce hustoty normálního (Gaussova) rozdělení

pravděpodobnosti:

s ... směrodatná

odchylka

m ... střední hodnota

n

i

ixn 1

1m

n

i

ixn 1

21ms

2

2

2

2

1, s

m

ssm

x

exf


2

2

2

2

1, s

m

ssm

x

exf

Obecný vzorec funkce hustoty

normálního (Gaussova) rozdělení

pravděpodobnosti

2

2

2

ln

2

1, s

m

ssm

x

ex

xf

Obecný vzorec funkce hustoty

lognormálního rozdělení

pravděpodobnosti

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,1

0,1 1,1 2,1 3,1 4,1 5,1

s=0.5

s=0.75

s=1

s ... směrodatná odchylka

m ... střední hodnota

n

i

ixn 1

ln1

m

n

i

ixn 1

2ln

1ms

Parametrická rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny


Mez kluzu fy oceli S235


Tlaková pevnost betonu


Krycí vrstva betonu


Pevnost zdiva


Základní typy parametrických rozdělení pravděpodobnosti


Programový nástroj HistAn

Slouží pro podrobnější analýzu vstupních histogramů.

Minimum a maximum funkční hodnoty (okrajové hranice histogramu)

Počet tříd (intervalů) a četností v nich definovaných

Jednoduché výpočty (stanovení funkční hodnoty s odpovídajícím

kvantilem a kvantilu pro zadanou funkční hodnotu)

Určení kombinace několika

vstupních histogramů

Určení tzv. sumárního

histogramu (výpočty s tzv.

větrnou růžicí)

Tvorba histogramů s

parametrickým rozdělením

Zpracování naměřených

(prvotních) dat

Tvorba a analýza histogramů vstupních veličin 22 / 33

Histogram omezeného rozdělení pravděpodobnosti

Histogram omezeného

diskrétního (discrete)

rozdělení

pravděpodobnosti

Neparametrické (empirické) rozdělení pravděpodobnosti 23 / 33

Histogram čistě diskrétního rozdělení pravděpodobnosti

Histogram čistě

diskrétního (pure

discrete) rozdělení

pravděpodobnosti


Struktura datového souborus definicí histogramu


Textový soubor s příponou *.dis (distribution), jenž obsahuje

údaje následujícího tvaru:

[Description] (1. oddíl datového souboru)

Identification= volitelný popis datového souboru

Type= Pure Discrete | Discrete | Continuous (typ empirického rozdělení)

[Parameters] (2. oddíl datového souboru)

Min= minimální funkční hodnota

Max= maximální funkční hodnota

Bins= celkový počet tříd daného histogramu

Total= součet četností ve všech třídách

[Bins] (3. oddíl datového souboru)

četnost v 1. třídě

četnost ve 2. třídě

atd. ...

Implementace modulu pro vkládání naměřených dat a pro jejich

vyhodnocování.

Možnost tvorby histogramů s neparametrickým rozdělením

s možností volby počtu intervalů.

Použití histogramů

s parametrickým

rozdělením.

K dispozici škála 23 typů

s možností výběru

nejvhodnějšího z nich

pro daný soubor

získaných či

naměřených hodnot

s využitím koeficientu

těsnosti.

Parametrická rozdělení v programu HistAn (v systému ProbCalc)


Normální

LogNormální

Gumbel I a II

Raised-Cosine

Cauchy

Fischer-Tippett

Laplace

Logistic

Weibull

Rayleigh

Lévy

Student

Beta v nule

Beta obecné

Gama

Snedecorovo

Pareto

Uniform

Trianguler

Exponenciální

X2

Half-Logistic

Pravděpodobnost pro „useknutí“ parametrického rozdělení

Parametrická rozdělení v programu HistAn (v systému ProbCalc)


Histogram omezeného rozdělení pravděpodobnosti

Histogram aproximace

parametrického

rozdělení

pravděpodobnosti

omezeným diskrétním

(discrete) rozdělením

pravděpodobnosti


Použití naměřených (primárních) dat, parametrické rozdělení

Výběr

vhodného

rozdělení dle

koeficientu

těsnosti

Charakteristiky odvozených parametrických dat


Koeficient těsnosti


2

2

,

2

2 ..2

1y

i

iiixy

y

Y

s

yYYyn

s

s

s

i

iy yyn

s22 .

1

i

iY yYn

s22 .

1

i

iixy Yyn

s22

, .1

Yi ... hodnota funkce

hustoty

pravděpodobnosti

parametrického

rozdělení

v příslušné

hodnotě xi

y ... střední hodnota

ze všech yi

rozptyly pro n

intervalů

1,02

2

y

Y

s

s

Reziduální (zbytkový) součet čtverců

i

iixy Yyn

s22

, .1

Rozptyl ... žádoucí nejmenší hodnota

Yi ... hodnota funkce

hustoty

pravděpodobnosti

parametrického

rozdělení

v příslušné

hodnotě xi


Tabulka vhodných parametrických rozdělení a jejich charakteristik

vh

od

ná

ne

vh

od

ná


Závěry

Přednáška:

byla zaměřena na základní pojmy teorie pravděpodobnosti,

které souvisejí s pravděpodobností náhodného jevu,

ukázala možnosti pravděpodobnostního vyjádření náhodné

veličiny formou neparametrického (empirického) a

parametrického rozdělení pravděpodobnosti,

stručně zmínila způsoby definice histogramu náhodné

veličiny v datových souborech pravděpodobnostních výpočtů,

nastínila použití programového prostředku HistAn.

Závěry 33 / 33


Mean

Std Std

140 160 180 200 220 240 260

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Děkuji za pozornost!


Mean

Std Std

140 160 180 200 220 240 260

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Téma 3:Simulační metodytypu Monte Carlo





Fakulta stavební


Osnova přednášky

Začlenění metody Monte Carlo do přehledu

pravděpodobnostních metod

Historie metody Monte Carlo Buffonova jehla

První systematické využití metody Monte Carlo

Využití metody Monte Carlo k numerické integraci

Výhody a nevýhody metody Monte Carlo

Zákon velkých čísel

Generátory (pseudo)náhodných čísel Kongruenční generátory pseudonáhodných čísel

Vliv vstupních konstant na vygenerovaná pseudonáhodná čísla

Názorná ukázka elementárního výpočtu metodou Monte

Carlo

Pravděpodobnostní metoda SBRA

Metoda Monte Carlo 1 / 34

Simulační metody Prostá simulace Monte Carlo Stratifikované simulační techniky

Latin Hypercube Sampling – LHS Stratified Sampling - SC

Pokročilé simulační metody: Importance Sampling – IS Adaptive Sampling – AS Directional Sampling – DS Line Sampling – LS

Aproximační metody First (Second) Order Reliability Method - FORM (SORM) Metody výběru vhodného rozdělení pravděpodobnosti založené na

náhodném výběru rezervy spolehlivosti Perturbační techniky Metody plochy odezvy

Response Surface - RS

Numerické metody Přímý Optimalizovaný Pravděpodobnostní Výpočet - POPV

Pravděpodobnostní metody

Přehlednapř. [Novák, 2005]

Přehled pravděpodobnostních metod 2 / 34

Pravděpodobnost jevu,

kdy jehla stejné délky,

jako je vzdálenost mezi

linkami, po dopadu na

papír zůstane ležet na

papíře tak, že protíná

některou z linek,

je rovna:

Buffonova jehla

Jedním z nejstarších popsaných případů využití metody je

problém tzv. Buffonovy jehly, nazvaný po francouzském

matematikovi Georges-Louis Leclerc Comte de Buffonovi,

který se roku 1777 pokoušel odhadnout hodnotu Ludolfova

čísla náhodným vrháním jehly na linkovaný papír.

Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon(1707-1788)

2p

Historie metody Monte Carlo 3 / 34

Základem výpočtu je čtverec o straně r,

do kterého se náhodně hází malý

předmět.

Výsledný poměr počtu všech hodů a

hodů do čtvrtkruhu stanoví hodnotu

Ludolfova čísla .

Výpočet Ludolfova čísla

4

. 2

1

rS


Obsah čtvrtkružnice:2

2 rS Obsah čtverce:

Poměr obou ploch:4.4

.2

2

2

1

r

r

S

S

Ludolfovo číslo je

pak rovno: 2

1.4S

S

Podobně lze stanovit hodnotu Ludolfova čísla následujícím způsobem:

První systematické využití metody

Pravděpodobně první systematické využití metody

Monte Carlo s reálnými výsledky je datováno až k roku

1930, kdy Nobelovou cenou oceněný italský fyzik

Enrico Fermi tento přístup využíval ke generování

náhodných čísel k výpočtu vlastností v té době nově

objevené částice – neutronu.

Enrico Fermi (1901-1954)

Dodnes jsou tak počátky rozvoje metody Monte Carlo

spojovány se jmény Stanislaw Marcin Ulam a John von

Neumann nebo Nicholas Metropolis.

Oba prvně jmenovaní např. s využitím metody Monte Carlo

zkoumali v americké Národní laboratoři Los Alamos

chování neutronů (jaké množství neutronů projde různými

materiály, např. nádrží vody).

Stanislaw Ulam (1909-1984)

5 / 34Historie metody Monte Carlo

První systematické využití metody

Náhodnost jevů a opakování jejich výskytu jsou identické k činnostem

prováděných v kasinech (ruleta je jednoduchý fyzikální generátor

náhodných čísel, podobně jako např. hrací kostka).

Metoda Monte Carlo hrála klíčovou roli při simulacích,

kterými se odhadovala štěpná reakce při vývoji atomové

bomby v rámci projektu Manhattan (krycí název pro utajený

americký vývoj atomové bomby za 2. světové války).


Název metody pochází právě od Stanislawa Ulama, který ji pojmenoval

podle známého kasina v Monaku (Ulamův strýc zde sázel). Metoda se dříve

používala pod označením „statistical sampling“ – statistický výběr.

Autoři již pracovali v době, kdy mohly používat pro simulování náhodných

jevů jednoduché počítače.

Využití metody Monte Carlok numerickému integrování

Metoda je využívána zejména pro výpočet integrálů hustot

pravděpodobností spojitých náhodných veličin, zejména vícerozměrných,

kde běžné metody nejsou efektivní.

Metoda Monte Carlo má široké využití od simulaci náhodných experimentů

přes numerickou integraci určitých integrálů po numerické řešení

diferenciálních rovnic.

Z principů prosté simulační metody Monte Carlo vychází řada

pravděpodobnostních postupů – např. SBRA.


kde N je počet náhodných experimentů (simulací, simulačních kroků,

historií) a B je konstanta, vyjadřující povahu konkrétního příkladu

Výhodou je jednoduchá implementace, nevýhodou relativně malá

přesnost.

N

Berr

Pro zvýšení přesnosti výsledku o jeden řád je tedy nutno zvýšit počet

simulací alespoň o dva řády.

Princip simulačních metod typu Monte Carlo

Metoda Monte Carlo je založena na provádění náhodných experimentů s

modelem systému a jejich vyhodnocení. Výsledkem provedení velkého

množství experimentů je obvykle pravděpodobnost určitého jevu.

Výhody a nevýhody metody MC

8 / 34


Chyba výpočtu simulací Monte Carlo

9 / 34

Při pravděpodobnostním posouzení a výpočtu pravděpodobnosti poruchy

pf závisí přesnost odhadu nejenom na celkovém počtu simulací N, ale také

na řádu určované pravděpodobnosti poruchy pf .

Variační koeficient pravděpodobnosti poruchy lze pro malé

pravděpodobnosti definovat ve tvaru:

f

ppN

vf .

1


Chyba výpočtu simulací Monte Carlo

10 / 34

Např.: Pokud se bude odhad pravděpodobnosti poruchy pf pohybovat

v řádu 10-4 a výpočet byl proveden s počtem simulačních kroků N=104,

variační koeficient pravděpodobnosti poruchy se rovná:

110.10

1

44

fpv

Odhad chyby výsledné pravděpodobnosti poruchy pf je tedy 100%.

Zvýšením počtu simulací N=106 pak variační koeficient pravděpodobnosti

poruchy dosahuje příznivější hodnoty:

1,010.10

1

46

fpv

a výsledek by se neměl oproti přesnému řešení lišit o 10%.

Při velkém počtu nezávislých pokusů je možné téměř jistě očekávat, že

relativní četnost se bude blížit teoretické hodnotě pravděpodobnosti.

NN XXN

X ...1

1

Lze popsat s pomocí střední hodnoty náhodné veličiny:

kde X1, X2, ..., XN představuje nekonečnou posloupnost vzájemně

nezávislých náhodných čísel s konečnou střední hodnotou .

Se zvyšujícím se počtem historií bude střední hodnota vygenerované

posloupnosti konvergovat ke střední hodnotě , což lze demonstrovat

na jednoduchém příkladu s hrací kostkou.

m

N

mnX



11 / 34


V případě hrací kostky o šesti stranách je aritmetický průměr součtu

čísel na jednotlivých stranách roven:

5,36

21

6

654321

m

Střední hodnota vržených čísel

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000

Počet hodů

Stř

ed

ní

ho

dn

ota

Vývoj vypočtené

střední hodnoty 20000

vržených čísel

Princip simulačních metod typu Monte Carlo 12 / 34


Počty zastoupení jednotlivých čísel v 50000 hodech

kostkou

82068385 8223 8383 8458 8345

0

2000

4000

6000

8000

10000

1 2 3 4 5 6

Počty zastoupení vržených čísel v 50000 hodech kostkou



Procentuální zastoupení vržených čísel(celkové maximum počtu hodů 65528 je limitováno kapacitními možnostmi tabulkového procesoru Excel)

1

2

3

4

5

6

10100

100010000

5000065528

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

Pro

cen

tuáln

í zasto

up

en

í

Čís

lo

Celkový počet hodů

Procentuální zastoupení jednotlivých čísel


MCUAU nn mod1


Generátory (pseudo)náhodných čísel

Fyzikální generátory

náhodných čísel

Kongruenční generátory

pseudonáhodných čísel

15 / 34

Kongruenční generátory pseudonáhodných čísel

Generování pseudonáhodných čísel s pomocí rekurentního vztahu:

MCUAU nn mod1

kde konstanty A, C, a M určují statistickou kvalitu generátoru

(žádoucí nesoudělnost A a M).

Nejpoužívanější generátory náhodných čísel, poprvé

zavedené americkým matematikem Lehmerem v roce

1948. Slouží pro generování posloupností náhodných

veličin s rovnoměrným rozdělením.

Derrick Henry Lehmer

(1905-1991)


kde představuje střední hodnotu funkce f, vypočtenou v N náhodných

bodech.

Numerická integrace metodouMonte Carlo

Metoda Monte Carlo se využívá nejčastěji k řešení vícerozměrných

integrálů.

V

y

y

x

x

yxyxfyxyxfIh

d

h

d

...dd,...,...dd,...,

Numerické integrování s využitím metody Monte Carlo spočívá ve

stanovení hodnoty funkce f v N náhodných bodech, ležících v integrované

oblasti V .

Výsledný integrál pak lze definovat:

N

i

ifN

VfVNfI

1

..;

f


což lze považovat za ukazatel nepřesnosti výpočtu.

Numerická integrace metodouMonte Carlo

Odchylku od střední hodnoty funkce f zachycuje směrodatná odchylka:

Podobně lze stanovit i odchylku od střední hodnoty výsledného integrálu I:


N

ff

Nf

N

i

i

1

2

;s

N

i

iffN

VNI

1

2;s

Princip simulační metody SBRA

Generování omezených rozdělení a transformace na požadované

rozdělení

MCUAU nn mod1

Metoda Simulation Based Reliability Assessment (SBRA) 27 / 34

• Např. Marek a kol.

CRC Press, 1995.

• Vstupní proměnné

charakterizují

useknuté histogramy

s neparametrickým rozdělením

pravděpodobnosti.

• Analýza funkce spolehlivosti

metodou Monte Carlo.

• Spolehlivost je vyjádřena jako

pf < pd, kde pf je

pravděpodobnost poruchy,

a pd je v normová návrhová

pravděpodobnost poruchy:

pf = Σ / Σ < pd

Účinek zatížení S

Odoln

ost

R

Posudek spolehlivosti metodou SBRA


Proměnné hodnoty zatížení, variability průřezu a pevnostní charakteristiky

Dlouhodobé nahodilé F hL1

Dlouhodobé nahodilé F hL2Stálé F hD Sníh F hSn

Krátkodobé nahodilé F hS Vítr F hS

Napětí na mezi kluzu F fy

Reprezentace náhodně proměnných

veličin histogramem s neparametrickým

(empirickým) rozdělením

pravděpodobnosti


Náhodné veličiny

Výpočet metodou SBRA, program AntHill


Pracovní plocha programu Anthill

Výpočet metodou SBRA, program AntHill


Nápověda programu Anthill(tvorba matematického modelu s využitím aritmetických výrazů a funkcí)

Koncepty posudku spolehlivosti

Koncept „Design Pointu“ (PFD) Pravděpodobnostní alternativa

S

R

Rd > Sd

Rd

Sd

Pf = (modré)/(zelené) body


Podstata metody, závěry

• Vstupní náhodné veličiny jsou vyjádřeny useknutými

histogramy s neparametrickým rozdělením

pravděpodobnosti,

• Pravděpodobnost poruchy pf je získána analýzou funkce

spolehlivosti RF (Reliability function, Safety function)

s využitím simulační techniky Monte Carlo,

• Spolehlivost je posouzena na základě nerovnosti pf < pd ,

kde pd je návrhová pravděpodobnost daná normou,

např. ČSN EN 1990,

• Výsledek se pokaždé liší, důležité zvolit dostatečný počet

simulačních kroků,

• Metoda univerzální, pro složitější výpočty málo efektivní.


Závěry

Přednáška:

byla zaměřena na základní pravděpodobnostní metodu –

prostou simulační metodu Monte Carlo,

ukázala historii vývoje této pravděpodobnostní metody,

vysvětlila podstatu kongruenčních generátorů

pseudonáhodných čísel, které se uplatňují při výpočtu

simulační metodou Monte Carlo,

metodiku výpočtu simulační metodou Monte Carlo

demonstrovala na elementárním příkladu,

zmínila pravděpodobnostní metodu SBRA, která umožňuje

provádět pravděpodobnostní výpočty simulací Monte Carlo.Závěry 34 / 34

0

5

10

15

20

25

0 4 8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

48

52

56

60

64

68

72

76

80


Mean

Std Std

140 160 180 200 220 240 260

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025



Mean

Std Std

140 160 180 200 220 240 260

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Téma 4:Stratifikované a

pokročilé simulační metody





Fakulta stavební


Osnova přednášky

Začlenění stratifikovaných a pokročilých simulačních metod

do přehledu pravděpodobnostních metod

Metoda Latin Hypercube Sampling – LHS

Podstata metody

Aplikace metody v programu FREET

Zadání náhodných vstupních veličin

Zadání statistické závislosti vstupních veličin

Výpočet simulací

Definice výpočetního modelu

Analýza výsledků simulačního výpočtu

Ukázky výpočtu

Hlavní rysy ostatních typů simulačních metod

Stratifikované a pokročilé simulační metody 1 / 27

Simulační metody Prostá simulace Monte Carlo Stratifikované simulační techniky

Latin Hypercube Sampling – LHS Stratified Sampling - SC

Pokročilé simulační metody: Importance Sampling – IS Adaptive Sampling – AS Directional Sampling – DS Line Sampling – LS

Aproximační metody First (Second) Order Reliability Method - FORM (SORM) Metody výběru vhodného rozdělení pravděpodobnosti založené na

náhodném výběru rezervy spolehlivosti Perturbační techniky Metody plochy odezvy

Response Surface - RS

Numerické metody Přímý Optimalizovaný Pravděpodobnostní Výpočet - POPV

Pravděpodobnostní metody

Přehlednapř. [Novák, 2005]

Metody pro pravděpodobnostní posouzení spolehlivosti 2 / 27

Zdokonalené simulační metody

Klasická simulační technika Monte Carlo se často

potýká s problémem malé efektivnosti u složitějších

spolehlivostních úloh, u nichž lze provést jen omezený

počet simulací.

Další nevýhodou přímé metody Monte Carlo je potřeba

velkého množství simulací k odhadu pravděpodobnosti

poruchy pf , která je obvykle u řešených úloh velmi malá.

Východiskem jsou zdokonalené simulační metody

(stratifikované, pokročilé), které umožňují odhadnout

pravděpodobnost poruchy pf s menším počtem

simulací.


Podobně jako u klasické simulace Monte Carlo je i u metody LHS odhad pravděpodobnosti poruchy pf získán z určitého počtu realizací funkce poruchy G(X) n náhodných veličin X = X1, X2 až Xn.

Definiční obor distribuční funkce

F(Xi) každé náhodné veličiny Xi je

ale přitom rozdělen na N intervalů

(tříd) o stejné

pravděpodobnosti:

Stratifikovaná simulační metoda Latin Hypercube Sampling - LHS


N

1

Princip LHS:

rozdělení definičního oboru

distribuční funkce náhodné veličiny

Reprezentativní hodnoty dané veličiny jsou při simulaci vybírány

na základě náhodných permutací celých čísel j = 1, 2, ... , N.

Při výpočtu je provedeno právě

N simulací, během nichž je každý

z intervalů vybrán pouze jednou.

Z každého intervalu je vybrána

buď jeho střední hodnota,

hodnota odpovídající mediánu

nebo naprosto náhodně zvolená

hodnota, ze které se na základě

inverzní distribuční funkce

F-1Xi (Xi) určí odpovídající

reprezentativní hodnota xi,j

náhodné veličiny Xi.



Tímto způsobem lze zajistit, že se při simulacích rovnoměrně

pokryje celý rozsah distribuční funkce náhodné veličiny, což vede

k uspokojivým odhadům výsledných pravděpodobností při

relativně malém počtu simulací.



Při pravděpodobnostních výpočtech metodou LHS je

možno zadat statistickou závislost jednotlivých vstupních

veličin pomocí korelační matice, která obsahuje korelační

koeficienty mezi jednotlivými náhodnými veličinami.

Při výpočtu se pak iteračně (např. metodou simulovaného

žíhání) upraví (přeuspořádá) obsah tzv. tabulky náhodných

permutací (obsahuje N řádků s příslušnými

vygenerovanými hodnotami simulací j = 1, 2, ... , N a n

sloupců pro každou náhodnou veličinu X1, X2, ... , Xn) tak,

aby se korelační matice výsledných náhodných veličin co

nejvíce blížila korelační matici zadané.



Víceúčelový Pravděpodobnostní Software pro statistickou,

citlivostní a spolehlivostní analýzu.

Vyvíjen na Ústavu

stavební mechaniky

Fakulty stavební

VUT v Brně.

Verze 1.5

Demo verze ke stažení

na http://www.freet.cz .

Software Freet(Feasible Reliability Engineering Tool)


Freet: zadávání vstupních veličin


Freet:

zadání náhodné

proměnné s

parametrickým

rozdělením

pravděpodobnosti.

Možnost výběru

z databáze

parametrických

rozdělení a

zadáním

konkrétních hodnot

statistických

momentů dané

náhodné veličiny

Freet: typy parametrických rozdělení

• Deterministic

• Normal

• Lognormal (2par)

• Lognormal (3par)

• Weibull min (2par)

• Weibull min (3par)

• Weibull max (2par)

• Weibull max (3par)

• Raileigh

• Raileigh negative

• Beta (4par)

• Gamma (2par)

• Gamma negative (2par)

• Gamma (3par)

• Gamma negative (3par)

• Exponential

• Exponential negative

• Gumbel min EV I

• Gumbel max EV I

• Rectangular

• Triangular

• Laplace

• Pareto

• Logistic

• Half-Normal

• Half-Normal negative

• Beta

• Student t


Freet: zpracování naměřených dat


Výběr vhodného

parametrického

rozdělení ze

zadaných

naměřených

hodnot

Freet: zadání korelační matice


Korelační

koeficienty:

0 .. statistická

nezávislost

0< .. statistická

závislost

Freet: generování simulací


Freet:

Iterační

přeuspořádání

obsahu tzv. tabulky

náhodných

permutací

metodou

simulovaného

žíhání



Freet:

Rozčlenění

každého rozdělení

pravděpodobnosti

na N intervalů

(tříd) o stejné

pravděpodobnosti



Freet:

Ukázka

vygenerovaných

simulací dvou

náhodných

proměnných, které

jsou statisticky

nezávislé



Freet:

Ukázka

vygenerovaných

simulací dvou

náhodných

proměnných, které

jsou statisticky

závislé (95 %)



Freet:

Tabulka

vygenerovaných a

přeuspořádaných

náhodných

permutací



Freet:

Definice

výpočetního

modelu a dosazení

vygenerovaných

permutací do

tohoto modelu



Freet:

Výsledný odhad

rozdělení

pravděpodobnosti

funkce

spolehlivosti,

odhad

pravděpodobnosti

poruchy pf

pf = 0,0000575 < pd = 0,0000720

nosný prvek vyhoví – třída následků RC2/CC2

Atena-Sara-Freet: Ukázka výpočtu

Posuzovanou konstrukcí je železobetonová klenba zasypávané

části silničního tunelu.


Schéma řešené konstrukce klenby tunelu

Posuzovaná část

(vrchol klenby)



q=146 kN/m

q=71 kN/m

q=146 kN/m

q=71 kN/m

q=142 kN/m

q=36 kN/m

q=21 kN/m

q=36 kN/m

q=21 kN/m

q=+10° C q=+10° C

Zatěžovací údaje – rozhodující kombinace



1 2

3

4

1 23 4

5

6 7 8 91

0

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22 23

24

25

26

27282930313233343536

373839404142

434445464748

4950515253545556

5758

59 6061 62 6

3 64 65 66 6

768

69 70 71 72 73

74

75

76 77

78 79

80

81

82

83

84

85

86 87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98 99

100

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110111

112113114

115116117118119120121122

123124125126127128

129130131132133134135136137138139

1

2

3 4 5 6

7

8

9

10

11

12

1314151617

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29 30

31321 2

3 4

5 6

7 89

10

11

12

13

14

1516

17

18

19

20

21

2223

24

25 26

27

31

1

2

3

4

56 78

91011 12

1

4

5

6

78 910

111213 14

15

1

2 3

4

5

6 7

8

X

Y

Kontaktní pružiny

Přechodové prvky

Statický model



LSF Eps beton 3 (tlačený)

0.0032 0.00325 0.0033 0.00335 0.0034 0.00345 0.0035 0.00355

Mean

Std Std

5e+003

1e+004

1.5e+004

2e+004

Pravděpodobnost překročení limitního přetvoření tlačeného betonu činí ~10-42

Rozhodující kritéria

• Průhyb ve vrcholu

• Přetvoření tlačené oceli

• Přetvoření tlačeného betonu

• Přetvoření tažené oceli

Dosažené výsledky, přetvoření tlačeného betonu



Metoda Importance Sampling

Generování náhodných veličin se provádí odlišným způsobem, než je tomu u klasické metody Monte Carlo.

Simulace jsou koncentrovány do oblasti poruchy Df , abyk záporné hodnotě funkce poruchy G(X) < 0 náhodných veličin X = X1, X2, ... Xn záměrně docházelo velmi často.

Oblast, která při simulacích nejvíce přispívá k pravděpodobnosti poruchy pf , leží v blízkosti návrhového bodu. Ten je definován jako bod, ležící na hranici poruchy G(X) = 0 s minimální vzdáleností od počátku souřadnic v normalizovaném prostoru náhodných veličin.

Do výpočtu vstupuje k tomuto účelu vhodně zvolená váhová funkce hY(X). Simulace pak probíhá v poněkud rozdílném prostoru než u klasické metody Monte Carlo, kde se odhadpravděpodobnosti poruchy pf blíží její střední hodnotě.


Metoda Importance Sampling

Odhad pravděpodobnosti poruchy pf při simulaci typu Importance

Sampling se dá pro N simulací vyjádřit vztahem:

kde

Tímto způsobem lze určit dostatečně přesný odhad i velmi malé

hodnoty pravděpodobnosti poruchy pf s relativně malým počtem

simulací

(N se pohybuje řádově v tisících).


N

i Y

XGf

h

ff

Np

1 i

iX

X

X.

1

0X pro

0X pro

0

1X

G

GfG

Závěry

Přednáška:

byla zaměřena na zdokonalené simulační metody, které

oproti klasické simulační metodě Monte Carlo vykazují větší

efektivitu výpočtu a umožňují tak pravděpodobnostně řešit

složitější spolehlivostní úlohy,

představila programový systém Freet, který k odhadu

pravděpodobnosti poruchy pf využívá stratifikovanou

simulační metodu Latin Hypercube Sampling – LHS,

nastínila podstatu řešení pokročilou simulační metodou

Importance Sampling.

Závěry 27 / 27

Xlimit 1

100 200 300 400 500 600 700 800

Mean

Std Std

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006


Mean

Std Std

140 160 180 200 220 240 260

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025


Date post:	23-Dec-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	4 times
Download:	0 times

L Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličinfast10.vsb.cz/lehner/sbsk/prk02.pdf · 2019....

Documents