- 86 -
as ke studiu kapitoly: 80 minut
3 NÁHODNÁ VELIINA
Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umt
• obecn popsat náhodnou veliinu pomocí distribuní funkce
• charakterizovat diskrétní i spojitou náhodnou veliinu
• porozumt funkci intenzity potuch
• urovat íselné charakteristiky náhodné veliiny
• transformovat náhodnou veliinu
- 87 -
Výklad:
Prvodce studiem:
3.1 Definice náhodné veliiny Mjme pravdpodobnostní prostor (, S, P) . Náhodná veliina X je reálná funkce X() prvk ∈ ze základního prostoru. taková, že pro každé reálné x (x∈ R) je množina )x X( <∈ ∈ S, tj. náhodným jevem. Tedy náhodná veliina je zobrazení X : R takové, že pro každé x∈ R platí:
X-1((- ∞ , x)) = )xX( <∈ Ωω ∈ S
Z definice plyne, že pro libovolné x∈R mžeme urit pravdpodobnost toho, že x)X( <ω .
Množina všech hodnot X( x ∈= ω), se nazývá základní soubor.
Pro ty z Vás, kteí nemají rádi matematické definice, zkusíme vysvtlit pojem náhodná veliina ješt jiným zpsobem. Výsledkem náhodného pokusu je v mnoha pípadech reálné íslo (doba do poruchy, píjem státního zamstnance, poet žák v 1. tíd ...). Pak je možno íci, že náhodnou veliinou nazveme takový výsledek náhodného pokusu, který je dán reálným íslem.
Náhodné veliiny (NV) budeme oznaovat velkými písmeny z konce abecedy (nap. X, Y, Z nebo X1, X2, ...). Jejich konkrétní realizace pak malými písmeny (x, y, z nebo x1, x2, ...).
Základní prostor
ΩΩΩΩ
- 88 -
Výklad:
Píklad:
Náhodná veliina X ... Poet dtí ženy starší 18-ti let (obecn)
x = 2 ... Poet dtí jedné konkrétní ženy (konkrétní realizace NV X)
Jedním z úkol teorie pravdpodobnosti je vybudovat matematický aparát, který piadí všem zajímavým podmnožinám množiny reálných ísel R píslušné pravdpodobnosti.
3.2 Distribuní funkce Definice: Nech X je náhodná veliina. Reálnou funkci F(t) definovanou pro všechna reálná t, t∈R vztahem: F(t) = PX∈ (- ∞ , t) = P(X < t)
nazveme distribuní funkcí náhodné veliiny X.
Distribuní funkce je tedy funkce, která každému reálnému íslu piazuje pravdpodobnost, že náhodná veliina nabude hodnoty menší než toto reálné íslo.
Distribuní funkce má adu vlastností, které vyplývají pímo z její definice:
1. Distribuní funkce je nezáporné íslo menší nebo rovno jedné: 0 ≤ F(x) ≤ 1 2. Distribuní funkce je neklesající, tj. ∀ x1, x2 ∈ R: x1 < x2 F( x1 ) ≤ F( x2 ), 3. Distribuní funkce F( x ) je zleva spojitá 4. 1lim =
+∞→F(x)
x; 0lim
x=
−∞→F(x)
5. ∀ a, b ∈ R; a < b: P( a ≤ X < b ) = F( b ) - F( a ) 6. )(lim)( 0xx0
0
xFF(x)xXP −==+→
Rozlišujeme dva základní druhy náhodné veliiny - spojitou (mže nabývat hodnot z njakého intervalu) a diskrétní (mže nabývat pouze konen nebo spoetn mnoha hodnot), pesnji eeno náhodnou veliinu se spojitým a diskrétním rozdlením.
3.3 Diskrétní náhodná veliina O diskrétní náhodné veliin hovoíme tehdy, jestliže náhodná veliina nabývá pouze hodnot z njaké konené i spoetné množiny. Jedná se nejastji o celoíselné náhodné veliiny, nap. poet student, kteí vstoupili do hlavní budovy VŠB TUO bhem dopoledne (0,1,2,...), poet len domácnosti (1,2,3,...), poet dopravních nehod za jeden den na dálnici z Prahy do Brna (0,1,2,...), souet ok pi hodu temi kostkami (3,4,...,18) apod.
- 89 -
ešený píklad:
Definice: Budeme íkat, že náhodná veliina X má diskrétní rozdlení pravdpodobnosti práv tehdy, když:
1. ∃ konená nebo spoetná množina reálných ísel M= x1, ... , xn, ... takových, že P( X = xi ) > 0 i = 1, 2, ...n
2. i
P( X = xi ) = 1
Funkce P( X = xi ) = P( xi ) se nazývá pravdpodobnostní funkcí náhodné veliiny X Distribuní funkce takového rozdlení je schodovitá se skoky v bodech x1, ... , xn, .. Pro distribuní funkci diskrétní náhodné veliiny platí:
F( x ) = <
=xx
ii
)xP(X
Mjme náhodnou veliinu X definovanou jako výsledek hodu klasickou pravidelnou kostkou. Urete typ NV, její pravdpodobnostní a distribuní funkci (zakreslete). ešení: X ... výsledek hodu kostkou Základní soubor NV X (množina všech možných výsledk): Ω = 1; 2; 3; 4; 5; 6 Vzhledem k tomu, že základní soubor je tvoen konen mnoha (šesti) hodnotami, jedná se o diskrétní NV Pravdpodobnostní funkce této NV je uvedena v následující tabulce: (nap. P(X=1) teme: pravdpodobnost, že výsledek hodu kostkou je 1). V tabulce jsou pitom uvedeny pouze nenulové hodnoty pravdpodobnostní funkce. Je zejmé, že platí:
xi P( X = xi ) 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6
- 90 -
0)(:\¨ ==Ω∈∀ ii xXPRx (nap. P(X=1,5)=P(X=-3)= ... = 0). Všimnte si zárove, že je splnna 2. ást definice diskrétní NV : ==
)(
1)(i
ixXP
Na následujícím obrázku pak vidíme grafickou podobu pravdpodobnostní funkce (izolované body).
Dále se pokusíme na základ definice urit distribuní funkci. Z vlastností distribuní funkce vyplývá, že body nespojitosti této funkce jsou ty body, v nichž je pravdpodobnostní funkce nenulová (P( x = x0 ) = F(x)
+→ 0xxlim - F( x0 )). Proto si uríme hodnoty distribuní funkce na
všech intervalech vymezených body nespojitosti. nap.:
0)()(:1;( =<=−∞∈∀ xXPxFx (pravdpodobnost, že na kostce padne íslo menší než 1)
6/1)()(:2;1( =<=∈∀ xXPxFx (pravdpodobnost, že na kostce padne íslo menší než 2)
6/2)()(:3;2( =<=∈∀ xXPxFx (pravdpodobnost, že na kostce padne íslo menší než 3) ....... Hodnoty distribuní funkce na celém defininím oboru (R) jsou uvedeny v následující tabulce. Na grafu distribuní funkce si všimnte jejich vlastností:
• neklesající • zleva spojitá • 1lim =
+∞→F(x)
x; 0lim
x=
−∞→F(x)
xi F( xi ) (-∝;1> 0 (1;2> 1/6 (2;3> 2/6 (3;4> 3/6 (4;5> 4/6 (5;6> 5/6 (6;∝) 1
1/6
xx
P(x)
1 2 3 44
5 6
- 91 -
ešený píklad:
• )(lim)( 0xx00
xFF(x)xXP −==+→
, tj.:
distribuní funkce je nespojitá v bodech, v nichž je pravdpodobnostní funkce nenulová
velikost „skoku“ v bodech nespojitosti je rovna píslušné pravdpodobnosti
3.4 Spojitá náhodná veliina Jestliže náhodná veliina mže nabýt jakékoliv hodnoty z uritého intervalu, hovoíme o náhodné veliin se spojitým rozdlením. Jako píklad lze uvést: životnost výrobku (0, ∞), délku uritého pedmtu (0, ∞), náhodn vybrané reálné íslo (-∞, ∞) apod. V takovém pípad nelze jednotlivým realizacím náhodné veliiny piazovat pravdpodobnostní funkci, ponvadž tato pravdpodobnost je nulová.
Urete jaká je pravdpodobnost, že životnost žárovky bude pesn 253 hodin. ešení: Zkusme hledanou pravdpodobnost najít na základ klasické pravdpodobnosti, tj. jako pomr potu píznivých možností a potu všech možností. X … životnost žárovky Poet píznivých možností: 1 Poet všech možností:
0"1
")253( =∞
==XP
Pravdpodobnost, že životnost žárovky bude pesn 253 hodin je nulová. Už je Vám jasné pro je pravdpodobnost toho, že nastane libovolná realizace spojité náhodné veliiny, nulová?
1 1/6
x
P(x)
1 2 3 4 5 6
1/6
F(x)
x 1 2 3 4 5 6
- 92 -
Výklad:
Mžeme však stanovit pravdpodobnost výskytu náhodné veliiny v libovolném intervalu. To znamená, že pro její popis mžeme použít distribuní funkci. • Distribuní funkce spojité náhodné veliiny
je definována takto:
( ) ∞<<∞−= ∞−
xprodttfxFx
)( ,
kde reálnou nezápornou funkci f(x) nazveme hustotou pravdpodobnosti. • Hustota pravdpodobnosti je definována jako:
xxxXxP
xxFxxF
xfxx ∆
∆+<<=∆
−∆+=→∆→∆
)(lim
)()(lim)(
00,
tj. jako limita pravdpodobnosti, že veliina X padne do intervalu (x; x+x), vydlená délkou tohoto intervalu v pípad, že se tato délka blíží nule.
Pro hustotu pravdpodobnosti platí:
∞
∞−
= 1)( dxxf
Dkaz:
∞
∞−∞→
∞−∞→
=== 1)(lim)(lim)( tFdxxfdxxft
t
t
Dá se ukázat, že ve všech bodech, kde existuje derivace distribuní funkce, platí:
( )dx
xdFxf
)(=
Známe-li tedy distribuní funkci, mžeme lehce urit hustotu pravdpodobnosti a naopak, známe-li hustotu pravdpodobnosti, snadno vtšinou spoítáme distribuní funkci.
3.4.1 Pravdpodobnost výskytu spojité NV v njakém intervalu Jaký je tedy vztah mezi pravdpodobnosti výskytu spojité NV v njakém intervalu a distribuní funkci (pop. hustotou pravdpodobnosti)?
- 93 -
Distribuní funkce v bod x je definována jako pravdpodobnost, že náhodná veliina nabývá hodnot menších než x (že náhodná veliina leží v intervalu (-; x). );()()( xXPxXPxF −∞∈=<= Z této definice plyne, že :, Rba ∈∀
1. ∞−
==<a
dxxfaFaXP )()()(
2. ∞
=−=≥a
dxxfaFaXP )()(1)(
3. =−=<≤b
a
dxxfaFbFbXaP )()()()(
Jelikož pro spojitou náhodnou veliinu platí, že 0)( == xXP , mžeme dále tvrdit, že: 4. 0)( == xXP 5. )()( aXPaXP <=≤ 6. )()( aXPaXP >=≥ 7. )()()()( bXaPbXaPbXaPbXaP <<=≤<=≤≤=<≤ Dkazy: 1. plyne z definice distribuní funkce (obecn a speciáln pro spojitou NV) 2. )(1)(1)( aFaXPaXP −=<−=≥ (jev ( )aX < je negací jevu ( )aX ≥ )
( ) ( ) ( )∞
∞−
∞
∞−
=−=−=≥a
a
dxxfdxxfdxxfaFaXP )(1)(
3. =−=−=<−<=<≤∞−∞−
b
a
ab
dxxfdxxfdxxfaFbFaXPbXPbXaP )()()()()()()()(
- a
X<a
X a
- a
X<a
X<b
b
- 94 -
4. plyne z definice spojité NV – distribuní funkce spojité NV je spojitá funkce a proto 0)(lim)( 0xx0
0
=−==+→
xFF(x)xxP
5. 0)( == axP , )()()()( aXPaXPaXPaXP <=<+==≤ 6. 0)( == axP , )()()()( aXPaXPaXPaXP >=>+==≥ 7. 0)(,0)( ==== bXPaxP ,
)()()()()()( bXaPbXaPbXaPbXPaXPbXaP ≤<=<<=<<+=+==<≤
3.4.2 Geometrická interpretace vztahu mezi pravdpodobnosti a hustotou pravdpodobnosti
Pipomeme si (viz. geometrická interpretace integrálu), že integrál z kivky je vlastn velikost plochy pod touto kivkou. Víme že pro hustotu pravdpodobnosti platí, že:
∞
∞−
= 1)( dxxf
Je tedy zejmé, že obsah celé plochy pod kivkou f(x) dává dohromady jedniku. To je analogické situaci u diskrétní náhodné veliiny, kde souet pravdpodobností všech možných výsledk rovnž dával jedniku. Zárove jsme si ukázali, že:
=<≤b
a
dxxfbXaP )()(
A proto mžeme íci, že obsah plochy pod kivkou f(x) pro );bax ∈< je pravdpodobnost, že X nabude hodnoty z tohoto intervalu ( Rba ∈∀ , ).
Obdobn mžeme znázornit pravdpodobnosti:
P(a ≤ X < b) f(x)
x
- 95 -
ešený píklad:
∞−
=<a
dxxfaXP )()( , ∞
=≥a
dxxfaXP )()(
Píklad
Logistické rozdlení pravdpodobnosti má následující distribuní funkci F(x) a hustotu pravdpodobnosti f(x):
x)-(+e
F( x ) 101
1 = +
2
110
10
1 ) + e( e
f ( x ) x)-(
x)-(
+
+
=
Nech Y je spojitá promnná definována hustotou pravdpodobnosti:
jindeyyyc
yf0
11)1)(1()(
<<−+−=
a) naleznte konstantu c, b) zakreslete f(y) c) naleznte a zakreslete distribuní funkci F(y), d) urete: P(0<Y<1), P(Y>0,5), P(Y=0,3) ešení:
a) pro nalezení konstanty c využijeme toho, že: ∞
∞−
= 1)( dxxf
103
0
10)1(0
1
1
3
1
1
1
21
=+
−+
=+−+
−
∞
−
−
∞−
ttc
dtdttcdt
- 96 -
75,043
134
.
1)3
)1(1()
31
1(
===
=
−−−−−
cc
c
b) jinde
yyyyf0
11)1)(1(43
)( <<−+−=
c) Distribuní funkci uríme z definice: ( ) ∞<<∞−= ∞−
yprodttfyFy
)(
Pro 1−<<∞− y : 00)( == ∞−
dtyFy
Pro 11 <≤− y : ( ) ( )− −
−
∞−
++−=
−+=−+=
y y
yyt
tdttdtyF1
3
1
32
1
2341
343
0143
0)(
Pro ∞<≤ y1 : − −
−
∞−
=+
−+=+−+=
1
1 1
1
1
32
1
1034
300)1(
43
0)(y t
tdtdttdtyF
Hustota pravdpodobnosti
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
-4 -2 0 2 4
y
f(y)
Distribuní funkce F(y)
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
F(y)
y
- 97 -
Výklad:
d) Pravdpodobnosti výskytu náhodné veliiny Y na uritém intervalu uríme pomocí píslušných vztah:
• %50~21
)200(41
1)0()1()10( =++−=−=<< FFYP
• %6,15~325
3227
1)221
.3)21
((41
1)5,0(1)5,0( 3 =−=++−−=−=> FYP
• 0)3,0( ==YP
3.5 Intenzita poruch
Pro nezápornou náhodnou veliinu X se spojitým rozdlením definujeme pro F(t)≠1 (tj. F(t)<1) intenzitu poruch λλλλ(t) :
( ) ( )( )tF
tft
−=
1λ
Pedstavuje-li náhodná veliina X dobu do poruchy njakého zaízení, pak intenzita poruch vyjaduje, že pokud do asu t nedošlo k žádné poruše, tak pravdpodobnost, že k ní dojde v následujícím okamžiku malé délky t∆ , je pibližn ( )λ t t.∆ :
( )tXttXtP >+≤< ∆ ( )
( ) ttF
tf ∆−1
= ( )λ t t.∆
Vzájemné pevody mezi )(),(),( ttFtf λ udává následující tabulka:
F(t) f(t) ( )λ t
F(t)
F(t) ( )f x dxt
0 ( )1
0
− −
exp λ x dxt
f(t)
( )dF tdt
f(t) ( ) ( )
−⋅
t
dxxt0
exp λλ
( )tλ
( )
( )
dF tdtF t1−
( )
( )
f t
f x dxt
10
−
( )λ t
- 98 -
3.5.1 Jak vypadá nejastjší grafická interpretace intenzity poruch ?
Pokud zstaneme u pedstavy, že náhodná veliina X popisuje dobu do poruchy njakého zaízení, pak typický tvar intenzity poruch je zobrazen na následujícím obrázku.
Kivka na tomto obrázku se nazývá vanová kivka a obvykle se dlí na ti úseky (I, II, III).
I. V prvním úseku kivka intenzity poruch klesá. Odpovídající asový interval se nazývá období asných poruch (období zábhu, období poáteního provozu, období osvojování nebo období dtských nemocí podle analogie s úmrtnostní kivkou lovka). Píinou zvtšené intenzity poruch v tomto období jsou poruchy v dsledku výrobních vad, nesprávné montáže, chyb pi návrhu, nebo pi výrob apod.
II. Ve druhém úseku dochází k bžnému využívání zabhnutého výrobku, k poruchám dochází vtšinou z vnjších píin, nedochází k opotebení, které by zmnilo funkní vlastnosti výrobku. Intenzita poruch je v tomto období pibližn konstantní. Píslušný asový interval se nazývá období normálního užití, i stabilního života.
III. Ve tetím úseku procesy stárnutí a opotebení mní funkní vlastnosti výrobku, projevují se nastádané otesy výrobku z období II (analogie s nesprávnou životosprávou lovka), trhliny materiálu a intenzita poruch vzrstá. Píslušný asový interval se nazývá období poruch v dsledku stárnutí a opotebení.
3.6 íselné charakteristiky náhodné veliiny Rozdlení pravdpodobnosti každé náhodné veliiny X je pln popsáno pomocí její distribuní funkce F(x), pop. podle hustoty pravdpodobnosti f(x). V mnoha pípadech je však výhodné shrnout celkovou informaci o náhodné veliin do nkolika ísel, které charakterizují nkteré vlastnosti této náhodné veliiny a rovnž umožují srovnání rzných náhodných veliin. Tato ísla se nazývají íselné charakteristiky náhodné veliiny X. Nyní se seznámíme s nkterými z nich.
( )tλ
t
- 99 -
• Momenty rozdlení Obecný moment r-tého ádu µµµµr' znaíme µr' = EXr (r = 0,1,2, …) pro diskrétní NV: ( )=
)(
´, .i
irir xPxµ r = 0,1,2,....
pro spojitou NV: ∞
∞−
= dxxfx rr )(.´,µ r = 0,1,2, …
(pokud uvedená ada nebo integrál konvergují absolutn)
Centrální moment r-tého ádu µµµµr znaíme )( EXXEr −=µ (r = 0,1,2,...)
pro diskrétní NV: ( ) −=
)(
´, .)(i
ir
r xPEXxµ r = 0,1,2...
pro spojitou NV: ( )∞
∞−
−= dxxfEXx rr )(.´,µ r = 0,1,2, …
(pokud uvedená ada nebo integrál konvergují absolutn)
• Stední hodnota ( expected value ) Stední hodnota NV je definována jako první obecný moment. Znaí se EX nebo µµµµ.
pro diskrétní NV: ( )==
)(
.i
ii xPxEX µ
pro spojitou NV: ∞
∞−
== dxxfxEX )(.µ
Vlastnosti stení hodnoty: 1. RbabaEXbaXE ∈∀+=+ ,)(
(tj. násobíme-li k X konstantou, násobí se jí i její stední hodnota; piteme-li k X konstantu, zvýší se o tuto konstantu i její stední hodnota)
2. 2121 )( EXEXXXE +=+ (tj. stední hodnota soutu náhodných veliin je rovna soutu jednotlivých stedních hodnot)
3. ( ) )(.).(...., 212121 XEXEXXENVnezávisléXX = (tj. jsou-li NV X1, X2 nezávislé, pak stední hodnota jejich souinu je rovna souinu jednotlivých stedních hodnot)
- 100 -
4. (Y = g( X ); g( X ) spojitá f-ce) EY = E( g( X ))
pro diskrétní NV Y: ) ==
iii x) . P( Xg( xEY
pro spojitou NV Y: ∞
∞−
= x) dxg( x ). f(EY
• Rozptyl ( disperze, variance ) Rozptyl je druhým centrálním momentem, charakterizuje šíku rozdlení a znaí se DX, pop. σσσσ2 .
( ) ( )2222 EXEXEXXEDX −=−== µ
Dkaz výše uvedeného tvrzení je založen na vlastnostech stední hodnoty.
pro diskrétní NV: 2
)()(
2 )(.)(.
−=
iii
iii xPxxPxDX
pro spojitou NV: 2
2 )(.)(.
−=
∞
∞−
∞
∞−
dxxfxdxxfxDX
Vlastnosti rozptylu: 1. RaDXabaXD ∈∀=+ ,)( 2
(tj. násobíme-li náhodnou veliinu konstantou, hodnota jejího rozptylu se vynásobí druhou mocninou této konstanty; piteme-li k náhodné veliin konstantu, její rozptyl se nezmní)
2. ( ) 212121 ..., DXDXXXDNVnezávisléXX +=+ (tj. jsou-li NV X1, X2 nezávislé, pak rozptyl jejich souinu je roven souinu jednotlivých rozptyl)
• Smrodatná odchylka ( standard deviation ) Smrodatná odchylka je definována jako odmocnina z rozptylu a znaí se σσσσx.
σx = DX • Šikmost ( skewness )
Je mírou symetrie daného rozdlení pravdpodobnosti, znaí se a3 a je definována jako:
- 101 -
33
3x
aσµ=
Symetrii rozdlení (vzhledem k symetrii normovaného normálního rozdlení) pak posuzujeme takto:
a3 = 0 … symetrické rozdlení a3 < 0 .... negativn zešikmený soubor
a3 > 0 .... pozitivn zešikmený soubor • Špiatost ( kurtosis )
Je mírou špiatosti (plochosti) rozdlení, znaí se a4 a je definována jako:
44
4x
aσµ=
Špiatost rozdlení (vzhledem ke špiatosti normovaného normálního rozdlení) pak posuzujeme takto:
a4 = 3 .... normální špiatost (tj. špiatost normálního rozdlení) a4 < 3 .... menší špiatost než u normálního rozdlení ( plošší )
a4 > 3 .... vtší špiatost než u normálního rozdlení ( špiatjší ) Vzhledem k nepraktickému vyhodnocování špiatosti (vzhledem ke 3) se mnohdy používá tzv. standardizovaná špiatost, která je definována jako:
34 −a a špiatost rozdlení je pak posuzována vzhledem k hodnot 0. • Kvantily Znaí se xp a jsou definovány obdobn jako v exploratorní analýze dat. pro diskrétní NV: ( ) pxFxxp iip ==∈∀ /sup:1;0
(tj. nejvtší z hodnot, pro které platí, že ( ) pxF p = )
pro spojitou NV: ( ) pxFp p =∈∀ :1;0 • Modus Znaí se x a je definován odlišn pro diskrétní a spojitou NV.
pro diskrétní NV: hodnota, pro kterou platí: ,...2,1),()(^
==≥= ixXPxXP i (tj. hodnota, které nabývá NV s nejvtší pravdpodobností)
- 102 -
ešený píklad:
pro spojitou NV: hodnota, pro kterou platí: ∞<<∞−≥ xproxfxf )()( (tj. hodnota, v níž hustota pravdpodobnosti nabývá svého maxima)
Vrame se k díve definované diskrétní náhodné veliin X – hod kostkou. V jednom z výše ešených píkladu jsme si urili a zakreslili její pravdpodobnostní i distribuní funkci.
Nyní ureme: a) stední hodnotu b) rozptyl c) smrodatnou odchylku d) medián e) modus ešení:
a) ( ) 5,3621
6654321
61
.661
.561
.461
.361
.261
.1.)(
==+++++=+++++=== i
ii xPxEX µ
b) ( ) ( )2222 EXEXEXXEDX −=−== µ
2,15691
61
.661
.561
.461
.361
.261
.1)( 222222
)(
22 ≅=+++++==i
ii xPxEX
9,236
10536441
36546
621
691
)(2
22 ≅=−=
−=−= EXEXDX
c) 7,16105 ≅== DXxσ
d) x0,5=?
4;3(5,0)( ∈⇔= ii xxF
xi P( X = xi ) 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6
xi F( xi ) (-∝;1> 0 (1;2> 1/6 (2;3> 2/6 (3;4> 3/6 (4;5> 4/6 (5;6> 5/6 (6;∝) 1
- 103 -
ešený píklad:
44;3sup(5,0 ==x (ovení: platí, že 50% hodnot náhodné veliiny je ≤ 4)
e) modus je hodnota, pro kterou platí: ,...2,1),()(^
==≥= ixXPxXP i (tj. hodnota, které nabývá NV s nejvtší pravdpodobností)
Protože v našem pípad nabývá NV X všech hodnot se stejnou pravdpodobností, jedná se o vícemodální rozdlení s mody 1;2;3;4;5;6.
A nyní najdeme vybrané íselné charakteristiky pro spojitou náhodnou veliinu. Zvolme si náhodnou veliinu Y definovanou takto:
jinde
yyycyf
011)1)(1(
)(<<−+−
=
Urete: a) stední hodnotu b) rozptyl c) smrodatnou odchylku d) medián e) modus ešení:
Nejdíve bychom museli urit konstantu c ze vztahu: ∞
∞−
= 1)( dyyf
My využijeme toho, že daný problém jsme již výše ešili a mžeme proto pímo pevzít výsledek, že c=0,75.
a) ( ) 00424
300.1
43
.0.)(.1
1
42
1
1
1
21
=+
−+=+−+===
−
∞
−
−
∞−
∞
∞−
yydyydyyydyydyyfyEY µ
(výsledek byl oekávatelný, protože hustota pravdpodobnosti NV Y je sudá funkce)
b) 22 )(EYEYDY −=
( )
51
154
43
0534
300.1
43
.0.)(.1
1
53
1
21
1
221
222
=⋅=
=+
−+=+−+==
−
∞
−
−
∞−
∞
∞−
yydyydyyydyydyyfyEY
- 104 -
2,051
051
)( 222 ==−=−= EYEYDY
c) 45,055
51 ≅=== DYyσ
d) 5,0)( 5,0 =yF
Znovu využijeme toho, že jsme s touto náhodnou veliinou pracovali již díve a bez optovného výpotu použijeme znalosti distribuní funkce F(y).
( )11
1)1(2341
)1(0
)( 3
>
≤≤−++−
−<
=
ypro
yproyy
ypro
yF
Ze vztahu pro distribuní funkci je zejmé, že medián mže být pouze hodnota z intervalu (-1;1):
( )( )
( ))1;1(3
)1;1(3
0
03
03
223
5,02341
3
2
1
5,0
5,0
5,0
25,05,0
5,03
5,0
5,03
5,0
5,03
5,0
−∉−=−∉=
=
=+−
=+−
=++−
=++−
y
y
y
yy
yy
yy
yy
e) modus je hodnota, pro kterou platí: ∞<<∞−≥ xproxfxf )()ˆ(
(tj. hodnota, v níž hustota pravdpodobnosti nabývá svého maxima)
Pro maximum funkce platí, že první derivace v nm musí být nulová (nebo nedefinována) a druhá derivace v nm musí být záporná. Je zejmé, že rovnž modus budeme hledat na intervalu (-1;1):
( )
imazpodezelýbody
y
y
dyydf
max0
0)20(43
0143
0)(
,2
=
=−
=
−
=
- 105 -
ešený píklad:
Výklad:
Zda se jedná o maximum bychom mohli ovit z druhé derivace f(y), ale my využijeme opt toho, že jsme s danou NV pracovali a pohledem na graf f(y) si ovíme, že hustota pravdpodobnosti f(y) skuten nabývá svého maxima v bod 0.
0ˆ =y
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3.7 Funkce náhodné veliiny Definujme náhodnou veliinu Y = g(X), kde g(x) je njaká prostá reálná funkce definovaná na základním souboru náhodné veliiny X. Odvodíme rozdlení náhodné veliiny Y: distribuní funkci H(y) a hustotu h(y), jestliže známe rozdlení náhodné veliiny X: dána distribuní funkce F(x) a hustota f(x).
))(()()( yXgPyYPyH <=<= pro každé - ∞ < y < ∞
Jestliže k funkci g existuje funkce inverzní g-1, pak platí:
))(())(())(()( 11 ygFygXPyXgPyH −− =<=<= pro g rostoucí a
))((1))((1))(())(()( 111 ygFygXPygXPyXgPyH −−− −=<−=>=<= pro g klesající.
Pro spojitou náhodnou veliinu X a spojit diferencovatelnou funkci g je hustota h(y) náhodné veliiny Y rovna:
dyygd
ygfyh)(
)).(()(1
1−
−=
Nech náhodná veliina W je definována jako lineární transformace náhodné veliiny Y.
jindeyyy
yf0
11)1)(1(75,0)(
<<−+−=
W = 5Y + 6
- 106 -
Naleznte: a) distribuní funkci G(w) náhodné veliiny W b) hustotu pravdpodobnosti g(w) náhodné veliiny W, c) stední hodnotu EW náhodné veliiny W d) rozptyl DW náhodné veliiny W. ešení: Stejn jako v pedchozích pípadech využijeme toho, že jsme již s NV Y pracovali (v opaném pípad bychom museli nejdíve najít F(y), EY a DY).
( )11
1)1(2341
)1(0
)( 3
>
≤≤−++−
−<
=
ypro
yproyy
ypro
yF , EY = 0, DY = 0,2
a) )5
6()
56
()65()()(−=−<=<+=<= w
Fw
YPwYPwWPwG
Nyní uríme distribuní funkci G(w) tak, že do pedpisu pro distribuní funkci F(y)
dosadíme za y výraz
−5
6w.
15
61
15
612
56
35
641
15
60
)(3
>
−
≤
−≤−
+
−+
−−
−<
−
=
wpro
wpro
ww
wpro
wG
111
111)163318(500
110
)( 23
>
≤≤−+−−
<
=
wpro
wprowww
wpro
wG
b) Hustotu pravdpodobnosti uríme jako derivaci distribuní funkce:
( )dw
wdGwg
)(=
( ) ( )1110
111)33363(500
1)(
2
>∪<
≤≤+−−=wwpro
wprowwwg
- 107 -
ešený píklad:
po úprav:
( ) ( )1110
111)1112(500
3
)(
2
>∪<
≤≤+−−=
wwpro
wprowwwg
c) Z vlastností stední hodnoty plyne, že:
660.56.5)65( =+=+=+= EYYEEW
d) Z vlastností rozptylu plyne, že:
52,0.25.5)65( 2 ===+= DYYDDW
Nech náhodná veliina X má spojitou rostoucí distribuní funkci F(x). Najdte distribuní funkci a hustotu pravdpodobnosti náhodné veliiny Y = F(X). ešení: Y = F(x) • F(x) nabývá pro x∈R hodnot z intervalu <0;1> náhodná veliina Y nabývá rovnž
hodnot z intervalu <0;1>
1)(10)(0
=>=<
yHypro
yHypro
yyFFyFXPyXFPyYPyHypro ==<=<=<=≤≤ −− ))(())(())(()()(10 11
11
1000
)(>
≤≤<
=ypro
yproy
ypro
yH
- 108 -
Shrnutí:
• Hustota pravdpodobnosti náhodné veliiny Y
dyydH
yh)(
)( =
jinde
yproyh
01;01
)(∈
=
Náhodná veliina Y má tzv. rovnomrné (rektangulární) rozdlení v intervalu <0, 1> .
Náhodná veliina je veliina, jejíž hodnota je jednoznan urena výsledkem náhodného pokusu (je-li tento výsledek dán reálným íslem). Jde o reálnou funkci definovanou na základním prostoru a charakterizovanou distribuní funkci. Distribuní funkce je definována jako F(x) = P(X<x), jde tedy o funkci, která každému reálnému íslu piazuje pravdpodobnost, že náhodná veliina nabývá hodnot menších než toto reálné íslo. Pravdpodobnost výskytu náhodné veliiny na njakém intervalu urujeme na základ tchto vztah:
)()()()(1)(
)()(
aFbFbXaP
bFbXP
aFaXP
−=<≤−=≥
=<
Hustota pravdpodobnosti rovnomrného rozdlení
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
- 109 -
Podle toho, jakých mže náhodná veliina nabýt hodnot (resp. z jakého intervalu), rozlišujeme spojitou a diskrétní náhodnou veliinu, pesnji eeno náhodnou veliinu se spojitým a diskrétním rozdlením. Diskrétní náhodná veliina je náhodnou veliinou, která mže nabývat pouze koneného nebo spoetn nekoneného množství hodnot (nap. výsledek hodu kostkou) Diskrétní náhodnou veliinu popisujeme prostednictvím pravdpodobnostní funkce, pop. distribuní funkce. Spojitá náhodná veliina je náhodnou veliinou, která mže nabývat všech hodnot z libovolného koneného nebo nekoneného intervalu (nap. životnost záivky) Pro popis spojité náhodné veliiny používáme distribuní funkci, hustotu pravdpodobnosti a v pípad, že jde o nezápornou spojitou náhodnou veliinu používáme také intenzitu poruch. Intenzita poruch má pro vtšinu výrobk z technické praxe charakteristický tvar vanové kivky. V mnoha pípadech je výhodné shrnout celkovou informaci o náhodné veliin do nkolika ísel, které charakterizují nkteré vlastnosti náhodné veliiny, pípadn umožují srovnání rzných náhodných veliin. Tato ísla se nazývají íselné charakteristiky náhodné veliiny. Mezi základní íselné charakteristiky adíme nap. stední hodnotu, rozptyl, smrodatnou odchylku, kvantily, modus, šikmost a špiatost. V pípad, že g(x) je njaká prostá reálná funkce, definovaná na základním souboru náhodné veliiny X, mžeme snadno odvodit rozdlení transformované náhodné veliiny Y = g(X).
- 110 -
1. Popište zavedení náhodné veliiny pomocí distribuní funkce, vetn nejvýznamnjších vlastností této funkce.
2. Jaký je vzájemný vztah mezi distribuní funkcí a pravdpodobnostní funkcí diskrétní náhodné veliiny ?
3. Jaký je vzájemný vztah mezi distribuní funkcí a hustotou pravdpodobnosti spojité náhodné veliiny ?
4. Co je to intenzita poruch a jak se dá vyjádit pomocí distribuní funkce a hustoty pravdpodobnosti ? Jaký je její charakteristický tvar ?
5. Které obecné a centrální momenty znáte ? Co je to medián a modus ? 6. Odvote pedpis pro distribuní funkci náhodné veliiny Y, je-li tato náhodná veliina
definovaná jako Y=g(X), kde g je prostá reálná funkce definovaná na základním prostoru náhodné veliiny X.
Otázky
- 111 -
1. Náhodná veliina X je dána soutem potu ok pi dvou hodech klasickou hrací kostkou.
Urete pro danou náhodnou veliinu: a) pravdpodobnostní funkci b) distribuní funkci c) stední hodnotu d) rozptyl
2. Nech náhodná veliina Z je definována takto:
( )( ) ∞<<∞−++
= − zee
zf zz 111
)(
Naleznte distribuní funkci náhodné veliiny Z.
3. Bod je náhodn vybrán z koule o polomru R. Náhodnou veliinu X definujme jako
vzdálenost tohoto bodu od poátku. Urete pro danou náhodnou veliinu: a) distribuní funkci b) hustotu pravdpodobnosti c) stední hodnotu d) rozptyl
4. Strana krychle má rovnomrné rozdlení na intervalu <0;2>. Urete distribuní funkci objemu krychle.
5. X je spojitá náhodná veliina s hustotou pravdpodobnosti xexf −=21
)( . Urete
)21( ≤≤ XP . 6. Spojitá náhodná veliina X je definovaná hustotou pravdpodobnosti f(x):
jinde
xproxxf
01;0)1(2
)(∈−
=
Urete 100%-ní kvantil x a medián. Urete pravdpodobnost P(X>0,5), P(X=0,4)
Úlohy k ešení
- 112 -
1. X … diskrétní NV a)
xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(X=xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
b)
xi (-;2> (2;3> (3;4> (4;5> (5;6> (6;7> F(xi) 0 1/36 3/36 6/36 10/36 15/36
xi (7;8> (8;9> (9;10> (10;11> (11;12> (12;) F(xi) 21/36 26/36 30/36 33/36 35/36 1
ešení:
Pravdpodobnostní funkce
0
1/50
1/25
3/50
2/25
1/10
3/25
7/50
4/25
9/50
0 2 4 6 8 10 12 14
x
P(x
)
Distribuní funkce
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-5 0 5 10 15
x
F(x)
- 113 -
d) 7=EX e) 83,536/210 ≅=DX
2. z
z
ee
zF+
=1
)(
3. X … spojitá NV
a)
( )
( )∞∈
∈
∞−∈
=
;1
;0
0;0
)( 3
3
Rxpro
RxproRx
xpro
xF
b) jinde
RxproRx
xf0
;03
)( 3
2
∈=
c) 4
3REX =
d) 80
3 2RDX =
4.
( )
( )∞∈
∈
∞−∈
=
;81
8;02
0;0
)(3
xpro
xprox
xpro
xF
5. 21)21( −− −=≤≤ eeXP 6. αα −−= 11x , x0,5 = 0,293, 25,0)5,0( =>XP , 0)4,0( ==XP
