LINEÁRNÍ PROSTORY, LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ

Lineární kombinace

Motivace: Při metodě GEM na řešení soustav lineárních rovnic jsme v jednotlivýchkrocích vytvářeli nové řádky v soustavě pomocí lineárních kombinací řádků vytvořenýchv krocích předchozích. Tato myšlenka může v dalším sloužit jako úvodní, vedoucí kezkoumání lineárních kombinací prvků některých systémů.Pojem lineární kombinace lze použít také při hledání množiny všech řešení homogenní

soustavy m lineárních rovnic o n neznámých, zapsané v maticovém tvaru jako A · x = 0,kde A je matice soustavy. Zjistili jsme, že tato množina má následující vlastnost: lineárníkombinace některých řešení je opět řešením této soustavy.Má smysl se tudíž zabývat strukturami, ve kterých lze vhodně vymezit pojem ”line-

ární kombinace” prvků. Uvedeme úlohu z ekonomické praxe.

Příklad. Předpokládejme, že určitá firma vyrábí dva výrobky V1, V2 ze dvou surovinS1, S2 , přičemž spotřeba surovin ve vhodných jednotkách na výrobku jedné jednotkykaždého z produktů je určena produkční maticí z tabulky:

V1 V2S1 15 6S2 12 8

Firma k výrobě předpokládá dodávku 7200 jednotek suroviny S1 a 6240 jednotek surovinyS2. Lze stanovit počty k1, k2 výrobků V1, V2 tak, aby se ve výrobě spotřebovaly všechnydodané suroviny?Řešení. Reprezentujme množství surovin v dodávce ve tvaru vektoru y = (7200, 6240)

nebo transponujme y na sloupcový vektor x = yT . Úloha pak vede na problém existencedvojice (nezáporných celých) čísel k1, k2 jako počtů výrobků V1, V2, pro které se splní

x = k1a1 + k2a2,

kde také a1, a2 jsou sloupcové vektory produkční matice určující počty výrobků V1, V2,nebo na ”možnost vykombinování vektoru x z vektorů a1, a2”:(

72006240

)= k1 ·

(1512

)+ k1 ·

(68

)Proto k1, k2, pokud existují, jsou řešení soustavy 2 lineárních rovnic:

15k1+6k2 = 720012k1+8k2 = 6240

Tato soustava má jediné řešení k1 = 420, k2 = 150. Poznamenejme, že pojem vektorua znalost elementárního zacházení s vektory byly vhodnými prostředky k interpretaciúlohy i způsobu jejího řešení.

Definice. Nechť V je neprázdná množina, R je množina všech reálných čísel. Nechťna množině V jsou definovány– binární operace +, která každým 2 prvkům α, β ∈ V přiradí jednoznačně určený

prvek γ jako jejich součet,– násobení prvků množiny V reálnými čísly c ∈ R

tak, že pro každé α, β, γ ∈ V a každé c, d ∈ R jsou splněny následující axiomy:

1

(1) α+ β = β + α (součet je komutativní);(2) (α+ β) + γ = α+ (β + γ) (součet je asociativní);(3) v množině V existuje neutrální (nulový) prvek 0 ∈ V vzhledem k operaci +, tj.

α+ 0 = α;(4) ke každému prvku α ∈ V existuje v množině V opačný prvek δ vzhledem k operaci

+, tj. α+ δ = 0;(5) (c+ d) · α = c · α+ d · α (distributivnost vzhledem k součtu reálných čísel);(6) c · (α+ β) = c · α+ c · β (distributivnost vzhledem k součtu prvků množiny V );(7) (cd) · α = c · (d · α);(8) 1 · α = α.Množina V s uvedenými vlastnostmi se pak nazývá lineárním prostorem nad reálnými

čísly a označujeme ji jako V (R).

Poznámka. Množině V (R) se říká taky vektorový prostor nad reálnými čísly a jejíprvky se označují také jako vektory ~a. Kupř. množina všech dvousložkových (dvojroz-měrných) vektorů, chápaných jako polohové vektory bodů v rovině, tvoří lineární prostorpři obvykle zavedeném součtu a reálného (skalárního) násobku vektoru číslem ve smyslu”po složkách”:

pro ~x =

(x1x2

), ~y =

(y1y2

)je ~x+ ~y =

(x1 + y1x2 + y2

),

pro ~x =

(x1x2

), c ∈ R je c · ~x =

(cx1cx2

).

Všech 8 axiom se splní, což lze prokázat postupně; nulovým prvkem je vektor

(00

).

Uvedený lineární prostor dvojrozměrných vektorů se obvykle označuje jako V2(R) a mlu-víme také o lineárním prostoru aritmetických vektorů. Obecně, pod Vn(R) budeme roz-umět lineární prostor n-rozměrných aritmetických vektorů (uspořádaných n-tic reálnýchčísel) s operací + a skalárním násobkem reálnym číslem zavedenými opět po složkách.Tyto vektory lze psát jako řádkové nebo sloupcové; častěji budeme používat zápis vek-toru do sloupce, neboli jako matici typu n × 1. Připomeňme, že interpretace vektorů(řádkových, sloupcových) jako speciální matice má za důsledek chápat rovnost dvouvektorů jako rovnost jejich prvků ve všech složkách, tj.pro α = (a1, ..., an), β = (b1, ..., bn) máme α = β právě když ai = bi pro všechna

i = 1, ..., n;Nulovým vektorem je vektor 0 = (0, ..., 0), vektorem opačným k vektoru α je vektor(−a1, ...,−an) označovaný jako −α.

Cvičení. Dokažte, že následující množiny s binární operací součtu a násobkem prvkureálným číslem tvoří lineární prostor nad reálnými čísly:

(a) {

xyz

: x+ y + z = 0}, + a násobek reálným číslem jsou odvozeny z Vn(R);

(b) množina všech čtvercových matic 2. stupně, s operací součtu matic a násobenímmatice číslem v obvyklém významu;(c) množina všech čtvercových diagonálních matic 3. stupně, s operací součtu matic

a násobením matice číslem v obvyklém významu; matice A se nazývá diagonální maticí,pokud aij = 0 pro i 6= j, i, j = 1, 2, 3;

2

(d) množina všech čtvercových symetrických matic 3. stupně, s operací součtu matica násobením matice číslem v obvyklém významu; matice A se nazývá symetrickou maticí,pokud platí aij = aji pro všechna i, j = 1, 2, 3;

(e) množina všech čtvercových matic 2. stupně tvaru

(a a+ b

a+ b b

), s operací

součtu matic a násobením matice číslem v obvyklém významu;(f) množina F (x) všech reálných funkcí jedné proměnné definovaných na množině

všech reálných čísel (součet a násobek v obvyklém významu, tj. po prvcích);(g) množina F0(x) všech reálných funkcí jedné proměnné definovaných na množině

všech reálných čísel (součet a násobek odvozeny z F (x)), s vlastností f(0) = 0 pro každouf ∈ F0(x);(h) množina C(x) všech reálných funkcí jedné proměnné definovaných na množině

všech reálných čísel (součet a násobek odvozeny z F (x)), spojitých na R;(i) množina P (x) všech polynomických funkcí jedné proměnné (součet a násobek

polynomických funkcí v obvyklém významu);(j) pro dané n ∈ N množina všech polynomických funkcíPn(x) = {a0 + a1x+ a2x

2 + ...+ anxn, ai ∈ R},

součet a násobek v obvyklém významu;(k) množina D(x) všech reálných funkcí jedné proměnné definovaných na množině

všech reálných čísel (součet a násobek odvozeny z F (x)), majících derivace prvního adruhého řádu na R a splňujících podmínku

f ′′ + 3f ′ + 2f = 0.Cvičení. Zdůvodněte, proč následující množiny s příslušnou operací + a násobkem

reálným číslem netvoří lineární prostor:(a) množina všech čtvercových regulárních matic 2. stupně, s operací součtu matic a

násobením matice číslem v obvyklém významu;

(b) množina všech čtvercových matic 2. stupně tvaru

(a 1b c

), s operací součtu

matic a násobením matice číslem v obvyklém významu;(c) množina F1(x) všech reálných funkcí jedné proměnné definovaných na množině

všech reálných čísel (součet a násobek odvozeny z F (x)), s vlastností f(0) = 1 pro každouf ∈ F1(x);(d) množina všech polynomických funkcí s nezápornými reálnými koeficienty, součet

a násobek odvozeny z F (x);(e) množina všech matic typu 2×3 s operací součtu matic a násobením matice číslem

v obvyklém významu.

Lineární podprostor lineárního prostoru; lineární kombinace, lineární obal

Z příkladů bylo zřejmé, že některé z uvedených lineárních prostorů jsou rovněž pod-strukturami jiných lineárních prostorů, a to takovými, že jsou uzavřenými na zkoumanéoperace. Definujeme proto:

Definice. Nechť L je lineární prostor. Lineárním podprostorem prostoru L se nazývátaková podmnožina L1 množiny L, která sama tvoří lineární prostor, a to s operací součtua s násobením prvků množiny L1 reálným číslem, odvozenými z prostoru L.

3

Příklad. Množiny Su(x), Li(x) všech sudých, resp. lichých reálných funkcí defino-vaných na R jsou lineárními podprostory lineárního prostoru F (x) všech reálných funkcídefinovaných na R, s operacemi odvozenými z lineárního prostoru F (x).

Jestliže M je podmnožina v lineárním prostoru, ne nutně lineární podprostor, vznikáotázka: jak lze najít nejmenší lineární podprostor obsahující tuto množinu? Lze totižočekávat, že obecně dostaneme v L jako lineární podprostor nadmnožinu dané množinyM . Kupř. M = ∅ netvoří lineární prostor; nejmenším možným lineárním podprostoremv každém lineárním prostoru je množina sestávající z jeho nulového prvku {0}. PokudMnení prázdná a obsahuje nejméně jeden nenulový prvek, obsahuje pak i všechny násobkytakových prvků reálným číslem, součty dvou (obecně konečného počtu) prvků, jejichnásobky reálným číslem atd. Proto s ohledem na vytváření prvků v lineárním prostorudefinujeme nejprve pojem lineární kombinace prvků vystupující na začátku našich úvah:

Definice. Nechť L je lineární prostor a nechť α1, α2, . . ., αk ∈ L, nechť c1, c2, . . .,ck ∈ R. Vektor

x = c1α1 + c2α2 + ...+ ckαk

se nazývá lineární kombinací vektorů α1, α2, . . ., αk. Reálná čísla c1, c2, . . ., ck jsoukoeficienty této lineární kombinace.Poznámky. Podle této definice mohou být koeficienty lineární kombinace libovolná

reálná čísla, nenulová nebo také nulová. Proto z definice plyne, že nulový prvek lineár-ního prostoru – vektor 0 je lineární kombinací libovolné skupiny vektorů: stačí vzít zakoeficienty této lineární kombinace všechna čísla c1 = c2 = ... = ck = 0.Otázka, zda daný vektor x je lineární kombinací daných vektorů α1, α2, . . ., αk, vede

na řešení soustavy lineárních rovnic.

Příklad. Určeme, zda vektor x = (0, −3, 4) v prostoru V3(R) lze vyjádřit jakolineární kombinaci vektorů α1, α2 toho prostoru, a to proa) α1 = (1, −1, 2), α2 = (2, 1, 0);b) α1 = (−3, 2, 1), α2 = (2, 1, 0).Řešení. Hledáme čísla c1, c2 taková, aby platilo c1α1 + c2α2 = x.

a) Má být c1α1 + c2α2 = c1

1−12

+ c2

210

= 0−34

.Rovnost vektorů po složkách vede na 3 lineární rovnice pro 2 neznámé c1, c2:

c1+2c2 = 0−c1+ c2 = −32c1+ = 4

Tato soustava má jediné řešení c1 = 2, c2 = −1 a daný vektor x lze napsat jakolineární kombinaci x = 2α1 − α2.

b) Podobně, pro danou dvojici vektorů α1, α2 úvaha o možnosti vyjádření vektorux ve tvaru x = c1α1 + c2α2 vede na řešení následující soustavy lineárních rovnic pro 3složky daných vektorů:

4

−3c1+2c2 = 02c1+ c2 = −3c1+ = 4

Tato soustava nemá řešení; tudíž teď vektor x nelze vyjádřit jako lineární kombinacivektorů α1, α2 (vzniká samozřejmě otázka, čím se odlišují dvojice daných vektorů α1, α2z úloh a), b)). •Z axiom lineárního prostoru plyne:

Věta. (1) Jestliže L1, L2 jsou dva lineární podprostory lineárního prostoru L, pakjejich množinový průnik L1 ∩L2 je lineárním podprostorem lineárního prostoru L. Je tonejvětší lineární podprostor lineárního prostoru L, obsažený v obou lineárních podpros-torech L1, L2;(2) jestliže M je neprázdná podmnožina lineárního prostoru L, pak nejmenším line-

árním podprostorem lineárního prostoru L, obsahujícím množinu M , je množina všechlineárních kombinací

{c1α1 + c2α2 + ...+ ckαk, ci ∈ R,αi ∈M}prvků z množiny M .

Důkaz. V obou případech nejprve musíme prokázat, že uvedené množiny jsou uza-vřené vzhledem na součet prvků a násobek prvků reálným číslem. Pro množinový průnikto plyne přímo z jeho množinových vlastností; pro prvky tvaru lineárních kombinací sistačí uvědomit, že– součet dvou prvků tvaru lineárních kombinací je opět lineární kombinací prvků

množiny M ,– násobek lineární kombinace reálným číslem je opět lineární kombinací;

navíc, podle předchozích úvah, nulový prvek je lineární kombinací libovolné skupinyprvků z množiny M . V dalších krocích postupujeme podle axiom lineárního prostoru.K tomu, abychom prokázali, že L1 ∩ L2 je největší lineární podprostor lineárního

prostoru L, obsažený v obou podprostorech L1, L2, stačí úvaha o vlastnosti množinovéhoprůniku: pokud Q je lineární podprostor lineárního prostoru L s vlastností Q ⊂ L1 asoučasně Q ⊂ L2, pak ovšem Q ⊂ L1 ∩ L2.Na druhé straně, k tomu, abychom prokázali, že lineární podprostor sestávající ze

všech lineárních kombinací prvků dané množiny M je nejmenší lineární podprostor line-árního prostoru L obsahující množinu M , stačí tato úvaha: nechť Q je nějaký lineárnípodprostor lineárního prostoru L obsahující M jako množinu. Protože však Q je lineár-ním prostorem, musí spolu s prvky množiny M obsahovat také všechny jejich lineárníkombinace, tudíž [M ] ⊂ Q. •Lineární podprostor sestrojený v b) se nazývá lineárním obalem množiny M a ozna-

čujeme jej [M ].Mějme dva lineární podprostory L1, L2 lineárního prostoru L. Pak podle dokázaného

tvrzení největším lineárním podprostorem lineárního prostoru L, obsaženým v každémze zmíněných lineárních prostorů, je jejich množinový průnik. Ale nejmenším lineárnímpodprostorem v lineárním prostoru L, obsahujícím oba zmíněné lineární prostory, obecněnení analogicky jejich množinové sjednocení; tímto lineárním prostorem je lineární obaljejich množinového sjednocení neboli množina všech lineárních kombinací prvků náleží-cích do množiny L1 ∪ L2: je to tedy [L1 ∪ L2].

5

Příklad.V lineárním prostoru V2(R) určeme lineární obal [M ] množinyM = {(1, 5)}.Řešení. Protože množinaM je jednoprvková (a neprázdná), podle předchozích úvah

bude lineární obal [M ] tvořen množinou všech k-násobků vektoru (1, 5), kde k ∈ R.To přivádí ke geometrické představě [M ]: uvedený lineární obal tvoří všechny koncovébody polohových vektorů bodů na přímce v rovině, která je určena body [0, 0], [1, 5](nepřesně mluvíme o tom lineárním obalu také jako o přímce procházející bodem [0, 0],určené uvedeným vektorem jako jejím směrovým vektorem). Formálně lze taky psát

[M ] = {k · (1, 5), k ∈ R}. •Poznámka. Tuto úlohu lze samozřejmě řešit také obecně: pro daný nenulový vek-

tor α ∈ V2(R), α = (a1, a2), koresponduje lineární obal [α] s přímkou v rovině, kteráje určena body [0, 0], [a1, a2]. Lze však uvažovat také o vektoru α ∈ Vn(R); lineárníobal [α] jako podprostor lineárního prostoru Vn(R) pak představuje prostorovou přímkuprocházející začátkem a určenou vektorem α jako jejím směrovým vektorem.Na druhé straně, každá přímka p v n-rozměrném prostoru, procházející začátkem

(jako množina umístění koncových bodů vektorů rovnoběžných s jejím směrovým vekto-rem), tvoří lineární podprostor. Nelze však říci, že to jsou spolu s množinou {0} všechnylineární podprostory lineárního prostoru Vn(R).

Cvičení. V lineárním prostoru V3(R) určeme lineární obal [M ] množiny

a)M = {(0, 1, 2), (0, 2, 4)};b)M = {(0, 1, 2), (1, 4, 0)}.Řešení. a) Formální postup vede k sestavení lineárních kombinací z daných dvou

prvků. Protože však pro α = (0, 1, 2), β = (0, 2, 4) ∈M platí úměrnost β = 2 ·α, mno-žina takových lineárních kombinací se redukuje pouze na násobky jednoho z uvedenýchvektorů, kupř. vektoru α. Lineárním obalem [M ] ve smyslu předchozích geometrickýchúvah je proto opět prostorová přímka procházející začátkem, jejíž směrovým vektoremje vektor α.

b) Pro prvky α = (0, 1, 2), γ = (1, 4, 0) ∈ M teď úměrnost neplatí. Určitě lze psátpro α, γ

[M ] = {c · α+ d · γ, c, d ∈ R}.V lineárním obalu samozřejmě bude také vektor (0, 0, 0) (pro c = d = 0); geometrickyovšem nemůže jít o přímku. Otázka o tom, který vektor x ∈ V3(R) bude náležet do [M ],vede na problém existence a počtu řešení soustavy 3 rovnic pro 2 neznámé c, d ∈ R

x = c · α+ d · γ.Využijme geometrickou interpretaci: vzhledem na to, že vektory α a γ neleží v jednépřímce, podmínka na vektor x zformulovaná v této soustavě říká, že vektor x náleží ro-vině, ve které se nacházejí tyto vektory (nebo jejich koncové body umístění jako poloho-vých vektorů v prostoru). Tato rovina, procházející začátkem [0, 0, 0], je tudíž lineárnímobalem dané dvojice vektorů – tudíž je lineárním podprostorem ve V3(R). •Poznámka. Každá rovina ρ ve 3-rozměrném prostoru, procházející začátkem (jako

množina umístění koncových bodů vektorů rovnoběžných s jejím směrovým vektorem),tvoří lineární podprostor.Na základě předchozí úlohy je přehled o lineárních podprostorech lineárního prostoru

6

V3(R) ukončen: kromě triviálních lineárních podprostorů V3(R) a {0} jsou lineárnímipodprostory všechny přímky procházející bodem [0, 0, 0] a všechny roviny rovněž pro-cházející tímto bodem [0, 0, 0]. Předešlá úloha současně naznačuje, jak lze získat přehledo lineárních podprostorech lineárního prostoru Vn(R).

Poznámka. Nechť α1, α2, . . ., αn ∈ L. Lineární obal [α1, α2, ..., αn] se nazývá takélineární podprostor generovaný uvedenými vektory. Jestliže platí [α1, α2, ..., αn] = L,pak vektory α1, α2, . . ., αn se nazývají generátory lineárního prostoru L. Kupř. vektory(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) jsou generátory lineárního prostoru V3(R); tento prostor lzegenerovat také pomocí jiné množiny generátorů. Obecně však lineární prostor nemusímít nutně generátory, nebo dokonce konečný počet generátorů.Následující tvrzení plyne ze struktury lineárního obalu:

Věta. Vektor β ∈ L je lineární kombinací vektorů α1, α2, . . ., αk ∈ L tehdy a jentehdy, jestliže platí

[α1, α2, ..., αk] = [α1, α2, ..., αk, β].

Lineárně závislé, lineárně nezávislé vektory v lineárním prostoru

Nechť L je lineární prostor. Položme si otázku, zda v případě k vektorů α1, α2, . . .,αk s vlastností [α1, α2, ..., αk] = L nelze počet těchto vektorů zredukovat, ale tak, aby ita případná podmnožina vektorů generovala lineární prostor L. Určitě můžeme vynechattakové vektory (pokud existují), které jsou lineárními kombinacemi jiných vektorů. Kterévektory ovšem už nelze vypustit?

Definice. Nechť α1, α2, . . ., αn ∈ L. Tyto vektory se nazývají lineárně závislé, pokudexistují reálná čísla c1, c2, . . ., cn, z nichž alespoň jedno je nenulové, tak, že platí

c1 · α1 + c2 · α2 + ...+ cn · αn = 0.

Poznámka. Rovnost c1 ·α1+ c2 ·α2+ ...+ cn ·αn = 0 lze určitě splnit pro jakoukolivskupinu vektorů, a to tak, že všechny koeficienty vezmeme nulové: ci = 0. To je aletriviální, proto by taková definice nic neříkala. Obsahem definice zavádějící lineární ne-závislost vektorů je netriviální možnost splnit podmínku na lineární kombinaci: pro tytovektory lze najít taková reálná čísla, že nulový vektor (stojící na pravé straně zmíněnérovnosti) je jejich netriviální lineární kombinací, tj. existuje alespoň jedno reálné čísloci 6= 0 tak, že se splní

c1 · α1 + c2 · α2 + ...+ cn · αn = 0.

Kupř. vektory α1 = (1, 1), α2 = (1, 2), α3 = (2, −3) ∈ V2(R) jsou lineárně závislé,protože platí7α1 − 5α2 − α3 = 0.

Pokud ovšem uvedená rovnost se splní výlučně pro všechny koeficienty v lineární kombi-naci rovny 0, bude se taková skupina vektorů vyznačovat protikladnou vlastností ozna-čovanou jako lineární nezávislost:

Definice. Vektory α1, α2, . . ., αn ∈ L se nazývají lineárně závislé, jestliže z rovnosti

c1 · α1 + c2 · α2 + ...+ cn · αn = 0

plyne ci = 0 pro všechny i = 1, ..., n.

Příklad. Dva vektory α1 = (1, 1), α2 = (1, 2) ∈ V2(R) jsou lineárně nezávislé:

7

podmínka na určení koeficientů c1, c2 v lineární kombinaci

c1 · α1 + c2 · α2 = 0 neboli c1 ·(11

)+ c2 ·

(12

)=

(00

)vede na homogenní soustavu 2 lineárních rovnic s determinantem

D =

∣∣∣∣∣ 1 11 2∣∣∣∣∣ = 1 6= 0,

tudíž tato soustava má pouze triviální řešení c1 = c2 = 0. To znamená, že vektory α1,α2 jsou lineárně nezávislé.Speciálně vektory (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) ∈ V3(R) jsou lineárně nezávislé; stačí

napsat podmínku o nulovosti jejich lineární kombinace.Vektory (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1) ∈ V3(R) jsou rovněž lineárně nezávislé: hledejme

c1, c2, c3 tak, aby platilo

c1 ·

110

+ c2 ·

101

+ c3 ·

011

= 000

Pro hledané koeficienty lineární kombinace plyne tato soustava:

c1+c2 = 0c1 +c3 = 0

c2+c3 = 0Hodnota determinantu této soustavy je D = −2 6= 0, proto soustava má pouze triviálnířešení c1 = c2 = c3 = 0, tudíž tyto vektory jsou lineárně nezávislé.

Poznámka. Rozhodování o lineární nezávislosti, resp. lineární závislosti vektorů vedena prokázání existence pouze triviálního, resp. také netriviálního řešení homogenní sou-stavy lineárních rovnic pro koeficienty příslušné lineární kombinace těchto vektorů. Mějmeteď speciálně skupinu n vektorů α1, α2, . . ., αn v prostoru Vn(R) a nechť D je determi-nant sestaven z těchto vektorů jako sloupců. V předchozích příkladech jsme využívalipodmínky řešitelnosti čtvercové homogenní soustavy lineárních rovnic; podle Cramerovapravidla totiž platí, že vektory

α1, α2, . . ., αn lineárně nezávislé ⇐⇒ soustava má triviální řešení ⇐⇒ D 6= 0,α1, α2, . . ., αn lineárně závislé ⇐⇒ soustava má netriviální řešení ⇐⇒ D = 0.

Z definice lineární závislosti lze odvodit následující tvrzení představující kriteriumlineární závislosti:

Věta. Vektory α1, α2, . . ., αn jsou lineárně závislé tehdy a jen tehdy, pokud alespoňjeden z nich je lineární kombinací zbývajících vektorů.

Důkaz. Pokud jsou vektory α1, α2, . . ., αn lineárně závislé, pak z rovnosti

c1 · α1 + c2 · α2 + ...+ cn · αn = 0

plyne, že existuje alespoň jeden koeficient, kupř. cj, této lineární kombinace, který jerůzný od nuly: cj 6= 0. Pak z předchozí rovnosti lze psát

αj = −1cj(c1 · α1 + ...+ cj−1 · αj−1 + cj+1 · αj+1 + ...+ cn · αn),

8

tudíž vektor αj je lineární kombinací zbývajících vektorů.Obráceně, předpokládejme, že některý z vektorů α1, α2, . . ., αn je lineární kombinací

zbývajících vektorů; nechť je to kupř. αk, kde 1 ≤ k ≤ n. Pak vztah vyjádřující tutolineární kombinaci lze přepsat na podmínku lineární závislosti všech vektorů; nejménějeden z koeficientů v této podmínce je nenulový, a to ck (v této rovnosti je pak ck = 1).•Poznámka. Ekvivalentní formulace tohoto tvrzení je: Vektory α1, α2, . . ., αn jsou

lineárně nezávislé tehdy a jen tehdy, pokud žádný z nich není lineární kombinací zbýva-jících vektorů.

Poznámka. Z předchozího pro prvky v libovolném lineárním prostoru plyne:(1) Každá skupina vektorů obsahující nulový vektor je lineárně závislá.(2) Dva vektory jsou lineárně závislé tehdy a jen tehdy, když jeden z vektorů je

násobkem druhého.(3) Každá podmnožina množiny M lineárně nezávislých vektorů je rovněž množinou

lineárně nezávislých vektorů; tuto vlastnost ovšem nelze obecně přenést na nadmnožinudané množiny.(4) Jestliže nějaká množina vektorů M je množinou lineárně závislých vektorů, pak

každá její nadmnožina je rovněž množinou lineárně závislých vektorů; vlastnost lineárnízávislosti nelze ovšem obecně přenést na podmnožinu množiny lineárně závislých vektorů.Zaznačme tyto vztahy do tabulky, ve které budeme psát LNZ, LZ jako zkratky pro

lineární nezávislost, lineární závislost množiny vektorů:

M1 ⊂M M1 ⊃MM LNZ M1 je rovněž LNZ –M LZ – M1 je rovněž LZ

Pokud vektory α1, α2, . . ., αn jsou generátory lineárního prostoru L, tj. [α1, α2, ..., αn] =L, pak L lze generovat také pomocí maximální podmnožiny lineárně nezávislých vektorův této množině. To je obsahem následujícího tvrzení:

Věta (Steinitzova věta o záměně). Nechť množina vektorů A = {α1, α2, ..., αn}generuje lineární prostor L, (tj. [α1, α2, ..., αn] = L), nechť vektory β1, β2, . . ., βk jsoulineárně nezávislé. Pak platí:(1) k ≤ n,(2) v množině A existuje n − k vektorů takových, že spolu s vektory β1, β2, . . ., βk

generují lineární prostor L.

Důkaz. Budeme postupovat indukcí vzhledem na počet k vektorů β1, β2, . . ., βk.(10) Nechť k = 1; pak k ≤ n. Protože β1 ∈ L, dá se vektor β1 napsat jako lineární

kombinace vektorů α1, α2, . . ., αn:

β1 = c1α1 + c2α2 + ...+ cnαn.

Protože β1 náleží do množiny lineárně nezávislých vektorů, musí být β1 6= 0, tudíž vtéto lineární kombinaci nemohou být všechny koeficienty nulové. Proto existuje alespoňjeden nenulový koeficient, lze za něj považovat kupř. cn, tudíž cn 6= 0, takže lze napsatlineární kombinaci

αn =1cn

β1 −c1cn

α1 − ...− cn−1

cnαn−1.

9

Proto místo αn lze vzít do generující množiny A vektor β1 a platí [β1, α1, α2, ..., αn−1] = L.(20) Nechť tvrzení platí pro k = s− 1 a uvažujme o s lineárně nezávislých vektorech

β1, β2, . . ., βs. Z jejich lineární nezávislosti plyne, že rovněž vektory tvořící její podmožinuβ1, β2, . . ., βs−1 jsou lineárně nezávislé. Podle indukčního předpokladu existuje v množiněA n−(s−1) vektorů takových, že spolu s vektory β1, β2, . . ., βs−1 generují lineární prostorL; nechť jsou to kvůli přehlednosti označení vektory α1, α2, . . ., αn−(s−1). Platí proto

[β1, ..., βs−1, α1, α2, ..., αn−(s−1)] = L.

Ukážeme, že platí s − 1 < n, neboli s ≤ n. Jestliže s − 1 = n, pak [β1, ..., βs−1] = La vektor βs ∈ L by byl lineární kombinací vektorů β1, . . ., βs−1, což je spor s lineárnínezávislostí vektorů β1, β2, . . ., βs. Proto musí platit s−1 < n; z toho plyne, že vektor βs

je lineární kombinací vektorů β1, . . ., βs−1, α1, α2, . . ., αn−(s−1). Tudíž množina vektorů

β1, . . ., βs−1, βs, α1, α2, . . ., αn−(s−1)

je lineárně závislá, ale prvních s vektorů β1, . . ., βs−1, βs je podle předpokladu lineárněnezávislých. Proto nejméně jeden ze zbývajících vektorů, nechť je to právě αn−s+1, jelineární kombinací zbývajících. Z toho plyne požadovaný vztah pro generování lineárníhoprostoru:

L = [β1, ..., βs−1, βs, α1, α2, ..., αn−(s−1)] = [β1, ..., βs−1, βs, α1, α2, ..., αn−s]. •Poznámka. Z dokázaného tvrzení kupř. plyne, že každé 4 vektory v lineárním prostoru

V3(R) musí být lineárně závislé.

Definice. Lineární prostor L se nazývá prostorem konečné dimenze, jestliže existujealespoň jedna konečná množina vektorů A = {α1, α2, ..., αn} s vlastností: A generujelineární prostor L, tj. [A] = [α1, α2, ..., αn] = L.

Báze lineárního prostoru

Definice. Bází lineárního prostoru L nazýváme množinu vektorů B, B ⊂ L, kterámá dvě vlastnosti:

(1) B je množinou lineárně nezávislých vektorů;(2) [B] = L, neboli B je množinou generátorů (generuje lineární prostor).

Příklad. Vektory (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) tvoří bázi lineárního prostoru V3(R): zpředchozích úvah už víme, že jsou lineárně nezávislé a navíc každý vektor x ∈ V3(R) lzenapsat jako jejich lineární kombinaci: pro x = (x1, x2, x3) máme

x =

x1x2x3

= x1 ·

100

+ x2 ·

010

+ x3 ·

001

,tudíž koeficienty v této lineární kombinaci jsou právě souřadnice – složky vektoru. Tatobáze se označuje jako standardní nebo obvyklá báze lineárního prostoru V3(R) (analo-gicky pro lineární prostor Vn(R)).

Platí: pokud je lineární prostor L prostorem konečné dimenze, pak všechny jeho bázemají stejný počet prvků.Důsledky Steinitzovy věty jsou:– je-li dim L = n, pak každá množina lineárně nezávislých vektorů z L sestávající z

n vektorů tvoří bázi L;

10

– je-li dim L = n, pak každých n+ k vektorů (k > 0) z L je lineárně závislých.

Věta. Nechť B = β1, β2, ..., βk je báze lineárního prostoru L, nechť x ∈ L lze zapsatjako lineární kombinaci prvků báze jako

x = c1 · β1 + c2 · β2 + ...+ ck · βk.

Pak koeficienty této lineární kombinace jsou určeny jednoznačně.

Důkaz. Předpokládejme, že kromě uvedeného vyjádření vektoru x jako lineární kom-

binace bázových prvků ve tvaru x =k∑

j=1cj · βj lze tentýž vektor x napsat pomocí koefi-

cientů dj ve tvaru x =k∑

j=1dj · βj. Pak ovšem z těchto vyjádření plyne

k∑j=1(cj − dj) · βj = 0;

protože však jde o nulovou lineární kombinaci bázových, tedy lineárně nezávislých prvků,lze tuto rovnost splnit pouze tak, že bude platit cj−dj = 0 pro každé j = 1, 2, ..., k. Tímje tvrzení věty dokázáno. •Poznámka. Nechť B = {β1, β2, ..., βk} je báze lineárního prostoru L, nechť pro vektor

x ∈ L platí x =k∑

j=1cj ·βj. Koeficienty cj vystupující v této lineární kombinaci se nazývají

souřadnice vektoru x vzhledem na danou bázi B; výběrem báze jsou určeny jednoznačně,při volbě jiné báze jsou ovšem jejich hodnoty obecně jiné. Kupř. vektor x = (−2, 1) ∈V2(R) má souřadnice x1 = −2, x2 = 1 vzhledem na standardní bázi {(1, 0), (0, 1)};pokud za bázi prostoru V2(R) vybereme B = {(3, −1), (−1, 0)}, vektor x = (−2, 1)bude mít souřadnice, které vyplynou z jeho vyjádření ve tvaru lineární kombinace

x =

(−21

)= c1 ·

(3−1

)+ c2 ·

(−10

)neboli z řešení lineární soustavy

3c1−c2 = −2−c1 = 1

Proto jako souřadnice vektoru x v bázi B dostáváme c1 = c2 = −1; zapíšeme to ve tvarux = (−1, −1)B (je nutné uvést, že se teď tato čísla vztahují na bázi B; vyznačení bázeindexem budeme vypouštět pouze pro bázi standardní).

Lze dokázat, že pokud má lineární prostor konečnou bázi, pak všechny jeho konečnébáze mají stejný počet prvků. Proto definujeme:

Definice. Dimenzí lineárního prostoru L se nazývá počet prvků báze toho lineárníhoprostoru; označuje se jako dim L.

O prostoru s konečným počtem prvků báze mluvíme jako o prostoru konečné dimenze;dim L = n. Jinak jde o nekonečněrozměrný prostor: dim L =∞. Proto lineární prostorVn(R) je prostor dimenze n: kupř. jeho standardní báze sestává z n vektorů (tyto vektoryse nazývají jednotkovými vektory standardní báze).

Poznámka. Není úplně triviálním poznatkem to, že na pořadí prvků báze záleží.Pokud se báze sice změní, ale pouze pořadím svých prvků, změní se příslušným způsobem

11

také pořadí souřadnic vektoru vzhledem na tuto nově vytvořenou bázi.

Poznámka. Lineární prostor Pn(x) všech polynomických funkcí stupně nejvýše n, ndané, je prostorem konečné dimenze: dim Pn(x) = n: o množině polynomických funkcí{1, x, x2, ..., xn} lze totiž dokázat, že tvoří bázi uvedeného lineárního prostoru, a tatobáze se nazývá standardní bází lineárního prostoru Pn(x).Ta část důkazu, která se přitom zabývá lineární nezávislostí zmíněných polynomic-

kých funkcí, vede na zkoumání, za jakých podmínek na koeficienty lineární kombinacese splní rovnost

c0 + c1x+ c2x2 + ...+ cnx

n = 0,

kde na pravé straně je nulový polynom. Z algebry polynomů je však známo, že pro rovnostdvou polynomických funkcí stejného stupně je nutné i postačující splnění rovnosti jejichkoeficientů u odpovídajících stupňů, proto c0 = c1 = c2 = ... = cn = 0.

Příklad. Nechť P2(x) je lineární prostor všech polynomických funkcí stupně nejvýše2. Dokažme, že množina B = {2x+ 3, 3x+ 4, x2} tvoří bázi tohoto lineárního prostoru,a určeme souřadnice polynomické funkce 4− x+ 6x2 v této bázi.

Řešení. Dokažme nejprve, že množina B je množinou lineárně nezávislých prvků:předpokládejme proto, že nulový polynom je lineární kombinací prvků množiny B:

c1(2x+ 3) + c2(3x+ 4) + c3x2 = 0.

Odtud (3c1 + 4c2) + (2c1 + 3c2)x + c3x2 = 0 a s využitím lineární nezávislosti prvků

1, x, x2 ∈ P2(x) má být c3 = 0, ale ze vztahů 3c1 + 4c2 = 0, 2c1 + 3c2 = 0 plyne rovněžc1 = c2 = 0.To, že množina B je množinou generátorů lineárního prostoru P2(x), tj. libovolnou

polynomickou funkci a0 + a1x + a2x2 ∈ P2(x) lze utvořit jako lineární kombinaci (s

koeficienty c1, c2, c3) z prvků množiny B, plyne z jednoznačné řešitelnosti odpovídajícísoustavy 3 lineárních rovnic:

3c1+4c2 = a02c1+3c2 = a1

c3 = a2

(determinant matice této soustavy je D 6= 0). Proto množina B tvoří bázi lineárníhoprostoru P2(x).Poslední soustavu lineárních rovnic lze teď přepsat na řešení naší úlohy, kde v roli

polynomické funkce vystupuje zadaná 4−x+6x2 s koeficienty – sloupcem na pravé straně4, −1, 6 (tato trojice představuje souřadnice dané polynomické funkce ve standardní bázilineárního prostoru P2(x)). Řešení soustavy pro tuto pravou stranu je c1 = 16, c2 = −11,c3 = 6. Platí proto

4− x+ 6x2 = 16(2x+ 3)− 11(3x+ 4) + 6x2.Poznámka. V předchozích příkladech bylo zdůrazněno, že v daném lineárním prostoru

mohou existovat různé báze. Zmínili jsme se také o tom, že pro daný vektor α ∈ L jsoujeho souřadnice relativní v tom smyslu, že musíme specifikovat, s ohledem na jakou

zvolenou bázi je vztahujeme. Kupř. složky vektoru α =

2−34

∈ V3(R) jsou jeho

12

souřadnice vzhledem na standardní jednotkovou bázi {e1, e2, e3}; pokud zvolíme za bázijinou množinu vektorů {b1, b2, b3}, vzniká otázka, zda lze najít k této trojici (2, −3, 4)souřadnice vektoru x v bázi {b1, b2, b3} obecně. Tato úloha značí zabývat se řešenímmaticové rovnice:pro námi zvolený vektor α platí α = 2e1 − 3e2 + 4e3, ale pokud označíme souřadnicevektoru α v báziB = {b1, b2, b3} jako (c1, c2, c3), pak současně platí α = c1b1+c2b2+c3b3.Tato vyjádření můžeme napsat jako maticová násobení

α =(

e1 e2 e3)·

2−34

= ( b1 b2 b3)·

c1c2c3

B

,

přičemž maticemi E3 =(

e1 e2 e3), MB =

(b1 b2 b3

)rozumíme matice sestáva-

jící z odpovídajících bázových vektorů zapsaných do sloupců (báze je touto korespon-

dující maticí určena jednoznačně), jako

c1c2c3

B

jsou označeny souřadnice vektoru α v

bázi B.Proto obecně: jestliže αB1 , αB2 jsou souřadnice vektoru α vzhledem na dvě báze B1,

B2 lineárního prostoru L, pak platí

α =MB1 · αB1 =MB2 · αB2 ,

kdeMB1 ,MB2 matice bázových vektorů. Přechod od báze k jiné bázi pak pro souřadnicevektoru α znamená

αB1 =M−1B1·MB2 · αB2

(existenci inverzní matice zaručuje lineární nezávislost vektorů báze); matice M−1B1·MB2

se nazývá maticí přechodu a určuje souřadnice vektoru v nové bázi.

Hodnost matice

Definice. Nechť A je matice typu m× n.Řádkovým prostorem matice A nazýváme lineární podprostor lineárního prostoru

Vn(R) utvořený jako lineární obal řádkových vektorů matice A.Sloupcovým prostorem matice A nazýváme lineární podprostor lineárního prostoru

Vm(R) utvořený jako lineární obal sloupcových vektorů matice A.

Definice. Nechť A je matice typu m × n. Hodností matice A nazýváme číslo, kteréje určeno jako dimenze řádkového prostoru matice A; pro hodnost matice budeme psátr(A).Pro hodnost matice zřejmě platí r(A) ≤ m, r(A) ≤ n. Z definice plyne, že hodnost

matice je maximální počet lineárně nezávislých řádkových vektorů matice.Pokud matice B vznikne z matice A pomocí konečného počtu elementárních řádko-

vých operací, nazývá se matice B řádkově ekvivalentní s maticí A. Dvě řádkově ekviva-lentní matice mají stejný řádkový prostor. (Elementární řádkové úpravy nemění hodnostmatice; proto r(A) lze určit použitím Gaussovy eliminační metody.)Pomocí pojmu hodnosti matice lze zformulovat podmínku řešitelnosti soustavy line-

árních rovnic:

Věta (Frobenius). Soustava m lineárních rovnic o n neznámých zapsaná v matico-

13

vém tvaru jako A ·x = b má řešení tehdy a jen tehdy, pokud hodnost matice A a hodnostmatice rozšířené A = (A | b) se rovnají, tj. r(A) = r(A).

Skalární součin v lineárním prostoru

V lineárním prostoru Vn(R) budeme kromě součtu dvou vektorů x, y a reálnéhonásobku vektoru x číslem definovat tzv. skalární součin dvou aritmetických vektorů.Obecně se tento pojem definuje v lineárních prostorech následujícím způsobem:Definice. Zobrazení, které každé dvojici vektorů x, y lineárního prostoru přiřazuje

reálné číslo označované jako x ◦ y, se nazývá skalární součin vektorů x, y, jestliže provšechny vektory x, y, z lineárního prostoru a pro každé reálné číslo c jsou splněny násle-dující axiomy:

(S1) x ◦ x ≥ 0, přičemž x ◦ x = 0 právě tehdy, když x = 0;(S2) x ◦ y = y ◦ x (komutativnost);(S3) (x+ y) ◦ z = x ◦ z + y ◦ z;(S4) c · (x ◦ y) = (c · x) ◦ y.

Lineární prostor s tímto zobrazením se nazývá lineární prostor se skalárním součinemnebo také Euklidovským prostorem.

Z definice lze plyne, že na konkrétním lineárním prostoru lze zavést skalární sou-čin různými způsoby; stačí splnit podmínky (S1) – (S4). V prostoru Vn(R) je pro násvýznamný následující typ skalárního součinu: položme

x ◦ y = x1y1 + x2y2 + ...+ xnyn =n∑

i=1xiyi.

Snadno se přesvědčíme, že tímto způsobem zavedené zobrazení splňuje podmínky (S1)– (S4), tudíž je skalárním součinem na Vn(R).Na označení skalárního součinu dvou vektorů x, y se používá kromě označení x ◦ y

také zápis závorkou: (x, y).

Definice. Zobrazení pro každou dvojici x, y lineárního prostoru Vn(R) definovanévztahem

x ◦ y =n∑

i=1xiyi

se nazývá skalární součin aritmetických vektorů.Uvedený skalární součin je tzv. obvyklým skalárním součinem aritmetických vektorů.

Z formálního hlediska je skalární součin zobrazením dvojic prvků lineárního prostoru domnožiny všech reálných čísel R.

Příklad. 1) Definujme pro vektory α, β lineárního prostoru V3(R) zobrazení do Rvztahem

α ◦ β = a1b1 + a1b2 + a2b1 + 2a2b2 + a3b3.

Lze dokázat, že tímto způsobem zavedené zobrazení spňuje všechny axiomy skalárníhosoučinu. Splnění podmínky α ◦ α ≥ 0 můžeme nahlédnout, jestliže napíšeme α ◦ α vetvaru

α ◦ α = (a1 + a2)2 + a22 + a23.

2) V lineárním prostoru C〈a, b〉 všech reálných funkcí jedné proměnné, definovaných

14

a spojitých na uzavřeném intervalu 〈a, b〉, definujme zobrazení dvojic f , g prvků domnožiny R pomocí určitého integrálu

f ◦ g =∫ b

af · g dx.

Snadno můžeme dokázat, že jde o skalární součin ve zmíněném prostoru; splnění jed-notlivých vlastností plyne na základě vlastností určitého integrálu. Uvědomme si, že

f ◦ f =∫ 10f 2 dx plyne z interpretace určitého integrálu jako plošného obsahu (velikost

plošného obsahu rovinné oblasti pod grafem nezáporné funkce f 2 je nezáporné reálnéčíslo).Uvedený skalární součin se vztahuje na konkrétní uzavřený interval. Kupř. pro prvky

– reálné funkce f(x) = 1, g(x) = x a pro dva různé výběry uzavřeného intervalu platí,že jejich skalární součin na intervalu 〈0, 1〉 je

f ◦ g =∫ 101 · x dx =

12,

ale tytéž funkce mají skalární součin na 〈−1, 1〉 nulový, protože

f ◦ g =∫ 1

−11 · x dx

je určitým integrálem liché funkce, tudíž má hodnotu 0.

3) Ukážeme že v lineárním prostoru C〈0, 2〉 zobrazení dvojic f , g prvků do množinyR pomocí určitého integrálu

f ◦ g =∫ 10f · g dx

není skalárním součinem. Lze sice dokázat splnění vlastností (S2), (S3), (S4), ale libovolnáfunkce f(x) ∈ C〈0, 2〉 s vlastností

f(x) = 0 na 〈0, 1〉, f(x) > 0 na 〈1, 2〉prokazuje, že vlastnost (S1) se nemusí splnit.

Z definice skalárního součinu plyne, že toto zobrazení umožňuje určovat délku vektoru:

Definice. Reálné číslo ||x|| =√

x ◦ x se nazývá délkou (nebo euklidovskou normou)vektoru x lineárního prostoru.

Poznámka. Pro případ skalárního součinu aritmetických vektorů dostáváme normu||x|| vektoru x ∈ Vn(R) jako obvykle počítanou délku vektoru

||x|| =√

n∑i=1

x2i .

V lineárním prostoru C〈0, 1〉 vyjádří normu funkce f reálné číslo

||f || =√∫ 1

0f 2 dx

(za účelem vhledu do zaváděného pojmu má smysl počítat kupř. ||x + 1||, || sinx||,|| cosx||, ||ex|| a pod.)

15

Věta. V každém Euklidovském prostoru L se skalárním součinem α ◦ β má normavektora ||α|| následující vlastnosti:a) ||c · α|| = |c| · ||α|| pro libovolné reálné číslo c;b) ||α|| > 0 pro α 6= 0;c) |α ◦ β| ≤ ||α|| · ||β|| pro libovolné α, β ∈ L (Cauchy – Schwarzova nerovnost);d) ||α+ β|| ≤ ||α||+ ||β|| (trojúhelníková nerovnost).Důkaz. Vlastnosti a, b plynou přímo z definice normy, resp. z vlastností skalárního

součinu.Kvůli důkazu vlastnosti c nechť r je libovolné reálné číslo, a nechť vektor α ∈ L

je nenulový (jestliže α = 0, je tato vlastnost splněna a není co dokazovat). V dalšímpoužijeme k označování skalárního součinu dvou vektorů α, β zápis pomocí závorek(α, β). Podle vlastnosti skalárního součinu lze psát

(rα− β, rα− β) ≥ 0;po úpravě dostáváme

(rα− β, rα− β) = r2 · (α, α)− 2r · (α, β) + (β, β) ≥ 0;všechny skalární součiny vystupující jako koeficienty v tomto trojčlenu jsou reálná číslaa uvedená nerovnost vyjádřuje, že kvadratický polynom v proměnné r nabývá pouzenezáporné hodnoty. Proto nemůže mít dva reálné různé kořeny, což lze vyjádřit pomocídiskriminantu jako

D = 4 · (α, β)2 − 4 · (α, α) · (β, β) ≤ 0.Odtud plyne

(α, β)2 ≤ (α, α) · (β, β), |(α, β)| ≤√(α, α) · (β, β), |(α, β)| ≤ ||α|| · ||β||,

co jsme měli dokázat.Vlastnost d je důsledkem vlastnosti c: počítejme

||α+β||2 = (α+β, α+β) = (α, α)+2 ·(α, β)+(β, β) ≤ ||α||2+2 · ||α|| · ||β||+ ||β||2 =(||α||+ ||β||)2,proto po odmocnění dostáváme ||α+ β|| ≤ ||α||+ ||β||. •Poznámka. Z posledního pro dvojici α, β vektorů s vlastností (α, β) = 0 neboli

kolmých, ortogonálních vektorů dostáváme jako speciální případ vztah

||α+ β||2 = ||α||2 + ||β||2,což je analogie Pythagorovy věty. Kolmost dvou vektorů budeme zapisovat také jako

α ⊥ β.

Poznámka. Množina (systém) M vektorů v Euklidovském lineárním prostoru L senazývá ortogonálním systémem, jestliže platí

(α, β) = 0 pro každé dva vektory α, β ∈M .

Cvičení. Určete, jakou podmínku musí splňovat množina vektorů ortogonálních kdanému nenulovému vektoru a) x = [x1, x2] ∈ V2(R); b) x = [x1, x2, x3] ∈ V3(R).Popište tyto množiny.

16

Příklad. Připomínáme, že v lineárním prostoru C〈a, b〉 všech reálných funkcí jednéproměnné, definovaných a spojitých na uzavřeném intervalu 〈a, b〉 byl skalární součinprvků f , g zaveden pomocí určitého integrálu

f ◦ g =∫ b

af · g dx.

Uvažujme v lineárním prostoru C〈−π, π〉 o nekonečném systému funkcí

{1, cosx, cos 2x, ..., cosnx, ..., sin x, sin 2x, ..., sinnx, ...}.Tento systém funkcí je ortogonálním systémem na uvedeném intervalu 〈−π, π〉. Plyneto jednak z následujících primitivních funkcí∫

sinnx · sinmx dx =1

2(n−m)sin(n−m)x− 1

2(n+m)sin(n+m)x, n 6= m

∫cosnx · cosmx dx =

12(n−m)

sin(n−m)x+1

2(n+m)sin(n+m)x, n 6= m

∫sinnx · cosmx dx = − 1

2(n+m)cos(n+m)x− 1

2(n−m)cos(n−m)x, n 6= m

a rovněž z hodnoty určitého integrálu jako integrálu funkce liché na 〈−π, π〉:∫ π

−πcosnx · sinnx dx = 0.

Věta. Ortogonální systém M nenulových vektorů αi, i = 1, ..., n v Euklidovskémprostoru L je množinou lineárně nezávislých vektorů.

Důkaz. Předpokládejme, že pro vektory αi a reálná čísla ci, i = 1, ..., n se splní

c1 · α1 + c2 · α2 + ...+ cn · αn = 0.

Pak pro nulový vektor 0 a libovolný, ale pevně vybraný vektor αi ∈ M máme podlevlastností skalárního součinu (skalární součin píšeme ve tvaru závorek)

0 = (0, αi) = (c1 · α1 + c2 · α2 + ...+ cn · αn, αi) = ci · (αi, (αi) = 0,

odkud plyne ci = 0 pro všechna i = 1, ..., n, tudíž platí tvrzení věty. •

Aplikace Euklidova prostoru: metoda nejmenších čtverců

Nechť L je Euklidův prostor, čili lineární prostor, ve kterém je definovaný skalárnísoučinem vektorů; používali jsme pro skalární součin dvou vektorů α, β označení α ◦ β.Někdy se pro skalární součin používá rovněž označení pomocí závorek (α, β) – v dalšímbudeme psát skalární součin tímto způsobem. Byl už zaveden vztah ortogonálnosti dvouvektorů v lineárním prostoru:

vektory α, β ∈ L jsme nazvali ortogonálními, jestliže pro jejich skalární součin platí(α, β) = 0

(podle předchozího označení tehdy α ◦ β = 0, nebo také α ⊥ β).

Z ortogonality odvoďme další pojmy a výsledky.

Definice. Ortonormální bází B lineárního prostoru L se nazývá taková báze, provektory které platí:(1) βi ⊥ βj pro každou dvojici βi, βj ∈ B, i 6= j;

17

(2) ||βi|| = 1 pro každé βi ∈ B.

Standardní jednotková báze lineárního prostoru VnR je příkladem ortonormální báze.(I) Nechť {e1, ..., en} je ortonormální báze Euklidova prostoru L, nechť x ∈ L je

libovolný vektor. Pak vzhledem na bázi platí jednoznačné vyjádření

x = c1e1 + ...+ cnen, ci jsou souřadnice vektoru x v této bázi.

Jestliže vezmeme některý z vektorů báze pevně, kupř. ei, a uplatníme na oba vektoryv předchozím vztahu skalární součin s tímto vektorem, využitím vlastností skalárníhosoučinu se dostáváme do rovnosti pro reálná čísla

(x, ei) = c1(e1, ei) + ...+ ci(ei, ei) + ...+ cn(en, ei) = ci

(použili jsme (ei, ej) = 0 pro i 6= j, (ei, ei) = 1). Získaný vztah proto umožňuje určitsouřadnice daného vektoru, pokud báze je ortonormální. Obecněji, pro ortogonální, ne

nutně ortonormální bázi je ci =(x, ei)(ei, ei)

.

(II) Nechť B = {e1, ..., en} je ortonormální báze Euklidova prostoru L, nechť vektoryβ, γ ∈ L mají vyjádření pomocí vektorů báze ve tvarech

β = c1e1 + ...+ cnen, γ = d1e1 + ...+ dnen, ci, di ∈ R.Pro libovolně zavedený skalární součin v lineárním prostoru L počítejme skalární sou-čin vektorů β, γ: vzhledem na pravidla pro skalární součin a vzhledem k vlastnostembázových prvků je

β ◦ γ = (c1e1 + ...+ cnen) ◦ (d1e1 + ...+ dnen) = c1d1 + ...+ cndn),

tudíž při výběru báze lineárního prostoru L jako ortonormální báze se redukuje libovolnýskalární součin na obvyklý skalární součin aritmetických vektorů.

(III) Nechť L1 je lineárním podprostorem Euklidova lineárního prostoru L. Pak vektorγ ∈ L se nazývá kolmým (ortogonálním) k lineárnímu prostoru L1, jestliže platí γ ⊥ xpro každý vektor x ∈ L1.Pokud je ovšem vektor γ ∈ L ortogonálním k vektorům e1, e2, . . . , en, na základě

vlastností skalárního součinu platí, že je rovněž ortogonálním k jejich lineární kombinaci,tj.

x ⊥ (c1e1 + ...+ cnen);

proto k tomu, aby vektor γ byl kolmý k lineárnímu prostoru L1, je nutné a stačí, abybyl kolmý ke všem vektorům báze lineárního prostoru L1.

(IV) Zavedené pojmy umožňují vyřešit následující úlohu, mající zdánlivě geometrickýcharakter. Nechť L1 je Euklidův lineární podprostor lineárního prostoru L, nechť m jedimenze lineárního prostoru L1. Nechť vektor f ∈ L nepatří do lineárního podprostoruL1. Je potřeba určit vektor f0 ∈ L1 tak, aby pro vektor h = f−f0 platilo: h ⊥ L1. Vektorf0 se pak nazývá ortogonální projekcí (průmětem) vektoru f do lineárního prostoru L1.Ukážeme, že vektor h existuje a je jediný; délka vektoru h se považuje za vzdálenost

vektoru f od lineárního podprostoru L1.Kvůli určení vektoru h uvažujme o vektoru f0 ve tvaru lineární kombinace bázových

prvků e1, e2, . . . , em:

f0 = c1e1 + ...+ cmem,

18

kde {e1, e2, ..., em} je libovolná báze lineárního prostoru L1; vektor f0 je určen koeficientytéto lineární kombinace c1, c2, . . . , cm. Protože má být f−f0 ⊥ L1, rovněž se splní podlepředchozích úvah f − f0 ⊥ ek, k = 1, ...,m. Odtud

(f − f0, ek) = 0 ⇐⇒ (f0, ek) = (f, ek).

Dosadíme místo f0:

(c1e1 + ...+ cmem, ek) = (f, ek), odkud

c1(e1, ek) + c2(e2, ek) + ...+ cm(em, ek) = (f, ek);

poslední vztah představuje spolu m rovnic na určení m koeficientů c1, c2, . . . , cm. Ro-zepišme tuto soustavu lineárních rovnic; kvůli zaručení existence řešení musí pro jejídeterminant platit detA 6= 0, ale

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣(e1, e1) (e2, e1) ... (em, e1)(e1, e2) (e2, e2) ... (em, e2)... ... ... ...(e1, em) (e2, em) ... (em, em)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣Uvedený determinant se nazývá Grammovým determinantem. Uplatněním Cramerovapravidla je pak úloha jednoznačným určením neznámých koeficientů c1, c2, . . . , cm vy-řešena.Pokud v postupu řešení vezmeme za bázi lineárního prostoru L1 speciální bázi, a to

ortonormální (sestávající ze vzájemně kolmých vektorů jednotkové délky), bude maticeuvedené lineární soustavy jednotkovou maticí, její determinant detA = 1 a pro hledanékoeficienty platí ck = (f, ek).Teď použijeme odvozený postup v metodě nejmenších čtverců. Cílem této úlohy je

určení neznámých koeficientů c1, c2, . . . , cm předpokládané lineární kombinace veličinyy jako

y = c1x1 + ...+ cmxm.

Kvůli tomu se veličiny y, x1, . . . , xm určují experimentálně, a to na základě několikaměření. Označme výslední hodnoty k-tého měření jako

yk, x1k, . . . , xmk, k = 1, ..., n .

Tím jsou k dispozici n-složkové sloupcové vektory naměřených hodnot podle tabulky:

x1 x2 . . . xm yx11 x21 . . . xm1 y1x12 x22 . . . xm2 y2. . . . . . . . . . . . . . .x1n x2n . . . xmn yn

Proto koeficienty c1, . . . , cm určujeme ze soustavy n lineárních rovnic:

x11c1+x21c2+...+xm1cm = y1x12c1+x22c2+...+xm2cm = y2

...x1nc1+x2nc2+...+xmncm = yn

Obvykle je počet měření n mnohem větší než počet m neznámých v této soustavě, navícměření jsou zatížena nepřesností, proto mluvit o přesném řešení soustavy nedává smysl.

19

Dochází ke změně formulace úlohy: budou se hledat takové hodnoty neznámých c1, . . ., cm, aby levé strany v lineární soustavě byly co nejméně odlišné od stran pravých. Zamíru odlišnosti se obyčejně volí tzv. střední kvadratická odchylka S definovaná jako číslo

S =n∑

k=1(x1kc1 + x2kc2 + ...+ xmkck − yk)2;

minimalizací S určíme neznámé c1, . . . , cm přibližně. Lze to provést různými způsoby(také použitím metod diferenciálního počtu), my ale použijeme operace s vektory. Ozna-číme n-složkové sloupcové vektory naměřených hodnot jako e1, e2, . . . , em a sloupecpravých stran jako vektor f . Protože levá strana soustavy představuje složky vektoruc1e1+c2e2+ ...+cmem, je S čtvercem vzdálenosti vektoru f0 = c1e1+c2e2+ ...+cmem odvektoru f ; cílem je proto určením koeficientů c1, . . . , cm minimalizovat tuto vzdálenost.Jestliže ovšem označíme jako R′ lineární podprostor lineárního prostoru Rn generovanýlineárními kombinacemi vektorů e1, e2, . . . , em, pak zmíněná úloha vede na určení pro-jekce vektoru f do R′, což je předchozí úloha. Proto c1, . . . , cm se najdou z rovnic

(e1, e1)c1+ (e2, e1)c2+...+ (em, e1)cm = (f, e1)(e1, e2)c1+ (e2, e2)c2+...+ (em, e2)cm = (f, e2)

...(e1, em)c1+(e2, em)c2+...+(em, em)cm = (f, em)

přičemž pro skalární součiny je (f, em) =n∑

j=1xkjyj, (ei, ek) =

n∑j=1

xijxkj. Této metodě se

říká metoda nejmenších čtverců - Least Squares Method.

Příklad. Určeme rovnici přímky y = cx (m = 1), co nejlépe vystihující ve smyslumetody nejmenších čtverců 3 měření (n = 3) podle tabulky:

x 0,2 0,3 0,4y 0,3 0,4 0,5

Řešení. Vektor f = (0, 3; 0, 4; 0, 5) má být co nejméně odlišný od vektoru f0 =c1e1 = c1 · (0, 2; 0, 3; 0, 4). Proto se má podle předchozích úvah splnit podmínka(e1, e1)c1 = (f, e1) neboli c1 · (0, 04 + 0, 09 + 0, 16) = 0, 06 + 0, 12 + 0, 20,

odkud c1 =3829·

Doplňme, že obecně v této situaci pro n-složkové vektory x, y se koeficient c v rovnicihledané přímky y = cx nazývaný koeficientem lineární regrese určí ze vztahu

c =(x, y)(x, x)

=

n∑k=1

xkyk

n∑k=1

x2k

·

Lineární zobrazení

Příklad. Zkoumejme zobrazení lineárního prostoru V3(R) do lineárního prostoruV2(R), které libovolnému vektoru (x, y, z) ∈ V3(R) přiradí jako obraz v tomto zobrazenívektor

(x, y, z)→ (x, y),

20

(x, y) ∈ V2(R). Toto zobrazení vytvoří se nazývá průmětem vektoru; geometricky vytvoríz vektoru v prostoru V3(R) jeho průmět do roviny (xy). Má následující vlastnosti:

(1) průmět součtu dvou vektorů z prostoru V3(R) je vektorem ve V2(R), který jesoučtem průmětů zobrazovaných vektorů:

pokud α1 = (x1, y1, z1)→ β1 = (x1, y1), α2 = (x2, y2, z2)→ β2 = (x2, y2),

pak podle definice zobrazení má být

α1 + α2 = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)→ (x1 + x2, y1 + y2);

obraz – vektor na pravé straně (x1+ x2, y1+ y2) je právě součtem obrazů β1+ β2 (protolze formulovat ”průmět součtu vektorů je součtem jejich průmětů”);

(2) průmět reálného násobku číslem c vektoru z prostoru V3(R) je vektorem ve V2(R),který je reálným násobkem stejným číslem c průmětu zobrazeného vektoru:

pro α = (x, y, z)→ β = (x, y) je c · α = (cx, cy, cz)→ (cx, cy);

ale (cx, cy) = c · (x, y) = c · β. Proto obrazem násobku vektoru je násobek obrazu tohovektoru.

Příklad. Zkoumejme zobrazení ”natažení” lineárního prostoru V3(R), čili takové zo-brazení prostoru V3(R) do prostoru V3(R), které vektor (x, y, z) ∈ V3(R) zobrazí na jehok-násobek, tj. na vektor

(x, y, z)→ (kx, ky, kz),

k ∈ R je reálné číslo (pro k = 0 je zobrazení triviálním a všechny vektory se v němzobrazí na nulový vektor lineárního prostoru V3(R)). Lze ověřit, že i toto zobrazení mázmíněné dvě vlastnosti:(1) k-násobek součtu dvou vektorů z prostoru V3(R) je vektorem ve V3(R) je k-

násobkem součtu zobrazovaných vektorů;

(2) k-násobek vektoru c · α pro α ∈ V3(R) je vektorem c · (k · α).Na základě těchto úloh definujeme:

Definice. Nechť L1, L2 jsou lineární prostory. Zobrazení T : L1 → L2 se nazýválineárním zobrazením prostoru L1 do prostoru L2, jestliže T splňuje následující dvě pod-mínky: pro libovolné α, β ∈ L1 a libovolné reálné číslo c ∈ R je

(1) T (α+ β) = T (α) + T (β) (T zachovává součet prvků lineárního prostoru),

(2) T (c · α) = c · T (α) (T zachovává násobek prvku prostoru reálným číslem).Poznámka. Tyto dvě vlastnosti lze spojit do jedné; T je lineární zobrazení prostoru

L1 do prostoru L2, jestliže pro T platí:

T (c1 · α1 + c2 · α2) = c1 · T (α1) + c2 · T (α2),kde αi ∈ L, ci ∈ R, i = 1, 2 (slovy: T zobrazí lineární kombinaci na lineární kombinaciodpovídajících obrazů). Připomeňme, že pokud jsou lineární prostory L1, L2 různé, nalevých stranách uvedených rovností jsou v závorkách uskutečněny operace s prvky pros-toru L1, na pravých stranách se tyto operace týkají prvků prostoru L2, proto obecněmůže jít o součty nebo násobky reálným číslem zavedené rozdílným způsobem.

21

Definice lineárního zobrazení připouští ovšem také lineární zobrazení prostoru dostejného prostoru.

Důsledkem definice je také zobecnění vlastnosti lineárního zobrazení na součet nprvků: pokud zobrazení T : L1 → L2 je lineární, platí pro αi ∈ L, ci ∈ R, i = 1, ..., n

T (c1 · α1 + ...+ cn · αn) = c1 · T (α1) + ...+ cn · T (αn).

Dalším důsledkem plynoucím z operací v lineárním prostoru jsou pro lineární zobra-zení vztahy

T (0) = 0, T (−α) = −T (α).

Věta (základní věta o lineárním zobrazení). Nechť {α1, α2, ..., αk} je libovolnábáze lineárního prostoru L1 a β1, β2, ..., βk jsou libovolné prvky lineárního prostoru L2.Pak existuje právě jedno lineární zobrazení T : L1 → L2 takové, že platí

T (αi) = βi pro i = 1, ..., k.

Toto zobrazení je dáno předpisem

T (c1 · α1 + ...+ ck · αk) = c1 · β1 + ...+ ck · βk.

Důkaz. T zobrazuje prvky lineárního prostoru L1 do lineárního prostoru L2, protožev prostoru L1 lze každý jeho prvek α vyjádřit jako lineární kombinaci prvků báze:

α = c1 · α1 + ...+ ck · αk

pro vhodné koeficienty ci ∈ R. Podle definice je pak obraz T (α) ∈ L2. Zobrazení T jelineární, což plyne přímo z jeho definice. •Poznámky. Podle předchozí věty platí: pokud lineární prostor má bázi, pak lineární

zobrazení je jednoznačně určeno obrazy bázových prvků toho prostoru.Pokud dim L1 = n, dim L2 = m, pak za bázi prostoru L1 lze vzít standardní bázi S

sestávající z jednotkových vektorů e1, e2, . . ., en a zobrazení T je pak jednoznačně určenoobrazy bázových vektorů

T (e1), T (e2), . . ., T (en),všechny z prostoru L2, proto jsou to m-rozměrné vektory. Předpokládejme, že také pros-tor L2 má nějakou bázi, a to {f1, f2, ..., fm}; vyjádřeme proto každý z vektorů T (e1),T (e2), . . ., T (en) jako lineární kombinaci bázových vektorů z prostoru L2:

T (ej) =m∑

i=1rijfi = r1jf1 + r2jf2 + ...+ rmjfm pro j = 1, 2, ..., n.

Koeficienty rij, j = 1, 2, ..., n v každé takové lineární kombinaci jsou určeny jednoznačně,protože jde o bázi lineárního prostoru L2. Tudíž pro každé j, 1 ≤ j ≤ n, je korespondence

T : ej ←→

r1jr2j...

rmj

jednoznačná. Můžeme proto z těchto ”obrazových vektorů” sestavit matici MT typum× n tak, že její sloupce budou sestávat z obrazů T (e1), T (e2), . . ., T (en) jednotkovýchvektorů ej, j = 1, ..., n standardní báze prostoru L1:

22

MT =

r11 ... r1j ... r1n... ... ... ... ...ri1 ... rij ... rin

... ... ... ... ...rm1 ... rmj ... rmn

Tato maticeMT je proto k zobrazení T určena jednoznačně a nazývá se maticí lineárníhozobrazení nebo také transformační maticí.Výhoda maticové reprezentace lineárního zobrazení se uplatní následujícím způso-

bem: obraz daného vektoru v zobrazení T se najde pomocí maticového násobení maticípatřící k lineárnímu zobrazení:

Věta. Nechť α ∈ L1 je prvek n-rozměrného lineárního prostoru L1, α =n∑

j=1rjej.

Pak obraz tohoto prvku v zobrazení T : L1 → L2 toho prostoru L1 do m-rozměrnéholineárního prostoru L2 je

T (n∑

j=1rjej) =

m∑i=1

sifi ⇐⇒

s1s2...sm

=MT ·

r1r2...rn

Důkaz plyne po roznásobení matice lineárního zobrazení vektorem souřadnic α ve

standardní bázi S prostoru L1. •Příklady. (1) Lineární zobrazení T : V2(R) → V2(R) definované pro vektor α =

(x1, x2) předpisem T (x1, x2) = (3x1 − x2, 5x1 + 8x2) zobrazuje jednotkové vektory

e1 = (1, 0)→ (3, 5), e2 = (0, 1)→ (−1, 8),

proto matice MT tohoto lineárního zobrazení je M =

(3 −15 8

).

(2) Torzní horizontální deformace – zobrazení Ta : V2(R)→ V2(R) se pro reálné čísloa, a > 0 definuje obrazy jednotkových vektorů následujícím způsobem:

e1 = (1, 0)→ (1, 0), e2 = (0, 1)→ (a, 1)

(tudíž jde o ”zkosení jednotkového čtverce působením horizontální síly”). Lze dokázat,že toto zobrazení je lineární. Jeho matice MTa je určena obrazy jednotkových vektorů:

MTa =

(1 a0 1

);

obrazem vektoru α =

(xy

)je vektor Ta(α) =

(1 a0 1

)·(

xy

)=

(x+ ay

y

).

(3) Představme si pro daný úhel φ, 0 ≤ φ ≤ 2π otočení Rotφ roviny kolem bodu [0, 0]o úhel φ. Určeme obrazy jednotkových vektorů v tomto zobrazení:

e1 = (1, 0)→ (cosφ, sinφ),

e2 = (0, 1)→(cos

(φ+

π

2

), sin

(φ+

π

2

))= (− sinφ, cosφ).

Na základě geometrické představy, ale také přímo z definice lze dokázat, že zobrazeníRotφ : V2(R)→ V2(R) je lineární zobrazení. Odpovídající matice tohoto zobrazení je

23

MRotφ =

(cosφ − sinφsinφ cosφ

).

Kupř. potvrďme si, že pro volbu φ =π

4se vektor α =

(11

)zobrazí na vektor

(0√2

):

Rotφ(α) =

cos

π

4− sin π

4

sinπ

4cos

π

4

·(11

)=

√22−√22√

22

√22

·(11

)=

(0√2

).

Zatím zůstává pro nás problémem, jak najít matici lineárního zobrazení, pokud jsouznámy obrazy nějakých prvků různých od ei, i = 1, ..., n. Odvoďme však nejprve dalšívlastnosti lineárních zobrazení.

Operace s lineárními zobrazeními

Vycházejme z obecné teorie zobrazení množiny do množiny, a zkoumejme zobrazeníT , U lineárního prostoru L1 do lineárního prostoru L2. Vytvoříme nová zobrazení:

(I) Zobrazením T +U : L1 → L2 se rozumí takové zobrazení, pro které (T +U)(α) =T (α) + U(α) pro každé α ∈ L1. Uvedené zobrazení se nazývá součtem zobrazení T , U .

(II) Nechť k ∈ R. Zobrazením kT : L1 → L2 se rozumí takové zobrazení, pro které(kT )(α) = k · T (α) pro α ∈ L1. Uvedené zobrazení se nazývá skalárním násobkemzobrazení T .

Na základě definice těchto zobrazení lze přímo dokázat, že zobrazení T +U , kT jsoulineárními zobrazeními a navíc v lineárních prostorech konečné dimenze pro jejich maticeplatí

MT+U =MT +MU , MkT = k ·MT ,

jelikož pro libovolné α ∈ L1 platí

(T + U)(α) = T (α) + U(α) =MT · α+MU · α = (MT +MU) · α,(kT )(α) = k · (MT · α) = (k · (MT ) · α.(III) Nechť T : L1 → L2, U : L2 → L3 jsou dvě lineární zobrazení, nechť obor

hodnot zobrazení T je podmnožinou definičního oboru zobrazení U . Pak lze zkons-truovat zobrazení W : L1 → L3, a to tím způsobem, že prvku α ∈ L1 přiřadímeγ = W (α) = U(T (α)), neboli vytvoříme nejprve β = T (α) a pak klademe γ = U(β).Uvedené zobrazení se nazývá složeným zobrazením a označuje se W = U ◦ T ; protosoučasně γ = W (α) = U(T (α)) = (U ◦ T )(α). Velmi důležité ovšem je, že zobrazenísložené ze dvou lineárních zobrazení je opět lineárním zobrazením. Důkaz využívá line-arity zobrazení T , U : nechť c1, c2 jsou reálná čísla, nechť α1, α2 ∈ L1. Utvořme obrazlineární kombinace W (c1 ·α1+ c2 ·α2) a ptejme se, zda je možné vyjádřit ji jako lineárníkombinaci příslušných obrazů. Ale podle definice platí

W (c1 · α1 + c2 · α2) = U(T (c1 · α1 + c2 · α2)) = U(c1 · T (α1) + c2 · T (α2)),a to na základě lineárnosti zobrazení T ; dále se použije linearita zobrazení U , proto

U(c1 · T (α1) + c2 · T (α2)) = c1 · U(T (α1)) + c2 · U(T (α2)) = c1 ·W (α1) + c2 ·W (α2).

24

Pokud předpokládáme, že všechny uvedené lineární prostory jsou konečné dimenze, paklineárním zobrazením T , U odpovídají matice zobrazení MT , MU . Ale i složenému zo-brazení W : L1 → L3 náleží korespondující matice MW : přímý výpočet pomocí maticMT , MU vede na vztah pro libovolné α ∈ L1

W (α) =MU · β =MU · (MT · α);proto pro matici platí MW = MU ·MT . Navíc, jestliže pro dimenze lineárních prostorůplatí dim L1 = n, dim L2 = m, dim L3 = l a typ matice MT je m × n, matice MU jel ×m, pak typ matice MW je l × n.

Příklad. Víme, že při tvoření složeného zobrazení záleží na pořadí, tudíž i pro dvojicilineárních zobrazení T : L1 → L2, U : L1 → L2(R) obecně platí T ◦U 6= U ◦T . Ilustruje todvojice lineárních zobrazení T : V2(R)→ V2(R), U : V2(R)→ V2(R) daná pro α = (x, y)předpisy

T (x, y) = (x, x+ y), T (x, y) = (x− y, y)

s maticemi MT =

(1 01 1

), MU =

(1 −10 1

).

Na vztah T ◦ U 6= U ◦ T poukazuje nekomutativnost maticového násobení: obecněplatí MT ·MU 6=MU ·MT . •Příklad. Uvažujme o zobrazení D vektorů – polynomických funkcí z lineárního pros-

toru všech polynomických funkcí P2(x) stupně maximálně 2 do stejného lineárního pros-toru definované jako derivaci této funkce, čili pro f(x) = a0 + a1x+ a2x

2

D(f(x)) = f ′(x) = a1 + 2a2x.

Jak víme z matematické analýzy, operátor derivování je

– aditivní: pro reálné funkce (mající derivace na vhodné množině) platí (f + g)′ =f ′ + g′;– homogenní: (k · f)′ = k · f ′, k ∈ R.

Vzhledem na tyto uvedené vlastnosti operátoru derivování je zkoumané zobrazení line-árním zobrazením. Vzhledem na standardní bázi {1, x, x2} lineárního prostoru P2(x)zobrazení D náleží matice zobrazení

MD =

0 1 00 0 20 0 0

.Určeme matici složeného lineárního zobrazení D ◦D vyjádřujícího derivaci 2. řádu uve-dené polynomické funkce: má být (derivace 2. řádu konstantní)

MD◦D =MD ·MD =

0 0 20 0 00 0 0

.(IV) Nechť T : L1 → L2 je lineární zobrazení a nechť toto zobrazení je prosté,

tj. vektorům α1, α2 ∈ L1, α1 6= α2 přiřadí obrazy T (α1), Tα2) ∈ L2, pro které jeT (α1) 6= T (α2). Pak existuje inverzní zobrazení T−1 : L2 → L1; toto zobrazení je rovněžlineární a přímým postupem lze dokázat, že pro lineární prostory L1, L2 stejné konečnédimenze n platí

25

MT−1 =M−1T .

Uvedený vztah plyne ze způsobu aplikace lineárního zobrazení: pokud pro αinL1 se platíT (α) = MT · α = β, β ∈ L2, pak musí být α = T−1(β), ale současně z maticovéhovyjádření plyne α =M−1

T · β.Poznámka. Vyřešme následující úlohu. Nechť jsou dány obrazy vektorů α1, α2 ∈

V2(R) v lineárním zobrazení T : V2(R)→ V3(R):

α1 = (2, 3)→ β1 = (1, 0, 1),α2 = (1, 2)→ β1 = (2, 1, 1).

Jak zobrazí toto zobrazení libovolný prvek lineárního prostoru V2(R), neboli jak je lzeurčit matici MT tohoto zobrazení? Její typ bude 3 × 2 a na její sestrojení potřebujemenajít obrazy prvků standardní báze e1, e2. Ale můžeme napsat vyjádření ve tvarechlineárních kombinací

e1 = (1, 0) = 2α1 − 3α2 → 2β1 − 3β2 = (2, 0, 2)− (3, 3, 3) = (−4, −3, −1),e2 = (0, 1) = 2α2 − α1 → 2β2 − β1 = (4, 2, 2)− (1, 0, 1) = (3, 2, 1).

Z toho plyne MT =

−4 3−3 2−1 1

. Algoritmus na nalezení matice zobrazení je následující:na matici typu 5 × 2 sestavené z odpovídajících si vektorů vzorů a obrazů ve sloupcíchkonáme na vektorech matice vzorů elementární sloupcové operace (ESO) tak, aby smetuto matici vzorů upravili na jednotkovou matici, a tytéž úpravy provádíme současně ina obrazech – matici obrazů. Tím získáme korespondenci vzorů – jednotkových vektorůstandardní báze s jejich obrazy, a tak získáme (pod vyznačenou čarou) matici zobrazeníMT :

2 13 21 20 11 1

−→1 10 2−4 2−3 1−1 1

−→1 00 2−4 6−3 4−1 2

−→1 00 1−4 3−3 2−1 1

.

Proto v naší úloze takové zobrazení existuje, přitom jediné, a je jednoznačně určenonalezenou maticí.Při řešení této úlohy v obecném případu se nemusíme nutně uvedeným algoritmem

dopracovat k jednotkové matici vzorů; pak kromě jednoznačné situace uvedené v našempříkladu může nastat jedna z dvou dalších možností:- sloupce v matici vzorů jsou lineárně závislé, ale sloupce v matici obrazů jsou lineárně

nezávislé: pak lineární zobrazení s předepsanými hodnotami neexistuje;- sloupce v matici vzorů jsou lineárně závislé a rovněž sloupce v matici obrazů jsou

lineárně závislé: pak existuje nekonečný počet lineárních zobrazení s předepsanými hod-notami, neboli předpis neurčuje lineární zobrazení úplně.

Poznámka. Mějme lineární zobrazení T : L → L. Vektor x ∈ L se nazývá pevnýmbodem zobrazení T , jestliže platí T (x) = x. Podle definice lineárního zobrazení je nulovývektor 0 ∈ L pevným bodem pro každé lineární zobrazení. Snadno lze pomocí axiomů li-neárního podprostoru dokázat, že množina pevných bodů daného zobrazení tvoří lineárnípodprostor lineárního prostoru x ∈ L.

26

Jakým postupem lze zjistit, zda některé zobrazení T má kromě triviálního pevnéhobodu také (alespoň jeden) netriviální pevný bod?

Příklad. Zkoumejme zobrazení T : V2(R)→ V2(R) určené maticí zobrazení

MT =

(3 40 1

).

Podmínka T (x) = x značí pro sloupcový vektor x maticovou rovnici neboli homogennísoustavu 2 lineárních rovnic:(

3 40 1

)·(

x1x2

)=

(x1x2

),

(2 40 0

)·(

x1x2

)=

(00

).

Z jejího tvaru plyne x1 = −2x2, tudíž existuje netriviální řešení x =(−21

)·x2, x2 ∈ R

libovolné; proto množinu pevných bodů uvedeného zobrazení představuje přímka v roviněo rovnici x1 = −2x2. •Příklad. Pro lineární zobrazení T : V3(R)→ V3(R) s maticí

MT =

3 0 11 −1 50 1 2

podle předchozího rozhoduje o množině pevných bodů determinant příslušné homogennísoustavy lineárních rovnic

det(MT − E3) =

∣∣∣∣∣∣∣2 0 11 −2 50 1 1

∣∣∣∣∣∣∣ = −13 6= 0,proto pevným bodem je pouze nulový vektor 0 ∈ V3(R). •Příklad. Analogicky, pro lineární zobrazení T : V3(R)→ V3(R) s maticí

MT =

−1 0 51 4 00 6 6

má determinant příslušné homogenní soustavy lineárních rovnic hodnotu

det(MT − E3) =

∣∣∣∣∣∣∣−2 0 51 3 00 6 5

∣∣∣∣∣∣∣ = 0a soustava lineárních rovnic pro složky x1, x2, x3 hledaného vektoru jako pevného boduzobrazení vede na vztahy zapsané tabulkou:

x1 x2 x31 3 0 00 6 5 0

Odtud x =

15−56

· t, t ∈ R libovolné, proto množinu pevných bodů uvedeného zobra-

zení představuje přímka v prostoru. •

27

Jádro lineárního zobrazení

Podle definice pro každé lineární zobrazení T : L1 → L2 platí, že obrazem prvku0 ∈ L1 je nulový prvek lineárního prostoru L2: T (0) = 0. Pokud lineární zobrazení neníprosté, na nulový prvek se mohou zobrazit také jiné prvky.

Definice. Nechť T je lineární zobrazení, T : L1 → L2. Jádrem lineárního zobrazení,v označení Ker T , nazýváme množinu

Ker T = {α : α ∈ L1, T (α) = 0}.Platí: jádro každého lineárního zobrazení tvoří lineární podprostor lineárního prostoruL1. (Tvrzení plyne z vlastností lineárního zobrazení: pokud T (α1) = T (α2) = 0, pakrovněž pro lineární kombinaci c1α1 + c2α2 platí T (c1α1 + c2α2) = c1T (α1) + c2T (α2) =0.) Rovnost Ker T = {0} je přitom podmínkou nutnou a také postačující na to, abyzobrazení T bylo prostým zobrazením.

Příklad. Určeme jádro Ker T lineárního zobrazení:

a) T : V2(R)→ V2(R) definovaného předpisem T (x, y) = (5x− 2y, 3x+ y);b) U : V3(R)→ V2(R) definovaného předpisem T (x, y, z) = (x− 2y+ z, 3x− y− z).

Řešení. Budeme vycházet z definice jádra zobrazení.a) Hledáme všechny vektory (x, y) ∈ V2(R) s vlastností T (x, y) = (0, 0). Tato pod-

mínka vede na určení všech řešení homogenní soustavy dvou lineárních rovnic pro dvěneznámé x, y:

5x−2y = 03x+ y = 0

Determinant této soustavy je různý od nuly, proto existuje pouze triviální řešení (x, y) =(0, 0), tudíž Ker T = (0, 0) (což znamená, že uvedené lineární zobrazení je prosté).b) Analogicky, určování všech vektorů (x, y, z) ∈ V3(R) s vlastností T (x, y, z) =

(0, 0, 0) vede na řešení homogenní soustavy dvou lineárních rovnic pro tři neznámé x, y,z. Tato lineární soustava určitě bude mít nekonečně mnoho řešení a je potřeba je najít:

x−2y+z = 03x− y−z = 0

Hodnost matice soustavy je 2, tudíž jedna neznámá je volitelná a za tuto neznámou

zvolme z. Řešením soustavy lineárních rovnic je množina vektorů

345

· z, z ∈ R

libovolné; tato množina jako jednoparametrický systém představuje přímku v prostoruprocházející počátkem (je lineárním podprostorem lineárního prostoru V3(R)). •Příklad. Snadno lze ukázat, že jádrem Ker T lineárního zobrazení Rotφ : V2(R) →

V2(R) je Ker T = (0, 0); k tomu stačí zkoumat determinant matice MRotφ a zjistit, že jerůzný od nuly. •Příklad. Určeme jádro Ker D lineárního zobrazení D : P3(x) → P1(x), kde Pn(x)

je lineární prostor všech polynomických funkcí s reálnými koeficienty stupně nejvýše n,definovaného jako D(f(x)) = f ′′(x).

Řešení. Podle definice jádra zobrazení má být pro f(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3

28

splněno

D(f(x)) = (a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3)′′ = 2a2 + 6a3x = 0.

Proto a2 = a3 = 0, neboli do jádra náleží všechny lineární polynomické funkce: Ker D ={a0 + a1x : a0, a1 ∈ R}.

Lineární zobrazení a podmínka lineární závislosti (lineární nezávislosti)

Nechť L1, L2 jsou lineární prostory, nechť množinaM je množinou lineárně závislých,resp. lineárně nezávislých vektorů lineárního prostoru L1 a nechť T je lineární zobrazení,T : L1 → L2. Budeme zkoumat, zda T zachová vlastnost uvedené množiny M .Předpokládejme, že M je množinou lineárně závislých vektorů αi, i = 1, ..., n. Z

lineární nezávislosti plyne, že alespoň jeden z nich je lineární kombinací zbývajících;lze to bez újmy na obecnosti předpokládat o posledním z těchto vektorů, tudíž existujíreálná čísla c1, c2, . . . , cn−1 tak, že platí

αn = c1α1 + c2α2 + ...+ cn−1αn−1.

Pak ovšem na základě linearity zobrazení T platí

T (αn) = T (c1α1 + c2α2 + ...+ cn−1αn−1) = c1T (α1) + c2T (α2) + ...+ cn−1T (αn−1),

tudíž lineárně závislé vektory se v zobrazení T zobrazili na lineárně závislé.Předpokládejme teď druhou možnost, tj. nechť M je množinou lineárně nezávislých

vektorů αi, i = 1, ..., n; z podmínky na jejich nulovou lineární kombinacic1α1 + c2α2 + ...+ cn−1αn−1 + cnαn = 0

proto plyne c1 = c2 = ... = cn = 0. Nechť se tyto vektory αi zobrazí v zobrazení T navektory T (αi), i = 1, ..., n, a utvořme lineární kombinaci těchto obrazů; předpokládejme,že se tato v lineárním prostoru L2 rovná 0:

d1T (α1) + d2T (α2) + ...+ dnT (αn) = 0, di ∈ R, i = 1, ..., n.

Odtud lze napsat na základě linearity zobrazení vztah

0 = T (d1α1 + d2α2 + ...+ dnαn);

pokud však obecně nepředpokládáme, že zobrazení T je prostým zobrazením lineárníhoprostoru L1 do lineárního prostoru L2, nelze usoudit, že rovněž 0 = d1α1 + d2α2 + ... +dnαn), což potřebujeme k úvaze o lineární nezávislosti. Proto obecně lineární zobrazenínezachovává lineární nezávislost prvků lineárního prostoru.

Lineární zobrazení a skalární součin

Nechť L1, L2 jsou lineární prostory a nechť T je lineární zobrazení, T : L1 → L2.Uvedeme pouze dva příklady ilustrující fakt, že T obecně nezachová ortogonalitu vektorů.Uvažujme přitom o lineárním prostoru V2(R) s obvyklým skalárním součinem.

a) Nechť T : V2(R)→ V2(R), nechť pro vektor x = (x1, x2) ∈ V2(R) je

T (x1, x2) = (x1 + x2, x1 − x2).

Přímý výpočet ukazuje, že toto zobrazení zachová ortogonalitu vektorů: dva ortogonálnívektory se zobrazí opět na vektory ortogonální.

b) Pro zobrazení T : V2(R)→ V2(R) s předpisem pro vektor x = (x1, x2) ∈ V2(R)

29

T (x1, x2) = (x1, x1 + 3x2)

naopak platí, že zobrazení ortogonalitu vektorů nezachovává.

Vlastní vektory, vlastní čísla matic (lineárních zobrazení)

Motivace: nechť L je lineární prostor, nechť k je dané reálné číslo. Prozkoumali jsmeuž, že zobrazení Tk : L → L určené předpisem Tk(α) = k · α – k-násobné zvětšení(zmenšení) každého vektoru α ∈ L – je lineárním zobrazením. Položme si otázku, zdapro libovolně zvolené zobrazení T lineárního prostoru, T : L→ L, nemůže rovněž nastatanalogická situace, totiž že se (alespoň) některý vektor α ∈ L v něm zobrazí na (nějaký)svůj skalární násobek, tj. opět T (α) = k · α.Touto úlohou se budeme zabývat pro L = Vn(R); předpokládejme, že lineární zo-

brazení T : Vn(R) → Vn(R) je určeno (čtvercovou) maticí zobrazení MT (vzhledem nastandardní bázi lineárního prostoru L = Vn(R)). Definujeme obecně:

Definice. Nechť A je čtvercová matice A stupně n. Jestliže existuje nenulové číslo λ(reálné nebo komplexní) a nenulový vektor x ∈ Vn(R) splňující rovnost

A · x = λ · x,pak číslo λ se nazývá vlastní (charakteristické) číslo matice A a odpovídající vektor x senazývá vlastní (charakteristický) vektor této matice.

Určeme vlastní čísla, resp. vlastní vektory patřící k matici A. Z podmínky vyjádřenév jejich definici plyne

(A− λEn) · x = 0;proto na určení vlastních čísel, resp. vlastních vektorů jsme získali tuto homogenní sou-stavu lineárních rovnic. Důležité je zaručit existenci nenulového řešení této čtvercovésoustavy; to vyjádřuje podmínka

det (A− λEn) = 0;

říká se jí charakteristická rovnice matice A. Polynom stupně n proměnné λ tvaru h(x) =det (A−λEn) se nazývá charakteristický polynom matice A. Ekvivalentně lze zformulovat:

– skalár λ je vlastním číslem matice A právě tehdy, jestliže matice (A − λEn) jesingulární, tj. det (A− λEn) = 0;

– sloupcový vektor x ∈ Vn(R) je vlastním vektorem matice A právě tehdy, jestliže jenetriviálním řešením homogenní soustavy lineárních rovnic (A− λEn) · x = 0.Na základě uvedeného postupujeme při určování vlastních čísel a vlastních vektorů

matic, tudíž vlastních čísel a vlastních vektorů lineárních zobrazení reprezentovanýchtěmito maticemi.

Příklad. Určeme vlastní čísla a vlastní vektory matic (lineárních zobrazení) A:

a) A =

(1 −3−2 6

)b) A =

−1 5 02 2 10 −6 −1

Řešení. a) Nejprve určíme vlastní čísla, a to z rovnice det (A− λE2) = 0:

30

det (A− λE2) =

∣∣∣∣∣ 1− λ −3−2 6− λ

∣∣∣∣∣ = λ2 − 7λ = 0.

Vlastními čísly jsou proto λ1 = 0, λ2 = 7. Teď určíme k nim patřící vlastní vektory:

λ1 = 0: pro určení vlastního vektoru x =

(x1x2

)hledáme řešení homogenní soustavy

lineárních rovnic

x1−3x2 = 0−2x1+6x2 = 0

Tato soustava musí mít netriviální řešení; tím je množina vektorů x =

(31

)· t, t ∈ R

libovolné reálné číslo. Proto vlastním vektorem je x =

(31

)a každý jiný vlastní vektor

je jeho násobkem (vhodným reálným číslem t).

λ1 = 7: homogenní soustava lineárních rovnic pro určení vlastního vektoru x =(x1x2

)má tvar

−6x1−3x2 = 0−2x1− x2 = 0

Netriviální řešení této soustavy je množina vektorů x =

(1−2

)· t, t ∈ R libovolné

reálné číslo. Vlastním vektorem je x =

(1−2

)a každý jiný vlastní vektor je opět jeho

násobkem (vhodným reálným číslem t).

b) Postup je analogický: určíme vlastní čísla z rovnice det (A− λE3) = 0:

det (A− λE3) =

∣∣∣∣∣∣∣−1− λ 5 02 2− λ 10 −6 −1− λ

∣∣∣∣∣∣∣ = −(λ+ 1)(λ+ 2)(λ− 3) = 0.Vlastními čísly jsou proto λ1 = −1, λ2 = −2, λ3 = 3. Určíme k nim náležící vlastnívektory.

λ1 = −1: pro určení vlastního vektoru x =

x1x2x3

řešíme homogenní soustavulineárních rovnic

5x2 = 02x1+3x2+x3 = 0−6x2 = 0

Tato soustava má netriviální řešení x =

10−2

·t, t ∈ R libovolné reálné číslo. Vlastním

vektorem je x =

10−2

a každý jiný vlastní vektor je jeho násobkem (vhodným reálným

31

číslem t).

λ2 = −2: pro nalezení vlastního vektoru x =

x1x2x3

teď řešíme homogenní soustavulineárních rovnic

x1+5x2 = 02x1+4x2+x3 = 0−6x2+x3 = 0

Soustava má netriviální řešení x =

−516

· t, t ∈ R libovolné reálné číslo. Vlastním

vektorem je x =

−516

a každý jiný vlastní vektor je jeho násobkem (vhodným reálnýmčíslem t).

λ3 = 3: vlastní vektor x =

x1x2x3

určíme jako řešení homogenní soustavy lineárníchrovnic

−4x1+5x2 = 02x1− x2+ x3 = 0−6x2−4x3 = 0

Soustava má netriviální řešení x =

54−6

·t, t ∈ R libovolné reálné číslo. Opět, vlastním

vektorem je x =

54−6

a každý jiný vlastní vektor je jeho násobkem (vhodným reálnýmčíslem t). •Cvičení. Určete vlastní čísla a vlastní vektory matic A:

a)

2 −1 25 −3 3−1 0 −2

b)

0 1 0−4 4 0−2 1 2

c)

4 −5 25 −7 36 −9 4

d)

2 0 0 20 0 0 00 0 0 00 0 0 2

32

Pojmy, vztahy, označení

Lineární prostor

Lineární podprostor lineárního prostoru

Lineární kombinace vektorů

Lineární obal

Lineární závislost, lineární nezávislost vektorů

Hodnost matice

Báze lineárního prostoru

Skalární součin v lineárním prostoru

Norma vektoru

Ortogonální systémy vektorů

Ortonormální báze lineárního prostoru

Metoda nejmenších čtverců, lineární regrese, regresní přímka

Lineární zobrazení

Matice lineárního zobrazení

Jádro lineárního zobarzení

Vlastní čísla, vlastní vektory matice (lineárního zobrazení)

33