MAGNETICK POLE VE VAKUU(Elektrodynamika I.)

Studijn text pro eitele FO a ostatn zjemce o fyziku

Bohumil Vybral

Obsah

vod 31. Pedmt elektrodynamiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. Z historie od Coulomba k Einsteinovi . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 Elektrick proud 61.1 Makroskopick elektrick proud ve vodich . . . . . . . . . . . 6

Pklad 1 driftov rychlost elektron ve vodii . . . . . . . . . 81.2 Ohmv zkon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Pklad 2 zemnic elektroda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Elektromotorick napt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Zkony magnetismu a jejich aplikace 132.1 BiotvSavartvLaplacev zkon . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Pklad 3 magnetick pole kruhov proudov smyky . . . . . 17Pklad 4 magnetick pole pmkovho proudu . . . . . . . . . 18

2.2 Zkon celkovho proudu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Pklad 5 magnetick pole toroidu . . . . . . . . . . . . . . . 21Pklad 6 magnetick pole solenoidu . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Amprv zkon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4 Vzjemn silov psoben dvou rovnobnch pmkovch proud 262.5 Silov psoben magnetickho pole na proudovou smyku, mag-

netick moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Pklad 7 potenciln energie proudov smyky . . . . . . . . 29

2.6 Lorentzova sla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Pklad 8 proton v magnetickm poli . . . . . . . . . . . . . . 30Pklad 9 cyklotron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.7 Hallv jev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Magnetick pole jako relativistick jev 363.1 Invariantnost nboje a Coulombv zkon . . . . . . . . . . . . 363.2 Relativistick transformace Coulombovy sly . . . . . . . . . . . 363.3 Klasick zkony elektrodynamiky z hlediska teorie relativity . . 39

4 lohy 42

Dodatky 54D.1 Relativistick transformace sly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54D.2 Relativistick pohybov rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59D.3 Fyzikln konstanty pro een loh . . . . . . . . . . . . . . . . 61

een loh 62

Literatura 76

vod

1. Pedmt elektrodynamiky

Pedloen studijn text, voln navazujc na Elektrostatiku [12], se zabvelektrodynamikou, kter zkoum inky elektrickch nboj v pohybu. Toknboj vytv z makroskopickho hlediska elektrick proud, a proto se bu-deme nejprve zabvat jeho popisem a zkoumnm vlivu vodivho prostedna jeho velikost. Dleitm inkem elektrickho proudu je magnetick pole.Pi zkoumn magnetickho pole ve vakuu nejprve uijeme jednodu klasick(historick) pstup, kter je zaloen na experimentech. To je pedmtem druhkapitoly. Z hlediska celkov struktury modern fyziky je dleit i relativistickvklad magnetismu, kter je pedmtem kapitoly tet. Tento pohled na mag-netick pole je sice velmi zajmav, ale je ponkud nronj, a proto je tatokapitola pro eitele fyzikln olympidy z hlediska vlastn soute nepovinn.K tomu je v dodatku odvozen jednoduchm postupem vztah pro relativistickoutransformaci sly.

K pedmtm zkoumn elektrodynamiky pat i magnetick pole v ltko-vm prosted a rovn elektromagnetick indukce. Jde o reciprok jev, kterpopisuje vznik elektrickho proudu zmnou magnetickho pole. Z dvodu ome-zenho rozsahu pedloenho studijnho textu pro fyzikln olympidu byla celltka elektrodynamiky rozloena do t dl: 2. dl bude vnovn magnetickmupoli v ltce a 3. dl elektromagnetick indukci.

Pi vkladu elektrodynamiky byla zachovna tradin osvden forma:vlastn vklad je prbn aplikovn na eench pkladech, kter nejen ilu-struj vklad, ale tak jej dopluj eenm vznamnch problm. K procvienvyloen ltky a k pprav na een loh ve fyzikln olympid jsou do textuzaazeny lohy, piem vsledky jejich een (u obtnjch loh i s naznae-nm nebo plnm eenm) jsou uvedeny na zvr textu. Celkem text obsahuje9 eench pklad a 32 loh k procvien, z nich nkter lohy byly po pravpevzaty z mezinrodnch sout.

2. Z historie od Coulomba k Einsteinovi

Historie vvoje elektrodynamiky je zajmav a poun nejen z hlediska vlastnelektrodynamiky, ale i jinch oblast fyziky. A do konce 18. stolet byly znmynkter jevy z elektiny a magnetismu pouze kvalitativn, a to bez jakko-liv vzjemn souvislosti. Teprve r. 1785 formuloval francouzsk dstojnk Ch.A. Coulomb (17361806) na zklad experiment na torznch vahch (teorietchto vah z r. 1784, vetn teorie krutu ty kruhovch prez a konstrukcetorznch vah pochz rovn od Coulomba) zkladn zkon elektrostatiky a

3

analogick zkon magnetostatiky. Zatmco Coulombv zkon elektrostatiky jestle zkladnm zkonem i relativistick elektrodynamiky, Coulombv zkonmagnetostatiky ji nem v souasn elektrodynamice msto.

Vrtme-li se do konce 18. stolet zjistme, e objev Coulombova zkonaumonil teoretickm fyzikm ji rozpracovat elektrostatiku (podobn bylav te dob rozvinuta i magnetostatika). Druhou etapu rozvoje elektromagne-tismu umonil a objev zdroj ustlenho stejnosmrnho proudu, a to zejmnazsluhou italskho profesora A. G. Volta (17451827), kter sestrojil r. 1800galvanickou baterii nazvanou Voltv sloup.

Pi pokusech s elektrickm proudem udlal dnsk fyzik H. Ch. Oersted(17771851) r. 1820 dlem nhody vznamn objev: zjistil, e magnetka po-staven rovnobn s vodiem se pi prchodu proudu vychyluje. Tm kva-litativn objevil souvislost mezi elektinou a magnetismem: prchodem elek-trickho proudu vznik magnetick pole. Tohoto objevu se okamit ujalifrancouzt fyzikov J. B. Biot (17741862) a F. Savart (17911841), kte po-moc experiment zjistili potebn kvantitativn zvislosti. Jejich kolega, znmfrancouzsk matematik a fyzik P. S. Laplace (17491827), pot provedl (jet vr. 1820) formulaci diferencilnho zkona, kter popisuje magnetick pole vyvo-lan idealizovanm proudovm elementem. Tento zkon, dnes oznaovan jakozkon BiotvSavartvLaplacev, tvo druh pil klasick elektrodynamiky.

Tet pil vybudoval rovn vznamn francouzsk matematik a fyzik A.M. Ampe`re (17751836). Ten v r. 1826 formuloval na zklad svch experi-ment diferenciln zkon urujc slu, kterou na sebe vzjemn psob dvaidealizovan proudov elementy.

Tyto ti zkladn zkony v podstat sta k vybudovn klasick elektro-dynamiky a lze pomoc nich odvodit i zkon elektromagnetick indukce, kektermu dospl po sedmiletm experimentovn r. 1831 geniln anglick ex-perimenttor M. Faraday (17911867). Ten tak zavedl do fyziky vznamnpojem pole.

Bohatch experimentlnch poznatk z elektrodynamiky zskanch za 50 letadou fyzik se ujal jeden z nejvznamnjch fyzik vech dob anglick teore-tik J. C. Maxwell (18311879). Ped tm ne provedl syntzu poznatk, vyslovilhypotzu, e vodiv proud ve vodich pokrauje ve vakuu jako posuvn proud(dnes oznaovan jako Maxwellv proud) a e m stejn magnetick inkyjako proud vodiv. V r. 1864 (knin v r. 1873) Maxwell publikuje svou teoriielektromagnetickho pole ve form soustavy ty hlavnch diferencilnchrovnic (pvodn osmi rovnic slokovch): zkon celkovho proudu, Gaussvzkon, zkon elektromagnetick indukce a zkon o neexistenci magnetickchnboj. K tomu se pipojuj tyi rovnice vedlej: Ohmv zkon pro vodivproud, dv vztahov rovnice mezi indukcemi a intenzitami elektrickho a mag-

4

netickho pole v ltkovm prosted a vztah pro Lorentzovu slu psobc napohybujc se nboj v elektromagnetickm poli (nebo ekvivalentn vztah prohustotu elektromagnetick energie).

Maxwell dospv ze svch rovnic ist teoretickou cestou k vznamnmupoznatku, e elektromagnetick pole se ve form vln, odvozuje vztahpro jejich rychlost a zkon pro jejich odraz a lom na rovinnm rozhran dvouprosted. Souasn vypracovv elektromagnetickou teorii svtla. Osobn Ma-xwellovou tragedi bylo, e se nedoil (umr ve 48 letech) experimentlnhopotvrzen sv teorie. Experimentln dkaz existence elektromagnetickch vln(decimetrov dlky) podal 8 rok po Maxwellov smrti v r. 1887 mlad nmeckfyzik H. Hertz (18571894).

Maxwell ovem pijal Youngovu hypotzu z r. 1801, e k en svtla a tudi elektromagnetickch vln je zapoteb jakhosi veprostupnho mechanickhoprosted oznaovanho jako ter (zde se vychzelo z analogie mechanickchvln). Experimentln potvrzovn jedn ze t trovch hypotz pivedlo fyzikuposledn tvrtiny 19. stolet do vlekl krize. Tu vyeila a speciln teorierelativity vybudovan v r. 1905 genilnm nmeckm fyzikem A. Einsteinem(18791955). ter se nakonec ukzal jako zcela nadbyten a potebnm pro-stedm, kter umouje en elektromagnetickch vln, je prost prostoroasvzan na hmotu ve vesmru.

Teorie relativity vrazn zkorigovala fyzikln obraz svta, avak teorie elek-tromagnetickho pole pestla tuto korekci (a na hypotzu teru) bez po-skvrny. Ukzala, e elektrick a magnetick pole jsou rznmi obrazy (resp.slokami) tho pole elektromagnetickho: elektrick (resp. elektrostatick) polevznik v klidov soustav nboje; ve vztan soustav, v n se nboj vi po-zorovateli pohybuje, vznik pole elektromagnetick. Tento relativistick popisje zkladem relativistick elektrodynamiky a bude pedmtem kap. 3 na-eho textu. Zde nm k vybudovn elektrodynamiky bude stait ji jen jedenexperimentln zkon zkon Coulombv a k tomu relativistick vzorec protransformaci sly.

Na historii vvoje elektrodynamiky vidme, jak se potvrzuje lozoe po-hledu na svt genilnho anglickho fyzika I. Newtona (16431727) vyslovenve vt (1687): Proda je sporn ve svch prostedcch a jevy vytv jed-notnm zpsobem. Tedy mezi dve zdnliv nesouvisejcmi jevy (elektinoua magnetismem) se na jedn stran nala zk vazba a na druh stran sevelk poet dlch empirickch zkon, potebnch k vybudovn teorie, nej-prve zmenil na ti (klasick elektrodynamika) a pot jen na jeden (relativistickelektrodynamika).

5

1 Elektrick proud

1.1 Makroskopick elektrick proud ve vodich

Elektrickm proudem nazvme uspodan pohyb elektrickch nboj. Abyse tyto nboje mohly pohybovat, mus bt voln jsou ptomny v ltkch,kter nazvme vodie. Vodie mohou mt nositele nboje jednoho znamnka(elektrony v kovech, uhlku a v polovodich) anebo obojch znamnek (kladn azporn ionty v elektrolytech, ionty a elektrony v ionizovanch plynech). Volnnositele nboje (elektrony, ionty) lze rovn oddlit od tchto ltek (vodi) avytvoit elektrick proud ve vakuu nebo ve zednch plynech.

Z vodi maj nejvt vznam kovy, kter jsou polykrystalickmi ltkamis kovovou vazbou. Kad mikroskopick monokrystal kovu m pevnou krys-talickou m sestavenou z kladnch iont, mezi nimi se petrit pohybujvoln elektrony rychlostmi, jejich velikost je statisticky promnn (co dovelikosti i smru). Stedn hodnota rychlosti (jako vektoru) vech elektronje nulov, stedn hodnota velikosti rychlosti uritho elektronu je zvisl nateplot kovu. Elektrony konaj tzv. termick pohyb. Velikost rychlosti neu-spodanch termickch pohyb volnch elektron je o nkolik d vt nevelikost rychlosti kmitajcch iont v krystalov mi. Horn mez tchto rych-lost neuspodanho termickho pohybu elektron v kovech je asi 106 m s1.

Pipojme-li vodi k vnjmu zdroji elektrickho pole (nap. na galvanicklnek), zane statisticky neuspodan pohyb volnch nositel nboje pekr-vat jejich usmrnn pohyb ve smru vnjho pole u kladnch nositel a protijeho smru u zpornch nositel. Vznik makroskopick elektrick proud.M-li vodi nositele nboje obou polarit, pohybuj se tito nositel ve vzjemnopanch smrech. Smr toku kladnch nboj historicky denujeme jako smrproudu. U kovovch vodi je tedy smr proudu prv opan ne smr tokuelektron. Velikost (intenzitu) proudu posuzujeme podle velikosti nboje obojpolarity, kter projde uritm prezem vodie ve vzjemn opanch smrechza jednotku asu. Projde-li prezem vodie celkov nboj dQ za as dt budetok nboje vodiem charakterizovat skalrn veliina

I = dQdt . (1)

kter se nazv elektrick proud. Jeho jednotkou je 1 C s1 = 1 A (am-pr), kter je jednou ze zkladnch jednotek soustavy SI. Jej absolutn denicipodme v l. 2.4. Pro stacionrn (tj. asov nepromnn ustlen) proud

6

meme obecn vraz (1) nahradit vrazem

I =Q

t.

Rovnomrn pohyb nboje bodovho nboje Q po krunici s periodou T , resp.s hlovou rychlost , meme chpat jako ustlen proud

I =Q

T=

Q

2. (2)

Bude-li se element nboje dQ pohybovat v linernm tvaru rychlost v == dl/dt, bude po dosazen do (1) reprezentovat elektrick proud

I =dQdl

v = v, (3)

kde = dQ/dl je dlkov hustota nboje a v je velikost okamit rychlostinboje v uvaovanm mst linernho tvaru.

Elektrick proud je veliina, kter obecn popisuje prostorov jev. Omezmese nyn na bn ppad vodi, kter maj voln nboje jen jedn polarity(u kovovch vodi jde o elektrony), ozname 0 prostorovou hustotu volnhonboje a v velikost usmrnn rychlosti jejich nositel (elektron). Rychlost vse zpravidla oznauje jako driftov rychlost. Pak za as dt projde uritmpnm prezem (kolmm k v ) o obsahu S0 nboj dQ = 0S0vdt. Elektrickproud (1) bude

I = 0vS0 = en0vS0, (4)kde n0 = 0/(e) je poet nositel volnho nboje (tj. v naem ppad elek-tron; z nich kad nese nboj e) v jednotkovm objemu vodie, piempro elektrony zejm je 0 < 0.

Rovinnou plochu S prezu memezavst jako vektor S (obr. 1), kter msmr dan normlou k ploe a pravi-dlem prav ruky (ukazuj-li prsty pravruky smr obhu po hranin kivce plo-chy, uke palec smr plochy jako vek-toru S). Protoe driftov rychlost v jetak vektor, nebudeme obecn uvaovatvektory S , v o stejnm smru a vraz(4) pepeme do obecnjho tvaru

v

j

S

O

S

S0

Obr. 1

7

I = 0v S = j S = jS cos = jS0,kde S0 = S pro = 0 (viz obr. 1) a

j = 0v (5)

je proudov hustota. Je to vektor o velikosti

j =I

S cos=

I

S0(obecnji j =

dIdS0

) (6)

a o smru vektoru driftov rychlosti nositel kladnho nboje. Pro ppad nosi-tel volnho nboje elektron m proudov hustota opan smr ne driftovrychlost v (obr. 1).

Velikost vektoru j m vznam plon hustoty elektrickho proudu v uvao-vanm mst prezu. Jednotka: A m2.

Nebude-li proudov hustota na uvaovanm prezu konstantn, bude cel-kov elektrick proud prochzejc prezem o obsahu S dn vrazem

I =S

j dS .

Pklad 1 driftov rychlost elektron ve vodii

Vodiem z jednomocn mdi o prezu S0 = 1,0 mm2 prochz proud I = 5,0 A.Vypotte:

a) Poet volnch elektron v jednotkovm objemu Cu.b) hrnn nboj volnch elektron v jednotkovm objemu Cu.c) Driftovou rychlost volnch elektron pi proudu I.

M m pomrnou atomovou hmotnost Ar = 63,54 a hustotu1

s = 8,93 103 kg m3.

een

a) Jeden mol mdi o molov hmotnosti M = 0,06354 kg a o molovm objemu

Vm =M

s=

63,54 1038,93 103 m

3 mol1 = 7,12 106 m3 mol1

1Pro hustotu (hmotnosti) budeme pouvat alternativn znaku s s ohledem na koliziznaky se zde astji pouvanou veliinou hustota nboje, oznaovanou stejn.

8

obsahuje NA = 6,0221 1023 jednoatomovch molekul Cu, z nich kad mvoln jeden (valenn) elektron. Tedy poet volnch elektron v jednotkovmobjemu je

n0 =NAVm

=sNAM

= 8,46 1028 m3.

b) hrnn nboj volnch elekton v jednotkovm objemu mdi je

QV = en0 = 1,36 1010 C m3.

c) Velikost driftov rychlosti urme ze vztahu (4):

v =

I en0S0 = 3,69 104 m s1 = 0,369 mm s1.

Z provedench vpot si meme udlat nzor o mikroskopickch pom-rech v kovovch vodich: poet volnch nositel nboje elektron a jejichhrnn nboj v jednotkovm objemu je znan, a proto driftov rychlost elek-tron potebn k vyvoln proud bn technick velikosti v drtovch vodi-ch je nesmrn mal (doslova hlemd).

1.2 Ohmv zkon

Uvaujme vodi, u nho jsou volnmi nositeli nboje elektrony. Nyn v mezchklasick mechaniky kvantitativn popeme mechanismus veden proudu, kterpovede k veobecn znmmu Ohmovu zkonu.

Umstme-li vodi do elektrickho pole o intenzit E (nap. pipojenm kegalvanickmu lnku), psob na kad voln elektron sla F = eE , kter mupodle Newtonova zkona udl zrychlen a = F /me = eE/me proti smruvnjho pole. Tm zskvaj chaoticky se pohybujc elektrony jet sloku rych-losti v protismru vloenho elektrickho pole E . Tak dochz k usmrnnmudriftovmu pohybu volnch elektron a ve vodii vznikne elektrick proud.

Elektron ve vodii se po vykonn jist drhy d (nazvajc se voln drha)sraz s iontem. Prmrn doba mezi dvma po sob jdoucmi srkami nech je . Za tuto dobu se bude elektron rovnomrn urychlovat a na jejm konci budemt rychlost vmax = a . Prmrn rychlost na voln drze prmrn velikostije hledan driftov rychlost, tj.

v =vmax

2= e

2meE .

Proudov hustota (5) bude

j = 0v = en0v = e2n0

2meE . (7)

9

Koecient mrnosti

=e2n0

2me(8)

je zvisl na potu nositel (elektron) n0 v jednotkovm objemu a na dob , neboli na voln drze. Veliina se nazv mrn elektrick vodivost(nebo konduktivita) ltky. Protoe dobu nelze pmo mit, uruje se experimentln. Pitom se zjiuje, e pro uritou teplotu urit ltky je konstanta.

Po zaveden mrn vodivosti (8) meme vraz (7) pepsat do vslednhotvaru

j = E , (9)

kter se v literatue oznauje jako Ohmv zkon v diferencilnm tvaru(i kdy vlastn o diferenciln tvar nejde). Vstinj je oznaen lokln tvarOhmova zkona, protoe vraz (9) se vztahuje na urit msto, resp. bod,vodivho prosted. Vztah k, e proudov hustota v uritm bod vodivhoprosted je pmo mrn intenzit vloenho elektrickho pole v tomto bod(plat pro uritou teplotu prosted).

Uvaujme nyn linern homogenn vodi dlky l a pnho prezu o ob-sahu S0, pipojen ke zdroji o napt U . Pak intenzita pole uvnit vodie budemt konstantn velikost E = U/l. Dosadme-li za velikost proudov hustotyj = I/S0 do (9) dostaneme vztah

I

S0=

U

l,

z nho plyne znm vztah

U = lS0

I = RI, (10)

kde

R =l

S0=

l

S0, (11)

je elektrick odpor uvaovanho linernho vodie, piem = 1/ jemrn elektrick odpor (rezistivita).2 Vraz (10) pedstavuje klasickOhmv zkon experimentln objeven r. 1826 G. S. Ohmem.

Jednotky odpor: V A1 = (ohm), mrn odpor: m, mrn vodivost: 1 m1.

2Zde je dal kolize znaky (viz poznmku 1). V tomto textu vak veliinu rezistivitanebudeme pouvat; omezme se na veliinu konduktivita bn uvanou v teorii elektro-magnetickho pole.

10

Pklad 2 zemnic elektroda

Uvaujte zemnic elektrodu ve form koule o polomru a = 200 mm uloenoudo zeminy v hloubce, kter je znan vt ne je polomr a. Pro jednoduchosteen dle pedpokldejte, e pvodn drt je od zeminy izolovn (obr. 2).Zemina m mrnou vodivost = 1,8102 1 m1. Pi zkratu tee pvodnmdrtem proud I = 50 A. Vypotte:

a) Zvislost potencilu = (r) elektrickho pole, kter se vytvo v zeminpi zkratu, kde r je vzdlenost od stedu elektrody. Potencil normujte tak, evolte () = 0.

b) Zemnic odpor elektrody, kter je denovn vztahem

Rz =UzI,

kde Uz = (a) () = (a) je zemnic napt.c) Ztrtov vkon pi zkratu.

een

a) Ekvipotenciln a proudov plochy maj zejm kulov tvar se stedemve stedu elektrody. Proudov hustota na kulov ploe obecnho polomru r(obr. 2) je

j =I

4r2r

,

kde r je jednotkov vektor ve smru normly. Pakv bodech na tto ploe mus bt elektrick poleo intenzit E , kterou urme ze vztahu (9):

E =j

=

I

4r2r

.

Potencil vypoteme pomoc vztahu (viz nap. v-raz (34) v [12]):

= E dr+C = I

4

drr2

+C =I

4r+C,

kde integran konstantuC urme z okrajov pod-mnky () = 0, odkud C = 0. Hledan zvislostpotencilu je

= I4r , r a,).

ra

j

I

Obr. 2

11

b) Zemina, v n je uloena elektroda, je vlastn rezistorem, jeho jedenokraj tvo elektroda a druhm okrajem je nekonen rozlehl vodiv prostor.Potenciln rozdl mezi tmito okraji je

Uz = (a) () = I4a,

odtud zemnic odpor

Rz =UzI

=1

4a= 22,1 .

c) Ztrtov vkonPz = RzI2 = 55,3 kW.

1.3 Elektromotorick napt

Uzaven proudov okruh C nech je v dynamick rovnovze prochz jmustlen elektrick proud. Uvaujme pro jednoduchost pedstavy kladn n-boj ten se mus pohybovat ve smru klesajcho potencilu (zporn nbojve smru stoupajcho potencilu). Je-li okruh uzaven, mus kladn nbojeopt vystoupit na msta o vym potencilu mus se tedy pohybovat protielektrostatickm silm. Proto proti bytku napt v tomto okruhu, tj.

C

E dl ,

mus psobit napt vazenho elektrickho zdroje, tzv. elektromotorick na-pt Ue (obr. 3). V rovnovze plat rovnice

Ue C

E dl = 0.

Odtud elektromotorick napt

Ue =C

E dl . (12)

Krouek v symbolu integrlu oznauje, eintegrace se provede po uzaven kivce C.

C

Ue

Obr. 3

12

2 Zkony magnetismu a jejich aplikace

2.1 BiotvSavartvLaplacev zkon

V tomto lnku provedeme klasick popis jevu na historickm empirickm z-klad, kter je pomrn jednoduch. Podle Oerstedova objevu (1820) vznikv okol vodie s elektrickm proudem magnetick pole, kter se projevuje silo-vm psobenm na magnetku (obr. 4a,b).

a) b)

polednk

polednkI I

O

O

A

A

Obr. 4

Pro vodi bez proudu byla magnetka nastavena do smru polednku. Pozapnut proudu pozoroval Oersted jej vchylku ve smru, kter uruje pozdjiformulovan Amprovo pravidlo prav ruky: polome-li pravou ruku na voditak, aby prsty ukazovaly smr proudu a dla byla obrcena k mstu (tj. k boduA), v nm vyetujeme pole, vychl se severn pl magnetky ve smru palce.

K popisu magnetickho pole byla v roce 1820 zavedena ji z magnetostatikyveliina intenzita magnetickho pole H zpsobem analogickm jako inten-zita elektrickho pole, tj. E = F /q. Vychzelo se pitom z Coulombova zkonapro magnetismus (1785), kter m tvar podobn Coulombovu zkonu pro elek-trick nboje q. Problm byl ovem v magnetickch nbojch oznaovanchjako kladn a zporn magnetick mnostv , o nich se pedpokldalo, ejsou soustedna v severnm a jinm plu magnetu (resp. v jejich blzkosti).Na rozdl od elektrickho nboje se vak nepodailo izolovat osamocen magne-tick mnostv. Pokud se tedy pi popisu magnetickho pole pracuje s jedinmmagnetickm mnostvm, tak jde vdy o pomocn matematick pojem. Inten-zita magnetickho pole se v magnetostatice denuje jako sla, kter psob nakladn jednotkov magnetick mnostv :

H =F

. (13)

13

K jednotkm veliin H , (v soustav SI) se vrtme pozdji. I pes nezcela jasn fyzikln smysl magnetickho mnostv je veliina H plnohodnotni v souasn elektrodynamice (vystupuje nap. v Maxwellovch rovnicch). Celhistoricky ovlivnn problm popisu magnetickho pole uspokojiv e a teorierelativity (viz kap. 3).

Pomoc intenzity H se zavd pojem silory magnetickho pole jako ori-entovan ry veden tak, e tena v ktermkoliv jejm bod m smr H ahustota ar je mrn velikosti H . U magnetu silory vystupuj ze severnhoplu, vracej se k plu jinmu a vnitkem magnetu se uzavraj. Z Oerstedo-vch pokus bylo zejm, e silory v okol proudovodie jsou uzaven kivky,lec v rovin kolm k proudovodii (obr. 4).

Potebn kvantitativn vztahy prointenzitu magnetickho pole vybuze-nho proudem ve vodii vyplynuly az Biotova a Savartova pokusu (obr. 5),kter byl vykonn krtce po Oerstedovobjevu. Tito fyzikov vytvoili mag-netometr, kter sestval z kruhovsmyky o polomru r a z dalch dvoukruhovch smyek o polomru 2r, ji-mi prochzel proud opanm smrem.Do stedu smyek umstili malou mag-netku (m) a rovinu smyek orientovalitak, aby j prochzel polednk. Celkovinek proudu byl takov, e magnetkase nevychlila, a tud magnetick poleve stedu smyek se vzjemn vynulo-valo.

m

I I

I I II IIr

2r

Obr. 5

Pokus ukzal, e intenzita magnetickho pole je pmo mrn dlce vodiea nepmo mrn tverci jeho vzdlenosti od bodu v nm se vyetuje, nebopro pokus plat vztah

l

r2=

2rr2

=2 2 2r(2r)2

=2r

= konst.,

jeliko r je libovoln volen polomr prvn smyky magnetometru.Zbvalo jet vyjdit vsledek ve form diferencilnho vztahu pro ideali-

zovan zdrojov proudov element Idl a rozhodnout, jak element H intenzitypole bude zviset na smru elementu Idl . Jak z l. 2 v vodu vme, kolu seji r. 1820 ujal Laplace. Pokud jde o vliv smru elementu Idl , Laplace zejmvyuil Oerstedova zjitn, e kdy vodi (resp. jeho linern sek) smoval

14

k bodu A (obr. 4a), tak se magnetka nevychylovala. Pi aplikaci na vektorovproudov element Idl lze tedy usoudit, e o jeho vlivu na magnetick polev bod A rozhoduje jen jeho sloka Idl o velikosti Idl sin kolm k prvodii(obr. 6). Pokud jde o zvislost intenzity pole na I, mlky jsme pedpokldalipmou mrnost. Tu si meme vysvtlit tm, e proud I je dn usmrnnmpohybem jednotlivch elektron, jejich inek se v bod A prost algebraickysete (princip superpozice).

O

Ar

r

0

IdlIdl

Idl

dH

|Idl | = Idl sin Obr. 6

Proudov element vyvol v bod A magnetick pole, piem pro elementjeho intenzity H v soustav SI plat

dH = I4r2

(dl r ), (14)

kde r je jednotkov vektor veden z bodu proudovho elementu k bodu (A)pole. Intenzita magnetickho pole je vektor, jeho smr urme pravidlem provektorov souin dvou vektor (je to vektor kolm k rovin proloen vektoremdl a bodem A a m na tu stranu, kterou uke palec prav ruky, kdy prstybudou smovat od prvho vektoru (dl ) ke druhmu (r ) ve smru menhohlu, tj. 0, 180. Pro jeho velikost plat

|dH | = Idl4r2

sin. (15)

Nov zaveden veliina H m v SI zejm jednotku Am1.Vedle veliiny H se magnetick pole astji popisuje veliinou magnetick

indukce B . Pro pole ve vakuu plat mezi tmito veliinami jednoduch vztah

B = 0H , (16)

15

kde konstanta mrnosti 0 se nazv permeabilita vakua. BiotvSavar-tvLaplacev zkona pro magnetickou indukci ve vakuu m tedy tvar

dB = 0I4r2

(dl r ). (17)

Pro permeabilitu vakua plat v soustav jednotek SI dleit vztah

0 =1

0c2 = 4 107 H m1, (18)

kde c je rychlost svtla ve vakuu. Poznatek, e konstanta z Coulombova zkona(permitivita 0) a konstanta z B.-S.-L. zkona (permeabilita 0) jsou vzjemnvzny rychlost svtla ve vakuu, experimentln zskal r. 1852 s velikm pe-kvapenm nmeck fyzik W. Weber (18041891). V l. 3.4 zjistme, e vztah(18) formln vyplyne ze speciln teorie relativity. Uvedenou selnou velikost0 urme v l. 2.4 z denice jednotky ampr.

Pro plynn prosted, tedy i pro vzduch, se permeabilita jen velmi mloodliuje od uveden hodnoty (18) pro vakuum. Relativn odchylka je dujen 109 a 106; pro vzduch 107. Proto meme zde uveden vztahypro vykuum pouvat s dostatenou pesnost i pro plyny a jin pa-ramagnetick ltky. Podrobn vklad bude v pipravovanm studijnm textuElektrodynamika 2.

Diferenciln vrazy (14) a (17) slou pro vpoet magnetickch pol prou-dovodi rznch tvar. Jsou formulovny pro idealizovan proudov ele-ment (kter prakticky nelze realizovat jak bychom k nmu pivedli proud?).Takov element je vak st celk linernch proud, cvek, atd. Aplikaciukeme na nsledujcch pkladech.

Podobn jako u elektrickho pole tak iu magnetickho pole se zavd pojem in-dukn ry. Jde o orientovan ry, je-jich teny v ktermkoliv jejich bod majsmr vektoru B v tomto bod a jejichhustota se vol tak, aby byla mrn ve-likosti B . Na podklad magnetickch in-duknch ar se zavd magnetick in-dukn tok jako skalrn veliina, je-j velikost je mrn celkovmu potu in-duknch ar, kter prochzej uvaovanouplochou v poli. Pro homogenn pole (obr. 7)je tok rovinnou plochou dn skalrnmsouinem vektor B , S , tedy

S0 S

B

S

Obr. 7

16

= B S = BS cos, (19)kde S cos = S0 je prmt plochy S do smru kolmho k induknm arm.Je-li pole nehomogenn, vyjdme tok indukce B elementem plochy a pro-

vedeme integraci pes celou plochu:

=S

B dS . (20)

Jednotky nov zavedench veliin:Permeabilita

[0] = [10 c

2] = F1mm2s2 = VC1m1s2 = VsA1m1 = Hm1,kde H (henry) = V s A1 je jednotka induknosti.Magnetick indukce

[B ] = [0H] = VsA1 m1 Am1 = Vsm2 = Wbm2 = T (tesla),kde V s = Wb (weber) je jednotka magnetickho induknho toku .Magnetick mnostv (13)

[ ] = [FH1] = N m A1 = J A1 =W s A1 = V s = Wb.Magnetick mnostv m tedy stejnou jednotku jako magnetick indukn

tok (m proto i stejnou znaku). U permanentnch magnet si proto magne-tick mnostv meme pedstavit jako matematick zdroj induknho tokumagnetu.

Pklad 3 magnetick pole kruhov proudov smyky

Vypotte intenzitu a indukci magnetickho pole kruhov smyky v obecnpoloenm bod A na jej ose ve vzdlenosti x od jejho stedu.

een

Ze smyky si vytkneme element Idl , kter v bod A (obr. 8) ve vzdlenosti rbud pole intenzity dHr, pro jej velikost plat

dHr =Idl4r2

sin

2=

Idl4r2

.

Protoe vechny elementy smyky maj od bodu A stejnou vzdlenost r,m intenzita od kadho elementu stejnou velikost dHr, avak jin smr. Kekadmu elementu Idl existuje protilehl element Idl , pro kter sloka dH xintenzity kolm k ose m stejnou velikost, avak opan smr ne sloka dHx.Tyto sloky se proto vzjemn vyru a sloky dH ve smru osy o velikosti

17

dH = dHr sin se setou. Dle zejm plat sin =Rr. Integrac pes celou

smyku o dlce l = 2R dostaneme

H =

2piR0

I sin4r2

dl =IR

2r2sin =

IR2

2r3=

IR2

2(x2 +R2)3/2. (21)

Ve zvltn poloze bodu A v rovin smyky (x=0) je

H0 =I

2R, B0 = 0

I

2R. (22)

A

R r

x

H0

dHx

dH x

dHdH

dHr

dH r

Idl

Idl

Obr.8

Pjde-li o rovinnou kruhovou cvku vytvoenou z tsn vinutmi zvity(teoreticky) stejnho polomru R, vyuijeme principu superpozice a veliinyH a B se z-krt zvt. Pouitm cvky meme tedy tho inku doshnoutproudem z-krt menm, ne u prost smyky.

Pklad 4 magnetick pole pmkovho proudu

Vypotte intenzitu magnetickho pole v bod A ve vzdlenosti r od pmhotenkho vodie, kterm prochz proud I. Vodi m tvar:

a) seky (EF ), piem bod A tvo vrchol obecnho trojhelnkuAEF o vce r a o vrcholovm hlu |1| + 2 (obr. 9), kde 1, 2 jsou danhly,

b) pmky.

18

een

Z vodie si vytkneme obecn poloenproudov element Idl o dlce |BC| = dl.Velikost intenzity, kterou tento element vy-bud v bod A (obr. 9) je dna vrazem(15), v nm vzdlenost r pro n ppadozname r. Jsou zde tedy ti promnn:r, , dl. Vyjdme je jako funkci novpromnn hlu . K tomu elementrnseku CD o dlce dl vyjdme jednakz trojhelnku BCD, tj.

dl = dl sin( d) dl sin,jednak jako kruhov oblouk pslun hlud, tj. dl rd. Proto meme dosta-ten pesn pst dl sin = rd. Pakvraz (15) pejde do tvaru

dH =Idl4r2

sin =I

4rcos d, (23)

kde r = r cos je dan vzdlenost bodu Aod pmky.

I

O

E

F

C

B

D

Ar

r

dH

dldl

d

d

1

2

Obr. 9

a) Intenzitu magnetickho pole v bod A pro vodi konen dlky EF do-staneme integrac vrazu (23) v mezch 1, 2, tj.

H =I

4r

21

cos d =I

4r(sin2 sin1), (24)

kde hel 1 je v ppad znzornnm na obr. 9 zporn.b) Pro vodi neomezen dlky je 1 = /2,

2 = /2; pak

H = I2r . (25)

Tento vsledek m jednoduch tvar a k, e in-tenzita pmkovho proudu v uritm bod A mv jeho okol velikost rovnou proudu dlenmudlkou silory C prochzejc tmto bodem A(obr. 10).

C

A

r

H

I

Obr. 10

Vsledek (25) plat s jistou chybou i pro vodi konen dlky ve vzdlenos-

19

tech r l.K uren smru siloar (a induknch ar) magnetickho pole v okol prou-

dovodie se uv pravidlo prav psti: ukazuje-li palec prav ruky smrproudu, zahnut prsty uk smr siloar.

2.2 Zkon celkovho proudu

Analogicky elektromotorickmu napt (12) se denuje magnetomotoricknapt vrazem

Um =C

H dl , [Um] = A. (26)

Tato veliina, na rozdl od elektromotorickho napt, m v podstat formlncharakter, protoe existence samostatnchmagnetickch nboj (resp. mno-stv) nebyla prokzna. Formln zaveden veliina Um vak velmi usnadujevpoet intenzity H .

Budeme-li potat magnetomotorick napt pro pm nekonen dlouhproudovodi, je vhodn za kivku C zvolit siloru ve tvaru krunice o polo-mru r (obr. 10). Pak vzhledem k (25) je

H dl = Hdl = I2r

dl , Um =I

2r

2pir0

dl = I.

Magnetomotorick napt tedy nezvis na polomru kruhov silory a tm ina tvaru a velikosti uzaven rovinn ry a je rovno proudu, kter ra uzavr.Vsledek lze zobecnit pro libovolnou integran kivkuC a pro libovoln proudy,kter kivka uzavr:

C

H dl =n

k=1

Ik. (27)

Toto je zkon celkovho proudu (oznaovan nkdy tak jako Oerste-dv zkon), podle nho je magnetomotorick napt, psobc v libovolnuzaven kivce, rovno celkovmu proudu prochzejcmu vnitkem kivky.

Pi rozen o Maxwellv (posuvn) proud (viz lohu . 3) bychom do-stali prvn z hlavnch Maxwellovch rovnic. Vraz (27) m velk vznam i propm vpoet intenzity magnetickho pole zejmna v ppadech, kdy je monvhodnou volbou tvaru uzaven kivky snadno urit magnetomotorick napt.Ukeme si to na nsledujcch dvou pkladech a na nkterch lohch.

20

Pklad 5 magnetick pole toroidu

Vypotte intenzitu H magnetickhopole toroidu o z zvitech, kterm prochzproud I. Toroid je cvka ve tvaru anuloidu,tj. vlce o polomru r podstavy, jeho osaje stoena do krunice o polomru R. Z-vity jsou hust vinuty drtem zanedbatel-nho prmru.

Vypotte relativn odchylku inten-zity na okrajovch silorch o polom-rech R+ r, R r vzhledem k intenzit H0na siloe o stednm polomru R. Uretestedn velikost H intenzity a jej relativnvelikost vzhledem k velikosti H0. Odchylkyvyhodnote numericky pro tyto ppady: a)R = 3r, b) R = 9r.

H0

I

R

R+ x

2r

O

Obr. 11

een

Ze zkona celkovho proudu (27) zejm plyne, e magnetick pole toroidu jeomezeno na prostor anuloidu (obr. 11), na nm je toroid navinut.

Silory maj tvar krunic o polomru R + x, kde x r, r. Magneto-motorick napt (26) snadno urme, nebo libovoln silora obepn z krtproud I, intenzita H m podl silory konstantn velikost, tedy

H 2(R+ x) = zI,neboli

H =zI

2(R+ x). (28)

Intenzita na vnitnm, stednm a vnjm polomru tedy je

H1 =zI

2(R r) , H0 =zI

2R, H2 =

zI

2(R+ r).

Relativn odchylky jsou

1(H1) =H1 H0

H0=

r

R r , 2(H2) =H2 H0

H0= r

R+ r.

Numericky: a) 1 =12, 2 =

14, b) 1 =

18, 2 =

110.

Stedn hodnota intenzity se ur integrac (28) pomoc vty o stedn hodnot

21

diferencilnho potu:

H =zI

2 12r

rr

dxR+ x

=zI

4rlnR+ rR r .

Relativn velikost H ve vztahu k H0 je

H

H0=

R

2rlnR+ rR r .

Numericky: a) HH0

= 1,0397, b) HH0

= 1,00415.

Pklad 6 magnetick pole solenoidu

Vypotte intenzitu magnetickho pole solenoidu, tj. cvky s hust vinutmizvity na kruhovm vlci. Pedpokldejte, e na dlku l pipad z zvit. eteve dvou ppadech:

a) Solenoid m konenou dlku l. Intenzitu H vypotte v bod A na osesolenoidu, kter je vymezen hly 1, 2 (obr. 12).

b) Solenoid m neomezenou dlku. K een vyuijte rovn zkon celkovhoproudu.

een

a) Ze solenoidu vyjmeme element ky dx (obr. 12), kterm prochz proud

dI = Iz

ldx.

Tento element si meme pedstavit jako proudovou smyku s proudem dI apro vpoet intenzity dH pole v bod A pout vztah (21), ve kterm proud Inahradme dI, tedy

dH =zIR2

2lr3dx.

V tomto vztahu vystupuj dv promnn veliiny: r, dx. Vyjdme je jakofunkci nov promnn hlu . Pro elementrn seku CD meme pst:

CD dx sin, CD rda dle z trojhelnku ACE vyjdit: r = R/ sin. Pak

dH =zI

2lsin d.

22

IA

B

C

D

E

R

+ d

1

2rd

x

l

H H

I

dx

smr prouduv zvitech

Obr. 12

Integrac v mezch od 1 do 2 dostvme intenzitu magnetickho pole celhosolenoidu, tedy

H =zI

2l

21

sin d =zI

2l(cos1 cos2). (29)

Intenzita bude nejvt, bude-li bod A leet ve stedu solenoidu.Pak 1 = 2 = 0,

H0 =zI

2l2 cos0 =

zIl2 + 4R2

. (30)

Bude-li bod A na pravm ele solenoidu, bude 1 = arccos(l/l2 +R2) a

2 = /2, intenzita bude mt velikost H1 =zI

2l2 +R2

. Stejn vsledek dosta-

neme pro bod A na levm ele solenoidu. Bude-li bod A na ose vn solenoidubudou hly 1, 2 leet v tme kvadrantu a intenzita se bude se vzdalujcmse bodem rychle zmenovat a pro relativn vzdlen bod bude H 0.

Na obr. 13 je silorami znzornno celkov magnetick pole solenoidu. Jezejm, e u dostaten thlho solenoidu bude jeho pole ve vnitnm prostorupiblin homogenn.

b) Pro solenoid neomezen dlouh bude 1 = 0, 2 = a pro intenzituz (29) dostaneme jednoduch vsledek

H =zI

l= nI, (31)

kde n = z/l je hustota zvit, tj. jejich poet na jednotkov dlce solenoidu.

23

HObr. 13

Vsledek (31) meme dostat pmo jednoduchm vpotem pi pouitzkona celkovho proudu (27). Pole uvnit solenoidu neomezen dlky budehomogenn a jeho intenzita vn bude nulov (obr. 14). Uvaujme uzavenouobdlnkovou drhu 1, 2, 3, 4, 1, kter obepn nl = z zvit. Integrl v (27)dv nenulovou hodnotu Hl jen na seku 1, 2. Tedy Hl = zI. Odtud ji plynevsledek (31).

H1 2

34

l

H = 0

Obr. 14

2.3 Amprv zkon

Nyn se budeme zabvat silovm psobenm magnetickho pole na elektrickproud. V tomto lnku opt pouijeme historick experimentln pstup.

Elektrick proud bud ve svm okol magnetick pole, kter psob silou namagnet a tm zpsobuje jeho pohyb. Experiment bychom provedli s vodiemkonen dlky, v limit bychom vahou peli na jeho idealizovan element.

24

Situace pro element vodie je znzornna na obr. 15, kdy v prvn fzi pokusubude element vodie pevn a magnet (formln popsan magnetickmi mno-stvmi +, ) bude oton. Pole vybuzen elementem vodie bude na njpsobit dvojic sil dF , dF , kter jej oto ve smru podle Amprova pravidlaprav ruky. Velikosti sil dF , dF nejsou stejn s ohledem na rznou vzdlenostpl od elementu (dF < dF , dF dF = dF ).

Nyn situaci zmnme. Magnet nech je pevn jeho pole m v mst prou-dovho elementu magnetickou indukci B a proudov element je pohybliv.Na proudov element bude psobit sla dF , kter m podle principu akce areakce opan smr ne vslednice sil dF , dF . Proudov element se tedy vy-chl v opanm smru ne severn pl magnetu. K uren smru psoben slydF se uv Flemingovo pravidlo lev ruky: levou ruku polome na voditak, aby prsty ukazovaly smr proudu a indukn ry vstupovaly do dlan,pak palec uke smr pohybu vodie, resp. smr sly dF .

+

B dF

dF

dF Idl A

S

N

Obr. 15

Pro slu, kterou psob pole o magnetick indukci B na proudov elementbychom dostali zobecnnm vsledk experiment vraz

dF = Idl B , (32)kde kkem je vyjden vektorov souin dvou vektor. Velikost tto sly jeurena vrazem

dF = BIdl sin (33)

a jej smr meme urit tak pmo z pravidel pro vektorov souin (vektorna prvm mst sklopme do smru vektoru na druhm mst po menm hluve smru prst prav ruky; palec uke smr produktu, tj. sly dF ).

Obecn vsledek (32) se oznauje jako Amprv zkon na poest A. M.Ampe`ra, kter se zabval silovm psobenm v magnetickm poli. R. 1826 pu-blikoval prci Teorie elektromagnetickch jev, odvozen vlun z pokus,

25

v n uvedl vraz pro slu, kterou na sebe psob dva obecn orientovan (mi-mobn) proudov elementy. Dostali bychom jej, kdybychom do vrazu (32)dosadili za B z vrazu (17) element magnetick indukce pole vybuzenho jinmproudovm elementem.

Amprv zkon (32) byl a do vzniku teorie relativity zkonem ryze ex-perimentlnm. V l. 3.3b jej dostaneme teoretickm postupem z relativisticktransformace Coulombovy sly.

Amprv zkon m velmi etn technick aplikace, tvo zejmna principelektrickch motor (stejnosmrnch, stdavch, tfzovch) a rukovch m-icch pstroj (galvanometr, amprmetr, aj.), jak si ukeme na nkterchlohch.

2.4 Vzjemn silov psoben dvou rovnobnch pm-kovch proud

Vypoteme nyn slu, kterou na sebe psob dva pmkov nekonen dlouhrovnobn tenk vodie, kter jsou ve vakuu od sebe ve vzdlenosti r, prochz-li jednm proud I1 a druhm proud I2. Protoe celkov sla, kterou by tyto dvanekonen dlouh vodie na sebe psobily, by byla nekonen velk, budemepotat slu, kterou jeden vodi psob na dlku l druhho.

Budou-li proudy stejnho smru,bude magnetick sla pitaliv (obr. 16).Jej velikost urme ze vztahu (33), kterv naem ppad bude mt tvar

dF = B1I2dl, (34)

nebo pro vechny elementy vodie jesin = 1. Pro magnetickou indukci podle(25) plat

B1 = 0H1 = 0I1/2r .

A l

I1

I2

r

B1

F

Obr. 16

Po dosazen do (34) zstane jedinou promnnou veliinou dl a tedy po jedno-duch integraci od 0 do l bude mt sla psobc na dlku l velikost

F = 0I1I22r l. (35)

Z tohoto vrazu se vychz pi denici zkladn jednotky ampr: 1 amprje proud, kter pi stlm prtoku dvma rovnobnmi pmkovmi neko-nen dlouhmi (prakticky velmi dlouhmi) vodii zanedbatelnho kruhovho

26

prmru, umstnmi ve vakuu ve vzdlenosti 1 m od sebe, vyvol mezi vodiislu 2 107 N na 1 m jejich dlky.

Z tto denice a ze vztahu (35) pot meme vypotat velikost konstanty 0v soustav SI, kterou jsme si uvedli ve vztahu (18) bez odvozen:

0 =2rFI1I2l

= 4 107 H m1,protoe pro r = l = 1 m, I1 = I2 = 1 A je F = 2 107 N.K absolutnmu men proudu se konstruuj proudov vhy (viz nap. [4]),

kter v souasn dob dovoluj zmit proud s relativn pesnost a 5 106,znme-li se stejnou (nebo lep) pesnost thov zrychlen v mst vah.

Budou-li dvma rovnobnmi vodii prochzet proudy ve vzjemn opa-nch smrech, budou se odpuzovat silou o velikosti (35). Budou-li mimobnvodie k sob kolm, bude psobc sla nulov.

2.5 Silov psoben magnetickho pole na proudovousmyku, magnetick moment

x

z

y

b

a

I

a2 sin

B

F

F

F

F m

A

B

C

D

O

Obr. 17

Uvaujme nejprve obdlnkovou smyku ABCD o stranch a, b (obr. 17)s proudem I, kter je vloena do pole o magnetick indukci B tak, e stranyAB, CD jsou rovnobn s osou z a vektor B m smr osy y. Normla rovinysmyky svr s osou y hel . Na strany BC, DA psob sly F te velikostia opanho smru a protoe psob v te pmce, jejich inek se vyru. Nastrany AB, CD psob dvojice sil F stejn velikosti a opanho smru, kterna rameni a sin psob momentem sly o velikosti

27

M = Fa sin = BIba sin = BIS sin, (36)

kde S = ab je obsah plochy vymezen smykou. Tento moment bude smykouotet ve smru osy z.

Plochu S meme zavst jako vektor S = a b, kde smr orientovanchseek je dn smrem prochzejcho proudu. Tento vektor je kolm k rovin,vymezen vektory a , b v orientaci podle ji zmnnho pravidla prav rukypro vektorov souin. Protoe u obdlnku jsou vektory a , b k sob kolm, je|S | = ab. Po zaveden vektoru S lze vraz (36) vyjdit vektorov

M = I(S B) = m B , (37)

kde veliinam = IS , [m] = A m2, (38)

je magnetick moment proudov smyky.Vsledek (37), odvozen pro obdln-

kovou smyku, meme snadno zobecnitpro rovinnou smyku libovolnho tvaru.Plochu tto smyky (obr. 18) si m-eme pedstavit sloenou z elementrnchobdlnkovch smyek, piem kadouz nich bude cirkulovat proud I. Jak jezejm, jdou po kad stran vech vnit-nch elementrnch smyek dva stejnproudy v protilehlch smrech, take je-jich magnetick inek se ru. Neru se

m

I

Obr. 18

jen inek proud na vnjch stranch obvodovch elementrnch smyek,kter tvo pvodn smyku. Proto je vsledn inek vech elementrnchsmyek roven inku cel proudov smyky o ploe S . Vyplv to pmo iz principu superpozice. Na jednu elementrn smyku bude psobit momentsly Mi = I(Si B), na soustavu n tchto smyek lecch v jedn rovinbude psobit vsledn moment sly

M =ni=1

I(Si B) = I(ni=1

Si B) = I(S B).Vsledky (37), (38) tedy plat pro libovolnou rovinnou smyku.Ze vztahu (37) vidme, e silov inky danho magnetickho pole B na

proudovou smyku jsou ureny velikost a smrem magnetickho momentu m.Moment sly M bude nejvt pro = /2 a nejmen (nulov) pro = 0.Magnetick pole tedy psob na proudovou smyku tak, e jej rovinu natdo smru kolmho ke smru magnetickho pole (obr. 19a,b). Moment sly bude

28

nulov i pro = . V tomto ppad vak jde o labiln polohu smyky (obr.19c), kter se i pi nepatrnm vychlen pestav do stabiln polohy (obr. 19b).

a) b) c)

B B B

mm

m

II I

Obr. 19

Pklad 7 potenciln energie proudov smyky

Vypotte potenciln energii proudov smyky v magnetickm poli o indukciB . Smyka je rovinn o plonm obsahu S a prochz j proud I. Za nulovouhladinu energie volte polohu smyky, v n m jej magnetick moment stejnsmr jako B . Energii vypotte pro obecnou polohu smyky popsanou hlem, kter svraj vektory S , B . Urete jej maximln hodnotu.

een

Bude-li plocha S smyky odchlena od smru B o hel , bude na ni psobitmoment sly (37). Zvtme-li tento hel o d, musme vykonat prci dW =Md, kter se projev prstkem potenciln energie dEp. Zmn hlu od 0do tedy odpovd vzrst potenciln energie na hodnotu

Ep =

0

Md = ISB

0

sind = ISB(1 cos). (39)

Energie bude maximln pro = , pak Epmax = 2ISB.

2.6 Lorentzova sla

Pvodn Maxwellova teorie elektromagnetismu byla kontinuln (spojit), v p-pad magnetismu lo o inek spojitch elektrickch proud. Kdy byl objevenv r. 1891 nositel elementrnho nboje elektron, vystoupila do poped s-ticov struktura ltky. I proud byl chpn jako tok (velkho mnostv) jednot-livch nabitch stic. Pepracovn Maxwellovy makroskopick elektromagne-tick teorie na mikroskopickou elektronovou teorii se r. 1892 ujal holandskfyzik H. A. Lorentz (18531928).

29

Slu, kterou psob magnetick pole na stici, kter se pohybuje rychlostv , dostaneme pravou vrazu (32) do kterho dosadme I = dq/dt, dl = vdt.Pak

dF =dqdtvdtB = dq v B .

Nahradme-li element nboje dq nbojem q dostaneme magnetickou sloku Lo-rentzovy sly, oznaovanou jako magnetick sla

Fm = qv B . (40)

Bude-li se stice o nboji q pohybovat rychlost v v elektromagnetickm polio elektrick intenzit E a magnetick indukci B , bude na ni psobit Lorent-zova sla

F = q(E + v B). (41)Lorentzova sla m etn aplikace, nap. pro urychlovae nabitch stic,

zen jejich pohybu a ltrovn rychlost, zen elektronovho paprsku v ob-razovkch, v Hallov jevu a jeho aplikacch pro men magnetickch pol avzkumu polovodi, jak ukeme v dalm textu a na nkterch lohch.

Pklad 8 proton v magnetickm poli

Proton o nboji +e a hmotnostimp vltne do homogennho magnetickho pole,jeho indukce B m smr osy x. Poten rychlost v protonu le v rovin(x, z) a svr s osou z hel .

a) Uvate po jak trajektorii se proton bude pohybovat.b) Urete parametry trajektorie protonu.

een

a) Trajektori bude roubovice, piem jej polomr bude uren slokou rych-losti (v) kolmou k B a jej stoupn slokou rychlosti (v) rovnobnou s B(obr. 20).

b) Na proton psob magnetick sla (40) o velikostiF = evB = evB cos,

kter je kolm k okamitmu smru rychlosti v (v poten poloze, kdyrychlost v m smr osy z, m sla F smr osy y). Protoe sla F m smr stlekolm k v a konstantn velikost, bude udlovat protonu konstantn dostedivzrychlen an = v2/r, pro n plat an = F/mp. Tedy

(v cos)2

r=evB cos

mp,

30

neboli polomr roubovice (tj. polomr pomyslnho vlce, na nm je navi-nut) je

r =mpv cos

eB.

xz

y

h

re, mp

F

v

v

B

v

Obr. 20

Doba, za kterou proton probhne jeden zvit roubovice, je

T =2rv

=2mpeB

.

Stoupn roubovice tedy je h = vT =2mpveB

sin.

Mezi vypotenmi parametry r, h roubovice plat vztah

h

r= 2 tg .

Pomr tedy nezvis ani na charakteristikch stice, ani pole a je dn pouzesmrem vstupu stice do pole v souladu s geometri roubovice.

Pklad 9 cyklotron

K urychlovn nabitch stic, zejmna proton, deuteron a helion (stic) mlad americk fyzik E. O. Lawrence (19011958) r. 1930 navrhl a r. 1932realizoval prvn kruhov urychlova cyklotron. Jeho schma je na obr. 21.Mezi ply silnho elektromagnetu, kter vytv homogenn magnetick pole

31

o indukci B , se ve vakuov komoe nachzej dv plvlcov urychlovac elek-trody, tzv. duanty, pipojen ke zdroji vysokofrekvennho stdavho napto amplitud Um a frekvenci f . stice vznikajc plnou ionizac molekul plynu(vodku, deuteria nebo helia) pivdnho do zdroje iont, kter je umstnuprosted vakuov komory, maj klidovou hmotnost m0 a nboj Ze. Uvnit du-ant se pohybuj po kruhov trajektorii a pi kadm prchodu mezerou meziduanty jsou urychleny elektrickm polem. Vsledn pohyb probh po spirlea do prchodu vstupnm otvorem v jednom z duant, za kterm stice do-padaj na vhodn terk. Cyklotrony se dodnes vyuvaj pro nron fyziklnexperimenty a pro ppravu dleitch radionuklid.

Vam kolem je dopotat zkladn parametry cyklotronu, kter m slou-it k urychlen deuteron (m0 = 3,34 1027 kg, Z = 1) na kinetickou energiiEk = 15,0 MeV. Magnetick indukce v komoe m velikost B = 1,40 T . Vyso-kofrekvenn napt duant m amplitudu Um = 160 kV.

a) Porovnejte klidovou a kinetickou energiideuteron a ovte, e v prvnm piblen m-eme jejich hmotnost povaovat za konstantn(rovnou m0). Za tohoto pedpokladu ete nere-lativisticky koly b) a d).

b) Princip cyklotronu vychz z poznatku,e frekvence, se kterou stice stl hmotnostiobh po kruhov trajektorii kolmo k induknmarm v homogennm magnetickm poli, nez-vis na polomru trajektorie. Stejnou frekvencimus mt napt piveden na duanty. Urete jejhodnotu pro n cyklotron.

c) Urychlen probhne optimlnm zpso-bem, kdy pi kadm prchodu stice mezeroumezi duanty je na nich prv napt Um. Kolikobh v takovm ppad stice vykon, nevylet vstupnm oknkem? Jak tvar m tra-jektorie deuteronu? (popite strukturu spirly)

d) Jakou rychlost deuterony zskaj a jakbude polomr posledn kruhov trajektorie?

B

S

N

Obr. 21

e) Relativistick zvten hmotnosti stice bhem urychlen omezuje pouitcyklotronu do energie dov destek MeV. Urete relativisticky, s pihldnutmke zvten hmotnosti stice, rychlost vyletujcch deuteron, polomr poslednkrunice a pslunou frekvenci obhn. Vsledky porovnejte s hodnotami zs-kanmi v b) a d).

32

een

a) Urychlenm zskal deuteron kinetickou energii Ek = 15 MeV = 2,4 1012 J.Klidov energie deuteronu je E0 = m0c2 = 3,0 1010 J = 1880 MeV .=125Ek. Hmotnost urychlenho deuteronu jem = m0+Ek/c2

.= 1,008m0. Bhemurychlen se zvt o 0,8 %, co meme pi piblinm vpotu zanedbat.

b) Zakiven trajektorie je zpsobeno dostedivou magnetickou silou. Pro sticio nboji e a hmotnosti m0 plat:

Bev =m0v

2

r, =

v

r= 2f0 =

Be

m0, f0 =

Be

2m0= 1,07 107 Hz.

c) Bhem jednoho obhu je deuteron urychlen dvakrt. V optimlnm ppadje poet obh

N =Ek

2Ume=

15 MeV0,32 MeV

.= 47.

V prostoru duantu je trajektori plkrunice, po n se deuteron pohy-buje stlou rychlost, na kterou mezi duanty navazuje krtk trajektorie blzksece (na n se zvt rychlost deuteronu) a pot dal plkrunice o vtmpolomru. Proces se cyklicky opakuje a k posledn plkrunici o polomru r0,na n m deuteron rychlost v0. stice (deuteron) se tedy pohybuje po spirle,kter vak nen Archimedovou spirlou.

d) Podle pedstav klasick fyziky:

v0 =

2Ekm0

= 3,79107 ms1, r0 = v02f0 =m0v0Be

=

2Ekm0Be

= 0,565 m.

e) Relativistickm vpotem dostaneme pro konenou rychlost deuteronu, po-lomr posledn krunice a konenou frekvenci obhn:

v0 = c

1

(m0m

)2= c

1 11 + Ek

m0c2

2

= 3,77 107 m s1,

r0 =mv0Be

= 0,566 m ,

f =Be

2m=

Be

2m0

m0m

= f0m0m

=f0

1 + Ekm0c

2

= 0,992f0 = 1,06 107 Hz.

33

Hodnoty zskan relativistickm vpotem se tm neli od vsledk zska-nch v b) a d). Nejzvanj je postupn pokles frekvence obhn a o 0,8 %.Optimln prbh urychlen pedpokldan v loze c) se proto ned realizovata skuten poet obh bude vt ne vypotanch 47.

2.7 Hallv jev

Jako jednu z etnch aplikac na pouit Lorentzovy sly provedeme vkladHallova jevu, kter experimentln objevil r. 1879 mlad americk fyzik E. H.Hall (18551938). Vodiv psek tlouky d a ky b opatil na bonch okrajchkontakty, nechal jm prochzet proud I a vloil jej do pnho magnetickhopole o indukci B (obr. 22).

V

Hallovonapt UH

I

E

v

EH

B

B

d

b

e

Fe

Fm

Obr. 22

Pro napt na kontaktech, oznaovan jako Hallovo napt, zjistil, e jepmo mrn proudu I a velikosti magnetick indukce B a nepmo mrntlouce d psku:

UH = RHIBd, (42)

kde Hallova konstanta RH zvis na materilu psku.Vraz (42) pro Hallovo napt odvodme z mikroskopickho pohledu na

elektrick proud. Vloen elektrick pole E (obr. 22) psob na voln nositelenboje (elektrony o nboji e) a uvd je do usmrnnho pohybu driftovourychlost v podle vztahu (4). V magnetickm poli psob na elektrony magne-tick sla Fm = (e)v B o velikosti Fm = evB, kter je odchyluje k jednomuokraji psku. Tam hustota elektron vzrst, kdeto na protilehlm okraji sezmenuje. Tm vznik pn elektrick pole o intenzit EH, kter psob naelektrony silou Fe = eEH opanho smru ne m magnetick sla Fm. Tmse inek magnetickho pole na elektrony postupn zeslabuje a zcela vymiz,

34

kdy Fm + Fe = 0 , tedy kdy plat rovnost evB = eEH, kde velikost inten-zity EH meme vyjdit pomoc napt: EH = UH/b. Tak pro Hallovo naptdostaneme

UH = bvB = bI

en0SB = 1en0

IB

d, (43)

kdy jsme za driftovou rychlost dosadili z vrazu (4) a uvili, e S = bd.Porovnme-li vsledky (42), (43) vidme shodu, piem pro Hallovu kon-

stantu vychzRH = 1

en0. (44)

Vsledek (43) byl odvozen pro elektrony jako voln nositele nboje a experi-menty potvrzuj, e plat pro kovy. Obecnji lze vztah pro Hallovu konstantupst

RH =A

qn0, [RH] = m3 C1 = m3 A1 s1, (45)

kde q je nboj jejich volnch nositel (je kladn nebo zporn, u elektronje q = e). seln koecient A le mezi 1 a 2. Pro kovy a iontov krystalyza nzkch teplot je A = 1,00, pro iontov krystaly pi vysokch teplotch jeA = 1,10. Pro vodiv valenn krystaly pi mal koncentraci cizch iont jeA = 1,18, pi vysok koncentraci tchto iont je A = 1,93.

Rozhodujc vliv na velikost Hallovy konstanty m veliina n0, tedy poetvolnch nositel nboje v jednotkovm objemu. U vodi je tento poet znan(viz pklad 1), u polovodi je vrazn men. Hallova konstanta pro jednomoc-nou m (vpotem uitm vsledk pkladu 1) je RH = 7,4 1011 m3 C1.Kdeto nap. pro vizmut je RH = 1 106 m3 C1, tj. hodnota 1,4 104krtvt. Je to dno tm, e u polovodi (s malou hustotou nositel volnho n-boje) se dosahuje tche proud jako u vodi podstatn vtmi driftovmirychlostmi a vznikaj tam tud vt magnetick sly.

Hallv jev m velk vznam pro vzkum polovodi; menm Hallovy kon-stanty lze studovat mechanismus jejich vodivosti, Hallovch sond se vyuvrovn pro men magnetickch pol. Hallovo napt (42) je pmo mrn ve-likosti magnetick indukce B . Vsledek (42) byl odvozen za pedpokladu, eB je kolm k rovin psku Hallovy sondy (obr. 22). Meme tedy tak stano-vit smr B tak, e v uritm mst pole natme sondu tak, aby napt napnch kontaktech doshlo maxima, tj. hodnoty UH. Pak B je prv kolmk rovin psku.

Hallovy sondy se rovn uv jako bezkontaktnho amprmetru, nsobchoobvodu, mnie a zesilovae stejnosmrnch proud podrobnosti lze naj nap.v Horkov Fyzice [4].

35

3 Magnetick pole jako relativistick jev

3.1 Invariantnost nboje a Coulombv zkon

Na rozdl od hmotnosti je velikost elektrickho nboje nezvisl na rychlostimaterilnho objektu v pozorovac soustav. kme, e nboj je pi Loren-tzov transformaci invariantn (viz Dodatek 1a).

Kdyby velikost nboje zvisela na rychlosti nap. stejn jako hmotnost, bylby mrn nboj e/m nezvisl na rychlosti, co odporuje experimentm. Dleby atomy a molekuly nebyly elektricky neutrln. Elektrony a protony maja na znamnko stejn nboje. V modelov pedstav atomu se vak elektrony,kter tvo jeho obal, pohybuj znan rychleji ne protony, kter jsou zklademjdra. To svd o nezvislosti nboje na rychlosti jeho nositele.

Tato skutenost byla potvrzena s vysokou pesnost rznmi experimenty.Tak nap. J. G. King (1960) provedl experiment, kter dokzal rovnost abso-lutn velikosti nboje protonu a elektronu v molekule vodku s relativn pes-nost 1020.

Coulombv zkon byl formulovn pro interakci stic v klidu. Protoe vaknboj nezvis na rychlosti, je lhostejn, zda se bude testovac stice o nbojiq pohybovat i ne. To vede k dleitmu rozen platnosti Coulombovazkona:

Bodov elektrick nboj Q vzbuzuje ve vakuu ve sv klidov inerciln sou-stav elektrostatick pole, kter psob na bodov nboj q silou

Fe =qQ

40r2r

(46)

nezvislou na rychlosti u < c nboje q a na ptomnosti dalch nboj. V tomtovztahu je r vzdlenost mezi nboji a r je jednotkov vektor veden od nbojeQ k nboji q.

Takto rozen platnost Coulombova zkona byla nepmo ovena spleh-livou funkc obch urychlova nabitch stic, v nich stice dosahuj prak-ticky a mezn rychlosti c.

3.2 Relativistick transformace Coulombovy sly

Nyn provedeme jednoduchou relativistickou transformaci Coulombovy sly,kter je obecn popsna v Dodatku 1 a je omezena pedpokladem pro rychlostpohybu zdrojov stice: v c. Tento pedpoklad je velice dobe splnn proppady, kdy zdrojem magnetickho pole je elektrick proud ve vodich i v po-lovodich. Nap. v pklad 1 jsme vypoetli, e driftov rychlost elektron pi

36

bnch pomrech v mdnm vodii je piblin 1012krt men ne rychlostsvtla ve vakuu. Meme tedy s velkou pesnost pout v dodatku odvozenvztah (71).

Zdrojovou stici o nboji Q umstme do potku inerciln vztan sou-stavy S (obr. 23). Ve sv klidov soustav S bude vytvet elektrostatick pole,kter bude psobit na kadou jinou stici q silou (46):

F

=qQ

40r2r

0 =qQ

40r2r

0 = Fe. (47)

O

O

Q

q

v

v

u

FmFe

r

0

S

S

Obr.23

Zde jsme poloili r = r , tj. vzdlenost mezi sticemi neuvaujeme zvislouna pohybu soustavy (zanedbvme relativistick efekty s leny v/c ve druh avy mocnin, a tm i efekt kontrakce dlek). Pro pozorovatele, kter pejdez klidov soustavy nboje Q (tj. S) do inerciln soustavy S, v n se soustavaS a s n i nboj Q pohybuje stlou rychlost v , se zmn psoben mezi nboji.Je nutn provst transformaci sly podle (71). V soustav S se bude nbojQ po-hybovat rychlost v a nboj q rychlost u . V soustav S pak nam pozorovatelmezi sticemi slu

F =qQ

40r2

[r

+1c2u (v r )

]= Fe + Fm. (48)

V soustav S tedy pistupuje k elektrostatick sle Fe jet sla Fm, kteroumeme napsat ve tvaru

Fm = qu Q40c2r2 (v r). (49)

Tato sla zvis na rychlosti obou stic v pozorovac soustav S (tj. proje-vuje se jen u nboj v pohybu). M obecn jin smr ne sla elektrostatick.

37

Nem povahu obvyklch elektrickch sil, kter psob i na nboje v klidu. Jevlastn podstatou magnetickch jev (jak uvidme dle). Proto se nazv siloumagnetickou.

Vraz (49) se me pst ve tvaru

Fm = qu B , (50)kde jsme zavedli novou veliinu

B = Q40c2r2

(v r ) = 0Q4r2

(v r ), (51)

piem formln oznaen nov konstanta

0 =1

0c2

(52)

je permeabilita vakua. Vztah (52) je shodn se vztahem (18), ke ktermuse ovem dopracoval Weber a na zklad nronch experiment. Veliina Bpopisuje vektorov pole, kter je zcela ureno pohybem zdrojov stice Q. Polese nazv pole magnetick (nzev m historick pvod). Vektor B je veliinaznm z elektromagnetismu: magnetick indukce.

Z vrazu (51) je rovn zejm vztah mezi magnetickm a elektrickm po-lem:

B = 1c2(v E ). (53)

Odtud plyne, e magnetick pole pohybujcho se nboje vznik a existujesouasn s elektrickm polem. Vektor B je v kadm bod pole kolm k vek-torm v , E (obr. 24).

Protoe souin v kulat zvorce vrazu(53) je vynsoben pevrcenou hodnotoudruh mocniny rychlosti svtla ve vakuu,pispv magnetick pole k silovmu pso-ben na elektrick nboj mnohem mn nepole elektrick. Vzhledem k elektrickmupoli je magnetick pole relativistickmefektem druhho du. Proto se magne-tick pole me vrazn silov projevit jenv ppadech, kdy je elektrick pole soustavystic vznamn zeslabeno nebo zcela vz-jemn kompenzovno, jak je tomu u vodi,ktermi prochz elektrick proud.

Q

A

r

v

E

B

Obr. 24

38

Zavedeme-li intenzitu E elektrickho pole a magnetickou indukci B podlevrazu (51), meme vsledek (48) pepsat do tvaru

F = q(E + u B) FL, (54)

co je Lorentzova sla, znm z klasick elektrodynamiky viz vraz (41),ve kterm je ovem z ist formlnch dvod oznaena rychlost stice v .

3.3 Klasick zkony elektrodynamiky z hlediska teorie re-lativity

a) Zkon Biotv-Savartv-LaplacevNa zklad vsledk minulho lnku vyetme elektromagnetick pole

makroskopickho elektrickho proudu ve vodii, a to vn vodie. Vodi ped-stavuje soustavu nabitch stic. Jsou to jednak voln pohybliv stice (nap.ionty, kter jsou u kov vzny v krystalick mi). Celkov nboj tto sou-stavy stic je nulov, take vodi je v normlnm stavu elekticky neutrln.Pipojme-li vodi k vnjmu zdroji elektrickho pole, zane statisticky neu-spodan pohyb volnch nositel nboje pekrvat jejich usmrnn driftovpohyb ve smru vnjho pole vznik makroskopick proud.

Uvaujme element vodie dl (obr. 25), na nm je voln nboj dQ. Ozna-me-li u kovovho vodie n0 poet volnch elektron (kad o nboji e) v jed-notkovm objemu a S obsah pnho prezu vodie, bude dQ = en0Sdl.Nboj stejn velikosti, avak opanho znamnka, tedy dQ = dQ, maj iontyv krystalick mi.

v

I dl

r

0r

dEdE

dB

dQ

dQ

A

Obr. 25

Bude-li prochzet vodiem proud I, projde prezem jeho dlkovho ele-mentu dl za dobu dt nboj

dQ = Idt (55)

39

driftovou rychlost

v =dldt. (56)

Vyetme nyn elektrickou a magnetickou sloku elektromagnetickho poleelementu vodie v pozorovac soustav pevn spojen s vodiem. Protoe dQ =dQ, bude mt vsledn elektrick pole v bod A vslednou intenzitu: dEv =dE + dE = 0 .

Magnetick pole me podle (51) zpsobit pouze nboj, jeho usmrnnrychlost v je v pozorovac soustav nenulov. Je zejm, e tuto vlastnost mpouze voln nboj dQ, jeho driftov rychlost vzhledem k vodii je prv v .Magnetick pole v bod A bude mt tedy indukci dB , kterou vypoteme zevztahu (51), nahradme-li zde veliiny B , Q jejich diferencilnmi hodnotamidB , dQ a uvme-li vrazy (55) a (56). Pak

dB = 0dQ4r2

(v r ) = 0I4r2

(dl r ). (57)

Toto je klasick Biotv-Savartv-Laplacev zkon, kter jsme uvedliv l. 2.1 jako dsledek zobecnn vsledk experiment. Zde jsme k tomutovrazu dospli z relativistick transformace Coulombovy sly. Meme protoo magnetismu hovoit jako o nejlpe a nejdle znmm relativistickm jevu (ikdy to bylo poznn z toho hlediska nevdom).

b) Amprv zkonUkeme nyn, e i dal zkladn zkon klasick

elektrodynamiky Amprv zkon plyne pmoz relativistick transformace Coulombovy sly. Vy-etme tedy psoben magnetickho pole indukce B(o jeho zdroji nic nepedpokldme) na proudov ele-ment Idl (obr. 26). Podle vrazu (50) bude magne-tick pole psobit jen na nboj, jeho driftov rych-lost v pozorovac soustav je nenulov (u 6= 0 ). Tutovlastnost m v ppad na soustavy nboj jenvoln nboj

B dF

Idl

Obr. 26

dq = Idt, (58)

kter se v elementu vodie pohybuje driftovou rychlost

u =dldt. (59)

40

Po dosazen vraz (58) a (59) do vrazu (50) pepsanho pro diferencilnhodnoty dFm, dq dostvme

dFm = dqu B = Idl B . (60)

To je diferenciln tvar Amprova zkona, ke ktermu dospl A. M. Ampe`rer. 1826 vlun z pokus (viz l. 2.3).

Uitm dvou zkladnch zkon elektrodynamiky (57) a (60) a Coulombovazkona lze vybudovat celou nauku o elektin a magnetismu a po nkterchzobecnnch dospt a k soustavMaxwellovch rovnic elektromagnetic-kho pole (podrobn vklad je nap. v [4] a [9]).

41

4 lohy

1. Odpor vzorku polovodie

Uvaujme vzorek polovodie o vodivosti , kter m tvar dutho vlekudlky l. Jednu elektrodu vzorku tvo vnitn povrch dutiny o polomru r1a druhou elektrodu pl vleku o polomru r2. Vypotte jeho odpor.

2. Zkrat na storu VN

Pedpokldejte, e stor vysokho na-pt je uzemnn prostednictvm zkladu,kter pro jednoduchost budeme povao-vat za plkulovou zemnic elektrodu o po-lomru a = 800 mm (obr. 27). Mrn vo-divost zeminy je = 0,012 1 m1 aproud pi zkratu I = 100 A.

a) Stanovte funkci = (r), piemvolte () = 0.

b) Vypotte zemnic odpor Rz storu aztrtov vkon Pz pi zkratu.

c) Stanovte funkci Uk = Uk(r) pro tzv.krokov napt, tj. napt, kter p-slu dlce kroku k = 0,80 m pichzi ke storu ve zkratu. Vypottejeho velikost pro r = 10 m a 1,0 m.

a

rk

(r +k)(r)

Obr. 27

3. Maxwellv proud, vybjen kondenztoru

J. C. Maxwell dostal plnohodnotnou soustavu diferencilnch rovnic elek-tromagnetickho pole, a do prvn z nich zavedl hustotu posuvnho proudu,kter se dnes oznauje jako proud Maxwellv. Tento proud Maxwell zavedlna zklad hypotzy, e vechny elektrick proudy jsou uzaven, tedy, evodiv (kondukn) proud ve vodii pokrauje i v dielektriku nebo ve vakuujako proud posuvn (Maxwellv).

a) Vypotte Maxwellv proud a jeho hustotu na jednoduchm pkladdeskovho kondenztoru o kapacit C, nabitho na napt U0, jehodesky pot propojme drtem o ohmickm odporu R. Kad z desekkondenztoru m plon obsah S, jejich vzjemn vzdlenost je d0 apermitivita prosted .

b) Odvote vztah, podle kterho se bude mnit napt na deskch konden-ztoru a vodiv proud pi vybjen kondenztoru.

42

4. Magnetick pole dvou kruhovch proud

Jsou dny dva kruhov zvity se spolenou osou a lec v rovnobnchrovinch ve vzjemn vzdlenosti 2a. Zvity maj stejn polomr R a pro-chz jimi proud I a) ve stejnm smru, b) v opanm smru. Vypotteintenzitu magnetickho pole H0 ve stedu kadho zvitu a HS ve steduspojnice sted zvit.

5. Magnetick pole soustavy t pmkovch proud

Ti velmi dlouh pmkov tenk paraleln vodie prochzej vrcholy rov-noramennho trojhelnku podle obr. 28. Vodii prochzej stejn proudyv naznaench smrech. Vypotte:

a) Magnetickou indukci soustavy v bod A.b) Slu (urenou velikost i smrem), kterou soustava vodi 2, 3 psob na

dlku l vodie 1.

1

3

a

a2I

I

I

A

a

IO

Obr. 28 Obr. 29

6. Magnetick pole rmov cvky

Vypotte intenzitu magnetickho pole a jeho indukci, kter vytvo ve svmstedu 0 ploch rmov cvka, jejich z = 30 zvit z tenkho drtu m tvartverce o stran a = 250 mm, prochz-li j proud I = 3,00 A (obr. 29).

7. Magnetick pole v ohybu drtu s proudem

Tenk dlouh pm drt je ohnut podle obr. 30 a, b a prochz jm proudI. Urete intenzitu magnetickho pole v bod A.

8. Magnetick hky

Dlouh tenk pm vodi, kterm prochz proud I, je ohnut do pravhohlu, piem roh v ohybu je upraven podle obr. 31 a, b, c. Vypotteintenzitu magnetickho pole v bod A, jeho poloha je urena vzdlenost a.

43

a) b)

A A

r r

I

IObr. 30

a) b) c)

A A A

a

a a

a

III

Obr. 31

9. Proudov smyka

Dlouh tenk pm vodi, kterm prochz proud I, je ohnut do smykyve tvaru podle obr. 32: a) rovnostrannho trojhelnku, b) tverce, c) pra-videlnho estihelnku, d) krunice. Je dn rozmr a. Vypotte intenzitymagnetickho pole ve stedech A smyek a porovnejte je.

a) b) c) d)

AA

A A

a

aa

a

I I I I

Obr. 32

44

10. Magnetick indukn tokVypotte magnetick indukn tok plochou ob-dlnka o stranch a = 110 mm, b = 170 mm,kter je ve vzdlenosti a0 = 45,0 mm od tenkhovelmi dlouhho pmho vodie podle obr. 33. Vo-diem prochz proud I = 5,00 A.

Obr. 33

bI

aa0

11. Magnetick pole proudu v drt ve tvaru V (Podstatn st lohyna 30. MFO v Itlii v r. 1999)

Uvaujme velmi dlouh tenk drt, kterm prochz stl proud I. Vrcho-lov hel nech je 2 (obr. 34). Vypotte:

a) Magnetickou indukci B v bod P, kter je na ose hlu ve vzdlenosti dvn od vrcholu.

b) Magnetickou indukci B v symetrickm bod P uvnit soustavy.c) Velikost magnetick indukce B v bod P na zklad experimentu s mag-

netkou, pro ni je znm moment setrvanosti J a magnetick momentm.Doba kmitu, zskan menm, je T0. Abychom vylouili vliv zemskhomagnetickho pole, pedpokldejte, e magnetka je astatick (je to sou-stava dvou magneticky opan orientovanch magnetek, piem zkou-man pole psob jen na jednu z nich pak J plat pro celou soustavu am pro jednu z magnetek.)

Pedloen loha je historicky vznamn, protoe ji v potenm obdobelektrodynamiky nezvisle eili Ampe`re a Biot se Savartem, piem jejichvsledky souhlasily jen pro mal. Ampe`rovo een bylo pesnj.

P P

I

I

d d

Obr. 34

12. Elektromagnetick pole rotujcho nabitho prstence

Tenk kruhov prstenec o polomru R je rovnomrn nabit nbojem Q arotuje konstantn hlovou rychlost . Vypotte intenzitu E elektrickhopole a indukci B magnetickho pole v bodech osy prstence ve vzdlenostix od jeho roviny. Urete E/B a provete rozmrovou zkouku.

45

13. Elektromagnetick pole rotujcho nabitho kruhu

Mjme rovnomrn nabit kruh o polomru R, na nm se nachz nbojQ, kter rovnomrn roztome hlovou rychlost kolem osy prochzejcstedem kruhu a kolmo na nj. V okol kruhu vznikne elektromagnetickpole. Vypotte intenzitu E a H jeho elektrick a magnetick sloky v bodna ose kruhu ve vzdlenosti x > 0 od jeho stedu. Jak budou intenzity prox 0?

14. Magnetick pole ploch cvky

a) Vypotte magnetickou indukci ve stedu ploch cvky (vytv se nap.pomoc destiky pro titn spoje), kter m mezi polomry r1, r2 z z-vit Archimdovy spirly (obr. 35).

b) Vypotte magnetick moment cvky.

O

r1

r2

I

O

R

Obr. 36

Obr. 35

15. Magnetick pole proudu ve vodii tvaru labu

Vypotte indukci B magnetickho pole, kter vytv proud I ve vodii vetvaru dlouhho polokruhovho tenkho labu o polomru R (obr. 36). etepro bod lec na ose ve stedu labu.

16. Proudov rovina

Vypotte intenzitu magnetickho pole v okol proudov roviny (obr. 37),kterou prochz plon proud o dlkov hustot J ; [J ] = A m1.a) ete uitm zkona celkovho proudu.b) Provete kontrolu pmm odvozenm uitm vsledku pro pmkov

proud.

46

17. Magnetick pole tlustho pmho vodie

Vypotte a znzornte funkn zvislost pro intenzitu magnetickho poleH = H(r) dlouhho pmho vodie, jeho polomr a nen zanedbateln.Proud I, tekouc vodiem, je rovnomrn rozloen po pnm prezu vo-die.

J

O x

y

z RR R

C C+

Obr. 37 Obr. 38

18. Magnetick pole koaxilu a dvojlinky

Vyuitm vsledk een lohy 17 a principu superpozice nakreslete pr-bh intenzity magnetickho pole soustav, jejich pmmi dlouhmi vodiirovnomrn prochz proud stejn velikosti a vzjemn opanho smru:

a) koaxilnho kabelu, jako soustavy vnitnho vlcovho vodie o polomrua a soustednho plovho vlcovho vodie o polomru b zanedbatelntlouky,

b) dvojlinky jako soustavy dvou rovnobnch vodi o polomru a s rozteb, a to pro body osy x, kter kolmo protn osy vodi.

Rozmry a, b volte vhodn velikosti.

19. Magnetick pole v mezee mezi vodii (Jedna st integrovan lohyna 27. MFO v Norsku v r. 1996)

Dvma pmmi velmi dlouhmi nemagnetickmi vzjemn od sebe izolo-vanmi vodii C a C+ tee proud I ve smru zporn a kladn osy z.Pn prez kadho z vodi je omezen krunicemi o polomru R podleobr. 38, piem tyto krunice le v rovin (x, y) a jejich stedy jsou odsebe vzdleny o R. Obsah pnho prezu kadho z vodi je

(2 + 33)R2

6

a proud I je na nm rozloen rovnomrn. Urete magnetickou indukciB(x, y) v prostoru mezi vodii.

47

20. Kruhov proudov smyka v magnetickm poli

Pmm vpotem ovte platnost vrazu (37) pro ppad kruhov smykyo polomru r, kterou prochz proud I. Smyka se nachz v magnetickmpoli o indukci B , jeho indukn ry le v rovin smyky.

21. Kmity prstence s proudem v magnetickm poli

Je dn tenk kruhov krouek (prstenec) o hmotnosti m, do nho je na-indukovn proud I. Prstenec umstme do magnetickho pole o indukci Ba vychlme o mal hel (sin ) z rovnovn polohy. Vypottehlovou frekvenci kmit prstence.

22. Napnn proudov smyky v magnetickm poli

Kruhov smyka o polomru r = 300 mm z mdnho drtu, kter mpn prez o obsahu S0 = 1,00 mm2 se nachz v magnetickm polio indukci B = 2,50 T. Smykou prochz proud I = 15,0 A.

a) Vypotte moment sly, kter bude smyku natet v jej vchoz poloze,kdy indukn ry budou leet v rovin smyky.

b) Psobenm momentu sly se smyka nato do smru, kdy silory budoukolm k rovin smyky (jej magnetick moment m bude mt stejn smrjako B). Vypotte: ) slu N , kterou je napnn drt. ) mechanicknapt v drt, jeho protaen l a zvten r polomru smyky, je-limodul prunosti mdi Em = 1,10 1011 Pa.

23. GalvanometrRukov mic pstroj na stejnosmrnproud (galvanometr) sestv z permanentnhomagnetu, kter vytv homogenn magne-tick pole, kter m v mst oton cvky in-dukci B (obr. 39). Cvka o stranch 2r a lm z zvit, kter jsou navinuty na zkmrmeku. Proud I se pivd k cvce pomoczkrutnch pruinek, jejich celkov torzn tu-host kt je znma (kt =M/).

a) Vypotte moment magnetick sly pso-bc na cvku pi prchodu proudu I, je-li jej rovina pootoena o hel vzhledemk induknm arm.

b) Proti momentu magnetick sly psobvratn moment zkrutnch pruinek. Od-vote funkci I = I().

N

S

B

2r

l

Obr. 39

48

24. Experimentln amprmetr

V solenoidu, kter m na dlce l = 300 mm z1 = 240 zvit, je vytvoenohomogenn magnetick pole. V tomto poli je umstna oton zk rmovcvka tvaru tverce o stran a = 40 mm s potem zvit z2 = 100. Jeuchycena na torznm vlkn o torzn tuhosti kt = 5,0 106 N m/1.Sestava bude slouit jako experimentln amprmetr (obr. 40).

a

kt

bokorys

Obr. 40

a) V prvnm pokusu bude solenoidem prochzet konstantn proudI1 = 1,0 A.) Odvote zvislost menho proudu Ia tekoucho otonou cvkou nahlu jejho otoen.) Jak proudy Ia mus prochzet, aby byla vchylka = 0, 10, 20,30?) Vypotte citlivost pstroje, tj.: Ka = d/dIa. Jak bude Ka prohly uveden ad )?

b) Ve druhm pokusu bude solenoid s otonou cvkou zapojen do serie.) Odvote zvislost menho proudu Ib jako funkci .) Jak proudy Ib mus prochzet, aby byla vchylka = 0, 10, 20,30?) Vypotte citlivost zazen obecn, tj.: Kb = d/dIb, a seln prohly v ad). Porovnejte Ka, Kb.

25. Mrn nboj elektronu

Pi experimentu bylo zjitno, e elektron, kter byl urychlen v elektrickmpoli v potencilnm rozdlu U = 500 V a vltl do homogennho magnetic-kho pole o indukci B = 6,39 104 T kolmo k induknm arm opisovalkruhovou trajektorii o polomru r = 118 mm. Urete mrn nboj elek-tronu, piem pedpokldejte, e hmotnost elektronu po urychlen se zvtzanedbateln.

49

26. Filtr rychlost stic

V pmoarm svazku stic o mrnm nboji q/m se vyskytuj stice,kter maj rozdln ustlen rychlosti. Navrhnte ltr rychlost stic namagnetickm principu, kter ze svazku stic vyltruje stice poadovanrychlosti v0.

27. Obrazovka s magnetickm vychylovnm

Odvote zvislost pn vchylky y elektron na obrazovce na magnetickindukci B vychylovacho pole (obr. 41). Je dno: urychlovac napt U , me,e, l1, l2. Pro jednoduchost pedpokldejte y1 R a mal hel (tg sin).

B

l1 l2

v0

R

y

y1

stntko

Obr.41

28. Elektrony v elektromagnetickm poli

a) Urete rychlost elektron v linernm svazku, jestlie jejich trajektoriezstane linern i po prchodu elektromagnetickm polem o intenzitE = 5,60 105 V m1 a magnetick indukci B = 1,24 102 T, piemvektory E a B jsou k sob vzjemn kolm a jsou kolm k rychlosti velektron.

b) Vysvtlete, co nastane, budou-li ve svazku elektrony i jinch rychlost,ne jsou rychlosti vypoten v bod a). Jak se d jevu vyut?

c) Vypotte polomr trajektorie elektron pro situaci, kdy E = 0 .

29. Hallova sonda pro men magnetickch pol

Mme navrhnout Hallovu sondu pro men magnetickch pol. K tomumme k dispozici:

50

polovodiovou destiku ve tvaru kvdru (obr. 42), kde d = 0,50 mm,b = 10 mm, o Hallov konstant RH = 5,0 107 m3 A1 s1,

zdroj, kter v destice vyvol proud I = 200 mA,

milivoltmetr s rozsahem od 20 V do 10 mV.

a) Rozhodnte, kam muste piletovat kontakty a pipojit milivoltmetr prosnmn Hallova napt. Kde bude kladn pl?

b) Odvote vztah pro Hallovo napt a napite vztah, ze kterho urte Bz namench veliin.

c) V jakm rozsahu lze uvedenmi pstroji mit magnetickou indukci?

Bb

d I

Obr.42

30. Magnetohydrodynamick genertor

Zjednoduen schma magnetohydrodynamickho genertoru stejnosmr-nho proudu je na obr. 43. Jde v podstat o deskov kondenztor, mezijeho desky ve vzjemn vzdlenosti d = 12,0 mm je veden svazek nap.jednomocnch kladnch iont lithia spolu s paprskem elektron a na zna-mnko o stejnm celkovm nboji. Vzjemn psoben iont s elektronymeme zanedbat, soustava je elektricky neutrln a meme ji povaovatza plazma. Rychlosti iont a elektron jsou stejn: v = 2,4 104 m s1.V prostoru kondenztoru psob na stice pn magnetick pole o in-dukci B = 2,0 105 T, kter zpsob rozdlen nboj. Vypotte:a) Slu, kterou magnetick pole psob na ionty a na elektrony a zrychlen,

kter jim udluje (mi = 1,15 1026 kg).b) Polomry zakiven trajektori elektron (re) a iont (ri).c) Dlku l desek, aby se na nich zachytily vechny stice.d) Napt U na deskch v rovnovnm stavu pi nezatenm genertoru.e) Vkon genertoru pi zaten vnjm odporem R, zanedbme-li vnitn

odpor genertoru a vstupuje-li do koncenztoru kadou sekundu N1 =8,5 1018 stic kadho druhu. (Poznmka: protoe plazma je elektrickyneutrln soustava, rozhoduje o elektrickm proudu v obvodu tok jednohodruhu stic, nap. elektron.)

51

B U Rdv

l

plazma

Obr.43

31. Cyklotron

V klasickm kruhovm urychlovai cyklotronu jsou stice urychlovnypi prchodech mezerou mezi urychlovacmi elektrodami duanty pipo-jenmi ke zdroji stdavho napt stl frekvence (obr. 21). Dosahovanrychlost a energie stic je omezena, protoe v dsledku relativistickhorstu hmotnosti stic dochz k zaostvn hlov drhy stic za fzurychlovacho napt.

a) Jakou rychlost me zskat stice v cyklotronu, nem-li relativn zvt-en jej hmotnosti m = m/m0 pekroit 1,00 %?

b) Jak bude pi splnn podmnky a) maximln kinetick energie proton(Ep), deuteron (Ed) a stic (E)?

c) Vypotte potebnou frekvenci urychlovacho napt pro protony (fp),deuterony (fd) a stice (f), m-li cyklotron magnetick pole o in-dukci B = 1,41 T.

ete obecn a pak pro dan hodnoty m a B.

32. Dynamika elektron v elektromagnetickm poli (Podstatn st jednlohy na 27. MFO v Norsku v r. 1996)

Studujte dynamiku elektron ve vakuo-vm prostoru mezi dvma koaxilnmi vlci,piem vnitn m polomr a a vnj b (obr.44). Vnj vlec je anodou (je pipojen kekladnmu plu zdroje napt), piem po-tenciln rozdl mezi vnitnm a vnjm vl-cem je U . Homogenn magnetick pole o in-dukci B je rovnobn s osou vlc. Elek-trony o klidov hmotnosti me a nboji ejsou uvolovny z vnitnho vlce (katody).

B

a

b

Obr. 44a) Nejprve nech je U 6= 0, avak B = 0 . Vypotte jakou rychlost elektron

dopadne na anodu, je-li uvolnn z katody se zanedbatelnou rychlost.

52

ete ) nerelativisticky, ) relativisticky. (V dalch stech lohy etejen nerelativisticky.)

b) Nyn nech je U = 0 a B 6= 0 . Elektron na vnitnm vlci nech mpoten rychlost v0 o radilnm smru. Je-liB > Bc, kdeBc je kritickmagnetick indukce, elektron nedoltne k anod. Urete Bc.V dalch stech lohy bude U 6= 0, B 6= 0 .

c) Magnetick pole udluje elektronu moment hybnosti L, kter m smrosy vlc. Odvote vztah pro velikost momentu hybnosti elektronu natrajektorii mezi katodou a anodou.

d) Uvaujte elektron, kter opout povrch katody se zanedbatelnou rych-lost a nedoltne k anod jeho maximln vzdlenost od osy vlcnech je rm. Vypotte velikost rychlosti vm elektronu v tto poloze jakofunkci rm.

e) Vypotte kritickou velikost magnetick indukce B c, kdy elektron, uva-ovan v pedchozm odstavci, prv doshne anody.(kol na MFO pokraoval dle ppadem, kdy elektron opout katodupoten rychlost, kter m obecn smr, tj. m sloku radiln, tan-genciln a axiln a hledalo se pslun Bc)

53

Dodatky

D.1 Relativistick transformace sly

Odvodme transforman vztah pro slu, kterou na sebe psob dva materilnobjekty (dv stice) ve zvolen inerciln vztan soustav. Prvn stice, bu-deme ji oznaovat jako zdrojovou stici, bude vytvet zkouman fyziklnpole. O jej rychlosti v v pozorovac soustav budeme pedpokldat, e je vesrovnn s mezn rychlost c (tj. rychlost svtla ve vakuu) velmi mal (v c).Tato stice bude interagovat se druhou stic, kterou budeme oznaovat jakotestovac stice. Jej rychlost u nebudeme omezovat dnmi pedpoklady(jen relativistickou podmnkou u < c).

Uveden omezen v c povede k vznamnmu zjednoduen transforma-nch vztah, avak podstatn neomezuje aplikaci vslednho vztahu pro trans-formaci sly, zvlt v klasick (proudov) elektrodynamice.

Protoe sla je dna derivac hybnosti podle asu, odvodme nejprve vztahpro hybnost. K tomu potebujeme znt transforman vztahy pro hmotnost arychlost.

a) Zjednoduen Lorentzovch transformanch vztah

Ve speciln teorii relativity (viz nap. [2], [4], [11]) se odvozuj Lorentzovytransforman vztahy pro jednoduch ppad vzjemnho pohybu inercilnchvztanch soustav S, S, kdy soustava S se pohybuje vzhledem k soustav S

rychlost v podl osy x (obr. 45). Relativn jsou nejen prostorov souadnice,ale i asov souadnice: t v S, t v S.

S

yy

S

z z xx

OO

v

Obr. 45

Budou-li potky O, O v ase t = t = 0 splvat, budou mezi prostoro-asovmi souadnicemi x, y, z, t v S a x, y, z, t v S platit Lorentzovytransforman vztahy:

54

x = (x + vt), y = y, z = z,

t = (t + vx

c2), = 1

1(vc

)2 . (61)

Tyto vztahy plat pro pechod od S k S. Inverzn transforman vztahy propechod od S k S dostaneme zmnou rkovanch veliin za nerkovan anaopak a nhradou v = v.

Zvolen pedpoklad v c umon omezit se s dostatenou pesnost jen naleny, kde je v v prvn mocnin. leny v/c s vymi mocninami zanedbme.Proto

=1

1(vc

)2 1 .

Pak Lorentzovy transforman vztahy (61) pro x a t budou mt jednoduchtvar

x = x + vt, t = t +vx

c2. (62)

Prvn vztah formln pedstavuje klasickou Galileiho transformaci; podle dru-hho vak as nen absolutn.

Tuto transformaci zobecnme pro ppad ikmho pohybu inercilnchsoustav S, S (viz obr. 46), kdy osy zstvaj vzjemn rovnobn (jinak byS u nebyla inerciln) a potek O se pohybuje vzhledem k soustav S stlourychlost v libovolnho (avak stlho) smru. Polohov vektory libovolnhobodu A v soustavch S, S ozname r , r .

S

y

y

S

z

z

x

xO

A

Ov t

r

r

Obr. 46

55

Pak prvn ze vztah (62) nabude vektorovho tvaru a ve druhm (skalrnm)vztahu musme zajistit, aby souin vektor v a r dal skalr. D se dokzat,e jde o jejich prost skalrn souin (v r ). Tak dostvme hledan vztahy avztahy inverzn:

r = r + v t, r = r v t, (63)

t = t + v r

c2, t = t v r

c2. (64)

b) Transformace rychlosti

Testovac stice, jej pohyb je formln popsn rovnicemi r = r (t), r = r (t)bude mt v uvaovanch soustavch rychlosti

u =drdt, u =

dr

dt,

kter omezujeme jen podmnkou mezn rychlosti. Pro najit potebnho vztahuzderivujeme prvn ze vztah (64):

dtdt

= 1 +v u c2

. (65)

Pak po pihldnut k prvnmu ze vztah (63) dostaneme

u =drdt

drdt

dt

dt=

u

+ v

1 + v u

c2

, (66)

co je hledan transforman vztah pro rychlosti. V nm je v c, u < c, u < c.

c) Transformace hmotnosti a hybnosti

Z poznatk teorie relativity si meme vimnout, e hmotnost stice v uri-tm bod vztan soustavy m = m0/

1 (v/c)2 se transformuje stejnm

zpsobem jako asov interval T = T0/1 (v/c)2 dje, kter v tme bod

probh.Uvaujme nyn obecnj ppad, kdy se stice bude pohybovat jak v sou-

stav S, tak v soustav S. Jej hmotnost m a asov interval T v S a m, T

v S budou obdobn vzny vztahem

m

T=m

T . (67)

56

Tento poznatek lze dokzat obecn uitm tzv. relativistickho intervalu (viznap. [11], s. 99-100).

Na vztah (67) nejsou kladena dn omezen pro rychlost v (v < c) vzta-nch soustav S, S. My opt pejdeme k ppadu v c. Vztah (67) pepemepro elementrn asov intervaly dt, dt a dosadme-li sem z vrazu (65) dosta-neme hledan vztah pro transformaci hmotnosti platn pro v c:

m = mdtdt

= m(1 +

v u c2

). (68)

Znme-li nyn transforman vztahy pro hmotnost (68) a pro rychlost (66),meme najt vztah mezi hybnost stice v S (p = mu) a v S (p = mu ):

p = mu = m(u + v ) = p +mv . (69)

d) Transformace sly

V soustavch S a S psob na stici obecn rozdln sly:

F =dpdt

, F =dp

dt.

Vztah mezi nimi najdeme derivac vrazu (69), a to nejprve podle t; pitomuvme, e v = konst. Nsobme-li a dlme-li druh len na prav stranc2 = konst., dostaneme:

dpdt

=dp

dt+

1c2

d(mc2)dt

v .

Prvn len vpravo je sla F , ve druhm lenu je mc2 = E energie sticev S. Zmna energie E je rovna prci sly F v S: dE = F dr . Pak

dE

dt= F u

je vkon sly F v S. Tak postupn dostaneme

dpdt

= F +1c2

dE

dtv = F + [F u ] v

c2.

Pro slu F potom plat

F =dpdt

=dpdt

dt

dt=(F

+ [F u ] vc2

)dt

dt. (70)

57

Pro pravu tohoto vrazu provedeme nsledujc dl vpoty s vyuitmvztah (63) a (64):

u

dt

dt dr

dtdt

dt dr

dt= u v ,

dt

dt= 1 v u

c2.

Pak lze pepsat vraz (70) do tvaru

F = F (1 v u

c2

)+ [F (u v )] v

c2.

Odtud po zanedbn v2/c2 dostaneme vsledn vztah

F = F +1c2[(u F )v (u v )F ] .

Vraz v hranat zvorce lze jet vyjdit ve form dvojnho vektorovhosouinu podle vzorce

(a c)b (a b)c = a (b c) .V kompaktnm zpisu tedy plat

F = F + 1c2u (v F ) , v c, u < c. (71)

Toto je dleit transforman vztah mezi silou F , kter psob na stici,pohybujc se v inerciln vztan soustav S rychlost u , a silou F , kter psobna tut stici pohybujc se v inerciln vztan soustav S.

Podle klasick fyziky neme pechodem od jedn inerciln soustavy kedruh vzniknout nov sla. Proto je existence prstku k sle F z hlediskaklasick mechaniky nepochopiteln. Relativistick fyzika me pinu tohotozvten sly hledat v relativnosti bhu asu v naem odvozen je to pmdsledek vztah (64) pro as. Na existenci tohoto prstku lze vysvtlit vznika zkonitosti magnetickho pole.

Pokud bychom se neomezovali na podmnku v c, dostali bychom obec-nj a sloitj vraz ne je (71); jeho odvozen a dsledky z nj plynouc lzenajt v Horkov Fyzice [4].

58

D.2 Relativistick pohybov rovnice

Podle klasick fyziky je setrvan hmotnost hmotnho bodu (stice) kon-stantn, nezvisl na jeho pohybovm stavu ve vztan soustav. To vraznzjednoduuje een pohybovch rovnic. Relativistick fyzika poznatek o setr-van hmotnosti koriguje a dospv ke vztahu

m =m01 v

2

c2

, (72)

kde m0 je klidov hmotnost hmotnho bodu (stice) a v je jeho okamitrychlost ve vztan inerciln soustav.

Druh pohybov zkon ve tvaru s hybnost p = mv hmotnho bodu zstvv platnosti i v relativistick fyzice, hmotnost m vak v souladu s (72) nenkonstantn. Proto plat

F =dpdt

=d(mv )dt

=dmdt

v +mdvdt

=dmdt

v +ma , (73)

kde a = dv/dt je okamit zrychlen. Vraz pro derivaci hmotnosti podleasu lze upravit uitm vztahu pro celkovou (relativistickou) energii: E = mc2.Zmna energie je rovna prci, kterou vykon vslednice sil F , tj.: dE = c2dm =F dr . Pak

dmdt

=1c2

dEdt

=1c2F drdt

=F vc2

.

Relativistickou pohybovou rovnici (73) lze proto pepsat do tvaru

F = v Fc2

v +ma , (74)

kde m je hmotnost pslun rychlosti v hmotnho bodu ve vztan inercilnsoustav.

Na rozdl od popisu v klasick fyzice nemaj vektory F , a obecn stejnsmr. Nyn popeme dva vznamn zvltn ppady, kdy smr tchto vektorzstv stejn:

1. Sla psob ve smru pohybu

Uvaujme nejprve ppad, kdy sla F bude psobit ve smru urit pmky,hmotn bod bude leet na tto pmce a jeho poten rychlost bude mt taksmr tto pmky (anebo bude nulov). Pak trajektorie hmotnho bodu bude

59

rovn leet na uvaovan pmce, vektory v , a , F budou souhlasn rovnobn,v F = vF a rovnici (74) meme pst skalrn:

F =v2

c2F +ma.

Po dosazen z (72) a po prav meme tento vztah opt pepsat do vektorovhotvaru pro zrychlen

a = Fm0

(1 v

2

c2

)3, (F v ), (75)

kde F /m0 je zrychlen, kter sla F udluje hmotnmu bodu ze stavu klidu.Diskutovan ppad m vznam nap. pro urychlovn nabitch stic v po-

dlnm elektrickm poli.

2. Sla psob kolmo ke smru pohybu

V tomto ppad jsou vektory v , F k sob kolm a tud v F = 0. Pak se vztah(74) zjednodu do tvaru F = ma , neboli pro zrychlen plat

a = Fm0

1 v

2

c2, (F v ). (76)

Tento ppad m vznam nap. pro pohyb nabitch stic v pnm magne-tickm poli. Setkme se s nm u cyklickch urychlova, jako nap. u synchrocy-klotron a fzotron. U klasickho cyklotronu se ovem pedpokld m m0.

Zajmav je porovnn vztah pro zrychlen v obou diskutovanch ppa-dech. Zrychlen v (75) m smr teny k trajektorii a je tedy ten:

a = a =dvdt

,

kde je jednotkov vektor ve smru teny. Zrychlen v (76) m smr normlyk trajektorii a je tedy normlov:

a = an =v2

rn,

kde n je jednotkov vektor ve smru normly, v okamit rychlost a r polomrkivosti trajektorie v uvaovan poloze hmotnho bodu.

60

D.3 Fyzikln konstanty pro een loh

(