Mate III ING Semana 07

8/19/2019 Mate III ING Semana 07

1/22

Matemática III

(ING)

Semana 7

http://www.ue.edu.pe/http://www.ue.edu.pe/http://www.ue.edu.pe/http://www.ue.edu.pe/


2/22

Método de Integración por fracciones

parciales

Método de Integración por Partes

http://www.ue.edu.pe/http://www.ue.edu.pe/


3/22

Cuando se presente una integral de la forma:

dx)x(Q)x(P

1. GA[P(x)] < GA[Q(x)] Fracción propia

2. Q(x) sea factor izable

con las siguientes características:



4/22

Entonces podemos utilizar el método algebraico de:

Descomposic ión de una fracc iónen una suma de fracc iones parciales



5/22

Por ejemplo:

5x

4

3x

7

Es una suma de fracciones heterogéneas, cuya solución

empieza calculando el mcm de los denominadores:

)5x)(3x(

47x3

15x2x

47x3

2



6/22

Ahora haremos el proceso inverso, es decir, partiremos

de la suma para llegar a las fracciones que dieron origena dicho resultado

15x2x

47x3

2

5x

4

3x

7

Proceso que se denomina descomposición de una

fracción en una suma de fracciones parciales. Atendiendo al grado que presentan los factores del

denominador se presentan cuatro casos:



7/22

Caso 1: Factores lineales no repetidos

Ejemplo 1:

22 axdx

k a x

a x

lna2

1

a x

dx

:Rpta 2 2



8/22

Ejemplo 2:

dx6x5x2x

26x20x4

23

2

k 3 x

)2 x ( 1 x ln:Rpta

5

2 7



9/22

Caso 2: Factores lineales repetidos

Ejemplo 1:

2)1x(dxx

k 1 x

11 x ln:Rpta



10/22

Ejemplo 2:

dx)1x(x

1x3

3

k x x

x x

2)1(

1

1

11ln2ln:Rpta



11/22

Caso 3: Factores cuadráticos no repetidos

Ejemplo 1:

)4x(xdx4

2

k 4 x ln2

1 x ln:Rpta

2



12/22

En resumen:

1. Si el grado de P(x) es mayor o igual que el grado de

Q(x); antes de aplicar los siguientes pasos deben

dividirse los polinomios.

2. Si el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x);

factorizar Q(x) de manera que contenga factores

lineales (ax + b) o factores cuadráticos (px 2 + qx + r)con discriminante negativo y agrupar los factores de

manera que: Q(x) = (ax + b)m(px 2 + qx + r)n…

Este método es aplicable a integrales de la forma:

dx xQ

x P I



13/22

En resumen:

3. Aplicar las siguientes reglas:

Regla a)Por cada factor de la forma (ax + b)m, la descomposición en

fracciones parciales contiene una suma de m fracciones de

la forma:

mm

bax A

bax A

bax A

...2

21

Regla b)

Por cada factor de la forma (px2 + qx + r)n, la

descomposición en fracciones parciales contiene una suma

de n fracciones de la forma:

n

nn

r qx px

B x A

r qx px

B x A

r qx px

B x A

22

2

22

2

11...



14/22

Ejercicios:

1.

dx x x x

4 x 2

2 32.

dx

1 x 3 x 2 x

x 2

2

dx

x x 4

1 x

3

3

3.

dx

1x5x4

4xx5x2

24

23

4.



15/22

Ejercicios:

5.

6.

7.

dx xx

12x

24

dx 18 x 9 x 2 x

153 x 20 x 46 x x 4

2 3

2 34

dx

1 x 2 x

x

2 4

4



16/22

Método de Integración por fracciones parcialesMétodo de Integración por Partes



17/22

Integración por partes

Si u y v son funciones de x , entonces

( )´ ´ ú v u v v u

Al despejar se tieneú v

´ ( )´ ú v u v v u

Integrando ´ ú v dx u vdx v u dx

Nota:

dv debe de contener a dx

u dv u v v du



18/22

Este método consiste en identificar a u como

una parte de la integral y dv con el resto, con

la pretensión de aplicar la formula obtenida, la

integral del segundo miembro sea más fácil

de obtener que la primera.

u dv u v v du

Integración por partes



19/22

Ejemplo:

dxe x x2

Halle

21entonces.... ;

2

xd u d x v e

xd ee x xd e x x x x 2

212

212.... por tanto

C ee x x x

2

4

12

2

1

udv

dxedv xu x2 ; Hacemos

Solución:



20/22

Halle ln x dx

1entonces.... ;du dx v x

x

1 por tanto .... ln ln x dx x x x dx

x

ln x x x C

u

dv

Hacemos ln ;u x dv dx

Ejemplo:

Solución:



21/22

Ejercicio: resuelva las siguientes integrales

dx x ln x .2 2

dx e5 x 2 .1 x

dx 1 x 2 ln .3

dx e x .4

ax 2

dx e x a2 .5 2

ax 32



22/22

dx )1 x (

e x .6 2

x

dx e .7 x

dx x cos x .8 2

dx senx e .9 x

dx x arctan .10

Date post:	07-Jul-2018
Category:	Documents
Upload:	enriqueantonio80
View:	214 times
Download:	0 times

Mate III ING Semana 07

Documents