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Matemática III(ING)

Semana 10

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Cálculo

de ÁreasAplicaciones

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Cálculo de Áreas paraf ( x ) ≥0

Considere la región definidapor la gráfica de la funcióny = f ( x ), el eje x y las rectasverticales x = a y x = b, siendof ( x ) ≥ 0 y f continua en elintervalo [a; b].

El área entonces se halla por:

( )ba

A f x dx

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¿Cuál es el área de la región limitada por las gráficas de el eje X ,

la recta y = -3, la rectas x = 1 y x = 5 ?

¿Se obtuvo unresultado negativo?

¿Será válida para elárea solicitada?

¿Cómo puede corregir

esta solución?

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Cálculo de Áreas paraf ( x )≤ 0

Considere la región definidapor la gráfica de la funcióny = f ( x ), el eje x y las rectasverticales x = a y x = b,

siendo f(x)≤ 0 y f continuaen el intervalo [a; b].

El área entonces se hallapor:

( )b

a A f x dx

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Área de una región formada por dos curvas

Sean las gráficas de f y g tales que f ( x ) > g ( x ) en un intervalo[a; b]. El área de la región limitada por las gráficas def y g ypor las verticales x = a y x = bserá...

a b

b

adx x g x f A )]()([

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Ejercicio 1:

Halla el área de la regiónlimitada por las gráficas de

y = x 2 – 4x + 4, ey = 10 – x 2.

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Un caso especial:

x

y

a

b

y

f(y) g(y)

b

a

R dy y f y g A

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Ejercicios:

1.- Calcular el área de la región limitada por el gráfico f(x) = senx , las rectas verticales x = - π /2, x = π /2 y el eje x.

2.- Calcular el área de la región formada por y=cos 7 x, el eje x y las rectas verticales x = 0, x = 4.

3.- Dada la curvaHallar las áreas de las dos regiones limitadas por ella,situadas por debajo de la recta y limitadas por larecta .

024482

y x x

6 y

032 x y

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Ejercicios:

4.- Calcular el área de la región sombreada en la figura. y x 4

2

x y 42

3 y

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Cálculo de ÁreasAplicaciones

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Curva de demanda de los consumidores

Monto Disponible a gastar al adquirir q 0 unidades

Disponibilidad total para

gastar por los Consumidoresp = D (q )

0 q0 q

P (dólares por unidad)

0

0)(

qdqq D

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Ejemplo 1

Suponga que la demanda de los consumidores de ciertoartículo es D(q) = 4(25 - q2) dólares por unidad

a) Halle la cantidad total de dinero que el consumidoesta dispuesto a pagar por 3 unidades del artículo b) Trace la curva de demanda e interprete como área lrespuesta obtenida en a)

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Excedente del Consumidor

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Excedente de losconsumidores

Gastoreal

¿cómo hallar el excedente del consumidor?

0

0 00( )

qCS D q dq p q 0 00 ( )

q D q p d

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Excedente del Consumidor:

unidades q por pagar

a di spuestos están

es consumidor l os que total cantidad

0

consumidor

del Excedente

unidades q en

consumidor

del real gasto

0

00 00

)(q

q pdqq D EC

Si se venden q0 unidades de un artículo a p0 la unidad y si p = D(q) es la función de demanda de los consumidoredel artículo, entonces:

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p= S(q)

Excedente de losproductores

p (dólares por unidad)

q ( unidades)q0

P0

0

000 )(q

dqqS q p EP

Excedente del productor

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Excedentedel productor:

s productore l os

de Excedente

uni dades q

por consumidor

del real gasto

0

unidades

q ofrecen se cuando

recibir a dispuestos estarían s productore

los que total cantidad

0

0

000 )(q

dqqS q p EP

Si se venden q0 unidades a p0 dólares la unidad y si p =S (q) es lafunción de oferta de los productores del artículo, entonces:

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Un fabricante de llantas calcula que los mayoristascomprarán (demandarán) q (miles) de llantas radialescuando el precio sea p = D (q) = -0.1q2 + 9 dólares launidad, y el mismo número de llantas se

suministrará cuando el precio sea p =S (q) = 0.2q2+q +5 dólares por llanta.

Ejemplo 2

a) Halle el precio de equilibrio y la cantidad ofrecidy demandada a ese precio.

b) Determine el excedente de los consumidores y dlos productores al precio de equilibrio.

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Un fabricante de repuestos de máquinas pesadas los venden unidades de 1000, y se venderán“q” unidades cuando el precio sea: p=110-q dólares la unidad. El costo de producir las “q” unidades es:

C (q) =A partir de esto responda:

dólaresqqq 3000225 23

Ejemplo 3

a) Determine la función utilidad

b) Para que valor de “ q” se maximiza la utilidad.

c) Hallar el excedente de los consumidores en el nivel de producción que corresponde a la utilidad máxima.

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La demanda ( D) y la oferta (S ) de cierto artículo que sevende a“ p” dólares están dadas por:

D(q)= 100 – q2 y S (q)=

a) Graficar ambas funciones y determine el gasto enequilibrio.

b) Hallar el excedente de los consumidores productores en el punto de equilibrio del mercado.

523

2

qq

Ejemplo 4

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Tema de gran interés entre los economistas ysociólogos es la distribución de los ingresos en unasociedad. Una herramienta para medir desigualdades ela distribución de la riqueza es lacurva de Lorenz, lacual proporciona una ilustración rápida y visual de qu porcentaje de una sociedad recibe qué porcentaje de lo

ingresos de dicha sociedad.

Curva de Lorenz

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Si x es el porcentaje acumulativo de receptores dingresos, ordenados de más pobres a más ricos, entoncla curva de Lorenz y = L( x) mide el porcentajeacumulativo de ingresos. Los números x y y se expresan

en decimales.

y = x y = L (x )

y

1

x1

Curva de Lorenz

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Condiciones para una curva de Lorenz

L( x) es una función de Lorenz si cumple con que:

Es continua en 0 x 1

L(0) = 0 y L(1) = 1

Su gráfica está por debajo de la gráfica de y = x, yes no decreciente.

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Una agencia gubernamental determina que lascurvas de Lorenz para la distribución del Ingreso delos Odontólogos y Contratistas están dadas por:

¿Para cuál profesión es más justa la distribución delIngreso?

Ejemplo:

1,7 21 2( ) ( ) 0,8 0, 2 L x x y L x x x

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Volumenes de sólidos de revolución

b

adx x f V 2)(

Si giramos una región del planoalrededor de un eje obtenemosun sólido de revolución.

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Volumenes de sólidos de revolución

d

cdy y f V 2)(

• Si giramos alrededor del eje vertical:

•

Si la región que giramos seencuentra entre las gráficas dedos funciones que no cortan aleje x, el sólido generado tendráun hueco o agujero:

ba

dx x g x f V 22 )()(

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Halla el volumen del sólido generado al girar la regióacotada por y = 2 x, y = x/2 y x = 1, alrededor del eje x.

Ejemplo 1

Un tanque lleno de agua tiene la formade un paraboloide de revolución comoel mostrado en la figura, esto es, suforma es obtenida al rotar una parábola alrededor de su eje vertical.Si tanto la altura como el radio de la parte superior es de 4 pies, encuentreel volumen de agua contenido.

Ejemplo 2

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