MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ
LDF
MT – MATEMATIKA
UŽITÍ DERIVACÍ, PRŮBĚH FUNKCE
Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společnéhozákladu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky.
Mgr. Radka SMÝKALOVÁ, Ph.D. [email protected]
MT – MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 2
Monotónnost funkce. Lokální extrémy
Vztah mezi směrnicí tečny v bodě (f ′(x0)) a monotónností funkce v bodě x0Jestliže tečna funkce f (x) v bodě x0 roste (f ′(x0) > 0), pak roste v boděx0 i funkce f (x).Jestliže tečna funkce f (x) v bodě x0 klesá (f ′(x0) < 0), pak klesá v boděx0 i funkce f (x).Jestliže je tečna funkce f (x) v bodě x0 konstantní (f ′(x0) = 0), pak sev bodě x0 mění nebo nemění monotónnost funkce f (x).
x
y
0 1
1 x0
f(x)
x
y
0
x0
f(x)
1
2
x
y
0
x0
f(x)
1
−4
x
y
0
f(x)
1
1 x0
MT – MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 3
Změna monotónnosti v bodech, kde funkce f (x) není definovanáV bodech, kde funkce f (x) není definovaná, se mění nebo nemění monotón-nost funkce f (x).
x
y
0
y = x−1 = 1/x
x
y
0
y = x−2 = 1/x2
x
y
0 π−π
y = tanx
x
y
0 π−π
y = cotx
VĚTA (Vztah mezi monotónností v bodě a monotónností na intervalu).Funkce je rostoucí na otevřeném intervalu právě tehdy, když je rostoucí v kaž-dém bodě x0 tohoto intervalu.Funkce je klesající na otevřeném intervalu právě tehdy, když je klesající v kaž-dém bodě x0 tohoto intervalu.
MT – MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 4
VĚTA (Vztah mezi derivací funkce na intervalu a monotónností na intervalu).Nechť má funkce f (x) derivaci na otevřeném intervalu (má derivaci v každémbodě x0 intervalu). Pak
• jestliže f ′(x) > 0 pro každé x z intervalu, pak je f (x) na intervalu rostoucí
• jestliže f ′(x) < 0 pro každé x z intervalu, pak je f (x) na intervalu klesající
DEFINICE (Lokální extrémy - lokální maximum a minimum).Nechť je funkce f (x) v bodě x0 definovaná. Řekneme, že funkce má v tomtobodě
• lokální maximum, jestliže pro každé x z ryzího okolí bodu x0 platí
f (x0) ≥ f (x)
• lokální minimum, jestliže pro každé x z ryzího okolí bodu x0 platí
f (x0) ≤ f (x)
MT – MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 5
VĚTA (Vztah mezi lokálními extrémy v bodě x0 a derivací v bodě x0).Nechť má funkce f (x) v bodě lokální extrém a nechť existuje derivace funkcev bodě f ′(x0). Pak
f ′(x0) = 0.
DEFINICE (Stacionární bod).Bod x0, pro který platí, že f ′(x0) = 0, se nazývá stacionární bod.(Je to tzv. podezřelý bod z extrému - bude nebo nebude zde lokální extrém.)
MT – MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 6
Postup při zjišťování monotónnosti funkce y = f (x) a extrémů funkce
b Vypočítáme derivaci funkcey′ = f ′(x)
b Vypočítáme, v jakých bodech je derivace rovna nule - stacionární body.(Jsou to body, kde se může měnit monotónnost, tedy zde funkce může mítlokální extrém.)
y′ = 0
Pokud jey′ = zlomek,
vypočítáme i nulové body jmenovatele, jelikož znaménko zlomku závisí ina znaménku jmenovatele!!!
b Vypočítáme, v jakých bodech funkce není definovaná.(Jsou to body, kde se může měnit monotónnost.)
MT – MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 7
b Nalezené body vyznačíme na číselné ose. (Body, kde f (x) není definovanábudou v prázdném kolečku.) Získáme tak několik intervalů.Z každého intervalu si zvolíme libovolný bod a dosadíme do de-rivace.Když vyjde kladné číslo, v celém intervalu funkce roste, když vyjde zá-porné číslo, v celém intervalu funkce klesá.
b V bodech, kde je funkce definovaná a mění se zde monotónnost, má funkcelokální extrém. Změna + na − je maximum. Změna − na + je minimum.
b Když má funkce v bodě x0 extrém, jeho souřadnice na funkci jsou [x0, f (x0)].Tedy y-ovou souřadnici vypočítáme dosazením x0 do předpisu funkce,čímž vypočítáme funkční hodnotu v bodě x0.
MT – MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 8
Konvexnost, konkávnost. Inflexní body
DEFINICE (Konvexnost ∪, konkávnost ∩).Funkce f (x) má v bodě x0 derivaci. Pak je
• konvexní v bodě x0, jestliže pro všechna x z ryzího okolí bodu x0 leží graffunkce f (x) nad tečnou sestrojenou ke grafu funkce f (x) v bodě x0. Tedy
f (x) > f ′(x0) · (x− x0) + f (x0)
• konkávní v bodě x0, jestliže pro všechna x z ryzího okolí bodu x0 leží graffunkce f (x) pod tečnou sestrojenou ke grafu funkce f (x) v bodě x0. Tedy
f (x) < f ′(x0) · (x− x0) + f (x0)
x
y
0
x0
f(x)
x
y
0
x0
f(x)
x
y
0
x0
f(x)
x
y
0
x0
f(x)
MT – MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 9
• konvexní (konkávní) na otevřeném intervalu, jestliže je konvexní (kon-kávní) v každém jeho bodě
VĚTA (Vztah konvexnosti a konkávnosti s druhou derivací v bodě x0)Nechť má funkce f (x) druhou derivaci v bodě x0. Je-li
• f ′′(x0) > 0, pak je funkce f (x) konvexní v bodě x0
• f ′′(x0) < 0, pak je funkce f (x) konkávní v bodě x0
VĚTA (Vztah konvexnosti a konkávnosti s druhou derivací na intervalu)Nechť má funkce f (x) druhou derivaci na otevřeném intervalu. Je-li
• f ′′(x) > 0 pro každé x z intervalu, pak je funkce f (x) konvexní na inter-valu
• f ′′(x) < 0 pro každé x z intervalu, pak je funkce f (x) konkávní na inter-valu
MT – MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 10
DEFINICE (Inflexní bod)Bod x0 na funkci, ve kterém existuje ke grafu funkce právě jedna tečna a graffunkce v něm přechází z konvexity do konkávity (nebo naopak), tj. z jednéstrany tečny na druhou, se nazývá inflexní bod.
Funkce f (x) může mít inflexní bod v takovém bodě x0, kde※ f ′′(x0) = 0
x
y
0
x0
f(x)
x
y
0
x0
f(x)
※ f ′′(x0) neexistuje
x
y
0
x0
f(x)
MT – MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 11
Postup při zjišťování konvexnosti, konkávnosti a inflexních bodů funkce f (x)
b Vypočítáme druhou derivaci funkce
y′′ = f ′′(x)
b Vypočítáme, v jakých bodech je druhá derivace rovna nule.(Jsou to body, kde se může měnit konvexnost na konkávnost (nebo nao-pak), tedy zde funkce může mít inflexní bod.)
y′′ = 0
Pokud jey′′ = zlomek,
vypočítáme i nulové body jmenovatele, jelikož znaménko zlomku závisí ina znaménku jmenovatele!!!
b Vypočítáme, v jakých bodech funkce není definovaná.(Jsou to body, kde se může měnit konvexnost na konkávnost (nebo nao-pak).)
MT – MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 12
b Nalezené body vyznačíme na číselné ose. (Body, kde f (x) není definovanábudou v prázdném kolečku.) Získáme tak několik intervalů.Z každého intervalu si zvolíme libovolný bod a dosadíme dodruhé derivace.Když vyjde kladné číslo, v celém intervalu je funkce konvexní, kdyžvyjde záporné číslo, v celém intervalu je funkce konkávní.
b V bodech, kde je funkce definovaná a mění se zde konvexnost na konkávnost(nebo naopak), má funkce inflexní bod.
b Když je x0 inflexní bod funkce, jeho souřadnice na funkci jsou [x0, f (x0)].Tedy y-ovou souřadnici vypočítáme dosazením x0 do předpisu funkce,čímž vypočítáme funkční hodnotu v bodě x0.
MT – MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 13
Asymptoty funkce
DEFINICE (Asymptota funkce).Asymptota funkce je přímka, ke které se funkce f (x) nekonečně blíží.
x
y
0
−∞ : y = 0
∞ : y = 0
x = 0
x
y
0
−∞ : y = 0
∞ : y = 0
x = 0
x
y
0 1
x = 0
x
y
0
1−∞ : y = 0
• se směrnicí - přímka, která je lineární funkce y = ax+b. Může být pouzev nevlastních bodech ±∞.
• bez směrnice - přímka kolmá na osu x, tedy to není funkce. Může býtpouze v bodech nespojitosti - většinou v bodech, kde funkce není defino-vaná.
MT – MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 14
VĚTA (Asymptota se směrnicí).Přímka, která je lineární funkce y = ax + b, je asymptota se směrnicí grafufunkce f (x) v ∞ nebo v −∞, právě když
a = limx→∞
f (x)
x∈ R, b = lim
x→∞(f (x)− a · x) ∈ R
nebo
a = limx→−∞
f (x)
x∈ R, b = lim
x→−∞(f (x)− a · x) ∈ R
VĚTA (Asymptota bez směrnice).Přímka x = x0, která je kolmá na osu x, je asymptota bez směrnice grafufunkce f (x), právě když v bodě x0, ve kterém f (x) není definovaná, nastanealespoň jeden z případů:
limx→x−0
f (x) = −∞, limx→x−0
f (x) = ∞, limx→x+0
f (x) = −∞, limx→x+0
f (x) = ∞
MT – MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 15
Průběh funkce
Ze zadaného předpisu funkce y = f (x) postupně počítáme různé vlastnostifunkce a na závěr nakreslíme její graf.
Postup při vyšetřování průběhu funkce y = f (x)
b Definiční obor
b Znaménko funkce, neboli kde je funkce nad osou x a kde je pod osou x,neboli kde je funkce kladná a kde záporná. Průsečíky s osou x a osou y
b Parita - sudá, lichá, ani jedno, obojí
b Monotónnost a lokální extrémy - pomocí první derivace
b Konvexnost, konkávnost a inflexní body - pomocí druhé derivace
b Asymptoty se směrnicí a bez směrnice - pomocí limit
b Graf
MT – MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 16
Příklad . Vyšetřete průběh funkce:
1. y = 3x− x3
Řešení. Postupně počítáme vlastnosti funkce a na závěr nakreslíme graf.
b Definiční obor: D(f ) = R
b Znaménko funkce (f (x) > 0 ⇒ kladná, f (x) < 0 ⇒ záporná):
3x− x3 > 0 3x− x3 < 0
x(3− x2) > 0 x(3− x2) < 0
x(√3− x)(
√3 + x) > 0 x(
√3− x)(
√3 + x) < 0
Nulové body: 0,√3,−
√3
0−√3
√3
−+−+
Kladná: (−∞,−√3) ∪ (0,
√3)
Záporná: (−√3, 0) ∪ (
√3,∞)
MT – MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 17
Průsečíky s osou x (y = 0), průsečík s osou y (x = 0):
y = 0 x = 0
0 = 3x− x3 y = 3 · 0− 03
0 = x(3− x2) y = 0
0 = x(√3− x)(
√3 + x)
S osou x: [0, 0], [√3, 0], [−
√3, 0]
S osou y: [0, 0]
b Parita - sudá (f (x) = f (−x)), lichá (f (x) = −f (−x)), ani jedno, obojí
f (x) = 3x− x3 f (x) = 3x− x3
f (−x) = 3(−x)− (−x)3 − [f (−x)] = −[
−3x + x3]
f (−x) = −3x− (−x3) = −3x + x3 −f (−x) = 3x− x3
f (x) 6= f (−x) f (x) = −f (−x)
Není sudá, je lichá.
MT – MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 18
b Monotónnost a lokální extrémy - pomocí první derivace
y′ = (3x− x3)′ = (3x)′ − (x3)′ = 3(x)′ − 3x2 = 3− 3x2
y′ = 0
3− 3x2 = 0
3(1− x2) = 0
3(1− x)(1 + x) = 0
Nulové body: 1,−1
−1 1 −− +
ցց ր
Roste: (−1, 1)Klesá: (−∞,−1) ∪ (1,∞)V bodě x = −1 je lokální minimum a v bodě x = 1 je lokální maximum.Lokální minimim: f (−1) = 3 · (−1)− (−1)3 = −2. Souřadnice [−1,−2].Lokální maximum: f (1) = 3 · 1− 13 = 2. Souřadnice [1, 2].
MT – MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 19
b Konvexnost, konkávnost a inflexní body - pomocí druhé derivace
y′′ = (3− 3x2)′ = (3)′ − (3x2)′ = 0− 3(x2)′ = −3 · 2x = −6x
y′′ = 0
−6x = 0
x = 0
Nulové body: 0
0+
∪−∩
Konvexní: (−∞, 0)Konkávní: (0,∞)
Inflexní bod je x = 0.Inflexní bod: f (0) = 3 · 0− 03 = 0. Souřadnice [0, 0].
MT – MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 20
b Asymptoty se směrnicí a bez směrnice - pomocí limit
• se směrnicí y = ax + b
∞ : a = limx→∞
f (x)
x= −∞ : a = lim
x→−∞f (x)
x=
= limx→∞
3x− x3
x= = lim
x→−∞3x− x3
x=
= limx→∞
−x3
x= = lim
x→−∞−x3
x=
= limx→∞
−x2 = −∞ = limx→−∞
−x2 = −∞
a /∈ R a /∈ R
Asymptota v ∞ neexistuje. Asymptota v −∞ neexistuje.
Ani v jednom případě nemá smysl počítat b.
MT – MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 21
• bez směrnice - hledáme v bodech, kde funkce f (x) není definovaná
Definiční obor funkce D(f ) = R. Nejsou body, kde bychom hledaliasymptotu. Asymptoty bez směrnice neexistují.
b Graf
−2
2
−1 1 x
y
0−√3
√3
MT – MATEMATIKA Užití derivací, průběh funkce 22
Cvičení 1 .1. y = x3 − 2x2 + x 2. y = x2+1
x 3. y = x2
x2−1
