35
Sveuˇ ciliˇ ste J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveuˇ ciliˇ sni nastavniˇ cki studij matematike i informatike Mirna Luˇ ci´ c Fourierovi redovi Diplomski rad Osijek, 2013.
Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku
Odjel za matematiku
Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike
Mirna Lucic
Fourierovi redovi
Diplomski rad
Osijek, 2013.
Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku
Odjel za matematiku
Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike
Mirna Lucic
Fourierovi redovi
Diplomski rad
Mentor: doc. dr. sc. Kresimir Burazin
Osijek, 2013.
SADRZAJ 3
Sadrzaj
1. Uvod 1
2. Fourierovi redovi 2
2.1. Povijest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1.1. J. B. Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2. Fourierovi redovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3. Uniformna konvergencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4. Konvergencija u srednjem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5. Fourierov red parnih i neparnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6. Kompleksni oblik Fourierovog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3. Primjena Fourierovih redova 26
3.1. Signalna analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2. Parcijalne diferencijalne jednadzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1
1. Uvod
Ovaj diplomski rad opisuje Fourierove redove i njihova svojstva, te je podijeljen na dva
dijela.
Prvi dio rada nesto je opsirniji od drugog dijela. Kroz povijesni dio opisana je
problematika koja je zaokupljala matematicare devetnaestog stoljeca i tvorila pocetke
Fourierove analize, te je u kratkim crtama opisan zivot i rad francuskog fizicara i
matematicara J. B. Fouriera. Osim toga, u ovom dijelu definirani su Fourierovi redovi,
Fourierov red parnih i neparnih funkcija, kao i kompleksni oblik Fourierovog reda.
Takoder su navedene osnovne definicije, te iskazi i dokazi teorema o konvergenciji,
uniformnoj konvergenciji te konvergenciji u srednjem.
Drugi dio rada prikazuje neke od primjena Fourierovih redova. U ovom dijelu
objasnjena je primjena Fourierovih redova u signalnoj analizi. Jedna od glavnih zadaca
signalne analize jest eliminacija visokofrekventnih zvukova, a jedan pristup u rjesavanju
tog problema sastoji se u prikazu funkcije f u obliku Fourierovog reda tako da vi-
sokofrekventni koeficijenti ak i bk, za velike k, budu jednaki nuli. Osim toga, u ovom
je dijelu objasnjena i primjena Fourierovih redova pri rjesavanju jednadzbe provodenja
topline, gdje mozemo vidjeti da se Fourierovi redovi primjenjuju i za pronalazenje
rjesenja parcijalnih diferencijalnih jednadzbi.
2
2. Fourierovi redovi
2.1. Povijest
Trigonometrijski razvoji funkcija prvi se put spominju pocetkom osamnaestog stoljeca
kod titranja i slicnih fizikalnih pojava, ali sve do pocetka devetnaestog stoljeca nisu bili
sistematicno proucavani.
Godine 1807. francuski fizicar i matematicar J. B. Fourier je tvrdio da se svaka
funkcija na ogranicenom intervalu moze prikazati u obliku trigonometrijskog reda.
Iako su redove slicnih oblika promatrali i njegovi veliki prethodnici poput Bernoul-
lija, D’Alemberta i Eulera, Fourierova metoda je bila toliko napredna da je trebalo
proci jos petnaest godina dok ne bude priznata od autoriteta njegovog doba, Laplacea,
Poissona i Lagrangea. Oni su opravdano zamjerali Fourieru nedostatak matematicke
strogosti, jer su neke njegove tvrdnje bile pogresne.
Fourier je konacno 1822. godine objavio svoj rad pod naslovom Theorie Analytique de
la Chaleur (Analiticka teorija topline) u kojem analizira problem sirenja topline, opisan
parcijalnim diferencijalnim jednadzbama i koristi svoj revolucionarni nacin prikazivanja
funkcija kako bi rijesio taj problem.
Matematicku strogost Fourierovom radu dali su kasnije Dirichlet i Riemann.
2.1.1. J. B. Fourier
Jean Baptiste Joseph Fourier roden je 21. ozujka 1768. godine u Auxerre-u u Fran-
cuskoj. U osmoj godini zivota ostao je bez oba roditelja te je odrastao u samostanu
Sv. Marka u Auxerre-u. Iako se skolovao za svecenika, njegov zivot krenuo je u smjeru
znanosti i politike. Vrlo mlad postao je ucitelj matematike u vojnoj skoli u Auxerre-u,
a godine 1798. poslan je u Egipat sa 165 ucenjaka u Napoleonovu znanstvenu ekspedi-
ciju usavrsavanja obrazovanja. Ubrzo je preuzeo administrativne duznosti kao tajnik
instituta u Egiptu, a 1801. godine Napoleon ga je stavio u sluzbu prefekta podrucja Is-
ere. Za vrijeme njegovog boravka u Egiptu, zajedno sa engleskim fizicarem Thomasom
Youngom dijelio je interes za egiptologiju, te je kasnije Young koristio Fourierovu anal-
izu u opticke svrhe. Fourier je tvrdio da se parne proizvoljne funkcije mogu predstaviti
pomocu jednostavnog analitickog izraza. Iako je ta ideja bila neprijateljski primljena
u redovima ondasnjih matematicara, kasnije je dokazano da je to bila sredisnja ideja
za mnoga otkrica u matematici i strojarstvu. Fourier je dosao do te ideje povezujuci
je s problemom protoka topline u krutim tijelima. Svoju teoriju o provodenju topline,
koja obuhvaca raspodjelu temperature u sinosoidnim komponentama, Fourier je sazeo
u svom clanku 1807. godine. Zbog sumnje u ispravnost takve tvrdnje, Lagrange i
3
Laplace su zadrzavali izdavanje clanka, no ipak institut je clanak predlozio za na-
gradu u matematici i nagrada je 1812. godine dodijeljena Fourieru. Fourier je izabran
za clana Academie des Sciences godine 1817. gdje je obavljao duznost tajnika na
matematickom odjelu. Ubrzo nakon toga, 1822. godine, objavljeno je njegovo ve-
liko djelo Theorie Analytique de la Chaleur (Analiticka teorija topline). Tijekom svog
zivota, baveci se matematikom, napisao je mnoge radove u kojima, izmedu ostalog,
objasnjava i rjesavanje parcijalnih diferencijalnih jednadzbi pomocu trigonometrijskih
redova. Zadnjih godina zivota nastavio je s matematickim istrazivanjem te napisao
i objavio clanke u primijenjenoj i teorijskoj matematici. Umro je 16. svibnja 1830.
godine u Parizu.
4
2.2. Fourierovi redovi
Periodicnost je pojava koju susrecemo na svakom koraku. Periodicne su mnoge prirodne
pojave, primjerice izmjena dana i noci ili izmjena godisnjih doba, pojava plime i os-
eke te mnoge druge. U ovom poglavlju obratit cemo paznju na periodicnost nekih
elementarnih funkcija. Najpoznatije periodicne funkcije su trigonometrijske funkcije.
Definicija 2.1 Za funkciju f : R→ R kazemo da je periodicna ukoliko postoji T > 0
takav da
f(x+ T ) = f(x)
za svaki x iz domene funkcije f .
Takva konstanta T naziva se period funkcije f .
Cesto je nuzno ili svrsishodno neku zadanu periodicnu funkciju f s periodom T tocno
ili samo priblizno predociti zbrojem trigonometrijskih funkcija u obliku
f(x) =a02
+ a1 cos(mx) + a2 cos(2mx) + · · ·+ an cos(nmx) + · · ·
+ b1 sin(mx) + b2 sin(2mx) + · · ·+ bn sin(nmx) + · · · .
Tada govorimo o Fourierovom razvoju.
Kako bismo razvili odgovarajucu periodicnu funkciju s periodom 2π u Fourierov red
potrebno je najprije izracunati koeficijente Fourierovog reda koje racunamo pomocu
sljedecih jednakosti:
(i)∫ π−π cos(kx) cos(nx)dx =
{0 , k 6= nπ , k = n
(ii)∫ π−π sin(kx) sin(nx)dx =
{0 , k 6= nπ , k = n
(iii)∫ π−π sin(kx) cos(nx)dx = 0
gdje su k, n ∈ N.
Gornje jednakosti lako se provjeravaju. Pokazimo da vrijedi jednakost (i).
Koristit cemo sljedecu formulu:
cos(ax) cos(bx) =1
2(cos(a− b)x+ cos(a+ b)x)
Sada za k = n imamo:∫ π
−πcos2(kx) =
1
2
∫ π
−π[cos(k − k)x+ cos(k + k)x]dx
5
=1
2
∫ π
−π[1− cos(2kx)]dx
=1
2
∫ π
−πdx+
1
2
∫ π
−πcos(2kx)dx
=1
2(π + π) = π.
S druge strane za k 6= n imamo:
∫ π
−πcos(kx) cos(nx) =
1
2
∫ π
−π[cos(k − n)x+ cos(k + n)x]dx
=1
k − nsin(k − n)π +
1
k + nsin(k + n)π = 0.
Ostale jednakosti se dokazuju na slican nacin.
Formalna integracija reda ”clan po clan” omogucava jednostavan izvod formula
za izracunavanje koeficijenata reda. Trenutacno necemo ulaziti u pitanje pod kojim
uvjetima je takav postupak korektan, nego cemo naknadno dati uvjete na f pod kojima
formalno dobiveni red konvergira.
Pretpostavimo da je f(x) periodicna funkcija s periodom 2π koju mozemo prikazati
trigonometrijskim redom
f(x) ∼ 1
2a0 +
∞∑k=1
(ak cos(kx) + bk sin(kx)) (1)
gdje su a0, ak i bk koeficijenti reda za k ≥ 1.
a) Integriramo li red (1) clan po clan i uvazimo da je∫ π
−πsin(kx)dx =
∫ π
−πcos(kx)dx = 0,
dobivamo∫ π
−πf(x)dx =
a02
∫ π
−πdx = a0π, ili a0 =
1
π
∫ π
−πf(x)dx.
b) Pomnozimo li (1) s cos(nx), a zatim integriramo clan po clan i uvazimo (i) i (iii),
dobivamo ∫ π
−πf(x) cos(nx)dx = an
∫ π
−πcos2(nx)dx = anπ,
ili
an =1
π
∫ π
−πf(x) cos(nx)dx.
6
c) Pomnozimo li (1) sa sin(nx) i postupimo kao u b), dobivamo∫ π
−πf(x) sin(nx)dx = bn
∫ π
−πsin2(nx)dx = bnπ
ili
bn =1
π
∫ π
−πf(x) sin(nx)dx.
Brojevi a0, ak i bk definirani s
a0 =1
π
∫ π
−πf(x)dx
ak =1
π
∫ π
−πf(x) cos(kx)dx (2)
bk =1
π
∫ π
−πf(x) sin(kx)dx
nazivaju se Fourierovim koeficijentima, a pripadni red
1
2a0 +
∞∑k=1
(ak cos(kx) + bk sin(kx))
Fourierov red funkcije f .
Vidjeli smo da formule (2) vrijede za interval duljine 2π kada integriramo po grani-
cama intervala [−π, π]. Pokazimo da one vrijede i za bilo koji interval duljine 2π. Za
to ce nam biti potrebna sljedeca lema.
Lema 2.1 Neka je F periodicna funkcija s temeljnim periodom 2π te neka je c bilo
koji realan broj. Tada vrijedi∫ π+c−π+c F (x)dx =
∫ π−π F (x)dx.
Dokaz:
Uvedemo li supstituciju x = t− 2π imamo∫ −π+c−π
F (x)dx =
∫ π+c
π
F (t− 2π)dt =
∫ π+c
π
F (t)dt,
jer je F periodicna funkcija s periodom 2π.
Pretpostavimo da je c ≥ 0. Tada koristenjem prethodne jednakosti imamo da je∫ π+c
−π+cF (x)dx =
∫ −π−π+c
F (x)dx+
∫ π+c
−πF (x)dx
=
∫ π+c
−πF (x)dx−
∫ −π+c−π
F (x)dx
7
=
∫ π+c
−πF (x)dx−
∫ π+c
π
F (x)dx
=
∫ π
−πF (x)dx.
Dokaz za slucaj c < 0 provodi se na slican nacin. �
Primjenimo li Lemu 2.1 na funkcije F (x) = f(x) cosmx i F (x) = f(x) sin(nx),
zakljucujemo da formule (2) vrijede za bilo koji interval oblika [−π+ c, π+ c], odnosno
za bilo koji interval duljine 2π.
Funkcije takoder razvijamo u Fourierov red na bilo kojem simetricnom intervalu
[−L,L], L > 0. Neka je f zadana na [−L,L] i perioda 2L. Definiramo li
ϕ : [−π, π]→ [−L,L], koja je linearna i vrijedi ϕ(−π) = −L i ϕ(π) = L onda mozemo
izracunati funkciju g : [−π, π]→ R definiranu s g = f ◦ ϕ. Kako je ϕ linearna funkcija
koja glasi ϕ(x) = ax+ b, mozemo izracunati njezine koeficijente.
ϕ(x) = ax+ b
ϕ′(x) = a
(3)
Za x = −π imamo
ϕ(−π) = −aπ + b = −L,
a za x = π
ϕ(π) = aπ + b = L
iz cega slijedi a = L−bπ
. Nadalje dobivamo
−(L− b) + b = −L
−L+ b+ b = −L
b = 0
a =π
L
pa sada funkcija ϕ(x) glasi ϕ(x) = Lxπ
. Sada mozemo razviti funkciju g(x) u Fourierov
red, no prvo cemo izracunati njezine Fourierove koeficijente pa imamo
a0 =1
π
∫ π
−πg(x)dx
=1
π
∫ π
−π(f ◦ ϕ)(x)dx
=1
π
∫ π
−π(f(ϕ(x))dx
8
=1
π
∫ L
−Lf(y)
π
Ldy
=1
L
∫ L
−Lf(y)dy,
gdje smo uveli supstituciju y = ϕ(x), dy = ϕ′(x)dx = Lπdx, dx = π
Ldy s granicama
ϕ(−π) = −L i ϕ(π) = L. Izracunajmo koeficijent ak
ak =1
π
∫ π
−πg(x) cos(kx)dx
=1
π
∫ π
−π(f ◦ ϕ)(x) cos(kx)dx
=1
π
∫ π
−π(f(ϕ(x)) cos(kx)dx
=1
π
∫ L
−Lf(y) cos
(kπy
L
)π
Ldy
=1
L
∫ L
−Lf(y) cos
(kπy
L
)dy,
uz supstituciju y = ϕ(x) = Lxπ
, πy = Lx pa je x = πyL
s granicama kao i ranije
ϕ(−π) = −L i ϕ(π) = L. Na isti nacin dobijemo koeficijent bk
bk =1
π
∫ π
−πg(x) sin(kx)dx
=1
π
∫ π
−π(f ◦ ϕ)(x) sin(kx)dx
=1
L
∫ L
−Lf(y) sin
(kπy
L
)dy,
uz iste granice i supstituciju. Fourierov red funkcije g(x) sada glasi
g(x) ∼ a02
+∞∑k=1
(ak cos(kx) + bk sin(kx)) . (4)
Kako vrijedi g(x) = (f ◦ ϕ)(x) = f(ϕ(x)), a y = ϕ(x), dobivamo
f(y) = g(x) ∼ a02
+∞∑k=1
(ak cos(kx) + bk sin(kx))
=a02
+∞∑k=1
(ak cos
(kπy
L
)+ bk sin
(kπy
L
)).
Promijenimo li naziv varijable funkcije f u x imamo
f(x) ∼ a02
+∞∑k=1
(ak cos
(kπx
L
)+ bk sin
(kπx
L
)), (5)
9
s koeficijentima
a0 =1
L
∫ L
−Lf(x)dx
ak =1
L
∫ L
−Lf(x) cos
(kπx
L
)dx (6)
bk =1
L
∫ L
−Lf(x) sin
(kπx
L
)dx
Za svaku integrabilnu funkciju f na [−π, π], to jest za koju postoji∫ π−π f(x)dx,
mozemo uvrstavanjem u formule (2), odrediti Fourierove koeficijente, pa ako red kon-
vergira, onda dobivamo pridruzenje
x→ S(x) =a02
+∞∑k=1
(ak cos(kx) + bk sin(kx)).
Medutim, opcenito ne mozemo izjednaciti f(x) sa S(x), pa se postavlja pitanje pod
kojim uvjetima formalno dobiveni red predstavlja polaznu funkciju. Ogranicit cemo se
na klasu funkcija koja je dovoljno siroka za primjene, a ne odvodi nas daleko u teorijska
razmatranja.
Definicija 2.2 Za funkciju f : [a, b]→ R kazemo da je po dijelovima neprekidna
na [a, b], ako je neprekidna svugdje osim u konacno mnogo tocaka u kojima ima prekid
prve vrste. Nadalje, za po dijelovima neprekidnu funkciju f : [a, b] → R kazemo da je
po dijelovima glatka na [a, b], ako ima derivaciju f ′ definiranu i neprekidnu svuda
osim u konacno mnogo tocaka u kojima f ′ ima konacan lijevi i desni limes (u rubnim
tockama segmenta [a, b] pretpostavljamo da ima konacne limese).
Neka je funkcija f definirana u nekoj okolini (x0 − ε, x0 + ε), osim mozda u samoj
tocki x0. Funkcija f ima prekid prve vrste u tocki x0 ako su limesi slijeva i zdesna u
tocki x0 konacni i razliciti.
Dakle, za po dijelovima glatku funkciju f : [a, b]→ R imamo konacno tocaka
a = x0 < x1 < · · · < xn < xn+1 = b
u kojima f eventualno ima prekid dok f ′ nije definirana, ali postoje limesi slijeva i
zdesna funkcija f i f ′:
f(x0+), f ′(x0+), f(xn+1−), f ′(xn+1−)
10
f(xi+), f(xi−), f ′(xi+), f ′(xi−) za 1 ≤ i ≤ n (7)
Dokazimo sada sljedece svojstvo po dijelovima glatkih funkcija.
Lema 2.2 Ako je f : [a, b]→ R po dijelovima glatka, onda je
limα→∞
∫ b
a
f(x) sin(αx)dx = 0. (8)
Dokaz:
Rastavimo segment [a, b] na podsegmente [xi, xi+1] kao gore. Sada su f i f ′ neprekidne
na svakom intervalu (xi, xi+1), a zbog (7) mozemo restrikcije od f i f ′ na (xi, xi+1)
neprekidno prosiriti na segment [xi, xi+1], i = 0, 1, . . . , n (jer su rubne tocke uklonjivi
prekidi). Kako je ∫ b
a
f(x) sin(αx)dx =n∑i=0
∫ xi+1
xi
f(x) sin(αx)dx,
dovoljno je dokazati da je
limα→∞
∫ xi+1
xi
f(x) sin(αx)dx = 0, 0 ≤ i ≤ n.
Zbog neprekidnosti prosirenja od f i f ′ na [xi, xi+1] mozemo provesti parcijalnu inte-
graciju, pa dobivamo∫ xi+1
xi
f(x) sin(αx)dx = −f(x) cos(αx)
α
∣∣∣∣xi+1−0
xi+0
+1
α
∫ xi+1
xi
f ′(x) cos(αx)dx.
Kako su f i f ′ neprekidne na segmentu [xi, xi+1], vrijedi i da su omedene na [xi, xi+1],
pa postoje konstante M i M ′ takve da vrijedi
|f(x)| < M, |f ′(x)| < M ′,
za svaki x ∈ [xi, xi+1]. Sada dobivamo ocjenu integrala kao (ograda za cos(αx) je 1)∣∣∣∣∫ xi+1
xi
f(x) sin(αx)dx
∣∣∣∣ ≤ 2M
α+M ′(xi+1 − xi)
α,
iz koje za α→∞ slijedi tvrdnja leme. �
Teorem 2.1 Ako je f periodicna funkcija perioda 2π na R i po dijelovima glatka, onda
njen Fourierov red konvergira u svakoj tocki x pri cemu za sumu reda vrijedi:
1. S(x) = f(x), ako je f neprekidna u tocki x;
2. S(x) = f(x+)+f(x−)2
, ako je x ∈ (−π, π) tocka prekida;
11
3. Na krajevima intervala imamo:
S(−π) = S(π) =f(−π+) + f(π−)
2.
Dokaz:
Dokazimo da za n→∞ vrijedi
Sn(x)− f(x−) + f(x+)
2→ 0, (9)
gdje je
Sn(x) =a02
+n∑k=1
(ak cos(kx) + bk sin(kx))
n-ta parcijalna suma Fourierovog reda. Zbog (2) slijedi
Sn(x) =1
2π
∫ π
−πf(ξ)dξ +
1
π
n∑k=1
∫ π
−πf(ξ)[cos(kξ) cos(kx) + sin(kξ) sin(kx)]dξ
=1
π
∫ π
−πf(ξ)
[1
2+
n∑k=1
cos(k(ξ − x))
]dξ (10)
=1
π
∫ π−x
−π−xf(x+ z)
[1
2+
n∑k=1
cos(kz)
]dz.
gdje je provedena supstitucija z = ξ − x. Oznacimo faktor u uglatoj zagradi sa
σn(z) =1
2+
n∑k=1
cos(kz). (11)
Pomnozimo li (11) s 2 sin( z2), dobivamo
2σn(z) sin(z
2
)= sin
(z2
)+
n∑k=1
2 cos(kz) sin(z
2
)= sin
(z2
)+
n∑k=1
[sin
((k +
1
2
)z
)− sin
((k − 1
2
)z
)](12)
= sin
((n+
1
2
)z
).
Dakle
σn(z) =1
2+
n∑k=1
cos(kz) =sin((n+ 1
2
)z)
2 sin(z2
) (13)
gdje je 0 < z < δ, 0 < δ < π iz cega slijedi 0 < z < δ < π i 0 < z2< π
2sto povlaci da je
sin(z2
)6= 0, pa (13) uvrsteno u (10) daje
Sn(x) =1
π
∫ π−x
−π−xf(x+ z)
sin(n+ 1
2
)z
2 sin(z2
) dz
=1
π
∫ π
−πf(x+ z)
sin(n+ 1
2
)z
2 sin(z2
) dz. (14)
12
Ovaj izraz je dobiven koristenjem Leme 2.1. Integracijom izraza (13) dobivamo da je∫ π−π σn(z)dz = π iz cega slijedi
1
π
∫ π
−π
sin(n+ 1
2
)z
2 sin(z2
) dz = 1
odnosno, zbog parnosti integranda
1
π
∫ 0
−π
sin(n+ 1
2
)z
2 sin(z2
) dz =1
2,
1
π
∫ π
0
sin(n+ 1
2
)z
2 sin(z2
) dz =1
2. (15)
Pomnozimo li prvu jednakost od (15) s f(x−), a drugu s f(x+) i zatim zbrojimo,
imamo
1
2{f(x−) + f(x+)} =
1
π
∫ 0
−πf(x−)
sin(n+ 1
2
)z
2 sin(z2
) dz +
1
π
∫ π
0
f(x+)sin(n+ 1
2
)z
2 sin(z2
) dz. (16)
Sada (9) kao razlika (14) i (16) glasi
Sn(x)− f(x−) + f(x+)
2=
1
π
∫ 0
−π{f(x+ z)− f(x−)}
sin(n+ 1
2
)z
2 sin(z2
) dz +
1
π
∫ π
0
{f(x+ z)− f(x+)}sin(n+ 1
2
)z
2 sin(z2
) dz. (17)
Dovoljno je dokazati da integrali na desnoj strani u (17) teze k nuli za n→∞. Pogleda-
jmo drugi integral i oznacimo ga s In. Napisimo In kao
In =
∫ δ
0
+
∫ π
δ
= I ′n + I ′′n, 0 < δ < π
i ocijenimo I ′n i I ′′n. Neka je ε > 0, pokazimo da za prikladno odabrani δ vrijedi
|I ′n| < ε2
za sve n = 1, 2, . . . i |I ′′n| < ε2
za dovoljno velike n. Kako
f(x+ z)− f(x+)
z→ f ′(x+)
za z → 0+, za dovoljno malen δ > 0 vrijedi∣∣∣∣f(x+ z)− f(x+)
z
∣∣∣∣ < |f ′(x+)|+ 1
za sve 0 < z < δ. Nadalje, za z → 0 slijedi
z2
sin(z2
) → 1,
13
pa dakle za dovoljno malen δ > 0, 0 < z < δ, imamo
1 <z2
sin(z2
) < 2.
Kako je sinus funkcija ogranicena s 1, imamo sljedecu ocjenu za I ′n
|I ′n| ≤1
π
∫ δ
0
∣∣∣∣f(x+ z)− f(x+)
z
∣∣∣∣∣∣∣∣ z2
sin(z2
)∣∣∣∣∣∣∣∣ sin(n+1
2
)z
∣∣∣∣dz≤ 1
π
∫ δ
0
{|f ′(x+)|+ 1}2dz =2δ
π{|f ′(x+)|+ 1}.
Odaberemo li δ > 0 dovoljno malen, tako da osim gore spomenutih nejednakosti vrijedi
i2δ
π{|f ′(x+)|+ 1} < ε
2,
dobivamo
|I ′n| <ε
2za sve n = 1, 2, . . . .
Za tako odabrani δ ocijenimo sada |I ′′n|. Zapisimo ga u obliku
I ′′n =1
π
∫ π
δ
f(x+ z)− f(x−)
2 sin(z2
) sin
(n+
1
2
)zdz.
Prvi faktor integranda je po dijelovima glatka funkcija na [δ, π], za svaki δ > 0 (nazivnik
razlicit od nule na tom segmentu). Prema Lemi 2.2. I ′′n → 0 za n→∞, pa dakle postoji
N(ε2
)takav da n > N
(ε2
)povlaci
|I ′′n| <ε
2.
Time smo ocijenili In, jer vrijedi
|In| ≤ |I ′n|+ |I ′′n| <ε
2+ε
2= ε.
Kako za prvi integral od (17) vrijedi analogna ocjena, time smo dokazali (9), to jest s
n→∞Sn(x)− f(x−) + f(x+)
2→ 0.
Iz dokazanog slijedi tvrdnja teorema. U prvom redu time smo vidjeli da red konvergira u
svakoj tocki x ∈ [−π, π]. Nadalje, u tockama u kojima je f neprekidna imamo f(x−) =
f(x+) = f(x), pa imamo Sn(x) → f(x), odnosno S(x) = f(x) sto je tvrdnja (1). Iz
izraza (9) vidimo da mora biti S(−π) = S(π), sto je prema (9) jednako aritmetickoj
sredini desnog limesa f(−π+) u lijevom rubu i lijevog limesa f(π−) u desnom rubu
14
funkcije f . Time je dokazan Teorem 2.1. �
Vidimo da je
f(x) = S(x) =a02
+∞∑k=1
(ak cos(kx) + bk sin(kx))
za sve x ∈ [−π, π] osim mozda konacno tocaka, pa kazemo da je funkcija f razvijena
u Fourierov red.
2.3. Uniformna konvergencija
Ovdje cemo promatrati uniformnu konvergenciju Fourierovog reda. Prisjetimo se, niz
funkcija Fn(x) konvergira uniformno prema funkciji F (x) ako za svaki ε > 0 postoji
prirodan broj n koji ne ovisi o x, takav da je |Fn(x)− F (x)| < ε za sve x i za n ≥ n0.
Kazemo da Fourierov red funkcije f konvergira uniformno prema f(x) ako niz parci-
jalnih suma
Sn(x) =a02
+n∑k=1
(ak cos(kx) + bk sin(kx))
konvergira uniformno prema f(x) kada n→∞.
Iskazimo sada teorem o uniformnoj konvergenciji Fourierovog reda na intervalu [−π, π].
Teorem takoder vrijedi ukoliko interval [−π, π] zamijenimo s intervalom [−L,L], gdje
je L bilo koji pozitivan realan broj.
Teorem 2.2 Fourierov red po dijelovima glatke periodicne funkcije f , temeljnog peri-
oda 2π, konvergira uniformno prema f(x) na intervalu [−π, π].
Dokaz:
Dokazimo Teorem 2.2 (vidi [7, str. 50]) u slucaju kada je funkcija f dvaput deriv-
abilna na cijelom R. Na samom pocetku nadimo vezu izmedu Fourierovih koeficijenata
funkcija f i f ′′. Preciznije, ako je
f(x) =∞∑k=1
(ak cos(kx) + bk sin(kx))
i
f ′′(x) =∞∑k=1
(a′′k cos(kx) + b′′k sin(kx))
onda je
ak =a′′kk2
(18)
i
bk =b′′kk2. (19)
15
Pokazimo relaciju (18). Naime, primjenom formule za parcijalnu integraciju imamo
redom
ak =1
π
∫ π
−πf(x) cos(kx)dx
= f(x)sin(kx)
k
∣∣∣∣π−π− 1
π
∫ π
−πf ′(x)
sin(kx)
kdx.
Prvi clan na desnoj strani prethodne relacije je jednak nuli zato jer je
sin(kπ) = sin(−kπ) = 0. Drugi clan na desnoj strani jednak je − b′kk
, gdje je b′k Fourierov
koeficijent od f ′ uz sinus funkciju. Primijenimo li jos jednom parcijalnu integraciju
(u = f ′ i dv = sin(kx)k
) dobivamo da je
ak =1
k2π
∫ π
−πf ′′(x) cos(kx)dx,
cime je dokazana relacija (18). Relaciju (19) dokazujemo na isti nacin. Sada, ako je
funkcija f ′′ neprekidna, onda su koeficijenti a′′k i b′′k ograniceni nekim dovoljno velikim
brojem M . Zapravo, zbog Leme 2.2., nizovi a′′k i b′′k teze k nuli kada k → ∞. Stoga,
zbog relacija (18) i (19) vrijedi
∞∑k=1
|ak|+ |bk| =∞∑k=1
|a′′k|+ |b′′k|k2
≤∞∑k=1
M +M
k2.
Konacno, kako red∑∞
k=11k2
konvergira, prema kriteriju usporedivanja slijedi da red∑∞k=1 |ak| + |bk| takoder konvergira, pa ce dokaz Teorema 2.2 biti posljedica sljedece
tvrdnje:
Neka je
f(x) =1
2a0 +
∞∑k=1
(ak cos(kx) + bk sin(kx)),
pri cemu je∞∑k=1
|ak|+ |bk| <∞.
Tada Fourierov red konvergira uniformno i apsolutno ka funkciji f(x).
Kako bismo pokazali da vrijedi prethodna tvrdnja krenimo od sljedece ocjene
|ak cos(kx) + bk sin(kx)| ≤ |ak|+ |bk|, (20)
koja vrijedi zbog | sin t| ≤ 1 i | cos t| ≤ 1. Zbog toga je brzina konvergencije Fourierovog
reda od f u tocki x ogranicena brzinom konvergencije reda∑∞k=1 |ak|+ |bk|. Preciznije, neka je
Sn(x) =a02
+n∑k=1
(ak cos(kx) + bk sin(kx)).
16
Tada je
f(x)− Sn(x) =a02
+∞∑k=1
(ak cos(kx) + bk sin(kx))
−
[a02
+n∑k=1
(ak cos(kx) + bk sin(kx))
]
=∞∑
k=n+1
(ak cos(kx) + bk sin(kx)).
Sada, zbog (20) vrijedi sljedeca uniformna ocjena
|f(x)− Sn(x)| ≤∞∑
k=n+1
|ak|+ |bk|, (21)
koja vrijedi za sve x ∈ R. Nadalje, kako red∑∞
k=1 |ak|+|bk| konvergira po pretpostavci,
ostatak tog reda moze se uciniti po volji malenim, uz odabir dovoljno velikog broja n.
Drugim rijecima, za dani ε > 0, postoji prirodan broj n0 takav da za n > n0 vrijedi∑∞k=n+1 |ak|+ |bk| < ε. Prema tome, zbog ocjene (21) vrijedi da je
|f(x)− Sn(x)| < ε
za sve n > n0 i za sve x ∈ R. Uocimo kako broj n ne ovisi o x, nego samo o brzini
konvergencije reda∑∞
k=1 |ak|+|bk|. Dakle, konvergencija reda Sn(x) je uniformna, cime
je dokazana dana tvrdnja, pa prema tome i Teorem 2.2. �
2.4. Konvergencija u srednjem
Ranije smo vidjeli da Fourierov red funkcije f u tocki x ne konvergira ka vrijednosti
f(x) ukoliko f ima prekid u tocki x, nego k aritmetickoj sredini limesa slijeva i zdesna
te funkcije u tocki x. U slucajevima kad Fourierov red ne konvergira uniformno ili po
tockama, on jos uvijek moze konvergirati u nesto slabijem smislu, kao sto je konver-
gencija u L2, odnosno konvergencija u srednjem.
Promatrat cemo prostor L2[−L,L] koji se sastoji od kvadratno integrabilnih funkcija,
odnosno funkcija f takvih da je∫ L−L |f(x)|2dx <∞. Odmah istaknimo da nejednakost
|f(x)| ≤ 1 + f(x)2
2
povlaci da je svaka kvadratno integrabilna funkcija ujedno i integrabilna. Nadalje iz
nejednakosti
|f(x)g(x)| ≤ f(x)2 + g(x)2
2
17
slijedi da je produkt dviju kvadratno integrabilnih funkcija integrabilna funkcija. Takoder,
iz (f ± g)2 = f 2± 2fg+ g2 slijedi da ako su f, g ∈ L2[−L,L], onda im je zbroj i razlika
u L2[−L,L]. Kako je osim toga za f ∈ L2[−L,L] i kf ∈ L2[−L,L] za svaku konstantu,
zakljucujemo da je L2[−L,L] vektorski prostor.
Za potrebe daljnjeg racunanja cemo izraz
(f, g) =
∫ L
−Lf(x)g(x)dx (22)
nazvati skalarni produkt od f i g, pri cemu su f, g ∈ L2[−L,L].
Sada necemo provjeravati da je s (22) definiran skalarni produkt. Odredena poteskoca
pojavljuje se kod dokazivanja svojstva pozitivna definitnost (zahtjeva da (f, f) bude
nula ako i samo ako je f nul-element vektorskog prostora). Nul-element svakog vek-
torskog prostora je jedinstveno odreden. Medutim,∫ L−L f(x)2dx je jednako nuli za cijelu
klasu funkcija, a ne samo za nul-funkciju. Na primjer, L-integral je nula za kvadrat
svake funkcije koja od nule odstupa u konacno tocaka iz [−L,L]. Ustvari, za elemente
prostora L2[−L,L] se uzimaju snopovi funkcija: element od L2[−L,L] je klasa svih
funkcija, koje od odredene funkcije odstupaju za funkciju s integralom kvadrata jed-
nakim nuli. Svaka funkcija iz takvog snopa je ”predstavnik” cijele klase. Klase se
zbrajaju tako da se zbroje odgovarajuci predstavnici i nakon toga zbroj opet prosiri do
klase, koja je element prostora L2[−L,L]. Prakticki se ipak racuna s pojedinim funkci-
jama, znajuci da se funkcije mogu ”slijepiti” u klase, koje formalno zadovoljavaju sve
aksiome vektorskog prostora.
U skladu s tim, izraz
‖f‖ =√
(f, f) =
√∫ L
−Lf(x)2dx (23)
cemo zvati normom na L2[−L,L], a izraz
d(f, g) =
√∫ L
−L[f(x)− g(x)]2dx (24)
metrikom (udaljenosti) na skupu L2[−L,L].
Metrika (24) je prirodna metrika na skupu L2[−L,L]. Ako je g aproksimacija
funkcije f u L2[−L,L] u kojemu je udaljenost medu funkcijama dana s (24), onda za
g kazemo da je aproksimacija u smislu metrike L2.
Oznacimo s Xn skup svih trigonometrijskih polinoma oblika
Tn =α0
2+
n∑k=1
(αk cos
(kπx
L
)+ βk sin
(kπx
L
)).
18
Fourierovi polinomi, tj. trigonometrijski polinomi oblika
Sn =a02
+n∑k=1
(ak cos
(kπx
L
)+ bk sin
(kπx
L
)),
gdje su ak, bk Fourierovi koeficijenti dani s (6), svakako su u Xn. Na Sn gledamo sada
kao na parcijalnu sumu Fourierova reda i aproksimaciju funkcije f koju smo razvili
u Fourierov red. Pokazimo sada da Fourierov polinom daje najbolju aproksimaciju
funkcije f medu svim polinomima u Xn. Dokaz cemo provesti tako da dokazemo da za
svaki Tn ∈ Xn vrijedi
d(f, Tn)2 ≥ d(f, Sn)2 (25)
odnosno
d(f, Tn) ≥ d(f, Sn),
iz cega vidimo da je Fourierov polinom najblize funkciji f , tj. da je najbolje aproksimira
u smislu L2 metrike. Za dokazivanje (25) izracunajmo d(f, Tn)2 i d(f, Sn)2.
d(f, Tn)2 =
∫ L
−L{f(x)− Tn(x)}2dx =
∫ L
−L{f 2(x)− 2f(x)Tn(x) + T 2
n(x)}dx
=
∫ L
−Lf 2(x)dx− 2
∫ L
−Lf(x)Tn(x)dx+
∫ L
−LT 2n(x)dx.
Srednji integral lako izracunamo∫ L
−Lf(x)Tn(x)dx = L
{1
2α20a
20 +
n∑k=1
αkak +n∑k=1
βkbk
}.
Uvrstimo li f = Tn, dobivamo∫ L
−LT 2n(x)dx = L
{1
2α20 +
n∑k=1
α2k +
n∑k=1
β2k
}.
Prema tome,
d(f, Tn)2 =
∫ L
−Lf(x)2dx− 2L
{1
2α20a
20 +
n∑k=1
αkak +n∑k=1
βkbk
}
+ L
{1
2α20 +
n∑k=1
α2k +
n∑k=1
β2k
}.
Uvrstimo li Sn u zadnji izraz, dobivamo
d(f, Sn)2 =
∫ L
−Lf(x)2dx− 2L
{1
2a20 +
n∑k=1
a2k +n∑k=1
b2k
}
+ L
{1
2a20 +
n∑k=1
a2k +n∑k=1
b2k
}
=
∫ L
−Lf(x)2dx− L
{1
2a20 +
n∑k=1
a2k +n∑k=1
b2k
}.
19
Sada lako izracunamo razliku
d(f, Tn)2 − d(f, Sn)2 = L
{1
2(α0 − a0)2 +
n∑k=1
(αk − ak)2 +n∑k=1
(βk − bk)2}≥ 0,
iz cega slijedi (25). Time smo odgovorili i na pitanje kakvu aproksimaciju dobivamo
pomocu Fourierovih polinoma.
Kod ocjene aproksimacije funkcije f funkcijom g u L2 metrici treba imati u vidu
da je d(f, g)2 dan kao integral kvadrata odstupanja (razlike), pa unatoc tome sto je
aproksimacija dobra, tj. d(f, g)2 maleno, u [a,b] mogu postojati tocke u kojima je
apsolutna razlika funkcijskih vrijednosti |f(x)− g(x)| velika. Medutim, ako je d(f, g)2
maleno, onda to znaci da je ”mrsav” skup tocaka u kojima je |f(x)−g(x)| veliko, tj. taj
skup ima malu mjeru (duljinu). Ako mislimo na aproksimacju po dijelovima glatkih
funkcija (Teorem 2.1), onda se velika odstupanja funkcijskih vrijednosti dogadaju u
malim okolinama tocaka prekida.
Prema gornjem izvodu vidimo da za svaki n vrijedi
infTn∈Xn
d(f, Tn)2 = d(f, Sn)2 =
∫ L
−Lf(x)2dx− L
{1
2a20 +
n∑k=1
a2k +n∑k=1
b2k
},
a ta formula moze posluziti za ocjenu aproksimacije. Kako je izraz na desnoj strani
≥ 0, dobivamo nejednakost
1
2a20 +
n∑k=1
a2k +n∑k=1
b2k ≤1
L
∫ L
−Lf(x)2dx,
sto prijelazom na limes po n daje
1
2a20 +
∞∑k=1
a2k +∞∑k=1
b2k ≤1
L
∫ L
−Lf(x)2dx. (26)
Nejednakost (26) zove se Besselova nejednakost. U stvari, moze se dokazati da u
(26) vrijedi znak jednakosti za svaki f ∈ L2[−L,L]. Ta jednakost glasi
1
2a20 +
∞∑k=1
a2k +∞∑k=1
b2k =1
L
∫ L
−Lf(x)2dx, (27)
a zove se Parsevalova jednakost.
Glavni rezultat u ovoj tocki sadrzan je u sljedecem teoremu.
Teorem 2.3 Neka je f ∈ L2[−L,L], te neka je
fn(x) =a02
+n∑k=1
(ak cos(kx) + bk sin(kx)),
pri cemu su ak i bk Fourierovi koeficijenti funkcije f . Tada ‖fn − f‖L2 → 0 kada
n→∞.
20
Dokaz:
Dokaz Teorema 2.3 sastoji se od dva osnovna koraka. U prvom koraku treba pokazati
da se svaka funkcija u prostoru L2[−L,L] moze po volji dobro aproksimirati glatkom
periodicnom funkcijom g (s obzirom na L2 normu). U drugom koraku uniformno
aproksimiramo funkciju g s Fourierovim redom, odakle slijedi i L2 aproksimacija.
Prvi korak necemo dokazivati, ali cemo reci nesto o ideji dokaza. Opcenito, funkcija
na L2[−L,L] nije neprekidna. Cak i da jest neprekidna, njezino periodicko prosirenje
najcesce nije neprekidno. Dakle, ideja dokaza jest povezivanje neprekidnih komponenti
funkcije f pomocu glatke funkcije g. Kako je prosirenje od f periodicno, glatku funkciju
g takoder mozemo uciniti periodicnom funkcijom. Graf funkcije g se podudara s grafom
funkcije f svugdje osim na dijelovima izmedu neprekinutih komponenti periodickog
prosirenja od f . Horizontalna sirina tih dijelova moze se uciniti po volji malom, pa
glatka funkcija g dobro aproksimira funkciju f u L2 normi.
Slijedi da za svaki ε > 0 mozemo odabrati derivabilnu periodicnu funkciju g takvu da
je
‖f − g‖L2 < ε. (28)
Neka je
gn(x) =c02
+n∑k=1
(ck cos(kx) + dk sin(kx)),
pri cemu su ck i dk odgovarajuci Fourierovi koeficijenti funkcije g. Nadalje, kako je
funkcija g derivabilna i periodicna, mozemo je, zbog Teorema 2.2, uniformno aproksimi-
rati funkcijama gn. Preciznije, za dani ε > 0 mozemo odabrati n0 ∈ N takav da je
|g(x)− gn(x)| < ε za n > n0 i za sve x ∈ [−L,L]. Zbog toga vrijedi ocjena
‖g − gn‖2 =
∫ L
−L|g(x)− gn(x)|2dx ≤
∫ L
−Lε2dx = 2πε2,
za n > n0, odnosno korijenovanjem
‖g − gn‖ ≤√
2πε.
Nadalje, kombiniranjem te ocjene i relacije (28) dobivamo
‖f − gn‖ = ‖f − g + g − gn‖ ≤ ‖f − g‖+ ‖g − gn‖ < ε+√
2πε
za n > n0, pri cemu smo koristili nejednakost trokuta.
Vrijedi nejednakost
‖f − fn‖ ≤ ‖f − gn‖ < (1 +√
2π)ε za n > n0.
Konacno, kako je ε > 0 proizvoljan, slijedi da ‖fn − f‖ → 0 kada n → ∞, cime je
teorem dokazan. �
21
2.5. Fourierov red parnih i neparnih funkcija
Prisjetimo se da je funkcija f : R → R parna ako je f(−x) = f(x) za svaki x ∈ R, a
neparna ako je f(−x) = −f(x) za svaki x ∈ R.
Iz definicije parnosti, odnosno neparnosti, lako dobivamo svojstva umnoska dviju
funkcija s obzirom na parnost:
parna · parna=parna
parna · neparna=neparna
neparna · neparna=parna.
Na primjer, ako je f parna, a g neparna funkcija, onda je g(−x) · f(−x) = −g(x)f(x)
pa je fg neparna funkcija. Jos jedno svojstvo parnih i neparnih funkcija sadrzano je u
sljedecoj lemi.
Lema 2.3 Neka je L nenegativan realan broj.
• Ako je F parna funkcija, onda je∫ L−L F (x)dx = 2
∫ L0F (x)dx.
• Ako je F neparna funkcija, onda je∫ L−L F (x)dx = 0.
Dokaz:
Dokaz slijedi iz definicija parnosti i neparnosti funkcije.
Naime, za parnu funkciju vrijedi da je njezin graf simetrican s obzirom na os y pa slijedi∫ L
−LF (x)dx =
∫ 0
−LF (x)dx+
∫ L
0
F (x)dx
=
∫ L
0
F (x)dx+
∫ L
0
F (x)dx = 2
∫ L
0
F (x)dx.
Nadalje, kako je graf neparne funkcije simetrican s obzirom na ishodiste koordinatnog
sustava, imamo ∫ L
−LF (x)dx =
∫ 0
−LF (x)dx+
∫ L
0
F (x)dx
= −∫ L
0
F (x)dx+
∫ L
0
F (x)dx = 0.
�
Ukoliko Fourierov red neke funkcije sadrzi samo kosinus funkcije, onda je ocito ta
funkcija parna, zato jer je kosinus parna funkcija.
f(x) =∞∑k=1
cos(kx)
22
f(−x) =∞∑k=1
cos(k(−x)) =∞∑k=1
cos(kx) = f(x)
Pa kako je Fourierov red parna funkcija onda ne sadrzi sinus, zbog toga su Fourierovi
koeficijenti bk = 0 za svaki k ∈ N. Slicno, ako Fourierov red funkcije sadrzi samo
sinus funkcije, onda je ta funkcija neparna, zato jer je sinus neparna funkcija. Obrat
te tvrdnje takoder je istinit, tj. za L nenegativan realan broj vrijedi:
• Ako je f(x) parna funkcija, onda njezin Fourierov red na intervalu [−L,L] sadrzi
samo kosinus funkcije, odnosno
f(x) =a02
+∞∑k=1
(ak cos
kπx
L
),
gdje je
a0 =2
L
∫ L
0
f(x)dx i ak =2
L
∫ L
0
f(x) coskπx
Ldx, bk = 0.
• Ako je f(x) neparna funkcija, onda njezin Fourierov red na intervalu [−L,L]
sadrzi samo sinus funkcije, odnosno
f(x) =a02
+∞∑k=1
(bk sin
kπx
L
),
gdje je
bk =2
L
∫ L
0
f(x) sinkπx
Ldx.
Dokaz ovih tvrdnji slijedi iz Leme 2.3 i formula (5). Naime, ako je f parna funkcija,
onda je f(x) cos kπxL
parna funkcija, pa je integral te funkcije na intervalu [−L,L] jed-
nak dvostrukom integralu funkcije na intervalu [0, L]. Nadalje, f(x) sin kπxL
je neparna
funkcija pa je njezin integral na intervalu [−L,L] jednak nuli. Slicno se pokaze za
neparnu funkciju.
Primjer 2.1 Treba naci Fourierov red funkcije f(x) = x, −π ≤ x ≤ π.
Rjesenje:
Buduci da je f(x) neparna funkcija tada je ak = 0 za k ≥ 0. Obratimo pozornost na
koeficijente bk. Za svaki k ≥ 1 imamo
bk =1
π
∫ π
−πx sin(kx)dx =
1
π
[−x cos(kx)
k+
sin(kx)
k2
]π−π.
23
Pojednostavimo
bk = −2
kcos(kπ) =
2
k(−1)k+1.
Stoga f(x) = 2(
sinx− sin(2x)2
+ sin(3x)3· · ·)
.
24
2.6. Kompleksni oblik Fourierovog reda
Cesto je zgodnije Fourierov red funkcije izraziti pomocu kompleksnih eksponencijalnih
funkcija eikx, k ∈ Z.
Neka je funkcija f(x) definirana na intervalu [−π, π]. Koristeci dobro poznate Eu-
lerove formule
cosϕ =eiϕ + e−iϕ
2, sinϕ =
eiϕ − e−iϕ
2i
mozemo Fourierove redove funkcija zapisati u kompleksnom obliku
f(x) =a02
+∞∑k=1
(ak cos(kx) + bk sin(kx))
=a02
+∞∑k=1
(akeikx + e−ikx
2+ bk
eikx − e−ikx
2i· ii
)=
a02
+∞∑k=1
(akeikx + e−ikx
2− bk
ieikx − ie−ikx
2
)=
a02
+∞∑k=1
ak − ibk2
eikx +ak + ibk
2e−ikx
=a02
+∞∑k=1
ak − ibk2
eikx +∞∑k=1
ak + ibk2
e−ikx
= c0 +∞∑k=1
ckeikx +
∞∑k=1
c−ke−ikx
=∞∑
k=−∞
ckeikx.
Koristimo sljedece oznake:
c0 =a02, ck =
ak − ibk2
, c−k =ak + ibk
2.
Koeficijenti ck nazivaju se kompleksni Fourierovi koeficijenti. Definirani su formulom
ck =1
2π
∫ π
−πf(x)e−ikxdx, k = 0,±1,±2, . . . .
Kompleksni oblik Fourierovog reda je algebarski jednostavniji i vise simetrican. Zbog
toga se cesto koristi u fizici i drugim znanostima.
25
Primjer 2.2 Koristeci kompleksni oblik, pronadimo Fourierov red funkcije
f(x) =
{−1 , −π ≤ x ≤ 01 , 0 < x < π
.
Rjesenje:
c0 =1
2π
∫ π
−πf(x)dx
=1
2π
[∫ 0
−π(−1)dx+
∫ π
0
dx
]=
1
2π
[(−x)|0−π + x|π0
]=
1
2π(−π + π) = 0
ck =1
2π
∫ π
−πf(x)e−ikxdx
=1
2π
[∫ 0
−π(−1)e−ikxdx+
∫ π
0
e−ikxdx
]
=
∣∣∣∣∣∣t = −ikxdt = −ikdxdx = − 1
ikdt
∣∣∣∣∣∣ =1
2π
[∫ 0
ikπ
et
ik+
∫ −ikπ0
et
−ik
]
=1
2π
[1
iket|0ikπ −
1
iket|−ikπ0
]=
1
2π
[1
ik(1− eikπ)− 1
ik(e−ikπ − 1)
]=
1
2π· 1− eikπ − e−ikπ + 1
ik=
1
2π· 2− eikπ − e−ikπ
ik· ii
=i
2kπ
(eikπ + e−ikπ − 2
)=
i
kπ
(eikπ + e−ikπ
2− 1
)=
i
kπ(cos kπ − 1) =
i
kπ
[(−1)k − 1
]Ako je k = 2n, onda je c2n = 0.
Ako je k = 2n− 1, onda je c2n−1 = −2i(2n−1)π .
Dakle, Fourierov red funkcije u kompleksnom obliku glasi:
f(x) ∼ −2i
π
∞∑k=−∞
1
2k − 1ei(2k−1)π.
26
3. Primjena Fourierovih redova
3.1. Signalna analiza
Mnogo je prakticnih razloga zbog kojih funkciju prikazujemo u obliku trigonometrijske
sume. Ako je f(t) signal (na primjer, elektricni napon kao funkcija vremena ili zvuk
kojeg proizvodi neko glazbalo), onda prikaz funkcije f u obliku trigonometrijske sume
opisuje frekvenciju pribrojnika u toj sumi. Ovdje cemo nezavisnu varijablu oznacavati
slovom t (vrijeme) umjesto x. Sinusoida sin(kt) ima temeljni period 2πk
i frekvenciju k,
odnosno titra k puta na intervalu 0 ≤ t ≤ 2π. Na primjer, signal
2 sin t− 50 sin 3t+ 10 sin 200t
sadrzi pribrojnike s frekvencijama 1, 3 i 200. S obzirom na velicine koeficijenata koji
se nalaze ispred funkcije sinus, pribrojnik s koeficijentom 2 ima puno veci utjecaj od
preostalih dvaju pribrojnika. Te pribrojnike cemo zvati harmonicima.
Jedna od glavnih zadaca signalne analize jest eliminacija visokofrekventnih zvukova.
Jedan pristup u rjesavanju tog problema sastoji se u prikazu funkcije f u obliku sume
f(t) = a0 +∞∑k=1
(ak cos(kt) + bk sin(kt))
tako da visokofrekventni koeficijenti ak i bk, za velike k, budu jednaki nuli.
Drugi vazan zadatak signalne analize je sazimanje podataka. Tu je glavni cilj poslati
signal s najmanjim mogucim brojem podataka. Jedan pristup rjesavanja tog problema
opet se sastoji od prikaza signala u obliku Fourierovog reda, te slanja samo onih koefi-
cijenata ak i bk koji su veci od zadane tolerancije. Manji koeficijenti imaju prakticki
zanemariv utjecaj na funkciju, pa se mogu odbaciti.
27
3.2. Parcijalne diferencijalne jednadzbe
Fourierovi redovi se takoder koriste u parcijalnim diferencijalnim jednadzbama. Pro-
motrimo jednadzbu sirenja topline
ut(x, t) = uxx(x, t) t > 0, 0 ≤ x ≤ π
u(x, 0) = f(x) 0 ≤ x ≤ π
u(0, t) = A u(π, t) = B.
Rjesenje u(x, t) ove diferencijalne jednadzbe je temperatura stapa duljine π u tocki x
te u trenutku t. Pri tome je pocetna temperatura stapa (t=0) dana funkcijom f(x),
a krajevi stapa x = 0 i x = π drze se redom na konstantnim temperaturama A i B.
Rijesit cemo ovu parcijalnu diferencijalnu jednadzbu u slucaju kada je A = B = 0. Kao
sto cemo vidjeti u nastavku, kljucnu ulogu u rjesavanju te jednadzbe imat ce razvoj
funkcije u trigonometrijski red.
Kako bismo rijesili jednadzbu sirenja topline, koristimo metodu separacije varijabli,
odnosno rjesenje trazimo u obliku
u(x, t) = X(x)T (t),
gdje je T (t) funkcija vremena t ≥ 0 i X(x) funkcija polozaja x, 0 ≤ x ≤ π. Uvrstimo
li taj oblik u jednadzbu ut = uxx, dobivamo jednadzbu
X(x)T ′(t) = X ′′(x)T (t), odnosnoT ′(t)
T (t)=X ′′(x)
X(x).
Lijeva strana dobivene diferencijalne jednadzbe ovisi samo o varijabli t, dok desna
strana ovisi samo o x. Kako su x i t nezavisne varijable, zakljucujemo da obje strane
te jednadzbe moraju biti konstantne. Drugim rijecima,
T ′(t)
T (t)= c i
X ′′(x)
X(x)= c,
pri cemu je c konstanta. Iz jednadzbe T ′ = cT slijedi da je T (t) = Cect, za neku kon-
stantu C. Zbog fizikalnih razloga, konstanta c mora biti negativna jer bi u protivnom
funkcija |T (t)| odnosno temperatura |u(x, t)| tezila k beskonacnosti kad varijabla t tezi
u beskonacnost. Stoga pisemo c = −λ2 < 0 i imamo T (t) = Ce−λ2t. Diferencijalna
jednadzba za funkciju X postaje
X ′′(x) + λ2X(x) = 0, 0 ≤ x ≤ π, X(0) = X(π) = 0.
Prisjetimo se, to je linearna diferencijalna jednadzba drugog reda s konstantnim koefi-
cijentima. Pocetni uvjeti X(0) = X(π) = 0 slijede iz pretpostavke da je temperatura
28
u(x, t) = X(x)T (t) jednaka nuli za x = 0 i x = π. Rjesenje dobivene linearne diferen-
cijalne jednadzbe je
X(x) = a cos(λx) + b sin(λx).
Kako je X(0) = 0 dobivamo da je a = 0, dok granicni uvjet X(π) = 0 = b sin(λπ)
povlaci da je λ cijeli broj koji cemo oznaciti slovom k. Primijetimo da smo iskljucili
slucaj b = 0 jer bi u suprotnom funkcija X (pa prema tome i temperatura u) bila
jednaka nuli. To bi imalo smisla jedino u slucaju kad bi pocetna temperatura stapa,
f(x), bila jednaka nuli.
Dakle, iz prethodnih razmatranja zakljucujemo kako kod promatrane jednadzbe sirenja
topline parametar λ mora biti cijeli broj k. Stoga, imamo da je
Xk(x) = bk sin(kx) i Tk(t) = e−k2t, pa je za svaki cijeli broj k, funkcija
uk(x, t) = Xk(x)Tk(t) = bke−k2t sin(kx)
rjesenje jednadzbe sirenja topline uz pocetni uvjet u(0, t) = u(π, t) = 0. Jedini za-
htjev koji nismo iskoristili je pocetni uvjet u(x, 0) = f(x), kojeg mozemo iskoristiti
promatranjem sume rjesenja uk:
u(x, t) =∞∑k=1
uk(x, t)
=∞∑k=1
bke−k2t sin(kx). (29)
Uocimo kako je dobivena suma takoder rjesenje jednadzbe ut = uxx koja zadovoljava
pocetne uvjete u(0, t) = u(π, t) = 0. Prema tome, iskoristimo li uvjet u(x, 0) = f(x),
dobivamo
u(x, 0) =∞∑k=1
bk sin(kx) = f(x)
Dakle, bk su Fourierovi koeficijenti funkcije f prosirene po neparnosti s [0, π] na [−π, π].
Tako je
bk =2
π
∫ π
0
f(x) sin(kx)dx.
u(x, t) =∞∑k=1
bke−k2t sin(kx)
=∞∑k=1
(1
π
∫ π
−πf(x) sin(kx)dx
)e−k
2t sin(kx)
(30)
29
Literatura
[1] A.Vertblad, Fourier Analysis and Its Applications, Springer-Verlag, New York,
2003.
[2] C. Gasquet, P. Witomski, Fourier Analysis and Applications, Filtering, Numerical
Computation, Wavlets, Springer, New York, 1999.
[3] G. B. Folland, Fourier Analisys and Its Applications, American Mathematical
Soc., 1992.
[4] G. V. Milovanovic, R. Z. Dordevic, Matematicka analiza I, Nis, 2005.
[5] I. Ivansic,Fourierovi redovi, Diferencijalne jednadzbe, Odjel za matematiku,
Sveuciliste J.J.Strossmayera u Osijeku, Osijek, 2000.
[6] J. S. Walker, Fourier Series, Academic Press, University of Wisconsin-Eau Claire,
2006.
[7] N. Elezovic, Fourierov red i integral. Laplaceova transformacija, Element, Zagreb,
2010.
30
Sazetak
U ovom radu razmatra se problematika Fourierove analize, preciznije podrucje koje
proucava kako se funkcije realne varijable mogu prikazati pomocu periodicnih funkcija,
sinusa i kosinusa.
U prvom, glavnom, dijelu definirani su Fourierovi redovi, te su navedeni i primjeri
razvoja nekih funkcija u Fourierov red. Takoder je opisan Fourierov red parnih i
neparnih funkcija te je dan kompleksni oblik Fourierovog reda. U ovom dijelu navedeni
su i teoremi o konvergenciji Fourierovog reda.
U posljednjem poglavlju navedena su dva primjera primjene Fourierovog reda. Jedna
od primjena moze se vidjeti u signalnoj analizi, sto je i opisano u ovom dijelu diplom-
skog rada, a druga primjena ocituje se pri odredivanju rjesenja jednadzbe provodenja
topline.
Kljucne rijeci
periodicna funkcija, trigonometrijska funkcija, trigonometrijski Fourierov red, Fourierovi
koeficijenti, parcijalne diferencijalne jednadzbe
31
Summary
In this work we consider the problem of Fourier analysis, i. e. area that studies how
the functions of real variable can be displayed by means of periodic functions, sine and
cosine.
In the first, main section Fourier series are defined and examples of expansion of some
functions in Fourier series are given. Fourier series of odd and even functions are
described, and a complex form of Fourier series is given. In this section theorems on
the convergence of Fourier series are also listed.
In the last section, there are two examples of the application of the Fourier series. One
application can be seen in signal analysis, which is described in this part of the work,
and the other application is reflected in the determination of solutions to the equation
of the heat conduction.
Keywords
periodic function, trigonometric function, trigonometric Fourier series, Fourier coeffi-
cients, convergence, partial differential equations
32
Zivotopis
Mirna Lucic (rod. Brekalo) rodena je 07.05.1987. godine u Osijeku. Prva cetiri razreda
osnovne skole zavrsila je u Zagrebu, a od petog do osmog razreda pohadala je osnovnu
skolu u Dardi. Godine 2002. upisuje II. gimnaziju Osijek u Osijeku. Maturirala je
2006. godine, te je iste godine upisala Preddiplomski studij matematike na Odjelu za
matematiku Sveucilista J.J. Strossmayera u Osijeku. U VI. semestru prebacuje se na
Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike.
Uz studiranje trenirala je rukomet u Zenskom rukometnom klubu Darda u Dardi
te je bila dio fakultetskog sastava kojim je 2009. godine osvojila drugo mjesto na
sveucilisnom natjecanju. Aktivan je clan Opcinskog drustva Crvenog kriza Darda u
Dardi. Od 2006. godine dobivala je opcinsku stipendiju.
![Modernizace bakalářského programu Informační studia a ... · Bibliographic information organization in the Semantic web / Mirna Willer and Gordon Dunsire. [Cambridge] : Chandos,](https://static.dokumenty.site/doc/80x56/5faed169429841041630187c/modernizace-bakalskho-programu-informan-studia-a-bibliographic-information.jpg)
