116
1 Petra Klapková Dymešová – Ivo Volf NA ROZHRANÍ MEZI FYZIKOU A ZEMĚPISEM (Soubor fyzikálních úloh se zeměpisnou tématikou)
1
Petra Klapková Dymešová – Ivo Volf
NA ROZHRANÍ MEZI FYZIKOU A ZEMĚPISEM
(Soubor fyzikálních úloh se zeměpisnou tématikou)
2
OBSAH Měření poloměru Země .................................................................................................... 4
Měření kvadrantu zemského ............................................................................................. 7
Stanovení délky rovníku ................................................................................................... 8
Určení vzdálenosti dvou míst ........................................................................................... 9
Rybník Svět v Třeboni .................................................................................................... 10
Severní polární kruh ....................................................................................................... 11
Výpočet hmotnosti Země ............................................................................................... 13
Fotograf časopisu Vogue ................................................................................................ 15
Foucaultovo kyvadlo ...................................................................................................... 16
Slapové síly .................................................................................................................... 17
Gorges du Verdon ......................................................................................................... 19
Podmořské sluneční hodiny ............................................................................................ 20
Tíhové zrychlení ............................................................................................................. 21
Jezero Lac Léman ........................................................................................................... 23
Porovnání velikosti tíhové síly na rovníku a na pólu ..................................................... 24
Stavba kosmodromů ....................................................................................................... 25
Výpočet zrychlení způsobeného rotací Země ................................................................. 26
Nápis v poušti ................................................................................................................. 27
Vikingové ....................................................................................................................... 28
Cesty Vikingů ................................................................................................................. 30
Slapové jevy ................................................................................................................... 31
Teplo ze zemského nitra ................................................................................................. 32
Wilkinsův ledovec .......................................................................................................... 33
Sedm starověkých divů světa ......................................................................................... 34
Mořské větry ................................................................................................................... 35
Atmosférický tlak ........................................................................................................... 36
Magnetické pole Země ................................................................................................... 37
Zkreslení mapy ............................................................................................................... 38
Roztátí ledovců ............................................................................................................... 39
Pýtheás z Massalie .......................................................................................................... 40
Vlakové spojení Praha – Ostrava.................................................................................... 41
Přílivová elektrárna......................................................................................................... 42
Druţice Meteosat ............................................................................................................ 43
Messeturm ve Frankfurtu nad Mohanem ....................................................................... 45
Hod oštěpem ................................................................................................................... 46
Nejdeštivější místo na Zemi ........................................................................................... 47
Dopravní letadla ............................................................................................................. 48
Nejdelší silniční most světa ............................................................................................ 50
Zatmění Slunce ............................................................................................................... 51
Letíme na Mallorcu ........................................................................................................ 52
Honza cestovatel ............................................................................................................. 53
Tunguzská záhada........................................................................................................... 54
Lodí kolem ostrova Mallorca ......................................................................................... 56
Cestujeme po Mallorce ................................................................................................... 56
Nosiči ve Vysokých Tatrách .......................................................................................... 58
Severní pól ...................................................................................................................... 58
Plastický globus .............................................................................................................. 59
Měření na satelitních mapách ......................................................................................... 60
Sopka v souostroví Tonga .............................................................................................. 61
3
Povrch, objem a hustota Země ....................................................................................... 62
Ledovcová pokrývka Grónska ........................................................................................ 63
Jumbo Jet přistává .......................................................................................................... 65
Přehrada Tři soutěsky ..................................................................................................... 65
Let horkovzdušným balónem ......................................................................................... 66
Mnoţství sráţek .............................................................................................................. 67
Vzdálenosti ve vesmíru .................................................................................................. 68
Přelet Austrálie ............................................................................................................... 69
Obvod Země ................................................................................................................... 71
Plachetnicí na jiţní pól ................................................................................................... 72
Volvo Ocean Race .......................................................................................................... 73
Mohyla Silbury Hill ........................................................................................................ 74
Let z Moskvy do Vilniusu .............................................................................................. 74
Sluneční kámen .............................................................................................................. 76
Druţice s polární drahou letu.......................................................................................... 77
Odhad povrchové teploty na Zemi ................................................................................. 78
Slunce ............................................................................................................................. 79
Rozloha Antarktidy ........................................................................................................ 80
Kinetická energie rotačního pohybu Země ..................................................................... 81
Pravé poledne ................................................................................................................. 81
Saharský písek ................................................................................................................ 83
Rybník Roţmberk ........................................................................................................... 83
Londýnské kolo .............................................................................................................. 84
Hydroelektrárna na Volze ............................................................................................... 85
Ultralehké letadlo ........................................................................................................... 86
Druţice............................................................................................................................ 87
Pravidelný let z Londýna do Singapuru ......................................................................... 89
Kameraman na cestách ................................................................................................... 89
Ohřívání atmosféry ......................................................................................................... 91
Děti kapitána Granta ....................................................................................................... 92
Nedaleko severního pólu ................................................................................................ 93
Polárníci driftují na osamělé kře ..................................................................................... 94
Mapa Turecka ................................................................................................................. 95
Atmosférický tlak ........................................................................................................... 97
Práce s fotomapou .......................................................................................................... 98
Kolumbova první výprava .............................................................................................. 99
Elektrárna na vodopádech .............................................................................................. 99
Důl Mirnyj na Sibiři ..................................................................................................... 100
Rychlovlak v Číně ........................................................................................................ 101
Elektrárna v Bratsku ..................................................................................................... 101
Šerpové v Nepálu ......................................................................................................... 102
Vzletová rychlost letadla .............................................................................................. 103
Ledovce v Arktidě ........................................................................................................ 104
Pohyb těles kolem Země .............................................................................................. 105
Stoţárová anténa vysílače ............................................................................................. 106
Odpolední rychlíky ....................................................................................................... 107
Planety sluneční soustavy ............................................................................................. 109
Saturnův měsíc Titan .................................................................................................... 110
Trpasličí planety ........................................................................................................... 111
Sibiřské jezero Bajkal ................................................................................................... 112
4
Všem, které zajímají naše stránky http://cental.uhk.cz
Předkládáme vám novou sbírku úloh, která vznikla v rámci doktorské práce ve
studijním programu Specializace v pedagogice – Teorie vzdělávání ve fyzice.
Často se ţáci ve škole ptají, proč se některé věci musí učit, k čemu je to všechno dobré.
Odpověď učitelů bývá lakonická – přece se učíte pro ţivot. Ale v době školní docházky
neví ţák, kam ho „ţivot“ zanese, co bude v budoucnosti dělat, čemu se věnuje. A má se
učit pro budoucí ţivot hlavně důleţité poznatky nebo metody, jak se k novým
poznatkům dopracovat a jak je pouţívat při řešení problémů, s nimiţ se bude postupně
setkávat? Takové otázky dostává učitel např. v hodinách fyziky, pokud není fyzikální
učivo ve škole vykládáno v přímé souvislosti se ţivotem, který ţáka obklopuje, nebo
alespoň s problémy, které ho mohou zaujmout po stránce obsahové. Fyzika se můţe
ţákům zdát obtíţnou teoretickou disciplínou, plnou vzorců a grafů, kterým je těţko
porozumět a k nimţ nedostávají vţdy hned moţnost praktického vyuţití. Často se také
stává, ţe učitelé ţákům neřeknou zcela zřetelně, ţe ţivot kolem nás je velmi sloţitý a
komplikovaný a ţe popsat ho v úplnosti je pro ţáka základní nebo i střední školy zcela
nemoţné. V těchto případech sahá školní fyzika k postupu zvanému zjednodušování,
jehoţ výsledkem je potom vytvoření modelu reálné situace, v níţ lze problémy řešit také
zjednodušeným způsobem; získané řešení potom konfrontujeme zpět s realitou. To je
proces velmi sloţitý a dlouhodobý, který musejí ţáci zvládnout ne na základě jen
teoretického poučování, ale především během řešení mnoha reálných problémů
v konkrétních situacích. A právě odtud si odnášejí ţáci moţná ten nejdůleţitější
výsledek výuky fyziky – vytváření matematických a fyzikálních modelů, které slouţí
nejen ve fyzice, ale v přírodních vědách vůbec i v technice k vysvětlování jevů a dějů.
Tato sbírka úloh vychází z problematiky, která pravděpodobně zajímá většinu populace
– z geografických problémových situací. Mnoho jevů a dějů sami zeměpisci zařazují do
oblasti fyzické geografie, a je tedy zřejmé, ţe k jejich vysvětlení je nutno dobře ovládat
fyzikální poznatky i metody studia, případně i přístrojové vybavení, kterého se běţně
v praxi uţívá.
Naše sbírka tedy vyplňuje mezeru, která se často ve vzdělávání na základních i
středních školách objevuje – a to je vyuţití fyzikálních poznatků v disciplínách
zeměpisných a současně moţnosti aplikací tohoto poznání při řešení fyzikálních úloh se
zeměpisnou tematikou. Pro jsme ji nazvali Na rozhraní mezi fyzikou a zeměpisem.
Nedá se však číst jako zábavný příběh, i kdyţ takových příběhů zřejmě několik
obsahuje. Je nutno, abyste ji studovali s papírem a tuţkou, případně i s kalkulačkou, a
mnohdy s pouţitím atlasu či internetových zdrojů. Takţe: mnoho hezkých záţitků. Snad
dospějete ke stejnému závěru jako autoři, ţe nejen zeměpis, ale i fyzika je zajímavá (ale
to samozřejmě autoři vědí).
A u t o ř i
5
Měření poloměru Země
První měření rozměrů Země, které se dochovalo, vykonal
Eratosthenes z Kyrény (276-195 př. n. l.). Vyšel ze skutečnosti,
ţe v určitý den v roce svítí Slunce v egyptské Syeně (dnes
Asuán) po několik minut aţ na dno hluboké studně, tedy ţe
v Syeně dopadají sluneční paprsky kolmo na povrch Země. Je
tomu proto, ţe Syena leţí v blízkosti obratníku Raka. Dále zjistil,
ţe v Alexandrii, leţící na sever od Syeny, se odchylují v tutéţ Obr. č. 1
dobu sluneční paprsky od kolmice k povrchu Země, a pomocí stínu vrţeného svislou
tyčí stanovil, ţe se tato odchylka rovná jedné padesátině plného úhlu 360°. Tím určil
středový úhel průvodičů těchto dvou míst:
= 7251,02,750
360
rad. A tak k výpočtu poloměru Země stačilo znát vzdálenost
mezi Syenou a Alexandrií, kterou Eratosthenes odhadl podle doby cestování karavany
na 5 000 stadií, tj. 820 km. Po dosazení do vzorce
vypočetl, ţe délka poloměru Země je 6 523 km, coţ je v porovnání s dnes platnou
hodnotou RZ = 6 370 km překvapivá shoda, neboť se liší 2,4 %.
Obr. č. 2
Zadání úloh:
1. Na internetu s pomocí mapy GoggleEarth najdi zeměpisné souřadnice obou míst.
V Alexandrii zvol za výchozí bod Alexandrijskou knihovnu, v Syeně (dnes Asuánu)
s
r
6
libovolné místo leţící na obratníku Raka (obratník Raka leţí jiţněji neţ dnešní
Asuán).
2. Zapiš, ve který den v roce dopadají sluneční paprsky kolmo na zemský povrch na
obratníku Raka.
3. Zapiš, zda je moţné, aby v obou místech vrcholilo Slunce ve stejný okamţik. Pokud
ne, ve kterém z těchto míst nastává později poledne? Urči o kolik minut.
4. Podobně jako Eratosthenes urči vzdálenost obou míst a z rozdílu zeměpisných délek
vypočítej poloměr Země. K řešení pouţij satelitní mapu GoogleEarth.
5. Vypočítej, o kolik procent se tvůj výsledek liší od střední hodnoty 6 371 km.
6. Napiš, jaké nepřesnosti provázejí Eratosthenovo měření.
Řešení úloh:
1. Souřadnice Alexandrijské knihovny jsou 31°12′ s. š., 29°47′ v. d., libovolně zvolené
místo leţící na obratníku Raka poblíţ Asuánu 23°27′ s. š., 33°03′ v. d.
2. Je to v den letního slunovratu 20. anebo 21. června.
3. Slunce vrcholí ve stejný okamţik na stejném poledníku, jelikoţ daná místa neleţí na
stejném poledníku, ale rozdíl zeměpisných délek je přibliţně 3° (podle toho, jaké
místo zvolí ţáci v Asuánu), bude časový rozdíl přibliţně 12 minut (pokud budeme
uvaţovat střední sluneční den). Poledne nastane později v Alexandrii.
4. Pro zadaná dvě místa je naměřená vzdálenost 914 km. Rozdíl zeměpisných šířek je
7°45′ = 7,75°. Jednomu úhlovému stupni tak odpovídá 118 km, celá kruţnice má
délku 42 480 km. Vypočteme-li poloměr této kruţnice, získáme hodnotu 6 760 km.
5. Námi vypočtená hodnota je přibliţně o 6 % větší.
6. Poměrně velmi přesné stanovení poloměru Země Eratosthénem je do určité míry
výsledkem šťastných náhod. Náhodou je odhad vzdáleností pomocí délky putování
karavan a volba délky stadia. Stadion byl název řecké délkové jednotky, jejíţ délka
byla rovna délce tehdejší běţecké dráhy na olympijském stadionu, přičemţ
nejpouţívanější řecký stadion měřil 164 m, egyptský 157,7 m, ale také například
185 m, kdy poloměr Země vychází 7 306 km. Další nepřesnost je v úvaze, ţe na
obou místech nastává poledne ve stejný okamţik.
7
Měření kvadrantu zemského
V květnu 1790
přijalo Národní
shromáţdění Francie
dekret o reformě soustavy
měr, v březnu 1791 pak
také dekret, jímţ byl
schválen návrh skupiny
matematiků, aby za
jednotku délky byla
zvolena desetimilióntá
část kvadrantu zemského
poledníku. Aby bylo
moţné změřit délku
kvadrantu zemského,
bylo nutné co nejpřesněji Obr. č. 3
změřit alespoň oblouk části poledníku v dostatečně velkém rozsahu zeměpisných šířek.
Jako nejvhodnější byla zvolena část paříţského poledníku mezi Dunkerquem
a Barcelonou, která od sebe leţela v úhlové vzdálenosti 9°40′24,75″ obloukové míry.
Mezi těmito městy byla vytvořena triangulační síť ze 120 trojúhelníků. Triangulací bylo
zjištěno, ţe vzdálenost mezi městy Dunkerque a Barcelona měří 551 584,72 toise
(1 francouzský sáh = 1 toise = 1,949 m), a ţe tedy délka celého kvadrantu poledníku
měří 5 130 739,8 toise. Desetimilióntá část této délky, přibliţně 0,513 toise byla zvolena
za novou délkovou jednotku metr.
Zadání úloh:
1. Ověř výpočtem, zda je desetimilióntá část paříţského poledníku rovna délce 1 m.
2. Na vhodných internetových stránkách zjisti, jakou zeměpisnou délku určuje
Paříţský poledník.
3. V aplikaci GoogleEarth zvol libovolná dvě místa v oblasti měst Dunkerque
a Barcelona tak, aby leţela přesně na Paříţském poledníku, a zapiš jejich zeměpisné
souřadnice. Na mapce je příslušná část Paříţského poledníku zobrazena červeně
8
(v případě černobílého tisku se jedná o tmavou čáru v síti rovnoběţek a poledníků,
které jsou znázorněny bíle).
4. Změř vzdálenost mezi těmito místy. Z rozdílu zeměpisných šířek urči délku
kvadrantu Paříţského poledníku.
5. Najdi, jak je v současné době definována jednotka délky metr.
6. Zapiš, které další jednotky patří do soustavy jednotek SI.
Řešení úloh:
1. Při zaokrouhlení s přesností na desetitisíciny výsledek platí.
2. Paříţský poledník leţí 2°20′14″ východně od nultého poledníku.
3. Ve městě Dunkerque zvolíme například místo o souřadnicích 51°02′26″ s. š.,
2°20′14″ v. d., v okolí Barcelony pak 41°29′04″ s. š., 2°20′14″ v. d.
4. Vzdálenost těchto míst je 1 063 km. Rozdíl zeměpisných šířek je 9°33′22″ = 9,556°.
Délka kvadrantu je tedy 10 011,5 km = 10 011 500 m.
5. Jeden metr je délka dráhy, kterou urazí světlo ve vakuu za 1/299 792 458 sekundy.
6. Dalšími jednotkami soustavy SI jsou kilogram, sekunda, kelvin, mol, ampér a
kandela.
Stanovení délky rovníku
Průsečnice povrchu Země a rovin kolmých k ose
rotace se nazývají rovnoběţky. Mají různé poloměry a
délky, nejdelší rovnoběţka se nazývá rovník. Prochází
územím nebo teritoriálními vodami čtrnácti států, jeho
délka je přibliţně 40 075 km. Na obrázku je La Mitad
del Mundo, místo v Ekvádoru leţící blízko rovníku,
označované jako „střed světa.“
Zadání úloh:
1. Stanov délku rovníku. Pouţij vhodnou mapu z
Nového atlasu světa nebo ze Školního atlasu Obr. č. 4
světa.
9
2. Stanov délku rovníku z rozdílu zeměpisných délek dvou libovolných míst s nulovou
zeměpisnou šířkou. K řešení pouţij satelitní mapy volně dostupné na internetu.
Řešení úloh:
1. Ke stanovení délky rovníku musíme změřit vzdálenost dvou míst s nulovou
zeměpisnou šířkou. Pokud pouţijeme zeměpisný atlas, vybereme libovolný úsek
rovníku, v zeměpisné síti změříme vzdálenost dvou poledníků, které daný úsek
vymezují, a přepočítáme podle měřítka. Při pouţití Nového atlasu světa s měřítkem
mapy 1:4 500 000 vypočteme vzdálenost 39 690 km.
2. Z měření na mapě GoogleEarth vybereme například část rovníku procházející přes
Viktoriino jezero. Souřadnice jednoho břehu jsou 32°18′23,71″ v. d.; souřadnice
druhého břehu 33°59′54,21″ v. d.; naměřená vzdálenost 188 149 m.
Rozdíl v zeměpisných délkách je 6 090,5″ (1,69°). Úhlové vteřině odpovídá
vzdálenost 30,9 m, úhlovému stupni 111,24 km. Délka rovníku potom je 40 046 km,
coţ je v porovnání s udávanou hodnotou v literatuře 40 075 km velmi dobrá shoda.
(Jelikoţ jsou v těchto satelitních mapách vzdálenosti určené s přesností na setinu
úhlové vteřiny, je velikým „uměním“ umístit značku přesně na rovník.)
Určení vzdálenosti dvou míst
Zadání úlohy:
Určete vzdálenost
moldavského Kišiněva a
švýcarského Bernu. Řešte úlohu
třemi způsoby: nejprve pracujte
s tištěnou mapou v atlase světa, poté
řešte numerickým výpočtem a
nakonec výsledek ověřte pomocí
satelitní mapy na internetu. Při
výpočtu vyuţijte toho, ţe města leţí
přibliţně na stejné rovnoběţce.
Obr. č. 5
10
Řešení úlohy:
Nejprve zvolíme měření podle atlasu světa. Pouţijeme mapu v Novém atlase světa
s měřítkem 1:4 500 000. Vzdálenost naměřená na mapě je 35,5 cm, přepočteno na
skutečnou vzdálenost 1 598 km.
Další moţností je výpočet. Jelikoţ obě města leţí přibliţně na 47. rovnoběţce, určíme
hledanou vzdálenost z rozdílu zeměpisných délek: pro město Bern 7°26′ v. d. a Kišiněv
28°50′ v. d., rozdíl zeměpisných délek 21,6°. Délka 47. rovnoběţky je:
47cos2 Rd 27 300,5 km.
Na jeden úhlový stupeň tak připadá vzdálenost 75,83 km, na jednu úhlovou minutu
1,26 km. Rozdílu zeměpisných délek 21°24′ tedy odpovídá vypočtená vzdálenost
1 613 km.
Ověříme-li nyní vypočtenou vzdálenost na satelitní mapě, získáme údaj 1 621 km
(měřeno přibliţně od středu města). Naměřené vzdálenosti se liší z toho důvodu, ţe
měřená místa neleţí přesně na 47. rovnoběţce. Nejpřesnější vzdálenost získáme na
Google Earth, který pro měření vzdálenosti pouţívá ortodromu, coţ je průsečnice
povrchu Země a roviny, proloţené oběma uvaţovanými místy a středem Země.
Rybník Svět v Třeboni
Rybník Svět je sedmým největším rybníkem
Třeboňska. Na jeho hrázi si můţeme prohlédnout
sochu Jakuba Krčína z Jelčan a Sedlčan. Ten se
podílel na výstavbě rybníku na Třeboňsku, kromě
rybníku Svět, kvůli kterému nechal zbourat část
Třeboně, stavěl i největší rybník Roţmberk. Podle
vyprávění průvodce místem, na kterém stojí pomník,
prochází 49. rovnoběţka.
Zadání úloh:
1. Ověř na satelitní mapě, zda je tvrzení o poloze
pomníku správné. Obr. č. 6
2. Vypočítej délku 49. rovnoběţky.
11
Řešení úloh:
1. Socha leţí s přesností na úhlové minuty na 49. rovnoběţce.
2. K určení délky libovolné rovnoběţky je nutné znát její poloměr. K jeho výpočtu
musíme mít základní znalosti o goniometrických funkcích.
Vzhledem k tomu, ţe platí: cos Rr , kde R je
poloměr Země 6 371 km, je délka 49. rovnoběţky:
2622649cos22 Rrd km.
Obr. č. 7
Severní polární kruh
Zadání úloh:
1. Urči délku polárního kruhu
pomocí satelitní mapy. Vyber
si libovolná dvě místa na
něm leţící, z rozdílu
zeměpisných délek a
naměřené vzdálenosti obou
míst vypočítej délku této
rovnoběţky.
Obr. č. 8: Polární záře na polárním kruhu – Yukon, Kanada
2. Kriticky se zamysli nad zeměpisnou definicí severního polárního kruhu. Následující
definice byla převzata z české verze Wikipedie [2]: „Severní polární kruh je
myšlená kružnice, která protíná všechna nejjižnější místa na severní polokouli, z
nichž lze vidět po 24 hodin Slunce za letního slunovratu - tedy, kde Slunce za letního
slunovratu nezapadne za obzor, a na nichž Slunce za zimního slunovratu nevyjde
nad obzor“. Odpověz na následující otázky: Je severní polární kruh určen stejnou
zeměpisnou šířkou jako jiţní polární kruh? Je poloha polárních kruhů neměnná? Je
hranice polárního dne a polární noci stejná? Své tvrzení vysvětli, popřípadě podloţ
výpočtem.
12
Řešení úloh:
1. Pro určení délky polárního kruhu vybereme na satelitní mapě místo na břehu Ruska
(66°32′ s. š., 171°01′ z. d.) a Kanady
(66°32′ s. š.,164°38′ z. d.).
Rozdíl v zeměpisných délkách je 6°23′ = 6,38°, čemuţ odpovídá naměřená
vzdálenost 283,29 km. Na jeden stupeň zeměpisné délky tedy připadá vzdálenost
44,4 km. Pro délku polárního kruhu vychází vzdálenost 15 984 km.
Výsledek můţeme ověřit i známým výpočtem 923156́,3366cos2 Rd km.
2. Poloha polárních kruhů je určena sklonem zemské
osy k rovině ekliptiky. Musíme tedy brát v úvahu i
to, ţe poloha zemské osy není stálá, ale podléhá
díky gravitačnímu působení Slunce, Měsíce a
ostatních planet precesi a nutaci. Hranice polárního
dne a polární noci nemůţe být stejná z důvodu, ţe
Slunce osvětluje větší část Země neţ je její
polovina. Jde o tzv. astronomickou refrakci, kdy Obr. č. 9
při průchodu slunečních paprsků atmosférou dochází k jejich zakřivení vlivem
nehomogenity atmosféry. Úhel, pod nímţ dopadají sluneční paprsky na Zemi,
můţeme vyjádřit vztahem: d
RRtg ZS . (Následující obrázek není
v odpovídajícím měřítku.)
Obr. č. 10
Takto jednoduše by to platilo v případě, ţe by dopadaly sluneční paprsky přímo na pól.
My ale musíme vzít v úvahu nejen sklon zemské osy, ale i tvar Země, který není přesně
kulový. Vzdálenost d v předchozím vztahu je určena vzdáleností Země – Slunce.
V době letního slunovratu je 152 033 300 km, v době zimního slunovratu
13
147 168 100 km. Dodejme, ţe okamţik slunovratu se mění, přesné údaje lze nalézt na
internetu (lze použít odkaz: http://cs.wikipedia.org/wiki/Slunovrat).
Vypočítejme nyní, jaký vliv má změna vzdálenosti Země – Slunce na úhel dopadu
slunečních paprsků:
9259,0;300033152
3716000696tg pro zimní slunovrat,
5268,0;100168147
3716000696tg pro letní slunovrat.
Z těchto vypočtených hodnot můţeme přičtením či odečtením od hodnoty úhlu
66°33′38,59″ určit polohu hranice polárního dne a polární noci na severní a jiţní
polokouli. Zjistíme, ţe hranice polární noci leţí ve vyšší zeměpisné šířce neţ udávaných
66°33′, hranice polárního dne pak v niţší zeměpisné šířce. Toto tvrzení platí pro obě
polokoule. Z rozdílu zeměpisných šířek mezi hranicí polárního dne a noci, lze určit, ţe
obě hranice jsou od sebe vzdáleny přibliţně 60 km. Severní a jiţní polární kruh tak
nejsou na Zemi umístěny symetricky. Toto jsou však hranice určené matematicky.
Skutečně pozorovatelné hranice však budou jinde. Musíme vzít ještě v úvahu refrakci
světla v zemské atmosféře. V roce 2011 začal polární den na severním pólu jiţ
18. března, polární noc na jiţním pólu pak 23. března. Tady je vidět, ţe ne vţdy je
jednoduše vypadající zadání úlohy snadno a jednoznačně řešitelné.
Výpočet hmotnosti Země
V roce 1798 britský fyzik a chemik Henry Cavendish
vypočítal hmotnost Země. Pouţil k tomu torzní váhy, s jejichţ
pomocí změřil gravitační sílu působící mezi dvěma olověnými
koulemi. Současný odhad 2410973,5 kg se od jeho výpočtu liší
zhruba o 1 %. Hmotnost libovolné planety lze určit i výpočtem ze
známé doby oběhu jejího satelitu a poloměru oběţné dráhy tohoto
satelitu.
Zadání úloh: Obr. č. 11
1. Vypočítej hmotnost Země, znáš-li střední poloměr oběţné dráhy
Měsíce r = 384 400 km a dobu, za kterou Měsíc Zemi oběhne T = 27,32 d.
14
2. Vypočítej hmotnost Slunce. Planetu, jejíţ parametry pouţiješ k výpočtu, zvol
libovolně. Poloměry drah a oběţné doby planet najdeš na internetu nebo
v Matematicko-fyzikálních tabulkách.
3. Napiš, zda stejným způsobem můţeme určit hmotnost Měsíce.
Řešení úloh:
1. Uvaţujme řešení v neinerciální soustavě spojené s planetou. Země působí na Měsíc
gravitační silou o velikosti:
Zároveň na Měsíc působí při pohybu po kruţnici setrvačná odstředivá síla o
velikosti:
Setrvačnou odstředivou silou je síla gravitační, z čehoţ můţeme vyjádřit hmotnost
Země:
2. Podobně lze určit hmotnost Slunce ze známé periody oběhu Země a poloměru
oběţné dráhy. Vzdálenost Země – Slunce je přibliţně 11105,1 m, doba oběhu
365 dní 5 hodin 48 minut 45,6 sekund, coţ je 31 556 925 sekund. Po dosazení do
předcházejícího obecného vztahu dostaneme výsledek:
3. Výše uvedený postup lze pouţít pouze pro případ, ţe těleso o větší hmotnosti
povaţujeme za nehybné v dané inerciální soustavě a těleso o menší hmotnosti obíhá
kolem něho. Toto není tedy případ Měsíce, protoţe kolem něho neobíhá druţice.
K výpočtu lze však vyuţít informace o oběţném modulu Apollo 10, který v roce
.2r
MMF mz
g
.4
2
2
mMrT
F
kg.1003,6kg1067,64483602
00040043814,344 24
112
32
2
32
T
rM z
kg. 1001,2kg
1067,692555631
105,114,34 30
112
3112
M
15
1969 s trojčlennou posádkou obletěl více neţ třicetkrát Měsíc. Bliţší informace
mohou studenti dohledat na internetu.
Fotograf časopisu Vogue
Fotograf časopisu
Vogue letí pracovně na
ostrovy Fidţi, Tonga a
Samoa. Na ostrov Fidţi
přilétá z Austrálie, zdrţí se
zde pár dní, aby získal
fotografické snímky pro
kalendář a 15.10. v 9:00
odlétá z města Suva na
ostrově Viti Levu na ostrov
Tongatapu (souostroví
Tonga). Ve městě
Nuku´alofa se zdrţí pouze dvě Obr. č. 12
hodiny a pokračuje v cestě na ostrov Tutuila Island ze souostroví Americká Samoa, kde
přistane na letišti ve městě Pago Pago. Na mapce jsou všechna místa znázorněna.
Zadání úloh:
1. Pomocí atlasu světa urči vzdálenost jednotlivých měst.
2. Vypočítej, jak dlouho bude trvat cesta z ostrova Fidţi na ostrov Tonga, pokud
uvaţujeme, ţe malé letadlo letí průměrnou rychlostí 250 km/h.
3. Urči, v kolik hodin místního času přistane letadlo s fotografem na letišti
v Nuku´alofa. Přesné údaje o časových pásmech, ve kterých leţí jednotlivá města,
vyhledej na internetu (lze využít odkaz http://en.wikipedia.org/wiki/Time_zone).
4. Jaké datum a čas si bude muset fotograf nastavit na svém mobilním telefonu po
příletu do města Pago Pago?
5. Po příletu do města Pago Pago se rozhodne zavolat své ţeně do Paříţe. Nemůţe ji
vzbudit, protoţe bude v Paříţi noc?
16
Řešení úloh:
1. K řešení pouţijeme Nový atlas světa. Na str. 10-11 je mapa v měřítku 1:50 000 000,
ze které změříme tyto vzdálenosti: vzdálenost měst Suva a Nuku´alofa je 1 000 km,
vzdálenost Nuku´alofa a Pago Pago je 850 km, a vzdálenost Pago Pago a Suva je
1 350 km.
2. Vzhledem k změřené vzdálenosti 1 000 km je doba letu 4 hodiny.
3. Pokud letadlo odstartuje v 9:00 z města Suva, přistane ve městě Nuku´alofa za
4 hodiny, coţ vzhledem k časovému posunu o hodinu dopředu je v 14:00 místního
času. Z města odlétá za dvě hodiny, tedy v 16:00 na ostrov Americká Samoa.
4. Při přeletu na ostrov Americká Samoa překročí datovou hranici, přičemţ při
přechodu přes datovou čáru na východ se počítá jeden den dvakrát, tj. čas se vrátí
o 24 hodin zpět. Na mobilní telefon bude tedy muset nastavit datum 14. 10. 19:24.
5. Paříţ leţí v časovém pásmu UTC + 1 hod, Americká Samoa v pásmu UTC - 11 hod,
v Paříţi bude tedy 7:24. Je třeba ţáky upozornit na to, ţe ne vţdy jsou časová pásma
ohraničena přesně příslušnými poledníky. Například zeměpisná délka Paříţe se liší
od Londýna přibliţně o 2°, přesto se v Paříţi pouţívá středoevropský čas (UTC + 1).
Foucaultovo kyvadlo
Aţ pojedete někdy na výlet do
Kroměříţe, zajděte do zámeckých zahrad, kde
v kupoli rotundy najdete zavěšené
Foucaultovo kyvadlo. Foucault provedl svůj
pokus s koulí těţkou 30 kg, zavěšenou na
ocelovém drátě dlouhém 67 m v kupoli
Pantheonu v Paříţi jiţ v roce 1851. Provedl
tak důkaz rotace Země. Pokud se totiţ takové
kyvadlo kýve po delší dobu, pozorujeme stáčení Obr. č. 13
roviny kyvu ve smyslu denního pohybu Slunce. Pozorovatel v soustavě spojené se Zemí
tento jev přisuzuje Coriolosově síle, vzhledem k soustavě spojené s hvězdami
zachovává kyvadlo stejnou rovinu kyvu.
17
Zadání úlohy:
Napiš, jak by se kyvadlo chovalo, kdybychom ho umístili na různá místa Země (pól,
rovník, místa se zeměpisnou šířkou 30° a 50°).
Řešení úlohy:
Kdyţ bychom kyvadlo umístili přesně na severní pól, rovina kyvu zůstává stálá a Země
se pod kyvadlem otočí o 360° za 24 hodin. Pokud bychom kyvadlo zavěsili na rovníku,
rovina kyvu se vzhledem k Zemi měnit nebude (na rovníku je Coriolisova síla nulová).
V ostatních zeměpisných šířkám musíme uvaţovat to, ţe se rovina kyvu otáčí kolem
svislého směru menší úhlovou rychlostí.
Dle obrázku sin´ . Potom v zeměpisné
šířce 30° nedojde za 24 hodin k otočení o 360°,
ale pouze o 180°, neboť
5,730sin15sin´ za hodinu.
V naší zeměpisné šířce, tj. 50°, se kyvadlo otočí
za den o 276°. Obr. č. 14
Slapové síly
Mnoho lidí se mylně domnívá, ţe
slapové síly působí jen na mořskou vodu.
Pravdou je, ţe periodickému dmutí podléhá
nejen voda v oceánech a mořích, ale i
pevnina. Stejně jako stoupá a klesá hladina
moře, pohybuje se i zemská kůra. Nejvíce se
příliv projevuje v zálivu Fundy v Kanadě,
kde hladina stoupá aţ o 20 metrů. V Evropě
se s největším rozdílem hladin 13 metrů
setkáme ve Francii v zátoce Mont Saint Michel. Obr. č. 15
Zadání úloh:
1. Vypočítej velikost intenzity gravitačního pole Měsíce v místě na povrchu Země,
které je nejblíţe Měsíci, a v místě na povrchu Země, které je nejdále od Měsíce.
18
2. Z vypočtených hodnot urči, jaká slapová síla působí na 1 m3 vody. Urči, o kolik
procent tato síla zmenšuje sílu přitahující vodu ke středu Země.
3. Vypočítej dobu, která uplyne mezi dvěma přílivy na libovolném místě na Zemi.
K výpočtu pouţij vzorce pro úhlovou rychlost oběhu Měsíce kolem Země a úhlovou
rychlost rotace Země.
Řešení úloh:
1. Intenzita gravitačního pole Měsíce ve vzdálenosti d od středu je
kde mM je hmotnost Měsíce.
Za r budeme dosazovat
průměrnou vzdálenost středů
Země a Měsíce, tj.
r = 384,4 ∙ 106. V místě, které
je nejblíţe Měsíci, je Obr. č. 16
d1 = r – RZ = 378,029.106 m. Pro intenzitu gravitačního pole tedy platí:
V místě, které je nejvíce vzdálené od Měsíce, je 6
2 10778,390 d m. Platí tedy:
Při d = 0, tedy ve středu Země je gM = 3,32.10-5
m ∙ s-2
. V obou případech tedy
působí Měsíc změnu tíhového zrychlení o gM = 51011,0 m ∙ s-2
= 10-7
g, kde g je
tíhové zrychlení na zemském povrchu.
2. Z předchozího výpočtu plyne, ţe na 1 000 kg vody působí slapová síla 0,000 1 N,
coţ je stomilióntina tíhové síly, která působí na stejný objem vody. I tato nepatrná
síla však způsobuje vzdutí mořské hladiny. Na volném moři je to asi o 0,8 m, při
pobřeţí, v zálivech a při ústí řek tato hodnota stoupá aţ na několik metrů.
3. Měsíc obíhá Zemi úhlovou rychlostí: ,2
M
MT
,2d
maK M
g
.sm1021,3sm000778390
1035,71067,6 252-
2
2211
gaK
.sm1043,3sm000029378
1035,71067,6 252
2
2211
gaK
19
kde TM = 27,32 d = 2 361 000 s je oběţná doba Měsíce. Země se otáčí úhlovou
rychlostí:
kde Tz = 23 h 56 min 4s je doba rotace Země. Pro pozorovatele, který na povrchu
Země rotuje se Zemí, tedy Měsíc postupuje po obloze relativní úhlovou rychlostí
= Z - M a zdánlivě oběhne Zemi za dobu T splňující rovnici:
Z těchto rovnic dostáváme vztah:
Po dosazení vyjde T = 89 420 s = 24 h 50 min. Doba mezi dvěma přílivy je tedy
12 hodin a 25 minut, protoţe vyvrcholení Měsíce na jednotlivých polednících závisí
nejen na oběhu Měsíce kolem Země, ale také na rotačním pohybu Země kolem osy.
Proto Měsíc, aby zaujal stejné postavení vůči Slunci, musí při svém oběhu urazit
větší úhlovou dráhu.
Gorges du Verdon
Kaňon Gorges du Verdon ve
Francii je nejdelším kaňonem v Evropě.
Začíná za městečkem Castellane a táhne
se mezi skalními stěnami k přehradnímu
jezeru Lac de Sainte-Croix. V některých
místech je aţ 700 metrů hluboký.
Významným místem na řece je
městečko Point Sublime.
Obr. č. 17
,
,TZ
Z
2
.T
360
.TTT MZ
111
20
Zadání úloh:
1. Najdi v satelitní mapě zeměpisné souřadnice městečka Castellane a Point Sublime.
2. Pomocí pravítka v aplikaci Google Earth zjisti co moţná nejpřesněji délku kaňonu.
3. Na mnoha místech v okolí si můţeš půjčit loďku, šlapadlo nebo raft a vydat se na
cestu přímo po vodě. Vypočítej, jak dlouho ti bude trvat cesta z Castellane do Point
Sublime, kdyţ pojedeš na raftu rychlostí 2 m/s. Jak bude dlouho trvat cesta zpět?
Počítej s rychlostí proudu 0,5 m/s.
4. Nad ústím řeky do přehradního jezera Lac de Sainte-Croix je most, zjisti jeho délku.
Urči, za jak dlouho přejede přes most nákladní automobil délky
12 m, jede-li rychlostí 50 km/h.
Řešení úloh:
1. Zeměpisné souřadnice městečka Castellane jsou přibliţně 43°50′ s. š., 6°30′ v. d.
(pro naše účely tato přesnost postačuje).
Point Sublime má souřadnice 43°47′ s. š., 6°23′ v. d.
2. Pomocí pravítka v Google Earth vychází délka kaňonu od městečka Castellane
k jezeru Lac de Sainte-Croix 37,8 km.
3. Délka řeky z Castellane k Point Sublime je přibliţně 16,5 km. Pojdeme-li rychlostí
2 m/s, tak vezmeme-li v úvahu rychlost proudu, urazíme za hodinu 9 km, celou
vzdálenost ujedeme za 1 h 50 min. Pokud pojedeme nazpátek, musíme rychlost
proudu odečíst, za hodinu tedy ujedeme vzdálenost 5,4 km, cesta zpět bude trvat 3 h
a 4 min.
4. Most u ústí jezera je dlouhý 113,6 m, automobil jej zadanou rychlostí přejede za 9 s.
Podmořské sluneční hodiny
Jachtař a potápěč Josef Dvorský a jeho kamarád profesionální sluneční hodinář
Petr Weiss podnikli v roce 2007 expedici, která měla za cíl umístit do hloubky 38 m pod
hladinu moře první funkční podmořské hodiny na světě. Jak se jim to podařilo, můţete
vidět na fotografii. Zeměpisné souřadnice tohoto místa jsou 33°52,8′ v. d.
a 27°33,4′ s. š.
21
Zadání úloh:
1. Pomocí Google Earth 3D najdi toto
místo a zapiš, jak se jmenuje ostrov,
u kterého jsou hodiny umístěny.
Zjisti vzdálenost mezi ostrovem a
blízkým turistickým letoviskem a
vypočítej, jak dlouho by ti trvala
cesta lodí z letoviska, kdybys toto
místo chtěl navštívit. Předpokládej,
ţe se loď bude pohybovat rychlostí
16 uzlů. Obr. č. 18
2. Celá událost se odehrála 1. 11. 2007 v 1 hodinu a 11 minut odpoledne místního
času. Zjisti, v jakém časovém pásmu se hodiny nacházejí, a urči čas v UTC.
Řešení úloh:
1. Hodiny se nacházejí pod hladinou Rudého moře u ostrova Siyul Kebira. Vzdálenost
obou míst je 33,5 km. Pokud bychom pluli lodí, trvala by cesta 1 hod a 8 min.
2. Hodiny se nacházejí v časovém pásmu UTC + 2 hodiny, byly tedy umístěny
v 11 h 11 min UTC. Samé jedničky v datu a čase mají podle organizátorů akce
symbolizovat prvenství v umístění slunečních hodin pod mořskou hladinu.
Tíhové zrychlení
Následující text pochází z historické učebnice Počátkové silozpytu čili fyziky pro
gymnasia a reálky [1].
Důležitější ještě jest kyvadlo v silozpytu tím, že zákony tíže bezprostředně ukazuje,
a sice: Že tíže k rovníku ubývá, k pólům přibývá, též kyvadlem dokázáno, an kyvadlo,
které k. p. u nás sekundy tluče, blíž k rovníku kývání své zpožďuje, blíže k pólům
zrychluje. Že tíže v převráceném čtverečném poměru dálek od země ubývá, dokazuje
kyvadlo též, an na vysokých kopcích zdlouhavěji než dole se kývá.
22
Zadání úloh:
1. Ověř výpočtem předcházející tvrzení. Délku matematického kyvadla zvol 2 metry,
vypočítej dobu kyvu na různých místech Země: na rovníku, na pólu, na nejvyšším
vrcholu ČR a ve tvém městě (potřebné údaje dohledej pomocí GoogleEarth).
Vypočtené hodnoty porovnej. Tíhové zrychlení v místě určité zeměpisné šířky
a nadmořské výšky H metrů lze vypočítat pomocí vzorce stanoveného Mezinárodní
geodeticko - fyzikální unií (1930):
g = (9,780 49(1+ 0,005 288 4 sin2 – 0,000 005 sin
2 2) – 0,000 001 967 H) m∙s
-2,
kde je zeměpisná šířka, H je nadmořská výška. Převzato z [3].
2. Navrhni postup, jak bys mohl změřit tíhové zrychlení pomocí jednoduchých
pomůcek doma nebo ve škole.
Řešení úloh:
1. Hodnoty tíhového zrychlení na rovníku a na pólu v nulové nadmořské výšce jsou
známé, další dvě vypočítáme podle uvedeného vzorce.
Výpočet pro umístění na rovníku: 421,178,9
2
g
l s.
Výpočet pro umístění na pólu: 417,1833,9
2
g
l s.
Výpočet pro umístění na Sněţce: φ = 50°44´8´´, H = 1602 m, pro tyto hodnoty g =
9,778 m ∙ s-2
: 421,1778,9
2
g
l s.
Výpočet pro Hradec Králové – budovu UHK č. 1: φ = 50°12′34″, H = 237 m,
g = 9,781 m ∙ s-2
: 421,1781,9
22
g
l s.
Porovnáním vypočtených hodnot zjistíme, ţe rozdíly jsou nepatrné, v řádech tisícin
sekund. Pokud bychom příklad zadali jiným způsobem tak, aby T = 1 s a určovali
bychom délku kyvadla, zjistili bychom, ţe se vypočtená délka kyvadla mění jen
v řádech milimetrů.
2. Tíhové zrychlení lze změřit fyzickým kyvadlem. Pro periodu fyzického kyvadla
platí: ,2mgd
JT
23
kde J je moment setrvačnosti kyvadla vzhledem k ose, která prochází bodem závěsu
kolmo k rovině kývání, a d je vzdálenost bodu závěsu od těţiště. Uvaţujme nyní pro
jednoduchost kyvadlo tvořené homogenní tyčí délky L, zavěšenou na jednom konci.
Pro takové kyvadlo je vzdálenost mezi bodem závěsu a těţištěm, rovna 1/2 L. Dále
potřebujeme znát moment setrvačnosti tyče vzhledem k ose otáčení. Ta je kolmá k
ose tyče a prochází jejím koncem. Výpočtem zjistíme, ţe J = 1/3 m L2. Dosadíme
tedy do rovnice a vyjádříme g. Výsledek je:
Jestliţe tedy změříme délku tyče L a periodu kmitů T, můţeme vypočítat hodnotu g
na daném místě. Výsledek lze porovnat s hodnotou vypočítanou pro konkrétní
zeměpisnou šířku. K měření tíhového zrychlení lze pouţít i reverzní kyvadlo,
popřípadě lze jeho hodnotu vypočítat ze známé doby volného pádu.
Jezero Lac Léman
Největší alpské jezero je Lac Léman, u nás
známé jako Ţenevské jezero. Jeho délka je větší neţ
70 km, šířka v oblasti Lausanne necelých 11 km.
Nejširší je jezero v oblasti města Morges, kde jeho
šířka dosahuje téměř 14 km.
Zadání úlohy:
Urči výpočtem, zda je moţné dohlédnout z jednoho
břehu jezera na druhý. Výsledek ověř pomocí satelitní
mapy. Obr. č. 19
Řešení úlohy:
Při náčrtu vyuţijeme znalosti o tečně ke kruţnici a Pythagorovu větu. V tomto případě
uvaţujeme, ţe Země je dokonalá koule. Jak daleko vidíme „v rovině“, můţeme určit
.T
Lg
2
2
3
8
24
z Pythagorovy věty, kde po dosazení a zanedbání členu h2 (h je výška očí stojící osoby)
dostaneme vzorec: Rhx 2 .
Uvaţujeme-li výšku očí člověka 170 cm, dostaneme hodnotu
4,65 km. Pokud podrobněji prostudujeme mapu (můţeme pouţít
Google Earth) zjistíme, ţe v západní části jezera to moţné je,
například u měst Nyon.
Obr. č. 20
Porovnání velikosti tíhové síly na rovníku a na pólu
Na kaţdé těleso působí na povrchu Země dvě síly: gravitační síla Fg a odstředivá
setrvačná síla F0. Výslednicí gravitační a odstředivé síly je síla tíhová FG.
Platí: FG = Fg + F0.
Zadání úloh:
1. Následující obrázek (obr. č. 21) představuje model
Země. Zakresli vektory gravitační, odstředivé a tíhové
síly v bodech A, B, C, pokud rotuje podle osy
procházející bodem A.
Obr. č. 21
2. Napiš, jak se mění velikost odstředivé síly vzhledem k zeměpisné šířce.
3. Vypočítej velikost změny hodnoty tíhové síly a tíhového zrychlení g způsobené
tvarem Země a rotací na rovníku a na pólu. Pro výpočet uvaţuj těleso o hmotnosti
100 kg. Rovníkový a polární poloměr Země vyhledej v tabulkách nebo na internetu.
4. Představ si pruţinové váhy. Pokud je pouţijeme k váţení, budou ukazovat stejnou
hodnotu na rovníku jako na pólu?
Řešení úloh:
1. Vektor odstředivé síly je kolmý k ose rotace, vektor gravitační síly směřuje do
středu Země, tíhová síla je vektorovým součtem.
2. Velikost odstředivé síly se mění se zeměpisnou šířkou – maximální je na rovníku,
nulová na pólech. Síla je tím větší, čím větší je vzdálenost tělesa od osy rotace.
25
3. Porovnáme nyní hodnoty tíhové síly na rovníku a na pólu. Na rovníku (rovníkový
poloměr = 6 378 160 m) působí na těleso o hmotnosti m = 100 kg v nulové
nadmořské výšce gravitační síla o velikosti:
Velikost odstředivé síly na rovníku je:
Pro velikost gravitační a odstředivé síly na pólech platí (polární poloměr
r = 6 356 750 m):
Velikost tíhové síly na rovníku je tedy FG = 977 N, na pólu FG = 987 N, z čehoţ
plyne tíhové zrychlení na rovníku g = 9,77 m ∙ s-2
, na pólu g = 9,87 m ∙ s-2
.
4. Tíhová síla působící na těleso na rovníku bude při měření na pruţinové váze menší
neţ tíhová síla působící na těleso na pólu. Proto i naměřené hodnoty hmotnosti
budou různé.
Stavba kosmodromů
Je známo, ţe při stavbě kosmodromů je
nejvýhodnější poloha poblíţ zemského rovníku, aby se
při startu kosmických raket či druţic co nejvíce vyuţilo
rychlosti zemské rotace. Při televizních přenosech startů
kosmických lodí tak můţeme vidět, jak se jejich
trajektorie stáčí doprava. Nejblíţe rovníku byl umístěn
dnes jiţ neexistující kosmodrom San Marco Equatorial
Range (2°56′ s. š., 42°13′ v. d.). Z těch co jsou stále
v provozu, je v blízkosti rovníku Guayanské kosmické
centrum, kde v současné době budují další zařízení
určené pro starty ruských nosných raket Sojuz, nebo Obr. č. 22
N.5,980N1603786
1098,51001067,6
2
2411
2
r
mMFg
N.4,3N16037861029,7100cos252 RmFO
N.0,N987N7503566
1098,51001067,6
2
2411
2
Og Fr
MmF
26
Sea Launch, plošina umístěná v Tichém oceánu poblíţ rovníku, která vznikla
přestavbou ropné plošiny.
Zadání úloh:
1. Urči pomocí satelitní mapy polohu Guayanského kosmického centra a plošiny Sea
Launch.
2. Vypočítej rychlost zemské rotace v těchto místech.
3. Na stránce http://cs.wikipedia.org/wiki/Kosmodrom#Seznam_kosmodrom.C5.AF
nalezneš seznam všech kosmodromů. Prostuduj ho. Zapiš zeměpisné souřadnice
nejsevernějšího kosmodromu, který patří Rusku. Mohou rakety startující dále od
rovníku také vyuţívat rychlosti zemské rotace?
Řešení úloh:
1. Guayanské kosmické centrum je umístěno poblíţ města Kourou na 5°8′ s. š.,
u plošiny Sea Launch uvaţujme souřadnici 0°.
2. 46340086
030402
T
rv
m ∙ s
-1 pro rychlost v Sea Launch.
4,46140086
86939.2
T
rv
m ∙ s
-1 pro rychlost v Kourou.
3. Kosmodrom Pleseck 62,5° s. š., 40,3° v. d. Rakety startující ve vyšších zeměpisných
šířkách nevyuţívají tolik velikost tečné rychlosti, jsou však určené pro blízkopolární
dráhy letu.
Výpočet zrychlení způsobeného rotací Země
Zadání úloh:
1. Vypočítej odstředivé zrychlení člověka na 40° severní šířky, způsobené rotací
Země.
2. Vypočítej odstředivé zrychlení na zemském rovníku, způsobené rotací Země. Obě
vypočtené hodnoty porovnej.
3. Vypočítej, s jakou periodou by musela rotovat Země, abychom pocítili stav beztíţe.
Uvaţuj místo na rovníku. Hmotnost Země je 6 ∙ 10 24
kg, poloměr R = 6 378 km.
27
Řešení úloh:
1. Pro odstředivé zrychlení platí:
coţ je 0,26 % zrychlení tíhového.
2. Pro velikost odstředivého zrychlení na rovníku platí:
3. Tento stav nastane, pokud se vyrovná gravitační síla se silou odstředivou Fo= Fg,
a obě síly budou opačného směru.
Platí tedy:
M
RT
R
M
R
mMmR
3
3
2
2
2
2
(pro úhlovou rychlost T
2 )
Po dosazení do posledního vztahu vyjde hodnota 5 059 s = 84 min 19 s. Aby se tedy
odstředivé zrychlení na rovníku rovnalo zrychlení tíhovému, musela by být doba
rotace Země pouhých 84 minut, coţ je doba oběhu tělesa, které se pohybuje těsně
nad povrchem Země.
Nápis v poušti
Arab Hamád bin
Hamdán an-Nehaján z města
Abú Dhabí, které leţí ve
Spojených arabských
emirátech, si nechal v poušti
poblíţ města vytvořit nápis se
svým jménem. Zpravodajské
internetové servery informují Obr. č. 23
o tom, ţe je tento nápis viditelný z vesmíru.
,sm1059,2sm40cos1029,71037,6cos 2222562 Ran
.sm1038,3sm0cos1029,71037,6cos 2222562 Ran
28
Zadání úloh:
1. Pomocí GoogleEarth zjisti, jak veliká jsou písmena nápisu.
2. Výpočtem ověř tvrzení, zda je tento nápis moţno vidět z vesmíru. Za hranici
vesmíru uvaţuj hranici 100 km. Pro výpočet je třeba vědět, jaká je zraková ostrost
lidského oka. Tento údaj lze vyhledat na internetu (lze využít odkaz:
http://cs.wikipedia.org/wiki/Ostrost).
Řešení úloh:
1. Měřením v satelitní mapě zjistíme velikost písmen 0,5 km. Délka nápisu je přibliţně
1,6 km.
2. Zraková ostrost je nejmenší moţná vzdálenost dvou bodů, které jsme schopni
lidským okem rozlišit. Lidské oko je schopno rozlišit dva body, které mají úhlovou
vzdálenost 1′.
Platí tedy: 005,0000100
500 rad = 0°0′18″, coţ je méně neţ 1′.
Nápis tedy z vesmíru není viditelný lidským okem, mohou ho ovšem zachytit
satelitní systémy.
Vikingové
Vikingové byli výborní
mořeplavci, jiţ před více neţ
tisíci lety navigovali podle
hvězd a dovedli pomocí
jednoduchých pravidel stanovit
kurz lodi i uraţenou
vzdálenost. Na mořích se
plavili tzv. „po zeměpisné
šířce“. Jejich kurz totiţ
sledoval vţdy stejnou Obr. č. 24
rovnoběţku. Podíváme-li se do atlasu, zjistíme, ţe na přibliţně 60° s. š. leţí norské
město Bergen, dále pak další místa, která Vikingové postupně osídlili, tedy Shetlandské
ostrovy, Grónsko a Labrador.
29
Zadání úloh:
1. Výpočtem urči délku 60. rovnoběţky.
2. V aplikaci GoogleEarth vyhledej zeměpisné souřadnice města Bergen, zvol
libovolné místo na Shetlandských ostrovech, v Grónsku i Labradoru a z rozdílu
souřadnic urči vzdálenost těchto míst.
3. Vypočítanou vzdálenost ověř pomocí funkce „měření“ v GoogleEarth.
Řešení úloh:
1. K výpočtu délky rovnoběţky nejprve potřebujeme určit její poloměr. Ten určíme ze
vzorce r = R ∙ cos 60° , kde R = 6 371 km je poloměr Země. Vyjde
tedy r = 3 185,5 km a délka rovnoběţky 20 015 km. Na jeden úhlový stupeň připadá
55,6 km, na úhlovou minutu 926 m.
2. Souřadnice: Bergen (přístav): 60°24′ s. š., 5°19′ v. d.
Shetland Islands (letiště): 60°22′ s. š., 0°55′ z. d.
Grónsko (jiţní část – South Greenland): 60° 08′ s. š., 44°31′ z. d.
Labrador: 60°14′ s. š., 64°40′ z. d.
Výpočet vzdáleností:
Bergen – Shetland Islands: rozdíl zeměpisných délek 6°14′, tedy 346,6 km.
Shetland Islands – Grónsko: rozdíl zeměpisných délek 43°36′, tedy 2 424 km.
Grónsko – Labrador: rozdíl zeměpisných délek 20°9′, tedy 1 120 km.
3. Vzdálenosti naměřené v GoogleEarth:
Bergen – Shetland Islands: 347 km.
Shetland Islands – Grónsko: 2 363 km.
Grónsko – Labrador: 1 105 km.
Velký rozdíl mezi naměřenou a vypočítanou hodnotou u vzdálenosti Shetland
Islands – Grónsko je způsoben větším rozdílem v zeměpisných šířkách neţ
u ostatních výpočtů.
30
Cesty Vikingů
Normani (neboli Vikingové) byli velcí mořeplavci. Během staletí postupně
objevovali nová území, kolem roku 650 Shetlandy, asi v roce 750 Faerské ostrovy,
v roce 863 se dostali na Island.
Kolem roku 900 následovalo
Grónsko, roku 1 000 vyrazili na
západ a dostali se pravděpodobně
k dnešnímu Baffinově ostrovu,
dále pak k Labradoru. Jen několik
dní jim trvala cesta k ostrovu Belle
Isle, pak obepluli mys Bauld na
Newfoundlandu i velký poloostrov
Nové Skotsko, aţ připluli na
pobřeţí státu Massachusetts.
Obr. č. 25
Zadání úlohy:
Na této cestě není ţádná etapa delší neţ 350 námořních mil. Ověř tuto informaci pomocí
GoogleEarth a urči vzdálenost v km, kterou museli urazit z Norska do Severní Ameriky
(k Labradoru).
Řešení úlohy:
Naměřené vzdálenosti: (vzdálenosti jsou uvedeny jako nejkratší moţné)
Bergen – Shetland Islands: 355 km (191 námořních mil)
Shetland Islands – Faerské ostrovy: 349 km (188 mil)
Faerské ostrovy – Island: 448 km (242 mil)
Island – Grónsko: 458 km (247 mil)
Grónsko - Baffinův ostrov: 341 km (184 mil)
Baffinův ostrov – Labrador: 212 km (114 mil)
Všechny trasy jsou tedy kratší neţ 350 námořních mil. Celkem 2 163 km.
31
Slapové jevy
Následující text pochází z historické učebnice Počátkové silozpytu čili fyziky pro
gymnasia a reálky [1].
Dmutí jest střídavé zdvíhání a klesání povrchu
morského na tomtéž místě dvakrát za den se
udávající. Pozorovati totiž na přímořích
otevřených, že se moře denně dvakrát dme ku
břehům přitékajíc a přes pokraje prvé se rozlévajíc,
zponenáhla pak, když bylo největší výšky dosáhlo,
zase opadává od břehů odtékajíc a pokraj prve
zaplavený opět suchý zůstavujíc. Ono přibývání
moře přítok nebo příliv, ubývání odtok nebo odliv
se jmenuje, a jedno po druhém as po 6 hodinách
následuje, nepočítá však každodenně stejnou dobu,
nébrž den ode dne se zpožďuje vždy
o 49 minut,… Obr. č. 26: Odliv v zálivu Fundy – Kanada
Zadání úloh:
1. Na základě středoškolských znalostí fyziky vysvětli podstatu vzniku přílivu
a odlivu.
2. Proč na konkrétním místě zemského povrchu nenastává příliv a odliv kaţdý den ve
stejný čas, ale dochází ke zpoţdění o 49 minut?
3. Vysvětli, kdy nastává tzv. hluché a skočné dmutí. Načrtni obrázek.
Řešení úloh:
1. Příliv a odliv jsou důsledek deformace oceánu vlivem sil, kterými na Zemi působí
Slunce a Měsíc. K přílivu dochází jak na straně přivrácené k Měsíci, tak i na straně
odvrácené od Měsíce. Příliv na přivrácené straně se vysvětluje tím, ţe tu převládá
přitaţlivá síla Měsíce nad odstředivou silou vznikající pohybem Země kolem
společného těţiště Země-Měsíc, která působí v opačném směru. Příliv na odvrácené
straně od Měsíce se vysvětluje převahou odstředivé síly nad přitaţlivou silou
Měsíce.
32
2. Protoţe vyvrcholení Měsíce na jednotlivých polednících závisí na otáčivém pohybu
Země stejně jako na oběhu Měsíce kolem Země, je rozdíl mezi dvěma přílivy
12 hodin 25 minut a 14 sekund. Měsíc se totiţ během jednoho otočení Země kolem
své osy posune na své trajektorii o 12,86°. Interval mezi přílivem a odlivem na
stejném místě je tedy 6 hodin, 12 minut a 37 sekund. Velikost slapových jevů závisí
na poloze Měsíce a Slunce vzhledem k Zemi a na zeměpisné poloze. Přitaţlivost
Měsíce je více neţ dvakrát větší neţ přitaţlivost sluneční a také oběţná doba
přílivových vln kolem Země není stejná. Dvě silnější přílivové vlny oběhnou Zemi
v jednom měsíčním dni, tj. za 24 hodin 50 minut a 30 s. Přílivové vlny vyvolané
přitaţlivostí Slunce mají oběţnou dobu 24 hodin.
3. Při úplňku a v novoluní působí přitaţlivost Měsíce i Slunce ve stejném směru a obě
přílivové vlny se spojují (tzv. skočný příliv). Při první a třetí měsíční fázi spadá
příliv měsíční do doby odlivu způsobeného Sluncem. Vzniká tzv. hluché dmutí,
které se rovná rozdílu dmutí měsíčního a slunečního.
Teplo ze zemského nitra
Teplo z nitra Země neustále prostupuje na povrch a uniká do vesmíru. Měření ve
vrtech ukazují, ţe v průměru neustále prochází kaţdým čtverečním metrem zemského
povrchu záření s tepelným výkonem 0,05 W.
Zadání úlohy:
1. Vypočítej, jaký tepelný výkon uniká z nitra Země celým jejím povrchem. Zemi
povaţuj za kouli o poloměru 6 371 km.
2. Vypočtenou hodnotu porovnej s výkonem záření dopadajícího od Slunce. Solární
konstanta je k = 1 370 W ∙ m-2
, dopad záření uvaţuj na osvětlenou část Země,
předpokládej odraz záření ve výši 30 % záření dopadajícího.
Řešení úlohy:
1. Pokud budeme uvaţovat Zemi jako kouli o poloměru 6 371 km, vypočtený povrch
bude 510 ∙ 106
km2. Pro tepelný výkon tedy dostaneme hodnotu 2,5 ∙ 10
13W.
33
2. Nejprve je třeba určit velikost plochy
kolmé k dopadajícímu záření S = π ∙ r2 =
1,275 ∙ 1014
m2. Potom pro velikost záření
dopadajícího ze Slunce s předpokládaným
odrazem ve výši 30 % platí: P = 0,7 ∙ S ∙ k
= 1,22 ∙ 1017
W.
Obr. č. 27
Wilkinsův ledovec
Wilkinsovu šelfovému ledovci hrozí, ţe
se odtrhne od Antarktického poloostrova.
Čtyřicet kilometrů dlouhý ledový most, který
dosud zajišťoval spojení ledovce s
Charcotovým ostrovem, se rozpadá.
Wilkinsův ledový šelf se nachází ve
vzdálenosti přibliţně 1 000 kilometrů od
nejjiţnějšího místa Jiţní Ameriky. Jde o
obrovskou masu ledu, která leţí na mořské
hladině, ale je spojená s pevninským
ledovcem. Celkem má tento ledový šelf
rozlohu asi 13 000 čtverečních kilometrů a
vědci jeho stav bedlivě sledují. V březnu roku
2008 se z něj odlomila obrovská kra dlouhá
zhruba 41 kilometrů a široká 2,5 kilometru. Obr. č. 28: Mapa antarktického poloostrova
Zadání úloh:
1. Pro lepší představu o velikosti šelfu zjisti, který stát světa zaujímá přibliţně stejnou
rozlohu jako Wilkinsův ledovec.
2. Vypočítej, jaký objem vody by vznikl, kdyby tento ledovec roztál. Tloušťka ledu je
řádově několik stovek metrů, počítej tedy s průměrnou tloušťkou ledu 500 m.
3. Vypočítej, do jaké výšky by vystoupala
voda, kdyby roztátou vodou z ledovce bylo zaplaveno území ČR.
34
4. Urči, o kolik procent své rozlohy a objemu přišel ledovec po ulomení ledové kry
v loňském roce.
Řešení úloh:
1. Podobnou rozlohu jako Wilkinsův ledovec má například Černá Hora 13 812 km2
nebo Bahamy 13 940 km2.
2. Za předpokladu, ţe roztaje celý ledovec o průměrné tloušťce ledu 500 m,
roztaje 6,5 ∙ 109
m3 ledu. Hmotnost ledu je m = ∙ V = 5,96 ∙ 10
12 kg (hustota ledu
917 kg/m3), jeho roztátím by vznikla voda o objemu 5,8 ∙ 10
9 m
3 (pouţijeme hustotu
slané vody 1 028 kg/m3).
3. Pokud by touto vodou měla být zaplavena Česká republika s rozlohou 78 867 km2,
vystoupala by voda do výšky přibliţně 7 cm.
4. Ze zadaných rozměrů kry určíme objem roztáté části: 51,25 km3, coţ je 0,4%
původního objemu.
Sedm starověkých divů světa
Maják na ostrově Pharos se ve starověku nacházel
v Egyptě u města Alexandrie a byl nejvyšší stavbou
tehdejšího světa. Výška této stavby však není přesně
známá, v literatuře se udává 117 metrů. Výšku však
můţeme dopočítat ze vzdálenosti, ze které je viditelné
světlo vycházející z majáku. I zde se však údaje různí.
Například Josephus Flavius tvrdí, ţe světlo z tohoto
majáku bylo vidět na vzdálenost 300 stadií.
Obr. č. 29
Zadání úlohy:
Vypočítej z přecházejících údajů výšku majáku. Nejprve najdi vzdálenost, které
odpovídá historická jednotka délky egyptský stadion.
Řešení úlohy:
Stadion byl název řecké délkové jednotky, jejíţ délka byla rovna délce tehdejší běţecké
dráhy na olympijském stadionu, přičemţ nejpouţívanější řecký stadion měřil 164 m,
35
egyptský 157,7 m, ale také například 185 m. Pro náš výpočet pouţijeme stadion
egyptský.
Světlo z majáku je tedy vidět ze vzdálenosti 47,31 km.
K výpočtu pouţijeme Pythagorovu větu:
h
hRx
6371231,47
2
h = 175 m Obr. č. 30
Tato výška však zřejmě neodpovídá tehdejším stavebním moţnostem, ani z praktického
důvodu není nutné stavět majáky takových výšek.
Mořské větry
Následující text pochází z historické učebnice Počátkové silozpytu čili fyziky pro
gymnasia a reálky [1].
K větrům pravidelně se střídajícím náležejí také větry zemské a morské (Land-und
Seewinde), jenžto ve dne od moře k zemi, v noci pak od země k moři vějí.
Zadání úlohy:
Kaţdý z vlastní zkušenosti ví, ţe leţíme-li na pláţi u moře, tak nás ochlazuje vítr
foukající od moře. Při noční procházce po pobřeţní promenádě je pak situace jiná, vítr
fouká opačným směrem. Vysvětli tento jev.
Řešení úlohy:
Mořské větry vznikají za teplých dnů
podél mořských pobřeţí, kdyţ se mezi
vzduchem nad velmi rychle
se ohřívající pevninou a méně rychle
se ohřívající vodou utvoří tlakový
gradient. Vítr vane na pevninu, ta se v
noci ochlazuje rychleji neţ voda a
opačný gradient vítr obrátí. V kaţdé
zemi má místní vítr svůj specifický
název. Obr. č. 31
36
Atmosférický tlak
Vzduch působí na zemský povrch tlakovou silou, která vyplývá z jeho tíhy.
Vycházíme-li z fyzikální definice tlaku, můţeme definovat atmosférický tlak jako tlak
atmosféry na všechna tělesa v ovzduší a na zemský povrch, způsobený tíhou
vzduchového sloupce nacházejícího se nad nimi. Atmosférický tlak v různých, nepříliš
velkých výškách nad zemským povrchem, lze vyjádřit ze vztahu:
kde p0 = 101,3 kPa je tlak v nulové nadmořské výšce a h je výška nad povrchem Země.
Zadání úloh:
1. Ze znalosti hodnoty atmosférického tlaku při zemském povrchu vypočítej přibliţnou
hmotnost zemské atmosféry. Vypočtenou hodnotu porovnej s hmotností Země.
2. Je známo, ţe se stoupající nadmořskou výškou, klesá atmosférický tlak. Urči, v jaké
nadmořské výšce bude jeho hodnota poloviční v porovnání s hodnotou u zemského
povrchu.
3. Při letu v letadle jsou cestující a posádka vystaveni tlaku, který je niţší, neţ tlak na
povrchu Země. Jeho hodnota odpovídá přibliţně hodnotě, která je v nadmořské
výšce 2 100-2 500 m n. m. Vypočítej, jaký je rozdíl tlaků mezi vnitřkem a vnějškem
letadla. Uvaţujte, ţe letadlo letí ve výšce 10 km.
4. Většina horolezců zdolávajících tzv. osmitisícovky má kyslíkové přístroje.
Vypočítej tlak vzduchu v 8 000 m n. m.
Řešení úloh:
1. Tlak vzduchu při zemském povrchu je zhruba 1 000 hPa = 105 N ∙ m
-2. To znamená,
ţe tíha sloupce vzduchu, který je nad 1 m2 zemského povrchu, je přibliţně 10
5 N
a hmotnost tohoto sloupce 104 kg. Tíhová síla je zde vlastně tlakovou silou a platí:
m ∙ g = p ∙ S, kde S je plocha zemského povrchu, coţ je 510 ∙ 106 km
2. Platí tedy:
tj. 0,000 085 % hmotnosti Země.
2. Dosadíme-li do uvedeného vzorce p = 0,5 ∙ 105 Pa, získáme hodnotu h = 5 372 m.
,g
Spm kg105kg
10
10510 18145
,000127,0
0
hepp
37
3. Uvaţujme, ţe tlak v kabině je stejný, jako v nadmořské výšce 2 500 metrů.
Dosazením do vzorce vyjde hodnota 73,4 kPa. Vně letadla je tlak 28,2 kPa. Hledaný
rozdíl je tedy 45,2 kPa. Změny tlaku v letadle při stoupání a klesání jsou příčinou
zaléhání uší.
4. V 8 000 m n. m. vyjde tlak 36,4 kPa.
Ve skutečnosti je ale tlak v jednotlivých výškách menší, coţ je způsobeno tím, ţe
jsme při našich výpočtech neuvaţovali sniţování teploty asi o 6,5 °C na jeden
kilometr.
Magnetické pole Země
Následující text pochází z historické učebnice Počátkové silozpytu čili fyziky pro
gymnasia a reálky od [1].
Jak úchylka i skloněk magnetický místem na zemi i časem se mění na důkaz, že
magnetická síla země proměnlivá jest. Čím dále na západ, tím menší jest úchylka
magnetická, v západní Americe docela se ztratí, a dále ve východní úchylku se
proměňuje. Čím blíže k rovníku země, tím menší zase skloněk, na jistých místech blíže
něho žádný, a v polokouli jižné jižní pól jehly pod obzorník se kloní. Také místa
magnetická země na rozličných místech a v rozličných dobách rozličná jest se
zeměpisnou šířkou vzrůstajíc, takže v jistém místě na severu a v jiném na jihu největší
ceny nabývá. Místa tato, v nichž úchylka 0° a skloněk 90° vynáší, magnetické póly země
slovou.
Zadání úloh:
1. Přečti si pozorně předchozí text a zjisti, co se myslí pojmy úchylka a skloněk.
2. Najdi v Atlase světa nebo na internetu zeměpisné souřadnice severního i jiţního
magnetického pólu Země. Zjisti, jak se změnily hodnoty za posledních 100 let.
3. Existuje na zeměkouli místo, kde magnetka ukazuje oběma konci k témuţ pólu?
Řešení úloh:
1. Skloněk je totéţ, co známe pod pojmem inklinace. Magnetická inklinace je úhel
mezi vodorovnou rovinou a směrem magnetického pole (vektorem magnetické
indukce). Deklinace, v našem úryvku označená jako úchylka, je úhel mezi směrem
38
magnetického kompasu a geografickým severem (tedy úhel mezi horizontální
sloţkou magnetické indukce a směrem k zeměpisnému severu). Deklinace se mění
od místa k místu, a je nutné ji vzít v úvahu například při navigaci.
2. Poloha magnetických pólů se mění jak během dne, tak během roku. Magnetický pól
opisuje v průběhu dne elipsu, která mění polohu pólu aţ o 80 km. Z posledních
měření plyne, ţe se jiţní magnetický pól pohybuje rychlostí aţ 15 km za rok.
Dodejme, ţe jiţní magnetický pól leţí v blízkosti severního geografického pólu.
V současné době vědci pozorují slábnutí intenzity magnetického pole, plyne to
z porovnávání dat za posledních 100 let. Za tuto dobu poklesla intenzita asi o 10 %,
coţ znamená, ţe jeho intenzita můţe klesnout na nulu jiţ za 1000 let. Vědci se však
nemohou shodnout, zda se jedná o skutečný pokles intenzity, či o přepólování
magnetických pólů. V této souvislosti se hovoří o zrychlení pohybu jiţního
magnetického pólu, jehoţ poloha se od oblasti Kanady posouvá směrem k Sibiři. Za
posledních 100 let se jiţní magnetický pól posunul o více neţ 1 000 km.
Nyní pro porovnání uvedeme polohu pólů v jednotlivých letech:
2001 81,3° s. š. 110,8° z. d. 2010 85° s. š. 132,6° v. d.
1998 64,6 j. š. 138,5 v. d. 2010 64,4 s. š. 137,3 v. d.
Popis změn poloh magnetických pólů nalezneme např. na www.aldebaran.cz nebo
na www.cs.wikipedia.org.
3. Jestliţe umístíme magnetku na severní magnetický pól, oba konce magnetky budou
ukazovat na jih, protoţe jiný směr neţ jiţní ze severního pólu neexistuje. Obdobně
tak bude na jiţním pólu, tam ukazují oba konce magnetky k severu.
Zkreslení mapy
Při práci s mapou musíme počítat s tím, ţe mapa
nezobrazuje zemský povrch věrně, ale s určitým zkreslením.
Podle pouţitého kartografického zobrazení jsou zkresleny
vzdálenosti, úhly nebo plochy. Výpočtem můţeme ověřit
velikost zkreslení, které musíme brát v úvahu při práci
s atlasem. Obr. č. 32
39
Zadání úlohy:
Urči délku rovnoběţky, která leţí mezi poledníky 20° a 60°. Tuto vzdálenost vypočítej
pro 80° a 70° zeměpisné šířky. Vypočítané vzdálenosti porovnej s mapou v atlase
světa.
Řešení úlohy:
Počítaná vzdálenost odpovídající změně 40° zeměpisné délky je jednou devítinou délky
rovnoběţky. Pro délku rovnoběţky platí známý vzorec cos22 Rrd , kde φ
je zeměpisná šířka. Pro zeměpisnou šířku 80° dostaneme vzdálenost:
Pro zeměpisnou šířku 70° dostaneme vzdálenost:
Výpočtem zjistíme, ţe 40° zeměpisné délky, zobrazené v různých zeměpisných šířkách
není stejnou vzdáleností, ačkoliv pohled do běţného atlasu světa říká něco jiného.
Zkreslení je zřetelné nejvíce v polárních oblastech. Některé mapy tak zobrazují díky
zkreslení Grónsko stejně velké jako např. Austrálii (Hughes: Velká všeobecná obrazová
encyklopedie, str. 572-573), ačkoliv rozloha Grónska je 2 158 960 km2
a Austrálie 7 682 300 km2. Pokud bychom porovnali mapy v různých kartografických
zobrazeních, zjistíme, ţe Grónsko má pokaţdé jiný tvar.
Roztátí ledovců
O globálním oteplování, tání ledovců a s tím souvisejícím vzestupem hladiny
světového oceánu toho bylo napsáno jiţ mnoho. Přibliţným výpočtem můţeme určit,
jak by stoupla hladina světového oceánu, pokud by roztál všechen led v Antarktidě.
Antarktida má rozlohu 13,7 mil km2, a to včetně šelfových ledovců a ostrovů. Objem
ledu na Antarktidě je více neţ 30 mil km3. Jediná území bez ledu, která lze v Antarktidě
km.7729
80cos2
rπx
km.52119
70cos2
rπ x
40
spatřit, tvoří několik horských vrcholů. Maximální mocnost antarktického ledovce je
4 500 m. Údaje dle [4, s. 278].
Zadání úlohy:
Vypočítej, jak by se změnila výška hladiny
světového oceánu, kdyby došlo k roztátí
ledovců na Antarktidě. Uvaţuj průměrnou
tloušťku ledovce 2 000 m. Světový oceán
zaujímá přibliţně 70 % povrchu Země.
Obr. č. 33
Řešení úlohy:
Uvaţujeme-li průměrnou tloušťku ledu 2 000 m, je objem ledu:
Hmotnost ledu je m = ∙ V = 2,51 ∙ 1019
kg (hustota ledu je 917 kg/m3), jeho roztátím
by vznikla voda o objemu V = 2,44 ∙ 1016
m3 (pouţijeme hustotu slané vody
1 028 kg/m3). Pokud uvaţujeme, ţe by se tato voda rozlila po povrchu Země
(510 ∙ 106 km
2, oceány zaujímají 70 %, tj. 357 ∙ 10
6 km
2), znamenalo by to zvýšení
hladiny světového oceánu přibliţně o 68 metrů. Byla by tak zaplavena rozsáhlá
pobřeţní území, mnohé ostrovní státy by z mapy světa zmizely úplně.
Pýtheás z Massalie
V druhé polovině 4. století před naším letopočtem se
dostal první mořeplavec ze středozemí aţ k severnímu
polárnímu kruhu. Byl to Pýtheas z Massalie. Dokázal z výšky
slunce na obloze v době slunovratu určit zeměpisnou šířku
massalijské loděnice, coţ je dnešní Marseille. Vypočítal, ţe
v den slunovratu stojí slunce 70°47′50″ vysoko, a tak
vypočítal zeměpisnou šířku Marseille 43°03′25″.
Obr. č. 34
.1074,2102107,13 3163312 mmV
41
Zadání úlohy:
1. Odvoď vzorec pro stanovení zeměpisné šířky z polední
výšky slunce. Načrtni si obrázek.
2. Ověř Pýtheovo měření a porovnej se souřadnicemi zjištěnými pomocí GoogleEarth.
Řešení úlohy:
1. Pro stanovení zeměpisné šířky z polední výšky slunce lze pouţít vzorec
φ = 90° - h+δ, kde h je výška slunce a δ je deklinace Slunce. Deklinaci nalezneme
v astronomických tabulkách, její hodnota se pohybuje od -23°26′21,5″ (zimní
slunovrat) do +23°26′21,5″ (letní slunovrat). V období rovnodennosti je její hodnota
nulová.
2. Dosadíme-li do vzorce, pak: φ = 90° - 70°47′50″ + 23°26′21,5″ = 42°38′31,5″.
Nalezneme-li si přístav v Marseille na mapě, zjistíme zeměpisnou šířku 43°17′.
Místo s hodnotou vypočítanou Pýtheém se nachází v moři nedaleko pobřeţí.
Vlakové spojení Praha – Ostrava
V říjnu roku 2011 poprvé vyjely na trať vlaky společnosti Regiojet. První
pravidelná linka jezdí na trase Praha – Ostrava, kterou provozují i konkurenční České
dráhy. V následující tabulce je jízdní řád obou vlaků [5].
REGIOJET ČESKÉ DRÁHY
Příjezd Odjezd km Příjezd Odjezd km
Praha hl. n. 7:27 0 8:17 0
Praha Libeň 7:34 7:35 5 8:24 8:25 5
Kolín 8:59 9:01 62
Pardubice 7:28 8:30 104 9:23 9:25 104
Ústí n. O. 8:59 9:00 154
Česká Třebová 10:03 10:05 164
Zábřeh n. M. 9:31 9:33 204 10:27 10:29 204
Olomouc 9:58 10:01 250 10:54 10:57 250
Hranice n. M. 10:31 10:32 301 11:26 11:27 301
Ostrava Svinov 11:00 11:02 351 11:54 11:56 351
Ostrava hl. n. 11:08 356 12:03 356
42
Zadání úloh:
1. Urči dobu jízdy obou vlaků a jejich
průměrnou rychlost.
2. Urči průměrnou rychlost vlaků
v jednotlivých úsecích. Napiš,
v kterém úseku jedou vlaky
nejrychleji.
3. Nakresli graf dráhy v závislosti na
čase pro oba vlaky.
Obr. č. 35
Řešení úloh:
1. Vlak společnosti Regiojet přijede do Ostravy za 3 hod 41 minut, jeho průměrná
rychlost je 97 km/h. Doba jízdy vlaku ČD je 3 hodiny 46 minut, průměrná rychlost
94,5 km/h.
2. Vlak RegioJet se pohybuje nejrychleji v úsecích Praha Libeň – Pardubice a
Pardubice – Ústí n. O. tj. 108 km/h. Vlak Českých drah jede nejrychleji v úseku
Hranice n. M. – Ostrava, a to 103 km/h.
3.
Obr. č. 36
Přílivová elektrárna
V přílivové elektrárně na řece Rance ve Francii pracuje 24 turbín o průměru
5,35 m. Kaplanovy turbíny fungují obousměrně a mají účinnost 85 %. Kaţdá z nich
dokáţe propustit 68,75 m3 vody za sekundu.
Závislost dráhy na čase - Regiojet
0 50
100 150 200 250 300 350 400
0 8 63 85 118 146 177 207 222 t (min)
s (
km
)
Závislost dráhy na čase - ČD
0 50
100 150 200 250 300 350 400
0 8 44 68 108 132 160 190 219 226 t (min)
s (
km
)
43
Zadání úlohy:
1. Urči výkon elektrárny při průměrném
rozdílu výšek hladiny vody mezi přílivem
a odlivem 8,4 m.
2. V období rovnodennosti je výška přílivu
aţ 13,5 m. Urči výkon.
Řešení úlohy: Obr. č. 37
1. Výkon vodní elektrárny 1́PP , kde P1 je příkon. Platí:
hgQhgQt
mgh
t
WP Vm
1 .
Po dosazení P = 117,8 MW.
2. Počítáme stejným způsobem jako v předchozím bodě: 222,8 MW.
Družice Meteosat
Geostacionární druţice jsou druţice, které
jsou z hlediska pozorovatele na Zemi umístěné
stále nad stejným místem zemského povrchu. Patří
mezi ně i druţice Meteosat, která monitoruje
procesy v atmosféře nad Atlantikem a Evropou.
Její oběţná dráha prochází nad rovinou rovníku,
druţice je umístěna nad nultým poledníkem.
Zadání úlohy:
1. Vypočítej, v jaké výšce nad povrchem Země
musí být druţice umístěna, aby ji bylo moţno
povaţovat za geostacionární, tedy aby její doba
rotace byla rovna hvězdnému dni. Obr. č. 38
2. Urči rychlost oběhu této druţice.
3. Vypočítej, jaké je úhlová vzdálenost dvou míst na povrchu Země, ze kterých
můţeme Meteosat vidět. Zemi povaţuj za ideální kouli.
4. Vypočítej vzdálenost obou míst v kilometrech.
44
5. Napiš, zda druţice pokrývají signálem oblast zemských pólů.
Řešení úlohy:
1. Gravitační síla, která na druţici působí je zároveň silou setrvačnou odstředivou
(uvaţujeme neinerciální soustavu spojenou se Zemí, platí ted Fg = Fd. Po dosazení
a úpravě 150424
32
2
TM
R km (M je hmotnost Země 5,97 ∙ 1024
kg,
T = 86 164 s). Výška druţice nad Zemí je po odečtení rovníkového poloměru Země
h = R – RZ = 35 772 km.
2.
07,32
T
hRv
km ∙ s
-1, kde T = 86 164 s (hvězdný den), R = 6 378 km
(rovníkový poloměr).
3. Označíme d vzdálenost druţice od středu Země. Pak platí:
´1781,cos d
RZ = 1,42 rad.
(Z důvodu větší názornosti není obrázek ve správném měřítku.)
Obr. č. 39
4. Vzdálenost x = 2φ ∙ RZ = 18 110 km.
5. Z předchozích výpočtů plyne, ţe nikoliv.
45
Messeturm ve Frankfurtu nad Mohanem
Mezi největší veletrţní a výstavní centra patří veletrţní areál Messe Frankfurt.
Před vstupem do areálu stojí věţ – Messeturm (50°06´ s. š., 8°39´ v. d.), která aţ do
roku 1997 byla se svojí výškou 256,5 metrů největší administrativní budovou v Evropě.
V aplikaci GoogleEarth si můţeme prohlédnout veletrţní areál. Měřením lze zjistit, ţe
stín, který tato věţ vrhá v době vzniku satelitního snímku, je 290 m.
Zadání úloh:
1. Urči úhlovou výšku Slunce nad
obzorem v době vzniku
snímku.
2. Vypočítej délku stínu v době
rovnodennosti. K tomu je třeba
znát úhlovou výšku Slunce
v den rovnodennosti. Načrtni si
obrázek.
3. Zapiš, ve který den bude stín
nejkratší, a vypočítej jeho
délku.
Obr. č. 40
Řešení úloh:
1. 5,41;290
5,256tg
2. Úhlová výška Slunce ve dnech rovnodennosti je 90 , kde je zeměpisná
šířka. V tomto případě 39°54´. Potom:
7,306´5439tg
5,256
x m.
3. Nejkratší stín bude v době letního slunovratu, kdy je Slunce nejvýše na obloze. Pro
úhlovou výšku platí = 90° - 50°06′ + 23,5° = 63°24′.
Pak 4,128´2463tg
5,256
x m.
46
Hod oštěpem
Barbora Špotáková je česká atletka, která
se věnuje hodu oštěpem. Je světovou i českou
rekordmankou a olympijskou vítězkou. Od
Světového atletického finále ve Stuttgartu
13. 9. 2008 drţí ţenský světový rekord o hodnotě
72,28 m.
Zadání úloh:
1. Urči rychlost, kterou musela odhodit Bára Obr. č. 41
svůj oštěp, aby dosáhla světového rekordu 72,28 m. Předpokládej, ţe házela pod
ideálním úhlem 45°. Hodnotu tíhového zrychlení ve Stuttgartu urči podle
mezinárodního vzorce pro tíhové zrychlení u hladiny
moře: 42 sin023000,0sin278005,0178032,9 g . Počítej s přesností na
desetitisíciny. Zeměpisné souřadnice Stuttgartu: 48°47′ s. š., 9°13′ v. d.
2. Vypočítej, jakou vzdálenost by hodila v různých místech na Zemi (při stejném úhlu
a stejné rychlosti). Významné závody se konají na stadionech v Helsinkách
(60°11′ s. š., 24°55′ v. d.) nebo Aténách (38°02′ s. š., 23°47′ v. d.). Můţe hodnota
tíhového zrychlení zásadně změnit výkon závodnice?
Řešení úloh:
1. Z rovnic pro popis šikmého vrhu můţeme odvodit vztah pro délku
vrhu:g
vx
2sin.2
0
max . Z něj vyjádříme rychlost 2sin
. max
0
xgv 26,52 m/s, g =
9,8091 m ∙ s-2
.
2. Do vzorce pro délku vrhu dosazujeme v0 = 26,52 m/s, hodnoty tíhového zrychlení
měníme dle zadaného místa.
Podle výše uvedeného vzorce určíme hodnotu tíhového zrychlení v určených
místech.
Athény: g = 9, 7999 m ∙ s-2
; x = 71,77 m.
Helsinky: g = 9,8193 m ∙ s-2
; x = 71,53 m.
47
Nejdeštivější místo na Zemi
Nejdeštivějším místem na Zemi je havajský ostrov Kauai, kde na návětrné
straně Mount Waialeate v nadmořské výšce 1 547 m n. m prší průměrně 248 dní v roce
a průměrný roční úhrn sráţek je 12 344 mm. Indické Cherarapungi má průměrný roční
úhrn sráţek kolem 11 000 mm, uváţíme-li celoroční úhrny sráţek, byl naměřen rekord
26 461 mm. V České republice je místem s největším mnoţstvím sráţek oblast Bílého
potoka v Jizerských horách – 1 705 mm. Naopak nejméně sráţek napadne ve
sráţkových stínech Krušných hor a Šumavy – kolem 450 mm.
Zadání úloh:
1. Vysvětli na základě fyzikálních znalostí, proč mezi nejdeštivější místa na Zemi patří
návětrné strany hor v monzunových oblastech.
2. Vysvětli, jak vzniká sráţkový stín.
3. Vypočítej, kolik litrů vody dopadne na 1 m2 plochy v uvedených místech.
Řešení úloh:
1. Na návětrné straně hor vlhký vzduch stoupá, při výstupu se adiabaticky ochlazuje o
1 °C na 100 m (suchoadiabatické ochlazování). Pokud teplota vzduchu klesne na
hladinu rosného bodu, končí suchoadiabatický pokles teploty, dojde ke kondenzaci
vodních par. Proto je pro návětrnou stranu hor charakteristické deštivé počasí. Dále
klesá teplota jiţ jen o 0,6 °C (vlhkoadiabatické ochlazování).
Obr. č. 42
48
2. Za horskou překáţkou vzduch sestupuje dolů a krátce se zahřívá podle vlhké
adiabaty o 0,6° C na 100 m do doby neţ se rozpustí oblačnost, potom se zahřívá o
1° na 100 m. Takto vznikají sráţkové stíny.
3. Vodní sloupec 1 mm na ploše 1 m2 odpovídá objemu 1 dm
3 = 1 l spadlé vody.
Dopravní letadla
Představ si, ţe jsi
zaměstnancem letecké
společnosti a máš za úkol vybírat
vhodná letadla na jednotlivé
letecké linky. Při svém
rozhodování musíš uváţit
doletovou vzdálenost, potřebnou
kapacitu letadla či velikost
letiště. V tabulce jsou parametry Obr. č. 43
čtyř typů letadel.
Airbus A 380 Boeing 787
Dreamliner
Boeing 737 -
700
Boeing 747 –
300 Jumbo jet
Cestovní
rychlost
902 km/h
487 uzlů
936 km/h
481 uzlů
Obsah
nádrže
310 000 l
126 917 l
199 158 l
Dolet 15 100 km 15 200 6 230 km 12 400 km
Maximální
počet
cestujících
880
250
149
496
Zadání úloh:
1. Letadlo Airbus A 380 spotřebuje při maximální zatíţenosti 3 l paliva na jednoho
cestujícího na 100 km. Vypočítej maximální dolet letadla s plnou palivovou nádrţí,
pokud budou všechna sedadla obsazena. Doletí letadlo aţ do Tokia? K určení
49
nejkratší vzdálenosti Praha – Tokio pouţij aplikaci GoogleEarth. Všimni si, kterými
oblastmi vede nejkratší cesta.
2. Najdi na mapě dvě libovolná letiště v Africe, kam můţeme letět z Prahy
nejrozšířenějším letadlem na světě Boeingem 737-700, aby vystačilo palivo na cestu
tam a zpět. Počítej s doletem raději kratším, aby se nestalo, ţe nebudeš mít palivo.
Nezapomeň na to, ţe ne všechna africká letiště mají dostatečně dlouhou přistávací
dráhu.
3. Vypočítej cestovní rychlost letadel Boeing 787 a Boeing 747.
4. Boeing 747-300 Jumbo jet vyţaduje pro přistání délku přistávací dráhy 3 320 m.
Ověř na satelitní mapě, zda můţe bezpečně přistát v prázdninových destinacích,
jako je Gran Canaria, Kréta či Sicílie. Najdi na mapě dvě evropská města, kde je
přistání moţné.
5. Vypočítej, jak dlouho bude trvat let z Prahy do kanadské Ottawy, letí-li Boeing 787
průměrnou rychlostí 450 uzlů. V kolik hodin místního času přiletí letadlo do
Ottawy, kdyţ v Praze startuje ve 12:00 hod. Na satelitní mapě prostuduj nejkratší
cestu z Prahy do Ottawy.
Řešení úloh:
1. Při plné obsazenosti spotřebuje letadlo 26,4 l paliva na 1 km. Plná nádrţ tak stačí na
dolet do vzdálenosti 11 742 km. Vzdálenost letišť Praha Ruzyně – Tokio
je 9 116 km. Letadlo tam tedy doletí. Nejkratší spojnice obou míst prochází
severními oblastmi Sibiře, trasa letu se dokonce přiblíţí na 2° zeměpisné šířky
severnímu polárnímu kruhu.
2. Pokud je dolet 6 230 km, musí být letiště vzdálené maximálně 3 115 km. Doletět
tam i zpět lze například do Libyjského Tripolisu nebo do Egyptského Sharm El
Sheikhu.
3. Uzel (knot) je jednotkou rychlosti, značíme kt nebo kn a platí: 1 uzel = námořní míle
za hodinu, tedy 1 kt = 1,852 km/h-1
. Boeing 787 má cestovní rychlost 902 km/h,
Boeing 747 pak 891 km/h.
4. V prázdninových letoviscích s letadlem tohoto typu přistát nemůţeme, je to moţné
např. na letišti ve Frankfurtu nebo v Paříţi. Obří letouny mohou přistávat i v Praze.
5. Vzdálenost Ottawa - Praha je 6347 km. Rychlost vyjádříme v km/h, získáme dobu
letu 7 hod 11 min. Praha leţí v časovém pásmu UTC + 1 hod, Ottawa pak UTC - 5
hod. Letadlo přistane v 13 hod 11min místního času.
50
Nejkratší cesta vede přes oblast Holandska a Skotska, dále pak přes oceán
v blízkosti Grónska do Kanady.
Nejdelší silniční most světa
Nejdelším silničním mostem světa, který
vede přes vodu, je od roku 2011 most
Čching-tao v provincii Šan-Tung, který
vede přes záliv Ťiao-čou. Je dlouhý
42,5 km, široký aţ 35 m a spojuje tři oblasti
v okolí zálivu.
Obr. č. 44
Zadání úloh:
1. Najdi most v aplikaci GoogleEarth (souřadnice města Čching-tao 36°05′ s. š.,
120°21′ v. d.) a urči jeho délku z města Čching-tao na protější břeh.
2. Najdi cestu, kterou museli projíţdět řidiči automobilů dříve před tím, neţ byl most
otevřen. Napiš, o kolik km je tato trasa delší.
3. Vypočítej, o kolik minut se zkrátí cesta autem, jestliţe ve městě je nejvyšší povolená
rychlost 60 km/h, mimo město pak 80 km/h.
Řešení úloh:
1. Délka mostu je 24 km.
2. Trasa, kterou museli jezdit řidiči před otevřením mostu, je dlouhá 55,5 km.
Vzdálenost se tak zkrátí o 31,5 km.
3. Pokud pojedeme po mostě, zkrátíme tak dobu jízdy z 55 minut na 18 minut.
51
Zatmění Slunce
Zatmění Slunce nastane, dopadne-li na Zemi stín, který vrhá do prostoru
Měsíc, osvětlený Sluncem. Podmínkou pro vznik zatmění Slunce je, aby Měsíc byl
v konjunkci se Sluncem (v novu) a současně byl v blízkosti uzlu své dráhy. Plný stín
zasahuje jen velmi malé území. Je-li pozorovací místo na Zemi v plném stínu Měsíce,
pak nastává úplné zatmění Slunce, je-li
v polostínu, pak pro dané pozorovací místo
nastává částečné zatmění Slunce. Někdy se můţe
stát, je-li Země blízko perihélia a Měsíc blízko
apogea, ţe vrchol stínového kuţele nedopadne ani
na zemský povrch. Potom pozorujeme prstencové
zatmění Slunce.
Obr. č. 45: Prstencové zatmění Slunce
Zadání úloh:
1. Vypočítej, jak dlouho trvá zatmění Slunce v rovníkových oblastech. Průměrná
rychlost oběhu Měsíce kolem Země je 1,022 km/s. Rychlost rotace Země na rovníku
urči výpočtem. Maximální průměr měsíčního stínu je 270 km.
2. Vysvětli, proč zatmění Slunce v oblastech poblíţ rovníku je moţné pozorovat déle
neţ v oblastech středních zeměpisných šířek?
Řešení úloh:
1. Rychlost rotace Země na rovníku je 46516486
00007540v m ∙ s
-1. Jestliţe stín se
na povrchu Země pohybuje rychlostí 1,022 km/s a rychlost rotace Země je 0,465
km/s ve stejném směru, potom platí:
465,0022,1
270t 8 min 5 s. Maximální doba
zatmění uváděná v literatuře je 7 min 31 s.
2. Ve vyšších zeměpisných šířkách je rychlost pohybu místa pozorovatele na povrchu
Země menší. Proto v předchozím vzorci bude vycházet větší jmenovatel a výsledný
čas bude menší.
52
Letíme na Mallorcu
Letadlo vylétá z letiště
v Praze-Ruzyni ve 12:50 hod.
Míří směrem na Erfurt, potom se
stáčí jiţním směrem na Würzburg,
míjí Ţenevu a prolétá oblastí mezi
Nice a Marseille. V 14:35 dosedá
na letiště v Palma de Mallorca.
Zadání úloh:
1. Letadlo se při vzletu v Praze
rozjíţdí tak, ţe kaţdou
sekundu vzroste jeho rychlost
o 2 m/s. Aby vzlétlo, je třeba
vzletová rychlost asi 300 km/h Obr. č. 46
dle obsazenosti a zatíţení letadla. Vypočítej, jak dlouho se letadlo rozjíţdí, neţ
dosáhne vzletové rychlosti.
2. Nakresli graf závislosti rychlosti na čase. Graf vyuţij ke stanovení délky dráhy
potřebné k rozjezdu letadla.
3. Najdi na mapě obě města a urči přibliţnou vzdušnou vzdálenost obou letišť. Napiš,
jak dlouho trvá let, nezapomeň při tom na časová pásma.
4. Vypočítej průměrnou rychlost letadla.
5. Při přistávacím manévru na letišti v Palma de Mallorca pilot velmi prudce brzdí.
Urči, jakou dráhu potřebuje k zastavení, jestliţe přistávací rychlost je
240 km/h, po dosednutí na přistávací plochu a vyrovnání letadla, coţ trvá 5 sekund,
brzdí 30 s. Řešení zakresli do grafu v(t).
Řešení úloh:
1. Vzletová rychlost 300 km/s = 83,3 m/s. Trvá přibliţně 42 s, neţ jí letadlo dosáhne.
2. Náčrt grafu – obr. č. 47. Dráhu vypočítáme jako obsah trojúhelníka leţícího pod
přímkou. Ke vzletu potřebuje letadlo alespoň 1 750 m.
53
3. Přibliţná délka trasy je 1 600 km, let
trvá 1 hod 45 min.
4. Průměrná rychlost letadla 914 km/h.
5. Při přistávání nejprve musí pilot
vyrovnat letadlo, na coţ potřebuje
vzdálenost 333 m, poté můţe začít
brzdit, zabrzdí na vzdálenosti 999 m,
na přistávací manévr potřebuje délku
dráhy minimálně 1 332 m.
Obr. č. 47
Obr. č. 48
Honza cestovatel
Honza je nadšený cestovatel. Rodiče mu splnili jeho velké přání a koupili mu
hodinky se zabudovaným přístrojem GPS. Honza se tak mohl vydat na svou první
malou expedici. Rozhodl se, ţe
vyjde od přehradní nádrţe
Pastviny a půjde nejprve
směrem na sever. Kdyţ se
zeměpisná šířka změní o 5′,
změní směr na východní a
posune se tímto směrem o 5′
zeměpisné délky.
Obr. č. 49
Zadání úloh:
1. Urči, zda ujde směrem na východ a směrem na sever stejně dlouhé vzdálenosti.
Závislost rychlosti na čase při
rozjíždění
0
50
100
0 10 20 30 40 50
t (s)
v(m
/s)
Závislost rychlosti na čase při brždění
0
20
40
60
80
0 10 20 30 40
t (s)
v (
m/s
)
54
2. Honzovi získaný výsledek vrtal hlavou, a tak se rozhodl svoji expedici zopakovat
při dovolené ve španělské Barceloně (za výchozí bod zvol libovolné místo
u pláţe). Napiš, jak dlouhou trasu ušel tentokrát. Je trasa v porovnání s „expedicí
Pastviny“ kratší nebo delší? Při řešení vyuţij satelitní mapu.
3. Napiš, na kterém místě na Zemi by Honza urazil nejdelší vzdálenost a na kterém
naopak nejkratší.
Řešení úloh:
1. Zeměpisné souřadnice jsou: Pastviny 50°04′ s. š., 16°33′ v. d. Při řešení úlohy je
třeba dát pozor na různé zakřivení zemského povrchu. Pokud se pohybuje směrem
na sever, jedná se o pohyb ve směru poledníku, vypočteme tedy, jaká vzdálenost
náleţí 10′. Délka poledníku je 39 936 km, na 1° tak připadá 111 km, na 1′ pak
1,85 km. Na sever ujde tedy 9,25 km. Půjde-li směrem na východ, jedná se o pohyb
po rovnoběţce. Musíme nejprve určit délku příslušné rovnoběţky:
72325´0450cos37862 d km. Na jeden stupeň pak připadá vzdálenost
71,45 km, na úhlovou vteřinu 1,19 km. Na východ tedy ujde 5,95 km. Vzdálenosti,
jeţ ušel, nejsou stejné.
2. Stejným způsobem postupujeme pro výpočet v okolí Barcelony, poledníková
vzdálenost je stejná. Vzhledem k zeměpisné šířce Barcelony 41°25′ s. š.,
14°02′ v. d. je délka rovnoběţky 30 052 km, potom na 1° připadá 83,48 km, 1′
odpovídá 1,39 km. V Barceloně ujde 16,2 km, zatímco na Pastvinách jen 15,2 km.
3. Nejdelší vzdálenost by urazil v rovníkových oblastech, nejkratší naopak v okolí
zeměpisných pólů.
Tunguzská záhada
Je to jiţ více neţ sto let od tzv. Tunguzské záhady, kdy 30. 6. 1908 dopadl do
oblasti Sibiře s největší pravděpodobností asteroid. Výbuch nastal v 7 hodin 14 minut
ráno a podle svědků byly na severní polokouli ještě několik dní pozorované „bílé noci“ i
v jinak neobvyklých oblastech západní Evropy (zdroj [6]). Dodnes se nepodařilo úplně
dokázat, co se tenkrát vlastně stalo.
55
Zadání úloh:
1. Na internetu najdi podrobnosti o celé události, včetně přesného místa dopadu.
Kriticky zhodnoť dostupné informace. Lze se dočíst informaci o tom, ţe záblesk
světla byl pozorovaný aţ v Londýně. Vysvětli, zda je to moţné.
2. Urči, o jakou dobu dříve by musel asteroid dopadnout, aby nedopadl na pevninu, ale
do Beringova
moře. Uvaţuj
pouze rotaci
Země, jiné vlivy
zanedbej. Místo
v Beringově moři
zvol libovolně.
3. Pomocí aplikace
GoogleEarth zjisti Obr. č. 50
nejkratší vzdálenost mezi místem dopadu a Londýnem. Všimni si, ţe nejkratší cesta
dvakrát protne polární kruh. Vysvětli, jak je to moţné.
Řešení úloh:
1. Zeměpisné souřadnice skutečného místa dopadu jsou 61° s. š., 102° v. d. Vzhledem
k vzdálenostem obou míst, zakřivení zemského povrchu a přímočarému šíření světla
toto moţné není.
2. Podívejme se do satelitní mapy a za myšlené místo dopadu zvolme oblast
v Beringově moři o souřadnicích 61° s. š., 175° v. d. Rozdíl zeměpisných šířek je
tedy 73°, Země se o tento úhel pootočí za 4 hodiny 52 minut. Celá událost by
musela nastat v 2 hod 22 minut.
3. Vzdálenost Londýna a místa dopadu je přibliţně 5 725 km. Pokud povaţujeme Zemi
za referenční kouli, pak nejkratší vzdálenost určuje křivka zvaná ortodroma, coţ je
průsečnice povrchu Země a kruţnice, která leţí v rovině tvořené středem Země a
dvěma místy na povrchu Země. Známý je téţ pojem loxodroma, coţ je křivka, která
protíná poledníky pod stejným úhlem. Je delší neţ ortodroma, shodují se pouze ve
směru po polednících a po rovnoběţkách.
56
Lodí kolem ostrova Mallorca
Mezi nejkrásnější památky na
ostrově Mallorca bezesporu patří
gotická katedrála La Seu neboli
Catedral de Palma de Mallorca
v hlavním městě. Říká se, ţe
nejkrásnější pohled na ni je při
západu slunce při příjezdu od moře.
Do přístavu můţeme připlout
z mnoha letovisek, například
z městečka Magalluf, které leţí
západně od hlavního města. Obr. č. 51
Zadání úloh:
1. Pomocí satelitní mapy GoogleEarth najdi obě místa na mapě a urči jejich
vzdálenost.
2. Vypočítej, jak dlouho bude trvat plavba výletní lodí z Magallufu, jestliţe loď pluje
rychlostí 6,5 uzlů.
3. Mezi všemi Baleárskými ostrovy existuje dobré trajektové spojení. Například cesta
z hlavního města Ibizy do přístavu La Savina na Formenteře trvá 50 minut. Pomocí
Google Earth nebo maps.google.com zjisti vzdálenost obou měst a urči průměrnou
rychlost trajektu.
Řešení úloh:
1. Vzdálenost je přibliţně 12 km.
2. 1 uzel je 1,852 km ∙ h-1
. Plavba lodí trvá přibliţně 1 h.
3. Vzdálenost obou měst je 20 km, rychlost 24 km/h.
Cestujeme po Mallorce
Při cestě z Palma de Mallorca do horského městečka Sollér můţeme jet po
nebezpečné horské silnici, nebo můţeme vyuţít přibliţně 3 km dlouhý tunel. Rychlost
57
v tunelu je omezena na 80 km/h. Jelikoţ auto z půjčovny není v dobrém technickém
stavu, jedeme pouze rychlostí 65 km/h. V tunelu nás předjíţdí nákladní automobil,
jedoucí maximální povolenou rychlostí, jeho délka je 12 m.
Z města Sollér do přístavu Port de Sollér několikrát denně vyjíţdí souprava dvou
historických dřevěných vagónů. Po opuštění města Solér se rychlost zvyšuje lineárně
s časem tak, ţe po době 90 s vlak
získá rychlost 18 km/h. Přibliţně po
500 metrech musí souprava začít
brzdit, aby bezpečně zastavila u
vyhlídkové terasy. Brzdění trvá 1
minutu. Tady si mohou cestující
vystoupit a vychutnat si nádherný
výhled na město.
Obr. č. 52: Přístav Port de Sollér
Zadání úloh:
1. Urči, jak dlouho bude trvat, neţ nás nákladní automobil předjede (výsledek
zaokrouhli na sekundy). Délku osobního auta uvaţuj 4 metry.
2. Vypočítej dobu, kterou potřebuje nákladní auto k projetí tunelem.
3. Zakresli graf v(t) a urči, jak daleko od města Solér je vyhlídková terasa.
Řešení úloh:
1. Doba předjíţdění bude přibliţně 4 s.
2. Automobil projede celý tunel za 2 min 16 s.
3. Grafické řešení. Hledaná vzdálenost je 875 m.
Závislost rychlosti na čase
0
2
4
6
0 100 200 300
t (s)
v (
m/s
)
Obr. č. 53
58
Nosiči ve Vysokých Tatrách
Vysoké Tatry jsou jediným evropským
pohořím, kde fungují chaty, které jsou plně
závislé na práci nosičů. Ti musí na speciální
konstrukci vynést na zádech vše potřebné,
od potravin aţ po stavební materiály.
Kaţdoročně se dokonce koná závod Šerpa
rallye ze Štrbského plesa na Solisko.
Rekordmanem mezi nosiči je Laco Kulanga, Obr. č. 54
který z Hrebienku (1 272 m n. m.) vynesl náklad o hmotnosti 207,5 kg aţ na
Zamkovského chatu (1 475 m n. m.). Převzato z [7].
Zadání úloh:
1. Vypočítej, jak velkou práci vykoná nosič při vynesení nákladu.
2. Vypočítej, jak velkou práci vykoná celkem. Jeho hmotnost uvaţuj 85 kg.
Řešení úloh:
1. Převýšení je 203 metrů. Práce potřebná k vynesení nákladu: W = F ∙ h = 421,2 kJ.
2. Celková práce, kterou nosič vykoná: W = F ∙ h = 593,7 kJ.
Severní pól
Zadání úloh:
1. Cestovatel se v okolí severního pólu pohybuje tak, ţe
udrţuje stále severovýchodní směr. Zakresli do
připraveného obrázku tvar trajektorie.
2. V jedné písničce se zpívá: „Je statisticky dokázáno, ţe
Slunce vyjde kaţdé ráno…“ Napiš, zda tomu tak je i na
severním pólu.
3. K překonání všech časových pásem v krátkém okamţiku Obr. č. 55
nepotřebujeme tryskové letadlo. Vysvětli, jak určujeme čas a datum na severním
pólu.
59
4. Vysvětli pojem bílé noci.
Řešení úloh:
1. Trajektorií je spirála, tzv. loxodroma, která protíná
kaţdý poledník pod úhlem 45°.
2. Na severním pólu vychází Slunce jen jednou do roka a
to kolem 21. března. Kaţdý den opíše na obloze celou
kruţnici a zároveň se zvedá nad obzor do větší výšky,
takţe opisuje spirálu. Nejvýše je v období letního
slunovratu, poté klesá po stejné trajektorii, aţ kolem Obr. č. 56
23. září zapadá. V roce 2011 začal polární den na severním pólu jiţ 18. 3., polární
noc na jiţním pólu pak 23.3. Je to vlivem astronomické refrakce. Sluneční paprsky
se totiţ nešíří přímočaře, ale vlivem rozdílného indexu lomu niţších vrstev
atmosféry, se zakřivují směrem k zemskému povrchu. Vycházející či zapadající
Slunce tak vidíme v době, kdy je asi 0,8° pod obzorem.
3. Na severním pólu se sbíhají všechna časová pásma. Pouţívá se zde světový čas
UTC, nebo polární expedice pouţívají časové pásmo své domovské země.
4. Bílé noci můţeme pozorovat na některých místech Skandinávie, Ruska, Kanady či
na Islandu, tedy v oblastech poloţených jiţněji od severního polárního kruhu. Děje
se tak v období kolem letního slunovratu, kdy Slunce neklesá pod obzor více neţ
17,5°. Občanský soumrak tak trvá celou noc. Například v Reykjavíku v tomto
období trvá noc necelé 2 hodiny. Pro pásmo mezi 67°30′ a 83°30′, je kromě
nepřetrţitého dne v červnu charakteristická i mnohadenní noc v prosinci. Na jiţní
polokouli lze pozorovat stejné úkazy.
Plastický globus
Glóbus je zmenšený a zjednodušený model Země. Zmenšení je vyjádřeno
měřítkem glóbusu, např. 1:60 000 000, tzn. 1 cm ̂ 600 km. Skutečný tvar Země, tj.
geoid, je u glóbu obvykle nahrazen koulí. Lze však v obchodech koupit i glóby, které
zachovávají skutečný tvar Země, případně dokonce glóby plastické, se znázorněným
zemským reliéfem.
60
Zadání úloh:
1. Plastický glóbus, který je běţně k dostání v obchodní síti,
má průměr 30 cm. Vypočítej, zda takové zobrazení
v měřítku 1:60 000 000 odpovídá reálným rozměrům
Země. Zemi povaţuj za kouli o poloměru 6 371 km.
2. Napiš, zda je v tomto měřítku moţné vytvořit plastický
glóbus tak, aby zobrazoval výšky a hloubky opravdu
věrohodně. Výpočet proveď pro nejvyšší vrchol světa a pro Obr. č. 57
nejhlubší místo na Zemi.
Řešení úloh:
1. Aby byly rozměry zobrazeny opravdu věrohodně, musel by mít glóbus s tímto
měřítkem průměr 21,2 cm.
2. V tomto měřítku však není moţné vytvořit plastický glóbus. Například Mount
Everest vysoký 8 848 m by měl výšku 0,15 mm, naopak Mariánský příkop, jehoţ
hloubka je -10 924 m, by byl na plastickém globu hluboký 0,18 mm. Běţně
prodejné plastické globy nemají tedy se skutečností moc společného, slouţí jen pro
větší názornost.
Měření na satelitních mapách
Zadání úloh:
1. Na satelitní mapě na serveru
www.mapy.cz najdi dům, ve
kterém bydlíš, či jinou
významnou budovu, ve tvém
okolí. Změř pomocí funkce
měření jeho rozměry. Porovnej
naměřené hodnoty s realitou.
(Na obrázku je budova soudu
v Hradci Králové.) Obr. č. 58
2. V satelitních mapách lze měřit s přesností na tisíciny úhlové vteřiny. Vyjádři
přesnost měření v centimetrech. Ber v úvahu zeměpisnou šířku 50° a délku 15°.
61
Řešení úloh:
1. Půdorysem budovy na obrázku je pětiúhelník s délkou strany přibliţně 80 m.
2. Nejprve musíme určit délku příslušné rovnoběţky a poledníku. Délka
50. rovnoběţky je 25 759 km. Na jeden úhlový stupeň tak připadá 71,6 km, úhlu 1′
odpovídá 1,193 km a úhlu 1″ pak 0,02 km. Jedné úhlové vteřině odpovídá
vzdálenost 20 m. Měříme tedy s přesností na 2 cm. Délku 15. poledníku určíme ze
vzorce pro délku kruţnice 93639356622 rd km. 1° tedy odpovídá
111 km, 1′ odpovídá 1,849 km a 1″ odpovídá vzdálenost 0,031 km. V poledníkovém
směru znamená přesnost na tisíciny úhlové vteřiny 3 cm.
Sopka v souostroví Tonga
Mohutný výbuch podmořské sopky byl zaznamenán v pacifickém souostroví
Tonga. Vybuchla sopka u ostrůvku Hunga Ha´apai. Do vzduchu vyslala velké mnoţství
popela. Dým stoupal aţ do výše deseti kilometrů. Erupce byla jasně vidět z hlavního
města Tongy Nuku´alofa.
Zadání úlohy:
Vypočítej, v jaké vzdálenosti od
ostrůvku Hunga Ha´apai je moţné
stoupající dým vidět. S pouţitím
satelitní mapy zapiš, na kterých
ostrovech v Pacifiku je moţné
stoupající dým pozorovat.
Řešení úlohy: Obr. č. 59
Výpočet provedeme z Pythagorovy věty:
35737163816 2222 RhRx km
Pozorování je moţné pouze na ostrůvcích souostroví Tonga,
souostroví Fidţi nebo Samoa jsou vzdáleny více, neţ je
poţadováno. Obr. č. 60
62
Povrch, objem a hustota Země
Zastánci názoru, ţe Země má tvar koule, byli Pythagoras a Aristoteles (6. stol.
př. n. l.). V 17. století se začalo pochybovat o přesně kulovém tvaru Země. V současné
době víme, ţe tvaru Země
nejlépe odpovídá těleso zvané
geoid (plocha, k níţ je tíhová
síla vţdy kolmá). Ten je však
pro svůj sloţitý tvar nevhodný
k výpočtům, nahrazuje se
rotačním elipsoidem. Pro účely
školské fyziky postačuje
nahrazení koulí o poloměru
6 371 km.
Obr. č. 61
Zadání úloh:
1. Zemské těleso můţeme nahradit koulí o poloměru 6 371 km. Vypočítej, jaký má
Země povrch. Výsledek uveď v km2.
2. Vypočítej, jaký je její objem v m3. Urči střední hustotu Země v kg/m
3.
3. Porovnej výsledek s údaji zjištěnými v učebnicích zeměpisu, či na internetu.
4. Přímé pozorování stavby Země má svou hranici v nejhlubším mořském vrtu
2 111 m pod mořským dnem, v nejhlubší šachtě 3 848 m a nejhlubším vrtu
12 261 m na poloostrově Kola. Vysvětli, jakým způsobem geofyzikové získávají
informace o stavbě Země. Vyuţij informace dostupné na internetu.
Řešení úloh:
Povrch koule o poloměru r = 6 371 km:
1. Objem koule o poloměru r = 6 371 km:
Pro hustotu platí:
.km10510km371644 26222 rS
.m1008,1km1008,13
4 3213123 rV
63
2. Výpočtem jsme získali pouze průměrnou hustotu. Z geofyzikálních měření plyne, ţe
se Země skládá z několika soustředných vrstev. Nám pro názornost stačí rozdělit
zemské těleso na kůru, plášť, vnější a vnitřní jádro. Hustota zemské kůry se
pohybuje od 2 700 kg/m3 do 2 900 kg/m
3, hustota jádra je podle některých zdrojů aţ
13 500 kg/m3.
3. Nejpodrobnější informace o stavbě zemského nitra poskytuje seismologie. Je tomu
tak proto, ţe seizmické vlny pronikají s malým útlumem na velké vzdálenosti.
Studuje se hlavně rychlost šíření a dráhy zemětřesných vln. „Prozáření“ nitra je
pochopitelně tím úplnější, čím větší je počet stanic, na kterých můţeme studovat
jedno zemětřesení, a čím větší je počet studovaných zemětřesení. Při přechodu
rozhraní hornin s odlišnými hustotami se zemětřesné vlny chovají obdobně, jako
kdyţ světlo prochází kusem skla. Jestliţe vlny zasáhnou rozhraní pod malým úhlem,
odráţejí se. Vlny ze vzdálených zemětřesení prostupují kůrou pod velkými úhly,
zatímco vlny blízkých zemětřesení vystupují pod malými úhly. Znají-li geofyzikové
tyto úhly, rychlosti, jimiţ se vlny šíří, časy jejich příchodu a příslušné vzdálenosti,
mohou vypočítat polohy a hustoty odlišných slupek Země.
Ledovcová pokrývka Grónska
Grónský ledovec, který je druhou největší zaledněnou plochou po Antarktickém
ledovci, je rozsáhlá masa ledu pokrývající 1,7 miliónů km2, coţ představuje zhruba
80 % povrchu Grónska. Průměrná tloušťka ledovce činí 2 135 metrů. Někteří vědci
předpokládají, ţe globální oteplení by mohlo v průběhu příštích několika staletí
způsobit úplné roztátí tohoto ledovce. V roce 2010 ubylo nevratným táním odhadem
530 gigatun ledovce.
.m
kg5605
1008,1
1063321
24
m
kg
V
M
64
Zadání úloh:
1. Na satelitní mapě Grónska změř rozměry ledovce,
tedy délku od severu k jihu. Urči šířku ledovce
v nejširším místě.
2. Urči hmotnost a objem ledu, který tvoří grónský
ledovec.
3. Vypočítej objem vody, která vznikla táním ledu v
roce 2010.
4. Vypočítej, o kolik cm by se zvýšila hladina
oceánu, kdyby roztál celý grónský ledovec.
Uvaţuj, ţe světový oceán zaujímá přibliţně 70 %
celkového povrchu Země.
5. Napiš, jaké důsledky by mělo roztátí ledovce pro
přímořské státy severní a západní Evropy.
Obr. č. 62
Řešení úloh:
1. Délka ledovce od severu k jihu je přibliţně 2 500 km, šířka v místě okolo
70. rovnoběţky pak 1 100 km.
2. V = 1,7 ∙ 1012
∙ 2 135 = 3,6 ∙ 1015
m3. Hmotnost ledu, uvaţujeme-li jeho hustotu
920 kg/m3, je 3,3 ∙ 10
18 kg.
3. 530 gigatun je 530 ∙ 1012
kg. Roztálo tedy V = m/ = 5,15 ∙ 1011
m3 (hustota mořské
vody je 1 028 kg/m3).
4. Pokud by roztál celý ledovec, tj. roztátím ledu by vznikla voda o objemu
3,2 ∙ 1015
m3, znamenalo by to vzestup hladiny světového oceánu přibliţně o 6 m.
5. Na satelitní mapě lze kromě zeměpisné šířky a délky určit nadmořskou výšku.
Podrobným zkoumáním nadmořské výšky v přímořských oblastech Holandska,
Polska, Dánska či Německa můţeme určit území, která by byla zaplavena.
65
Jumbo Jet přistává
Letadlo Boeing 747-300 Jumbo Jet vyţaduje pro přistání dráhu dlouhou 3 320 m.
Přistávací rychlost těchto
velkých dopravních letadel je
240 km ∙ h-1
. Při přistávacím
manévru, poté co se podvozek
dotkne letištní dráhy, musí pilot
nejprve letadlo vyrovnat a
následně začíná brzdit.
Obr. č. 63: Přistání letadla na ostrově St. Maarten
Zadání úloh:
1. Uvaţuj, ţe vyrovnání letadla trvá 10 s. Vypočítej, jak dlouhou dobu bude pilot
brzdit, pokud se rychlost sniţuje s časem rovnoměrně. Předpokládej, ţe
k přistávacímu manévru vyuţije celou letištní dráhu. K řešení načrtni graf v(t).
2. Pomocí satelitní mapy porovnej délky drah všech mezinárodních letišť v ČR
a napiš, na kterých letištích můţe toto letadlo přistát.
3. Cestovní rychlost tohoto letadla je 481 uzlů. Vyjádři rychlost letadla v km ∙ h-1
.
Řešení úloh:
1. K vyrovnání letadla na dráze potřebuje pilot 666 m, zbytek dráhy tj. 2 654 m vyuţije
pro brzdění, které trvá 80 s.
2. Z našich letišť je pro přistání vhodné letiště Praha-Ruzyně a Ostrava-Mošnov.
3. 1 uzel = 1,852 km ∙ h-1
, rychlost letadla tedy je 891 km ∙ h-1
.
Přehrada Tři soutěsky
Největší hydroelektrárna světa se začala budovat na konci roku 1994 na řece Jang-
c'-ťiang u města I-čchang v provincii Chu-pej v Číně. O devět let později se začala
napouštět vodou a v roce 2006 byla kompletně dostavěna přehradní hráz. Po úplném
dokončení v roce 2011 pak mají Tři soutěsky mít výkon aţ 22 500 MW. Maximální
rozdíl horní a spodní hladinou vody je 175 m. Tato stavba je poměrně kontroverzní,
kritici varují hlavně před ekologickými dopady tohoto díla. Problém je i s plánovaným
66
výkonem, neboť řeka nemá předpokládaný průtok. Minimální průtok pro provoz
elektrárny je 5 000 m3
vody.
Zadání úloh:
1. Vypočítej objemový průtok
vodním dílem při
maximálním výkonu.
Účinnost elektrárny je 85 %.
2. Vypočítej výkon elektrárny
při minimálním průtoku
5 000 m3. Porovnej tento
výkon s výkonem největších
českých vodních elektráren. Obr. č. 64
Řešení úloh:
1. Výkon vodní elektrárny je 1́PP , kde P1 je příkon. Platí:
hgQhgQt
mgh
t
WP Vm
1 . Pokud uvaţujeme účinnost 85 %, pak
je objemový průtok pro maximální výkon 20 270 m3/s.
2. Vypočtený výkon je 7 437 MW. Instalovaný výkon všech vodních elektráren v ČR
je přibliţně 2 500 MW, největší výkon má přečerpávací elektrárna Dlouhé Stráně –
650 MW, Dalešice – 480 MW, Orlík – 364 MW, nebo Slapy – 144 MW.
Let horkovzdušným balónem
V roce 1995 dobrodruh Steve Fossett uskutečnil první samostatný přelet Pacifiku
v horkovzdušném balónu. Startoval z olympijského stadionu v Soulu a přistál
v Saskatchewanu v Kanadě. Přelet trval 4 dny, 6 hodin a 14 minut. V roce 2002
překonal svým letem hned dva rekordy a to časově nejdelší sólový let a nejrychlejší
oblet Země balónem. Startoval z Australského Northamu a po 13 dnech, 8 hodinách
a 33 minutách doletěl do Australské Eromangy.
67
Zadání úloh:
1. Najdi zeměpisné souřadnice Soulu a Saskatchewanu. Pomocí satelitní mapy urči
jejich vzdálenost.
2. Vypočítej průměrnou rychlost, kterou se balón pohyboval při přeletu přes Pacifik.
3. Zapiš zeměpisné souřadnice měst, ve
kterých začínal a končil let v roce
2002. Jelikoţ obě místa jsou
přibliţně stejně daleko od
29. rovnoběţky, uvaţuj, ţe by let
probíhal přesně po 29. rovnoběţce.
Vypočítej délku trasy. Urči
průměrnou rychlost letu. Obr. č. 65: Steve Fosset
Řešení úloh:
1. Vzdálenost obou míst je 8 738 km.
2. Průměrná rychlost 86 km/h.
3. Northam 31°39′ j. š., 116°40′ v. d.; Ergomanga 26°40′ j. š., 143°16′ v. d. Délka
29. rovnoběţky je 0113529cos22 Rrd km. Délka trasy je
32 385 km. Průměrná rychlost balónu přes 100 km/h.
Množství srážek
Zadání úlohy:
Ve zprávách o počasí se často dozvídáme údaj o mnoţství sráţek. Ten se
vyjadřuje v mm vodního sloupce. Vypočítej, jaké mnoţství vody v litrech spadne
v Praze, pokud naprší 20 mm sráţek. Přibliţnou rozlohu města změř pomocí satelitní
mapy nebo tištěného plánku města. V satelitní mapě je hranice města zvýrazněna
fialovou čarou. Pouţij metodu čtvercové sítě.
Řešení úlohy:
Rozloha města je přibliţně 500 km2 (přesně 496 km
2 – katastrální výměra, údaj
z internetu). Na tomto území při zadaném mnoţství sráţek naprší 1010
litrů vody.
68
Vzdálenosti ve vesmíru
Zadání úloh:
1. Vzdálenosti ve vesmíru jsou v porovnání s měřením na Zemi tak velké, ţe k jejich
určení pouţíváme jiné jednotky délky – astronomickou jednotku (AU), parsec (pc)
a světelný rok (ly). Vyhledej a napiš definice těchto jednotek.
2. Vyjádři 1 pc a 1 ly v metrech.
3. Vyjádři vzdálenost Země – Slunce v pc a ly.
Řešení úloh:
1. Astronomická jednotka je délka poloměru nerušené oběţné kruhové dráhy tělesa se
zanedbatelnou hmotností, pohybujícího se okolo Slunce rychlostí
0,017 202 098 950 radiánů za den (86 400 s). Tedy:
1 AU = 149 597 870 691 ± 6 m (hodnota z roku 2000).
Všechny vzdálenosti ve vesmíru lze odvodit pomocí astronomické jednotky. Jeden
parsec je vzdálenost, z níţ bychom viděli 1 AU
pod zorným úhlem 1″. Světelný rok je vzdálenost,
kterou urazí světlo ve vakuu za jeden tropický
rok. Pomocí rychlosti světla můţeme vyjádřit
1 ly ≈ 9,46 × 1015
m. Obr. č. 66
2. 1 pc = 1 pc = 3,095 7 ∙ 1016
m.
1 ly = 9,460 8 ∙ 1015
m.
3. Vzdálenost Země – Slunce v období letního slunovratu je 152 033 300 km, coţ je
4,9 ∙ 10-6
pc, tj. 1,6 ∙ 10-5
ly. Vzdálenost Země – Slunce v období zimního slunovratu
je 147 168 100 km, coţ je 4,8 ∙ 10-6
pc, tj. 1,56 ∙ 10-5
ly.
69
Přelet Austrálie
Při přeletu ze západního pobřeţí Austrálie na východní přeletíme několik
časových pásem. Časová pásma však nejsou vţdycky určena přesně podle poledníků,
nýbrţ sledují hranice států a niţších územně
správních celků daných oblastí. Austrálie je
rozdělena do tří časových pásem: Western
Standard Time (UTC + 8), Central Standard
Time (UTC + 9:30) a Eastern Standard Time
(UTC + 10). Toto jsou základní časová pásma,
některé oblasti se od nich ještě mírně odlišují,
popřípadě v nich platí letní čas. Podrobnější
informace lze nalézt v anglické verzi
Wikipedie. Obr. č. 67
Zadání úloh:
1. Austrálií prochází obratník Kozoroha. Zapiš jeho zeměpisnou šířku a urči délku této
rovnoběţky.
2. Zapiš zeměpisné délky, které vymezují jednotlivá časová pásma v Austrálii
(pohybujeme-li se podél obratníku).
3. Vypočítej, jakou vzdálenost v km musíme urazit ze západního pobřeţí směrem na
východní, abychom si mohli nastavit správný pásmový čas. Předpokládej, ţe letem
kopírujeme přesně obratník Kozoroha.
4. Napiš, kolik stupňů zeměpisné délky a jakou vzdálenost je třeba překonat při dalším
nastavení pásmového času.
Řešení úloh:
1. Zeměpisná šířka 23°27′. Délka rovnoběţky ´2723cos2 Rd 36 724 km.
2. Western Standard Time (UTC + 8): 113° v. d. – 129° v. d.
Central Standard Time (UTC + 9:30): 129° v. d. – 138° v. d.
Eastern Standard Time (UTC + 10): 138° v. d. – 150° v. d.
3. Na obratníku Kozoroha přísluší jednomu úhlovému stupni zeměpisné délky
vzdálenost 102 km. Pro příslušný rozdíl zeměpisných délek vyjde vzdálenost
1 632 km.
70
4. 9° zeměpisné délky, čemuţ odpovídá 918 km.
45. Sopka na ostrově Bali
Nejvyšší vrcholem indonéského ostrova Bali je sopka Mount Agung
3 142 m n. m. Na úpatí sopky se nachází vesnice Besakih, kde najdeme i nejposvátnější
místo ostrova Pura Besakih. V okolí chrámu stojí dalších 200 chrámů a budov. Jednou
z nich je i Mother Temple of Besakih.
Zadání úloh: Obr. č. 68
1. Pomocí satelitní mapy urči vzdálenost místa Mother Temple of Besakih od kráteru
sopky.
2. Zanedbej odpor prostředí a vypočítej, jakou rychlost by musely mít kameny
vylétající ze sopky, aby dolétly aţ k Mother Temple. Uvaţuj elevační úhel 45°.
3. Ověř výpočtem, zda můţou obyvatelé západní části ostrova vidět přes moře na
sousední ostrov Jáva.
4. Na jihu ostrova najdeš letiště. Změř na satelitní mapě délku přistávací dráhy
a výpočtem ověř, zda je tato dráha vhodná ke startu velkých dopravních letadel typu
Boeing, který potřebuje ke startu nabrat rychlost 300 km/h. Předpokládej, ţe letadlo
na startovní dráze zrychluje o 2 m/s za kaţdou sekundu. Načrtni si graf.
Řešení úloh:
1. Vzdálenost obou míst je přibliţně 5,5 km.
2. Z rovnic pro popis šikmého vrhu:
71
2
00
00
2
1sin
cos
gttvyy
tvxx
vyjádříme vztah pro počáteční
rychlost 00
2
0
0
)(
yyxx
xxgv
. Po dosazení vypočítáme počáteční rychlost
55,5 m/s = 200 km/h. Rychlost udávaná v literatuře se pohybuje okolo 100 km/h.
tento model není tedy k řešení příliš vhodný.
3. Jak daleko vidíme v „rovině“, můţeme určit z Pythagorovy věty,
kde po dosazení a zanedbání členu h2 (h je výška stojící osoby)
dostaneme vzorec: Rhx 2 . Vezmeme-li v úvahu výšku očí
člověka 170 cm, dostaneme hodnotu 4,65 km. Prostudováním
mapy zjistíme, ţe to moţné je. Obr. č. 69
4. Startovní rychlosti letadlo dosáhne
přibliţně po 42 s. Z grafu plyne, ţe
urazí dráhu 1 750 m. Letištní dráha
na Bali je dlouhá téměř 3 km.
Obr. č. 70
Obvod Země
Zadání úlohy:
Představ si, ţe máš dlouhý provázek, se kterým můţeš obejít Zemi a natáhnout ho
kolem rovníku. Předpokládej, ţe Země je dokonalá koule o poloměru 6 371 km a rovník
prochází oblastmi s nulovou nadmořskou výškou. Nyní zkus k provázku přivázat ještě
kousek v délce 1 m. Kdyţ se ti povede provázek vypnout tak, aby byl ve všech místech
stejně vzdálený od středu Země, můţe se stát, ţe pod provázkem proleze zvíře například
velikosti kočky?
Závislost rychlosti na čase při
rozjíždění
0
50
100
0 10 20 30 40 50
t (s)
v(m
/s)
72
Řešení úlohy:
Při poloměru Země 6 371 km vyjde obvod rovníku 40 030,174 km. Kdyţ k uvedené
hodnotě přičteme 1 metr, vyjde hodnota poloměru Země 6 371 000,16 m. Provázek
bude tedy od Země vzdálen 16 cm, coţ menšímu zvířeti k podlezení stačí.
Plachetnicí na jižní pól
V roce 2008 podnikl Jean Jacques Godet, majitel francouzské firmy na koňak a
nadšený cestovatel, cestu se svými přáteli plachetnicí na jiţní pól. Vyrazili
z Argentinské Patagonie, cesta jim trvala sedm a půl týdne. Základnou pro výpravy do
Antarktidy je město Ushuaia v argentinské provincii Sierra del Fuego, které leţí na
54° 48′ j. š. Jediným přístavem na Antarktidě je ten u polární stanice Mc Murdo.
Obr. č. 71: Polární stanice Mc Murdo
Zadání úloh:
1. Vypočítej vzdálenost z města Ushuia na jiţní pól. Pro jednoduchost předpokládej, ţe
se cestovatelé pohybovali přímo po poledníku.
2. Zjisti měřením na satelitní mapě vzdálenost mezi přístavem v Patagonii a na
Antarktidě. Změř, jakou vzdálenost k jiţnímu pólu museli cestovatelé překonat po
pevnině.
73
Řešení úloh:
1. Ve směru po poledníku připadá na jeden stupeň zeměpisné šířky vzdálenost
přibliţně 111 km, na jednu úhlovou minutu pak 1,848 km. Pro zadaný rozdíl
zeměpisných šířek vychází vzdálenost 3 973 km.
2. Měřením na satelitní mapě zjistíme vzdálenost 5 850 km. Po kontinentu pak ještě
musí ujít 1 350 km.
Volvo Ocean Race
Na podzim roku 2011 odstartoval další ročník extrémního závodu plachetnic
Volvo Ocean race. Největší a nejslavnější etapový závod plachetnic se jezdí od roku
1972. V tomto ročníku startovalo 6 plachetnic. První etapa vedla ze Španělského města
Alicante do Kapského města
(Jihoafrická republika), další
zastávkou je Abu Dhabi (Spojené
arabské emiráty), Sanya (Čína),
Auckland (Nový Zéland), Itajai
(Brazílie), Maiami (USA), Lisabon
(Portugalsko), Lorient (Francie).
Závod končil v Irském městě
Galway. Obr. č. 72
Zadání úlohy:
Na satelitní mapě najdi všechna města a změř délky jednotlivých etap. Výsledek zapiš
v km a v námořních mílích.
Řešení úlohy:
Vzdálenost Alicante – Kapské město 10 300 km, Kapské město – Abu Dhabi 9 285 km,
Abu Dhabi – Sanya 9 085 km, Sanya – Auckland 9 800 km, Auckland – Itajai
14 140 km, Itajai – Miami 9 450 km, Miami – Lisabon 6 780 km, Lisabon – Lorient
1280 km, Lorient – Galway 1020 km. Celkem tedy 71 140 km, tj. 38 413 námořních
mil.
74
Mohyla Silbury Hill
Největší evropskou mohylu a
posvátné místo starověkých Keltů
Silury Hill nalezneme v Anglii
nedaleko Stonehenge. Vznikla
přibliţně před 4 500 lety a
pravděpodobně slouţila jako
pohřebiště. Má tvar komolého kuţele
o výšce 131 stop, průměr dolní
základny je 548 stop, horní pak 98 stop. Obr. č. 73
Zadání úloh:
1. Vyjádři rozměry mohyly v jednotkách délky SI.
2. Vypočítej objem mohyly v m3.
3. Vypočítej plochu podstavy mohyly. Výsledek vyjádři v ha.
Řešení úloh:
1. Stopa (ft z angl. foot) je historická (dodnes však v Anglii uţívaná) jednotka délky.
Platí 1 ft = 0,3 048 m. Pro dolní podstavu tedy vyjde průměr 167 m, horní podstava
má průměr 30 m, výška je pak 40 m.
2. Jelikoţ se jedná o komolý kuţel, pouţijeme vzorec vrrrrV 2
221
2
13
1 . Po
dosazení vyjde objem 353 942 m3.
3. 21 903 m2, tj. přibliţně 2 ha.
Let z Moskvy do Vilniusu
Malé letadlo letí z Moskvy západním směrem přesně podle 55. rovnoběţky.
Pohybuje se rychlostí 250 km/h vzhledem k okolnímu vzduchu. Při přeletu nad
Běloruskem se dostane do oblasti severního proudění. Rychlost větru je 70 km/h.
75
Obr. č. 74
Zadání úloh:
1. Vypočítej rychlost letadla vzhledem k Zemi.
2. Pokud by pilot udrţoval na palubním kompasu kurz přesně na západ, jakým směrem
by se ve skutečnosti pohyboval? Vyjádři odklon od západního kurzu ve stupních.
3. Aby pilot udrţoval západní směr vzhledem k Zemi, musí částečně mířit proti větru.
Jaký kurz musí udrţovat, chce-li letět opravdu západním směrem? Vypočítej
rychlost letadla.
4. Vysvětli, jakou rychlostí se musí pohybovat letadlo v případě, ţe se pohybuje
z východu na západ oblastmi, kde vane západní vítr.
5. Pomocí údajů ze satelitní mapy vypočítej délku trasy letu z Moskvy do Litevského
Vilniusu. Pro jednoduchost uvaţuj, ţe obě města leţí na 55. rovnoběţce.
Řešení úloh:
1. Podle obrázku platí: 2602
2
2
1 vvv km/h, kde v1 je rychlost letadla vzhledem
k okolnímu vzduchu, v2 je rychlost větru.
2. Z předchozího obrázku plyne:
´3815;250
70tg
1
2 v
v.
3. Dle obrázku (obr. č. 76): 2402
2
2
1 vvv km/h.
Pilot musí udrţovat kurz určený úhlem , platí:
´2616;250
70sin . Obr. č. 75
76
4. Paradoxně platí, ţe rychlost letadla letícího po větru musí být vzhledem k povrchu
Země větší, neţ u letadla letícího proti větru. Souvisí to s vztlakovou silou.
5. Pro délku rovnoběţky platí:
9602255cos22 Rrd km.
Moskva-letiště Domodědovo má zeměpisnou délku
37°54′ v. d., letiště v Litvě pak 25°17′. Z rozdílu
zeměpisných délek dostaneme vzdálenost 803 km.
Obr. č. 76
Sluneční kámen
Staří Vikingové byli výjimeční námořníci. Podnikali objevitelské cesty
v severních mořích, dokonce Ameriku objevili dávno před Kolumbem. K navigaci na
moři pouţívali tzv. sluneční kámen (cordierit), coţ je islandský vápenec. Ten byl
nalezen ve vraku lodi, která se potopila roku 1592, a je jedinečný tím, ţe pomocí něho
dokázali námořníci určit polohu Slunce i na
zamračené obloze.
Zadání úlohy:
Vysvětli na základě znalostí z optiky princip
fungování kamene.
Obr. č. 77
Řešení úlohy:
Vše funguje na principu polarizace světla. Islandský vápenec patří mezi tzv. anizotropní
látky. To znamená, ţe rychlost světla není při průchodu látkou ve všech směrech šíření
stejná. Proto se nepolarizované světlo, které na něj dopadá, rozdělí na řádný
a mimořádný paprsek. Nastává tak dvojlom. Nejvýrazněji kámen září při natočení do
směru, ve kterém leţí Slunce. Postupným otáčením kamene tak lze zjistit polohu
Slunce.
77
Družice s polární drahou letu
Druţice s polární drahou letu se pohybují ve výšce 700-1 000 km nad Zemí
přibliţně ve směru poledníků (v okamţiku
přeletu přes severní pól). Nejčastěji
vykonají 12-16 oběhů za 24 hodin. Patří
mezi ně mimo jiné druţice systému Landsat
nebo NOAA. Dráha takovéto druţice je
zvolena tak, aby přelet nad určitým místem
na Zemi proběhl přibliţně ve stejný
místní čas.
Obr. č. 78
Zadání úloh:
1. Jedna z druţic systému NOAA má dobu oběhu 102 minut. Vypočítej, v jaké výšce
nad povrchem Země se pohybuje.
2. Vypočítej rychlost, kterou se druţice pohybuje.
3. Vypočítejte, jakou část povrchu Země druţice snímkováním pokrývá. Výsledek
vyjádři v procentech.
4. Druţice přesně o půlnoci přelétá nad severním pólem ve směru nultého poledníku.
Urči zeměpisnou délku přeletu druţice nad rovníkem.
Řešení úloh:
1. Gravitační síla, která na druţici působí, je zároveň silou setrvačnou odstředivou,
platí tedy:
Fg = Fd (řešeno v neinerciální soustavě spojené se Zemí). Po dosazení a úpravě:
23074
32
2
MT
r km (M je hmotnost Země 5,97 ∙ 1024
kg, T = 6 120 s). Výška
druţice nad Zemí je po odečtení rovníkového poloměru Země 852 km.
2.
4,72
T
hrv
km ∙ s
-1.
3. Měřítko následujícího obrázku z důvodu větší názornosti neodpovídá skutečnosti.
Pro výšku vrchlíku, který je vidět z druţice platí:
752cos
2
r
Rh
r
RRr
r
RRRRy ZZZZ
ZZZ km.
78
Obr. č. 79
Pro povrch kulového vrchlíku platí: S1 = 2π ∙ RZ ∙ y = 30 ∙ 106 km
2.
Podíl sledovaného povrchu k celému povrchu Země:
%9,524
22
1
ZZ
Z
R
y
R
yR
S
S
.
4. První průlet je za čtvrtinu oběţné doby, tj. 25 min na 6°22,5′ z. d., druhý průlet pak
za 76,5 min na 160°52,5′ v. d.
Odhad povrchové teploty na Zemi
Zadání úlohy:
Celkovou intenzitu elektromagnetického záření Slunce, které dopadá na horní
hranici atmosféry na jednotkovou plochu kolmou k paprskům při střední vzdálenosti
Země od Slunce, nazýváme solární konstanta. Její hodnota je 1 370 W ∙ m-2
(hodnota
z roku 1999). Země však záření nejenom pohlcuje, ale i vyzařuje. Ze znalosti solární
konstanty a za pouţití Stefanova-Boltzmanova zákona vypočítej povrchovou teplotu
Země.
Řešení úlohy:
Země pohlcuje záření dopadající ze Slunce, pro
jehoţ velikost platí:
kde R je poloměr Země a k je solární konstanta,
k = 1 370 W ∙ m-2
. Obr. č. 80
,kRP 2
79
Země zároveň vyzařuje záření o velikosti:
kde = 5,6 703 ∙ 10-8
W ∙ m-2
∙ K-4
se nazývá Stefanova-Boltzmanova konstanta.
Protoţe Země je dlouhodobě v tepelné rovnováze, pak rovnosti platí:
coţ je přibliţně 6 °C.
Slunce
Zadání úloh:
1. Vypočítej povrchovou teplotu Slunce.
Poloměr Slunce je 7 ∙ 108 m, solární konstanta
1 370 W ∙ m-2
, střední vzdálenost Země-
Slunce 1,496 ∙ 1011
m.
2. Největší sluneční skvrny mají v průměru aţ
20 000 km. Ověř výpočtem, zda by je bylo
moţné pozorovat ze Země pouhým okem. Obr. č. 81
(Samozřejmě za předpokladu pouţití ochranného filtru).
3. Napiš, proč je Slunce při východu, resp. západu načervenalé.
Řešení úloh:
1. Při výpočtu vyjdeme ze Stefanova – Boltzmanova zákona. Platí:
T = 7 574 K (změřená hodnota je přibližně 5 700 K)
,4 42 TRP
K,8278106754
1370
4
4
48
4
242
,,
kT
kRTR
42
2
242 44
S
ZS
ZSS
R
rkT
krTR
80
2. Lidské oko je schopno rozlišit dva body, které mají úhlovou vzdálenost 1′. Při
střední vzdálenosti Země – Slunce 149,6.106 km dostaneme poměr vzdáleností
133000,0106,149
000206
rad = 0° 0′ 0,48″. Moţné to tedy není.
3. Je to způsobeno rozptylem slunečního světla na prachových částicích obsaţených
v atmosféře. Nejvíce se rozptyluje světlo krátkých vlnových délek – tedy modré,
červená část spektra se nerozptýlí.
Rozloha Antarktidy
Zadání úloh:
1. Při pohledu na mapu světa
zjistíme, ţe Antarktida zabírá
přibliţně dvě třetiny území, které
je na zeměkouli ohraničeno
jiţním polárním kruhem. Vyuţij
tohoto poznatku pro výpočet
povrchu Antarktidy. Zemi
povaţuj za ideální kouli
s poloměrem 6 371 km. Obr. č. 82
2. Průměrná tloušťka ledu v Antarktidě je 1 800 m. Vypočítej objem ledu a objem
vody, která by vznikla jeho roztátím. Napiš, o kolik metrů by stoupla hladina
světového oceánu roztátím ledu v Antarktidě. Oceán zaujímá přibliţně 70 %
povrchu Země.
Řešení úloh:
1. Nejprve musíme určit výšku vrchlíku, který je určen na
kouli polárním kruhem, tedy rovnoběţkou 66,5°.
Z obrázku plyne: 84355,66sin Ry km. Potom
x = 528 km.
Pro povrch vrchlíku platí: S = 2π ∙ RZ ∙ x =
21 135 932 km2, přičemţ dvěma třetinám odpovídá
povrch přibliţně 14 000 000 km2. Obr. č. 83
81
2. Uvaţujeme-li průměrnou tloušťku ledu 2 000 m, je objem ledu:
Hmotnost ledu je m = ∙ V = 2,56 ∙ 1019
kg (hustota ledu je 917 kg/m3), jeho
roztátím by vznikla voda o objemu V = 2,5 ∙ 1016
m3 (pouţijeme hustotu slané vody
1 028 kg/m3). Pokud by se tato voda rozlila po povrchu Země (510 ∙ 10
6 km
2,
oceány zaujímají 70 %, tj. 357 ∙ 106 km
2), znamenalo by to zvýšení hladiny
světového oceánu o 70 metrů. Byla by tak zaplavena rozsáhlá pobřeţní území,
mnohé ostrovní státy by z mapy světa zmizely úplně.
Kinetická energie rotačního pohybu Země
Zadání úlohy:
Představ si Zemi jako ideální kouli s poloměrem 6 371 km. Vypočítej její moment
setrvačnosti a kinetickou energii rotačního pohybu kolem zemské osy. Představ si
ideální stav, kdy by všechna tato energie mohla být vyuţita. Vypočítej, na jak dlouho by
energie rotačního pohybu Země mohla nahradit výkon všech atomových reaktorů,
kterých je podle Mezinárodní agentury pro atomovou energii 442 s plánovaným
výkonem 374 996 MW.
Řešení úlohy:
Pokud povaţujeme Zemi za ideální kouli, pak pro moment setrvačnosti platí:
2
5
2mrJ = 9,74 ∙ 10
37 kg ∙ m
2.
Kinetická energie rotačního pohybu: 292 106,22
1 JEK J (úhlová rychlost rotace
Země ω = 7,29 ∙ 10-5
rad).
Pravé poledne
V dobách, kdy neexistovala zařízení k měření času tak, jak je známe dnes,
určovali lidé čas podle polohy Slunce na obloze. Slunce totiţ vrcholí na místním
.108,21021014 3163312 mmV
82
poledníku v pravé poledne. Tak je určen pravý sluneční čas. Lidé se však dnes jiţ
pravým slunečním časem neřídí, pouţívají pásmový čas.
Zadání úloh:
1. Zapiš, v jakém časovém pásmu leţí Česká republika. Nastává poledne dříve
v našem časovém pásmu, nebo v pásmu ve kterém leţí Londýn.
2. Napiš, v kolik hodin bude vrcholit Slunce v Chebu a v Uherském Brodě, kdyţ ve
12 hodin vrcholí přesně na 15. poledníku. K nalezení zeměpisné délky uvedených
míst pouţij satelitní mapu. Polohu urči s přesností na úhlové minuty.
3. Podle polohy Slunce na obloze a pomocí hodinek s ručičkami můţeme určit světové
strany. Popiš tento postup. Kriticky zhodnoť přesnost uvedené metody.
Řešení úloh:
1. Česká republika leţí v časovém pásmu, ve kterém platí středoevropský čas SEČ, tj.
střední sluneční čas 15. poledníku. Vzhledem ke světovému času UTC je posunut
o jednu hodinu dopředu, poledne nastává pro místa leţící v tomto pásmu dříve neţ
v Londýně.
2. Zeměpisná délka Chebu je 12°22′, Uherského Brodu pak 17°38′. V Uherském Brodě
nastane pravé poledne dříve, a to o 10 min 32 s, v Chebu o stejnou dobu později.
Rozdíl zeměpisných délek obou měst od 15. poledníku je totiţ stejný.
3. Číselník hodinek natočíme tak, aby malá ručička směřovala ke Slunci, úhel mezi
ručičkou a spojnicí šestky a dvanáctky rozpůlíme, půlící čára pak ukazuje k jihu.
Slunce se totiţ pohybuje při svém zdánlivém pohybu po obloze kolem Země
24 hodin, ale hodinová ručička oběhne číselník za 12 hodin, tzn. opíše za stejnou
dobu dvojnásobný úhel. Jestliţe tedy rozpůlíme při uvedené poloze číselníku oblouk
opsaný ručičkou, najdeme na obloze místo, kde stálo Slunce v poledne, tj. najdeme
jih. Chyba určení však můţe být aţ 10°. Hlavní příčina nepřesnosti je v tom, ţe
číselník leţí rovnoběţně s rovinou obzoru, ale zdánlivá denní dráha Slunce leţí ve
vodorovné rovině jen na pólu, ve všech různých šířkách svírá s obzorem různé úhly.
Proto se nevyhneme menší nepřesnosti. Chyba nastává také díky rozdílu mezi
pásmovým a místním časem, v létě chyba ještě narůstá, protoţe musíme uváţit ještě
rozdíl mezi letním a pásmovým časem.
83
Saharský písek
Kdosi vymyslel následující
přirovnání: v jednom molu plynu je za
normálního tlaku tolik částic, jako zrnek
písku na Sahaře. Zrnko písku si můţeme
představit tak, ţe ho právě vměstnáme do
krychle o hraně 0,5 mm. Sahara zaujímá
povrch přibliţně 8 miliónů km2, počet částic Obr. č. 84
v jednom molu je asi 6 ∙ 1023
. Na satelitním snímku Sahary, který pořídila NASA,
můţeme vidět rozlohu, kterou Sahara na africkém kontinentu zaujímá.
Zadání úloh:
1. Vypočítej, jak vysoká by byla vrstva písku na Sahaře, kdyby toto přirovnání
odpovídalo realitě.
2. Vypočítej, jakou dobu bychom potřebovali ke spočítání všech zrnek písku,
kdybychom přesýpali malým otvorem kaţdou sekundou milión zrnek písku.
3. Vypočítej hmotnost tohoto písku na Sahaře. Uvaţuj hustotu písku 2 000 kg/m3.
Řešení úloh:
1. Rozloha Sahary je 8 ∙ 1018
mm2, přičemţ na kaţdém mm
2 jsou 4 zrnka písku. Platí
tedy: 6 ∙ 1023
: 32 ∙ 1018
= 18 750 vrstev částic. Vydělíme-li číslo dvěma, získáme
výšku 9 375 mm, přibliţně tedy 9,4 m.
2. Jestliţe za sekundu projde otvorem 106 částic, pak za rok to je přibliţně 31,5 ∙ 10
12
částic písku. Přesýpání by tak trvalo 19 miliard let.
3. m = ∙ V = 2 000 ∙ 8 ∙ 1012
∙ 9,4 kg = 1,5 ∙ 1017
kg.
Rybník Rožmberk
Největší český rybník Roţmberk má plošný obsah 489 ha a obvykle se v něm
nachází 6 miliónů m3 vody. Rybář seděl na loďce a jedl housku, na jejímţ povrchu byly
krystalky kuchyňské soli. Seškrábl několik krystalků soli o celkové hmotnosti 0,35 g
84
a vhodil je do vody. Budeme uvaţovat, ţe sůl se rozpustila a rovnoměrně rozptýlila po
celém rybníku.
Zadání úloh:
1. Rybář nabral na lţičku 1 cm3 vody. Napiš, zda
obsahuje voda ve lţičce vody alespoň dva
atomy sodíku z krystalků soli, které rybář ve
vodě rozpustil. 1 mol NaCl má hmotnost
0,0 585 kg a obsahuje 6.1023
molekul.
2. Vypočítej počet molekul NaCl a jejich
hmotnost ve lţičce vody. Obr. č. 85
3. Vypočítej, jaká je hmotnost jedné molekuly NaCl.
Řešení úloh:
1. Hmotnosti 0,35 g odpovídá 6 ∙ 10-3
mol. V 1 cm3 vody bude tedy 600 ∙ 10
6 molekul
NaCl.
2. Viz řešení úlohy 1. Hmotnost molekul ve lţičce vody můţeme určit trojčlenkou.
Výsledek je 5,85 ∙ 10-14
g.
3. Hmotnost jedné molekuly je 9,75 ∙ 10-23
g.
Londýnské kolo
Koncem roku 1999 byl oficiálně zahájen provoz
londýnské zábavní atrakce The London Eye či Millenium
Wheel. Toto „ruské kolo“ bylo postaveno na břehu
Temţe a dosahuje výšky 443 stop. Má celkem 32
vejčitých kabinek, kaţdá je pro 25 osob. Kolo se neustále
otáčí, ale malou rychlostí, aby návštěvníci mohli dole
pohodlně vystoupit a nastoupit. Kolo se otočí o 360° za
30 minut.
Zadání úloh:
1. Vyjádři výšku londýnského kola v metrech. Obr. č. 86
85
2. Vypočítej rychlost otáčení kabinky. Průměr kola je 120 m. Napiš, zda je tato
rychlost vhodná k bezpečnému nastupování a vystupování.
3. Podobnou atrakci nalezneme v různých světových metropolích. Například kolo
v Singapuru, umístěné na břehu moře, je vysoké 165 metrů. Vypočítej vzdálenost,
do které vidí návštěvník v okamţiku, kdy je na vrcholu kola. Dokáţe obhlédnout
celý ostrovní stát? K řešení vyuţij satelitní mapu GoogleEarth.
Řešení úloh:
1. 1 stopa je 30,48 cm, výšce 443 stop odpovídá výška přibliţně 135 metrů.
2. Rychlost otáčení je přibliţně 0,21 m/s = 0,75 km/h. Rychlost je tedy dostatečně
nízká pro bezpečný nástup a výstup turistů.
3. K řešení pouţijeme Pythagorovu větu, kde při zanedbání
členu h2 získáme vztah:
165,063712
2
x
hRx
x = 45,85 km. Obr. č. 87
Jelikoţ nejdelší vzdálenost od místa umístění kola ke břehu moře je kolem 27 km,
lze z vrcholu kola obhlédnout celý Singapur.
Hydroelektrárna na Volze
O hydroelektrárně na řece Volha u města
Volgograd víme, ţe má nejvyšší výkon 2 540 MW,
řeka má střední objemový tok 8 000 m³/s. Energie
vodního toku lze vyuţít na 70 %.
Obr. č. 88
Zadání úlohy:
Vypočítej, jak vysoko musí být hladina přehrady nad vstupem vody do turbín?
Řešení úlohy:
Jestliţe je účinnost elektrárny 60 % a deklarovaný výkon 2 540 MW, pak příkon P1
musí být 3 630 MW. Dosadíme-li do vztahu:
86
hgQhgQt
mghP Vm
1 , získáme výsledek přibliţně 45 m.
Ultralehké letadlo
Ultralehké letadlo Global Flyer,
s nímţ Steve Fosset obletěl svět za méně neţ
80 h, má dolet za bezvětří 33 800 km,
rychlost 440 km/h. Letadlo startovalo na
letišti Salina (Kansas, USA) a mělo původně
plánovanou trasu míst, nad nimiţ mělo
proletět: Montreal, Londýn, Paříţ, Řím,
Káhira, Manama (SAE), Karáčí, Kalkata,
Šanghaj, Tokio, Honolulu, Los Angeles a zpět Obr. č. 89: Fossett v kabině Global Flyer
letiště Salina.
Zadání úloh:
1. Najdi všechna místa na mapách a vyznač do jedné mapy světa. Napiš, jaké měřítko
má mapa a jak se podle mapy zjišťují skutečné vzdálenosti.
2. S pomocí mapy (tištěné či satelitní) urči délku trasy, kterou Fosset naplánoval.
Vypočítej, jak dlouho by byl na trase, pohyboval-li by se uvedenou rychlostí?
3. Vypočítej, jakou dráhu by Fosset urazil při cestě kolem světa, kdyby letěl po
38. rovnoběţce, kolem níţ všechna místa přibliţně leţí? Vypočítej, jak dlouho by
mu taková cesta trvala.
4. Napiš, jaký vliv na let letadla má oblast, kde vane západní vítr. Je rychlost, kterou
letadlo musí letět proti větru větší nebo menší neţ za bezvětří?
Řešení úloh:
1. Pokud pouţijeme např. mapu s měřítkem 1:4 500 000, pak 1 cm na mapě odpovídá
skutečná vzdálenost 45 km.
2. Trasa by podle plánu měřila přibliţně 35 000 km. Plánovaná délka je letu 80 hodin.
87
3. Vzhledem k tomu, ţe platí: cos Rr , kde R je poloměr Země 6 371 km, je délka
38. rovnoběţky:
5443138cos22 Rrd km.
4. Letí-li letadlo proti větru, musí paradoxně vyvinout
menší rychlost, neţ kdyţ letí směrem po větru.
Souvisí to s velikostí vztlakové síly. Obr. č. 90
Družice
Představ si, ţe se podařilo vypustit takovou
umělou druţici Země, která prolétá střídavě nad
severním a jiţním zeměpisným pólem. Poloměr
oběţné trasy je 7 000 km, vzdálenost povrchu Země
na úrovni mořské hladiny od středu Země je na
rovníku 6 378,1 km, na pólu je to 6 356,8 km.
Druţici začni sledovat v okamţiku, kdy prolétá nad
severním zeměpisným pólem v 0:00:00 h směrem
nultého poledníku.
Obr. č. 91
Zadání úloh:
1. Napiš, jak vysoko nad hladinou moře se druţice nachází, kdyţ prolétá nad rovníkem
nebo nad oběma zeměpisnými póly.
2. Vypočítej, zda z této druţice je moţno při jejím průletu nad jiţním pólem vidět
najednou celou Antarktidu.
3. Vypočítej zeměpisné souřadnice místa, nad kterým se nachází druţice, kdyţ prolétá
nad rovníkem. Urči tři po sobě následující průlety.
4. Stanov polohu místa, nad kterým prolétá druţice přesně v 01:00:00 h? Na satelitní
mapě GoogleEarth najdi toto místo.
Řešení úloh:
1. Nad rovníkem je to ve výšce 622 km nad hladinou moře, nad pólem pak 643,2 km.
88
2. Pro výšku vrchlíku, který je vidět z druţice platí:
Obr. č. 92
584cos
2
r
hR
r
RRr
r
RRRRy ZZZZ
ZZZ km.
Rovnoběţku, kterou je vymezen tento kulový vrchlík, určíme
ze vztahu: Z
Z
R
yR sin . Po dosazení získáme výsledek
65°16′. Podíváme-li se do satelitní mapy, zjistíme, ţe některá
území Antarktidy leţí od dané rovnoběţky severněji, celé
území tedy není moţno pozorovat. Obr. č. 93
3. Na druţici působí gravitační síla, která je zároveň silou setrvačnou odstředivou:
Fg = Fd (pokud uvaţujeme řešení v neinerciální soustavě spojené se Zemí). Po
dosazení a úpravě určíme dobu oběhu druţice kolem Země:
81654
2
23
M
rT
s = 96 min 56 s; (M je hmotnost Země 5,97 ∙ 10
24 kg). První
průlet druţice nad rovníkem bude za čtvrtinu oběţné doby, tj. 24 min 14 s. Za jednu
minutu se Země otočí o 15′, za 1 sekundu pak o 15″. První průlet tedy bude nad
zeměpisnou délkou 6°3,5′ z. d., druhý průlet nad 161°49,5′ v. d., třetí průlet nad
zeměpisnou délkou 30°17,5′ z. d.
4. Druţice se bude nacházet nad 165. poledníkem východní délky. 60 minut je 5/8
oběţné doby druţice, bude tedy na 45° jiţní zeměpisné šířky, tj. v okolí Nového
Zélandu.
89
Pravidelný let z Londýna do Singapuru
Při pravidelném letu BA 011 z Londýna do Singapuru vylétá letadlo britských
aerolinií z letiště Londýn-Heathrow ve 21 h 25 min a přistává v Singapuru-Changi
následující den v 17 h 15 min. Při startu oznámila informační TV předpokládanou
vzdálenost aţ do přistání 6 768 mil (anglických). Trasa podle mapky vede v okolí
následujících míst: Londýn, Berlín, Kyjev, Islamábád, Dillí, Kalkata, Kuala Lumpur,
Singapur-Changi. Na zpáteční cestu vyráţí letadlo ve 23 h 59 min, a v Londýně přistává
v 6 h 45 min. Zpáteční cesta vede přes Kuala Lumpur, Indický poloostrov, Dubaj,
Damašek, Ankaru, přeletí Černé moře a pokračuje v okolí Bukurešti, Budapešti, Vídně,
Mnichova, Rotterdamu na londýnské letiště, přičemţ urazí přibliţně tutéţ dráhu.
Zadání úloh:
1. Najdi na satelitní mapě uvedená místa a změř délku obou tras.
2. Vypočítej dobu letu pro oba směry. Vysvětli, čím je způsoben rozdíl v dobách letu.
3. Urči průměrnou rychlost letadla v kaţdém z obou směrů letu.
Řešení úloh:
1. Cesta tam přibliţně 10 934 km, cesta zpět pak 11 700 km.
2. Doba let Londýn – Singapur je 19 hod 50 min, doba letu Singapur – Londýn 6 hodin
46 min. Časy odletu a příletu jsou však uvedeny v místních časech, pro Londýn je to
světový čas UTC, pro Singapur platí časové pásmo UTC + 8 hod. Skutečná doba
letu je tedy 11 hod a 50 min směrem do Singapuru, zpět do Londýna pak 14 h
46 min.
3. Při cestě do Singapuru je průměrná rychlost 924 km/h, při cestě do Londýna pak
792 km/h.
Kameraman na cestách
Kameraman a reţisér dokumentárního filmu o deštných pralesích se jednoho dne
vydali z letiště Changi v Singapuru nejprve letadlem do Pontianaku na ostrově
Kalimantan. Průměrná rychlost letu byla včetně startu a přistání 320 km/h. Tam si pro
90
další den najali menší letadlo, aby zajistili vhodné podmínky pro filmování. Letadlo
dosahovalo průměrné rychlosti 250 km/h a přeletěli s ním do Samarindy, odtud do
Sandakanu, nakonec přistáli v Bandar Seri Begawanu, hlavním městě Brunei
Darussalam a poté se vydali zpět do Pontianaku. Při kaţdém přistání počítáme
technickou přestávku 1,5 h.
Zadání úlohy:
1. Zapiš zeměpisné souřadnice všech uvedených míst. Vyuţij satelitní mapu
Googleearth.
2. Změř v satelitní mapě vzdálenosti uvedených míst.
3. Napiš, zda by stačil jeden den
na filmování. V tropech trvá
den zpravidla 12 h, později
svítá a dříve se stmívá neţ
v létě v našich zeměpisných
šířkách.
4. Protoţe reţisér dostal
v Bandar Seri Begawanu
mobilem zprávu, ţe se musí
urychleně vrátit do
Singapuru, letělo menší
letadlo přímo na letiště Changi Obr. č. 94
místo do Pontianaku. Urči dobu trvání tohoto letu.
Řešení úlohy:
1. Zeměpisné souřadnice míst: Singapur 1°23′ s. š., 103° 59′ v. d.; Pontianak 0°1′ j. š.,
109°20′ v. d.; Samarinda 0°30′ j. š., 117°9′ v. d.; Sandakan 5°50′ s. š., 118°7′ v. d.;
Bandar Seri Begawan 4°56′ s. š., 114°56′ v. d.;
2. Naměřené vzdálenosti:
Singapur – Pontianak 620km; Pontianak – Samarinda 870 km;
Samarinda – Sandakan 710 km; Sandakan – Bandar Seri Begawan 360 km;
91
Bandar Seri Begawan – Pontianak 830 km, Bandar Seri Begawan – Singapur
1 280 km.
3. Doby letu: Pontianak – Samarinda 3 h 29 min, Samarinda – Sandakan 2 h 50 min,
Sandakan - Bandar Seri Begawan 1 h 26 min, Bandar Seri Begawan – Pontianak
3 h 19 min. Celkem to je tedy 10 h 40 min v letadle, připočteme-li přestávky,
zjistíme, ţe jeden den by na filmování nestačil.
4. Let z Bandar Seri Begawanu do Singapuru trval 5 h 7 min, to je o 1 h 40 min méně
neţ by trval let přes Pontianak i s přestávkou.
Ohřívání atmosféry
Kdyţ na zemský povrch dopadá sluneční záření, atmosféra se na přivrácené straně
ke Slunci ohřívá, ale současně Země vyzařuje z celého povrchu tepelné záření do svého
okolí. V případě dlouhodobé rovnováhy můţe být průměrná teplota vzduchu přibliţně
stálá. Zemi v poslední době ohroţuje globální oteplování, spočívající ve zvyšování
teploty atmosféry.
Zadání úloh:
1. Vypočítej hmotnost zemské atmosféry, znáš-li hodnotu atmosférického tlaku při
zemském povrchu.
2. Vypočítej, kolik tepla by bylo třeba dodat pro zvýšení průměrné teploty atmosféry
ze současných 10 °C na hodnotu o 1 °C vyšší. Měrná tepelná kapacita vzduchu je
1 000 J/kg.°C.
3. Na horní hranici atmosféry dopadá celkové sluneční záření o hodnotě 1 370 W ∙ m2.
Vypočítej, jak dlouho by trvalo, neţ by celé toto záření zvýšilo teplotu zemské
atmosféry o 1 °C.
Řešení úloh:
1. Tlak vzduchu při zemském povrchu je zhruba 1 000 hPa = 105 N ∙ m
-2. Z toho plyne,
ţe tíha sloupce vzduchu, který je nad 1 m2 zemského povrchu, je přibliţně 10
5 N.
Hmotnost tohoto sloupce 104 kg. Tíhová síla je zde vlastně tlakovou silou a platí:
m ∙ g = p ∙ S, kde S je plocha zemského povrchu, coţ je 510 ∙ 106 km
2. Z toho vztah:
92
2. Na zvýšení teploty o 1 °C je třeba dodat 1 000 J na kaţdý kilogram. Bylo by tak
třeba 5 ∙ 1021
J.
3. Záření dopadá na plochu o obsahu S = π ∙ r2 = 1,28 ∙ 10
14 m
2, celkový výkon
1,75 ∙ 1017
W. Doba, po kterou musí záření dopadat na povrch Země: přibliţně
28 560 s, tj. asi 8 h. protoţe současně Země záření vydává (dlouhodobě je příjem
i výdej záření týţ), trvalo by to desítky let.
Děti kapitána Granta
V kníţce Děti kapitána Granta, kterou asi
před sto čtyřiceti lety napsal a vydal francouzský
spisovatel Jules Verne, je nalezena zpráva v lahvi o
ztroskotání lodi Britannia s kapitánem Grantem a
jeho posádkou. V ní je udána zeměpisná šířka
37°11′ j. š., ale údaj o zeměpisné délce chybí. Proto
se vydala záchranná výprava z Velké Británie
nejprve do Chile, přešla přes Andy, argentinskou
Patagonii a nalodila se zpět na doprovodnou loď
Duncan. Záchranná výprava v podstatě znamenala
cestu po 37. rovnoběţce.
Zadání úloh: Obr. č. 95: Originální obal knihy
1. S vyuţitím atlasu světa nebo satelitní mapy GoogleEarth popiš další trasu záchranné
výpravy do doby, neţ dorazila na Nový Zéland. Zapiš souřadnice míst, kde
vstoupila výprava na pevninu a po přechodu území se pak zase nalodila na loď
Duncan. Urči vţdy úhlovou vzdálenost obou míst na povrchu Země.
2. Vypočítej délku rovnoběţky 37°11′.
3. Měřením na satelitní mapě zjisti, jak velkou část trasy musela expedice projít po
pevnině a jaká část připadá na trasu po oceánech.
.kg105kg10
10510 18145
g
Spm
93
4. Vypočítej dobu trvání cesty kolem světa po uvedené rovnoběţce, jestliţe se po
oceánech loď pohybovala střední rychlostí 20 uzlů a expedice po pevnině urazila
vzhledem k obtíţnému terénu v horách průměrně jen 3 km/h.
Řešení úloh:
1. Rovnoběţka 37°11′ vstupuje na jihoamerický kontinent v místě se zeměpisnou
délkou 73°12′, opouští ho pak v místě se zeměpisnou délkou 56°53′ z. d. Rozdíl je
16°19′. Na australskou pevninu vstoupili cestovatelé v místě se zeměpisnou délkou
139°45′ v. d. a vystoupili z ní v místě se zeměpisnou délkou 150° v. d. Rozdíl je
10°45′. Na Novém Zélandě to pak jsou místa o souřadnicích 174°34′ v. d.
a 175°53′ v. d. Rozdíl je 1°19′. Celkem ušli po pevnině vzdálenost, které odpovídá
středový úhel 28°23′.
2. Pro délku rovnoběţky platí:
89231´1137cos22 Rrd km.
3. Po pevnině museli ujít 2 520 km, po moři pak překonali
vzdálenost 29 370 km.
4. 1 uzel = 1 námořní míle/h. Obr. č. 96
Doba pohybu po pevnině je 840 hodin, po moři 793 h. Cesta trvala celkem 1 633 h,
tj. 68 dní. Ve skutečnosti to bylo ještě o den více, neboť musíme vzít v úvahu, ţe při
cestě překročili datovou čáru.
Nedaleko severního pólu
Představ si, ţe si se probudil nedaleko severního pólu na 15° v. d. a 89°55′ s. š. Je
přesně 12:00 a sluníčko svítí přesně na jihu.
Zadání úloh:
1. Vypočítej, jak daleko od severního pólu se nacházíš.
2. Vypočítej, jakou rychlostí se pohybuješ společně s povrchem Země.
3. Vypočítej, za jak dlouhou se vrátíš zpět do výchozího tábora, vydáš-li se na lyţích
přesně východním směrem.
4. Vypočítej, za jak dlouho se vrátíš zpět do výchozího tábora, vydáš-li přesně na sever
rychlostí 6 km/h a po dosaţení severního pólu se vrátíš zpět na jih.
94
5. Představ si, ţe se vydáš přesně severovýchodním směrem rychlostí 6 km/h. Po jaké
trajektorii se budeš pohybovat a na jaké místo se po nějaké době dostaneš?
Ve všech případech nakresli mapku severního pólu, jak by ji viděl pilot z vrtulníku
z místa nad severním pólem. Zakresli do ní všechny tři trajektorie.
Řešení úloh:
1. Délka poledníku je 40 030 km, na 1° připadá vzdálenost 111,2 km, na 1′ pak
1,853 km. Vzdálenost od severního pólu je 9,3 km.
2. Poloměr příslušné rovnoběţky je r = R ∙ cos 89°55′ = 58,2 km. Pro rychlost platí:
67,040086
200582
T
rv
m ∙ s
-1.
3. Délka rovnoběţky, po které se pohybujeme je ´5589cos22 Rrd
58,2 km. Tuto vzdálenost ujdeme za přibliţně 9 h 42 min.
4. 3 h 6 min.
5. Pohybovat se budeme po tzv. loxodromě. Je to
křivka, která protíná poledníky pod stejným
úhlem. Na obrázku jsou znázorněny trajektorie
jednotlivých pohybů Obr. č. 97
Polárníci driftují na osamělé kře
Ustaraní polárníci sledují, jak pod nimi pomalu odtává driftující kra (driftování je
pomalý posun kry účinkem proudění
mořské vody). Pro zjednodušení úvah
budeme kru povaţovat za hranol.
V určitém okamţiku má kra plošný obsah
30 m² a tloušťku 80 cm. Celková hmotnost
tří polárníků i s vybavením je 1 200 kg,
hustota ledu 900 kg/m³ a hustota mořské
vody 1 020 kg/m³.
Obr. č. 98
95
Zadání úloh:
1. Vypočítej, jak vysoko nad hladinou vody by dosahovala kra, kdyby byla prázdná,
a jak vysoko, kdyţ na ní jsou rozmístěni polárníci i s vybavením.
2. Ověř výpočtem, zda by mohl na kře přistát záchranný vrtulník o hmotnosti 2 000 kg,
aniţ by se kra celá ponořila.
3. Vlivem teplého vodního proudu kaţdý den odtaje ze dna kry 5 % objemu ledu.
Vypočítej, jak dlouho vydrţí polárníci nad hladinou vody.
Řešení úloh:
1. Objem kry je 24 m3. Gravitační síla působící na prázdnou kru je 216 kN, na kru
s polárníky pak 228 kN. Prázdná kra bude ponořena tak, ţe ve vodě bude 72 cm, nad
hladinou pak 8 cm. Kra s polárníky bude zanořená 76 cm, nad vodou budou 4 cm.
2. Při úplném ponoření ledu vznikne hydrostatická vztlaková síla 240 kN. Gravitační
síla působící na kru, polárníky a vrtulník je 248 kN. Přistání tedy není moţné.
3. Vlivem odtávání se zmenšuje hmotnost kry a tím i gravitační síla. Zmenšuje se však
i hydrostatická vztlaková síla. Celá kra je ponořena, kdyţ je hydrostatická vztlaková
síla rovna gravitační síle, která působí na kru a polárníky. V tomto případě je objem
kry 10 m3. Protoţe kaţdý den odtaje 1,2 m
3, k potopení dojde za necelých 12 dní.
Mapa Turecka
Zadání úloh:
1. S pomocí satelitní nebo tištěné mapy stanov zeměpisné souřadnice nejzápadnějšího,
nejsevernějšího, nejvýchodnějšího a nejjiţnějšího místa Turecka. Na základě
měření nebo výpočtu urči strany „obdélníka“, do nějţ by se Turecko vešlo.
2. Odhadni rozměry „obdélníka“, který by měl stejný plošný obsah jako Turecko.
Vypočti obsah a svůj výsledek zkontroluj s hodnotou známou z tabulek či
z internetu.
3. Urči vzdálenost letišť v blízkosti měst Istanbul a Antalya. Vypočítej, jak dlouho trvá
let v případě, ţe střední rychlost letadla (včetně manévru při startu a přistání) je
700 km/h.
96
4. Zjisti měřením v mapě nejmenší šířku průlivu Bospor a průlivu Dardanely.
Vypočítej, jak dlouho přibliţně trvá, neţ loď jedoucí rychlostí 25 uzlů propluje
z Černého moře do moře Egejského.
5. V satelitní mapě najdi
místo o souřadnicích
36°52,64′ severní šířky
a 30°56,15′ východní
délky. Najdeš tam
sportovní areál. Změř, jaké
rozměry má fotbalové
hřiště. Obr. č. 99
Řešení úloh:
1. Nejsevernější místo: 42°05′51,42″ s. š., 34°56′40,05″ v. d.; Nejvýchodnější místo:
39°37′45,89″ s. š., 44°48′26,83″ v. d.; Nejjiţnější místo: 35°48′25,51″s. š.,
36°09′8,84″ v. d.; Nejzápadnější místo: 39°28′11,74″ s. š., 26°04′27,57″ v. d.;
2. Obdélník by mohl být vymezen rovnoběţkami 41°30′ na severu a 36°30′ na jihu. Na
východě pak bude omezen poledníkem 44°, na západě 26° 30′. Ve skutečnosti bude
výsledkem sférický lichoběţník, pro účely školské fyziky zjednodušíme na rovinný
obrazec. Výška lichoběţníku je 556 km (odpovídá rozdílu zeměpisných šířek 5°).
Dolní podstava je 1 565 km (určeno z rozdílu zeměpisných šířek 17°30′, délka
příslušné rovnoběţky je 32 179 km). Délka horní podstavy je 1 456 km (určeno
z rozdílu zeměpisných šířek 17°30′, délka rovnoběţky je 29 980 km). Obsah tohoto
lichoběţníka je 839 838 km2. Rozloha Turecka (zdroj Wikipedie): 780 580 km
2.
3. Vzdálenost letišť je 485 km. Doba letu přibliţně 42 min.
4. Nejmenší šířka Bosporu je 700 m, průlivu Dardanely 1 200 m. Rychlosti 25 uzlů
odpovídá přibliţně 46 km/h, z Černého do Egejského moře musejí lodě urazit
vzdálenost asi 300 km, doba plavby je přibliţně 6,5 hod.
5. Rozměry hřiště: 67,1 m a 105 m.
97
Atmosférický tlak
Kdyţ horolezci stoupají do hor, mění se jimi měřený tlak vzduchu s rostoucí
výškou h podle vzorce:
kde p0 = 101,3 kPa je tlak atmosférický v nulové nadmořské výšce.
Zadání úloh:
1. Tvrdí se, ţe ve výšce 5 500 m je atmosférický tlak poloviční neţ v nadmořské výšce
nulové. Ověř toto tvrzení výpočtem.
2. Vypočítej, jaký je atmosférický tlak za oknem letadla Jumbo Jet, které letí ve výšce
11,0 km.
3. Napiš svůj odhad, jaký je atmosférický tlak na sedmitisícovce.
4. Načrtni změny tlaku p (h) do grafu pro výšky od 0 m do 20 km. Ověř svůj odhad
v 3).
Řešení úloh:
1. V této nadmořské výšce je
tlak 50,4 kPa.
2. Za oknem letadla je tlak 25,1
kPa.
3. a 4. Viz graf.
Obr. č. 100
,000127,0
0
hepp
98
Práce s fotomapou
Najdi si server
www.mapy.cz a urči místo, jeţ je
dáno souřadnicemi
50°04′47,291″s. š. a 14°25′47,017″
v. d.
Obr. č. 101
Zadání úloh:
1. Vypočítej délku poledníků, a urči, jaká délka odpovídá 1°, 1′, 1″ a 1/100″ ve směru
severojiţním.
2. Označ dva různé body na satelitní mapě, tak aby leţely na stejném poledníku.
Z rozdílu zeměpisných délek urči délku poledníku a porovnej ji s hodnotou
vypočtenou v úloze 1.
3. Označ dva body leţící na stejné rovnoběţce, zjisti měřením na satelitní mapě jejich
vzdálenost. Z rozdílu zeměpisných šířek urči délku rovnoběţky.
4. Vypočítej, jaká vzdálenost na rovnoběţce 50° 04,8′ odpovídá 1°, 1′,1″ a 1/100″.
Řešení úloh:
1. Délka poledníku je 20 012 km. 1° odpovídá délka 111,2 km, 1′ pak 1,853 km, 1″
odpovídá vzdálenost asi 30,9 m, jedné setině úhlové vteřiny pak přibliţně 0,31 m.
2. Změříme na satelitní mapě vzdálenost dvou libovolných bodů, z rozdílu jejich
zeměpisných šířek určíme délku poledníku. Např. body se zeměpisnými šířkami
50°04′46,54″ s. š., 50°05′38,34″ s. š., naměřená vzdálenost obou míst 1 601,3 m.
Délka poledníku tedy je 40 086 km.
3. Např. dvě místa leţící na 50°04′47,21″ mají zeměpisné délky 14°25′47″ v. d.
a 14°25′58″ v. d., naměřená vzdálenost 213,3 m. Délka rovnoběţky je 25 131 km.
4. Délka rovnoběţky 50°04,8′ je 25 687 km. Na 1° připadá vzdálenost 71,35 km, na 1′
asi 1 190 m, na 1″ pak 19,8 m. Jedné setině úhlové vteřiny odpovídá vzdálenost
přibliţně 0,2 m.
99
Kolumbova první výprava
Kryštof Kolumbus se na svoji první výpravu vydal 3. srpna 1492 ze španělského
přístavu Palos de la Frontera.
Směřoval nejprve ke
Kanárským ostrovům, odkud
plul přibliţně západním
směrem aţ k bahamskému
souostroví. Tam doplul
v pátek 12. října 1492 ve 2
hodiny ráno. Trasa výpravy
je na mapce.
Obr. č. 102
Zadání úloh:
1. Měřením v satelitní mapě GoogleEarth zjisti přibliţnou délku trasy, kterou musely
lodě urazit, neţ byla objevena Amerika, tj. souostroví Bahamy.
2. Urči, jak dlouho trvala cesta a kolik km průměrně lodě denně urazily.
3. Vypočítej průměrnou rychlost lodí v uzlech.
Řešení úloh:
1. Délka trasy z přístavu Palos de la Frontera na Kanárské ostrovy je 1 370 km, odtud
na Bahamy pak 5 730 km.
2. Cesta trvala 69 dní. Denně lodě urazily asi 103 km.
3. 1 uzel = 1,853 km/h (jedna námořní míle za hodinu). Průměrná rychlost 4,3 km/h, tj.
2,3 uzlu.
Elektrárna na vodopádech
Lidstvo má neustále nedostatek energetických zdrojů. Staví umělé a drahé hráze
na řekách, aby vyuţilo proudící vody. Přitom na řece Kongo jsou Livingstonovy
vodopády, kterými protéká po celý rok průměrně 35 110 m3/s vody a voda padá do
hloubky 40 m.
100
Zadání úloh:
1. Vypočítej výkon turbogenerátoru, je-li moţné vyuţít výkon vody z 10 %.
2. Vypočítej práci, kterou by bylo moţno vyuţít během jednoho dne.
3. Vypočítej, kolik uhlí by se mohlo denně ušetřit ve stejně výkonné tepelné
elektrárně. Výhřevnost uhlí je 12 MJ/kg, účinnost elektrárny uvaţuj 36 %.
Řešení úloh:
1. Příkon elektrárny je: hgQhgQt
mghP Vm
1 = 1,4 ∙ 10
10 W. Při
účinnosti 10 % získáme výkon 1,4 GW.
2. Práce W = P ∙ t = 1,21 ∙ 1014
J.
3. Přibliţně 28 000 tun uhlí.
Důl Mirnyj na Sibiři
Největší povrchový důl na těţbu
diamantů na světě je důl Mirnyj, který se
nachází ve východní Sibiři v Rusku. Je
hluboký 525 metrů, má tvar komolého
kuţele. Jeho průměr u povrchu je 1 200
metrů, dolní průměr se udává mezi 160-
310 metry. Uvaţujme tedy průměr
235 m. Obr. č. 103
Zadání úlohy:
Vypočítej, kolik km3 zeminy muselo být odvezeno během těţby.
Řešení úlohy:
Pouţijeme vzorec pro výpočet komolého kuţele:
vrrrrV 2
221
2
13
1 . Po dosazení získáme výsledek 0,98 km
3.
101
Rychlovlak v Číně
V roce 2011 začal v Číně jezdit
nový moderní rychlovlak, spojující
hlavní město Peking s dalším
velkoměstem Šanghaj. Trasa měří
1 318 km a vlak ji urazí za 4 h 48 min.
Zadání úloh:
1. Vypočítej, jakou průměrnou
rychlostí jezdí vlaky na této trati. Obr. č. 104
2. Rychlovlaky dosáhly na zkušební trati rychlost aţ 486 km/h. Vypočítej, za jak
dlouho by touto rychlostí urazily příslušnou vzdálenost mezi Pekingem a Šanghají.
3. Vypočítej, za jak dlouho by rychlovlak urazil vzdálenost mezi Hradcem Králové
a Prahou, kdyby se pohyboval nejprve průměrnou rychlostí, poté maximální
rychlostí.
4. Japonský rychlovlak Šinkanzen urazí trasu Tokio-Osaka, tj. vzdálenost 515 km za
2 hodiny 30 minut. Vypočítej, jaké průměrné rychlosti tento vlak dosahuje. Je tato
rychlost vyšší neţ průměrná rychlost čínského rychlovlaku?
Řešení úloh:
1. Průměrná rychlost je 275 km/h.
2. Doba jízdy by při maximální dosaţené rychlosti byla 2 h 42 min.
3. Průměrnou rychlostí by tuto vzdálenost vlak ujel za 25 min, maximální moţnou pak
za necelých 15 min.
4. Průměrná rychlost Šinkanzenu je 206 km/h.
Elektrárna v Bratsku
Největší sladkovodní jezero Bajkal má rozlohu 31 500 km2, hloubka dosahuje
1 620 m a obsahuje 23 000 km3 sladké vody. Napájí ho 336 řek, vytéká jen jedna řeka
102
Angara. Na této řece byla vybudována velká vodní elektrárna s instalovaným výkonem
4 500 MW. Voda roztáčí turbíny v hloubce asi 100 m pod hladinou přehradní hráze.
Zadání úloh:
1. Vypočítej, jaký musí být sekundový průtok vody turbínami, je-li účinnost 98 %.
V elektrárně je nainstalováno 20 turbogenerátorů.
2. Vypočítej, jaká je roční výroba Bratské
elektrárny v kWh, jestliţe kvůli údrţbě,
opravám nebo změnám průtoku vody,
pracuje v tomto reţimu průběţně jen
polovina turbogenerátorů.
3. Najdi na internetu údaje o výkonu vodních
elektráren v České republice. Napiš, zda by Obr. č. 105
Bajkalská elektrárna nahradit jejich výkon?
Řešení úloh:
1. Pouţijeme vztah hgQhgQt
mghP Vm
1 . Je-li účinnost 98 %, pak
musí být příkon 4 540 MW. Dosazením do vztahu získáme průtok vody elektrárnou
4 540 m3/s, jedním turbogenerátorem pak proteče 227 m
3/s vody.
2. Přibliţně 20 000 kWh.
3. Vodní elektrárny v České republice mají instalovaný výkon celkem 2 504 MW.
Bajkalská elektrárna by je tedy mohla nahradit.
Šerpové v Nepálu
Šerpové v Nepálu jsou najímáni, aby pomohli horolezcům přenášet těţké náklady
při jejich vysokohorských expedicích. Šerpa má hmotnost 85 kg a unese náklad 75 kg.
Stoupá do prudkého kopce a zdolá během dvou hodin výškový rozdíl 860 m.
Zadání úloh:
1. Vypočítej, jak velkou práci vykoná nosič při vynesení nákladu.
2. Vypočítej, jak velkou práci vykoná nosič celkem.
103
3. Vypočítej průměrný výkon nosiče při
stoupání.
4. Urči, jaký je podíl uţitečné a celkové
práce nosiče a poměr uţitečného a
celkového výkonu. Za uţitečnou práci
povaţujeme práci spojenou pouze
s nákladem, celková práce je včetně
vynesení těla nosiče. Obr. č. 106
Řešení úloh:
1. Práce potřebná k vynesení nákladu je 645 kJ.
2. Celková práce je 1 380 kJ.
3. Výkon nosiče při stoupání P = W/t = 190 W.
4. Účinnost je 47,5 %.
Vzletová rychlost letadla
Letečtí experti stanovili rychlost, nutnou
pro start velkého dopravního letadla, na
hodnotu 270 aţ 324 km/h, a to v závislosti na
směru a rychlosti větru i na hmotnosti letadla.
Při rozjezdu po startovací dráze se zvyšuje
rychlost letadla z klidu rovnoměrně tak, ţe
kaţdých 5,0 s vzroste o 10,0 m/s.
Obr. č. 107
Zadání úloh:
1. Napiš, jak dlouho se letadlo rozjíţdí po startovací ráze, neţ se „odlepí“ od země.
2. Sestroj graf závislosti rychlosti na čase. Vyjádři tak, jak se mění rychlost od
zahájení pohybu letadla aţ po jeho „odlepení“ od startovací dráhy.
3. S pomocí grafu urči, jakou nejmenší dráhu potřebuje letadlo ke startu.
104
4. Porovnej získaný údaj se startovacími drahami na vybraných letištích: Denpasar
(Bali), Kathmandu (Nepál), Sao Paulo, Pardubice, Singapur-Changi. K řešení vyuţij
satelitní mapu GoogleEarth.
Řešení úloh:
1. Doba rozjezdu je v rozmezí od
37,5 s do 45 s.
2. Graf je sestrojen pro minimální
startovní rychlost 270 km/h.
3. Pouţijeme vztah s = ´v ∙ t, pak
přibliţně 1 400 m.
4. Měřením v satelitní mapě získáme délky Obr. č. 108
jednotlivých startovacích drah a porovnáme s vypočtenou hodnotou.
Ledovce v Arktidě
Dlouhodobá měření glaciologů
dospívají k závěrům, ţe v posledních letech
neustále ubývá led v Arktidě, v okolí
severního zeměpisného pólu. V zimě bývá
rozloha ledu v Arktidě asi 12 milionů km2 a
průměrná tloušťka ledu asi 5 metrů, v létě je
rozloha ledové pokrývky asi 9 milionů km2
a průměrná tloušťka ledu jen asi 3 metry.
Rozloha ledu v létě se však postupně
zmenšuje. Hustota ledu je 920 km/m3,
hustota mořské vody 1 020 kg/m3.
Obr. č. 109: Míra zalednění v červenci a září roku 2009.
Závislost rychlosti na čase při
rozjíždění
0
50
100
0 10 20 30 40
t (s)
v(m
/s)
105
Zadání úloh:
1. Vypočítej, jaký je objem ledu v Arktidě v zimě a v létě.
2. Vypočítej, jaký objem vody vznikne při tání během jarního období.
3. Jestliţe k roztátí 1 kg ledu je zapotřebí dodat teplo 330 kJ, urči, kolik tepla potřebuje
ledová vrstva k roztátí během jarního období.
Řešení úloh:
1. Objem ledu v zimě 6 ∙ 1013
m3, v létě pak 2,7 ∙ 10
13 m
3.
2. Během tání roztaje 3,3 ∙ 1013
m3, tj. led o hmotnosti 3,03 ∙ 10
16 kg ledu. Roztátím
vznikne voda o objemu V = 2,9 ∙ 1013
m3.
3. Během letního tání je třeba dodat teplo 9 ∙ 107 GJ.
Pohyb těles kolem Země
Dlouhou dobu se kolem Země
pohybovalo jediné těleso – Měsíc. Od
doby, co se na oběţnou trajektorii
kolem Země dostala 4. října 1957 první
umělá druţice Sputnik 1 (na obrázku),
se počítají tato tělesa na stovky a tisíce.
Zadání úloh: Obr. č. 110
1. Urči oběţnou rychlost Měsíce kolem Země. Poloměr oběţné trajektorie Měsíce,
kterou budeme povaţovat pro zjednodušení ve tvaru kruţnice, je 384 400 km, doba
oběhu je 27,32 dne.
2. Pro telekomunikační účely jsou velmi důleţité tzv. stacionární druţice, které mají
dobu oběhu stejnou, jako je doba rotace Země, tj. 23 h 56 min 4 s. Poloměr oběţné
trajektorie stacionární druţice je 42 164 km. Vypočítej oběţnou rychlost stacionární
druţice kolem Země.
3. Napiš, jak vysoko je stacionární druţice nad povrchem Země. Kde je nutné ji
umístit, aby byla skutečně stacionární? Vysvětli.
106
4. Pohyb těles po trajektoriích tvaru kruţnice v gravitačním poli Země je moţno dobře
popsat Keplerovými zákony. Ověř výpočtem, zda pro pohyb Měsíce a stacionární
druţice platí třetí Keplerův zákon.
Řešení úloh:
1. Oběţná rychlost Měsíce je: 023,14483602
25641522
T
rv
km.s
-1.
2. Oběţná rychlost stacionární druţice: 07,316486
9242642
T
rv
m.s
-1.
3. Je-li poloměr oběţné trajektorie 42 164 km, pak je třeba odčíst poloměr Země.
Vzdálenost povrchu Země na úrovni mořské hladiny od středu Země je na rovníku
6378,1 km, na pólu je to 6 356,8 km. Tyto hodnoty odečteme od poloměru oběţné
dráhy.
4. Třetí Keplerův zákon platí.
Stožárová anténa vysílače
V satelitní mapě GoogleEarth lze
nalézt Golfový klub Poděbrady. Při
pozorném prostudování mapy zjistíš, ţe
v jeho okolí jsou dva stoţáry antény
vysílače o výšce 150 m. Zeměpisná šířka
polohy stoţárů je asi 50°08′19,73″ s. š.,
zeměpisná délka 15°8′39,55″ v. d. Najdi si
polohu těchto stoţárů.
Obr. č. 111
Zadání úloh:
1. Vypočítej, jaký nejkratší můţe být stín stoţáru ve dnech, kdy nastává rovnodennost?
2. Vypočítej, jaký vůbec můţe být nejkratší stín tohoto stoţáru.
107
3. Napiš, jak bychom mohli určit výšku stoţáru, máme-li k dispozici tyč o délce přesně
4,00 m?
4. Měřením v satelitní mapě zjisti vzájemnou vzdálenost obou stoţárů. Změř délku
stínu stoţáru a vypočítej tak úhlovou výšku Slunce nad obzorem v okamţiku vzniku
snímku.
Řešení úloh:
4. Úhlová výška Slunce ve dnech rovnodennosti je 90 , kde je zeměpisná
šířka. V tomto případě 50°12′. Potom:
180´4839tg
150
x m.
5. Nejkratší stín bude v době letního slunovratu, kdy je Slunce nejvýše na obloze. Pro
úhlovou výšku platí = 90° - 50°12′ + 23,5° = 63°18′.
Pak 4,75´1863tg
150
x m.
6. Změříme-li délku stínu tyče a stoţáru, pak pouţitím trojčlenky (či podobnosti) lze
určit výšku stoţáru.
7. Vzdálenost stoţárů je 250 m, délka stínu 247 m. Platí: .3,31;247
150tg
Odpolední rychlíky
Na trati Praha-Bohumín jezdí v podvečer několik vlaků. V tabulce jsou vybrány
čtyři z nich. Jsou zde uvedeny údaje z jízdních řádů, tj. vzdálenosti a časy průjezdů
některými stanicemi. Časy příjezdu a odjezdu vlaku jsou pro zjednodušení sloučeny
a uvedeny jen jako střední okamţik setrvání vlaku ve stanici, neboť doby zastávek jsou
velmi krátké oproti době jízdy vlaků. Skutečný nerovnoměrný pohyb je nahrazen
pohybem rovnoměrným s průměrnou rychlostí.
108
Ostravan Manažer km Stanice EC 106 Praha R 602
15:05 16:05 0 Praha hl. n. 20:55 23:13
15:47 | 62 Kolín 20:09 22:27
16:20 | 104 Pardubice 19:36 21:50
17:02 | 164 Česká Třebová 18:56 21:00
18:16 | 252 Olomouc hl. n. 17:44 19:43
18:48 | 303 Hranice na Moravě 17:10 19:10
19:04 | 324 Suchdol | |
19:17 | 336 Studénka | |
19:40 20:05 350 Ostrava hl. n. 16:18 18:19
19:50 20:14 360 Bohumín 16:08 18:08
Zadání úloh:
1. Sestroj grafický jízdní řád pro všechny vlaky.
2. Trasu vlaků rozděl na tři úseky: Praha – Pardubice, Pardubice – Olomouc, Olomouc
– Ostrava. Vypočítej, ve kterém z těchto úseků jedou vlaky největší průměrnou
rychlostí.
3. Odhadni, v kterém místě trasy se vlak Manaţer křiţuje s vlaky protijedoucími.
Předpokládej, ţe se pohybuje přibliţně stálou rychlostí.
4. Vlak Ostravan přijel kvůli stavebním pracím na trati do Pardubic se zpoţděním
20 min. Vypočítej, jakou průměrnou rychlostí musel jet v úseku Pardubice –
Hranice na Moravě, kdyţ do této stanice přijel včas podle jízdního řádu?
Řešení úloh:
1. Grafické řešení:
Obr. č. 112
109
2. Největší průměrnou rychlostí se pohybují vlaky v úseku Praha – Pardubice.
Průměrná rychlost vlaku Ostravan je 83,2 km/h, vlaku EC 106 přibliţně 79 km/h
a u vlaku R 602 je průměrná rychlost v tomto úseku 75,2 km/h. Vlak Manaţer se
celou trasu pohybuje rychlostí 87,5 km/h.
3. Vlak Manaţer se křiţuje s protijedoucím EC 106 mezi stanicemi Olomouc
a Moravská Třebová, s vlakem R 602 pak mezi Olomoucí a Hranicemi na Moravě.
4. Doba jízdy je 128 min, délka trasy 199 km, z toho průměrná rychlost 93,3 km/h.
Planety sluneční soustavy
V následující tabulce jsou uvedeny základní (značně zaokrouhlené) údaje
o vnitřních planetách naší sluneční soustavy.
Údaj: Merkur Venuše Země Mars
Střední vzdálenost od Slunce (uvedeno v tis.
km) 57 910 108 200 149 600 227 900
Doba oběhu kolem Slunce (roky) 0,241 0,615 1,000 1,881
Poloměr planety (km) 2 440 6 050 6 370 3 400
Hmotnost planety (v 1024
kg) 0,330 4,87 5,98 0,642
Zadání úloh:
1. Vypočítej průměrnou rychlost pohybu planet po oběţné dráze (v km/s).
2. Vypočítej objem planet a jejich střední hustotu.
3. Nakresli do jednoho obrázku části oběţných drah vnitřních planet (zvol vzdálenost
Země od Slunce 7,5 cm). Předpokládej pohyb planet po kruţnicích.
4. Seřaď planety podle: vzdálenosti od Slunce, doby oběhu, rychlosti při obíhání
kolem Slunce, hmotnosti, objemu, hustoty, a to vţdy od nejmenšího údaje po
největší.
Řešení úloh:
1. Průměrné rychlosti: Merkur – 47,84 km ∙ s-1
; Venuše – 35,03 km ∙ s-1
; Země –
29,79 km ∙ s-1
; Mars 24,1 km ∙ s-1
.
2. Merkur: objem 6,08 ∙ 1019
m3; hustota 5 428 kg/m
3.
110
Venuše: objem 92,8 ∙ 1020
m3; hustota 5 248 kg/m
3.
Země: objem 1,08 ∙ 1021
m3; hustota 5 537 kg/m
3.
Mars: objem 1,65 ∙ 1020
m3; hustota 3 891 kg/m
3.
3. Výsledkem jsou soustředné kruţnice. Poloměry jsou 2,9 cm; 5,4 cm; 7,5 cm
a 11,4 cm.
4. Seřazení podle vzdálenosti od Slunce: Merkur, Venuše, Země, Mars.
Seřazení podle doby oběhu: Merkur, Venuše, Země, Mars.
Seřazení podle rychlosti: Mars, Země, Venuše, Merkur.
Seřazení podle objemu: Merkur, Mars, Venuše, Země.
Seřazení podle hmotnosti: Merkur, Mars, Venuše, Země.
Seřazení podle hustoty: Mars, Venuše, Merkur, Země.
Saturnův měsíc Titan
Sonda Cassini, vypuštěná v r. 1997 směrem k Saturnu, zkoumá hlavně
Saturnův měsíc Titan. Ten krouţí kolem planety ve střední vzdálenosti 1 222 000 km
od středu planety s dobou oběhu i dobou rotace 15,95 d. Průměr Titanu je 5 150 km,
jeho střední hustota 1 880 kg/m³.
Zadání úloh:
1. Najdi v tabulkách nebo na internetu další údaje o tomto
měsíci.
2. Vypočítej dráhovou rychlost a hmotnost Titanu.
3. Porovnej navzájem parametry zemského souputníka
Měsíce a Saturnova měsíce Titan. Pouţij tabulky nebo
údaje z internetu. Obr. č. 113
111
Řešení úloh:
1. Další údaje lze nalézt např. na stránkách
http://planety.astro.cz/saturn/mesice.titan.html
2. Dráhová rychlost je 5,6 km ∙ s-1
. Vypočtená hmotnost je 1,35 ∙ 1023
kg.
3. Základní údaje o Měsíci: hmotnost 7,35 ∙ 1022
kg; poloměr 1,74 ∙ 106 m; oběţná
doba 27,32 dne; střední vzdálenost od Země 384 400 km; hustota 3 341 kg/m3.
Trpasličí planety
Na praţském mezinárodním symposiu astronomů bylo dohodnuto, ţe Pluto
a některá další tělesa sluneční soustavy se dostanou do kategorie Trpasličí planety
(Dwarf planets). Mohla by mezi ně patřit např. (je zde uvedeno jméno, vzdálenost tělesa
od Slunce v aféliu a perihéliu): Quaoar (44,896 AU, 41,914 AU), Varuna (45,335 AU,
40,915 AU), Sedna (975,056 AU, 76,156 AU), Orcus (48,31 AU, 30,53 AU), Ceres
(2,987 AU, 2,544 AU), Eris (94,56 AU, 37,77 AU), Pluto (49,305 AU, 29,658 AU).
Zadání úloh:
1. Pro kaţdé těleso urči jeho střední vzdálenost od Slunce.
2. Vypočítej, jak dlouho sluneční světlo letí ze Slunce na tato tělesa.
3. Pro Zemi střední vzdálenost rZ = 1,000 AU, doba oběhu TZ = 1,000 rok. Urči dobu
oběhu těchto těles kolem Slunce, platí-li 3. Keplerův zákon.
Řešení úloh:
1. Střední vzdálenost od Slunce: Quavar 43,41 AU; Varuna 43,13 AU; Sedna 525,61
AU; Orcus 39,42 AU; Ceres 2,77 AU; Eris 66,17 AU; Pluto 39,48 AU.
2. Quavar 6,02 h; Varuna 5,97 h; Sedna 73 h; Orcus 5,46 h; Ceres 0,38 h; Eris 9,17 h;
Pluto 5,47 h.
3. Doba oběhu kolem Slunce: Quavar 286 let; Varuna 283 let; Sedna 12 050 let; Orcus
247,5 let; Ceres 4,6 let; Eris 539 let; Pluto 248 let.
112
Sibiřské jezero Bajkal
Sibiřské jezero Bajkal je největší zásobárnou pitné vody na světě – obsahuje
23 000 km³ sladké vody, tolik, co všechna
Velká kanadská jezera dohromady. Je také
nejhlubším jezerem – 1637 m, jeho
rozloha je 31 500 km² a průměrná hloubka
730 m. Představ si, ţe některý z rybářů se
rozhodne osolit vodu v tomto jezeře,
rozsype po hladině 1 kg kuchyňské soli
a poţádá jezerní královnu o dokonalé
rozptýlení soli po celém jezeře. Obr. č. 114
Zadání úlohy:
Zjisti, zda v libovolně vybraném vzorku vody o objemu jen 1 cm³ najdeš aspoň jeden
iont Na+. Je nám známo, ţe 1 mol NaCl má hmotnost 0,0 585 kg a obsahuje
6 · 10²³ molekul kuchyňské soli, tj. po rozpuštění ve vodě stejný počet dvojic iontů Na+
a Cl−.
Řešení úlohy:
Hmotnost jednoho molu je 58,5 g. Jeden gram je tedy 0,0 171 mol, tj. 1,0 256 ∙ 1022
částic. Objem vody v jezeře je 23 ∙ 1015
cm3. V 1 cm
3 nalezneme přibliţně 446 000
částic.
113
CITOVANÁ LITERATURA: [1] SMETANA F. J., Počátkové silozpytu čili fysiky pro gymnasia a reálky, Praha:
Nákladem knihkupectví J.G.Calve, 1852
[2] Severní polární kruh. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San
Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001- [cit. 2012-05-03]. Dostupné z:
http://cs.wikipedia.org/wiki/Severn%C3%AD_pol%C3%A1rn%C3%AD_kruh
[3] HORÁK Z., Krupka F., Fyzika 1. díl, Praha: SNTL, 1976.
[4] LUHR. J. F., Země, Praha: Euromedia Group k. s., 2004, ISBN 80-242-1225-0
[5] CHAPS spol. s r. o. www.idos.cz. [online]. 2011 [cit. 2011-11-21]. Dostupné z:
[6] Emil Březina. Tunguzská katastrofa – fakta. In: www.hvezdarna-vsetin.cz.
[online]. 2008 [cit. 2011-11-21]. Dostupné z: http://www.hvezdarna-
vsetin.cz/view.php?cisloclanku=2008060001
[7] Drobný Lučenský M., Laco Kulnaga rekordný nosič. In: www.mesto.sk. [online].
2002 [cit. 2011-11-23]. Dostupné z
http://mesto.sk/prispevky_velke/vysoke_tatry/lacokulangarekordn1013979209.p
html
114
SEZNAM OBRÁZKŮ:
Obr. č. 1: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Portrait_of_Eratosthenes.png
Obr. č. 2:
Obr. č. 3: www.googleearth.com
Obr. č. 4: www.panoramio.com
Obr. č. 5: www.googleearth.com
Obr. č. 6: http://cs.wikipedia.org/wiki/Soubor:JakubKr%C4%8D%C3%ADn.jpg
Obr. č. 7: autorka
Obr. č. 8: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Northern_lights_at_the_Arctic_Circle.jpg
Obr. č. 9: autorka
Obr. č. 10: autorka
Obr. č. 11: http://cs.wikipedia.org/wiki/Soubor:Henry_cavendish.JPG
Obr. č. 12: www.googleearth.com
Obr. č. 13: www.zbynekmlcoch.cz
Obr. č. 14: autorka
Obr. č. 15: www.stranypotapecske.cz
Obr. č. 16: autorka
Obr. č. 17: www.cs.wikipedia.org
Obr. č. 18: http://www.slunecnihodiny.eu/Siyul-Kebira/index.html
Obr. č. 19: Zdroj: www.wikipedie.cz
Obr. č. 20: autorka
Obr. č. 21: autorka
Obr. č. 22: www.wikipedie.cz
Obr. č. 23: www.idnes.cz
Obr. č. 24: www.googleearth.com
Obr. č. 25: Bernard Kay, Dobrodruţné plavby, str. 120
Obr. č. 26: Zdroj: http://en.wikipedia.org/wiki/Tide
Obr. č. 27: autorka
Obr. č. 28: http://www.vesmirni-lide.cz/obr_noviny/nov_cl1310.htm
Obr. č. 29: Zdroj: http://en.wikipedia.org
Obr. č. 30: autorka
Obr. č. 31: autorka
Obr. č. 32: autorka
Obr. č. 33: http://fr.wikipedia.org/wiki/Antarctique
Obr. č. 34: Zdroj: http://en.wikipedia.org/wiki/Pytheas
Obr. č. 35: http://cs.wikipedia.org/wiki/Regiojet
Obr. č. 36: autorka
Obr. č. 37: http://fr.wikipedia.org/wiki/Usine_mar%C3%A9motrice_de_la_Rance
Obr. č. 38: http://cs.allmetsat.com/druzice-meteosat.php
Obr. č. 39: autorka
115
Obr. č. 40: www.googleearth.com
Obr. č. 41: www.wikipedie.cz
Obr. č. 42: autorka
Obr. č. 43: www.novinky.cz
Obr. č. 44: www.cestovani.idnes.cz
Obr. č. 45: http://astro.sci.muni.cz/zatmeni/slunce.php
Obr. č. 46: www.googleearth.com
Obr. č. 47: autorka
Obr. č. 48: autorka
Obr. č. 49: www.mapy.cz
Obr. č. 50: www.obrazky.cz
Obr. č. 51: autorka
Obr. č. 52: foto autorka
Obr. č. 53: foto autorka
Obr. č. 54: www.treking.cz
Obr. č. 55: autorka
Obr. č. 56:autorka
Obr. č. 57: www.zbozi.cz
Obr. č. 58: www.mapy.cz
Obr. č. 59: www.novinky.cz
Obr. č. 60: autorka
Obr. č. 61: www.wikipedie.cz
Obr. č. 62: www.wikipedie.cz
Obr. č. 63: http://rednews.nova.cz
Obr. č. 64: www.novinky.cz
Obr. č. 65: www.lidovky.cz
Obr. č. 66: autorka
Obr. č. 67: www.en.wikipedia.org
Obr. č. 68: autorka
Obr. č. 69: autorka
Obr. č. 70: autorka
Obr. č. 71: www.wikipedie.cz
Obr. č. 72: www.volvooceanrace.com
Obr. č. 73: www.en.wikipedia.org
Obr. č. 74: www.mapy.cz
Obr. č. 75: autorka
Obr. č. 76: autorka
Obr. č. 77: www.articwandering.com
0br. č. 78: www.astronom.cz
Obr. č. 79: autorka
116
Obr. č. 80: autorka
Obr. č. 81: www.en.wikipedia.org
Obr. č. 82: www.googleearth.com
Obr. č. 83: autorka
Obr. č. 84: www.en.wikipedia.org
Obr. č. 85: http://www.turistika.cz/fotogalerie/1783/rozmberk-rybnik
Obr. č. 86: : http://en.wikipedia.org/wiki/London_Eye
Obr. č. 87: autorka
Obr. č. 88: http://cs.worldpoi.info/poi/2651/
Obr. č. 89: http://www.rcteam.cz/archiv/fosset.php
Obr. č. 90: autorka
Obr. č. 91: www.pixmac.cz
Obr. č. 92: autorka
Obr. č. 93: autorka
Obr. č. 94: www.googleearth.com
Obr. č. 95: www.wikipedie.cz
Obr. č. 96: autorka
Obr. č. 97: autorka
Obr. č. 98: www.tyden.cz
Obr. č. 99: http://turecko.travelon.cz/mapa-destinace/
Obr. č. 100: www.fyzweb.cz
Obr. č. 101: www.mapy.cz
Obr. č. 102: http://es.wikipedia.org/wiki/Crist%C3%B3bal_Col%C3%B3n
Obr. č. 103: http://ludvik.kx.cz/foto/diamanty/index.htm
Obr. č. 104: www.rozhlas.cz
Obr. č. 105: http://cs.wikipedia.org/wiki/Bratsk
Obr. č. 106: http://ostrava-educanet.cz/svoboda/vyuka/sexta/jizni_asie_nepal.htm
Obr. č. 107: http://ceska-republika.tripzone.cz/praha
Obr. č. 108: autorka
Obr. č. 109: www.aktualne.cz
Obr. č. 110: http://mek.kosmo.cz/druzice/rusko/sputnik/sputnik1.htm
Obr. č. 111: www.googleearth.com
Obr. č. 112: www.fyzikalniolympiada.cz
Obr. č. 113: http://en.wikipedia.org/wiki/Titan_(moon)
Obr. č. 114: http://cs.wikipedia.org/wiki/Bajkal
![Měření velikosti gravitační sílyblack-hole.cz/cental/wp-content/uploads/2012/10/Pracovni_listy_pro_… · Síla Fg [N] Prohlédni si tabulku s naměřenými hodnotami a graf.](https://static.dokumenty.site/doc/80x56/60947d5681f5193eee015337/men-velikosti-gravitan-slyblack-holeczcentalwp-contentuploads201210pracovnilistypro.jpg)
