ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ - University of...

Σηµειώσεις Ηλεκτροµαγνητικά Κύµατα σε Υλικά, Λ. Περιβολαρόπουλος


ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΕ ΥΛΙΚΑ

Λ. ΠΕΡΙΒΟΛΑΡΟΠΟΥΛΟΣ

Σκοπός

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η µελέτη της συµπεριφοράς ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων στο

εσωτερικό υλικών (διηλεκτρικών και αγωγών) και η επεξήγηση των φαινοµένων της

ανάκλασης και της διάθλασης.

Προσδοκώµενα αποτελέσµατα

Με την ολοκλήρωση της µελέτης του κεφαλαίου, θα µπορείτε να:

• προσδιορίσετε πώς σχετίζεται η ένταση ηλεκτροµαγνητικού κύµατος µε το διάνυσµα

Poynting·

• προσδιορίσετε σε τι διαφέρει η ταχύτητα φάσης από την ταχύτητα οµάδας

ηλεκτροµαγνητικού κύµατος·

• αναφέρετε τον ορισµό της σχέσης διασποράς·

• αποδείξετε το νόµο του Snell και να προσδιορίσετε αν ισχύει ο νόµος όταν υπάρχουν

πηγές στις διαχωριστικές επιφάνειες·

• αναφέρετε τη συνθήκη που απαιτείται για το µηδενισµό του συντελεστή ανάκλασης ή

διάδοσης στην κάθετη πρόσπτωση·

• εξηγήσετε τη µεγάλη ανακλαστικότητα των µεταλλικών επιφανειών·

• αναφέρετε τον ορισµό της γωνίας Brewster.

Έννοιες κλειδιά

• µετασχηµατισµός Lorentz

• χώρος Minkowski

• τετραδιάνυσµα

• τανυστής



• σύστηµα αναφοράς

• δύναµη Minkowski

• ηλεκτροµαγνητικός τανυστής

• συναλλοίωτη µορφή

• ταχύτητα φάσης

• ταχύτητα οµάδας

• κυµατάνυσµα

• πόλωση

• ανάκλαση

• διάθλαση

• πρόσπτωση

ΕΝΟΤΗΤΑ 11.1: Πόλωση, ανάκλαση και διάθλαση ηλεκτροµαγνητικών

κυµάτων

Οι εξισώσεις του Maxwell σε διηλεκτρικά χωρίς πηγές )0,0( == ff J

ρ :

0, 0E Bε∇⋅ = ∇ ⋅ =

(11.1)

1,

B EE B

t tε

µ∂ ∂

∇× = − ∇× =∂ ∂

(11.2)

ταυτίζονται µε τις εξισώσεις του Maxwell στο κενό (9.63)-(9.66) µε αντικατάσταση

εε →0 και 0µ µ→ . Άρα οδηγούν σε παρόµοιες εξισώσεις ηλεκτροµαγνητικού κύµατος

όπως στο κενό [(9.72) και (9.73)], µε τη διαφορά ότι η ταχύτητα διάδοσης

ηλεκτροµαγνητικού κύµατος σε διηλεκτρικό είναι µικρότερη και ισούται µε:

0 0

1 1v c

εµ ε µ= < = (11.3)

Ο δείκτης διάθλασης ηλεκτροµαγνητικού κύµατος σε διηλεκτρικό ορίζεται ως ο λόγος

ταχυτήτων κυµάτων:

0 0

1c

nv

εµε µ

= = > (11.4)



Τα πεδία επίπεδου πολωµένου κύµατος σε διηλεκτρικά περιγράφονται από το πραγµατικό

µέρος των σχέσεων:

)(

0),( vtxkieEtxE

−⋅=

(11.5)

)(

0),( vtxkieBtxB

−⋅=

(11.6)

Αντικαθιστώντας τις (11.5), (11.6) στις εξισώσεις Maxwell (11.1), βρίσκουµε εύκολα ότι

0 00, 0k E k B⋅ = ⋅ =

(11.7)

Άρα, τα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα έχουν πόλωση κάθετη στη διεύθυνση διάδοσης και

λέγονται εγκάρσια. Όµοια, αντικαθιστώντας τις (11.5), (11.6) στις (11.2), βρίσκουµε:

0 0

0 0,

k E k BB E

ω µεω× − ×

= =

(11.8)

Από τις (11.8) είναι προφανές ότι 000 =⋅BE

, και εποµένως τα 0 0, ,E B k

αποτελούν

ορθογώνια τριάδα. Ακόµα, αντικαθιστώντας τις (11.5), (11.6) στις εξισώσεις κύµατος,

προκύπτει ότι η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος εµ1

ισούται µε k

ω, δηλαδή:

kv

ωεµ

==1

(11.9)

που είναι η σχέση διασποράς του κύµατος. Σε διηλεκτρικά η ηλεκτρική διαπερατότητα ε

εξαρτάται από τη γωνιακή συχνότητα 0 (ω ε ε→ για µεγάλα ω , λόγω υστέρησης

αλλαγής προσανατολισµού των στοιχειωδών διπόλων).

Όταν )(ωεε = [οπότε και )(ωvv = ], η ταχύτητα φάσης ά

vk

φ σης

ω= (ταχύτητα

µετακίνησης ενός σηµείου µε σταθερή φάση στο κύµα) διαφέρει από την ταχύτητα

οµάδας .

dv

dkοµ

ω= (ταχύτητα µετακίνησης της περιβάλλουσας ενός κυµατικού παλµού).1

Η ένταση ηλεκτροµαγνητικού κύµατος Ι ταυτίζεται µε τη µέση ενεργειακή ροή, δηλαδή

τη µέση τιµή της προβολής του ρεύµατος ενέργειας στη διεύθυνση διάδοσης, που είναι το

διάνυσµα Poynting S

επί k

k

Άρα:

1 Η ταχύτητα οµάδας είναι η ταχύτητα µεταφοράς της πληροφορίας σε ένα κυµατικό σήµα.



)(cos200 txk

BE

k

kS

k

kI ω

µ−⋅

×==

(11.10)

Χρησιµοποιώντας την καθετότητα µεταξύ 0 0ˆ, ,E B k

και τη σχέση 00 E

kB

ω= , που

προκύπτει από το νόµο του Faraday, η (11.10) γράφεται:

2

0

2

0

2

1

2

1vE

EkI ε

µω=⋅= (11.11)

όπου το 2

1 προέκυψε από τη µέση τιµή του )(cos2

txk ω−⋅

.

Άσκηση αυτοαξιολόγησης 11.1

Ως ένα παράδειγµα της ταχύτητας οµάδας θεωρήστε ένα Γκαουσιανό κυµατοπακέτο µιας

συνάρτησης ( ),x tφ που διαδίδεται ως κύµα και δίνεται από τη σχέση:

( ) ( ) ( ),2

i kx t dkx t e f k

ωφ

π

+∞ −

−∞= ∫

όπου

( ) ( ) 20

0

k k af k f e

− −=

Το εύρος του k είναι ( ),−∞ +∞ , αλλά η ποσότητα στο ολοκλήρωµα εµφανίζει µέγιστο για

0k k= µε εύρος της τάξης του 1/ a . Υποθέστε ότι στην περιοχή του µεγίστου το ( )kω

προσεγγίζεται από τη σχέση ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0k k k k kω ω ω′= + − .

α) Υπολογίστε το ολοκλήρωµα και βρείτε τη συνάρτηση ( ),x tφ .

β) ∆είξτε ότι η ταχύτητα φάσης είναι ( )0 0/k kω και η ταχύτητα οµάδας ( )0kω′ .


Για ένα ηλεκτροµαγνητικό κύµα σε αραιό πλάσµα βρείτε την ταχύτητα φάσης και την

ταχύτητα οµάδας ως συνάρτηση του ω.


Αποδείξτε ότι σε πλάσµα ωµικής αγωγιµότητας σ και µαγνητικής διαπερατότητας 1=µ

το µαγνητικό πεδίο B

ικανοποιεί την εξίσωση



2 B

D Bt

∂= ∇

∂

όπου πσ4/2cD = .


Θεωρήστε ένα µοντέλο αγωγιµότητας πλάσµατος στο οποίο η αγωγιµότητα είναι

φανταστική, δηλαδή 2J i Eσ=

στη µιγαδική αναπαράσταση του κύµατος.

α) Από τις εξισώσεις του Maxwell βρείτε τη σχέση µεταξύ k και ω για ηλεκτροµαγνητικό

κύµα που διαδίδεται στο πλάσµα µε πεδία που δίνονται ως:

( )0

i kx tE E j e

ω∧

−=

, ( )

0

i kx tB B k e

ω∧

−=

β) ∆είξτε ότι το J

υπολείπεται σε φάση του E

κατά 90 µοίρες.

ΕΝΟΤΗΤΑ 11.2: Ανάκλαση και διάθλαση σε διαχωριστική επιφάνεια

διηλεκτρικών

Έστω ότι το επίπεδο )0( =xyz αποτελεί διαχωριστική επιφάνεια µεταξύ δύο γραµµικών

διηλεκτρικών µε παραµέτρους )0(,, 11 ≤xnµε και 2 2, , ( 0)n xε µ > . Έστω ότι επίπεδο κύµα

µε κυµατάνυσµα k προσπίπτει από την πλευρά 0≤x . Λόγω του προσπίπτοντος κύµατος,

εµφανίζεται ένα ανακλώµενο επίπεδο κύµα µε κυµατάνυσµα k′′

στην περιοχή 0≤x και

ένα διαθλώµενο επίπεδο κύµα µε κυµατάνυσµα k′ στην περιοχή 0x > .

Το ηλεκτρικό πεδίο, λόγω των κυµάτων αυτών, γράφεται ως:

( )( )( )

0 0

( )

0

0 ( , )

0

i k x ti k x t k x t

i k x t

xE e E eE x t

xE e

ωω ω

ω

′′ ′′′′ ⋅ −⋅ − ⋅ −

′ ′⋅ −

≤ ′′+= ≥ ′

(11.12)

και αντίστοιχα για το µαγνητικό πεδίο.

Οι συνοριακές συνθήκες για τα πεδία στη διαχωριστική επιφάνεια προκύπτουν εύκολα

από τις (9.46)-(9.49) µε µηδενισµό των πηγών:

1 1 2 2 1 2, E E B Bε ε⊥ ⊥ ⊥ ⊥= = (11.13)

1// 2 //1 2 ////

1 2

, B B

E Eµ µ

= = (11.14)



Οι συνοριακές αυτές συνθήκες θα πρέπει να ισχύουν για κάθε χρονική στιγµή t και για

κάθε τιµή των y και z πάνω στη διαχωριστική επιφάνεια.

Η παρατήρηση αυτή σε συνδυασµό µε την (11.12) οδηγεί στις συνθήκες:

ωωω ′′=′= (11.15)

y y yk k k′ ′′= = (11.16)

z z zk k k′ ′′= = (11.17)

Η (11.15) σε συνδυασµό µε τη σχέση διασποράς 0

00

kv

ω= οδηγεί στις σχέσεις για τους

κυµατάριθµους (µέτρα κυµατανυσµάτων) στις δύο πλευρές της διαχωριστικής

επιφάνειας:

cn

vkk

ωω1

1

1 ==′′= (11.18)

cn

vk

ωω2

2

2 ==′ (11.19)

Μπορούµε να επιλέξουµε το επίπεδο xy έτσι ώστε το προσπίπτον κυµατάνυσµα να έχει

0zk = . Τότε, λόγω της (11.17), θα έχουµε 0z zk k′′= = , και εποµένως, λόγω των (11.18)

και (11.19), τα κυµατανύσµατα ,k k′ και k ′′ µπορεί να γραφτούν ως:

1ˆ ˆ( cos sin )k n i j

c

ωθ θ= + (11.20)


c

ωθ θ′ ′ ′= + (11.21)


c

ωθ θ′′ ′′ ′′= − + (11.22)

όπου θ η γωνία πρόσπτωσης, θ ′′ η γωνία ανάκλασης και θ ′ η γωνία διάθλασης (δείτε

Σχήµα 13.1 των PS).

Χρησιµοποιώντας τώρα την (11.16) σε συνδυασµό µε τις (11.20)-(11.22), προκύπτουν οι

παρακάτω σχέσεις µεταξύ των γωνιών ,θ θ ′ και θ ′′ :

θθ ′′= sinsin (11.23)

1 2sin sinn nθ θ ′= (11.24)



Η σχέση (11.23), που εκφράζει την ισότητα µεταξύ γωνιών πρόσπτωσης και ανάκλασης,

είναι ο γνωστός νόµος της ανάκλασης. Η σχέση (11.24) µεταξύ γωνιών πρόσπτωσης και

διάθλασης είναι γνωστή ως νόµος της διάθλασης ή νόµος του Snell.

Όταν 1 2n n> , δηλαδή το διηλεκτρικό διάθλασης (υλικό 2) είναι οπτικώς αραιότερο από

το διηλεκτρικό πρόσπτωσης (υλικό 1), οπότε και 1 2v v> , τότε θ θ′ > και υπάρχει µια

κρίσιµη γωνία 2

c

πθ θ= < , για την οποία

2

πθ =′ , και για γωνίες cθ θ> δεν υπάρχει

διάθλαση αλλά ολική ανάκλαση. Για cθθ = έχουµε:

2212

sin,sin nnn c ==π

θ

και εποµένως:

=

1

2arcsinn

ncθ (11.25)

ΕΝΟΤΗΤΑ 11.3: Συντελεστές ανάκλασης και διάδοσης σε κάθετη

πρόσπτωση

Σε κάθετη πρόσπτωση έχουµε 0.θ θ θ′ ′′= = = Χωρίς βλάβη της γενικότητας, µπορούµε

να υποθέσουµε πόλωση του ηλεκτρικού πεδίου στη διεύθυνση j :

( )

( ) ( )

( )

0 0

0

ˆ ˆ x 0

,

ˆ 0

i kx t i kx t

i k x t

E je E je

E x t

E je x

ω ω

ω

− − −

′ −

′′+ ≤

= ′ >

(11.26)

Από τον νόµο του Faraday και την (11.26) έχουµε:

( )

( ) ( )

( )

0 0

0

ˆ ˆ 0

,

ˆ 0

i kx t i kx t

i k x t

k kE ze E ze x

B x t

kE ze x

ω ω

ω

ω ω

ω

− − −

′ −

′′− ≤

= ′ ′ >

(11.27)

Εφαρµόζοντας τώρα τις συνοριακές συνθήκες (11.14) για τις παράλληλες συνιστώσες του

ηλεκτρικού και του µαγνητικού πεδίου στις (11.26) και (11.27), έχουµε:

0 0 0E E E′′ ′+ = (11.28)



0 0 0

1 1 2 2

E E E

v vµ µ

′′ ′−= (11.29)

όπου 1vk k

ω ω= =

′′ και 2v

k

ω=

′.

Λύνοντας τώρα τις (11.28), (11.29) ως προς τα διαθλώµενα ( )0′Ε και ανακλώµενα ( )0

′′Ε

πλάτη πεδίων, βρίσκουµε:

2 1

0

2 1 1 2

2 n

n n

µΕ

µ µ′ =

+

0Ε (11.30)

2 1 1 20

2 1 1 2

n n

n n

µ µΕ

µ µ−

′′ =+

0Ε (11.31)

Στα περισσότερα διηλεκτρικά ισχύει 0µ µ= , οπότε, αν το κύµα περνάει από οπτικά

αραιότερο σε οπτικά πυκνότερο υλικό ( )1 2n n< , τότε, λόγω της (11.31), τα 0Ε ′′ και 0Ε

έχουν αντίθετο πρόσηµο. Κατά την ανάκλαση αυτή, το παλλόµενο ηλεκτρικό πεδίο

παίρνει µια επιπλέον φάση κατά 180 . Το ανακλώµενο όµως µαγνητικό πεδίο

0 0ˆ

kE z

ω ′′Β = −

έχει ένα επιπλέον πρόσηµο (–), όπως φαίνεται στην (11.27), άρα η φάση

του δεν αλλάζει σε σχέση µε το προσπίπτον πεδίο. Το αντίθετο συµβαίνει αν 1 2n n> .

Ο συντελεστής ανάκλασης του κύµατος ορίζεται ως:

kS

I kRI k

Sk

′′′′< ⋅ >′′ ′′= =

< ⋅ >

(11.32)

και εποµένως από τις (11.11) και (11.31) έχουµε:

22

0 2 1 1 2

2

2 1 1 20

E n nR

n nE

µ µµ µ

′′ −= = +

(11.33)

Όµοια, για το συντελεστή διάδοσης Τ έχουµε:

( )

2

2 2 0 1 2 1 2

2 2

1 1 0 2 1 2 2

4v EI n nT

I v E n n

ε µ µε µ µ

′′≡ = =

+ (11.34)



όπου χρησιµοποιήσαµε τις (11.11), (11.30) και τον ορισµό του δείκτη διάθλασης

0 0

cn

v

µεµ ε

= = . Προφανώς ισχύει 1T R+ = , όπως αναµένεται, λόγω διατήρησης της

ενέργειας.


Βρείτε τους συντελεστές ανάκλασης R και διέλευσης Τ για ΑΜ ραδιοκύµατα συχνότητας

1 MHz που πέφτουν σε επιφάνεια λίµνης (για το νερό υποθέστε 0 81ε ε = ).

ΕΝΟΤΗΤΑ 11.4: Πρόσπτωση υπό αυθαίρετη γωνία: Eξισώσεις Fresnel

Θα βρούµε τα πλάτη ανάκλασης και διάδοσης ηλεκτρικού πεδίου για αυθαίρετη γωνία

πρόσπτωσης θ . Θα διακρίνουµε δύο περιπτώσεις:

α) του ηλεκτρικού πεδίου κάθετου στο επίπεδο πρόσπτωσης (TΕ: Transverse Electric)·

β) πόλωση του µαγνητικού πεδίου κάθετου στο επίπεδο πρόσπτωσης (ΤΜ: Transverse

Magnetic).

11.4.1 Πόλωση ΤΕ

Στην περίπτωση αυτή, αν το επίπεδο πρόσπτωσης είναι το ,x y , το ηλεκτρικό πεδίο είναι:

( )

( ) ( )

( )

0 0

0

ˆ ˆ 0

,

ˆ 0

i k x t i k x t

i k x t

zE e zE e x

E x t

zE e x

ω ω

ω

′′⋅ − ⋅ −

′⋅ −

′′+ ≤

′ >

(11.35)

Aπό τη σχέση διασποράς τα πλάτη των κυµατανυσµάτων είναι:

1 2

, k k k kv v

ω ω′′ ′= = = =

Η µοναδική συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου είναι παράλληλη µε τη διαχωριστική

επιφάνεια και, εποµένως, η σχετική συνοριακή συνθήκη είναι η 1 2E E=

, που δίνει, λόγω

της (11.35):

0 0 0E E E′′ ′+ = (11.36)



Για να βρούµε τα πεδία 0E ′ και 0E ′′ συναρτήσει του 0E , χρειαζόµαστε άλλη µια σχέση.

Θα χρησιµοποιήσουµε τις συνοριακές συνθήκες για το µαγνητικό πεδίο.

Σε αντιστοιχία µε τη (11.34), το µαγνητικό πεδίο είναι:

( )

( ) ( )

( )

0 0

0

0

,

0

i k x t i k x t

i k x t

B e B e x

B x t

B e x

ω ω

ω

′′⋅ − ⋅ −

′⋅ −

′′+ ≤

=

′ >

(11.37)

Θα εκφράσουµε το πλάτος του µαγνητικού πεδίου συναρτήσει του πλάτους του

ηλεκτρικού πεδίου χρησιµοποιώντας το νόµο του Faraday:

BE

t

∂∇× = −

∂

Το προσπίπτον κυµατάνυσµα γράφεται ως:

1

ˆ ˆcos sink i jv

ωθ θ = +

(11.38)

Άρα, το πλάτος του προσπίπτοντος κύµατος µαγνητικού πεδίου γράφεται:

0 00

1

ˆ ˆcos sinE E

B k j iv

θ θω

= × = − +

(11.39)

όπου χρησιµοποιήσαµε και την (11.35) για το προσπίπτον κύµα ηλεκτρικού πεδίου και το

νόµο του Faraday.

Για να βρούµε το πλάτος του ανακλώµενου κύµατος µαγνητικού πεδίου µέσω του νόµου

του Faraday, πρώτα γράφουµε το κυµατάνυσµα του ανακλώµενου κύµατος ως:

1

ˆ ˆcos sink i jv

ωθ θ ′′ = − +

(11.40)

όπου χρησιµοποιήσαµε το νόµο της ανάκλασης, σύµφωνα µε τον οποίο απλώς

αντιστρέφουµε τη x συνιστώσα του προσπίπτοντος k

για να βρούµε το ανακλώµενο k′′

.

Χρησιµοποιώντας τώρα το νόµο του Faraday, την (11.39) και την (11.35) για το

ανακλώµενο ηλεκτρικό κύµα, βρίσκουµε το ανακλώµενο µαγνητικό κύµα ως:

0 0

0

1

ˆ ˆcos sinE E

B k j iv

θ θω

′′′′′′ ′′= × = +

(11.41)

Τέλος, για το διαθλώµενο µαγνητικό κύµα έχουµε:

2

ˆ ˆcos sink i jv

ωθ θ ′ ′ ′= +

(11.42)



από την οποία προκύπτει:

0 00

2

ˆ ˆcos sinE E

B k j iθ θω υ

′ ′′ ′ ′ ′= × = − +

(11.43)

Οι συνοριακές συνθήκες για το µαγνητικό πεδίο είναι:

1 2

1 1 2 2

1 2

, x x

B BB B B B

µ µ⊥ ⊥= = = =

(11.44)

Χρησιµοποιώντας τη συνέχεια της κάθετης συνιστώσας του µαγνητικού πεδίου και την

(11.37) [µε αντικατάσταση από τις (11.39), (11.41) και (11.43)], παίρνουµε:

0 0 0

1 1 2

sin sin sinE E E

v v vθ θ θ

′′ ′′+ = (11.45)

Η (11.45) µε χρήση της (11.36) γίνεται:

1 2sin sinn nθ θ ′= (11.46)

που είναι ο νόµος του Snell.

Χρησιµοποιώντας τη συνέχεια της παράλληλης συνιστώσας του B

Hµ=

και την (11.37),

παίρνουµε:

0 0 0

1 1 1 1 2 2

cos cos cosE E E

v v vθ θ θ

µ µ µ

′′ ′′− + = − (11.47)

Οι (11.47) και (11.36) αποτελούν τις ζητούµενες δύο εξισώσεις από τις οποίες µπορούµε

να βρούµε το διαθλώµενο πλάτος 0E ′ και το ανακλώµενο πλάτος 0E ′′ συναρτήσει του

προσπίπτοντος πλάτους 0E .

Η λύση του συστήµατος (11.47) και (11.36) προκύπτει εύκολα ως:

2 1

0 0

2 1 1 2

2 cos

cos cos

nE E

n n

µ θµ θ µ θ

=′+

(11.48)

2 1 1 20 0

2 1 1 2

cos cos

cos cos

n nE E

n n

µ θ µ θµ θ µ θ

′−′′ =′+

(11.49)

Στην προσέγγιση 1 2 0µ µ µ , που ισχύει στα περισσότερα διηλεκτρικά, η (11.49)

γίνεται µε τη χρήση του νόµου του Snell:



( )( )0 0

sin

sinE E

θ θ

θ θ

′ −′′ =

′ + (11.50)

που είναι η εξίσωση του Fresnel για πόλωση ΤΕ.

11.4.2 Πόλωση ΤΜ

Στην περίπτωση πόλωσης ΤΜ, το µαγνητικό πεδίο γράφεται ως:

( )

( ) ( )

( )

0 0

1 1

0

1

ˆ ˆ 0

,

ˆ 0

i k x t i k x t

i k x t

E Ez e z e x

v v

B x t

Ez e x

v

ω ω

ω

′′⋅ − ⋅ −

′⋅ −

′′+ ≤

= ′ >

(11.51)

όπου χρησιµοποιήσαµε το νόµο του Faraday για τη συσχέτιση του πλάτους 0B µε το

0E .

Από τη συνθήκη 1 2

1 2

Β Β

µ µ

′′ ′′=

έχουµε:

( )0 0 0

1 1 2 2

1 1E E E

v vµ µ′′ ′+ = (11.52)

Από τις σχέσεις (11.38), (11.40), (11.42) και το νόµο του Faraday (π.χ. 00

ˆB

k E zω

× =

∼ )

προκύπτουν τα πλάτη των ηλεκτρικών κυµάτων (προσπίπτον, διαθλώµενο και

ανακλώµενο) ως:

( )0 0ˆˆsin cosE E jι θ θ= − +

(11.53)

( )0 0ˆ ˆsin cosE E i jθ θ′ ′ ′ ′= − +

(11.54)

( )0 0ˆˆsin cosE E jι θ θ′′ ′′= − −

(11.55)

και το ηλεκτρικό πεδίο έχει τη µορφή:

( )

( ) ( )

( )

0

0

0

,

0

i k x t i k x t

i k x t

E e E e x

E x t

E e x

ω ω

ω

⋅ − − ⋅ −

′⋅ −

′′+ ≤

=

′′ >

(11.56)

Από τη συνέχεια της παράλληλης συνιστώσας j του ηλεκτρικού πεδίου έχουµε, λόγω

των (11.53)-(11.56):



( )0 0 0cos cosE E Eθ θ′′ ′ ′− = (11.57)

Οι (11.57) και (11.52) µε 1 2

2 1

v n

v n

=

αποτελούν τις δύο βασικές σχέσεις από τις οποίες

βρίσκουµε τα 0E′ και 0E′′ συναρτήσει του

0E .

Το αποτέλεσµα είναι:

2 10 0

2 1 1 2

2 cos

cos cos

nE E

n n

µ θµ θ µ θ

′ =′ +

(11.58)

1 2 2 10 0

2 1 1 2

cos cos

cos cos

n nE E

n n

µ θ µ θµ θ µ θ

′−′′ =′ +

(11.59)

Στην προσέγγιση 1 2 0µ µ µ η (11.59) γίνεται (µε χρήση του νόµου του Snell):

( )( )0 0

tan

tanE E

θ θθ θ

′−′′ =

′+ (11.60)

που είναι η εξίσωση Fresnel για πόλωση ΤΜ.

Όταν 2

πθθ =′+ , έχουµε από την (11.60) 00 =″

E και όλο το ΤΜ κύµα διαθλάται χωρίς

καθόλου ανάκλαση. Θέτοντας στο νόµο του Snell 2

πθθ =′+ , έχουµε:

θθθ cossinsin 221 nnn =′= (11.61)

ή

Bn

nθθ tantan

1

2 ≡= (11.62)

Η γωνία Bθ , για την οποία έχουµε ολική διάθλαση του κύµατος ΤΜ, λέγεται γωνία

Brewster. Για Bθθ = , το µόνο ανακλώµενο κύµα είναι πόλωσης ΤΕ και είναι 100%

πολωµένο.



ΕΝΟΤΗΤΑ 11.5: Ηλεκτροµαγνητικά κύµατα σε αγωγούς

Θα θεωρήσουµε αγωγούς ως γραµµικά υλικά µε αγωγιµότητα σ και ελεύθερα ρεύµατα:

( ), ( , )f

J x t E x tσ=

(11.63)

χωρίς ελεύθερα φορτία ( )0fρ = (τυχόν ελεύθερα φορτία απωθούνται προς την επιφάνεια

του αγωγού) και µε γραµµικές διηλεκτρικές και µαγνητικές ιδιότητες.

Λόγω της (11.63), οι εξισώσεις Maxwell στο εσωτερικό αγωγού γράφονται ως:

0E∇⋅ =

, 0B∇⋅ =

(11.64)

BE

t

∂∇× = −

∂

, E

B Et

µσ µε∂

∇× = +∂

(11.65)

Ο νέος όρος Eµσ

προκαλεί αλλαγές στη µορφή της κυµατικής εξίσωσης, τις οποίες θα

µελετήσουµε.

Για να βρούµε τη µορφή της κυµατικής εξίσωσης, παίρνουµε την περιστροφή και στα δύο

µέλη του νόµου του Faraday (11.65). Η ( )E∇× ∇×

ισούται µε 2E−∇

, αφού 0E∇⋅ =

(λόγω 11.64). Η περιστροφή του δεξιού µέλους του νόµου του Faraday οδηγεί σε

Bt

∂− ∇×∂

, που µπορεί να εκφραστεί συναρτήσει του E

µε χρήση του νόµου Ampere-

Maxwell (11.65). Έτσι, προκύπτει η γενικευµένη κυµατική εξίσωση για το ηλεκτρικό

πεδίο στο εσωτερικό αγωγού ως:

22

2

E EE

t tµσ µε

∂ ∂∇ = +

∂ ∂

(11.66)

Η αντίστοιχη εξίσωση για το B

προκύπτει αν πάρουµε την περιστροφή και στα δύο µέλη

της εξίσωσης Ampere-Maxwell και µετά χρησιµοποιήσουµε το νόµο του Faraday και το

νόµο του Gauss 0B∇⋅ =

. Βρίσκουµε:

22

2

B BB

t tµσ µε

∂ ∂∇ = +

∂ ∂

(11.67)

Θεωρούµε τώρα δοκιµαστική λύση για την (11.66) της µορφής:

( ) ( )

0, i kx tE x t E e ω−=

(11.68)

όπου υποθέσαµε, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι το επίπεδο κύµα διαδίδεται στη

διεύθυνση x.



Επειδή 0B∇⋅ =

, έχουµε 0 0i E∧

⋅ =

, και εποµένως το κύµα είναι αναγκαστικά εγκάρσιο.

Για να βρούµε τη σχέση διασποράς, αντικαθιστούµε την (11.68) στην (11.66) και

βρίσκουµε:

2 2k iµσω µεω= + (11.69)

Για 0=σ , βρίσκουµε τη γνωστή σχέση διασποράς που ισχύει σε διηλεκτρικά. Για 0≠σ

όµως, ο κυµατάριθµος k είναι µιγαδικός και γράφεται ως:

21 ikkk += (11.70)

Με αντικατάσταση της (11.70) στην (11.69), εύκολα βρίσκουµε τα 1k , 2k ως:

2

1

2

1 12

k

k

εµ σω

εω

= + ±

(11.71)

και εποµένως το ηλεκτρικό πεδίο είναι το πραγµατικό µέρος του:

( ) 2 1( )

0, k x i k x tE x t E e e

ω− −=

(11.72)

Η εκθετική πτώση του πλάτους του κύµατος µε το x οφείλεται στην απορρόφηση

ενέργειας από την ηλεκτρική αντίσταση του αγωγού.

Η ταχύτητα φάσης του κύµατος είναι:

( )1

phvk

ωω

= (11.73)

και εξαρτάται από τη συχνότητα ω. Σε υλικά που συµβαίνει αυτό, οι διαφορετικές

συνιστώσες µε καθορισµένο ω που συνθέτουν παλµό κύµατος έχουν διαφορετική

ταχύτητα φάσης κι ο παλµός αλλάζει µορφή κατά τη διάδοσή του.

Η ταχύτητα διάδοσης του παλµού είναι η ταχύτητα οµάδας:

1

1gr

dkv

dω

− =

Το µαγνητικό πεδίο που αντιστοιχεί στην (11.72) βρίσκεται από την (11.68) και το νόµο

του Faraday ως:

i B E ik i Eω∧

= ∇× = ×

(11.74)

ή

( )

0

i kx tkB i E e

ϖ

ω

∧−= ×

(11.75)



Η µιγαδική µορφή του k εισάγει µια διαφορά φάσης µεταξύ E

και B

που ισούται µε τη

φάση του k

ω.

Ο συντελεστής ανάκλασης ηλεκτροµαγνητικού κύµατος που προσπίπτει κάθετα από το

κενό σε αγωγό µπορεί να βρεθεί µε χρήση της (11.31), θέτοντας 021 µµµ ≈≈ , 11 =n και

2

ckn

ω→ [το 2n στην (11.31) προέκυψε ως

/

c

kω, όπου το k προέκυψε µετά από χωρική

παραγώγιση. Η ίδια χωρική παραγώγιση οδηγεί στο µιγαδικό k στην περίπτωση του

αγωγού, αν και για τον αγωγό έχουµε κανονικά 2

1ph

c cn

v k

ω= = ].

Με τις αντικαταστάσεις αυτές, η (11.31) γίνεται:

0 2

0 2

1

1

E n ck

E n ck

ωω

″ − −= =

+ + (11.76)

και εποµένως:

( )( )

2 2 2

1 2

2 2

1 2

c

ck c kIR

I ck c k

ω

ω

− +′′= =

+ + (11.77)

Για καλό αγωγό, όµως, έχουµε σ εω>> , που, λόγω της (11.71), οδηγεί σε 1ck ω>> . Με

τη συνθήκη αυτή η (11.77) δίνει 1≈R και, εποµένως, αναµένουµε µεγάλη

ανακλαστικότητα του φωτός από καλούς αγωγούς.

Έτσι εξηγείται η µεγάλη ανακλαστικότητα (λάµψη) των µεταλλικών επιφανειών.


Βρείτε την πίεση ακτινοβολίας που ασκείται στην επιφάνεια αγωγού λόγω κάθετης

πρόσπτωσης φωτός δεδοµένης έντασης.

Λύσεις Ασκήσεων αυτοαξιολόγησης

Λύση 11.1

α) Υπολογίζουµε το µετασχηµατισµό Fourier:

( ) ( ) ( ),2

i kx t dkx t e f k

ωφ

π

+∞ −

−∞= ∫



( ) ( ) 2 20 0 0 '0

2

i k x t i qx q t q afe e e dq

ω ω

π

+∞− − −

−∞= ∫

Θέτουµε 0q k k= − :

( ) ( )'02

20 0 40

2

xi k x t afe e

a

ωω

π− −−

=

όπου 0ω είναι το ω υπολογισµένο στο 0k και 0ω′ σηµαίνει ddk

ω υπολογισµένο στο 0k .

Παραπάνω προσεγγίσαµε το ( )kω ως:

( ) ( )0 0 0 'k k kω ω ω≈ + −

και αλλάξαµε τη µεταβλητή ολοκλήρωσης σε 0q k k≡ − . Έπειτα εφαρµόσαµε το γενικό

τύπο ολοκλήρωσης:

22

exp4

q qe e dqα β π α

β β

+∞−

−∞

=∫

β) Φασική ταχύτητα: Ένα σηµείο µε σταθερή φάση ( ),x tφ έχει

0 0k x t ctω− =

δηλαδή:

0 0 0k dx dtω− =

και έτσι

0

0

dx

dt k

ω=

η οποία εκφράζει τη φασική ταχύτητα.

Ταχύτητα οµάδας: Το κέντρο του κυµατοπακέτου είναι στο 0 ' 0x tω− = . Εποµένως:

0

0 'k k

dx d

dt dk

ωω

=

= =

η οποία εκφράζει την ταχύτητα της οµάδας.

Λύση 11.2

Η διασπορά για ένα ηλεκτροµαγνητικό κύµα σε πλήρως ιονισµένο αέριο πολύ υψηλής

θερµοκρασίας (δηλαδή κατάσταση πλάσµατος) είναι:

2 2 2 2

p c kω ω= +



όπου phω είναι η συχνότητα του πλάσµατος (γωνιακή συχνότητα).

Η φασική ταχύτητα είναι:

2 2ph

p

c

k

ω ωυ

ω ω= =

−

µε τον περιορισµό ότι pω ω> , για να έχουµε διάδοση του κύµατος.

Η ταχύτητα της οµάδας είναι:

2 2

gr

ph

d c k c

dk

ωυ

ω υ= = =

2 21p

c ω ω= −

Λύση 11.3

Το ηλεκτροµαγνητικό πεδίο µέσα στο πλάσµα ικανοποιεί τις ακόλουθες εξισώσεις του

Maxwell (σε Γκαουσιανές µονάδες):

4 fD πρ∇⋅ =

1 B

Ec t

∂∇× = −

∂

0B∇⋅ =

4

fB jπσ

∇× =

και αν το πλάσµα είναι ωµικό, εµείς έχουµε επίσης:

fj Eσ=

Άρα:

4B E

c

πσ∇× =

ή

2 B D B∇× = ∇

(1)

µε .4

2

πσc

D =

Η εξίσωση (1) είναι εξίσωση διάχυσης.



Λύση 11.4

Στο πλάσµα που ισχύει 2J i Eσ=

, το ηλεκτρικό και το µαγνητικό πεδίο είναι

( )0

i kx tE E j e

ω∧

−=

και ( )

0

i kx tB B k e

ω∧

−=

αντίστοιχα.

α) Από το νόµο του Faraday, E B t∇× = −∂ ∂

, έχουµε ότι

0 0kE Bω= (1)

Από το νόµο του Ampere, 0 0 0B J E tµ µ ε∇× = + ∂ ∂

, έχουµε ότι

0 0 2 0 0 0 0ikB i E i Eµ σ µ ε ω− = −

( )0 0 2 0 0 0kB Eµ σ µ ε ω− = − (2)

Συνδυάζοντας τις (1) και (2), καταλήγουµε στην ισότητα

0 0 0 0 2

0

Bk

E k

µ ε ω µ σω

−= =

Εποµένως, η σχέση διασποράς είναι:

2 2

0 0 0 2k µ ε ω µ σ ω= −

β) Η πυκνότητα του ηλεκτρικού ρεύµατος στο πλάσµα είναι:

22 2 0

i kx tJ i E E j e

πωσ σ

∧ − += =

Παρατηρούµε ότι υπάρχει µια διαφορά φάσης κατά 2π και το E

προηγείται του J

. Για

ένα τυχαίο σταθερό σηµείο x , το E

είναι µέγιστο για 0kx tω− = , δηλαδή για χρόνο

t kx ω= . Το J

είναι µέγιστο για 2 0kx tω π− + = , δηλαδή τη µεταγενέστερη χρονική

στιγµή ( )2t kx ω π ω= + .

Λύση 11.5

Η ανακλαστικότητα από ένα διηλεκτρικό υλικό για κάθετη πρόσπτωση δίνεται από τη

σχέση:

2 2

2 1 1 2 1 2

2 1 1 2 1 2

n n n nR

n n n n

µ µµ µ

− −= = + +

όπου η δεύτερη ισότητα είναι για την περίπτωση όπου ισχύει 1 2µ µ= . Για ραδιοκύµατα

τα οποία προσκρούουν στην επιφάνεια µιας λίµνης, 0.64R = , λαµβάνοντας υπόψη ότι ο



δείκτης διάθλασης για τον αέρα είναι 1 1n = , ενώ ο αντίστοιχος για το νερό είναι

2 81 9n = = . Από τη διατήρηση της ενέργειας, ο συντελεστής διέλευσης είναι 0.36T = .

Λύση 11.6

Θεωρούµε µια δέσµη φωτός που προσπίπτει κάθετα πάνω σε µια µεταλλική επιφάνεια.

Η ορµή της ροής του προσπίπτοντος ηλεκτροµαγνητικού κύµατος είναι:

dUdP c

Adt Adt c

Ι= =

όπου I η ένταση (ροή της ενέργειας).

Επιπλέον, θα πρέπει να διευκρινίσουµε ότι, για την παραπάνω εξίσωση, dP είναι η ορµή

στον όγκο όπου διαδίδεται το κύµα που διέρχεται από µια µικρή περιοχή A κατά τη

διάρκεια χρόνου dt , dU είναι η ενέργεια στον ίδιο όγκο, που είναι ίση µε ( )dP c .

Από το 2ο Νόµο του Νεύτωνα, η δύναµη στην περιοχή A είναι:

2dP

Fdt

=

µε τον παράγοντα 2 να εκφράζει την τέλεια ανάκλαση.

Επιπλέον, η τάση είναι:

2F

A c

Ι=

Η παραπάνω πίεση µπορεί να θεωρηθεί ότι προκύπτει και από τη δύναµη Lorentz ως

εξής: Θεωρήστε ένα οδεύον κύµα κατά τη διεύθυνση του άξονα των x , πολωµένο κατά

τον y άξονα και το οποίο προσπίπτει κανονικά πάνω σε µεταλλική επιφάνεια. Το

ηλεκτρικό πεδίο ταλαντώνεται κατά τη διεύθυνση j∧

± , ενώ το µαγνητικό πεδίο

ταλαντώνεται κατά τη διεύθυνση k∧

± . Θεωρήστε τη στιγµή στην οποία έχουµε E j∧ και

B k∧ στην επιφάνεια. Η δύναµη Lorentz για ένα ελεύθερο φορτίο q σε µέταλλο είναι

F qv B= ×

, όπου B

είναι κατά τη διεύθυνση k∧

και qv

είναι κατά τη διεύθυνση του E

,

δηλαδή κατά τη διεύθυνση του µοναδιαίου j∧

, επειδή J Eσ=

. Επιπλέον, η δύναµη που



ασκείται στο φορτίο q είναι κατά τη διεύθυνση του j k i∧ ∧ ∧

× = , το οποίο είναι κάθετο στην

επιφάνεια.

Ερωτήσεις

1. Πώς σχετίζεται η ένταση ηλεκτροµαγνητικού κύµατος µε το διάνυσµα Poynting;

2. Σε τι διαφέρει η ταχύτητα φάσης από την ταχύτητα οµάδας ηλεκτροµαγνητικού

κύµατος;

3. Πώς ορίζεται η σχέση διασποράς;

4. Περιγράψτε την απόδειξη του νόµου του Snell. Ισχύει ο νόµος αν υπάρχουν πηγές

στις διαχωριστικές επιφάνειες;

5. Ποια συνθήκη απαιτείται για το µηδενισµό του συντελεστή ανάκλασης στην κάθετη

πρόσπτωση; Για το µηδενισµό του συντελεστή διάδοσης;

6. Πώς εξηγείται η µεγάλη ανακλαστικότητα των µεταλλικών επιφανειών;

7. Τι είναι η γωνία Brewster;

Άλυτες ασκήσεις

∆είτε PS, τις άλυτες ασκήσεις του Κεφαλαίου 13, µε έµφαση στις:

13.1, 13.5, 13.7, 13.8, 13.10, 13.13, 13.19.

Date post:	03-Oct-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	1 times
Download:	0 times

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ - University of...

Documents