ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZEhydraulika.fsv.cvut.cz/Hydraulika/vyzkum/nejistoty/... ·...

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

FAKULTA STAVEBNÍ

KATEDRA HYDRAULIKY A HYDROLOGIE

DIPLOMOVÁ PRÁCE

Modelování proudění vody koryty se složenými profily

Praha 2007

Prohlášení

Prohlašuji, že jsem tuto práci vypracoval samostatně, pouze za odborného vedení

vedoucího diplomové práce Ing. Petra Sklenáře, PhD.

Veškeré podklady, ze kterých jsem při práci čerpal, jsou uvedeny v seznamu použité

literatury.

V Praze, 8.1. 2007 ……………………….

Poděkování

Rád bych na tomto místě poděkoval Ing. Petru Sklenářovi, PhD. za čas, který mi

věnoval při vedení této diplomové práce. Děkuji také technikovi Karlu Beránkovi za

ochotu a tvůrčí přístup při přípravě měření na fyzikálním modelu. Dále děkuji Ing.

Vojtěchu Barešovi, PhD. a Ing. Jakubovi Jirákovi za spolupráci při provádění měření

metodou UVP.

Tato práce vznikla v rámci grantového úkolu GAČR 103/04/1328 "Nejistoty

hydraulických výpočtů na vodních tocích pro extrémní hydraulické jevy", řešeného na

Katedře hydrauliky a hydrologie, Fakultě stavební, ČVUT v Praze, a aktivit výzkumného

centra CIDEAS v rámci projektu 1M6840770001 MŠMT ČR.

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE F a k u l t a s t a v e b n í Thákurova 7, 166 29 Praha 6

ZADÁNÍ D I PLOMOVÉ PRÁCE

studijní program: Magisterský

studijní obor: Vodní hospodářství a vodní stavby

akademický rok: 2006/2007

Jméno a příjmení diplomanta: Jan Krupička

Zadávající katedra: Katedra hydrauliky a hydrologie

Vedoucí diplomové práce: Ing. Petr Sklenář, Ph.D.

Název diplomové práce: Modelování proudění vody koryty se složenými profily

Název diplomové práce v anglickém jazyce

Modelling of flow in compound channels

Rámcový obsah diplomové práce: Proveďte porovnání a zhodnocení běžných metod pro výpočet proudění ve složených korytech. Charakterizujte metodu LDM.

Pro metodu LDM navrhněte model matematického řešení a proveďte posouzení vlivu jednotlivých členů na výsledek výpočtu. Proveďte měření na fyzikálním modelu složeného koryta a získaná data použijte pro srovnání s matematickým modelem.

Zahrňte model LDM do výpočtu nerovnoměrného proudění ve složeném korytě a výsledky porovnejte se zaměřeným podélným profilem a výpočty jinými metodami (použitými např. v HEC-RAS). Datum zadání diplomové práce: 9.10.2006 Termín odevzdání: 8.1.2007 Diplomant bere na vědomí, že je povinen vypracovat diplomovou práci samostatně, bez cizí pomoci, s výjimkou poskytnutých konzultací. Seznam použité literatury, jiných pramenů a jmen konzultantů je třeba uvést v diplomové práci. ....................................................... ....................................................... vedoucí diplomové práce vedoucí katedry Zadání diplomové práce převzal dne: 9.10.2006 ....................................................... diplomant

Obsah

- 5 -

Obsah:

Obsah: ................................................................................................................................... 5

1 Úvod............................................................................................................................... 7 1.1 Hydraulické jevy při proudění složenými koryty............................................... 8

2 Metody výpočtu proudění složenými profily ........................................................... 11 2.1 Single Channel Metod (SCM).......................................................................... 11 2.2 Divided Channel Method (DCM) .................................................................... 12 2.3 Metody dělení profilu do více sekcí ................................................................. 12

2.3.1 Dělení Změnou Drsnosti (DZD) .............................................................. 13 2.3.2 Sum of Segments Metod (SSGM)............................................................ 13

2.4 Ackersova Empirická Metoda (AEM) ............................................................. 13 2.5 James and Wark Method (J&WM) .................................................................. 15 2.6 Exchange Discharge Method (EDM)............................................................... 16 2.7 Lateral Distribution Method (LDM) ................................................................ 17

3 Lateral distribution method ...................................................................................... 18 3.1 Princip metody LDM ....................................................................................... 18

3.1.1 Rovnice RANS, odvození základního tvaru rovnice LDM...................... 18 3.1.2 Modelování členů základního tvaru rovnice LDM .................................. 20

3.2 Numerické řešení řídící rovnice LDM ............................................................. 23 3.2.1 Metoda sítí................................................................................................ 25 3.2.2 Metoda konečných prvků ......................................................................... 28 3.2.3 Poznámky k numerickému řešení ............................................................ 31

4 Výpočetní program a prostředí................................................................................. 34 4.1 Struktura dat ..................................................................................................... 35 4.2 Výpočty ............................................................................................................ 36

4.2.1 Rovnoměrné proudění – konzumční křivky............................................. 36 4.2.2 Svislicové rychlosti – proužková metoda................................................. 38 4.2.3 Nerovnoměrné proudění........................................................................... 38 4.2.4 Coriolisovo číslo ...................................................................................... 43 4.2.5 Přepočet drsností n↔k ............................................................................. 44

5 Výpočty na fiktivním příčném profilu...................................................................... 45 5.1 Porovnání konzumčních křivek........................................................................ 45 5.2 Vliv zanedbání některých členů v rovnici LDM.............................................. 48

5.2.1 Vliv na kapacitu profilu............................................................................ 48 5.2.2 Vliv na tvar rychlostního profilu.............................................................. 50

5.3 Porovnání rychlostních profilů......................................................................... 51

6 Fyzikální model .......................................................................................................... 52 6.1 Popis zařízení ................................................................................................... 52

6.1.1 Hydraulický okruh.................................................................................... 52 6.1.2 Model ....................................................................................................... 54

6.2 Prováděná měření ............................................................................................. 54 6.2.1 Měření hrotovým měřítkem ..................................................................... 54 6.2.2 Měření průtoku......................................................................................... 54 6.2.3 Měření teploty .......................................................................................... 55 6.2.4 Měření rychlostí ....................................................................................... 55

Obsah

- 6 -

6.3 Předběžné měření rychlostí EMS..................................................................... 55 6.4 Stanovení drsnosti sítě ENKAMAT®.............................................................. 58

6.4.1 Popis měření............................................................................................. 59 6.4.2 Vyhodnocení ............................................................................................ 60

6.5 Měření rychlostních profilů metodou UVP...................................................... 62 6.5.1 Princip metody UVP ................................................................................ 63 6.5.2 Rozsah měření .......................................................................................... 63 6.5.3 Popis měřícího zařízení a průběhu měření ............................................... 64 6.5.4 Zpracování výstupů měření...................................................................... 65

7 Porovnání měření s výpočty ...................................................................................... 70 7.1 Porovnání v příčném profilu ............................................................................ 70

7.1.1 Stanovení průtoku .................................................................................... 70 7.1.2 Stanovení profilu svislicových rychlostí .................................................. 71 7.1.3 Stanovení hodnoty součinitele kinetické energie ..................................... 72

7.2 Porovnání v podélném profilu.......................................................................... 73 7.3 Porovnání rozsahu AZZU ................................................................................ 74

8 Závěr............................................................................................................................ 75

Seznam použitých symbolů: .............................................................................................. 77

Seznam použité literatury: ................................................................................................ 79

Přílohy ................................................................................................................................. 80 I Diferenční náhrady a lineární rovnice variant metody sítí ............................... 81 II Uchycení sond .................................................................................................. 83 III Rozdělení rychlostí u a v v průtočném profilu – pohled proti vodě................. 84 IV Vypočtené a měřené svislicové rychlosti U – pohled po vodě ........................ 87 V Výpočet nerovnoměrného proudění – průběhy hladin..................................... 89

1 Úvod

- 7 -

1 Úvod Koryta se složeným příčným profilem jsou běžným prvkem návrhů úprav vodních

toků. Složený profil se zpravidla skládá ze středové prohloubené části – kynety a z jedné či

dvou mělčích a širších částí po stranách – bermy (viz Obr. 1.1). Cílem je soustředěním

nižších průtoků do kynety dosáhnout proudění o větší hloubce. Při vysokých průtocích je

naopak snahou provést maximum vody při co nejmenším zvýšení hladiny. Při překročení

kapacity kynety se tedy voda rozlévá do šíře berm, ve kterých se vyskytuje menší hloubka a

většinou i vyšší drsnost než v kynetě. To zde přirozeně vede k menším rychlostem

proudění. Na rozhraní pomalejšího proudění v bermách a rychlejšího proudění v kynetě pak

dochází k turbulentním jevům, na jejichž zohlednění ve výpočtu kapacity složeného koryta

do znační míry závisí přesnost výsledku. Kvalita hydraulických výpočtů je přitom

podmínkou nejen pro dobrý návrh úpravy toku, ale i pro zhodnocení povodňových rizik

v přilehlých územích, návrh jejich protipovodňové ochrany a v neposlední řadě i pro

vyhodnocení průtoku ze zaměřených stop v terénu po skončení povodňové události.

Obr. 1.1: Definice loženého koryta

Charakter proudění složeným profilem má i proudění korytem navrženým jako

jednoduché, kdy jsou však při povodňových vodních stavech zaplavena inundační území

podél toku. Protože inundační území jsou mnohdy součástí intravilánu a člověkem

využívaných ploch, vyvstává kromě otázky určení velikosti průtoku i otázka rozdělení

rychlostí napříč profilem. Na znalosti rozdělení rychlostí a měrných průtoků je postaveno

stanovení aktivních zón záplavových území (AZZU), stejně jako určení míry rizika

vyplývající pro obyvatelstvo zaplavených území, což je dnes častou součástí zakázek na

provedení studií odtokových poměrů území.

Pro matematické modelování v oblasti říční hydrauliky se využívá dvou skupin

modelů lišících se stupněm zjednodušení fyzikální reality. Jsou založeny na jednorozměrné

(1D) a dvourozměrné (2D) schematizaci proudění. Pro složité případy městské zástavby je

opodstatněné použití 2D modelování. V současnosti díky rozvoji výpočetní techniky již

není hlavním problémem při použití 2D modelů velká potřeba výpočetního času. Širšímu

1 Úvod

- 8 -

použití 2D modelů brání především časová a finanční náročnost přípravy vstupů, sestavení

modelu a jeho kalibrace a verifikace. Jejich použití se tak omezuje spíše na oblasti

výzkumu, v praxi pak na některé významné a velké zakázky. Vzhledem k faktu, že uvedené

nevýhody 2D modelování bude i v budoucnu obtížné překonat (určité naděje na

zefektivnění přípravy modelu dává např. rozvoj technologií družicového zaměřování

terénu), neztrácí 1D modelování na významu a nadále je a bude hlavním nástrojem při

výpočtech říční hydrauliky.

Z výše uvedeného je tedy zřejmý význam všech pokusů o vylepšení stávajících

metod výpočtu používaných v jednorozměrných modelech, případně zavádění metod

nových. Jednou z možností je i použití metod označovaných jako 1,5D nebo 1D+ (jako je

Lateral Distribution Method, LDM). Jejich výhodou je schopnost do jisté míry uvažovat i

jevy, které probíhají ve směru kolmo na osu toku. Náročnost na vstupní data se přitom

prakticky nemění, výpočetní náročnost stoupá jen minimálně.

1.1 Hydraulické jevy při proudění složenými koryty Při proudění vody s volnou hladinou dochází k celé řadě jevů, které ovlivňují

rozdělení rychlostí po ploše příčného profilu a v důsledku toho i velikost hydraulických

ztrát. Jedná se především o přenos hybnosti mezi jednotlivými částmi profilu vlivem

turbulentního tření (Reynoldsových napětí), příčného proudění a vírů s velkým délkovým

měřítkem. Přenos hybnosti mezi jednotlivými částmi ovlivňuje průměrné rychlosti v nich a

tím i rychlostní gradienty a tření na omočeném obvodě.

Obr. 1.2: Hydraulické jevy v přímém složeném korytě (lit. [1])

1 Úvod

- 9 -

Reynoldsova napětí vznikající v důsledku pulsací lokálních rychlostí jsou

základním způsobem přenosu hybnosti v jakémkoli turbulentním proudění. Druhé dva

zmíněné jevy se ve zvýšené míře vyskytují v obloucích zakřivených říčních tratí a u

složených koryt. Hlavní směry příčného proudění jsou patrné z obrázku 1.2. Díky nim se

voda o nižší rychlosti z pomaleji proudících částí profilu dostává do oblastí s rychlostí větší

a naopak. Dochází tak ke zmenšení rozdílů v lokálních rychlostech příčného profilu,

ke zploštění profilu rychlostního. Zde je zobrazeno proudění přímým složeným korytem.

V případě meandrujících toků, kdy dokonce směr proudění v kynetě může křížit převažující

směr proudění v širší údolní nivě, je situace o poznání komplikovanější a smysl cirkulace

vedlejších proudů je opačný.

V obrázku je rovněž naznačeno, jakým způsobem dochází k interakci mezi

pomalejšími a rychlejšími proudy v úrovni břehové čáry. Studiu jevů v této oblasti,

označované jako smyková vrstva, byla již věnována řada experimentálních programů.

Jedním z nejvýznamnějších je série testů provedená v anglickém výzkumném středisku

HR Wallingford na zařízení FCF (Flood Channel Facility) od konce 80. let. Byl zde

vybudován model velkého měřítka a data získaná řadou různých měřících metod

(především LDA – Laser Doppler Anemometry) slouží již více než dvacet let pro kalibraci

vyvíjených výpočetních postupů. Smyková vrstva je charakteristická vznikem vírů se

svislou osou, které opět zprostředkovávají přenos hmoty a hybnosti mezi bermou a kynetou

(viz Obr. 1.3). Víry vznikají jako důsledek vnikání jazyků rychlejšího proudu do

pomalejšího v oblasti se strmým rychlostním gradientem.

Obr. 1.3: Víry s velkým délkovým měřítkem vznikající v oblasti smykové vrstvy.

Břehové čáry naznačeny červenými liniemi. (lit. [2])

1 Úvod

- 10 -

Dalším způsobem přenosu hybnosti mezi částmi příčného profilu je přímý přetok

vody mezi těmito částmi, mění-li se jejich kapacita (např. u neprizmatických koryt). Z výše

uvedeného je zřejmé, že prodění složenými koryty je výrazně trojrozměrné. Z praktických

důvodů musí být prodění schematizováno modelem o nižší dimenzi s vědomím, že s mírou

zjednodušení klesá schopnost postihnout pro konkrétní případ dominující hydraulické jevy.

Jako nejvýznamnější se přitom ukazuje efekt zpomalování rychlosti v kynetě pomalejším

prouděním v bermách. Proto se jej snaží s většími či menšími úspěchy postihnout i

nejjednodušší jednorozměrné modely.

2 Metody výpočtu proudění složenými profily

- 11 -

2 Metody výpočtu proudění složenými profily V současnosti je k dispozici řada metod, kterými lze počítat proudění složenými

profily. Prakticky všechny vychází z dobře známého přístupu dělení příčného profilu do

sekcí. Liší se ve způsobu vedení dělící linie zahrnutí interakcí na ní. Dělící linie může být

vedena v rozmezí sklonů od svislé až po vodorovnou, přičemž diagonální vedení je obvykle

voleno ve snaze proložit jím místa s nulovým tečným napětím a úhel odklonu od svislé tak

musí být počítán empirickými vzorci.

Podle způsobu zahrnutí interakce tvoří jednu skupinu metody založené na

implementaci vzorců, které na základě rozdílu průměrné rychlosti v kynetě a v bermě a

případně geometrických charakteristikách předpovídají tečné napětí ve smykové vrstvě

(jejich stručný přehled např. v lit. [2], str. 13). Zahrnutí těchto empirických vzorců do

výpočtu kapacity vyžaduje iterativní procedury.

U nás je však rozšířen a běžně využíván přístup, kdy se příčný profil dělí na sekce

pomocí svislic. Metody založené na tomto principu využívají i běžné výpočetní programy

(HYDROCHECK, HEC-RAS). Přitom je řada možností, jak rozdělení do sekcí a započítání

svislic provést. Volba konkrétní možnosti závisí na subjektivním hodnocení zpracovatele,

na tom, jak dobře dokáže odhadnout charakter proudění v jednotlivých částech profilu a

přizpůsobit tomu jeho rozdělení svislicemi. Nutnost tohoto subjektivního hodnocení je

dalším zdrojem nejistoty hydraulického výpočtu. Kromě toho, i když se podaří (např.

vhodnou volbou náhradní drsnosti na svislici) dosáhnou dobré předpovědi celkového

průtoku, předpověď průtoku jednotlivými sekcemi může i tak dosahovat řádu desítek

procent (lit [2], str. 13). Právě pro jejich časté využívání budou tyto metody zahrnuty do

srovnání spolu s empirickou metodou Ackersovou, Bousmarovou a LDM. Představení

těchto metod následuje.

Poznámka: u metod uvedených v základní literatuře je ponechán jejich zavedený

anglický název.

2.1 Single Channel Metod (SCM) Zanedbávají se všechny jevy charakteristické pro profil složený z částí s výrazně

odlišným způsobem proudění – profil se počítá klasickým způsobem jako jednoduchý. Od

této metody přirozeně nelze očekávat dobré výsledky, do srovnání je zahrnuta z toho

důvodu, aby bylo možno ohodnotit, nakolik ostatní metody výsledek zpřesňují.


- 12 -

2.2 Divided Channel Method (DCM) Je klasická metoda dělící složený profil pomocí svislic na tři sekce – hlavní koryto

(kyneta) a inundační území (bermy). Průtok každou sekcí se vypočte metodou SCM a

výsledný průtok je dán součtem těchto dílčích průtoků. DCM se používá v různých

modifikacích lišících se způsobem započítání dělících svislic (Obr. 2.1), proto následuje

podrobnější dělení:

− DCM1 Svislice se započítají do omočeného obvodu kynety. Svislicím se nepřiřazuje

žádná náhradní drsnost. Tím se z konzumční křivky odstraní „schod“ charakteristický

pro SCM způsobený skokovým zvýšením omočeného obvodu při vybřežení. Zároveň

se pro větší hloubky oproti DCM2 poněkud snižuje průtok kynetou v důsledku

započítání svislice do jejího omočeného obvodu.

− DCM2 Svislice se nepočítají do omočeného obvodu žádné ze sekcí.

− DCM3 Svislice se započítají do omočeného obvodu kynety. Svislicím se přiřadí jistá

drsnost, jež má postihnout ztráty vznikající mezi pomalými a rychlými proudy bermy a

kynety v oblasti břehové čáry. Od této varianty lze očekávat nejlepší výsledky, protože

ji lze pomocí hodnoty náhradní drsnosti přizpůsobit daným podmínkám. V tom je

zároveň její úskalí. Volba velikosti náhradní drsnosti je dalším subjektivním

parametrem, který přispívá k výsledné nejistotě spočtených výstupů.

Obr. 2.1: Schéma ke způsobu započítání svislic v metodách DCM1, DCM2 a DCM3

2.3 Metody dělení profilu do více sekcí Další metody dělí příčný profil na více než tři sekce. Průtok je dán opět součtem

průtoků v jednotlivých sekcích, počítaných metodou SCM. Výhodou je možnost použití i

pro složitější profily, kde nelze předpokládat homogenní proudění v každé ze tří základních

sekcí, případně vůbec nelze takto jednoduše geometrii profilu rozdělit.


- 13 -

2.3.1 Dělení Změnou Drsnosti (DZD)

Svislicemi se oddělí ty úseky, jež se liší hodnotou drsnostního součinitele. Svislice

se nezapočítávají do omočených obvodů takto vzniklých sekcí. To se jeví jako rozumný

přístup, protože v částech s výrazně odlišnou drsností lze očekávat jiné podmínky proudění.

Případný program navíc dokáže dělení provést sám, bez nutnosti ručního zadávání svislic.

2.3.2 Sum of Segments Metod (SSGM)

Svislice se vztyčí v každém ze zadaných bodů profilu. Svislice se nezapočítávají do

omočených obvodů takto vzniklých sekcí. Protože dělení lze opět automatizovat, počítá s

metodou tohoto typu (mimo jiné) například výpočetní nástroj HEC-RAS.

2.4 Ackersova Empirická Metoda (AEM) Svoji empirickou metodu vytvořil a kalibroval Ackers (lit. [4]) na základě

experimentálních dat ze zařízení FCF ve Wallingfordu. Jednalo se o sérii FCFA, tedy

měření na přímém nemeandrujícím korytě a korytě s mírně skloněnou osou kynety a širšího

inundačního pásu. AEM vychází z metody DCM2 (rozdělení profilu na tři sekce, svislice se

nezapočítávají do omočeného obvodu). Vypočte se průtok kynetou a bermami a na základě

empirických vztahů se určí korekční součinitel označovaný jako DISADF (DIScharge

ADjustment Factor)definovaný jako

DCM

R

Q

QDISADF = . (2.1)

Výsledný průtok QR se tedy vypočte přímo z rovnice (2.1) Při rozpočítání do sekcí se

zvýšení průtoku bermami se zanedbává, snížený průtok kynetou se získá jako QKyneta =

QDCM - QR - QBermy. Potřebnými vstupy pro výpočet vzorců vedoucích k DISADF jsou

údaje o drsnostech a geometrii – sklonu svahů, šířce a ploše kynety a berm. Nutným

předpokladem je možnost převést profil na idealizovaný tvar složeného koryta, kde lze tyto

geometrické parametry odečíst (Obr. 2.2).

Obr. 2.2: Příčný profil s idealizovanou geometrií pro výpočet Ackersovou metodou.

Převedení kynety na rovnoplochý lichoběžník.


- 14 -

Ackers vychází z rozboru chování konzumční křivky při hloubkách nad kótou

vybřežení. Důležitým parametrem je zde tzv. koherence COH definovaná vztahem

DCM

SCM

Q

QCOH = (2.2)

kde Q je průtok vypočtený podle příslušné metody (SCM, DCM2). COH je funkcí relativní

hloubky H* definované jako

H

hHH

−=* . (2.3)

Typický průběh závislosti koherence na H* je na obrázku 2.3. Pro nejmenší relativní

hloubky je COH menší než jedna, protože se výrazně projevuje chyba metody SCM (nárůst

omočeného obvodu). Postupně se hodnota QSCM blíží průtoku vypočtenému dle DCM2

(COH se blíží jedné), proudění příčným profilem se stává homogenním a dělení do sekcí

ztrácí opodstatnění. Pokud se na omočeném obvodu nemění drsnost, dojde dle Ackerse

k „homogenizaci profilu“ již při poměrně malých hloubkách (splynutí COH s DISADF,

H* =cca 0,5).

Obr. 2.3: Závislost koherence COH a opravného faktoru DISADF na relativní

hloubce H*. (dle lit. [4])

Zajímavým poznatkem znázorněným v Obr. 2.3 je nemonotónní průběh DISADF.

Důvodem je působení protichůdných vlivů. Se zvyšujícím se H* se zvětšuje „styčný“

omočený obvod kynety s pomalejším prouděním v bermách, což směřuje ke snížení

hodnoty DISADF. Zároveň se však zmenšuje rozdíl rychlostí v kynetě a bermách.

Výsledný průběh závislosti na H* pak vykazuje několikerou změnu křivosti. Podle polohy


- 15 -

maxim a minim je obor H* rozdělen do regionů 1 – 4, ve kterých je faktor DISADF počítán

specifickou sadou rovnic.

Podle dosavadních zkušeností (lit. [2]) metoda dává dobré výsledky na pravidelných

složených lichoběžníkových korytech, které není třeba převádět na idealizovaný tvar.

Vhodnost jejího použití pro přirozené toky je diskutabilní.

2.5 James and Wark Method (J&WM) Metoda vytvořená Jamesem a Warkem (lit. [5]) pro meandrující toky. Je ověřena

pro vlnovitost v rozmezí 1,09 – 2,04. Metoda postihuje ztráty způsobené křížením proudů z

inundačního území a proudu kynety na horizontální ploše vymezené břehovými čárami

kynety. Další ztráty jsou způsobeny rozšířením resp. zúžením proudu při vtoku resp.

výtoku proudu z kynety. Výpočet spočívá v rozdělení celého inundačního údolí na čtyři

sekce (viz Obr. 2.4): kyneta po úroveň břehových čar, inundační území v meandrovém pásu

včetně prostoru nad kynetou, a pravá a levá část inundačního území mimo meandrový pás.

Průtok každou sekcí se počítá obvyklým způsobem. Průtok odpovídající plné kynetě se

opraví vzhledem k vlnovitosti některou již dříve známou metodou. Následně se průtoky

korigují empirickými vztahy pro zahrnutí výše uvedených jevů.

Obr. 2.4: Rozdělení do sekcí metodou Jamese a Warka

Metodu J&WM je doporučeno použít pro vlnovitost 1,02 a větší. Zde se již

výsledky výpočtu touto metodou od výsledků výpočtu metodami pro přímá koryta liší v

řádu až desítek procent. Metody pro přímý kanál je však možno použít v případě, kdy

okraje nepříliš široké inundační oblasti sledují osu kynety. Lze očekávat, že potom

nedochází k přetékání proudu šikmo přes kynetu.


- 16 -

2.6 Exchange Discharge Method (EDM) Metoda vytvořená Bousmarem a Zechem (lit. [2]) na základě dat z experimentů na

FCFA. Autoři opět vychází z metody DCM s dělením příčného profilu do sekcí pomocí

svislic. Interakci mezi kynetou a bermami modeluje pomocí přenosu hybnosti způsobené

výměnou průtoku. Přenos hybnosti je úměrný přestupu průtoku a rozdílu rychlostí v kynetě

a bermách. Přitom se uvažují dva druhy přestupu (viz Obr. 2.5). Turbulentní přestup v sobě

zahrnuje přenos hmotnosti a hybnosti v důsledku pulsací rychlosti turbulentních struktur

všech měřítek. Po časovém vyhlazení je průměrný přestup hmotnosti roven nule.

Geometrický přestup naopak nesouvisí s turbulencí, ale se změnou kapacity (tedy

geometrie nebo drsnosti) jednotlivých sekcí.

Obr. 2.5: Turbulentní a geometrický přestup hybnosti mezi sekcemi podle Bousmara

a Zecha. (lit. [2])

Bilance hybnosti s uvážením bočního přítoku a za předpokladu ustáleného proudění

vede k následujícímu vztahu

( )at

Lint

2

e IIgS

uqI

g2H

xI +=

−+=

+

∂∂

−=vv

(2.4)

kde H je kóta hladiny, Ie je sklon čáry energie, It příspěvek tření na omočeném obvodu ke

sklonu čáry energie a Ia dodatečný příspěvek ke sklonu čáry energie vlivem bočního

přítoku qin vody o rychlosti uL ve směru proudění x. Boční přítok je roven součtu

turbulentního a geometrického

gtin qqq += . (2.5)

Pro stanovení přítoku qt je použit jednoduchý model přímé úměry k délce dělící svislice a

k rozdílu rychlosti v kynetě a v bermě. Přítok qg je dán derivací průtoku příslušnou sekcí:

tg I

x

K

x

Qq

d

d

d

d== . (2.6)


- 17 -

EDM vyžaduje kalibraci dvou koeficientů (pro stanovení obou z přítoků). Po

rozepsání rovnic (IV) až (VI) pro všechny tři sekce se získá soustava tří nelineárních rovnic

pro tři neznámé.

Při uvážení geometrického přestupu v sobě EDM implicitně zahrnuje vliv

nerovnoměrného proudění, který všechny ostatní metody zanedbávají, ovšem za cenu

náročnější implementace do výpočetního postupu metody po úsecích. Kromě toho

vzhledem k nelinearitě soustavy rovnic řešení EDM vyžaduje i pro rovnoměrné proudění

iterativní proceduru.

2.7 Lateral Distribution Method (LDM) Celkovým přístupem se zásadně liší od předchozích metod uvedených v této

kapitole, protože se neomezuje na dění v několika sekcích, do kterých je profil rozdělen,

ale bilancuje síly působící v každé svislici. Z toho důvodu je někdy označována za tzv.

1,5D metodu. Jakožto hlavnímu předmětu zájmu této práce je metodě LDM věnována

následující samostatná kapitola.

3 Lateral distribution method

- 18 -

3 Lateral distribution method LDM se objevila již v 80. letech, ale její vývoj nebyl dosud ukončen. Základní

princip spočívá v bilanci hybnosti pro každou svislici příčného profilu. Přímým výstupem

metody je potom profil svislicových rychlostí nebo měrných průtoků. Odvození řídící

rovnice LDM zde bude předvedeno především z důvodu zavedení zjednodušujících

předpokladů a omezení, jejichž znalost je důležitá pro pozdější správné používání metody.

3.1 Princip metody LDM 3.1.1 Rovnice RANS, odvození základního tvaru rovnice LDM

Metoda LDM je založena na přístupu časového průměrování Navier-Stokesových

rovnic pro nestlačitelné turbulentní proudění, které vede k rovnicím označovaným jako

RANS (Reynolds Averaged Navier Stokes). Při zavedení ortogonálního souřadného

systému (Obr. 3.1) s osou z kolmou na rovinu dna má tato rovnice ve směru x tvar

( ) ( ) ( )

∂∂

+∂∂

+∂∂

−∇+∂∂

−

=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

´´´´´´ wuz

vuy

uux

ux

p1gI

wuz

vuy

uuxt

u

20 ν

ρ

. (3.1)

Obr. 3.1: Definice souřadného systému pro metodu LDM. Červeně indexování veličin

podle sekce (fp/mc) a polohy k břehové čáře (ib/ob)

První člen levé strany rce (3.1) reprezentuje lokální zrychlení, následují tři členy

konvektivního zrychlení. Pravou stranu pak tvoří popořadě zdrojový člen (člen do směru x

promítnutého gravitačního zrychlení), tlakový člen, člen viskózních napětí a v závorkách

členy turbulentních Reynoldsových napětí. Pro další odvození je potřeba zavést následující

předpoklady:

− Proudění je ustálené 0t=

∂∂

(a)


- 19 -

− Proudění je téměř rovnoměrné 0x=

∂∂

(b)

to je samozřejmě velmi silný předpoklad, který je málokdy splněn. Nicméně i přesto se

LDM používá pro modelování nerovnoměrného proudění.

− Hladina v příčném směru je vodorovná 0y

zw =∂

∂ (c)

− Rychlosti u dna jsou zanedbatelné (nulový skluz) 0v0u bb == , (d)

− Tření na hladině se zanedbává 0w =τ (e)

− Složka rychlosti ve směru z je k hladině kolmá a tedy i rovna nule (vyplývá

z předpokladu (b) 0w w = (f)

− Tření na svislých rovinách těsně bezprostředně nade dnem je zanedbatelné

0vu bb =´´ (g)

S použitím předpokladů (a) a (b) lze (3.1) přepsat do tvaru

( ) ( ) ( ) ( )´´´´ wuz

vuy

gIwuz

vuy 0 ρρρρ −

∂∂

+−∂∂

+=

∂∂

+∂∂

. (3.2)

Pro potřeby využití v modelu LDM je třeba rovnici (3.2) integrovat po hloubce. Po

rozepsání, použití předpokladů (c) až (g) a úpravě se získá

( ) ( ) ( )´´´´ bb

z

z

0

z

z

wudzvuy

gHIdzvuy

w

b

w

b

ρρρρ −−−∂∂

+=∂∂

∫∫ . (3.3)

Nakonec se zavede po hloubce průměrované tečné napětí působící v rovině xz ve směru x

( ) xy

z

z

Hdzvuw

b

τρ =−∫ ´´ (3.4)

a Reynoldsovo napětí u dna působící v rovině xy se vztáhne k tření na ploše dna

( ) sI1wu t2

0ytbbb τττρ =+==− ´´ (3.5)

kde s je součinitel příčného sklonu dna Iy0. Základní rovnice LDM má tedy tvar

( ) ( ) sHy

gHIdzvuy txy0

z

z

w

b

ττρρ −∂∂

+=∂∂∫ (3.6)

kde první člen reprezentuje přenos hybnosti prostřednictvím příčného proudění (secondary

flow term), druhý je zdrojový člen hybnosti (gravitační člen), třetí reprezentuje přenos


- 20 -

hybnosti Reynoldsovými napětími ve svislici a poslední člen „propad“ hybnosti třením o

dno.

3.1.2 Modelování členů základního tvaru rovnice LDM

Rovnice (3.6) má sice jednoduchý a exaktně odvozený tvar, ale její přímé řešení

není možné, protože obsahuje příliš mnoho neznámých (bodové časově vyhlazené rychlosti

vu , napětí xyτ a tτ . Naopak neobsahuje neznámou, která je předmětem zájmu, totiž

svislicovou rychlost ve směru proudu U. Pro její jednotlivé členy je proto třeba hledat

vhodný empirický nebo poloempirický model.

Pro tření ve dně je možné použít jakýkoliv doposud používaný model podle toho,

jaký typ drsnosti má být použit ve vstupních datech. Pro Manningovo n resp. součinitel

tření f

2

31

2

t UH

gn/

ρτ = resp. 2

t U8

fρτ = . (3.7), (3.8)

Obtížnější je modelování členu napětí ve svislici. Používá se vztah analogický

Boussinesqovu modelu pro napětí s dosazením po hloubce průměrovaných rychlostí

namísto bodových

∂∂

+∂∂

=x

V

y

Utxy ρντ . (3.9)

Druhý člen v závorce je v souladu s předpokladem (b) roven nule. Tím se problém

přesouvá k nalezení turbulentní viskozity tν . Jednou z využívaných možností je

modelování s pomocí Prandtlovy směšovací délky, kdy se pro stanovení turbulentní

viskozity použije rovnic (ys značí vzdálenost od smykové vrstvy)

y

U2mt ∂∂

= lν , sm yκ=l (3.10), (3.11)

Tento model je vhodný v případech, kdy je smyková vrstva na rozhraní sekcí hlavním

zdrojem turbulence i uvnitř příslušné sekce. V případě mělčího a širšího příčného profilu

lze použít podobný model Lambeta a Sellina, kteří za délkové měřítko berou hloubku

(Cm = cca 0,6 je empirická konstanta):

HCmlm =l . (3.12)

V případech, kdy lze za hlavní zdroj turbulence považovat tření o dno, se k určení

turbulentní viskozity použije třecí rychlost U*


- 21 -

HUt *λν = kde ρτ tU =* . (3.13), (3.14)

Zbývá určit bezrozměrnou viskozitu λ . Někteří autoři ji pokládají rovnou konstantě. Abril

a Knight (lit. [6]) pro bezrozměrnou viskozitu užívají následující empirický vztah

( )[ ]441mc HH2120 ,

max/,, −+= λλ , (3.15)

kde mcλ = 0,24 značí bezrozměrnou vírovou viskozitu kynety a Hmax je maximální hloubka

v profilu. Dosazením (3.8), (3.13) a (3.14) do (3.9) se získá vyjádření členu napětí ve

svislici

( )

∂∂

∂∂

=∂∂

y

UU

8

fH

yH

y2

xy ρλτ . (3.16)

Pro člen sekundárních proudů uvádí literatura řadu vzorců, které jej mají

aproximovat. Shiono a Knight (lit. [1]) zavádějí místo tohoto členu jeho po hloubce

průměrovanou (svislicovou) formu, ve které se objevuje i v jiné literatuře

( ) ( ){ }dz

z

vuHy

dzvuy

w

b

ρρ∂∂

=∂∂∫ , (3.17)

ale jedná se v podstatě pouze o změnu zápisu, protože stále zbývá určit hodnotu nového

výrazu. Nejjednodušší možností je úplné zanedbání členu sekundárních proudů. Ukazuje

se, že i při tomto zjednodušení lze po kalibraci ostatních konstant docílit dobré předpovědi

průtoku a dokonce i rychlostního profilu, znehodnocuje se však předpověď tečného napětí

na dně, které často bývá předmětem zájmu. Shiono a Knight (lit. [1]) používají druhý

nejjednodušší přístup – člen sekundárních proudů kladou rovný konstantě.

( ){ } Γ=∂∂

ρρ dvuHy

. (3.18)

Konstanta Γ nabývá různých hodnot pro kynetu a pro bermy. Předpoklad konstantního Γ

je ekvivalentní s lineární závislostí výrazu ( )dvuH ρ na y, což Shiono a Knight

s uspokojivou přesností prokázali experimentálně. Výhodou je, že na úsecích s lineárním

průběhem dna ve směru y lze najít analytické řešení. Přitom zmínění autoři ukázali, že Γ je

funkcí sklonu dna a hloubky. Pro sekce s proměnlivou hloubkou lze tedy použít vztahu

(lit. [1], [7])

0sekce gIHk ρ=Γ (3.19)

Velikost číselné konstanty ksekce udává Tab. 3.1., přičemž výsledné kmc pro kynetu se získá

jako vážený průměr hodnot kmc,ib a kmc,ob podle hloubky h a (H-h).


- 22 -

kyneta berma H>h kmc,ob = 0,15 kfp,ob = -0,25 H<h kmc,ib = 0,05

Tab. 3.1: Velikost konstanty k pro výpočet členu sekundárních proudů v jednotlivých sekcích (dle lit. [7]).

Druhý přístup k modelování členu sekundárních proudů (lit. [2]) předpokládá

lineární závislost bodových časově vyhlazených rychlostí na svislicové rychlosti ve směru

proudění

Uu ≈ , Uv ≈ . (3.20)

Člen sekundárních proudů má potom tvar

( ){ } ( )2uvd HU

yCvuH

y ∂∂

=∂∂

ρ . (3.21)

kde Cuv je další empirická konstanta. Podle lit. [7] je model (3.19) vhodnější pro přímá

koryta, pro meandrující je naopak lepší (3.21). Konstanta Cuv je potom závislá na

vlnovitosti σ

539538669732744C 2ibuv ,,,, +−= σσ pro H<h (3.22a)

6257616597C obuv ,,, += σ pro H>h (3.22b)

Výsledná hodnota Cuv se získá opět vážením hodnot Cuv,ib a Cuv,ob podle hloubky h a (H-h).

Pro větší hloubky nad bermami však Cuv,ob nad Cuv,ib výrazně převažuje. Pro vlnovitost

v rozmezí 1511 ,<≤ σ je člen celkového sekundárního proudění získán lineární kombinací

( ){ } ( )2uvd HU

yC

0150

1

0150

0151vuH

y ∂∂−

+Γ−

=∂∂

,,

, σσρ , (3.23)

pro vyšší vlnovitost je použito pouze rovnic (3.22).

Konečný tvar řídící rovnice metody LDM (viz lit. [7]) je tedy po dosazení a úpravě:

( )2uv

220y

20

HUy

C0150

1

0150

0151

y

UU

8

fH

yI1U

8

fgHI

∂∂−

+Γ−

=

=

∂∂

∂∂

++−

,,

, σσ

λ

, (3.24)

kde λ je podle rovnice (3.15) a Γ podle (3.19). Kalibrační konstanty modelu jsou

koeficienty sekcek (Tab. 3.1) a bezrozměrná vírová viskozita mcλ = 0,24.


- 23 -

Obr. 3.2: Typické průběhy parametrů řídící rovnice LDM (dle lit. [7]).

3.2 Numerické řešení řídící rovnice LDM Rovnice (3.24) je vzhledem k proměnné U obyčejná nelineární diferenciální rovnice

druhého řádu eliptického typu. Pro potřeby numerického řešení je účelné ji převést na

rovnici lineární. K tomu se využije vztahů

y

U

2

1

y

UU

2

∂∂

=

∂∂

a ( )y

UH

y

HUHU

y

222

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂, (3.25), (3.26)

takže rovnice (3.24) přejde ve tvar, který je lineární diferenciální rovnici druhého řádu

vzhledem k proměnné U2:

∂∂

+∂∂−

+Γ−

=

=

∂∂

∂∂

++−

y

UH

y

HUC

0150

1

0150

0151

y

U

8

f

2

H

yI1U

8

fgHI

22

uv

222

0y2

0

,,

, σσ

λ

. (3.27)

Dále je třeba provést derivaci součinu uvnitř složených závorek třetího členu levé strany

rovnice (3.24). Pro snazší práci budiž definovány následující pomocné proměnné a až e:

0gHIa = , (3.28a)

20yI1

8

fb += , (3.28b)

8

f

2

Hc

2λ= , (3.28c)

Γ−

=0150

0151d

,

, σ, (3.28d)

uvC0150

1e

,

−=σ

, (3.28e)

takže rovnici (3.27) bude možno zapsat zkráceně


- 24 -

∂∂

+∂∂

+=

∂∂

∂∂

+−y

UH

y

HUed

y

Uc

ybUa

22

22 . (3.29)

Derivací třetího členu levé strany se konečně po úpravě získá rovnice

( ) 0daUey

Hb

y

UeH

y

c

y

Uc 2

2

2

22

=−+

∂∂

+−∂∂

−

∂∂

+∂

∂. (3.30)

Rovnici (3.24) lze převést i ve tvar lineární vzhledem ke q2. Po dosazení za U=q/H a

zavedení pomocných proměnných a* až e*

8

f

2a

λ=* , (3.31a)

y

H

8

f

Hb

∂∂

=λ

* , (3.31b)

H

1C

0150

1c uv,*

−=σ

, (3.31c)

2

20y2uv

H8

fI1

y

H

H

1C

0150

1d +−

∂∂−

=,

*σ

, (3.31d)

Γ−

−=0150

0151gHIe 0 ,

,*

σ, (3.31e)

0eqy

bd

y

qcb

y

a

y

qa 2

2

2

22

=+

∂∂

−+∂∂

−−

∂∂

+∂

∂*

****

** . (3.32)

Aby byl problém (v matematickém smyslu) úplný, je třeba doplnit dvě (rovnice

druhého řádu) okrajové podmínky. Ačkoliv lze jistě uvažovat i o úlohách, kde je třeba

předepsat na jednom z krajních bodů velikost derivace rychlosti (např. u symetrických úloh

řešených na polovině oblasti), v dalším se bude předpokládat, že rychlost v obou krajních

bodech je rovna nule.

V obou případech (3.30) i (3.32) se jedná o nehomogenní lineární diferenciální

rovnici druhého řádu s nekonstantními koeficienty. Na řešené oblasti dané šířkou profilu

neexistuje její analytické řešení. Příčinou je skutečnost, že koeficienty nesplňují požadavky

na hladkost a dokonce ani spojitost (viz Obr. 3.2). Otázkou existence analytického řešení

by bylo možno se zabývat na intervalech mezi jednotlivými body profilu. V případě jeho

existence by však zřejmě bylo neúměrně složité a napojení jednotlivých intervalů by stejně

nakonec vedlo k soustavě algebraických rovnic (lit. [1]). Jako schůdnější se proto jeví

použití vhodné numerické metody.


- 25 -

3.2.1 Metoda sítí

Metoda sítí je založena na tom, že se místo spojité funkce hledá řešení v diskrétních

bodech předem definované výpočetní sítě, přičemž se derivace v diferenciální rovnici

nahradí příslušnými diferenčními podíly. Obecně je metoda sítí výhodná pro její

jednoduchost, kromě toho v ní lze vytvořit explicitní výpočetní schéma. Díky tomu není

třeba řešit žádnou rozsáhlou soustavu algebraických rovnic, ovšem za cenu možné

nestability a přesnosti řešení diferenciální rovnice. Proto v následujících odstavcích budou

uvažovány jen takové diferenční náhrady, které vedou k implicitnímu schématu. Obecnou

nevýhodou metody sítí je skutečnost, že vyžaduje tzv. strukturovanou síť, tedy

zjednodušeně síť s konstantní vzdáleností y∆ mezi výpočetními uzly.

Hodnota závisle proměnné f v bodě i se nahradí její aproximací fi.

iiy f)f( ≈ (3.33)

Pro první derivaci f v bodě i podle nezávisle proměnné y lze zavést

yyi1i

∆

−≈

∂∂ + fff

, yy

1ii

∆

−≈

∂∂ −fff

, (3.34a), (3.34b)

y2y1i1i

∆

−≈

∂∂ −+ fff

. (3.35)

Jednostranné náhrady (3.34) jsou nesymetrické vzhledem k bodu i a navíc mají přesnost

řádu y∆ , tedy o řád menší než centrální schéma (3.35), tj. y∆ 2. Přesto bylo pro porovnání

sestaveno řešení i pro (3.34a). Druhá derivace se nahradí schématem s přesností rovněž

řádu y∆ 2:

21i1i

2

2

y

2

y ∆

+−≈

∂

∂ −+ ffff. (3.36)

Dosazením schémat (3.33), (3.35) a (3.36) pro závisle proměnnou U2 do (3.30) se

získá rovnice o třech neznámých

( ) 0day2

eHy

c

y

cU

ey

Hb

y

c2U

y2

eHy

c

y

cU

2

21i

2

2i2

21i

=−+

∆

−

∂∂

−∆

+

∂∂

+−∆

−+

∆

−

∂∂

+∆

−

+

, (3.37)


- 26 -

kde pomocné proměnné jsou vyčísleny pro bod i. Derivace pomocných proměnných jsou

ve variantě 1B nahrazeny schématem (3.36). Sestavením rovnice (3.37) pro každý

výpočetní bod sítě se získá soustava n rovnic pro n neznámých, jejímž řešením jsou čtverce

svislicových rychlostí. Při použití jednostranné derivace (3.34a) namísto (3.35) vyjde

soustava rovnic varianty 2B podobného tvaru jako (3.37). V dalších variantách bylo

použito i méně obvyklých náhrad proměnných a jejich derivací (podrobnosti viz příloha I).

Způsob řešení variant je shrnut v Tab. 3.2.

Varianta 1B 2B 2B2 3B 4B

Náhrada U2 (3.33)

jednobodová

(3.33)

jednobodová

(3.33)

jednobodová

(I.2)

dvoubodová

(I.5)

tříbodová

Náhrada y

U 2

∂∂

(3.35)

tříbodová

(3.34a)

dvoubodová

(3.34a)

dvoubodová

(3.34a)

dvoubodová

(3.35)

tříbodová

Náhrada 2

22

y

U

∂

∂

(3.36)

tříbodová

(3.36)

tříbodová

(3.36)

tříbodová

(I.3)

čtyřbodová

(3.36)

tříbodová

Náhrada pomocných proměnných a až e

(3.33)

jednobodová

(3.33)

jednobodová

(3.33)

jednobodová

(I.2)

dvoubodová

(3.33)

jednobodová

Náhrada y

c

∂∂

a y

H

∂∂

(3.35)

tříbodová

(3.34a)

dvoubodová

(3.35)

tříbodová

(3.34a)

dvoubodová

(3.35)

tříbodová

Tvar výsledné rovnice (3.37) (I.1) (I.1) (I.4) (I.6) Tab. 3.2: Varianty diferenčních náhrad v metodě sítí.

Jednotlivé varianty byly porovnávány na složeném profilu s jednoduchou geometrií

a proměnnou drsností (Obr. 3.5). Na obrázcích 3.3 a 3.4 jsou průběhy svislicových

rychlostí vypočtené uvedenými variantami pro přímý a mírně meandrující tok a hloubku

v kynetě 1,5 m. Výpočet varianty 3B vede v obou případech k oscilaci řešení a záporným

hodnotám U2, takže použití této varianty postrádá smysl. U obou variant 2B a 2B2 se

v obrázku (3.4) projevuje mírná asymetrie vůči ose profilu, ale zásadní rozdíl oproti 3B a

4B zde není. Horší vlastnosti náhrad (3.4) u variant 2B a 2B2 se projevují v řešení

s vlnovitostí 1,05, kde dochází pro x = 11-12 m k zakmitnutí v průběhu rychlostí. Varianta

4B, která se liší od 1B pouze průměrováním tří nejbližších hodnot Ui2 v náhradě U(yi), dává

téměř stejné výsledky. Pouze při velké křivosti se projeví tendence této náhrady

k vyhlazování průběhu řešení (snížení maximální rychlosti v kynetě na Obr. 3.4).


- 27 -

Obr. 3.3: Profil svislicových rychlostí pro přímé koryto.

Obr. 3.4: Profil svislicových rychlostí pro koryto s vlnovitostí 1,05.

Obr. 3.5: Příčný profil pro testování variant metody sítí.


- 28 -

Celkově se tedy jako nejlepší diferenční náhrady výrazů rovnice (3.30) ukazují ty,

které byly použity ve variantě 1B. Přitom lze vyslovit závěr, že při zvyšování hodnoty

vlnovitosti (a tím i velikosti posledního členu rovnice (3.24) a členu obsahujícího

pomocnou proměnnou e v rovnici (3.30)) dojde nakonec u všech variant k podobnému

rozkmitání řešení, jaké lze pozorovat u variant 2B a 2B2 v obrázku 3.4 a které se postupně

rozšíří na celý profil. Člen sekundárních proudů meandrujícího toku je tak identifikován

jako hlavní zdroj možné nestability řešení.

3.2.2 Metoda konečných prvků

Hlavní výhoda Metody Konečných Prvků (MKP) spočívá v její lepší adaptabilitě na

danou oblast řešení. MKP nevyžaduje strukturovanou síť, což se v jednorozměrných

úlohách projeví možností vytvořit síť s nekonstantním krokem.

Podobně jako v metodě sítí se zavede aproximativní řešení, na rozdíl od ní bude

však definováno na celé řešené oblasti (lit. [10]). Získá se jako lineární kombinace funkcí

z n-rozměrného aproximačního prostoru funkcí iφ definovaných na řešené oblasti:

∑=

≈n

1ii

2i

2 UU φ . (3.38)

kde 2iU jsou neznámé váhové koeficienty aproximačních funkcí. Pro stručnost se (3.30)

zapíše ve tvaru

( ) ( ) 0adUA 2 =−− . (3.39)

kde A je příslušný diferenciální operátor rovnice. Po dosazení aproximativního řešení

(3.38) do rovnice (3.39) nebude její levá strana obecně rovna nule, ale bude se od nuly lišit

o jisté reziduum. Ve smyslu metody vážených reziduí se zavede požadavek, aby integrál

rezidua po řešené oblasti násobený testovací funkcí byl roven nule, tedy aby se

aproximativní řešení co možná nejvíce blížilo skutečnému. Protože je třeba získat n rovnic

pro n neznámých 2iU , je třeba použít n různých testovacích funkcí. V Galerkinově metodě

se testovací funkce definují stejně jako aproximační, takže soustava rovnic bude mít tvar

( ) 0dyadUAkonc

poč

y

y

j

n

1ii

2i =

−−

∫ ∑

=

.

.

φφ . n1j K,= (3.40)


- 29 -

Protože operátor A je lineární, lze rovnici (3.40) přepsat na tvar

( ) ( ) 0dyaddyAUkonc

poč

konc

poč

y

y

j

n

1i

y

y

ji2i =−−

∫∑ ∫

=

.

.

.

.

φφφ . n1j K,= (3.41)

Jako nejjednodušší aproximační funkce lze použít v metodě konečných prvků tzv. splinové

po částech lineární funkce iφ , které jsou nenulové pouze na intervalu (yi-1; yi+1) (Obr. 3.6).

Obr. 3.6: Po částech lineární splinové funkce.

Tyto funkce zaručují 1) „dostatečnou“ lineární nezávislost funkcí iφ a tedy i rovnic

soustavy (3.41), 2) anulaci všech prvků matice soustavy kromě prvků hlavní a dvou

sousedních diagonál. Matice je tak dobře podmíněná a snadno řešitelná a integrace stačí

provádět pouze na intervalu (yi-1; yi+1). Protože A obsahuje druhé derivace, jeho aplikací na

iφ se získá funkce identicky rovná nule a (3.41) nemůže být splněna. Proto se musí

nejdříve provést integrace per partes:

( )

( )

∫∫∫

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫

∫

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

∂∂

+−∂∂

−∂

∂

∂∂

−=

=

∂∂

+−∂∂

−∂∂

∂∂

+∂

∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−=

=

∂∂

+−∂∂

−∂∂

∂∂

+∂

∂

∂∂

−

∂∂

=

=

∂∂

+−∂∂

−

∂∂

+∂∂

=

=

...

.....

....

...

.

1j

1j

1j

1j

1j

1j

1j

1j

1j

1j

1j

1j

1j

1j

1j

1j

1j

1j

1j

1j

1j

1j

1j

1j

1j

1j

1j

1j

1j

1j

1j

1j

1j

1j

y

y

ji

y

y

ji

y

y

ji

y

y

ji

y

y

ji

y

y

ji

y

y

ji

y

y

ji

y

y

ji

y

y

ji

y

y

ji

y

y

ji

y

y

ji

y

y

ji

y

y

ji

y

y

j2i

2

y

y

ji

dyey

Hbdy

yeHdy

yc

y

dyey

Hbdy

yeHdy

yy

cdy

yc

ydy

yy

c

dyey

Hbdy

yeHdy

yy

cdy

y

c

yyc

dyey

Hbdy

yeH

y

cdy

yc

dyA

φφφφφφ

φφφφ

φφφφ

φφ

φφφφ

φφφφ

φφ

φφφφ

φφ

φφ

kde se využilo platnosti vztahů iφ (yi-1) = iφ (yi+1) = 0, takže 1j

1j

y

y

ji

yc

+

−

∂∂

φφ

= 0.


- 30 -

A výsledná soustava rovnic má tvar

( ) n1jdyda

dyy

Hbdy

yeHdy

yc

yU

1j

1j

1j

1j

1j

1j

1j

1j

y

y

j

1ji

1ji

y

y

ji

y

y

ji

y

y

ji2i

K,.

.

...

=−=

=

∂∂

++∂∂

+∂

∂

∂∂

∫

∑ ∫∫∫

+

−

+

−

+

−

+

−

+=

−=

φ

φφφφφφ

. (3.42)

Výrazy v integrálech jsou příliš komplikované na to, aby je šlo vypočítat analyticky

(pomocné proměnné jsou též funkcí y). Proto jsou počítány numericky pomocí Simpsonova

pravidla (lit [9]). To znamená, že se každý interval (yi-1;yi) mezi výpočetními body i-1 a i

rozdělí na m podintervalů délky δ = my /∆ (m musí být sudé). Pro libovolnou funkci g

potom platí:

( )m1m2m3m3210

y

y

gg4g2g4g4g2g4gš

dyygi

1i

++++++≈ −−−∫−

Kδ

)( (3.43)

Kde g0 až gm jsou funkční hodnoty g v bodech dělení podintervalů. Z definic pomocných

proměnných (3.28) je vidět, že na intervalu mezi dvěma sousedními body výpočetní sítě

jsou pomocné proměnné funkcí pouze hloubky a drsnosti. Při vytváření výpočetní sítě

se každému jejímu bodu přiřadí hodnota drsnosti podle toho, jaká je drsnost na příslušném

úseku příčného profilu, ve kterém bod sítě leží. Průběh hloubky a drsnosti je tedy na

intervalu (yi-1;yi) spojitý a jejich hodnoty v dělících bodech podintervalů lze lineárně

interpolovat. Z interpolovaných hodnot drsnosti a hloubky se vypočtou hodnoty

pomocných proměnných. Výpočet hodnot a derivací aproximačních funkcí v dělících

bodech podintervalů je triviální (lineární funkce, viz Obr. 3.7). Tak je možné vyčíslit

hodnoty výrazů vyskytujících se v integrálech rovnice (3.42) pro každý z dělících bodů

podintervalů 0 až m a dosadit je za g do Simpsonova pravidla (3.43). Všechny prvky

matice i vektoru pravé strany soustavy (3.42) jsou vypočteny.

Zcela analogickým způsobem jako rovnice (3.30) je řešena rovnice (3.32) pro

neznámou q2. Opět vyjde soustava n rovnic pro n neznámých qi2, odvození zde již nebude

uváděno.

Na obrázku 3.8 je pro porovnání uveden výsledek řešení metodou sítí (varianta 1B)

a MKP pro U2 a MKP pro q2 pro přímý tok a hloubku v kynetě 1,5m (Obr. 3.5). Je zřejmé,

že všechny tři postupy dávají téměř stejné výsledky, pouze řešení MKP v neznámé q2 se od

druhých dvou v krajních bodech odchyluje. To má však (vzhledem k malým rychlostem u

krajů) jen malý vliv na celkový průtok. Rovněž stabilita řešení je při všech třech postupech


- 31 -

výpočtu obdobná, k rozkmitání průběhu U resp. q dojde pro stejné hodnoty vlnovitosti (a to

poměrně vysoké – při uvedené geometrii, hloubce a hustotě sítě až pro vlnovitost cca 2,5).

Obr. 3.7: Schéma k numerické integraci výrazů v integrálech rovnic(3.42) .

Obr. 3.8: Relativní porovnání profilu měrných průtoků MKP v neznámé U2 a q2

vzhledem k metodě sítí (varianta 1B).

3.2.3 Poznámky k numerickému řešení

1) Jak metoda sítí, tak MKP vedla k řešení soustavy rovnic s maticí, která měla

prvky pouze na hlavní a dvou sousedních diagonálách. Vzhledem k malému počtu bodů

výpočetní sítě byla tato matice řešena přímou metodou, totiž Gaussovou eliminací

s částečným výběrem hlavního prvku. Postup včetně přehledně popsaného algoritmu, který

byl použit ve výpočetním programu, lze nalézt v lit. [9]. Pro potřeby této práce bylo použití


- 32 -

přímé metody dostačující, ačkoliv je vzhledem k typu matice v porovnání s vhodnými

nepřímými (iteračními) metodami naprosto neefektivní.

2) Z důvodu použití příčného sklonu dna v rovnicích LDM není možné používat

příčný profil se svislými či dokonce převislými úseky. Ošetření nekonečných hodnot

příčného sklonu by vedlo ke zbytečným komplikacím. Vždy je tedy třeba mezi sousedními

body profilu zadat alespoň malou kladnou vzdálenost ve směru osy y.

3) Z výsledku integrace per partes výrazu ( )∫+

−

.1i

1i

y

y

ji dyA φφ je zřejmé, že operátor A není

symetrický tj. obecně neplatí

( ) ( )∫∫ ΦΦ=ΦΦkonc

1poč

konc

1poč

y

y

ij

y

y

ji dyAdyA (3.44)

kde Φ jsou libovolné přípustné funkce (tj. funkce splňující okrajové podmínky problému a

derivovatelné do řádu operátoru A). Pokud se však vypustí člen sekundárních proudů,

pomocná proměnná e = 0 a rovnost (3.44) na řešené oblasti platí – operátor A je symetrický

a platí:

( ) ∫∫∫ ΦΦ−∂

Φ∂

∂

Φ∂−=ΦΦ

konc

1poč

konc

1poč

konc

1poč

y

y

ij

y

y

ijy

y

ij dybdyy

cy

dyA (3.45)

Pokud se rovnice (3.30) vynásobí –1, bude operátor nové rovnice A* = -A, přičemž

samotné řešení rovnice se nezmění (dostane se stejná soustava rovnic). Pokud se navíc

uváží, že pomocné proměnné c a b jsou na řešené oblasti vždy kladné (viz rce (3.28)), platí

( ) ( ) ( )∫∫∫∫ Φ≥Φ+

∂

Φ∂=ΦΦ

konc

1poč

konc

1poč

konc

1poč

konc

1poč

y

y

2i

y

y

2i

y

y

2

i

y

y

ii dydybdyy

cdyA γ* (3.45)

( ) 0b >= minγ na řešené oblasti (3.46)

Tím jsou splněny požadavky na pozitivní definitnost operátoru A* (ve smyslu definice 67.

lit [9]) a platí Věta o konvergenci Ritzovy metody

2n

1ii

2i

nUU =∑

=∞→

φlim . (3.47)

Smyslem tohoto odstavce bylo dokázat intuitivní předpoklad, že pro přímá koryta vede

dostatečné zhuštění sítě ke konvergenci aproximativního řešení k řešení přesnému (to

samozřejmě nedokazuje, že při uvážení vlnovitosti tomu tak není).


- 33 -

4) Výpočet průtoku je proveden sumací dílčích průtoků jednotlivými intervaly

výpočetní sítě. V každém výpočetním bodě je vyčíslen měrný průtok q. Celkový průtok je

( )i1i

n

2i

i1i y2

qqQ ÷−

=

− ∆+

=∑ . (3.48)

Pokud se sklon I0 v (3.19) a (3.28a) nahradí jednotkou, povede (3.48) k výpočtu kapacity K

profilu.

5) Řídící rovnice metody LDM byly odvozeny za předpokladu rovnoměrného

proudění. To se v praktických úlohách téměř nevyskytuje. Pro použití metody LDM do

výpočtu nerovnoměrného proudění je proto nutné zanedbat tuto omezující podmínku a

předpokládat, že proudění je rovnoměrnému natolik blízké, že jej řídící rovnice LDM

(3.24) popisuje ještě s dostatečnou přesností. Podélný sklon dna se potom nahradí

hydraulickým sklonem Ie.

6) Počet podintervalů pro výpočet Simpsonovým pravidlem (3.43) je možné

v programu (viz níže) měnit. Zkušenost ukázala, že i při velkém příčném sklonu dna je

rozdíl mezi m=2 a m=10 cela nepatrný (promile v předpovědi rychlosti). Možná by i úplné

vypuštění integrace Simpsonovým pravidlem a jeho nahrazení prostým výpočtem

z krajních hodnot vedlo k dobrým výsledkům.

4 Výpočetní program a prostředí

- 34 -

4 Výpočetní program a prostředí Pro prvotní výpočty bylo použito tabulkového editoru Excel. Na profilu jednoduché

geometrie bylo odzkoušeno numerické řešení LDM metodou sítí a metodou konečných

prvků. Pro potřeby rychlého a variantního provádění výpočtů a porovnávání výstupů

jednotlivých metod je však Excel příliš omezující. Rovněž změna počtu bodů výpočetní

sítě je v něm obtížná. Proto byl vytvořen program umožňující zadávání vstupů, jejich

editaci, výpočet výstupů a prohlížení výstupů a umožňující komunikaci s uživatelem

prostřednictvím grafického rozhraní běžného v systému Windows (Obr. 4.1). Program byl

napsán v plně objektově orientovaném programovacím jazyce C# za podpory

programovacího a ladicího prostředí Microsoft Visual C# 2005, které je volně ke stažení na

internetu. V programu lze provádět výpočty konzumčních křivek, profilů svislicových

rychlostí, nerovnoměrného proudění a zjednodušeně i aktivních zón záplavových území

s využitím proužkové metody rozdělení měrných průtoků. Celkově je program zaměřen na

možnost porovnávání variantních výpočtů různými metodami a snadné prohlížení jejich

výstupů.

Obr. 4.1: Grafické prostředí výpočetního programu.


- 35 -

4.1 Struktura dat Veškerá data jsou ukládána ve formátu textu v souborech *.txt, aby byla možná

jejich snadná úprava i mimo program. Program pracuje s následujícími pěti typy vstupních

dat:

Příčný profil je zadán dvojicí souřadnic, z nichž první je vodorovná vzdálenost bodu

od zvoleného počátku a druhá je výška bodu nad srovnávací rovinou. Dále musí každý bod

obsahovat záznam hodnoty drsnosti, typu drsnosti (program umí pracovat s Manningovou

drsností n a s hydraulickou drsností k). Dále je možno v poznámce specifikovat, o jaký bod

se jedná z hlediska schematizace geometrie. Každý profil musí obsahovat právě jeden bod

označený jako levý břeh a jeden bod označený jako pravý břeh. Aby bylo možno počítat s

metodami AEM a LDM, musí navíc obsahovat zadání paty levého břehu, pravého břehu a

patu svahu uzavírajícího inundaci na obou stranách profilu (viz Obr. 2.4). V poznámce se

rovněž zadávají svislice včetně určení, do jaké sekce se mají započítat, a jejich náhradní

drsnosti. Dále se ve struktuře Podélný profil uchovává jeho staničení v podélném profilu.

Výpočetní síť je síť pro numerické řešení metody LDM. Pokud není před výpočtem

síť pro daný profil specifikována, vytvoří se automaticky s konstantní vzdáleností a

požadovaným počtem výpočetních bodů (Obr. 4.2). Jinak se síť pro konkrétní profil zadává

pomocí souřadnic x použitých v zadání profilu. Při vytváření sítě pro konkrétní profil ji lze

v případě potřeby lokálně zahušťovat a sledovat tak vliv sítě na výsledek výpočtu.

Obr. 4.2: Výpočetní síť s konstantním krokem pro metodu LDM.

Geometrie je sestavena z odkazů na vybrané příčné profily. Ve struktuře geometrie

je možné pro každý profil specifikovat součinitel zúžení do profilu a rozšíření z profilu.

Okrajové podmínky pro výpočet nerovnoměrného proudění se zadávají staničením,

typem a hodnotou. Program umožňuje předepsat kótu hladiny, průtok. Dále je možné vložit

na libovolné staničení měrnou křivku typu hladina dolní vody→hladina horní vody a

průtok→hladina horní vody. Poloha hladiny horní vody je pak interpolována z tabulky

uložené v odkazovaném textovém souboru.

Řešení je struktura, která vzniká kombinací odkazů na geometrii a okrajové

podmínky, které se mají použít při výpočtu nerovnoměrného proudění. V řešení se navíc


- 36 -

pro každý profil geometrie specifikuje metoda, kterou má být počítán a v případě výběru

metody LDM i jeho výpočetní síť. Uvedená struktura vstupních dat umožňuje snadné

sestavování variantních řešení a jejich údržbu. Na obrázku 4.3 je náhled sestaveného řešení

včetně vypočítaného průběhu hladiny.

Obr. 4.3: Grafické znázornění vstupních dat a vypočítaného podélného profilu

hladiny.

4.2 Výpočty

4.2.1 Rovnoměrné proudění – konzumční křivky

Základní úlohou je stanovení průtoku korytem při známém podélném sklonu a

poloze hladiny. Kromě metody LDM je všude pro výpočet průtoku sekcemi použito

známých rovnic (viz např. lit. [8]) Chéziho (4.1) a Manninga (4.2):

eRIC=v , 61Rn

1C /= .

O

SR = (4.1), (4.2), (4.3)

Omočený obvod a plocha průtočného průřezu jsou počítány pro každý úseky vymezený

body příčného profilu:

( )∑=

+ ∆+

=n

1ii

1ii y2

hhS (4.4)

∑∑==

∆+∆==n

ii

2i

2i

n

1ii zyOO (4.5)

Průměrná Manningova drsnost sekce je počítána podle vzorce Einsteinova

32

i

23ii

O

nOn

//

=

∑∑

(4.6)


- 37 -

LDM akceptuje jako drsnostní vstup hodnotu hydraulické drsnosti k. Pro třecího součinitele

f je použito vzorců (viz lit [7]) (4.7). Vzorce platí pro kvadratickou oblast ztrát třením,

která je v praktických úlohách téměř vždy dosažena.

Pro k/H < 1,66 je použito Colebrook-Whiteova logaritmického zákona pro proudění

otevřenými koryty nad hydraulicky drsným dnem

−=

H2712

kLog032

f

1

,, . (4.7a)

Pro 1,66 < k/H < 10 je použito mocninné aproximace

H

k

301541

8f

,= . (4.7b)

Pro 10 < k/H je použito maximální hodnoty

941f ,= . (4.7c)

Protože přímý výpočet kapacity profilu z rovnice RC=K není pro metodu LDM možný,

je kapacita definována rovností

eI

QK = (4.8)

Při výpočtu konzumční křivky typu Q=Q(H), je průtok pro každou polohu hladiny počítán

přímo. Při výpočtu H=H(Q) je poloha hladiny pro každý průtok hledána metodou půlení

intervalu. Ta sice konverguje poměrně pomalu, ale dovoluje snadnou kontrolu kriteria

konvergence (lit. [3]). Potřebný počet kroků i k dosažení přesnosti e na intervalu (a;b) je:

1e

abi 2 −

−≥ log (4.9)

Obr. 4.4: Formulář pro výpočet konzumční křivky a rychlostního profilu


- 38 -

4.2.2 Svislicové rychlosti – proužková metoda

U metody LDM jsou svislicové rychlosti přímým výstupem. Pro ostatní metody je

pro první informaci za svislicovou rychlost v každé sekci považována rychlost průřezová

(Obr. 5.3). Takové rozdělení je však příliš hrubé a nedokáže postihnou rozdíly ve

svislicových rychlostech uvnitř sekce.

Pro získání plynulejšího rychlostního profilu lze použít Proužkovou Metodu (PM).

Ta spočívá v rozdělení každé sekce na proužky, pro které je vypočten průtok Qi a průřezová

rychlost vi metodou SCM, tj. bez uvážení tření na svislici se sousedním proužkem

(Obr. 4.5). Potom, se vypočte opravný součinitel .oprx podle rovnice (4.10) a výsledné

svislicové rychlosti Ui se získají přenásobením původních rychlostí v proužcích opravným

součinitelem:

∑=

i

sekceopr Q

Qx . , .v oprii xU ⋅= (4.10)

Pro rozdělení profilu do proužků umožňuje program použít stejnou výpočetní síť jako při

řešení LDM.

Obr. 4.5: Schéma k použití proužkové metody

4.2.3 Nerovnoměrné proudění

Výpočetní program umožňuje počítat ustálené nerovnoměrné proudění v 1D

schematizaci, tedy proudění, při němž jsou všechny lokální změny veličin (rychlost,

plocha, průtok) v čase rovny nule, ale mohou se měnit s prostorovou souřadnicí. Základní

rovnice v diferenciálním tvaru popisující nerovnoměrné proudění se získá z bilance energie

na infinitezimálním úseku délky ld , tj. z Bernoulliho rovnice (Obr 4.6):

( )lll d

dZ

d

d

g2

1

d

dHI

2

0 +=−vα

. (4.11)


- 39 -

Obr. 4.6: Schéma k odvození rovnice nerovnoměrného proudění

Po provedení příslušných derivací a úpravě se za předpokladu konstantní hodnoty

součinitele kinetické energie α a uvážení pouze ztrát třením získá základní diferenciální

rovnice nerovnoměrného proudění

2

3

22

0

Fr1

d

b

b

S

gS

K1

K

QI

d

dH

−

∂∂∂

−

−

=l

l

α

(4.12)

kde b je šířka koryta v úrovni hladiny H a Fr je Froudovo číslo a B je šířka v hladině.

3

2

gS

BQFr

α= (4.13)

Z rovnice (4.12) je dobře vidět zásadní význam Froudova čísla pro charakter proudění

v korytě i tím i pro způsob jeho výpočtu. První závorka v čitateli rovnice vyjadřuje sklon

čáry energie Ie. Výraz v druhé závorce postihuje změnu geometrie příčného profilu

(viz Obr. 4.7).

Obr. 4.7: Schéma k diferenciálnímu popisu změny geometrie příčného profilu


- 40 -

Pro použití v metodě po úsecích se však používá rovnice (4.11) převedená

v diferenční tvar

g2HZ

g2HI

22

2

21

1021 vv αα

++∆=++∆l . (4.14)

Při výpočtu průběhu hladiny metodou po úsecích se vychází ze známé polohy hladiny H1

v profilu 1. Protože v a α jsou v obou profilech funkcí hloubky, zbývají v rovnici (4.14)

neznámé H2, a Z∆ . Postupuje se tak, že se odhadne hloubka H2, na jejím základě se

vypočte rychlostní výška g2

22 2vα

a energetické ztráty Z∆ . Poté je nutné provést kontrolu

splnění rovnosti (4.14) a případně opravit odhad H2. Výpočet ztrát lze provést více

způsoby. Základním předpokladem je, že ztráty třením při rovnoměrném proudění s určitou

kótou hladiny a velikostí průtoku jsou shodné se ztrátami při nerovnoměrném proudění při

jinak stejných podmínkách. Protože kapacita horního a dolního profilu se obecně liší, je

třeba provést zprůměrování ztrát na úseku mezi nimi.

První možnost vychází z průměrování základních charakteristik profilů:

2

RRR

2

SSS

2

CCC

RCSK

K

QI

212121

e

+=

+=

+=

=

=

,,

(4.15a - e)

Použití tohoto přístupu je při implementaci LDM zbytečně složité, protože Chéziho

rychlostní součinitel C by musel být z výstupu K metody LDM počítán zpětně (4.15b), poté

zprůměrován a pak opět použit do výpočtu K.

Druhou možností je průměrování už vypočtených sklonů čáry energie:

2

2

22

2

1

11

21e

K

QI

K

QI

2

III

=

=

+=

,

(4.16a - c)

Toto řešení bylo ve výpočetním programu odzkoušeno a ohodnoceno jako velmi nestabilní.

Vyžaduje minimální délku výpočetního kroku, jinak vede k příliš velkému sklonu čáry

energie a prudkým změnám polohy hladiny.

Třetí možností je kompromisní varianta, kdy se průměrování děje na úrovni kapacit:

221 KK

KK

QI e

+=

= (4.16a - b)


- 41 -

Ztráta Z∆ se vypočte jako součet ztrát třením a ztrát místních mZ

me ZIZ +∆=∆ l (4.17)

kde ztráty místní jsou vypočteny na základě součinitele místních ztrát a rozdílu

rychlostních výšek

g2g2Z

22

21

rozšířením21 vv αα

ξ −= při rozšíření průřezu (4.18a)

g2g2Z

22

21

zúžením21 vv αα

ξ −= při zúžení průřezu (4.18b)

K nalezení hloubky H2 je použita metoda zpětného dosazování hodnoty vypočtené

v předchozím kroku i – 1 jako vstupu do výpočtu následujícího kroku i:

1) první odhad H2pre

2) výpočet g2

22 2vα

, K2 příslušnou metodou řešení složeného profilu

3) výpočet Ie (4.16) a Zm (4.18)

4) výpočet Z∆ (4.17)

5) dosazení g2

22 2vα

a Z∆ do rovnice (4.14) a výpočet H2post

6) porovnání (H2pre - H2

post) < kriterium konvergence

7) a) nerovnost je splněna – ukončení výpočtu KONEC

b) nerovnost není splněna – pokračování ve výpočtu

8) přiřazení H2pre + (H2

post - H2pre) . relaxační faktor → H2

pre

9) opakování cyklu iterace od bodu 2)

Výhodou tohoto postupu je jeho jednoduchost, nevýhodou je, že nemusí vždy vést ke

správnému řešení. Pro případ, kdy výpočet diverguje (H → ±∞), je v každém iteračním

cyklu hlídáno dosažení maximálního zadaného počtu iterací a v případě jeho překročení je

výpočet ukončen a nahlášena chyba. Potom je možné zlepšit situaci zadáním relaxačního

faktoru hodnotou menší než jedna. I když výpočet konverguje, není správnost výsledku

zaručena, protože rovnice (4.14) může mít více než jedno řešení. Situaci nastiňuje obrázek

(4.8). Modrá křivka je průběh energetické výšky horního profilu daná rovnicí

g2zE

22

2w22vα

+= , (4.19)


- 42 -

kde zw2 je souřadnice z hladiny horního profilu. Červené křivky zobrazují možný průběh

energetické výšky vypočtené z polohy čáry energie v dolním profilu a energetických ztrát,

které jsou přes kapacitu K2 funkcí rovněž polohy hladiny horního profilu.

)(v1

2w

21

1w1 zZg2

zE ∆++=α

. (4.20)

Obr. 4.8: Energetické poměry při výpočtu polohy hladiny Zw horního profilu.

Červené křivky – energetická výška dolního profilu + ztráty; Modrá křivka – Energetický výška horního profilu.

Kóta zw2,k označuje polohu hladiny při kritické hloubce. Řešení rovnice (4.14) je v bodech,

kde se křivky E1 a E2 protínají. Ji zřejmé, že k tomu může v závislosti na konkrétní situaci

dojít v různém počtu bodů. Ještě komplikovanější případ nastane u složeného koryta, kde

křivka E2 má složitější průběh. Výpočetní program je schopný provádět výpočet pouze

proti proudu, což odpovídá podmínkám říčního proudění. Pro vyloučení nefyzikálních

řešení je proto potřeba přinejmenším kontrolovat hodnotu Froudova čísla.

Obr. 4.9: Formulář pro výpočet nerovnoměrného proudění.


- 43 -

4.2.4 Coriolisovo číslo

Coriolisovo číslo α , neboli součinitel kinetické energie, je definováno následujícím

integrálem, kde v je průřezová rychlost průtočnou plochou S a u je bodová rychlost:

∫=S

3

3dSu

S

1

vα (4.21)

Smyslem zavádění Coriolisova čísla je ohodnocení nerovnoměrného rozložení toku

kinetické energie plochou S a zavedení příslušné korekce do vztahů pro výpočet

nerovnoměrného proudění. Nejjednodušší možností je použití konstantní hodnoty pro celé

řešení, přičemž je ji třeba odhadnout na základě zkušenosti a studia literatury. Takové

řešení snad může vést k dobrým výsledkům u jednoduchých profilů, kde je proudění

homogenní a hodnota součinitele malá. U složených profilů lze však jeho hodnotu

odhadnout jen s obtížemi a je třeba ji vypočítat.

U metod, které rozdělují příčný profil do sekcí, je možné výsledné Coriolisovo číslo

pro celý profil spočítat ze známých hodnot iα jednotlivých sekcí o ploše Si a průřezové

rychlosti vi. S a v jsou plocha a průřezová rychlost celého profilu.

i3i3S

S

1∑= v

viαα (4.22)

V jednotlivých sekcích ho lze odhadnout jako pro jednoduchý profil. Vytvořený výpočetní

program nabízí dvě možnosti, jak jej spočítat. První je použití vzorce podle Morozova:

81

250i

i 1C

738401

,

,

,,

−+=α (4.23)

Druhá možnost spočívá v použití proužkové metody – viz stať 4.2.2. Sekce se rozdělí na

proužky j o ploše Sj, ve kterých se dříve uvedeným způsobem vypočtou svislicové rychlosti

Uj. Coriolisův součinitel sekce i se potom vypočte jako

j3j3

i

i SUS

1∑= sj

ivαα (4.24)

sjα je součinitel kinetické energie ve svislici. Existují způsoby, jak jej vypočíst

z předpokládaného rychlostního profilu ve svislici, ve výpočetním programu je však zadán

pevnou hodnotou 051,sj =α . U metody LDM je vzhledem k typu jejích výstupů použito

rovnou postupu (4.24).

Výpočty ukázaly, že na výslednou celoprofilovou hodnotu má největší vliv rozdíl

rychlostí v sekcích, hodnoty iα celkové α ovlivňují většinou jen málo. Proto se výsledky s

použitím (4.23) a (4.24) téměř neliší.


- 44 -

4.2.5 Přepočet drsností n↔k

Drsnost úseku příčného profilu je možné zadat jednou z uvedených dvou typů

drsnosti. Protože metoda LDM pracuje s hydraulickou drsností a ostatní metody

s Manningovou, je potřeba je vzájemně mezi sebou převádět. K tomu je použito vzorce

(4.25) z lit. [7].

−= ),(

/

,032ng8

H 61

10H2712k (4.25)

Vzorec lze pro široké koryto ( HR ≈ ) odvodit z požadavku stejných třecích ztrát při použití

rovnice (4.7) a Darcy-Weisbachovy (4.26) pro drsnost k a třecích ztrát při použití rovnic

(4.1) až (4.3) pro drsnost n. Přepočet se tedy provádí znovu pro každou hloubku.

g2R

1fI

2

e

vα= (4.26)

Ze stejného požadavku vyplývá i vztah mezi Manningovou drsností, drsnostním

součinitelem v Darcy-Weisbachově rovnici pro otevřená koryta, Chéziho rychlostním

součinitelem C a třecí rychlostí v*:

*v

v/

===gn

H

g

C

f

8 61

(4.27)

5 Výpočty na fiktivním příčném profilu

- 45 -

5 Výpočty na fiktivním příčném profilu Pro prvotní porovnání chování vybraných metod výpočtu proudění na složeném

profilu byly tyto aplikovány na fiktivní příčný profil jednoduché geometrie a s měnící se

drsností (Obr. 3.5). Jednotlivé parametry geometrie byly při porovnávání mírně měněny,

aby bylo možné odhalit jejich vliv na chování výpočetních metod.

Jako referenční je v této kapitole uvažována metoda AEM, od které lze u

pravidelných složených lichoběžníkových koryt očekávat poměrně spolehlivé výsledky.

5.1 Porovnání konzumčních křivek Jako první bylo provedeno porovnání konzumčních křivek. Je možné uvést

následující závěry:

SCM-podle očekávání podhodnocuje průtok až o 50%. Tato chyba však klesá

s přibývající hloubkou a u široké kynety může být průtok i nadhodnocen.

DCM1-vždy nadhodnocuje průtok. Chyba činí desítky (cca 20) procent a většinou

se zvětšuje s rostoucí hloubkou. Jsou li však bermy široké (takže průtok v nich tvoří větší

část průtoku celkového), může relativní chyba klesat.

DCM2-vždy nadhodnocuje průtok. Při použití Manningova a Einsteinova vzorce

pro celkové n vychází stejné výsledky jako u metody DCM1. Při použití jiných vzorců

(např. obyčejný vážený průměr drsnosti n podle omočeného obvodu) se budou metody

mírně lišit. Chyba rovněž roste s rostoucí hloubkou.

DCM3-nadhodnocuje průtok. Zpočátku chyba roste s hloubkou, potom začíná

klesat. Chyba je podstatně menší než u předchozích metod a při dobrém odhadu drsnosti,

která se přiřadí svislici (zde n = 0,02), nepřekročila chyba deset procent.

DZD-vždy značně nadhodnocuje průtok. Chyba činí desítky procent a roste

s hloubkou.

SSGM-nadhodnocuje průtok ze všech metod nejvíc. Chyba činí desítky procent a

roste s hloubkou. Tento výsledek se dal očekávat vzhledem k tomu, že je koryto rozděleno

na množství sekcí, které se výpočetně navzájem neovlivňují. To je ve zjevném rozporu se

skutečným charakterem proudění v korytě.

LDM-oproti metodě AEM dává poněkud vyšší hodnoty průtoku, průběh konzumční

křivky je při nižších hloubkách obdobný jako pro DCM3. Se zvětšující se hloubkou začíná

metoda postupně průtok výrazně podhodnocovat, což ukazuje na skutečnost, že metoda je

vhodná spíše pro široká koryta.


- 46 -

EDM-dává v širokém rozmezí relativních hloubek výsledky velmi blízké metodě

AEM. Se stoupající hloubkou se zmenšuje odlehlost těchto dvou metod od SCM. Jsou tedy

schopny postihnout jak proudění profilem výrazně rozděleným do sekcí, tak proudění při

větších hloubkách, kdy se profil blíží jednoduchému.

J&WM-do srovnání byla zahrnuta z důvodu orientačního posouzení vlivu

meandrování toku na výpočet konzumční křivky. Vlnovitost toku byla uvažována hodnotou

1,3. Protože ostatní metody s vlnovitostí nepočítají je charakter průběhu

konzumční křivky podle J&WM zřetelně odlišný. Patrné je snížení kapacity koryta zvláště

v intervalu relativních hloubek do 0,5. Z porovnávaných metod umožňuje jistým způsobem

řešit proudění v meandrujících tocích i model LDM (prostřednictvím členu sekundárních

proudů – viz stať 3.1.2). Protože se při vybřežení takového toku do údolní nivy jedná o

velmi složitý a výrazně trojrozměrný jev, který lze jen velmi těžko postihnout 1D

modelem, nebudou nadále meandrující toky uvažovány.

Porovnání konzumčních křivek na základní geometrii je graficky znázorněno v

obrázku 5.1. Při vyloučení metody SCM a J&WM se liší nejmenší a největší vypočtená

hodnota průtoku o cca 30%.


- 47 -

Obr. 5.1: Porovnání metod výpočtu na fiktivním profilu jednoduché geometrie.


- 48 -

5.2 Vliv zanedbání některých členů v rovnici LDM Profil jednoduché geometrie je vhodný pro testování vlivu jednotlivých členů

rovnice (3.24) na výsledky řešení. Pro stručnost budiž zavedeno následující označení jejích

členů:

( )

( ) ( ) ( ) ( )IVIIIIII

HUy

C0150

1

0150

0151

y

UU

8

fH

yI1U

8

fgHI 2

uv22

0y2

0 ∂∂−

+Γ−

=

∂∂

∂∂

++−,,

, σσλ

(I) zdrojový (gravitační) člen

(II) člen tření na dně koryta

(III) člen přenosu hybnosti turbulentními napětími ve svislici

(IV) člen sekundárních příčných proudů

5.2.1 Vliv na kapacitu profilu

Ukazuje se, že rozhodují vliv na tvar rychlostního profilu má člen (III) řídící

rovnice. Při zanedbání tohoto členu se významným způsobem zvýší kapacita profilu, což

platí pro široké rozmezí hloubek i libovolný sklon čáry energie.

Oproti tomu zanedbání členu (IV) má na kapacitu zcela minimální vliv (rozdíl

do1%). Pro hloubky pod úrovní břehů kynety je kapacita mírně zvýšena. Po rozlití nad

bermy se tento trend postupně mění a kapacita se oproti výpočtu úplným tvarem řídící

rovnice nepatrně sníží, přičemž rozhodující roli hraje poměr šířky kynety a obou berem – u

širší kynety dojde k poklesu pod původní konzumční křivku později.

Při zanedbání obou členů lze říci, že se vlivy sčítají. Řídící rovnice se tím

zjednoduší do formy, která ve svislici vyjadřuje rovnováhu mezi gravitačním a třecím

členem a která je ekvivalentní s přístupem SSGM, čemuž odpovídá i průběh konzumčních

křivek (Obr. 5.2)


- 49 -

Obr. 5.2: Vliv zanedbání členů (III) a (IV) v řídící rovnici LDM:

a) porovnání s ostatními metodami – křivka LDM´ řešení se zanedbáním obou členů je téměř shodná s křivkou SSGM;

b) vliv zanedbání členů na změnu kapacity.


- 50 -

5.2.2 Vliv na tvar rychlostního profilu

Podobným způsobem je ovlivněn i výpočet rychlostního profilu. Zanedbání členu

(III) vede nezávisle na hloubce a sklonu čáry energie ke zvýšení rychlostí v kynetě a

snížení v bermách, obecně tedy ke zvětšení rozdílů mezi rychlostmi v různých částech

koryta. Právě zvýšení rychlostí v hlubších částech, kde má změna rychlosti na výslednou

kapacitu větší vliv, je příčinou jejího celkového zvýšení.

Stejný účinek na tvar rychlostního profilu má i zanedbání členu (IV), projevuje se

však řádově méně než u členu (III). Rychlostní profil zůstává hladký, bez náhlých změn

svislicové rychlosti. Navíc pokles rychlostí nad širšími bermami postupně převáží nad

zvýšením v kynetě - s již popsaným dopadem na konzumční křivku.

Při vypuštění obou členů je opět průběh rychlostního profilu (stejně jako u

konzumční křivky) téměř shodný s metodou SSGM (Obr. 5.3).

Obr. 5.3: Výpočet rychlostních profilů:

a) před použitím proužkové metody; b) po použití proužkové metody; vykreslen je i průběh dle LDM´ při zanedbání členů (III)

a (IV) řídící rovnice; c) vyznačení rozsahu AZZU stanovené jako ta část profilu, která provádí 80% celkového

průtoku. Na dně koryta je vyznačena výpočetní síť pro metodu LDM a pro Proužkovou metodu.


- 51 -

5.3 Porovnání rychlostních profilů Protože rychlostní profil předpokládající konstantní rychlosti uvnitř každé sekce je

příliš hrubý, byla na rychlostní výstupy všech metod kromě LDM aplikována proužková

metoda (Obr. 5.3). Ukazuje se, že nové rychlostní profily jsou jen o málo hladší než

původní. I po použití proužkové metody se svislicové rychlosti mění příliš náhle v

závislosti na hloubce a drsnosti, což je nejvíce patrné u SSGM. Zároveň získaly všechny

upravené profily velmi podobný průběh, rozdíly jsou způsobeny především různou

hodnotou celkového průtoku. Po normování na shodný průtok jsou téměř shodné (Obr. 5.4)

a značně se liší od plynulého profilu LDM. Rozdíly v předpovědi svislicové rychlosti

mohou v oblasti třecí zóny na rozhraní kynety a bermy dosáhnout až 100% (dvojnásobná

rychlost vypočtená LDM oproti SCM). Výjimku tvoří metody AEM, jejíž předpověď

rychlostí je (zvláště v bermách) předpovědi LMD o něco blíže. Výhodnost použití metody

LDM pro předpověď rozdělení rychlostí zde tedy jasně vyniká.

V obrázku (5.3) je rovněž vyznačen rozsah AZZU definovaný jako oblast, která

provádí 80% celkového průtoku. I zde se řešení LDM poněkud liší od ostatních metod.

Podle výpočtu ostatními metodami je více než 80% celkového průtoku soustředěno do

kynety. Podle LDM zasahuje ta část profilu, která provádí 80% průtoku, i do oblasti nad

bermami. Pro příčný profil s širšími bermami by byl tento rozdíl ještě o něco výraznější.

6 Fyzikální model

- 52 -

6 Fyzikální model Porovnání metod na fiktivním profilu v kapitole 5 podává informaci o chování

metod vůči sobě navzájem, důležitější je ale ohodnocení spolehlivosti jejich postupů při

porovnání s měřenými daty. Proto byla provedena měření rychlostních profilů na

fyzikálním modelu. V laboratorních podmínkách již proběhla řada velmi kvalitních

měření rychlostních polí proudění ve složených korytech. Například data ze zařízení FCF

ve Wallingfordu jsou za úplatu k dispozici i odborné veřejnosti. Měření jsou však prakticky

vždy prováděna za podmínek rovnoměrného proudění a na jednoduché geometrii. Jistá

měření za podmínek nerovnoměrného proudění byla prováděna na přírodních tocích, kde je

však obtížné získat stejně přesná měření jako v laboratoři. Tato měření jsou navíc hůře

dostupná. Otázkou tak zůstává, jak se budou metody, na datech z modelů rovnoměrného

proudění vytvořené a kalibrované, chovat v podmínkách proudění nerovnoměrného. Proto

byla měření rychlostních profilů na fyzikálním modelu prováděna při nerovnoměrném

proudění.

6.1 Popis zařízení Model byl umístěn ve Vodohospodářské hale ČVUT ve žlabu určeném pro

modelování proudění v otevřených korytech.

6.1.1 Hydraulický okruh

Měrný žlab je součástí hydraulického okruhu Vodohospodářské laboratoře ČVUT.

Ten sestává ze zásobního bazénu velkého objemu ukrytého pod úrovní podlahy haly. Odtud

je voda čerpána do menší nádrže na střeše objektu. Tato nádrž je opatřena soustavou

jalových přepadů s velkou délkou přepadové hrany, kterými při měření musí část čerpané

vody odtékat odpadním potrubím zpět do zásobního bazénu. Toto zajišťuje minimální

výkyvy v poloze hladiny v nádrži při změně čerpaného množství nebo změně průtoku

odebíraného k experimentům a tím stabilitu tlakových podmínek. Z horní nádrže je voda po

hale rozváděna potrubím s odbočkami k jednotlivým standům. Na přívodním potrubím ke

žlabu je instalováno šoupě pro hrubé nastavení průtoku obtékané potrubím s ventilem pro

nastavení přesné. Přívodní potrubí ústí do dna uklidňovací nádrže, ze která voda odtéká

přes měrný Thomsonův přeliv. Ze šachty pod přelivem je již krátkým potrubím

zakončeným roztékacím kusem vedena do žlabu. Roztékací zařízení tvoří vodorovné

potrubí podélně perforované otvory směřujícími ke dnu uklidňovací části žlabu. (Obr. 6.1)

6 Fyzikální model

- 53 -

Obr. 6.1: Schéma hydraulického okruhu Vodohospodářské laboratoře

Obr. 6.2: 3D náhled modelu vytvořený za zaměřených příčných profilů. Oblast měření je mezi

červeně označenými profily.

6 Fyzikální model

- 54 -

6.1.2 Model

K měření rychlostních profilů ve složeném korytě byl adaptován stávající, do

měrného žlabu vestavěný a již nepoužívaný model úseku toku Třebůvka. Po menší úpravě

jej bylo možno použít pro zamýšlená měření – s úsporou nákladů i času, kterého by bylo

třeba na likvidaci původního a stavbu nového modelu.

Pro potřeby modelování nerovnoměrného proudění bylo ve žlabu vyznačeno a

hrotovým měřítkem zaměřeno 27 příčných profilů. Z profilů sestavený 3D model

v souřadnicích x, y, z je na obrázku 6.2. Souřadnice x, y, z jsou globální souřadnice

modelu, každý profil má vlastní lokální souřadný systém y´ a z. Model je tvořen složeným

korytem, který se směrem po proudu zužuje. V horní části je šířka modelu cca 2 m a kyneta

má tvar lichoběžníkový až parabolický. Nejužší část (1,2 m) je ke konci 8,2 m dlouhého

úseku, na kterém byla prováděna měření. Přibližně uprostřed měřeného úseku přechází

kyneta do obdélníkového průřezu. S klesající šířkou se zvětšují hloubky nad bermami.

Nejmenší hloubky jsou 50 mm v bermách profilu PR27. Model je vytvořen z betonu, pro

který lze podle zkušeností z předchozích měření použít Manningovu drsnost n = 0,011-

0,013. Po předběžném proměření několika rychlostních profilů byl povrch berem zdrsněn

použitím syntetické sítě ENKAMAT.

6.2 Prováděná měření

6.2.1 Měření hrotovým měřítkem

Zaměření příčných profilů bylo provedeno hrotovým měřítkem uchyceným na

pojezdu. Pojezd se pohybuje po kolejnicích znivelovaných do vodorovné roviny podél celé

délky modelu a umožňuje posun ve směrech všech tří os.

Hrotové měřítko bylo použito i zaměření podélných a příčných profilů hladiny.

Poloha hladiny byla odečítána s přesností na 0,1 mm. Vzhledem k rozvlnění hladiny bylo

k nalezení bodu, ve kterém je hrot ponořen přibližně stejně dlouho jako vynořen, poměrně

časově náročné.

6.2.2 Měření průtoku

Průtok byl měřen pomocí Thomsonova měrného přelivu. Instalovaný přeliv

umožňuje měření průtoků až do cca 80 l/s, spolehlivou funkci je u něj však podle

zkušeností možno očekávat jen do průtoků okolo 55 l/s. Poloha hladiny nad přelivem byla

odečítána hrotovým měřítkem v odměrném válci, který je hydraulicky spojen s horní vodou

6 Fyzikální model

- 55 -

přelivu přes fluktuace tlumící prvek. Měření průtoku byla prováděna průběžně při měření

rychlostí, aby bylo vyloučeno znehodnocení měření rychlostí možnými výkyvy průtoku.

Pomocí uzávěru na obtoku šoupěte se dařilo nastavovat průtok s uspokojivou přesností.

Poloha hladiny byla odečítána s přesností na 0,1 mm. Vždy byla provedena tři

měření po sobě a zprůměrována. Následně byl odečten průtok ze známé měrné křivky

přelivu.

6.2.3 Měření teploty

Teplota byla stejně jako průtok měřena průběžně s měřením rychlostí. Hodnota

teploty sloužila především k přepočtu výstupního signálu UVP na rychlosti (k výpočtu

rychlosti zvuku ve vodě). K měření bylo použito laboratorního rtuťového teploměru a

nejmenším dílkem 0,5°C.

6.2.4 Měření rychlostí

Pro předběžné měření bylo použito elektromagnetické sondy EMS. Pro podrobné

proměření rychlostních profilů bylo použito metody UVP (viz. dále).

6.3 Předběžné měření rychlostí EMS Pro předběžné stanovení rozdělení průtoku napříč profily bylo použito

ElektroMagnetické Sondy (EMS). Ta umožňuje měřit „bodové“ rychlosti ve směru x a y.

Pracuje na principu elektromagnetické indukce v proudícím vodivém médiu na měrném

objemu cca 3 cm3 v okolí sondy. K provedení měření a jeho vyhodnocení bylo použito již

instalovaného hardwarového i softwarového vybavení. Převedení signálu sondy do podoby

rychlostí zajišťovala programovatelná vyhodnocovací jednotka sondy s připojeným

dataloggerem (převedení analogového signálu na digitální) a následně PC s programem

DASYLab (lit. [14]). Před zahájením měření bylo potřeba provést pouze kalibraci sondy na

nulovou rychlost. K měření bylo použito sondy E-30 o průměru 30 mm. Zařízení umožňuje

měřit rychlosti do 2,5 m/s.

Měření předcházel výběr měrných profilů, zaměření bodů, ve kterých budou

určovány svislicové rychlosti a zaměření polohy hladiny nad těmito body. Podle hloubky

nad měrnými body bylo prováděno jedno dvě nebo tři měření ve svislici ve výškách 0,2H,

0,4H a 0,8H nade dnem. Program DASYLab v průběhu jednoho měření s danou frekvencí

vypočítává složky rychlosti ve směru osy x a y. Po ukončení měření do textového souboru

6 Fyzikální model

- 56 -

uloží údaje o průměrných hodnotách a chybě. Měření sondou byla prováděna v souřadném

systému modelu (viz Obr. 6.2). Zaměřené příčné profily se odklání od osy y každý o jistý

úhel ß. Proto bylo třeba změřené složky rychlosti přepočítat do směru kolmého na rovinu

profilu (vypočíst složku u) a do vodorovného směru v rovině profilu (složka w). K výpočtu

svislicových rychlostí U bylo následně použito vzorců známých

z hydrometrování (lit. [15]):

( )200480 uu2u4

1U ,, ++= , (6.1a)

( )2080 uu2

1U ,, += , (6.1b)

40uU ,= , (6.1c)

podle počtu měření ve svislici. Pro výpočet příčné rychlosti V bylo použito vzorců

analogických.

Měření bylo v profilech PR6, 8, 10, 13, 16, 19, 21, 23, 25 a PR27. Na obrázku 6.3

jsou graficky znázorněny výsledky pro profily PR 16, 19, 23 a 25. I když bylo měření

prováděno jako předběžné, a síť měřených bodů je hrubá, lze dobře pozorovat směr

příčného proudění. S tím, jak se zužují bermy, dochází k přetékání vody mezi sekcemi.

Protože levá berma se zužuje rychleji, převládá rychlost V ve směru zleva doprava. U

svislicových rychlostí U lze pozorovat zvýšení rychlostí v kynetě. Vzhledem k velikosti

rychlostí je však navýšení poměrně malé, Proudění napříč profilem lze považovat za téměř

homogenní. Důvodem je stejná drsnost v bermách i v kynetě. Relativní hloubka v profilech

*H (viz rce. (2.3)) je přibližně 0,5. Značná homogenita proudění je tedy v souladu

s Ackersovým průběhem COH (Obr. 2.3).

Pro vyvolání efektu proudění složeným korytem je tedy třeba zvýšit drsnost berm.

6 Fyzikální model

- 57 -

Obr. 6.3: Svislicové rychlosti měřené elektromagnetickou sondou. Pohled po vodě.

6 Fyzikální model

- 58 -

6.4 Stanovení drsnosti sítě ENKAMAT® Pro zvýšení drsnosti berem bylo použito prostorové syntetické geotextilní sítě

ENKAMAT (Obr. 6.4) firmy Geosyntetika. Geotextilie se vyrábí v různých tloušťkách, pro

zdrsnění byla použita ta nejmenší – 10 mm. K betonovému povrchu byla síť připevněna

bodově prostřednictvím silikonového tmelu.

Obr. 6.4: Syntetická polyamidová geotextilie ENKAMAT®.

Protože s použitím tohoto materiálu pro zdrsňování povrchu hydraulických modelů

nebyly velké zkušenosti, bylo třeba před měřením nerovnoměrného proudění stanovit jeho

hydraulicku drsnost. Kromě toho bylo potřeba stanovit polohu hydraulického dna. Enkamat

je řídká síť, mezi jejími vlákny může do jisté míry proudit voda. Jejím nalepením na dno se

poloha dna jistě zvýší, ne však o plnou tloušťku geotextilie. Proto byla provedena měření

na malém (tzv. Studentském) žlabu Vodohospodářské laboratoře ČVUT.

č. měření Q hl t Ie v λ n

[-] [l/s] [cm] [°C] [%] [m/s] [-] [-]

1 9,71 24,41 17,50 0,036 0,15907 0,092 0,023

2 10,51 9,98 18,00 0,251 0,4212 0,062 0,017

3 9,71 14,95 18,30 0,065 0,2598 0,052 0,016

4 9,57 19,63 18,50 0,039 0,1949 0,062 0,018

5 5,10 6,24 18,50 0,405 0,3267 0,124 0,023

6 5,03 9,74 18,70 0,071 0,2065 0,071 0,019

7 4,91 14,54 19,00 0,029 0,1352 0,083 0,021

8 2,00 4,12 19,00 0,334 0,1947 0,214 0,029

9 1,97 6,96 19,00 0,046 0,1132 0,126 0,024

10 14,63 10,51 19,50 0,492 0,5568 0,071 0,019

11 14,45 14,50 19,50 0,165 0,3986 0,055 0,017

12 14,15 19,96 19,50 0,067 0,2836 0,050 0,016

13 20,21 12,60 20,00 0,580 0,6415 0,069 0,019

14 20,27 19,97 20,00 0,129 0,4061 0,047 0,016

15 28,06 15,13 20,50 0,644 0,7420 0,063 0,018

16 28,44 19,98 20,50 0,248 0,5695 0,046 0,016

17 47,52 19,18 20,50 0,559 0,9911 0,034 0,013

18 47,52 26,07 20,50 0,239 0,7291 0,030 0,013

Tab. 6.1: Vyhodnocení měření průběhu hladin při určování hydraulické drsnosti geotextilie

6 Fyzikální model

- 59 -

Obr. 6.5: Průběhy hladin a čar energie při měření hydraulické drsnosti geotextilie. Měření na

„Studentském žlabu“.

6.4.1 Popis měření

Měrný žlab obdélníkového průřezu je ve dně široký 250 mm. Na jeho dno byla

v délce 3 m nalepena geotextilní síť. Měření byla prováděna pro řadu průtoků a hloubek

(viz Tab. 6.1), pro každou kombinaci byl hrotovým měřítkem zaměřen profil hladiny (11

hodnot ve vzdálenostech po 30 cm). Použitý žlab bohužel není sklopný, jeho dno je

vodorovné, jednalo se tedy o nerovnoměrné prodění. Žlab má svůj vlastní hydraulický

6 Fyzikální model

- 60 -

okruh poháněný dvěma čerpadly. Průtok byl přibližně nastavován pomocí šoupěte a

přesněji pomocí uzávěru na obtoku. Měřen byl Thomsonovým přelivem se známou měrnou

křivkou. Odečet polohy hladiny horní vody byl prováděn hrotovým měřítkem ve skleněném

válci spojeným s horní vodou přes fluktuace tlumící prvek. Přibližná hloubka proudění byla

nastavována regulačními žaluziemi na konci žlabu. Průběžně byla rtuťovým teploměrem

měřena teplota, pro kterou byla při vyhodnocení počítána kinematická viskozita.

6.4.2 Vyhodnocení

Pro každý bod průběhu hladiny byla vypočtena hloubka s ohledem na zvýšenou

polohu hydraulického dna. Byla vypočtena průtočná plocha a rychlostní výška. Takto

získané rychlostní výšky byly přičteny k zaměřenému podélnému profilu za účelem získání

průběhu čáry energie. V čarách energie byla zjištěna významnější křivost (křivka snížení)

jen u jednoho či dvou měření, proto bylo upuštěnou od výpočtu nerovnoměrného proudění

(Obr 6.5). Čáry energie byly s uspokojivou přesností proloženy přímkou. Sklon přímky byl

prohlášen za sklon čáry energie odpovídající rovnoměrnému proudění při průměrné

hloubce na měřeném úseku. Pro tuto hloubku H a sklon Ie byly následně určeny všechny

příslušné celoprofilové charakteristiky průtočného profilu O, R, S, v2/2g, n a f s použitím

rovnic Manningovy a Darcy-Weisbachovy

g2R

1fI

2

e

v= , (6.2)

Protože geotextilie byla nalepena pouze na dno žlabu, část omočeného obvodu

tvořil povrch hydraulicky hladkých skleněných stěn.

dnostěna OOO += , (6.3)

Pro hydraulické poloměry platí:

dnodnostěnastěnadnostěna ROORSSS +=+= , (6.4)

Aby bylo možné oddělit ztráty třením o dno a o stěny, je třeba zavést Einsteinovy

předpoklady:

− Hydraulický sklon je pro obě oblasti stejný dnoestěnae II ,, = (a)

− Průřezové rychlosti jsou v obou oblastech stejné vvv == dnostěna (b)

Pro stanovení drsnostního součinitele dnof dna bylo použito rovnice Colebrook-Whiteovy

pro otevřená koryta:

6 Fyzikální model

- 61 -

+−=

dnodnodno f4

093

H2712

kLog032

f

1

Re

,

,, , (6.5)

νdno

dno

RvRe = , (6.6)

Pro stanovení drsnostního součinitele stěnaf stěny bylo použito obecného vztahu Blasiusova

pro proudění nad hydraulicky hladkým povrchem:

bstěna

af

Re= , (6.7)

νstěna

stěna

RvRe = , (6.8)

Při platnosti Einsteinových předpokladů vyplývá z porovnání Darcy-Weisbachovy rovnice

pro dno a stěnu vztah:

dno

stěnadnostěna f

fRR = , (6.9)

Dále bylo každé měření zpracováno následovně:

1) Odhad hydraulického poloměru příslušejícího stěně Rstěna

2) Výpočet hydraulického poloměru příslušejícího dnu (6.4)

3) Výpočet Re stěny a dna (4.6) a (4.8).

4) Výpočet třecího součinitele stěny a dna (4.5) a (4.7).

5) Výpočet hydraulického poloměru Rstěna z rovnice (6.9)

6) Nalezení řešení, kdy se odhad Rstěna v bodě 1) rovná výpočtu v bodě 5) (řešeno

iterativním postupem)

7) Výpočet hydraulického sklonu Ie z (6.2)

8) Výpočet kvadrátu relativní chyby 2ε vypočteného sklonu vzhledem

k měřenému sklonu

9) Součet kvadrátů ∑ 2ε

Přitom parametry všech výpočtů byly:

- hydraulická drsnost k dna

- poloha hydraulického dna nad pevným dnem

- koeficienty Blasiusovy rovnice a a b

Ve výpočetním nástroji MATLAB byl vytvořen program pro nalezení optimální kombinace

hodnot těchto parametrů. Optimalizačním kritériem byla hodnota ∑ 2ε , kterou bylo třeba

minimalizovat.

6 Fyzikální model

- 62 -

Výsledky optimalizace jsou následující:

- hydraulická drsnost dna k = 0,042 m

- poloha hydraulického dna nad pevným dnem je jen 0,002 m

- koeficienty Blasiusovy rovnice a = 0,56, b = 0,322.

Na obrázku 6.6 jsou v logaritmickém měřítku vyneseny dvojice hodnot Ie,měřenéa

Ie,počítané pro optimální variantu parametrů. Podobným postupem jako hydraulická drsnost

k byla stanovena Manningova drsnost n. Optimální hodnoty byly ndno = 0,0256, nstěny =

0,0081. Minimální hodnota kritéria ∑ 2ε však vyšla v optimu podstatně větší, než pro

hydraulickou drsnost. To dokazuje, že hydraulická drsnost je lepším drsnostním

parametrem než Manningova.

Obr. 6.6: Porovnání měřeného a vypočteného sklonu při optimálních parametrech drsnosti, polohy

hydraulického dna a koeficientech Blasiusovy rovnice. Kolečka – měření s geotextilií; trojúhelníky – doplňující data z měření bez geotextilie na dně žlabu.

6.5 Měření rychlostních profilů metodou UVP Měření rychlostí metodou Ultrasonic Velocity Profiling (UVP) patří mezi

náročnější postupy. Ovládání zařízení a přizpůsobení všech parametrů měření daným

podmínkám vyžaduje po obsluze jisté zkušenosti. Měření proto bylo prováděno ve

spolupráci a s podporou Ing. Vojtěcha Bareše, PhD a Ing. Jakuba Jiráka, zaměstnanců

Katedry zdravotního inženýrství ČVUT, které měřící technika patří. Oba se práci s UVP

dlouhodobě věnují a s použitím již částečně připravených skriptů nástroje MATLAB

provedli i základní zpracování dat do podoby rychlostí ve směru os jednotlivých sond (viz

dále).

6 Fyzikální model

- 63 -

6.5.1 Princip metody UVP

Fyzikální princip metody je založen na měření rychlosti Dopplerovým jevem. Při

měření je z čela sondy vyslán vysokofrekvenční zvukový impuls. Vzápětí se sonda přepne

z vysílacího režimu do přijímacího. Impuls se šíří prostřením rychlostí zvuku. Pokud se

v měřeném médiu vyskytují částice, dojde na nich k odrazu a část vyslaného signálu se

vrací zpět k sondě. Ta odražené zvukové vlny zaznamená a následně dojde k vyhodnocení:

1) vzdálenosti částice od čela sondy v okamžiku odrazu signálu na základě doby, kterou

signál od svého vyslání potřeboval k překonání vzdálenosti k částice a zpět,

2) rychlosti částice na základě dopplerovského posunu frekvence přijatého signálu

vzhledem k vyslanému.

Z uvedeného principu vyplývá, že nelze měřit rychlost v absolutně čistém médiu. Ve vodě

musí být přítomny odrazné částice přirozeně, jinak musí být přidávány uměle. Sonda

nemůže měřit rychlosti ve své bezprostřední blízkosti, neboť přepnutí sondy z vysílacího

režimu do přijímacího jistou dobu trvá. Odražené signály, které se vrátí před uplynutím této

doby, nemohou být zaznamenány (odsazení začátku měřícího okna od čela sondy). Jednou

sondou UVP lze měřit pouze velikost kolmého průmětu vektoru bodové rychlosti do směru

osy sondy.

Velkou výhodou metody UVP je její neinvazivnost. Ultrazvukové vlny dokážou

pronikat i skrze pevné materiály, které tvoří stěny potrubí nebo žlabů, pokud se ovšem

nejedná o materiály s velkou mírou absorpce a rozptylu pro použitou frekvenci signálu. Na

rozdíl od LDA ji lze použít i pro měření rychlosti neprůhledných médií. Druhou velkou

výhodou UVP oproti jiným metodám je schopnost najednou změřit bodové rychlosti ve

velkém množství bodů podél určité úsečky (měřícího okna). Rychlostní profil svislice tak

lze získat jedním měřením namísto opakovaných měření s posunem podle osy z, jak tomu

bylo u EMS.

Nevýhodou metody je poněkud vyšší náročnost na zpracování primárních dat.

V odražených signálech se mohou vyskytovat šumy a odrazy, které měření zkreslují. Pokud

se je nedaří eliminovat nastavením parametrů měření, musí být ze získaných dat odstraněny

filtry.

6.5.2 Rozsah měření

Měření svislicových rychlostí bylo provedeno v šesti vybraných příčných profilech

PR7, PR10, PR15, PR20, PR23 a PR26 (viz Obr. 6.2) pro jednu hodnotu průtoku

Q = 48,8 l/s. Cílem měření bylo zmapovat průběh svislicových rychlostí v příčném profilu

6 Fyzikální model

- 64 -

za účelem porovnání s předpovědí výpočetních metod, především LDM. Proto byl vybrán

menší počet profilů z různých částí měřeného úseku modelu. Nebylo tak možné získat

rychlostní pole v celé oblasti, ale bylo možno se o to více věnovat proměření rychlostního

pole jednotlivých příčných profilů. V každém z nich byly souřadnicemi x a y definovány

svislice, ve kterých se má měření provést. Svislice byly voleny v konstantní vzdálenosti 50

mm. Jejich poloha byla vyznačena i na dně koryta. Vzdálenost svislic byla zvolena tak, aby

bylo možno s přijatelnou přesností interpolovat získané rychlosti i do prostoru mezi

měrnými svislicemi a získat tak v rovině profilu proudové pole.

Pro každou svislici byla provedena měření ve třech směrech, aby z nich bylo možné

rekonstruovat všechny tři složky rychlostí. Sondy jsou označeny PO, PRO a RAD pro směr

měření po proudu, proti proudu a ve směru příčného profilu, tj. kolmo na směr proudu.

Každé měření probíhalo 100 sekund a při vzorkovací frekvenci 20 Hz bylo při jednom

měření získáno 2000 rychlostní profilů.

6.5.3 Popis měřícího zařízení a průběhu měření

K měření byl použit přístroj Ultrasonic Velocity Profile Monitor (Met-Flow, S.A.),

propojený s osciloskopem s integrovaným počítačem typu PC. Osciloskop umožňoval

sledovat kvalitu signálu, data byla ukládána v binárních souborech na disk počítače.

Protože s ohledem na elektromagnetické rušení signálu musí být délka kabelů sond co

možná nejkratší, byl UVP Monitor umístěn na lavičce připevněné k příčnému nosníku

pojezdu a spolu s ním se při měření pohyboval. Osciloskop byl umístěn na pevném

pracovišti a s Monitorem byl propojen kabely BNC a síťovým.

Pro účely měření rychlostí v otevřeném korytě bylo třeba vyrobit speciální uchycení

sond (viz. příloha II). Požadavky na uchycení byly následující:

- uchycení s pojezdem musí umožňovat pohyb ve všech třech směrech.

- musí být možné jej otáčet kolem svislé osy z, měřit odklon od souřadné osy modelu y a

provádět tak měření ve směrech lokálního souřadného systému příčných profilů

- uchycení musí fixovat sondy v definované vzájemné poloze a v odklonu osy sond od osy

z v úhlu 25°.

- uchycení sond musí umožnit překonání „mrtvého“ (neměřitelného) prostoru před čelem

sond a měření již od úrovně hladiny.

Uchycení sond je vyrobeno z novodurové základny, na kterou je kolmo připevněna nosná

hliníková trubka. Trubka je otočná podle osy z a lze ji ve směru osy z posouvat s odečtem

polohy na 0,1 mm. Zespodu je na základnu připevněna tzv. lodička. Tvoří ji dvě postranice

6 Fyzikální model

- 65 -

vyrobené z plexiskla, mezi kterými je vypnuta blána z potravinářské folie. Základnou

prochází čtyři otvory. Tři jsou vyvrtány přesně ve sklonu 25° od osy z, mají světlost

odpovídající průměru sond a slouží k jejich přesné fixaci. Čtvrtý otvor je v ose nosné

trubky. Uvnitř nosné trubky je laserové ukazovátko. Pomocí stavěcích šroubů je ustaveno

tak, aby jeho paprsek ležel přesně v ose z, procházel otvorem v základně, vodou v lodičce,

folií a označoval polohu sond na dně koryta.

Sondy jsou do prostoru lodičky zasunuty tak, aby byl „mrtvý“ prostor překonán

ještě v lodičce, nad úrovní hladiny v korytě. Voda v lodičce zajišťuje přenos signálu od čela

sond. Protože se signál nešíří vzduchem, musí být čela sond ponořeny pod hladinu.

Potravinářská fólie umožňuje udržet rozdíl hladin v lodičce a korytě. Z možných materiálů

se ukázala jako ideální z hlediska nízké pohltivosti signálu a omezení vzniku nežádoucích

odrazů a šumů. Její nevýhodou je náchylnost k nalepování nečistot z vody, které potom

negativně ovlivňují měření. Folii bylo zespoda třeba často otírat, což ukázalo na její druhou

nevýhodu – náchylnost ke snadnému mechanickému poškození.

Ukázalo se, že pro zajištění kvalitního měření bude potřeba dávkovat do vody

odrazné částice. Peristaltická čerpadla čerpající ve vodě rozmíchané částice byla svou

kapacitou nedostačující. Nakonec byly částice dávkovány do proudu před sondy pístovým

čerpadlem. Částice byly dodávány z nádrže o objemu cca 500 l, vybavené motorovým

míchadlem pro udržení částic ve vznosu. Pro jejich důkladné rozptýlení po hloubce proudu

byl ke konci přívodní hadice připojen podélně perforovaný nástavec, který zasahoval od

hladiny ke dnu. Nástavec byl umístěn na samostatném pojezdu cca 2 m před pojezdem

s měřícím zařízením.

Postup měření probíhal tak, že se s pomocí laseru ustavil pojezd s uchycením sond

nad měřenou svislici. Lodička se sondami se natočila podél osy z tak, aby sondy PO a PRO

měřily v rovině kolmé na rovinu příčného profilu a sonda RAD v rovině příčného profilu.

Poté se dno lodičky spustilo k hladině a zaznamenalo se čtení na měřítku uchycení sond.

Ponoření lodičky bylo nastaveno co nejmenší, aby nedocházelo k příliš velkému ovlivnění

proudění pod ní. Postupně byla provedena všechna tři měření a pojezd se přesunul nad další

svislici. Měření metodou UVP bylo doplněno zaměřením podélného profilu hladiny v ose

kynety a v měřených příčných profilech i zaměření příčného profilu hladiny.

6.5.4 Zpracování výstupů měření

Data předaná k vyhodnocení měla formu matic průmětů bodových rychlostí do

směru os sond a byla uložena v datovém souboru programu MATLAB. Každý profil byl

6 Fyzikální model

- 66 -

určen třemi maticemi měření M (pro každou sondu jedna): MPO, MPRO a MRAD. Sloupec

matice odpovídal měření nad jednou svislicí. V každém sloupci byly známy lokální

souřadnice y´horní a zhorní prvního horního a y´dolní a zdolní posledního dolního změřeného

(platného) bodu a dále počet změřených bodů mezi těmito dvěma (Obr. 6.7). Body

měřícího okna, které ležely pod úrovní dna, byly v maticích MPO, MPRO a MRAD

reprezentovány hodnotou NaN (žádné číslo).

Obr. 6.7: Měření sondami PO, PRO a RAD. Přepočítání ze souřadnic y´, z do společných bodů o

souřadnicích yínt a zint..Nahoře pohled ve směru osy y´ lokálního souřadného systému, Dole pohled ve směru osy x´ lokálního souřadného systému.

6 Fyzikální model

- 67 -

K vyhodnocení dat byl napsán skript pro výpočetní nástroj MATLAB. Vyhodnocení

bodových rychlostí proběhlo v následujících krocích:

1) Pro každou sondu byly sestaveny matice Y a Z (dohromady tedy šest matic)

souřadnic y´ a z bodů, ve kterých byly změřeny hodnoty v maticích M.

2) Byly sestaveny dvě matice Yínt a Zint souřadnic y´ a z.

3) Pro každou sondu byla provedena 2D lineární interpolace hodnot matic M ze

souřadnic Y a Z do společných souřadnic Yínt a Zint. Tím se získala pro každou

sondu matice Mint interpolovaných měření. Souřadnice x´měřených bodů se u sond

PO a PRO stále ještě liší a jsou různé od nuly (měření vybíhají mimo rovinu

profilu). Zde nezbylo než předpokládat, že rozdíly rychlostí jsou na vzdálenosti x´

zanedbatelné. Nyní byly známy průměty rychlostí do směrů os sond pro každý bod

definovaný souřadnicemi yínt a zint; x´=0

4) V každém bodě yínt a zint; x´=0 byly vypočítány složky rychlostí u a w. Při sklonu

ϕ osy sond od svislice lze odvodit následující vztahy (viz. Obr. 6.8):

ϕsin

PROPO

2

1u

−= , (6.10)

ϕcos

PROPO

2

1w

+−= , (6.11)

( )

ϕsin

RADPROPO2

1

v−+

= , (6.12)

kde PO, PRO a RAD jsou kladné při pohybu ve směru od čela sondy. Rychlosti

získané tímto způsobem jsou v příloze III.

Obr. 6.8: Rozklad rychlosti do složek u, v a w. Způsob promítání rychlosti do směrů PO, PRO a RAD.

Červeně je vyznačen průmět vektoru bodové rychlosti do příslušné roviny.

Sklon ϕ je tedy důležitý parametr z hlediska vyhodnocení. Protože sondy měří

průmět rychlosti do osy signálu, zvyšuje se s odklonem přesnost stanovení složek rychlosti

6 Fyzikální model

- 68 -

ve vodorovné rovině (u a v). Zároveň se ovšem zvětšuje chyba vzniklá zanedbáním x´

v kroku 3). °= 25ϕ je dobrým kompromisem mezi oběma hledisky.

Dále bylo potřeba získat z bodových rychlostí rychlosti svislicové. Zároveň bylo

počítáno Coriolisovo číslo svislice sα . Na závěr byl vypočten celkový průtok a

Coriolisovo číslo pro celý profil. Postup byl následující:

1) Zaměřený polohy hladiny v příčném profilu byly proloženy přímkou. V zakřivené

části měřeného úseku se projevilo mírné sklonění hladiny směrem do středu

křivosti. Poloha hladiny ve vyhodnocované svislici se získala z rovnice proložené

přímky.

2) K integraci bodových rychlostí po svislici bylo použito Simpsonovo pravidlo (3.43).

Aby bylo možno provést integraci po celé hloubce, byla hladině přiřazena rychlost

nejblíže níže ležícího bodu. Dnu byla přiřazena rychlost nulová. Vydělením

výsledku integrace rychlostí u a v hloubkou H se získaly svislicové rychlosti U a V.

3) Coriolisovo číslo svislice bylo získáno rovněž s použitím numerické integrace.

∫=w

b

z

z

3

3s dHuH

1

Uα (6.13)

4) Na příčném profilu byla definována síť svislic vzdálených od sebe 1 mm. Do každé

z nich byla lineárně zinterpolována hodnota U, přičemž krajním bodům profilu byla

přiřazena nulová rychlost. Dále byla v každé zjištěna hloubka H a vypočten měrný

průtok q. Výsledný průtok Q byl získán numerickou integrací q po šířce profilu.

5) Coriolisovo číslo celého profilu se získalo pomocí rovnice (4.24).

Na obrázku 6.9 je porovnání průtoků vypočtených pro jednotlivé profily z měření

UVP a průtoku měřeného Thomsonovým přelivem. Dobrá shoda potvrzuje spolehlivost

měření UVP a správnost postupu vyhodnocení. Výsledky měření na fyzikálním modelu

jsou shrnuty v tabulce 6.2. Podélný sklon čáry energie je v každém profilu vypočten jako

sklon přímky, kterou jsou proloženy polohy čáry energie ve dvou nejbližších profilech.

Tento veličina je všech v tabulce uvedených nejméně spolehlivá.

V příloze III jsou příčné profily s vynesenými bodovými rychlostmi u a v. Ji vidět,

že převládá příčné proudění vlivem změny geometrie mezi profily. Příčné proudění směřuje

směrem do kynety spolu s tím, jak se zužují bermy a potlačuje tak vznik příčných proudů

charakteristických pro rovnoměrné proudění ve složeném krytě (viz Obr. 1.2).

6 Fyzikální model

- 69 -

Obr. 6.9: Porovnání průtoků změřených na Thomsonově přelivu a průtoků vypočtených z měření

rychlostí UVP.

profil staničení průtok kóta

hladiny kóta čáry energie

sklon čáry energie

součinitel kinetické energie

[-] [m] [m3/s] [m] [m] [-] [-]

PR7 0,002824 0,0487 0,34866 0,35909 0,00150 1,60

PR10 0,004293 0,0493 0,3502 0,36129 0,00205 1,65

PR15 0,005732 0,0490 0,3534 0,36505 0,00225 1,92

PR20 0,006947 0,0490 0,35624 0,36725 0,00137 1,48

PR23 0,008416 0,0473 0,36112 0,36873 0,00110 1,60

PR26 0,009928 0,0489 0,364925 0,37054 0,00119 1,44

Tab. 6.2: Vyhodnocení měření průběhu hladin a svislicových rychlostí na fyzikálním modelu

7 Porovnání měření s výpočty

- 70 -

7 Porovnání měření s výpočty Vybrané metody výpočtu proudění složenými koryty byly použity v metodě po

úsecích k výpočtu průběhu hladiny na fyzikálním modelu. Cílem bylo porovnat předpověď

rozdělení svislicových rychlostí a podélného profilu hladiny s měřením.

7.1 Porovnání v příčném profilu 7.1.1 Stanovení průtoku

S použitím změřených hodnot kóty hladiny a sklonu čáry energie dle tabulky 6.2

byly pro každý profil vypočteny odpovídající průtoky. Relativní srovnání průtoků

vypočtených jednotlivými metodami vzhledem k měřenému průtoku je v obrázku 6.10. Je

zřejmé, že žádnou z metod nelze prohlásit za jednoznačně lepší než ostatní. SCM podle

očekávání podhodnocuje průtok. SSGM a DZD jej nadhodnocují. Rovněž DCM1 a tedy i

DCM2 spíše nadhodnocují průtok. DCM3, AEM a LDM se však pohybují v pásu stejných

relativních nepřesností 85~125%, přičemž nelze říci ani to, že by jedna z nich dávala

systematicky větší či menší průtok než druhá. Při vyvozování závěrů z obrázku 6.11 je

třeba mít na zřeteli skutečnost, že výpočet byl proveden pro sklon čáry energie, v jehož

určení je poměrně velká nejistota.

Obr. 6.10: Relativní porovnání předpovědí průtoku s průtokem měřeným.


- 71 -

7.1.2 Stanovení profilu svislicových rychlostí

Pro stejné hodnoty polohy hladiny a sklonu čáry energie byly provedeny výpočty

rozdělení průtoku napříč profilem. Na obrázku 6.11 je výstup v podobě svislicových

rychlostí pro profil PR20. Je vidět, že nejvíce se změřený rychlostem blíží výpočet

metodou LDM a AEM. Přitom vzájemné porovnání výpočetních metod vede ke stejným

závěrům jako na fiktivním profilu (kapitola 5). Rozdíly v absolutních hodnotách rychlostí

odráží rozdíly v průtoku zmíněné v předchozím odstavci. Jsou tedy zatíženy stejnou

nejistotou.

Obr. 6.11: Výpočet svislicových rychlostí při změřené poloze hladiny a sklonu čáry energie.

Zajímavější a co se týká závěrů spolehlivější je porovnání tvaru rychlostních

profilů. Přitom je možné použít na výstupy metod dělících průtok do sekcí proužkovou

metodu, aby byl průběh plynulejší. Grafické srovnání lze nalézt v příloze IV. Aby bylo

možné rozdělení průtoku lépe porovnávat, jsou svislicové rychlosti normovány tak, aby po

integraci napříč profilem dávaly hodnotu měřeného průtoku. Protože se ukázalo, že (stejně

jako na fiktivním profilu) jsou po uvedené úpravě tvary rychlostních profilů všech metod

kromě LDM téměř stejné, je uváděn jen průběh získaný AEM. Ze všech obrázků

uvedených v příloze je na první pohled zřejmé, že metoda LDM dává podstatně lepší

průběh než AEM a tedy i metody ostatní. Pro profil PR7 bylo dosaženo v podstatě

shodného tvaru vypočteného rychlostního profilu s měřeným. Nejvíce se LDM odchyluje

od měřeného průběhu v příčném profilu PR26, kde však zřejmě ještě není zcela vyvinuto

proudění odpovídající složenému korytu. I v některých dalších profilech činí místní rozdíl

v normované rychlosti LDM až desítky procent, nicméně ostatní metody se v takových

místech mýlí v řádu stovek procent. Přitom největší nepřesnosti se u LDM vyskytují

v místech s nejsilnějším příčným prouděním v důsledku změny geometrie koryta. Zvlášť


- 72 -

dobře to lze pozorovat u profilu PR15, kde je rychlejší proud z kynety odnášen příčným

proudem nad levou bermu. Nepřesnosti jsou nutným důsledkem skutečnosti, že LDM byla

kalibrována na datech získaných za podmínek rovnoměrného proudění. Z porovnání

s ostatními metodami se však ukazuje opodstatnění jejího použití pro předpověď rozdělení

svislicových rychlostí i při proudění nerovnoměrném.

7.1.3 Stanovení hodnoty součinitele kinetické energie

S rozdělením průtoku po ploše profilu přímo souvisí Coriolisovo číslo profilu. Lze

ho považovat za míru homogenity proudění, podobně jako koherenci COH (rovnice (2.2)).

V grafu na obrázku 6.12 jsou součinitele kinetické energie vypočítané pro tvary

rychlostních profilů stanovených výpočetními metodami a pro rychlostní profily měřené.

Protože hodnota součinitele kinetické energie je nezávislá na absolutní hodnotě rychlostí

(viz definici (4.21)), nepromítnou se do něj nejistoty ve stanovení sklonu čáry energie.

Z obrázku vyplývá jasné nadhodnocování hodnoty součinitele všemi metodami kromě

LDM. Ačkoliv se ani LDM neshoduje měřením, nepřesahuje stejně jako měření hodnotu 2.

U ostatních metod se projevuje velký rozdíl rychlostí v kynetě a bermách, který je hlavním

zdrojem nárůstu Coriolisova čísla. Velikost součinitele stanoveného pro jednotlivé sekce

nepřekračuje ani u jedné z metod hodnotu 1,2.

Obr. 6.12: Součinitel kinetické energie proměřených profilů dle výpočetních metod.


- 73 -

7.2 Porovnání v podélném profilu Okrajovými podmínkami pro výpočet nerovnoměrného proudění byly zaměřená

poloha hladiny v příčném profilu PR6 a měřený průtok. Geometrie byla sestavena ze

zaměřených příčných profilů, na celé délce počítaného úseku byl uvažován konstantní

součinitel zúžení 050zúžení ,=ξ a rozšíření 40rozšíření ,=ξ .

Vypočtené průběhy hladin jsou v příloze V. První obrázek pro variantu, kdy

součinitel kinetické energie je si každá metoda počítá samostatně. Je zřejmé že v při řešení

této úlohy velká hodnota součinitele vede k selhání řešení všech metod kromě LDM.

Příčinou je skutečnost, že součinitel kinetické energie se objevuje ve vztahu pro výpočet

Froudova čísla. Při měřených hloubkách, průtoku a rozdělení rychlostí po profilu je

proudění bezpečně říční (hodnoty Fr2~0,2 – 0,5). V případě, kdy vyjde součinitel kinetické

energie i více než dvakrát větší než je jeho skutečná hodnota (Obr. 6.12), může na jeho

základě stanovená hodnota Fr snadno dosáhnout jedné. Všechny výpočetní metody kromě

LDM tedy na řešeném úseku předpokládají přechod mezi bystřinným a říčním prouděním,

což je v rozporu s pozorováním i měřením. Pouze výpočet s použitím LDM dospěl až do

horního profilu.

Obr. 6.13: Relativní srovnání vypočtených rozdílů hladiny na řešeném úseku vzhledem k měřenému.

Pro variantu se součinitelem kinetické energie podle měření a pro variantu s konstantní hodnotou součinitele kinetické energie.

Druhý podélný profil v příloze je pro variantu, kdy součinitel kinetické energie je

zadán konstantní hodnotou 1,2. Nakonec třetí podélný profil je pro variantu, kdy je do

ostatních profilů součinitel kinetické energie interpolován z vypočtených hodnot

v proměřovaných profilech. Ačkoliv se hodnoty součinitele v těchto dvou variantách liší

podstatně méně, než v porovnání s první, i zde má jeho různá hodnota zřetelný vliv na

průběh hladin. V daném případě dokonce vliv srovnatelný s rozdíly mezi samotnými


- 74 -

výpočetními metodami (Obr. 6.13). Vzájemné porovnání výsledného rozdílu hladin na

řešeném úseku použitých metod plně odpovídá závěrům učiněným při řešení na fiktivním

profilu: kromě SCM dává největší rozdíl hladiny AEM, potom DCM3 a LDM, nejmenší

rozdíl potom vychází při výpočtu metodou SSGM.

Z uvedeného vyplývá význam přesného určení Coriolisova čísla pro výpočet

nerovnoměrného proudění. Pokud mu při výpočtu proudění ve složeném profilu s použitím

běžných výpočetních metod není věnována náležitá pozornost, může vést výpočet

k chybným výsledkům. Oproti tomu LDM poskytuje hodnotu Coriolisova čísla podstatně

spolehlivější a to bez nutnosti aplikace proužkové metody či jiného podobného postupu.

Ukazuje se tedy, že pro použití metody LDM ve výpočtu nerovnoměrného proudění

svědčí spíše schopnost lepší předpovědi součinitele kinetické energie, než schopnost lepší

předpovědi třecích ztrát, kterou se v řešeném případě ani nepodařilo jednoznačně prokázat.

7.3 Porovnání rozsahu AZZU Pokud se aktivní zóna záplavového území definuje jako oblast, která provádí 80%

celkového průtoku, je třeba k jejímu stanovení znát rozdělení rychlostí napříč profilem.

V obrázku 6.14 je porovnání rozsahu AZZU získaného z měřených dat, výpočtem LDM a

výpočtem SSGM. Jak už bylo uvedeno, tvar rychlostního profilu metod vyjma LDM je

prakticky stejný, tedy i rozsahy AZZU jsou shodné s rozsahem SSGM. Je zřejmé, že díky

hladšímu průběhu svislicových rychlostí se metoda LDM skutečnému rozsahu blíží

podstatně více, než SSGM. Přitom při dané hladině bude stanovený rozsah pro různé

průtoky stejný, takže jej lze pomocí LDM určit i v případě, kdy je průtok vypočten jiným

způsobem, změřen, nebo dokonce vůbec není znám.

Obr. 6.14: Rozsah oblasti provádějící 80% celkového průtoku dle výpočtu LDM, SSGM a dle měření.

Závěr

- 75 -

8 Závěr Byly navrženy varianty numerického řešení řídící rovnice LDM metodou sítí a

metodou konečných prvků. Oba postupy vedou k řešení soustavy rovnic a dávají shodné

výsledky. Vzhledem k větší volnosti při tvorbě výpočetní sítě bylo jakožto výhodnější

varianta zahrnuto řešení metodou konečných prvků do výpočetního programu, který

prostřednictvím grafického rozhranní umožňuje provádění a porovnávání výpočtů

rovnoměrného i nerovnoměrného proudění a předpovědí rozdělení svislicových rychlostí

napříč profilem jak metodou LDM, tak dalšími vybranými a běžně používanými metodami.

Výpočetní metody byly vzájemně porovnány na fiktivním profilu a následně i vzhledem

k datům získaným s použitím metody UVP na fyzikálním modelu složeného koryta při

nerovnoměrném proudění.

Porovnáním změřeného průběhu hladiny s vypočtenými průběhy se nepodařilo

prokázat lepší předpověď ztrát třením u metody LDM. Rozdíly mezi výpočty jednotlivými

metodami nebyly velké a výsledky jsou ovlivněny dalšími faktory, jako jsou například

místní ztráty a částečně i nejistota v přesném určení drsností. S jistotu lze označit za méně

spolehlivé metody dělící profil do velkého počtu sekcí bez zahrnutí jejich vzájemné

interakce (SSGM, DZD), které mají tendenci nadhodnocovat kapacitu profilů (u

podhodnocovat vzdutí). Podhodnocení průtoku při výpočtu složeného profilu jako

jednoduchého (SCM) je výsledek očekávaný. LDM dává podobné výsledky jako

Ackersova metoda (AEM) a metoda klasického dělení do tří sekcí s náhradní drsností svisli

(DCM3), kde je však výsledek závislý právě na určení náhradní drsnosti.

Jiná je situace z pohledu rozdělení průtoku napříč profilem. Zde LDM poskytuje

zřetelně odlišné a lepší výsledky než ostatní postupy i po použití proužkové metody. Pokud

je předpověď LDM lepší v otázce určení absolutní hodnoty svislicových rychlostí, v otázce

tvaru rychlostního profilu (tj. relativního rozdělení průtoku napříč korytem) je dosaženo

s některými měřeními téměř úplné shody, což dokládá možnost použití LDM i za podmínek

nerovnoměrného proudění.

Ukazuje se tedy, že LDM lze s výhodou použít především v otázkách, kdy se

zajímáme o rozdělení svislicových rychlostí, například při určení oblasti provádějící určité

procento průtoku pro potřeby stanovení aktivních zón záplavových území. Průtok přitom

může být vypočten LDM, znám z měření, nebo určen jiným způsobem. Kromě toho má

lepší určení tvaru rychlostního profilu dopad i na přesnější stanovení součinitele kinetické

energie a tím i na výpočet průběhu hladiny metodou po úsecích. Podstatnou výhodou LDM

Závěr

- 76 -

je též možnost snadno z řešení odvodit dnové napětí, které je pak vstupním údajem v řadě

dalších úloh říční hydrauliky.

Na závěr je třeba se zmínit o hlavní nevýhodě LDM, totiž o její výpočetní

náročnosti. Při výpočtu nerovnoměrného proudění je v každém kroku třeba nalézt polohu

hladiny iterativním způsobem. V každé iteraci se při použití LDM musí nalézt řešení

soustavy rovnic. To vede i při použití řídké výpočetní sítě a efektivní metody řešení

soustavy k několikanásobnému prodlužení výpočetního času v porovnání s běžně

používanými metodami. Vzhledem k výpočetní náročnosti a omezujícím předpokladům

zavedeným při odvození základní rovnice LDM ji zřejmě nebude možné zahrnout do

efektivního výpočtu neustáleného proudění.

Seznam použitých symbolů

- 77 -

Seznam použitých symbolů:

veličiny:

zyx ,, souřadnice kartézské soustavy [m]

wvu ,, bodové okamžité složky rychlosti ve směrech os x, y,z [m/s]

´´,´, wvu fluktuační složky rychlosti ve směrech os x, y, z [m/s]

wvu ,, fluktuační složky rychlosti ve směrech os x, y, z [m/s]

U, V svislicové rychlosti ve směrech os x, y [m/s]

v průřezová rychlost [m/s]

Q průtok [m3/s]

K kapacita [m3/s]

q měrný průtok [m2/s]

H hloubka [m]

Hmax maximální hloubka v profilu [m]

h hloubka kynety pod úrovní berm [m]

H* relativní hloubka [-]

ρ hustota [kg/m3]

ν kinematická viskozita [m2/s]

tν turbulentní kinematická viskozita [m2/s]

g gravitační zrychlení [m/s2]

I0 sklon dna ve směru osy x [-]

Ie sklon čáry energie [-]

It příspěvek třecích ztrát ke sklonu čáry energie [-]

Ia dodatečný příspěvek vlivem bočního přítoku (EAM) [-]

Iy0 příčný sklon dna [-]

s součinitel příčného sklonu dna [-]

Ia dodatečný příspěvek vlivem bočního přítoku (EAM) [-]

xyτ průměrné tečné napětí ve směru osy x v rovině xz [Pa]

bτ napětí na jednotkové ploše průmětu dna do roviny xy [Pa]

tτ napětí na jednotkové ploše dna [Pa]

n Manningova drsnost [s.m-1/3]

k hydraulická drsnost [m]

f součinitel tření pro otevřená koryta [-]

ml Prandtlova směšovací délka [m]

κ Kármánova univerzální konstanta [-]

U* třecí rychlost [m/s]

λ bezrozměrná viskozita [-]

Γ součinitel příčného proudění pro přímé koryto [N/m2]

Seznam použitých symbolů

- 78 -

Cuv součinitel příčného proudění pro meandrující koryto [-]

σ vlnovitost [-]

S plocha [m2]

O omočený obvod [m]

α součinitel kinetické energie (Coriolisovo číslo) [-]

Z∆ celkové ztráty na úseku [m]

mZ místní ztráty [m]

indexy:

b dno

w hladina

d po hloubce průměrovaná veličina / výraz

mc kyneta (main channel)

fp bermy (flood plain)

ib pod kótou vybřežení (in bank)

ob nad kótou vybřežení (ower bank)

Seznam použité literatury

- 79 -

Seznam použité literatury:

[1] Shiono, K., Knight, D.W. (1991): Turbulent open-channel flows with variable

depth across the channel. J. Fluid Mech. Vol. 222, pp.617 –646.

[2] Bousmar, D. (2002): Flow modelling in compound channels. Ph.D Thesis, UCL.

[3] Navara, M., Němeček, A. (2003): Numerické metody. Vydavatelství ČVUT. ISBN

80-01-02689-2.

[4] Ackers, P. (1991): Hydraulic Design of Straight Compound Channels. Volumes 1

and 2, Report SR 281, HR Wallingford, U.K.

[5] James, C.S., Wark, J.B. (1992): Conveyance Estimation for Meandering

Channels.Report SR 329, HR Wallingford

[6] Abril, J., B., Knight D., W., (2004): Stage-discharge prediction for rivers in flood

applying a depth-averaged model. Journal of Hydraulic Research Vol. 42, No. 6

(2004), pp. 616–629

[7] (2004) Conveyance User Manual – materiály z internetových stránek projektu

anglického DEFRA a HR Wallingford www.river-conveyance.net.

[8] Kolář, V., Patočka, C., Bém, J. (1983): Hydraulika. SNTL Praha.

[9] Ralston, A. (1965): Základy numerické matematiky. Academia, Praha 1978.

[10] Rektorys, K. (2001): Obyčejné a parciální diferenciální rovnice s okrajovými

podmínkami 2. Vydavatelství ČVUT. ISBN 80-01-01611-0

[11] Archer, T. (2001): Myslíme v jazyku C#. Grada 2002

[12] Sharp, J. (2002): Visual C# .NET krok za krokem. Mobil Media 2002. ISBN 80-

86593-27-4

[13] Zaplatílek, K., Doňar, B. (2002): MATLAB pro začátečníky. BEN technická

literatura. 80-7300-175-6

[14] Makovec, R. (1998): Vliv geometrické drsnosti na odpory proudění. Diplomová

práce, Katedra hydrauliky a hydrologie ČVUT.

[15] Kemel, M. (2000): Klimatologie, meteorologie, klimatologie. Vydavatelství ČVUT.

ISBN 80-01-01456-8

Přílohy

- 80 -

Přílohy

Přílohy

- 81 -

I Diferenční náhrady a lineární rovnice variant metody sítí

Varianta 1B:

Náhrady výrazů proměnné U2: (3.33), (3.35) a (3.36).

Náhrady výrazů pomocných proměnných a až e: (3.33) a (3.35).

Tvar výsledné rovnice: (3.37).

Varianta 2B:

Náhrady výrazů proměnné U2: (3.33), (3.34a) a (3.36).

Náhrady výrazů pomocných proměnných a až e: (3.33) a (3.34a).

Tvar výsledné rovnice: (I.1)

( ) 0day

cU

y

eHy

c

ey

Hb

y

c2U

y

eHy

c

y

cU

2

21i

2

2i2

21i

=−+

∆+

∆

−

∂∂

−

∂∂

+−∆

−+

∆

−

∂∂

+∆

−

+

(I.1)

Varianta 2B2:

Náhrady výrazů proměnné U2: (3.33), (3.34a) a (3.36).



Varianta 3B:

Náhrady výrazů proměnné U2: (I.2), (3.34a) a (I.3).

2y 1ii

i++

≈ff

)f( (I.2)

21i1i1i

2

2

y2y ∆

+−−≈

∂

∂ −++ fffff (I.3)

Náhrady výrazů pomocných proměnných a až e: (I.2) a (3.34a).


Přílohy

- 82 -

( ) 0day2

cU

2

ey

Hb

y

eHy

c

y

cU

2

ey

Hb

y

eHy

c

y

cU

y2

cU

2

21i2

2i

2

21i2

22i

=−+

∆+

∂∂

+

−∆

−

∂∂

−∆

−

+

∂∂

+

−∆

−

∂∂

+∆

−+

∆

−

++

(I.4)

Varianta 4B:

Náhrady výrazů proměnné U2: (I.5), (3.35) a (3.36).

3y 1ii1i

i+− ++

≈fff

)f( (I.5)



( ) 0da3

ey

Hb

y2

eHy

c

y

cU

3

ey

Hb

y

c2U

3

ey

Hb

y2

eHy

c

y

cU

2

21i

2

2i2

21i

=−+

∂∂

+

−∆

−

∂∂

−∆

+

∂∂

+

−∆

−+

∂∂

+

−∆

−

∂∂

+∆

−

+

(I.6)

Přílohy

- 83 -

II Uchycení sond

Přílohy

- 84 -

III Rozdělení rychlostí u a v v průtočném profilu – pohled proti vodě

Přílohy

- 85 -

Přílohy

- 86 -

Pozn.: Barevně jsou vykresleny izotachy rychlosti u ve směru proudu, vodorovné šipky

znázorňují rychlosti v (příčné proudění).

Přílohy

- 87 -

IV Vypočtené a měřené svislicové rychlosti U – pohled po vodě

Přílohy

- 88 -

Pozn.: norm – průběhy normované tak, aby se jejich integrací získal skutečný průtok.

Přílohy

- 89 -

V Výpočet nerovnoměrného proudění – průběhy hladin

Přílohy

- 90 -

Date post:	10-Dec-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	2 times
Download:	0 times

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZEhydraulika.fsv.cvut.cz/Hydraulika/vyzkum/nejistoty/... ·...

Documents