Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce Petr Hasil Pˇ redn´ aˇ ska z matematiky Podpoˇ reno projektem Pr˚ uˇ rezov´ a inovace studijn´ ıch program˚ u Lesnick´ e a dˇ revaˇ rsk´ e fakulty MENDELU v Brnˇ e (LDF) s ohledem na discipl´ ıny spoleˇ cn´ eho z´ akladu (reg. ˇ c. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) za pˇ rispˇ en´ ı finanˇ cn´ ıch prostˇ redk˚ u EU a st´ atn´ ıho rozpoˇ ctu ˇ Cesk´ e republiky. c Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a pr˚ ubˇ eh funkce Matematika MT 1 / 41
Transcript
Aplikace derivace a prubeh funkce
Petr Hasil
Prednaska z matematiky
Podporeno projektem Prurezova inovace studijnıch programu Lesnicke a drevarske fakulty MENDELU v Brne (LDF)s ohledem na disciplıny spolecneho zakladu (reg c CZ1072200280021) za prispenı financnıch prostredku EU
a statnıho rozpoctu Ceske republiky
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 1 41
Obsah
1 Pouzitı derivacıLrsquoHospitalovo pravidloTecna a normala ke grafu funkce
2 Prubeh funkceMonotonie a lokalnı extremyKonvexnost konkavnost a inflexnı bodyAsymptotyPrubeh funkce ndash shrnutı
3 Prıklady
4 Wolfram|Alpha
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 2 41
Pouzitı derivacı LrsquoHospitalovo pravidlo
Veta (LrsquoHospitalovo pravidlo)
Nechtrsquo α isin Rlowast a nechtrsquo funkce f a g jsou definovane v nejakem ryzım okolıbodu α a majı zde derivaci Nechtrsquo dale platı budrsquo
limxrarrα
f (x) = limxrarrα
g(x) = 0
nebolimxrarrα|g(x)| =infin
Pak platı
limxrarrα
f (x)
g(x)= lim
xrarrα
f prime(x)
g prime(x)
pokud limita na prave strane existuje Stejne tvrzenı platı i pro obejednostranne limity
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 4 41
Lze ho pouzıt prımo na limity typu 00 a infininfin
Vhodnou upravou lze prevest neurcite vyrazy typu 0 middot infin infinminusinfin 1infin0infin a infin0 na jeden z typu 0
0 infininfin
POZOR
Pri pouzitı LrsquoHospitalova pravidla nederivujeme vyraz f (x)g(x) jako podıl ale
derivujeme zvlastrsquo funkci v citateli a zvlastrsquo funkci ve jmenovateli
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 5 41
Pouzitı derivacı Tecna a normala ke grafu funkce
Definice
Nechtrsquo je f (x) funkce spojita a ma derivaci v bode x0 isin D(f ) Potomprımku
y minus f (x0) = f prime(x0) middot (x minus x0)
nazyvame tecna ke grafu funkce f v bode x0 a prımku
y minus f (x0) = minus 1
f prime(x0)middot (x minus x0)
nazyvame normala ke grafu funkce f v bode x0 (v prıpade ze f prime(x0) 6= 0)
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 7 41
Pouzitı derivacı Tecna a normala ke grafu funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 8 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Veta
Nechtrsquo je funkce f spojita na intervalu [a b] a ma derivaci na intervalu(a b) Pak platı
Funkce f je v [a b] konstantnı prave tehdy kdyzforallx isin (a b) f prime(x) = 0
Je-li f prime(x) gt 0 forallx isin (a b) pak je funkce f na intervalu [a b]rostoucı
Je-li f prime(x) lt 0 forallx isin (a b) pak je funkce f na intervalu [a b]klesajıcı
Pozor
Obracene tvrzenı neplatı Naprfunkce f (x) = x3 je na celem Rrostoucı ale v bode x = 0 manulovou derivaci
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 10 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Definice
Rekneme ze funkce f ma v bode x0 lokalnı maximum (minimum) jestlizepro kazde x v nejakem okolı bodu x0 platı
f (x) le f (x0)(f (x) ge f (x0)
)
Pokud pro x 6= x0 platı predchozı nerovnosti ostre mluvıme o ostremlokalnım maximu (minimu)Souhrnne nazyvame (ostre) lokalnı maximum a minimum (ostre) lokalnıextremy
Veta
Ma-li funkce f v bode x0 lokalnı extrem pak f prime(x0) = 0 nebo f prime(x0)neexistuje
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 11 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 12 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Definice
Je-li f prime(x0) = 0 pak bod x0 nazyvame stacionarnı bod funkce f
Veta
Nechtrsquo je funkce f spojita v bode x0 a nechtrsquo existuje jejı derivace vnejakem prstencovem okolı tohoto bodu Oznacme L leve prstencove okolıbodu x0 a R prave prstencove okolı bodu x0
Jestlize platı
f prime(x) gt 0 pro x isin L a f prime(x) lt 0 pro x isin R
pak ma funkce f v bode x0 ostre lokalnı maximum
Jestlize platı
f prime(x) lt 0 pro x isin L a f prime(x) gt 0 pro x isin R
pak ma funkce f v bode x0 ostre lokalnı minimum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 13 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Veta
Nechtrsquo f prime(x0) = 0 a f primeprime(x0) 6= 0 Pak ma funkce f v bode x0 lokalnı extrema to
lokalnı maximum jestlize f primeprime(x0) lt 0
lokalnı minimum jestlize f primeprime(x0) gt 0
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 14 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Prıklad
Najdete lokalnı extremy funkce f (x) = minusx2 + 4x minus 3
Resenı
(i) f prime(x) = minus2x + 4 = 0 hArr x = 2
x (minusinfin 2) (2infin)
sgn f prime + minusf
Funkce f ma tedy v x = 2 lokalnı maximum s hodnotou f (2) = 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 15 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
(ii) f prime(x) = minus2x + 4 = 0 hArr x = 2
f primeprime(x) = minus2 rArr f primeprime(2) = minus2 lt 0
Funkce f ma tedy v x = 2 lokalnı maximum s hodnotou f (2) = 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 16 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Definice
Funkci nazveme konvexnı (konkavnı) v bode x0 jestlize jejı graf lezı vprstencovem okolı bodu x0 nad (pod) tecnou v tomto bodeFunkci nazveme konvexnı (konkavnı) na intervalu I jestlize je konvexnı(konkavnı) v kazdem bode tohoto intervalu
Veta
Nechtrsquo funkce f (x) ma derivaci na intervalu (a b) Pak platı
jestlize forallx isin (a b) platı f primeprime(x) gt 0 pak je funkce f konvexnı naintervalu (a b)
jestlize forallx isin (a b) platı f primeprime(x) lt 0 pak je funkce f konkavnı naintervalu (a b)
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 18 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Poznamka
Opacne tvrzenı neplatı Napr funkce f (x) = x4 je konvexnı na R alef primeprime(0) = 0
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 19 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Definice
Rekneme ze funkce f ma v bode x0 inflexnı bod jestlize v bode x0
existuje tecna ke grafu funkce a f primeprime zde menı znamenko (tj graf funkce semenı z konvexnıho na konkavnı nebo opacne)
Poznamka
Funkce f muze mıt inflexnı bod v bode x0 ve kterem
f primeprime(x0) = 0
f primeprime(x0) neexistuje
Obr x3 Obr 3radic
x
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 20 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Veta
Nechtrsquo ma funkce f v bode x0 spojitou prvnı derivaci a nechtrsquo existuje ryzıokolı bodu x0 v nemz existuje druha derivace funkce f Oznacme L leveryzı okolı bodu x0 a R prave ryzı okolı bodu x0 Pak jestlize
f primeprime(x) gt 0forallx isin L a f primeprime(x) lt 0 forallx isin R nebo naopak
pak ma funkce f v bode x0 inflexnı bod
Prıklad
Zjistete pro ktera x isin R je funkce f (x) = x3 minus 6x2 + 6x minus 3konkavnıkonvexnı a najdete jejı inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 21 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Resenı f prime(x) = 3x2 minus 12x + 6 f primeprime(x) = 6x minus 12 = 0 hArr x = 2
x (minusinfin 2) (2infin)
sgn f primeprime minus +
f cap cup
Funkce je konkavnı pro x isin (minusinfin 2) konvexnı pro x isin (2infin) a v x = 2ma inflexnı bod s hodnotou f (2) = minus7
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 22 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 23 41
Prubeh funkce Asymptoty
Definice
Prımku ktera je tecnou ke grafu funkce f v nekterem nevlastnım bodenazyvame asymptota funkce f
Veta
Funkce ma
asymptotu bez smernice x = x0 prave tehdy kdyz ma v bode x0
nevlastnı limitu zleva nebo zprava
asymptotu se smernicı y = ax + b pro x rarr plusmninfin prave tehdy kdyz
a = limxrarrplusmninfin
f (x)
xisin R a b = lim
xrarrplusmninfin(f (x)minus ax) isin R
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 25 41
Prubeh funkce Asymptoty
Poznamka
Je-li limita limxrarrx+0
f (x) = plusmninfin nebo limxrarrxminus0f (x) = plusmninfin pak je svisla
prımka x = x0 asymptotou bez smernice funkce f v bode x0 Tedyasymptoty bez smernice hledame rdquov dırachrdquonebo na okraji definicnıhooboru
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 26 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 27 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 28 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postup pri vysetrovanı prubehu funkce
(i) Prımo z funkce
bull D(f ) sudostlichost periodicnost prusecıky s osamikladnostzapornost
bull asymptoty (se smernicı bez smernice)
(ii) Z prvnı derivace rostoucıklesajıcı lokalnı extremy
(iii) Z druhe derivace konvexnıkonkavnı inflexnı body
(iv) Nacrtnutı grafu ke vsem vyse zmınenym bodum dopocıtame funkcnıhodnoty a zkombinujeme zjistene informace
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 30 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postupne tedy plnıme nasledujıcı body
a) definicnı obor
b) sudostlichost (periodicnost)
c) asymptoty bez smernice
d) asymptoty se smernicı
e) prusecıky s osami
f) kladnostzapornost
g) prvnı derivaci
h) kde je f rostoucıklesajıcı
i) lokalnı extremy
j) druhou derivaci
k) kde je f konvexnıkonkavnı
l) inflexnı body
m) funkcnı hodnoty vevyznamnych bodech
n) nacrtneme graf
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 31 41
Prıklady
Prıklad
Vysetrete prubeh funkce
f (x) = minus x2
x + 1
Resenı
a) Funkcnımu predpisu vyhovujı vsechna realna cısla takova zex + 1 6= 0 Proto mame
D(f ) = R minus1
b) O sudostilichosti funkce snadno rozhodneme dosazenım minusx Ponevadz platı
f (minusx) = minus x2
minusx + 16= plusmnf (x)
nenı zadana funkce ani licha ani suda (coz je videt uz z nesymetriedefinicnıho oboru) Vzhledem k definicnımu oboru je zrejme zefunkce nemuze byt periodicka
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 33 41
Prıklady
c) Asymptoty bez smernice popisujı limitnı chovanı funkce v bodechnespojitosti (nebo na okraji definicnıho oboru) proto prımymvypoctem ihned dostaneme
limxrarrminus1+
minus x2
x + 1= minus lim
xrarrminus1+
x2
x + 1= minus(+infin) = minusinfin
limxrarrminus1minus
minus x2
x + 1= lim
xrarrminus1minusminus x2
x + 1= minus(minusinfin) =infin
Funkce ma jednu svislou asymptotu x = minus1
d) Pomocı vzorcu urcıme asymptoty se smernicı (pokud existujı)
a = limxrarrplusmninfin
minus x2
x2 + x= minus1
b = limxrarrplusmninfin
minus x2
x + 1+ x = lim
xrarrplusmninfin
x
x + 1= 1
Funkce f (x) ma tedy v +infin i minusinfin asymptotu se smernicı ktera jedana rovnicı y = minusx + 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 34 41
Prıklady
e) Urcıme prusecıky s osou x (rArr y = 0)
f (x) = 0 lArrrArr x2 = 0 lArrrArr x = 0
tedy Px = [0 0]a s osou y (rArr x = 0)
y = minus 02
0 + 1= 0 lArrrArr y = 0
tedy Py = [0 0] = Px
f) Nynı zıskame intervaly kde je funkce f (x) kladna a zaporna
x (minusinfinminus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f + minus minusf kladna zaporna zaporna
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 35 41
Prıklady
g) Spocıtame prvnı derivaci a jejı definicnı obor tj
f prime(x) =minusx2 minus 2x
(x + 1)2 D(f prime) = R minus1
h) Nynı urcıme stacionarnı body a intervaly monotonie tj
x (minusinfinminus2) (minus2minus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f prime minus + + minusf
i) Z tabulky vidıme ze funkce ma v x = minus2 lokalnı minimum a v x = 0lokalnı maximum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 36 41
Prıklady
j) Spocıtame druhou derivaci a urcıme jejı definicnı obor
f primeprime(x) =minus2x minus 2
(x + 1)4=
minus2
(x + 1)3
D(f primeprime) = R minus1
k) Urcıme kriticke body a intervaly konvexnosti a konkavnosti tj
f primeprime(x) = 0 lArrrArr minus2 = 0
coz je nesmysl Druha derivace tedy nema zadny nulovy bodNesmıme ovsem zapomenout ze jejı znamenko se muze zmenit i vbodech ve kterych nenı definovana (tj v
rdquodırachldquo jejıho definicnıho
oboru)
x (minusinfinminus1) (minus1infin)
sgn f primeprime + minusf cup cap
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 37 41
Prıklady
l) Funkce nema zadny inflexnı bod (minus1 6isin D(f ))
m) Zrekapitulujme vyznacne body a spocteme v nich funkcnı hodnoty
Prusecıky s osami Px = Py = [0 0]Lokalnı minimum v x = minus2 f (minus2) = 4 tedy jde o bod [minus2 4]Lokalnı maximum v x = 0 f (0) = 0 tedy jde o bod [0 0]
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 38 41
Prıklady
n) Nynı zkombinujeme vsechny zıskane informace a obdrzıme graf funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 39 41
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
Použitiacute derivaciacute
LHospitalovo pravidlo
Tecna a normaacutela ke grafu funkce
Prubeh funkce
Monotonie a lokaacutelniacute extreacutemy
Konvexnost konkaacutevnost a inflexniacute body
Asymptoty
Prubeh funkce ndash shrnutiacute
Priacuteklady
Wolfram|Alpha
Obsah
1 Pouzitı derivacıLrsquoHospitalovo pravidloTecna a normala ke grafu funkce
2 Prubeh funkceMonotonie a lokalnı extremyKonvexnost konkavnost a inflexnı bodyAsymptotyPrubeh funkce ndash shrnutı
3 Prıklady
4 Wolfram|Alpha
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 2 41
Pouzitı derivacı LrsquoHospitalovo pravidlo
Veta (LrsquoHospitalovo pravidlo)
Nechtrsquo α isin Rlowast a nechtrsquo funkce f a g jsou definovane v nejakem ryzım okolıbodu α a majı zde derivaci Nechtrsquo dale platı budrsquo
limxrarrα
f (x) = limxrarrα
g(x) = 0
nebolimxrarrα|g(x)| =infin
Pak platı
limxrarrα
f (x)
g(x)= lim
xrarrα
f prime(x)
g prime(x)
pokud limita na prave strane existuje Stejne tvrzenı platı i pro obejednostranne limity
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 4 41
Lze ho pouzıt prımo na limity typu 00 a infininfin
Vhodnou upravou lze prevest neurcite vyrazy typu 0 middot infin infinminusinfin 1infin0infin a infin0 na jeden z typu 0
0 infininfin
POZOR
Pri pouzitı LrsquoHospitalova pravidla nederivujeme vyraz f (x)g(x) jako podıl ale
derivujeme zvlastrsquo funkci v citateli a zvlastrsquo funkci ve jmenovateli
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 5 41
Pouzitı derivacı Tecna a normala ke grafu funkce
Definice
Nechtrsquo je f (x) funkce spojita a ma derivaci v bode x0 isin D(f ) Potomprımku
y minus f (x0) = f prime(x0) middot (x minus x0)
nazyvame tecna ke grafu funkce f v bode x0 a prımku
y minus f (x0) = minus 1
f prime(x0)middot (x minus x0)
nazyvame normala ke grafu funkce f v bode x0 (v prıpade ze f prime(x0) 6= 0)
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 7 41
Pouzitı derivacı Tecna a normala ke grafu funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 8 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Veta
Nechtrsquo je funkce f spojita na intervalu [a b] a ma derivaci na intervalu(a b) Pak platı
Funkce f je v [a b] konstantnı prave tehdy kdyzforallx isin (a b) f prime(x) = 0
Je-li f prime(x) gt 0 forallx isin (a b) pak je funkce f na intervalu [a b]rostoucı
Je-li f prime(x) lt 0 forallx isin (a b) pak je funkce f na intervalu [a b]klesajıcı
Pozor
Obracene tvrzenı neplatı Naprfunkce f (x) = x3 je na celem Rrostoucı ale v bode x = 0 manulovou derivaci
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 10 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Definice
Rekneme ze funkce f ma v bode x0 lokalnı maximum (minimum) jestlizepro kazde x v nejakem okolı bodu x0 platı
f (x) le f (x0)(f (x) ge f (x0)
)
Pokud pro x 6= x0 platı predchozı nerovnosti ostre mluvıme o ostremlokalnım maximu (minimu)Souhrnne nazyvame (ostre) lokalnı maximum a minimum (ostre) lokalnıextremy
Veta
Ma-li funkce f v bode x0 lokalnı extrem pak f prime(x0) = 0 nebo f prime(x0)neexistuje
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 11 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 12 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Definice
Je-li f prime(x0) = 0 pak bod x0 nazyvame stacionarnı bod funkce f
Veta
Nechtrsquo je funkce f spojita v bode x0 a nechtrsquo existuje jejı derivace vnejakem prstencovem okolı tohoto bodu Oznacme L leve prstencove okolıbodu x0 a R prave prstencove okolı bodu x0
Jestlize platı
f prime(x) gt 0 pro x isin L a f prime(x) lt 0 pro x isin R
pak ma funkce f v bode x0 ostre lokalnı maximum
Jestlize platı
f prime(x) lt 0 pro x isin L a f prime(x) gt 0 pro x isin R
pak ma funkce f v bode x0 ostre lokalnı minimum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 13 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Veta
Nechtrsquo f prime(x0) = 0 a f primeprime(x0) 6= 0 Pak ma funkce f v bode x0 lokalnı extrema to
lokalnı maximum jestlize f primeprime(x0) lt 0
lokalnı minimum jestlize f primeprime(x0) gt 0
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 14 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Prıklad
Najdete lokalnı extremy funkce f (x) = minusx2 + 4x minus 3
Resenı
(i) f prime(x) = minus2x + 4 = 0 hArr x = 2
x (minusinfin 2) (2infin)
sgn f prime + minusf
Funkce f ma tedy v x = 2 lokalnı maximum s hodnotou f (2) = 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 15 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
(ii) f prime(x) = minus2x + 4 = 0 hArr x = 2
f primeprime(x) = minus2 rArr f primeprime(2) = minus2 lt 0
Funkce f ma tedy v x = 2 lokalnı maximum s hodnotou f (2) = 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 16 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Definice
Funkci nazveme konvexnı (konkavnı) v bode x0 jestlize jejı graf lezı vprstencovem okolı bodu x0 nad (pod) tecnou v tomto bodeFunkci nazveme konvexnı (konkavnı) na intervalu I jestlize je konvexnı(konkavnı) v kazdem bode tohoto intervalu
Veta
Nechtrsquo funkce f (x) ma derivaci na intervalu (a b) Pak platı
jestlize forallx isin (a b) platı f primeprime(x) gt 0 pak je funkce f konvexnı naintervalu (a b)
jestlize forallx isin (a b) platı f primeprime(x) lt 0 pak je funkce f konkavnı naintervalu (a b)
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 18 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Poznamka
Opacne tvrzenı neplatı Napr funkce f (x) = x4 je konvexnı na R alef primeprime(0) = 0
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 19 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Definice
Rekneme ze funkce f ma v bode x0 inflexnı bod jestlize v bode x0
existuje tecna ke grafu funkce a f primeprime zde menı znamenko (tj graf funkce semenı z konvexnıho na konkavnı nebo opacne)
Poznamka
Funkce f muze mıt inflexnı bod v bode x0 ve kterem
f primeprime(x0) = 0
f primeprime(x0) neexistuje
Obr x3 Obr 3radic
x
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 20 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Veta
Nechtrsquo ma funkce f v bode x0 spojitou prvnı derivaci a nechtrsquo existuje ryzıokolı bodu x0 v nemz existuje druha derivace funkce f Oznacme L leveryzı okolı bodu x0 a R prave ryzı okolı bodu x0 Pak jestlize
f primeprime(x) gt 0forallx isin L a f primeprime(x) lt 0 forallx isin R nebo naopak
pak ma funkce f v bode x0 inflexnı bod
Prıklad
Zjistete pro ktera x isin R je funkce f (x) = x3 minus 6x2 + 6x minus 3konkavnıkonvexnı a najdete jejı inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 21 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Resenı f prime(x) = 3x2 minus 12x + 6 f primeprime(x) = 6x minus 12 = 0 hArr x = 2
x (minusinfin 2) (2infin)
sgn f primeprime minus +
f cap cup
Funkce je konkavnı pro x isin (minusinfin 2) konvexnı pro x isin (2infin) a v x = 2ma inflexnı bod s hodnotou f (2) = minus7
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 22 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 23 41
Prubeh funkce Asymptoty
Definice
Prımku ktera je tecnou ke grafu funkce f v nekterem nevlastnım bodenazyvame asymptota funkce f
Veta
Funkce ma
asymptotu bez smernice x = x0 prave tehdy kdyz ma v bode x0
nevlastnı limitu zleva nebo zprava
asymptotu se smernicı y = ax + b pro x rarr plusmninfin prave tehdy kdyz
a = limxrarrplusmninfin
f (x)
xisin R a b = lim
xrarrplusmninfin(f (x)minus ax) isin R
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 25 41
Prubeh funkce Asymptoty
Poznamka
Je-li limita limxrarrx+0
f (x) = plusmninfin nebo limxrarrxminus0f (x) = plusmninfin pak je svisla
prımka x = x0 asymptotou bez smernice funkce f v bode x0 Tedyasymptoty bez smernice hledame rdquov dırachrdquonebo na okraji definicnıhooboru
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 26 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 27 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 28 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postup pri vysetrovanı prubehu funkce
(i) Prımo z funkce
bull D(f ) sudostlichost periodicnost prusecıky s osamikladnostzapornost
bull asymptoty (se smernicı bez smernice)
(ii) Z prvnı derivace rostoucıklesajıcı lokalnı extremy
(iii) Z druhe derivace konvexnıkonkavnı inflexnı body
(iv) Nacrtnutı grafu ke vsem vyse zmınenym bodum dopocıtame funkcnıhodnoty a zkombinujeme zjistene informace
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 30 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postupne tedy plnıme nasledujıcı body
a) definicnı obor
b) sudostlichost (periodicnost)
c) asymptoty bez smernice
d) asymptoty se smernicı
e) prusecıky s osami
f) kladnostzapornost
g) prvnı derivaci
h) kde je f rostoucıklesajıcı
i) lokalnı extremy
j) druhou derivaci
k) kde je f konvexnıkonkavnı
l) inflexnı body
m) funkcnı hodnoty vevyznamnych bodech
n) nacrtneme graf
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 31 41
Prıklady
Prıklad
Vysetrete prubeh funkce
f (x) = minus x2
x + 1
Resenı
a) Funkcnımu predpisu vyhovujı vsechna realna cısla takova zex + 1 6= 0 Proto mame
D(f ) = R minus1
b) O sudostilichosti funkce snadno rozhodneme dosazenım minusx Ponevadz platı
f (minusx) = minus x2
minusx + 16= plusmnf (x)
nenı zadana funkce ani licha ani suda (coz je videt uz z nesymetriedefinicnıho oboru) Vzhledem k definicnımu oboru je zrejme zefunkce nemuze byt periodicka
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 33 41
Prıklady
c) Asymptoty bez smernice popisujı limitnı chovanı funkce v bodechnespojitosti (nebo na okraji definicnıho oboru) proto prımymvypoctem ihned dostaneme
limxrarrminus1+
minus x2
x + 1= minus lim
xrarrminus1+
x2
x + 1= minus(+infin) = minusinfin
limxrarrminus1minus
minus x2
x + 1= lim
xrarrminus1minusminus x2
x + 1= minus(minusinfin) =infin
Funkce ma jednu svislou asymptotu x = minus1
d) Pomocı vzorcu urcıme asymptoty se smernicı (pokud existujı)
a = limxrarrplusmninfin
minus x2
x2 + x= minus1
b = limxrarrplusmninfin
minus x2
x + 1+ x = lim
xrarrplusmninfin
x
x + 1= 1
Funkce f (x) ma tedy v +infin i minusinfin asymptotu se smernicı ktera jedana rovnicı y = minusx + 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 34 41
Prıklady
e) Urcıme prusecıky s osou x (rArr y = 0)
f (x) = 0 lArrrArr x2 = 0 lArrrArr x = 0
tedy Px = [0 0]a s osou y (rArr x = 0)
y = minus 02
0 + 1= 0 lArrrArr y = 0
tedy Py = [0 0] = Px
f) Nynı zıskame intervaly kde je funkce f (x) kladna a zaporna
x (minusinfinminus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f + minus minusf kladna zaporna zaporna
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 35 41
Prıklady
g) Spocıtame prvnı derivaci a jejı definicnı obor tj
f prime(x) =minusx2 minus 2x
(x + 1)2 D(f prime) = R minus1
h) Nynı urcıme stacionarnı body a intervaly monotonie tj
x (minusinfinminus2) (minus2minus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f prime minus + + minusf
i) Z tabulky vidıme ze funkce ma v x = minus2 lokalnı minimum a v x = 0lokalnı maximum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 36 41
Prıklady
j) Spocıtame druhou derivaci a urcıme jejı definicnı obor
f primeprime(x) =minus2x minus 2
(x + 1)4=
minus2
(x + 1)3
D(f primeprime) = R minus1
k) Urcıme kriticke body a intervaly konvexnosti a konkavnosti tj
f primeprime(x) = 0 lArrrArr minus2 = 0
coz je nesmysl Druha derivace tedy nema zadny nulovy bodNesmıme ovsem zapomenout ze jejı znamenko se muze zmenit i vbodech ve kterych nenı definovana (tj v
rdquodırachldquo jejıho definicnıho
oboru)
x (minusinfinminus1) (minus1infin)
sgn f primeprime + minusf cup cap
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 37 41
Prıklady
l) Funkce nema zadny inflexnı bod (minus1 6isin D(f ))
m) Zrekapitulujme vyznacne body a spocteme v nich funkcnı hodnoty
Prusecıky s osami Px = Py = [0 0]Lokalnı minimum v x = minus2 f (minus2) = 4 tedy jde o bod [minus2 4]Lokalnı maximum v x = 0 f (0) = 0 tedy jde o bod [0 0]
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 38 41
Prıklady
n) Nynı zkombinujeme vsechny zıskane informace a obdrzıme graf funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 39 41
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
Použitiacute derivaciacute
LHospitalovo pravidlo
Tecna a normaacutela ke grafu funkce
Prubeh funkce
Monotonie a lokaacutelniacute extreacutemy
Konvexnost konkaacutevnost a inflexniacute body
Asymptoty
Prubeh funkce ndash shrnutiacute
Priacuteklady
Wolfram|Alpha
Pouzitı derivacı LrsquoHospitalovo pravidlo
Veta (LrsquoHospitalovo pravidlo)
Nechtrsquo α isin Rlowast a nechtrsquo funkce f a g jsou definovane v nejakem ryzım okolıbodu α a majı zde derivaci Nechtrsquo dale platı budrsquo
limxrarrα
f (x) = limxrarrα
g(x) = 0
nebolimxrarrα|g(x)| =infin
Pak platı
limxrarrα
f (x)
g(x)= lim
xrarrα
f prime(x)
g prime(x)
pokud limita na prave strane existuje Stejne tvrzenı platı i pro obejednostranne limity
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 4 41
Lze ho pouzıt prımo na limity typu 00 a infininfin
Vhodnou upravou lze prevest neurcite vyrazy typu 0 middot infin infinminusinfin 1infin0infin a infin0 na jeden z typu 0
0 infininfin
POZOR
Pri pouzitı LrsquoHospitalova pravidla nederivujeme vyraz f (x)g(x) jako podıl ale
derivujeme zvlastrsquo funkci v citateli a zvlastrsquo funkci ve jmenovateli
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 5 41
Pouzitı derivacı Tecna a normala ke grafu funkce
Definice
Nechtrsquo je f (x) funkce spojita a ma derivaci v bode x0 isin D(f ) Potomprımku
y minus f (x0) = f prime(x0) middot (x minus x0)
nazyvame tecna ke grafu funkce f v bode x0 a prımku
y minus f (x0) = minus 1
f prime(x0)middot (x minus x0)
nazyvame normala ke grafu funkce f v bode x0 (v prıpade ze f prime(x0) 6= 0)
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 7 41
Pouzitı derivacı Tecna a normala ke grafu funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 8 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Veta
Nechtrsquo je funkce f spojita na intervalu [a b] a ma derivaci na intervalu(a b) Pak platı
Funkce f je v [a b] konstantnı prave tehdy kdyzforallx isin (a b) f prime(x) = 0
Je-li f prime(x) gt 0 forallx isin (a b) pak je funkce f na intervalu [a b]rostoucı
Je-li f prime(x) lt 0 forallx isin (a b) pak je funkce f na intervalu [a b]klesajıcı
Pozor
Obracene tvrzenı neplatı Naprfunkce f (x) = x3 je na celem Rrostoucı ale v bode x = 0 manulovou derivaci
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 10 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Definice
Rekneme ze funkce f ma v bode x0 lokalnı maximum (minimum) jestlizepro kazde x v nejakem okolı bodu x0 platı
f (x) le f (x0)(f (x) ge f (x0)
)
Pokud pro x 6= x0 platı predchozı nerovnosti ostre mluvıme o ostremlokalnım maximu (minimu)Souhrnne nazyvame (ostre) lokalnı maximum a minimum (ostre) lokalnıextremy
Veta
Ma-li funkce f v bode x0 lokalnı extrem pak f prime(x0) = 0 nebo f prime(x0)neexistuje
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 11 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 12 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Definice
Je-li f prime(x0) = 0 pak bod x0 nazyvame stacionarnı bod funkce f
Veta
Nechtrsquo je funkce f spojita v bode x0 a nechtrsquo existuje jejı derivace vnejakem prstencovem okolı tohoto bodu Oznacme L leve prstencove okolıbodu x0 a R prave prstencove okolı bodu x0
Jestlize platı
f prime(x) gt 0 pro x isin L a f prime(x) lt 0 pro x isin R
pak ma funkce f v bode x0 ostre lokalnı maximum
Jestlize platı
f prime(x) lt 0 pro x isin L a f prime(x) gt 0 pro x isin R
pak ma funkce f v bode x0 ostre lokalnı minimum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 13 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Veta
Nechtrsquo f prime(x0) = 0 a f primeprime(x0) 6= 0 Pak ma funkce f v bode x0 lokalnı extrema to
lokalnı maximum jestlize f primeprime(x0) lt 0
lokalnı minimum jestlize f primeprime(x0) gt 0
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 14 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Prıklad
Najdete lokalnı extremy funkce f (x) = minusx2 + 4x minus 3
Resenı
(i) f prime(x) = minus2x + 4 = 0 hArr x = 2
x (minusinfin 2) (2infin)
sgn f prime + minusf
Funkce f ma tedy v x = 2 lokalnı maximum s hodnotou f (2) = 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 15 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
(ii) f prime(x) = minus2x + 4 = 0 hArr x = 2
f primeprime(x) = minus2 rArr f primeprime(2) = minus2 lt 0
Funkce f ma tedy v x = 2 lokalnı maximum s hodnotou f (2) = 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 16 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Definice
Funkci nazveme konvexnı (konkavnı) v bode x0 jestlize jejı graf lezı vprstencovem okolı bodu x0 nad (pod) tecnou v tomto bodeFunkci nazveme konvexnı (konkavnı) na intervalu I jestlize je konvexnı(konkavnı) v kazdem bode tohoto intervalu
Veta
Nechtrsquo funkce f (x) ma derivaci na intervalu (a b) Pak platı
jestlize forallx isin (a b) platı f primeprime(x) gt 0 pak je funkce f konvexnı naintervalu (a b)
jestlize forallx isin (a b) platı f primeprime(x) lt 0 pak je funkce f konkavnı naintervalu (a b)
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 18 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Poznamka
Opacne tvrzenı neplatı Napr funkce f (x) = x4 je konvexnı na R alef primeprime(0) = 0
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 19 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Definice
Rekneme ze funkce f ma v bode x0 inflexnı bod jestlize v bode x0
existuje tecna ke grafu funkce a f primeprime zde menı znamenko (tj graf funkce semenı z konvexnıho na konkavnı nebo opacne)
Poznamka
Funkce f muze mıt inflexnı bod v bode x0 ve kterem
f primeprime(x0) = 0
f primeprime(x0) neexistuje
Obr x3 Obr 3radic
x
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 20 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Veta
Nechtrsquo ma funkce f v bode x0 spojitou prvnı derivaci a nechtrsquo existuje ryzıokolı bodu x0 v nemz existuje druha derivace funkce f Oznacme L leveryzı okolı bodu x0 a R prave ryzı okolı bodu x0 Pak jestlize
f primeprime(x) gt 0forallx isin L a f primeprime(x) lt 0 forallx isin R nebo naopak
pak ma funkce f v bode x0 inflexnı bod
Prıklad
Zjistete pro ktera x isin R je funkce f (x) = x3 minus 6x2 + 6x minus 3konkavnıkonvexnı a najdete jejı inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 21 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Resenı f prime(x) = 3x2 minus 12x + 6 f primeprime(x) = 6x minus 12 = 0 hArr x = 2
x (minusinfin 2) (2infin)
sgn f primeprime minus +
f cap cup
Funkce je konkavnı pro x isin (minusinfin 2) konvexnı pro x isin (2infin) a v x = 2ma inflexnı bod s hodnotou f (2) = minus7
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 22 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 23 41
Prubeh funkce Asymptoty
Definice
Prımku ktera je tecnou ke grafu funkce f v nekterem nevlastnım bodenazyvame asymptota funkce f
Veta
Funkce ma
asymptotu bez smernice x = x0 prave tehdy kdyz ma v bode x0
nevlastnı limitu zleva nebo zprava
asymptotu se smernicı y = ax + b pro x rarr plusmninfin prave tehdy kdyz
a = limxrarrplusmninfin
f (x)
xisin R a b = lim
xrarrplusmninfin(f (x)minus ax) isin R
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 25 41
Prubeh funkce Asymptoty
Poznamka
Je-li limita limxrarrx+0
f (x) = plusmninfin nebo limxrarrxminus0f (x) = plusmninfin pak je svisla
prımka x = x0 asymptotou bez smernice funkce f v bode x0 Tedyasymptoty bez smernice hledame rdquov dırachrdquonebo na okraji definicnıhooboru
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 26 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 27 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 28 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postup pri vysetrovanı prubehu funkce
(i) Prımo z funkce
bull D(f ) sudostlichost periodicnost prusecıky s osamikladnostzapornost
bull asymptoty (se smernicı bez smernice)
(ii) Z prvnı derivace rostoucıklesajıcı lokalnı extremy
(iii) Z druhe derivace konvexnıkonkavnı inflexnı body
(iv) Nacrtnutı grafu ke vsem vyse zmınenym bodum dopocıtame funkcnıhodnoty a zkombinujeme zjistene informace
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 30 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postupne tedy plnıme nasledujıcı body
a) definicnı obor
b) sudostlichost (periodicnost)
c) asymptoty bez smernice
d) asymptoty se smernicı
e) prusecıky s osami
f) kladnostzapornost
g) prvnı derivaci
h) kde je f rostoucıklesajıcı
i) lokalnı extremy
j) druhou derivaci
k) kde je f konvexnıkonkavnı
l) inflexnı body
m) funkcnı hodnoty vevyznamnych bodech
n) nacrtneme graf
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 31 41
Prıklady
Prıklad
Vysetrete prubeh funkce
f (x) = minus x2
x + 1
Resenı
a) Funkcnımu predpisu vyhovujı vsechna realna cısla takova zex + 1 6= 0 Proto mame
D(f ) = R minus1
b) O sudostilichosti funkce snadno rozhodneme dosazenım minusx Ponevadz platı
f (minusx) = minus x2
minusx + 16= plusmnf (x)
nenı zadana funkce ani licha ani suda (coz je videt uz z nesymetriedefinicnıho oboru) Vzhledem k definicnımu oboru je zrejme zefunkce nemuze byt periodicka
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 33 41
Prıklady
c) Asymptoty bez smernice popisujı limitnı chovanı funkce v bodechnespojitosti (nebo na okraji definicnıho oboru) proto prımymvypoctem ihned dostaneme
limxrarrminus1+
minus x2
x + 1= minus lim
xrarrminus1+
x2
x + 1= minus(+infin) = minusinfin
limxrarrminus1minus
minus x2
x + 1= lim
xrarrminus1minusminus x2
x + 1= minus(minusinfin) =infin
Funkce ma jednu svislou asymptotu x = minus1
d) Pomocı vzorcu urcıme asymptoty se smernicı (pokud existujı)
a = limxrarrplusmninfin
minus x2
x2 + x= minus1
b = limxrarrplusmninfin
minus x2
x + 1+ x = lim
xrarrplusmninfin
x
x + 1= 1
Funkce f (x) ma tedy v +infin i minusinfin asymptotu se smernicı ktera jedana rovnicı y = minusx + 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 34 41
Prıklady
e) Urcıme prusecıky s osou x (rArr y = 0)
f (x) = 0 lArrrArr x2 = 0 lArrrArr x = 0
tedy Px = [0 0]a s osou y (rArr x = 0)
y = minus 02
0 + 1= 0 lArrrArr y = 0
tedy Py = [0 0] = Px
f) Nynı zıskame intervaly kde je funkce f (x) kladna a zaporna
x (minusinfinminus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f + minus minusf kladna zaporna zaporna
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 35 41
Prıklady
g) Spocıtame prvnı derivaci a jejı definicnı obor tj
f prime(x) =minusx2 minus 2x
(x + 1)2 D(f prime) = R minus1
h) Nynı urcıme stacionarnı body a intervaly monotonie tj
x (minusinfinminus2) (minus2minus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f prime minus + + minusf
i) Z tabulky vidıme ze funkce ma v x = minus2 lokalnı minimum a v x = 0lokalnı maximum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 36 41
Prıklady
j) Spocıtame druhou derivaci a urcıme jejı definicnı obor
f primeprime(x) =minus2x minus 2
(x + 1)4=
minus2
(x + 1)3
D(f primeprime) = R minus1
k) Urcıme kriticke body a intervaly konvexnosti a konkavnosti tj
f primeprime(x) = 0 lArrrArr minus2 = 0
coz je nesmysl Druha derivace tedy nema zadny nulovy bodNesmıme ovsem zapomenout ze jejı znamenko se muze zmenit i vbodech ve kterych nenı definovana (tj v
rdquodırachldquo jejıho definicnıho
oboru)
x (minusinfinminus1) (minus1infin)
sgn f primeprime + minusf cup cap
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 37 41
Prıklady
l) Funkce nema zadny inflexnı bod (minus1 6isin D(f ))
m) Zrekapitulujme vyznacne body a spocteme v nich funkcnı hodnoty
Prusecıky s osami Px = Py = [0 0]Lokalnı minimum v x = minus2 f (minus2) = 4 tedy jde o bod [minus2 4]Lokalnı maximum v x = 0 f (0) = 0 tedy jde o bod [0 0]
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 38 41
Prıklady
n) Nynı zkombinujeme vsechny zıskane informace a obdrzıme graf funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 39 41
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
Lze ho pouzıt prımo na limity typu 00 a infininfin
Vhodnou upravou lze prevest neurcite vyrazy typu 0 middot infin infinminusinfin 1infin0infin a infin0 na jeden z typu 0
0 infininfin
POZOR
Pri pouzitı LrsquoHospitalova pravidla nederivujeme vyraz f (x)g(x) jako podıl ale
derivujeme zvlastrsquo funkci v citateli a zvlastrsquo funkci ve jmenovateli
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 5 41
Pouzitı derivacı Tecna a normala ke grafu funkce
Definice
Nechtrsquo je f (x) funkce spojita a ma derivaci v bode x0 isin D(f ) Potomprımku
y minus f (x0) = f prime(x0) middot (x minus x0)
nazyvame tecna ke grafu funkce f v bode x0 a prımku
y minus f (x0) = minus 1
f prime(x0)middot (x minus x0)
nazyvame normala ke grafu funkce f v bode x0 (v prıpade ze f prime(x0) 6= 0)
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 7 41
Pouzitı derivacı Tecna a normala ke grafu funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 8 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Veta
Nechtrsquo je funkce f spojita na intervalu [a b] a ma derivaci na intervalu(a b) Pak platı
Funkce f je v [a b] konstantnı prave tehdy kdyzforallx isin (a b) f prime(x) = 0
Je-li f prime(x) gt 0 forallx isin (a b) pak je funkce f na intervalu [a b]rostoucı
Je-li f prime(x) lt 0 forallx isin (a b) pak je funkce f na intervalu [a b]klesajıcı
Pozor
Obracene tvrzenı neplatı Naprfunkce f (x) = x3 je na celem Rrostoucı ale v bode x = 0 manulovou derivaci
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 10 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Definice
Rekneme ze funkce f ma v bode x0 lokalnı maximum (minimum) jestlizepro kazde x v nejakem okolı bodu x0 platı
f (x) le f (x0)(f (x) ge f (x0)
)
Pokud pro x 6= x0 platı predchozı nerovnosti ostre mluvıme o ostremlokalnım maximu (minimu)Souhrnne nazyvame (ostre) lokalnı maximum a minimum (ostre) lokalnıextremy
Veta
Ma-li funkce f v bode x0 lokalnı extrem pak f prime(x0) = 0 nebo f prime(x0)neexistuje
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 11 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 12 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Definice
Je-li f prime(x0) = 0 pak bod x0 nazyvame stacionarnı bod funkce f
Veta
Nechtrsquo je funkce f spojita v bode x0 a nechtrsquo existuje jejı derivace vnejakem prstencovem okolı tohoto bodu Oznacme L leve prstencove okolıbodu x0 a R prave prstencove okolı bodu x0
Jestlize platı
f prime(x) gt 0 pro x isin L a f prime(x) lt 0 pro x isin R
pak ma funkce f v bode x0 ostre lokalnı maximum
Jestlize platı
f prime(x) lt 0 pro x isin L a f prime(x) gt 0 pro x isin R
pak ma funkce f v bode x0 ostre lokalnı minimum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 13 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Veta
Nechtrsquo f prime(x0) = 0 a f primeprime(x0) 6= 0 Pak ma funkce f v bode x0 lokalnı extrema to
lokalnı maximum jestlize f primeprime(x0) lt 0
lokalnı minimum jestlize f primeprime(x0) gt 0
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 14 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Prıklad
Najdete lokalnı extremy funkce f (x) = minusx2 + 4x minus 3
Resenı
(i) f prime(x) = minus2x + 4 = 0 hArr x = 2
x (minusinfin 2) (2infin)
sgn f prime + minusf
Funkce f ma tedy v x = 2 lokalnı maximum s hodnotou f (2) = 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 15 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
(ii) f prime(x) = minus2x + 4 = 0 hArr x = 2
f primeprime(x) = minus2 rArr f primeprime(2) = minus2 lt 0
Funkce f ma tedy v x = 2 lokalnı maximum s hodnotou f (2) = 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 16 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Definice
Funkci nazveme konvexnı (konkavnı) v bode x0 jestlize jejı graf lezı vprstencovem okolı bodu x0 nad (pod) tecnou v tomto bodeFunkci nazveme konvexnı (konkavnı) na intervalu I jestlize je konvexnı(konkavnı) v kazdem bode tohoto intervalu
Veta
Nechtrsquo funkce f (x) ma derivaci na intervalu (a b) Pak platı
jestlize forallx isin (a b) platı f primeprime(x) gt 0 pak je funkce f konvexnı naintervalu (a b)
jestlize forallx isin (a b) platı f primeprime(x) lt 0 pak je funkce f konkavnı naintervalu (a b)
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 18 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Poznamka
Opacne tvrzenı neplatı Napr funkce f (x) = x4 je konvexnı na R alef primeprime(0) = 0
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 19 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Definice
Rekneme ze funkce f ma v bode x0 inflexnı bod jestlize v bode x0
existuje tecna ke grafu funkce a f primeprime zde menı znamenko (tj graf funkce semenı z konvexnıho na konkavnı nebo opacne)
Poznamka
Funkce f muze mıt inflexnı bod v bode x0 ve kterem
f primeprime(x0) = 0
f primeprime(x0) neexistuje
Obr x3 Obr 3radic
x
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 20 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Veta
Nechtrsquo ma funkce f v bode x0 spojitou prvnı derivaci a nechtrsquo existuje ryzıokolı bodu x0 v nemz existuje druha derivace funkce f Oznacme L leveryzı okolı bodu x0 a R prave ryzı okolı bodu x0 Pak jestlize
f primeprime(x) gt 0forallx isin L a f primeprime(x) lt 0 forallx isin R nebo naopak
pak ma funkce f v bode x0 inflexnı bod
Prıklad
Zjistete pro ktera x isin R je funkce f (x) = x3 minus 6x2 + 6x minus 3konkavnıkonvexnı a najdete jejı inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 21 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Resenı f prime(x) = 3x2 minus 12x + 6 f primeprime(x) = 6x minus 12 = 0 hArr x = 2
x (minusinfin 2) (2infin)
sgn f primeprime minus +
f cap cup
Funkce je konkavnı pro x isin (minusinfin 2) konvexnı pro x isin (2infin) a v x = 2ma inflexnı bod s hodnotou f (2) = minus7
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 22 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 23 41
Prubeh funkce Asymptoty
Definice
Prımku ktera je tecnou ke grafu funkce f v nekterem nevlastnım bodenazyvame asymptota funkce f
Veta
Funkce ma
asymptotu bez smernice x = x0 prave tehdy kdyz ma v bode x0
nevlastnı limitu zleva nebo zprava
asymptotu se smernicı y = ax + b pro x rarr plusmninfin prave tehdy kdyz
a = limxrarrplusmninfin
f (x)
xisin R a b = lim
xrarrplusmninfin(f (x)minus ax) isin R
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 25 41
Prubeh funkce Asymptoty
Poznamka
Je-li limita limxrarrx+0
f (x) = plusmninfin nebo limxrarrxminus0f (x) = plusmninfin pak je svisla
prımka x = x0 asymptotou bez smernice funkce f v bode x0 Tedyasymptoty bez smernice hledame rdquov dırachrdquonebo na okraji definicnıhooboru
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 26 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 27 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 28 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postup pri vysetrovanı prubehu funkce
(i) Prımo z funkce
bull D(f ) sudostlichost periodicnost prusecıky s osamikladnostzapornost
bull asymptoty (se smernicı bez smernice)
(ii) Z prvnı derivace rostoucıklesajıcı lokalnı extremy
(iii) Z druhe derivace konvexnıkonkavnı inflexnı body
(iv) Nacrtnutı grafu ke vsem vyse zmınenym bodum dopocıtame funkcnıhodnoty a zkombinujeme zjistene informace
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 30 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postupne tedy plnıme nasledujıcı body
a) definicnı obor
b) sudostlichost (periodicnost)
c) asymptoty bez smernice
d) asymptoty se smernicı
e) prusecıky s osami
f) kladnostzapornost
g) prvnı derivaci
h) kde je f rostoucıklesajıcı
i) lokalnı extremy
j) druhou derivaci
k) kde je f konvexnıkonkavnı
l) inflexnı body
m) funkcnı hodnoty vevyznamnych bodech
n) nacrtneme graf
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 31 41
Prıklady
Prıklad
Vysetrete prubeh funkce
f (x) = minus x2
x + 1
Resenı
a) Funkcnımu predpisu vyhovujı vsechna realna cısla takova zex + 1 6= 0 Proto mame
D(f ) = R minus1
b) O sudostilichosti funkce snadno rozhodneme dosazenım minusx Ponevadz platı
f (minusx) = minus x2
minusx + 16= plusmnf (x)
nenı zadana funkce ani licha ani suda (coz je videt uz z nesymetriedefinicnıho oboru) Vzhledem k definicnımu oboru je zrejme zefunkce nemuze byt periodicka
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 33 41
Prıklady
c) Asymptoty bez smernice popisujı limitnı chovanı funkce v bodechnespojitosti (nebo na okraji definicnıho oboru) proto prımymvypoctem ihned dostaneme
limxrarrminus1+
minus x2
x + 1= minus lim
xrarrminus1+
x2
x + 1= minus(+infin) = minusinfin
limxrarrminus1minus
minus x2
x + 1= lim
xrarrminus1minusminus x2
x + 1= minus(minusinfin) =infin
Funkce ma jednu svislou asymptotu x = minus1
d) Pomocı vzorcu urcıme asymptoty se smernicı (pokud existujı)
a = limxrarrplusmninfin
minus x2
x2 + x= minus1
b = limxrarrplusmninfin
minus x2
x + 1+ x = lim
xrarrplusmninfin
x
x + 1= 1
Funkce f (x) ma tedy v +infin i minusinfin asymptotu se smernicı ktera jedana rovnicı y = minusx + 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 34 41
Prıklady
e) Urcıme prusecıky s osou x (rArr y = 0)
f (x) = 0 lArrrArr x2 = 0 lArrrArr x = 0
tedy Px = [0 0]a s osou y (rArr x = 0)
y = minus 02
0 + 1= 0 lArrrArr y = 0
tedy Py = [0 0] = Px
f) Nynı zıskame intervaly kde je funkce f (x) kladna a zaporna
x (minusinfinminus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f + minus minusf kladna zaporna zaporna
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 35 41
Prıklady
g) Spocıtame prvnı derivaci a jejı definicnı obor tj
f prime(x) =minusx2 minus 2x
(x + 1)2 D(f prime) = R minus1
h) Nynı urcıme stacionarnı body a intervaly monotonie tj
x (minusinfinminus2) (minus2minus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f prime minus + + minusf
i) Z tabulky vidıme ze funkce ma v x = minus2 lokalnı minimum a v x = 0lokalnı maximum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 36 41
Prıklady
j) Spocıtame druhou derivaci a urcıme jejı definicnı obor
f primeprime(x) =minus2x minus 2
(x + 1)4=
minus2
(x + 1)3
D(f primeprime) = R minus1
k) Urcıme kriticke body a intervaly konvexnosti a konkavnosti tj
f primeprime(x) = 0 lArrrArr minus2 = 0
coz je nesmysl Druha derivace tedy nema zadny nulovy bodNesmıme ovsem zapomenout ze jejı znamenko se muze zmenit i vbodech ve kterych nenı definovana (tj v
rdquodırachldquo jejıho definicnıho
oboru)
x (minusinfinminus1) (minus1infin)
sgn f primeprime + minusf cup cap
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 37 41
Prıklady
l) Funkce nema zadny inflexnı bod (minus1 6isin D(f ))
m) Zrekapitulujme vyznacne body a spocteme v nich funkcnı hodnoty
Prusecıky s osami Px = Py = [0 0]Lokalnı minimum v x = minus2 f (minus2) = 4 tedy jde o bod [minus2 4]Lokalnı maximum v x = 0 f (0) = 0 tedy jde o bod [0 0]
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 38 41
Prıklady
n) Nynı zkombinujeme vsechny zıskane informace a obdrzıme graf funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 39 41
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
Použitiacute derivaciacute
LHospitalovo pravidlo
Tecna a normaacutela ke grafu funkce
Prubeh funkce
Monotonie a lokaacutelniacute extreacutemy
Konvexnost konkaacutevnost a inflexniacute body
Asymptoty
Prubeh funkce ndash shrnutiacute
Priacuteklady
Wolfram|Alpha
Pouzitı derivacı Tecna a normala ke grafu funkce
Definice
Nechtrsquo je f (x) funkce spojita a ma derivaci v bode x0 isin D(f ) Potomprımku
y minus f (x0) = f prime(x0) middot (x minus x0)
nazyvame tecna ke grafu funkce f v bode x0 a prımku
y minus f (x0) = minus 1
f prime(x0)middot (x minus x0)
nazyvame normala ke grafu funkce f v bode x0 (v prıpade ze f prime(x0) 6= 0)
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 7 41
Pouzitı derivacı Tecna a normala ke grafu funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 8 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Veta
Nechtrsquo je funkce f spojita na intervalu [a b] a ma derivaci na intervalu(a b) Pak platı
Funkce f je v [a b] konstantnı prave tehdy kdyzforallx isin (a b) f prime(x) = 0
Je-li f prime(x) gt 0 forallx isin (a b) pak je funkce f na intervalu [a b]rostoucı
Je-li f prime(x) lt 0 forallx isin (a b) pak je funkce f na intervalu [a b]klesajıcı
Pozor
Obracene tvrzenı neplatı Naprfunkce f (x) = x3 je na celem Rrostoucı ale v bode x = 0 manulovou derivaci
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 10 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Definice
Rekneme ze funkce f ma v bode x0 lokalnı maximum (minimum) jestlizepro kazde x v nejakem okolı bodu x0 platı
f (x) le f (x0)(f (x) ge f (x0)
)
Pokud pro x 6= x0 platı predchozı nerovnosti ostre mluvıme o ostremlokalnım maximu (minimu)Souhrnne nazyvame (ostre) lokalnı maximum a minimum (ostre) lokalnıextremy
Veta
Ma-li funkce f v bode x0 lokalnı extrem pak f prime(x0) = 0 nebo f prime(x0)neexistuje
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 11 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 12 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Definice
Je-li f prime(x0) = 0 pak bod x0 nazyvame stacionarnı bod funkce f
Veta
Nechtrsquo je funkce f spojita v bode x0 a nechtrsquo existuje jejı derivace vnejakem prstencovem okolı tohoto bodu Oznacme L leve prstencove okolıbodu x0 a R prave prstencove okolı bodu x0
Jestlize platı
f prime(x) gt 0 pro x isin L a f prime(x) lt 0 pro x isin R
pak ma funkce f v bode x0 ostre lokalnı maximum
Jestlize platı
f prime(x) lt 0 pro x isin L a f prime(x) gt 0 pro x isin R
pak ma funkce f v bode x0 ostre lokalnı minimum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 13 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Veta
Nechtrsquo f prime(x0) = 0 a f primeprime(x0) 6= 0 Pak ma funkce f v bode x0 lokalnı extrema to
lokalnı maximum jestlize f primeprime(x0) lt 0
lokalnı minimum jestlize f primeprime(x0) gt 0
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 14 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Prıklad
Najdete lokalnı extremy funkce f (x) = minusx2 + 4x minus 3
Resenı
(i) f prime(x) = minus2x + 4 = 0 hArr x = 2
x (minusinfin 2) (2infin)
sgn f prime + minusf
Funkce f ma tedy v x = 2 lokalnı maximum s hodnotou f (2) = 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 15 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
(ii) f prime(x) = minus2x + 4 = 0 hArr x = 2
f primeprime(x) = minus2 rArr f primeprime(2) = minus2 lt 0
Funkce f ma tedy v x = 2 lokalnı maximum s hodnotou f (2) = 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 16 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Definice
Funkci nazveme konvexnı (konkavnı) v bode x0 jestlize jejı graf lezı vprstencovem okolı bodu x0 nad (pod) tecnou v tomto bodeFunkci nazveme konvexnı (konkavnı) na intervalu I jestlize je konvexnı(konkavnı) v kazdem bode tohoto intervalu
Veta
Nechtrsquo funkce f (x) ma derivaci na intervalu (a b) Pak platı
jestlize forallx isin (a b) platı f primeprime(x) gt 0 pak je funkce f konvexnı naintervalu (a b)
jestlize forallx isin (a b) platı f primeprime(x) lt 0 pak je funkce f konkavnı naintervalu (a b)
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 18 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Poznamka
Opacne tvrzenı neplatı Napr funkce f (x) = x4 je konvexnı na R alef primeprime(0) = 0
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 19 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Definice
Rekneme ze funkce f ma v bode x0 inflexnı bod jestlize v bode x0
existuje tecna ke grafu funkce a f primeprime zde menı znamenko (tj graf funkce semenı z konvexnıho na konkavnı nebo opacne)
Poznamka
Funkce f muze mıt inflexnı bod v bode x0 ve kterem
f primeprime(x0) = 0
f primeprime(x0) neexistuje
Obr x3 Obr 3radic
x
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 20 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Veta
Nechtrsquo ma funkce f v bode x0 spojitou prvnı derivaci a nechtrsquo existuje ryzıokolı bodu x0 v nemz existuje druha derivace funkce f Oznacme L leveryzı okolı bodu x0 a R prave ryzı okolı bodu x0 Pak jestlize
f primeprime(x) gt 0forallx isin L a f primeprime(x) lt 0 forallx isin R nebo naopak
pak ma funkce f v bode x0 inflexnı bod
Prıklad
Zjistete pro ktera x isin R je funkce f (x) = x3 minus 6x2 + 6x minus 3konkavnıkonvexnı a najdete jejı inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 21 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Resenı f prime(x) = 3x2 minus 12x + 6 f primeprime(x) = 6x minus 12 = 0 hArr x = 2
x (minusinfin 2) (2infin)
sgn f primeprime minus +
f cap cup
Funkce je konkavnı pro x isin (minusinfin 2) konvexnı pro x isin (2infin) a v x = 2ma inflexnı bod s hodnotou f (2) = minus7
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 22 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 23 41
Prubeh funkce Asymptoty
Definice
Prımku ktera je tecnou ke grafu funkce f v nekterem nevlastnım bodenazyvame asymptota funkce f
Veta
Funkce ma
asymptotu bez smernice x = x0 prave tehdy kdyz ma v bode x0
nevlastnı limitu zleva nebo zprava
asymptotu se smernicı y = ax + b pro x rarr plusmninfin prave tehdy kdyz
a = limxrarrplusmninfin
f (x)
xisin R a b = lim
xrarrplusmninfin(f (x)minus ax) isin R
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 25 41
Prubeh funkce Asymptoty
Poznamka
Je-li limita limxrarrx+0
f (x) = plusmninfin nebo limxrarrxminus0f (x) = plusmninfin pak je svisla
prımka x = x0 asymptotou bez smernice funkce f v bode x0 Tedyasymptoty bez smernice hledame rdquov dırachrdquonebo na okraji definicnıhooboru
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 26 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 27 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 28 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postup pri vysetrovanı prubehu funkce
(i) Prımo z funkce
bull D(f ) sudostlichost periodicnost prusecıky s osamikladnostzapornost
bull asymptoty (se smernicı bez smernice)
(ii) Z prvnı derivace rostoucıklesajıcı lokalnı extremy
(iii) Z druhe derivace konvexnıkonkavnı inflexnı body
(iv) Nacrtnutı grafu ke vsem vyse zmınenym bodum dopocıtame funkcnıhodnoty a zkombinujeme zjistene informace
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 30 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postupne tedy plnıme nasledujıcı body
a) definicnı obor
b) sudostlichost (periodicnost)
c) asymptoty bez smernice
d) asymptoty se smernicı
e) prusecıky s osami
f) kladnostzapornost
g) prvnı derivaci
h) kde je f rostoucıklesajıcı
i) lokalnı extremy
j) druhou derivaci
k) kde je f konvexnıkonkavnı
l) inflexnı body
m) funkcnı hodnoty vevyznamnych bodech
n) nacrtneme graf
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 31 41
Prıklady
Prıklad
Vysetrete prubeh funkce
f (x) = minus x2
x + 1
Resenı
a) Funkcnımu predpisu vyhovujı vsechna realna cısla takova zex + 1 6= 0 Proto mame
D(f ) = R minus1
b) O sudostilichosti funkce snadno rozhodneme dosazenım minusx Ponevadz platı
f (minusx) = minus x2
minusx + 16= plusmnf (x)
nenı zadana funkce ani licha ani suda (coz je videt uz z nesymetriedefinicnıho oboru) Vzhledem k definicnımu oboru je zrejme zefunkce nemuze byt periodicka
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 33 41
Prıklady
c) Asymptoty bez smernice popisujı limitnı chovanı funkce v bodechnespojitosti (nebo na okraji definicnıho oboru) proto prımymvypoctem ihned dostaneme
limxrarrminus1+
minus x2
x + 1= minus lim
xrarrminus1+
x2
x + 1= minus(+infin) = minusinfin
limxrarrminus1minus
minus x2
x + 1= lim
xrarrminus1minusminus x2
x + 1= minus(minusinfin) =infin
Funkce ma jednu svislou asymptotu x = minus1
d) Pomocı vzorcu urcıme asymptoty se smernicı (pokud existujı)
a = limxrarrplusmninfin
minus x2
x2 + x= minus1
b = limxrarrplusmninfin
minus x2
x + 1+ x = lim
xrarrplusmninfin
x
x + 1= 1
Funkce f (x) ma tedy v +infin i minusinfin asymptotu se smernicı ktera jedana rovnicı y = minusx + 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 34 41
Prıklady
e) Urcıme prusecıky s osou x (rArr y = 0)
f (x) = 0 lArrrArr x2 = 0 lArrrArr x = 0
tedy Px = [0 0]a s osou y (rArr x = 0)
y = minus 02
0 + 1= 0 lArrrArr y = 0
tedy Py = [0 0] = Px
f) Nynı zıskame intervaly kde je funkce f (x) kladna a zaporna
x (minusinfinminus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f + minus minusf kladna zaporna zaporna
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 35 41
Prıklady
g) Spocıtame prvnı derivaci a jejı definicnı obor tj
f prime(x) =minusx2 minus 2x
(x + 1)2 D(f prime) = R minus1
h) Nynı urcıme stacionarnı body a intervaly monotonie tj
x (minusinfinminus2) (minus2minus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f prime minus + + minusf
i) Z tabulky vidıme ze funkce ma v x = minus2 lokalnı minimum a v x = 0lokalnı maximum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 36 41
Prıklady
j) Spocıtame druhou derivaci a urcıme jejı definicnı obor
f primeprime(x) =minus2x minus 2
(x + 1)4=
minus2
(x + 1)3
D(f primeprime) = R minus1
k) Urcıme kriticke body a intervaly konvexnosti a konkavnosti tj
f primeprime(x) = 0 lArrrArr minus2 = 0
coz je nesmysl Druha derivace tedy nema zadny nulovy bodNesmıme ovsem zapomenout ze jejı znamenko se muze zmenit i vbodech ve kterych nenı definovana (tj v
rdquodırachldquo jejıho definicnıho
oboru)
x (minusinfinminus1) (minus1infin)
sgn f primeprime + minusf cup cap
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 37 41
Prıklady
l) Funkce nema zadny inflexnı bod (minus1 6isin D(f ))
m) Zrekapitulujme vyznacne body a spocteme v nich funkcnı hodnoty
Prusecıky s osami Px = Py = [0 0]Lokalnı minimum v x = minus2 f (minus2) = 4 tedy jde o bod [minus2 4]Lokalnı maximum v x = 0 f (0) = 0 tedy jde o bod [0 0]
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 38 41
Prıklady
n) Nynı zkombinujeme vsechny zıskane informace a obdrzıme graf funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 39 41
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
Použitiacute derivaciacute
LHospitalovo pravidlo
Tecna a normaacutela ke grafu funkce
Prubeh funkce
Monotonie a lokaacutelniacute extreacutemy
Konvexnost konkaacutevnost a inflexniacute body
Asymptoty
Prubeh funkce ndash shrnutiacute
Priacuteklady
Wolfram|Alpha
Pouzitı derivacı Tecna a normala ke grafu funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 8 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Veta
Nechtrsquo je funkce f spojita na intervalu [a b] a ma derivaci na intervalu(a b) Pak platı
Funkce f je v [a b] konstantnı prave tehdy kdyzforallx isin (a b) f prime(x) = 0
Je-li f prime(x) gt 0 forallx isin (a b) pak je funkce f na intervalu [a b]rostoucı
Je-li f prime(x) lt 0 forallx isin (a b) pak je funkce f na intervalu [a b]klesajıcı
Pozor
Obracene tvrzenı neplatı Naprfunkce f (x) = x3 je na celem Rrostoucı ale v bode x = 0 manulovou derivaci
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 10 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Definice
Rekneme ze funkce f ma v bode x0 lokalnı maximum (minimum) jestlizepro kazde x v nejakem okolı bodu x0 platı
f (x) le f (x0)(f (x) ge f (x0)
)
Pokud pro x 6= x0 platı predchozı nerovnosti ostre mluvıme o ostremlokalnım maximu (minimu)Souhrnne nazyvame (ostre) lokalnı maximum a minimum (ostre) lokalnıextremy
Veta
Ma-li funkce f v bode x0 lokalnı extrem pak f prime(x0) = 0 nebo f prime(x0)neexistuje
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 11 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 12 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Definice
Je-li f prime(x0) = 0 pak bod x0 nazyvame stacionarnı bod funkce f
Veta
Nechtrsquo je funkce f spojita v bode x0 a nechtrsquo existuje jejı derivace vnejakem prstencovem okolı tohoto bodu Oznacme L leve prstencove okolıbodu x0 a R prave prstencove okolı bodu x0
Jestlize platı
f prime(x) gt 0 pro x isin L a f prime(x) lt 0 pro x isin R
pak ma funkce f v bode x0 ostre lokalnı maximum
Jestlize platı
f prime(x) lt 0 pro x isin L a f prime(x) gt 0 pro x isin R
pak ma funkce f v bode x0 ostre lokalnı minimum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 13 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Veta
Nechtrsquo f prime(x0) = 0 a f primeprime(x0) 6= 0 Pak ma funkce f v bode x0 lokalnı extrema to
lokalnı maximum jestlize f primeprime(x0) lt 0
lokalnı minimum jestlize f primeprime(x0) gt 0
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 14 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Prıklad
Najdete lokalnı extremy funkce f (x) = minusx2 + 4x minus 3
Resenı
(i) f prime(x) = minus2x + 4 = 0 hArr x = 2
x (minusinfin 2) (2infin)
sgn f prime + minusf
Funkce f ma tedy v x = 2 lokalnı maximum s hodnotou f (2) = 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 15 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
(ii) f prime(x) = minus2x + 4 = 0 hArr x = 2
f primeprime(x) = minus2 rArr f primeprime(2) = minus2 lt 0
Funkce f ma tedy v x = 2 lokalnı maximum s hodnotou f (2) = 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 16 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Definice
Funkci nazveme konvexnı (konkavnı) v bode x0 jestlize jejı graf lezı vprstencovem okolı bodu x0 nad (pod) tecnou v tomto bodeFunkci nazveme konvexnı (konkavnı) na intervalu I jestlize je konvexnı(konkavnı) v kazdem bode tohoto intervalu
Veta
Nechtrsquo funkce f (x) ma derivaci na intervalu (a b) Pak platı
jestlize forallx isin (a b) platı f primeprime(x) gt 0 pak je funkce f konvexnı naintervalu (a b)
jestlize forallx isin (a b) platı f primeprime(x) lt 0 pak je funkce f konkavnı naintervalu (a b)
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 18 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Poznamka
Opacne tvrzenı neplatı Napr funkce f (x) = x4 je konvexnı na R alef primeprime(0) = 0
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 19 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Definice
Rekneme ze funkce f ma v bode x0 inflexnı bod jestlize v bode x0
existuje tecna ke grafu funkce a f primeprime zde menı znamenko (tj graf funkce semenı z konvexnıho na konkavnı nebo opacne)
Poznamka
Funkce f muze mıt inflexnı bod v bode x0 ve kterem
f primeprime(x0) = 0
f primeprime(x0) neexistuje
Obr x3 Obr 3radic
x
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 20 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Veta
Nechtrsquo ma funkce f v bode x0 spojitou prvnı derivaci a nechtrsquo existuje ryzıokolı bodu x0 v nemz existuje druha derivace funkce f Oznacme L leveryzı okolı bodu x0 a R prave ryzı okolı bodu x0 Pak jestlize
f primeprime(x) gt 0forallx isin L a f primeprime(x) lt 0 forallx isin R nebo naopak
pak ma funkce f v bode x0 inflexnı bod
Prıklad
Zjistete pro ktera x isin R je funkce f (x) = x3 minus 6x2 + 6x minus 3konkavnıkonvexnı a najdete jejı inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 21 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Resenı f prime(x) = 3x2 minus 12x + 6 f primeprime(x) = 6x minus 12 = 0 hArr x = 2
x (minusinfin 2) (2infin)
sgn f primeprime minus +
f cap cup
Funkce je konkavnı pro x isin (minusinfin 2) konvexnı pro x isin (2infin) a v x = 2ma inflexnı bod s hodnotou f (2) = minus7
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 22 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 23 41
Prubeh funkce Asymptoty
Definice
Prımku ktera je tecnou ke grafu funkce f v nekterem nevlastnım bodenazyvame asymptota funkce f
Veta
Funkce ma
asymptotu bez smernice x = x0 prave tehdy kdyz ma v bode x0
nevlastnı limitu zleva nebo zprava
asymptotu se smernicı y = ax + b pro x rarr plusmninfin prave tehdy kdyz
a = limxrarrplusmninfin
f (x)
xisin R a b = lim
xrarrplusmninfin(f (x)minus ax) isin R
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 25 41
Prubeh funkce Asymptoty
Poznamka
Je-li limita limxrarrx+0
f (x) = plusmninfin nebo limxrarrxminus0f (x) = plusmninfin pak je svisla
prımka x = x0 asymptotou bez smernice funkce f v bode x0 Tedyasymptoty bez smernice hledame rdquov dırachrdquonebo na okraji definicnıhooboru
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 26 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 27 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 28 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postup pri vysetrovanı prubehu funkce
(i) Prımo z funkce
bull D(f ) sudostlichost periodicnost prusecıky s osamikladnostzapornost
bull asymptoty (se smernicı bez smernice)
(ii) Z prvnı derivace rostoucıklesajıcı lokalnı extremy
(iii) Z druhe derivace konvexnıkonkavnı inflexnı body
(iv) Nacrtnutı grafu ke vsem vyse zmınenym bodum dopocıtame funkcnıhodnoty a zkombinujeme zjistene informace
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 30 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postupne tedy plnıme nasledujıcı body
a) definicnı obor
b) sudostlichost (periodicnost)
c) asymptoty bez smernice
d) asymptoty se smernicı
e) prusecıky s osami
f) kladnostzapornost
g) prvnı derivaci
h) kde je f rostoucıklesajıcı
i) lokalnı extremy
j) druhou derivaci
k) kde je f konvexnıkonkavnı
l) inflexnı body
m) funkcnı hodnoty vevyznamnych bodech
n) nacrtneme graf
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 31 41
Prıklady
Prıklad
Vysetrete prubeh funkce
f (x) = minus x2
x + 1
Resenı
a) Funkcnımu predpisu vyhovujı vsechna realna cısla takova zex + 1 6= 0 Proto mame
D(f ) = R minus1
b) O sudostilichosti funkce snadno rozhodneme dosazenım minusx Ponevadz platı
f (minusx) = minus x2
minusx + 16= plusmnf (x)
nenı zadana funkce ani licha ani suda (coz je videt uz z nesymetriedefinicnıho oboru) Vzhledem k definicnımu oboru je zrejme zefunkce nemuze byt periodicka
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 33 41
Prıklady
c) Asymptoty bez smernice popisujı limitnı chovanı funkce v bodechnespojitosti (nebo na okraji definicnıho oboru) proto prımymvypoctem ihned dostaneme
limxrarrminus1+
minus x2
x + 1= minus lim
xrarrminus1+
x2
x + 1= minus(+infin) = minusinfin
limxrarrminus1minus
minus x2
x + 1= lim
xrarrminus1minusminus x2
x + 1= minus(minusinfin) =infin
Funkce ma jednu svislou asymptotu x = minus1
d) Pomocı vzorcu urcıme asymptoty se smernicı (pokud existujı)
a = limxrarrplusmninfin
minus x2
x2 + x= minus1
b = limxrarrplusmninfin
minus x2
x + 1+ x = lim
xrarrplusmninfin
x
x + 1= 1
Funkce f (x) ma tedy v +infin i minusinfin asymptotu se smernicı ktera jedana rovnicı y = minusx + 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 34 41
Prıklady
e) Urcıme prusecıky s osou x (rArr y = 0)
f (x) = 0 lArrrArr x2 = 0 lArrrArr x = 0
tedy Px = [0 0]a s osou y (rArr x = 0)
y = minus 02
0 + 1= 0 lArrrArr y = 0
tedy Py = [0 0] = Px
f) Nynı zıskame intervaly kde je funkce f (x) kladna a zaporna
x (minusinfinminus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f + minus minusf kladna zaporna zaporna
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 35 41
Prıklady
g) Spocıtame prvnı derivaci a jejı definicnı obor tj
f prime(x) =minusx2 minus 2x
(x + 1)2 D(f prime) = R minus1
h) Nynı urcıme stacionarnı body a intervaly monotonie tj
x (minusinfinminus2) (minus2minus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f prime minus + + minusf
i) Z tabulky vidıme ze funkce ma v x = minus2 lokalnı minimum a v x = 0lokalnı maximum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 36 41
Prıklady
j) Spocıtame druhou derivaci a urcıme jejı definicnı obor
f primeprime(x) =minus2x minus 2
(x + 1)4=
minus2
(x + 1)3
D(f primeprime) = R minus1
k) Urcıme kriticke body a intervaly konvexnosti a konkavnosti tj
f primeprime(x) = 0 lArrrArr minus2 = 0
coz je nesmysl Druha derivace tedy nema zadny nulovy bodNesmıme ovsem zapomenout ze jejı znamenko se muze zmenit i vbodech ve kterych nenı definovana (tj v
rdquodırachldquo jejıho definicnıho
oboru)
x (minusinfinminus1) (minus1infin)
sgn f primeprime + minusf cup cap
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 37 41
Prıklady
l) Funkce nema zadny inflexnı bod (minus1 6isin D(f ))
m) Zrekapitulujme vyznacne body a spocteme v nich funkcnı hodnoty
Prusecıky s osami Px = Py = [0 0]Lokalnı minimum v x = minus2 f (minus2) = 4 tedy jde o bod [minus2 4]Lokalnı maximum v x = 0 f (0) = 0 tedy jde o bod [0 0]
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 38 41
Prıklady
n) Nynı zkombinujeme vsechny zıskane informace a obdrzıme graf funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 39 41
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
Použitiacute derivaciacute
LHospitalovo pravidlo
Tecna a normaacutela ke grafu funkce
Prubeh funkce
Monotonie a lokaacutelniacute extreacutemy
Konvexnost konkaacutevnost a inflexniacute body
Asymptoty
Prubeh funkce ndash shrnutiacute
Priacuteklady
Wolfram|Alpha
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Veta
Nechtrsquo je funkce f spojita na intervalu [a b] a ma derivaci na intervalu(a b) Pak platı
Funkce f je v [a b] konstantnı prave tehdy kdyzforallx isin (a b) f prime(x) = 0
Je-li f prime(x) gt 0 forallx isin (a b) pak je funkce f na intervalu [a b]rostoucı
Je-li f prime(x) lt 0 forallx isin (a b) pak je funkce f na intervalu [a b]klesajıcı
Pozor
Obracene tvrzenı neplatı Naprfunkce f (x) = x3 je na celem Rrostoucı ale v bode x = 0 manulovou derivaci
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 10 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Definice
Rekneme ze funkce f ma v bode x0 lokalnı maximum (minimum) jestlizepro kazde x v nejakem okolı bodu x0 platı
f (x) le f (x0)(f (x) ge f (x0)
)
Pokud pro x 6= x0 platı predchozı nerovnosti ostre mluvıme o ostremlokalnım maximu (minimu)Souhrnne nazyvame (ostre) lokalnı maximum a minimum (ostre) lokalnıextremy
Veta
Ma-li funkce f v bode x0 lokalnı extrem pak f prime(x0) = 0 nebo f prime(x0)neexistuje
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 11 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 12 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Definice
Je-li f prime(x0) = 0 pak bod x0 nazyvame stacionarnı bod funkce f
Veta
Nechtrsquo je funkce f spojita v bode x0 a nechtrsquo existuje jejı derivace vnejakem prstencovem okolı tohoto bodu Oznacme L leve prstencove okolıbodu x0 a R prave prstencove okolı bodu x0
Jestlize platı
f prime(x) gt 0 pro x isin L a f prime(x) lt 0 pro x isin R
pak ma funkce f v bode x0 ostre lokalnı maximum
Jestlize platı
f prime(x) lt 0 pro x isin L a f prime(x) gt 0 pro x isin R
pak ma funkce f v bode x0 ostre lokalnı minimum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 13 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Veta
Nechtrsquo f prime(x0) = 0 a f primeprime(x0) 6= 0 Pak ma funkce f v bode x0 lokalnı extrema to
lokalnı maximum jestlize f primeprime(x0) lt 0
lokalnı minimum jestlize f primeprime(x0) gt 0
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 14 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Prıklad
Najdete lokalnı extremy funkce f (x) = minusx2 + 4x minus 3
Resenı
(i) f prime(x) = minus2x + 4 = 0 hArr x = 2
x (minusinfin 2) (2infin)
sgn f prime + minusf
Funkce f ma tedy v x = 2 lokalnı maximum s hodnotou f (2) = 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 15 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
(ii) f prime(x) = minus2x + 4 = 0 hArr x = 2
f primeprime(x) = minus2 rArr f primeprime(2) = minus2 lt 0
Funkce f ma tedy v x = 2 lokalnı maximum s hodnotou f (2) = 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 16 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Definice
Funkci nazveme konvexnı (konkavnı) v bode x0 jestlize jejı graf lezı vprstencovem okolı bodu x0 nad (pod) tecnou v tomto bodeFunkci nazveme konvexnı (konkavnı) na intervalu I jestlize je konvexnı(konkavnı) v kazdem bode tohoto intervalu
Veta
Nechtrsquo funkce f (x) ma derivaci na intervalu (a b) Pak platı
jestlize forallx isin (a b) platı f primeprime(x) gt 0 pak je funkce f konvexnı naintervalu (a b)
jestlize forallx isin (a b) platı f primeprime(x) lt 0 pak je funkce f konkavnı naintervalu (a b)
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 18 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Poznamka
Opacne tvrzenı neplatı Napr funkce f (x) = x4 je konvexnı na R alef primeprime(0) = 0
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 19 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Definice
Rekneme ze funkce f ma v bode x0 inflexnı bod jestlize v bode x0
existuje tecna ke grafu funkce a f primeprime zde menı znamenko (tj graf funkce semenı z konvexnıho na konkavnı nebo opacne)
Poznamka
Funkce f muze mıt inflexnı bod v bode x0 ve kterem
f primeprime(x0) = 0
f primeprime(x0) neexistuje
Obr x3 Obr 3radic
x
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 20 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Veta
Nechtrsquo ma funkce f v bode x0 spojitou prvnı derivaci a nechtrsquo existuje ryzıokolı bodu x0 v nemz existuje druha derivace funkce f Oznacme L leveryzı okolı bodu x0 a R prave ryzı okolı bodu x0 Pak jestlize
f primeprime(x) gt 0forallx isin L a f primeprime(x) lt 0 forallx isin R nebo naopak
pak ma funkce f v bode x0 inflexnı bod
Prıklad
Zjistete pro ktera x isin R je funkce f (x) = x3 minus 6x2 + 6x minus 3konkavnıkonvexnı a najdete jejı inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 21 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Resenı f prime(x) = 3x2 minus 12x + 6 f primeprime(x) = 6x minus 12 = 0 hArr x = 2
x (minusinfin 2) (2infin)
sgn f primeprime minus +
f cap cup
Funkce je konkavnı pro x isin (minusinfin 2) konvexnı pro x isin (2infin) a v x = 2ma inflexnı bod s hodnotou f (2) = minus7
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 22 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 23 41
Prubeh funkce Asymptoty
Definice
Prımku ktera je tecnou ke grafu funkce f v nekterem nevlastnım bodenazyvame asymptota funkce f
Veta
Funkce ma
asymptotu bez smernice x = x0 prave tehdy kdyz ma v bode x0
nevlastnı limitu zleva nebo zprava
asymptotu se smernicı y = ax + b pro x rarr plusmninfin prave tehdy kdyz
a = limxrarrplusmninfin
f (x)
xisin R a b = lim
xrarrplusmninfin(f (x)minus ax) isin R
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 25 41
Prubeh funkce Asymptoty
Poznamka
Je-li limita limxrarrx+0
f (x) = plusmninfin nebo limxrarrxminus0f (x) = plusmninfin pak je svisla
prımka x = x0 asymptotou bez smernice funkce f v bode x0 Tedyasymptoty bez smernice hledame rdquov dırachrdquonebo na okraji definicnıhooboru
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 26 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 27 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 28 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postup pri vysetrovanı prubehu funkce
(i) Prımo z funkce
bull D(f ) sudostlichost periodicnost prusecıky s osamikladnostzapornost
bull asymptoty (se smernicı bez smernice)
(ii) Z prvnı derivace rostoucıklesajıcı lokalnı extremy
(iii) Z druhe derivace konvexnıkonkavnı inflexnı body
(iv) Nacrtnutı grafu ke vsem vyse zmınenym bodum dopocıtame funkcnıhodnoty a zkombinujeme zjistene informace
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 30 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postupne tedy plnıme nasledujıcı body
a) definicnı obor
b) sudostlichost (periodicnost)
c) asymptoty bez smernice
d) asymptoty se smernicı
e) prusecıky s osami
f) kladnostzapornost
g) prvnı derivaci
h) kde je f rostoucıklesajıcı
i) lokalnı extremy
j) druhou derivaci
k) kde je f konvexnıkonkavnı
l) inflexnı body
m) funkcnı hodnoty vevyznamnych bodech
n) nacrtneme graf
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 31 41
Prıklady
Prıklad
Vysetrete prubeh funkce
f (x) = minus x2
x + 1
Resenı
a) Funkcnımu predpisu vyhovujı vsechna realna cısla takova zex + 1 6= 0 Proto mame
D(f ) = R minus1
b) O sudostilichosti funkce snadno rozhodneme dosazenım minusx Ponevadz platı
f (minusx) = minus x2
minusx + 16= plusmnf (x)
nenı zadana funkce ani licha ani suda (coz je videt uz z nesymetriedefinicnıho oboru) Vzhledem k definicnımu oboru je zrejme zefunkce nemuze byt periodicka
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 33 41
Prıklady
c) Asymptoty bez smernice popisujı limitnı chovanı funkce v bodechnespojitosti (nebo na okraji definicnıho oboru) proto prımymvypoctem ihned dostaneme
limxrarrminus1+
minus x2
x + 1= minus lim
xrarrminus1+
x2
x + 1= minus(+infin) = minusinfin
limxrarrminus1minus
minus x2
x + 1= lim
xrarrminus1minusminus x2
x + 1= minus(minusinfin) =infin
Funkce ma jednu svislou asymptotu x = minus1
d) Pomocı vzorcu urcıme asymptoty se smernicı (pokud existujı)
a = limxrarrplusmninfin
minus x2
x2 + x= minus1
b = limxrarrplusmninfin
minus x2
x + 1+ x = lim
xrarrplusmninfin
x
x + 1= 1
Funkce f (x) ma tedy v +infin i minusinfin asymptotu se smernicı ktera jedana rovnicı y = minusx + 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 34 41
Prıklady
e) Urcıme prusecıky s osou x (rArr y = 0)
f (x) = 0 lArrrArr x2 = 0 lArrrArr x = 0
tedy Px = [0 0]a s osou y (rArr x = 0)
y = minus 02
0 + 1= 0 lArrrArr y = 0
tedy Py = [0 0] = Px
f) Nynı zıskame intervaly kde je funkce f (x) kladna a zaporna
x (minusinfinminus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f + minus minusf kladna zaporna zaporna
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 35 41
Prıklady
g) Spocıtame prvnı derivaci a jejı definicnı obor tj
f prime(x) =minusx2 minus 2x
(x + 1)2 D(f prime) = R minus1
h) Nynı urcıme stacionarnı body a intervaly monotonie tj
x (minusinfinminus2) (minus2minus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f prime minus + + minusf
i) Z tabulky vidıme ze funkce ma v x = minus2 lokalnı minimum a v x = 0lokalnı maximum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 36 41
Prıklady
j) Spocıtame druhou derivaci a urcıme jejı definicnı obor
f primeprime(x) =minus2x minus 2
(x + 1)4=
minus2
(x + 1)3
D(f primeprime) = R minus1
k) Urcıme kriticke body a intervaly konvexnosti a konkavnosti tj
f primeprime(x) = 0 lArrrArr minus2 = 0
coz je nesmysl Druha derivace tedy nema zadny nulovy bodNesmıme ovsem zapomenout ze jejı znamenko se muze zmenit i vbodech ve kterych nenı definovana (tj v
rdquodırachldquo jejıho definicnıho
oboru)
x (minusinfinminus1) (minus1infin)
sgn f primeprime + minusf cup cap
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 37 41
Prıklady
l) Funkce nema zadny inflexnı bod (minus1 6isin D(f ))
m) Zrekapitulujme vyznacne body a spocteme v nich funkcnı hodnoty
Prusecıky s osami Px = Py = [0 0]Lokalnı minimum v x = minus2 f (minus2) = 4 tedy jde o bod [minus2 4]Lokalnı maximum v x = 0 f (0) = 0 tedy jde o bod [0 0]
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 38 41
Prıklady
n) Nynı zkombinujeme vsechny zıskane informace a obdrzıme graf funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 39 41
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
Použitiacute derivaciacute
LHospitalovo pravidlo
Tecna a normaacutela ke grafu funkce
Prubeh funkce
Monotonie a lokaacutelniacute extreacutemy
Konvexnost konkaacutevnost a inflexniacute body
Asymptoty
Prubeh funkce ndash shrnutiacute
Priacuteklady
Wolfram|Alpha
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Definice
Rekneme ze funkce f ma v bode x0 lokalnı maximum (minimum) jestlizepro kazde x v nejakem okolı bodu x0 platı
f (x) le f (x0)(f (x) ge f (x0)
)
Pokud pro x 6= x0 platı predchozı nerovnosti ostre mluvıme o ostremlokalnım maximu (minimu)Souhrnne nazyvame (ostre) lokalnı maximum a minimum (ostre) lokalnıextremy
Veta
Ma-li funkce f v bode x0 lokalnı extrem pak f prime(x0) = 0 nebo f prime(x0)neexistuje
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 11 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 12 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Definice
Je-li f prime(x0) = 0 pak bod x0 nazyvame stacionarnı bod funkce f
Veta
Nechtrsquo je funkce f spojita v bode x0 a nechtrsquo existuje jejı derivace vnejakem prstencovem okolı tohoto bodu Oznacme L leve prstencove okolıbodu x0 a R prave prstencove okolı bodu x0
Jestlize platı
f prime(x) gt 0 pro x isin L a f prime(x) lt 0 pro x isin R
pak ma funkce f v bode x0 ostre lokalnı maximum
Jestlize platı
f prime(x) lt 0 pro x isin L a f prime(x) gt 0 pro x isin R
pak ma funkce f v bode x0 ostre lokalnı minimum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 13 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Veta
Nechtrsquo f prime(x0) = 0 a f primeprime(x0) 6= 0 Pak ma funkce f v bode x0 lokalnı extrema to
lokalnı maximum jestlize f primeprime(x0) lt 0
lokalnı minimum jestlize f primeprime(x0) gt 0
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 14 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Prıklad
Najdete lokalnı extremy funkce f (x) = minusx2 + 4x minus 3
Resenı
(i) f prime(x) = minus2x + 4 = 0 hArr x = 2
x (minusinfin 2) (2infin)
sgn f prime + minusf
Funkce f ma tedy v x = 2 lokalnı maximum s hodnotou f (2) = 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 15 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
(ii) f prime(x) = minus2x + 4 = 0 hArr x = 2
f primeprime(x) = minus2 rArr f primeprime(2) = minus2 lt 0
Funkce f ma tedy v x = 2 lokalnı maximum s hodnotou f (2) = 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 16 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Definice
Funkci nazveme konvexnı (konkavnı) v bode x0 jestlize jejı graf lezı vprstencovem okolı bodu x0 nad (pod) tecnou v tomto bodeFunkci nazveme konvexnı (konkavnı) na intervalu I jestlize je konvexnı(konkavnı) v kazdem bode tohoto intervalu
Veta
Nechtrsquo funkce f (x) ma derivaci na intervalu (a b) Pak platı
jestlize forallx isin (a b) platı f primeprime(x) gt 0 pak je funkce f konvexnı naintervalu (a b)
jestlize forallx isin (a b) platı f primeprime(x) lt 0 pak je funkce f konkavnı naintervalu (a b)
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 18 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Poznamka
Opacne tvrzenı neplatı Napr funkce f (x) = x4 je konvexnı na R alef primeprime(0) = 0
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 19 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Definice
Rekneme ze funkce f ma v bode x0 inflexnı bod jestlize v bode x0
existuje tecna ke grafu funkce a f primeprime zde menı znamenko (tj graf funkce semenı z konvexnıho na konkavnı nebo opacne)
Poznamka
Funkce f muze mıt inflexnı bod v bode x0 ve kterem
f primeprime(x0) = 0
f primeprime(x0) neexistuje
Obr x3 Obr 3radic
x
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 20 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Veta
Nechtrsquo ma funkce f v bode x0 spojitou prvnı derivaci a nechtrsquo existuje ryzıokolı bodu x0 v nemz existuje druha derivace funkce f Oznacme L leveryzı okolı bodu x0 a R prave ryzı okolı bodu x0 Pak jestlize
f primeprime(x) gt 0forallx isin L a f primeprime(x) lt 0 forallx isin R nebo naopak
pak ma funkce f v bode x0 inflexnı bod
Prıklad
Zjistete pro ktera x isin R je funkce f (x) = x3 minus 6x2 + 6x minus 3konkavnıkonvexnı a najdete jejı inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 21 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Resenı f prime(x) = 3x2 minus 12x + 6 f primeprime(x) = 6x minus 12 = 0 hArr x = 2
x (minusinfin 2) (2infin)
sgn f primeprime minus +
f cap cup
Funkce je konkavnı pro x isin (minusinfin 2) konvexnı pro x isin (2infin) a v x = 2ma inflexnı bod s hodnotou f (2) = minus7
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 22 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 23 41
Prubeh funkce Asymptoty
Definice
Prımku ktera je tecnou ke grafu funkce f v nekterem nevlastnım bodenazyvame asymptota funkce f
Veta
Funkce ma
asymptotu bez smernice x = x0 prave tehdy kdyz ma v bode x0
nevlastnı limitu zleva nebo zprava
asymptotu se smernicı y = ax + b pro x rarr plusmninfin prave tehdy kdyz
a = limxrarrplusmninfin
f (x)
xisin R a b = lim
xrarrplusmninfin(f (x)minus ax) isin R
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 25 41
Prubeh funkce Asymptoty
Poznamka
Je-li limita limxrarrx+0
f (x) = plusmninfin nebo limxrarrxminus0f (x) = plusmninfin pak je svisla
prımka x = x0 asymptotou bez smernice funkce f v bode x0 Tedyasymptoty bez smernice hledame rdquov dırachrdquonebo na okraji definicnıhooboru
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 26 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 27 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 28 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postup pri vysetrovanı prubehu funkce
(i) Prımo z funkce
bull D(f ) sudostlichost periodicnost prusecıky s osamikladnostzapornost
bull asymptoty (se smernicı bez smernice)
(ii) Z prvnı derivace rostoucıklesajıcı lokalnı extremy
(iii) Z druhe derivace konvexnıkonkavnı inflexnı body
(iv) Nacrtnutı grafu ke vsem vyse zmınenym bodum dopocıtame funkcnıhodnoty a zkombinujeme zjistene informace
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 30 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postupne tedy plnıme nasledujıcı body
a) definicnı obor
b) sudostlichost (periodicnost)
c) asymptoty bez smernice
d) asymptoty se smernicı
e) prusecıky s osami
f) kladnostzapornost
g) prvnı derivaci
h) kde je f rostoucıklesajıcı
i) lokalnı extremy
j) druhou derivaci
k) kde je f konvexnıkonkavnı
l) inflexnı body
m) funkcnı hodnoty vevyznamnych bodech
n) nacrtneme graf
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 31 41
Prıklady
Prıklad
Vysetrete prubeh funkce
f (x) = minus x2
x + 1
Resenı
a) Funkcnımu predpisu vyhovujı vsechna realna cısla takova zex + 1 6= 0 Proto mame
D(f ) = R minus1
b) O sudostilichosti funkce snadno rozhodneme dosazenım minusx Ponevadz platı
f (minusx) = minus x2
minusx + 16= plusmnf (x)
nenı zadana funkce ani licha ani suda (coz je videt uz z nesymetriedefinicnıho oboru) Vzhledem k definicnımu oboru je zrejme zefunkce nemuze byt periodicka
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 33 41
Prıklady
c) Asymptoty bez smernice popisujı limitnı chovanı funkce v bodechnespojitosti (nebo na okraji definicnıho oboru) proto prımymvypoctem ihned dostaneme
limxrarrminus1+
minus x2
x + 1= minus lim
xrarrminus1+
x2
x + 1= minus(+infin) = minusinfin
limxrarrminus1minus
minus x2
x + 1= lim
xrarrminus1minusminus x2
x + 1= minus(minusinfin) =infin
Funkce ma jednu svislou asymptotu x = minus1
d) Pomocı vzorcu urcıme asymptoty se smernicı (pokud existujı)
a = limxrarrplusmninfin
minus x2
x2 + x= minus1
b = limxrarrplusmninfin
minus x2
x + 1+ x = lim
xrarrplusmninfin
x
x + 1= 1
Funkce f (x) ma tedy v +infin i minusinfin asymptotu se smernicı ktera jedana rovnicı y = minusx + 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 34 41
Prıklady
e) Urcıme prusecıky s osou x (rArr y = 0)
f (x) = 0 lArrrArr x2 = 0 lArrrArr x = 0
tedy Px = [0 0]a s osou y (rArr x = 0)
y = minus 02
0 + 1= 0 lArrrArr y = 0
tedy Py = [0 0] = Px
f) Nynı zıskame intervaly kde je funkce f (x) kladna a zaporna
x (minusinfinminus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f + minus minusf kladna zaporna zaporna
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 35 41
Prıklady
g) Spocıtame prvnı derivaci a jejı definicnı obor tj
f prime(x) =minusx2 minus 2x
(x + 1)2 D(f prime) = R minus1
h) Nynı urcıme stacionarnı body a intervaly monotonie tj
x (minusinfinminus2) (minus2minus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f prime minus + + minusf
i) Z tabulky vidıme ze funkce ma v x = minus2 lokalnı minimum a v x = 0lokalnı maximum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 36 41
Prıklady
j) Spocıtame druhou derivaci a urcıme jejı definicnı obor
f primeprime(x) =minus2x minus 2
(x + 1)4=
minus2
(x + 1)3
D(f primeprime) = R minus1
k) Urcıme kriticke body a intervaly konvexnosti a konkavnosti tj
f primeprime(x) = 0 lArrrArr minus2 = 0
coz je nesmysl Druha derivace tedy nema zadny nulovy bodNesmıme ovsem zapomenout ze jejı znamenko se muze zmenit i vbodech ve kterych nenı definovana (tj v
rdquodırachldquo jejıho definicnıho
oboru)
x (minusinfinminus1) (minus1infin)
sgn f primeprime + minusf cup cap
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 37 41
Prıklady
l) Funkce nema zadny inflexnı bod (minus1 6isin D(f ))
m) Zrekapitulujme vyznacne body a spocteme v nich funkcnı hodnoty
Prusecıky s osami Px = Py = [0 0]Lokalnı minimum v x = minus2 f (minus2) = 4 tedy jde o bod [minus2 4]Lokalnı maximum v x = 0 f (0) = 0 tedy jde o bod [0 0]
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 38 41
Prıklady
n) Nynı zkombinujeme vsechny zıskane informace a obdrzıme graf funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 39 41
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
Použitiacute derivaciacute
LHospitalovo pravidlo
Tecna a normaacutela ke grafu funkce
Prubeh funkce
Monotonie a lokaacutelniacute extreacutemy
Konvexnost konkaacutevnost a inflexniacute body
Asymptoty
Prubeh funkce ndash shrnutiacute
Priacuteklady
Wolfram|Alpha
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 12 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Definice
Je-li f prime(x0) = 0 pak bod x0 nazyvame stacionarnı bod funkce f
Veta
Nechtrsquo je funkce f spojita v bode x0 a nechtrsquo existuje jejı derivace vnejakem prstencovem okolı tohoto bodu Oznacme L leve prstencove okolıbodu x0 a R prave prstencove okolı bodu x0
Jestlize platı
f prime(x) gt 0 pro x isin L a f prime(x) lt 0 pro x isin R
pak ma funkce f v bode x0 ostre lokalnı maximum
Jestlize platı
f prime(x) lt 0 pro x isin L a f prime(x) gt 0 pro x isin R
pak ma funkce f v bode x0 ostre lokalnı minimum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 13 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Veta
Nechtrsquo f prime(x0) = 0 a f primeprime(x0) 6= 0 Pak ma funkce f v bode x0 lokalnı extrema to
lokalnı maximum jestlize f primeprime(x0) lt 0
lokalnı minimum jestlize f primeprime(x0) gt 0
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 14 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Prıklad
Najdete lokalnı extremy funkce f (x) = minusx2 + 4x minus 3
Resenı
(i) f prime(x) = minus2x + 4 = 0 hArr x = 2
x (minusinfin 2) (2infin)
sgn f prime + minusf
Funkce f ma tedy v x = 2 lokalnı maximum s hodnotou f (2) = 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 15 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
(ii) f prime(x) = minus2x + 4 = 0 hArr x = 2
f primeprime(x) = minus2 rArr f primeprime(2) = minus2 lt 0
Funkce f ma tedy v x = 2 lokalnı maximum s hodnotou f (2) = 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 16 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Definice
Funkci nazveme konvexnı (konkavnı) v bode x0 jestlize jejı graf lezı vprstencovem okolı bodu x0 nad (pod) tecnou v tomto bodeFunkci nazveme konvexnı (konkavnı) na intervalu I jestlize je konvexnı(konkavnı) v kazdem bode tohoto intervalu
Veta
Nechtrsquo funkce f (x) ma derivaci na intervalu (a b) Pak platı
jestlize forallx isin (a b) platı f primeprime(x) gt 0 pak je funkce f konvexnı naintervalu (a b)
jestlize forallx isin (a b) platı f primeprime(x) lt 0 pak je funkce f konkavnı naintervalu (a b)
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 18 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Poznamka
Opacne tvrzenı neplatı Napr funkce f (x) = x4 je konvexnı na R alef primeprime(0) = 0
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 19 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Definice
Rekneme ze funkce f ma v bode x0 inflexnı bod jestlize v bode x0
existuje tecna ke grafu funkce a f primeprime zde menı znamenko (tj graf funkce semenı z konvexnıho na konkavnı nebo opacne)
Poznamka
Funkce f muze mıt inflexnı bod v bode x0 ve kterem
f primeprime(x0) = 0
f primeprime(x0) neexistuje
Obr x3 Obr 3radic
x
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 20 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Veta
Nechtrsquo ma funkce f v bode x0 spojitou prvnı derivaci a nechtrsquo existuje ryzıokolı bodu x0 v nemz existuje druha derivace funkce f Oznacme L leveryzı okolı bodu x0 a R prave ryzı okolı bodu x0 Pak jestlize
f primeprime(x) gt 0forallx isin L a f primeprime(x) lt 0 forallx isin R nebo naopak
pak ma funkce f v bode x0 inflexnı bod
Prıklad
Zjistete pro ktera x isin R je funkce f (x) = x3 minus 6x2 + 6x minus 3konkavnıkonvexnı a najdete jejı inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 21 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Resenı f prime(x) = 3x2 minus 12x + 6 f primeprime(x) = 6x minus 12 = 0 hArr x = 2
x (minusinfin 2) (2infin)
sgn f primeprime minus +
f cap cup
Funkce je konkavnı pro x isin (minusinfin 2) konvexnı pro x isin (2infin) a v x = 2ma inflexnı bod s hodnotou f (2) = minus7
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 22 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 23 41
Prubeh funkce Asymptoty
Definice
Prımku ktera je tecnou ke grafu funkce f v nekterem nevlastnım bodenazyvame asymptota funkce f
Veta
Funkce ma
asymptotu bez smernice x = x0 prave tehdy kdyz ma v bode x0
nevlastnı limitu zleva nebo zprava
asymptotu se smernicı y = ax + b pro x rarr plusmninfin prave tehdy kdyz
a = limxrarrplusmninfin
f (x)
xisin R a b = lim
xrarrplusmninfin(f (x)minus ax) isin R
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 25 41
Prubeh funkce Asymptoty
Poznamka
Je-li limita limxrarrx+0
f (x) = plusmninfin nebo limxrarrxminus0f (x) = plusmninfin pak je svisla
prımka x = x0 asymptotou bez smernice funkce f v bode x0 Tedyasymptoty bez smernice hledame rdquov dırachrdquonebo na okraji definicnıhooboru
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 26 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 27 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 28 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postup pri vysetrovanı prubehu funkce
(i) Prımo z funkce
bull D(f ) sudostlichost periodicnost prusecıky s osamikladnostzapornost
bull asymptoty (se smernicı bez smernice)
(ii) Z prvnı derivace rostoucıklesajıcı lokalnı extremy
(iii) Z druhe derivace konvexnıkonkavnı inflexnı body
(iv) Nacrtnutı grafu ke vsem vyse zmınenym bodum dopocıtame funkcnıhodnoty a zkombinujeme zjistene informace
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 30 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postupne tedy plnıme nasledujıcı body
a) definicnı obor
b) sudostlichost (periodicnost)
c) asymptoty bez smernice
d) asymptoty se smernicı
e) prusecıky s osami
f) kladnostzapornost
g) prvnı derivaci
h) kde je f rostoucıklesajıcı
i) lokalnı extremy
j) druhou derivaci
k) kde je f konvexnıkonkavnı
l) inflexnı body
m) funkcnı hodnoty vevyznamnych bodech
n) nacrtneme graf
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 31 41
Prıklady
Prıklad
Vysetrete prubeh funkce
f (x) = minus x2
x + 1
Resenı
a) Funkcnımu predpisu vyhovujı vsechna realna cısla takova zex + 1 6= 0 Proto mame
D(f ) = R minus1
b) O sudostilichosti funkce snadno rozhodneme dosazenım minusx Ponevadz platı
f (minusx) = minus x2
minusx + 16= plusmnf (x)
nenı zadana funkce ani licha ani suda (coz je videt uz z nesymetriedefinicnıho oboru) Vzhledem k definicnımu oboru je zrejme zefunkce nemuze byt periodicka
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 33 41
Prıklady
c) Asymptoty bez smernice popisujı limitnı chovanı funkce v bodechnespojitosti (nebo na okraji definicnıho oboru) proto prımymvypoctem ihned dostaneme
limxrarrminus1+
minus x2
x + 1= minus lim
xrarrminus1+
x2
x + 1= minus(+infin) = minusinfin
limxrarrminus1minus
minus x2
x + 1= lim
xrarrminus1minusminus x2
x + 1= minus(minusinfin) =infin
Funkce ma jednu svislou asymptotu x = minus1
d) Pomocı vzorcu urcıme asymptoty se smernicı (pokud existujı)
a = limxrarrplusmninfin
minus x2
x2 + x= minus1
b = limxrarrplusmninfin
minus x2
x + 1+ x = lim
xrarrplusmninfin
x
x + 1= 1
Funkce f (x) ma tedy v +infin i minusinfin asymptotu se smernicı ktera jedana rovnicı y = minusx + 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 34 41
Prıklady
e) Urcıme prusecıky s osou x (rArr y = 0)
f (x) = 0 lArrrArr x2 = 0 lArrrArr x = 0
tedy Px = [0 0]a s osou y (rArr x = 0)
y = minus 02
0 + 1= 0 lArrrArr y = 0
tedy Py = [0 0] = Px
f) Nynı zıskame intervaly kde je funkce f (x) kladna a zaporna
x (minusinfinminus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f + minus minusf kladna zaporna zaporna
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 35 41
Prıklady
g) Spocıtame prvnı derivaci a jejı definicnı obor tj
f prime(x) =minusx2 minus 2x
(x + 1)2 D(f prime) = R minus1
h) Nynı urcıme stacionarnı body a intervaly monotonie tj
x (minusinfinminus2) (minus2minus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f prime minus + + minusf
i) Z tabulky vidıme ze funkce ma v x = minus2 lokalnı minimum a v x = 0lokalnı maximum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 36 41
Prıklady
j) Spocıtame druhou derivaci a urcıme jejı definicnı obor
f primeprime(x) =minus2x minus 2
(x + 1)4=
minus2
(x + 1)3
D(f primeprime) = R minus1
k) Urcıme kriticke body a intervaly konvexnosti a konkavnosti tj
f primeprime(x) = 0 lArrrArr minus2 = 0
coz je nesmysl Druha derivace tedy nema zadny nulovy bodNesmıme ovsem zapomenout ze jejı znamenko se muze zmenit i vbodech ve kterych nenı definovana (tj v
rdquodırachldquo jejıho definicnıho
oboru)
x (minusinfinminus1) (minus1infin)
sgn f primeprime + minusf cup cap
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 37 41
Prıklady
l) Funkce nema zadny inflexnı bod (minus1 6isin D(f ))
m) Zrekapitulujme vyznacne body a spocteme v nich funkcnı hodnoty
Prusecıky s osami Px = Py = [0 0]Lokalnı minimum v x = minus2 f (minus2) = 4 tedy jde o bod [minus2 4]Lokalnı maximum v x = 0 f (0) = 0 tedy jde o bod [0 0]
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 38 41
Prıklady
n) Nynı zkombinujeme vsechny zıskane informace a obdrzıme graf funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 39 41
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
Použitiacute derivaciacute
LHospitalovo pravidlo
Tecna a normaacutela ke grafu funkce
Prubeh funkce
Monotonie a lokaacutelniacute extreacutemy
Konvexnost konkaacutevnost a inflexniacute body
Asymptoty
Prubeh funkce ndash shrnutiacute
Priacuteklady
Wolfram|Alpha
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Definice
Je-li f prime(x0) = 0 pak bod x0 nazyvame stacionarnı bod funkce f
Veta
Nechtrsquo je funkce f spojita v bode x0 a nechtrsquo existuje jejı derivace vnejakem prstencovem okolı tohoto bodu Oznacme L leve prstencove okolıbodu x0 a R prave prstencove okolı bodu x0
Jestlize platı
f prime(x) gt 0 pro x isin L a f prime(x) lt 0 pro x isin R
pak ma funkce f v bode x0 ostre lokalnı maximum
Jestlize platı
f prime(x) lt 0 pro x isin L a f prime(x) gt 0 pro x isin R
pak ma funkce f v bode x0 ostre lokalnı minimum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 13 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Veta
Nechtrsquo f prime(x0) = 0 a f primeprime(x0) 6= 0 Pak ma funkce f v bode x0 lokalnı extrema to
lokalnı maximum jestlize f primeprime(x0) lt 0
lokalnı minimum jestlize f primeprime(x0) gt 0
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 14 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Prıklad
Najdete lokalnı extremy funkce f (x) = minusx2 + 4x minus 3
Resenı
(i) f prime(x) = minus2x + 4 = 0 hArr x = 2
x (minusinfin 2) (2infin)
sgn f prime + minusf
Funkce f ma tedy v x = 2 lokalnı maximum s hodnotou f (2) = 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 15 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
(ii) f prime(x) = minus2x + 4 = 0 hArr x = 2
f primeprime(x) = minus2 rArr f primeprime(2) = minus2 lt 0
Funkce f ma tedy v x = 2 lokalnı maximum s hodnotou f (2) = 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 16 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Definice
Funkci nazveme konvexnı (konkavnı) v bode x0 jestlize jejı graf lezı vprstencovem okolı bodu x0 nad (pod) tecnou v tomto bodeFunkci nazveme konvexnı (konkavnı) na intervalu I jestlize je konvexnı(konkavnı) v kazdem bode tohoto intervalu
Veta
Nechtrsquo funkce f (x) ma derivaci na intervalu (a b) Pak platı
jestlize forallx isin (a b) platı f primeprime(x) gt 0 pak je funkce f konvexnı naintervalu (a b)
jestlize forallx isin (a b) platı f primeprime(x) lt 0 pak je funkce f konkavnı naintervalu (a b)
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 18 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Poznamka
Opacne tvrzenı neplatı Napr funkce f (x) = x4 je konvexnı na R alef primeprime(0) = 0
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 19 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Definice
Rekneme ze funkce f ma v bode x0 inflexnı bod jestlize v bode x0
existuje tecna ke grafu funkce a f primeprime zde menı znamenko (tj graf funkce semenı z konvexnıho na konkavnı nebo opacne)
Poznamka
Funkce f muze mıt inflexnı bod v bode x0 ve kterem
f primeprime(x0) = 0
f primeprime(x0) neexistuje
Obr x3 Obr 3radic
x
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 20 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Veta
Nechtrsquo ma funkce f v bode x0 spojitou prvnı derivaci a nechtrsquo existuje ryzıokolı bodu x0 v nemz existuje druha derivace funkce f Oznacme L leveryzı okolı bodu x0 a R prave ryzı okolı bodu x0 Pak jestlize
f primeprime(x) gt 0forallx isin L a f primeprime(x) lt 0 forallx isin R nebo naopak
pak ma funkce f v bode x0 inflexnı bod
Prıklad
Zjistete pro ktera x isin R je funkce f (x) = x3 minus 6x2 + 6x minus 3konkavnıkonvexnı a najdete jejı inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 21 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Resenı f prime(x) = 3x2 minus 12x + 6 f primeprime(x) = 6x minus 12 = 0 hArr x = 2
x (minusinfin 2) (2infin)
sgn f primeprime minus +
f cap cup
Funkce je konkavnı pro x isin (minusinfin 2) konvexnı pro x isin (2infin) a v x = 2ma inflexnı bod s hodnotou f (2) = minus7
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 22 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 23 41
Prubeh funkce Asymptoty
Definice
Prımku ktera je tecnou ke grafu funkce f v nekterem nevlastnım bodenazyvame asymptota funkce f
Veta
Funkce ma
asymptotu bez smernice x = x0 prave tehdy kdyz ma v bode x0
nevlastnı limitu zleva nebo zprava
asymptotu se smernicı y = ax + b pro x rarr plusmninfin prave tehdy kdyz
a = limxrarrplusmninfin
f (x)
xisin R a b = lim
xrarrplusmninfin(f (x)minus ax) isin R
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 25 41
Prubeh funkce Asymptoty
Poznamka
Je-li limita limxrarrx+0
f (x) = plusmninfin nebo limxrarrxminus0f (x) = plusmninfin pak je svisla
prımka x = x0 asymptotou bez smernice funkce f v bode x0 Tedyasymptoty bez smernice hledame rdquov dırachrdquonebo na okraji definicnıhooboru
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 26 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 27 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 28 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postup pri vysetrovanı prubehu funkce
(i) Prımo z funkce
bull D(f ) sudostlichost periodicnost prusecıky s osamikladnostzapornost
bull asymptoty (se smernicı bez smernice)
(ii) Z prvnı derivace rostoucıklesajıcı lokalnı extremy
(iii) Z druhe derivace konvexnıkonkavnı inflexnı body
(iv) Nacrtnutı grafu ke vsem vyse zmınenym bodum dopocıtame funkcnıhodnoty a zkombinujeme zjistene informace
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 30 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postupne tedy plnıme nasledujıcı body
a) definicnı obor
b) sudostlichost (periodicnost)
c) asymptoty bez smernice
d) asymptoty se smernicı
e) prusecıky s osami
f) kladnostzapornost
g) prvnı derivaci
h) kde je f rostoucıklesajıcı
i) lokalnı extremy
j) druhou derivaci
k) kde je f konvexnıkonkavnı
l) inflexnı body
m) funkcnı hodnoty vevyznamnych bodech
n) nacrtneme graf
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 31 41
Prıklady
Prıklad
Vysetrete prubeh funkce
f (x) = minus x2
x + 1
Resenı
a) Funkcnımu predpisu vyhovujı vsechna realna cısla takova zex + 1 6= 0 Proto mame
D(f ) = R minus1
b) O sudostilichosti funkce snadno rozhodneme dosazenım minusx Ponevadz platı
f (minusx) = minus x2
minusx + 16= plusmnf (x)
nenı zadana funkce ani licha ani suda (coz je videt uz z nesymetriedefinicnıho oboru) Vzhledem k definicnımu oboru je zrejme zefunkce nemuze byt periodicka
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 33 41
Prıklady
c) Asymptoty bez smernice popisujı limitnı chovanı funkce v bodechnespojitosti (nebo na okraji definicnıho oboru) proto prımymvypoctem ihned dostaneme
limxrarrminus1+
minus x2
x + 1= minus lim
xrarrminus1+
x2
x + 1= minus(+infin) = minusinfin
limxrarrminus1minus
minus x2
x + 1= lim
xrarrminus1minusminus x2
x + 1= minus(minusinfin) =infin
Funkce ma jednu svislou asymptotu x = minus1
d) Pomocı vzorcu urcıme asymptoty se smernicı (pokud existujı)
a = limxrarrplusmninfin
minus x2
x2 + x= minus1
b = limxrarrplusmninfin
minus x2
x + 1+ x = lim
xrarrplusmninfin
x
x + 1= 1
Funkce f (x) ma tedy v +infin i minusinfin asymptotu se smernicı ktera jedana rovnicı y = minusx + 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 34 41
Prıklady
e) Urcıme prusecıky s osou x (rArr y = 0)
f (x) = 0 lArrrArr x2 = 0 lArrrArr x = 0
tedy Px = [0 0]a s osou y (rArr x = 0)
y = minus 02
0 + 1= 0 lArrrArr y = 0
tedy Py = [0 0] = Px
f) Nynı zıskame intervaly kde je funkce f (x) kladna a zaporna
x (minusinfinminus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f + minus minusf kladna zaporna zaporna
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 35 41
Prıklady
g) Spocıtame prvnı derivaci a jejı definicnı obor tj
f prime(x) =minusx2 minus 2x
(x + 1)2 D(f prime) = R minus1
h) Nynı urcıme stacionarnı body a intervaly monotonie tj
x (minusinfinminus2) (minus2minus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f prime minus + + minusf
i) Z tabulky vidıme ze funkce ma v x = minus2 lokalnı minimum a v x = 0lokalnı maximum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 36 41
Prıklady
j) Spocıtame druhou derivaci a urcıme jejı definicnı obor
f primeprime(x) =minus2x minus 2
(x + 1)4=
minus2
(x + 1)3
D(f primeprime) = R minus1
k) Urcıme kriticke body a intervaly konvexnosti a konkavnosti tj
f primeprime(x) = 0 lArrrArr minus2 = 0
coz je nesmysl Druha derivace tedy nema zadny nulovy bodNesmıme ovsem zapomenout ze jejı znamenko se muze zmenit i vbodech ve kterych nenı definovana (tj v
rdquodırachldquo jejıho definicnıho
oboru)
x (minusinfinminus1) (minus1infin)
sgn f primeprime + minusf cup cap
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 37 41
Prıklady
l) Funkce nema zadny inflexnı bod (minus1 6isin D(f ))
m) Zrekapitulujme vyznacne body a spocteme v nich funkcnı hodnoty
Prusecıky s osami Px = Py = [0 0]Lokalnı minimum v x = minus2 f (minus2) = 4 tedy jde o bod [minus2 4]Lokalnı maximum v x = 0 f (0) = 0 tedy jde o bod [0 0]
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 38 41
Prıklady
n) Nynı zkombinujeme vsechny zıskane informace a obdrzıme graf funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 39 41
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
Použitiacute derivaciacute
LHospitalovo pravidlo
Tecna a normaacutela ke grafu funkce
Prubeh funkce
Monotonie a lokaacutelniacute extreacutemy
Konvexnost konkaacutevnost a inflexniacute body
Asymptoty
Prubeh funkce ndash shrnutiacute
Priacuteklady
Wolfram|Alpha
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Veta
Nechtrsquo f prime(x0) = 0 a f primeprime(x0) 6= 0 Pak ma funkce f v bode x0 lokalnı extrema to
lokalnı maximum jestlize f primeprime(x0) lt 0
lokalnı minimum jestlize f primeprime(x0) gt 0
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 14 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Prıklad
Najdete lokalnı extremy funkce f (x) = minusx2 + 4x minus 3
Resenı
(i) f prime(x) = minus2x + 4 = 0 hArr x = 2
x (minusinfin 2) (2infin)
sgn f prime + minusf
Funkce f ma tedy v x = 2 lokalnı maximum s hodnotou f (2) = 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 15 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
(ii) f prime(x) = minus2x + 4 = 0 hArr x = 2
f primeprime(x) = minus2 rArr f primeprime(2) = minus2 lt 0
Funkce f ma tedy v x = 2 lokalnı maximum s hodnotou f (2) = 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 16 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Definice
Funkci nazveme konvexnı (konkavnı) v bode x0 jestlize jejı graf lezı vprstencovem okolı bodu x0 nad (pod) tecnou v tomto bodeFunkci nazveme konvexnı (konkavnı) na intervalu I jestlize je konvexnı(konkavnı) v kazdem bode tohoto intervalu
Veta
Nechtrsquo funkce f (x) ma derivaci na intervalu (a b) Pak platı
jestlize forallx isin (a b) platı f primeprime(x) gt 0 pak je funkce f konvexnı naintervalu (a b)
jestlize forallx isin (a b) platı f primeprime(x) lt 0 pak je funkce f konkavnı naintervalu (a b)
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 18 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Poznamka
Opacne tvrzenı neplatı Napr funkce f (x) = x4 je konvexnı na R alef primeprime(0) = 0
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 19 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Definice
Rekneme ze funkce f ma v bode x0 inflexnı bod jestlize v bode x0
existuje tecna ke grafu funkce a f primeprime zde menı znamenko (tj graf funkce semenı z konvexnıho na konkavnı nebo opacne)
Poznamka
Funkce f muze mıt inflexnı bod v bode x0 ve kterem
f primeprime(x0) = 0
f primeprime(x0) neexistuje
Obr x3 Obr 3radic
x
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 20 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Veta
Nechtrsquo ma funkce f v bode x0 spojitou prvnı derivaci a nechtrsquo existuje ryzıokolı bodu x0 v nemz existuje druha derivace funkce f Oznacme L leveryzı okolı bodu x0 a R prave ryzı okolı bodu x0 Pak jestlize
f primeprime(x) gt 0forallx isin L a f primeprime(x) lt 0 forallx isin R nebo naopak
pak ma funkce f v bode x0 inflexnı bod
Prıklad
Zjistete pro ktera x isin R je funkce f (x) = x3 minus 6x2 + 6x minus 3konkavnıkonvexnı a najdete jejı inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 21 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Resenı f prime(x) = 3x2 minus 12x + 6 f primeprime(x) = 6x minus 12 = 0 hArr x = 2
x (minusinfin 2) (2infin)
sgn f primeprime minus +
f cap cup
Funkce je konkavnı pro x isin (minusinfin 2) konvexnı pro x isin (2infin) a v x = 2ma inflexnı bod s hodnotou f (2) = minus7
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 22 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 23 41
Prubeh funkce Asymptoty
Definice
Prımku ktera je tecnou ke grafu funkce f v nekterem nevlastnım bodenazyvame asymptota funkce f
Veta
Funkce ma
asymptotu bez smernice x = x0 prave tehdy kdyz ma v bode x0
nevlastnı limitu zleva nebo zprava
asymptotu se smernicı y = ax + b pro x rarr plusmninfin prave tehdy kdyz
a = limxrarrplusmninfin
f (x)
xisin R a b = lim
xrarrplusmninfin(f (x)minus ax) isin R
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 25 41
Prubeh funkce Asymptoty
Poznamka
Je-li limita limxrarrx+0
f (x) = plusmninfin nebo limxrarrxminus0f (x) = plusmninfin pak je svisla
prımka x = x0 asymptotou bez smernice funkce f v bode x0 Tedyasymptoty bez smernice hledame rdquov dırachrdquonebo na okraji definicnıhooboru
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 26 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 27 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 28 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postup pri vysetrovanı prubehu funkce
(i) Prımo z funkce
bull D(f ) sudostlichost periodicnost prusecıky s osamikladnostzapornost
bull asymptoty (se smernicı bez smernice)
(ii) Z prvnı derivace rostoucıklesajıcı lokalnı extremy
(iii) Z druhe derivace konvexnıkonkavnı inflexnı body
(iv) Nacrtnutı grafu ke vsem vyse zmınenym bodum dopocıtame funkcnıhodnoty a zkombinujeme zjistene informace
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 30 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postupne tedy plnıme nasledujıcı body
a) definicnı obor
b) sudostlichost (periodicnost)
c) asymptoty bez smernice
d) asymptoty se smernicı
e) prusecıky s osami
f) kladnostzapornost
g) prvnı derivaci
h) kde je f rostoucıklesajıcı
i) lokalnı extremy
j) druhou derivaci
k) kde je f konvexnıkonkavnı
l) inflexnı body
m) funkcnı hodnoty vevyznamnych bodech
n) nacrtneme graf
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 31 41
Prıklady
Prıklad
Vysetrete prubeh funkce
f (x) = minus x2
x + 1
Resenı
a) Funkcnımu predpisu vyhovujı vsechna realna cısla takova zex + 1 6= 0 Proto mame
D(f ) = R minus1
b) O sudostilichosti funkce snadno rozhodneme dosazenım minusx Ponevadz platı
f (minusx) = minus x2
minusx + 16= plusmnf (x)
nenı zadana funkce ani licha ani suda (coz je videt uz z nesymetriedefinicnıho oboru) Vzhledem k definicnımu oboru je zrejme zefunkce nemuze byt periodicka
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 33 41
Prıklady
c) Asymptoty bez smernice popisujı limitnı chovanı funkce v bodechnespojitosti (nebo na okraji definicnıho oboru) proto prımymvypoctem ihned dostaneme
limxrarrminus1+
minus x2
x + 1= minus lim
xrarrminus1+
x2
x + 1= minus(+infin) = minusinfin
limxrarrminus1minus
minus x2
x + 1= lim
xrarrminus1minusminus x2
x + 1= minus(minusinfin) =infin
Funkce ma jednu svislou asymptotu x = minus1
d) Pomocı vzorcu urcıme asymptoty se smernicı (pokud existujı)
a = limxrarrplusmninfin
minus x2
x2 + x= minus1
b = limxrarrplusmninfin
minus x2
x + 1+ x = lim
xrarrplusmninfin
x
x + 1= 1
Funkce f (x) ma tedy v +infin i minusinfin asymptotu se smernicı ktera jedana rovnicı y = minusx + 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 34 41
Prıklady
e) Urcıme prusecıky s osou x (rArr y = 0)
f (x) = 0 lArrrArr x2 = 0 lArrrArr x = 0
tedy Px = [0 0]a s osou y (rArr x = 0)
y = minus 02
0 + 1= 0 lArrrArr y = 0
tedy Py = [0 0] = Px
f) Nynı zıskame intervaly kde je funkce f (x) kladna a zaporna
x (minusinfinminus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f + minus minusf kladna zaporna zaporna
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 35 41
Prıklady
g) Spocıtame prvnı derivaci a jejı definicnı obor tj
f prime(x) =minusx2 minus 2x
(x + 1)2 D(f prime) = R minus1
h) Nynı urcıme stacionarnı body a intervaly monotonie tj
x (minusinfinminus2) (minus2minus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f prime minus + + minusf
i) Z tabulky vidıme ze funkce ma v x = minus2 lokalnı minimum a v x = 0lokalnı maximum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 36 41
Prıklady
j) Spocıtame druhou derivaci a urcıme jejı definicnı obor
f primeprime(x) =minus2x minus 2
(x + 1)4=
minus2
(x + 1)3
D(f primeprime) = R minus1
k) Urcıme kriticke body a intervaly konvexnosti a konkavnosti tj
f primeprime(x) = 0 lArrrArr minus2 = 0
coz je nesmysl Druha derivace tedy nema zadny nulovy bodNesmıme ovsem zapomenout ze jejı znamenko se muze zmenit i vbodech ve kterych nenı definovana (tj v
rdquodırachldquo jejıho definicnıho
oboru)
x (minusinfinminus1) (minus1infin)
sgn f primeprime + minusf cup cap
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 37 41
Prıklady
l) Funkce nema zadny inflexnı bod (minus1 6isin D(f ))
m) Zrekapitulujme vyznacne body a spocteme v nich funkcnı hodnoty
Prusecıky s osami Px = Py = [0 0]Lokalnı minimum v x = minus2 f (minus2) = 4 tedy jde o bod [minus2 4]Lokalnı maximum v x = 0 f (0) = 0 tedy jde o bod [0 0]
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 38 41
Prıklady
n) Nynı zkombinujeme vsechny zıskane informace a obdrzıme graf funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 39 41
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
Použitiacute derivaciacute
LHospitalovo pravidlo
Tecna a normaacutela ke grafu funkce
Prubeh funkce
Monotonie a lokaacutelniacute extreacutemy
Konvexnost konkaacutevnost a inflexniacute body
Asymptoty
Prubeh funkce ndash shrnutiacute
Priacuteklady
Wolfram|Alpha
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
Prıklad
Najdete lokalnı extremy funkce f (x) = minusx2 + 4x minus 3
Resenı
(i) f prime(x) = minus2x + 4 = 0 hArr x = 2
x (minusinfin 2) (2infin)
sgn f prime + minusf
Funkce f ma tedy v x = 2 lokalnı maximum s hodnotou f (2) = 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 15 41
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
(ii) f prime(x) = minus2x + 4 = 0 hArr x = 2
f primeprime(x) = minus2 rArr f primeprime(2) = minus2 lt 0
Funkce f ma tedy v x = 2 lokalnı maximum s hodnotou f (2) = 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 16 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Definice
Funkci nazveme konvexnı (konkavnı) v bode x0 jestlize jejı graf lezı vprstencovem okolı bodu x0 nad (pod) tecnou v tomto bodeFunkci nazveme konvexnı (konkavnı) na intervalu I jestlize je konvexnı(konkavnı) v kazdem bode tohoto intervalu
Veta
Nechtrsquo funkce f (x) ma derivaci na intervalu (a b) Pak platı
jestlize forallx isin (a b) platı f primeprime(x) gt 0 pak je funkce f konvexnı naintervalu (a b)
jestlize forallx isin (a b) platı f primeprime(x) lt 0 pak je funkce f konkavnı naintervalu (a b)
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 18 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Poznamka
Opacne tvrzenı neplatı Napr funkce f (x) = x4 je konvexnı na R alef primeprime(0) = 0
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 19 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Definice
Rekneme ze funkce f ma v bode x0 inflexnı bod jestlize v bode x0
existuje tecna ke grafu funkce a f primeprime zde menı znamenko (tj graf funkce semenı z konvexnıho na konkavnı nebo opacne)
Poznamka
Funkce f muze mıt inflexnı bod v bode x0 ve kterem
f primeprime(x0) = 0
f primeprime(x0) neexistuje
Obr x3 Obr 3radic
x
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 20 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Veta
Nechtrsquo ma funkce f v bode x0 spojitou prvnı derivaci a nechtrsquo existuje ryzıokolı bodu x0 v nemz existuje druha derivace funkce f Oznacme L leveryzı okolı bodu x0 a R prave ryzı okolı bodu x0 Pak jestlize
f primeprime(x) gt 0forallx isin L a f primeprime(x) lt 0 forallx isin R nebo naopak
pak ma funkce f v bode x0 inflexnı bod
Prıklad
Zjistete pro ktera x isin R je funkce f (x) = x3 minus 6x2 + 6x minus 3konkavnıkonvexnı a najdete jejı inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 21 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Resenı f prime(x) = 3x2 minus 12x + 6 f primeprime(x) = 6x minus 12 = 0 hArr x = 2
x (minusinfin 2) (2infin)
sgn f primeprime minus +
f cap cup
Funkce je konkavnı pro x isin (minusinfin 2) konvexnı pro x isin (2infin) a v x = 2ma inflexnı bod s hodnotou f (2) = minus7
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 22 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 23 41
Prubeh funkce Asymptoty
Definice
Prımku ktera je tecnou ke grafu funkce f v nekterem nevlastnım bodenazyvame asymptota funkce f
Veta
Funkce ma
asymptotu bez smernice x = x0 prave tehdy kdyz ma v bode x0
nevlastnı limitu zleva nebo zprava
asymptotu se smernicı y = ax + b pro x rarr plusmninfin prave tehdy kdyz
a = limxrarrplusmninfin
f (x)
xisin R a b = lim
xrarrplusmninfin(f (x)minus ax) isin R
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 25 41
Prubeh funkce Asymptoty
Poznamka
Je-li limita limxrarrx+0
f (x) = plusmninfin nebo limxrarrxminus0f (x) = plusmninfin pak je svisla
prımka x = x0 asymptotou bez smernice funkce f v bode x0 Tedyasymptoty bez smernice hledame rdquov dırachrdquonebo na okraji definicnıhooboru
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 26 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 27 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 28 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postup pri vysetrovanı prubehu funkce
(i) Prımo z funkce
bull D(f ) sudostlichost periodicnost prusecıky s osamikladnostzapornost
bull asymptoty (se smernicı bez smernice)
(ii) Z prvnı derivace rostoucıklesajıcı lokalnı extremy
(iii) Z druhe derivace konvexnıkonkavnı inflexnı body
(iv) Nacrtnutı grafu ke vsem vyse zmınenym bodum dopocıtame funkcnıhodnoty a zkombinujeme zjistene informace
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 30 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postupne tedy plnıme nasledujıcı body
a) definicnı obor
b) sudostlichost (periodicnost)
c) asymptoty bez smernice
d) asymptoty se smernicı
e) prusecıky s osami
f) kladnostzapornost
g) prvnı derivaci
h) kde je f rostoucıklesajıcı
i) lokalnı extremy
j) druhou derivaci
k) kde je f konvexnıkonkavnı
l) inflexnı body
m) funkcnı hodnoty vevyznamnych bodech
n) nacrtneme graf
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 31 41
Prıklady
Prıklad
Vysetrete prubeh funkce
f (x) = minus x2
x + 1
Resenı
a) Funkcnımu predpisu vyhovujı vsechna realna cısla takova zex + 1 6= 0 Proto mame
D(f ) = R minus1
b) O sudostilichosti funkce snadno rozhodneme dosazenım minusx Ponevadz platı
f (minusx) = minus x2
minusx + 16= plusmnf (x)
nenı zadana funkce ani licha ani suda (coz je videt uz z nesymetriedefinicnıho oboru) Vzhledem k definicnımu oboru je zrejme zefunkce nemuze byt periodicka
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 33 41
Prıklady
c) Asymptoty bez smernice popisujı limitnı chovanı funkce v bodechnespojitosti (nebo na okraji definicnıho oboru) proto prımymvypoctem ihned dostaneme
limxrarrminus1+
minus x2
x + 1= minus lim
xrarrminus1+
x2
x + 1= minus(+infin) = minusinfin
limxrarrminus1minus
minus x2
x + 1= lim
xrarrminus1minusminus x2
x + 1= minus(minusinfin) =infin
Funkce ma jednu svislou asymptotu x = minus1
d) Pomocı vzorcu urcıme asymptoty se smernicı (pokud existujı)
a = limxrarrplusmninfin
minus x2
x2 + x= minus1
b = limxrarrplusmninfin
minus x2
x + 1+ x = lim
xrarrplusmninfin
x
x + 1= 1
Funkce f (x) ma tedy v +infin i minusinfin asymptotu se smernicı ktera jedana rovnicı y = minusx + 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 34 41
Prıklady
e) Urcıme prusecıky s osou x (rArr y = 0)
f (x) = 0 lArrrArr x2 = 0 lArrrArr x = 0
tedy Px = [0 0]a s osou y (rArr x = 0)
y = minus 02
0 + 1= 0 lArrrArr y = 0
tedy Py = [0 0] = Px
f) Nynı zıskame intervaly kde je funkce f (x) kladna a zaporna
x (minusinfinminus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f + minus minusf kladna zaporna zaporna
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 35 41
Prıklady
g) Spocıtame prvnı derivaci a jejı definicnı obor tj
f prime(x) =minusx2 minus 2x
(x + 1)2 D(f prime) = R minus1
h) Nynı urcıme stacionarnı body a intervaly monotonie tj
x (minusinfinminus2) (minus2minus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f prime minus + + minusf
i) Z tabulky vidıme ze funkce ma v x = minus2 lokalnı minimum a v x = 0lokalnı maximum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 36 41
Prıklady
j) Spocıtame druhou derivaci a urcıme jejı definicnı obor
f primeprime(x) =minus2x minus 2
(x + 1)4=
minus2
(x + 1)3
D(f primeprime) = R minus1
k) Urcıme kriticke body a intervaly konvexnosti a konkavnosti tj
f primeprime(x) = 0 lArrrArr minus2 = 0
coz je nesmysl Druha derivace tedy nema zadny nulovy bodNesmıme ovsem zapomenout ze jejı znamenko se muze zmenit i vbodech ve kterych nenı definovana (tj v
rdquodırachldquo jejıho definicnıho
oboru)
x (minusinfinminus1) (minus1infin)
sgn f primeprime + minusf cup cap
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 37 41
Prıklady
l) Funkce nema zadny inflexnı bod (minus1 6isin D(f ))
m) Zrekapitulujme vyznacne body a spocteme v nich funkcnı hodnoty
Prusecıky s osami Px = Py = [0 0]Lokalnı minimum v x = minus2 f (minus2) = 4 tedy jde o bod [minus2 4]Lokalnı maximum v x = 0 f (0) = 0 tedy jde o bod [0 0]
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 38 41
Prıklady
n) Nynı zkombinujeme vsechny zıskane informace a obdrzıme graf funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 39 41
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
Použitiacute derivaciacute
LHospitalovo pravidlo
Tecna a normaacutela ke grafu funkce
Prubeh funkce
Monotonie a lokaacutelniacute extreacutemy
Konvexnost konkaacutevnost a inflexniacute body
Asymptoty
Prubeh funkce ndash shrnutiacute
Priacuteklady
Wolfram|Alpha
Prubeh funkce Monotonie a lokalnı extremy
(ii) f prime(x) = minus2x + 4 = 0 hArr x = 2
f primeprime(x) = minus2 rArr f primeprime(2) = minus2 lt 0
Funkce f ma tedy v x = 2 lokalnı maximum s hodnotou f (2) = 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 16 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Definice
Funkci nazveme konvexnı (konkavnı) v bode x0 jestlize jejı graf lezı vprstencovem okolı bodu x0 nad (pod) tecnou v tomto bodeFunkci nazveme konvexnı (konkavnı) na intervalu I jestlize je konvexnı(konkavnı) v kazdem bode tohoto intervalu
Veta
Nechtrsquo funkce f (x) ma derivaci na intervalu (a b) Pak platı
jestlize forallx isin (a b) platı f primeprime(x) gt 0 pak je funkce f konvexnı naintervalu (a b)
jestlize forallx isin (a b) platı f primeprime(x) lt 0 pak je funkce f konkavnı naintervalu (a b)
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 18 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Poznamka
Opacne tvrzenı neplatı Napr funkce f (x) = x4 je konvexnı na R alef primeprime(0) = 0
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 19 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Definice
Rekneme ze funkce f ma v bode x0 inflexnı bod jestlize v bode x0
existuje tecna ke grafu funkce a f primeprime zde menı znamenko (tj graf funkce semenı z konvexnıho na konkavnı nebo opacne)
Poznamka
Funkce f muze mıt inflexnı bod v bode x0 ve kterem
f primeprime(x0) = 0
f primeprime(x0) neexistuje
Obr x3 Obr 3radic
x
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 20 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Veta
Nechtrsquo ma funkce f v bode x0 spojitou prvnı derivaci a nechtrsquo existuje ryzıokolı bodu x0 v nemz existuje druha derivace funkce f Oznacme L leveryzı okolı bodu x0 a R prave ryzı okolı bodu x0 Pak jestlize
f primeprime(x) gt 0forallx isin L a f primeprime(x) lt 0 forallx isin R nebo naopak
pak ma funkce f v bode x0 inflexnı bod
Prıklad
Zjistete pro ktera x isin R je funkce f (x) = x3 minus 6x2 + 6x minus 3konkavnıkonvexnı a najdete jejı inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 21 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Resenı f prime(x) = 3x2 minus 12x + 6 f primeprime(x) = 6x minus 12 = 0 hArr x = 2
x (minusinfin 2) (2infin)
sgn f primeprime minus +
f cap cup
Funkce je konkavnı pro x isin (minusinfin 2) konvexnı pro x isin (2infin) a v x = 2ma inflexnı bod s hodnotou f (2) = minus7
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 22 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 23 41
Prubeh funkce Asymptoty
Definice
Prımku ktera je tecnou ke grafu funkce f v nekterem nevlastnım bodenazyvame asymptota funkce f
Veta
Funkce ma
asymptotu bez smernice x = x0 prave tehdy kdyz ma v bode x0
nevlastnı limitu zleva nebo zprava
asymptotu se smernicı y = ax + b pro x rarr plusmninfin prave tehdy kdyz
a = limxrarrplusmninfin
f (x)
xisin R a b = lim
xrarrplusmninfin(f (x)minus ax) isin R
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 25 41
Prubeh funkce Asymptoty
Poznamka
Je-li limita limxrarrx+0
f (x) = plusmninfin nebo limxrarrxminus0f (x) = plusmninfin pak je svisla
prımka x = x0 asymptotou bez smernice funkce f v bode x0 Tedyasymptoty bez smernice hledame rdquov dırachrdquonebo na okraji definicnıhooboru
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 26 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 27 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 28 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postup pri vysetrovanı prubehu funkce
(i) Prımo z funkce
bull D(f ) sudostlichost periodicnost prusecıky s osamikladnostzapornost
bull asymptoty (se smernicı bez smernice)
(ii) Z prvnı derivace rostoucıklesajıcı lokalnı extremy
(iii) Z druhe derivace konvexnıkonkavnı inflexnı body
(iv) Nacrtnutı grafu ke vsem vyse zmınenym bodum dopocıtame funkcnıhodnoty a zkombinujeme zjistene informace
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 30 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postupne tedy plnıme nasledujıcı body
a) definicnı obor
b) sudostlichost (periodicnost)
c) asymptoty bez smernice
d) asymptoty se smernicı
e) prusecıky s osami
f) kladnostzapornost
g) prvnı derivaci
h) kde je f rostoucıklesajıcı
i) lokalnı extremy
j) druhou derivaci
k) kde je f konvexnıkonkavnı
l) inflexnı body
m) funkcnı hodnoty vevyznamnych bodech
n) nacrtneme graf
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 31 41
Prıklady
Prıklad
Vysetrete prubeh funkce
f (x) = minus x2
x + 1
Resenı
a) Funkcnımu predpisu vyhovujı vsechna realna cısla takova zex + 1 6= 0 Proto mame
D(f ) = R minus1
b) O sudostilichosti funkce snadno rozhodneme dosazenım minusx Ponevadz platı
f (minusx) = minus x2
minusx + 16= plusmnf (x)
nenı zadana funkce ani licha ani suda (coz je videt uz z nesymetriedefinicnıho oboru) Vzhledem k definicnımu oboru je zrejme zefunkce nemuze byt periodicka
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 33 41
Prıklady
c) Asymptoty bez smernice popisujı limitnı chovanı funkce v bodechnespojitosti (nebo na okraji definicnıho oboru) proto prımymvypoctem ihned dostaneme
limxrarrminus1+
minus x2
x + 1= minus lim
xrarrminus1+
x2
x + 1= minus(+infin) = minusinfin
limxrarrminus1minus
minus x2
x + 1= lim
xrarrminus1minusminus x2
x + 1= minus(minusinfin) =infin
Funkce ma jednu svislou asymptotu x = minus1
d) Pomocı vzorcu urcıme asymptoty se smernicı (pokud existujı)
a = limxrarrplusmninfin
minus x2
x2 + x= minus1
b = limxrarrplusmninfin
minus x2
x + 1+ x = lim
xrarrplusmninfin
x
x + 1= 1
Funkce f (x) ma tedy v +infin i minusinfin asymptotu se smernicı ktera jedana rovnicı y = minusx + 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 34 41
Prıklady
e) Urcıme prusecıky s osou x (rArr y = 0)
f (x) = 0 lArrrArr x2 = 0 lArrrArr x = 0
tedy Px = [0 0]a s osou y (rArr x = 0)
y = minus 02
0 + 1= 0 lArrrArr y = 0
tedy Py = [0 0] = Px
f) Nynı zıskame intervaly kde je funkce f (x) kladna a zaporna
x (minusinfinminus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f + minus minusf kladna zaporna zaporna
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 35 41
Prıklady
g) Spocıtame prvnı derivaci a jejı definicnı obor tj
f prime(x) =minusx2 minus 2x
(x + 1)2 D(f prime) = R minus1
h) Nynı urcıme stacionarnı body a intervaly monotonie tj
x (minusinfinminus2) (minus2minus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f prime minus + + minusf
i) Z tabulky vidıme ze funkce ma v x = minus2 lokalnı minimum a v x = 0lokalnı maximum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 36 41
Prıklady
j) Spocıtame druhou derivaci a urcıme jejı definicnı obor
f primeprime(x) =minus2x minus 2
(x + 1)4=
minus2
(x + 1)3
D(f primeprime) = R minus1
k) Urcıme kriticke body a intervaly konvexnosti a konkavnosti tj
f primeprime(x) = 0 lArrrArr minus2 = 0
coz je nesmysl Druha derivace tedy nema zadny nulovy bodNesmıme ovsem zapomenout ze jejı znamenko se muze zmenit i vbodech ve kterych nenı definovana (tj v
rdquodırachldquo jejıho definicnıho
oboru)
x (minusinfinminus1) (minus1infin)
sgn f primeprime + minusf cup cap
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 37 41
Prıklady
l) Funkce nema zadny inflexnı bod (minus1 6isin D(f ))
m) Zrekapitulujme vyznacne body a spocteme v nich funkcnı hodnoty
Prusecıky s osami Px = Py = [0 0]Lokalnı minimum v x = minus2 f (minus2) = 4 tedy jde o bod [minus2 4]Lokalnı maximum v x = 0 f (0) = 0 tedy jde o bod [0 0]
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 38 41
Prıklady
n) Nynı zkombinujeme vsechny zıskane informace a obdrzıme graf funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 39 41
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
Použitiacute derivaciacute
LHospitalovo pravidlo
Tecna a normaacutela ke grafu funkce
Prubeh funkce
Monotonie a lokaacutelniacute extreacutemy
Konvexnost konkaacutevnost a inflexniacute body
Asymptoty
Prubeh funkce ndash shrnutiacute
Priacuteklady
Wolfram|Alpha
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Definice
Funkci nazveme konvexnı (konkavnı) v bode x0 jestlize jejı graf lezı vprstencovem okolı bodu x0 nad (pod) tecnou v tomto bodeFunkci nazveme konvexnı (konkavnı) na intervalu I jestlize je konvexnı(konkavnı) v kazdem bode tohoto intervalu
Veta
Nechtrsquo funkce f (x) ma derivaci na intervalu (a b) Pak platı
jestlize forallx isin (a b) platı f primeprime(x) gt 0 pak je funkce f konvexnı naintervalu (a b)
jestlize forallx isin (a b) platı f primeprime(x) lt 0 pak je funkce f konkavnı naintervalu (a b)
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 18 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Poznamka
Opacne tvrzenı neplatı Napr funkce f (x) = x4 je konvexnı na R alef primeprime(0) = 0
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 19 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Definice
Rekneme ze funkce f ma v bode x0 inflexnı bod jestlize v bode x0
existuje tecna ke grafu funkce a f primeprime zde menı znamenko (tj graf funkce semenı z konvexnıho na konkavnı nebo opacne)
Poznamka
Funkce f muze mıt inflexnı bod v bode x0 ve kterem
f primeprime(x0) = 0
f primeprime(x0) neexistuje
Obr x3 Obr 3radic
x
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 20 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Veta
Nechtrsquo ma funkce f v bode x0 spojitou prvnı derivaci a nechtrsquo existuje ryzıokolı bodu x0 v nemz existuje druha derivace funkce f Oznacme L leveryzı okolı bodu x0 a R prave ryzı okolı bodu x0 Pak jestlize
f primeprime(x) gt 0forallx isin L a f primeprime(x) lt 0 forallx isin R nebo naopak
pak ma funkce f v bode x0 inflexnı bod
Prıklad
Zjistete pro ktera x isin R je funkce f (x) = x3 minus 6x2 + 6x minus 3konkavnıkonvexnı a najdete jejı inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 21 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Resenı f prime(x) = 3x2 minus 12x + 6 f primeprime(x) = 6x minus 12 = 0 hArr x = 2
x (minusinfin 2) (2infin)
sgn f primeprime minus +
f cap cup
Funkce je konkavnı pro x isin (minusinfin 2) konvexnı pro x isin (2infin) a v x = 2ma inflexnı bod s hodnotou f (2) = minus7
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 22 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 23 41
Prubeh funkce Asymptoty
Definice
Prımku ktera je tecnou ke grafu funkce f v nekterem nevlastnım bodenazyvame asymptota funkce f
Veta
Funkce ma
asymptotu bez smernice x = x0 prave tehdy kdyz ma v bode x0
nevlastnı limitu zleva nebo zprava
asymptotu se smernicı y = ax + b pro x rarr plusmninfin prave tehdy kdyz
a = limxrarrplusmninfin
f (x)
xisin R a b = lim
xrarrplusmninfin(f (x)minus ax) isin R
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 25 41
Prubeh funkce Asymptoty
Poznamka
Je-li limita limxrarrx+0
f (x) = plusmninfin nebo limxrarrxminus0f (x) = plusmninfin pak je svisla
prımka x = x0 asymptotou bez smernice funkce f v bode x0 Tedyasymptoty bez smernice hledame rdquov dırachrdquonebo na okraji definicnıhooboru
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 26 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 27 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 28 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postup pri vysetrovanı prubehu funkce
(i) Prımo z funkce
bull D(f ) sudostlichost periodicnost prusecıky s osamikladnostzapornost
bull asymptoty (se smernicı bez smernice)
(ii) Z prvnı derivace rostoucıklesajıcı lokalnı extremy
(iii) Z druhe derivace konvexnıkonkavnı inflexnı body
(iv) Nacrtnutı grafu ke vsem vyse zmınenym bodum dopocıtame funkcnıhodnoty a zkombinujeme zjistene informace
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 30 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postupne tedy plnıme nasledujıcı body
a) definicnı obor
b) sudostlichost (periodicnost)
c) asymptoty bez smernice
d) asymptoty se smernicı
e) prusecıky s osami
f) kladnostzapornost
g) prvnı derivaci
h) kde je f rostoucıklesajıcı
i) lokalnı extremy
j) druhou derivaci
k) kde je f konvexnıkonkavnı
l) inflexnı body
m) funkcnı hodnoty vevyznamnych bodech
n) nacrtneme graf
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 31 41
Prıklady
Prıklad
Vysetrete prubeh funkce
f (x) = minus x2
x + 1
Resenı
a) Funkcnımu predpisu vyhovujı vsechna realna cısla takova zex + 1 6= 0 Proto mame
D(f ) = R minus1
b) O sudostilichosti funkce snadno rozhodneme dosazenım minusx Ponevadz platı
f (minusx) = minus x2
minusx + 16= plusmnf (x)
nenı zadana funkce ani licha ani suda (coz je videt uz z nesymetriedefinicnıho oboru) Vzhledem k definicnımu oboru je zrejme zefunkce nemuze byt periodicka
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 33 41
Prıklady
c) Asymptoty bez smernice popisujı limitnı chovanı funkce v bodechnespojitosti (nebo na okraji definicnıho oboru) proto prımymvypoctem ihned dostaneme
limxrarrminus1+
minus x2
x + 1= minus lim
xrarrminus1+
x2
x + 1= minus(+infin) = minusinfin
limxrarrminus1minus
minus x2
x + 1= lim
xrarrminus1minusminus x2
x + 1= minus(minusinfin) =infin
Funkce ma jednu svislou asymptotu x = minus1
d) Pomocı vzorcu urcıme asymptoty se smernicı (pokud existujı)
a = limxrarrplusmninfin
minus x2
x2 + x= minus1
b = limxrarrplusmninfin
minus x2
x + 1+ x = lim
xrarrplusmninfin
x
x + 1= 1
Funkce f (x) ma tedy v +infin i minusinfin asymptotu se smernicı ktera jedana rovnicı y = minusx + 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 34 41
Prıklady
e) Urcıme prusecıky s osou x (rArr y = 0)
f (x) = 0 lArrrArr x2 = 0 lArrrArr x = 0
tedy Px = [0 0]a s osou y (rArr x = 0)
y = minus 02
0 + 1= 0 lArrrArr y = 0
tedy Py = [0 0] = Px
f) Nynı zıskame intervaly kde je funkce f (x) kladna a zaporna
x (minusinfinminus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f + minus minusf kladna zaporna zaporna
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 35 41
Prıklady
g) Spocıtame prvnı derivaci a jejı definicnı obor tj
f prime(x) =minusx2 minus 2x
(x + 1)2 D(f prime) = R minus1
h) Nynı urcıme stacionarnı body a intervaly monotonie tj
x (minusinfinminus2) (minus2minus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f prime minus + + minusf
i) Z tabulky vidıme ze funkce ma v x = minus2 lokalnı minimum a v x = 0lokalnı maximum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 36 41
Prıklady
j) Spocıtame druhou derivaci a urcıme jejı definicnı obor
f primeprime(x) =minus2x minus 2
(x + 1)4=
minus2
(x + 1)3
D(f primeprime) = R minus1
k) Urcıme kriticke body a intervaly konvexnosti a konkavnosti tj
f primeprime(x) = 0 lArrrArr minus2 = 0
coz je nesmysl Druha derivace tedy nema zadny nulovy bodNesmıme ovsem zapomenout ze jejı znamenko se muze zmenit i vbodech ve kterych nenı definovana (tj v
rdquodırachldquo jejıho definicnıho
oboru)
x (minusinfinminus1) (minus1infin)
sgn f primeprime + minusf cup cap
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 37 41
Prıklady
l) Funkce nema zadny inflexnı bod (minus1 6isin D(f ))
m) Zrekapitulujme vyznacne body a spocteme v nich funkcnı hodnoty
Prusecıky s osami Px = Py = [0 0]Lokalnı minimum v x = minus2 f (minus2) = 4 tedy jde o bod [minus2 4]Lokalnı maximum v x = 0 f (0) = 0 tedy jde o bod [0 0]
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 38 41
Prıklady
n) Nynı zkombinujeme vsechny zıskane informace a obdrzıme graf funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 39 41
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
Použitiacute derivaciacute
LHospitalovo pravidlo
Tecna a normaacutela ke grafu funkce
Prubeh funkce
Monotonie a lokaacutelniacute extreacutemy
Konvexnost konkaacutevnost a inflexniacute body
Asymptoty
Prubeh funkce ndash shrnutiacute
Priacuteklady
Wolfram|Alpha
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Poznamka
Opacne tvrzenı neplatı Napr funkce f (x) = x4 je konvexnı na R alef primeprime(0) = 0
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 19 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Definice
Rekneme ze funkce f ma v bode x0 inflexnı bod jestlize v bode x0
existuje tecna ke grafu funkce a f primeprime zde menı znamenko (tj graf funkce semenı z konvexnıho na konkavnı nebo opacne)
Poznamka
Funkce f muze mıt inflexnı bod v bode x0 ve kterem
f primeprime(x0) = 0
f primeprime(x0) neexistuje
Obr x3 Obr 3radic
x
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 20 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Veta
Nechtrsquo ma funkce f v bode x0 spojitou prvnı derivaci a nechtrsquo existuje ryzıokolı bodu x0 v nemz existuje druha derivace funkce f Oznacme L leveryzı okolı bodu x0 a R prave ryzı okolı bodu x0 Pak jestlize
f primeprime(x) gt 0forallx isin L a f primeprime(x) lt 0 forallx isin R nebo naopak
pak ma funkce f v bode x0 inflexnı bod
Prıklad
Zjistete pro ktera x isin R je funkce f (x) = x3 minus 6x2 + 6x minus 3konkavnıkonvexnı a najdete jejı inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 21 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Resenı f prime(x) = 3x2 minus 12x + 6 f primeprime(x) = 6x minus 12 = 0 hArr x = 2
x (minusinfin 2) (2infin)
sgn f primeprime minus +
f cap cup
Funkce je konkavnı pro x isin (minusinfin 2) konvexnı pro x isin (2infin) a v x = 2ma inflexnı bod s hodnotou f (2) = minus7
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 22 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 23 41
Prubeh funkce Asymptoty
Definice
Prımku ktera je tecnou ke grafu funkce f v nekterem nevlastnım bodenazyvame asymptota funkce f
Veta
Funkce ma
asymptotu bez smernice x = x0 prave tehdy kdyz ma v bode x0
nevlastnı limitu zleva nebo zprava
asymptotu se smernicı y = ax + b pro x rarr plusmninfin prave tehdy kdyz
a = limxrarrplusmninfin
f (x)
xisin R a b = lim
xrarrplusmninfin(f (x)minus ax) isin R
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 25 41
Prubeh funkce Asymptoty
Poznamka
Je-li limita limxrarrx+0
f (x) = plusmninfin nebo limxrarrxminus0f (x) = plusmninfin pak je svisla
prımka x = x0 asymptotou bez smernice funkce f v bode x0 Tedyasymptoty bez smernice hledame rdquov dırachrdquonebo na okraji definicnıhooboru
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 26 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 27 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 28 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postup pri vysetrovanı prubehu funkce
(i) Prımo z funkce
bull D(f ) sudostlichost periodicnost prusecıky s osamikladnostzapornost
bull asymptoty (se smernicı bez smernice)
(ii) Z prvnı derivace rostoucıklesajıcı lokalnı extremy
(iii) Z druhe derivace konvexnıkonkavnı inflexnı body
(iv) Nacrtnutı grafu ke vsem vyse zmınenym bodum dopocıtame funkcnıhodnoty a zkombinujeme zjistene informace
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 30 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postupne tedy plnıme nasledujıcı body
a) definicnı obor
b) sudostlichost (periodicnost)
c) asymptoty bez smernice
d) asymptoty se smernicı
e) prusecıky s osami
f) kladnostzapornost
g) prvnı derivaci
h) kde je f rostoucıklesajıcı
i) lokalnı extremy
j) druhou derivaci
k) kde je f konvexnıkonkavnı
l) inflexnı body
m) funkcnı hodnoty vevyznamnych bodech
n) nacrtneme graf
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 31 41
Prıklady
Prıklad
Vysetrete prubeh funkce
f (x) = minus x2
x + 1
Resenı
a) Funkcnımu predpisu vyhovujı vsechna realna cısla takova zex + 1 6= 0 Proto mame
D(f ) = R minus1
b) O sudostilichosti funkce snadno rozhodneme dosazenım minusx Ponevadz platı
f (minusx) = minus x2
minusx + 16= plusmnf (x)
nenı zadana funkce ani licha ani suda (coz je videt uz z nesymetriedefinicnıho oboru) Vzhledem k definicnımu oboru je zrejme zefunkce nemuze byt periodicka
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 33 41
Prıklady
c) Asymptoty bez smernice popisujı limitnı chovanı funkce v bodechnespojitosti (nebo na okraji definicnıho oboru) proto prımymvypoctem ihned dostaneme
limxrarrminus1+
minus x2
x + 1= minus lim
xrarrminus1+
x2
x + 1= minus(+infin) = minusinfin
limxrarrminus1minus
minus x2
x + 1= lim
xrarrminus1minusminus x2
x + 1= minus(minusinfin) =infin
Funkce ma jednu svislou asymptotu x = minus1
d) Pomocı vzorcu urcıme asymptoty se smernicı (pokud existujı)
a = limxrarrplusmninfin
minus x2
x2 + x= minus1
b = limxrarrplusmninfin
minus x2
x + 1+ x = lim
xrarrplusmninfin
x
x + 1= 1
Funkce f (x) ma tedy v +infin i minusinfin asymptotu se smernicı ktera jedana rovnicı y = minusx + 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 34 41
Prıklady
e) Urcıme prusecıky s osou x (rArr y = 0)
f (x) = 0 lArrrArr x2 = 0 lArrrArr x = 0
tedy Px = [0 0]a s osou y (rArr x = 0)
y = minus 02
0 + 1= 0 lArrrArr y = 0
tedy Py = [0 0] = Px
f) Nynı zıskame intervaly kde je funkce f (x) kladna a zaporna
x (minusinfinminus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f + minus minusf kladna zaporna zaporna
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 35 41
Prıklady
g) Spocıtame prvnı derivaci a jejı definicnı obor tj
f prime(x) =minusx2 minus 2x
(x + 1)2 D(f prime) = R minus1
h) Nynı urcıme stacionarnı body a intervaly monotonie tj
x (minusinfinminus2) (minus2minus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f prime minus + + minusf
i) Z tabulky vidıme ze funkce ma v x = minus2 lokalnı minimum a v x = 0lokalnı maximum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 36 41
Prıklady
j) Spocıtame druhou derivaci a urcıme jejı definicnı obor
f primeprime(x) =minus2x minus 2
(x + 1)4=
minus2
(x + 1)3
D(f primeprime) = R minus1
k) Urcıme kriticke body a intervaly konvexnosti a konkavnosti tj
f primeprime(x) = 0 lArrrArr minus2 = 0
coz je nesmysl Druha derivace tedy nema zadny nulovy bodNesmıme ovsem zapomenout ze jejı znamenko se muze zmenit i vbodech ve kterych nenı definovana (tj v
rdquodırachldquo jejıho definicnıho
oboru)
x (minusinfinminus1) (minus1infin)
sgn f primeprime + minusf cup cap
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 37 41
Prıklady
l) Funkce nema zadny inflexnı bod (minus1 6isin D(f ))
m) Zrekapitulujme vyznacne body a spocteme v nich funkcnı hodnoty
Prusecıky s osami Px = Py = [0 0]Lokalnı minimum v x = minus2 f (minus2) = 4 tedy jde o bod [minus2 4]Lokalnı maximum v x = 0 f (0) = 0 tedy jde o bod [0 0]
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 38 41
Prıklady
n) Nynı zkombinujeme vsechny zıskane informace a obdrzıme graf funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 39 41
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
Použitiacute derivaciacute
LHospitalovo pravidlo
Tecna a normaacutela ke grafu funkce
Prubeh funkce
Monotonie a lokaacutelniacute extreacutemy
Konvexnost konkaacutevnost a inflexniacute body
Asymptoty
Prubeh funkce ndash shrnutiacute
Priacuteklady
Wolfram|Alpha
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Definice
Rekneme ze funkce f ma v bode x0 inflexnı bod jestlize v bode x0
existuje tecna ke grafu funkce a f primeprime zde menı znamenko (tj graf funkce semenı z konvexnıho na konkavnı nebo opacne)
Poznamka
Funkce f muze mıt inflexnı bod v bode x0 ve kterem
f primeprime(x0) = 0
f primeprime(x0) neexistuje
Obr x3 Obr 3radic
x
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 20 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Veta
Nechtrsquo ma funkce f v bode x0 spojitou prvnı derivaci a nechtrsquo existuje ryzıokolı bodu x0 v nemz existuje druha derivace funkce f Oznacme L leveryzı okolı bodu x0 a R prave ryzı okolı bodu x0 Pak jestlize
f primeprime(x) gt 0forallx isin L a f primeprime(x) lt 0 forallx isin R nebo naopak
pak ma funkce f v bode x0 inflexnı bod
Prıklad
Zjistete pro ktera x isin R je funkce f (x) = x3 minus 6x2 + 6x minus 3konkavnıkonvexnı a najdete jejı inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 21 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Resenı f prime(x) = 3x2 minus 12x + 6 f primeprime(x) = 6x minus 12 = 0 hArr x = 2
x (minusinfin 2) (2infin)
sgn f primeprime minus +
f cap cup
Funkce je konkavnı pro x isin (minusinfin 2) konvexnı pro x isin (2infin) a v x = 2ma inflexnı bod s hodnotou f (2) = minus7
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 22 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 23 41
Prubeh funkce Asymptoty
Definice
Prımku ktera je tecnou ke grafu funkce f v nekterem nevlastnım bodenazyvame asymptota funkce f
Veta
Funkce ma
asymptotu bez smernice x = x0 prave tehdy kdyz ma v bode x0
nevlastnı limitu zleva nebo zprava
asymptotu se smernicı y = ax + b pro x rarr plusmninfin prave tehdy kdyz
a = limxrarrplusmninfin
f (x)
xisin R a b = lim
xrarrplusmninfin(f (x)minus ax) isin R
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 25 41
Prubeh funkce Asymptoty
Poznamka
Je-li limita limxrarrx+0
f (x) = plusmninfin nebo limxrarrxminus0f (x) = plusmninfin pak je svisla
prımka x = x0 asymptotou bez smernice funkce f v bode x0 Tedyasymptoty bez smernice hledame rdquov dırachrdquonebo na okraji definicnıhooboru
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 26 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 27 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 28 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postup pri vysetrovanı prubehu funkce
(i) Prımo z funkce
bull D(f ) sudostlichost periodicnost prusecıky s osamikladnostzapornost
bull asymptoty (se smernicı bez smernice)
(ii) Z prvnı derivace rostoucıklesajıcı lokalnı extremy
(iii) Z druhe derivace konvexnıkonkavnı inflexnı body
(iv) Nacrtnutı grafu ke vsem vyse zmınenym bodum dopocıtame funkcnıhodnoty a zkombinujeme zjistene informace
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 30 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postupne tedy plnıme nasledujıcı body
a) definicnı obor
b) sudostlichost (periodicnost)
c) asymptoty bez smernice
d) asymptoty se smernicı
e) prusecıky s osami
f) kladnostzapornost
g) prvnı derivaci
h) kde je f rostoucıklesajıcı
i) lokalnı extremy
j) druhou derivaci
k) kde je f konvexnıkonkavnı
l) inflexnı body
m) funkcnı hodnoty vevyznamnych bodech
n) nacrtneme graf
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 31 41
Prıklady
Prıklad
Vysetrete prubeh funkce
f (x) = minus x2
x + 1
Resenı
a) Funkcnımu predpisu vyhovujı vsechna realna cısla takova zex + 1 6= 0 Proto mame
D(f ) = R minus1
b) O sudostilichosti funkce snadno rozhodneme dosazenım minusx Ponevadz platı
f (minusx) = minus x2
minusx + 16= plusmnf (x)
nenı zadana funkce ani licha ani suda (coz je videt uz z nesymetriedefinicnıho oboru) Vzhledem k definicnımu oboru je zrejme zefunkce nemuze byt periodicka
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 33 41
Prıklady
c) Asymptoty bez smernice popisujı limitnı chovanı funkce v bodechnespojitosti (nebo na okraji definicnıho oboru) proto prımymvypoctem ihned dostaneme
limxrarrminus1+
minus x2
x + 1= minus lim
xrarrminus1+
x2
x + 1= minus(+infin) = minusinfin
limxrarrminus1minus
minus x2
x + 1= lim
xrarrminus1minusminus x2
x + 1= minus(minusinfin) =infin
Funkce ma jednu svislou asymptotu x = minus1
d) Pomocı vzorcu urcıme asymptoty se smernicı (pokud existujı)
a = limxrarrplusmninfin
minus x2
x2 + x= minus1
b = limxrarrplusmninfin
minus x2
x + 1+ x = lim
xrarrplusmninfin
x
x + 1= 1
Funkce f (x) ma tedy v +infin i minusinfin asymptotu se smernicı ktera jedana rovnicı y = minusx + 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 34 41
Prıklady
e) Urcıme prusecıky s osou x (rArr y = 0)
f (x) = 0 lArrrArr x2 = 0 lArrrArr x = 0
tedy Px = [0 0]a s osou y (rArr x = 0)
y = minus 02
0 + 1= 0 lArrrArr y = 0
tedy Py = [0 0] = Px
f) Nynı zıskame intervaly kde je funkce f (x) kladna a zaporna
x (minusinfinminus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f + minus minusf kladna zaporna zaporna
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 35 41
Prıklady
g) Spocıtame prvnı derivaci a jejı definicnı obor tj
f prime(x) =minusx2 minus 2x
(x + 1)2 D(f prime) = R minus1
h) Nynı urcıme stacionarnı body a intervaly monotonie tj
x (minusinfinminus2) (minus2minus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f prime minus + + minusf
i) Z tabulky vidıme ze funkce ma v x = minus2 lokalnı minimum a v x = 0lokalnı maximum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 36 41
Prıklady
j) Spocıtame druhou derivaci a urcıme jejı definicnı obor
f primeprime(x) =minus2x minus 2
(x + 1)4=
minus2
(x + 1)3
D(f primeprime) = R minus1
k) Urcıme kriticke body a intervaly konvexnosti a konkavnosti tj
f primeprime(x) = 0 lArrrArr minus2 = 0
coz je nesmysl Druha derivace tedy nema zadny nulovy bodNesmıme ovsem zapomenout ze jejı znamenko se muze zmenit i vbodech ve kterych nenı definovana (tj v
rdquodırachldquo jejıho definicnıho
oboru)
x (minusinfinminus1) (minus1infin)
sgn f primeprime + minusf cup cap
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 37 41
Prıklady
l) Funkce nema zadny inflexnı bod (minus1 6isin D(f ))
m) Zrekapitulujme vyznacne body a spocteme v nich funkcnı hodnoty
Prusecıky s osami Px = Py = [0 0]Lokalnı minimum v x = minus2 f (minus2) = 4 tedy jde o bod [minus2 4]Lokalnı maximum v x = 0 f (0) = 0 tedy jde o bod [0 0]
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 38 41
Prıklady
n) Nynı zkombinujeme vsechny zıskane informace a obdrzıme graf funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 39 41
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
Použitiacute derivaciacute
LHospitalovo pravidlo
Tecna a normaacutela ke grafu funkce
Prubeh funkce
Monotonie a lokaacutelniacute extreacutemy
Konvexnost konkaacutevnost a inflexniacute body
Asymptoty
Prubeh funkce ndash shrnutiacute
Priacuteklady
Wolfram|Alpha
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Veta
Nechtrsquo ma funkce f v bode x0 spojitou prvnı derivaci a nechtrsquo existuje ryzıokolı bodu x0 v nemz existuje druha derivace funkce f Oznacme L leveryzı okolı bodu x0 a R prave ryzı okolı bodu x0 Pak jestlize
f primeprime(x) gt 0forallx isin L a f primeprime(x) lt 0 forallx isin R nebo naopak
pak ma funkce f v bode x0 inflexnı bod
Prıklad
Zjistete pro ktera x isin R je funkce f (x) = x3 minus 6x2 + 6x minus 3konkavnıkonvexnı a najdete jejı inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 21 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Resenı f prime(x) = 3x2 minus 12x + 6 f primeprime(x) = 6x minus 12 = 0 hArr x = 2
x (minusinfin 2) (2infin)
sgn f primeprime minus +
f cap cup
Funkce je konkavnı pro x isin (minusinfin 2) konvexnı pro x isin (2infin) a v x = 2ma inflexnı bod s hodnotou f (2) = minus7
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 22 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 23 41
Prubeh funkce Asymptoty
Definice
Prımku ktera je tecnou ke grafu funkce f v nekterem nevlastnım bodenazyvame asymptota funkce f
Veta
Funkce ma
asymptotu bez smernice x = x0 prave tehdy kdyz ma v bode x0
nevlastnı limitu zleva nebo zprava
asymptotu se smernicı y = ax + b pro x rarr plusmninfin prave tehdy kdyz
a = limxrarrplusmninfin
f (x)
xisin R a b = lim
xrarrplusmninfin(f (x)minus ax) isin R
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 25 41
Prubeh funkce Asymptoty
Poznamka
Je-li limita limxrarrx+0
f (x) = plusmninfin nebo limxrarrxminus0f (x) = plusmninfin pak je svisla
prımka x = x0 asymptotou bez smernice funkce f v bode x0 Tedyasymptoty bez smernice hledame rdquov dırachrdquonebo na okraji definicnıhooboru
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 26 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 27 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 28 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postup pri vysetrovanı prubehu funkce
(i) Prımo z funkce
bull D(f ) sudostlichost periodicnost prusecıky s osamikladnostzapornost
bull asymptoty (se smernicı bez smernice)
(ii) Z prvnı derivace rostoucıklesajıcı lokalnı extremy
(iii) Z druhe derivace konvexnıkonkavnı inflexnı body
(iv) Nacrtnutı grafu ke vsem vyse zmınenym bodum dopocıtame funkcnıhodnoty a zkombinujeme zjistene informace
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 30 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postupne tedy plnıme nasledujıcı body
a) definicnı obor
b) sudostlichost (periodicnost)
c) asymptoty bez smernice
d) asymptoty se smernicı
e) prusecıky s osami
f) kladnostzapornost
g) prvnı derivaci
h) kde je f rostoucıklesajıcı
i) lokalnı extremy
j) druhou derivaci
k) kde je f konvexnıkonkavnı
l) inflexnı body
m) funkcnı hodnoty vevyznamnych bodech
n) nacrtneme graf
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 31 41
Prıklady
Prıklad
Vysetrete prubeh funkce
f (x) = minus x2
x + 1
Resenı
a) Funkcnımu predpisu vyhovujı vsechna realna cısla takova zex + 1 6= 0 Proto mame
D(f ) = R minus1
b) O sudostilichosti funkce snadno rozhodneme dosazenım minusx Ponevadz platı
f (minusx) = minus x2
minusx + 16= plusmnf (x)
nenı zadana funkce ani licha ani suda (coz je videt uz z nesymetriedefinicnıho oboru) Vzhledem k definicnımu oboru je zrejme zefunkce nemuze byt periodicka
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 33 41
Prıklady
c) Asymptoty bez smernice popisujı limitnı chovanı funkce v bodechnespojitosti (nebo na okraji definicnıho oboru) proto prımymvypoctem ihned dostaneme
limxrarrminus1+
minus x2
x + 1= minus lim
xrarrminus1+
x2
x + 1= minus(+infin) = minusinfin
limxrarrminus1minus
minus x2
x + 1= lim
xrarrminus1minusminus x2
x + 1= minus(minusinfin) =infin
Funkce ma jednu svislou asymptotu x = minus1
d) Pomocı vzorcu urcıme asymptoty se smernicı (pokud existujı)
a = limxrarrplusmninfin
minus x2
x2 + x= minus1
b = limxrarrplusmninfin
minus x2
x + 1+ x = lim
xrarrplusmninfin
x
x + 1= 1
Funkce f (x) ma tedy v +infin i minusinfin asymptotu se smernicı ktera jedana rovnicı y = minusx + 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 34 41
Prıklady
e) Urcıme prusecıky s osou x (rArr y = 0)
f (x) = 0 lArrrArr x2 = 0 lArrrArr x = 0
tedy Px = [0 0]a s osou y (rArr x = 0)
y = minus 02
0 + 1= 0 lArrrArr y = 0
tedy Py = [0 0] = Px
f) Nynı zıskame intervaly kde je funkce f (x) kladna a zaporna
x (minusinfinminus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f + minus minusf kladna zaporna zaporna
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 35 41
Prıklady
g) Spocıtame prvnı derivaci a jejı definicnı obor tj
f prime(x) =minusx2 minus 2x
(x + 1)2 D(f prime) = R minus1
h) Nynı urcıme stacionarnı body a intervaly monotonie tj
x (minusinfinminus2) (minus2minus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f prime minus + + minusf
i) Z tabulky vidıme ze funkce ma v x = minus2 lokalnı minimum a v x = 0lokalnı maximum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 36 41
Prıklady
j) Spocıtame druhou derivaci a urcıme jejı definicnı obor
f primeprime(x) =minus2x minus 2
(x + 1)4=
minus2
(x + 1)3
D(f primeprime) = R minus1
k) Urcıme kriticke body a intervaly konvexnosti a konkavnosti tj
f primeprime(x) = 0 lArrrArr minus2 = 0
coz je nesmysl Druha derivace tedy nema zadny nulovy bodNesmıme ovsem zapomenout ze jejı znamenko se muze zmenit i vbodech ve kterych nenı definovana (tj v
rdquodırachldquo jejıho definicnıho
oboru)
x (minusinfinminus1) (minus1infin)
sgn f primeprime + minusf cup cap
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 37 41
Prıklady
l) Funkce nema zadny inflexnı bod (minus1 6isin D(f ))
m) Zrekapitulujme vyznacne body a spocteme v nich funkcnı hodnoty
Prusecıky s osami Px = Py = [0 0]Lokalnı minimum v x = minus2 f (minus2) = 4 tedy jde o bod [minus2 4]Lokalnı maximum v x = 0 f (0) = 0 tedy jde o bod [0 0]
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 38 41
Prıklady
n) Nynı zkombinujeme vsechny zıskane informace a obdrzıme graf funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 39 41
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
Použitiacute derivaciacute
LHospitalovo pravidlo
Tecna a normaacutela ke grafu funkce
Prubeh funkce
Monotonie a lokaacutelniacute extreacutemy
Konvexnost konkaacutevnost a inflexniacute body
Asymptoty
Prubeh funkce ndash shrnutiacute
Priacuteklady
Wolfram|Alpha
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
Resenı f prime(x) = 3x2 minus 12x + 6 f primeprime(x) = 6x minus 12 = 0 hArr x = 2
x (minusinfin 2) (2infin)
sgn f primeprime minus +
f cap cup
Funkce je konkavnı pro x isin (minusinfin 2) konvexnı pro x isin (2infin) a v x = 2ma inflexnı bod s hodnotou f (2) = minus7
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 22 41
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 23 41
Prubeh funkce Asymptoty
Definice
Prımku ktera je tecnou ke grafu funkce f v nekterem nevlastnım bodenazyvame asymptota funkce f
Veta
Funkce ma
asymptotu bez smernice x = x0 prave tehdy kdyz ma v bode x0
nevlastnı limitu zleva nebo zprava
asymptotu se smernicı y = ax + b pro x rarr plusmninfin prave tehdy kdyz
a = limxrarrplusmninfin
f (x)
xisin R a b = lim
xrarrplusmninfin(f (x)minus ax) isin R
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 25 41
Prubeh funkce Asymptoty
Poznamka
Je-li limita limxrarrx+0
f (x) = plusmninfin nebo limxrarrxminus0f (x) = plusmninfin pak je svisla
prımka x = x0 asymptotou bez smernice funkce f v bode x0 Tedyasymptoty bez smernice hledame rdquov dırachrdquonebo na okraji definicnıhooboru
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 26 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 27 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 28 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postup pri vysetrovanı prubehu funkce
(i) Prımo z funkce
bull D(f ) sudostlichost periodicnost prusecıky s osamikladnostzapornost
bull asymptoty (se smernicı bez smernice)
(ii) Z prvnı derivace rostoucıklesajıcı lokalnı extremy
(iii) Z druhe derivace konvexnıkonkavnı inflexnı body
(iv) Nacrtnutı grafu ke vsem vyse zmınenym bodum dopocıtame funkcnıhodnoty a zkombinujeme zjistene informace
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 30 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postupne tedy plnıme nasledujıcı body
a) definicnı obor
b) sudostlichost (periodicnost)
c) asymptoty bez smernice
d) asymptoty se smernicı
e) prusecıky s osami
f) kladnostzapornost
g) prvnı derivaci
h) kde je f rostoucıklesajıcı
i) lokalnı extremy
j) druhou derivaci
k) kde je f konvexnıkonkavnı
l) inflexnı body
m) funkcnı hodnoty vevyznamnych bodech
n) nacrtneme graf
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 31 41
Prıklady
Prıklad
Vysetrete prubeh funkce
f (x) = minus x2
x + 1
Resenı
a) Funkcnımu predpisu vyhovujı vsechna realna cısla takova zex + 1 6= 0 Proto mame
D(f ) = R minus1
b) O sudostilichosti funkce snadno rozhodneme dosazenım minusx Ponevadz platı
f (minusx) = minus x2
minusx + 16= plusmnf (x)
nenı zadana funkce ani licha ani suda (coz je videt uz z nesymetriedefinicnıho oboru) Vzhledem k definicnımu oboru je zrejme zefunkce nemuze byt periodicka
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 33 41
Prıklady
c) Asymptoty bez smernice popisujı limitnı chovanı funkce v bodechnespojitosti (nebo na okraji definicnıho oboru) proto prımymvypoctem ihned dostaneme
limxrarrminus1+
minus x2
x + 1= minus lim
xrarrminus1+
x2
x + 1= minus(+infin) = minusinfin
limxrarrminus1minus
minus x2
x + 1= lim
xrarrminus1minusminus x2
x + 1= minus(minusinfin) =infin
Funkce ma jednu svislou asymptotu x = minus1
d) Pomocı vzorcu urcıme asymptoty se smernicı (pokud existujı)
a = limxrarrplusmninfin
minus x2
x2 + x= minus1
b = limxrarrplusmninfin
minus x2
x + 1+ x = lim
xrarrplusmninfin
x
x + 1= 1
Funkce f (x) ma tedy v +infin i minusinfin asymptotu se smernicı ktera jedana rovnicı y = minusx + 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 34 41
Prıklady
e) Urcıme prusecıky s osou x (rArr y = 0)
f (x) = 0 lArrrArr x2 = 0 lArrrArr x = 0
tedy Px = [0 0]a s osou y (rArr x = 0)
y = minus 02
0 + 1= 0 lArrrArr y = 0
tedy Py = [0 0] = Px
f) Nynı zıskame intervaly kde je funkce f (x) kladna a zaporna
x (minusinfinminus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f + minus minusf kladna zaporna zaporna
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 35 41
Prıklady
g) Spocıtame prvnı derivaci a jejı definicnı obor tj
f prime(x) =minusx2 minus 2x
(x + 1)2 D(f prime) = R minus1
h) Nynı urcıme stacionarnı body a intervaly monotonie tj
x (minusinfinminus2) (minus2minus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f prime minus + + minusf
i) Z tabulky vidıme ze funkce ma v x = minus2 lokalnı minimum a v x = 0lokalnı maximum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 36 41
Prıklady
j) Spocıtame druhou derivaci a urcıme jejı definicnı obor
f primeprime(x) =minus2x minus 2
(x + 1)4=
minus2
(x + 1)3
D(f primeprime) = R minus1
k) Urcıme kriticke body a intervaly konvexnosti a konkavnosti tj
f primeprime(x) = 0 lArrrArr minus2 = 0
coz je nesmysl Druha derivace tedy nema zadny nulovy bodNesmıme ovsem zapomenout ze jejı znamenko se muze zmenit i vbodech ve kterych nenı definovana (tj v
rdquodırachldquo jejıho definicnıho
oboru)
x (minusinfinminus1) (minus1infin)
sgn f primeprime + minusf cup cap
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 37 41
Prıklady
l) Funkce nema zadny inflexnı bod (minus1 6isin D(f ))
m) Zrekapitulujme vyznacne body a spocteme v nich funkcnı hodnoty
Prusecıky s osami Px = Py = [0 0]Lokalnı minimum v x = minus2 f (minus2) = 4 tedy jde o bod [minus2 4]Lokalnı maximum v x = 0 f (0) = 0 tedy jde o bod [0 0]
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 38 41
Prıklady
n) Nynı zkombinujeme vsechny zıskane informace a obdrzıme graf funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 39 41
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
Použitiacute derivaciacute
LHospitalovo pravidlo
Tecna a normaacutela ke grafu funkce
Prubeh funkce
Monotonie a lokaacutelniacute extreacutemy
Konvexnost konkaacutevnost a inflexniacute body
Asymptoty
Prubeh funkce ndash shrnutiacute
Priacuteklady
Wolfram|Alpha
Prubeh funkce Konvexnost konkavnost a inflexnı body
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 23 41
Prubeh funkce Asymptoty
Definice
Prımku ktera je tecnou ke grafu funkce f v nekterem nevlastnım bodenazyvame asymptota funkce f
Veta
Funkce ma
asymptotu bez smernice x = x0 prave tehdy kdyz ma v bode x0
nevlastnı limitu zleva nebo zprava
asymptotu se smernicı y = ax + b pro x rarr plusmninfin prave tehdy kdyz
a = limxrarrplusmninfin
f (x)
xisin R a b = lim
xrarrplusmninfin(f (x)minus ax) isin R
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 25 41
Prubeh funkce Asymptoty
Poznamka
Je-li limita limxrarrx+0
f (x) = plusmninfin nebo limxrarrxminus0f (x) = plusmninfin pak je svisla
prımka x = x0 asymptotou bez smernice funkce f v bode x0 Tedyasymptoty bez smernice hledame rdquov dırachrdquonebo na okraji definicnıhooboru
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 26 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 27 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 28 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postup pri vysetrovanı prubehu funkce
(i) Prımo z funkce
bull D(f ) sudostlichost periodicnost prusecıky s osamikladnostzapornost
bull asymptoty (se smernicı bez smernice)
(ii) Z prvnı derivace rostoucıklesajıcı lokalnı extremy
(iii) Z druhe derivace konvexnıkonkavnı inflexnı body
(iv) Nacrtnutı grafu ke vsem vyse zmınenym bodum dopocıtame funkcnıhodnoty a zkombinujeme zjistene informace
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 30 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postupne tedy plnıme nasledujıcı body
a) definicnı obor
b) sudostlichost (periodicnost)
c) asymptoty bez smernice
d) asymptoty se smernicı
e) prusecıky s osami
f) kladnostzapornost
g) prvnı derivaci
h) kde je f rostoucıklesajıcı
i) lokalnı extremy
j) druhou derivaci
k) kde je f konvexnıkonkavnı
l) inflexnı body
m) funkcnı hodnoty vevyznamnych bodech
n) nacrtneme graf
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 31 41
Prıklady
Prıklad
Vysetrete prubeh funkce
f (x) = minus x2
x + 1
Resenı
a) Funkcnımu predpisu vyhovujı vsechna realna cısla takova zex + 1 6= 0 Proto mame
D(f ) = R minus1
b) O sudostilichosti funkce snadno rozhodneme dosazenım minusx Ponevadz platı
f (minusx) = minus x2
minusx + 16= plusmnf (x)
nenı zadana funkce ani licha ani suda (coz je videt uz z nesymetriedefinicnıho oboru) Vzhledem k definicnımu oboru je zrejme zefunkce nemuze byt periodicka
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 33 41
Prıklady
c) Asymptoty bez smernice popisujı limitnı chovanı funkce v bodechnespojitosti (nebo na okraji definicnıho oboru) proto prımymvypoctem ihned dostaneme
limxrarrminus1+
minus x2
x + 1= minus lim
xrarrminus1+
x2
x + 1= minus(+infin) = minusinfin
limxrarrminus1minus
minus x2
x + 1= lim
xrarrminus1minusminus x2
x + 1= minus(minusinfin) =infin
Funkce ma jednu svislou asymptotu x = minus1
d) Pomocı vzorcu urcıme asymptoty se smernicı (pokud existujı)
a = limxrarrplusmninfin
minus x2
x2 + x= minus1
b = limxrarrplusmninfin
minus x2
x + 1+ x = lim
xrarrplusmninfin
x
x + 1= 1
Funkce f (x) ma tedy v +infin i minusinfin asymptotu se smernicı ktera jedana rovnicı y = minusx + 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 34 41
Prıklady
e) Urcıme prusecıky s osou x (rArr y = 0)
f (x) = 0 lArrrArr x2 = 0 lArrrArr x = 0
tedy Px = [0 0]a s osou y (rArr x = 0)
y = minus 02
0 + 1= 0 lArrrArr y = 0
tedy Py = [0 0] = Px
f) Nynı zıskame intervaly kde je funkce f (x) kladna a zaporna
x (minusinfinminus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f + minus minusf kladna zaporna zaporna
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 35 41
Prıklady
g) Spocıtame prvnı derivaci a jejı definicnı obor tj
f prime(x) =minusx2 minus 2x
(x + 1)2 D(f prime) = R minus1
h) Nynı urcıme stacionarnı body a intervaly monotonie tj
x (minusinfinminus2) (minus2minus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f prime minus + + minusf
i) Z tabulky vidıme ze funkce ma v x = minus2 lokalnı minimum a v x = 0lokalnı maximum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 36 41
Prıklady
j) Spocıtame druhou derivaci a urcıme jejı definicnı obor
f primeprime(x) =minus2x minus 2
(x + 1)4=
minus2
(x + 1)3
D(f primeprime) = R minus1
k) Urcıme kriticke body a intervaly konvexnosti a konkavnosti tj
f primeprime(x) = 0 lArrrArr minus2 = 0
coz je nesmysl Druha derivace tedy nema zadny nulovy bodNesmıme ovsem zapomenout ze jejı znamenko se muze zmenit i vbodech ve kterych nenı definovana (tj v
rdquodırachldquo jejıho definicnıho
oboru)
x (minusinfinminus1) (minus1infin)
sgn f primeprime + minusf cup cap
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 37 41
Prıklady
l) Funkce nema zadny inflexnı bod (minus1 6isin D(f ))
m) Zrekapitulujme vyznacne body a spocteme v nich funkcnı hodnoty
Prusecıky s osami Px = Py = [0 0]Lokalnı minimum v x = minus2 f (minus2) = 4 tedy jde o bod [minus2 4]Lokalnı maximum v x = 0 f (0) = 0 tedy jde o bod [0 0]
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 38 41
Prıklady
n) Nynı zkombinujeme vsechny zıskane informace a obdrzıme graf funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 39 41
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
Použitiacute derivaciacute
LHospitalovo pravidlo
Tecna a normaacutela ke grafu funkce
Prubeh funkce
Monotonie a lokaacutelniacute extreacutemy
Konvexnost konkaacutevnost a inflexniacute body
Asymptoty
Prubeh funkce ndash shrnutiacute
Priacuteklady
Wolfram|Alpha
Prubeh funkce Asymptoty
Definice
Prımku ktera je tecnou ke grafu funkce f v nekterem nevlastnım bodenazyvame asymptota funkce f
Veta
Funkce ma
asymptotu bez smernice x = x0 prave tehdy kdyz ma v bode x0
nevlastnı limitu zleva nebo zprava
asymptotu se smernicı y = ax + b pro x rarr plusmninfin prave tehdy kdyz
a = limxrarrplusmninfin
f (x)
xisin R a b = lim
xrarrplusmninfin(f (x)minus ax) isin R
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 25 41
Prubeh funkce Asymptoty
Poznamka
Je-li limita limxrarrx+0
f (x) = plusmninfin nebo limxrarrxminus0f (x) = plusmninfin pak je svisla
prımka x = x0 asymptotou bez smernice funkce f v bode x0 Tedyasymptoty bez smernice hledame rdquov dırachrdquonebo na okraji definicnıhooboru
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 26 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 27 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 28 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postup pri vysetrovanı prubehu funkce
(i) Prımo z funkce
bull D(f ) sudostlichost periodicnost prusecıky s osamikladnostzapornost
bull asymptoty (se smernicı bez smernice)
(ii) Z prvnı derivace rostoucıklesajıcı lokalnı extremy
(iii) Z druhe derivace konvexnıkonkavnı inflexnı body
(iv) Nacrtnutı grafu ke vsem vyse zmınenym bodum dopocıtame funkcnıhodnoty a zkombinujeme zjistene informace
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 30 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postupne tedy plnıme nasledujıcı body
a) definicnı obor
b) sudostlichost (periodicnost)
c) asymptoty bez smernice
d) asymptoty se smernicı
e) prusecıky s osami
f) kladnostzapornost
g) prvnı derivaci
h) kde je f rostoucıklesajıcı
i) lokalnı extremy
j) druhou derivaci
k) kde je f konvexnıkonkavnı
l) inflexnı body
m) funkcnı hodnoty vevyznamnych bodech
n) nacrtneme graf
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 31 41
Prıklady
Prıklad
Vysetrete prubeh funkce
f (x) = minus x2
x + 1
Resenı
a) Funkcnımu predpisu vyhovujı vsechna realna cısla takova zex + 1 6= 0 Proto mame
D(f ) = R minus1
b) O sudostilichosti funkce snadno rozhodneme dosazenım minusx Ponevadz platı
f (minusx) = minus x2
minusx + 16= plusmnf (x)
nenı zadana funkce ani licha ani suda (coz je videt uz z nesymetriedefinicnıho oboru) Vzhledem k definicnımu oboru je zrejme zefunkce nemuze byt periodicka
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 33 41
Prıklady
c) Asymptoty bez smernice popisujı limitnı chovanı funkce v bodechnespojitosti (nebo na okraji definicnıho oboru) proto prımymvypoctem ihned dostaneme
limxrarrminus1+
minus x2
x + 1= minus lim
xrarrminus1+
x2
x + 1= minus(+infin) = minusinfin
limxrarrminus1minus
minus x2
x + 1= lim
xrarrminus1minusminus x2
x + 1= minus(minusinfin) =infin
Funkce ma jednu svislou asymptotu x = minus1
d) Pomocı vzorcu urcıme asymptoty se smernicı (pokud existujı)
a = limxrarrplusmninfin
minus x2
x2 + x= minus1
b = limxrarrplusmninfin
minus x2
x + 1+ x = lim
xrarrplusmninfin
x
x + 1= 1
Funkce f (x) ma tedy v +infin i minusinfin asymptotu se smernicı ktera jedana rovnicı y = minusx + 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 34 41
Prıklady
e) Urcıme prusecıky s osou x (rArr y = 0)
f (x) = 0 lArrrArr x2 = 0 lArrrArr x = 0
tedy Px = [0 0]a s osou y (rArr x = 0)
y = minus 02
0 + 1= 0 lArrrArr y = 0
tedy Py = [0 0] = Px
f) Nynı zıskame intervaly kde je funkce f (x) kladna a zaporna
x (minusinfinminus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f + minus minusf kladna zaporna zaporna
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 35 41
Prıklady
g) Spocıtame prvnı derivaci a jejı definicnı obor tj
f prime(x) =minusx2 minus 2x
(x + 1)2 D(f prime) = R minus1
h) Nynı urcıme stacionarnı body a intervaly monotonie tj
x (minusinfinminus2) (minus2minus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f prime minus + + minusf
i) Z tabulky vidıme ze funkce ma v x = minus2 lokalnı minimum a v x = 0lokalnı maximum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 36 41
Prıklady
j) Spocıtame druhou derivaci a urcıme jejı definicnı obor
f primeprime(x) =minus2x minus 2
(x + 1)4=
minus2
(x + 1)3
D(f primeprime) = R minus1
k) Urcıme kriticke body a intervaly konvexnosti a konkavnosti tj
f primeprime(x) = 0 lArrrArr minus2 = 0
coz je nesmysl Druha derivace tedy nema zadny nulovy bodNesmıme ovsem zapomenout ze jejı znamenko se muze zmenit i vbodech ve kterych nenı definovana (tj v
rdquodırachldquo jejıho definicnıho
oboru)
x (minusinfinminus1) (minus1infin)
sgn f primeprime + minusf cup cap
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 37 41
Prıklady
l) Funkce nema zadny inflexnı bod (minus1 6isin D(f ))
m) Zrekapitulujme vyznacne body a spocteme v nich funkcnı hodnoty
Prusecıky s osami Px = Py = [0 0]Lokalnı minimum v x = minus2 f (minus2) = 4 tedy jde o bod [minus2 4]Lokalnı maximum v x = 0 f (0) = 0 tedy jde o bod [0 0]
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 38 41
Prıklady
n) Nynı zkombinujeme vsechny zıskane informace a obdrzıme graf funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 39 41
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
Použitiacute derivaciacute
LHospitalovo pravidlo
Tecna a normaacutela ke grafu funkce
Prubeh funkce
Monotonie a lokaacutelniacute extreacutemy
Konvexnost konkaacutevnost a inflexniacute body
Asymptoty
Prubeh funkce ndash shrnutiacute
Priacuteklady
Wolfram|Alpha
Prubeh funkce Asymptoty
Poznamka
Je-li limita limxrarrx+0
f (x) = plusmninfin nebo limxrarrxminus0f (x) = plusmninfin pak je svisla
prımka x = x0 asymptotou bez smernice funkce f v bode x0 Tedyasymptoty bez smernice hledame rdquov dırachrdquonebo na okraji definicnıhooboru
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 26 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 27 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 28 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postup pri vysetrovanı prubehu funkce
(i) Prımo z funkce
bull D(f ) sudostlichost periodicnost prusecıky s osamikladnostzapornost
bull asymptoty (se smernicı bez smernice)
(ii) Z prvnı derivace rostoucıklesajıcı lokalnı extremy
(iii) Z druhe derivace konvexnıkonkavnı inflexnı body
(iv) Nacrtnutı grafu ke vsem vyse zmınenym bodum dopocıtame funkcnıhodnoty a zkombinujeme zjistene informace
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 30 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postupne tedy plnıme nasledujıcı body
a) definicnı obor
b) sudostlichost (periodicnost)
c) asymptoty bez smernice
d) asymptoty se smernicı
e) prusecıky s osami
f) kladnostzapornost
g) prvnı derivaci
h) kde je f rostoucıklesajıcı
i) lokalnı extremy
j) druhou derivaci
k) kde je f konvexnıkonkavnı
l) inflexnı body
m) funkcnı hodnoty vevyznamnych bodech
n) nacrtneme graf
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 31 41
Prıklady
Prıklad
Vysetrete prubeh funkce
f (x) = minus x2
x + 1
Resenı
a) Funkcnımu predpisu vyhovujı vsechna realna cısla takova zex + 1 6= 0 Proto mame
D(f ) = R minus1
b) O sudostilichosti funkce snadno rozhodneme dosazenım minusx Ponevadz platı
f (minusx) = minus x2
minusx + 16= plusmnf (x)
nenı zadana funkce ani licha ani suda (coz je videt uz z nesymetriedefinicnıho oboru) Vzhledem k definicnımu oboru je zrejme zefunkce nemuze byt periodicka
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 33 41
Prıklady
c) Asymptoty bez smernice popisujı limitnı chovanı funkce v bodechnespojitosti (nebo na okraji definicnıho oboru) proto prımymvypoctem ihned dostaneme
limxrarrminus1+
minus x2
x + 1= minus lim
xrarrminus1+
x2
x + 1= minus(+infin) = minusinfin
limxrarrminus1minus
minus x2
x + 1= lim
xrarrminus1minusminus x2
x + 1= minus(minusinfin) =infin
Funkce ma jednu svislou asymptotu x = minus1
d) Pomocı vzorcu urcıme asymptoty se smernicı (pokud existujı)
a = limxrarrplusmninfin
minus x2
x2 + x= minus1
b = limxrarrplusmninfin
minus x2
x + 1+ x = lim
xrarrplusmninfin
x
x + 1= 1
Funkce f (x) ma tedy v +infin i minusinfin asymptotu se smernicı ktera jedana rovnicı y = minusx + 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 34 41
Prıklady
e) Urcıme prusecıky s osou x (rArr y = 0)
f (x) = 0 lArrrArr x2 = 0 lArrrArr x = 0
tedy Px = [0 0]a s osou y (rArr x = 0)
y = minus 02
0 + 1= 0 lArrrArr y = 0
tedy Py = [0 0] = Px
f) Nynı zıskame intervaly kde je funkce f (x) kladna a zaporna
x (minusinfinminus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f + minus minusf kladna zaporna zaporna
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 35 41
Prıklady
g) Spocıtame prvnı derivaci a jejı definicnı obor tj
f prime(x) =minusx2 minus 2x
(x + 1)2 D(f prime) = R minus1
h) Nynı urcıme stacionarnı body a intervaly monotonie tj
x (minusinfinminus2) (minus2minus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f prime minus + + minusf
i) Z tabulky vidıme ze funkce ma v x = minus2 lokalnı minimum a v x = 0lokalnı maximum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 36 41
Prıklady
j) Spocıtame druhou derivaci a urcıme jejı definicnı obor
f primeprime(x) =minus2x minus 2
(x + 1)4=
minus2
(x + 1)3
D(f primeprime) = R minus1
k) Urcıme kriticke body a intervaly konvexnosti a konkavnosti tj
f primeprime(x) = 0 lArrrArr minus2 = 0
coz je nesmysl Druha derivace tedy nema zadny nulovy bodNesmıme ovsem zapomenout ze jejı znamenko se muze zmenit i vbodech ve kterych nenı definovana (tj v
rdquodırachldquo jejıho definicnıho
oboru)
x (minusinfinminus1) (minus1infin)
sgn f primeprime + minusf cup cap
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 37 41
Prıklady
l) Funkce nema zadny inflexnı bod (minus1 6isin D(f ))
m) Zrekapitulujme vyznacne body a spocteme v nich funkcnı hodnoty
Prusecıky s osami Px = Py = [0 0]Lokalnı minimum v x = minus2 f (minus2) = 4 tedy jde o bod [minus2 4]Lokalnı maximum v x = 0 f (0) = 0 tedy jde o bod [0 0]
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 38 41
Prıklady
n) Nynı zkombinujeme vsechny zıskane informace a obdrzıme graf funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 39 41
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
Použitiacute derivaciacute
LHospitalovo pravidlo
Tecna a normaacutela ke grafu funkce
Prubeh funkce
Monotonie a lokaacutelniacute extreacutemy
Konvexnost konkaacutevnost a inflexniacute body
Asymptoty
Prubeh funkce ndash shrnutiacute
Priacuteklady
Wolfram|Alpha
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 27 41
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 28 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postup pri vysetrovanı prubehu funkce
(i) Prımo z funkce
bull D(f ) sudostlichost periodicnost prusecıky s osamikladnostzapornost
bull asymptoty (se smernicı bez smernice)
(ii) Z prvnı derivace rostoucıklesajıcı lokalnı extremy
(iii) Z druhe derivace konvexnıkonkavnı inflexnı body
(iv) Nacrtnutı grafu ke vsem vyse zmınenym bodum dopocıtame funkcnıhodnoty a zkombinujeme zjistene informace
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 30 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postupne tedy plnıme nasledujıcı body
a) definicnı obor
b) sudostlichost (periodicnost)
c) asymptoty bez smernice
d) asymptoty se smernicı
e) prusecıky s osami
f) kladnostzapornost
g) prvnı derivaci
h) kde je f rostoucıklesajıcı
i) lokalnı extremy
j) druhou derivaci
k) kde je f konvexnıkonkavnı
l) inflexnı body
m) funkcnı hodnoty vevyznamnych bodech
n) nacrtneme graf
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 31 41
Prıklady
Prıklad
Vysetrete prubeh funkce
f (x) = minus x2
x + 1
Resenı
a) Funkcnımu predpisu vyhovujı vsechna realna cısla takova zex + 1 6= 0 Proto mame
D(f ) = R minus1
b) O sudostilichosti funkce snadno rozhodneme dosazenım minusx Ponevadz platı
f (minusx) = minus x2
minusx + 16= plusmnf (x)
nenı zadana funkce ani licha ani suda (coz je videt uz z nesymetriedefinicnıho oboru) Vzhledem k definicnımu oboru je zrejme zefunkce nemuze byt periodicka
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 33 41
Prıklady
c) Asymptoty bez smernice popisujı limitnı chovanı funkce v bodechnespojitosti (nebo na okraji definicnıho oboru) proto prımymvypoctem ihned dostaneme
limxrarrminus1+
minus x2
x + 1= minus lim
xrarrminus1+
x2
x + 1= minus(+infin) = minusinfin
limxrarrminus1minus
minus x2
x + 1= lim
xrarrminus1minusminus x2
x + 1= minus(minusinfin) =infin
Funkce ma jednu svislou asymptotu x = minus1
d) Pomocı vzorcu urcıme asymptoty se smernicı (pokud existujı)
a = limxrarrplusmninfin
minus x2
x2 + x= minus1
b = limxrarrplusmninfin
minus x2
x + 1+ x = lim
xrarrplusmninfin
x
x + 1= 1
Funkce f (x) ma tedy v +infin i minusinfin asymptotu se smernicı ktera jedana rovnicı y = minusx + 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 34 41
Prıklady
e) Urcıme prusecıky s osou x (rArr y = 0)
f (x) = 0 lArrrArr x2 = 0 lArrrArr x = 0
tedy Px = [0 0]a s osou y (rArr x = 0)
y = minus 02
0 + 1= 0 lArrrArr y = 0
tedy Py = [0 0] = Px
f) Nynı zıskame intervaly kde je funkce f (x) kladna a zaporna
x (minusinfinminus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f + minus minusf kladna zaporna zaporna
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 35 41
Prıklady
g) Spocıtame prvnı derivaci a jejı definicnı obor tj
f prime(x) =minusx2 minus 2x
(x + 1)2 D(f prime) = R minus1
h) Nynı urcıme stacionarnı body a intervaly monotonie tj
x (minusinfinminus2) (minus2minus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f prime minus + + minusf
i) Z tabulky vidıme ze funkce ma v x = minus2 lokalnı minimum a v x = 0lokalnı maximum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 36 41
Prıklady
j) Spocıtame druhou derivaci a urcıme jejı definicnı obor
f primeprime(x) =minus2x minus 2
(x + 1)4=
minus2
(x + 1)3
D(f primeprime) = R minus1
k) Urcıme kriticke body a intervaly konvexnosti a konkavnosti tj
f primeprime(x) = 0 lArrrArr minus2 = 0
coz je nesmysl Druha derivace tedy nema zadny nulovy bodNesmıme ovsem zapomenout ze jejı znamenko se muze zmenit i vbodech ve kterych nenı definovana (tj v
rdquodırachldquo jejıho definicnıho
oboru)
x (minusinfinminus1) (minus1infin)
sgn f primeprime + minusf cup cap
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 37 41
Prıklady
l) Funkce nema zadny inflexnı bod (minus1 6isin D(f ))
m) Zrekapitulujme vyznacne body a spocteme v nich funkcnı hodnoty
Prusecıky s osami Px = Py = [0 0]Lokalnı minimum v x = minus2 f (minus2) = 4 tedy jde o bod [minus2 4]Lokalnı maximum v x = 0 f (0) = 0 tedy jde o bod [0 0]
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 38 41
Prıklady
n) Nynı zkombinujeme vsechny zıskane informace a obdrzıme graf funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 39 41
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
Použitiacute derivaciacute
LHospitalovo pravidlo
Tecna a normaacutela ke grafu funkce
Prubeh funkce
Monotonie a lokaacutelniacute extreacutemy
Konvexnost konkaacutevnost a inflexniacute body
Asymptoty
Prubeh funkce ndash shrnutiacute
Priacuteklady
Wolfram|Alpha
Prubeh funkce Asymptoty
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 28 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postup pri vysetrovanı prubehu funkce
(i) Prımo z funkce
bull D(f ) sudostlichost periodicnost prusecıky s osamikladnostzapornost
bull asymptoty (se smernicı bez smernice)
(ii) Z prvnı derivace rostoucıklesajıcı lokalnı extremy
(iii) Z druhe derivace konvexnıkonkavnı inflexnı body
(iv) Nacrtnutı grafu ke vsem vyse zmınenym bodum dopocıtame funkcnıhodnoty a zkombinujeme zjistene informace
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 30 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postupne tedy plnıme nasledujıcı body
a) definicnı obor
b) sudostlichost (periodicnost)
c) asymptoty bez smernice
d) asymptoty se smernicı
e) prusecıky s osami
f) kladnostzapornost
g) prvnı derivaci
h) kde je f rostoucıklesajıcı
i) lokalnı extremy
j) druhou derivaci
k) kde je f konvexnıkonkavnı
l) inflexnı body
m) funkcnı hodnoty vevyznamnych bodech
n) nacrtneme graf
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 31 41
Prıklady
Prıklad
Vysetrete prubeh funkce
f (x) = minus x2
x + 1
Resenı
a) Funkcnımu predpisu vyhovujı vsechna realna cısla takova zex + 1 6= 0 Proto mame
D(f ) = R minus1
b) O sudostilichosti funkce snadno rozhodneme dosazenım minusx Ponevadz platı
f (minusx) = minus x2
minusx + 16= plusmnf (x)
nenı zadana funkce ani licha ani suda (coz je videt uz z nesymetriedefinicnıho oboru) Vzhledem k definicnımu oboru je zrejme zefunkce nemuze byt periodicka
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 33 41
Prıklady
c) Asymptoty bez smernice popisujı limitnı chovanı funkce v bodechnespojitosti (nebo na okraji definicnıho oboru) proto prımymvypoctem ihned dostaneme
limxrarrminus1+
minus x2
x + 1= minus lim
xrarrminus1+
x2
x + 1= minus(+infin) = minusinfin
limxrarrminus1minus
minus x2
x + 1= lim
xrarrminus1minusminus x2
x + 1= minus(minusinfin) =infin
Funkce ma jednu svislou asymptotu x = minus1
d) Pomocı vzorcu urcıme asymptoty se smernicı (pokud existujı)
a = limxrarrplusmninfin
minus x2
x2 + x= minus1
b = limxrarrplusmninfin
minus x2
x + 1+ x = lim
xrarrplusmninfin
x
x + 1= 1
Funkce f (x) ma tedy v +infin i minusinfin asymptotu se smernicı ktera jedana rovnicı y = minusx + 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 34 41
Prıklady
e) Urcıme prusecıky s osou x (rArr y = 0)
f (x) = 0 lArrrArr x2 = 0 lArrrArr x = 0
tedy Px = [0 0]a s osou y (rArr x = 0)
y = minus 02
0 + 1= 0 lArrrArr y = 0
tedy Py = [0 0] = Px
f) Nynı zıskame intervaly kde je funkce f (x) kladna a zaporna
x (minusinfinminus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f + minus minusf kladna zaporna zaporna
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 35 41
Prıklady
g) Spocıtame prvnı derivaci a jejı definicnı obor tj
f prime(x) =minusx2 minus 2x
(x + 1)2 D(f prime) = R minus1
h) Nynı urcıme stacionarnı body a intervaly monotonie tj
x (minusinfinminus2) (minus2minus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f prime minus + + minusf
i) Z tabulky vidıme ze funkce ma v x = minus2 lokalnı minimum a v x = 0lokalnı maximum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 36 41
Prıklady
j) Spocıtame druhou derivaci a urcıme jejı definicnı obor
f primeprime(x) =minus2x minus 2
(x + 1)4=
minus2
(x + 1)3
D(f primeprime) = R minus1
k) Urcıme kriticke body a intervaly konvexnosti a konkavnosti tj
f primeprime(x) = 0 lArrrArr minus2 = 0
coz je nesmysl Druha derivace tedy nema zadny nulovy bodNesmıme ovsem zapomenout ze jejı znamenko se muze zmenit i vbodech ve kterych nenı definovana (tj v
rdquodırachldquo jejıho definicnıho
oboru)
x (minusinfinminus1) (minus1infin)
sgn f primeprime + minusf cup cap
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 37 41
Prıklady
l) Funkce nema zadny inflexnı bod (minus1 6isin D(f ))
m) Zrekapitulujme vyznacne body a spocteme v nich funkcnı hodnoty
Prusecıky s osami Px = Py = [0 0]Lokalnı minimum v x = minus2 f (minus2) = 4 tedy jde o bod [minus2 4]Lokalnı maximum v x = 0 f (0) = 0 tedy jde o bod [0 0]
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 38 41
Prıklady
n) Nynı zkombinujeme vsechny zıskane informace a obdrzıme graf funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 39 41
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
Použitiacute derivaciacute
LHospitalovo pravidlo
Tecna a normaacutela ke grafu funkce
Prubeh funkce
Monotonie a lokaacutelniacute extreacutemy
Konvexnost konkaacutevnost a inflexniacute body
Asymptoty
Prubeh funkce ndash shrnutiacute
Priacuteklady
Wolfram|Alpha
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postup pri vysetrovanı prubehu funkce
(i) Prımo z funkce
bull D(f ) sudostlichost periodicnost prusecıky s osamikladnostzapornost
bull asymptoty (se smernicı bez smernice)
(ii) Z prvnı derivace rostoucıklesajıcı lokalnı extremy
(iii) Z druhe derivace konvexnıkonkavnı inflexnı body
(iv) Nacrtnutı grafu ke vsem vyse zmınenym bodum dopocıtame funkcnıhodnoty a zkombinujeme zjistene informace
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 30 41
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postupne tedy plnıme nasledujıcı body
a) definicnı obor
b) sudostlichost (periodicnost)
c) asymptoty bez smernice
d) asymptoty se smernicı
e) prusecıky s osami
f) kladnostzapornost
g) prvnı derivaci
h) kde je f rostoucıklesajıcı
i) lokalnı extremy
j) druhou derivaci
k) kde je f konvexnıkonkavnı
l) inflexnı body
m) funkcnı hodnoty vevyznamnych bodech
n) nacrtneme graf
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 31 41
Prıklady
Prıklad
Vysetrete prubeh funkce
f (x) = minus x2
x + 1
Resenı
a) Funkcnımu predpisu vyhovujı vsechna realna cısla takova zex + 1 6= 0 Proto mame
D(f ) = R minus1
b) O sudostilichosti funkce snadno rozhodneme dosazenım minusx Ponevadz platı
f (minusx) = minus x2
minusx + 16= plusmnf (x)
nenı zadana funkce ani licha ani suda (coz je videt uz z nesymetriedefinicnıho oboru) Vzhledem k definicnımu oboru je zrejme zefunkce nemuze byt periodicka
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 33 41
Prıklady
c) Asymptoty bez smernice popisujı limitnı chovanı funkce v bodechnespojitosti (nebo na okraji definicnıho oboru) proto prımymvypoctem ihned dostaneme
limxrarrminus1+
minus x2
x + 1= minus lim
xrarrminus1+
x2
x + 1= minus(+infin) = minusinfin
limxrarrminus1minus
minus x2
x + 1= lim
xrarrminus1minusminus x2
x + 1= minus(minusinfin) =infin
Funkce ma jednu svislou asymptotu x = minus1
d) Pomocı vzorcu urcıme asymptoty se smernicı (pokud existujı)
a = limxrarrplusmninfin
minus x2
x2 + x= minus1
b = limxrarrplusmninfin
minus x2
x + 1+ x = lim
xrarrplusmninfin
x
x + 1= 1
Funkce f (x) ma tedy v +infin i minusinfin asymptotu se smernicı ktera jedana rovnicı y = minusx + 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 34 41
Prıklady
e) Urcıme prusecıky s osou x (rArr y = 0)
f (x) = 0 lArrrArr x2 = 0 lArrrArr x = 0
tedy Px = [0 0]a s osou y (rArr x = 0)
y = minus 02
0 + 1= 0 lArrrArr y = 0
tedy Py = [0 0] = Px
f) Nynı zıskame intervaly kde je funkce f (x) kladna a zaporna
x (minusinfinminus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f + minus minusf kladna zaporna zaporna
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 35 41
Prıklady
g) Spocıtame prvnı derivaci a jejı definicnı obor tj
f prime(x) =minusx2 minus 2x
(x + 1)2 D(f prime) = R minus1
h) Nynı urcıme stacionarnı body a intervaly monotonie tj
x (minusinfinminus2) (minus2minus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f prime minus + + minusf
i) Z tabulky vidıme ze funkce ma v x = minus2 lokalnı minimum a v x = 0lokalnı maximum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 36 41
Prıklady
j) Spocıtame druhou derivaci a urcıme jejı definicnı obor
f primeprime(x) =minus2x minus 2
(x + 1)4=
minus2
(x + 1)3
D(f primeprime) = R minus1
k) Urcıme kriticke body a intervaly konvexnosti a konkavnosti tj
f primeprime(x) = 0 lArrrArr minus2 = 0
coz je nesmysl Druha derivace tedy nema zadny nulovy bodNesmıme ovsem zapomenout ze jejı znamenko se muze zmenit i vbodech ve kterych nenı definovana (tj v
rdquodırachldquo jejıho definicnıho
oboru)
x (minusinfinminus1) (minus1infin)
sgn f primeprime + minusf cup cap
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 37 41
Prıklady
l) Funkce nema zadny inflexnı bod (minus1 6isin D(f ))
m) Zrekapitulujme vyznacne body a spocteme v nich funkcnı hodnoty
Prusecıky s osami Px = Py = [0 0]Lokalnı minimum v x = minus2 f (minus2) = 4 tedy jde o bod [minus2 4]Lokalnı maximum v x = 0 f (0) = 0 tedy jde o bod [0 0]
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 38 41
Prıklady
n) Nynı zkombinujeme vsechny zıskane informace a obdrzıme graf funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 39 41
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
Použitiacute derivaciacute
LHospitalovo pravidlo
Tecna a normaacutela ke grafu funkce
Prubeh funkce
Monotonie a lokaacutelniacute extreacutemy
Konvexnost konkaacutevnost a inflexniacute body
Asymptoty
Prubeh funkce ndash shrnutiacute
Priacuteklady
Wolfram|Alpha
Prubeh funkce Prubeh funkce ndash shrnutı
Postupne tedy plnıme nasledujıcı body
a) definicnı obor
b) sudostlichost (periodicnost)
c) asymptoty bez smernice
d) asymptoty se smernicı
e) prusecıky s osami
f) kladnostzapornost
g) prvnı derivaci
h) kde je f rostoucıklesajıcı
i) lokalnı extremy
j) druhou derivaci
k) kde je f konvexnıkonkavnı
l) inflexnı body
m) funkcnı hodnoty vevyznamnych bodech
n) nacrtneme graf
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 31 41
Prıklady
Prıklad
Vysetrete prubeh funkce
f (x) = minus x2
x + 1
Resenı
a) Funkcnımu predpisu vyhovujı vsechna realna cısla takova zex + 1 6= 0 Proto mame
D(f ) = R minus1
b) O sudostilichosti funkce snadno rozhodneme dosazenım minusx Ponevadz platı
f (minusx) = minus x2
minusx + 16= plusmnf (x)
nenı zadana funkce ani licha ani suda (coz je videt uz z nesymetriedefinicnıho oboru) Vzhledem k definicnımu oboru je zrejme zefunkce nemuze byt periodicka
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 33 41
Prıklady
c) Asymptoty bez smernice popisujı limitnı chovanı funkce v bodechnespojitosti (nebo na okraji definicnıho oboru) proto prımymvypoctem ihned dostaneme
limxrarrminus1+
minus x2
x + 1= minus lim
xrarrminus1+
x2
x + 1= minus(+infin) = minusinfin
limxrarrminus1minus
minus x2
x + 1= lim
xrarrminus1minusminus x2
x + 1= minus(minusinfin) =infin
Funkce ma jednu svislou asymptotu x = minus1
d) Pomocı vzorcu urcıme asymptoty se smernicı (pokud existujı)
a = limxrarrplusmninfin
minus x2
x2 + x= minus1
b = limxrarrplusmninfin
minus x2
x + 1+ x = lim
xrarrplusmninfin
x
x + 1= 1
Funkce f (x) ma tedy v +infin i minusinfin asymptotu se smernicı ktera jedana rovnicı y = minusx + 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 34 41
Prıklady
e) Urcıme prusecıky s osou x (rArr y = 0)
f (x) = 0 lArrrArr x2 = 0 lArrrArr x = 0
tedy Px = [0 0]a s osou y (rArr x = 0)
y = minus 02
0 + 1= 0 lArrrArr y = 0
tedy Py = [0 0] = Px
f) Nynı zıskame intervaly kde je funkce f (x) kladna a zaporna
x (minusinfinminus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f + minus minusf kladna zaporna zaporna
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 35 41
Prıklady
g) Spocıtame prvnı derivaci a jejı definicnı obor tj
f prime(x) =minusx2 minus 2x
(x + 1)2 D(f prime) = R minus1
h) Nynı urcıme stacionarnı body a intervaly monotonie tj
x (minusinfinminus2) (minus2minus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f prime minus + + minusf
i) Z tabulky vidıme ze funkce ma v x = minus2 lokalnı minimum a v x = 0lokalnı maximum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 36 41
Prıklady
j) Spocıtame druhou derivaci a urcıme jejı definicnı obor
f primeprime(x) =minus2x minus 2
(x + 1)4=
minus2
(x + 1)3
D(f primeprime) = R minus1
k) Urcıme kriticke body a intervaly konvexnosti a konkavnosti tj
f primeprime(x) = 0 lArrrArr minus2 = 0
coz je nesmysl Druha derivace tedy nema zadny nulovy bodNesmıme ovsem zapomenout ze jejı znamenko se muze zmenit i vbodech ve kterych nenı definovana (tj v
rdquodırachldquo jejıho definicnıho
oboru)
x (minusinfinminus1) (minus1infin)
sgn f primeprime + minusf cup cap
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 37 41
Prıklady
l) Funkce nema zadny inflexnı bod (minus1 6isin D(f ))
m) Zrekapitulujme vyznacne body a spocteme v nich funkcnı hodnoty
Prusecıky s osami Px = Py = [0 0]Lokalnı minimum v x = minus2 f (minus2) = 4 tedy jde o bod [minus2 4]Lokalnı maximum v x = 0 f (0) = 0 tedy jde o bod [0 0]
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 38 41
Prıklady
n) Nynı zkombinujeme vsechny zıskane informace a obdrzıme graf funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 39 41
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
Použitiacute derivaciacute
LHospitalovo pravidlo
Tecna a normaacutela ke grafu funkce
Prubeh funkce
Monotonie a lokaacutelniacute extreacutemy
Konvexnost konkaacutevnost a inflexniacute body
Asymptoty
Prubeh funkce ndash shrnutiacute
Priacuteklady
Wolfram|Alpha
Prıklady
Prıklad
Vysetrete prubeh funkce
f (x) = minus x2
x + 1
Resenı
a) Funkcnımu predpisu vyhovujı vsechna realna cısla takova zex + 1 6= 0 Proto mame
D(f ) = R minus1
b) O sudostilichosti funkce snadno rozhodneme dosazenım minusx Ponevadz platı
f (minusx) = minus x2
minusx + 16= plusmnf (x)
nenı zadana funkce ani licha ani suda (coz je videt uz z nesymetriedefinicnıho oboru) Vzhledem k definicnımu oboru je zrejme zefunkce nemuze byt periodicka
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 33 41
Prıklady
c) Asymptoty bez smernice popisujı limitnı chovanı funkce v bodechnespojitosti (nebo na okraji definicnıho oboru) proto prımymvypoctem ihned dostaneme
limxrarrminus1+
minus x2
x + 1= minus lim
xrarrminus1+
x2
x + 1= minus(+infin) = minusinfin
limxrarrminus1minus
minus x2
x + 1= lim
xrarrminus1minusminus x2
x + 1= minus(minusinfin) =infin
Funkce ma jednu svislou asymptotu x = minus1
d) Pomocı vzorcu urcıme asymptoty se smernicı (pokud existujı)
a = limxrarrplusmninfin
minus x2
x2 + x= minus1
b = limxrarrplusmninfin
minus x2
x + 1+ x = lim
xrarrplusmninfin
x
x + 1= 1
Funkce f (x) ma tedy v +infin i minusinfin asymptotu se smernicı ktera jedana rovnicı y = minusx + 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 34 41
Prıklady
e) Urcıme prusecıky s osou x (rArr y = 0)
f (x) = 0 lArrrArr x2 = 0 lArrrArr x = 0
tedy Px = [0 0]a s osou y (rArr x = 0)
y = minus 02
0 + 1= 0 lArrrArr y = 0
tedy Py = [0 0] = Px
f) Nynı zıskame intervaly kde je funkce f (x) kladna a zaporna
x (minusinfinminus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f + minus minusf kladna zaporna zaporna
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 35 41
Prıklady
g) Spocıtame prvnı derivaci a jejı definicnı obor tj
f prime(x) =minusx2 minus 2x
(x + 1)2 D(f prime) = R minus1
h) Nynı urcıme stacionarnı body a intervaly monotonie tj
x (minusinfinminus2) (minus2minus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f prime minus + + minusf
i) Z tabulky vidıme ze funkce ma v x = minus2 lokalnı minimum a v x = 0lokalnı maximum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 36 41
Prıklady
j) Spocıtame druhou derivaci a urcıme jejı definicnı obor
f primeprime(x) =minus2x minus 2
(x + 1)4=
minus2
(x + 1)3
D(f primeprime) = R minus1
k) Urcıme kriticke body a intervaly konvexnosti a konkavnosti tj
f primeprime(x) = 0 lArrrArr minus2 = 0
coz je nesmysl Druha derivace tedy nema zadny nulovy bodNesmıme ovsem zapomenout ze jejı znamenko se muze zmenit i vbodech ve kterych nenı definovana (tj v
rdquodırachldquo jejıho definicnıho
oboru)
x (minusinfinminus1) (minus1infin)
sgn f primeprime + minusf cup cap
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 37 41
Prıklady
l) Funkce nema zadny inflexnı bod (minus1 6isin D(f ))
m) Zrekapitulujme vyznacne body a spocteme v nich funkcnı hodnoty
Prusecıky s osami Px = Py = [0 0]Lokalnı minimum v x = minus2 f (minus2) = 4 tedy jde o bod [minus2 4]Lokalnı maximum v x = 0 f (0) = 0 tedy jde o bod [0 0]
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 38 41
Prıklady
n) Nynı zkombinujeme vsechny zıskane informace a obdrzıme graf funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 39 41
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
Použitiacute derivaciacute
LHospitalovo pravidlo
Tecna a normaacutela ke grafu funkce
Prubeh funkce
Monotonie a lokaacutelniacute extreacutemy
Konvexnost konkaacutevnost a inflexniacute body
Asymptoty
Prubeh funkce ndash shrnutiacute
Priacuteklady
Wolfram|Alpha
Prıklady
c) Asymptoty bez smernice popisujı limitnı chovanı funkce v bodechnespojitosti (nebo na okraji definicnıho oboru) proto prımymvypoctem ihned dostaneme
limxrarrminus1+
minus x2
x + 1= minus lim
xrarrminus1+
x2
x + 1= minus(+infin) = minusinfin
limxrarrminus1minus
minus x2
x + 1= lim
xrarrminus1minusminus x2
x + 1= minus(minusinfin) =infin
Funkce ma jednu svislou asymptotu x = minus1
d) Pomocı vzorcu urcıme asymptoty se smernicı (pokud existujı)
a = limxrarrplusmninfin
minus x2
x2 + x= minus1
b = limxrarrplusmninfin
minus x2
x + 1+ x = lim
xrarrplusmninfin
x
x + 1= 1
Funkce f (x) ma tedy v +infin i minusinfin asymptotu se smernicı ktera jedana rovnicı y = minusx + 1
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 34 41
Prıklady
e) Urcıme prusecıky s osou x (rArr y = 0)
f (x) = 0 lArrrArr x2 = 0 lArrrArr x = 0
tedy Px = [0 0]a s osou y (rArr x = 0)
y = minus 02
0 + 1= 0 lArrrArr y = 0
tedy Py = [0 0] = Px
f) Nynı zıskame intervaly kde je funkce f (x) kladna a zaporna
x (minusinfinminus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f + minus minusf kladna zaporna zaporna
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 35 41
Prıklady
g) Spocıtame prvnı derivaci a jejı definicnı obor tj
f prime(x) =minusx2 minus 2x
(x + 1)2 D(f prime) = R minus1
h) Nynı urcıme stacionarnı body a intervaly monotonie tj
x (minusinfinminus2) (minus2minus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f prime minus + + minusf
i) Z tabulky vidıme ze funkce ma v x = minus2 lokalnı minimum a v x = 0lokalnı maximum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 36 41
Prıklady
j) Spocıtame druhou derivaci a urcıme jejı definicnı obor
f primeprime(x) =minus2x minus 2
(x + 1)4=
minus2
(x + 1)3
D(f primeprime) = R minus1
k) Urcıme kriticke body a intervaly konvexnosti a konkavnosti tj
f primeprime(x) = 0 lArrrArr minus2 = 0
coz je nesmysl Druha derivace tedy nema zadny nulovy bodNesmıme ovsem zapomenout ze jejı znamenko se muze zmenit i vbodech ve kterych nenı definovana (tj v
rdquodırachldquo jejıho definicnıho
oboru)
x (minusinfinminus1) (minus1infin)
sgn f primeprime + minusf cup cap
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 37 41
Prıklady
l) Funkce nema zadny inflexnı bod (minus1 6isin D(f ))
m) Zrekapitulujme vyznacne body a spocteme v nich funkcnı hodnoty
Prusecıky s osami Px = Py = [0 0]Lokalnı minimum v x = minus2 f (minus2) = 4 tedy jde o bod [minus2 4]Lokalnı maximum v x = 0 f (0) = 0 tedy jde o bod [0 0]
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 38 41
Prıklady
n) Nynı zkombinujeme vsechny zıskane informace a obdrzıme graf funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 39 41
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
Použitiacute derivaciacute
LHospitalovo pravidlo
Tecna a normaacutela ke grafu funkce
Prubeh funkce
Monotonie a lokaacutelniacute extreacutemy
Konvexnost konkaacutevnost a inflexniacute body
Asymptoty
Prubeh funkce ndash shrnutiacute
Priacuteklady
Wolfram|Alpha
Prıklady
e) Urcıme prusecıky s osou x (rArr y = 0)
f (x) = 0 lArrrArr x2 = 0 lArrrArr x = 0
tedy Px = [0 0]a s osou y (rArr x = 0)
y = minus 02
0 + 1= 0 lArrrArr y = 0
tedy Py = [0 0] = Px
f) Nynı zıskame intervaly kde je funkce f (x) kladna a zaporna
x (minusinfinminus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f + minus minusf kladna zaporna zaporna
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 35 41
Prıklady
g) Spocıtame prvnı derivaci a jejı definicnı obor tj
f prime(x) =minusx2 minus 2x
(x + 1)2 D(f prime) = R minus1
h) Nynı urcıme stacionarnı body a intervaly monotonie tj
x (minusinfinminus2) (minus2minus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f prime minus + + minusf
i) Z tabulky vidıme ze funkce ma v x = minus2 lokalnı minimum a v x = 0lokalnı maximum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 36 41
Prıklady
j) Spocıtame druhou derivaci a urcıme jejı definicnı obor
f primeprime(x) =minus2x minus 2
(x + 1)4=
minus2
(x + 1)3
D(f primeprime) = R minus1
k) Urcıme kriticke body a intervaly konvexnosti a konkavnosti tj
f primeprime(x) = 0 lArrrArr minus2 = 0
coz je nesmysl Druha derivace tedy nema zadny nulovy bodNesmıme ovsem zapomenout ze jejı znamenko se muze zmenit i vbodech ve kterych nenı definovana (tj v
rdquodırachldquo jejıho definicnıho
oboru)
x (minusinfinminus1) (minus1infin)
sgn f primeprime + minusf cup cap
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 37 41
Prıklady
l) Funkce nema zadny inflexnı bod (minus1 6isin D(f ))
m) Zrekapitulujme vyznacne body a spocteme v nich funkcnı hodnoty
Prusecıky s osami Px = Py = [0 0]Lokalnı minimum v x = minus2 f (minus2) = 4 tedy jde o bod [minus2 4]Lokalnı maximum v x = 0 f (0) = 0 tedy jde o bod [0 0]
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 38 41
Prıklady
n) Nynı zkombinujeme vsechny zıskane informace a obdrzıme graf funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 39 41
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
Použitiacute derivaciacute
LHospitalovo pravidlo
Tecna a normaacutela ke grafu funkce
Prubeh funkce
Monotonie a lokaacutelniacute extreacutemy
Konvexnost konkaacutevnost a inflexniacute body
Asymptoty
Prubeh funkce ndash shrnutiacute
Priacuteklady
Wolfram|Alpha
Prıklady
g) Spocıtame prvnı derivaci a jejı definicnı obor tj
f prime(x) =minusx2 minus 2x
(x + 1)2 D(f prime) = R minus1
h) Nynı urcıme stacionarnı body a intervaly monotonie tj
x (minusinfinminus2) (minus2minus1) (minus1 0) (0infin)
sgn f prime minus + + minusf
i) Z tabulky vidıme ze funkce ma v x = minus2 lokalnı minimum a v x = 0lokalnı maximum
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 36 41
Prıklady
j) Spocıtame druhou derivaci a urcıme jejı definicnı obor
f primeprime(x) =minus2x minus 2
(x + 1)4=
minus2
(x + 1)3
D(f primeprime) = R minus1
k) Urcıme kriticke body a intervaly konvexnosti a konkavnosti tj
f primeprime(x) = 0 lArrrArr minus2 = 0
coz je nesmysl Druha derivace tedy nema zadny nulovy bodNesmıme ovsem zapomenout ze jejı znamenko se muze zmenit i vbodech ve kterych nenı definovana (tj v
rdquodırachldquo jejıho definicnıho
oboru)
x (minusinfinminus1) (minus1infin)
sgn f primeprime + minusf cup cap
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 37 41
Prıklady
l) Funkce nema zadny inflexnı bod (minus1 6isin D(f ))
m) Zrekapitulujme vyznacne body a spocteme v nich funkcnı hodnoty
Prusecıky s osami Px = Py = [0 0]Lokalnı minimum v x = minus2 f (minus2) = 4 tedy jde o bod [minus2 4]Lokalnı maximum v x = 0 f (0) = 0 tedy jde o bod [0 0]
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 38 41
Prıklady
n) Nynı zkombinujeme vsechny zıskane informace a obdrzıme graf funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 39 41
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
Použitiacute derivaciacute
LHospitalovo pravidlo
Tecna a normaacutela ke grafu funkce
Prubeh funkce
Monotonie a lokaacutelniacute extreacutemy
Konvexnost konkaacutevnost a inflexniacute body
Asymptoty
Prubeh funkce ndash shrnutiacute
Priacuteklady
Wolfram|Alpha
Prıklady
j) Spocıtame druhou derivaci a urcıme jejı definicnı obor
f primeprime(x) =minus2x minus 2
(x + 1)4=
minus2
(x + 1)3
D(f primeprime) = R minus1
k) Urcıme kriticke body a intervaly konvexnosti a konkavnosti tj
f primeprime(x) = 0 lArrrArr minus2 = 0
coz je nesmysl Druha derivace tedy nema zadny nulovy bodNesmıme ovsem zapomenout ze jejı znamenko se muze zmenit i vbodech ve kterych nenı definovana (tj v
rdquodırachldquo jejıho definicnıho
oboru)
x (minusinfinminus1) (minus1infin)
sgn f primeprime + minusf cup cap
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 37 41
Prıklady
l) Funkce nema zadny inflexnı bod (minus1 6isin D(f ))
m) Zrekapitulujme vyznacne body a spocteme v nich funkcnı hodnoty
Prusecıky s osami Px = Py = [0 0]Lokalnı minimum v x = minus2 f (minus2) = 4 tedy jde o bod [minus2 4]Lokalnı maximum v x = 0 f (0) = 0 tedy jde o bod [0 0]
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 38 41
Prıklady
n) Nynı zkombinujeme vsechny zıskane informace a obdrzıme graf funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 39 41
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
Použitiacute derivaciacute
LHospitalovo pravidlo
Tecna a normaacutela ke grafu funkce
Prubeh funkce
Monotonie a lokaacutelniacute extreacutemy
Konvexnost konkaacutevnost a inflexniacute body
Asymptoty
Prubeh funkce ndash shrnutiacute
Priacuteklady
Wolfram|Alpha
Prıklady
l) Funkce nema zadny inflexnı bod (minus1 6isin D(f ))
m) Zrekapitulujme vyznacne body a spocteme v nich funkcnı hodnoty
Prusecıky s osami Px = Py = [0 0]Lokalnı minimum v x = minus2 f (minus2) = 4 tedy jde o bod [minus2 4]Lokalnı maximum v x = 0 f (0) = 0 tedy jde o bod [0 0]
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 38 41
Prıklady
n) Nynı zkombinujeme vsechny zıskane informace a obdrzıme graf funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 39 41
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
Použitiacute derivaciacute
LHospitalovo pravidlo
Tecna a normaacutela ke grafu funkce
Prubeh funkce
Monotonie a lokaacutelniacute extreacutemy
Konvexnost konkaacutevnost a inflexniacute body
Asymptoty
Prubeh funkce ndash shrnutiacute
Priacuteklady
Wolfram|Alpha
Prıklady
n) Nynı zkombinujeme vsechny zıskane informace a obdrzıme graf funkce
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 39 41
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
Použitiacute derivaciacute
LHospitalovo pravidlo
Tecna a normaacutela ke grafu funkce
Prubeh funkce
Monotonie a lokaacutelniacute extreacutemy
Konvexnost konkaacutevnost a inflexniacute body
Asymptoty
Prubeh funkce ndash shrnutiacute
Priacuteklady
Wolfram|Alpha
Wolfram|Alpha
Tecna ~
tangent to y=x^2 at 2
Normala ~
normal to y=x^(23) at 8
Limita ~
limit (ln^5(x))(x-3) as x-gtinfinity
Lokalnı extremy ~
local extrema of (x-1)(x^2+1)
Inflexnı body ~
inflection points of (x-1)(x^2+1)
Asymptoty ~
asymptotes y=(x^2-1)(5-x)
Graf funkce ~ ~
plot y=(x^2-3)(x^2+9)
plot y=(x-1)(x^2+1) for x from -3 to 4 and y from -1 to 05
ccopy Petr Hasil (MENDELU) Aplikace derivace a prubeh funkce Matematika MT 41 41
