Teplota

• tlaky v obou částech se vyrovnají

22

2

22

2

11

21

vmn

vmn VV

1 2

1 2 • v rovnováze budou střední kinetické

energie obou druhů molekul stejné:

22

2

22

2

11 vmvm

• těžší molekuly se pohybují pomaleji než lehčí

• stejné musí tedy být i objemové koncentrace: 21 VV nn

• když mají dva plyny stejnou teplotu jsou střední kinetické energie jejich molekul stejné

• střední kinetická energie nezávisí na typu plynu, ale jen na teplotě

kTmv

2

3

2

2

definice teploty

• Boltzmanova konstanta k = 1.380648 10-23 J K-1

Teplota

1 2

1 2

• když mají dva plyny stejnou teplotu jsou střední kinetické energie jejich molekul stejné

kTmv

2

3

2

2

definice teploty

• Boltzmanova konstanta

k = 1.380648 10-23 J K-1

• Na každý nezávislý pohyb (stupeň volnosti) připadá střední hodnota kinetické energie kT2

1

• teplota

• těžší molekuly se pohybují pomaleji než lehčí

• r-atomová molekula: 3r nezávislých směrů pohybu (stupňů volnosti)

• kinetická energie hmotného středu: 3/2 kT

• vnitřní (vibrační a rotační) kinetická energie: 3/2(r-1) kT

Stavová rovnice ideálního plynu

• Avogadrova konstanta NA = 6.022140 1023

Umv

NpV3

2

23

2 2

kTmv

2

3

2

2

stavová rovnice ideálního plynu

nRTNkTpV

• počet molekul NA 1 mol

• Stejné objemy plynů mají při stejné teplotě a tlaku stejný počet molekul konst.T

pV

• je to tak definováno proto aby M[g] = A

• hmotnost 1 mol atomů 12C je 12 g

• n – látkové množství (počet molekul v molech)

AN

Nn

• R – molární plynová konstanta 11molJK31446.8 kNR A

molární objem plynu za

standardní teploty a tlaku:

p = 101.325 kPa

T = 273.15 K (0oC)

Vm = 22.41 l

Tlakové lahve

p = 200 bar = 20.3 MPa

T = 293 K (20oC)

V = 50 l = 50 10-3 m3

R =8.3144 JK-1mol-1

Stavová rovnice ideálního plynu

H2, A = 1 g mol-1 M = 0.42 kg

O2, A = 32 g mol-1 M = 13.4 kg

Izotermická atmosféra

• pokles tlaku s výškou: zmgnp vdd

• počet molekul v jednotkovém objemu: V

Nnv

• stavová rovnice ideálního plynu: NkTpV kTnp V

vv n

kT

mg

z

n

d

d

• řešení:

zkT

mg

vv enn

0

• hustota těžších plynů klesá s výškou rychleji

z (km)

0 20 40 60 80

nv /

nv0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

O2

N2

H2

He

Boltzmannův princip

• izotermická atmosféra:

potenciální energie atomu

zkT

mg

vv enn

0

kT

Epexp~• hustota:

• Boltzmannův princip: Pravděpodobnost nalezení molekuly v dané prostorové konfiguraci se mění

exponenciálně se zápornou potenciální energií této konfigurace dělenou kT.

Boltzmannův princip

potenciální energie atomu

kT

Epexp~• hustota:

Boltzmannův princip

odpudivá interakce, ~1/r12

přitažlivá interakce, ~ -1/r6

Potenciál V(r)

• kT >> | V(r)| na poloze příliš nezáleží

• kT << | V(r)| velký rozdíl pravděpodobnosti výskytu

molekuly v r0 a jinde

Rozdělení rychlostí molekul

• izotermická atmosféra:

zkT

mg

vv enn

0

• molekuly s vz < u se do výšky h nedostanou

výška

hz

0z

00 zVzV vhznuvzn

z

000 zVzV vhznvzn

mghmu 2

2

1

kT

mu

kT

mgh

vzn

vhzn

vzn

uvzn

zV

zV

zV

zV

2expexp

00

0

00

0 2

• Boltzmannův princip:

• platí pro každou výšku

kT

Euvn k

zV exp~

Rozdělení rychlostí molekul

• izotermická atmosféra:

zkT

mg

vv enn

0

• rozdělení rychlostí

výška

hz

0z

u

kz uufu

kT

ECuvn dexp1

z

uf

• celková hustota pravděpodobnosti

kT

vvvm

kT

mvvvf

zyx

zyx2

exp2

,,

2222/3

• hustota pravděpodobnosti:

kT

muCuf

2exp

2

2Gaussián

kT

mC

22

Maxwell-Boltzmannovo rozdělení

Rozdělení rychlostí molekul

• izotermická atmosféra:

zkT

mg

vv enn

0

• rozdělení rychlostí

výška

hz

0z

z

kT

mv

kT

mvvvf zyx

2exp

2,,

22/3

• marginální celková hustota pravděpodobnosti

pro velikost rychlosti:

kT

mvv

kT

mvvfvfv

2exp

24ddsin,,

22

2/3

0

2

0

2

kT

mv

kT

mvf

2exp

2,,

22/3

• ve sférických souřadnicích

• Maxwell-Boltzmannovo rozdělení

Rozdělení rychlostí molekul

kT

mvv

kT

mvfv

2exp

24

22

2/3

1m

kT

2m

kT

5m

kT• střední hodnota velikosti rychlosti

• nejpravděpodobnější velikost rychlosti

• počet srážek jedné molekuly za čas t:

Střední doba mezi srážkami

NtNS • pro N molekul:

nn N

t

N

1

d

d

• Nn(t) - počet molekul, které se za dobu t ještě nesrazily :

ttNtNttN nnn

d-d

t

n eN

tNtP

0

• pravděpodobnost, že se molekula za dobu t ještě nesrazila:

tNS

střední doby mezi srážkami

t

n eNtN

0

• doba mezi srážkami je náhodná proměnná s exponenciálním rozdělením:

t

etf

1

• střední doba mezi srážkami:

tetttftt

d1

d00

• střední volná dráha: vl

• pravděpodobnost srážky na vzdálenosti dx: l

xxnP V

dd

1lnV

účinný průřez 2

2

2

1 rr

xd

1S

Drift

m

Fvdrift • driftová rychlost:

F

střední doba mezi srážkami zrychlení

Fvdrift • driftová rychlost:

m

pohyblivost

Difúze

1S

x

• tok molekul jednotkou plochou:

xvv

xvxv

x vnnt

tvntvnJ

d

dd

• nv-, nv+ koncentrace ve vzdálenosti l/2 (střední volné dráhy)

od rozhraní

• koncentrace difundujících molekul: tzyxnva ,,,

lx

nnn va

vv

x

nD

x

nvl

x

nlvJ va

xvava

xx

3

1

• difúzní koeficient: vlDx3

1

vl

m

23

2 2mvDx

kTmv

2

3

2

2

x

nDJ va

xx

1. Fickův zákon

kTDx

Difúze

1S

x

• tok molekul jednotkou plochou:

dxt

nvnnJ va

xvvx

• 1. Fickův zákon:

t

n

x

J vax

x

nDJ va

xx

(stacionární stav)

• derivace 1. Fickova zákona: 2

2

x

nD

x

J vax

x

2

2

x

nD

t

n vax

va

2. Fickův zákon

(diferenciální rovnice pro časový vývoj koncentrace)

Difúze

2

2

x

nD

t

n vax

va

2. Fickův zákon

X

0 2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0t

• okrajová podmínka: 0,0 ntxnva

00,0 txnva• počáteční podmínka:

01 t

12 tt

tD

xerfntxn

x

va2

1, 0

• řešení:

• error funkce: texerf t d2

0

2

X

0 2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0t

Difúze

2

2

x

nD

t

n vax

va

2. Fickův zákon

• okrajová podmínka:

tD

xerfntxn

x

va2

1, 0

0,0 ntxnva

00,0 txnva• počáteční podmínka:

01 t

12 tt

• řešení:

Difúze

2. Fickův zákon

• izotropní difůze v prostoru v prostoru:

1. Fickův zákon