POÍTAOVÁ PODPORA LITÍ A TUHNUTÍ ODLITKŮ - FMMI · PDF file2...

Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava

Fakulta metalurgie a materiálového inženýrství

POČÍTAČOVÁ PODPORA LITÍ A

TUHNUTÍ ODLITKŮ (studijní opory)

Jaroslav Beňo

Nikol Špirutová

Ostrava 2013

2

Recenzent: Ing. František Mikšovský, CSc.

Název: Počítačová podpora lití a tuhnutí odlitků

Autor: Ing. Jaroslav Beňo, Ph.D.

Ing. Nikol Špirutová

Vydání: první, 2013

Počet stran: 104

Studijní materiály pro studijní obor Moderní metalurgické technologie (studijní program

Metalurgické inženýrství) navazujícího magisterskéhobakalářského studia Fakulty metalurgie

a materiálového inženýrství.

Jazyková korektura: nebyla provedena.

Určeno pro projekt:

Operační program Vzděláváním pro konkurenceschopnost

Název: ModIn - Modulární inovace bakalářských a navazujících magisterských programů na

Fakultě metalurgie a materiálového inženýrství VŠB - TU Ostrava

Číslo: CZ.1.07/2.2.00/28.0304

Realizace: VŠB – Technická univerzita Ostrava

Projekt je spolufinancován z prostředků ESF a státního rozpočtu ČR

© Jaroslav Beňo

© VŠB – Technická univerzita Ostrava

3

OBSAH

1. TEORETICKÝ ROZBOR TUHNUTÍ A CHLADNUTÍ ODLITKŮ ...... 8

1.1 Tuhnutí (krystalizace) odlitků .................................................................................... 8

1.1.1 Odlišnosti struktury taveniny a tuhé fáze ........................................................... 9

1.1.2 Termodynamika krystalizace .............................................................................. 9

1.1.3 Kinetika krystalizace ........................................................................................ 11

1.2 Vznik krystalizačních zárodků - nukleace ............................................................... 13

1.2.1 Homogenní nukleace ........................................................................................ 13

1.2.2 Heterogenní nukleace ....................................................................................... 16

1.2.3 Krystalizace slitin v reálných podmínkách ....................................................... 18

1.2.4 Růst krystalů ..................................................................................................... 20

1.2.5 Primární krystalizace odlitků ............................................................................ 20

1.2.6 Dendritický růst odlitků .................................................................................... 21

1.3 Tuhnutí odlitků ........................................................................................................ 22

1.3.1 Mrofologie tuhnutí ............................................................................................ 22

1.3.2 Kinetika tuhnutí ................................................................................................ 23

1.3.3 Průběh a doba tuhnutí odlitku ........................................................................... 23

2 VYUŽITÍ VÝPOČETNÍ TECHNIKY PRO SIMULACI LITÍ A

TUHNUTÍ ODLITKŮ .............................................................................. 27

2.1 Současný stav výpočetní techniky ve slévárenské technologii ................................ 27

2.2 Možnosti simulačních programů ............................................................................. 28

2.3 Trendy vývoje simulačních programů ..................................................................... 30

3 MODELOVÁNÍ A SIMULACE ................................................................ 32

4 MODELOVÁNÍ SLÉVÁRENSKÝCH PROCESŮ ................................. 36

4.1 Rozdělení modelů .................................................................................................... 37

4.2 Fyzikální modelování slévárenských procesů ......................................................... 40

4.2.1 Podobnost systémů ........................................................................................... 40

4.2.2 Rovnice Fyzikálního modelu ............................................................................ 42

4.2.3 Bezrozměrové parametry .................................................................................. 49

4.2.4 Stanovení kritérií podobnosti pomocí rozměrové analýzy ............................... 50

4.2.5 Stanovení kritérií podobnosti metodou podobnostní transformace .................. 51

4.2.6 Stanovení kritérií podobnosti metodou rozměrové analýzy rovnic .................. 52

OBSAH

4

4.2.7 Přehled nejrozšířenějších bezrozměrových kritérií .......................................... 53

4.3 Matematické modelování slévárenských procesů ................................................... 56

4.3.1 Analytické metody ............................................................................................ 59

4.3.2 Počáteční a okrajové podmínky ........................................................................ 60

4.3.3 Numerické metody ........................................................................................... 63

5 NUMERICKÉ SIMULOVÁNÍ .................................................................. 75

5.1 Architektura simulačních programů ........................................................................ 75

5.1.1 Preprocessing .................................................................................................... 77

5.1.2 Mainprocessing ................................................................................................. 78

5.1.3 Postprocessing .................................................................................................. 79

6 VYUŽITÍ SIMULAČNÍCH PROGRAMŮ PRO RŮZNÉ

METODY LITÍ ......................................................................................... 80

6.1 Gravitační lití ........................................................................................................... 80

6.2 Lití do skořepinových forem ................................................................................... 84

6.3 Tlakové lití ............................................................................................................... 87

7 SIMULAČNÍ PROGRAMY VE SLÉVÁRENSTVÍ ............................... 91

7.1 Historický vývoj ...................................................................................................... 91

7.2 Přehled simulačních programů ................................................................................ 92

7.3 MAGMASOFT® ..................................................................................................... 94

7.4 ProCast ..................................................................................................................... 98

7.5 PAM CAST / SIMULOR ........................................................................................ 99

7.6 WINCast /SIMTEC ................................................................................................. 99

7.7 Nova Flow & Solid .................................................................................................. 99

8 KLÍČ K ŘEŠENÍ ....................................................................................... 101

Počítačová podpora lití a tuhnutí odlitků – Pokyny ke studiu

5

POKYNY KE STUDIU

Počítačová podpora lití a tuhnutí odlitků

Pro předmět „Počítačová podpora lití a tuhnutí odlitků“ 4. semestru studijního oboru

Moderní metalurgické technologie jste obdrželi studijní balík obsahující integrované skriptum

pro kombinované studium obsahující i pokyny ke studiu.

1. Prerekvizity

Pro studium tohoto předmětu se předpokládá absolvování předmětu:

Teorie slévárenských pochodů

Slévárenství slitin neželezných kovů

Metalurgie litin

Diagnostika a řízení kvality odlitků

2. Cílem předmětu a výstupy z učení

Cílem předmětu je seznámení studenta se základy matematického a fyzikálního

modelování slévárenských procesů. V rámci studia bude posluchač seznámen s možností

použití simulačních programů s využitím výpočetní techniky pro návrh a výrobu modelu,

odlitků a forem. Student dále bude seznámen s možnostmi predikce řešení konstrukce a

eliminace vzniku vad. V rámci studia skripta student navíc získá informace o možnostech

využití simulačních programů pro speciální technologie výroby odlitků.

Po prostudování předmětu by měl student být schopen:

výstupy znalostí:

- student bude znát základy modelování fyzikálních vlastností materiálů

- student se bude orientovat v možnostech použití simulačních programů pro jednotlivé

postupy výroby odlitků

výstupy dovedností:

- student bude umět vytvořit a zpracovat virtuální model včetně technologického

postupu výroby

- student bude umět aplikovat metody výpočetní techniky pro výrobu odlitku

.

Pro koho je předmět určen

Předmět je zařazen do magisterského studia oboru Moderní metalurgické technologie

studijního programu Metalurgické inženýrství, ale může jej studovat i zájemce z kteréhokoliv

jiného oboru, pokud splňuje požadované prerekvizity.


6

Studijní opora se dělí na části, kapitoly, které odpovídají logickému dělení studované

látky, ale nejsou stejně obsáhlé. Předpokládaná doba ke studiu kapitoly se může výrazně lišit,

proto jsou velké kapitoly děleny dále na číslované podkapitoly a těm odpovídá níže popsaná

struktura.

Při studiu každé kapitoly doporučujeme následující postup:

Čas ke studiu: xx hodin

Na úvod kapitoly je uveden čas potřebný k prostudování daného úseku látky. Časový

harmonogram je pouze orientační, záleží pouze na schopnostech daného studenta a na tom,

zda se již s danou problematikou setkal anebo má v daném oboru již bohaté zkušenosti Tento

údaj Vám může sloužit jako hrubé vodítko pro rozvržení studia celého předmětu nebo

kapitoly.

Cíl Po prostudování tohoto odstavce budete umět

definovat ......

popsat ...

vyřešit .... Ihned potom jsou uvedeny cíle, kterých by jste měli dosáhnout po prostudování dané

kapitoly, tzn. konkrétní dovednosti a znalosti

Výklad

Následuje vlastní výklad studované látky, zavedení nových pojmů a jejich vysvětlení,

vše je doprovázeno obrázky, tabulkami, příklady a literaturou ze které lze čerpat pro další

studium nebo v případě nejasností u některých pojmů.

Shrnutí pojmů kapitoly (podkapitoly)

Na závěr kapitoly jsou zopakovány hlavní pojmy, které jste si měli osvojit. Pokud

některému z nich nerozumíte, vraťte se k němu ještě jednou.

Otázky k probranému učivu

Za účelem ověření, že jste dobře a úplně látku kapitoly zvládli, máte k dispozici i

několik teoretických otázek.

Klíč k řešení

Výsledky teoretických otázek jsou uvedeny v závěru studijní opory v Klíči řešení.

Používejte je až po samostatném zodpovězení úloh, jen tak si samostatně ověříte, že jste

obsah kapitoly skutečně úplně zvládli. Úspěšné a příjemné studium s touto oporou Vám přeje

autor výukového materiálu - Jaroslav Beňo


7

Způsob komunikace s vyučujícími:

Během studia daného předmětu pro udělení zápočtu musí student předložit semestrální

práci, jejíž téma bude voleno individuálně s ohledem na předchozí zkušenosti studenta se

simulačními slévárenskými programy, popřípadě s ohledem na jeho pracovní zařazení. Pro

úspěšné udělení zápočtu, musí daná práce splňovat formální i obsahové náležitosti, které

budou zadány na počátku přímé kontaktní výuky.

Během studia, nad rámec kontaktní výuky, jsou možné individuální konzultace, po

předchozí domluvě s vyučujícím předmětu.

Kontaktní údaje na vyučujícího:

Ing. Jaroslav Beňo, Ph.D.

+420 597 325 413

[email protected]

.

Tuhnutí a chladnutí odlitků

8

1. Teoretický rozbor tuhnutí a chladnutí odlitků

1.1 Tuhnutí (krystalizace) odlitků

Čas ke studiu: 9 hodin


definovat uspořádání tuhé fáze a taveniny;

definovat mechanismy a principy vzniku zárodků a růstu krystalů

definovat vliv materiálových vlastností formy na její termo-fyzikální

vlastnosti

popsat termodynamické a kinetické podmínky krystalizace; popsat základní rozdíly mezi homogenní a heterogenní nukleací,

popsat krystalizaci v reálných podmínkách

vyřešit kritickou velikost zárodku; vyřešit dobu tuhnutí odlitku

Výklad

Výroba odlitků do slévárenských forem představuje složitý děj spojený s procesem

prostorového přenosu nejen tepla, ale i hmoty při souběžně probíhajících fyzikálně-

chemických dějích v nestacionárních podmínkách. S ohledem na čas, při kterém daný proces

probíhá, lze celý proces přenosu tepla mezi odlitkem a formou rozdělit na tuhnutí a chladnutí

odlitku.

Na mechanismu tuhnutí (krystalizace) slitin závisí mikrostruktura slitiny a tudíž její

mechanické vlastnosti. Tuhnutí slitin má dvě stádia:

nukleaci krystalů

růst krystalů

Při nukleaci vznikají na mnoha místech v tavenině stabilní zárodky budoucích

krystalů. Každý krystal postupně roste, a to tak dlouho, než se jednotlivé krystaly setkají.

Z každého zárodku krystalu pak vzniká zrno tuhého roztoku s vlastní orientací krystalové

struktury nebo částic jiné fáze (Obr. 1.). Z tohoto důvodu jsou obecně kovové materiály

polykrystalické.

Tuhnutí a chladnutí odlitků

9

Obr.1. Nukleace a růst krystalů v kovu (l - tavenia, s - tuhá fáze)

1.1.1 Odlišnosti struktury taveniny a tuhé fáze

Kovy a slitiny v tuhém stavu se vlivem působení vazebních sil vyznačují pravidelným

uspořádáním atomů v prostoru, čímž vzniká krystalická mřížka. Její geometrické vlastnosti

jsou charakterizovány elementární buňkou. V každé krystalové mřížce, nevyjímaje čisté kovy,

existují různé poruchy. V mřížce jsou určité uzlové polohy neobsazené atomy, vznikají tzv.

vakantní místa, jejichž počet se mění s teplotou.

Vedle vakantních míst, která patří k bodovým poruchám, se v krystalové mřížce

vyskytují ještě čárové poruchy (dislokace), které prostupují krystalovou mřížkou v určitých

rovinách.

Taveniny, stejně jako tuhé fáze patří k tzv. kondenzovaným fázím, kde vlivem

dostatečně těsného přiblížení se atomů dochází k významné deformaci elektronového obalu a

jisté kolektivizaci vnějších elektronových obalů, což společně vytváří vazebné síly, jejíchž

působením jsou atomy udržovány v určitých polohách.

Nejznámější pozorovatelný rozdíl mezi kapalným a tuhým stavem spočívá v tekutosti,

tj. schopností zaplnit prostor, v němž se látka nachází. K výrazným rozdílům mezi

uvažovanými stavy patří větší entropie kapaliny, větší stlačitelnost a teplotní roztažnost

taveniny i vyšší hodnoty koeficientu difúze v tavenině.

Podle vakantní teorie, resp. teorie děr, vypracované EYRINGEM, resp.

FRENKELEM, v tavenině je prostorové uspořádání atomů podobné uspořádání v tuhém stavu

s vyjímkou výrazně vyššího počtu vakancí. Rozdíl mezi tuhou fází a taveninou se projevuje

především v hustotě vakancí, která je v tavenině v blízkosti teploty tání výrazně vyšší (o

několik řádů) než v tuhé fázi, poblíž této teploty. Jinými slovy s teplotou počet děr roste a

roste i tak celkový objem taveniny. Naopak při přechodu tekuté fáze na fázi tuhou (v souladu

se změnou uspořádání z blízké na větší vzdálenost) se mění objem.

1.1.2 Termodynamika krystalizace

Krystalizací je označována fázová přeměna doprovázená změnou objemu za

současného uvolnění skupenského tepla krystalizace. Průběh krystalizace je řízen obecnými

zákonitostmi platnými pro všechny fázové přeměny.

Obecným kritériem, které slouží k působení možnosti samovolného průběhu libovolné

fázové přeměny je změna volné entalpie G, definované vztahem:

STHG

Termodynamika a kinetika krystalizace

10

Kde H je změna entalpie a S změna entropie provázející tuto přeměnu. Volná

entalpie představuje podíl energie, kterou soustava může přeměnit v práci, tj. v daném případě

k uskutečnění fázové přeměny.

Při krystalizaci čistého kovu je změna volné entalpie dána rozdílem volných entalpií

daného kovu v tuhém (GS) a v kapalném (GL) stavu:

LS GGG

Existuje teplota, při níž původní fáze a fáze nově vznikající je ve stavu

termodynamické rovnováhy. Podmínkou rovnováhy je rovnost volné entalpie DG obou fází

(Obr.2.)

Obr.2. Změna volné entalpie G s teplotou pro tuhou a tekutou fázi kovu

Příčinou krystalizace je snaha kovu nebo slitiny dosáhnout při ochlazení stabilního

stavu. Z hlediska termodynamických zákonitostí je stabilní stav definován minimální volnou

entalpií.

Nad teplotou T0 (Obr. 2.) jsou hodnoty volné entalpie taveniny nižší a proto je

termodynamicky stabilnější než fáze krystalická. Při teplotě T0 existuje rovnováha mezi

oběma fázemi. Označuje se jako teoretická teplota krystalizace.

Jelikož je krystalizace difúzním pochodem, nelze očekávat její započetí při teplotě T0.

Musí dojít k určitému přechlazení T pod tuto teplotu tak, aby změna volné entalpie G mezi

původní a nově vznikající fází byla dostatečná k tomu, aby byla vlastní krystalizace

podnícena. Rozdíl entalpií (G) uhradí veškerou práci, která je nutná pro vznik a růst

zárodků.

V praxi skutečný vznik zárodků krystalizace probíhá při přechlazení menším než

10 °C.


11

1.1.3 Kinetika krystalizace

Z hlediska kinetiky se krystalizace skládá ze dvou na sobě nezávislých dějů, tj. vzniku

zárodků krystalu a jeho růstu v závislosti na teplotním gradientu (rovinné, buněčné,

dendritické).. Jinými slovy přemístění mezifázové hranice směrem do tekuté fáze. Každý

z těchto hlavních dějů je složen z několika dalších dílčích dějů. Z nichž nejpomalejší děj

limituje rychlost celého děje. Například v případě nukleace se uskutečňuje shromáždění

vhodných druhů atomů difúzním nebo jiným pohybem, jejich vzájemné vnitřní uspořádání,

vytvoření mezifázové hranice apod. Stejně tak i růst zahrnuje transport atomů starou fází,

jejich přeskok mezifázovou hranicí a transport atomů novou fází. Většina těchto dějů je

tepelně aktivována, tzn., že energetické bariéry jsou překonávány tepelným pohybem

energeticky aktivovaných atomů nebo jejich skupin.

Přechod taveniny v tuhou krystalickou fázi lze studovat ze dvou hledisek:

Z hlediska rychlosti růstu nové fáze v závislosti na podmínkách odvodu tepla

z taveniny. Jinými slovy na základě objemu vzrostlé tuhé fáze za daných

podmínek ochlazování.

Z fyzikálně - chemického hlediska (mechanismu tuhnutí)

Při vysoké rychlosti tvorby krystalizačních zárodků (velký počet zárodků) a malé

lineární rychlosti dalšího růstu krystalu je výsledná struktura tvořena jemnými zrny a naopak

při nízké rychlosti vzniku krystalizačních center a vysoké lineární rychlosti růstu vznikají

hrubá polyedrická zrna.

Rychlost tvorby zárodků KZ dle TAMMANNA je definována:

min3

cm

zarodkupocetKZ

a lineární rychlost růstu dendritů KG:

xL

TTKG TUHLITÍ

kde: - tepelná vodivost tekutého kovu

L - latentní teplo krystalizace

x - tloušťka vrstvy tekuté fáze

Grafickou závislost změny lineárního růstu v závislosti na stupni přechlazení pak

zachycují Obr. 3a a 3b.


12

3a Změna lineární rychlosti růstu v závislosti

na stupni přechlazení

3b Změna lineární rychlosti růstu v závislosti

na stupni přechlazení (kovy a slitiny)

Obr.3. Změna lineární rychlosti růstu

K dosažení jemnější mikrostruktury tedy dochází v případě zvýšení ochlazovací

rychlosti taveniny, čímž je dosažena vyšší hnací síla tuhnutí. Jemnozrnné materiály a

materiály s jemnými částicemi fází mají vyšší pevnostní vlastnosti v porovnání

s hrubozrnnými. Uvedený postup však lze pouze aplikovat u malých objemů taveniny,

protože u velkých objemů taveniny nelze ochlazovací rychlost příliš zvyšovat, neboť je

limitována odvodem tepla z roztavené slitiny.

Pro zjemnění mikrostruktury se proto ve větší míře používá očkování. Principem

očkování je úmyslné vnášení jemných cizorodých částic do taveniny, které se stávají

krystalizačními zárodky, přičemž je dosaženo rovněž jemné mikrostruktury.

Zárodky krystalizace mohou vznikat samovolně (homogenní nukleací) nebo jsou

vneseny do taveniny (heterogenní nukleace).

Homogenní a heterogenní nukleace

13

1.2 Vznik krystalizačních zárodků - nukleace

Pojmem nukleace se označuje tvorba nové fáze, která v případě krystalizace je

oddělena od svého okolí diskrétní hranicí.

K samovolné, nebo-li spontánní nukleaci bez ovlivnění stěnami, vměstky, přísadami

či tlakovými impulsy dochází velmi vzácně, obecně lze říct, že se jedná pouze o nukleaci

v laboratorních podmínkách. V takovýchto případech hovoříme o homogenní nukleaci.

V reálných podmínkách nukleace obvykle začíná na povrchu formy, kokily či různých částic

přítomných v tavenině. V tomto případě se hovoří o heterogenní nukleaci.

1.2.1 Homogenní nukleace

Tímto termínem se označuje vznik zárodků nové fáze uvnitř oblasti staré fáze. Vzniká

z center shluků atomů, jež vznikají v tavenině přirozeným způsobem. Blíží-li se teplota

taveniny teplotě tuhnutí (Tt), dochází v ní k přirozené fluktuaci koncentrací, čímž vznikají

shluky s geometricky pravidelným uspořádáním atomů, které odpovídá krystalickému stavu

hmoty, jinými slovy ke vzniku nové fáze. Množství vzniklých zárodků za jednotku času a

v jednotce objemu lze vyjádřit statistickou pravděpodobností počtu homeofáových fluktuací.

Změny v koncentraci jsou také doprovázeny změnami v energii soustavy, tj. tepelnými

fluktuacemi. Skutečnými - aktivními - zárodky se tyto shluky stávají v okamžiku, kdy jsou

termodynamicky stabilní. To znamená, že disponují menší volnou energií než původní tekutá

fáze.

Celková změna volné entalpie při vzniku zárodků tuhé fáze v tavenině je dána

uvolněním volné entalpie při vzniku kulového zárodku o poloměru r a energií nutnou

k vytvoření povrchu zárodku (hranice zárodek - tavenina). Vzhledem k malému objemu

zárodků a tím pádem i velkému poměru povrchu k objemu, hraje mezifázová energie

významnou roli.

Práce nutná k vytvoření zárodu (nukleus) je úměrná volné entalpii, která pro vznik

zárodku v tavenině je dána vztahem:

SV GGG

kde: G - celková změna volné entalpie

GV - změna volné entalpie soustavy při přechodu fáze tekuté ve fázi tuhou

GS - volná entalpie potřebná k vytvoření mezifázové hranice

Při vytvoření kulovitého shluku o rozměru r se musí určité množství energie uvolnit.

Toto množství je definováno součinem objemu shluku ( 3

3

4rV ) a volné energie (volné

entalpie) objemové jednotky:

m

mV

V

GrGE

3

13

4


14

kde: Gm - rozdíl molárních volných entalpií tuhé a tekuté fáze, který je při

krystalizaci záporný

Vm - měrný molární objem

Hodnota volné energie GV, o kterou bude snížena energie soustavy, nabývá záporné

hodnoty (vzhledem k soustavě) a činí soustavu termodynamicky stabilní.

Hodnota energie potřebné k vytvoření mezifázové hranice krystal - tavenina je úměrná

velikosti plochy (A) fázového rozhraní () a velikosti povrchového napětí. Tato energie

představuje přírůstek energie soustavy a proto je kladná. Pro vznik mezifázové hranice pro

kulový zárodek tedy platí rovnice:

2

2 4 rGE S

Pak celková volná energie (entalpie) při vzniku krystalizačního zárodku v tavenině je

definována vztahem:

m

mSVC

V

GrrGGGE

32

3

44

Energetické poměry při tvorbě krystalických zárodků lze popsat i graficky (Obr. 4),

přičemž průběh křivky E2 odpovídá kvadratické parabole, křivka E1 má charakter paraboly

kubické.

Obr.4. Změna volné entalpie (G) zárodku v závislosti na jeho poloměru

Maxima součtové křivky EC = E2 - E1 je dosaženo při kritické velikost zárodku rkr.

S ohledem na kritickou velikost zárodku platí, že částice, které jsou menší než rkr se budou

zpětně rozpouštět, naopak částice větší než rkr budou dále růst, neboť oba děje jsou spojeny

s poklesem volné entalpie.

Kritickou velikost zárodku lze stanovit pomocí první derivace pro stanovení celkové

volné energie (stanovení extrému funkce)položené rovno 0 a při dodržení podmínky:


15

0

r

EC 0

r

EC

pak lze kritickou velikost zárodku definovat dle rovnice:

T

MT

G

Vr

m

mkr

lg

22

kde T - skutečná teplota krystalizace

M - molekulová hmotnost krystalizující látky

Práce spojená s tvorbou zárodku lze odvodit ze vztahu

m

mkr

G

VE

3

3

16

Kritická velikost zárodku rkr je nepřímo úměrná velikosti podchlazení T (Obr.5).

S rostoucím podchlazením T klesá poloměr kritické velikosti zárodku. Kritické podchlazení

taveniny, kdy se homogenní zárodek stává stabilním a je schopen dalšího růstu je dle

DAVIESE (Obr.6.):

tkr TT 2,0

Obr.5. Závislost kritické velikost zárodku

na podchlazení

Obr.6. Vliv podchlazení na průběh

nukleace


16

1.2.2 Heterogenní nukleace

V reálných podmínkách probíhá heterogenní nukleace při mírnějším přechlazení.

Krystalizace je vyvolána přítomností různých vměstků – oxidů, křemičitanů, nitridů i

nekovových vměstků apod., rovněž probíhá na stěnách formy a nerovnostech formy. Jedná se

o běžnou krystalizaci, aniž by vzniklo nutné přechlazení k zahájení spontánní krystalizace.

Pro vznik krystalů je postačující přechlazení cca 0,02 Tt. Z toho vyplývá, že tato krystalizace

předchází spontánní krystalizaci. Nukleace heterogenní probíhá mnohem rychleji než

homogenní

Aby se vměstek mohl stát cizím krystalizačním zárodkem, musí splňovat daná kritéria:

musí mít příbuznou krystalickou mřížku

zárodek musí být smáčen taveninou; Čím je krystalická příbuznost mřížek

kovu a vměstku větší, tím menší je úhel smáčení a tím snáze se zárodek stává

aktivním krystalizačním zárodkem

příměsi vnášené do taveniny cílevědomě, při krystalizaci působí jako aktivní

podložky; Označují se jako očkovadla (např. Ti a Zr u slitin Al a FeSi u litin).

Existují však i další vlivy, které ovlivňují vlastní průběh krystalizace:

Čistota kovu (v případě, že kov obsahuje plyny, vměstky, vzduch, pak

nepotřebuje výrazného přechlazení k zahájení krystalizace)

Pohyb taveniny (jakýkoliv pohyb taveniny, jako např. vibrace, chvění,

proudění atd. snižuje nutné přechlazení k tvorbě zárodku)

Tlak (vysoký vnější tlak napomáhá krystalizaci)

Stupeň přehřátí kovu – při nejnižším stupni je nejjemnější struktura, se

zvyšujícím se stupněm roste rozměr zrna a potom od určité kritické teploty se

opět struktura zjemňuje

Fyzikální podstata krystalizace z heterogenních zárodků spočívá ve snížení

mezifázového napětí v soustavě tavenina - cizí částice – vznikající zárodek a proto je taky

hodnota nutné energie pro vznik aktivního zárodku nižší. Z tohoto důvodu probíhá

heterogenní krystalizace již při malém přechlazení.

Povrchové mezifázové napětí a smáčivost mezi zárodkem a taveninou jsou

nejdůležitější veličiny, které rozhodují o tom, zda se cizí zárodek stane aktivním. Povrchové

mezifázové napětí a úhel smáčení mezi taveninou (T), zárodkem (Z) a krystalickou fází (K)

vznikající na cizím zárodku (Obr. 7) lze definovat dle vztahu:

cos KTKZTZ

kde úhel smáčení je roven:

KT

KZTZ

cos


17

Obr.7. Heterogenní nukleace

Podmínkou krystalizace taveniny z daného zárodku je tedy dobrá smáčivost a musí

platit:

KZTZ

Čím je úhel smáčení menší, tím větší je předpoklad, že zárodek bude aktivní,

schopen většího růstu a termodynamicky stabilní. Čím je krystalická příbuznost mřížek kovu

a vměstku větší, tím menší je úhel smáčení a tím snáze se zárodek stává aktivním

krystalizačním zárodkem. Energie potřebná pro vznik heterogenního zárodku je dána vztahem

2

33

..3

coscos324

V

KTzh

GG

A kritická velikost rozměru zárodku je

2

2

V

KTkr

Gr

Krystalizace slitin v reálných podmínkách

18

1.2.3 Krystalizace slitin v reálných podmínkách

Krystalizační poměry v procesu tuhnutí slitin lze hodnotit pomocí rovnovážných

stavových diagramů (obr.8.). Jejich platnost je však omezena pouze na děje ochlazování slitin

s velmi malou ochlazovací rychlostí. Z důvodu existence teplotního rozdílu mezi likvidem a

solidem, při každé teplotě jsou v termodynamické rovnováze tuhá a tekutá fáze s různým

chemickým složením.

Obr.8. Krystalizace slitin v reálných podmínkách

Složení I odpovídá koncentraci C0. Při dosažení teploty likvidu (tl) tuhnou první

krystaly taveniny, jejichž složení je Ck. Vylučováním krystalů tuhé fáze se postupně mění

složení taveniny podél křivky likvidu, takže zbytek taveniny tuhne za teploty (ts) o

koncentraci CL. Za rovnovážných podmínek se bude měnit koncentrace taveniny od C0 do CL

a koncentrace tuhé fáze od Ck do C0. Poměr koncentrací přísad v krystalech a v tavenině lze

charakterizovat „rozdělovacím koeficientem K“. Tento koeficient je definován dle vztahů:

10

C

CK K

S 10 L

LC

CK 1

0

LSK KK

C

CK

Postupnou změnou koncentrace tuhé fáze dochází k nehomogenitám (první krystaly

bohaté na složku A, až na posledně tuhnoucí ochuzené složkou A), Vytváří se tak celková

heterogenita krystalu, která se částečně vyrovnává difúzí v tuhé i tekuté fázi, nikoliv však

úplně.

Po skončení krystalizace by se veškeré koncentrační rozdíly měly vyrovnat. Při

rychlém ochlazování odlitků však zůstane odmíšení zachováno (segregace).

V reálných podmínkách krystalizace je nutno počítat jen s velmi malou účinností

difúze. Vyšší pohyblivost atomů je v tavenině, přesto nelze počítat s rovnoměrnou

koncentrací jednotlivých prvků v nejbližším okolí krystalu. Změna koncentrace CL(x)

přísadového prvku v tavenině (Obr. 9.) v okolí rostoucího krystalu je příčinou změny teploty

likvidu (tL(x)), která je nižší v okolí mezifázového rozhraní a směrem do taveniny se zvyšuje

k rovnovážné teplotě likvidu tL.


19

Obr.9. Změna koncentrace přísadového prvku B v tavenině na vzdálenosti krystalizační

fronty.

Nejnižší teploty (nejvyšší přechlazení) je dosaženo na hranici forma-kov, směrem do

odlitku se teplota zvyšuje, přičemž maximální hodnoty dosahuje v tepelné ose odlitku, tj.

v místě, které tuhne naposledy (Obr.10)

Obr.10. Průběh teploty a konstitučního přechlazení taveniny

Rozdíl mezi průběhem skutečné teploty (tt) a změnou teploty likvidu (tL(x)) udává tzv.

konstituční přechlazení (tk), jehož hodnota se zvětšuje s rostoucí vzdáleností od hranice

krystalu a pak klesá až k nule. Konstituční přechlazení ovlivňuje výslednou primární strukturu

krystalizující taveniny a je příčinou větvení při růstu kovových krystalů.


20

1.2.4 Růst krystalů

Předpokladem růstu krystalů po vzniku zárodku je větší tepelný tok z odlitku než

z centra k povrchu odlitku, nastává z termodynamicky stabilních (aktivních) zárodků

krystalizace za poklesu volné energie G soustavy. Jiným slovy stálý odvod latentního tepla

tuhnutí od mezifázové hranice. Toto je možné pouze při určitém teplotním gradientu v oblasti

přiléhající k hranici tuhá fáze - tekutá fáze.

Obecně je rychlost růstu exponenciální funkcí energetických podmínek růstu a teploty.

Základní otázkou mechanismu růstu je způsob připoutání atomů na povrchu rostoucího

zárodku. K upoutání atomů z taveniny je nutní, aby na povrchu existovaly vhodné stupně.

Nejprve dochází k růstu krystalů z jednotlivých zárodků (mikroměřítko), později narůstá

souvislá vrstva proti směru odvodu tepla v daném čase (makro měřítko).

Za těchto podmínek se krystalizace neřídí rovnovážnými podmínkami. Byla by

dosažena pouze při nízké rychlosti tuhnutí. Rozvětvenou krystalizační strukturu lze rozdělit

do několika struktur: rovinná struktura, buněčná struktura, buněčno-dendritická a dendritická

struktura.

1.2.5 Primární krystalizace odlitků

Pro vnitřní (exogenní) zárodky krystalizace platí základní pravidlo, že pokud jsou

v kontaktu se stěnami formy, přednostně vyrůstají ve stabilní krystaly, pak litá primární

struktura na povrchu odlitku se musí sestávat z tolika krystalů, vyrůstajících kolmo k povrchu

stěny formy.

V reálných podmínkách (Obr.11) obsahuje povrchová oblast odlitku nahodile

orientované krystaly (globulity). V důsledku rychlého ochlazování má potom tato licí kůra

jiné mechanické vlastnosti, než střed odlitku a zárodky, které jsou v dobrém kontaktu se

stěnami formy, rostou přednostněji. Lokální přednostní růst probíhá v místech zvýšené

tepelné vodivosti.

Na tuto licí strukturu navazuje oblast protáhlých kolumnárních krystalů, jejichž hlavní

osy jsou rovnoběžné se směrem maximálního odvodu tepla z odlitku a mají typický

dendritický charakter.

Ve středu odlitku se nachází oblast rovnoosých globulitických (polyedrických)

krystalů. U odlitků nemusíme vždy tyto typy struktury najít. Struktura odlitků je tvořena jen

z kolumnárních krystalů, které se stýkají v tepelné ose (transkrystalizace), nebo naopak je celá

struktura rovnoosá. Tohoto zjemnění lze dosáhnout dalšími zásahy do tuhnutí, např.

očkováním nebo rušenou krystalizací působením vnějších sil (vibrace, ultrazvuk atd.)


21

Obr.11. Nejčastější struktura v odlitcích

V technických slitinách probíhá po primární krystalizaci k fázovým přeměnám

v tuhém stavu, k tzv. překrystalizaci, které rovněž ovlivňují konečnou strukturu odlitků (např.

přeměna feritu v austenit při poklesu teploty).

1.2.6 Dendritický růst odlitků

Tento druh krystalizace je typický právě pro slitiny Fe. Předpokladem pro dendritický

růst je vysoká krystalizační rychlost. Za existence podmínek rychlé krystalizační rychlosti a

podchlazené vrstvy taveniny před mezifázovým rozhraním (konstituční přechlazení) se

výrazně uplatňují krystalografické vlivy, energetické poruchy a výstupky - nerovnosti na

hraničním povrchu zárodku (krystalu). Na nich se začnou ukládat atomy difundující

z taveniny proti směru ochlazování rychleji a krystal se protahuje a roste do víceosého

stromečku(Obr.12) s výraznou hlavní osou.

Obr.12. SEM obrázek dendritu a jeho model

S rostoucí rychlostí krystalizace se vyvíjí zřetelněji dendritická struktura a vzniká

husté síťoví sekundárních a terciárních os do stromečkovitého tvaru. Při velké rychlosti

ochlazování se vzdálenosti mezi primárními větvemi zmenšují, až sekundární a terciární větve

zanikají.

Tuhnutí odlitků

22

1.3 Tuhnutí odlitků

Tuhnutím se rozumí postup krystalizačních vrstev, jejich usměrněnost za účelem

vysoké vnitřní homogenity odlitku a řada průvodních jevů tuhnutí. Pojem tuhnutí odlitku má

všeobecnější smysl, než pojem krystalizace. Kromě fázové přeměny zahrnuje i morfologické,

fyzikální a objemové změny. S ohledem na výše uvedené procesy nás zajímá především

kinetika tuhnutí

1.3.1 Mrofologie tuhnutí

Vzhledem k postupu tuhnutí v objemu odlitku se rozlišují dvě morfologie tuhnut

Exogenní

Endogenní

U exogenního tuhnutí se zárodky nacházejí na povrchu formy a tuhnutí postupuje od

povrchu odlitku do jeho středu. Rozlišujeme (Obr.12) :

a1)Tuhnutí na hladké vrstvě krystalů (s rovinným fázovým rozhraním).

a2)Tuhnutí na členitém fázovém rozhraní.

a3)Houbovité tuhnutí se silně rozvětvenými dendrity.

U endogenního tuhnutí se kromě toho vytvářejí zárodky a z nich krystaly v celém objemu

taveniny. Rozlišujeme (Obr.13) :

b1) Kašovité tuhnutí. Jde o objemové tuhnutí.

b2)Vrstevnaté tuhnutí, rovněž objemové tuhnutí; od povrchu se však tvoří vrstva

globulitických krystalů.

Obr.13. Morfologie tuhnutí

Tuhnutí odlitků

23

1.3.2 Kinetika tuhnutí

V reálných podmínkách přichází v úvahu pouze tuhnutí slitin v intervalu teplot.

Během tuhnutí pak mohou vedle sebe existovat tři pásma (Obr. 13). Od povrchu ve styku

s formou je to pásmo tuhého kovu (x), jehož tloušťka se s časem neustále zvětšuje. Vedle něj

existuje dvoufázové pásmo (), jehož šířka závisí na intervalu tuhnutí a teplotním gradientu,

s časem se rozšiřuje. Posledním pásmem, je pás taveniny, jehož šířka se stále zmenšuje.

Tepelnou osou pak rozumíme množinu bodů, kde se setkávají krystalizační plochy

(izosolidy). Šířka dvoufázového pásma, které je omezeno plochami izosolidu a izolikvidu,

ovlivňuje výskyt a rozsah mikropórovité struktury. V případě širokého pásma vznikají

izolované ostrůvky taveniny v oblasti tepelné osy, jejichž tuhnutím a smrštěním vznikají

mikrostaženiny. Šířku dvoufázového pásma ovlivňuje:

Interval tuhnutí slitiny (to je definováno chemickým složením slitiny

Rychlost ochlazování (tepelná akumulace formy bf)

ffff cb

kde: f - tepelná vodivost formy

cf - měrné teplo formy

f -objemová hmotnost formy

Čím je akumulační schopnost formy vyšší, tím je příčný teplotní gradient větší a tím

dvoufázové pásmo je užší.

1.3.3 Průběh a doba tuhnutí odlitku

Proces tuhnutí odlitku od stěny formy probíhá určitou rychlostí, kterou lze posuzovat

podle tloušťky ztuhlé vrstvy slitiny za jednotku času (obr.14.) Pro výpočet doby tuhnutí

vycházíme z tepelné bilance odlitku a formy při tuhnutí:

Q1 = Q2 [J]

Kde indexem 1 je označen odlitek, indexem 2 pak forma

Pro polonekonečnou formu tvaru desky můžeme Q1 zjednodušeně vyjádřit vztahem:

)( 111111 sTTcLxSQ

K určení množství tepla, jež přijala (akumulovala) forma se vychází z rovnice

rozdělení teplot ve formě, která odpovídá průběhu Gaussovy křivky.

a

xGdue

TT

TTu

u

vp

v

2(

22

022

22

Tuhnutí odlitků

24

Rychlost odvodu tepla z kovu do formy pak odpovídá hustotě tepelného toku:

a

TT

x

t

d

dQq

vp

s

)()(

22

)(

Obr.14. Podmínky tuhnutí na rozhraní forma - kov

A množství tepla prošlého celkovou plochu odlitku S:

f

vp

fff

vps

bTTS

cSTTdqSQ

)(2)( 221122

0

)(2

Po zjednodušení předchozích rovnic a dosazení do vztahu pro Q1 = Q2:

f

s

bTiSTTcLV 11111 2)(

se získá definiční vztah pro výpočet doby tuhnutí:

Kde podíl S

VR je relativní tloušťka (modul) odlitku, kterou definoval

CHVORINOV. Relativní tloušťka odlitku je poměr objemu odlitku (jeho tepelné kapacity)

k povrchu. Pak s rostoucí masivností odlitku (s rostoucím R) se prodlužuje doba tuhnutí.

22

2

11

2

12

1

1

4

)()(

f

s

bTi

ttcL

S

V

Tuhnutí odlitků

25


Volná entalpie

Zárodek

Homogenní nukleace

Heterogenní nukleace

Konstituční přechlazení

Segregace

Dendrit

Tepelná akumulace formy

Modul (relativní tloušťka)


1. Jak probíhá tuhnutí slitin, jaké stádia rozeznáváme?

2. Na čem závisí mikrostruktura slitiny a tudíž její mechanické vlastnosti?

3. Čím lze ovlivnit charakter mikrostruktury?

4. Čím je vyvolán samovolný průběhu libovolné fázové přeměny?

5. Co je příčinou krystalizace kovů nebo slitin?

6. Jaký je rozdíl mezi homogenní a heterogenní nukleací?

7. Který způsob vzniku zárodků se uplatňuje v reálných podmínkách tuhnutí kovů a slitin?

8. Jaké podmínky musí mít vměstek, aby se mohl stát krystalizačním zárodkem?

9. V čem spočívá fyzikální podstata krystalizace z heterogenních zárodků?

10. Co je to segregace?

11. Jaké druhy krystalů můžeme ve struktuře odlitku nalézt

12. Jaké druhy tuhnutí rozeznáváme

13. Co je to tepelná osa

14. Čím lze ovlivnit šířku dvoufázového pásma pozorovatelného u tuhnutí odlitků

Tuhnutí odlitků

26

Použitá literatura, kterou lze čerpat k dalšímu studiu

HAVLÍČEK, F.: Teorie slévárenství (výběr z přednášek). VŠB – TU Ostrava, Ostrava, 1992.

s.130

JELÍNEK, P.: Slévárenství. VŠB – TU Ostrava, Ostrava, 2000. s.251

MYSLIVEC, T.: Fyzikálně chemické základy ocelářství. SNTL, Praha, 1971, s. 445

MICHNA, Š., NOVÁ, I.: Technologie a zpracování kovových materiálů. ADIN, Prešov,

2008, s. 326, ISBN 978-80-89244-38-6

VOJTĚCH, D.: Kovové materiály. VŠCHT Praha, Praha, 2006, s. 185, ISBN ISBN: 80-7080-

600-1

PŘIBYL, J.: Tuhnutí a nálitkování odlitků. SNTL, Praha, 1954, s.312

KUBÍČEK, L.: Krystalizace kovů a slitin. VŠCHT Praha, Praha, 1991, s. 238, ISBN 80-7080-

130-1

KUCHAŘ, L. Metalurgie čistých kovů. VŠB – TU Ostrava, Ostrava, 1988, s. 338

STEFANESCU, D.M. Solidification and modeling of cast iron—A short history of the

defining moments. Materials Science and Engineering A 413–414 (2005) 322–333

Využití výpočetní techniky pro simulaci lití a tuhnutí odlitků

27

2 Využití výpočetní techniky pro simulaci lití a tuhnutí odlitků

2.1 Současný stav výpočetní techniky ve slévárenské technologii

Čas ke studiu: 2 hodiny


definovat možnosti oblasti využití výpočetní techniky ve slévárenské

praxi, které jevy při řešení tuhnutí a chladnutí odlitků lze pomocí

simulačních programů definovat a řešit. Dále popsat rozdíly

v jednotlivých běžně používaných simulačních programech

popsat hlavní problémy, které jsou pomocí simulačních programů řešeny

v oblasti plnění pískové formy, pro formy trvalé a pro oblast lití odlitků

pod tlakem; ve fázi tuhnutí a chladnutí souběžně s materiálovými

vlastnostmi a možnosti úprav při přípravě postupu výroby odlitků ......

Výklad

Výroba odlitků do slévárenských forem představuje složitý děj spojený s procesem

prostorového přenosu nejen tepla, ale i hmoty při souběžně probíhajících fyzikálně-

chemických dějích v nestacionárních podmínkách. S ohledem na čas, při kterém daný proces

probíhá, lze celý proces přenosu tepla mezi odlitkem a formou rozdělit na tuhnutí a chladnutí

odlitku.

Bez možnosti využití potřebné výpočetní techniky bylo tuhnutí a krystalizace kovů a

jejich slitin sledováno nejčastěji pomocí metalografických rozborů makrostruktury a

mikrostruktury. Zhruba od 80. let minulého století začaly vznikat první simulační softwary

zaměřené na tuhnutí odlitků. Zdokonalováním výpočetní techniky a rozvojem

experimentálních technik byly rovněž zdokonalovány simulační programy, pomocí kterých

lze studovat a sledovat tuhnutí odlitku nejen v celém komplexu, ale rovněž v krátkých

časových intervalech. Z tohoto pohledu se numerické simulace staly často a efektivně

využívaným nástrojem využívaným nejen pro optimalizaci navrhovaných technologií výroby

odlitků, ale i opěrným bodem ve výzkumu tepelných dějů v soustavě odlitek–forma–okolí.

Moderní simulační programy zahrnují predikci taveniny během plnění formy,

vzájemnou interakci kovu a formy, deformace odlitku - pnutí a predikci struktury i

mikrostruktury odlitku. Jednotlivé modely započítávají přestup tepla, rychlost a způsob

formy, proudění kovu ve formě, kinetiku tuhnutí, tvorbu struktur, modely pórovitosti,

odmíšení v intervalu tuhnutí a v neposlední řadě výpočet pnutí.


28

I když má každá technologie výroby odlitků své odlišnosti a specifika, v současné

době existují plnohodnotné numerické simulace pro většinu běžně používaných technologií

výroby odlitků. Jedná se zejména o technologie gravitačního odlévání do pískových a

kovových forem, dále jsou zpracovány modely pro nízko- i vysokotlaký způsob odlévání

odlitků, pro metodu Lost foam a pro tzv. procesy Semi-solid.

2.2 Možnosti simulačních programů

S neustálým vývojem v oblasti hardware a software roste rovněž možnost a přesnost

výpočtů a simulační programy jsou neustále zdokonalovány. Pomocí simulačních programů

jsou v dnešní době řešeny následující hlavní skupiny problémů:

Ve fázi plnění klasické pískové formy:

výpočet doby plnění formy daného různými kritérii

způsob plnění taveniny a míst vzniku turbulence, vírů

sledování tlaku a teploty v tavenině

rychlost proudění kovu v jednotlivých částech systému (charakter proudění závisí na

hodnotě Reynoldsova kritéria)

Ve fázi tuhnutí:

časy tuhnutí, teplotní gradienty a chladící poměry v každém bodě

výpočet teplotních polí, podílu tekuté fáze, staženin a ředin

teplotní zatížení jader a formy

křivky chladnutí v kterékoliv oblasti

účinnost exotermického či izolačního nástavce

segregace prvků

Ve fázi chladnutí a s tím související materiálové vlastnosti:

rozložení napětí v odlitku a částech formy a jader

deformaci odlitku a formy v závislosti na čase a rozložení teploty

teplotní a difúzní tok

určení struktury materiálu v různých etapách chladnutí

výpočet doby transformace (dle ARA, IRA diagramů)

výpočet mechanických vlastností materiálu, výpočet tvrdosti

zahrnutí vlivu formy na průběh grafitické expanze


29

Pro technologii lití do kovových forem (gravitační, či tlakové)

rozložení teplotního pole v jednotlivých etapách výrobního cyklu

teplotní zatížení jader a formy

proudění kovu

napětí v různých částech formy a odlitku

návrh tlaků pro jednotlivé kroky procesu

návrh technologicky optimálních časů

teplotní režim při náběhu výroby

otevření a uzavření formy definovat v závislosti na čase nebo na teplotě

vliv postřiků a nátěrů

kontrola funkce chladících kanálů

Technolog může pomocí simulačního software upravovat a dolaďovat:

optimalizaci vtokové soustavy

optimální umístění nálitku a chladítek

redukci velikosti a počtu nálitku a chladítek

minimalizaci zbytkových napětí a optimalizaci rozložení napětí po vychladnutí

odhad a minimalizaci deformace, zkroucení a smrštění

optimalizaci podmínek plnění tlakového lití, časů a optimalizace licího cyklu, redukci

teplotního namáhání jader

zlepšení funkce chladících kanálu v závislosti na informacích z termočlánku při

tlakovém lití

Kvalita jednotlivých simulačních programů, jejich vypovídající hodnota včetně shody

výsledků simulace s reálnými ději je ovlivněna především následujícími okolnostmi:

1. kvalitou matematického popisu dílčích dějů - tj. rozpracováním Fourierovy

diferenciální rovnice vedení tepla, která je silně ovlivněna správností volby

počátečních a okrajových podmínek;

2. zahrnutím odchylky chování a stavu odlévaného materiálu od ideálního předpokladu

jednofázového stavu taveniny (např. nenewtonská kapalina, teplotní závislost

postupného uvolňování latentního tepla při tuhnutí taveniny atd.);


30

3. tepelně-fyzikálním definováním vlastností forem i odlévaného materiálu v závislosti

na teplotě v celé potřebné šíři teplotního intervalu.

Neméně důležitým faktorem je fakt, jakým způsobem tyto simulační programy

definují proudění kapaliny pomocí zákona zachování hmoty (rovnice kontinuity) a hybnosti

(Navier-Stokesův zákon), přenos tepla při tuhnutí a chladnutí odlitků (Fourierova

diferenciální rovnice), úroveň zbytkových či vnitřních pnutí, zákony mechaniky tuhého tělesa

při plastické a elastické deformaci atd. S tím je úzce spojena i volba výchozích a okrajových

podmínek řešení, které výrazně ovlivňují výsledky numerické simulace

Poměrně velkým problémem při simulačních výpočtech je stanovení hodnot

potřebných tepelně-fyzikálních veličin v závislosti na teplotě. Toto je nejčastější příčinou

rozdílů mezi výsledky získanými simulačním výpočtem a experimentálním měřením při

srovnatelných podmínkách.

Numerická simulace a modelování hraje důležitou roli při současné optimalizaci a

plánování slévárenských procesů. Účelem modelování - simulace je dosažení předpovědi s co

možná největší přesnosti a tím ušetření času a finančních prostředků při řízení, ovládání,

vývoji a výrobě. Snaha o dosažení výrazného nárůstu produktivity, zvyšování jakosti a

urychlení inovačního procesu vede k využití výsledků získaných z numerické simulace do

dalších procesů. Existují snahy zabudovat simulace do informačních a optimalizačních

technologií, případně do dalších technických výpočtů, které dokáží využít provedené analýzy

(např. využití rozložení zbytkových pnutí v odlitku do následných nárazových zkoušek

automobilů). Vše vede k vytvoření určitého virtuálního testovacího prostředí, které umožní

maximální zdokonalení výrobku během konstrukčního návrhu a prototypové výroby.

2.3 Trendy vývoje simulačních programů

V posledních několika letech se v oblasti slévárenství při výrobě odlitků objevila řada

významných zlepšení, zejména pokud jde o možnost aplikace výpočetního simulačního

nástroje. Použití simulace při odlévání odlitku má významný vliv na potlačení výskytu

staženin, zvýšení využití tekutého kovu a optimalizaci vtokové a výfukové soustavy u forem

pro vysokotlaké lití. Vývoj těchto nástrojů však neustále pokračuje, a to v daleko širších

souvislostech než doposud. Tím vznikají nové a vylepšené moduly pro více slévárenských

technologií. Firmy zabývající se vývojem a prodejem těchto programů vkládají značné úsilí a

finanční prostředky do uspokojení potřeb trhu a svých zákazníků. Vývoj a výzkum je zaměřen

zejména do následujících oblastí:

zpřesnění a zrychlení numerických výpočtových metod

zpřesnění a doplnění databází termofyzikálních dat, koeficientů přestupu tepla a

dalších veličin nezbytných pro výpočet

možnosti výpočtů nových slévárenských procesů a materiálů

vývoj modelů pro tzv. mikro-modelování

zdokonalení kritérií pro vyhodnocení výsledků simulací

zavedení optimalizačních technik do numerické simulace


31

možnosti využití výsledků simulace pro další technické výpočty, informační a

kontrolní procesy


Moderní simulační programy zahrnují predikci taveniny během plnění formy,


mikrostruktury odlitku. Jednotlivé modely započítávají přestup tepla, rychlost a způsob

formy, proudění kovu ve formě, kinetiku tuhnutí, tvorbu struktur, modely pórovitosti,

odmíšení v intervalu tuhnutí a v neposlední řadě výpočet pnutí


1. Co lze predikovat při procesu tuhnutí pomocí simulačních programů

2. Co je účelem modelování, resp. simulace slévárenských pochodů?


VRÁBEL, P.: Vývojové směry ve slévárenství. Slévárenství, č. 10, 2004, s. 411- 413;

ČECH, J. et.al.: Výroba odlitků s použitím počítačových simulaci a programů ve firmě ŽĎAS

a.s.. Slévárenství, č. 10, 2004, s. 405-407,

KRUTIŠ, V., KUZMA, Z.: Numerická simulace ve slévárenské technologii, MM spektrum.

dostupné z: <http://www.mmspektrum.com/clanek/numericka simulace-ve-slevarenske-

technologii]

VLADÍK, R. Simulace proudění kovu ve slévárenské formě z hlediska jeho reoxidace.

Disertační práce, 2011, VŠB-TU Ostrava

KRUTIŠ, V.: Trendy a vývoj v oblasti numerických simulací. Slévárenství 2004, 52, 10, 408

– 410

BONOLLO ,F., ODORIZZI, S. Numerical Simulation of Foundry Processes. 1st ed. Padova:

S.G.E., 2001, 264 p. ISBN 88-86281-63-3

LICHUN, LCH., SCOTT, H. Casting design and modeling, ASM International, 2009, s. 295,

ISBN 978-0-87170-724-6

MICHNA, Š. Počítačové simulační programy pro odlévání materiálu – jako moderní nástroj

pro získání kvalitních odlitků, dostupné

z:<http://www.stefanmichna.com/download/progresivnitechnologie/pocitacove_simulacni_pr

ogramy.pdf>.

Modelování a simulace

32

3 Modelování a simulace

Čas ke studiu: 1 hodina


definovat základní pojmy modelování a simulací používaných při studiu

obecných systémů a rozdíly mezi nimi

definovat jednotlivé kroky modelovacích a simulačních procesů

popsat postup simulace reálného systému

Výklad

Pojmem modelování se rozumí experimentální proces, který slouží k získávání

informací o jednom systému využitím jiného systému – modelu. Systémem se pak rozumí

soubor elementárních částí, prvků, které mají vzájemné specifické vazby. Jelikož i model

představuje systém, využívá se této podobnosti při modelování. Význam modelování spočívá

v tom, že informace o daném systému jsou výhodněji, rychleji a často i ekonomičtěji

získávány experimentováním na jejich modelech, než originálech. Obecně lze jakýkoliv

systém lze studovat dle následujícího schématu (Obr.15):

Obr.15. Obecný princip studia libovolného systému


33

Podstatou modelování je tedy náhrada zkoumaného systému jeho modelem

(přesněji: systémem, který jej modeluje), jejímž cílem je získat pomocí pokusů s

modelem informaci o původním zkoumaném systému

Pro jednoduché modelované systémy, lze chování systému definovat matematickými

vztahy a hledané veličiny stanovit pomocí matematických prostředků. Výsledkem jsou pak

funkční vztahy, ve kterých jako proměnné veličiny figurují parametry modelu.

Pro složitější systémy, jejichž specifickými vlastnostmi jsou velká rozsáhlost,

neúplnost daných informací, kvalitativní charakter parametrů, velká dynamičnost

probíhajících procesů a složitý charakter vztahů mezi prvky systému je třeba komplexní

analýzy. V tomto případě pak modelování obecně probíhá v několika krocích:

1. Vytvoření abstraktního modelu – formulován na základě účelového a

zjednodušeného popisu zkoumaného systému

2. Vytvoření simulačního modelu – vzniká zápisem abstraktního modelu pomocí

programovacího jazyky (simulačního programu)

3. Simulace – vlastní experimenty s reprezentací simulačního modelu. Cílem této etapy

je analýza chování systému v závislosti na vstupních veličinách a na hodnotách

parametrů. Proces simulace spočívá v opakovaném řešení modelu, prováděním

simulačních běhů, při kterých jsou vyhodnocována výstupní data definující chování

systému. Simulační běhy se tak provádějí tak dlouho, dokud se nezískají dostateční

informace o systému nebo pokud nebudou nalezeny takové hodnoty parametrů, pro

které má systém požadované chování.

Simulace je výzkumná technika, jejíž podstatou je náhrada zkoumaného

dynamického systému jeho simulátorem s tím, že se simulátorem se experimentuje s

cílem získat informace o původním zkoumaném dynamickém systému.

Před vlastní simulací je zařazen první krok –verifikace simulačního modelu, nebo-li

ověření správnosti modelu. Účelem verifikace modelu je tedy například vyvrácení

potencionálních chyb v příslušném programu, nebo zda v něm není použita nevhodná

numerická metoda.

Dalším neméně důležitým krokem je neustálá konfrontace informací, které o

modelovaném systému máme a které simulací získáváme. Tím dochází k ověření validity

(platnosti) modelu. Ověřování validity modelu je tedy proces, v němž se se snažíme dokázat,

že je skutečně pracováno s modelem adekvátním modelovanému systému.

V případě, že chování modelu neodpovídá předpokládanému chování originálu, je

nutné model modifikovat s ohledem na získané informace, které byly získány předcházející

simulací (viz Obr.16).


34

Obr.16. Postup simulace reálného systému

Postup simulace reálného systému lze shrnout do několika po sobě jdoucích kroků:

1. stanovení účelu simulace a sledované výstupy

- na základě výstupů je možné stanovit zúčastněné procesy

2. vytvoření simulačního modelu

- izomorfní vztah s abstraktním modelem

- součástí je naplnění modelu daty

3. validace modelu

4. vytvoření počítačového modelu

5. ověření funkčnosti počítačového modelu

6. návrh experimentů

7. zpracování výsledků

- záznam průběhu simulace

- vizualizace, animace

- analýza, porovnání s reálnými daty a výběr nejlepší alternativy


Systém

Model

Modelování

Simulace

Verifikace modelu


35

Validace modelu


1. Co se rozumí pojmem systém?

2. Jaká je podstata modelování?

3. Co je to simulace?

4. Co se označuje pojmem verifikace modelu?

5. Co se označuje pojmem validita modelu?

Modelování slévárenských procesů

36

4 Modelování slévárenských procesů



definovat způsoby modelování slévárenských procesů

popsat kritéria dělení modelů definovat základy fyzikálního a

matematického modelování

popsat rozdíly mezi fyzikálním a matematickým modelováním

definovat podobnost systémů

vyřešit stanovení kritérií podobností metodou rozměrové analýzy

vyřešit stanovení kritérií podobností metodou podobnostní transformace

vyřešit stanovení kritérií podobností metodou rozměrové analýzy rovnic

definovat základní rovnice fyzikálního modelování slévárenských

procesů

definovat numerické metody využívané pro simulaci slévárenských

procesů

popsat analytické a numerické metody matematického modelování

popsat a vyřešit podmínky jednoznačnosti

Výklad

Jak bylo uvedeno v předchozí kapitole, modelováním je definován experimentální

proces, při kterém se studovanému systému (originálu) jednoznačně přiřazuje podle daných

kritérií jiný systém, fyzický nebo abstraktní, nazývaný model.

Cílem je co nejvěrohodněji zachytit chování reálného systému pomocí matematického

nebo fyzikálního modelu. Na základě výsledků dosažených na modelu lze pak zpětně

předpovídat chování reálného systému při různých změnách procesu. Úlohou modelování je

dále rozvíjet teorii fyzikálních, chemických a tepelných dějů, a tyto teorie dále využívat v

praxi modelování.

Pomocí modelování lze bez měření například na příslušném průmyslovém zařízení:

stanovit dynamické vlastnosti systému

stanovit vliv změn okrajových podmínek provozování systému


37

optimalizovat metalurgické a jiné systémy a stanovit podmínky jejich činnosti

doporučit optimalizaci rozměrů a jiných technických parametrů zařízení

Modelování procesů lze rozčlenit na dva základní směry. První směr je reprezentován

metodami fyzikálního modelování, které většinou řeší procesy probíhající na skutečném

zařízení a jeho zmenšených modelech skutečných zařízení a při normálních teplotách okolí.

Využívá se přitom teorie fyzikální podobnosti mezi dvěma systémy. Dva jevy jsou fyzikálně

podobně tehdy, jestliže se popisují stejnou kriteriální rovnicí a jestliže jsou odpovídající

kritéria podobnosti v homologických bodech stejně veliká.

Ve srovnání s matematickými modely, fyzikální modely definují úplněji a spolehlivěji

vlastnosti modelovaného systému. Vyplývá to ze skutečnosti, že fyzikální modelování řeší

úlohy v substanci, kdežto matematické modelování analyzuje strukturu problému. Navíc při

stavbě fyzikálních modelů není nutné znát matematický popis zkoumaného procesu. Naopak

fyzikální modely jsou spojeny s vyššími pořizovacími cenami některých modelů, mají

ohraničenou použitelnost konkrétního modelu a často se obtížně mění velikost modelových

parametrů, což někdy vede k nutnosti se spokojit jen s kvalitativním řešením.

Druhou cestou je pak matematické modelování, které zahrnuje experimentálně-

statistické modely a modely analytické Matematické modelování je založeno na matematické

analogii (podobnosti) dvou rozdílných procesů. Jevy rozdílné fyzikální povahy jsou

matematicky podobné tehdy, jsou-li popsány formálně shodnými (izomorfními) základními

rovnicemi. Z matematické podobnosti pak vyplývá úměrnost mezi odpovídajícími si

veličinami analogických jevů.

Příkladem můžou být přenosové jevy, tj. procesy, při kterých se z jednoho místa do

druhého přenáší hybnost (viskozita), energie (vedení tepla) i hmotnost (difúze). Všechny tyto

děje souvisí s neuspořádáným tepelným pohybem molekul. Je-li slněna podmínka analogie, tj.

izomorfizmus základních rovnic, pak důsledná analogie mezi výše uvedenými jevy

způsobuje, že konkrétní vzorce jsou pro sdílení tepla konvekcí a pro molekulovou difúzi,

stanovené experimentálně, v určitých mezích shodné.

Metoda analogie se s výhodou používá tehdy, jestliže neumíme řešit základní rovnice

analyticky.

4.1 Rozdělení modelů

Existuje celá řada kritérií, podle kterých dělíme modely do jednotlivých skupin

(Obr.17). Mezi základní kritéria patří dělení modelů podle:

A. Charakteru procesu na modelu:

deterministické – ty se vyznačují jednoznačně přiřazenými příčinami a jejich

následky, tzn., že všechny proměnné, konstanty a funkce v modelu jsou

deterministické (nenáhodné) veličiny nebo funkce.

stochastické – alespoň jedna proměnná, konstanta nebo funkce v modelu je náhodná

veličina nebo náhodná funkce, tzn., že buď sám zkoumaný problém, nebo metoda

řešení mají náhodný charakter. Tohoto postupu používáme tehdy, když nejsme

schopni odvodit deterministický model, nebo při aplikaci některých speciálních

algoritmů automatického číslicového řízení.


38

B. Hlediska podobnosti (podobnost mezi originálem a modelem):

fyzikální

fyzikálně matematické

matematické

C. Účelu modelu:

poznávací

řídící

Obr.17. Dělení modelů podle různých kritérií

D. Hlediska vnějšího působení:

neřízené

řízené

E. Zpracování modelové informace:

analogové

číslicové


39

hybridní

Dále existuje dělení modelů z hlediska vyjádření prostoru a času, jako jsou modely:

prostorově spojité

prostorově nespojité

neustálené, časové spojité

neustálené, časově nespojité

ustálené

Nebo dělení modelů z hlediska zachování podobnosti modelu:

úplné – úplná podobnost modelu v prostoru a čase

neúplné – částečná podobnost

přibližné – některé závislosti se u modelu vyjadřují přibližně

Fyzikální modelování slévárenských procesů

40

4.2 Fyzikální modelování slévárenských procesů

Během lití, tuhnutí a chladnutí odlitku probíhají ve formě velmi složité procesy, při

nichž se využívá mnoha fyzikálních a chemických zákonů. Na úrovni dnešního poznání není

ovšem možné vytvořit exaktní model těchto procesů. Musíme proto vycházet z modelu, který

je možné fyzikálně i matematicky popsat, ale zároveň je řešitelný. Přičemž základní

podmínkou je stejná fyzikální podstata modelu i díla. Klíčový význam v modelu mají termo-

fyzikální data, nezbytná pro výpočet přenosu tepla během slévárenského procesu.

Teorie fyzikálního modelování rozeznává a využívá různé druhy podobnosti systémů,

jednak geometrickou, tak i jiné, které charakterizují různé fyzikální děje (oblast

termodynamiky, oblast sdílení tepla atd). Podobnost dvou systémů pak vyžaduje podobnost

všech podstatných veličin v celém objemu jak modelu, tak i díla.

4.2.1 Podobnost systémů

V případě tvarové podobnosti dvou systémů, hovoříme o geometrické podobnosti.

Systémy jsou si geometricky podobné, když poměr odpovídajících lineárních systémů na

modelu a díle je stejný, tento poměr je označován jako konstanta podobnosti (Obr.18).

Geometrická podobnost je jeden ze základních parametrů, které je nezbytně nutné dodržet.

V případě, kdy není možné úplné dodržení geometrické podobnosti, je nutné alespoň dodržet

geometrickou podobnost modelu a díla v kritických a nejdůležitějších rozměrech.

Obr.18. Geometrická podobnost

Slévárenské procesy odlévání, tuhnutí a chladnutí odlitků se řídí zákony

hydrodynamiky a přenosu tepla. Z tohoto důvodu při fyzikálním modelování sehrává

důležitou roli kinematická, dynamická a tepelná podobnost.

Kinematická podobnost vyjadřuje podobnost rychlostních polí a polí zrychlení.

V podstatě se jedná o rovnováhu pozorovanou mezi dvěma geometricky podobnými systémy,

ve kterých je poměr rychlosti stálý v navzájem si odpovídajících místech modelu a díla,

přičemž v obou systémech je totožný směr rychlosti nebo zrychlení (Obr. 19)..


41

Obr.19. Kinematická podobnost

Podobnost sil mezi dvěma geometricky podobnými systémy, ve kterých je poměr sil

navzájem odpovídajících místech a časech stálý a směr jejich působení totožný, se označuje

jako dynamická podobnost (Obr. 20). U dynamické podobnosti se předpokládá geometrická

i kinematická podobnost.

Obr.20. Dynamická podobnost

Podobnost teplot, teplotních gradientů i tepelných toků v odpovídajících časech

procesu a odpovídajících místech geometricky podobných systémů charakterizuje tepelná

podobnost (Obr.21.). Tepelnou podobnost je nutno zajistit při modelování neizotermických

procesů.

Obr.21. Tepelná podobnost


42

Ve fázi odlévání a tuhnutí dochází hlavně k přenosu tepla a hmoty. Při chladnutí je

přenos hmoty omezen z důvodů postupného tuhnutí odlitku a jeho zanedbání ve fyzikálním

modelu nemá zásadní důsledky pro výsledky simulace jako ve fázi lití. Při krystalizaci se

přenos tepla v soustavě krystal - tavenina uskutečňuje vedením (konvekcí), v tavenině navíc

přirozeným a vynucením prouděním. K přenosu hmoty v tavenině dochází difuzí a prouděním

taveniny. U krystalizace čistého kovu je tento proces ovlivňován pouze transportem tepla,

který se v pevné fázi realizuje vedením. Pokud se nejedná o čistý kov, je krystalizace

ovlivňována dále atomy příměsi. V roztaveném kovu je vhodné zohlednit dále vliv proudění

taveniny vyvolané důsledkem teplotního rozdílu. Ve formovací směsi je přenos tepla

uskutečněn vedením v místě styku dvou sousedních zrn. V prostorách mezi zrny je pak

realizován sáláním.

Proces řešení těchto fyzikálních pochodů je založen na složitém řešení rovnic

mechaniky tekutin a termodynamiky. Podmínkou pro výpočet je, že počet rovnic se musí

rovnat počtu neznámých. Takovou soustavu potom můžeme nazývat soustavou bilančních

rovnic. Veličiny těchto rovnic jsou obvykle hmotnost, hybnost, energie.

4.2.2 Rovnice Fyzikálního modelu

Přenos hmoty

Proudění roztavených kovů až do nástupu tuhnutí se řídí základními principy

mechaniky tekutin. Přenos hmoty je definován zákonem zachování hmotnosti, který je

všeobecně znám jako rovnice kontinuity. Rovnice kontinuity určuje vztah mezi střední

rychlostí ustáleného proudu nestlačitelné kapaliny a proměnným průřezem proudu S.

V prostředí se přenos hmoty uskutečňuje především různými druhy difuze (tlaková,

koncentrační, termická a nucená). Dalším způsobem přenosu hmoty je přenos přirozenou

nebo nucenou konvekcí, nebo přenos hmoty může nastat také turbulentními víry. V obecném

případě probíhá přenos hmoty při nestacionárním hromaděním nebo úbytku hmoty, a také při

přeměnách jednotlivých látkových složek daného prostředí.

Bilanci hmoty při přenosu i-té látky udává rovnost

ipremikonvidifi dmdmdmdm ,,,

kde V

ii dVddm

představuje změnu hmotnosti tekutiny v elementárním objemu

Této rovnici můžeme rozumět tak, že změna hmoty i-té látky v objemu V je rovna

součtu přítoku hmoty i-té látky difuzí a konvekcí a přítoku nebo úbytku způsobeného různými

(např. chemickými) přeměnami za čas dτ.

Po úpravách lze napsat rovnici přenosu i-té látky daného prostředí ve tvaru:

0,,,

ipremikonvidif

i qqq divdivdiv


43

Jednotlivé členy této rovnice označují změnu a přenosy i-té reagující látky tohoto

prostředí při uvažování jeho přeměn v jednotkovém objemu za jednotku času. Základní

proměnnou veličinou v této rovnici je parciální hustota ρi.

Jelikož celková hustota prostředí v jednotlivých místech uvažovaného objemu je rovna

součtu parciálních hustot jejich jednotlivých složek ρ = Σ ρi, musí se celkový výsledný difuzní

přenos všech parciálních hustot rovnat nule. Pro podmínku zachování celkové hmoty v

jednotkovém objemu je nutné, aby byla splněna rovnice:

0)(

vdiv

Kde ρ je celková hustota prostředí. Tuto rovnici nazýváme rovnicí kontinuity

proudícího prostředí a platí za podmínky, že se nevyskytují nespojitosti u proudících hmot

tohoto prostředí. Rovnice vyjadřuje skutečnost, že změna hmoty určitého objemu v čase je

definována rozdílem mezi množstvím vtékající a vytékající hmoty z objemu ( – vektor

rychlosti).

Často je třeba tuto rovnici modifikovat, jelikož platí, že

)( zyx vz

vy

vx

Pak lze rozepsat rovnici kontinuity do tvaru:

)( zyxzyx vz

vy

vx

vz

vy

vx

Levá strana rovnice představuje substancionální derivace hustoty, tj. derivace podle

času pro dráhu sledující pohyb tekutiny, v souladu s rovnicí definující substancionální

derivaci:

zyx vz

vy

vxDt

D

Pak lze definovat rovnici kontinuity ve zjednodušeném tvaru:

)( vdivDt

D

Rovnici kontinuity v tomto tvaru popisuje rychlost změny hustoty, jak ji vidí

pozorovatel „unášený“ proudící tekutinou.

Velmi důležitý speciální tvar rovnice kontinuity je tvar rovnice pro nestlačitelnou

tekutinu s konstantní hustotou:

0divv

V reálných řešeních není žádná tekutina absolutně nestlačitelná, ale v praxi se velmi

často dosáhne podstatného zjednodušení, když se předpokládá konstantní hustota a nezávádí

se prakticky žádná chyba.


44

Difúzní rovnice (druhý Fickův zákon difuze)

Jde-li o nestlačitelnou tekutinu, kdy hustota je konstantní, rovnice kontinuity se

zjednoduší a nabývá tvaru:

0

zyx v

zv

yv

x

Tato rovnice platí pro nestlačitelné tekutiny i při neustáleném proudění. Pro časovou

změnu koncentrace látek v určitém místě lze také definovat závislost, kde D je součinitel

difúzního přenosu hmoty. Difuzní součinitel je obecně funkcí teploty, tlaku a složení směsi,

především velikosti a pohyblivosti částic. Pro odhad difuzního součinitele D v jednotlivých

konkrétních aplikacích existuje řada empirických a semiempirických vztahů. Například pro

difuzi ve zředěných roztocích koloidních částic nebo polymerů se používá Stokesovy-

Einsteinovy rovnice

2 1

,6

kTD

r

kde k je Boltzmannova konstanta, T je termodynamická teplota, 2 je viskozita

disperzního prostředí, r1 je poloměr disperzní částice.

Pak časová změna koncentrace látek v daném místě je definována závislostí:

iii Dv

2

Je-li rychlost nulová, dostáváme rovnici

ii D

2

Tato rovnice se označuje, jako druhý Fickův zákon, který vyjadřuje změnu gradientu

koncentrace s časem.Druhý Fickův zákon umožňuje určit rozložení koncentrace v závislosti

na čase a na vzdálenosti x od dané vztažné roviny a určuje časovou změnu hmotnostní

koncentrace.

Tato rovnice se obvykle používá pro určení difuze v nehybných látkách nebo tuhých

kapalinách. Je velmi podobná rovnicí vedení tepla. Této podobnosti se využívá při

analogickém zpracování problémů vedení tepla a difuze v tuhých látkách.

Pohybová rovnice vazké tekutiny

Při proudění pohybová (Eulerova) rovnice vyjadřuje na základě d´Alembertova

principu rovnováhu sil hmotnostních, tlakových a setrvačných:

spm dFdFdF

Při proudění dokonalých tekutin neexistuje vnitřní tření ani přenos tepla. Ovšem

převážná většina procesů při pohybu reálných kapalin se tímto způsobem popsat nedá.


45

Dochází k disipaci mechanické energie vzájemným ovlivňováním částic tekutiny,

které se pohybují různou rychlostí. Jak je vidět z existence vnitřního tření a z přenosu tepla,

jde o nevratné děje.

Pokud budeme brát v potaz součet všech sil působících v elementárním objemu dV a

změnu hybnosti, lze sestavit pohybovou rovnici vazké kapaliny. Zde se mimo sil vnějších,

setrvačných a tlakových, které jsou spojeny s vlastním pohybem částic tekutiny, berou v potaz

také síly třecí, které jsou způsobeny vzájemným pohybem částic. Rovnováha je dána

vektorovým součtem

Pokud budeme zkoumat proudění v gravitačním poli za působení tlakové síly a se

zohledněním síly vnitřního tření, dospějeme k rovnici, která nám vyjadřuje zachování součtu

sil nebo hybností. Ve vektorovém tvaru lze psát tuto silovou rovnici

V souřadných osách x, y, z, je možno napsat Navier-Stokesovu pohybovou rovnici

vazkého prostředí ve tvaru

Tato soustava rovnic se dá vyjádřit slovy, že změna hybné síly (tlakové, gravitační) je

spotřebována na změnu rychlosti proudění v daném objemu a pokrytí ztrát třením. Při

konstantních veličinách ρ a η se rovnice upraví do tvaru

Pro ideální tekutinu (η=0) se dále zjednoduší na Eulerovu rovnici, která se používá

k opisu pohybu prostředí, v proudící tekutině mají velký význam viskózní vlivy:

Integrací Eulerových pohybových rovnic můžeme odvodit zákon zachování energie,

tzv. rovnici Bernoulliho, která má velmi široké použití v praxi a lze ji napsat ve tvaru.


46

Tato rovnice vyjadřuje fakt, že za ustáleného pohybu nevazké nestlačitelné tekutiny je

součet potencionální, tlakové a kinetické energie v libovolném bodě gravitačního pole

konstantní. Při turbulentním proudění se tlak, rychlost a další veličiny mění nepravidelně.

Pohyb má stochastický, náhodný charakter.

Turbulentní proudění je tak složité, že se nedá přesně matematicky popsat ani u těch

nejjednodušších kapalin. Vzhledem k nepravidelnosti a ke komplexnosti turbulentního

pohybu se zavádějí střední časově vyhlazené hodnoty okamžitých rychlostí a tlaků. Okamžitá

rychlost turbulentního proudění wi se tak rozkládá na střední rychlost a na fluktuační rychlost

wi´ podle rovnice.

Kde

Obdobné výrazy se zavádí pro tlak, teplotu a ostatní použité veličiny

Rovnice kontinuity i pohybové rovnice, uvedené pro laminární proudění skutečné

tekutiny, platí taky pro turbulentní proudění. Tyto rovnice při turbulentním proudění nelze

řešit, a proto je nutné rovnice upravit tak, aby popisovaly časově vyhlazené rozdělení

rychlostí a tlaku.

Časově vyhlazená rovnice kontinuity pro nestlačitelnou tekutinu ve složkovém tvaru

je:

A časově vyhlazená rovnice pohybu ve směru osy x

Rovnice pohybu tekutiny ve směru os „y“ a „z“ jsou analogické.

Časově vyhlazené rychlosti a tlaky nahradily okamžité složky. V rovnici pohybu se

navíc objevily nové členy, které souvisejí s fluktuacemi turbulentní rychlosti. Výrazy

typu se dají považovat za dodatečná napětí způsobená turbulencí přidána navíc k


47

vazkým napětím a nazýváme jej Reynoldsova napětí. Pokud bychom chtěli dostat popis

rychlostí, musíme za ně dosadit nějaký výraz.

K jejich vyjádření se používají různé polo-empirické vztahy (turbulentní viskozita,

Prantlova směšovací délka, aj…) Určování použitých parametrů a jejich ovlivňování v

různých oblastech proudu patří tak k hlavním úlohám experimentálního výzkumu

turbulentního proudění.

Přenos energie

Přenos energie může probíhat v různých podmínkách. V pevných tělesech se

uskutečňuje přenos energie vedením tepla. V pohyblivých prostředích se energie kromě

vedení tepla přenáší prouděním hmoty prostředí v prostoru. Tento způsob přenosu se nazývá

konvekce. Mimo vedení a konvekce se může energie přenášet i zářením a dalšími formami

energie. Všechny zmiňované druhy se často vyskytují současně.

Při interakci formy s tekutým kovem odvádí forma z kovu teplo, teplota formy stoupá

a teplota kovu se snižuje. Klesne-li teplota kovu na teplotu tuhnutí, nastává přechod kovu z

kapalného skupenství do tuhého stavu. Tento proces se děje postupně od stěny formy či jádra

směrem k teplené ose odlitku. Čím rychleji odvádí forma z kovu teplo, tím je rychlejší

krystalizační pochod. Tyto zmiňované aspekty mají vliv na celkový charakter krystalizace a

tím potažmo na vlastnosti odlitku. Jelikož rychlost odvodu tepla z kovu formou je přímo

závislá na tepelně fyzikálních vlastnostech formy, lze z toho vyvodit, že rychlost tuhnutí

odlitku je závislá na fyzikálních a geometrických vlastnostech odlitku a formy.

Podmínky přestup tepla z kovu do formy během fáze odlévání, tuhnutí a chladnutí se

mění neustále. V průběhu plnění formy se realizuje přechod tepla z kovu do formy

bezprostředně interakcí tekoucího kovu se stěnami formy. Po odlití je ještě určitou dobu

tekutý kov v bezprostředním styku se stěnami formy. Po vytvoření vrstvičky ztuhlého kovu u

stěny formy se mění podmínky pro přestup tepla z odlitku do formy, jelikož stěna formy je ve

styku s vrstvou ztuhlého kovu. Odvod tepla z tekutého kovu do formy tedy probíhá přes tuto

ztuhlou vrstvu kovu, jejíž tloušťka se s časem roste.

Po vytvoření vrstvičky ztuhlého kovu se v důsledku smršťování tvoří mezera mezi

odlitkem a stěnami formy. Od této chvíle se odvod tepla z taveniny do formy uskutečňuje

jednak přes vrstvu již ztuhlého kovu, ale zároveň i přes vzniklou mezeru. Tepelná vodivost

mezery je menší než tepelná vodivost formy a ztuhlého kovu. Tato skutečnost má za následek

snížení intenzity odvodu tepla z taveniny. Vzniklá mezera roste v závislosti na smršťování

odlitku a její tloušťka je závislá na smrštění kovu a rozměrech odlitku. Odvod tepla kovu

formou je nestacionární tepelný pochod. Teplota jednotlivých bodů soustavy odlitek-forma je

s časem proměnná. Pro řešení těchto nestacionárních děju je nutno najít závislosti teploty a

množství sdíleného tepla dle času pro libovolnou část tělesa.

Při plnění formy, tuhnutí a chladnutí odlitku probíhají v soustavě odlitek-forma tyto

tepelné pochody:

Vedení tepla tekutým kovem

Vedení tepla tuhým kovem

Přestup tepla z taveniny do formy

Přestup tepla z tuhého kovu do formy


48

Přestup tepla z taveniny do tuhého kovu

Přestup tepla z tuhého kovu do formy přes mezeru

Vedení tepla formou

Sálání tepla vtokovou soustavou a otevřenými nálitky

Bilanci energie je možné v obecném případě vyjádřit rovnicí

Změna celkové vnitřní energie v objemu V za čas dτ je rovna přívodu entalpie difúzí,

konvekcí, zářením a celkovou energií ze zdrojů.

Změna celkové vnitřní energie se skládá ze změny vnitřní energie prostředí v objemu

V, změny jeho kinetické energie, změny potencionální energie možných přeměn prostředí a

změny zářivé energie Uzář v objemu V:

Energie zdrojů je možno vyjádřit integrálem:

kde qzdroj (V) je měrný výkon všech vnitřních zdrojů energie v daném objemu V.

Získaný vztah se dá upravit do tvaru parciální diferenciální rovnice, jež popisuje

sdílení energie v homogenní tekutině a tuhé látce. Ve většině aplikací se však neřeší ve své

komplexní podobě, ale zjednodušuje se podle druhu řešeného procesu. Tyto upravené tvary

rovnice šíření energie jsou pak výchozími rovnicemi pro řešení různých konkrétních úloh ze

sdílení tepla.

Například rovnice nestacionárního kombinovaného přenosu tepla konvekcí a vedením

s vnitřními zdroji tepla má tvar:

V případě, kdy je prostředí v klidu (w= 0), dostaneme rovnici šíření tepla vedením

A pro jednotlivé souřadnice „x“, “y“, “z“ má tvar


49

Uvedený tvar diferenciální rovnice vedení tepla představuje matematický popis časové

změny teploty v libovolném místě tělesa vyvolané přenosem tepla a působením zdrojů

energie. Pokud je tepelná vodivost konstantní a nejsou definovány tepelné zdroje, tak má

rovnice tvar:

Respektive

Napjatost a deformace

Obecně můžeme říci, že působením vnějších silových či teplotních účinků vznikají v

tělese vnitřní síly. Intenzitu vnitřních sil nazýváme napětí, jehož složky lze uspořádat do

tensoru napětí. Vztahy vyjadřující složkové a momentové rovnice rovnováhy, které je na

povrchu S podrobeno silovým účinkům, a v objemu tělesa objemovým silám jsou:

Dále pro řešení úloh pružnosti je nutno určit změnu tvaru tělesa pomocí složek

deformace, které v obecnějším případě mohou zahrnovat geometrickou změnu tvaru tělesa.

Vazba mezi napjatostí a popisem deformace určuje chování tělesa při působení vnějších sil

4.2.3 Bezrozměrové parametry

Vyjádření podobnosti dvou systémů pomocí konstant podobnosti je z praktického

hlediska nepříliš rozšířený. Obvyklejší způsob je využití bezrozměrových parametrů za

účelem vyjádření podobnosti dvou systémů.

Bezrozměrový parametr má v homologických bodech podobných systémů stejnou

hodnotu, tzn. že se nemění (I. Věta podobnosti), nicméně nemá ve všech bodech těchto

systémů stálou hodnotu. V oblasti aplikace teorie podobnosti a modelování jsou

bezrozměrové parametry nazývány kritérii podobnosti a obvykle má své specifické označení.

Většinu těchto kritérií lze vyjádřit pomocí vhodně zvoleného poměru vybraných sil

působících v systému.

Většinu fyzikálních systémů lze popsat úplnou fyzikální rovnicí, která se vyznačuje

tím, že bere v úvahu všechny relevantní veličiny, tzn. veličiny, které mají v daném systému

význam. Sjednocením úplné fyzikální rovnice s podmínkami jednoznačnosti se získá základní

rovnice, jejichž řešení k popisu fyzikálního jevu je obvykle časově náročné, potažmo těžko

řešitelné. Z tohoto důvodu se používají kriteriální rovnice, kde relevantní veličiny jsou

nahrazeny kritérii podobnosti, které jsou z těchto relevantních veličin odvozeny (II. Věta

podobnosti). Vzájemné funkční závislosti mezi bezrozměrovými parametry se určují

experimentálně na daném modelu měřením.


50

Obecný tvar kriteriální rovnice lze odvodit pomocí rozměrové analýzy nebo pomocí

analýzy diferenciálních rovnic popisujících daný děj.

4.2.4 Stanovení kritérií podobnosti pomocí rozměrové analýzy

Rozměrová analýza se používá v případě, kdy není znám matematický popis děje a

existuje pouze předpoklad, že studovaný děj je funkcí relevantních fyzikálních veličin.

Podstata rozměrové analýzy je založena na Buckinghamově teorému ( – teorém).

Jeho podstatou je, že každou rozměrově homogenní rovnici lze transformovat do

podoby navzájem nezávislých bezrozměrových parametrů, vzniklých vhodným seskupením

daných veličin. Vzájemná nezávislost znamená, že kterýkoliv bezrozměrový parametr nelze

vyjádřit součinem různě umocněných parametrů.

Princip této metody si ukážeme na jednoduchém příkladu. Na definované těleso

ponořené v proudící kapalině působí síla F, která závisí na rychlosti proudění tekutiny w, její

hustotě , dynamické viskozitě a charakteristickém rozměru l. Je patrné, že k vyjádření

těchto pěti relevantních veličin potřebujeme pouze tři základní veličiny, a to délku [m], čas t

[s] a hmotnost m [kg]. Z rozdílu relevantních a základních veličin vyplývá, že k popisu děje

potřebujeme dvě bezrozměrová kritéria, která označíme K1 a K2 a vyjádříme je v obecné

formě:

321

1

aaa lwFK

321

1

bbb lwK

Obě rovnice vyjádříme s využitím základních veličin v rozměrovém tvaru:

323112

1 )()( aaa mmkgsmsmkgK

3231111

2 )()( bbb mmkgsmsmkgK

Aby byly oba parametry bezrozměrové, musí platit, že součet rozměrových exponentů

pro každou základní veličinu se musí rovnat nule. Vytvoříme tedy systém rovnic s použitím

rozměrových exponentů:

Pro m: 0 = 1+a13a2+a3

Pro s: 0 = -2 –a1

Pro kg: 0 = 1+2a

Řešením těchto rovnic získáme:

a1 = -2; a2 = -1; a3 = -2

Bezrozměrové kritérium K1 pak nabývá tvar:

222

212

1w

p

lw

FlwFK


51

Toto bezrozměrové kritérium je známo jako jako Eulerovo kritérium –Eu.

Analogicky lze postupovat i pro druhé kritérium, pro nějž pak dostáváme tvar:

lwlwlwK

111

2

Což je převrácená hodnota Reynoldsova kritéria – 1/Re

Uvedeným postupem lze původní funkci, která se sestává z pěti základních veličin,

transformovat do kombinace dvou bezrozměrových kritérií K1, K2 ve tvaru:

0),(),(221

lww

pfKKf

S ohledem na studovanou sílu F pak platí:

)(22 lw

flw

F

nebo-li, jinými slovy tato rovnice vyjadřuje fakt, že Eulerovou kritérium je funkcí

kritéria Reynoldsova.

Tento příklad poukazuje na výhody i nevýhody metody stanovení bezrozměrových

parametrů pomocí rozměrové analýzy. Spojovat relevantní veličiny do známých a

osvědčených bezrozměrových kritérií je velmi užitečné, nicméně tento postup neumožňuje

nalézt tvar vztahu mezi jednotlivými veličinami.

4.2.5 Stanovení kritérií podobnosti metodou podobnostní transformace

Pokud lze popsat daný určitou formou základní rovnicí, lze pro odvození

bezrozměrových kritérií použit metod, které vychází ze tvaru těchto rovnic. V podstatě se

jedná o dva postupy při analýze těchto rovnic a stanovení bezrozměrových kritérií.

Metoda podobnostní transformace

Podstatu této metody ukážeme na analýze diferenciální rovnice toku skutečné viskózní

kapaliny:

)()(2

2

2

2

2

2

z

w

y

w

x

w

x

pgw

z

ww

y

w

x

ww xxxxz

xy

xxx

Pro libovolný podobný systém systému základnímu lze tuto rovnici vyjádřit pomocí

konstant podobnosti, kdy se provede podobnostní transformace rovnice, která nabývá tvaru:

)(

)(

2

2

2

2

2

2

2

2

z

w

y

w

x

w

M

MM

x

p

M

MgMM

wz

ww

y

w

x

w

M

MMw

M

MM

xxx

l

w

l

p

xg

zx

yxxwxw


52

Kde q

qM q

´

q´- hodnota veličiny q na modelu

q - hodnota veličiny q na díle

Obě výše uvedené rovnice budou identické, tzn., aby byla zachována podobnost dějů,

když vzniklé komplexy konstant podobnosti u každého členů rovnice budou shodné, tj:

2

2

l

w

l

p

g

ww

M

MM

M

MMM

M

MM

M

MM

Po úpravě nabývá tato rovnice tvaru:

122

wlw

p

w

lg

w

l

MMM

M

MM

M

M

MM

MM

M

Tyto bezrozměrové komplexy skládájící se z konstant podobnosti jednotlivých veličin

se označují jako indikátory podobnosti. U podobných jevů jsou pak tyto indikátory rovny

jedné. (první věta podobnosti).

Tvar bezrozměrových parametrů u výše řešeného příkladu toku viskózní kapaliny lze

získat úpravou jednotlivých indikátorů z podobnostní rovnice:

1´´

´

w

w

l

l

MM

M

w

l pak platí Hol

w

l

w

´

´´

Tento bezrozměrový parametr je znám jako kritérium honochronismu. Obdobným

způsobem lze odvodit další parametry:

lg

wFr

2

2w

pEu

wlwlRe

tedy Froudeho (Fr), Eulerovo (Eu) a Reynoldsovo (Re) kritérium.

Celá rovnice toku viskózní kapaliny lze vyjádřit využitím bezrozměrových kritérií do

tvaru:

0Re);;;( EuFrHo

4.2.6 Stanovení kritérií podobnosti metodou rozměrové analýzy rovnic

V předešlém případě řešenou rovnici toku viskózní kapaliny lze využít při stanovení

bezrozměrových parametrů i jiným způsobem. Je patrné, že všechny členy této rozměrově

homogenní rovnice mají shodný rozměr, v tomto případě kg.m-2

.s-2

. Podělíme - li tuto rovnici

jedním ze sčítanců, přejde rovnice do bezrozměrového tvaru, ze které lze snadno stanovit tvar

bezrozměrových parametrů. Celá rovnice může být vyjádřena pomocí fyzikálních veličin:


53

2

2

)(l

w

l

pg

ww

Vydělením druhým členem převedeme tuto rovnice na bezrozměrový tvar, čímž

získáme rovnici, jejíž jednotlivé členy představují jednotlivá kritéria, která jsou uvedená výše

v textu:

lww

p

w

lg

w

l

22)1(

4.2.7 Přehled nejrozšířenějších bezrozměrových kritérií

Reynoldsovo kritérium

Na základě Reynoldsova čísla se posuzuje charakter proudění tekutin. Toto kritérium,

které vyjadřuje poměr sil setrvačných a vazkých, má zásadní význam při výpočtech proudění

tekutin (tření v potrubích a armaturních prvcích, míchání atd.). Jak vyplývá z definice, lze

kritérium Re stanovit dle rovnice:

lwlw

Re

Hodnota Re rozděluje proudění tekutin na laminární a turbulentní, přičemž nízké

hodnoty Re identifikují laminární proudění tekutiny. Kritická hodnota Re kritéria (Rek), při

kterém dochází k přechodu laminárního proudění na turbulentní je závislá na tvaru prostředí,

ve kterém proudění probíhá a rovněž na charakteristickém rozměru l.

Froudeho kritérium

Toto kritérium vyjadřuje poměr setrvačných a tíhových sil. Zajišťuje přibližnou

dynamickou podobnost proudění, v nichž dominují setrvačné a gravitační síly. Froudeho

kritérium je definováno vztahem:

lg

wFr

2

Eulerovo kritérium

Eulerovo kritérium vyjadřuje podíl charakteristické hodnoty síly tlakové a síly

setrvačné (toku hybnosti prouděním), tj. poměr toků hybnosti tlakovými silami a

makroskopickým prouděním. Lze jej definovat vztahem:

2w

pEu

Hodnota tohoto kritéria je velmi často hledána, jelikož obsahuje hledanou veličinu

tlakové ztráty, a je v podstatě vyjadřována jako závislost na ostatních kritériích, např.:


54

)(Re;

)(Re;

(Re)

MaEu

FrEu

Eu

Strouhalovo kritérium (kritérium Homochronismu)

Toto kritérium je bráno jako ukazatel časově ustálené rychlosti pohybu elementu

systému. Kritérium homochronismu lze používat pro vyjádření bezrozměrového (relativního)

času pohybu daného elementu nebo pro vyjádření bezrozměrové (relativní) dráhy. Kritérium

Ho je definováno dle vztahu:

l

wHo

Stokesovo kritérium

Stokesovo kritérium lze definovat jako součin kritérií Eu a Re. V případě velmi

pomalého laminárního proudění jsou setrvačné síly jak v kritérii Re, tak i v Eu zanedbatelné

ve srovnání se silami vazkými i vyvolanými rozdílem tlaku a tím pádem i příslušná kritéria

Re a Eu ztrací smysl. V takovém případě je vhodné setrvačné síly eliminovat. Stokesovo

kritérium je definováno jako:

w

lp

l

dwStk

2

Weberovo kritérium

Weberovým kritériem je definován poměr setrvačných sil a sil kapilárních, které jsou

vyvolané povrchovým napětím. Při modelování metalurgických systémů v praxi je

v některých případech nutno zajistit souběžné plnění tohoto kritéria a kritéria Fr. Weberovo

kritérium je definováno jako:

lwWe

2

Prandtlovo kritérium

Prandtlovo kritérium zahrnuje vlastnosti tekutiny, které jsou důležité při molekulárním

sdílení hybnosti a tepla. Lze jej vypočíst jako podíl kritéria Pécletova, které definuje vedení

tepla v mezní vrstvě, a Reynoldsova. Prandtlovo kritérium je definováno vztahem:

pc

alva

lv

Pe

RePr


55

Nusseltovo kritérium

Nusseltovo kritérium definuje sdílení tepla konvekcí. V podstatě se jedná o

bezrozměrový součinitel přestupu tepla a jeho závislost na podmínkách sdílení tepla se

vyjadřuje jako funkce dalších kritérií:

nGrCNu Pr)(

Kde C, n jsou konstanty; Gr - Grashofofo kritérium definující přirozenou konvekci

vazké tekutiny, Pr - Prandtlovo kritérium.

Intenzitu přestupu tepla pak vyjadřuje koeficient přestupu tepla , jehož velikost

závisí na vlastnostech média, rychlosti a charakteru proudění a geometrií obtékaného

povrchu. Hodnotu lze určit pomocí Nusseltova kritéria:

CLNu

kde LC - je charakteristický rozměr (definován geometrií obtékaného tělesa)

Matematické modelování slévárenských procesů

56

4.3 Matematické modelování slévárenských procesů

Matematický model je tvořen abstraktním systémem matematických vztahů, které

popisují podstatné vlastnosti zkoumaného objektu, a tak poskytují srozumitelný popis všech

relevantních faktorů dané situace a umožňují odhalit podstatné vztahy mezi prvky

studovaného systému.

Pro matematický popis vlastností a chování objektu je nutné stanovit veličiny, které

vystihují, jak okolí ovlivňuje systémy (vstupy) a veličiny, kterými se systém projevuje vůči

svému okolí (výstupy). Matematický model pak vyjadřuje závislost výstupů na vstupech

popsanou matematickými vztahy. Tyto vztahy se stávají matematickým modelem teprve

tehdy, když jsou jednoznačně přiřazeny ke konkrétnímu procesu nebo jevu. Proces zjišťování

matematického popisu systému nazýváme identifikací systému. Při identifikaci se snažíme

model získat v takovém tvaru, v jakém bude použitelný v oblasti, ve které ho chceme

využívat.

Proces (systém), který chceme matematicky popsat, se řídí podle určitých fyzikálních,

fyzikálně-chemických a chemických zákonů, které mají své matematické vyjádření. Z tohoto

vyjádření zákonů při sestavování deterministických modelů vycházíme. Někdy takto můžeme

popsat všechny zadané podmínky a vztahy modelovaného procesu úplně a získat tak přesný

matematický model. Takový matematický model ale bývá tak složitý, že jeho řešení je

prakticky neproveditelné. Navíc většinou ani úplný popis získat nemůžeme, protože průběh

děje do potřebných podrobností neznáme. V praxi ale obvykle nepotřebujeme naprosto přesné

výsledky, stačí, když model vystihuje podstatné vlastnosti a chování procesu. Můžeme si tedy

dovolit některé méně podstatné vlivy a vztahy zanedbat nebo zjednodušit. Konečným

kritériem kvality a použitelnosti modelu je vždy jeho souhlas s realitou v souladu s účelem, ke

kterému byl vytvořen. Na Obr.22 jsou schematicky znázorněny jednotlivé fáze vytváření

deterministického modelu.

Obr.22. Postup vytváření matematického modelu


57

Při sestavování matematického modelu je nutná:

důkladná analýza systému a rozhodnutí o podstatnosti následujících prvků a

tím jejich zařazení do modelu nebo ne:

– specifikace dějů, které v procesu probíhají a určení jejich podstaty

– vymezení vlivů působících na proces a jeho průběh

– určení veličin popisujících proces

Tímto krokem se získává teoretický model, ten sice nepopisuje zcela přesně

skutečnost, ale jeho výhoda spočívá v jednoduchosti, přehlednosti a následně i ve snazším

řešení výsledných rovnic.

Na základě teoretického modelu následuje matematický popis procesu. Tento krok

zahrnuje výběr matematického popisu zákonitostí použitých v teoretickém modelu, vytvoření

modelových rovnic, tj. doplnění vybraných vztahů o zjednodušující předpoklady a potřebné

matematické úpravy a na závěr podmínek řešení (obvykle počáteční a okrajové podmínky pro

řešení diferenciálních rovnic). V této fázi se obvykle využívají matematické rovnic

vyjadřujících známé zákony a vztahy z fyziky, fyzikální chemie, chemie atd. Výsledkem

tohoto postupu je obecný matematický model procesu.

Třetí fází celého postupu je řešení modelu, to znamená vytvoření simulačního

programu, kdy se volí metoda řešení modelových rovnic, následuje jejich zpracování za

účelem nalezení vhodného algoritmu řešení. Čtvrtou fází je vytvoření tzv. simulačního

modelu. Jejím výsledkem je počítačový program vhodný pro používání v praxi. Tato fáze

zahrnuje následující kroky:

identifikace modelu, tj. nalezení neznámých hodnot parametrů modelu (např. porovnáním

získaných výsledků řešení s údaji z literatury, s experimentálními hodnotami apod.),

verifikace modelu, tj. řešení kontrolních úloh a analýza jejich výsledků za účelem ověření

správnosti modelu v celé předpokládané oblasti použití, posouzení přesnosti a vhodnosti

modelu pro daný účel.

Základem struktury matematického popisu procesů v metalurgii tekutých kovů je

výběr vhodného hydrodynamického modelu procesu. Dále následuje popis fyzikálních,

fyzikálně chemických, tepelných a dalších dějů daného procesu v podobě soustavy

diferenciálních rovnic, které obsahují i empirické rovnice. Výpočet těchto rovnic je většinou

realizován numerickými integracemi. Matematický model složitého systému je schopen

obsahovat až 105 proměnných a tomu odpovídající počet rovnic. U velmi složitých systémů

nelze vůbec sestavit odpovídající model anebo nelze sestavený model matematicky vyřešit.

Pro řešení matematického modelu lze použít dva způsoby řešení:

Analytické (explicitní) řešení spočívá v nalezení přesného řešení pomocí

analytických matematických metod (řešení soustav rovnic, řešení úlohy na

vázaný extrém atd.).

Numerické (přibližné) řešení se používá pří řešení modelů, u kterých nelze

problém řešit analyticky nebo v případech, kdy je analytické řešení obtížné a


58

složité. Při numerickém řešení je nutné uvažovat jeho numerickou stabilitu,

konvergenci a chybu, která řešením vznikne

Analytické modely jsou sestrojeny na základě popisu vnitřní struktury systému, tzn.

znalosti přírodních zákonitostí procesů a konstrukce zařízení, ve kterých dané děje probíhají.

Výhodou těchto modelů je jejich možnost aplikace na širší oblast použití. Nevýhoda je dosti

složité sestavování modelu, výpočtového programu a vysoké nároky na čas pro modelování.

Analytické modely jsou převážně používány pro menší a jednodušší systémy.

Matematické modelování slévárenských procesů – Analytické metody

59

4.3.1 Analytické metody

Analytické metody umožňují získat řešení dané úlohy ve tvaru matematického výrazu

pro hledanou proměnnou jako funkci prostorových souřadnic a času. Řešení musí odpovídat

určité rovnici a podmínkám jednoznačnosti. Ve většině technických úloh je obvykle nutno

zjednodušit matematický model procesu tak, aby úloha byla řešitelná. Správně určit stupeň

zjednodušení matematického modelu při zachování jeho věrohodnosti je stěžejním

problémem při používání analytických metod.

Mezi klasické analytické metody patří metoda separace proměnných, nazývaná také

Fourierovou metodou. Jinou skupinu analytických metod tvoří metody integrálních

transformací, založené na principu matematické transformace proměnných. Nejběžnější jsou

Laplaceova a Fourierova transformace. Pro metody integrálních transformací stejně jako pro

klasické analytické metody platí omezení jejich použití na lineární úlohy s okrajovými

podmínkami a jednodušší oblasti.

Obr.23. Obecný postup při matematickém modelování

Dalšími z užívaných metod jsou metody variační. Ty jsou na rozdíl od předchozích

vhodné i pro přibližné řešení nelineárních úloh. Jejich princip spočívá v tom, že se místo

řešení diferenciálního matematického modelu fyzikálního pole řeší variační úloha o extrému

některého funkcionálu v integrálním tvaru, charakterizující daný proces.

Obvykle jde o minimum funkcionálu energie. Z řady variačních metod patří k

nejznámějším Ritzova metoda. Další analytické metody převádějí úlohy s okrajovými

podmínkami na jiné typy rovnic a úloh, např. využitím Besselových funkcí apod.


60

Obr.24. Postup při modelování konkrétního případu

Pro řešení technických úloh mají analytické metody omezené použití. Přesné metody

slouží především pro kontrolní řešení obvykle jednorozměrných úloh s jednoduššími

okrajovými podmínkami, přibližné i pro složitější okrajové podmínky. Přibližné analytické

metody používají integrální transformace Laplaceovy a variačních metod. Řešení se dostává

ve tvaru poměrně jednoduché závislosti, například několika členů řady. Přesnost výsledků je

obvykle postačující.

4.3.2 Počáteční a okrajové podmínky

U modelů popsaných diferenciálními rovnicemi musíme popis doplnit příslušným

počtem okrajových a počátečních podmínek (podmínky jednoznačnosti). Pro každou

nezávisle proměnnou potřebujeme tolik vzájemně nezávislých podmínek, jaký je nejvyšší v

rovnicích se vyskytující řád derivace podle této proměnné.

Formulace počátečních a okrajových podmínek je nedílnou součástí vytváření

matematického modelu. Některé podmínky vyplývají zcela jednoduše ze zadání úlohy (např.

na počátku je teplota ve všech bodech stejná a rovná určité hodnotě), jiné musíme odvodit

stejnými postupy jako matematický model (např. na základě bilance). Jako kontrola

správnosti jejich odvození nám může sloužit skutečnost, že obecně co do matematického

tvaru existuje jen několik druhů podmínek, a tedy v konkrétním případě musíme dosáhnout

shody s jedním z nich.

Pro popis obecného matematického tvaru druhů počátečních a okrajových podmínek

použijeme následující označení veličin:

u – závisle proměnná; t – teplota; tp – teplota na povrchu tělesa

– čas,

x, y, z – souřadnice,

f – funkční předpis, jehož tvar je znám a hodnota funkce lze kdykoliv vypočíst.


61

Pro přehlednost budou zde uvedeny příklady podmínek jednoznačnosti pro vedení

tepla

Počáteční podmínka je obvykle jedna a definuje situaci na počátku řešení. Obecně ji

lze zapsat ve tvaru

pro = 0: u = f (x,y,z)

Pro vedení tepla: pro = o = 0 t = f(x, y, z)

jinými slovy na počátku procesu, tzn. v čase t0 je závisle proměnná u známou funkcí

souřadnic x, y, z.

Okrajové podmínky se vyskytují v případech, kde jako nezávisle proměnné vystupují

souřadnice. Rozeznáváme tři základní typy okrajových podmínek :

a) okrajová podmínka 1.druhu (Dirichletova):

pro x = x0 : u = f (x,y,z,)

Pro vedení tepla: tp = f(x, y, z, )

tj. hodnota závisle proměnné v místě x0 je známou funkcí ostatních souřadnic a času.

b) okrajová podmínka 2.druhu (Neumannova) :

pro x = x0 : ),,(

0

zyfx

u

xx

Pro vedení tepla:

se definuje rozložení hustoty tepelného toku q na povrchu tělesa jako funkci souřadnic

a času

q = f(x,y,z,), tudíž q = - gradt = - pn

t

1. Fourierův zákon

kde n je normála k povrchu tělesa

čili hodnota derivace závisle proměnné podle jedné souřadnice (např. podle x v bodě

x0) je známou funkcí ostatních souřadnic a času. Často se setkáváme s okrajovou podmínkou

2. druhu ve tvaru

pro x = x0 : 0

n

u

tj. derivace závisle proměnné podle normály k nějaké ploše je nulová.

c) okrajová podmínka 3.druhu (Newtonova) :

pro x = x0 : ,,),,,(

0

0 zyfx

ubzyxua

xx


62

Pro vedení tepla se používá tehdy, je-li zadaná teplota okolního prostředí tok a

součinitel přestupu tepla do okolí c: pak platí:

p

okpcn

tttq

tj. hodnota lineární kombinace hodnoty závisle proměnné u v bodě x0 a její derivace

podle x v místě x0 je známou funkcí ostatních souřadnic a času; konstanty a, b jsou

koeficienty lineární kombinace

Numerické metody

63

4.3.3 Numerické metody

Při technických výpočtech je nutná znalost nejen počátečních a okrajových podmínek,

ale také znalost materiálových charakteristik všech materiálů řešené soustavy. V mnoha

článcích o matematickém modelování ve slévárenství můžeme nalézt větu, že znalost

termofyzikálních dat je alfou i omegou přesnosti obdržených výsledků. A zcela bezpochyby

tedy platí – jak přesná vstupní data použijeme, tak přesný můžeme očekávat výsledek. Mezi

základní vstupní materiálová data patří viskozita, tepelná vodivost, entalpie, hustota a podíl

tuhé fáze.

Při výpočtech napětí a deformací k nim navíc přistupují znalosti modulů pružnosti,

teplotních roztažností a další. Je nutné podotknout, že tato data jsou pro výpočet užitečná

pouze v případě, jsou-li funkcí teploty.

Data lze získat:

z materiálové databáze simulačního programu

z odborné literatury, kde jsou však uváděna především pro čisté prvky, nebo

pro základní druhy materiálu a většinou pouze pro pokojové teploty

přímým experimentálním měřením (finančně náročné)

inverzním modelováním (kombinace experimentu a numerických výpočtů).

Jejich podstata spočívá v diskretizaci proměnných, a proto mají právě značný

potenciál uplatnění v počítačovém modelování. Je pro ně charakteristická opakovatelnost

jednoduchých algebraických operací určitého typu, což odpovídá operačním vlastnostem

číslicových počítačů. Numerické metody umožňují získat řešení úloh v konečném počtu

diskrétních míst (uzlů) zvolené diferenční sítě nebo sítě konečných prvků, a to v celé oblasti

či v její povrchové části.

Numerické metody se rozdělují:

metody konečných diferencí (Finite Difference Method - FDM)

metody konečných objemů (Finite Volume Method - FVM)

metody konečných prvků (Finite Element Method - FEM)

metody okrajových (hraničních) prvků (Boundary Element Method – BEM)

V simulačních programech slévárenských procesů se nejčastěji vyskytují výpočtové

moduly používající metodu konečných diferencí a metodu konečných prvků. Z toho důvodu

se zaměříme pouze na krátký popis pouze těchto dvou zmíněných metod.

Metoda konečných diferencí (FDM)

Metoda sítí se stává jednou z nejužívanějších přibližných metod numerického řešení

parciálních rovnic. Je jednoduchá, universální a dá se užít k velmi rozmanitým typům

hraničních úloh včetně nelineárních. Velká část nejdůležitějších technických problémů

vedoucích k parciálním diferenciálním rovnicím se proto řeší touto metodou.

Numerické metody

64

Podstata metody konečných diferencí, kterou někdy také nazýváme metodou sítí,

spočívá v aproximaci základní diferenciální rovnice s příslušnými okrajovými podmínkami

odpovídající rovnici diferenční, jež má tvar soustavy algebraických rovnic. To znamená, že se

parciální derivace v diferenciálních rovnicích popisujících chování modelu nahrazují

diferencemi, tj. lineárními kombinacemi funkčních hodnot hledané funkce v okolních bodech:

h

afhafaf

h

)()(lim)´(

0

f´(a) - derivace funkční hodnoty v bodě a, f(a) - funkční hodnota v bodě a, h - délka kroku

Krok h bývá často nahrazován časovou změnou, Tomuto tvaru se říká dopředná

diference. Funkční hodnotu derivace lze vyjádřit jako:

h

aR

h

afhafaf

)()()()´(

kde R(a) určuje chybu měření, kterou do výpočtu nezahrnujeme. Tuto nerovnost

označujeme jako chybu diskreditační. Celková nepřesnost výpočtu je pak součtem právě této

odchylky a zaokrouhlovací chyby.

Aproximace je tím dokonalejší, čím přesnějšími výrazy nahrazuje derivace. Zmíněná

diferenční aproximace se nazývá „explicitní diferenční schéma“. Náhrada se provádí

v diskrétních místech tvořenými uzly sítě pokrývající zkoumanou oblast. Konečným

výsledkem algebraických operací je určení hledané hodnoty v daném uzlu.

Odvození příkladu řešení provedeme na obecné úloze ve dvou prostorových

dimenzích:

kde

a pro

Počáteční podmínku (v podstavě)

Okrajové podmínky (v bočních stěnách)

se odvodí síťové rovnice, kde: N, r - jsou přirozená čísla, h = (b-a)/N; r

T

tyxfy

u

x

utyxfu

t

u,,,,

2

2

2

2

),,,,,0 baxbayxTt

yxyxgyxu ,,,0,,

hranicinayx

Tttyxtyxu

,

,0,,,,,

Numerické metody

65

V oblasti pak uvažujeme síť tvořenou uzly (xi, yj, tk)

Pro pevné k budeme množinu bodů (xi, zj, tk ) nazývat k - tou časovou vrstvou

Derivací podle času t nahradíme dopřednou diferenci

Kde )(

,

k

jiu je přibližné řešení úlohy v uzlu (xi, zj, tk )

Derivací podle proměnných x a y pak nahradíme následovně:

Derivaci podle x pomocí hodnot

Derivaci podle y pomocí hodnot

Na k-té časově vrstvě pak platí:

A následné derivace nabývají tvaru:

Niihaxi ,...,0,

Njjhay j ,...,0,

rkktk ,...,0,

k

ji

k

ji uu ,

)1

,

k

ji

k

ji

k

ji uuu ,1,,1 ,,

k

ji

k

ji

k

ji uuu 1,,1, ,,

h

uu

x

uk

ji

k

ji ,1,

h

uu

y

uk

ji

k

ji 1,,

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

uuuh

h

uu

h

uu

x

u

,1,,12

2

,1,

2

,,1

2

2

21

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

uuuh

h

uu

h

uu

y

u

1,,1,2

2

1,,

2

,1,

2

2

21

Numerické metody

66

Celkem lze tedy rovnici přepsat pomocí diferencí takto:

Obr.25. Vizualizace explicitní metody

Z hodnot na k-té časové vrstvě se počítá nová hodnota ui,j na (k+1)-ní vrstvě. Tento

způsob se nazývá explicitní metoda, pomocí které dostáváme přímo rekurentní vztah a není

potřeba řešit soustavu rovnic. Pokud chceme získat konvergentní a numericky stabilní

metodu, používá se implicitní metoda, která využívá zpětnou diferenci a zároveň diferenci

druhého řádu.

Při náhradě derivace podle času t dopřednou diferencí, analogické derivaci podle

proměnných x a y a náhradě pomocí hodnot na (k+1) časové vrstvě:

se získá analogický vztah

Tím se získá soustava rovnic (implicitní metoda). Tato metoda je početně náročnější.

Tento nedostatek lze kompenzovat využitím velkých časových kroků.

Obr.26. Vizualizace implicitní metody

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji uuuuuhy

u

x

u,1,1,,1,122

2

2

2

41

1

,1

1

,

1

,1 ,,

k

ji

k

ji

k

ji uuu 1

1,

1

,

1

1, ,,

k

ji

k

ji

k

ji uuu

11

,

1

1,

1

1,

1

,1

1

,12

,

1

,4

1

k

i

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

jifuuuuu

h

uu

Numerické metody

67

Kombinaci implicitní a explicitní metody (lineární kombinace) představuje Crank-

Nicolsonova metoda, která využívá diferenci v čase n+1/2 a opět centrální diferenci druhého

řádu. Tato metoda je vždy konvergentní a numericky stabilní. Vellikost odchylky roste

v závislosti na vzdálenosti bodu od okraje, a proto je nutné použít časově jemnou mřížku.

Obr.27. Crank - Nicolsonova metoda

Výsledný tvar řešení modelové rovnice nabývá tvaru:

Obecný postup metody FDM pak probíhá v následujících krocích:

Výběr vhodné množiny uzlů (výběr sítě) - metoda konečných diferencí se používá

pouze pro uzavřené oblasti, se známými okrajovými podmínkami na hranicích oblasti. Vytvoření hustší sítě představuje přesnější výpočet, ovšem zabírá více paměti v

počítači a výpočet je delší. Můžeme také zvolit proměnlivou hustotu sítě. Tam kde, se

hodnota sledované funkce více mění, nadefinujeme hustší síť a na zbytek geometrie zvolíme

síť méně jemnou.

Obr.28. Příklad sítí s různými uzly

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

k

ji

ffuuuuuh

uuuuuh

uu

,

1

,,1,1,,1,12

1

,

1

1,

1

1,

1

,1

1

,12

,

1

,

141

4

Numerické metody

68

Aproximace diferenciálního operátoru diferenčním

Představuje již zmíněnou záměnu diferenciální rovnice za diferenční. Následné řešení

je vypočítáváno pouze v uzlech definované sítě.

Sestavení soustavy rovnic (okrajové podmínky) Dále se tyto rovnice sestavují do výpočtové matice a přidělují se jednotlivým uzlům

souřadnice.

Řešení soustavy rovnic Při řešení rovnic používáme Gaussovu eliminaci, vlastní čísla-vektory či iterační

metody.

Metody konečných diferencí lze podle druhu zvoleného diferenčního výrazu rozdělit

na explicitní, implicitní a kombinované, přičemž mohou být realizovány jako jednovrstvé,

vícevrstvé nebo vícenásobné.

Snaha zmenšit rozsah výpočetních operací při řešení různě složitých a vice-

rozměrových úloh vede k vytváření stále ekonomičtějších diferenčních výrazů, vhodných pro

výkonné číslicové počítače. K základním charakteristickým vlastnostem při vzájemném

posuzování metod patří konvergence, přesnost a stabilita řešení.

Používané sítě můžeme rozdělit na čtvercové, obdélníkové a to pravidelné či

nepravidelné a speciální jako např. šestiúhelníkové, polární apod. Dnes prakticky

nejpoužívanější druhy jsou pravoúhlé sítě. Nepravidelné se používají k usnadnění formulace

okrajových podmínek a k zhušťování, resp. zřeďování sítě, protože přesnost aproximace

závisí na hustotě sítě. Při zahušťování však roste numerická pracnost výpočtu a je proto

výhodné zhušťovat síť jen v těch místech, kde nás zajímá zvýšená přesnost.

Výhodou metod FDM je jednoduchost při programování a numerické realizaci a

relativní jednoduchost v nelineárních matematických modelech. Naproti nevýhodu je problém

s aproximací okrajových podmínek na jednotlivých částech hranic, které nejsou vhodně

použitelné na rozdílné husté sítě, a dále zhoršení přesnosti aproximovaného řešení pro síť s

různým odstupem uzlů.

Obr.29. Síť generovaná metodou FDM

Numerické metody

69

Z uvedeného je vidět, že metoda sítí je v podstatě použitelná pro libovolný typ

parciální diferenciální rovnice. U některých typů úloh je však často nutné omezit se na

speciální tvar sítě, kde časové dělení je závislé na prostorovém dělení.

Metoda konečných prvků (FEM)

Metoda konečných prvků patří mezi variační metody. Tyto metody vznikly na základě

objevu Dirichletova principu řešení diferenciálních rovnic. Základem těchto metod je výběr

řešení problému z celé třídy možných řešení. Při variačních metodách hledáme řešení dané

úlohy pomocí pokusného řešení. Spojitá oblast se rozdělí na konečné prvky vhodného tvaru,

vzájemně spolu vázané v uzlech.

Spojitost funkcionálu i rozložení hodnot v prvcích je provázena nespojitostí na jejich

hranicích. Proto je vhodné použít k určení hledané závislosti integrálního funkcionálu. Je

představován integrálem po celé oblasti a části hranice, na níž nejsou známy příslušné funkce

teploty nebo jejich derivací Postupujeme tak, že daný funkcionál vyjádříme jako funkci

předpokládaného pokusného řešení. Ze všech možných řešení, splňující okrajové podmínky,

pak vybereme to, které činí daný funkcionál stabilní - zajistí jeho minimum.

Máme-li parciální diferenciální rovnici:

02

2

2

2

y

u

x

u

Která je definovaná v omezené oblasti G se známou okrajovou podmínkou na hranici

ve tvaru: u=g(s)

lze sestavit následující Dirichletův integrál:

G

dxdyy

u

x

uuI

22

Nalezením funkce, která minimalizuje tento funkcionál, je nalezeno řešení dané

diferenciální rovnice

Je-li dán funkcionál například ve tvaru:

2

1

´´)´,,,(

x

x

dxyyyxF

definovaný v uzavřeném intervalu <x1,x2> s předepsanými funkčními hodnotami

v krajních bodech: y = y1 a y = y2, potom funkce y na obr. 30 představuje přesné řešení úlohy.

Variační metoda hledá k němu blízké řešení. Dvě takováto řešení jsou na obrázku označená

jako

1y a

2y . Jakékoliv takové pokusné řešení lze vyjádřit pomocí funkce popisující přesné

řešení a její variace y. Potom platí rovnost:

yyy

Numerické metody

70

Variace funkce y = y(x) je potom definována jako libovolná nekonečná malá změna

funkce pro danou hodnotu nezávisle proměnné x.

Obr.30. Variační metoda řešení hodnoty funkce

Metoda konečný prvků spočívá pak v tom, že se těleso rozdělí na tzv. konečné prvky.

Konečným prvkem, který je základem této metody, rozumíme zvolený element (objemu,

plochy, délky) definovaný uzly v rozích, popř. i na hranách. Takto převedeme indiskrétní

těleso na těleso diskrétní, složené z prvků, které jsou navzájem spojeny v uzlech -

v konečném počtu bodů.

Řešení diferenciální rovnice se na elementárních oblastech aproximuje jednoduchými

funkcemi – lineárními či kvadratickými polynomy. Výchozí parciální diferenciální rovnice se

převádí na soustavu lineárních algebraických rovnic pro hledané hodnoty potenciálu v

uzlových bodech.

Obecný postup metody FEM lze rozdělit do následující kroků:

Diskretizace analyzované oblasti

Rozdělení analyzované oblasti na podoblasti (konečné prvky – elementy), které mají

vlastnosti:

vzájemně se nepřekrývají

jejich sjednocení zahrnuje celou analyzovanou oblast

v každém prvku sítě konstantní parametry analyzované struktur

Mohou mít tvar:

o úsečky (1D)

o trojúhelníky (2D)

o obdélníky (2D)

o čtyřstěny ( 3D)

Numerické metody

71

Nejjednodušším prvkem pro rovinné úlohy je trojúhelníkový prvek se třemi uzlovými

body, který hledanou funkci aproximuje lineárním polynomem s parametry a1, a2, a3 ve tvaru:

yaxaau 321

Aproximace hledané funkce

Fyzikální vlastnosti tělesa, posunutí, napětí, teplota atd. lze nahradit funkcí

prostorových souřadnic. Tato funkce se nazývá aproximační funkcí nebo také funkcí tvaru.

Sestavení maticové rovnice Vyřešení maticové rovnice (pomocí inverzní matice, Gaussovou eliminací)

Použití metody FEM (metody konečných prvků) umožňuje řešit obrovské soustavy až

o miliónech rovnic a milionech neznámých na počítačích s paralelní architekturou.

Obr.31. Síť generovaná metodou FEM

Porovnání metod FDM a FEM

Odpověď na otázku, která z uvedených metod je výhodnější, není jednoznačná.

Obecně platí, že FDM umožňuje snadnou diskretizaci, což představuje menší nároky na

hardware počítače i kratší dobu výpočtu. Na druhou stranu proložení sítě geometrickým

modelem deformuje oblé či skosené části modelu (zejména při větších roztečích jednotlivých

bodů sítě), což se projeví v přesnosti výpočtu, pokud se neprovede lokální korekce. Některé

metody řešení mají zabudován algoritmus, který automaticky během výpočtu provádí opravu

objemu a ploch elementů v závislosti na skutečné geometrii a použitých materiálech modelu.

Výhoda metody FEM spočívá v tom, že lépe kopíruje geometrický tvar povrchu

modelu, umožňuje lokální zahuštění, tj. navolení větší hustoty sítě v určitých problémových

místech. Na rozdíl od FDM lze řešit i deformace odlitku při vzájemné interakci s formou,

neboť zavedení nelinearit typu velké deformace a kontaktní podmínky (teplotní i deformační)

je u FEM poměrně jednoduché. Nevýhodou pak jsou větší nároky na hardware počítače a

delší doba výpočtu. Obě metody se ale dají i kombinovat. Například vlastní proces lití tj.

výpočty proudění a přenosu tepla řešit FDM s následným řešením pevnostní a deformační

problematiky pomocí FEM. Je však nutný přenos hodnot z uzlů sítě FDM do uzlů sítě FEM.

Numerické metody

72


Fyzikálního modelování

Matematické modelování

Podobnost

Geometrická, kinematická a dynamická podobnost

Kritéria podobnosti

Analytické řešení

Numerické řešení

Podmínky jednoznačnosti

Metoda konečných diferencí (Finite Difference Method - FDM)

Metoda konečných prvků (Finite Element Method - FEM)


1. Co lze řešit pomocí modelování na příslušném průmyslovém zařízení?:

2. Jak dělíme modelování procesů?

3. Jaké jsou hlavní rozdíly mezi fyzikálním a matematickým modelováním?

4. Co je to geometrická podobnost?

5. Co je to kinematická podobnost?

6. Jaká další podobnosti mezi modelem a modelovaným systémem musí být splněna, aby

platila kinematická podobnost?

7. Co je to dynamická podobnost?

8. Jaká další podobnost mezi modelem a modelovaným systémem se předpokládají, aby

platila dynamická podobnost?

9. Které základní rovnice jsou řešeny při fyzikálním modelování slévárenských procesů?

10. Co je to bezrozměrový parametr (kritérium podobnosti)?

11. Co říká I. Věta podobnosti?

12. Co je to základní rovnice?

13. Co říká II. Věta podobnosti?

14. Co má klíčový význam v modelu pro výpočet přenosu tepla během slévárenského

procesu?

15. Jaké způsoby řešení matematického modelu lze použít, jaké jsou mezi nimi rozdíly?

16. Co jsou to podmínky jednoznačnosti?

17. Kolik druhů okrajových podmínek známe a jaké?

Numerické metody

73

18. Jaké numerické metody se nejčastěji používají pro simulaci slévárenských prvků?

19. Co se rozumí pojmem diskretizace analyzované oblasti?


KŘIVÝ, I., KINDLER, E.: Simulace a modelování, Studijní opora. Ostravská univerzita,

2001,


S.G.E., 2001, 264 p. ISBN 88-86281-63-3

VAŽAN, P., SCHREIBER, P., TANUŠKA, P., The opportunities and problems of simulation

optimization, In Proceedings of 40th Spring International Conference Modelling and

Simulation od Systems, Ostrava, 2006, ISBN 80-86840-21-2, s. 59-65.

RÁBOVÁ, Z. et.al. Modelování a simulace, VUT Brno, 1992

PELÁNEK, R. Modelování a simulace komplexních systémů, MuniPress, Brno 2011, 233s.

ISBN978-80-210-5318-2

NOSKIEVIČ, P. Modelování a identifikace systémů, Montanex Ostrava1999,276 s. , ISBN80-

7225-030-2


S.G.E., 2001, 264 p. ISBN 88-86281-63-3

HERMAN, A., et.al.: Počítačové simulace ve slévárenství, ČVUT, Praha, 2000, ISBN 80-01-

02220-X.

VLADÍK, R.: Simulace proudění kovu ve slévárenské formě z hlediska jeho reoxidace


RÉDR, M, PŘÍHODA, M.: Základy tepelné techniky, Praha SNTL, 1991

PŘÍHODA, M., RÉDR, M.: Sdílení tepla a proudění, Ostrava1998, 180s.

TRBIŽAN, M., et. al.: Casting Simulation – Background and Examples from Europe and

USA. World Foundrymen organization, Lubljana, ISBN 961 –90130-2-6, 2001,

CHARVÁT, O.: Novinky v oblasti numerické simulace slévárenských procesů: FOND-EX

2008, Slévárenství, 5-6, 2008, s. 257 – 260

MICHÁLEK, K.: Využití fyzikálního a numerického modelování pro optimalizace

metalurgických procesů, Ostrava, VŠB TU Ostrava, 2001, ISBN 80-7078-861-5.

BURBELKO, A., KAPTURKIEWICZ, W.: Methods of Casting Solidification Modelling, XI

Miedzynarodowa konferencja odlewnikow Polskich, Czeskich i Slowackich, In Spolupráca,

Zakopane, 2005

Numerické metody

74

PASTIRCAK, R., SLADEK, A.: Zlievarenske procesy a pocitacova simulacia, Materialove

Inžinierstvo, č. 3, 2003, s. 119-123.

KOSOUR, V., HORÁČEK, M.: Simulation of foundry processes, In Proceedings of 10th

International Foundrymen Conference, Univerzity of Zagreb, Chorvatsko, 2010, s. 50-58,

ISBN 978-953-7082-11-6.

KOZUBKOVÁ, M.: Modelování proudění tekutin FLUENT, CFX, Ostrava, VŠB-TU

Ostrava, 2003, ISBN 978-80-248-1913-6.

DRÁBKOVÁ, S. a kol.: Mechanika tekutin, Ostrava, VŠB-TU Ostrava, 2007. 248 s. ISBN

978-80-248-1508-4.

FELCMAN, J.: Matematické metody v mechanice tekutin, Praha, KNM Press, 2006 95s.

FOŘT, J.: Numerická simulace proudění, Praha, ČVUT, 2005, ISBN 80-01-03162-4

CWUDZINSKI, A.: Numerical simulation of liquid steel flow and behaviour of non-metalic

inclusion in one-strand slab tundish with subflux turbulence controller and gas permeable

barrier, Ironmaking & Steelmaking, vol. 37, č.3, 2010, s. 169-180.

PLACHÝ, J., NĚMEC, M., BEDNÁŘ, B.: Teorie slévání, Praha, ČVUT, 2002, ISBN 80-01-

02471-7.

HAVLÍČEK, F.: Teorie Slévárenství, Ostrava, VŠB-TU, 1992, 130 s

RUSÍN, K.: Teorie Slévárenských procesů, Praha, SNTL, 1987, 224 s.

NOVÁ, I.: Teorie slévání Díl 1., Liberec, Technická univerzita, 2006, ISBN 80-7372-149-X.

BARKHUDAROV, M. R.: Advanced Simulation of the Flow and Heat Transfer Processes in

Simultaneous Engineering, Flow Science, Inc. technical note #42, FSI-95-TN42, 1995

MOLNAR, D., KAROLY, B., JENO, D., Investigation and simulation of residual stress at

cast iron castings, Sborník mezinárodní konference - Výzkum a vývoj ve slévárenství, Ostrava,

VŠB-TU Ostrava, 2005, ISBN 80-248-0899-4, s. 16-22

DITTEL, D., FOJTÍK, P., VELIČKA, M.: Numerické simulování tepelných procesů při plynulém

odlévání oceli, In sborník – XXIX. Setkání kateder mechaniky tekutin a termomechaniky, Ostrava,

VŠB-TU Ostrava, 2010, s. 33-36, ISBN 978-80-248-2244-0.

ŠPANIEL, M., HORÁK, Z.: Úvod do metody konečných prvků, Praha, ČVUT, 2011, ISBN 978-

80-01-04665-4.

Numerické simulování

75

5 Numerické simulování

5.1 Architektura simulačních programů

Čas ke studiu: 2 hodiny


definovat závislosti dynamiky procesu přenosu tepla

definovat jednotlivé kroky simulačního výpočtu

popsat architekturu simulačních programů...

Výklad

Numerická simulace slévárenských procesů si v posledních letech vybojovala pevné

místo mezi nástroji používanými pro optimalizaci navrhovaných technologií výroby odlitků.

Ačkoli vlastní zkušenosti technologa jsou stále nezastupitelné, simulační software může být v

jeho rukách mocným nástrojem, který mu umožní optimalizovat procesy, zvýšit využití kovu

či snížit procento neshodných výrobků a tím zefektivnit výrobu. Cílem matematického

modelování je doladění navrhované technologie ve fázi přípravy výroby tak, abychom se

vyhnuli nákladnému experimentálnímu zkoušení.

Všechny dostupné simulační programy se na první pohled liší grafickou úpravou

uživatelského prostředí, ale jejich architektura si je navzájem velmi podobná a nezáleží na

operačním systému, pod nímž pracují (Obr 32.)


76

Obr.32. Hlavní etapy simulačních výpočtů

Krystalizace odlitků ve formách je řízena způsobem přenosu tepla v systému odlitek –

forma – okolní prostředí. Z odlitého kovu je v průběhu tuhnutí nutno odvést teplo přehřátí

z tekutého kovu a krystalizační teplo, přičemž platí:

okolíformykovu QQQ

Dynamika procesu přenosu tepla je závislá na:

Geometrickém uspořádání a hmotnostech jednotlivých komponent mkovu; mforma

Způsob plnění formy tekutým kovem

Počátečních teplotách všech prvků systému a jejich prostorovém rozložení

Intervalu krystalizace TL a TS a krystalizačním teplu kovu Qkrystal.

Součiniteli vedení tepla kov;forma

Měrné tepelné kapacitě ckov;cforma

hustotách kov;forma

Podmínkách přenosu tepla z kovu do formy definovaných součinitelem přestupu tepla

k-f


77

Podmínkách ochlazování na vnějším povrchu formy většinou vyjádřené teplotou

okolního média a TOK a součinitelem přestupu tepla do f-ok

Z tohoto důvodu před samotnými operacemi simulačních výpočtů obvykle bývá

předřazena databáze kovových a formovacích materiálů. Základem správných a v praxi

použitelných výsledků simulací je znalost tepelně-fyzikálních vlastností konkrétních

materiálů formy a odlitku. Použití neodpovídajících hodnot potřebných veličin bývá nejčastěji

příčinou rozdílů mezi výsledky získaných simulací a experimentálním měřením při

srovnatelných podmínkách.

Pokud databáze neobsahuje skutečně používaný materiál pro konkrétní případ pak se

musí doplnit, např. experimentálně, a doladit na dané podmínky.

Základní tepelné vlastnosti α, c, λ, ρ aj. by měly být definovány v závislosti na teplotě.

Obr.33. Hlavní etapy simulačních výpočtů

5.1.1 Preprocessing

Tento krok představuje vytvoření geometrických dat odlitku. Geometrická data se

vnášejí do programu dvěma způsoby. Buď jsou data přenášena z externích CAD systémů

v různých exportních formátech (.stl, .ogs, .dxf, .iges, aj.), nebo je vytvoření kompletní

geometrie odlitku v rámci simulačního programu Geometrické funkce sí’tového generátoru,

který pomáhá CAD systému zpracovávat konstrukci pro prostorovou simulaci tuhnutí

příslušného odlitku.

V některých simulačních programech je nutné geometrii vytvořenou v CAD aplikaci

převést v generátoru FEM, a teprve poté tento formát načíst v simulačním software. Jedná se

hlavně o nadefinování ploch, kontrolu vygenerované sítě a její opravu. Někdy v tomto CAD

programu musíme dodefinovat tvar formy s její návazností na vygenerovanou síť odlitku


78

Obr.34. Model odlitku importovaný do simulačního programu Pam-QuikCAST

Dále se v tomto kroku přiřazují materiály jednotlivým položkám (kov, forma, jádro,

chladítka, obklady nálitků, filtry a další). Preprocesor také slouží k definování velikosti formy

a poloze odlitku v ní, k zadání materiálů odlévaného kovu včetně licí teploty z databáze,

materiálu formy případně jádra a jejich výchozí teploty apod. Zkoumaná oblast se rozdělí na

podoblasti, v kterých potom probíhá vlastní výpočet. S jemností dělení souvisí přesnost

výpočtu, ale taky doba výpočtu a nároky na hardware počítače (operační paměť) a stanoví se

po jakých krocích a jaká data se mají ukládat na disk.

Nadefinují se okrajové a počáteční podmínky (teploty, rychlosti, tlaky atd.) a probíhá

zde potřebné rozšiřování povrchu /objemu tělesa pro některou z metod diskretizace řešení

(FDM, FEM aj.).

Nastavení okrajových a počátečních podmínek je pro správnou simulaci to

nejdůležitější. Vždy vycházíme ze stanoveného technologického postupu a dodržíme zde

všechny parametry, které jsou v postupu vyjmenovány. Těmito parametry může být myšlena

licí teplota, teplota formy, licí výška, správné nadefinování podmínek přestupu a odvodu

tepla, nadefinování tloušťky formy, prodyšnost formy, drsnost povrchu (průměrná tloušťka

ostřiva) a další. Zde záleží na typu simulačního software.

Některý software má velice jednoduché zadání počátečních podmínek (toto může být

pouze nadefinování odvodu tepla pouze na vnější stěny formy) a jiný velice komplikované

(mohu si ve fázi přípravě geometrie nadefinovat x ploch a na každou plochu mohu zadat

několik počátečních a okrajových podmínek - někdy i časově proměnných). Následným

důležitým krokem je nastavení bodu, plochy, kde vstupuje kov do vtokové soustavy, a

přiřazení počátečních podmínek určitému objemu. Pro zjištění průběhu teplot v jednotlivých

částech odlitku a formy můžeme nadefinovat umístění „pomyslných“ termočlánků.

5.1.2 Mainprocessing

Tento krok představuje hlavní krok celého simulačního výpočtu. Jedná se o vlastní

výpočtový modul, který po zvolených krocích ukládá zvolená data numerického řešení

definovaného simulačního modelu na disk. Program vypočte změny teplot během

simulovaného slévárenského procesu, popřípadě se provede analýza napětí nebo

mikrostruktury.


79

5.1.3 Postprocessing

Slouží k vyvolání vypočtených datových souborů, k jejich prohlížení, vizualizaci a

studiu vypočtených a uložených datových souborů. Sledujeme a analyzujeme na nich

rychlostní, teplotní a tlaková pole během plnění dutiny formy, postup tuhnutí odlitku, tvorbu

staženin, lze zde získat dobu tuhnutí a u vyspělejších SW lze pozorovat vnitřní pnutí (tahová a

tlaková napětí), zbytkové deformace a predikovat strukturu a mikrostrukturu odlitku.


Architektura simulačního programu

Preprocessing

Mainprocessing

Postprocessing


ČECH, J., et.al.: Výroba odlitků s použitím počítačových simulaci a programů ve firmě

ŽĎAS a.s., Slévárenství, č. 10, 2004, s. 405-407.

KOVAŘÍK J., et.al.: Optimalizace technologie pomocí programu ProCast., Slévárenství, č.

10, 2004, s. 414-417.

HERMAN, A., et. al.: Počítačové simulace ve slévárenství, Vydavatelství ČVUT, Praha,

2000, ISBN 80-01-02220-X.

WARIJA, U., BROWNE M., BROWNE D., J.: As-cast grain size distribution prediction for

grain refined castings via simulating free equiaxed dendrite transport during solidification,

International Foundry Research, 63, 2011, č. 1, s. 28-32

ČECH, J., et. al.: Predikce pórovitosti a mikrostruktury u tlakově litého odlitku z Al slitiny

pomocí simulace a experimentu, Slévárenství, č. 3-4, 2010, s. 83 - 89.

KOTAS, P., TIEDJE, N., S.: Ověření přesnosti numerické simulace pro gravitační lití do

pískových forem, Slévárenství, č. 7-8, 2009, s. 259 - 262.

VLADÍK, R.: Simulace proudění kovu ve slévárenské formě z hlediska jeho reoxidace


Metody lití - gravitační lití

80

6 Využití simulačních programů pro různé metody lití

6.1 Gravitační lití



definovat základní princip metody gravitačního lití

definovat oblasti, které se při simulacích gravitačního lití převážně

sledují

Výklad

Technologie výroby odlitků metodou gravitačního lití patří mezi základní technologie

výroby odlitků. Forma je plněna vlivem vlastní tíhy roztaveného kovu. Gravitační způsob

odlévání lze rozdělit na dva způsoby.

Prvním způsobem je gravitační lití odlitků do pískových (netrvalých) forem, kdy lze

vyrobit jakýkoliv odlitek bez ohledu na složitost, tvar, rozměry, hmotnost i materiál. Nicméně

tento způsob je spojen s nižší rozměrovou přesností, nižším využitím kovu atd. Druhou

možností je potom gravitační lití do kokil.

Jedná se o poměrně jednoduchou technologii. Formy obvykle bývají zhotoveny

odléváním z litiny s kuličkovým grafitem. Dělící rovina, upínací výstupky a vyhazovací

otvory jsou obrobeny, funkční plocha dutiny formy zůstává často v litém stavu. Výhodou této

technologie je rychlejší tuhnutí odlitků než v pískových formách. Takto vyrobené odlitky mají

jemnozrnější strukturu, lepší povrchovou jakost atd. Na straně druhé, náklady na formy jsou

výrazně vyšší, tato technologie je určena jen pro určitý druh slitin.

Z hlediska využití simulačních programů, se v technologii gravitačního lití nejčastěji

řeší:

Charakter plnění dutiny formy s ohledem na druh slitiny, geometrie navržené vtokové

soustavy,

Způsob tuhnutí odlitků, umístění tepelných os a uzlů a tím spojených vad typu

staženiny a řediny,

Umístění a účinnost technologických přídavků (dimenzování a účinnost nálitků)


81

Výpočet tuhnutí, případně chladnutí odlitku, jaká zbytková pnutí mohou zůstat v

odlitku, jaká je náchylnost ke vzniku trhlin a prasklin a jak se odlitek bude deformovat

Obecně se plnění formy tekutým kovem řídí zákony hydromechaniky, řeší se rychlost

plnění dutiny formy, způsob proudění, zda je dutina formy plněna poklidně, tj. laminárně

nebo zda je rychlost plnění příliš vysoká a proud tekutého kovu má turbulentní charakter a

dochází k následné oxidaci kovu.

Obr.35. Vizualizace plnění formy tekutým kovem

Při návrhu nové technologie, se snažíme zabránit vzniku slévárenských vad typu

staženin a ředin, případně jejich minimalizace nebo přemístění tak, aby byly akceptovatelné.

Tento typ vad se vyskytuje u většiny technických slitin a jejich podstata je spojena s úbytkem

objemu tzv. stahováním, ke kterému dochází v průběhu ochlazování taveniny a tuhnutí.

Nemá-li v odlitku vzniknout staženina, je nutno tento objemový deficit doplnit z dostatečně

dimenzovaných nálitků, které lze na základě opakované simulace dále .

Na tyto otázky nám může pomoci odpovědět numerická simulace. První výpočet

tuhnutí samotného odlitku (bez nálitků, vtokové soustavy) napoví, jakým způsobem odlitek

tuhne, kde dochází ke vzniku tepelných uzlů a kde jsou poslední místa tuhnutí. Tato analýza

napomůže při návrhu rozmístění nálitků, případně dalších prvků ovlivňujících tepelné poměry

během tuhnutí a chladnutí (chladítka, izolace). Následuje opětovná fáze tzv. preprocesingu,

při které technolog připraví návrh velikosti a umístění jednotlivých nálitků, případně dalších

částí. Abychom obdrželi přesnější představu o tepelné bilanci řešené soustavy, je vhodné

modelovat plnění formy


82

Obr.36. Zobrazení tuhnutí odlitku

Na výsledky provedených analýz plnění navazuje výpočet tuhnutí, případně chladnutí

odlitku (napětí a deformace). Z charakteru teplotního pole během tuhnutí lze sledovat, zda

dochází k usměrněnému tuhnutí a zda nálitky jsou tepelně i objemově dostatečné. Z postupu

fronty tuhnutí s případným použitím speciálních kriteriálních funkcí lze určit dosazovací

vzdálenosti nálitků. Přímo tedy vidíme, zda nedochází k samostatnému tuhnutí některých

částí odlitku, které jsou odděleny od dosazování tekutého kovu z nálitků

Obr.37. Zobrazení tuhnutí a vzniku pórozity v odlitku: predikce vzniku staženin v odlitku

V případě, že zvolená technologie řeší uspokojivě problémy spojené s tuhnutím,

můžeme dále optimalizovat například velikost a typ použitých nálitků. V dnešní době je

běžnou praxí používání izolačních nebo exotermických obkladů. I tyto moderní technologické

pomůcky mohou být zahrnuty do výpočtu.

U složitých odlitků, které mají komplikované přechody stěn, nás často zajímá, jaká

zbytková pnutí mohou zůstat v odlitku, jaká je náchylnost ke vzniku trhlin a prasklin a jak se

odlitek bude deformovat. Materiálové modely zahrnují elastické, elasto-plastické nebo elasto-

viskózní vlastnosti odlitku nebo formy. Během výpočtu se uvažuje s odtržením ztuhlého

povrchu odlitku od formy a tedy s formováním vzduchových mezer. Koeficient přestupu tepla

je automaticky přepočítáván, což umožní přesné výpočty přenosu tepla během tuhnutí a

chladnutí. U nepoddajných forem můžeme sledovat vliv brzděného smrštění na vznik napětí v


83

odlitku, případně následné deformace po vyjmutí z formy. Tyto výpočty specifikují příčiny

vzniku nežádoucích jevů a podněcují úvahy o změně tepelné bilance procesu, případně jsou

argumentem k zásahu do geometrie součásti


Režim plnění dutiny formy

Tuhnutí odlitků

Staženiny a řediny

Porozita

.

Metody lití - lití do skořepinových forem

84

6.2 Lití do skořepinových forem



definovat základní princip metody lití do skořepinových forem

definovat oblasti, které se při simulacích přesného lití převážně sledují

definovat rozdílné podmínky a pochody při lití do skořepinových forem

od ostatních běžných metod lití odlitků

Výklad

Obecně lze říci, že, v průběhu tuhnutí je nezbytně nutné odvést teplo přehřátí

z tekutého kovu a krystalizační teplo z odlitého kovu.

V případě skořepinových forem je toto teplo částečně akumulováno ve skořepinové

formě a částečně odvedené do okolí. Tím se liší tepelné pochody při lití do skořepinových

forem od jiných slévárenských technologií. Na rozdíl od běžně používaných forem

z disperzních materiálů (pískových forem) se při lití do žíhaných relativně tenkostěnných

forem je rozhodující podíl tepla odvedeného do okolí.

Teplotní režim formy vzniká v několika po sobě jdoucích krocích:

žíhání skořepiny

transport z žíhací pece na licí pole

prodleva na licím poli až do počátku lití

odvod tepla z formy po odlití tekutého kovu

Počáteční teplotní profil vzniká v okamžiku vyjmutí formy z žíhací pece, kdy ve formě

existuje homogenní teplotní pole a dochází k ochlazování. Odvod tepla probíhá v této fázi

převážně radiací a konvekcí do okolního prostředí, což představuje relativně těžko

definovatelné podmínky, v nichž sehrává svou roli i nucené ochlazování v důsledku pohybu

formy a vzduchu. Při stání formy na licím poli do okamžiku lití probíhá odvod tepla

prouděním a sáláním do okolního prostředí.

Z tohoto důvodu je nezbytně nutné řešit průběh chladnutí a krystalizace kovu

komplexně ve všech výše uvedených etapách. Množství akumulovaného tepla závisí na

poměru hmotnosti kovu a formy a na počáteční teplotě formy. Při odlévání do forem s

vysokou počáteční teplotou (po žíhání) je význam akumulace tepla ještě snižuje. Tepelně


85

akumulační schopnost skořepinových forem je významná u tenkostěnných a tvarově

rozlehlých odlitků s krátkou dobou tuhnutí. U silnostěnných odlitků kompaktního tvaru je

významnější podíl tepla, odvedeného během tuhnutí z formy do okolí.

Celková intenzita tepelného toku z formy do okolí závisí na rozdílu teplot vnějšího

povrchu formy Tf a teploty okolí TOK, ochlazované ploše S a na celkovém efektivním

součiniteli tepla celk, který je tvořen složkou radiační a složkou konvektivní:

)( radkoncelk

okfcelkokf SdtTTdQ

Akumulace tepla z kovu ve skořepině je definována na základě přestupu tepla mezi

odlitkem a formou vedením na rozhraní obou prostředí. Tepelný tok v každém okamžiku je

úměrný součiniteli přestupu tepla mezi kovem a formou a rozdílu teplot Tk (kovu) a Tf

(formy). Část tohoto tepla je ve formě akumulováno v souladu se vztahem:

Tcmq ffakf

.

Kde T je změna teploty, mf je hmotnost elementu formy a cf představuje měrné teplo

formy.

Odvod tepla konvekcí, který představuješ nejjednodušší část výpočtu, se řídí

Newtonovým ochlazovacím zákonem definující závislost hustoty tepelného toku na

součiniteli přestupu tepla. Intenzitu přestupu tepla pak vyjadřuje koeficient přestupu tepla ,

jehož velikost závisí na vlastnostech média, rychlosti a charakteru proudění a geometrií

obtékaného povrchu. Hodnotu lze určit pomocí Nusseltova kritéria:

CLNu

kde LC - je charakteristický rozměr (definován geometrií obtékaného tělesa)

- součinitel tepelné vodivosti tekutiny

Intenzita tepelného vyzařování tělesa závisí na teplotě a „vyzařovací schopnosti“ jeho

povrchu. Reálná tělesa vyzařují podobně jako těleso šedé, což je těleso, u kterého

předpokládáme, že poměrná spektrální zářivost je v celém rozsahu vlnových délek

konstantní. Pokud nebude docházet k příliš velkým změnám jejich teplot, pak se reálná tělesa

chovají jako těleso šedé. Reálné hodnoty spektrální celkové emisivity závisí především na

materiálu a povaze (např. kvalitě opracování) povrchu. Emisivita keramických materiálů se

pohybuje mezi 0,4 a 0,8. Emisivitu lze experimentálně zjišťovat pomocí termokamery

snímající povrch skořepiny s termočlánkem, kterým se zaznamenává povrchová teplota,

potřebná pro výpočet emisivity.

Tuto tepelnou situaci lze řešit pro reálné konfigurace skořepin pouze numerickou

simulací. Pro výpočet je nutno s dostatečnou přesností analyzovat okrajové podmínky a vliv

geometrického uspořádání celé soustavy. Numerické řešení problému transportu tepla

z tekutého kovu a z formy do okolního prostředí vyžaduje zadání počátečních a okrajových

podmínek a tepelně - fyzikálních parametrů všech složek.


86

Obrázek 38 znázorňuje schéma žíhání skořepiny, odlévání a tuhnutí kovu. Toto

schéma zjednodušeně ukazuje materiálová tepelně-fyzikální data, počáteční a okrajové

podmínky, které jsou nutné pro výpočet přestupu tepel. Nicméně řada z těchto parametrů není

zavedena v databázích simulačních programů nebo nejsou dostatečně verifikována, a tak musí

být stanovena individuálně pro daný proces experimentem.

Obr.38. Schéma přestupu tepla při procesu přesného lití a termofyzikální data nutná pro

numerický výpočet


Skořepinová forma

Newtonův ochlazovací zákon

Nusseltovo kritérium

Metody lití - tlakové lití

87

6.3 Tlakové lití



definovat základy technologie lití odlitků pod tlakem

definovat oblasti, které se při simulacích tlakového lití převážně sledují

Výklad

Lití pod tlakem představuje jednu z nejrozšířenějších technologií pro výrobu odlitků

Tlakové lití je nejdůležitější technologií výroby hliníkových odlitků. Principem výroby je

vstřikování roztavené slitiny do dutiny kovové formy vysokou rychlostí 40-60m/s a tuhnutí

pod vysokým tlakem až 250 MPa. Za těchto podmínek je možné vyrábět tvarově velmi

komplikované odlitky s tloušťkou stěn od přibližně 1-2 mm, za určitých podmínek a u

některých slitin i méně, než 1 mm. Rozměry odlitků jsou velmi přesné – u menších rozměrů

lze dosáhnout přesnosti až 0,3-0,5 %.

Numerická simulace umožňuje sledovat tlakovém lití ve všech jeho fázích:

cyklování

pohyb pístu v komoře

plnění dutiny formy kovem

odvzdušnění

chladnutí odlitku

dotlak

Znalost rozložení teplotních polí v průběhu celého cyklu lití je velmi důležitá, nejen

z hlediska zatížení formy, ale stejně i pro navrhování účinného systému chladících nebo

temperačních kanálů. Dalším výstupem z cyklování je také stanovení přesné teploty formy na

počátku cyklu pro výpočet plnění formy.

Jakost odlitku během výrobního cyklu je výrazně ovlivněna první fází lisování. Pohyb

pístu a chování kovu v komoře může predikovat množství uzavřeného vzduchu v této fázi

procesu, což se může projevit množstvím a druhem vzniklých vad. Navíc simulace pohybu

pístu lze využít k určení rychlosti kovu v naříznutí, která patří mezi klíčové parametry


88

z pohledu finální jakosti odlitku Dále je možné velice snadno odhalit místa s turbulentním

plněním a zhodnotit správnost umístění přetoků

Změnou geometrických parametrů nebo procenta zaplnění komory je pak možné

eliminovat nepříznivé situace, které jsou příčinou vzniku různých vad (např. porezity).

Snížení porezity lze dosáhnout řízením parametrů procesu jako je rychlost plnění, intenzita

chlazení, množství a typ postřiku formy nebo odvzdušnění formy.

.

Obr.39. Průběh teplotního pole tlakově litého odlitku

Znalost pohybu kovu ve formě napomáhá k definici kritických míst konstrukce

odlitku, které se během reálných experimentů projeví jako vady odlitků. Pomocí simulace lze

definovat optimální polohu vtoku a přetoků, odvzdušnění i volbu optimální rychlosti plnění

dutiny formy a ověření licí teploty kovu.

Porezita, jak již bylo uvedeno, patří mezi nejrozšířenější vady odlitků vyráběných

vysokotlakým litím. Vznik porezity, ať už je vyvolána smršťováním vlivem nedostatečného

doplňování tekutého kovu mezi teplotami likvidu a solidu nebo zamícháním vzduchu do

rychle proudící taveniny při plnění formy, lze predikovat pomocí simulačních programů (Obr.

38) a následně upravit parametry, které vznik porezity významně ovlivňují.

Jedná se především o pracovní tlak, který je vyvozený pístem a doplňuje kov při

smrštění. Dále doba plnění a rychlost v zářezu. Nemalý vliv má i způsob a druh použitého

nástřiku na ochranu formy. Smrštění materiálu je ve všech místech stejné, ale porezita

vyvolána smrštěním se vyskytuje pouze u tlustých stěn odlitku, tj. v místech, která tuhnou

jako poslední. Tento efekt lze ovlivnit řízeným chlazením a kontrolou formy.


89

Obr.40. Rychlost plnění modelového odlitku

Obr.41. Hodnocení mikroporezity u HPDC technologie


90


Naříznutí

Cyklování

Staženina a porezita

Dotlak


MICHNA, Š., et. al.: Encyklopedie hliníku, ADIN, Prešov, 2005, s.700, ISBN 80-89041-88-4

LICHÝ, P., ELBEL, T.: Speciální metody výroby odlitků. Studijní opora VŠB-TU Ostrava,

2008

KRUTIŠ, V., KUZMA, Z. Numerická simulace ve slévárenské technologii. MM spektrum,

dostupné z <http://www.mmspektrum.com/clanek/numericka-simulace-ve-slevarenske-

technologii.html>

KOVÁČ, M.,et. al. Přenos tepla při odlévání do skořepinových forem. Sborník vědeckých

prací VŠB-TUO, řada hutnická, 50, 1, s. 143-150

ROUČKA, J. et.al. Teplotní procesy při odlévání do samonosných skořepinových forem a

jejich numerická simulace, In Proceeding Metal 2008, 13-15.5.2008, Hradec nad Moravicí

HERMAN, A.: Přesné lití na vytavitelný model. Studijní opora, ČVUT Praha

HERMAN, A., et. al. Počítačové simulace ve slévárenství, ČVUT, Praha, 2000

NOVÁ, I. Simulační výpočty tuhnutí a chladnutí odlitků jako účinný nástroj výroby

jakostních odlitků. Slévárenství, 50, 8-9, 2002, 322-325

KÁBOVÁ, H.: Počítačová simulace jako prostředek k urychlení předvýrobních etap.

Slévárenství, 50, 8-9, 2002, 328-331

KALPAKIAN, S., SCHMID, S.R. , Pearson Education, 2006

ANGLADA, E., et.al.: Adjustment of Numerical Simulation Model to the Investment Casting

Process. In. Proceedings of the 5th Manufacturing Engineering Society. International

Conference – Zaragoza, June 2013

http://www.mmspektrum.com/clanek/numericka-simulace-ve-slevarenske-technologii.html

http://www.mmspektrum.com/clanek/numericka-simulace-ve-slevarenske-technologii.html

Simulační programy ve slévárenství

91

7 Simulační programy ve slévárenství



definovat ......

popsat ...

vyřešit ....

Výklad

7.1 Historický vývoj

Obecně lze počítačovou simulaci označit jako vysoce účinný nástroj optimalizace

procesů a dějů s využitím vysoce výkonných počítačů. V 60. letech se při řešení některých

úloh nestacionárního sdílení tepla a hmoty začaly uplatňovat analogové počítače, kdy plnění

forem a tuhnutí se řešilo numerickou simulací na velkých počítačích, které tehdy vlastnily

velké podniky nebo výzkumné ústavy.

V 80. letech, kdy se podařilo zapojit do tohoto procesu významné evropské

vysokoškolské instituce specializované na slévárenství, se objevily první slévárenské

simulační softwary zaměřené na tuhnutí odlitků. V Japonsku byly známé pod označením

Ishikawajima Harima, Kawasaki Steel, Kawasaki Heavy Industry, Komatu Seisakusho, Kobe

Steel, Toyota; v USA se jednalo o Cast Anasys, Marc, Mitas II.

V Evropě vznikly první simulační programy na Slévárenském institutu RWTH Aachen

v Německu (software neměl označení) a v Anglii simulační program Duct. Před rokem 1990

některé programy některé programy zpracovávaly pouze přestup tepla, příkladem byl

SOLSTAR od Foseca. Ukázaly slévačům, že simulace není záležitostí vědců a že poskytují

cenné konkrétní výsledky v praxi

Od výstavy GIFA v roce 1989 se objevily na trhu první kompletní programy, které

řešily i otázky plnění forem. To byl příklad MAGMA-soft, ProCast, Flow3D a SIMULORu

Dnes nacházíme na evropském trhu celou řadu slévárenských komplexních

simulačních programů, které dávají uživateli možnosti řešení různých úloh, stále se inovují a

doplňují

.


92

7.2 Přehled simulačních programů

Modelování tuhnutí, kterým se ve většině případů při návrhu nebo úpravě technologie

zaobíráme, spočívá v řešení rovnice přestupu tepla entalpickou metodou spojenou s modely

adaptovanými na určité skupiny slitin. Pomocí termomechanických modelů se počítají

deformace odlitků. K tomu všemu přistupuje vizualizace izoterm , ztuhlých částí, vad typu

staženin a deformací vzniklých během tuhnutí a ochlazování odlitků. Přídavné moduly

předvídají mikrostrukturu LKG, jemnost zrna, výskyt bublin u slitin Al atd.

Pro tyto účely simulační programy obsahují matematické rozpracování nejrůznějších

rovnic a fyzikálních zákonů:

Navier – Stokesův zákon zachování hybnosti

Fourierovu diferenciální rovnici nestacionárního přestupu tepla

Zákony mechaniky tuhého tělesa při plastické a elastické deformaci

Rovnice pro stanovení napětí a deformace

Transformační a strukturní diagramy

Implementace simulačních programů do technologického postupu výroby odlitků

zobrazuje schéma na Obr.42.

Obr.42. Zapojení simulačních programů při tvorbě technologického postupu výroby


93

Přehled nejrozšířenějších simulačních programů využívaných pro simulaci

slévárenských programů zachycuje Obr..43. V simulačních programech slévárenských

procesů se nejčastěji vyskytují výpočtové moduly používající metodu konečných diferencí

(FDM) a metodu konečných prvků (FEM).

Simulační programy prodělávají neustálý vývoj, dochází k vývoji, upřesňování a

ladění různých modulů určených pro danou problematiku (predikce mikrostruktury apod.).

Výpočty se zkrátily z několika dnů na několik hodin. Tím se z numerické simulace stal

nástroj dialogu mezi účastníky vývoje odlitků a byl umožněn nástup simultánního inženýrství

a metod RAPID PROTOTYPING ve slévárenství. Zvýšila se tak schopnost konkurence

sléváren, které přestaly být obyčejným subdodavatelem polotovarů, ale staly se přímým

účastníkem tvorby výrobků.

Obr.43. Přehled nejběžnějších simulačních programů používaných ve slévárenství.


94

7.3 MAGMASOFT®

Software MAGMASOFT® představuje nejrozšířenější simulační systém - zhruba 750

instalací z toho 12 v ČR., jehož vývoj a distribuci zabezpečuje německá firma MAGM

GmbH.

Jedná se komplexní modulární simulační program, který byl vyvinut na Technické

univerzitě v Aachen ve spolupráci s firmou MAGMAsoft® GmbH Aachen a Technické

univerzitě v Kodani.

Skládá se z jednotlivých modulů, je to vysoce propracovaný program simulace 3D,

pomocí kterého lze zobrazit dynamiku tečení taveniny, tuhnutí a popřípadě chladnutí odlitků

ve slévárenské formě, proudění kapalin, přestupu tepla a zbytkových pnutí pro všechny hlavní

slévárenské procesy. Další možností programu je výpočet eroze formy, a to jak u pískových

forem, tak u kokil pro vysokotlaké lití. Při výpočtu se vychází z referenčních hodnot, po

jejichž překročení dochází k erozi. Velmi efektivní funkci je výpočet přetlaku vzduchu, který

vzniká při plnění dutiny formy. Přitékající tavenina stlačuje vzduch, který se nachází uvnitř, a

ten má možnost unikat pres samotnou formu nebo odvzdušňovací kanály. Tak se dostává

slévárenským technologům do rukou nástroj, který podstatně zjednodušuje návrh a následnou

optimalizaci vtokové a odvzdušňovací soustavy

.Má vlastní CAD interface pro tvorbu geometrie a přípravu výpočetní sítě. Simulační

program pracuje na základě metody konečných diferencí. Tento proces generování sítě je

prováděn plně automaticky a doba trvání síťování se pohybuje okolo 1 minuty.

Do tohoto automatického procesu muže uživatel vstoupit pro určení velikosti

jednotlivých elementu a jejich vzájemného poměru. Předností FDM metody je její rychlost,

automatizace a přesnost bez nutnosti podrobných znalostí o generování sítí.

Vygenerování sítě netvoří síť pouze pro odlitek, ale také pro vtokovou a nálitkovou

soustavu, formu, jádro a chladící kanály. Pomocí diferenční metody se úloha převede dle

diferenciálního operátora (nejčastěji pomocí Taylorova rozvoje) na diferenciální rovnice,

podle níž se různá tělesa mohou řešit za určitých omezení – okrajové podmínky pro řešení

diferenciálních rovnic.

V programu MAGMASOFT®-5 jsou všechny kroky procesu simulace prováděny

paralelně: je možné interaktivní zobrazení a definice procesu lití, manipulace s geometrií nebo

simultánní vyhodnocování výsledku.

Lze jej aplikovat u procesů :

ocel, litiny, slitiny Al a neželezných kovů,

pro lití do pískových a kovových forem,

při lití gravitačním , nízkotlakém a tlakovém,

přesné lití do skořepinových forem.


95

.

Obr.44. Popis základních modulů software MAGMASOFT®

V následujícím textu si rozebereme některé základní moduly simulačního programu

MAGMASOFT® a vysvětlíme si jejich funkci.

MAGMASOFTfill je modul, který simuluje vyplnování dutiny formy tekutým

kovem. Reší plnení vtokové soustavy, odhaduje možnost vzniku eroze formy, provádí

výpocet plnících casu a výpocet ruzných kritérií. Dále sleduje prubeh proudení a vznik

turbulentních oblastí, sleduje tlaky a teploty v tavenine, jakož i rychlosti proudení kovu v

jednotlivých cástech technologie. Na obrázku 42 je zobrazena ukázka simulace průběhu

plnění u vysokotlakého lití (úprava tvaru naříznutí). Vlevo je vidět špatné zaústění vtokové

soustavy. V důsledku přítomnosti vzduchu, který je z počátku uzavřen v této oblasti a

následně je vehnán do prostoru odlitku, lze předpokládat zvýšenou porezitu.

Stejnou situaci zobrazuje i obrázek napravo, nicméně je zobrazen pomocí tzv.

trasovacích částic, pomocí kterých lze rozpoznat turbulentní charakter plnění dutiny formy.


96

Obr.45. Průběh plnění u vysokotlakého lití.

MAGMASOFTbatch je urcen pro rešení problematiky odlévání v licích cyklech

dotrvalých forem (kokil). Tato cást reší rozložení teplotního pole a podmínky tecení, casy

cyklu za kriteriálních podmínek, teploty formy a odlitku v case otevrení a nazacátku nového

cyklu, optimální cas otevrení.

MAGMASOFThpdc se používá pri analýzách vysokotlakého lití. Pri tomto zpusobu

odlévání jsou zohledneny jednotlivé etapy výrobního procesu, jako plnení plnící komory,

pohyb pístu a samotné plnení odlitku. Modul nabízí možnost simulování libovolného poctu

cyklu, kontrolu chladících okruhu, použití postriku a náteru formy, jakož i pusobení dotlaku

pri tuhnutí (lokální squeeze casting).

MAGMASOFTsolid reší problémy teplotního toku ve forme pri uvažování teplotne

promenných vlastností taveniny a umožní získat informace o zaplnení a porezite ve forme.

Reší casy tuhnutí, teplotní gradienty a chladící pomery v každém bode, teplotní zatížení jader

a formy, chladící krivky, vhodnost umístení nálitku, jakož i možnost provádet jejich dolévání.

MAGMASOFTpost je urcen k analyzování výsledku simulace. Tyto výsledky

jsouprezentovány v trírozmerných barevných pohledech a popisují napríklad rychlost a cas

plnení dutiny formy, vektory smeru proudení kriteriální funkce pro staženiny, krivky

chladnutí a dosazovací schopnosti nálitku.

MAGMASOFTthixo je modul pro simulaci procesu thixotropního lití. Tento způsob

výroby odlitků se v současné době stává alternativou procesům odlevání a kování. Pro

simulaci tohoto způsobu výroby odlitků zejména z hliníkových a hořčíkových slitin, je pro

simulaci plnění použita speciální pohybová rovnice. Obr. 43 zobrazuje průběh plnění u

thixotropního lití.

Ve slévárenské výrobě se objevuje řada případů využití simulace napětí a deformace.

Jedná se především o změny tvaru, výskyt trhlin za tepla, vznik zbytkových pnutí, napětí

v kokile apod. Pomocí simulačního programu MAGMASOFT®, lze predikovat napětí a

deformaci odlitků.

Výpočet je založen na základě teplotního pole v odlitku v průběhu plnění a tuhnutí a

místního ochlazování na základě výsledků standardního programu MAGMASOFT®.

Výsledky moho být prezentovány jako normálové napětí v ose X, Y nebo Z, von Miessovo

napětí, zkroucení a posunutí v jednotlivých osách. Uživatl má rovněž k dispozici kritérium

pro popis výskytu trhlin a napěťových gradientů. Z rozložení zbytkových pnutí (Obr.44) lze

predikovat silně namáhaná místa a případně i na deformaci odlitku.


97

Obr.46. Průběh plnění u thixotropního lití

Obr.47. Rozložení zbytkových pnutí u odlitku


98

7.4 ProCast

Jedná se o profesionální slévárenský simulační program, který byl vyvinut americkou

firmou UES Software, Inc. Jedná se o systém, který slouží pro simulaci tepelných procesů

vedením, prouděním i sáláním. Umožňuje simulaci dynamiky tečení taveniny a tepelného

toku, optimalizaci vtokové soustavy, výpočet napětí a deformaci odlitku, stanovení predikce

změn struktury kovů a vad odlitků při plnění formy a jejich tuhnutí i určení parametrů

technologického procesu výroby. Je velmi kompatibilní i s experimentálně získánými

výsledky.

Tento program dále umožňuje definovat a stanovit technologické podmínky pro

výrobu odlitků gravitačním litím do pískových forem i kokil, nízkotlakým a vysokotlakým

litím do trvalých forem, umožňuje stanovit specifika lití do skořepinových forem a do forem

na vytavitelný a vypařitelný model. Navíc umožňuje simulovat lití ve vakuu, odstředivé a

sklopné lití, kontinuální lití, lití monokrystalické struktury a jiné specifické technologické

postupy.

Součástí programu je preprocesor Mesh-cast umožňující tvorbu geometrie a přípravu

výpočetní sítě. Geometrie z CAD systému se může přenášet ve formátech IGES, Step, STL

nebo PARASOLID. Výpočetní sítě lze přenášet z programu I-DEAS. Tento simulační

program pracuje na systému konečných prvků a umožňuje řešit:

vznik porézních oblastí, ředin a trhlin,

zavaleniny, nezaběhnutí taveniny,

napětí a deformace odlitků,

životnost formy a licích částí,

Je aplikován u procesů :

odlévání do pískových a kovových forem,

při použití gravitačního, nízkotlakého a vysokotlakého lití.

plynulé a odstředivé lití,

kompozity s kovovou matricí,

odlévání thixotropních a reologicky složitých materiálů,

squeeze casting,

pro slitiny Fe, Al, CO, Cu, Mg, Ni, Ti,, Zn

Firma má zastoupení v České republice u firmy MECAS Plzeň


99

7.5 PAM CAST / SIMULOR

Tento simulační program plně řeší Navier-Stokesovy rovnice turbulentního proudění

kovu současně s rovnicemi tepelné bilance. Síťování je vytvořeno metodou konečných

objemů (FDM).

Navíc umožňuje tvorbu formy, její plnění, tuhnutí, mikrostruktura a zbytková pnutí.

Při použití nadstavbových modulů lze zjišťovat tvrdost a deformace. Predikci vad lze

provádět podle více kritérií.

Obvykle bývá aplikován u procesů :

ocel, litiny a slitiny Al.

při lití do písku a do kovových forem,

a při přesném lití.

Firma má zastoupení v České republice u firmy MECAS Plzeň.

7.6 WINCast /SIMTEC

Jedná se o německý simulační program. Základem struktury simulačního programu

WinCast jsou moduly, které umožňují průběh potřebného simulačního výpočtu. Metoda

řešení, která je v tomto programu využívána, je metoda konečných prvků.

Software je schopen simulovat jednoduché plnění formy a tuhnutí k předvídání vad

spojených s prouděním. Provádí analýzu tuhnutí a může předvídat vady, včetně staženin,

trhlin, segregací a zbytkových pnutí. Rozložení teplot během tuhnutí, popř. chladnutí se počítá

nejen v bodech, ale i v celém objemu odlitku. Současně lze provést i rozložení teplot ve

slévárenské formě.

Aplikován u procesů :

odlévání do pískových a trvalých kovových forem,

přesné lití do skořepinových forem.

Tlakové lití (nízko i vysokotlaké)

lost foam,

lití poloztuhlých kovů,

kontinuální lití

odstředivé lití

squeeze casting.

7.7 Nova Flow & Solid

Jedná se o švédské simulační programy, které pracují na bázi metoda konečných

diferencí. Zahrnuje oddělený modul pro 3D modelování tvaru a tvorbu sítě a dále moduly pro

přestup tepla, proudění, tuhnutí a kalibraci. Geometrie modelu se provádí pomocí CAD

souborů ve formátu STL nebo DXF. Simulace mohou být sledovány teplotou, tekutou fází,

smršťování, určuje se doba tuhnutí, rychlost proudění a 2D nebo 3D řezy vizualizované za

rotace.


100

Do výpočtu lze zahrnout i případný nátěr a izolaci formy nebo rozložení filtrů apod.

Systém je založen na společném řešení rovnic proudění s uplatněním nestlačitelné tekutiny

v závislosti na Reynoldsově čísle, na výpočtu třecích ztrát a směru gravitace. Současně

využívá rovnici přenosu tepla. Program je proti výše uvedeným simulačním programům

jednodušší a má pouze informativní charakter predikce tuhnutí a chladnutí vyráběných

odlitků.

Lze jej aplikovat u procesů:

pískové formy s horizontální a vertikální dělící rovinou,

přesné lití do skořepinových forem,

trvalé formy,

odlévání oceli, litin, slitin Al a slitin Cu.


www.MAGMAsoft®soft.com

BARINOVÁ, D. Rozbor termofyzikálních parametru ovlivňujících experimentální merení a

simulaci u odlitku pro automobilový prumysl. Disertacní práce v oboru „Strojírenská

technologie“. Brno: VUT-FSI, Ústav strojírenské technologie. 2006. 185 s.

MICHNA, S., aj. Encyklopedie hliníku. 1. vyd. Decín: ALCAN, 2005. 699 s. ISBN 80-

89041-88-4.

AXIOM TECH [online]. 2011 [cit. 2011-05-31]. MAGMASOFT®-5 - rychlý, spolehlivý a

intuitivní nástroj pro optimalizaci slévárenské výroby. Dostupné z www:

<http://www.axiomtech.cz/article/68455.MAGMAsoft®-5-8211-rychlyspolehlivy- a-

intuitivni-nastroj-pro-optimalizaci-slevarenske-vyroby/>.

MAGMASOFT®soft, User‘s manual, Aachen, Nemecko, 1998.

VRÁBEL, P. Vývojové směry ve slévárenství. Slévárenství. 2004, LII, c.10, s. 411-413. ISSN

0037-6825.

www.esi-group.com

www.novacast.se

www.simtec-inc.com

http://www.magmasoft.com/

http://www.novacast.se/

http://www.simtec-inc.com/

Klíč k řešení

101

8 Klíč k řešení

Zde jsou uvedeny odpovědi na teoretické otázky z jednotlivých kapitol, které Vás

prověří, jak jste obsah kapitoly skutečně úplně zvládli.

O 1.1. Tuhnutí kovů a slitin má dvě stádia. Tuhnutí začíná nukleací krystalů, které

následuje samotný růst krystalů.

O 1.2. Mikrostruktura slitiny a tudíž její mechanické vlastnosti závisí na mechanismu

tuhnutí (krystalizace)

O 1.3. Čím lze ovlivnit charakter mikrostruktury lze ovlivnit zásahem do tuhnutí odlitků,

očkováním nebo rušenou krystalizací nebo působením vnějších sil (vibrace,

ultrazvuk atd.)

O 1.4. Změnou volné entalpie G

O 1.5. Příčinou krystalizace je snaha kovu nebo slitiny dosáhnout při ochlazení

stabilního stavu. Z hlediska termodynamických zákonitostí je stabilní stav

definován minimální volnou entalpií.

O 1.6. Při homogenní nukleaci vznikají zárodky nové fáze přímo z fáze původní. Jedná se

o „laboratorní“ případ, kdy je třeba velkého přechlazení. Zárodky vznikající

heterogenní nukleací vznikají v důsledku přítomnosti cizích vměstků, jedná se o

mechanismus vzniku zárodků v reálných kovech a slitinách.

O 1.7. Který způsob vzniku zárodků se uplatňuje v reálných podmínkách tuhnutí kovů a

slitin?

O 1.8. Musí dosáhnout kritické velikosti rkr.

O 1.9. Fyzikální podstata krystalizace z heterogenních zárodků spočívá ve snížení

mezifázového napětí v soustavě tavenina - cizí částice – vznikající zárodek a proto

je taky hodnota nutné energie pro vznik aktivního zárodku nižší

O 1.10. Segregací, tj. odmíšením, se rozumí rozdílné koncentrace přísadového prvku

v tuhé fázi v důsledku rychlého ochlazování odlitků v reálných podmínkách

krystalizace.

O 1.11. V reálných podmínkách obsahuje povrchová oblast odlitku nahodile orientované

krystaly (globulity). Na tuto licí strukturu navazuje oblast protáhlých

kolumnárních krystalů, jejichž hlavní osy jsou rovnoběžné se směrem

maximálního odvodu tepla z odlitku a mají typický dendritický charakter.Ve

středu odlitku se nachází oblast rovnoosých globulitických (polyedrických)

krystalů. U odlitků nemusíme vždy tyto typy struktury najít.

O 1.12 Vzhledem k postupu tuhnutí v objemu odlitku se rozlišují dvě morfologie tuhnut a

to a) Exogenní a b)Endogenní

O 1.13. Tepelnou osou pak rozumíme množinu bodů, kde se setkávají krystalizační plochy.

O 1.14. Šířku dvoufázového pásma ovlivňuje interval tuhnutí slitiny (to je definováno

chemickým složením slitiny) a rychlost ochlazování (tepelná akumulace formy bf)

Klíč k řešení

102

O 2.1. Moderní simulační programy zahrnují predikci taveniny během plnění formy,


mikrostruktury odlitku. Jednotlivé modely započítávají přestup tepla, rychlost a

způsob formy, proudění kovu ve formě, kinetiku tuhnutí, tvorbu struktur, modely

pórovitosti, odmíšení v intervalu tuhnutí a v neposlední řadě výpočet pnutí

O 2.2. Účelem modelování - simulace je dosažení předpovědi s co možná největší

přesnosti a tím ušetření času a finančních prostředků při řízení, ovládání, vývoji a

výrobě.

O 3.1. Systémem se pak rozumí soubor elementárních částí, prvků, které mají vzájemné

specifické vazby

O 3.2. Podstatou modelování je náhrada zkoumaného systému jeho modelem, jejímž

cílem je získat pomocí pokusů s modelem informaci o původním zkoumaném

systému

O 3.3. Simulace představuje výzkumnou techniku, jejíž podstatou je náhrada

zkoumaného dynamického systému jeho simulátorem s tím, že se simulátorem se

experimentuje s cílem získat informace o původním zkoumaném dynamickém

systému

O 3.4. Pojmem verifikace modelu se rozumí ověření správnosti modelu, tj. například

vyvrácení potencionálních chyb v příslušném programu, nebo zda v něm není

použita nevhodná numerická metoda

O 3.5. Validitou modelu se rozumí ověřování platnosti modelu na základě informací,

které o modelovaném systému máme a které simulací získáváme. Tímto krokem se

snažíme dokázat, že je skutečně pracováno s modelem adekvátním modelovanému

systému.

O 4.1. Pomocí modelování lze stanovit dynamické vlastnosti systému, stanovit vliv změn

okrajových podmínek provozování systému, optimalizovat metalurgické a jiné

systémy a stanovit podmínky jejich činnosti, doporučit optimalizaci rozměrů a

jiných technických parametrů zařízení

O 4.2. Modelování procesů dělíme na fyzikální a matematické modelování

O 4.3. Fyzikální modelování většinou řeší procesy probíhající na skutečném zařízení a

jeho zmenšených modelech skutečných zařízení a při normálních teplotách okolí.

Využívá se přitom teorie fyzikální podobnosti mezi dvěma systémy. Ve srovnání s

matematickými modely, fyzikální modely definují úplněji a spolehlivěji vlastnosti

modelovaného systému. Fyzikální modelování řeší úlohy v substanci, kdežto

matematické modelování analyzuje strukturu problému. Navíc při stavbě

fyzikálních modelů není nutné znát matematický popis zkoumaného procesu.

Matematické modelování, které zahrnuje experimentálně-statistické modely a

modely analytické. Matematické modelování je založeno na matematické analogii

(podobnosti) dvou rozdílných procesů. Jevy rozdílné fyzikální povahy jsou

matematicky podobné tehdy, jsou-li popsány formálně shodnými (izomorfními)

základními rovnicemi.

O 4.4. Systémy jsou si geometricky podobné, když poměr odpovídajících lineárních

systémů na modelu a díle je stejný, tento poměr je označován jako konstanta

Klíč k řešení

103

podobnosti

O 4.5. Vyjadřuje podobnost rychlostních polí a polí zrychlení. V podstatě se jedná o

rovnováhu pozorovanou mezi dvěma geometricky podobnými systémy, ve kterých

je poměr rychlosti stálý v navzájem si odpovídajících místech modelu a díla,

přičemž v obou systémech je totožný směr rychlosti nebo zrychlení.

O 4.6. Geometrická podobnost mezi modelem a modelovaným systémem.

O 4.7. Podobnost sil mezi dvěma geometricky podobnými systémy, ve kterých je poměr

sil navzájem odpovídajících místech, a časech stálý a směr jejich působení

totožný.

O 4.8. Geometrická a kinematická podobnost.

O 4.9. Proudění roztavených kovů až do nástupu tuhnutí se řídí základními principy

mechaniky tekutin, tudíž rovnicí kontinutity, Bernoulliho rovnicí, Eulerova

rovnice, Navier-Stokesova, z hlediska tuhnutí odlitků pak Fourierovu diferenciální

rovnici nestacionárního tepla

O 4.10. Vyjadřuje podobnost dvou systémů (model, modelovaný systém)

O 4.11. Bezrozměrový parametr má v homologických bodech podobných systémů stejnou

hodnotu, tzn., že se nemění, nicméně nemá ve všech bodech těchto systémů stálou

hodnotu

O 4.12 Základní rovnice popisuje fyzikální systém, vzniká sjednocením úplné fyzikální

rovnice, která bere v úvahu všechny relevantní veličiny systému, s podmínkami

jednoznačnosti

O 4.13. Definuje použití kriteriálních rovnic, kde relevantní veličiny jsou nahrazeny

kritérii podobnosti, které jsou z těchto relevantních veličin odvozeny.

O 4.14. Klíčový význam v modelu mají termo-fyzikální data

O 4.15. Analytické a numerické. Analytické (explicitní) řešení spočívá v nalezení přesného

řešení pomocí analytických matematických metod (řešení soustav rovnic, řešení

úlohy na vázaný extrém atd.), zatímco numerické (přibližné) řešení se používá pří

řešení modelů, u kterých nelze problém řešit analyticky nebo v případech, kdy je

analytické řešení obtížné a složité.

O 4.16. Podmínky jednoznačnosti jsou okrajové a počáteční podmínky charakterizující

daný systém. Platí pravidlo, že pro každou nezávisle proměnnou potřebujeme tolik

vzájemně nezávislých podmínek, jaký je nejvyšší v rovnicích se vyskytující řád

derivace podle této proměnné.

O 4.17. Tři - Dirichletova, Neumannova, Newtonova

O 4.18. Metoda konečných diferencí (metoda sítí) - FDM a metoda konečných prvků -

FEM.

O 4.19. Rozdělení analyzované oblasti na podoblasti

Date post:	13-Mar-2018
Category:	Documents
Upload:	vuongphuc
View:	216 times
Download:	1 times

POÍTAOVÁ PODPORA LITÍ A TUHNUTÍ ODLITKŮ - FMMI · PDF file2...

Documents