Obsah Obsah.......................................................................................................................................... 1 1. Význam pojmu STATISTIKA............................................................................................... 2 2. Kombinatorika........................................................................................................................ 4 3. Statistická jednotka, soubor, znak, data a ukazatele............................................................... 5 4. Úvod do pravděpodobnosti .................................................................................................... 7 5. Objektivní, subjektivní, podmíněná pravděpodobnost a nezávislé jevy ................................ 9 6. Úplná pravděpodobnost........................................................................................................ 11 7. Třídění číselných znaků ....................................................................................................... 13 8. Klasifikace charakteristik podle jejich významu, kontingenční tabulka.............................. 15 9. Náhodné veličiny.................................................................................................................. 17 10. Metody statistické indukce................................................................................................. 20 11. Statistické srovnávání ekonomických jevů ........................................................................ 22 12. Indexy................................................................................................................................. 26
Tyto podklady slouží pouze pro přípravu ke zkoušce z předmětu STATISTIKA. Kapitoly se shodují s jednotlivými okruhy otázek. Některé otázky chybějí nebo se s jinými překrývají. Veškerý zde uvedený text
je převzat z přednášek a cvičení a není určen pro komerční účely.
Význam pojmu statistika • praktická činnost - statistika administrativy
o statistika evidence (sběr údajů, evidence, sumarizace) o instituce, která tuto evidenci provádí (ČSÚ, ministerstva) o souhrn údajů o nějaké skutečnosti (statistika nezaměstnanosti aj.)
• vědní disciplína – teorie statistiky
- Popisná statistika - Matematická statistika (cílem je výsledky zobecnit, používá počtu pravděpodobností) - Teorie výběrových zjišťování - Aplikované vědy - Vědy se silným statistickým základem (sociologie, psychologie aj.).
Statistika
1. je nástrojem poznání. Informace, které poskytuje nám umožní vytvořit si obraz o skutečnosti. Poznání podněcuje poznání příčin, které vedou k určité úrovně sledovaného jevu.
2. je nástrojem rozhodování. Poznání je předpokladem k vytváření závěrů a přijímání rozhodnutí.
Statistika znamená
1. údaje, data 2. činnosti spočívající v získávání statistických dat 3. věda zkoumající statistické zákonitosti jevů
Název je odvozen z latinského STATUS = STÁT. Původně se označovala věda
zabývající se počtem obyvatel, kolik se prodalo => popis státu (hospodářství, politika a zeměpisný stav státu).
- Starověk: císař Augus, Vilém dobyvatel - Thomas Cromwel – zaznamenávání o narození a úmrtí v církevních matrikách - Sir William Petty – spojil hospodářské vědy a matematiku. Zakladatel vědecké
statistiky v 16. století. Matematici
Pascard, Laplas, Plason, Gaus (gausovy křivky), Adolf Phejackues Quetelet – belgičan, výzkumy na lidech, spojení statistických souhrnů, třídění, porovnávání o určitých hromadných jevech.
Co je typické pro statistiku - zkoumá hromadné jevy (jev, který se vyskytuje mnohokrát) - zabývá se proměnlivými (variabilními) vlastnostmi - pracuje s čísly a vyjadřuje se pomocí čísel (zajímá se o kvantitativní stránku reality) - používá výpočetní techniku k vytváření a správě databází k provádění hromadného
o Řeší různé úlohy různého stupně složitosti, počínaje zjišťováním (počet domácností v ČR) přes popis struktury (věk aj.), shrnování dílčích ukazatelů v čase a prostoru (výpočet průměrných ukazatelů cenové hladiny aj.) srovnávání takto agregovaných ukazatelů v čase a prostoru, předvídání dalšího vývoje, a měření závislosti.
• NEUMÍ o Selhává pokud nemá adekvátní číselné údaje. Chybí-li představa o velikosti
chyb měření a vlivu určitých doprovodných činitelů. Nemá-li k dispozici dostatečně veliký soubor příkladů a dostatečnou variabilitu.
Etapy statistické činnosti 1. Zjišťování – shromažďuje a zaznamenává a kontroluje údaje 2. Zpracování – uspořádání, shrnování, sumarizace a seskupení 3. Analýza – výpočet charakteristik (rozpětí), měření závislosti, srovnávání a měření
Rámcové informace o statistickém zjišťování Klasifikace:
1. podle zdroje a. primární (základní) b. sekundární (upravené)
2. podle reálnosti a. skutečné b. simulované
3. podle peridiocity zjišťování a. průběžné b. periodické c. jednorázové
4. podle časového hlediska a. okamžikové b. intervalové (větší rozsah)
Základy metody zjišťování 1) Podle úplnosti zjišťování dělíme na úplné a neúplné. Výběrové jsou
reprezentativní a ostatní jsou nereprezentativní. Spolehlivou metodou je pravděpodobnostní výběr (náhodný výběr).
2) Podle stupně kontroly podmínek při zjišťování dělíme na prosté pozorování a na řízený experiment. V oblasti sociálně ekonomických jevů je metoda pozorování prosté pozorování.
3. Statistická jednotka, soubor, znak, data a ukazatele Statistická jednotka
- nositel statistické informace, elementární prvek hromadného jevu - reálně existují objekty hmotné povahy:
o lidé, jako jedinci v různých rolích (zákazníci, voliči aj.) o organismy a jejich skupiny (zvířata, rostliny aj.) o neživé přírodní předměty o hmotné výsledky lidské činnosti
- právně, politicky či jinak smluvně vymezené části společenského prostoru (ekonomické subjekty, hospodářské odvětví, státy, kraje)
- nehmotné výsledky lidské činnosti (sportovní či umělecké výkony) - živelné a jiné události (požáry, narození, smrt, tornáda, úrazy apod.) - neopakovatelné vzorky ze spojitého prostředí (vzorky atmosféry, vody aj.)
Příbuzné jevy
• zpravodajské jednotky – statistické jednotky, které mají ze zákona zpravodajskou povinnost vůči orgánům státní statistické služby
• výběrové jednotky – při výběrovém způsobu zjišťování mohou být vybírány buď statistické jednotky nebo jejich přesně definované skupiny -> výběrové jednotky.
Statistický soubor - množina statistických jednotek, které společně tvoří určitý jev (domácnosti ČR, obce
jednoho kraje aj.) - dva atributy statistického souboru:
o kvalita: (obsah, identifikace, vymezení) -> CO? KDE? KDY?. Explicitní vymezení (seznam jednotek) a implicitní vymezení (vlastnosti jednotek).
o kvantita: (počet, množství, rozsah) -> KOLIK? Rozsah statistického souboru - v popisné statistice značíme „n“ bez další specifikace - v induktivní statistice rozdělujeme základní („N“) a výběrový („n“) soubor
Statistický znak Znaky = zkoumané vlastnosti statistických jednotek Klasifikace statistického znaku (základní klasifikace):
• znaky identifikační o z věcného, časového a prostorového hlediska. Identifikují statistickou
jednotku, rozhodují o zařazení či nezařazení do souboru. Nejsou předmětem analýzy (jednotky se v nich shodují).
• znaky variabilní o rozhodují o způsobu a výsledku zpracování a analýzy. Klasifikace variabilních
znaky číselné: • znaky měřitelné (kardinální) – hmotnost, počet obyvatel;
intervalové, poměrové • znaky pořadové (ordinální) – školská klasifikace, datum
znaky slovní (nominální – kvalitativní) • znaky alternativní (dvojné, binární, dichotomické – např. kuřák,
nekuřák, slovní rozhodnutí) • znaky možné (více kategoriální např. rodinný stav)
Měřitelné znaky dále klasifikujeme na:
• spojité (reálná čísla) např. časové údaje, rozměry, příjmy, výdaje aj. • diskrétní (nespojité, izolované hodnoty) často celočíselné, nezáporné (počet dětí,
pracovníků ve firmě apod.) Symbolika a terminologie
• číselný znak – velká písmena z konce abecedy (X, Y, Z) hodnoty znaku písmena malá (x, y. z).
• slovní znak – velká písmena ze začátku abecedy (A, B, C) obměny znaku písmena malá (a, b, c)
Statistické údaje – data - hodnoty číselného znaku X, které tvoří statistický soubor o rozsahu „n“ označíme jako
x1, x2 … xi … xn. Stručně x,i = 1,2 … n. - obměny slovního znaku A, které tvoří statistický soubor o rozsahu „n“ označíme jako
a1, a2…ai….an, stručně a,i = 1,2 … n.
Statistické ukazatele - charakteristiky - statistický údaj charakterizuje každou statistickou jednotku zvlášť - statistická charakteristika charakterizuje určitou vlastnost statistického souboru jako
celku - např. tyto údaje 3,7,7,7,10,11,14,20,20
o číslo 10 je v tomto souboru uprostřed -> MEDIÁN o číslo 7 je nejčastěji opakující se hodnota -> MODÁLNÍ o číslo 11 je aritmetickým průměrem
- a všechny tyto charakteristiky, každá svým způsobem vypovídají o úrovni statistického souboru
- pro stejné údaje platí: o číslo 17 je rozpětím hodnot znaku o číslo 31,56 je rozptylem o číslo 5,62 je směrodatnou odchylkou o číslo 51,1 % je variačním koeficientem o a všechny tyto charakteristiky (každá svým způsobem) vypovídají o proměnné
Nechť je definován komplex podmínek, za kterých je sledovaná možnost nastoupení nějakého jevu (přeměna vody v páru při dané teplotě a tlaku).
a) jev, který za těchto podmínek nemůže nikdy nastat nazveme jevem NEMOŽNÝM (značíme jej „/“)
b) jev, který za těchto podmínek nutně musí nastat se nazývá jev JISTÝ (značíme „V“)
c) jev, který i při striktním dodržení podmínek může, ale nemusí nastat případně nastává s růstnou intenzitou, nazveme jako jev NÁHODNÝ (označujeme velkými písmeny abecedy – A, B, C)
- Náhodný jev nemusí být určen komplexem podmínek, ale o tom jestli jev nastane
nebo ne, rozhoduje náhoda. Každý takový děj nazýváme náhodný experiment (např. házení kostkou).
- Skončí-li náhodný experiment nastoupením nějakého náhodného jevu A, říkáme, že nastal příznivý případ pro jev A. V opačném případě nastal nepříznivý případ pro jev A.
- Můžeme mít jev: o ELEMENTÁRNÍ o SLOŽENÝ
- Jev A budeme nazývat elementárním, jestliže pro něj neexistují jevy B, C různé od A, takové, že A = B U C (B sjednocení C)
- Elementární jev je nejjednodušší výsledek náhodného pokusu, který nelze rozložit. Elementárním jevem při házením kostkou je jev padne-li číslo 3.
- Složený jev může být, pokud padne sudé číslo při hodu kostkou. Složený jev je množina všech elementárních jevů, které mohou nastat jako výsledek daného náhodného pokusu. Libovolný náhodný jev je potom podmnožinou prostoru libovolných elementárních jevů a značíme ho „U“.
Vztahy mezi jevy PRŮNIK JEVŮ A,B:
- dva jevy A, B se částečně překrývají - např. A: 2,3,4 B: padne sudé číslo => A∩B = 2,4
SJEDNOCENÍ JEVŮ A,B:
- jestliže nastane jev A neb jev B - např. A: 2,3,4 B: sudé číslo => AUB = 2,3,4,6 - disjunktní jevy jsou takové, které nemají spolu žádný společný výsledek …. A∩B = Ø
ROVNOST JEVŮ A,B: PODMNOŽINA:
- jeden jev je obsažen v jevu druhém. Jev A je podjevem jevu B - značíme: A ⊂ B - např. A: 2 B: sudá čísla => A ⊂ B = 2
OPAČNÝ JEV - je tzv. doplňkovým jevem a je to jev, který nastane, když nenastane jev A - značíme A
ROZDÍL JEVŮ
- rozdílem jevů A a B je jev, který nastane právě tehdy, nastane-li jev A a nenastane jev B
- značíme A – B
Pravděpodobnosti Jestliže je pokus opakovatelný neomezeně mnohokrát, hovoříme o Objektivní
pravděpodobnosti, pokud se podmínky mnění při každém pokusu, hovoříme o subjektivní pravděpodobnosti. Objektivní pravděpodobnost je založena na četnosti výskytu sledovaného jevu. Zdá se rozumné považovat toto číslo za objektivní míru opakování a nazvat jej pravděpodobností. Pravděpodobnost jevu A je číslo P(A) přiřazené jevu A, které má tu vlastnost, že relativní četnost jevu A se s rostoucím počtem realizací pokusů blíží k číslu P(A). Hodnota pravděpodobnosti je v intervalu <0;1>.
nAn
nmAP )()( ==
m…počet pokusů příznivých pro jev A n…počet všech možností, které se mohou vyskytnout
)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪ )(...)()()...( 2121 nn APAPAPAAAP •••=∩∩ ………. předpokládáme že jevy jsou nezávislé
5. Objektivní, subjektivní, podmíněná pravděpodobnost a nezávislé jevy
Objektivní pravděpodobnost Je založena na četnosti výskytu sledovaného jevu. Pravděpodobnost jevu A je tedy
v tomto případě P(A) přiřazené jevu A, která má tu vlastnost, že relativní četnost jevu A se s rostoucím počtem realizací pokusí blíží číslu P(A).
Subjektivní pravděpodobnost Je pravděpodobnost, kterou přiřazujeme výsledku pokusu, jež není za stejných
podmínek opakovatelný (HDP v ČR v letošním roce je pokus sledovatelný jen jednou)
Pro oba typy pravděpodobností platí stejné zákona a pravidla jimiž se nyní budeme zabývat. Platí 3 axiomy: AXIOM 1.:
- Pravděpodobnost náhodného jevu je nezáporné číslo nejvýše rovné jedné. - 0 ≤ P(A) ≤ 1
AXIOM 2.:
- je-li A1, A2, A3 … konečný nebo spočetný disjunktní systém náhodných jevů, pak pravděpodobnost je sjednocení An. A je rovna součtu pravděpodobností.
- A1 ∩ A2 = Ø pro všechna i ≠ j => P(Ui Ai) = ∑i
iAP )(
AXIOM 3.:
- pravděpodobnost jevu jistého S je rovná jedné - P(S) = 1
Bezprostředně z těchto tří axiomů vyplývají další VLASTNOSTI pravděpodobnosti:
• z axiomu 3 dostáváme pro jev A a jeho doplněk 1)()()()( ==+=∪ SPAPAPAAP
Podmíněná pravděpodobnost Často se setkáme s podmínkou pravděpodobností => jedná se o pravděpodobnost jevu,
že nastal určitý jev jiný (n-krát realizujeme nějaký náhodný pokus a uvažujeme dvě množiny A a B v příslušném prostoru elementárních jevů, tj. dva jevy souvisejí s tímto pokusem. Vybereme z posloupností realizací pokusy jen ty realizace, při kterých nastal jev B. pak nás zajímá kolikrát za takové podmínky nastal i jev A.). Vztahy pro výpočet podmíněné pravděpodobnosti
Bernuliho vzorec Uvažujeme pokus, jehož výsledkem může být jev A s pravděpodobností B a
opakujeme-li tento pokus n-krát, přičemž výsledky jsou na sobě nezávislé a jev A nastal k-krát, pak pravděpodobnost vypočítáme pomocí bernuliho vzorce.
knk ppkn
AP −−••⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= )1()(
p … pravděpodobnost, že nastane jev A pk … pravděpodobnost, že jev A nastal k-krát
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛kn
… vyčísluje všechny možnosti jak se v n pokusech může jev A objěvit právě k-krát
6. Úplná pravděpodobnost Úplná pravděpodobnost jevu A. Pravděpodobnost jevu A bez ohledu na jev B, tj.
výsledek jevu B neznáme nebo neuvažujeme jej. )()/()()/()( BPBAPBPBAPAP •+•=
)( BAP ∩ )( BAP ∩
Příklad: U konkursu na místo obchodního zástupce firmy má vysokoškolák 60% šanci na
přijetí, středoškolák 20%. Mezi zájemci o místo je 40 % vysokoškoláků a 60 % středoškoláků. Jakou šanci má náhodně vybraný zájemce, pokud neznáme jeho vzdělání? Jev B … vysokoškolák (VŠ) … 0,4 Jev A … byl přijat Jev B … středoškolák (SŠ) … 0,2 P(A) = P(A/VŠ) * P(VŠ) + P(A/SŠ) * P(SŠ) P(A) = 0,6 * 0,4 + 0,2 * 0,6 = 0,36 Náhodně vybraný zájemce má 36% šanci na přijetí. Pokračování: Uchazeč byl přijat. S jakou pravděpodobností měl vysokoškolské vzdělání?
66,036,0
4,06,0)(
)()/()(
)()/( =•
=•
=∩
=AP
VŠPVŠAPAP
AVŠPAVŠP
Uchazeč o místo byl odmítnut. S jakou pravděpodobností to byl středoškolák?
Nechť posloupnost nastoupení jevu A v jediném pokuse je rovna P(A) = p a sledujeme pravděpodobnost jeho nastoupení postupně ve dvou, třech atd. nezávislých opakovaných pokusech.
Jsou-li výskyty jevu A skutečně nezávislé,můžeme např. pro dva pokusy, které mohou
končit možnými čtyřmi výsledky AA , AA , AA , AA , určit pravděpodobnosti jednotlivých výsledků jako p2, p(1-p), (1-p)*p, (1-p)2. Nebudeme-li rozlišovat pořadí, v jakém jevy nastaly, můžeme místo prostředních dvou výrazů napsat 2p(1-p). Podobně pro tři a více pokusů.
Uskutečníme-li n pokusů a ptáme se jaká je pravděpodobnost, že jev A nastal právě
x-krát bez ohledu na pořadí, můžeme tuto pravděpodobnost vyjádřit jako: Bernoulliův binomický vzorec
7. Třídění číselných znaků Číselný znak obecně vykazuje několik málo (obecně k) hodnot. Třídíme podle každé
hodnoty znaku. Hodnoty znaku v tabulce uvedeme ve vzestupném pořadí. Ke každé hodnotě určíme počet výskytů v souboru => četnost. Příklad:
P.č. xi ni 1 1 4 2 2 3 3 3 5
Součet x 12
Třídění číselných znaků – Skupinové třídění Spojitý číselný znak vykazuje velké množství vzájemně od sebe různých hodnot. Třídíme v rámci uměle vytvořených skupin (tříd, intervalů). Zásady:
- třídy s konstantní šířkou - počet tříd koresponduje s rozsahem souboru a je v rozsahu rozmezí od 6 do 15 - šířku, hranice a středy tříd volíme s ohledem na maximální přehlednost - nesporné vymezení hranic tříd - první a poslední třída mohou být otevřené, jejich šířka se považuje za h.
Co se rozumí pod pojmem „nesporné vymezení“ - celočíselný znak
do 99 do 100 do 100 100 - 199 101 - 200 100 - 200 200 - … 201 - … 200 - …
nevhodné h = 101 nelze jednoznačně určit střed intervalu
Druhy četnosti
• absolutní četnost – počet hodnot ve třídě – ni platí: ∑=
=k
ii nn
1
• relativní četnost – podíl hodnot ve třídě na rozsahu souboru npp i
i = . Platí ∑=
=k
iip
1
1
• součtová četnost - ∑=
=i
jini nk
1; ∑
=
=i
jipi pk
1. Alternativně opět v % (absolutní nebo
relativní). Počet / podíl hodnot od počátku po danou třídu včetně. Příklad:
Součtová Pořadové číslo
Vymezení intervalu
Střed tříd xi
Absolutní četnost ni
Relativní četnost pi absolutní kni relativní 100kni
1 do 20) 17,5 12 0,15 12 15,0 2 <20 až 25) 22,5 32 0,40 44 55,0 3 <25 až 30) 27,5 20 0,25 64 80,0 4 <30 až 35) 32,5 8 0,10 72 90,0 5 <35 až 40) 37,5 6 0,08 78 98,0 6 <40 a více 42,5 2 0,02 80 100,0
Kvantily Kvantil xp (= p – procentní kvantil) je taková hodnota znaku, pro kterou platí, že nejméně p-procent prvků má hodnotu menší nebo rovnou xp a 100-p prvků je větších nebo rovno xp.
k = (počet pozorování ~ n) * (úroveň kvantilu ~ p) / 100 Kvartily jsou p-kvantily pro p = 25, 50, 75 (x25, x50, x75). Dolní kvartil = x25 Medián = x50 označujeme Při lichém rozsahu souboru je medián jednoduše vždy hodnota konkrétní prostřední číslo statistické jednotky souboru (musí to být uspořádaný soubor podle velikosti). Při sudém rozsahu souboru však medián leží mezi dvěma prostředními statistickými jednotkami, proto z těchto dvou jednotek stanovíme průměr a ten označíme jako medián.
Výpočet kvantilů z hodnot neuspořádaných do tabulky rozdělení četností je velmi jednoduchý. Poněkud složitější je pouze výpočet kvantilů z intervalového rozdělení, kde k odhadu použijeme následující vzorec.
ppp
p ahn
nzx +•
−=
2
1 , kde 5,0100
+•=p
nzp
zp … pořadové číslo jednotky, jejíž hodnota je hledaný kvantil n … počet pozorování (součet všech hodnot) p … relativní četnost nižších hodnot n1 … kumulativní četnost prvků ležících před kvantilovým intervalem n2 … četnost intervalu, v němž leží hledaný kvantil hp … délka kvantilového intervalu ap … hodnota, která tvoří dolní hranice kvantilového intervalu
Modus Modus znaku x značíme x se stříškou. Je to hodnota znaku x s největší absolutní
četností. Jsou-li takové hodnoty se stejnou největší četností dvě (tři,…) hovoříme o rozložení dat na bi- (tri-,…) modálním.
8. Klasifikace charakteristik podle jejich významu, kontingenční tabulka Charakteristika:
- polohy - variability - šikmosti - špičatosti
Míra úrovně (polohy) - Patří se průměry (aritmetický, geometrický, harmonický atd.)
- Aritmetický průměr: n
x
nxxxx
n
in∑==
+++= 1
121 ...
- Jsou-li zjištěné hodnoty uspořádané do tabulky rozdělení četnosti, používáme pro výpočet vážený aritmetický průměr.
- Vážený aritmetický průměr: ∑
∑
=
==++++++
= k
ii
k
iii
k
kk
n
nx
nnnnxnxnxx
1
1
21
2211
......
- Do míry polohy patří také kvantily a modus.
Míra variability - míru absolutní variability (proměnlivosti) počítáme zde variační rozpětí
R = Xmax - Xmin
- míra relativní variability (proměnlivosti): počítáme variační koeficient x
Vxσ
= (sigma
=> směrodatná odchylka)
- rozptyl: n
xxn
ii∑
=
−= 1
2
2)(
σ nebo také 222 xx −=σ
- směrodatná odchylka: 2σσ =
Směrodatná odchylka - je druhou odmocninou rozptylu a vychází z původních měrných jednotkách znaků - 2σσ = - velikost je ovlivněna nejen variabilitou, kterou měří, ale i úrovní zkoumaného
kvantitativního znaku - je absolutní mírou variace
Variační koeficient - je relativní mírou variace - počítá se jako podíl směrodatné odchylky a průměru. Tím se získá bezrozměrné číslo.
Pro praktické účely se počítá 100 násobek tohoto čísla a výsledek je udáván v procentech
- 100•=x
Vxσ
- variačním koeficientem lze porovnávat nejen variabilitu stejných znaků se stejnými měrnými jednotkami různých souborů lišících se svou absolutní úrovní, ale i různých znaků s odlišnými měrnými jednotkami.
Šikmost
- charakteristika šikmosti je definována jako 31
31 )(
σα
•
−=∑=
n
xxn
i
- z kladné (záporné) nodnoty těchto měr se pak usuzuje většinou na kladně (záporně) zešikmené rozdělení a zároveň na větší koncentraci malých (velkých) hodnot ve srovnání s koncentrací velkých (malých) hodnot.
Špičatost
- charakteristika špičatosti je definována jako 3)(
41
41
−•
−=∑=
σβ
n
xxn
i
Dvoustupňové třídění - zkoumáme výskyt a hodnost dvou statistických znaků pocházejících ze stejného
základního X souboru (výška – váha, cena – prodané množství aj.) - pro dvoustupňové třídění se zavádí kontingenční tabulka znaků x a y.
Kontingenční tabulka pro x a y
x y y1 y2 … Celkem x1 n11 n12 … n10 x2 n21 n22 … n20 … … … … … Celkem n01 n02 … n
n12 počet prvků s vlastnostmi x1 a y2 n20 počet prvků s vlastnostmi x2 n počet prvků v souboru n02 počet prvků s vlastnostmi y2 n01; n02; n03 marginální četnosti rozdělení znaku y
Náhodná proměnná je zobrazení, které každému elementárnímu jevu ze základního prostoru elementárních jevů přiřadí číslo reálné. Obor hodnot náhodné proměnné je množina všech R čísel, kterých může náhodná proměnná nabývat. Příklad:
Náhodná proměnná X bude počet teček na horní straně hrací kostky. Obor hodnot je D = (1,2,3,4,5,6). Podle oboru hodnot rozlišujeme dva typy náhodných proměnných:
1) diskrétní náhodné proměnné – definiční obor je spočetná množina (konečná nebo nekonečná posloupnost, nebo množina izolovaných bodů) značíme ji DNP
2) spojitá náhodná proměnná – značíme SNP, definiční obor je nespočetná množina (ohraničený nebo neohraničený interval)
Příklad: a) počet automobilů vyrobených za jednu pracovní směnu => DNP b) životnost PC v konkrétní učebně => SNP
Zákon rozdělení (rozložení) pravděpodobnosti náhodné veličiny Je to pravidlo, které každé číselné hodnotě DNP nebo každému intervalu hodnot SNP
přiřazuje pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude této hodnoty nebo hodnoty z tohoto intervalu.
K popisu rozložení se používá distribuční a frekvenční funkce. Distribuční funkce F(x)
náhodné veličiny X je reálná funkce, která každému reálnému číslu X od );( ∞−∞ přiřazuje pravděpodobnost toho, že náhodná proměnná X nabývá hodnot menších než x (malé x; hodnota) F(x) = P(X < x); Rx∈ .
Vlastnosti distribuční funkce (platí pro všechny distribuční funkce)
1) Funkce je neklesající na množině R 2) F(x) je zleva spojitá v každém bodě 3) Limita 0lim )( =
−∞→ xxf
&
4) Limita 1lim )( =+∞→ xx
f&
5) )(0 xf≤ 6) )()()( bxaPaFbF <≤=−
Frekvenční funkce Definuje se různě pro různé typy proměnné. Pravděpodobnostní funkce p(x). U spojité
ji označujeme funkce hustoty a značíme f(x). Pravděpodobnostní funkce p(x) je reálná funkce, která každému reálnému číslu X určí
pravděpodobnost toho, že DNP X nabývá této hodnoty. Zapisujeme ji p(x) = P(X=x).
n – počet pokusů; p – je pravděpodobnost sledovaného jevu „a“ v jednom pokusu. Značíme Bi (n;p). Pravděpodobnostní funkce f
Poissonovo rozložení Toto rozložení má DNP x, která vyjadřuje počet výskytů sledovaných jevů v určitém
časovém intervalu nebo určité oblasti (příklad: počet zákazníků za den, počet chyb v jednom daňovém přiznání). Závisí na jednom parametru λ (lambda) (průměrný počet výskytů sledovaného jevu v daném intervalu).
Značíme: Po(λ ) λλλ ;!
)(i
xi
xexip •= − >0; xi = 0,1,…, n
Nechť v Bernouliho posloupnosti kde +∞→n a pravděpodobnost výskytu v jednom pokusu se blíží nule, pak binomické rozložení lze aproximovat (přiblížit) poisonově rozdělení:
)Po(~);( λpnBi kde np •=λ
Typy rozložení pravděpodobností SNP 1) Rovnoměrné rozložení: toto rozložení má SNP x jejíž realizace vyplňují interval
konečné délky a mají stejnou možnost výskytu (doba čekání na uskutečnění opakujícího se jevu v časových intervalech). Závisí na dvou parametrech „a“ (dolní mez intervalu možných hodnot) a „b“ (horní mez intervalu možných hodnot). Značíme ji: R(a;b). Funkce hustoty potom následovně:
2) Normované normální rozdělení: toto rozložení je speciálním příkladem obecného normálního rozložení, pro 0=µ a 12 =δ . Označujeme Z. funkce hustoty značíme ϕ a distribuční funkci značíme Φ . Značíme N(0;1). Funkce hustoty
- Umožňuje vyslovovat závěry o rozložení a vlastnostech souborů o němž nemáme úplnou informaci. Místo toho, abychom pracovali s celým souborem, vybereme z něj poměrně malou část (výběr).
- Základní soubor označujeme ZS a je to soubor, o němž nemáme úplnou informaci, protože je:
o Neukončený (soubor nekonečné řady pokusů) o Konečný, ale velkého rozsahu o Konečný, ale je nemožné nebo nesmyslné jej celý prozkoumat (zjišťování
kvality skladovaných konzerv) - Sledujeme rozsah a značíme ho N. Základní soubor považujeme za popsaný, známe-li
jeho frekvenční funkci náhodné proměnné X. Máme-li X, která má normální rozložení, považujeme ZS za normálně rozložený.
- Charakteristiky se nazývají parametry ZS a jsou to konstanty a označujeme je konkrétně jako 2,δµ atd.
- Náhodný výběr je podmnožinou ZS a rozsah výběru značíme „n“. - Můžeme rozlišovat:
o Výběr s vracením – prvek se může opakovat o Výběr bez vracení – prvek maximálně jednou
- Náhodný výběr rozsahu n je takový výběr, který poskytuje každému prvku ZS stejnou a nezávislou šanci být vybrán. Konkrétní výběr se provádí:
o Losováním o Použitím generátoru náhodných čísel o Systematickým výběrem (u setřízeného ZS se vybere prvek „k“) o Stratifikovaným výběrem, který se používá tam, kde je základní soubor vnitřně
rozdělen do skupin v nichž je rozptyl sledovaného znaku menší než v celém ZS (předvolební průzkum)
Výběrová statistika - Protože ze ZS můžeme provést více výběrů, tak pro každý výběr můžeme vypočítat
základní charakteristiky (střední hodnota, rozptyl). - Pro různé konkrétní výběry můžeme dostat odlišné výsledky. Obecně lze říct, že
charakteristiky náhodného výběru jsou náhodnou proměnnou, které nabývají svých hodnot v závislosti na konkrétním náhodném výběru ze ZS. Hodnoty značíme x1….xn ze ZS. Náhodné proměnné X1….Xn.
- Protože je výběrová statistika náhodnou proměnnou, musí mít své rozložení pravděpodobností (výběrové rozložení)
Věty o náhodných výběrech a statistikách 1) Centrální limitní věta: Jsou-li n členné náhodné výběry X1….Xn vybrány z velkého
nebo nekonečného ZS s rozložením jehož střední hodnota je µ a konečný rozptyl je 2δ pak výběrové rozložení výběrové střední hodnoty X konverguje k normálnímu
rozložení se střední hodnotou µ a směrodatnou odchylkou nδ .
2) Věta o jednom výběru: jsou-li X1….Xn , které tvoří n členný náhodný výběr ze
základního souboru se normální rozložením N( ); 2δµ a je-li ∑=
=n
xiX
nX
1
1 a
∑=
−=n
xi XX
nS
1
22 )(1 pak náhodná proměnná může být:
I. 1−•−
= nS
XT µ má Studentovo rozložení T s (n-1) stupni volnosti.
II. nXU •−
=δµ má základní rozložení N(0,1)
III. µ
χ2
2 Sn •= má Pearsonovo rozložení )1(2 −nsχ stupeň volnosti
Nechť X1 až Xn jsou nezávislé náhodné proměnné z nich každá se řídí rozložením
N(0;1), potom náhodná proměnná ∑=
=++=n
iin XXX
1
2221
2 ...χ má Pearsonovo rozložení s µ
stupni volnosti. Značíme ho )(2 nχ a čteme „chý kvadrát volnosti“. Funkce hustoty: Studentovo rozložení se vztahuje na 2 proměnné. Nechť X1 a X2 jsou nezávislé proměnné a nechť X1 se řídí rozložením N(0,1) a X2 rozložení )(2 nχ potom náhodná proměnná
nXXT •=
2
1 má studentovo rozložení s n stupni volnosti. Značíme t(n) a funkce hustoty je
Ukazatel je specifickou statistickou veličinou popisující určitou ekonomickou skutečnost. Každý ukazatel má tedy svůj věcný obsah a zároveň svoji formálně logickou konstrukci, která ho řadí mezi statistické veličiny.
Statistický ukazatel je statistickou veličinou a předpokládá se, že daný statistický
soubor je obecně, prostorově a časově vymezen (např. ukazatel odpracovaná doba -> tento ukazatel je vymezen jako úhrn doby odpracované pracovníky podniku v měsíci). Jestliže přesně definujeme prostor a čas (březen 2004 podnik A) dostaneme konkrétní hodnotu ukazatele -> údaj. Ukazatel je tedy proměnná veličina a hodnota ukazatele je hodnotou této proměnné veličiny, která vzniká konkrétním vymezením v čase a prostoru.
Dělení ukazatele: 1) Primární a sekundární (druhotné): Primární ukazatelé jsou přímo zjišťované –
neodvozené. Např. odpracovaná doba, počet pracovníků k určitému datu atd. Jedná se o ukazatele, kde lze přímo určit typ charakteristiky statistické jednotky i statistického znaku. Sekundární ukazatelé mohou vznikat třemi způsoby:
a. Jako funkce (rozdíl nebo podíl) různých primárních ukazatelů (např. zisk, doba obratu zásob)
b. Jako funkce různých hodnot téhož primárního ukazatele (časový průměr, ukazatel struktury, hrubý obrat)
c. Jako funkce dvou primárních ukazatelů, kde aspoň u jednoho pracujeme s více hodnotami (spojení předcházejících dvou kroků) (produktivita práce na pracovníka, ziskovost produkce)
• Indexy, absolutní rozdíly a další míry rozdílnosti jsou nástroji srovnávání a nástroji
analýzy výsledků srovnání. • Ukazatelé samy o sobě vypovídají o nějaké skutečnosti, ale nehodnotí ji, zatímco
indexy a absolutní přírůstky měří rozdílnost dvou hodnot téhož ukazatele. • Další členění je na absolutní a relativní.
o Absolutní ukazatelé vyjadřují velikost absolutního jevu bez vztahu k dalšímu jevu. Patří sem všechny primární ukazatelé – vznikající úhrnem, ale i některé ukazatele sekundární (časové průměry a rozdílové ukazatelé – např. zisk).
o Relativní ukazatelé vyjadřují velikost jednoho jevu vzhledem k jinému jevu. Relativní ukazatelé jsou vždy sekundární, neboť vznikají jako podíl absolutních (primárních i sekundárních) ukazatelů. Toto členění je vyčerpávající.
• Další dvojce dělení je na Extenzivní a Intenzitní ukazatele. Nejsou už vyčerpávající. o Extenzivní ukazatelé jsou ukazatelé množství a patří do skupiny absolutních
ukazatelů. o Intenzitní ukazatelé jsou ukazatelé úrovně, nepokrývají však celou skupinu
relativních ukazatelů, ale pouze jen ty, které vyjadřují intenzitu určitého jevu. Toto členění je důležité především při práci s indexy.
• Okamžikové a intervalové ukazatele. Toto členění definuje vlastnost ukazatele a předurčuje způsob jeho shrnování v čase. Jedná se pouze u absolutních ukazatelů.
Typické vlastnosti ukazatelů Patří sem stejnorodost, porovnatelnost a shrnovatelnost.
• Stejnorodost statistických ukazatelů je dána povahou statistických jednotek. Kritérium je pak statistický znak, který na daných jednotkách sledujeme. Stejnorodost statistických ukazatelů je relativní. Absolutní ukazatel je stejnorodý tehdy, jestliže má věcný smysl shrnovat jeho dílčí hodnoty součtem. Relativní je stejnorodý jen tehdy, když jsou stejnorodé oba absolutní ukazatelé z nichž se skládá. Pokud toto neplatí je ukazatel nestejnorodý.
• Srovnatelnost statistických ukazatelů je vlastnost, která má vazbu na tvorbu relativních ukazatelů. Za srovnatelné považujeme takové ukazatele, jejíchž srovnáním respektive srovnáním hodnot, získáme smysluplnou veličinu (produktivita práce). Za nesrovnatelné považujeme takové, jejichž srovnání nemá smysl z hlediska srovnání rozdílného druhového, časového nebo prostorového rozdělení.
• Shrnovatelnost vyjadřuje schopnost ukazatele určit jeho celkovou hodnotu na základě jeho dílčích hodnot. Z tohoto hlediska je dělíme na přímo shrnovatelné, nepřímo shrnovatelné a neshrnovatelné ukazatele. Přímo shrnovatelné jsou takové, které můžeme dílčí hodnoty přímo shrnout. Nepřímo shrnovatelné jsou takové, u kterých musíme znát dílčí hodnoty tohoto ukazatele, ale i dílčí hodnoty jiného ukazatele (typické pro všechny relativní ukazatele). Neshrnovatelné nelze určit ani při dílčích znalostech jiných ukazatelů.
Indexy a absolutní rozdíly V praxi nepracujeme s určitými izolovanými hodnotami ukazatele, ale snažíme se
zajistit určitou změnu oproti téže skutečnosti v minulém období či v jiném územní či organizační jednotce. Zajímá nás o kolik je hodnota daného ukazatele v dané situaci vyšší nebo nižší než hodnota ukazatele v jiné situaci.
Chceme-li vědět kolikrát nebo o kolik % je jedna hodnota vyšší nebo nižší než
hodnota jiná, budeme obě hodnoty srovnávat podílem. Pokud o kolik jednotek je jedna vyšší nebo nižší než druhá, srovnáváme rozdílem. Podílem dvou hodnot téhož ukazatele získáme INDEX, obě tyto míry rozdílnosti jsou rovnocenné a vzájemně se doplňují.
Index: je bezrozmezné číslo (podíl dvou hodnot) udávající kolikrát je hodnota čitatele vyšší nebo nižší než jmenovatel.
Absolutní přírůstek udává o kolik měrných jednotek je hodnota menšence vyšší nebo nižší než hodnota menšitele. Časový index je, budeme-li srovnávat zisk podniku ve dvou letech.
Budeme-li srovnávat zisk podniku α se ziskem podniku β v určitém roce, sestrojíme prostorový index.
Budeme-li porovnávat zisk při výrobě výrobku x a y v podniku α v roce 2002, získáme
První členění na indexy množství a úrovně je členěním na indexy extenzivních a
intenzitních ukazatelů a vychází z typu ukazatele. Ve druhém stupni dělíme indexy na individuální a souhrnné. Kritériem je stejnorodost či nestejnorodost ukazatele. Individuální indexy jsou indexy stejnorodých (extenzivních i intenzitních). Indexy stejnorodých ukazatelů dále členíme na jednoduché a složené indexy. Jednoduché indexy jsou takové, ve kterých neprovádíme shrnování. Složené indexy jsou indexy stejnorodého intenzitního nebo extenzivního ukazatele, kde shrnujeme dílčí hodnoty sledovaného ukazatele.
Obecně jsou definovány tři ukazatelé. Dva extenzivní označeny q a Q a jeden
intenzitní označený p, pro který platí qQp = . Toto označení vychází ze vztahu mezi cenou,
hodnotou a množstvím.
Jednoduché individuální indexy Jednoduché indexy jsou veličinami, které srovnávají dvě hodnoty téhož ukazatele. Budeme-li srovnávat hodnotu intenzitního ukazatele p v situaci 1 (v časovém období -> i) a
v situaci 0 (v časovém nazývání jako základní období) dostaneme 0
1
ppI p = . Analogicky
potom 0
1
QQIQ = a
0
1
qqIq = . Z těchto vztahů vyplývá pqQ III •= . Odpovídající přírůstky
∆p = p1 – p0; ∆Q = Q1 – Q0 a ∆q = q1 – q0. Individuální jednoduché indexy se často vyskytují sdružené do delších časových řad (období 5 až 10 let). V takovém případě mohou být indexy počítány ke stejnému indexu (nejstarší hodnota) nebo k proměnlivému základu a to tak bezprostředně předcházejícímu časovému údaji. Pokud budeme srovnávat ke stejnému základu => bazické indexy, pokud srovnáváme za sebou jdoucí hodnoty => řetězové indexy.
Gausovo rozložení Toto rozložení je nejdůležitějším rozložením SNP. Řídí jím náhodná proměnná, která
je výsledkem působení mnoha vzájemně nezávislých jevů. Používá se k aproximaci jiných, často složitějších náhodných proměnných a má ¨klíčovou roli při aplikaci mnoha statistických metod.
