Teorie firmy II Teorie firmy II
- Optimum výrobce- Optimum výrobce- Mezní produkt, zákon klesajícího - Mezní produkt, zákon klesajícího mezního produktu mezního produktu - Izokvanty produkční funkce- Izokvanty produkční funkce- Další modely výrobce- Další modely výrobce
12.11.2009 1
Produkční funkce: technologická Produkční funkce: technologická změnazměna
f1 f2 : navýšení výrobní kapacity (budov, strojů ..) spojené s navýšením fixních nákladů
12.11.2009 2
f1(x)
x
yf2(x)
Produkční funkce: dlouhodobá Produkční funkce: dlouhodobá produkční funkce Lf(x)produkční funkce Lf(x)
Lf (x): horní obalová křivka možných produkčních funkcí
12.11.2009 3
f1(x)
x
y f2(x)f3(x)
Lf(x)
Optimum výrobce maximalizujícího Optimum výrobce maximalizujícího ziskzisk1. pro technologii umožňující tvorbu zisku (při
daných cenách)
V optimu : směrnice w/p izokvanty zisku = směrnice tečny k produkční funkci
12.11.2009 4
y
Ox
izokvanty ziskup.y - w.x = konst.
y = f(x)E
xE
yE
Y
Optimum výrobce maximalizujícího Optimum výrobce maximalizujícího ziskzisk2. pro technologii neumožňující tvorbu zisku (při
daných cenách)
Optimální je v tomto případě nevyrábět (výrobní situace OY)
12.11.2009 5
y
O E x
izokvanty ziskup.y - w.x = konst.
y = f(x)
Y
Optimum výrobce maximalizujícího Optimum výrobce maximalizujícího ziskzisk
3. případ lineární technologie y =min (a.x, b)
Je-li w/p >a,je optimální bod E1.
Je-li w/p < a, je optimem bod E2.
Je-li w/p = a, jsou výrobní situace na úsečce E1, E2
indiferentní a optimální12.11.2009 6
y
O E1 x
Y
E2b
y = a.x
y = f(x)
Optimum výrobce maximalizujícího Optimum výrobce maximalizujícího ziskzisk
4. Dlouhodobá produkční funkce Lf(x) :
a)optimální je technologie f1 (žádná změna)
12.11.2009 7
f1(x)
x
y
f2(x)f3(x)Lf(x)
p1.y-w.x=1
f3(x)
1/p1
E
O
Optimum výrobce maximalizujícího Optimum výrobce maximalizujícího ziskzisk
4. Dlouhodobá produkční funkce Lf(x) :
b)optimální je inovovaná technologie f3
12.11.2009 8
f1(x)
x
y
f2(x)f3(x)
p2.y-w.x=2
f3(x)
2/p2
E
O
p2>p1
Mezní produkt (MP) Mezní produkt (MP)
ekonomicky: nárůst produkceschopnosti odpovídající zvýšení vstupu o (malou) jednotku
algebraicky: pro malé přesněji: (derivace f(x))Geometricky: směrnice tečny
k produkční funkci, tj. tg ()
12.11.2009 9
f(x)
x
y
Y
xfxf
dx
xdf
Zákon klesajícího mezního Zákon klesajícího mezního produktuproduktu
vstup x 0 1 2 3 4 5 6
výstup f(x) 0 0 6 14 20 23 24
MP 0 6 8 6 3 1
12.11.2009 10
Zákon klesajícího mezního produktu: dodatečný produkt z dodatečné jednotky (každého) zdroje při růstu jeho objemu klesá.Zákon klesajících mezních výnosů z rozsahu: dodatečné výnosy vyvolané proporcionálním růstem všech vstupů o 1% s rostoucím rozsahem výroby klesají.
U mnoha technologií platí při nízkém rozsahu výroby opačné zákony (rostoucí výnosy). Ale: vždy od nějakého rozsahu výroby výše mezní produkt a mezní výnosy z rozsahu klesají.
CelkovýCelkový, , mezní mezní a pra průměrný ůměrný produktprodukt
12.11.2009 11
Základní vlastnost optimální Základní vlastnost optimální výrobní situace výrobce výrobní situace výrobce maximalizujícího ziskmaximalizujícího zisk
Je-li xE > 0, platí v optimu: w/p = MP p . MP = w
12.11.2009 12
y
Ox
p.y - w.x = max
y = f(x)E
xE
yE
Y
Produkční funkceProdukční funkce: y = f(x: y = f(x11, , xx22))
y - objem výstupu x1, x2 - objemy vstupůp - cena výstupuw1, w2 - ceny vstupů
Zisk = p.y - w1.x1 - w2.x2
Výnosy (příjem): R = p.yNáklady : C = w1.x1 + w2.x2
Izokvanta produkční fce f(x1, x2) = konst.: množina kombinací vstupů se shodnou produkceschopností
Izokosta: w1.x1 + w2.x2 = konst.: množina stejně nákladných kombinací vstupů
12.11.2009 13
Izokvanty nákladů (izokosty)Izokvanty nákladů (izokosty)
12.11.2009 14
x2
O x1
směr poklesu nákladů(nárůstu užitku výrobce )
w1.x1+w2.x2=C2>C1
w1.x1+w2.x2=C3>C2
w1.x1+w2.x2=C1
Křivky stejného produktu Křivky stejného produktu (izokvanty) produkční funkce (izokvanty) produkční funkce (případ dvou vstupů)(případ dvou vstupů)xj - objem j-tého vstupu
y(j) – objem výstupu pro j – tou izokvantuy(3)
> y(2) > y(1)
12.11.2009 15
x2
O x1
směr nárůstuobjemu výroby
f(x1,x2) = y(3)
f(x1,x2) = y(2)
f(x1,x2) = y(1)
Optimum (Optimum (případ dvou vstupů)případ dvou vstupů)
V optimu : směrnice izokosty = směrnice tečny k izokvantě produkční funkce:
w1/ MP1= w2 /MP2 = p v optimu: p . MPj = wj pro každé j.
12.11.2009 16
x2
O x1
f(x1, x2) = y*
izokostyw1.x1+w2.x2=konst.
E
izokvanta produkční funkce
Optimum (Optimum (případ dvou vstupů)případ dvou vstupů)
Pozn.: Podle věty o derivaci implicitně zadané funkce y=f(x1,x2) je její sklon dán podílem parciálních derivací
Ekonomicky:Peněžní hodnota výnosu z mezního produktu
každého zdroje je rovna jeho ceně (není-li, je výhodné zdroj nakupovat více resp. méně)
mezní produkt / peněžní jednotky vydané na j-tý zdroj je pro všechna j shodný (není-li, je výhodné nakupovat více alespoň jeden zdroj na úkor jiného zdroje)
12.11.2009 17
2
1
2
21
1
21
,
,
MP
MP
xxxf
xxxf
Izokvanty leontjefské produkční Izokvanty leontjefské produkční funkcefunkce(případ dvou vstupů)(případ dvou vstupů)- vstupy je nutné zvyšovat proporcionálně f(x1,x2) = min (a.x1, b.x2)
xj - objem j-tého vstupu
a/b - pevně daný poměr vstupůy(k) - objem výstupu pro j-tou izokvantu, y(3)
> y(2) >
y(1)
12.11.2009 18
x2
O x1
f(x1,x2) = y(3)
f(x1,x2) = y(2)
f(x1,x2) = y(1)
x2 = (b/a).x1
Optimum výrobce s leontjefskou Optimum výrobce s leontjefskou produkční funkcí (produkční funkcí (případ dvou vstupů)případ dvou vstupů)V optimu: vždy splněn „předepsaný“ poměr
vstupů x2 : x1 = b : a
12.11.2009 19
x2
O x1
x2=(b/a).x1
izokosty
E
izokvanta produkční funkce
Izokvanty Izokvanty lineárnílineární produkční funkce : produkční funkce : dokonalá dokonalá substituovatelnost vstupů substituovatelnost vstupů (případ dvou (případ dvou vstupů)vstupů) f(x1,x2) = a.x1 + b.x2
xj - objem j-tého vstupu
y(k) - objem výstupu pro k-tou izokvantu, y(3)>
y(2)>y(1)
12.11.2009 20
x2
O x1
f(x1,x2) = y(1)
f(x1,x2) = y(2)
f(x1,x2) = y(3)
Optimum výrobce s lineární produkční Optimum výrobce s lineární produkční funkce :funkce :
V optimu (není-li náhodou sklon izokvanty produkční funkce shodný se sklonem izokost)
je využíván výhradně efektivnější vstup12.11.2009 21
x2
O x1
izokosty
E
izokvantaprodukční funkce
Izokvanty Izokvanty Cobbovy-DouglasovyCobbovy-Douglasovy produkční produkční funkce funkce (případ dvou vstupů)(případ dvou vstupů)
xj - objem j-tého vstupu
y(k) - objem výstupu pro k-tou izokvantu, y(3) > y(2)
> y(1)
12.11.2009 22
ba xxAxxf 2121 .),(
x2
O x1
f(x1,x2) = y(1)
f(x1,x2) = y(2)
f(x1,x2) = y(3)
y(3) > y
(2) > y(1)
Izokvanty produkční funkce pro:Izokvanty produkční funkce pro:
12.11.2009 23
x2
O x1
nulovou substituovatelnost
dokonalou substituovatelnost
nízkou substituovatelnost
vysokou substituovatelnost
PoznámkyPoznámkyRozlišovat následující dvě bodové vlastnosti
produkční funkce:a) Mezní míra (technologické) substituce:
sklon tečny k izokvantě = - MP1 / MP2
b) Elasticita (technologické) substituce:
CES funkce : třída funkcí s konstantní elasticitou substituce ve všech bodech
12.11.2009 24
2
1
2
1
2
2
1
1
x
xMP
MP
x
MPx
MP
E
OtázkaOtázka
je subjekt maximalizující zisk totožný se subjektem minimalizujícím náklady?
Maximalizace zisku a minimalizace nákladů není totéž !!
Platí tzv. reciprokost minimalizace nákladů a maximalizace zisku (nejde o dualitu!!).
Když předepíšeme výrobci, který minimalizuje náklady, aby vyráběl objem výstupu odpovídající optimu výrobce maximalizujícho zisk, protom jsou obě řešení stejná.
12.11.2009 25
Reciproké úlohy optima pro případ s Reciproké úlohy optima pro případ s jedním výstupem a n vstupyjedním výstupem a n vstupy
Maximalizace zisku :
optimální řešení : výrobní situace Minimalizace nákladů :
optimální řešení :výrobní situace Věta o reciprocitě : je -li y**
= y*, jsou optimální řešení obou úloh stejná
:
12.11.2009 26
nnyy
xwxw .....min 11*
nnxxfy
xwxwypn
......max 11),...( 1
)x,y **
)x,y ****
********* x,y)x,yyy
