PRUŽNOST A PEVNOST II PŘEDNÁŠKYpruznost.unas.cz/PP_II_19_20.pdf · Většinu kapitol se...

PRUŽNOST A PEVNOST II

PŘEDNÁŠKYJan Řezníček

Praha 2019

Motto: Já se chodím na přednášky bavit a byl bych moc rád, kdybyste se vy bavili spolu se mnou a s pány Hookem, Newtonem, Eulerem a dalšími.

Text neprošel jazykovou ani redakční úpravou

© Jan Řezníček, Fakulta strojní ČVUT v Praze 2009 2019

ÚSTAV MECHANIKY, BIOMECHANIKY A MECHATRONIKY – ODBOR PRUŽNOSTI A PEVNOSTI

PRUŽNOST A PEVNOST II PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKY

V BAKALÁŘSKÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH

STROJÍRENSTVÍ A

TEORETICKÝ ZÁKLAD STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ

V ZIMNÍM SEMESTRU AKADEMICKÉHO ROKU 2019/2020

přednáší

Jan Řezníček

Praha 16. září 2019

PRUŽNOST A PEVNOST 2 2

Přednášky z PP IIA (211 A152) Jan Řezníček – odbor pružnosti a pevnosti

ZS akademického roku 2019/2020 Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky

Vážené kolegyně a vážení kolegové,

dostalo se mi té cti, že mohu vést na Fakultě strojní Českého vysokého učení technického v Praze přednášky z předmětu Pružnost a pevnost IIA pro studentky a studenty bakalářských studijních programů „Teoretický základ strojního inženýrství“ a „Strojírenství“. Při přípravě podkladů pro tento předmět jsem vycházel ze zkušeností, které mám od akademického roku 2007/08 s novou formou výuky předmětu Pružnost a pevnost I ve druhém ročníku bakalářských studijních programů na FS ČVUT v Praze. Tento text má Vám studentkám a studentům usnadnit práci při přednáškách a hlavně ušetřit čas, který mnohdy trávíte zbytečným překreslováním někdy jednodu-chých, ale někdy i velmi složitých obrázků z tabule. Já sice předem vím přesně, co chci nakreslit, ale ne vždy se mi to povede ideálně. Na druhé straně Vy často ani dopředu netušíte, co má z obrázku vzniknout, a tak si mé „mininepřesnosti“ překreslíte s dalšími chybami a vzniknou „maxinepřesnosti“, které Vám při učení spíše uškodí, než by Vám pomohly a učení zjednodušily. Potřebné vstupní informace z předmětu Pružnost a pevnost I, které byste měli znát z dob Vašeho předchozího bakalářského studia, jsou v tomto textu pro jistotu také uvedeny ve zjednodušené, komprimované podobě, protože čas činí v paměti všech z nás nenapravitelné škody a ty nejjednodušší věci se nejrychleji zapomínají. Pokud to probíraná problematika dovolí, je součástí tohoto textu také shrnutí hlavních závěrů včetně naznačení souvislostí mezi jednotlivými problémy, které by mohly usnadnit jejich pochopení. Přednášky obsahují pro objasnění problematiky i několik vzorových příkladů, které budeme kompletně celé na přednáškách řešit.

V textu budou používány pro zvýraznění jednotlivých částí tyto symboly:

Intermezzo Zásadní odvození Vzorový příklad Shrnutí probraného z Matematiky I-III z Pružnosti I je vhodné ho umět je dobré ho chápat souvislosti látky nebo z Fyziky I a II co vypadlo z hlavy! a hlavně pochopit! nebo se hned zeptat! usnadní pochopení!

O čem to bude? Většinu kapitol se pokusím uvést jednoduchými příklady z technické praxe, abych osvětlil jednak praktickou aplikaci probírané problematiky a jednak abych ukázal cestu od reálné součásti k tzv. výpočtovému modelu.

Na závěr bych Vám všem chtěl popřát hodně úspěchů během celého studia. Pokud budete v průběhu následujících let na fakultě cokoliv potřebovat, tak jsem Vám k dispozici, protože jednou jste MOJE STUDENTKY a MOJI STUDENTI, a to je pro mě závazek i do budoucna, kdy Vás již nebudu učit.

: 224 352 424 : 725 351 511 : [email protected] : reznicek.jan : www.facebook.com/Pruznost

V Praze v pondělí dne 16. září 2019

I P O

MF




ÚSTAV MECHANIKY, BIOMECHANIKY A MECHATRONIKY ODBOR PRUŽNOSTI A PEVNOSTI Zdroje informací:

www.mechanika.fs.cvut.cz

www.facebook.com/Pruznost

www.pruznost.unas.cz




OBSAH

OPAKOVÁNÍ PP I 5

1.MEZNÍ STAVY - SHRNUTÍ 11

2.PROMĚNNÉ ZATÍŽENÍ (ÚNAVA) 12

3. ROTAČNĚ SYMETRICKÉ ÚLOHY 24 3.1 TENKOSTĚNNÉ NÁDOBY 24 3.2 SILNOSTĚNNÉ (TLUSTOSTĚNNÉ) NÁDOBY 28 3.3 ROTUJÍCÍ TENKÉ KOTOUČE 47 3.4 TENKÉ KRUHOVÉ DESKY 53

4. STABILITA PŘÍMÝCH PRUTŮ (VZPĚR) 61 4.1 PŘESNÉ ŘEŠENÍ KRITICKÉ SÍLY 62 4.2 NEPRUŽNÝ ROZSAH ŘEŠENÍ VZPĚRU 68 4.3 PŘIBLIŽNÉ ŘEŠENÍ VZPĚRU 71 4.4 KOMBINACE VZPĚRU S OHYBEM 74

5. MATEMATICKÁ TEORIE PRUŽNOSTI 78 5.1 ROZŠÍŘENÝ HOOKŮV ZÁKON (opakování) 78 5.2 ROVNICE PŘETVOŘENÍ 79 5.3 ROVNICE ROVNOVÁHY 81 5.4 SPOJENÍ VŠECH ROVNIC MATEMATICKÉ TEORIE PRUŽNOSTI 82 5.5 PROSTOROVÁ NAPJATOST – TENZOR NAPĚTÍ 83

6. KRUT NEKRUHOVÝCH PROFILŮ 88 6.1 VOLNÉ KROUCENÍ NEKRUHOVÉHO PROFILU 89 6.2 TENKOSTĚNNÉ PROFILY 98

7.TECHNICKÁ PLASTICITA 102 7.1 TAH A TLAK V PLASTICITĚ 106 7.2 KRUT V PLASTICITĚ 109 7.3 OHYB V PLASTICITĚ 113 7.4 PLASTICITA PŘI VÍCEOSÉ NAPJATOSTI 118

8.ZÁKLADY LOMOVÉ MECHANIKY 124

9. LITERATURA 142

DOSLOV 143




OPAKOVÁNÍ PP I Pružnost a pevnost jako součást fyziky, resp. její užší části – mechaniky poddajných těles. Klasická Pružnost a pevnost vs. moderní výpočtové (numerické) metody – zejména MKP Základní pojmy: Statická rovnováha vnějších sil (všech)

VNITŘNÍ SÍLY (zobecnělé): Pojmem zobecnělá síla se rozumí veškeré možné zatížení – tedy jak osamělá síla, tak i síla spojitě rozložená nebo také osamělý resp. spojitě rozložený moment. Obdobně se vpřípadě zobecnělé deformace může jednat jak o posunutí tak také o natočení

)( A

V dFF a současně 021 VFFF

Intenzita vnitřní síly NAPĚTÍ (mechanické)

obecné normálové smykové

dA

dFx )(

dA

dNx )(

dA

dTx )(

Rozměr napětí v soustavě SI: [Nm-2] [Pa] pascal resp. [Nmm-2] [MPa] megapascal (1 MPa = 1106 Pa). Poznámka: Zejména v anglosaské odborné literatuře se zásadně uvádí mechanické napětí v základních jednotkách Nm-2 resp. Nmm-2 (např. automobilky Ford nebo BMW uvádějí ve všech technických předpisech a dílenských manuálech pevnosti šroubů v Nmm-2). Jednotky Pa resp. MPa případně kPa jsou používány pro označování tlaků plynů a kapalin.

Vnější Vnitřní

SÍLY

I

1

2

F1

F2

F4

n

t

1

F1

F2

dA

dF

dN

dT

Fn




DEFORMACE TĚLESA: [1] [1] (poměrné) prodloužení (kladné) zkos (dříve poměrné posunutí) (poměrné) zkrácení (záporné) změna pravého úhlu v elementu

x

u

dx

dxx

resp.

x

v

y

uxy

(bude odvozeno později) (bude odvozeno později)

PRUŽNOST TĚLESA: Schopnost tělesa vrátit se do původního stavu pokud pomine vnější zatížení.

TUHOST TĚLESA: Schopnost tělesa odolávat deformacím.

ZÁKLADNÍ PŘEDPOKLADY ŘEŠENÍ ÚLOH PP:

1. Předpoklad malých deformací (v relaci s ostatními rozměry), 2. Platnost lineární závislosti mezi napětím a deformací (Hookův zákon), 3. Platnost Saint-Vénantova principu (změna zatížení se roznese na „malé“ vzdále-

nosti do celého průřezu a ovlivní tak jen malou oblast, kterou zanedbáme), 4. Existence ideálního materiálu - homogenní (bez vměstků, otvorů, ...), - isotropní (ve všech směrech stejné vlastnosti). Skutečná součást Výpočtový model často analyticky neřešitelné řada zjednodušení - řešitelnéExperiment velice často provádíme přímo na skutečné Pro výpočty v pružnosti a pevnostisoučásti nebo na skutečném modelu velice blízkém této, využíváme tzv. výpočtový model, součásti. Přesto však nemusí být tento model totožný který vznikne za použití různých s výpočtovým modelem. Proto mohou být mezi výsledky zjednodušujících předpokladů - čím získanými experimentálně a výpočty značné rozdíly. větší je zjednodušení tím nepřesnější jsou výsledky vzhledem ke skutečnosti.

F




NAPJATOST:

Druhy napjatosti: jednoosá dvojosá trojosá (přímková) (rovinná) (prostorová)

Obecně zadaná napjatost: jediné normálové napětí dvě normálová a tři normálová a jedno smykové napětí tři smyková napětí (všechna v jediné rovině)

nebo nebo

Napjatost zadaná hlavními napětími jediné normálové dvě normálová tři normálová napětí 1 napětí 1 a 2 napětí 1, 2 a 3 (obě v jediné rovině)

nebo nebo

1

1 1

1

2

3

1 1

2

2

3 1

2

1 1

2

2

1

1

1

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

1

1

x

y

z

x x

x

y

z

x x

y

y

z

x

y

z

x x

y

y

z

z y

x

x

y

z

x

z y

x

x

y

z

y

z

x

y

x

y

z

z x

y

z

y

y




ZÁKLADNÍ ZPŮSOBY NAMÁHÁNÍ: Tahem/tlakem Krutem Ohybem Smykem N x MK x Mo x T x

T

N N T MK MK Mo Mo

Vyvolá napjatost:

jednoosou rovinnou jednoosou rovinnou (x) (x) o(x) (x)

KOMBINACE ZÁKLADNÍCH ZPŮSOBŮ NAMÁHÁNÍ: vedoucí na jednoosou napjatost vedoucí na rovinnou napjatost

šikmý ohyb (ohyb + ohyb) ; tah/tlak a ohyb tah/tlak a krut ; ohyb a krut ; ohyb a smyk

HODNOCENÍ NAPJATOSTI = TEORIE PEVNOSTI: Převod (redukce) jakékoliv obecné napjatosti na jednoosou pro srovnání s hodnotami získanými při normalizované tahové zkoušce materiálových vzorků.

Rozdělení podle typu materiálu, pro který jsou vhodné

Křehké materiály Houževnaté materiály (litina, hořčíkové slitiny, …) (konstrukční oceli, mosazi, …)

Teorie maximálního normálového napětí Teorie maximálního smykového napětí MAX MAX

min

max

red pro

0

0

min

max

minmax red

Teorie Mohrova Teorie energetická minmax red (H.M.H.)

pro max > 0 a min < 0 , kde md

mt

R

R 213

232

2212

2 red

222222 62

2zyxxzzyyxred

x

y

z

x

y

z

(1) (2) (2) (1)




DEFORMAČNÍ ENERGIE: Jedná se o vnitřní energii akumulovanou v tělese. Základem řady výpočtů není přímo celková velikost deformační energie U, ale hustota deformační energie x , což je deformační energie U vztažena na jednotku objemu:

dV

dU .

Ta je obecně definovaná (při použití rozšířeného Hookova zákona a vztahu mezi modulem pružnosti v tahu a modulem pružnosti ve smyku) jako:

)()1(2)(22

1 222222zyxxzzyyxzyx v

E

.

V případě jednoosé napjatosti resp. napjatosti čistého smyku se výraz pro hustotu deformační energie výrazně zjednoduší:

E

2

2 resp. G

2

2 .

Dosadíme-li nyní do těchto vzorců vztahy pro určení napjatosti při jednotlivých způsobech namáhání a budeme-li výsledky integrovat přes celý objem řešeného tělesa dV A x dx, dostáváme:

1. pro tah/tlak:

)(

2

)(

)(

2

1

dxxA

xN

EU N ,

2. pro krut:

)(

2

)(

)(

2

1

dxxJ

xM

GU

P

KM K

,

3. pro rovinný ohyb:

)(

2

)(

)(

2

1

dxxJ

xM

EU

z

oM o

,

4. pro smyk od posouvající síly:

)(

2

)(

)(

2

dxxA

xT

GUT

( závisí na tvaru průřezu).

Deformační energie je pak v řadě úloh využívána společně s předpokladem platnosti zákona zachování energie (bezztrátové děje) jako prostředek k řešení.

Současně platí věty odvozené italským inženýrem Carlem Albertem Castiglianem:

1. Parciální derivace celkové deformační energie U akumulované v libovolném tělese podle obecného silového účinku působícího v určitém bodě tohoto tělesa Sj se rovná deformaci tělesa j v místě a směru působícího silového účinku Sj:

jjS

U

.

Obecný silový účinek Sj síla (Fj) vyvolá vypočtenou deformaci j POSUNUTÍ (uj). Obecný silový účinek Sj moment (Mj) vyvolá vypočtenou deformaci j NATOČENÍ (j).

2. Staticky neurčitá veličina Xi minimalizuje celkovou deformační energii U aku-mulovanou v soustavě (příroda vše dělá tak, aby jí to stálo co nejméně energie):

0

iX

U (platí pro soustavy neohřáté a nepředepjaté).




Celková deformační energie při kombinovaném namáhání:

Při všech výpočtech, které využívají celkovou deformační energii U, nesmíme zapomenout, jak výsledný vztah vznikl - základem všeho je hustota deformační energie a dva základní způsoby namáhání - normálové napětí a smykové napětí . Při kombinaci napětí je třeba uvažovat výslednou napjatost:

1. normálová napětí – např. kombinace tah/tlak + ohyb N x Mo x :

otcelk . .

otototcelk EEE

2

2

1

2

1

2

1 2222. .

y

J

xM

A

xNy

J

xM

A

xN

Ex

z

o

z

o )()(2

)()(

2

1)(

22

.

dAdxyJ

xM

A

xNy

J

xM

A

xN

EdVU

A z

o

z

o

V

c

)( )(

22

)(

)()(2

)()(

2

1

.

Odkud vychází *):

)(

)( )()(

2

)(

2 )()(1)(

2

1)(

2

1

oMNoMN U

A z

o

U

z

o

U

c dxdAyJA

xMxN

Edx

J

xM

Edx

A

xN

EU

.

2. normálová a smyková napětí – např. kombinace ohyb + krut Mo x MK x :

22

2

1

2

1

GE o .

22)(

2

1)(

2

1)(

p

K

z

o

J

xM

Gy

J

xM

Ex

dAdxJ

xM

GdAdxy

J

xM

EdVU

A p

K

A z

o

V

c

)( )(

2

)( )(

2

)(

)(

2

1)(

2

1

.

Odkud vychází **):

)(

2

)(

2

)(

2

)(

2 )()1(2

)(

2

1)(

2

1)(

2

1

dx

J

xMdx

A

xM

Edx

J

xM

Gdx

A

xM

EU

p

Ko

U

p

K

U

oc

KMoM

.

*) Zde opět funguje pohádka o dědkovi a bábě, kteří společně s vnučkou, psem, kočkou a myší tahali řepu a společně dali dohromady víc energie než prostý součet energie každého z nich. Stejně tak funguje kníže Svatopluk a jeho tři pruty ve Starých pověstech českých od Aloise Jiráska.

**) Na rozdíl od předchozí úvahy zde každý účinek „dělá něco jiného“, a tak se efekt „spolupráce“ neprojeví a výsledná energie je pouze prostým součtem energií od obou účinků.




1. MEZNÍ STAVY (SHRNUTÍ) Definice: Mezní stavy jsou takové stavy konstrukce, při jejichž překročení

konstrukce přestává plnit návrhové požadavky na užitné vlastnosti.

Mezní stav je z dlouhodobého provozování součásti nepřípustný

JIŽ PROBRÁNO VPP 1:

BUDE DÁLE PROBRÁNO VPP 2




2. NAMÁHÁNÍ PŘI PROMĚNLIVÉM ZATÍŽENÍ (tvarová pevnost, únava, …)

Vypočtěte bezpečnost ramena stěrače čelního skla osobního automobilu s ohledem na jeho cyklické namáhání. Rameno je vyrobené z oceli o mezi kluzu Ko 240 Nmm-2 a mezi únavy co 120 Nmm-2. Rozměry jsou patrné z obrázku. Přítlačná síla vyvolaná pružinou mechanismu stěrače je P 12 N a součinitel tření v kontaktu stírátka a čelního skla je f 0,9.

Drážkovaný převodový hřídel s přímými boky je vyroben soustružením a broušením z oceli 11 550 (Rm 550 Nmm-2 a Re 300 Nmm-2). Určete výslednou bezpečnost na únavu (vůči „nekonečné“ životnosti) tohoto hřídele, jsou-li rozměry: osazení d 25 mm; D 35 mm; r 1 mm a drážkování dP 28 mm. Hřídel je zatížen cyklickým krouticím momentem, který má horní hodnotu Mkh 2105 Nmm a dolní hodnotu Mkn

0,8105 Nmm.

Únavový lom:

10 6

T

240

P

FIAT Miltipla 2006 / 1956

osazení

drážkování




MIKROSKOPICKÉ TRHLINY: Fyzika kovů: Praktické zkoušky: August Wöhler) Dosavadní předpoklady řešení příkladů P&P:

1. STATICKÉ (quazistatické) ZATEŽOVÁNÍ

2. STÁLÝ PRŮŘEZ SOUČÁSTI bez náhlých změn

3. IDEÁLNÍ MATERIÁL (homogenní se známými vlastnostmi) Cyklické zatěžování: Opakující se zatížení nahrazujeme ekvivalentním HARMONICKÝM zatěžováním.

Součinitel nesouměrnosti cyklu:

) Německý technik August Wöhler (1819 – 1914) pracující pro německé dráhy a byl synem známého chemika Friedricha Wöhlera. Svoji teorii únavového poškození poprvé představil v roce 1858.




Typy zatížení:

R = 1 R (1 ; 0) R = 0 R (0 ; 1) R = 1

STATICKÉ PULZUJÍCÍ MÍJIVÉ STŘÍDAVÉ STŘÍDAVÉ

(quazistatické) nesymetrické symetrické

Dva zvláštní případy:

MÍJIVÝ STŘÍDAVÝ SYMETRICKÝ (tento cyklus zkoušel Wöhler)

Základní data pro výpočty jsou získávány z materiálových zkoušek, které jsou normalizovány obdobně jako zkoušky statické. Jejich výsledky se využívají ke konstrukci DIAGRAMŮ, ze kterých se pak odečítají hodnoty pro výpočty součástí podrobených cyklickému zatížení.

DIAGRAMY: STŘÍDAVÉ SYMETRICKÉ ZATÍŽENÍ

1. Wöhlerův diagram Wöhlerovy křivka např. dural

Poznámka:




Co vlastně znamená 1107 cyklů? u osobního automobilu při předpokládané životnosti 15 let

musíme zavřít 1 825-krát denně dveře

u osobního automobilu při průměrných otáčkách motoru n 4 000 otmin-1 to je asi 3 300 min 55 hodin provozu

u závodního motocyklu Yamaha YZR M1 nebo závodního vozu Ferrari F 2012 při průměrné zátěži motoru během závodu n 14 000 otmin-1 to je jen cca 12 hodin provozu

u podvozku dopravního letadla při průměrných 10-ti přistáních za jeden den to je neuvěřitelných 2 738 let(?!)

u stěrače čelního skla při frekvenci 1 cyklus/sekundu to je 115 dnů nepřetržitého provozu nebo při běžně ujeté vzdálenosti 20 tis km/rok průměrnou rychlostí 60 kmhod-1 a cca 1/3 v dešti to je přibližně 25 let

PULZUJÍCÍ ZATÍŽENÍ: (vše se sestavuje pro trvalou životnost N )

Upravený Wöhlerův diagram upravená Wöhlerovy křivka Tento diagram se k praktickým výpočtům využívá minimálně! 2.Haighův diagram – závislost mezní amplitudy A na středním napětí m: A f m

1) HOUŽEVNATÝ MAT.: 2) KŘEHKÝ MATERIÁL.: 3) LITINA (vyhovující):

R = 1

R = 0,5




Střídavé symetrické

Střídavé Míjivé nesymetrické

Pulzující Statické Upravený Haighův diagram pro jednodušší konstrukci:

R 1

R 1 ; 0

R 0

R 0 ; 1

R 1

Pokud neznám součinitel , tak mohu použít přibl. hodnoty podle pevnosti materiálu a typu namáhání.

TABULKA (PŘIBLIŽNÉ HODNOTY SOUČINITELE = tg):

Pevnost vtahu Pt[Nmm–2] 350 - 550 550 - 750 750 – 1000 1000 – 1200 tah/tlak, ohyb 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

krut 0,05 0,10 0,10 0,10 0,15

T




4. Smithův diagram – závislost mezní amplitudy A na středním napětí M: A f M (podle Philips Hagara Smitha)

Zjednodušený Smithův diagram pro jednodušší konstrukci:

Pokud neznám součinitel , tak mohu použít přibl. hodnoty podle pevnosti materiálu typu namáhání.

TABULKA (PŘIBLIŽNÉ HODNOTY SOUČINITELE ):

Materiál Uhlíková ocel Chromová

ocel Legovaná ocel nízkopevná vysokopevná

tah/tlak, ohyb 0,15 0,20 0,25 0,30 0,30 krut 0,10 0,10 0,10 0,15 0,20

T




Vliv přetížení – zohledníme ve Wöhlerově diagramu tzv. FRENCHOVOU ČÁROU

Frenchova čára je čára dovoleného přetížení při zachování původní meze únavy c. KONCENTRÁTORY NAPĚTÍ (VRUBY):

Rozdělení: 1. KONSTRUKČNÍ 2. TECHNOLOGICKÉ 3. METALURGICKÉ Součinitel tvaru (v místě vrubu vzniká lokální změna napjatosti – napětí roste) popisuje geometrii vrubu




příznivé Ovlivnění vrubů: superpozice nepříznivé Součinitel vrubu (v místě vrubu vzniká prostorová napjatost – okolí brání vzniku krčku) popisuje materiál vrubu Při určování zavedl A. Thum) pojem VRUBOVÁ CITLIVOST Tento stav výrazně ovlivní HAIGHŮV DIAGRAM:

) Pojem součinitel vrubu a vrubová citlivost zavedl jako první německý fyzik A. Thum v roce 1935.




Součinitel velikosti v (velikost součásti ovlivňuje „únavové“ vlastnosti součásti) - STATISTICKY

- TECHNOLOGICKY

- ROZDĚLENÍ NAPĚTÍ Při výpočtu součinitele v se využívá jak teorie tak výsledků experimentů diagram V-D Příklad srovnání obdélníkového a kruhového průřezu pomocí exponovaného objemu Vexpon..

222

0766,04

)95,0(

4D

DDVexpon.

hbhbhbVexpon. 05,0)95,0(

Součinitel jakosti povrchu P (povrchová vrstva a její stav je důležitý pro nukleaci defektu) Únavové zkoušky – LEŠTĚNÝ POVRCH. ÚPRAVY POVRCHU Pro zlepšení únavových vlastností používáme: - MECHANICKÉ ÚPRAVY - CHEMICKÉ ZPRACOVÁNÍ - NAPĚŤOVÉ TESTY




Vliv koroze: Vliv teploty: Výpočet meze únavy reálné součásti: (počítáno pro neomezenou životnost N 1107 a více cyklů). Všechny vlivy: MÍRA BEZPEČNOSTI – trvalá pevnost součásti (neomezený život) Minimální míra bezpečnosti: 1) 2) 3) 4) STŘÍDAVÉ SYMETRICKÉ ZATÍŽENÍ (nejjednodušší) PULZUJÍCÍ ZATÍŽENÍ – využijeme Haighova diagramu

Neznáme-li skutečný charakter zatěžování a f m , pomáháme si ve výpočtech náhradním PROSTÝM ZATĚŽOVÁNÍM (spojnice O – P obě veličiny a im se mění proporcionálně) a průsečík čáry prostého zatěžování s mezní čarou je pak mezní bod M.

1

2

3

4




ODVOZENÍ: BEZPEČNOST k PŘI PROSTÉM ZATĚŽOVÁNÍ V HAIGHOVĚ DIAGRAMU

ODVOZENÍ: BEZPEČNOST k PŘI KOMBINOVANÉM NAMÁHÁNÍ Nejjednodušší je střídavý symetrický ohyb + střídavý symetrický krut a prosté zatěžování:

O

O




PŘÍKLAD (PULZUJÍCÍ TAH): Dáno: materiál – ocel, opracování, rozměry (B, b, , s), Fh a R.

Určit: k (výslednou bezpečnost na nekonečný život).

Řešení: Výpočet provedeme postupně v celkem 4 krocích.

1. KROK: Popis zatížení: Fh ; R Fm Fh 1 R /2 a Fa Fh 1 – R /2. Popis namáhání: m Fm/A Fm/ bs a a Fa/A Fa/ bs . 2. KROK: Popis materiálu: Pt Kt c Odhad pro tah/tlak: 0,2 F c/. 3. KROK: Popis součásti: a) součinitel tvaru (z geometrie):

/(B–b) /b

b) vrubová citlivost (z geometrie a podle meze pevnosti): q existuje ještě možnost využít ke zpřesnění Pt kromě meze pevnosti Pt použít ještě poměr meze q1,2 K/Pt

kluzu ku mezi pevnosti 𝜎 /𝜎 :

𝑞 𝜎 ; 𝑞 𝜎 /𝜎 → 𝑞 𝑞 0,5 ∙ 𝑞 𝑞 𝑞 𝑞

c) součinitel vrubu (ze součinitele tvaru a vrubové citlivosti): 1 q 1

d) součinitel jakosti povrchu (ze způsobu opracování a materiálu): P

PO P a PK 0,5 P 1

e) součinitel velikosti (z ekvivalentního průměru podle exponovaného objemu): v

Výpočet meze únavy skutečné součásti: vP

cc

4. KROK: Výsledná bezpečnost jako menší ze dvou možných (podle dynamické nebo statické čáry):

21

2

1

;min111

kkk

k

k

kkk

Kt

a

Kt

m

c

a

F

m

am

P

Pt

P opracování

TAH/TLAK

v

Dekv.

H TAH/TLAK

Kt Pt

c




3. ROTAČNĚ SYMETRICKÉ ÚLOHY

3.1. TENKOSTĚNNÉ NÁDOBY (skořepiny) Určete dovolený přetlak pD, který přenese plášť tenkostěnné kulové tlakové nádoby, která má tloušťku stěny t, střední poloměr R a dovolené namáhání D.

R

tp DD 2HMH .

Stanovte minimální tloušťku stěny válcové části tlakového zásobníku stlačeného vzduchu. Maximální provozní tlak uvnitř válce je pmax 2 MPa, střední poloměr válcové části je rs 300 mm. Nádoba je vyrobena z konstrukční oceli o mezi kluzu Re 350 MPa. Nádoba má být navržená s bezpečností kk 5 vůči mezi kluzu. MEMBRÁNOVÝ STAV: Podmínky zajištění membránového stavu:

1)

2)

3)

4)

Kladruby

neovlivněná válcová část

část ovlivněná tuhostí dna

část ovlivněná tuhostí dna

Lokomotiva 163 006-0




Porušení membránového stavu:

TABULKA (KONSTRUKČNÍ ŘEŠENÍ TENKOSTĚNNYCH NÁDOB):

Uložení Spojení

Nev

hod

né ře

šení

Vho

dné

řeše

ní

ROTAČNĚ SYMETRICKÉ SKOŘEPINY:

ODVOZENÍ NAPJATOST ROTAČNĚ SYMETRICKÉ MEMBRÁNY: (Laplaceova rovnice) Hlavní poloměry křivosti -

T

O







PŘÍKLAD (TENKOSTĚNNÁ KUŽELOVÁ NÁDOBA):

Dáno: , D, h a s

h

Darctg

2

Určit: 1 a 2 (hlavní napětí v plášti nádoby)

Základem

P D

h 2

h

y

Q(y)

1 1

R2

h r

y




Ferrari F 300 1:24 (Bburago)

d

D

b

Fstah.

3.2 SILNOSTĚNNÉ (TLUSTOSTĚNNÉ) NÁDOBY PŘEDPOKLADY ŘEŠENÍ SILNOSTĚNNÝCH VÁLCOVÝCH NÁDOB:

Platí Hookův zákon – všechny uvažované deformace jsou vratné (napětí nepřekročí mez úměrnosti u resp. mez kluzu K),

Vše je rotačně symetrické – geometrie, zatížení, napětí, deformace, ...

Vše platí v dostatečné vzdálenosti od den nebo jiných imperfekcí (příruby, otvory, …), které způsobují vyztužení – vznikající napjatost v těchto oblastech by byla podstatně složitější.

Vypočtěte tloušťku stěny tlakového vál ce zdvihacího zařízení korby lehkého nákladního vozu Tatra 805, znáte-li potřebnou sílu, průměr pístu, materiál válce a tlak oleje, který je schopno vyvodit čerpadlo.

Umístění hydraulického válce ve voze, jeho výpočtový model a napjatost vjeho stěně

Podle předpisů pro dětské hračky zkontrolujte sílu, která je potřebná ke stažení kolečka z hřídelky a součadně zjistěte, zda při výrobě lisováním nedojde k roztržení náboje plastového kolečka. Stanovte tedy potřebný minimální a maximální přípustný přesah průměru hřídelky, znáte-li její materiál a současně i materiál nalisovaného kolečka (náboje).

Kolečko nalisované na hřídel a výpočtový model tohoto nalisovaného spoje

Tatra 805

F

F/2 F/2

p1

D d

t(r1) r(r1) = p1

o

t(r1)

o




Úloha je rotačně symetrická vyjmeme element ve válcových souřnicích

ZÁKLADNÍ ROZDĚLENÍ (podle způsobu, kterým je uzavřen vnitřní prostor nádoby

NÁDOBA UZAVŘENÁ – dno nebo víko

je pevnou součástí vlastní řešené nádoby (je k ní přišroubované, přivařené, …).

V této nádobě tak VZNIKÁ osové napětí o.

NÁDOBA OTEVŘENÁ – tlakový prostor uvnitř nádoby je uzavřen jiným tělesem, které není s nádobou pevně spojeno (píst, …). V této nádobě tak nevzniká žádné osové napětí o.

Hydraulický válec

Poznámka: U zavěšeného řenosu reakční síly R = F do Nádoba jaderného reaktoru

Neovlivněná část

silnostěnné válcové

p

F

F

R

p




MATEMATICKÉ INTERMEZZO V následujících přednáškách budeme řešit rovnováhu elementu rotačního symetrického tělesa (silnostěnné nádoby, rotujícího kotouče nebo tenké kruhové desky), která povede až na diferenciální rovnici druhého řádu. Při odvození budu využívat některé obraty, které jsou vám určitě známy z přednášek z matematiky, ale pro jistotu a své čisté svědomí vůči vám je zde ještě jednou připomenu: 1.derivace součinu dvou funkcí:

vuvuvu

2.derivace podílu dvou funkcí:

2v

vuvu

v

u

3.derivace složené funkce:

vvuvu )()(

4.diferenciál funkce jedné proměnné:

dxdx

duxud )(

5.diferenciál funkce více proměnných:

dzz

fdy

y

fdx

x

fzyxfd

),,(

6.Eulerova diferenciální rovnice: 0)()()(2 xfxfxxfx

6.diferenciální rovnice 2. řádu a její řešení:

)()(

)()( xgx

xfxfxxf

Řešení f x se skládá ze dvou částí: Část homogenní fH x – odpovídající tvaru diferenciální rovnice Část partikulární fP x – odpovídající pravé straně diferenciální rovnice.

)()()( xfxfxf PH .

Homogenní část řešení fH x má v těchto případech vždy tvar:

x

BxAxfH )(

Partikulární část řešení fP x budeme odhadovat podle tvaru pravé strany g x původní rovnice: Je-li pravá strana ve tvaru mocniny nxkxg )( , odhadneme partikulární řešení ve tvaru úplného polynomu stejného stupně:

ii

n

iP xaxf

1

)( .

Koeficient ai v odhadu určíme po dosazení partikulárního řešení do původní rovnice. Partikulární řešení fP x totiž jako jedno z možných řešení dané diferenciální rovnice musí této rovnici vyhovovat.

MF




ODVOZENÍ ZÁKLADNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE ŘEŠENÍ NAPJATOSTI SILNOSTĚNNÝCH VÁLCOVÝCH TLAKOVÝCH NÁDOB

stěny válcové nádoby vyjmeme element délky b o vnitřním poloměru x pod úhlem d a tloušťce dx. Nejprve předpokládáme otevřenou nádobu, kdy nepůsobí na element žádné osové napětí (o = 0).

Takže na element působí pouze rovinná napjatost, kde tečné napětí je t, ale radiální napětí se mění ze r na r + dr. Za těchto předpokladů nyní sestavíme silovou rovnováhu řešeného elementu:

rvt dFddF . Jednotlivé členy této rovnice rovnováhy vyjádříme podle obrázku: Elementární tečná síla je

dxbdF tt Výsledná elementární radiální síla je

Pdosazení do rovnice rovnováhy dostáváme za předpokladu b 0 a d 0 výslednou rovnici:

Jedná se o diferenciální rovnici ale se dvěma neznámými veličinami úloha je staticky neurčitá a je tedy třeba doplnit deformační podmínku. Tu sestavíme z elementu před a po deformaci:

)(

)()()( xu

dx

du

dx

dxxuduxudx

dx

dxxr

,

x

xu

dx

dxu

do

doxt

)()()(

.

Nyní tyto vztahy dosadíme do rozšířeného Hookova zákona, abychom vyjádřili tečné napětí t a radiální napětí r pomocí jediné neznámé – posunutí u(x):

O

r(x)

r(x) + dr

t(x) t(x)

d

dx

x

b

d dFt

dFt

dFrv

d

dx + dx

dx

u(x)

u(x) + du

do

do do

x

d




. Nyní tyto členy dosadíme do původní diferenciální rovnice v napětích:

dxxudx

x

xudxxudxxuxdxxu

Edxxxxd tr )(

)()()()(

1)()(

2

.

Protože předpokládáme reálný materiál, pro který je 01 2

E a také

předpokládáme, že diferenciál délky dx je sice nekonečně malý avšak nenulový (dx 0), musí platit:

0)(

)()( x

xuxuxxu .

Tím jsme získali diferenciální rovnici druhého řádu, ale již jen o jediné neznámé – posuvu u(x). Řešení této rovnice je vždy ve tvaru: u(x) = xn. Provedeme tedy derivace tohoto řešení:

1)( nxnxu a 2)1()( nxnnxu

a ty dosadíme je do původní rovnice a upravíme ji:

0)1( 12

x

xxnxxnn

nnn 01)1(1 nnnxn .

Za předpokladu, že xn1 0, musí být nule rovna hranatá závorka, odkud vychází rovnice:

012 n

a její řešení je n = 1. To znamená, že jednotlivá řešení jsou x1 a x1. Výsledná hledaná funkce u(x) je pak lineární kombinací obou těchto možných řešení:

x

CxCxu 2

1)( .

Provedeme-li nyní derivaci resp. vydělení řešení souřadnicí x, získáme členy potřebné k dosazení do vztahů pro jednotlivá napětí (rozšířený Hookův zákon):

22

1)(x

CCxu a

22

1

)(

x

CC

x

xu .

Dosadíme-li nyní tyto členy dostáváme:

22

122

122 1)(

)(

1)(

x

CC

x

CC

Exu

x

xuExt

,

2

212

2122 1

)()(

1)(

x

CC

x

CC

E

x

xuxu

Exr

.




Okrajové podmínky:

Nově zavedené dvě konstanty K a C (nahrazují původní dvě konstanty C1 a C2) určíme z okrajových podmínek, které musí válcová nádoba splňovat na vnitřním (x = r1) a na vnějším (x = r2) povrchu:

11)( prr a 22 )( prr .

Dosazením dostáváme vyjádření konstant K a C jiř jen pomocí zadaných veličin p1, p2, r1 a r2:

21

22

222

211

rr

rprpK

a 2

12

2

22

21

21 )(rr

rrppC

.

mezi jednotlivými napětími. Ze tvaru rovnic polytrop je patrné že: 1. pro x 0 bude r(x) i t(x) , 2. pro jakékoliv x platí r(x) + t(x) = 2K , 3. protože r(r1) = p1 bude t(r1) = 2K + p1 , 4. protože r(r2) = p2 bude t(r2) = 2K + p2 .

Výpočet osového napětí o vuzavřené silnostěnné nádobě:

Vnitřní tlak p1 působí zevnitř jak na stěnu nádoby tak i na její dno. Stejně tak vnější tlak p2 působí zvnějšku na stěnu nádoby i na její dno. Hledané osové napětí o předpokládáme konstantní po celé tloušťce stěny a působící ve směru osy nádoby. Silová rovnice rovnováhy do směru osy nádoby je:

.

r1 r2

o

p1

p2

F1 F2 Fo

r(r2)

p2

r(r1)

p1 r1

t(x)

p2

r(x)

p1

x

x

+

K

r(r1) = p1

r(r2) = p2

t(r1) = 2K + p1

t(r2) = 2K + p2

r1

r2




SROVNÁNÍ VÁLCOVÉ UZAVŘENÉ SILNOSTĚNNÉ A TENKOSTĚNNÉ NÁDOBY:

Tenkostěnná válcová nádoba je podmnožinou silnostěnné válcové nádoby resp. silnostěnná válcová nádoba je nadmnožinou tenkostěnné válcové nádoby. Použijeme základní rovnice pro napětí v silnostěnné válcové uzavřené nádobě:

2

)(x

CKxt ,

2

)(x

CKxr ,

Ko ,

kde konstanty K a C upravíme pro tenkostěnnou nádobu, předpokládáme-li že platí:

r1 r2 R (r1 + r2) 2∙R a (r1 – r2) = t ; x R .

Výsledné vztahy pak budou mít po úpravách tvar:

t

Rp

Rt

Rp

rrrr

rp

rr

rprpK

Rt

22)()(

2

2

1212

211

21

22

222

211

,

t

Rp

Rt

Rp

rrrr

rrp

rr

rrppC

Rt

22)()()(

34

2

1212

22

21

121

22

22

21

21

.

Nyní již tyto „upravené“ hodnoty dosadíme do základních rovnic průběhů napětí v silnostěnné uzavřené válcové nádobě:

t

Rp

t

Rp

t

Rp

Rt

Rp

t

Rp

R

CKt

22

22 2

3

2 ,

022

22 2

3

2

t

Rp

t

Rp

Rt

Rp

t

Rp

R

CKr ,

t

RpKo

2 .

Tyto výsledky přesně odpovídají výsledkům, které byly odvozeny pomocí Laplaceovy rovnice pro válcovou uzavřenou, resp. otevřenou nádobu.

o

t

r




ODVOZENÍ DEFORMACE PLÁŠTĚ SILNOSTĚNNÉ NÁDOBY

Protože ve stěně silnostěnné nádoby vzniká obecně prostorová napjatost (uzavřená nádoba) nebo rovinná napjatost (otevřená nádoba), musíme ke stanovení deformací (změn poloměrů nádoby r1 a r2) využít rozšířeného Hookova zákona. Při stanovení změny poloměru vyjdeme ze základního odvození silnostěnných nádob vztahu pro výpočet tečných deformací:

x

xuxt

)()( .

Protože u(x) je posunutí obecného místa popsaného souřadnicí x ve směru této souřadnice, musí na vnitřním povrchu platit:

1

11)(

r

rrt

Obdobný vztah musí platit i na vnějším poloměru:

2

22 )(

r

rrt

.

Odtud získáme potřebné vztahy pro určení změn poloměrů nádoby r1 a r2:

)( 111 rrr t a )( 222 rrr t .

Při dalším výpočtu deformací pomocí rozšířeného Hookova zákona musíme rozlišit, jedná-li se o nádobu uzavřenou nebo nádobu otevřenou:

a) pro nádobu uzavřenou (o 0):

ort rrE

rr )()( 11

11 resp. ort rr

E

rr )()( 22

22 .

b) pro nádobu otevřenou (o = 0):

)()( 111

1 rrE

rr rt resp. )()( 22

22 rr

E

rr rt .

Změna délky � silnostěnné nádoby se také musí počítat z rozšířeného Hookova zákona s uvažování uzavřené nebo otevřené nádoby:

u(r2) = r2

u(r1) = r1 r2

r1

O




ODVOZENÍ DIMENZOVÁNÍ SILNOSTĚNNÝCH NÁDOB PEVNOSTNÍ PODMÍNKY

a) nádoba svnitřním přetlakem (p1 > p2) otevřená Nejnamáhanějším místem je vždy vnitřní poloměr r1 . V tomto místě bude pevnostní pod- mínka dle hypotézy MAX:

Drtred rr )()( 11. .

Jednotlivé členy v této pevnostní podmínce vyjádříme pomocí základních vztahů pro výpočet napětí silnostěnných nádob:

121

22

222

211

11 22)( prr

rprppKrt

a 11)( prr .

Po dosazení do pevnostní podmínky dostáváme: A odtud již po úpravě dostáváme běžně používaný vztah pro dovolený tlakový spád: b) nádoba svnitřním přetlakem (p1 > p2) uzavřená Nejnamáhanějším místem je vždy vnitřní poloměr r1 . Pevnostní podmínka dle MAX bude mít stejný tvar jako v pří- padě otevřené nádoby, protože poloha osového napětí je vždy mezi tečným a radiálním napětím.

Drtred rr )()( 11. .

Veškeré úpravy budou shodné s úpravami provedenými v případě otevřené nádoby, a tak i výsledný vztah bude naprosto stejný:

2

2

121 1

2)(

r

rpp D

D

.

O

r1

p2

r2

p1

K p2

r(r2) x

r(r1)

t(r2)

t(r1) p1

red.

+

t(x) r(x)

o = 0

r t

r1

p2

r2

p1

K = o p2

r(r2) x

r(r1)

t(r2)

t(r1) p1

red.

+

t(x) r(x)

o 0

r t




) nádoba svnějším přetlakem (p2 > p1) otevřená Nejnamáhanějším místem je vždy vnitřní poloměr r1, a to i v případě, že je nádoba namáhána vnějším přetlakem. V tomto místě bude pevnostní podmínka dle hypotézy MAX:

Dtred r )(0 1. .

Tečné napětí v této pevnostní podmínce vyjádříme pomocí základního vztahu pro výpočet napětí silnostěnných nádob:

121

22

222

211

11 22)( prr

rprppKrt

Po dosazení do pevnostní podmínky dostáváme:

Dred prr

rprppK

121

22

222

211

1. 20)2(0

Tento výraz již nemá cenu dále obecně upravovat, protože jednoduchý vztah pro dovolený tlakový V těchto případech je výhodné vždy již vyjádřit přímo hledanou veličinu a vypočítat ji.

d) nádoba svnějším přetlakem (p2 > p1) uzavřená Nejnamáhanějším místem je vždy vnitřní poloměr r1, a to i v případě, že je nádoba namáhána vnějším přetlakem. V tomto místě bude pevnostní podmínka dle hypotézy MAX:

Dtrred rr )()( 11. .

Jednotlivé členy v této pevnostní podmínce vyjádříme pomocí základních vztahů pro výpočet napětí silnostěnných nádob:

121

22

222

211

11 22)( prr

rprppKrt

a 11)( prr .

Po dosazení do pevnostní podmínky dostáváme:

Dred rr

rpp

rr

rprpppKp

21

22

2212

21

22

222

211

111.

)(22)2( .

2

2

112 1

2)(

r

rpp D

D

.

r(x) t r

p2

r2

p1

K

p2

r(r2)

x

r(r1)

t(r2)

t(r1) p1

red.

+

t(x)

o 0

r1

r(x) t r

p2

r2

p1

K

p2

r(r2)

x

r(r1)

t(r2)

t(r1) p1

red.

t(x) o = 0

r1

+




r(r1) r1 r2 t(r1)

K

[red]MAX

= 46 Nmm-2

x

t r

+32

+18

+9 14

p1

o

PŘÍKLAD (SILNOSTĚNNÁ NÁDOBA – PEVNOSTNÍ TEORIE):

Dáno: Válec stacionárního hydraulického zvedáku má vnitřní průměr d 100 mm a vnější průměr D 160 mm. Celý je vyroben z oceli o modulu pružnosti E 2,1105 Nmm-2 a mezi kluzu K 230 Nmm-2.

Určit: S bezpečností k 5 maximální sílu Fmax, kterou lze získat na pístu tohoto válce.

d D

p

Fmax P




TABULKA – shrnutí všech možností pevnostních podmínek sestavených podle hypotézy MAX pro dimenzování silnostěnných válcových nádob namáhaných přetlaky p1 a p2:

typ nádoby uzavřená nádoba (UN) otevřená nádoba (ON)

p1>p2

t(r1) r(r1) D

2

2

121 1

2 r

rpp D

D

p2>p1

r(r1) t(r1) D

2

2

112 1

2 r

rpp D

D

0 t(r1) D

Poznámka: Bylo by samozřejmě možné odvodit obdobné vztahy podle energetické hypotézy (H.M.H.), ale bylo by to zbytečně pracné vzhledem ke tvaru red podle této hypotézy. Hypotéza MAX je vzhledem k H.M.H. konzervativní, a tak odvozené podmínky (viz předchozí tabulka) jsou na straně bezpečnosti.

ODVOZENÍ ZVLÁŠTNÍ PŘÍPADY SILNOSTĚNNÝCH VÁLCOVÝCH NÁDOB:

Nádoba bez otvoru: Nádoba smalým otvorem: (r1 0; p1 0) (r1 0; p1 0) Jedná se prakticky o plný hřídel o průměru d = 2r2, na který působí vnější přetlak p2:

Jedná se prakticky o plný hřídel o průměru d = 2r2, ve kterém je vyvrtán velmi malý mazací otvor (r1 0) zatím bez vnitřního přetlaku (p1 = 0), na který působí jen vnější přetlak p2:

O




Vyjádříme si pomocí těchto hodnot konstanty K a C užívané v rovnicích napětí.

Tyto hodnoty dosadíme do základních vtahů:

odkud získáme výsledné průběhy napětí:

Průběhy obou napětí jsou konstantní a shodné a také shodné s konstantou K a jejich velikost je rovna hodnotě vnějšího tlaku p2. Poznámka: Konstanta C musí být nulová i matematicky, protože jinak by člen C/x2 v rovnicích průběhů tečného a radiálního napětí vedl v ose nádoby (pro x = 0) na matematicky nepřípustný výraz C/0.

d

p2

p2

K

t(x) r(x)K r2

p2

o

r(x) t(x)

p2

t(r1)

r2 r1

p2

o

x x




NALISOVANÉ SILNOSTĚNNÉ NÁDOBY: Jednoduchá silnostěnná nádoba má relativně nevýhodné redukované napětí je na poloměru r1 a v celé zbývající stěně je redukované napětí nižší, až na vnějším poloměru r3 je

Vhodným zásahem do průběhu radiálního napětí můžeme výrazně ovlivnit celkové rozložení napětí. Cílemnalisování je vnesení předpětí opačného znaménka

vnitřním přetlakem je dominantní tahové tečné napětí t(x) je třeba vnést tlaková napětí do nádoby. Toho dosáhneme pomocí přesahu r2 na poloměru r2, se kterým na sebe obě silnostěnné nádoby nalisujeme. Zatímco průběh radiálního napětí se změní pouze málo, tak průběh tečného napětí se změní výrazně,

. více nádob nebo kontaktní tlak vyvozovat navíjením vnější vrstvy na vnitřní s určitým předpětím. Tak dostaneme mnohovrstvé nádoby (obdoba různých vrstvených laminátových konstrukcí apod.). Tyto nádoby mohou mít průběh

Další výhodou těchto vrstvených konstrukcí kromě optimalizace rozložení napětí může být také dvou sousedních vrstev.

Dále budeme řešit pouze dvouvrstvé nalisované válcové nádoby (vícevrstvé by se počítaly stejně, jen by to trvalo podstatně déle).

p3

red.(r3)

r(x)

p1

p1

red.(r1)

t(x)

p3

K

o

x

p3

p1

p2

red.II.(r3)

red.II.(r2)

red.I.(r1)

red.I.(r2)

p1

p3

rI.(x) t

I.(x)

rII.(x) t

II.(x)

KII.

KI.

II.

I. o

x

pint.

pext.

red.(rext.)

red.(rint.)

pext.

pint.

t r

o

Prakticky po celé stěně í

x

p

D

pD p

D

pD




stav po nalisování a tíž í ř tl k

I.

II.

r 1 r 2I.

r 3

r 2II

.

r2II

.

r2I.

r2

x x

r t rLII. tL

II.

tLI. rL

I.

ODVOZENÍ URČENÍ PŘESAHU �r2 U DVOUVRSTVÉ NALISOVANÉ VÁLCOVÉ NÁDOBY

původní napětí napětí od nalisování

Superpozice napjatosti

í resp. vnit

O




Podle teorie nalisovaných nádob lze vyřešit také náboj na hřídeli (uložení s přesahem).

Hřídel je vnitřní nádoba (I.) bez otvoru (r2 a p2) a náboj je vnější (II.) otevřená nádoba (r2; r3 a p2), a tak pode vztahu pro přesah bude:

.

Z rovnice vyjádříme tlak p2 jako funkci přesahu r2:

.

Známe-li tlak p2 a rozměry hřídele i náboje, můžeme provést pevnostní kontrolu obou částí nalisovaného spoje podle hypotézy MAX:

1. Hřídel (H): ,

2. Náboj (N): .

J vidět, že namáhání náboje je více než 2 větší než namáhání hřídele,

Poznámka:

Z těchto vztahů ze určit minimální resp. maximální únosnost nalisovaného spoje nebo také sílu, která je třeba k nalisování náboje na hřídel resp. sílu, kterou musíme vyvinout, abychom náboj z hřídele

použijeme tečný součinitel tření ft . Lisovací/stahovací síla FL/S tedy bude:

2

3

2max2max/

2

3

2min2min/

)(

2

)(

2/

1π

1π

22

r

rEbrfF

r

rEbrfF

dNfdTF

oSL

oSL

A

o

A

oSL .

Přenášený krouticí moment MK bude:

2

3

2max22max

2

3

2min22min

)(

22

)(

22

1π

1π

22

r

rEbrrfM

r

rEbrrfM

dNrfrdTM

tK

tK

A

t

A

tK .

Poznámka: Všechny předchozí výpočty byly prováděny pro shodné materiály hřídele i náboje, resp. pro materiály se shodným modulem pružnosti E a shodným Poissonovým číslem . V případě nalisování náboje na

dN2

dT2o

r 2

b

dN2 dT2t

r2

tN

rN

KN t

HrHKH p2

o

x.




Stanovte maximální namáhání hřídele a náboje. Náboj je postupně nalisován na plný hřídel, na hřídel s malým otvorem a na hřídel tvořený trubkou.

1. náboj na plný hřídel: 2. náboj na hřídel s malým otvorem:

3. náboj na dutý hřídel:

Příklady realizace nalisovaného spoje a výpočtové modely

x.

x.

x.




ODVOZENÍ MINIMALIZACE NAMÁHÁNÍ NALISOVANÉ NÁDOBY (dle hypotézy MAX):

Předpokládáme:

1. obě silnostěnné nádoby jsou konstruované jako otevřené (oI. = o

II.

.

Toto je výraz pro dovolený tlakový spád tak (p1 – p3)D, aby právě v obou částech byla splněna

ODVOZENÍ OPTIMALIZACE GEOMETRIE NALISOVANÉ NÁDOBY:

Pro odvozený dovolený talkový spád (p1 – p3)D a známé rozměry r1 a r3 hledáme optimální velikost poloměru nalisován r2 tak, aby byl tlakový spád co největší. Musí tedy platit:

0)( 312

Dppr

.

Za předpokladu nenulového dovoleného napětí D musí tedy být:

2

3

2

2

2

1

2

20r

r

r

r

r

21

23

2

21 2200

r

r

r

r .

Odtud již dostáváme potřebný vztah mezi poloměry ve tvaru:

21

23

2

21

r

r

r

r 4

22

32

1 rrr 31.2 rrr opt .

Optimální poloměr r2 opt. je tedy dán jako geometrický průměr poloměrů r1 a r3 a maximální dovolený tlakový spád bude: .

O

O




ODLEHČENÝ STAV NALISOVANÉ NÁDOBY (pevnostní kontrola dle hypotézy MAX):

Předpokládáme stav, kdy nádoba nebude zatížena ani vnitřním ani kontaktním tlakem p2

, který je pouze a jen důsledkem přesahu r2. Výpočet odlehčeného stavu lze provést jako rozdíl mezi skutečným a namáhání vnitřní a vnější nádoby.

odlehčený stav skutečný stav fiktivní stav nalisované nádoby nalisované nádoby nádoby z jednoho kusu

Graficky zobrazíme tento výpočet pomocí vykreslení všech hypotézy MAX.

Skutečný stav napjatosti Fiktivní stav napjatosti

Nyní již jen naznačený rozdíl průběhů provedeme graficky.

Průbě

p3

p1

p3

p1

p2

p1 = 0

p3 = 0

p2

=

I. II.

rII.

rI. r

fikt.

tII.

tI. t

fikt.

KII.

KI.

K fikt.

rodl. II.

todl. I.

todl. II.

Kodl. II.

Kodl. I.

o o r

odl. I.

x. x.

I. II.

rfikt. t

fikt.

K fikt.

o

x.

rII.

rI.

tI.

KII.

KI.

o

x.

tII.




3.3ROTUJÍCÍ TENKÉ KOTOUČE PŘEDPOKLADY ŘEŠENÍ ROTUJÍCÍCH KOTOUČŮ:

Všechny deformace jsou „malé“ a vše je „lineární“ (platí Hookův zákon)

Tloušťka kotouče je tak malá, že není třeba uvažovat vznik osových napětí (o 0)

Stanovte namáhání jednoho kotouče pevného disku a jeho deformace poloměrů r1 a r2 při provozu. Standardní otáčky moderních pevných disků jsou n 7 200 min-1 a jednotlivé kotouče pevného disku jsou vyrobeny z oceli.

HDD 3,5“ a výpočtový model jeho jednoho disku

Určete maximální namáhání CD disku v mechanice komerčně označené 52 a zjistěte, jak se při maximálních otáčkách změní rozměry CD disku.

CD-R80, mechanika 52 a výpočtový model disku snaznačenými průběhy napětí

HDD WD Caviar

r1

t(x)

r(x)

at(x)

ar(x)

r2

x

r1 r2

h o = 0




ZÁKLADNÍ ROZDĚLENÍ (podle způsobu, co vše na kotouč působí)

volný kotouč nalisovaný kotouč nalisovaný kotouč s lopatkami zatížený jen účinkyzatížen účinky od odstředivézatížen účinky od tahu

ODVOZENÍ ZÁKLADNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE ŘEŠENÍ NAPJATOSTI TENKÉHO ROTUJÍCÍHO KOTOUČE

Z tenkého kotouče (tloušťky b) vyjmeme element o vnitřním poloměru x pod úhlem d a „délce“ dx. Předpokládáme, že nevzniká v elementu žádné osové napětí (o = 0). Takže na element působí pouze rovinná napjatost, kde tečné napětí je t(x), ale radiální napětí se mění ze r(x) na r(x) + dr. Za těchto předpokladů nyní sestavíme silovou rovnováhu řešeného elementu: rovnice rovnováhy vyjádříme podle obrázku: Elementární tečná síla je

Zavedením A = 2 a po dosazení do rovnice rovnováhy dostáváme za předpokladu b 0 a d = 0 výslednou rovnici obdobnou jako u nádob, ale s pravou stranou:

.

O

r(x) + dr

r1 r2

b

x

dx

t(x)

dO

t(x)

r(x) d




Jedná se o opět diferenciální rovnici ale se dvěma neznámými veličinami úloha je staticky neurčitá a musíme doplnit deformační podmínku, kterou sestavíme z elementu před a po deformaci stejně, jako v případě silnostěnné nádoby:

)()( xudx

du

dx

dxxr

a

x

xu

do

doxt

)()(

.

Nyní tyto vztahy stejně jako u nádob dosadíme do rozšířeného Hookova zákona, abychom vyjádřili tečné napětí t(x) a radiální napětí r(x) pomocí jediné neznámé – posunutí u(x

dFt

d dFt

dFrv

d

dx + dx

dx

u(x)

u(x) + du

do

do x

d

do




x

b

r1

r2

red

.

C1

t(x)

r(x)

at(x)

ar(x)

t(x)

r(x)

at(x)

ar(x)




ODVOZENÍ ZVLÁŠTNÍ PŘÍPADY TENKÉHO ROTUJÍCÍHO KOTOUČE:

Kotouč bez otvoru Kotouč svelmi malým otvorem (r1 0) (r1 0; p1 = 0) Při použití okrajové podmínky:

Průběhy obou napětí jsou tedy shodné s průběhy asymptot at(x) a ar(x) a osu rotace (x = 0) protínají v hodnotě C1. Konst antu C1 určíme z druhé okrajové podmínky (pro volný kraj

musí (r1 0)k by člen C2/x2 v rovnicích průběhů tečného a radiálního napětí vedl v ose nádoby (pro x = 0) na matematicky nepřípustný výraz C2/0.

Vyjádříme základní vtahy a získáme opět výsledné průběhy napětí:

Konstanty C1 a C2 určíme opět z ok

vojnásobku konstanty C1.

Poznámka:

r1 0 r2

red

.

C1

t(x)

r(x)

t(x)

r(x)

r1 = 0

C1 r

ed.

r2

O




r1

C1 = 1,97 Nmm-2

t(x)

r(x)

at(x)

ar(x)

t(r1) = 3,9 Nmm-2

t(r 2

) = 0

,9 Nm

m-2

r2

x

PŘÍKLAD (VOLNÝ TENKÝ ROTUJÍCÍ KOTOUČ):

Dáno: Uvažujme běžné CD nebo DVD vyrobené z polykarbonátu. Základní parametry disku jsou: d 15 mm, D 120 mm, h 1,2 mm, materiál 1 190 kgm-3, 0,3, E 850 Nmm-2, K 60 Nmm-2, Pt 70 Nmm-2. POZOR!! Výpočty je třeba provádět v jednotkách soustavy SI: s ; m a Nm-2. (E 850106 Nm-2, K = 60106 Nm-2, Pt 70106 Nm-2).

Určit: Maximální namáhání vznikající při otáčkách n 10 000 1min-1 ( 1 047,2 s-1).

P




3.4 TENKÉ KRUHOVÉ DESKY PŘEDPOKLADY ŘEŠENÍ KRUHOVÝCH DESEK:

Všechny deformace jsou „malé“ a vše je „lineární“ (platí Hookův zákon

Tloušťka desky h je tak malá, že není třeba uvažovat vznik osových napětí (o 0) ani vznik smykových napětí .

Vzhledem k malé tloušťce desky platí Bernoulliho teorie lineárního rozložení ohybových napětí .

Stanovte velikost dovoleného osového zatížení ve středu litinového krytu kanálu, znáte-li dovolené namáhání v tahu, dovolené napětí v tlaku a rozměry.

Víko kanálového vlezu vdlažbě a jeho výpočtový model Jaký tlak vznikl v důsledku biologických procesů v konzervě, pokud se její víko vykle-nulo o 5 mm, jsou-li dány rozměry a materiál plechu z něhož je konzerva vyrobena.

Konzerva, její víko jako tenká deska a její výpočtový model

qo

r

R

h

wmax

wmax

h

D




ZÁKLADNÍ ROZDĚLENÍ

(podle způsobu, jak je deska uložená)

nepodepřená volná deskapodepřená volná deska vetknutá deska

ODVOZENÍ ZÁKLADNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE ŘEŠENÍ NAPJATOSTI TENKÉ KRUHOVÉ DESKY

V desce vznikají dvoje ohybová napětí – ve směru tečném t a ve směru radiálním t – vyvolána ohybovými momenty dMt a dMr. Protože platí Bernoulliho lineární teorie rozložení napětí, jsou napětí s momenty vázána přes průřezové moduly v ohybu. Ty pro element budou:

,

resp. . Nyní vyjádříme jednotlivé momenty tak, abychom mohli sestavit momentovou rovnici rovnováhy řešeného elementy:

.

Moment Mt(x) vyjádříme pomocí tečného napětí t(x) a průřezového modulu Wot(x):

O

h

t(x) dx

dMt(x) dMr(x) + dMr

dMt(x) dMr(x)

dT(x) dT(x) + dT

r(x) + dr

x

x

dx

dMt(x)

dM dMr(x) + dMr

dMt(x)

d

r1

h

x

dMr()

q(x)

dx

r2

dMt

dMt dMrv d

dMr

dM

dMr+d

Mr




Moment dMr(x) vyjádříme pomocí radiálního napětí r(x) a průřezového modulu dWor(x):

dhxx

xdWxxdM rorrr

6

)()()()(

2

Moment (dMr(x) + dMr) vyjádříme pomocí napětí (r(x) + dr) a průřezového modulu dWor*(x):

dhdxxdx

xdWdxdMxdM rrorrrrr

6

)()()()()(

2

* .

Při zanedbání veličin druhého řádu (drdx 0) dostáváme:

dhxxddxxxx

dMxdM

xxd

rrrrr

r

6

)()()()(

2

)(

.

Sílu dT(x) resp. (dT(x) + dT) vyjádříme pomocí spojitého zatížení q(x) resp. výsledné síly dQ(x), která působí od středu desky nebo od vnitřního okraje desky až do řešeného místa popsaného souřadnicí x:

dxx

xQxdT

π2

)()( a ddxx

dxx

dQxQdTxdT

π2

)()( .

Nyní při zanedbání veličin druhého řádu (dQdx 0) vyjádříme pomocí síly dT(x) moment dM:

ddxxdQ

dxxdTxdM

π2

)()()(

Výsledný moment dMrv tedy bude: dMxdMdMxdMxdM rrrrv )()()( Po dosazení všech těchto výsledků do rovnice rovnováhy dostáváme: Výsledná diferenciální rovnice pro d 0 bude mít tvar:

.

Jedná se o diferenciální rovnici ale se dvěma neznámými veličinami úloha je staticky neurčitá a je tedy třeba doplnit deformační podmínku. Tu sestavíme tentokrát pro element před a po ohybu a posunutí u(x) vyjádříme pomocí změny vrcholového úhlu (x), který předpokládáme „malý“, a tak Tuto diferenciální rovnici lze zapsat také v tzv. staženém tvaru:

x

(x)

(x)

u(x) x

(x)

h/2

h/2 (x)




3π

)(6)(

1

hE

xQxx

xx

nebo s využitím zatížení na jednotku délky t(x) a deskové tuhosti D:

D

xtxx

x

)()(

1

.

Stažený tvar je velice výhodný z hlediska řešení diferenciální rovnice po stupnou integrací pokud nedokážeme přímo odhadnout partikulární řešení.

Poznámka: Vztahy pro napětí resp. znaménko v nich je stanoveno podle namáhání SPODNÍHO povrchu řešené desky: Je-li spodní povrch natahován, je znaménko „+“ a je-li spodní povrch stlačován, je znaménko „“.




DEFORMACE (PRŮHYB) TENKÉ KRUHOVÉ DESKY

Poznámky: Podmínky pro průhyby nepoužívejte v žádném případě při určování

integračních konstant C1 a C2, protože tím do úlohy vnášíte jen další konstanty.

Obecně lze říci, že průhyb můžeme řešit až tehdy, máme-li kompletně dořešeno natočení tenké desky x , a to včetně konstant C1 a C2.

OKRAJOVÉ PODMÍNKY POUŽÍVANÉ PŘI ŘEŠENÍ KRUHOVÝCH DESEK 1. Podmínky na kraji desky:

Pokud se jedná o desku bez otvoru uprostřed, je jedním z okrajů právě osa desky, kde ze symetrie desky vždy platí: 0)0( . V řešení MUSÍ vždy vypadnout člen C2/x, protože by jinak nastal matematicky nepřípustný stav – dělení „0“.

. Zatížený kraj desky na poloměru r momentem Mr resp. mr (může

resp. .

Vetknutý kraj desky na poloměru r (může to být jak vnitřní okraj r1 desky tak i vnější r2):

resp.

2. Podmínky ve spojení dvou polí desky:

t

r

x O

x

(x) d 0

dx

dw

(x)

r r

r r

+Mr –Mr

r r

–mr +mr

r r




Ve spojení dvou polí a tenké kruhové rotačně symetrické desky na obecném poloměru r je třeba sestavit dvě okrajové podmínky.

První podmínka vždy zaručuje hladkost průhybové plochy ve spojení na poloměru r:

)()( )2()1( rr .

Druhá podmínka závisí na individuálním uspořádáním každé úlohy (desky) a způsobu spojení polí a desky na poloměru r. Existují celkem čtyři možnosti spojení dvou polí desky:

1. Spojení desek stejné tloušťky bez zatížení vnějším momentem

.

.

2. Spojení desek rozdílných tlouštěk h1 a h2 bez zatížení vnějším momentem:

a.

.

3. Spojení desek stejné tloušťky se zatížení vnějším momentem Mr:

.

.

4. Spojení desek rozdílných tlouštěk h1 a h2 se zatížení vnějším momentem Mr:

, .

Odkud vychází:

Poznámka:

r

h

r

h 2

h 1

r

h Mr

r

h

Mr

Mr

r

h 2

h 1

Mr

r

h 2

h 1




PŘÍKLAD (JEDNODUCHÁ DESKA):

Dáno: Tenká kruhová rotačně symetrická plná deska o vnějším poloměru r je na tomto vnějším okraji vetknutá do absolutně tuhého základu a po celé své ploše je zatížena konstantním spojitým zatížením (tlakem) qo. Deska má tloušťku h (h r) a je vyrobena z materiálu o modulu pružnosti v tahu E a Poissonově čísle .

Určit: Diferenciální rovnici popisující chování zadané desky, vztahy pro napětí a určete také maximální průhyb této desky.

.

P

r(x)

t(x)

wmax

r(0

) =

t(0

)

|r(

r)| =

m

ax

qo = konst.

r

o




Tabulka shrnutí řešení a společných nebo podobných vlastností všech tří rotačních úloh:

úloha vlastnost Nádoby Kotouče Desky

rovnováha elementu

(silová)

dFF trv

(silová)

dFF trv

(momentová)

dMM trv

levá strana dif. rovnice

x

xuxuxux

)()()(

x

xuxuxux

)()()(

x

xxxx

)()()(

pravá strana

0 na element

nepůsobí žádné další účinky

2xE

A (A = 2)

kvadratická funkce od odstředivé síly dO

3π

)(6

hE

xQ

podle zatížení Q(x).

obecné řešení x

CxCxu 2

1)( 321 8

)( xE

A

x

CxCxu

)()( .2

1 xx

CxCx part

part.(x) různé dle Q(x).

okrajové podmínky

kraj nádoby 2,12,1 )( prr

kraj kotouče 2,12,1 )( rr

kraj desky or WMr )( 2,1

střed nebo vetknutí desky

0)0( nebo 0)( 2,1 r

průběhy napětí

2)(

x

CKxt

2)(x

CKxr

22)()(

x

Cxax tt

22)()(

x

Cxax rr

21 8

31)( xACxat

21 8

3)( xACxar

)(xt a )(xr podle tvaru příčného

zatížení Q(x) resp. q(x)

konstanty 2

12

2

222

211

rr

rprpK

21

22

22

21

21 )(rr

rrppC

22

21

21

22

211

222

1

8

3rrA

rr

rrC rr

22

21

21

22

22

21

122

8

3

)(

rrA

rr

rrC rr

C1 a C2 podle tvaru

příčného zatížení Q(x) resp. q(x)

Poznámka:

Z této tabulky je patrné, že z daných úloh je nejsložitější řešení tenkých kruhových rotačně symetrických desek, kdy existuje vzhledem k variabilitě možného příčného zatížení Q x , resp. q x značná variabilita možných řešení.

Mt

Mt

d Mrv

Ft

Ft

d

Frv

Ft

Ft

d Frv




4.STABILITA PŘÍMÝCH PRUTŮ (VZPĚR)

STABILITA PŘÍMÝCH PRUTŮ NAMÁHANÝCH NA TLAK

Vypočtěte kritickou délku krit., při

které by došlo k vybočení ocelové lešenářské trubky při zatížení osovou silou F. Při výpočtu budeme uvažovat bezpečnost k a budeme díky lešenářským spojkám před-pokládat kloubově uloženou na obou koncích.

Lešenářská trubka = dlouhý prut namáhaný talkem a lešenářské spojky = podpěry konců prutu

VZPĚR – vychází ze TŘECH základních stavů: 1. Stabilní: 2. Indiferentní: 3. Labilní: STABILITA: PEVNOST VZPĚRNÁ: Vzpěra: ČTYŘI základní případy podle způsobu uložení:

I. případ: II. případ: III. případ: IV. případ: I. II. III. IV.

kri

t.

F

D

d

Olomouc




Další doplňující případy – NEŘEŠÍME!!!

Základní předpoklady řešení:

1. ideální

2. ideální

3. ideální

4. ideální

Skutečnost:

4.1 PŘESNÉ ŘEŠENÍ KRITICKÉ SÍLY (ELASTICKÉ) KLASICKÉ ŘEŠENÍ PROVEDL LEONARD EULER)

ODVOZENÍ II. PŘÍPAD VZPĚRU (základní a nejjednodušší):

1. Momentová rovnice: 2. Bernoulliho dif. rovnice

Zavedeme: 2

min

JE

F resp.

minJE

F

[m–1].

Okrajové podmínky (pro II. případ vzpěru): 1. 2.

) V době, kdy Leonard Euler (1707 – 1783) tyto vztahy odvozoval, nebyl ještě zaveden modul

pružnosti E a nebyl „matematicky formulován“ Hookův zákon. To vše udělal až v roce 1807 Thomas Young (1773 – 1829). Euler si tak ve svých výpočtech musel pomáhat zaváděním jediné „konstanty“, která charakterizovala prut jak materiálově tak geometricky – dnes víme, že šlo o součin EJz.

O

ideální4 vyšší k




ODVOZENÍ I. PŘÍPAD VZPĚRU:


Zavedeme: 2

min

JE

F resp.

minJE

F

[m–1].

Odhad partikulárního řešení: Okrajové podmínky (pro I. případ vzpěru): 1. 2.

O




ODVOZENÍ III. PŘÍPAD VZPĚRU:


Zavedeme: 2

min

JE

F resp.

minJE

F

[m–1].

Odhad partikulárního řešení: Okrajové podmínky (pro III. případ vzpěru): 1. 2.

O




ODVOZENÍ IV. PŘÍPAD VZPĚRU:


Zavedeme: 2

min

JE

F resp.

minJE

F

[m–1].

Odhad partikulárního řešení: Okrajové podmínky (pro VI. případ vzpěru): 1. 2.

O




PODMÍNKA PLATNOSTI EULEROVA VZTAHU – PRUŽNÝ ROZSAH VZPĚRU: Kritická síla (dle Eulera): Kritické napětí: Podmínka elastického chování prutu: Štíhlost prutu: Mezní štíhlost prutu:

Poznámka: Pro zjednodušení se někdy používají při výpočtech pro běžnou konstrukční ocel (u 210 Nmm–2 a E 2,1105 Nmm–2) přibližné hodnoty mezních štíhlostí (pro 2 10):

TABULKA (PŘIBLIŽNÉ HODNOTY MEZNÍCH ŠTÍHLOSTÍ):

Případ vzpěru I. II. III. IV.

Mezní štíhlost mez. [1] 50 100 140 200

T




Obecné srovnání všech čtyř základních případů vzpěru podle Eulera:

2min

2IV.I.

1.

π

JE

nFkr

I. II. III. IV.

n = 1/4 n = 1 n ≈ 2 n = 4

cvv 22 02 vv xF

Hvv 22

F

Mvv 22

Okrajové podmínky:

v 0 0 v 0 0 v 0 0 v 0 0 vI 0 0 v 0 v I 0 0 vI 0 0

v c v 0 v 0

Výsledná goniometrická rovnice: cos 0 sin 0 tg cos 1

V některých starších učebnicích a knihách lze nalézt pojem „REDUKOVANÁ DÉLKA“ red. a Eulerův vzorec má tvar:

I. II. III. IV.

2min

2IV.I.

1.

π

redkr

JEF

red. red. /√2 red. /2

Redukovaná délka prutu �red převádí všechny případy vzpěru na II. základní případ vzpěru a je dána jako vzdálenost inflexních bodů průhybové čáry příslušného případu vzpěru.

red. 2 Z uvedeného vyplývá jednoduchý vztah mezi koeficientem n a redukovanou délkou:

nred

, resp. 2

red

n

.

Fkr. Fkr. Fkr. Fkr.

l

ℓ re

d.

Fkr. Fkr. Fkr.

Fkr.

ℓ

ℓ re

d.

ℓ red

.

ℓ re

d.




4.2 NEPRUŽNÝ ROZSAH ŘEŠENÍ VZPĚRU – napětí překročí mez úměrnosti: Dimenzování prutů: Málo štíhlé pruty: Redukovaný modul pružnosti:

Nejjednodušší definice: Engesserova definice:

Výsledný vztah: Řešení pomocí EMPIRICKÝCH VZORCŮ: Nejčastěji Tetmajerova náhrada:

Někdy pro 30 uvažujeme pouze čistý tlak bez stability.

30 mez

kr.

u

K nebo Pt

čist

ý tla

k

Tetmajer

Euler




VÝPOČTY NA VZPĚR (ztrátu stability, vybočení, ...):

Výpočet dovolené síly FD ? (znám rozměry vzpěry a její materiál)

1. Rozhodování: 2. Výpočet (podle vhodného vztahu): 3. Konec výpočtu:

Výpočet rozměrů (dimenzování) rozmD ? (znám zatížení vzpěry, materiál a tvar průřezu)

1. Návrh dle Eulerova vztahu: 2. Kontrola platnosti Eulerova vztahu: 3. Konec NEBO přepočet dle

Tetmajerova vztahu: 4. Konec výpočtu:

PŘÍKLAD (VÝPOČET DOVOLENÉ SÍLY): Dáno: K 260 Nmm–2, u 200 Nmm–2, E 2,1105 Nmm–2,

0,7 m, d 30 mm, k 3,5.

Určit: FD (dovolená síla pro I. případ vzpěru).

.

P

d

FD = ?

l




PŘÍKLAD (DIMENZOVÁNÍ VZPĚRY): Dáno: K 280 Nmm–2, u 210 Nmm–2, E 2,1105 Nmm–2, red. 0,5 m,

F 300 kN, k 3,5.

Určit: d (potřebný průměr tyče pro III. Případ vzpěru).

P

d

F = 300 kN

ℓ




4.3 PŘIBLIŽNÉ ŘEŠENÍ VZPĚRU

Na základě přibližné teorie vzpě-ru vypočtěte kritickou a dovole-nou sílu, kterou je schopna pře-nést stavební vzpěra používaná při betonování.

Stavební vzpěra, výpočtový model a její praktické použití

Proveďte výpočet ztráty stability pomocí přibližných metod vetknutého prutu, který je na horním konci volný a je zatížen spojitě rozloženou vlastní hmotností – např. vysílač Cukrák, který leží jižně od Prahy, i když v tomto případě je problém ještě složitější, protože vlastní těleso tvoří průřez blízký komolému kuželi a systém antén na horním konci představuje ještě zatížení osamělou silou.

Stěna vysílače je z plechu o tloušťce 6 mm a celý váží okolo 2 000 t.

Vysílač Cukrák a přibližný výpočtový model

Myšák Gallery

193,

5 m

12

16

1 60

0 Jz1 = 117 810 mm4

1 80

0

200

E =

2,11

05 M

Pa

Jz2 = 298 942 mm4

Jz3 = 181 132 mm4

D

q

Kopanina (411 m n. m.)




ODVOZENÍ ENERGETICKÁ METODA (původní autor Raylegh) (dává horní odhad nebo v případě vhodného návrhu lze získat i přesné řešení: Fkr.

energ. ≥ Fkr.E)

Tato metoda vychází z obecného principu zachování energie resp. bezztrátové přeměny potenciální energie vnější osové tlakové síly F na vnitřní deformační energii: Vnitřní deformační energie U se určí snadno jako deformační energie od ohybu za předpokladu platnosti Bernoulliho diferenciální rovnice průhybové čáry:

.

Pro výpočet práce vnější síly musíme nejprve vyjádřit dráhu, po které bude síla F konat práci:

.

Zkrácení elementu vyjádříme jako rozdíl původní a nové délky a z něho pak celkovou dráhu:

.

Celkový posuv koncového bodu prutu tedy bude:

.

Celková potenciální energie vnější síly F po dráze � tedy bude:

.

Poznámka: V tomto případě � není přímo deformace prutu, tak jak by tomu bylo při namáhání čistým tlakem, ale je to posuv bodu, kde působí síla F, vyvolaný prohnutím prutu při ztrátě jeho stability. Proto ve vzorci pro výpočet potenciální energie není ½)

Dosazením do původní rovnice rovnosti potenciální WP a deformační U energie dostaneme:

. Odtud vyplývá výsledný vztah:

.

Tento vztah je zcela universální a platí pro všechny čtyři případy vzpěru.

O

x dx

v(x)

dv

ds dx

Fkr.

c

x v(x)

Fkr.

(x)




ODVOZENÍ METODA POSTUPNÝCH APROXIMACÍ (původní autor Vianello)(původní autor Vianello) (umožňuje získat poměrně přesný výsledek i při poměrně nepřesném prvním návrhu průhybové čáry) I ntegrací získáme odpovídající funkci na levé straně v2(x):

Poznámky:

Protože v každém kroku (0, 1, 2, …) máme možnost volit příslušnou

sílu (F0, F1, F2, …), je vhodné zvolit Fn1 = "1", a pak bude výsledný vzorec ještě jednodušší: integraci zvolené počáteční funkce a tím pádem ke zvyšování jejího řádu. A protože lze obecným nekonečným polynomem „vymodelovat“ jakoukoliv funkci, dosáhneme i vpřípadě naprosto

O




4.4 KOMBINACE VZPĚRU SOHYBEM Stanovte obecně maximální namáhání red max vzpěr zadního přítlačného křídla vozu Lotus 49, které jsou vyrobeny z tenkostěnných ocelových trubek.

Lotus 48B – zadní přítlačné křídlo a výpočtový model

Stanovte obecně maximální zatížení N max táhla řazení u automobilu Škoda 120S, které vedlo od řadicí páky v prostoru řidiče až do zadní části vozu, kde byl motor s převodovkou. Při výpočtu uvažujte vlastní hmotnost táhla tvořeného ocelovou trubkou.

Škoda 120S – táhlo řazení a jeho výpočtový model

PEVNOSTNÍ PODMÍNKA PŘI KOMBINACI VZPĚRU S OHYBEM

(jedná se lze napsat pevnostní podmínku ve tvaru:

Základní momentová rovnice je tvořena dvěma členy:

- momentem od příčného zatížení: M(x) - momentem od zatížení osovou silou: Nv(x)

Lotus 49B - Graham Hill

c

(x)

x

v(x)

N F

C

B

(x)

N N qo

Š 120S - team ŠKODA

N N qo




chceme stanovit – moment M(x) nebo průhyb v(x).

ZPŮSOB ŘEŠENÍ ZÁKLADNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

řešení v momentech řešení v průhybechNejprve dvakrát derivujeme momentovou rovnici: a tedy pravá strana diferenciální rovnice bude rovna spojitému zatížení q(x).




PŘIBLIŽNÉ ŘEŠENÍ KOMBINACE VZPĚRU SOHYBEM: Pro předběžný návrh prutu při kombinaci vzpěru s ohybem musíme použít některou z přibližných metod, protože člen závisí na kvadratickém momentu průřezu – tedy na jeho geometrii. Základem všech přístupů je volba průhybové čáry, kterou prut asi zaujme po deformaci.

Zvolíme-li pro prut zatížený konstantním spojitým zatížením a osovou silou průhybovou čáru ve tvaru:

,

N qo

N




ŘEŠENÍ OHYBU SMALOU PŘÍDAVNOU OSOVOU SILOU:

Jedná se o případy, kdy je dominantní namáhání od příčného zatížení a osová síla pouze zesiluje jeho účinek. Obecně je lze spíše označit za „OHYB S PŘÍDAVNOU TLAKOVOU SILOU“. Tyto postupy




5. MATEMATICKÁ TEORIE PRUŽNOSTI

Při řešení obecné úlohy pružnosti a pevnosti můžeme každému bodu tělesa teoreticky přiřadit celkem 15 parametrů.

5.1 ROZŠÍŘENÝ HOOKŮV ZÁKON Při určení závislosti mezi normálovými deformacemi a normálovými napětími musí platit Poissonův vztah na deformaci v jednom směru se podílí napjatost ve všech třech směrech

xxx E

1)(

yyyyx E

1)()( )(

1)()()( zyxzxyxxxx E

.

zzzzx E

1)()(

Zbývající dvě deformace získáme cyklickou záměnou indexů:

)(1

xzyyzyyyxy E a )(

1yxzzzzyzxz E

.

Maticově lze rozšířený Hookův zákon zapsat jako:

zyx

z

y

x

E

;;1

111

.

Druhou část rozšířeného Hookova zákona tvoří vztahy mezi zkosy a smykovými napětími. Zde není žádný vztah mezi jednotlivými deformacemi a ostatními složkami napětí, jako tomu bylo v případě normálových napětí a deformací, a tak výsledné vztahy jsou poměrně jednoduché.

xx G

1

yy G

1 .

zz G

1

Pokud zavedeme poměrnou změnu objemu zyx [1] a současně

předpokládáme vztah mezi modulem pružnosti v tahu E a modulem pružnosti ve smyku G ve tvaru )1(2 vGE dostáváme rozšířený Hookův zákon pro stanovení normálových napětí pomocí normálových deformací ve tvaru:

21

2 xx G ,

21

2 yy G a

21

2 zz G .

zyx

z

y

x

G

;;1000100011

I




5.2 ROVNICE PŘETVOŘENÍ ODVOZENÍ ZÁKLADNÍ ROVNICE PŘETVOŘENÍ Předpoklady: u = u(x; y; z) úlohu řešíme v rovině x-y , třetí osa z je kolmá k této rovině, v = v(x; y; z) původní čtyřúhelník MNOP se změní na M´N´O´P´ a všechny w = w(x; y; z) uvažované deformace jsou malé. Normálová deformace stanovená do směru x tedy bude: Tím jsme získali první tři parciální diferenciální rovnice, které mezi sebou vážou normálové deformace a celková posunutí obecného bodu (elementu) tělesa.

O

v

u

dx

dy

yx

xy

M N

O P

M´

N´

O´

P´

x

y

N1´

N2´

P1´ P2´







5.3 ROVNICE ROVNOVÁHY ODVOZENÍ ZÁKLADNÍ ROVNICE ROVNOVÁHY V PRAVOÚHLÝCH SOUŘADNICÍCH Tyto rovnice musí zaručit silovou rovnováho každého bodu (elementu) tělesa. Někdy se také nazývají STATICKÉ PODMÍNKY (výminky) ROVNOVÁHY, protože je stanovíme jako jednoduché silové rovnice.

Na každý bod (element) tělesa působí celkem šest složek napětí, která předpokládáme po délce proměnná a současně působí na element vnitřní (objemové) síly X, Y a Z. Celý element musí být však podle základního předpokladu pružnosti a pevnosti ve stavu statické rovnováhy. Využijeme tedy tří zvolených směrů a sestavíme silové rovnice rovnováhy do těchto tří směrů.

Při sestavování rovnice do směru x zobrazíme jen účinky působící na element, které mají směr osy x:

Poznámka: Při vyjádření přírůstků je využit Taylorův rozvoj např. pro );;( zyxxx bude:

dzz

dyy

dxx

d xxxx

, atd. pro další funkce );;( zyxyy a

);;( zyxzz .

Při sestavování rovnic využijeme následující vztahy vyplývající z geometrie elementu:

dAx = dydz , dAy = dzdx , dAz = dxdy a dV = dxdydz .

Fx=0:

O

x

y

z

x x*

y

y*

z

z*

x x

*

y

y* z

z*

X

Y

Z

dx

dy

dz

dx

dy

dz

x

y

z

x

y

z

X

dAx dAy

dAz




5.4 SPOJENÍ VŠECH ROVNIC MATEMATICKÉ TEORIE PRUŽNOSTI: Za předpokladu platnosti vztahu pro výpočet poměrné změny objemu a platnosti vztahu mezi modulem pružnosti v tahu a modulem pružnosti ve smyku:

zyx a )1(2 G

E

získáme dosazením rovnic rozšířeného Hookova zákona a rovnic přetvoření do rovnic rovnováhy při použití Laplaceova diferenciálního operátoru:

2

2

2

2

2

22

zyx

soustavu tří lineárních parciálních diferenciálních rovnic

druhého řádu:

021

12

G

X

xu

, 0

21

12

G

Y

yv

a 0

21

12

G

Z

zz

.

Toto jsou ZÁKLADNÍ ROVNICE TEORIE PRUŽNOSTI.

Systém má nekonečně mnoho řešení a každé konkrétní řešení odpovídající určité úloze je to, které vyhovuje okrajovým podmínkám řešené úlohy. Ze systému diferenciálních rovnic lze také dokázat jednoznačnost řešení odpovídajícího konkrétním okrajovým podmínkám, ale jeho samotné řešení je velice komplikované a možné jen ve zcela málo případech!

I spevností si člověk užije – ulomit se může všechno.




5.5 PROSTOROVÁ NAPJATOST – TENZOR NAPĚTÍ: MOHROVY KRUŽNICE Již v PP I jsme se zabývali problematikou „prostorové“ napjatosti, ale výpočet probíhal vždy jen v rovině pomocí Mohrových vztahů a prostorová napjatost se doplňovala o třetí hlavní napětí, které bylo přímo zadáno. Řešit jsme tedy byli tímto způsobem schopni pouze napjatost s jedním sdruženým smykovým napětím, a to buď v rovině x-y nebo z-x nebo y-z:

Např. rovina x-y: x; y; z a z:

2

2

2,1 22 zyxyx

a z 3 ,

Ve zbývajících dvou rovinách lze zavést obdobné vztahy cyklickou záměnou indexů.

Pro řešení v rovině x-y jsme odvodili kompletní vztahy, které v souřadnicovém systému - představovaly kružnici (Mohrovu) charakterizující napjatost v jakékoliv rovině řešené napjatosti.

)2sin()2cos(22

zyxyx a )2cos()2sin(

2

z

yx .

Ve zbývajících dvou rovinách lze odvodit obdobné vztahy, kde by opět došlo k cyklické záměně indexů.

x

y

z

z z

x

y

z

I

.

. T

S (1) (2)

x

x

y

y z

z

n

x

y z

t




ODVOZENÍ OBECNÁ NAPJATOST – HLAVNÍ NAPĚTÍ

Obecná napjatost je dána třemi normálovými napětími (x; y a z) a třemi sdruženými smykovými napětími (z; y a z), která můžeme zapsat ve formě tenzoru napětí:

Poznámka: Tento tvar je dobré si zapamatovat, protože z něho bude vycházet řada dalších vztahů. Moje pomůcka byla: „Na hlavní diagonále jsou normálová napětí v pořadí podle abecedy x-y-z a všude jinde jsou smyková napětí a v žádném řádku ani sloupci se NESMÍ opakovat stejný index“. Nyní odvodíme vztah pro výpočet hlavních napětí i pro tuto obecnou prostorovou napjatost.

Původní element dxdydz protneme rovinou , jejíž normála n je dána směrovými kosiny cos , cos a cos . Plochu ešeného tělesa jsou: , a

V řešené rovině (dA)vzniká obecné napětí , které můžeme rozložit do tří složek x, y, Po d Výsledné obecné napětí působící v řešené rovině můžeme vyjádřit pomocí jeho tří pravoúhlých složek x, y, a z jako:

.

Známe-li směrové kosiny cos , cos a cos roviny (jedná se o kosiny normály n této roviny), můžeme transformovat složky obecného

O

x

y

z

x

y

z

n

x

z

y

x

y

z

x

y

z

dA

dAx

dAz

dAy

n




napětí x, y, a z do směru této normály a získáme tak normálové napětí v řešené rovině :

.

Smykové napětí musí ležet v řešené rovině a musí být tedy kolmé ke známému normálovému napští , které má směr normály n. Pro známé a můžeme hledané smykové napětí vyjádřit pomocí Pythagorovy věty jako:

.

Pokud

Poznámky: Takto sestavená kubická rovnice má vždy tři REÁLNÉ kořeny

odpovídající hlavním napětím - některé mohou být shodné (dvojnásobný nebo trojnásobný kořen) nebo některé mohou být nulové.

Invariant nebo invarianta (pravidla českého pravopisu připouští mužský i ženský rod) znamená invariantní neboli neměnnou

x

y

z

n

t




hodnotu, a proto velikosti jednotlivých invariant zůstávají neměnné pro jakoukoliv transformaci zadané napjatosti. Musí tedy také

razně „zvětšují“.

c) Výpočet hlavních napětí není nic jiného než transformace tenzoru napětí, kterou si lze představit jako rotaci původního elementu kolem všech tří os x-y-z až dosáhneme polohy 1-2-3, kdy budou všechna smyková napětí nulová.

d) Řešenou kubickou rovnici si můžeme představit také jako kubickou funkci s kořeny 1, 2 a 3 ve tvaru:

,

která může mít: (a) graf se třemi různými kořeny (b) graf s jedním obyčejným a jedním dvojnásobným kořenem, (c) graf s jedním trojnásobným kořenem.

Popsání polohy hlavních rovin HR1,2,3 prostorové napjatosti

Polohy hlavních rovin HR1 resp. HR2 resp. HR3 vyjádříme pomocí směrových kosinů úhlů 1, 1 a 1 resp. 2, 2 a 2 resp. 3, 3 a 3 jejich normál n1 resp. n2 resp. n3, a to z původní soustavy rovnic při dosazení za obecné napětí hodnoty 1 resp. 2 resp. 3.

Pro výpočet HR1 dosadíme za velikost 1 a budeme psát:

0coscoscos

)()(

)(

1

1

1

1

1

1

zxy

xyz

yzx

.

Tato soustava je ale LINEÁRNĚ ZÁVISLÁ (byl to původní předpoklad, ze kterého jsme určili 1, a to jsme nyní dosadili zpět do původní soustavy).

Ze tří rovnic tak můžeme použít jen dvě (které to budou, záleží na konkrétních hodnotách). Z hlediska výpočtu je výhodné vybrat ty dvě

f()

1 2 3 1 = 2

1 = 2 = 3

(c)

x

y

z

x

x

y y

z z

x

y

z

2

1

3

2

1

3




Vztahy mezi hlavními napětími a hlavními deformacemi

Protože i v případě prostorové napjatosti musí současně platit Hookův zákon, musí obdobné vztahy jako pro napětí platit i pro deformace. Existuje tedy také tenzor deformací T , který má tvar: deformacím: 1 ; 2 ; 3 . Hlavní roviny bychom dostali dosazením vypočteného kořenu do původní rovnice: Poznámka: Již v PP I jsme si zdůrazňovali, že v každém bodě zatížené součásti existují pouze tři hlavní roviny resp. tři hlavní směry, které jsou totožné jak pro deformace tak i pro napětí.




6. KRUT NEKRUHOVÝCH PROFILŮ

KRUT KRUHOVÉHO A MEZIKRUHOVÉHO PROFILU: V PP I byly odvozeny vztahy pro kruhový a mezikruhový průřez namáhaný krutem a naučili jste se řešit základní úlohy včetně aplikace na tenké, válcové, těsně vinuté pružiny, kde je krut dominantním namáháním. Základní rozložení smykových napětí lze popsat v elastickém stavu jedinou rovnicí:

P

K

J

M)( resp.

K

K

W

Mmax ,

kde: MK Nmm je vnitřní krouticí moment působící v daném místě, JP mm4 je polární kvadratický moment průřezu, mm je vzdálenost místa průřezu od pólu průřezu, WK mm3 je průřezový modul v krutu.

Základní průřezové charakteristiky pro krut byly odvozeny jako:

32

π 4DJ P

a

16

π 3DWK

44

132

π

D

dDJ P a

43

116

π

D

dDWK .

Rozložení smykových napětí podle Saint-Vénantova vztahu: Pokud maximální napětí v krajním vlákně dosáhne meze kluzu ve smyku (max K), končí elastický stav průřezu a krouticí moment, který tento stav vyvolal označíme jako maximální elastický moment:

16

π 3

..

DWM KelKKelK

(analogie s tahem:

4

π 2

.

DAF KKel

) .

Vzájemné natočení dvou řezů A-B lze počítat podle jednoduchého vztahu:

)( )(

)(

BA

BA

dxxJG

xM

P

K resp. pro MK x , Jp x konst. BABA

P

K

JG

M .

Deformační energie akumulovaná v hřídeli mezi řezy A-B byla odvozena jako:

)(

2

)(

)(

2

1

BA

dxxJG

xMU

P

KM K

resp. pro MK x , Jp x konst. BA

P

KM JG

MU

K

2

2

1 .

max

MK

max

MK

d

D

D

I




Audi A2 1.6 FSI

Šířka: 1 953 mm Délka: 3 950 mm Výška: 1 450 mm Zdvihový objem: 1 598 cm3

skutečný profil výpočtový model

100

160

R10

3

100

160

R10

3

6.1 VOLNÉ KROUCENÍ NEKRUHOVÉHO PROFILU Určete maximální smykové napětí vznikající v příčném tenkostěnném nosníku, který je součástí zadní nápravy osobního automobilu Audi A2. Nosník je tvořen ocelovým výliskem a budeme uvažovat rozdílné propružení levé a pravé strany o 15°.

Audi A2 – zadní nosník a jeho výpočtový model

Zásadní rozdíl mezi kruhovým a nekruhovým profilem je v tom, že smykové napětí na obrysu profilu v bodě P, které musí mít podle základních předpokladů směr tečny k obrysu, nemusí být kolmé k průvodiči (OP). Tím dochází k deplanaci (zprohýbání) u(x) průřezů. Pokud není deplanaci ničím bráněno – hovoříme o VOLNÉM KROUCENÍ a pokud je deplanaci bráněno např. vetknutím, výztuhami nebo žebry – hovoříme o NEVOLNÉM (STÍSNĚNÉM) KROUCENÍ. Řešení stísněného kroucení, při kterém kromě smykových napětí vznikají ještě druhotná normálová napětí , překračuje rámec tohoto základního kurzu pružnosti a pevnosti, a proto se dále budeme zabývat pouze volným kroucením.

Působí-li na prizmatický prut moment MK (působí na všechny průřezy), dochází k deplanaci, které není ničím bráněno a musí platit:

Budeme dále řešit dva řezy (A a B) vzájemně posunuté o x. Pokud označíme zkrut jako , pak vzájemné natočení řešených řezů bude:

x

u u

x

z

y

O

MK P

x

MK MK

z

y

x

A B




Působením momentu MK se řez A oproti řezu B pootočí, a tak bod M zaujme novou (pootočenou) pozici M´. Původní poloha bodu M je popsána vzhledem k souřadnicovému systému 0-y-z vzdálenostmi z a y resp. průvodičem a úhlem , mezi kterými platí vztahy:

a .

Jednotlivá posunutí bodu M do bodu M´ můžeme při yužití vztahu Druhou diferenciální rovnici získáme z rovnice rovnováhy do směru osy prutu x. Protože víme, že na prut nepůsobí žádná objemová síla a současně žádné normálové napětí bude:

.

Zcela obecné řešení této soustavy není možné získat. V některých speciálních případech sice systém řešit lze, ale je to velmi komplikované. Pro nalezení řešení využijeme podmínku jednoznačnosti řešení základních rovnic teorie pružnosti, která říká:

„Najdeme-li nějaké řešení systému, které vyhovuje základním rovnicím, je to jediné možné řešení.“

z

y

0

M´

M

z

y

w

v

MK




Funkce napětí (zavedl Ludwig Prandtl)

Pro usnadnění výpočtu vyhledáme takovou funkci F(y, z), jejíž derivace budou právě rovny hledaným smykovým napětím y a z:

y

Fy

a

z

Fz

.

Takto zavedenou funkci F(y, z) nazýváme FUNKCÍ NAPĚTÍ. Funkce F(y, z) tvoří nad profilem určitou plochu, kterou můžeme zobrazit v prvním oktantu souřadnicového systému x-y-z.

.

Protože současně směr složky napětí y je ve smyslu kladné osy z a z je proti smyslu kladné osy y, musí znaménka jednotlivých napětí podle těchto vztahů být:

0y y

Fy

a 0z

z

Fz

.

Poznámka: Pro lepší pochopení a zapamatování: Směr y je kolmý na osu y, protože toto napětí točí (kroutí) kolem osy y a z je kolmé na z, protože točí (kroutí) okolo osy z.

Nyní provedeme všechny parciální derivace, které potřebujeme k dosazení do původního systému rovnic:

2

2

y

F

yy

a 2

2

z

F

zz

a

zy

F

zy

2

a yz

F

yz

2 .

Po dosazení do první diferenciální rovnice vzniklé z rozšířeného Hookova zákona dostáváme:

Gz

F

y

F2

2

2

2

2

.

Protože ale funkce F = F(z, y), musí platit:

z

y

F(y,z)

F(y, z)

t2

t1

2

1

z

y

z

y

P

A

z

MK

y




sdružených smykových napětích). Díky této podmínce musí být složky smykových napětí y a z ve stejném poměru jako diferenciály délek dy a dz:

y

z

dz

dy

.

Po dosazení vztahů pro napětí y a z vyjádřených pomocí parciálních derivací funkce napětí F(z, y) dostáváme:

yFzF

dz

dy

0

dzz

Fdy

y

F .

A protože podle definice je funkce napětí F = F(y, z) závislá pouze na poloze dané souřadnicemi y a z, bude opět člen roven nule a můžeme tedy na obrysu profilu psát:

0

dzz

Fdy

y

Fdx

x

F ,

což je výraz pro úplný diferenciál dF funkce F(y, z) nezávislé na souřadnici x. Pro obrys profilu tedy musí platit podmínka:

0),( zydF ,

odkud vyplývá, že na obrysu profilu bude pro funkci napětí F platit:

.

Poznámka: Bude-li například profil obsahovat dva otvory musí funkce napětí F(y, z) na všech třech okrajových křivkách (jak na vnějším obrysu 1, tak i na obrysech 2 a 3 vnitřních otvorů) splňovat podmínku konstantní hodnoty (konstanty K1, K2 a K3 mohou být různé a většinou také jsou)

11 KFobrys a 22 KFobrys a 33 KFobrys .

1

2

3

z

y

P

MK

z

y

dy

dz

A




ODVOZENÍ VLASTNOSTI FUNKCE NAPĚTÍ

1. Funkce napětí F y, z představuje rovnici určité plochy vytvořené nad příčným průřezem. vztah:

.

Z této rovnice vyplývá, že vrstevnice vrchlíku napětí mají vždy směr tečny, jejichž směry udávají směr smykového napětí. Vrstevnice vrchlíku napětí při promítnutí do roviny průřezu představují SMYKOVÉ ČÁRY. I obrys profilu, kde platí F(y, z) = 0, musí být také smykovou čarou protože má totožnou rovnici:

.

2. Protneme-li vrchlík napětí dvěma sou-meznými rovinami (x h a x h dh), získáme dvě soumezné smykové čáry.

.

Tato rovnice znamená, že velikost smykového napětí je dána spádem vrchlíku napětí a také to, že součin dn = dF = konst.. Určitě jste si povšimli podobnosti s rovnicí kontinuity proudění známé z mechaniky tekutin, a proto hovoříme o tzv. hydrodynamické analogii. Smykové čáry představují proudnice a čím jsou hustší, tím větší smykové napětí je.

Poznámka: Vzpomeňte na Vltavu, která u Národního divadla skoro neteče, protože je tam široká a proudnice jsou daleko od sebe zatímco u ZOO v Tróji ubíhá velkou rychlostí, protože je úzká a proudnice jsou blízko proudění se liší (odpovídají smykovým napětím).

O

h

z

y z

y

x

MK

MK průsečnice F(y, z) = h

prut

průmět vrchlíku

z

y

dn

–dz

dy

M

dn

–dz

–dy

M




3.. Dvě soumezně roviny protnou vrchlík napětí ve dvou soumezných smykových čarách, které mají vzdálenost dn. odpovídající střednici dvou řešených smykových čar:

. Protože podle obrázku můžeme označit plochu, bude velikost elementárního krouticího momentu: . Jestliže platí hydrodynamická analogie dn = dF = konst., tak musí být:

, kde Ac představuje plochu uzavřenou střednicí c soumezných smykových čar. Protože součin dFAc = dV představuje element objemu vrchlíku napětí, můžeme psát dMK = 2dV. Celkový krouticí moment MK přenášený řešeným profilem pak bude pomocí funkce napětí roven:

.

Určení funkce napětí:

Stanovit funkci napětí F(y, z) tak, aby splňovala základní rovnice lze jednoduše provést pouze pro některé základní profily (elipsa, kruh, rovnostranný trojúhelník, ...). V zásadě musíme být schopni popsat obrys řešeného profilu funkcí f(y, z) = 0, která musí splňovat podmínku:

. Funkci napětí F(y, z) pak můžeme vypočítat jako:

. Takto stanovená funkce napětí F(y, z) splňuje základní rovnici krutu nekruhových profilů:

.

dF

z

y

x

MK

prut

dAc

dA

0

c

dV

dn ds

dT




MK

D

ODVOZENÍ KRUT KRUHOVÉHO PRŮŘEZU POMOCÍ FUNKCE NAPĚTÍ

V PP I jsme provedli řešení kruhového průřezu pomocí Saint-Vénantovy teorie a nyní si ověříme, že lze použít i řešení pomocí funkce napětí (kruhový profil je podmnožinou obecného nekruhového profilu). Funkci napětí stanovíme pomocí funkce obrysu f(y, z). Kružnici o průměru D můžeme zapsat ve tvaru:

. Tato funkce splňuje také druhou podmínku::

. Funkci napětí F(y, z) pak bude mít pro kruhový profil tvar:

. Smyková napětí jsou tedy dána jako: a . Dále půatí: (zavedeno již v PP I). Integrací funkce napětí přes plochu průřezu určíme objem vrchlíku napětí resp. krouticí moment:

P

AAAA

FK JGD

GdAD

dAzdAyG

dAzyFVM

32

π

422),(22

4

)(

2

)(

2

)(

2

)(

,

protože víme že: 64

π 4

)(

2 DJdAy z

A

,

64

π 4

)(

2 DJdAz y

A

a

4

π 2

)(

DAdA

A

.

Ze vztahu pro MK získáme velikost součinu G jako:

32π 4D

MG K

.

Protože součin G je definován jako KK JMG , bude modul JK kruhového profilu roven:

PK JD

J

32

π 4

.

Maximálních hodnot dosahuje smykové napětí y nebo z na vnějším obrysu:

2)2(,max

DGDzy .

ODVOZENÍ

O

Odpovídá d í PP

y

z

y

z

y

z

y

z




KRUT TENKÉHO DLOUHÉHO OBDÉLNÍKA

Obdélníkový průřez namáhaný momentem MK má rozměry ht za předpokladu, že h >> t. Pokud si představíme nad ním sestrojený vrchlík napětí je zřejmé, že siločáry budou v tomto případě kromě malé oblasti u kratších stran rovnoběžné s osou z. Znamená to tedy, že budou pouze funkcí souřadnice y a musí platit: a z rovnice pak zbude jen jediná závislost smykového napětí y na souřadnici y:

, kde parciální derivaci v této rovnici můžeme nahradit obyčejnou, protože napětí y je závislé pouze na jediné proměnné – souřadnici y. Dostaneme tak jednoduchou diferenciální rovnici:

. Integrační konstantu C1 určíme z okrajové podmínky. Protože zřejmě musí být uprostřed profilu smykové napětí y = 0, bude C1 = 0 a výsledný průběh smykových napětí je popsán vztahem:

.

Je tedy zřejmé, že po šířce t obdélníkového profilu bude smykové napětí y rozloženo lineárně.

Protože podle předpokladu je řešený obdélník „dlouhý a tenký“ (h >> t), lze toto rozložení aplikovat na celou jeho délku, protože chyba vznikající poél kratších stran je zanedbatelná. Ze známého průběhu y nyní můžeme určit také funkci napětí:

.

Z předchozích vztahů je jasné, že také funkce napětí F bude pouze funkcí souřadnice y, a tak parciální derivaci nahradíme obyčejnou:

Tuto rovnici vyřešíme neurčitou integrací levé a pravé strany:

chyba

y

z

O

y

z

h t MK

h t

F(0

)




Poznámka: dlouhý řešený obdélník musí být, abychom mohli chybu zanedbat. Pro tento výpočet rozdělíme profil na tři části: I. obdélník tt/2 na jednom konci II. střední obdélník (h–t)t III. obdélník tt/2 na druhém konci Ve střední části II. předpokládáme, že parabolický válec popisuje poměrně přesně tvar vrchlíku napětí.

Složením I. a III. části vznikne čtverec o straně t, který sice není řešitelný přímo pomocí základních vztahů teorie krutu nekruhových profilů, ale použijeme výsledky numerické analýzy krutu tohoto profilu metodou konečných prvků a dostáváme výsledek:

.

Výpočty pro další poměry stran obdélníka jsou patrné z tabulky:

th [1] 3 4 5 6 7 8 10 12 20 58 100

KJ [%] 24 17 13 11 9 8 6 5 3 1 0,6

Z těchto výsledků vyplývá: Považujeme-li za dostatečně malou chybu 10% a méně, bude

dostatečně „dlouhý“ obdélník se stranou h delší než cca 7-mi násobek strany t.

Považujeme-li za dostatečně malou chybu 5% a méně, bude dostatečně „dlouhý“ obdélník se stranou h delší než cca 12-ti násobek strany t.

t t

t t

(h) t

t/2 t/2 h t

III. II. I.




6.2 TENKOSTĚNNÉ PROFILY V těchto případech se výpočet do jisté míry zjednoduší resp. budeme využívat některé dříve zavedené a odvozené vztahy. Pro další postup musíme tenkostěnné profily rozdělit na UZAVŘENÉ, kde střednici tvoří uzavřená křivka a OTEVŘENÉ, kde je střednicí obecná neuzavřená křivka. Uzavřené tenkostěnné profily Uzavřený tenkostěnný profil můžeme chápat jako profil mezi dvěma smykovými čarami vzniklými na vrchlíku napětí. Moment přenášený oblastí mezi dvěma soumezně blízkými smykovými čarami jsme odvodili při platnosti tzv. hydrodynamické analogie (dn = konst.) jako:

c

c

cK AdndAdndM 22)(

.

Aplikujeme-li nyní tento vztah na tenkostěnný profil, kde bude tloušťka t dostatečně malá a srovnatelná tedy s elementární tloušťkou dn, dostáváme výsledný vztah pro výpočet krouticího momentu:

cstřK AtM .2 .

Kde: Ac je plocha uzavřená střednicí uzavřeného profilu c (uzavřená křivka), t je tloušťka stěny profilu ve vyšetřovaném místě (může se po profilu měnit). stř. je střední hodnota smykového napětí ve vyšetřovaném místě (může se po profilu měnit). Obráceně lze ze zadaného momentu MK a rozměrů profilu určit střední smykové napětí stř. jako:

resp. maximální střední napětí stř. max v celém profilu: min

max. 2 tA

M

c

Kstř

.

Největší střední hodnota smykového napětí nastává právě tam, kde je NEMENŠÍ tloušťka stěny profilu tmin (vzpomeňte na poznámku o Vltavě a rychlosti toku u Národního divadla a u ZOO).

Nyní ještě musíme dořešit skutečné maximální napětí, které může v profilu vzniknout:

MK

z

y t

stř.

c

Ac

MK

MK




1. Přímá (málo zakřivená) část Pokud jsme na začátku přijali teorii dostatečně malé tloušťky stěny t a z toho plynoucí malé změny funkce napětí F(y,z) po tloušťce, můžeme na základě těchto pře dpokladů uvažovat přibližný (lineární) vztah rozložení smykových napětí: 2. Silně zakřivená část (roh) Složitější situace v rozložení smykových napětí vzniká v oblasti silného zakřivení profilu (roh), kde na základě přibližné teorie lze počítat rozložení napětí na křivosti o poloměru podle vztahu:

. Konstantu C lze odvodit pomocí Stokesovy věty pro uzavřený tok ve tvaru:

. závěr provést konečný přepočet dovoleného zatěžujícího momentu MKD tak, aby největší maximální smykové napětí MAX bylo právě rovno dovolenému napětí D:

.

Poznámka: Při výpočtu uzavřených profilů bude vždy MKD < MK, protože i při vhodné konstrukci rohu profilu je externí napětí ext. na vnějším povrchu nejtenčí přímé části větší než výpočtové střední napětí stř., které bylo rovno dovolenému smykovému napětí D.

ext.

stř.

int.

t

r1

r2

()




Otevřené tenkostěnné profily Otevřený tenkostěnný profil můžeme chápat vzhledem k aditivnosti modulu JK = JKi jako profil složený z řady tenkých dlouhých obdélníků. Moment přenášený n tenkými dlouhými obdélníky o rozměrech hiti můžeme vyjádřit jako:

. Největší hodnota smykového napětí nastává na vnějším resp. vnitřním okraji profilu právě tam, kde je NEJVĚTŠÍ tloušťka stěny tmax (čím tlustší tím tužší a tím přenáší víc).

Nyní ještě musíme dořešit skutečné maximální napětí, které může v profilu vzniknout: 1. Přímá (málo zakřivená) část Přímou část již není třeba přepočítávat, protože výpočet vychází z lineárního rozložení smykových napětí s maximem na krajích průřezu (max = D) v místech s největší tloušťkou stěny (střední napětí je vždy nulové : stř. = 0). 2. Silně zakřivená část (roh) V oblasti silného zakřivení profilu (roh) vzniká opět složitější napjatost, kterou vyřešíme na základě přibližné teorie. Napětí v rohu na křivosti o poloměru lze vypočítat opět podle základního vztahu: Jestliže jsme při návrhu zatěžujícího momentu MK položili napětí v nejtlustším místě rovné dovolenému napětí D, musíme na závěr provést konečný přepočet dovoleného zatěžujícího momentu MKD tak, aby největší maximální smykové napětí MAX bylo právě rovno dovolenému napětí D:

.

Poznámka: Při výpočtu otevřených profilů bude MKD MK, protože při vhodné konstrukci rohu profilu je již profil správně nadimenzován na smykové napětí max na vnějším povrchu nejtlustší přímé části rovné dovolenému smykovému napětí D.

MK

MK

stř = 0

max

tmax

max

r1

r2

()




Porovnání uzavřeného a otevřeného tenkostěnného profilu Pro snadnější pochopení všech základních výpočtů uzavřených a otevřených tenkostěnných profilů provedeme nyní srovnání obou výpočtů vedle sebe včetně vyjádření odpovídajících veličin.

Uzavřený profil Otevřený profil

Návrh zatěžujícího krouticího momentu

Dcpruz

K tAM min.. 2 D

KcprotK t

JM

max

..

Použitá průřezová charakteristika

)(c

cc dAA

n

iii

n

iKiKc thJJ

1

3

1 3

1 (ti << hi)

Výpočet potřebných konstant

c

c

stř

A

ds

G

2)(

.

Kc

K

J

MG

1

2

21

22.

ln

)(2

rr

rrG

tC

stř

1

2

21

22

ln

)(2

r

r

rrG

C

Kontrola v přímé části

min. tGDext neprovádí se (obsaženo již v základním návrhu)

Kontrola v rohu

CG

CG

Maximální smykové napětí v profilu

);max(..MAX ext

pruz );max(..MAX D

prot

Dovolené zatížení profilu

....

MAX

.. pruzKpruz

DpruzKD MM

..

..MAX

.. protKprot

DprotKD MM

Výsledný moment .... pruz

Kpruz

KD MM .... protK

protKD MM

MK

MK

MK

MK




7.TECHNICKÁ PLASTICITA Úvod: Během celé dosavadní pružnosti jsme předpokládali „lineární“ chování materiálu – tedy že všechny probíhající děje jsou „vratné“ (po

Poznámka: V celé této kapitole budeme používat „staré“ označení meze kluzu K, i když podle „nové“ normy bychom měli používat pro mez kluzu podmínka: K resp. omax K . V případě krutu musela být splněna podmínka: max K , kde K =K/

( = 2 nebo). V případě ztráty stability podle Eulera byla podmínka ještě přísnější: napětím a deformací popsanou Hookovým zákonem). Tahový diagram běžné konstrukční oceli (budeme z něho dále vycházet):

Základní předpoklady úloh vtechnické plasticitě: 1. Zůstává v platnosti předpoklad malých deformací

(systém je i v plasticitě stále geometricky lineární),

2. Materiál v plasticitě zůstává stále ideální (izotropní bez vnitřních imperfekcí, ...),

3. Tahový diagram aproximujeme ideálně elasticko-plastickým modelem

0

u

K

Pt

ideální přímka

E

Celá PP I a

dosavadní PP II

(tah/tlak, ohyb

a krut, nádoby,

Eulerův

vzpěr

u K

Dosavadní PP (b l i i )

K´

Rozšíření PP (s l i i )




Nelineární chování materiálu – vznik trvalých deformací (při jednoosé napjatosti): Po překročení meze kluzu (u materiálů bez výrazné meze kluzu po překročení smluvní meze kluzu) se po odlehčení již soustava nevrátí do původní polohy. Odlehčení probíhá po přímce, která je rovnoběžná s přímkou elastického chování materiálu. Dosažená deformace se tak po odlehčení neztratí celá, ale pouze její elastická (vratná) část. Zbývající část deformace je již „trvalá“ a představuje plastickou (nevratnou) část deformace: Elastická složka deformace odpovídá deformaci, která by v soustavě zobrazení el v horní části předchozího obrázku). Nás bude s ohledem na další výpočty spíše zajímat plastická složka deformace, kterou určíme jako:

.

Věta o zbytkových napětích (deformacích): Zbytková napětí (deformace) v součásti vzniklá po odlehčení lze vypočítat jako rozdíl výsledných napětí (deformací) a hodnot napětí (deformací) stanovených pro ideální elastické těleso v celém rozsahu zatěžování. Tuto větu můžeme např. pro napětí zapsat formálně ve tvaru:

...

fiktelskutzb .

Poznámky: 1. Předchozí věta funguje i v elastické oblasti, kde bude skutečná a

fiktivní elastická hodnota napětí stejná, a tak zbytková napětí zde nebudou vznikat (odpovídá skutečnosti)

2. Připomeňme si jeden rozdíl: „Technik uvažuje skutečný stav a od něho odečítá fiktivní, který nemůže reálně nastat, zatímco ekonom počítá s fiktivními penězi, ze kterých se snaží financovat reálné věci.

0

elastické h á í

E

el pl

el

E




Model skutečného materiálu: Protože závislost mezi napětím a deformací získáváme z tahových zkoušek experimentálně, je snaha tuto závislost popsat matematicky. Nejčastěji se používá parabolická náhrada:

.

Konstanty K a m se stanoví na základě experimentů. Náhrada skutečného pracovního diagramu:

V technické praxi se velice často spokojíme s náhradou pracovního diagramu lomenou čarou. Protože předpokládáme zachování diagram, kdy již deformace dosahují takových velikostí, že by bylo třeba uvažovat geometrickou nelinearitu v chování součásti. Lomená náhrada tak popisuje jen počáteční část tahového diagramu, kdy jsou deformace ještě malé, a proto nás tato oblast nejvíce zajímá.

Materiál s lineárním zpevněním Materiál bez zpevnění (elasticko-plastický model se zpevněním)(ideální elasticko-plastický model)

Pokud je K (elastické chování) platí u obou modelů pro stanovení modulu pružnosti E vztah:

E resp. K

KE

.

Modul zpevnění druhé části náhradního Tento diagram nepředpokládá zpevnění. diagramu můžeme určit ze vztahu: 0E .

(dále budeme uvažovat tento diagram) .

0

K

K

E

K

K

E

E




Mezní stav plasticity:

Mezní stav plasticity nastane tehdy, dojde-li v důsledku zatížení ke kvalitativní změně v chování součásti – vznikne plastický mechanizmus. Mezní stav plasticity představuje možnou limitní hodnotu při dimenzování součástí, pokud pro provoz jsou přípustné malé plastické deformace. Protože zatížení při mezním stavu plasticity může být i výrazně vyšší než zatížení při mezním stavu pružnosti, umožňuje nám tento způsob dimenzování dosahovat vyšších dovolených zatížení nebo menších potřebných rozměrů.

Poznámka: Povšimněte si, že na rozdíl od definice většiny předchozích mezních sta vů (pružnosti, pevnosti, ...) není mezní stav plasticity vázán přímo na konkrétní napětí, ale na určitý typ změny v chování součásti. Použití ideálně elasticko-plastického náhradního materiálového modelu: Teoreticky se ideální elasticko-plastický model může „nekonečně“ deformovat, ale toto „nekonečno“ musí zůstat v oblasti „malých“ deformací, což je základní předpoklad celé pružnosti a pevnosti.

E

Elastická oblast

Plastická oblast

E

Elastická oblast

Plastická oblast

„“




7.1TAH A TLAK VPLASTICITĚ

PŘÍKLAD (STATICKY NEURČITÝ TAH/TLAK V PLASTICITĚ):

Dáno: Sloupek o ploše průřezu A a délky � je vetknutý na obou koncích (body B a C) a ve dvou třetinách své délky od spodního vetknutí (bod D) je zatížen osamělou silou F (vlastní tíhu sloupku zanedbáme).

Určit: Mezní sílu Fmez, která způsobí vznik mezního stavu plasticity daného sloupku.

P 2

/3

A

F

/3

D

B

C




.

F

2F/3

F/3

Fmez

„“

F

F KA

KA




Diagram závislosti napětí na zatěžující síle F , resp. poměru F/A: Je patrné, že platí:

1;0 FF ... soustava se chová elasticky – všechny deformace jsou vratné a

po odlehčení nevyniknou v součásti žádná zbytková napětí (F1 = Fel.).

21 ; FFF ... soustava se chová elasticko-plasticky – po odlehčení vždy

vzniknou zbytková napětí resp. deformace (děje již nejsou vratné).

.2 mezFFF ... soustava se chová jako mechanizmus – nastal MEZNÍ STAV PLASTICITY.

F

Elastická oblast Elasticko-plastická oblast

+K

K

1

2

F1 F2

Oblast plastického mechanizmu

MEZ

NÍ S

TAV

PLAS

TIC

ITY

1

2

2 zb=1 zb

1 skut.

2 skut.

1 zb

2 zb




7.2KRUT VPLASTICITĚ

Rozložení napětí: Tento druhý nejjednodušší typ namáhání se i v plasticitě řeší poměrně jednoduše, a to zejména pro kruhový nebo mezikruhový profil. Smykové napětí v celém průřezu lze totiž popsat v elastickém stavu jedinou rovnicí: kde: MK [Nmm] je vnirřní krouticí moment působící v daném místě, JP [mm4] je polární kvadratický moment průřezu, [mm] je vzdálenost místa průřezu od pólu průřezu, WK [mm3] je průřezový modul v krutu.

Rozložení smykových napětí podle tohoto vztahu známe z PP I.

Přechod z elastického do elasticko-plastického a plně plastického stavu:

elastický konec elastického elasticko-plastický plastický stav stav stav stav Pokud napětí v krajním vlákně dosáhne meze kluzu ve smyku (max = K) končí elastický stav průřezu a krouticí moment, který tento stav vyvolá značíme: MK 1 = MKel.:

Elasticko-plastický a plastický stav kruhového průřezu:

Při dalším růstu zatížení (MK > MKel.) již další nárůst napětí v krajních vláknech není podle předpokladu možný, a tak jsou vlákna průřezu na poloměru D/2 namáhána pouze napětím K a postupně průřez od kraje ke středu plastizuje. Průřez se dostává do elasticko-plastického stavu (má ještě pružné jádro o průměru a a plastický obal na mezikruží a D). Matematicky můžeme tento stav popsat vztahem:

,

max K K

MK MK 1 = MK el. MK 2 = MK pl.

D D D

K

MK el.-pl.

a

D




ODVOZENÍ ELASTICKO-PLASTICKÝ MODUL VKRUTU KRUHOVÉHO PRŮŘEZU:

Moment přenášený elastickým jádrem MKel.jádra určíme jednoduše pomocí vztahů známých z PP I:

.

Moment přenášený plastickým obalem MKpl.obalu určíme integrací přes celou zplastizovanou oblast:

. Sečtením obou částí dostáváme hledaný elasticko-plastický moment:

.

A odtud již dostáváme hledaný modul průřezu v krutu včetně jeho diskuse:

.

Tento výraz lze tedy považovat za „univerzální“, protože s jeho pomocí jsme schopni popsat jak elastický stav, tak také elasticko-plastický stav a i stav plně plastický (vznik tzv. plastické spojky).

Platnost vztahu i pro plastický stav si můžeme ověřit jednoduchým výpočtem momentu MK 2:

.

Poznámka:

Pokud budeme stejným způsobem řešit trubku D/d - mezikruhový průřez namáhaný krutem, dostali bychom obdobný vztah:

.

O

K MK el.-pl.

a

D

d

dT

dA

K

MK pl.

d

D




Zbytková napětí při krutu:

Stanovení zbytkových napětí při odlehčení prutu kruhového průřezu Předpokládejme např. zplastizování právě poloviny průměru kruhového průřezu (a = ½D). Nejprve tedy vypočteme velikost v nich konstantní rovnající se mezi kluzu (plastický obal).

. Poznámka: Povšimněte si, že maximální fiktivní napětí musí vyjít vyšší než mez k luzu K, což je opravdu pouze fiktivní stav, protože základní

.

K

D

a

plast

skut. fikt. zb. nebo

elast. jád

r1

MK el.-pl.

+K

+K

K

skut. fikt. zb. nebo

plně plast.

MK pl.




MK MK MK MK

Využití vlastností funkce napětí F(y,z) pro řešení krutu v plasticitě Při řešení krutu v plasticitě lze s výhodou využít některé vlastnosti, které byly zavedeny v kapitole „Krut nekruhových profilů“ a které jsou obecně platné pro jakýkoliv profil (kruh je „zvláštním“ případem nekruhového profilu). Z těchto vlastností využijeme zejména dvě:

1. Spád vrchlíku napětí je úměrný velikosti smykového napětí: ,

2. Dvojnásobný objem vrchlíku napětí je roven velikosti krouticího momentu: .

Z první podmínky pro plastickou spojku, kdy je v celém průřezu smykové napětí rovno mezi kluzu ve smyku K, vyplývá, že spád vrchlíku napětí musí být konstantní a musí platit: K tg .

Podle druhé podmínky stačí vypočítat objem tělesa sestrojeného nad příčným průřezem řešeného profilu za površek. Podle této teorie bude mít u kruhu vrchlík tvar kužele, u mezikruhu tvar komolého kužele, u čtverce tvar jehlanu a u dutého čtverce (jekl) bude mít tvar komolého jehlanu.

kruhový mezikruhový čtvercový dutý čtvercový profil profil profil

= konst.

MK = 2V

Prandtlův Nádaiův

MK pl.

D

MK pl.

B

MK pl.

B

b

MK pl.

D

d




7.3OHYB V PLASTICITĚ

Rozložení napětí: Tento typ namáhání se i v plasticitě řeší poměrně jednoduše. Ohybové napětí v celém průřezu lze totiž popsat v elastickém stavu jedinou rovnicí: kde Mo je ohybový moment působící v daném místě, Jz je osový kvadratický moment průřezu k ose z, je vzdálenost místa průřezu od neutrální osy průřezu (předpokládáme rovinný ohy on z), Woz je průřezový modul v ohybu k ose z.

Rozložení ohybových napětí podle tohoto vztahu odvodil Bernoulli a známe ho z PP I a např. pro obdélník bh bude podle prvního obrázku. Další postup plastizace je patrný z dalších obrázků:

Přechod z elastického do elasticko-plastického a plně plastického stavu:

elastický konec elasticko-plastický plastický stav elastického stavu stav stav

Pokud napětí v krajním vlákně dosáhne meze kluzu (o max = K) končí elastický stav průřezu a ohybový moment, který tento stav vyvolá značíme: Mo1 = Moel.

.

Při dalším růstu zatížení (Mo > Moel.) již další nárůst napětí není podle předpokladu možný, a tak vnější vlákna průřezu jsou namáhána pouze napětím K a postupně plastizují. Průřez se dostává do elasticko-plastického stavu - má pružné jádro o výšce a a plastický obal na v oblasti od a/2 h/2 v horní i dolní části průřezu. Matematicky můžeme tento stav popsat vztahem:

o max K K K

Mo Mo 1 = Mo el. Mo 2 = Mo pl.

h

b

y

z a

Mo el.-pl.




ODVOZENÍ ELASTICKO-PLASTICKÝ MODUL PRŮŘEZU VOHYBU OBDÉLNÍKOVÉHO PRŮŘEZU:

Celkový elasticko-plastický moment je součtem momentu, který přenáší elastické jádro a momentu, který přenáší plastický obal řešeného obdélníkového průřezu:

,

Moment přenášený elastickým jádrem Moel.jádra určíme jednoduše pomocí vztahů známých z PP I:

.

Moment přenášený plastickým obalem Mopl.obalu určíme integrací přes celou zplastizovanou oblast:

Sečtením obou částí dostáváme hledaný celkový elasticko-plastický moment přenášený průřezem:

. A odtud již dostáváme hledaný modul průřezu v krutu včetně jeho diskuse:

. Tento výraz lze tedy považovat za „univerzální“, protože s jeho pomocí jsme schopni popsat jak elastický stav, tak také elasticko-plastický stav a i stav plně plastický. Platnost vztahu i pro plastický stav si můžeme ověřit jednoduchým výpočtem momentu MK 2:

.

Výpočty pro jiné průřezy bychom prováděli obdobně.

O

K

h

b

a

dA

dN Mo el.-pl.




TABULKA PLASTICKÝ PRŮŘEZOVÝ MODUL VOHYBU WOPL.

Přehled plastických průřezových modulů v ohybu Wo pl. a z nich plynoucí velikosti plastických momentů Mo pl., které způsobí vznik plastického kloubu je pro vybrané profily tabulce:

4422

2

.

hbhhbW plo

4

2

.

hbM Kplo

4422

3

.

aaaaW plo

4

3

.

aM Kplo

6

2

2

2

3

1

22

32

.

aa

aW plo

6

2 3

.

aM Kplo

Vzdálenost těžiště půlkruhu od průměru je: ae 6

2T .

62π3

4

8

π2

32

.

DDDW plo

6

3

.

DM Kplo

Vzdálenost těžiště půlky čtverce od úhlopříčky je: 2π3

4 De

T .

tatat

ata

taW plo

222. ta

taM Kplo

2.

Profil je volen tak, aby pásnice měla stejnou plochu jako stojina: atAA dolhor .. .

2

2122.

2

2122

2

212

2.

22

22

2222

th

tthtbMth

tthtb

th

th

tth

tbW

Kplo

plo

44222

2

.

hhbt

hht

htbW plo

4

2

.

hhbtM Kplo

Všechny předchozí výpočty využívají fakt, že plastický průřezový modul v ohybu Wo pl. je dvojnásobným statickým momentem poloviny plochy průřezu Son k neutrální ose v ohybu v plasticitě on pl., která nemusí procházet těžištěm ale musí dělit profil na dvě shodné plochy:

Ahor. Adol. Ahor. Adol. A .

on pl. h

b

t

t

h je výška celého profilu

h je výška celého profilu tloušťka t << h, b

on pl.

b

h

on pl.

a

a

on pl.

a a

on pl.

D

on pl.

t

a

a t

on pl. h

b

t1 t2

T




Zbytková napětí při ohybu:

Stanovení zbytkových napětí při odlehčení prutu obdélníkového průřezu (bh) z elasticko-plastického stavu při zatížení momentem Moel.-pl. znamená nejprve popsat skutečná napětí v elasticko-plastickém stavu o skut. a následně napětí fiktivní o

fikt., která by v průřezu vznikla při elastickém chování materiálu po celou dobu zatěžování. Předpokládejme např. zplastizování právě poloviny obdélníkového průřezu (a = ½h). Nejprve tedy vypočteme velikost elasticko-plastického momentu Moel.-pl., který tento stav způsobuje, jako:

. Tento moment vyvolá skutečný průběh napětí oskut. odpovídající elasticko-plastickému rozložení – od osy až do vzdálenosti h/4 je průřez ještě v elastickém stavu (elastické jádro) a rozložení se řídí Bernoulliho teorií. Zbývající části průřezu od h/4 do h/2 jsou již plně zplastizovány a ohybové napětí je v nich konstantní rovnající se mezi kluzu (plastický obal).

olovinu řešeného průřezu.

Maximální fiktivní napětí vypočteme pomocí elastického elasticky během celého zatěžování:

. Poznámka: Povšimněte si, že maximální fiktivní napětí musí být vyšší než mez kluzu K, což je opravdu pouze fiktivní stav, protože základní předpoklad technické plasticity je ideální elasticko-plastický model, který při dosažení meze kluzu K předpokládá „nekonečné“ deformace a mez kluzu K již dále nepřekračuje.

a h

b

plast

plast

o skut. ofikt. o zb. nebo

K

elast.

x 1




Zbytkové napětí .zbo vypočteme jako rozdíl skutečného napětí oskut. a fiktivního napětí .fikt

o . Zbytkové napětí vznikající v krajních vláknech průřezu je:

KKKfikt

oskutookrajzbo 8

3

8

11.max

... .

Další lokální extrém vzniká na hraně elastického jádra, kde je skutečné napětí stále rovno mezi kluzu (oskut. = K), ale fiktivní napětí

.fikto je třeba dopočítat podle Bernoulliho teorie za použití

kvadratického momentu průřezu jako:

KKelz

plelofiktjádraelo

h

hb

hba

J

M

16

11

4

12

48

11

2 3

2

.

.... .

Výsledné zbytkové napětí v tomto místě bude:

KKKfikt

jádraeloskutojádraelzbo 16

5

16

11..

.... .

Místo, kde budou zbytková napětí nulová (ozb. = 0), kromě neutrální osy procházející těžištěm průřezu, určíme z jednoduché podmínky:

0)( 1.

. xfiktoskuto .

Odkud dostáváme:

11.

..

4

1110 x

hx

J

MK

elz

pleloK

14

1110 x

h hx

11

41 .

Pokud bychom prováděli odlehčení z plně zplastizovaného stavu průřezu (stav odpovídající existenci plastického kloubu), budou zbytková napětí na okraji a ve středu průřezu:

,

.

o skut. ofikt. o zb. nebo

K

plast. +

2h /

3




7.4 PLASTICITA PŘI VÍCEOSÉ NAPJATOSTI Všechny předchozí úvahy se týkaly jednoosé napjatosti při známé mezi kluzu v tahu/tlaku resp. napjatosti čistého smyku při volném považován stav, kdy jednoosá napjatost resp. napjatost čistého

V případě víceosé napjatosti je třeba uvažovat „interakci“ jednotlivých složek a jejich podíl na celkovém stavu napjatosti řešeného místa. V těchto případech je třeba počátek plastického stavu určit pomocí PODMÍNKY PLASTICITY (obdoba teorie/hypotézy pružnosti). Stejně jako v elastickém stavu existuje i v plasticitě celá řada teorií, ale nejjednodušší a nejpoužívanější jsou dnes dvě hlavní. Podmínky plasticity:

1. Saint-Vénantova podmínka

Tato podmínka odpovídá známé Trescově hypotéze resp. hypotéze MAX.

Počátek plastického stavu nastává tehdy, je-li průměr největší Mohrovy kružnice roven mezi kluzu:

K minmax .

Pokud známe pořadí velikostí hlavních napětí 1 > 2 > 3, můžeme aint-Vénantovu podmínku psát: tří hlavních napětí – největší 1 a nejmenší 3. Prostřední napětí 2 ve vztazích vůbec nevystupuje. Výhodou této podmínky je její jednoduchost, která nekomplikuje výpočty. 2. Energetická podmínka

Tato podmínka je také nazývána podle svých autorů (Huber-Mieses-Hencky) a odpovídá známé energetické hypotéze resp. hypotéze H.M.H. Počátek plastického stavu nastává tehdy, je-li intenzita napětí i rovna mezi kluzu:

.

Tento výraz můžeme zapsat podle známých vztahů z PP I ve tvaru:

.

Známe-li velikostí hlavních napětí 1,2,3 (na pořadí nezáleží), můžeme energetickou podmínku psát:

.




Hencky-Nádayova teorie plasticity

Tato teorie mezi sebou váže hlavní napětí 1,2,3 a hlavní přetvoření 1,2,3 (obdobně jako Hookův zákon):

.

Obdoba s rozšířeným Hookovým zákonem je patrná. Modul pružnosti E je nahrazen podílem i/i a Poissonovo číslo je nahrazeno konstantou ½ (ideální hodnota součinitele příčné kontrakce při platnosti zákona zachování objemu, který ideální plasticita předpokládá).

Intenzita napětí je: .

Intenzita deformací je: .

ODVOZENÍ URČENÍ PRŮBĚHŮ NAPĚTÍ A MEZNÍHO TLAKOVÉHO SPÁDU SILNOSTĚNNÉ VÁLCOVÉ NÁDOBY (TRUBKY)

Silnostěnná válcová nádoba o poloměrech r1 a r2 je namáhána vnitřním přetlakem p1 > p2. Celá nádoba je vyrobena z materiálu o mezi kluzu K.

Při odvození vztahů popisující tečné napětí a radiální napětí plastickém stavu silnostěnné nádoby vyjdeme ze základní diferenciální rovnice, kterou jsme popsali rovnováho elementu vyjmutého ze stěny ve vzdálenosti x od osy nádoby:

0)()( dxxxxd tr 0)()( xdx

dxx r

tr

.

Předpoklady řešení:

1. Z teorie silnostěnných nádob vyplývá, že vždy platí: t(x) > r(x).

2. Trubka je dostatečně dlouhá a osovou deformaci zanedbáváme (o = 0).

Vztah pro osovou deformaci můžeme pomocí Hencky-Nádayovy teorie plasticity zapsat jako:

02

1

rto

i

io

.

Odkud vyplývá pro nenulový podíl intenzit deformace a napětí (i/i 0) vztah:

O

p2

r2

p1

r1




1. Saint-Vénantova podmínka plasticity:

Krt xx )()( .

2. Energetická podmínka plasticity: Intenzitu napětí nejprve vyjádříme pomocí všech tří napětí:

OP

.

Průběhy tečného napětí t(x) a radiálního napětí r(x) v plně plastickém stavu silnostěnné válcové nádoby (trubky) při zatížení tlaky p1 a p2 na poloměrech r1 a r2 jsou logaritmické navzájem posunuté křivky (ekvidistanty). Vzdálenost mezi oběma křivkami je po celé tloušťce stěny rovna právě mezi kluzu K - nádoba je celá

p2

r2

p1

r1

p1

p2

r(x) t(x)

x

– +

K

K




Silnostěnná nádoba vpružně-plastickém stavu (dle Saint-Vénanta a MAX):

Jedná se o silnostěnnou nádobu (trubku), která je mezi poloměry r1 a r2 již zplastizovaná (red. = K), zatímco část mezi poloměry r2 a r3 je ještě v elastickém stavu (red. < K). Výpočet elasticko-plastického stavu je v mnohém podobný výpočtu dvou nalisovaných nádob jen s tím rozdílem, že zde se každá z částí počítá podle jiné teorie. Výrazný rozdíl nastává ve spojení obou částí, protože se ve skutečnosti jedná o jedno těleso a dělení je jen pomyslné. Ve spojení plastické částí s částí elastickou tak nesmí v průběhu radiálního napětí r(x) ale ani tečného napětí t(x) nastat skok.

Výpočet jednotlivých částí nádoby:

Pro plastickou část tak podle Saint-Vénantovy podmínky plasticity platí:

1

2.21 ln

r

rpp Kpl .

Pro elastickou část obdobně podle hypotézy MAX platí:

2

3

2.32 1

2 r

rpp K

el

.

Protože stejně jako u nalisované nádoby musí tlak p2 působit na poloměru r2 jak na vnitřní plastickou část, tak i na vnější elastickou část nádoby, získáme sečtením obou vztahů výsledný tlakový spád (p1 – p3)el.-pl., který způsobuje elasticko-plastický stav nádoby/trubky (od r1 až do r2 je plastická část trubky a od r2 až do r3 elastická část trubky).

1

2.21 ln

r

rpp Kpl a

2

3

2.32 1

2 r

rpp K

el

.

p3

p1

p2

K

K

p1

p3

rpl.(x)

rel.(x)

Kel.

– +.

el.

pl.

r2 r1

r3

tel.(x)

p2

x

tpl.(x)




Zbytková napětí ve stěně silnostěnné nádoby po odlehčení zmezního stavu:

PŘÍKLAD (SILNOSTĚNNÁ NÁDOBA – ZBYTKOVÁ NAPĚTÍ):

Dáno: Otevřená silnostěnná válcová nádoba má rozměry r1 100 mm, r2 150 mm, zatížena je vnitřním přetlakem p1 (p2 0) a je vyrobena z materiálu o mezi kluzu K 200 Nmm-2.

Určit: Mezní elastický tlak p1 el. odpovídající konci elastického stavu, mezní plastický tlak p1 pl. p1 mez. odpovídající zplastizování celé stěny silnostěnné nádoby a průběhy zbytkových napětí po odlehčení z mezního stavu plasticity.

Řešení: Nejprve určíme hledané tlaky odpovídající jednak konci elastického stavu p1el. a jednak meznímu stavu plasticity p1 pl. p1 mez.:

MPa6,55150

1001

2

2001

2

22

2

1.1

r

rp K

el

a MPa1,81

100

150ln200ln

1

2.1

r

rp Kmez ,

Zbytková napětí obecně určíme jako rozdíl skutečné napjatosti skut., která je doopravdy ve stěně silnostěnné nádoby, minus fiktivní napjatost fikt., která by vznikla ve stěně silnostěnné nádoby, pokud by tato byla v elastickém stavu po celou dobu zatěžování (může tedy nastat fikt. K ):

.,

.,.,

fiktrt

skutrtzbrt .

1. Skutečný – mezní stav silnostěnné válcové nádoby (trubky) podle teorie Saint-Vénantovy:

Pro naznačení výpočtu zbytkových napětí ve stěně silnostěnné trubky použijeme jednodušší podmínku plasticity podle Saint-Vénanta ve tvaru:

Krt xx )()( ,

Podle této podmínky jsou průběhy radiálního resp. tečného napětí popsány funkcemi:

11

ln)( pr

xx Kr resp. 1

1

ln1)( pr

xx Kt

.

2. Fiktivní – elastický stav silnostěnné válcové nádoby (trubky):

Protože p1 mez. p1 el., bude napjatost při tomto tlaku pouze fiktivní – ve skutečnosti nemožná. Všechny vztahy elastického řešení použijeme a jen do nich dosadíme stav, který nemůže nastat:

21

22

21..

rr

rpK mezifikt

a

21

22

21

21

..

rr

rrpC mezi

fikt

,

2

... )(

x

CKx

fiktfiktfikt

t a 2

... )(

x

CKx

fiktfiktfikt

r .

P




Z těchto výrazů dostáváme vztah mezi napětími ve tvaru )(2)( ... xKx fiktr

fiktfiktt ,

odkud bude:

.11. )( mez

fiktr pr a .1

.1

. 2)( mezfiktfikt

t pKr resp. 0)( 2. rfikt

r a .2

. 2)( fiktfiktt Kr .

Nyní zobrazíme průběhy napětí t x a r x pro oba uvažované stavy nutné pro výpočet zbytkových tečný (mezní) stav a fiktivní (elastický) stav.

skutečný stav fiktivní stav (mezní stav) (elastický stav)

Nyní dopočítáme číselně všechny potřebné hodnoty a oba stavy zakreslíme do jednoho zvětšeného obrázku. Potom provedeme grafický součet (rozdíl):

222

2. mmN9,64

100150

1001,81

fiktK a N8004591

100150

1501001,81

22

22.

fiktC .

Jednotlivá napětí na okrajích nádoby budou:

21

. mmN1,81)( rskutr a 2

1. mmN9,1181,81

100

100ln1200)(

rskut

t ,

21

. mmN1,81)( rfiktr a 2

1. mmN7,2119,819,642)( rfikt

t ,

21. mmN0)1,81(1,81)( rzbr a 2

1. mmN8,927,2119,118)( rzbt .

0)( 2. rskut

r a 22 mmN2001,81

100

150ln1200)(

rt ,

0)( 2. rfikt

r a 22

. mmN8,1299,642)( rfiktt ,

22. mmN000)( rzbr a 2

2. mmN2,708,129200)( rzbt .

Výsledné průběhy zbytkových napětí t zb. x a r zb. x tedy budou mít tvar:

r1

r2

p1 mez.

x

Kfikt.

r fikt.(r1)

t fikt.(r2)

t fikt.(r1)

p1 mez.

t fikt. r

fikt. o

x

rskut. t

skut.

r skut.(r1) t

skut.(r1)

p1 mez.

t skut.(r2)

o

o

81,1

x x

t fikt. r

skut. tskut.

r fikt. t zb.

r zb.

–81,1 118,9 211,7 –92,8 0

0 64,9 129,8 200 0 70,2

100 150

o




8. ZÁKLADY LOMOVÉ MECHANIKY

Snahou lomové mechaniky je popis vzniku a šíření trhliny v materiálu. Při popisu jsou využívány různé přístupy a principy:

- fyzikální modely (na základě fyziky materiálu) - matematické modely (na základě numerických metod)

- empirické modely (na základě výsledků zkoušek)




Společnčm rysem současného strojíenství jsou protichůdné požadavky:

Například zvýšit výkon, ale zachovat bezpečnost

Zv�šit v�kon, zachovat bezpečnost a) b)

Lom: Různá hlediska popisu lomů: 1. Fyzika pevných látek




2. Fraktografie 3. Mechanika poddajných těles Klasifikace lomů: a) Podle typu materiálu

a) Podle typu materiálu




LOMY:

KŘEHKÉ TVÁRNÉ mechanizmus lomu

Poznámka:

šíření trhliny

příklady




KLASIFIKACE LOMŮ




TĚLESO S TRHLINOU Rozměry trhliny

Stanovení podmínek šíření trhliny Alan Arnold Griffith (1893–1963) podobnost stavu napjatosti na čele trhliny George Rankin Irwin (1907–1998) termodynam. rovnováha tělesa s trhlinou a) Teorie Alana Arnolda Griffithe




Podmínky samovolného šíření trhliny

b) Teorie George Rankina Irwina Mód I – tahový Mód II – rovinný smykový Mód III – antirovinný smykový




Stavy, kdy trhlina nemá vliv na napjatost

Napjatost vMódu I

Napjatost vMódu II

Napjatost vMódu III




Podle Westergardova řešení mají výsledné vztahy pro pole napjatosti v těsném okolí čela trhliny (r a) v nekonečném rovinném tělese podobnou strukturu:




Williamsův rozvoj: Použijeme pouze první člen, který upravíme do tvaru: kde zavedeme faktor intenzity Kk jako: Tento faktor charakterizuje výsledné mechanické namáhání v těsném okolí čela trhliny. Pro nekonečné těleso s přímou trhlinou délky 2a je: Faktor intenzity napětí




Vliv plastické zóny




Lomová houževnatost Kkc :




Lomová houževnatost Kkc : Lomová houževnatost závisí: na materiálu

na teplotě

na rychlosti zatěžování

na prostředí (koroze, vodíkové křehnutí, radiační křehnutí, …)




SOUVISLOST MEZI GRIFFITHOVÝM A IRWINOVÝM PŘÍSTUPEM Oba přístupy Griffithův i Irwinův definují kritérium, podle kterého lze rozhodnout, zda těleso z daného materiálu, s trhlinou dané geometrie, zatížené daným způsobbem je v daných podmínkách ve stavu, kdy se trhlina může samovolně a rychle šířit.

Griffithův přístup Bilance práce, kterou mohou při rozšíření trhliny vykonat vnitřní a vnější síly a práce spotřebované na vznik volných povrchů.

Pro trhlinu na mezi stability v módu I platí:

Irwinův přístup Porovnání stavu napjatosti na čele obecné trhliny se stavem napjatosti na čele trhliny na zkušebním vzorku při počátku nestabilního šíření.

Pro trhlinu na mezi stability v módu I platí:

OBOR PLATNOSTI LINEÁRNÍ LOMOVÉ MECHANIKY (LLM) • Irwin připustil porušení tohoto předpokladu pouze v takové oblasti na čele

trhliny, jejíž délka je výrazně (více než 10) menší, než délka trhliny. V takových případech je adekvátní tzv. LINEÁRNÍ LOMOVÁ MECHANIKA (LLM).

• Stav, kdy je v plastickém stavu podstatná část nosného průřezu, není z hlediska LLM pří-pustný. Přístupy, které zohledňují při řešení šíření trhlin v podmínkách rozsáhlé plastizace označujeme společným názvem ELASTICKO-PLASTICKÁ LOMOVÁ MECHANIKA (EPLM) nebo NELINEÁRNÍ LOMOVÁ MECHANIKA (NLLM) .

Federerovo kritérium:




STANOVENÍ PODMÍNEK NÁHLÉHO ŠÍŘENÍ TRHLINY POMOCÍ J-INTEGRÁLU




UPLATNĚNÍ J-INTEGRÁLU V NELINEÁRNÍ LOMOVÉ MECHANICE ELASTICKO PLASTICKÁ LOMOVÁ MECHANIKA (EPLM) Parametr kritického otevření na čele trhliny (CTOD ) je založen na pozorování, že před náhlým lomem se v kořeni trhliny její líce oddálí. INICIACE A RŮST TRHLIN




Z makroskopického pohledu lze na únavové poškození nahlížet jako na proces s relativně ostře oddělenými třemi etapami: Iniciace: Šíření trhlin: Dolom: STABILNÍ ŠÍŘENÍ TRHLIN V roce 1961 byl formulován Paulem C. Parisem fenomenologický model stabilního šíření únavových trhlin při cyklickém zatěžování.

P. C. Paris, M. P. Gomez, W. E. Anderson: A rational analytic theory of fatigue. The Trend in Engineering 1961, 13: pp. 9-14.

Parisův zákon vyjadřuje přírůstek délky trhliny na jeden cyklus v závislosti na rozkmitu faktoru intenzity napětí:







9. LITERATURA [1] MICHALEC, Jiří, a kol.: Pružnost a pevnost II, Vydavatelství ČVUT, Praha 1994, 2000 a 2006

[2] VALENTA, František, a kol.: Pružnost a pevnost III, Vydavatelství ČVUT, Praha 1995 a 2002

[3] ŘEZNÍČKOVI, Jan a Jitka: Pružnost a pevnost v technické praxi - Příklady II, Nakladatelství ČVUT, Praha 2006

[4] ŘEZNÍČEK, Jan: Pružnost a pevnost I – Přednášky, Podklady pro studenty FS ČVUT v Praze, http://pruznost.unas.cz, Praha 2006 – 2016

[5] PARIS, P. C., GOMEZ M. P., ANDERSON W. E.: A rational analytic theory of fatigue. The Trend in Engineering 1961, 13: pp. 9-14.




DOSLOV

Vážené kolegyně a vážení kolegové, rád jsem s Vámi trávil každý týden pondělní časné dopoledne v mé druhé nejoblíbenější učebně budovy Fakulty strojní ČVUT v Praze v Dejvicích, která nese oficiální označení T4:D1-266 (nejraději mám T4:D2-256, ale na tu nás „bylo málo“). Stejně jako v Pružnosti a pevnosti I bylo mou snahou Vám předat přijatelnou formou co nejvíce informací, které by Vám alespoň trochu usnadnily přípravu ke zkoušce z Pružnosti a pevnosti II. Snažil jsem se opět ukázat, že se s pružností a pevností setkáváme každý den, a tak doufám, že jsem Vás moc nenudil a že všichni zvládnete zkoušku bez vážnějších problémů. Nezapomeňte, že moje nabídka z první přednášky na pomoc při řešení Vašich osobních a studijních problémů není časově omezená, a tak si můžete přijít problémy vyříkat, i když už Vás nebudu učit, protože chtě nechtě „mými“ studenty budete stále, ať Vás učím nebo ne. Všem Vám přeji hodně úspěchů v nastávajícím zkouškovém období, a to nejen při zkoušce z Pružnosti a pevnosti II, ale i z ostatních předmětů, které jsou neméně důležité pro Vaše další studium. Hlavně Vám přeji pevné zdraví, protože bez něho to nejde. A snad někdy v budoucnu u některého z předmětů vyšší pružnosti v navazujícím magisterském studiu na shledanou!




POZNÁMKY



KDOPAK VÁS TO VLASTNĚ UČIL? Narodil jsem se v roce 1957. Základní devítiletou školu a gymnázium jsem absolvoval v Benešově. V letech 1976 až 1981 jsem studoval na Fakultě strojní Čv Praze magisterský (inženýrský) obor Aplikovaná mechanika. Ihned po absolvování jsem nastoupil do podniku Teplotechna a následně na prezenční službu do armády, kde jsem působil rok jako technik a staral se všechna možná vojenská vozidla. V roce 1982 jsem nastoupil na tehdejší Katedru pružnosti a pevnosti na stáž a tím pádem od roku1982 pravidelně učím na fakultě. Začínal jsem nejprve tím „nejjednodušším“ Pružností a pevností I. Postupně jsem si „troufnul“ i na Pružnost a pevnost II a další oborové předměty.

V letech 1983 84 jsem souběžně pracoval ve výpočetním oddělení SVÚSS v Praze Běchovicích. Po rozdělení Československa a vzniku samostatné Fakulty dopravní na Českém vysokém učení technickém v Praze jsem tam v letech 1995 až 1998 přednášel a cvičil Pružnost a pevnost. V současnosti dále na Fakultě strojní učím předměty: Experimentální metody certifikace strojů v bakalářském studiu a Pevnost letadel a motorů a Mechanika 5 v navazujícím magisterském studiu. Mým heslem je: Přednášky jsou jedno velké divadlo a jestli to je komedie nebo tragedie, to se ukáže až u zkoušky!!!

NEJSEM JENOM UČITEL! Kromě pružnosti a pevnosti, resp. celé mechaniky mám ještě jednoho koníčka – tedy vzpínajícího se koně na zadních. Již dlouhá léta sbírám modely Ferrari zejména formule 1 od ročníku 1950 až po dnešní vozy, které znáte z televize.

Řada z vás také zná můj „červený roh“ v kanceláři, který se snažím neustále doplňovat o další a další exempláře všech velikostí od těch nejmenších měřítek 1/87 a 1/72 přes běžné 1/43, 1/36, 1/32, 1/24 a 1/18 až po ty největší 1/16 a 1/12.

Jan Řezníček

PRUŽNOST A PEVNOST II/IIA – PŘEDNÁŠKY

Podklady pro přednášky v bakalářských studijních programech: „Teoretický základ strojního inženýrství“ a

„Strojírenství“

Fakulta strojní České vysoké učení technické v Praze, Technická 4, 166 07 Praha 6,

Vystaveno dne 16. září 2019 na: http://www.pruznost.unas.cz Vydání SEDMÉ (první vydání akademický rok 2009/2010) 145 stran, 457 obrázků, 55 řešených příkladů, 46 příkladů „pro inspiraci“.

Date post:	19-Dec-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	4 times
Download:	0 times

PRUŽNOST A PEVNOST II PŘEDNÁŠKYpruznost.unas.cz/PP_II_19_20.pdf · Většinu kapitol se...

Documents