Ing. Jan BRANDA
PRUŽNOST A PEVNOST
Výukový text pro učební obor Technik plynových zařízení
Vzdělávací oblast RVP – Plynová zařízení a Tepelná technika (mechanika)
Pardubice 2013
Aktualizováno: 2015
2
Použitá literatura:
Technická mechanika I pro SOU, Ing. K. Mičkal, Informatorium, 2008, čtvrté vydání
Sbírka úloh z technické mechaniky pro SOU, Ing. K. Mičkal, Informatorium, 1998, páté vydání
Studijní materiál: Mechanika I (Statika, Pružnost a Pevnost), M.H. 2003, SPŠ Uherské Hradiště.
Průběhy vnitřních sil na nosnících, přednáška 4 a 5, Doc. Ing. Michal Micka, CSc., Ústav mechaniky a
materiálů Fakulty dopravní ČVUT v Praze. 2013
Strojnické tabulky, Jan Leinveber, Jaroslav Řasa, Pavel Vávra, Scientia spol s.r.o. pedagogické
nakladatelství, 1999, třetí vydání
Dílo smí být dále šířeno pod licencí CC BY-SA (www.creativecommons.cz).
Výukový text je určen pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a
školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.
Všechna neocitovaná autorská díla jsou dílem autora.
OBSAH:
Pružnost a Pevnost se zabývá deformací a napětím (tlakem) v zatížených konstrukcích .............................. 3
Při výpočtech rozlišujeme 3 základní úlohy:.................................................................................................. 3
Způsoby zatížení:............................................................................................................................................ 3
Druhy namáhání: ............................................................................................................................................ 4
Druhy napětí: .................................................................................................................................................. 4
Popis základních druhů namáhání: ................................................................................................................. 5
o Tah .............................................................................................................................................................. 5
o Tlak ............................................................................................................................................................. 5
o Smyk – Střih ............................................................................................................................................... 6
o Krut ............................................................................................................................................................. 7
o Ohyb ........................................................................................................................................................... 8
„Tahový diagram“ (pracovní diagram, diagram napětí) ............................................................................... 10
Mechanické vlastnosti materiálu: ................................................................................................................. 11
o Příklady výpočtu:...................................................................................................................................... 11
Dovolené namáhání: ..................................................................................................................................... 12
Pevnostní podmínka: .................................................................................................................................... 13
Deformační podmínka: ................................................................................................................................. 13
Kontrola: ....................................................................................................................................................... 13
o Příklady výpočtu:...................................................................................................................................... 15
o Výpočet namáhání v Tahu - Tlaku ........................................................................................................... 16
o Výpočet namáhání na Střih (smyk) .......................................................................................................... 16
o Výpočet namáhání na Krut ....................................................................................................................... 17
o Výpočet namáhání na Ohyb ..................................................................................................................... 17
3
PRUŽNOST A PEVNOST
Pružnost a Pevnost se zabývá deformací a napětím (tlakem) v zatížených konstrukcích.
Při výpočtech rozlišujeme 3 základní úlohy:
1. zjištění rozměrů a tvaru – dimenzování
2. zjištění napětí (tlaku) a deformace
3. zjištění velikosti max. (dovoleného) zatížení součásti
(konstrukce)
Způsoby zatížení:
A) podle zatížení – druh síly
osaměle působící síla
spojité zatížení
B) podle charakteru časového průběhu zatížení
statické zatížení
dov • 1
4
dynamické zatížení – proměnlivá síla
dov • 0,85
Střídavé zatížení
dov • 0,65
Rázové zatížení - buchar
2/3 dov • 0,65
Druhy namáhání:
Tah – Tlak σt
Smyk (střih) τs
Krut τk
Ohyb σo
Druhy napětí:
Normálové napětí směr jeho účinku je kolmý na průřez. Označujeme ho písmenem σ (sigma).
Tečné napětí směr jeho účinku je rovnoběžný s průřezem. Označujeme ho písmenem τ (tau).
Účinek vnějších sil, musí
být vždy v rovnováze
s účinkem sil vnitřních.
5
Popis základních druhů namáhání:
o Tah
Definice: Součást je namáhána tahem, působí-li na ni dvě síly
stejně velké, opačně orientované a směřují ven z průřezu. Síly jsou
kolmé na průřez a leží na společné nositelce.
Deformace materiálu: prodloužení a zúžení průřezu
Pevnostní rovnice:
Druh napětí: t - normálové napětí
Deformační rovnice:
o Tlak
6
Definice: Součást je namáhána tlakem, působí-li na ni dvě síly
stejně velké, opačně orientované a směřují dovnitř průřezu. Síly
jsou kolmé na průřez a leží na společné nositelce.
Deformace materiálu: zkrácení a rozšíření průřezu
Pevnostní rovnice:
Druh napětí: d - normálové napětí
Deformační rovnice:
E …modul pružnosti v tahu [MPa] (konstanta, která vyjadřuje
pružnost materiálu,u materiálu zůstává trvalá deformace 0,005%
původní délky)
o Smyk – Střih
Definice: Součást je namáhána smykem, působí-li na ni dvě síly
stejně velké, opačně orientované a rovnoběžné s průřezem.
Deformace materiálu: posunutí součásti proti sobě (střih)
Pevnostní rovnice:
Druh napětí: τs - tečné napětí
7
Deformační rovnice:
G …modul pružnosti ve smyku [MPa]
o Krut
Definice: Součást je namáhána krutem, působí-li na ni dvojice sil a
rovnoběžná s průřezem.
Deformace materiálu: zkroucení
Pevnostní rovnice:
Druh napětí: τk - tečné napětí
8
U krutu a ohybu záleží na poloze, tvaru, nebo rozložení průřezu
podle průřezové osy.
Charakteristickou průřezovou veličinou je MODUL PRŮŘEZU v krutu
Wk [mm3]. Hodnoty pro různé průřezy nalezneme ve strojnických tabulkách.
Další důležitou veličinou charakterizující průřez, polohu, tvar a
rozložení podél průřezové osy je KVADRATICKÝ MOMENT PRŮŘEZU
(Jx = ΣΔS.x2, Jy ΣΔS.y2,). Kromě toho ještě rozeznáváme POLÁRNÍ
MOMENT PRŮŘEZU (Jp = Jx + Jy). Hodnoty pro různé průřezy nalezneme ve
strojnických tabulkách.
Deformační rovnice:
tabulkyvizJradGJ
lMp
p
k
;
180);(
o Ohyb
Definice: Součást je namáhána ohybem, působí-li na ni dvojice sil
(ohybový moment) jejíž rovina je kolmá k rovině průřezu.
9
Část vláken se prodlužuje (TAH) část vláken se zkracuje (TLAK)
Deformace materiálu: průhyb
Pevnostní rovnice:
Druh napětí: o - normálové napětí
U ohybu záleží na poloze, tvaru, nebo rozložení průřezu podle
průřezové osy.
Charakteristickou průřezovou veličinou je MODUL PRŮŘEZU v
ohybu Wo [mm3]. Hodnoty pro různé průřezy nalezneme ve
strojnických tabulkách.
Ohybový moment určíme jako součet momentů od všech silových
účinků po jedné straně řezu vůči řezu (metoda řezu). Pokud v řezu
působí pouze ohybový moment, hovoříme o čistém ohybu.
Ohybový moment bývá zpravidla doprovázen posouvající
(smykovou) silou, tj. silou ležící v rovině řezu (u běžných nosníků
tyto síly zanedbáváme).
Výpočet max. ohybového
momentu:
1. pomocí podmínky rovnováhy
ΣFix= 0; ΣFiy= 0; ΣMi= 0, vypočítáme
reakce v podporách A, B.
2. Zakreslíme průběh vnitřních sil.
Začínáme z levé strany na nulové čáře.
3. Z levé strany počítáme průběh
ohybových momentů.
(ohybový moment v nosníku je reakcí
na akci momentu vnějších silových
účinků)
10
„Tahový diagram“ (pracovní diagram, diagram napětí)
Z důvodu bezpečnosti je nutné, aby skutečné napětí vznikající
v zatížených součástech, nepřekročila přímkovou oblast –
oblast pružné deformace.
Tgα = /ε = E [MPa] → Hookův zákon
11
Mechanické vlastnosti materiálu:
Charakterizují houževnatost materiálu
Tažnost
Kontrakce (poměrné zúžení)
o Příklady výpočtu:
Výpočet napětí
Dimenzování rozměrů
Výpočet velikosti deformace
Sbírka úloh z technické mechaniky pro SOU, Ing. K. Mičkal
1. Vypočítej, jaké napětí vzniká při zatížení strojní součásti silou
F v jednotlivých průřezech a .
obr. V-1
d1 = 120 [mm]; l1 = 60 [mm]; E = 2,1• 105 [MPa]
d2 = 640 [mm]; l2 = 40 [mm]; F = 1,2•105 [N]
2. Vypočítej, rozměry tyče čtvercového průřezu namáhané tahem
viz obr. V-2
obr. V-2
dov = 150 [MPa]; l = 200 [mm]; F = 1,5•105 [N]
12
3. Vypočítej, jaké je absolutní a relativní prodloužení strojní
součásti viz obr. V-1 z příkladu 1.
4. Vypočítej, jaké je absolutní a relativní prodloužení strojní
součásti viz obr. V-3.
d1 = 80 [mm]; l1 = 500 [mm]; E = 0,7• 105 [MPa]
d2 = 60 [mm]; l2 = 700 [mm]; F = 1,4•105 [N]
Dovolené namáhání:
13
A) U houževnatých materiálů je zřetelná mez kluzu
dov = kt / k = 0,6 •pt / k
kt … mez kluzu v tahu
pt … mez pevnosti v tahu
k … míra bezpečnosti, volí se hodnota 1,4 až 2 (2 se volí, pokud
není přesně určené namáhání, nebo jde-li o lidi)
uhlíková ocel kt = 0,5 až 0,6 •pt
slitinová ocel kt = 0,75 až 0,8 •pt
B) U křehkých materiálů se počítá s mezí pevnosti
dov = pt / k
k … míra bezpečnosti, volí se hodnota 2,5 až 4
Pevnostní podmínka:
Deformační podmínka:
+
Kontrola:
Nebezpečný průřez místo s nejmenším průřezem, tedy
s největším napětím.
14
15
o Příklady výpočtu:
Sbírka úloh z technické mechaniky pro SOU, Ing. K. Mičkal
1. Výpočtem zkontrolujte navrženou součást, zatíženou
proměnlivou silou.
obr. V-1
d = 20 [mm]; D = 40 [mm]; l = 60 [mm]; F = 12•104 [N]
materiál ocel 11370 pt = 370 [MPa]; míra bezpečnosti k = 1,8.
2. Určete největší dovolené zatížení F dřevěného sloupku, jehož
průřez má plochu S.
S = 160 x 160 [mm]; materiál dřevo Dov = 10 [MPa]
3. Určete největší dovolené zatížení F ocelového svorníku.
b = 300 [mm]; h = 15 [mm]; d = 25 [mm]; Dov = 90 [MPa]
16
o Výpočet namáhání v Tahu - Tlaku
Příklad:
1.1. Vypočítej, jaké napětí vzniká při zatížení strojní součásti silou F v jednotlivých
průřezech a .
d1 = 100 [mm]; l1 = 50 [mm]; E = 2,1• 105 [MPa]
d2 = 600 [mm]; l2 = 30 [mm]; F = 105 [N]
Řešení:
][78544
100
4
222
11 mm
dS
][282743
4
600
4
222
22 mm
dS
][7,127854
105
1
1 MPaS
Ft ][354,0
282743
105
22
MPaS
Ft
Napětí v průřezu d1 = 100 [mm], l1= 50 [mm] Napětí v průřezu d2 = 600 [mm], l2= 30 [mm]
1.2. Vypočítej, jaké je absolutní a relativní prodloužení strojní součásti.
][0
1
0 mmE
l
ES
lFl t
absolutní prodloužení
][100805,310057,51003,3 33302201121 mm
E
l
E
llll tt
relativní prodloužení
[%]1085,33050
003085,0 5
0
l
l
o Výpočet namáhání na Střih (smyk)
Příklad:
Vypočítej, jaká bude střižní síla průstřižníku?
Materiál, který se bude stříhat - ocel 11500
uhlíková ocel - koeficient (0,6). d = 20 [mm]; tl. = 2 [mm];
Řešení:
][3005006,0, MPac tPs
.tld
F
tlouštkaobvod
F
S
Fs
][37699300220 NtldSF ss
Střižná síla musí být větší než 37 699 [N].
17
o Výpočet namáhání na Krut
Příklad:
Navrhni d a urči velikost úhlu zkroucení kruhové hřídele, která je namáhána krouticím
momentem Mk.
Mk = 104 [Nmm]; l = 3 [m]; materiál - ocel 11500; G = 8• 104 [MPa]
tabulkyvizJpradGJ
lM
p
k
;
180);(
Řešení:
τD,k viz strojnické tabulky pro materiál ocel 11500, statická síla (τD,k= 100 [MPa])
][100100
10 34
,
, mmM
WW
M
kD
kk
k
kkD
Navržení d pro kruhový průřez:
][986,71610016
1633
3
mmW
dd
W kk
Velikost úhlu zkroucení:
80,53
180939,0);(939,0
10832
986,7
300010)(;
32 44
44
radrad
GJ
lMdJp
p
k
o Výpočet namáhání na Ohyb
Příklad 1:
Navrhněte rozměry nápravy železničního vagónu, jde-li a) o kruhový průřez d, b) mezikrohový
průřez d1, d2.
G = 8• 104 [N]; a = 180 [mm]; l = 800 [mm]; materiál - ocel 11500 Do = 80 [MPa]; d1 : d2 = 2.
Řešení:
1. Nakreslíme výpočtové schéma podle obrázku a), výsledkem je obrázek b).
2. Určíme vazbové síly. Vzhledem k souměrnosti konstrukce i zatížení platí:
RA = RB = F = G/2 = 4• 104 [N]
Poznámka: Pro výpočet vazbových sil použijeme podmínky rovnováhy: ΣFix= 0; ΣFiy= 0; ΣMi= 0.
ΣMiA = 0 = F1 • a+ F2 • (a+l)+ RB • (2a+l)= - 4• 104 •180 - 4• 104 • 980+ RB •1160
18
RB = ( 4• 104 •180 - 4• 104 • 980) / 1160 = 4• 104 [N]
ΣFiy = 0 = RA + F1 + F1 + RB = RA - 4• 104- 4• 104+ 4• 10
RA = 4• 104 [N]
3. Narýsujeme průběh posouvajících sil a ohybových momentů a určíme MO max.
MOx1 = RA • a = 4• 104 • 180 = 7,2• 106 [N•mm]
MOx2 = RA • (a+l) + F1•l = 4• 104 • (180+800) + (- 4• 104 • 800) = 7,2• 106 [N•mm]
MOx1 = MOx2 = MO max = 7,2• 106 [N•mm]
4. Rozměry nápravy určíme z pevnostní rovníce:
][10.980
10.2,7 346
maxmax mmM
WW
M
Do
Oo
o
ODo
Z modulu průřezu vypočítáme požadované rozměry. Ve
strojnických tabulkách vyčteme požadované výpočtové vztahy k jednotlivým průřezům.
a) Pro kruhový průřez: ][1,9732
323
3 mmW
ddW oo
b) Pro mezikruhový průřez: 1221 22: dddd po dosazení a úpravě rovnice →
][63,49];[26,9915
1632
321
32
1
4
2
4
1 mmdmmW
dd
ddW o
o
Příklad 2:
Vypočítejte maximální ohybový moment nosníku zatížený osamělou silou.
a = 1 [m]; b = 2 [m]; F1 = 10 [kN]
Řešení:
1. Vypočítáme vazbové síly (Rx, Ry, Mi). Vzhledem k nesouměrnosti konstrukce i zatížení:
RA ≠ RB
Poznámka: Pro výpočet vazbových sil použijeme podmínky rovnováhy: ΣFix= 0; ΣFiy= 0; ΣMi= 0.
ΣFiy = 0 = F1 + RA + RB = 0
ΣMiA = 0 = RA • 0 + F1 • a+ RB • (a+b)= 0 + (-10.000 •1) + RB • (1+2)
RB = ( 10.000) / 3 = 3.333 [N]
19
ΣFiy = 0 = F1 + RA + RB = (- 10.000)+ 3.333 + RA
RA = 6.667 [N]
3. Narýsujeme průběh posouvajících sil a ohybových momentů a určíme MO max.
Tx1 = F – RB = 10.000 – 3.333 = 6.667 [N] (posouvající síla počítaná zleva)
Tx2 = F – RA = 10.000 – 6.667 = 3.333 [N] (posouvající síla počítaná zprava)
Postupujeme z levé strany:
MOx1 = RA • a = 6.667 • 1 = 6.667 [N•m]
MOx2 = RA • x2 - F1• (x2 – a) …poznámka: (moment počítáme z leva jako součin síly a ramene)
MOx1 = MO max = 6.667 [N•m]
20
