Úvod do teorie pravdepodobnostifusekmi/ipt/01.pdfÚvod do teorie pravdepodobnostiˇ Michal Fusek...

Úvod do teorie pravděpodobnosti

Michal Fusek

Ústav matematiky FEKT VUT, [email protected]

Pravděpodobnost a statistika (IPT)

Michal Fusek ([email protected]) 1 / 50

Obsah

1 Úvod

2 Náhodný jev

3 Pravděpodobnost

4 Podmíněná pravděpodobnost

5 Úplná pravděpodobnost a Bayesův vzorec

6 Nezávislost


Úvod

Teorie pravděpodobnosti

Procesy reálného světa popisujeme pomocí matematickýchmodelů.

Teorie pravděpodobnosti se zabývá tzv. pravděpodobnostnímimodely - popisují procesy ovlivněné množstvím drobných(ne)zjistitelných činitelů (náhodou).

Výsledek procesu nejistý i při stejný základních podmínkách(závisí na náhodě).

Kolísání výsledků procesu při jeho opakování (např. hodkostkou/mincí, losování karty z balíčku, losování sportky,...).


Úvod

PříkladVe výrobní hale je n strojů a 1 opravář. Máme informace o frekvenciporuch a době opravy.Možné otázky:

Jakou část pracovní doby bude opravář nevyužitý?

Kolik času se ztratí tím, že porouchaný stroj nebude opravenihned, protože opravář opravuje jiný stroj? Jak často se to stane?

Jakého efektu by bylo dosaženo přijetím dalšího opraváře?

Vznik poruch je náhodný proces - výsledek můžeme předvídatpouze s určitou pravděpodobností.

Odpovědi na otázky budou platné pouze s určitoupravděpodobností.

Zvolíme-li tuto pravděpodobnost dostatečně velkou, můžemeodpovědi pokládat za prakticky jisté.


Úvod

Statistika

Věda o sběru, zpracování a vyhodnocování hromadných dat.

Matematická statistika vychází z teorie pravděpodobnosti adoplňuje ji.

Teorie pravděpodobnosti - na základě známéhopravděpodobnostního modelu předpovídáme průběh procesu.

Matematická statistika - volba modelu a odhad jeho vlastností nazákladě zjištěných dat.

Obě disciplíny se prolínají a bez jedné nelze pochopit a ovládnoutdruhou.


Úvod

PříkladVyrábíme čipy do PC. Odběrem vzorků kontrolujeme průběh výrobníhoprocesu. Máme vypozorovanou jakost výroby (podíl zmetků) zanormálních podmínek.

Pomocí teorie pravděpodobnosti můžeme předpovědět meze, vekterých se budou prakticky jistě nacházet pozorované podílyzmetků v opakovaných výběrech (za předpokladu stabilityvýchozích podmínek).

Pomocí statistiky ověřujeme platnost předpokladů - vybočenípodílu zmetků z mezí signalizuje přítomnost nových vlivů, které jenutné identifikovat a případně odstranit.


Náhodný jev

Základní pojmyPokus:

Deterministický - splnění stejných počátečních podmínek vedevždy ke stejnému výsledku (zahřátí vody na 100◦ C při tlaku1013,25 hPa - změna vody v páru).

Náhodný - výsledek pokusu se mění i při zachování stejnýchpočátečních podmínek (losování karty z balíčku, uměléoplodnění).

Základní prostor - množina všech možných výsledků pokusu:

Ω = {ω1, ω2, ω3, . . . , ωn, . . .︸︷︷︸elementární jevy

}

neprázdná množinaje vyčerpávající = obsahuje všechny možné relevantní výsledkyvýsledky pokusu jsou neslučitelnépočet prvků Ω může být konečný, spočetný i nespočetný.


Náhodný jev

Náhodný jev - libovolná podmnožina Ω.

Jev nemožný: ∅

Jev jistý: Ω

PříkladHodíme mincí. Určete základní prostor Ω.

PříkladHodíme dvakrát mincí. Jev A značí, že padne rub. Jev B značí, že vobou hodech padne líc. Určete Ω, A, B.


Náhodný jev

Operace s náhodnými jevyS náhodnými jevy pracujeme jako s množinami.

Průnik jevů A a B je jev, který nastane právě tehdy, když nastanoujevy A a B současně. Značíme jej A ∩ B.

Jestliže A ∩ B = ∅, mluvíme o jevech disjunktních (neslučitelných).Michal Fusek ([email protected]) 9 / 50

Náhodný jev

Sjednocení jevů A a B je jev, který nastane právě tehdy, když nastanealespoň jeden z jevů A a B. Značíme jej A ∪ B.

Opačný jev (nebo též doplněk) k jevu A je jev, který nastane právětehdy, když nenastane jev A. Značíme jej A a platí

A = Ω \ A.

A = A, A ∩ B = A ∪ B, A ∪ B = A ∩ B


Náhodný jev

Jevy A1,A2, . . . tvoří úplný systém jevů, jestliže

A1 ∪ A2 ∪ · · · = Ω.

Pokud navíc platí Ai ∩ Aj = ∅ ∀i 6= j , mluvíme o úplném systémuneslučitelných jevů.

PříkladHázíme klasickou šestistěnnou kostkou. Jev A značí, že padne sudéčíslo. Jev B značí, že padne číslo větší než 4. Určete Ω, A, B, A, B,A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A.


Náhodný jev

Jevové polePro zavedení exaktního matematického modelu náhodného pokusupotřebujeme vhodný systém náhodných jevů.

Mějme neprázdnou množinu Ω 6= ∅ a neprázdný systém podmnožinA ⊆ 2Ω, pro který platí

1) Ω ∈ A,2) A ∈ A ⇒ A ∈ A,

3) Ai ∈ A, i = 1,2, . . . ⇒∞⋃

i=1Ai ∈ A.

Pak A nazveme jevovou σ-algebrou na Ω, dvojici (Ω,A) nazvemejevovým polem a libovolný prvek A ∈ A nazveme náhodným jevem.

S každými dvěma množinami A,B ∈ A obsahuje σ-algebra nejenjejich doplňky, ale i jejich sjednocení, průniky a rozdíly.


Náhodný jev

PříkladPro množinu Ω = {1,2,3} je příkladem σ-algebry:

systém všech jejích podmnožinA1 = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}.systém podmnožin A2 = {∅, {1}, {2,3}, {1,2,3}}.

PříkladPro množinu Ω = {1,2,3} je příkladem systému podmnožin, kterýnení σ-algebrou např. A3 = {∅, {1}, {2}, {1,2,3}}.

Doplněk množiny A = {1} není prvkem A3.Sjednocení množin A = {1}, B = {2} není prvkem A3.


Pravděpodobnost

Axiomatická definice pravděpodobnosti

Necht’ (Ω,A) je jevové pole a P je množinová funkce definovaná na As vlastnostmi:

1) P(Ω) = 1,2) P(A) ≥ 0 ∀A ∈ A,3) jestliže Ak ∈ A, k = 1,2, . . . , jsou navzájem disjunktní jevy

(Ai ∩ Aj = ∅ pro i 6= j), pak

P

(∞⋃i=1

Ai

)=∞∑

i=1

P(Ai).

Funkci P nazveme pravděpodobností a trojici (Ω,A,P) nazvemepravděpodobnostním prostorem.


Pravděpodobnost

Pravděpodobnost je funkce, která každé množině ze σ-algebry Apřiřazuje jakousi „velikost“, přičemž „velikost“ celé množiny Ω jerovna jedné.

Tato „velikost“ odpovídá šanci, že jev při náhodném pokusunastane (pravděpodobnost nastoupení).


Pravděpodobnost

Vlastnosti pravděpodobnosti

Necht’ (Ω,A,P) je pravděpodobnostní prostor. Pak pravděpodobnostP má následující vlastnosti:

(1) P(∅) = 0,(2) A,B ∈ A, A ∩ B = ∅ ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)(3) A,B ∈ A, A ⊆ B ⇒ P(B − A) = P(B)− P(A)(4) A,B ∈ A, A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B)(5) A ∈ A ⇒ 0 ≤ P(A) ≤ 1(6) A ∈ A ⇒ P(A) = 1− P(A)(7) A,B ∈ A ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)(8) A1, . . . ,An ∈ A ⇒ P

(⋃ni=1 Ai

)≤∑n

i=1 P(Ai)

(9) A1, . . . ,An ∈ A ⇒ P(⋃n

i=1 Ai)

=∑n

i=1 P(Ai )−∑n−1

i=1∑n

j=i+1 P(Ai ∩ Aj )+∑n−2

i=1∑n−1

j=i+1∑n

k=j+1 P(Ai ∩ Aj ∩ Ak )+ · · · (−1)n−1P(A1 ∩ · · · ∩ An)


Pravděpodobnost

Množina Ω je konečnáΩ = {ω1, ω2, . . . , ωn}

A = 2Ω

Pravděpodobnost libovolného jevu A ={ωi1 , . . . , ωik

}∈ A je

P(A) =k∑

j=1

P(ωij ),

přičemž platí∑n

i=1 P(ωi) = 1.

Jestliže P(ωi) = 1n , mluvíme o tzv. klasické pravděpodobnosti, prokterou platí

P(A) =|A||Ω|

,

kde | · | značí počet prvků množiny.Michal Fusek ([email protected]) 17 / 50

Pravděpodobnost

PříkladHázíme klasickou šestistěnnou kostkou. Jev A značí, že padne sudéčíslo. Jev B značí, že padne číslo větší než 4. Určete P(Ω), P(A),P(B), P(A), P(B), P(A ∩ B), P(A ∪ B), P(A \ B), P(B \ A).

PříkladPokud se ke zkoušce naučíte z 10 otázek pouze 4, jaká jepravděpodobnost, že ze 3 vylosovaných otázek budete znát

a) právě 2,b) alespoň 1?

Řešení:a) A . . . budu znát právě 2 ze 3

[P(A) = 0,3]b) B . . . budu znát alespoň 1 ze 3

B . . . nebudu znát žádnou z vylosovaných [P(B) = 56

]Michal Fusek ([email protected]) 18 / 50

Pravděpodobnost

PříkladHázíme 2x klasickou šestistěnnou kostkou. S jakou pravděpodobnostíbude součet na obou kostkách větší než 9?

Řešení:A...součet větší než 9Ω = {[1,1], [1,2], [1,3], . . . , [6,4], [6,5], [6,6]}A = {[5,5], [4,6], [6,4], [5,6], [6,5], [6,6]}

[P(A) = 16

]PříkladKolikrát je třeba hodit hrací kostkou, aby pravděpodobnost, že alespoňjednou padne 6, byla větší než 0.7?

Řešení:A...alespoň jednou padne 6A...ani jednou nepadne 6 [n > 6,6...]


Pravděpodobnost

PříkladMáme šestistěnnou kostku, která není homogenní, takže šestka na nípadá s pravděpodobností 0,75. Jednička padá jen s pravděpodobností0,01. U všech ostatních čísel jsou pravděpodobnosti stejné. Jaká jepravděpodobnost, že na této kostce padne sudé číslo?

Řešení:

Ω = {ω1, . . . , ω6}, kde ωi značí, že na kostce padlo číslo i , i = 1, . . . ,6

A . . . padne sudé číslo ⇒ A = {ω2, ω4, ω6}

P(ω1) = 0,01, P(ω6) = 0,75

P(ω2) = P(ω3) = P(ω4) = P(ω5) = 0,06

P(A) = P(ω2) + P(ω4) + P(ω6) = 0,87


Pravděpodobnost

Množina Ω je spočetná

Ω = {ω1, ω2, . . . , ωn, . . . }

A = 2Ω

Pravděpodobnost libovolného jevu A ={ωi1 , . . . , ωik , . . .

}∈ A je

P(A) =∑ωij∈A

P(ωij ),

přičemž platí ∑ωij∈Ω

P(ωij ) = 1.


Pravděpodobnost

PříkladHázíme mincí, dokud nepadne líc. Jaká je pravděpodobnost, žebudeme muset hodit více než třikrát?

Řešení:Ω = {L,RL,RRL,RRRL,RRRRL, . . . }A . . . hodíme více než třikrátA = {RRRL,RRRRL, . . . }

A . . . hodíme méně než čtyřikrátA = { L︸︷︷︸

ω1

, RL︸︷︷︸ω2

,RRL︸︷︷︸ω3

}

P(ω1) = 1/2 (L, R)P(ω2) = 1/4 (LL, LR, RL, RR)P(ω3) = 1/8 (LLL, LLR, LRL, RLL, RRR, RRL, RLR, LRR)

P(A) = 18Michal Fusek ([email protected]) 22 / 50

Pravděpodobnost

Množina Ω je nespočetná

Ω ⊆ Rn (borelovská množina v Rn a µ(Ω)

Pravděpodobnost

PříkladStudent FIT jede na FEKT na přednášku z IPT. Na zastávku Semilasomůže přijít se stejnou pravděpodobností v libovolném okamžiku.Autobus č. 53 jezdí ve 20minutových intervalech a vždy čeká vzastávce 1 minutu. Jaká je pravděpodobnost, že student přijde nazastávku v době, kdy tam bude stát autobus?

Řešení:Ω = 〈0,20) (čas v minutách od posledního odjezdu autobusu)A = 〈0,1) (autobus čeká v zastávce 1 minutu)

P(A) =µ(A)µ(Ω)

=1

20


Pravděpodobnost

PříkladAdam a Eva si na Tinderu domluvili rande. Mají sraz v restauraci mezisedmou a osmou hodinou (každý okamžik příchodu je stejněpravděpodobný). První příchozí si dá aperitiv, což zabere 15 minut.Jestliže do vypití nápoje potenciální partner nepřijde, tak zaplatí anaštvaně odejde. Jaká je pravděpodobnost, že rande proběhne?

Řešení:

Ω = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}

x - čas příchodu Adama (v hodinách)y - čas příchodu Evy


Pravděpodobnost

A . . . potkají seA =

{(x , y) : |x − y | ≤ 14

}

µ(A) = 1−(3

4

)2= 716

P(A) = µ(A)µ(Ω) =7

161 =

716


Podmíněná pravděpodobnost


Jaká je pravděpodobnost výsledku, když máme doplňujícíinformace o výsledku pokusu?

PříkladHázíte ve tmě dvěma klasickými šestistěnnými kostkami. Váš kamarádmá noktovizor a vidí, co padlo na které kostce. Určetepravděpodobnost, že

a) na 1. kostce padla šestka, když víte od kamaráda, že součet naobou kostkách je větší než 10.

b) součet na obou kostkách je větší než 10, když víte od kamaráda,že na 1. kostce padla šestka.

c) součet na obou kostkách je větší než 10, když víte od kamaráda,že na 1. kostce nepadla šestka.



A . . . na 1. kostce padla šestkaB . . . součet je větší než 10Ω = {[1,1], [1,2], . . . , [6,6]}



a) Jaká je pravděpodobnost, že na 1. kostce padla šestka, když víteod kamaráda, že součet na obou kostkách je větší než 10?

P(A|B) = 23



b) Jaká je pravděpodobnost, že součet na obou kostkách je většínež 10, když víte od kamaráda, že na 1. kostce padla šestka?

P(B|A) = 26



c) Jaká je pravděpodobnost, že součet na obou kostkách je většínež 10, když víte od kamaráda, že na 1. kostce nepadla šestka?

P(B|A) = 130



Necht’ (Ω,A,P) je pravděpodobnostní prostor, B ∈ A, P(B) > 0. Pakčíslo

P(A|B) = P(A ∩ B)P(B)

nazveme podmíněnou pravděpodobností jevu A za podmínky, ženastal jev B.

PříkladHázíte ve tmě dvěma klasickými šestistěnnými kostkami. Váš kamarádmá noktovizor a vidí, co padlo na které kostce. Určetepravděpodobnost, že

a) na 1. kostce padla šestka, když víte od kamaráda, že součet naobou kostkách je větší než 10.

b) součet na obou kostkách je větší než 10, když víte od kamaráda,že na 1. kostce padla šestka.

c) součet na obou kostkách je větší než 10, když víte od kamaráda,že na 1. kostce nepadla šestka.



Řešení:A . . . na 1. kostce padla šestkaB . . . součet je větší než 10

Ω = {[1,1], [1,2], . . . , [6,6]} P(Ω) = 1A = {[6,1], [6,2], [6,3], [6,4], [6,5], [6,6]} P(A) = 636B = {[6,5], [5,6], [6,6]} P(B) = 336

a) A ∩ B = {[6,5], [6,6]} P(A ∩ B) = 236P(A|B) = P(A∩B)P(B) =

2363

36= 23

b) P(B|A) = P(B∩A)P(A) =2

366

36= 13

c) B ∩ A = {[5,6]} P(B ∩ A) = 136P(B|A) = P(B∩A)

P(A)=

1363036

= 130



PříkladStudenti pořádají večírek, kterého se podle odhadů zúčastní 500 osob.Pro prvních 50 příchozích je připravena štamprle slivovice napřivítanou. Dvacet z nich však obsahuje pouze vodu. Určetepravděpodobnost, že

a) první příchozí si vylosuje panáka slivovice.b) první 2 příchozí si vylosují panáka slivovice.

Řešení:Ai ...příchozí číslo i si vylosuje slivovici; i = 1,2

a) P(A1) = 3050

b) P(A1 ∩ A2) =?

P(A|B) = P(A∩B)P(B) ⇒ P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B)

P(A2 ∩ A1) = P(A1) · P(A2|A1) = 3050 ·2949 =

87245 ≈ 0,36



Pravidlo o násobení pravděpodobností

Platí

P

(n⋂

i=1

Ai

)= P(A1)·P(A2|A1)·P(A3|A1∩A2)· · · · ·P(An|A1∩· · ·∩An−1)

pro P(⋂n−1

i=1 Ai)> 0.



PříkladJestliže se v určité oblasti nachází letadlo, radar jej detekuje a spustípoplach s pravděpodobností 99 %. V 10 % případů spustí radarfalešný poplach, přestože se v oblasti žádné letadlo nenachází.Předpokládáme, že se letadlo nachází v dané oblasti spravděpodobností 5 %. Určete pravděpodobnost, že

a) v oblasti se žádné letadlo nenachází a spustí se poplach.b) v oblasti se nachází letadlo, ale poplach se nespustí.

Řešení:A . . . letadlo je v oblastiB . . . spustí se poplachP(B|A) = 0,99 P(B|A) = 0,10P(A) = 0,05 ⇒ P(A) = 0,95

a) P(A ∩ B) = P(A)P(B|A) = 0,095

b) P(A ∩ B) = P(A)P(B|A) = 0,0005 P(B|A) = 1− P(B|A)Michal Fusek ([email protected]) 36 / 50

Úplná pravděpodobnost a Bayesův vzorec


Necht’ (Ω,A,P) je pravděpodobnostní prostor. Náhodné jevyH1, . . . ,Hn ∈ A tvoří úplný systém neslučitelných jevů na (Ω,A,P),jestliže platí

Hi ∩ Hj = ∅, i 6= j , an⋃

i=1

Hi = Ω.



Úplná pravděpodobnost

Necht’ H1, . . . ,Hn tvoří úplný systém neslučitelných jevů na (Ω,A,P)takový, že P(Hi) > 0 pro i = 1, . . . ,n. Pak

P(A) =n∑

i=1

P(Hi) · P(A|Hi),

kde P(Hi) jsou tzv. apriorní pravděpodobnosti.



Bayesův vzorec

Po provedení pokusu.

Necht’ H1, . . . ,Hn tvoří úplný systém neslučitelných jevů na (Ω,A,P)takový, že P(Hi) > 0 pro i = 1, . . . ,n a A ∈ A, kde P(A) > 0. Pak

P(Hj |A) =P(Hj) · P(A|Hj)∑ni=1 P(Hi) · P(A|Hi)

, j = 1, . . . ,n,

kde P(Hj |A) jsou tzv. aposteriorní pravděpodobnosti.



PříkladZkoušku z IPT dělali studenti dvou typů: řádní a opakující. Z celkovéhopočtu studentů bylo 40 % opakujících. U zkoušky uspělo 80 % řádnýchstudentů a 75 % opakujících. Jestliže náhodně vybereme jednohostudenta, jaká je pravděpodobnost, že uspěl?

Řešení:A...student udělal zkouškuHR...řádný studentHO...opakující student

P(HO) = 0,4P(HR) = 0,6

P(A|HO) = 0,75P(A|HR) = 0,8

P(A) = P(HO)P(A|HO) + P(HR)P(A|HR) = 0,78



Příklad (pokračování)

Náhodně vybraný student zkoušku udělal. Jaká je pravděpodobnost,že se jedná o řádného studenta?

Řešení:

P(HR|A) =P(HR) · P(A|HR)

P(A)=

0,6 · 0,80,78

= 0,615



PříkladJe známo, že jistou nemocí trpí 1 % populace. Jestliže osoba trpídanou nemocí, vyšetření odhalí pozitivní nález s pravděpodobností95 %. Jestliže osoba danou nemocí netrpí, vyšetření bude negativní spravděpodobností 70 %. Určete pravděpodobnost správné diagnózy unáhodně vybrané osoby, jestliže vyšetření bylo a) pozitivní, b)negativní.

Řešení:A . . . vyšetřovaná osoba trpí nemocíB . . . pozitivní nález

P(A) = 0,01 (prevalence nemoci) ⇒ P(A) = 0,99

Spolehlivost vyšetření:P(B|A) = 0,95 (senzitivita testu)P(B|A) = 0,7 (specificita testu)



A . . . vyšetřovaná osoba trpí nemocíB . . . pozitivní nálezP(A) = 0,01 ⇒ P(A) = 0,99P(B|A) = 0,95 ⇒ P(B|A) = 1− P(B|A) = 0,05P(B|A) = 0,7 ⇒ P(B|A) = 1− P(B|A) = 0,3

a) Pravděpodobnost správné diagnózy - vyšetření pozitivní.

P(B) = P(A)P(B|A) + P(A)

1−P(B|A)︷︸︸︷P(B|A) = 0,0095 + 0,297 = 0,3065

P(A|B) = P(A∩B)P(B) =P(A)P(B|A)

P(B).

= 0,030995

b) Pravděpodobnost správné diagnózy - vyšetření negativní.

P(B) = P(A)

1−P(B|A)︷︸︸︷P(B|A) +P(A)P(B|A) = 0,0005 + 0,693 = 0,6935

P(A|B) = P(A∩B)P(B)

= P(A)P(B|A)P(B)

.= 0,99928


Nezávislost

Nezávislost jevůDva jevy jsou nezávislé, jestliže pravděpodobnost jednoho z nichnezávisí na tom, zda druhý jev nastal nebo nenastal.

Hodíme dvěma kostkama. Na 1. kostce padne sudé číslo (jev A),na 2. kostce padne liché číslo (jev B).V urně jsou černé a bílé koule. V 1. tahu vytáhnu černou (jev A) avrátím ji zpátky. Ve 2. tahu vytáhnu černou (jev B).Dva studenti dělají zkoušku z IPT. První student udělá zkoušku(jev A). Druhý student udělá zkoušku (jev B).

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B).

Nutná a postačující podmínka nezávislosti

Necht’ (Ω,A,P) je pravděpodobnostní prostor. Pak řekneme, že jevyA ∈ A a B ∈ A jsou nezávislé, jestliže

P(A ∩ B) = P(A) · P(B).Michal Fusek ([email protected]) 44 / 50

Nezávislost

Necht’ (Ω,A,P) je pravděpodobnostní prostor a A1, . . . ,An ∈ A.Řekneme, že náhodné jevy A1, . . . ,An jsou vzájemně (skupinově)nezávislé, jestliže pro libovolné k ∈ {1, . . . ,n} a libovolnou množinuindexů {i1, . . . , ik} ⊆ {1, . . . ,n} platí

P

k⋂j=1

Aij

= k∏j=1

P(

Aij),

tedy

(1) P(Ai ∩ Aj) = P(Ai)P(Aj), i 6= j, i, j = 1, 2, . . . , n,

P(Ai ∩ Aj ∩ Ak ) = P(Ai)P(Aj)P(Ak ), i 6= j, i 6= k , j 6= k , i, j, k = 1, 2, . . . , n,

...

P(A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An) = P(A1)P(A2) · · ·P(An).

Pokud platí pouze (1), jedná se o párovou nezávislost.


Nezávislost

PříkladDělník obsluhuje 3 stroje, které pracují nezávisle na sobě.Pravděpodobnost, že dojde během směny k poruše na 1. stroji je 0,1,na 2. stroji 0,2 a na 3. stroji 0,05. Jaká je pravděpodobnost, že běhemsměny nedojde k poruše na žádném stroji?

Řešení:Ai ...porucha na stroji i , i = 1,2,3B...nedojde k poruše na žádném stroji

P(B) = P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1)P(A2)P(A3) = 0,684

P(A1) = 0,1 ⇒ P(A1) = 0,9P(A2) = 0,2 ⇒ P(A2) = 0,8P(A3) = 0,05 ⇒ P(A3) = 0,95


Nezávislost

Pravidlo o sčítání pravděpodobnostíPlatí

P

(n⋃

i=1

Ai

)=

n∑i=1

P(Ai )−n−1∑i=1

n∑j=i+1

P(Ai ∩ Aj )

+n−2∑i=1

n−1∑j=i+1

n∑k=j+1

P(Ai ∩ Aj ∩ Ak ) + · · · (−1)n−1P(A1 ∩ · · · ∩ An).

Jsou-li jevy A1, . . . ,An neslučitelné, pak

P

(n⋃

i=1

Ai

)=

n∑i=1

P(Ai ).

Jsou-li jevy A1, . . . ,An nezávislé, pak

P

(n⋃

i=1

Ai

)= 1−

n∏i=1

[1− P(Ai )] .


Nezávislost

PříkladZ karetní hry obsahující 52 karet je náhodně vybrána 1 karta.Vypočítejte pravděpodobnost, že je to kříž nebo karta s počtem bodůod 6 do 10 (včetně) nebo dvojka.

Řešení:A...křížB...karta od 6 do 10C...dvojka

P(A ∪ B ∪ C) =P(A)+P(B)+P(C)−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B∩C)+P(A∩B∩C) = 3152


Nezávislost

Sériové a paralelní systémySystém tvoří více součástí zapojených sériově a paralelně.

PříkladPočítačová sít’ spojuje zařízení A a B. Spojení prochází přes několikuzlů. U každé dvojice uzlů je dána pravděpodobnost, že spojení jeaktivní. Předpokládáme, že chyby ve spojení mezi jednotlivými uzlyjsou nezávislé. Určete pravděpodobnost, že existuje aktivní spojenímezi zařízeními.


Nezávislost

Řešení:

Sij . . . spojení mezi uzly i a j je aktivníP(S1CB) = P(SCE ∩ SEB) = P(SCE ) · P(SEB) = 0,8 · 0,9 = 0,72P(S2CB) = P(SCF ∩ SFB) = 0,8075

P(SCB) = P(S1CB ∪ S2CB) = 1− P(S1CB ∪ S

2CB) = 1− P(S

1CB ∩ S

2CB) =

1− P(S1CB)P(S2CB) = 0,9461

P(S1AB) = P(SAC) · P(SCB) = 0,9 · 0,9461 = 0,85149P(S2AB) = P(SAD) · P(SDB) = 0,7125

P(SAB) = P(S1AB ∪ S2AB) = 1− P(S1AB)P(S2AB).

= 0,957


ÚvodNáhodný jevPravdepodobnostPodmínená pravdepodobnostÚplná pravdepodobnost a Bayesuv vzorecNezávislost

Date post:	21-Oct-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	1 times
Download:	0 times

Úvod do teorie pravdepodobnostifusekmi/ipt/01.pdfÚvod do teorie pravdepodobnostiˇ Michal Fusek...

Documents