Regulační diagramy

CUSUM

pro atributivní znaky

Eva Jarošová

1

Obsah

1. Klasické diagramy pro atributivní znaky,

omezení a nevýhody jejich aplikace

2. Přístup založený na transformaci sledované

veličiny

3. CUSUM diagramy pro transformovanou

proměnnou

4. CUSUM diagramy založené na předpokládaném

rozdělení sledované veličiny

2

Klasické Shewhartovy diagramy

Pro počet neshodných jednotek v podskupině

Pro podíl neshodných jednotek v podskupině

Pro počet neshod

Pro podíl neshod na jednotku

Založeny na předpokladu normálního rozdělení,

jímž lze za určitých podmínek aproximovat

skutečné rozdělení sledované veličiny

3

Binomické rozdělení Bi(n,p)

střední hodnota nebo

Poissonovo rozdělení Po(l)

střední hodnota nebo

(nezávislost)

Regulační meze ve vzdálenosti

riziko falešného signálu v podobě překročení horní

regulační meze 0,00135

Podmínky pro aproximaci

4

5np

5l

8np

8l

3 sigma

Důsledky nesplnění podmínky

vlivem nedostatečného rozsahu výběru

nesymetrické meze – záporná hodnota

pro dolní mez se nahradí nulou

větší riziko falešného signálu

(i pro np=5)

nelze diagnostikovat okamžik zlepšení

5

Alternativní přístupy

Transformace + Shewhartův diagram

Transformace + CUSUM

CUSUM přímo

6

Podstata CUSUM diagramů

První CUSUM Page (1954), od té doby řada modifikací

Dvě základní

Kumulativní součty odchylek od cílové hodnoty

rozhodování pomocí V-masky

Kumulativní součty

tabelární CUSUM (podobný klasickému diagramu)

7

0

1

( )t

t i

i

S X

1max ( );0i i iS S X K

1min ( );0i i iS S X K

Tabelární CUSUM pro měřitelné znaky

8

0 1max 0; ( )i i iC x K C

0 1min 0; ( )i i iC x K C

0 0 0C C

0 cílová hodnota

1 0

2K k

směrodatná odchylka

rozhodovací intervalH h

0,5k 4 nebo 5h

CUSUM pro počet neshodných

9

1max ( );0i i iS S X K

1min ( );0i i iS S X K

0

1

01

1 0

1ln

1

1ln

1

pn

pK K

pp

p p

01

1 0

ln

1ln

1

Hpp

p p

01

1 0

ln

1ln

1

Hpp

p p

Založen na binomickém rozdělení počtu neshod v podskupině

horní CUSUM dolní CUSUM

Cílová hodnota počtu neshod v podskupině p0

Konstanta pro identifikaci posunu p1 – p0

Meze pro S+ a S- (rizika a )

CUSUM pro počet neshod

10

Založen na Poissonovu rozdělení počtu neshod v podskupině

1max ( );0i i iS S X K

1min ( );0i i iS S X K

1 0

1

0

ln

c cK K

c

c

1

0

ln

ln

Hc

c

1

0

ln

ln

Hc

c

horní CUSUM dolní CUSUM

Cílová hodnota počtu neshod v podskupině c0

Konstanta pro identifikaci posunu c1 – c0

Meze pro S+ a S- (rizika a )

Případová studie

Dodávky nárazníků

11

Počet poškozených nárazníků

0

1

2

3

4

5

6

7

0 20 40 60 80 100 120 140

Proměnná velikost dodávek 263 – 508 kusů, průměrná velikost 434

P-diagram, konstantní meze

12

Sample

Pro

po

rtio

n

118105927966534027141

0,014

0,012

0,010

0,008

0,006

0,004

0,002

0,000

_P=0,00267

UCL=0,01010

LCL=0

1

1

11

1

1

P Chart of d

3 (1 ) /p p p n

LCL vychází záporná LCL = 0

Nestejné rozsahy - proměnlivé riziko falešného signálu

Základní hodnoty nejsou dány

P-diagram, proměnné meze

13

Sample

Pro

po

rtio

n

118105927966534027141

0,014

0,012

0,010

0,008

0,006

0,004

0,002

0,000

_P=0,00267

UCL=0,00958

LCL=0

1

1

1

1

P Chart of d

Tests performed with unequal sample sizes

3 (1 ) / ip p p n

P-diagram, konstantní meze

14

Základní hodnoty dány; p0 = 0,0025 0 0 03 (1 ) /p p p n

Skutečné riziko falešného signálu (překročení UCL) – 0,005

0 1,085np Sample

Pro

po

rtio

n

118105927966534027141

0,014

0,012

0,010

0,008

0,006

0,004

0,002

0,000

_P=0,0025

UCL=0,00969

LCL=0

1

1

11

1

1

P Chart of d

P-diagram, proměnné meze

15

Základní hodnoty dány; p0 = 0,0025

Sample

Pro

po

rtio

n

118105927966534027141

0,014

0,012

0,010

0,008

0,006

0,004

0,002

0,000

_P=0,0025

UCL=0,00919

LCL=0

1

1

1

1

P Chart of d

Tests performed with unequal sample sizes

Přístup založený na transformaci

A. Transformace založená na normování

B. Transformace arcsin

I-diagram pro individuální hodnoty

CUSUM diagram

16

0

0 0(1 ) /

ii

i

p pX

p p n

3 / 8arcsin

3 / 4

ii

i

xY

n

I-diagram

17

Diagram pro individuální hodnoty (regulace měřením)

Normované normální rozdělení - pevné meze 3

Observation

Ind

ivid

ua

l V

alu

e

118105927966534027141

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

_X=0

UCL=3

LCL=-3

1

11

1

I Chart of x

I-diagram a zpětná transformace

18

Základní hodnoty dány; p0 = 0,0025

Střední hodnota , směrodatná odchylka arcsin p 1 4n

Sample

Pro

po

rtio

n

118105927966534027141

0,016

0,014

0,012

0,010

0,008

0,006

0,004

0,002

0,000

_P=0,0025

UCL=0,0148

LCL=0,000484

1

1

11

11

P Chart of p

CUSUM pro transformovanou proměnnou

19

Sample

Cu

mu

lati

ve

Su

m

118105927966534027141

15

10

5

0

-5

-10

0

UCL=4

LCL=-4

CUSUM Chart of x

Cílová hodnota = 0, směrodatná odchylka = 1, h = 0,5, k = 4

CUSUM pro transformovanou proměnnou

20

Sample

Cu

mu

lati

ve

Su

m

118105927966534027141

0,3

0,2

0,1

0,0

-0,1

0

UCL=0,096

LCL=-0,096

CUSUM Chart of arcsin

Cílová hodnota p0 = 0,0025

Cílová hodnota po transformaci = 0,05; směrodatná odchylka = 0,024, h = 0,5, k = 4

Rizika chybného rozhodnutí

Případová studie

21

0 0,0025p

1 0,005p

Průměr procesu 0,00267p

Cílová hodnota

Směrodatná odchylka kolísání p 0 0(1 ) / 0,0024p p n

Nepřijatelná hodnota p, která by měla být odhalena

0,00135 0,01

1,439K K 9,498H 6,620H Parametry CUSUM

Horní a dolní CUSUM

22

1,439K K

9,498H

6,620H

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

0 20 40 60 80 100 120

S-,

S+

prokazatelné zhoršení procesu

prokazatelné zlepšení procesu

Použití diagramu

Překročení horní meze

hledá se vymezitelná příčina; je-li hledání úspěšné, příčina

se odstraní a kumulativní součet se vynuluje (na obrázku se vynulování neuvažuje)

Překročení dolní meze

znamená zlepšení procesu

s ohledem na neustálé zlepšování procesu by se měla revidovat cílová hodnota, určit nové parametry CUSUM diagramu, vynulovat kumulativní součty a pokračovat dál

(jinak při podílu neshodných trvale lepším než je původní cílová hodnota bude dolní kumulativní součet pořád klesat a jeho zobrazování přestává mít smysl)

23

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

0 20 40 60 80 100 120

S-,

S+

Vliv volby rizik

24

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

0 20 40 60 80 100 120 S

-, S

+

0,00135 0,01

0,01 0,01

Diagram pro počet neshod

25

Sample

Sa

mp

le C

ou

nt

252321191715131197531

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

_C=7,56

UCL=15,81

LCL=0

1

C Chart

Příklad Ford Motor (Ryan)

Příklad Ford Motor (Ryan)

26

Základní hodnota dána: c0 = 7

Sample

Sa

mp

le C

ou

nt

252321191715131197531

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

_C=7

UCL=14,94

LCL=0

1

1

C Chart of c-Ryan

Transformace

27

Observation

Ind

ivid

ua

l V

alu

e

252321191715131197531

9

8

7

6

5

4

3

2

_X=5,474

UCL=8,474

LCL=2,4741

I Chart of c-transf

Střední hodnota , směrodatná odchylka 1

1y c c

2 l

Cílová hodnota

Rizika chybného rozhodnutí

CUSUM Poisson

28

0 7c

1 9c

Průměr procesu 7,56c

Směrodatná odchylka kolísání c 0 2,6c

Chceme odhalit posun c1 – c0 = 2

0,00135 0,01

7,958K K 26,292H 18,324H Parametry CUSUM

Horní a dolní CUSUM

29

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0 5 10 15 20 25

S-,

S+

Podskupina

prokazatelné zhoršení procesu

prokazatelné zlepšení procesu

7,958K K

26,292H

18,324H

Sekvenční kontrola

Sledování jednotek kus po kuse

Speciální případ binomického CUSUM

pro n = 1 (Bernoulliho rozdělení)

Modifikace konstanty K a mezí H+ a H- viz [4]

Další možnost – sleduje se počet shodných jednotek mezi

dvěma neshodnými

(geometrické rozdělení)

30

Příklad

31

Kumulativní

počet 51 175 250 347 415 473 958 1455

Pořadí

neshodných 1 2 3 4 5 6 7 8

Y 51 124 75 97 68 58 485 497

Kumulativní

počet 1819 1920 1934 2170 2246 2421 2740 2808

Pořadí

neshodných 9 10 11 12 13 14 15 16

Y 364 101 14 236 76 175 319 68

Kumulativní počet udává, kdy se vyskytla neshodná jednotka

CUSUM - Bernoulli

32

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

S-,

S

+

0,003275K K

7,188H

5,009H

0,00135

0,01

Cílová hodnota p0 = 0,002

Nepřijatelná hodnota p1 = 0,005

zhoršení

procesu

CUSUM geometrický

33

-3000

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

0 2 4 6 8 10 12 14 16

S-;

S+

1/ 305,361G G BK K K

1 1224G GH mH m

1 2496G GH mH m

Gm K

Překročení dolní meze představuje signál, že podíl

neshodných je větší, tedy zhoršení procesu

Literatura

1. ČSN 01 0266: 1985 Special types of statistical control: Method of cumulative sums

(In Czech)

2. PAGE, E.S. Continuous inspection schemes. Biometrika, 1954, vol. 41, pp. 100-114.

3. KENETT, R.S., ZACKS, S. Modern Industrial Statistics: Design and Control of Quality

and Reliability. Pacific Grove: Duxbury Press, 1998. 621 p.

4. REYNOLDS, M.R., STOUMBOS, Z.G. A CUSUM Chart for Monitoring a Proportion

When Inspecting Continuously. Journal of Quality Technology, 1999, Vol. 31, No. 1,

pp. 87-108.

5. GOH, T.N. A control chart for very high yield processes. Quality Assurance, 1987,

vol. 13, no. 1, pp. 18—22.

6. CHAN, L.Y., LIN, D.K.J., XIE, M., GOH, T.N. Cumulative probability control charts for

geometric and exponential process characteristics. International Journal of

Production Research, 2002, Vol. 40, No. 1, pp.133-150.

34